EL BUQUE COMO VIGA.El emba embate te de las las olas olas some somete te a la estr estruc uctu tura ra resi resist sten ente te de un buqu buquee a cont contin inua uass deformaciones, esto se debe a la situación a la que está sometida dicha estructura ante un soporte cambiante cambiante como es la ola. Con mala mar, una proa que en un cierto instante instante apunta hacia el cielo, segundos más tarde se verá sumergida bajo las olas y el cuerpo central del buque que en determinado momento está apoyado sobre la cresta de la ola, se verá abandonado por ella para pasar a estar situado sobre un valle. Todo esto genera un problema formidablemente complejo a la hora de 1º) determinar las cargas a la que está sometida la estructura y 2º) cual será su respuesta. En la mayoría de los problemas más complejos, es necesario reducirlos a problemas individualizados para superponerlos más tarde. Las unidades más pequeñas de la estructura a consid considerar erar son los paneles paneles de planch planchas, as, con sus refuerzos refuerzos,, soport soportado adoss en sus sus extrem extremos os por elementos comparativamente muy rígidos. Muchas de estas unidades menores, constituyen un conjunto de superficies, planas o curvas, soportadas en sus bordes por mamparos y cubiertas muy rígidos. Entre todos forman una viga hueca, un cajón reforzado, cuyo comportamiento puede ser evaluado. A esta unidad completa dedicaremos atención atenc ión en este capítulo. Excluyendo las cargas de inercia debidas a los movimientos del buque, la carga sobre un buque-viga se deriva de dos fuentes: presión del agua y gravedad. Es imposible encontrar un estado de la mar donde esas cargas se anulen entre sí a lo largo de la eslora, incluso en aguas tranquilas. Existe una carga desigual a lo largo del buque y dado que su estructura es elástica el buque flexa y estará sujeto a las leyes de la flexión. En aguas tranquilas, las cargas debidas a la presión del agua y a la gravedad son el empuje y el peso; la distribución del empuje a lo largo de la eslora viene dada por la curva de áreas mientras que el peso se calcula por unidad de longitud longitud y su distribución es un típico diagrama de bloque. Las áreas de estos diagramas representan el peso y el empuje total cuyos valores deben ser iguales. No es difícil imaginar que una situación de arrufo (sagging) o quebranto (hogging) pueda verse acentuada por el efecto de las olas. Una ola con cresta en el centro del buque incrementará el empuje hacia arriba en esa zona a expensas de los extremos. CÁLCULO STANDARD.Se supone en primer lugar que el buque nunca se encuentra con una mar que le imponga una flexión más severa que la que es causada por una de longitud igual a la eslora con: a) una cresta en el centro y valles en los extremos, lo que causa el máximo quebranto y b) un valle en el centro y crestas en los extremos que producirá máximo arrufo.
También supondremos que el buque está momentáneamente en reposo, sobre la ola, con velocidad y aceleración cero. En esta condición se deducen las curvas de peso y empuje que deben restarse para deducir la curva de cargas “ p”. La relación fundamental en un punto cualquiera de la viga elástica es: p = dV / dx = d 2 M / dx2
siendo “ p” la carga por unidad de longitud, V el esfuerzo cortante y M el momento flector. V = ʃ p d x y M = ʃ V dx
Por lo tanto deben integrarse a lo largo de la eslora la curva de cargas para obtener los momentos flectores y la curva de esfuerzos cortantes para deducir la curva de momentos flectores. Una vez que se determina el momento flector máximo podrá obtenerse el valor de la máxima tensión de trabajo: σ = M . y / I = M / ( I/y)
el cociente I / y es el módulo resistente de la sección. DISTRIBUCIÓN DEL PESO.Una primera aproximación muy útil de la distribución del peso estructural es la de suponer que los 2/3 del peso sigue la curva del empuje en aguas tranquilas y que el el centro de gravedad 1/3 restante se distribuye en forma de trapecio, de manera que finalmente el centro de gravedad de ese diagrama coincide con la posición real de dicho punto.
LA OLA. No hay un modelo de ola oceánica universalmente aceptado para el cálculo de la resistencia longitudinal. Si la trocoide es el perfil de ola admitido como más ajustado, los ratios longitud-altura observados son tan dispersos que podrían admitirse también otros modelos standard.
