T
R a
γ
θ b
τ max max
L
Figura 1. Esquematización Esquematización de torsión Definición de esfuerzo cortante y distorsión angular En la figura 1 se esquematiza la aplicación de un momento torsor T en e extremo libre de una probeta cilíndrica de longitud L empotrada en su extremo opuesto. Considerando la igualdad de arcos entre los puntos a y b, según el radio R y la generatriz L, se deduce lo siguiente:
Rθ ≈ γ L
(1)
Donde θ es el ángulo de torsión, e γ es la deformación angular por cortante. Para determinar el esfuerzo cortante máximo τ max del material se puede utilizar la ley elástica de Hooke para la torsión, que establece: τ max
= Gγ
(2)
En donde G es el módulo de corte del material de la probeta. Si los esfuerzos cortantes no sobrepasan el límite de proporcionalidad, dicho esfuerzo se distribuye linealmente, siendo cero en el eje central de la probeta y logrando un valor máximo en la periferia. Así, es posible utilizar otra fórmula para calcular el esfuerzo cortante máximo, la cual considera el momento torsor T aplicado y el momento polar de inercia Ip de la sección de la pieza que resiste la torsión:
τ
max
TR
(3)
=
I P
En el caso de secciones circulares macizas de radio R, el momento polar de inercia Ip es: I p
R
π =
2
4
Por lo tanto, el esfuerzo cortante en la periferia del cilindro es igual a:
τ
2T
max
=
R
π
3
Igualando las ecuaciones (2) y (3), finalmente permite obtener:
Gγ
TR =
(4)
I P
De la ecuación (1) se puede obtener una expresión para el ángulo γ en función del ángulo de torsión θ , el que se sustituye en la acuación (4) para llegar a :
γ =
Rθ L
⇒
G=
LT I pθ
Sobre la base de la ecuación anterior, se puede determinar experimentalmente el módulo de corte G del material constituyente de la probeta.
3.1
Diagrama de momento torsor y ángulo de torsión
La obtención del diagrama de momento torsor en función del ángulo de torsión, para una probeta cilíndrica sometida a torsión, es fundamental para determinar el módulo de rigidez al corte, el esfuerzo cortante de proporcionalidad y el esfuerzo cortante de fluencia. Para lograr esto, se debe obtener una cantidad de datos suficientes que permita construir una tabla del momento torsor versus al ángulo de torsión. Momento Ángulo de torsor T (Nm) torsión θº 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 … … …
0 2 4,1 5,8 8,1 9,5 10,2 10,5 10,7 10,8 … … …
Con los datos consignados en la tabla, se puede construir el gráfico siguiente:
14 12
T n 10 o s r o 8 T o t n 6 e m 4 o M 2 0 0
200
400
600
800
1000
ángulos de torsión (º)
Figura 2. Gráfico de un ensayo de torsión La zona lineal del gráfico permite obtener el torque límite de proporcionalidad Tpp y el ángulo de torsión de proporcionalidad θ pp , y hacia el final del gráfico de obtiene el torque máximo Tmax. Con estos valores de puede calcular el módulo de rigidez al corte del material G, el esfuerzo cortante de proporcionalidad τ pp y el esfuerzo cortante máximo τ max.
τ
pp
=
2T pp R 3
π
τ
max
=
2T max R
π
3
G
=
LT pp I pθ pp
