PENGANTAR Life is uncertain. Kita tidak mengetahui secara pasti apa yang terjadi di masa
mendatang dengan kondisi ketidakpastian setiap harinya. Hal ini mengisyaratkan bahwa sering kita membuat suatu keputusan dengan sedikit pengetahuan/ keterangan. Situasi ketidakpastian ini sering dianalisis dengan bentuk rata-rata jangka panjang yang dikenal dengan peluang / probabilitas. Teori Teori mengenai peluang diawali dengan analisis kans kemenangan dari permainan judi yaitu dadu dan kartu. Hingga kini kasino menggunakan peluang untuk merancang pembayaran diantaranya untuk roulette, craps, blackjack Bahkan dibeberapa negara , pemerintahnya memakai peluang untuk merancang meran cang pembayaran lotere. lo tere. erkembangan yang sangat berarti dari peluang ini merambah di kehidupan kita tidak tidak hanya hanya sekedar sekedar judi. judi. Sebagai Sebagai contoh contoh biaya biaya premi premi atau atau jumlah jumlah santunan santunan pada masalah masalah asuransi. !engan !engan jumlah santunan yang sama sebesar " rupiah dan jangka waktu asuransi yang sama yaitu n tahun bagi orang yang berusia #$ tahun dan %$ tahun , tentunya pembayaran premi pertahunnya berbeda . remi yang harus dibayar orang yang berusia %$ tahun tentunya lebih besar daripada orang yang berusia #$ tahun. Hal ini disebabkab bahwa peluang orang yang berusia %$ tahun untuk mencapai n tahun lagi kecil dibanding dengan orang yang berusia #$ tahun. tahun. &atau ekspektasi ekspektasi hidup hidup orang orang yang yang berusia berusia %$ tahun tahun lebih kecil daripada daripada orang yang yang berusia #$ tahun '
PENDEKATAN PELUANG :
1. PENDEKATAN KLASIK
eluang klasik & peluang apriori' (ika peluang suatu kejadian yang akan terjadi sudah dapat diketahui sebelum dilakukan percobaan . & besar nilai dari peluang didasarkan didasa rkan pemikiran logis tanpa ta npa percobaan ' Contoh :
eluang muncul bilangan genap pada lemparan dadu bersisi enam yang setimbang adalah $.). *eskipun kita tidak melakukan pelemparan tersebut, kita meyakini peluang yang diperoleh adalah $.)
*+! *"T *"T*" *"T TK" K" "KT"0" "KT"0" 1 0+! 0+! ST"T ST"TSTK" #$23
2
2. PENDEKATAN FREKUENSI RELATIF
eluang empiris Besar Besar nilai nilai peluang peluang diten ditentuka tukan n melalui melalui percob percobaan. aan. Besar Besar nilai nilai peluang peluang adalah adalah limi limitt dari 4rekuensi relati4. " 5 suatu kejadian k ejadian P & A'
= lim i →∞ P i =
mi ni
i 5 percobaan ke i ni 5 banyaknya usaha ke i mi 5 banyaknya muncul kejadian " pada usaha ke i
Contoh :
eluang eluang muncul bilangan bilangan genap pada lempara lemparan n dadu bersisi enam yang yang setimba setimbang ng sebanyak sebanyak 2$ kali. ada penghitungan nilai peluang kita melakukan melakukan pelemparan tersebut. Hasil yang diperoleh dapat ber6ariasi. *ungkin 7/2$ yang artinya dari sepuluh lemparan muncul bilangan genap sejumlah tiga kali. *ungkin jika dilakukan sepuluh lemparan yang ke dua hasil yang diperoleh adalah 8/2$. Sehingga nilai peluang ditentukan oleh hasil percobaan.
*akin banyak usaha dilakukan makin stabil / akurat 4rekuensi relati4 yang didapat.
&9' $.: $.% $.)
$.3 $.7
$.# $.2 $
2$$
#$$
7$$
3$$
)$$
Banyaknya lemparan Peluang emp!" mun#uln$a gam%a! pa&a lempa!an 1 mata uang "etm%ang .
!ua pendekatan di atas disebut pendekatan obyekti4
*+! *"T *"T*" *"T TK" K" "KT"0" "KT"0" 1 0+! 0+! ST"T ST"TSTK" #$23
#
2. PENDEKATAN FREKUENSI RELATIF
eluang empiris Besar Besar nilai nilai peluang peluang diten ditentuka tukan n melalui melalui percob percobaan. aan. Besar Besar nilai nilai peluang peluang adalah adalah limi limitt dari 4rekuensi relati4. " 5 suatu kejadian k ejadian P & A'
= lim i →∞ P i =
mi ni
i 5 percobaan ke i ni 5 banyaknya usaha ke i mi 5 banyaknya muncul kejadian " pada usaha ke i
Contoh :
eluang eluang muncul bilangan bilangan genap pada lempara lemparan n dadu bersisi enam yang yang setimba setimbang ng sebanyak sebanyak 2$ kali. ada penghitungan nilai peluang kita melakukan melakukan pelemparan tersebut. Hasil yang diperoleh dapat ber6ariasi. *ungkin 7/2$ yang artinya dari sepuluh lemparan muncul bilangan genap sejumlah tiga kali. *ungkin jika dilakukan sepuluh lemparan yang ke dua hasil yang diperoleh adalah 8/2$. Sehingga nilai peluang ditentukan oleh hasil percobaan.
*akin banyak usaha dilakukan makin stabil / akurat 4rekuensi relati4 yang didapat.
&9' $.: $.% $.)
$.3 $.7
$.# $.2 $
2$$
#$$
7$$
3$$
)$$
Banyaknya lemparan Peluang emp!" mun#uln$a gam%a! pa&a lempa!an 1 mata uang "etm%ang .
!ua pendekatan di atas disebut pendekatan obyekti4
*+! *"T *"T*" *"T TK" K" "KT"0" "KT"0" 1 0+! 0+! ST"T ST"TSTK" #$23
#
'. PENDEKATAN PENDEKATAN SU()EKTIF
eluang subyekti4 subyekti4 adalah adalah peluang terjadinya terjadinya suatu suatu kejadian didasari dengan perasaan atau intuisi / kepercayaan dari seseorang dari 4akta-4akta yang ada. endekatan ini digunakan jika data 4rekuensi relati4 tidak ada.
LATI*AN 2. Satu Satu kantong kantong berisi ) kelereng kelereng putih, putih, % kelereng kelereng merah merah dan 3 kelereng kelereng hitam. hitam. Bila satu satu
kelereng diambil secara acak , hitung peluang yang terambil kelereng berwarna putih ; #. !i suatu suatu kota kota terdapat terdapat 2$ dari 7$$$ rumah rumah musnah musnah karena karena api api tiap tiap tahun. tahun. Hitung Hitung peluang peluang suatu rumah di kota itu tidak musnah karena api selama 2 tahun ; 7. Seseoran Seseorang g akan menang menang jika mendapat mendapatkan kan jumlah jumlah total : pada lemparan lemparan sepasang sepasang dadu dadu dan akan kalah kalah jika mendapatka mendapatkan n total 22. 22. Tentukan Tentukan a 'eluang 'eluang dia dia akan menang menang pada lemparan pertama dan b' eluang dia akan kalah pada lemparan pertama ; 3. !ari !ari 8$.$$$ 8$.$$$ orang orang yang yang berus berusia ia #) tahun, tahun, 7$$ 7$$ menin meningga ggall karen karenaa sakit sakit dan 2$ orang orang diant diantara arany nyaa karena karena kecel kecelak akaan aan dalam dalam satu satu tahun. tahun. Hitun Hitung g pelua peluang ng
seseo seseoran rang g dari dari
kelompok usia tersebut yang meninggal meninggal dalam kecelakaan setahun ;
KE+ADIAN SALING LEPAS , SALING -ENIADAKAN mutually mutually exclusive/ exclusive/
!ua !ua keja kejadi dian an atau atau lebi lebih h dika dikata taka kan n sali saling ng meni meniad adak akan an bila bila tida tidak k lebi lebih h dari dari satu satu daripadanya daripadanya yang dapat terjadi terjadi dalam suatu peristiwa. peristiwa.
terjadinya terjadinya gambar gambar dan angka
dalam satu lemparan mata uang yang setimbang adalah kejadian yang saling meniadakan, karena hanya satu dari keduanya yang dapat muncul dalam suatu lemparan.
KE+ADIAN SALING (E(AS independent /
!ua !ua keja kejadi dian an atau atau lebi lebih h dika dikata taka kan n sali saling ng beba bebass jika jika terj terjdi diny nyaa sala salah h satu satu tida tidak k mempengaruhi mempengaruhi terjadinya terjadinya kejadian yang lain.
*+! *"T *"T*" *"T TK" K" "KT"0" "KT"0" 1 0+! 0+! ST"T ST"TSTK" #$23
7
TE0RE-A
Bila
p2 , p # , p 7 ,..., p n
meru merupa paka kan n pelu peluan ang g terj terjad adin iny ya n keja kejadi dian an yang ang sali saling ng
meniadakan maka peluang salah satu daripadanya akan terjadi adalah 5 p2
+ p # + p7 + ⋅ ⋅ ⋅ + p n
TE0RE-A
Bila
p2 , p # , p 7 ,..., p n merupak merupakan an peluang peluang terjadin terjadinya ya n kejadian kejadian yang saling saling bebas bebas
maka peluang terjadinya seluruh kejadian tersebut adalah 5 p2 . p # . p 7 .... p n
LATI*AN 2. eluang eluang tepat tepat satu satu dari tiga tiga orang orang yang yang masin masing g masing masing berusia berusia #$ , 7) dan dan )$ )$ tahun tahun
akan hidup 2) tahun lagi ialah ialah $.$=# , peluang peluang ketiganya ketiganya akan meninggal dalam waktu waktu 2) tahun lagi adalah $.$$% . Bila peluang seseorang berusia #$ tahun akan meninggal sebelum usia 7) tahun adalah $.2 . Hitung peluang bahwa orang itu akan mencapai usia %) tahun ; (awab 5$.)$3 #. eluang "li dan Badu Badu hidup paling paling sedikit sedikit satu tahun lagi lagi masing-masing masing-masing adalah adalah $.8 $.8 dan $.= . Hitung peluang bahwa 5 a. Keduany Keduanyaa hidup hidup paling paling sedik sedikit it satu satu tahun tahun lagi lagi ; b. aling sedikit seorang seoran g dari mereka akan meninggal satu tahun lagi; 7. !ari !ari catatan catatan admini administra strasi si suatu suatu uni6ersit uni6ersitas as , )> mahasi mahasiswan swanya ya tidak tidak lulus dalam dalam mata mata kuliah tertentu. tertentu. Bila % mahasiswa mahasiswa pengikut mata mata kuliah tersebut diambil diambil secara acak , hitung peluang tepat dua orang tidak lulus ; 3. eluang eluang orang orang yang yang berusia berusia #$ tahun tahun dan seorang seorang lainny lainnyaa berusi berusiaa 3$ 3$ tahun tahun keduany keduanyaa akan hidup #$ #$ tahun lagi adalah $.% . !ari )$.$$$ orang yang yang hidup pada usia #$ tahun, tahun, 7$$$ diantaranya diantaranya meninggal meninggal sebelum berusia berusia #) tahun. Hitunglah Hitunglah peluang seseorang seseorang yang sekarang berusia #) tahun akan meninggal sebelum mencapai usia %$ tahun ;
NILAI *ARAPAN EKSPEKTASI EKSPEKTASI / # ,..., nk adalah p2 , p # , ... , p k !alam suatu kejadian, peluang mendapatkan nilai-nilai n2 , n
*+! *"T *"T*" *"T TK" K" "KT"0" "KT"0" 1 0+! 0+! ST"T ST"TSTK" #$23
3
Sehingga nilai harapan kejadian tersebut adalah 5
= n2 p2 + n# p # + ... +
n k p k
k
= ∑ ni p i i =2
?ilai harapan harap an untuk suatu peubah p eubah acak aca k kontinu yang mempunyai mempun yai 4ungsi 4ung si kepadatan kepada tan peluang pelu ang f & x x' adalah 5 ∞
E & x ' =
∫ xf & x'dx
. ?ila ?ilaii harapa harapan n dapat dapat diarti diartikan kan sebagai sebagai rata-ra rata-rata ta tert tertim imba bang ng yang yang
−∞
menunjukkan konsentrasi distribusi dari peubah acak, sedangkan penyebaran peubah acaknya # dapat diukur melalui 6ariansi 5 σ X
σ X #
=
E [ X − E & X ']
#
LATI*AN 2. "li melemp melempar ar sebuah uang uang logam sebanya sebanyak k dua kali. kali. Bila dalam dalam dua lempara lemparan n muncul
angka maka "li akan mendapatkan 0p. 2$.$$$,- , bila dalam lemparan pertama muncul angka dan lemparan kedua muncul gambar maka "li akan mendapatkan 0p. ).$$$,- . "pabi "pabila la mu muncu ncull selai selain n yang yang diata diatas, s, dia dia tida tidak k menda mendapat patkan kan apa-a apa-apa pa..
