Índice 1. NÚMEROS REALES Y FUNCIONES
3
1.1. Módulo de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. Distancia en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3. Entorno de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4. Conjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5. Clasificación de los puntos de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.6. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.7. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.8. Clasificación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.9. Funciones particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
11
2.1. Límite finito de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Límites laterales. No existencia de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Infinitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4. Límite infinito de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5. Límite de una función para variable infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6. Asíntotas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.7. Propiedades del límite de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.8. Continuidad de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.9. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.10. Funciones continuas en un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. DERIVADAS
23
3.1. Función derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2. Derivada de funciones definidas implícitamente y en forma paramétrica . . . . . . . 28 3.3. Derivadas sucesivas o de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4. Diferencial de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5. Funciones monótonas derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.6. Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.7. Concavidad positiva y negativa de una función. Puntos de inflexión . . . . . . . . . 36 3.8. Fórmula de Taylor y Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1
4. INTEGRALES
40
4.1. Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2. Propiedades de la Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3. Función Integral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4. Cálculo de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.5. Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.6. Noción de Ecuación Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.7. Integrales Impropias o Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.8. Integrales impropias de primera especie (intervalo de integración no acotado) . . . . 48 4.9. Integrales impropias de segunda especie (función no acotada) . . . . . . . . . . . . . 50 4.10. Aplicaciones de la Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5. SUCESIONES y SERIES NUMÉRICAS
52
5.1. Sucesiones Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2. Sucesiones Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3. Sucesiones no Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.4. Sucesiones Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.5. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.6. Propiedades de los límites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.7. Series Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.8. Series Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.9. Serie de términos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.10. Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.11. Convergencia absoluta y condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6. SERIES DE POTENCIAS
66
6.1. Concepto de serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.2. Serie de Taylor y Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2
1.
NÚMEROS REALES Y FUNCIONES
El conjunto de los números reales será denotado con R . Tal conjunto admite una representación geométrica en una recta llamada recta real . Tal representación se hace de la siguiente forma : cada número real se identifica con un punto de la recta y recíprocamente los puntos de la recta se denominan por su correspondiente número Se destacan los siguientes subconjutos de R : R+ = {x ∈ R/x > 0} conjunto de números reales positivos R− = {x ∈ R/x < 0} conjunto de números reales negativos N = {1, 2, 3, ...}
N0 = {0, 1, 2, 3, ...} conjunto de los números naturales
Z = {.., −2, −1, 0, 1, 2, ...} conjunto de los números enteros na o Q= /a, b ∈ Z, b 6= 0 conjunto de los números racionales b R − Q conjunto de los números irracionales Se cumple que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Intervalos reales : • (a, b) , [a, b] , [a, b) , (a, b] . Se llama amplitud del intervalo al número b − a • (a, +∞) , [a, +∞) , (-∞, b) , (−∞, b] En adelante cualquier intervalo real se indicará con I .
1.1.
Módulo de un número real
Se llama módulo o valor absoluto de un número real x al número real no negatvio definido por : ( | x |=
x si x ≥ 0 −x si x < 0
Propiedades del Módulo : 1. Para todo x ∈ R se verifica que : a) | x |≥ 0 b) | −x |=| x | 3
c)
√
x2 =| x |
2. Para todo x ∈ R y k ∈ R+ se verifica que : a) | x |< k ⇔ −k < x < k b) | x |> k ⇔ x > k ó bien x < −k 3. Para todo x, y ∈ R se verifica que : a) | x.y |=| x | . | y | b) | x + y |≤| x | + | y | c) | x − y |≥| x | − | y | x | x | 4. Para todo x ∈ R , y ∈ R − {0} se verifica que : = y |y|
1.2.
Distancia en R
Sean a y b dos números reales . Se llama distancia entre a y b al número d(a, b) =| b − a | . Propiedades : 1. d(a, b) ≥ 0 , ∀ a, b ∈ R
d(a, b) = 0 ⇔ a = b
2. d(a, b) = d(b, a) , ∀ a, b ∈ R 3. d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b) , ∀ a, b, c ∈ R
(desigualdad triangular)
Observar que | x | puede interpretarse geométricamente como la distancia desde x al origen 0
1.3.
