MATEMATICA I FACULTAD DE INGENIERÍA
CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Idea Intuitiva: Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo cuyas gráficas se muestran a continuación:
Y
y g ( x ) f ( x) g ( x0 )
f ( x0 )
x
x
x0
x0
Las funciones tienen un comportamiento distinto en el punto x0 , se puede decir que la función f es continua en x0 (es ininterrumpida, no presenta saltos), mientras que la l a función g es discontinua en el punto x0 (ya que presenta un salto en x0 )
Definición: (Función Continua en un punto) Sea f : R R , f es continua en x x0 , si y solo si, s i, cumple: a. Existe f ( x) b. Existe lim f ( x) x x 0
c. lim f ( x) f ( x0 ) x x0
Propiedades sobre continuidad Consideremos dos funciones f y g continuas en x x0 , entonces: 1) f g es continua en x x0 R 2) kf es continua en x x0 , k 3) f . g es continua en x x0
Ejemplos explicativos x 2 9 , si 0 x 5, x 3 2 x 2 x 3 1) Dada f ( x) 3 si x 3 2
Analizar la continuidad de la función en x 3
Rpta: Es continua en x 3
Mag. Evelio Vigo Lecca
x 2c, 2) Si, f ( x) 3cx k , 3 x 2k ,
x 2
2 x 1 x 1
Hallar c y k de tal modo que f sea continua en x0 2 y x0 1 Rpta: c 13 ; k 23 x 3 1 , 3) Si f ( x) x 1 8,
x 1 x 1
Analizar la continuidad en x0 1 Rpta: No es continua en x 1
Ejemplos para el aula: x 2 6 x 1 1) Si f ( x) 2 x 6 3 x 15
si 1 x 2 si 2 x 3 si 3 x 5
Analizar la continuidad de la función en x0 2 y x 0 3 Rpta: No es continua en x 2 pero si es continua en x 3 x x , 2) Dada, f ( x) 2 2,
x 0 x 0
Estudiar la continuidad de la función en el punto x0 0 Rpta: No es continua en x 0 x 2 4 , 3) Si f ( x) x 2 A,
x 2 x 2
Determinar el valor de A, para que la función sea continua en x 0 2 Rpta: A 4
EJERCICOS PROPUESTOS I. Analizar la continuidad de las siguientes funciones, en los puntos dados: x 3 , 1) f ( x) 2 2 x, 1 x, 3) f ( x) 2 x, 2 x 1,
x 2
, en x0 2
x 2
x 2, x 2,
2) f ( x)
x 3 x 3
, en x0 3
x 2
2 x 2 , en x0 2 y en x0 2 x 2
x3 x 2 2 x 2 , x 1 4) f ( x) , en x0 1 x 1 4, x 1 Mag. Evelio Vigo Lecca
3 x 2 7 x 2 , x 0 5) f ( x) x 2 , en x0 0 3, x 0
x 2 9, 6.- f ( x) x,
x 3 x 3
2 x 3, 8.- f ( x) 8 3 x, x 3, 1 xsen( ), 9.- f ( x) x 0,
x 2 , 7.- f ( x) 2 x 1,
, en x 0 3
x 3 x 3
, en x 0 3
x 1 1 x 3 , en x0 1 y , en x0 3 x 3 x 0
x 2 2, 10.- f ( x) senx , 2 x
, en x0 0
x 0
x 0 x 0
, en x0 0
II. Determinar los valores de A y/o B para que las funciones sean continuas en los puntos dados: Ax 2 , 1) f ( x) 3,
x 2 x 2
Ax 2 , x 4 2) f ( x) , en x0 4 6 x 16, x 4
, en x0 2
x 3 2 x 1, 2 3) f ( x) Ax B, 3 x 5 , en x0 3 y, en x0 5 x 2 2, x 5 x 2 x 2 A, 4) f ( x) 3 Ax B, 2 x 1 , en x0 2 y, en x0 1 6 x 2 B, x 1
Ax 2 Bx 1, 5) f ( x) 2 Ax B, x 1,
x 1 1 x 2 , en x 0 2 y, en x0 1 x 2
DERIVADAS DE FUNCIONES
Interpretación Geométrica de la Derivada y
M
P
LS
LT
x Consideremos la curva C : y f ( x) y un punto fijo P 0 ( x0 , y 0 ) de dicha curva, sea LS la recta secante que pasa por P 0 ( x0 , y 0 ) y por M ( x, y ) C . La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P 0 y M es:
Mag. Evelio Vigo Lecca
mLS tan
f ( x) f ( x0 ) x x 0
y y 0 x x0
, x x0
Si M ( x, y ) se acerca a P 0 ( x0 , y 0 ) resulta que x se acerca a x0 , luego h x x0 se acerca a 0, con lo cuál se está haciendo uso del límite. Por lo tanto cuando M ( x, y ) se acerca a P 0 ( x0 , y 0 ) la recta LS se transforma en LT , lo cual indica que el ángulo tiende a convertirse en y: tan
f ( x 0 h) f ( x 0 )
Se convertirá en tan lim
f ( x0 h) f ( x 0 )
h 0
h
h
f ' ( x0 )
Luego la derivada de f en P 0 ( x0 , y 0 ) es f ' ( x0 ) y representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P 0 ( x 0 , y 0 ) .
