Aula 07

RACIOCÍNIO LÓGICO p/ ANTT TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aua !"

AULA 07: RESUMO TEÓRICO Olá! Com o resumo que veremos hoje encerramos o nosso curso. Quero aproveitar para agradecê-lo pela confiança em mim depositada. Espero que o meu curso tenha sido bem aproveitado por você, e que seja um diferencial para a sua aprovação no seu concurso, cujas provas se aproximam! Permaneço à disposição para tirar dúvidas sobre o nosso material ou sobre qualquer outro assunto no qual eu possa ser útil!

1. RESUMO DO CURSO Veja nos tópicos abaixo uma síntese dos principais pontos teóricos de nosso curso. Considero importantíssimo que você mesmo crie o seu resumo, com suas próprias palavras. O ideal é você utilizar o meu resumo apenas para verificar se deixou para trás algum ponto importante da matéria.

Lógica de proposições e operações com conjuntos -

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proposição é uma frase que admita um valor lógico lógico (V – verdadeiro ou F – falso) nem toda frase pode ser considerada uma proposição princípio da não-contradição: uma proposição proposição não pode ser, ser, ao mesmo mesmo tempo, Verdadeira e Falsa. princípio da exclusão do terceiro termo: não há um meio termo entre Verdadeiro ou Falso. duas ou mais proposições proposições podem ser combinadas, combinadas, criando proposições compostas, utilizando para isso os operadores lógicos. Principais proposições compostas: Conjunção ( “p e q”, q”, ou ou “ p ∧ q ”): é F se pelo menos uma proposição o

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simples for F. Uma variação da conjunção é: “p, mas q”. Disjunção (“p ou q”, ou “ p ∨ q ”): só é F quando p e q são ambas F.

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o

RACIOCÍNIO LÓGICO p/ ANTT TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aua !" Disjunção exclusiva ou “Ou exclusivo” (“ou p ou q”, ou p ⊕ q ): só é F

o

quando ambas são V ou ambas são F. Uma variação: “p, ou q”. Condicional ou implicação (“se p, então q”, ou p → q ): só é F quando

o

p é V e q é F. Variações: “Quando p, q”; “Toda vez que p, q”. Bicondicional ou dupla implicação (“se e somente se”, ou p ↔ q ): é F quando uma proposição simples é V e a outra é F.

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representamos a negação de “p” por “~p”, “¬p” ou “não-p” p e ~p possuem valores lógicos opostos podemos negar simplesmente inserindo “Não é verdade que...” no início da proposição; Dica para descobrir outras formas de negação: perguntar o que eu precisaria fazer para provar que quem disse essa frase está mentindo. Resumo das negações de proposições simples: Proposição “p”

Proposição “~p”

Meu gato é preto

Meu gato não é preto Não é verdade que meu gato é preto

Todos gatos são pretos

Algum/pelo menos um/existe gato (que) não é preto

Nenhum gato é preto

Algum/pelo menos um/existe gato (que) é preto

~(~p) = p, isto é, dupla negação = afirmação principais formas de negação de proposições compostas: Proposição composta

Negação

Conjunção ( p ∧ q )

Disjunção ( ~ p∨ ~ q )

Ex.: Chove hoje e vou à praia Disjunção ( p ∨ q )

Ex.: Não chove hoje ou não vou à praia

Ex.: Chove hoje ou vou à praia

Ex.: Não chove hoje e não vou à praia

Disjunção exclusiva ( p ⊕ q )

Bicondicional ( p ↔ q )

Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia

Ex.: Chove hoje se e somente se vou à praia

Condicional ( p → q )

Conjunção ( p ∧ ~ q )

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Conjunção ( ~ p ∧ ~ q )


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Ex.: Se chove hoje, então vou à praia

Ex.: Chove hoje e não vou à praia

Bicondicional ( p ↔ q )

Disjunção exclusiva ( p ⊕ q )

Ex.: Chove hoje se e somente se vou à praia.

Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia

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a tabela-verdade de uma proposição terá sempre 2n linhas, onde n é o número de proposições simples envolvidas (não contar duas vezes se aparecerem p e ~p na mesma proposição composta) Tautologia: proposição que é sempre V Contradição: proposição que é sempre F Contingência: proposições que podem ser V ou F, dependendo dos valores lógicos das proposições simples que a compõem duas proposições lógicas são equivalentes quando elas possuem a mesma tabela-verdade p → q , ~ q →~ p e ~p ou q são proposições equivalentes

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duas formas distintas de negar uma mesma proposição são equivalentes. Ex.: ~ ( p ∧ q ) é equivalente a ~ p∨ ~ q ; ~ ( p ∨ q ) é equivalente a ~ p∧ ~ q .