Entorno de un punto
Sean x0 ∈ R y δ > 0 . Se llama entorno de centro x0 y radio δ al conjunto de puntos de la recta real que se encuentran a una distancia de x0 menor que δ . Se lo denota E(x0 , δ) . En símbolos : E(x0 , δ) = {x ∈ R /d(x0 , x) < δ} = {x ∈ R / | x − x0 |< δ} = (x0 − δ, x0 + δ) Todo intervalo abierto (a, b) se puede expresar como un entorno. En efecto : (a, b) = E
a+b b−a , 2 2
Se llama entorno reducido de centro x0 y centro δ al entorno anterior sin su centro. Se denota E 0 (a, δ). Entonces : E 0 (x0 , δ) = E(x0 , δ) − {x0 } = {x ∈ R /0 <| x − x0 |< δ} = (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ) 4
1.4.
Conjuntos acotados
Sea A un subconjunto de R en sentido amplio, es decir, A ⊆ R . El número d ∈ R es una cota superior de A si y sólo si para todo x ∈ A se cumple que x ≤ d Si existe una cota superior de A entonces existen infinitas y diremos que A está acotado superiormente. El número c ∈ R es una cota inferior de A si y sólo si para todo x ∈ A se cumple que c ≤ x . Si existe una cota inferior de A entonces existen infinitas y diremos que A está acotado inferiormente. Diremos que el conjunto A está acotado si y sólo si lo está superior e inferiormente. Aceptamos que el conjunto vacío ∅ está acotado. Si el conjunto A es no vacío diremos que : k ∈ R es el supremo de A en R si y sólo si k es la menor de todas las cotas superiores de A Esto es, si k 0 es otra cota superior de A entonces k ≤ k 0 . Al supremo de A se lo denota sup(A) . h ∈ R es el ínfimo de A en R si y sólo si h es la mayor de todas las cotas inferiores de A . Esto es, si h0 es otra cota inferior de A entonces h0 ≤ h . Al ínfimo de A se lo denota inf (A) Si k ∈ A se llama máximo de A y si h ∈ A se llama mímino de A . Ejemplos : a) A = (−1, 3]
1.5.
b) A
1 /n ∈ N n
c) A = N
Clasificación de los puntos de un conjunto
Sean A ⊆ R y x0 ∈ R . 1. El punto x0 ∈ A es un punto interior de A si y sólo si existe al menos un entorno de x0 totalmente incluido en A . En símbolos : x0 es un punto interior de A ⇔ ∃E(x0 , δ) / E(x0 , δ) ⊂ A Al conjunto de los puntos interiores de A se lo denota con A0 . Un conjunto se dice que es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores, es decir : A es abierto ⇔ A0 = A La negación de esta afirmación es : x0 no es un punto interior de A ⇔ ∀E(x0 , δ) : E(x0 , δ) * A es decir, existe x0 ∈ E(x0 , δ) y x0 ∈ /A. 5
2. El punto x0 ∈ R es un punto exterior de A si y sólo si existe al menos un entorno de x0 al que no le pertenecen ningun punto de A . Observar que x0 ∈ / A . Es decir : x0 es un punto exterior de A ⇔ ∃E(x0 , δ) / E(x0 , δ) ∩ A = ∅ La negación de esta afirmación es : x0 no es un punto exterior de A ⇔ ∀E(x0 , δ) : E(x0 , δ) ∩ A 6= ∅ es decir, existe x0 ∈ E(x0 , δ) y x0 ∈ A 3. El punto x0 ∈ R es un punto frontera de A si y sólo si no es interior ni exterior . Es decir : x0 es un punto frontera de A ⇔ ∀E(x0 , δ) : E(x0 , δ) ∩ A 6= ∅ ∧ E(x0 , δ) ∩ (R − A) 6= ∅ Al conjunto de los puntos frontera de A lo denotamos con F r(A) o bien ∂(A) . La negación de esta afirmación es : x0 no es un punto frontera de A ⇔ ∃E(x0 , δ) / E(x0 , δ) ∩ A = ∅ ∨ E(x0 , δ) ∩ (R − A) = ∅ 4. El punto x0 ∈ A es un punto aislado de A si y sólo si existe al menos un entorno reducido de x0 al que no le pertencen puntos de A . Es