La construcción del lenguaje matemático Manuel Alcalá
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Biblioteca de Uno
La construcción del lenguaje matemático Manuel Alcalá
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Biblioteca de Uno Serie Didáctica de las matemáticas
Directores de la colección: M.a Luz Callejo de la Vega, Fernando Corbalán Yuste, Joaquín Giménez Rodríguez, Jesús M.a Goñi Zabala, José Muñoz Santoja
© Manuel Alcalá Hernández © de esta edición: Editorial GRAÓ, de IRIF, S.L. C/ Hurtado, 29. 08022 Barcelona www.grao.com
1.a edición: octubre 2002 2.a reimpresión: noviembre 2009 ISBN: 978-84-7827-280-8 ISBN eBook: 978-84-7827-885-5
D.L.: B-4406 2-2009 Diseño de cubierta: Xavier Aguiló Impresión: Publidisa Impreso en España Quedan rigurosamente prohibidos y estarán sometidos a las sanciones establecidas por las leyes, la reproducción o total o parcial de la presente publicación, incluyendo el diseño de la portada, así como la transmisión de ésta por cualquier medio, tanto si es eléctrico, como químico, mecánico, óptico, de grabación o bien de fotocopia, sin la autorización escrita de los titulares del copyright . Si necesita fotocopiar o escanear fragmentos de esta obra, diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org ).
A Toñi
Índice Introducción | 7 1.
Qué son las matemáticas escolares | 11 Una mirada a la historia reciente | 11 Qué es hacer matemáticas | 15
2.
La matemática interpretada como lenguaje | 19 La función simbólica del ser humano | 19 La simbolización notacional | 23 Los sistemas notacionales | 24 De las notaciones al sistema simbólico matemático | 25 El lenguaje matemático | 27 La matemática interpretada como lenguaje | 28
3.
El aprendizaje de la matemática | 33 El aprendizaje matemático: «proceso de significación» | 33 Aprendizaje conceptual | 37 Aprendizaje operatorio | 38 Aprendizaje simbólico | 39 El aprendizaje matemático: «proceso de apropiación de recursos» | 39 Tres visiones del aprendizaje en el aula | 42 De la mente del maestro a la del aprendiz mediante la explicación verbal y el ejercicio repetido | 42 La construcción mediante la acción: de lo concreto a lo abstracto | 43 La formación de códigos simbólicos y operacionales | 45 La jerarquía de los símbolos | 47
. . . . . . 4.
Los cuatro niveles de simbolización | 49 Primer nivel: introducción en el simbolismo. (De los símbolos de primer orden a los de segundo orden, o de la palabra al simbolismo notacional) | 49 De la expresión verbal a la expresión notacional | 52 Segundo nivel: adquisición de las operaciones aditivas y formación operatoria del número natural. (Del cálculo verbal al cálculo notacional) | 54 Tercer nivel: las operaciones multiplicativas y nuevos campos numéricos | 57 Cuarto nivel: el simbolismo de tercer orden | 60 Un ejemplo | 62
.
5.
Introducción en el simbolismo | 63 Los primeros pasos | 63 La enseñanza institucional | 66 Las cifras y la escritura aritmética | 67
6.
Las operaciones aditivas | 69 La tradición lógico-conjuntista | 70 La tradición aritmetista | 73 5
Enfoques eclécticos | 77 La simbolización en el aula | 79 Fase de introducción: recreación colectiva del código | 82 Fase de profundización | 93 Fase de consolidación | 99 Concluyendo | 104
. . . 7.
Las operaciones multiplicativas | 105 Del pensamiento aditivo al pensamiento multiplicativo | 105 El lenguaje de la multiplicación y la división | 107 Fase de introducción (multiplicación) | 108 Introducción a la división | 117 Fase de profundización | 118 Fase de consolidación | 123
. . . . 8.
El simbolismo de tercer orden | 125 Los símbolos de tercer orden | 126 La enseñanza del álgebra inicial | 127 Introducción en el lenguaje algebraico | 128 Utilización de la expresión algebraica para la resolución de problemas | 130 El mundo de las ecuaciones | 132 Los referentes | 133 Los problemas-tarjeta | 134 Las opciones | 134 El proceso | 135 Nivel 1: problemas de tipo aditivo | 135 Nivel 2: problemas de tipo multiplicativo | 139 Nivel 3: ecuación fundamental | 143 Nivel 4: reducir y trasponer términos semejantes | 146 Nivel 5: ecuaciones con enteros | 151 Nivel 6: los paréntesis y la propiedad distributiva | 152 Para terminar | 154
. . . . . . . . . . . 9.
