UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRACION FINANCIERA Nombre: Nelson Wladimir Trujillo Guerrón Curso: Séptimo – Primero Capítulo 5: El valor del dinero a través del tiempo
PA-1 Defínase cada uno de los siguientes términos: a)
PV.-valor presente, o monto inicial
i.- tasa de interés que paga el banco por año sobre la cuenta INT.- dólares de intereses que ganan durante un año
FVn.-valor futuro, o monto final, de su cuenta al final de n años.
n.- número de periodos que intervienen en el análisis
PVAn.-valor presente de la anualidad FVAn.-valor futuro de la anualidad
PMT.- situaciones de anualidad en que los flujos de efectivo son constantes y utilizar el término flujo de efectivo m.- es el número de veces que ocurre la composición por año
iNom.- es la tasa nominal anual
FVTF¡,n.- se define como factor de interés a valor futuro para i y n.
PVTF¡,n.- se define como factor de interés a valor presente para i y n.
FVIFA¡,n.- se define como factor de interés a valor futuro para una anualidad
PVIFA¡,n.-se define como factor de interés a valor presente para una anualidad
b)
(⁄ )
c)
Tasa de costo de oportunidad .- la tasa de rendimiento sobre la mejor alternativa de inversión disponible de igual igual riesgo. riesgo.
d)
Anualidad.-Se define como una serie de pagos periódicos iguales (PMT) durante un número determinado de periodos
e)
Anualidad ordinaria (diferida) .-es cuando los pagos ocurren al final de cada periodo.
Anualidad pagadera .-es cuando los pagos se hacen al inicio de cada periodo.
Perpetuidad.- es una corrientes de pagos iguales que se espera continúe indefinidamente
f)
g)
Flujo de salida .- es un depósito, un costo o una cantidad pagada
Flujo de entrada.- es un ingreso
Línea de tiempo .- es una herramienta para analizar el valor del dinero a través del tiempo
h)
Proceso de composición .- se refiere al proceso para determinar el valor futuro de un flujo de efectivo Proceso de descuento .- es el proceso que se sigue para encontrar el valor presente de un flujo de efectivo
i)
Proceso de composición anual .- se refiere al proceso que se sigue para determinar el valor futuro de una serie de pagos periódicos durante un año Proceso de composición semestral .- se refiere al proceso que se sigue para determinar el valor futuro de una serie de pagos periódicos durante un semestre Proceso de composición trimestral .-se refiere al proceso que se sigue para determinar el valor futuro de una serie de pagos periódicos durante un trimestre Proceso de composición mensual .-se refiere al proceso que se sigue para determinar el valor futuro de una serie de pagos periódicos durante un mes Proceso de composición diario .-se refiere al proceso que se sigue para determinar el valor futuro de una serie de pagos periódicos durante un día
j)
Tasa anual efectiva .- es la tasa con la cual se obtendrá el mismo resultado que hubiera sido usado una tasa periódica determinada con m periodos de descomposición por a ño. Tasa de interés nominal .- es la tasa que cotizan los prestamistas y prestatarios APR.- es la tasa porcentual anual, representa la tasa periódica estipulada sobre una base anual sin considerar el interés compuesto Tasa periódica.- es la tasa cargada por un prestamista o pagada por un prestatario en cada periodo
k)
Programa de amortización .- es un programa que muestra en forma exacta la manera en que un préstamo será rembolsado Préstamo amortizado .- es un préstamo que será rembolsado en pagos iguales a lo largo de su vida.
Valor terminal .- es el valor futuro de una corriente desigual de flujos de efectivo
l)
PA-2 Supóngase que hoy es el 1 de enero de 1993. El 1 de enero de 1994 se depositaran $1000 en una cuenta de ahorros que paga el 8%. a. Si el banco paga un interés anualmente compuesto, ¿Cuánto se tendrá en la cuenta el 1 de enero de 1997?
b. ¿Cuál será el saldo al 1 de enero de 1997 si el banco usara un proceso de composición trimestral en lugar de un proceso de composición anual?
c. Supóngase que se deposita los $1000 en 4 pagos de $250 cada uno el 1 de enero de 1994, 1995, 1996 y 1997. ¿Cuánto se tendría en cuenta el 1 de enero de 1997, tomando como base un proceso anual de composición del 8%?
d. Supóngase que se depositaran cuatro pagos iguales en la cuenta el 1 de enero de 1994, 1995, 1996 y 1997. Suponiendo una tasa de interés del 8%. ¿Qué tan grande tendría que ser cada uno de sus pagos para que se obtuviera el mismo saldo final que calculó en la parte a?
