Resumen Hemos visto que ios campos magnéticos son generados por cargas en movimiento. En este principio fundamental se apoya gran parte de lo que se verá a continuación en el estudio del electromagnetismo. El funcionamiento de motores eléctricos, generadores, transformadores y una variedad interminable de instrumentos industriales requiere el conocimiento de los campos magnéticos. Los principales conceptos se resumen a continuación. • La densidad de flujo magnético B en una región región de un campo magnético es el número de líneas de flujo que pasan a través de una unidad de área perpendicular al flujo.
B
O
_
Ai
Densidad de flujo flu jo magnético
Asen#
Un campo magnético de densidad de flujo flujo igual a 1 T ejercerá una fuerza de de 1 N sobre sobre una carga de 1 C que que se mueve en dirección perpendicular al campo con una velocidad de 1 m/s. El caso general aparece descrito descrito en la figura 29.16, donde la carga se mueve formando un ángulo 6 respecto respecto al campo.
F = qvB sen 6
B =
qv señé
Fuerza magnética sobre una carga en movimiento
La dirección de la fuerza magnética se puede determinar por medio de l a reg la de la mano derecha, derec ha, como se aprecia en la figura 29.14. La fuerza F sobre un alambre por el cual circula una corriente I formando formando un ángulo 6 con con una densidad de flujo B se calcula mediante
donde donde $ = flujo, flujo, Wb A = área de unidad m2
F = ILB sen (
9 = ángulo que forma el plano plano del área respecto al flujo B = densidad de flujo magnético, T (1 (1 T = 1 Wb/m2 Wb/ m2))
La densidad de flujo magnético B es proporcional a la intensidad del campo magnético H. La constante de pro porc iona lidad es la perme abilidad abilid ad del medio en el cual existe el campo. __ __ _ A l ~ ^
Para el vacío P-o = 4 tt X 1(T 7 T •m/A
Fuerza magnética sobre un conductor
donde L es la longitud del conductor. Presentamos a continuación las ecuaciones que corres pond en a mucho s campos c ampos magnét icos comunes: ¡J.1 Alambre B = — 2777* largo
¡a B = TT 2R
NI Centro de ijl ijl NI B = ^2R — una bobina
fj.NI B = —j —j —
Centro de una espira
Solenoide
perme abilida lidad d relativa p r es la razón p / p ü. Podemos La permeabi escribir B = (í0ii (í0ii rH
donde
Pr = ---- f¿0 f¿0
Permeabilidad relativa
Conceptos clave campo magnético 570 ciclo de histéresis 582 densidad de flujo magnético diamagnético 574 dominios 571 ferromagnético 574 histéresis 582 imán 568
572
inducción magnética 571 571 ley de la fuerza magnética 569 líneas de flujo flujo magnético 570 magnetismo 568 paramagné param agnético tico 574 perme abilidad abili dad 573 perme abilidad abili dad relat iva 573 polos magnéticos magnét icos 568
regla de la mano derecha 574 regla del pulgar de la mano derecha 579 retentividad 571 saturación magnética 571 571 solenoide 580 tesla 572 weber 572
583
SE
Preguntas de repaso 29.1. ¿Cómo puede averiguar con seguridad si un trozo
29.2.
29.3.
29.4.
29.5.
29.6.
29.7.
29.8.
29.9.
de acero está magnetizado? Si lo está, ¿cómo se puede determinar su polaridad ? En general, los materiales magnéticos de alta permeabilidad tienen baja retentividad. ¿Por qué cree usted que esto es verdad? La Tierra actúa como un enorme imán que tiene uno de sus polos en el círculo Artico y el otro en la región Antártica. ¿P uede justificar la siguiente afirmación: el Polo Norte geográfico está en realidad cerca del Polo Sur magnético? Explique su respuesta. Si se coloca una barra de hierro en posición paralela a la dirección norte-sur y se golpea con un martillo uno de sus extremos, la barra se convierte en un imán temporal. Explique la situación. Cuando un imán de barra se rompe en varios trozos, cada uno de éstos se convierte en un imán con sus polos norte y sur. Tal parece que un polo aislado no puede existir. Explique lo anterior mediante la teoría del dominio del magnetismo. Si los imanes se calientan o pasa por ellos una corriente eléctrica, la intensidad de campo se reduce. Explique por qué. La fuerza de un imán en forma de U se conserva mucho más tiempo si una placa de hierro, llamada armadura, se coloca a través de los polos norte y sur. Explique la razón. Un alambre colocado en dirección norte-sur conduce una corriente eléctrica de sur a norte. ¿Qué le ocurre a la aguja de una brújula si ésta se coloca (a) encima del alambre, (b) debajo del alambre y (c) al lado derecho del alambre? Aplique la regla del pulgar de la mano derecha y la regla de la mano derecha para explicar por qué dos
29.10.
