Matemáticas 6 PRIMARIA Cuaderno tercer trimestre Unidad 11 ..................... página202 unidad 1 ···························· página unidad 2 ···························· página 1010 Unidad 12 ..................... página unidad 3 ···························· página 1816 Unidad 13 ..................... página unidad 4 ···························· página 2624 Unidad 14 ..................... página unidad 5 ···························· página 34 Unidad 15 ..................... página 32
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Proporcionalidad y porcentajes
11
Proporcionalidad 1
Completa estas tablas de proporcionalidad. 1
2
5
7
9
10
34
1
2
5
7
9
10
5
10
25
35
45
50
1
3
5
7
10
11
35
4
8
20
28
36
40
2
3
4
9
10
12 :2
4
2
6
8
18
20
:3
24
3
9
21
30
33
Averigua el número por el que hay que multiplicar o dividir y completa las tablas.
8 : 2 = 4. Divido entre 4.
10 : 2 = 5. Multiplico por 5.
35
36
3
15
2
3
5
7
9
10
2
5
6
8
10
11
10
15
25
35
45
50
8
20
24
32
40
44
3
5
6
8
9
12
3
5
7
9
10
11
18
30
36
48
54
72
18
30
42
54
60
66
:4
:6
Completa cada tabla de proporcionalidad y resuelve. • Para hacer 3 bizcochos iguales, Micaela utiliza 18 huevos. ¿Cuántos huevos necesita para hacer 8 bizcochos? Número de bizcochos
1
2
3
6
8
Número de huevos
6
12
18
36
48
SOLUCIÓN
Necesita 48 huevos.
• Carlota utiliza 300 g de arroz para hacer 4 platos combinados. ¿Cuántos gramos de arroz necesita para hacer 6 de estos platos? Número de platos
1
2
4
5
6
Gramos de arroz
75
150
300
375
450
SOLUCIÓN
Necesita 450 gramos.
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4
Lee y resuelve. • El dueño de una papelería ha pagado 650 € por 25 cajas iguales de folios. ¿Cuánto pagará por un pedido de 17 cajas de folios?
650 : 25 5 26 SOLUCIÓN
26 3 17 5 442
Pagará 442 €.
• Para hacer 12 mesas iguales, Julián ha utilizado 48 tableros de madera. ¿Cuántos tableros necesitará para hacer 16 mesas como las anteriores?
48 : 12 5 4 SOLUCIÓN
4 3 16 5 64
Necesitará 64 tableros. • Un alfarero realiza 24 botijos en 3 días. Le han pedido 112 botijos. ¿Podrá tener el pedido en 15 días?
24 : 3 5 8 SOLUCIÓN
112 : 8 5 14
Sí, lo tendrá en 14 días.
• Un grifo tarda 5 horas en llenar un depósito de 7.800 ℓ. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar un depósito de 4.680 ℓ?
7.800 : 5 5 1.560 SOLUCIÓN
5
4.680 : 1.560 5 3
Tardará 3 horas.
RAZONAMIENTO. Piensa y contesta. Tres pintores han tardado 4 horas en pintar un piso. • Si fueran más pintores, ¿tardarían más o menos tiempo? ¿Por qué?
Tardarían menos tiempo, la parte pintada en cada momento es mayor que antes.
• Si fueran menos pintores, ¿tardarían más o menos tiempo? ¿Por qué?
Tardarían más, la parte pintada en cada momento es menor que antes.
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Porcentajes 1
Calcula los porcentajes.
El 7 % de 28
El 8 % de 65
1,96
El 15 % de 1.850
5,2
14,4
El 32 % de 3.500
277,5
2
El 15 % de 96
1.120
2.576
Expresa con un porcentaje. • 28 de cada 100 niños leen a diario.
28 %
• 23 de cada 100 alumnos del colegio practican natación.
3
El 46 % de 5.600
23 %
Lee y calcula. • En un colegio hay 600 alumnos. El 35 % son de Primaria. ¿Cuántos alumnos de Primaria hay?
35 % de 600 5 210
SOLUCIÓN
Hay 210 alumnos.
• En una población de 3.000 habitantes, el 45 % tiene más de 18 años. ¿Cuántas personas tienen más de 18 años?
45 % de 3.000 5 1.350
SOLUCIÓN
1.350 personas tienen más de 18 años.
• En un parque hay 850 pinos y se ha podado el 26 %. ¿Cuántos pinos se han podado?
26 % de 850 5 221
SOLUCIÓN
Se han podado 221 pinos.
• En un tramo de carretera de 400 km, se ha asfaltado el 15 %. ¿Cuántos kilómetros de carretera se han asfaltado?
15 % de 400 5 60
SOLUCIÓN
Se han asfaltado 60 km.
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11 4
Lee y resuelve. La población de España es de 46.000.000 de habitantes, aproximadamente. En la tabla aparece la distribución de la población según la edad. Distribución por edad de la población española Grupo de edad
Porcentaje
De 0 a 14 años
14 %
De 15 a 29 años
20 %
De 30 a 44 años
25 %
De 45 a 59 años
19 %
De 60 a 74 años
13 %
De 75 y más
9%
• ¿En qué intervalo de edad hay mayor número de personas? ¿Por qué?
De 30 a 44 años, porque el porcentaje es mayor. • ¿En qué intervalo de edad hay menor número de personas? ¿Por qué?
De 75 y más, porque el porcentaje es menor. • ¿Cuántas personas de 0 a 14 años hay?
14 % de 46.000.000 5 6.440.000
SOLUCIÓN
Hay 6.440.000 personas.
• ¿Cuántas personas con menos de 29 años hay?
34 % de 46.000.000 5 15.640.000 SOLUCIÓN
Hay 15.640.000 personas.
• ¿Cuántas personas de 30 a 44 años hay?
25 % de 46.000.000 5 11.500.000
SOLUCIÓN
Hay 11.500.000 personas.
• ¿Cuántas personas de 45 a 74 años hay?
32 % de 46.000.000 5 14.720.000 SOLUCIÓN
Hay 14.720.000 personas.
• Se prevé que para el año 2025, la población española disminuya un 1,5 %. ¿Qué población tendrá España en ese año?
98,5 % de 46.000.000 5 45.310.000 SOLUCIÓN
Tendrá 45.310.00 habitantes.