No obstante esto no es demasiado importante ya que el cálculo se contempla comparativamente y tiene el valor de servir como el mismo tipo de ola para cualquier tipo de buque. El modelo admitido es el que tiene una altura H = L / 20. En este caso, al ser L = 2 π R; R = H / 2 = L /40, las ecuaciones del perfil de la ola serían:
x = (L / 2 π) θ – (L / 40) sen θ z = (L / 40) ( 1 – cos θ)
Las investigaciones han demostrado que esta ola es algo optimista para longitudes de 300 a 500 ft. Por encima de 500 ft va siendo inexacta de forma progresiva y a 1000 ft adquiere una altura tan exagerada que no resulta útil. Esto ha dado como resultado la adopción de una ola trocoidal de H = 1.1 √ L, valor adimensional que en unidades métricas sería 0,607 √ L.
EJEMPLO DE CÁLCULO DEL MOMENTO FLECTOR.Consideremos la forma más simple estudiando una embarcación, de sección rectangular constante, de L = 140 m; B = 20 m y D= 13 m, con un desplazamiento total de 25830 tons, de las cuales 20830 tons se distribuyen uniformemente a lo largo de la eslora, las 5000 tons restantes se distribuyen uniformemente sobre los 10 m centrales de la eslora. El empuje en aguas tranquilas se distribuirá de manera constante dado que las secciones son todas iguales y la embarcación flota con un calado de 9 m constante. Los momentos flectores en la sección central, debidos al empuje y peso son: (20830 / 2) 35 = 452025 ton x m (20830/2) 35 + (5000/2) 2,5 = 370775 ton x m
Por lo tanto el momento flector, en arrufo, en el centro será: 452025 – 370775 = 81250 ton x m = 797062 MN x m Si el barco se sitúa ahora sobre una ola de longitud igual a la eslora, la altura de ola sería 0.607 √140 = 7.18 m. Para continuar simplificando el ejemplo supongamos que el perfil de la ola en lugar de seguir la ecuación de una trocoide sigue un perfil cosenoidal, en este caso su altura , en cualquier punto por encima del nivel de aguas tranquilas vendrá dado por: h = (7.2 / 2) cos (2πx / 140)
para el caso de crestas en los extremos. El empuje por metro de longitud será: 1.025 x 20 x 3,6 x cos 2πx /140 ton / m = 0.724 cos (2πx / 140) MN / m Integrando el empuje obtenemos el esfuerzo cortante debido a la ola: ∫ 0.724 x cos 2 π x /140 dx = (0.724 x 140 / 2 π) sen (2 π x /140) + A Como la fuerza cortante es nula en x = 0, A = 0. El momento flector debido a la ola sería el resultado de integrar la ley de fuerzas cortantes: ∫ (0.724 x 140 / 2 π) sen 2 π x /140 dx = -73,8 (140 / 2 π) 2 cos (2πx / 140) + B Al ser nulo el momento flector en x = 0: 0 = - 73,8 (140 / 2 π) 2 + B y el momento flector quedaría así: 73,8 (140 / 2 π) 2 ( 1 - cos 2πx / 140 ) para x = 70 m, tendríamos el valor máximo: 73,8 (140 / 2 π) 2 x 2 73279 ton x m = 718.1 MN x m Ahora queda superponer los momentos para los condiciones de arrufo y quebranto. ARRUFO: Momento flector en aguas tranquilas: 797 MN x m Momento flector debido a la ola: 719 MN x m Valores que sumados dan un total de 1516 MN x m
