LOSAS DE CIMENTACIÓN Las losas de cimentación denominadas también plateas son otro tipo de cimentación superficial que si bien eliminan grandemente la posibilidad de asentamientos diferenciales resultan ser una solución bastante onerosa (cara), por lo que su uso se recomienda recomienda tan sólo cuando los suelos suelos son de muy baja calidad calidad (q a ≤ 1 Kg/cm2) o cuando las cargas son de tal magnitud que de utilizarse elementos aislados (zapatas) para la cimentación el área que estas cubran sea igual o mayor al 75% del área total de diseño diseño cabe aclarar que cuando el el área de cimentación es igual o menor al 50% del área total, se recomienda recomienda el uso de cimentacione cimentacioness profundas en las cuales se busca de llegar con elementos elementos auxiliares auxiliares hasta profundidades en que el suelo alcance una resistencia adecuada como es el caso de pilotes cuyo estudio escapa a los alcances del presente curso. En la figura siguiente se muestran las formas más usuales de losas de cimentación en obra.
PLANTA
Columna
Límite de platea
Límite de la planta
PLATEA DE CIMENTACIÓN
PLATEA DE CIMENTACIÓN PARCIAL
Platea
PLANTA
1
METODOLOGÍA DE CÁLCULO PARA PLATEAS DE CIMENTACIÓN Si se desea realizar realizar un análisis análisis refinado debe tomarse tomarse en cuenta cuenta la posibilida posibilidadd de deformación deformación del suelo bajo cada columna, columna, vale decir que habría que considerar considerar la interacción interacción suelosuelo- estructura. estructura. Sin embargo embargo el método rígido que a continuaci continuación ón se detalla resulta resulta n en valores valores muy cercanos cercanos a los reales, reales, cuando las excentric excentricidades idades no son grandes grandes (menores al 10 % de la longitud en cada sentido). En el caso caso de poder emplearse el método rígido se se debe cumplir con los siguientes siguientes pasos: 1. Se calculan calculan las las cargas cargas verticale verticaless para columna columna debien debiendo do tomarse tomarse en cuenta cuenta que el peso peso propio propio de la platea platea no se incluye para el diseño estructural, puesto que la platea es soportada en forma uniforme por el suelo y los efectos de flexión son mínimos. 2. Se asume un un espesor espesor “e” para la losa losa de cimentació cimentación, n, el mismo que análog análogament amentee al caso de zapatas zapatas debe debe ser chequeado por corte flexión y corte punzonamiento. 3. Se dete determ rmin inaa las exc excen entr tric icid idad ades es e x y ey entre el centro de la figura de la edificación edificación y el centro de rigideces rigideces debido a las cargas sobre cada columna. Esta excentricidad como ya se indicó debe ser menor al 10% de la longitud en ambos sentidos para que se pueda emplear el método rígido. 4. Ubicada Ubicada la resultante resultante del del sistema sistema y las excentric excentricidade idadess correspondie correspondientes ntes se calcula calcula las presione presioness en deferentes deferentes puntos de la losa con la siguiente siguiente ecuación: q
=
Q A
±
M X * Y I X
±
M Y * X I Y
− − − − − −1
La ecuación 1 no es aplicable si se resultan valores negativos q: Presión de contacto de un punto dado (x,y) P = Q : Carga vertical sobre la platea (total) A: Área de la platea MX y MY : Carga q, multiplicada por la excentricidad paralela a los ejes coordenados x, y respectivamente . IX , IY: Momento de inercia del área de cimentación con respecto a los ejes coordenados x e y respectivamente. X, y : Coordenadas de cualquier punto de la planta con respecto a los ejes coordenados x e y que pasan por el centroide del área de la platea. 5. Conoci Conocidos dos los valor valores es de la presió presiónn de contact contactoo en cada punto punto , deb debemo emoss determi determinar nar primer primerame amente nte los momentos y luego el refuerzo de acero para toda la losa, para este efecto el criterio más empleado es dividir el tablero total de la losa en franjas con anchos iguales al ancho tributario en en cada eje y en los dos sentidos sentidos , tal como se muestra en el gráfico siguiente:
franja
Franja (l2)
franja
franja
Franja (l1)
l1
l1/2
l1 l2/2
franja l2
l2
6. Finalmente Finalmente para para cada franja franja calculo calculo el diagrama diagrama de cortes cortes y momentos momentos utilizand utilizandoo cualquier cualquier método método de análisis análisis estructural, alternativamente para franjas en que las luces contiguas no varíen en mas del 20% y la diferencia entre entre cargas cargas no exceda exceda al 30%, 30%, se pue puede de utiliz utilizar ar coefic coeficien ientes tes del ACI. cuy cuyos os valore valoress se muestr muestran an a continuación:
COEFICIENTES:
2
2
Para la fuerza cortante:
1.0
q * L 2
Para momentos flectores: - 2 Tramos: - 3 o más tramos: L = Distancia entre ejes de columnas (m) q’= Presión promedio por franja y por metro de ancho (t/m) 7. Con Con el cort cortee máximo máximo halla hallado do se verif verific icaa si el peral peralte te asumid asumidoo cumple cumple por corte corte – flexi flexión ón y corte corte – punzonamiento y con los momentos máximos se calcula el acero positivo y negativo para la franja en estudio por los métodos ya conocidos.
PROBLEMA: Diseñar la losa sólida de cimentación para recibir las cargas que se muestran en la figura: f’c = 210 kg/cm2 fy = 4200 4200 kg/cm2 kg/cm2 Columnas = 40*40 cm² 2 σ T = 0.8kg / cm Centro de la figura: C = (6.5,7.5) Cálculo de rigidez
∑ M
=0 (110 + 40 +100)(6.5) + (55 +120 + 45)13 = R ( x) 360(6.5) + 220(13) = 800( x) x = 6.42m A
e x
= 6.50 − 6.42 = 8cm
∑ M
1
=0
(120 +140 +120)(75) + (60 +100 + 55)15
= 800( y )
= 7.6cm e y = 7.6 −7.5 =10cm
y
1. Calculada Calculadass las excentrici excentricidades dades debe debe verificarse verificarse que estas estas sean menores menores al 10% para para poder utilizar utilizar el método método convencional rígido. 8cm 13cm 10cm 15cm
= 0.62% = 0.67%
2. Cálcul Cálculoo de la ecua ecuació ciónn de la pres presión ión efec efectiv tiva. a. q=
P A
±
M x ( y) I x
±
M y ( x) I y
3
P = 800tn
= 15. * 13 = 195m 2 M x = 800(e y ) = 800(0.10) = 80tn − m M y = 800(0.08) = 64tn − m A
I x I y q
=
13(15)
=
15(13)
3
12 3
12
= 3656.25m 4 = 2746.25m 4
=4.10 ±0 .021 y ±0.023 x
3. Conocida la ecuación de presiones buscaremos determinar el valor de la presión en los mas críticos de la losa para determinar así el valor mas critico y también la franja o franjas mas criticas. En le cuadro siguiente se muestra los valores hallados para diferentes de la losa de cimentación:
PUNTO A-1 A-3 B-3 C-3 C-1 B-1 B-2 A-2
P/A 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10 4.10
Y -7.50 7.50 7.50 7.50 -7.50 -7.50 0 0
X 6.50 6.50 0 -6.50 -6.50 0 0 6.50
0.021Y -0.1575 0.1575 0.1575 0.1575 -0.1575 -0.1575 0 0
0.023X 0.1495 0.1495 0 -0.1495 -0.1495 0 0 0.1495
Q(tn/m²) 4.092 4.407 4.2575 4.108 3.743 3.9425 4.10 4.2495
El eje mas critico será uno que contenga el 3, tomaremos el 1-2-3 por tener luces mayores. 4. Cálculo de los diagramas de cortes y momentos Como se conocen las presiones en todos los puntos reincidencia de cargas en la losa puedo determinar la presión promedio para todos los ejes y calcular los momentos para cada franja. En el presente ejemplo analizaremos solo la franja correspondiente al eje A por ser la mas critica y el mismo proceso será repetitivo para las siguientes franjas. En los siguientes gráficos se muestran los diagramas de corte y momentos para el eje en mención, debiendo destacarse que no se usa un valor promedio de la presión (q’) el diagrama de cortes y momentos difícilmente cortará en cero. q' =
( 4.092 + 4.407 + 4.2495) 3
q ' = 4.25(3.45)
=14.8tn
= 4.25tn / m 2
/m
= 69 = 69 −14.8d
V max V u
Con el corte critico verificaremos si el peralte asumido para la losa que en este caso es t =50cm cumple o no con el corte flexión y corte punzonamiento como se muestra a continuación:
CORTE – FLEXION Para t = 50cm
→
d = 40 cm
V u
= 69 −14.8(0.40) = 63.08tn
V c
=φ * 0.53
V c
= 0.85 * 0.53 >V u
V c
f ' c * b * d
210 * 345 * 40
= 90.9tn
4
CORTE PUNZONAMIENTO V u
= 140tn
V c
=φ * 0.53
b0
= perimetro = 4d + 1.60cm
V c
=V u
Carga columna central Fuerza cortante permisible por punzonamiento.
