Acustica Applicata - 1 - Acustica Fisica.pdf

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Appunti dalle Lezioni di Fisica Tecnica Ambientale

Fondamenti di Acustica Applicata

Capitolo 1: Acustica Fisica

Prof. F. Marcotullio Marcotullio A.A. 2011 - 2012

Indice Avvertenze

ii

Testi consigliati 1

iii

Elementi di acustica fisica

1.1 1.2 1.3 1.3

1.4 1.4

1.5 1.5 1.6 1.7 1.8

1.9

1.10

1

L’acustica e i suoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La pressione one sonora e i suoni oni puri . . . . . . . . . . . . . . . . . . Veloc elocit itàà del del suon suonoo in un me mezz zzoo elas elasti tico co . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Veloci ocità del suono nei soli olidi . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Veloci ocità del suono nei liquidi . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. 1.3.33 Veloc elocit itàà del del suon suonoo nel nel gas gas perf perfet etto to . . . . . . . . . . . . . Equa Equazi zion onee diff eren e renzi zial alee dell dellee oond ndee son sonor oree in un gas gas perfe perfett ttoo . . . 1.4. 1.4.0. 0.11 Equa Equazi zion onee di cons conser erv vazio azione ne dell dellaa ma mass ssaa . . . . . 1.4.0. 1.4 .0.22 Equazi Equazione one di cons conserv ervazi azione one della della quan quantit titàà di moto moto 1.4. 1.4.0. 0.33 Equaz quazio ione ne dell dell’a ’adi diab abat atiica . . . . . . . . . . . . . Cara Caratt tter eris isti ticche ener energe geti ticche di un’o un’ond ndaa son sonor oraa . . . . . . . . . . . Onde armoniche piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onde armoniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Livelli sonori e decibel bel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Livello di pressione sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Il livello di pot potenza sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Il livello di intensità sonor onoraa . . . . . . . . . . . . . . . . . I suoni complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Suoni componen componenti ti di uguale uguale frequenz frequenza a e diversa diversa ampiezz ampiezzaa e fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 1.9 .2 Suoni Suoni com compone ponent ntii di divers diversaa freque frequenza nza,, ampiez ampiezza za e fase fase . S pe pettri acustici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 1.10.1 .1 Spet Spettr trii acu acust stic icii di suon suonii peri period odic icii . . . . . . . . . . . . . . 1.10 1.10.2 .2 Spet Spettr trii acu acust stic icii di suon suonii non non per perio iodi dici ci . . . . . . . . . . . 1.10 1.10..3 Anali nalisi si spet spettr tral alee di un suon suonoo . . . . . . . . . . . . . . . .

i

1 2 3 5 5 7 8 9 9 10 11 13 16 18 19 19 20 21 22 23 26 27 27 27

Avvertenze La presente dispensa didattica è rivolta agli allievi del Corso di Fisica Tecnica Ambientale, Corso di Laurea in Ingegneria Edile Architettura e costituisce la raccolta completa degli argomenti svolti in aula. Disporre della dispensa tuttavia non esime né dai doverosi approfondimenti sui testi consigliati, né soprattutto dalla frequenza delle lezioni e delle esercitazioni. Saranno graditi suggerimenti nonché la segnalazione di errori ed inesattezze.

ii

Testi consigliati Testi consigliati in lingua italiana: 1. Moncada Moncada Lo Giudice G., Santoboni Santoboni S., Acustica , Masson S.p.A., Milano, 1997 2. Cirillo Cirillo E., E., Acustica Applicata , McGraw-Hill Libri Italia srl, Milano 1997 3. Rocco L., Fondamenti di Acustica Ambientale , Alinea Editrice, Firenze 1984 Testi consigliati in lingua inglese: 1. Beranek Beranek Leo L., Acoustics L., Acoustics , McGraw-Hill, New York 1954

iii

Capitolo 1

Elementi di acustica fisica 1.1 1.1

L’ac L’acus usti tica ca e i suon suonii

L’acustica L’acustica è è quella parte della Fisica che si occupa dello studio teorico e sperimentale del suono del suono.. Un suono Un suono è un’onda meccanica di meccanica di assegnate caratteristiche la cui presenza può essere rilevata dall’orecchio umano o umano o da una apparecchiatura che ne simula il comportamento. L’onda meccanica è una perturbazione perturbazione che ha origine in un punto di un mezzo materiale omogeneo ed elastico ad opera di un corpo vibrante ( sorgente dell’onda ) e si propaga nel mezzo con una velocità c finita che è caratteristica del mezzo. mezzo. La superficie immaginaria immaginaria che che ad un certo istante istante separa la regione del mezzo interessata dalla perturbazione da quella imperturbata si dice fronte d’onda . Pensiamo al mezzo materiale come ad un insieme di particelle mutuamente interconnesse da legami elastici come mostrato nella parte alta di Fig.1.1. Partendo da un certo istante si supponga, mediante un qualche dispositivo, di imporre alla particella posta all’estremità del sistema ( x = 0) un moto un moto oscillatorio, oscillatorio, intorno alla sua posizione di riposo, con legge assegnata δ = = δ (t). L’esperienza ci insegna che, partendo da quelle più prossime alla sorgente, tutte le particelle si muover muoveranno anno intorno alla relativ relativa posizione posizione di riposo con legge identica identica a quella quella x della sorgente, ma con un ritardo temporale ∆t = c . Tale ritardo temporale è responsabile di un addensamento di particelle in certe regioni (aumento (aumento locale della densità della densità e e della pressione della pressione ) e, di conseguenza, una rarefazione in altre regioni (diminuzione locale della densità e densità e quindi della pressione ) pressione ) come mostrato in Fig.1.1. Ciò consente di descrivere un suono, oltre che con grandezze microscopiche , anche con grandezze macroscopiche macroscopiche le quali presentano il vantaggio di essere in numero limitato e misurabili. Da un punto di vista energetico si osserva che ogni particella, una volta interessata dall’onda, si muove intorno alla sua posizione di riposo sotto l’e ff etto etto di forze d’inerzia ed elastiche e possiede, quindi, energia cinetica e di posizione che si trasformano trasformano continuamen continuamente te l’una nell’altra. nell’altra. Da ciò discende che un’onda un’onda meccanica meccanica trasporta energia (quella ricevuta ricevuta dalla sorgente) sorgente) da un punto ad un altro del mezzo.

1

CAPITOLO CAPITOLO 1.

2

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA

x

0

p

Figura 1.1: Propagazione dell’onda in un mezzo elastico Sebbene ci si sia finora riferiti ad onde meccaniche longitudinali longitudinali (il moto delle particelle particelle avviene avviene nella direzione direzione di propagazione propagazione), ), esistono anche le onde trasversali per per le quali il moto delle particelle avviene nella direzione normale a quella di propagazione. Mentre nei mezzi condensati (solidi e liquidi) è possibile la propagazione contemporanea di onde meccaniche sia longitudinali che trasversali, nei gas, per l’assenza di resistenza significativa agli sforzi tangenziali, si ha presenza di sole onde longitudinali.

1.2

La pre pressi ssion one e sono sonora ra e i suo suoni ni pur purii

In numerose applicazioni di interesse del tecnico acustico il mezzo elastico è l’aria. l’aria. In questo questo caso, com comee già accennat accennatoo in preced precedenz enza, a, l’onda l’onda meccan meccanica ica è più facilmen facilmente te caratterizzab caratterizzabile ile attravers attraversoo gli scostament scostamentii ∆ p, p, ∆ρ, ∆T che la pressione, la densità o la temperatura subiscono rispetto ai valori p0 , ρ0 , T 0 presenti presenti nel fluido in assenza assenza dell’onda. dell’onda. Tra queste è prassi riferirsi, riferirsi, in quanto più accuratamente misurabile, alla variazione di pressione: p(P, t) ∆ p(

= p( p (P, t)

− p0

che è detta pressione detta pressione acustica (Pa). (Pa). Nella equazione precedente si è indicato con p( p(P, t) e con p con p 0 la pressione la pressione istantanea e la pressione la pressione statica 1 rispettivamente. In acustica particolare interesse viene rivolto alle onde alle onde armoniche per per le quali la dipendenza temporale della pressione sonora è cosinusoidale di pulsazione ω , ossia: p = ∆ p0 cos ω t (1.1) ∆ p = Essa è totalmente caratterizzata dalla sua ampiezza sua ampiezza (o valore (o valore di picco) picco ) ∆ p0 (Pa) e dal suo periodo suo periodo T T (s) ovvero dalla lunghezza dalla lunghezza d’onda : d’onda : λ = c = c · T (m) 1

La pressi pressione one statica statica è quella quella media media esiste esistent ntee nel mezzo mezzo in assenz assenza a di suono suono e pari pari a 1.013×105 Pa in condizioni normali


3


o, equivalentemente, dalla frequenza dalla frequenza ν : = ν =

1 T

(s−1 o Hz)