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Escalas, planos y mapas 1
Observa la escala a la que está hecho cada plano y calcula.
Escala 1 : 30
Escala 1 : 120
• El largo y el ancho real.
Largo Ancho
• La longitud real del lado mayor.
5,5 3 30 5 165 cm 5 1,65 m 2,5 3 30 5 75 cm 5 0,75 m
6,5 3 120 5 780 cm 5 7,8 m
• El perímetro real.
• La longitud real del lado menor.
2 3 1,65 1 2 3 0,75 5 4,8 P 5 4,8 m
2
2,5 3 120 5 300 cm 5 3 m
Observa el plano del piso y calcula.
Dormitorio 2
Dormitorio 1
Baño
Salón Escala 1:150 Cocina
• El perímetro de la cocina.
2 3 1,5 1 2 3 3,6 5 10,2 10,2 3 150 5 1.530 cm 5 15,3 m
• El perímetro del salón.
2 3 4,1 1 2 3 2,6 5 13,4 13,4 3 150 5 2.010 cm 5 20,10 m
• El área del piso.
12,3 3 150 5 1.845 cm 5 18,45 m 4,2 3 150 5 630 cm 5 6,3 m 18,45 3 6,3 5 116,235 m2 3
Calcula y contesta. La habitación de Juanjo es un cuadrado de 4 m de lado. Juanjo la dibuja a escala con un cuadrado de 4 cm de lado. ¿Qué escala ha utilizado Juanjo?
400 : 4 5 100 Escala 1 : 100
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11 4
Observa el plano del trayecto que siguen varios autobuses y calcula. B2
A1
A5
C3
B4 A2 B1 C4
B3 A3 C1
A4 C2 B6
C5
B5
Escala 1 : 5.000
• ¿Cuántos kilómetros hay desde la parada A1 hasta la parada A2?
Escala 1 : 5.000 1 cm 5 5 km 2,6 3 5 5 13
SOLUCIÓN
Hay 13 km.
• ¿Cuántos kilómetros en total recorre la línea verde de autobuses?
• ¿Cuántos kilómetros en total recorre la línea roja de autobuses?
2,6 1 1,6 1 4,6 1 4,2 5 13 13 3 5 5 65
SOLUCIÓN
• ¿Cuántos kilómetros hay desde la parada A4 hasta la B4?
3,2 1 5,1 1 3,2 1 2,2 5 13,7 13,7 3 5 5 68,5
SOLUCIÓN
5
Recorre 68,5 km.
Recorre 65 km.
3,9 3 5 5 19,5
SOLUCIÓN
Hay 19,5 km
RAZONAMIENTO. Lee y contesta. Jaime le dice a su hermana Lorena: «Yo mido 160 cm y la representación, a escala, de mi altura es la que se indica en este dibujo». ¿A qué escala está hecho?
4 cm
160 : 4 5 40 Está a escala 1 : 40.
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Aplica y repasa Aplica lo aprendido 1
Lee la información nutricional de este queso y resuelve.
• ¿Cuántos gramos de proteínas hay en 100 g de este queso?
• ¿Cuántos gramos de grasa hay en 200 g de este queso?
100 % de 100 5 10
SOLUCIÓN
Hay 10 g.
6 % de 200 5 12
SOLUCIÓN
Hay 12 g.
• Julia desayuna todas las mañanas 150 g de este tipo de queso. ¿Cuántos gramos de proteínas, hidratos de carbono y grasas toma?
Proteínas 10 % de 150 5 15 g Hidratos 3 % de 150 5 4,5 g Grasas 6 % de 150 5 9 g
SOLUCIÓN
Toma 15 g de proteínas; 4,5 g de hidratos y 9 g de grasas.
• Pablo ha comprado dos quesos de este tipo. Uno pesa 1 kg y 250 g y el otro, 450 g. ¿Cuántos gramos de proteínas, hidratos de carbono y grasas tienen en total?
Proteínas 10 % de 1.700 5 170 g Hidratos 3 % de 1.700 5 51 g Grasas 6 % de 1.700 5 102 g
SOLUCIÓN
Tienen 170 g de proteínas, 51 g de hidratos y 102 g de grasas.
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11
Repasa lo anterior 1
2
Escribe las coordenadas de cada punto.
(13, 12)
(23, 22)
(15, 14)
(25, 26)
(25, 11)
(14, 24)
(22, 14)
(15, 22)
D
0
G
F
B
3
A (15, 12)
C (26, 23)
B (23, 15)
D (14, 25)
A
B
B (26, 12) • El cuadrilátero cuyos vértices son:
H
E
• El triángulo cuyos vértices son: C (12, 24)
A
C
Representa.
A (14, 13)
B
A
0
C
C
D
Calcula. 43,9 1 9,54 1 0,573
54,013
532,06 2 74,158
457,902
9,8 1 26,86 1 127,5
164,16
2,843 3 1,45
4,12235
165,9 2 26,765
139,135
34,174 3 0,65
22,2131
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Longitud, capacidad, masa y superficie
12
Longitud, capacidad y masa 1
Expresa en la unidad indicada. • 1,2 km; 4,5 dam y 12 dm 5
1.246,2 m
• 7,3 dam; 3,7 dm y 56 mm 5
73,426 m
En m
• 3,2 hl; 0,7 dal y 9 dl 5
327,9 ℓ
• 0,4 kl; 5,9 cl y 35 ml 5
400,09 ℓ
• 8,5 kg; 1,3 hg y 3 dg 5
8.630,3 g
• 4,9 dg; 7,2 cg y 9 mg 5
0,571 g
En ℓ
En g
2
Expresa en la misma unidad y ordena.
De menor a mayor 0,7 km
De mayor a menor
2,1 dal
1,8 hm
25 dm
6 cl
125 m
25 dm < 125 m < < 1,8 hm < 0,7 km
3
3 dl 29 ml
2,1 dal > 3 dl > 6 cl > > 29 ml
Escribe en cada caso dos objetos.
De menor a mayor 4 hg
0,5 dag
9 mg 7 dg
9 mg < 7 dg < 0,5 dag < < 4 hg
R. L.
Cuya longitud expresarías en m.
Cuya capacidad expresarías en ℓ.
Cuyo peso expresarías en kg.
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4
Expresa la carga que lleva cada tractor en kilos.