f ' c * b * d
140000 = φ * 0.53 210 (4d +1.60)d d = 55.9cm
Espesor: t = d+ recubrimiento+d/2 t = 65 cm
Finalmente para cumplir con ambas condiciones utilizamos un peralte para la losa de 65 cm. 5. Cálculo de áreas de acero El acero se calcula solo para la franja en estudio aunque el proceso es repetitivo para cualquier otra franja. Como la estructura es simétrica en luces y cargas para los momentos se utilizan los coeficientes del ACI. q’ = 14.8 tn/m² L = 7.50 m.
Cálculo de acero negativo Asumiendo a = 5 A s
=
104.06 * 10
5
5 0.9( 4200)55 − 2
= 52.44cm 2
a
=
52.44(4200) 0.85(210)(345)
= 3.5cm → MAL
a = 3.5 As = 51.70 cm² a = 3.5 O.K! φ 5/8"
→ @=
φ 3/4" → @ =
2 51.70 2.85 51.70
* 345 = 13.53 → 5/8” @ 10 cm * 345
= 19.02 → 3/4” @ 15 cm
Acero Positivo Asumiendo a = 2.8 A s
=
83.25 * 10
5
0.9(4200)55 −
a
=
41.09(4200) 0.85(210)(345)
2.8 2
= 41.09cm 2
= 2.8cm → o.k !
→ 5/8” @ 15 cm
CAPITULO JHGKJ DISEÑO DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS
5
INTRODUCCIÓN.El presente análisis y diseño de losas armadas en dos sentidos incluye un método único para resolver tanto losas sólidas apoyadas sobre vigas perimetrales como también el caso de losas planas o flat-slabs en que las losas armadas en dos sentidos van apoyadas directamente sobre columnas generalmente a través de ábacos o capiteles en las mismas. Hasta la década de los años 70 se analizaba separadamente estos dos casos, pero desde la actual norma peruanas E-60 y en los reglamentos americanos desde el ACI 83 se consideran ambos casos como variantes de un método único en el que las losas apoyadas sobre vigas perimetrales dependiendo de la sección de estas últimas se considera como que la losa esta apoyada sobre elementos de poca rigidez (vigas chatas), o sobre elementos de gran rigidez (vigas peraltadas) y en el caso específico de losas planas se asume que la losa esta apoyada sobre una viga de rigidez cero. Esta teoría de un método único para resolver tanto losas sólidas apoyadas sobre vigas perimetrales, como losas perimetrales, como losa planas parte del concepto del Momento Isostático Total (Mo) y para su aplicación hay una serie de variantes como son el método de los coeficientes, el método directo y el método de la estructura equivalente cuyo desarrollo analizaremos posteriormente. Finalmente debe destacarse que si bien analizaremos el caso de las losas planas, este tipo de estructura es preferible evitar en obra, puesto que al no haber un elemento que distribuya la carga como son las vigas toda la carga se concentra en las columnas de apoyo, produciéndose por tanto momentos y cortes demasiado grandes, que resulta crítico para la estructura especialmente en el caso de sismos.
COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS.Experimentos realizados en la universidad de Illinois o EEUU, con modelos realizados a escala para losas armadas en dos sentidos apoyadas perimetralmente sobre vigas en sus 4 bordes y con luces entre columnas de 1.5 m. a las que se sometió mediante ensayos a cargas similares a las reales y en las que se estudiaron los mecanismos den falla por flexión cortante y torsión para el caso de las vigas de borde, así como un chequeo de deflexiones y agrietamientos para diferentes niveles de carga en las losas, demostrar que el concepto de Momento Isostático Total (Mo), funciona adecuadamente para un eje cualquiera, tal como se muestra en el gráfico siguiente:
PLANTA B A 5
C
150
150
D 150
5
4 150 3 150 2 150
1 sección
variable
l2 Dimensiones en cm 4
3 l1 2 l1
1’ 1
A
A’ l
B B’ l
C
D l
l1
6
Mo
=
(Wl 2 )l 1
2
8
Mo = Momento estático Total = momento positivo en el centro del claro mas el promedio de los momentos negativos en los extremos Wl2 = Carga por unidad de longitud l1 = longitud del claro considerado Por ejemplo en el claro 2-3
Mo
=
M neg 2
+ M neg 3
2
+ M pos
1
2
3
4
Diagrama de Momentos en la Franja de la Losa
Una vez que se reparte el Momento Isostático Total (Mo) a lo largo del eje como se ve en el ejemplo anterior, en el que se repartió el Momento Total en momentos negativos en los extremos y momento positivo al centro, el siguiente paso consistirá en distribuir estos momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio , dividiéndose como veremos más adelante hasta en tres sectores: Sector de la viga es sí (que es la más rígida) Sector de la losa cercana a la viga (franja columna) Sector de la losa alejada de la viga (franja central) Los diferentes métodos que analizaremos más adelante nos indicarán como hallar el porcentaje de momento para cada sector, primero a lo largo del eje y luego a lo ancho de la misma franja.
VARIABLES QUE INTERVIENEN PARA LA REPARTICIÓN DE MOMENTO ISOSTATICO TOTAL Entre los principales tenemos lo siguientes:
1. Rigidez De La Columna Soportante.
7
Si las columnas soportantes son bastante rígidas en comparación con las rigideces de las vigas y losa que forman en sistema entrepiso, entonces la restricción que se proporciona en los apoyos es más grande y como tal los momentos flexionantes en estos extremos son relativamente grandes , en el caso en que la rigidez de las columnas sea pequeña con respecto a la rigidez de las vigas y losa de piso, la restricción en los apoyos es menor y como tal los momentos en los extremos son menores . En el caso extremo de que las columnas tuvieran una rigidez muy pequeña comparada con los otros elementos del sistema de piso , prácticamente todo el momento sería absorbido por la losa creándose una condición de diseño crítica. Recuérdese que por el concepto de Momento Isostático Total (Mo) , lo que se pierda en momento negativo en los apoyos se gana en momento positivo al centro del tramo, de allí que para un diseño adecuado es conveniente que los momentos positivos y negativos sean similares para una distribución adecuada del refuerzo, bajo esta consideración el comportamiento con columnas rígidas, resulta mejor que el comportamiento con columnas flexibles, tal como se muestra en el gráfico siguiente: 1
2
3
4
C3 C1 Columnas Rígidas
C4 C2 Columnas Flexibles C1 > C2 , C4 > C3
C5
Columnas sin Rigidez C5 > C4 > C3
2. Rigidez A La Flexión De La Viga. Otro elemento importante para la distribución del Momento Isostático Total (Mo) es la rigidez a la flexión de la viga del sistema de piso. Esta variable influye para la distribución a lo ancho de la franja, produciéndose que si la viga es bastante rígida (vigas peraltadas) casi todo el momento es absorbido por dicha viga y el momento que absorba la losa será bastante pequeño en cambio si la viga es poca rígida (vigas chatas) gran parte del momento tendrá que ser absorbido por la losa, llegándose al caso extremo de que cuando no hay vigas de apoyo todo el momento es soportado por la losa llegándose a una condición crítica de diseño.