Se un’onda un’onda armonica è armonica è in grado di stimolare gli organi dell’udito umano si dice che siamo in presenza di un suono puro. puro. Ciò si verifica quando (vedi Fig.1.2): 1. per una assegnata assegnata frequenza frequenza l’ampiezza l’ampiezza della pressione sonora è sonora è compresa tra il valore che assume la soglia di udibilità udibilità a quella frequenza (al di sotto della quale è assente la sensazione) ed il valore che assume la soglia del dolore a dolore a quella stessa frequenza (al di sopra della quale la sensazione diventa diventa dolorosa dolorosa e, in certe condizioni, condizioni, dannosa). I limiti limiti estremi estremi di tale intervallo sono compresi, in senso statistico, tra 2 10−5 Pa e 200 Pa. Da un punto di vista applicativo i suoni che interessano il tecnico acustico presentano valori della pressione sonora inferiori ad 1 Pa per cui è in genere p lecito lecito porre ∆ 1; p

×

0



2. per una assegnata pressione sonora, la frequenza frequenza cade all’interno di un ben definit definitoo inter interv vallo. allo. I valo alori ri estrem estremii di tale tale inter interv vallo allo di freque frequenze nze sono stimati, ancora in senso statistico, pari a 20 Hz e 20 kHz (banda ( banda di frequenze frequenze udibili o banda udibile )2 . )

200 P(

20

a A

SOGLIA DEL DOLORE CAMPO UDIBILE

ICT S

2 C

0.2

U A E

0.02 N IO S

0.002 S E R P

0.0002 0.00002

SOGLIA DI UDIBILITA’

20

50

100

200

500

1k

2k

5k

10k

20k

FREQUENZA (HZ)

Figura 1.2: Ampiezze e frequenze di suoni armonici

1.3

Velocit elocità à del suon suono o in un mezzo mezzo elas elasti tico co

Consideriamo il sistema elastico monodimensionale S monodimensionale S schematizzato schematizzato in Fig.1.3. Ad un certo istante (t ( t = 0) viene applicata ad una delle sue estremità (a ( a) una forza assiale di compressione di intensità F per F per un breve intervallo di tempo ∆t. Se la lunghezza L lunghezza L di di S è grande abbastanza, l’osservazione di S al tempo t = S è S al tempo t = ∆t mostra: 1. che il punto a punto a si è spostato di una quantità 2

= aa  ; ∆x = aa

Le perturbazioni perturbazioni di frequenza frequenza inferiore inferiore a 20 Hz sono dette infrasuoni mentre quelle di frequenza superiore a 20 kHz ultrasuoni .


4


2. che solo solo una porzione ∆L = aa  risulta deformata in seguito all’applicazione dell’impulso I dell’impulso I = F · ∆t. La velocità c velocità c di propagazione della deformazione vale pertanto: c =

∆L ∆t

(1.2)

e solo dopo un tempo pari a:

L (1.3) c la deformazione indotta in a all’istante t = 0 ha interessato l’intero sistema elastico che ha subito rigidamente lo spostamento ∆x e che pertanto si muove ∆t¯ =

t=0

F L L

a’’ t = t

a x

x

a’

t = t

Figura 1.3: Deformazione di un sistema elastico sottoposto ad un impulso con velocità w velocità w S data da: wS =

∆x ∆t¯

o anche, tenuto conto della (1.3): wS = c

∆x

L

(1.4)

Applicando ad S ad S il il teorema dell’impulso si può scrivere: I = F · ∆t = m = m · wS dove si è indicato con m con m la massa di S di S .. Ne consegue in virtù della (1.2) e della (1.4) che: c ∆L F · = m ∆x c L dalla quale si ricava facilmente la velocità di propagazione della perturbazione nel sistema elastico considerato: c =



L · ∆L F m · ∆x

(1.5)

L’equazione precedente è del tutto generale ed opportunamente trattata consente di determinare l’espressione di c per i diversi stati di aggregazione della materia.


1.3.1 1.3.1

5


Velocità elocità del suon suono o nei soli solidi di

Consideriamo dapprima il caso in cui S sia S sia costituito costituito da una barretta barretta solida per 2 la quale si ipotizzi A L . Moltiplicand Moltiplicando o numeratore numeratore e denominator denominatoree della (1.5) per l’area A l’area A si ottiene:



csol =



(L (L · A)∆L F = mA · ∆x



F · ∆L ρ0 · A · ∆x

dove con ρ 0 = Lm si è indicata la densità media del materiale indeformato. ·A Esprimiamo con: F ∆x e (1.6) σ = ε = A ∆L lo sforzo assiale di compressione e la deformazione assiale unitaria rispettivamente. Se con E con E si si indica il modulo di Young, la legge di Hooke = E · ε σ = E unitamente alle (1.6) consente di modificare la (1.5) come segue: csol =



E

(1.7)

ρ0

La Tab.1 riporta alcuni valori di c sol , calcolati per il tramite della (1.7), riferiti ad altrettanti solidi di interesse ingegneristico. Materiale Ferro Acciai diversi Ghisa Rame in fili Alluminio in fili Legno (in media) Calcestruzzo Granito Vetro

E·10−10(N · m−2 ) 20 20..0 21 21..5 21 21..0 22 22..0 8.0 10 10..0 12.0 7 .5 1 .0 1.5-3.5 2 .5 5 .0

ρ (kg ( kg · m−3 )

7870 7850 7570 8940 2710 600 2300 1800 2700

− − −

cs (m · s−1 ) 5040-5200 5200-5300 3250-3630 3660 5260 4100 2550-3900 3700 4300

Tabella 1.1: Velocità di propagazione c propagazione c per per alcuni comuni materiali solidi

1.3.2 1.3.2

Velocità elocità del del suono suono nei nei liqui liquidi di

Maggiore interesse riveste per i nostri scopi il caso in cui il mezzo elastico sia un fluido. In tali ipotesi, se si moltiplica ancora il numeratore e il denominatore della (1.5) per A per A è opportuno porre questa volta (vedi Fig.1.4): F = ∆ p A

e

∆L ∆x

=

− ∆V V 0

(1.8)

dove con ∆ p si p si è indicata la sovrappressione indotta dalla perturbazione rispetto alla pressione p pressione p 0 che regna nel mezzo in condizioni indisturbate (pressione idrostatica) e con V con V 0 il volume inizialmente occupato dalla sola porzione deformata


6

ELEMENTI ELEMENTI DI ACUSTIC ACUSTICA A FISICA A F

 x V

 L

V 0 Non deformato

Figura 1.4: Velocità di propagazione del suono in un fluido. di S . Con tali posizioni, la velocità di propagazione diventa: cfl =



−V 0 ∆∆ pV ρ1

=

0

√ κ¯1 · ρ

(1.9)

0

avendo indicato con ¯κ il coe ffi ciente ciente medio di compressibilità del compressibilità del mezzo definito come: 1 ∆V ¯ = κ V 0 ∆ p

−

 

Esso può essere calcolato non appena venga definita la trasformazione che il fluido subisce nel corso del processo di deformazione. Nelle applicazioni che qui ci interessano, è lecito prevedere che la durata della compressione (o dell’espansione) sia tanto breve da poter ritenere trascurabile ogni scambio termico tra il fluido ed il mezzo circostante. circostante. In altri termini è lecito supporre adiabatico adiabatico il processo di compressione e di espansione. La (1.9) diventa: cf l =

√ κ¯ 1 · ρ0

(1.10)

ad

dove κ ¯ ad rappresenta il coe coe ffi ciente ciente medio di compressibilità compressibilità adiabatica adiabatica . Esso sso varia con la temperatura e la pressione sebbene la dipendenza dalla pressione per i liquidi liquidi sia in genere genere molto debole. La Tab.2 Tab.2 riporta, per alcune classi classi di liquidi, i valori tipici di ¯ di ¯κad e di ρ 0 riferiti alle condizioni normali di temperatura e di pressione. pressione. L’ultima L’ultima colonna mostra i corrisponden corrispondenti ti valori valori di cf l calcolati median mediante te la (1.10). (1.10). Come Come si vede, vede, mediam mediamen ente te riscon riscontra trabil bilii nei liquidi liquidi sono sono nettamente inferiori a quelle viste per i solidi. Composto Idrocarburi aromatici Alcoli Oli minerali Acqua

¯ad κ

× 1011(Pa−1) 85 1 00 50 46

ρ0 (kg m−3 )

800 800 880 1000

c(m s−1 ) 1210 1120 1500 1480

≈ ≈ ≈ ≈

Tabella 1.2: Tipici valori di κ ¯ ad e della densità per alcune classi di liquidi


1.3.3 1.3.3

7


Velocità elocità del del suono suono nel nel gas gas perfett perfetto o

Nel caso dei gas, i valori di ¯ κad possono esprimersi molto agevolmente in funzione delle variabili di stato se si può supporre il gas come perfetto (per l’aria questo è lecito in ampi campi di temperatura intorno ai valori normali). In tale ipotesi, ricordiamo che per una trasformazione adiabatica è: pV γ = Cost = Cost = p p 0 V 0γ

(1.11)

con γ = C p p /C v il rapporto tra i calori specifici a pressione e volume costante. Se si pone p = p = p p 0 + ∆ p e V = V 0 + ∆V la (1.11) diventa:

 

p0 + ∆ p = p0 ovvero 1+

∆ p

p0

V 0 V 0 + ∆V ∆V

= 1+

V 0





γ

−γ

(1.12)

Tenuto conto che vale in genere lo sviluppo in serie (serie binomiale) seguente: (b + x)n = b n + nbn−1x +

n( n (n 1) n−2 2 b x + ... 2!