29.11.
29.12.
29.13.
29.14.
29.15.
29.1 6.
alambres adyacentes experimentan una fuerza de atracción cuando las corrientes fluyen en el mismo sentido. Ilustre su argumentación con dibujos. Explique por medio de diagramas la repulsión que se produce entre dos alambres adyacentes por los que fluyen corrientes en sentidos opuestos. Se hace pasar una corriente eléctrica por una bobina circular colocada en el plano del papel. Determine el sentido del flujo magnético cerca del centro de la bob ina cuando la corriente circu la en contra sentido a la de las manecillas del reloj. Cuando se proyecta un haz de electrones de izquierda a derecha hacia un campo B dirigido hacia el papel, el haz se desvía siguiendo una trayectoria circular. ¿Los electrones se desplazarán en el sentido de las manecillas del reloj o en contrasentido? ¿Por qué es circular su trayectoria? ¿Qué ocurriría si fuera un haz de protones? Un protón pasa a través de una región del espacio sin sufrir desviaciones. ¿Se puede afirmar positivamente que no existe un campo magnético en esa región? Explique su respuesta. Para proteger a muchos instrumentos eléctricos sensibles de los efectos del magnetismo se recubren con material ferromagnético. Explique por qué. Si B se expresa en teslas y ¡jl está expresado en tesla • metros por ampere, ¿cuál es la unidad que corres ponde a H en el SI? El acero templado tiene un ciclo de histéresis grueso, mientras que el hierro dulce tiene un ciclo delgado. ¿Cuál de esos materiales se debe usar para fabricar un imán permanente? ¿Cuál debe usarse si se desea obtener una magnetización temporal intensa?
Problemas Sección 29.1 Magnetism o 29.1. Una espira rectangular tiene un área de 200 cm2 y
el plano de la espira forma un ángulo de 41° con un campo magnético de 0.28 T. ¿Cuál es el flujo magnético que penetra la espira? Resp. 3.67 X 10“3Wb 29.2. Una bobina de alambre de 30 cm de diámetro está en dirección perpendicular a un campo magnético de 0.6 T. Si la bobina gira hasta formar un ángulo de 60° con ese campo, ¿cómo cambiará el flujo? 29.3. Un campo horizontal constante de 0.5 T atraviesa una espira rectangular de 120 mm de largo y 70 m m de ancho. Determine cuál será el flujo magnético que atraviesa la espira cuando su plano forme los siguien-
584
Capítulo 29
Resumen y repaso
tes ángulos con el campo B: 0o, 30°, 60° y 90°. Resp. 0, 2.10 mWb, 3.64 mWb, 4.20 mWb 29.4. Un flujo de 13.6 mWb pasa a través de una espira de alambre de 240 mm de diámetro. Encuentre la mag nitud de la densidad de flujo magnético si el plano de la bobina es perpendicular al campo. 29.5. Un campo magnétic o de 50 ¿uWb pasa a través de una espira perpendicular de alambre cuya área es 0.78 m2. ¿Cuál es la densidad de flujo magnético? Resp. 64.1 /¿T 29.6. Una espira rectangular de 25 X 15 cm está orientada de manera que su plano forma un ángulo 9 con un campo B de 0.6 T. ¿Cuál es el ángulo 9 si el flujo magnético que pasa por la espira es de 0.015 Wb?