3. Efecto Torsionante De Las Vigas Considerando que las losas armadas en los dos sentidos son generalmente de luces considerables , la rigidez torsionante de las vigas produce un empotramiento parcial de las losas, esta condición resulta crítica especialmente para las vigas de borde en que puede suceder que la capacidad torsionante de la viga no soporte el peso y las solicitaciones que le
8
transmite la losa. Para que un sistema de piso exista el efecto de rigidez torsionante de las vigas, es necesario que estas sean monolíticas con la losa y con las columnas de apoyo.
4. Efecto De Las Cargas La carga que actúa sobre el sistema de piso es variable pues si bien la carga permanente es constante sobre toda la estructura, la sobrecarga es variable, pues se da el caso en que por ejemplo en estructuras como bodegas, almacenes , locales industriales , etc, hay paños que reciben una carga considerable , mientras hay paños totalmente descargados lo que conlleva a que tengamos que analizar un juego de posiciones de sobrecarga para hallar los valores críticos de diseño. Considerando entonces que es la carga viva la que mayor problemática crea en el diseño de losas, el diseño será más crítico cuanto mayor sea la carga muerta y es por eso que todos los métodos se consideran un factor de corrección cuanto mayor sea la sobrecarga respecto a la carga permanente. A parte de estos factores que son los más importantes existen una serie de variables que influyen para el análisis más adecuado de una losa sólida armada en dos sentidos, entre las principales variables que también influyen en el diseño esta la calidad de los materiales , índice de refuerzo, módulo de elasticidad del concreto, forma de vaciado y vibrado de la losa, etc. Todos estos factores hacen que el diseño de una losa armada en dos sentidos sea bastante complejo y que no pueda analizarse la losa como un sistema aislado, sino que hay que considerar la interacción entre columnas de apoyo, vigas y losa.
METODOS DE SOLUCIÓN Entre los principales métodos de solución tenemos los siguientes: • • •
Método de los coeficientes Método directo Método de la estructura equivalente
De estos 3 métodos, en el presente curso se analizará los dos últimos, no considerándose el método de los coeficientes pues da resultados muy conservadores que nos sirven tan solo para un diseño preliminar, además de que su aplicación consiste tan solo en utilizar coeficientes que da la norma y que se encuentran en cualquier texto. En cuanto a los métodos de la Estructura Equivalente y el Directo que dan resultados menos conservadores, sólo desarrollaremos el segundo de éstos, que será analizado en detalle en los acápites siguientes:
METODO DIRECTO.El método Directo, como su nombre lo indica, es más simple y se basa fundamentalmente en que bajo ciertas hipótesis de diseño se trata de cuantificar todas las variables indicadas en el acápite anterior, y en base a tablas se reparte el Momento Isostático Total (Mo) primero en momentos positivos y negativos a lo largo del eje en estudio y luego se determina los diferentes momentos en el ancho de la franja tributaria , este método si bien mas sencillo, tiene las siguientes limitaciones: 1.- Debe existir por lo menos tres claros continuos en cada dirección. 2.- Los tableros deben ser de tipo rectangular con una relación lado mayor a lado menor, no mayor que 2. 3.- Entre tramos sucesivos no debe haber una diferencia de luces mayor al 30% con respecto a la mayor luz. 4.- Las columnas deben estar alineadas sobre el mismo eje, aceptándose una excentricidad máxima del 10% de la luz del tramo adyacente y en el sentido que se realiza el análisis. 5.- La estructura debe estar sujeta únicamente a carga vertical uniformemente distribuida y la carga viva no debe exceder de 3 veces la carga muerta. 6.- Cuando exista vigas en los cuatro bordes de un tablero la relación de rigideces entre las dos direcciones perpendiculares de una estructura debe cumplir la siguiente relación: 2
0.2 <
α 1* l α
2* 1
l
2 2
< 5.0
Donde: l1= luz en le sentido de análisis
9
l2= luz en el sentido transversal ∝1 y ∝2 = relación de rigideces de las vigas en ambos sentidos
PROCEDIMIENTO DEL METODO DIRECTO .1. Determinación del Momento Isostático Total (Mo), Tal como se muestra en el gráfico siguiente:
ln
A
B
C
ln
la
1
l2= la+lb/2
lb l2= (l b+ lc)/2
2
lc 3
Momentos en esta dirección
l1
Mo
=
(Wu * l 2 ) ln
l1
2
8
En la fórmula anterior se aprecia que en lugar de l 1 se coloca ln, que no es otra cosa que la misma luz peor entre caras interiores de los apoyos como se aprecia en el gráfico anterior, debiendo cumplirse siempre que ln ≥ 0.65 l1. Así mismo debe tenerse en cuenta que para columnas circulares puede tomarse un área equivalente al de las columnas cuadradas, donde el lado del cuadrado de igual área es 0.89 por el diámetro del círculo.
2. Distribución del Momento Isostático Total (Mo) en momentos positivos y negativos a lo largo del eje en estudio. Para hacer esta distribución debe tenerse en cuenta que la metodología es diferente para tramos interiores y para tramos exteriores de la losa. En el gráfico siguiente se muestra la distribución para un tramo interior en que el momento positivo siempre será 35% del Momento Isostático Total (Mo) y el momento negativo será 65% del Momento Isostático Total (Mo). Es de destacar que el valor de los momentos negativos coincide con la cara interior de la columna y no con el eje, ya que esta última sección en la cara interior del apoyo es la más crítica por flexión. A
B Exterior
C Interior
a)
M2 M1
0.35Mo
Mo Mo
M3 b)
0.65Mo
10
Para el caso de un tramo exterior hay que calcular los valores M 1, M2 y M3 que se muestran en el gráfico anterior en base al grado de empotramiento entre los elementos de apoyo (placas, columnas o muros) y el sistema de entrepiso formado por vigas y/o losas tal como se muestra en la tabla siguiente: COEFICIENTES DEL MOMENTO ISOSTATICO TOTAL, Mo, EN CLAROS EXTREMOS
1
2
3
4
5
Apoyo exterior libre
Losas sin vigas entre los Losa con apoyos interiores viga entre los apoyos Sin vigas de Con vigas borde de borde
Apoyo Exterior Totalmente Restringido
Momento Negativo Interior (M1 en la figura)
0.75
0.70
0.70
0.70
0.65
Momento Positivo (M2 en la figura)
0.63
0.57
0.52
0.50
0.35
Momento Negativo Exterior (M3 en la figura)
0.00
0.16
0.26
0.30
0.65
Es de destacar que cuando los dos momentos negativos que llegan a un apoyo interior son diferentes se toma el de mayor valor absoluto. Así mismo hay que destacar que si existen vigas de borde transversales el momento negativo exterior M 3 pasa a ser el momento torsionante para dicha viga de borde. En el caso de no existir vigas de borde es la losa en su franja de columna la que tiene que soportar la torsión en la forma que se detallará posteriormente. Finalmente hay que destacar que para el caso de losas planas exclusivamente antes de pasar al siguiente paso de diseño en esta etapa hay que verificar que el momento y corte transmitido a las columnas de apoyo no sea excesivo tal como se muestra en las relaciones siguientes: a. Transmisión Del Momento De La Losa a La Columna (solo para losas planas) C1