−

e tenuto conto che si può supporre per le nostre applicazioni che sia possiamo ammettere valida l’approssimazione seguente:



1+

∆V

V 0



−γ

∆V

V 0

1 ,  1,

≈ 1 − γ ∆V V 0

che posta nella (1.12) fornisce: ∆ p

p0 o anche:

−V 0

=

 

−γ ∆V V 0

∆ p

∆V

=

ad

(1.13)

1 = γ p p0 ¯ ad κ

In definitiva, quindi, la (1.10) fornisce: cgas =

p0



γ ρ0

Essendo, per ipotesi, il gas perfetto vale la: p0 ρ0

=

R T 0 M

per cui si può porre: cgas =



R T 0 M

γ

(1.14)


8


con M con M la la massa molecolare del composto considerato e R e R la la costante universale J dei gas (R (R = 8314 kmol ). Ancora Anc ora per l’aria l’a ria, , essend ess endo o la massa molecolar molecolaree ·K apparente pari a 29 e γ = = 1.4, si ricava che:



caria = 20 20..05 T 0 In termini termini di temperatura temperatura centigrada centigrada θ si ottiene facilmente che:





caria = 20 20..05 273 273..15 + θ0 = 331. 331.4 1 +

θ0

273..15 273

o anche, ricordando che nel caso specifico vale la:

√

1 1+b ≈1+ b 2

si ottiene in forma più semplice:

caria = 331. 331.4 + 0. 0.606 · θ0

(1.15)

La precedente mostra che la velocità di propagazione di una perturbazione di pressione in aria cresce con la temperatura in ragione di circa 0.6 m · s −1 per grado centigrado. Osserviamo come la velocità del suono nei gas sia dell’ordine di un terzo di quella dei liquidi e anche meno di un decimo di quella dei solidi.

1.4 1.4

Equa Equaz zione ione diff erenz erenziale iale delle delle onde onde sonore sonore in un gas perfetto

Una particella di un mezzo elastico si muove obbedendo alle equazioni di conservazione della massa e massa e della quantità della quantità di moto. moto. Nell’acustica applicata, sono generalmente accettabili le seguenti ipotesi semplificative: densitàà del mezzo mezzo subisc subiscee variazi ariazioni oni ∆ρ che che sono sono di alcu alcuni ni ordi ordini ni di a. la densit grandezza più piccole di quella ρ 0 = Cost del Cost del mezzo a riposo: ρ = ρ 0 + ∆ρ

con

∆ρ

ρ0

1

(1.16)

Ciò in seguito al fatto, già denunciato, che le variazioni ∆ p sono p sono piccole rispetto rispetto alla pressione pressione statica p statica p 0 . E’ lecito, quindi, porre: ∆ p

p0

1

(1.17)

 delle particelle è mediamente molto piccola (dell’ordine di 10 −2 b. la velocità w m s

) e dello stesso ordine di grandezza sono le relative derivate spaziali;

c. il mezzo considerato è l’aria che, alle condizioni normali di temperatura e di

pressione, può considerarsi a tutti gli e ff etti etti pratici un gas perfetto.


1.4.0.1

9


Equazione Equazione di di conserv conservazio azione ne della massa massa

Consideriamo un volume di controllo fisso nello spazio di volume dV = dx dy dz. dz . La massa che al netto entra nel tempo dt nel dt nel volume di controllo è:



(ρwx )x

+ +



dydzdt+ − (ρw ) + dydzdt+ (ρw ) − (ρw ) + dxdzdt+ dxdzdt+ (ρw ) − (ρw ) + dxdxdt

 

x x dx

y y

y y

z z

z z dz

 

dy

Sviluppando in serie di Taylor e riordinando si ottiene:

−∇ · (ρw ) dV dt Ne consegue che la massa δ m contenuta nel volume di controllo subisce nell’intervallo tervallo di tempo dt tempo dt un incremento pari a: ∂ (δ m) ∂ρ dt = dt = dV dt ∂ t ∂ t

Uguagliando le due espressioni precedenti e semplificando si ottiene l’equazione di continuità: ∂ρ + · (ρw  ) = 0 ∂ t In virtù dell’ipotesi (a. (a.)) e della prima delle (1.16), si ha che:

∇

∇ · (ρw ) ≈ ρ0 ∇ · (w ) Inoltre:

∂ρ ∂ ∆ρ = ∂ t ∂ t

essendo ρ 0 indipendente dal tempo. Ne deriva che è valida la: ∂ ∆ρ = ∂ t 1.4.0.2

−ρ0 ∇ · (w )

(1.18)

Equazione Equazione di conser conserv vazione azione della quan quantità tità di moto

L’equazione di conservazione della quantità di moto si scrive, con riferimento ad un sistema infinitesimo di massa costante ρ0 dV in dV in moto con il fluido, come: Dw  = ρ 0 ρ0 Dt





∂w  ∂ w  ∂w  ∂w   S + wx + wy + wz = F S ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z

nella quale è stato trascurato l’e ff etto etto delle forze di massa che sono costantemente mente bilanciate bilanciate dal gradiente gradiente della pressione pressione statica ( ρ0 g = p0 ). In virtù dell’ipotesi dell’ipotesi c. le forze di contatto contatto si riduco riducono no alle sole forze di pressione essendo nulle per un gas perfetto gli sforzi viscosi. In questa ipotesi è semplice ricavare che:  S F (∆ p) p) S =

∇

−∇

Uguagliando e ricordando l’ipotesi b. si ottiene: ∂w  ∇ (∆ p) p) = −ρ0 ∂ t

(1.19)


1.4.0.3

10


Equazione Equazione dell’adiab dell’adiabatic atica a

Notiamo che le funzioni incognite presenti nelle (1.18, 1.19) sono tre ( ∆ρ, ∆ p,  w) a fronte di due sole equazioni di ff erenziali; erenziali; è necessaria necessaria perciò una ulteriore ulteriore relazione relazione che può essere essere costituita costituita dall’equazi dall’equazione one della trasformazio trasformazione ne (1.13) ricavata nel precedente paragrafo. Essa viene riscritta per i nostri scopi come 3 : ∆ p

p0

= γ

∆ρ

(1.20)

ρ0

o anche:

1 ∆ p c2 per la (1.14). Derivando la precedente rispetto al tempo:

(1.21)

∆ρ =

1 ∂ ∆ p ∂ ∆ρ = 2 c ∂ t ∂ t e sostituendola nella equazione di continuità (1.18), si ottiene: 1 ∂ ∆ p = c2 ∂ t

− ρ0∇ · (w )

(1.22)

che derivata nuovamente rispetto a t fornisce: 1 ∂ 2 ∆ p = c2 ∂ t2

−ρ0 ∂ ∂ t [∇ · (w )]

(1.23)

Se si opera la divergenza dei vettori di ambo i membri della (1.19) si ha: p)] = −ρ0 ∇ · [∇ (∆ p)] ovvero:

  ∇ ·

∂w  ∂ t

∂ p) = −ρ0 [ ∇ · (w ∇2 (∆ p)  )] ∂ t

(1.24)

Uguagliando la (1.23) alla (1.24) si ottiene: 2

1 ∂ ∆ p p) = 2 ∇2 (∆ p) c ∂ t2

(1.25)

che costituisce l’equazione di ff erenziale erenziale di Laplace Laplace delle onde elastiche elastiche in un gas perfetto. E’ possibile dimostrare che valgono anche le: 2

∇2 w = c12 ∂ ∂ tw2

(1.26)

2

∇2 (∆ρ) = c12 ∂ ∂ ∆t2ρ

(1.27)

(1.28)

2

1 ∂ ∆T ∇2 (∆T ) T ) = 2 c ∂ t2 3

γ Infatti per una trasformazione adiabatica pρ−γ = p 0 ρ− 0 ovvero 1 +

∆ρ

1 + γ ρ

0

ed in definitiva

∆p

p0

∆ρ

= γ ρ

0

∆p

p0



= 1+

∆ρ ρ0

γ






11


Per quei sistemi in cui è più utile l’impiego di sistemi di riferimento non ortogonali, le (1.25), (1.26), (1.27) e (1.28) si modificano molto semplicemente ricordando, ad esempio, che: 1 ∂ f 1 ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ f f = r + 2 2+ 2 ∂ r ∂ z r ∂ r r ∂ϑ ∂ ∂ f ∂ 2 f 1 ∂ 2 1 f 1 2 ϑ f = (r ( r f ) + sin + · f ) r ∂ r2 r2 sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ r2 sin2 ϑ ∂φ 2 2

∇

 



∇



(1.29)

(1.30)

per coordinate cilindriche e sferiche rispettivamente.