La enseñanza de las matemáticas en la escuela obligatoria | 155 La diversidad como condición pedagógica | 156 El ambiente de clase: el aula como comunidad de aprendizaje | 157 La organización del trabajo: hacia el aprendizaje autónomo | 158 La matemática de la escuela obligatoria: «la matemática como lenguaje» | 159 Priorizar la enseñanza indirecta | 160 El aprendizaje matemático | 163 La organización de la actividad: sesiones versus lecciones | 164 El «plan de trabajo»: una herramienta organizativa flexible | 165 Un lema: la variabilidad permanente como distintivo | 167 Evaluación flexible y compartida | 168 La práctica de la evaluación flexible y compartida | 172 Concluyendo | 174
. . . . . . . .
Bibliografía | 175
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Introducción A cualquier persona estudiosa de la educación matemática le parece evidente que la enseñanza de las matemáticas escolares ha evolucionado en los últimos años: se le ha venido asignando metas amplias y diferentes a las antiguas, se han introducido contenidos novedosos, reorganizado el currículo, etc. Sin embargo, el día a día de las aulas, la forma en la que el conocimiento matemático llega al alumnado no ha mejorado gran cosa en los últimos treinta años. Y ello a pesar de las aportaciones de la investigación (psicología, didáctica, etc.); a pesar de la abundancia de cursos de educación matemática que se han venido impartiendo al profesorado, del cúmulo de material didáctico comercializado, del descenso de la ratio maestro/número de alumnos, etc. Todavía hoy siguen teniendo validez las palabras que escribiera Dienes hace casi cuatro décadas en La construcción de las matemáticas (p. 5): Actualmente son muy pocos los profesores de matemáticas, cualquiera que sea el nivel en que trabajan, que se encuentren honestamente satisfechos del modo como transcurre su enseñanza. Efectivamente, son muchos los niños que sienten antipatía por las matemáticas –antipatía que aumenta con la edad– y muchos los que encuentran dificultades casi insuperables en las cuestiones más sencillas. Hay que reconocer que la mayor parte de los niños nunca logra comprender la significación real de los conceptos matemáticos. En el mejor de los casos, se convierten en consumados técnicos en el arte de manejar complicados conjuntos de símbolos, pero la mayor parte de las veces acaban por desistir de comprender las imposibles situaciones en que las exigencias matemáticas escolares de hoy les colocan. La actitud más corriente consiste, simplemente, en esforzarse en «aprobar el examen», tras lo cual nadie dedica a las matemáticas ni un pensamiento más. Con muy pocas excepciones, esta situación se puede considerar lo bastante general como para llamarla normal.
La situación actual de la enseñanza de la matemática en la escuela obligatoria se debe, sin duda, a la confluencia de múltiples factores causales, pero, en mi opinión, uno de los factores más influyentes es la concepción dominante entre el profesorado y las familias sobre qué es la matemática escolar. Mayoritariamente se cree que la matemática escolar ha de ser, simplemente, un conjunto de técnicas de cálculo y de estrategias para la resolución de problemas con números: saber hacer cuentas y aplicar las cuatro operaciones aritméticas básicas. A esa concepción, reduccionista, aunque dominante, del conocimiento matemático escolar se une otra idea muy extendida: la de que el conocimiento matemático escolar puede ser transmitido –y, por tanto, aprendido– mediante enseñanza directa concretada en la secuencia «explicación verbal (pizarra)-ejercitación (lápiz y papel)». Es decir, impera también una concepción del aprendizaje de las matemáticas escolares conformada a base de tradición y de sentido común que es coherente con 7
la perspectiva epistemológica antes citada. Ambas ideas toman cuerpo en el aula unidas formando un todo global que se apoya en una tercera idea firmemente arraigada, en una creencia: toda enseñanza produce aprendizaje. Pero la realidad de las aulas y el fracaso escolar generalizado –en matemáticas todos los estudios han venido constatando un fracaso superior al 30% desde hace muchos años– muestran que toda enseñanza no produce aprendizaje, que la enseñanza directa o metodología de pizarra, papel y lápiz no es ni la mejor ni la única forma de abordar la enseñanza de la matemática, máxime en primaria. Y, por supuesto, la realidad es tozuda mostrando que la concepción de la matemática antes citada es una interpretación reduccionista que prioriza el