Distribución muestral para proporciones: De un total de 1000 muestras de 200 niños cada una, en cuantas cabe esperar (a) menos del 40% sean niños, (b) entre el 40% y el 60% sean niñas, (c) El 53% o mas sean niñas. Solución: Datos: n = 200 La probabilidad de que sea niño o niña es la misma p = 0.5 , q = 0.5 a) Para este inciso se pregunta en cuantas muestras cabe esperar que menos del 40% sean niños. Esto significa que tomamos p de éxito igual a la probabilidad que sean niños = 0.5 y q de fracaso (sean niñas) = 0.5. Buscamos encontrar:
b) Para este inciso se nos pide encontrar en cuantas muestras cabe esperar que entre el 40 y el 60% sean niñas: Para lograrlo nos valemos de la distribución muestral para las proporciones dado la naturaleza del problema. Siendo la probabilidad de éxito (sean niñas) = 0.5 y la probabilidad de fracaso (sean niños) = 0.5 Solución :
c) Para este inciso se pregunta en cuantas muestras cabe esperar que el 53% o más sean niñas. Esto significa que tomamos p de éxito igual a la probabilidad que sean niñas = 0.5 y q de fracaso (sean niños) = 0.5.
1. Quinientos cojinetes de bolas tienen un peso promedio de 5.02 onzas y una desviación típica de 0.30 onzas. Hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 100 cojinetes elegidos entre este grupo tenga un peso total (a) Comprendido entre 496 y 500 onzas , (b) De mas de 510 onzas. 2. La mediana de la edad de los residentes en estados unidos es de 31 años . Si se Hace una encuesta de 100 residentes , seleccionados al azar , Calcular la probabilidad de que por lo menos 60 de ellos tengan menos de 31 años. R. 0.0287 3. De un total de 1000 muestras de 200 niños cada una , en cuantas cabe esperar (a) menos del 40% sean niños, (b) entre el 40% y el 60% sean niñas, (c) El 53% o mas sean niñas. 4. Se halla que la duración de tubos de televisión fabricados por una compañía tiene una media de 2000 horas y una desviación estándar de 60 horas . Si se seleccionan 10 tubos aleatoriamente hallar la probabilidad de que la desviación típica muestral , (a) No exceda de 50 horas , (b) Se encuentre entre 50 y 70 horas. 5. La proporción de familias dueñas de su casa es de 0.7 , si se entrevista a 84 familias y sus respuestas a la pregunta: ¿Son dueños o no de su casa? , con que probabilidad podemos afirmar que el valor de la muestra este entre 0.64 y 0.76. 6. La media y la desviación típica de cargas máximas soportadas por 60 cables son 11.09 y 0.7 respectivamente. Halle el intervalo de confianza del 99 % para la media de la carga máxima de todos los cables. 7. La desviación estándar de las temperaturas anuales de una ciudad en un periodo de 100 años fue de 16 grados Fahrenheit. Durante los últimos 15 años la desviación estándar de las temperaturas anuales fue calculada como 10 grados Fahrenheit. Ensayar
la hipótesis de que las temperaturas en esta ciudad presentan ahora menos variabilidad que en el pasado, al nivel de significancia de 0.05. 8. En una empresa procesadora de alimentos , en el pasado de acuerdo a un estudio efectuado , la desviación estándar de los pesos de ciertos frascos de mayonesa de 40 onzas llenados por una maquina era de 0.25 onzas. A. Una muestra aleatoria de 2 frascos dio una desviación estándar de 0.32 onzas B. Una muestra aleatoria de 150 frascos dio una desviación estándar de 0.27 onzas. Es el aparente incremento de variabilidad significativa al nivel de significación del 0.05, para cada uno de los incisos. 9. La desviación típica de la duración de 10 bombillas fabricadas por una compañía es de 120 horas. Hallar los limites de confianza del 99% para la desviación típica de todas las bombillas fabricadas por la compañía. 