analisis modal

Por: Edgard Aduvire Maquera Dynamics of Structures - Anil K. Chopra, Págs. 445, 485, 524.

Ejercicio:

Edificio de 5 pisos cada nivel de masa m= 100kips/g y k= 31.54kip/in. Amortiguamiento: 5%. La altura de cada piso es de 12 ft. El edificio se somete al sismo de El Centro cuyo espectro de respuesta se muestra en la Pág. 524 del texto en mención. Calcular la fuerza cortante basal más probable. Solución

i)

Sistema de unidades: kip, ft, seg g

174  32. 17

ft s

2

100 ki g

m0v 

  0.0

m0v m0v  3.108 3.108

kip k0v k0v  31.5 31.54 4 in ki p  s

2

k0v k0v

ft

378.48 8  378.4

kip ft

Sólo para ahorrar un poco de cálculo. Para hallar  λ trabajaremos en función de m0 y k0. k 0. Luego reemplazaremos los valores reales considerando que λ tendrá unidades k0/m0. m0  1

k0  1

Matriz de masa

 1 0 m  m0   0 0  0

Matriz de rigidez

  2 1

0 0 0 0 

0 0 1

0

0  

 1 2 1 0 0  k  k0   0 1 2 1 0   0 0 1 2 1   0 0 0 1 1  

1 0 0 0 0 1 0

0

 0 0

0 0 0 1 

ensamblando la matriz característica

 2   1  1 a( )  k  m     0  0  

0

2

 1

2

0

0

0

1

0

0

1

0



0

1

0

0

 

  1  2 1 1   

cuya determinante se puede expresar mediante un polinomio característico: a( ) expand xpandir ir 

f ( )

4

5

3

2

 9      28    35    15    1 2

3

4

 1  15    35    28    9    1  

5

  3.6825070656623623377   root (f (  )  010)

 2.8308300260037728511   1.7153703234534297191  0.6902785321094298718  0.08101405277100522021  

las raíces del polinomio característico son: k0v

r  ( 0.081 0.6903 1.7154 2.8308 3.6825)

m0

Hallando las frecuencias y períodos: 1  2  3  4  5 

ii)

k0v

 r 1  1 m0v k0v

 r 1  2 m0v k0v

 r 1  3 m0v k0v

 r 1  4 m0v k0v

 r 1  5 m0v

1  3.141s 2  9.168s

1

 2  1

T

1

3  14.453s 4  18.566s 5  21.176s

T

 2 

T

 2 

T

 2 

T

 2 

2

1

3

1

4

1

5

 1  2  3  4  5

T

 2.001s

T

 0.685s

T

 0.435s

T

 0.338s

T

 0.297s

1

2

3

4

5

Reemplazando en la ecuación característica para el modo j, podemos hallar una solución para cada modo de vibrar:   r

 2  1 j  1   0  0   0  

1 2

  1 j 1

2

0

0

1

0

  1 j

0

1

0

0

1 2

  1 j 1

Normalizando los modos de vibrar, para el nivel 5

0

 

  0   1   1 1 j  0

 5 j

1

podemos calcular el resto de incógnitas para cada modo de vibrar. Para:  j  1 0    1.919 1 0 0 1 1.919 1 CC  submatrixa   1j 1414   0 1 1.919 1  0 1 1.919    0  0   0 CA  1  submatrix a   1455  1 j  0  1 

 0   0  0  0  0  siendo conocido este valor 

1

x  CC

 CA

 x1  1   x2  1     1   x3  1     x4  1    1  

 0.285   0.546  1   0.763  0.919  

1

 

Para:  j  2 0 0    1.3097 1 0 1 1.3097 1 CC  submatrixa   1j 1414   0 1 1.3097 1  0 1 1.3097   0    0   0 CA  1  submatrix a   1455  1 j  0  1 

1

x  CC

 CA

 x1 1   x2 1     2   x3 1     x4 1    1  

 0.831   1.088  2   0.594  0.31   

1

 

Para:  j  3 0 0    0.2846 1 0 1 0.2846 1 CC  submatrixa   1j 1414   0 1 0.2846 1  0 1 0.2846   0    0   0 CA  1  submatrix a   1455  1 j  0  1 

1

x  CC

 CA

 x1  1   x2  1     3   x3  1     x4  1    1  

  1.31    0.373   3   1.204  0.715  

1

 

Para:  j  4 0 0    0.8308 1 0 1 0.8308 1  CC  submatrixa   1j 1414   0 1 0.8308 1  0 1 0.8308   0    0   0 CA  1  submatrix a   1455  1 j  0  1 

1

x  CC

 CA

 x1  1   x2  1     4   x3  1     x4  1    1  

 1.683   1.398   4   0.521   1.831  

1

 

Para:  j  5 0 0    1.6825 1 0 1 1.6825 1  CC  submatrixa   1j 1414   0 1 1.6825 1  0 1 1.6825   0    0   0 CA  1  submatrix a   1455  1 j  0  1 