Hitu Hitung ng nilai nilai
harapannya ; #. Badu Badu membuat membuat suatu perjanjia perjanjian n dengan perusaha perusahaan an asuransi asuransi sebagai sebagai berikut berikut 5 Bila Bila dia tidak sakit sampai akhir tahun maka Badu akan membayar 0p. 2$.$$$,- pada perusahaan asuransi tersebut, namun apabila dia sakit maka perusahaan asuransi akan membayarnya membayarnya 0p. 2.$$$.$$$,- sebagai biaya pengobatan. Bila diketahui peluang Badu sakit sampai akhir tahun adalah $.$$2. Hitung nilai harapannya ; 7. Sebuah Sebuah dadu dadu dilemp dilemparka arkan. n. Bila Bila muncul muncul angka angka genap genap maka maka "li "li akan akan mendapa mendapatkan tkan 0p. 0p. 2$.$$$ 2$.$$$,,- , bila bila angka angka enam enam yang yang mu muncu ncull dia dia menda mendapa patka tkan n tamb tambaha ahan n sejum sejumla lah h 0p %$.$$$,%$.$$$,- . Berapakah Berapakah "li "li harus membayar membayar bila angka ganjil ganjil yang mun muncul cul agar judi tersebut adil ; 3. eluang eluang seoran seorang g yang berusia berusia #$ tahun dan dan seorang seorang lainnya lainnya berusia berusia 3$ tahun keduanya keduanya hidup #$ tahun lagi adalah $.%. !ari )$.$$$ yang hidup pada usia #$ tahun, 7$$$ diantara diantaranya nya mening meninggal gal sebelum sebelum #) tahun. tahun. Hitung Hitung peluang peluang seseoran seseorang g yang yang sekarang sekarang berusia #) tahun akan aka n meninggal sebelum mencapai mencapa i usia %$ tahun.
*+! *"T *"T*" *"T TK" K" "KT"0" "KT"0" 1 0+! 0+! ST"T ST"TSTK" #$23
)
!alam aktuaria, harapan hidup dan peluang kematian seseorang dapat dihitung. eluang merupakan suatu nilai untuk mengukur besarnya tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian acak.engamatan menunjukkan bahwa pada umumnya peluang meninggalnya seseorang naik bersama dengan makin tuanya orang tersebut. !ari sekelompok besar orang, secara statistika dapat dihitung peluang seseorang yang berumur tertentu, yang dipilih secara acak akan meninggal dalam kurun waktu tertentu. *emang tidak dapat ditentukan siapa yang meninggal, tetapi jumlah orang yang akan meninggal dapat diperkirakan. erusahaan asuransi jiwa mendasarkan semua perhitungan preminya, jumlah santunan dan sebagainya berdasarkan tabel mortalitas &mortality table' yang berisi peluang kematian menurut umurnya dari kelompok usia orang yang diasuransikan &pemegang polis'. Tabel tersebut idealnya mendekati peluang kematian sebenarnya dari kelompok orang yang diasuransikan. *embuat tabel seperti itu tentunya sangat sulit karena untuk mendapatkan datanya tentunya tidak mudah. Tabel *ortalitas yang digunakan saat ini di samping
l # 5 banyaknya l $ yang mencapai usia # tahun
. . . l x 5 banyaknya l $ yang mencapai usia @ tahun
mur tertinggi dinyatakan dengan A dan A 2 disebut usia limit. ada tabel
2. *ula mula dikumpulkan sejumlah besar orang dan dibagi menjadi beberapa kelompok yang berusia sama. #. Setelah satu tahun dihitung banyaknya yang meninggal dari setiap kelompok yang berusia sama. *+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
%
7. Hasil bagi yang meninggal terhadap jumlah mula mula untuk setiap kelompok merupakan tingkat kematian / peluang kematian dari masing masing kelompok. 3. *emilih angka sembarang yang cukup besar dan bulat, misal )$$.$$$ D angka ini disebut !a& yang dianggap sebagai jumlah orang dalam kelompok usia termuda.
). Berdasarkan !a& tersebut disusun kolom l x , d x , p x , q x
D d x = l x − l x+2
Contoh :
!iberikan data sebagai berikut 5 U"a
28 2= #$ #2 ##
+umlah
).$$$ 2$.$$$ 2).$$$ #%.$$$ #$.$$$
Anga Kematan
Peluang ematan &alam
2$ ## 7% #: %$
1 tahun $.$$# $.$$## $.$$#3 $.$$#: $.$$7$
Ta%el mo!talta" x l x 28 )$$.$$$ 2= 3==.$$$ #$ 3=:.=$# #2 ## Ra& 5)$$.$$$, yang
d x 2$$$ 2$=8 22=)
p x q x $.==8 $.$$# $.==:8 $.$$## $.==:% $.$$#3 $.==:7 $.$$#: $.==: $.$$7$ meninggal d 18C $.$$#@)$$.$$$C 2$$$
N0TASI3 N0TASI DALA- -ATE-ATIKA AKTUARIA *isalkan l x adalah jumlah orang yang hidup pada usia x tahun, maka peluang & x ' mencapai usia x + t tahun adalah t
l x
+
p x
=
l x +t l x
,
p x l x .
t = t
di mana l x+t adalah jumlah orang yang berusia x + t tahun .
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
:
eluang seseorang yang berusia x tahun meninggal dalam jangka waktu t tahun adalah t
q x
=
l x
=
l x
− l x +t l x l x +t
−
l x
l x
= 2− t p x !imana berlaku 5 t
p x + t q x
= 2.
eluang & x ' hidup sampai n tahun dan kemudian mati dalam 2 tahun berikutnya adalah 5 q x
n
=
d x + n
=
l x + n
=
l x +n
l x
− l x+ n+2 l x
l x
l x + n+2
−
l x
= n p x − n+2 p x , atau dalam bentuk lain n
q x
=
=
=
d x
+
n
l x l x
+
n
l x
+
n
l x
+
n
⋅
⋅
l x
d x
+
n
l x d x l x
+
+
n
n
p x ⋅ q x n ,
=n
di mana d x
+
n
+
adalah jumlah orang yang meninggal pada usia x + n tahun.
eluang & x ' hidup sampai n tahun dan kemudian mati dalam n r
q x = n
+
r
q x
−
n
q x
r tahun berikutnya
.
eluang & x ' hidup sampai n tahun dan kemudian mati dalam
r tahun berikutnya
juga dapat dihitung dengan rumus
n r
q x
=
l x + n
− l x + n+r l x
= n p x −
p x .
n + r
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
8
juga merupakan hasil kali peluang & x ' akan bertahan hidup n tahun lagi dengan peluang & x + n' akan mati dalam waktu r tahun lagi n r
q x
⋅
l x
= n p x ⋅ !alam hubungannya dengan t
q x
l x + n r
q x + n .
q x terdapat
n
q x +2 q x + # q x
=
− l x+ n+r
l x + n l x + n
=
q x
n r
perumusan sebagai berikut +
...+ t
2
−
q x
.
(ut:
*enurut persamaan n r
2
q x = n
q x = 2
2
+
q x = # =7
q x
q x
q x
=# #
r
+
−
q x
n
q x
q x
−
q x
2
+
−
q x −
#
q x
#
q x
q x
−
t −2
−
t −2
q x .
−
t −2
q x = t
= t
+a&4
2+2
−
q x
q x
= q x +& # q x − q x ' +& 7 q x − # q x ' + ... + & t q x − = &q x − q x ' +& # q x − # q x ' +& 7 q x − 7 q x ' + ... +& t −2 q x − t −2 q x '+ t q x t q x = t q x . t
q x
t −2
q x '
*isalkan T & x ' adalah 6ariabel acak kontinu yang menyatakan future life time orang yang berusia & x' tahun dengan 4ungsi distribusi peluang t
q x
= P &T & x' ≤ t ',
t ≥ $
t
p x
= P &T & x' > t ',
t ≥ $
dengan t q x adalah peluang & x ' meninggal dalam waktu t tahun dan & x ' akan hidup
t
p x adalah peluang
t tahun lagi.
*ARAPAN *IDUP expectation of life/ !alam aktuaria, harapan hidup terbagi menjadi dua macam yaitu harapan hidup ringkas dan harapan hidup lengkap. enjelasan dari masing-masing harapan hidup sebagai berikut5 a. Harapan hidup ringkas
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
=
0ata rata tahun lengkap yang masih dialami oleh seseorang berusia x tahun disebut ha!apan h&up !nga" &curtate expectation of life' *akna tahun lengkap dalam perhitungan
harapan hidup adalah hanya diperhitungkan tahun yang penuh dialami, jadi bagian tahun pecahan tidak diperhitungkan . ni sama dengan mengasumsikan bahwa kematian terjadi tepat setelah hari ulang tahunnya. andang l x 5 banyaknya orang berusia x tahun , sebanyak l x +2 orang akan tetap hidup pada usia x+1 tahun, sebanyaknya l x
+
#
orang akan tetap hidup sampai hari ulang tahunnya
yang ke x+2 tahun, sebanyak l x+7 orang akan hidup hingga hari ulang tahunnya ke x+3 tahun, hal ini terjadi secara terus menerus. (umlah tahun yang dialami oleh l x orang sampai semuanya meninggal &hanya dihitung tahun yang lengkap' adalah 5 l x
+ l x+2 + l x+# + ... + l ω
Sehingga rata-rata jumlah tahun seluruhnya yang dialami oleh orang yang berusia x tahun adalah e x
=
l x +2
+ l x +# + l x+7 + ... + l ω l x
=
p x + # p x + 7 p x
+ ... ω − x p x
Suatu 6ariabel acak diskrit yang dihubungkan dengan masa hidup mendatang yang merupakan bagian dari tahun kehidupan lengkap & x ' sebelum kematian disebut dengan curtate future lifetime dari & x ' dan dilambangkan dengan K & x' . Karena K & x' adalah bilangan bulat
terbesar anggota dari T & x ' , maka 4ungsi peluangnya adalah P & K & x '
= k ' = P &k ≤ T & x' < k + 2'
= P &k < T & x ' ≤ k + 2' = k p x − k +2 p x = k p x ⋅ q x + k = ki q x ,
k = $,2, #, .
ada curtate future lifetime seseorang dianggap meninggal pada saat ulang tahun terakhirnya. *isalnya, seseorang yang lahir pada tanggal 2: "gustus 2=3) dan meninggal pada tanggal 2: *aret #$2$, maka orang tersebut dianggap meninggal pada tanggal 2: "gustus #$$=. +leh karena itu umur orang yang seharusnya %3,) tahun dianggap %3 tahun. b. Harapan hidup engkap 0ata-rata jumlah tahun, termasuk bagian pecahan tahun yang masih dialami oleh orang yang berusia @ tahun disebut sebagai ha!apan h&up lengap &complete expectation of life ' dan dinotasikan dengan e x . (ika dimisalkan kematian terjadi secara merata sepanjang tahun
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
2$
&berdistribusi seragam', maka kematian dalam setahun terjadi pada pertengahan tahun. "proksimasi/ hampiran dari harapan hidup lengkap menjadi e x
=
ex
+
2 #
eluang seseorang yang berumur x + k mati dalam u tahun lagi, di mana $ < u
<
2
dan k adalah bilangan bulat tidak negati4, dide4inisikan sebagai u
q x + k
= u q x + k .
eluang seseorang mempunyai masa hidup tersisa & k + u ' dengan k adalah bilangan bulat tidak negati4 dan u untuk $ < u
<
2 adalah k + u
p x
=
p x &2 − u q x + k ' .
k
ada complete future lifetime seseorang dianggap meninggal tepat pada hari kematiannya. +leh karena itu seseorang yang meninggal pada usia %3,) tahun, dihitung meninggal pada usia %3,) tahun.