Sección 29.6 La fuerza sobre una carga en movimiento 29.7. Un protón (q = +1.6 X 10~19 C) se inyecta de derecha a izquierda en un campo B de 0.4 T dirigido hacia la parte superior de una hoja de papel. Si la velocidad del protón es de 2 X 106m/s, ¿cuáles son la magnitud y el sentido de la fuerza magnética sobre el Resp. 1.28 X 10~13 N, h acia la hoja protón? 29.8. Una partícula alfa ( + 2e) se proyecta en un campo magnético de 0.12 T con una velocidad de 3.6 X 106 m/s. ¿Cuál es la fuerza magnética sobre la carga en el instante en que la dirección de su velocidad forma un ángulo de 35° con el flujo magnético? 29.9. Un electrón se mueve a una velocidad de 5 X 105m/s formando un ángulo de 60° al norte de un campo B dirigido al este. El electrón experimenta una fuerza de 3.2 X 10“1SN dirigido hacia adentro de la página. ¿Cuáles son la magnitud de B y la dirección de la Resp. 46.2 /jlT, v es 60° S del E velocidad? 29.10. Un protón (+ le) se mueve verticalmente hacia aniba a una velocidad de 4 X 106m/s. Pasa a través de un cam po magnético de 0.4 T dirigido hacia la derecha. ¿Cuáles son la magnitud y el sentido de la fuerza magnética? 29.11. Si un electrón sustituye al protón del problema 29.10, ¿cuáles serán la magnitud y la dirección de la fuerza magnética? Resp. 2.56 X 10~13 N, h acia fuera de la hoja *29.12. Una partícula con carga q y masa m se proyecta hacia el interior de un campo B dirigido hacia una hoja de papel. Si la partícula tiene una velocidad v, demuestre que será desviada y seguirá una trayectoria circular de radio igual a: mv R = — qB
Elabore un diagrama del movimiento, suponiendo que una carga positiva entre al campo B de izquierda a derecha. Indicación: La fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular. *29. 13. Un deuterón es una partícula nuclear formada por un protón y un neutrón unidos entre sí por fuerzas nucleares. La masa del deuterón es de 3.347 X 10~27kg, y su carga es de + le. Se ha observado que un deuterón proyectado dentro de un campo magnético cuya densidad de flujo es de 1.2 T viaja en una trayectoria circular de 300 mm de radio. ¿Cuál es la velocidad del deuterón? Resp. 1.72 X 107 m/s Véase el problema 29.12.
Sección 29 .7 Fuerza sobre un condu ctor por el cual circula corriente 29.14 . Un alambre de 1 mm de longitud conduce una corriente de 5.00 A en dirección perpendicular a un campo magnético B de 0.034 T. ¿Cuál es la fuerza magnética sobre el alambre? 29.15. Un alambre largo conduce una corriente de 6 A en una dirección 35° al norte de un campo magnético de
0.04 T dirigido hacia el este. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza sobre cada centímetro del alambre? Resp. 1.38 mN hacia la hoja 29.16. Un trozo de alambre de 12 cm conduce una comen te de 4.0 A formando un ángulo de 41° al norte de un cam po B dirigido al este. ¿Cuál deberá ser la magnitud del campo B para que produzca una fuerza de 5 N sobre ese trozo de alambre? ¿Cuál es la dirección de la fuerza? 29.1 7. Un trozo de alambre de 80 mm forma un ángulo de 53° al sur respecto a un campo B de 2.3 T dirigido al oeste. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la corriente en ese alambre si experimenta una fuerza de 2 N dirigida hacia fuera de la hoja? Resp . 13.6 A *29.1 8. La densidad lineal de cierto alambre es 50.0 g/m. Un segmento de este alambre conduce una corriente de 30 A en dirección perpendicular al campo B. ¿Qué magnitud deberá tener el campo magnético para que el alambre quede suspendido, equilibrando su peso?
Sección 29.9 Otros campos magnéticos 29.19. ¿Cuál es la inducción magnética B en el aire en un punto localizado a 4 cm de un alambre largo que conduce una corriente de 6 A? Resp. 30 ¡¿T 29.20. Calcule la inducción magnética que existe en el aire a 8 mm de un alambre largo que conduce una corriente de 14.0 A. 29.21. Una bobina circular con 40 vueltas de alambre en el aire tiene 6 cm de radio y está en el mismo plano de la hoja. ¿Qué corriente deberá pasar por la bobina para producir una densidad de flujo de 2 mT en su centro? Resp. 4.77 A 29.22. Si la dirección de la corriente en la bobina del pro blem a 29.21 es en el sentido de las manec illas del reloj, ¿cuál es la dirección del campo magnético en el centro de la espira? 29.23. Un solenoide de 30 cm de longitud y 4 cm de diámetro tiene un devanado de 400 vueltas de alambre enrolladas estrechamente en un material no magnético. Si la corriente en el alambre es de 6 A, calcule la inducción magnética a lo largo del centro del solenoide. Resp . 10.1 mT 29.24. Una bobina circular con 60 vueltas tiene 75 mm de radio. ¿Qué corriente deberá existir en la bobina para que se p roduzca una densidad de flujo de 300 ¡ j l T en el centro de la bobina? *29.25. Una espira circular de 240 mm de diámetro conduce una corriente de 7.8 A. Si la sumergimos en un medio de permeabilidad relativa 2.0, ¿cuál será la inducción magnética en el centro? Resp . 8 1 .7 yuT *29.26. Una espira circular de 50 mm de radio que se encuentra en el mismo plano que la hoja conduce una corriente de 15 A en contrasentido a las manecillas del reloj. Está sumergida en un medio cuya permeabilidad relativa es de 3.0. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la inducción magnética en el centro de la espira?