1.5

Caratt Caratteri eristic stiche he energe energetic tiche he di un’onda un’onda sonosonora

Per la caratterizzazione energetica di un campo sonoro si consideri un sistema infinitesimo di massa costante ρ 0 dV in dV in moto con il fluido. Se si tiene conto che i fenomeni fenomeni di compressione compressione e rarefazione rarefazione provocati provocati nel fluido dall’onda dall’onda sonora sonora sono adiabatici e che il mezzo è non viscoso l’equazione di conservazione dell’energia per il sistema si può scrivere come: De D e ∂ e = ρ 0 dV ∂ t Dt

p) = ρ 0 dV δ ˙L(∆ p)

(1.31)

avendo trascurato, nella derivata sostanziale, la derivata convettiva. Nella (1.31) si è indicato con δ ˙L(∆ p) p) il lavoro che nell’unità di tempo la pressione sonora compie sul sistema e con e con e il contenuto energetico dello stesso sistema di massa ρ costante 0 dV . dV . Il termine a primo membro si ricava mediante la:



(∆ pwx )x

+ +



dydzdt+ − (∆ pw ) + dydzdt+ (∆ pw ) − (∆ pw ) + dxdzdt+ dxdzdt+ (∆ pw ) − (∆ pw ) + dxdxdt

 

x x dx

 

y y

y y dy

z z

z z dz

Sviluppando in serie di Taylor e semplificando si ottiene, in definitiva, che il lavoro fatto dalle forze di pressione nell’unità di tempo vale: δ ˙ L (∆ p) p)

− [∇ · (∆ pw )] dV

(1.32)

Per esplicitare il secondo membro della (1.31) si consideri che l’energia può essere accumulata nel sistema sotto forma di energia cinetica ed interna. Si ha che: 1 e = u = u + w2 2 e quindi:

∂ u + 12 w2 ∂ e = ρ 0 dV ρ0 dV ∂ t ∂ t





(1.33)

Uguagliando la (1.32) e la (1.33) si ottiene l’equazione di conservazione dell’energia per il campo sonoro in un mezzo non dissipativo: ∂ ρ0 u + 12 w2



∂ t



=

−∇ · (∆ pw )

(1.34)


12


Se si pone u = 0 in assenza di suono e si ricorda che le trasformazioni di compressione pressione ed espansione espansione dovute al passaggio passaggio dell’onda dell’onda sonora sono adiabatich adiabatiche, e, la variazione di energia interna coincide con il lavoro delle pressioni che, per unità di volume, vale4 : ρ0 u =

−ρ 0

ˆ

∆ p

∆ p ·

d (∆V ) )

0

Il segno segno meno meno deriv derivaa dal fatto che u è positiv positivaa (aumen (aumento to di energi energiaa inter inter-na) per una diminuzi diminuzione one di volume volume (compres (compression sione). e). Diff erenziando erenziando la (1.13) p 2 e ricordando che c che c = γ ρ si ottiene: 0 0

d(∆V ) ) =

d(∆ p) p) − γ V p00 d(∆ p) p) = − ( )2 ρ0 c

Sostituendo nella precedente si ottiene: 1 ρ0 u = ρ0 c2

∆ p

ˆ

p) ∆ p · d (∆ p)

0

Integrando Integrando si ha: ρ0 u =

1 ∆ p2 2 ρ0 c2

La (1.34) diventa in definitiva: ∂

 1 2

2

∆ p

ρ0 c2

+ ρ0

w2

∂ t

La grandezza vettoriale:



=

−∇ · (∆ pw )

 = ∆ pw I 

(1.35)

è detta intensità detta intensità sonora . Essa è funzione funzione del punto e del tempo e rappresenta rappresenta la potenza la potenza che che attraversa attraversa l’unità di area della area della superficie disposta normalmente W alla direzione di propagazione dell’onda. Si misura in m . La grandezza scalare: 2

1 D = 2



2 ∆ p ρ0 c2

+ ρ0 w2



(1.36)

è detta detta densità di energia sonora e sonora e rappresenta l’energia localizzata nell’unità di volume circostante un punto assegnato. E’ funzione del punto e del tempo e si misura in mJ . Con tali posizioni l’equazione di conservazione dell’energia può essere scritta in termini di intensità sonora e densità di energia come: 3

∂ D = ∂ t

−∇ ·  I

(1.37)

la quale evidenzia che l’energia sonora localizzata in un punto qualsiasi dello spazio ad un certo istante, non si conserva ma varia nel tempo ∂ ∂ Dt = 0 e tale variazione è dovuta a quella spaziale associato all’onda sonora. 4

pdV = ∆ p d (∆V )

∇  I · 







 ) che subisce il flusso d’energia ( I


1.6

13


Onde Onde armo armoni nic che pian piane e

Un’onda meccanica piana presenta piana presenta identiche caratteristiche in ogni punto del piano normale alla direzione di propagazione. Se è x tale direzione, allora si ha: p = ∆ p( p(x, t) ∆ p = e la (1.25) si riduce alla: 1 ∂ 2 ∆ p ∂ 2 ∆ p = 2 c ∂ t2 ∂ x2

(1.38) x c

 

E’ semplice verificare che, essendo una funzione di argomento t ± della precedente, si ha: x c

x c

−   

p = f f 1 ∆ p =

t

+ f 2 t +

soluzione

(1.39)

in cui le funzioni f funzioni f 1 e f 2 sono del tutto tutto arbitrarie purché arbitrarie purché in possesso di derivate seconde rispetto alle due variabili indipendenti x e t. t . La forma è stabilita dalle condizioni al contorno ed iniziale. La funzione di argomento t xc è detta onda detta onda progressiva perché progressiva perché si propaga dalla sorgente nel verso delle x positiv positive. e. Per Per la stessa ragione ragione la funzio funzione ne di argomento t + xc è detta onda detta onda regressiva e regressiva e si propaga nel verso delle x delle x negative. Infatti, considerando che la (1.25) vale per un mezzo isotropo, omogeneo e non dissipativo, l’onda (1.39) si propaga mantenedosi inalterata nel tempo e nello spazio. spazio. Ne deriva deriva che, presi due istanti istanti consecutiv consecutivii t 1 e t 2 , deve essere che:

− 

 



f 1 t1

− xc1

 

= f = f 1 t2

− xc2



Essendo i due istanti qualsiasi la precedente equivale a porre: t1

− xc1 = t2 − xc2

da cui discende immediatamente che:

− t1 = x2 −c x1

t2

e quindi x quindi x 2 > x1 . Analogamente per la f la f 2 t + xc si ottiene che x 2 < x1 . Nel caso di un’onda cosinusoidale di frequenza ν (onda armonica ) si ha in generale che : p(x, t) ∆ p(

=

(+) ∆ p0 cos ω

  −  t

x c

(−) + ∆ p0 cos ω

x c

  t +

Per un mezzo privo di ostacoli (campo ( campo sonoro libero ) il campo sonoro prevede la sola onda progressiva : p(x, t) ∆ p(

x c

− 

= ∆ p0 cos ω t

(1.40)

La intensità acustica (1.35) e la densità acustica (1.36) istantanee valgono: I (x, t) = ∆ pwx

e

1 D(x, t) = 2



2 ∆ p ρ 0 c2

2

+ ρ0 wx



(1.41)


14


per cui è necessario determinare l’onda di velocità corrispondente alla (1.40). A questo scopo è utile ricordare l’equazione vettoriale (1.19) che nella direzione x zione x si scrive come: 1 ∂ ∆ p dwx = dt ρ0 ∂ x

−

Derivando la (1.40), sostituendo nella precedente ed integrando si ottiene: wx (x, t) =

∆ p0

ρ0 c

x + cost c

− 

cos ω t

Tenuto conto che in assenza di suono ( ∆ p0 = 0) deve essere wx = 0 si ha che cost = cost = 0 per cui si ricava che: p(x, t) ∆ p(

wx (x, t) =

ρ0 c

(1.42)

con ovvio significato significato dei simboli. La precedente precedente mostra che in un’onda piana 5 progressiva la velocità di oscillazione delle particelle è costantemente in fase con la ∆ p( p(x, t) e il relativo rapporto è: Z =

p(x, t) ∆ p( wx (x, t)

= ρ 0 c

(1.43)

La quantità Z quantità Z = ρ 0 c è detta impedenza detta impedenza acustica specifica del mezzo. mezzo . Essa varia con la temperatura e la pressione e per un gas perfetto si ricava, ricordando gli sviluppi che hanno portato alla (1.14), che: = p 0 ρ0 c = p



M γ M RT

kg m−2 s−1

e per l’aria (M (M = 29 29,, γ = 1.4) si ha: ρ0 c

p0 ≈ 0.07 √ T

kg m−2 s−1

(1.44)

Ancora Ancora per l’aria l’aria,, in condiz condizion ionii normal normalii (θ = 20◦ C , p0 = 1.013 l’impedenza acustica vale: ρ0 c

× 105

Pa)

kg m−2 s−1

≈ 413

Se si ricorda che il valore usuale della pressione acustica è dell’ordine di 1 Pa, il risultato or ora ottenuto consente di determinare che è pari a circa 1/413 2.5 10−3 m s−1 il valore corrispondente della velocità delle particelle dell’aria alle condizioni normali. Ciò giustifica l’ipotesi fatta al (punto b.) b.) del precedente paragrafo. Sostituendo la (1.40) e la (1.42) nelle (1.41) si ottengono l’intensità sonora e la densità sonora istantanee per un campo sonoro libero piano:

≈

×

I (x, t) = 5

∆ p2

ρ0 c

e

D(x, t) =

∆ p2 ρ0 c2

(1.45)