LATI*AN 2. eluang seseorang yang berusia 28 tahun akan mencapai usia #8 tahun adalah $.=) dan peluang orang tersebut akan mencapai usia 38 tahun adalah $.:). Hitung peluang seseorang yang berusia #8 tahun akan meninggal sebelum ulang tahunnya yang ke 38; #. "man berusia 2= tahun dan "min berusia 37 tahun. Hitung peluang kedua orang tersebut hidup 3$ tahun lagi kemudian meninggal setahun berikutnya; e x e x +2e x + # ... e x + n −2 7. Buktikan bahwa n p x = &2 + e x +2 '&2 + e x + # '&2 + e x + 7 '...&2 + e x + n '
3. ola mortalitas suatu penduduk berbentuk5 !ari setiap 2$$ bayi yang lahir bersamaan waktunya satu orang meninggal tiap tahun sampai semuanya punah. !apatkan peluang seseorang yang berusia #$ tahun akan mencapai usia %$ tahun. ). !iberikan data pengamatan terhadap jumnlah orang usia 28 hingga #7 tahun serta jumlah yang meninggal sebagai berikut 5 sia (umlah pengamatan (umlah yang meninggal 28 ).$$$ 2$ 2= 2$.$$$ ## #$ 2).$$$ 7% #2 2$.$$$ #: ## #$.$$$ %$ *+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
22
#7 2).$$$ 2$ Buatlah tabel mortalitas yang berisi l x , d x , p x , q x %. (ika l x = k &28) − # x' tentukan nilai dari p8) :. (ika l x = #$$&2$$ − x' tentukan nilai dari # q x 8. Buktikan bahwa n p x
=
n
D d x = l x − l x+2
p x − n+2 p x q x + n
=. engkapilah tabel berikut ini sia l x d x =) 2$$$ =% :$$ =: 3$$ =8 2$$ == 2$ 2$$ $
q x
p x
e x
x e
2$. Hitung peluang seorang anak yang berusia 2 tahun akan meninggal antara usia )$ dan %$ tahun. 22. *isal untuk bilangan bulat8$ ≤ x
8= − x ≤ 83 , berlaku p x = 2$
Hitung peluang bahwa 5 a. +rang yang berusia 8$ tahun tidak dapat mencapai usia 82 tahun. b. +rang yang berusia 8$ tahun akan hidup dua tahun lagi. c. +rang yang berusia 8$ tahun akan mencapai usia 8) tahun. d. +rang yang berusia 8# tahun akan meninggal 7 tahun lagi. e. +rang yang berusia 8$ tahun akan meninggal di antara usia 8# tahun hingga 8) tahun.
Konsep bunga sangat diperlukan dalam perhitungan matematika aktuaria karena dana yang terkumpul akan diin6estasikan untuk jangka waktu yang lama sehingga dana akan berkembang dan diharapkan dapat mencukupi uang pertanggungan yang harus dibayarkan oleh perusahaan. Tingkat bunga e4ekti4 & i' adalah rasio dari besar bunga yang diperoleh selama periode tertentu terhadap besarnya nilai pokok pada awal periode. !an tingkat diskon e4ekti4 & d ' adalah rasio dari besarnya diskonto yang diperoleh selama periode tertentu terhadap besarnya nilai akumulasi pada akhir periode , dimana d dapat dinyatakan sebagai d C
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
2#
?ilai saat ini adalah in6estasi sebesar 2 yang terakumulasi menjadi 2 i pada akhir periode ke 2. ?ilai saat ini juga bisa disebut dengan 4aktor diskonto yang dinotasikan dengan ! dan dapat dinyatakan sebagai ! C
ada umumnya bunga terbagi menjadi dua macam yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk.
A. (unga Tunggal (ika hanya modal awal &pokok' yang berbunga selama masa EtransaksiF, bunga yang harus dibayar pada akhir tempo disebut sebagai bunga tunggal. Bunga tunggal dari modal awal untuk n periode dengan tingkat bunga i adalah 5 B = Pni
!an jumlah akumulasinya untuk n periode adalah P n
= P + " = P + Pni = P &2 + ni'
(unga tunggal "e%ena!n$a &an %a"a : •
Bunga tunggal sebenarnya !ihitung dengan asumsi satu tahun adalah 7%) hari
•
Bunga tunggal biasa !ihitung denngan asumsi satu tahun adalah 7%$ hari
5atu "e%ena!n$a &an 6atu pen&eatan •
Gaktu sebenarnya Sesuai dengan namanya , waktu sebenarnya dihitung menurut hari yang sebenarnya dari seluruh jumlah hari pada kalender. !alam hal ini satu dari dua tanggal yang diberikan tidak dihitung.
•
Gaktu pendekatan !icari dengan anggapan bahwa setiap bulan terdiri dari 7$ hari
Contoh :
!apatkan bunga tunggal sebenarnya dan biasa dari 0p #.$$$.$$$,- untuk )$ hari dengan bunga )> pertahun. +a6a% :
Bunga tunggal sebenarnya *+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
27
n
=
)$ 7%)
=
2$
, "
:7
2$ = Pni = # . 2$% $.$) = #p.27.:$$,− :7
Bunga tunggal biasa n
=
)$ 7%$
=
)
, "
7%
) = Pni = # . 2$% $.$) = #p.27.8=$,− 7%
Contoh :
Tentukan waktu sebenarnya dan waktu pendekatan dari tanggal #$ (uni #$$% sampai dengan #3 "gustus #$$% +a6a% :
Gaktu sebenarnya (umlah hari C jumlah hari yang masih tersisa dari bulan (uli jumlah hari sampai dengan tanggal yang dinyatakan dalam bulan "gustus C 2$ 72 #3 C %) Gaktu pendekatan #3 "gustus #$
%$#$$% 5 8 5 #3
#$ (uni #$
%$#$$% 5 % 5 #$
-------------------------------------------$ 5 # 5
-
3
(adi waktu pendekatan adalah # bulan 3 hari atau %3 hari & diasumsikan 2 bulan adalah 7$ hari '
Contoh :
Tentukan bunga tunggal sebenarnya dan biasa dari 0p. #.$$$.$$$,- untuk %> pertahun dari tanggal #$ "pril #$$% sampai dengan 2 (uli #$$% dengan menggunakan 5 a. waktu sebenarnya b. waktu pendekatan
+a6a% : (unga "e%ena!n$a :
a. waktu sebenarnya n
=
:# 7%)
, "
:# = Pni = # . 2$ % $.$% = #p.#7.%:$,− 7%)
b. waktu pendekatan *+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
23
n
=
:2
, "
7%)
:2 = Pni = # . 2$ % $.$% = #p.#7.73$,− 7%)
(unga (a"a
a. waktu sebenarnya :#
=
n
, "
7%$
:# = Pni = # . 2$ % $.$% = #p.#3.$$$,− 7%$
b. waktu pendekatan n
=
:2
, "
7%$
:2 = Pni = # . 2$ % $.$% = #p.#7.%:$,− 7%$
(. (unga ma7emu ntuk inter6al tertentu bunga yang harus dibayar ditambahkan ke dalam pokok. !alam hal ini bunga dikatakan bunga yang digabungkan pada pokok dan juga dikenakan bunga. (adi pokok akan meningkat secara periodik dan bunga yang digabungkan ke pokok juga bertambah secara periodik *isal diberikan modal awal / pokok yang diin6estasikan dengan bunga i perperiode . (umlah akumulasi untuk periode pertama P 2
= P + Pi = P &2 + i '
(umlah akumulasi untuk periode kedua P #
= P 2 + P 2i = P 2 &2 + i ' = P &2 + i' #
(umlah akumulasi untuk periode ketiga P 7 (umlah akumulasi untuk periode ke n
P n
= P # + P # i = P # &2 + i ' = P &2 + i' 7 = P n−2 + P n−2i = P n−2 &2 + i' = P &2 + i' n
Contoh :
(ika modal awal 0p. 2.$$$.$$$,- diin6estasikan dengan bunga majemuk kwartalan Hitung jumlah uang pada saat 8
2 #
tahun mendatang jika diketahui i C :> pertahun;
+a6a% : P = 2.$$$.$$$ i n
= =
P 73
$.$: 3 73 =
=
%
$.$2:) &2ta%un
2$ &2 + $.$2:)'
73
=
=
3 k$artal '
#p.2.8$7.:#3,)#,−
Contoh :
"li meminjam 0p %$$.$$$,- dan dia setuju membayar pokok dengan bunga 7> digabungkan setengah tahunan. Berapakan dia membayar pada akhir tahun ke 3 ;
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
2)
+a6a% : P = %$$ .$$$ , i
= $.$2) P = %$$ .$$$ &2 + $.$2)' = 8
8
n
=8
#p %:) .8=$
Anuta" te!tentu "nuitas adalah deretan pembayaran berkala yang dibayarkan dalam jangka waktu tertentu &berkala' dengan anggapan bahwa pembayaran pasti dilakukan apabila
telah sampai pada
waktunya. Besar pembayaran diasumsikan sama. Tertentu mempunyai makna bahwa pembayaran pasti dilakukan, ini untuk membedakan dengan anuitas hidup & pembayaran tergantung atas hidup matinya seseorang yang bersangkutan '. "nuitas dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu anuitas tentu & annuity certain' dan anuitas hidup & life annuity'. "nuitas tentu, pembayarannya dilakukan tanpa syarat. Sedangkan pada anuitas hidup pembayarannya dikaitkan dengan hidup-matinya seseorang.
?ilai dari semua pembayaran jika sekiranya pembayaran dibayar
sekaligus
sekarang. +umlah aumula" ,Nla ah! :
(umlah semua pembayaran dan bunga , jika semua pembayaran dan bunga dinilai pada suatu waktu dikemudian hari. Berdasarkan pada saat pembayaran, anuitas tertentu dibagi atas dua yaitu anuitas tertentu akhir dan anuitas tertentu awal.
Anuta" te!tentu ah! (ika pembayaran dilakukan setiap akhir periode. *isal angsuran sebesar 0p 2,- dan banyaknya angsuran adalah n kali maka nilai tunai dari anuitas tertentu akhir a n dapat dicari sebagai berikut 5 - ?ilai tunai pembayaran pertama - ?ilai tunai pembayaran kedua - ?ilai tunai pembayaran ketiga
2 &2 + i '
2 &2 + i '
#
2 &2 + i '
7
=!