C2 C2 +2(1.5h)
h
11
1
γ f =
2
1+
*
3
C 1
+
d
C 2
+
d
d = h − r M N
= M R
* γ f
Donde : M N : Momento transmitido a la columna Si M N < Mu OK¡ M N > MU Rediseñar la columna¡ b. Transmisión Del Corte De Losa A Columna (solo para losas planas) Vu
ν u =
Ac
+
( γ v
*
M N
)
J C
Donde: a
= C 1 + d
2 b = C 2 + d C =
2
a 2a + b
También tenemos : Ac= (2a+b)d 3
J / C =
2ad ( a + 2b) + d (2a + b) / a 6
Donde:
ν u = Esfuerzo de corte transmitido a la columna Vu = Corte actuante sobre la losa que puede calcularse de acuerdo a la siguiente relación: Vu
=
W 2 * l 2 2
* l 1
Donde: Ac = es el área que resiste al corte γ v = 1- γ f Donde:
12
M N = es el momento nominal transmitido a la columna y hallado en el paso anterior J = momento polar de inercia C = distancia a la fibra más comprimida al eje neutro Este corte transmitido ala columna de ser comparado con el corte que absorbe el concreto en punzonamiento y que viene dado por la relación: ν u
=φ 1 .1
f ´c
Si Vu < Vc ......OK! Si Vu > Vc ......Rediseñar la columna
3. Cálculo del efecto de cargas desfavorables El paso siguiente sería distribuir los momentos positivos y negativos hallados para el eje en estudio en momentos a lo ancho de la franja en estudio, sin embargo en la metodología se analizó de que la presencia de sobrecargas considerables afectaría el diseño, en tal sentido los momentos hallados en el paso anterior deben ser verificados por este posible efecto de cargas desfavorables y recién verificables esta condición se distribuyen los momentos a lo ancho de la franja en estudio. Esta verificación de cargas desfavorables se realizará siempre y cuando la relación entre la carga muerta y la carga viva (βa) sea menor que 2 tal como se muestra en la siguiente relación: β a
=
W D
≤
W L
2 (sin factores)
En el caso que sea necesario chequear el efecto de las cargas desfavorables debe compararse dos parámetros: α
C
=
Σ K C
(
Σ K S + K b
)
Donde: cc = Sumatoria de las rigideces de las columnas, por encima y debajo del punto en estudio ΣK C + ΣK b = Sumatoria de las rigideces de la losa y el trave para el elemento en estudio Estos valores deben compararse con un αmin (tablas) que es la relación de rigideces mínima para que no haya problema de cargas desfavorables. En la tabla siguiente se muestra los valores del αminimo. VALORES DE α MÍNIMO βa
2.0 1.0
0.5
0.33
Relación de Rigidez Relativa de la Viga claros l1/l2 0 0.5 0.5 – 2.0 0 0 0.5 0.6 0 0.8 0.7 0 1.0 0.7 0.1 1.25 0.8 0.4 2.0 1.2 0.5 0.5 1.3 0.3 0.8 1.5 0.5 1.0 1.6 0.6 1.25 1.9 1.0 2.0 4.9 1.6 0.5 1.8 0.5 0.8 2.0 0.9 1.0 2.3 0.9 1.25 2.8 1.5 2.0 13.0 2.6
1.0 0 0 0 0 0 0.2 0 0.2 0.2 0.5 0.8 0.1 0.3 0.4 0.8 1.2
2.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3 0 0 0 0.2 0.5
4.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3
13
Conocidos los valores de αc y αmin, se comparan estos y pueden presentarse dos casos: a) Si αc > αmin ....... No se requiere corrección¡ b) Si αc< αmin ......... Hay corrección¡ Y la corrección consiste en amplificar los momentos positivos del eje en estudio por el factor que se indica a continuación: δ S
=1 +
2 − β a 4 + β a
1 − α C α min
4. Distribución de los momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio.Los momentos positivos y negativos corregidos o no calculados en los pasos anteriores deben distribuirse a lo ancho de la franja en estudio tal como se muestra en el gráfico siguiente: l1
A
½ franja central Franja de columnas
l2 B
B
½ franja central
0.25l2 0.25l1 A
½ franja ½ franja columna central ½ franja central
Franja de columna s
½ franja central
l2/4 l2/2 l2/4 SECCIÓN A-A (tablero interior)
Franja de columnas
½ franja central SECCIÓN B-B (tablero de borde)
A efectos de distribuir los momentos en la franja columna que incluye la viga y en la franja central se puede utilizar la siguiente tabla: Tabla (% que va para la franja columna) Relación de Rigideces Momentos negativos en (α1l2/l1) = 0 apoyos interiores (α1l2/l1) ≥ 1.0 Momentos negativos en (α1l2/l1) = 0
βt = 0
Valores l1/l2 0.5 1.0 75 75 90 75 100 100
2.0 75 45 100
14
apoyos exteriores Momentos positivos
βt ≥ 2.5 βt = 0 βt ≥ 2.5
(α1l2/l1) ≥ 1.0
75 100 90 60 90
(α1l2/l1) = 0 (α1l2/l1) ≥ 1.0
CALCULO DEL PARÁMETRO
75 100 75 60 75
75 100 45 60 45
1
Este parámetro se define como la relación entre la rigidez a flexión de una viga situada en el eje de columnas y la rigidez a flexión de la franja de losa limitada por los ejes centrales de los tableros adyacentes, se expresa con la siguiente ecuación: α 1=
E cb * I b E cs * I b
Donde: Ecb = módulo de elasticidad del concreto de la viga I b = Inercia de la viga Ecs = Módulo de elasticidad del concreto de la losa} Is = Inercia de la losa Es de destacar que cuando la construcción es monolítica, la viga incluye un tramo de losa cada lado de las losas laterales de la viga, igual a su proyección por abajo o por arriba de la losa pero no mayor que cuatro veces el espesor de la losa. Por tanto el momento de inercia Ib es de la sección L ó T que se muestran en los gráficos siguientes según se tratte de vigas de borde o de vigas interiores respectivamente. bw+bf t E
h
bf = (h-t)
C
bw
bf
4t
bw+2bf t E C
bf
bw
h
bf l2
Para la losa:
e = espesor
h-t
I s
=
l 2 * e
3
12
15
CALCULO DEL PARÁMETRO
-
t.
Este parámetro se define como la relación entre la rigidez a torsión de una viga de borde y la rigidez a flexión de una franja de losa cuyo ancho es igual al claro de la viga de borde medido centro a centro entre los apoyos. Se expresa mediante la siguiente ecuación: β t
=
E cb * c 2 E cs * I s
Donde: C = es una constante que define la rigidez a torsión de la viga de borde en forma semejante como el momento de inercia define la rigidez a flexión y se calcula tal como se muestra en la fórmula y gráfico siguientes: c
3 x x y = Σ 1 − 0 . 63 y 3
y
x
y
x
x y
y
x
a)
b)
y x
c)
Conocidos los parámetros de α y β es fácil ahora utilizar la tabla y definir el porcentaje de momento que va para la franja columna. Obviamente el porcentaje que va para la franja central será el 100% menos el porcentaje que absorbe la franja columna. Finalmente quedaría por definir que porcentaje de la franja columna para la viga es para la viga en sí y que porcentaje para la losa en su franja de columna, pudiendo presentarse tres casos: a.
Si
α 1 l 2 l 1
≥ 1.00
El 85% del momento lo absorbe la viga y el 15% la losa (vigas peraltadas) b. Si
α 1l 2 l 1
= 1.00
Quiere decir que es una losa plana y el 0% del momento para la viga y 100% para la losa en su franja columna. c.
Si
0≤
α 1 l 2 l 1
≤ 1.00 16
Se interpola entre los casos anteriores (vigas chatas).
