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´ ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL ´ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMATICAS ´ DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ERWIN DELGADO

1. Resuelva Resuelva cada una de las siguientes siguientes ecuaciones diferenciales diferenciales a ) (4y +  yx 2 )dy − (2x +  xy 2 )dx  = 0 b ) 3ex tan(y )dx + (2 − ex )sec2 (y )dy  = 0 c )

dy dx

=

xy+3x−y−3 xy−2x+4y−8

d ) (tan(x) − sen(x)sen(y ))dx +  cos(x)cos(y )dy  = 0 e ) (y 2 cos(x) − 3x2 y − 2x)dx + (2 ysen(x) − x3 + ln (y ))dy = 0  f  )  ) (sen(xy ) +  xycos(xy ))dx +  x2cos(xy )dy = 0 g ) (cos(2y ) − sen(x))dx − 2tan(x)sen(2y )dy  = 0 h ) 2xyln(y )dx

  +

2

x + y

2

  + 1 y2

dy  = 0

i ) xdy  +  ydx  = (x3 + 3 x2 y  + 3 xy 2 + y 3 )(dx +  dy )  j ) xdy − ydx  = (2x2 + 3 y 2 )3 (2xdx + 3 ydy )

xdy − ydx = (2x2 + 3y 2 )2(2xdx + 3 ydy ) 2 2 2x + 3y xdy−ydx x2 2 2x +3y 2 x2

d

y x



2+3 Sea u  =

y x

y2 x2

= (2x2 + 3y 2 )2 (2xdx + 3ydy ) = (2x2 + 3y 2)2 (2xdx + 3ydy )

s´olo olo en el lado izquierdo: du 2

2 + 3u

= (2x2 + 3y 2 )2 (2xdx + 3 ydy )

Sea t  = 2x2 + 3y 2 s´olo olo en el lado derecho: 1 2 = t dt 2 + 3 u2 2 du

Manipulando algebraicamente: 1 du 1 2 t dt = 2 3 3 + u2 2 Recordando Recordando que:

dx a2 +x2

 

= a1 ArcTan

1 1 ArcTan 3 2

  3

x a

  se tiene al integrar a ambos lados:       = 61 + x

t3

2 3

 C 

 2 3

ArcTan

      = 31 u

2 3

t3 + C 

Reemplazando los cambios realizados se tiene que:

 2 3

ArcTan

      = 31 (2 y x

2 3

x2 + 3 y 2 )3 + C 

Verifique que la respuesta es la correcta, saludos cordiales. Tema fijo para lecci´on k ) xdx + ydy  = 3y 2

  + x2

 y 2 dy

2. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el cambio de variables sugerido. a ) ydx  + (1 + ye x ) dy  = 0, considerando el cambio de variable u  = 1 +  ye x b ) y =  y 2 − x1 y − ′

25

x2

, considerando el cambio de variables y = x5  +

1

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