= !#
= !7
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
2%
. . . - ?ilai tunai pembayaran ke n
2 &2 + i '
n
= !n
Sehingga nla tuna keseluruhan 5 an
=
! + !#
+
!7
+
... + ! n
! <2
merupakan deret geometri turun. n
an
2 2− n n ! &2 − ! ' 2 − ! 2 + i = = = 2 2− ! &2 + i ' − 2 −2 !
an
=
2 − &2 + i '
−n
i
Nla aumula" ( n 5 jumlah akhir / jumlah akumulasi dari anuitas tertentu akhir dengan tiap pembayaran sebesar
0p 2,( n dapat dicari sebagaai berikut 5 n −2
?ilai akumulasi dari pembayaran pertama
5
&2 + i '
?ilai akumulasi dari pembayaran kedua
5
&2 + i'
?ilai akumulasi dari pembayaran ketiga
5
&2 + i' n
5
&2 + i ' n
n− #
−
7
. . ?ilai akumulasi dari pembayaran ke n ( n
−n
=2
= 2 + &2 + i' + &2 + i' # + &2 + 2' 7 + ... + &2 + i' n−2
merupakan deret geometri naik
( n
&2 + i ' n
−2 = = &2 + i ' − 2
&2 + i ' n
−2
i
Hubungan antara an dan ( n
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
2:
= an &2 + i' n −n a n = ( n &2 + i ' ( n
Contoh :
Suatu pinjaman 0p. 2$$.$$$.$$$,- dengan bunga 7> setahun yang akan dilunasi dalam waktu #) tahun . Hitung anuitas yang harus dibayar tiap akhir tahun ;
+a6a% : # a #) #
=
= 2$$.$$$.$$$
2$$.$$$.$$$ a #)
=
2$$.$$$.$$$ 2 − &2 + $.$7'
− #)
= ).:3#.:8:,28
$.$7
Anuta" te!tentu a6al (ika pembayaran dilakukan setiap awal periode. *isal angsuran sebesar 0p 2,- dan banyaknya angsuran adalah n kali maka nilai tunai dari n dapat dicari sebagai berikut 5 anuitas tertentu awal a
- embayaran pertama dilakukan sekarang dan nilai tunainya 0p 2,- embayaran kedua pada awal periode dua dan nilai tunainya - embayaran ketiga pada awal periode tiga dan nilai tunainya
2 &2 + i'
=!
2 &2 + i '
#
= !#
. . .- embayaran ke n pada awal periode ke n dan nilai tunainya
2 &2 + i '
n −2
= ! n−2
Sehingga nla tuna keseluruhan 5
n a
= 2 + ! + ! # + ! 7 + ... + ! n−2
= 2 + an −2 # 7 n n = ! + ! + ! + ... + ! = !a a 2− !n n = n = a
! <2
n a
!
an
i!
n = a
2 − &2 + i' − n i! *+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
28
Nla aumula" Nla ah! / ( n 5 jumlah akhir / jumlah akumulasi dari anuitas tertentu awal dengan tiap pembayaran sebesar
0p 2, ( n dapat dicari sebagai berikut 5
?ilai akumulasi dari pembayaran pertama
5
&2 + i' n
?ilai akumulasi dari pembayaran kedua
5
&2 + i '
?ilai akumulasi dari pembayaran ketiga
5
&2 + i' n
n −2
−
#
. .?ilai akumulasi dari pembayaran ke n ( n
5
&2 + i' n− & n −2'
= &2 + i'2
= &2 + i' + &2 + i' # + &2 + 2' 7 + ... + &2 + i' n
merupakan deret geometri naik
n (
( n ( n
&2 i ' n 2 &2 i' n 2 = &2 + i' + − = &2 + i ' + − = &2 + i' ( i &2 + i ' − 2 = 2+ &2 + i' + &2 + i' # + &2 + i' 7 + ... + &2 + i' n − = ( n+2 − 2
2
Contoh :
Setiap selang % bulan "li menyimpan 0p 2$$.$$$,- . enyimpanan dimulai sejak anaknya berusia % bulan dan diakhiri sesudah anaknya berusia #$ tahun&setiap awal periode'. Selanjutnya uang tersebut tetap tidak diambil dan sesudah anaknya berusia #) tahun , uang tersebut diberikan kepada anaknya sebagai modal usaha. Hitung berapa banyak uang yang akan diterima anaknya ; & bunga 2.)> perperiode'
+a6a% :
Setelah menyimpan 0p 2$$.$$$ selama 3$ periode uangnya menjadi P =
&2 + $.$2)' 3$ − 2 3$ = 2$$.$$$ = $.$2)
2$$.$$$ (
).3#%.:8=,732
Setelah anaknya berusia #) tahun & antara usia #$ tahun sampai dengan #) tahun digunakan bunga majemuk dengan periode n C 2$ '
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
2=
P 2$
= P &2 + i '2$ = ).3#%.:8=,732 &2 + $.$2)'2$ = #p %.#=8.$2$,):=$3
Contoh :
"li membeli rumah dengan membayar kontan 0p. #.$$$.$$$,- dan sisanya akan diangsur sebesar 0p. 2$$.$$$,- setiap akhir bulan selama 2#$ bulan. & Bunga 2.)> tiap bulan'. Hitung 5 a. Harga rumah seandainya dibayar kontan . b. (ika "li tidak dapat membayar sebanyak #$ kali mulai dari angsuran pertama . Berapa dia harus membayar pada angsuran ke #2 ; c. Setelah mengangsur 2$ kali, seluruh sisa pembayaran akan dilunasi pada angsuran ke 22 . Berapa rupiah yang "li harus bayar ; d. Bila seluruh angsuran akan dibayarkan pada angsuran ke 32 . Berapa besar uang yang harus "li bayarkan ;
+a6a% :
a. Harga rumah C #.$$$.$$$ 2$$.$$$ a2#$
=
#.$$$.$$$
2 − &2 + $.$2)' −2#$ + 2$$.$$$ = # .2$ % + ).)3=.83),3# = $.$2)
:.)3=.83),3#
b. (umlah yang harus dibayar C 2$$.$$$ ( #2
= 2$
)
&2 + $.$2)' #2 − 2 = 2$ ) ,3:$)##2' = #.33:.$)#,#2 $.$2)
c. (umlah yang harus dibayar C 2$$.$$$ &2 a2$= '
= 2$
)
2− 2 +
&2 + $.$2)' −2$=
d. (umlah yang harus dibayar C 2$$.$$$ ( ( 32
$.$2)
= ).3)2.2$8 , #:
+ a:= )
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
#$
&2 + $.$2)' 32 − 2 = 2$ ) + $ . $2)
2 − &2 + $.$2)' −:= $.$2)
) = 2$ &)%,$82=277 +
3%,2$73777' = 2$.#28.)73,%%
LATI*AN
2. Buktikan bahwa
2 ( n
+
i=
2 an
#. Hitung berapa besar uang yang harus "li in6estasikan pada setiap 7 bulan untuk 3 tahun mendatang dalam suatu dana keuangan dengan bunga 3> digabung kwartalan untuk mencapai akumulasi 0p #).$$$.$$$,7. Tentukan waktu sebenarnya dan waktu pendekatan dari tanggal #) (anuari #$22 sampai dengan 2) *ei #$22 3. Hitung jumlah yang harus diin6estasikan hari ini dengan bunga tahunan )> akan menjadi 0p 2.$$$.$$$,- dalam 8 bulan. & bunga majemuk ' ). Berapa lamakah untuk in6estasi 0p 7.$$$.$$$,- agar 5 a. Bertambah 0p =.$$$.$$$,- dengan bunga tunggal 3> pertahun b. *enjadi 0p 7.2$$.$$$,- dengan bunga tunggal )> pertahun %. ada tanggal #$ *aret #$22 "li menanam modal sebesar 0p #$$.$$$.$$$,- dengan bunga )> digabung tengah tahunan &bunga majemuk'. Hitung jumlah uang setelah #$ September #$22 ; :. !aripada membayar 0p 2#).$$$ setiap awal bulan selama 8 tahun , "li memutuskan membeli rumah. Bila bunga )> setahun , berapakah harga rumah yang dapat dia beli dengan uang sewa di atas ; 8. Suatu perusahaan membeli mesin seharga 2$ juta rupiah. *esin itu diharapkan dapat dipakai selama 2$ tahun dan akan diganti dengan mesin yang sama 2$ tahun mendatang dengan harga yang sama pula. Suatu dana untuk pembelian mesin baru diadakan dengan *+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
#2
menyetor uang setiap akhir tahun selama 2$ tahun dengan bunga #.)> . hitung berapa besar setoran tahunannya ; =. Buktikan bahwa 5 ( n
=n+
n& n − 2' 2.#
i+
n&n − 2'&n − #' 2.#.7
i
#
+ ...
2$. Suatu polis asuransi jiwa memuat suatu pernyataan bahwa bila sitertanggung meninggal maka ahli warisnya boleh memilh salah satu diantara 5 a. embayaran tunai sebesar 0p . 2.$$$.$$$, b. !eretan pembayaran selama 2$ tahun yang akan dilakukan setiap akhir tahun.
(ika ahli waris memilih b , hitung berapa besar penerimaan tahunannya ;
Suatu anuitas yang pembayarannya dilakukan selama tertanggung masih hidup disebut anuitas seumur hidup. embayaran dapat dilakukan di awal atau akhir tahun polis. "nuitas yang pembayarannya dikaitkan dengan hidup matinya seseorang disebut anuitas hidup &life annuity'. (adi anuitas hidup ialah serangkaian pembayaran yang dilakukan selama seseorang tertentu masih hidup. embayaran akan dihentikan jika orang yang bersangkutan telah meninggal.
ntuk mempermudah perhitungan anuitas, premi, cadangan dan perhitungan-perhitungan nilai asuransi yang lain maka dibuat simbol komutasi antara lain. 8 8
9
99
8
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
##
8
9
99
dengan x C usia C usia tertinggi seseorang. Terdapat rmacam-macam anuitas hidup, tergantung atas lamanya pembayaran berlangsung, apakah pembayaran dilakukan permulaan ataupun akhir tahun, ataupun apakah pembayaran ditunda selama jangka waktu tertentu.
A. ANUITAS SEU-UR *IDUP AK*IR
!eretan pembayaran dimana pembayaran pertama dilakukan pada akhir periode/tahun diingat pula akan hidup matinya seseorang yang bersangkutan. ?otasi a x
$
2
#
.
.
.
.
0p 2
0p 2
0p 2
7
. . .
a x 5 nilai tunai dari anuitas seumur hidup akhir untuk tiap pembayaran 0p 2 bagi orang
yang berusia x tahun . *isal banyaknya orang berusia x tahun &l @' mu4akat untuk mengumpulkan uang, tiap orang sama banyak sedemikian sehingga cukup untuk memberi a. 0p 2 kepada tiap orang yang mencapai usia x2 tahun b. 0p 2 kepada tiap orang yang mencapai usia x# tahun c. dan seterusnya hingga A tahun (ika uang yang terkumpul tiap orang A rupiah maka banyaknya uang yang terkumpul seluruhnya adalah 5 C .
.
J
.
.
A disebut nilai tunai anuitas seumur hidup akhir dari seseorang dengan pembayaran 0p 2
per tahun, dilambangkan dengan C.
sehingga
.
J
.
,
. embilang dan penyebut dikali dengan
sehingga
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
#7
. *enggunakan rumus komutasi diperoleh5 .
.
(. ANUITAS SEU-UR *IDUP A5AL
!eretan pembayaran dimana pembayaran pertama dilakukan pada awal periode/tahun dan diingat pula akan hidup matinya seseorang yang bersangkutan. ?ilai tunai anuitas seumur hidup awal dan akhir berselisih 2 yaitu pembayaran anuitas seumur hidup awal satu tahun lebih awal dari anuitas hidup akhir sehingga 5 ?otasi
$
2
.
.
0p 2
0p 2
#
7
.
. . .
. 0p 2
C 2
0p 2
.
(ika pembayaran dilakukan tiap awal tahun dan pembayaran berlangsung seumur hidup maka nilai tunainya dinotasikan
.
