353
CAPÍTULO 8
ra casos representativos de ensanchamiento y contracción gradual. Note que en los cálculos de pérdida de de carga, se debe usar la velocidad velocidad en la tubería pequeña como la velocidad de referencia en la ecuación 8-56. Las pérdidas en los ensanchamientos usualmente son mucho mayores que las pérdidas en las contracciones debido a la separación del flujo. Los sistemas de tubería también implican cambios en la dirección sin un cambio en el diámetro. A tales secciones de flujo se les llama codos o flexiones. Las pérdidas en estos accesorios se deben a la separación del flujo (como un automóvil que sale del camino cuando entra muy rápido a una curva) en el lado interior y en los flujos arremolinados secundarios que se provocan por diferentes longitudes de trayectoria. Se puede minimizar las pérdidas debidas al cambio de dirección “facilitando “facilitando el giro del del fluido” al usar los codos circulares circulares en lugar de los esquinados (Fig. 8-38). Pero puede ser necesario el uso de flexiones de vueltas agudas (y por lo tanto sufrir un castigo en el coeficiente de pérdida) cuando el espacio para dar vuelta vuelta está limitado. En estos casos, casos, las pérdidas se pueden pueden minimizar al utilizar las álabes directores colocadas adecuadamente para ayudar a que el flujo dé vuelta de manera ordenada sin que salga del curso. En la Tabla 8-4 se proporcionan los coeficientes de pérdida de algunos codos circulares y esquinados, así como Te-ramificaciones. Estos coeficientes no incluyen las pérdidas por fricción a lo largo de los tramos curvos de la tubería. Las pérdidas de este tipo se deben calcular como en las tuberías rectas (con el uso de la longitud de la línea central como la longitud de la tubería) y sumarse a otras pérdidas. Comúnmen Comú nmente, te, las válvulas se usan en los sistemas de tubería para controlar las razones de flujo al simplemente alterar la pérdida de carga hasta que se logra la razón de flujo deseada. Para las válvulas es deseable tener un coeficiente de pérdida muy bajo cuando cuando están totalmente abiertas, de modo que causen causen la mínima pérdida de carga carga durante la operación operación de carga carga completa. En la actualidad, son de uso común varios varios diseños distintos de válvulas, cada uno con ventajas y desventajas. La válvula de compuerta se desliza arriba y abajo como una compuerta, la válvula de globo cierra un agujero colocado en la válvula, la válvula de ángulo es una válvula de globo globo con una una vuelta de 90° y la de retención permite que el fluido fluya fluya sólo en una dirección, dirección, como un diodo diodo en un circuito eléctrico. En la Tabla 8-4 se indican los coeficientes de pérdida representativos de los diseños populares. Note que el coeficiente de pérdida aumenta notablemente conforme la válvula válvula se cierra (Fig. 8-39). 8-39). Además, Además, la desviación en los coeficoeficientes de pérdida para diferentes fabricantes es más grande para las válvulas debido a sus geometrías complejas. EJEMPLO 8-6
Pérdida de carga y elevación de presión en ensanchamiento gradual
Codo embridado K L = 0.3
Cambio de dirección repentino K L = 1.1
FIGURA 8-38 Se pueden minimizar las pérdidas debidas al cambio de dirección “facilitando “facili tando el giro del del fluido” al usar los codos circulares en vez de los esquinados.
Válvula de globo V 1
V 2
Constricción V 2 = V 1 V constricción > V 1
FIGURA 8-39 La gran pérdida de carga en una válvula parcialmente cerrada se debe a desaceleración desacele ración irrev irreversible, ersible, separaci separación ón de flujo y mezcla de fluido de alta velocidad que llega del paso estrecho de la válvula.
Una tubería horizontal de agua de 6 cm de diámetro se ensancha gradualmente a una tubería de 9 cm de diámetro (Fig. 8-40). Las paredes de la sección de ensanchamiento tienen un ángulo de de 30° desde la horizontal. horizontal. La velocidad y presión promedio del agua antes de la sección de ensanchamiento son 7 m/s y 150 kPa, respectivamente. Determine la pérdida de carga en la sección de ensanchamiento y la presión en la tubería de diámetro más grande.
SOLUCIÓN
Una tubería horizontal de agua se ensancha gradualmente en una tubería de diámetro más grande. Se deben determinar la pérdida de carga y la presión a la salida del ensanchamiento. Hipótesis 1 El flujo es estacionario e incompresible. 2 El flujo en las secciones 1 y 2 es totalmente desarrollado y turbulento, con a1 a 2 1.06. kg/m /m3. El coeficienPropiedades La densidad del agua se toma como r 1 000 kg te de pérdida para expansión gradual de u 60° de ángulo ángulo total incluid incluido o es K L 0.07.
1
2 6 cm
9 cm
Agua 7 m/s 150 kPa
FIGURA 8-40 Esquema para el ejemplo 8-6.