Definición: (Derivada de una Función) Sea f : R R , si a D f , la derivada de f con respecto al punto “ a ” está definido por: f ' ( a ) lim
f ( a h) f (a )
h 0
h
Lo que es equivalente a: f ' ( a ) lim x a
f ( x) f ( a ) x a
Notación: f ' ( x)
df dx
( x) y ' dy D x f f dx
Ejemplos explicativos: Usando la definición, hallar la derivada de las siguientes funciones: a) f ( x) 3x
b) f ( x) 5
c) f ( x) x
Ejemplos para el aula: Hallar la derivada de: a) f ( x) x 2
b) f ( x) ax b
c) f ( x)
c) f ( x) k
x 2 x
Derivadas Laterales Definición.- (Derivada por la Derecha) Sea f : R R una función y a D f , f es derivable por la izquierda, si existe el siguiente límite:
f ' (a ) lim h 0
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f ( a h) f ( a ) h
ó
f ' ( a ) lim x a
f ( x) f ( a ) x a
Definición.- (Derivada por la Izquierda) Sea f : R R una función y a D f , f es derivable por la derecha, si existe el siguiente límite f ' (a ) lim
f ( a h) f ( a ) h
h 0
ó
f ' (a ) lim x a
f ( x) f (a) x a
OBSERVACIÓN Si en un punto x = a las derivadas laterales son distintas, entonces f '(a) no existe. En consecuencia la función no es diferenciable en el punto x = a.
Ejemplos explicativos: Calcular las derivadas laterales de la funciones en los puntos dados: 1) f ( x) x , en a 0
x 2 , x 1 3) f ( x) , en a 1 x 1 2 x 1, Rpta: f '(1 ) 2 y f '(1 ) 2
Rpta:
f '(0 ) 1
y
2 x 1, 2) f ( x) 8 x,
Rpta:
f '(3
f '(0
x3 3 x
) 1
, en a 3
) 1 y f '(3 ) 2
1 x 2 x , 4) f ( x) , en a 2 1 1 x, 2 x 4
Rpta:
f '(2 )
1 4
y
f '(2 ) 14
Ejemplos para el aula: Hallar la derivada de: x,
x 0
2
x 0
1) f ( x)
x ,
2 x 2 3, 2) f ( x) 8 x 11,
en a 0
,
x 2 x 2
, en a 2
Rpta:
f '(0 ) 0
y
f '(0 ) 1
Rpta:
f '(2 ) 8
y
f '(2 ) 8
Ejercicios propuestos Hallar las derivadas laterales, si existen, de las siguientes funciones: x 2, 1) f ( x) x 6,
x 4
1 x , (1 x) 2 ,
x 1
x 4
3) f ( x)
2 x 2 , 5) f ( x) 2 x 4 x 2, Mag. Evelio Vigo Lecca
x 1
, en a 4 , en a 1
x 2 x 2
, en a 2
x 2 4, x 2 2) f ( x) , en a 2 x 2 , x 2 x 2 , x 1 4) f ( x) , en a 1 1 2 x, x 1 x 2 4 x 5, 6) f ( x) 5 x 2 ,
x 0 x 0
, en a 0
Reglas de derivación Funciones algebraicas
1. 2.
3. 4. 5. 6. 7.
d dx d dx d dx d dx d dx d dx
(k ) 0 , k : constante ( x) 1 1 ( x n ) nx n
kf ( x) k
d dx
f ( x )
f ( x) g ( x)
d
f ( x)
dx
f ( x). g ( x) g ( x)
d f ( x)
g ( x)
d dx
d dx
d dx
g ( x )
f ( x) f ( x)
f ( x) f ( x)
d dx
d dx
g ( x )
g ( x)
[ g ( x)]2
dx g ( x)
Fórmulas de diferenciación En estas fórmulas, u y v representan funciones de x ; a , b y n representan constantes; e 2. 71828... . y 3. 14159.. . ; y Todos los ángulos son medidos en radianes.