C2
,
C
,
. C
.
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
#3
nilai tunai dari anuitas seumur hidup awal untuk tiap pembayaran 0p 2 bagi orang yang berusia x tahun .
C. ANUITAS *IDUP AK*IR (ER+ANGKA ANUITAS TE-P0RER/
Suatu anuitas hidup di mana tiap pembayaran dilakukan setiap akhir dan banyaknya pembayaran terbatas n kali . ?otasi
5 nilai tunai dari deretan pembayaran tahunan 0p 2 bagi orang yang berusia x tahun
yang berlangsung tidak lebih dari n tahun. Tiap pembayaran dilakukan pada akhir tahun dan tergantung akan hidup matinya orang yang bersangkutan .
. embilang dan penyebut dikali dengan
sehingga .
*enggunakan rumus komutasi didapat5 ,
.
D. ANUITAS *IDUP A5AL (ER+ANGKA
(ika serangkaian pembayaran anuitas dilakukan pada suatu jangka waktu tertentu misalkan
tahun pada awal tahun dengan syarat orang tersebut masih hidup disebut anuitas
hidup awal berjangka yang dinotasikan dengan C 2 C2
.
, .
embilang dan penyebut dikali dengan C
sehingga .
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
#)
C
,
C
.
E. ANUITAS SEU-UR *IDUP AK*IR )ANG DITANGGU*KAN SELA-A N TA*UN
Suatu anuitas hidup di mana pembayaran pertama dilakukan pada saat x mencapai usia & xn2' tahun dan berlangsung selama x masih hidup. ?ilai tunai untuk anuitas seumur hidup akhir yang ditunda/ ditangguhkan selama n tahun dengan pembayaran sebesar 0p2,- dinotasikan 1 2 @
@2
@#
J
&@n'
2
2
&@n2'J
1
.
embilang dan penyebut dikali dengan
sehingga
1
.
1
. 1
.
!engan kata lain pembayaran dilakukan pada saat berlangsung selama
mencapai usia
tahun dan
masih hidup.
F. ANUITAS SEU-UR *IDUP A5AL )ANG DITANGGU*KAN
SELA-A N TA*UN Suatu anuitas hidup di mana pembayaran pertama dilakukan pada saat x mencapai usia &@n' tahun dan berlangsung selama x masih hidup atau pengertian lain adalah serangkaian pembayaran anuitas dilakukan pada awal tahun yang ditunda
tahun selama seumur hidup.
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
#%
?ilai tunai untuk anuitas seumur hidup awal yang ditunda/ditangguhkan selama
tahun adalah
1
2 @
@2
@#
J
&@n'
2
2
&@n2'J
1
.
embilang dan penyebut dikali dengan 1
1
2
sehingga
C 1
C
1
C
. . .
5nilai tunai dari deretan pembayaran tahunan 0p 2 untuk anuitas seumur hidup awal yang
ditangguhkan n tahun bagi orang yang berusia x tahun .
G. ANUITAS *IDUP AK*IR (ER+ANGKA M TA*UN DAN
DITANGGU*KAN SELA-A N TA*UN Suatu anuitas hidup di mana pembayaran pertama dilakukan pada saat x mencapai usia & xn2' tahun dan banyaknya pembayaran terbatas m tahun. (ika serangkaian pembayaran di akhir tahun ditunda
tahun selama paling lama
tahun &pembayaran terbatas hingga
selama orang tersebut masih hidup disebut anuitas hidup akhir berjangka selama
tahun'
tahun yang ditunda
tahun.
?ilai tunai untuk anuitas hidup akhir berjangka
tahun yang ditunda selama
tahun.
dinotasikan dengan n1 m
2 @
@2
@#
J
&@n'
&@n2'J
2
2
2 &@nm'
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
#:
1
C
n m
.
embilang dan penyebut dikali dengan 1
C
n m
.
n m
1
C
1
C
n m
?otasi n1 m
sehingga
,
.
5 nilai tunai dari deretan pembayaran tahunan 0p 2 untuk anuitas hidup akhir
berjangka m tahun yang ditunda/ditangguhkan n tahun bagi orang yang berusia x tahun .
*. ANUITAS *IDUP A5AL (ER+ANGKA M TA*UN DAN DITANGGU*KAN SELA-A N TA*UN
Suatu anuitas hidup di mana pembayaran pertama dilakukan pada saat x mencapai usia & xn' tahun dan banyaknya pembayaran terbatas m kali. (ika serangkaian pembayaran di awal tahun ditunda
tahun selama paling lama
tahun &pembayaran terbatas hingga
selama orang tersebut masih hidup disebut anuitas hidup awal berjangka selama
tahun'
tahun yang ditunda
tahun.
?ilai tunainya dinotasikan dengan n1 m 2 @
@2
@#
J
1
n m
&@n'
2
&@n2'J
C
1
2
2 &@nt-2'
.
embilang dan penyebut dikali dengan n m
2
C
sehingga .
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
#8
n m
1
C
1
C
n m
?otasi n1 m
5
,
.
nilai tunai dari deretan pembayaran tahunan 0p 2 untuk anuitas hidup akhir
berjangka m tahun yang ditunda/ditangguhkan n tahun bagi orang yang berusia x tahun .
I. PURE ENDOMEN! DANA KE*IDUPAN,SU-(ANGAN
-URNI/ Suatu pembayaran yang dilakukan pada n tahun mendatang bila yang bersangkutan masih hidup. n
E x 5 nilai tunai n tahun mendatang dana kehidupan 0p 2 bagi orang yang sekarang berusia x
tahun. n
E x
= ' =
n n
p x
=
' x + n l x + n ' x l x
' n l x + n l x
=
) x + n ) x
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
#=
LATI*AN 2. "ji yang sekarang berusia #) tahun , ingin membeli suatu rencana pensiun mulai usia )) tahun dengan penerimaan sebesar 0p 7.$$$.$$$,- setahunnya , dimana pembayaran pertama dilakukan pada saat hari ulang tahunnya yang ke )). ntuk itu dia akan melakukan pembayaran tahunan pada permulaan tahun mulai sekarang dan berakhir pada hari ulang tahunnya yang ke )3. Hitung besar pembayaran tahunan tersebut ; #. *isalkan orang sejumlah l@ sepakat untuk menyumbang 0p 2,- per orang ke suatu dana setahun dari sekarang tiap orang yang masih hidup, l@2 menyumbang 0p 2,- ke dana tersebut , # tahun kemudian tiap orang dari sebanyak l@# yang masih hidup menyumbang lagi 0p 2,- ke dana tersebut dan seterusnya sampai sumbangan telah terkumpul sebanyak n kali dari sekarang semua dana yang telah terkumpul & dengan bunganya ' dibagi sama rata oleh l@n orang yang masih hidup. *isalkan n * x bagian tiap orang yang masih hidup, buktikan + x − + x + n bahwa !ana ini disebut !ana Tonti , menurut penemunya orang tali n * x = ) x + n
7. 3. ). %.
:.
8.
=.
yang bernama Tonti. +rang yang berusia #$ tahun dijanjikan akan mendapat 2$ juta rupiah jika dia mencapai usia 3$ tahun. Hitung nilai tunainya ; ada usia 7$ tahun "ri membeli endowment murni sebesar 0p ).$$$,- untuk jangka waktu 7) tahun . Bila dia mencapai usia %) tahun , hitung besar uang yang akan diterima. Seorang janda berusia )) tahun mengambil pendapatan dari polis asuransi jiwa 0p #).$$$.$$$,-sebagai anuitas. Hitung pendapatan yang diperolehnya ; (ika perusahaan akan memberikan pensiun sebesar 0p 2.$$$.$$$,- setiap tahun sampai meninggal kepada karyawan yang berusia %$ tahun , maka berapa banyak uang yang harus diserahkan kepada pihak asuransi ; ada saat usia )$ tahun "li menyerahkan uang kepada perusahaan asuransi dengan perjanjian bahwa "li akan menerima sebesar 0p #.$$$.$$$,- setiap akhir tahun sampai "li meninggal. Hitung jumlah uang yang akan diberikan kepada perusahaan asuransi tersebut ; ada usia #) tahun "ji membayar kepada perusahaan asuransi & anuitas tertentu akhir ' tiap tahun 0p 2.$$$.$$$,- selama 3$ tahun. Setelah sampai pembayaran ke 3$ "ji akan menerima rupiah tiap akhir tahun sampai dia meninggal. Hitung besarnya penerimaan "ji ; tingkat bunga $.$#) ada usia %)tahun "li punya dua pilihan. ". *enerima #) juta rp dari pihak asuransi yang akan membungakan #.)> dan "li akan mendapat penerimaan tentu setiap awal tahun selama #$ tahun& sama besar dan sesudah #$ tahun pembayaran dana tsb habis' B. *embiarkan uangnya pada pihak asuransi dan menerima jumlah uang sama besar tiap awal tahun selama #$ tahun asalkan masih hidup. *+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
7$
a. Hitung besar penerimaan "li untuk pilihan " dan B b. Bila "li meninggal tepat sebelum usia mencapai 8$ tahun, berapa besar uang yang diterima ahli warisnya untuk poin " dan B.
!alam pengertian kesejahteraan terkandung kondisi aman, tentram dan makmur. Setiap orang secara naluriah berusaha meningkatkan kesejahteraannya. ada hakekatnya kesejahteraan akan tercapai apabila kebutuhan terpenuhi. Salah satu upaya asaha manusia untuk meningkatkan kesejahteraan melalui asuransi jiwa, karena adanya asuransi jiwa nilai ekonomi hidup manusia yang terancam ketidakpastian dapat dilindungi. ?ilai kehidupan manusia yang secara ekonomi diukur dengan uang di&ebut Economic 'alue of ,uman -ife. Tiap tiap orang memiliki economic !alue yang berbeda sesuai dengan kondisi dan penghasilan masing masing
ada hakekatnya asuransi jiwa adalah pelimpahan resiko dari pihak tertanggung kepada pihak penanggung agar kerugian material yang diderita dapat ditanggung pihak lain. "suransi jiwa adalah usaha kerjasama dari sejumlah orang yang sepakat menanggung kesulitan keuangan bila terjadi musibah terhadap salah seorang anggotanya. erusahaan yang besar dengan pemegang saham yang banyak akan mudah mengatasi santunan asuransi dari anggota yang tertimpa musibah. !engan administrasi yang e4isien dan in6estasi dana yang aman dengan tingkat bunga yang wajar, perusahaan asuransi akan berkembang dengan sehat dan merupakan usaha pengumpulan modal yang amat penting. Sebuah asuransi jiwa menyediakan suatu pembayaran santunan asuransi & claim' dari jumlah yang ditetapkan atas suatu kematian, yang dikenal sebagai tertanggung & in&ured '. !alam pembayaran ini terdapat dua asumsi, yaitu pembayaran santunan asuransi pada akhir tahun kematian polis &asuransi diskrit' dan pembayaran santunan asuransi pada saat kematian terjadi &asuransi kontinu'.