PMT= 279.556
PA-3 Supóngase que hoy es el 1 de enero de 1993, y se necesitaran $1000 el 1 de enero de 1997. El banco sujeta el interés a un proceso de composición con una tasa del 8% anual. a. ¿Qué cantidad se deberá depositar en 1 de enero de 1994 para tener un saldo de $1000 al 1 de enero de 1997?
b. Si se desea hacer pagos iguales cada 1 enero desde 1994 hasta 1997 para acumular los 1000 ¿Qué tan grande debería ser cada uno de los cuatro pagos?
i=0.08
94
95 ¿
96 ¿
97 ¿
98 0
793.83
PMT=221.92
c. Si una persona ofreciera hacer los pagos que se calcularon en la parte b ($221.92) o proporcionar una suma acumulada de $750 el 1 de enero de 1994. ¿Cuál opción sería mejor? Primera opción
Segunda opción
Sería mejor una suma acumulada de 750 el 1 de enero de 1994
d. Si se tuviera sólo $750 el 1 de enero de 1994, ¿Qué tasa de interés, anualmente compuesta, se tendría que ganar para tener los $1000 necesarios el 1 de enero de 1997?
√
e. Supóngase que se deposita tan solo $186.29 cada 1 de enero desde 1994 hasta 1997, pero que aun necesariamente $1000 el 1 de enero de 1997. ¿Qué tasa de interés, con una composición anual, se deberá buscar para lograr esta meta?
√
5-1. Encuéntrense los siguientes valores mediante el uso de las ecuaciones apropiadas y posteriormente resuélvanse los problemas usando una calculadora financiera o las tablas correspondientes para verificar la respuesta. Hágase a un lado los errores de redondeo. a. b. c. d.
Una suma inicial de $500 compuesta durante un año al 6%. Una suma inicial de $500 compuesta durante 2 años al 6%. El valor presente de $500 pagaderos a 1 año a una tasa de descuento del 6%. El valor presente de $500 pagaderos a 2 años a una tasa de descuento del 6%.
Desarrollo: a. Una suma inicial de $500 compuesta durante un año al 6%. i=0.06
0 VP=500
1 VF=530
Solución numérica FV = PV (1 + i) n FV = 500 (1+0.06) FV = 500 (1.06) = 530
b. Una suma inicial de $500 compuesta durante 2 años al 6%. i=0.06
0
1
VP=500
2 VF=561.80
Solución numérica FV = PV (1 + i) n FV = 500 (1+0.06) 2 FV = 500(1.1236) = 561.8 c.
El valor presente de $500 pagaderos a 1 año a una tasa de descuento del 6%. i=0.06
0 VP=471.7
1 VF=500
Solución numérica PV = FV (1 + i) -n PV = 500(1+0.06) -1 PV = 500(1.06) -1 = 471.69
Solución tabular
=0.9434
PVIF i,n =
PV = FV *PVIF
PV=500*0.9434 = 471.7
d. El valor presente de $500 pagaderos a 2 años a una tasa de descuento del 6%. i=0.06
0 VP=444.998
1
2 VF=500
Solución numérica PV = FV (1 + i) -n PV = 500(1+0.06) -2 PV = 500(1.06) -2 = 444.9982
Solución tabular
=0.8900
PVIF i,n =
PV = FV *PVIF PV=500*0.8900 = 445
5.2. Úsense las tablas o una calculadora financiera para encontrar los siguientes valores. Vuélvase a consultar y úsese la pista que se dio para el problema 5-1 a. b. c. d.
Una suma inicial de $500 compuesta por 10 años al 6% Una suma inicial compuesta por 10 años al 12% Valor presente de $500 pagaderos a 10 años a una tasa de descuento del 6% Valor presente de $1552.9 pagaderos a 10 años a una tasa de descuento del 12% y a una tasa del 6%. Proporciónese una definición verbal para el término valor presente e ilústrese usando una línea de tiempo con los datos de este problema. Como parte integral de la respuesta, explíquese por qué los valores presentes dependen de las tasas de interés.
a. Una suma inicial de $500 compuesta por 10 años al 6% i=0.06
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
VP=500
10 VF=895.42
Resultado: FV = 895.42 b. Una suma inicial compuesta por 10 años al 12%
Línea de tiempo i=0.12
0 VP=500
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 VF=1552.92
Resultado: FV = 1552.92
c.