Ripetendo lo stesso procedimento si ricava facilmente che nel caso di un’onda regressiva la velocità delle particelle è in opposizione di fase con la pressione acustica essendo costantemente p(x,t) che ∆ = −ρ0 c wx (x,t)


15


da cui si vede che è costantemente: I (x, t) c

D(x, t) =

Nelle applicazioni interessano relativamente poco i valori istantanei di D( D (x, t) e I (x, t), più spesso si ha interesse ai valori mediati nel tempo, ovvero: ¯(x) = 1 I ∆T

∆T

ˆ

¯ (x) = 1 D ∆T

e

I (x, t)dt

∆T

ˆ

0

D(x, t)dt

0

Sostituendo nelle precedenti le (1.45) si ottiene che: ¯(x) = 1 I ∆T

∆T

ˆ 0

¯ (x) = 1 D ∆T

∆T

ˆ 0

∆ p2

2 ∆ prms

ρ0 c

ρ0 c

dt = dt =

2 ∆ prms dt = dt = ρ0 c2 ρ0 c2

∆ p

(1.46)

(1.47)

2

nelle quali si è posto: ∆ prms =

  

∆T

1 ∆T

ˆ

∆ p2 dt

(1.48)

0

il valore e ffi cace cace della pressio pressione ne sonora sonora . Le equazioni equazioni precedent precedentii evidenziano evidenziano che i valori medi della densità sonora e dell’intensità sonora non dipendono dai valori istantanei della pressione sonora ma dal valore dal valore e ffi cace di cace di ∆ p( p(x, t). In altre parole, due onde sono equivalenti dal punto di vista energetico se presentano uguali valori valori della pressione sonora e fficace. Concludiamo osservando che il valore dell’integrale a secondo membro della (1.48) dipende dall’intervallo temporale ∆t su cui viene eff ettuata ettuata l’integrazione. Distinguiamo Distinguiamo due casi tipici: a. il suono considerato è periodico. L’integrazione può essere estesa su un breve

intervallo di tempo costituito da un certo numero di periodi (teoricamente anche uno solo); periodico. L’interv L’intervallo allo temporale b. il suono considerato non è periodico.

∆t deve

essere scelto di estensione tale da rendere il valore dell’integrale indipendente da ∆t.

Nel caso dell’onda armonica dell’onda armonica (1.1) (1.1) si ricava che6 : ∆ prms = 6

∆ p0

(1.49)

√ 2

Infatti per un’onda armonica si ha: ∆ p2 0

T

T

ˆ 0

cos2 ω t dt =

∆ p2 0

T



t

2

+

sin2ω t 4ω



T

= 0

∆ p2 0

2

essendo nullo il valore medio di una funzione sinusoidale nel periodo T .


1.7

16


Onde Onde armoni armonic che sferic sferiche he

In un mezzo omogeneo e isotropo, in genere, la perturbazione indotta in un punto generico tende a propagarsi, pur se con diverse modalità, in ogni direzione. Ne consegue che: p = ∆ p( p(r, ϑ, φ, t) ∆ p = Può verificarsi il caso, tuttavia, che le modalità di propagazione siano le stesse in ogni direzione. Per fissare le idee si può pensare ad una sfera (di raggio piccolo rispetto alla lunghezza d’onda) la quale si espanda e si contragga, conservando la sua forma sferica, con una pulsazione ω . In questa ipotesi ipotesi la perturbazione perturbazione si propoga secondo un’onda un’onda sferica sferica e la pressione sonora ∆ p si p si può esprimere mediante la: p = ∆ p( p(r, t) ∆ p = mentre, in virtù della (1.30), l’equazione di ff erenziale erenziale (1.25) diventa: 1 ∂ 2 (r · ∆ p) p) 1 ∂ 2 (∆ p) p) = 2 2 2 r c ∂ r ∂ t ovvero:

p) 1 ∂ 2 (r · ∆ p) p) ∂ 2 (r · ∆ p) = 2 2 2 c ∂ r ∂ t

(1.50)

Essa Essa è analog analogaa alla alla (1.38) (1.38) del preced preceden ente te paragra paragrafo fo presen presentan tando, do, rispett rispettoo a quella, quella, lo stesso stesso argomento argomento moltiplicato moltiplicato per la variabile ariabile indipenden indipendente te r. Se ne deduce, perciò, che la soluzione della (1.50) è: p = ∆ p =

1 f 1 t r

r 1 r + f 2 t + c r c

− 

 

ancora una volta costituita dall’insieme di un’onda progressiva e una regressiva. La precedent precedentee mostra, inoltre, che in un’onda sferica, a diff erenza erenza di una piana, l’ampiezza della perturbazione si attenua in ragione inversa della distanza r dalla sorgente. Nel caso caso venga venga irradi irradiata ata un’ond un’ondaa armoni armonica ca allora allora in punto punto generi generico co r e all’istante t all’istante t si ha: p(r, t) ∆ p(

=

(+) ∆ p0

r

( r ∆ p0 + c r

cos ω t

e per un campo sonoro libero: p(r, t) ∆ p(

−)

− 

=

∆ p0

r

r c

− 

cos ω t

r c

 

cos ω t +

(1.51)

in cui ∆ p0 rappresenta l’ampiezza della perturbazione in corrispondenza della sorgente. Il legame con la velocità istantanea w r (r, t) può essere ricavato ricorrendo ancora una volta all’equazione vettoriale (1.19) la cui componente nella direzione r direzione r diventa: ∂ ∆ p ∂ wr = ρ0 ∂ r ∂ t Dalla precedente si può ricavare, infatti, che:

−

wr (r, t) =

1

− ρ0

ˆ ∂ p ∆

∂ r

dt + Cost

(1.52)


17


Derivando la (1.51) rispetto ad r ad r si ha: ∂ ∆ p = ∂ r

−∆ p0

 −  r c

cos ω t r2

−

 −  r c

sin ω t ω rc

Sostituendo nella (1.52) e integrando si ricava: ∆ p0

c wr (r, t) = sin ω t ρ0 c · r ω r



r + cos ω t c

− 

essendo Cost essendo Cost = essere w r = 0 per p er r = 0 in quanto deve essere w r 7 Osserviamo che la precedente equivale alla : wr (r, t) =

∆ p0

ρ0 c · r

r c

 − 

→ ∞.

       − −    1+

c ωr

2

(1.53)

cos ω t

r c

ϕ

(1.54)

1 in cui ϕ = arctan ωcr = arctan 2λπr = arctan kr in cui si è indicato con 2π il numero d’onde . k = λ il numero L’equazione L’equazione (1.54) mostra che che la velocità di oscillazione oscillazione delle particelle particelle wr (r, t), a diff erenza erenza di quanto accadeva per un’onda piana, è sfasata di ϕ rispetto alla p(x, t) e l’impedenza caratteristica del mezzo non è costante come per l’onda ∆ p( piana: cos ω t rc p(r, t) ρ0 c ∆ p( Z = = r wr (r, t) ϕ 1 + 1 cos ω t c





  −   − − 

k2 r 2

Ciò nonostante è facile verificare che per λr si ha che Z 0 ρ0 c e ϕ e un’onda sferica assume un comportamento uguale a quello di un’onda piana. Da un punto di vista pratico, le Fig.1.5 mostrano che già per r = λ l’angolo di fase si riduce ad appena 9 ◦ sessagesimali e Z 0.99ρ0 c. Ciò c. Ciò consente, per una propagazione sferica, di distinguere sia pure convenzionalmente un campo vicino (ad esempio per r per r < λ ) e un campo un campo lontano (r > λ ) e quindi di individuare un dominio, in genere molto ampio, in cui i legami tra ∆ p e wr sono a tutti gli eff etti etti pratici quelli quelli caratteristi caratteristici ci di un’onda un’onda piana. Lo sfasamento sfasamento tra l’onda di pressione pressione e quella quella di velocità velocità rende meno imme¯(r) e di D ¯ (r) nel caso di onde sferiche progressive. Eseguendo diato il calcolo di I i calcoli che tralasciamo per semplicità si ottiene che:

→ ∞

→ →

→

≈ ≈

¯(r) = I

2 ∆ prms

ρ0 c

(1.55)

la quale è solo formalmente formalmente analoga analoga alla (1.46) valida valida per le onde piane. Infatti, Infatti, a diff erenza erenza di quanto accade per un’onda piana, la pressione sonora e fficace ¯(r) può essere legato in un’onda sferica diminuisce con la distanza r. Inoltre Inoltre,, I facilmente alla potenza W W della sorgente. sorgente. Infatti Infatti se si suppone, come si è fatto finora, di considerare il mezzo non dissipativo, la potenza della sorgente è costante con r con r e per la definizione stessa di intensità sonora si può scrivere: ¯(r) = W I 4π r 2 7

Ricordiamo che se è data la: ξ = A cos α + B sin α essa equivale alla ξ = R cos(α

purché A = R cos β e B = R sin β . Ne deriva che

R2

= A 2

+ B 2

e β

 . = arctan B A

−

β)



Figura 1.5:

1 1+ k21r2



18

e ϕ in funzione di k di k r per un’onda sferica

La densità sonora media per un’onda sferica vale: ¯ (r) = D Ne deriva che:

2 ∆ prms ρ0 c2

¯ ¯ (r) = I (r) D c



 

1 1+ 2 2 2k r



1+

1 2k 2 r 2

la quale mostra che, a diff erenza erenza di quanto accadeva per un’onda piana o nel ¯ dipende dalla intensità campo lontano di un’onda sferica, la densità sonora D ¯ per il tramite della lunghezza sonora I I lunghezza d’onda e della distanza. distanza. Tuttavia, uttavia, per r termine tra parentesi tende all’unità e l’equazione l’equazione precedente precedente si riduce riduce λ il termine all’analoga valida per le onde piane.



