ÁLGE ÁL GEBRA BRA -TEMA 1
TE ORÍA ORÍA DE E XPONENT PONE NTE ES
En esta sección examinaremos las propiedades de las expresiones que contienen exponentes, para dicho estudio definamos la operación de potenciación.
IDEAS FUERZA
C uando vayas a aplicar apli car un u n expone exponent nte e a ( - 5 )2 ≠ - 5 2 ↓ una basenegati negativa va o fr f r accionaria, coloca ↓ 25 25 é sta st a ent en t r e par par é nt esis. esi s.
I. POTENCIA OTENCIACIÓ CIÓN N Es aquella operación matemática, que consiste en encontrar un número llamado potencia, a partir de otros dos números llamados base y exponente.
T ambié ambié n, es conveni conveniente ente hacer hacer notar not ar la dif erencia entr ent r e: n
ax = a .
n
y ( ax) =
x1 .x2 .x.4 ..x 4 3
"n factores f actores de x"
(ax)(ax)(ax)...(ax) "n factores f actores de x"
N otar que... que... Si tomamos t omamos só sólo en cuenta cuent a los l os signos, signos, se cumple que:
-;nimpar ( - )n = ar + ; n p ar
(+) (+)n =+; parato paratodo don n
SUGERENCIAS
Para Paracalcul calcular ar la potencia, debemostener tener pres presente nteconqué clase deexponent exponente eestamostrabajando. abajando.
2. Expo Expone nent nte e cero cero
1. Expo Expone nent nte e natu natura rall
xn = x . x . x . . . x ; n 14243
a0 = 1 ; a ≠ 0
∈N
"nfactoresdex"
Ejemplos:
Ejemplos: 5
A) 2 = 2.2.2.2.2 = 32
B) 0 = 0.0.0 =0
C) − 4 4 = −(4) 4 = −(4.4.4.4) = −256
D) (−4)4 = (−4)(−4)(−4)(−4) = 256
3 2 3 3 E) 2 = 2 ⋅ 2 = 94
2 F) 3 = 3.3 = 9 2 2 2
G) 10 2 = 10.10 = 100
H) (−10)3 =(−10)(−10)(−10) = −1000
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A) 930 = 1
3
C)
B) 0,000020 = 1 0
= 1 D) − 20 3
−50 = −1
Ojo: 0 0 No está definido 0
0 E) 1 − 1 − 1 = 0 No definido 2 3 6
3. Expon Exponent ente e nega negativ tivo o
Ejemplos: a −n =
1
1 = ( 1 )n ; a ≠ 0 n a a TEMA 1 / ÁLGEBRA
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Exigimos más!
B) (− 2)−2 =
3
= 2×2 3 3 4 9
=
= 36 = 729
3. Potencia de una multiplicación o división n n n ( a.b ) = an.b n ; a = an b b
64 25
En general se cumple que: n n am ≠ ( am )
Ejemplo: 2 2 23 ≠ ( 23)
IDEAS FUERZA
N ota que una expresión puede pasar del numerador al denominador o viceversa siempre y cuando se le cambia de signo a su exponente.
↓
↓
29
26
IDEAS FUERZA
Recuerda:
Ejemplo: 5 −3 a) x −5 = y 3 y x
2 = 32. 5 3 b) 3 -3
a) am .an = am+ n
5
b)
= 9 .1 25 = 1 12 5
n
1. Multiplicación o división de potencias de igual base
n
c) ( a.b)n = an.bn m
e) ( am ) = ( an ) = an.m
Ejemplos:
= am−n
2 2 2 A) ( − 2.3 )3 = (−2)3.33 B) ( 32. 2−3.7 ) = ( 32) .(2− 3) (72 ) = −8.27 = 34.2−6.72 = −216 4 2 = 3 . 67 2
Ejemplos: B) 2−2.26.2− 3 = 2−2+ 6+ (− 3)
A) 32.33 = 35 = 243
am = am− n an
Estas propiedades se cumplen para toda clasede exponente (natural,cero,negativoyfraccionario).