QUEBRANTO: Momento flector en aguas tranquilas: 797 MN x m Momento flector debido a la ola: - 719 MN x m Valores que restados dan un total de 78 MN x m La influencia de la distribución de la carga sobre el momento flector se hace patente en este ejemplo en el que se ha exagerado la distribución de las 5000 tons. Si hubiesen sido distribuidas uniformemente a lo largo de la eslora, el primer momento flector sería nulo y el total hubiese sido solo de 719 MN x m en las dos condiciones. RESPUESTA DE LA ESTRUCTURA.Hemos visto como puede calcularse en cualquier condición de carga y olas la fuerza cortante y el momento flector. La etapa siguiente es la de determinar la respuesta de la estructura resistente ante esas fuerzas y momentos. Primero determinaremos los esfuerzos de flexión y los esfuerzos experimentales obtenidos los compararemos con los obtenidos tras la aplicación de esta fórmula: σ = M / ( I / y)
Dado que el momento flector máximo se da en el centro de la viga, las tensiones más altas se producirán en esa zona y por tanto el valor requerido de I es el que corresponde a la sección media del buque. El material que debe incluirse en el cálculo es todo aquel que esté longitudinalmente distribuido y se extienda en una porción considerable de la eslora. Esto incluirá las planchas de fondo, cubierta y costados, mamparos y refuerzos longitudinales. Será necesario determinar la posición del eje neutro de la sección y el valor del módulo resistente en las fibras más alejadas de dicho eje, cálculo puede tabularse, Veamos el caso de la embarcación anterior:
Media Sección
Elementos Cta. Supr. Entrepnte Costado Techo D.F. Fondo Vagra TOTAL
Medidas (m)
A (m2)
Y (m)
Mx = AY
M = AY2
Ipp = 1/12 a h2
6 x 0,022 6 x 0,016 13 x 0,014 10 x 0,018 10 x 0,020 1,5 x 0,006
0,13 0,1 0,18 0,18 0,2 0,01 0,8
13 10 6,5 1,5 0 0,75
1,72 1 1,18 0,27 -0,01 4,18
22,31 10 7,69 0,41 -0,01 40.42
--2,56 ---2,56
Yen = 4,18 / 0,8 = 5,2 m; Ycta = 13 – 5,2 = 7.8 m
Ix = 40.42 + 2,56 = 42,58 m 4; Ien = Ix – A.Y2 = 42,58 – 0,8 x 5,22 = 20,94 m4 I tot = 2 x 20,94 = 41.89 m 4
wcta = 41,89 / 7,8 = 5,37 m 3; wf = 41,89 /5,2 = 8,05 m 3 En aguas tranquilas, los valores de las tensiones en cubierta y fondo serán:
σ c = 797 / 5,37 = 148,4 MN / m 2; σ f = 797 / 8,05 = 99 MN / m2 Las tensiones debidas a la ola, son por otra parte:
σ c = 719 / 5,37 = 133,9 MN / m 2; σ f = 719 / 8,05 = 89,3 MN / m2 El acero dulce de calidad naval, tiene una resistencia de rotura que está entre los 400 y 500 MN / m2 y las tensiones totales en cubierta y fondo son:
σ c = 148,4 + 133,9 = 282,2 MN / m2 ( a compresión) [ó
σc = 148,4 – 133,9 = 14,5
MN / m 2 ]
σ f = 99 + 89,3 = 188,3 MN / m2 ( a tracción) [ ó σf = 99 - 89,3 = 9,7 MN / m 2 ] son valores bastante alejados del límite de rotura del material y que dan idea que el dimensionamiento de la estructura se ideó con cierto margen de seguridad. Si se hubiese incrementado el espesor del plancheado de la cubierta superior, a 24 mm por ejemplo, o se hubiera preferido hacerlo con el de la 2ª cubierta, pasando por ejemplo de 16 a 18 mm, se habría alejado ligeramente del fondo el eje neutro y por tanto se lograría nivelar tensiones al rebajar los 282 MN / m2 en cubierta, elevando de forma simultánea los 188 MN / m2 del fondo.