PRINSIP PRINSIP U-U- ASURANSI +I5A *+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
72
2. Economic Principle& 5 resiko kematian, resiko hari tua, resiko kecelakaan/sakit rinsip ini menyatakan alasan alasan ekonomi yang mendorong seseorang atau kelompok untuk memakai jasa asuransi. Terdapat tiga kelompok resiko yang mempengaruhi nilai ekonomi hidup manusia oleh karena itu mempengaruhi pula penggunaan jasa asuransi jiwa , yaitu 5 resiko kematian, resiko hari tua dan resiko kecelakaan atau sakit. #. -e/al Principle Kontrak asuransi jiwa merupakan perjanjian timbal balik yang memuat hak dan kewajiban pemegang polis dan pihak yang menerima pelimpahan resiko. erjanjian ini tercermin dalam polis asuransi jiwa. 7. Actuarial Principle& !alam asuransi jiwa terdapat hubungan antara hak dan kewajiban yang dinyatakan dalam besaran besaran 5 premi, santunan , cadangan premi, nilai tebus dan lain lain. Hubungan ini ditentukan dengan dasar-dasar perhitungan a. Tingkat bunga & #ate of 0ntere&t ' b. Tingkat kematian & ortality #ate' c. Biaya & -oadin/ Expen&e '
3. ooperation Priciple& "suransi merupakan suatu bentuk kerjasama dari orang orang yang berkepentingan untuk menanggulangi kerugian yang mungkin dideritanya atau setidak tidaknya memperkecil kerugian akibat terjadinya musibah. *enurut ndang-ndang ?o.# Tahun 2==#, asuransi adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih, dengan mana pihak penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung, dengan menerima premi asuransi, untuk memberikan penggantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab hukum pihak ke tiga yang mungkin akan diderita tertanggung yang timbul dari suatu peristiwa yang tidak pasti atau memberikan suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan. "suransi jiwa adalah usaha kerjasama atau koperasi dari sejumlah orang yang sepakat memikul kesulitan keuangan bila terjadi musibah terhadap salah seorang anggotanya. ada hakekatnya, asuransi jiwa adalah pelimpahan risiko dari pihak tertanggung kepada pihak penanggung agar kerugian material yang diderita dapat ditanggung pihak lain. !engan adanya asuransi jiwa nilai ekonomi hidup manusia yang terancam ketidakpastiaan dapat
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
7#
dilindungi. erusahaan yang besar dengan pemegang saham yang banyak akan mudah mengatasi santunan asuransi dari anggota yang meninggal. (enis-jenis asuransi jiwa antara lain5
A. ASURANSI (ER+ANGKA !alam polis asuransi berjangka , uang pertanggungan akan dibayarkan bila sitertanggung meninggal dalam jangka waktu asuransi. *isal semua orang yang berusia x tahun &l x' setuju mengumpulkan 0p A setiap orang dengan perjanjian apabila pada satu tahun berikutnya ada anggota yang mati maka ahli warisnya akan diberikan 0p 2. Bila iuran ini dibungakan i/ tahun maka jumlah uang yang terkumpul adalah 5
A =
A l x &2 + i ' = d x sehingga
d x &2 + i 'l x
=
'd x l x
=
+
' x 2 d x ' x l x
Bila hal tersebut dikembangkan sampai n tahun didapat 5 L x5n
A
L x5n
A
L x5n
A
= = =
'd x l x
+
' # d x +2
' x+2d x
l x
+
' 7 d x +#
+ ' x+# d x+2
' x l x
' x l x
' x+2dx + ' x+ # d x+2
l x
+
+
' 3 d x+7 l x
' x +7 d x+ # ' x l x
+
+ ... +
' n d x + n−2
' x +3 d x+7 ' x l x
l x
+ ... +
' x + n d x+ n−2 ' x l x
+ ' x+7d x+ # + ....' x+n d x+n−2 ' x l x
*enggunakan rumus komutasi5
= ' x l x 2 x = ' x +2 d x 1 x = 2 x + 2 x +2 + 2 x + # + ... + 2 ω ) x
!engan demikian diperoleh 5 L
A x5n
=
2 x
+ 2 x +2 + 2 x+ # + ....2 x + n −2
) x
=
1 x
− 1 x+ n
) x
L
A x5n merupakan nilai tunai & pre&ent !alue ' asuransi berjangka n tahun dengan santunan 0p 2 bagi orang yang berusia @ tahun
(. ASURANSI SEU-UR *IDUP *+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
77
!alam polis asuransi seumur hidup , uang pertanggungan akan dibayarkan bila sitertanggung meninggal sewaktu waktu kematian terjadi.
=
A x
=
A x
=
A x
'd x l x
+
' # d x +2 l x
' x +2 d x
+
' 7 d x + # l x
+ ' x + # d x +2
' x l x
+
' x l x
' x +2 dx + ' x + # d x +2
+
' 3 d x + 7 l x
' x + 7 d x + # ' x l x
+
+ ... +
'
' x + 3 d x + 7 ' x l x
ω = x +2
d ω
l x
+ ... +
'
ω +2
d ω
' x l x
+ ' x +7 d x + # + ....' ω +2 d ω ' x l x
!engan demikian diperoleh 5 A x
=
2 x
+ 2 +2 + 2 + # + ....2 ω x
x
) x
=
1 x ) x
A x merupakan nilai tunai & pre&ent !alue' asuransi seumur hidup dengan santunan 0p 2 bagi
orang yang berusia x tahun.
C. ASURANSI D5IGUNA ENDOMEN! / *erupakan gabungan dari asuransi berjangka dan dana kehidupan !alam polis asuransi dwiguna walaupun sudah habis jangka waktu asuransi , pemegang polis tetap mendapatkan uang pertanggungan &santunan'.
A x5n A x5n
A x5n
= A xL5n + n E x 1 − 1 x + n + ) x + n = x ) x
merupakan nilai tunai & pre&ent !alue' asuransi dwiguna n tahun dengan santunan 0p 2
bagi orang yang berusia x tahun.
D. ASURANSI TERTUNDA !alam polis asuransi berjangka n tahun yang tertunda m tahun bagi orang yang berusia x tahun, uang pertanggungan akan dibayarkan bila sitertanggung meninggal antara x & m' tahun dan & xmn' tahun mendatang .
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
73
L
m / A x5n
'
m +2
=
d x + m
m / A x5n
' =
m+#
+
l x x + m +2
L
'
d x + m +2
l x x + m + #
d x + m
+ '
'
m+7
+
d x + m +2
d x + m + #
l x x + m + 7
+ '
'
m+3
+
d x + m + #
d x + m + 7
l x
+ ... +
x + m + n
+ ....'
'
m+ n
d x + + m + n −2 l x
d x + m + n −2
x
' l x
!engan demikian diperoleh 5 L
m / A x5n
=
2 x +m
+
2 x +m+2
+
+ ....2 x + m+ n −2
2 x +m+#
=
) x
1 x+ m − 1 x +m +n ) x
L
m / A x5n merupakan nilai tunai & pre&ent !alue' asuransi berjangka n tahun yang tertunda m tahun dengan santunan 0p 2 bagi orang yang berusia @ tahun.
ni berarti5 embayaran dilakukan bagi ahli waris orang yang berusia x tahun asalkan dia meninggal antara umur & xm' dan & xmn' tahun
i
m / A x5n
=
' m
+
i
dx + m +
' m
#
dx + m + i +
... + ' m
+
n
dx + m + n −i
l x
x + m +i
=
=
'
dx + m +
X + m + #
'
dx + m + n +i +
=
2 x + m
m / A2 x5n
=
1 x + m
x + m + n
... + '
dx + m M n −i
x
' lx 2 x + m
+ 2 x+ m +i + ... + 2 x+ m+ n−i ) x
+ 2 x +m+i + 2 x+ m+# + ... + 2 $
m / A x5n
2
+
) x
−
2 x + m+ n
+ 2 x+ m+ n + ... + 2 $ ) x
− 1 x+ m+ n ) x
!engan cara yang sama untuk "suransi seumur hidup yang tertunda m / A x 5 nilai tunai "suransi seumur hidup yang tertunda m tahun sebesar 0p 2 yang
dikeluarkan bagi orang berusia x tahun.
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
7)
m / A x
=
1 x + m ) x
!engan cara yang sama untuk "suransi !wiguna yang tertunda Contoh :
Hitung premi tunggal bersih asuransi berjangka 2$ tahun bagi orang yang berusia 7$ tahun bila besar santunannya adalah 2 juta rupiah. +a6a%:
X 5besar premi x
′ 52$ = 2$ % A7$ =2$ %
1 7$ 1 3$ )7$
= 0p 78.%%),2#. Contoh 5
Hitung premi tunggal bersih dari polis asuransi jiwa yang besar santunannya selama 2$ tahun pertama adalah 2 juta rupiah dan # juta setelah itu, bagi orang yang berusia #$ tahun +a6a%:
"da berbagai cara untuk menjawab soal tersebut 5 a. 2$ tahun pertama asuransi berjangka dengan santunan 2 juta rupiah dan dilanjutkan dengan asuransi seumur hidup yang tertunda sesudahnya dengan santunan # juta rupiah. b. "suransi seumur hidup yang dimulai usia #$ tahun dengan santunan 2 juta rupiah ditambah asuransi seumur hidup dengan santunan 2 juta rupiah sejak usia 7$ tahun c. Selisih dua asuransi yaitu seumur hidup dengan santunan # juta rupiah sejak usia #$ tahun dengan asuransi berjangka 2$ tahun sejak usia #$ tahun dengan santunan 2 juta rupiah.
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
7%
LATI*AN
2. Buktikan bahwa m / A x
= A x − A xN5m
N #. Buktikan bahwa m / A x5n
= A xN5m + n − A xN5m
7. olis dikeluarkan bagi seseorang yang berusia 3$ tahun dengan santunan sebesar 0p 2.$$$.$$$,- bila dia meninggal dalam waktu #) tahun. Bila dia mencapai usia %) tahun , maka akan menerima pensiun sebesar 0p. 2$$.$$$,- mulai hari ulang tahunnya yang ke %). Hitung premi tunggal bersihnya; 3. Hitung net single premium suatu polis asuransi bagi orang yang berusia #) tahun dengan santunan sebesar 0p 2.$$$.$$$,- bila dia meninggal dalam jangka 2$ tahun dan santunan sebesar 0p )$$.$$$,- bila dia meninggal di antara usia 7) O 3) tahun ; ). Hitung premi tunggal bersih suatu polis asuransi dengan santunan sebesar 0p 2.$$$.$$$,dalam jangka waktu ) tahun dan 0p #.$$$.$$$,- sesudah itu bagi seseorang yang berusia 7$ tahun ; %. Seseorang berusia )$ tahun membeli asuransi dwiguna 22 tahun dengan premi tunggal bersih 0p 2.$$$.$$$,- Hitung besar santunan ; :. Seseorang berusia 7= tahun memiliki 0p 2.$$$.$$$,- . !engan uang tersebut sebagai premi tunggal bersih, dia membeli polis asuransi dengan santunan 0p 7.$$$.$$$,- bila dia meninggal dalam waktu ) tahun dan santunan B rupiah bila dia meninggal sesudah itu. Hitung besar B ; 8. Buktikan bahwa !q x
=
( A x − !A x 2 ) (2 − A x 2 ) +
+
=. ?yatakan dengan kata Okata tentang premi tunggal bersih asuransi di bawah ini 5 2$ % ( 1 #$
− 1 %$ ) + &) x2$) ' )%$ )#$
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
7:
2$. Buktikan bahwa !q x =
− !A x+2 ' &2 − A x+2 '
& A x
22. "ji yang sekarang berusia #) tahun , ingin membeli suatu rencana pensiun mulai usia )) tahun dengan penerimaan sebesar 0p 7.$$$.$$$,- setahunnya , dimana pembayaran pertama dilakukan pada saat hari ulang tahunnya yang ke )). ntuk itu dia akan melakukan pembayaran tahunan pada permulaan tahun mulai sekarang dan berakhir pada hari ulang tahunnya yang ke )3. Hitung besar pembayaran tahunan tersebut ;
LATI*AN 2#. *isalkan orang sejumlah l@ sepakat untuk menyumbang 0p 2,- per orang ke suatu dana setahun dari sekarang tiap orang yang masih hidup, l@2 menyumbang 0p 2,- ke dana tersebut , # tahun kemudian tiap orang dari sebanyak l@# yang masih hidup menyumbang lagi 0p 2,- ke dana tersebut dan seterusnya sampai sumbangan telah terkumpul sebanyak n kali dari sekarang semua dana yang telah terkumpul & dengan bunganya ' dibagi sama rata oleh l@n orang yang masih hidup. *isalkan n * x bagian tiap orang yang masih + x − + x + n hidup, buktikan bahwa !ana ini disebut !ana Tonti. n * x = ) x + n
27. +rang yang berusia #$ tahun dijanjikan akan mendapat 2$ juta rupiah jika dia mencapai usia 3$ tahun. Hitung nilai tunainya ; 23. ada usia 7$ tahun "ri membeli endo$ment murni sebesar 0p ).$$$,- untuk jangka waktu 7) tahun . Bila dia mencapai usia %) tahun , hitung besar uang yang akan diterima. 2). Seorang janda berusia )) tahun mengambil pendapatan dari polis asuransi jiwa 0p #).$$$.$$$,-sebagai anuitas. Hitung pendapatan yang diperolehnya ; 2%. (ika perusahaan akan memberikan pensiun sebesar 0p 2.$$$.$$$,- setiap tahun sampai meninggal kepada karyawan yang berusia %$ tahun , maka berapa banyak uang yang harus diserahkan kepada pihak asuransi ; 2:. ada saat usia )$ tahun "li menyerahkan uang kepada perusahaan asuransi dengan perjanjian bahwa "li akan menerima sebesar 0p #.$$$.$$$,- setiap akhir tahun sampai "li meninggal. Hitung jumlah uang yang akan diberikan kepada perusahaan asuransi tersebut ; 28. ada usia #) tahun "ji membayar kepada perusahaan asuransi & anuitas tertentu akhir ' tiap tahun 0p 2.$$$.$$$,- selama 3$ tahun. Setelah sampai pembayaran ke 3$ "ji akan menerima rupiah tiap akhir tahun sampai dia meninggal. Hitung besarnya penerimaan "ji ; tingkat bunga $.$#) 2=. ada usia %)tahun "li punya dua pilihan. ". *enerima #) juta rupiah dari pihak asuransi yang akan membungakan #.)> dan "li akan mendapat penerimaan tentu setiap awal tahun selama #$ tahun& sama besar dan sesudah #$ tahun pembayaran dana tersebut habis'. B. *embiarkan uangnya pada pihak asuransi dan menerima jumlah uang sama besar tiap awal tahun selama #$ tahun asalkan masih hidup. a. Hitung besar penerimaan "li untuk pilihan " dan B. Bila "li meninggal tepat sebelum usia mencapai 8$ tahun, berapa besar uang yang diterima ahli warisnya untuk poin " dan B.