1.8

Livel Livelli li sonor sonorii e deci decibel bel

Si è avuto modo di mostrare (vedi Fig.1.2) che i valori della pressione acustica intervallo allo molto ampio. Infatti Infatti i va∆ prms associati ai suoni puri coprono un interv lori tipici della soglia di udibilità (2 ( 2 10−5 Pa) sono sette sono sette ordini ordini di grandezza più piccoli di quelli della soglia del dolore (circa 200 Pa). Altrettan Altrettanto to ampio è, ovviamente, il campo di variazione di altre grandezze acustiche quali la potenza sonora, la intensità e la densità di energia che alla pressione sonora sono proporzionali. Si comprende, comprende, quindi, quindi, che l’utilizzo l’utilizzo di una scala lineare per le predette grandezze non sia comoda né in fase di calcolo né, ancor meno, di rappresentazione per ovvie ragioni. Per Per tale motivo motivo è prassi in acustica esprimere esprimere le grandezze sonore in scala logaritmica. Allo scopo si consideri la grandezza generica G ed un valore di GR assunto come riferimen riferimento. to. Si definisce definisce livello di G il risultato della: G LG = 10 log log10 dB re G re G R (1.56) GR

×

espresso in decibel . L’equa L’equazio zione ne preceden precedente te riporta, riporta, com comee prassi prassi,, il valore alore di riferimento GR da cui LG dipende. dipende. Ciò elimina ogni possibile possibile equivoco sia sul


19


valore valore ottenuto ottenuto sia sulla grandezza a cui esso si riferisce. riferisce. Se GR rappresenta il valore più basso che può assumere G assumere G,, si dice che L che LG esprime il livello di G sopra G sopra la soglia. Al contrario si parla di livello di G sotto la soglia se GR rappresenta il limite superiore dei valori possibili di G. E’ utile ricordare qui che vale la: LG G = 10 GR 10

Osserviamo che, qualunque sia il valore di riferimento, al raddoppio di G fa riscontro un aumento di 3 dB del livello L livello L G : LG = 10 log log10

2G G G = 10 log log10 + 10log10 2 = 10 log log10 +3 GR GR GR

L’introduzione dei livelli delle grandezze acustiche, oltre al vantaggio di un più ristretto campo di variabilità e di una compressione dei valori più elevati a favore di quelli più bassi, migliora la correlazione tra il livello LG di una grandezza caratteristica di un dato suono e la sensazione acustica che quel suono induce sugli organi dell’udito8 .

1.8.1 1.8.1

Live Livell llo o di pres pressio sione ne sonor sonora a

Per la sola la sola pressione pressione sonora è consuetudine costruire la scala dei decibel facendo riferimen riferimento to al quadrato quadrato della pressione pressione sonora e fficace9 : L∆ p =

2 ∆ prms 10 log log10 ∆ p2

(1.57)

R,rms

o anche: L∆ p = 20 log10

∆ prms

dB re ∆ pR,rms = 2

∆ pR,rms

× 10−5 Pa

(1.58)

dalla quale consegue che al raddoppio della ∆ prms corrisponde un aumento del livello di pressione sonora pari a circa 6 dB. Dalla stessa equazione si ricava: ∆ prms = ∆ pR,rms · 10

1.8.2 1.8.2

L∆p 20

Il liv livel ello lo di di potenz potenza a sonor sonora a

Il livello di potenza sonora è dato dalla: LW log10 ¯ = 10 log

W W R

dB re W re W R = 10−12 watt

da cui W = W R · 10 8

(1.59)

LW 10

E’ sperimentalmente accertato che l’orecchio segue una legge di variazione della sensazione che è proporzion proporzionale ale alla variazione variazione relativ relativa a della sollecitazion sollecitazionee (legge (legge psico-fisi psico-fisica ca di WeberFechner). 9 Il motiv motivo o di questa questa scelta scelta è dettat dettato o solo solo dall’o dall’oppor pportun tunità ità di render renderee maggio maggiorme rment ntee correlabili le analoghe scale relative a diff erenti erenti grandezze acustiche.


1.8.3 1.8.3

20


Il live livell llo o di inten intensi sità tà sonor sonora a

Per la intensità sonora: ¯ I LI ¯ = 10 log log10 ¯ I R

¯R = 10−12 watt dB re I watt m−2

(1.60)

e, al contrario: ¯ = I ¯R · 10 I

L¯ I 10

Sebbene deducibile dalla simbologia adottata, si avverte che i valori della potenza acustica W e e della intensità sonora ¯ I che che compaiono nelle equazioni precedenti non sono quelli istantanei, ma quelli mediati nel tempo (nel periodo per onde armoniche). ¯ che I ¯ risultano proporzionali Nel paragrafo precedente si è visto che sia W I al quadrato della pressione pressione acustica. acustica. Discende Discende da ciò che LW , LI ¯ e L∆ p sono tra loro legati. Ad esempio per onde piane o sferiche progressive si ha: 2 ¯ I ∆ prms LI ¯ = 10 log log10 ¯ = 10 log log10 ¯R = ρ0 c · I I R

= 10 log log10



2 ∆ prms ∆ p2

·

R,rms

2 ∆ pR,rms

¯R ρ0 c · I



Si ottiene perciò: ¯ LI ¯ = L ∆ p + R

dB re 10−12 watt m−2

La quantità ¯ = 10 log R log10

(1.61)

2 ∆ pR,rms

I R ρ0 c · ¯

che misura la di ff erenza erenza tra i due livelli dipende dalla temperatura e dalla pressione per il tramite dell’impedenza acustica del mezzo. Per l’aria alle condizioni ¯ normali (ρ0 c = 413 kg 413 kg m−2 s−1 ) si ha che R 0.14 dB che può essere ritenuto del tutto trascurabile trascurabile nelle nelle usuali applicazioni applicazioni.. Ciò comporta che per onde progressive possa porsi a tutti gli e ff etti etti pratici: pratici:

≈ −

LI ¯ = L ∆ p Per condizioni di temperatura e di pressione che di ff eriscono eriscono da quelle quelle normali, normali, l’entità dello scostamento presenta valori diversi che possono essere calcolati ¯ la dipendenza riportando nell’equazione di R dipendenza espressa dalla (1.44) ottenendo: ottenendo: ¯ = 10 log R log10



√

400 T 0.07 07 p p0



¯ può essere determinato con maggiore immediatezza facendo ricorso Il valore di R al grafico di Fig.1.6 che riporta i risultati dell’equazione precedente nell’intorno delle condizioni normali. Se l’intensità sonora è uniforme su di una superficie di area A, l’intensità e la potenza sonora sono legate dalla: ¯ · A e W R = I ¯R · AR W = I


21


¯ in funzione della pressione e della temperatura Figura 1.6: Valore di R ¯R . Con tali posizioni con A con A R = 1 m 2 essendo uguali i valori numerici di W R e I si ottiene: ¯ · A ¯ I I A LW = 10log10 ¯ = 10log10 ¯ + 10 log log10 dB AR I R · AR I R o anche: LW = L I ¯ + 10 log log10 A Ricordando la (1.61) si può ricavare il livello di potenza sonora in funzione di quello di pressione acustica come: ¯ + 10 log LW = L ∆ p + R log10 A Con riferimento ad un’onda sferica, la precedente consente di ricavare il livello di pressione acustica nel campo sonoro lontano una volta che sia assegnato quello di potenza sonora L sonora L W ¯: log10 4πr2 = − 10 log − 20 log log10 r − 11

L∆ p = L = L W = L W

 

dB

(1.62)

¯ e posto 11=10log avendo trascurato R 11=10log10 (4π) . Quindi la diff erenza erenza di livello di pressione acustica tra due punti distinti posti a distanze r1 e r2 dalla sorgente di un’onda sferica sono legati dalla: r2 L∆ p,1 L∆ p,2 = 20 log log10 (1.63) r1

−

1.9 1.9

I suon suonii co comp mple less ssii

La quasi totalità dei suoni che udiamo non sono suoni puri suoni puri , ma piuttosto suoni complessi ovvero ovvero una combinazione combinazione più o meno complicata complicata di suoni puri. A parità di ogni altra condizione, due suoni complessi che di ff eriscono eriscono per la forma dell’onda risultante sono percepiti in modo diverso. Si usa dire che essi presentano un diverso timbro diverso timbro.. Il timbro, perciò, costituisce una ulteriore caratteristica distintiva dei suoni. Al solo scopo di semplificare, si consideri un suono complesso ottenuto come combinazio combinazione ne di due soli suoni puri componenti. componenti. Si possono distingure due casi:


22


T p02 2

pS t

S 1

p01

p1

p01 cos ( t -

p02 cos ( t -

p2

1

)

2)

Figura 1.7: Suono complesso armonico 1. i suoni puri componenti hanno la medesima la medesima frequenza ma di ff erente erente ampiezza e fase ; 2. i suoni puri componenti componenti hanno diversa hanno diversa frequenza, frequenza, ampiezza e fase.