decir x0 ∈ A es un punto aislado de A ⇔ ∃E 0 (x0 , δ) / E 0 (x0 , δ) ∩ A = ∅ La negación de esta afirmación es : x0 ∈ A no es un punto aislado de A ⇔ ∀E 0 (x0 , δ) : E 0 (x0 , δ) ∩ A 6= ∅ 5. El punto x0 ∈ R es un punto de acumulación de A si y sólo si todo entorno reducido de x0 tiene intersección no vacía con A. Es decir : x0 es un punto de acumulación de A ⇔ ∀E 0 (x0 , δ) : E 0 (x0 , δ) ∩ A 6= ∅ Al conjunto de los puntos de acumulación de A se lo llama conjunto derivado y se lo denota con A0 . Un conjunto se dice que es cerrado si y sólo si le pertenecen todos sus puntos de acumulación, es decir : A es cerrado ⇔ A0 ⊆ A La negación de esta afirmación es : x0 no es un punto de acumulación de A ⇔ ∃E 0 (x0 , δ) / E 0 (x0 , δ) ∩ A = ∅ Ejemplo : A = {x ∈ R/ | x − 2 |< 3} ∪ {7}. Entonces A0 = [−1, 5] y A0 = (−1, 5) con lo cual A no es ni cerrado ni abierto. La frontera de A es el conjunto formado por −1 , 5 y 7 , y el único punto aislado es 7.
6
1.6.
Funciones
Sea A ⊆ R y f : A → R una función . Con RA representamos al conjunto de todas las funciones de A en R . Si f, g ∈ RA y k ∈ R definimos las siguientes operaciones : (f + g) (x) = f (x) + g(x) para todo x ∈ A (f.g) (x) = f (x).g(x) para todo x ∈ A f f (x) (x) = para todo x ∈ A y g(x) 6= 0 g g(x) (k.f ) (x) = k.f (x) para todo x ∈ A Diremos que f ≤ g si y sólo si f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ A . Una función f está acotada si su conjunto imagen está acotado. Es decir : f está acotada ⇔ ∃ k > 0 / | f (x) |≤ k , ∀x ∈ A En este caso llamaremos supremo de f , y se escribe sup f , al supremo del conjunto imagen de f e ínfimo de f al ínfimo del conjunto imagen de f . Sea f : (−a, a) → R una función . Decimos que : f es par si y sólo si f (−x) = f (x) para todo x ∈ (−a, a) f es impar si y sólo si f (−x) = −f (x) para todo x ∈ (−a, a) Una función f : R →R se dice que es periódica de periódo p > 0 si f (x + p) = f (x) para todo x∈R.
1.7.
Composición de funciones
Dadas dos funciones f : A → B y g : B → C se llama función compuesta a la función g ◦ f definida por : (g ◦ f )(x) = g (f (x)) para todo x ∈ A Observar que para poder definir la composición se debe cumplir que Im f ⊆ Dom g. Si esto no ocurre se deben efectuar restricciones adecuadas para poder definir tal composición. En forma análoga se define f ◦ g. En general, g ◦ f 6= f ◦ g .
7
1.8.
Clasificación de funciones
Sean A, B ⊆ R y f : A → B una función. Diremos que : f es inyectiva si y sólo si para todo par de números x1 , x2 ∈ A se verifica que si x1 6= x2 entonces f (x1 ) 6= f (x2 ) . Es decir : f es inyectiva ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A : x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) O en forma equivalente : f es inyectiva ⇔ ∀x1 , x2 ∈ A : f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 f es sobreyectiva si y sólo si el conjunto imagen de f es igual a B. Es decir : f es sobreyectiva ⇔ Im f = B f es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva. Teorema Si f : A → B es una función biyectiva entonces existe una función, llamada inversa de f y que se denota f −1 , tal que : 1. f −1 : B → A 2. f −1 (y) = x si y sólo si f (x) = y , para todo x ∈ A y para todo y ∈ B 3. (f −1 ◦ f ) (x) = x para todo x ∈ A y (f ◦ f −1 ) (y) = y para todo y ∈ B
1.9.