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Em pq, p é suficiente para q, e, por outro lado, q é necessária para p; Em p ↔ q , p é necessária e suficiente para q, e vice-versa

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Proposições abertas são proposições que possuem uma ou mais variáveis. Seu valor lógico depende dos valores que as variáveis assumirem. - um argumento é válido se, aceitando que as premissas são verdadeiras, a conclusão é verdadeira - no estudo da lógica de primeira ordem, faz-se necessário se habituar ao uso de alguns símbolos matemáticos. Os principais são: ∃x  existe x... ∀x  para todo x..., ou: qualquer x... ∈  pertence ∉  não pertence N  conjunto dos números naturais Z  conjunto dos números inteiros Q  conjunto dos números racionais R  conjunto dos números reais -

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RACIOCÍNIO LÓGICO p/ ANTT TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aua !" ∅  vazio

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No estudo da lógica de primeira ordem, temos proposições da forma P(x), onde a proposição P apresenta uma determinada característica a respeito dos elementos x que compõem um conjunto C. Essa característica é apresentada nos predicados destas proposições (ex.: “x < 0”); Chamamos P(x) de proposição funcional, pois o seu valor lógico (V ou F) é função do conjunto C e do próprio significado da proposição. Podemos ter também proposições funcionais baseadas em mais de uma variável (ex.: P(x, y, z));

conjunto é um agrupamento de indivíduos ou elementos que possuem uma característica em comum. a ∈ A  elemento “a” pertence ao conjunto A b ∉ A  elemento “b” não pertence ao conjunto A

Complementar de A é o conjunto formado pela diferença entre o conjunto Universo (todo o universo de elementos possíveis) e o conjunto A A ∩ B é a intersecção entre os conjuntos A e B, formada pelos elementos em comum entre os dois conjuntos. designamos por n(X) o número de elementos do conjunto X - n( A ∪ B ) = n ( A ) + n (B ) − n ( A ∩ B ) -

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se dois conjuntos são disjuntos (não possuem elementos em comum), então n( A ∩ B ) = 0

-

B ⊂ A (B está contido em A), A ⊃ B (A

contém B) ou “B é subconjunto de A”

podem ser representadas assim:

-

outra forma de se representar um conjunto é enumerar os seus elementos entre chaves, listando os elementos ou utilizando notações matemáticas:

Y = {∀x ∈ Z | x ≥ 0} -

“todo”, | significa “tal que”, Proposições categóricas: ∀ significa

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∃,

que significa “existe”


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Todo A é B :

“todos os elementos do conjunto A são também do conjunto B”, isto é, A está contido em B.

o

Nenhum A é B:

o

Algum A é B:

o

Algum A não é B:

nenhum elemento de A é também de B, isto é, os dois conjuntos são totalmente distintos (disjuntos) algum elemento de A é também elemento de B existem elementos de A que não são de B

Princípios de contagem

- Princípio da contagem (regra do produto): quando temos eventos sucessivos e independentes, o número total de maneiras desses eventos acontecerem é igual a multiplicação do número de maneiras de cada evento acontecer separadamente. - Permutação simples: P(n) = n! - usada quando queremos calcular o número de formas de colocar n elementos em n posições. - a ordem dos elementos deve tornar uma disposição diferente da outra - exemplo: cálculo do número de anagramas de uma palavra (sem repetição de letras). Um anagrama é um rearranjo das letras. - Permutação com repetição: PR(n ; m e p ) =

n! (leia: permutação de n m !× p !

elementos, com repetição de m elementos e de p elementos) -

-

usada para calcular permutações onde existem elementos repetidos por ser uma permutação, a ordem dos elementos deve tornar uma distribuição diferente da outra. exemplo: cálculo do número de anagramas de uma palavra que possua letras repetidas.

- Arranjo simples: A(n, m) = -

-

n! (n − m)!

(leia: arranjo de n elementos em m posições)

trata-se de uma permutação de n elementos em m posições, onde temos mais elementos do que posições disponíveis. Novamente, a ordem dos elementos deve diferenciar um arranjo do outro.

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Exemplo: número de maneiras de preencher 3 posições disponíveis de uma fila usando 7 pessoas. Esses exercícios podem ser resolvidos com a simples multiplicação 7 x 6 x 5.

- Arranjo com repetição: AR (n, m) = nm (leia: arranjo de n elementos em m posições, com repetição) -

-

trata-se do princípio fundamental da contagem, onde temos n elementos que podemos colocar em m posições, com repetição (isto é, não precisamos colocar apenas elementos distintos) exemplo: número de placas formadas por 3 letras, distintas ou não, usando as 26 letras do alfabeto  A (26,3) = 263 = 26x26x26 n 

n!

