VARIOGRAMA
Vario grafía - Interpretación - Modelamiento Como se explicó en la formulación teórica, el variograma de una función intrínseca aleatoria esta expresado por:
En donde Z(x+h) y Z(x) son los valores de leyes en el punto x+h y x respectivamente, considerando que las variables estacionarias e intrínsicas, el promedio de Z(x+h) - Z(x) es cero, el variograma resulta ser el promedio de las diferencias.
Expresado en términos numéricos para aplicación práctica, tenemos:
Los puntos x y x+h se debe entender que pueden estar en un espacio de n dimensiones como n=1, 2 ó 3. En todos los casos es necesario determinar gama(h) en todas las direcciones posibles para identificar la orientación del comportamiento de la mineralización. Si bien la expresión matemática indica que el variograma es función de h, en donde h es la distancia entre pares de muestras, esto significa que la función se creará en base al valor promedio de la diferencia de pares de muestras que se encuentren distanciados a h
VARIOGRAMA A 1 DIMENSIÓN Por ejemplo para el caso de cálculo del variograma en una dirección se tiene en el siguiente ejemplo, Fig. 1, leyes distanciadas cada dos metros. En la Fig. 2 se describe el cálculo de cada punto del variograma para distancias h=2m, h=4m, h=6m, etc.
VARIOGRAMA A DOS DIMENSIONES Para el cálculo del variograma a dos dimensiones es necesario precisar la dirección de cálculo, esta dirección se indica en base a un rango de ángulo que deberán formar los pares de muestras. Cualquier otro par de muestras que no cumplen con el rango de orientación no formará parte del cálculo del variograma. Por ejemplo en el gráfico siguiente se presentan muestras en X e Y.
En la Fig. 3 se observa que el cálculo del variograma se realizará para la dirección N80ºE considerando un ángulo de tolerancia de +/- 15º, que indica que los pares de
Como el variograma es una función de "h", se debe indicar su primer valor, en este caso se fijará en 6 m, el siguiente valor 12 m, el tercer valor 18 m, y así sucesivamente. La forma de cálculo del variograma en esta dirección se presenta como sigue (Fig. 4)
Estos nueve resultados generan el gráfico del variograma, que servirá para interpretar su comportamiento en la dirección calculada, para otras direcciones se deberán volver a realizar lo cálculos tomando pares de muestras que tengan la orientación deseada. Para un cálculo a tres dimensiones el rango del ángulo de orientación de los pares se definirá en un cono teniendo como orientación principal el eje del cono. Para un depósito a tres dimensiones se recomienda calcular los variogramas en
ELECCIÓN DEL MEJOR VARIOGRAMA Una vez calculado el variograma en todas las direcciones posibles, se seleccionan los mejores que tengan características que reflejen el mejor comportamiento de correlación espacial entre las muestras. Entre las formas que adoptan los variogramas, se pueden definir las que se indican en la Fig. Nº 5:
Los tipos de Variograma 1, 3 y 5 tienen una misma característica, no tienen correlación espacial entre las muestras, por lo tanto la estimación de leyes puede ser realizada con cualquiera de los métodos de estimación tradicionales (icd, triangulación, poligonación, etc.). Esto indica que no será posible medir la precisión de la estimación. Sin embargo es importante destacar que la información del variograma sobre el nivel de aleatoriedad (alto, medio o baja) permite determinar el nivel de precisión que se obtendría al aplicar los métodos tradicionales. Los tipos de Variograma 2, 4, y 6, definitivamente indican ventaja superior en la estimación de leyes con kriging, la diferencia entre ellas se encuentra en la diferencia de precisión de la estimación. Por ejemplo para baja aleatoriedad indicado con el variogama 6, la varianza de estimación o el error relativo de estimación será menor que el que se obtenga con los variogramas 2 y 4. Otros aspectos importantes para elegir los variogramas mas representativos del comportamiento de la mineralización son el número de pares utilizados para determinar cada punto del variograma y la altura o valores de la meseta del variograma. La meseta es la línea horizontal máxima que indica el límite en promedio del variograma. Por lo general los primeros puntos del variograma deben tener alto número de pares, a mayor número de pares en cada punto del variograma el valor de éste será mas representativo.