Funciones particulares
Es de uso frecuente las siguientes funciones : 1. Función módulo : f : R → R / f (x) =| x | 2. Función raíz cuadrada : f : [0, +∞) → R / f (x) = 3. Función signo : f : R − {0} → R / f (x) =
√
x
|x| x
4. Función parte entera : f : R → R / f (x) = [x] siendo [x] el mayor entero menor que x 5. Función exponencial : f : R → R / f (x) = ax , con a ∈ R+ − {1} . En particular f (x) = ex 6. Función logaritmo : f : (0, +∞) → R / f (x) = loga x , con a ∈ R+ − {1} . En particular f (x) = ln x 7. Función polinómica : f : R → R / f (x) = P (x) donde P (x) es un polinomio con coeficientes en R . En particular tenemos la función lineal dada por f (x) = mx + b (m pendiente y b ordenada al origen ) cuya gráfica se llama recta (no vertical) , y la función cuadrática dada por f (x) = ax2 + bx + c con a 6= 0 cuya gráfica se llama parábola (de eje vertical). 8
8. Función racional : f : A → R / f (x) =
P (x) donde P (x) y Q(x) son polinomios y el Q(x)
dominio de f es A = {x ∈ R / Q(x) 6= 0}. En particular tenemos la función homográfica dada por f (x) =
ax + b con c 6= 0 y a.d 6= c.b cx + d
9. Funciones trigonométricas : Las funciones básicas son : a) Seno, definida como f : R → R / f (x) = sen x b) Coseno, definida como f : R → R / f (x) = cos x c) Tangente, definida como f : A → R / f (x) = tg x donde A = {x ∈ R / cos x 6= 0} 1 1 1 , csc x = y cot x = cos x sen x tg x Para definir la inversa del seno, coseno y tangente se restringen dominio y codomio en la forma que se indica y se las llama arco seno, arco coseno y arco tangente respectivamente : h π πi h π πi → [−1, 1] ⇔ arc sen : [−1, 1] → − , a) sen : − , 2 2 2 2 donde arc sen x = y ⇔ y = sen x h π πi h π πi b) cos : − , → [−1, 1] ⇔ arc cos : [−1, 1] → − , 2 2 2 2 donde arc cos x = y ⇔ y = cos x π π π π → R ⇔ arc tg : R → − , c) tg : − , 2 2 2 2 donde arc tg x = y ⇔ y = tg x
Las funciones que se derivan de ellas son sec x =
10. Funciones hiperbólicas : Las funciones básicas son : ex − e−x 2 ex + e−x b) Coseno hiperbólico Ch : R → R / Ch(x) = 2 x e − e−x c) Tangente hiperbólica T h : R → R / T h(x) = x e + e−x
a) Seno hiperbólico Sh : R → R / Sh(x) =
Sh(x) y Ch2 (x) − Sh2 (x) = 1 . Ch(x) La inversa de cada una de estas funciones se las define como : √ a) ArgSh : R → R / ArgSh(x) = ln x + x2 + 1 √ b) ArgCh : [1, +∞) → [0, +∞) / ArgCh(x) = ln x + x2 − 1 1 1+x c) ArgT h : (−1, 1) → R / ArgT h(x) = ln 2 1−x
Se verifica que T h(x) =
9
10
2. 2.1.
LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite finito de una función en un punto
Dada una función f : A → R y un número real x0 , que es un punto de acumulación de A , veamos qué sucede con los valores de f (x) cuando x se acerca o tiende al número x0 , sin importar qué sucede en x0 , es decir, no interesa el valor de f (x0 ) (más aún, puede no existir f (x0 )). Consideremos el siguiente ejemplo : 2 x − 4 f : R → R / f (x) = x − 2 1
si x 6= 2 si x = 2
8
6
y
4
2
K3
K2
K1
0
1
2
x
3
4
5
Graficando la función vemos que a medida que tomamos valores de x cercanos a x0 = 2 , los valores de f (x) se acercan a 4 . Por ejemplo, f (1, 99) = 3, 99, f (2, 01) = 4, 01, etc. Convenimos en decir que "x se acerca a 2" es lo mismo que decir "x tiende a 2" y escribiremos x → 2 . Análogamente, "f (x) se acerca a 4 " es lo mismo que decir "f (x) tiende a 4" y escribimos f (x) → 4 . Luego, para la función dada podemos decir que : si x → 2 entonces f (x) → 4 La implicación anterior se expresa diciendo que "el límite de la función f cuando x tiende a 2 es igual a 4" y se escribe : l´ım f (x) = 4 x→2
Observaciones : 1. El hecho de que f (x) tienda a 4 cuando x tiende a 2 es independiente del valor que toma la función en x = 2 . Lo que interesa es analizar a la función f "cerca" de 2 y no en x = 2 , o sea, en un entorno reducido de 2 . Es decir, si tenemos la función 2 x − 4 si x 6= 2 g : R → R / g(x) = x − 2 10 si x = 2 11
vemos que g tiende a 4 cuando x tiende a 2, siendo g(2) = 10 6= 1 = f (2) . 2. Hacer que x tienda a 2 significa que | x − 2 | tienda a 0 , o sea, | x − 2 | se puede hacer tan pequeño como se quiera. Esto significa que dado cualquier número positivo δ se puede encontrar un x ∈ R tal que | x − 2 |< δ .Como no interesa qué sucede en x = 2, pedimos que x 6= 2 , con lo cual la condición "que x tienda a 2 sin importar qué sucede en x = 2" se expresa 0 <| x − 2 |< δ . 3. Para asegurar que f (x) tienda a 4, debemos lograr que | f (x) − 4 | tienda a 0 , o sea , dado cualquier número positivo ε se debe cumplir que | f (x) − 4 |< ε . Finalmente, decir que "f (x) tiende a 4 cuando x tiende a 2 sin importar qué sucede en 2" se expresa diciendo que : Dado cualquier número positivo ε, se cumple que | f (x) − 4 |< ε si se puede encontrar un número positivo δ , que dependerá del ε , tal que si x ∈ Dom f y 0 <| x − 2 |< δ entonces | f (x) − 4 |< ε . Como en general el δ depende del ε se suele escribir δ = δ(ε) . 4. En forma simbólica tenemos la siguiente definición 2 es un punto de acumulación del dominio de f l´ım f (x) = 4 ⇔ x→2 ∀ ε > 0, ∃ δ > 0/∀ x ∈ Dom f : 0 <| x − 2 |< δ ⇒| f (x) − 4 |< ε 5. Usando entornos la definición de límite es 2 es un punto de acumulación del dominio de f l´ım f (x) = 4 ⇔ x→2 ∀ ε > 0, ∃ δ > 0/∀ x ∈ Dom f : x ∈ E 0 (2, δ) ⇒ f (x) ∈ E(4, ε) En general, dada una función f : A → R y x0 , l ∈ R decimos que 0 x0 es un punto de acumulación de A (o sea, x0 ∈ A ) l´ım f (x) = l ⇔ x→x0 ∀ ε > 0, ∃ δ > 0/∀ x ∈ A : 0 <| x − x0 |< δ ⇒| f (x) − l |< ε Ejemplo : f (x) = 2x , x0 = 1 .En este caso l´ım f (x) = 2 con δ = ε/2 x→1
2.2.
Límites laterales. No existencia de límite
Diremos que x tiende a x0 por la derecha , y se escribe x → x+ 0 si x − x0 → 0 y x > x0 . En forma análoga, se dice que x tiende a x0 por la izquierda , y se escribe x → x− 0 si x − x0 → 0 y x < x0 . Si f : A → R es una función y x0 ∈ A0 , diremos que : f tiene límite lateral l+ por la derecha en x0 , y se escribe l´ım+ f (x) = l+ si y sólo si : x→x0
∀ ε > 0, ∃ δ > 0/∀ x ∈ A : 0 < x − x0 < δ ⇒| f (x) − l+ |< ε 12
f tiene límite lateral l− por la izquierda en x0 , y se escribe l´ım− f (x) = l− si y sólo si : x→x0
∀ ε > 0, ∃ δ > 0/∀ x ∈ A : 0 < x0 − x < δ ⇒| f (x) − l− |< ε Teorema Sean f : A → R es una función y x0 ∈ A0 . Son equivalentes : 1. l´ım f (x) = l x→x0
2. l´ım+ f (x) = l´ım− f (x) = l x→x0
x→x0
Resulta entonces que si los límites laterales de una función en un punto son distintos entonces la función no tiene límite en ese punto. En términos de la definición ε, δ podemos decir que l´ım f (x) 6= l ⇔ ∃ ε > 0/∀ δ > 0, ∃ x ∈ Dom f / 0 <| x − x0 |< δ ∧ | f (x) − l |≥ ε
x→x0
Ejemplos : |x| a) f (x) = en x0 = 0 b) f (x) = [x] en x0 ∈ Z c) f (x) = x
2.3.