1.9.1

Suoni componen componenti ti di uguale uguale frequ frequenza enza e diversa diversa ampiezza e fase

In questo caso (vedi Fig.1.7) il suono risultante è ancora armonico: armonico : ∆ pS

= ∆ p0S cos cos (ω t

S )

−ϕ

con frequenza frequenza pari a quella quella comune comune dei suoni componenti. componenti. L’ampiezza L’ampiezza ∆ p0S si ricava come: ∆ p0S

= =

 

(∆ p01 cos ϕ1 + ∆ p02 cos ϕ2 )2 + (∆ p01 sin ϕ1 + ∆ p02 sin ϕ2 )2 = 2 + ∆ p2 + 2 ∆ p ∆ p (cos ϕ cos ϕ + ∆ p01 01 02 1 2 02

sin ϕ1 sin ϕ2 )

ed in definitiva: ∆ p0S

=



2 + ∆ p2 + 2 ∆ p ∆ p cos ∆ p01 01 02 cos (ϕ1 02

− ϕ2 )

(1.64)

La fase ϕS è data dalla:

ϕS = arctan



∆ p01 sin ϕ1 + ∆ p02 sin ϕ2 ∆ p01 cos ϕ1 + ∆ p02 cos ϕ2



(1.65)

Dai risultati precedenti si osserva che ∆ p0S dipende, dalle ampiezze e dalle fasi dei due suoni componenti. In particolare, poiché:

−1 ≤ cos(ϕ1 − ϕ2) ≤ 1 l’ampiezza ∆ p0S assume il suo valore massimo per ϕ1

− ϕ2 = nπ

con

n = 0, 2, 4, 6, . . .


23


Figura 1.8: Combinazione di due suoni puri di diversa frequenza ossia per suoni puri in concordanza di fase. In tal caso si ottiene: ∆ p0S

= ∆ p01 + ∆ p02

Al contrario, contrario, per: ϕ1

− ϕ2 = nπ

con

n = 1, 3, 5, 7, . . .

i due suoni sono in opposizione di fase e l’ampiezza minimo che vale: ∆ p0S = ∆ p01 ∆ p02

∆ p0S assume

il suo valore

−

Quest’ultimo risultato è di particolare interesse in quanto evidenzia che la sovrapposizione di due toni puri di uguale frequenza ed ampiezza ma in opposizione di fase dà luogo al silenzio. Ciò costituisce la base del controllo attivo del rumore . E’ appena il caso di considerare che la pressione sonora e fficace di un tale suono complesso, essendo armonico, armonico, è data dalla (1.49).

1.9.2 1.9.2

Suoni Suoni componen componenti ti di dive diversa rsa freque frequenza nza,, ampi ampiezz ezza a e fase

Nel caso in cui le frequenze dei suoni puri componenti siano diverse e tra loro scorrelate (caso (caso 2.), 2.), il suono complesso non è né armonico né periodico (Fig.1.8). Se, invece, le frequenze sono in relazione armonica (quelle più elevate rappresentano presentano multipli multipli interi interi della minore) il suono complesso complesso pur non essendo essendo armonico è periodico (Fig.1.9). (Fig.1.9). Comunque, Comunque, sia nell’uno che nell’altro nell’altro caso la determinazione di legami generalizzati generalizzati del tipo (1.64) e (1.65) non è più possibile. Per essi, al contrario, è possibile ricavare il valore e fficace della pressione sonora. Consideriamo due toni puri di pulsazione ω 1 e ω 2 e di ampiezze ∆ p01 e ∆ p02 seguenti: ∆ p1 = ∆ p01 cos ω1 t ∆ p2 = ∆ p02 cos ω2 t


24


Figura 1.9: Combinazione di due suoni puri con frequenze in relazione armonica La pressione sonora risultante ∆ pS sarà data dalla somma dei due toni puri: ∆ pS

da cui:

2 ∆ pS

= ∆ p1 + ∆ p2

= ∆ p21 + ∆ p22 + 2 ∆ p1∆ p2

Applicando Applicando all’equazione all’equazione precedente precedente la (1.48) si ha10 : ∆ pS,rms =



2 ∆ p2 1,rms + ∆ p2,rms

ω1 = ω 2



(1.66)

E’ semplice verificare che il risultato espresso dalla (1.66) può essere generalizzato per un numero qualunque di suoni puri componenti secondo la:

  N

∆ pS,rms =

2 ∆ pi,rms

(1.67)

i=1

Dividendo Dividendo per ∆ pR,rms ed elevando al quadrato ambo i membri si ha:



∆ pS,rms ∆ pR,rms

N

2

  =

i=1

2 ∆ pi,rms 2 ∆ pR,rms

Osserviamo che per ciascun termine della sommatoria a secondo membro si può scrivere: 2 L p,i ∆ pi,rms = 10 ∆ pR,rms





∆

10

e il primo membro si può porre come:

 10

∆ pS,rms ∆ pR,rms

2



= 10

L∆p,S 10

Si ricordi che 2 che 2 cos( cos(a) cos( cos(b) = cos(a − b)+cos(a + b) e che è costantemente nullo il valore medio delle funzioni coseno nel periodo.


25


Figura 1.10: Composizione ( Composizione (L LS ) di due livelli sonori L 1 e L 2 Con queste posizioni si ha: 10

N

L∆p,S

=

10

L∆p,i

  10

(1.68)

10

i=1

ovvero:

N

L∆ p,S = 10 log log10

10

L∆p,i 10

i=1



(1.69)

L’equazione precedente lega, per un suono complesso, i livelli di pressione sonora dei suoni componenti a quello del suono risultante risultante.. Consideriam Consideriamoo il caso sempli semplice ce in cui si abbia abbia a che che fare fare con due sole sorgent sorgenti. i. In questa ipotesi ipotesi la (1.68) si riscrive come: 10

L∆p,S 10

= 10 = 10

L∆p,1 10

L∆p,1 10

+ 10



L∆p,2 10

1 + 10

=

L∆p,2−L∆p,1 10



Estraendo il logaritmo decimale di entrambi i membri e riordinando: L∆ p,S = L ∆ p,1 + 10 log log10

L 1 + 10−



∆p,1 −L ∆p,2 10



(1.70)

Se L∆ p,1 > L∆ p,2 la precedente mostra che il livello sonoro L ∆ p,S di un suono risultante è dato dalla somma del livello più alto L∆ p,1 e di un termine che dipende dalla diff erenza erenza dei livelli di pressione acustica dei due suoni componenti L∆ p,1 L∆ p,2 . In partic particolar olare, e, se si hanno hanno due sorgen sorgenti ti che che origina originano no lo stesso stesso livello livello di pressione sonora (L (L∆ p,1 = L = L ∆ p,2 = L = L ∆ p) il livello risultante vale:

−

L∆ p,S = L ∆ p + 10 log log10 2

≈L

∆ p

+ 3

dB re 2

× 10−5 Pa

L’equazione (1.70) è espressa dal grafico di sinistra in Fig.1.10. Lo stesso grafico può essere utilizzato anche per la determinazione del livello risultante originato da più sorgenti componendole a due a due. A titolo di esempio consideriamo il caso in cui si abbiano tre sorgenti identiche. Il livello sonoro di ciascuna di esse, in un certo punto del campo, è noto e


26


pari a 80 dB. Si ottiene che due di esse producono un livello pari a 80 + 3 = 83 dB. Questo livello risultante può essere composto con quello della terza sorgente per ottenere 83 ottenere 83 + 1. 1.75 = 84. 84.75 75 dB. dB. Lo stesso risultato si ottiene impiegando la (1.69): L∆ p,S = 10 log log10 108.0 + 108.0 + 108.0 = 84 84..77





Spesso è necessario determinare il livello L∆ p,1 di una sorgente dalla conoscenza di quello risultante L risultante L ∆ p,S e di quello L quello L ∆ p,2 di una seconda sorgente. In tal caso possiamo scrivere che: 10

L∆p,1

= 10

10

= 10

L∆p,S 10

L∆p,S 10

da cui si ricava:

L∆p,2

− 10 1 − 10− 10



−

L∆ p,1 = L ∆ p,S + 10log10 1

=

L∆p,S −L∆p,2 10

10−



L∆p,S −L∆p,2 10



(1.71)

che è espressa dal grafico di destra della Fig.1.10. Come esempio supponiamo di aver rilevato che, in un punto di un campo sonoro, il livello di pressione acustica L∆ p,S dovuto all’ansieme di due sorgenti è pari a 80 dB. Allorché una delle due sorgenti viene disattivata il livello di pressione sonora nello stesso punto si riduce a L∆ p,2 =75 dB. Attraverso la (1.71) o il predetto diagramma si ricava facilmente che il livello sonoro L ∆ p,1 dell’altra sorgente vale 80 1.65 = 78. 78.35 dB. Un controllo del risultato può essere fatto sovrapponendo i due livelli L livelli L ∆ p,1 e L∆ p,2 mdiante il primo diagramma di Fig.1.10.