8,5 t y 59 q
6,25 t y 2,3 q
9 t y 75,5 q
14.000 kg 6.480 kg 16.550 kg
5
Resuelve. • David compra un rollo de papel pintado que mide 15 m y 50 cm. David corta cuatro trozos de 2 m y 40 cm cada uno. ¿Cuántos metros de papel le quedan?
15,5 2 4 3 2,40 5 5,9 SOLUCIÓN
Le quedan 5,9 m.
• Paula abre una botella de un litro de zumo. Ha llenado 3 vasos de 20 cl cada uno. ¿Qué cantidad de zumo ha quedado en la botella?
1 2 3 3 0,20 5 0,40 SOLUCIÓN
Han quedado 0,4 ℓ.
• Un tarro de mermelada de 100 gramos cuesta 90 céntimos. ¿Cuánto costarán tres cuartos de kilo de esta mermelada?
750 : 100 5 75 SOLUCIÓN
6
7,5 3 0,90 5 6,75
Costarán 6,75 €.
RAZONAMIENTO. Lee y calcula. Un litro de agua sin impurezas pesa un kilo. ¿Cuántos gramos pesa un litro y cuarto de esta clase de agua?
Pesa 1,25 kg.
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Unidades de superficie 1
Completa el esquema y contesta.
3 1.000.000 km2
hm2
dam2
3 100 m2
: 100
• ¿Qué hay que hacer para pasar de cm2 a dam2?
mm2
Multiplicar por 1.000.000. Dividir por 1.000.000.
Completa. • 2 km2 5 2 3 10.000 5 20.000 dam2
• 25 m2 5
• 3 hm2 5
m2
• 49 cm2 5
cm2
• 14,8 dm2 5
mm2
• 8,5 mm2 5
30.000
• 0,4 dam2 5 • 0,02 m2 5
3
cm2
: 1.000.000
• ¿Qué hay que hacer para pasar de km2 a m2?
2
dm2
400.000 20.000
0,25 0,0049 0,0000148 0,00085
dam2 m2 hm2 dm2
Expresa en la unidad indicada. • 6 hm2; 5,9 dam2 y 15 dm2 5 En m2
60.590 m2 25,049 m2
• 4,5 dm2; 39 cm2 y 0,25 dam2 5
• 3,1 hm2; 74 m2 y 132 dm2 5
310,75 dam2
En dam2 • 32,6 dm2; 19 cm2 y 345 mm2 5
4
0,032825 dam2
Resuelve. El piso de Felipe tiene un área de 1,2 dam2 y 25 m2 y el de Eva tiene 15 m2 más. ¿Qué área tiene el piso de Eva?
145 1 15 5 160 SOLUCIÓN
Tiene 160 m2.
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12 Unidades agrarias 1
Expresa en la unidad indicada. • 3 ha; 45 a y 150 ca 5
34.560 m2
En m2 • 1,5 ha; 18 a y 375 ca 5
17.175 m2
• 0,9 ha; 5,7 a y 29 ca 5
95,99 dam2
En dam2 • 9,8 ha; 12,3 a y 18 ca 5
992,48 dam2
• 12,9 ha; 26,2 a y 78,5 ca 5
13,17 hm2
• 5,8 ha; 5,32 a y 39,2 ca 5
5,8571 hm2
En hm2
2
Expresa en metros cuadrados y ordena de menor a mayor.
0,5 ha
3
55 m2
55 m2 < 5 a < 0,5 ha
5a
Resuelve. • Álvaro tiene una parcela de 15 ha. Un tercio de la parcela está sembrado de trigo. ¿Cuántos metros cuadrados tiene sembrados de trigo?
15 : 3 5 5 SOLUCIÓN
5 ha 5 50.000 m2
Tiene 50.000 m2.
• Marisa compra un terreno de 5 ha y 41 a. Cada metro cuadrado cuesta 10,50 €, pero al total le hacen un descuento del 10 %. ¿Cuánto pagó Marisa por el terreno?
54.100 3 10,50 5 568.050 90 % de 568.050 5 511.245 SOLUCIÓN
Pagó 511.245 €.
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Aplica y repasa Aplica lo aprendido 1
Lee y calcula. Ayer las lluvias fueron muy abundantes por toda España. En la tabla podemos ver los litros de agua por metro cuadrado que se recogieron en algunas ciudades. Litros por m2 Madrid
23
Sevilla
19
Barcelona
36
Valencia
41
• ¿Cuántos litros de agua se recogieron en Madrid en una finca de 3 ha?
• ¿Cuántos litros de agua se recogieron en Barcelona en un campo de 9 ha y 15 a?
30.000 3 23 5 690.000 SOLUCIÓN
91.500 3 36 5 3.294.000
Se recogieron 690.000 ℓ.
SOLUCIÓN
Se recogieron 3.294.000 ℓ.
• Un día, en la ciudad de Marta se recogieron 125 litros de agua por m2 y en la ciudad de Roberto, se recogieron 880 litros por dam2. ¿En cuál de las dos ciudades llovió más cantidad? ¿Cuánto más?
880 ℓ por dam2 5 8,8 ℓ por m2 SOLUCIÓN
125 2 8,8 5 116,2
Llovió más en la de Marta (116,2 ℓ por m2 más).
• Calcula y completa la tabla. Litros por m2
Litros por dam2
Lugo
75
7.500
Valencia
83
8.300
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12
Repasa lo anterior 1
Calcula. • m.c.m. (2 y 8)
• m.c.m. (4 y 10)
8
20
• m.c.d. (3 y 6)
• m.c.d. (12 y 15)
1
3
Divide. 25,367 : 16
25,367 09 3 1 36 087 07
3
18
• m.c.d. (4 y 5)
3
2
• m.c.m. (6 y 9)
372 : 2,4
16 1,585
3720 132 120 00
24 155
472,5 : 5,9
4725 005 5
16 80
7,4175 : 2,15
741,75 96 7 10 75 0 00
215 3,45
Resuelve. • Un ciclista recorre 42 km en una hora. Si lleva siempre la misma velocidad, ¿cuántos metros recorre en un minuto?
42.000 : 60 5 700 SOLUCIÓN
Recorre 700 m por minuto.
• Un bidón se llena de agua con 4 botellas de 75 cl cada una. ¿Cuál es la capacidad en litros del bidón? ¿Cuántas botellas son necesarias para llenar un bidón de 4,5 ℓ?