10. La fundación nacional de ciencias de estados unidos en una encuesta de 2,237 estudiantes de post-grado de ingeniería que obtuvieron grados de doctorado , encontró que 607 eran ciudadanos estadounidenses mientras que la mayoría (1,630) , eran ciudadanos de otros países. Realice una prueba para determinar si la verdadera proporción de grados de doctorado de ingeniería otorgada a estudiantes de otros países diferentes de estados unidos es mayor que 0.5 . Utilice un alfa = 0.01. 11. Una empresa de transporte desconfía de la afirmación de que la vida útil promedio de ciertos neumáticos es de 28000 millas . Para verificar la afirmación se colocan 401 de estos neumáticos en sus camiones y se obtiene una vida útil promedio de 27463 millas con una desviación estándar de 1348 millas ¿Qué se puede concluir de este dato si la probabilidad de cometer un error tipo I es de 0.01? 12. Se crea un medicamento que se prescribe para aliviar la tensión nerviosa, es efectivo solo en 60 % de los casos. Resultados experimentales con un nuevo medicamento administrado a una muestra aleatoria de 100 personas quienes sufrían de tensión nerviosa, muestran que 70 de ellas experimentaron alivio. Utilizando un nivel de significación del 5 % , Comprobar si existe suficiente evidencia para concluir que el nuevo medicamento es mejor que el que se prescribe comúnmente. 13. Una firma manufacturera de cigarrillos distribuye dos marcas, si se encuentra que 56 de 200 fumadores prefieren la marca (A) , y que 29 de 150 fumadores prefieren la marca (B) . Puede concluirse al nivel de significación del 5 % que la marca de cigarrillos (A) aventaja en ventas a la marca (B). 14. Un auditor quiere probar la suposición de que el valor medio de todas las cuentas por cobrar en una empresa determinada es de Q.260.00 . Tomando una muestra de 36 cuentas por cobrar calcula el promedio de la misma el Cual resulta en un valor de Q.240.00 , con una desviación estándar dada por el historial de la empresa de Q.43.00 . Probar la hipótesis a un nivel de significación del 5% 15. Una fabrica produce cables de acero cuyas resistencias a la rotura tienen un promedio de 300 lbs, y una desviación estándar de 24 lbs. Se piensa que mediante un nuevo proceso de fabricación puede incrementarse la resistencia media . A. Diseñar una regla de decisión para rechazar el proceso primitivo al nivel de significación del 1% , si se pone de manifiesto que debe rechazarse al ensayar una muestra de 64 cables de acero. B. Bajo la regla de decisión adoptada , Cual es la probabilidad de aceptar el proceso primitivo cuando en efecto el nuevo proceso incremente la resistencia media a 310 lbs. 1. Las medidas de los diametros de una muestra al azar de 200 cojinetes de bolas hechos por una determinada máquina durante una semana dieron una media de 0.824 pulg y una desviación típica de 0.042 pulg . Hallar los limites de confianza del 95% para el diametro medio de todoslos cojinetes.
a) (0.8182,0.8298) b) (0.78,0.79)
c) (0.36,0.39) d) (0.56,0.58) 2. Del problema anterior hallar los limites de confianza al 99% `para el diámetro medio de todos los cojinetes.
a) (0.0457,0.0475) b) (0.8163,0.8317) c) (0.6258,0.6542) d) (0.6333,0.6412) 3. Al medir el tiempo de reacción, un psicólogo icólogo estima que la desviación típica del mismo es de 0.05 segundos. ¿Cuál será el número de medidas que deberá hacer para que sea del 95% la confianza de que el error de su estima no excederá de 0.01 seg?
a) 97 o más b) 55 c) 30 d) 100 o más 4. Del problema anterior ¿Cuál será el número de medidas que deberá hacer para que sea del 99% la confianza de que el error de su estima no excederá de 0.01 seg?