354 FLUJO EN TUBERÍAS
Análisis Note que la densidad del agua permanece constante, la velocidad corriente abajo del agua se determina a partir de la conservación de la masa como:
#
m1
#
m2
→
r V1 A 1
r V2 A 2
V 2
V 2
(0.06 m)2 (7 m/s) (0.09 m)2
→
A 1 A 2
V 1
D 21 D 22
V 1
3.11 m/s
En consecuencia la pérdida de carga irreversible en la sección de ensanchamiento se vuelve:
h L
V 21
K L
2g
(7 m/s)2
(0.07)
2(9.81 m/s2)
0.175 m
Cuando se ve que z1 z2 y que no intervienen bombas o turbinas, la ecuación de energía para la sección de ensanchamiento se puede expresar en términos de cargas como:
P1 r g
a1
V 21
2g
z 1
h S
0
bomba, u
P2
r g
P1
→
r r g
V 22 a2 2g
a1 a
V 21
2g
z 2
P2 r r g
0 ht ¡ urbina, e
a2 a
V 22
2g
h L
h L
Cuando se resuelve para P2 y se sustituye,
P2
P1
e a
e
r
2
2
a 1V 1 a 2V 2
2 2
1.06(7 m/s)
gh L
f
1.06(3.11 m/s)2
2 1 kN 2
1 000 k g m/s
ba
1 kPa
1 kN/m2
(150 kPa)
(1 000 k g /m 3)
(9.81 m/s2)(0.175 m)
f
b
169 kPa
En consecuencia, pese a la pérdida de carga (y presión), la presión aumenta de 150 a 169 kPa a la salida del ensanchamiento. Esto se debe a la conversión de presión dinámica a presión estática cuando la velocidad de flujo promedio disminuye en la tubería más grande. Discusión Es de conocimiento común que se necesita la corriente arriba de mayor presión para provocar flujo, y puede sorprenderle al lector que la presión corriente abajo haya aumentado después del ensanchamiento, pese a la pérdida. Esto se debe a que el flujo es dirigido por la suma de las tres cargas que incluyen la carga total (la carga de presión, la carga de velocidad y la carga de elevación). Durante la expansión del flujo, la carga corriente arriba de mayor velocidad se convierte en carga de presión corriente abajo, y este aumento supera la pérdida de carga no-recuperable. Además, el lector puede estar tentado a resolver este problema con el uso de la ecuación de Bernoulli. Tal solución ignoraría la pérdida de carga (y la presión asociada) y resultaría en una incorrecta presión más alta para el fluido corriente abajo.
8-7 FIGURA 8-41 Red de tuberías en una instalación industrial. Cortesía de UMDE Engineering, Contracting, and Trading. Usada con autorización.
■
REDES DE TUBERÍAS Y SELECCIÓN DE BOMBA
La mayoría de los sistemas de tubería que se encuentran en la práctica, como los sistemas de distribución de agua en las ciudades o establecimientos comerciales o residenciales incluyen numerosas conexiones en paralelo y en serie, así como diversas fuentes (suministros de fluido en el sistema) y cargas de sistema de tuberías (descargas de fluido del sistema) (Fig. 8-41). Un proyecto de tuberías
358 FLUJO EN TUBERÍAS La salida de la bomba se cierra para producir carga máxima 100 hbomba, u
hbomba
40
80
%
, 60 a
30
m , a g r a C 20
FIGURA 8-46 Curvas características para bombas centrífugas, curva de sistema para un sistema de tuberías y punto de operación.
Punto de operación
Curva característica Curva de sistema
10
0 0
a b m o b h
1
2
3
4
5
b m o b e 40 d a i c n e i c i f 20 E
0
6
Ninguna tubería está unida a la bomba (no hay carga para maximizar la razón de flujo)
Razón de flujo, m3 /s
to, iguala las necesidades de carga del sistema a dicha razón de flujo. Además, la eficiencia de la bomba durante la operación es el valor correspondiente a dicha razón de flujo.
EJEMPLO 8-7
Bombeo de agua a través de dos tuberías paralelas
Se debe bombear agua a 20°C desde un depósito ( z A 5 m) a otro depósito a una elevación mayor ( z B 13 m) a través de dos tuberías de 36 m de largo conectadas en paralelo, como se muestra en la figura 8-47. Las tuberías son de acero comercial, y los diámetros de las dos tuberías son 4 y 8 cm. El agua se bombeará mediante un acoplamiento motor-bomba con una eficiencia del 70 por ciento que extrae 8 kW de potencia eléctrica durante la operación. Las pérdidas menores y la pérdida de carga en las tuberías que conectan las uniones de las tuberías paralelas a los dos depósitos se consideran despreciables. Determine la razón de flujo total entre los depósitos y la razón de flujo a través de cada una de las tuberías paralelas.