4 3 0,75 5 3 SOLUCIÓN
450 : 75 5 6
Caben 3 ℓ. Hacen falta 6 botellas.
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Área de figuras planas
13
Área de los paralelogramos 1
Calcula el área de cada figura.
7 cm
4,5 cm
3 cm
4,5 cm 2,5 cm
3,5 cm 9 cm 8 cm
2
Cuadrado
Rectángulo
4,5 3 4,5 5 20,25 A 5 20,25 cm2
9 3 2,5 5 22,5 A 5 22,5 cm2
Rombo
Romboide
733 5 10,5 2
8 3 3,5 5 28 A 5 28 cm2
A 5 10,5 cm2
Mide y calcula el área de cada figura. Lado 5
3
cm
Largo 5
3
cm
Ancho 5
2,5
cm
33359 A 5 9 cm2
3 3 2,5 5 7,5 A 5 7,5 cm2
4,5 3 2 5 9 A 5 9 cm2
4,5 3 2 5 4,5 2 Diagonal mayor 5
4,5
cm
Diagonal menor 5
2
cm
A 5 4,5 cm2
Base 5
4,5
cm
Altura 5
2
cm
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3
Calcula. • El perímetro de un cuadrado es igual a 12 cm. ¿Cuál es su área?
• El largo de un rectángulo es el doble que el ancho. Su ancho es de 2 cm. ¿Cuál es su área?
12 : 4 5 3 33359 SOLUCIÓN
23254 43258
A 5 9 cm2
SOLUCIÓN
• La diagonal menor de un rombo es la mitad que la mayor. Su diagonal mayor mide 14 cm. ¿Cuál es el área del rombo?
• La base de un romboide mide 8 cm y su altura mide 1,5 cm menos. ¿Cuál es su área?
14 : 2 5 7 14 3 7 5 49 2 SOLUCIÓN
4
A 5 8 cm2
8 2 1,5 5 6,5 8 3 6,5 5 52
A 5 49 cm2
SOLUCIÓN
A 5 52 cm2
Resuelve. • En una habitación rectangular de 5 m de largo y 4 m de ancho, se han puesto baldosas de 20 cm de lado. ¿Cuántas baldosas se han puesto?
500 : 20 5 25 400 : 20 5 20 25 3 5 5 500 SOLUCIÓN
5
Se han puesto 500 baldosas.
RAZONAMIENTO. Observa el dibujo y calcula. La diagonal de este cuadrado es igual a 20 cm. ¿Cuánto medirá el lado del cuadrado morado? ¿Cuál será el área del cuadrado morado?
20 : 4 5 5 5 3 5 5 25 Su lado medirá 5 cm. Su área será 25 cm2.
17 140139 _ 0001-0040.indd 17
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Área del triángulo 1
Calcula el área de cada triángulo.
734 5 14 2 A 5 14 cm2
4 cm
4,5 cm
8 cm
7 cm
2
Toma las medidas necesarias y calcula el área.
Base 5
5
Altura 5
2
532 55 2
3
8 3 4,5 5 18 2 A 5 18 cm2
cm
Base 5
5
cm
Altura 5
2
A 5 5 cm2
532 55 2
cm cm
Base 5
3
Altura 5
A 5 5 cm2
332 53 2
2
cm cm
A 5 3 cm2
Calcula el área de la zona morada.
8 cm
838223
438 5 64 2 32 5 32 2
A 5 32 cm2 8 cm
4
Resuelve. Mariano tiene una finca triangular de 120 m de base y 60 m de altura. Ha sembrado de trigo un cuadrado de 32 m de lado. ¿Qué área de finca queda sin sembrar?
120 3 60 2 32 3 32 5 3.600 2 1.024 5 2.576 2 SOLUCIÓN
Quedan sin sembrar 2.576 m2.
18 140139 _ 0001-0040.indd 18
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13 Área de polígonos regulares 1
Calcula el área de cada polígono regular.
2,7 cm
5,2 cm
4 cm
5 3 4 3 2,7 5 27 2 A 5 27 cm2
2
9,7 cm
6 cm
8 cm
6 3 6 3 5,2 5 93,6 2 A 5 93,6 cm2
8 3 8 3 9,7 5 310,4 2 A 5 310,4 cm2
Calcula el área de cada figura formada por polígonos regulares. 10 cm
8,7 cm
12,1 cm
10 cm
6 3 10 3 10 1
6 3 10 3 8,7 5 861 2
23
8 3 10 3 12,1 1 2 3 10 3 10 5 1.168 2
A 5 861 cm2
3
A 5 1.168 cm2
Lee y calcula el área del mosaico. El hexágono que forma este mosaico es un hexágono regular de 4 cm de lado y 3,5 cm de apotema.
12 3
6 3 4 3 3,5 4 3 3,5 1 18 3 5 630 2 2 A 5 630 cm2
19 140139 _ 0001-0040.indd 19
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Área del círculo 1
Calcula el área de cada círculo.
4 cm
6 cm 2 cm
3,14 3 22 5 12,56 A 5 12,56 cm2
2
6:253 3,14 3 32 5 28,26 A 5 28,26 cm2
3,14 3 42 5 50,24 A 5 50,24 cm2
Calcula el área de la zona amarilla.
4 cm
4 cm
4 3 4 2 3,14 3 22 5 3,44
3,14 3 22 2
A 5 3,44 cm2
3
434 5 4,56 2
A 5 4,56 cm2
Resuelve. Una empresa ha encargado a Emilio hacer un logotipo para promocionar un producto. Este es el logotipo que ha hecho. ¿Cuál es el área de la zona azul? 2 cm
4 cm
2 cm
4 cm
23
432 432 1 3,14 3 22 2 5 16,56 2 2 A 5 16,56 cm2
SOLUCIÓN
Mide 16,56 m2.
20 140139 _ 0001-0040.indd 20
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13 Área de figuras compuestas 1
Descompón cada figura en figuras de área conocida y calcula el área. 1 cm
4 cm 4 cm
3 cm
4 cm
8331
8 cm
6 cm
3,14 3 12 5 25,57 2
434 1 6 3 4 5 32 2
A 5 25,57 cm2
2
A 5 32 cm2
Primero descompón la figura en otras de área conocida. Después, calcula su área. 6 cm
8 cm
8361
438 2 3,14 3 32 5 35,74 2 A 5 35,74 cm2
10 cm
3
RAZONAMIENTO. Observa las figuras y averigua qué dos figuras tienen igual área. Después, explica por qué. A
B
C
La B y la C están formadas por un cuadrado y un círculo.