5. Cálculo de áreas de acero Para calcular las áreas de acero en la losa estas se calculan para cada uno de los ejes en los dos sentidos de análisis, buscando de uniformarse en uno y otro sentido el acero de refuerzo, las fórmulas a utilizarse son las ya conocidas:
As =
a
=
M
(
φ f y d − a
2
)
As f y 0.85 fc ' b
En el caso de vigas se verifica que los momentos hallados sean menores a los momentos con que fue diseñada la viga, caso contrario se colocará refuerzo adicional en los referidos elementos.
6. Revisión de cortante para vigas y losas Para chequear el corte en las losas propiamente dichas y en las vigas de apoyo tanto la norma peruana E-060 como el ACI- 95 utilizan el principio de áreas tributarias tal como se muestra en el siguiente gráfico: l2
45°
C
L l2
PARA VIGAS: Si las vigas son bastante rígidas vale decir:
α 1l 2 l 1
≥ 1.00
Se utiliza el principio de áreas tributarias a 45° en que las vigas largas soportan el área trapezoidal C y las vigas cortas el área triangular L. En el caso de losas planas, el corte totalmente lo soporta la losa y el corte que absorbe las vigas es V = 0. Finalmente para el caso de vigas flexibles, cuando:
17
0≤
α 1 l 2 l 1
≤ 1.00
Se interpola entre los dos casos anteriores. En todos los casos se compara el corte hallado con el corte que fue diseñada la viga, si el corte hallado es menor no hay problema en el diseño de la viga, en cambio si el corte hallado en este paso resulta mayor que aquel con que se diseño la viga deberá confinarse en mejor forma los estribos para la viga en análisis.
Para Losas: Para la losa en estudio se utiliza un corte crítico, que viene definido por la relación: V max
V c
W * l = 1.15 u 1 2
=φ * 0.53 *
Si Vmax ≤ Vc Si Vmax > Vc
fc' * b * d
OK¡ Mejorar espesor de la losa.
7. Cálculo del peralte Este paso debe realizarse al inicio del problema, sin embargo su cálculo incluye ciertos parámetros que recién se han definido por lo que recién se menciona el cálculo de peralte. Para calcular el peralte mínimo que requiere la losa armada en dos sentidos y evitar que se calcule deflexiones se utilizan las siguientes fórmulas:
Losas Con Vigas De Apoyo (mayor valor) h
ln ( 800 + 0.071 * fy )
=
36000 + 5000 * β α m
1 − 0.5 (1 − β s )1 + β
ln ( 800 + 0.071 * fy )
h=
36000 + 5000 * β (1 + β s )
Losas Planas h=
ln (800 + 0.071 * fy ) 36000
Donde: αm = promedio de los valores de α , para el tablero en estudio. β = relación de claro largo a claro corto del tablero en estudio. βs = relación entre la longitud de lados continuos y el perímetro total del tablero.
Independientemente de los valores que se halle con estas fórmulas, la norma da los siguientes espesores mínimos: a. Losas sin vigas o sin ábacos.......12.5 cm b. Losas con vigas y con ábacos.....10.0 cm c. Losas con vigas en los cuatro lados con un valor de αm por lo menos igual a 2.0.........9.0 cm 8. Detalles del refuerzo: 1.- El acero mínimo a utilizarse en cualquiera de los sentidos es:
18
AsT = 0.0018 * b * t 2.- El espaciamiento máximo del refuerzo de acero no excederá de : Smax ≤ 2t 3.- Las longitudes mínimas para anclajes y empalmes son similares a las de losas aligeradas. 4.- Para el caso de losas apoyadas sobre vigas rígidas:
α 1l 2 l 1
≥ 1.00
Existen problemas en las esquinas de los tableros ya que se producen reacciones en los apoyos y como tal la losa tiende a levantarse para evitar este efecto la norma recomienda un refuerzo adicional inclinado a 45° y en una longitud igual a 1/5 de la luz, tal como se muestra en el gráfico siguiente:
LECHO SUPERIOR LECHO INFERIOR 1/5 del claro
1/5 del claro
1/5 del claro
b) En una sola dirección
a) En dos direcciones
PROBLEMA Diseñar los tableros 2 y 4 para la losa armada en dos sentidos y apoyadas sobre vigas en todos sus bordes y con las características que se muestran a continuación: Datos f´c = 210 kg/cm 2 fy = 4200 kg/cm 2 Vigas en la dirección horizontal: 25 * 70 cm. Vigas en la dirección vertical: 25 * 50 cm. Columnas: 40 * 40 cm. Espesor losa: 15 cm. Sobrecarga primer piso: 700 kg/m2 Peso piso terminado: 100 kg/m 2 1
7m
2
6m
3
6m
4
7m
5
A 5m
I
II
III
IV
B 4m C 5m D
19
2 3m
1 5m 0
El primer paso en este tipo de problemas es identificar los diferentes tipos de tableros o paños que existen pues para el resto el armado será similar, en el presente caso hay 4 tipos de tableros. 1° Verificación de utilización del método directo 1. 3 sentido vertical 3 sentido horizontal
OK!
2. 7/4 = 1.75 < 2
OK!
3. 5/4 = 1.25 < 1.3
OK!
4. Alineadas
OK!
5.
W L W D
≤ 3.00
6. WD = 0.15*2400 = 360 Kg/m 2 p.t. = 100 Kg/m2 --------------460 Kg/m2 W L W D
=
700 460
= 1.52 ≤ 3 2
7.
0.2 <
α 1* l α
2
* l 1
2 2
< 5.0
Cálculo de los valores de α
135 cm.