( x2 si x ≤ 1 en x0 = 1 −2x + 4 si x > 1
Infinitésimos
Sean f : A → R una función y x0 un punto de acumulación de A , o sea , x0 ∈ A0 Decimos que una función f es un infinitésimo para x → x0 si y sólo si l´ım f (x) = 0 x→x0
2
Por ejemplo, f (x) = sen x en infinitésimo para x0 = π , g(x) = x −1 es infinitésimo para x0 = −1 Propiedad : Toda función con límite finito para x → x0 se puede escribir como su límite más otra función que es infinitésilmo para x → x0 . En símbolos l´ım f (x) =l ⇒ f (x) = l + ϕ(x) con l´ım ϕ(x) = 0
x→x0
x→x0
Sean f, g : A → R funciones tales que x0 ∈ A0 y no se anulan en un E 0 (x0 , δ) . Decimos que : f y g son infinitésimos equivalentes para x → x0 si l´ım
x→x0
f (x) =1 g(x)
f y g son infinitésimos del mismo orden para x → x0 si l´ım
x→x0
13
f (x) = k con k 6= 0 y k 6= ∞ g(x)
2.4.
Límite infinito de una función en un punto
Hemos visto funciones que no tienen límite (finito) en un punto x0 , es decir, los límites laterales son distintos. Puede suceder que, si bien no existe el límite finito para x → x0 , la función supera en valor absoluto cualquier número positivo prefijado cuando x → x0 . Consideremos el siguiente ejemplo : f : R − {1} → R dada por f (x) =
2 (x − 1)2
4
3
y
2
1
K
0
1
1
2
3
x
K
1 y=f(x)
x=1
Se observa que para x → 1 los valores de f (x) se hacen arbitrariamente "grandes". Es decir, dado un número cualquiera M > 0 (en el eje Y ), es posible encontrar un δ > 0 tal que para todo x ∈ E 0 (1, δ) se cumpla que f (x) > M . Basándonos en esta idea damos la siguinete definición : Sea f : A → R una función y x0 ∈ A0 . Decimos que el límite de f es igual a +∞ (mas infinito) cuando x → x0 , si dado cualquier número real M > 0 es posible encontrar un δ > 0 tal que f (x) > M para todo x ∈ E 0 (x0 , δ) . Se escribe l´ım f (x) = + ∞. x→x0
En general, dada una función f : A → R y x0 ∈ R decimos que
l´ım f (x) = +∞ ⇔
x→x0
0 x0 es un punto de acumulación de A (o sea, x0 ∈ A )
∀ M > 0, ∃ δ > 0 /∀ x ∈ A : 0 <| x − x0 |< δ ⇒ f (x) > M
En forma análoga se define l´ım f (x) = − ∞ y l´ım f (x) =∞ : x→x0
l´ım f (x) = −∞ ⇔
x→x0
x→x0
0 x0 es un punto de acumulación de A (o sea, x0 ∈ A )
∀ M > 0, ∃ δ > 0/∀ x ∈ A : 0 <| x − x0 |< δ ⇒ f (x) < −M 14
l´ım f (x) = ∞ ⇔
x→x0
2.5.