21 140139 _ 0001-0040.indd 21
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Aplica y repasa Aplica lo aprendido 1
Lee y calcula. Julián tiene que poner cristales a distintos tipos de ventanas. El metro cuadrado de cristal cuesta 100 €. • ¿Cuánto cuesta acristalar esta ventana?
75 cm
75 cm
4 3 0,75 3 0,75 5 2,25 2,25 3 100 5 225
SOLUCIÓN
Cuesta 225 €.
• ¿Cuánto cuesta el cristal rectangular de esta ventana?
60 cm
50 cm
1,5 3 0,3 5 0,45 0,45 3 100 5 45 30 cm
SOLUCIÓN
1,30 m
Cuesta 45 €.
• ¿Cuánto cuestan todos los cristales de la ventana anterior?
23
0,6 3 0,5 5 0,3 2
0,3 3 100 5 30
30 1 45 5 75
Cuestan 75 €.
SOLUCIÓN
1m
• ¿Cuánto cuestan los cristales de cuatro ventanas iguales a la ventana de la izquierda?
3,14 3 12 1 2 3 0,76 3 0,40 5 2,178 2 4 3 2,178 5 8,712
76 cm
40 cm
SOLUCIÓN
8,712 3 100 5 87,12
Cuestan 87,12 €.
22 140139 _ 0001-0040.indd 22
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13
Repasa lo anterior 1
Calcula. ¿Cuántas horas, minutos y segundos son 6.000 segundos?
¿Cuántos grados, minutos y segundos son 4.600 segundos?
1 h, 16 min y 40 s
1 h y 40 min
2
Calcula estas sumas y restas de ángulos. • 22° 17' 36" 1 15º 42' 29"
38° 5"
• 54º 37' 15" 2 21º 40' 8"
32° 57' 7"
3
• 54º 24' 42" 1 8º 38' 35"
• 22º 17' 36" 1 15º 42' 29"
63° 3' 17"
38° 5"
• 42º 17' 36" 2 15º 51' 14"
• 50º 32' 21" 2 25º 41' 30"
26° 26' 22"
24° 50' 51"
Resuelve. • Javier ha comprado dos de estos artículos. Ha pagado con un billete de 50 € y le han devuelto 15,50 €. ¿Qué dos artículos ha comprado?
50 2 15,50 5 34,50 SOLUCIÓN
9,65 1 24,85 5 34,50
9,65 €
12, 50 €
24,85 €
Ha comprado el cinturón y el bolso.
• Un ciclista está haciendo un trayecto de 95 km. En una hora recorre 25 km y siempre lleva la misma velocidad. Si lleva corriendo una hora y media, ¿cuántos kilómetros le faltan por recorrer?
25 : 2 5 12,5 SOLUCIÓN
25 1 12,5 5 37,5
95 2 37,5 5 57,5
Le faltan por recorrer 57,5 km.
23 140139 _ 0001-0040.indd 23
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Cuerpos geométricos. Volumen
14 Poliedros 1
Escribe qué cuerpos son poliedros y cuáles no. Explica por qué. A
B
C
D
E
Poliedros: A y D. El resto no lo son, porque tienen alguna superficie curva.
2
Completa la tabla.
Número de caras
3
8
9
10
8
Número de vértices
12
9
16
6
Número de aristas
18
16
24
12
Observa cada desarrollo y colorea. El desarrollo del cubo. El desarrollo del prisma triangular. El desarrollo de la pirámide pentagonal.
Cubo
El desarrollo de la pirámide triangular.
Prisma triangular
Pirámide triangular
Pirámide pentagonal
24 140139 _ 0001-0040.indd 24
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Poliedros regulares 1
Escribe el nombre de cada poliedro regular.
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
2
Completa la tabla. Recuerda cómo se calcula el número de vértices y el de aristas.
3
Icosaedro
Piensa y colorea.
Número de caras
Número de vértices
Número de aristas
Tetraedro
4
4
6
Cubo
6
8
12
Octaedro
8
6
12
Icosaedro
20
12
30
Dodecaedro
12
20
30
Tetraedro
El desarrollo del tetraedro. El desarrollo del octaedro.
Icosaedro
El desarrollo del icosaedro. El desarrollo del dodecaedro.
Octaedro Dodecaedro 4
RAZONAMIENTO. En un dado la suma de los puntos de dos caras opuestas es igual a 7. Fíjate en el dado de la figura y averigua los puntos de cada cara.
R. M.
25 140139 _ 0001-0040.indd 25
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Volumen con un cubo unidad 1
Cuenta y calcula el volumen de cada figura.
27 2
16
13
Lee y calcula. 58
58 • ¿Cuál es el volumen de la figura tomando como unidad el cubo rojo?
8 • ¿Cuál es el volumen de la figura tomando como unidad el cubo azul?
8 3 8 5 64 • ¿Cuál es el volumen de la figura tomando como unidad el cubo verde?
8 3 8 3 8 5 64 3 8 5 512 3
Calcula el volumen de cada figura.
12 4
12
14
Observa las figuras y contesta. • ¿Tienen las tres figuras igual volumen?
Sí, tienen un volumen de 6 cubitos. • ¿Existen otras figuras con igual volumen a las anteriores?
Sí, existen muchas.
26 140139 _ 0001-0040.indd 26
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14 Volumen y capacidad 1
Observa y completa. 1m
1 dm
Volumen 5 Capacidad 5
Volumen 5 Capacidad 5
2
Volumen 5
6
Capacidad 5
6ℓ
Volumen 5
8 8 kl
Capacidad 5
5 5ℓ
10 10 kl
Resuelve. • Felipe ha construido un depósito con forma de cubo de 1 m de arista y lo llena de agua para su ganado. Cada día Felipe gasta 4 bidones de 25 litros cada uno. ¿Para cuántos días tendrá agua?
1 m3 5 1 kl 5 1.000 ℓ 4 3 25 5 100 1.000 : 100 5 10
SOLUCIÓN
Tendrá agua para 10 días.