Capítulo 29
Resumen y repaso
585
Problemas adicionales 29.27. Una carga de +3 ¡jlC se proyectó con una velocidad de 5 X 105m/s sobre el eje x positivo perpendicular a un campo B . Si la carga experimenta una fuerza
29.28.
29.29.
29.30.
29.31.
*29.32.
ascende nte de 6.0 X 10-3 N, ¿cuáles tendr án que ser la magnitud y la dirección del campo B ? Resp. 4.00 mT, hacia adentro del papel. Una carga desconocida se proyecta a una velocidad de 4 X 105 m/s de derecha a izquierda en un campo B de 0.4 T dirigido hacia fuera de una hoja de papel. La fuerza perpendicular de 5 X 10-3 N hace que la partícula se mueva en círculo en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son la magnitud y el signo de la carga? Una carga de —8 nC se proyecta hacia arriba a 4 X 105m/s en un campo B de 0.60 T dirigido hacia la hoja. El campo produce una fuerza (F = qvB ) que también es una fuerza centrípeta (mv2/R). Esta fuerza hace que la carga negativa se mueva en un círculo de 20 cm de radio. ¿Cuál es la masa de la carga, y ésta se mueve en el sentido de las manecillas del reloj o en contrasentido? Resp. 2.40 X 10“ 15 kg en el sentido de las manecillas del reloj ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del campo B 6 cm por arriba de un largo trozo de alambre que conduce una corriente de 9 A en dirección hacia fuera de la hoja? ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del campo B 6 cm debajo del alambre? Un trozo de alambre de 24 cm de longitud forma un ángulo de 32° por encima de un campo horizontal B de 0.44 T sobre el eje x positivo. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la corriente necesaria para prod ucir un a fuerza de 4 mN dirigida hacia fuera de la hoja? Resp. 71.5 mA, 21 2 o Un selector de velocidad es un dispositivo (figura 29.26) que aprovecha los campos cruzados E y B para seleccionar los iones que se mueven a una misma velocidad v. Los iones positivos de carga q son proyectados hacia los campos perpendiculares a distintas velocidades. Los iones que tienen velocidad suficiente para hacer que la fue rza magnética sea igual y opuesta a la fuerza eléctrica pasan a través de la rendija del fondo sin desviarse. Demuestre que la rapidez de esos iones se puede calcular a partir de E v = — B
29.33. ¿Cuál es la velocidad de los protones (+ le) inyecta-
dos en un selector de velocidad (véase el problema 29.32) si E = 3 X 105V/m y B = 0.25 T? Resp. 1.20 X 106m/s *29.34. Un solo ion de Li7cargado (+ le) se acelera a través de una diferencia de potencial de 500 V y después
586
Capítulo 29
Resumen y repaso
Fuente de iones positivos a diversas velocidades
Figura 29.26 El selector de velocidad.
pene tra en ángulos rectos en un campo magnét ico de 0.4 T. El radio de la trayectoria circul ar resultante es de 2.13 cm. ¿Cuál es la masa del ion de litio? *29.35. Un solo ion de sodio cargado (+ le) se mueve a través de un campo B a una velocidad de 4 X 104 m/s. ¿Cuál tendrá que ser la magnitud del campo B para que el ion describa una trayectoria circular de 200 mm de radio? (La masa de ion es 3.818 X 10-27 kg.) Resp. 4.77 mí *29.36. Las secciones transversales de dos alambres paralelos se muestran en la figura 29.27, colocadas a 8 cm de distancia entre sí en el aire. El alambre de la izquierda conduce una corriente de 6 A hacia fuera de la hoja y el alambre de la derecha transporta una corriente de 4 A hacia la página. ¿Cuál es la inducción magnética resultante en el punto medio A
ocasionada por ambos alambres? (Sugerencia: Para hallar el campo resultante, superponga los campos generados por cada alambre.) *29.37. ¿Cuál es el campo magnético resultante en el punto B localizado 2 cm a la derecha del alambre que conduce 4 A? Resp. 28.0 / j l T , hacia abajo *29.38. Dos alambres paralelos (véase la figura 29.28) por los cuales circulan las comentes /, e /, están separados por una distancia d. Demuestre que la fuerza por unidad de longitud FIL que cada alambre ejerce
sobre el otro se calcula mediante F = ¡xIJz L
*29.39. Dos alambres tendidos en un plano horizontal con-
*29.40. Campo B debido o ® a h \
*29.41 .