0 x0 es un punto de acumulación de A (o sea, x0 ∈ A ) ∀ M > 0, ∃ δ > 0/∀ x ∈ A : 0 <| x − x0 |< δ ⇒| f (x) |> M
Límite de una función para variable infinita
Hemos visto que dada una variable real x , decir que tiende a un punto x0 significa que | x − x0 | tiende a 0 . Es decir, para cualquier número positivo δ existe un x tal que | x − x0 |< δ . Decir que x tiende a +∞ significa que dado cualquier número positivo M siempre es posible encontrar un número positivo x tal que x > M . Se escribe x → +∞. Análogamente, decir que x tiende a −∞ significa que dado cualquier número positivo M siempre es posible encontrar un número negativo x tal que x < −M . Por último, decimos que x tiende a ∞ (infinito sin signo) si dado cualquier número positivo M es posible encontrar un número x tal que | x |> M . Llamaremos entorno de +∞ , −∞ a los siguientes intervalos : E(+∞) = (a, +∞) para algún a ∈ R E(−∞) = (−∞, a) para algún a ∈ R Sea f : (a, +∞) → R una función . Definimos : 1. l´ım f (x) =l ∈ R ⇔ ∀ ε > 0, ∃ M > 0/∀ x ∈ (a, +∞) : x > M ⇒| f (x) − l |< ε x→+∞
2. l´ım f (x) = + ∞ ⇔ ∀ K > 0, ∃ M > 0/∀ x ∈ (a, +∞) : x > M ⇒ f (x) > K x→+∞
3. l´ım f (x) = − ∞ ⇔ ∀ K > 0, ∃ M > 0/∀ x ∈ (a, +∞) : x > M ⇒ f (x) < −K x→+∞
Sea f : (−∞, a) → R una función. Definimos : 1. l´ım f (x) =l ∈ R ⇔ ∀ ε > 0, ∃ M > 0/∀ x ∈ (−∞, a) : x < −M ⇒| f (x) − l |< ε x→−∞
2. l´ım f (x) = + ∞ ⇔ ∀ K > 0, ∃ M > 0/∀ x ∈ (−∞, a) : x < −M ⇒ f (x) > K x→−∞
3. l´ım f (x) = − ∞ ⇔ ∀ K > 0, ∃ M > 0/∀ x ∈ (a, +∞) : x < −M ⇒ f (x) < −K x→−∞
Sea f : (−∞, a) ∪ (b, +∞) → R una función . Definimos : 1. l´ım f (x) =l ∈ R ⇔ ∀ε > 0, ∃ M > 0/∀ x ∈ (−∞, a) ∪ (b, +∞) : | x |> M ⇒| f (x) − l |< ε x→∞
2. l´ım f (x) = + ∞ ⇔ ∀ K > 0, ∃ M > 0/∀ x ∈ (−∞, a) ∪ (b, +∞) : | x |> M ⇒ f (x) > K x→∞
3. l´ım f (x) = − ∞ ⇔ ∀ K > 0, ∃ M > 0/∀ x ∈ (−∞, a) ∪ (b, +∞) : | x |> M ⇒ f (x) < −K x→∞
4. l´ım f (x) =∞ ⇔ ∀ K > 0, ∃ M > 0/∀ x ∈ (−∞, a) ∪ (b, +∞) : | x |> M ⇒| f (x) |> K x→∞
15
2.6.
Asíntotas lineales
1. Asíntota vertical Sean f : A → R es una función y x0 ∈ A0 . La recta x = x0 es una asíntota vertical de f si se cumple alguna de las siguientes igualdades a) l´ım f (x) =∞ x→x0
b) l´ım+ f (x) =∞ x→x0
c) l´ım− f (x) =∞ x→x0
2. Asíntota horizontal Sean f : (a, +∞) → R una función y b ∈ R . La recta y = b es la asíntota horizontal por la derecha de f si l´ım f (x) =b x→+∞
Sea f : (−∞, a) → R una función y c ∈ R . La recta y = c es la asíntota horizontal por la izquierda de f si l´ım f (x) =c x→−∞
Si b = c diremos que la recta y = b es la asíntota horizontal de f . 3. Asíntota oblícua Sean f : (a, +∞) → R una función e y = m1 x + b1 una recta . La recta y = m1 x + b1 es la asíntota oblícua por la derecha de f si l´ım [f (x) − (m1 x + b1 )] = 0
x→+∞
Sean f : (−∞, a) → R una función e y = m2 x + b2 una recta. La recta y = m2 x + b2 es la asíntota oblícua por la izquierda de f si l´ım [f (x) − (m2 x + b2 )] = 0
x→−∞
Si m1 = m2 = m y b1 = b2 = b , decimos que y = mx + b es la asíntota oblícua de f . Para hallar la pendiente m y la ordenada al origen b calculamos los siguientes límites : (el infinito puede +∞ ó −∞ ) : f (x) x→∞ x
m = l´ım
2.7.
