sabcn, en aritmetica de fracciones sucede que n ~ / n= r/s si y solo si rns = nr.. Eslo nos da un crilerio mas eficaz para resolver nueslro problema, a sabet,
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Denotemos por a h el hecho de que a esli en la misma celda-que h para una particion dada de un conjunto que contenga tanto a a como a h . Es claro que siempre se satisfacen las propiedades siguientes:
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a a. El elemento a esta en la misma celda que el mismo. S i a b enronces b a. Si a esta en la misma celda que 6, entonces h esta en la n,isma celda que a. Si a b y h c, enronces a C. Si a esta en la misma celda que b y h esta en la misma celda que c, enlonces a esta en la misma celda que c.
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El siguiente teorema es lundamental; afirma que una relacion entre elemenlos de un conjunto que satislace las tres propiedades recien descritas. produce una particibn natural del conjunto. Muchas veces, exhibir una relacion con estas propiedades, es la Iorma mas concisa de describir una particion de un conjunto, y es por esla razon que analizamos ahora este material.
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Teorema 0.1 Sea S un conjunro no uacio y sea una relacidn enrre elemen10s & S que satisface lar propiedades siguienres: I (Reflexividad)a a para rodas 10s a E S. 2 (Simerria) Si a b, enronres b a. 3 (Transirividad) Si a by b c, enronces a c. Enronces, produce una parricibn natural de S , donde
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--
es la celda que conriene a a pora roah las a E S. Reciprocamenle, -ada parricibn de S & lugar a una relacidn norural que sarisface las propiedades reflexha, simdrrica y rransiriua si se define a b como a E 6. Demosrraci6n Ya hemos demostrado la parte ccreciproca), del teorenm. , Para la afirmacibn directa. solo Ialta demostrar que las celdas definidas por ci = { x E S I x a] si consliluyen, en electo, una p-rtici6n de S, esto es. que todo elemento de S esta en exacramena una celda. Sea a E S. Entonas a € ci, por la condicion I, de modo que a esta en a1 menos una celda. Supongamos ahora que a tambien esluviera en la celda 6. Es necesario mostrar que ii = 6 c o m o conjuntos; esto mostraria que a no puede estar en mas de una czlda. Para ello mostramos que cada elemento de ii esta en 6 y cada elemento de 6 esta en o'. Sea x E ii. Entonces, x a. Pero a E 6, luego a b; entonces, por la condicion transitiva (3),x b de modo que x E 5. Asi, ci es parte de 6. Sea ahora y e 6. Entonces y b. Pero a 6, de manera que a b y, por simetria (2), b a. Entonces, pot transitividad, y a, de modo que y E i. De aqui
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Operaclones binarias
LC&I cs el ingrediente bhsim del Upbra? El primer contacto de un nifio con el Blgebra se da cuando se le e n s e a~ sumar y multiplicar niimeros. Analicemos lo que en realidad suaede. Supongamos que ustodes visitan una civilizaci6n desconocida en un mundo deseonocido y observan a una criatura de cse mundo, en un salon de clases, ensmiando a sumar a otras criatuns. Supongamos a d r m b que ustedcs ignoran que el grupo apmnde a sumar, usledes simplemente crthn colocados en esa habitati6n como observadom y se pide h a a r un informe sobn lo que ban visto exactamente. El maestro m i t e unos ruidos que suenan aproximadamente como glup, poir. Los alumnos mponden bimr. A continuaci6n el maestro dice ompl. gafi y 10s alumnos mponden poil. iQuC a t h n hacicndo? Usteds no pueden informar que estkn sumando ncmeros, p u a ni siquiera wben que 10s sonidos represeatan n h r o s . Naturalmcntc, ustedcs mmprenden que existe mmunicac i b . Todo lo que pueden decir con scguridad es que e t a s criaturas conocen alguna ngla, de manera que al dcsignarse ciertos p a r a de cows en su lenguaje. una d s p h de otra, como glup, poir, eUos puoden ponerse de acuerdo en una mpuesta, b h t . Este proceso es igual al que ocurre en un aula de primer a80 a1 ensefiar a sumar; el maestro dice cuarro, side y 10s alumnos responden once. De este modo, al a n a l i r la suma y la multiplicacion de nttmeros, vemos que la suma es bkicamente una regla que sc aprmde y que nos permite asociar a cada dos nbmeros en un orden dado, un nbmem w m o mpuesta. La multiplicacibn tambitn es una regla, pero diferente. Por dltimo, d t e s e que a1 jugar con 10s estudiantes, 10s maestros deben tener algo de cuidado a a r c a de 10s pares de cosas que dicen. Si de repente un maestro de primer ado dice diez, cielo, 10s pobres
1.2 OEFlNlClON Y PROPIEDADES
11
alumnos se confundiran. La regla ata delinida solo para pares dr rlenientos dcl mismo mnjunto.
1.2
DEFlNlClON Y PROPIEDADES
Corno rnalematicos, tralernos de recoger la parte rnedular de esras ide;~sbhsicas en una delinicion util. Como ya dijirnos en Is seccion introductorin. no inlentamos definir un conjunto. D e i m k i h Una opcrauidn bimuia en un majunto, es una regla quc asigna a cada par ordenado de clernentos de un conjun~o.algun dcrnento dcl conjunto.
La palabra ordenudo es rnuy importante en esta definition. pucs da la posibilidad de que el elernento asignado al par (a, h) pueda scr dilcrc~i~c del elemenlo asignado al par (h, u).Tambikn tuvimos cuidado de no deoir quc ;I cada par ordenado de elemenlos sc le asigna orro o un rercer elemento. pucs quercmos permitir casos tales como 10s que ocurren en la surna de nurneros. dondc a (0. 2) se le asigna el numero 2. En las primeras secciones denotaremos por a . h al elemenlo asig~lndo;II par (a, 6) por *. Si en un analisis simullaneo hay difcrentes operacioncs hinc~rii~s. st usadn subindices o supraindices en para distinguirlos. El melodo mas iniportante para describir una operacibn binaria particular en un conjunto d:ido es el de caracterizar al elemento a * h asignado a cada par ((I, h) meciin~~lc ilguna propiedad delinida en lirminos de a y h. Ejemplo 1.1 [jefinase en Zt una operacion binaria r por u . 11 quc cs igual al minim0 cntre 9 y h o a1 valor combn si u = h. Asi, 2 I I = 2: 15 1 0 = 10 y 3.3 = 3.. Ejemplo 13 Lklinase en Z' una operilcion binaria *' mediante 2*'3=2;25*'10=25y 5*'5=5.
11 r ' h
= u. Asi,
Eplnplo 1 3 Dcfinase en Z+ una operacion binaria *" mediantc r r *" h = = (a h) 2 donde esta definida en el ejemplo 1.1. Asi, 4 *" 7 = k 25 *" 9 = I I y 6 *" 6 = 8. m
+
Quizi les parque estos ejemplos no son imporlantes, p r o pienxnlo hien. Supngamos que van a una tienda a comprar una deliciosa barra dc chocvlnte. Supngamos que ven dos bsrrarj idknticas, la eliqueta de una dicc 996 y la etiqueta dc la otra d i a 94C. Por supuesto, toman la de 94$. St1 c:~pacid:ld para saber cuil quieren depende del hecho dc que alguna vez en su viJa :~prcndicronI;I operacion binaria del ejemplo 1 .I. Er una operucii,n nrll!, i n r ~ r n r r o ~Asi ~ r ~~nismo, ~.
la operacion binaria r' del ejemplo 1.2 claramente depende de la habilidad para distinguir orden. A menudo se ilustra la importancia del orden pensando en el lio que resultaria si trataran de ponerse primer0 10s zapatos y despuks 10s calcetines. No deben apresurarsc a descartar algunas operaciones binarias creyendo que son de poca importancia. Es claro que las operaciones usuales de suma y multiplicacion de numeros lienen una importancia practica bien oonocida por todos. Escogimos 10s ejemplos 1.1 y 1.2 para demostrar que una operacibn binaria puede o no depender del orden del par dado. Asi, en el ejemplo 1.1, a h = h . a para toda a, h~ Zt, y en el ejemplo 1.2 eslo no sucede, pues 5 *' 7 = 5 pero 7 r' 5 = 7. Supongarnos ahora que se desea considerar una expresion de la lorma a r b r c. Una opcracibn binaria r pcnnite combinar s61o dos clernentos y aqui hay tres. Las maneras obvias de inlentar combinar 10s tres elementos son ( a 6 ) c o a (6 c). Con definida oomo en el ejemplo 1.1, (2 5) r 9 se calcula 2 r 5 = 2 y despuks 2 r 9 = 2. Asi mismo, 2 r (5 9) se calcula 5 9 = 5 y despub 2 r 5 = 2. De aqui que (2 r 5) 9 = 2 r (5 r 9) y se observa facilmente que para esla l
de manera que no existe ambiguedad al escribir a h* c. Pero para ejemplo 1.3
r"
del
mientras que
Asi, ( a 8'' h) r"c no neoesariamente es igual a a *"(h*"c) y la expresion a *"h *"c puede ser ambigua. DeIinki4n Una operacion binaria r en un conjunlo S es conmvrativa si (y solo si) a r h = h r a para toda u. h S. La operacion r es asociariva si (y solo si) (a b) c = u (h r c ) para toda a, h, c E S. Como sefialamos en la seccion introductoria, es costumbre en matematicas omitir las palabras y sblo side una definicion. Se entiende que las definiciones son siempre afirmaciones del tipa si y solo si. Los reorema no siempre son afirmacioI nes del rip0 si y s6lo si y dichu conurncibn nunca se usa pora reoremas.
No es dificil moslrar que si es asociativa, entonces expresiones mas largas como a 8 h c d no son ambiguas. Para prop6sitos de calculo, 10s parkntesis pueden insertarx dc cualquier modo: el resultado final de dichos calculos seri el mismo.
1.4 ALCUNAS PALABRAS DE ADVERTENCIA
1.3
13
TABLAS
Para un conjunto finito, tambitn se puede definir una operacion binaria en el conjunto, mediante una tabla. El ejemplo siguiente muestra cbmo l o haremos en este libro. Ejemplo 1.4 la regla
La tabla 1.1 define la operaci6n binaria
en S = {a. h, r ) mediante
(iisimo lugor en la izquierda) (j-tsimo lugar arribo) = = (lugar en el i k i m o renglcin y j-sima columna dc! cuerpo & la tabla). Asi, a r b = c y b r a = a de modo que
r
no es conmutativa.
Tabla 1.1
$# c
c
b
o
E l estudiante puede observar Ucilmente que una operacibn binario definida mediante UM rabla es conmutarha si y scilo si la tabla es sim2rrica con respecto a la diagonal que empieza en la esquina superior izquierda de la rabla y rermina en la e s q u b trjerior derecha. Suponemos siempre que 10s elementos del eonjunto estsn listados en la parte superior de la tabla en el mismo orden en que eslhn listados a'la izquierda. Con exccpcion del 1.4, nuestros ejemplos de operaciones binarias sc han definido en conjuntos de numeros. Es importante comprender que las operaciones binarias pueden delinirse en cualesquiera wnjuntos. En efecto, estudiaremos muchas operaciones binarias importantes en conjuntos cuyos elementos no son numeros. Algunos de 10s ejemplos dados mis adelante consisten en wnjuntos cuyos elementos son funciones. Suponemos que 10s ertudiantes estan hmiliarizados con ciertas funciones por sus cursos de d c u l o , entre ouos. Comprendemos que quizi por el momento no entiendan el concept0 de funcion; y mas adelante diremof algo sobre ello. Sin embargo. ya queremos ligar 10s conceptos recitn presentados con las matemiticas que ya saben.
1.4 ALGUNAS PALABRAS DE ADVERTENCIA Partiendo de su propia cxperiencia., e l autor sabe del caos que puede rcsultar si a un estudiante se le pide definir alguna operaci6n binaria en un conjunto. ObsEr-
14
OPERAClONES BINARIAS
vese que al definir una operacibn binaria seguros de que
en un conjunto S debemos estar
I se asigrlc e.raclarllcnlc un clrrrlenro a cada par ordcnado posible dc clcnirnro dc S, 2 para coda par adr~radodr clcrrrcnro.r flr S, r l el',frrorto asignado ~,.rfk1.n S.
Con respecto a la condicibn 1, 10s esludiantes suelen dar reglas que asignan u n elemenro de S a la amayorias de 10s pares ordenados, pero para algunos parcs la regla no delermina ninglin elernento. En este caso, no se ha detinido r. Tambien puede suceder que para algunos pares, la regla asigna cualquiera enye varios ekmentos de S, esto a,existe arnbigiedad. En caw de ambigiiedad. no u t P bien definida. Si se viola la condici6n 2, enlonces S no u cerrado bnjo *. Ilustrarernos ahora algunos intentos por definir operaciones binarias en conjuntos. Algunos son fallidos, como se setlala. Puesto que no se compararan las operaciones, denotaremos lodas por *. Ejemplo I S En Q, udefinasea por a r b = alb. Aqui, no rsrd drfinida ya que csta regla no asigna un nurnero racional al par (2.0).
.
Qmplo 1.6 En Q ' definasc r por o b = a/h. Aqui se satisfamn las condiciones 1 y 2 y r es una operacibn binaria en Q+.
.
Ejemplo 1.7 En Z+ udelinasew por a h = olh. Aqui se viola la condicibn 2, pues 1 + 3 no esd en Z'. Asi, noes una operacibn binaria en Z * ya que Z' !to es cerrado bop *. rn Ejcmplo 1.8 Sea S el wnjunto de tcdas las funciones w n valores reales definidas para todos 10s nimeros reales. Dzlinase r corno la surna usual de dos funciona, esto es,f g h donde h(x) = f ( x ) g(.r) para l; g E S y x E R. Esta ddinicibn de r satisfaa las condiciom 1 y 2 y nos da una operacibn binaria en S.
-
+
Ejcmplo 1.9 Sea Scorno en el ejemplo 1.8, ddinase wrno el producto usual de dos funciones, =to cs,f wg = h donde h(x) = f(xlg(x) Di nuevo esta definition es b u m y da una operaci6n binaM en S. rn Ejemplo 1.10 Sea S como en el ejemplo 1.8. udelinaser r wmo el cociente usual defpor g, esto a , / * g = h donde h(x) = f(x)/&). Aqui se viola la condicibn 2, ya quc las funcioncs en S deben esrar definidas para r&s 10s nlimeros reales y para algunag 6 S. g(x) sera a r o para algunos valores de x en R y h(.r)no estaria definida en csos nhrneros en R. POI ejemplo, si f(x) = w s x y g(x) = s2enlonces h(0) no esth delinida, de modo que h + S.. Ejemplo 1.11 Sea S wmo en el ejemplo 1.8; delinase)>* p o r f r g = h donde k es una funcibn mayor que f y g. Esta ccdeliniclbn* es completarnenle inutil. En
primer lugar, no se ha dclinido lo que signitica que una funcion sea mayor que otra. Airn si se hubiera hecho, cuelquier detinicion razonable conduciria a la existencia de muchas lunciona mayores que f y que g y no esroria- hien
.
dfinida.
Ejemplo 1.12 Sea S un wnjunlo lormado par veinte personas, todas ellas con dilerente eslalura. Definase por a b = r donde c es la persona mas alta de las veinte en S. Esta es una operacibn binaria wrrecta en el conjunto, aunque no sea particularmente interesante. Ejemplo 1.13. Sea Scomo en el ejemplo 1.12, (
por a h = c donde c a la persona mis baje en S que es mas dta quc a y que b. Esta no esrd definido pues si a o b a la persona mas alta del conjunto, a b no n t i determinada.
Ejercldos
. .
1.1 Sea la opcradbn binaria
ddinida en S = {a, b, c, d, c} mediante h tabla 1.2.
el r a dc la labla. b) CalcGlac ( a . b) c y a (b c) dc la tabla. jSe puede dccir. wn base en a t e dlculo, que a asocLtiva? C) CalcGlese (b d ) r c y b (d. c) de la labla jSe puede decir, con base en este dlculo, que s asociativa? d) jAcaso r ca cmmulativs? jPor quM a) CakGlac b 4 c c y [(a c)
. .
.
b
b
c
a b
d e
b d
c b
b b
a
a d c
1.2 Complktese la labla 1.3 de manera quc sc ddina una opcracibn binaria wnmutativa en S = {a, b, c. d l .
T a w 1.3
1.3 S=
.
La tabla 1.4 puede complelarse para definir una operacion binaria asociativa en h. 1.. 11.). Suponpase quc eslo es posihle y llcnensc 10s lugares vados.
t;:
{(I.
Tabla 1.4
h
h
c
u
i,
d ~ t Icd
.
dadas a continuacibn, d a una 1.4 Delerminesc si cada una de las dcliniciona dc operacion binaria en el conjunto dado. En caw, dc que no sea una operacion binaria, diga si las condicioncs I o 2 o ambas, de la sewion 1.4, sc violan. En Z', d d n a s e por a r h = a - b. En Z f , dclinase por a r b = 6. EnR,dctinax*poro*b=a-6. En Z', definase por a b = c, dondc c es el mcnor entcro mayor quc a y que b. En Zf,d@inase por a * h =?, dondc E cs al mcnos 5 unidadcs mayor quc a + b. r) En Z', ddinase p o r n b = c, dondc c es el mayor cntero menor quc el product0 dc
a) b). cj d) e)
. .
a y b.
'13 Pruebcx quc si es una operacion binaria en un wnjunto S, asociativa y conmutativa, c n t o n a s
( a * b ) . ( r * d ) = [(drc).a]*b para toda a, b, c, ~ E SSupbngase . que la ley asociativa sc cumplc w m o cn la dcfinicibn, solo para ternas. a t o a , supbngase sdlo
para toda .r, I: r
E
S.
1.6 Para toda operacion bioaria tativa y cull cs asociativa.
dcfinida a continuacidn, dctcrminese cual
r
a wnmu-
a) b) C) d) c)
EnZ,ddnax.pora*b=a-b. En Q,delinasc r por a r b = a b + I En Q.delinaw par a r b = 0612. En Z', d d n a x por a r b = Yb. En Z', detinase por a . b = 6.
1.7
‘False o
-
a) Si es cualquier operacion binaria en cualquicr conjunto S, e n t o n a s a . u = a para toda a E S. b) Si es cualquier opcracibn binaria conmutativa en cualquicr wnjunto S, cntonces a . (b r ) = (h E) 111 para toda a. b. C E S.
vcrdadcro?
-
-
C) Si r es cualquier opcracion binaria asociativa en cualquier conjunto S. entonces o r ( b r c ) = ( b * c ) * a p a r a t o d a e b,ceS. d) Las Gnicas opcraciones binarias importantes son aquellas defin~dasen-conjunlos de numcros. e) Una opcracion binaria r cn un conjunto Scs conmulativa s i cxistc u, b E S tal que a o b = h r a . f) Toda opcracion binaria dcliniaa en un conjunto dc un solo clcmcnlo es conmutativa y asocialiva. g) Una opcracion binaria cn yn copjunto S asigna al menos un elernento de S a rodo par ordenado de elemenlos de S. h) Una opcracion binaria en un conjunto S asigna a lo mas un elemenlo dc S a todo par ordcnado dc elernentos de S. i) Una opcracion binaria en unconjunto Sasigna exactamente un elerncnto de S a todo par ordenado dc elernentos dc S. j) Una opcracion binaria en un conjunto S pucde asignar mas de un elcmento de S a algun par ordenado de elementos dc S.
. .'
1.8 U s e un conjunlpdilerente a los descritos en 10s ejemplos del libro y que no sea un wnjunto dc numcros. Ddinanse dos opcraciones binarias dilercntes y en cstc conjunto. Asegurcsc que d conjunto este bien dermido. .
.
.
.
1 9 Sea S un conjunto con exactamente un demmto. iCuPntas bpcradones binarias dilerentes pueden definirse en S? Rcspbndasc a la prcgunta si S lienc 2 elementos; si ticne 3 elernentos; s i liene n elernentos. 1.10 jCu8ntas opcraciones binarias wnrnutativas difercntcs pueden dcfinirse en un conjunto dc 2 elerncntos?; Len un conjunto de 3 clemcntos?; Len un conjunlo de n elementofl 1.11 Obshvesc que Ias operacionca binarias + y +' en41 wnjunto {a, b ] dadas por las tablaa
b
o
b
proporcionan e l m h o lipo de esfrunura algebraica en {a, b ) en el sentido de quc si w reexrite la tabla para *'
es wrno la de
d o que l m papcles de a y b estan intcrcambiada.
.
Dese una delinicion natural del wnceptodc que dos opcraciones binarias y 4' en el m i m o wnjunto dan es1mcrura.r algebroicm del mum0 ripo, y que gcneralia esla oboervacion. b) ~ C d n l o slipos difercntcs de estructuras algebraicas cstan dadm por las 16 opcracioncs binarias difermta posibles, cn un conjunto dc 2 elemmtosl
a)
Continuernos el anilisis dc necstra cxpcricncia con el Algebra. Una vcz quc dominamos 10s problemas de calcular sumas y muitiplicaciones de nhmeros mtuvimos m condicionm dc aplicar atas operaciones binarias a la solucion de problemas. A menudo lor problemas llevaban a ecuaciones quc contcnian algun numero desconocido x quc era ncaario determinar. Las ccuacioncs mis scnciUas son las lineales dc las formas a + x = b para la operacibn de suma y ax = b para la multiplicacibn. La ecuaci6n lineal aditiva sicmpn tiene solucibn numtrica; tambib la multiplicativa, siemm que a f 0. En efecto, la nccesidad de soluciones de las ccuaciona lineales aditivas como 5 x = 2 a una magnlfica motivacibn para 10s nirmeros negntivos Dc manera similar, la nemidad de nhmeros rationales sc muestra mediante ecuaciones como Zx = 3, y La ncccsidad del numero mmplejo i sc muestra mcdiante la ccuaci6n x' = - 1. QuisiCramos ser capaces de m d v e r &uacioncs lineales que contengan operaciona binarias. Sin embargo, a t o no cs poaible para toda operacibn binaria. Por ejemplo, la a u a c i b a x = a no ticne soluci6n m S = {a, b, c ) para la operaci6n dcl ejemplo 1.4. Vcamos c u i k s son h propiedada de la operacion de suma de los enteros Z que nos pcrmiten resolver la ecuacion 5 x = 2 en 2. No debcmos ncurrir a la resta, p u a lo que nos ocupa es la soluci6n en tirminos de una sola operacion binaria, en es(c caso, la suma. Los pasos para la solucion son 10s siguientes:
+
+
cs(4 dado
5 + x = 2 -5+(5+x)= - S t 2 (-5 5) x = -5 2
+ +
+
sumando-5 kyasociativa
2.2 DEFlNlClON Y PROPIEDAOES ELEMENTALES
0 + x = -5+2 2 x = -5 x = -3
+
19
calculando-5+5 propiedad del 0 calculando -5 + 2
Estrictamente. no hemos mostrado aqui que -3 es una solucion. sino que es la unica posibilidad de solucion. Para mostrar que -3 es una soluci6n. basta calcular 5 + (-3). Puede bacersc un analisis similar para la ecuacibn 2x = 3 en 10s ndmeros rationales: Zx = 3 f(2x) = f{3) ( 1 . 2 ) ~= f .3 I.x=t.3 x =f.3 x=j
esta dado multiplicando por b y asociativa calculandof~2 propiedad del 1 calculando i . 3
f
Vcamos qu6 propiedads deben tencr un conjunto S y una operacibn binaria pcrmitir la imitacibn de este procadimiento en una ecuacibn a x = b para a, b e S. Es b&sii para el procedimiento la existencia de un elemento e en S mn la propiedad de que e * x = x para toda XES.En el ejemplo aditivo, 0 dacmpe~ibelpapel de e. y el I en el ejemplo multiplicativo. Despub, narsitamos un clemmto d en S que tenga la propiedad de que d a = e.. En el ejemplo aditivo - 5 dcscmpeao e! papel de d, y en el ejemplo multiplicativo lo hiio f. Por ultimo, neasitamos la k y asociativa. El m t o cs cucstibn de dlculos. Se puede observar Wlmente que para m l v e r la ecuacibn x a = b (hay que m r d a r que a x no neccsariarnente es igual a x a ) nos gustaria tener un elemento e en S t a l q u e x s e = XparatodaslasxcSy u n a d e n S t a l q u e r * Z = e.Contodas estas propiedada de en S stariamos seguros de pcder resolver ecuaciones lineala. Estas son pruisamente laa propiedada dc un grupo. + en S para
D C T I
binaria 9, '3,
'3,
'
+
Un gnrpo (G,*) es un conjunto C,junto w n una operacibn en C,tal que se satisface los siguientes axiomas:
La operacibn binaria es asociativa. Existe un elemento e en G tal que e + x = x e = x para todas las x E G:(Este elemento e a un ekmento identidod para * en 13.) Para cada a en G existe un ekmento d en G con la propiedad de que d a = a a' = e. (El elemento a' es un imrcrso & a respccto a +.)
R d l d e u quc IM4- indicln qus ic sli ddinicndo un itmino. V k s l inllirno piirralo ds la mxibn 0.1. h r tanlq un &mulo M e d a d pm UM opracib binaria en un mnjunto S a cualquiu s b l o r quc salidaga e. r = x r = r p r a lodas Isr raS.
20
CRUWS
Muchos libros incluyen otro axioma para un grupo, a saber, que G sea cerrado bajo la oprracidn 0 , es decir, que (a h ) G~para todas las a, b E G. Para nosolros, esta es una consecuencia de la dejinicicin de operation binaria en G. Debemos sefialar en este momenlo, que seremos descuidados con la notacion. ObsCrvese que un grupo no solo es un conjunto G. MAS bien, que un grupo (G, 0 ) consta de dos entidades, el wnjunto G y la opcracion binaria en G. Hay dos ingredientes. Denotar al grupo por el simbolo de wnjunlo G es logicamente incorrecto. Sin embargo, conforme se avanza en la teoria, las exlcnsiones logicas de la notacion (G, *) se vuelven tan voluminosas que dilicultan la lectura de la exposicion. En algun momento, todos 10s autores se rinden, descuidan la notaci6n y denotan al grupo solo por in letra G. Decidimos reconooerlo y ser desc~~idados desde el principio. Sin embargo, insistimos en quc a1 hablar de un grupo espccilico G, debe aclararse cual sera la operaci6n del grupo en G, pues un conjunto wntiene gran variedad de posibles opcraciones binarias delinidas, constituyendo gmpos diferentes. Algunas v m s emplearemos la notacibn (C. *) por razones de claridad en nuestros analisis Teorema 2.1 Si G es w g m p con una operaci6n binaria *, enlonces lar leyes de cancelacih iyuierda y &reek se cumplen en C, es decir, a b = a a c implica b = c y b r a = e r a implica b = cpara a, b, CEG. Demoslrocidn Sup6ngase que o b = a c. Entonas, pot Y, existe a' y
Por la ley asociativa (d r a) b = (a' a) l c.
Por la dd~nicidnde a' en Y, d r a = e, luego
Por la definition de e en Y, b=c
.
En forma aniloga, de b o = c a podemos deducir que b = c multiplicando por a' por la derecha y usando l a axiomas de grupo. Ndtese que fue necesario usar la dejnici6n de grupo para probar este leoremn, Teorema 2.2 Si G es un grupo con operacwn binaria r y si a y b son elementos ~ l e s q u i e r ade G, enronces lar ecuaciones linedes a* x = b y y r a = b tienen soluciones lhicas en G.
Notese que
Demmrrucion
a r /a' I b) = (a Ia') h = e* h =b
.
ley asociativa definition de o' propiedad de o
Por tanto, I = d h es una solution de a .Y = h. De manera analoga. != h r 11' es una solucion de ?. u = b. Para mostrar que J. es unica. supbngase que J' r a = h y J., r o = h En~onces. J ' * u = ,I., r a y por el ieorema 2.1 y = y,. La unicidad de .r se prueba de mnnera similar. Claro que para probar la unicidad en el ultimo teorema pudimos haber seguido el misrno procedimiento empleado para molivar la definicibn de grupo que mueslra que si N .v = h entoncs .r = a' r h. Sin crnbargo, prelerimos ilustrar la manera usual de probar que un objeto es unico. Supongamos que se tienen dos de dichos objelos, y que es necesario probar que deben ser el misrno. Nolese que las soluciones .\- = o' r h y !. = b r d no son necesariamente iguales a rnenos que r sea conmutativa.
.
Delinicibn Un grupo G es abrliano si su operacion binaria
r es
conmulativa.
Pongarnos algunos ejemplos de conjuntos con operaciones binarias aue dan grupos y otros quc no dan grupos. Ejemplo 21 El conjunto Ztcon la operacion elemcnto identidad para + en Zt.
+ noes un grupo. No existe un >
Ejernplo 2.2 El conjunto de todos 10s snteros no negatives (incluycodo el 0) con sigue no siendo grupo. Existe un elemento identidad 0,p r o no la operaci6n un inverso para 2.
+
+
Ejemplo 2 3 El conjunto Z con la operaci6n es un grupo. Se satidacen todas las condiciones de la definicion. El grupo es abeliano. Ejemplo 2.4 El conjunto Z f con la operacion de mul1iplicaci6n noes un grupo. Existe una identidad, el I, pero no hay inverso para 3. Ejemplo 25 El conjunto Q t con la operacion multiplicaci6n es un grupo. Se
satisfacen todas las wndiciones de la delinicion. El grupo es abeliano. Ejemplo 2.6
Definase
en Q' por o h = 4 2 . Entonces <
.-.."
y tarnbien
Por tanto,
es asocialiva. Es claro que
para todas las a E Qt de modo que 2 es un elernenlo identidad para ultimo,
*. Por
de manera que a' = 4/a es un inverso de a. De aqui que Qi con la operaci6n es un g r u p . Existe otro resultado acerca de gmpos que desearnos probar en esta scccibn. Teorema 2.3
En un grupo G con operacibn r huy una solo identidad e ral q u ~
para rodas las x E G. De la misrna manera, para cada a s G exirre un solo elemenlo a' to1 que daa=a*d=e. En resumen, la identidad y 10s inwrsos son ainicos en un grupo. Demostracibn Sup6ngase que e a x = x r e = x y ~ a m b i hque e , r x = x r e , = = x para todas las X E G . DCjcnse competir a r y e,. Considerando e como identidad, e r e , = e,. Pero considenindo e , unno identidad e r e, = e. Por tanto. e , = e . e , = e,
y la idcntidad en un grupo cs unica. Sup6ngase ahora que a' r a = a r a' = e y que a" r a a.a"
=aa
a" = e. Entonm
= ara' = e
y, por el teorerna 2.1,
a"
= a',
dc rnanera que el inverso de a a un grupo es Gniw. Para su informacibn, qucrernos haccr notar quc las estruauras algebraicas forrnadas por conjuntos con operaciones binarias en las cuales no se cumplen rodos
2.3 CRUPOS FlNlTOS Y TABIAS DE CRUPO
23
10s axiomas de grupo, tambikn sc estudian ampliamente. De eslas estructuras mas dkbiles, es el semigrupo, un conjunto w n una operacibn binaria asociativa, la q&, quizi haya acaparado mas atencibn. Recientemente se han estudiado tarnbih las .. estructuras no asociativas. Por ultimo, es posible dar axiomas formalmente mas dkbiles para un grupo (C, *) a saber:
I
La operacion binaria
en G es asociativa.
2 Existe una identidad izquierda e en G tal que e r x = x para todas las x e G. 3 Para cada a € G existe un inverso izquierdo a' en G tal que a' a = e
A partir de esta definicibn de wr solo lado podemos probar que la identidad izquierda tambien es una identidad derecha y que un inveno izquierdo tambikn es un inverso derecho para el mismo elemento. Por tanto, no deberiamos decir que estos axiomas son mPs dkbiles, pues dan lugar a las misrnas estructuras llamadas grupos. Es posible que en algunos casos sea mas facil corroborar estos ariomos izquierdos, que wrroborar los axiomas vcilidos para 10s dos lados. Desde luego, a ficil dcducu por sirnetria que tambib hay a x i o m derechos para un gmpo.
Hasta ahora nuestros ejemplos han comspondido a grupos inAn~tos,esto es, de grupos donde el wnjunto G time un nirmero infinito de elementos. El estudiante se preguntari si puede existir una estructura de grupo en algun conjunto Anito; la rspuesta es si, y ciertamente, dichas cstructuras son rnuy importants. Puato que un grupo debe tener al rnenos un elemento, a saber, la identidad, el wnjunto m b pequefio que puede dar lugar a un grupo es un conjunto {e} de un elemento. La unica operacibn binaria posible en {e} s t & definida por e e = e. El atudiante pucde wrroborar de inmediato que se cumplen 10s tres axiomas de grupo. En cada grupo, el elemento identidad cs siempre su propio inverso. Tratemos de constmir una estructura de grupo en un conjunto de dos elementos. Como uno de 10s elementos debe desempeiiar el papel de identidad, digamos que el wnjunto a { e a ; . Busquemos una tabla p r a una operacibn binaria en {e, a ] que dC una cslructura de grupo. Cuando demos una tabla para una operacibn de grupo. siempre colocaremos 10s elementos en la parte superior, hacia la derecha. en el mismo ordcn en que 10s colocamos del lado izquierdo, hacia abajo, colocando en primcr lugar la identidad, como en la tabla siguiente:
Como e sera la identidad, entonces
para todas bas X E (e, a ] , y nos vemos obligados a llenar la labla de la manera indicada mbs adelante, si es quc va a dar un grupo.
Ademas, o debc tener un inverso a' tal que
En nuestro caso d debe ser e o a. Puesto que obviamente d = e no funciona. debemos tener a' = a de tal modo que debemos completar la tabla de la siguiente manera:
Se satisfaoen asi todos 10s axiomas de grupo. excepto, quiza, la ley asociativa.
Veremos adelante, en una situation mas general, que esta operacibn es asociativa. Ustedes pueden aceptarlo en este momento, o hacer el tedioso trabajo de corroborar todos 10s casos. Con base en estos ejemplos, podremos enumerar algunas condiciones que una tabla que defina una operacibn binaria en un wnjunto finito debe satisfacer. para dotarlo de una estructura de grupo. Es necesario que algiin elemento del conjunto, que siempre dcnotaremos por e, a c t h como identidad. La condicion e x = x significa que el rengl6n de la tabla que contiene a e en el extremo iquierdo, debe contener exactamente 10s elementos que aparecen hasta arriba de la tabla, en el mismo orden. En forma aniloga, la condicibn r e = r signilica que la columna de la tabla bajo e, debc conlener precisamenre 10s elementos que apaen el extremo izquierdo, en el mismo orden. El hecho de que cada elemento a tenga un inverso derecho y un izquierdo, quiere decir que en el renglon frente a a debe apareoer el elemento e y que en la columna bajo a debe aparecer e en primer lugar. Asi, e &be aparecer en cada renglon y en cada columna. Sin embargo, podemos mejorar esto. Por el teorema 2.2, no solo tienen soluciones unicas las ecuaciones a r x = c y g * a-= r , sino tambien las ecuacio-
2.3 CRUPOS FlNlTOS Y TABLA5 DE CRUPO
25
nes a . = b y y r a = b. Por un argument0 analogo, esto significa que cudu elemcnto b del grupo &he aparecer una y solo m a wz en cada renglon y en cada colvmna & la rahla. De manera reciproca, supongamos que una tabla para una operacion binaria en un conjunto finito es tal, que hay un elemento actuando como identidad y que cada elemento del conjunto aparece precisamente una vez en cada renglon y en eada columna. Se puede vcr entonces, que la estructura es de grupo si y s61o si sc cumple la ley asociativa. Si una operacion binaria r esta dada por una tabla, por lo comdn es laborioso verifiear quc se cumple la ley asociativa. Si la operacion se define mediante alguna propiedad que caracteriza a a * b, suele ser ficil verificar el cumplimiento de la ley asociativa. Aiortunadamente, este segundo caso rcrulta x r el mas frecuente. Se ha visto que hay esencialmente un solo grupo de dos elementos, en el sentido de que si denotamos 10s elementos por e y a colocando primer0 a la identidad e, la tabla debe ser asi
Supongamos que un conjunto tiene tres elementos. Como antes podemos h a a r el conjunto (e,a, b). Para que e sea una identidad; en este conjunto, una operacibn binaria * d e b tencr una tabla como se muestra en la tabla 2.1. Quedan cuatro lugares por llenar. El atudiante puede ver de inmediato que la tabla 2.1 debe completarse como x m u s t r a en la tabla 2.2, si cada renglon y cada rolumna debe contener pmisamente una vez cada elemento. De nuevo se pide aoeptar, sin demostracion, el hecho de que esta operacion a asociativa, de modo que si da una atructura de p p o en G = {e, a, b ) . Tabla 2.2
Bi,. Supongamos ahora que G' es cualquier otro grupo de t r a elementos e imaginemos una tabla para G' donde la identidad aparece en primer lugar. Debido a que pudimos llenar la tabla para G = {e, a, h ) de una sola manera. vemos que si llamamos e a la identidad de G', a a1 siguiente elemento y h al ultimo, la tabla de G' que resulte seri lamisma que lade G. En otras palabras, las caractensticas es~ructuralesson las mismas para ambos grupos; un grupo se veri
eraclamente igual a olro con so10 carnbiar el nornbre a sus elementos. Por runto, c~uul~syubro rlos grupos dc ires eCmenros son es~rucruralmenfeel mismo. Esta es nucslra introduccion al concepto de isomorfisrno. Los grupos C'y C' son isomorJiis. Algunas veces esle concepto parece algo dilicil a 10s estudiantes. N o se lratara aqui, rnPs adelanle l o harernos de rnanera prccisa.
I1 Paracada operacibn binaria 8 delinida en el conjunto xitalado digase cubndo r dota al conjunlo de una atrunurs de grupo. Lk no resultar gmpo, d& el primer arioma en e l orden 9 , ; Y,; Y,; de la .ccribn 2.2 que no sz cumpla. a) b) C) d) e) f
DcFinase en Z por a. b = ah DcFinau*enZporo.b=a-b DcFinaserenR'pora*b = a b Delinase*enQporo*b= ab DcFinase en el mnjunto de todos lor nurneros reales distinlm de cero por a r b = ab M~nase*enCpora*b=a+b
L2 ConsidCrense nuutros axiomas 9,;9, y YI, para un grupo. Fitin dados en el orden 9,9,9,. Otros posibla 6rdenes para cnunciarlos son Y19,Y,; Y,9,9,; 9,9,9,;9,9,9, y 9,3,9,. Dc ulos =is 6rdena posibles, precisamente tm son aceptables para una ddinicion. iQut ordenu no son aceptables y por qui? (RccuCrdex que la mayoria de los profesom pregunta la ddinicibn de grupo cuando menos en un examen.)
2 3 Muktruc mtdiante dlculos y por el leorema 2 3 que s i G a un grupo con operacibn binaria 0 , e n t o n q para todas las a, b E C, kncmos que (a b)' = b'r a'. 'CuIl seria una e x p d 6 n anhloga pam (a b' c)'? 24 P d a s c de la riguknte manera para rnostrar que hay doa t i p difercntes posibles de Bhucntm dc grupo en un mnjunto de cuatro elmmtos. Sea el wnjunto {e, a, b, c} w n la identidad e p a n la opcraci6n del grupo. Enton~ala tabla dc grupo dcbe wrncnzar mmo sc muestra en la tabla 23
Tabla 2.5
El cuadro marcado mn la interrogaci6n no puede llenarsc con a. Lkbc llenarsc ya sea m n la identidud e o con un elcmento difercnte de e y dc a. Enel Lltimo caso no sc pierde gcnedidud a1 suponer que ate elemento a b. Si estc cuadro sz lkna con e, la tabla puedc m m p b n c cntonar de dos maneras, para dar un gmpo. Encuhtrenx estas dos tablas. (No es neaaario corroborar la ley asociativa.) Si se llena el cuadro con b. entonca se pude mmpletar la tabla de un solo rnodo para dm un grupo. EncuCntm mta tabla.
(Tampom aqui a neccsario corroborar la ley asccialiva.) Dc las Ires tablas obtenidas, dor dan el mismo t i p de atructura de grupo. Delenninese cuala son y mutstrese de qu.5 mancra dekria cambiar el nombre de lor elemenlos de una tabla para que ambas x a n la misma $00 conmuutivos todos 10s grupos de 4 elementos? 725 MuCslnse que ri G n un grupo finito con identidad e y con un numero par dc ckmcntos, mtonas eriste a r , en G, tal que a a = e.
+
26 ~ F a l r o vcrdadero?
-
a) Un grupo puede tener m8s dc un clemcnto identidad.
- b) Cualcsquien dos grupos de t m elementos son isomodos. - c) En un p p o , cada suacibn lineal timc rolucibn. - d) Ln nclitud mmcta k n t e a una definidbn cs manorizarln de manera que pucda
lucgo rrplirla p a l a h por palabra mmo rim m d texto. c) Cualquier definicibn de grupo dada por alguna penona cs corrects sicmpre que lo que rca grupo x @ n su M ~ n i c i b bsca grupo tambibn xgun la definicibn del libm. I) Cualquier detinicib dc grupo dada por alguna persona es correcta siempre que csa pcmna muestrc que todo lo que satisfaa su ddnicibn tambitn satisface la dd libm y vicmrro - g Todo p p o finito de t r e elemmtos como mkirno ca abeliano. - h) Una scuacibn de la fonna a . x b = c siempre tienc solucibn unim cn un Vpo. - i) El conjunto vacio pucde consideram como grupo. - j) Hasta ahom, cn el libm no x ban pracntado jemplos de grupos no abelianm
-
.
27 Dtae m a u b h para una operacibn binaria en el mnjunto {r.a, b) de t m elementos que cumph Ios uiomas 9, y Y, de p p o . pero no d axiom 9 , . 28 Dc m r d o mn d cjcrcicio 1.9. hay 16 opraciona binarias posiblcs en un mnjunto de 2 elementos. iCdntPa docan . Iconjunto de cslructura dc grupo? ~Cuhtasde 1.s 19,683 opmcioars binariu posibles en un conjunto & 3 clementas dotan . Iconjunto & una estnwbun dc gnIp.31
7.9
Sea S d conjunto dc todas lor numeros m l a exapto
- 1. Dclinax
.
en S por
.
a) MuWrrrt quc & una operocibn binarin en S. b) Mvtstrac quc (S. * ) a un grupo. c) b c u t o l m c la rducibn de la auacibn 2 r x r 3 = 7 m S. 2.10 Sea R* el wnjunto de todos los n6mcros m a l a exapto d 0. Ddinase a . b = Mb. a) MuQtrrsc que r & UM opcracibn binaria asociativa en R*.
b) Mubtrac quc site una identidad iquierda para dcmento en I*. c) Con au opem56n binaria, ~sR* un gmpo? d) Eapllqust la impoluncia de estt ejcrcicio. 2.11
r
cn R* por
y un inverso dcrecho para d a
Si s UM opcracib binaria en un wnjunto S, un ekmcnto x de S es idernpateme
pn r si x . x = x. Rutbcsc quc un grupo time exsctamente un elemento idempotcnte.
(Pucden usarsc los teomnas quc ya sc han dcmostrado en el terio.)
1 1 2 MuCItrtse que lodo grupo G con identidad es ateliano. [Sugerencia: considerese (ob)'.]
e lal
que x x = P para tadas las x s G,
1 1 3 Prutbcse que un conjunto G,junto con una operaci6n binaria en G que satisface 10s axiomas izquierdos 1, 2 y 3, dados al final de la seccion 2.2, es un gmpo. 214 PruCbese que un conjunto no vacio G junta can una operacibn binaria que las ecuaciones a
x = b y y * a = b tienen soluciones en G para todas las a, b, s
en G tal
G.
a un grupo. [Sugerencia: urcrc el ejcrcicio 2.13.1 215 Las siguientes udeliniciormu de grupo, quc deberln critiurse. oe han reproducido
literalmente, induyendo onografla y puntuacibn, de l a e d m e n a de alguna alumnos. a) Un g u p o G cs un conjunto de elementas junto con una operacion binaria satisfacen las siguienta condiciones r cs asociativa Existe e E G tal que e
tal que se
x = x r e = x = identidad.
Para toda a e G existe un a' (inverso) la1 que
b) Un grupo a un conjunto G tal que La operacibn en G u asokativa. existe un elemento identidad (e) en G. para toda a l G,e ~ i s t eun a' (inverso para cada elemento) c) Un ~ r u c8 p un conjunto con una operacion binaria tal quc csth dd~nidala opracibn binaria existc un inverso existe un clemento identidad d) Un conjunto G rc llama un grupa sobre la operacibn binaria a,b,e G
Operacibn binaria u d a t i v a bajo la suma existe un elemento { e ) tal quc
Para todo elemento a e~isteun elmento d la1 que
r
tal que para todas las
Subgrupos
Es el momento de explicar algo de terminologia y notaciones convencionales usadas en la teoria de grupos. Por regla general, 10s a1gebrista.s no usan un simbolo especial para denotar una operacion binaria diferenle de la suma y multiplicaci6n usualed Se aferran a la notacion wnvencional de la suma y la multiplicaci6n e incluso llaman la operacion suma o muitiplicacibn, dependiendo del simbolo usado. Es obvio que el simbolo para la suma es + y la multiplication se denota w n la yuxtaposici6n de 10s factores sin un punto, si es que no hay confusi6n. Asi, en lugar de la notaci6n a b usanmos ya sea a + b que se lee #la sum dc c i y bn o ab que se lee #el produclo dc a y 6 1 . Hay una espxie de acuerdo entre caballeros en cuanto a que el simbolo + se use s61o para designar operaciona wnmutativas. Los algebristas se sienten muy incomodos cuando ven a + b # b + a. Por csta raz6n. a1 desarrollar nuestm tcoria de grupos, en una situacih general donde la operation pueda &r o no conmutativa, usarcmos siempre la notacibn multiplicativa. Los matemhticos usan w n rrccuencia el simbolo 0 para denorar una identidad aditiva y el simbolo I para dcnotar una identidad multiplicativa, aunque en realidad no se denoten 10s enteros 0 y I . Claro que si alguien habla al mismo tiempo de ntimems, podria haber conCusi6n, y se prefiere el uso de simbolos como e o u wmo elementos identidad. Por tanto, una tabla para un grupo de Ires elementos sc veria mmo la tabla 3.1 o bien, wmo dicho grupo es conmutativo, se veria mmo la tabla 3.2. En situacioncs generales seguiremos usando r para denoiar el elemento identidad de un grupo.
Tabla 3.2
b
b
O
a
Se acostumbra denotar el inverso dc un clemento a en un grupo, con a-' en notaci6n multiplicativa, y w n -a en notaci6n aditiva. En adelantc usaremos cstas notaciones en lugar &I simbolo a'. Exp!iquemos un tirmino mas, que se usa tanto, quc amcrita una definici6n apartc.
Defia*ib. Si G cs un g u p o finito, cntonas el ordm JGIde G a el nGmero de elemcntos en G. En general, para cualquier conjunto linito S, (SJes el nhmero de elementas en S. Por Gltimo, en lugar de la frase con la operacibn binaria & usaremos la palabra bajo, asi que ael grupo R con la operacibn binaria dc sums* se conviertc en *el grupo R bajo la sumam.
HabrAn notado que hcmos icnido a vars grupos wntcnidos en gnrpos mayors. Por ejcmplo, el grupo Z bajo la suma csti wntcnido cn el grupo Q bajo la suma, el cual a su vez *it&conlmido en el grupo R bajo la suma Cuando vemos al gntpo
+
M n k h Un conjunto B es un sYbcojvnto dc urr c ~ y l t t oA denotado por B 5 A o A 2 B si cada e l m t o de B a t 4 en A. Las notaciones B c A o A 2 B se usaran para B 6 A, p r o B # A.
N6tcse que de acuerdo con csta definicibn, para cualquier conjunto A. A misrna y 0 son subconjuntos de A.
3.2 SUBCONJUNTOS Y SUBCRUPOS
51
DeTmici6n Si A cs cualquier conjunto, entonas A es el subconjunto impropio & A. Cualquier otro subconjunto de A es un subconjunto propio de A. Definici6n Sea G un gmpo y sea S un subconjunto de G. Si para cada a, b e S a cierto que el producto ab calculado en G tambiCn esti en S,entonces S es ccwado hjo la oprracidn & grupo de G. La operacibn binaria cn S, asi definida es la operacidn indud& en S &s& G. Podemos ahora prccisar el concept0 de grupo contenido en otro. DefinicYn Si H es un subconjunto de un grupo G cerrado bajo la operaabn & q u p o de G y si H es tl mismo un grupo bajo esta operacibn inducida, cntonces H es un subgrupo de G . Denotaremos por H s G o G L H cl hccho de que H cs un subgrupo de G, y H (C o G ) H significara que HiG,peroH+G. Asi, (Z, t ) < (R, t ), pero (Q*;) noes un subgrupo de (R. t ) aunque. wmo w n j u n t a ~Q* c R. Cada grupo G tiene wmo subgrupos a C mismo y (e), don& c cs el elemcnto identidad de G. Definidh Si G es un grupo, entonces G a el ubgrupo impropio de G. Todos 10s otros subgrupos son subgrupos propios. Ademis, ( e ) a el wbgrupo trivial de G. Todos 10s otros subgrupos son no dvicrlcs. Daremos algunos ejcmplos.
Ejemplo 11 Q + bajo multiplicacibn es un subgrupo propio dc R* bajo multiplicacibn. Ejemplo 3.2 Hay dos t i p s diferentes dc cstruauras de grupo de orden 4 (vhse el ejercicio 24). Sc dgcribiemn por sus tablas de grupo (tabfar 3.3 y 3.4). El grupo V s el Cgupo de Klein; la notacibn V provicne de la palabra alemana vierErnPpr.
El h i m subgrupo propio no trivial de Z4 cs (0, 2). N o r a que (0. 3) no es un subgrupo de Z p u s (0, 3) no es cerraub bajo Por ejemplo. 3 + 3 = 2 y 2 6 {0, 3); sin embargo, el grupo V tiene trcs subgrupos propios no triviales,
+.
(e, a ) ; (e, 6) y {e. c). Aqui, (u, a, h } noes un subgrupo pueslo que { P . 11. h ) no es cerrado bajo la operacion de V. Por ejemplo. oh = c y c $ (e11, hJ. rn
A menudo es conveniente dibujar un diugramo r<,ricular de los subgrupos de un grupo. En dicho diagrama una recta que baja de un grupo G ;I un grupo H signilica que H es un subgrupo de G. Por tanto. e l grupo mas grande e s l i mas arriba en el diagrama. L a ligura 3.1 contiene 10s diagramas reticulares par;! 10s grupos 2, y V del ejemplo 3.2.
(b)
(a)
Rg. 3.1
la1 Dlagrama reticular para
L (bl Dlagrama reticular para V
Notese que s i H 5 G y a 6 H entonces, par el teorema 2.2. 13 ecu;~cion ax = a debe tener solucion hnica, a saber, el elemento identidad de H. Pero esta ecuaci6n lambien puede,versecomo una ecuacibn en G y vemos que esla solucion 6nica debe ser tambikn l a identidad e de G.U n argument0 anilogo aplic;tdo a la ecuaci6n ax = e considerada tanto en H como en G, muestra que el inverso 1 1 - ' de a en G es lambitn el inverso de a en el subgrupo H. Conviene lener un criterio dc rutina para determinar si un subconjunto de un grupo G es un subgrupo de G. El siguimte teorema proporciona dicho criterio. Aunque hay crilerios m i s cornpactos que involucran una sola condicion, preierimos kte, por ser mas transparente, para un primer curso. . , r e o r e m 3.1 sdlo si
'lln subconjun~oH de w grupo G us
w suhgrupir clc G i.\ .v
I H es cerrado hojo la operacidn hinaria de G; 2 la idenlidad t. rlt. G esld en H; 3 para lodos 10s a € H es cierlo que o-' E H ramhikn. E l hecho de que si H 5 G entonces deben cumplirse las condiciones I.2 y 3, se desprende de inmediato de la definition de subgrupo y dc les observaciones que preceden al enunciado del tcorerna. De manera reciproca, sup6ngase que Hes un subconjunto de un prupo G tal que se cumplm las condiciones 1, 2 y 3. Por 2 tenemos de inmediato que !$, se satislace. Tarnbikn Y, se satisface por 3. Falta mrroborar el axioma asociativo 9,. Pero, con seguridad, para toda o, b, C E H es cierto que (nhk = N(hc) cn H ya queen realidad podemos considerarla una ecuacion en G, donde se cumple la ley asociativa. De aqui que H 5 G. rn Demosrracidn
3.3 SUBGRUPOS CKlltOS
3.3
33
SUBGRUPOS ClCLlcoS
En el ejemplo 3.2 obscrvamos que (0.3) no es un subgrupo de Z,. Veamos que tan grande tendria que ser un subgrupo H de 2, que contenga el 3. Tendria que contener la identidad 0 y el inverso de 3 que es 1. TambiCn H deberia contener a 3 + 3 que es 2. Asi, el linico subgrupo de Z, que wnliene el 3 es Z, mismo. Se imitara ahora este razonamiento en una situaci6n general. Como ya se dijo, para un argument0 general se usa siempre la notacion multiplicaliva. Sea G un grupo y sea 4 E G. Un subgrupo de G que contenga a debe, por el leorema 3.1, contener aa. lo que denotaremos por a? Entonces, debe conlener 0% lo que denotamos por a3. En general, debe contener d , que a el resultado del dlculo de produclos de a por si mismo, n f a d o m para cada entero positivo n. (En notaci6n aditiva denotariamos esto por no.) Estas potencias enteras positivas de a wnbrman un conjunto cerrado bajo multiplication. Sin embargo, cs posiblc que el inverso de a no estk en este conjunto. Desde luego, un subgcupo que contenga a debe wntener tambitn a-I y, por tanto, o - ' a - l , lo que dcnotamos por a - 2 y en general, debe wntener a-" para toda m e Z*. Debe wntener la identidad e = aa-I. POTrazones simb6licas obvias, estamos de acuerdo en quc oo sea e. En resumen, se ha mostrado que un subgrupo de G qw contengo a, debe confener rodos 10s elernenfos 6 (o no para grupos ndilioos) para fo& n e Z. Es decir, un subgrupo que wntenga 4 debe contener {dln E 2).Obdrvcse que eslas potencias d de a no son por f u e m dietintas. Por ejemplo, en el grupo V del ejemplo 3.2 a' = e,
4'
= a,
a'
= e,
a-'
=a.
y asi sucesivamente.
Es facil ver que se cumple la ley usual de 10s exponentes a'"d = a"*" para m, m, n E Z'. Podmos ilustrar otro tipo de caso con un ejemplo: n E 2. Es claro para
Dejamos 10s dctalles de la demostracion del caso general a 10s estudiantes que no teman aburrirse. Casi sc ha demostrado el siguiente teorema. Teormeo 3.2 . Sea G G grupo y sea 4 E G. Enronces
es un subgrupo & G y es ei menor subgrupo do G que conriene a, eslo es, coda subgrupo que conriene a conliene Hi.
*
Sc wdr8 distinmir cntrc lor tenminor minimal Y -or cuando se adi~ucna aubconivnlom de un mnjUnlc S quc &an alguru proplsdad. Un &conjunto H dr S minimal con a la pmpedad u H time la propredrd y ninpun subwnjunro K c H. K f H bcnc la pmp~sdui.So H ticne la propicdad y H E K para mdo subeonjunlo K w n la propicdad, enlonos H cs el ~ u b n j u n l o mcnor mn la prop*drd. Purdc haber muchm rubmnjunlos minimales, pem d l o un aubnjunlo mcnor. Para ilutnr. (r,a). (e. b) y (c, c ) son lodm los rubgrvpoa no triyialcs minimale, dcl grvpo V. (V& la Cgura 3.1.) Sin cmbnrgo. V no conlicnc un rubgrvpo no lrivial menor.
i o n Verifiquese si re cumplen las tres condiciones dadas en el teorema 3.1. para que un subconjunto de un grupo de un subgrupo. Pucsto que dd = = u"' para r, ss 2, el producto en G de dos elementos de H esia en H. Asi. H es cerrado bajo la opcracibn de grupo de G. Ademas, a" = e de modo que e E H y para d e H,n - ' E H y a-'a' = f . Todas las condiciones sc satislacen y, por tanto, H I C. Los argumentos previos al enunciado del teorema muestran que cualquier subgrupo de G que contenga a, debe contener H asi, H es el subgrupo menor de G aue wnliene a.
DeInici6n El grupo H del twrema 3.2 es el subgrupo dclico de G generado pm a y se denolari por ( a ) . Dclinici6n Un elemento a de un grupo G.qenera G y es un .qenerador de G si ( a ) = G. Un grupo G es cIdim ri exisle elgbn clemento a en G que pnerc G. Ejemplo 13 Sean Z, y V 10s grupos del ejemplo 3.2. Entonms 2, es ciclico y tanio I como 3 son generadores a t o es, (1)
= ( 3 ) = 2,.
Sin embargo, V JIO es ciclicn pues (a), ( b ) y (c) son subgrupos propios de 2 elernmtos. Es claro que ( f ) es el subgrupo trivial de un elemenlo. Ejemplo 3.4 El grupo Z bajo la suma es un grupo ciclico. Tanto I como gencradores del grupo.
- 1 son
'\
Ejemplo 3 3 Considtrese el gmpo 2 bajo la puma y busqucse ( 3 ) . Aqui, la notacion es aditiva y ( 3 ) debe contener
3 0
-3
3
-3+
+3=6 -3=
3 -6
+3+3 =9 -3+
-3+
y asi sucesivamente, -3-
-9 yasisufcsivamenle.
En otras palabras. el subgrupo ciclico generado por 3 consta de todos lor muldplos de 3, positivos, negaiivcn y el cero. Denolamos cste subgrupo pot 3Z, asi como por ( 3 ) . De manera similar. nZ sera el subgrupo cicliw (n) de 2. Notese que 6 2 < 32.
1 1 Delerminesc culks de lor siguicnlss subconjuntos de lor nbmeros mmplejos son subgrupos bajo la suma del gmpo C & 10s nlmcros mmplejos bajo la suma. a) R b) Q' c) 72 d) El conjunto R de 10s nhncros imaginaries puros incluyendo 0 el El conjunto n Q de los multiples racionalcr dc n fI El conjunto (n" I !I E 2;
33 A wntinuaci6n sc dan varios grupos. Proporcibncsc una liaa complera dc todas las rtlaaoncs dc un grupo cuando cr sublyupo dc algun otro grupo listado. G, G, G, C, G, G, C, C, C,
= Z bajo la auma = I22 bajo la suma
= Q i bajo la multiplicncion = R bajo la suma = R t bajo la multiplicnci6n = {~ J n~ Z)bajo la multiplicaci6n = 32 baja la s u m = el wnjunto dc lodos 10s multiplos enleros de 6 bajo la sum= {6" ( n E 2) bajo la multiplicaci6n.
33 M b a n x al menos 5 elrmeotar dc cada uno de los aiguientcs jrupos ciclicos. a) 25Z bajo la suma b) {(# 1 n E Z } bap la multiplicaci6n c) (e1 n c Z ) bajo la multipliid6n
34. i C d l a de 10s siguicnlcs grupos son cicliws? Para cada grupo ciclico obtCngansc 140s los pneradora &I grupo. GI=(%+) G,=(Q1+) Gs=(Q*,.) G, = (6'1 n~ Z ) bajo la multiplieaci6n G, = { a b f i 1 a . b . ~ ~bajolasuma )
G4=(6%+)
+
3.5 a)
Estudiex la aiructura dc la tabla &Igrupo Z, del ejcmplo 3.2.
POI analogi%wmpl6icsc la tabla 3.5 para oblcncr el grupo ciclim Z, dc 6 clcmmlos. (No a nuxsario probar la ley esocialiva)
Tabla 3.5
b) C a l ~ l e n xlos subgrupos (I).(2). (3). ( 4 ) y ( 5 ) dcl grupo Z , dado en la parte a). c) iQuC ekmentos son penendorex pacl e l prupo Z , dc la partc a)? Mutplresc quc si 11 y K s>nsuhgrap,?; dc un grupo abcliano G. enlonca {hk I h e H y k E K } cs un subgrupo dv G.
U 37 .
~ F a l mo vcrddcro'!
La k y asoci;~tivar cumplc cn l t d o g r a p ~ . b) Pudc habcr un grupo donde ialle In ley dc l a ctncchcibn. - c) Todo grupo a un subgrupo de si mismo. - a)
-
-
d) Todo grupo tiene precisrrmente dos subgmpos impropios. En todo grupo ciclico, t d o clcmento es un generador. C) - I) Hasta ahora, no sc ha dado en el libro un cjemplo de grupo q"e no sea abeliano. - g) Todo conjunto de numeror que cs grupo bajo la sum% tambien es grupo bajo la multiplicaci6n. - h) Se puede definir un subgrupo como subconjunto de un grupo. - i) 2, es un grupo ciclico. - j) Todo subconjunro dc lodo grupo es un subgrupo bajo la operaci6n inducida. -
3.8 Encucntrese cl error en el siguiente argumento: nLa condition 2 dcl leorema 3.1 es redundante, ya que puede derivarv dc I y 3. para cllo sea a~ H. Entonces, a - ' E H por 3 y. por I, on-' e en un dernento de H,lo cual prucba 2a
-
1 9 Mutstrese que un submnjunto no vacio H de un grupo C es un subgrupo de G si y sblo si ah-' l H para t a l a a,b E H. (Esk cr uno de 10s crirerior I& compoclos mmcionados antes del teorcma 3.1.) 3.10 PruCbese que un grupo ciclico con un solo generador puede lener a lo mas 2 ekmentos. 3.11 PruCbese que si C es un grupo abeliano w n idenlidad e, entonas t d o s 10s elementos x de G que satislaan la ecuaci6n x' = e lorman un subgrupo H de G. 3.12 Repitast el ejercicio 3.11 para la situaci6n general &I conjunlo H de lcdas las soluciones x de la ecr~acionf = e, para un enter0 fijo n 5: 1, m un grupo abeliano G w n identidad e. 3.13
M uktrese que si a E C. don& G cs un grupo finito con identidad e, mtonccr existe
n e Z + la1 quc u" = e.
3.14 Sea la operaci6n binaria de un grupo C arrada en un rubconjunto fidto no vado H de C. Muktrlrcs que H cr un subgrupo de G. 3.5
Sea G un grupo y u un elemento fijo d c G. m d s t m e que
H.
(xoCIxa=ur)
I
es un subgrupo de C. 3.16
Generalizando el cjemicio 3.15, sea S cualquicr submnjrnto de un grupo C.
a) Mutstrese que Hs = { x E C I xs = sx para toda s o S J es un subgrupo de C. b) Con refercncia a la parle a), cl subgmpo H, es el m t r o de G. Muklrese que H, es un grupo abeliano.
-
3.17 Sea H un subgrupo de un grupo C. Para a. b o C sea a Mubtrest que s una r d r c i ~de equivalcncia en C . 3.18
-
b si y s610 si ab-'
E
H.
Para 10s conjuntos H y K delinarc la i n t e d 6 n H n K por
Mutstresc que si H
< G y K < G, cnlonas H n
K
< C.
3.19 MuCslrese, mediante un ejemplq la posibilidad de que la ecuacion cuadrutica r' = r tenga mbs de dos soluciones en a l g h grupo C con identidad e.
En a t e capitulo y en el siguiente trabajaremos con grupos cuyos elementos son entes llamados permutaciones. Estos grupos nos proporcionarin 10s primeros ejemplos de grupos que no son abelianos. Mostraremos, en un capitulo posterior, que cualquier grupo a estructuralmente el mismo quc algGn grupo de permutaaones. Por dagracia, este rsultado, que pamuy importante, no rnulta util en particular. Quizis estCn lamiliarizados con la idea de permutacibn dc un conjunto wmo un reatreglo dc elementos del wnjunto. Asi, para el wnjunto (1,2, 3, 4 5) se podria dar, csquemiticamente, un rcamglo de 10s element- como en la Iigura 4.1, y obtemr el nuevo arrcglo (4, 2, 5, 3, I}. Pensemor en cste diagrama caquemitico de la Iigura 4.1 mmo una traslacibn o una fransformacidn de cada elemento de la wlumna de la izquierda, en un h i w elemento (no necesariamente distinto) del mismo wnjunto listado a la demha. De este modo, el 1 va a dar a1 4,el 2 pe uansiorma cn el 2, y asi suocsivamente. Mas a h para ser pcrmutacion del mnjunto, a t a translormacibn debe ser tal que cada elemento aparezca una y solo una vcz en la wlumna de la derecha. Por ejemplo, el diagrama en la Iigura
-
1-4 2
2
1-3
2-2
3 -5
3-4
4-3
4-5
5 - 1
5-3
Raun 4.1
F l ~ U r a4.2
4.2 no da una perrnutacion. pues en la columna d e m h q el 3 aparece dos veas
mientras que el 1 no aparece. Definiremos una permutacibn como dicho tipo de transfonnacion. Sin cmbargo, la idea general de asignar a cada cleniento de algun conjunto un elcmento del mismo o q u i d de un conjunto dlfercntc, se presentarb tan a rncnudo cn nuestro trabajo que daremos primcro una delinicih aparte de cste concepto. El concepto es el dc funcibn, tknnino que ya han encontrado.
D+fukihm Una fundfa o tramfanrackh 4 & ur cmiplca A ea m a wnj~~to B suna rcgla quc asigna a cada h e n t o a de A cxactamente un elemcnto b dc 8. Sc d i a quc 4 tmqfmma a rn b (o que b &ra a rr b) y que 6 rrcmsfkma o h a A en B.
La notaabn clhica para deaotar quc 4 lleva a cn b es
S i n cmbargo, con fracuencia usamos la notacibn
TambiQ se cncucntra m la Iitcratun la not.sibn 6 = b. El elemento b es la b n de a ).jO 4. E l hccho d c que 4 Ueva A en B se repmmtarb simb6lic.amcntc por
Sere Otil para el catudiitc considerar una funcibn en tCnninos dc la hgura 4.3. De las tm notacionca posibles dadas despu(s & la defiaicibn que cxpquc I$ Ueva a ca 6, cl estudiantc conarc la notacibn &a) = b por cursos anteriores.
4.1 FUNCIONES Y PERMUTACIONES
39
-
Muchos algebristas prefieren las notaciones a$ = h y d = h por la siguiente r d n : si 4 y (I w n luncioncs con 4 : A B y (I: B 4 C,entonces existe una funci6n natural que Ueva A en C como se ilustra en la ligura 4.4. Esto es, x puedc ir de A a C via B, usando las funciones 4 y (I. Esta funcion que lleva A en C es la fwibn carnpwst. constituida por 4 xguida de (I.En la notacion clbica &a) = b y (I(b)= c luego,
y se denota la funcion wmpuesta par $4. El simbolo (I4para
4 seguida de (I se tienc, eotonces, que leer de derecha a izquierda. En las notaciones mis recientes tcncrms a# = b y b$ = c w n
Por tanto, la funcion compuata en estas notaciones es #(I y puede ieerse de iquicrda a derecha. Sugerimos a1 estudiantc leer las notaciones a+ = b y d = b como d a imagcn dc a bajo 4 cs bn. Compnndedn que toda csta dircusi6n no es aarca dcl concepto. sino sobn notation. Sin embargo, una mala seleeci6n dc notaci6n pucde entorpcccr mucho el dcsarrollo de una twria matematica. Volvicndo alas pcrmutaaoneq de acuerdo con nuntra dfinici6n. vcmos que Is asignacibn dc la figura 4.2 es una lunci60 dc {1.2.3.4.5) cn si misma. Pcro no qutnmas Uamar a csto una pcrmutaci6n. Es necesario escogcr aqucllas funciones 4 tnl quc roab clcmento del conjunto a imagm dc rxacfmente un solo ekmcnto. Dc oucvo, existc una tcdnologia para una situaci6n m h general. DeClDici60 Una funci6n de un conjunto A en un conjunto B a uw a uno si cada clcmcnto dc B es imagen de a lo mis un elemento de A y es sobre B si cada ekmcoto de B es imagea dc nl menos un elemento dc A.
En rtrminos dc La figurn 4.3, una lunci6n 4 : A 4 B cs uno a uno si cada b c B ticnc u lo mbr una flccha dirigida hacia si. Dccir que 4 cs sobrc B,es decir quc t d a b c B ticnc a1 menos wur flczha dirigida hacia si. Pucsto quc a menudo atarcmos probando qu2 cicrtas funciones son uno a uno, o sobre, o ambccosas, vale la pcaa mcnciooar Is t h i c a a u t i l i r . 1 Para mostnr que a, = a,
4a
uno a uno. sc muatra quc old = a,4 implica
2 Para mostrar quc 4 a sobrc B, se mucstra quc para todo b E B existe a E A tat que a 4 = b
40
PERMUTACIONES I
Por bltirno, sefialemos que para 4 :A + B. el conjunto A es el dominio de 9; el conjunto B es el codominio de 4 y el conjunto A4 = {aQ I o e A ) es la imapn de A bajo 4. Para una permutacion dcl conjunto A queremos que cada elernenlo de A sea irnagen de uno y solo un elernento de A, de aqui la siguiente definition. Delinieibn Una pcrmuraeidn & un conjunro A es una funcion de A en A que es tanto uno a uno como sobrc. En otras palabras, una permutacion de A es una funcion uno a uno de A sobre A.
para representar una luncion 4 uno a uno dc A sobrc B. Es neoesario cmplcar algo dc ticmpo en estudiar y tratar de entendcr estas ideas; csto lacilitari el curso. La terminologia es todavia la usual, aunque hay otra tcnninologia que csd rnis y r n h en boga. propagada por lor discipulos dc N. Bourbaki. No usaremos aqui esa terminologia. pero la daremos para que ustedcs comprcndan su significado en caso de camntrarla. En la nueva terminologia. una transfomaci6n uno a uno cs una inyoeei6a; una translormacion sobre es una supray& y una translonnaci6n que es uno a uno y sobre es una biyeccibn.
En ins pennutaaones de un conjunto se dditK una operacwn binaria natural, la multiplirocibn depermu~aciones.Sea A un conjunto y scan a y r permutacioncs dc A dc modo quc a y r son funcions uno a uno y Ucvan A scbre A. La iunci6n compucsp m,mmo .~cilustra en la figura 4.4, con B = C = A; 4 = a y $I r, nos da una transformacibn dc A en A. Ahora bicn, ar s e d una prmutaci6n si es uno a uno y sobre A. Usamos la notacibn dc csaibir las funcions a la dcrecha, de rnanera que or pucde krse de izquicrda a dertchs. Mostmnos quc or es uno a uno. Si
-
-
entonas
y corno csti dado que r es uno a uno, sabemos que a,o = a,a. Pero cntonces, corno a es uno a uno, esto da a1 = ol. DCaqui que ar cs uno a uno. Para
4.2 CRUPOS DE PERMUTACIONES
41
mostrar que a7 es sobre A, sea a s A. Como r es sobre A, existe a ' s A la1 que a'r = a. Como a es sobm A, existe a"€ A tal que a' = d'o. Entonces. a = a'r = (aP'a)7 = a"(or),
de modo que 07 es sobre A. Para ilustrar esto, sup6ngase quc
y que o es la permulacion dada por la ligura 4.1.Escribimos a en una notacion m k wrnun como
ad, 10 = 4;20
=
2. y asi sucesivamente. Sea
entonas,
Por ejemplo, I(o7) = (1a)r = 41 = 2.
Mostrcmos abora que la wlecci6n de todas las pennutaciones de un wnjunto A no vacio lorma un grupo bajo esta multiplicaci6n de permutaciones. Tearema 4.1 Sea A un conjunro no wcio y sea S, la fmilia & rodas las prrmuraciones de A . Enlonces SA es uh grupo bajo la mul1ipIicaci6nde permurociones. Demoslracibn Dcbemos verificar tres axiomas. Como las permutaciones son lunciones, para mostrar que para las permutaciones a, r y p se cumple que
tenemos que mostrar que cada lunci6n wmpuesta lleva a toda a s A en la misma imagen en A. Esto es, debmos mostrar que
para toda a E A. Tcnernos
Por consiguiente. (m)p y a(g)llevan toda a e A a1 mismo elemento [(ao)r]p y son, pot tanto, la misma permutacibn Como no cmpkamos el k h o de que u, r y p son uno a uno y sobre, en realidad probamos quc la composiridn de funciones es etociatiua. Entoncep, se satisface 9,. La permutacibn i tal que a1 = a para todas las a A, obviamente aclua corno identidad. Por tanto, se satisface g,. Para una permutaci6n a dcfinimas a-' como la pennutacibn quc invicrtc la d i r d n dc la transformacibn u. esto cs aa-' scri el clemcnto d & A tal quc a = do. La existencia de exactamenle un elcmmto d con era caracteristica sc Qbe a quc, como funci611, o es uno a uno y sobre. ( V b s e cl ejercicio 4.18.) Es claro quc or = a = do
c ( m 7 - l ) ~= ~
4u-'o)
y tambib quc dr = d = ao-i = (doh-' =
~'(06'l
de mancra quc a-'a y nu-' son, ambas, la permutacibn r. Asi, se satisfafnctY,
.
A1 dcfinir perrnutacibn, no fuc nerrsario quc A fuem un conjunto hito. Sin embargo, casi lodos nucstrm ejcmplm de g r u p & permutacioncs tratarhn con pcnnutaciones dc conjuntos finites. Ea claro quc si ranto A mmo B tienen el mismo niunero de ckmentos, entonca el grupo & todas las permutacioncs dc A time la misma estruelura que el grupo d t todas 1Ps pemutacimes de B. Se puede obtcner UII grupo a partir &I o m simplemeate cambiando el nombrc a 10s claomtm. Estc eq dc nucvo. el coaocpto & g m p isomorfis mencionado en el capitulo 2 y accrcn dcl cual habhqaos mha adcknle.
.
DcTricib. Si A es cl conjunto finito {I. Z . ., nJ, entonccs el grupo de todas l a pwnutacioaes& A es el br*p rWhieo dr n h w y se dcnou por
S". Ndtcse que S. tiene n! elcmcntaq dondc
Ejanplo 41 Un ejmplo intcresantc es cl grupo S, & 3! = 6 elcmentos. Sea cl conjunlo A = {I. 2, 3). Listease las perrnutadoncs de A y a cada una asignex
4.3
DOS EJEMPLOS IMPORTANTES
43
una letra griega con subíndice. Más adelante se aclararán las razones para asignar los nombres y para sombrear la tabla. Sea ρ0 =
ρ1 =
ρ2 =
1 2 3
,
1 2 3 1 2 3
,
2 3 1 1 2 3 3 1 2
,
μ1 =
μ2 =
μ3 =
1 2 3
,
1 3 2 1 2 3
,
3 2 1 1 2 3
,
2 1 3
Puede verificarse que la tabla de multiplicación dada en la tabla 4.1 es correcta. Nótese que este grupo no es abeliano. Este es el primer ejemplo que tenemos de ello. Hemos visto que cualquier grupo de a lo más 4 elementos es abeliano. Más adelante veremos que un grupo de 5 elementos también es abeliano. Así, S 3 tiene el orden menor entre los grupos no abelianos. ■ Tabla 4.1
Hay una correspondencia natural entre los elementos de S 3 en el ejemplo 4.1 y las maneras en que pueden colocarse, una sobre otra, dos copias de un triángulo equilátero con vértices 1,2 y 3 (véase la figura 4.5). Por esta razón, S 3 es además el grupo D 3 , de simetrías de un triángulo equilátero. Usamos ρ i para las rotaciones y μ i para las imágenes reflejadas en bisectrices de los ángulos. La notación D 3
Figura 4.5
Figura 4.6
44
PERMUTACIONES
representa al tercer grupo diédrico. El n-ésimo grupo diédrico D n . es el grupo de simetrías del n-ágono regular. Ejemplo 4 2 Fórmese el grupo diécdrico D 4 de permutaciones, correspondientes a los rnodos en que puedan superponerse dos copias de un cuadrado con vértices 1, 2, 3 y 4 (véase la Figura 4.6). D 4 será el grupo de simetrías del cuadrado. También se le llama grupo octal. De nuevo, úsese una notación y sombreo en la tabla que parece arbitraria, pero que se explicará rnás adelante. lntuitivamenle usemos ρ i para rotaciones, μ i para imágenes reflejadas en bisectrices perpendiculares a los lados y δ i para 1os reflejos en las diagonales. En. este caso hay ocho permutaciones. Sea ρ0 =
ρ1 =
ρ2 =
ρ3 =
1 2 3 4
,
1 2 3 4 1 2 3 4
,
2 3 4 1 1 2 3 4
,
3 4 1 2 1 2 3 4 4 1 2 3
,
μ1 =
μ2 =
μ3 =
μ4 =
1 2 3 4
,
2 1 4 3 1 2 3 4
,
4 3 2 1 1 2 3 4
,
3 2 1 4 1 2 3 4
.
1 4 3 2
Puede verificarse que la tabla para D 4 . dada en la tabla 4.2 es correcta. Nótese que D 4 , tampoco es abeliano. Este grupo es sencillamente una belleza. Nos proporcionará magníficos ejemplos para casi todos 1os conceptos que presentaremos en teoría de grupos. !Qué bellas simetrías hay en la tabla! Tabla 4.1
RO. 4.7 Dlagfama reticular para 0,. Por ultimo, en la figura 4.7 se muestra el diagrama reticular para 10s subgrupos d e D,. Verifiquese si es wrreclo.
4.1
Considercnse las tres permutacioncs cn S,
U ~ C d de b lap siguicntes fuociom dc R en
a) b) C) d) C)
f,: R + R ddinida por f,(x) = x + 1 f,: R + R ddinida por fz(x) = x' jl: R R ddinida por f3(x) = -2 f,: R R dddiida por /Ax) = e' f,: R R ddinida por f,(x) = x3 - x'
4.3
Considhcsc cl grupo S3del ejcmplo 4.1.
--
R son permumiones de R?
- 21
a) EncuCntrcnr los s u b g r u p ciclicar ( p , ) , ( p , ) y ( p , ) de S, b) Encuhtrenr to& los subgrupos, propios c impropios, de S, y elabbrtu el diagrarna reticular wrrcspondienle.
4.4
Obtdngase la tabla de multiplicaci6n para el subgrupo cklico de S, gcnerado por
H a b r l 6 clementor. Sean p, pa, p', pa. p' y po = p 4 i,Acaso cste grupo es isornodo a S,? '4.5 Sca A un wnjunto y a un elemento dc A. Sea T . el wnjunto dc todas las permutacioncs de A quc tcngan la propiedad de quc aa = a. Mu&trrse que T. a un subgrupo del g ~ p S,o de todas Ins permutaciona C6 A dado en d teorcma 4.1.
4.6
LFalso o verdadcro?
- a) Tcda pcrmutaci6n a una funcibn uno a uno. - b) Toda funcibn cs una permut.cl6n si y db ri cs uno a uno.
-
c) To& f W b n de un wnjunto linito wkc sl miamo dcbc rer uno a uno.
- d) Hasta ahora no sc ha dado m cl libm un cjemplo dc un grupo que no
-
e)
- I)
-
h)
-
j)
g)
- i)
-
sca
abcliano. Tcdo subgrupo dc un grupo abcliano a abcliano. Tcdo elcmcnto de un grupo g n c n un subgrupo cicliw dcl grupo. El grupo simttrim S,o tinre 10 elcmenloa El grupo aimttrim S, a dcliw. S. no a Eicliw p a n cualquisr n. Todo grupo cs isomodo a aslgbn grupo dc pcrmutacioncs.
4 7 Muktrac, medinntc un cjemplo, quc todo subgupo propio de un grupo no abcliano puedc r r abeliano. 4.8
P a n lsd peimutaciona a, r y fl dcl jercicio 4.1, cncuhtrssc
a) I
bl I
c
aloe
d) c'*
49 En forma a d o g a a lm cjemploa 4.1 y 4.2 comidkrex un n-&gono plmo regular para n 2 3. Cads una dc laa maomr en que puedan clupcrpomm dos wpim de dicho n-dgono, corresponds a dcrU pcrmulaci6n & l a vCfiicw. El mnjunto de erran rrnnutacioncs a un
d i i D. h j o la multipk&n dc permut&ioncs. Encutntgrupo;cl n 4 m el ordcn de a t e grupo D.. Pmporcibncnae argumatos gemnilrim para probar quc cstc grupo tienc un subgrupo w n justo la milad dc e b t o s quc time el p u p .
4.10 C o n s i b un cubo quc qucpa clactammtc m una eaja ~ b i c a Como . en el caso de 10s cjemplor 4.1 y 4.2 laa m a m en que r p r d c colaar el c u b dentro de la cajajk wrrapondcn a cicrto grupo de pcrmutacioncs dc bs M a s dcl c u b . E3te grupo cs el a rIg&u &I clbo. (No debc amfundim w n cl grvpo de sitnelrfnr &1 ~npokc u h quc u a n a l i B en 10s ejercicios dcl capitulo 10.) ~Crdntosclcmentos ticm cste grupo? Roporcibncnac argummtos gemifrims para pobar quc a t e gmpo ticnc al mcnm t m subgmpos difcrcntes dc ordcn 4 y d mcnos m t r o subgrupos difcrentcs dc ordcn 3.
..
411 Mubstrese quc S. a un grupo no abcliano para n 2 3.
4.12 Para wmplemcntar el jercicio 4.11, mutstrcv quc sin 2 3, el hniw clemcnto a dc S. que satisfafc oy = yo para toda y E S . cs a = I, la pmnutacibn identidad.
S u n A un wnjunto, B un subconjunro dc A. y b un clemento fijo de B. iCu61 dc lor siguicntcr cr un subgrupo de S,? 4.13
a) { a ~ S ~ l b u = b ] c) { U E S ~ I B E U BJ 4.14
b) ( o E S ~ I ~ ~ E B ) d) ( O E S ~ I B=O B)
Sea A un conjunto y a < S,. Para un a e A fijo. el wnjunto
cs la brbiu & a b.p a. Encutntmnse las brbitas de I bajo cada una de las pcrrnutacioncs del cjercicio 4.1. 4.15 R a p t o d wncepto dcfinido cn el ejercicio 4.14 muklrcoe quc si para a, b E A, 0.. Y O,,. tienen dghn clanenlo en mmitn, m t o n a s 0,. = ,Q,,
.
4.16 Si A a un wnjunto, rnlonar un subgrupo H d~ S, a mnsisiliio u A si para tDda a, ~ E aA h a e H tal que ao = b. M U b t l g ~que ai A-m YO wnjunto no v d o linilo, cntonm existc un subgrupo ciclico tinito H dc S, w n IH(= 1.41 que w lransitivo m A.
Con respecto a 10s jcrricios 4.14 y 4.16, rnuktlec quc para a~ S., ( a ) a lransitivo ~nAriydosi0~,=Apara.Islnea~A. 4.17
4.18 Sen 4: A + B. La tra~formaCi6n4-' : B + A cr UM~ para todaxe.4 y = y pan tDda ~ E B .
(*-In
a) Mvtstrrse quc # a una biycocion si y wlo si licne inverna b) Muiatrrac quc la inrenu de UM biyscd6n $ ca h n i a
U
deU4 si (x&-'
=x
Existe otra notaci6n para permutaciones. Supongamos que se distribuyen equitativamente 10s cinco numeros 2, 4,3,6, 8 en una circunferencia, como se muestra en la figura 5.1. Sup6ngase que el circulo se rota 2x15 radianes en sentido contrario a1 que giran las manedlas del rcloj, & manera que el 2 queda en la posicibn que antes ocupaba el 4, el 4 a la que ocupaba el 3 y asi sucesivamente. Sea a la pcrmutaci6n en S8 que deja fijos a1 1.5 y 7 y aalia sobre 10s elementos mtantcs mediante la rotaci6n del circulo descrita Entonces,
Esta pennutacion a es un cicio de iongitud 5; para ello se-introduce una notaci6n nueva, m h compacta
La nueva notaci6n s la notoeibn cielim. Cada elnnento que aparea en (2,4,3,6,8) se lleva al elemento siguiente excepto el bltimo, que va a dar a1 primero. Se considera que 10s elementos que no aparecen en la notaci6n quedan lijos bajo la pemutacion.
D c f i a u i Una permutacibn a de un wnjunto A es un &c/o & longirnd n si existen a , , a,, . . ., a, E A tales que
Y xu = x para toda x c A tal que x $ {a,, a,. a = (a,, air ..., a").
. . ..
a"). Escribimos
Al usar la notacion ciclica, el conjunto A debe estar clararnente ubicado en el contexto.
Obstrvese que
.-
Puesto quc 10s cidos son tipos particulam de permutaciones, pueden multiplicame wrno cualesquiera dm perrnutaciones. Sin embargo, el product0 de dos cidm no nmsariamente cs un ciclo. E h p l o 52 Sean (1, 4, 5, 6) y (2, 1, 5 ) ciclm en el grupo S, de todas las perrnutaciones de { I , 2, 3, 4, 5, 6). Entoqces,
Ninguna de estas dos permutaciones es un ciclo.
En una colecci6n de ciclos Cstos son ajenos cuando ningbn elemenlo de A aparece en las notaciones de dos ciclos diferenles de la coleccion; esto es, si dos ciclos diferentcs de la colecci6n no mueven a ninghn elemento de A. En tkrminos de transformaciones, 10s cidos serin ajenos si para todos 10s ciclos de la coleccion, except0 a lo &s un ciclo. todo elemento de A va a dar a el mismo. Hay que convenir en que cualquier ciclo de longitud 1 representa la permutacjirn identidad. Se demostrark que cualquier permulacion de un conjunto Rnito es producto de ciclos ajenos. La demostracion sera construcliva, es decir, 10s pasos de la demostracion pueden empleane, dada una permutacion, para encontrar su rcpresentacion como producto de ciclos ajenos. Nos parem que se aprende mas de esta demostracibn que de un aEumento inductivo elegante y lormal. llustraremos la ttcnica wn un ejemplo.
Ejernplo 5.3 Considirsc la pennutacion
Escribase como product0 de ciclos *nos. En primer lugar, el 1 sc mueve al 6 y el 6 al I, produciendo el ciclo (I. 6). A wntinuacibn el 2 se mueve a1 5, que a su vtz 8c mueve al 3. el cud se mueve al 2, o (2, 5: 3). Esto abarca todos 10s elementos exapto el 4, que pumanea lijo. Asi,
Es claro que la multiplicacibn de cidos ajenar s conmutativa, asi que no es importante el orden de 10s factores (1,6) y (2, 5,3). Tconmn 5.1 Cada pcrmutacibn a dc un m ~ r Jinito o A es producro de ciclar ajenos. Demostracion No se pierde generalidad al suponer quc A Considercnse los elementos
= (1, 2,
3, . . .. n).
I, 10, la2, la3,. . . Como A sfinito, no pueden ser distintos todos estos elementos. Sea Id el primer tCrmino en la sucrsibn que sc rcpita. Entonces, I d = 1 porque si I d = la' con 0 < s < r. tendrjamos Id-' = 1 con r s < r contradicicndo la selcccibn de r.
-
Sea r , = ( I , la, lua, ...* Id-').
5.2 PERMUTACIONB PARES E IMPARES
51
Vemos que K , ,tienc el mismo efecto que a en todos 10s clementos dc A quc aparean en esta notacibn ciclica para 7 , . Sea i el primcrekmento dc A que no aparece en csta notacion ciclica para 7,. Sc repitc el argument0 anterior con la sucesion
y obrcnernos un ciclo 7 , . Ahora bien, 7, /y r, son ajcnos ya que si tuvicran en wmbn algfin elementoj d e A, serian cada ciclo podn'a construirse mediantc aplicaciones repetidas dc o wmenzando en j. Para continuar, se ekgir6 ahora el ph'mcr elemcnto de A quc no aparece en las notacionu ciclicas de r, ni de r,, y, se wnstruid r,, y asi succsivamenlc. Como A es linito, a t e proaso debe tcrminar en alguna r,. Es claro que el producto
tienc el mismo elect0 en cada clemcnto dc A que u; asi,
Seni posiblc wnvcncerse facilmente de quc la repnsentaci6n de una permutacibn
como producto de ciclos ajcnos, ninguno de 10s cualcs es la permutacibn idcnti-
dad, es 6nica. salvo el orden de 10s factorcs.
5.2
PERMWAcKmES PARES E IMPARES
DcFkkd6a Un ciclo dc longitud 2 cs una tr.~upohiidn.\
De ate modo, uaa transposici6n deja lijos todos 10s clementos except0 dos y lleva a cada uno de &to8 en el otro. Un d c u l o m m t r a que (al. a,,
. . .. 0.) = (a,, al)(al.0 , ) ... (0,. am).
Por tanto. cualquier cido cs producto dc transposicioncs. Tencmos, entonas, el siguicnlc corolario a1 tzorema 5.1. Cambrio Cmlquier permutacibn & un conjunto finito & a1 menos dos elemenros es m praducto & Iransposiciones.
De manera intuitiva, este corolario alinna quc cualquicr m m g l o dc n objetos se puede logar intercambiando suceivamcntc pares de cllos.
.
Ejmnplo 5.4 Al continunr Ins otservacioncr prtvias al wrolario, vcmos quc (1,6,K2, 5. 3) es el producto (1. 6)(2, 5)(2. 3) de transposicioncs.
Hemos visto que toda permutaci6n de un conjunto finito que tenga al menos 2 elementos, es producto de transposiciones. Las transposiciones pueden no ser ajenas y no es unica esta representauon de la permutacion. Por ejemplo, siempre es posible insertar al principio la transposicion (a,b) dos veces pues (a, b)(a,b) es la permutacion identidad. Lo cierto es que el numero de transposiciones que se usan para representar una permutacion dada debe ser siempre par o siempre impar. Este es un hecho importante y la demostracion usual, que puede encontrarse en la primera edicion de esle libro, implica una construction bastante artificial. En 1971, William I. Miller public6 una demostraci6n que nos parece mejor y que damos aquit. Tcorema 5.2 Ninguna permuracibn & un conjunro jiniro puede expresar~e como un producro & un nrimero par de ~ransposicionesp como un p r o h c ~ ode un numero impar I rrcmrposicioncs. Demosrracibn No se pierde generalidad a1 considerar el conjunto A = = {I, 2, . . ., n) y suponer que n t 2, de rnanera que existan las transposiciones. Estudiemos primer0 el caso especial de la prmutacion identidad I. Desde luego, r puede expresarse como un producto de un nlimero par de transposiciones, digamos i = (I, 2)(1, 2). Debemos mostrar que si
donde cada 7, es una transposicion, entonces k debe ser par. Sea m cualqu~er entem que aparezca en alguna de las transposidoncr en la ecuacion [S.I] y sea 71 la primera transposicibn, wntando de izquierda a demha, en la'cual aparca: m. No podemos tenerj = k pues, de ser asi, I no hubiera dejado fijo a m. Ahora bien, rJrJ+, &be tener la forma de aiguao de 10s lados izquierdos de las siguientes identidades f k i l a de verificar
Si sustituimos la identidad correcta m la ecuaci6n C5.21. en lugar de T ~ T en ~ ~la, ecuaci6n CS.11, sucede que reducimos en 2 el numero k de transposlclones o trasladamos la primera aparicion Q m un lugar a la dencha. Repetimos este procedimiento hasta eliminar m de la expresion de la gcuacion [S.I]; hay que recordar que m no puede aparecer por primera v a en la transposicion final, asi queen algun momento debe aparecer la situaci6n de la primera identidad en la ecuacibn [5.2] para eliminar a m por wmpkto. A continuation elegimos otro
' William I.Miller, *Even and Odd Permulations~~.Malhmorics Assorioriom ~,'Two-Yr.r Journol5(1971):32.
Colleges
5.3 CRUPOS ACTERNANTES
53
entero en A que aparece en la ccuacion [5.1] reducida y lo eliminamos de la ccuacion C5.11 medianle un proceso similar y mntinuamos hasta que el lado derecho de la ecuacion C5.11 se reduzca a la suasion rr ... r. Como al sustituir una identidad de la ecuacion [5.2] el numero k permanece igual o se reduce en 2, vemos que k debe haber sido par. Es ficil probar el teorema partiendo del caso especial para r. Supongase que
Como cada transposition es su propia inversa, obtenemos
Mostramos, en este caso particular, que r + s es un numero par, de modo que r y s son ambos numeros p a m o ambos son numeros imparcs. Deloicih Una permutation de un wnjunto finito es par o impcu de acuerdo con que pueda expresam como el producto de un nbmero par de transposiciones o como el producto de un nhrnero impar de transposiciones, respectivamente.
Alirmamos que para n 2 2, el numero de pennutsciones pares en S. es igual al numero de permutaciones impares; es decir, S. se descompone equitativamente y ambos numeros son (n!)/2. Para mostrarlo, sea A, el conjunto de permutaciones p a r s en's, y sca B, el conjunto de pennutaciones imparcs para n 2 2. A wntinuaaon defininmos una funci6n uno a uno de A, sobrc B,. Esto es precisamente lo que se amsita para mostrar que A. y B. tienen el mismo ndmero de elementos. Sea 7 cualquier transposici6n fija en S. que existe porque n t 2. Podernos suponer que r = ( I , 2). Definimos la funcion 1,:A. -. B" mediante ad.
=
ra,
esto es, o e A . va a dar a (1, 2)o bajo 1, Obskwese que como o es par, la permutanion (1,2)u a p a r m w m o el producto de (1 + numero par) o sea un numero impar de transposiciones, asi que, en efecto. (I, 2)a esta en B,. Si para u y p E A. s u d e que od, = FA,, entonces
y como S. es grupo, tenemos n = p. Asi, i.. es una funcion uno a uno. Por ultimo,
asi quc si p E B., enlonces
Por consiguiente, 4 (,a sobre 8.. Dc aqui que el n h e r o de elcmentos en A. es el mismo que el numero de clementos en B. puesto que existe una correspondencia biunivoca entre 10s elmentos & ambos wnjuntos. N6tcse que el producto de dos permutauones p a r a es par. TambiCn, como n 2 2, A tienc dos elcmentos a y h, y I = (a, b)(a.b) u una permulacion par. Por Gltimo, notese que si expresamos a w m o producto de transposiciones, el producto dc las mismas transposiciones tomadas en el orden opuesto es u-l. Por tanto, si u cs una pcrmutaci6n par, a-I tambikn deke scr par. Hacicndo rcfertncia al teonma 3.1, se ve que hemos probado:
Teorema 5.3 Si n 2 2, la coleccibn de t o h s /as permuraciones pares de { I , 2, 3, . ., nj forma un subgrupo de orden n!/2 &I grupo sim6nico S..
.
Definicibn El subgrupo de S. que wnsta de las pemulaciones pares de n letras u el grnpo d t n a u t e A. k n ktras. Tanto S. como A. son grupos muy importantes. Ya mencionamos, sin demostraci6n. que cada grupo finito ca cstructuralmente i d h t i w a a l a n subgrupo de S . para alguna n.lPimporrancia de A. a p a r r a r i mAs adelante.
Los ciclos siguicnla *in pcrmulacioncs de {I, Z 3, 4, 5, 6 7, 8). Calcitlmse 10s prcductos que se indian.
I 1
a) (1.4, 5N7. 8)(2. 5. 7) C) (1, 2)(4, 7 . 8K.2 1)(7.
b) (1, 3, 2,7)(4,8, 6)
Z 8. 1, 5)
5.2 ExprCxx cada una dc las siguicnta permutacioncs de {I, Z 3, 4. 5, 6. 7. 8) wmo producto de ciclos ajenos y despubs como producto dc transposiciones.
. puede acribirv como producto de a lo mis n - I transposia) Tcda permulacion en S cioner. b) Tcda permumion m S. quc no es un ciclo pucde escribirse como producto de a lo m8s n - 2 transposiciona. C) Tcda perinurncion impar en S. pucde escribirse como producto de 2n 3 transposia o n n y toda pcrmutacibn par como producto de 2n + 8 tramporidones.
+
4 'Cubler de ks pcrmulaeiona en S, del ejemplo 4.1 son permutaciones pares? Obt6np s e la tabla para el grupo allernante A,.
55 Un elemento a de un gmpo C con idenlidad e tiene arden r > 0 si a' = e y ninguna polencia positiva mcnor de o a la idcntidad. ConsidCruc el grupo S, dcl ejercicio 5.1. iCuU w el orden del ciclo (1, 4, 5, 7J? Enhndac un teomna ~ u g d por o la pane a) 'Cual a el orden de a = (4. 5)(&'3, 7) y c u d el de r = (I. 4)(3. 5, 7, 8)? Encuintrae el orden de cada una de las permutadones dadas cn cl cjerdfio 5.2 lomando en m n t a su daeomposici6n en produno de cidos ajenos. e) Enuncioc un teorcma su@rido por lap panes c) y d). [Sqcrmcia: las palabras imponanta que b u m son mlnimo cmh m~ilriplo.]
a) b) c) d)
a) Toda pmutaci6n cs un ciclo. b) Tcdo d o a una pcrmutacibn. c) Se pudiemn haber dado las dctinicions dc permutadoms p a r s e imparcs antes del teoroaa 5.2. d) Cualqukr subgrupo no trivial de S, quc contcnga alguna permutacioncs impam. conticnc una transposicibn. c) A, tiem 120 elrmcotos 0 S. no a ciclico para ninguna n t 1. g) A, a un grupo conmutalivo. h) S, a isomorlo al subgrupo de todos los elementon de S, que dqan fijo al nGmm 8. i) S, a imnorlo al subgrupo de todon 10s clemcntos de S, quc dejan fijo a1 niunero 5. . j) Las permut&onca imparcs de S, f o n a n un subgrvpo dc S
MuQtrcsc quc para todo subgrupo H dc S . para n 2 2, todor Las pcrmutacioncs en H son pares o exaclamcnte la mitad son pares.
5.7
%8 SCP o una pamutacibn de un conjunto A. Dirernos quc ua mlnrrc a € A r si m Z a. Si A s un mnjunto finito, icdntos clementon mucve un ciclo U E S , ,dc longitud n?
5 9 SCP A un mmjunto infinilo. Sca H cl conjunto de todas las a € S, que mucven sblo un nGmau finito dc cluncntm de A (vtasc jercicio 5.8). Mutstrcsc quc H a un subgrupo de
s,. 0
SCP A un conjunto infinito. Sea K el conjunto de todaa las O E S, quc mueven a lo mas SO clcmentos de A (vCas ejcrcicio 5.8). iEs K un subgrupo dc S,? iPor qub?
5.11 DernuCstrese de manera mas elegante el leorcma 5.1; ernpllem un argumenlo por inducci6n robre el numero dc elemcntos movidos por a (viase ejercicio 5.8). 5.12 ConsidCrew S. para una n t 2 fija y sea a una permulacion impar fija. Mutstrese quc lode permutacidn impar en S. cs producto de o y alguna perrnutacion en A.
5.13 DcmuCstrcv que si a es un cicla, entones a' n u n ciclo, siemprc que l a longitud de a sea un enlcro impar. 5.14 Siguienda la linca de pensamienlo iniciada en el cjcrcicio 5.13, complltese lo siguienle con una condicibn que incluya n y r de tal manem que el enunciado resultanle sea un learema Si a s un ciclo
5.15
I.: G 5.16
de longitud n, entonces d l a m b ~ na un ciclo si y 5610 si ..
-
Sea G un grupo ). sea a un elemento fijo de G, muglrese que la transformacibn G dada por gl. = ag para g E G, es una permulaci6n del conjunlo C.
Con refemncia al ejercicio 5.15. mutslrcrc quc H = ( 1 . J a e G )es un subgrupo de
S,: el grupo de todas las pcrmutaciones de G.