aprendizaje de rutinas y la memorización de datos en detrimento del desarrollo del razonamiento y de la capacidad de resolver problemas. Pretendo en este trabajo exponer unas ideas que, traducidas en práctica concreta, pueden ayudar a mejorar la enseñanza de la matemática en la escuela. Esas ideas se centran, por un lado, en interpretar de modo diferente la matemática escolar: la matemática interpretada como un lenguaje. Por otro, en apreciar de distinta forma el aprendizaje matemático escolar; si habitualmente éste es interpretado como una secuencia de sucesos de carácter individual y receptivo, aquí lo interpretaremos como un proceso de construcción de significados de complejidad creciente. Y, finalmente, en concretar los dos tópicos anteriores organizando el trabajo y la dinámica del aula bajo principios coherentes con ellos. Esos tres pilares son los ejes alrededor de los cuales gira el contenido de estas páginas. El texto está dividido en nueve capítulos. El primero de ellos, «Qué son las matemáticas escolares», se refiere a la evolución del concepto de matemáticas escolares en los últimos decenios e intenta precisar cuál sería, desde la perspectiva del docente interesado en el aprendizaje comprensivo, la mejor concepción. A efectos prácticos hay que diferenciar entre la matemática «que hacen los matemáticos» y las matemáticas escolares. En el segundo capítulo, «La matemática como lenguaje», se toma partido claramente y se expone una interpretación de la matemática escolar que puede ser útil, esto es, que puede integrar diferentes concepciones metodológicas: la matemática puede ser concebida como un lenguaje, es decir, como un sistema simbólico comple jo, pero de rasgos peculiares. El universo matemático escolar se materializa en signos al tiempo que se construye gracias a ellos. Una clase de signos está formada por los términos específicos y las expresiones verbales adecuadas: número, decena, cuatro, igual a, plano, recta, decimal, etc. Otra clase de signos son las notaciones y expresiones simbólicas organizadas: 3, +, =, etc. La lengua natural sirve tanto de nodriza para la formación de los significados como de medio necesario para la comunicación, pero la matemática puede verse como un reino especial, como un lenguaje del que destacaremos su sistema notacional. Y haremos hincapié en el aprendizaje y uso de los códigos notacionales que forman parte del sistema simbólico matemático. El tercer capítulo, «El aprendizaje de la matemática», intenta dar una visión amplia del aprendizaje matemático a lo largo de la escolaridad. La idea central que se sostiene es la siguiente: el aprendizaje matemático es, fundamentalmente, una cons8
trucción del aprendiz, pero una construcción mediada, es decir, realizada a través de mediadores simbólicos: los signos que, progresivamente, van formando organizaciones estructuradas. Y es el mayor o menor dominio de esos signos y estructuras lo que favorece el avance en el aprendizaje. ¿Cómo se va realizando ese largo proceso de construcción activa? ¿Qué itinerario siguen los aprendices? Pues bien, ese largo proceso viene a ser un recorrido seccionado en cuatro tramos, etapas o niveles de referencia que llamaremos niveles de simbolización. A eso está dedicado el capítulo cuarto, «Los cuatro niveles de simbolización». Su importancia radica tanto en su utilidad para interpretar el aprendizaje de cada niño y niña como en ser una buena ayuda para la preparación del trabajo en el aula. A continuación se insertan cuatro capítulos más, cada uno dedicado a uno de los cuatro niveles mencionados: El capítulo quinto, «Introducción en el simbolismo», comenta los primeros pasos, es decir, la inmersión en el mundo simbólico y la apropiación de los primeros significados y, por tanto, de los primeros razonamientos apoyados en notaciones. El capítulo sexto, «Las operaciones aditivas», se centra en dos puntos: la construcción de las operaciones aditivas y, a la vez, el número como sistema de notación. El capítulo séptimo, «Las operaciones multiplicativas», está dedicado a este tipo de operaciones. Y el capítulo octavo, «El simbolismo de tercer orden», comenta la simbología de tercer orden y, con ella, la introducción en «otra matemática» de la mano de los números enteros, el razonamiento proporcional y el lenguaje algebraico. Finalmente, el capítulo noveno, «La enseñanza de las matemáticas en la escuela obligatoria», compendia unas ideas y propuestas acerca de la enseñanza actual concebida como «matemática para todos en una escuela para todos».