Valor presente de $500 pagaderos a 10 años a una tasa de descuento del 6%
i=0.06
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
VP=279.19
10 VF=500
Resultado: PV = 279.19
d. Valor presente de $1552.9 pagaderos a 10 años a una tasa de descuento del 12% y a una tasa del 6%. Proporciónese una definición verbal para el término valor presente e ilústrese usando una línea de tiempo con los datos de este problema. Como parte integral de la respuesta, explíquese por qué los valores presentes dependen de las tasas de interés. i=0.12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
VP=499.99
10 VF=1552.90
Resultado: PV = 499.99 i=0.06
0
1
2
3
VP=867.13 PV = FV (1 + i)
4
5
6
7
8
9
10 VF=1552.90
-n
PV = 1552.90 (1+0.06) -10
Resultado: PV = 867.13
Valor Presente: El valor presente es el valor actual de uno o más pagos que habrían de recibirse en el futuro o también el valor presente es aquél que calcula el valor que una cantidad a futuro tiene en este instante.
Valor presente
Valor futuro
2000.00
1500.00
1500.00
1000.00
1000.00
6%
500.00
12%
0.00
6% 500.00
12%
0.00 1 3 5 7 9
1
3
5
7
9
5.3. ¿Qué cantidad de tiempo se requerirá para que una suma de $200 se duplique si se deposita y gana en las siguientes tasas? Aproxima la respuesta al año más cercano. a. Si la tasa es de 7% b. Si la tasa es de 10% c. Si la tasa es de 18% d. Si la tasa es de 100% Desarrollo a. Si la tasa es de 7%
Despejando :
La respuesta aproximada al año más cercano
b. Si la tasa es de 10%
Despejando tendríamos:
La respuesta aproximada al año más cercano
c.
Si la tasa es de 18%
La respuesta aproximada al año más cercano
d. Si la tasa es de 100%
5.4 Encuéntrese el valor futuro de las siguientes anualidades. El primer pago de estas anualidades se hace hasta el final del año 1; es decir, son anualidades ordinarias a. $400 por año durante 10 años al 10% b. $200 por año durante 5 años al 5% c. $400 por año durante 5 años al 0% d. Ahora vuélvase a responder las partes a, b y c suponiendo que los pagos se hacen al inicio del año; es decir, son anualidades pagaderas.
Desarrollo
a. $400 por año durante 10 años al 10%
b. $200 por año durante 5 años al 5%
c. $400 por año durante 5 años al 0%
d. Ahora vuélvase a responder las partes a, b y c suponiendo que los pagos se hacen al inicio del año; es decir, son anualidades pagaderas. FVAn (anualidad pagadera)=PMT (FVIFAi,n ) (1+i)
5.5 Encuéntrese el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias (consultar la nota del problema 5.4.). a. $400 por año durante 10 años al 10% b. $200 por año durante 5 años al 5% c. $400 por año durante 5 años al 0% d. Ahora vuélvase a responder las partes a, b y c suponiendo que los pagos se hacen al inicio de cada año; es decir, son anualidades pagaderas. Desarrollo
+PMT
a. $400 por año durante 10 años al 10%
+
PVA10=2444.28
b. $200 por año durante 5 años al 5%
+
PVA5=865.6979
c.
$400 por año durante 5 años al 0%
+
PVA5=2000
d. Ahora vuélvase a responder las partes a, b y c suponiendo que los pagos se hacen al inicio de cada año; es decir, son anualidades pagaderas. PVAn (anualidad pagadera)=PMT (PVIFAi,n ) (1+i) a. $400 por año durante 10 años al 10% PVA10 (anualidad pagadera)=400 (6.1446) (1+0.1)
PVA10=2703.624 b.
$200 por año durante 5 años al 5%
PVA5 (anualidad pagadera)=200 (4.3295) (1+0.05)
PVA5=909.195
c.
$400 por año durante 5 años al 0% PVA5 (anualidad pagadera)=400(4.8534) (1+0.0)
PVA5=1941.36 5.6. a. Encuéntrese los valores presentes de las siguientes corrientes de flujos de efectivo. La tasa de interés apropiada es del 8%. (Una pista: resulta muy sencillo resolver este problema tratando con los flujos de efectivo individuales. Sin embargo si se dispone de una calculadora financiera, léase la sección del manual donde se describe la forma de registrar flujos de efectivo similares a los de este problema. Este llevará un poco de tiempo, pero tal inversión de t iempo pagará enormes dividendos a lo largo de todo el curso. Nótese que, si se t rabaja con el registro de flujo de efectivo, será necesario registrar CF 0=0. )