(leia: combinação de n elementos em - Combinação: C (n, m) =   = m m n m ! ! − ( )   grupos de m elementos; ou combinação de n elementos, m a m) -

-

-

-

trata-se do cálculo do número de grupos de m elementos que podemos formar utilizando n elementos deve ser utilizado quando a ordem dos elementos no grupo não diferenciar um grupo do outro. lembrar que C(n, m) = C (n, n-m). Ex.: C(5,4) = C(5,1) = 5 para facilitar o cálculo de C(n,m), basta multiplicar os primeiros “m” termos de n! e dividir por m!. Ex.: C(7,3) é calculado pela multiplicação dos três primeiros termos de 7!, dividido por 3!. Isto é, C(7,3) = 7x6x5/3! = 35 exemplo: número de equipes de 3 profissionais que podemos montar utilizando 7 profissionais disponíveis  C(7,3) = 35.

- Permutação circular: Pc (n) = (n-1)! (leia: permutação circular de n elementos) - usado para calcular o número de permutações de n elementos em disposições fechadas (circulares), onde não podemos fixar um início e um final. - exemplo: número de formas de dispor 4 pessoas ao redor de uma mesa quadrada com as 4 bordas iguais  Pc(4) = (4-1)! = 6

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Probabilidade

- Espaço amostral: conjunto dos resultados possíveis de um experimento aleatório -Evento: subconjunto do espaço amostral formado pelos resultados que consideramos favoráveis - Probabilidade: é dada pela razão: n(Evento) Probabilidade do Evento= n(Espaço Amostral) ou simplesmente número de resultados favoráveis Probabilidade do Evento= número total de resultados - Calcular o número total e o número de resultados favoráveis através das fórmulas de princípios de contagem - A probabilidade de ocorrência do próprio espaço amostral é 100% - Eventos independentes: a ocorrência ou não de um deles não altera a probabilidade do outro ocorrer. Se A e B são independentes, então P(A ∩ B)=P(A) × P(B) (leia: probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente é a multiplicação das probabilidades de cada um ocorrer)

- Eventos mutuamente exclusivos: a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, e vice-versa. Assim, P ( A ∩ B ) = 0 - Probabilidade da união: trata-se da probabilidade de ocorrência do evento A ou do evento B (ou dos dois ao mesmo tempo). É dada por: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B) − P ( A ∩ B)

Se A e B são mutuamente exclusivos ( P ( A ∩ B ) = 0 ), então basta somar a probabilidade de ocorrência de cada um deles. Isto é, P(A ou B) = P(A) + P(B). - Eventos complementares: dois eventos são considerados complementares quando não possuem intersecção e a sua soma equivale ao espaço amostral. Sendo E um evento e Ec o seu complementar, então: Probabilidade(E) = 1 - Probabilidade(Ec) -

exemplo: E = probabilidade de sair resultado par em um dado; Ec = probabilidade de sair um resultado ímpar.

- Probabilidade de ocorrer A, sabendo que B ocorre: P ( A / B ) =

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P ( A ∩ B ) P (B )

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basta calcular o número de casos onde tanto A quanto B ocorrem, e dividir pelo número de casos em que B ocorre - exemplo: ao sortear um dos 7 dias da semana, calcular a probabilidade de a data obtida ser um “sábado”, dado que a data obtida caiu em um fim de semana  P = 1 / 2 = 50% - Se A e B são eventos independentes, então P(A/B) = P(A)  isto é, o fato de B ter ocorrido em nada altera a probabilidade de A ocorrer - Se repetirmos um determinado experimento N vezes, com probabilidade “p” de obter sucesso em cada repetição, o número esperado de vezes que obteremos sucesso é dado por N x p. -

Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais Geometria básica:

- Ângulo é uma abertura delimitada por duas semi-retas. - O ângulo de 90o é conhecido como ângulo reto. Os demais ângulos podem ser classificados em: - Ângulos agudos: são aqueles ângulos inferiores à 90o. - Ângulos obtusos: são aqueles ângulos superiores à 90o. - Dois ângulos podem ser: - Ângulos congruentes: se possuem a mesma medida - Ângulos complementares: se a sua soma é 90 o - Ângulos suplementares: se a sua soma é 180 o - Um ângulo pode ser dividido em duas partes iguais pela semi-reta denominada Bissetriz. - Ângulos opostos pelo vértice tem o mesmo valor - Além da medida em graus, uma outra unidade de medida de ângulos é chamada de “radianos”. 180o correspondem a

π (“pi”)

radianos.