. . . . .
Años de trabajo en el aula, de ensayos y experiencias, de lecturas y reflexiones han hecho posible las ideas que se exponen en estas páginas. Esfuerzos que se verían gratificados si resultaran sugerentes y provechosos a quienes las lean; si fueran útiles en la difícil tarea de mejorar la educación matemática de nuestras escuelas; si, en alguna medida, sirvieran de ayuda a ese contingente de maestras y maestros que, día a día, encaran con ilusión su trabajo.
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1 Qué son las matemáticas escolares El campo de la educación matemática es un complejo universo caracterizado, entre otras cosas, por la variedad de interpretaciones que se confieren a los términos mismos que se emplean en él, por la multiplicidad de enfoques metodológicos, por el inabarcable abanico de materiales y recursos que lo componen. En efecto, ¿qué significado damos al término «matemáticas en la escuela»? Cuando decimos que la matemática es muy importante para la vida, ¿a qué estamos haciendo referencia concretamente: a saber algoritmos de lápiz y papel, a resolver situaciones mediante buenas estrategias, a razonar con precisión, a ser un buen calculista, a...? ¿Valoramos de igual modo los distintos componentes de eso que llamamos matemáticas cuando evaluamos el aprendizaje matemático? Ciertamente, en el ámbito educativo no hay una respuesta comúnmente asumida ni sobre qué son las matemáticas escolares, ni sobre qué es lo esencial y lo secundario en la educación matemática. Puesto que las interpretaciones son muy variadas, veamos qué sentido y significación manejamos en estas páginas cuando hablamos de las matemáticas escolares, pues ello es de la mayor importancia ya que, como sabemos, la concepción que cada docente tiene de la matemática escolar es determinante para la enseñanza que va a hacer de ella. Con intención de hacer clara la exposición, haremos, primero, un breve recorrido histórico para ver cuál ha sido y cómo ha ido evolucionando la concepción dominante de la matemática escolar en épocas recientes, y, a continuación, trataremos de precisar nuestra idea.
En educación las concepciones y propuestas de enseñanza en el presente son consecuencia del pasado y condición del porvenir. Nada surge ex novo, por generación espontánea, sino que está determinado por el pasado. Así, revisando la historia reciente podremos llegar a comprender mejor las ideas actuales. Comencemos a analizar, aunque sea someramente, lo que nuestra memoria personal puede abarcar, es decir, desde mediados del siglo pasado: los años cincuenta. 11
Y en el ámbito español. La matemática de la escuela elemental de los años cincuenta se centraba en la enseñanza de las cuatro operaciones aritméticas básicas –«las cuatro reglas»– en la resolución de problemas comerciales y métricos (el Sistema Métrico Decimal) –problemas «de la vida real», se decía–, y elementales nociones de geometría euclídea. Un detalle importante que hay que tener en cuenta es que más que la expresión «enseñanza de la matemática» se solía emplear la de «enseñanza del cálculo», o bien «aritmética». La acción docente perseguía, fundamentalmente, que cada alumno y alumna llegara a apropiarse de las rutinas y procedimientos que le serían útiles para su vida social o profesional. El centro del currículo eran, pues, las «cuentas» o algoritmos de lápiz y papel, y los modelos de resolución de problemas. La matemática de la escuela elemental se convertía así en un conjunto de técnicas calculatorias, de modelos de resolución (correspondientes a cada una de las cuatro operaciones más sus variantes) y de conceptos y términos específicos. Su enseñanza era, frecuentemente, interpretada como adiestramiento, pues se pretendía que con la explicación del maestro y el ejercicio insistente y reiterado del alumnado, éste se apropiara de los contenidos establecidos. A lo largo de los años sesenta la escuela elemental española sigue en la misma línea, pues las condiciones políticas la mantenían al margen del gran proceso de cambio que se estaba fraguando en esta década en el ámbito internacional. Tales cambios, innovaciones y nuevas interpretaciones hacen su entrada en el panorama educativo español en los años setenta desde dos polos. Uno, el oficial: la Ley General de Educación, ley «Villar Palasí», de 1970 con sus «Nuevas Orientaciones Pedagógicas» y las publicaciones propagandísticas de las innovaciones que aportaba la ley. El otro lo constituyen las traducciones y divulgaciones de obras foráneas y la actividad tenaz de