i CE
*29.42.
x
x
x
x
x
x
x
x
mF
Campo B debido
X X X X
X
a/,
X
X
2(L X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
2ird
*29.43.
ducen comentes paralelas de 15 A cada uno y están separados 200 mm en el aire. Si ambas comentes se dirigen a la derecha, ¿cuáles son la magnitud y la dirección de la densidad de flujo en un punto interResp. 0 medio entre los alambres? ¿Cuál es la fuerza por unidad de longitud que ejerce cada uno de los alambres del problema 29.39 sobre el otro? ¿Es de atracción o de repulsión? Un solenoide de 20 cm de longitud y 220 vueltas conduce una comente de bobina de 5 A. ¿Cuál tendrá que ser la permeabilidad relativa del núcleo para producir una induc ción magnética de 0.2 T en Resp. 28.9 el centro de la bobina? Un trozo de alambre de 1 m está fijo e inmovilizado y conduce una comente de 6 A en dirección este. Otro trozo de alambre de 1 m se localiza 2 cm arriba del alambre fijo. Si el alambre superior tiene una masa de 40 g, ¿cuáles tendrán que ser la magnitud y la dirección de la co mente en dicho alambre superior para que su peso quede equilibrado por la fuerza magnética debida al campo del alambre fijo? ¿Cuál es el campo magnético resultante en el punto Resp. 21.8 ¡ i l , 96.6° C de la figura 29.27?
Figura 29.28 Dos alambres paralelos que transportan una corriente constante ejercen una fuerza entre sí.
Preguntas para la reflexión crítica *29.44. Un campo magnético de 0.4 T se dirige hacia la
hoja. Se inyectan tres partículas al campo en dirección ascendente, cada una con una velocidad de 5 X 105 m/s. Se observa que la partícula 1 se mueve en dirección de las manecillas del reloj formando un círculo de 30 cm de radio, la partícula 2 se sigue desplazando en línea recta y la partícula 3 se mueve en contrasentido a las manecillas del reloj en un círculo de 40 cm de radio. ¿Cuáles son la magnitud y el signo de la carga por unidad de m asa (qlm) para cada una de las partículas? Resp. —4.17 MC/kg, cero, +3 .1 2 MC/kg *29.45. Una comente de 4.0 A fluye a través de las bobinas circulares de un solenoide en con trasentido a las manecillas del reloj cuando se observa a lo largo del eje x positivo, el cual está alineado con el nú-
cleo de aire del solenoide. ¿Cuál es la dirección del campo B a lo largo del eje c entral? ¿Cuántas vueltas por metro de lo ngitu d se requieren para prod ucir un campo B de 0.28 T? Si el núcleo de aire se sustituye por un material cuya perm eabil idad relativa sea de 150, ¿cuánta comente se necesitaría para producir el mismo campo de 0.28 T anterior? *29.46. El plano de una espira de 50 cm de largo y 25 cm de ancho que conduce corriente es pa ralelo a un campo B de 0.3 T que se dirige a lo largo del eje x positivo. Los segmentos de 50 cm son paralelos al campo y los segmentos de 25 cm son perpendiculares al campo. Cuando se mira desde arriba, la corriente de 6 A se mueve en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de la espira. Haga un dibujo en el cual muestre las direcciones del campo B y las
Capítulo 29
Resumen y repaso
587
direcciones de las corrientes en cada segmento de alambre, (a) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza magnética que actúa en c ada segmento del alambre? (b) ¿Cuál es el momento de torsión resultante sobre la espira que conduce la corriente? Resp. (a) 0.450 N (arriba), -0.450 N (abajo); (b) 0.225 N m, en contrasentido a las manecillas del reloj sobre el eje +z *29.47. Considere los dos alambres de la figura 29.29, en la cual el punto indica que la corriente se dirige hacia fuera de la hoja de papel y la cruz indica que la corriente se dirige hacia la hoja. ¿Cuál es la densidad de flujo resultante en los puntos A, B y C?
C
Figura 29.27
588
C ap ítu lo 29
Resum en y re paso
*29.48. Dos alambres paralelos largos A y B están fijos a una
distancia de 10 cm entre sí, en el aire, y conducen comentes de 6 A y 4 A, respectivamente, en direcciones opuestas, (a) Determine la densidad de flujo neta en un punto intermedio entre los alambres, (b) ¿Cuál es la fuerza magnética por unidad de longitud sobre un tercer alambre colocado en el punto medio entre A y B, que conduce una corriente de 2 A en la misma dirección que A? Resp. (a) 40 ¡ j l T; (b) 80 /¿N/m, hacia A