5.17 Con h a a al cjcrciao 4.16, muCstrcsc que Hdel jercicio 5.16 es lransitivoen el conjunto C. [Sqerencia: esto es u n mrolario inmediato de uno dc los teommas del capilulo 2.1
6.1
PROPIEDADES ELEMENTALES
Recuerdcse lo siguicnte del capitulo 3: Si G cs un grupo y a c G, entonas
cs un subgmpo dc G (Tcorema 3.2). Este yupa cs el s u m & k o de G generndo par a. Ademits, dado un grupo G y un clemtato a c G, si
entonas a cs un g-dor
dc G y el grupa G = ( a ) es cldka
El prop6sito dc esta s&bn es clasificar todos 10s gmpos ciclicos y todos 10s subgrupos de 10s grupos ciclicos. T c o r c ) )6.1 ~ ~ Todo grupo ciclico es abeliano. Demostracidn Sea
G un gmpo ciclico y sea a un gcnerador de G tal .- que G=
(a) = {m"ln~Z).
Sea G un grupo ciclico con generador o. Consideremos dos casos CASO 1 G tiene un nlimero infini~ode elenten~os,esfo es, elorden de G es infiito. En esre caso afirmamos que dos exponenles distintos h y k no pueden dar elemenros iguaies d y d de G.Supbngase que d = d y que, digamos, h > k. Ent onces. da-' = 2-' = c, la identidad y h - k r 0. Sea m el menor entero posirivo tal que a" = e (nbtew la analogia con la const~ccibnen la demostracibn del teorema 6.2). Aiirmamos que G tendria enlonces (Inicamente 10s distintos elementos e. o, a', . . ., a m - ' . Sea d E G;encuCntrcnsc q y r taks que n=mq+r
para O S r < m
por el lema 6.1. Entonas, d=a-Q+r=(6)%"l'@a'=d
para 0 Ir < rn. Esto significaria que G es finito, contradiciendo la hipotesis del caso I. Por tanlo, to& lar porenciar de a son disrinfas. Sup6ngase que G' es otro grupo cicliw infinito con generador b. Es claro que si se cambia el nombre 6" por el de d puede parecer que G' es exactamente i g d a G,es decir, 10s grupos son isomorfos. Lo anterior se hara de nuevo, w n sumo cuidado, en el siguiente capitulo. Por cmiguienle, lodes los grupos ciclicm infmiros son iguoles exceplo, quiza. por los nombres de 10s elemenlos y las operaciones. Tomarernos a Z con la opcracibn de suma wmo el prototipo de
cualquier grupo cicliw infinito. De ahora en adelante, en la pane I, nel grupo Zn sera siempre ~1 g ~ p Zo b j o la suma~. Ejempb 6.1 Podra pancer extrafio que Z y 32 ambos grupos ciclicos infinitos bajo la suma, sean estructuralmente idknticos a pear de que 3 2 < 2.Podria decirx que 1 E Z per0 1 # 32,asi que j&mo pueden scr strueturalmente iguales? Los nombres no importan, y si al 1 lo nombramos 3, al 2 lo nombramos 6 y e n general a1 n lo numbramos 3n, habrernos wnvertido Z en 32 wmo grupo aditivo. CASO I1 G liene orden fmito. En este caso, no todas las potencias positivas de un generador a de G son distintas, asi que para alguna h y k tendremos d = 6. Siguiendo la argumentaci6n del caso I, existe un entero m tal que 8 = e y ninguna potencia positiva menor de a es e. Entonas, el grupo G consta de 10s distintos elementos e, a, a2, . . ., a m - I , Como suele usarse n para el orden de un gmpo ciclico finito en general, cambiamos la notacibn para lo siguiente, esiableciendo rn = n.
6.2 CLASIFICACION DE CRUPOS CICUCOS
61
Ejemplo 6.2 Es agradable imaginar 10s elementos e = ao, a', a', . . ., d-I de un grupo ciclico de orden n, distribuidos equitalivamente sobre una circunlerencia (vkase la tigura 6.2).El elemenlo e = a0 esta localizado en la parte infesor y el elemento ah esta localizado a h de estas unidades iguales, medidas en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, desde e = a'. Para multiplicar d y d mediante este diagrama, x comienza desde ah y se avanza, en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, k unidades mas. Para ver en terminos arilmilicos donde se termina, encuentrense q y r tales que h+k=nq+r
para O < r < n .
El termino nq nos lleva q veces alrededor del circulo hasta llegar a d. DeRniciC Sean un entero positivo tijo y sean h y k enteros cualesquiera. El nhmcro r tal que
h+k=nq+r
para O s r t n
s la s u m & h y k mddvlo n. Tcorcma 6.3 El conjunto (0, 1, 2, elementos bajo la sumo mbdulo n.
. . ., n - I} 6s
un
grupo ciclico 2, de
En el capitulo 0 se analizo la wngrucncia mMulo n; vemos que si h + k = r en 2, enlonces, para la suma en Z, tenemos h + k = r (mod n). La demostracibn dcl twrema 6.3es facil y servid para practicar el algoritmo dc la divisi6n. ( V k cl ejeraao 5.8.) Verifiquense mentaimente gI,g2 y y'J,. Recutrdcsc el diagrama dc la figura 6.3 como se explico en el ejemplo 6.2.Esto permitid rcnombrar el clcmcnto d del ejemplo 6.2 con h. Por tanto, hay un grupo ciclico de orden n para cada entero positivo n. En la parte I. Z. sere el grupo dado pot el teorema 6.3.Al igual queen el caso ifinito, es clam quc si G y G' son dos grupos ciclicos de n elementos cada uno, con generadons a y b, mpectivamente, entonces, al cambiar el nombrc de H por d , G' se vcrh exactamcntc como G. Esto es, cualesquiera dos grupos ciclicos &I mumo or&n fmilo son uomorfos.
Hemos terminado la clasifiuci6n de grupos ciclicos y nos dedicaremos ahora a 10s subgrupos. El corolario dcl teorema 6.2 proporciona infonnacion completa aarca dc 10s subgrupos de 10s grupos ciclicos infinitos. A continuacion daremos el tcorema bhsico con respecto a 10s gcncradores de subgrupos para 10s grupos ciclicos finitos. Tearemu 6.4 Sea G un grupo ciclico con n elementos generado por a. Sea b E G y sea b = d. Enlonces, b genera un subgrzipo ciclico H de G con n/d elnncnros don& d es el rnbximo cornrig diviror (&reviado mcd) de n y s.
D e m o s r r d n Sc ssbe, a panir &I tcorcma 3.2, que b genera un subgrupo d d i w H dc G. Sblo falu mosuar quc H licne n/d eluncntos. Siguicndo la discusibn en cl cam I anterior, podcmos obscrvar quc H ticnc tantos clcmentos como la menor potencia dc b quc dt la idcntidad. Ahora bicn, b = d y b" = e si y d l o d (dr = P = e o si y mlo si n dividc a mr. ~Cu61 a cl mcnor valor dc m tal quc PI divide a mr? Si d ar el m y o r nhmero quc divide n y s, entonces, cn la wrpresibn n = &Id), el factor d d c n dividira al factors & mr. No sc absorbcn cn s factores primos dc n/d adcmhs &I factor 4 ya quc escogimos d como el mayor cntcro quc dividc tanto n wmo s. Asi, n/dse absorbc en rn y la mcnor de dichas m
srn=(nM
Ejempb 6 3 ComidCrcse Z,,~rnn g~ncradora = 1. Como cl d x i m o c o m h divisor (mcd) dc 3 y 12 a 3. 3 = 3.1 genera un subgrupo dc 4 = 4 clcmcntos, a sabcr (3) = (0.3.69). Como d mcd dc 8 y 12 es 4. 8 genera un subgrupo dc 9 = 3 clcrnmtos. a saber
Pucsto quc el mcd dc 12 y 5 es 1. 5 gcncn un subgnrpo dc 4= 12 clcmentos, esto a,5 a un gcacrador dc todo el grupo Z,,.rn El siguimtc wrolario *I mullodo inmsdiato dcl tcorcma. C h i 0 Si a es un generodor de un grupo ciclico finito G & orden n, enronccs, 10s otros generodores & G son lar elcmenros & lajorma a', don& r y n son grinrm re&ivos, csro es, donde el &imo comlin diviror & r y n es 1.
Ejrmplo 6A EncuCntmse todos 10s subgrupos dc Z,, y claMmc el wrnspondicntc diagrama reticular. Todos 10s subgrupos son ciclicos. Por cl corolario dcl teomna 6.4, 10s clernentos 1. 5, 7, 11, 13 y 17 son todos gcncradores dc Z,,. Comemando con 2,
RO. S A
Magrama reticular para x,..
a de ordcn 9 y licnc como generadorcs a lor ckmcnlos dc la forma U,donde h a primo relativo con 9, a saber, h = 1,2,4, 5.7 y 8, asi que 2h = 2,4,8, 10, 14 y 16. El elemento 6 de (2) genera (0.6, 12) y I2 cs tambikn generador de este su bgrupo. Hasla ahora hcmos enwnlrado todos los subgrupos gcnerados por 0. I, 2 4, 5, 6. 7, 8, 10. 11, I2 13, 14 y 16. Nos faltan por considerar 3. 9 y 15.
el IS tambiln genera este grupo de otden 6 pues 15 = 5 . 3 y el mcd de 5 y 6 es 1. Por Sltimo,
El diagrama reticular de estos subgrupos dc Z,,sc da en la figura 6.4. Estc ejcmplo es muy facil; quids al cscribirlo w n tan h o m b k minuciosidad haya partcido dificil. Los ejcrcicios a y u d a h a dcsarrollar esta habilidad.
6.1
Encutntrcse cl n h e m dc gcncradom d4loa p p o l ciclicos de 6rdcnes 6,8, 12 y 60.
Q62 Muhlmc que un grupo quc ten@ d l o un numero finilo de subgrupos d e k ser un
grupo finilo. 6.3
Encutntrcse el numero de elrmen~osen fada uno de lor grupos ciclicos indicadoa.
a) El subgrupo ciclioo de Z,. gemado por el 25. b) El subgrupo ciclioo de Z4, generado por 30. C) El subgrupo dclico (0del grupo C dc numeros complejoa di~lintosde aro, bajo la
multiplicacibn d) El subgrupo ciclioo del grupo C dc la parre c) generado por (1 I@. e) El subgrupo ciclico del grupo C de la pane c) generado por.1 + i.
+
6.4 Para cada uno de 10s siguicnta grupos, cncuintrcnse todos 10s subgrupos y elab6rcw cl diagrarna rclicular wrrcspondientc
Z,, y Z,, 63 EncuCnlrcnx tcdos 10s brdena de 10s subgrujms dc Z,,Z,, Z,.,,
M p a l s o o vcrdadero? a) Todo grupo ciclico es akliano. b) Todo grupo akliano a ciclico. C) Q bajo la suma es grupo ciclico. d) Todo elemenlo de tcdo grujm cicliw genera al grupo.
e) Exisle al mcnos un grupo no abeliano para cada orden finito > 0. 0 Todo grupo dc orden 5 4 cs ciclico. g) Todos 10s generndorcs dc Z,, son nOmeros primos. h) S, a un grupo ciclico. i) A, ca un gmpo cicliw. j) Todo grupo cicliw dc ordcn > 2 time a1 mcnos dos gcncradors distintos.
6.7 Mu4strew. mediantc un wntracjernplo. quc el siguicntc nreciproeoa dcl teorcma 6.2 no a un tcorcma: uSi un grupo G a la1 que todo subgrupo propio a cicliw, cnlonca C a cicliwu. Ses +. la suma mMulo n en Z. = (1.Z3,. . .. n). PruCbcse quc (2,+,) a un grupo. [Sugerencia: la asociatividad es el uniw axioma no trivial. E r n p l k el algaritmo de la divismn y muistrcse que tanto r+,(s+.r) w m o (r+p)+,r, ron el residuo de r + s + r al dividirlo cntrc n.]
6.8
6 9 Sea G un grupo, supbngase que a c G g m a a un subgrupo ciclim de orden 2 y ademis a cl Lnico elemento w n ma propiedad. Mutstrcsc quc ax = xa para todas las K E G .(Cmnrario: Quizi se haya obrervado quc puede x r dilicil enwntrar una demostracibn en ilgcbra, nun cuando cxistan demostncioncs faales Por lo general, m, se puedcn dibujar dgurasn que ayuden a vi6ualizar la dnnostracibn. A mmudo sc ticne quc inventar el atrumw adecundo. Para enmntrar los mcos adecuados haw falta expericncia, intuicibn y a vcacs d o ruertc. Uno de lor principales algcbristas dc catc liglo obsmii alguna v a quc la rnancra dc haccr i n v c s t i g d n en ilgebrs cs pmsar cn algbn truw y dcspuhs enmnlrar un problema quc sc pueda d v e r w n ex truw. cn l u p r de trntar de cnmntrar el modo dc r a o l v n un probkma espci6co. Bicn, intCntesc m l v e r a l e ejercicia; si w preMtan dificultade$ consullesc el mruco)] que csts en la esci6n dc mpucslas.) 610 Ses G = (a) un grupo cicliw finitddc orden n.
a) M u k t r s e que todo subgrupo H 5 G tieae la forma (8).dondc m z 0 es algun divisor de n y mutstrcse quc, para mteros pmitivos m y m' que dividan a n, lcnemos
6 1 1 Sean p y g nimeros primos. Encuhtreu el numero dc gcncradotes dcl grupo dclico 2,. , 6.12 Sea p un n6mero primo. Encubntrese cl nhrnero de gencradorcr del grupo cicliw 2 donde r a un entero 2 1.
Mublrese que en un grupo dclico finilo G dc ordcn n. la suacion 1L = e liene cractamcna m soluciones x en G para cada cntero positivo m quc divida a n.
6.13
614
Con respccto al cjercicio 6.13, jcual a la situacibn si I < m < n y m no divide a n?
6.15
Mubstrese quc 2, no tiene subgrupos propior si p cr un numcro primo.
6.16
Sea G un grupo abeliano y scan H y K subgrupos ciclicos linitos con /HI= r y
IKI = s. a) M u b t m e que sir y s son primos relaliros, cntonces G contienc un subgrupo ciclico de ordcn rs. b) Genaalizando la pane a), rnuCrtrcse quc G wntiene un subgrupo dclico cuyo ordcn es el minimo wrndn mdltiplo de r y s.
7.1
DEFlNlClON Y PROPIEDADES ELEMENTALES
Nos ocupanmos ahora de prccisar, en h i n o s mam6ticor, la idea de que dos grupos C y G' son estructuralmente iguales o isomor/or. Hemos tratado de dar la idea de que 10s grupos G y G' son isomodos, si son idhticos salvo por el nombre de 10s elementos y las operaciones. Dc a t e modo, podanos obtener G' a partir de Gcambiando el nombre de un elemento x en G por el nombn de cieno elemento x' en G'. Eslo es, a cada x E G se le asigqa una contrapane x' E C'. En realidad, no cs m6s que una funcibn 6 con dominio c. Es claro quc dosekmcntos diferentes x y y en C deben tener contrapartes diferentes a' = x 4 y y' = y 4 en G', es decir, la funcion 4 debe ser uno a uno. AdemAs, cada elemento dc C' debe ser la contraparte de algen elemenlo de G. o sea quc la funci6n 4 debe ser sobre C'. Esto cambia el nombn de 10s elmentos. Por ultimo, si 10s gmpos mPn estructuralmentc el mismo y si, por el momento, denotamos la opracibn dcl grupo de G por y la dc C' por *', entonoes la wntraparte de x y dcberia ser x' *')/, o ( x 8 y)$ debcria scr (x4)*'@4). Por lo comun, se omiten la8 notaciones y *' para las operaciones y se usa la notacibn multiplicativa, esto es, ( X Y ) ~=
(~4)(~4).
Nbtcse que la multiplicaci6n xy del lado izquierdo en (xyM = (x4)(y4) es la multiplicacibn en G, mientras que la multiplicacibn (x$)(y4) del lado derecho es la dc G'. Reunimos estas ideas en una delinicibn. DePnici6n Un isomorfismo entre un ~ r u p oG y un p a p C' a una funcion 6 uno a uno, que lleva a G sobre G' y tal quc para todas las x y y en G. (XY*
= (X~)(Y+).
Los grupos G y G' son isomor/os. La notaci6n usual es G
E
G'.
Probemos ahora un teorema que resulta muy obvio, si consideramos que un isomorfismo es un cambio de nombre de un grupo de mod0 que sea como otro. Desde luego, lo probarcmos a partir de nucstra definicibn de isomorfismo. Teorema 7.1 Si $: G + G' es mt isomorfismo enrre G y G' y e es la idenlidad de G, enronces e$ es la idenlidad en G'. Adem&, a
=(
a )
para rodas las a e G .
Para abreviar, un isomorf~molleua la idenridad a la idenridad y 10s inversos a 10s inverses. Demostracibn Sea iE G'. Como $ es sobre. existe x s G la1 que x@ = x'. Entonces
Asi, para cada x' E G' tenemos (e4)x' = x'
= i(e$),
de modo que e$ es la identidad de G'. Tcnemos ademb que para a s G P$
= (a-laj$ = (a- '$)(a$).
e$ = (on-'j$ = (a$)(a-'4).
Asi, a - ' 6 = (a$)-'.
7.2
COW0 MOSTRAR QUE DOS GRUWS SON ISOMOR=
En el pasado, algunos alumnos del autor han tenido dificultades para comprcnder y emplear el conocplo de isomoriismo; rr utilizi, ya en varias secciones antes de prscisarlo, w n la cspcranza de que se compnmdieran su importancia y su significado. EQ cuanto a su uso, darcmos ahora un abow dcl procedimiento que
.
seguiria un maternitico para mostrar. a pardr de la delinicion, que dos grupos. G y G'. son isornorfos. PAS0 1 D ~ f i n i r/u fincibn 4 que (lo e/ isomorJi.smo dc G con G'. Esto significa describir, de alguna manera, cual seria s+ en G' para toda x E G . PAS0 2 Mn.rfror yue
4 cs unofuncion
uno o uno.
PASO 3 M l ~ s r r o rque $ cs sohrf3 G'. PAS0 4 Mosrror que (r:r)+ = (n$)().$) poro rodas /as x. J EG. Esto es solo cueslion de calculos. Se calculan ambos lados de la ecuacion y se ve si son iguales. Ilustrarcrnos esta tecnica con un ejemplo Ejemplo 7.1
Mostrernos que R bajo la suma es isomorfo a R' hajo la multipli-
cation. PAS0 I
Para x E R, delinase
PAS0 2
Si x$
=
r $ = ex. Fsto
y+, entonces
L.' =
da una transiormacion $ : R
+
Ri.
e', de aqui que .Y = y. Asi, $ es uno a uno.
P A S 0 3 Si r E Rt,entonces (In r)+ = elnr = r. donde (In r ) E R. Asi, PAS0 4
Para
4 es sobre R i
1, y E R
tenemos
Ilustraremos de nuevo esta tkcnica en un teorema
Supbngase que G tiene un generador a y usese la notacibn rnultiplicativa para la operacibn en G. Asi,
Dc-n~o.srrocitin
La diseusion en el caso 1 de la seecibn 6.2 para prupos ciclicos infinitos rnostro que 10s elementos u" de G' son lodos dist~ntos,esto es, a' # om si n # m.
-
PAS0 I
Definir d,: G
PAS0 2
Si d + = am$, cntonces n = m y u" = om. Asf, $ es uno a uno.
PAS0 3
Para cada n E Z, el elemenlo d~G va a dar a n bajo
Z por and, = n para toda o" E G.
4. Asi, d, es sobre Z.
7.3 COMO MOSTRAR RUE DOS GRUPOS NO SON ISOMORFOS
69
+
PAS0 4 Ahora. (4d"M =a"'"$ = n m. (Notese que la operairon binana estah en el grupo G . ) Falta calcular (on$) + (urn$),se usa + porque la opcracion en Z es la suma. Pero (a"$) + ( S 4 )tamhien esn + m. Por tanto, la"S)$= (d'$)+ (uV'$). La demostracion anterior rue muy lacil, hay que ascgurarsc de habcr entendido 10s pasos, Es inmediato que cada grupo G es isomorlo a si mismo: la luncidn identidad I deiinida por X I = K para todas las p e G lo muestra. Si G es isomorlo a G ' , entones ti' es isomorio a G ; la luncion 4 ' : G' + G para un isomorfismo 4 : C -' G ' lo muestra (viase el ejercicio 7.6). Por ultimo, si G es isomorlo a G' y ti' es isomorlo a ti", entonces G es isonlorlo a C"; si 4 :G -. G' y I/, : G ' -' G " son isomorfismos, entonces la luncihn compuesta & lo muestra (veasc el ejercicio 7.7). Debe reconocerse que hemos demostrado que la propiedad de isomoriismo es una relacion de equivalcncia en una coleccion de grupos. Por el teorema 0.1, esto signiiica que dudu una c~~leccion no uociu de grupos, sremprc se purdeporrir la colecriun en reldus (c1usr.s dc eyuiuol~~nciu) ~olesque cuole,vqu~rrudos Xrupns en Irr mi.smo celdu son Bomorfi).~y no hay Krupos en celdas distintas yue sean i,romor/os. Hemos visto que cualesquiera dos grupos de orden 3 son isomorlos. L o r.rpresamos diciendo que sdlo hay un prupo de ordrn 3, salvo ~.somorfi.rmo.
Ejemplo 7.2 Hay un solo grupo de ordcn 1, uno de orden 2 y uno de orden 3, salvo isomorFlsmo. En el ejemplo 3.2 vimos que de orden 4, hay exactamente dos grupos dilerentes, salvo isomorfismo: el grupo Z, y el 4-grupo V de Klein. Hay al menos dos grupos diferenles de orden 6, salvo isomorfismo, a saber. Z, y S,.
7.3 COMO MOSTRAR OUE DOS GRUPOS NO SON ISOMORFOS Trataremos ahora un tema que se esrudia en pocos textos de ilgcbra: iComo .se drmuerlra que do.s grupo.r C y G' no son rso~norfov, dr ser cse el cu.so?
Ello signiiicara que no existe luncion uno a uno 4 de G sobre G' con la propiedad (.xy)@= (xb)Cy$). En general, es claro que no es lactible someter a prueba cada funcion uno a uno y detectar si tiene la propiedad anterior, a menos que no existan lunciones uno a uno. Esto s u e d e si. por ejemplo, G y G ' son de orden iinito y tienen dislinto numero de elementos. Ejemplo 7 3 2, y S, no son isomorlos. N o existe luncion uno a uno de Z, sobre
s,. En el caso iniinilo, no siempre estQ claro si exislen o no lunciones uno a uno y sobre. Por ejemplo, algun estudiante podria pensar que Q tiene amas,, elementos
que Z. pero su pmfesor puede modrarle en cinco minutos (ipidan que lo haga!) que hay multitud de funciones uno a uno de Z sobre Q. Sin emhargo, si es cierro que R tiene demaviados elementos p r o ponerlo en una correspondencia uno a uno con Z. El profesor tardara otros cinco rninutos en mostrar esto. Ejemplo 7A Z bajo la suma no a isomorlo a R bajo la suma, porque no existe funci6n uno a uno de Z sobrc R. 4
En caso de que existan transformaciones uno a uno & G sobre G', para demostrar que 10s grupos no son isomorfos (si ral es el coso) se suele exhibir alguna propiedad esrructural que un grupo posee y el otro no. Una propiednd estructurnl de un grupo es la que debe compartir cualquier grupo isomorlo. No depende de 10s nombres o de cualquier otra caraaeristica no estmctural de 10s elementos. Los siguientes son ejemplos de algunas propiedadcs estructurales y de otras no estructurales de 10s grupos. Propiedades est~cturalesposibler
Propiedades no es~ruc~urales posibles
1 El grupo es dclico.
1' El grupo contiene al 5.
2 El grupo es abelino.
2' Todos 10s ekmentos del grupo son nheros.
3 El grupo tiene orden 8. :
3' La opcraci6n del grupo sc llama ucomposici6m.
4 El grupo es h i t o .
4' Los elementos del gmpo son pcrmutacioncs .
5 El g n ~ p otime exactsmente doc elementos de orden 6.
5' La opcraci61-1 &I gmpo se denota
6 La ecuaci6n r' = a ticne una mluci6n para cada elemento a ell el grupo.
6' El grupo es un subgrupo de
por yuxtapici6n.
(R, +).
Claro quc p o d r h o s listar rnuchas otras propicdadcs estructurales posibks. El bccho de que cada una & las propkdadcs dell a1 6 son, en decto, estructurales, codorma un pcqucfio tcorema maca d e grupos isomorfos. En 10s ejercicios se dcmostrar dgunos de dichar teatmas. (Vhnsc lo8 ejercicios 7.8 y 7.9.) En el texto, sc considmarin obviameatc estructurales.
mi
7.4 EL TEOREMA DE UIYLEY
71
Ejemplo 7 5 No puede decirse que Z y 32 bajo la suma no son isomorlos porque 17s Z y 17$32. Estas no son propiedades estructurales, sino que e s t h relacionadas con 10s nombres de 10s elementos.En realidad 2 y 3 2 son isomorfos bajo la transformaci6n $:2 32, donde n 4 = 3n.
-
Ejemplo 7.6 No puede decirse que 2 y Q, ambos bajo la suma, no son isornorfos porque f E Q y f # 2. Pero .ti puede decirse que no son isomorlos porque 2 es ciclico y Q no lo es. Ejemplo 7.7 El grupo Q* de elementos de Q distintos de cero bajo la multiplicacibn, no es isomorlo al grupo R* de elementos de R distintos de cero, bajo la multiplicacion. Un argumento es que noexiste entre ellos ninguna correspondencia uno a uno; otro es quecada elemento en R* a el cubo de algdn elemento de R', esto es, para a € R * la ecuacion x3 = a tiene solucion en R*. Esto noes cierto para Q*; por ejemplo, la ecuacibn x3 = 2 no tiene solucion en Q*. Ejemplo 7.8 El grupo R * de ndmeros males distintos de cero bajo la multiplicacibn, noes isomorlo al grupo C* de 10s ndmeros mmplejos distintos de a r o , bajo la multiplicacion. Todo elemento de R * genera un subgrupo ciclico infinite, excepto 1 y -1 qua generan subgrupos de orden 1 y 2 respcnivamente. Sin embargo, en C*, i genera el subgrupo cicliw {i. - I, -i, 1) de orden 4. Usando otro argumento, la ecuacion x3 = a tiene solucion x en C* para toda a E C*. pero x a = - I no tiene solucibn en R*.
.
Ejemplo 7 9 El grupo R* de numeros realm distintos de a r o bajo la multiplicaci6n no es isomorfo al grupo R de numeros reales bajo la s u m L a ecuacibn x + x = a siempre t h e solucibn en (R, +) para toda a s 4 pero la ecuacion corrcspondiente x . x = a no siempre tiene solucion en (R*, .),por ejemplo, s i n = -1.
ObsCrvcse cualquier tabla de grupo en el libro. N6te.s~que cada nngl6n de la tabla da una permutaci6n del conjunto de elementos del grupo, x g l n estln l~stadosen la parte superior de la tabla. De manera aniloga, cada columna de la tabla da una permutaci6n del conjunto del grupo, segln estin listados a la izquierda de la tabla. En vista de estas observaciona, no d e b sorprender que a1 menos todo grupo finito G sca ~somodoa algtin subgrupo dcl grupo S, de todas las permutaciona de G.Lo mismo sucede con 10s grupos infinitos: el teorema de Cayley propone que todo grupo a isomorlo a algun grupo formado por perrnutacioncs, bajo la multiplicacion de permutaciones. Este resultado es a1 mismo tiempo bello y complicado, aunque no tiene un uso imporlnnte. Sin embargo, se trata de un teorema clkico en la teoria de grupos y aparea en casi todos 10s
libros de algebra. M& aun, es el primer teomna quc vemos con cierla complejidad y reune diversas ideas y tbnicas expueslas por separado. Todo estudiante debe saber lo que propone el teorema de Cayley. Marcarnos la dernostracibn con un astcrisco para indicar que no consideramos que este resultado sea bisico para el libro. Para facilitar la comprensi6n de la dcmostracion, se ha dividido en pasos Comenzando con cualquier grupo dado G,se procede como sigue: PAS0 1 Encontrar un conjunto G' de permutaciones que sea candidato a fonnar un grupo, bajo la multiplicacion de permutacioneg isomorio a G.
-
PAS0 2 Probar que G' es un grupo bajo la multiplicacion de permutaciones. PAS0 3 Definir una transromaci6n 6 : G fismo entre G y G'.
G'y mostrar que 4 es un isomor-
Tcorcmo 7.3 (& CayIcy) Todo grupa es iromorfo a un gnqm & permuraciones.
*Demosrracwn Sea G un grupo dado. PAS0 1 Nucstra primera t a m s encontrar un conjunto G' de pcnnutaciona que sta candidato a formar un gupo isomorfo a G. P i en G simplemente como conjunto y sea S, el grupo de todas las pcrmutacjones de G dado por el teorcma 4.1. (Notese que en el caso finito si G tiene n ekmentos, S, tiene n! ekmeatos. Asi, en general, es claro que Soes demasiado grande para ser isomorfo a G.)Delinamos cierto subconjunto de &.Para a e G sea p. la transformadbn de G en G dada por
para X E G. (Podemos pcnsar en p, wrno mulfiplicaci6n akrecha por a,) Si xp, = yp. entonccs xa = ya y por el teorema 2.1, x = 9. Asi, p, cs una funcibn uno a uno. Ademhs, si y G,entones
mi, p, leva a G sobre G. Entones wmo pa :G -r G es uno a uno y sobre G,p. es una pcmutaci6n de G, esto 6 P.E S ,. Sea
PAS0 2 Afirmamos que G' es un subgrupo de S., Debemos mostrar que G' es ccnado bajo la multiplicacibn de permutaciones, que contiene a la pcrmutacibn idcatidad y que contiene el inverso de cada uno de sus elementos. En primer lugar afinnamos que P d b
= P.s.
ra mostrar que estas iunciones son iguales, debemos mostrar que actuan igual Ire toda x e G. Ahora
, p g , = p, y por tanto, G' es cerrado bajo la multiplication. Es claro que .a roda x G G.
ide e es el elemento identidad de G, de modo que p, es la permutation ntidad I de S, y a t e en G'. Como pap, = pa, Lencmos
aqui que
( p a r 1= Pa-8, modo que (pa)-' E G'. Entonces, G' es un subgmpo de S,.
.SO 3 Falta probar que G es isomorfo a1 grupo G' descrito. Delinase G - G ' por
.a UGG.Si a$ = particular,
entonas p, y p, deben ser la misma pcrmutaci6n de G. ep# = epb,
que ea = eb y a = b. Por tanto, 4 es uno a uno. Es inmediato que 4 s sobre por la definicibn dc G'. Finalmente. (ab)+ = p, mientras que
ro ya se dijo que p., y p p , son la misma permutacibn de G. Asi,
ra la demostracidn del t e o m a , igualmente pudimos haber usado las permuta-
na
& de G definidas por .
.
.
. . xa. = ax
.
,,
.
.,
para x c G.(Podemos pensar en I, como rnultiplicaci6n hquierda por a.) Estas permulaciones iormarian un subgrupo C" de S,, de nuevo isomorfo a G, p r o ahora bajo la iransformaci6n +: G G" delinida por
-
a$ =
A,.,.
DefinXtbn El grupo G'en la demostracion del teorema 7.3 es la representacidn re~ularderecha de G y el grupo G" del comentario anterior es la represenracidn regular izquierda de G.
Tabla 7.1
Tabla 7.2
Calculemos la represenlacibn regular derecha del grupo dado por la tabla 7.1. Por
Ejemplo 7.10
e a b
La tabla para s t a repnsentacion es w m o la tabla original cambiando el nombre de x por el de p, como pucde versc en la tabla 7.2. Este ncambiar de nombrer es la idea bhsica dcl isomorfimo. Por ejemplo,
(
c a b e a b e)(b e a
a
e a b ) a b)='cm
Para un grupo linito dado por una tabla del grupo, p, ts la pcmutaci6n de 10s elementos con el orden wrrcspondiente a la columna~bajoa y la pemutaci6n A, wmsponde a1 orden de 10s elementos en el rengl6n a la derecha de a. Sc cscogieron las notaciones p. y I., para sugerir la mulliplicacion demha (right) y la multiplicaci6n iquierda (Iefi) por a, nspeciivamente.
1.1 Proporci6ncnse dos argumentos que muestren que Z, no a isomorlo al 4-pupa V
de Klcin dcl cjemplo 3.2. -
I
7 2 Dividasc la siguicnte colarion dc grupos cn subcolasiones de grupos isomorfos, como x analizb despub del tcorema 7.2. El aslerisco (*) signitica lodos 10s clementos dcl conjunto que scan distintos dc aro.
Z bajo la suma
s,
ZI.
R* bajo la multiplicaci6n R' bajo la multiplication
2,
s,
Q* bajo la multiplicaci6n
172 bajo la suma Q bajo la suma 3 2 bajo la suma R bajo la suma
C*bajo la multiplicacion
El subgrupo (n) de R' bajo l a multiplicacibn El subgrupo C dc S, generado por (I. 3. 4)(2.6)
73 Proporcibnev una demoslracibn formal (por jcmplo, la dada para el teorema 7.1) del enunciado: si 4 cs un isomorlismo enlre un grupo G y un grupo G'. y H a un subgrupo de C, entonccs
a un subgmpo dc C'. (Eslo es obvio a parlir de la motivacibn de la detinicion dc
isomofismo, p r o scria provecham tratar de escribir una demonraci6n formal bauds &lo en b deJiiicidn de iwmorKmno.) 7A Sea G un grupo cidico m n gcnerador a. y sea C' un grupo isomorfo a G. Si 4: G + G' es un isomorlismo, muCslrese que para toda x E C, X+ esti completamcnte determinado por el valor &.
iFalso o wrdadero? a) Cualcsquiera dos grupos de ordcn 3 son isomorfa b) Salvo isomorlismo, hay un m l o grupo cidico de un ordcn finito dado. c) Cualequiera dor g r u p finitos con el m i m o nOmero dc elementor son isomorlos. d) Todo isomofismo a una fundon uno a uno. e) Toda luncibn uno a uno cntrc grupos e9 un isomorf~mo. I) La propicdad de ocr ddico (o de no scr dclico, scgfn el cam) ca &a propicdad cstructud de un grupo. g) Una propicdad atmctural de un grupo d e b sc; compartida por todo grupo iwmorfo. h) U n grupo akliano no puede scr isomorfo a un grupo no abdiano. i) U n grupo aditivo no puedc scr iwmorfo a un grupo multiplicative. j) R bajo la suma cs isomorfo a un grupo dc pcrmulpcioms.
7.6 Sea 4:C -. G' un isomofismo entre un grupo G y un grupo G'. MuQtrrst que la trandormaci6n 4-' :C' + C, desinida para d4-' = x por x+ = x' donde #EC', cs una luncion bien detinida y es un isomofismo entre G' y C.
7.7 Sea 4:G + C' un isomorlismo dc un grupo G con un grupo G' y $:C'-t C" un isomorlismo de G'con un grupo G".MuCstmc que 4) :C + C" a un isomorlismo entre GyG".
7 8 Sea G un grupo abeliano. PruCbcse quc vr abeliano cs una propiedad cstructural de G mostrando que s i G' es isomorfo a G, entonccs C' tambiin es abeliano.
7.9 Sea G un grupo ciclico. Pruebese que la propiedad de ser ciclim es una propiedad eslructural de G. (Vease el ejercicio 7.8.) 7.10 Un isomorlismo de un grupo con el mismo es un automofismo del grupo. ~ C u a n t o s automorfismos hay de Z, de Z, de Z, de Z y de Z,,? [Sugerencia: empltese el cjercicio 7.4.1 7.11 POT
Sea ( G , . ) un grupo. Considerese la operacion binaria
en el conjunto G, definida
para a, h e G. Muestrese que ( G , r ) es un grupo y que ( G , 1 ) es isomorlo a (13, .). [Sugrrenciu: considerese la translotmacion 4 con a$ = a-' para a e G . 1 Cnmen~mio:Este es un ejemplo donde las notaciones { G . . y {G, r > son muy utiles. Vease la discusidn que sigue a la definition de grupo. Ndtew que si G es hnito, entonces se obtiene la tabla del grupo para {G, * ) a partir de la tabla del grupo para ( G , . ), leyendo de arriba hacia abajo en lugar de hacerlo de izquierda a derecha.
>
7.12 De manera similar a como w hizo en el teorema 7.2, pruebese que todo grUp0 ciclico finito de orden n es isomorlo a Z.. 7.13 Sea G u n grupo y sea g un elemenlo hjo de G. Muestrese que la transformacidn i,tal que xi, = gxg- para X E G, es un isomorlismo de G consigo, es decir, es un automorlismo de G (vbase el ejercicio 7.10).
'
.7.14 Calculese la representacion regular izquierda de Z,. Calclilese la represenlacion regular derecha de S, usando la notacion del ejemplo 4.1. 7.15 Sea es isomorlo a1 grupo R ' de todos 10s n6meros reales distintos de cero, bajo la multiplicacidn. Definase un isomorhsmo Jr : R* -. S.
+ +
7.16 Sea $ un isomorlismo de un grupo G con un grupo G'. Si para x~ G pensamos en x$ como un nuevo nombre para x, o consideramos x@como x con el nombre cambiado, entonces la condicidn (xy)# = (x$)(y+) corresponde a la afirmaci6n de que el diagrama en la hgura 7.1 es conmutativo. La lrase <
Cambiese nombre (x, Y)
Calculese el producta en C
1
XY
Chbiesc nombre
~ X + . Y + )
_
I
Calclilcrr cl product0 en C'
(xy)+= (Wj[?+j
. alsa a,ue!patu uo!aes!ld!i[nm el oreq .y r! ojlomos! eas ( ' r "s) a n b lei 'S ua x e u y a a .po ~ d m x asalear solawnu so( sopol a p o l u n l u o ~p IS Eas ,.a e x wed p - x e a ~ q m o u ap e!qmes x anb aseauodns 'u?!sEJqd!llnlu el oleq *g o d n ~ 8la uos opuezuamo3 (e
'.
Productos dlrectos
Veamos cuAl es, hasta ahora, nuestro aarvo dc grupos. Comcnzando con 10s gmpos finitos, tenemos el gmpo ciclico Z, el grupo sirnctrico S. y el grupo altcmante A. para cada entero positivo n. Tmemos tambih el grupo octal D, del ejemplo 4.2 y el Cgrupo V dc Klein. eor supucsto, sabemos quc existen subgrupos de cstos grupos y que el teorema de Cay1ey;aplicado a grupos finitos, mucstra que cada grupo finito cs isomorfo a un subgnrpo de algun S, Pero no hay un camino fadl para calcular todos 10s subgrupos de un grupo dado. Respecto a grupos infmitos, tenrmos grupos quc constan & conjuntos de numcros bajo la suma o la rndtiplicaci6n usual, por cjcmplo Z y R bajo la suma. Uno de loo objctivos de cste capitulo es dar a conoar un mCtodo constructivo para fomar d s grupos, mcdiante cl uso de 10s grupos ya conocidos como pnrtes wnstitutivas. Rbcuperanmos el 4-grupo de Klcin a partir de grupos cidicos. En el siguimte capltdo, dcsccibircnos, rncdiante este procedimiento con los grupos ciclicos, d m o se obticne una clase arnplia de grupos abelianos que incluye todos 10s grupos abeiianos de orden lnito. Cornenamos wn una definici6n de teoria dc wnjuntos. Defiiiein El producto curfrsiano& wnntos S,, S2,. . ., S. cs el conjunto & todas las n-adas ordenadas (a,, a,, . . .. a,). don& a,€S,. El product0 cartesiano sc dcnota por S, x 0
por
S,
x... x
n
s.
Tambien se puede deinir el producto cartesiano de un numero inlinito dc wnjuntos, pero la dcfinicidn cs wnsiderablernentc m b solisticada y no se necesita. Ahora bien, sean l a grupos G,, G,. . . ., G.; usaremos la notation multiplicativa para todas las operationes de grupo. Considerando las G, como conjuntos, podemor formar G,. Mostrarema que puede formarse un grupo de G, mediante una operacidn binaria de muhiplicacion por componenres. Qucrcmos seiialar nucstro descuido al usar la misma notacidn para un grupo y para el conjunto de elementos del grupo.
n;.,
n;-,
Teorema 8.1 S e m 10s grvpos G I , G,. . . ., G.. Para (a,. a,, . . ., a,) y (b,,. b,, . ., b.) e~ G, definase (a,, a,, . .,a.)(b,, b,, . . , b,) como (a,b,, a,b,, . . ., a&.) Entonces, G, es un grupo, el prodveto &recto externo k Ios g r v p r G,. bajo esra operackin b i m i a .
n:-,
.
.
n:,,
Demoslraci6n Notese que wmo a, E Gi, b, E C i y G, es un @ u p , tenemos que a,b, E G,. Entonm tiene sentido la definition dc la operaci6n binaria en G,, dada en el enunciado deI twrcma, a t o a , GI a a m d o bajo k operacibn binaria. La Icy asociativa en GI depende de la ley asociativa en cada wmponente:
n;.,
n;.,
m,,
...,am)[(bl,b,. . . ., b.)(c,, c,, .. ., c31 = = (a1. 01, . . .,a.)(blcl, b,c,, . . ., bg.)
(a,.
02,
= (a,(blclA a2(b,c2X
. . ., a.(b.c.))
= ((albl)cl,( a l b 2 h , . .., (a&.)c.)
= (albl, a,b,. - [(a,. a,. .
. .., a&,)(c,,
. .,a.)(b,,
b,,
c,, . . .. c.)
.. ..b.)](cl.
c2..
. .. c,).
Si e, es el elemento identidad en G,, e n t o n a cs claro quq mn la multiplicaudn por wmponentes, (el. e,, ., e.) a una identidad en G,. Un inverso de (a1.a,, . ., a") a (a;', a; l , . . ., a;lX basta calcular el producto por component& Por tanto, G, u un grupo.
..
.
n:,,
n;, ,
En caso de que la opcracidn en cada Gi sea conmutativa, usaremos, algunas VCUS,notacibn aditiva en G, y nos referiremos a G, como la r . m . dtecta exferna & lor drrpor G,. En a t e cam, en ofasiones se usa la notacion $GI G, en lugar de nbl G,, apecialmente w n grupos abelinos con operacibn +. La suma directa dc g r u p abelianos G I . G,, . . ., G, se puede M i b i r G I @ G, 8 .. . @ G.. Dcjamos, wmo ejercicio, la demostracibn trivial dc que el producto dincto extemo de g u p abelianos es abcliano. Es Bdl observar que si d wnjunto S, tiene r, elementos para i = 1. . . .. n, entonas S , tiene rlr, ... r.elemmtos, porque en una n-ada hay r, eleocion a posibla para la prirnera mmponente de S , y para cada una de a t a s hay r, elccciones posibles de S, para la segunda wmponente y asi sucesivamentc.
m_,
m.,
,
80
PRODUCTOS MRECTOS
Ejemplo IL1 Considense el grupo Z, x 2, con 2 . 3 = 6 elementos, a saber, (0. O), (0, I), (0, 2). (1, O), (1, I) y (I, 2). Aseguramos que Z, x.Z, es cicliw. Basta encontrar un generador. Se intentarh con (I. 1). Las operaciones en Z, y 2, se escriben wmo aditivas, asi que haamos lo mismo en el product0 direct0 externo z, x z,. I
.
Por tanto, (1, I) genera todos 10s 2, x Z,. Como $610 hay un grupo ciclico de un orden dado. salvo isomofismo, tmemos (Z, x Z,) % Z,. Ejernplo 8 2 ConsidCreae 2, x 2,. Este es un grupo de nueve ekmentor Asgu. ramos que 2, x Z, no es isomorfo a Z,. Basta mostrar que Z, x Z, no es
ciclico; w m o la suma se efectua por compoocntes y w m o en Z, cada elemento sumado tres vcccs a C1 mismo da L identidad, lo mismo suede en Z, x Z,. Asi, ningun elemento puede generar a1 grupo, ya que un generador sumado succsivamente a si mismo daria la identidad despuu de nueve sumandos. Hemos encontrado otro grupo de orden 9. Un argument0 similar muestra que 2, x Z, no es ciclico. Asi que 2, x Z, debe ser isomorfo a1 4-grupo de Klein. m
I
Los ejernplos anteriom ilustran d siguiente teonma:
Teorcma 8.2 El grupo Z, x Z, es icomor]o a 2, primos relatiuos, esto es, si el mcd de m y n es I.
si y solo si m y n son
Demostracion Considtrese el subgrupo cidico de Z, x Z. gtncrado por (I. I] descrito en el teorema 3.2 Se ha mostrado que el orden de este subgrupo dclico es la menor potencia de (I, I ) que da la identidad (O; 0). Tomar aqui una potencia de (I, I), con la notacibn aditiva, significa sumar repetidamente (1, I) a si mismo. Bajo la suma por componentes, la primera componente 1 ~ 2 .da 0 a 10s m sumandos, a 10s 2.m sumandos, y asi suenivamente, y la segunda wmponente I E 2. da 0 a 10s n sumandos, 2n sumandos, y asi succsivamente. Para que den 0 de manera simultanea, el nirmero de sumandos debe scr mi~ltiplode m y de n. El numero menor que es mbltiplo taoto de m como de n serh mn si y solo si el mcd de m y n es I; en este caso, (I, 1) wnera un subgrupo cicliw de orden mn, que es el orden de todo el grupo. Esto muestra que 2. x Z, es isomorfo a Z., si m y n son primos relatives.
8.1 PROOUCTOS OIRECTOS EXTERNOS
81
Si el mcd de rn y n es d > I, entonces mnldes divisible entre rn y entre n. Por consiguiente, para cada (r, s) en Z, + 2. lenemos (r, s)
+ (r, + ... + (r. s) = (0,0). S)
rnnld sumandos
De aqui que ningun elemento (r, s) en Z. x 2. pueda generar todo el grupo, asi que 2. x Z, no es cicliw y, por lanto, no es isomorlo a Z,,.
Es claro que se puede extender este teorcma, mediante un argumento inductivo, a1 producto de mas de dos factores. Se enunciara como corolario sin entrar en 10s detalles de la demostracion.
fly,,
Corolario Elgrupo numeros rn, para i = 1. es I.
Z., es ciclico e isomorfo a Z,.
.-
... xi y sblo si 10s
. . ., n son (ales que el mcd de cwlesquiera dos de ellos
Ejemplo 83 El wrolario anterior muestra que si n se escribe como producto de potencias de numeros primos distintq wmo en
entonces Z, es isomorlo a ZIP,,,
...
Z,,",
ZIP.,"..
En particular. Z,, es isomoflo a 2, x Z,. Ya sc us6 en varias ocasiones el w n a p t o de la menor potencia positiva de un elemento de un grupo que da la idenlidad. Se introducira ahora la lerminologia usual. Defmieibn Sea G un g u p o y aE G. Si existe alg& entero positivo n tal que 6 = e, el menor de dichos mteros positives n, es el or&m & a. Si no existe dicha n, entonces a es de or&n infrniro.
De esto se despmde que si a es un elemento de w grupo G, el orden & a es igual a1 orden del subgrupo ciclico generado por a. Esle es un hecho muy Gtil que debe rmrdarse.
fl;=l
Tcorcma 8.3 Sea (a,, a,, . . ., a,)€ G,. Si a, es de ordenfiniio r, en G,, G, es i g w l a1 minim0 comiin entonces el orden de (a,, a,, . ... a,) en mlariplo & todm las r,.
fl:,,
Demostracibn Este cs el resultado de repetir el argumento usado en la demostracion del leorema 8.2. Para que una potencia de (a,, a,, . . ., 0,) sea igual a
(el, e,, . . ., en),k potencia debc ser de manera simultinea multiplo de r,, para que esta potencia de la prirnera wmponente a, de e l ; un mbltiplo de r, para que n t a potmcia de la segunda cornponente a, de el, y asi sucesivamente. m
Es obvio que si junto
n1=,G, es un producto direct0 externo de grupos GI. el subcon-
esto es, el conjunto de todas las n-adas con 10s elementos identidad en todos 10s lugares except0 el i-kimo, es un subgrupo de G, TambiCn s claro quc cstc subgrupo Cl es naturalmentc isomorlo a Gi bajo la wrnspondencia dada por la proyecci6n que transforma n,,donde
n;. ,
El grupo GI sc refleja m la i l s i m wmponente de 10s ekmcntos de G , y las e, en
Las o m wmponentes sirnp*mate van dc awmpfiantes. Considcrcmos fl:-l G1w m o el prohero directo interno dc tstm s u b p u p G,.Los tkrminos inrerno y exrerno, aplicados a lo6 pmductos directos de p u p , a610 d e j a n si se
wnsideran o no (rcspectivamente), a ios grupos wrnpmentcs w m o subgrupos del p p o producto. Despub dc a t a d b n , por lo m m h , omitircmos las palabras externo e inrerno y d i 8610 p r k t o directo. El aigniticado wrrecto qucdad claro de acuerdo w n el eontexto. Para quients lo d e n , en la secci6n 8.2 (wn asterisco) sc tratarh con midado el producto dim30 interno. Se necesitarh una ddnici6n basics de teoh & mnjuntos y un teorcma tambib M8ico de la teoria de grupos. Se presentan aqui, pues & adelante les d a m 0 8 otro uso.
Sca {S, 1 i s I ] una coleccibn & wnjuntos Aqui I puede scr cualquier conjunto dc i n d i m La interse& S, de lor coajrrlos S, a el wnjunto de todos los el-tm quc a t & nen todos 108 wnjuntos S, s t o es, =nidh
n,,,
Q S, = { x I X E S l para toda
i~l).
I
Si I es rmito, I = {1,2,
-T
. ...n) podemos dcnotar
n,.,S, por -
8.4 La inrerseccibr & subgrupos Hl & un grupo G para i s I es un
Subgwpo & G.
nl., n,.,
nl.,
Demostracibn Mostrcmos k d u r a . Sea a E HI y b E Hi de modo que a E Hl para todas Las i E I y b E H, para todas las i~ I. Entonas ab E HI para todas las is I ya quc H, es un g a p . As;, a b ~ H,.
83
8.2 PRODUCTOS DIRECTOS INTERNOS
Como H, es un aubgrupo para todas las i c I, tenemos que e s HI para todas las i ~ I y d c a q u i e € ~ ~ , ~ H , . Para conciuir, si a s HI, se ticnc quc a s HI para todas las is], luego a-I E HI para todas las i e I, lo cual implica que a-' s H,. rn
nlSI
n,,,
.
Dcfitlicibn Sea un grupo G w n subgrupos HI para i = I, . ., n. G es cl p&o diredo k t s o & los subgrupor HI si la translormacibn 9:n;-, H, G dada por
-
(h,, ha,. . ., h.M = hlh,
... h"
es un isomorlismo.
Nbtesc que bajo cste isomorfismo &, el subgrupo R, de manera natural sobre HI. En vista del immoftismo quc a
n;,, HI va a dar
&
p e cn csta M l n i a b s
todo lo que obEmemos para WIproducto direct0 e x t c i o o para un producto directo interno time una interpretaci6n inmcdiata para cl otro. Tawemu 8.5 Si G es el producto direcio interno & Ios su5grupos H,. Hz, . . H, enioaecd cado g E G pue& escribirs~& m r a rinica como g = h,ha h, &nde h, E H,.
..
...
Demostracibn Usando d isomodwmo & la M1ci6n, basta mostrar que cl cnuncindo comspondientc cs & t o para el producto d i t o externo HI w n rcdpccco a sus subgrupos R,, los d e s son naturalmentc isomorfos a HI. Dcbcmos mostrar quc todo c l m t o (h,, ha, h,) de HI sc puede escribir dc manera h i i como product0
HI.,
. . .,
fly,
don& a, E H,. Esto cs obvio. Dcbcmos teaer a, = h,. rn
La definicibn y el team anteriorts sugiercn quc d internante cxaminar product05 de elementor dt varios subgrupos & un gmpo. En el resto de esta sccibn trabajamos con &lo das subgrupos de un grupo; aunquc las Mtniciox m y tearemas pucdcn g m e d b m c a m h dc dos subpupos. Sean H y K subpupos de un grupo G. Nos intcresa examinar (hkIh s H, k s Kf, qut dcnotarnws por HK. Por desgracia, este conjunto HK no es neceaarlmnrnle un subbrupo & G,pucs h,k,haka no por fucna cs & La fonna hk. Clam quc si G es abeliaao, o aun si cada clcmcnto h & H emmnt. w n cada elemento k dc K,csto es, hk = kh,entonas
Grupos abelianos finitamente generados Algunos teoremas de glgebra abstracts son fBciles de entender y emplear aunque sus demostraciones sean muy tknicas y dc presentacibn extema. Esta es la primera de varias secciones del libro donde explicaremos el signilicado e importancia de algunos teoremas y pcdimnos que se usen sin demostrarlos. Por lo genersl, las demostraciom y presentan en aeoziona posteriores marcads con asterisw. Hoy dia n tan grande el volumen de La literatura matedtica, que aqueuos matemitiws que insistan en wrroborar basta el dltimo dctalle la demostracibn de cada nsultado quc usen, no podrhn alcanzar limites impoftantes del tema tratado. Los teorcmas quc prcscntamos sin demostracibn en Ias d o nca no marcadas, c r i b dentm de lo que ya wn-os y wnsideramos que debcn ocr familiares para el lactor. Seria imposible cubrir en un c u m de un scmcrtn en nivel de liccnriatura todos estos aspeaos fasinantes si insistiCrmos en rcalizar todas sus dcmostracicmes.
9.1
GENERADoRES Y TORSION
El primer w n a p t o que se d d n i d tiene g m importancia. A diferencia de nuatro procedimiento anterior, damnos primer0 una ddinicibn clegante y desp u b se explicari a nivd intuitive en un t w m a . RecuCrdese, por el t e o m a 8.4, que la interscoci6n de subgrupos dc un grupo cs un grupo. Seu C uo grupo y a, elementos de G para i E I, doode I *i un wnjunto de indias. Existe al menos un subgrupo de G quc wntiene todas las a , a saber, C rnismo. Es obvio quc la inrerseccibn de deodos 10s subgnrpos de G que contienen todar elas a?es eel menor subgnrpo de C que contiene todas las ai para i E I.
9.1 CENERADORES Y TORSION
89
Definicibn Sea G un grupo y a, s G para i s I. El menor subgrupo de G que wntiene (a,I i s I ) cs el subgrnpo generado par {ai/ i s I ) . Si este subgrupo es todo G, entonces ( 0 ,I i s I ) genere G y las o, son genaadores de G: Si existe un wnjunto finito {orIi s I ) que genere G,entonces G es fitamenre genera&. Notese que esta defiaici6n es consistente con nuestra definici6n anterior de generador de un grupo cicliw. Nbtese, ademas, que el siguiente teorema se enuncia y demuestra para malguier grupo G, no solo para grupos abelianos. F e e 9 .SiG es un gmpo y a, E G p r o i r I, entonces el subgrupo H de G generodo por { a ,1 i s I ) consfa & precisomenre oquell~selementos de G que son praducfos finifos de potencias de expanenre enfero de o,, don&, en ese prohcro, p d e n presenforse w r i m wces pofencios & alguno a, dodo. Demosfrocidn La razon por la cual tenemos quc en el producto hay varias potencias para una a, dada, es que no se supone que G es abeliano. Si G es abeliano, entonces (a,)-3(o,)'(o,)7 podria simpliticarsc wmo (o,r(a,)', pero esto puede no ser cierto en el caso no abeliano. K denofarl el conjunto de todos 10s productos finitos de potencias de s claro que K E H. Obkrvese que K es un subgrupo y exponente entero de a,. E entonces, como H es el menor subgrupo que contiene a, para i r l , habremos terminado. Es obvio que un producto & elcmentos en K esta en K. Como (a,)' = e tenemos e E Si para toda k en K & forma, a partir del producto que da k, un nuevo producto, invirtiendo el orden de las oi y poni,mdo el signo opuesto a todos 10s exponent- sc tend& k7'. que esta'en K. Por ejcmplo
lo cual ath en K.
<
'.
C,",,,"r.
..*,:.
&)empla 9.1 Z x Z, als. generado por {(I, O),
r.
?. I'. ;
,
,.
,
.
s.,..
', .<
IP, 1)).
Los alumnos que crtudiaron la seccibn *8:2 no&rhn qdk A y B son subgruks he G, entoncei el subgrqp~-6le . . A v B ii'precisamente . . el subgrupo generadoporAuB. Aunque en csta secci6n tratamos principalment~kngrup& abelianos usarcmos la notation multiplicativa en 10s andisis generales. Nuestra experientia indica quc 10s estudiantes comprenden mhs rapid0 la notation d que m. En s t a ultima notati&n, el estudiante ticnde a cometer el error de pmsar n 'wmo un elemento del grupo. . . D e f i i h Un grupo G es un grvpo & rorsidn si todo elemento de G es de orden h i t o . G es tibre & torsids si ningun otro elemento aparte de la identidad es de orden linito.
90
GRUPOS ABELIANOS RNKAMEME CENERADOS
Tmrma 9.2 En un grupo abeliano G, el conjunto T de fodos 10s elementos de G de orden finito es un subgrupo & G , el subgrupo & torsidn & G .
-
Demostracidn Usamos notaci6n multiplicativa. Sean a y b elementos de T. Entonas, existen enteros positivos m y n tales quc h = 6" e. Como G es abeliano.
entonces,
(ob)"= hb" = ( h f l b ' r
= 8" = e.
Por tanto, ab es de orden finito, lucgo ati en T. Esto muestra quc T cs arrado bap la multipliead6n &I grupo. Ea daro que e es de ordcn finito y por tanto csti en T. Por hltimo, si a E T y 6 = r, entoaces
ad quc a-' es dc orden finito y, $or tanto, a t h en T. Qempb 9 3 Todo gmpo rmito es ud gmpo dc t o r s i 6 ~mientras quc Z bajo la suma es libre d t torsib. Si consideramqa Z x Z,,d elemento (1, 0) no cs dc o h finito, pem el clcmcnto (0,l) es dc orden 2. E6 dare quc T = ((0, O), (0, 1)) es d subgrupo de torsib dc Z x 2,.
Sc e n u n c k h ahora -0s iemas quc nos amducidn al al(aore ppricipal de la s c i 6 n : el tconma 9.3. Los lcmas no sc demuahan El tcorcma 93 sc dcmwtm m el capitulo 20 (marcado). La dcmostraci6n quc ahi x prescnta no x construyd m d i n t c la -i6d & 10s lcmas dados aqul; sclccsionamos a t o s lanas introductorios para llcgar en forma gradual a la wmpnnsi6n de la estructurn de grupo demita en el tcomna.
Lau 9.1 Si G es lrn g y m abelimrofini~amentegenerado con un subgrupo & torsi6n entonces G es w producso direcr (interno) T x P para dgh snbgrnpo F de G que sea libre de torsidn. Demostracidn La demostraci6n resultarh &I t c o m a 9.3,el cual 8c demuatra en el capitulo 20 (marcado).
9.2 EL TEOREMA FUNDAMEMAL
81
9.2 Un grupo abeliano F f~itamentegenerado, libre & torsibn, es iromorfo a Z x Z x .. . x Z para algtin n h r o m de facrores. El nrimero m, el &o & &ti de F,es Cnico. &ma
3emostracibn La demostraci6n rcsultad del teorema 9.3, el cual sc demuestra :n el capitulo 20 (marcado).
h a 9.3 On grupo abeliano/il~o T es isomorfo a dos ripos di/erennl de producros direcros de grupos cfclicos, como sigue: I T es iromorfo a un proabcto
dmde los p, son primac no nccesariamenle distinros. Esre p r h c r o direcro & gmpos ciclicos & orden la polencia & w primo isomorfo a h es him excepro por un rearreglo de losjaclores. 2 T es uonwrjo o un producto direcro
z,, x z,,
x
... x z,
,.
don& m, dioiclc a mi+ Los n~imerosm, los ccr/c&mfes & torsi& & T son unicos. kmoslracibn La dcmostracibn resultarh del teorema 9.3, el cud 8c demuestra :n el capitulo 20 (marcado). .os tkrminos niuncros cdc betti y ccvjcientes cdc lorsibn provienen de la topologin .Igcbraica, donde dacmpchn un papel importante. , No ca p i b k cxigir que 10s primm pi que aparcccn en la forma I &I lema .3 scan diiercntcs Hemos visto, por ejcmplo, quc Z, x Z, x Z, no es isomodo Z,, x Z, ya quc el primcro time elementos a io sumo de ordm 45, micntras ,ye el scgundo ts ddico de orden 225. PiCasesc por un momeoto en la importancia y el enonne poder del kma 9.3. 'roporchna una &scripcibn, salvo icomrfumo, de rdos 10s grvpos a b e l i ~ o s hilos. Se describid un d t o d o para cnwntrar un grupo, exprcsado en la fonna 2 el Irma 9.3. quc aea isomodo a un producto dimto dado de grupos cicliws de rden la potencia de un primo. Para cada primo que apamca en el ordm del rupo, acrlbansc las subindices m el producto dimto donde a p a m gc primo, n orden de magnitud crccicnte. Mantkngansc dineados 10s extremos dcrshm de ,s rendones. Asi, comenzando con Z, x Z, x Z, x Z, x Z, formarnos el ormamiento 2 4 3 3 5
92
GRUPM ABELIANOS FINITAMENTE GENERADOS
A continuacibn se toma el producto de 10s numeros en cada columna obteniendo, en este caso. 6 y 60. Entonces, Z, x Z, x Z, x Z, x Z, a isomorfo a Z, x Z,,. Asi mismo. Z, x Z, x Z, x Z, x Z, x Z, da lugar al amglo
y, por tanto, es isomorlo a Z, x Z, x Z,,.Nose hara una demostracion formal de la validez de a t e algoritmo. Es iacil ver por qut iunciona, a partir de la teoria desarrollada en el capitulo 8, en particular del teorema 8.2. Ejempla 9 3 Encutnuenst todos 10s grupas aklianos (salvo isomofismo) de
orden 360. Primero, se expresa 360 w m o producto de potencias de primos 2'3,s. Entoncrs, al usar la forma 1 del lema 9.3, se obtienen las posibilidades
Hay, entonax, seis grupos abelianos diiercnts (salvo isomorlismo) de orden 360. En la pane inferior cscribimos 10s seis caws ca la forma 2 del lema 9.3. mantcniendo 10s grupos (salvo tsomonismo) en d mismo ordm. Esto s, el primer grupo listado m la pane superior s isomodo a1 primero de 10s listados a continuaci6n y as[ sumivamente. Esto es fM de vcrilicar apanir de I* observaciones antenora al ejemplo. 1 3
z, x 2, x z,, zlX z2X z9,
2
5
z3xzl10
6
556
x
Z60
.
z180
z2 2360
1
-
El teorcma principal es resultado inmediato de 10slemas anteriores, except0 por el hecho de que un subgrupo de un grupo abeliano Bnitammte gencrado es, a su vu, finitarnente generado, lo cual se demucstra en el capitulo 20. Teo1em 9.3 (Ternma f~n&meuol & lor p p o s abrlicmos jrnirameute a e ~ ~ a & s )Todo grupo abeliano fvlifamente generado G es uomorfo a1 producto direcro & 10s grupos clclicos de la forma
I
%,r
ZL,~,
...
x
qap x z x z x ... x
Z,
don& /as p, son primos, no necesariamente distintos, y tambiin es isomorfo o un producro & la forma
2
z , , x z , , x ~ ~ ~ x z , ~ x z x z x ~ ~ ~ x z ,
,.
don& m, divide a nri+ En ambos casos elproducto direclo es unico, excepfopor posibles rearreglos de 10sfactores, esro es, el nlimero &faelores ( n k r o & bctti & G)de Z es tinico, 10s coeficirates & torsidn m, & G son linicos y /as pofencias de primos (pi)'' son unicas. Demosrracibn
En el capitulo 20 (marcado), se encuentra una demostracion
wmpleta. jResulra comprensible la imporlancia do estos resullodos? Entre otrar cosas, nos dan informacibn completa acerca de rodos 10s grrrpos abelianos finites.
~ o i c l u i i m o esta s secci6n wn una muestra de 10s muchos tkrcmas sobre grupos abelianos que podemos demostrar ahora. Algunos son resultado del trabajo desarrollado en el capitulo 8 y para otros sc requiem cl poderoso teorema 9.3. Definicidn Un grupo G t h e &scomparicidrr si a isomorfo a1 producto d i m 0 de dos subgrupos propios no triviales. Dc no scr asi, daoimos que G cs aia & a c ~ * .
T m m 9.4 Lor grupos abelianos f i i f o s sin descomposicidn son preciramente 10s grnpos ckILos cuyo orden es potencia de un primo. Dmtostracwn Sea G un gmpo abeliano finito, sin descomposicibn: Pore1 teorcma 9.3 (o por el lema 9.3). G es isomorfo a un producto direct0 de grupos dclicos cuyos 6rdcna son potcncias de primos. Como G es sin descomposici6n. a t e producfo direct0 debe umstar de s61o un grupo ciclico dc orden una potencia de un primo. Raiprocamenle, sra p un primo. El material del capitulo 8 muestra que Z , es sin descomposicion, p u a si Z , fuera isomorfo a Z x Z,,,,donde i j = r, entonces todo eklnento tendria a lo sumo ordcn ~ $ 1 <) f .
.
+
Tc01ema 9.5 Si m &vi& a1 orden & un grupo abeliano f i i t o G,enfonees G fiene un subgrupo de or&n m. Demostracidn
Por el tmrema 9.3 (o por el lema 9.3) podemos wnsiderar a G
wmo %,rt
%,P
...
4.r-
94
GRUPDS ABELlANOS FlNlTAMENfE GENERADOS
donde no todos 10s primos p, son neccsariarnente distintos. Como @,)"(p,)"~~~@.)'- es el orden de G, entonoes m debe ser de la forma @ , ~ ' ( p 2 ) " . . . ( P . ~donde , 0 5 s, 5 r,. Por el teorerna 6.4. (ply-"genera un subgrupo ciclico de 7&,r de orden igual al cocicnte dc (p,)" sobre el mcd de (pi)" y (pi)"-". Pero el mcd de (ply y (pi)"-" es (p,)"-". Asi, (pi)"-" genera un subgrupo ciclico ZUGP dc orden
Si se raucrda que ( a ) denota el subgrupo ciclico generado por a, vemos quc
Tcwema 9.6 Si m es un enrero libre & d a d o . es &cir, si m no es divirible por el cuadrado de cJgM primo, entonces todo gmpo abeliano & or&n m es cfclico. I)emoxrracibn Sea G un grupo abeliano dc orden m libre dc cuadrado. Enton4 por el tcorrma 9.3 (o por el Irma 9.3),G es isornorio a
..
don& m = @, )"(p,)". @,)-'. Como m s libre dc cuadrado, debcmos tcncr quc todoa 108 r, = 1 y que todos 10s p, son primos distintos. U corolario dcl loorema 8.2 muestra entonces, que G s isomorio a Z,,,,...,, de manera que G s dclico.
9.1 M t r e n s r todor lor grupoa abelianap (salvo isanofirmo) dc orden 720; & ordm 10B9. ExprQcnac en lls formna 1 y 2 &I lema 93 y apar6cnsc los g r u p iwmorfos de la forrna 1 y 2.
9.2 Endntrcnsc los d c i c n t e s dc torsi6n y d numcro & betti dcl grupo
Z x z, x Z x
zx
Z,, x Z,,.
93 ErmCnlrrsc el aubgrupo dc Z,, enerado por (2. 3); generado por (4,6) Y generado por (8. 4 LO). 9.4 EncuCntresc el ordcn dcl subgrupo de tornibn dc Z, x Z x Z,; y de Z,2 x Z x Z,,. +95 Mdstmc que un grupo abeliaoo rmito no cs ciclico si y s61o si aonticnc alghn subgrupo isornodo a Z, x Z, para algun primo p.
9.6
‘False o verdadcro? Todo p u p a abcliano cuyo orden a un primo r j eicliw. Todo grupo akliano cuyo orden ea una polencia dc un primo es ciclico. Z,es generado por (4. 6). Z, es generado por (4, 5,6). El lcma 9.3 clnrifica todos I s g r u p abclianos linitos (salvo isomofismo). Cualesquiera dm grupos abelianos Bnitamente generados mn d mismo nbmero dc bctti son isomorfor Todo grupo akliano de ordcn divisible cmre 5 wntiene algdn subgrupo ciclico dc ordcn 5. Todo grupo abdiano de orden divisible cntm 4 wntiene algun subgrupo ciclim de orden 4. Todo grupo abcliano de orden divisible entrc 6 mntient a l b n subgrupa cicliw de ordcn 6. Todo grupo abdiano finito ticne numcto de betti 0.
9.7 ~ C u h t ogs r u p abdianos de orden 24 (salvo isomorfmno) hay%iy dc orden 251; iy dc ordcn (24)(25)? 9 8 Siguimdo la idea sugnida en el ejercicio 9.7, sean rn y n cntcros positives primos rclativos. M u h t m e que existen r grupor aklianos (salvo isomofismo) de orden in y s de ordcn n, entonas, hay (salvo iromofi~mo)rs g r u p abclinos de orden mn. 9.9 Emplirse el ejercicio 9.8 para detcrminar el numero de grupoa abclianos (salvo isomodsmo) dc orden (10)'. 9.10 Sca G un grupo abcliano dc orden 72.
a) LCuintos s u b g r u p dc ordm 8 ticm GI ~ P u quC? r b) ~ C d n t o subgrupos s de orden 4 h e C? ~ P o qut? r 9.11 P d b e s e quc si un g u p o hnito abchano ticne como ordcn la polencia de un primo p, a t o n a s , el orden & todo rkmento &I grupo u una potencia de p.
9.12 S a r a c d l a cntmm p i t i v o s n u cierto que loo unicos p p o s abclianos de ordm n son cidiaos? 9.13 Sun p y q nbmmos prim- distintos. ~ C b m ox pucdc mmparar el nbmero (salvo i s o m o h o ) dc grupoa abclianm dc ordcn f m n d nimcro (salvo isomofl~smo)de g r u p abclianos dc ordm fl 9.14 (Para estudiantu que sepan algo de numeros mmpl jos, cspslalmcnte el teorcma de Dc Moivn.) EncuCntme el subgrupo dc torsibn T del grupo multiplicative C* de n b c t o s mmpkjos distintm d e m o . 9.15 M&tr*r que S. ati pncrado por {(I, 2), (1.2, 3, . .., n)). [Sugerencic m u u t m e que conlome r va& (1.2 3, .... nr-'(I, 2)(1. 2, 3, . . ., n') da Lodas h transposiciones (1.2). (Z3). (3.4). .. ..(n -I, n), (n, 1). DePpuk, mutstme quc c d q u i e r transposiaon cs un product0 dc algunm dc atas tnnsposicionu y mplicsc d mrolprio del teomma 5.1.1 9.16 LCUUer el nlmcro menor de elaaentos que puede ernpleame para generar S, dcl ejemplo4.l?; iy para el grupo D, de simetrias del cudrado en el jemplo 4.2: iy para el
grUp0 zl
X
zlX zl?
9.17
~ D o n d eesla el error en el arpumenlo siguiente? <
Notese quc la lercera parle del cjercicio 9.16 mueara que esta conclusion es falsa 9.18 Sean C, H y K grupos abelianos lnitamentc penerados. Muestrcsc q u c si G x K 1 H x K cnlonccs G IH. 9.19 S e a , e n Z x Z , G = ~ ( o , b ) ~ u ~ b ( m o d 1 0 ) ; .
a) Prubbese que G es un subgrupo de Z x Z y es libre de tooidn. b) Mubtrese que C es hilamenre generado. EncuCntre~eun isomorfismo 4 : G Z x - .. x Z para algirn nimero de iactores C)
-
GrupGS en geometria y anallsls lnterrumpimos nuestro estudio puramente algebraiw para sefialar, de manera un poco vaga. la importancia del mncepto de grupo en gwmetria y en anilisis. Puesto que no tratamos de profundizar en dichas materias, nuestro analisis no sera muy preciso.
Delinicibn Para un geometra una trcrnsformacidn dc m conjunto A es una pennutacion del conjunto,esto es, una funci6n uno a uno de A sobre si mismo. Segun el teorema 4.1, las transformaciones de un conjunto forman un grupo bajo la multiplicacion de transformaciones (pennutaci6n). Hay que recordar que esta multiplicaci6n no es mas que la composici6n de funciones. Esto es, si 4 y $ son transfonnaciones de A, entonces el producto p = $$ se define por op = (o+)$ para o E A. Felix Klein (1849-1925) dio una famosa detinicibn de una geomerrio en su discurso de aceptacibn de una caledra en la Universidad de Erlangen (el Erlonger Programm). enero 1872. Desde la perspectiva del geometra actual, la definicion de Klein no es lo bastante inclusiva, pero serviri para nuestro prop6sito. Definicibn (Kkin) Una geometrls es el estudio de aquellas propiedades de un espacio (wnjunto) que permanecen invariantes bajo algin subgrupo fijo de todo el grupo de transformaciones. lluslremos esta detinicion conforme se aplica a la geometria euclidiana clasica de la recta. el plano, el espacio tridimensional euclidianos, y demas. Tenemos,
aqui, conjuntos en donde se define el conapto de dirroncia enrre elementos. Si consideramos d(x,y) como la distancia entre los dos elementos x y y, entonces, podemos hablar acerca dc translormaciones que conscrvan la distancia. Definicihn Si A es un conjunto donde se ha definido el conceplo de distancia, una translormacion 4 de A es una isomerria si d(x, y ) = d(x4, ye), esto es, si 4 preserva la distancia. Es claro que el subconjunto de todo el grupo de translormaciones, formado por todas las isometrias del conjunto, es un subgrupo. La geometria euclidiana de la recta, el plano, el espacio tridimensional y demas, es precisamente el estudio de aquellas propiedades que permanmn invariantes bajo el grupo de las isometrias. Asi, en la geometria euclidiana podemos hablar de 10s conceptos de longitud de un scgmento dc mu,del tamairo de un i n g d o y del numero de lados de un poligono, pues todas ellas son invariantes bajo isometria. Describamos algunas de las,isometrias del plano euclidiano. Una traslacihn del plano es una translormaci6n que mueve cada punto una distancia lija en una dirccci6n fija. En tkrminos de mrdenadas, una traslaci6n T(,,,, mueve el punto (x, y ) hacia (x a, y b). Es claro que
+
+
Se observa de inmaliato que las traslaciom forman un subgrupo del grupo dc las isometrias isomorlo a R x R, bajo la suma. Una mtaciba p,,,,, es una
translormacion que rota el plano alrededor dcl punto P en sentido contrario a1 que giran las manecillas del reloj, en un Angulo 8, donde 0 5 6 < 2n. Las rotaciones no forman un subgrupo de las isometriaq pues p,,,,,,pIQ,,,, no es una rotacion si P # Q y 13, 8, = 2n. Pero es claro que
+
(8,
+ 8, mod 2x) =~
-2
si (8, si (8,
+ e l ) < Zn, + e2) 2 2n.
Las rotaciones alrodador de un punto lijo P si forman un subgrupo de las isometrias. Este grupo no es isomorlo a R bajo la suma, ya que tiene subgrupos ciclicos de orden linito. Por ejemplo, p,,.,l, genera un subgrupo ciclico de orden 4. Todas las rotaciones alrededor de un punto lijo forman, en malidad, un grupo isomorfo al grupo multiplicative de numeros complejos con valor absoluto I. Por ultimo, una reflexi4n en el plano cs una luncion p que transforma cada punto de una detenninada recta I en si mismo y a todo punto fuera de la recta a la imagen reflejada en el espejo lque queda a la misma distancia entre el punto y 1, como se indica en la ligura 10.1. Puede demostrarse que k s traslaciones, rotaciones y reflexiones generan (en el sentido del capitulo 9) todo el grupo de las isometrias
del plano. En realidad, este conjunto de generadores es mayor de lo necesario. Se puede monrar que bastan 10s refiexiones para generar el grupo de /as isomerria, ~ o d aisomerria en el plano se puede expresar como un producro de a lo mas rres refiexiones. Es iacil convencerse de que, por ejemplo, una traslacion puede escribirse como el producto de dos reflexiones en rectas perpendiculares a la direccion de la traslacion, distantes la mitad de la longitud de la traslacion. Remilimos a1 lector interesado a Coxeter 1441.
Rgun 10.1
Rgura 10.2
El grupo S, dado en el ejemplo 4.1 tiene una bel!a interpretadon geometrica. Considtrese un triangulo equilatero como el de la figura 10.2. Sea
donde p denota una rotacibn; podemos wnsiderarla una rotacion en sentido wntrario al que giran las manecillas del reloj, en 2x13 radianes. De manera antilog&
es una rotacion en sentido contrario a1 que giran las manecillas del reloj, en 47113 radianes, y
es una rotad611 en 0 radianes. TambiCn,
100
CRUPOS EN GEOMETRIA Y ANALISIS
donde μ denota la imagen en el espejo, corresponde a una reflexi6n del triángulo en la recta l 1 y, en general, cada μ i del ejemplo 4.1 es una reflexión en la recta l 1 . Una reflexion μ i corresponde a girar el triángulo alrededor del eje l i . Resulta clara la elección de la notación en el ejemplo 4.1. Véase de nuevo la tabla 4.1 del ejemplo 4.1. Nótese que se divide en cuatro sectores que señalamos sombreándolos. Este arreglo por sectores se muestra de nuevo en la tabla 10.1. En términos algebraicos, la tabla 10.1 presenta un grupo de orden 2. En términos geométricos, la tabla indica que el producto de dos rotaciones es una rotación; que el producto de una rotación y una reflexión es una reflexión y que el producto de dos reflexiones es una rotación. Esta descomposición del grupo en sectores que forman a su vez un grupo, será el siguiente tema de nuestro estudio algebraico. Tabla 10.1
Una primera impresión podría ser que las simetrías de un cuadrado formarían S 4 , pero hay que tener cuidado. La permutación 1 2 3 4 1 3 4 2 no es una isometría del cuadrado de la figura 10.3, pues la dislancia del vértice 1 al vértice 2 sería mayor que la distancia entre los vértices 1 y 3. El grupo de simetrías del cuadrado o grupo octal se calculó en el ejemplo 4.2. El cálculo del grupo diédrico de slmetrías del n-ágono regular en el plano para n ≥ 3 aparecerá como ejercicio al final de esta sección. Nótese que el grupo de simetrías del n-ágono regular para n ≥ 3 es S n sólo en el caso n = 3.
Figura 10.3
En términos geométricos, podemos recuperar S 4 , como el grupo de simetrías del tetraedro regular; cada cara es un triángulo equilátero, como se muestra en la figura 10.4. Podría decirse que no es posible realizar la permutación 1 2 3 4 1 3 2 4
10.1 CRUPOS EN CEOMETRIA
101
rnediante un rnovirniento rigido, pero asi corno se tiene que salir del plano para voltear el triangulo equilalero y oblener lodo S,. tambien se debe salir del espacio tridimensional a1 espacio de cuatro dirnensiones para evoltearo el tetraedro y obtener todo S,. Esta permulacion equivale a una reflexion en el plano que contiene a la recta que pasa por 10s vertices I y 4, perpendicular a la recta que pasa por 10s vertices 2 y 3.
Daremos dos ilustraciones mas de la ddinicion de Klein. Si aurnentarnos el plano usual R x R aiiadiendo una recta a1 injnito que contenga un punto para cada direccion en R x R, obtenernos el plnno proyectivo. En el plano proyectivo no existen objetos tales como rectas paralelas, ya que dos rectas paralelas en R x R, en el plano proyectivo, se definen corno rectas que se intersecan en el punto sobre la recta al infinito que correspnde a su direccion comun. Ahora, Sean n y n' dos planos proyectivos con sus partes corrapndientes a R x R vistas como parte del espacio tridimensional y como planos no necesariamente paralelos de este espacio. Una proyeeeibn de n sohe n' a una transformacion de n sobre n' mediante la proyeccion de un punln fuera de arnbos planos, o la proyeccion mediante rayos paralelos. En la figura 10.5 se ilustra la proyeccion desde un punto. Mediante dos proyecciones es posible proyectar a sobre n' y desputs devolver n' sobre a,la cornposicion da una transformacion de n sobre si rnismo. El pup de Ian transformeiones proyectivas de n es el subgrupo de todas las transformaciones de n generadas por el tip0 de transforrnaciones de n sobre si misrno, recien descritas. Es claro que las rectas van a dar a rectas y 10s cuadriliteros a cuadrilhteros, es dec~r,estos son conceptos de la geomerria proyecliua. Sin embargo, no se preserva la distancia, de manera que la distancia no es un concept0 de la geometria proyectiva. Es posible, en carnbio, mostrar que la llamada razdn cruzado
(CAICB) (DAIDB)
de cuatro puntos sobre una recta, como en la figura 10.6, es una invariante del grupd proyectivo. Esta razan cruzada es casi la unica canlidad numerica de la cual x puede echar mano y, por tanlo, desempefia un papel muy importante en geometria proyecliva.
Para concluir, si para un espacio dado podemos delinir cuando 10s puntos estan cerca uno de otro, de manera que podamos hablar de rransjormaciones continurn ( a t e conjunto es un espacio topologico), entonces es posible definir topol@ w m o el estudio de las propiedades de dichos apacios que ssn invariantes bajo el grupo de todas las transforrnaciones que son continuas y cuyas inversas tambien son wntinuas. La recta, el plano, el spacio tridimensional euclidianos y demhs, son espacios topologicos. Dicho vagamente, una transformacion wntinua con inversa continua es la que se logra doblando, estirando y torciendo el espacio sin rasgarlo ni wrtarlo. Para 10s espacios euclidianos, estas transfonnaciones incluyen todas las isometrias y, para 10s planos proyectivos, incluyen todas las transfonnaciones proyectivas. Topologicarnente no se puede diferenciar entre un bal6n de fhtbol y uno de balonccsto, pues uno de ellos se puede delormar, sin romperse, hasta verse wmo el otro. Dc manera analoga, un cuadrado y un circulo son topologicamente iguales. Sin embargo, es imposible hacer que un disco solido de chooolate w n menu se vea wmo un dulce ctsalvavidas,, sin agujerearlo. Entonces, son topolbgicameote distintos. La topologia m, w n mucho, el c a m p mas activo hoy dia entre todas las geometrias.
Pasando al tema del analisis, d d b i m o s w n brevedad algunas situaciones donde surgen 10s grupos de manera natural. Dc cntrada, en analisis se trabaja, sobre todo, con subgrupos de nhmeros complejos, asi que los grupos aparecen de manera obvia. Ademhs, consid6rese la luncion f d c una variable real dada por /(XI = sen X . Tiene una grafica bien conocida que x muestra en la figura 10.7. Tambih. sen x = sen (x
+ 2nn)
para todo entero n, esto es, la funcion seno de una variable real es invariante bajo una transbmaci6n de su dominio mediante un elemento del subgrupo ciclico inlinito (2n) del grupo de traslacioncs de R. Una funcion de una variable real que sea invariante bajo una transfomaci6n de su dominio mediante un elemento de un grupo ciclico idmito es una funci6n peri6dua.
RecuCrdese quc 10s numeros complejos se pueden ver como llenando el plano euclidiano. Una lonci6. doblemente peribdicn es una funcion en el plano, invariante bajo un elemento de un grupo de lransformaciones generado por dos traslaciones en dimxiones dilerrates(per0 no opuestas)( v h s e la figura 10.8).Aqui, el gmpo es isornodo a Z x 2.Una funcihn ellpticn se defie como una funcion de una variable compleja. meromorla y doblemente periodica. El ibmino funci6n meromorjb se explica ffl un primer curso en nivel de lianciatura sobre la variable wmpleja. Asi, una funcibn eliptica se condonde sea si se c o n m en una region fundamental, esto es, una de las regiones con forma de rombo de la figura 10.8. Tanto las funciones trigonomCtricas como las elipticas son casos particulam de fmiooes aotomorf% que son las knciones invarianles bajo un grupo discreto de transfomaciones. El tkmino discreto significa, a grandes rasgos, que ningtin par de elementos del grupo cstin cerca uno del otro.
Por Wtimo, en teorio de la medido se asigna un tamaiio numCrico a ciertos subconjuntos ude buena conductar de un wnjunto. Si el conjunto tiene estructura de grupo (C, .) y si a es un elemcnio del grupo, en ocasiones connene tener una medida tal que el tamai5o del subconjunto S de C sea el rnisrno que el tamaiio dcl subaonjunto
P a r analogia con R y la operation de suma, algunas veces llamamos a aS la traslacibn izquierda de S rnediante a, d e manera similar, So es una traslacibn derecha de S mediante a. Una medida invariante izquierda es upa medida tai que el ramaiio de aS es el mismo q u e el tamaiio de S para toda a E G y todo conjunto de buena conducla S.Se define de manera analoga una medida invarinnte dereeha. Asi, para R bajo la suma, nuestra idea comun de tamaiio (longitud) para conjuntos dc buena conducta (intervalos) es una medida invarianle izquierda y tarnbien derecha. De manera similar, nuestra idea usual de area en el plano C (o R x R ) bajo la suma n una medida invariante izquierda y tambi6n derecha. Sin embargo, nuestra idea d e area en C*, el grupo de 10s numeros complejos distintos de cero bajo la multiplication, eslo es, el plano menos el origen, no es una rnedida invariantc, ni izquierda, ni derech. Por ejemplo, si S es el interior de un circulo d e radio I alrcdrdor del origen, sin el origen, ticne area a, mientras que 2S, que tiene radio 2, tiene area 4%. Sin embargo, Haar demostro que existe una medida invariante izquierda (y tambien una medida invariante derecha): la medidr de H u r en todo grupo lopol6gico localmente compacto'. La clasificaci6n de grupo ~opologicolocalmente compacto cubre muchos grupos naturales compuestos de numeros complejos, incluyendo a C'.
'10.1
Rcvixsc el ejcrcicio 4.9, o higase ahora si no sc hiro antes
'10.2 MuCstrcse que el nisimo g r u p diklrico D. del cjercicio 4.9 pucde gcnenrx par dos elcmentus ArgumCnrese en tCrminos geomhricos. * I 0 3 Rcvisse cl ejercicio 4.10 o hagax ahora si no x huo antes.
*10.4 M u b l m e quc el g n p n de movimienlm dgidos del cub0 dado en el ejercicio 4.10 puede generam por dos ckmcntos. Argumtntese en tbmii-or geomttricos. Considtidtrc~e.elgmpo dc todas las simetrias (isometrias) del cubo. Blc grupo incluyc t o d a 10s movimicntos rigid- y t a m b i i todas las rrflexio~iesdel cuho. iCuAl cs el orden del grupo? Muhtrcr que estc Erupo se pucde p e r a r p r tres elemcntos. '105
*10.6 ConsidCrese la geamerria afinfiita dc cuatro puntos A. 8, C,D y seis ractas AB, AC, AD. BC. ED, CD wmo se indica erqucmlticamentc en la iigura 10.9.Aqui. cada r s t a mnticne praisamentc d m punlos. Una colimui6. de w geometrln afln cs una transformation uno a uno del wnjunto de puntos sobre d mismo que lleva rectas a rectas. (Para haar cslc cjercicio, no es necesario caber lo que a c14 realidad un punto o una recta. Se basa cn la idea intuitiva de que una r s t a se compone de puntos, ctc.) a) Mulstrese que rada translormaci6n uno a uno dcl conjunto de puntos de esta gcometria aiin dc cuatro puntos, sobrc si misma. es una colincacion. b) MuCstrrre quc para cualquier gmmctria afin, las wlincacioncs forman un g r u p , el p q m aIla bajo la composition dc funciones. ijt quk grupo vista antcriormentc cs isomorfo cl grupo alin de La gcomclria de la C) figura 10.9? -
' A. Haar. nDer Mashgrill in der Thtoric dcr konlinuicrlichen Gruppcn~,Ann. 147-169 11931).
of Mall. (2). 34,
1
*10.7 Siguiendo la idea del ejercicio 10.6,~onsid~rese la pcomerria afin de nucve punlos y doce remas. cada una con Ires puntos y cuyo nquema x p s c n l a en la Bgora 10.10.
a) Mueslresc que no loda lranslormacion del conjunlo de puntos sobre si misrno, es una colincacion para esta geometria de n u e n punlos. b) Mubtrese que una colineaci6n cn esta geometria de nueve punlos esta completamenle detenninada por sus valores en cualesqu~craIres punlos que no eslcn en la misma recta. C) ~ C u a ln el orden d d grupo afin. esto n , del grupo de todas las colineaciona, para esta geometria de nueve puntos? d) Considbmc el subgrupo H del grupo afin de la parle c) formado de aquellas colineaciones que dejan f?io cada punlo de la recta ABC. ~ C u aes l el ordcn de a l e subgrupo? LA que grupo definido anteriormcnfe n isomorlo eslc subgrupo?
106
11
Grupos de clases laterales 11.1 INTRODUCCIÓN Quizás el lector ya haya observado que los 36 lugares de la tabla de S 3 en el ejemplo 4.1 se dividieron, de manera natural en cuatro sectores, cada uno formado sólo por términos ρ i o sólo por términos μ i . En la tabla 4.1 se sombrearon los sectores para distinguirlos. Así, el grupo S 3 se partió en celdas B ρ y B μ de igual tamaño y el conjunto B ρ , B μ forma un grupo cuya tabla se obtiene de la tabla 4.1 y se muestra en la tabla 11.1. Esta partición de un grupo en celdas, tal que el conjunto de celdas forma a su vez un grupo, es un concepto de importancia básica en álgebra. Llamemos a cada elemento de una celda, un representante de la celda. La ecuación BρBμ = Bμ significa que cualquier representante de B ρ multiplicado por cualquier representante de B μ da algún representante de B μ . Tabla 11.1
Pasando al caso general, nos gustaría determinar condiciones precisas bajo las cuales se puede partir un grupo G en celdas B i tal que cualquier representante
11.2 CLASES LATERALES
107
de una celda fija B, multiplicado por cualquier representante de otra celda fija B, produzca siempn un representante de una y la misma celda B, la cual sera enlonces considerada como el producto B,B,. El producto de las celdas B,B, se define como la alda B, obtenida al multiplicar representantes de B, y B, y , para lener bien definida la operacion binaria de rnultiplicacion de celdas en {B,),como se explico en el capitulo 1, la celda final B, que contiene el producto de 10s representanles, debe ser la misma, sin importar 10s representantes escogidos de B, y de B.. Esta operacibn binaria de rnultiplicacion de celdas en el conjunto {B,}es la opracibn inducida en {B,) por la opracibn de G. Solo si esfa operacion esia hien definida, riene sentido preguniar si el conjunto {B,) es un grupo bajo I2 operacibn. Teorema 11.1 Si un grupo G se puede pariir en celdas donde la operacibn inducida descriia anferiormenie esra bien &finida, y si lar celdos forman un grupo bajo esla operacion inducidn, enronces. la celda que coniiene la i&nii&d e de G debe ser un subgrupo & G.
Demosiracibn Supongase que G csti partido en aldas w n la operaci6n inducida bien definida y formando grupo, y sea B, la a l d a que wntienc la identidad. Al calcular B.B. podemos tomar cualesquiera representantes dc B. y de B, y calcular su producto en G. Escojarnos e E B. y, d i g s m o ~r E B,. Entonag er = r y r E B, asi que B.B, = B,. De manera analoga, B.B. = B, Asi, B, debe actuar como la celda idcntidad en el grupo de celdas. Por tanto,
lo cual muestra que, si elegirnos todos 10s representantes posiblcs, B. es cerrado bajo la rnultiplicacion del grupo G. Por delinicibo, B. conticne a e. Sea a E Be. Ahora, a - ' esti en dguna celda B,. Como B, es la celda identidad sabemos que B,B, = B,. Al cscoger representantes a E B, y a-I E B, y usarlos para calcular B.Bb se observa que necesariamente B.Bb = B, Asi, Bb = B. y a-I E Be. Por tanto, Be a uo s u b g ~ p odc G.
11-2
CLASES LATERALES
Supimgase quc se p u d e partir un p p o G en celdas, de modo que la operacibn inducida estl bien dcrmida y forme un grupo. Sea B. la a l d a que wntiene a la identidad. El teorema anterior most16 que B. es un subgrupo de G. Sea B, la alda que wntiene a a E G. La ecuaci6n B.B. = B. muestra, si escogemos al representante a E B. y todos 10s representantes de B., que el wnjunto aBe = {ax I x E Be)
198
CRUPOS DE CLASES LATERALES
debe estar contenido en B.. Esto sugiere que estas rrasiaciones o clasrs lareroles aB, de un subgrupo B, pueden ser importanles. Definicibn Sea H un subgrupo de un grupo G y sea a C G. La clase lateral iqnierda a H de H es el conjunto (oh I h E H). La clase lateral derecha Ho se define de manera similar. Hemos vislo que si G se puede parlir en celdas de modo que la operacion inducida este bien delinida y lorme un gmpo, entonces
Sea a - ' E B,. Entonces. BkB, = B,, de mancra que a1 escoger representantes a - ' E Bk y cualquier x E Be, tenemos a - ' x E B,. Asi, a-'.Y = b y x = ob donde
b
E
Be. Esto muestra que
asi que
Claro que por un argument0 similar tambien tenemos que B. = B p . Estos iesultados se resumen en un teorerna. Teorema 11.2 Si un grupo G se put& parrir en celdas de modo que la operacion inducida esrt bien &jini& y f o r m un grupo, entonces las relain son precisamenre /as claser lareroles izquierdas tambien ilar derechas) & un subgrupo de G. En parricuiar, coda ciare lateral izquierh debe ser una clare la~eraiderecha.
Ejempb 11.1 Determinemos corno se ven las d a m laterales izquierdas de 3 2 como subgrupo de Z bajo la suma. La notacion es aditiva. D e d e luego, 3 2 = 0 32 es kI mismo una clasc lateral iquierda. Otra clase lateral izquierda es I 32. Despues de un momento de reflexion es claro que 1 3 2 esth formado por todos 10s enteros que dejan residuo 1 al dividirlos entre 3 en el sentido del lema 6.1. De igual manera, la clase lateral izquierda 2 32 consta de todos 10s enteros que dejan residuo 2 a1 dividirlos entre 3. Puesto que el lema 6.1 muestra que el residuo de cualquier entero dividido enlre 3 es un entero r , donde 0 < r < 3, las unicas posibilidades son 0, 1 y 2. Asi que &as son todas las clases laterales izquierdas.
+
+
+ +
Podriamos preguntar en quk caso, dado un subgrupo H de un grupo G, las clases Laterales uquierdas (o derechas) de H dan siempre una particion de G en celdas distinias. Claro esta que por el twrema 0.1, cualquiera de dichas particiones corresponde a una relaci6n de equivalcncia en G. Notese que b E a H si y s6lo si
11.2
CLASES LATERALES
Tabla 11.2
111
Tabla 11.3
Ejemplo 11.3 Veamos si el grupo Z 6 se puede partir en un grupo de clases laterales izquierdas del subgrupo H = 0, 3. Usando notación aditiva, las clases laterales izquierdas son H = 0, 3, 1 + H = 1, 4, 1 + H = 2, 5. La tabla para Z 6 , con los elementos en el orden 0, 3|1, 4|2, 5, sombreando de nuevo los cuadrados según la clase lateral a que pertenece el elemento, se da en la tabla 11.3. ¡Funciona! ¿No es bello? Tan delicioso despliegue de simetría debería producir estremecimientos de felicidad subiendo y bajando por la columna vertebral de cualquiera que tenga algo de sensibilidad matemática. ■
Un grupo de clases laterales izquierdas formado a partir de un grupo G da alguna información acerca de G. Si sólo se conoce el grupo de las clases laterles izquierdas, no se puede saber cuál será el producto de cualesquiera dos elementos de G, pero sí se sabe el tipo de elemento resultante del producto de dos tipos de elementos. Esta es la importancia del concepto. Lo hemos ilustrado con S 3 , donde los elementos son de dos tipos, del tipo ρ (rotaciones) y del tipo μ (reflexiones). Otro análisis sería que los del tipo ρ son permutaciones pares y los del tipo μ son permutaciones impares. El grupo dado por las dos clases laterales izquierdas de A 3 en S 3 tiene entonces una interpretación sencilla en términos de clasificación de productos de permutaciones en pares o impares, como se muestra en la tabla 11.4. No es sorprendente que los subgrupos cuyas clases laterales izquierdas forman grupo desempeñen un papel fundamental en la teoría de grupos.
12.4
GRUPOS SIMPLES
:orno se menciono en la seccion anterior, una caracteristica de un grupo factor es Iue da inlormacion superficial acerca de la estructura de todo el grupo. Claro que :n ocasiones no hay subgrupos normales propios no triviales. Por ejemplo, el eorema 11.4 mueslra que un grupo de orden primo puede no tener subgrupos ~ropiosno triviales de ningun t i p . Sjernplo IZS Es claro que tanto el subgrupo impropio G, como el subgrupo rivial (e} de un grupo G son subgrupos normales. Es obvio que, GIG es el grupo rivial de un elemento mientras que G / { e )es isomorfo a G bajo la transformation iatural que lleva a g { e ] en g para cada g E G . Estos grupos lactores no son utiles ,ara dar mayor inlormacion acerca de la estructura de G . 8 Delimici6n Un grupo es simple si no tiene subgrupos normaks propios no Lriviaks. Tcorcma 12.4
El grupo ulrernunre A, es simple para n 2 5.
Demoarucion Vease el ejercicio 22. 8
Sn el ultimo capitulo del libro daremos un uso imporrante al teorema 12.4. Hay nuchos otros grupos simples ademas de 10s dados con anterioridad. Por ejemplo, 4, es de orden 60 y A, es de orden 360 y hay un grupo simple de orden no primo, I saber, 168, entre estos ordenes. Recienlemenle se termin6 la determination y clasificacion completa de todos os grupos s~mpleslinitm. Cientm de matemiticos han trabajado en esta tarea jurantc !as bllimas tres d b d a s . En el capilulo 14, al hablar dc series de grupos, x indicari que un grupo finito tiene una espccie de lactorizaci6n en grupos iimples. donde 10s factom son hnicos salvo el ordcn. La situaci6n es anhloga a la actorilacion en primos dc 10s enlcros positives. El nuevo conocimiento de todos os grupos simples finitos se puede usar ya para resolver algunos problemas de la eoria de grupos finitos. Hemos visto en este libro que un grupo abeliano simple finito, es isomorlo a 2, para algbn primo p. En 1964. Thompson y Feit [21] probaron una antigua :onjetura de Burnside a1 mostrar que todo grupo simple no abeliano finito, es de ~rdenpar. Mas adelante. cn la dkada de 10s setenta, Aschbacher dio grandes Yasos hacia la clasilicacion compkta. A principios de 1964 Griess anunci6 que labia cnnstruido un grupo simple umonstruo)). ya predicho. de orden 808. 017. 424, 794, 512, 875, 886, 459.904.961, 710.757.005,754,368.000,000,000. Ischbacher niiadib 10s detalles finales de la clasilicaci6n, en agosto de 1980. Los ~rticulosde investigacibn que contribuyen a la clasificacion completa llenan, ~proximadamente.cinco mil piginas de revistas especializadas.
124
SUBGRUFOS NORMALES Y GRUPOS FACTORES
Durante el reslo de esta seccion, tralaremos de ilustrar algunos otros aspectos de 10s grupos factores (probando subgrupos normales, calculos con grupos factorcs, su importancia. usos y demas). Para ilustrar lo facil que es calcular en un grupo factor, si es posible calcular en todo el grupo, probarnos el siguiente teorerna. Teorema 12.5
Un grupo factor de un gmpo ciclico es ciclico
Demosrracidn Sea G ciclico, con generador a y sea N un subgrupo normal de G . Afirmamos que la clase lateral a N genera a G I N . Debemos calcular todas las potencias de aN. Pero esto signfica calcular, en G, todas las potencias del representante a y todas estas potencias dan todos 10s elementos de G. Por tanto. las potencias de a N dan todas las clases laterales de N y GIN es ciclico.