colectivos renovadores que la disolución de la dictadura política permitió emerger a lo largo de la década de los setenta. Pero de la efervescencia ideológica y política de los setenta no vamos a hablar aquí; sí lo vamos a hacer, en cambio, de las ideas que afectan a nuestro tema, pues la matemática escolar comienza por estos años a ser vista como un factor de desarrollo intelectual. En efecto, las iniciativas para el cambio en la enseñanza de la matemática que van cristalizando en los años sesenta en Occidente, sobre todo en Estados Unidos, Reino Unido y Francia proceden de tres ámbitos: el propiamente matemático, el psicopedagógico y el político. Los sectores más progresistas en el ámbito matemático aconsejaban que los avances y cambios producidos a lo largo del siglo en la matemática como ciencia tuvieran un reflejo en la enseñanza. La necesidad de un cambio en los currículos que modificara los contenidos tradicionales adaptándolos al sentir de la época e introdujera otros nuevos se va extendiendo entre investigadores y profesionales de la enseñanza. La enseñanza actual de las matemáticas, se creía, debe responder al espíritu y necesidades de la época e incluir las teorías modernas. La lógica elemental y el enfoque conjuntista (conceptos, terminología, estructuras), por ser lo considerado básico y unificador, serán introducidos en las escuelas elementales. Las nociones de estructura y de función, elementos de estadística y combinatoria, el trabajo en bases de numeración distintas, nuevos campos numéricos y un enfoque distinto de la geometría van a ir engrosando, poco a poco, los distin12
tos currículos. Su enseñanza vendría siendo concretada por medio de diferentes proyectos experimentales y encuentros internacionales. Con la renovación de los contenidos se pretendía no sólo incluir conocimientos actualizados sino, además, y esto es importante, inculcar un nuevo modo de pensar que fomentara el razonamiento lógico y capacitara a los futuros jóvenes para el trabajo científico. Al conjunto de los nuevos contenidos se le denominó, con fin propagandístico, «matemática moderna» o «nueva matemática». Por otra parte, las innovaciones venían arropadas por interpretaciones del aprendizaje que daban apoyo a la enseñanza activa. De especial incidencia fueron Piaget y colaboradores: la Escuela de Ginebra. El psicologismo (o fundamentación psicológica a las diferentes pedagogías) fue ganando cada vez más terreno en el ámbito educativo. Hecho que al coincidir con la nueva visión de la matemática escolar impulsó que se magnificara la relación entre rasgos de la matemática (orden, precisión, etc.) y formación de la mente. De ese modo se consideró que mediante la enseñanza activa de la nueva matemática se podría ayudar a los aprendices a pensar con rigor, a desarrollar el razonamiento lógico, a generalizar y expresarse con precisión, etc. Por tanto, la enseñanza de la matemática tenía ahora una nueva meta: contribuir a la formación integral de los escolares desarrollando el razonamiento, las capacidades simbólicas y el pensamiento abstracto. De este modo la matemática escolar, que en años anteriores se circunscribía al aprendizaje de destrezas calculatorias y de resolución de problemas específicos, ahora veía ampliadas sus funciones, pues su aprendizaje contribuía al desarrollo del pensamiento del aprendiz. La orden ministerial del 2 de diciembre de 1970 en la que se recogen las «Nuevas Orientaciones Pedagógicas» contiene párrafos ilustrativos de lo que comentamos (p. 63): Una de las funciones fundamentales de las matemáticas es la de ordenar conocimientos y crear estructuras formales que los resuman y expresen. Las estructuras formales están caracterizadas por unas leyes que permiten aplicarles, de modo preciso, unos automatismos, entre ellos el automatismo de la lógica, que facilita su utilización en problemas variados [...]. De lo dicho se desprende que la enseñanza de la matemática en todos los niveles y, preferentemente, en la EGB debe centrarse en el proceso de matematización de problemas, creación de sistemas formales, utilización de las leyes de estos sistemas para obtener unos resultados e interpretación de los mismos. Estos objetivos se alcanzarán si se considera que las estructuras que el alumnado maneja enlazan, cada vez más, las distintas áreas de expresión y experiencia [...]. De aquí la justificación de introducir la matemática moderna, cuyos procedimientos facilitan la creación de estructuras formales que permiten ser utilizadas en gran número de situaciones distintas.