Vigas interiores de 6 m y 7 m (ejes B y C)
1
15 cm
2
55cm
70 cm
20 25 cm
55 cm
55 cm
(h-t) 4t 70 - 15 = 55 55 60
Calculamos inercia: I T = Io+Ad2
Fig 1 2
Area 2025 1375 3400
Σ
y
Σ A * y c
=
164375
=
Σ A
Yc 62.5 27.5
3400
=
A*Yc 126562.5 37812.5 1643.75
Io 37968.75 346614.58 384583.33
d 14.15 20.85
d2 200.22 434.7
A*d2 405450.56 597743.44 1003194
d2 349.32 266.02
A*d2 419179.32 365772.14 784951.46
48.34
ITrave = 384583.33 + 1003194 = 1387777.33 cm 4
= b * t 12
I losa
α =
3
I Trave I losa
=
=
4.5 * 0 .15 12
3
= 126562 .2 cm 4
1387777.33 126562.2
= 10.96
Vigas exteriores de 6m y 7m (ejes A y D) 80 cm 15 cm
1 55 cm
55 cm
2
(h-t) 4t 70 - 15 = 55 55 60
25 cm
Calculamos inercia: I T = Io+Ad2
Fig 1 2
Area 1200 1375 2575
Σ
y
=
Σ A * y c Σ A
=
67437.5 2575
Yc 7.5 42.5
=
A*Yc 9000 58437.5 67437.5
Io 22500 346614.58 399114.58
d 18.69 16.31
26.19
ITrave = 399114.58 + 784951.46 = 115406604 cm 4
21
Inercia losa: b
= l + viga = 2.5 + 0.25 = 2.625 2
2
t = 0.15 m 3
3
= b * t = 262 .5 * 15 = 73828 .125 cm 4
I losa
12
α =
12
I Trave
115406604
=
I losa
73828.125
= 15.63
Vigas Interiores de 5m y 4m (ejes 2 y 4) 95 cm 15 cm
1 35 cm
35 cm
(h-t) 4t 50 - 15 = 35 35 60
35 cm
2
50 cm
25 cm
Calculamos inercia: I T = Io+Ad2
Fig 1 2
Area 1425 875 2300
Σ
y
=
Σ A * y c Σ A
75875
=
2300
Yc 42.5 17.5
=
A*Yc 60562.5 15312.5 75875
Io 26718.75 89322.92 116041.667
d 9.511 15.489
d2 90.459 239.909
A*d2 128904.075 209920.375 338824.450
32.989
ITrave = 116041.667 + 338824.450 = 454866.117 cm 4 I losa
α =
=
b * t 12
I Trave I losa
3
=
=
650 * 15 12
3
= 182812.5 cm 4
454866 .117 182812.5
= 2.488
Vigas Exteriores de 5m y 4m (ejes 1 y 5) 60 cm 15 cm
1 35 cm
35 cm
2
(h-t) 4t 50 - 15 = 35 35 60
25 cm
22
Calculamos inercia: I T = Io+Ad2
Fig 1 2
Area 900 875 1775
Σ
y
=
Σ A * y c
=
Σ A
Yc 42.5 17.5
53562.5
=
1775
A*Yc 38250 15312.5 53562.5
Io 16875 89322.917 106197.917
d 12.324 12.676
d2 151.881 160.681
A*d2 136692.878 140595.854 277288.732
30.176
ITrave = 106197.917 + 277288.732 = 383486.649 cm 4 Inercia losa: b = l +
viga 2
=
350 +
25 2
=
362.5
t =15 cm 3
3
= b * t = 362 .5 * 15 = 101953.125 cm 4
I losa
12
α =
I Trave I losa
12
383486.649
=
101953.125
= 3.761
Vigas interiores de 4m y 5m (eje 3) 95 cm 15 cm
1 35 cm
35 cm
(h-t) 4t 50 - 15 = 35 35 60
2
35 cm
50 cm
25 cm
Calculamos inercia: I T = Io+Ad2
Fig 1 2
Area 1425 875 2300
Σ
y
=
Σ A * y c
I Trave
Σ A
=
75875 2300
Yc 42.5 17.5
=
A*Yc 60562.5 15312.5 75875
Io 26718.75 89322.92 116041.667
d 9.511 15.489
d2 90.459 239.909
A*d2 128904.075 209920.375 338824.450
32.989
=116041.667 +338824.450 = 454866.117 cm 4
23
I losa
α =
b * t = 12
I Trave I losa
3
=
=
600 * 15 12
3
= 168750 cm 4
454866 .117 168750
= 2.696
1
2
A
3
= 15.63
B
I
II
= 10.96
= 10.96
III
= 3.76
C
D
= 15.63
IV
= 2.49
4
5
= 15.63
= 15.63
= 10.96
= 10.96
= 2.7
= 2.49
= 10.96
= 10.96
= 10.96
= 15.63
= 15.63
= 15.63
= 3.76
= 10.96
= 15.63
Conocidos todos los valores de α, procedemos a verificar en los cuatro tipos deferentes de tableros si se cumple o no la ecuación: 2
0.2 <
α 1* l α
* l 1 2
2 2
< 5.0
Tablero I α1 = 10.96 + 15.63 = 26.59
l1 = 7 m α2 = 3.76 + 2.49 = 6.25 l2 = 5 m 26.59 * 5
2
6.25 * 7
2
1 2.17
=
= 2.17
0.46
OK!
24
Tablero II α1 = 15.63+ 10.96= 26.59
l1 = 6 m α2 = 2.49 + 2.7 5.19 l2 = 5 m 26.59 * 5 5.19 * 6
1 3.56
2
= 3.56
2
0.28
=
OK!
Tablero III α1 = 10.96 + 10.96 = 21.92
l1 = 7 m α2 = 3.76 + 2.49 = 6.25 l2 = 4 m 21.92 * 4 6.25 * 7
1 1 .15
2
=1.15
2
=
0.87
OK!
Tablero IV α1 = 10.96 + 10.96 = 26.59
l1 = 6 m α2 = 2.49 + 2.7 = 5.19 l2 = 4 m 21.92 * 4 5.19 * 6
1 1.88
2
2
=
=1.88
0.53
OK!
Finalmente concluimos en que el tablero más crítico es el número II y que es más factible emplear el Método Directo en la solución del presente problema. 2° Verificación del Peralte Pese a que en el presente problema se da un espesor de la losa de 15 cm., por razones académicas verificaremos, si ese es un peralte adecuado o no. h
=
ln ( 800 + 0.071 * fy )
36000 + 5000 * β α m
1 − 0.5 (1 − β s )1 + β
25
ln ( 800 + 0.071 * fy )
h=
36000 + 5000 * β (1 + β s )
l n = 700 - 40 = 660 cm = 6.6 m β =660/460 = 1.435 βs En el tablero I
β S
=
α
m
h
=
5+7 5+5+7+7
0.5
=
= 15.63 + 10 .96 + 3.76 + 2.49 = 8.21 4
660 ( 800 + 0.071* 4200)
36000 + 5000 *1.435 8.21 − 0.5 (1 − 0.5)1 + h
= 7.89 cm
h
=
h
=15.5 cm.
1.435 1
660 ( 800 + 0.071 * 4200 ) 36000 +5000 *1.435 (1 + 0.5)
De acuerdo a cálculos debiera asumirse un peralte de 15.5 cm, por lo que el valor asumido al inicio del problema de 15 cm parece correcto. 3° Cálculo de Momento Isostático Total : W U W U W U
Mo
= 1.5 * W D + 1.8 * W U = 1.5 * 460 + 1.8 * 700 = 1950 Kg / m 2 = 1.95 Tn / m 2
=
(Wu * l 2 ) ln
2
8
Ejes A y D: Mo =
1.95 (2.5 + 0.125) 8
Mo =
1.95 (2.625) 8
* 6.6
* 5.6
2
2
= 27.87 Tn − m
= 20.07 Tn − m
Tramos 1-2 y 4-5
Tramos 2-3 y 3-4
Ejes B y C: Mo =
1.95 ( 4.5)
Mo =
8 1.95 (4.5) 8
* (7 − 0.4)
2
= 47.78 Tn − m
2
= 34.40 Tn − m
* (6 − 0.4)
Tramos 1-2 y 4-5
26
Tramos 2-3 y 3-4
Ejes 1 y 5: Mo =
1.95 (3.5 + 0.125) 8
=
Mo
1.95 (3.625) 8
* 4.6
* 3.6
2
2
= 18.70 Tn − m
= 11.45 Tn − m
Tramos A-B y C-D
Tramo B-C
Ejes 2 y 4: 1.95 (6.5)
Mo
=
Mo
=
8
1.95 (6.5) 8
* 4.6
2
= 33.53 Tn − m
2
= 20.53 Tn − m
* 3.6
Tramos A-B y C-D
Tramo B-C
Eje 3: Mo =
1.95 (6)
Mo =
8
1.95 (6) 8
* 4.6
2
* 3.6
2
= 30.95 Tn − m
= 18.95 Tn − m
Tramos A-B y C-D
Tramo B-C
4° Distribución de Mo, en momentos positivos y negativos a lo largo de los diferentes ejes: Ejes A y D: (Caso 2) M1-2 (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 27.8 = 4.46 Tn-m M1-2 (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 27.8 = 15.89 Tn-m M2-1 (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 27.8 = 19.51 Tn-m M2-3 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 20.07 = 13.05 Tn-m M2-3 (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 20.07 = 7.02 Tn-m M3-2 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 20.07 = 13.05 Tn-m Simetría Ejes B y C: (Caso 2) M1-2 (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 47.78 = 7.64 Tn-m M1-2 (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 47.78 = 27.23 Tn-m M2-1 (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 47.78 = 33.45 Tn-m
27
M2-3 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 34.40 = 22.36 Tn-m M2-3 (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 34.40 = 12.04 Tn-m M3-2 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 34.40 = 22.36 Tn-m Simetría Ejes 1 y 5: MA-B (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 18.70 = 2.99 Tn-m MA-B (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 18.70 = 10.66 Tn-m MB-A (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 18.70 = 13.89 Tn-m MB-C(-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 11.45 = 7.44 Tn-m MB-C (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 11.45 = 4.00 Tn-m Simetría Ejes 2 y 4: MA-B (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 33.53 = 5.36 Tn-m MA-B (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 33.53 = 19.11 Tn-m MB-A (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 33.53 = 23.47 Tn-m MB-C(-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 20.53 = 13.34 Tn-m MB-C (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 20.53 = 7.18 Tn-m Simetría Ejes 3: MA-B (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 30.95 = 4.95 Tn-m MA-B (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 30.95 = 17.64 Tn-m MB-A (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 30.95 = 21.67 Tn-m MB-C(-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 18.95 = 12.32 Tn-m MB-C (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 18.95 = 6.63 Tn-m Simetría 5° Chequeo de efecto de cargas desfavorables: Antes de distribuir los momentos hallados en el paso anterior a lo ancho de la franja, debe verificarse que no haya efecto de cargas desfavorables. Este chequeo se hace por columnas y en el presente caso verificaremos una columna exterior (A1) y otra interior (B2). β a
=
460 700
W D W L
≤
2
≤2 28
0.66
Hay que hacer chequeo
≤2
Columna A-1 (Eje A : más crítico) α
Σ K C
=
C
(
Σ K S + K b
40
I =
4
12
)
= 213333.33 cm4
K 1
= 213333.33 = 426 .67
K 2
= 213333.33 = 711 .11
500
300
=1154060.04 cm 4
I b
Is = 73828.125 cm
α
C
4
426 .67 + 711 .11 1154060.04 + 73828.125
=
= 0.65
700
Para hallar αmin, tenemos: βa=0.66
l 2
=
l 1
5.00 7.00
= 0.71
α = 15.63 αmin = 0 αc >αmin
OK!