Nbtese que al lormar el grupo factor de G midulo un subgrupo N, esencialmente se estan haciendo todos 10s clementos de G que estan en N, iguales a e, asi. N lorma la nueva identidad en el grupo factor. Esto indica otro uso de 10s grupos lactores. Supbngase, por ejemplo, que se estudia la estructura de un grupo no abeliano G . Como el twrema 9.3 da informacibn compkta acerca de la estructura de todos 10s grupos abelianos sulicientememte pequeiios, puede ser de inter& tratar de forrnar un grupo slbeliano lo m L parecido a G que sea posible: uno version abelianizadn de G, partiendo de G y despuCs requiriendo que ab = bo para todas las a y b en la nueva estructura de grupo. Requerir que ab = ba es pedir que en el nuevo gmpo aba-Ib-I = e. Un elemento aba-lb-' en un grupo. es un eonmutador del grurupa Asi tratamos de lorrnar una versi6n abelianizada de G. reemplazando todo wnmutador de G por e. Debido a la primera observaci6n en este phrrafo, deberiamos inlentar entonca lormar el grupo factor de G modulo el menor subgrupo normal que hallemos y que contenga a todos 10s conmutadores de G. Teoremu 12.6 E l conjunro de ~odos10s conmu;adores oba-'b-' de un grupo C genera un subgwpo normal G' (el srbgrupo conmutadm) de G y GIG' es abeliano. M6s aun, GIN es abefim0 si y sdlo si G' S N.
Sin duda, 10s wnmutadores generan un subgrupo G'; debemos mostrar que es normal en G . Notese que el inverso (aba-'b-I)-' de un conmutador es otra v a un conmutador, a saber, bob-la-'. Ademas, e = eee-le-l es un conmutador. El teorema 9.1 muestra, e n t o m , que G' consta precisamente de todos 10s productos finitos de conmutadores. Para x E G' debemos mostrar que g - ' x g ~G', para todas las g E G, o que si x es un producto de conmutadores tambi6n lo es g - l x g para todas las g c G . Insertando e = gg-' entre cada Demoslrocion
produclo de conmutadores que se presente cn .I- vemos que es suficiente mostrar para cada conmutador cdcF1d-', que g-l(cdc-'d-').q esta en G'. Pero.
lo cual csta en G'. Asi, G' es normal en G. El reslo del teorema es obvio si ya se adquirid la sensibilidad adecuada acerca de grupos lactores. Pero no se visualiza asi, sino quc la conclusi6n de que GIG' es abeliano, resulta de
Mas aun, si GIN es abeliano, entonces ( a - ' N ) ( b K I N )= ( b - ' N ) ( a - I N ) , esto es, uba-'b"N = N, de modo que uba-'b-' E N y G' IN. Por ultimo, si G' S N, entonces
Teorema 12.7 Si G es el produc~oinferno directo de 10s subgrupos H y K, entonces H y K son subgrupos normales de G. Ademas, GIH es isornorjo a K de manera nalural. Demostracion Podemos considerar a G como isomorlo a1 product0 directo externo H x K. Nemitamos demostrar que R = ((h, e ) I h E H ) es normal en H x K y que (H x K ) / R es isomorfo a = {(e,k ) I k E K } . Para la normalidad, es necesario mostrar que
para todas las (h. !c)
E
H x K. Pero,
y (hK1h,h, e) E R . Asi, f l es normal en H x K. Es claro que todas las clases laterales de R son de la lorma (e, k)H para k E K . Es obvio que la transformaci6n
4:R -r ( H es un isomorlismo.
x
K)IR dada por
(e, k ) 4 = (e, k ) R
126
SUECRUPOS NORMALES Y GRUPOS FACTORES
A ,nr,nudo, ios ~.s~ud;anir~s wcriben ~nnlrriusruando tlrnrn que probar por primrra urz irurrtnas awrcn dr ~rupnrfoirorr.~.LOP primcrns dos ejeriiiios esrtin diseAados para ifamar iu olmriim UI.PTCU de un l i p elernrn~aldr error.
Itl Se pide a un estudiante mostrar que s i H es un subgrupo normal de un grupo abeliano G,enlonas C / H es rbcliano. La demostracion del atudiante comienza asi:
Debemos moslrar que G/Hes abcliano. Scan o y b do5 elcmentos de GIH. a) 'Por qut, a l leer esta demostracion, el prolaor espera mcontrar tonterias a partir de ex momcnto en e l trabajo del estudiantc? b) ~ Q U debcria C habn cocrilo el atudiante? C) Completcse la dcmostracion. 12.2 Se pidc a un cstudiante probar quc si G es un grupo dc toni6n, entonar, GIH tambicn lo cs, para todo subgrupo normal H de C. El cstudiante wribc: Debemos demoslrar q w cada elernento de G/H es de orden linito. Sea x s G/H. Resp6ndanse las mismas prcguntas dcl ejercicio 12.1. 12.3
a) b) C) d) e)
Complktenx los cnundados. El grupo factor Zd(3) er de orden -. El gmpo factor (2, x Z,,)/((2) x (2)) cs de orden -. El grupo factor (Z, x ZII)/((2. 2)) es dc ordcnn -. l a clasc lateral 5 (4) cs de orden m el Erupo factor 2,,/(4). L a clasc lateral 26 (12) cs dc orden e n el grvpo fanor Z,d(12).
+
+
-
12.4 Mdstrcrc que A. es un subgrupo normal & S. un gmpo conocido a1 cual ssa isornodo S./Am.
). calclilesc
SJA, a t o es, encontrar
I2S Calcblcsc (adair, dasifiquese seglin el t m m m 9.3) lo siguimtc: a) ( 2 x Z)/((O. 1)). b) (2 x ,Z)/((I. 21). c) (Z x Z x ZX((1, I.I)). 126 Este ejercicio ilustra el hccho de que si G m t i e n e dot. subgrvpos normales isomorfm Hy K, entonces G/H no naoc~ariamentccs isomorlo a GIK. Dcpcnde de la forma en que H y K atBn inrnersos en G.
a) CPl~lese(2, x Z,)/((I. 0)). Notex quc ((I. 0)) cs cicliw dc orden 2. ~Calcularn significa descubrir a cu61 de 10s dos grupos (salvo isomofismo) de ordm 4 es iomorfo erte grupo factor. b) Repitaw la parte a) con (2, x Z,)/((O, 2)). c) Repitax la parte a) con (Z, x Z,)/((I, 2)).
127 EncuCntrcnsc todm lor subgrupos dc S, dcl ejemplo 4.1 que x a n conjugados r. {PO,
P,),
tl2B Prdbesc que el subgrupo dc torsion T dc un grupo abelinno G a un subgrupo normal de G y que GITcs libre de torsion. (Nolac que no w puede usar d krna 9.1, puts C puede no ser Bnitammte gcncrado. P r o d a s c directamente a partir de las definiciones
de un grupo dc tonibn y & un subgrupo normal. No hay quc cometer 10s errores quc cornclicron 10s cstudiantcs cn 10s cjcrcicios 12.1 y 12.2.) I 2 9 iFalso o vcrdadero? Tiene sentido hablar dcl grupo factor G/Nsi y sblo si N a un subgrupo normal dcl g r u p G. Todo subgrupo dc un grupo abeliano G es un subgrupo normal dc G. Un automorhsmo interno dc un grupo abeliano debe ser prccisamente la transformation identidad. Todo grupo lactor de un grupo Snito es dc orden finito. Todo grupo factor de un grupo dc torswn es un grupo dc torsion. Todo grupo factor de un grupo librc de torsibn es librc de torsibn. Tcdo gmpo lactor de un grupo abeliano es abeliano. Todo grupo tactor de un g r u p no abeliano es no abeliano. Z h Z cs cidico de orden n. R/nR cs ciclico dc orden n. dondc nR = (nr 1 r E R } y w considera R bajo la suma. 12.10 Describanse lodos los subgrupos de orden 5 4 dc Z. K Z, y en cada caso clasifiquac el grupo factor & Z. x Z, mbdulo el subgrupo scgun el teorema 9.3 partc I. Esto cs, dacribase el subgrupo y digase que el gmpo factor de Z. x Z, mbdulo el subgrupo e9 isomotfo a Z, x Z,, o a lo quc sea el caso. [Sugerencia: Z, x Z, tiene XIS subgrups ciclicos direrents dc ordm 4. Describaosc, dando un generador, como el subgrupo <(I, 0)). Hay un zubgrupo de orden 4 isomotfo a1 4-grupo de Klein. Hay trcs subgrupos de orden 2.1 1211 Sea H u n subgrupo normal de un grupo finilo G y sea m = ( G : H). Mutrtrcse que 6 E H para toda a E G. 1212 MuCstrese que una intcrseaibn de subgrupos normales & un grupo G 9 de nuevo, un subgrupo normal dc G. 1213 M u k t r m que tiene rentido hablar del menor s u b g m p normal de un grupo G, que mntiem un subconjunto dado S de G.[Sugerencia: k s e el ejcrcicio 1212.1 1214 Muktrnv quc si un grupo Snito G time cxactamcnte un subgmpo H d c un orden dado, entonas H es un subgrupo normal de G. 1215 MuCstrsc quc si un grupo h i t o G contime un subgrupo propio de india 2 en G, cntonas G no es simple. 1216 M v k t r s c que si H y N son subgrupos de un grupo G, y N cr normal m G, cntonas H n N *I normal m H. MuCptrsc, con un ejcmplo, que H n N no naesariammte es normal en G. 1217 Su G un grupo que mntiene a1 mmos un subgmpo & orden finito s. Muktr*u que la interseocion dc todos los subgrupos dc G dc ordcn s es un subgrupo normal de G. [Sugerenria;tbmesc m c u m u el hccho de que si H time orden s entonas lamb& lo tiene x-'Hx para todas las x E G.] 1218 a) Mutstrcse que todor 10s automorlisrnos de un p ~ p G o foman un grupo bajo la cornporicibn de tunciones. b) M u k t r s c que 10s automorlismor intcrnos de un grupo G torman un subgrupo normal dcl grupo de todos 10s autmorfismos de G bajo la composicibn dc funciones.
128
SUBCRUPOS NORMALES Y CRUPOS FACTORES
[Aduerrtnria: asegurese de dernostrar quc 10s automorlismos intcrnos rorman un
subgrup.] I219 Muistreseque el conjunto de lodas las g e G tala que i,:G mo intcrno identidad J, es un subgrupo normal del p u p a ti.
-
G es el autornorfis-
-
1220 Sea G un &rupo. MuCstme que la relacion u I, si y sblo si 0 = g - l b g para alguna g E G es una rclaaon de equivalencia en G. Algunas clascr de equivalencia contienen solo un clemento r. Caractericense dichos ckmentos c.
-
1221 Sea G u n grupo. Muistme que la relacion A B si y &lo si A y B son subgrupos conjugador de G, de rnanera que A = g - ' B g para alguna g E G, cs una rclaci6n de equivalencia en la wlmcibn de todos 10s subgrupos de G. Algunas claxs de cquivalencia pueden contener un solo subgmpo K. Caracterianse diihos s u b g ~ p o K. s 1122 PruCbcse quc A. es simple para siguientcr.
n 2
5. Siganse 10s pasos y Ins sugercncias
a) Muktrese que A. wntiene a todo 3ticlo si n 2 3. b) Mutrttese que A. estl generado por 10s 3-ciclos para n 2 3. [Sugerencio: nolesc que (a b)(c. d) = (4c, d)(a, c. b) Y que (a.b)(a, 4 = (0, b, c).l c) Scan r y s elcmentos fijos de (1,2, . ..n) para n t 3. MuiTtrefe que A. esta gencrado por 10s n ciclos ~csptciales~> de ordcn 3 dc la lorma (r, s, i ) para 1 s i s n. [Sugerencia: mubtrcx quc t d o 3-ciclo a producto de 3-ciclos ucspocialesa, calculan-
do (rr I. i)',
(r, s, i ) ' ( r , s, JA
(r, 3.
O(r, s. j)'.
Y
(r. s. iNr. s.jI2(r, 5. kKr. s. ill.
Obdrvew que cstos productos dan todos lor tipor p s i b l c ~de 3-ciclos.I d) Sea N un subgrupo normal de A. para n z 3. Mufftrcae que si N mntiene algdn 3ciclo entonas N = A.. [Sugerench. mutstrcsc que (r, s, i ) a N implica que (r, s, j ) E N para j = I. 2, .. ., n, cakulando ((I, j)(r, s))-I(r. s, i)'((i, j)(r, s)).] e) Sea Nun subgrupo norma! de A. para n 2 5. M u t s t ~ c x quc d c k scr d m o alguno de 10s casos siguientes y conduyase en cada caso quc N = A.. Caw I
N contiene un Jciclo. Caw 2 N wnfiene un producto de cicloo ajenos y al menos uno de cllos ticne longitud mayor quc 3. [ S u g p ~ c ~ i supbngasc a: que N contiene el produao ajcno a = (a,, a>, ..., 4)p. Mukstrcse quc (a,, al, ~ l , ) - ~ d a a=, , , a&-' esla en N y calcillwc, Cuo 3 N contiene un producto ajcno de la foma o = (2,. a,, a,)(a., a,, a,)p. [Sugerencio: mutstrsse que (a,. a,, 0 , ) - ' d o , , a,, a,)o-' crta en N y calculcse.] Caso 4 N contiene un productp ajeno de la loma o = (a,, a,, a,)p donde p es un producto de M c l w ajcnos. [Sugerencia: rnuCstresc que a' E N y calculesc.] Coso 5 N contiene un producto ajeno o d e la forma o = (a,, o,)(a,, o,)p donde p es un produno de un numcro par de 24clos ajenos. [Sug~rencio:m u h t m que (a,, a,, a , ) - ' ~ ( a ,a,.a,b-'esfsen . N y calculee paradcducirque a = (a,,a,Xa,,a.) c& en N. Usando p r primcra v u que n 2 5, mcuCntrcae i E { l , 2 . .. n) fa1 quc i a , , a,, a,, a,. Sea /D = ( a , , a,, I). Mufftrcsc que p-'a@a E N y calculese.]
+
.
'122.3 Encuentrese el subgrupo conmutador G'del grupo D, de simetrias del cuadrado dcl ejernplo 4.2. -
I
*I124 a) Mublrew quc si N es un subgrupo normal de G y H es cualquier subgrupo dc G, enton.cn HN = NH = N v H. b) Mukstrese quc si N y M son subgrupos normalcs dc G,cntonces NM tambien s un subgrupo normal de G.
*I235 MuCtnsc que si H y K son subgrupos norrnalcs dc un grupo G tal quc H n K = {e), e n t o m hk = kh para todas las h E H y k wnmutador h k h - I k - ' = (hkhK'*-' = h(khKLk-')]
E
K [Sugerencia: considCresc cl
Homomorflsmos 13.1
DENNlClON Y PROPIEDADES ELEMENTALES
Un isomorfismo entre un grupo G y un g ~ p G' o se delinib como una transformacidn 4 uno a uno dc G sobrc G' tal quc para tcdas las a y h en G, (ah)d = (od)(he).Si se anula la condicibn de que 4 sea uno a uno y sobre y nos quedamos con (ah)& = (a&)(bd), entonces, la transformation 6 es un homomorfismo. Como vcremos, 10s hornomofismos cstirn intimamcntc relacionados con 10s grupos factores. DeSnicYn Una transbrmacidn
4 de un grupo G
en un grupo G' cs un
homomorJismo si
para todos 10s elemenlos o y h en G. Examinemos la idea que hay detras de la wndicion (ab)d = (a4)(h&) para que 4: G -+ G' sea homomofismo. Esta condicibn es lo irniw que distingue a un homomofismo de una simple transformacidn de G en G'. Asegura que 4 es una trmsforrnacion que relaciona esrruchrras. La cstructura algebraica de G esta por wmplelo determinada por la opcracibn binaria en G, y la de G' esta por complcto determinada por la operacidn binaria en G'. En la condici6n (uh)d = (odXh#), la operacibn ah en el lado izquierdo ocurrc en G,mientras que la operacibn la@)(h+)del lado derecho, ocurre en G'. Asi, la wndicion para ser hon~omorfismorelac~onala estruccura de C con la dc G'.
13.1 DEFlNlClON Y PROPIEDADES ELEMENTALES
151
Ejcmplo 13.1 La transionnacion natural y de Z en Z , dada por my = r donde r es el residuo (en el sentido del lema 6.1) de m a1 dividirlo entre n, es un homomorfismo. Es necesario observar que
( I ) s = q,n
+ r,
y
para 0 S ri < n, entonne ;y
= r,
y ry
&to e$ si r ,
+ r,
(2) t = q2n = r,.
+ r,)
+ r2
Asi,
sy
+ ty
= (r,
= q,n
+ r,
para 0 5 r, < n, entonces
mbdulo n.
Sumando las ecuaciones (I) y (2) obtenemos
y 0 5 r, < n. Asi, tambibn tenemos (s
+ 1)y
= r,.
Si consideramos Z. como el grupo Z j n Z de clases residuales modulo n. vemos que y asigna a cada elemento de Z la claw lateral o clase residual mbdulo n en la cual a p a m . Este es un ejemplo de la situaci6n general descrita en el siguiente twrema. a Torrma 13.1 Si N es w mbgrupo normal & un grupo G, enlonces la rronr/ormacibn candnica (o naturan y :G-r GIN dada por cry = aN para a G. es w hornomorfimo. Dernosrracibn EEO es una consecumcia inmediata de la definicibn de multiplication de c l a m laterales en tkrminos de multiplicaci6n de representantes, pues
Dtfinieibm El kernel k m hamomarfismo 4 k un grupo G en un grupo G' es el conjunto de elementos de G cuya imagen, bajo 4, es el elemento identidad de G'.
-
Ejemplo 13.2 Para la transformaci6n canonica Z Z. dada en el ejemplo 13.1 el kernel es nZ. Notese que nZ es un subgrupo normal de Z y que Z / n Z es isomorfo a Z.. a
El ejemplo anterior ilustra la wnexi6n general entre homomorfismos y grupos factores que enunciaremos y probaremos en el teorema 13.3.
Definicibn Sea $ una transformation de un conjunto X en'un conjunto Y y seaA E X y B s Y . L a i m a g e n A g d e A e n Y b a j o c $ e s { a @ l o ~ A ] .La ima~eninrersa B4- de B en X es {.r E X 1 .r$ E B j.
'
El siguiente teorema proporciona algunas caracteristicas estructurales preservadas bajo un homomorfismo. Teorema 13.2 Sea 9 un hornomorfinlo dc un grupo G en un grupo G' Si e es la idenridad en G, enfonces e 9 es la identidad en G' y si a E G, enlonces a - '4 = (04)- I. Si H es un subgrupo de G, enronces H 9 es un subgrupo de G', y H normal en G implira que H$ es normal en G4. Ahora, en la olra direccion, xi R es un subgrupo de G', enronces K'4-' e.r un subxrupo de G y K' normol en C 4 implica que K'4-' es normal en G. Dicho brewmenfe, bajo un homomorfimo, subgrupos corresponden a subgrupos y subgrupos normales u subgrupos normoles. Demosrracidn Sea
4 un homomorfismo de G en G'.
Entonces,
De aqui que e$ debe ser la identidad e' en G'. La ecuaci6n
muestra que a"4 = (04)-'. Sea H un subgrupo de G y sean a 4 y b4 dos elementos cualcsquiera en H4. Entonces, (ab]4 = (a+)(b+) de modo que (a4)(b$) E H4, esto es, H 4 es cerrado bajo la operaci6n de G'. El hecho de que d = e d y a - ' 4 = (a4)-' completa la demostracion de que H 4 es uo subgrupo de G4. Sup6ngase que H es normal en G y sea g+ E Gd. Ahora bien.
Como g-'hg E H, tenernos que (g-'hg)4 E H 4 . Asi, H 4 es normal en Gd. Ahora, en la otra direccion, sea K' un subgrupo dc G'. Sup6ngase que a y b estan cn K'g-'. Entonces, (ab))O = (aqj)(b4) y (a4)(b4) E K: de modo que ab E K'4-'. Ademas, K'debemntener a la identidad e4, de modo que e ~ K ' 4 - ' . Si a E K'#-', entonoes a 4 E K'. de mod0 que (a4)-' E K'. Pero (o4)-' = luego a - ' E K'O''. Por tanto, K'4-' es un subgrupo de G. Si K' es un subgrupo normal de G 4 entonoes para b E K ' 4 ' y g E G tenemos
133
1 5 . 1 t L TEOREMA FUNDAMENTAL DEL HOMOMORFISMO
y (g@)-'(b4)@$)esta en K', de modo que g-'bg E normal en G . m
h"@-I.
Por tanlo, K'9-l es
Quizis e l leorema 13.2 parezca complejo. pero es muy sencillo y la demostraei6n es en realidad mecanica. Seria un excelenle ejercicio escribir toda la dcmos~racion sin usar el libro. Asi sc vera s i de verdad se han entendido las deliniciones incluidas.
13.2 EL TEOREblA FUNDAMENTAL DEL HOMOMORFISMO
-
El teorema 13.2 muestra. en particular, que para un homornorjisn~n4 : G G', el kernel K = ( e ' ) $ - ' es un suhgrupo 11ornio1de G. Estamos ahora en condicion dc probar e l tcorema principal. Tearema 13.3 (Tearema fudamentnI &I hornomorfiuno) Sea 4 un homomorfismt~de un grupo G en un grupo G',con kernel K. Entonces. G 4 es un grupo y e.riste un isomorjismo can6nico (naruraO de G@con G / K .
En el leorema 13.2 se vio que G 4 es un grupo, pues G es un caso particular dc un subgrupo de G. Sea aK E G/K, lratemos de delinir una transformacion $ : G / K GO mediante Demosrracibn
-
Delinimos. asi, la transformation $ en una clase lateral escogiendo un representante a de la clase lateral; primer0 debernos rnostrar que $ esta bien delinida, a t o es, que cs independiente de nuestra seieccion del representante. Para ello, sea b E aK. Es necesario mostrar que a4 = b4. Pero b c aK signilica que b = ak, para k , E K, de modo que o"b = k,. E n t o n ~ s ,
De aqui
Asi, $ esta bien definida. Para mostrar que $ es uno a uno, supongase que (OK)$ = (hK)$. Entonces, ad = b4, de modo que
Asi, por la delinicion de K, a - ' h E K. Pero, a - ' h que bK = OK. Por tanto es uno a uno. Es obvio que 4 es sobre G 4 . La ecuacibn
E
K implica que b E aK, de modo
completa la demostracion de que $I es un isomorlismo. La transformacion es una translormacion canonica (o nalural) en el sentido de que s i g es el homomorfismo canonia, y : G * C j K del teorema 13.1. entonces,
+
Decimos que el diilgrama de la ligura 13.1 es conmurafivo.
La comprension del teorema 13.3 a menudo causa problemas a 10s estudiantes. En realidad afirma que para un homomorfismo 4 del grupo G , la imagen n,exccpto por 10s nombres de 10s elementm, justamenle CIK, donde K es el kernel y que el homomorlismo $ cs esencialmente la transformacibn can6nica y:G -r G j K . En otras palabras, en cierto sentido el teorema 13.1 describe todos 10s homomorfismos. Diremos aqui, de uno wr y para siempre. que cuando se tenga un homomorjismu. hay das cosas & principul imporranciu: h itnagen y el kernel.
Los teoremas 13.1 y 13.3 muestran que 10s homomorlisrnos corresponden de manera natural a 10s grupos factores. A saber, para cada grupo lactor G I N existe un homomorfismo y : G -r C/N w n kernel N. De manera reciproca, para cada homomorlismo 4:G -r G' la imagen G+ es esencialmente G j K donde K es e l kernel de 4. c(Esencialmente>)quiere decir salvo un isomorfisrno can6nico. Ejemplo 13.3 Los alumnos que tcngan a l g h wnocimiento de teoria de nGmeros wmplejos, verin que la translormacion 4:R -r C* dada por x~5= cosx
+ isenx
es un homomorfismo de R bajo la suma C* es el grupo multiplicative dc 10s nbmeros complejos distintos de cero. Noteseque cos x isen x = I si y solo si
+
x = 2nn para algun entero n. Asi, el kernel del homomorfismo es el subgrupo
ciclico ( 2 ~ de ) R. El teorema 13.3 muestra que R j ( 2 n ) es isomorlo a Rq5, que es el grupo multiplicative de los numeros complejos con valor absoluto 1, esto es, 10s ntimeros complejos sobre el circulo unitario. Este isomorfismo se puede visualizar en sentido geom6trico. Toda clase lateral de R / ( 2 n ) tiene precisamente un representanle 20 y < 2n. Asi, R/(2n) re puede visualizar como cl intcrvalo 0 2 s c 2n y si lo doblamos de manera que el exrremo uhierro del interval0 en 271 se coloque sobre el exfremo cerrado en 0, lormara un circulo. La suma en R i ( 2 x ) visto como circulo, no es mas que la suma de longitudes de arco (o de angulos centrales) y cso es lo que sucedc precisamente cuando se mulliplican dos nimeros complejos sobre el circulo unitario. a
Delinicib Un subgrupo norm41 muxirnol de un grupo G es un subgrupo normal M que noes igual a G y la1 que ningun subgrupo normal propio N de G wntiene propiamente a M. Teorema 13.4
M e.r un subgrupo normal m o r i m i de G si y solo si
CJMes
simple.
-
Defnoslracidn Sea M un subgrupo normal maximal de G. Considerese el homomofismo can6niw y:G G/M dado por el teorema 13.1. Ahora bien, y-' de cualquier subgrupo normal propio de GJMseria un subgrupo normal propio de G que contuviera propiamente a M. Pero M a maximal, de modo que esto no puede suceder. Por tanto. GJM debe ser simple. De manera reciproca, el teorema 13.2 muestra que si N es un subgrupo normal de G que wntiene propiamente a M,entonces Ny es normal en GIM. Si ademas N # G, entonoes Ny # GIM
Y
Ny # {M).
Asi, si GJMes simple, de manera que no puede existir dicha Ny; dicha N no puede existir y M a maximal. a Notex que un homomorfismo 4 d a un isomofismo del dominio de $ con la imagen de 6 si y solo si 6 es una transformacibn uno a uno.
Ternem 13.5 On homomorf~mo6 & un gmpo G es una funcion uno o uno si y sdlo si el kernel de q5 es ( e l . Demos~racidn Desde luego, si la translormaci6n q5 es uno a uno, el kernel es solo { e ) pues sabemos que e$ es la identidad e' de la imagen.
En forma reciproca, sup&ngase que el kernel es { e ) . Si a 4 =
&, entonces,
de modo que a ' b esta en el kerncl. C o m o el kernel es (el, d e k m o s tener q u e 4 es uno a uno.
a-'b = e, de modo que a = b. Asi,
A la luz del teorema 13.5, revisernos la lista de pasos que lor matematicos usan p r lo comun para exhibir un isomorlismo. P A S 0 1 Dclinir la transforrnacidn Probar que la translormaci6n es un homomorlismo.
PAS0 2
PAS0 3 Probar q u c el kernel de la transfonnacion es {el. Se sabe entonces q u e la transfonnaci6n es un isomofismo dcl dominio con l a imagen. Aunque n o usarcmos csta terminologia, como inlormaciirn dircmos que un homomorfismo 4 : G -+ G' que sea una transiormacibo uno a uno, cs un rnonom o ~ m yo Q es un epimorfmrno si es sobre G'.
13.1 Detmninesc tulles de las lransforrnaciones siguientes son homomoriismos. Un asterisco (*) denota elemmtos dist~ntosd e a r o . SIla transformacibn es un homomofismo. dacribnnsc la imagen y el kernel.
-
a) b:Z R bajo la suma, &do por IU$ = n b) +:R -. Z bajo la s u m q dado por 16 = mayor entero S x C) +:R* -+ R* bajo la mulliplicacibn, &do por x+ . ; 1x1 d) + : Z , Z, dado por q b &duo tic x al dividirlo enve 2, como en el lema 6.1 e) +:Z, -+ Z, dado por xb = residuo de x al dividirlo m v e 2, en el xntido del lema 6.1
-
-
TI32 Sea G un grupo generado por {a,1 i E I], donde I es algun conjunto de indias y a, E C. Sea 4:C -+ C' un homomortismo dc G en un gmpo C'. MuCslrcde que el valor de @ m fada elemmto de G ats pot compkto ddcrminado por 10s valom ai4. Asi. por ejcmplo, un homomorlismo de un grupo dclico esti por mrnpleto determinado pot el valor del homomorlismo en un generador del grupo. [Sugerencia: hisex el korema 9.1 y, por supucsto, la delinici6n de homomonismo.] 133 iCuQtos homomorlismos hay de Z sobre Z?; ide Z en Z,?; i.de Z sobre Z,? [Sugerencia: uxse el ejercicio 13.2. V k tambidn el ejercicio L3.11J 13.4 i,Cu&ntos homomorfLeos hay dc Z en Z,?; 'dc Z sobre Z.? [Sugerencio: uxse el jercicio 13.2. Viase tambiCn el ejercicio 13.1 I.]
135 iCuantos homomofmos hay & Z,, sobre Z,? ide Z,, en Z.?; ide Z,, sobre Z,?; ide Z,, en Z,,?; 'de Z,, en Z,,? [Su~erencia:uses+ el ejercicio 13.2.1 13.6 iQuc podemos dccir a a r c a de los homomorfismor de un grupo simple?
~ F a l s oo vcrdadero? a) A. cs un subgrupo normal de S.. b) Todo isomoriismo es lambicn un homomofismo. C ) Todo homomorlismo es un isomofismo. d) Un homomorlismo es un ~somoriismodel dominio con la imagen si y solo si el kernel wnsta dcl grupo con solo el elemento idenlidad. e) La imagen, bajo algun homomorl~smode un grupo de seis elementos, puede tener cuatro clcmcntos. I) La imagen, bajo un homomofismo de un grupo dc scis elemenlor, puede lener d o n elementos. g) Existe algun homomorfismo de algun grupo de seis clcmcntos en alglin grupo de d o a elementos. h) Existe algun homomofisn~ode alg6n grupo de seis clementos cn algun grupo de die2 clemcnlos. i) Todos 10s homomorfismos de un grupo de orden primo son. en alg6n sentido, triviales. j) No es posible tener un homomorlismo de a l g h grupo infinito en algtin grupo finito. 138 'Cuanlos homomoriismos hay de Z, x Z, cn Z,?; ide Z, x 2, sobre Z,?; idc Z, x Z, cn Z,?; ide Z, x Z, en Z, x Z, x Z,?: ide 2, x Z, en Z, x Z, x Z,? [Sugerencia: usese el ejercicio 13.2.1 13.9 El dgm de una prmulacMn pares OMrvcsc que la iranslormacibn sgn.5.
+ 1 y el igno de UM -r
permutleib implr es - 1 . (I, - I ) deiinida por
sgn.(s) = signo de a es un homomofismo de S. sobre el grupo (1, - I ) bajo la multiplication ~ C u a la el kernel? 13.10 P a n dos grupos G, y G, w n s i d k la translormacion n,:(C, x C,) -r C, dada por (x,y)x, = x. MuLstrese quc E, cs un homomorfismo. iCuAl a e l kernel? LA qut grupo a isomodo el kernel? 13.11 Sea C cualquia grupo y ua acualquier elemento de G. Sea $:Z -r G deiinida por n$ = d . Mubtrcsc que $ es un homomorfismo. Describase la imagen y las posibilidades para el kernel de 6. [Cornenlario: usando eslc ejercicio y el leorema 13.3 obtenemos la &?mosrraci6n eleganre de que todo grupo ciclico es isomodo a ZlnZ para algun entcro no negativo n y ademas, la dernosrracidn e l e g ~ r ede quc todo elemento dc un g u p o genera un subgrupo ciclico del grupo.
-
13.12 Sea C un grupo.
-
G cs un homomorlismo y (I, 0)# = h micntras que (0. 1)9 k. a) Si $:Z x Z encuintrere (m, n)$. b) Sean h. k E C y sea +:Z x Z + C delinido por (m, n)$ = h-k". Dese una wndicibn -ria y suficientq incluyendo a h y k para que j, sea un homomofismo. Prutbese la condicibn. c) Enckntrsc una wndicion ncasaria y suliciente en G tal que la translormaci6n descrita en la parte b) sea un homomorfismo para cuo14uier selcccion dc h, k E G.
13.13 L a G un grupo abeliano finito dc ordcn n y sea r un cntcro posilivo, primo relalivo con n.
-
a) Muhtrcse que la translomaci6n 9,:G G dada por 09, = 'a n un isomofismo de G sabre si mismo. (Sigase el esbozo que apse d a p & dcl teorcma 13.1) b) Deduzcav que la auacion A' = a siempre liene una solucion unica en un grupo akliano tinilo G, si r cs primo rclalivo con el ordcn de C. iQuC sunde si r y el ordcn d e G no son primos rclativos?
-
-
13.14 Muktrese que si G. G' y G" son grupos y si 9:G G' y $:G' G" son homomorlismos, cntonccs, la funcion compuesta 9$:G + G" cs un homomorfismo. 13.15 Sea G un grupo y x a I, cl grupo & 10s automorlismos interns de G dado cn cl cjcrcicio 12.18. Muistrwe quc la translonnacibn +:G + 1, dada por g 9 = i, es un homomofismo de G sabre I.. MuCslnsc quc cl kernel (el cmtm & G) a {a E
Dctermincsc cuando
GI ax = xa para toda I E G).
9 cs un isomorfismo.
-
1116 Scan GI y G, g r u p y scan b,:C, -. C, Y b,:G, + C, homomorfismo$ l a l a que = 91q51 = I, donde I en la translormacibn idenlidad: csto es. 4,d,:G, G, y ,,b,:C, -. G, son ambos la transfomaci6n identidad. Mubtrerc que tanto 9, como 9, son isomofismos de G, w n C1 y quc 9, = (&,)-I.
9,9,
13.17 Sean C y G grupos y scan H y K subgrupor normala & G y C' mpcctlvamenlc. Sea 9 un homomorfismo dc G en G'. Mu&lrcsc quc 9 induce un homornorlismo natural +.$G/H) (C'IW) ni H+ s H'. (Este hacho se usa m n k u t n c i a en topologia algehies.)
-
Serles de grupos 14.1 SERIES NORMALES Y SUBNORMALES Esle capitulo trala del concepto de serie de un grupo G, que pennite comprender la estructura de G. Los resultados, presentados sin demostrar, valen tanto para grupos abelianos como para grupos no abelianos. No son muy importantes para g r u p abelianos finitamenle generados, pues contarnos ya con el poderoso teonma 9.3. Sin embargo, para facilitar 10s dlculos, casi lodos 10s ejemplos se tomarin de grupos abelianos. Los resultados x demuestran en el siguiente capitulo. Delinieihn Una mi subnormal (o wbimv(vkrre) & un p u p G es una suasion finita Ho, HI,. ., H. de subgmpos de G tal que H, < H,, y H, es un subgrupo normal dc H,, w n Ho = {e) y H, = G. Una serie nor~nal(o Qvariante) de G es una sucesion finita Ho, HI,. . .. H, de subgrupos normales de G tal que H, < H Ho = { e ) y H, = G.
.
,,
,
,,,,
Notese que para grupos abelianos, coinciden 10s mnceptos de serie subnormal y seric normal, pues todo subgrupo es normal. Una xric normal siempre es subnormal, pero el reciproco no necesariamente es cierto. Definimos serie subnormal antes que serie normal, pues dicho concepto es m b importante para nuestro trabajo. Ejemplo 14.1
Dos ejemplos de series normales de Z bajo la suma son
Ejemplo 14.2 ConsidCrese el grupo D, de sirnetrias del cuadrado en el ejemplo 4.2. Puede wrroborarse con lacifidad quc
es una serie subnormal. Noes una serie normal, pueslo que { p , , p,} cs no normal en D,. m
DeRnici6n Una serie subnormal (normal) (K,} es un refinm'enro de una {Hi} de un grupo G si {Hi) E {K,), e s ~ o es, si cada H,es una de las Y,.
serie subnormal (norma0
m p l o 143 La serie
es un refinarniento de la serie {0} < 722 < 82 < 2. Sc ban insertado dos nuetos tkrninos, 4 2 y 242.
Los grupos lactorcs H i + I /son H ,de interis m el utudio de la estructura de G. Tanto en el caso de las series normales wmo en 10s subnormales, estan definidos cstos grupos factores, ya que en ambos casos, H, es normal en H,,
,.
Dcfiicibn Dos series subnormales (normales) {H,) y { K j ) del rnismo grupo G son iromorfm si ex~steuna correspondencia uno a uno entre las colecciones de grupos factores {H,, ,/H,} y {K,+,/K,}la1 que 10s grupos factores correspondienta son isomodos.
Es daro que dos series subnormaks (normales) isomodas deben tener el rnismo nemero de grupos. Ejemplo 144 Las dos series de Z,,.
son isornodas. Tanto Z1,/<5) corno <3)/(0). son isomodos a Z, y Z,,/(3) es isomorfo a (5)/{0) o a Z,.
14.2 EL TEOREMA DE JORDAN.HOLDER
14.2
141
EL TEOREMA DE JORDAN-HOLDER
El siguienlc leorema es muy imporlanle en esta teoria, Teorema 14.1 (Schreier) Dos scric,.! suhnormale.t (norniales) dc un grupo G rienen refinamientos isomorfus. Demosrracion Vease la demoslracion de este teorema en el capilulo 15.
En realidad, la demostraci6n de leorema 14.1 no es muy dificil. Sin embargo, sabemos por erperiancia que muchos estudiantes K pierden en la demostracibn y sienten que no pueden entender el Leorema. No lo demoslramos en las secciones sin asterisco, aunque la podrian seguir la rnayoria de 10s estudiantes. Sin embargo, ilustraremos el leorema. Ejemplo 145 Tratemos de encontrar refinamientos isomorfos de las series
{O] < 6 2 < 42 <
z
dndas en el ejemplo 14.1. Considerefe el refinamiento
de (0) < 82 < 4 2 < Z y el refinamienlo
{ 0 ) < 722 < 182 < 92 < Z de ( 0 ) < 9Z < Z. En ambos casos 10s refinamientos lienen cuatro grupos iaclores isomorfos a Z,, 2,. 2, y 722 o Z. El orden en el cual se presentan 10s grupos factores es, desde luego, diferente. Llegamos ahora al plato fuerle de la teoria Definicibn Una serie subnormal {Hi] de un grupo G es una serie de c o m p e sicidn si todos 10s grupos factores H,+,/H, son simples. Una serie normal (H,] de G es una serie principal si tcdos 10s grupos factores H,+,/H, son simples.
Notese que, para grupos abelianos, coinciden 10s conceptos de series principales y de composicibn. Adcmas, como loda serie normal es subnormal, toda serie principal es una serie de composicion para cualquier grupo, sea abeliano o no.
142
SERIES OE GRUWS
Ejemplo 14.6 Afinnamos que Z no tiene serie de composicion (ni principal). Pues si 10) = H , < H , < . . <
H.-,< H . = Z
es una serie subnormal, H , debe scr de la forma rZ pari alguna r E Zi. Pero, entonces, H, /H, es isomorfo a rZ. el cual es ciclico infinito con varios subgrupos normaks propios no triviales, por ejemplo, 2rZ. Asi. Z no tiene series de composicion (ni principales).
Ejemplo 147 La sene
para n 2 5 es una scrie de composicibn (y tambiin una serie principal) de S., p u a A./{e) es isomorfo a A. el cual es simple p a n n 2 5, y S./A. es isomorfo a Z,, que es simple. h i mismo, las dos scries dadas en el cjemplo 14.4 son series de composicibn (y adanas series principales) de Z, ,. Son isomorfas, seghn se mostri, en dicho ejemplo. Esto ilustra nuestro teorema principal que se enunciara en breve. Obdrves que, por el t e o m a 13.4, Hi+, / H , es simple si y s61o si Hi es un subgrupo normal maximal de H,+,.,Asi, para una s r i e de wmposicion, cada H , debe m un subgrupo normal maximal de H,, Para formar m a serie de composicibn de un gmpo G,debemos buscur un sybgrupo nonnul maximal H._,de G, lwgo m subgrupo normal maxim01 de H.- y asi suce~iwmenre.Si esie proreso termina en un nrbnero finiro de pas, renemos una serie & composicidn. N6tese que, por el teorcma 13.4, una mic de composicibn no puede tener mis refinamiento. Para formar m a serie principal, debernos bvrcar un subgrupo normal maximal IT.-, & G, &s&s un subgmpo normal maximal de H , - , que sea, adem&, normal en G, y us/ sucesiwmente. EI t e o m a principal es cl siguiente:
,.
,,
T'cma 14.2 (Jor&H&r) Cualesquiera &s series de composicibn @incipoles) de un grupo G son isornorfar. Demosrraci6n Sean {H,) y {K,]dos series de cornposicion (principales) de G. Por el teorema 14.1. tienen refinamientos isomorfos. Pem, wmo 10s grupos iactores son ya simples, el taorcma 13.4 muestra que ninguna de esas series tiene d s rdnamientos. Asi. {H,) y (K,)ya deben ser isomorfos Para el caso de un grupo finito, se deberia considerar una serie de composici6n como cicrlo tipo de factorizacion del grupo en gmpos lactores simples, analoga a la factorizacion de un entem positivo en primos. En ambos casos, la factorizacion ec unica. salvo el orden de 10s lactores.
14.2 EL TEOREMA DE JORDAN.HOLDER
143
Tearema 14.3 Si G tiene una seric de composicion (principao J si N es un subgrupo normal propio de G,enronces exute uno serie de composicion (principan que conliene o N. Deniostraci6n
La serie (e)
es una serie subnormal y normal. Como G tiene una serie de composicion ( H i ) , entonces, por el teorema 14.1, existe un retinamiento de ( e ) < N < G a una serie subnormal isomorfa a un refinamiento de ( H , } . Pero en tanto seric de composicion. ( H i )no puede tener mayor refinamiento. Asi, ( e ) < N < G puede refinane a una serie subnormal, cuyos grupos factores son todos ellos simples, esto es, a una serie de composicion. Se ernplea un argument0 similar si wmcnzamos con una serie principal (K,)de G. Ejemplo 148 Una sene de composicion (y principal) de Z, x 2, que contiene a ((9 1)) es
La siguiente definition es bisica para el ~iltimocapitulo del libro, que trata de la solucion de ecuaciones polinomiales en tCrminos de radicales.
Definidbn Un g m p G cs soh& si time una scrie de composicion ( H , ) tal que todm 10s grupos factorcs H,, ,/H, son abelianos. Por el t e o m a de Jordan-Holder, vemos que para 10s g r u p s solubles, I& serie de wmposici6n { H i ]debe t a r grupos factom abelianos Hi+,/H,
Eijplo 149 El grupo S, es soluble, pues la serie de composici6n
tienc grupos factores isomorlos n Z, y Z, que son abelianos. El grupo S, no es soluble. pu- wmo A , es simple, la serie
es una serie de wmposici6n y A,/(e], que es isomorfo a A,, no es abeliano. Se puede mosrror que esre grupo A , L orden 60 es el menor gmpo que no es soluble. Este hecho csti intimamente relacionado con el hecho de que una ecuacion polinomial de grado 5 noes. en general, soluble por radicalcs, pen, unaecuacion polinomial de grado s 4 lo es.
144
SERIES DE CRUPOS
'14-3
EL CENTRO Y LA SERIE CENTRAL ASCENDENTE
Daremos otro tipo de series dc un grupo Definicidn El cenrro de un frnpo G es el oonjunto de todas las a E G tales quc a.r = .yo para todas las + e G, esto es, el conjunlo de elemcntos de G que conmulan eon todo elemento de G. Feorema 14.4 El cenrro de rm frupo es un suhgrupo normal del brupo. Drmostracion La dcmostracion es tan facil e instructisa que la dejarcmos como ejercicio en este capitulo. rn
Es facil encontrar el centro de un grupo finito G si se tiene la tabla del grupo. Es claro que un elemento a eslarb en el centro de G si y solo si, en la tabla, 10s elementos del renglh cuyo extremo irquierdo es n estan dados en el mismo orden que 10s elementos de la colemna debajo de a . Ahora, sea C un grupo y sea Z(@ el cenlro de C. Como, por el teorema 14.4, Z(G) es normal en C, podemos lormar el grupo factor C/Z(G) y encontrar el a n t r o Z(G/Z(G)) de este grupo factor. Como Z(G/Z(C)) es normal en G/Z(G), si y:G -. G/Z(C) es la translormacion canonica, entonces, por el teorema 13.2, [Z(C1Z(G))Iy-' es un subgrupo normal Z,(G) de C. Entonces, podemos format el grupo fador G/Z,(G) y encontrar su cenlro, tomar (7,)-' del a n t r o para obtener Z,(G), y asi sucesivamente. Definicih La serie
descrita en el an6lisis anterior, es la srric central ascendenre del grupo G. Ejemplo 14.10 El centro de S, a precisamente la idenlidad { p,}. Asi, la sene central ascendente de S, es
El centro del grupo D, de simetrias del cuadrado en el ejemplo 4.2 es {p,, p,}. (~Recuerdanque dijimos que este grupo nos daria bellos ejemplos de casi todo lo que discutieramos?) Como G;(p, p,} es de orden 4 y, por tanto, abeliano, su centro es todo G/{p,, p,). Asi, la serie central asandentc de D, es
I
14.1 Dense rlnamienlos isornorlos de las dos scries normales 10) < 602 < 20Z < Z y (0) < 2452 < 492 < Z dc Z bajo la suma. 14.2 Encuentrense todas las s r k s de composicion dc Z,. y rnuislrese que, en ekcto, son todas isomorlas. 14.3 Encuentrense todas las series dc composicibn de 2,
x 2,.
14.4 Encuintrense todas las series de composicibn de S,
x
t 145
Z,.
Muktrese que si H,=
{e) < H, < H z < . . . < H. = C
a una vric subnormal (normal) de un grupo C y si H , + , / H ,es de ordcn finit0 S,,,. entonces C es de ordcn finito S,S, . . . 5,. 14.6 iFalso o vcrdadcro?
-
a) b) c) - d)
-
C)
-
Q
-
g)
- h)
-
i)
-
j)
Toda serie normal cs ademas subnormal. Toda scrie subnormal cs adernas normal. Toda scrie principal es una sene de wmposici6n. Toda scric dc wmposician es una reric principal. Todo grupa abeliano tiem exactamentc uns vric de composicion. Tcdo grupo finito tiene una serie de wmposicibn. Un grupo a soluble si y solo si tienc una vrie de composici6n w n grupos lacions simples & cs un p u p a soluble. El tmrema de Jordan-Holder ticnc cierta aoalogia con el teorema fundamental de la aritmttica. que afirma quc cualquier cntero posilivo mayor quc I se puede hciorizar de maocra unica. salvo el orden, como pr~ductode primos. Todo grupo finito dc orden primo a aoluble.
14.7 Mu6stme quc un grupo abeliam, infinito no pucde tencr scries dc wmposici6n. [Sugercncio: h s e el ejercicio 14.5 junto w n el hefho de que un p u p abeliano intinito sicmpre tiene un subgrupo normal propio.] 146 Encubtrcse una vrie de compasici6n de S, x S,. iEs soluble S, x S,? 14.9 14.10
Mutstme que un producto d i r s t o h i t o dc pupor solublcs es soluble. iEs soluble el grupo D, de simetrias del cuadrado dcl ejcmplo 4.2?
*14.11 Encuentrese el centro dc S, x Z,. 'IAI2 Prukbnc que el a n t r o de un grupo cs un subgrupo normal del grupo. [Adrertencia; No se olvide la neccaidad dc probar que cs un subgrupo, antes dc probar quc cs normal.] '1413
Encubtrese la serie central ascmdente de S, x 2,.
Teoremas del isomolYSsmo; demostraci6n del teorema de Jordan-H6lder *I 5.1
TEOREMAS DEL ISOMORFISMO
Existen varios teoremas acerca de grupos factores isomorfos y se les conoce como reoremas del isomorjismo de la teoria de grupos. El primer0 de ellos es el teorema 13.3 que reenunciaremos aqui para facilitar su referencia. En la figura 15.1 se ilustra el teorema con un diagrams. Teorema 15.1 (Primer teorema &f isomorfum) Sea 4: G + G' un hornomorfimo con kernel K y sea y, :G -P G/K el homomorfimo canonico. Enronces, exisle un'bornorfirno unico $ :G/K -P G4 la1 que x4 = x(y,$) para coda
x
E
G.
Recuerdese que si H y N son subgrupos de un grupo G, entonces HN = E N ) . En el capitulo 8, definimos el ensamble H v N como el menor subgrupo de G que contiene a HN. Es claro que H v N es, ademas, el menor subgrupo de G que contiene a H y a N, ya que dicho subgrupo debe contener a HN. En general, HN no necesariamente es un subgrupo de G. Sin embargo, tenemos el lema siguiente. = {hn I h E H, n
15.1 TEOREMAS DEL ISOMORFISMO
147
Lema 15.1 Si N es un subgrupo normal de G y H es cualquier subgrupo de G, entonces H v N = H N = N H . Si, ademas, H tamhiin es normal en G, entonces H N es normal en G.
Demostracibn Mostremos que H N es un subgrupo de G, de donde se sigue inrnediatamente que H v N = HN. Sea h,, h, E H y n,, n, E N. Como N es un subgrupo normal, tenernos que n,h, = h,n, para alguna n, E N. Entonces (h,n,)(h,n,) = h,(n,h,)n,, = h,(h,n,)n, = (h,h,)(n,n,) E HN, de rnodo que H N es cerrado bajo la operaclon inducida en G. Es claro que e = ee esta en HN. Para h E H y n E N tenernos (hn)-' = rr-'h-' = h-'n, para alguna n, E N,ya que N es un subgrupo normal. Asi, (hn)-' E HN, de mod0 que H N IG. Un argument0 similar muestra que N H es un subgrupo, asi que N H = H v N = HN. Sugngase ahora que H tambikn es normal en G y sea h E H, n E N y g E G. Entonces, g - ' h g = (g- 'hg)(g-'ng) E HN, de rnodo que, en efecto, H N es normal en G. rn
Estarnos preparados ya para el segundo teorema del isornorfismo. Teorema 15.2 (Segundo teorema def isomorfismo)
-
Sea H un subgrupo de G H / ( H n N).
y sea N un subgrupo normal de G. Entonces, ( H N ) / N
Demosrracibn Corno N es normal en G, vemos de inmediato que H n N es normal en-H (vtase el ejercicio 15.1). Sea h E H y n E N. Intenternos definir 4 : H N -, H / ( H n N ) por (hn)4 = h!H n N). Es necesario rnostrar que 4 esta bien definida. Sea h, E H y n, E N y suponiendo 4ue h,n, = hn. Entonces, h-'h, = nn;' asi que h-'h, esta en H y en N, y, por ello, esta en H n N. Por tanto, h(H n N ) = h,(H n N ) en H / ( H n N). Asi, (h,n,)+ = (hn)+ de mod0 que 4 esta bien definida. Afirmarnos que 4 es un hornomorfismo sobre H / ( H n N). Sea n,, n, E N y h,, h, E H. Como en el lema anterior, podemos escribir n,h, = h,n, pues N es normal en G. Entonces, [(h,n,)(h,n,)]4 = [(hlh,)(n,n,)]4 = h,h,(H n N ) = = h,(H n N ) h,(H n N ) = (hlnl)4.(h,n2)4, de mod0 que 4 es un hornomorf~rno.Como (he)+ = h(H n N ) para todas las h E H, vemos que 4 es sobre H / ( H n N). El kernel de 4 consta de todas las hn E H N tales que h E H n N; entonces, este kernel es ( H n N ) N . Es claro que, ( H n N ) N = N. Asi, 4 es un hornomorfisrno sobre H / ( H n N ) con kernel N, de modo que, por el teorema 15.1, H N / N H / ( H n N). rn
-
-
-
Ejemplo I l l Sea G = Z x Z x Z, H = Z x Z x (0), y N = (0) x Z x Z. Entonces, es claro que H N = Z x Z x Z y H n N = (0) x Z x (0). Tenemos ( H N ) / N Z y, adernb, H / ( H n N ) Z. rn
Si H y K son dos subgrupos normales de G y K I H, entonces, claramente H / K es un subgrupo normal de GIK. El tercer teorema de isomorfismo habla de estos grupos.
148
DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE JORDAN-HOLDER
Teorema 15.3 (Tercer teorema &I isomorfismo) Sean H y K subgrupos normales de un grupo G con K IH. Entonces, G/H (G/K)/(H/K).
--
Demostracion Sea 4 :G -r ( G / K ) / ( H / K dada ) por a 4 = ( a K ) ( H / K )para a E G. Es claro que 4 es sobre (G/K)/(H/K);y para a, b E G,
-
asi que 4 es un homomorfismo. El kernel consta de aquellas X E G tales que x 4 = HIK. Estas x son precisamente 10s elementos de H. Entonces, el teorema 15.1 muestra que GIH (G/K)I(H/K).w Una bella manera de visualizar el teorema 15.3 es considerar la transformation can6nica yH:G -r GIH como factorizada via un subgrupo normal K de G, K IH IG, para dar
salvo el isomorfismo natural, como se ilustra en la figura 15.2. Otra forma de verlo es usar el diagrama reticular de la figura 15.3 donde cada grupo es un subgrupo normal de G y esta contenido en el que esti arriba de el. Cuanro mhs grand. sea el subgrupo normal, ranro menor es el grupo factor. Se puede pensar entonces que G e t a colapsado por H, esto es, GIH, como menor que G colapsado por K. El teorema 15.3 afirma que se puede colapsar G hasta G / H en dos pasos. Primero, colapsar hasta GIK y despub, usando H/K, colapsarlo hasta (G/K)/(H/K).El resultado total es el mismo (salvo isomorfismo) que colapsar G por H.
-
Ejemplo 15.2 Considirese K = 6 2 < H = 2 2 < G = 2. Entonces, G/H = 2 / 2 2 2,. Ahora bien, G / K = 2 / 6 2 tiene como elementos
I
I
+
De estas seis clases laterales, 6 2 , 2 6 2 y 4 -k 6 2 estan en 22/62. Es claro que ( 2 / 6 2 ) / ( 2 2 / 6 2 )tiene dos elementos y ademas es isomorfo a 2,. De manera
-
15.2 EL LEMA DE ZASSENHAUS (DE LA MARIPOSA)
-
149
-
alternativa, obskrvese que 2 / 6 2 2, y 22/62 corresponden bajo este isomorfrsmo a1 subgrupo ciclico (2) de 2,. Asi, (2/62)/(22/62) Z6/(2) z22. 2/22. 8
*I 5.2
EL LEMA DE ZASSENHAUS (DE LA MARIPOSA)
La demostraci6n del teorema de Jordan-Holder se desprende facilmente de un lema bastante tecnico, desarrollado por Zassenhaus, a1 que tambiin se le conoce como cclema de la mariposaw, debido a que la figura 15.4, que acompaiia a1 lema, tiene forma de mariposa. Sean H y K subgrupos de un grupo G y sean H* un subgrupo normal de H y K* un subgrupo normal de K. Aplicando la primera parte del enunciado del lema 15.1 a H* y a H n K como subgrupos de H, vemos que H*(H n K ) es grupo. Argumentos analogos muestran que H*(H n K*), K*(H n K ) y K*(H* n K ) tambien son grupos. Es muy fhcil mostrar que H* n K es un subgrupo normal de H n K (viase el ejercicio 15.2). El mismo argumento, usando el lema 15.1, aplicado a H* n K y a H n K* como subgmpos de H n K, muestra que L = (H* n K)(H n K*) es un grupo. Tenemos asi, el reticulo de 10s subgrupos, que se muestra en la figura 15.4. Pueden verificarse ficilmente las relaciones de inclusion indicadas en el diagrama.
Como H n K* y H* n K son ambos subgrupos normales de H n K, la segunda afirmacion del lema 15.1 muestra que L = ( H * n K ) ( H n K * ) es un
150
DEMOSTRACION DEL TEOREMA
M
JORDAN-HOLDER
subgrupo normal de H n K. Hemos denotado esta particular relacion de subgrupos normales mediante una linea gruesa en medio de la figura 15.4. Afirmamos que las otras dos lineas gruesas tambien indican relaciones de subgrupos normales y que 10s tres grupos factores dados por las tres relaciones de subgrupos normales son isomorfos. Para mostrarlo, definiremos un homomorfismo 4 :H*(H n K ) + ( H n K ) / L , y mostraremos que 4 es sobre ( H n K ) / L con kernel H* ( H n K*). De aqui se sigue que N*(H n K*) es normal en H*(H n K ) y que H*(H n K)/H*(H n K*) ( H n K ) / L . Por sirnetria, se deduce un resultado analog0 para 10s grupos que se encuentran en la linea gruesa del lado derecho de la figura 15.4. Sea 4 :H*(H n K ) -+( H n K ) / L definida como sigue. Para h E H* y x E H n n K sea (hx)$ = xL. Mostremos que 4 e s t i bien definida y que es un homomorfismo. Sean h,, h2 E H* y .rl, x2 E H n K. Si h,x, = h2x2, entonces h; ' h , = = X , X ; ' E H* n ( H n K ) = H* n K c L, demodo que x , L = x,L. Asi, 4 esta bien definida. Como H* es normal en H, existe h, en H* tal que x1h2 = h,x,. Entonces,
--
Asi, 4 es un homomorfismo. Es obvio que 4 es sobre ( H n K ) / L . Por bltimo, si h~ H* y x f H n K, entonces ( H k ) & = xL = L si y d l o si X E L, o si y s610 si h x H*L ~ = = H*(H* n K ) ( H n K*) = H*(Hr\ K*). Asi, Ker(4) = H*(H n K*). Hemos probado el lema siguiente: Sean H y K subgrupos de un grupo G y sean H * y K* subgrupos normales & H y K respectivamente. Entonces, Lema 15.2 (Zassenhuus)
I H*(H n K*) es un subgrup~normal ak H*(H n K). 2 K*(H* n K ) es un subgrupo normal & K*(H n K). 3 H*(H n K)/H*(H n K*) h K*(H n K)/K*(H* n K ) ( H n K)K(H* n K ) ( H n K*)].
-
*I 5.3
DEMOSTRACION DEl TEOREMA DE SCHREIER
En el capitulo 14 se mostro que el teorema de Jordan-Holder se desprendia de inmediato del teorema de Schreier (teorema 14.1). Reenunciaremos aqui el teorema de Schreier para facilitar su referencia y daremos la demostracion. Teorema 15.4 (Schreier) Dos series subnorrnales (normales) de un grupo G refinumient 0.7 ison1o1;fos.
t icnen
151
15.3 DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE SCHREIER
Demosrraci6n
Sea G un grupo y Sean { e ) = Ho < H , < H , <
{ e ) = KO < K , < K2 <
< Hn
-.. < K,
=
=
G
[I 5. I]
G
C15.21
dos series subnormales de G. Para i, donde 0 5 i I n - 1 , forman la cadena de grupos
Hi = Hi(Hi+, n K o ) 5 H,(Hi+, n K l ) I
I Hi(Hi+l n K,) = Hi+l.
Esto inserta m - 1 grupos, no necesariamente distintos, entre Hi y Hi+,. Si hacemos esto para cada i donde 0 I i I n - 1, y hacemos Hi,j = Hi(Hi+, n Kj), entonces se obtiene la cadena de grupos
.
Ho, ,1 I H1.0 I H I , , I H1.2 I ... I H1.m-1 I H2.0 I H2,, I H2,2 I . .. I H2,,- 1 I H3.0 5 .*. I H n - l , l I H n - l , 2 1 - ~ ~ I H n - l , m - l I H n - l , m [I531 =G.
{e} = HOT,IHO,, I H0.2 I
I
Esta cadena C15.31 contiene nm + 1 grupos no necesariamente distintos y Hi,, = Hi para cada i. Por el lema de Zassenhaus C15.31, es una cadena subnormal, esto es, cada grupo es normal en el sigoiente grupo. Esta cadena refina la serie en C15.11. De manera simbtrica, hacemos Kj, = Kj(Kj+,n H i ) para 0 5 j I m - 1 y 0 5 i 5 n. Esto da una cadena subnormal {e} = &,, I KO,, I K0.2 I
..-I K0.n-1
I K1.o
I K1,i I K1.2 I I K1.n-1 5 K2.0 I K2,1 I K2,2 I . . I. K2,n-1 I K3.0 '
I K,-,,l
0
-
I Km-1.2 5
5 K , , , - I , ~ -I~ K,-lTn = G. C15.41
Esta cadena C15.41, contiene mn + 1 grupos, no necesariamente distintos y Kj,, = Kj para cada j. Esta cadena refina la serie en C15.21. Por el lerna de Zassenhaus, tenemos que
para 0 I i I n - 1 y 0 I j I: m - 1. Los isomorfismos de la ecuacion [15.5] dan una correspondencia uno a uno de 10s grupos factores isomorfos, entre las cadenas subnormales de la ecuacion C15.31 y la ecuacion 115.43. Para verificar esta correspondencia, notese que Hi. = Hi y H i , , = H i + , mientras que K j , o = K j y K j . , = K j + , . Cada cadena en la ecuacion [15.3] y en la ecuacibn [15.4] contiene un arreglo rectangular de mn sirnbolos I. Cada I da lugar a un grupo factor. Los grupos factores que surgen del rCsimo renglbn de 10s Ien la ecuacion [15.3] corresponden a 10s grupos factores que surgen de la r-bima columna de 10s I: en la ecuacion C15.41. Suprimiendo 10s grupos repetidos, de las cadenas en la ecuacibn [15.3] y en la [15.4], obtenemos series subnormales de grupos distintos que son refinamientos isomorfos de las ecuaciones [15.1] y 115.21. Esto comprueba el teorema para series subno~males. Para series norrnales donde todos 10s Hi y Kj son normales en G, simplemente observamos que todos 10s grupos H,.i y Kj, formados con anterioridad son, ademas, normales en G asi que se aplica la misma demostracion. Esta normalidad de Hi, y Kj, se sigue de manera inmediata de la segunda afirmacion del lema 15.1 y del hecho de que las intersecciones de subgrupos norrnales de un grupo producen subgrupos normales.
Ejerclclos '15.1 Mutstrese que si H y N son subgrupos de G y si N es normal en G , entonces H n N es normal en H.
* 15.2 Sean H * , H y K subgrupos de G con H* normal en H. Mubtrese que H* n K es normal en H n K. *153 Sean H, K y L subgrupos normales de G con H < K < L. Sean A = GIH, B = K I H y C = LIH.
a) Mubtrese que B y C son subgrupos normales de A, y que B < C. b) LA qut grupo es isomorfo ( A ]B)/(C/B)? "15.4 Sean K y L subgrupos normales de G con K v L = G y K n L = { e ) . Muestrese que GIK 1 L y GIL 5. K. --
--
A1 usar 10s tres teoremas de isontorfismo, a menudo es necesario conocer la correspondeneia real dada por el isomorfisnto y 110solo el lteclto de que 10s grupos son isomorfos. Los siguientes seis ejercicios les srruiran de ccerttrenamientonpara ello.
'15.5
I
Sea 4 , : Z 1 2-, Z, el homomorfrsmo tat que 14 = 2.
a) Encuentrese el kernel K de 4. b) Listense las clases laterales en Z 1 2 / Kmostrando 10s elementos en cada clase lateral. c) Dese la correspondencia entre Z , , / K y Z, dada por la transformaci6n Ijl descrita en el teorema 15.1. Sea 4 , : Z , , -, Z,, el homomorfismodonde 14, = 10. a) Encuentrese el kernel K de 4. b) Listense las clases laterales en 2 ,, / K mostrando 10s elementos en cada clase lateral. *15.6
I
EJERCICIOS
153
c) Encuentrese el grupo Z,,q5. d) E s e la correspondencia entre Z , , / K y Z , ,q5 dada por la transformaci6n $ descrita en el teorema 15.1.
*15.7 En el grupo Z,, sea H
=
(4) y N = (6).
a) Listense 10s elementos en H N (que podemos escribir H + N para estos grupos aditivos) y en H n N. b) Listense las clases Igterales en H N / N mostrando 10s elementos en cada clase lateral. c) Listense las clases laterales en H / ( H n N ) mostrando 10s elementos en cada clase lateral. d) Dtse la correspondencia entre H N / N y H / ( H n N ) descrita en la demostracion del teorema 15.2. *:5.8
Repitase el ejercicio 15.7 para el grupo Z,, con H = (6) y N = ( 9 j .
*15.9 En el grupo G
=
Z,,, sea H = (4) y K = (8).
a) Listense las clases laterales en G / H exhibiendo 10s elementos en cada clase lateral. b) Listense las clases laterales en G/K exhibiendo 10s elementos en cada clase lateral. c) Listense las clases laterales en H / K exhibiendo 10s elementos en cada clase lateral. d) Listense las clases laterales en ( G / K ) / ( H / K )exhibiendo 10s elementos en cada clase lateral. e) E s e la correspondencia entre G / H y ( G / K ) / ( H / K )descrita en la demostracion del teorema 15.3.
*Ill0 Repitase el ejercicio 15.9 para el grupo G
=
Z3, con H = (9) y i( = (18).
*1511 Sea G igual a Z,,. Higase rcferencia a la demostracibn del teorema 15.4. Sea (0) < ( I 2 ) < (3) < z 3 6 la serie subnormal CIS.11, y sea
la serie subnormal C15.21. Encukntrese las cadenas C15.31 y [15.4] y exhibanse 10s grupos factores isomorfos como se describieron en la demostracibn. Escribanse las cadenas C15.31 y 115.41 en el arreglo rectangular mostrado en el texto.
*IS12 Repitase el ejercicio 15.1 1 para el grupo Z,, con la serie subnormal [15.1]
*1113 Mubtrese que un subgrupo K de un grupo soluble G es soluble. [Sugerencia: sea H, = {e} < H , < ... < H, = G una serie de composicion para G. Mistrese que 10s distintos grupos K n H i para i = 0, . . ., n, forman una serie de composicion para K. OMrvese que para el teorema 15.2
con H = K n Hi y N = H i - , , y que H i - , ( K n H i )
Hi.]
154
DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE JORDAN-HOLDER
*15.14 Sea Ho = { e } < H I < -.. < H, = G una serie de composicion del grupo G. Sea N un subgrupo normal de G y sup6ngase que N es un grupo simple. Muestrese que 10s distintos grupos entre Ho, HiN para i = 0,..., n tambiCn forman una sene de composici6n para G. [Sugerencia: por el lema 15.1, HiN es un grupo. Muestrese que Hi-, N es normal en HiN. Por el teorema 15.2,
y, por el teorema 15.3, el ultimo grupo es isomorfo a
[HiIHi- I ]/[(Hi n (Hi,N))/Hi-
11.
Pero Hi/Hi-, es simple.] *15.15 Sea G un grupo y sea H , = { e ) < H, < < H, = G una serie de composicion para G. Sea N un subgrupo nonnal de G. y sea y: G -+ GIN la transformation canonica. Mutstrcse que 10s distintos gmpos entrc H,y para i = 0, . . ., n forman una serie de composicion para GIN. [Sugerencia: obsCnese que la transformaci6n
definida por
,
es un homomon?smo con kernel Hi - N. Por el teorema 15.1,
Proctdase via el teorema 15.2 como se mostr6 en la sugerencia del ejercicio 15.14.1
*I516 Prutbese que la i m a p n homomorfa de un grupo soluble es soluble. [Sugerencia: apliquese el ejercicio 15.15 para obtener ma serie de composicion para la imagen homomorfa. Entonoes, lrms sugerencias de 10s ejacicics 15.14 y 15.15 muestran como st ven, en la imagen, 10s grupos factores de esta serie & wmposici6n.]
Acci6n de un grupo en un conJunto
Ya son familiares las funciones y 10s productos cartesianos, asi que podemos adoptzr un punto de vista mhs sofisticado del concept0 de operacion binaria en un conjunto S que aquel que adoptamos en el capitulo 1. Una operaci6n binaria en S es una funcion que transforma S x S en S. Si denotamos la funcion por *, es mas convencional expresar (s,, s2)* = s, como s, s2 = s,. La funcion * da una regla para ccmultiplicar))cualquier elemento de S por un elemento de S para producir un elemento de S. En general para cualesquiera conjuntos A, B y C podemos considerar la transformacion * : A x B + C como definicibn de una ccmultiplicacionn donde cada elemento a de A por cualquier elemento b de B tiene como valor algun elemento c de C. Escribimos, por supuesto, a * b = c o simplemente, ab = c. En este capitulo hablaremos del caso en que X es un conjunto, G un grupo y tenemos una transformacibn * :X x G +. X. Escribiremos (x, g)* como x * g o xg. Definicin Sea X un conjunto y G un grupo. Una accibn & G m X es una transformacion * :X x G + X tal que:
1 .re = x para todas las x E X 2 x(g,g2) = (xg,)g2 para todas las x
E
X y todas las g,, g2 E G.
Bajo estas condiciones, X es un G-coejunto. Ejemplo 16.1 Sea X cualquier conjunto y S, el grupo de todas las permutaciones de X. Entonces, X es un S,-conjunto donde para x E X y a E S,, la accion .ra
Grupos libres En este y el siguiente capitulo analizaremos una parte de la teoria de grupos que es de gran interks, no solo en algebra, sino tambikn en topologia. De hecho, en
Crowell y Fox 145, capitulos 3 y 43 hay un excelente analisis, bastante accesible, de grupos libres y presentaciones de grupos.
Sea A cualquier conjunto (no necesariamente finito) de elementos ai para i~ 1. Considerarnos A como un alfabeto y las ai como letras del alfabeto. Cualquier simbolo de la forma 4 w n n E Z es una &ba y una cadena finita w de silabas, escritas en yuxtaposicion, es una pahka. Presentamos tambien la palabra vacla 1, que no tiene silabas. Ejemplo 21.1 Sea A = { a , , a,, a,). Entoncg si adoptamos la convencion de que a! es lo mismo que ai,
son palabras. rn Hay dos tipos naturales de modificaciona de ciertas palabras: las contracciones elementales El primer0 consiste en reemplaer fig en una palabra, por @+". El segundo tip0 consiste en reemplazar a: en una palabra por 1, esto es, quitarla de la palabra. Mediante un nCmero finito de contracciones elementales, toda palabra se puede cambiar por una pahbra reducida, para la cual no es posible
21.2 GRLIPOS LIBRES
191
efectuar mis contracciones elemcntales. Notese que estas contracciones elementales equivalen formalmente a las manipulaciones usuales de exponentes enteros. Ejemplo 21.2 (i$j3(j[
'.
La forma reducida de la palabra a:a; 'a3a:a;' del ejemplo 21 . I es
Es necesario advertir aqui que no sc analizarin con profundidad varios puntos que en algunos libros toman piginas en demostrar, usualmente mediante complicados argumentos de induccion, divididos en varios casos. Por ejemplo, supongase que se da una palabra y se desea encontrar su forma reducida. Puede haber gran variedad de contracciones elementales que pudieran efectuarse primero. i,Como saber que la palabra reducida final es la misma, sin importar en que orden se efectuaron las contracciones elementales? Probablemente, el estudiante dirii que es obvio. Algunos autores realizan un esfuerzo considerable para probarlo. El autor se inclina a estar de acuerdo con el estudiante en este punto. Le parece tedioso este tipo de demostraciones y no le han hecho xntirx mar.Sin embargo, e\ autor es e\primero en reconocer que no es un gran malematico, Con deleencia hacia e l hecho de que muchos maremaricos piensan que estas cosas si necesitan de considerable analisis, marcaremos cada ocasion en que simplemente calificaremos tales hechos medianie la frase ((Pareceria obvio que)), conservando las comillas.
21.2
GRUWS LIBRES
Sea. F[A] el conjunto de todas las palabras reducidas formadas con nuestro alfabeto A. Sea F[AJ un grupo de manera natural. Para ,I-, y nv2 en F[AJ definimos IV, . II., como la forma reducida de la palabra obtenida por la yuxtaposicibn avlw, de las dos palabras. Ejemplo 213
entonces, u.,
Si
M.,
= a:a; 3a3a;'. m
((Paremria obvio que)) esta operation de multiplication en F[AJ esta bien definida y es asociativa. Es obvio que la palabra vacia 1 actua como elemento identidad. ((Pareceria obvio que)), dada una palabra reducida W E FCA], si se forma la palabra a partir de la primera, escribiendo primero las silabas de n, en el orden opuesto y despues reemplazando cada 4 por OF", entonces, la palabra resultante w - ' es tambikn una palabra reducida y
192
GRUPOS LIBRES
Definicibn El grupo F[A],recien descrito, es el grupo libre generado por A.
Regresemos a1 teorema 9.1 y a la definition anterior a el para ver que este uso del tkrmino generado, es consistente con el uso anterior. Comenzando con un grupo G y un conjunto generador {a,( i E I) podriamos preguntar si G es libre en {a,),esto es, si G es esencialmente el grupo libre generado por {a,).Definamos su significado preciso. Definicibn Si G es un grupo con un conjunto A = {a,) de generadores y si G es isomorfo a F[A] bajo una transformation q5:G -, F[A] tal que a,+ = a , entonces G es libre en {ai)y las a, son 10s generadores libres de G. Un grupo es libre si es libre en algun conjunto {a,).no vacio.
Ejernplo 21.4 El unico ejemplo de grupo libre que se ha presentado hasta ahora es Z, el cual es libre en un generador. Claramente, todo grupo libre es infinite. rn El lector debera referirse a la literatura respectiva, para las demostraciones de 10s siguientes tres teoremas. No se usaran estos resultados. Se enuncian s610 para informar de estos interesantes hechos.
Teorema 21.1 Si un grupo G es libre en {a,) y tambiin en {bj),entonces 10s conjuntos (a,) y (6,) tienen elmismo numrro a!!elementos, esto es, cualesquiera dos conjuntos de generadores libres de un grupo libre tienen la misma cardinalidad.
Definicidn Si G es libn en {a,),el numero de elementos en {a,) es el rango &I grupo libre G. En realidad, el siguiente teorema es bastante evidente a partir del teorema 21.1.
Teorema 21.2 Dos grupos libres son isornorfos si y solo si tienen el mismo rango. Teorema 21.3
Un subgrupo propio no trivial & un grupo libre es libre.
Ejemplo 215 Sea F [ ( x , y)] el grupo libre en (x, y). Sea
para k 2 0. No habra dificultad para convencerse de que y, para k 2 0 son generadores libres del subgrupo de F[{x, y)] que generan. Esto ilustra que, aunque un subgrupo de un grupo libre es libre, el rango del subgrupo puede ser mucho mayor que el rango de todo el grupo. r
21.3 HOMOMORFISMOS DE GRUPOS I.IBRES
193
21-3 HOMOMORFISMOS DE GRUPOS LIBRES Nuestro trabajo en esta seccion se referira principalmente a homomorfismos definidos en un grupo libre. Los resultados son sencillos y elegantes. Teorema 21.4 Sea G generado por {a,( i E I } y sea G' un grupo cualquiera. Si a: para i E I son elementos cualesquiera en G', no necesariamente distintos, entonces exisre a lo mas un homomorfismo 4: G -+ G' tal que ai4 = a:. Si G es libre en ( a i } entonces existe precisamente uno de dichos homomorfismos. Demostracibn Sea 4 un homomorfismo de G en G' tal que.ai4 = por el teorema 9.1, para cualquier x E G tenemos
4. Ahora,
para algGn producto finito de 10s generadores a , donde las a,, que aparecen en el producto, no necesariamente son distintas. Entonces, como 4 es un homomorfismo, debemos tener
Asi, un homomorfismo est6 determinado por completo por sus valores en elementos de un conjunto generador. Esto muestra que hay a lo mas un homomorfismo tal que ai4 = 4. Ahora, supongase que G es libre en (a,), esto es, que G = F[(ai)].Para
en G, definase $:G
-+
G' por
Esta transformation esta bien definida, pues F[(ai}] consta precisamente de palabras reducidas; ningun par de productos formales diferentes en F[{ai)] son iguales. Como las reglas para calcular con exponentes en G' son formalmente iguales que las usadas para exponentes en G, es claro que (xy)l,b = (x+)(y$) para cualesquiera elementos x y y en G, asi que $ es, en efecto, un homomorfismo. Q u i d debimos haber probado antes la primera parte de este teorema, en lugar de haberla relegado a 10s ejercicios. Notese que el teorema afigna que un homomorfismo de un grupo esta completamente &terminado si se conoce su valor en cada
194
GRUPOS LlBRES
rrri c.or!itcn/o gcric~ruOor.Esto es bastante obvio y podria haberse mcncionado inmcdiatamente despues de la delinicion de homomorfismo. En particular, un homomorlismo dc un grupo ciclico estli completamente determinado por su valor en uno cualquiera dc 10s generadores del grupo.
c~lc~r~icriio (1.
Dc~~rro.siroc~icirr Sea G' = !(I:) y sea fai} un conjunto con el mismo numero de clcmcntos que G'. Sea G = F [ ( u i J ] .Entonces, por el teorema 21.4, existe un homomorfismo II/ quc transforma G en G' tal que a,$ = a:. Claramente, la imagen de G bajo I// es todo G'.
'21 -4
MAS SOBRE GRUPOS ABELIANOS LlBRES
Es importante no confundir el concepto de grupo libre con el concepto de grupo abeliano libre. U n grupo libre en mas de un generador, no es abeliano. En el capitulo anterior definimos un grupo abeliano libre como un grupo abeliano que tiene una base. esto es, un conjunto generador que satisface las propiedades dcscritas en cl tcorema 20.1. Hay otro enfoque, via grupos libres, de 10s grupos ahelianos libres. Describirernos este enfoque. Sea F [ A ] el grupo libre en el conjunto generador A. Por el momento, cscribiremos Fcn lugar de FCA]. Notese que si A contiene mas de un elemento, F no es abeliano. Sea F' el subgrupo conmutador de F. Entonces, FJF' es un grupo abeliano y es claro que FJF' es abeliano libre con base { a + F' 1 a E A ) . Si cambiamos el nombre de (I + F' por a, podemos ver FIF' como un grupo abeliano libre con base A. Esto indica c6mo puede construirse un grupo abeliano libre a partir de un conjunto dado corno base. Todo grupo abeliano libre puede construirse de esta manera. salvo isomorfismo. Esto es, si G es abeliano libre con base X. sc forrna el grupo libre FCX], y se forma el grupo factor de F I X ] modulo su subgrupo conmutador, se tendri un grupo isomorfo a G. Los teorcnias 21.1, 21.2 y 21.3 valen tanto para grupos abelianos libres, como para grupos libres. De hecho. en el teorema 20.6 se probb la version abeliana dcl teorema 21.3 para el caso de rango linito. En contraste con el ejemplo 21.5 para grupos libres. es cierto que para un gl.upo abeliano libre, el rango de un subgrupo es a lo mlis el rango de todo el grupo. El teorerna 20.6 tambien lo muestra para el caso de rango 17nito.
Encuen[rese 121. f c ~ r ~ lreducide li~ y el invcrso de la forma reducida de cada una de las sipuien~cspalahr;~~. *21.1 :I)
cr'l~ ' 1 ~ " ~ ~'(.-'/I '~
'
bl
(12(1- 3
h-3 (1 4(
c.'tr
~
'
21.2 Calculense 10s productos dados en las partes a) y b) del ejercicio 21.1 en el caso de que {u, b, c ) sea un conjunto de generadores que conforrnan una base de un grupo abeliano libre. Encutntrense 10s inversos de estos productos. 21.3 iCuantos hornornorfisrnos diferentes hay de un grupo libre de rango 2 en
a) Z,?
b) Z,? ~Cuantoshornornorlisrnos diferentes hay de un grupo libre de rango 2 sobre
21.4
a) Z,?
b) Z,?
c) S3?
215 ~Cuintoshornornorfisrnos diferentes hay de un grupo abeliano libre de rango 2 en
a) Z,?
b) Z,?
c) S,?
~Cuantoshornornorfisrnos diferentes hay de un grupo abeliano libre de rango 2
'21.6
sobre b) Z,?
a) Z,?
c) S,?
Tbrnese uno de 10s ejernplos de esta seccion donde se haya usado la frase ((Parecia obvio quen y analicese la reaccion que se tuvo con respecto a ese ejernplo. "21.7
LFalso o verdadero?
*21.8
T d o subgrupo propio de un grupo libre es un grupo libre. T d o subgrupo propio de todo grupo abeliano libre es un grupo libre. Una irnagen hornornorfa de un grupo libre es un grupo libre. Todo grupo abeliano libre tiene base. Los grupos abelianos libres de rango finito son precisarnente grupos abelianos finitarnente generados. Ningun grupo libre es abeliano. Ningun grupo abeliano libre es libre. Ningbn grupo abeliano libre de rango > 1 es libre. Cualesquiera dos grupos libres son isornorfos. Cualesquiera dos grupos abelianos libres del misrno rango son isornorfos.
'21.9
.
Sea G un grupo abeliano finitamente generado con identidad 0. Un conjunto finito
( h , , . .,h,; donde hi€ G es una base para G si solo si mihi = 0 donde mi E Z.
{ b , ,. . ., b,) genera G y
z=,
mibi = 0 si y
a) Mubtrese que (2, 3) no es una base para Z,. Encutntrese una base para Z,. b) Mutktrese que tanto (1) corno (2, 3) son bases para Z,. (Esto rnuestra que puede variar el nurnero de elernentos en una base, para un grupo abeliano G finitamente generado con torsion; esto es, no por fuerza es un invariante del grupo G.) c) i,Es una base de un grupo abeiiano libre, segun se definio en el capitulo 20, una base en el sentido en que se u d en este ejercicio? d) Mubtrese que todo grupo abeliano finito tiene una base { b , , . . ., b,), donde el orden de hi divide al orden de hi+ ,. Puede usarse cualquier teorerna del libro, aunque no se haya demostrado. Hoy d;u, c8n /us c.rposic.ioncs dP blgebra, se usa con frecuencia (en particular por 10s di.vcipulos de N. Bourbuki) b siguienie tEcnicu para introducir un nuevo ente algebraico: I
Describunsc 10s propidutk~scrl&ruitm
quo poseera
PSP
cntc algibruico.
2
3
Prubbense que cualesquiera dos etnres algebraicos con estas propiedades son isonlorfos, esto es, que estas propiedades caracreriian a/ ente. MuPstrese que exisre a1 menos uno de dichos entes.
Los tres ejercicios siguienres ilustran esra tkcnica para tres entes algebraicos, 10s cuates son conocidos por el estudiante. Para no descubrir sus identidades, usamos nombres jicricios en 10s dos primeros ejercicios. La riltin~aparte de esros dos pritneros ejercicios pide dar el nonrbre comlin de/ ente en cuesrion. 21.10 Sea G un grupo cualquiera. Un grupo abeliano G* es un grupo blip de G si existe un hornomorfismo fijo 4 de G sobre G* tal que cada homornorfisrno 1(1 de G en un grupo abeliano G' se puede factorizar como $ = 46 donde 0 es un homomorfismo de G* en G' (vease la Fig. 2 1.1). a) MuCstrese que cualesquiera dos grupos blip de G son isomorfos. [Sugerencia: Sean G: y Gf dos grupos blip de G. Entonces, cada uno de 10s homomorfismos fijos 4 , : G -, G: y 4,:G -, G: pueden factorizarse via otro grupo blip, de acuerdo con la definition de un grupo blip; esto a,4 , = 4,6, y 4, = c$,O,. MuCstrese que 0 , es un isornortismo de G,* sobre G:. Apliquese el ejercicio 13.16.1 b) Mubtrese que para todo grupo G existe un grupo blip G* de G. c) iCull de 10s conceptos presentados antes corresponden a la idea de un grupo blip de G?
*21.11 Sea S un conjunto cualquiera. Un grupo G junto con una funcion fija g:S -, G constituye un grupo Mop en S si para cada grupo G' y transforrnacionf:S -+ G' existe un homomortismo unico 4, de G en G' tal que f = gq5, ( v k la Fig. 21.2). a) Sea S un conjunto fijo. Muestrese que si G,, junto con g,:S -. G I y G,, junto con g,:S -, G, son grupos blop en S, entonces G I y G, son isomorfos. [Sugerencia: mutstrese que g , y g, son transformaciones uno a uno y que Sg, y Sg, generan a G I y a G,, respectivamente. P r k d a s e , despues, de manera analoga a la sugerencia del ejercicio 2 1.10.1 b) Sea S un conjunto. MuCstrese que existe un grupo blop en S. Puede usarse cualquier teorema del libro. c) iCuil de 10s conceptos presentados antes corresponde a esta idea de grupo blop en S? +21.12 Caractericese, rnediante propiedades, un grupo abeliano libre, de manera similar al ejercicio 21.1 1.
Presentaciones de grupos
En este capitulo, de acuerdo con la mayor parte de la literatura acerca de presentaciones de grupos, hacemos que 1 sea la identidad de un grupo. La idea de presentaci6n de grupo es formar un grupo dando un conjunto de generadores para el grupo y ciertas ecuaciones o relaciones que deseamos satisfagan 10s generadores. Se desea que el grupo sea tan libre como sea posible en 10s generadores sujetos a estas relaciones.
Ejernplo 22.1 Supbngase que G tiene generadores x y y, y es libre excepro por la relacion xy = yx, lo cual se puede expresar como xyx- ly- ' = 1. Es claro que la condicibn xy = yx es precisamente la requerida para que G sea conmutativo, aunque xyx-'y-' sea so10 uno de 10s muchos conmutadores posibles de F[(x, y)j. Asi, G es abeliano libre en dos generadores y es isomorfo a F[{x, y)] modulo su subgrupo conmutador. Este subgrupo conmutador de F[(x, y)] es el menor subgrupo normal que contiene xyx- 'y- ' puesto que cualquier subgrupo normal que contiene xyx-'y-I da lugar a un grupo factor abeliano, de mod0 que, por el teorema 12.6, contiene el subgrupo conmutador. El ejemplo anterior ilustra la situation general. Sea F[A] un grupo libre, supongase que se desea formar un nuevo grupo lo mas parecido posible a F [ A ] , sujeto a ciertas ecuaciones que se deben satisfacer. Cualquier ecuacibn se puede escribir de forma tal que el lado derecho sea 1. Asi, podemos considerar las ecuaciones como ri = 1, donde ri E F[A]. Claramente, si se requiere que r i = 1, entonces se debera tener que
198
PRESENTACIONES DE GRUPOS
para cualquier .u 6 F [ A ] y n E Z. Ademas, cualquier producto de elementos iguales a I seri de nuevo igual a I. Asi, cualquier producto finito de la forma
donde las r i j no por fuerza son distintas, tendra que ser igual a 1 en el nuevo grupo. Es muy facil corroborar que el conjunto de todos estos productos finitos es un subgrupo normal R de F [ A ] . Asi, cualquier grupo que se parezca lo m h posi'vle a F [ A ] , sujeto a las condiciones ri = 1, tendra tambien r = 1 para toda r E R. Pero F [ A ] / R se parece a F [ A ] (recuerdese que multiplicamos clases laterales, escogiendo representantes) except0 en que R ha colapsado y formado la identidad 1. Asi, el grupo que buscarnos es (a1 menos isomorfo a) F [ A ] / R . Podemos ver este grupo como el descrito por el conjunto generador A y el conjunto ( r i ) .
Definici6n Sea A un conjunto y sea { r i ) G F [ A ] . Sea R el menor de 10s subgrupos normales de F [ A ] que contiene las ri. Una presentacibn & G es un isomorfismo 4 de F [ A ] / R sobre el grupo G. Los conjuntos A y { r i )constituyen una presentacibn de grupo. El conjunto A es el conjunto de generadores de la presentacibn y cada ri es un cotuctor. Cada r E R es una consecuencia & { r i ) .Una ecuaci6n ri = 1 es una rdacibn. Una presentacibnjinita es aquella en donde A y { r i ) son, ambos, conjuntos finitos. Esta definicibn puede parecer cornplicada, pero en realidad no lo es. En el ejemplo 22.1, {x, y) es el conjunto de generadores y xyx-'y-' es el unico conector. La ecuacion .uj~.u-'v-' = 1 o, .uy = y x es una relacion. Este era un ejemplo de una presentacibn finita. Si una presentacion de grupo tiene generadores x j y conectores ri usaremos las notaciones
R a1 para denotar la presentaci6n de grupo. Podemos referirnos a F [ { X ~ ) ] /como grupo con presentacibn (.% :ri).
"22.2
PRESENTACIONES ISOMORFAS
Ejemplo 22.2
Considlrese la presentacion de grupo con A = (a)
y
{ r , } = (a6},
esto es, la presentacion ( a : a 6 = 1).
-
22.2 PRESENTACIONES ISOMORFAS
199
Este grupo, definido por un generador a, con la relacion ah = I , es claramente isomorfo a Z,. Considtrese ahora a1 grupo delinido por dos generadores a y h con a2 -= 1, h3 = 1 y ah = ha, esto es, el grupo con presentacion (a, h : a 2 , h3, aha-'6-I).
La condicion a2 = 1 da a-' = a. Tambitn, b3 = 1 da h-' = h2. Asi, todo elemento en este grupo puede escribirse como un product0 de potencias no negativas de a y h. La relacion aba-'b-' = 1, esto es, ab = bc, nos permite escribir primero todos 10s factores con a y despues 10s factores con h. De aqui que todo elemento del grupo es igual a algun 8 b " . Pero, a2 = 1 y b3 = 1 muestran entonces que hay solo seis elementos distintos 1 , h, b2, a, ab, ah2.
Por tanto, esta presentacion tambien da un grupo de orden 6 que es abeliano y, por el teorema 9.3, tambien debe ser ciclico e isomorfo a Z,. 8 El ejemplo anterior ilustra qu'e presentaciones diferentes pueden dar grupos isomonbs. Cuando esto suede tenemos presentaciones isomorfas Puede ser muy dificil determinar si dos presentaciones son isomorfas. Se ha demostrado recientemente (vhse Rabin [22]) que un buen numero de dichos problemas relacionados con esta teoria no son, en general, solubles, esto es, no existe una rutinc ni una manera bien definida para descubrir una solucion en todos 10s casos. Estos problemas no solubles incluyen el problema de decidir cuando dos presentaciones son isomorfas, cuando un grupo dado por una presentacion es finito, libre, abeliano o trivial, y el famoso problema de la palabra, que consiste en determinar en que caso una palabra r dada es consecuencia de un conjunto dado de palabras {ri). La importancia de este material se indica en el teorema 21.5, el cual garantiza que rodo grupo tiene una presentacibn. Ejemplo 223
Mostremos que (x, y :.y2x = y , yxZy = x )
es una presentacion del grupo trivial de un elemento. Solo necesitamos probar que x y y son consecuencias de 10s conectores y2xy-' y yx2yx- ', o que x = 1 y y = 1 pueden deducirse de y2x = y y yx2y = x. Ilustramos ambas tecnicas. Como consecuencia de y2xy-' obtenemos yx despues de conjugar por y. De yx deducimos x-'y - ', despuks ( x - ' y - ' ) ( y x 2 y x - ' ) da xyx- '. Conjugando xyx-' por x obtenemos y . De y obtenemos y - ' y y - ' ( y x ) es x . Trabajando con relaciones, en lugar de conectores, de y2x = y deducimos yx = 1 despuks de multiplicar por y-' por la izquierda. DespuCs, sustituyendo yx = 1 en yx2y = x, esto es, ( y x ) ( x y ) = x, obtenemos xy = x . Entonces,
200
PRESENTACIONES DE CRUPOS
multiplicando por x - ' por la izquierda, tenemos
J.
= 1. Al sustituir esto en
y x = 1 obtenemos x = 1.
Ambas tecnicas implican igual trabajo pero, de alguna manera, nos parece mas natural a muchos de nosotros, trabajar con relaciones. m
Concluimos este capitulo con dos aplicaciones. Ejernplo 22.4
Determinemos todos ios grupos de orden 10, salvo isomorfismo. Por el leorema 9.3, sabemos que todo grupo abeliano de orden 10 es isomorfo a Z,,. Supongase que G es no abeliano de orden 10. Por la teoria de Sylow, G contiene un subgrupo normal H de orden 5 y H debe ser ciclico. Sea a un generador de H. Entonces, GIH es de orden 2 y, por tanto, isomorfo a Z,. Si h E G y h 4 H debemos tener que h2 E H. Como todo elemento de H, except0 el 1, tiene orden 5, entonces, si h2 no fuera igual a 1 , tendria orden 5, de mod0 que b tendria orden 10. Esto significaria que G seria ciclico contradiciendo nuestra hipotesis de que G no es abeliano. Asi, h2 = 1. Por ultimo, como H es un subgrupo normal de G, hHh-' = H, en particular, hah-' E H. Como la conjugacion por h-' es un automorfismo de H, hah-' debe ser otro elemento de H de orden 5, de aqui cjue hah-' es igual a a, a2, a3, o a4. Pero si bab-I = a esto daria ha = ah y entonces, claramente, G seria abeliano, puesto que a y b generan G. Asi, las posibilidades para presentaciones de G son: 1 ( a , h : a 5 = 1,h2 = 1,ha = a2h), 2 ( a , h : u 5 = l , h 2 = 1,ha = a3h), 3 (a, h : a 5 = I, hz = I , ha = a4h). Notese que las tres presentaciones pueden dar grupos de orden a lo mas 10, ya que la Cltima relaci6n ha = aih nos permite expresar todo producto de las a y las h en G en la forma dh'. Entonces, as = 1 y h2 = 1 muestran que el conjunto
incluye todos 10s elementos de G. Sin embargo, no es claro que todos estos elementos en S son distintos, de mod0 que tengamos en 10s tres casos un grupo de orden 10. Por ejemplo, la presentacibn de grupo
'(a, h : a 5 = 1 , h2
=
1, ha
=
a2b)
nos da un grupo en el cual, usando la ley asociativa, tenemos que
Asi, en este grupo a = a4, de mod0 que a3 = 1, lo cual, junto con a5 = 1, da a2 = 1. Pero a2 = 1 junto con a3 = 1 significa que a = 1. De aqui que todo elemento en el grupo con presentacion (a, h : a 5 = I, h2 = 1, ha = a2b)
es igual a 1 o a b, es decir, este grupo es isomorfo a Z,. Un estudio similar de
para (a, b : a5 = 1, b'
=
1, ha = a3b)
muestra de nuevo que a = a4, asi que tambitn produce un grupo isomorfo a Z2. Queda solamente (a, h : a 5 = 1, b2 = 1, ba = a4b)
como candidato para grupo no abeliano de orden 10. En este caso, puede mostrarse que todos los elementos de S son distintos, asi que esta presentacion si da un grupo G no abeliano de orden 10.~ C O podemos ~ O mostrar que todos 10s elementos en S representan distintos elementos de G? La manera facil es observar que ya sabemos que hay a1 menos un grupo no abeliano de orden 10, el grupo ditdrico D,. Como G es el candidato que qukda, debe cumplirse que G 2. D,. Otra manera es la siguiente: tratemos de convertir S en un grupo def;niendo ( d b ' ) ( d b ucomo ) db' donde x es el residuo de s + 44') cuando se divide entre 5 y y es el residuo de t + v cuando se divide entre 2, en el sentido del lema 6.1. En otras palabras, usamos la relaci6n ha = a4b como guia para definir el product0 ( d b l ) ( d b " de ) dos elementos de S. Es facil ver que aObOactha como identidad y que dado d b u podemos determinar t y s sucesivamente haciendo t
s
=
=
- v (mod 2)
- 4 4 ' )(mod 5),
obteniendo db' que es un inverso izquierdo para d b u .Tendremos una estructura de grupo en S si y solo si se cumple la ley asociativa. En el ejercicio 22.7 pedimos realizar 10s calculos para la ley asociativa y descubrir una condicion para que S sea grupo bajo dicha definition de multiplicacibn. En este caso, el criterio del ejercicio equivale a la congruencia valida 42
=
1 (mod 5).
202
PRESENTACIONES DE CRUPOS
Asi, obtenemos un grupo de orden 10. Notese que
22 f 1 (mod 5)
3' f 1 (mod 5), de mod0 que el ejercicio 22.7 muestra ademas que
(a, b : a5 = 1, b2 = 1 , ba = a2h)
no dan grupos de orden 10. rn Ejemplo 22.5 Determinemos todos 10s grupos de orden 8, salvo isomorfismo. Conocemos 10s tres abelianos
Usando generadores y relaciones, daremos presentaciones de 10s grupos no abelianos. Sea G no abeliano de orden 8. Como G es no abeliano, no tiene elementos de orden 8, asi que cada elemento, except0 la identidad, es de orden 2 6 4. Si todo elemento fuera de orden 2 entonces, para a, b E G tendriamos que (ab)' = 1, esto es, abab = 1. Entonces, como tambien a2 = 1 y b2 = 1, tendriamos
ba = a2bab2 = a(ab)'b = ab, contrario a la hipotesis de que G no es abeliano. Asi, G tiene a1 menos un elemento de orden 4. Sea ( a ) el subgrupo de G de orden 4. Si b 4 ( a ) , las clases laterales ( a ) y b ( a ) llenarian todo G. Por tanto, a y b son generadores de G y a4 = 1. Como ( a ) es normal en G (por la teoria de Sylow, o porque es de indice 2), G / ( a ) es isomorfo a Z2 y tenemos b2 E ( a ) . Si b2 = a o b2 = a3, entonces b seria de orden 8. Por tanto, b2 = 1 o b2 = a2. Por hltimo, como ( a ) es normal, tenemos bab-' E ( a ) y como b(a)b-' es un subgrupo conjugado a ( a ) y, por ende, isomorfo a ( a ) , vemos que bab-' debe ser un elemento de orden 4. Asi, bab-' = a o hub-' = a3. Si bab-' fuera igual a a, entonces ba seria igual a ab, lo cual haria a G abeliano. En consecuencia, bob-' = a3 de mod0 que ba = a3b. Asi, tenemos dos posibilidades para G, a saber,
Notese que a-' = a3 y que b-' es b en G , y b3 en G,. Estos hechos, junto con la relacion ba = a3b nos permiten expresar todo elemento en Gi en la forma
umh",como en 10s ejemplos 22.2 y 22.4. Como a4 = 1 y b2 = 1 o b2 = a', 10s elementos posibles en cada grupo son 1, a, a', a3, b, ab, a2b, a3b. Asi, G, y G, tienen, cada uno, orden a lo mas 8. Que G, es un grupo de orden 8 puede verse a partir del ejercicio 22.7. Un argument0 analog0 al usado en el ejercicio 22.7, muestra que tambikn G, es de orden 8. Como ha = u3h # ah, vemos que GI y G, son no abelianos. Que 10s dos grupos no son isomorfos se s i ~ u edel hecho de que, mediante un calculo, mostramos que G, tiene so10 dos elementos de orden 4, a saber, a y a3. Por otro lado, en G, todos 10s elementos except0 el 1 y a2 son de orden 4. Se pedid en el ejercicio 22.3 el cPlculo de las tablas para estos grupos. Para ilustrar, supongamos que se desea calcular (a2h)(a3h).Usando en forma repetida ba = a3b obtenemos
Entonces, para GI tenemos allb2
=
all
= a3,
pero si estamos en G,, obtenemos
El grupo G I es el grupo octal y no es m k que nuestro viejo amigo, el grupo D4 de simetnas del cuadrado. El grupo G, es el grupo de cuaterniones; la razon del nornbre se explicara en la secci6n 25.4. m
*2L1 D& una presentacion de Z4 con un generador; con dos generadores; con tres generadores. *222
Ese una presentacion de S3 que lleve tres generadores.
'223
Dense las tablas del grupo octal
(a, b : a 4 = 1, b2 = 1 , ba = a3b)
y del grupo de cuaterniones
En arnbos casos, escribanse 10s elernentos en el orden 1, a, a2, a', b, ab, a2b, a3b. (N6tese que no es necesario calcular ~odos10s productos. Ya se sabe que estas presentaciones dan grupos de orden 8 y apenas se calculen suficientes productos, el resto estin fonados de rnanera que en cada rcngl6n y en cada columna de la tabla aparezca cada elernento exactamente una vez.)
204 *22.4
PRESENTACIONES DE GRUPOS
iFalso o verdadero?
- a) Todo grupo tiene una presentacion. - b) Todo grupo tiene varias presentaciones diferentes. -
C)
Todo grupo tiene dos presentaciones que no son isomorfas.
- d) Todo grupo tiene una presentacibn finita. - e) Todo grupo con una presentacion finita es de orden linito.