Funciones algebraicas 1)
d au bv a du dx dx d u n nu n1 du dx dx
b dv dx
2) Funciones Trigonométricas 1) 2) 3) 4) 5) 6)
d sin u cos u du dx dx d cos u sin u du dx dx d tan u sec 2 u du dx dx d cot u csc 2 u du dx dx d sec u sec u tan u du dx dx d csc u csc u cot u du dx dx d vers u s inu du dx dx
7) Funciones trigonométricas inversas 1) 2) 3) 4) 5) 6)
d arcsin u du 1 dx 1u 2 dx d arccos u 1 du dx 1u 2 dx d arctan u 1 du 1u 2 dx dx d arccot u 1 du 1u 2 dx dx d arcsec u du 1 arcsec u 0 arcsec u 2 dx u u 1 dx , 2 , 2 d arccsc u 1 du arccsc u 0 arccsc u dx u u 2 1 dx , 2 , 2
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Funciones exponencial y Logarítmica 1) 2) 3) 4)
d e u e u du dx dx d a u a u lna du dx dx d lnu 1 du u dx dx d log u log a e du a u dx dx d u v vu v1 du u v lnu dv dx dx dx
5) Funciones hiperbólicas 1) 2) 3) 4) 5)
d sinh u cosh u du dx dx d cosh u sinh u du dx dx d tanh u sech 2 u du dx dx d coth u csch 2 u du dx dx d sech u sech u tanh u du dx dx d csch u csch u coth u du dx dx
6) Funciones Hiperbólicas inversas 1) 2) 3) 4) 5) 6)
d du arcsenh u 12 u 1 dx dx d du , u 1 arccosh u 12 u 1 dx dx d du arctanh u 1 2 1 u dx dx d du arccoth u 1 2 1 u dx dx d du , u 0 arcsech u 1 2 u 1u dx dx d du arccsch u 1 2 u 1u dx dx
Ejemplos explicativos:
Utilizando las propiedades de las derivadas, hallar la derivada de: 1) f ( x) 5 x 5 x 4 3 x 3 1 2) f ( x)
x 3
3) f ( x)
2 x 3
5) f ( x)
,
x 3 2 x 2 7 x 4 x 3 x
6) f ( x) 3 x x
x 4 4) f ( x) ( x 3)( x 2 5 x 1)
Ejemplos para el aula:
Utilizando correctamente las reglas de derivación, derivar: 1) f ( x) x 4 5 x 2 3 , 9.- f ( x) 2 xsenx ( x 2 2) cos x 2) f ( x) 3 cos x
10.- f ( x)
x 3 3
5
2 x 2 x
ax b 6
a2 b2
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4
3) f ( x)
1 x 2 1 x 2
11.- f ( x) x
23
x ln 5
x
5) f ( x) ln x x 2 2 14.- f ( x) 7) f ( x)
2 x 3 x 2 5 x 5 2 x
13.- f ( x)
5 x 2 tan x
1.- f ( x) 3 x 2 2 x 5 7.- f ( x)
1 x 2
12.- f ( x) x ln x
4) f ( x) e senx
2
4.- f ( x) 9 x 2
10.- f ( x)
1
3
2 ln x
ln x
x x 2 1
6) f ( x)
x
1 x
2 x
2
3 x 3
2
1
8) f ( x)
2 x 1 x
senx x 2 x 1
6.- f ( x) x 3 4 x
2.- f ( x) x 3
3.- f ( x) x 2
8.- f ( x) x 2 5 x 1
1 3 x
5.- f ( x)
2 x 3 3 x 2
HOJA DE PRÁCTICA V.- Hallar la derivada de las siguientes funciones: 1) f ( x)
senx cos x senx cos x
2) f ( x) (3 x 2 4 x 8) x 3) f ( x)
4) f ( x) 5) f ( x)
senx cos x x x 3 3 x x 2 2 e x tan x x 2 1
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3
x 2 1
15.- f ( x)
9.- f ( x)
x3
6) f ( x) 5 x 4 3 x 5
2 x
7) f ( x) 3 cos x.4 x 8) f ( x) 9) f ( x)
1 xsenx 1 cos x 5 ln x sec x x
10) f ( x) (ln x e x )( x 2 x 5 x )