a) 157 b) 167 o mayor c) 122 o mayor d) 100 o mayor 5. Una muestra de 100 votantes elegidos al azar entre todos los de un distrito dado, indicó que el 55% de ellos estaban a favor de un determinado candidato. Hallar los limites de confianza del 95% para la proporción de todos los votantes que estaban a favor de este candidato.
a) (0.25,0.35) b) (0.15,0.25) c) (0.35,0.45) d) (0.45,0.65)
Distribuciones Muestrales • • •
1. Hallar la probabilidad de que en 120 lanzamientos de una moneda el número de caras este comprendido entre el 40% y 60%
a) 0.5 b) 1 c) 0.9774 d) 0.8876 2. Del problema anterior hallar la probabilidad de que en los 120 lanzamientos el numero de caras sea 5/8 o más del número de lanzamientos
a) 0.0040 b) 0.0030 c) 0 d) 1/2 3. Cada persona de un grupo de 500 lanzaunamoneda 120 veces . ¿En cuantos individuos cabe esperar que el número de caras se encuentre entre el 40% y 60% de sus lanzamientos
a) 489 b) 500 c) 600 d) 200 4. Del problema anterior en cuantos individuos cabe esperar que 5/8 o más de sus lanzamientos resulten cara
a) 10 b) 50 c) 2 d) 12 5. Los cojinetes de bolas de una determinada casa pesan 0.50 onzas con una desviación típica de 0.02 onzas. ¿Cuál es la probabilidad de que dos lotes de 1.000 cojinetes cada uno difieran en un peso superior a 2 onzas?
a) 0.0258 b) 0.06 c) 0.2 d) 0.10
I.C. para la Media • • •
1º En una muestra aleatoria de 90 pacientes se mide el nivel de glucosa en sangre en ayunas. Se obtiene = 132 mg/dl y s 2 =109. Construir el IC al 95% para m ¿Qué asunción se ha hecho? Solución Usando la fórmula general para cuando s 2 es desconocida
podemos, o bien mirar a las tablas de la t (o en un programa de ordenador) el valor de t 0,025 que para 89 grados de libertad (los grados de libertad son n - 1) es 1,99, o bien como n > 30 aproximar a la z y usar el valor 1,96. Ejemplo: Si de una población normal con varianza 4 se extrae una muestra aleatoria de tamaño 20 en la que se calcula se puede decir que m tiene una probabilidad de 0,95 de estar comprendida en el intervalo
que sería el intervalo de confianza al 95% para m En general esto es poco útil, en los casos en que no se conoce m tampoco suele conocerse s 2 ; en el caso más realista de s 2 desconocida los intervalos de confianza se construyen con la t de Student (otra fdp continua para la que hay tablas) en lugar de la z.
o, haciendo énfasis en que es el error estándar estimado de la media,
Este manera de construir los intervalos de confianza sólo es válido si la variable es normal. Cuando n es grande (>30) se puede sustituir t por z sin mucho error. I.C Proporción La vacuna; de ellos 10 pasan la gripe. Construir un IC al 95% para la probabilidad de pasar la gripe si se está vacunado. En los otros 100 pacientes sin vacunar la pasan 20. ¿Hay evidencia de que la vacuna es eficaz? Solución La fórmula para calcular IC para proporciones es
y aproximando p y q por sus estimaciones
es decir, hay una probabilidad del 95% de que la probabilidad de pasar la gripe si se está vacunado esté comprendida entre el 4% y el 16%. Para los no vacunados
Existe solapamiento, aunque pequeño, entre ambos intervalos; por tanto no podemos asegurar que la vacuna sea eficaz. Ejemplo: En una muestra de 100 pacientes sometidos a un cierto tratamiento se obtienen 80 curaciones. Calcular el intervalo de confianza al 95% de la eficacia del tratamiento.
¿Qué significa este intervalo? La verdadera proporción de curaciones está comprendida entre, aproximadamente, 72% y 88% con un 95% de probabilidad.