I) Todo grupo ciclico tiene una presentacibn con un solo generador.
- g) Todo conjugado de un conector es consecuencia del conector.
-
h) Dos presentaciones con el mismo n6mero de generadores siempre son isomorros. i) En una presentacibn de un grupo abeliano, el conjunto de consecuencias de 10s conectores contiene al subgrupo conmutador del grupo libre en 10s generadores. j) Toda presentacibn de un grupo libre tiene a 1 wmo uniw conector. -
-
--
* 2 2 5 Mubtrese que (a, b:a3 = 1, b2 = 1, ba = a2b) da un grupo de orden 6. Prdbese que no es abeliano.
* 2 L 6 Muestrese que la presentacibn (a, b: a3 = 1, b2 = 1, ba = a2b) del ejercicio 22.5 da a1 hnico (salvo isomorfismo) grupo no abeliano de orden 6 y, pcr tanto, da un grupo isomorfo a S,.
*22.7
Sea
esto es, S consta de todos 10s productos formales dg comenzando con aObOy terminando con a"- ' b " - ' . Sea r un entero positivo, definase la multiplicacibn en S por
donde x es el residuo de s + u ( f ) a1 dividirlo entre m, y y es el residuo de I entre n, en el sentido del lema 6.1.
+ v a1 dividirlo
a) Mukstrese que una wndicion necesaria y suficiente para que valga la ley asociativa en S y sea grupo bajo esta multiplicacibn, es que $ = 1 (mod m). b) Deduzcase de la parte a) que la presentacibn de grupo(a, b:d" = 1, b" = 1, ba = d b ) da un grupo de orden mn,si y so10 si #'
=
1 (mod m).
*228 Determinense, salvo isomorfismo, todos 10s grupos de orden 14. [Sugerencia: sigase el esbozo del ejemplo 22.4 y usese el ejercicio 22.7, parte b).] *229 Determinense, salvo isomorfismo, todos 10s grupos de orden 21. [Sugerencia: sigase el esbozo del ejemplo 22.4 y usese el ejercicio 22.7 parte b). Puede parecer que hay dos presentaciones que dan grupos no abelianos. Mubtrese que son isomorfos.]
*22.10 Muestrese que si n = pq con p y q primos, q > p y q = I (mod p), entonces hay exactamente un (salvo isomorfismo) grupo no abeliano de orden n. Supongase (como se probara mas adelante) que 10s q - 1 elementos distintos de cero de Z, forman un grupo ciclico Z: bajo la multiplicacion modulo q. [S~gerencia:las soluciones de .xp r I (mod q) forman un subgrupo ciclico de Z: con elementos 1, r, r2, . . ., rp-'. En el grupo con presentacion (a, b : aq = I, b" 1, ba = d b ) tenemos hub- = d de modo que Pub-' = = d").Asi, como & genera ( b ) para j = 1. . . ., p - I, esta presentacion es isomorfa a
'
(a, b' : aq = 1 , (b')P = 1, (&)a
= a'")(&)),
de mod0 que todas las presentaciones (a, b: a4 = I , bP = I, ba = a'"'b) son isomorfas.] *22.11
Determinense todos 10s grupos de orden 12 (salvo isomorfismo).
*22.12
Determinense todos 10s grupos de orden 30 (salvo isomorfismo).
PARTE
ANILLOS Y CAMPOS
Hasta aqui, hemos trabajado con con;?mtos en 10s cuales se ha definido una sola operacibn binaria. Los ejemplos conocidos de conjuntos de numeros muestran que debe ser muy importante el estudio de conjuntos, en 10s que se hayan definido dos operaciones binarias. El sistema mas general de este tipo que estudiaremos aqui, es el de anillo.
Definici6n Un anillo (R, +, -)es un conjunto R junto con dos operaciones binarias + y que llamamos suma y multiplicacion, definidas en R tales que se satisfacen 10s siguientes axiomas: 0,
9, (R, + ) es un grupo abeliano. W, La multiplicacion es asociativa. 9, Para todas las a, b, c E R, se cumple la ley distributiva izquierda a(b + C) = (ab) + (ac) y la ley &tributiva derecha (a + b)c = (ac) + (bc).
+
Ejemplo 23.1 Hay que estar conscientes de que 10s axiomas W,, W, y W, para un anillo, se cumplen en cualquier subconjunto de numeros complejos que sea grupo bajo la suma y sea cerrado bajo la multiplicacion. Por ejemplo, (Z, +, .), (Q, +, .), (R, y (C, +, .) son anillos. rn
+,
a )
Respetaremos la convencion usual de efectuar la multiplicaci6n antes que la suma, asi, la ley distributiva izquierda, por ejemplo, se presenta como
23.1 DEFlNlClON Y PROPIEDADES BASICAS
209
sin parentesis en el lado derecho de la ecuacion. Ademk, debido a una convencion semejante a nuestra notacion en teoria de grupos, nos referiremos, de manera algo incorrecta, a un anillo R, en lugar de a un anillo (R, +, .) siempre que no haya confusion. En particular, de ahora en adelante, Z sera (Z, +, .) y Q, R y C seran, tambiin, 10s anillos obvios. Si es necesario, nos referiremos a
Ejemplo 23.2 Considtrese el grupo ciclico (Z,, + ). Si definimos para a, b E Z, el producto ab como el residuo del producto usual de enteros cuando se dividen entre n, se puede mostrar que
+,
A partir de ahora, Z, serh siempre
con n sumandos. Esta suma sera denotada por n - a. Sin embargo, n - a no debe interpretarse como rnultiplicacibn & n por a en el anillo, pues el entero n puede no estar en el anillo. Si n < 0, sea
para In1 sumandos. Por u!timo, definimos
para 0 E Z en el lado izquierdo de la ecuacion y 0 E R en el lado derecho. En realidad, la ecuaci6n Oa = 0 vale tambitn para 0 E R en ambos lados. El teorema siguiente prueba Qte y otros hechos faciles pero irnportantes. Notese el uso frecuente de las leyes distributivas en la demostracibn de este teorema. Es1a.s leyes dktributivas son el unico medio dkponible para relacionar, en un anillo, 10s conceptos aditioos con 10s multiplicativos, Teorema 23.1 Si R es un anillo con idntidad aditiva 0 entonces, para cualquier a, b E R, tenemos 1 Oa=aO=O,
2 a(-b) = (-a)b = -(ab), 3 (-a)(-b) = ab. Demostracion Para la condition 1, notese que
Entonces, por la ley de cancelacion para el grupo aditivo (R, + ) tenemos 0 = aO. Asi rnismo, Oa = (0
+ 0)a = Oa + Oa
implica que Oa = 0. Esto prueba la condicion 1. Para entender la demostracion de la condicion 2, hay que recordar que, por definicibn, -(ah) es el elemento que, surnado a ah, da 0. Asi, para mostrar que a( -h) = -(ah), debe mostrarse precisarnente que a( -h) + ab = 0. Por la ley distributiva izquierda,
pues, por la condicion 1, aO = 0. Asi rnismo,
Para la condicion 3, n6tese que, por la condicion 2,
De nuevo, por la condicibn 2,
y -(-(~h)) es el elemento que, sumado a -(ah), da 0. Este es ab por definicibn de -(ah) y por la unicidad de un inverso en un grupo. Asi, (-a)(-b) = ab. Es importante comprender la demostracion anterior. Si no se puede seguir la 16gica y uso de las definiciones, m b adelante habd dificultades. (QuizA ya tengan dificultades.) El teorema permite usar las reglas conmidas para 10s signos. Esperamos que se empiece a comprender que, en el estudio de cualquier tipo de estructura matemitica, una idea de importancia bisica es el concepto de que dos sistemas que son estructuralmente idtnticos, esto es, que uno sea exactamente como el otro, excepto por 10s nombres. En Algebra, siempre se llama a este concepto isomorfimo. El concepto de que dos anillos Sean el mismo, excepto por el nombre de 10s elementos, nos conduce, corno en el caso de 10s grupos, a la siguiente definicibn. -
Definici6n Un isonwrfismo 4 & un Millo R con un R' es una funcion uno a uno que transforma R sobre R' tal que para todas las a, b E R,
Entonces, 10s anillos R y R' son isomorfos.
.
23.2 CUESTIONES MULTIPLICATIVAS; CAMPOS
211
Ejemplo 233 Como 10s grupos abelianos, (2. +) y (22, +) son isomorfos bajo la transformacibn 4: 2 -r 22 con .rcj = 2.r para .r E 2 . Notese que 2 2 s cerrado bajo la multiplicacibn usual y que (22, +, .) es un anillo. Aqui, 4 no es un isomofismo de anillo, pues (s!*)4 = mientras que (.u4)(y4) = 2.~2~9 = = 4.y.
.
2 . ~ ~ 7
A partir de ahora, nZ seri siempre el anillo (nZ,
23.2
+,
a).
CUESTIONES MULTIPUCATIVAS; CAMPOS
Todos 10s anillos que hemos visto hasta ahora tienen una multiplicacibn que es conmutativa. Muchos de ellos, como Z,Q y R tienen, ademas, identidad multiplicativa I. Sin embargo, 2 2 no tiene elemento identidad para la multiplicacibn. Hay muchos anillos en 10s cuales la multiplicacibn no es conmutativa. El estudiante que conozca un poco de teoria de matrices, vera que las matrices n x n cuyos registros son elementos de 2 (o Q, R o C) forman un anillo bajo la suma y multiplicacibn de matrices, donde la multiplicacibn no es conmutativa si n 2 2. Estos anillos de matrices si tienen un elemento identidad para la multiplicacibn. Los trataremos con mayor detalle en el capitulo 25. Es evidente que (0).con 0 + 0 = 0 y (0)(0)= 0 da un anillo. Aqui, 0 actua como identidad multiplicativa y como identidad aditiva. Por el teorema 23.1, iste es el unico caso en que 0 puede actuar como identidad multiplicativa, pues si Oa = a podemos deducir que a = 0. Cada vez que hablemos de una identidad multiplicativa en un anillo, excluiremos este caso trivial, esto es, cuando hablemos de una identidad multiplicativa, supondremos que es distinta de cero.
1 Definiciin Un anillo en donde la multiplicacibn es conmutativa es un anillo eonmutativo. Un anillo R con identidad multiplicativa 1 tal que lx = xl = x para todas las .r E R es un millo eon unitorio. Una identidad multiplicativa en un anillo es un elemento unitario. Teorema 23.2 Si R es un anillo con unitario, entonces este elemento unitario I es la linica identidad multiplicatiua. Demostracion Procedemos exactamente como lo hicimos para grupos. Sean 1 y I' identidades multiplicativas en un anillo R y dejemos que cornpitan. Considerando el I como identidad tenemos
Considerando el 1' wmo la'identidad tenemos (1)(l1) = I .
Asi. 1 = 1'. a
Si R,, R,, . . ., R, son anillos, podemos formar el conjunto R, x R, x . . . x R, de todas las n-adas ordenadas (r,, r,, . . ., r,) donde ri E R,. Si definimos la suma y la multiplicacion de n-adas por componentes (como para grupos) veremos en seguida, a partir de 10s axiomas de anillo en cada componente, que el conjunto de todas estas n-adas forman un anillo bajo la suma y la rnultiplicacion por componentes. El anillo R, x R, x . . - x R, es el producto directo de 10s anillos Ri. Es claro que dicho producto directo es conmutativo o tiene elemento unitario si y s61o si cada Ri es conmutativo o tiene elemento unitario, respectivamente. En un anillo R con unitario, el conjunto R* de elementos distintos de cero sera un grupo rnultiplicativo si es cerrado bajo la multiplicaci6n del anillo y si existen inversos. Un inverso multiplicativo de un elemento a en un anillo R con unitario 1 es un elernento a - ' E R tal que aa- = a - ' a = 1. Asi como para grupos, el inverso rnultiplicativo de un elemento a en R es unico si es que existe (vease el ejercicio 23.1 2). El teorema 23.1 muestra que no tendria sentido tener un inverso rnultiplicativo para el 0, a menos que se desee considerar el conjunto (0) donde 0 + 0 = 0 y (0)(0) = 0 como un anillo, con 0 como identidad aditiva y multiplicativa. Ya acordamos excluir este caso trivial cuando hablemos de anillos con unitario. Asi, tenemos que analizar la existencia de inversos multiplicativos para elementos distintos de cero en un anillo con unitario. Quids esten cansados de tantas definiciones, pero no queda mas remedio. Definicibn Sea R un anillo con unitario. Un elemento u en R es una unidad de R si tiene un inverso multiplicativo en R. Si todo elemento distinto de cero en R es una unidad, entonces R es un semi campo o millo con divisibn. Un campo es un anillo conmutativo con division. Ejernplo 23.4 Z no es un campo pues, por ejemplo, el 2 no tiene inverso multiplicativo, de modo que el 2 no es una unidad en Z. Las unicas unidades en Z son 1 y - 1. Claramente, Q y R son camps. rn
Existen, de manera natural, 10s conceptos de subanillo de un anillo y subcampo de un c a m p . Un subanillo de un anillo es un subconjunto del anillo que es anillo bajo las operaciones inducidas de todo el anillo; un subcampo se define de modo analogo para un subconjunto de un campo. De hecho, digamos de una vez que, si tenemos un conjunto, junto con cierto tipo especifico de estructura algebraica en el conjunto, llamamos glob a esta conglomeraci6n (grup, anillo, campo, dominio entero, espacio vectorial, y demas), entonces cualquier subconjunto de este conjunto, tal que la estructura algebraica inducida de manera natural, que produce urra estructura algebraica del rtrisr~rotipo, es un subglob. Si K y L son globs, denotaremos por K I L que K es un subglob de L, y K < L denotara que K I L pero que K # L. Por ultimo, queremos advertir que no debe confundirse el uso de las palabras unidad y unitario. Unitario es la identidad multiplicativa, mientras que unidad es cualquier elemento que tiene un inverso rnultiplicativo. Asi, la identidad multiplicativa o unitario, es una unidad, pero no toda unidad es unitario. Por ejemplo, - 1 es una unidad en Z pero - 1 no es unitario, esto es, - 1 # 1.
Digase para cuales de 10s siguientes conjuntos las operaciones indicadas de suma y rnultiplicacion estan definidas (el conjunto es cerrado) y dan estructura de anillo. Si el anillo no se lorma, expliquese por que. a) nZ con la suma y rnultiplicacion usuales b) Z' con la suma y rnultiplicacion usuales c) Z x Z con la surna y multiplicaci6n por componentes d) 22 x Z con la suma y rnultiplicacion por componentes e) {a b f i ( a, b E Z J con la surna y rnultiplicacion usuales f) { a + b f i ( a, b E Q ] con la surna y multiplicaci6n usuales g) El conjunto de todos 10s nurneros cornplejos irnaginarios puros ri para r E R con la surna y rnultiplicacion usuales 23.1
+
23.2 En cada parte del ejercicio 23A en que se forrne un anillo, digase si el anillo es conmutativo, si tiene unitario y si es un campo. 23.3 Describanse todas las unidades de cada uno de 10s siguientes anillos. a) Z b) Z x Z c) z, d) Q e) Z x Q x Z f) 24 Mutstrese que si U es la c o l ~ o de n todas las unidades en un anillo ( R , +, .) con unitario, entonces (U, -) es grupo. [Advertencia: asegurese quc U es cerrado bajo la rnul tiplicacion.]
'23.4
235 Mubtrese que aZ - bZ = (a solo si R es conrnutativo.
+ b)(a - b) para todas las a y b en un anillo R si y
23.6 iFalso o verdadero? a) Todo c a m p tambitn es anillo. b) Todo anillo tiene identidad multiplicativa. c) Todo anillo con unitario tiene al menos dos unidades. d) Todo anillo con unitario tiene a lo r n h dos unidades. - e) Es posible que un subconjunto de algun carnpo sea anillo pero no un subcampo, bajo las operaciones inducidas - I) Las leyes distributivas para un anillo no son rnuy importantes. - g) En un campo, la rnultiplicacion es conrnutativa. - h) Los elementos distintos de cero de un carnpo forman grupo bajo la rnultiplicacion del c a m p . - i) En todo anillo, la surna es wnmutativa. - j) Todo elernento de un anillo tiene inverso aditivo.
-
23.7 Sea (R, +) un grupo abeliano. Mutstrese que (R, ab = 0 para todas las a, b E R.
+, .) es un anillo si definimos
23.8 Muestrese que 10s anillos 2 2 y 3 2 no son isornorfos. Mubtrese que 10s carnpos R y C no son isornorfos.
23.9 (Exponenciacion estudiantil.) Sea p un primo. Muestrese que en el anillo Z , se tiene (a b)" = aP + bP para todos 10s a, b E Zp. [Sugerencia: obkrvese que la expansion binomial usual para (a + b)" es valida en un anillo conmutativo.]
+
23.10 Dkse un ejemplo de un anillo unitario 1 que tenga un subanillo unitario I' # 1.
23.1 1 Mucstrcsc que el clement0 unitario en un subcampo de un c a m p debe ser el unitario dc todo el campo, en contrastc con cl cjcrcicio 23.10 para anillos. 23.12 MuCstrcse que cl invcrso multiplicative dt. unit unidad en un anillo-con unitario es unica. 23.13 IJn clcmcnto (I dc un anillo R cs nilpotente si d = 0 para algin 11 E Z ' . Mucstrese quc si (I y 1) son clcmcntos nilpotentcs dc un anillo c.o~rnlurrrrir:o,entonces (I + h tambiCn es nilpotcntc. 23.14 Mucstresc quc un anillo R no tiene elementos nilpotentes distintos de cero si y solo si 0 es la unica solucion dc sZ = 0 en R. 23.15 Muestrese que un subconjunto S de un anillo R da un subanillo de R si y so10 si es vlilido lo siguicnte: 0 E S: l a - h) E S para todas las N, h E S: trh E S para todas las cr. h E S.
23.16 a) Mutstrese que una interseccibn de subanillos de un anillo R es, de nuevo, un subanillo de R. b) Mubtrese que la interseccibn de subcampos de un c a m p Fes, de nuevo, un subcampo de F. 23.17 Sea R un anillo y sea u un elemento lijo de R. Sea I, = (x E R ( a x = 0). Mutstrese que I, es un subanillo de R. 23.18 Sea R un anillo y sea a u n elemento fijo de R. Sea Ra el subanillo de R que es la interseccibn de todos 10s subanillos de R que contienen a ( v k el ejercicio 23.16). El anillo R, es el submillo de R generado par u. Muestrese que el grupo abeliano ( R , +) esta generado (en el sentido del capitulo 9) por {a" 1 n E Z*). 23.19 Considkrese (S, +. donde S es un conjunto + y . son operacioms binarias en S tales que ( S , ) es un grupo. (SC. .) es un grupo, donde S esta lormado por todcs 10s elementos de S except0 la identidad aditiva. 4h c) = ((ah) (ac) y (a b)c = (ac) (bc) para todas las a, b, c E S. Mubtrese que (S. +. -) es un anillo de divisi6n. [Sugerencia: apliquense las leyes distributivas a (1 + 1Xu + b) para probar la conmutatividad de la suma.] a)
+
+
+
+
+
23.20 Un anillo R es un anillo boolearn, si a2 = a para todas las a todo anillo booleano es conmutativo.
E
R. Mubtrese que
23.21 (Para estudiantes que tengan algGn conocimiento sobre las leyes de la teoria de conjuntos.) Para un conjunto S sea 9(S) la colecci6n de todos 10s subconjuntos de S. Definanse las operaciones binarias + y . en 9(S) por A + B = ( A u B ) - ( A n B ) = { x l x ~ A o x ~ pBe ,r o x $ ( A n B ) ) Y A-B= A n B para A, B E tiene cuatro a) Dense las tablas para + y - en 9(S) donde S = {o,b). [Sugerencia: elementos.] +, .) es un anillo booleano (vtase el b) Mubtrese que para cualquic.r conjunto S, ejercicio 23.20).
Dominios enteros En esta seccion, para motivar su ktudio, usaremos polinomios de manera intuitiva. Sera hasta el capitlllo 30 cuando se traten con detalle.
Una de las propiedades algebraicas m h importantes de nuestro sistema numkrico usual es que el producto de dos numeros puede ser 0 so10 si a1 menos uno de 10s dos factores es cero. Se suele usar con frecuencia este hecho, incluso de manera inconsciente. Supongase, por ejemplo, que se pide resolver la ecuacion
Lo primero que se hace es factorizar el lado izquierdo:
Despub se concluye que 10s unicos valores posibles para x son 2 y 3. ~ P o quC? r Porque si x se reemplaza por cualquier numero a, el producto (a - 2)(a - 3) de. 10s numeros resultantes es 0, si y so10 si a - 2 = 0 o a - 3 = 0.
+
6 = 0 en Z,,. Ahora, Ejemplo 24.1 Resolvamos la ecuacibn x2 - 5x xZ - 5x 6 = (x - 2)(x - 3) sigue siendo vilido si consideramos x wmo un numero en Z,,. Pero en Z,, no d l o Oa = aO = 0 para todas las a~ Z,,, sino
+
adem&
.
216
DOMlNlOS ENTEROS
Asi, nuestra ecuacion no tiene solo las soluciones 2 y 3, sino tambien 6 y 11 pues (6 - 2)(6 - 3j = (4)(3) = O y ( l 1 - 2)(11 - 3) = (9)(8) = Oen Z,,. 8 Estas ideas son tan importantes que las formalizaremos en una definition.
Definici6n Si a y b son dos elementos distintos de cero de un anillo R tal que ab = 0, entonces a y b son divisores & 0. En particular, a es un divisor iquierdo & 0 y b es un divisor Lrecho & 0. En un anillo conmutativo, todo divisor izquierdo de 0 es tambien un divisor derecho de 0 y reciprocarnente. Asi, no hay distincion entre divisores izquierdo y derecho de cero en un anillo conmutativo. El ejemplo 24.1 muestra que en Z,, 10s elementos 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 10 son todos divisores de 0. Notese que estos son precisamente 10s numeros en Z,, que no son primos relativos con 12, esto es, aqutllos cuyo mcd con 12 no es 1. Nuestro siguiente teorema muestra que este es un ejernplo de una situation general.
Teorema 24.1 En el anillo Z, 10s divisores & 0 son precisamente aquellos elementos que no son primos relativos con n. Demostracibn Sea m E Z,, donde m # 0, y sea d # 1 el mcd de m y n. Entonces,
y (m/d)nda 0 como multiplo de n. Asi, m(nld) = 0 en Z, mientras que ni m ni nld es 0, asi que m es un divisor de 0. Por otro lado, supongase que m E Z, es primo relativo con n. Si para s E Z, tenernos ms = 0, entonces n divide a1 product0 m de m y s como elementos del anillo Z. Como n no tiene factores > 1 en comun con m, debe ser que n divide a s, de modo que s = 0 en Z,.
C o r o h w Si p es primo, entonces Z, no tiene divisores & 0. Demostracibn La demostracion de este corolario resulta de inmediato del teorema 24.1. Otra indication de la importancia del concept0 de divisores de 0 se muestra en el siguiente teorema. Sea R un anillo y sean a, b, C E R. Las leyes de cancelaci6n valen en R si ab = ac con a # 0, irnplica b = c y ba = ca con a # 0 implica b = = c. Estas son las leyes de cancelacion multiplicativas. Es claro que las leyes de cancelacion aditiva valen en R, pues ( R , + ) es grupo.
Teorema 24.2 Las leyes de cancelacibn ualen en R si y sblo si R no tiene dioisores de 0, izquierdos ni derechos.
24.2 DOMINIOS ENTEROS
217
Damostracihn Sea R un anillo en el cual se cumplen las leyes de cancelacion, supongase que ah = 0 para algunas a, b E R. Debemos mostrar que a es cero o h es 0. Si a # 0,entonces ah = aO implica que b = 0, por las leyes de canceiacibn. Analogamente, h # 0 implica que a = 0,de mod0 que no puede haber divisores izquierdos ni derechos de 0,si las leyes de cancelacion se cumplen. Reciprocamente, supongase que R no tiene divisores izquierdos ni derechos de 0 y supongase que ah = ac con a # 0.Entonces,
Como a # 0 y R no tiene divisores izquierdos de 0,debemos tener b - c = 0,de mod0 que h = c. Un argument0 similar muestra que ba = ca, con a # 0, implica h = c. rn Supongase que R es un anillo sin divisores de 0.Entonces, la ecuacion ax = b con a # 0 en R, puede tener a lo mas una solucion x en R, pues si ax, = b y ax, = b, entonces ax, = a-r, y, por el teorema 24.2, x, = x,, pues R no tiene divisores de 0.Si R tiene elemento unitario 1 y a es una unidad en R con inverso multiplicativo a - ' , entonces, es claro que la solucion x de ax = b es a-'b. En el caso de que R sea conmutativo, en particular, si R es un campo, se acostumbra denotar a a-'b y ba-' (por conmutatitivad son iguales) por el cociente formal hla. Esta notacion de cociente no debe usarse en el caso de que R no sea conmutativo, pues no se sabria si bla denota a1 elemento a-'b o a1 elemento ha-'. En un c a m p F es usual definir un cociente bla, donde a # 0,como la solucion x en F de la ecuacion ax = b. Esta definition es consistente con nuestras observaciones anteriores y usaremos esta notacion cociente cuando trabajemos en un carnpo. En particular, el invzrso multiplicative de un elemento a distinto de cero, en un campo es l / a .
Definicibn Un dominio entero D es un anillo conmutativo unitario que no contiene divisores de 0. Asi, si 10s coeficientes de un polinomio pertenecen a un dominio entero, podemos resolver una ecuacion polinontial en la cual se pueda factorizar el polinomio en .factores lineales, hacietido, conro es usual, cada factor igual a 0. Como se mostrara en nuestra jerarquia de estructuras algebraicas, un dominio entero esta entre un anillo conmutativo con unitario y un campo. El teorema 24.2 muestra que las leyes de cancelacion para la multiplicacion se cumplen en un dominio entero. Hemos visto que Z y 2, para cualquier primo p son dominios enteros, pero 2, no es un dominio entero si n no es primo. Teorema 24.3
Todo car?ipo F es
lit1
dominio etitero.
218
DOMlNlOS EMEROS
Demostracion Sea a, b E F, supongase que a # 0. Entonces, si ab = 0 tenemos
Pero entonces,
()
0 = - (ab) = [(:)a]b=lb=b.
Hemos mostrado que ab = 0 con a # 0 implica que b = 0 en F, de mod0 que no existen divisores de 0 en F. Es claro que F es un anillo conmutativo con unitario y asi, queda probado el teorema. rn
.
Hasta ahora, 10s unicos camps que sc han v~stoson Q, R y C. El corolario del siguiente teorema nos d a d algunos campos de orden finito. Teorema 24.4 Todo dominio enrero Jnito es un campo.
Demostracibn Sean
todos 10s ekmentos de un dominio entero finito D. Es necesario mostrar que para a E D, donde a # 0, existe b E D tal que ab = 1. ConsidCrese ahora 'al, au,,
. . ., aa,.
Afirmamos que todos estos elements de D son distintos, pues aa, = aq implica qut a, = a$ por las leyes de cancelacibn que valen en un dominio entero. Ademis, como D no tiene divisores de 0, ninguno de estos elementos es 0. Contando, tenemos que al, aa,, . . .,oa, son 10s elementos 1, a,, . . ., a, en algun orden, de manera que a1 = 1, esto es, a = 1, o bien aa, = 1 para alguna i. Asi, a . tiene inverso multiplicative. rn Coro&uio Si p es primo, entonccs Zpes un campo.
Demosrracibn La demostracibn d e este corolario resulta inmediatamente del hecho de que Zp es un dominio entero y del teorema 24.4. rn
Sea R cualquier anillo. Podemos preguntar si existe algun entero psitivo n tal q u e n - a = Oparatodas l a s a ~ R,donden.asignificaa + a + + aparan sumandos, tal como se explicb en la seccion 23.1. Por ejemplo, el entero m tiene esta propiedad para el anillo Z,. . - a
24.4
TEOREMA DE FERMAT
219
Definicih Si para un anillo R existe algun entero positivo n tal que n a = 0 para todas las a E R, entonces, el menor de dichos enteros positivos es la caracteristica &I anillo R. Si no existen dichos enteros positivos, entonCes R es de caracteristica 0. Usaremos el concept0 de caracteristica principalmente para campos. Ejemplo 24.2 El anillo Z, es de caracteristica n mientras que Z , Q, R y C tienen, todos, caracteristica 0. Teorema 24.5 Si R es un anillo con unitario 1, entonces R tiene caracteristica n > 0 si y sblo si n es el menor entero positivo tat que n . 1 = 0. Demostracibn Por definition, si R tiene caracteristica n > 0,e n t o m , n a = 0 para todas las a E R, asi, en particular, n . l = 0. Reciprocamente, sup6ngase que n es un entero positivo tal que n - l = 0. Entonces, para cualquier a E R tenemos
El teorema se deduce de inmediato. rn
24.4
TEOREMA DE FERMAT
Concluimos esta secci6n con algunas elegantes aplicaciones a la teoria de nCmeros. Es facil ver que para cualquier campo, 10s elementos distintos de cero forman grupo hajo la multiplicacicin de campo. En particular, para Z p 10s elementos
forman un grupo de orden p - 1 bajo la multiplicaci6n mklulo p. Como el orden de cualquier elemento en un grupo divide al orden del grupo, vemos que para a # 0 y a E Z,,, a p - l = 1 en Z, M h adelante veremos en detalle, tanto para la multiplicaci6n como para la suma, que a E Z, puede consideraise representante de la clase lateral a + p Z y que el product0 de clases laterales se puede calcular mediante multiplicaci6n mbdulo p de representantes, de manera anitloga al dlculo de las sumas. La culeccion Z / p Z de estas clases laterales se convierten en un anillo isomorfo a Z, Supongimoslo por ahora; esto nos da inmediatamente el llamado pequeiio teorema de Fennat. Teorema 24.6 (Fermut) Si a E Z y p es un primo que no divide a, entonces p divide aP-' - 1, esto es, d - E 1 (mod p) para a f 0 (mod p).
'
Corolrvio Si a
E
Z; entonces d
= a (mod p) para cualquier primo p.
220
DOMlNlOS ENTEROS
Demostracibn Si a f 0 (mod p), la demostracion del corolario resulta del teorema 24.6. Si a = 0 (modp) entonces, ambos lados se reducen a 0 modulo p. Este corolario sera de gran importancia mas adelante cuando se estudien 10s campos finitos. Ejernplo 243 Calculemos el residuo de 81°3 a1 dividirlo entre 13. Usando el teorema de Fermat, tenemos
8103 -=( 8 1 2 8 87I =- ( l8)(8') a7 ( - 9 7 (25)3(-5) = (- 1)3(-5) = 5 (mod 13).
"24.5
GENERALIZACION DE EULER
Euler dio una generalizacion del teorema de Fermat. Su generalizacion se deduce inmediatamente del teorema siguiente. Teorema 24.7 El conjunto G, dr clementos distintos de cero de 2, que no son divisores de 0 forman grupo bcjo la multiplicaciiin miidulo n. Demostracibn Primero, debemos mostrar que G, es cerrado bajo la multiplicaci6n mkiulo n. Sea a, b E G,. Si ab # G,, entonces existiria c # 0 en 2, tal que (ab)c = 0. Ahora, (ab)c = 0 implica que a(bc) = 0. Como b E G, y c # 0, tenemos bc # 0, por delinicion de G, Pero, entonces, a(bc) = 0 implicaria que a # G, contrario a la hipbtesis. Nbtese que hemos mostrado que,para cualquier anillo, el conjunto de elementos que no son diokores de 0 es cerrado bajo la multiplicacibn. Ninguna estructura de 2, ademas de la estructura de anillo, se ha empleado hasta ahora. Mostremos ahora que G, es un grupo. Es claro que la multiplication modulo n es asociativa y 1 E G,. Falta mostrar que, para a E G,, existe b E G, tal que ab = 1. Sean
10s elementos de G,. Los elementos al, aa,, . . ., aa, son todos diferentes, pues si aa, = aa, entonces a(ai - a]) = 0 y como a E G, y, por tanto, no es un divisor de 0, debemos tener ai - a j = 0 o ai = a? En consecuencia, contando, encontramos que a1 = 1 o alguna aai debe ser 1, de mod0 que a tiene inverso multiplicative. -
Notese que la unica propiedad de 2, usada en este ultimo teorema, ademis del hecho de que era un anillo con unitano, fue que era finito. En 10s teoremas 24.4 y 24.7 hemos empleado (esencialmenteen la misma construccibn) un argument0 de conteo. Los argunrenros de conteo son, a menudo, sencillos, per0 esfan enfre las herramientas mas poderosas de todas /as matematicas. Definamos ~ ( ncomo ) el numero de enteros positivos menores o iguales a n y primos relativos con n. Por ejemplo, si n = 12 10s enteros positivos menores o ) 4. Por el iguales a 12 y primos relativos con 12, son 1, 5, 7 y 1 1 , asi, ~ ( 1 2 = ) el numero de elementos de 2, que no son divisores de 0. teorema 24.1, ~ ( n es Esta funcion Q:Z+ -, Z + es la fuocidn fi de Euler. Podemos describir, ahora, la generalizacihn de Euler del teorema de Fermat. Teorema 24.8 (filer) Si a es un enlero primo relativo con n, enronces ad") - 1 es diobible entre n, esro es, &) E 1 (mod n).
+
Demosrracion Si a es pnmo relativo con n, entonces, la clase lateral a nZ de nZ que contiene el numero a contiene un entero b < n y primo relativo con n. Usando el hecho (que probaremos miis adelante) de que la multiplicacibn de estas clases laterales, mediante.la multiplicacibn mbdulo n de representantes, esta bien definida, tenemos que
a0'")= b*") (mod n). Pero, por 10s teoremas 24.1 y 24.7, b puede verse como un elemento del grupo multiplicative G,, de orden p(n) formado por 10s q ( n ) elementos de Z, pnmos relativos con n. Asi, b*")
y se deduce el teorema.
=
1 (mod n),
8
Encuentrense todas las soluciok de la ecuaci6n x3 - 2x2 - 3x = 0 en Z,,. 24.2 Resuelvase la ecuacion 3x = 2 en el campo Z, y en el c a m p Zz, 243 Encuentrese la caracteristica de cada uno de 10s siguientes anillos: 24.1
Usando el teorema de Fennat, encukntrese el residuo de 347 al dividirlo entre 23. '245 a) Mubtrese que 1 y p - 1 son 10s unicos elementos del campo Z, que son sus propios inversos multiplicativos. [Sugerencia: considkrese la 6cuacion x2 - 1 = 0.1 24.4
222
OOMlNlOS ENTEROS
b) De la parte a), deduzcase la mitad del feoreniu dl> Wilson que afirma que sip es primo, entonces (I, - I)! = - I (mod p). (La otra mitad afirma que si (n - I ) E - I (mod n), entonces, n es primo.)
24.6 iFalso o verdadero? nZ tiene divisores de cero si n no es primo. Todo c a m p es un dominio entero. La caracteristica de nZ es n. Como anillo, Z es isomorfo a nZ para todas las n 2 1. La ley de la cancelacion vale para cualquier anillo que sea isomorfo a un dominio entero. Todo dominio entero de caracteristica 0 es infinito. El product0 dilecto de dos dominios enteros es, de nuevo, un dominio entero. Un divisor de cero en un anillo conmutativo con unitario puede no tener inverso rnultiplicativo. nZ es un subdominio de Z. Z es un subcampo de Q.
24.7 Encutntrense todas las soluciones de la ecuacion x2 ecuacion x2 + 2x + 4 = 0 en Z,.
+ 2x + 2
= 0 en Z,; de .la
24.8 Un elemento u de un anillo R es idempotente si u2 = a. Mubtrese que un anillo con division contiene exactamente dos element05 idempotentes. 24.9 Mkstrese que una interseccion de subdominios de un dominio entero D es, de nuevo, un subdominio de D. 24.10 Mukstresc que un anillo finito R con unitario y sin divisores de 0 es un anillo con division. (En realidad, es un campo, aunque la conmutatividad es dificil de probar. Vtase el teorema 25.5.) [Notu: en la demostraci6n. para mostrar que u # 0 es una unidad, debe mostrarse que un tcinverso rnultiplicativo izquierdon de a # 0 en R es, tambitn, un tcinverso rnultiplicativo derechon.] 24.11 Sea R un anillo que contiene a1 menos dos dementos. Supbngase que para cada elemento a E R diferente de cero, existe una b E R Cnica tal que aba = b.
a) b) c) d)
Mubtrese que R no tiene divisores de 0. Muktrese que 6ub = b. Mubtrese que R tiene unitario. Mubtrese que R es un anillo de division.
24.12 Mubtrese que la caracteristica de un subdominio de un dominio entero D es igual a la caracteristica de D. 24.13 Mubtrese que si D es un dominio entero, entonces, {n. I I n E Z) es un subdominio de D contenido en todo subdominio de D.
Muistrese que la caracteristica de un dominio entero D debe ser 0 o un primo p. [Sugerencia: si la caracteristica de D es mn, considkrese (m - l)(n. 1) en D.]
24.14
24.15
n3'
Usese el teorema de Fermat para mostrar que para cualquier entero positivo n. = (37)(19)(13)(7)(3)(2).]
- n es divisible entre 383 838. [Sugerencia: 383 838
24.16 Este ejercicio muestra que todo anillo R puede agrandarse (si es necesario) a un anillo S con unitario, con la misrna caracteristica que R. Sea S = R x 2, si R tiene caracteristica 0, y R x Z , si R tiene caracteristica n. Sea la suma en S, la suma usual-por componentes y sea la rnultiplicacion definida por
donde n . r tiene el significado explicado en el capitulo 23. a) Mubtrese que S es un anillo. b) Mubtrese que S tiene unitario. C) Mubtrese que S y R tienen la misma caracteristica. d) Mubtrese que la transformaci6n q5:R -, S dada por rq5 = (r,O) para r e R es un isomorfismo de R con un subanillo de S. *24.17 Disc la tabla de la rnultiplicacion de grupo para el grupo rnultiplicativo de aquellos ekmentos de Z,, primos relatives con 12. LA qui grupo de orden 4 es isomorfo? *24.18
Hagase la tabla de 10s valores de 4(n) para n
(
30:
* a 1 9 Usese la generalization de Euler del teorema de Fermat, para encontrar el residuo de 7'''' a1 dividirlo entre 24.
ejemplos no conmutativos Debido a la amplitud del tema no profundizaremos sobre 10s anillos no conmutativos y semicampos, asi es que como podran imaginarse, de manera natural, surge gran cantidad de anillos no conmutativos importantes en algebra; en este capitulo solo daremos algunos ejemplos de ellos.
25.1
MATRICES SOBRE UN CAMP0
Sea F cualquier carnpo (digamos Q, R o C), considerese el conjunto M2(F) de todos 10s arreglos cuadrados de 2 x 2
donde todas las aij estan en F. El primer subindice i de aij indica el renglbn donde esd aij en el arreglo cuadrado y el segundo subindicej indica la columna. Asi, a,, es el elemento de F situado en el primer renglbn y segunda columna del arreglo cuadrado. Dicho arreglo cuadrado es una matriz de 2 x 2 sobre F. El conjunto M,(F) de todas las matrices de n x n sobre F se define de manera analoga. Definimos la surna de matrices en M,(F) por
25.1 MATRICES SOBRE UN CAMP0
225
esto es. sumando 10s elementos de lugares correspondientes. DespuCs de pensarlo un momento, se vera que, debido a que F satisface 10s axiomas de campo, (M2(F),+) es un grupo abeliano con identidad aditiva
y con
La multiplicacion de matrices en M2(F)esta definida por
Esta multiplicaci6n parece dificil, se recuerda mejor por (aij)(bij)= (cij)-
donde
Con la definicion analoga para la multiplicaci6n de matrices, en donde la suma va de i = I a n y la definici6n analoga obvia para la suma de matrices, todo lo que se ha hecho es valid0 para el cohjunto M,,(F) de todas las matrices de n x n sobre F.
Para mostrar que (M,,(F), +, . ) es un anillo, falta probar las leyes asociativa y distributiva. Lo ilustramos con la ley asociativa para la multiplicacion de matrices en M,,(F). Usando las propiedades de campo de F y la definicion de multipli-
226
ALGUNOS EJEMPLOS NO CONMUTATIVOS
cacion de matrices en M,(F), si d,, esta en el lugar correspondiente a (aij)[(hij)(cij)l, tenemos
donde P,,estri en el r-tsimo renglon y s-iisima columna de [(aij)(hij)](cij). Las leyes distributivas se prueban de manera analoga. Consideramos demostrado el siguiente teorema. Teorema 25.1 Si F es un campo, enronces el conjunro M,(F) de roclu.~1u.y marrir.es de n x n de elemenros de Fforma un anillo hajo la surna J ~~ictltiplic~c!cirin ik mar rice.^.
Estos anillos de &irices se usan en algebra lineal. En este context0 pueden considerarse correspondientes a cierto t i p de funciones y, desde este punto de vista, se puede mostrar que la multiplicaci6n de matrices es precisamente la composici6n de funciones. Como la composici6n de funciones siempre es asociativa, da otra demostraci6n, m b elegante, de la ley asociativa. N6tese que M,(F) es isomorfo a F bajo la transformaci6n 4 :F -, M,(F) dada por a 4 = (a) para a € E Recutrdese que esta secci6n trata de anillos no conmutativos. Es cierto que M,(F) es no conmutativo si n 2 2. El ejemplo 25.2 lo ilustra para M2(F). Ejemplo 25.2 Como todo c a m p R contiene elementos 0 y 1, M2(F) siempre tiene entre sus elementos a
La definici6n de multiplicaci6n de matrices muestra que
mientras que
Asi, M2(F) es no conmutativo. Como
25.2 ANILLOS DE ENDOMORFISMOS
227
es la identidad aditiva, este ejemplo muestra, ademas, que existen divisores de 0 en M,(F). Lo mismo es cierto sobre M,(F), para n 2 2. Dejamos como ejercicio la demostraci6n de que
es el
elemento unitario en M,(F) (vease el ejercicio 25.2). rn
Sca A cualquier grupo abeliano. Un homomorfismo de A en si mismo es un edomorfiimo de A. Sea Hom(A) el conjunto de todos 10s endomorfismos de A. Como la composicibn de dos homomorfismos de A en si mismo es de nuevo uno de dichos homomorfismos, definimos la multiplicacion en Hom(A) por la composicibn de funciones, asi, la multiplicacion es asociativa. Para definir suma, para 4 , y5.e Hom(A), tenemos que describir el valor de (4 + J / ) en cada a E A. Definase
Como
vemos que 4 + JI esti en Hom(A). Como A es conmutativo, tenemos que
para todas las a € A, de modo que 4 + JI = JI + 4 y la suma en Hom(A) es conmutativa. La asociatividad de la suma se sigue de a[4
+ ($ + 811 = a 4 + a(+ + 8 ) = a 4 + (a* + a8) = ( a 4 + a*) + a8 = 44 + JI) + a8 = a[(4 + 11.) + 81.
Si e es la identidad aditiva de A, entonces, el homomorfismo 0 definido por
-
*-
aO=e
228
ALGUNOS EJEMPLOS NO CONMUTATIVOS
para a € A es claramente una identidad aditiva en Hon4A). Por ultimo, para
-4
definida por
esta en Hom(A), puesto que
4 + ( - 4 ) = 0. Asi,
+, -
Como I3 es un homomorfismo,
Asi, (4 + $)0 = (60 + $0. La ley distributiva izquierda no causa dificultad, aun en AA y resulta de
Asi, hemos probado el siguiente teorema. Teorema 25.2 El conjunto Hom(A) de todos 10s endomorfismos de un grupo abeliano A forma un anillo bajo la suma de homomorfismos y la multiplicaci6n & homomorfismos (composicibn de funciones).
De nuevo, para mostrar las aplicaciones que puede tener este capitulo, debemos dar un ejemplo para mostrar que Hom(A) no es por fuerza conmutativo. Parece razonable esperarlo, pues la composicion de funciones, en general, no es
25.2 ANILLOS DE ENDOMORFISMOS
229
conmutativa. Sin embargo, en algunos casos, Hom(A) podria ser conmutativo. De hecho, Hom((Z, + )) es conmutativo. En el ejercicio 25.10, pedimos al estudiante que lo demuestre. Ejemplo 253 Considerese el grupo abeliano libre ( Z x Z, +) analizado en la parte I. Podemos especificar un endomorfismo de este grupo abeliano libre, dando sus valores en 10s generadores del grupo ( 1 , 0 ) y (0, 1). Definir
Definir J, por
Intuitivamente, 4 transforma todo sobre el primer factor de Z x 2, y $ colapsa el primer factor. Asi, (n, m)(4J,)= (n + m, O)$
=
(0, 01,
mientras que (n, m)($Q)= (0, m)4 = (m, 0). De aqui que 4J, # $ 4 .
Ejemplo t5.4 Sea F un c a m p y sea n x ] el conjunto de tadas las expresiones polinomiales formales con coeficientes en F. (Analizaremos dichos polinomios en el capitulo 30. Por ahora, nos basaremos en la intuition del.lector.) Un elemento tipico de a x ] se puede escribiren la forma
donde a,, al,a2, . . ., a, E F. Con la suma usual de polinomios, a x ] se vuelve un gmpo abeliano, de manera que podemos considerar Hom(F[x]).Un elemento de Hom(nx]) actua en cada polinomio en a x ] , multiplicand0 por x. Sea X este endomorfismo, de mod0 que (a,
+ a l x + a2x2 + . + a X ) X = aox + a l x 2 + a2x3 + ... + a,x"+'.
Otro elemento de H o m ( n x ] ) es la diferenciacion formal con respecto a x. (La conocida formula ((la derivada de una suma es la suma de las derivadas~garanti-
230
ALGUNOS EJEMPLOS NO CONMUTATIVOS
za que la diferenciacion es un endomorlismo de fix].) Sea Y este endomorfismo
de mod0 que (a,
+ a,.r + a2.r2 + . - . + a#)Y
=
a,
+ 2a2x + -.. + nanxn-'.
En el ejercicio 25.12 pedimos mostrar que X Y - YX = 1, donde 1 es el unitario (la transformation idkntica) en Hom(flx]). Asi, X Y # YX. La multiplicaci6n de polinomios en I;lx] por cualquier elemento de F tambitn da un elemento de Hom(fix1). El subanilio de Honz(fix]) generado por X y Y y multiplicaciones por elementos de F es el algebra de Weyl y es ~mportante en mednica cuintica.
*25.3
AMIUOS OE GRUPO Y ALCE8RA DE GRUPO
Sea G = {g, ( i~ I) cualquier grupo multiplicative y sea R cualquier anillo con unitario. Sea R(G) el wnjunto de todas las mmas/onnales
para a, E R y gi E G, donde rodas las ai excepro un nlimerofiniro son 0. Detinamos la suma de dos elementos de R(G) por
Es claro que (ai + bi) 0 excepto por un numero finito de indices i, de modo que zi. (a, + bi)giesta de nuevo en R(G). Es inmediato que
)
I
La multiplicaci6n de dos elementas de R(Gj esth definida por el uso de las multiplicaciones en G y R como sigue:
De manera intuitiva distribuimos formalmente la suma Xi,, a,gi sobre la suma donde gig, = gi en G. Como a, y hi son 0 para todos, excepto un niunero finito de i, la suma Lflr=gca,bc contiene sblo un nirmero finito de sumandos diferentes de cero a& E R y asi pueden considerarse un elemento de R Claramente, tenemos otra vez que a lo mas un nirmero finito de dichas sumas aQ, son distintas de cero. Asi, la multiplication es cerrada en R(G).
Xi,, bgi y a1 tkrmino aigp,gk lo nombramos a),gi,
z,#,=,,
25.3 ANILLOS DE CRUPO Y ALGEBRA DE CRUPO
231
La ley distributiva se sigue de inmediato a partir de la definicion de suma y de la manera formal en que usamos la distributividad para definir rnultiplicacion. Para la asociatividad de la rnultiplicacion
Asi, hemos probado el siguiente teorema. Teorema 25.3 Si G es cualquier grupo n~ultiplicativo,entonces (R(G), rrrl unillo.
+, . )
c.s
Xi,
Si nombramos ahora gj al elemento a,g, de R(G) donde ai = 0 para i # j y aj = 1, vemos que st: puede considerar que, de manera natural, (R(G), . ) contiene G como subsistema multiplicative. Asi, si G no es abeliano, R(G) no sera un anillo conmutativo. DefiniciC El anillo R(G) definido antes, es el millo del grupo G sobre R. Si F es un campo, entonces F(G) es el dgebra de grupo de G sobre F.
Ejemplo 255 Demos las tablas de suma y multiplicacion para el algebra de grupo Z,(G), donde G = {e, a ) es ciclico de orden 2. Los elementos de Z,(G) son
Si denotamos estos elementos de la manera obvia y natural por
respectivamente, obtenemos las tablas 25.1 y 25.2. Tabla 25.1
Tabla 25.2
232
ALGUNOS EJEMPLOS NO CONMUTATIVOS
Por ejemplo, para ver que (c + a)(e + a) = 0 tenemos que
( l e + la)(le + la) = ( 1
+ 1)e + ( 1 + l)a = Oe + Oa.
Este ejemplo muestra que un algebra de grupo puede tener divisores de 0. En efecto, usualmente asi sucede.
Hasta ahora no hemos visto un ejemp!o de semicampo. Los cuaterniones de Hamilton son el ejemplo comun de un semicampo; describamoslos. Sea 9 el conjunto R x R x R x R. Ahora, (R x R x R x R, + ) es un grupo bajo la suma por componentes, el producto direct0 de R bajo la suma, por tl mismo, cuatro veces. Esto da la operacibn de suma en 9. Cambiemos el nombre a ciertos elementos de 1. Hagamos
Ademas, acordamos hacer
a , = (a,, O,.,O, O), a2i = (0,a,, 0, O), a j = (0, 0, a,, 0 ) y a4k = (0, 0 , 0, a,). En vista de nuestra definici6n de suma, tenemos
(a,, a,, a3, a,) = a ,
+ a,i + a j + a,k.
Asi,
(a,
+ a,i + a j + a,k) + (6, + b2i + bj + b,k) = = (a, + b,) + (a, + b2)i + (a, + b,)j + (a, + b,)k.
Para definir la multiplicaci6n en 9, comenzamos definiendo
la=al=a
'
-2
-J
a€$,
para
.2 = k 2 =
-1
25.4
CUATERNIONES
233
Notese la analogia con 10s llamados productos cruz de vectores. Estas formulas son faciles de recordar si se piensa en la sucesion
El producto de izquierda a derecha de dos elementos adyacentes es el siguiente a la derecha. El producto de derecha a izquierda de dos elementos adyacentes es el negativo del que les sigue a la izquierda. Entonces, definimos el producto como lo que debe ser, para que se cumplan las leyes distributivas, a saber,
(a,
+ a2i + aj + a4k)(bl + b2i + bj + b4k) = = (a,b, - a2b2 - a3b3- a4b4)+ (alb2 + a2bl + a3b4 - a4b3)i+ + (alb3 - a2b4 + a,b, + a4b2)j+ + (alb4 + a2b3 - a3b2 + a4bl)k.
La verification de que 1 es un semicampo es ahora una tarea tediosa, parte de ella se asigna como ejercicio. Como ij = k y ji = -k, vemos que la multiplicacion no es conmutativa, de mod0 que 1definitivamente no es campo. El unico axioma que no puede verificarse en forma mecanica es la existencia del inverso multiplicative para a = a , + a2i + aj + a4k, donde no todas las ai = 0. El estudiante puede corroborar que (a, + a2i + a j
+ a4k)(al - a2i - a j
-
a4k) = a:
+ at + a: + a:.
Si hacemos
vemos que
es un inverso mdtiplicativo de a. Hemos demostrado el teorema siguiente.
Teorema 25.4 Los cuaterniones 1forman un semicampo bajo la suma y la multiplicacibn. Notese que G = { f 1, +i, fj, + k ) es un grupo de orden 8 bajo la multiplication de cuaterniones. En tkrminos de generadores y relaciones, este grupo esta generado por i y j, donde
234
ALGUNOS EJEMPLOS NO CONMUTATIVOS
Como en el ejemplo 22.5 vimos que G2 con presentacion
es un grupo de orden 8, debemos tener G2 2: G. Esto explica por que el grupo G2 del ejemplo 22.5 se llam6 grupo de cuaterniones. El algebra no es tan rica en semicampos (estrictos) como lo es en campos. Por ejemplo, no hay semicampos finitos (que no sean campos). Este es el contenido de un famoso teorema de Wedderbuq, el cual enunciamos sin demostracion. 'i
Teorema 25.5 ( Wedderburn) Un anilk de divisibn,jinito, es campo.
1 Demostracibn Consultar la literatura para la demostracion del teorema de Wedderburn.
en Mz(Q). *=.2
Mubtrese que
es elemento unitario en M,(F). Describase el elemento unitario en M,(F).
*253 Sea 4 el elemento de Hom((Z x Z, + )) dado en el ejemplo 25.3. Este ejemplo mostro que 4 es un divisor izquierdo de 0. MuCstrese que 4 tambien es un divisor derecho de 0.
* U 4 Sea G = {e, a, b} un grupo ciclico de orden 3 con elemento identidad e. Exribase cada uno de 10s siguientes elementos del algebra de grupo Z5(G)en la forma
+ Ob) + (4e + 2a + 36) + + Ob)(4e + 20 + 36) + + 3b)4
a) (2e + 3a b) (2e 30 c) (3e 3a
*255 Escribanse 10s siguientcs elementos de 2 en la formn rr,
+ rr,i + lrlj + rr,k
para
ui E R.
a) (i + 3j)(4 + 2j - k ) b) izj31ijis c)
(;+./)-I
d) [(I
+ 3i)(4j+ 3k)]-
*25.6 ~Falsoo verdadero? MJF) no tiene divisores de 0 para ninguna n. Todo elemento distinto de cero de M,(Z,) es una unidad. Hom(A) es siempre un anillo con unitario # 0 para todo grupo abeliano A. Hom(A) nunca es un anillo con unitario # 0 para cualquier grupo abeliano A. El subconjunto I.so(A)de Hom(A), formado por 10s isomorfismos de A sobre A es un subanillo de Hom(A) para todo grupo abeliano A. R(
*25.7 MuCstrese que la matriz
en M2(F)no solo es un divisor izquierdo de 0, como se mostr6 en el ejemplo 25.2, sin0 tambikn un divisor derecho de 0. *258
Prutbese la ley distributiva izquierda en M,(F).
*25.9 Mubtrese que M,(F) tiene al menos seis unidades para todo c a m p F. Exhibanse estas unidades. [Sugerencia: F tiene a1 menos dos elementos, 0 y 1.1
+ )) es isomorfo de manera natural a (Z, + , .) y que + )) es isomorfo de manera .natural a (Z,, +, - ). Mubtrese que Hom(
*25.10 MuCstrese que Horn((& Hom((Z,,
*2111
*El2 Con respecto a1 ejemplo 25.4, muCstresc que X Y - Y X = 1. *25.13 Con respecto al grupo S, dado en el ejemplo 4.1, calculese el product0
en el algebra de grupo Z2(S3).
*25.14 Si G = {e), el grupo de un elemento, muestrese que R(G) es isomorfo a R para cualquier anillo R.
236
ALGUNOS EJEMPLOS NO CONMUTATIVOS
Encutntrense dos subconjuntos de 1diferentes de C y diferentes entre ellos, cada uno de 10s cuales es un campo isomorfo a C bajo la suma y multiplicacion inducidas de 1. *25.15
*25.16
Mutstrese, mediante un ejemplo, que una ecuacion polinomial de grado n puede tener mas de n soluciones en un semicampo. [Sugerencia: considtrese it = 2 y el semicam-
Po 2.1 *25.17 Pruebese la ley asociativa para la multiplicacion en 2. (Esto deberia quitarles las ganas de verificar cualquier otro de 10s axiomas de semicampo para 1.) *25.18 Encuentrese el centro del grupo (4*, . ) donde 1*es el conjunto de 10s cuaterniones distintos de cero.
El campo de
cocientes de un
Si un dominio entero es tal quetodo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, entonces es un campo. Sin embargo, muchos dominios enteros, como 10s enteros Z, no forman campo. El dilema no es tan serio. El propbsiio de este capitulo es mostrar que todo dominio entero puede considerarse contenido en cierto campo, el campo de cocientes del dominio enrero. Este campo sera un campo minimal que contiene el dominio entero en el sentido que describiremos. Por ejemplo, 10s enteros estan contenidos en el campo Q, cuyos elementos se pueden expresar como cocientes de enteros. Nuestra construcci6n de un campo de cocientes de un dominio entero es exactamente igual a la construccion de 10s numeros racionales, a partir de 10s enteros, que ya se habra visto en un curso de fundamentos o de dlculo avanzado. Seguir esta construocion hasta el fin es un buen ejercicio para el uso de la definicion y el concept0 de isomorfismo que analizaremos con cierto detalle, aunque escribir, o leerlo hasta el Cltimo detalle seria tedioso. Podemos motivar cada paso por la forma en que se obtiene Q a partir de Z. Recuerdese que las diferentes representaciones de un numero racional como cociente de enteros, fueron la motivacion para el analisis de las relaciones de equivalencia de la seccion 0.31
26.1
LA CONSTRUCCION
Sea D un dominio entero que deseamos agrandar a un campo de cocientes F. Un esbozo a grandes rasgos de 10s pasos a seguir es el siguiente: 1
2
Definir cuales seran 10s elementos de F. Definir en F las operaciones binarias de suma y multiplication.
3 Cornprobar que se curnplan todos 10s axiomas de carnpo, para mostrar que F es un campo bajo estas operaciones. 4 Mostrar que F puede considerarse conteniendo a D corno un subdominio entero.
Los pasos 1.2 y 4 son muy interesantes, el paso 3 es rnuy aburrido. Procedernos a la construccion. PAS0 I
Sea D un dorninio entero dado, formar el product0 cartesiano D x D = ((a. h) ( a. h e D } .
Se asume quc u n par ordenado (N. h) represents un cocier~teforraal alh. esto es, si D = Z el piir (2, 3 ) representar& linalmente. 3. El par (2, 0) no representara ekmento alguno de Q y. tambitn en el caso general, reduciremos un poco D x D . Sea S el subconjunto de D x D dado por
Ahora, S no seri nuestro campo todavia. debido a que con D = Z, pares dlyeren1e.s de enteros. corno (2. 3) y (4. 6) pueden representar a1 r:iismo numero racional. A continuacion delinirernos culindo dos elementos de S representan a1 mismo elemento de F o. corno diremos. cuando dos elernentos en S son equioalentes. Definici6n Dos elementos ((1, h) y (c, d) en S son equivalentes y lo denota((1. h) (c. tl). si y &lo si ad = hc.
rnos por
-
-
Obskrvese que esta definicion es razonable. puesto que el criterio para que (c. d). es una ecuacion trd = hc que involucra elementos de D y la multiplicacion conocida en D . Notese tarnbien, que para D = Z el criterio da la delinicion usual de igircrllnti. por ejemplo. f = 3 porque (2)(6)= (3)(4).El nurnero racional que usualmente denotamos por 3 puede considerarse la coleccion de rcwlos 10s cocientes de enteros que sc reducen a. o son equivalentes a f . ((1.
h)
Lema 26.1 L(; rrlncicir~ tlo.vc.ritci rc~l(r(*icitr lie cqirirtrlerit~i(r.
-
etitrcJ eler~ieritosdel corij~mroS ps lrria
D~~rrrostrric~iliriDebemos comprobar que se cumplen las tres propiedades de relacion de equivalencia. Rqllc.viri(krtl
conmutativa.
((I.
h)
-
-
(11.
h) pues ah = hlr. porque la rnultiplicacion en D es
-
Sirlic~rri(r Si (cr. h) ((.. tl). entonces (re/ = hc. Corno la multiplicacion en D es conrnutativa. deducirnos que (ah = cilr y. portanto. (c. t l ) (a. h).
26.1 LA CONSTRUCCION
-
239
-
Trunsirividud Si (u, h) (c, d) y (c, d) (r, s), entonces ud = he y cs = dr. Usando estas relaciones y el hecho de que la multiplication en D es conmutativa, tenemos que
Ahora, cl # 0 y D es un dominio entero, asi que vale la cancelacion; este es un paso fundamental en el analisis. Por tanto, de usd = hrd obtenemos us = hr de mod0 que (u, h) (r, s). m
-
Vale la pcna comparar la dcmostracion anterior con la del ejemplo 0.1. Los pasos son idcnticos. Sabcmos ahora, en vista del teoremd 0.1, que da una pal-ticion de S en clascs dc equivalcncia. Para evilar colocar -lineas largas sobre expresiones extensas, escribiremos [(a, b)] en lugar de (a, b) para la clasc de equivalencia de (a, 6) en S bajo la relacion -. Terminamos el paso 1 definiendo F como el conjunto de todas las clases de equivalencia [(a, b)] para (a, 6) E S.
-
PAS0 2 El siguiente lema sine para definir suma y multiplicaci6n en F. Deberia corroborarse que si D = Z y [(a, b)] se considera como ( a / b ) ~ Q estas , definiciones aplicadas a Q dan las operaciones usuales. Lema 26.2
Parcl [(a, b)] y [(c,
en F, las ecuaciones
dan operaciones hien defmidas de suma y multiplicacibn en F. Demostracibn Nbtese, primero, que si [(a, 6) y [(c, d)] estan en F, entoncts (a, b) y (c, d) estan en S, de modo que b # 0 y d # 0. Como D es un dominio entero, hd # 0 asi que (ad + hc, bd) y (ac, bd) estin en S. (Nbtese aqui, el uso fundamental que se da a que D no tiene divisores de 0.) Esto muestfa.-que 10s lados y. derechos de las definiciones estin, al:..menos,en F. Nos falta mostrar que estas operaciones de suma y multiplicaci6n estln bien definidas. Esto es, se definieron mediante representantes en S de elementos,de F. Debernos mostrar que si se escogen diferentes representantes en S, resultara el mismo elemento de F. Para ello, supongamos que (a,, b,)~[(a,h)] y (cl, dl ) E [(c, 41. Debemos mostrar que
Ahora bien, (a,, b, ) E [(a, b)] significa que (a,, b, )
- (a, b), esto es,
De manera aniloga, (c,, dl) E [(c, d)] implica que
Multiplicand0 la primera ecuacion por d,d y la segunda por b,b y sumando las ecuaciones resultantes, obtenemos la siguiente ecuacion en D:
Usando diversos axiomas para un dominio entero, vemos que (a,d,
+ h,c,)bd = b,d,(ad + bc),
de mod0 que
con lo cual, (a,d, + b,c,, b,d{),~[(ad + bc, hd)]. Esto por lo que se refiere a la suma en F. Para la multiplication en E; a1 multiplicar las ecuaciones a,b = b,a y cld = dlc, obtenemos
de mod0 que, usando axiomas de D, obtenemos
lo cual implica que
Asi, (a,c,, b,d, ) E [(ac, bd)], lo cual completa la demostracion. w Hay que asegurarse de que se entiende el significado del ultimo lema y la necesidad de probarlo. Esto completa el paso 2. PAS0 3 El paso 3 es bastante aburrido, pero es bueno que se trabajen algunos detalles. La raz6n es que no se podrin trabajar, a menos que se entienda lo que hemos hecho. Trabajar 10s detalles ayudari a comprender esta construcci6n. Esbozaremos lo que debemos probar y probaremos algunas cosas. El resto lo dejamos para 10s ejercicios.
241
26.1 LA CONSTRUCCION
I
La suma en F es conmutativa.
+
Demostracion Ahora, por definicion, [(a,b)] + [(c, d)] es [(ad bc, bd)j. Ademas, [(c,d ) ] + [(a, b)] es, por definicion, [(cb + da, db)]. Necesitamos mostrar que (ad + bc, hd) (cb + da, db). Esto es claro, pues ad bc = cb da y hd = db, por 10s axiomas de D. m
-
+
+
2 La suma es asociativa. 3 [(0, I ) ] es una identidad para la suma en F. 4 [(-a, b)] es un inverso ditivo para [(a, b)] en F. 5 La multiplicaci6n en F es asociativa. 6 La multiplicacion en F es conmutativa. 7 Las leyes distributivas valen en F. 8 [(I, I ) ] es una identidad multiplicativa en F. 9 Si [(a, b)]E F no es la identidad aditiva, entonces a # 0 en D y [(b, a)] es un inverso multiplicativo para [(a,b)]. Demostracibn
Sea [(a,b)] E F. Si a = 0, entonces
de mod0 que
esto es, [(a,b)] = [(0, I ) ] . Pero, por la parte 3, [(0, l ) ] es la identidad aditiva. Asi, si [(a,b)] no es la identidad aditiva en F, tenemos a # 0, de manera que tiene sentido hablar de [(b, a)] en F. Ahora [(a, b)] [(b, a)] = [(ab, ba)]. Pero en D, tenemos que ab = ba o (ab)l = (ba)l,de mod0 que (ab, ba)
-
( 1 , 1).
Asi,
y [ ( I , I ) ] es la identidad multiplicativa, por la parte 8. w Esto completa el paso 3. PAS0 4 Nos falta mostrar que F se puede considerar conteniendo D. Para ello, mostramos que existe un isomorfismo i de D con un subdominio de F. A continuacibn, cambiamos 10s nombres de la imagen de D bajo i usando 10s nombres de 10s elementos de D y habremos terminado. El lema siguiente nos da este isomorfismo.
Lema 26.3 La rransjbrmacicin i : D fismo de D con un subdominio de F.
F dada por ai = [(a, I ) ] es un isomor-
Dernostracion Para a y b en D tenemos (a + b)i = [(a + b, I ) ] . Ademas,
+ (bi) = [(a, I ) ] + [(b, I ) ] = [(a1 + Ib, 111 = [(a + b, I ) ] , de modo que (a + b)i = (ai)+ (bi). Mas aun, (ai)
mientras que
asi, (ab)i= (ai)(bi). Falta mostrar que i es uno a uno. Si ai = bi, entonces
de mod0 que (a, 1 )
-
(6, 1 ) que da a1 = 16, esto es, a = b.
Asi, i es un isomorfismo de D con Di y, por supuesto, Di es, entonces, un subdominio de F. rn Como claramente se cumple en F que [(a,b)] = [(a,1 )-J[ ( I , b)]= [(a, l)]/[(b,I ) ] = =ai/bi, hemos probado el siguiente teorema. Teorema 26.1 Cualquier dorninio entero D pueak agrandarse ( o incrustarse) en un campo F, tal que todo elernento & F puede expresarse corno cociente & dos elernentos & D. (Dicho campo F es un campo & cocientes & D.)
A1 principio dijimos que F podria considerarse, en algun sentido, corno un campo minimal conteniendo D. Esto es bastante obvio, pues todo campo que contiene D debe contener todos 10s elementos alb para toda a, b E D con b # 0.El siguiente teorema mostrara que todo campo que contiene D, contiene un subcampo de cocientes de D y dos campos de cocientes de D son isomorfos.
Teorema 26.2 Sea F un campo de cocientes de D y sea L cualquier campo que contenga D. Entonces, existe una transformacihn $ : F + L que-da un isomor-mo de F con un suhcampo de L tal que a$ = a para a E D.
El diagrama reticular y el de la transformacion en la figura 26.1 pueden ayudar a visualizar la situacion de este teorema.
Dmiostracion
Hgura 26.1 Un elemento de F es de la forma a/,b donde denota el cociente de a E D por h E D considerados como elementos de F. Claramente, deseamos transformar a/,b sobre a/,b donde ,/ denota el cociente dz elementos en L. Esto es tan trivial, que se podria pensar que hay trampa a1 definir la transformacion $, pero lo haremos de cualquier manera. Debemcs definir $ :F -+ L, comenzamos definiendo
4=a
para
a E D.
Toda x E F es un cociente alFb de algunos dos elementos a y b, b # 0, de D. Tratemos de definir $ por (a,'d)$ = (a$)/L(b*)-
Primero debemos mostrar que esta transformacion $ es sensata y esta bien definida. Como $ es la identidad en D, para b # 0 tenemos b$ # 0; asi, nuestra definicion de (a/&)$ como (a$)/,(b$) tiene sentido. Si a/,& = c/& en F, entonces ad = bc en D, de modo que (ad)$ = (bc)$. Pero como $ es la identidad en D, (ad)$ = (a$)(dJI)
Y
(bc)$ = (b$)(c$).
Asi, (a$)/L(b$) = (c$)/L(~JI)
en L, de modo que $ esta bien definida. Las ecuaciones
(xYM Y (X
= (x$)Cv$)
+ .I.)=$.Y$ + y*
244
EL CAMP0 DE COCIENTES DE UN DOMlNlO ENTER0
se siguen facilmente de la definicion de I(/ en F y del hecho de que II/ es la identidad en D . Si (alFh)$ = (clFd)ll/,tenemos
de mod0 que (a*)(d*) = (h*)(c*).
Como II/ es la identidad en D , concluimos que ad = hc, por tantc, alFb = clFd. Asi, II/ es uno a uno. Por definicion, a$ = a para a E D . w Corolario Todo cumpo L que conriene a un dominio entero D , contiene a1 campo de cocientes de D . Demostrucidn En la demostracion del teorema 26.2, todo elemento del subcampo F+ de L es un cociente en L de elementos de D. Corolario Cualesquiera dos campos de cocientes de un dominio entero D son isomorfos. Demoslracion En el teorema 26.2, supbngase que L es un campo de cocientes de D , de mod0 que todo elemento x de L puede expresarse en la forma alLb para a, h E D. Entonces, L es el campo F$ de la demostracion del teorema 26.2 y es, asi, isomorfo a F. w
26.1
Describase el campo F de wcientes del subdominio entero D = {n
+ miin, ~
E Z }
de C. ~Describir))significa dar 10s elementos de C que forman el c a m p de cocientes de D en C.
26.2 Describase (en el sentido del ejercicio 26.1) el c a m p F de cocientes del subdominio ) R. entero D = { n + m f i ~ n ,~ E Z de Muestrese, mediante un ejemplo, que un campo F de cocientes de un subdominio propio D' de un dominio entero D tambien puede ser c a m p de cociente de D.
26.3
fM.4 Pruebese la parte 7 del paso 3. Puede suponerse cualquier parte anterior a1 paso 3. 24.5
~Falsoo verdadero?
- a) Q es un campo de cocientes de 2 . - b) R es un campo de cocientes de 2 . - c) R es un campo de cocientes de R. - d) C es un campo de cocientes de R.
e) Si D es un c a m p , entonces, cualquier c a m p de cocientes de D es isomorfo a D. f) El hecho de que D no tenga divisores de 0 se us6 muchas veces en la construccion de un c a m p F de cocientes del dominio entero D. g) Todo elemento de un dominio entero D es una unidad en un c a m p F de cocientes de D. h) Todo elemento distinto de cero de un dominio entero D es h a unidad en un c a p F de cocientes de D. i) Un campo de cocientes F' de un subdominio D' de un dominio entero D puede considerarse un subcampo de algun c a m p de cocientes de D. j) Todo campo de cocientes de Z es isomorfo a Q. 26.6
Pruekse la parte 2 de: paso 3. Puede suponerse cualquier parte anterior al paso 3.
26.7
Pruebese la parte 3 del paso 3. Puede suponerse cualquier parte anterior al paso 3.
268 PruCbese la parte 4 del paso 3. Puede suponerse cualquier parte anterior al paso 3.
26.9
PruCbese la parte 5 del paso 3. Puede suponerse cualquier parte anterior al paso 3.
26.10 Pruebese la parte 6 del paso 3. Puede suponerse cualquier parte anterior al paso 3. 26.11 Sea R un anillo wnmutativo y T # {0) un subconjunto no vacio de R cerrado bajo la multiplicacibn, sin divisores de 0. Comenzando con R x T y siguiendo exactamente la construcci6n dada en este capitulo, podemos mostrar que se puede agrandar el anillo R hasta un anillo parcial de cocientes Q(R,T). Piensese en ello durante aproximadamente quince minutos; vuklvase sobre la conr;truccion y vkase por que funciona. En particular, mubtrese lo siguiente:
a) Q(R. T ) tiene unitario aunque R no lo tenga. b) En Q(R, T ) todo elemento de T distinto de cero es una unidad. 26.12 Prukbese, a partir del ejercicio 26.11, que todo anillo wnmutativo que contenga algun elemento a que no sea divisor de 3 puede agrandarse hasta un anillo conmutativo con unitario. Compirese con el ejercicio 24.16. 26.13 Con respecto al ejercicio 26.11. icuantos-elementos hay en el anillo Q(Z,, {I, 3))?
26.14 Con respecto a1 ejercicio 26.1 1, describase el anillo Q(Z, {2" 1 n E Z + ) ) describiendo al subanillo de R al cual es isomorfo. 26.15 Con respecto al ejercicio 26.11, describase el anillo Q(32, 16" 1 n E Z + ) ) describiendo el subanillo de R a1 cual es isomorfo. 26.16 Con respecto a1 ejercicio 26.11, sufingase que anulamos la condicion de que T no tiene divisores de cero y d l o se requiere, que el wnjunto no vacio T # (0) sea cerrado bajo la multiplicacion. El intento de agrandar R a un anillo conmutativo unitario, en el cual todo elemento de T distinto de cero sea unidad, puede fallar, si T contiene algun elemento a que sea divisor de 0, pues un divisor de 0 no puede ser, ademas, unidad. iD6nde se encuentra la primera dificultad a1 hacer una construction paralela a la del texto, pero wmenzando con R x T? En particular, para R = Z, y T = {I, 2,4), ilustrese la primera dificultad encontrada. [Sugerencia: esta en el paso 1.1
Nuestro objetivo
Este capitulo esta diseiiado para exponer una perspectiva adecuada de las partes no marcadas con asterisco del resto del libro. No hay ejercicios. Los dos capitulos siguientes tratan temas de la teoria de anillos, analogos a1 material sobre grupos factores y homomorfismos en la teoria de grupos. Sin embargo, nuestro objetivo, a1 desarrollar estos conceptos, es diferente de nuestros objetivos en la teoria de grupos. En la twria de grupos usamos (en parte en las secciones con asterisco) 10s conceptos de grupos factores y homomorfismos para estudiar la estructura de un grupo dado y para determinar 10s t i p s de estructuras de grupo de ciertos brdenes que podrian existir. Disculpandonos con 10s matematicos profesionales, explicaremos ahora, en tirminos conocidos y que se consideran sencillos, nuestro propbsito a1 desarrollar esta construccibn analoga para 10s anillos. Todo el material sin asteriscos del resto del libro estti dedicado a encontrar y estudiar soluciones de ecuaciones polinomiales como
Hablemos por un momento acerca de este objetivo, a la luz de la historia de las matematicas. Comencemos remontandonos a la escuela pitagbrica de matematicas, alrededor del aiio 525 a. de J.C. Los pitagbricos afirmaban, con un fervor casi fanitico, que todas las distancias son conmensurables, esto es, que dadas las distancias a y b, deberia existir una unidad de distancia u y enteros n y m tales que a = (n)(u)y b = (m)(u).Entonces, en tirminos de nCmeros, a1 considerar u como unidad de distancia, sostenian que todos 10s nGmeros son enteros. Esta idea de conmensurabilidad puede reformularse, de acuerdo con nuestro-pensamiento, como la afir-
27 NUESTRO OBJETIVO FUNDAMENTAL
247
maci6n de que todos 10s numeros son racionales, pues si a y b son numeros racionales, entonces cada uno es un multiplo entero del reciproco del minimo comun multiplo de sus denominadores. Por ejemplo, si a = & y b = entonces a = (35)(&) Y b = (76)(&). Obviamente, 10s pitagoricos conocian lo que hoy se llama teorema de Pitagoras, esto es, que para un triangulo rectangulo con catetos de longitud a y b e hipotenusa de longitud c, tenemos que
E,
Tuvieron que admitir tambikn la existencia de la hipotenusa de un triangulo rectangulo con dos catetos de igual longitud, de digamos, una unidad cada uno. Como sabemos, la hipotenusa de dicho triangulo rectangulo tendria longitud $. Imaginen entonces su consternaci6n, desaliento e incluso furia cuando algun miembro de su sociedad -+gun algunas versiones fue el mismo Pitagorasanuncio el penoso hecho que se enuncia, segiin nuestra terminologia, en el teorema siguiente. Teorema 27.1 La ecuacibn x2 = 2 no time solucibn en 10s nljmeros racionales. Por tanto, $ no es un nlimero racional.
Demostracibn Supongase que mln para m, n E Z es un numero racional tal que ( m / t ~=) ~2. Entonces,
donde tanto m2 como 2n2 son enteros. Corno m2 y 2n2 son el mismo entero y como 2 es un factor de 2n2, vemos que 2 debe ser uno de 10s factores de m2. Pero, por ser un cuadrado, m2 tiene como factores 10s mismos de m repetidos dos veces. Asi, m2 debe tener dos factores 2. Entonces, 2n2 tiene dos factores 2, asi que n2 debe tener 2 como factor. Pero, por ser un cuadrado, n2 delx tener dos factores 2. Por lo que 2n2 tiene tres factores 2. Pero entonces, m2 debe tener tres factores 2 y de aqui, por ser cuadrado, debe tener cuatro factores 2. Pero, entonces, 2n2 debe tener a1 menos cuatro factores 2 y ' p r tanto.. . Yendo y viniendo asi de m2 a n2 caemos en una situacion imposible. Hemos demostrado, por contradiccion, que 2 # (m/n)2para m, n~ Z. Se puede hacer la deduction mas concisa y elegante, per0 no estamos de humor para ello. Asi, 10s pitagbricos fueron directo a la cuestibn de la solucibn & m a ecuacibn polinomial, x2 - 2 = 0. Rernitimos a1 estudiante a Shanks [35, capitulo 31 para un animado y absolutamente delicioso relato de este dilema pitag6rico y su importancia en matematicas. En la motivacibn de la definicion de grupo, comentamos la necesidad de tener numeros negativos, para que ecuaciones como x 2 = 0 tuvieran solution.
+
248
NUESTRO OBJETlVO FUNDAMENTAL
La presentacion de 10s numeros negativos c a u d cierta consternacion en algunos circulos lilosoficos. Uno puede imaginar 1 manzana, 2 manzanas y aun de manzana, pero, jcomo es posible seiialar algo y decir que es - 17 manzanas? Por ultimo, considerar la ecuacion xZ + 1 = 0 condujo a la presentacion del numero i. El solo nombre de ccnumero imaginarion dado a i muestra como se le considero. lncluso ahora, este nombre hace que muchos estudiantes vean a i con cierta suspicacia. Los numeros negativos se presentan a tan temprana edad en el desarrollo matematico del alumno, que se aceptan sin cuestionarlos. Hasta aqui la historia. Reiteramos: Las partvs sin asterisco del resto del libro se dedican a encontrar y estudiar soluciones de ccuaciones polinomiales.
Por primera vez vieron polinomios en algebra de secundaria. Ahi, lo primer0 fue aprender a sumar, multiplicar y factorizar polinomios. Desputs, en 10s cursos posteriores de algebra se pus0 un enfasis considerable en resolver ecuaciones polinomiales. Estos seran, precisamente, 10s temas que nos ocuparan. La diferencia esta en que, en la secundaria, solo se consideraban polinomios con coeficientes en 10s numeros reales, mientras que aqui trabajaremos con polinomios cuyos coeficientes forman cualquier campo arbitrario dado. Como ya dijimos, 10s dos capitulos siguientes tratan de anillos hctores y homomorfismos de anillos, material analogo, formalmente, a lo que hemos hecho acerca de grupos factores y homomorfismos de grupo. Ni siquiera se mencionaran 10s polinomios. Desputs, introduciremos polinomios y demostraremos cbmo puede plantearse la idea de resolver una ecuacibn polinomial, en ttrminos del lenguaje de homomorfismos. No se asusten con' la terminologia. Recuerden siempre que: Haremos lo mismo que en algebra de secundaria, pero en un contexto mlis general.
Y despuks, con una facilidad, elegancia, belleza y elaboration asombrosas, w m o estrella brillante que aparece slibitamente en su opaca vida matemhtica, alcanzaremos nuestro Objetivo fundamental: Mostrar que dada cualquier ecuacibn polinomial de grado 2 1, donde 10s coejicientes delpolinomio pueden ser de cualquier campo, existe una solucion de la ecuacion.
Si piensan que todo esto es ridiculo, piensen en la historia. Esta es la culmination de mhs de 2000 aiios de esfuerco matemlitico en el trabajo con ecuaciones polinomiales. Desputs de alcanzar nuestro objetivo fundamental, emplearemos el resto en estudiar la naturaleza de estas soluciones de ecuaciones polinomiales. Insistimos en que no deben tener miedo a1 estudiar este material. Trataremos temas conocidos de algebra de secundaria. Este trabajo deberia parecerles mucho mlis natural que la teoria de grupos.
27 NUESTRO OBJETIVO FUNDAMENTAL
249
Para concluir, seiialamos que esta maquinaria de anillos factores y homomorfismos de anillos no es estrictamente necesaria para alcanzar nuestro objetivo jiundamental. Para una dernostracion directa, vtase Artin [26, pig. 291. Sinembargo, 10s anillos factores y 10s homomorfismos de anillos son ideas basicas que el lector deberia comprender, y nuestro objetivo jiundamental se desprendera facilmente una vez que las dominen. Ademas, usaremos eficazmente estos conceptos en el estudio de las propiedades de soluciones de ecuaciones polinomiales.
Anlllos cocientes
El capitulo comienza con el estudio de anillos analog0 a1 material acerca de grupos de 10s capitulos 11, 12 y 13, sobre grupos factores y homomorfismos. Como ( R , ) es un grupo para todo anillo R, de hecho, ( R , ) es un grupo abeliano, la parte aditiva de esta teoria ya esta hecha. Solo debemos ocuparnos de sus aspectos multiplicativos. Para hacer que la analogia con la situation para grupos sea lo mas clara posible, desarrollaremos esta teoria de acuerdo con el mismo plan que usamos para grupos. Asi, daremos otra oportunidad para dominarla. Sea R un anillo. Nos ocupamos del estudio de una particion de R en subconjuntos ajenos o celdas, tal que estas celdas puedan considerarse elementos en un anillo donde ambas operaciones de suma y rnultiplicacion de celdas son operaciones inducidas de R. Esto es, deseamos definir ambas operaciones, escogiendo representantes de las oeldas, sumar o multiplicar, en R, estos representantes y &finir suma o el producto de celdas, como la celda donde se halle la suma o producto de 10s representantes. Ambas operaciones deben estar bien definidas, esto es, ser independientes de la seleccion de representantes.de las celdas.
+
+
Teocem 28.1 (AntUogo &l teorema 11.1) Si un anillo R se puede partir en celdar con las dos operaciones inducidas descritas arriba bien defmidas, y si las celdar forman un anillo bajo estas operaciones inducidas, entonces la celda que contiene la identidad aditiva 0 de R debe ser un subgrupo aditivo N del grupo aditivo ( R , +). Ademris, N debe tener la propiedad adicional de que para t o a h las r E R y n E N, tanto rn E N, como nr E N. Expresamos esta liltima condicihn como rN c N y Nr c N.
28.2 EXISTENCIA DE U N ANILLO DE CLASES LATERALES
251
Demostracion Considerando (R, +) como grupo bajo la suma, sabemos, del teorema 1 1.1, que N debe ser un subgrupo aditivo de (R, ). En efecto, sabemos, del trabajo posterior a1 teorema 1 1.1, que N debe ser un subgrupo aditivo normal de (R, +), pero como la suma en R es conmutativa, todo subgrupo aditivo de (R, + ) es normal en (R, + ). S61o necesitamos mostrar que para r E R tenemos rN E N y Nr E N. Sea r E R. Ahora bien, r esta en alguna celda A E R y, por la hip6tesis de que la multiplicaci6n inducida de celdas esta bien definida, podemos calcular 10s productos AN y NA escogiendo cualesquiera representantes. Escojamos r e A y 0 E N . Entonces, AN y NA son las celdas que contienen a rO = Or = 0, esto es, AN = NA = N. Por tanto, para todos 10s representantes n E N tenemos rn E N y nrEEr.
+
28.2
CRITERIOS PARA LA MISTENCIA DE UN ANILLO DE CLASES LATERALES
Teorema 28.2 (Andogo &I teorema 11.2) Si un anillo R se puede parrir en celdas con ambas operaciones inducidas bien definidas y formando anillos, enronces las celdas deben ser preckamenre las clmes larerales izquierdas ( y tarnbikn las derechas) con respecto a la sznna del subgrupo aditivo (N, + ) de ( R , ) donde N es la celda que contiene 0.
+
Demostracibn La demostracibn del teorema 28.2 es inmediata a partir del teorema 11.2, si consideramos s610 (R, + ) como un grupo aditivo y nos olvidamos de la multiplicaci6n. Claramente, tambitn se cumple aqui el teorema 11.3, esto es, estas clases laterales son ajenas. Como la suma es conmutativa, la clase lateral izquierda r + N es la misma que la clase lateral derecha N + r.
+
Lcma 28.1 (Ancilogo &l &ma 12.1) Si (N, ) es un subgrupo aditivo de ( R , ) para un anillo R y si las operaciones inducidas de suma y mulriplicacibn de clases laterales r N para r E R e s t h bien e n i d a s , esto es, son independientes de la seleccibn de representantes, entonces, la coleccibn de esras clases laterales r + N es un anillo bajo estas operaciones inducidas de clases laterales.
+
+
Demostracibn El lema 12.1 muestra que las clases laterales forman grupo bajo la suma inducida. Los axiomas de anillo que incluyen la multiplicaci6n se cumplen, puesto que tambitn calculamos 10s productos escogiendo representantes y porque 10s axiomas de anillos valen en R Por ejemplo, la ley distributiva izquierda
252
ANILLOS COCIENTES E IDEALES
se sigue, cuando escogemos a ri E (ri + N ) como representantes y observamos que el requisito
es cierto, pues r,(r, + r,) = (r,r, + r l r 3 ) por la ley distributiva izquierda en R. La otra ley distributiva y la ley asociativa para la multiplicacion resultan de manera analoga. m Teorema 28.3 (Analogo del teorema 12.1) S i ( N , + ) es un suhgrupo aditiuo del grupo adirit~o( R , ) de un anillo R, entonces las operaciones de suma y multiplicaci6n inducida esthn, ambas, bien definidas en las clases laterales r + N p a r a r ~ R s yis o f o s i r N ~N y N r E Nparn t o d a s l a s r ~ R .
+
Demostracidn El hecho de que, si las operaciones estan bien definidas, entonces rN c N y Nr G N resulta inmediatamente del lema 28.1 y del teorema 28.1. Supongase que ( N , +) es un subgrupo aditivo de ( R , +) tal que para todas las r E R tenemos rN c N y Nr c N. Por el teorema 12.1 aplicado al subgrupo ( N , + ) de ( R , + ), la suma de clases laterales esta bien definida. Para la multiplicacion, debemos mostrar que un product0 ( r , + N ) ( r , + N ) , calculado mediante la selection de representantes, esta bien definido. No se pierde generalidad al tomar, como dos representantes de r, + N , al elemento r , mismo y a r , + n , para n , E N . Analogamente, Sean r, y r, + n , dos elementos de r, N. Debemos mostrar que ( r , + n,)(r, + n,) esta en la misma clase lateral r,r, + N que r,r,. Ahora, por las leyes distributivas en R ,
+
La hipotesis de que rN E N y Nr G N implica que r,n, E N y que n,r2 E N . Considerando r , como elemento de R , tenemos que rr,n2 E ~ , Ny n , N c N , de mod0 que tambitn n,n, E N . Entonces, como ( N , + ) es un subgrupo aditivo de ( R , +), vemos que (n1r2+ r,n, n , n , ) ~N , de mod0 que ( r , n , ) ( r , n , ) ~ ( r , r , N).
+
+
+
+
+
Es claro ahora que estos subgrupos aditivos particulares ( N , + ) de un anillo R que tengan la propiedad de que rN E N y Nr c_ N para toda's las r E R desempeiiaran un papel de fundamental importancia en la teoria de anillos, analogo al papel de un subgrupo normal en un grupo. Notese que las condiciones rN _c N y Nr c N implican, en particular para r E N , que N es cerrado bajo la multiplicacion de R. Asi, podemos considerar N , con la suma y multiplicacion inducida de R, como un subanillo de R. Sin embargo, no todo subanillo de todo anillo R satisface las condiciones rN E N y Nr E N. ejemplo, Q I R, pero nQ $ Q.
or
253
28.3 IDEALES Y ANILLOS COCIENTES
28.3
IDEALES Y ANILLOS COCIENTES
Definicion (Anhlogo de la definici6n de un subgrupo normal) Un subgrupo aditivo ( N , + ) de un anillo R que satisface rN c N y Nr E N para todas las r E R es un ideal (o un ideal bilateral) de R. Un subgrupo ( N , ) de R que satisface r N G N para todas las r E R es un ideal izquierdo de R y uno que satisface ,Vr E N para todas las r E R es un ideal derecho de R.
+
Cuando nos referirnos a un ideal, siernpre lo supondremos un ideal bilateral. Los ideales izquierdos o derechos que no Sean bilaterales no nos interesan. Reiterarnos: Un ideal es a un anillo lo que un subgrupo normal es a un grupo. Si N es un ideal en un anillo R, entonces, el anillo de las clases laterales r + N bajo las operaciones inducidas es el anillo cociente, o el anillo factor, o el anillo & las clases residuales de R modulo N, y se denota por RIN. Las clases laterales son las clases residzrales modulo N. Definicion (Anhlogo de la definici6n de grupo factor)
Ejernplo 28.1 Considerese el anillo Z . Los unicos subgrupos aditivos de ( Z , + ) son. corno hemos visto, 10s subgrupos nZ. Clararnente, si r es cualquier entero y 171 E I I Z , entonces rm = mr es, de nuevo, un rnultiplo de 11. esto es, si nr = 11s. entonces, rm = mr = n(sr) y n(sr) E nZ. Asi, nZ es un ideal y las clases laterales a nZ de H Z forman un anillo Z / n Z bajo las operaciones inducidas de surna y rnultiplicacion. rn
+
En el ejemplo 23.2, delinirnos para a y b en Z,, el producto ab modulo n corno el residuo cuando se divide entre n el producto usual de a y b en Z . La transformacion 4 : Z , -+ Z / n Z dada por
clararnente es una transforrnacion uno a uno y sobre, tal que (a + b ) 4 = a 4 + 6 4 y (ah)4 = (a4)(b4). Entonces, Z , bajo la surna y la rnultiplicaci6n modulo n, puede verse corno Z / n Z con diferentes nornbres y, por tanto, es un anillo bajo esta surna y rnultiplicacion. Usarnos este hecho en las secciones anteriores, con el comentario de que se justificaria mas adelante en una situacion general. Esta es Iu just$cacion. Con frecuencia, identificamos Z / n Z con Z , mediante este isornorfisrno 4, el cual es un isomorfisrno natural o canonico. Ejernplo 28.2 Como se rnostro en el corolario el teorerna 24.4, Z,, que es isornorfo a Z / p Z , es un carnpo para un p primo. Asi, un anillo cociente de un dominio entero puede ser campo. Diremos mas acerca de esto en el capitulo siguiente.
-
-
Ejemplo 28.3 Se ve facilmente que el subconjunto N = ( 0 , 3) de Z , es un ideal de Z , y Z,/N tiene tres elementos, 0 + N, I + N y 2 + N. Es obvioque se suman y multiplican de manera tal que se tiene que Z,/N Z , bajo la correspondencia
(0 + N)+-+O, ( I Ejemplo 28.4
+ N)-
1,
(2 + N)++2. w
,.>
.
\5
El anillo Z x Z no es un dominio entero, pues
muestra que (0, I ) y ( 1 . 0 ) son divisores de 0 . Si N = ( ( 0 , n) 1 n E Z ) es claro que N es un ideal de Z x Z y que ( Z x Z ) / N es isomorfo a Z bajo la correspondencia [(m, 0 ) + N l - m, las clsses residuales son de la forma (m, 0 ) + IV, donde m E Z. Asi, un anillwnciente dc un anillo puede ser un dominio entero, aunque el anillo original no 10 .sea. Diremos mas acerca de esto en la siguiente seccion. w Los ejemplo anteriores seiialan la gran importancia de 10s conceptos de ideales y de anillos cocientes. Todo anillo R tiene dos ideales, el ideal impropio R y el ideal trivial ( 0 ) . Para estos ideales, 10s anillos factores son RIR, que tiene un solo elemento y R/{O}, el cual es claramente isomorfo a R. Estos casos no son interesantes. Igual que para un subgrupo de un grupo, un ideal no trivial propio de un anillo R es un ideal N de R tal que N # R y N # ( 0 ) . Mientras que 10s anillos cocientes de anillos y 10s dominios enteros pueden ser de gran interes, como lo indican 10s ejemplos anteriores, el corolario del siguiente y ultimo teorema de esta seccion, muestra que un anillo cociente de un campo no tiene mayor utilidad. Teorema 28.4 Si R es un anillo con unitario y N es un ideal de R que contiene una unidad, entonces N = R.
Demostracion Sea N un ideal de R, supongase que u E N para alguna unidad u en R. Entonces, la condicion rN G N para todas las r E R implica, si tomamos r = u-' y u E N, que 1 = u-' esta en N. Pero entonces, r N c_ N, para todas las r E R, implica que rl = r esta en N para todas las r E R, de mod0 que N = R. Corolario
Un campo no contiene ideales propios no trioiales.
Demostracibn Como todo elemento distinto de cero de un campo es una unidad, se sigue del teorema 28.4, que un ideal de un campo F es {O} o todo F.
Ejerclclos -28.1 Encuentrense todos 10s ideales N de Z,,.En cada caso, calculese Z,,/N, esto es, encuentrese un anillo conocido al cual sea isomorfo el anillo cociente.
28.2 Dense las tablas de suma y multiplicacion para 22/82. iSon anillos isomorfos 22/82 y Z,? 28.3 Encuentrese un subanillo del anillo Z x Z que no sea un ideal de Z x Z. '28.4 Se pide a un estudiante que pruebe que un anillo cociente de un anillo R modulo un ideal N es conmutativo si y solo si ( r s - s r ) E N para todas las r , S E R. El estudiante comienza: Suponpase que R / N es conmutativo. Entonces,
rs = sr
para todas las
r, s E R/N.
a) iPor que el profesor que lea esto espera encontrar tonterias de aqui en adelante? b) iQue deberia haber escrito el estudiante? Pruebese la afirmacion. (Notese el ccsi y solo si)).) C)
28.5 ~ F ~ I oS verdadero? O Q es un ideal en R. Todo ideal de un anillo es un subanillo del anillo. Todo subanillo de un anillo es un ideal del anillo. Todo anillo cociente de un anillo conmutativo es, de nuevo, un anillo conmutativo. Los anillos 2/42 y Z, son isomorfos. Un ideal N en un anillo con unitario R es todo R si y solo si 1 E N . El concepto de ideal es al concepto de anillo lo que el concepto de subgrupo normal es al concepto de grupo. Z, es un ideal de 42. Si un anillo R tiene divisores de 0, entonces todo anillo cociente de R tiene divisores de 0. Z es un ideal en Q.
28.6 Muestrese que un anillo factor de un campo es el anillo trivial de un elemento o es isomorfo al campo. 28.7 Muistrese que si R es un anillo con unitario y N es un ideal de R tal que N # R. entonces R / N es un anillo con unitario # 0. 28.8 Sea R un anillo conmutativo y sea a E R. Muestrese que I, ideal de R.
=
{x E R I a x = 0) es un
28.9 Muestrese que la interseccion de ideales de un anillo R es, de nuevo, un ideal de R. 28.10 Determinense todos 10s ideales de Z x Z. 28.1 1 Un elemento a de un anillo R es nilpotente si d = 0 para algun n E Z'. Muestrese que la coleccion de todos 10s elementos nilpotentes en un anillo conmutativo R es un ideal, el radical de R. 28.12 Con referencia a la definition dada en el ejercicio 28.11, encuentrese el radical del anillo Z,, y observese que es uno de 10s ideales de Z,, encontrados en el ejercicio 28.1. iCual es el radical de Z?, ide Z,,? 28.13 Con referencia al ejercicio 28.11, muestrese que si N es el radical de un anillo conmutativo R, entonces R I N tiene como radical el ideal trivial'(0 + N ) .
Sea R un anillo conmutativo y N in ideal de R. Con referencia al ejercicio 28.1 1, mutstrese que si todo elemento de N es nilpotente y el radical de RIN es RIN, entonces el radical de R es R. 28.14
fi
Sea R un anillo conmutativo y N un ideal de R. Mutstrese que el conjunto de todas las U E R tales que d E N para alguna n~ Z' es un ideal de R, el radical de N. iEs consistente esta terminologia con la del ejercicio 28.1 I? b 28.15
Con referencia al ejercicio 28.15, mutstrese, mediante ejemplos, que para ideales propios N de un anillo conmutativo R,
28.16
f i no necesariamente es igual a N. b) fi puede ser igual a N. 2817 iCuil es la relacibn del ideal fi del ejercicio 28.15, con el radical RIN (vease el a)
ejercicio 28.1 I)? Formulese cuidadosamente la respuesta. Hay una especie de aritmktica dc ideales en un aniIIo conmurarivo. Los tres ejercicios siguientes defir--.ti suma, producto y cociente de ideales. -
28.18
Si A y B son ideales de un anillo R, la suma A
a) Mutstrese que A 28.19
+ B es un ideal.
+ B de A y
B se define por
b) Mutstrese que A G A
+ B y B G A + B.
Sean A y B ideales de un anillo R. El producto AB de A y B se define por
a) Muestrese que AB es un ideal de R.
b) Muestrese que AB
G ( A n B).
Sean A y B ideales de un anillo conmutativo R. El cociente A : B de A por B se define por
28.20
Muestrese que A : B es un ideal de R. *28.21
Muestrese que, para un campo F, el conjunto de todas las matrices de la forma
para a, b E F es un ideal derecho, pero no un ideal izquierdo de M,(F). *28.22 MuCstrese que el anillo de matrices M2(Z2)es un anillo simple, esto es, M2(Z2)no tiene ideales propios no triviales.
Nuestro analisis de 10s homomorfismos de anillos se mantendra paralelo a1 del capitulo 13 sobre homomorfrsmos de grupos. Definici6n (Anhlogo de la definici6n de homomorfismo de grupo) Una trans-
formation 4 de un anillo R en un anillo R' es un homomorfismo si
para todos 10s elementos a y b en R. Teorema 29.1 (Analogo del teorema 13.1) Si N es un ideal de un anillo R, entonces la transformacibn canbnica y : R -+ R / N dada por ay = a + N para a E R es un homomorfismo. Demostracion El teorema 13.1 aplicado a (R, (N, ), un subgrupo normal, muestra que
+
(a
Ademas.
+ b)y = ay + by.
+ ) como
grupo aditivo con
Definicibn (Antilogo de la definicibn del kernel de un homomorfismo de grupo) El kernel de un homomor/ismo 4 de un anillo R en un anillo R' es el conjunto de todos 10s elementos de R que van a dar a la identidad 0' de R' bajo 4. Teorema 29.2 (Analogo del teorema 13.2) Sea 4 un homomorfismo de un anillo R en un anillo R'. Si 0 es la identidad aditiva en R, entonces 0 4 = 0' es la identidad aditiva en R' y si a E R Pntonces ( - a ) 4 = -(a+). Si S es un suhanillo de R, entonces, S 4 es un suhanillo de R', y S ideal de R implica que S 4 es ideal de R4. Ahora, en el otro sentido, si S f es un subanillo de R', enloncgs S ' 4 - PS un suhanillo de R y S' ideal de R4 implica que S'4-' es un ideal de-R. P& rillitno, si R iiear tlnitario 1 y 14 # 0' entonces, 14 = 1' es uni~uriopara R4. Dicho en jorma breve, hajo un homomnrfisnro de anillos, suhanillos van a dar a subanillos, ideales a ideales y anillos con unilario a anillos con unitario. Demosrracirin Sea 4 un homomorfismo de un anillo R en un anillo R'. Como, en particular, 4 puede verse como un homomorfismo de grupo de ( R , + ) en ( R ' , +'), el teorema 13.2 dice que 0 4 = 0' es la identidad aditiva de R' y que
(-44
= - (4).