SOLUCIÓN Está dada la potencia de bombeo aplicada a un sistema de tuberías con dos tuberías paralelas. Se deben determinar las razones de flujo.
L1 = 36 m D1 = 4 cm
A
Frontera de volumen de control
z A = 5 m
1
FIGURA 8-47 Sistema de tuberías comentado en el Ejemplo 8-7.
Bomba
2
D2 = 8 cm L2 = 36 m
B
z B = 13 m
359
CAPÍTULO 8
Hipótesis 1 El flujo es estacionario e incompresible. 2 Los efectos de entrada
son despreciables y por lo tanto el flujo está totalmente desarrollado. 3 La elevación de los depósitos permanece constante. 4 Se dice que las pérdidas menores y la pérdida de carga en las tuberías distintas a las tuberías paralelas son despreciables. 5 Los flujos a través de ambas tuberías son turbulentos (por verificar). Propiedades La densidad y la viscosidad dinámica del agua a 20°C son r 998 kg/m3 y m 1.002 10 3 kg/m · s. La rugosidad de la tubería de acero comercial es e 0.000045 m. Análisis Este problema no se puede resolver directamente porque no se conocen las velocidades (o razones de flujo) en las tuberías. Por lo tanto, normalmente se usaría un método de prueba y error. Sin embargo, los actuales paquetes de resolución de ecuaciones, como el EES, son fáciles de adquirir, por lo tanto simplemente se establece el sistema de ecuaciones por resolver mediante un paquete de resolución de ecuaciones. La carga útil suministrada por la bomba al fluido se determina a partir de:
# #
W eléct
#
V ghbomba, u
8 000 W
→
h bomba motor
(998 k g /m3)V (9.81 m/s2)hbomba, u 0.70
(1)
Se eligen los puntos A y B en las superficies libres de los dos depósitos. Cuando se nota que el fluido en ambos puntos está abierto a la atmósfera (y por lo tanto P A P B P atm) y que las velocidades del fluido en ambos puntos son cero ( V A V B 0), la ecuación de energía para un volumen de control entre estos dos puntos se simplifica a: P A r g
a A
V A2 Q
2g
0 z A
P B
h bomba, u
r g
V B2 Q
B
2g
0 z B
h L
→
hbomba, u
( z B z A) h L
o hbomba, u (13 5) h L
(2)
donde (3)(4)
h L h L, 1 h L, 2
La tubería de 4 cm de diámetro se designa con 1 y la tubería de 8 cm de diámetro se designa con 2. La velocidad promedio, el número de Reynolds, el factor de fricción y la pérdida de carga en cada tubería se expresan como: #
V 1
V 1
A c, 1
#
2
p D 1 /4
#
V 2
Re1
Re2 1
2 f 1
V 2
A c, 2
#
V 1
p(0.04
#
→
m
→
m
2.0
V 2
→
2
p D 2 /4
r V2 D 2
log
a
1
2 f 1
(5)
m)2 /4
#
V 2
r V1 D 1
→
V 1
→
V 1
e / D 1
3.7
Re1
Re2
2.0
2.51
V 2 p(0.08
(6)
m)2 /4
(998 kg/m3)V 1(0.04 m) 1.002
10 3 kg/m s
(998 kg/m3)V 2(0.08 m) 1.002
10 3 kg/m s
(7)
(8)
b
Re1 2 f 1 log
a
0.000045
3.7
0.04
2.51 Re1 2 f 1
b
(9)
360 FLUJO EN TUBERÍAS
1
2 f 2
2.0
h L, 2 f 2
#
#
a
1
→
h L, 1 f 1
log
2 f 2
e / D 2
3.7
2.0
L 1 V 21 D 1 2g L 2 V 22 D 2 2g
2.51
b
Re2 2 f 2 log
a
0.000045 3.7
0.08
36 m
→
h L, 1 f 1
→
h L, 2 f 2
2.51 Re2 2 f 2
b
(10)
V 21
(11)
0.04 m 2(9.81 m/s2) 36 m
V 22
(12)
0.08 m 2(9.81 m/s2)
#
(13)
V V 1 V 2
Éste es un sistema de 13 ecuaciones con 13 incógnitas, y su solución simultánea con un paquete de resolución de ecuaciones produce: # V
0.0300 m3 / s,
V 1
3.30 m/s,
Re1
131 600,
# V 1
0.00415 m3 / s,
V 2 5.15 m/s,
# V 2
0.0259 m3 / s
h L h L, 1 h L, 2 11.1 m,
Re2 410 000,
f 1 0.0221,
h bomba 19.1 m
f 2 0.0182
Note que Re 4 000 para ambas tuberías, y por lo tanto se verifica la suposición de flujo turbulento. Discusión Las dos tuberías paralelas son idénticas, excepto que el diámetro de la primera es la mitad del diámetro de la segunda. Pero sólo 14 por ciento del agua fluye a través de la primera tubería. Esto muestra la considerable dependencia de la razón de flujo (y la pérdida de carga) del diámetro. Además, se puede demostrar que si las superficies libres de los depósitos estuvieran a la misma elevación (y por lo tanto z A z B), la razón de flujo aumentaría en 20 por ciento, de 0.0300 a 0.0361 m3 /s. De otra manera, si los depósitos fueran como están dados, pero las pérdidas de carga irreversibles fueran despreciables, la razón de flujo se volvería 0.0715 m3 /s (un aumento de 138 por ciento).
