Prof. Nelson Cifuentes F.
0.1 0. 1
Axio Ax iom ma del supr supre emo
El conjun conjunto to de los número númeross racio racional nales es cumple cumple con la propie propiedad dades es de cuerpo cuerpo y de orden que se cumplen en , sin embargo en tal conjunto no podemos dar respuesta a la existencia de un número para el cual se cumpla
x 2 = 2 es por eso que necesitamos dar otro axioma en , antes debemos introducir introducir algunas definiciones. Sea S , definimos:
⊆
Definición Definición 0.1.1 Se dice que un número real a es cota inferior de S si a s para todo s S. Si existe existe alguna cota inferio inferiorr para S diremos diremos “S “S está acotado acotado inferiormente”.
≤
∈
Definición Definición 0.1.2 Se dice que un número real b es cota superior de S si b s para todo s S. Si existe alguna alguna cota superior para para S diremos diremos “S está acotado superiormente”.
≥
∈
Definición Definición 0.1.3 SiS es acotad acotado o superi superior or e inferi inferiorm orment entee direm diremos os que es un con junto acotado .
Ejempl Ejemplo o 0.1.4 0.1.4 SeaS = ] 1, 3[ [4, 5] entonces a = 2 es cota infer inferior ior para para S. En efecto, si s S entonces 1 < s < 3 4 s 5 se sigue 2 s sea cual sea el s S. Similarmente a = 1.5, a = 3, a = 1 son cotas cotas inferi inferiore oress de S. a = 7/2 no es cota inferior de S pues existe un elemento de S (por ejemplo s = 1 ) que es estrictamente menor que a.
∈
− ∪ − ∨ ≤ ≤ − − −
∈
−
− ≤
Al encont encontrar rar una cota cota inferi inferior or,, de inmedi inmediato ato podemo podemoss decir decir que el conjun conjunto to es acotad acotado o inferi inferiorm orment ente, e, note note tambié también n que si a es una una cota cota infe inferi rior or de un concon junto S entonces todo j a también será cota inferior. inferior.
≤
Ejempl Ejemplo o 0.1.5 0.1.5 Sea A = x : x = n 1 para algún n = 1, 12 , 13 ,... . b = 2 es una cota superior para A pues si n entonces n 1 de donde obtenemos 1 1/n para cada n , se sigue que cualquier elemento del conjunto es menor que 1 y así menor que 2. 1 también es cota superior. Ningún número menor que 1 es cota superior, ya que 1 A.
≥
∈
∈
∈
∈
≥
∈
Al encontrar una cota superior, de inmediato podemos decir que el con junto es acotado superiormente, note también que si b es una cota superior de un conjunto S entonces todo b con b b también será cota superior s uperior..
≤
Definición Definición 0.1.6 Un número número real m se dice mínimo de un conjun conjunto to S si m S y m s para todo s S. Se escribe entonces m = min (S ).
≤
Matemática 1 (MAT021)
∈
∈
1
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Definición 0.1.7 Un número real M se dice máximo de un conjunto S si M y M s para todo s S. Se escribe entonces M = max (S ).
≥
∈
∈ S
Ejemplo 0.1.8 Sea A = [0, 1] entonces m = 0 es un mímino, pues 0 A y para cada x A se tiene 0 x . Note que a = 1 es cota inferior pero no es el mínimo porque no esta en el conjunto. En este mismo ejemplo M = 1 es máximo de A, 1 A y para cada x A se cumple x 1.
∈
≤
∈
∈
−
∈
≤
Ejemplo 0.1.9 Sea A = [ 1, 5[ entonces m = 1 es un mímino, pues 1 A y para cada x A se tiene 1 x . Este conjunto no tiene máximo, note que 5 A pero se cumple x < 5 para cada elemento en el conjunto, es decir 5 es cota superior pero no esta en el conjunto, ningún número mayor que 5 puede ser el maximo al no estar en el conjunto, si 1 < b < 5 entonces el elemento b +2 5 A 1 no puede ser el máximo y b < b +2 5 luego b no es máximo. Claramente si b basta tomar 2 A para tener una contradicción.