El teorema 13.2 tambien dice que si S es un subanillo de R, entonces, considerando el grupo aditivo ( S , + ) encontramos que ( S 4 , +') es un subgrupo de ( R ' , +'). Si s14 y s24 son dos elementos de S 4 entonces,
y ( . F ~ Es S~4 ), de ~ mod0 que S 4 es cerrado bajo la rnultiplicacion, y es, entonces, un subanillo de R'. Si S es un ideal de R, entonces, para .r G S y r E R tenemos
y (sr)4E S4. Asi, S 4 es un ideal en R4. Ahora, en la otra direccion, de nuevo el teorema 13.2 muestra que si S f es un subanillo de R', entonces ( S 1 4 - ' , + ) es un subgrupo de ( R , +). Si a4 E S' y hr$ E S', entonces
y [(ad)(h4)]E S' de mod0 que S'4-I es cerrado bajo la rnultiplicacion y es, entonces, un subanillo de R. Si S f es un ideal de R 4 entonces, para a E S'4-I y cualquier r E R tenemos
29.2 IDEALES MAAIMALES Y PRIMOS
y [(rb)(o4)] E St, de mod0 que raE S ' 4 - ' . En forma analoga, ar E S ' 4 S ' 4 - es un ideal de R. Por ultimo, si R tiene unitario 1, entonces, para toda r E R,
'
259
'. Asi,
de mod0 que 1 ' = Id es una identidad multiplicativa para Rd. Si 1' # 0', entonces 1 ' es unitario para R4. rn En el teorema 29.2 es importante notar que si 4 : R -+ R' es un homomorfismo de anillo y A es un ideal de R, entonces, A 4 no necesariamente es un ideal de R' sino solo un ideal de R4. Por ejemplo, sea 4 :Z -, Z x Z definida por n 4 = (n, n). Ahora bien, 2 2 es un ideal de Z. Sin embargo, ( 2 Z ) 4 = {(2n,2n) ( n E Z ) no es un ideal de Z x Z puesto que ( I , 2)(4,4) (4, 8 ) 4 (2Z)4. El teorema 29.2 muestra, en particular, -que para un homomorfismo 4 : R -, R' el kernel K = {O1}4-'es un ideal de R.
-
Teorema 29.3 (Teorema fundamental del homomorfismo, analogo del teorema 13.3) Sea 4 un homomor/ismo de un anillo R en un anillo R' con kernel K. Entonces, R 4 es un anillo y e.riste un isomorfismo canonico de R 4 con R/K. Drmostracion El teorema 29.2 muestra que R4 es un anillo. Sea (a + K) E R/K, definase la transformation $ : R/K -, R 4 por
El teorema 13.3 muestra que I(/ esta bien definida, es uno a uno y sobre, con
[(a + K) + (b + K)]$ = (a + K)$
+ (b + K)$.
Ahora bien,
[(a + K)(b + K)1$
= (ab +
K)$ = (ah14 = (ad)(b4) = [(a + K)$1 [(b + K)*1.
Asi, $ es un homomorfismo de anillo. De nuevo, $ es canonico en el sentido de que si y : R cion canonica, entonces 4 = y$. rn
29.2
-, R/K
es la transforma-
IDEALES MAXIMALES Y PRIMOS
Estudiaremos ahora la cuestion de cuando un anillo cociente de un anillo es un campo y cuando es un dominio entero. La analogia con grupos en el capitulo 13 puede ampliarse un poco mas, para cubrir el caso en el cual el anillo cociente es un campo.
Definicibn (Analogo de la definicibn de subgrupo normal maximal) Un ideal maximal de un anillo R es un ideal A f diferente de R tal que-no existe ningun
ideal propio N de R que contenga propiamente a M. Teorema 29.4 (Analogo del teorema 13.4) Sea R un anillo conmutativo
unitario. Entonces, M es un ideal maximal de R si y solo si RIM es un canipo. Demostracion Supongase que M es un ideal maximal en R. Es facil observar que si R es un anillo conmutativo con unitario, entonces RIM tambien es un anillo conmutativo con unitario cuando M # R , lo cual sucede si M es maximal. Sea (a M)E RIM, con a $ M, de mod0 que a + M no es la identidad aditiva de RIM. Debemos mostrar que a + M tiene inverso rnultiplicativo en RIM. Sea
+
N
=
{ra
+ m l r ~ R ,EM).
Entonces, ( N , + ) es un grupo, pues
(r,a
+ m , ) + (r,a + m,) = ( r , + r2)a + ( m , + m,),
y, claramente, lo ultimo esta en N, ademas,
Ahora.
+
muestra que r,(ra m ) E N para rl E R y, como R es un anillo conmutativo tambitn, (ra + m)r, E N. Asi, N es un ideal. Pero,
muestra que a E N y para m E M, y
muestra que M r N. De aqui, N es un ideal de R que contiene propiamente M, pues a E N y a $ M. Como M es maximal, debemos tener N = R. En particular, 1 E N. Entonces, por definition de N, existe b E R y m E M tal que 1 = ba + m. Por tanto,
+ M = ba + M = ( b + M)(a + M ) , de mod0 que b + M es un inverso multiplicativo de a + M. 1
Reciprocamente, supongase que RIM es un campo. Por el teorema 29.2, si N es cualquier ideal de R, tal que M c N c R y 7 es el homomorfismo canonico de
R sobre RIM, entonces Ny es un ideal de RIM con {(O + M ) } c Ny c RIM, contrario a1 corolario del teorema 28.4, el cual alirma que el campo R I M no contiene ideales no triviales propios. De aqui que si RIM es campo, M es maximal. H Corolario Un anillo conmutativo con unitario es un campo si y solo si no contiene ideales propios no triviales. Demostracion El corolario del teorema 28.4 muestra que un campo no tiene ideales propios no triviales. Reciprocamente, si un anillo conmutativo R con unitario no tiene ideales propios no triviales, entonces {Of es un ideal maximal y, por el teorema 29.4, R/{Of, el cual es isomorfo a R, es un campo. H
Pasamos ahora a la cuestion de la caracterizacion de 10s ideales N # R para un anillo conmutativo R con unitario, tal que RIN es un dominio entero. Aqui, la respuesta es bastante obvia. El anillo factor RIN sera un dominio entero si y so10 si (a N ) ( b + N ) = N implica que
+
a+N=N
oque
h+N=N.
Esto equivale a la proposicion de que RIN no tiene divisores de 0, puesto que la clase lateral N desempeiia el papel de 0 en RIN. Observando 10s representantes, vemos que esta condicion equivale a decir que ah E N implica que a E N o h E N.
-
Ejemplo 29.1 Los ideales de Z son de la forma nZ. Hemos visto que Z / n Z Z, y que Z , es un dominio entero si y solo si n es primo. Asi, 10s ideales n Z tales que ZlnZ es un dominio entero, son de la forma pZ, donde p es primo. Es claro que Z / p Z es, en realidad, un campo, de mod0 que pZ es un ideal maximal de Z . Notese que para que un product0 rs de enteros estk en pZ, el primo p debe dividir r o s. El papel que desempeiian en este ejemplo, 10s enteros primos hacen que el uso de la palabra primo en la siguiente definition sea razonable. B
Definici6n Un ideal N # R en un anillo conmutativo R es un idealprimo si ah E N implica que a E N o b E N para todas las a, b E R. Las observaciones anteriores a1 ejemplo 29.1 constituyen una demostracion del siguiente teorema. Teorerna 29.5 Sea R un anillo conmutativo con unitario y sea N # R un ideal en R. Entonces RIN es un dominio entero si y solo si N es un ideal primo en R. Corolario Todo ideal maximal en un anillo conmutativo R con unitario, es un ideal primo. Demostracidn Si M es maximal en R, entonces RIM es un campo, por tanto, un dominio entero y, por el teorema 29.5, M es un ideal prima. H
El material presentado, en lo que respecta a ideales maximales y primos, es muy importante y se usara a menudo. Deberan recordarse las ideas principales, aunque se hayan perdido en la fascinante demostracibn del teorema 29.4. Esto es, hay que saber y entender las definiciones de ideales maximales y primos y deben recordarse 10s siguientes hechos, que ya demostramos. Para un anillo conmutativo con unitario:
1 U n ideal M de R es maximal si y sblo si RIM es campo. 2 Un ideal N de R es primo si y s61o si RIN es un dominio entero. 3 Todo ideal maximal de R es un ideal primo.
+ +. -+
Sea R cualquier anillo con unitario 1. Recutrdese que n . 1 significa 1 1 . 1 con n sumandos para n > 0, y (- 1) + (- 1) + ... + (- 1) para In( sumandos para n < 0, mientras que n . 1 = 0 para n = 0. Teorerna 29.6 Si R es un anillo con unitario 1, entonces la transfirmacion dada por
4 :Z + R
para n E Z es un homomorfjsmo de Z en R. Demostracibn
Es obvio que
La ley distributiva en R muestra que (1+1+...+1)(1+1+...+
l)=(l+ l+...+l)
.
z-"-L
n sumandos
m sumandos
nm sumandos
Asi, (n l ) ( m . 1 ) = (nm) - 1 para n, m 0. Argumentos similares, usando las leyes distributivas, muestran que para todo n, m E Z tenemos
Asi, (nm)q5 = (nm) I = (n . l)(m . 1) = (nd)(mq5). m
Corolario Si R es un anillo con unitario y caracteristica n > 1, entonces R contiene un suhanillo isomot-fo a Z,. Si R tiene caracteristica 0, entonces R contiene un suhanillo isomorfo a Z . Demostraci6n Por el teorema 29.6, la transformacion q 5 : Z -+ R dada por mq5 = m . l para m E Z es un homomorfismo. El kernel debe ser un ideal en Z . Todos 10s ideales en Z son de la forma sZ para alguna s E Z . Por el teorema 24.5, es claro que si R tiene caracteristica n > 0, entonces el kernel de q5 es n Z . Entonces, la imagen Z 4 I R es isomorfa a Z l n Z 2: Z,. Si la caracteristica de R es 0,entonces m . 1 # 0 para todas las m # 0, de mod0 que el kernel de 4 es {O}. Asi, la imagen Zq5 I R es isomorfa a Z . H
Teorema 29.7 U n campo F, o es de caracteristica p, p un primo y contiene un suhcampo isomorfo a Z,, o es de caracteristica 0 y contiene un subcampo isomorfo a Q.
Si la caracteristica de F no es 0,el corolario anterior muestra que F contiene un subanillo isomorfo a Z,. Entonces, n debe ser alglin prirno p o F tendria divisores de 0. Si F es de caracteristica 0,entonces F debe contener un subanillo isomorfo a Z . En este caso, 10s corolarios del teorema 26.2 muestran que F debe contener algun campo de cocientes de este subanillo y que este campo de cocientes debe ser isomorfo a Q. H Demostraci6n
Asi, todo campo contiene un subcampo isomorfo a Z , para algun primo p o un subcampo isomorfo a Q. Estos campos Z , y Q son las piezas constitutivas fundamentales en las cuales descansan todos 10s campos. Definicibn Los campos Z , y Q son campos primos.
29.1 Describanse todos 10s homomorfismos de anillo de Z en Z. [Sugermcia: por la teoria de grupos, un homomorfismo de un anillo R esta determinado por sus valores en un conjunto generador aditivo del grupo (R, ). Describanse 10s homomorfismos, dando sus valores en el generador I de (Z, + ).]
+
29.2 Describanse todos 10s homornorfismos de anillos de Z x Z en Z. [Vease la sugerencia del ejercicio 29.1.1 29.3 Dtse un ejemplo de un homomorfismo de anillo 1, y 1,4 # 0 pero donde I& no sea unitario en S. 29.4
4 : R + S donde
R tiene unitario
Encuentrense todos 10s ideales primos y todos 10s ideales maximales de Z , ,.
295 Encuentrese un ideal maximal de Z x Z. Encuentrese un ideal primo de Z x Z que no sea maximal. Encuentrese un ideal propio de Z x Z quc no sea prirno.
'29.6 Pruebese, directamente de las definicionesde ideal maximal y primo, que todo ideal maximal de un anillo conmutativo R con unitario, es un ideal primo. [Sugerenria: supongase que M es maximal en R, a h E M y a # M. Considerese el ideal de R generado por a y
M.1 29.7
iFalso o verdadero? El concept0 de homomorfismo de anillo esta intimamente relacionado con la idea de anillo factor. Un homomorfismo es a un anillo lo que un isomorfismo es a un grupo. Un homomorfismo de anillo es una transforrnacion uno a uno si y solo si el kernel es 0. En cierto sentido, un campo es a la teoria de anillos conmutativos con unitario, lo que un grupo simple es a la teoria de grupos. El kernel de un homomorfismo de anillo es un ideal de todo el anillo. Todo ideal primo de todo anillo conmutativo con unitario es un ideal maximal. Todo ideal maximal de todo anillo conmutativo con unitario es un ideal primo. Q es su propio subcampo primo. El subcampo primo de C es R. Todo campo contiene un campo primo como subcampo.
29.8 Describanse todos 10s homomorfismos de anillo de Z sugerencia del ejercicio 29.1 .] 29.9
x
Z en Z
=
%. f l . . .a
Muestrese que cada homomorfismo de un campo es uno a uno o tr:~~-:-f;)rma todo
en 0. Mutstrese que si R, R' y R" son anillos y si 4 : R -+ R' y I(,: R' -, K son homomorfismos, entonces la funcion compuesta &,b:R + R" es un homomorfismo. (Usese el ejercicio 13.14.) 29.10
Sea R un anillo no conmutativo con unitario, de caracteristica p. p un primo. Mutstrese que la transforrnacion 4,: R + R dada por a 4 = aP es un homc?morfismo(el hornornorfisrno de Frobenius). 29.11
29.12
Sean R y S anillos y sea 4 : R -+ S un homomorfismo de anillo tal que R4 # { O ) . Muestrese que si R tiene unitario 1, y S no tiene divisores de 0,entonces l R 4es unitario para S.
29.13 Muestrese que N es un ideal maximal en un anillo R si y solo si RIN es un anillo simple, esro es, no tiene ideales propios no triviales. (Comparese con el teorema 13.4.)
El corolario del teorema 29.6 nos dice que todo anillo unitario conriene un subanillo isomorfo a Z o a algun Z,. iEs posible que un anillo unitario pueda contener simultaneamente dos subanillos isomorfos a Z , y Z , para n # m? $S posible que un anillo unitario pueda contener simultlneamente dos subanillos isomorfos a 10s campos Z p y Z, para dos primos diferentes p y q? Si es imposible, debe probarse. Si es posible, debe ilustrarse. (Esto se relaciona con el ejercicio 23.10.) 29.14
29.15 Siguiendo la idea del ejercicio 29.14, jes posible, para un dominio entero, contener dos subanillos isomorfos a Z, y a Z, para p # q y p y q ambos primos? Dense razones o ilustrese. (Esto se relaciona con el ejercicio 23.1 1.) -
29.16 Sean R y R' anillos y sean N y N' ideales de R y R', respectivamente. Sea 4 un homomorfismo de R en R'. Mutstrese que 4 induce un homomorfismo ~ a t u r a l 4, : R/N -+ R'/Nf si N4 G N'. (Usese el ejercicio 13.17.) 29.17 Sea 4 un homomorfismo de un anillo R con unitario, sobre un anillo R'. Sea u una unidad en R. Mutstrese que u@es una unidad en R' si y solo si u no esta en el kernel de 4. *29.18 (Segundo teorema del isomorfismo para anillos) Sean M y N ideales de un anillo R y sea
+
Muestrese que M N es un ideal de R y que (M a M/(M n N). (Usese el teorema 15.2.)
+ N)/N es isomorfo, de manera natural,
*29.19 (Tercer teorema del isomorfismo para anillos) Sean M y N ideales de un anillo R tal que M 5 N. Muestrese que existe un isomodismo ~aJuralde R/N con (R/M)/(N/M). (Usese el teorema 15.3.) *29.20
Muestrese que
4 :C -. M,(R) dado por
para a, b E R, es un isomorfismo de C en M,(R). *29.21 Sea R un anillo con unitario y sea Hom((R, + )) el anillo de endomorfismos de (R, ) como se describio en la seccion 25.2. Sean a E R y p, : R + R dada por
+
para x E R Muestrese que p, es un endomorfismo de (R, +). Mutstrese que R' = {p, 1 a E R ) es un subanillo de Hom((R, +)). c) Prutbese el analog0 del teorema de Cayley para R, mostrando que R' de b) es isomorfo a R.
a) b)
Anillos de polinomios SU.1
POLlNOMlOS EN UNA INDETERMINADA
Es probable ya que tengan una idea bastante manejable de lo que es un polinomio en x con coeficientes en un anillo R. Ya saben como sumar y multiplicar dichos objetos, lo han hecho por aiios y saben lo que significa el grado de un polinomio. Si en efecto es asi, sugerimos que procedan de inmediato a leer el enunciado del teorema 30.1, omitan la demostracion por trivial y comiencen a leer despues de la demostracion. Diremos que consideramos x una indeterminada y no una variable. Nuestro problema tiene dos aspectos: explicar qut es un polinomio y explicar qut es x. Si definimos un polinomio con coeficiente en un. anillo R como una suma formal finita
+
donde ai E R, nos veremos en dificultades. Ciertamente, 0 + a , x y 0 + a,x Ox2 son diferentcs como sumas formales, per0 queremos considerarlas como el mismo polinomio. Quiza la mejor manera es definir un polinomio como una suma formal infinita
donde ai = 0 para todos, salvo un numero finito de valores de i. Ahora, ya no existe el problema de tener mas de una surna formal representando lo que deseamos considerar como un solo polinomio.'
30.1 POLlNOMlOS EN UNA INDETERMINADA
267
Esto trae a colacion la pregunta de qut es x. La rnanera elegante de hacerlo es quitar las x. Un polinornio a, + a l x + . . . + anxn + . - . esta cornpletarnente deterrninado por la sucesion de sus coeficientes
que no incorpora al niiio problerna x. Se podria definir elegantemente un polinornio corno dicha sucesion. iPor que cargar con la x cuando ni siquiera la necesitarnos? Sencillarnente, porque 10s rnaternaticos se han acosturnbrado a la x. Tiene antigiiedad, derecho de propiedad, o lo que haya que tener en la FMNM (Federacion Mundial de Notaciones Matematicas). Si un anillo tiene unitario 1 y se quiere tener x, la rnanera elegante es definir x corno la sucesion
Pero, entonces, lo mas probable es que la x proteste ante el ComitC de Quejas por dicho tratarniento. Corno, de cualquier forma, su papel es de exceso de equipaje, no hagarnos tanto esdndalo acerca de lo que realrnente es. Sirnplernente, acordernos llarnarle una indeterminada. El lector tendra que adrnitir que es un ttrrnino bastante bueno para algo que resulta dificil de analizar. QuiA seria rnejor indeterminable. Una cosa es cierta, no es ni 0,ni 2, ni ningun otro numero. Asi, de ahora en adelante, nunca escribiremos e.~presionestales corno x = 0 o x = 2. Ya estarnos casi listos para definir un polinornio con coeficientes en un anillo R, corno una surna formal infinita
donde ai E R, ai = 0 para todos, salvo un nurnero finito de valores de i. Pero con R = Z, j2 + x2 no seria un polinornio! Siernpre tendriarnos que escribir
Asi que carnbiarnos un poco la notacion, despues de la definition. Definici6n Sea R un anillo. Un polinornio f ( x ) con coeficientes en R es una surna formal infinita
donde ai E R y ai = 0 para todos, except0 un nurnero finito de valores de i.
Las ai son 10s coeficientes def(x). Si para alguna i > 0 es cierto que ai # 0, el mayor de dichos valores de i es el grado de f (x).De no existir dicha i > 0, entonces f ( x ) es de grado cero.
+ a,x + . . - + anxn + . . - tiene ai = 0 para + a,x + . . . + anxn.Tambien, si alguna ai = I, podemos quitarla de la suma formal, asi que consideraremos, por ejemplo. 2 + x como el polinomio 2 + l x con coeficientes en Z. Por ultimo, acordemos que es posible omitir de la suma formal cualquier termino Oxi o a, = 0, si a, = 0 pero no todas las ai = 0. Asi, 0,2, x y 2 + x2 son, todos Acordemos que si f ( x ) = a,
i > n, entonces podemos denotar f ( x ) por a,
ellos, polinomios con coeficientes en Z. Un elemento de R es un polinornio constante.
La suma y multiplicaci6n de polinomios con coeficientes en un anillo R estan definidas de la manera que les es formalmente conocida. Si
entonces, para el polinomio suma, tenemos
donde c, = a,,
+ b, y, para el polinomio multiplicaci6n, tenemos
z=, z=,
donde d,, = aibn-,. Es claro que, de nuevo, ci y d, ambas son 0 para todos, salvo un numero finito de valores de i, asi que estas definiciones tienen sentido. Notese que no necesariamente es igual a bia,,-, si R no es conmutativo. Con estas definiciones de suma y multiplicacion, tenemos el siguiente teorema.
z=,
Teorema 30.1 El conjunto R[x] de todos 10s polinomios en una indeterminada x con coeficientes en un anillo R, es un anillo bajo la suma y multiplicacidn polinomial. Si R es conmutativo, entonces lo es R[x] y si R tiene unitario 1, entonces 1 tambiin es unitario en R [ x ] . Demostracidn Es obvio que (RCx], + ) es un grupo abeliano. La ley asociativa para la multiplicaci6n y las leyes distributivas, se prueban mediante calculos directos, pero algo engorrosos. Ilustramos probando la ley asociativa.
30.1 POLlNOMlOS EN UNA INDETERMINADA
269
/Aplicando 10s axiomas de anillo a 10s elementos a,, bj, ck E R, obtenemos
iUf! Las leyes distributivas se prueban de manera aniloga. Los comentarios anteriores al enunciado del teorema, muestran que R[x] es un anillo conmutativo si R es conmutativo y un unitario 1 en R tambikn es, obviamente, unitario para R [ x ] , en vista de la definici6n de multiplicaci6n en R[x]Asi, Z [ x ] es el anillo de polinomios en la indeterminada x con coeficientes enteros; Q [ x ] es el anillo de polinomios en x con coeficientes racionales y asi sucesivamente.
Ejemplo 30.1 En Z 2 [ x ] tenemos
Todavia en Z 2 [ x ] , obtenemos
Si R es un anillo y x y y son indeteminadas, podemos fomar el anillo ( R [ x ] ) [ y ] ,esto es, el anillo de polinomios en y con coeficientes que son polinomios en x. Es bastante obvio, pero algo tedioso, probar con cuidado que ( R [ x ] ) [ y ] es naturalmente isomorfo a ( R [ y ] ) [ x ] .Todo polinomio en y con coeficientes que son polinomios en x, puede reescribirse, de manera natpral, como un polinomio en x con coeficientes que son polinomios en y. Ideniificaremos estos anillos mediante este isomorfismo natural y lo consideraremos el anillo R[x, y ] , el anillo de polinomios en dos indeterminadas x y y con coeficientes en R. Se define de manera analoga el anillo R [ x , , . . ., x,,] de polinomios en n indeterminadas xi con coeficientes en R.
Dejamos como ejercicio la sencilla dernostracion de que si D es un dominio entero, entonces tambikn lo es D[x]. En particular, si F es un campo, entonces F[x] es un dominio entero. Notese que F[x] no es un campo, pues x no es una unidad en F [ x ] . Esto es, no existe polinomio f(x) E F[x] tal que xf(x) = 1. Por el teorema 26.1, podemos construir el campo de cocientes F(x) de FIX].Cualquier elemento de F(x) se puede representar como un cociente f(x)/g(x)de dos polinornios en F[x] con g(x) # 0. Definimos de rnanera analoga F(xl, . . ., x,) corno el c a m p de cocientes de F[x,, . . ., x J . Este c a m p F(xl, . . ., x,) es el c a m p de funciones rationales en n indeterminadas sobre F. Estos carnpos desempeiian un papel muy importante en geornetria algebraica.
Ya estamos preparados para mostrar, como lo prometimos en el capitulo 27, c6mo se usa la maquinaria de homomorfismos y anillos factores para estudiar lo que 10s alumnos conocen como ccresolver una ecuacibn polinomial)). Sean E y F campos, con F u n subcampo de E, esto es, F 5 E. El teorema siguiente asegura la existencia de homomorfismos muy importantes de F[x] en E. Estos homomorfwmos serh las herramientas fmdamentales para el resto & nuestro trabajo. Si en verdad 10s comprenden, asi como la teoria de 10s homomorfismos en la secci6n anterior, estan en magnifica posici6n para el resto del curso.
Teorema 30.2 (Los homomorfismos & ev&wn & h teoria & 10s campos) Sea Fun subcampo de un campo E, sea a cualquier elemento de E y sea x una indeterminada. La transformacibn $,:F[x] + E &finida por
+
-
alx + - . + a n y ) E F[x] es un homomorfwmo de F[x] en E. para (a, Ademcis, x$, = a, y 4, transforma, & manera isomorfa, a F, mediante la transformacwn &ntico, esto es, a$, = a para a E F. El homomorfwmo $, es la evaltracibn en a.
l1
Demostracidn El diagmna reticular y de transformaciones, en la figura 30.1, puede ayudar a visualizar esta situation. Las lineas punteadas indican un elemento del conjunto. En realidad, el teorema es una consecuencia inmediata de nutstras defmiciones de suma y rnultiplicacion en F[x]. Esta claro que la transformation $, esti bien definida, esto es, es independiente de nuestra representa cibn de f ( x ) E F[x] como una suma finita.
Dicha suma finita que representa a f(x) puede rnodificarse sblo por la insertion eliminacion de tkrminos 0 2 , lo cual, claramente, no afecta el valor de (f(x))4..
+
+
Si f(x) = a, alx h(x) = f(x) + g(x) = c, + clx 0
.
.
+ anY,g(x) = bo + blx + ... + bmx",y + .. - + cry, entonces,
mientras que
+ ala + .-. + anan)+ (b, + bla + + bmam). Como por definici6n de suma polinomial tenemos ci = ai + b, vernos que
(AX))$. +
(g(x))$, = (a,
Pasando a la multiplication, vemos que
entonces
mientras que [(f(x))4.][(g(x))4.]
= (a0
+ ala +
+ a,a")(bO + b1a +
Como por definici6n de multiplicaci6n polinomial, dj =
4,
-
a
-
E=O a,b,-,
+ bd"). vemos que
es un homomorfismo. La definici6n de 4, aplicada a una constante polinomial a E flx], donde a E F, da a&, = a, de modo que 4, transforma a Fde manera isomorfa, mediante la transformaci6n identidad. De nuevo, por definici6n de 4, tenernos que x4, = = (lx)ba = l a = a. Asi,
Seiialamos que este teorema es valido con una demostracion idkntica, si F y E fueran solo anillos conmutativos con unitarios, en lugar de campos. Sin embargo, estamos interesados solo en el caso de que Sean campos. Es dificil sobreestimar la importancia de este sencillo teorema. Es la base principal de todo nuestro trabajo posterior en teoria de campos. Es tan sencillo, que podria llamarse observacibn en lugar de teorema. Quiza no debimos haber escrito la demostracion. La notacion polinomial lo hace parecer tan complicada, que podria pensarse que se trata de un teorema dificil. Ejemplo 30.2 Sean F y E, del teorema 30.2,los campos Q y R, respectivamente, considerese el homomorfismo de evaluacion &,:Q[x] -+ R. Aqui,
(a,
+ a l x + ... + a n x " ) ~=, a, + a10 + . . . + anO" = a,.
Asi, todo polinomio se transforma en su tkrmino constante. N6tese que el kernel de 4, es el ideal N de todos 10s polinomios con termino constante 0. Por el teorema 29.3, la imagen ( Q [ X ] ) ~=, Q es isomorfa, de manera natural, a Q [ x ] / N .Una clase lateral elemento de Q [ x ] / N consta, precisamente, de todos 10s polinomios que tienen un termino constante dado, fijo. w Ejemplo 303 Sean F y E, del teorema 30.2,los c a m p s Q y R, respectivamente, considerese el homomorfismo evaluacion 4 , : Q [ x ] -+ R. Aqui,
(a,
+ a l x + . . + anx")4, = a, + a12 +
+ anT
N6tese que (xZ + x - 6 ) 4 , = 2z Asi, xZ + x - 6 esti en el kernel N de
+2-6
= 0.
4,. Es claro que
y, si se quiere, la raz6n p r la cual ( x Z + x - 6 ) 4 , = 0 es que (x - 2 ) 4 , = 2 - 2 = 0. Veremos mis adelante que N es precisamente eI ideal de todos 10s polinomios de la forma ( x 2)f ( x ) para f ( x ) E Q [ x ] . Aqui la imagen de Q [ x ] bajo 4 , es de nuevo Q y, otra vez por el teorema 29.3, Q [ x ] / N es naturalmente isomorfo a Q.
-
Sean F y E, del teorema 30.2,los c a m p s Q y C, respectivamente; considerese el homomorfismo de evaluaci6n 4 i : Q [ x ] -, C. Aqui,
Ejemplo 30.4
(a,
+ a,x + - - - + ~ , x " ) &=~ a, + a l i + ..- + anln
y x4i = i. N6tese que ( x Z + l ) ~ $=~ iZ + i = 0,
30.3 EL NUEVO ENFOOUE
273
de rnodo que x Z + 1 esta en el kernel N de $,.. Verernos mas adelante que N es precisarnente el ideal de todos 10s polinomios de la forrna ( x Z 1)f ( x ) para f ( x ) E Q [ x ] . Por el teorema 29.3, la irnagen ( Q [ X ] ) $ es ~ naturalmente isomorfa a Q [ x ] / N . Veremos mas adelante que este anillo ( Q [ X ] ) consta ~~ de todos 10s numeros complejos de la forma q , + q,i para q,, q, E Q y que es un subcampo de C. rn
+
Ejemplo 30.5 Sean F y E, del teorerna 30.2, 10s carnpos Q y R, considerese el hornornorfisrno de evaluacion ~ , : Q [ x ] -+ R. Aqui, (a,
+ 0,x + . . - +
anx")4, = a,
+ u,x + . . . + an7tn.
Puede probarse que a, + u,n + . . . + un7tn= 0 si y solo si ai = 0 para i = 0, 1, . . ., n. Asi, el kernel de 4, es (0) y 4, es una transforrnacion isornorfa. Esto muestra que todos 10s polinomios formales en n con coeficientes racionales, forman un anillo isornorfo a Q [ x ] de manera natural con x$, = IC.
30.3
EL NUWO ENFOQUE
Completamos ahora la relacion entre nuestras nuevas ideas y el concept0 clasico de solucion de una ecuacion polinornial. En lugar de hablar de resolver una rcuacibn polinomial nos referimos a encontrar un cero de un polinomio. Definicihn Sea F un subcampo de un campo E y sea a un elemento de E. Sea f ( x ) = a, + a,x + ... + a,x" en F [ x ] y sea $,:F[x] + E el hornornorfisrno de evaluacion del teorema 30.2. Denotemos por f(a)
Si f ( a ) = 0, entonces x es un cero de f(x). En ttrrninos de esta definition podernos replantear el problema clisico de encontrar todas las soluciones reales de la ecuacibn polinomial r 2 r - 6 = 0 haciendo que F = Q y E = R, y enconfrando todas las a E R tales que
+
esto rs, rncontrar todos 10s ceros de x Z
misma respuesta, pues
+x
- 6 en R. Ambos problemas tienen la
Probablemente parezca que solo hemos logrado que un problema sencillo sea bastante complicado. Lo que hemos hecho es expresar el problema en lenguaje de rransformaciones y podemos ahora, para resoluerlo, usar roda la rrmaquinariaw rtlferenre a rransformaciones que hemos desarrollado. Reculrdese nuestro objerioo fundammral que podemos expresar ahora como sigue. Objerioo fundamenral: mosrrar que, para un campo F, rodo polinomio no consfante f ( x ) E F [ x ] riene un cero.
Hagamos trampa y adelantlmonos un poco para ver como se puede alcanzar nuestro objerioo fundamenral. Si f(.lr) no tiene cero en F, tenemos que consrruir, de alguna manera, un campo E que contenga a F tal que exista a en E con f ( a ) = ( f ( x ) ) 4 , = 0.~ C o m opodemos construir E? E debe contener a la imagen ( F [ X ] ) ~de , F [ x ] bajo nuestro homomorfismo de evaluacion 4,. RecuCrdese, por el teorema 29.3, que ( F [ x ] ) 4 . es isomorfo a F[x]/(kernel de 4 3 . Esto sugiere que tratemos de formar E construyendo un anillo factor F [ x ] / N para cierto ideal N en F [ x ] . Sabemos, por el teorema 29.4, que para que F [ x ] / N sea campo, N debe ser un ideal maximal de F [ x ] . Asi, la tarea para la siguiente seccion, como paso final para alcanzar nuestro objerioo fundamenral, sera examinar la naturaleza de 10s ideales en F [ x ] . Asi es como entra en juego toda la ccmaquinaria)) desarrollada para anillos factores y homomorfismos. Hay un dicho: ccNo exhiban un caiion a menos que pretendan dispararlo.,, Ya exhibimos el caiion en 10s capitulos 28 y 29, y lo preparamos para disparar.
30.1 Encuintrense la suma y el product0 de f ( x ) = 2x3 = 3x4 2.r 4 dado que f (x), g(.r) E Z,[.r].
+
+
+ 4x2 +
3x
+
2 y.g(x) =
30.2 Considerese el elemento
de (Q[.d)[y]. Escribase f ( . ) para que aparezca como un elemento de (Q[Y])[x]. 303 Sea F = E = Z, en el teorema 30.2. Evaluese lo siguiente para el homomorfismo de
evaluacibn indicado 4,:Z7[.r]
-r
Z,.
a) (-r2 + 314~ C) [(X4 + ~ . Y ) ( X ~3.r2 + 3)]&
b) ( 2 ~ '- X~ + 3x + 2 1 4 ~ d) [(x3 + 2)(4x2 + 3)(x7 + 3x2 + 1114,
30.4 Considerese el homomorfismo de evaluacion q5s:Q[x] elementos en el kernel de 4,.
+
305 Encuentrense todos 10s ceros en Z, de (.rS 3.r3 + -r2
solo hay cinco candidatos. Intentese trabajar con ellos.]
-r
R. Encuentrense seis
+ 2x) E Z,[x].
[Sugerencia:
t30.6 Prdbese que si D es un dominio entero, entonces D [ x ] es un dominio entero.
30.7
iFalso o verdadero? El polinomio (a,? i = O,l,
..., n.
+ -.. + a , x + a,) E R[x] es cero si y solo si ai = 0, para
Si R es un anillo conmutativo, entonces R [ x ] es conmutativo. Si D es un dominio entero, entonces D [ x ] es un dominio entero. Si R es un anillo que contiene divisores de cero, entonces R[x] tiene divisores de cero. Si R es un anillo y Ax) y g(x) en R[x] son de grado 3 y 4 respectivamente, entonces f(x)g(x) puede ser de grado 8 en R [ x ] . Si R es cualquier anillo y A x ) y g(x) en R[x] son de grado 3 y 4 respectivanlente, entonces f(x)g(x) siempre es de grado 7. Si F es un subcampo de un carnpo E y a E E es un cero de f ( x ) e F[.T],entonces a es un cero de h(x) = f(x)g(x)para todas las g(x) E F [ x ] . El homomor!ismo de evaluation 4, del teorema 30.2 es una extension de la transformacion inyectiva i:F -P E a F [ x ] donde (a)i = a para a E F. Si F es un subcampo de un c a m p E y f ( x ) E F [ x ] , entonces el conjunto de todos 10s ceros de f ( x ) en E es un ideal de E. Si F es un subcampo de un c a m p E y a E E, entonces el conjunto de todos 10s f ( x ) E F [ x ] tal que f(a) = 0 es un ideal de F [ x ] .
Prdbese la ley distributiva izquierda para R [ x ] donde R es un anillo y x es una indetenninada.
308
30.9 Sea F u n campo y sea D la transformacion de diferenciacion formal de polinomios, de mod0 que
(Escribimos la D de la transformaci6n a la izquierda, de acuerdo con la convention usual en analisis.) a) MuCstrese que D : F [ x ] -P F [ x ] es un automorfismo de grupo de ( F [ x ] , +). ~ E Ds un automorfismo de anillo? b) EncuCntrese el kernel de D. c) Encutntrese la imagen de F [ x ] bajo D. Sea d,:Z,[x] -P Z , un homomorfismo de evaluaci6n, como en el teorema 30.2. Uscse el teorema de Fermat para evaluar (xZ3' + 3x117 - 2xS3 + I)&. 30.10
30.11 Usese el teorema de Fermat para encontrar todos 10s ceros en Z , de
30.12
Sea D un dominio entero y x una indeterminada.
a) Describanse las unidades en D [ x ] . b) Encuentrense las unidades en Z [ x ] . c) Encuentrense las unidades en Z 7 [ x ] .
-
*32.7 Para un dominio entero D, mukstrese que la relacion a b si a es un asociado de h (esto es, si a = hu para u unidad en D). es una relacion de equivalencia en D. *32.8 Sea D un DFU. Describanse 10s irreducibles en D[x] en terrninos de 10s irreducibles en D y 10s irreducibles en F[.r], donde F es un campo de cocientes de D. *329 Sea D un dominio entero. En el ejercicio 23.4 se rnostro que (U,.) es un grupo, donde U es el conjunto de unidades de D.. Muestrese que el conjunto D* - U de no unidades de D. excluyendo al 0, es cerrado bajo la multiplicacion. ~ A C ~ Seste O wnjunto es un grupo bajo la multiplicaci6n de D? *32.10 El lerna 32.6 afirma que si D es un DFU con c a m p de cocientes F, entonces un irreducible no wnstante f(.r) de D[.Y] tambien es un irreducible de F[.r]. Muestrese, mediante un ejernplo, que un g(.r) E D[.r] que sea irreducible de F[.r] no necesita ser u n irreducible de D[.Y]. '32.1 1 En esta seccion, restringimos nuestro trabajo a dominios enteros. Con las mismas definiciones de la seccion 32.1, pero para un anillo wnmutativo con unitario, wnsiderese factorization en irreducibles en Z x Z. iQue puede suceder? Considerese en particular (1.0). '32.12 Sea D un DFU. Mubtrese que un divisor no constante de un polinomio primitivo en D[.v] a,de nuevo. un polinomio primitivo. *32.13
Mubtrese que. en un DIP. todo ideal esta contenido en un ideal maximal.
[Sugercnt-ia: usese el lema 32.1 .]
*32.14 Factoricese sJ factores es irreducible.
fl en irreducible en Q[.Y.
y] y pruebese que cada uno de 10s
Ha!. algunos otros c.oriccptos qrctJ con jiecuencia se consideran de caracter similar a la cortdit.irin dc la callerla uscen~lmteen ideales err un anillo. Los Ires ejercicios siguientes tratan algwios dt~estos c.uncc.ptus.
'32.15 Sea R cualquier anillo. La condicibe de In cadem ascedeore (CCA) para ideales se cumple en R si cada sucesion estrictamente creciente N, c N, c N, c ..-de ideales en R es de longitud finita. La condiiih del rnPximo (CM) para ideales se cumple en R, si cada conjunto S no vacio. de ideales en R contiene algun ideal que no esta contenido propiamente en ningun otro ideal del conjunto S. La condicih de In base fiaita (CBF) para ideales se curnple en R si para cada ideal N en R existe algun conjunto finito BN = {b,, . . ..h,] G N tal que N es la intersection de todos 10s ideales de R que contienen a B,. El conjunto BN es una lmae finita para N. Mubtrese que para todo anillo R las condiciones CCA, CM y CBF son equivalentes. *32.16 Sea R cualquier anillo. La c w d i dc I.cadem aescendente (CCD) para ideales se cumpk en R. si cualquier sucesion estrictarnente decreciente N, 3 N, 3 N, 3 . - de ideales en R es de longitud finita. La condici6n del mlnirno (Cm) para ideales se curnple en R si. dado cualquier conjunto S de ideales de R. existe algun ideal de S que no wntiene propiamente a cualquier otro ideal en el conjunto S. Mubtrese que para todo anillo, las condiciones CCD y Crn son equivalentes. '32.17 Dkse un ejernplo de un anillo en el cual se cumpla CCA pero no CCD. (Veanse 10s ejercicios 32.15 y 32.1 6.)
Dominios euclidianos
Hemos seiialado varias veces la importancia de 10s algoritmos de division. Nuestro primer contact0 con ellos fue el algoritmo de divisidn para Z (lema 6.1). Este algoritmo se u d de inmediato para probar el importante teorema de que un subgrupo de un grupo ciclico es ciclico, esto es, que tiene un solo generador. El algoritmo & division para F [ x ] aparecio en el teorema 31.1 y se uso de manera anlloga para mostrar que F [ x ] es un DIP, esto es, que todo ideal en F [ x ] tiene un solo generador. Ahora bien, una tecnica moderna en matematicas es tomar varias situaciones claramente relacionadas y tratar de reunirlas abstrayendo las ideas importantes que tienen en comun. El estudiante se dara cuenta como la siguiente definition ilustra esta tecnica. Veamos que podemos desarrollar, comenzando con la existencia de un algoritmo de la division bastante general en un dominio entero. Defiici6n Una evoluwibn euchiiana en un domi& entero D es una funcion v que transforma a 10s elementos distintos de cero de D, en 10s enteros no negativos tal que se satisfacen las condiciones siguientes: 1 Para todos 10s a, b E D con b # 0 existen q y r en D tales que a = bq + r, donde r = 0 o v(r) < v(b). 2 Para todos 10s a, b E D, donde ni a ni b es 0, v(a) Iv(ab). Un dominio entero D es un hdnio euclidiana en D.
e u c f i h o si existe una evaluacion
La importancia de la condicion 1 esta clara a partir de la discusion inicial. La importancia de la condicion 2 es que nos permitira caracterizar las unidades de un dominio euclidiano D.
Ejemplo 33.1 El dominio entero Z es un dominio euclidiano, pues la evaluacion v delinida por v(n) = In1 para n # 0 en Z es una evaluaci6n euclidiana en.Z. Por
el lema 6.1, se cumple la condicion I y la condicion 2 es obvia. m Ejemplo 33.2 Si Fes un campo, entonces F[.r] es un dominio euclidiano, pues la evaluacion definida por v(j'(s))= (grado de f ( x ) ) para ,j'(.r)E F [ s ] y f(xJ # 0 es una evaluacion euclidiana. Por el teorema 3 1.1, se cumple la condicion I y la condicibn 2 es obvia. \I
Por supuesto, deberiamos dar ejemplos de dominios euclidianos diferentes de estos que motivaron la definicion. Lo haremos en el siguiente capitulo. En vista de nuestras observaciones iniciales, seguramente estaran esperando el siguienle teorema. Teorema 33.1
Todo dominio euclidiano es un DIP.
Demosrracion Sea D un dominio euclidiano con evaluacion euclidiana v y sea N un ideal en D. Si N = { 0 } ,entonces N = ( 0 ) y N es principal. Supbngase que N # {O}. Entonces, existe b # 0 en N. Escojamos b tal que (6) sea minimal de entre todas las v(n)para n E N. Afirmamos que N = ( 6 ) . Sea a E N. Entonces, por la condicion 1 para un dominio euclidiano, existen q y r en D tales que
donde r = 0 o v(r) < v(b). Ahora, r = a - bq y a, b E N, de modo que r e N, puesto que N es un ideal. Asi, es imposible que v(r) < v(b) debido a nuestra selection de b. De aqui, r = 0, de mod0 que a = bq. Como a es cualquier elemento de N, vemos que N = (b). 8 Corolario Un dominio euclidiano es un DFU. Demostracibn Por el teorema 33.1, un dominio euclidiano es un DIP y, por el teorema 32.2, un DIP es un DFU. 8
Por ultimo, mientras que, por el teorema 33.1, un dominio euclidiano es un DIP, no todo DIP es un dominio euclidiano. Sin embargo, no es facil encontrar un DIP que no sea euclidiano.
Investigaremos ahora algunas propiedades de 10s dominios euclidianos relacionados con su estructura multiplicativa. Debe aclararse que la estructura aritmetica de un dominio euclidiano es inrrinseca a1 dominio y no se afecta de mod0 alguno por una evaluacibn euclidiana v en el dominio. La evaluacibn euclidiana es
simplemente una herramienta para arrojar posiblemente, alguna luz sobre esta estructura aritmetica del dominio. La estructura aritmetica de un dominio D esti por wmpleto determinada por el conjunto D y las dos operaciones binarias + y . en D. Sea D un dominio euclidiano con evaluacion euclidiana v. Podemos usar la propiedad 2 de una evaluacion euclidiana para caracterizar las unidades de D. Teorem 33.2 Para un dominio euclidiano con evaluacion euclidiana v, v(1) es minimal entre todas las v(a) para a E D distinta de cero y u E D es unidad si y so10 si v(u) = v(1).
Demostraci6n La condicion 2 para v, nos dice que para a # 0
Por otro lado, si u es unidad en D, entonces Asi, para una unidad u en D. En forma reciproca, supbngase que U E D distinto de cero es tal que v(u) = = v(1). Entonces, por el algoritmo de la division, existen q y r en D tales que
donde r = 0 o v(r) < v(u). Pero wmo v(u) = v(1) es minimal entre todas las v(6;) para d~ D distinto de cero, es imposible que v(r) < v(u). De aqui, r = 0 y 1 = u , de mod0 que u es unidad.
9
Ejemplo 333 Para Z con v(n) = Inl, el minimo de v(n) para n E Z distinto dk cero, es 1. Es claro que 1 y - 1 son 10s unicos elementos de Z con v(n) = 1. Po supuesto, el 1 y el - 1 son las unidades de Z. Ejemplo 33.4 Para F[x] con v(f(x)) = (grado de f(x)) para f(x) # 0, el valor minimo de v(f(x)) para todos 10sf(x) E F[x] distintos de cero es 0. Los polin mios distintos de cero de grado 0 son precisamente 10s elementos distintos d cero de F y son btos, las unidades de F[x].
4
Es necesario comprender que todo dominio euclidiano, en particular, tados clbicos acerca de maximos Seguro que el lector tiene una idea ximo comun divisor (mcd) de dos elementos a y b en un toman a y b, se factorizan, se ajustan. las factorizaciones mediante
0 = s oiamud opuemo) '6 a 3 s '1 sel sepoi eied (qs + D J ) I p 'saauomq .a 3p un%lewed ( p ) = N kioqy -a ap leap! un sa N anb oie!pamu! sa 'a3 i wed
.a 3 d "(OWID ~ m qd d + uy m ~ o DI / ua asl~saldxa apand q X D ap p3ur t p 3 ' ~ Z sD g q -q X D ap p3ur @ID aiqxa sa3uoiua 'a ap o m ap soiu~iqpsoiudluala uos q X D X d I a un sa a !S rff mua~oaj .eJeluasqo JO)%I la anb eue]sn%son 1en3 q ' U O ~ E K Z ~ im O ) ~o!s ~ ' d ~ sol a e ~ e duope~)somapenaq eon LVH - d ~ un a ua p m sol oe)s!xa u?!qmw anb o ~ e sa p anb opom ap ' n d a un sa d I a o p o (-salqpnpau! ~ ua s a o o p ~ ~ ~ p o ) ~ e j ap J ! I . I ~ e~ p m oqxp ~ ! n ~ ~ apand s u m as orup anmap qru uo3 eJ)sanmP'ZE emal lap uopei)somap e~ ' n d a un ap soluamala ap oJarunu ~a!nblen3wed p m un a)s!xa'pep!leaiuq) -salqpnpaJi!oa q L D opuezuoi3q p r u on uaua!)n d a un ua q 6 D eia!nbsalen3anb ~ei)som apand as ' F E Eoldmafa lap qndsap 03!pu!as omQ ' [ x ]ua ~ sapep!un s e ~ ! u n ~ ~ u oA ~ s s~a-n d ' ( 1- x ) - 6 1 - x u o s ~- x + , x 6 1 + q - ,x ap p m so3!y sol ' [ x ]ua ~ 'o%~eqma u ! '(1 ~ - X ) ( E I / S I ) sa q m oil0 -[XI() ua pep!un eun sa 2 sand '(1 - x ) sa~ 0 ~ 1 0 -1 - x sa 2 - x + ,x 6 1 + q - $ ap p m on '[x]Oug '9- sa 0110 '9 sa gp 6 81 a p p m un '2 uq s y oldm$3 ~ -q 6 D uepplp anb J SO] SOPOI end p 1 3 'semape 6 q 1 p 'D Ip !s a us q b D soanmap sol sp ( p m ) ~oqnfp q w o a ouqxpur un sa a 3p o~uamalau n - n d a un a eaS u9!3!ugaa -?z![eueas uapa~anb o)dmuo3 oms!m la aqu3sap u?p!ugap q s a ' n d a un aied anb o ! ~ q g~e~)uo3ua o opal lq ' n d a un ua p3m un ap 'a1ueSala saw 'u?!3!ugap alua!n%!sel J B P e~qmn)so3eas -q 6 D ap 'p3m (([a))ap J d n ~ua p3m ccunn soupap anb olsa ~ o dsq -pep!un~ o ) 3 un q ayes p m un asJ!ugap aqap uarqmai ' n d a un ua anb somaA 'peppn J O P ~un oqes augap as u?pezuo]3ej eun ua a~uasard alqpnpa~~! un om03 .sodni% ap euoa) ua 'Z ua oidmum la a)uamarq!lsomesn eA xap! el ?!pua~dmo3~o)3a[ la s ~ n olad b 'ad.101 eJauetu a p oqxp eq as olsg 'q om03 v o)uei a p p p len3 el e ~ e della sgm epualod el e opeAala alqpnpa~~! epm opuemo) 'sauo!3ez!~o)3ej seqme ua ua3a~edeanb salq - p n p a ~sol ~ ! sopo) I S aJ)ua opue3!qdylnm q 6 D a p p m un somaua1qo 'smuo)ug -sopepose sns ap oun ma~ede'~eSnlns ua 'sa olsa 'sauo!3ez!~o)3q sel a p eun%u!u ua a%~edeou o 'sopepose sns a p ounSu!u ma~edeou 6 sauo!3ezuopq seqme ua ma~edeo 'anb apmns 'q o w m D oolue~appip aIqpnpaiJ! un%p!s anb opom
con r = 1,ydespuesr = Ocons = l , v e m o s q u e d l a y d ( h . Ademas,si c l a y c 1 h, entonces c 1 (ra + sh) para todas las ra + sh, esto es, c 1 n para todas las n E N. De aqui que c 1 d. Asi, d es un rncd de a y b. Para d, tal como se acaba de construir, d~ N implica que existen i, p E D tales que d = la + pb. Pero la definition de rncd muestra que si dl, tambien es un rncd de a y b, entonces d 1 ,, y dl I d. Asi,
La demostracibn anterior es muy elegante, p r o nada constructiva. Claramente podemos encontrar un rncd de a y b si logramos iactorizarlos en irreducibles, p r o dichas factorizaciones pueden ser muy dificiles de obtener. Sin embargo, si un DFU es en realidad euclidiano y conocemos una evaluacibn euclidiana, hay una manera constructiva y sencilla de encontrar 10s mcd, segun lo muestra el siguiente teorema. Teorema 33.4 ( A ~ o r i t m oeuclidiono) Sea D un dominio euclidiano con una evaluacibn euclidiana v y sean a y b elementos de D distinros de cero. Sea r, como en la condicibn 1 para una d u a c i o n euclidiana, esto es,
a = bq,
+ r,,
donde r, = 0 o v(r,) < v(b). Si r, = 0, sea r, tal que
,
don& r, = 0 o v(r,) < v(r,). En general, sea r,+ tal que
,
donde ri + = 0 o v(ri+ ,) < v(ri). Entonces, la sucesibn r, ,r,, . . . &be rerminar con al& r, = 0. S i r , = 0, entonces b es un rncd & a y b. S i r , # 0 y r, es el primer ri = 0, entonces, r,- es un rncd & a y b.
,
Demostracibn Como v(rJ < v(r,- ,) y v(rJ es un entero no negativo, es claro que llegaremos a alguna r, = 0 despub de un nirmero finito de pasos. Si rl = 0, entonces a = bq, y, obviamente, b es un rncd de a y b. Supbngase que r, # 0. Entonces, si d 1 a y dl b, tenemos
de mod0 que d 1 r,. Sin embargo, si dl I r, y d, ( b, entonces
de modo que dl 1 a. Asi, el conjunto de divisores comunes de a y b es el mismo conjunto que el conjunio de divisores comunes de b y r,. Por un argument0
33.2 ARITMETICA EN DOMlNlOS EUCLIDIANOS
309
t
similar, si r , # 0, el conjunto de divisores comunes de h y r , es el mismo conjunto que el conjunto de divisores comunes de r , y r,. Continuamos con este proceso y, a1 final, vemos que el conjunto de divisores comunes de a y b es el mismo conjunto que el conjunto de divisores comunes de r s - , y r s - , donde rs es el primer ri igual a 0.Asi, un rncd de r s - , y r s - , es tambitn un rncd de a y h. Pero la ecuaci6n
muestra que un rncd de r s - , y r , - , es r,-
,. 8
Ejemplo 33.6 Jlustremos el algoritmo euclidiano para la evaluacibn euclidiana I I en 2, calculando un rncd de 22 471 y 3266. Tan solo hay que aplicar una y otra vez el algoritmo de la division y el ultimo residuo distinto de cero es un mcd. Denominamos 10s numeros obtenidos de la misma manera que en el teorema 33.4, para ilustrar el enunciado y la demostracion del teorema. Es facil corroborar 10s dlculos a = 22471 b = 3266 22471 = (3266)6 + 2875 r , = 2875 3266 = (2875)l + 391 r , = 391 2875 = (391)7 + 138 r , = 138 115 r, = 115 391 = (138)2 138 = (115)l + 23 r , = 23 115 = (23)5 0 f6 = 0
+
+
Asi, r, = 23 es un rncd de 22471 y 3266. Encontramos un rncd sin factorizar. Esto es importante, pues a veces es muy dificil encontrar una factorizacibn de un entero en primos. w Ejemplo 33.7 N6tese que el algoritmo de la division 1 de la definici6n de una evaluacion euclidiana no dice nada acerca de que r sea ccpositivaw. A1 calcular un rncd en Z mediante el algoritmo euclidiano para I ) , como en el ejemplo 33.6, seguramente nos interese que, en cada division, ( r i ( sea lo mas pequeiio posible. Asi, repitiendo el ejemplo 33.6 seria m b eficaz escribir
El hecho de que podamos cambiar el signo de ri de negativo a positivo segun lo deseemos, se debe a1 hecho de que 10s divisores de ri y - r i son 10s mismos. w
*33.1 lndiquese cuales de las funciones dadas v son evaluacionei euclidianas para lo! dominios enteros dados. a) La funcion v para Z dada por v(n) = n2 para n E Z distinto de cero. ~ distinto dc b) La funcion v para Z[x] dada por v(.f(x)) = (grado f(x)) para f ( x ) Z[x] cero. La funcion v para Z[x] dada por v( f(x)) = (valorabsoluto del coeficiente del terminc C) de mayor grado distinto de cero de f(x)) para f ( x ) 21x1 ~ distinto de cero. d) La funcion v para Q dada por v(a) = a2 para a € Q distinto de cero. e) La funcion v para Q dada por v(a) = 50 para a € Q distinto de cero. *33.2 Encuentrese un mcd de 49 349 y 15 555 en Z. *333 Encuentrese un rncd de
*33.4 Con referencia al ejemplo 33.7 del libro. exprkac. realmente. el mcd 23 en la fonna 4 2 2 471) + ~(3266)para A, p E Z. [Sugerencia: a partir de la penhltima linea del diculo en el ejemplo 33.7, 23 = (138)3 - 391. Del rcngl6n anterior a esc, 138 = 3266 - (391)8, asi. por sustituci6n. obtenemos 23 = [3266 - (391)8]3 - 391 y asi sucesivamente. Esto es, se trabaja hacia atras hasta encontrar rcalmente 10s valores de rl y p.] *335 Considerese Z[.r]. a) jEs Z[.r] un DFU? jPor quk? b) Mubtrese que {a + .rf(.v) I a E 2 Z f(x) E Z[x]} es un ideal en Z[x]. c) ~ E Z[.r] s un DIP? (Considerese la parte b).) d) jEs Z[x] un dominio euclidiano? jPor qui? '*33.6 Sea D un dominio euclidiano y sea v una evaluacion euclidiana en D. Muestrese que si a y b son asociados en D,entonces v(a) = v(b). *33.7 jFalso o verdadero? Todo dominio euclidiano es un DIP. Todo DIP es un dominio euclidiano. Todo dominio euclidiano es un DFU. Todo DFU es un dominio euclidiano. Un rncd de 2 y 3 en Q es 4. El algoritmo euclidiano proporciona un metodo constructivo para encontrar un rncd de dos enteros. Si v es una evaluaci6n euclidiana en un dominio euclidiano D, entonces v(1) I I v(a) para todas las a E D distintas de cero. Si v es una evaluacion euclidiana en un dominio euclidiano D, entonces v(l) < < v(a) para todas las U E D, a # 1, distintas de cero. Si v es una evaluacion euclidiana en un dominio euclidiano D, entonces v(1) < < v(a) para todas las unidades a € D distintas de cero. Para cualquier campo F, F[.r] es un dominio euclidiano.
*33.8 La selection de una evaluacion euclidiana v particular en un dominio euclidiano D, dnfluye de alguna forma en la estructura aritmetica de D? Expliquese. *33.9 Siguiendo la idea del ejercicio 33.4 y refirikndonos al ejercicio 33.2, expresese el mcd positivo de 49 349 y 15 555 en Z , en la fonna 1(49 349) + p(15 555) para 2, p E Z . *33.10 Sea D un dominio euclidiano y sea v una evaluacion euclidiana en D. Muestrese que para a, b E D distintos de cero, tenemos v(a) < v(ab)si y solo si b no es unidad de D. [Sugerencia: del ejercicio 33.6, dedhcase que v(a) < v(ab) implica que b no es unidad de D. Usando el algoritmo euclidiano, mutstrese que v(a) = v(ab) implica ( a ) = ( a b ) . Concluyase que si h no es unidad, entonces v(a) < v(ab).] *33.11 Apruebese o rechacese el siguiente enunciado: si v es una evaluacion eaclidiana en un dominio euclidiano D, entonces { a E D I v(a) > v(1)) es un ideal de D. '33.12
Muestrese que todo c a m p es un dominio euclidiano.
*33.13
Sea v una evaluacion euclidiana en un dominio euclidiano D.
a) Muktrese que si S E Z tal que s + v(1) > 0, entonces q:D* + Z definida por q(a) = = v(a) s para a E D distinta de m o , es una evaluacion euclidiana en D. Como es costumbre, D* es el conjunto de los elementos de D distintos de cero. b) Mutstrese que para r e Z', L:D* -+ Z dados por I(a) = r(v(a))para a E D distinta de cero, es una evaluaci6n euclidiana en D. c) Muistree que existe una evaluacibn euclidiana p en D tal que p(1) = 1 y p(a) > 100 para todas las no unidades a ED distintm de cero.
+
*33.14 Sea D un DFU. Un elemento c en D es un mlnimo comia m6ltiplo (man) de dos elementos a y b en D si a I c, b I c y si c divide a todo elemento de D que sea divisible entre a
y entre b. MuCstrese que todos dos elementos distintos de cero a y b de un dominio euclidiano D tienen algirn man en D. [Sugerencia: mubtrese que todos 10s multiplos comunes, en el sentido obvio, de a y b, forman un ideal de D.] *33.15 Usese la ultima afirmaci6n del teorema 33.3, para mostrar que dos elementos distintos de cero r, s E Z generan a1 grupo (Z, ) si y &lo si r y s, vistos como enteros en el dominio Z, son prima relativos, esto es, tienen un mcd igual a 1.
+
*33.16 Usando la ultima afirmaci6n del teorema 33.2, mutstrese que para a, b, n E Z distintos de cero, la congruencia ax = b (mod n) tiene solucion en Z si y d l o si a y n son primos relativos. *33.17 Gcneraliase el ejercicio 33.16, mostrando que para a, b, n E Z distintos de cero, la congruencia er = b (mod n) tiene soluci6n en Z si y d l o si el mcd positivo de a y n en Z divide a b. InterprCtese este resultado en el anillo Z,.
Siguiendo la idea de los ejercicios 33.4 y 33.17, esun mbtodo constructive para encontrar una solucion en Z de la congruencia ax E b (mod n) para a, b, n E Z distintos de cero, si es que la congruencia tiene solucion. Usese este metodo para encontrar una solucion de la congruencia 22x = 18 (mod 42). *33.18
Enteros gaussianos y normas
Deberemos dar
UII
ejemplo de un dominio euclidiano distinto de Z y F [ x ] .
+
Definicihn Un entero gaussicuro es un numero complejo a bi donde a, h E Z . Para un entero gaussiano a = a bi la n o r m N(a) de a es a Z bZ.
+
+
Denotaremos por Z [ i ] a1 conjunto de todos 10s enteros gaussianos. El lema s~guienteda algunas propiedades bhsicas de la funcion norma N en Z [ i ] y conduce a la demostracion de que la funcion v definida por v(z) = N(a) para z E ZCi] distinto de cero es una evaluation euclidiana en Z[il. ~ o t & eque 10s enteros gaussianos incluyen todos 10s rationales enteros, esto es, todos 10s elelnentos de Z. Lema 34.1 En Z [ i ] .st1 cunrpic~rr rror.l~ri~ .V pt:r.cr totltr.\ ltrs z. p E Z [ i ] :
siguientm propiedudes rk la ,funcion
+
Si hacemos a = a , + a,i y j? = b, b,i todos estos resultados son o bien obvios o bien product0 de un dlculo directo. Dejamos como ejercicio la demostracion de estas propiedades (vkase el ejercicio 34.8).
Demostracibn
Lema 34.2
Z [ i ] es un dominio entero.
313
34.1 ENTEROS GAUSSlANOS
Demostracion Es obvio que Z [ i ] es un anillo conmutativo con unitario. Mostremos que no hay divisores de 0. Sean a, /IE Z [ i ] . Usando el lema -34.1, si a/? = 0,entonces
Asi, aj? = 0 implica que N(a) = 0 o N(j?) = 0.De nuevo, por el lema 34.1, esto implica que a = 0 o j? = 0.Asi, Z [ i ] no tiene divisiones de 0,de mod0 que Z [ i ] es un dominio entero. Por supuesto que, como Z [ i ] es un subanillo de C donde C es el campo de 10s numeros complejos, es realmente obvio que Z [ i ] no tiene divisores de 0. El argumento, en el lema 34.2, ilustro el uso de la propiedad multiplicativa 3 de la funcion norma N y evito salir de Z [ i ] durante la deduccion.
Teorema 34.1 La funcion v dada por v(a) = N(a) para a E Z [ i ] distinto de cero, es una evaluacion euclidiana en Z [ i ] . Asi, Z [ i ] es un dominio euclidiano.
+
+
+
Demostracibn N6tese que para j? = b , b,i # 0, N(b, b,r] = b: b:, de modo que N(j?) 2 1. Entonces, para todas las a, j? # 0 en Z[i], N(a)N(j?)= = N(aj?).Esto prueba la condici6n 2 para una evaluacion euclidiana. Falta probar el algoritmo de la division, condicion 1, para N. Sea a, 1E Z [ i ] , con a = a , + a,i y 1= b , + b,i, donde 1# 0. Debemos encontrar a y p en Z [ i ] tales que a = flu p, donde p = 0 o N ( p ) < N(j?) = b: b:. Hagamos a = q , + q,i donde q , y q, son racionales enteros a determinar en Z. Entonces, p debera tener la forrna
+
Tenemos que encontrar racionales enteros q , y q , tales que
esto es, tales que
Ahora bien, se recordara que
+
314
ENTEROS GAUSSIANOS Y NORMAS
es precisamente el cuadrado de la distancia den el plano euclidiano de un punto (q,, q,) a la recta 1 con ecuacion a, - b,X b, Y = 0. De manera analoga,
+
-
es el cuadrado de la distancia d' de (q,, q,) a la recta 1' con ecuacion a, - b2X - b, Y = 0.N6tese que 1es perpendicular a 1'. Sea P el punto de interseccion de estas dos rectas, seghn se muestra en la figura 34.1. De la figura, se ve que d 2 + + es el cuadrado de la distancia de (q,, q,) a P. Asi, debemos mostrar que existe un punto (q,, q2) con coordenadas enteras y tal que el cuadrado de la distancia a P es menor que 1. Como P esta contenido en el interior o en la frontera de algun cuadrado de lado unitario, tal que ambas coodernadas de cada vtrtice son enteros, esta claro que si se escoge (q,, q,) como el punto con coordenadas enteras mcis cercano a P, su distancia a P podrh ser a lo mas, la mitad de la longitud de una diagonal del cuadrado, esto es, a lo m h J2/2 (vQse la Fig. 34.2). Asi, el cuadrado de esta distancia a P es a lo m h lo cual es menor que 1. r
4
Pudimos haber probado el algoritmo de la division para la funcion N e manera exclusivamente algebraica; la demostracion algebraica es mas facil, breve y util para aplicar el algoritmo euclidiano para N (vhnse 10s ejercicios 34.4 y 34.12). Pero confesamos tener cierta debilidad por el argument0 geomttric . Ademas, es agradable tener variedad en las demostraciones del libro. Dejamos una demostracion algebraica para 10s ejercicios (vkase el ejercicio 34.1 1). i
b
Ejemplo 34.1 Podemos aplicar ahora a Z[i], 10s resultados del capitulo 33. dn particular, como N(1) = 1, las unidades de Z[ll son exactamente las a = a, a2icon N(a) = a: + aZ, = 1. Del hecho que a, y a, son enteros, se sigue q las unicas posibilidades son a, = 1 con a, = 0,o a, = 0 las unidades de Z[i] son + 1 y + i. Tambitn podemos usar el no para calcular el mcd de dos elementos Qistintos de cero. dlculos para 10s ejercicios. Por ultimo, notese que mientras 5 es Z, 5 ya no es irreducible en Z[i], pues 5 = (1 2i)(l - 2i) y ni es unidad.
+
+
+
34.2 NORMAS MULTlPLlCATlVAS
315
34.2 NORMAS MULTlPLlCATlVAS Seiialemos una vez mas que para un dominio entero D, 10s conceptos aritmkticos de irreducibles y unidades son intrinsecos a1 dominio entero mismo y de ninguna manera son afectados por una evaluacibn o norma, que pueda definirse en el dominio. Sin embargo, como lo muestra el capitulo anterior y nuestro trabajo hasta este punto del presente capitulo, una evaluacion o norma definida convenientemente puede ayudar a determinar la estructura aritmttica de D. Esto se ilustra de manera sorprendente en la teoria de numeros algebraicos, donde para un dominio de enteros algebraicos se consideran varias evaluaciones diferentes del dominio, cada una cumple su cometido para ayudar a determinar la estructura aritmetica del dominio. En un dominio de enteros algebraicos, tenemos esencialmente una evaluacion para cada irreducible (salvo asociados) y cada una de dichas evaluaciones da information acerca del comportamiento, en el dominio entero, del irreducible a1 cual corresponde. Este es un ejemplo de la importancia del cstudio de propiedades de elementos en una estructura algebraica, mediante funciones asociadas con ellos. En las siguientes secciones lo haremos para ceros de polinomios. Estudiemos dominios enteros que tengan una norma multiplicativa que satisfaga las propiedades de N en Z[i] dadas en el lema 34.1. Definiei6n Sea D un dominio entero. Una norma multiplicativa N en D es una funcion que transforma D en 10s enteros Z tal que se satisfacen las condiciones siguientes:
1 N(a) 2 0 para todas las a E D. 2 N(a) = 0 si y so10 si a = 0. 3 N(afl) = N(a)N(fl)para todas las a, fl E D.
Teorana 34.2 Si D es un dominio entero con norma multiplicativa N, entonces N(1) = 1 y N(u) = 1 para toda unidad u en D. Si, ademcis, toda a tal que N(a) = 1 es una midad en D, entonces un elemento R en D con N(R) = p p a p E Z prirno, es un irreducible & D. Demostracibn Sea D un dominio entero con norma multiplicativa N. Entonces,
muestra que N(l) = 1. Ademb, si u es una unidad en D, entonces
Como N(u) es un entero no negativo, esto implica que N(u) = 1.
316
ENTEROS GAUSSIANOS Y NORMAS
Supongase ahora que las unidades de D son precisamenre 10s elementos de norma 1. Sea a~ D tal que N(a) = p donde p es un primo en Z. Entonces, si a = alj tenemos
asi que N(a) = 1 o N(p) = I . Por hip6tesis. esto significa que a o D. Asi, a es un irreducible de D.
p es unidad de
+
Ejemplo 34.2 En Z [ i ] la funcion N definida por N(a bi) = a2 + b2 da una norma multiplicativa en el sentido de nuestra definicion. Vimos que la funcion v dada por v(a) = N(a) para a E Z [ i ] distinto de cero, es una evaluacion euclidiana en Z [ i ] ,de mod0 que las unidades son precisamente 10s elementos a de Z [ i ] con N(a).= N(1) = 1. Asi, la segunda parte del teorema 34.2 se aplica en Z [ i ] . En el ejemplo 34.1 vimos que 5 no es un irreducible en Z [ i ] ,pues 5 = ( 1 2i)(l - 2i). Como N(I + 2i) = N(I - 2i) = I' + 2' = 5 y 5 es primo en Z, vemos, del teorema 34.2, que 1 + 2i y 1 - 2i son ambos irreducibles en Z [ i ] .
+
Como aplicacion de las normas multiplicativas, daremos ahora otro ejemplo de dominio entero que no es un DFU. Vimos un ejemplo, en el ejemplo 32.3. Lo siguiente es la ilustracion usual. Ejemplo 343 Sea z[-1 = {a + ih$ I a, h E Z ) . Como subconjunto de 10s numeros complejos. cerrado bajo la suma resta y multiplication, que contiene a 0 y I, es un dominio entero. Definase N en por
z[P]
z[G]
J-5
= i$.) Es claro que N(a) 2 0 y N(a) = 0 si y solo si a = (Aqui, = a + h-= 0. Que N(ap) = N(a)N(B)es un dlculo direct0 que dejamos para 10s ejercicios (vtase el ejercicio 34.9). Encontremos todos 10s candidatos a con N(a) = 1. unidadcs en Z C J - ? ~ buscando todos 10s elementos a en z[-1 Si a = a + by N(a) = 1 debemos tener a2 5b2 = 1 para enreros a y h. Esto d l o cs posible si b = 0 y a = f I . Por tanto, f l son 10s unicos I son unidades, son entonces, todas las candidatos para unidades. Como unidades en Ahora, en tenemos 21' = (3)(7)y tambitn
+
+
z[-].
~[a
Si podemos mostrar que 3.7, 1
+ 2-
~ [ f sabremos l ] , entonces que Z [J-] es igual a f( I
+2
G ) .
y 1 -2 0 son todos irreducibles en no puede ser un DFU, pues ni 3 ni 7
Supongase que 3 = ap. Entonces,
muestra que debemos tener N(a) = 1 , 3 6 9. Si N(a) = 1, entonces a es unidad. Si a = a + 6 4 5 , entonces N(a) = aZ + 5h2 y para ninguna selection de enteros a y b se tiene N(a) = 3. Si N(a) = 9, entonces N ( p ) = 1 de mod0 que p es unidad. Asi, de 3 = ap podemos concluir que a o /? es unidad. Por tanto, 3 es un irreducible en z [ - ] . Un argument0 analog0 muestra que 7 tambikn es un Si 1 + 2= y6, tenemos irreducible en z[L-5/].
de mod0 que N(y) = 1 , 3 , 7 6 21. Hemos visto que no hay elemento de z[-] de norma 3 6 7. Asi, o N(y) = 1 y y es unidad, o N(y) = 21 de modo que N(6) = 1 y 6 es unidad. Por tanto, 1 + 2es un irreducible en z[-1. En resumen, hemos mostrado que
es un dominio entero pero no un DFU. En particular, hay dos factorizacidnes diferen tes 21 = 3 . 7 = ( 1
+2
0 ) ( 1- 2 , p )
de 21 en irreducibles. Estos irreducibles no pueden ser primos, pues la propiedad de ser primo nos permite probar la unicidad de la factorizacibn (vkase la demostracion del teorema 32.2).
*34.1 Factoriccse cada uno de 10s siguientes enteros gaussianos en un product0 de irreducibles en Z [ i ] . [Sugerencio: como un factor irreducible de a E Z[fl debt tener'nonna > 1 y dividir N(a), hay solo un nbmero finito de enteros gaussianos a bi a co~iderar como posibles factores irreducibles de un a dado. Dividase a en C entrc cada uno de ellos y verifiquese para cuales el cociente esti en Z [ i ] .
+
*342 Muktrese que 6 no se factoriza de manera unica (sin considerar asociados) en ]?-J[z Exhibanse dos factorizaciones diferentes. irreducibles .en
'343 Considerense a = 7 + 2i y B = 3 - 4ien Z [ i ] . Encukntrense a y p en Z [ i ] tales q ue a = Ba + p con N(p) < N(B). [Sugerencia: isese la construction de la sugerencia del ejercicio 34.1 1.1
318
ENTERB GAUSSIANOS Y NORMAS
*34.4 Usese un algoritmo euclidiano en Z [ i ] para encontrar un mcd de 8 + 6i y 5 - 15i ' en Z [ i ] . [Sugerencia: usese la construccion de la sugerencia del ejercicio 34.1 I . ] I
'*345 Sea D un dominio entero con una norma multiplicativa N, tal que N(a) = 1 p a E D si y solo si a es una unidad de D. Sea n tal que N(n) es minimal de entre todos N(B) > 1 para B E D . Muktrese que n es un irreducible de D.
iFa1~0o verdadero?
*34.6
=.
Z [ i ] es un DIP. Z [ i ] es un dominio euclidiano. Todo entero en Z es un entero gaussiano. Todo numero complejo es un entero gaussiano. En Z [ i ] se cumple un algoritmo euclidiano. Una noma multiplicativa en un dominio entero a veces es util para encont ar irreducibles del dominio. Si N es una norma multiplicativa en para toda unidad u de D. Si F es un camp, e n t o m la funci6n N ddinida por N( f(x)) = (grado de es una norma multiplicativa en F [ x ] . Si Fes un camp, entonces la funci6n ddinida por f ( x ) # 0 y N(0) = 0 es una noma nuestra definici6n. Z [ ~ es Jun dominio entero pero no un DFU.
r
*34.7 Mukstrese que 1 + i es un irreducible de Z [ q . [Sugerencia: apliquese el 34.21 (Para una descripci6n de todos los primos gaussianos, vtase Pollard [MI.)
Prukbesc el Iema 34.1.
*348
Pru6bese que N, del ejemplo 34.3, es multiplicativa, esto es, que N(aS) = N(a) para EI, B E ZC-. *34.9
*34.10 Sea D un dominio entero con norma multiplicativa N tal que N(a) = 1 para si y d l o si a es una unidad de D. Mukstrese que toda no unidad distinta de cero de D factorizacibn en irreducibles en D. *34.11
Prutbese algebraicarnente que el algoritmo de la division se cumple en Z [ i ] pbra v dada por v(a) = N(a) para a E Z[a distinto de aro. [Sugerencicr: para a y /3 en Z [ i ] /3 # 0, a//3 = r + si m C para r, se Q. Sean q, y q, entcros racionales m Z lo cercanos posible a 10s nhneros racionales r y s, respbctivamente. Mutstrese que u = q, + q,i y p = a - /3u tenemos N ( p ) < N(fimediante la demostracibn de
Aqui, 1 ) es el valor absoluto usual para 10s elemetrtos de C.] *a12
10
-
*34.13
I
Usese un algoritmo eudidiano en Z [ I ~ para enwntrar un mcd de 16 + 7 i y 5i en Z[Q. [Sugerenciu: 6sese la construcci6n de la suprencia del ejercicio 34.1 1.1 Sea < a ) un ideal principal distinto de cero en Z [ i ] .
l
I
a) Mubtrese que Z [ i ] / < a ) es un anillo finito. [Sugerencia: imese el algoritmo de d visi6n.I
b) Mubtrese que si n es un irreducible de Z [ i ] , entonces Z [ i ] / ( n ) es un c a m p . c) Con respecto a b), encutntrese el orden y caracteristica de cada uno de 10s c a m p s siguientes. i) ZCiIl(3)
ii) Z [ i ] / ( l
+ i)
iii) Z [ i ] / ( l
+ 2i)
*34.14 Sea n E Z + libre de cuadrado, esto es, no es divisible entre el cuadrado de ninglin entero primo. Sea z[&] = {a + ib& 1 a, b E Z } . a) Muktrese que la norma N definida por N(a) = a2 + nb2 para a = a + ib& es una norma multiplicativa en z[&]. si y s61o si a es una unidad de z[&]. b) Mukststrese que N(a) = 1 para a E z[&] distinto de cero que no sea unidad, tiene factorizaC) Mubtrese que todo a E z[&] ci6n en irreducibles en ~ [ f i ][Sugerencia: . usese b).] *34.15 Repitase el ejercicio 34.14 para z[&] = {a N(a) = la2 - nb21 para a = a + b& en z[&.
+ b&/a,
b E Z } con N definida por
*34.16 M k t r e s e , mediante una c o n s t d o n analoga a la dada en la sugerencia del ejercicio 34.11, que el algoritmo de la divisi6n se cumple en 10s dominios entcros z[-1. J?/,[z y z[$] para "(a) = N(a) para a distinta de cero en uno de estos dominios (vbnse 10s ejercicios 34.14 y 34.15). (Asi, tstos dominios son euclidianos. V& Hardy and Wright 1281 para un analisis acerca de cu8lcs de 10s dominios z[&] y z [ G ] son euclidianbs.)
lntroduccidn a 10s campos de extensidn
Ya estamos en psicion de alcanzar nuestro objetivo fundamental que, enunciado inforrnalmente, es mostrar que todo polinomio no constante tiene algun cero. Esto se enunciara de manera precisa y se probara en el teorema 35.1. Antes, se introducira nueva terminologia para algunas viejas ideas. Definicidn Un campo E es un campo & extensibn & un compo F si F IE.
Asi, R es un c a m p de extension de Q, y C es un campo de extension tanto de R como de Q. Como en el studio de grups, con frecuencia serh conveniente usar diagramas reticulare para ilustrar c a m p s de extension, donde el c a m p mayor estara arriba (vkase la figura 35.1). Una configuraci6n donde solo hay una columna de campos, como en el lado izquierdo de la figura 35.1, suele denominarst, sin una definition precisa, una towe & compos. Usaremos libremente este termino.
35.1 EL OBJETIVO FUNDAMENTAL ALCANZADO
321
Ahora, nos dirigirernos a1 objetivo fundamental. Este gran e importante resultado se sigue ficilrnente y de rnanera elegante, de las tecnicas a nuestra disposicion. Escojan un lugar agradable y tranquilo, donde tengan un cuarto de hora para leerlo, digerirlo y maravillarse todo lo que quieran sin interruption. Escribimos la dernostracion con el espantoso detalle usual. (Un libro para nivel de posgrado no emplearia, a estas alturas, mas de tres renglones.) Teorema 35.1 (Kronecker) (Objetivo fundamental) Sea F un campo y sea f(x) un polinomio no constante en F[x]. Enronces, existe un campo de extensibn E de F y alguna a E E ral que f(a) = 0.
Demostracibn Por el teorerna 31.8, f(x) tiene factorizacion en F[x] en polinomios que son irreducibles en F. Sea p(x) un polinomio irreducible presente en dicha factorizacibn. Es claro que basta encontrar un c a m p de extension E de F que contenga algun elernento a, tal que p(a) = 0. Por el teorema 31.6, (p(x)) es un ideal maximal en F[x] de modo que F[.~]/(p(x)) es un c a m p . Aseguramos que F puede identificarse con un subcarnpo de F[x]/(p(x)) de manera natural, rnediante la transformacibn :F -, F[x]/(p(x)) dada por
*
para a s F . Esta transformaci6n es uno a uno, pues si a* = b*, esto es, si a
+
de modo que a E E. Considirese el homomorfisrno de evaluacibn 4,: F[x] -, E dado por el teorema 30.2. Si p(x) = a, + a,x + - - + ax donde a, E F, entonces, tenemos
en E = F[x]/(p(x)). Pero podemos calcular en F[x]/
+ a,x + .-.+ a$) +
..
,
.-
. r ' .. -,..
r
I..
I
322
1
INTRODUCCION A LOS CAMPOS DE EXTENSION
en F[x]/
~
llustramos la construction incluida en la demostracion del teorema 35.1, mediaqte dos ejemplos. Ejemplo 35.1 Sean F = R y f(x) = x2 + 1, del cual se sabe que no tiene ceras en R y, por el teorema 31.2, es irreducible en R. Entonces,
+
a =x Calculando en R[x]/(x2
Asi, a es un cero de A? con C. w
+ 1).
+
I).
encontramos que
+ 1. Al final de este capitulo, identificaremosR[x]/
Ejemplo 35.2 Sea F = Q y seaf (x) = x4 - 5x2 + 6. Ahora,f (x) se factoriza en Q[x] en (xZ - 2)(2 - 3), ambos factores son irreducibles en Q, seg6n ya vimog. Podemos empezar con x2 - 2 y construir un c a m p de extensibn E de Q que contenga a tal que a2 - 2 = 0 o podemos construir un c a m p de extensibn K de Q que contenga algirn elernento B tal que B2 - 3 = 0. En ambos casos, la construccibn es como en el ejemplo 35.1. a
Como ya dijimos, en el resto del libro, las secciones no marcadas con asteriw tratan del estudio de ceros de polinomios. Comencemos este estudio colocando un elemento de un campo de extensibn E de un c a m p F en una de dos categorias. Defmicin Un elemento a de un c a m p de extensibn E de un campo F 4s algebraico sobre F si f(a) = 0 para algun f(x) E F[x] distinto de cero. Si a no es algebraico sobre F, entonces a es troscendente sobre F.
fi
es un cero de Ejemplo 353 C es un campo de extensibn de Q. Como x2 - 2, es un elemento algebraico sobre Q. Ademis, i es un elemento algebraico sobre Q, pues es un cero de x2 1. w
fi
+
35.2 ELEMENTOS ALGEBRAICOS Y TRASCENDENTES
323
.
Ejemplo 35.4 Es bien conocido (aunque no es facil probarlo), que 10s numeros reales n y e son trascendentes sobre Q. Aqui, e es la base de 10s logaritmos naturales. Asi como no podemos hablar de un polinomio irreducible ((a secas)), sino de un polinomio irreducible sobre F, analogamente, no hablamos de un elemento algebraic~(
Ejemplo 355 El numero real s es trascendente sobre Q, segun se afirmo en el ejemplo 35.4. Sin embargo, s es algebraico sobre R, pues es un cero de (x - n) E E R[x]. Ejemplo 35.6 Es facil ver que el numero real , / r f l es algebraico sobre Q. Pues si a = ,/rfi, entonces a2 = 1 + $ de modo que a2 - 1 = $ y (a2 = 3. Por tanto, a4 - 2a2 - 2 = 0 de modo que a es un cero de x4 - 2x2 - 2 que estl en Q[x].
.
Para conectar estas ideas con las de teoria de numeros, damos la siguiente definicibn. D e f m Un elemento de C que sea algebraico sobre Q es un &ro dgebroico. Un iuimero trascendcnte es un elemento de C que es trascendente sobre Q.
Existe una extensa y elegante teoria de 10s numeros algebraicos. El siguiente teorema da una caracterizaci6n util de 10s elementos algebraicos y trascendentes sobre F en un c a m p de extension E de F. Tambien ilustra la importancia de nuestros homomorfismos de evduaci6n 4,. Nbtese que, una vez miis, estamos expresando 10s conceptos en timinos de transfonnaciones. Tetuema 35.2 Sea E un campo de extensibn de un campo F y sea a E E. Sea + E el homomorfumo de evaluacibn de F[x] en E, tal que a+, = a para a E F y x4, = a. Entonces, a es trascendente sobre F si y sblo si 9, es un isomorfumo que transforma F[x] en E, esto es, si y sblo si 4, es una transformacibn uno a uno.
4,: F[x]
Demostracibn Ahora bien, a es trascendente sobre F si y s610 si f(a) # 0 para todos 10s f (x) E F[x] no constantes, lo cual es cierto (por definition) si y d l o si f(x)& # 0 para todos losf(x) E F[x] no constantes, lo cual es cierto si y so10 si el kernel de 4, es {0), esto es, si y so10 si 4, es un isomorfismo que transforma F[x] en E.
324
INTRODUCCION A LOS CAMPOS DE EXTENSION
35.3
EL POLlNOMlO IRREDUCIBLE DE a SOBRE F
Considkrese el campo de extension R de Q. Sabemos que $ es algebraico sobre Q y cs un cero de .r2 - 2. Es claro que tambitn es un cero de x3 - 2.u y de s4 - 3.v2 + 2 = (.r2 - 2)(s2- 1). Todos estos otros polinomios que tiene a como cero, eran multiples de .v2 - 2. El siguiente teorema muestra que esto ilustra una situacion general. Este teorema desempeiia un papel central en nuestro trabajo posterior.
fi
fi
Teorema 35.3 Sea E un canipo dc e-rrensibn de F y sea a E E donde a es algebraico sohre F. Entorrces, exisre algun polinomio irreducible p(.v) E F[.r] tal que p(a) = 0. Esre polinotnio irreducible p(x) esta determinado dv manera inica salvo un factor constante en F y es un polinomio de grado minit~ial2 1 en FCx] que time a a como un cero. Si fla) = 0 para A x ) E F [ x ] con ,fix) # 0, entonces p(x) divide a f(x). Detnostracibn Sea 4, el homomorfismo de evaluacibn de F[x] en E dado por el teorema 30.2. El kernel de 4, es un ideal y, por el teorema 3 1.5, debe ser un ideal principal generado por alghn elemento p ( . r ) ~F[x]. Es claro que ( p ( x ) ) consta precisamente de aquellos elementos de F[x] que tienen como un cero a a. Asi, si f (a)= 0 para f (.r) # 0, entonces f ( x )E (p(.r)), de modo que p(x) divide a f (x). Es claro que p(.r) es un polinomio de grado minimal 2 1 que tiene a a como un mro y cualquier otro de dichos polinomios del mismo grado que p(x) debe ser de la forma (a)p(.r)para algun a E F. Solo falta mostrar que p(,r) es irreducible. Si p(x) = r(x)s(.r) fuera una factorizacion de p(.v) en polinomios de grado menor, entonces p(a) = 0 implicaria que r(a)s(a)= 0, de mod0 que r(a) = 0 o s(a) = 0, pues E es un campo. Esto contradice el hecho de que p(.r) es polinomio de grado minimal 21 tal que p(a) = 0. Asi, p(x) es irreducible. Multiplicando por una constante adecuada en F, podemos suponer que el coeficiente de la potencia mayor de .r que aparece en p(x) del teorema 35.3, es 1. Dicho polinomio con el coeficiente de la potencia mPyor de .r igual a 1 es un polinomio m6nico.
Definici6n Sea E un campo de extension del campo F y sea a E E algebraico sobre F. El Gnico polinomio monico p(.v) del teorema 35.3 es el polinomio irreduciblepara a sobre F y se denotara por irr(a, F). El grado de irr(a, F ) es el grado de a sobre F y se denota por grad(a, F). Ejemplo 35.7 Es claro que irr($, Q ) = .r2 - 2. Con referencia a1 ejemplo 35.6 vemos que a = J T J 5 en R a es un cero de r4 - 2.v2 - 2 el cual estl en
35.4 EXTENSIONES SIMPLES
325
Q [ x ] . Como x4 - 2x2 - 2 es irreducible sobre Q (por Eisenstein con p = 2 o bien por aplicacion de la tecnica del ejemplo 31.6), vemos que
Asi,
J r f l es algebraico de grado 4 sobre Q.
Asi como debemos hablar de un elemento a como algebraico sohre F, en lugar de solo algebraico, tambikn debemos hablar del grado de a sobre F, en lugar del grado de a. Para tomar una ilustracibn trivial, $ E R es algebraico de grado 2 sobre Q, pero algebraico de grado 1 sobre R, pues irr(fi, R) = x - $. Esperamos que hayan quedado impresionados por la belleza y elegancia de esta teoria. Deberian comprender que la facilidad de su desarrollo aqui, se debe a la maquinaria de 10s homomorfismos y la teoria de ideales que tenemos ahora a nuestra disposition. Notese, especialmente, el uso constante de 10s homomorfismos de evaluaci6n 4,
Sea E un c a m p de extension de un campo F y sea a E E. Sea 4, el homomorfismo de evaluaci6n de F [ x ] en E con a 4 , = a para a E F y x4, = a como en el teorema 30.2. Considerernos dos casos. CASO I Supbngase que a es algebraico sobre F. Entonces, como en el teorema 35.3, el kernel de 4, es (irr(a, F ) ) y, por el teorema 31.6, (irr(a, F ) ) es un ideal maximal de F [ x ] . Por tanto, F[x]/(irr(a, F ) ) es un campo y es isomorfo a la imagen (F[x])q5, en E. Este subcampo ( F [ x ] ) 4 , de E es, claramente, el menor subcampo de E que contiene a F y a a. Denotaremos este campo por F(a). CASO I1 Supbngase que a es trascendente sobre F. Entonces, por el teorema 35.2,4, es un isomorfismo que transforma q x ] en E. Asi, en este caso, ( F [ x ] ) 4 , no es un campo sino un dominio entero que denotaremos por FLU]. Por el corolario 1 del teorema 26.2, E contiene un c a m p de cocientes de n a ] el cud es, claramente, el menor subcampo de E que contiene F y a. Como en el caso I, denotamos este campo por q a ) . Ejemplo 35.8 Como a es trascendente sobre Q, el campo Q(a) es isomorfo a1 campo Q(x) de funciones rationales sobre Q con indeterminada x. Asi, desde un punto de vista estructural, un elemento trascendente sobre un campo F se comports como si fuera una indetermianda sobre F.
Defioici6n Un campo de extension E de un c a m p F es una extensibn simple & F si E = q a ) para alguna a E E.
326
INTRODUCCION A LOS CAMPOS DE EXTENSION
Muchos resultados importantes aparecen a lo largo de esta seccion. Hemos desarrollado tanta maquinaria, que 10s resultados comienzan a brotar de nuestra eficiente fabrica a un ritmo alarmante. El siguiente teorema nos da idea de la naturaleza del campo F(a) en el caso en que a sea algebraico sobre F.
Teorenur 35.4 Sea E una extensibn simple F(a) de un campo F y sea a algebraico sobre F. Sea n 2 1 el grado de irr(a, F). Entonces, todo elemento /3 de E = F(a) se pue& expresar de manera h i c a en la jorma
I
donde l a bi estan en F. Demostracibn
Para el homomorfismo de evaluacion 4, usual, todo elemento de
es de la forma ( j ( x ) M , = f(a), un polinomio formal en a con d ~ c i e n t e en s F.
Sea
+ a,-,x"-' + .-.+ a,.
irr(a, F ) = d x ) = x"
I
Entonces, p(a) = 0, de modo que
Esta ecuacion en F(a) se puede usar para expresar cualquier monomio am par m = n en terminos de potencias de a que son menores que n. Por ejemplo, = & = -a,-,a" = -a,-l(-a,-la"-l
Asi, si
fi
- a,-,Cf-' - -.. - aoa - . - -- ao) - a,-,a"-'
-
1
- aoa.
= F(a) es posible expresar /3 en la forma requerida
Para la unicidad, si
bo
+ bla + - - .+ b,-,a"-'
= bh
+ b;a + .-. + 4-,a"-l
para b; E F, entonces
(bo - No)
+ (bl - b ; ) ~+
q.7
+ (b,-, - b:-l)x"-l
=
g(x)
estP en f l x ] y g(a) = 0. AdemPs, el grado de g(x) es menor que el grado de irr(a, F Como irr(a, F ) es un polinomio distinto de cero de grado minimal en
I
35.4 EXTENSIONES SIMPLES
327
que tiene a a como un cero, debemos tener g(x) = 0. Por tanto, bi - hi = 0, de modo que
bi = bf, con lo cual se demuestra la unicidad de las bi. Daremos un ejemplo impresionante que ilustra el teorema 35.4.
Ejernplo 359 El polinomio p(x) = x 2 + x + 1 en Z,[x] es irreducible sobre Z,, debido a1 teorema 31.2, pues ni el elemento 0 ni el elemento 1 de Z, son ceros de p(x). Por el teorema 35.1, sabemos que existe un c a m p de extension E de Z, que contiene alglin cero a de x2 + x + 1. Por el teorema 35.4, Z2(a) tiene como elementosao + Oar, 1 + Oa + l a y 1 + la, esto es 0, l , a y 1 + a. Estonosda un nuevo campofiniro de cuarro elernenros (i!).En las tablas 35.1 y 35.2 se muestran las tablas dc suma y multiplicacibn para este campo. Por ejemplo, para calcular (1 + aMl + a) en Zz(a) uno observa que como p(a) = a2 + a + 1 = 0, entonces
Por tanto,
I
328
INTRoOUCClON A 10s CAMPOS DE EXTENSION
Por ultimo podemos usar el teorema 35.4 para cumplir nuestra promesa del ejemplo 35.1 y mostrar que R [ x ] / ( x 2 1) es isomorfo a1 campo C de numeros complejos. Vimos en el ejemplo 35.1, que podemos considerar R [ x ] / ( x 2 1) como un campo de extension de R. Sea
+
+
+
1) y, por el teorema 35.4, consta de todos 10s Entonces R(a) = R [ x ] / ( x 2 elementos de la forma a ba para a, b E R. Pero como a2 1 = 0,vemos que a desempeiia el papel de i E C y a ba el papel de ( a bi) E C. Asi, R(a) z C. Esta
+
+
+
+
es la rnanera algebraica elegante de construir C a partir de R.
1 Para cada uno de los numeros dados a E C, muktrtse que a es algebraico sobre Q, encontrando/ ( x ) E Q [ x ] tal quefla) = 0
353 Para cada uno de 10s numeros algebraicos dados a E C, encukntrense irr(a, Q ) y grad (a, Q). El lector debe estar preparado para demostrar que sus polinomios son irreducibles sobre Q en caso de que alguien lo rete a hacerlo.
35.3 Clasifiquese cada uno de 10s a E C dados, como algebraicos o trascendentes sobre el c a m p F dado. Si a es algebraico sobre F, encukntrese gra(a, F ) .
+ +
R d t a s e a1 ejemplo 35.9 dcl libro. El polinomio 2 x 1 t h e un cero a en Z2(a) y, por tanto, debe factorizarse en un product0 de factores lineales en (Z2(a)Kx]. Encdntrrsc csta factorizaci6n. [Sugerencia: dividasc x2 + x + 1 entre x - a y kese el hecho dc que a2 = a + 1.1
35.4
355 Sea E un c a m p dc extension de F y sean a, b E E. Sup6ngase que a es trascendente sobre F, per0 algebraico sobre F O . Mukstrese que fl es algebraico sobre F(a).
'35~5 Sea E un c a m p de extensi6n de un c a m p finito F, donde F tiene q elementos. Sea a E E algebraico sobre F de grado n. Prukbese que F(a) tiene q" elementos. a) Mubtrese que el polinomio x2 + 1 es irreducible en Z 3 [ x ] . b) Sea a un cero de x2 + 1 en un campo de extension de Z,. Como en el ejemplo 35.9, elabbrense las tablas de suma y multiplication para 10s nueve elementos de Z3(a) exritos en el orden 0, 1, 2, a, 2a, 1 + a, 1 f 2a, 2 + a y 2 2a. 3!L7
+
3511 ~ F a l s oo verdadero?
- a) El nhmero n es trascendente sobre Q. - b) C es una extension simple de R.
- c) Todo elemento de un campo F es algebraico sobre F. - d) R es un c a m p de extension de Q. - e) Q es un campo de extension de Z,.
-
f) Sea a E C algebraico sobre Q de grado n. Sins) = 0 para f(x) E Q[x] distinto de cero, entonces (grado de f(x)) r n. - g) Sea a E C algebraico sobre Q de g a d o n. Si f(a) = 0 paraf(x) E R[x] distinto de cero, entonces (grado deflx)) 2 n. - h) Todo polinomio no constante en F[x] tiene alghn cero en algun c a m p de extension de F. - i) Todo polinomio no constante en F[x] tiene alglin cero en todo campo de extension de F. - j) Si x es una indeterminada, Q[x] Q[x].
-
35.9 Sea E un c a m p de extensibn de un c a m p F y sea a€E algebraico sobre F. El polinomio irr(a, F) se denomina a veccs el p o h m i o nrinimcrlpara a sobre F. iPor qu6 es apropiada esta denominacibn? 35.10 a) Mubtrese que existe un polinomio irreducible de grado 3 en Z3[x]. b) Mubtrese, de a), que existe un c a m p finito de veintisiete elementos. [Sugerencia: h s c el ejercicio 35.6.1 35.11 Considtrese el c a m p primo Z, de caracteristica p # 0.
a) Mubtrese que para p # 2, no todo elemento en Z, es cuadrado de algun elemento de Z, [Sugerencia: l 2 = (p - 1)' = 1 en Z, Dedbxse, contando, la wnclusion deseada.] b) Usese la parte a) para mostrar que existen c a m p s finitos de p2 elementos para todo primo p en Z+. 35.12
Hemos afirmado, sin demostrarlo, que n y c son trascendentes sobre Q.
a) Encuintrese un subcampo F de R tal que x sea algebraico de grado 3 sobre F. b) Encutntrese un subcampo E de R tal que e2 sea algebraiw de grado 5 sobre E. 35.13 Sea E un c a m p de extensibn de un c a m p F y sea a E E trascendente sobre F. Mubtresc que todo ekmento de 4 a ) que no estt en F tambikn es trascendente sobre F. 35.14 a) MuCstrese que x3 + 2 + 1 es irducible sobre Z,. b) Sea a un cero de x3 + x2 + 1 en un c a m p de extension de Z,. Mubtrese que x3 + x2 + 1 se factoriza en tres factores lineales en (Zda)Kx] encontrando esta factorizaci6n. [Sugerencia: todo elemento de Z2(a) es de la forma a,+a,a+a2a2
para a i = O , l .
+
Dividase x3 + x2 1 entre x - a. Muistrese que el cociente tambitn tiene un cero en Z2(a), simplemente probando 10s ocho elementos posibles. Despuks, wmplttese la factorizaci6n.l 35.15 Mubtrese que {a + b +c 1 a, b, c E Q) es un subcampo de R, usando las ideas de esta seccion, en lugar de una verifcacibn formal de 10s axiomas de camp. [Sugerencia: h s e el teorema 35.4.1
330
INTRODUCCION A LOS CAMPOS DE EXTENSION
35.16 Sea E un c a m p de extension de Z , y sea a € E algebraico de grado 3 sobre 2 Clasifiquense 10s grupos (Z,(a), + ) y ((Z,(a))*,-)de acuerdo con el teorema fundament de 10s grupos abelianos finitamente generados. Como siempre, (ZAa))* cs el conjunto I 10s elementos distintos de cero en Z,(a). 35.17 Siguiendo la idea del ejercicio 35.10, muestrese que existe un campo de ocl elementos; de dieciseis elementos; de veinticinco elementos. 35.18 Sea F un c a m p finito de caracteristica p. Mubtrese que tudo elemento de F algebraico sobre el c a m p primo Z , s F. [Sugerencia: sea F* el wnjunto de 10s element1 de F distintos de cero. Apliquese teoria de grupos al grupo (F*, .) para mostrar que to1 a~ F* es cero de algun polinomio en Z,[x] de la forma i - 1.1
Usense 10s ejercicios 35.6 y 35.18 para mostrar que tudo campo finito es de ordc la potencia de un primo, esto es, que su numero de elementos es la potencia de un prim
35.19
Espacios vectoriales
El tema de espacios vectoriales es la piedra angular del Algebra lineal. Como el Algebra lineal no es el objeto de estudio de este libro, el tratamiento de 10s espacios vectoriales sed breve, y esti diseiiado para desarrollar so10 10s concep tos de independencia lineal y dimension que necesitamos para nuestra teoria de campos. Es probable que el lector ya conozca 10s tirminos de vector ,y escalar por algbn curso de c&lculo.Aqui permitiremos que 10s escalares sean elementos de cualquier campo, no solo de 10s numeros reales, y desarrollamos la teoria a partir de axiomas, asi como lo hemos hecho para las otras estructuras algebraicas estudiadas. Las propiedades que aparecen en estos axiomas deben resultar conocidas para el lector. Definiciim Sea F un campo. Un espacio vectorial sobre F (o F-espoeio veetoriol) consta de un grupo abeliano V bajo la suma, junto con una operacih de multiplicaci6n por un escalar por la izquierda, de cada elemento de V por cada elemento de F, tal que para todas las a, b E F y a, /3 E V se satisfacen las siguientes condiciones: VjTIaaE V.