EJEMPLO 8-8
Flujo de agua conducido por gravedad en una tubería
Se tiene agua a 10°C que fluye de un depósito grande a uno más pequeño a través de un sistema de tuberías de hierro fundido de 5 cm de diámetro, como se muestra en la figura 8-48. Determine la elevación z1 para una razón de flujo de 6 L/s.
z1 = ?
1
Entrada con borde agudo, K L = 0.5 Codo estándar embridado, K L = 0.3 D = 5 cm
FIGURA 8-48 Sistema de tuberías comentado en el ejemplo 8-8.
Válvula de compuerta, totalmente abierta K L = 0.2
9m Frontera de volumen de control 80 m
2
z2 = 4 m
Salida, K L = 1.06
361
CAPÍTULO 8
SOLUCIÓN Está dada la razón de flujo a través de un sistema de tuberías que conecta dos depósitos. Se debe determinar la elevación del depósito fuente. Hipótesis 1 El flujo es estacionario e incompresible. 2 Las elevaciones de los depósitos permanecen constantes. 3 No hay bombas o turbinas en la línea. Propiedades La densidad y la viscosidad dinámica del agua a 10°C son r 999.7 kg/m3 y m 1.307 10 3 kg/m · s. La rugosidad de la tubería de hierro fundido es e 0.00026 m. Análisis El sistema de tubería tiene 89 m de tuberías, una entrada con borde agudo (K L 0.5), dos codos estándar embridados ( K L 0.3 para cada uno), una válvula de compuerta totalmente abierta ( K L 0.2) y una salida sumergida (K L 1.06). Los puntos 1 y 2 se eligen en las superficies libres de los dos depósitos. Cuando se nota que el fluido en ambos puntos está abierto a la atmósfera (y por ende P 1 P 2 P atm) y que las velocidades del fluido en ambos puntos son cero (V 1 V 2 0), la ecuación de energía para un volumen de control entre estos dos puntos se simplifica a:
P1 r g
a1
0
V 21 Q
z 1
2g
P2 r g
a2
0
V 22Q
h L
z 2
2g
z 1 z 2 h L
→
donde
a
L h L h L, total h L, mayor h L, menor f D
a K L
b
V 2
2g
porque el diámetro del sistema de tuberías es constante. La velocidad promedio en la tubería y el número de Reynolds son: V
Re
#
#
V
V
A c
r VD m
2
p D /4
0.006 m3 /s
p(0.05
m)2 /4
3.06 m/s
(999.7 k g /m3)(3.06 m/s)(0.05 m) 1.307
10 3 k g /m s
117 000
El flujo es turbulento porque Re 4 000. Note que e / D 0.00026/0.05 0.0052, y el factor de fricción se puede determinar a partir de la ecuación de Colebrook (o el diagrama de Moody): 1
2.0
log
2 f Ello proporciona
a
e / D
b 2
2.51
→
1
2.0
log
a
0.0052
2.51
b
3.7 117 000 2 f 2 f 0.0315. La suma de los coeficientes de pérdida es:
3.7
f
Re
f
a K L K L, entrada 2K L, codo K L, válv la K L, salida u
0.5 2
0.3 0.2 1.06 2.36
Entonces la pérdida de carga total y la elevación del depósito fuente se convierten en:
a
L f D
h L
z 1
z 2
a K L
b
V 2
2g
a
0.0315
89 m 0.05 m
b
2.36
(3.06 m/s)2 2(9.81 m/s2)
27.9 m
h L 4 27.9 31.9 m
Por lo tanto, la superficie libre del primer depósito debe ser 31.9 m sobre el nivel del suelo para garantizar el flujo de agua entre los dos depósitos a la razón especificada. Discusión Note que en este caso, fL / D 56.1 que es aproximadamente 24 veces el coeficiente total de pérdida menor. En consecuencia, ignorar las fuentes de pérdidas menores en este caso resultaría en casi 4 por ciento de error. Se puede demostrar que la pérdida de carga total sería de 35.9 m (en vez de 27.9 m) si la válvula estuviera cerrada 3/4, y caería a 24.8 m si la tubería entre los dos depósitos fuera recta al nivel del suelo (por tanto, cuando se eliminan los