Principais figuras geométricas planas:

- Perímetro é a soma do comprimento dos lados da figura

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- Área é a mensuração do espaço (plano) ocupado por aquela figura. As principais figuras geométricas planas são: Figura Retângulo

Definição

Área

Quadrilátero onde os lados opostos são paralelos entre si, e todos os ângulos internos são iguais a 90º

A=bxh

retângulo onde a base e a altura tem o mesmo comprimento

A = L2

Quadrado

Trapézio

4 lados, sendo 2 deles paralelos entre si, e chamados de base maior (B) e base menor (b)

A=

( b + B ) × h 2

Losango 4 lados de mesmo comprimento

A=

D × d

2

Paralelogramo b

h

quadrilátero com os lados opostos paralelos entre si

A=bxh

b

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Triângulo

A=

figura geométrica com 3 lados

Círculo

todos os pontos se

b × h

2

A = π × r 2

encontram à mesma distância (raio) do centro. Perímetro (comprimento) é

ou A = π ×

D 2

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(pois D = 2r)

P = 2 × π × r

- Observações adicionais sobre os Triângulos: - A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o - Tipos de triângulos: eqüilátero ( todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais a 60º), isósceles ( dois lados iguais, e ângulos da base iguais), escaleno ( três lados com medidas diferentes, e ângulos internos diferentes entre si).

- A altura do triângulo eqüilátero de lado “a” é h = A=

a 2

a

2

3

, e sua área é

3

4

- Dois triângulos são semelhantes se possuem os mesmos ângulos internos. Se temos 2 triângulos semelhantes, podemos afirmar que os seus lados são proporcionais. - Triângulo retângulo: - possui um ângulo de 90º. Os dois lados menores são chamados catetos, e o maior (oposto ao ângulo de 90º) é a hipotenusa:

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- para cada ângulo agudo deste triângulo, podemos definir Seno, Cosseno e Tangente como sendo: Sen(Ângulo ) =

Cateto Oposto Hipotenusa

Tan(Ângulo ) =

Cos(Ângulo ) =

Cateto Adjacente Hipotenusa

Cateto Oposto Sen( Ângulo) = Cateto Adjacente Cos( Ângulo)

- os principais valores de Seno, Cosseno e Tangente são: Ângulo

Seno

Cosseno

Tangente

30º

1

3

3

45º 60º

2

2 3

2

2 1

2

2

3

1 2

2

3

- O Teorema de Pitágoras nos diz que (hipotenusa)2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2 - Veja algumas relações métricas presentes no triângulo abaixo:

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RACIOCÍNIO LÓGICO p/ ANTT TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aua !" h2 = m × n b2 = m × a c 2 = n × a b×c = a×h

- Condição de existência de um triângulo: o comprimento do lado maior deve ser inferior à soma dos lados menores. Principais figuras geométricas espaciais:

- Chamamos de volume a medida da quantidade de espaço tridimensional ocupada pela figura espacial. - A área superficial de uma figura plana é dada pela soma das áreas de suas faces, que são polígonos (figuras planas) como aqueles estudados acima. - Os principais encontram-se na tabela abaixo: Figura

Volume

Paralelepípedo

V = Ab x H H

L

ou V=CxLxH

Comentários

Todos os ângulos são retos. A área superficial é a soma da área dos 6 retângulos das faces

C

Cubo

A

V = A3

Paralelepípedo onde todas as arestas tem a mesma medida

A A

V = Ab × H

Cilindro V = π R 2 × H

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área total é a soma da área da base (que deve ser contada duas vezes) e a área lateral


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(que é um retângulo). Alateral = HxC = Hx 2π R H

R

Lembrar que: G2 = R2 + H2

Cone

V = G

H

Ab × H

3

A área lateral é um setor circular de raio G e comprimento C = 2π R . Assim,

R

Alateral =

π

xGxR

Pirâmide

H

V =

Ab × H

3

- chamamos de apótema a altura de cada uma das faces laterais, que são triângulos.