Si no hay divisiones entre cero, se cumple:
m an.am = an + m ; a n a
n
a d) ab = bn
TEOREMAS
= 21 = 2
2 (− 3) 2 9 C) − 3 = 2 = 49 7 7
Precaución: La regla de la multiplicación o división sólo se aplica a expresiones que tienen la misma base. Por ejemplo la expresión x 5y3 no se puede simplificar, porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes.
II.
RADICACIÓN EN R n a = b ⇔ bn = a
Donde: n=í ndice (n∈ R) a = radicando (a ∈ R ) b = raíz (b ∈ R )
C) ( 3x2y 4 ) ( 4x4.y −2 ) = 3.4.x 2.x 4.y 4.y− 2
= 12x6y2 D)
6
6
B) ( x2.x3 ) = ( x 5 ) = x 30
A) ( 32 ) = 32.3
1 −2 2 5 D) = 51 − 3 4 43
3 −2 2 2 C) 2 = 3
=
Ejemplos:
1 (− 2) 2 =1 4
4-3 = 13 4 = 1 64
A)
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2 81 = 2 81− 79 2 79 = 22 =4
Además se debe cum plir que: Par
+=+
Impar
+=+
Par
− = Noexiste
Impar
−=−
Ejemplos: * 3 − 8 = − 2 porque ( −2 )3 = − 8
2. Potencia de una potencia n
m
( am ) = (an ) = am.n TEMA 1 / ÁLGEBRA
* 2
9 25
2 9 = 35 porque 53 = 25
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IDEAS FUERZA
* 3 2 5 16 = 5 2 .1 6
= 5 32 =2
Recordar los tipos de exponentes estudi ados:
*
an
= a . a . a. . . a ; n ∈ N
0
* a = 1; a ≠ 0
14243
*
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4 4
48 = 4 48 243 243
= 4 16 81 = 23
"nfactoresdea " n * a −n = 1n = a1 a
* 3 − 0,027
* am/n = n am
= − 0,3 porque (− 0,3)3
2 . Raíz de una raíz
1) n m a
= −0,027
2) nk amk = n am
= nm a
E jemplo:
Ejemplo:
Exponente fraccionario m Sea n
3
n
∈ Q ∧ a existe, entonces: m
n
a n = am = n a
=39 3. Radicales sucesivos
1/3 1 = 3 − 1 = − 1 * − 27 27 3
2
* 82/3 = 3 8 = 2 2 = 4
1)
m n p
a b c
TEOREMAS 3
= n anb ;
na
m an b p c x x x
2)
64 3 64 * 3 27 = 3 27 4 = 3
* 3 − 27.64 = 3 −27 .3 64 = −3 .4 = −12
mn b nmp c
=
n
= a b nb
Ejemplos:
5
49 64 230
1. Raíz de una multiplicación o división n a. b
= na
Ejemplo:
Consideramos expresiones bien definidas, entonces se cumple:
=x
(an+b)p+c mnp
Ejemplo: 3 24 35 5 5 5
Problema 1
=
Problema 2 R se
verifica.
r 10 r 2 bb = 9 + 2 − ( 3 ) 4 4 x.2 2 − 2 x +14 = 0
Calcular el valor de la expresión siguiente cuando: x = 2 e y = 3. 3 − 4 x y
y x−2 E = x2/3 y −1 3 −2 y x
Entonces se puede afirmar que:
Resolución: Resolución:
2
( r) 9r + 210 − 9r 210 22 b 2 → bb = 9 + 2 8− 3 = = = ∴ = 8 8 r
= 3.4 ( −3)2.4 = 3 (− 3) 2
m
Ejemplos:
Si: b, x, r e y
12 (− 3) 8
6
64 = 26 = 26/6 = 2
10
2
2
3
x y−4 x y x−2 y3/2 E= = 4/3 x1/3 y−1 x 1 −2 y3/2 y x
2
→ 4 x .22 − 2 x +1 = 0 → 22x.22 − 2x +1 = 0 → 2x.22x .2 − 1 = 0 1 4 24 3
0
2 x.2 − 1 = 0 → 2 x.2 = 1 → 2x +1 = 20 ∴x = −1 ⇒ x
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3 3 = x = ( x−1/3 )3 = x−1 = (2)−1 = 1 /2 x4/3 R e s p u e s t a : 1/2
3
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Problema 3 Si: n− 4 3 7 − 7 715
− 7n
→
1/ 8
= 7 ; hallar la suma de las cifras de "n".