∈
∈
−
−
− ≤
−
− ∈
∈
≤−
∈
Si el máximo existe entonces es único: Si M 1 y M 2 son dos máximos del conjunto S entonces se sumple que M 1 S y M 2 S pero al ser M 1 un máximo en particular se cumple para cada s S , s M 1 en particular para s = M 2 se tiene M 2 M 1
∈
∈
∈
≤
≤
similarmente, al ser M 2 un máximo se cumple
M 1
≤ M 2
de ambos se obtiene M 1 = M 2 . Definición 0.1.10 Un número real a se dice infimo de un conjunto S si es la mayor de las cotas inferiores de S. Es decir, si a s para todo s S y cada a > a no es cota inferior de S, verificándose que a > s para algún s S . En este caso se escribe a = inf (S ).
≤
∈ ∈
Definición 0.1.11 Un número real b se dice Supremo de un conjunto S si es la menor de las cotas superiores de S. Es decir, si s b para todo s S y cada b < b no es cota superior de S, verificándose que b < s para algún s S. En este caso se escribe a = sup S.
≤
∈ ∈
Ejemplo 0.1.12 Si A = ]1, 2[ entonces el conjunto de las cotas inferiores de A es ] , 1] (cualquier elemento de este conjunto es una cota inferior) se ve que la mayor de todas ellas es x = 1 luego 1 = inf A. El conjunto de las cotas superiores de A es [2, [ luego la menor de las cotas superiores es 2 se sigue que 2 = sup A.
−∞
∞
Matemática 1 (MAT021)
2
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Ejemplo 0.1.13 Si B = [ 1, 3[ entonces el conjunto de las cotas inferiores de A es ] , 1] (cualquier elemento de este conjunto es una cota inferior, incluso el 1 ) se ve que la mayor de todas ellas es x = 1 luego 1 = inf A. El conjunto de las cotas superiores de A es [3, [ luego la menor de las cotas superiores es 3 se sigue que 3 = sup A.
−
−∞ −
−
−
∞
−
•
El supremo no necesariamente esta en el conjunto, es decir, no necesariamente es el máximo del conjunto.
•
El ínfimo no necesariamente esta en el conjunto, es decir, no es necesariamente el mínimo del conjunto.
• •
Si existe un máximo el será el supremo del conjunto Si existe el mínimo el será el ínfimo del conjunto.
Proposición 0.1.14 Sea A un conjunto no vacío de entonces
inf A
≤ sup A Demostración: Si a ∈ A entonces a ≤ sup A pues sup A es cota superior, además inf A ≤ a pues inf A es cota inferior. Proposición 0.1.15 Si A ⊆ B y A = entonces inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B Demostración: Note que si x ∈ A entonces x ∈ B se sigue que para cada x ∈ A inf B ≤ x ≤ sup B (inf B es cota inferior de B y sup B es cota superior), se sigue que inf B es cota inferior de A y sup B es cota superior de A . Como inf A es la mayor de las cotas inferiores de A se sigue inf B inf A
≤
y como sup A es la menor de las cotas superiores sup A
≤ sup B
pero por la propiedad anterior inf A
≤ sup A
juntando las desigualdades obtenemos inf B
≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B
Ya estamos en condiciones de dar el axioma que caracteriza a : Axioma del supremo: Todo subconjunto de no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. (el supremo es un número real) Este axioma implica lo siguiente: Matemática 1 (MAT021)
3
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Proposición 0.1.16 Todo subconjunto de no vacío y acotado inferiormente tiene un ínfimo. (el ínfimo es un número real)
Demostración: Sea A un conjunto no vacío y acotado inferiormente, definamos A = a : a A entonces A es no vacío y acotado superiormente (note que si l era cota inferior de A entonces l a para cada a A eso implica l a para cada a A , se sigue l es cota superior de A ). Por el axioma del supremo existeel supremo de A y denotemoslo por sup ( A ), este número cumple con ser la menor de las cotas superiores de A se sigue que para cada a A se cumple a sup ( A )
−
{−
− ≥−
∈ }
−
∈
−
−
− ∈−
≤
−
−
− ≤
∈
−
−
entonces, para cada a A se tiene
∈
a
≥ − sup (− A )
mostremos que en realidad inf A =
− sup (− A )
ya sabemos que sup ( A ) es cota inferior, si j > sup ( A ) entonces j < sup ( A ), de la definición de supremo se sigue que debe existir un elmento a A tal que j < a < sup ( A )
−
− − ∈−
−
−
−
−
−
−
−
se sigue que
j > a >
− sup (− A ) luego cualquier número mayor que − sup (− A ) no es cota inferior de A , se sigue que − sup (− A ) es la mayor cota inferior, es decir el ínfimo, de donde obtenemos inf A = − sup (− A ) Como es de esperar, este axioma tiene importantes concecuencias entre las cuales podemos nombrar las siguientes:
Teorema 0.1.17 El conjunto de los naturales no es acotado superiormente en . Demostración. Supongamos que esta acotado superiormente en , como es no vacío, por el axioma del supremo existiría un real
K = sup ahora bien, K 1 no es cota superior pues K es la menor de las cotas inferiores, se sigue que existe un n tal que K 1 < n se sigue sumando a ambos lados de la igualdad que K < n + 1 pero n + 1 es un natural, entonces K no puede ser el supremo, esto es una contradicción que viene de suponer acotado, se sigue que no puede ser acotado en .
