1-12-2014
Jhorman Andres Contreras Pacheco UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
VIGAS: MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTO
JHORMAN ANDRES CONTRERAS PACHECO - 1112110
Ingeniero Hugo Alberto Portilla Duarte
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER CALCULO INTEGRAL - C 1110201 CUCUTA 2014
INTRODUCCIÓN El conocimiento del cálculo de giros y desplazamiento es necesario para poder entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga. El presente trabajo está basado en uno de los métodos para calcular el giro y desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el diagrama de momentos. Contiene un problema resuelto según el marco teórico que e nseñará al lector a tener base para su comprensión; y un glosario de palabras técnicas de uso seguido que facilitará la interpretación en el desarrollo del trabajo; además, de un comentario acerca de la importancia de las vigas en la ingeniería Civil.
MARCO TEÓRICO VIGAS En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento estructural lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado.
METODO DE AREA DE MOMENTO Este método se basa en la relación que existe entre el momento M y la curvatura y proporciona medios prácticos y eficientes para calcular la pendiente y la deflexión de la curva elástica de vigas y pórticos. El método tiene dos teoremas. El primero relaciona la curvatura con la pendiente de la curva elástica y el segundo la curvatura con la deflexión. De
la
ecuación
general
de
flexión
Integrando:
Tengamos presente que
curvatura de un elemento viga.
tenemos:
El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones que el de la doble integración. Sin embargo para verlo en su totalidad, como un conjunto completamente independiente, se repite una pequeña parte de lo dicho en la sección cualquiera. La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con una carga cualquiera. La Elástica, como intersección de la superficie neutra con el plano vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente exagerada. Al igual que en la deducción de la fórmula de la deflexión, dos secciones planas adyacentes, distantes una longitud dx sobre una viga inicialmente recta, giran un ángulo dθ una respecto a la otra . 3.2.- DEMOSTRACION: Es un método sencillo para determinar las pendientes y flechas en las vigas, en las cuales intervienen el área del diagrama de momento y el momento de dicha área
Recordemos que Si la viga es linealmente elástica y cumple con la ley de Hooke entonces de la fórmula de flexión se tiene: Entonces
Entonces
Integrando tenemos,
Entonces
En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el área del elemento diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B. Por tanto la ecuación anterior nos conduce al primer teorema del método del área de momentos que dice: “la variación o incremento de la pendiente entre las tangentes
trazadas a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al área del diagrama de momentos flectores entre estos dos pun tos dividido por EI”.
Θ es positivo cuando va en sentido anti horario (ósea corresponde a un área positiva
del momento flector). Al observar la segunda figura anterior, la distancia vertical desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos, entonces, cada uno de éstos segmentos es igual a dt= xdθ;
integrando,
Pero como
Entonces,
Si observamos la tercera figura anterior; la expresión x(Mdx) es el momento del área del elemento rayado respecto a la ordenada en B, por tanto la ecuación anterior conduce al segundo teorema que dice “La desviación tangencial de un punto
cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera A, en dirección perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento respecto de B del área de la porción del diagrama de momento entre los puntos A y B dividido por EI”.
Donde:
Xb= Distancia del Centroide del área al eje vertical al cual le estamos sacando la desviación, en éste caso sería con respecto a B. Tb/a = Es la desviación tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la tangente En la mayoría de los casos prácticos, la elástica es tan llana que no se comete error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyección dx. En estas condiciones, se tiene: (b)
Evidentemente, dos tangentes trazadas a la elástica en C y D, como en la figura 1b, forman el mismo ángulo dθ que el que forman las secciones OC y OD, por lo que
la desviación angular, o ángulo entre las tangentes a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual a la suma de estos pequeños ángulos: (c)
Obsérvese también, figura 1-b, que la distancia desde el punto B de la elástica, medida perpendicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A, es la suma de los segmentos dt interc eptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y ángulo dθ: dt = x dθ
De:
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuación (b) (d)
La longitud tB/A se llama desviación de B con respecto a una tangente trazada por A, o bien, desviación tangencial de B con respecto a A. La figura 2 aclara la diferencia que existe entre la desviación tangencial tB/A de B respecto de A y la desviación tA/B de A con respecto a B. En general, dichas desviaciones son distintas.
Figura
2.
En
general,
tA/B
no
es
igual
a
tB/A
El significado geométrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas fundamentales del método del área de momentos. En el diagrama de momentos flexionantes de la figura 1-c, se observa que M dx es el ár ea del elemento diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B. Ahora bien, como es la suma de tales elementos, la ecuación (c) se puede escribir en la forma:(1)
Esta es la expresión algebraica del Teorema I, que se puede enunciar como sigue:
Teorema 1: La derivación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual al producto de 1/EI por el área del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos. La figura 6-8c muestra como la expresión x (M dx) que ap arece dentro de la integral en la ecuación (d) es el momento del área del elemento rayado con respecto a la ordenada en B. Por tanto, el significado geométrico de la integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del área de la porción del diagrama de momentos flexionantes comprendida entre A y B. Con ello la expresión algebraica es:
TB/A = 1/EI *(área)AB XB El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.
Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A. Se mide en radianes. Áreas positivas indican que la pendiente crece.
Teorema 2: La desviación tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera A, en dirección perpendicular a la inicial de la viga, es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto a B delo área de la porción del diagrama de momentos entre los puntos A y B. El producto EI se llama rigidez a la flexión. Obsérvese que se ha supuesto tácticamente que E e I permanecían constantes en toda la longitud de la viga, que es un caso muy común. Sin embargo, cuando la rigidez es variable, no puede sacarse EI del signo integral, y hay que conocerla en función de x. tales variaciones suelen tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de momentos para obtener de esta manera un diagrama de M/EI al que se aplican los dos teoremas, en vez de aplicarlos al diagrama de M. En los dos teoremas (área)AB representa el área de diagrama de momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B, xB es el brazo de momento de ésta área con respecto a B. El momento de área se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviación se desea obtener. Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B.
Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre A Y B. El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica
con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la curva M/EI entre los puntos Ay B con respecto a un eje A. Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por articulaciones. Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.
CONVENCION DE SIGNOS. Los convenios de signos siguientes son de gran importancia: la desviación tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la tangente con respecto a la cual se toma esta desviación, y negativa si queda deba jo de dicha tangente.
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes. Un valor positivo de la variación de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la derecha, B, se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada en el punto más a la izquierda, A, es decir, que para pasar de la tangente en A a la tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj, y viceversa para los valores negativos de qAB.
Ejercicio Resuelto: Aplicación en Estructuras, de Ingeniería Civil. Para la siguiente viga determinar la deflexión y rotación en el punto C en función de EI.
adimensional (radianes) Condición de apoyo
Flecha = momento de primer orden con respecto a B
Si
Por no existir momento en ese tramo .
Remplazando en 1:
Busquemos el punto de tangencia cero,
, punto de
OPINION PERSONAL IMPORTANCIA DE LAS VIGAS EN LA INGENIERÍA CIVIL Y AFINES En la Ingeniería Civil y afines se sabe que la palabra viga tiene un lugar central. La viga es un elemento fundamental en la construcción, sea ésta de la índole que fuera. Será el tipo, calidad y fin de la construcción lo que determinará medidas, materiales de la viga, y sobre todo, su capacidad de sostener y contener pesos y tensiones. Ilustración 1 VIGA, estructura de un Edificio
Una viga está pensada para soportar no sólo presión y peso, sino también flexión y tensión, según la finalidad que predomine será el concepto de viga para ingeniería o arquitectura, que predomine. Conocer sus caracteristicas mediante métodos matemáticos son de gran importancia en la construcción por ejemplo, el ingeniero civil, necesita evaluar el tipo de viga que utilizará para ejecutar parte de la obra valiéndose de los conocimientos adquiridos en la academia, en este caso, vimos como hizo su parte el Cálculo Integral en los teoremas de método de área de momentos.
ANEXOS
El techo proporciona una carga distribuida a la viga, siendo ésta menor en los extremos y mayor en el centro de la viga, a esto se suma el peso propio del techo. La acción del viento sobre el techo también presenta un tipo de carga distribuida sobre la viga.
La viga transmite la carga a la columna, en los apo yos de esta las deflexiones nulas.
Este ensayo demu estra la gran deflexión que s ufre la viga en su centro al mom ento de fallar.
GLOSARIO
Módulo de elasticidad:(E) El módulo de elasticidad o módulo de Young es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Siendo una constante independiente del esfuerzo y es siempre mayor que cero.
Eje neutro: Es la intersección de la superficie neutra (superficie que no sufre deformación e=0) con la sección transversal.
Curva elástica: Llamada también Elástica. La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga des de su forma recta original a la forma curvada o flectada final.
Giro (θ):
Al trazar rectas tangentes a la curva elástica estas forman con la horizontal ángulos muy pequeños, estos ángulos son los ángulos de giro de la curva elástica.
: Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A, se mide en radianes.
: Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre A Y B, se denomina flecha.
Momento flector.- Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión. Para elementos lineales el momento flector Mf(x) se define como una función a lo largo del eje transversal del mismo, donde "x" representa la longitud a lo largo del eje. El momento flector así definido, dadas las condiciones de equilibrio, coincide con la resultante de f uerzas de todas las fuerzas situadas a uno de los dos lados de la sección en equilibrio en la que pretendemos calcular el momento flector. Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas, cargas distribuidas y momentos, el diagrama de momento flector varía a lo largo del mismo. Diagrama de mo mento flector.-
: Es Diagrama de momento reduc ido
la representación gráfica de los momentos
reducidos.
M o m e n t o r e d u c i d o : es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la flexión.
Mr=M/EI.
BIBLIOGRAFÍA Vigas, Wikipedia La Enciclopedia Libre, Wiki, Worldwide (Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Viga#C.C3.A1lculo_de_tensiones_en_vigas) Método de Área de momento, ingcivil, Bloguero, blog spot. (Disponible en: http://ingcivil-2008.blogspot.com/2008/05/mtodo-de-area-demomentos.html) Ejercicios Resueltos Método de área de momento, ingeniería de estructur as, (Disponible en: http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/metodos%20geometric os/deflexiones%20geometricas.htm)