−

1.10 1.10

Spett Spettri ri ac acus usti tici ci p

p

1

i

i

p

i

p

t

i

Figura 1.11: Spettro sonoro di un suono puro L’operazione inversa della composizione (sintesi ( sintesi ) di suoni puri consiste nella ricerca delle caratteristiche (ampiezza ( ampiezza e frequenza ) frequenza ) dei suoni puri componenti (o armoniche ). ). Una volta che per ciascuna ciascuna armonica siano state determinat determinatee l’ampiezza ∆ pi e la frequenza ν i , si costruisce un diagramma su di un piano riportando in corrispondenza di ν i un segmento di lunghezza pari (in una ∆ p ν riportando certa scala) a ∆ pi . Tale diagramma è detto spettro detto spettro acustico del acustico del suono complesso consid considera erato. to. Va da sé che che lo spettro sonoro sonoro di un suono puro è costit costituit uitoo da un’unica riga (vedi Fig.1.11).

−


27


Si distinguono, distinguono, al solito, solito, i casi in cui il suono complesso complesso sia periodico periodico dai casi in cui il suono complesso sia non periodico.

1.10.1 1.10.1

Spettri Spettri acus acustic ticii di suoni suoni period periodic icii

Se il suono è periodico lo spettro può essere definito attraverso la cosiddetta analisi in banda stetta stetta (o di Fourier di Fourier ). ). La base matema matematic tica a di questo tipo di 1 analisi è rappresentata dal teoreme di Fourier secondo cui se è ν 0 = T = ω 2π la frequenza del suono periodico esso può sempre esprimersi mediante la serie aperta (serie (serie di Fourier ): Fourier ): 0

∆ pn = ∆ p01,n cos nω t + ∆ p02,n sin nω t

n = 0, 1, 2, . . .

(1.72)

Le ampiezze ∆ p01,n e ∆ p02,n della (1.72) corrispondenti a ciascuna frequenza nν 0 vengono in generere determinate inviando il segnale in opportuni analizzatori. Lo spettro di un suono periodico è, per quanto or ora ricordato, uno spettro discontinuo (Fig.1.12). p

p

t

1

2

3

4

5

0

Figura 1.12: Spettro acustico di un suono periodico

1.10.2 1.10.2

Spettri Spettri acust acustici ici di di suoni suoni non non periodici periodici

Suoni generati da sorgenti che posseggono un numero molto elevato (teoricamente infinito) di modi di vibrazione presentano uno spettro con altrettante frequenze non frequenze non in relazione armonica per armonica per cui il suono non è periodico e lo spettro si presenta continuo presenta continuo (vedi (vedi Fig.1.13a). Per completezza consideriamo anche il caso, non infrequente, in cui ad un evento sonoro aperiodico si sovrappone un suono periodico. Lo spettro, in questo questo caso, si presenta come in Fig.1.13,b ed è costituito dalla sovrapposizione sovrapposizione di quello continuo di Fig.1.13,a e quello discontinuo di Fig.1.12.

1.10.3 1.10.3

Anali Analisi si spett spettral rale e di un suon suono o

Per la determinazione sperimentale dello spettro sonoro di un suono complesso si ricorre ad opportuni strumenti, detti filtri acustici , che permettono il passaggio delle sole frequenze comprese comprese tra due valori limite: limite: quello inferiore inferiore ν 1 e quello superiore ν 2 che sono dette frequenze di taglio. taglio. Più Più è stre strett tta a la banda banda ν 1 più è elevato il numero di filtri necessari a coprire l’intera banda ∆ν = ν 2

−


28


a

b

p

p

Figura Figura 1.13: 1.13: Spettro Spettro di un suono non periodico periodico (a) a cui si sovrappongono componenti tonali pure (b) udibile e più è elevato il numero delle misure da e ff ettuar ettuare. e. Più comples complessa sa e costosa diventa, perciò, la strumentazione e più lunga e costosa diventa la misura. In compenso, però, aumenta il dettaglio dettaglio dell’analisi. dell’analisi. Va detto, tuttavia, che l’orecchio distingue piuttosto grossolanamente le frequenze nel senso che, dati due suoni di frequenza ν 1 e ν 2 , l’orecchio li percepisce come distinti a patto che la banda ν 1 ν 2 sia uguale o maggiore della cosiddetta banda critica per l’audizione . La banda critica per l’audizione ∆ν varia varia con la frequenza secondo la legge:

−

∆ν

ν c

=

ν 2

− ν 1 = Cost = Cost = β

ν c

(1.73)

con ν c è la frequenza la frequenza centrale di banda e banda e vale: ν c =

√ ν ν

1 2

(1.74)

Le bande critiche critiche per p er l’audizione, l’audizione, pertan p ertanto, to, sono bande ad ampiezza ad ampiezza percentuale costante e e si misurano in ottave in ottave . Una banda ha ampiezza pari ad un’ottava se le frequenze limiti sono tali che: ν 2 =2 ν 1

Sono 11 le bande d’ottava che coprono l’intero intervallo delle frequenze udibili. I valori normalizzati delle frequenze di taglio e di quella centrale per ciascuna di esse sono mostrati in Tab. 1.3. La stessa tabella riporta anche le medesime grandezze per bande a 13 d’ottava che costituiscono un altro modo, frequentemente impiegato, di costruire bande ad ampiezza percentuale percentuale costante. costante. Il numero delle bande necessarie necessarie a coprire coprire l’intero intervallo di frequenze udibili è in questo caso pari a 32. Generalizzando, la relazione che intercorre tra le frequenze estreme di banda ν 1 e ν 2 di una banda di frequenze che contiene n contiene n ottave è: ν 2 = 2n ν 1

(1.75)

Il valore di n di n,, perciò, può assumere valori interi (1 è il più frequente) o frazionari 1 1 1 ( 2 , 3 , 24 , . . .). .).


29


Dalle precedenti derivano le seguenti relazioni che esprimono le frequenze estreme e l’ampiezza di banda in funzione di ν c (che compare sull’ascissa dello spettro): n ν 1 = 2− ν c ; 2

n

ν 2 = 2 ν c ;

∆ν = ν 2

2

− ν 1 = ν

c



2

n 2

− 2−

L’ultima L’ultima delle precedenti, precedenti, se confrontat confrontataa con la (1.73), fornisce: fornisce: n

n

2

2

n 2



− 2− √ 1 = √ 1 = 0.0 .707 da cui si vede che per n per n = = 1 si ha β = 2 − √ 707 il il che vuol dire che 2 2 β = 2

la larghezza di banda è po co più del 70% della frequenza frequenza centrale centrale di banda. Allo 1 stesso modo si vede che per bande ad 3 d’ottava β = 2 2− 0.231 23%. La larghezza di banda in questo caso rappresenta il 23% di ν c . Concludiamo Concludiamo dicendo dicendo che se lo spettro acustico acustico è determinato determinato per il tramite tramite di bande ad ampiezza percentuale costante, allora è utile costruire l’asse delle frequenze in scala logaritmica. Ciò non solo opera una compressione della scala con il vantaggio di una migliore lettura, ma consente di avere intervalli uguali tra le frequenze centrali di banda. Infatti dalla (1.75) si ricava che: 1 6

−

1 6

≈

≈

log ν 2 = log ν 1 + n log2 dalla quale si vede che è costante la diff erenza erenza tra le frequenze di taglio della generica banda. Inoltre dalla (1.74) si ricava che: log ν c =

log ν 1 + log ν 2 2

la quale mostra che la frequenza centrale di banda si colloca, geometricamente, al centro della banda stessa.



Bande d’ottava ν i (Hz) ν c (Hz) ν s (Hz) 11 16 22

22

31.5

44

44

63

88

88

125

177

177

250

355

355

500

710

710

1000

1420

1420

2000

2840

2840

4000

5680

5680

8000

11360

11360

16000

22720

30

Bande 13 d’ottava ν i (Hz) ν c (Hz) ν s (Hz) 14.1 16.0 17.8 17.8 20 . 0 22.4 22.4 25 . 0 28.2 28.2 31.5 35.5 35.5 40 . 0 44.7 44.7 50 . 0 56.2 56.2 63.0 70.8 70.8 80 . 0 89.1 89.1 100.0 112.0 112.0 125.0 141.0 141.0 160.0 178.0 178.0 200.0 224.0 224.0 250.0 282.0 282.0 315.0 355.0 355.0 400.0 447.0 447.0 500.0 562.0 562.0 630.0 708.0 708.0 800.0 891.0 891.0 1000.0 1122.0 1122.0 1250.0 1413.0 1413.0 1600.0 1778.0 1778.0 2000.0 2239.0 2239.0 2500.0 2818.0 2818.0 3150.0 3548.0 3548.0 4000.0 4467.0 4467.0 5000.0 5623.0 5623.0 6300.0 7079.0 7079.0 8000.0 8913.0 8913 8913.0 .0 1000 10000. 0.00 1122 11220. 0.00 1122 11220. 0.00 1250 12500. 0.00 1413 14130. 0.00 14130.0 16000.0 17780.0 1778 17780. 0.00 2000 20000. 0.00 2239 22390. 0.00

Tabella 1.3: Valori normalizzati normalizzati delle frequenze centrali centrali e di taglio per bande d’ottava e terzi d’ottava

Acustica Applicata - 1 - Acustica Fisica.pdf

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