• En un laboratorio farmacéutico hay depósitos con forma de cubo de 1 dm de arista, llenos de alcohol. Con el alcohol se llenan botes de 25 cl cada uno. ¿Cuántos depósitos de alcohol se necesitan para llenar 50 botes?
1 dm3 5 1 ℓ 50 3 0,25 5 12,5
SOLUCIÓN
Se necesitan 13 depósitos.
27 140139 _ 0001-0040.indd 27
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Unidades de volumen 1
Observa el esquema y completa.
3 1.000
m3
2
3 1.000
dm3
cm3
• 2 m3 5
2.000
dm3
• 3 dm3 5
3.000
cm3
• 5 m3 5
5.000
dm3
• 6 dm3 5
6.000
cm3
• 13 m3 5
13.000
dm3
• 19 dm3 5
19.000
cm3
• 26 m3 5
26.000
dm3
• 34 dm3 5
34.000
cm3
Expresa en la unidad que se indica. En cm3
En dm3 • 8 m3 y 5 dm3
• 12 m3 y 1,5 dm3
• 2,9 m3 y 0,6 dm3
3
• 9 dm3 y 12 cm3
8.005 dm3
9.012 cm3
• 6,3 dm3 y 3,8 cm3
12.002 dm3
• 10,4 dm3 y 7,3 cm3
2.900,6 dm3
6.303,8 cm3
10.407 cm3
Resuelve. • En el pueblo de María han hecho un nuevo depósito para abastecer de agua a todos los vecinos. La capacidad 3 de del depósito es de 95 m3 y ahora, contiene de agua 5 su capacidad. ¿Cuántos litros de agua le faltan para llenarse?
12
3 2 5 5 5
SOLUCIÓN
2 de 95 5 38 5
38 m3 5 38.000 ℓ
Le faltan 38.000 ℓ.
• Una bomba echa 70 m3 y 260 dm3 de agua en una hora. ¿Cuántos litros de agua echa en un minuto?
70.260 : 60 5 1.171 SOLUCIÓN
Echa 1.171 litros por minuto.
28 140139 _ 0001-0040.indd 28
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14 Volumen del ortoedro 1
Calcula el volumen.
9 cm
9 cm
2 cm
2 cm
6 cm
10 cm
6 3 2 3 9 5 108 V 5 108 cm3
2
8 cm
8 3 8 3 8 5 512 V 5 512 cm3
10 3 2 3 9 5 180 V 5 180 cm3
Resuelve. • Una piscina mide 10 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto. ¿Cuál es la capacidad de esta piscina en litros?
• Una habitación de 4 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto, se llena con cajas cúbicas de 1 dm de lado. ¿Cuántas cajas se han metido?
10 3 3 3 2 5 60 60 m3 5 60.000 ℓ SOLUCIÓN
Caben 60.000 ℓ.
4 3 3 3 2 5 24 24 m3 5 24.000 dm3 SOLUCIÓN
Se han metido 24.000 cajas.
• Santiago ha llevado a su almacén 125 cajas de zapatos. Cada caja mide 30 cm de largo, 20 cm de ancho y 15 de alto. ¿Qué volumen ocupan todas las cajas?
30 3 20 3 15 5 9.000 125 3 9.000 5 1.125.000 3 1.125.000 cm 5 1.125 dm3 5 1,125 m3 SOLUCIÓN
3
Ocupan 1.125 dm3, o 1,125 m3.
RAZONAMIENTO. Lee y calcula. El volumen de un ortoedro de 2 m de largo y 4 m de ancho es igual a 24 m3. ¿Cuántos metros medirá de alto?
23458 24 : 8 5 3 Medirá 3 m de alto.
29 140139 _ 0001-0040.indd 29
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Aplica y repasa Aplica lo aprendido 1
Lee y resuelve. La piscina de un polideportivo mide 15 m de largo, 10,5 m de ancho y 2 m de alto y está llena de agua. Se vacía abriendo un caño que echa 120 ℓ de agua por minuto.
• ¿Cuál es la capacidad de la piscina en litros?
15 3 10,5 3 2 5 315 315 m3 5 315.000 ℓ SOLUCIÓN
Caben 315.000 ℓ.
• ¿Cuánto tiempo tardará la piscina en vaciarse?
315.000 : 120 5 2.625 2.625 min 5 43 h y 45 min SOLUCIÓN
Tardará 43 h y 45 min.
• ¿Cuántos kilolitros arroja el caño en 2 horas?
120 3 60 3 2 5 14.400 14.400 ℓ 5 14,400 kl SOLUCIÓN
Arroja 14,4 kl.
• ¿Cuánto tiempo tardaría la piscina en vaciarse si el caño arrojara la mitad de litros por minuto?
43 h y 45 min 3 2 5 87 h y 30 min
SOLUCIÓN
Tardaría 87 h y 30 min.
• Una piscina de 15 m de largo, 8 m de ancho y 1,5 m de alto, se llena con una bomba en 4 horas. ¿Cuántos litros de agua arroja la bomba en un minuto?
15 3 8 3 1,5 5 180 4 3 60 5 240 180.000 : 240 5 750 SOLUCIÓN
Arroja 750 litros por minuto.
30 140139 _ 0001-0040.indd 30
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14
Repasa lo anterior 1
Expresa en la misma unidad y ordena.
De menor a mayor
De mayor a menor
De menor a mayor
2
3,5 hm
9,8 dam
12 dm
39 cm
0,5 kl
1,2 hl
7ℓ
125 ml
4,23 kg
34,1 dag
19 cg
75 mg
39 cm < 12 dm < 9,8 dam < 3,5 hm
0,5 kl > 1,2 hl > 7 ℓ > 125 ml
75 mg < 19 cg < 34,1 dag < 4,23 kg
Calcula el área de cada figura.
5 cm
5 cm
5 cm
6,5 cm
8,5 cm
5 3 5 5 25 A 5 25 cm2
8,5 3 5 5 42,5 A 5 42,5 cm2
6,5 3 5 5 32,5 A 5 32,5 cm2
3 cm 4 cm
6 cm
8 cm
633 59 2 A 5 9 cm2 3
834 5 16 2 A 5 16 cm2
Resuelve. Carolina compra 2 kg de plátanos a 1,90 € el kilo, un kilo de harina a 1,25 € el kilo y medio kilo de fresas a 3 € el kilo. ¿Cuánto se ha gastado en total?