MODELOS AUTORIZADOS PARA EL MODELAMIENTO
Para el modelamiento de un variograma experimental se deben aplicar fórmulas o modelos matemáticos autorizados, estos modelos matemáticos tienen la característica de ser una función siempre positiva para cualquier valor de |h|. A continuación presentamos los modelos autorizados siguientes: Efecto de Pepita (Co): Corresponde a un fenómeno netamente aleatorio, sin correlación entre valores, y sin importar que tan próximos se encuentren ellos. Se aplica por lo general en el origen para h=0. En la práctica se obtiene al inferir y determinar en que punto cruza el variograma experimental con el eje vertical. La interpretación del término "efecto de pepita" se aproxima a imaginar leyes de alto y bajo valor distantes pocos milímetros o centímetros, al aplicar la fórmula del variogram las diferencias entre ellas generan un alto valor del variograma a una distancia h de casi cero metros.
Modelo Esférico: Corresponde a un comportamiento del variograma de crecimiento gradual similar a la figura Nº xx. La expresión matemática es:
para valores de h < a
para valores de h >= a
en donde "a" es el alcance, que es la distancia "h" en donde el variograma alcanza la meseta.
Modelo Exponencial: Corresponde a un comportamiento del variograma de crecimiento muy gradual similar a la figura Nº yy. La expresión matemática es:
en donde "a" es el alcance que equivale en este modelo a un tercio de la distancia que se alcanza a la meseta.
Modelo Potencial: Corresponde a la expresión matemática
en donde el exponente "n" puede adoptar valores entre cero y 2, reproduciendo lo indicado en la figura adjunta. (el signo "^n" se debe interpretar como potencia "n") Tambien se tienen definidos los modelos Gausiano, Cúbico, función Seno. Sin embargo los tres primeros modelos descritos son los mas utilizados para el modelamiento, ya sean estos en forma
MODELAMIENTO DEL VARIOGRAMA El modelamiento del variograma se realiza una vez que se eligieron los variogramas representativos del depósito para las direcciones principales. El modelamiento consiste en elegir el variograma experimental mas representativo de acuerdo a las características mencionadas en el punto anterior. Una vez elegido, el variograma experimental suele presentar algunas formas similares a los tipos Nº 2, 4, y 6. En el modelamiento corresponde aplicar modelos matemáticos "autorizados" para encontrar la fórmula que representen los variogramas experimentales. Así por ejemplo en la Fig. Nº 8 se observa un variograma experimental superpuesto con el modelo autorizado que mas se le aproxima. El modelo autorizado aplicado es el "exponencial", el modelo final encontrado es el que indica para Gama(h). En donde el Efecto de Pepita Co = 0.02
Modelo de variograma de dos
"Dist.Prom" es el promedio de las
Modelo de variograma de tres componentes
En este variograma experimental fue necesario aplicar tres componentes en el modelo
Esta figura presenta un variograma ajustado con tres componentes, el primer componente "efecto de pepita" Co, el segundo componente esférico, y también el tercer componente esférico.