−
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∈
−
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Teorema 0.1.18 Para cada x > 0 existe un n tal que 0 < 1/n < x . Demostración. Suponga que existiera un x > 0 tal que para cada n
∈
x
∈
≤ n 1
entonces se cumpliría n
≤ x −1
para todos los naturales, es decir, estaría acotado en lo que sabemos no puede ser. Teorema 0.1.19 Para cada x existe un k tal que k x < k + 1 (este entero es llamado la parte entera de x y generalmente se denota por [x ] )
∈
∈
≤
Teorema 0.1.20 Si x,y son dos reales con x < y entonces existe un racional P = n /m tal que x < p < y
(esta propiedad es llamada densidad de los racionales en , nos dice en todo intervalo no degenerado de la recta real existen racionales) El axioma del supremo puede ser utilizado para garantizar la existencia de raíces de reales. Sea b + entonces
∈
n
b = sup x : 0
{ ∈
≤ x ∧ x n ≤ b }
0.1.1 Ejercicios propuestos 1. Determinar supremo e infimo de los siguientes conjuntos (si es que existen) (a) (b) (c) (d)
x ∈ : x 2 < 3 2
− x + 1 > −2 {0.3, 0.33, 0.333,...} {−1/n : n ∈ } x : x
∈
2. Sean A , B subconjuntos de no vacíos y acotados superiormente. Defina el conjunto A B = ab : a A b B
{ ∈
∈ ∧ ∈ }
demostrar que en general sup ( A B ) = sup A sup B
pero que si A y B contienen solo reales positivos entonces si se cumple la igualdad. Muestre también que si sup A < 0 y sup B < 0 entonces inf ( A B ) = sup A sup B Matemática 1 (MAT021)
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3. Sean A , B subconjuntos de no vacíos y acotados superiormente. Defina el conjunto A + B = a + b : a A b B
{
∈
∈ ∧ ∈ }
demostrar que sup ( A + B ) = sup A + sup B ¿Qué pasa con los ínfimos? 4. Sean A , B subconjuntos de no vacíos y acotados. Decidir cuales de las siguientes propiedades son verdaderas y demostrarlas y encontrar contraejemplos para las falsas.
∩ ≤ inf sup A ,sup B sup ( A ∩ B ) = inf sup A , sup B sup ( A ∪ B ) ≥ sup sup A , sup B sup ( A ∪ B ) = sup sup A , sup B
(a) sup ( A B ) (b) (c) (d)
5. Sean A , B subconjuntos de no vacíos y acotados. ¿Es verdad que sup A = sup B y inf A = inf B implican A = B ?
6. Utilizando el último teorema y la irracionalidad de 2 muestre que si x , y y x < y entonces existe un irracional ξ tal que
∈
x < ξ < y y x Ind.: Con el teorema insertar un racional r entre y 2 , mostrar que 2 r 2 es irracional.
7. S es un conjunto acotado si y solo si existe un número real J > 0 tal que S [ J , J ].
⊆−
8. Muestre que si el mínimo existe es único.
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