2 3 1,90 1 1 3 1,25 1 0,5 3 3 5 6,55 SOLUCIÓN
Se ha gastado 6,55 €.
31 140139 _ 0001-0040.indd 31
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Estadística
15
Variables estadísticas 1
Completa la tabla. Variable estadística
2
Edad
Deporte preferido
Peso
Lugar de nacimiento
¿Qué pregunta se haría?
¿Cuántos años tiene?
¿Qué deporte prefiere?
¿Cuántos kilos pesa?
¿En qué lugar nació?
¿La respuesta es un número?
Sí
No
Sí
No
¿Es cualitativa o cuantitativa?
Cuantitativa
Cualitativa
Cuantitativa
Cualitativa
Clasifica cada variable y relaciona. • La altura.
Cuantitativa
• Asignatura preferida.
Variable cualitativa
Cualitativa
• La temperatura media de varios días. Cuantitativa • Habitantes de tu país.
Cuantitativa
• Notas de varios controles de Lengua.
3
Piensa y escribe.
Variable cuantitativa
Cuantitativa
R. L.
• Tres variables cualitativas.
• Tres variables cuantitativas.
4
Observa cada grupo de respuestas. Escribe cuál ha podido ser la pregunta y señala si la variable es cuantitativa o cualitativa.
R. M.
10, 12, 11, 10, 12, 13
PREGUNTA
¿Cuántos años tienes? VARIABLE ESTADÍSTICA
Cuantitativa
R. M. rosa, azul, verde, rosa, rojo, amarillo PREGUNTA
¿Cuál es tu color preferido? VARIABLE ESTADÍSTICA
Cualitativa
32 140139 _ 0001-0040.indd 32
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Frecuencia absoluta y relativa 1
Observa los resultados obtenidos por Marcos al lanzar un dado 20 veces y completa la tabla.
6
4
2
3
6
5
1
4
5
1
3
2
5
3
1
6
3
5
2
4
Resultado
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
1
3
3/20
2
3
3/20
3
4
4/20
4
3
3/20
5
4
4/20
6
3
3/20
• ¿Cuál es la suma de las frecuencias absolutas? ¿Con qué número coincide?
Es 20. Coincide con el número de datos. • ¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas?
2
Es 1.
Observa los lugares preferidos por un grupo de alumnos para ir de excursión y haz la tabla de frecuencias.
Playa Montaña Lago Pinar Playa Lago Montaña Playa Pinar Playa Montaña Playa Lago Pinar Montaña Playa
3
Resultado
Playa
Lago
Montaña
Pinar
F. absol.
6
3
4
3
F. relat.
6/16
3/16
4/16
3/16
RAZONAMIENTO. Observa la tabla y contesta. Opinión de la película
Frecuencia absoluta
Muy divertida
24
Entretenida
16
Aburrida
10
Muy aburrida
15
• ¿A cuántas personas se les preguntó?
24 1 16 1 10 1 15 5 65. A 65 personas. • ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a «Muy divertida»?
24/65
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Media y moda 1
Lee y calcula. Las alturas de los amigos de Ana son: 122 cm 125 cm
126 cm 130 cm
Las edades de los primos de Inés son: 8 16
124 cm 123 cm
15 15
(122 1 126 1 124 1 125 1 130 1 123) : : 6 5 125
(8 1 14 3 3 1 15 3 2 1 16 3 2) : : 8 5 14
La altura media es 125 cm.
La edad media es 14 años.
Lee y contesta. Esta tabla muestra el número de bocadillos de cada clase que han llevado a una excursión. Bocadillo
Esta tabla muestra el número de kilos de fruta que consumió una familia cada mes.
Frecuencia absoluta
Kilos de fruta
Frecuencia absoluta
Chorizo
15
8
3
Tortilla
10
9
5
Jamón
18
10
3
Queso
12
12
2
• ¿Cuántos bocadillos se han llevado en total?
• ¿Cuántos kilos de fruta consumió en total?
15 1 10 1 18 1 12 5 55
8 3 3 1 9 3 5 1 10 3 3 1 12 3 2 5 123
• ¿Cuál es la moda?
• ¿Cuál es la moda?
Moda: jamón.
3
16 14
¿Cuál es la edad media?
¿Cuál es la altura media?
2
14 14
Moda: 9 kg.
Completa la tabla de frecuencias y calcula la moda. Las temperaturas mínimas de una ciudad durante 16 días fueron: 12° 11°
14° 12°
12° 14°
Temperatura Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
MODA
10° 11°
11° 13°
10° 13°
12° 12°
13° 12º
10° 11° 12° 13° 14° 2
3
6
3
2
2/16 3/16 6/16 3/16 2/16
12°
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15 Problemas 1
Resuelve. • Para promocionar un producto, una empresa gastó, en los cinco primeros meses, estas cantidades: 680 € 1.200 € 850 € 900 € 680 € ¿Cuánto gastó de media al mes?
(680 1 1.200 1 850 1 900 1 680) : 5 5 862
SOLUCIÓN
Gastó 862 € de media.
• Los beneficios que tuvo un taller de coches en los últimos diez años fueron: 120.000 € 100.000 € 95.000 € 89.000 € 180.000 € 115.500 € 200.000 € 205.000 € 320.000 € 195.000 € ¿Qué beneficio tuvo de media cada año?
(120.000 1 100.000 1 95.000 1 89.000 1 180.000 1 115.000 1 1 200.000 1 205.000 1 320.000 1 195.000) : 10 5 161.950 SOLUCIÓN
Tuvo un beneficio medio de 161.950 €. • Un museo tuvo una media de 120.000 visitantes por mes durante los seis primeros meses del año, y una media de 80.000 visitantes durante los seis últimos. ¿Cuántos visitantes tuvo el museo en el año?
3
120.000 3 6 1 80.000 3 6 5 1.200.000
SOLUCIÓN
Tuvo 1.200.000 visitantes.
• En un ascensor van 3 hombres y 2 mujeres. Los 3 hombres pesan un total de 245 kg y las 2 mujeres pesan 120 kg menos que los hombres. ¿Cuál es el peso medio de las personas que van en el ascensor?
245 2 120 5 125 (245 1 125) : 5 5 74 SOLUCIÓN
El peso medio es de 74 kg.