AJUSTE DE UN MODELO DE VARIOGRAMAS. Proceso de ajuste: a) El ajuste debe ser lo mejor posible para los primeros puntos del variograma, estos con los más conocidos, mayor número de pares y los que tienen el peso más fuerte en la estimación, Debe ser porque los primeros puntos tienen más influencia que los que están alejados. b) No siempre es necesario ajustar todo el variograma, sino más bien una parte sobre una cierta distancia de trabajo. Este hecho permite eliminar la tendencia que generalmente se manifiesta después de una cierta distancia (el alcance que se da en el variograma). c) Es difícil de determinar la bondad del ajuste, dado que para ello sería preciso utilizar Funciones de la Función aleatoria que es imposible estimar prácticamente. d) Si se ajusta al efecto de pepita por prolongamiento de los primeros puntos del variograma experimental (los primeros 2 ó 3 puntos con los que van a decidir el valor del efecto pepita). e) El alcance se puede estimar al ojo y un estimador de muestra es la varianza experimental de la muestra, luego se procede por aproximaciones Sucesivas. Pero el método más adecuado, más técnico es el método de REGRESIÓN f) No hay una solución única al problema del ajuste, y para los problemas de estimación es te hecho no tiene mucha importancia, los Variogramas calculados con varios modelos no difieren
Ejemplo: Considere un depósito mineral calculado en forma bidimensional, los Variogramas experimentales en dirección EW, se tratará de ajustar a un modelo de variograma conveniente. En la siguiente tabla se muestra un variograma experimental que fue calculado en valores Ag pertenecientes a muestras tomadas en campo. Distancia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 a = 37 3
11 12 13 14 15
a = 37(3) 2
16 17 18 19
a = 55
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ɣ
(h)* 0.42 0.72 0.92 1.36 1.69 2.03 1.95 2.75 3.65 4.05 3.44 4.55 3.24 3.07 4.52 5.23 6.53 6.41 5.98 5.72 5.26 6.46 7.02 7.55 8.06 8.94 8.48 7.65 7.04 6.49
Distancia 34 35 36 37 38 39 42 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
ɣ
(h)* 9.54 10.98 10.82 10.58 10.21 10.08 8.28 8.08 9.34 9.55 9.87 10.45 10.23 8.87 9.19 10.19 10.73 10.22 9.96 11.64 11.93 12.62 11.35 10.18 10.69 10.03 9.81 10.23 11.85 11.27
Distancia 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
(h)* 11.75 9.91 10.12 9.56 10.91 11.98 12.13 11.45 12.14 12.26 11.69 12.30 11.63 12.98 15.78 17.42 16.72 17.20 17.16 14.67 14.12 14.56 16.04 17.81 20.96 22.70 23.20 24.37 23.67 21.66
ɣ
Ajuste para el variograma ɣ
*(h=4) = C o + C
ℎ − ℎ 3
1
2
2
= 0.2 + 10.3
3
3
− 3
4
1
4
2
55
2
55
= 0.2 + 10.3 (0.1091 – = 1.322 ɣ
*(h=8) = 0.2 + 10.3
3
− 3
8
1
8
2
55
2
55
= 2.43 ɣ
* (h=12) = 0.2 + 10.3
3
− 3
12
1
12
2
55
2
55
= 3.56
ɣ
* (h=16) = 0.2 + 10.3
3
− 3
16
1
16
2
55
2
55
ɣ
* (h=20) = 0.2 + 10.3
3
− 3
20
1
20
2
55
2
55
= 5.57
ɣ
* (h=24) = 0.2 + 10.3
3
− 3
24
1
24
2
55
2
55
= 6.51
ɣ
* (h=28) = 0.2 + 10.3
3
− 3
28
1
28
2
55
2
55
= 7.39
ɣ
* (h=32) = 0.2 + 10.3
3
− 3
32
1
32
2
55
2
55
ɣ
* (h=36) = 0.2 + 10.3
3
− 3
36
1
36
2
55
2
55
= 8.37
ɣ
* (h=40) = 0.2 + 10.3
3
− 3
40
1
40
2
55
2
55
= 9.46
ɣ
* (h=44) = 0.2 + 10.3
3
− 3
44
1
44
2
55
2
55
= 9.92
ɣ
* (h=48) = 0.2 + 10.3
3
− 3
48
1
48
2
55
2
55
= 10.26
ɣ
* (h=52) = 0.2 + 10.3
3
− 3
52
1
52
2
55
2
55