1

x  CC

 CA

 x1 1   x2 1     5   x3 1     x4 1    1  

  1.919   3.229  5   3.514   2.683  

1

 

iii) Calculo de la rigidez y masas generalizadas: L

1

 m0   1T 

m R

L

1

 3.513

R M

1

 ( 1

 m0 

T

1 1 1 1)

 1T  m   1

M

1

 2.807

L

 m0   2T 

m R

L

 1.203

M

L

 m0   3T 

m R

L

 0.764

M

L

 m0   4T 

m R

L

 0.595

M

L

 m0   5T 

m R

L

 0.521

M

2 3 4 5

2 3 4 5

L

1 

L

1

M

2 

1

1  1.252

2

M

2

2  0.362

2 3 4 5

 m0   m0   m0   m0 

 2T  m   2  3T  m   3  4T  m   4  5T  m   5

L

3 

3

M

3

3  0.159

M

 3.323

M

 4.814

M

 9.411

M

 34.654

2 3 4 5

L

4 

4

M

4

4  0.063

L

5 

5

M

5

5  0.015

iv) El espectro de respuesta del terremoto de El Centro se muestra en la pág. 524 del texto de A. Chopra. Obtenemos los seudodesplazamientos y seudoaceleraciones. T

 2.001s

D1  5.378i

A1  0.1375g

T

 0.685s

D2  2.583i

A2  0.5628g

T

 0.435s

D3  1.505i

A3  0.8149g

T

 0.338s

D4  0.877i

A4  0.7837g

T

 0.297s

D5  0.653i

A5  0.7585g

1 2 3 4 5

v) Para hallar los desplazamientos para CADA MODO DE VIBRACI N:

 1.916  u

1

 1   1  D1

 3.677 u   5.14  in 1  6.186  6.732   0.777 

u

u

u

2

3

4

 2   2  D2

 3   3  D3

 4   4  D4

 1.018 u   0.556 in 2  0.29    0.935    0.313   0.089  u   0.287 in 3  0.171   0.239   0.093   0.077  u   0.029  in 4  0.101   0.055 

u

5

  0.019    0.032   0.035  in u  5    0.026  3  9.82 10  

 5   5  D5

vi) Para hallar las fuerzas sísmicas para CADA MODO DE VIBRACI N: m0  3. 10

 1

0 0 0 0 

0 m  m0   0 0

1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

 0 A1

 0 0

0 0 0 1 

ft

 4.424

s

2

A1  4.42

  4.898  F1 

1   1T 

T

m



A1

 9.4  F1   13.14  15.816

ki

 17.211  A2

ft

 18.108

s

A2

2

 18.10

 16.932  F2 

2   2T 

T

m



A2

 22.176 F2   12.112  6.313 

kip

  20.38  A3

ft

 26.219

s

A3

2

 26.21

  16.926  F3 

3   3T 

T

m



A3

 4.817  F3   15.555  9.244   12.924 

A4

ft

 25.215

s

2

kip

A4

 25.21

F4 

T

4   4 

T

m



A4

 8.331   6.922  F4   2.581   9.066

ki

  4.951  A5

ft

 24.404

s

A5

2

 24.40

F5 

5   5T 

T

m



A5

  2.189   3.683 F5   4.008   3.06 

ki

  1.141  vii) Para hallar las cortantes basales para cada modo de vibración simplemente sumamos todas las fuerzas sísmica 5

Vb1 

 i

F1

Vb1  60.466 kip

F2

Vb2  24.526 kip

F3

Vb3  9.868 ki

F4

Vb4  2.944 ki

F5

Vb5  0.594 ki

i 1

1 5

Vb2 

 i

i 1

1 5

Vb3 

 i

i 1

1 5

Vb4 

 i

i 1

1 5

Vb5 

 i

i 1

1

Se podrá tener las fuerzas cortantes basales para los modos de vibración:

 Vb1   Vb2 Vb   Vb3  Vb4  Vb5 

El método SSRS (Square Root of Sum of Squares) sugiere que la fuerza cortante basal más probable será:

Vb 



5



Vbi

 2

i  1 Vb

 66.061

0.5

 ki

.....Resp

Queda de tarea para los alumnos: Determinar los momentos de volteo para cada modo de vibración (para ello se usarán las alturas de entrepiso). CONCLUSIÓN: Si se verifica la Tabla 13.8.5 del texto de A. Chopra se podrá comparar los valores obtenidos aplicando los distintos métodos probabilísticos. El valor más exacto es de 73.278kip (Fig. 13.2.7). El método ABSSUM es demasiado conservador (98.4kip) ; el método CQC es poco práctico por las muchas iteraciones a realizar. Nótese que por el método CQC se obtiene un resultado de 66.507kip que es muy parecido al obtenido por el SSRS. Es por ello que las numerosas bibliografías optan por aplicar la regla del SSRS para el cálculo de la fuerza cortante basal más probable.