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
78
"suransi jiwa tidak selamanya preminya dibayar atas dasar premi tunggal. remi tersebut dapat dibayar secara tahunan/tengah tahunan/tiap bulan dan sebagainya. remi yang dibayarkan pada setiap awal permulaan tahun yang besarnya bisa sama maupun berubah-ubah setiap tahunnya disebut premi tahunan Besarnya premi tersebut umumnya sama untuk tiap pembayaran dan dilakukan pada awal periode. Semakin sering premi dibayar, untuk santunan yang sama maka semakin kecil premi berkalanya. Tingkat bunga juga mempengaruhi besarnya premi. *akin tinggi tingkat bunga maka makin rendah premi yang harus dibayar untuk besar santunan yang sama. embayaran premi asuransi jiwa seumur hidup dapat dilakukan tiap permulaan tahun seumur hidup. ada asuransi berjangka pembayaran preminya dilakukan selama jangka waktu asuransi. Sedangkan untuk asuransi dwiguna pembayaran preminya dapat dilakukan dengan 7 cara yaitu selama jangka waktu perlindungan asuransi, terbatas &lebih pendek dari jangka waktu' atau sekaligus &premi tunggal'. "dapun rumus dasar premi tahunan bersih adalah nilai tunai premi yang akan datang sama dengan nilai tunai santunan yang akan datang. Beberapa notasi untuk premi bersih tahunan antara lain5
A. PRE-I TA*UNAN (ERSI* ASURANSI SEU-UR *IDUP
adalah premi tahunan bersih untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan uang pertanggungan 0p 2 bagi orang berusia
C
tahun.
,
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
7=
C
,
C
,
C
.
C
, .
(. PRE-I TA*UNAN (ERSI* ASURANSI (ER+ANGKA
adalah premi tahunan bersih untuk asuransi jiwa berjangka pertanggungan 0p 2 bagi orang berusia
=
2 x5n
P
A2 x 5 n
x5m a
=
tahun dengan uang
tahun.
− 1 x +n + x − + x + m
1 x
"pabila pembayarannya terbatas sejumlah m kali &tahun' maka besar premi tahunan bersihnya sebagai berikut5
mP 2 x5n 5 remi tahunan bersih untuk asuransi berjangka n tahun dengan batasan m tahun dengan uang pertanggungan 0p 2 bagi orang berusia x tahun . 2
x5m mP x5n a 2 x5n
mP
=
= A2 x5n
2
A x 5 n x5m a
= 1 x − 1 x+n + x − + x +m
di mana mPn
C. PRE-I TA*UNAN (ERSI* ASURANSI D5IGUNA
adalah premi tahunan untuk asuransi jiwa dwiguna pertanggungan 0p 2 bagi orang berusia .
C
,
C
,
tahun dengan uang
tahun
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
3$
C
.
mP x5n 5 premi tahunan bersih untuk asuransi dwiguna n tahun dengan batasan pembayaran m
tahun dengan uang pertanggungan 0p bagi orang berusia @ tahun . x5m mP x5n .a
A x5n
=
mP x5n
=
A x5n x5m a
=
1 x − 1 x +n + x
+ ) x+n
− + x+m
LATI*AN
2. Buktikan bahwa P x
=
#. Buktikan bahwa P xn
!q + P x2 a x a x
= y −
a xn axn
7. !apatkan net annual premium untuk 28 kali pembayaran untuk endowment #) tahun bagi orang yang berusia 3# tahun dengan uang pertanggungan 0p. #$.$$$.$$$,3. Seorang yang berusia #: tahun membeli endowment untuk jangka waktu #$ tahun tiga tahun yang lalu. (ika premi bersih tahunan sebesar 0p. 2$$.$$$,-berapa besar uang satuan yang akan diterima jika orang tersebut meninggal dalam usia 3$ tahun ; ). Suatu polis asuransi jiwa bagi orang yang berusia 7# tahun menentukan pembayaran premi tahunan #8 kali. Bila sitertanggung meninggal sebelum usia %) tahun, besar satuannya sebesar ) juta rupiah, bila dia meninggal setelah %) tahun santunannya # juta rupiah. Hitung besar premi tahunannya. %. Hitung besar polis asuransi jiwa seumur hidup yang dapat dibeli seseorang yang berusia #$ tahun untuk premi netto tahunan 0p #)$.$$$,:. (ika q x
− $.$2 x, ! − $.= ,hitung P =)
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
32
-0DUL ; CADANGAN PRE-I !alam dunia usaha, istilah cadangan biasanya digunakan untuk suatu dana yang disisihkan untuk dipakai dalam keadaan darurat. !alam asuransi jiwa artinya sama sekali berbeda.
yang dilakukan oleh peserta
asuransi. erhitungan cadangan premi dibedakan menjadi dua cara yaitu perhitungan besar cadangan yang berorientasi pada pengeluaran di waktu yang akan datang yang disebut dengan cadan/an pro&pektif dan perhitungan besar cadangan yang berorientasi pada pengeluaran di
waktu yang telah lalu yang disebut dengan cadan/an retro&pektif .
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
3#
Berdasarkan anuitas dan waktu pembayaran santunan, cadangan premi bersih dapat dibagi menjadi tiga macam yakni5 2.
Ca&angan Ret!o"pet<
t
C
,
dimana usia waktu polis dikeluarkan tahun yang telah lewat sejak polis dikeluarkan premi tahunan bersih untuk santunan 0p 2 bagi @ t
cadangan akhir tahun ke t dana Tonti biaya akumulasi asuransi C
.
!ana Tonti dapat dinyatakan sebagai bagian tiap yang masih hidup dari dana yang telah terkumpul beserta bunganya. *isalkan sebanyak
orang sepakat menyumbang 0p2 per orang.
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
37
Setahun kemudian bila orang tersebut masih hidup yaitu sebanyak !ua tahun kemudian tiap orang dari
menyumbang lagi 0p 2.
menyumbang lagi 0p 2 dan seterusnya sampai dana
terkumpul sebanyak t kali &tahun'. *aka t tahun dari sekarang untuk semua dana yang terkumpul &dengan bunganya' dibagi sama rata oleh bagian tiap orang yang masih hidup dinotasikan dengan t
orang yang masih hidup sehingga adalah
.
C
Contoh : !apatkan cadangan akhir tahun ke 2$ dan cadangan akhir tahun ke #$ untuk seseorang berusia
7$ tahun yang mengambil asuransi berjangka #$ tahun dengan uang pertanggungan sebesar 0p 2$.$$$.$$$,+a6a%: *ula mula dicari terlebih dahulu premi tahunan bersih asuransi berjangka #$ tahun bagi orang yang berusia 7$ tahun dengan santunan 0p 2$.$$$.$$$,2
P 7$5#$
= 2$
2 ' = P 7$ 5#$
2$
= P 7$2 5#$ ' = P 7$2 5#$
#$
= P 7$2 5#$
:
A2 7$ 5 #$
7$5#$ a
2$
* 7$
+ 7$
− 2$:
− + 3$
)3$ #$
* 7$
+ 7$
))$
2$
#$
− 1 )$ 0p )=.8)2,#$:77 = + 7$ − + )$
1 7$
k 7$
− 2$:
− 2$:
− + )$
= 2$ :
1 7$
− 1 3$
)3$
= 0p 288.83=
k 7$
− 2$:
1 7$
− 1 )$
))$
1 − 1 )$ + 7$ − + )$ 1 7$ − 1 )$ . = 2$: 7$ − ))$ ))$ + 7$ − + )$ 1 − 1 )$ 1 7$ − 1 )$ = 2$: 7$ − ) ) )$ )$ =$
33
t
C
.
,
dimana usia waktu polis dikeluarkan tahun yang telah lewat sejak polis dikeluarkan premi bersih tahunan untuk santunan 0p 2 bagi @ cadangan akhir tahun ke t
t
santunan yang akan datang pada usia P .
nilai tunai pada usia @t sisa premi mendatang.
'
t
C
- P
dengan C cadangan prospekti4 akhir tahun ke-t asuransi endo$ment
'
t
C santunan yang akan datang pada usia & xt ' tahun C nilai tunai pada usia & xt ' tahun sisa premi mendatang
P
Contoh:
!apatkan cadangan akhir tahun ke ) untuk seseorang berusia 7$ tahun yang mengambil asuransi endo$ment 2$ tahun namun tertunda 2$ tahun dengan uang pertanggungan sebesar sepuluh juta
rupiah. +a6a%: *ula mula dicari terlebih dahulu premi tahunan bersih asuransi endowment 2$ tahun yang tertunda 2$ tahun bagi orang yang berusia 7$ tahun dengan santunan 0p 2$.$$$.$$$, P 27$5#$
= 2$:
' = 2$
:
)
2$
A7$52$
7$5#$ a
= 0p 783.7:$,7373
7)52) A7)52$ − P 7$5#$ a 2
)
= %.:8%.:##,) − 3.%8=.=7$,= = 0p #.$=%.:=2,%
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
3)
Ca&angan D"e"uaan Sumber dana tambahan untuk menutup biaya awal tahun dapat diperoleh dengan
menyesuaikan cadangan premi &cadangan disesuaikan'. !ana tersebut dapat dianggap berupa pinjaman yang akan dibayar kemudian dari pembayaran premi kotor di tahun-tahun mendatang. *isalkan P menyatakan premi bersih untuk suatu jenis asuransi. remi tersebut akan diganti dengan pada tahun pertama dan diikuti oleh 4 pada tahun-tahun berikutnya. dan 4 adalah premi yang disesuaikan. emegang polis membayar premi kotor yang sama besarnya tiap tahun, yaitu P biaya. dan 4 hanya ada dalam perhitungan aktuaria dan tidak ada sangkut pautnya dengan pemegang polis. ?ilai tunai seluruh P C ?ilai tunai ?ilai tunai 4. ersamaan ini berlaku pada waktu polis dikeluarkan. Bila n menyatakan jangka waktu penyesuaian cadangan, maka hubungan pada persamaan tersebut dapat dide4inisikan sebagai berikut
4
C P
&#.2%'
,
P P , karena sebagian dari dipakai untuk biaya tahun pertama, yaitu sebesar P O . (adi, dari
premi bersih tahun pertama sebesar P , hanya ada yang disediakan untuk membayar santunan di tahun tersebut, sisanya P O dipinjam perusahaan dan pinjaman tersebut akan dibayar kelak dari premi tahun-tahun berikutnya. Karena 4 5 P maka 6 P 6 4.