*r, u(ba) = (ab)a. "v, (a b)a = (aa) "v, 44 + B) = (aa) 6 la=a.
+
+ (ba). + (as).
332
ESPACIOS VECTORIALES
Los elementos de V son vectores y 10s elementos de F son escalares. Cuando solo hay un campo F en la discusion, omitimos la referencia a F y nos io rcferimos a un ~ . ~ p a cv~ctorial. Nbtcse que la multiplicacion para un espacio vectorial no es una operacion binaria en un conjunto, en el sentido en que la definirnos en el capitulo I . Mris bien, es una regla que asigna un elemento aa de V a cada par ordenado (a, a) que consta de un elemento u de F y un elemento a de V. Se puede considerar como una.funcicin que transforma F x V en V. La h~rcwarnanera de definir una operacion binaria en un conjunto S, es analoga a decir que es una funcion de S x S e n S, pero en el capitulo 1 quisimos ser mas intuitivos. Tanto la identidad aditiva de V , el 0-vector como la identidad aditiva en F, el 0-escalar, se denotaran por 0. Ejemplo 36.1 Considerese el grupo abeliano
para r~ R y a = ( a , , . . ., a,)€ R". Con estas operaciones R" es un espacio vectorial sobre R. Los axiomas de espacio vectorial se verifican facilmente. En particular, para n = 2 no habra dificultad para convencerse de que R2 = R x R, como espacio vectorial sobre R, puede considerarse como todos 10s ccvectores cuyos puntos iniciales estan en el origen del plano euclidianow en el sentido en que con frecuencia se estudia en 10s cursos de calculo. Ejemplo 36.2 Para cualquier campo F, F [ x ] puede considerarse como un espacio vectorial sobre F, donde la suma de vectores es la suma ordinaria de polinomios en F [ x ] y la rhultiplicacion por un escalar de un elemento de fix] por un elemento de F es la multiplicacion ordinaria en F[.r]. Entonces, 10s axiomas del W'-, al V , de un espacio vectorial se deducen de inmediato de 10s axiomas del dominio entero F[.r]. Ejemplo 363 Sea E un campo de extension de un c a m p F. Entonces, E puede considerarse como un espacio vectorial sobre F donde la suma de vectores es la suma usual en E y la multiplicaci6n pot un escalar es la multiplicacion usual de campo en E con a E F y a E E. Los axiomas se siguen de inmediato de 10s axiomas de campo para E. Aqui, el campo de 10s escalares es, en realidad, un subconjunto de nuestro espacio de vectores. Este es el ejemplo importante para nosotros. 8
No suponemos nada acerca de espacios vectoriales y probaremos todo lo necesario a partir de la definicion, aunque 10s resultados nos resulten familiares por 10s cursos de calculo. Teorema 36.1 Si V es un espacio vectorial sobre F, entonces Oa = 0, aO = 0 y ( - a ) a = a ( - a ) = -(aa)para t o d a s l a s a ~ F y a EV .
36.2 INDEPENDENCIA LINEAL Y BASES
333
Dcmostracibt~ La ecuacion Oa = 0 se lee (((0-esca1ar)a = 0-vecton) y, de manera analoga, aO = 0 se lee cta(0-vector) = 0-vector)). Las demostraciones aqui, son muy similares a las del teorema 23.1 para un anillo y, de nuevo, dependen en gran medida de las leyes distributivas F, y ./-,. Ahora,
+ 0)r = (Or) + (Oa) abeliano (V, +), de mod0
(Oa) = (0
es una ecuacion en el grupo cancelacion en el grupo, 0 = Oa. En forma analoga, de
aO concluimos que a0
=
a(0
=
0. Entonces,
0
=
Oa = ( a
que, por la ley de
+ 0) = aO + aO,
+ (-a))a
= aa
+ (-a)a,
de mod0 que (-a)a = -(aa). Del mismo modo, de 0 = aO = a(a concluimos que, tamb*,
36.2
a(-a)
=
+ (-a))
= aa
+ a(-a),
-(aa).
INDEPENDENCIA UNEAL Y BASES
Definici6n Sea V un espacio vectorial sobre F. Los vectores en un subconjunto S = {ai I i~ I) de V generan V, si para toda fl E V tenemos
para algunas a j E F y ail E S, j = 1, combinacidn lineal & las ai,. Ejernplo 36.4
. . ., n.
Un vector
x=,
aJai, es una
En el espacio vectorial Rn sobre R del ejemplo 36.1, 10s vectores
claramente generan Rn, pues ( a l , a 2,..., a,) = al(l,O,..., 0)
+ a,(O,
1,..., 0)
+ - - .+ a,(O,O ,..., 1).
Ademis, 10s monomios x" para m 2 0 generan F [ x ] sobre F, el espacio vectorial del ejemplo 36.2.
334
ESPACIOS VECTORIALES
Ejemplo 365 Sea F un carnpo y E un carnpo de extension de F. Sea a E $ algebraico sobre F. Entonces, F(a) es un espacio vectorial sobre F y, por al teorema 35.4, esta generado por 10s vectores en { I , a, . . ., an- I ) donde n = graq (a, F). Este es el ejemplo importante para nosntros. m Definici6n Un espacio vectorial V sobre un carnpo F es de dimensionfinita, si existe alg~insubconjunto finito de V cuyos vectores generen V.
Ejernplo 36.6 El ejemplo 36.4 muestra que R" es de dimension finita. El espacio vectorial F [ x ] sobre F no es de dimension finita, pues 10s polinomios de grad6 arbitrariamente grande, por supuesto, no pueden ser combinaciones lineales de elementos de cualquier conjunto finito de polinomios. m Ejemplo 36.7 Si F IE y a E E es algebraico sobre el campo F, el ejemplo 36.5 muestra que q a ) es un espacio vectorial sobre F de dimension finita. Este es el ejemplo mhs importanre para nosorros. m La siguiente definicion contiene la idea mas importante de esta seccion.
Los vectores en un subconjunto S = {ai1 i~ I } de un espacio vectorial V sobre un c a m p F son tinedmente independientes sobre F si aJui, = 0 implica que a, = 0 para j = 1, . . ., n. Si 10s vectlores no son linealmente independientes sobre F, son tinedmente dependientes sobre F. Defmici
z=,
Asi, 10s vectores en {ai1 i~ I } son linealmente independientes sobre F, si la unica manera de que el 0-vector se pueda expresar como combinacion lineal de 10s vectores a , es tener todos 10s coeficientes escalares iguales a 0. Si 10s vector9s son linealmente dependientes sobre F, entonces existen aj E F para j = 1, . . ., n tal que aJui, = 0 donde no todos 10s aj = 0.
z=l
Ejernplo 3fi.S Es claro que 10s vectores del conjunto de vectores que generan el espacio Rn dados en el ejemplo 36.4 son linealmente independientes sobre R. Asi mismo, 10s vectores en {A?" ( m 2 0) son vectores linealmente independientes Qe a x ] sobre F. N6tese que (1, - I), (2, 1) y (- 3,2) son linealmente dependientes en R2 sobre R, pues
Ejemplo 36.9 Sea E un campo de extension de un c a m p F y sea a E E algebrqico sobre F. Si grad(a, F) = n, entonces, por el teorema 35.4, todo elemento (je F(a) puede expresarse unicamenre en la forma
Oan-I debe ser la unica de dichas para bi E F. En particular, 0 = O + Oa + expresiones para 0. Asi, 10s elementos 1, a, . . ., an-' son vectores linealmerite
36.3 DIMENSION
335
independientes en F(a)sobre el campo F. Ademas, generan F(a),de modo que, por la definicibn siguiente, 1, a, . . ., a"-' forman una base para F(a)sobre F.Este es el ejemplo importante para nosotros. De hecho, esta es la razon por la cual estamos desarrollando este material acerca de espacios vectoriales. w Definici6n Si V es un espacio vectorial sobre un campo F,10s vectores en un subconjunto B = {Bi1 i E I} de V forman una bose para V sobre F si generan V y son linealmente independientes.
36.3
DIMENSION
Los demas resultados que deseamos probar acerca de espacios vectoriales son que todo espacio vectorial de dimension finita tiene base y que dos bases de un espacio vectorial de dimension finita ticnen el mismo numero de elementos. Estos dos hechos son ciertos, sin la hipbtesis de que el espacio vectorial sea de dimension finita, per0 las demostraciones requieren mayor conocimiento de teoria de conjuntos del que estamos suponiendo y todo lo que necesitamos es el caso de dimensibn finita. Daremos primer0 un lema sencillo. Lema 36.1 Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sea a E V. Si a es combinacibn lineal de 10s vectores pi para i = 1, . . ., m y cada pi es combinacidn lineal de 10s vectores y j para j = 1, . . ., n entonces, a es combinacidn lineal de las yi. Demostracibn Sea a = Entonces,
Cy=fli/Ii y sea /Ii
=
z=
bijyjdonde ai y bijesthn en F.
Teorema 36.2 En un espacio vectorial de dimensidn finita, todo conjunto finito de vectores que genere el espacio contiene un subconjunto que es una base. Demostracibn Sea V de dimensibn finita sobre F y Sean a,, . . ., a, vectores en V que generan V. Listemos las ai una tras otra. Examinese cada ai sucesivamente, comenzando por la izquierda con i = 1 y descartese la primera a. ue sea ?' combinacibn lineal de las ai anteriores, para i < j. Continuese con la s~guiente aj+, y dedrtese la siguiente a, que sea alguna combinacibn lineal de 10s restantes predecesores, y asi sucesivamente. Llegaremos a a, despuis de un numero finito de pasos, las ai que queden en nuestra lista son tales, que ninguna es combinacibn lineal de las ai anteriores en esta lista reducida. El lema 36.1 J
336
ESPACIOS VECTORIALES
muestra que cualquier vector que sea combinacion lineal de la coleccion original de las ai sigue siendo combinacion lineal de nuestro conjunto reducido y quiza menor, cn donde ninguna ai es combinacion lineal de sus predecesores. Asi, 10s vectores en el conjunto reducido de xi de nuevo generan V. Supongase que, para el conjunto reducido,
para i , < i, < . . . < i, y alguna a j # 0. Podemos suponer, por el teorema 36.1, que a, # 0, si no, podriamos quitar u p i r del lado izquierdo de la ecuacion. Entonces, usando de nuevo el teorema 36.1, obtenemos
lo cual muestra que a, es una combinacion lineal de sus predecesores, y esto contradice nuestra construccion. Asi, 10s vectores ai en el conjunto reducido, generan V y son linealmente independientes, de mod0 que forman una base para V sobre F. Corolario
Un espacio vectorial de dimensibn finita tiene una base finita.
Demostracibn Por definicibn, un espacio vectorial de dimension finita tiene un conjunto finito de vectores que generan el espacio. El teorema 36.2 completa la demostracibn.
El siguiente teorema culmina nuestro trabajo con espacios vectoriales. Teorema 36.3 Sea S = {a,, . . ., a,) un conjunto finito de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial V de dimension finita, sobre un campo F. Entonces, S puede extenderse a una base de V sohre F. Atin mas, si B = {Dl,. . ., 8.) es cualquier base de V sobre F, entonces r In.
Por el corolario del teorema 36.2, existe una base B = de V sobre F. Considerese la sucesibn finita de vectores
Demostracibn
8.)
a,, . . ., a,
{b,, . . . .,
819. . .,8.-
Estos vectores generan V, pues B es una base. Siguiendo la ttcnica usada en el teorema 36.2 de ir descartando cada vector que sea una combinaci6n lineal de sus predecesores restantes, trabajando de izquierda a derecha, llegamos a una base para V. Es claro que ninguna ai se descarta, pues las ai son linealmente independientes. Asi, S se puede extender a una base de V sobre F. Para la segunda parte de la conclusion, considkrese la sucesibn
36.3 DIMENSION
337
Es~osvcctorcs no son lincalmcnte indcpcndientes, pucs r l es una combinacion lineal
pucs las
pi forman una base. Asi,
Los vectores en la sucesion si generan V , y si formamos una base mediante la ticnica de trabajar de izquierda a derecha descartando cada vector que sea combinacion lineal de sus predecesorcs restantes, deberii sacarse a1 menor una Pi dando la base
donde ni 5 n - I . A1 aplicar la misma ttcnica a la sucesion de vectores
llegamos a una nueva base {a1, az. 8 1 ' 2 ' 7 . . ., 85"'}, con a 5 n - 2. Continuando, llegamos por ultimo a una base {al, . . ., a,, PI"', . . ., 8F)},
Corolario Cualesquiera dos bases de un espacio vectorial de dimensibn finita V sohre F tienett el mismo ntimero de elementos. Demostracibn Sean B = ( j l , . . ., P.) y B = {B;, . . ., pm) dos bases. Entonces, por el teorema 36.3, considerando B como un conjunto independiente de vectores y B como base, vemos que n 5 m. Un argument0 simetrico da que m I n, de modo que ni = 11.
Definicibn Si V es un espacio vectorial de dimension finita sobre un campo F, el nlimero de elementos en una base (por teorema 36.3, es independiente de la selection de la base) es la dimensibn de V sobre F. Ejernplo 36.10 Sea E un campo de extension de un campo F, y sea a € E. El ejemplo 36.9 muestra que si a es algebraic0 sobre F y grad(a, F ) = n, entonces la dimensi6n de F[a], como espacio vectorial sobre F, es n. Este es el ejemplo importante para nosotros.
36.4
UNA APLlCAClON A LA TEORIA DE CAMPOS
11
Reunamos 10s resultados de teoria de 10s campos contenidos en 10s ejemplos 36.-, 36.5, 36.7, 36.9 y 36.10 e incorporemoslos en un teorema. La tiltima frase de est teorema da una elegante aplicacion adicional de estas ideas de espacios vectoria les a la teoria de campos.
1
Teorema 36.4 Sea E un campo de exrensibn de F y sea a E E algebraico sobr F. Si grad(a, F ) = n, enronces F(a) es un espacio vecrorial n-dimensional sobr F con base ( 1 , a, . . ., an-' }. MU.T aun, todo clenzenro p de F(a) es algebraic sobre F y grad@, F) grad(a, F).
Demostracibn En 10s ejemplos anteriores ya mostramos todo, except0 el resulrddo muy importante enunciado en la Cltima frase del teorema anterior. Sea P E F(4) donde a es algebraic0 sobre F de grado n. Considirense 10s elementos 1
Estos no pueden ser n + 1 elementos distintos de F(a) que Sean linealmende independientes sobre F pues, por el teorema 36.3, cualquier base de F(a) sobre contendria a1 menos tantos elementos como hubiera en cualquier conjunto e vectores linealmente independientes sobre F. Sin embargo, la base (1, a, . . ., a n - ' ) tiene solo n elementos. Si 8' = Bj, entonces 8' - = 0 luego, en todo cass, existe bi E F tal que
4;
donde no'\ todas las bi = 0. Entonces, f(x) = bnx" + ... + b l x + b, es un elemento distinto de cero de F [ x ] , tal que f(P) = 0. Por tanto, B es algebraico sobre F y grad@ F ) es a lo m h n. w
Encuentrense tres bases para R2 sobre R donde no haya dos que tengan alg5n vector en comun.
36.3
36.2 Determinese cualcs de 10s conjuntos dados de vectores son una base de R3 sobre R.
363 De acuerdo con el teorema 36.4 el elemento 1 + a de &(a) del ejemplo 35.9 ps algebraico sobre 2,. Encuentrese el polinomio irreducible para 1 + a en Z 2 [ x ] .
36.4 Obttngase una base para cada uno de 10s siguientes espacios vectoriales sobre 10s campos indicados.
a)
~ (sobre 3 Q)
Q($) sobre Q e) Q ( i )sobre Q C)
b) R($) sobre R dl C sobre R f ) ~ ( $ 6 sobre ) Q
'365 Pruebese que si V es un espacio vectorial de dimension finita, sobre un campo F. entones un subconjunto {pi)de Ves una base para V sobre Fsi y solo si todo vector en V puede expresarse de manera linica como combinacion lineal de 10s pi.
36.6
LFalso o verdadero? La suma de dos vectores es un vector. La suma de dos escalares es un vector. El producto de dos escalares es un escalar. El producto de un escalar y un vector es un vector. Todo espacio vectorial tiene base finita. Los vectores en una base son linealmente dependientes. El O-vector puede ser parte de una base. Si F I E y (I E E es algebraico sobre el c a m p F, entonczs a2 es algebraico sobre F. Si F I E y a E E es algebraico sobre el c a m p F, entones a + a2 es algebraico sobre F. Todo espacio vectorial tiene una base.
Los ejercicios que siguen se refieren a1 esrudio ulterior de 10s espacios vecroriales. En muchos casos, se pide definir para espacios vecroriales algun concepro analogo a orro que yo esrudiamos para orras estrucruras algebraicas. Esros ejercicios mejoraran su habilidad para reconocer siruaciones paralelas y relacionadas en algebra. Los ejercicios pueden suponer el conocimienro & conceptos definidos en ejercicios anreriores.
36.7 Sea V un espacio vectorial sobre un campo F. a) Definase un subespacio del espacio vectorial V sobre F. b) Prdbese que la interseaion de subespacios de V es, de nuevo, un subespacio de V sobre F. Sea V un espacio vectorial sobre un c a m p F y sea S = {ai1 i E I}una coleccion de vectores en V.
36.8
a) Usese el ejercicio 36.7 b) para definir el subespacio de V generado por S. b) Prdbese que 10s vectores en el subespacio de V generado por S son, precisamente, las combinaciones lineales (finitas) de vectores en S. (Compirese con el teorema 9.1.) Sean Vl,. . ., V, espacios vectoriales sobre el mismo c a m p F. Definase la swna Vl @ - .- @ V, & 10s espacios vecroriales Y, para i = 1, . . ., n y mubtrese que la suma directa es, de nuevo un espacio vectorial sobre F.
36.9
directa
36.10 Generalicese el ejemplo 36.1 para obtener el espacio vectorial F" de n-adas ordenadas de elementos de F sobre el campo F para cualquier ca-mp F. LCuiI es una base para F"?
340
ESPACIOS VECTORIALES
-%.I 1 Sea F cualquier campo. ConsidCrese el ccsistema de m ecuaciones lineales simulta-
neas en n incognitas))
a,,X,
+ cz,,X, + ... + a,,X,
=
b,,
donde a,,., b, E F. a) Muestrese que el ccsistema tiene solucionn si y solo si el vector fi = (b,, . . ., b,) de F m esta en el subespacio de Fmgenerado por 10s vectores a j = (a,? . . ., amj). (Este resultado es trivial de demostrar, practicamente es la definition de solucion, pero, en realidad, debe contemplarse como el tzorema fundamental de la esistencia de una solucidn simult6nea de un sistema de ecuaciones lineales.)
b) De a) mubtrese que si n = m y {zjl j = 1, ..., n } es una base para Fn, entonces el sistema siempre tiene solucion hnica. 36.12
Definase un iromorfismo de un espacio vectorial V sobre un campo F con un espacio t~ectorialV' sobre el mismo campo F,
Prutbese que todo espacio vectorial V de dimension finita, n, sobre un c a m p F es isomorfo al espacio vectorial F" del ejercicio 36.10. 36.13
X I 4 Sean V y V' espacios vectoriales sobre el mismo c a m p F. Una funcion 4 : V -r V' es una trtznsf~mucidnbncd de Ven V' si se cumplen las siguientes condiciones para todas lasa, BE V y ~ E E
a) Si b)
{Bi1 i E I ) es una base para
V sobre F, muktrese que una transformaci6n lineal
4: V -r V' esta por completo determinada por 10s vectores Pi# E V'. Sea {Bi I I E I} una base para V y sea {& I i E I } cualquier wnjunto de vectores, no por
fuerza distintos, de V'. Mukstrese que existe procisamente una transfomacion lineal 4 : V -r V' tal que Bi4 = & Sean V y V' espacios vectoriales sobre el mismo c a m p F y sea transfomacion lineal. 36.15
4 :V -r V' una
a) LA cual concept0 que ya estudiamos para estructuras de grupos y anillos, wrrespnde el wncepto de transformacibn linear! b) Definase el kernel (o espacio nulo) de 4 y muCstrese que es un subespacio de V. c) Describase cuando 4 es un isomorfismo de V en V'. 36.16 Sea V un espacio vectorial sobre un c a m p F y sea S un subespacio de V. Definase el espacio cociente V / S y demukstme que es un espacio vectorial sobre F.
36.17 Sean V y V' espacios vectoriales sobre el mismo c a m p F y sea V de dimension finita sobre F. Sea dim(V) la dimension del espacio vectorial V sobre F. Sea 4 : V + V' una transfomaci6n lineal. a) Muestrese que V+ es un subespacio de V'. b) MuQtrese que dim (V4) = dim(V) - dim(kerne1 4). [Sugerencia: elijase una base conveniente para V, usando el teorema 36.3.-Por ejemplo, extiendase una base para (kernel 4) a una base para V.]
*36.18
Sean S y T subespacios de un espacio vectorial V sobre un campo F.
Definase el ensamhlr S v T de S y T y muestrese que S v T tambien es un subespacio de V sobre F. (Comparese con la seccion 8.2. En la literatura, se denota S v T por S T.) b) Describanse 10s elementos en S v T e n terminos de 10s de S y 10s de 7. a)
+
'36.19 Sea V un espacio vectorial de dimension linita sobre un campo F y sea dim( b') la dimension de V sobre F. Muestrese que si S y T son subespacios de V sobre F. entonces,
[Sugerencia: la dimension de un espacio es el numero de elementos en una base. Usese el
teorema 36.3 para escoger bases convenientes, de modo que la demostracion sea 8cil. Primero elijase cualquier base {xi! para S n T y despues, extiendase con vectores /Ij de modo que (ai,b,} sea una base para S. Repitase el proceso de modo que {z,. sea una base para T. Muestrese que fa,, P(j.;,). es una base para S v T.]
Otras estructuras algebraicas Esta es una seccion destinada a dar una idea de algunas otras estructurz algebraicas importantes y su relacion con las estructuras estudiadas.
*37.1
GRUPOS CON OPERADORES
Definicidn Un grupo con operedores consta de un grupo G y un conjunto ( el conjunto de operadores, junto con una operacion de multiplicacion extern de cada elemento de G por cada elemento de 0 por la derecha, tal que par todas las a, /3 E G y a E 0 se satisfacen las condiciones siguientes: 1 (aa)E G.
2
= (aa)(Ba).
Hablaremos, de manera algo incorrecta, del 0-grupo G. Notese que hemos seguido de cerca la forma en que definimos un espaci vectorial en el capitulo 36. La operacion de multiplicacibn externa es, en realidac una funcion 4 :G x B -,G donde (a, a)4 se denota por aa para a E G y a E 0 . E claro que escribir el operador a a la derecha de a, como lo hicimos aqui, o a 1 izquierda, es cuestion de gusto y de conveniencia. Aunque en la definition no requerimos ninguna estructura para el conjunt 0 , sucede con frecuencia que 0 tiene alguna estructura algebraica natural. Demc algunos ejemplos.
37.1 CRUPOS CON OPERADORES
343
Ejemplo 37.1 Todo grupo abeliano G da lugar a un grupo natural con operadores. Escribamos de manera multiplicativa la operation de grupo de G. Sea O = Z, para a E G y n E Z, definase an = an. Como G es abeliano, tenemos
Asi, fodo grupo abeliano se puede considerar como un Z-grupo. Aqui, Z tiene una estructura natural de anillo. Ejemplo 37.2 Si V es un espacio vectorial sobre un campo F, V se puede considerar, de manera natural, como un F-grupo (izquierdo). Aqui, F tiene una estructura de campo.
Considerese un 0-grupo G. Para a E 0 fija, la transformacibn p, : G -P G definida por ap, = aa para a E G es un homomorfismo de G en G puesto que (a& = = (aa)(fia). Esto sugiere el siguiente ejemplo. Ejemplo 373 Sea G cualquier grupo y sea 0 cualquier conjunto de homomorfismos de G en i l mismo (dichos homomorfismos son endomorfimos de G). Para a, fi E G y $J E 0 , la propiedad (afi)$J= (a$J)(fi$J)para el endomorfismo 4, muestra que podemos contemplar G de manera natural como un 0-grupo. m
Una parte sustancial de nuestra teoria de grupos abelianos podria haberse aplicado a 0-grupos. Comenzando con 10s subgrupos, un subgrupo admisible, o un 0-subgrupo de un 0-grupo G es un subgrupo H de (G, tal que au E H para todas las a E H y a E 0, esto es, dicho H es cerrado bajo la multiplicacibn externa por elementos de 0 . Si se trabaja constantemente con 0-grupos, tan solo se omite el tirmino admisible y se habla de un subgrupo del 0-grupo G, sobreentendiendo que se trata de un 0-subgrupo. Un par de ejemplos mas, mostraran la elegancia con que estas ideas se relacionan con nuestro trabajo anterior. a)
Sea G cualquier grupo y sea 9 el conjunto de todos 10s automorfismos internos de G. Como en el ejemplo 37.3, G es un 9-grupo de manera natural. Un subgrupo (admisible) H de G debe tener, entonces la propiedad de que ai, = g- lag estd en H para todas las a E H y todas las g E G. Asi, 10s f-subgrupos H del 9-grupo G son esencialmente 10s subgrupos normales de G. Ejemplo 37.4
.
Ejemplo 375 Sea R un anillo. El grupo aditivo (R, + ) de R puede considerarse como un R-grupo donde para un elemento a del grupo (R, + ) y r E R, se define ar mediante la multiplicacibn en el anillo. La ley distributiva derecha en R da (a b)r = (ar) + (br) lo cual es precisamente la condicibn para que (R, +) sea un R-grupo. Un R-subgrupo N del R-grupo (R, + ) debe ser, entonces, un subgrupo de (R, + ) que satisfaga ar E N para todas las a E N y r E R. Asi, 10s R-subgrupos son esencialmente 10s ideales derechos de R. Si R es un anillo conmutativo, entonces 10s R-subgrupos son esencia!mente 10s ideales de R.
+
344
OTRAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Podernos formar el grupo factor de un C-grupo G modulo en P-subgrupo normal; cl grupo factor sc vuclve C-grupo de manera natural, cuando definirnos la rnultiplicacion extcrna en las clascs latcrales, usando reprcsentantes. Tenemos cl concept0 dc C -homomorfismo dc un C-grupo en otro. En 10s ejercicios pediremos definiciones apropiadas para estas ideas. Por ultimo, enunciamos sin dcmostraci6n cl teorcma dc Jordan-Holder para un 0-grupo. Las definiciones de seric subnormal y series de composicion son anhlogas a las definiciones en la parte I; solo se requiere que todo subgrupo sea un C1-subgrupo. Teorema 37.1 (Jordan-HCfder)
C~/uk~.sq~ric.ru dos .scric.r ck contposicihn LIP un
U-grupo G son i.vomor/hs. Tomando O = {i), donde i es la transformation identica de un grupo G sobre si mismo, recobramos el teorema de Jordan-Holder para series de composicion. Tomando 8 = .a,el conjunto de automorfismos internos de G, recobramos el teorema de Jordan-Holder del capitulo 14 para series principales. Por ultimo, y de manera mLs impresionante, tomando el teorema de Jordan-Holder para el F-grupo V donde V es un espacio vectorial de dimensi6n finita, sobre F, recobramos la invariancia de la dimension de V, pues un F-grupo factor simple del F-grupo V sera un espacio vectorial (un F-grupo) de dimension 1 sobre F.
Definici6n Sea R un anillo. Un R-modulo (izquierdo) consta de un grupo abeliano M junto con una operacion de rnultiplicacion externa de cada elemento de M por cada elemento de R por la izquierda, tal que para todas las a, E M y r, s E R se satisfacen las condiciones siguientes:
I 2 3 4
(ra)~M.
+ +
r(a p) = ra (r .~)a = ra (r.s)a = r(sa).
+ rp. + sa.
Hablaremos, de manera algo incorrecta, del R-modulo M. Un R-mMulo se parece mucho a un espacio vectorial, pero 10s escalares solo necesitan formar un anillo. Si R es un anillo con unitario y l a = a para toda a E M, entonces M es un R-mbdulo unitario. Ejemplo 37.6 Todo grupo abeliano G se puede considerar como un Z-modulo si definimos rta = a" para a E G y n E Z. Usamos notacion multiplicativa para la operacion en G. Los axiomas de modulo se vkrifican facilmente. rn
37.3 ALGEBRAS
345
Ejemplo 37.7 Para un ideal N en R, (N, +) puede considerarse u n R-modulo donde para r E N y r E R, rr es la multiplication ordinaria del anillo. de r y r , ambos vistos como elementos del anillo R.
Podemos hablar de submodulos, modulos cocientes y R-homomort~smoide un R-modulo en otro, todo mediante definiciones naturales. Podemos :omar. ademas, sumas directas de R-modulos y cbtener R-modulos. Definici6n Un R-modulo M es ciclico si existe z E .M tal que M = {ra 1 rrz R}.
=
Asi, un R-modulo ciclico esta generado por un solo elemento. La idea de un conjunto de generadores de un R-modulo es una generalizacion natural de la idea del conjunto de vectores generadores de un espacio vectorial. El siguiente teorema es un be110 resultado; lo enunciamos sin demostracion y despues lo ilustramos para algunos casos particulares, a la luz de nuestro trabajo anterior. Teorema 37.2 Si R es un DIP, entonces todo R-modulo finitamenre generado es isomorfo a una suma direcla de R-mbdulos ciclicos.
Sea R = Z y refirikndonos a1 ejemplo 37.6, vemos, del teorema que todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a una suma directa de grupos ciclicos. Esta es gran parte del teorema fundamental de 10s grupos abelianos finitamente generados. Para R = F, donde F es un campo, aplicamos el teorema 37.2 a un espacio vectorial V de dimension finita, sobre F, y vemos que V es isomorfo a una suma directa de espacios vectoriales de dimension 1 sobre F.
*37.3
ALGEBRAS
Definicibn Un algebra consta de un espacio vectorial V sobre un c a m p F, junto con una operacion binaria de multiplicaci6n en el conjunto V de vectores, tal que para todas las a E F y a, B, y E V se satisfacen las condiciones siguientes: 1 (aa)B = a(afl) = a(ajl). 2 (a+p)v=a;,+B.,.. . 3 a(p 7) = afi + a;.
+
Hablaremos de manera algo incorrecta de un dgebra V sobre F. Tambien, V es un algebra asociativa sobre F si ademas de las tres condiciones anteriores, 4 (ap)y = z(py)
para toda
a, p, y
E
V.
Ejemplo 378 Si E es un campo de extension de un campo F, entonces Y = E puede considerarse como un algebra asociativa sobre F, donde la suma y multi-
346
OTRAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
i
plicacion de elementos de V son la suma y rnultiplicacion del campo en E y la multiplicaci6n por un escalar por elementos de F es, de nuevo, la multiplicaci n del campo en E.
Ejemplo 37.9 Para cualquier grupo G y campo F, el algebra del grupo F( definida en la seccion 25.3 es un algebra asociativa sobre F. a Definici6n Un algebra V sobre un campo F es un cilgebra de disisidn so F si V tiene unitario para la rnultiplicacion y contiene un inverso tivo decada elemento distinto de cero. (Notese que no se supone vidad de la rnultiplicacion.) Ejemplo 37.10 Un campo de extension E de un campo F, puede considera como un ilgebra de division asociativa sobre F. Tambitn 10s cuaterniones 9 seccion 25.4 forman un algebra de division asociativa sobre 10s numeros
Concluimos, para dar informacion, con el enunciado de algunos resultados Tam sos acerca de Algebras de divisi6n sobre 10s numeros reales.
i
Teorema 37.3 Los ntimeros reales, 10s nlimeros complejos y 10s cuaternion s son las ~inicas(salvo isomorf~~mo) lilgebras de divisibn asociariuas sobre I s numeros reales (Frobenius, 1878). L.a unica otra cilgebra de divisibn sobre I s nlimeros reales es el algebra & Cayley, que es un espacio vectorial de dime sibn 8 sobre R (Borr y Milnor, 1957).
*37.1
Nuestra definicibn de 8-grupo no comenzb
I
de manera similar a nuestras definiciones de grupo y de anillo. Si definitramos un de esa manera, iqut seria ( , ,. . . , )? Aseg~ircscde considerar rodos 10s conjuntos y r las operaciones involucradas. *373
Repitase el ejercicio 37.1 para un R-mtklulo.
*373
Repitase el ejercicio 37.1 para un algebra.
I I
I
*37A Mubtrese pue la interseccibn de subgrupos admisibles de un 8-grupo G es, ge
nuevo, un subgrupo admisibie de G. *375
Sea G cualquier grupo y sea I el conjunto de rodos 10s automorfismos de G. ejemplo 37.3, G puede considerarse un I-grupo. Un I-grupo de G es un subgru umcterktico de G. Todo subgrupo de todo grupo abeliano es un subgrupo normal, esto es, 9-subgrupo, pero dkse un ejemplo para mostrar que no todo subgrupo de todo abeliano es un subgrupo caracteristico.
I
"37.6 Mutstrese que el grupo factor de un b-grupo, C modulo un subgrupo normal admisible, puede considerarse, de nuevo, un b-grupo de manera natural. Esto es, definase la multiplicacion externa en las clases laterales, mutstrese que esta bien definida y verifiquense 10s axiomas para un 0-grupo.
Definase el concept0 de O-hornornorfisrno de Mutstrese que el kernel es un O-subgrupo de G .
"37.7
*378
un O-grupo C en un 6-grupo G'.
Prutbese que para un R-mMulo izquierdo M
para t o d a a ~ M y~ E R . W.9 Sea M un R-mbdulo izquierdo y sea a E M. Muestrese que La = { a E R I oa = 0 } es w ideal izquierdo de R. 9.10
Definase un subm6dulo 0% un R-mddulo (izquierdo) M y un m6dulo cociente de un R-mddulo (izquierdo) M, m a l o un submbdulo N.
97.11
Definase un R-homomorjismo de un R-mddulo (izquierdo) M en un R-m6dulo
(izquierdo) M'.
T . 1 2 MuQtrese que el anillo (M,(F), +, .) de la seccion 25.1, se convierte en un ilgebra de dimension n2 sobre Fsi definimos la multiplicacion por un escalar por b(oij) = = (bo,,) para (aij)E MAF) y b E F. *37.13
Sea V un algebra de dimeniion finita con una base
sobre un c a m p F. Mutstrese que la multiplicaci6n de vectores en V esta por completo detenninada por 10s n2 productos para cada par ordenado (8, 8,) de vectores de la base de B. 97.14
Sea V un algebra de dimension finita w n una base
sobre un c a m p F. Mubtrese que V es un algebra asociativa sobre F si y s61o si
BXBdt) = (8,BdSt Para cada una de las n3 ternas ordenadas (8, B, 8,) de vectores de la base B. *37.15 Sea V un espacio vectorial de dimension finita, sobre un c a m p F,con una base B = {Bit i = 1, . . .. n ) sobre F. Sea {c,, 1 r, s, t = 1, . . ., n ) cualquier coleccion de n3 gcalares en F. Mutstrese que existe exactamente una operacibn binaria de multiplicaci6n m V tal que V es un algebra sobre F bajo esta multiplicaci6n y tai que
para todo par odenado (8,8,) de vectores de la base B. Los escalares c , son las constantes abacturales del hlgebra.
-
ExtensioneS algebraicas
En el teorema 36.4 vimos que si E es un campo de extension de un campo F y a E E es algebraico sobre F,entonces todo elemento de F(a)es algebraico sobre F. Al estudiar ceros de polinomios en F [ x ] estaremos interesados casi exclusivamente en extensiones de F que solo contengan elementos algebraicos sobre F.
Definici6n Un campo de extension E de un campo F es una extensibn algebraiea & F si todo elemento en E es algebraico sobre F. Definici6n Si un campo de extension E de un campo F es de dimension finita n como espacio vectorial sobre F,entonces E es una extensibnfinita de grado n sobre F. Denotamos por [ E : F] el grado n de E sobre F. Usaremos a menudo el hecho de que si E es una extension finita de F, entonces [E: F] = 1 si y s610 si E = F. Basta o b s e ~ a que, r por el teorema 36.3, siempre puede extenderse (1) hasta una base para E sobre F. Entonces, [ E :F] = = 1 implica que E = F(l)= F. El reciproco es obvio. Repitamos el argument0 del teorema 36.4 para mostrar que una extension finita E de un campo F debe ser una extension algebraica de F. Teorema 38.1 Un campo de extensibn finira E de un campo F es una extensibn algebraica de F. Demosrracibn Debemos mostrar que para a E E, a es algebraico sobre F. Por el teorema 36.3, si [ E : F] = n, entonces
no pueden ser elementos linealmente independientes, de mod0 que exisrcn tales que
E
F
.
donde no todas las ui = 0. Entonces, f ( x ) = a,xn + . . . + a,x + a, es un polinomio distinto de cero en F [ x ] y f(a) = 0. Por tanto, a es algebraic0 sobrc F.
No se puede exagerar la importancia del siguiente teorema. Desempeiia un papel importante en la teoria de campos, analog0 a1 papel del teorema de Lagrange en teoria de grupos. A pesar de que su demostracion se sigue facilmenle del breve trabajo con espacios vectoriales, es una herramienta de una fuerza increible. Mas adelante usaremos constantemente el teorema en 10s argumentos de la teoria de Galois. Ademas, una elegante aplicacion de este teorema, en el siguiente capitulo con asterisco, muestra la imposibilidad de realizar ciertas construcciones geomktricas con regla y compas. Nunca hay que subestimar un teorema qur. cuente algo. m
Teorema 38.2 S i E es un campo de extensionfinila a% un campo F y K es un ak extensibn fmifa de E, enronces K es una extensidn finita dt* F, y
camp
[ K : F ] = [ K : E ] [ E :F ] . Sea { a i ( i = 1, . . ., n ) una base para E como espacio vectorial sobre F y sea {flj 1 j = 1, . . ., m ) una base para Kcomo espacio vectorial sobre E. El teorema quedara probado si podemos mostrar que 10s mn elemenlos aiSj f o m a n una base para K considerado como espacio vectorial sobre F. Sea y cualquier elemento de K. Como las #Ij forman una base para K sobre E, tenemos Demosrracion
para b j c E. Como las ai forman una base para E sobre F tenemos
para aijE F. Entonces,
de mod0 que 10s mn vectores aiPj generan K sobre F.
I
350
i
EXTENS~ONESALGEBRAICAS
Falta mostrar que lor mn elementos aipi son independientes sobre F. supbl/gase que xi.jci,(aibj) = 0, con cij€F. Entonces,
(x7=,ci,ai)
y tener
E E. Como 10s elementos
pj son
independientes sobre E, debem
para toda las j. Pero ahora las ai son independientes sobre F, de mod0 q ci,a, = implica que cij = 0 para todas las i y j. Asi, las aibj no sblo genera K sobre F, sino, ademas, son independientes sobre F, Asi, forrnan una base para sobre F. w
z=, 0
Nbtese que probamos el teorema exhibiendo una base. Es importante q u e s i { a i J i = 1, ..., n)esuna basepara E s o b r e F y { b j l j = 1, ..., base para K sobre E, para campos F I; E 5; K, entonces, el conjunto mn productos, es una base para K sobre F. La figura 38.1 es un situacibn. En un momento, ilustraremos mejor todo esto.
Corolario 1 Si I;; es un campo para i = 1, ..., r y 4 + es una extensi n finita de F,, entonces F, es una extensibn finita & F, y
1 I
,
[F, : F,] = [F, :F,- ,][F, - :F,- ,I
.-
[F, :F,].
1
Demostracibn La demostracibn del corolario 1 es una extensibn obvia pbr induccibn, del teorema 38.2. Corolwio 2 Si E es un campo de extenribn de F, a E E es algebraico sobre F y
fl E F(a), entonces, grad@, F) divide grad(a, F).
38.1 EXTENSIONES FINITAS
351
Demostracidn Por el teorema 36.4 grad(a, F) = [fla): F] y grad@, F) = = [F(fl): F]. Tenemos F I flfl) I F(a), de modo que, por el teorema 38.2, [F(fl):F] divide [F (z) : F]. rn
El siguiente ejemplo ilustra un tipo de argumentacion que se hace a menudo utilizando el teorema 38.2 o sus corolarios.
~(8)
Ejemplo 38.1 Por el corolario 2 del teorema 38.2, no hay elemento de que sea un cero de x3 - 2. N6tese que Q) = 2 mientras que un cero de x3 - 2 es de grado 3 sobre Q, p r o 3 no divide a 2. rn
Sea E un campo de extension de un campo F, y sean a,, a, elementos de E, no necesariamente algebraicos, sobre F. Por definition, F(a) es el menor campo de extension de F en E que contiene a a,. En forma analoga, '(F(a,))(a2) puede caracterizarse como el menor campo de extensibn de Fen E que contiene a a, y a a,. Tambitn podriamos haber comenzado con a,, de mod0 que, claramente, (F(a,))(a,) = (F(a2))(al).Denotamos este campo por q a , , a,). De manera analoga, para ai E E, F(al, . . ., a,) es el menor campo de extension de F que contiene todas las ai para i = 1, . . ., n. Obtenemos el campo F(a,, .. ., a,) a partir del campo F agrepndo a F los elementos ai en E. No habra dificultad para verificar que, a1 igual que la interseccion de subgrupos de un grupo, la interseccion de subcampos de un campo E es, de nuevo, un subcampo de E. Es obvio que F(a,, . . ., a,) es la interseccion de todos 10s subcampos de E que contienen F y todas las ai para i = 1, .. ., n. Ejemplo 38.2 Considtrese ~($1. El teorema 36.4 muestra que 11, $1 es una base para Q($) sobre Q. Calculando,encontramos que irr($ + fi, Q) = x4 - lox2 + 1, de modo que [Q($ + :Q] = 4. Asi, + 9 de mod0 que f i ~ Q ( f i ) . Por tanto, (1, $1 es una base para Q(& = = (a$))(@) sobre Q($). Entonces, la demostracion del teorema 38.2 (vkse el comentario que sigue a1 teorema) muestra que {I, $, es una base para a*, sobre Q. rn
fi)
fi)
(fi fi) a$),
3)
3)
la raiz cubica real de 2 y 21f2 la raiz cuadrada positiEjemplo 383 Sea va de 2. Entonces, como vimos en el ejemplo 38.1, 4Q(2'I2). Asi, [Q(2'I2, 2lJ3):Q(21f2)] = 3. Entonces, {l, 21f2}es una base para Q(21f2)sobre Q y {I, 2'13, 2,13} es una base para Q(21f2,2lI3) sobre Q(2'I2). Mas a h , por el teorema 38.2 (vtase el comentario que sigue a1 teorema),
es una base para Q(21f2,PI3) sobre Q. Es claro que como 2716= (2)2lI6,tenemos 2'16 E Q(21/2,2lI3). Ahora, 2'16 es un cero de x6 - 2, el cual, por el criterio de Eisenstein, es irreducible sobre Q, con p = 2. Asi,
352
EXTENSIONES ALGEBRAICAS
y, por el teorema 38.2,
Por tanto, debemos tener
.
de mod0 que, por el comentario anterior a1 teorema 38.1, Q(2'I2, 2lI3) = = Q(2'I6). El ejemplo 38.3 muestra que es posible que una extension F(a,, . . ., a,) de un c a m p F sea, en realidad, una extension simple, aunque n > 1. Caractericemos las extensiones de F de la forma F(a,, . . ., a,) en el caso en que todas las ai Sean algebraicas sobre F.
Teoremu 38.3 Sea E una extension algebraica de un campo F. Entonces, exisre un numero f i i t o de elementos a,, . . ., a, en E tal que E = F(a,, . . ., a,) si y solo si E es un espacio vectorial de dimension f i i t a sobre F, esto es, si y solo si E es una extension f i i t a de F. Demosrracion Supbngase que E = F(al, . . ., a,). Como E es una extension algebraica de F, cada ai es algebraico sobre F, de mod0 que, claramente, cada ai es algebraico sobre todo campo de extension de F en E. Asi, F(a,) es algeb r a i c ~sobre F y, en general, F(a,, . . .,aj) es algebraico sobre F(al, . . ., aj- ,) para j = 2, . . ., n. Se aplica el corolario 1 del teorema 38.2 a la sucesion de extensiones finitas
y se muestra, entonces, que E es una extension finita de F. En fonna reciproca, supbngase que E es una extension algebraica finita de F. Si [ E : n = 1 entonces, E = F(l) = F, y habremos tenninado. Si E # F, sea a, E E donde a, $ F. Entonces, [flat): Fl > 1. Si F(a,) = E, ya tenninamos; si no, sea a, E E, donde a, $ F(al). Continuando este proceso vemos, del teorema 38.2, que debido a que [E: I;1 es finito, debemos llegar a a, tal que F(a,,
38.2
. . ., a,)
= E. rn
CAMPOS ALGEBRAICAMENTE CERRADOS Y CERRADURAS ALGEBRAICAS
Aun no hemos sefialado que si E es una extension de un campo F y a, B E E son algebraicos sobre F, entonces tambien lo son a + p, ap, a - p y alp, si p # 0.
38.2 CAMPOS ALGEBRAICAMENTE CERRADOS
353
Esto se sigue facilrnente del teorema 38.3 y esta incluido, ademas, en el teorema siguiente. Teorema 38.4 Sea E un cunlpn dc. rstawiun de F. Enlonccs
es un subcampo de E, la cerradura algebraica de F en E. Demostracion Sea a, B E FE Entonces, el teorema 38.3 muestra que F(a,8 ) es una extensi6n finita de F y, por el teorema 38.1, todo elemento de F(a, p) es algebraic0 sobre F,esto es. flu, P ) c FE Asi F, contiene a a + z/?,a - /? y tarnbikn a alp para B # O , de mod0 que FE es un subcampo de E.
.
Corolario El conjunto de todos 10s nzimeros algebraicos formu un campo. Demosrracibn La demostracion de este corolario es inmediata del teorema 38.4, pues el conjunto de todos 10s numeros algebraicos es la cerradura algebraica de Q en C. rn
Es bien sabido que 10s nbmeros complejos tienen la propiedad de que todo polinomio no constante en C [ x ] tiene un cero en C. Esto se conoce como el teorema fundamenrol del algebra. Mis adelante en este capitulo, en un parrafo con asterisco, daremos una demostracion analitica de este teorema. Por ahora, damos una definicibn para generalizar este importante concepto a otros campos. Definicibn Un campo F esta algebraicmente cerrado si todo polinornio no constante en n x ] tiene algun cero en F.
El siguiente teorema muestra que el concepto de un campo algebraicamente cerrado tambikn se puede definir en tkrminos de factorizaci6n de polinomios sobre el campo. Teorema 38.5 Un campo F esta algebraicamente cerrado si j. rilo si todo polinomio no constante en F [ x ] se pue& factorizar en F[x] en factores lineales. Demosrracion Sea F algebraicamente cerrado y sea f ( x ) un polinomio no constante en F(x). Entonces, A x ) tiene un cero a E F. Por el corolario I del teorema 31.1, x - a es un factor de A x ) , de modo que A x ) = ( x - a)g(xl.Entonces, si g(x) no es constante, tiene un cero b E F y F(x) = ( x - a)(x - b)Nxl. Continuando, obtenemos una factorizacion de A x ) en a x ] en factores lineal=. En forma reciproca, supongase que todo polinomio no conskite de F [ x ] tiene una factorizacion en factores lineales. Si ax - b es un factor k l de f(x), entonces bla es un cero de f(x). Asi, F es algebraicarnente cerrado. rn Corolario Un campo F algebraicamente cerrado no tiene extecyiones aIgeE. braicas propias, esto es, ninguna extensibn algebraica F con F
354
EXTENSIONES ALGEBRAICAS
Demostracibn Sea E una extension algebraica de F, asi F I E. Entonces, por el teorema 38.5, si a E E tenemos irr(a, F) = x - a, puesto que Fes algebraicamente cerrado. Asi, a E F y debemos tener F = E. rn
En la seccion 38.3, con asterisco, mostraremos que asi como existe una extension algebraicamente cerrada C de 10s numeros reales R, para cualquier campo F existe analogamente una extension algebraica F de F con la propiedad de que F esta algebraicamente cerrada. En el capitulo 41 se mostrara que dicha extension Fes unica, salvo isomorfismo, por supuesto. De manera intuitiva, para encontrar F se procede como sigue. Si no todo polinomio f ( x ) en F [ x ] tiene un cero, entonces agregar a F u n cero a de dicho f ( x ) , obteniendo asi, el campo F(a). Por supuesto, .ye us0 aqui el teorema 35.1 de Kronecker. Si F(a) aun no es algebraicamente cerrado se continua el proceso. El problema es que, a diferencia de la situacion para la cerradura algebraica C de R, podemos seguir un numero infinito (posiblemente grande) de veces. Se puede mostrar con facilidad (veanse 10s ejercicios 38.13 y 38.16) quc Q es isomorfo a1 campo de todos 10s numeros algebraicos y que no podemos obtener Q de Q agregando un numero finito de numeros algebraicos. Primero, tendremos que analizar algun material de teqria de conjuntos, el lema de Zorn, para poder manejar dicha situacion. Este material es algo complejo, asi que lo ponemos en un parrafo con asterisco. Sin embargd, el teorema de existencia para F es muy importante y lo enunciamos aqui, de mydo que se comprenda la necesidad de wnocerlo. No hay problema si se asumd su validez. 1 Teorema 38.5 Todo c a m p F tiene una cerradura algebraica, esto es, tcna I extensibn algebraica F que esth algebraicamente cerrada.
"38.3
MISTENCIA DE UNA CERRADURA ALGEBRAICA
Probaremos que todo campo tiene una extension algebraica que esti algebraicamente cerrada. Creemos que al final de un curso de algebra, deben tene la oportunidad de ver alguna demostracion que incluya el axioma de seleccibn. ste es el lugar natural para dicha demostracion. Usaremos una forma equivalenteldel axioma de seleccion, el lema de Zorn. Para enunciarlo requerimos una defini on ' de teoria de conjuntos.
4
'f
Definiciin Un ordcn parcid en un conjunto S esth dado por una relacio I definida para ciertos pares ordenados de elementos de S tales que se sat$facen las siguientes condiciones 1
a I a para todos 10s a E S (Icy reflexiva). 2 Si a I b y b I a, entones a = b (ley antisimltrica). 3 Si a I h y h I c, entonces a I c '(ley transitiva).
I
38.3 EXISTENCIA DE U N A CERRADURA ALGEBRAlCA
355
En un conjunto parciulmenre ordenado no por fuerza son comparables cada par de elementos, esto es, para u, h E St no necesariamente se tiene q h o h I a. Como siempre, u < h denota u I h, per0 u # b. Un subconjunto T de un conjunto parcialmente ordenado S' es una cadena si cada par de elementos a y b en T son comparables, esto es, si u I h o b I u lo ambos). Un elemento U E S es una cota superior de un subconj~rlntoA de un conjunto parcialmente ordenado S si a u para todas las a E A. Por ultimo, un elemento m de un conjunto parcialmente ordenado S es maximal si no existe S E S tal que m < s. Ejemplo 38.4 La coleccion de todos 10s subconjuntos de un conjunto forma un conjunto parcialmente ordenado bajo la relacion I dada por c. Por ejemplo, si el conjunto es R, tenemos Z G Q. Notese, sin embargo, que para Z y Q + , ni Z c Q + ni Q + G Z. Lema de Zorn Si S es un conjwtro parcialmenre ordenado tal que roda cadena en S riene una cola superior en S, enronces S riene a1 menos un elemenro maximal.
El lema de Zorn no se prueba, no se trata de eso. El lema es equivalente a1 axioma de selection. Entonces, en realidad, tomamos aqui el lema de Zorn como un axioma de la teoria de conjuntos. El lector debera remitirse a la bibliografia para el enunciado del axioma de seleccibn y la demostracion de su equivalencia con el lema de Zorn. El lema de Zorn se usa con frecuencia cuando se quiere mostrar la existencia de una estructura mayor o maximal de algun tipo. Si un campo F tiene una extension algebraica F que sea algebraicamente cerrada, entonces F sera, con certeza, una extension algebraica maximal de F, pues como F e s cerrada algebraicamente, no puede tener extensiones algebraicas propias. La idea de la demostracion del teorema 38.6 es muy sencilla. Dado un campo F, describiremos, primero, una clase de extensiones algebraicas de F que sea tan grande que deba contener (salvo isomorfismo) cualquier extension algebraica concebible de F. Definimos luego un orden parcial el orden comun de subcampos, en esta clase y mostramos que se satisfaen las hip6tesis del lema de Zorn. Por el lema de Zorn, existira en esta clase una extensibn algebraica maximal P de F. Analizaremos entonces, que esta F no puede tener extensiones algebraicas propias, de mod0 que debe ser algebraicamente cerrada. Nuestra demostracion difiere un poco de la que presentan varios textos. Nos gusta porque no usa mas algebra que la de 10s teoremas 35.1 y 38.2. Asi, destaca con gran relieve la enorme fuerza del teorema de Kronecker y del lema de Zorn. La demostracion parece larga solo porque escribimos cada paso con exagerado detalle. Para el matematico profesional es cuestion de rutina la construccion de la demostracion a partir de la information del parrafo anterior. Esta demostracion fue sugerida a1 autor, en la tpoca en que era estudiante de posgrado, por un compaiiero de clase, Norman Shapiro, quien tambitn tenia una gran preferencia por ella.
356
EXTENSIONES ALGEBRAICAS
[;starnos listos ahora para rcalizar la demostracion del teorema 38.6, que rcc.nunci:~mosaqui.
fi~wlo.\tr.acidn Puede demostrarse en teoria de conjuntos que, dado cualquier conjunto, existe un conjunto con cs/r.ic.~ut?~ctt/r mds elementos. Supongase que formamos un conjunto A = (o)/, 1 .f E F [ s ] ; i =
0,. . ., (grado f )}
quc tenga un elemento para todo cero posible de cualquier.flx) E F[.K].Sea R un conjunto con estrictamente mas elementos que A . Formando R u F si es necesario, podemos suponer que F c R. Considtrense todos 10s campos posibles que scan extensiones algebraicas de F y que, como conjuntos, consten de elementos de R. Una de dichas extensiones algebraicas es F mismo. Si E es cualquier campo de extension de F, y si ;t E E es un cero de,f(x) E F[.u] donde y E F y grad(.j, F ) = n, entonces, redenominando 7 como w para w E R y w $ F, y redenominando a 10s elementos a,, + a,y + - .. + an-,7'-' de R;)como distintos elementos de Q, conforme ai varia sobre F, podemos considerar nuestra F(r) redenominada como un carnpo de extensi6n algebraica F(o) de F, con F(w) c R y .f(o) = 0. El conjunto fi tiene suficientes elernentos para forrnar n o ) , pues n tiene mas que suficientes elementos para proporcionar n ceros diferentes para cada elemento de cada grado n en cualquier subconjunto de F [ x ] . Todos 10s campos de extension algebraica Ej de F con Ej c R, forman un conjunto
s
= ( E , IJ E
~j
parcialmente ordenado bajo nuestra inclusion usual I de subcampos. F mismo es un elemento de S. El parrafo anterior muestra que si F esta lejos de ser algebraicamente cerrado, habra muchos campos Ej en S. Sea T = Ejk) una cadena en S y sea W = U , E j k . Ahora, haremos de W un campo. Sea z. /l E W. Entonces, existen E j l . Ej2 E S con a E Ejl y /IE E,,. Como T es una cadena. uno de 10s carnpos 4,o 4, es un subcampo del otro, digamos 4,I 5 E,,. Entonces, r , /?E E,, y usamos las operaciones de Ej, para defirtir la suma de z y /?en H' como ( r + /?) E E,, y asi mismo, el product0 como (ap) E Ej,.. jEstas operaciones escin bien definidas en W; son independientes de nuestra seleccton de Ej2.pues si, ademis, s /IE El, para E,, en T, entonces uno de 10s campos Ej2 o Ej, es un subcampcl del otro. ya que T es una cadena. Asi, tenemos, definidas en W, las operacioncs de suma y rnultiplicacion. Todos 10s axiomas de campo para W bajo estas operaciones se siguen ahora del hecho de que estas operaciones se definieron en terminos de suma y multiplication en carnpos. Asi, por ejemplo, 1 E F sirve como identidad multiplicativa en U' ya que para a E W, si 1 , E~E,,, entonces tenernos la = a en E,,, de modo que lz = z en W por definicion de rnultiplicacion en W. Adernas, para mayor ilustraci6n. para verili~ar1:)s leyes distribu~vas,Sean a, P, 7 E W. Como T es una ~-l&=n:l notiernos e n c o n t r : ~ alpun ~ campo en T que contenga 10s tres elementos a.
38.3 EXISTENCIA DE UNA CERRADURA ALGEBRAICA
357
fl y 7, y en este campo se cumplen las leyes distributivas para a. /I y y. Por tanto, se cumplen en W. Por consiguiente, podemos considerar W corno un 'campo y por construccion, Ejk IW para toda E,, E T. Si podemos mostrar que W es algebraico sobre F, entonces IC' E S scrri unii cola superior para T. Pero si a E W , entonces r E E,, para algun E j , en T, dc mod0 que a es algebraica sobre F. De aqui que 11-es una extension algebraica dc F y es una cota superior para T. Asi, se satisface la hipotesis del lema de Zorn, de mod0 que existe algun elemento maximal F de S. Afirmamos que F esta algebraicamente cerrado. Sea f (.r)E f i x ] , donde f (.r)4 F. Supongase que f(.r) no tiene ceros en F. Como R tiene muchos mas elementos de 10s que tiene F. podemos tomar to E t2 donde (11 F y formar un campo q w ) s R con w un cero de ti.^), como vimos en el primer parrafo de esta demostracion. Sea p en flu).Entonces, por el teorema 36.4, /3 es un cero de un polinomio
en F [ x ] con ai E F y , por tanto, ai es algebraico sobre F. Entonces, por el teorema 38.3, F(ao, . . ., a,) es una extension finita de F, y como /3 es algebraico sobre F(ao, . . ., a,), vemos, ademas, que F(ao. . . ., z,, /3) es una extension finita sobre F(zo,.. .,a,). Entonces, el teorema 38.2, muestra que F(a,, . . ., a,, P ) es una extension finita de F, de mod0 que, por el teorema 38.1, fl es algebraico sobre F. De aqui que qo)E S y F< flo)lo cual contradice la seleccion de Fcomo maximal en S. Asi, f(x) debe tener algun cero en F, de mod0 que F' esta cerrado algebraicamente. rn Para el matematico profesional, la mecanica de la dernostracion anterior es cuestion de rutina. Debido a que q u i d s lsta sea la primera demostracion que se haya visto en donde se usa el lema de Zorn, la escribimos con todo detalle. Sin embargo, la construcci6n y 10s razonamientos empleados deben considerarse faciles y rutinarios. Es bien conocido que C es un carnpo cerrado algebraicamente. Aunque hay mas demostraciones algebraicas de este hecho, darnos una dernostracion analitica corno la miis accesible para el estudiante que haya llevado un curso de funciones de variable compleja. Teorema 38.7 (Teorema fundtunental &I algebra) EI campo C de numeros complejos es un campo algebraicamente cerrado. Demostracidn Sea f ( z ) E C [ z ] el polinomio que no tenga cero en C. Entonces l / f ( z )da una funcion entera, esto es, l / f es analitica en todas partes. Adernh, si f # C, limlrl+ml f (c)I = m, de mod0 que limlCl+,ll/f (c)l = 0. Asi, llf debe ser acotada en el piano. Entonces, por el teorema de Liouville de la teoria de funciones de variable compleja, l / f es constante y asi f es constante. Por tanto, un polinomio no constante en C[z] debe tener un cero en C, de mod0 que C esta cerrado algebraicamente.
38.1
a)
Encuintrese el grado y una base para cada uno de 10s camp& de extension dados.
~ ( $ 1 sobre Q
Q($. J3, ,/$ sobre Q e) Q J ~ , sobre Q C)
Vj)
b) Q($, &)sobre Q d) q(V2, &) sobre Q
38.2 Encuintrese el grado de cada uno de 10s c a m p s de extension siguientes. Estar preparados para justificar las respuestas. a) C)
e) g)
a$ + &)sobre Q a$, fi)sobre Q a $ , ,.b)sobre ah) a$, &)sobre Q (fi+ J3)
a$, &)sobre Q $,@) sobre Q + fi)sobre Q(,/j) afi, f i + a) sobre afi + &)
b) d) a*, f)
h)
38.3 Encuintrese una base para cada uno de 10s c a m p s de extension dados del e) al h) del ejercicio 38.2. 38.4 Muestme, mediante un ejemplo, que para un c a m p de extension propio E de un c a m p F, la cerradura algebraica de Fen E no es necesariamente cerrada algebraicamente.
+ bi) E C para a, b~ R con b # 0. Muktrese que C = R(a+ bi). Mubtrese que si E es una extension finita de un c a m p F y [ E : FJ es un nbmero
385 Sea (a
t38.6 primo, entonccs E es una extension simple de F y, en efecto, E = F(cr) para toda cr E E que no a t i en F.
~Falsoo verdadero? a) Toda extension finita de un campo es una extension algebraica. b) Toda extension algebraica de un c a m p es una extension finita. C) El campo situado arriba de una torre finita de extensiones finitas de campos es una extension finita del campo situado abajo. d) R esti algebraicamente cerrado. e) Q es su propia cerradura algebraica en R, esto es, Q es algebraicameote cerrado eoR f) C es algebraicamente cerrado en C(x), donde x es una indeterminada. g) 4 x ) es algebraicamente cerrado, donde x es una indeterminada. h) El campo C(x) no tkne cerradura algcbraica, pues C ya contiene a todos 10s nlimeros algebraicos. i) Un campo algebraicamente cerrado debe tener wacteristica 0. j) Si E es un campo de extension algebraicamente cerrado de F, entonces E es una extension algebraica de F.
38.8 Pruibese que x2 - 3 es irreducible sobre ~ ( f i ) . 38.9 iQui grado pueden tener 10s c a m p s de extension que se logran cion sucesiva a un campo F de una raiz cuadrada de un elemento de F que no es u cuadrado en F y, desputs, una raiz cuadrada de algirn no cuadrado en este nuevo c a m p asi sucesivamente? Deduzcase de aqui, que un cero de xl* - 3x2 + 12 sobre Q puede expresar como funcion racional de raices c e r a d a s , de raiccs cuadradas nes rationales de raices cuadradas y asi sucesivameote, de elementos de Q.
I
38.10 Sea E un campo de extension finita de F. Sea D un dominio entero tal que F s D 5 E. Mutstrese que D es un campo.
Q(fi -t fi)= ~ ( ffi). i, 38.12 Generalizando el ejercicio 38.1 1, muestrese que si & + & # 0,entonces Q(Ju + + &)= Q(&, A),para todas las a y h en Q [Sugerencia: Calcirlese (& + A ) ' . ] 38.11 PruCbese en detalle que
r
38.13 Sea E una extension finita de un campo F y sea p(x)E F [ x ] irreducible sobre F y de grado que no es divisor de [E: F]. Muestrese que p(x) no tiene ceros en E. 38.14 Sea E un campo de extension de F. Sea a E E algebraico de grado impar sobre F. MuCstrese que a2 es algebraico de grado impar sobre F y que F(a) = F(aZ). Muestrese que si F, E y K son campos con F I E I K, entonces K es algebraico sobre F si y solo si E es algebraico sobre F y K es algebraico sobre E. (No debe suponerse que las extensiones son finitas.) 38.15
3816 Sea E un campo de extension de un c a m p F. Pruebese que toda a E E que no este en la arradura algebraica F, de F e n E es trascendente sobre F,.
3817 Sea E un c a m p de extension algebraicamente cerrado de un c a m p F. Muestrese que la arradura algebraica F, de F e n E cj algebraicamente arrada. (Si aplicamos a t e cjercicio a C y Q, vemos que el campo de todos 10s numeros algebraiws es un c a m p cmado algebraicamente.) 3818 Mutstrese que si E es una extension algebraica de un campo F y wntiene todos 10s ceros en F de todo f(x) E F [ x ] , entonces E es un campo algebraicamente cerrado. 38.19 Mutstrese que ningun c a m p finito de caracteristica impar es algebraicamente cerrado. (En realidad ningun c a m p finito de caracteristica 2 esta algebraicamente a r r a do.) [Sugerencia: Mubtrese, wntando, que para dicho c a m p finito F, algun plinomio x2 - 4 para alguna a € F, no tiene ceros en F. Vease el ejercicio 35.11.1
Prutbese que, como se aseguro en el texto, la cerradura algebraica de Q en C no es una extension finita de Q.
38.20
'3821 a C.
Deduzcase que todo campo de extension finita de R o es R mismo o es isomorfo
'3822 Usese el lema de Zorn para mostrar que todo ideal propio de un anillo R con unitario esta contcnido en al@n ideal maximal.
En este capitulo, hacemos una breve disgresibn para dar una aplicacion que demuestre la fuerza del teorema 38.2. Para un estudio mas detallado de construcciones geomitricas, viase Courant y Robbins [43, capitulo 1111. Estamos interesados en 10s t i p s de figuras que pueden construirst c m regla y compis, en el sentido de la geometria plana euclidiana clisica. Sin duda, el lector habri escuchado que {{es imposible trisecar el angulo>>.Analizaremos esta y otras cuestiones clasicas.
Imaginemos que hay un solo segment0 de recta que definiremos como de longitud una unidad. Un numero real a es construibk si podemos construir un segmento de recta de longitud la1 en un numero finito de pasos, a partir de este segmento dado de longitud unitaria, usando una regla y un compas. Recuirdese que con regla y compas es posible, entre otras cosas, levantar una perpendicular a una recta dada en un punto conocido de la recta y trazar una recta que pase por un punto dado y sea paralela a una recta dada. Nuestro primer resultado es el siguiente teorema. Teorema 39.1
a
Si a y
fl
son numeros reales construibles, entonces lo son
+ B, a - B, aS y alp si B # 0.
Demostracihn Por hipotesis, a y B son construibles, de modo que disponemos de segmentos de recta con longitudes la( y (81. Para a, B > 0, se traza, con la regla, un segmento de recta de longitud a. Se iniciaen un extremo del segmento original
39.1 NUMEROS CONSTRUIBLES
361
de longitud a y se traslada con el compas la longitud P sobre la recta que contiene el segmento de longitud a. Esto construye un segmento de recta de longitud a + p; de rnanera analoga, a - B es construible (vease la figura 39.1). Si a y a no son ambos positivos, obviamente hay que dividir en casos, dependiendo de sus signos y se muestra que a + f? y a - fl aun son construibles.
En la figura 39.2 se indica la construccion de ap. Sea OA el segmento de recta del punto 0 al punto A y sea la longitud de este segrnento de recta. Si a;I es de longitud la!, encontrar una recta I que pase por 0 y no contenga 0 7. DespuCs, localizar 10s puntos P y B en 1 tales que OP es de longitud 1 y OB es de langitud IPI. Trazar PA y construir I' que pase por B in ter2quXY-k-i deHm"e-r triAngdmS-rn
In(
es de longitud lafll. mod0 que Por bltimo, la figura 39.3 muestra que alfl es construible si fl # 0. Sea 02 de longitud la1 y encontrar 1 que pase por 0 y no contenga CGf. Despues, hallar B y P en I tales que OB sea de longitud JflI y DP sea de longitud 1. Trazar BA y construii.4' que yase par yTCa p a a e x a ~ T G i t e r ~ q u e m 8 2Q. De nuevo, por triingulos semejantes, tenemos
Qe
de m&
que
es de longitud la//3I.
Agura 39.2
. Fl~uh 39.3
Corolario El conjunto dc todos 10s numeros reales construibles forma un suhcampo F del campo de 10s numeros reales. Demostracion
La demostracion de este corolario es inmediata del teore-
ma 39.1. Es claro que el campo F de todos 10s numeros reales construibles contiene Q, el campo de 10s numeros racionales, pues Q es el menor subcampo de R. De ahora en adelante procederemos en forma analitica. Podemos construir cualquier numero racional. Si consideramos nuestro segment0 dado
de longitud 1 como la unidad basica sobre el eje x, podemos localizar cualquier punto (q,, 9,) en el plano, con ambas coordenadas racionales. Cualquier otro punto en el plano que podamos localizar usando regla y compb, puede hallarse en una de las tres maneras siguientes:
--
-2-
I como intersecci6n de dos rectas, cada una de las cuales pasa por dos puntos - c 0 n s n /-
2 como interscxcion de una recta que pasa por dos puntos con coordenadas 4 by tieRe CQOFQBwdits~ a c i o n a ky el cuadrado de su radio es racional; 3 como interseccibn de dos circulos cuyos centros tienen coordenadas racionales y 10s cuadrados de sus radios son racionales.
Las ecuaciones de las rectas y circulos de 10s t i p s discutidos en 1,2 y 3 son de la forma
donde a, b, c, d, e y f estan, todos, en Q. Como en el caso 3, la interseccion de 40s circulos con ecuaciones
es lo mismo que la interseccion del primer circulo, con ecuaci6n
y la recta (la cuerda comun), con ecuacion
I
39.1 NUMEROS CONSTRUIBLES
363
es claro que el caso 3 se puede reducir al caso 2. Para el caso 1, una solucion simultanea de dos ecuaciones lineales con coeficientes racionales solo puede dar valores racionales de x y y, con lo cual no se obtienen puntos nuevos. Sin embargo, la busqueda de una solucion simultanea de una ecuacion lineal con coeficientes racionales y una ecuacion cuadratica con coeficientes racionales, como en el caso 2, conduce, mediante sustitucion, a una ecuacion cuadratica. Dicha ecuacion, resuelta mediante la formula cuadratica, puede tener soluciones con raices cuadradas de numeros que no Sean cuadrados en Q. En el razonamiento anterior, en realidad no se us6 Q except0 por 10s axiomas de campo. Si H es el menor campo que contiene esos numeros reales construidos hasta ahora, el razonamiento muestra que el ccnuevo numero siguiente)) construido est6 en un campo H(&) para alguna a E H, donde a > 0. Hemos probado la mitad del siguiente teorema ..
-
Teorema 39.2 El carnpo F de Cos ntimeros reales construibles, consra, precisamenre, de todos 10s nlimeros reales que podemos obtener de Q, tomando raices cuadradas de numeros positivos un nlimero finito de veces y aplicando un numero fmito & operaciones de campo.
Demostracibn Hemos mostrado que F no puede contener m k nbmeros que aqdllos obtenidos de Q, tomando un numero finito de raices cuadradas de numeros psitivos y aplicando un numero finito de operaciones de c a m p . Sin embargo, si a > 0 es construible, entonces la figura 39.4 muestra que tambitn es construible. Sea 07 de longitud a, localicese P en la extension de 02 de modo que tenga longitud 1. Encuentrese el punto medio de El y tracese un semicirculo con diametro El. Levintese una perpendicular a El en 0 que interseque a1 semicirculo e n Q. Entonces, 10s triingulos OPQ y OQA son semejantes, de mod0 que
&
,
..-.
.//
loQl
--
loAl -
lm12
lop1 my
= la = a. Asi, OQ es de longitud numeros construibles son construibles.
y
&.Por tanto, las raices cuadradas de
El teorema 39.1 mostro que las operaciones de campo son posibles por construccion. Corolario Si .i es corrsrruihle y p 4 Q, enfonccn.sexLsre una nrcesirin jinirrr de numeros reales a,, . . ., a, = y ral que Q(a,, . . ., ai) es una esterisibn de Q(a . . .,ai- ,) de grado 2. En particular, [Q4) : Q] = 2' para algljn rrifero r 2 0.
,,
Demosrracidn La existencia de las ai se sigue de inmediato del teorema 39.2. Entonces, por el teorema 38.2.
lo cual completa la demostracibn. Esperamos que se comprenda que las ideas anteriores, aunque algo complicadas para escribir en detalle, son en realidad muy sencillas.
Podemos demostrar, ahora, la imposibilidad de ciertas construcciones geomttricas. Teorema 9.3 ((Es imposible duplicar el cube)), esto es, dado el lado de un cubo, no siempre es posible construir con regla y compcis el lado de un cubo que tenga el doble del oolumen del cub0 original.
Demostracibn Sea el cubo dado de lado 1 y, por tanto, de volumen 1. El cub0 buscado debe tener volumen 2 y, por tanto, lado de longitud Pero es un cero del irreducible x3 - 2 sobre Q, de modo que
s.
fi
El corolario del teorema 39.2 muestra que para doblar este cub0 de volumen 1, necesitariamos que para algun entero r, 3 = 2'. Es claro que no existe dicha r. Teorema 39.4 ((Es imposible cuadrar el circulow esto es, dado un circulo, no siempre es posible construir con regla I! compas un cuadrado que tenga area igual a1 area del circulo dado.
39.2 IMPOSlBlLlDAD DE CIERTAS CONSTRUCCIONES
365
Sea el circulo dado de radio I y, por tanto, de area n. Necesitariamos construir un cuadrado de Iado ,/%. Pero n es trascendente sobre Q, de mod0 que tambikn es trascendcnte sobre Q. Demostracion
&
Tcorema 39.5 a Es itlrpo.sil?k~ trisr~cczrel cinguloa, rjsto os, e-riste alglin Jngulo que no puede trisecarsc cot1 rr~glay cotnpas.
Demostracibn La figura 39.5 indica que el angulo 8 puede construirse si y solo si puedeconstruirse un segment0 de longitud (cos81. Ahora bien, el Angulo de 60" puede construirse y mostraremos que no puede trisecarse. Nbtese que
cos 38
=
= = = =
cos (28 + 8) cos 28 cos 8 - sen 28 sen 8 (2 cos2 8 - 1) cos 8 - 2 sen 8 cos 8 sen 8 (2 c0s2 e - 1) cos e - 2 cos e(1 - COS~O) 4 C O S ~8 - 3 cos e.
Sea 8 = 20" de mod0 que cos 30 = 3 y sea z = cos 20". De nuestra identidad 4 cos3 8 - 3 cos 8 = cos 38 vemos que
Asi, a es un cero de 8x3 - 6x - I. Este polinomio es irreducible en Q[x], pues, por el teorema 31,3, basta mostrar que no se factoriza en Z[x]. Pero una factorizacion en Z[xJ incorporaria un factor lineal de la forma (8x I), (4x + l), (2x f 1) o (x f 1). Podemos corroborar con facilidad que ninguno de 10s nGmeros +&, -key 1 es un cero de 8x3 - 6x - 1. Asi,
+
+a,
+
de mod0 que, por el corolario del teorema 39.2, a no es conswuible. Por tanto,
60" no se puede trisecar.
Notese que el n-gono regular es construible para n 2 3, si y solo si el angulo 2n/n es construible, lo cual es el caso si y solo si es construible un segment0 de recta de longitud cos (2nln). En el capitulo 48, regresaremos a1 estudio de la constructibilidad de ciertos n-gonos regulares.
Usando el teorema 39.5, mutstrese que el 9-gono regular no es construible.
'39.1
+392 Muestrese algebraicamente que es posible construir un angulo de 30"
Con referencia a la Bgura 39.6, donde A x biseca al angulo O A P , muestrese que el 10-gono regular es construible (y por tanto, que tambien lo es el pentagono regular). [Sugerencia: el triangulo O A P es semejante al triangulo APQ. Muestrese algebraicamente que r es construible.] '39.3
'39.4 Usando 10s resultados del ejercicio 39.3 donde sea necesario, muestrese que lo siguiente es cierto.
a) b) c) d)
El El El El
20-gono regular es construible. %gono regular es construible. angulo 72" se puede trisecar. 15-gono regular se puede wnstruir.
+395 ~ F ~ I os overdadero? - a) Es imposible doblar, con regla y compis, ningun cub0 de arista construible. - b) Es imposible doblar, con regla y compas, cualquier cub0 de arista construible.
-
Es imposible cuadrar, con regla y compk ninghn circulo de radio wnstruibly Ninghn ingulo construible puede trisecarse con regla y compb. Todo nhmero construible es de grado 2' sobre Q para algun entero r 2 0. 1 Hemos demostrado que todo ndmero real de grado 2' sobre Q para algun entero r 2 0, es construible. 1 - g) El hecho de que Z es un DFU se us6 fuertemente en la conclusion de 10s teoremas 39.3 y 39.5. c) d) e) f)
1
-
h) Los razonamientos de conteo son herramientas matematicas muy poderosas.
- i) Es posible encontrar cualquier numero construible en un numero linito de
pasos, comenzando con un segmento dado de longitud unitaria y usando regla y compas. - j) Es posible encontrar la totalidad de todos 10s numeros construibles en un numero finito de pasos, comenzando con un segmento dado de longitud unitaria y usando regla y compas.
Automorfismos de campos 40.1.
ISOMORFtSluos BASICOS DE LA TEORIA M LOS CAMPOS ALGEBRAICOS
Sea F un c a m p y F una cerradura algebraica de F, esto es, una extension algebraica de F que sea cerrada algebraicamente. Por el teorema 38.6, existen dichos campos F. La seleccion de una F particular no es critica, pues, corno demostraremos en el capitulo 41, cualesquiera dos cerraduras algebraicas de F son isomorfas bajo una transforrnacion que deja fijo F. D e ahora en adelante, en nu~tstrotruhajo, supondremos que todas las extensiones algehraicas y todos 10s elernentos algehruicos sohre un campo F hajo consideraciiin, estan contenidos en unu cerrudura algehrica j i j a F de F.
Recuerdese que estarnos en el estudio de ceros de polinomios. En la terminologia del capitulo 38, estudiar ceros de polinomios en F[x] significa estudiar la estructura de extensiones algebraicas de F y de elernentos algebraicos sobre F. Mostraremos que si E es una extension algebraica de F con a, @ E E, entonces a y p tienen las rnismas propiedades algebraicas si y solo si irr(a, F ) = irr(8, F). Reescribirernos este hecho en ttrminos de transforrnaciones, coino lo hernos hecho con la teoria de carnpos. Lograremos esto rnostrando la existencia de un isomorfisrno I//,,6 de F(a) sobre F(@)que transforrne a cada elernento de F sobre si misrno y transforme a en B, en el caso de que irr(a, F ) = irr(A F). El siguiente Estos isornorfisrnos seran nuestras herrateorerna exhibe este isomorfismo rnienlas fundamentales para el estudio de extensiones algebraicas; sustituiran a 10s homomorfi.c.mo.s(k. c~vuluuc-irin4, del capitulo 30, que haran su ultirna colaboracion a1 definir estos isornorfismos. Por esta razon, nos referiremos a1 isornorfisrno I//,.,, como un isamarfisma hasica de la tearia de 10s campos algehraicos. Antes de enunciar y probar este teorema, veamos un poco mas de terminologia.
40.1
ISOMORFISMOS DE LA TEORIA DE LOS CAMPOS ALGEBRAICOS
369
Definici6n Sea E una extension algebraica de un campo F. Dos elen~cnrox a, p E E son conjugados sobre F si irr(a F) = irr(P, F), esto es, si a y /irtln ceros del mismo polinomio irreducible sobre F. Ejernplo 40.1 El concept0 de elementos conjugados, recien definido, co~l~ucrda con la idea clasica de numeros ron~plejosconjugados si entendemos qur. u u meros complejos conjugados significa que son canjugados sohre R. Si a, h E H ! h # 0,los numeros complejos conjugados a hi y a - hi son, ambos, ceror Jc .r2 - 2ax + a2 + h2 que es irreducible en R[s].
+
.
Teorema 40.1 (Isonrorfismos basicos de la teoria de campos a1gebraic.c~~) Sea F u i ~rampo J a y /3 algrhrairos sohrc F coil grad (2,F) = r r . 111 transformacibn $,.,: F(a) 4 F(P)definida por
para c, E F es un isomorfismo de F(a) sobre F(P) si y sblo si a y conjugados sobre F.
fl .corr
Demostrocion Sup6ngase que $,,B:F(a) -, F(B), segun se defini6 en el enunciado del teorema, es un isomorfismo. Sea irr(a, F ) = a, a,x + + 'I,.\". Entonces, a, ala . a,an = 0 de modo que (a,
+ + + + + a,a + . - -+ anan)$,,8 = a, + a l p + ... + a,,/3"
= 0.
Por la ultima afirmacion del enunciado del teorema 35.3, esto implica que irr(j?, F) divide irr(a, F). Un razonamiento anilogo, usando el isomofismo = $4,a muestra que irr(a, F) divide irr(B, F). Por tanto, como ambos polinomios son monicos, irr(a, F ) = irr(8, F), de mcL3 que a y /? son conjugados sobre F. En forma reciproca, supongase que irr(a, F ) = irr(B, F) = p(x). Entonces, 10s homomofismos de evaluacion 4,:F[x] F(a) y 48:F[x] F(B) tienen, ambos, el mismo kernel (p(x)). Por el teorema 29.3, existe un isomorfismo natural $, correspondiente a 4,: F[x] -,F(a), que transforma F[x]/(p(x)) sobre (F[x])#, = F(a). De manera aniloga, c$c da lugar a un isomorfismo $, que Estas transformaciotransforma F[x]/(p(x)) sobre F(B). Sea $a,8 = nes estan diagramadas en la figura 40.1, donde las lineas punteadas indican elementos correspondientes bajo las transformaciones. Como composition de dos isomorfismos, $a,B es de nuevo un isomorfismo y transfonna F(r) sobre F(P). Ademis, para (c, + cla + - - . + c,-,an-') E F(a), tenemos que -+
Asi,
$a,B
-+
es la transformation definida en el enunciado del teorema. rn
370
.AUTOMORFISMOS DE CAMPOS
________I\
ycanonica = transformation de clases
F(a) I
-
1
4xl/(p(x)) +n
I
I
residuales
h
x+ ( ~ ( 1 ) )
a
F(D) I
81
El siguiente corolario del teorerna 40.1 es la piedra angular de la dernostracion del importante teorema de la extension del isomorfismo del capitulo 41 y de la mayor parte de lo que resta de nuestro trabajo.
Corolario I Sea a algebraico sobre un campo F. Todo isomorfismo $ qut transforme F(a) en F tal que a* = a para aEF, transforma a sobre un conjugado p de a sobre F. En forma reciproca, para cada conjugado p de a sobre F, existe precisamente un isomorfimo +a.b rde F(a) en que transforma a en p y transforma cada a E F en si misma. Demostracidn Sea $ un isornorfismo que transforma F(a) en F tal que a$ = o para a € F. Sea irr(a, F ) = a, + a l x + . . - + a&'. Entonces,
de modo que 0 = (a,
+ ala + - - - + anan)$ = a, + al(a$) + - . . + a,(a$)",
y p = a+ es un conjugado de a. En forma reciproca, para cada conjugado /3 de a sobre F, el isomorfismo sea el del teorema 40.1, es un isomorfismo con las propiedades deseadas. Que Cnico de dichos isomorfismos, se sigue del hecho de que un isomorfismo de F(a) esti por wmpleto determinado por sus valores en 10s elementos de F y su valo~ en a. rn Como segundo corolario del teorema 40.1, podemos probar un resultado que con seguridad el lector ya conoce.
Corolario 2 Sea f ( x ) E RCx]. Si f ( a + bi) = 0 para (a + bi) E C, donde a, b E R, entonces, tambien, f(a - bi) = 0. De manera informal, 10s ceros complejos de polinomios con coeficientes reales se dun en parejas conjugadas.
40.2 AUTOMORFISMOS Y CAMPOS FlJOS
371
Demostracion Hemos visto que C = R(i) y que, por supuesto, tambien C = R(- i). Ahora,
de modo que i y - i son conjugados sobre R. Por el teorema 40.1, la transformacion $, -i:C -+ C dada por (a + hi)$,, - i = a - bi es un isomorfismo. Asi, si para ai E R, f(a
+ bi) = a, + al(a + bi) + ... + a,(a + bi)" = 0,
en t onces O = (f(a
+ bi))J/i,- i
esto es, tambien f(a
- bi)
= a, = f(a
+ al(a - bi) + . . -
+ a,(a - bj)"
- hi),
= 0.
Ejemplo 402 Considtrese ~(fi) sobre Q. Los ceros de irr(& Q) = x2 - 2 son $ y de modo que y son conjugados sobre Q. De acuerdo .-4:~(a) -* ~(fi) definida por con el teorema 40.1, la transformacibn $4.
d,
a
fi
es un isomorfismo de Q(&) sobre si mismo.
40.2
.
AUTOMORFISMOS Y CAMPOS FUOS
Como se ilustro en el corolario y el ejemplo anteriores, un c a m p puede tener un isomorfrsmo no trivial sobre si mismo. Dicha transformacibn sera & la mayor importancia en el trabajo que sigue. D e f i i 6 n Un isomorfismo de un c a m p sobre si mismo es un wionmfismo &I campo. Definieibn Si a es un isomorfismo de un c a m p E en algun campo, entonces un elemento a de E queda fijo bajo a si aa = a. Una coleccion S de isomorfismos de E dejaafiio un subccunpo F de E si cada a E F queda fijo bajo toda a E S. Si {a} deja fijo F, entonces a &ja fijo F.
Nuestro prop6sito es estudiar la estructura de-una extensibn algebraica E de un c a m p F, mediante el estudio de 10s automorfismos de E que dejan fijo a cada
372
AUTOMORFISMOS DE CAMPOS
elemento de F. Mostrarernos ahora que estos automorfismos forman un grupo de mancra natural. Podremos, entonccs, aplicar 10s resultados de la parte I acerca de la cstructura de grupo para obtencr information sobre la estructura de nuestro carnpo de extension. De est;i rnanera, se conjuntara buena parte del trabajo anterior. Los Ires teoremas siguientcs son faciles de demostrar, sin embargo, las idcas que contienen constituyen la base de todo lo que sigue. Por tanto, estos teoremas son de gran importancia. Quiza sean observaciones mas que teoremas; lo importante son las itkcus que contienen. En matematicas, un gran paso no siempre consiste en probar un teorema ,/uerte, sino que muchas veces radica en como relacionar ciertas matematicas conocidas con situaciones nuevas. Aqui traemos la teoria de grupos al estudio de ceros de polinomios. El estudiante debe asegurarse de comprender 10s conceptos presentados. Aunque parezca poco probable, son la clave para la solucion del ohjcrivo final del texto. Ohi(~tivo,final (a enunriar de nlanera precisa mbs adelante): mostrar que no tolko.~10s ctJrusdc todo polirlot~lioquintic0 (dc grado 5 ) j'(.u) puede e.upresarse en tkrnlirlos dc radicalcs conunzando reon elementos en PIcampo de coeficientes de . f (-u).
Si { a , 1 i~ I } es una coleccion de automorfismos de un campo E, 10s elementos de E acerca de 10s cuales {a, 1 i € I ) da la menor informacibn, son aquellos a E E que quedan fijos bajo toda a, para i E I. El primer0 de 10s tres teoremas contiene casi todo lo que puede decidirse acerca de estos elementos Iijos de E. Teorema 40.2 Sea {a, I i~ I ) una coleccibn de automorfismos de un campo E. Entonces, el conjunto Eiailde todos 10s a E E que quedan fijos hajo toda a, para i E I, ,forma un suhcan~pode E.
Demostracibn
Si aa,
= a y ha, = b para todas las i~ I, entonces,
(a f h)a, = aa, f ha, = a
+b
(ah)ai = (aa,)(h,) = ah
para todas las i E I. Ademas, si h # 0,entonces
para todas las i~ I. Como 10s a, son automorfismos, tenemos
para todas las i~ I. De aqui, 0, 1 E Eiai).Asi, E:ail es un subcampo de E.
.
Definici6n El campo Eiai; del teorema 40.2 es el campo fijo de { a i I i e I ) . Para un solo automorfismo a, nos referfremos a E!,) como el campofijo de a.
373
40.2 AUTOMORFISMOS Y CAMPOS FlJOS
Ejemplo 40.3 Considtrese el automorfismo IC/\ plo 40.2. Para u, h E Q tenemos
y u - h$
= u
+ h,,h
si y solo si h
=
-\
5 de ~ ( 4 dado 2 ) en el ejem-
0. Asi, el campo fijo dr
IC/\
?,
..\
j es
Q.
.
Notese que un automorfismo de un campo E es, en particular, una transformacion uno a uno de E sobre E, esto es, una permu~aciontie E. Si a y T son automorfismos de E, entonces la permutacibn a7 es, de nuevo. un automorfismo de E, puesto que, en general, la composicion de homomorfismos es un homoniorfismo. Es asi como hace su entrada la teoria de grupos. Teorema 40.3 El conjunro de rodos 10s auromorfisr?~osde un canlpo E rs lo1 grupo hujo la composicibn de funciones. Demosrrucirin La multiplication de automorfismos de E se define por la composici6n de funciones y, por tanto, es asociativa (es mulriplicacion de permulaciones~. La permutacibn idtntica r:E -, E dada por mr = a para a E E es obviamente. un automorfismo de E. Si a es un automorfismo, entonces la permutacion G-'. obviamente, tambitn es un automorfismo. Asi, todos 10s automorfismos de E forman un subgrupo de S,, el grupo de todas las permutaciones de E dado por el teorema 4.1. rn
Teorema 40.4 Sea E un campo y sea F un subcampo de E . En1once.c. el conjunro G ( E / F )de rodos 10s auromorjismos de E que dejan jijo F fornia zm suhgrupo del grupo de todos 10s auromorjismos de E. Mas a h , F 5 EG,,
,,.
Demosrrucion
Para a,
7E
G ( E / F ) y a E F, tenemos
de modo que ar e G ( E / F ) . Es claro que el automorfismo identidad I esta en G(E/F). Ademis, si aa = a para a € F, entonces a = a o - ' , de modo que a E G ( E / F ) implica que a - ' E G(E/F). Asi, G ( E / F )es un subgrupo del gruP de todos 10s automorfismos de E. Como todo elemento de F queda fijo por todo elemento de G(E/F),se s:gue de inmediato que el campo E,,,,,, de rodos 10s elementos de E que quedan 5jos bajo G ( E / F )contienen F. rn Definici6n El grupo G ( E / F )del teorema anterior es el grupo de autommfismos de E que dejan fijo F, o, brevemente, el grupo de E sobre F.
No hay que pensar que E/F denota alglin tipo de espacio cociente, sino que significa que E es el campo de extension de algun campo F.
374
AUTOMORFISMOS DE CAMPOS
Las ideas contenidas en 10s tres teoremas anteriores se ilustran en el ejemplo siguiente. Pedimos se estudie con cuidado este ejemplo. I
~ ( f3). i , Si considerarnos ~(fi, fi) $a.- ~2 del teorema 40.1, definido
Ejemplo 40.4 Considkrese el carnpo como ( Q ( d ) ) ( f i ) , el isornorfismo blsico
Par (a + bfi)$Ji,-Ji
= a
- bfi
~(fi,
~(3) ~ ( f3) i.
para a, b E ~ ( d es) un automorfismo de d ) que tiene come campo fijo. En forma analoga, tenemos el autornorfismo $8, de que tiene como campo fijo ~(fi). Como el product0 de dos automorfismos eC un automorfismo, podemos considerar $jL - 8 , el cual rnueve tanto 8 ,/j como a esto es, no deja fijo ninguno de 10s dos numeros. Sea
-a$&,
fl,
i
= autornorfismo identidad,
fi)
tiene, por el teoremh El grupo de todos 10s automorfismos de ~(fi, 40.2, un campo fijo. Este campo fijo debe contener Q puesto que todo automosfismo de un campo deja fijo al 1 y, por tanto, a1 subcampo primo. Una base Q($, $) sobre Q es (1, $, fi, $1. Como f i a , = -fi, fia, = y = - fi, vemos que Q es precisamente el c a m p $0 de {i, a,, r,, a,). $e ve con facilidad que G = {I, a,, a,, a,) es un grupo bajo la rnultiplicacion de automorfismos (composicibn de funciones). La tabla de grupo para G se da en la tabla 40.1. Por ejemplo, I
&,
El grupo G es isomorfo al 4-grupo de Klein. Podemos mostrar que G es exac mente el grupo G(Q($, d ) / ~ )pues, , pore1 corolario 1 del teorema 40.1,
40.3 EL AUTOMORFISMO DE FROBENIUS
fi) fi
fi
375
fi.
automorfismo s de Q($, transforma sobre alguno de f De manera aniloga, s transforma sobre alguno de f Pero como ( 1 , 3 , fi} es una base para Q(& sobre Q, un automorfismo deTQ($, que deje fijo Q esth determinado por sus valores en y Es claro que r, a,, a, y a, dan, entonces, todas las posibles combinaciones de 10s valores en y y, por tanto, son todos 10s automorfismos posibles de J3). Notese que G(Q(*, fi)/Q) tiene orden 4, y que [~(fi, fi): Q] = 4. Esto no es un accidente, sino un ejemplo de una situation bastante general, como lo veremos mas adelante.
8, fi)
fi,
40.3
fi. fi f i . fi ~(fi,
fi)
.
EL AUTOMORFISMO DE FROBENIUS
Sea F un c a m p finito. Mostraremos mas adelante que el grupo de todos 10s automorfisrnos de F es ciclico. Por definition, un grupo ciclico tiene un elemento generador y puede tener varios elementos generadores. Para un grupo ciclico abstract0 no hay manera de decir que un generador es mas importante que cualquier otro. Sin embargo, para el grupo ciclico de todos 10s automorfismos de un c a m p finito, existe un generador canonico (natural), el automorfismo de Frobenius (clasicamente, la sustitucibn de Frobenius). Este hecho es de importancia considerable en parte del trabajo avanzado de algebra. El siguiente teorema exhibe este automorfismo de Frobenius.
-
Teorema 40.5 Sea F un campo Jinito de caracteristica p. Enronces, la transformacibn ap:F+ F definida por ao, = ap para a E F es un automorfismo, el automorfismo de Frobenius de F. Ademis, F{,p) Z,.
Demostracibn Sea a, b E F. Aplicando el teorema del binomio (a
Tenemos, asi, (a
+ b)op = (a + b)P = aP + bP = adp + bop.
Por supuesto, -
(ab)op = (ab)' = apbp = (aop)(bop),
+ b)',
tenemos
376
AUTOMORFlSMOS DE CAMPOS
de mod0 que upes a1 menos un homomorfismo. Si aa, = 0,entonces aP = 0 y N = 0 de manera que el kernel de a, es { O ) y a, es una transformacibn isomorfa. Por ultimo, como F es finito, contando, a, es sobre. Asi, a, es un automorfismo dc F. El campo primo Z p debe estar contenido (salvo isomorfismo) en F, puesto que F es de caracteristica p. Por el teorema de Fermat, para C E Z,, tenemos cap = r P = L. (vtase el corolario del teorema 24.6). Asi, el polinomio xP - .r tiene p ceros en F, a saber, 10s elementos de Z,. Por el corolario 2 del teorema 3 1.1, un polinomio de grado n sobre un campo, puede tener a lo mas n ceros en el c a m p . Como 10s elementos fijos bajo a, son precisamente 10s ceros en F de .vP - .Y vemos que
.
Z P = F{,pl.
lncluso en 10s primeros aiios de universidad, hay estudiantes que cometen el error de decir que (a h)" = 6 6". Vemos, aqui, que esta exponenciacion esrudianril (a by = d bP con exponente p es valida, en realidad, en un campo F de caracteristica p.
+
+ +
+
Encutntrense todos 10s conjugados de cada uno de 10s numeros dados sobre 10s camps dados. 40.1
fi
a) sobre Q c) 3 + sobre Q e) $ + i sobre Q sobre Q g)
b) JZ sobre R d) $ sobre Q f) + i sobre R h) sobre Q ( d )
fi
fi
fi,
Considerese el c a m p E = Q($, &). En la notacion del teorema 40.1, tenemos 10s siguientes isomorfismos bbicos (que son aqui 10s automorfismos de E):
40.2
Como notacion breve, sea r, = $jr-jz,7, siguiente:
= $j3.-j3 y
a) f i r 2
b)
c) e)
(JZ + 3&)(~2~3) (JZ + fi)(r2r,r:)
403 Los campos Q($)
d)
0 y Q(3
a) Encuentrese un conjugado
+ $)
(fi+
r5
=
$Js. - JS.Calculese lo
$1~2
J i - 3 3 2Jj
- JZ
( ~ 3 ~ 5 )
~ ( f- iJj)r5
+
fi0(~5~2)1~3
son 10s mismos, desde luego. Sea a
# a de a sobre Q.
,
=
de Q($) b) Con respecto a a), compirese el autornorfismo basico $J,. _, automorfismo basico $,. B.
3
+ &. con el
40.4
Con respecto al ejemplo 40.4, encutntrense 10s siguientes carnpos en E = Q($,
J3. a)
C':n,n,:
b) E:,,;
C)
E:ni.o.,;
Con respecto a1 ejercicio 40.2. encuentrese el carnpo lijo de cada uno de 10s siguientes automorfisrnos o conjuntos de autornorfisrnos de E.
40.5
t40.6 Sea z algebraic0 de grado n sobre f . Muestrese, del corolario 1 del teorema 40.1, que hay a lo m b n isornorfismos diferentes de f ( a ) en F. 40.7
iFa1~0o verdadero? Para todas las n, E E hay siernpre un automorfismo de E que transforma cr sobre p. Para z. algebraicos sobre un campo F, hay siempre un isomorfismo de F(z) sobre F(P). Para a. /Y algebraicos y conjugados sobre un campo F, hay siempre un isomorfismo de F(z) sobre F(P). Todo automorfismo de todo campo deja fijo a todo elemento del subcampo primo de E. Todo automorfismo de todo c a m p E deja fio a un numero inlinito de elementos de E. Todo automorfismo de todo campo E deja fijo al menos dos elementos de E. Todo automorfismo de todo c a m p E de caracteristica 0, deja fijo un numero infinito de elementos de E. Todos 10s automorfismos de un campo E forman grupo bajo la compsicion de funciones. El conjunto de todos 10s elernentos de un campo E que queda fijo bajo un solo automorfismo de E, forma un subcampo de E. Para 10s campos F I E I K, G(K/E) I G(K/F).
408 Refierase al ejercicio 40.2 para lo siguiente: Mubtrese que cada uno de 10s automorfismos T,, T, y T, es de orden 2 en G(E/Q). (RecuCrdese lo que significa el orden de un elemento de un grupo.) b) Encuentrese el subgrupo H de G(E/Q) generado por 10s elementos T,, T, y s, y dtse la tabla del grupo. [Sugc~renciu: hay ocho elementos.] c) Asi como se hizo en el ejemplo 40.4, pruebese que el grupo H de b) es exactamente el g r u p G(E/Q). a)
Describase el valor del autornorfismo de Frobenius a, en cada elemento del campo finito de 10s cuatro elementos dados en el ejercicio 35.9. Encuentrese el c a m p lijo de a,.
40.9
Describase el valor del automorfismo de Frobenius a, en cada elemento del c a m p finito de 10s nueve elementos dados en el ejercicio 35.7. Encuentrese el elemento fijo de a,.