bc2 +a 2c +b 2a ab x
E=
a+ b a + b
x
a2 b+b 2a x ab
=
= x ab(a +b)/ab = xa +b
=x R e s p u e s t a : x
Resolución: 15 n → 7n−4− 7 3 = 78 →7 15 −7 n = 78(7n−4 − 73)→ 715− 7 n = 7n+4 − 711 7 −7 → 7n+4 + 7n = 715 +711 → 7n(74 + 1) = 711(74 + 1)→ n= 11
∴
Problema 5 5
Resuelva e indique el valor de x 2 en: x x = 5
∑ cifrasn = 1 + 1 = 2
2
2
Resolución: 1
R e s p u e s t a : 2
5 2
2
= 25 2
=
2 2 10
=
10
2
2
=
10
10 5
2
2
=
10
10 5
2
2
5
= xx
→ x = 10 2 ; x 2 = 5 2
Problema 4 Hallar el valor de "E" si: a2b = a2c + bc2.
Respuesta:
IDEAS FUERZA n En forma general: xx = n
Resolución: c/ 2
c 2/ a
=x
ac/b
.x
Entonces: x = n n .
b
.x
1. Hallar el valor de: -2-1 -4 E=36
A) 6 D) 1/6
.
2 -1 -4 36
B) 36 E) 1
.
2-1 4 36
C)
6
6. Si se sabe que: E = Hallar: E E . A) 3 D) 4
B) 4 E) 10
A) 1 D) 4
C) 6
3
24+
3
B) 3 3 E) 2
B) 2 E) 5
229. 70 3.35 4
B) 1/35 E) 1
24+
24+... .
C)
2
C) 3
8. Hallar la suma de valores del conjunto solución de la ecuación:
3 6 3 3. Simplificar: E = 112 .55 . 77 .
A) 4/3 D) 2
3
7. Resolver: 2 . 4x + 1 + 2x + 3 = 576.
x - 3 + 7. 3x - 1 - 4. 3x - 2 . 6.3x - 4 + 5. 3x - 3
2. Simplificar: E = 5.3 A) 2 D) 8
4 x+ 1
C) 1/7
+ 64 = 257 4x
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
−1
5 1 4. Si: x x = , hallar "x". 5 5 A) 5 B) 5 5 D) 1/5 E) 29
9. Hallar el valor de la siguiente expresión: C) 5 E=
5. Encontrar "x" si se cumple: 22x + 6 = 8(2x +1) . A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) -3 TEMA 1 / ÁLGEBRA
2
c/ 2
a xb +c b x c +a c xa +b E = a+b a b−c b c −a c a −b x x x
Dentro del radical: ( x2c/a.x 2a/b .x2b/c )
5
5 + 42+ 4 2 + 42+... 9 + 6 + 6 + 6+...
A) 1 D) 4 4
B) 2 E) 5
C) 3
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COMPARACIÓN CUANTITATIVA
IDEAS FUERZA
n
A
n
A
n
A .....∞radicales =
n-1
A
17.Determine la relación entre ambas columnas: Columna A Columna B
Reduzca: 2 2 2 +2 25m + 2 + 2 5. 5m m 10.Calcular: E = . 2 +2 2 m m 10 + 4.2
A) 5 D) 10
B) 2/5 E) 5/2
22x +1 2 x +2
C) 25
A) B) C) D) E)
x y z w 11.Efectuar: E = x 1 + 2 + y 1 + 3 + z 1 + 4 + w 1 + 5 . -x -y -z -w 1+2
A) 6 D) 12
1+3
1+4
B) 8 E) 1
1−n
3
B) 25 E) 101
1−n
C) 18
5x +1
Reduzca:
8
9
9
3 4 3 3
23x+5
4 3 3 3
La cantidad en A es mayor que en B. La cantidad en B es mayor que en A. Ambas contidades son iguales. Falta información para poder determinarlo. ¡No debe utilizar esta opción!