Año
Corriente de efectivo A
Corriente de efectivo B
1
$100
$300
2
400
400
3 4
400 400
400 400
5
300
100
Corriente de efectivo A i=0.08
0 VP=?
1 300
2 400
3 400
4 400
5 100
∑ ∑ i=0.08
0
1 100
2 400
3 400
4 400
5 300
Corriente de efectivo B i=0.08
0 VP=?
1 100
2 400
3 400
4 400
5 300
1 100
2 400
3 400
4 400
5 300
i=0.08
0
b. ¿Cuál es el valor de cada corriente de flujo de efectivo a una tasa de interés del 0%? Corriente de efectivo A i=0.00
0
1 100
2 400
3 400
4 400
5 300
1 300
2 400
3 400
4 400
5 100
Corriente de efectivo B i=0.00
0
5.7. Encuéntrese las tasas de interés, o las tasas de rendimiento, de cada uno de los siguientes conjuntos de datos: a. Se obtienen en préstamos $700 y se promete reembolsar $749 al final de 1 año. b. Se prestan $700 y se recibe una promesa de reembolso de $749 al final del 1 año. c. Se obtienen en préstamo $9000 y se promete reembolsar $201 229 al final de 10 años d. Se obtienen en préstamo $9000 y se promete hacer pagos de $2 684.80 por año durante 5 años. Desarrollo: a. Se obtienen en préstamos $700 y se promete reembolsar $749 al final de 1 año.
b.
I=7% Se prestan $700 y se recibe una promesa de reembolso de $749 al final del 1 año.
I=7% c. Se obtienen en préstamo $85000 y se promete reembolsar $201229 al final de 10 años
I=9%
d. Se obtienen en préstamo $9000 y se promete hacer pagos de $2684.80 por año durante 5
años
I=8%
5.8 Encuéntrese el monto al cual crecerán $500 bajo cada una de las siguientes condiciones: a. 12% anualmente compuesto durante 5 años. b. 12% semestralmente compuesto durante 5años. c. 12% trimestralmente compuesto durante 5 años. d.12% mensualmente compuesto durante 5 años. Desarrollo a. 12% anualmente compuesto durante 5 años.
b. 12% semestralmente compuesto durante 5años. Aquí i=tasa por periodo=tasa anual /periodos de composición por año
Y el n=el número total de periodos=años*periodos por año
c. 12% trimestralmente compuesto durante 5 años. Aquí i=tasa por periodo=tasa anual /periodos de composición por año
Y el n=el número total de periodos=años*periodos por año
d. 12% mensualmente compuesto durante 5 años. Aquí i=tasa por periodo=tasa anual /periodos de composición por año
Y el n=el número total de periodos=años*periodos por año
5.9 Encuéntrese el valor presente de $500 pagaderos en el futuro bajo cada una de las siguientes condiciones: a. Una tasa nominal del 12% semestralmente compuesta, descontada por 5 años. b. Una tasa nominal del 12% trimestralmente compuesta, descontada por 5 años. c. Una tasa nominal del 12% mensualmente compuesta, descontada por 1 año. Desarrollo a. Una tasa nominal del 12% semestralmente compuesta, descontada por 5 años.
+PMT
Aquí i=tasa por periodo=tasa anual /periodos de composición por año
Y el n=el número total de periodos=años*periodos por año +500
b. Una tasa nominal del 12% trimestralmente compuesta, descontada por 5 años.
+PMT
Aquí i=tasa por periodo=tasa anual /periodos de composición por año
Y el n=el número total de periodos=años*periodos por año
+500
c. Una tasa nominal del 12% mensualmente compuesta, descontada por 1 año.
+PMT
Aquí i=tasa por periodo=tasa anual /periodos de composición por año
Y el n=el número total de periodos=años*periodos por año
+500
5.10. Encuéntrense los valores futuros de las siguientes anualidades ordinarias: a. El valor futuro de $400 cada seis meses durante 5 años a una tasa nominal del 12%, semestralmente compuesta.
b. El valor futuro de $200 cada 3 meses durante 5 años a una tasa nominal del 12%, trimestralmente compuesta.
c. Las anualidades que se describieron en las partes a y b tienen la misma cantidad de dinero pagadero en ellas mismas durante el periodo de 5 años y ambas ganan intereses a la misma tasa nominal; sin embargo, la anualidad de la parte b gana $101.60 más que la anualidad de la parte a, a lo largo de los 5 años. ¿Por qué ocurre esto? Esto ocurre porque se ganan intereses sobre intereses con mayor frecuencia. Ocurre esto debido a que en la parte b los pagos se hacen cada 3 meses por lo tanto se ganará más intereses y su valor futuro aumentara.