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Mediana y rango 1
Calcula la mediana de cada conjunto de números. • 3, 6, 4, 2, 12
• 17, 8, 9, 10, 17
2, 3, 4, 6, 12
8, 9, 10, 17, 17
4
MEDIANA
MEDIANA
• 8, 17, 14, 6, 13, 9
• 6, 15, 25, 16, 20, 32
6, 8, 9, 13, 14, 17 (9 1 13) : 2 5 11
2
6, 15, 16, 20, 25, 32 (16 1 20) : 2 5 18
11
MEDIANA
MEDIANA
• 36, 45, 17, 27, 60
25
RANGO
• 13, 23, 13, 42, 50, 39
60 2 17 5 43
27 2 2 5 25
RANGO
50 2 13 5 37
43
RANGO
MEDIANA
• 2.760, 890, 540, 1.800, 1.500, 2.000 MEDIANA
(114 1 142) : 2 5 128 RANGO
(1.500 1 1.800) : 2 5 1.650 RANGO
220 2 114 5 106
2.760 2 540 5 2.220
Piensa y escribe. R. M. Cinco números cuya mediana sea 9. Cinco números cuya moda sea 9.
36
37
Calcula la mediana y el rango de cada grupo de números. • 220, 142, 114, 158
4
18
Calcula el rango de cada grupo de datos. • 2, 8, 4, 18, 27
3
10
1, 2, 9, 30, 40 2, 3, 9, 9, 15
15 Problemas 1
Resuelve. • Los puntos conseguidos por un jugador de baloncesto en los cinco últimos partidos son: 24, 15, 20, 9 y 17. ¿Cuál es la media y la mediana de los puntos conseguidos por este jugador?
Media
(24 1 15 1 20 1 9 1 17) : 5 5 17 17
Mediana
SOLUCIÓN • Miguel ha grabado seis películas de duraciones: 120 minutos, 90 minutos, 180 minutos, 78 minutos, 130 minutos y 80 minutos. ¿Cuál es la media, la mediana y el rango de estas duraciones?
Media
(120 1 90 1 180 1 78 1 130 1 80) : 6 5 113 (90 1 120) : 2 5 105
Mediana Rango
180 2 78 5 102
SOLUCIÓN • Se ha preguntado a un grupo de quince alumnos cuántas horas ven la televisión a la semana, y estos son los datos: 5, 3, 4, 6, 7, 8, 6, 9, 10, 12, 10, 12, 10, 8, 10 ¿Cuál es la media, la mediana y la moda de estos datos?
Media
(3 1 4 1 5 1 6 3 2 1 7 1 8 3 2 1 9 1 10 3 4 1 1 12 3 2) : 15 5 8 8
Mediana Moda
10
SOLUCIÓN
2
RAZONAMIENTO. Lee y averigua el número que falta. La media de estos datos: 14, 36, 58, 29, ¿Qué dato falta?
36 3 5 5 180
, es igual a 36.
180 2 (14 1 36 1 58 1 29) 5 43
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Aplica y repasa Aplica lo aprendido 1
Lee y resuelve. Una familia de cuatro personas, con dos niños, pasa 15 días de vacaciones en un hotel. Cada adulto paga 65 € al día y cada niño 45 €.
• ¿Cuánto pagan en total los dos adultos por el hotel?
2 3 15 3 65 5 1.950
SOLUCIÓN
Pagan 1.950 €.
• ¿Cuánto paga de media cada miembro de la familia al día por el hotel?
• ¿Cuánto pagan en total los dos niños por el hotel?
2 3 15 3 45 5 1.350
SOLUCIÓN
• ¿Cuánto gastaron en refrescos, si cada uno gastó una media de 8 € al día?
(2 3 65 1 2 3 45) : 4 5 55
SOLUCIÓN
Paga 55 €.
Pagan 1.350 €.
4 3 15 3 8 5 480
SOLUCIÓN
Gastaron 480 €.
• Un día fueron a ver una exposición de aviones y cada entrada les costó 13 €. Otro día fueron a dar un paseo en barco, por un total de 34 €. ¿Cuánto gastó de media cada uno por estas dos excursiones?
(13 1 34) : 2 5 23,5
SOLUCIÓN
Gastó 23,50 €.
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15
Repasa lo anterior 1
2
Calcula. El 32 % de 1.200
El 65 % de 8.000
384
5.200
El 75 % de 9.700
7.275
Observa la escala a la que está hecha la figura y calcula. • PERÍMETRO
1 : 45
2 3 (5,4 1 2) 3 45 5 666 Mide 666 cm. • ÁREA
(5,4 3 45) 3 (2 3 45) 5 21.870 El área real es 2,1870 m2. 3
Resuelve. • En un polideportivo han comprado 25 mesas, 32 sillas y 15 bancos. Cada mesa cuesta 120,90 €, cada silla 21 € y cada banco, 235 €. Al total le hacen un descuento de 10 %. ¿Cuánto pagan en total?
25 3 120,90 1 32 3 21 1 15 3 235 5 7.219,50 90 % de 7.219,50 5 6.497,55 SOLUCIÓN
Pagan 6.497,55 €.
• Un terreno rectangular de 30 m de largo y 25 m de ancho se compra por 45.180 €. Después, se vende a 85,50 € el metro cuadrado. ¿Cuánto dinero se gana en la venta?
30 3 25 3 85,50 5 64.125 64.125 2 45.180 5 18.945 SOLUCIÓN
Se ganan 18.945 €.
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El cuaderno de Matemáticas 6, tercer trimestre, para sexto curso de Educación Primaria, es una obra colectiva concebida, creada y realizada en el Departamento de Primaria de Santillana Educación, S. L. bajo la dirección de José Tomás Henao.
Texto: Pilar García. Ilustración: Pep Brocal y José M.a Valera. Edición: José A. Almodóvar y Pilar García.
Dirección de arte: José Crespo. Proyecto gráfico Portada: Carrió/Sánchez/Lacasta. Interiores: Paco Sánchez y Avi. Ilustración de portada: José Luis Agreda. Jefa de proyecto: Rosa Marín. Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera. Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda. Desarrollo gráfico: José Luis García y Raúl de Andrés. Dirección técnica: Ángel García. Coordinación técnica: José Luis Verdasco. Confección y montaje: Julio Hernández. Corrección: Nuria del Peso.
© 2009 by Santillana Educación, S. L. Torrelaguna, 60. 28043 Madrid PRINTED IN SPAIN Impreso en España por
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