Volviendo a lo dicho sobre la distribución de la carga, recordemos que redistribuyendo las 5000 tons a lo largo de la eslora se llegaría a anular el momento flector en aguas tranquilas, lo que equivaldría a anular las tensiones en cubierta y fondo debidos a dicho momento. Los valores finales serían los derivados de aliviar las tensiones de cubierta y fondo en 148 y 99 MN/m2 respectivamente. La estrategia, por lo tanto, para reducir la tensión de trabajo es incrementar material que trabaje en sentido longitudinal y la forma más económica de hacerlo sería la de aumentar espesores en fondo y cubierta que son los elementos de menor módulo resistente por ser los más alejados el eje neutro. UTILIDAD DE LOS CÁLCULOS.Las hipótesis realizadas para llevar a cabo los cálculos permiten hacer suponer que los valores obtenidos de las tensiones no son reales aunque puedan ser tratados a efectos comparativos. El problema de la utilidad puede plantearse de la forma siguiente: supongamos que, para un cierto tipo de buque, el cálculo estándar proporciona unos determinados valores de las tensiones que el buque, en servicio, los refrenda como satisfactorios. Si se proyectase un buque similar y los valores de las tensiones son prácticamente los mismos que los del buque anterior, deduciremos que puede esperarse la misma respuesta satisfactoria en el buque propuesto, lo que no puede esperarse es que el proyectista pueda deducir si la estructura es demasiado fuerte o no y si se ha economizado en una estructura proyectada para cubrir unos objetivos de servicio. El cálculo estándar propuesto es muy útil en el caso en que se comparen diferentes estados de carga en un mismo buque, y particularmente la resistencia estructural en aguas tranquilas es una buena guía. A la vista de los valores reales de las tensiones se han utilizado diferentes fórmulas que corrigen los valores deducidos del cálculos estándar. Un valor muy utilizado ha sido éste:
σ = 77,2 [( L / 304.89) + 1 )] ... en MN / m2 Otra fórmula alternativa y más simple es la siguiente:
⅓
σ = 23 L
... en MN / m
2
Ambas fórmulas , aparentemente diferentes, dan valores prácticamente iguales.
Aunque la mayoría de las Sociedades de Clasificación solían proporcionar reglas complejas para determinar la resistencia longitudinal, todas se han puesto de acuerdo en dar un una primera aproximación de avance para el cálculo del módulo resistente requerido en la cuaderna maestra (sección media). El módulo mínimo de dicha sección, Z, ya sea en cubierta o en la quilla no debe ser menor que:
Z = f 1 . K L . C1 . L2. B.(CB + 0,7) x 10-6 ...
m3
El momento debido a la ola debe tomarse de la expresión siguiente:
Mw = f 1 . f 2 . Mwo siendo
Mwo = 0,1 . C 1 . C2 . L2. B (CB + 0,7) … kN x m En estas fórmulas, f 1 es un factor que depende del servicio que preste el buque, será 1 en aguas no restringidas, 0,8 en viajes cortos y 0,5 en aguas abrigadas. El valor de f 2 es: -1,1 … en arrufo y: 1,9 CB / (CB + 0,7) … en quebranto K L es un factor que depende de la calidad del acero en la quilla y es 1 para el acero dulce normal, 0,78 para aceros de 315 N / mm 2 de tensión de rotura y 0,68 para valores más altos. C1 varía con el valor de la eslora, para el principal rango de tamaño de buques (90 - 300 m) es: 10,75 - [(300 – L) / 100 1,5] veamos el valor de la tensión que se deduce en el caso de ser la unidad las constantes que figuran en las fórmulas anteriores (servicio no restringido, tensión en la sección media y condición de arrufo):
σ w =Mw / Z = 0,1(-1,1) C 1. C2. L2 . B. (CB + 0,7) / f 1.K L .C1 .L2.B.(CB + 0,7).10-6 ... (kN/m2) expresión de la tensión, debida a la ola, que quedará reducida a: σ w = - 0,11 / f 1.K L.10-6 = 110 N/mm2
La tensión admisible combinada, aguas tranquilas más efecto por olas, es: σ = 175 / K L … (N/mm2)
Si el momento flector en aguas tranquilas originase una tensión mayor que 65 N/mm 2, habría que reforzar la inercia de la sección cuyo mínimo viene establecido por la siguiente expresión:
Imin = 3. C1. L3. B (CB + 0,7) ... cm4
DECISIONES BASADAS EN LA RESISTENCIA LONGITUDINAL.Una de las primeras decisiones que deben tomarse en el proyecto estructural es la de optar por el uso de un reforzado longitudinal o transversal. Para buques de más de 200 m el reforzado longitudinal será el requerimiento reglamentario de cualquier sociedad de clasificación, pero es que aunque no fuese así sería la solución obligada desde un punto de vista económico ya que el resultado es lograr una estructura más ligera. Para buques pequeños (menores de 65 m) la resistencia longitudinal es de importancia secundaria y el reforzado longitudinal no supone ningún ahorro de material en cuanto a peso. Para buques de tamaño medio la elección es decisión del proyectista que decidirá en cada caso lo más conveniente en ahorro de material y en horas para su preparación y montaje. Debe tenerse en cuenta que la decisión sobre el tipo de reforzado del casco no es algo directo sino que una combinación de ambos sistemas puede ser ventajosa en algunos tipos de buque. Esa combinación utilizará generalmente el sistema longitudinal en el fondo y la cubierta resistente, las alas de la viga-casco mientras que el reforzado transversal se utiliza en sus dos almas que son los costados.