18.Determine la relación entre ambas columnas: Columna A Columna B El valor de "x" en: El valor de "x" en: (9x+3)(27x-3)=81x+1 243 x+1=(9x+4)(81x-1) A) La cantidad en A es mayor que en B. B) La cantidad en B es mayor que en A. C) Ambas contidades son iguales. D) Falta información para poder determinarlo. E) ¡No debe utilizar esta opción!
+ n +1 4n +1 + 5n−1 . 4 +5
n n2+3n
A) 95 D) 90
1+5
C) 10
5n +7 12.Efectuar: E = n +1 3
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x +3
13.Hallar "x" si se cumple: 33 = 273 . A) 1 B) 1/2 C) 2 D) 1/3 E) o tro valor
SUFICIENCIA DE DATOS
14.Encontrar (a+n), si se cumple: an+ 3 = (2a) n = (4a)n−1 . A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
19.Indique el valor numérico de:
a.3 b. b.3 a I. ab = 8
15.Reducir: E = x-1 A) 1/5 D) 25
5 . 7x + 7. 5x . 35 35 x - 1 + 5 2 x - 2
(
b 2 II. a = 3
)
B) 5 E) 35
C) 1/25
A) B) C) D) E)
16.Calcular el valor de: E = 2 2... 2 2 2 2 - x .
El dato I es suficiente y el dato II no lo es. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. Cada uno de los datos, por separado es suficiente. Se necesitan más datos.
1444 424444 3
"n"
Si además: x = 2n+1. A) 1 B) 1/2 D) 4 E) 1/4
radicales
20.Halle el valor numérico de la siguiente expresión: 3x +2y .18 x −y E = 12 8y
C) 2
Información brindada: I. x = 4 II. y = 4
SUGERENCIAS
A) B) C) D) E)
En ecuacionesexponencial esde la forma m xx = n ( m ≠ n) Sesugiere elevar a la "m" ambosmiembros para lograr la simetrí anecesaria.
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El dato I es suficiente y el dato II no lo es. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. Cada uno de los datos, por separado es suficiente. Se necesitan más datos. TEMA 1 / ÁLGEBRA
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TEORÍA DE EXPONENTES Recordar los teoremas:
Recordar las definiciones: an = a.a.a...a ; n 1 4 4 2 4 4 3
am.an
∈N
m = a m+ n ; a n = a
a
"nfactoresdea"
a0 = 1
a−n = 1 an
m n ( an ) = ( am ) = am.n ; (a.b)n = anbn
a ≠0
;
a n = an ; n a.b = n a.n b b bn
n
= 1a ; a ≠ 0
n a
b
am/n
= n am
n
= na
;
a
b
m =na
nk mk a
3
nm
= nm a
= n am
6. Al dividir potencias con la misma base el resultado es
1. Indicar cuál es el exponente de x en: x2
una potencia que tiene _________ base y elevada
___ ___ ___ ______ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ______
a ________________.
Indicar verdadero o falso: 2. Toda potencia de base positiva es positiva. ( )
2
7.
( 27 ) = 2 ___
8.
( x3yz −2 ) = x
3. Toda potencia de base negativa es negativa. ( )
−2
___
y
___
z
___
4. Todo número elevado al exponente cero es uno. ( )
Completar los siguientes enunciados:
9.
3 320 3135
=
5. Al multiplicar potencias con la misma base el resultado es una potencia que tiene ________ _ base y elevado
10. 5 27 . 5 9 = _______________
a ___________.
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