AÑO DE LA DIVERSIFICACION PRODUCTIVA PRODUCTIVA Y FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACION “
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA PROFESIONAL DE ESTADÍSTICA
“PROCESOS ESTOCASTICOS NORMALES”
CURSO
:
PROCESOS ESTOCASTICOS
DOCENTE
:
RICARDO ANTONIO ARMAS JUAREZ
INTEGRANTES : AGUILAR YANAYACO LUZ MARIBEL MARIBEL CARREÑO SUNCIÓN LOURDES GABRIELA
PIURA, JULIO DEL 2015
Procesos de Poisson
En estadística y simulación, un proceso de Poisson, también conocido como ley de los sucesos raros, es un proceso estocástico de tiempo continuo que consiste en "contar" eventos raros (de ahí el nombre "sucesos raros") que ocurren a lo largo del tiempo. El tiempo entre cada par de eventos consecutivos tiene una distribución exponencial con el parámetro λ, y cada uno de estos tiempos entre llegadas se supone que es independiente de otros tiempos entre llegadas. Es llamado así por el matemático Siméon Denis Poisson (1781 –1840).
Un proceso Poisson con intensidad (o tasa) , donde 1. 2. Si
es una colección de variables aleatorias con las siguientes propiedades:
. , entonces
3. Para todo
.
y
, las variables
aleatorias 4. Para toda
son independientes. y
y
5. 6.
es un proceso de contar en tiempo continuo
. .
Donde o(h) es una función tal que:
tienen la misma distribución.
Procesos de Poisson compuestos
Un proceso estocástico {X(t), t ≥ 0} es un proceso de Poisson compuesto si se puede representar
como
Donde {N (t), t ≥ 0} es un proceso de Poisson e {Yi , i ≥ 1} es una familia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que son independientes de {N(t), t ≥ 0}. El proceso de Poisson compuesto cumple las siguientes propiedades:
1.- Tiene incrementos independientes y estacionarios. 2.- E [X (t)]= λtE [Y] 3.- VAR [X (t)]=λtE [Y2] 4. - COV[X (t), X(s)] = λE [Y2] min{s,t} 5.-La función generadora de momentos de la variable X(t) e s Mx(t)(u)=E(eux(t))=exp [λt(My(u) -1]
Para calcular la media de X(t) en primer lugar obtenemos
es decir,
Luego,
Para la varianza tenemos
es decir,
Entonces,
Procesos de Poisson mixtos
Definición: Un proceso de Poisson mixto con v.a mezclante Λ>0 es un proceso a tiempo continuo {X(t), t ≥ 0} con espacio de estados {0,1,2,…. } , si condicionado al evento (Λ= λ) , {X(t), t ≥ 0} es un
proceso de Poisson de parámetro λ. Es decir : a) Xo=0 b) Dado (Λ= λ) ,los incrementos son ind c)
Dado (Λ= λ) para 0
El proceso de Poisson mixto cumple las siguientes propiedades: 1- Tienen incrementos estacionarios. 2- En general los incrementos no son independientes. lo son en el caso del proceso de Poisson. 3- E[X (t)]= tE [A] 4- VAR[X (t)]= t2 VAR(A)+tE[A] 5- COV [X (t), X(t+s) – X/t)]=stVAR(A) s,t ≥ 0
CASOS PARTICULARES 1.- Cuando Λ es constante λ se recupera el proceso de Poisson 2.- Supongamos Λ =
con prob.p1 {λ1 λ2 con prob.p2
Con p1+p2=1 Sean los procesos de Poisson
λ1 {X(t2), t2≥ 0} de parámetro λ2 {X(t1), t1 ≥ 0} de parámetro
Entonces el proceso de Poisson mixto con v.a mezclante Λ es Xt =
si Λ = λ1 Xt1 Xt2 si Λ = λ2