Columna B-2 (Eje 2) α
C
I =
=
Σ K C
(
Σ K S + K b
40
4
12
)
= 213333.33 cm4
K 1
= 213333.33 = 426 .67
K 2
= 213333.33 = 711 .11
I b
500
300
= 454866.40 cm 4
29
Is =182812.50 cm
α
C
=
4
426.67 + 711 .11 454866.40 + 182812.50 454866.4 + 182812.50 + 500 400
= 0.40
Para hallar αmin, tenemos: βa=0.66
l 2 l 1
= 6.00 = 1.5 4.00
α = 2.49 αmin = 0 αc >αmin
OK! No hay corrección
6. Distribución de momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio Para distribuir los momentos a lo ancho de la franja en estudio conocemos ya los parámetros calcularemos ya los previamente el parámetro βt para las vigas de borde.
α , sin embarga
Cálculo de βt , para las vigas de borde, ejes de A y D.
β t =
C 1
Ecb C 2 * Ecs Is
15 15 = 1 − 0.63 * 80
C = Σ ( 1 − 0.63
;
3
* 80 3
3
x x y ) y 3
+ ( 1 − 0.63* 25 )
3
25 * 55
55
3
80
C 1
15
= 283795.83 cm 4
55
80
25 15 70
30 25
C 2
3 15 15 * 55 25 = 1 − 0 . 63 * + ( 1 − 0.63* ) 55 3 70
C 2
= 333795 .83 cm 4
β t =
C 2 Is
=
3
25 * 70 3
( el mayor )
333975.83
500 *153 2 12
= 1.19
Por ser de borde se usa toda la longitud y no ancho tributario EJES A y D: SECCION
M 1-2 M 1-2 M 2-1 M 2-3 M 2-3 M 3-2
(-) (+) (-) (-) (+) (-)
α = 15.63
M TOTAL ( Tn – m)
L 2 / L1
0.71 0.71 0.71 0.83 0.83 0.83
M ( Franja
M ( Viga )
11.10 11.10 11.10 13.03 13.03 13.03
1.19
0.93 0.84 0.84 0.80 0.80 0.80
4.15 13.35 16.39 10.44 5.62 10.44
3.53 11.35 13.93 8.87 4.78 8.87
M ( losa con franj. colum.)
M ( Franja central )
0.62 2.00 2.46 1.57 0.84 1.57
0.31 2.54 3.12 2.61 1.41 2.61
α = 10.95
β t =
M 1-2 ( - ) M 1-2 ( + ) M 2-1 ( - ) M 2-3 ( - ) M 2-3 ( + ) M 3-2 (-)
% Tabla
βt
central )
4.46 15.89 19.51 13.05 7.03 13.04
EJES B y C :
SECCION
α1 ρ2 / ρ1
M TOTAL ( Tn – m)
C 2 Is
L 2 / L1
;
Is
=
α1 ρ2 / ρ1
450 * 15 12
3
= 126562 .5
% Tabla
βt
∴
M ( Franja
β t = 1.32
M ( Viga )
central )
7.64 27.23 33.44 22.36 12.06
0.64 0.64 0.64 0.75 0.75
7.01 7.01 7.01 8.22 8.22
22.36
0.75
8.22
1.32
M ( losa con franj. colum.)
M ( Franja central )
0.925 0.86 0.86 0.325 0.825
7.07 23.42 28.76 18.45 9.95
6.01 19.91 24.44 15.68 8.4
1.05 3.51 4.31 2.77 1.49
0.57 3.81 4.68 3.91 2.11
0.825
18.45
15.68
2.77
3.91
EJES 1 y 5:
31
15 35 3 15 15 * 35 + ( 1 −0.63 * 25 ) C = 1 −0.63 * 35 3 50 4 C = 207129.19 cm ( el mayor )
50
25 60
15 3
C = 1 − 0.63 *
15 15 * 60
60
C =157129.19 cm
3
+ ( 1 − 0.63 *
25 35
3
)
25 * 35 35 3
4
25
β t =
C 2 Is
SECCION
M AB M AB M BA M BC M BC
3
;
Is
= 700 * 15 = 196875 12
M TOTAL ( Tn – m)
(-) (+) (-) (-) (+)
∴
L 2 / L1
α1 ρ2 / ρ1
β t =
207129.17 2 * 196875
% Tabla
βt
= 0.53
M ( Franja
M ( Viga )
central )
2.99 10.66 13.89 7.44 4.00
1.4 1.4 1.4 1.75 1.75
5.26 5.26 5.26 6.58 6.58
0.53
0.92 0.63 0.63 0.53 0.53
2.75 6.72 8.75 3.94 2.12
2.34 5.71 7.44 3.35 1.80
M ( losa con franj. colum.)
M ( Franja central )
0.41 1.01 1.31 0.59 0.32
0.24 3.94 5.14 3.50 1.88
EJES 2 y 4: β t =
C 2 Is
SECCION
M AB M AB M BA M BC M BC
(-) (+) (-) (-) (+)
;
Is
=
M TOTAL ( Tn – m)
5.36 19.11 23.47 13.34 7.18
650 * 15
3
12
L 2 / L1
= 182812 .5 cm 4 α1 ρ2 / ρ1
∴
β t = 0.57
% Tabla
βt
M ( Franja
M ( Viga )
central )
1.3 1.3 1.3 1.63 1.63
3.24 3.24 3.24 4.06 4.06
0.57
0.92 0.66 0.66 0.56 0.56
4.93 12.61 15.49 7.47 4.02
4.19 10.72 13.17 6.35 3.42
M ( losa con franj. colum.)