-eto&e Ne" #ersey
enentuan nilai cadangan pada metode e$ 7er&ey mengunakan premi bersih lanjutan disesuaikan dimana terdapat persyaratan yang harus terpenuhi yaitu polis yang mempunyai
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
3%
premi tahunan bersih lebih kecil dari premi tahunan bersih asuransi seumur hidup dengan #$ kali
pembayaran premi dengan santunan dan usia yang sama tetapi premi kotornya melebihi 2,)
*etode e$ 7er&ey menentukan bahwa cadangan akhir tahun pertama adalah nol. Sehingga secara matematis nilai tunai premi pada tahun pertama dapat dituliskan C
Simbol 7 menyatakan metode yang digunakan adalah metode e$ 7er&ey. Sehingga berdasarkan persamaan &#.2%' dan setelah diaplikasikan ke dalam metode e$ 7er&ey, maka diperoleh sebagai berikut
remi bersih lanjutan disesuaikan &
' pada metode e$ 7er&ey untuk asuransi jiwa
endo$ment adalah premi bersih tahunan yang dikeluarkan untuk orang yang setahun lebih tua x2. Sehingga nilai cadangan menggunakan metode e$ 7er&ey, premi bersih tahunan yang
digunakan adalah pada usia x2 tahun, maka didapat rumusan penentuan nilai cadangan prospekti4 menggunakan metode e$ 7er&ey sebagai berikut
'
t
7
C (
'
,
dengan '
t
7
C nilai cadangan akhir tahun ke-t untuk asuransi endo$ment menggunakan metode e$ 7er&ey
C premi tunggal bersih asuransi endo$ment pada usia xt tahun
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
3:
C premi bersih lanjutan yang disesuaikan dengan metode e$ 7er&ey C nilai tunai anuitas awal asuransi endo$ment pada usia xt tahun C nilai santunan.
(
-eto&e $ac%ler
0umus ackler pertama kali diperkenalkan oleh aktuaris "merika, !a6id arks Qackler. 0umus umum ackler adalah 5
t+1
C & t P '
-
dimana C usia waktu polis dikeluarkan C tahun yang telah lewat sejak polis dikeluarkan C premi bersih tahunan untuk santunan 0p 2 bagi C cadangan akhir tahun ke
t+1
dan
.
4ungsi ackler dengan
dan
*etode ackler sangat berguna untuk menyusun nilai cadangan yang mengharuskan menghitung cadangan premi untuk beberapa tahun secara berurutan. !engan adanya metode ackler maka perhitungan cadangan retrospekti4 akan terlihat lebih jelas.
Lathan :
2. (ika
t ' x
menyatakan cadangan akhir tahun ke t untuk asuransi seumur hidup bagi orang *+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
38
yang berusia @ tahun. & Biasa disingkat t ' ', terdapat relasi 5 ' x
t
=
2−
x a
+
t
x a
, buktikan
#. Berdasar relasi di atas, buktikan bahwa 5
t ' x
=2−
&2
−
2' x ' & 2
−
2' x +2 ' & 2
− 2' x + # ' . . . & 2 −
2' x + t − 2 '
7. Tentukan cadangan akhir tahun ke #$ untuk polis asuransi berangka 7$ tahun dengan uang pertanggungan 0p. 2$$.$$$.$$$,- yang dikeluarkan pada seseorang yang berusia 7$ tahun; 3.
P x
=
3 22
, t ' x
= $.) ,
x + t a
= 2.2 . Keterkaitan dengan soal tersebut, bila perusahaan
asuransi jiwa memiliki modal awal sebesar ( $ , hitung besar modal perusahaan setelah akhir tahun ke 2$ ; ). !apatkan cadangan akhir tahun ke lima asuransi seumur hidup dengan santunan 2$ juta rupiah bagi orang yang berusia #) tahun dengan memakai metode retrospekti4 dan prospekti4. %. ?yatakan dengan rumus komutasi untuk cadangan akhir prospekti4 ke dua belas asuransi dwiguna #$ tahun dengan uang pertanggungan sepuluh juta rupiah bagi orang yang berusia 3$ tahun. -0DUL = PRE-I K0T0R
remi kotor adalah premi bersih ditambah sejumlah biaya tertentu yang dibebankan pada pemegang polis. remi kotor ini jumlahnya lebih besar dari premi bersih. Selisih antara premi kotor dan premi bersih disebut biaya &loadin/ '. Biaya yang diterima oleh perusahaan asuransi jiwa digunakan untuk biaya pemeliharaan administrasi pemegang polis dan sumber pendapatan untuk keperluan cadangan. remi kotor ini merupakan gambaran dari besarnya biaya yang diperlukan oleh perusahaan dimana dalam manajemen sudah merupakan salah satu komponen penjualan produk asuransi jiwa. Biaya dapat dikelompokkan atas beberapa bagian dan cara pengelompokkannya tergantung cara memandang. mumnya biaya dapat dinyatakan sebagai salah satu dari 5 2. Suatu persentase dari jumlah yang diasuransikan #. Suatu persentase dari premi *+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
3=
7. Suatu jumlah tertentu per polis Biaya dapat pula dilihat sebagai biaya tahun pertama dan biaya tahun-tahun berikutnya. Biaya tahun pertama menyangkut pemeriksaan kesehatan, komisi, biaya mengeluarkan polis dan lain-lain. Besarnya komisi biasanya sebanding dengan besarnya premi misalnya 7> dari besar premi. Biaya lain yang termasuk dalam biaya tahun-tahun berikutnya adalah biaya mengadministrasikan polis dari tahun ke tahun, biaya in6estasi dan biaya manajemen. Semua biaya dalam bagian ini biasanya dinyatakan sebagai presentasi dari besar premi. !i samping biaya-biaya yang telah disebutkan, masih ada satu lagi yang sering ditambahkan pada 4aktor biaya yaitu keuntungan bagi perusahaan. ntuk menjaga perusahaan dari situasi merugikan yang tak terduga-duga maka perusahaan sering menambah proporsi tertentu misalnya $,#> dari premi sebagai beban pada premi &Sitompul,2==)'. ntuk mempermudah perhitungan maka biaya digolongkan menjadi 7 yaitu 5 2. Biaya pertama 5 biaya yang sepenuhnya digunakan dalam tahun pertama seperti komisi agen, pemeriksaan kesehatan, dan biaya mengeluarkan polis. Besarnya dinyatakan per seribu dari uang pertanggungan yang dinotasikan dengan #. Biaya penagihan seperti ongkos penagihan premi yang besarnya dinyatakan per seratus dari premi, dinotasikan dengan 7. Biaya lanjutan 5 biaya yang dipergunakan sepanjang jangka
asuransi seperti biaya
administrasi dan gaji pegawai. Besarnya di nyatakan per seribu dari uang pertanggungan yang dinotasikan dengan . !alam perhitungan premi kotor digunakan prinsip bahwa nilai tunai premi kotor yang akan datang sama dengan nilai tunai santunan yang akan datang ditambah nilai seluruh biaya yang akan datang. Semua nilai tunai dihitung pada waktu polis dikeluarkan. ?ilai tunai santunan ditambah dengan biaya harus sama dengan nilai tunai expen&e loaded premium. (umlah total yang ditambahkan ke premi bersih dengan mempertimbangkan semua biaya yang ditanggung perusahaan asuransi disebut loading. "dapun de4inisi dari expen&e loaded premium adalah keseluruhan premi yang dibebankan kepada pemegang polis meliputi semua biaya, perkiraan kerugian dan laba perusahaan. "dapun rumus premi tunggal kotor & / ' untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan uang pertanggungan sebanyak 0p 2 adalah / C 2.
Biaya .
"dapun rumus premi tahunan kotor &9' untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan uang pertanggungan sebanyak 0p 2 adalah 9.
C 2.
Biaya ,
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
)$
9C
.
A"u!an" Seumu! *&up
!iasumsikan santunan sebesar 0p 2 dibayar pada akhir tahun kematian. ?ilai tunai santunan biaya C ?ilai tunai @pense oading remium A x
+
β = 9 a x 9
=
=
A x
+
β
a x
P x
+
β a x
A"u!an" (e!7anga
!iasumsikan santunan sebesar 0p 2 dibayar pada akhir tahun jika kematian terjadi pada periode kontrak. ?ilai tunai santunan biaya C ?ilai tunai @pense oading remium 2
A x5n
+ β = 9 a x5n 2 A x5n + β 9 = x55n a
= P x25n +
β x55n a
A"u!an" D6guna
!iasumsikan santunan sebesar 0p 2 dibayar pada akhir tahun jika kematian terjadi pada periode kontrak atau si tertanggung hidup sampai akhir kontrak berakhir. ?ilai tunai santunan biaya C ?ilai tunai @pense oading remium A x5n
+ β = 9 a x5n A + β 9 = x5n x55n a
= P x5n +
β x55n a
remium 0ate #&b' #&b'
=
9&b' b
"dalah tingkat tari4 perubahan premi dengan santunan sebesar b yang menyatakan 5 aju perubahan premi tiap satu perubahan santunan dengan uang pertanggungan b. (ika #&b' diketahui maka 9&b' dengan santunan sebesar b dapat ditentukan. *+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
)2
Contoh:
Seseorang berusia @ tahun mengambil kontrak asuransi dwiguna. "dapun biaya yang dikenakan sebagai berikut5 2. Biaya tahun pertama -
ersentase premi 2$>
-
Biaya per R2$$$ uang pertanggungan 5 R 2$
-
Biaya per polis R #)
#. Biaya tahun ke dua -
ersentase premi 2$>
-
Biaya per @R 2$$$ uang pertanggungan 5 R2
-
Biaya perpolis R)
7. Biaya penyelesaian klaim habis kontrak R2$ dan ditambah R2 per R 2$$$ uang pertanggungan. Santunan sebesar b akan diberikan jika tertanggung meninggal atau masih hidup setelah kontrak berakhir. *isal diketahui a x57 = #.327##7
n=7 i
= 2$> . !apatkan expen&e loadin/ premium untuk
setiap b yang berbeda.
(awab5 !iketahui a x57 = #.327##7 a x5n
=
x57 a
n= 7 i
= 2$> . Sehingga anuitas hidupa akhir berjangka adalah 5
− 2 = 2.327##7 x57 a
remi tunggal bersih asuransi !wiguna dihitung dari A x557
remi tahunan bersih asuransi !wiguna P x57
=
A x557
x57 a
2 A = − x5n
d = 2 − d a x57
= 2 − &2 − ! '#.327##7 = $.:8$%2%
= $.7#73:3
*isal biaya tahun 2 52 Biaya tahun ke dua 5 # Biaya habis kontrak 5
*+! *"T*"TK" "KT"0" 1 0+! ST"TSTK" #$23
)#