40.10
Sea F un c a m p de caracteristica p # 0. DCse un ejemplo para rnostrar que la transformation o,:F -+ F dada por am, = aP para a E F no necesita ser un automorfismo en el caso de que F sea infinito. ~ D o n d epuede haber dilicultades? 40.11
378
1
AUTOMORFISMOS DE CAMPOS
Sea F(a,. . . .. a,) un c a m p de extension de F. Muestrese que cualquier autornori fismo a de F(a,, . . ., a,) que deje fijo a Festri por cornpleto deterrninado por 10s n valores I de a,a. 40.12
Sea E una extension algebraica de u n c a m p F y sea a un autornorfisrno de E qud deja fijo a F. Sea a E E. Muestrese que a induce una perrnutacion del conjunto de todos 109 ceros de irr(a. F) que estcin en E. 40.13
40.14 Sea E una extension algebraica de un c a m p F. Sea S = {ai I i~ I ) una coleccion de autornorfisrnos de E, tal que toda ai deja fijo cada elernento de F. Muestrese que si $ I genera el subgrup H de G(E/F), entonces Es = E,,. 40.15
Virnos en el corolario del teorerna 31.4, que el polinornio ciclot6rnico rP - I @,(s) = -= .rP-' x - l
+ .VP-~+
...
+ .r +
1
es irreducible sobre Q para todo prirno p. Sea un cero de @Ax), considkrese el carnpo Q(I). a) Mubtrese que 1, i 2 , . . ., Cp-' son ceros distintos de Op(.r)y concluyase que son todos 10s ceros de @,,(.r). b) Dedkcase, del corolario 1 del teorema 40.1 y la parte a) de este ejercicio, que G(Q(O/Q) es abeliano de orden p - 1. Mubtrese que el c a m p fijo de G(Q(I)/Q)es Q. [Sugerencia: mutstrese que C) {I, i 2 , . . ., (P-
11
es una base para Q(I) sobre Q y considkrese las cornbinaciones lineales de 1, I*, . . .,
IP-' quedan fijas bajo todos 10s elernentos de G(Q(O/Q).]
40.16
En el teorema 40.1 se describieron 10s isornorfisrnos basicos para el caso donde a y
B fueran elementos conjugados algebraicos sobre F. iExiste alghn isornorfismo sernejante de F(a) con F(B) en el caso en que a y
B Sean ambos trascendentes sobre F?
Sea Fun c a m p y .r una indeterrninada sobre F. Deterrninense todos 10s autornorl fisrnos de F(.r) que dejan fijo F describiendo sus valores en .r.
40.17 40.18
Pruebese la siguiente sucesion de teoremas.
a) Un automorfismo de un c a m p E lleva a 10s elernentos que son cuadrados de elernentos en E sobre 10s elementos que son cuadrados de 10s elementos de E. b) Un automorfisrno del c a m p R de 10s numeros reales lleva n h e r o s positivos sobre numeros positivos. c) Si a es un automorfisrno de R y a < b, donde a, be R, entonces aa < ba. d) Un automorfisrno de R esta por cornpleto determinado por sus valores en elementos de Q. e) El unico autornorfisrno de R es el automorfisrno identidad.
El teorema
Continuemos el estudio de 10s automorfismos de campos. En este capitulo y en el siguiente, nos ocuparemos tanto de la existencia como del numero de automorfismos de un campo E. Supongamos que E es una extension algebraica de F y que queremos encontrar algunos automorfismos de E. Sabemos, del teorema 40.1, que si a, B E E son conjugados sobre F, entonces existe un isomorfismo $a,fl de F(a) sobre F(B). Es claro que a, B E E implica que F(a) I E y F(B) I E. Es natural preguntarse si el dominio de definicion de $a,fl se puede extender de F(a) a un campo mas grande, quids a todo E, y en que caso ello conduce a un automorfismo de E. En la figura 41.1 se muestra un diagrama de transformaciones de esta situation. En lugar de hablar de ccextender el dominio de definicion de $a,fl)) se acostumbra hablar de uexteder h transformicih #a.d a ma trinsfotmoci6n rn que sea una transformacion de todo E. Recukrdese que siempre suponemos que todas las extensiones algebraicas de F consideradas estan contenidas en una cerradura algebraica F de F. El twrema de la extension del isomorfismo muestra que, en efecto, la transformation siempre puede extenderse a un isomorfnmo de E en F. En que caso esta extension resulta un uutomor-smo de E, esto es, transforma a E sobre si mismo, es una cuestion que trataremos en el capitulo 42. Asi, este teorema de extension, junto con nuestros isomorfismos bhicos $a,fl, garantizara la existencia de multitud de transformaciones isomorfas, a1 menos para muchos campos. Bien puede ser que este teorema sea el unico teorema de extension que se haya visto. Dichos teoremas son muy importantes en matematicas, partiqularmente en situaciones algebraicas y topologicas.
380
EL TEOREMA DE EXTENSION DE ISOMORFISMOS
Veamos de manera mas general esta situacion. Supongase que E es una extension algebraica de un carnpo F y que tenemos un isomorfismo a de F sobre un campo F'. Sea F' una cerradura algebraica de F'. Nos gustaria extender a a un isornorfisrno r de E en F'. Se rnuestra esta situacion en la figura 41.2. De manera intuitiva, tornarnos a E E pero no en F y tratarnos de extender a a F(a). Si
sea
/I un cero en F de
Aqui, q(x)E F'[x]. Corno a es un isomorfisrno, es claro que q(x)es irreducible en F'[x]. Tarnbitn es bastante claro que F(a) puede transformarse isornorficarnente sobre F'(/I), rnediante una transformacion que extiende o y transforma a sobre /I. (Esto no es realrnente el teorerna 40.1, pero esta cerca; unos cuantos elernentos han carnbiado de nornbre bajo el isornorfisrno a.) Si F(a) = E, hernos terminado. Si F(a) # E, debernos encontrar otro elernento en E que no este en F(a) y continuar el proceso. Es una situacion rnuy parecida a la construccion de una cerradura algebraica F de un c a m p F. De nuevo la dificultad es que, en general, cuando E no es una extension finita, el proceso puede repetirse un nurnero infinito (quizi grande) de veces, de rnanera que necesitarnos el lerna de Zorn para rnanejar la situacion. Por esta razon, darnos la dernostracion general del teorema 41.1 en un parrafo con asterisco, a1 final de este capitulo. Teorema 41.1 (Teorema & la extemibn & isomorfismos) Sea E una extensi6n algebraica de un campo F. Sea o un isomorf~mode F sobre un campo F'. Sea F' una cerradura algebraica de F'. Entonces, a se puede extender a un isomorf~mor de E en F' tal que ar = aa para todas las a E F.
Darnos corno corolario la existencia de una extensi6n de uno de nuestros isornorfismos bisicos $m,B, corno se discuti6 a1 principio de esta seccion.
41.2 INDICE DE UN CAMPO DE EXTENSION
381
Corolario I Si E F es una extension algebraica dc F, y a, fl E E son conjugadas sohre F, rnrorrccs el isomorfi.vmo hasico F(a) -+ F( p) dado por el reorenla 40.1 pueh rsrrnderse a uit isomorfisnto de E en F.
Denrostruciciir La demostracion de este corolario se sigue de inmediato del teorerna 4 1.1, si en el enunciado del teorerna reemplazamos F por F(a), F' por F ( p ) y F f p o r F . rn
Como otro corolario podemos demostrar, como lo prornetirnos, que una cerradura algebraica de F es tinica, salvo un isornorfisrno que deje fijo F. Corolario 2
isomorfo a
F'
Sean F y F' dos cerraduras algehraicas & F. Enronces, hajo un isornorfismo que dejafljo cada elemenro de F.
F es
Demos~racicin Por el teorerna 4 1.1, el isornorfisrno identidad de F sobre F puede extenderse a un isornorfisrno r que transforme a F e n F',dejando fijo F (vease la figura 41.3). Solo necesitarnos rnostrar que r es sobre F'. Pero, por el teorerna 41.1, la transformacion r - ' : f i + F puede extenderse a un isornorfisrno de F' en F. Como r - I ya es sobre F,debernos tener A = P'.
41.2
INDiCE DE UN CAMPO DE EXTENSION
Una vez discutida la cuestion de existencia, pasarnos a la cuestion de cucintos. Nos ystaria contar 10s isomorfismos que hay de E en F que dejen fijo F, para una extension finita E de un campo F. Mostraremos que hay solo un nurnero finito de dichos isomorfismos. Corno todo automorfismo en G(E/F) es uno de dichos isomorfisrnos, a1 contar estos isornorfisrnos se incluiran todos 10s autornorlismos. El ejernplo 40.4 rnostro que G(Q(*, &Q) tiene cuatro elementos y que 4 = [Q(*, Q]. Mientras que esta igualdad no siernpre es cierta, si es cierta en un caso rnuy irnportante. El siguiente teorerna es el primer gran paso para probarlo. Enunciarnos el teorerna en tirrninos mas generales de lo requerido, pero no por ello se dificulta mas la dernostracion.
fi):
382
I
EL TEOREMA DE EXTENSION DE ISOMORFISMOS
Teoremo 41.2 Sea E una e.vten.~icin.finita de un campo F. Sea o un isomorfi.4ma de F sohre un campo F' j. sea F' una cerradura algebraica de F'. el nurnero de exrensiones de u a UII isomor-smo T de E en F' es .finit0 it~dependientede F', F' y o. Esto (3,esre nritliero de estensiones esta mente deterniinado por 10s dos carnpos E F: es intrinseco a ellos.
Demosrracibn El diagrarna de la figura 41.4 puede ayudarles a seguir la condtruccion que harernos. El diagrarna se construye de la siguiente manera. I
-
A
F';
Extiende a;'a,
I
FT
I
Considkrense dos isomorfismos sobrc
o,:F-F;,
sobre
o,:F-F;,
I
donde F,' y Fi son cerraduras algebraicas de F,' y F;, respectivamente. ~ h o r h , u;'a2 es un isomorfismo,de F,' sobre F;. Entonces, por el teorerna 41.1 y du segundo corolario, existe un isornorfismo I
-
mbrc
que extiende este isomorfismo a; la2:F; F;. Con referencia a la figura 41.4, por cada T , : E -P F,' que extiende a , , se obtiene un isomorfisrno T,: E + k;', comenzando en E y de ahi, prirnero a la izquierda, despub hacia arriba y despuks a la derecha. En tkrrninos algebraicos,
para a E E. Es claro que 7, extiende a,. El hecho de que podriarnos haber comenzado con 7, y recobrado 7 , definiendo
41.2 INDICE DE UN CAMP0 DE EXTENSION
383
esto es, dando la vuelta por el otro lado del diagrama, muestra que la correspondencia entre r , :E -+ F,' y r,: E -+ F; es uno a uno. En vista de esta correspondencia uno a uno, el numero de r que extiende a a es independiente de F', F' y a. Que el numero de transformaciones a es finita, se sigue del hecho de que como E es una extension finita de F, por el teorema 38.3 E = F(a,, . . ., 3,) para algunos a , , . . ., a, en E. Hay solo un numero finito de candidatos posibles para las imigenes air en F', pues si
donde a,
E
F, entonces air debe ser uno de 10s ceros en F' de
Definicih Sea E una extensi6n finita de un campo F. El numero de isomorfismos de E en F que dejan fijo F es el indice { E : F ) de E sobre F. Corolario Si F 5 E 5 K donde K es un carnpo de extensibnfinita del campo F, entonces { K : F ) = { K : E ) { E : F ) .
Del teorema 41.2, se sigue que cada uno de 10s { E :F ) isomofisFque dejan fijo F tiene { K : E ) extensiones a un isomorlismo de Ken
Demostracibn
mos ri:E
F.
-+
rn
El corolario anterior era, en realidad, la cuesti6n importante que buscabamos. Notese que cuenta algo. Nunca hay que subestimar un resultado que cuente algo, aunque se llame cccorolarion. En el capitulo 43 mostraremos que a menos de que F sea un campo infinito de caracteristica p # 0, siempre tendremos [ E : F ] = { E :F ) para todo campo de extension finita de F. Para el caso E = F(a), las { F ( a ) :F ) extensiones de la transformacion identidad i:F F a transformacioaes de F(a) en F estan dadas por 10s isomorfismos basicos $a,P para cada conjugado en F de a sobre F. Asi, si irr(a, F ) tiene n ceros distintos en F,tenemos { E : F) = n. Mostraremos mas adelante que a menos de que F sea infinito y de caracteristica p # 0, el numero de ceros distintos de irr(a, F ) es grad(% F ) = [ F ( a ) :F ] . -+
Ejemplo 41.1 Considirese E = Q ( ~ $)Z sobre Q , como en el ejemplo 40.4. Nuestro trabajo en el ejemplo 40.4 muestra que { E :Q ) = [ E : Q ] = 4. Ademas, { E :~ ( f i = ) )2 y { ~ ( f Qi ) := 2, de mod0 que
Esto ilustra el cororario del teorema 41.2.
384
*41.3
EL TEOREMA DE EXTENSION DE ISOMORFISMOS
DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE EXTENSION
Reenunciemos el teorema de extension. Teorema 41.1 (Teorema de la extension del isomorfismo) Sea E una e.rrerisicin algehraica de un campo F. Scu a un isomorfismo de F sohre un cunipo F'. Sea F' una cerradura algehraica de F'. Enronces, a puede e.rtenderse a un isomorfismo r de E en F' ral qur. ar = aa para a E F.
Demostracion Considerense todos 10s pares ( L , i.) donde L es un campo tal que F I L I E y i. es un isomorfismo de L en F' tal que ai. = aa para a € F. El conjunto S de dichos pares ( L , i.)es no vacio, pues (F, a) es uno de ellos. Definase un orden parcial en S mediante ( L , , 2 , ) 5 (L,, i.,) si L , 5 L , y ai., = = ui, para a E L,. Se verifica facilmente que esta relacibn 5 da un orden parcial de S. Sea T = ((Hi,i.,)( i~ I ) una cadena de S. Afirmamos que H = Hi es un subcampo de E. Sea a, b E H donde a E H I y b E H,; entonces, H , s H , o H, 5 H,, puesto que T es una cadena. Si, digamos, H , 5 H,, entonces, a, b E H , de mod0 que a b, ab y alb para b # 0 estan en H , y, por tanto, en H. Como para cada i E I, F G Hi E E, tenemos F E H G E. Asi, H es un subcampo de E. Definase I : H -+ F' como sigue. Sea c E H. Entonces, c E Hi para alguna i~Iysea
Vie,
+
La transformacibn I esta bien definida, porque si c E H I y c E H,, entonces, ( H I , I , ) I (H,, I,) o (H,, I.,) ( H , , I.,), pues T es una cadena. En ambos casos, c l , = cI,. Afirmamos que I es un isomorfismo de H en F'. Si a, b E H, entonces existe algun Hi tal que a, b E Hi, y
(a
+ b ) I = ( a + b)Ai = a?., + 61.;
= a?.
+ 61..
Si a I = 0, entonces a E Hi para algun i implica que a I i = 0, de modo que a = 0. Por tanto, I es un isomorfismo. Asi, ( H , I ) E S, y es claro, por nuestras definiciones de H y I , que ( H , I ) es una cota superior para T. Hemos mostrado que toda cadena de S tiene una cota superior en S, de mod0 que se satisfacen las hipbtesis del lema de Zorn. Por tanto, existe un elemento maximal (K, 7)de S. Sea KT = K' donde K' 5 P'. Ahora, si K # E, seal
41.3
385
DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE EXTENSION
z E E, pcro Q 4 K . Ahora, CY es algcbraico sobre F, de mod0 que a es algebraic0 sobre K . Ademas, sea p(.u) = irr(z. K ) . Sea $, el isomorfismo canonico .
correspondiente al homomorfismo bbsico $,:KC.\;] p(.\.) =
If,
considerese q ( ~ =)
ffoT
+ u ,.\. +
...
-
K ( r ) . Si
+ u,,.vn.
+ (0,s).r + . - . + (U,T).\-"
en K 1 [ . r ] . Es obvio que con10 7 es un isomorfismo, q ( s ) es irreducible en K i [ . v ] . Como K' I F', existe u n cero r' de q ( s ) en F'. Sea
el isomorfismo an6lc;o a $,. Por ultimo, sea
el isomorfismo obvio que extiende T en K y transforma x + (p(x)) sobre .v + (q(.\-)). (Vease la figura 41.5.) Entonces, la composition de transformaciones
es un isomorfismo de K ( a ) en F'. Es claro que ( K , T ) < (K(cY),($,)- 'S$,.), lo cual contradice que ( K , 7 ) es maximal. Por tanto, debemos tener K = E.
Y/? \-fj 71.
ax1
Canonico
K(a)
h
K[xl/(~ ( 4 )
Kf[xl Canonico
7
7
7 = Y-'rl.Yf
-
Kf[xl/(q(x))
h'
K'(a3
Desafortunadarnente, es probable que consideren complicada sin rernedio esta demostracion. Para 10s algebristas profesionales, esta construction es tan comun que, por lo general, so10 escribirian algo asi como ((la demostracion se sigue del lema de Zorn)) apenas hubieran definido el orden parcial s en el conjunto S. Escribimos la demostracion con todo detalle, pues quiza sea la segunda dernostracion que el lector vea donde se usa el lema de Zorn.
386
EL TEOREMA DE EXTENSION DE ISOMORFISMOS
EJerclclos
C-
ti
Sea E = ~ ( f fi,i , $1. Para cada transformacion isomorfa del subcampo e E dado a continuation, obtenganse todas las extensiones de la transformation a una t r nsformacion isomorfa de E en Q.Describanse las extensiones dando valores en el conjjnto I generador { f i , para E sobre Q. 41.1
fi,f i )
f i ) ~ ( f i fi), . donde es la transformaci6n identica fi) ~ ( f ,)ifi , donde f i a = f i y $a = -fi
a) l : ~ ( f i b) a : ~ ( f i , C)
*JM,
41.2
I
+
i
+
- d f ~ : ~~(( f$ 6i )~ ) +
Es un hecho que se puede verilicar elevando al cubo, el que 10s ceros de .r3 - 2 dn Q
son a,=$,
donde
I
a 2 = f i -
1
+ ifi 2
y
a,=fi-
1-ifi
2
'
I !
como siempre, es la rait cbbica real de 2.
l a) Describanse todas las extensiones de la transformaci6n identidad de Q a un isomdrfismos que transforme ~ ( f i )en, Q. b) Describanse todas las extensiones de la transformacibn identica de Q a un isom mo que transforme Q(@, f i ) en Q. . de ~ ( f ai un ) isohorC) Describanse todas las extensiones del automorfismo $ ~ j -Jj fismo que transforme Q(i, f i ) en Q.
&,
4 1 3 Sea a el automorfismo de Q(R)que transforma n sobre -n.
a) Describase el campo fijo de a. 1 b) Describanse todas las extensiones de a a un isomorfismo que transforme el caPpo Q ( f ien) Q(n). I t41.4 Sea K un c a m p algebraicarnente cerrado. Mubtrese que todo isomorfisrno a de K en si rnismo, tal que K es algebraic0 sobre Ka, es un automorfismo de K, esto es, es una transforrnacion sobre. [Sugerencia: apliquese el teorerna 41.1 a a - '.I 4 1 5 iFalso o verdadero?
I i
Sea F(a)cualquier extension simple de un c a m p F. Entonces, todo isomorfiirno de F e n F tiene una extension a un isomorfisrno de F(a)en F. Sea F(a)cualquier extensibn algbraica simple de un c a m p F. Entonces, /MO isornorfisrno de Fen F tiene una extensibn a un isornorfismo de F(a)en F. Un isornorfismo de F e n F tiene el rnisrno nurnero de extensiones para ~ a d a extension algebraic- simple de F. Las cerraduras algebraicas de campos isomorfos siempre son isomorfas. Las cerraduras de c a m p s que no son isornorfos nunca son isomorfas. Cualquier cerradura algebraica de ~ ( f es i )isornorfa a cualquier cerradura algebraica de ~ ( f i ) . i El indice de una extensibn finita de E sobre un c a m p F es finito. i El indice se cornprta multiplicativarnente respecto a torres finitas de extedsiones finitas de camps.
-
i) Las observaciones anteriores al enunciado del teorerna 41.1 de la seccion 41.1 esencialmente constituyen una dernostracion de este teorerna para una extension finita de E sobre F. - j) El corolario 2 del teorerna 41.1 rnuestra que C es isornorfo a Q. 41.6 Sea E una extension algebraica de un carnpo F. Muestrese que todo isornorfisrno de E en F que deja fijo F puede extenderse a un automorfisrno de F.
Pruebese que si E es una extension algebraica de un carnpo F, entonces dos cerraduras algebraicas F y E de F y E, respectivarnente, son isornorfas.
41.7
41.8 Pruebese que la cerradura algebraica de Q(,/;;) en C es isornorfa a cualquier cerradura algebraica de Q(s) donde Q es el carnpo de n~irnerosalgebraicos y .r es una indeterrninada. 41.9 Pruebese que si E es una extension finita de un carnpo F, entonces { E :F } I I [ E : F]. [Sugerencia: las observaciones anteriores al ejernplo 41.1 esencialrnente lo
mostraron, para una extension algebraica simple F(a) de F. Usese el hecho de que una extension finita es una torre de extensiones simples, junto con las propiedades rnultiplicativas del indice y del grado.]
Nos interesaran, principalmente, 10s auromor-smos de un c a m p E m h que las meras transformaciones isomorfas de E. Son 10s auromorfismos de un c a m p 10s que forman grupo. Nos preguntamos si para algtin campo de extension de un campo F,roda transformacion isomorfa de E en F que deje fijo F es, en realidad, un automorfismo de E. Sujxjngase que E es una extension algebraica de un campo F. Si a E E y jl IS F es un conjugado de a sobre F, entonces existe un isomorfismo basico
Por el corolario 1 del teorema 41.1, puede extenderse a una transformacion isomorfa de E en F. Ahora, si /I# E, dicha transformaci6n isomorfa de E no puede ser un automorfismo de E. Asi, si una exrensibn algebraica E de un campo F es tal que rodas sus rransformaciones z3omorfas en F que dejan jijo a F son, en realidad, auromor~smosde E, entonces, para toda a E E todos 10s conjugados de a sobre F deben estar ramhiin en E. Da la impresibn de que esta observacion se obtiene muy facilmente. Seiialemos que se usaron muchos recursos, a saber, la existencia de 10s isomorfismos basicos y el teorema de la extensibn del isomorfismo. Estas ideas sugieren la formulacion de la siguiente definition.
Definicihn Sea F un c a m p con cerradura algebraica F. Sea { f i x ) 1 i~ 1 ) una coleccion de polinomios en FIX]. Un campo E IF es el campo de descomposicion de { f i x ) 1 i E I ) sobre F si E es el menor subcampo de F que contiene a F y a todos 10s ceros en F de cada uno de l o s a x ) para i~ I. Un camp K I F es un campo de descomposicibn sobre F si es el campo de descomposicion de alglin conjunto de polinomios en FIX].
42 CAMPOS DE DESCOMPOSICION
389
Para un polinomio , f ( x ) E F [ x ] , a menudo nos referiremos al campo de descomposicion de .( f ( x ) } sobre F como al campo de descomposici6n de,f(+v)sobre F. Es claro que el campo de descomposicion de (A(x)I i E I ) sobre F en F es la interseccion de todos 10s subcampos de Fque contienen F y a todos 10s ceros en F para cada , l ( : ( s ) para i~ I. Asi que dicho campo ciertamente si existe. Mostremos ahora que 10s campos de descomposicion sobre F son precisamente aquellos campos E I F con la propiedad de que todas las transformaciones isomorfas de E en F que dejen fijo F, son automorfismos de E. Esto sera un corolario del siguiente teorema. Unu vez mus estumos curucleri:undo un concept0 m 16rmino.s de truns/ormuciones. Recuerdese que siempre suponemos que todas las extensiones algebraicas de un campo F que se consideran, estan en una cerradura algebraica lija F de F. Teorema 42.1 Un cumpo E, donde F I E IF es un campo de descomposicion sohre F si y siilo si todo uuromorfismo de F que dejejjo F lleva a E sohre si mismo y mi, induce un auromorfimo de E que deja fijo F. Demostracirin Sea E un campo de descomposicion sobre F e n F de { A x ) I i E I } , y sea a un automorfismo de Fque deja lijo F. Sea { a j I j~ J } la coleccion de todos 10s ceros en P de los/{x) para i e I. Ahora, nuestro trabajo anterior muestra que
para una a j lija, F(aj) tiene como elementos todas las expresiones de la forma
donde nj es el grado de irr(a, F ) y a, E F. Considirese el conjunto S de todas las sumas finitas de productos finitos de elementos de la forma g(aj) para todas las j~ J . El conjunto S es un subconjunto de E, obviamente cerrado bajo la suma y la multiplicaci611, y que contiene 0, 1 y el inverso aditivo de cada elemento. Como cada elemento de S esta en algun F(aj,, . . ., a j ) c S, vemos que S tambien contiene el inverso multiplicative de cada elemento distinto de cero. Asi, S es un subcampo de E que contiene todas las a j para j~ J. Por delinicion de campo de descomposicion E de {/{x) 1 i ~ I } , vemos que debemos tener S = E. Todo este trabajo fue so10 para mostrar que { a j1J E J ) genera E sobre F, en el sentido de tomar sumas finitas y productos finitos. Sabiendo esto, vemos de inmediato que el valor de a en cualquier elemento de E esta por completo determinado por 10s valores aJa. Pero, por el corolario I del teorema 40.1, aJu debe ser un cero de irr(a, F ) . Por el teorema 35.3, irr(a, F ) divide aquellas fix) que cumplen Jqaj) = 0, de mod0 que, tambih, aJu E E. Asi, a transforma E en E de manera isomorfa. Sin embargo, lo mismo es cierto para el automorfismo a-' de F. Como para BEE
vemos que a transforma E sobre E y, asi, induce un automorfismo de E. Supbngase, reciprocamente, que todo automorfismo de E que deje fijo F induce un automorfismo de E. Sea g(x) un polinomio irreducible en F [ x ] que
390
CAMPOS DE DESCOMPOSICION
tiene un cero a en E. Si p es cualquier cero de g(x)en F, entonces, por el teorema 40.1, hay un isomorfismo basico de F(a) sobre F(P) que deja fijo F. Por el puede extenderse a un isomorfismo T de Fen F. Pero, entonces, teorema 41 .l,
puede extenderse a un isomorfismo que transforme F e n F. Como la imagen de T - ya es todo F, vemos que T debe ser sobre de mod0 que T es un automorfismo de F que deja fijo F. Entonces, por hiphesis, T induce un automorfismo de E, de mod0 que aT = B esth en E. Hemos mostrado que si g(x) es un polinomio irreducible en F [ x ] con un cero en E, entonces, todos 10s ceros de g(x)en Festan en E. De aqui, si {gk(x))es el conjunto de todos 10s polinomios irreducibles en F[x] con a1 menos un cero en E, entonces E es el campo de descomposicion de {g,(x)>.
Definicibn Sea E un campo de extension de un campo F. Un polinomio f ( x ) FIX] ~ se descompone en E si se factoriza en un product0 de factores lineales en E [ x ] . Corolorio I Si E 5 F es un campo & descomposicibn sobre F, entone* todo polinomio irreducible en F[x], con al menos un cero en E, se &scornpond en E.
Demostracibn Si E es un campo de descomposici6n sobre Fen F, entoncek todo automorfismo de F induce un automorfismo de E. En la segunda mitad de la demostraci6n del teorema 42.1, se mostr6, precisamente, que E tambikn es el c a m p de descomposici6n sobre F del conjunto {gLx)) de todos 10s polinomios irreducibles en F[x] que tienen un cero en E. Asi, un polinomio irreducible f ( x ) de F[x] con algbn cero en E, tiene todos sus ceros en F en E. Por tanto, su factorizacibn en factores lineales en F [ x ] , dada por el teorema 38.5, en realidad tiene lugar en E [ x ] , de modo que f ( x ) se descompone en E. Si E 5 F es un campo & descomposicibn sobre F, entonces toda transformacibn isomorfa & E en F que &jejijo F es, en realidad, un automorf i m o de E. En particular, si E es un campo & descomposicibn & grada jinito sobre F, entonces I CoroIPrio 2
{ E :F ) = IG(E/F)I. Demostracibn Todo isomorfismo a que transforme E en F y deje fijo F, puede extenderse a un automorfismo T de 8 debido a1 teorema 41.1, junto con el argument0 que prueba que es sobre de la segunda mitad de la demostracion del teorema 42.1. Si E es un campo de descomposicion sobre F, entonces, teorema 4.2.1, T restringido a E, esto es, a es un automorfismo de E. Asi, c a m p de descomposicion E sobre F, toda-transforrnacibn isomorfa de que deje fijo F es un automorfismo de E.
.
42 CAMPOS DE DESCOMPOSICION
391
La ecuacion { E : Ff = IG(E/F)(se sigue, entonces, inmediatamente, para un campo de descomposicion E de grado finito sobre F, pues { E :F )- se definio como el numero de las diferentes transformaciones isomorfas de E en F que dejan fijo F.
.
Ejemplo 42.1
Es obvio que Q($,
f i )es el campo de descomposici6n de
sobre Q. En el ejemplo 40.4 se mostro que las transformaciones I, o,,o2 y o, son todos 10s automorfismos de Q(*, que dejan fijo a Q. (En realidad, como todo automorfismo de un campo debe dejar fijo el subcampo primo, vemos que $).) Entonces, estos son 10s hnicos automorfismos de
fi)
~(a,
lo cual ilustra el corolario 2. Deseamos determinar las condiciones bajo las cuales
para extensiones finitas E de F. Este es nuestro siguiente tema. En la siguiente seccion mostraremos que esta ecuacion siempre vale cuando E es un c a m p de descomposici6n sobre un campo F de caracteristica 0,o cuando F es un campo finito. Esta ecuacion no es necesariamente cierta cuando F es un c a m p infinito de caracteristica p # 0. Ejemplo 422 Sea f~ como siempre, la raiz cGbica real de 2. Ahora, x3 - 2 no se descompone en Q($), pues Q($) < R, y so10 un cero de x3 - 2 es real. Asi, x3 - 2 se factoriza en (Q(@))[x] en un factor lineal x - @ y en un factor cuadritico irreducible. El campo de descomposici6n E de x3 - 2 sobre Q es, por
tanto, de grado 2 sobre
~ ( f Entonces, i).
[E: Q] = [E :Q(@)] [Q($)
: Q] = (2)(3) = 6.
Hemos mostrado que el campo de descomposicion sobre Q de x3 - 2 es de grado 6 sobre Q. Elevando a1 cubo, puede verificarse que
392
CAMPOS DE DESCOMPOSICION
son 10s otros ceros de x3 - 2 en C. Asi, el campo de descomposicion E de .Y" 2 sobre Q es ~ ( 3 , (Estc campo no cs igual a Q($, i, el cual es dc grado 12 sobre Q.) Se deja como ejercicio un estudio mas amplio de este intercsante ejernplo (vtanse 10s ejercicios 42.3. 42.8, 42.1 2 y 42.14). m
fi),
id).
42.1 Para cada uno de 10s polinornios dados en Q[.r], encuentrese el grado sobre Q del carnpo de descornposicion sobre Q del polinornio.
422 Sea f(.r) un polinornio en F[.r] de grado n. Sea E I F el carnpo de descornposicion de ,f(.r) sobre F en F. i Q d cotas se pueden poner a [E: F]? 423 Referirse al ejernplo 42.2 para responder las siguientes preguntas. a) ~Cuales el orden de G(Q($)/Q)? b) ~Cuales el orden de G(Q(.@, ifi)/Q)? c) iCual es el orden de G(Q($,
ifi)/Q(.@))?
42.4 Sea a un cero de .r3 + .r2 + 1 sobre Z,. MuOstrese que .r3 + .r2 + 1 se descornpone en Z2(a). [Sugerencia: hay ocho elernentos en Z2(a). Exhibanse dos ceros mas de .r3 + .r2 + 1, adernas de a, de entre estos elernentos.]
'4L5 Mubtrese que si una extension finita E de un carnpo F es un c a m p de descornposicion sobre F, entonces E es un carnpo de descomposicion de algun polinomio en F[x]. 42.6 ~ F ~ I os overdadero? Sea a, B E E donde E 5 F es un campo de descornposicion sobre F. Entonces, existe un autornorfisrno de E que deja fijo F y transforma a sobre B si y solo si irr(a, F) = irr(B, F). R es un c a m p de descornposicion sobre Q. R es un campo de descomposicion sobre R. C es un c a m p de descornposicion sobre R. Q(i) es un carnpo de descornposicion sobre Q. Q(n) es un c a m p de descornposicion sobre Q(n2). Para todo carnpo de descornposicion E sobre F, donde E I F, toda transformacion isornorfa de E en F es un autornorfismo de E. Para todo carnpo de descornposicion E sobre F, donde E I F,todo isomorfismo que transforrna E en F es un autornorfismo de E. Para todo c a m p de descomposicion E sobre F. donde E IF,todo isomorfisrno que lleva E en F y deja fijo F es un automorfisrno de E. Toda cerradura algebraica F de un campo F es un carnpo de descomposicion sobre F.
42.7 Muestrese, mediante un ejernplo, que el corolario 1 del teorerna 42.1 no se curnple, si se quita la palabra irreducible.
42.8 a) i,Es (G(E/I.')Imultiplicative para torres linitas de extensiones finitas, esto es.
i,Por q u 2 [Su,qer~tlc.itr:usesc el ejercicio 42.3.1 b) ~,EsIG(E/F)I multiplic;itivo para torres fini~asde extensiones finitas, cada una de las cuales es un campo de descomposicinn sobre el campo de abajo? i,Por que? 42.9
Mukstrese que si [E: F]
=
3. entonces E es un campo dc descomposicion sobre F.
Muestrese que para F I E I F, E es un campo de descomposicion sobre F si y solo si E contiene todos 10s conjugados sobre F e n F de cada uno de sus elementos.
42.10
~ ( $ 5tiene ) solo el automorfismo identidad.
42.11
Muestrese que
42.12
Con respecto al ejemplo 42.2, mutstrese que
a) Muestrese que un automorlismo de un campo de descomposicion E sobre F d e un polinomio f(x) E F[x] permuta 10s ceros de f(x) en E. b) Muktresc que un automorfismo de un c a m p de descomposicion E sobre F de un polinomio f(x) E F[x] esta por completo determinado por la pemutaci6n de 10s ceros de F(.r) en E dada en a). c) Muestrese que si E es un campo de descomposicion sobre F de un polinomio f(x) E E F[.r], entonees G(E/F) puede considerarse, de manera natural, como cierto grupo de permutaciones.
42.13
42.14
Sea E el c a m p de descomposicion de .r3
- 2 sobre Q, como en el ejemplo 42.2.
a) iCual es el orden de G(E/Q)? [Sugerencia: usese el corolano 2 del teorema 42.2 y el corolario del teorema 41.1 aplicado a la torre Q 5 ~ ( i f i ) I E.] b) Muestrese que G(E/Q) 2 S,, el grupo simetrico en tres letras. [Sugerencia: usese el ejercicio 42.13, junto con a).] Mutstrese que para un primo p, el campo de descomposicion sobre Q de xP - 1 es de grado p - 1 sobre Q. [Sugerencia: remitase al corolano del teorema 31.4.1
42.15
Sean F y F' dos cerraduras algebraicas de un c a m p F y sea f (x) E F[x]. Mubtrese que el c a m p de descomposicion E sobre F de f(x) en F es isomorfo al c a m p de descomposici6n E' sobre F de f(x) en F'. [Sugerencia: Gsese el teorema 41.1.1
42.16
Extensiones separables
RecuCrdese que suponemos que todas las extensiones algebraicas de un cal PO F que se wnsideran, estan wntenidas en una cerradura algebraica fija F de 7 Nuestra siguiente tarea es determinar, para una extension finita E de 1 bajo quC condiciones { E :F ) = [ E : F ] . La clave para responder a esto es cons lerar la multiplicidad de 10s ceros de 10s polinomios. Definici6n Sea f ( x ) E F [ x ] . Un elemento a de F tal que f ( a ) = 0 es u cero & f ( x ) & mulriplicidizd v si v es el mayor entero tal que ( x - a)' es un kctor de f ( x ) en F [ x ] .
El siguiente teorema muestra que las multiplicidades de 10s ceros polinomio irreducible dado sobre un campo, son todas iguales. La facilida que podemos probar este teorema es otra indicacion acerca de la fuel nuestros isomorfismos basicos y de todo nuestro enfoque del estudio de ce polinomios, mediante transformaciones.
: un con a de bs de
Teorema 43.1 Sea A x ) irreducible en F [ x ] . Entonces, todos 10s ceros c; A x ) en F tienen la misma multiplicidad. Demostracibn Sean a y /I ceros de f ( x ) en F. Entonces, por el teorema 40.1 xiste un isomorfismo bLico +.,,:F(a) F(/I). Por el corolario 1 del teoreml 41.1, puede extenderse a un isomorfismo r : F + F. Entonces, T induce u iso-
+,,
2
43.1 MULTlPLlClDAD DE LOS CEROS DE UN POLlNOMlO
morfismo natural r x : f l x ] -, 9 x 1 con xr, f ( x ) E F [ x ] y t,bm.Bdeja fijo F. Sin embargo,
=
395
x. Ahora, r, deja fijo f ( x ) , pues
lo cual muestra que la multiplicidad de p en f ( x ) es mayor o igual a la multiplicidad de a. Un razonamiento anilogo da la desiguladad reciproca, de mod0 que la multiplicidad de a es igual a la de 8. Corolario Si f ( x )es irreducible en F [ x ] , entonces f ( x )tiene una factorizacihn en F [ x ] de la forma
donde los aison 10s dirtintos ceros de f ( x ) en Demostracibn
F y a E F.
La demostracion del corolario es inmediata del teorema 43.1.
4
A estas alturas, deberiamos mostrar mediante un ejemplo que puede ocurrir el fenomeno de un cero de multiplicidad mayor que 1 de un polinomio irreducible. Mostraremos mls adelante en este capitulo, que so10 puede suceder para un polinomio sobre un campo infinito de caracteristica p # 0. Ejemplo 43.1 Sea E = Zdy) donde y es una indeterminada. Sea t = yP y sea F el subcampo Z h t ) de E. (Vkase la figura 43.1.) Ahora, E = F( y) es algebraic0 sobre F, pues y es un cero de ( x p - t ) E F [ x ] . Por el teorema 35.3, irr(y, F ) debe dividir a xP - t en F[x]. [En realidad, irr(y, F ) = xP - t. Dejamos la demostracion para 10s ejercicios (vtase el ejercicio 43.4).] Como claramente F( y) no es igual a F, debemos tener que el grado de irr(y, F ) 2 2. Pero notese que
396
EXTENSIONES SEPARABLES
pucs E tiene caracteristica p (vease el tcorema 40.5 y el comentario que le sigue). .I. cs un cero de i r r ( ~F) , de multiplicidad > I . En realidad, xP - t = irr(j., F), dc modo que la multiplicidad de J, es p. Asi,
A partir dc aqui nos basaremos fuertemente en el teorema 41.2 y su corolario. El
tcorcma 40.1 y su corolario muestran que para una extension algebraica simple F(z) dc F, cxiste. para todo cero distinto, de irr(a, F), una extension del isomorfismo idcntidad I de F en F, y que estas son las unicas extensiones de I. Asi, ( F(z) : F ) cs el numero dc. 10s distintos ceros dc irr(a, F). De nuestro trabajo con el teorema de Lagrange y del teorema 38.2, deberia reconocerse la fuerza potencial de un teorema como el siguiente. Teorema 43.2 [E : F].
Si E es una extension finita de F, entonces {E: F} divide
Demo.~frocion Por el teorema 38.3, si E es finito sobre F. entonces E = F(z,, Sea irr(a, F(a,, . ., a,- ,)) donde ai es uno de 10s ni distintos ceros que, por el teorema 43.1, tienen multiplicidad vi. Entonces,
.
.. ., a,,), donde ai E i?
Por el teorema 38.2 y el corolario del teorema 41.2,
Por tanto, {E: F} divide [E: F].
43.2
.
EXl'ENSlONEs SEPARABLES
Definki6n Una extension finita E de F es una exteasibn separable & F si { E :F ) = [E :F]. Un elemento a de F es separable sobre F si F(a) es una extension separable de F. Un polinomio irreducible f(x) E F[x] es separable sabre F si todo cero de f(x) en F es separable sobre F. Para facilitar las cosas a1 estudiante, hemos restringido nuestra definition de extension separable de un campo F a extensiones finitas E de F. Para la definicion correspondiente a extensiones infinitas, vtase el ejercicio 43.6. Sabemos que {F(a):F ) es el nlimero de ceros distintos de irr(a, F). Ademas, por el teorema 43.1, la multiplicidad de a en irr(a, F ) es la misma que la
43.2 EXTENSlONES SEPARABLES
397
multiplicidad de cada conjugado de r sobre F. .4ri. I ex st.parohlc~sohrr F s i j*.v,-. si irr(a, F) rirnc* to(1o.c 10s c,ero.v de t)l~rltiplic.ici~~,: I . Dc inmediato, esto nos dice c .;r un polit~onrioirrc~lrrc~ihI(~ f'(.v) E F[.v] cls .ct~pci~,;b/t~ 5,)hrt. F si j*.vrilo si /'(.\-) ti*-,-; rodo.v 1o.v c.cv-os (ICJ t~~~~ltiplir~ I .irlrtl '{I
Teorema 43.3 Si K cJ.v rrlrtr t~.r~craidn,tini:,l l / t x E J. E t..s lrlrtr t ~ . ~ - t c ~ n s i i l r / ' ;.-ir~it~i I;: rlsto L'S. si F < E < K. CIIIOIII.CS K t rr'/~~i,..;klt' . s o h ~F ( ~. ~j.i . ~ ~ ; .si l o k. sc~ptrruhk*sohrp E j. E c's si~pprrruhl(~ sohri F Dcmostracirin
Se tiene,
Entonces, si K es separable sobre F, de modo que [ K : F ] = { K : F). debern*: tener [K: E l = ( K : E ) y [ E : F ] = { E : F : . pues en cada caso, por el teorerr.2 43.2, el indice divide a1 grado. Asi. si K es rcparsbie sobre F, entonces K c; separable sobre E y E es separable sobre F. El reciproco es igualmente ficil, pues [A' : E l = ;K : E ) y [ E : F ] = { E : F implica que
El teorema 43.3 se puede extender de manera obvia. por induccion, a cualquie: torre finita de extensiones finitas. El campo de arriba es una extension separablc del campo de abajo si y solo si cada c a m p es una extension separable del quc esta inmediatamente abajo de el. Corolario Si E es una e-rtensiotr finira de F. rtlronces E es separable sobre si y solo si cada a en E es separable sobre F. Demostracion
Supbngase que E es separable sobre F y sea a
E E.
F
Entonces,
y el teorema 43.3 muestran que F(z) es separable sobre F.
Supongase, de manera reciproca. que toda 2 E E ej separable sobre F. Como . . ., r, tales que
E es finito sobre F, existen a,,
F < F(a,) < F('(a,,z,) < . . . < E
=
F12, . . . . , a,).
Ahora, debido a que ai es separable sobre F. es claro que zi es separable sobre F(a,, . . ., ai- ,), ya que
398
EXTENSIONES SEPARABLES
divide a irr(a, F) de modo que ai es un cero de q(x) de multiplicidad I. b . . ., a,) es separable sobre F(a,, . . ., a,-,), entonces, por el teorema 43.3, do por induccion, E es separable sobre F.
43.3
F(a, tendi9
CAMPOS PERFECTOS
Pasemos ahora a la tarea de probar que a puede no ser separable sobre A 610 si F es un c a m p infinito de caracteristica p # 0. Un mttodo es introduci: :rivadas formales de polinomios. Aunque esta tecnica es elegante y util, en a] de la brevedad usaremos el lema siguiente. Las derivadas formales se desarroll; :n 10s ejercicios 43.8 a1 43.15. Lema 43.1 Sea
F una cerradura algebraica de F y sea
cualquier polinomio mbnico en F[x]. Si (f (x))" entonces f(x) E F[x], esto es, t& las ai E F.
E
F[x] y m - 1 #
Demostracibn Debemos mostrar que ai E F, y procedemos, por induccio mostrar que a , - , ~F. Para r = 1,
Pues (f(x))"
E
en F,
n r, a
F[x], en particular, tenemos que
Asi, a,-, E F, pues m - 1 # 0 en F. Como hipbtesis de induccion, supongamos que a,-, E F para r = 1, : Entonces, el coeficiente de xm"-(k+')en (f(x))" es de la forma
,,
,,
donde gk+,(a,- a, - , . . .,a, - ,) es un polinomio formal en a,- a, - , . Por la hipbtesis de induccion, g,+,(a a,-,, . . ., a,-,) E F, asi que, dc a,-(,+,, E F pues me 1 # 0 en F.
,-,,
. .,k.
an-L. uevo,
lstrar Estamos ahora en posicion de manejar campos F de caracteristica cero y que, para una extension finita E de F, tenemos que {E:F} = [ E : I Por defmicibn, esto equivale a probar que toda extension finita de un ca o de caracteristica cero es una extension separabk. Primero daremos una del cion.
43.3 CAMPOS PERFECTOS
399
Definici6n Un campo es perfecto si toda extension finita es una extension separable. Teorema 43.4
Tocio campo de caracteristica cero es perfecto.
Demostracicin Sea E una extension finita de un campo F de caracteristica cero y sea a E E. Entonces,,f(.r) = irr(a, F ) se factoriza en F [ x ] en (s- ai)', donde ai son 10s ceros distintos de irr(a, F), y digamos que a = a,. Asi,
Hi
y como v . 1 # 0 para un campo F de caracteristica 0,debemos tener, por el lema 43.1,
Como f(x) es irreducible y de grado minimal en F[x] con a como cero, vemos entonces que I* = i. Por tanto, a es separable sobre F para todas las a E E. Por el corolario del teorema 43.3, esto significa que E es una extension separable de F. 8 El lema 43.1 tambien nos servira para el caso de un c a m p finito, aunque la demostracion sea un poco dificil. No hay que pensar que no se puede entender el significado de un teorema, s610 porque uno se pierde en la demostracion. Teorema 43.5
Todo campo jiniro es perfecro.
Demosrracion Sea F un campo finito de caracteristica p y sea E una extension finita de F. Sea a E E. Necesitamos mostrar que a es separable sobre F. Ahora, f(.r) = irr(a, F) se factoriza en F e n (x - air, donde las ai son 10s distintos ceros de f(x) y, digamos, a = a,. Sea v = #e donde p no divide a e. Entonces,
ni
ni
estl en F[x] y, por el lema 43.1, (x - a#" esta en F[x], pues e 1 # 0 en F. Como f(x) = irr(a, F) es de grado minimal sobre F con a como cero, debemos tener e = 1. El teorema M.5 y la observ~cionque le sigue muestran, entonces, que
400
EXTENSlONES SEPARABLES
Asi, si vemos /'I.\-) como K(.rP')debcmos lener que g(.u) E F[.u]. Ahora, g ( s ) es separable sobre F y sus distintos ccros son I?. Considerese F ( a r ) = F(aPi). Entonces. F(aP')es separable sobre F. Como .uP' - 2"' = (r - I)"', vemos que r. cs el unico cero de .up' - ctP' en F, Entonces, como espacio vectorial linito sobre un campo linito I;: ~ ( 1 " 'debc ) scr, dc nucvo, un campo linito. Por tanto, por el tcorema 40.5, la transformacion o,: F(aP')-+ F(aP')
dada por ao,
=
aP para u E F(ad) es un automorfismo de F(rd). En consecuencia,
(a,)' tambien es un automorfismo de F(zP'),v
Como un automorfismo de F ( r d ) es una transformacion sobre, existe BE F(ad) tal que /?((o,)') = I? Pero, entonces, P''' = r d , y vimos que z es el unico cero de .rfl - ad de mod0 que debemos tener P = r . Como /? E F(aP'),tenemos F(a) = = F(zd). Como F(ad) era separable sobre F, vemos ahora que F ( r ) es separable sobre F. Por tanto, a es separable sobre F y t = 0. Hemos mostrado que para a E E, a es separable sobre F. Entonces, por el corolario del teorema 43.3, E es una extension separable de F. Hemos alcanzado nuestro objetivo, el cual ha mostrado que campos de caracteristica 0 y campos finitos, tienen solo extensiones finitas separables, esto, es, estos campos son perfectos. Para extensiones finitas E de dichos campos perfectos F tenemos [ E :F ] = ( E :F } .
"43.4
TEOREMA DEL ELEMENT0 PRlMlTlVO
En otro parrafo con asterisco usaremos el interesante teorema siguiente. Teorema 43.6 (Teorema &l elemento primitivo) Sea E una extensibn separable fmita de un campo infiniro F. Entonces, existe a E E tal que E = F(a). (Dicho elemenro a es un ekmento primitivo.) Esto es, una extensibn separable finita de un campo infinito es una extensibn simple. Demostraci6n Lo probamos en el caso en que E = F(P, y). El razonamiento de inducci6n es obvio. Supongase que irr(P, F ) tiene ceros distintos /? = B,, . . ., P,,, irr(y, F ) ceros distintos y = y,, . . ., y, en F, donde todos 10s ceros son de multiplicidad 1, ya que E es una extension separable de F. Como F es infinito, podemos encontrar a E F tal que
para todas las i y j, con j # 1. Esto es, a(y - yj) # tenemos a = + ay # Pi + ay,, de mod0 que
Pi -
Haciendo a =
fi
+ a;,
para todas las i y todas las j # 1. Sea f(x) = irr(P, F), considerese h(.r) = f (a - ax) E (F(a))[x]. Ahora, h(y) = f(P) = 0. Sin embargo, por construccion. /1(yj) # 0 para j # 1, pues las Pi fueron 10s Gnicos ceros de f(x). Por tanto, h(x) y g(x) = irr(y, F) tienen un factor comun en (F(a))[x], a saber, irr(y, F(a)) que debe ser lineal, pues ;,es el unico cero comun de g(x) y h(x). Asi, y E F(a) y, por tanto, = a - ay esta en F(a). De aqui, F(P, y) = F(a). Corolorio Una extensibn jinita de un campo de caracterktica cero es una extensibn simple.
Demostracibn La demostracion de este corolario se sigue del teorema 43.6 y del hecho de que todo c a m p de caracteristica 0 es infinito y perfecto. rn En realidad, una extension finita de un campo finito F tambien es una extension simple de F. Esto se mostrara en el capitulo 45. Asi, una vez mas, el unico posible ((case malon es una extension de un campo infinito de caracteristica p # 0. En resumen, una extensibn separable fvlita de un campo F es una extensibn simple de F.
43.1 Dkse un ejemplo de un/(x) E Q[x] que no tenga ceros en Q, pero cuyos ceros en C Sean todos de multiplicidad 2. Expliquese en qut medida esto es consistente con el teorema
43.4, el c,ual muestra que Q es perfecto. 743.2 Mubtrese que si a, fl E F son ambos separables sobre F, entonax, a f B, aB Y alB si fl # 0, son, todos, separable sobre F. [Sugerencia: usese el teorema 43.3 y su corolario.] 433 ~Falsoo verdadero?
-
a) b) c) d)
Toda extension finita de todo c a m p F es separable sobre F. Toda extension finita de todo c a m p finito F es separable sobre F. Todo c a m p de caracteristica 0 es perfecto. Todo polinomio de grado n sobre todo c a m p F siempre tiene n ceros distintos en F. - e) Todo polinomio de grado n sobre todo campo perfecto F siempre tiene n ceros distintos en F. - f) Todo polinomio irreducible de grado n sobre todo c a m p perfecto F siempre tiene n ceros distintos en F. - g) Todo campo algebraicamente cerrado es perfecto.
402
1
EXTENSIONES SEPARABLES
- h) Todo campo F tiene alguna extensibn algebraica E, perfects. - i) Si E es un campo de extension de descomposicion de F separable finito,entonces -
IC(E/F)I = [E: F]. j) Si E es un campo de extension de descomposicion finito de F, entonces IG:E/F)I divide a [E: F].
Muestrese que (1, y, . . .,y " - ' ) es una base para Zp(y)sobre Z&yP),donde y cs una indeterminada. Con referencia al ejemplo 43.1, concluyase, mediante un razonamierto de grado, que xP - I es irreducible sobre Zp(t)donde I = yP.
43.4
Pruebese que si E es una extension algebraica de un campo perfecto F, entonm E es perfecto.
435 43.6
Una extensi6n algebraica (quizh infinita) E de un c a m p F es una extrsi6n
separable de F si para toda a € E, /(a) es una extension separable de F, en el satido
definido en el texto. Mubtrese que si E es una extension separable (quids infinita) e F y K es una extension separable (quids infinita) de E, entonces K es una extension sepable de F. Sea E una extension algebraica de un campo F. Muestrese que el conjunto de odos 10s elementos en E que son separables sobre F forman un subcampo de E, la cemdurn separable de .F en E. [Sugerencia: usese el ejercicio 43.2.1 43.7
Los ejercicios 43.8 a1 43.15 presentan las derivadasformales en F[x]. Sea F cualquier c a m p y sea f (x) = a, La derivada f'(x) de f (x) es el polinomio
438
+ a,x + . .. + six' + . . . + a,x" en 'Ex].
donde i - 1 tiene su significado usual para i E Z+ y 1 E F. Estas derivadas son formal.; no implican culimites)). a) Prutbese que la transformacion D: FEx] -r FEx] dada por D(f (x)) = f'(x) homomorfismo de
un
Siguiendo la idea del ejercicio 43.8, muCstresc que:
a) D(a/(x)) = aD(f(x)) para todos 10s f(x) E F[x] y a E Fb) D(f (x)g(x))= f(x)gf(x) + f'(x)g(x) para todos 10sf(x), g(x)E F[x]. [Sugerencia:~ la parte a) de este ejercicio y el ejercicio anterior y prockdase por induction? el grad0 de f (xlg(x).l C) D((/(x)~)= (m - l)/(x)"- 'f'(x) para todas las /(x) E F[x]. [Sugerencia: bese .I 4110 Sea f(x) E F[x] y a E Fun cero de f(x) de multiplicidad v. Mukstrese que v > si y solo si a es, ademb, un cero def'(x). [Sugerencia: apliquese b) y c) del ejercicio 43.1 la factorizacibn f(x) = (x - a)'g(x) de f(x) en F[x].] 4111 Mutstrese, del ejercicio 43.10, que todo polinomio irreducible sobre un campide
caracteristica 0 es separable. [Sugerencia: usese el hecho de que irr(u, F) es el polimio minimal para a sobre F.]
43.12 MuCstrese, del ejercicio 43.10. que un polinomio irreducible q(x)sobre un campo F de caracteristica p f 0 no es separable si y solo si cada exponente de cada termino de q(.r) es divisible entre p. 43.13 Generalicese el ejercicio 43.10. mostrando que f(.r) E F[.r] no tiene ceros de multiplicidad > 1 si y solo si f ( s ) y f'(.r) no tienen factor comun no constante en F[.r]. *43.14 Con algo mas de trabajo que en el ejercicio 43.13, muestrese que./(x) E FIX] no tiene cero de multiplicidad > 1 si y solo si f ( x ) y f'(x) no tienen factor comun no constante en F [ x ] . [Sugerencia: usese el teorema 33.3 para mostrar que si 1 es un mcd de f ( x ) y f'(.r) en F [ x ] , tambien es un mcd de estos polinomios en F [ x ] . ] *43.15 Describase un procedimiento factible de calculo para determinar en que casos f(.r) E F [ x ] tiene un cero de multiplicidad > 1, sin tener que encontrar, en realidad, 10s ceros de f ( x ) . [Sugerencia: usese el ejercicio 43.14.1
3)
*43.16 Encuimtrese a E Q($, f i ) tal que Q($, = Q(a). Verifiquese, rnediante cilculo directo, que y pueden, en efecto, expresarse como polinomios formales en dicha a,con coeficientes en Q.
fi 8
+43.17 Obkrvese d6nde se usaron, en el teorema 43.6, las hipbtesis de que F era infinito. Muktrese que si F es finito con s elementos y si B y y son algebraicos sobre F y de grados n y m, respectivarnente, entonces existe a tal q w F(B, y) = F(a)siernpre que s > mn. (Este resultado seri desplazado por el trabajo del capitulo 45.)
Extensiones totalmente inseparables 44.1
EXTENSIONES TOTALMENTE INSEPARABLES
Desarrollamos la teoria de las extensiones totalmente inseparables de manera paralela a nuestro desarrollo de las extensiones separables.
Definici6n Una extensibn finita E de un campo F es una extensicin totalUn elemento a de F es inseparable sobre F.
mente inseparable de F si { E :F } = 1 < [ E : F ] . totalmente inseparable sobre F si F(a) es totalmente
Sabemos que { F ( a ):F } es el numero de ceros distintos de irr(a, F ) . Asi, a es loralnzenle inseparahle sobre F si jPsolo si irr(a, F ) liene solo un cero de mulliplicidad > 1 .
Ejemplo 44.1 Con respecto al ejemplo 43.1, es claro que Z p ( p ) es totalmente inseparable sobre Z P ( y P )donde 11es una indeterminada. m Teorema 44.1 (Contraparte del teorema 43.3) Si K es una exlensionfinira de E, E es una e.rlensibn finila de F F < E < K, enlonces K es lolalmenie inseparahle sobre F si j, solo si K cs lorahienre inseparable sobre E 1, E es lolaItneti1e inseparable sobre F. )$
Demoslracion Como F < E < K, tenemos [ K : El > 1 y [ E : F ] > 1 . Supongase que K es totalmente inseparable sobre F. Entonces, {K: F } = 1 y
44.1 EXTENSIONES TOTALMENTE INSEPARABLES
dr ~ o d que o debemos tener
405
-
K es totalmente inseparable sobre E E es tctalmente inseparable sobre F. Reciprocamente, si K es totalmente ;r.;-:?arable sobre E y E es totalmente ir.s?arable sobre F, entonces .is
- ..
-2.:
F] < 1. Asi, K es totalmente insep~rzblesobre F.
El :sorema 44.1 se puede extender de ma~ierzobvia. por induccion, a cualquier tc-t propia finita de estensiones finitas. El campo de arriba es una extension rcz:'-ente inseparable del de abajo si y rll.!o si cada carnpo es una extension t@--nente inseparable del que se encuentrz inmediatamente debajo de 61.
&I teorema 43.3) Si E es una extensibn imt;parahle sobre F si y sblo si cada a en E. cx $ F, es totalniente inseparable sobre F.
Corolario (Contraparte &I corolario
.-hits a2 F, entonces E es totalmente
Dkn.istracibn Sup6ngase que E es totalmcnte inseparable sobre F y sea a E E, cor. :$ F. Entonces,
Si F 2 ) = E, entonces, por la definition de I totalmente inseparable sobre F, ya t e m a m o s . Si F < F ( z ) < E. entonces el reorema 44.1 muestra que corno E es t o h e n t e inseparable sobre F. F(a) es totalmente inseparable sobre F. En forma reciproca, sup6ngase que para toda cx E E, con a $ F, a es t o e e n t e inseparable sobre F. Como E es finito sobre F, existen a,, . . ., a, tales que
F < F(zll < F(zl, z2)< . -- < E = F(z,, . . ., a,,). Aboz corno a, es totalmente inseparable sabre F. zies totalmente inseparable sob2 F(cx,, . . .,ai- ,), pues q ( x ) = irr(z,. F i l l . . . .. zi- ,)) divide irr(a, F), de rnodo que 2. es el unico cero de q ( x ) y es de multiplicidad > 1. Asi, F(a,, . . ., a3 es totahente inseparable sobre F(z,, . . ., zi-, y E es totalmente inseparable sobre F, pi-: el teorema 44.1, extendido por i n d u r r i b . m
,
Es c+io que hasta ahora hemos seguido un camino paralel~a1 trabajo del capitlio 43, tanto es asi que bien pudimos haber manejado juntas estas ideas.
406
* 44.2
EXTENSIONES TOTALMENTE INSEPARABLES
CERRADURAS SEPARABLES
Vcamos ahora la razon principal para incluir este material. Teorema 44.2 Sea F de caracteristicu p # 0 y sea E una extension Anita de F. Entonces, a E E, rx 4 F, es totalmen~einseparable sobre F si y solo si exisre alglin enter0 r 2 1 tal que aptE F. Mas aun, hay una extension unica K de F, con F I K I E, tal que K es separable sobre F, y E = K o E es to inseparable sobre K. Demostracion Sea a E E, a 4 F, totalmente inseparable sobre F. irr(a, F) tiene un solo cero a de multiplicidad > 1 y, como se demostraci6n del teorema 43.5, irr(a, F ) debe ser de la forma
De aqui, ad E F para alguna r 2 1. En forrna reciproca, si ad E F para alguna r 2 1, donde a entonces xP' - ad = (x
-
E
Ey a
9 F,
a)d,
f
y (xd - ad) E F[x], lo cual muestra que irr(a, F) divide (x - a)d. Asi, 'rr(a, F ) tiene a como unico cero y este cero es de multiplicidad > 1, de mod0 ue a es totalmente inseparable sobre F. Para la segunda parte del teorema, sea E = F(al, . . ., a,). Entonce , si
con ail = a. sea 8, = acl. Tenemos F(B1,, BZ1,. . .. Bnl) S E y
Bil es un(cen,de
I
dondefix) E FCx]. Ahora bien, como elevar a la potencia p es un isomo lsmo a, de E en E, elevar a la potencia # es la transfonnacibn isomorfa (a,)' de E en E. Luego, como las aij son todas distintas para i fija, tambikn lo son las B para i fija. Por tanto, Bij es separable sobre F porque es un cero de un polinomi Ax) en FIX]con ceros de multiplicidad 1. Entonces, por la demostracibn del c rolario del teorema 43.3, I
es separable sobre F. Si todas las pri = 1, entonces K = E. Si alguna '4 # 1, entonces K Z E y arcs = /Ii1 esti en f lo cual muatra que cada t $ K es
totalrnente inseparable sobre K, debido a la prirnera parte de este teorema. De aqui que, por la dernostracion del corolario del teorerna 44.1, E = K(zl, . . ., 2,) es totalrnente inseparable sobre K. Se sigue de 10s corolarios de 10s teorernas 43.3 y 44.1 que el carnpo K del . teorema 44.2 consta de todos 10s elernentos a en E que son separables sobre F. Asi, K es unico. rn
Definicibn El carnpo unico K del teorema 44.2 es la cermdura separable dc F en E. El teorerna anterior rnuestra la estructura precisa de las extensiones totalrnente inseparables de un carnpo de caracteristica p. Dicha extension se puede obtener agregando repetidamente raices p-esirnas de elementos (que no sean ya potencias p-tsirnas) para obtener carnpos cada vez rnayores. Insistirnos en que el teorerna 44.2 se curnple para extensiones algebraicas infinitas E de F. La dernostracibn de la prirnera afirmacion del teorema tarnbien es valida para el caso de extensiones infinitas. Para la segunda parte, corno a /?, a/-?y a//?para /-? f 0 estan contenidos en el carnpo F(a, /-?),todos 10s elementos de E separables sobre F forman un subcarnpo K de E, la cerradura separable de Fen E. Se sigue que un a E E, a 4 K es totalrnente inseparable sobre K, puesto que a y todos 10s coeficientes de irr(a, K) estin en una extensi6n finita de F y, entonces, se puede aplicar el teorerna 44.2.
+
*44.1 Sean y y z indeterminadas y sean u separable de Z,(u, v) en Z,(y, z). *44.2 Sean y y z indeterminadas, y sean u separable de Z,(u, v) en Z,(y, z).
= =
y12 y
y12 y
v
v = il'. Describase la cerradura =
y 2 ~ 1 8Describase . la cerradura
*443 Mubtrese que si E es una extensi6n algebraica de un c a m p F, entonces el conjunto de todos 10s elementos de E totalmente inseparables sobre F forman un subcampo de E, la cemdura totalmente iasepamble de F en E.
*44A Con respecto al ejercicio 44.1, describase la cerradura totalmente inseparable (vkse el ejercicio 44.3) de Z,(u, v) en Z,(y, z). *445
Z,(u, *44.6
0)
Respecto al ejercicio 44.2, describase la cerradura totalmente inseparable de en Z,(Y, 4. iFal~ o verdadero?
- a) Ninguna extension algebraica propia de un c a m p infinito de caracteristica p # 0,es una extensi6n separable. - b) Si F(a) es totalmente inseparable sobre F de caracteristica p # 0, entonces a@E F para alguna t > 0. - c) Para una indeterminada y, Z5(y)es separable sobre Z5(y5). - d) Para una indeterminada y, Z5(y)es separable sobre Z5(y10). -
e) Para una indeterminada y, Z5(y)es totalmente inseparable sobre Z5(y10).
408
EXTENSIONES TOTALMENTE INSEPARABLES
-
f)
-
g)
- h) .
.
i)
- j)
Si F e s un campo y a es algebraic0 sobre F, entonces o bien z es separable o bien es totalmente inseparable sobre F. Si E es una extension algebraica de un campo F, entonces F tiene una cerradura separable en E. Si E es una extension algebraica de un campo F, entonces E es totalmente inseparable sobre la cerradura separable de F e n E. Si E es una extension algebraica de un campo F y E no es una extension separable de F, entonces E es totalmente inseparable sobre la cerradura separable de F en E. Si a es totalmente inseparable sobre F, entonces z es el ~inicocero de irr(a, F).
*44.7 Muestrese que un campo F de caracteristica p # 0 es perfecto si y solo si FP = F, esto es, todo elemento de F es una potencia p-bima de algun elemento de F. *44.8 Sea E una exiensibn finita de un c a m p F de caracteristica p. En la notacion del ejercicio 44.7, mukstrese que EP = E si y solo si FP = F. [Sugerencia: considkrese que la transformacion up: E -. E definida por anp = aP para a E E es un isomorfismo. ConsidCrese el diagrama en la figura 44.1 y dense razonamientos de grados.]
Campos finitos El propbsito de este capitulo es determinar la estructura de todos 10s campos finitos. Mostraremos que para todo primo p y entero positivo n, hay exactamente un campo Bnito (salvo isomorfismo) de orden p". Por lo comun, nos referimos a este c a m p CG@') como a1 campo de Galois de orden pa. Usaremos buena parte de nuestro material de grupos ciclicos. Las demostraciones son sencillas y elegantes.
45.1
ESTRUCTURA DE UN CAMP0 FlNlTO
Es facil ver que todos 10s campos finitos deben tener orden igual a la potencia de un primo.
Teorema 45.1 Sea E una exrensibnjinita de grado n sobre un campof i i t o F. Si F tiene q elemenros, entonces E riene g" elementos. Demostracion
Entonces, toda
Sea { a , , . . ., a,} una base para E como espacio vectorial sobre F. E E puede escribirse de munera linica en la forma
para hiE F. Como cada h, puede ser alguno de 10s q elementos de F, entonces el n6mero total de dichas combi%aciones lineales distintas de las aies g". rn Corolario
Si E es un campo jinito de caracreristica p, entonces E contiene ..
410
CAMPOS FlNlTOS
Demostracion Todo c a m p finito E es una extension finita de un campo prirno isornorfo al carnpo Z, donde p es la caracteristica de E..El corolario se sigue inrnediatarnente del teorerna 45.1.
Pasernos ahora al estudio de la estructura rnultiplicativa de un carnpo finito. El siguiente teorema rnostrara corno puede fonnarse cualquier carnpo finito del subcampo prirno. Teorema 45.2 Un campo finiro E de p" elementos es el campo de descomposicibn de xp - x sohre su subcampo primo Z, (salvo isomorfismo). Dc~nrosfracicin Sea E un carnpo finito con p" elernentos donde p es la caracteristica de E. El conjunto E* de elernentos distintos de cero de E fonna un grupo rnultiplicativo de orden pa - 1 bajo la rnultiplicacion de carnpo. Para a E El, el orden de a en este grupo divide el orden p" - 1 del grupo. Asi, para a € El tenernos a F - ' = 1, de rnodo que a p = a. Por tanto, todo elemento en E es un cero de xF - x. Como xF - x puede tener a lo m h p" ceros, vernos que E es el campo de descornposici6n de xF - x sobre Z,. DefiniciC Un elemento a de un c a m p es una raiz &ma &I unitcvio si a" = 1. Es una raiz d m a pimitiva &I unhcvio si a" = 1 y am# 1 para O
Asi, 10s elementos distintos de cero de un campo finito de pa elementos son todos raices (p" - lgsimas del unitario. Sea F cualquier campo y sea U, el conjunto de todas las raices n-ksirnas del unitario en F. Es facil ver que U,, es un grupo bajo la rnultiplicacion de campo. Si d = 1 y b" = 1, entonces (ab)" = d b " = 1,
de modo que la rnultiplicacion es cerrada en U,. Es igualmente trivial verificar 10s axiomas de grupo. Aseguramos que U, es un grupo ciclico. De hecho, se cumple el siguiente resultado m h general. Teorema 45.3 Si G es un subgnrpo finito mulfiplicafivodel grupo mulfiplicatioo (P,) de 10s elementos distinfos & cero de un campo F, enfonces G es ciclico.
.
Demosfracibn Por el teorerna 9.3, corno grupo abeliano finito, G es isomorfo a un product0 direct0 Z,, x Z,, x .. x Z, de grupos ciclicos, donde mi divide a mi+ Pensemos que cada Z,, es un grupo de orden m, en notaci6n mulfiplicarioa. Entonces, para a, E Z,,, p = 1, de mod0 que a;". = 1, pues mi divide a m,. Asi, para todas las a E G, tenemos cr". = 1, de modo que todo elemento de G es un cero de A? - 1. Pero G tiene mi elementos, rnientras que x". - 1 tiene a lo mas m, ceros en un campo. Por tanto, debernos tener r = 1, de rnodo que G es ciclico.
,.
n;=,
45.2 LA EXISTENCIA DE C G ( m
411
Corolario I El grupo mulriplicarivo de rodos 10s elemenros disrinros de cero de un rumpo jiniro hujo Iu mulriplirucion de cumpo es ciclico. Demos~rucion La demostracion del corolario 1 es inmediata del teorema 45.3.
Corolario 2 simple a%
Unu extension finira E de un rampo jlniro F es una extension
F.
Demosrracion Sea a un generador para el grupo ciclico E* de elementos distintos de cero de E. Entonces, obviamente E = F(a).
,.
Ejemplo 45.1 Considlrese el campo finito Z , Por el corolario 1 del teorema 45.3, (Z, *, . ) es ciclico. Tratemos de encontrar un generador de Z, * mediante fuerza bruta e ignorancia. Cornencernos por 2. Como IZ, ,*I = 10, 2 debe ser un elernento de Z , de orden que divida a 10, esto es, 2, 5 6 10. Ahora,
,
,
,*
Entonces, ni 2', ni Z5 son 1, pero es claro que 21° = 1, de modo que 2 es un esto es, 2 es una raiz dkima prirnitiva dei unitario en Z , , . generador de Z, Tuvimos suerte. Por la teoria de 10s grupos ciclicos, todos 10s generadores de Z, ,*, esto es, todas las raices dlcimas prirnitivas del unitario en Z,, son, entonces, de la forma 2" donde n es prirno relativo con 10. Estos eiementos son
,*,
Las raices quintas primitivas del unitario en Z,, son de la forma 2" donde el mcd de m y 10 es 2, esto es,
La raiz cuadrada primitiva del unitario en Z , , es 25 = 10 = - 1.
45.2
.
LA EXISTENCIA DE CG(P")
Pasernos ahora a la cuesti6n de la existencia de un carnpo finito de orden p' para toda potencia de prirno p', r > 0. Necesitarnos el lema siguiente. Lema 45.1 Si F es un carnpojlnito de caracterisrica p, entonces xP" - x tiene p" ccros disrintos en el campo de descomposicibn K I F de xP" - x sobre F.
Drmostrucion Sea F un campo finito de caracteristica p y sea K el campo de dcscomposicion en F del polinomio .rP" - x sobre F. Se mostrara que .xPn - s ticne pn ceros distintos en K. Como no hemos tenido tiempo para presentar una teoria algebraica de las derivadas, no disponemos de esta elegante ticnica, asi que procederemos mediante la fuerza bruta. Obviamente, 0 es un cero de .up" - s de multiplicidad 1. Supongase que z # 0 es un cero de xp" - x y, por tanto, es un cero de f ( x ) = xP"- ' - I. Entonces, .u - z es un factor de f ( x ) en K [ s ] y. mediante division, encontramos que
Ahora, g(x) tiene pn - 1 sumandos y en g(a) cada sumando es
Asi, g(a) = [(p" - 1 ) .
1 a
1 a
11 - = --.
puesto que estamos en un campo de caracteristica p. Por tanto, g(a) # 0, de mod0 que a es un cero de f ( x ) de multiplicidad 1 . rn
Teorema 45.4 Existe un campo jinito C G ( p n )de pn elementos para roda potencia & primo pn. Demostracibn Sea K 5 Z p el c a m p de descomposici6n de xP" - x sobre Z, y sea F el subconjunto de K forrnado por todos 10s ceros de xJ'"- x en K. Entonces, para a, /3 E F las ecuaciones
muestran que F es cerrado bajo la suma, resta y multiplication. Es claro que 0 y 1 son ceros de xP"- X . Para a # 0, aJ'" = a implica que ( 1 1 ~ =) ~l/a. Asi, F es un subcampo de K que contiene a Z, Como K es la menor extension de Z p que contiene 10s ceros de xJ'"- X , vemos que se debe tener K = F. Por tanto, K es el campo deseado de pn elementos, ya que en el lema 45.1 se mostr6 que xPn - x tiene pn ceros distintos en 2,
.
Corolario S i F es rualyuier campo jinito, entonces para todo entero positioo n e-xiste un polit~omioirretlucihle en q . x ] de grado n. Dcmostracici~~ Sea F con y = p' elementos, donde p es la caracteristica de F. Por el teorema 45.4, existe un campo (salvo isomorfismo) K I F que contiene Z, y consta, precisamente, de 10s ceros de .xP'" - x. Por el teorema 45.2, todo elemento de F es un cero de sP' - .x. Ahora, pr" prpr"'- ' I . Al aplicar en forma repetida esta ecuacion a 10s exponentes y al usar el hecho de que para a E F tenemos que aT = a, vemos que para cx E F,
Asi, F I K. Entonces, el teorema 45.1 rnuestra que debemos tener [ K : F] = n. En el corolario 2 del teorema 45.3 vimos que K es simple sobre F, de mod0 que K = F(P) para alguna P E K. Por tanto, irr(b, F ) debe ser de grado n. 8
EncGntrense todos 10s generadores de cada uno de 10s siguientes grupos ciclicos. (Recutrdese la teoria de 10s grupos ciclicos.) 45.1
>
b)
a)
a) b) c) d)
C)
<223*: .
>
(Recutrdese la teoria de 10s grupos ciclicos.) Encutntrese el Encutntrese el Encutntrese el Encuentrese el
numero de numero de numero de numero de
raices octavas primitivas del unitario en CG(9). raices 18-tsimas primitivas del unitario en CG(19). raices 15-bimas primitivas del unitario en CG(31). raices dtcimas primitivas del unitario en CG(23).
+
453 Sea 2, una cerradura algebraica de Z2 y Sean a, B E 2, ceros de x3 + x2 1 y x3 + x + 1, respectivamente. Usando 10s resultados de esta seccion, mubtrese que z2(a) = Z2(B). '45.4 Mubtrese que todo polinomio irreducible en Z,[x] es un divisor de xP" - x para alguna n. 455 iFalso o verdadero?
Los elementos distintos de cero de todo c a m p finito forman un grupo ciclico bajo la rnultiplicacion. Los elementos de todo c a m p finito forman un grupo ciclico bajo la suma. Los ceros en C de ( x -~ 1)~ E Q[x] forman grupo ciclico bajo la rnultiplicacion. Existe un campo finito de 60 elementos. Existe un campo finito de 125 elementos. Existe un campo finito de 36 elementos. El numero complejo i es una raiz cuarta primitiva del unitario. Existe un polinomio irreducible de grado 58 en Z,[x]. Los elementos distintos de cero de Q forman un grupo dclico Q* bajo la rnultiplicacion del campo.
- j)
Si F es un c a m p finito, entonces todo isomorfismo que transforma F en una cerradura algebraica F de F. es un automorfismo de F.
Sea F un campo finito de p" elementos que contiene el subcampo primo Z p . Muistrese que si a E Fes un generador del grupo ciclico (F*, . ) de elementos distintos de cero de F, entonces grad(a, Z , ) = n. 45.6
45.7 Mutstrese que un c a m p 6nito de p" elementos tiene, exactamente, un subcampo de p" elementos para vada divisor m de n. 4511 Muestrese que x p - x es el product0 de todos 10s plinomios monicos irreducibles en Z , [ x ] de grado d que divide a n.
Sea p un primo impar.
45.9
a) Mubtrese que para a E Z, donde a f 0 (mod p), la congruencia x2 = a (mod p) tiene soluciirn en Z si y d l o si a"-')12 r l (modp). [Sugerencia: formulese un enunciado equivalente en el c a m p finito Z, y isese la tcoria de 10s grupos ciclicos.] b) Usando la parte a), determinese si el polinomio x 2 - 6 es irreducible o no en Z , , [ x ] . 4510
Mubtrese que dos campos finitos del mismo orden son isomorfos.
45.11
Usese el ejercicio 43.10 para mostrar que P - x no tiene ceros de multiplicidad
> 1 en 2 , (Vkase la demostracion del lerna 45.1.) 45.12
Sea E un campo finito de orden p".
a) Muistrese que el automorfismo de Frobenius a, tiene orden n. b) DedCzcase de a) que C(E/Z,) es ciclico de orden n con generador a, [Sugerencia: recukrdese que IC(E/F)I = {E: F ) = [ E : q para un c a m p de descomposicion E que sea extension finita y separable de F . ]
Teoria de Galois
Quizas este capitulo sea el climax de la elegancia del tema tratado en este libro. La teoria de Galois da una bella interrelacion entre la teoria de grupos y la de camps. Desde el capitulo 40, hemos dirigido nuestro trabajo para alcanzar este objetivo. Comenzaremos recordando 10s principales resultados desarrollados.
F, a E E y B un conjugado de a sobre F, esto es, B es tambikn un cero de irr(a, F). Entonces, existe un isomorfismo que transforma F(a) sobre F(B), deja fijo F y transforma a en B. Si F I E I F y a E E, entonces, un automorfismo a de Fque deje fijo F &be transformar a sobre algun conjugado de a sobre F. Si F I E, la coleccion de todos 10s automorfismos de E que dejan fijo F forman un grupo G(E/F). Para cualquier subconjunto S de G(E/F), el conjunto de todos 10s elementos de E que quedan fijos bajo todos 10s elementos de S, es un campo E,. AdemL, F I EaEIFv Un campo E, F 5 E I F es un campo de descomposicion sobre F si y solo si todo isomorfismo de E en F que deje fijo F es un automorfismo de E. Si E es una extension finita,y un campo de descomposicion sobre F, entonces, JG(E/F)J= ( E : F ) . Si E es una extension finita de F, entonces ( E :F ) divide [ E : F ] . Si, ademas, F es separable sobre F, entonces ( E :F ) = [ E : F ] . Ademas, E es separable sobre F si y solo si irr(a, F ) tiene todos 10s ceros de multiplicidad 1 para toda a € E. Si E es una extensibn finita de F y es un campo de descomposicion separable sobre F, entonks IG(E/F)I = (E: F ) = [ E : F ] .
1 Sean F I E I
2 3
4
5
6
46.2 EXTENSIONES NORMALES Eslaremos intcrcsados cn extensiones finitas K de F tales que todo isomorfismo dc K quc dcjc fijo F sea un automorfismo dc k' y tal que [ K : F ] = { K :F ) .
En vista de 10s numeros 4 y 5 del resumen, &as son las extensiones finitas de F que son campos de descomposicion separables sobre F. Definicibn Una extension linita K de F es una extensibn norrnalfinita de F, si K cs un campo de dcscomposicion separable sobre F.
Supongase que K es una extension normal finita de F, donde, como es usual, p. Entonces, por el resultado 4, todo automorfismo de F que deja fijo F induce un automorfismo de K. Como antes, hacemos G ( K / F )el grupo de todos 10s automorfismos de K que dejan fijo F. DespuCs de un resultado mas, estaremos listos para ilustrar el teorema principal. K I
Teorerna 46.1 Sea K una extension norrnaljinita de F y sea E una extension de F, don& F I E r; K _< F. Entonces, K es una extension normal fmita & E y G ( K / E )es, precisamente, el subgrupo de G(K/F)formado por todos aquellos automorfismos que dejan jijo E. Mhs aun, dos automorfismos a y T en G ( K / F ) indueen el mismo isomorjismo de E en F si y solo si estan en la misma clase lateral derecha de G ( K / E )en G(K/F). Demostracion Si K es el campo de descomposici6n de un conjunto {f;:(x)I i~ I ) de polinomios en F [ x ] , entonces, claramente, K es el campo de descomposicion sobre E del mismo conjunto de polinomios considerados como elementos de E[.v]. El teorema 43.3 muestra que K es separable sobre E, pues K es separable sobre F. Asi, K es una extension normal de E. Esto demuestra la primera contencion. Es claro que todo elemento de G ( K / E )es un automorfismo de K que deja fijo F, pues incluso, deja fijo el c a m p E posiblemente mayor. Asi, G ( K / E ) puede wnsiderarse un subconjunto de G(K/F).Como G ( K / E )tambitn es grupo bajo la composici6n de funciones, vemos que G ( K / E )i; G(K/F). Por ultimo, para a y T en G(K/F), a y T estan en la misma clase lateral derecha de G ( K / E ) si y sblo si a?-' E G ( K / E ) o si y st310 si a = p~ para p E G(K/E). Pero si a = p~ para p E G(K/E),entonces, para a E E, tenemos
pues a p = a para a E E. En forma reciproca, si aa = aT para todas las a E E, entonces a(n-') = a para todas las a E E, de modo que ar-' deja fijo E y p = or-' esta, entonces, en G(K/E). 8
46.3 EL TEOREMA PRINCIPAL
417
El teorema anterior muestra que existe una correspondencia uno a uno entre clases laterales derecha de G ( K / E )en G ( K / F )y 10s isomorfismos de E que dejan fijo F. Notese que no podemos decir que estas clases laterales derechas correspondan a auromorfismos de E sobre F, pues entonces, E no seria un campo de de F, entonces estos descomposicion sobre F. Ahora, si E es una extension norr~~al isomorfismos seran automorfismos de E sobre F. Quizas el lector piense que esto sucedera si y solo si G ( K / E )es un subgrupo normal de G ( K / F )y, en efecto, asi es; esto es, 10s dos usos diferentes de la palabra normal estan, en realidad, intimamente relacionados. Asi, si E es una extension normal de F, entonces las clases laterales derechas de G ( K / E )en G ( K / F )pueden considerarse elementos del grupo ) es, entonces, un grupo de automorfismos actuando en factor G ( K / F ) / G ( K / Eque E y que deja lijo F. Mostraremos que este grupo factor es isomorfo a G(E/F).
46.3
EL TEOREMA PRINCIPAL
El teorema principal de la teoria de Galois afirma que para una extension normal finita K de un campo F, existe una correspondencia uno a uno entre 10s subgrupos de G ( K / F ) y 10s campos intermedios E, donde F 5 E 5 K. Esta correspondencia asocia a cada campo intermedio E, el subgrupo G(K/E). Por supuesto, podemos ir en la otra direccibn y comenzar con un subgrupo H de G ( K / F )y asociar a H su campofijo KH.Ilustraremos esto con un ejemplo facil y despuks enunciaremos el teorema y analizaremos su demostracibn. Ejernplo 46.1 Sea K = Q($, $). Ahora, K es una extension normal de Q, y en el ejemplo 40.4 se mostr6 que hay cuatro automorfismos de K que dejan lijo Q. Los recordaremos dando sus valores en la base (1, $, $, ,/%) para K sobre Q. I:
a,: a,: a,:
La transformacion identidad. $ sobre Transforma $ sobre Transforma $ sobre -$,,/% sobre Transforma sobre $ sobre
-8,
fi
-fi,
-$y deja fijos 10s demas.
-3y deja fijos 10s demls. -fi y deja fijos 10s demb.
Vimos que {I, a,, a,, 0,) es isomorfo a1 Cgrupo de Klein. La lista completa de 10s subgrupos, con cada subgrupo apareado con el campo intermedio correspon-
diente que deja fijo, es como sigue:
Todos 10s subgrupos del grupo abeliano {I, a,, a,, a,} son subgrupos norm iles y, clararnente, todos 10s carnpos intermedios son extensiones normales de Q. i Vo es elegante? Nbrese que si un subgrupo esrti conrenido en orro, enronces el mayor de 1 IS dos suhgrupos corresponde a1 menor de 10s dos campos fijos correspondienres. La -azon es clara. Cuanto mayor sea el subgrupo, esto es, cuantos mas automori smos haya, tanto menor sera el campo fijo, esto es, tantos rnenos elernentos q ledan fijos. En la figura 46.1 se dan 10s diagramas reticulares correspondientes a 10s subgrupos y a 10s carnpos intermedios. Nbrese, nuevamenre, que 10s grupo : mas arriha corresponden a 10s campos mas abajo. Esto es, un reticulo se ve co no el otro, pero inverrido, o con la parte de arriba hacia abajo. Como aqui, en rea lidad, cada reticulo se ve corno es, pero invertido; este no es un buen ejernplo para ilustrar este principio de inversibn reticular. Si se observa la figura 47.2, se teran diagramas cuyos reticulos no se parecen a sus propias figuras invertidas. I
Rg. 46.1
(a) Magrama retlcular de grupos. (b)Magrama reticular de carr pos.
Defioici6o Si K es una extension finita de un c a m p F, G(K/F)es el rrupo & Gdois & K sobre E Enunciaremos ahora el teorema principal, despub daremos otro ejem )lo Y, por hltirno, en un plrrafo con asterisco, completaremos la demostracid I del teorerna principal. Teorema 46.2 (Teorema principal de la teoria & Galois) Sea K una extc nsion normalfinita & un campo F, con grupo de Galois G(K/F). Para un car; po E donde F IE IK, sea E%el subgrupo d e G(K/F) que &ja fijo E. Enton :es, 1
a 46.3 EL TEOREMA PRINCIPAL
419
es una iransformacion uno a uno del conjunto de todos estos campos intermedios E sobre el corljunto de -todos 10s subgrupos de G ( K / F ) .Se cumplen las siguientes propiedades para 2: 1 Ei. = G ( K / E ) . 2 E = KG,KIE) = KE-. 3 Para H 5 G ( K / F ) ,KHi. = H . 4 [ K : El = IEi.1; [ E : Fl = { G ( K / F ) :Ei.), el nzimero de clases laterales de EA en G(K/F). 5 E es una extension normal de F si y solo si Ei. es un subgrupo nornlal de G(K/F).Cuando Ei. es un subgrupo normal de G(K/F),entonces
6 El reticulo de 10s subgrupos de G(K/F)es el reticulo inoertido de 10s campos intermedios de K sobre F.
Obserwciones acerca de la demostracibn En realidad, ya probamos buena parte de este teorema. Veamos solo lo que hemos dejado sin probar. La propiedad 1 no es mas que la definicion de 1 en el enunciado del teorema. Para la propiedad 2, el teorema 40.4 muestra que
Sea a e K donde a $ E. Como K es una extension normal de E, usando un isomorfismo basico y el teorema de extension de isomorfismos, podemos encontrar un automorfismo de K que deje fijo E y transforme a en un cero diferente de irr(a, F). Esto implica que
de modo que E = KaKIEyEsto da cuenta de la propiedad 2 y nos dice, ademas, que 1 ts uno a uno, pues si E l l = E2A, entonces, por la propiedad 2, tenemos que
Nuestra tarea principal sera la propiedad 3. Esto equivale, precisamente, a mostrar que 1 es una transformacibn sobre. Claro que para H < G(K/F), tenemos H IKH1, pues, con certeza, H estb incluido en el conjunto de todos 10s automorfismos que dejan fijo K H . Aqui se usara fuertemente la propiedad [ K : El = { K : E ) . La propiedad 4 es clara de [ K : El = { K : E}, [ E : 1;1 = { E :F ) y el ultimo enunciado del teorema 46.1. Para la propiedad 5 tendremos que mostrar que corresponden 10s dos sentidos de la palabra normal.
En cl cjcmplo 46.1 dcmostramos la propicdad 6. .4.vi. .vri/o,fcrl~u proh(rr /u.v propic)r/(rdc..v3 .I.5. 1-l teorcma principal de la teori;t de Galois cs una herramienta poderosa en cl e:itudio dc ccros dc polinoniios. Si /'(.\-) E I.'[.y] cs tal qut: todo factor irreducible dc ,!'l:c) es scparablc sobrc F. entonccs. el campo dc dcscomposicion K dc ,/'(.v) sobrc Fcs una extcnsion normal dc F. El grupo dc Galois G ( K / F )es el grupo del polinomio ;I.r) snbre F. La estructura dc cstc grupo nos pucde dar considerable inrormacion rcspecto a 10s ccros dcJ'(.r). Eslo se ilustrarii dc manera admirable en cl capitulo 49, cuando alcancemos nuestro objc./ico./itt(rI.
46.4
GRUPOS DE CALOlS SOBRE CAMPOS FlNlTOS
Sea K una extension finita de un cutttpo finiro F. Hemos visto que K es una cxtcnsion separable de F(un campo finito es perfecto). Supbngase que el orden de Fes pr y [K: fl = n de mod0 que el orden de K es prn. Entonces, hemos visto que K cs el campo de descomposicion de x"" - x sobre F. Por tanto, K es una extcnsion normal de F. Ahora, o, es un automorfismo de K que deja Iijo F. donde para a E K, ao,. = = a'. Notese que a(o,,)'.= a"'. Como un polinomio de grado p" puede tener a lo mis pri ceros en un campo, vemos que la menor potencia de o, que podria dejar fijos todos 10s p'" elementos de K es la n-ksima potencia. Esto es, el orden del clement0 o,, en G(K/F)es por lo menos n. Por tanto, como IG(K/F)( = [K: F] = = n, tenemos que G(K/F) es ciclico y generado por o., Resumimos estos argumentos en un teorema. Teorema 46.3 Sea K unu e-urensionfinira de grado n de un campo finiro F de pr elumenros. Enroncus, G(K/F) es ciclico de orden n y esra generado por o, dondc. pura a E K, ao,, = a".
Usamos esie teorema para dar otra ilustracibn del teorema principal de la teoria de Galois. Ejemplo 46.2 Sea F = 2, y sea K = CG(pI2),de modo que [K: fl = 12. Entonces, G(K/F) es isomorfo al grupo ciclico (2, + ). En la figura 46.2 se da el diagrama reticular para 10s subgrupos y para 10s campos intermedios. De nuevo, cada reticulo no solo es la inversion del otro sin0 que, desafortunadamente, tambitn se ve como la inversion de si mismo. En la seccion siguiente (con astcrisco), se dan ejemplos en donde 10s reticulos no se parecen a sus propias inversiones. Describimos 10s subgrupos ciclicos de G(K/F) = (0,) dando 10s gcncradores. por ejemplo,
,,
421
46.5 FINAL DE LA DEMOSTRACION DEL TEOREMA PRINCIPAL (a;,! = G(K/F)
/ \ U ,(,p2
I ,
,a/,:'
/ \GF(pt;)=
k',,o,,~, ==GF(pi)
K.,,:,
\ / \G F(p:') K(0p2;=G F(/$)
=K
(a,,')
\
i
K=G F ( ~ " '=) K;,:
d
L
-,.
\ /
'
F - ZP=G F i p ) =
Fig. 46.2 (a) Diagrama reticular de grupos. (b) Dlagrama reticular de campos.
'46.5
FINAL DE LA DEMOSTRACION DEL TEOREMA PRINCIPAL
Vimos que todo lo que falta probar en el teorema principal de la teoria de Galois son las propiedades 3 y 5. Volviendo a la propiedad 3, debemos rnostrar que para H IG(K/F),KHI. = H. Sabernos que H IK H i IG(K/F).Asi, lo que realmente debernos mostrar es que es imposible que H sea un subgrupo propio de K H i . Supondremos que Dt~t?iostrc.ibn
H < KHi., .
y deduciremos una contradiccion. Si KH es infinito, entonces, por ser una extension separable finita de un campo infinito, K = KH(a)para alguna a E K, por el teorema 43.6. Por otro lado, si KH es finito, entonces tendremos aun que K = KH(a)para alguna a E K, por el corolario 2 del teorema 45.3. Sea n = [ K : K H ] = { K :K H ) = IG(K/KH)I.
Entonces, H < G ( K / K H implica ) que I H]< IG(K/KH)(= n. Asi, deberiamos tener IHI < [ K : K H ] = n. Sean a,, . . ., HI 10s elementos de H, considkrese el polinomio
Entonces, f ( x ) es de grado I HI < n. Ahora, 10s coeficientes de cada potencia de x en f(.r) son expresiones simttricas en las aa,. Por ejemplo, el coeficiente de xIH'-' es - a n , - a a , - ... - aal,l. Asi, estos coeficientes son invariantes bajo cada isomorfismo ai E H ya que sr a E H, entonces
cs de nuevo la sucesion o , , . . ., o,,, except0 por el orden, pues H es un grupo. De aqui../'(.u)tiene coeficientes en K,, y, como algun oi es i. vemos que alguna zoi es
r, de mod0 que f(a) = 0. Por tanto, tendriamos deg(a, KH) I IHJ < n = [ K : K,] = [ K l , ( z ) :K H ] .
Esto es imposible. Por tanto, hemos probado la propiedad 3. Pasemos a la propiedad 5. Por el teorema 43.3, toda extension E de F, F 5 E 5 K es separable sobre F. Asi, E es normal sobre F si y s61o si E es un campo de descomposicion sobre F. Por el teorema de extension de isomorfismos, todo isomorfismo de E en F que deje fijo F'puede extenderse a un automorfismo de K, pues K es normal sobre F. Asi, 10s automorfismos de G ( K / F )inducen todos 10s isomorfismos posibles de E en F que dejan fijo F. Por el teorema 42.1, esto muestra que E es un campo de descomposicion sobre F y, por tanto, normal sobre F si y solo si para todas las o E G(K/F)y a E E, (aa)E E. Por la propiedad 2, E es el c a m p fijo de G(K/E),de modo que (aa)E E si y so10 si para todas las T E G(K/E), ( a o )= ~ aa. Esto a su vez si y solo si
para todas las a E E, o E G(K/F)y T E G(K/E).Pero esto significa que para todas las o E G(K/F)y T E G(K/E),era-l deja fijo todo elemento de E, esto es,
Esta es precisamente la condicion para que G ( K / E )sea un subgrupo normal de G(K/F). Falta mostrar que cuando E es una extensi6n normal de F, G(E/F) G(K/F)/G(K/E).Para a E G(K/F),sea a, el automorfumo de E inducido por a (suponiendo que E es una extensi6n normal de F).Asi, oEE G(E/F). La transfomaci6n t$ :G(K/F)-r G(E/F)dada por
-
para o E G(K/F)es, obviamente, un homomorfismo. Por el teorema de la extension de isomorfismos, todo automorfismo de E que deje fijo F puede extenderse a algun automorfismo de K, esto es, es T , para alguna T E G(K/F).Asi, t$ es sobre G(E/F). Es claro que el kernel de t$ es G(K/E). Por tanto, por el teorema fundamental del isomorfismo, G(E/F) G(K/F)/G(K/E).Mas aGn, este ilsomorI fismo es el natural.
-
fi,A)
El c a m p K = Q($, es una extension normal tinita de Q. Lltnense 10s espacios en blanco. La notacion es la del teorema 46.2. 46.1
46.2
Describase el grupo del polinomio (.u4 - 1) E Q[s] sobre Q.
463 E s e el orden y describase un generador del grupo G(CG(729)/CG(9)). 464 fise un ejemplo de dos extensiones normales finitas K, y K, del mismo campo F, tales que K, y K, no Sean c a m p s isomorfos pero G(K,/F) 2: G(K,/F).
465 Sea K el c a m p de descomposicion de x3 - 2 sobre Q (remitase a1 ejemplo 42.2). a) Describanse 10s seis elementos de G(K/Q), dando sus valores en $ e i d . (Por el id).) ejemplo 42.2, K = ~(v2, b) i,A quC grupo de 10s ya vistos es isomorfo G(K/Q)? c) Usando la notacion dada en la respuesta de a) a1 final del libro, dense 10s diagramas reticulares para 10s subcampos de K y para 10s subgrupos de G(K/Q), indicando 10s campos intermedios y subgrupos correspondientes, como lo hicimos en la figura 46.1.
'46.6 Una extension normal finita K del c a m p F es abeliann sobre F si G(K/F) es un grupo abeliano. Mubtrese que si K es abeliano sobre F y E es una extension normal de F, donde F 5 E 5 K, entonces K es abeliano sobre E y E es abeliano sobre F. 46.7
iFalso o verdadero? Dos subgrupos diferentes de un grupo de Galois pueden tener el mismo campo fijo. En la notacion del teorema 46.2, si F < E < L 5 K, entonces El. < LA. Si K es una extension normal finita de F, entonces K es una extension normal de E, donde F 5 E 5 K. Si dos extensiones normales finitas E y L de un c a m p F tienen grupos de Galois isomorfos, entonces [E: fl = [ L :fl. Si E a una extension normal finita de F y H es un subgrupo normal de G(E/F), entonces En es una extension normal de F. Si E es cualquier extension simple normal finita de un c a m p F, entonces el p p o de Galois G(E/F) es un grupo simple. Ninghn grupo de Galois es simple. El grupo dc Galois de una extensi6n finita de un c a m p finito, es abeliano. Una extension E de grado 2 sobre un c a m p F es siempre una extension normal de F. Una extension E de grado 2 sobre un c a m p F es siempre una extension normal de F si la caracteristica de F no es 2.
.
424 46.8
TEORIA DE GALOIS
Sea K una extension normal finita de un c a m p F. Pruebese que para toda a E K la por
norma de cr sobre F dada
y la tram de cr sobre F, dada por
son elementos de F. 46.9 Considtrese K = (vease el ejemplo 46.1).
()(a, fi).
Con referencia al ejercicio 46.8, calcilese lo siguiente
46.10 Sea K una extension normal de F y sea K = 4 a ) . Sea injg F) = 3 + am-,Y-'
+ ... + a,x + a,.
Con referencia a1 ejercicio 46.8, mubtrese que
46.11
Describase el grupo del polinomio (x4 - 5x2 + 6 ) Q[x] ~ sobre Q.
46.12 Describase el grupo del polinomio (x3 - 1)E Q[x] sobre Q. 46.13 Sea f (x)E fix] un polinomio de grado n tal que cada factor irreducible es separable sobre F. Mubtrese que el orden del grupo de f(x) sobre F divide a n!. 46.14 Sea f(x) E fix] un polinomio tal que todo factor irreducible de f(x) es un polinomio separable sobre F. Mubtrese que el grupo de f(x) sobre F puede considerarse de manera natural como un grupo de permutaciones de 10s a r o s de f (x) en I?:
46.15 Sea F un c a m p y sea ( una raiz n4sima primitiva del unitario en caracteristica de F cs 0 o no divide a n.
F donde la
a) MuQtrese que F(C) es una extensicin normal de F. b) Mubtrese que G(F(()/F) es abeliano. [Sugerencia: toda a E G(F(()/F)transforma a 4 sobre algun (" y csti completamente deterrninada por este valor r.] 4.16 Una extension normal finita K de un c a m p F es cklica sobre F si G(K/F) es un grupo ciclico. a) Muestrese que si K es ciclico sobre F, y E es una extension normal de F, donde F < E 5 K, entonces E es ciclico sobre F y K es ciclico sobre E. b) Mubtrese que si K es ciclico sobre F, entonces existe precisamente un campo E, F I E IK de grado d sobre F para cada divisor d de [K:
a.