M ( Franja central )
0.74 1.89 2.32 1.12 0.60
0.43 6.50 7.98 5.87 3.16
32
3
25 * 50 3
EJE 3: β t =
C 2 Is
;
SECCION
M AB M AB M BA M BC M BC
(-) (+) (-) (-) (+)
Is
=
M TOTAL ( Tn – m)
600 * 15 12
3
= 158750 cm 4
L 2 / L1
α1 ρ2 / ρ1
∴
β t = 0.61
% Tabla
βt
M ( Franja
M ( Viga )
M ( losa con franj. colum.)
central )
5.36 19.11 23.47 13.34 7.18
1.3 1.3 1.3 1.63 1.63
3.24 3.24 3.24 4.06 4.06
0.57
0.92 0.66 0.66 0.56 0.56
4.93 12.61 15.49 7.47 4.02
4.19 10.72 13.17 6.35 3.42
M ( Franja central )
0.74 1.89 2.32 1.12 0.60
0.43 6.50 7.98 5.87 3.16
7.- Cálculo de área de acero por franjas: Conocidos los momentos para las diferentes franjas se procede al cálculo de las correspondientes áreas de acero. En el presente caso a manera de ejemplo calcularemos las áreas de acero para las diferentes franjas de los ejes B y C tal como se muestra en el siguiente gráfico:
EJES B y C:
½ franja central
1.25 Viga
1.25
Franja de columna
B
1.00 ½ franja central
1.00
7.00
6.00
EJES B y C:
SECCION
M 1-2 M 1-2 M 2-1 M 2-3 M 2-3 M 3-2
(-) (+) (-) (-) (+) (-)
M TOTAL M ( losa con ( Tn – m) franj. colum.)
7.64 27.23 33.44 22.36 12.06 22.36
1.06 3.47 4.26 2.77 1.49 2.77
M ( Franja
As 1
As 2
As mín.
central )
0.57 4.08 5.02 3.91 2.11 3.91
6.08 7.34 9.01 6.08 6.08 6.08
6.08 8.63 10.62 8.28 6.08 8.28
6.08 6.08 6.08 6.08 6.08 6.08
Armado As 1 φ 3/8 “ @ 25 cm. φ 3/8 “ @ 20 cm. φ 3/8 “ @ 15 cm. φ 3/8 “ @ 25 cm. φ 3/8 “ @ 25 cm. φ 3/8 “ @ 25 cm.
−
Armado As 2
φ 3/8 “ @ 25 cm. φ 3/8 “ @ 15 cm. φ 3/8 “ @ 15 cm. φ 3/8 “ @ 15 cm. φ 3/8 “ @ 25 cm. φ 3/8 “ @ 15 cm.
As 0 . 0018 mín . Usando 3 / 0 . 71 @ * 225 6 08 As * fy a 0 . 85 f ' c * b Mu fy ( d 0.9 * 4200 33
− a
M = 3.47
=
As * fy 0.85 f ' c * b
;
d = 13
=1 2 As = 7.34 cm a
a
=
As * fy 0.85 f ' c * b
= 0.77 cm ∴ As = 7.34 cm2 a
@=
0.71
* 225 = 21.8 ≅ 20 cm 7.34 φ 3 / 8" @ 20 cm
Para el resto de franjas se calcula el área de acero en forma similar, debiendo después superponerse el armado de todas las franjas y buscar lograr que el armado final sea sencillo, económico y de relativa fácil ejecución. 8.- Revisión de cortante para la losa
Vu
= 1.15
Wu l 1
2 Wu = 1.5 ( 4.50 +1.8 * 700)
Vu
= 1950
=1.15 1950 * 4.60 = 5157.75 2
=φ 0.53 f ' cbd Vc = 0.85 * 0.53 210 Vu
* 100 * 13
= 8486.87 Kg
4
4
4
Problema:- Calcular los momentos de diseño por el método directo en la dirección achurada para una losa armada en los dos sentidos ubicada en un piso intermedio, el edificio tiene placas de concreto que asumen las fuerzas del sismo y no tiene vigas de borde, las características de la edificación se muestran en el cuadro y grafico siguientes: Datos: Altura del piso: 2.70 m Columnas: 40*40 cm Tabiquerias: 100 Kg/cm2 Acabados: 100 Kg/cm2 Sobrecargas: 200 Kg/cm2 f`c = 210 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2 Recubrimiento: 3 cm.
5
5
5 34
1.- Verificación de aplicación del Método Directo. La presente estructura cumple contadas las condiciones de luces y cargas para poder aplicar el método directo. En cuanto al chequeo de los valores de , cuando no existen vigas de apoyo no se realiza esta verificación puesto que todos los valores de son igual a 0 ( cero ).
2.- Cálculo del espesor de la losa. l n (800 + 0.071 fy )
h
=
h
=
h
= 0.14 m.
36000 (5 − 0.4) (800 + 0.071* 4200) 36000
En la práctica por el alto corte y momento que soportan estas losas se sugiere aumentar en un 10%el valor hallado del peralte. h
= 0.17 m.
( Con 10% de exceso )
3.- Cálculo del Mo
35
Mo =
Wu * l 2 8
l n
2
= 0.17 * 2400 +100 +100 W D = 608.0 Kg / m W L = 200 Kg / m W U =1.5( 608) +1.8( 200) W U =1272 Kg / m =1.272 Tn / m W D
Mo =
1.272 * 4.0
(5 − 0.4)
8 ( Para todo el eje )
2
=13.46Tn − m
4.- Verificación del peralte hallado por corte – flexión y corte - punzonamiento . En el caso de losas planas como ya se indico el problema de corte y momento es crítico, por lo que el peralte asumido debe chequearse por corte – flexión y corte punzonamiento. a.- Chequeo por corte – flexión.
=W U * l V U =1.272 ( 2.50 − 0.20 − 0.14 ) V U = 2.75 Tn Vc = φ 0.53 f ' c bd Vc = 0.85 * 0.53 210 * 100 * 14 = 9.14 Tn Vu
b.- Chequeo por corte – punzonamiento. V U
= W U ( A − A' )
=1.272(5 * 4 − 0.50 * 0.54 ) V U = 29.07 Tn Vc = φ 1.1 f ' cbd Vc = 0.85 * 1.1 210 * (54 * 4 ) * 14 = 40.97 Tn V U
5.- Distribución del Mo en momentos positivos y negativos a lo largo del eje. Tabla Caso 3 M1-2 ( - ) = 0.26 ( 13.46 ) = 3.50 Tn-m M1-2 ( + ) = 0.52 ( 13.46 ) = 7.00 Tn-m M2-1 ( - ) = 0.70 ( 13.46 ) = 9.42 Tn-m M2-3 ( - ) = 0.65 ( 13.46 ) = 8.75 Tn-m M1-2 ( + ) = 0.35 ( 13.46 ) = 4.71 Tn-m Simétrico 6.- Verificación efecto cargas desfavorables.
36
β t =
W D
β t =
608
W L
200 β t = 3.04
< 2.00 = 3.04 > 2.00
No hay chequeo !
7.- Distribución de los momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio. MOMENTO
Tramo exterior Neg. Exterior Positivo Neg. Interior Tramo interior Negativo Positivo
MOMENTO1 FACTORIZADO
FRANJA DE COLUMNA % TABLA MOMENTO
DOS MEDIAS FRANJAS CENTRALES
3.50 7.00 9.42
100 60 75
3.50 4.20 7.06
0.00 2.80 2.36
8.75 4.71
75 60
6.56 2.83
1.19 1.88
8.- Verificación del momento y corte transmitido a las columnas de apoyo. Esta verificación adicional se realizara sólo para el caso de losas planas. a) Verificación del momento.- De acuerdo al siguiente gráfico:
C 0.26 Mo
C + 2 ( 1.5h )
Franja de columna
γ ( 0.26 Mo) f
Mn = As * fy ( d – a/2 )
h * Ancho efectivo de la losa por transferencia de momento por flexión
Fig. Esfuerzo del momento nominal para franja de columna para calcular a) f = 0.6 ;
v = 0.4
Va
=
Vu
+
vMn = ( 1 –
f )Mn.
γ v M n
Ac 1 / C a = 40 +14 / 2 = 47
= 40 +14 = 54 2 Ac = [ 2( 47 ) +54] *14 = 2072 cm b
37