LEY DE HOOKE GENERALIZADA.Consideraremos las hipótesis cuya validez proviene de la confirmación experimental. Dichas hipótesis son: 1) Una tensión normal σ x no produce deformación por cizalladura en los planos X, Y o Z. 2) Una tensión tangencial τ xy se genera por una deformación tangencial. 3) Al tratarse de deformaciones muy pequeñas el principio de superposición es válido sin restricciones. Bajo una tensión σ x la componente de la deformación correspondiente será ε x = σ x / E , la elongación en la dirección X se verá acompañada por contracciones en las direcciones Y y Z , dadas por: ε y / ε x = - ν (coeficiente de Poisson) ε y = ε z = - ν. ε x = - ν (σ x / E)
para muchos materiales el coeficiente de Poisson es constante en régimen elástico.
La deformación ε x se determina suponiendo que se aplica primero σ x , con lo cual la longitud cambia en σ x / E, si luego se aplica σ y se producirá un cambio adicional – ν (σ y / E) y lo mismo sucedería con la aplicación de una tensión σ z , por lo tanto la deformación total sería: ε x = σ x / E – ν (σ y / E) – ν (σ z / E) = (1 / E) [ σ x – ν ( σ y + σ z ) ]
FLEXIÓN CILÍNDRICA EN PLANCHAS.A diferencia de las vigas, en las que la flexión solo ocurre a lo largo de su longitud, la flexión de una plancha se produce en dos direcciones ortogonales. Lo que ocurre en el caso de una viga puede trasladarse al caso de la flexión de una plancha tratando de relacionar carga con deformación. Para mostrar la semejanza (y las diferencias) comencemos por el caso de una plancha que solo flexa sobre un eje (flexión cilíndrica) tal como ocurre en planchas largas ( a >> b).
Si “da” representa una franja elemental y la aislamos como si fuese una viga, su sección transversal se deformaría tal como muestra la figura debido al efecto Poisson.
Pero esta deformación transversal no ocurre en el caso de una plancha porque sería necesario para ello que la plancha adquiriese una deformación tipo “silla de montar”, en la que se requiere una deformación considerable de la zona del eje neutro y por lo tanto una enorme tensión.
El impedimento a esta deformación transversal supone que si ε y= 0, σ y = ν σ x como se deduce de la ecuación: ε y = σ y / E – ν (σ x / E) = 0. Como la elongación según X es: ε x = σ x / E – ν (σ y / E) = σ x / E – ( ν / E ). ν σ x = (σ x / E ) ( 1 - ν2 )
según esta ecuación ya se puede establecer la relación tensión-elongación, según X, así: σ x = ( E / 1 - ν2 ) ε x
Si se compara esta última ecuación con el caso de una viga ( σ x = E ε x) se nos sugiere que existe un coeficiente E ´ = E / 1 - ν2 que puede considerarse como un módulo de elasticidad efectivo que es siempre mayor que E y que permite concluir que una plancha es siempre más rígida en sí misma que contemplada como una sucesión de vigas. La expresión, entonces, de la deformación máxima debida a una presión “ p” en una plancha simplemente apoyada sería: 5 p b4 / 384 E ´ I = 5 p b4 ( 1 - ν2 ) / 32 E t 3 y para el caso de una plancha empotrada: p b4
/ 384 E ´ I = p b4 ( 1 - ν2 ) / 32 E t 3
la relación entre curvatura y momento sería: 2 x z dz = ∫ ( E / 1 - ν ) ε x z dz M = ∫ σ
como ε x = z / r: M = ∫ ( E / 1 - ν2 ) ( z 2 / r ) dz = [ Et 3 / 12( 1 - ν2 )] (1 / r )
siendo D = E t 3 / 12 ( 1 - ν2 )
el módulo de rigidez, tan análogo al de una viga, EI , que puede obtenerse sustituyendo E ´ por E y teniendo en cuenta que I = t 3 / 12 es la inercia de una franja de plancha.