46.17
Sea K una extension normal finita de F.
a)
Para rr E K, muestrese que
b)
esta en f l . ~ ] . C o n referencia a a), muestrese que,/(.r) es una potencia de irr(z, F ) y/(.r) = irdt. f 1 5 1 y solo si E = F(rr).
46.18 Sea K una extension normal finita de u n c a m p F y Sean E y L extensiones de F contenidas en K, como se muestra en l a figura 46.3. Describase G { K / ( E v L ) } en terminos de G(K/E) y G(K/L).
*46.19 Con referencia a l a situacibn en el ejercicio 46.18, describase G { K / ( E n L ) Jen ttrminos de G(K/E) y G(K/L).
llustraciones de la teoria de Galois
Sea F u n c a m p y sean y,, . . ., y,, n indeterminadas. Hay algunos automo~smos obvios de f l y , , . . .,y,) que dejan fijo F, a saber, aquellos definidos por permutaciones de ( y , , . . .,y,). Para ser menos claro, pero mas explicito, sea a una permutation de (1, . . ., n), esto es, u e S,. Entonces, u da lugar a una transformacion natural 5 : F(y,, . . ., y,) + F(yl, . . ., y,) dada por
paraf(y,,. . .;Y,), g ( y , , . . . , y , ) € f l y , , . . ., y,l con ~ ( Y I .,.,. Y.) + 0-Es inmediato que 5 es un automorfismo de f l y , , . . .,y,) que deja fijo F. Los eletnentos de fly,, . . ., y,) que quedaron fijos bajo todas las 5,para todas las U E son aquellas funcioncs rationales que son simitricas en las indeterminadas y , , . . ., y,.
p,,
Definki6n Un elemento de f l y , , . . ., y,) es una funcGn s M t r i c a en y , , . ., y, sobre F si queda fijo bajo todas las permutaciones de y , , . . y, en i el sentido recikn explicado.
.
-
.,
Sea S, el grupo de todos 10s automorfismos 5 para a E S,. ~bviamende,S,es un isomorfismo natural a S,. Sea K el subcampo de f l y , , . . ., y,) que es el campo fijo de 3,. Considkrese el polinomio
este polinomio f ( x )E (F(y,,. . ., y,)) [ x ] es un polinomio general de grado n. Sea 8, la extension de a, de manera natural, a (F(y,, . . ., y,))[x], donde xa, = .r. Es claro que ahora f ( x ) queda fijo bajo cada transformacion 8, para a E S,, esto es,
Asi, 10s coeficientes de f ( x ) estan en K; son funciones simktricas en las y,, . . ., y,. Como ilustracion, notese que el tkrmino constante de f ( x ) es
el coeficiente de x"-' es - ( y , + y, + - - + y,) y asi sucesivamente. Estas son, de manera obvia, funciones simktricas en y,, . . ., y,. Defioich L4 ieSima funci6n sidtrica elemental en y,, . . ., y, es si = ( - l)'a, donde ai es el coeficiente de x"-' en el polinomio general
n7=
1(X
-~ i ) .
Asi, la primera funcibn simitrica elemental en y,,
. ..,y,
es
la segunda es s, = y,y, + yly3 + - - - + y,- ,y, y asi sucesivamente, y la nCsima es s, = y,y,--.y,. Considirese el campo E = F(s,, . . ., s,). Es claro que E I K, donde K es el campo de todas las funciones simitricas en y,, . . ., y, sobre F. Pero fly,, . . .,y,) es una extension normal finita de E, a saber, el campo de descomposicibn de
sobre E. Como el grado de f ( x ) es n, tenemos en seguida que
(viase el ejercicio 42.2). Sin embargo, como K es el campo fijo de S, y
13 1 .
= (S,I = n!,
tenemos ademas n? 5 { f l y , , . . ., y,): K ) I[ f l y , , .
e . 9
Y,):KI.
dc rnodo quc
Entonces, todo el grupo de Galois de F(y,, . . .,y,) sobre E es S,.El hecho de que K = E , muestra que toda funcion simetrica puede expresarse como funcion racional de las funciones simetricas elementales s , , . . ., s,. Resumimos estos resultados en un teorema. Teorema 47.1 Sean s,, . . ., s, las funciones simhfricas elemenrales en las inderernrittudas y,, . . ., p,. Enronces, roda funcion simkrrica de y,, . . ., y, sohre F es una funcibn racional de las funciones simirricus elemenrales. Ademas, F(y,, .. ., y,) es una exrensibn normalfinira de grado n! de F(s,, . . ., s,), y el grupo de Galois de esra exrensibn es naruralmenre isomorfo a S,.
En vista del teorema de Cayley, podemos deducir del teorema 47.1, que cualquier grupo finito puede presentarse como un grupo de Galois (salvo isomorfismo). (Vease el ejercicio 47.13.)
"47.2
EJEMPLOS
Demos ahora el ejemplo prometido de una extension normal finita que tenga grupo de Galois cuyo reticulo de subgrupos no se vea como su propia invertida.
Ejemplo 47.1 Considirese el c a m p de descomposici6n en C de x4 - 2 sobre Q. Ahora, por el criterio de Eisenstein con p = 2, x4 - 2 es irreducible sobre Q. Sea a= el n6mero real positivo que es cero de x4 - 2. Entonces, 10s cuatro ceros de x4 - 2 en C son, obviamente, a, -a, ia y -ia, donde i es el cero usual de x2 + 1 en C. El campo de descomposicion K de x4 - 2 sobre Q contiene, asi, (ia)/a = i. Como a es un n6mero real, Q(a) < R, de modo que Q(a) # K. Sin embargo, como Q(a,i) contiene a todos 10s ceros de x4 - 2, vemos que Q(q i) = K. A1 hacer que E = Q(a) tenemos el diagrama de la figura 47.1. Ahora, (1, a, a2, a3) es una base para E sobre Q y (1, i ) es una base para K sobre E. Asi,
fl
(1, a, a2, a3, i, h,ia2, ia') es una base para K sobre Q. Como [K: Q] = 8, debemos tener (G(K/Q)(= 8, de mod0 que necesitamos encontrar ocho autoinorfismos de K que dejen fijo Q.
entonces
(Estos hechos, ccsacados de la manga)), se cubren en las primeras semanas de un curso de funciones de variable compleja, o pueden deducirse del siguiente capitulo.) Asi, el campo de descomposicion K de x4 + 1 sobre Q es Q(a) y [K: Q] = 4. Calculemos G(K/Q) y demos 10s diagramas reticulares de 10s grupos y de 10s campos. Como existen automorfismos de K que transforman a sobre cada conjugad0 de a, y como un automorfismo a de Q(a) esta por completo deterrninado por aa, vemos que 10s cuatro elementos de G(K/Q) estan definidos por la tabla 47.2. Como
Tabla 47.2
y aa = 1, vemos que G(K/Q) es isomorfo a1 grupo (1, 3, 5, 7) bajo la multiplicacion mbdulo 8. Este es el grupo G, del teorema 24.7. Como af = a,, la identidad, para todas las j, G(K/Q) debe ser isomorfo a1 Cgrupo de Klein. Los diagramas reticulares estan dados en la figura 47.3.
(b)
Fig. 47.3
(a) Diagrama reticular de grupos: cb) Diagrama reticular de campos.
,
Para encontrar K,,,. solo es necesario encontrar un elemento de K que no este en Q y quede fijo bajo {a,, a,}. pues [K ,,., I :Q] = 2. Claramente 2"l + aa, queda fijo bajo a , y bajo a,, pues {a,, a,) es un grupo. Tenemos
De manera analoga, aa,
+ aa,
=a
+ z7 = t'lj
queda fijo bajo {a,, a,}. Esta ticnica no es util para encontrar E,,,.a,I,pues
ao,
+ aaS = a + z5 = 0,
y 0 E Q. Pero, por un razonamiento analogo, (za,)(za,) queda fijo bajo a , y bajo
a,, Y (aa,)(aa,) = aa' = - i . Asi, Q( - i) = Q(i) es el campo que buscarnos. rn
*47.1
Mutstrese que x4 + 1 es irreducible en Q[.r], segun se afirmo en el ejcrnplo 47.2.
*473 Verifiquese que 10s carnpos intermedios dados en el diagrama reticular de carnpos, en la figura 47.3, son 10s correctos. (Algunos se verificaronen el texto. Verifiquese el resto.)
Para cada carnpo en el diagrarna reticular de camps en la figura 47.2, encukntrese un elernento prirnitivo que genere el carnpo sobre Q (vease el teorema 43.6) y d k su polinornio irreducible sobre Q. '473
*47A Sea ( una raiz quinta prirnitiva del unitario en C.
a) Mubtrese que Q(0 es el c a m p de descornposicion de x5 - 1 sobre Q. b) Mukstrese que todo autornorfismo de K = Q(;) transforma C sobre a l y n a potencia de C. C) Usando b), describanse 10s elementos de G(K Q). d) Dense 10s diagramas reticulares de grupo y de c a m p para Q(C) sobre Q, calculando el c a m p intermedio como lo hicirnos en 10s ejemplos 47.1 y 47.2.
r
*47S Describase el grupo del polinornio (x5 - ?k(Q(I))[x] sobre Q(C) don& 4 es una raiz quinta prirnitiva del unitario.
C una raiz siptima prirnitiva del unitario en C.
*47.6
Repitase el ejercicio 47.4 para
*47.7
Describase, de la manera rnls fad posible. el grupo del polinomio
Encuentrese el campo de descomposicion K en C del polinomio (x4 - 4x2 I ) E Q [ x ] . Calculese el grupo del polinomio sobre Q y exhibase la wrrespondencia entre 10s subgrupos de G ( K / Q ) y los campos intermedios. En otras palabras, higase todo *47.8
-
el trabajo. '47.9 Exprksese cada una de las siguientes funciones simktricas en y , , y,, y, sobre Q como una funcion racional de las funciones elementales simetricas s,, s,, s,.
*40.10
Sean a , , a,, a, ceros en C del polinomio
Encdntrese el polinomio que tenga como ceros precisamente a: a) a , + a, + a, b) a:, a:, a: C)
(a,
- a,)'.
(a,
- a3)'. (az - a3I2
*47.11 Sea f ( x ) E R x ] un polinomio m6nico de grado n con todos sus factores irreducibles separables sobre F. Sea K < F el c a m p de descomposici6n de f ( x ) sobre F, y supbngase que f ( x ) se factoriza en fix] en
Sea
el product0 ( A W es el discriminante de f ( x ) . a) Mubtrese que A ( A = 0 si y solo si f ( x ) tiene como factor el cuadrado de alg~in polinomio irreducible en a x ] . b) Mubtresc que (&A)' E F. c) G ( K / F ) puede considerarse un subgrupo de S, donde S, es el grupo de todas las permutaciones de {ai ( i = 1, . . ., n } . MuCstrese que G ( K / F ) , wnsiderado de esta manera, es un subgrupo de Am el grupo formado por todas las permutaciones pares de { a i l i = 1, ..., n } s i y d l o s i A ( f ) ~ F . *47.12 Un elemento de C es un eatero algebrrico si es un cero de algun polinomio mdnico en Z [ x ] . Muestrese que el wnjunto de todos 10s enteros algebraicos forma un subanillo de C.
i
Mubtrese que todo grupo finito es isomorfo a algun grupo de Galois G((K/F) para alguna extension normal finita K de algun c a m p F. 1 *47.13
*48.1 E l GRUPO DE GALO1S DE UNA EXTENSION CICLOTOMiCA Esta seccion trata de las extensiones de un c a m p F, obtenido mediante la agregacion a F de algunas raices del unitario. En el capitulo 45 se cubrio el caso de un c a m p finito F, de modo que trataremos principalrnente el caso donde F es infinito.
Definici6n El campo de descomposicion de x" - 1 sobre F es la n+ima extensibn ciclotdmica & F.
Supongase que F es cualquier carnpo y considerese ( 2 - 1)E q x ] . Como en la demostracion del lema 45.1, vemos, por division, que si a es un cero de Y - 1 y g(x) = ( Y - l)/(x - a), entonces g(a) = (n . l ) ( l / a ) # 0,siempre que la caracteristica de F no divida n. Por tanto, bajo esta condicion, el c a m p de descomposicion de 9 - 1 es separable y, en consecuencia, es una extension normal de F. Supbngase, de ahora en adelante, que asi sucede, y sea K el campo de descomposicion de 9 - 1 sobre F. Entonces Y - 1 time n ceros distintos en K y, por el teorema 45.3, forman un grupo ciclico de orden n bajo la multiplicaci6n de campo. Vimos en el corolario del teorema 6.4 que un grupo ciclico de orden n tiene q(n) generadores, donde cp es la funcion fi de Euler, presentada antes del teorema 24.8. En esta situation, estos cp(n)generadores son exactamente las raices nCsirnas primitivas del unitario.
Definici6n El polinomio
donde las aison las raices tl-esimas primitivas del unitario en polinomio ciclof~micosobre F.
F, es el n a i m o
Como un automorfismo del grupo de Galois G(K/F) debe permutar las raices n-esimas primitivas del unitario, vemos que @,(x) queda fijo bajo todo elemento de G(K/F) considerado como extendido de manera natural hasta a x ] . Asi, @,(x) E fix]. En particular, para F = Q, @,(.Y)E Q[x] y @,(x) es un divisor de x" - I . Asi, sobre Q, debemos tener en realidad, por el teorema 31.3, que @,(x)E Z[X]. Hemos visto en el corolario del teorema 3 1.4, que @,(x) es irreducible sobre Q. Mientras que @,(x) no necesariamente es irreducible en el caso de 10s campos Z; se puede mostrar que sobre Q, @,(x) es irreducible. Limitemos ahora nuestro analisis a la caracteristica 0,en particular, a subcampos de 10s numeros complejos. Sea i el cero complejo usual de x2 + 1. Usando identidades trigonomttricas, el estudiante puede verificar formalmente que (cos 8,
+ i sen B,)(cos 0, + i sen 8,) = cos (8, + 8,) + i sen (8, + 8,).
Entonces es inmediato, por induccibn, que (cos 8 + i sen 8)" = cos no'+ i sen n8. En particular, si 8 = 2n/n, tenemos que
n
= cos 271
+ i sen 2n = I,
de modo que cos (2nln) + i sen (2xln) es una raiz n-isima del unitario. La figura 48.1 puede ayudar a visualizar todo esto. Es bastante obvio, a partir de la figu-
48.1 EL GRUPO DE GALOIS DE U N A EXTENSION ClCLOTOMlCA
437
ra, que cl menor enter0 m tal que ((cos 2nln) + i sen (2nln))" = 1 rs n. Asi, cos (2nln) + i sen (2nln) e.7 una raiz nCsima primitiva del unitario. un wro de -
Ejemplo 48.1
Una raiz octava primitiva del unitario en C es
5
=
211 211 cos - + i sen 8 8
=
cos
R -
4
+ i sen R4
-
Por la teoria de 10s grupos ciclicos, en particular por el corolario del teorema 6.4, de modo que todas las raices octavas primitivas en Q son C, C3, CS y
c7,
Los estudiantes pueden obtener directamente de esta expresion que @,(x) = = .r4 + 1 (vease el ejercicio 48.1). Comparese esto con el ejernplo 47.1. w Restrinjamos nuestro trabajo a F = Q y supongamos, sin demostracion, que es irreducible sobre Q. Sea
@,(.Y)
de mod0 que C es una raiz ntsima primitiva del unitario. Kotese que ( es un generador del grupo ciclico multiplicative de orden n formado por todas las raices ntsimas del unitario. Todas las raices n-bimas primitivas del unitario, esto es, todos 10s generadores de este grupo son de la forma Cm para 1 Im 5 n y m primo relativo con n. El c a m p Q(C) es el c a m p de descomposicion de x" - 1 sobre Q. Sea K = Q(0.Si Cm es otra raiz n-esima primitiva del unitario, entonces, como C y Cm son conjugados sobre Q, existe un automorfismo T, en G(K/Q) que Sea r, el automorfismo analog0 en G(K/QIcorrespondiente a transforma C en Entonces la raiz nCsima primitiva del unitario
r.
r.
Esto muestra que el grupo de Galois G(K/Q) es isomorfo a1 grupo G, del teorema 24.7, formado por 10s elementos de Z, primos relativos con n bajo la multiplicacion modulo n. Este grupo tiene q(n) elementos y es, por supuesto, abeliano.
438
EXTENSIONES CICLOTOMICAS
Este material es facil. En el texto y en 10s ejercicios han aparecido varias veces casos particulares. Por ejemplo, a del ejemplo 47.2 es una raiz octava primitiva del unitario, y en ese ejemplo hicimos razonamientos identicos a 10s dados aqui. Resumiremos estos resultados en un teorema. Teorema 48.1 El grupo de Galois dc la n-esima extension ciclotomica de Q ticne q(n) elementos 1. es isomorfo a1 grupo formado por 10s enteros positivos menores que n y prinlos relativos con n bajo la multiplicaci~nmodulo n.
Ejemplo 48.2 El ejemplo 47.2 ilustra este teorema, pues es facil ver que el c a m p de descomposicion de x4 + 1 es igual a1 campo de descomposicion de x8 - 1 sobre Q. Esto se sigue del hecho de que @,(x) = x4 + 1 (veanse el ejemplo 48.1 y el ejercicio 48.1). Corolario El grupo de Galois de la p-esima extension ciclotomica de un primo p es ciclico de orden p - 1.
a para
Demostracibn Por el teorema 48.1, el grupo de Galois de la p-bima extehsion ciclot6mica de Q tiene q(p) = p - 1 elementos y es isomorfo a1 grupo de edteros positivos menores que p y primos relativos con p bajo la multiplication m p. Este es, exactamente, el grupo multiplicative (Z,*, -)de elementos cero del c a m p Z, bajo la multiplicaci6n de c a m p . Por el teorema 45.3, este g r u p es ciclico.
Concluimos con una aplicacibn para determinar cuiles n-gonos regulares son construibles con regla y compb. Vimos en el capitulo 39 que el n-gono regular es construible si y so10 si w s (2aln) es un numero real construible. Sea ahora
Entonces,
48.2 POLIGONOS CONSTRUIBLES
439
Pero entonces,
Asi, el corolario del teorema 39.2 muestra que el n-gono regular es construible solo si C + 1/[ genera una extension de Q de grado una potencia de 2. Si K es el c a m p de descomposicion de xf - 1 sobre Q , entonces [ K : Q ] = = d n ) , por el teorema 48.1. Si o E G(K/Q) y Co = CI, entonces 1
(i+ $7
=
r+
f; I
= 2 cos
2nr
-.
Pero para 1 < r < n tenemos 2 cos (2nrln) = 2 cos (2x1~1) solo en el caso de que r = n - 1. Asi, 10s Gnicos elementos de G(K/Q) que llevan a C + 1/C sobre si mismo son el automorfismo identidad y el automorfismo s, con [ s = r-' = I/[. Esto muestra que el subgrupo de G(K/Q)que deja fijo Q(C Ill), es de orden 2, de mod0 que, por la teoria de Galois,
+
De aqui que el n-gono regular es construible s61o si (p(n)/2,y por tanto tarnbien ~ ( n ) , es una potencia de 2. Se puede mostrar, mediante argumentos elementales en teoria de numeros, que si
donde las pi son primos impares distintos que dividen a n, entonces
Si d n ) es una potencia de 2, entonces todo primo impar que divida n debe aparecer so10 a la primera potencia y debe ser uno mis que una potencia de 2. Asi, debemos tener que cada
para alguna m. Como - 1 es un cero de x4 + 1 para q un primo impar, x + 1 divide x4 + 1 para-q un primo impar. Asi, si m = qu, donde q es un primo impar,
entonces 2" + 1 = (2')q + 1 es divisible entre 2" + 1. Por tanto, para que pi = 2" + 1 sea primo, debe tenerse que m sea divisible solaentre 2, de mod0 que pi tiene que ser de la forma
un primo de Fermat. Fermat conjeturo que estos numeros 2'2k' + 1 eran primos para todos 10s enteros k no negativos. Euler mostro que mientras k = 0, 1, 2, 3 y 4 dan 10s primos 3, 5, 17, 257 y 65 537, para k = 5 encontramos que 2(2" + 1 es divisible entre 641. Se ha mostrado que para 5 < k 5 16, todos 10s nCmeros + 1 son compuestos. El caso k = 17 no se ha resuelto, a1 menos hasta que este libro fue a la imprenta. No se sabe si el numero de primos de Fermat es finito o infinito. Hemos demostrado, entonces, que 10s unicos n-gonos regulares que pueden construirse son aquCllos en que 10s primos impares que dividen n son primos de Fermat cuyo cuadrado no divide n. En particular, 10s unicos p-gonos regulares que pueden ser construibles para p primo mayor que 2, son aquCllos donde p es un primo de Fermat.
r2''
Ejemplo 48.3 El 7-gono regular no es construible, pues 7 no es un primo de Fermat. Aniilogamente, el 18-gono regular no es construible, pues aunque 3 es un primo de Fermat, su cuadrado divide a1 18. 8
Es un hecho, que se demostrara ahora, que todos estos n-gonos regulares que son candidates a ser construibles, en efecto, son construibles. Sea nuevamente C la raiz n-ksima primitiva del unitario cos (21c/n) + isen (2nln). Vimos antes que
Supongase ahora que (p(n)es una potencia 2' de 2. Sea E = Q(C+ I/(). Vimos antes que Q(C + 1/C) es el subcampo de K = Q(C)que queda fijo bajo H I= {I,r} donde I es el elemento identidad de G(K/Q) y Cr = I/(. Por la teoria de Sylow, existen subgrupos adicionales Hjde orden 2j de G(Q(()/Q) para j = 0,2,3, . . ., s tales que
Por la teoria de Galois,
+
y CKH,. , : KH,] = 2. bIotese que ([ + I/[) E R, de mod0 que Q(c I/[) < R. Si K ~ , -= , K,,,(aj), entonces aj es un cero de algfin (ajx2 hky c j ) c KH,[x]. Par la ((formula cuadratica>>conocida, tenemos
+
+
Como se vio en el capitulo 39 que la construccion de raices cuadradas de numeros construibles positivos puede realizarse mediante regla y compb, se sabe que todo elemento en Q([ 110, en particular, cos (2n/n), es construible. De aqui que 10s n-gonos regulares donde q(n) es una potencia de 2, son construibles. Resumamos el trabajo de este parrafo en un teorema.
+
Teorema 48.2 El n-gono regular es construible con regla y compas si y sblo si todos 10s primos impares que dividen n son primos de Fermat cuyo cuadrado no divide n.
Ejemplo 48.4 El 60-gono regular es construible, ya que 60 = (2*)(3)(5) y 3 y 5 son ambos primos de Fentiat.
*48.1 Con referencia al ejcmplo 48.1, complttense 10s calculos indicados para mostrar que @,(x) = x4 + 1. [Sugerencia: calculese el producto en terminos de 5 y despub usese el hecho de que CB = 1 y = - 1 para simplificar 10s coeficientes.]
c4
* a . 2 Clasifiquese el grupo del polinomio (xZ0- 1 ) ~ Q [ x ]sobre Q de acuerdo con el teorema fundamental de 10s grupos abeiianos finitamente generados. [Sugerencia: usese el teorema 48.1.]
*48.3 Usese la formula para cp(n)en tkrminos de la factorization de n como se dio en la ecuaci6n C48.11 de la seccion 48.2, para calcular lo siguiente: a) d60)
b) 441000)
c) 48100)
*48.4 Dense 10s primeros 30 valores de n 2 3 para 10s cuales el n-gono regular construible con regla y cornph.
ts
MuQtrese que si F es un c a m p de caracteristica que no divide n, entonces,
en fix], donde el producto es sobre todos 10s divisores d de n.
*48.6 Encukntrese el polinomio ciclot6mico @Ax) sobre Q para n = 1, 2, 3, 4 5 y 6. [Sugerencia: Gsese el ejercicio 48.5.1 *48.7 -
~Falsoo verdadero? a) @,(x) es irreducible sobre todo c a m p de caracteristica 0.
- b) Todo cero en C de @,(x) es una raiz n-esima primitiva det unitario.
442
EXTENSIONES CICLOTOMICAS
1
El grupo de @Ax)E Q[x] sobre Q tiene orden n. El grupo de @,(x) E Q[x] sobre Q es abeliano. El grupo de Galois del c a m p de descomposicion de @"(x) sobre Q tiene orden dn). El 25-gono regular es construible con regla y compas. El 17-gono regular es construible con regla y compas. Para un primo p, el p-gono regular es construible si y solo si p es Fermat. Todos 10s enteros de la forma 2"') + I para enteros no negativos k de Fermat. Todos 10s primos de Fermat son numeros de la forma 2"" + 1 para negativos k.
'488 Encuentrese el menor angulo de grado entero, esto es, lo, 2", 3" y mente, construible con regla y wmpas. [Sugerencia: construir un ingulo de wnstruir el 360-gono regular, y asi suasivamente.] '48.9
Sea K el c a m p de descomposicion de x"
- 1 sobre Q .
I
!
a) Encutntrese [ K : Q I b) Mubttcsc que para a 6 G(K/Q), a2 es el automorfismo identidad. Clasifiquese G KIQ) de acucrdo con el tcorcma fundamental de los grupos abclianos finitamente g nerados. I sobre Z,.
I
'48.10
EncuCntrese @,(x) sobre Z,. EncuCntrese
'48.11
~Cuantoselementos hay en el c a m p de descomposicion de x6
'48.12
Encuintrese @, ,(x) en Q[x]. [Sugerencia: "sense 10s ejercicios 48.5 y 48.6.5
!
- 1 sobre $?!,
'48.13 Muestrese que en Q [ x ] , al,,(x) = @,,(-X) para enteros impares n > 1. [~ukerencia: k s e el ejercicio 48.5 y la factorization x2" - 1 = -(x" - I)((-x)" - 1). Prockdase por induction.] '48.14 Sean n, rn E Z + primos relativos. Muestrese que el c a m p de descomposici6n en C de Y"' - 1 sobre Q es el mismo que el campo de descomposici6n en C de (3- 1 ) ( P - 1) sobre Q .
'48.15 Sean n, m e Z primos relativos. Mutstrese que el gnrpo de (F - 1) E Q [ x ] sobre Q es isomorfo al product0 direct0 de 10s grupos de (3- l ) ~ Q [ x ] y de (2"- 1) E Q[x] sobre Q. [Sugerencia: usese la teoria de Galois y mubtrese que 10s grupos de x'" - 1 y x" - 1 pueden ambos wnsiderarse subgmpos del grupo x"" - 1. DespuQ, liscse el teorema 8.6.1 +
lnsolubilidad de la quintica
Ya se conoce el hecho de que un polinomio cuadritico f ( x ) = ax2 + bx + c, a # 0, con coeficientes reales, tiene como ceros en C a (- b J=)/2a. En realidad, esto es cierto para f ( x ) E e x ] donde F es cualquier campo de caracteristica 2 2 y 10s ceros estin en f'. En el ejercicio 49.1 se pide mostrarlo. Asi, por Uno se pregunta si 10s ejemplo, ( x 2 + 2x + 3 ) E Q[x] tiene sus ceros en.)l~f( ceros de un polinomio cubico sobre Q tambikn pueden expresarse siempre en tkrminos de radicales. La respuesta es si y, en efecto, incluso 10s ceros de un polinomio de grado 4 sobre Q pueden expresarse en tkrminos de radicales. Desputs de que 10s matemiticos trataron por aiios de encontrar la ccformula radical,, para 10s ceros de un polinomio de grado 5, fue un triunfo cuando Abel pro& que una quintica no necesariamente es soluble por radicales. Nuestra primera tarea serd describir de manera precisa lo que esto significa. A1 lector le encantar6 ver que una gran cantidad del dlgebra que hemos desarrollado se usa en el analisis que presentamos a continuation.
+
49.2
EXTENSIONES POR RADICALES
Definici6n Una extension K de un campo F es una extensibn & F por rdcales si existen elementos a,, . . ., a,€ K y enteros positives n,, . . ., n, tales que K = flu,, . . ., a,), ail E F y E flu,, . . ., ai- ,) para 1 < i 5 r. Un polinomio f ( x )E e x ] es solrrble por rodicales sobre F si el c a m p de descompsici6n E de f ( x ) sobre F esta contenido en una extension de F por radicales.
Entonces, un polinomiof(x)~fix] es soluble por radicales sobre F si podemos obtener todo cero de f(x) usando una sucesion finita de operaciones de suma, resta, multiplication, division y extraccion de raices ni-ksimas, comenzando con elementos de F. Ahora bien, decir que la quintica no es soluble en el caso cllisico, esto es, caracteristica 0,no es decir que ninguna quintica es soluble, como lo rnuestra el ejemplo siguiente. Ejernplo 49.1 El polinomio .u5 - 1 es soluble por radicales sobre Q. El campo de descomposicion K de .r5 - 1 estL generado sobre Q por una raiz quinta primitiva ( del unitario. Entonces, C5 = I y K = Q(0. De manera analoga, "s 2 es soluble por radicales sobre Q, pues su campo de descomposici6n sobre Q esta generado por y [, donde es el cero real de x5 - 2. rn
fi
v2
Decir que la quintica es insoluble en el caso clLsico, signilice qttc existe atgljn polinomio de grado 5, con coeficienks r d , que no es soluble por radicales. Mostraremos esto. En este capifulo supondremos que rodos 10s campos mencionado.7 f ienen caraclcrisfica 0. El esbozo del argument0 es muy facil de dar y vale la pena tratar de recordarlo. I
Mostrarr~nlosquc un polinomio .f(.lr) E F [ x ] es soluble por radicales sobre F (si y ) solo si su canrpo de desconrposicion E sobre F riene un grupo de Galois soluble. Recuerdese que un grupo soluble es aqutl que tiene una serie de composicion con coeficienks ubclianos. Aunque este teorema vaya en 10s dos sentidos, no probaremos la parte ctsib):-- 2 Mosfraremos que exisre un suhcatnpo F de 10s ntjm&os rerzks - w o l i n o m i o .fix) E F [ x ] de grado 5 corl un carplpo de descomposicibn E sobre F rat UP -G(E/F) S,, el grupo sirnkfrico en 5 lerras. Recuerdese que una serie de composicibn para S5 es { I ) < A , < S,. Como A , no es abeliano, habremos terminado. El lema siguiente hace la mayor parte del trabajo para el paso 1. Lrma 49.1 Sea F u n campo de caracferisfica0 y sea a E F. Si K es el campo de descomposicibn de A? - a sobre F, entonces G(K/F)es un grupo soluble.
Demostracibn Sugngase primer0 que F contiene t d a s las raices nesimas del unitario. Por el teorema 45.3 y 10s comentarios precedentes, las raices nCsimas del unitario forman un subgrupo ciclico de (F*, .). Sea ( un generador del subgrupo. (En realidad, 10s generadores son precisamente las raices n-bimas primifivas del unitario.) Entonces, las raices n-tsimas del unitario son
Si B E F es un cero de (.?' - a ) E
n x ] , entonces todos 10s ceros de A? - a son
49.2 EXTENSIONES POR RADICALES
445
Corno K = F(jl),un autornorfisrno de a en G(K/F)esta deterrninado por el valor /?a del autornorfisrno a en /I. Si jla = iijl y pr = rijl, donde r E G(K/F),entonces
pues
ri
E F.
De rnanera analoga,
Asi, or = ra y G(K/F)es abeliano y, por tanto, soluble. Supongase ahora que F no contiene una raiz n-birna prirnitiva del unitario. !Sea-[-$ d-el grupo ciclico de raices n-tsirnas del unitario baio la rnultiplicacion en F. sea P nuevarnente un &ro de Y - a. Como jl y rjl estan arnbos en el carnpo de descomposici6n K de x" - a, [ = (ijl)/jlesti en K. Sea F = F(i), de mod0 que tenernos F < F s K. Ahora, F es una extension normal de F puesto que F es el campo de descornposici6n de x" - 1. Corno F = F(r), un autornorfismo q en G ( F / F ) esta determinado por Cq y debemos tener (q = C' para alguna i, ya que todos 10s ceros de x" - 1 son potencias de C. Si Cp = Ci para p E G ( F L . , cntoftee4 -
y, en forma analoga,
hi,W e s - a b e l i a n o . Por el teorerna principal de la teoria de Galois,
es una serie normal y, por tanto, una serie subnormal de grupos. La primera parte de la demostracibn muestra que G ( K / F )es abeliano, y la teoria de Galois afirma que G(K/F)I(G(KJF) es isomorfo a G(F/F),el cual es abeliano. Es facil ver que si un grupo tiene una serie subnormal de subgrupos con grupos cociente abelianos, entonces, cualquier refinamiento de esta serie tambitn tiene grupos cociente abelianos. (Vtase el ejercicio 49.6.) Asi, una serie de composici6n de G(K/F)debe tener grupos cociente abelianos, de mod0 que G(K/F)es soluble. m El siguiente teorerna muestra que si K es una extensibn normal de F por radicales, entonces G(K/F) es soluble. El ejercicio 49.8 muestra, entonces, que si f(x) E f i x ] es soluble por radicales y tiene c a m p de descomposicion E, G(E/F)es soluble. Esto completarh la parte 1 de nuestro programa.
Teorema 49.1 Si K es una extensibn normal por radicales de un campo F de caracteristica 0,entonces G(KJF)es soluble.
-
Demostracibn Sabemos que existen a,, . . ., a,€ K y enteros positivos n,, . . ., n, tales que K = F(a,, . . ., a,), a,"' E F y gi E q a , , . . ., a,- para 1 < i I r. Sea KO = F y sea Ki el campo de descomposicion de Y i - a;i sobre Ki- Entonces, K I K,, y el lema 49.1 muestra que G(Ki/Ki-,) es soluble. Como G(Ki/Ki-,) G(Kr/Ki-,)/G(Kr/Ki),la serie normal
,.
-
-
tiene grupos cociente solubles. El ejercicio 49.7 muestra que esta serie, tiene, entonces, un refinamiento que es una serie de composici6n con cocientes pbelianos, de modo que G(K,/F) es soluble. Como G(K/F) G(K,/F)/G(K,/K),el ejerci. . cio 15.16 muestra que G(K/F)es soluble. -.-
Nos falta mostrar que existe un subcampo F de 10s numeros realcs y un holinomiof (x)E de grado 5 tal que el c a m p de descomposici6n E de f ( x ) tiene grupo de Galois isomorfo a S; Sea y , E R trascendente sobre Q, y, E R trascendente sobre sucesivamente, hasta obtener y , E R trascendente sobre Q ( y , , . . ., facil mostrar, mediante un razonamiento de conteo, que existen reales trascendentes. Los trascendentes hallados de esta - --hscendeotes iadependieotes sobre Q. Sea E = Q ( y l ,. . ., y5), y sea
ax]
-1
---
Asi, A T ) E ax=j:-dEf ( x ) estan, excepto q u i d por el sign~, entre las llamadas funciones simktricas elernentales en las y , a saber, 1
El coeficiente para x' en f ( x ) es +s5-,. Sea F = f ( x ) E f i x ] ( v b la figura 49.1). Claramente, sobre F de f(x). Como las yi se comportan como cada a E S5,el grupo sidtrico de cinco letras, a definido por ab = a para a € Q y y p = yi,. polinomio que ( x - yi,), tenemos
niS,,
as,, s,, . . ., s5);
p a n cada i, de mod0 que d deja fijo F y, por tanto, d E G(E/F). Ahora, S, tiene orden 5! de moda quc _
Como el c a m p de descomposicibn de un polinomio de grado 5 sobre F tiene grado a lo mis 5! sobre F,vemos que
-Asi - ME/m = 5! y 10s automorfismos d forman todo el grupo de Galois G(E/F). Por tanto, G(E/F) 1: S,, de mod0 que G(E/F) no es soluble. Por 10s comentarios anteriores al teorema 49.1, f(x) no es soluble por radicales sobre F. Resumimos esto en un teorema. Teorema 49.2 Sean y,, . . .,y , nrimeros reales trascen&ntes independientes sobre Q. El polinomio
no es soluble por radicales sobre F = a s , , . . ., s,), don& s, es la ikima funcibn simhtrica elemental en y,, . . ., y,.
Es evidente que una generalizacibn de estos argumentos muestra que (objetivofinal) un polinomio de grado n no necesariamente es soluble por radicales para n 2 5. En conclusibn, comentamos que existen polinomios de grado 5 en Q[x] que no son solubles por radicales sobre Q . La demostracibn se deja para 10s ejercicios (vkase el ejercicio 49.9).
49.1 Sea F u n campo y seaj(.r) = a.r2 + hx + c en q x ] donde a # 0. Muestrese que si la caracteristica de F no es 2, el campo de descomposicion de j(x) sobre F es ~if( - 4uc). [Sugrrmciu: complttese el cuadrado, como se hacia en la escuela secundaria, para deducir la ccformula cuadratica)).]
+ +
49.2 jSe puede obtener el c a m p de descornposicion K de .r2 x 1 sobre 2, agregando una raiz cuadrada a Z2 de un elemento en Z,? ~ E K s una extension de Z, por radicales? 493 Muestrese que si F es un campo de caracteristica diferente de 2 y
donde a # 0, entonasj(x) es soluble por radicales sobre F. 49.4 ~ E soluble s por radicales sobre F todo polinomio en fix] de la forma axe cx' + dx2 e, donde a # 0, si F es de caracteristica O? iPor quk?
+
+
+ bx6 +
495 ~ F ~ I o s overdadero? Sea F un c a m p de caracteristica 0. Un polinomio en n x ] es soluble por radicales si y solo si su campo & descomposici6n en F estl contenido en una extensibn por radicales de F. Sea F un c a m p de caracteristica 0. Un polinomio en n x ] es soluble por radicales si y solo si su campo de descomposicion en F tiene grupo de Galois soluble sobre F. El c a m p de descom sicion de xl' - 5 sobre Q tiene grupo d t Galois soluble. LOS numeros x y O /,, x son numeros trascendentes indepcndientes sobre Q. El grupo de Galois de una extension finita de un c a m p finito es soluble. Ningun polinomio quintico es soluble por radicales sobre cualquier campo. Todo polinomio de grado 4 sobre un c a m p de caracteristica 0 es soluble por radicales. Los ceros de un polinomio cubico sobre un campo F de caracteristica 0 siempre pueden alcanzarse mediante una suasion finita de operaciones de suma, resta, multiplicaci6n, division y extraction de raices cuadradas, comenzando con elementos en F. Los a r o s de un polinomio cubico sobre un c a m p F de caracteristica 0 nunca pueden alcanzam mediante una sucesi6n finita de opcraciones de suma, mta, multiplicacion, division y extraccibn de raices cuadradas, comenzando con elementos en F. La teoria de series normales de grupos descmpcfia un papel importante en las aplicaciones de la teoria de Galois.
*49.6 Mdstrese que, para un grupo finito, todo refinamiento de una scrie subnormal con cocientes abelianos tambitn tiene cocientes abelianos, completando asi la demostracion del lema 49.1. [Sugerencia: usese el teorema 15.3.1 *49.7 Mubtrese que, para un grupo finito, una sene subnormal con grupos cociente solubles se puede refinar hasta una serie de composition w n cocientes abelianos, completando asi la demostracion del teorema 49.1. [Sugerencia: usese el teorema 15.3.1
Sea K una extension normal por radicales de un campo F de caracteristica 0 y sea E una extension normal de F, F 5 E c K. Muestrese que G(E/F)es soluble. [Sugerencia: usese la teoria de Galois, el twrerna 49.1 y el ejercicio 15.16.1
*498
Este ejercicio exhibe un polinomio de grado 5 en Q[.r] que no es soluble por radicales sobre Q.
*49.9
a) Mubtrese que si un subgrupo H de S, contiene un ciclo de longitud 5 y una transposition r, entonces H = S,. [Sugerencia: muestrese que H contiene toda transposition de S, y apliquese el corolario del teorema 5.1. Vease el ejercicio 9.15.1 b) Muestrese que si f(x) es un polinomio irreducible en Q[x] de grado 5 con exactamente dos ceros complejos y tres reales en C, entonces el grupo de f (x) sobre Q es S,. [Sugerencia: usese la teoria de Sylow para mostrar que el grupo tiene un elemento de orden 5. Usese el hecho de que f(x) tiene exactamente dos ceros complejos para mostrar que el grupo tiene un elemento de orden 2. Despub, apliquese a).] c) El polinomiof(x) = 2x5 - 5x4 + 5 es irreducible en Q[x], por el criterio de Eisenstein, con p = 5. Usense tknicas de d c u l o para encontrar 10s maximos y minimos relativos y para ccgraficar la funcibn polinornialf,, lo suficientepara ver que f(.r) debe tener exactamente tres ceros reales en C. Concluyase, a partir de b) y del teorema 49.1, quef(x) no es soluble por radicales sobre Q.
Inducci6n matematica
f
En ocasiones queremos probar que una afirmaci6n acerca de enteros positiv s se cumple para todos 10s enteros positives, o quid para alguna sucesi6n finita o infinita de enteros wnsecutivos. Dichas demostraciones se hacen usando in!ucci6n matematica. La validez del mktodo se basa en un axioma de 10s entieros positives.
~
Axioms de induccibn Sea S un subconjunto de Z + que satisface
1ESy si k E S, entonces (k
+
1 ) E S.
Entonces, S = Z + De este axioma obtenemos, de inmediato, el mCtodo de induccibn matematica. Induccibn matenuftica Sea P(n) una afirmacibn acerca del entero n. Supbpga-
se que P ( l ) es cierto y si P(k) es cierto, entonces P(k
+ 1 ) es cierto.
Entonces, P(n) es cierto para todos 10s n
E
Z+.
Casi siempre se quiere mostrar que P(n) vale para todos 10s n E Z+. Si se desea mostrar que vale s610 para r, r + 1, r + 2, . . ., s - 1, s, entonces se muestra que P(r) es cierto y que P(k) implica P(k 1 ) para r 5 k I s - 1. N6tese que r puede ser cualquier entero en 5 positivo, negativo o cero.
+
APENDICE. INDUCCION MATEMATICA
451
Ejemplo A1 Probemos la formula
para la suma de la progresion aritmetica, usando induccion matematica. Sea P(n) la afirmaci6n de que la formula [All es cierta. Para n obtencmos
=
1
de mod0 que P(l) es cierto. SuNngase que P(k) es cierto, esto es,
Entonces,
.
de mod0 que se cumple P(k fl€Z+.
+ 1). Asi, la fbrmula [All es cierta para todos 10s
Ejemglo A2 Mostremos que un conjunto de n.elementos tiene, en total, 2" subconjuntos para n E (0, 1, 2, 3, . . .) = Z + U (0). Esta vez comenzamos la induccion con n = 0. Sea S el conjunto finito tal que IS1 = n, deseamos mostrar que
P(n): S tiene 2" subconjuntos.
LA21
Si (SI = 0, entonces S = 0 y tiene un solo subconjunto, a saber, 0.Como'2 = 1 vemos que P(0) es cierto. Sup6ngase que P(k) es cierto y sea S con k + 1 elementos. Sea c un elemento de S. Entonces, S - {c) tiene k elementos y, por tanto, 2k subconjuntos. Ahora bien, todo subconjunto de S contiene c o no contiene c. AquCllos que no contienen c son subconjuntos de S - {c) y hay 2k de ellos, por la hifitesis de induccibn. Cada subconjunto que contiene c consta de alguno de 10s 2k subconjuntos que no contienen c, agregando c. Hay, tambiin, 2k de dichos subconjuntos.
452
APENDICE. INDUCCION MATEMATICA
El n~imcrototal de subconjuntos de S es, entonces,
dc modo que P(k
+
1 ) es cierto. Asi, P(n) cs cierto para n = 0 y para n E Z +.
+ .Y")
.
> 1
+ n.u
(Notese que P(1) es falso.) Entonces, P(2) es la afirmacion ( 1 + x ) > ~ 1 Ahora, ( 1 + x)* = 1 + 2x + x 2 y x 2 > 0,pues x # 0.Asi, ( 1 + x)' > 1 dc mod0 que P(2) es cierto. Supbngase que P(k) es cierta, de modo que
+ 2x. + 2x
Ejernplo A3 Sea x E R, x > - 1 , para toda n 2 2, n E Z + . Sea P(n) la afirmacion
Ahora, 1 + .r > 0, pues .r > cion [A43 por 1 + x obtenemos
.
Como k . ~ 0, b vemos que P(k Z+.
nE
# 0. Mostremos que ( 1
Y .
- 1.
+
Multiplicando ambos lados de la ecua-
1 ) es cierto. Asi, P(n) es cierto para n 2 2,
Para concluir, mencionamos que ya se tendri ocasion de usar la induccion comnpleta, donde la afirmacion
si P(k) es cierto, entonces P(k
+
1 ) es cierto
se reemplaza por la afirmacion si P(rmr) rs cierto para 1 5 m
j
+
k, entonces P(k
1 ) es cierto.
De nuevo sr: Irilta de mostrar que P(k + 1 ) es cierto, sabiendo que P(k) es cierto. Pero si ya se alcanzo el paso de induccion donde se ha probado P(k), entonce se sabe que P(uI)es cicrto si 1 j m 5 k, de mod0 que la hipbtesis reforzada de la segunda afirn~iiciones permisible.
+ 2' + 32 + ... + n2
Al
Muestrescque 1'
A2
Muestreseque I - ' +
ZJ +
3'+
... +
=
n3 =
n(n
+
1)(2n
6 n2(n
+ 4
I jZ
+
I)
para n E Z+
para n E Zt
APENDICE. INDUCCION MATEMATICA
+ 3 + 5 + . . . + (2n -
A3
Muestrese que 1
A4
1 1 I Muestrese que - + - + - + . . . 1.2 2.3 3.4
A5
Pruebese por induccion que si a. r E R y r # - 1, entonces a - PC')/(1 - r) para 11 E Z C .
+ ar" = a(l
1) =
11'
para n
E
Z'
I n +- -para n~ n(n
+
1)
n
453
+
1
Z*.
+ ar + ar2 + . .. +
Encuentrese la falla en este razonamiento. Mostremos por induccion que dos numeros enteros positivos cualesquiera, son iguales. Usemos induccion en el rnaximo de 10s dos numeros. Sea P(n) la afinnacion de que dos enteros positivos con valor maximo n son iguales. Como 10s dos bnicos enteros positivos cuyo valor maximo es 1 son 1 y 1, vemos que P(.I ,) es cierto. Supongase que P(k) es cierto y Sean r y s numeros positivos con valor maximo k + I. Entonces, el valor maximo de r - 1 y s - 1 es k, de modo que r - 1 = s - 1 por la hipotesis de induccion. Por tanto, r = s. Asi, P(k + 1) es cierto, de modo que P(n) es cierto para todas las n E Z +. A6
A7 Critiquese este razonamiento. Mostremos que todo entero positivo tiene alguna propiedad interesante. Sea P(n) la afirmaci6n de que n tienc una propiedad intcrcsantc. Usemos induccion completa Claro quc P(1) es cierto, pues 1 cs la identidad multiplicativa, lo cual cicrtamente es una propiedad interesante del 1. Supbngase quc P(m) es cicrto para 1 I m I k. Si P(k + 1) no fucra cierto, entonces k 1 seria el menor entero sin una propiedad interesante, lo cual seria, por si mismo, una propiedad interesante de k + 1. De mod0 que P(k + 1) debe ser cierto. Asi, P(n) es cierto para todas las n E Z'.
+
A8 En realidad, nunca hemos podido encontrar una falla en a). El lector debera probar su suerte y despues responder b). a) Un asesino recibe la sentencia de ser ejecutado; pide al juez que no se le diga el dia de la ejecuci6n. El juez dice: <>El criminal va a su celda y procede a demostrar que no puede ser ejecutado en enero, de la siguiente manera: Sea P(n) la afinnacion de que no puedo ser ejecutado en enero (31 - n). Quiero probar P(n) para 0 < n < 30. Ahora bien, no puedo scr cjecutado el 31 de encro, pues es el ultimo dia del mes y como serC ejecutado ese mes, sabria que kse es el dia, antes de las 8 am., lo cual contradice la sentencia del juez Asi P(0) es cierto. Supbngase que P(m) es cierto para 0 m < k donde k < 29. Esto es, supbngase que no puedo ser ejecutado de enero (31 - k) a encro 31. Entonces, mero (31 - k - 1) debe ser el ultimo dia posible para la ejecuci6n y lo sabria antes de las 8 a.m., lo cual contradice la sentencia del juez Asi, no puedo ser ejecutado en enero (31 - (k + I)), de modo que P(k + 1) es cierto. Por tanto, no puedo ser ejecutado en enero. (Por supuesto, el criminal fue ejecutado el 17 de enero.)
b) Una profesora imparte una clase cinco dias a la semana, de lunes a viernes. Le comunica a sus alumnos que hari un examen m h , algun dia de la ultima semana de clases, pero que 10s alumnos no sabrin si el examen sera ese dia, sino hasta llegar a1 aula. iCuPl es el ultimo dia de la semana en-que puede h a ~ el r examen, para satisfacer estas condiciones?
OBRAS CLASICAS I.
Bourbaki, N, klkments de Mathkmatique, libro I1 de la parte I, Alg6bre. Paris,
Hermann, 1942-58. 2. Jacobson, N, Lectures in Abstract Algebra; Princeton, Nueva Jersey, Van Nostrand,
vols. 1, 1951; 11, 1953, y 111, 1964. 3. Sckreier, 0, y Sperner, E, Introduction to Modern Algebra and Matrix Theory (versi6n inglesa), 2.' ed., Nueva York, Chelsea. 1959. 4. Van der Waerden, B. L, Modern Algebra (versi6n inglesa), Nueva York, Ungar, vols. 1, 1949, y 11, 1950.
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1
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OTRAS REFERENCIAS 41. Albert, A. A. (editor), Studies in Modern Algebra (MAA Studies in Mathematics, vol. 2). Bufalo, The Mathematical Association of America; Englewood Cliffs, Nueva Jersey. Prentia-Hall, 1963. 42. Artin, E., Geometric Algebra, Nueva York, Intersciena, 1957. 43. Courant, R, y Robbbs, R, What Is Marhematics?, Oxford, Oxford University Press, 1941. 44. Coxeter, H. S. M, Introduction to Geometry, Nueva York, Wiley, 1961. 45. Crowell, R H., y Fox, R H., Introduction to Knot Theory, Nueva York, Ginn, 1963.
Respuestas y comentarios
05
No es conjunto (no esta bien definido).
0.7
Conjunto 0.
0.9
Conjunto Q.
0.11
No es una relacion de equivalencia.
0.13
Es una relacion de equivalencia; 0 = {0},d = {a, - a} para cada a E R diferente de cero.
0.15 0.17
Es una relacion de equivalencia;
T
= (1, 2,
TUiS = (100, 101, . . ., 9991, y en general
. . ., 91, m
= (10".
10"
(10. 11, . . .. 991, 1,. .., 10"" - 1).
=
+
Es una relacion de equivalencia; = (1,3, 5, 7,. . .} = {2(n - I) 1 In E Z+}, 2 = (2.4,6,8, ...} = (2nln E Z+}.
T
+
0.19
(No queremos estropear su diversion.)
0.21
2
0.23
15
1.1
a) e. 6, a. b) a,a. No se puede decir. c) a, c.. no es asociativa. d) No, b e # e 6.
458
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
1.7
F V F F F V V V V F
1.1 1
a) Dos operaciones binarias y *' en el rnismo conjunto S dan estructuras braieas del misrno tipo si cada x E S tiene una contraparte x' E S tal que la correspondencia x ++ x' es uno a uno y tal que (a b)' = a' b' para t d a s las a, b E S. (Esto se puede expresar de otras maneras.) b) 10
CAPITULO 2 21
a) No, falla 3,. b) No, falla 3,. c) Si. d) No, falla 3, en a = 0. e) Si. f) Si.
23
Respuesta parcial: (a + b' + c)' = c' + b + a'
% b
b
e
(Son posibles otras respuestas.)
e
CAPrruLo 3 3.1
a) Si. b) No. c) Si. d) Si. e) Si. f) No.
33
a)0.25,50, -25, -50 b) l , t , 2 , 4 , t c) 1, n, n2, 1/71,l/rr2.(Son posibles otras respuestas.)
3.7
V F V F F V F F V F d) Un grupo {e} de un solo elemento s61o tiene un subgrupo (impropio).
3.19
Un ejemplo es el 4-grupo V de Klein.
-
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
459
CAPITULO 4 4.1
a)
C)
43
(
1 2 3 4 5 6 1 2 3 6 5 4 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
3 4 1 6 2 5
5 1 6 2 4 3
2 6 1 5 4 3
)
(
a) ( P I ) = ( ~ 2 = ) ( P , ) = {Po.
b,
1 2 3 4 5 6 2 4 1 5 6 3
{Po,
PI, ~
2
1
PI}
/
(41. PI.
)
(Po. P I )
P2)
\
s3
47
S, es un ejemplo. V h e el ejercicio 4.3b).
49
IDml=2n
4.13
a) Si. b) No (no es cerrado). c) No (no hay inverso). d) Si.
CAPITULO 5
55
a) 4 b) Un ciclo de longitud n tiene orden n. c) u tiene orden 6, T tiene orden 4. d) (a) 6 (6) 6 (c) 8 e) El orden de una permutaci6n expresada como un product0 de ciclos ajcnos es el minimo comun multiplo de las longitudes de 10s ciclos.
6.3
a) 6
65
Z6: 1, 2, 3, 6 Z,: 1, 2, 4, 8 Z 1 2 :1, 2, 3, 4, 6, 12 Z6& 1, 2, 3.4, 5,6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Z I T : 1, 17
67
S, da un contraejemplo.
69
Considtrese (xax-
b) 7
c) 4
d) 8
e) Un numero infinito de elementos.
460
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
7.1
1 ) Z4 es ciclico mientras que V no lo es. 2) Z4 tiene solo dos elementos que son solucion de .r + .u = 0, mientras que Y tiene cuatro soluciones it la ecuacibn coyrespondiente .r2 = e.
7.5
VVFVFVVVFV
CAPITULO 8
El grupo no es ciclico.
8.5
z,, xz,,z,,
8.7
VVFVFFFFFV
89
Respuesta parrial: Hay siete de ellos.
8.15
Si un grupo G es el product0 direct0 interno de subgrupos abelianos, entonces G es abeliano.
XZ,,Z,2
xZ5.Z5 x z 3 x z 4
CAPITULO 9 9.1
Para 720: Z,, x Z, x Z5
-
Z,,,,
z2 x z8 x z9 x z5 % z2 x Z4 x Z4 x Z9 x
Z4
z360,
Zleo, z, x z2 X z4 x z9 x z5 = z2 x 22 x Zl80, z,xz,xz,xz,xz,xz5-z,xZ,xz,xZ,o, z16x z3 x z3 x z5 z3 x 2240. Z5
-
X
z2xz,xz3xz3xz5-z,xZ,,, z4 x z4 x z3 x z3 x z5 212 z 6 0 ~ z2 x z2 x z4 x z3 x z) x z5 5. 22 x z6
z60?
z 2 x z 2 x z 2 x z 2 x z 3 x z 3 x z , - Z 2 x Z 2 x z 6 x z 3 , , Para 1089: Z, x Z,,, r ZlO8,, z3 x z3 zl2l z3 z363, z, x z,, x Z,, 5. 211 x z99, z, x z3 x z,, x z,, r z j 3 X Z,)
93
{2, 3) genera Z,,. {4, 6) genera (2). (8, 6, 10) genera (2).
9.7
Hay tres de orden 24. Hay dos de orden 25. Hay seis de orden (24)(25).
9.9
49
9.13
Los nlimeros son 10s mismos.
RESPUESTAS Y COMENTARIOS 9.17
"
461
Un subgrupo de S, no puede ser generado por dos elementos. C)
4:G
CAPITULO
-+
(
Z x I , donde (a. b)4 = a
,
-
lo").
10
105
Respuesra parcial: El grupo tiene orden 48.
10.7
c) 432
d) (HI = 6: H
1
S,
CAPITULO 11 11.1
a)18
b)8
c)6
11.3
Respuesrrr parcial: Las clases laterales izquierdas son e = (0. 0) + ((1. 2)) = ((0. 0). (1, 211, a = (1, 0) + ((1, 2)) = ((1, 0). (0, 2)). b = (0, 1) + ((1, 2)) = {(O. 11, (1. 3)). c = (1. 1) + ((1, 2)) = {(I, 1). (0, 3)). La operacion inducida en las clases laterales izquierdas esta bien definida, y si forman grupo. Este grupo de clases laterales es isomorfo a Z,.
CAPITULO 12 12.1
a) Al trabajar con un grupo factor G / H , a y b se harian elementos de G , no de GIH. Q u i d s el estudiante no entiende c6mo se ven 10s elementos de G / H y no p d r a escribir algo sensato acerca de ellos. b) Debemos demostrar que G / H es abeliano. Sean aH y bH dos elementos de G / H .
12.9
VVVVVFVFVF f) Z es libre de torsion, pero Z/nZ 2. Z,, un grupo de torsion. Z,, y Z, es abeliano. h) Para n > 2, S, es no abeliano, per0 S,/A, j) nR = R, de modo que RjnR es de orden 1.
-
CAPITULO
13
13.1
a) Si. (Imagen 4) = Z. (Kernel 4) = (0). b) No. 2 = ($14 + (+)+ # 3 4 = 3. c) Si. (Imagen 4 ) = R'. (Kernel 4) = (1, - 1). d) Si. (Imagen 4) = Z,. (Kernel 4 ) = (0, 2, 4). e) No. En Z,, 0 = 1 + 1 = 5 4 + 54 # (5. + 5)4 = 14 = 1.
13.3
2 de Z sobre Z; 2 de Z en Z,; 1 de Z sobre Z,.
13.5
0 de Z,, sobre 2,; 6 de Z,, en 2,; 2 de Z,, sobre Z,; 2 de Z,, en ZI4; 4 de Z,, en Z,,.
13.7
VVFVFFVVVF e) Si 4 es un homomorfismo de G, entonces IG4l = IGl/l(Kernel &I. f) Vease e). g) Una transfonnacion de todo elemento de un grupo G sobre la identidad de cualquier grupo siempre es un homomorfismo. h) Vease g). i) Vkse el ejercicio 13.6. j) Vease el ejemplo 13.1.
13.1 1
Respuesta parcial: (Imagen 4) = (a). (Kernel 4) = nZ para algun n negativo (incluyendo n = 0, 1).
E
2 no
13.13 b) Respuesta parcial: Si r no es primo relativo con IGl. (kernel 4,) # {e} y 4, no es una transforrnacion sobre G. Asi, para algun a E G, x' = a no tiene solucion. En el caso extremo de que lGl divida r, x' = a no tiene solucion para ningun
a~ G,a # e. 13.15
Respuesta parcial: 4 es un isomorfismo si (kernel 4 ) = {e}, esto es, si el a n t r o de G es el grupo trivial {e}.
14.1
Los rcfinarnientos {0} < 29402 < 602 < 202 < 4 2 < 2 de {0}< 602 < 202 < 2 y {0} < 29402 < 9802 < 2452 < 492 < 2 de {0} < 2452 < 492 < 2 son isomorfos.
143
Todos son de la forma {(0, 0)) < H < Z, x Z,, donde H p u d e ser cualquiera de 10s subgrupos ((0. I)), ((1.0)). ((1. 1)). ((1.2)). <(1.3)), Y ((1.4)) de 2, x 2,. Asi, hay seis en total.
1S7
a) HN = {O, 2.4.6, 8, 10, 12, 14. 16, 18.20,22}, H n N = {0, 12) b)O + N = IO.6, 12, 181.2 + N = (2.8, 14,20},4 + N = {4, 10, 16,221, C)0 + (H n N) = {O, 12), 4 ( H n N) = {4, 161, 8 + (H n N) = (18, 20) d)(O+ N ) J I = O + ( H n N ) , ( 2 + N ) J I = 8 + ( H n N ) , ( 4 + N ) J I = 4 + ( H n N )
I
+
15.9
a) 0 2
+H +H
= =
{0, 4, 8, 12, 16, 201, 1 + H = {I, 5, 9, 13, 17, 21), (2, 6. 10, 14, 18, 221, 3 + H = {3, 7, 11. 15, 19, 23)
I
b)O+K={O,8,16},1+K={1,9,17},2+K={2,10,18},3+K={3,11,~9}, 4 + K = {4,12,20}, 5 K = {5, 13,21},6 K = {6,14,22}, 7 K = {7,15,23} c) 0 + K = (0, 8, 161, 4 K = {4, 12, 201 1
+
+
+
+
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
15.11
Cadena (3)
Cadena ( 4 )
16.1
X,,
= X, X,,
X,
= {sI, s3, m,, m,, C, P,, P3}, X,,
463
Isomor/ismos
= { C ) , Xp2 = {m,, m,, d l , 4 , C). Xp3 = ( C } ,
Xa, = (2, 4, dl,
4, C ) , Xa2 =
=
{SZ,
s4, m l . m2, C, Pz. P4)9
(1, 3, d l , dz, C )
16.5
Todo sub-G-conjunto de un Gconjunto X consta de una union de orbitas en X bajo G.
16.7
a) No. b) (1, 2, 3,4), {s,, s,,
s3, s4),
{PI, P2, P39 P4I
16.11 b) El conjunto de puntos en el circulo con centro en el origen y que pasa por P.
c) El subgrupo ciclico ( 2 ~ de ) G = R. 16.15 a) K = g i l H g , b) Conjetura: H y K deben ser subgrupos conjugados de G. 16.17
X Y
O
Hay tres de ellos.
Z
Y
a
a
b
a
b
c
a
a
b
a
b
c
l
a
b
a
b
c
a
Z
a
a
b
c
a
b
3
a
b
a
a
b
c
4
a
a
b
b
c
a
S
a
b
a
b
a
-
c
464
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
CAPITULO 17 17.1
5
17.3
2
17.5
1 1 712
17.7
a) 45
b) 231
17.9
a) 90
b) 6426
18.7
V V V F V F V V F F
CAPITULO 19 193
V V F V V V V V F F e) Es cuesti6n de opinion. i) Un grupo de orden 42 no puede tener ninghn subgrupo de orden 8, pues 8 no divide a 42.
CAPITLJLO 20 20.3
Respuesta parcial: Si.
20.5
(ad-bcl= 1
20.7
V V V V V F F V V F
CAPITULO 21 21.1
a) a2b2a3c3b-', b2c-3a-3b-2a-2
213
a) 16 b) 36
c) 36
21.5
a)16
c)18
21.9
a) Respuesta parcial: (1) es una base para 2,.
21.11
c) Un grupo blop en S es isomorfo a1 grupo libre FCS] en S.
b)36
b) a-'b3a4c6a-', ~ c - ~ a - ~ b - ~ a
c) Si.
CAPITLJLO 22 22.1
(a:a4 = 1).(a,b:a4 = 1, b = a2).(a,b,c:a =_1,b4 = 1 , c = l).(Son posibles otras respuestas.)
465
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
223
Grupo octal: 1
a
1
1
a
a
a
a'
i
I
;
a'
a'
a ' '
a'
I
a' -----
.
'
'
b
ab
h
ab
ab
1
i
a'
.
1
a'
1
i
a
b
a3b
a'
a3
a
-- ---- ---. .+-. .-&
.-
b
-
ab
ab
a'b
a'b
a3b
a3b
b
:
I
I
o'b
I
/
ab
b
a2b
ab j
i
ah
--
I
a'
a
1
a'
a
a'b b
1
a'
1
aJb
I
a3b
ab
/
a2b
a3b
b
a3b
a2b
'
a2b I a3b
a'
I
a3b
a2b
.-I
'
r--+
i~
a'
I i
a2h
b
a'
b
--C---A---
ab
j
a' a3
,
I
---
- 2 -
a2b
/ I
a 'r2
I
a'
a
j 1
Grupo de cuaterniones: la misma tabla que para el grupo octal, except0 que 10s dieciseis lugares en la esquina inferior derecha son
a 2 i ; 2 i
I ;aJ
a' 22.9
Z,,. (a, b:a7 = 1, b3 = 1 , ba = a2b)
22.1 1
z,,. z2 x
a2
-
Z6 (a, b, c:a2 = b2 = c3 = 1, ab = ba, ca = bc, cb = abc, cab = ac) (s, r:s3 = 1, r2 = 1, (st)' = 1 ) D6 1. (a, b:a6 = 1 , b2 = 1, ba = a5b) (a, b:a3 = 1, b4 = 1, ba = a2b) (Vease Dean [7, pag. 2461 para una soluci6n completa.) A,
I :
CAPITULO
23
23.1
a) Si. b ) No. Z + no tiene identidad para la suma. c) Si. d ) Si. e) Si. f) Si. g) No. La multiplication no es cerrada en {ri 1 r E R}.
23.3
a 1 b ) ( l l ) ( l- 1 - 1 1 - 1 -1) c)1,2,3,4 d ) Todas las q E Q distintas de cero. e) (1, q, 11, (1, q, - I ) , (- 1, q, l ) , (- 1, q, - 1) para todas las q E Q distintas de cero. f) 1, 3
+
{a)
{bJ
S
0
0 0
I4
{b)
S
{a)
{a)
0
S
Ib)
Ib)
{b)
S
0
{a)
s
s
IbJ
{a)
0
--
,
466
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
24.1
0. 3. 5. 8, 9, 1 I
243
a)O
24.7
No hay soluciones de .rZ + 2x
b)O
c)O
d)3
e)I2
Q30
+ 2 = 0. 2 es una solucion de x2 + 2.r + 4
Es isomorfo a (Z, x Z,,
25.9 25.13 25.15
(A :). (y A). (I
f), (f
.)I (A
:) (: y
+ Opt + Ip2 + Op, + Ip2 + Ip3 {u, + u3jl u,, u3 E R ) y {u, + a4k I u,, cr4 E R ) Ipo
CAPITULO
26
26.1
I ~ +I qzilq,, 426 Q l
263
D = Q y D' = Z da un ejemplo.
2625
V F V F V V F V V V
26.13
4, pues I y 3 ya son unidades en Z4.
28.3
((11. 11) 111 E
Zi. (Otras respuestas son posibles.)
A)
= 0.
+ ).
son unidsdcs en Mz(P).
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
467
285
F V F V V V V F F F
2815
Re~puc,sfupurcicll: Por la definicion en el ejercicio 28.IS,,J R = R para todo anillo R. Sin embargo, d e acuerdo con la definicion del ejercicio 28.1 1, el radical de R no siempre es todo R. Asi. esta terminolopia es inconsistente si N = R.
28.17
Si &NIN se considera como un subanillo de R/N, entonces es el radical d e R/N en el sentido de la definicion del ejercicio 28.1 1 .
29.1
4 , tal que 14,
29.3
Sea 4 : Z -. Z x Z dado por
295
2Z x Z es un ideal maximal de Z x Z. Z x (0)es un ideal primo que no es maximal. 42 x {0}es un ideal que no es primo.
29.7
V F V V V F V V F V d ) Un campo no tiene ideales propios y un grupo simple no tiene subgrupos normales propios. En ambos casos todas las estructuras cocientes son triviales o bien isomorfas a la estructura original.
29.15
No. Si se agrandara el dominio hasta un c a m p de cocientes, se tendria un campo que contendria dos campos primos diferentes Z, y Z, lo cual es imposible.
30-7
= 1.
4, tal que
1 4 2 = 0.
t1q5
=
(ti.
0)para
n E Z.
V V V V F F V V F V
1) En Z,[.v]. (2.r3)(3.rJ) = 0.
30.13 a) Sea F u n subcampo de un c a m p E. sean z,. . . ., I , elementos cualesquiera de E y sean s,,. . .,s, indeterminadas. La transformacion 4 F[.v,, . . ., .r.] -, E definida por para
E n m..... l ~
. . . .\?)411.....1- =
, S I ~ '
( z ~ ~ , . .. . . .\?I
Cam
,.....ml
17' . . .
E F[.r,, . . ., .GI
es un homornorlismo de F[.r,, . . ., s,] en E. Ademis, .rib = zit y 4,,......, transforma F isomorficamente, mediante la transforrnacion identidad. 4,,,,,,. es un homomorfio de evaluacibn. b) 558 C) Sea F un subcampo de un campo E. Entonces, ( I , , . . ., z,) E (E x E x . . . x E) f.clorcs
es un cero de.f(.\-,,. . ., .r,) E F[.Y,,. . ., .v,], si .f(.v,. . . ., .~,)4 ,,.,,,,,"
=
0.
468
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
CAPITULO 31 31.1
q(x)=x4+xx'+x2+x-2,r(x)=4.r+3
315
Respuesta parciaf: f(.r) no es irreducible sobre R y no es irreducible sobre C.
31.9
VVVFVFVVVF
31.1 1 Si. Es de grado 3 sin ceros en Z,. Zr3+ .r2 + 2 r
+ 2.
- 5x + 6) no es un ideal maximal de Qrx] pues x 2 - 5x + 6 = - 3)(x - 2) no es irreducible sobre Q. Si, (x2 - 6x + 6) es un ideal
31.15 No. (x2 = (X
maximal de Q[x]. CAPITULO 32 321
a) Si. b) Si. c) No. d) Si. e) No. f) Si. g) Si. h) Si.
32.3
En Z[x]: (2)(2)(2 - x 2). En Q[x]: 4x2 - 4x + 8. En Z, [x]: (4x 2)(x 4).
,
329
+
+ +
Respuesta parcial: D* - U no cs un grupo bajo la multiplicaci6n, pues 1# (D* - U).
3211 No toda no unidad # 0 d t Z x Z tiene una factorizacibn en irreducibles. Por ejemplo, (1, 0 ) no es unidad y toda factorizacibn de (1, 0) tiene un factor de la forma (+ 1, O), el cual no es irreducible. pues (+ I, 0) = (+ 1, 0)(1, 50). Los unicos irreducibles de Z x Z son (f1, p) y (q, I), donde p y q son irreducibles en Z.
+
CAPITULO 33 33.1
a) Si. b) No. Se viola (1). c) No. Se viola (1). d) No. Se viola (2). e) Si.
335
a) Si. Z es un DFU y se aplica el teorema 32.3. c) No. d) No. Por el teorema 33.1, Z[x] dominio euclidiano implicaria Z[x] DIP, contradiciendo c).
33.7
VFVFVVVFVV
33.17
Respuesta parcial: La ecuacion ax = b tiene una solucion en Z, para a, b distintos de cero, si y s6lo si el mcd positivo de a y n en Z divide b.
CAPITULO 34 34.1
+
a) 5 = (1 2i)(l - 2i) b) 7 es irreducible en Z[i]. c)4 3i = (1 +2i)(2 - i) d ) 6 - 7i = (1 - 2i)(4
+
+ i)
E
Z,
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
469
c;iracteristicn 3. (ii) ordcr 2, c;~ractcristic;~2. (iii) orrlcn 5. ~,lr-;~rtu-
34.13
c.1 (;! c>r111:il !.it1lL.;l
35.3
a) :Ilpchr;iico. gr:~d(z. k') = 7. !'! Al::cbr;~iit . gmrl(s. I-\ :?. r l l .Algcbraico. grad(x, FI = I. ! r id 1 - 2 Algchraiccl. grad(2, F) = 1. 111 .\ig:i>i.:~ic<. p.rad(r/. 1.') = 3.
35.9
Es el polinomio m6nico en F [ x ] de grado minimal que tiene como cero a. .-
l).
.
I?
c) ~ ~ ' r a ~ : ~ c c r ~ ~ I ~ : , , i Tro~~sccndctitc.
n
470
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
CAPITUI.0
36
36.1
((0. I), (1, 0)). {(I, I). ( - 1, I)}, ((2, 1). (2, 1 )). (Son posibles otras respuestas.)
36.3
x2+x+1
36.7
a) Un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre un campo F es u n subespacio de V sobre F si las operaciones inducidas de suma vectorial y multiplicaci6n por un escalar estan cerradas en W, y W es un espacio vectorial sobre F bajo estas operaciones.
36.9
Respuesta parcial: Ls surna directa V, @ . - - @ V, de espacios veclorinles es el conjunto V, x . . - x V, de vectores, junto con las operaciones de suma vectorial y multiplication por un escalar, definidas por (al,. . ., 2,)
+ ( f i l l . ... B.)
=
(aI
y a(alr . . ., 5,) = (am1, . . ., (12,) para ai, Pi E
+
PI.. . .. a.
+ B.)
4 y a E F.
36.15 a) Un homomorfismo. b) Respuesta parcial: el kernel (o espcio sulo) de 4 es {a E V 1 a 4 = 0). c) 4 es un isomorlismo de V con V' si (kernel 4) = {Oj y 4 transforma a V sobre V'.
CAPITULO 37 37.1
(G,0, +, ,). (Son posibles otras notaciones.)
373
(V,F, @, 0, +, -,x ). (Son posibles otras notaciones.)
37.5
Z, x ( 0 ) no es un subgrupo caracteristiw de (Z, x Z2, +), pues existe un automorfismo de Z, x Z, que transforma a Z, x (0) sobre (0) x Z,.
37.7
Respuesta parcial: una transformacion 4:G -+ G' es un 0-hornomorfirno del Bgrupo G en el 0-grupo G' si para todas las a, B E G y a E 0,se tiene (a + B)d) = = a 4 + B4 Y ( ~ 4 = 4 (a4)a.
37.1 1 Un b o m o m o r f i de un R-1116dulo(izquierdo) M en ua R-1116dulo(izquierdo) M' es una funcion 4:M -+ M' tal que (a + /?)4 = a 4 /?4 y (ra)4 = dab) para todas las a, fl E M y r E R.
+
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
38.7
V F V F F V F F F F
38.9
Respuestu porciol: se obtienen extensiones de grado 2" para n G Z'.
471
CAPITULO 39 39.5
V V V F V F V V V F
403
a) 3
40.7
F F V V F V V V V V
40.9
b, = 0, l a , = I,cxa, = 1
40.11
Sea F = Z h x ) donde x es una indeterminada. Entonces, la irnagen de F bajo a, es Z,,(xP), un subcamp propio de Z,,(x). Mientras a, es una transformacibn isornorfa para todos 10s carnpos E de caracteristica p, a, no necesariamente es sobre E,
- fi
b) Son las rnisrnas transformaciones.
+ a , ( l + a)a, = cx.Z,(~)(~,, = Z,
de mod0 que no necesariamente es un autornorfisrno. 40.17
Todo automorfismo de F(x) transforma x sobre algun y = (ax + b)/(cx + d ) , donde a, b, c, d E F y ad - bc # 0. En fonna reciproca, cada una de dichas y E F(x)da lugar a un automorfismo de F(x)que transforma x sobre y y deja fijo F.
41.1
a) La transformacibn identica de E en 0. T dada por J ~ T = fi, f i ~ = f i ~= b) T I dada por f i r , = X Z f i r , = fi, f i r , = 1, dada por J;T,= f i ~ =, - f i , f i r 2 = c) T I dada por f i r l = , h&f i r l = f i ~ =, T , dada por f i r , = f i r , = -&,fir, = T , dada por f i r , = -XZ f i r , = fir, = T , dada por f i r , = f i r , = -f i , f i ~ = ,
-$,
'
fi,
d,
-&
-&
a. fi,
-3; fi. -&, fi - fi.
&, = -i&.
413
a) Q(lr2) b) T , dada por f i r , = &i
41.5
F V F V F V V V V F e) Q y Q(*) no son isornorfos, pero tienen cerraduras algebraicas isomorfas.
T,
dada por
472
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
CAPITULO 42 42.1
a)2
h)2
c)4
423
a) I
b) 6
c) 2
42.7
Sean
).' =
d)6
e)2
012
Q y E = ~ ( , b ) .Entonces ,/'(s)= .uJ -
5.u2 + 6 = (x2 - 2)(.r2 - 3)
tiene un cero en E pero no se descompone en E. CAPITULO 43 43.1
./'(.r) = .u4 - 4.u2 + 4 = (.rZ - 2)'. Aqui, f(.r) no es un polinomio irreducible. Todo factor irreducible de,f(.r) tiene solo ceros de multiplicidad 1.
433
F V V F F V V V V V
43.15
Calculese un mcd de f(.r) y f'(.r) usando el algoritmo euclidiano. Entonces, f(.r) tiene un cero de multiplicidad > 1 si y d l o si este mcd es de grado >O.
CAPITULO 44 44.1
z,(J'. 19)
44s
Z,(?", ?)
45.5
V F V F V F V V F V
45.9
b) Es irreducible.
CAPITULO 46 b) 8
c) 8
d) 2
e) 4
9 4 g) 2 h) 1
46.1
a) 8
463
El orden es 3. Un generador del grupo es a,. donde ao9 = a9 para
Las transformaciones son p,, p,, p,. pl, p,, p,,
donde p, es la donde a l p l = donde a l p , = donde a l p l = donde a l p , = donde a l p , =
transfonnacion idkntica; a, y i d p , = i d , a , y i a p , = i$; a , y i d p 1 = -i$; a, Y i d p , = - i A a , y i$p, '= - i d .
?r E
CG(729).
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
473
b) S,. La notacion en a) se escopio para quc coincidiera con la notacion para S, en el ejemplo 4.1.
Diaprama reticular de grupos
Diagrama reticular de campos 46.7
FFVVVFFVFV
46.9
a)4
46.11
b)l
c)36
d)16
e)O
0 0
El campo de descornposicion de (x4
g)O
h)8
- 5x2 + 6) E Q[x] es Q(&
es el del ejemplo 40.4.
46.19
G(K/(E n L)) = G(K/E) v G(K/L)
CAPITULO 47 473
fi
Q(@, i): + i, x" + 4x6 + 2x4 + 28x2 ~(fl): $, x4 - 2; Q(i(fl)): 4*), x4 - 2; Q(JZ, i): + i, x4 - h2 9; Q(* i(3)): + i(fi), x4 8; Q($ - i ( 3 ) ) : $ - i($), x4 + 8; ~ ( 8 ) : x2 - L Q(i):i, x + 1; ~ ( i f i )iJ& : x 2 + 2; Q:l,x- l
+
JZ
3
+
+
1;
+
p,
47.5
El grupo es ciclico d e orden 5 y sus elementos son
donde
f i es la raiz 5.P real de 2.
$1,
y el grupo
474
RESPUESTAS Y COMENTARIOS
47.7
El campo de descomposicion de xR - 1 sobre Q es el mismo que el c a m p de descomposicion de .r4 + I sobre Q, de modo que una descripcion completa esta contenida en el ejemplo 47.2. (Es la manera mas facil de resolvei el problema.)
47.9
a) s: - 2s2
+
b) S:S~ - 4s?s3 - 4s;
I ~ . T , . T ~s ~ 27s:
CAPITULO 48
48.3
a)16
b)400
c)2160
48.7
V V F V V F V V F V
48.9
a) 4
b) Respuesta parcial: G(K/Q)
-
(Z, x Z,,
+ ).
48.1 1 . -3;_& es el c a m p de descomposici6n.
CAPITULO 49 495
V V V F V F V F F V i) x3 - Zr sobre Q es un contraejemplo.
APENDICE A7
El concept0 de ccpropiedad interesante,, no se ha precisado; no esta bien definido. Ademh, trabajarnos en matematicas con logica de dos valores; una afirmacion es verdadera o falsa, pero no ambas cosas. La afirmacion de que no tener una propiedad interesante seria una propiedad interesante parece wntradecir esta Iogica bivalente. Estariamos diciendo que el entero tiene y no tiene una propiedad interesante.
Notaciones
r,a
= h (mod n) *,a*h
(G. *) Y,,g2,9, e a-', -a IS1 B S A B c A
HSG;K
pertenencia, 3 conjunto vacio. 2 no pertenencia, 3 conjunto de todas las .u tales que P(x), 3 enteros, 3 grupo aditivo de 10s enteros, 60 anillo de 10s enteros, 209 enteros positivos, 3 numeros racionales, 3 campo de 10s numeros racionales, 208 numeros racionales positivos, 3 numeros reales, 3 campo de 10s numeros reales, 208 numeros reales positivos, 3 numeros complejos, 3c a m p de 10s numeros complejos, 208 congruencia, 7, 120 operation binaria, 1 1 grupo, 19 axiomas de grupo, 19 elemento identidad, 19 inverso de a, 30 orden de S, 30 contencion de conjuntos; inclusion, 30 subconjunto B # A, 30 inclusion de subgrupos, 31; inclusion de subestructura, 212 subgrupo H # G, 31; subestructura K # L, 212 subgrupo ciclico generado por a, 34, 57 ideal principal generado por a, 285
-, G
mcd G'
1
s*
subgrupo dc I, gcncrado por n, 34 subanillo (ideal) de Z gcnerado por. ti. 212 i~nagendc t i bajo (I), 38 39 transformacii>n dc .,I sn 13,38 funci0n compucsla. 39 grupo de permukicioncs de A. 41 transformation idenlidad o idcntica. 42 grupo simttrico dc ri lelras, 42 11 fidclorial, 42 n-esimo grupo dicdrico. 43, 44 grupo alternanlc dc n letras, 54 yrupo ciclico 10. 1. . . .. 11 - 1 I bajo la suma modulo w. 61 grupo de clases residuales modulo n, 120 anillo (0. I , . . ., 11 - 1 : bajo la suma y multiplicacion modulo n, 209 anillo de clases residuales modulo n, 253 miximo comun divisor., 62.. 307 grupos isomorfos, 66 elementos de S distinlos de cero, 71 producto cartesiano de conjunto, 78 producto direct0 de grupos, 79 suma directa de grupos, 79 G , 82 subgrupo natural de interseccion de conjuntos, 82
[I;=,
H V K aH, a H Ha, H a (G:H) '4 iff GIN. RIN
+ +
conjunto de productos, 83 ensamble de subgrupos, 84 clase lateral izquierda, 108 clase lateral derecha, 108 indice de H en G, 113 funcion fi de Euler, 115, 221 . conjugation por g, 118 grupo factor, 120; anillo factor, 253 subgrupo conmutador, 124 transformaci6n canbnica de clases residuales, 131, 257 conjunto de automorfismos internos de G, 138 centro de G, 144 subconjunto de elementos de x que quedan fijos bajo g, 157 subgrupo de isotropia de elementos de G que dejan fija x, 158 orbita de x bajo G, 158 subgrupo de G que deja fijo cada elemento de Y, 160 subconjunto de elementos de X que quedan fijos bajo G, 168 normalizador de H,170
NOTACIONES
4a
f (a) alb
DFU DIP U i e I Ai CCA
477
grupo libre en A, 192 presentacion de grupo, 198 anillo, 208 axiomas de anillo, 208 n sumandos de a, 209 product0 directo de anillos, 212 cociente, 2 17 matriz, 224 anillo de matrices de n x n sobre F, 226 anillo de endomorfismos de A, 227 anillo de grupo de G sobre R, 231 algebra de grupo de G sobre F, 231 cuaterniones, 232 polinomios en x, 267 anillo de polinomios en x sobre R, 268 anillo de polinomios en x,, . . ., x, sobre R, 269 campo de funciones racionales en x sobre F, 270 campo de funciones racionales en x,, . . ., x, sobre F, 270 homomorfismo de evaluacion, 270 imagen de f ( x ) bajo +,, 273 a divide a b, 29 1 dominio de factorization unica, 292 dominio de ideales principales, 292 union de conjuntos, 293 condition de la cadena ascendente, 293 evaluacion, 304 anillo de enteros gaussianos, 312 norma de a, 312, 315 polinomio irreducible monico para a sobre F, 324 grado de a sobre F, 324 extension simple de F por a, 325 axiomas de espacio vectorial, 331 grado de E sobre F, 348 extension de F por a,, . . ., a,, 351 cerradura algebraica de F en E, 353 cerradura algebraica de F, 354 isomorfismo basico, 368, 369 campo lijo de (oil,372 grupo de E sobre F, 373 automorfismo de Frobenius, 375 indice de E sobre F, 383 c a m p de Galois de orden p", 409 n-tsimo polinomio ciclotomico, 435
Abcl. N. H., 443 accibn de un grupo en un conjunto. 155 acciih fil. 160 agrcp.acihn de elementos ;I un camp). 351 ;~If;~heto.190 ;Il;chr;i. 345 ;~stxiii~is:~. 345 constantes cstr~~ctur;~lcs del. 347 de divisiih~.346 dc grupo. 231 tcorcma fund;~nicnt;~l .?i? ;~lgchr;~ic:~nicntc ccrrado cn u ~ ic;~nipodc c \ tcnsibn. 358 ;~lgoritmode 1;1 divisiih para fl.r]. 277 para un dominio euclidi;~no.30.1 para Z 58 algoritmo euclidi;~no. 308 ;~Igoritmo(s) de la divisibn para q.v]. 277 dc la ditisiih pur;r Z. 58 euclidiann. 308 general de 1;) ditisiih. 304 anillo(sl208 h l e a n o . 214 caracteristic;~de un. 2 I R cociente. 253 conmut;ltivc>. 2 I I con unititrio. 2 1 1 de clases rcsidualcs. 25.: de divisii~n.212. 234 de cndomorfismos. 228 I del grupn. 231 . . -
de matrims. 226 de plinomios. 268 factor, 253 homomorfismo de. 257 isomorfisrno dc, 2 l l isolllorfos. 2 10 produeto d~rcctode. 212 r;~dic;~l de un. 255 simple. 256 aritlnktica en dominios euclidi;~nos.305 tcorernil fulid;~rnent;~l de 1;1. 145. 296 Artin. E., 239 Aschbacher. M.. 123 asociados. 29 1 automorfisrno(s). 37 1 de Frobenius. 375 del camp). 37 1 del prupo. 76. l l R internos. 1 I 8 axioma de selection. 354
hi~se filiita para idei~les.303 para un espncio vectorial. 335 para un grupo a k l i a n o finiti~rnentegenerado. 19.5 piIra un grupo aheliano librc. 182 hiycccii~n.40 Boll. R. .H..346 ~our5;lhri.N.. 40. 195
Burnhide. W.. 123. 176 tcorcmic clcl conlctr dc, 163
en un con.j~tnloparci;clnlcntc ordcn;~ (lo, 755 c ; c l l l p ~ ~212 ~~j, algchr;ticamcntc ccrrado. 353 aulomorfixmo dc. 371 ccrr;~ducr irlgcbraica dc un, 353. 354 dc ccxicnlcs, 242 dc dcscomposicii>n. 3XX dc cxtcnsirin. 320 tlc funcioncb raclonrtlch, 270 dc Galois, 409 fi.10. 372 pcrrccto, 308 primos. 263 torrc d c 320 cinimica. 131 C'auchy. tcorcrna dc, 168 ('aylcy. tcorcma dc. 72 =Ida, 4, 106 cxntro dc un grupo, 13X. 144 aro. dc un polinornio, 273 divisor dc, 216 rnultiplicidad dcl, 394 ccrradura algcbraica, 352. 354 scprablc. 407 tolalrncnlc inscparablc. 407 ciclc~s),49 ajcnos, 50 c1a.d~) conjugada, 175 conjugada dc cquivalcncia, 6 conjugada residual. 7, 120 dc cquivalcncia, 6 latcrales. IOU dcrcvhas. I08 izquicrdi~s.IOX rcsidualcs rnixlulo N, 120, 253 ct~icnlc(s).217 c;trnp> dc. 242 codorninio. 40 ccdicicnlcs dc torsibn, 91, 93 cocficicnlcs dc un polinomio. 268 colincacihn. 104 cornbinacibn lincal. 333 condici6n dc base finitit. 303 dc la citdcna axcndcntc. 293. 303 dcsccndcntc. 303 dc 1i1 ci~dcn;~ dcl rn~xirno.303 dcl rninirno. 303 C;I~CII;I.
corlcclor. I Y X congruct~ciam0dulo I / , !09 congrucntc mbdulo tt. 7. 61. I20 conjug;lcii)n en un grupo. Il X conjunto($). accihn dc grupo en un. 155 ;rJcno5. 4 bicn dclinido. 3 ccrrado hajo una opcracion, 14. 20. 31 G-. 155 inlcrsccci6n dc. 82 partici6n dc. 4 prtducto carrcsiano dc, 78 sub-G-, 160 transrormacion de, 97 union dc, 293 vacio. 2 cwnrnensurahlcs. distancias, 246 conmutador. 124 consccucncia dc concctores, 198 constantes atructuralcs. 347 contcnido de un polinomio, 297 conlracciones elerncnlalcs. 190 cola superior. 355 Coxc~cr,H. S. M.. 99 Crowell, R. H.. 190 cuadratura del circulo, 364 cualerniona, 232 c u b , grupo dc rnovirnientos rigidos de un. 46
d c ~ n d e n c i alincal, 334 derivadas. 402 diagrama conmutativo. 76, 134 reticular, 32. 320 dirncnsion dc un espacio vectorial, 337 discriminante de un polinornio, 434 division, 287, 291 sinlktica, 281 divisores dc cero, 2 16 dorninio dc raclorizacion unioc, 292 dc idcalcs principales, 292 de una lrinsrorrnaci6n, 40 cnlcro, 2 17 cuclidiano, 304 duplicaci6n dcl c u b , 364
ccuacibn dc clax. 175 Eiscnslcin, critcrio dc, 284 clcrncn~o(s), agregacibn de, 35 1 algcbraico, 322
conji~gadossobre un camPo, 368 conmutantes. 83 dc un conjunto. 2 idcntidad. I9 indcpcndicntch. 446 invcrso. 19 n~;tximal.355 nilpotentc. 214, 255 norma dc un. 3 16. 424 orden de un. 55. 81 primirivo. 400 qur. conmula, 83 scparahle. 396 lolalmenle inseparable, 404 lrascendentes, 322 endomorfismo, 227 ensamble. 84 enter0 algebraico, 31 5. 45.4 pussiano, 312 libre de cuadrado, 94 rational, 3 12 epimorfismo, 136 Erlanger, programa de, 97 escalar, 332 espacio topol6gico. 102 espacio vectorial, 331 base de un, 335 de dimension finita. 334 dimension de un, 337 generar on, 333 Euler, L., 221, 440 funcion fi de, 1 15, 22 1 teorema de, 221 evaluacion euclidiana, 304 extension(es), abeliana, 423 algebraica, 348 ciclica. 424 ciclotomica. 435 de una transformation. 379 finita. 348 grado de una. 348 normal, 416 por wdicales. 443 separable. 396. 402 simple. 325 tolalmente inseparable, 404 factor, 291 Fcit, W., 123. 176 Fermat, P., 440 primo de, 440 teorema pequedo de, 219 Fox. R. H., 190
Frobenius, G.. 346 automorfismo de. 375 funcion(ch). 38 automorfas. 103 codominio de. 40 compuesta. 39 doblcmcntc pcrjodicns. in3 dominio dc. 40 elipticas. 103 fi de Eulcr. 1 15. 22 1 imagen bajo una, 38. 40 periWica. 102 polinomial. 276 rationales, 270 simelrica. 426 simelricas elemenlales. 427, 446 sobre. 39 uno a uno. 39 Galois. c a m p de. 409 grupo de. 418 leorema principal de la teoria de. 4 18 Gauss. C. F.. 297 lema de. 298 G-conjuntqs), 155 isomorfos. 160 sub-. 160 transitivo. 159 union ajena de. 161 union de, 161 G-conjunto transitivo. 159 generador(es). de un grupo, 57, 89 de un grupo ciclico, 34, 57 en una presentacion, 198 libres, 192 geometria. 97 afin. 104 euclidiana, 97 proyectiva, 101 grado de a sobre F, 324 de una extension, 348 de un polinomio. 268 Griess. R. L.. 123 grupo(s). 19 abeliano, 21 abeliano finitamente generado, 92 base para un, 195 abeliano libre, 182, 194 base para un. 182 rango de un, 184 acci6n de un, 155 afin, 104
altcrnantc. 54, 123 automofismo del. 76. 1 18 automofismo interno dc. I I8 ccnlro de un. 138. 144 ciclico. 34. 57 con descomposicion. 93 conmutador dc un. 124 cwn operadores. 342 de cuaterniones. 203. 234 de Galois. 418 del ilgebra, 23 1 dcl anillo, 23 1 de torsion. 89 dc un campo de extension, 373 de un polinomio, 420 diedrico, 44. 46 lactor. 120 finitamente generado, 89 pneradores de, 57. 89 homomorfismo de. 130 isomorfismo de, 66 isomotfos. 26, 66 libre. 192 rango de un, 192 libre de torsion, 89 octal. 44, 219 orden de un, 30 p-. 168 presentation de un, 198 propiedad estructural de un, 70 sihtrico, 42 simple, 123 sin dscomposici6n, 93 soluble, 143 version abelianizada de un, 124 Haar, A., 104 medida de, 104 Hamilton. W. R., 232 homomorfismo(s), de anillo, 257 de evaluacion. 270 de grupo, 130 de un grupo libre, 193 kernel de un, 131, 258 teorema fundamental del, 133, 259 ideal(es), 253 base finita para un, 303 derecho, 253 impropio, 254 izquierdo, 253 maximal. 260 primos. 261
principal. 285 propio, 254 radical de un. 256 trivial. 254 idempotente, 27. 222 identidad izquierda, 23 imagcn b j o una ttansformacion. 38, 40. 132 inversa. 132 independencia lineal, 334 indeterminada. 267 indice de una extension de campo, 383 de un subgrupo, 1 13 induction, axioma de, 450 matematica, 450 interseadon de conjuntos, 82 inverso izquierdo, 23 multiplicative, 212 inyeccion, 40 irreducible en un dominio, 292 isornetria, 98 isomorfismo(s). k i c o s , 369 de anillos, 210 de G-conjuntos, 160 de WPM 66 primer teorcma del. 146 segundo teorema del, 147 t e a r teorema del, 148 Jordan-Holder, teorema de, 14z 150, 344 kernel de un homomorfismo, 131, 258 Klein. F., 97 egrupo dc, 31 Kronedrer, L,321 Lagrange, teorema de, 112
kina de Gauss, 298 lema de -haus, 150 lema de Zorn, 354, 355, 380 letra, 190 ley distributiva, 208 leyes de canoelaci6n, 20 en un anillo, 216 en un grupo, 20 matriz 224 m a x i m comun divisor (mcd), 307 McKay, J. H., 168
INDICE DE MATERJAS medida de Haar, 104 invariante derecha, 104 invariante izquierda, 104 Milnor, J.. 346 rninirno cornun rnultiplo (rncrnj, 31 1 rnonornorlismo. 136 rnultiplicacion de permutaciones, 40 rnultiplicacion mcidulo n, 209 multiplicidad del cero. 394 mMulo, 344 ciclico. 345 unitario. 344 modulo n, congruencia, 7. 6 1, 120 multiplicacion. 209 suma. 61 mkiulo N. anillo ccjciente. 253 anillo de clases residuales. 253 anillo factor, 253 gmpo factor. 120 nCsima raiz prirnitiva del unitario, 410 n-gono regular construible. 441 norma de un ekn~entode c a m p , 424 de un entero gaussiano, 3 12 multiplicativa, 3 15 normalizador, 170 notacion ciclica, 48 numero algebraiw, 323 complejo conjugado, 369 construible, 354 de betti, 91. 93 trascendente. 323 objetivo fundamental, 248.274. 320 operaci6n(es), asociativa, 12 bien dclinida, 107 binaria, 11. 155 conmutativa, 12 inducida en las clases laterales, 107 inducida en un subconjunto, 31 tablas para, 13 operadoreg 342 orbit* 47, 158 orden de un conjunto, 30 de un elemento, 55, 81 de un gmpo. 30 parcial, 354
rgrupo. 167 rsubgrupo. 16X rsubgrupo dc Sylow. I 7i palahra. 190 reducida, 190 vacia. 190 particiones de 11. 180 de un conjunto, 4 permutacion(a), 40 impares. 53 Pares. 53 signo de una. 137 transiliva. 47 Pitagoras. 247 pitagoricos. 246 plano proyectivo, 101 polinomio(s). 268 cero de un, 273 ciclotomico. 284, 436 coelicienta de, 268 con n indeterminadas. 269 constantes, 268 wntenido de un. 297 dcrivada de un, 402 discriminante de un, 434 general, 427 grado de un. 268 grupo de, 420 irreducible, 28 I para a sobre F. 324 minimal, 329 para a, 329 mbnico, 324 primitive, 297 que se descompone, 390 separable, 396 presentacion(a), 198 Bnita, 198 isomorfas, 198 primo. 291,295 de Fermaf 440 relativo, 62, 31 1 problema dc la palabra, 199 producto cartesiano. 78 producto d i m t o de grupos externo, 79 interno, 83, 125 programa de Erlanger, 97 propiedad estructural, 70 proyeccion, 101 Rabin, M..199 radical(es), d e un anillo. 255
483
dc un idcal. 256 cxtcnsibn por. 443 bolublc por. 443 raix dcl unitario. 410 n-csima prirnitiva, 410 rango dc un grupo abeliano libre, 184 dc un grupo librc, 192 rilzbn cruzada. 101 rccta al infinito. 101 refinarnicnlo de una scric, 140 rcflexioncs, 99. I I1 rclacion dc cquivalcncia. 6 cn una prescntacion, 198 rcpresentacibn regular, derecha, 74 izquierda. 74 representante de la celda, 106 rotaciones, 98, 1 I1
Schmier, teorerna de, 141, I U ) xleaion, axiorna de, 354 semi carnpo, 212 scrnigrupo, 23
serids), central asandente, 144 de wrnposici6n. 141 invariantes, 139 isornodas, 140 normala, I39 principal, 141 refinamiento de una, 140 subinvariante, 139 subnormal, 139 Shanks, D., 247 Shapiro, N., 355 silaba. 190 signo de una pennutacion, 137 solubilidad por radicaks. 443 subanillo, 212 generado por a, 214 subcarnpo, 212 subconjunto, 30 irnpropio. 31 propio, 3 1 subestructura, 212 sub-G-conjunto, 160 subgrupo(s), 3 1 admisible, 343 caracteristiw. 346 conjugados. 119 conmutador, 124 ciclico, 34, 57 de torsion, 90
cnsamblc dc. 84 gcnerado por ai. 89 irnpropio. 31 indicc de un, 1 13 rnvariantc. 119 iso~rop~cos. 158 normal. 1 19 norrnalizador de un. 170 normal maximal. 135 C-. 342 p-. 168 de Sylow. 171 propio, 31 trivial, 31 surna directa de anillos, 212 de grupos, 79 surna m a u l 0 n, 61 suprayeccion, 40 Sylow. teorernas de. 169-72
ta blas de grupo, 23 para una opzracion. 13 teorernals) de Cauchy, 168 de Cayley, 72 de Euler. 221 de Jordan-Holder, 142. 150, 344 de la extension de isornorfisrnos, 380, 384 de Schreier, 141, 1% de Sylow, 169-72 de Wedderburn, 234 de Wilson, 222 pequeiio de Ferrnat, 220 principal de la teoria de Galois, 41 8 teorerna de factorization linica en un dorninio euclidiano, 305 Pam 4 x 1 , 300 para q x ] . 287 para un DIP,296 para Z,296 twrema fundamental, de la aritmetiq 145, 2% del Algebra. 357 de 10s grupos abelianos finitamente generados. 92 184 teoria de Galois, teorerna principal de la, 418 Thompson, J. G., 123, 176 topologia, 102 torre de camps, 320 transformacibn(cs), 38 biyectiva, 40 cododorninio de una, 40 cornpuesta, 39
cc'.r!:lrlua, 102 11~.UI conjttnto, 97 domlnlo dc una. JO cxtcn*ii)n dc una. 779 imngcn bajo una. 38. 40, 131 invcru dc una, 47 ~n)ccliva.40 I~ncal.340 proycctiva. 10 1 \ohrc. 39 huprayectiva. 40 uno a uno. 39 1 ransposicii'n. 5 I trasccndcntch indcpcndicntcs. 446 traslacion, 98 dcrccha, 104 izquierda, 104 traza, 424 trisccci8n dcl inpulo. 365
unidad. 2 12, 291 u n i i ~ ndc conjuntos. 293 unitario. ?I I rai~ del, 4 I 0
vcctortcs). 332 lincalmcntc dcpendicntcs. 334 I~nealmcnteindependientcs, 334 vcrsi6n abclianizada dc un grupo. 124 r icrgrrrppc,, 3 1
Weddcrburn. tcorema de, 234 Wilson, teorema de, 222
Zassenhiius. lema de. 150 Zorn, lcma de, 354, 355. 380