L

L L

Prisma

V = Ab x H

- as faces laterais de ambos são retângulos

H

L

Esfera

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V = 4 π R3 /3


Área superficial é:

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A = 4 π R2

R C

Proporcionalidade:

- Proporção é uma igualdade entre duas razões (divisões, frações). Dizemos que duas grandezas são proporcionais quando é possível criar, entre elas, razões que permanecem constantes. - Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra também cresce. - Podemos usar uma regra de três simples para relacionar grandezas diretamente proporcionais. Após montar a regra de três, devemos efetuar a multiplicação cruzada (das diagonais) e igualar os resultados. - Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra diminui. - Ao trabalhar com grandezas inversamente proporcionais, devemos inverter a ordem de uma das grandezas antes de multiplicar as diagonais (multiplicação cruzada). - No caso de termos 3 ou mais grandezas proporcionais entre si (direta ou inversamente), temos uma regra de três composta. Neste caso, devemos: - identificar, usando setas, as grandezas que são diretamente proporcionais e as que são inversamente proporcionais em relação a grandeza que queremos descobrir (aquela que possui o X). - inverter as colunas que forem inversamente proporcionais à grandeza que queremos. - igualar a razão onde está a grandeza X com o produto das outras razões.

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Progressões Aritméticas e Geométricas:

- Progressão Aritmética (PA): seqüência numérica onde o termo seguinte é igual ao termo anterior somado a um valor constante (razão da PA) - Para obter o termo da posição “n”, simbolizado por an, basta usar a fórmula do termo geral da PA, que é: an = a1 + r × ( n − 1)

- Para obter a soma dos “n” primeiros termos da PA (Sn), a fórmula é: S n =

n × (a1 + a n )

2 - Progressão Geométrica (PG): o termo seguinte é sempre igual ao termo anterior multiplicado por um valor constante (razão da PG) - Para obter o termo da posição “n”, simbolizado por an, basta usar a fórmula do termo geral da PG, que é: an = a1 × q n −1

- Para obter a soma dos “n” primeiros termos da PG (Sn), a fórmula é: a1 × (q n − 1) S n = q − 1

Porcentagem:

- A porcentagem é uma divisão onde o denominador é o número 100. - Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um todo, basta efetuar a seguinte divisão:

Porcentagem =

quantia de interesse × 100% total

- Podemos transformar um número percentual em um número decimal dividindo-o por 100. Podemos também fazer o caminho inverso, multiplicando um número decimal por 100 para chegar em um número percentual. - Podemos dizer que:

quantia de interesse = porcentagem

×

total

- Em porcentagem, o “de” equivale à multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a 20% x 300, e assim por diante.

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Matrizes:

- Uma matriz Mmxn é uma tabela com m linhas e n colunas. Os elementos desta tabela são representados na forma a ij, onde i representa a linha e j representa a coluna deste termo. - A matriz transposta de A, simbolizada por AT, é construída trocando a linha de cada termo pela sua coluna, e a coluna pela linha. - Uma matriz é quadrada quando possui o mesmo número de linhas e colunas. - Para somar ou subtrair duas matrizes, basta somar ou subtrair os termos correspondentes. As matrizes precisam ser de mesma ordem. - Para multiplicar um número por uma matriz, basta multiplicar cada termo da matriz por aquele número. - Ao multiplicar 2 matrizes, cada termo da nova matriz é formado pela soma das multiplicações de cada termo de uma linha da primeira matriz por cada termo de uma coluna da segunda matriz. - A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, AxB não é, necessariamente, igual a BxA. - Chamamos de matriz Identidade de ordem “n” a matriz quadrada que possui todos os termos da diagonal principal iguais a 1, e todos os demais termos iguais a zero. - Dada uma matriz A, chamamos de inversa de A, ou A -1, a matriz tal que: A x A-1 = I (matriz identidade) - Nem toda matriz quadrada é inversível. - O determinante de uma matriz é um número a ela associado. Aqui estamos tratando apenas de matrizes quadradas. - Em uma matriz quadrada de ordem 1, o determinante é o próprio termo que forma a matriz. - Em uma matriz quadrada de ordem 2, o determinante é dado pela subtração entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária. - Em uma matriz quadrada de ordem 3, o determinante é calculado da seguinte forma: a b  det d e  g h 

c f  = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh i 

- As principais propriedades do determinante são:

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- o determinante de A é igual ao de sua transposta AT - se uma fila (linha ou coluna) de A for toda igual a zero, det(A) = 0 - se multiplicarmos todos os termos de uma linha ou coluna de A por um valor “k”, o determinante da matriz será também multiplicado por k; - se multiplicarmos todos os termos de uma matriz por um valor “k”, o determinante será multiplicado por kn, onde n é a ordem da matriz; - se trocarmos de posição duas linhas ou colunas de A, o determinante da nova matriz será igual a –det(A); - se A tem duas linhas ou colunas iguais, então det(A) = 0 - sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, det (AxB) = det(A) x det(B) - uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, det( A) ≠ 0 - se A é uma matriz inversível, det(A -1) = 1/det(A) ***********************

Final de curso! Tenha uma excelente prova! Saudações, Prof. Arthur Lima ([email protected])

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