Tema 1
Introducción a la probabilidad Ejercicios propuestos
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Ejercicios propuestos Introducción
Conceptos
Sucesos
Probabilidad
Teoremas
Definiciones
Independencia
1.- En una sala multicine funcionan simultáneamente dos salas de proyección A y B. Representamos 1.- En por S A el suceso de que en una determinada sesión la sala A se llene antes de empezar la proyección y por SB el suceso de que en la misma sesión se llene la sala B antes del comienzo. Sabemos que P(S A) = 0,7; P(S B) = 0,5 y P( S A ∩ S B) = 0,45. Calcular: a) Probabilidad de que al menos una sala se llene. ∪ = + − ∩ = 0,7 0,7 + 0,5 0,5 − 0,45 0,45 = 0,7 0,75 5
b) Probabilidad de que la sala A se llene y la B no se llene. ∩ = − ∩ = 0,7 0,7 − 0,45 0,45 = 0,25 0,25
c) Probabilidad de que una sala se llene y la otra no. = ∩ + ∩ = = − ∩ + − ∩ = + − 2 ∩ = = 0,7 0,7 + 0,5 0,5 − 2 · 0,45 0,45 = 0,3 0,3
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d) Probabilidad de que ninguna de las dos se llene. ∩ = ∪ = 1 − ∪ = 1 − 0,75 = 0,25
e) Probabilidad de que al menos una de las dos no se llene. ∪ = ∩ = 1 − ∩ = 1 − 0,45 = 0,55
f) Probabilidad de que se llene B, supuesto que ya se ha llenado A. / =
∩
=
0,45 = 0,643 0,7
g) ¿Son incompatibles S A y S B? Razona la respuesta. No son incompatibles, pues ∩ ≠ ∅ h) ¿Son independientes S A y S B? Razone su respuesta. ∩ ≠ × ; 0,45 ≠ 0,7 · 0,5 → . , / = 0,643 ≠
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2.- Una empresa que se dedica a organizar conciertos representa a tres grupos musicales ( A, B, C ) que tienen la misma probabilidad de actuar. Los conciertos pueden celebrarse en tres áreas geográficas: zona norte, zona centro y zona sur, también equiprobables. Suponiendo que los grupos musicales y la zona de actuación son independientes. ¿Qué probabilidad existe de poder ver actuar al grupo A en la zona centro?
P ( A) P (Centro)
1 3 1
3 P ( A Centro) P ( A)· P (Centro) 11
1
33
9
·
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3.- Pepa y Pepe celebran su boda con sus familiares y amigos. A su boda acuden invitados que se dividen en: familia de la novia (50 invitados), del novio (60 invitados) y amigos (70 invitados). A la hora de elegir el menú, los invitados tienen que elegir entre carne y pescado, pero nunca los dos a la vez. Una vez estudiadas las peticiones resulta que 20 familiares de la novia eligieron carne, así como 30 del novio y 25 de los amigos. C (20 / 50) Na
30 20
No
30
Amigos 45
30 25 Carne, no pescado
Na (50 / 180 ) No(60 / 180 )
P (30 / 50) C (30 / 60) P (30 / 60)
Amigos (70 / 180 )
C (25 / 70) P ( 45 / 70)
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a) Si se escoge un invitado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido carne y que sea familia de la novia?
P (C Na) P ( Na )· P (C | Na ) 0,28·0,40 0,112
b) Una vez acabada la cena, se le pregunta a un invitado qué cenó. Éste responde que pescado, ¿cuál es la probabilidad de que fuera un amigo?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un familiar haya comido carne?. Una vez respondido esto, ¿qué es más probable: que los familiares hayan elegido carne o que hayan elegido pescado? P (C | F )
P [C ( No Na )] P ( F )
P ( No)· P (C | No) P ( Na )· P (C | Na ) P ( No) P ( Na )
P [(C No) (C Na )] P ( No Na )
0,165 0,112 0,28 0,33
o según los datos, directamente :
20 30 50 60
0,277 0,61
0,4545
0,45409
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4.- Suponga que existen sólo tres compañías que ofrecen motores de búsqueda en Internet: Yasta, Altapista, y Guge, que se presentan cuotas de mercado del 60%, 30% y 10 % respectivamente. Por la experiencia pasada se conoce que de las personas que buscaron en Yasta, un 25% no encontraron lo que buscaban, de las que buscaron en Altapista un 10% y de los que buscaron en Guge un 17%. Sabiendo que se ha encontrado la información que se buscaba, ¿cuál es la probabilidad de haber usado cada uno de los tres buscadores?
Yasta(0,6)
E (0,75) NE (0,25)
Altapista (0,3) Guge(0,1)
E (0,90) NE (0,10)
E (0,83) NE (0,17)
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Ejercicios propuestos
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5.- Una empresa se estructura en tres áreas: gestión, comercial y publicidad. En el área de gestión hay un total de 22 trabajadores, de los cuales 6 trabajan también en el área de publicidad, 2 en el área comercial, y finalmente hay 4 trabajadores que trabajan en las tres áreas. En cuanto al área de publicidad, hay 8 trabajadores que se dedican en exclusiva a esta área mientras 2 desempeñan tareas además en el área comercial. Finalmente, 12 trabajadores desarrollan su labor exclusivamente en el área comercial. Se va a elegir aleatoriamente a un trabajador de la empresa para realizar un experimento piloto. Con la información facilitada: a) Calcular la probabilidad de que el trabajador elegido pertenezca a cada una de las áreas de la empresa. P (G )
P ( P ) P (C )
22 22 8 2 12
6 4 28 44
22 44
20 44
0,50
0,45
2 4 2 12 20 0,45 44 44
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b) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador elegido realice su labor simultáneamente en las áreas de gestión y publicidad?
P (G P )
64 44
0,23
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador elegido realice su labor en el área de gestión o en el área de publicidad?
P (G P ) P (G ) P ( P ) P (G P )
0,50 0,45 0,23 0,72 d) Calcular la probabilidad de que el trabajador elegido no pertenezca al departamento de gestión ni al de publicidad.
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e) ¿Cuál sería la probabilidad de que no pertenezca al departamento comercial?
P (C ) 1 P (C ) 1 0,45 0,55 f) Finalmente, obtener la probabilidad de que el trabajador pertenezca sólo al departamento comercial o sólo al de publicidad.
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6.- A lo largo del último año se ha realizado un estudio de las diversas iniciativas legislativas presentadas y aprobadas. Para ello, se han obtenido las probabilidades de que una iniciativa legislativa sea aprobada o rechazada en función del grupo parlamentario que la presenta. Los resultados se recogen en la siguiente tabla: Gobierno
Oposición
Resto de grupos parlamentarios
Se aprueba
0,2
0,1
0,02
Se rechaza
0,12
0,35
0,21
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una iniciativa legislativa haya sido presentada por la oposición?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se apruebe una iniciativa legislativa?