Esa concepción de la matemática fue penetrando en todos los ámbitos educativos (libros de texto, el aula, materiales de apoyo, etc.) a lo largo de los setenta y ochenta ayudada por los enfoques metodológicos que daban prioridad al desarrollo de capacidades, a la construcción del conocimiento por parte del aprendiz. Es decir, de la mano de las posiciones más innovadoras: enseñanza por descubrimiento o in13
vestigación, la enseñanza ambientalista o adaptada al entorno, la enseñanza basada en la resolución de problemas, etc. Nos encontramos, pues, con el hecho de que, paulatinamente, a lo largo de los últimos setenta y la década de los ochenta fue evolucionando la idea que se tenía en años anteriores sobre lo que era la enseñanza de las matemáticas gracias, sobre todo, a la acción decidida de los sectores más avanzados del profesorado. Antes de la década de los setenta se pensaba que enseñar matemáticas consistía, básicamente, en transmitir unos conceptos determinados (decena, ángulo, décima, etc.), unas destrezas calculatorias, sobre todo algorítmicas (las «cuentas») y unos patrones de resolución de problemas, tal y como venían indicados en los programas. Pero a partir de los setenta va calando la idea de que la enseñanza de las matemáticas básicas puede ser un medio excelente para desarrollar ciertas capacidades, por lo que la exposición verbal y la ejercitación, secuencia instructiva típica de la concepción anterior, no parece ya la mejor manera de acometer su enseñanza. Se trata ahora de convertir a cada niño y a cada niña en protagonista de su propio aprendizaje, proponiéndole actividades y pidiéndole participación activa en la manipulación de materiales, en la resolución de situaciones, en la organización de su propio trabajo. Es decir, las nuevas concepciones sobre las matemáticas invitan a realizar cambios, también, en métodos de enseñanza y en utilización de materiales. Por otra parte, hay que tener en cuenta, además, un fenómeno interesante: el hecho de que a medida que van pasando los años setenta y ochenta la matemática se va convirtiendo en disciplina estrella de todos los currículos. Ello es debido a la creciente matematización que sufre nuestra tecnologizada sociedad y, por tanto, a la necesidad de unos conocimientos matemáticos que ayuden a interpretar el entorno. A medida que va creciendo el prestigio social de la matemática se va hablando con más fuerza de educación matemática, expresión que contiene un significado más amplio que la de enseñanza de las matemáticas. Y se habla de educadores matemáticos matizando, con ello, el significado de «profesores de matemáticas». Con esos precedentes llegamos a los años noventa, década en la que va a predominar el sesgo culturalista en psicología de la educación, y el constructivismo como paradigma interpretativo de los fenómenos de enseñanza y aprendizaje. Década que se iniciará con la promulgación de una nueva ley en 1990 –la LOGSE– que marcará la enseñanza de las matemáticas de estos últimos años haciéndose eco de las tendencias antes citadas. Cuando hablamos hoy de educación matemática vamos más allá de los meros conocimientos instrumentales programados y nos referimos a aquellos hábitos y virtudes que la matemática puede aportar al escolar: valores que son inherentes a la práctica de la actividad matemática. Como dice Bishop (1999, p. 20): Educar matemáticamente a las personas es mucho más que enseñarles simplemente algo de matemáticas. Es mucho más difícil de hacer y los problemas y las cuestiones pertinentes constituyen un reto mucho mayor. Requiere una conciencia fundamental de los valores subyacentes en las matemáticas y un reconocimiento de la complejidad de enseñar estos valores a los niños. No basta simplemente con enseñarles matemáticas: también debemos educarles acerca de las matemáticas, mediante las matemáticas y con las matemáticas. 14