y
b = l´ım [f (x) − mx] x→∞
Propiedades del límite de funciones
En todo lo que sigue a = x0 ∈ R o bien a = ±∞. Con E 0 (a) representamos un entorno reducido de a , es decir : si a = x0 ∈ R entonces E 0 (x0 ) = (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ) para algún δ > 0 si a = +∞ entonces E 0 (+∞) = (h, +∞) para algún h ∈ R 16
si a = −∞ entonces E 0 (−∞) = (−∞, h) para algún h ∈ R Sean f , g y h funciones definidas al menos en un entorno reducido de a . 1. Si f es una función polinómica, racional, exponencial, logarítmica, trigonométrica o hiperbólica y x0 es un punto de su domino (punto de acumulación del dominio de f ) , entonces es : l´ım f (x) = f (x0 ) x→x0
2. Límites especiales : a) Si l´ım f (x) =0 entonces : x→a
sen f (x) sen(x) =1 . En particular l´ım =1 x→a x→0 f (x) x tg f (x) tg(x) l´ım =1 . En particular l´ım =1 x→a f (x) x→0 x 1 1 l´ım (1 + f (x)) f (x) =e . En particular l´ım (1 + x) x = e l´ım
x→a
x→0
b) Si l´ım f (x) =∞ entonces l´ım x→a
x→a
c) l´ım+ ln(x) = −∞ y
= e . En particular l´ım
x→∞
l´ım ln(x) = + ∞
y
x→+∞
x→0
d ) l´ım ex = +∞ x→+∞ √ y e) l´ım+ x =0
1 1+ f (x)
f (x)
l´ım ex = 0 √ l´ım x=+∞ x→−∞
x→+∞
x→0
f ) l´ım arctan(x) =π/2
y
x→+∞
l´ım arctan(x) = −π/2
x→−∞
a = 0 con a ∈ R, n ∈ N x→∞ x→∞ xn h) Si k > 1 entonces l´ım k x = +∞ y l´ım k x = 0 g) l´ım a xn =∞ con a ∈ R6=0 , n ∈ N x→+∞
y
l´ım
x→−∞
i ) Si 0 < k < 1 entonces l´ım k x =0 y l´ım k x = +∞ x→+∞
x→−∞
3. Si se verifica que existe l´ım f (x) = l ∈ R entonces : x→a
a) l es único . b) Existe un entorno reducido de a donde f está acotada . c) Si l < k entonces existe un E 0 (a) tal que f (x) < k para todo x ∈ E 0 (a) . Vale la propiedad análoga cambiando < por > . d ) Si existe un E 0 (a) tal que f (x) < k para todo x ∈ E 0 (a) entonces l ≤ k . Vale la propiedad análoga cambiando < por > y ≤ por ≥. e) l´ım k f (x) = k l´ım f (x) = l = k · l x→a
x→a
17
1 1+ x
x =e
f ) l´ım | f (x) |=| l´ım f (x) |=| l | x→a x→a n g) l´ım (f (x))n = l´ım f (x) = ln x→a x→a h) l´ım ln (f (x)) = ln l´ım f (x) = ln(l) si l > 0 x→a x→a q p √ n i ) l´ım f (x) = n l´ım f (x) = n l con l > 0 si n es par x→a
x→a
l´ım f (x) j ) l´ım k f (x) = k x→a = k l si k > 0 x→a
4. Se verifica que : 1 =0 x→a x→a f (x) 1 b) l´ım f (x) = 0=⇒l´ım =∞ x→a x→a f (x)
a) l´ım f (x) = ∞=⇒l´ım
5. Si se verifica que existe l´ım f (x) = +∞ entonces : x→a
b) l´ım ef (x) = +∞
a) l´ım ln (f (x)) = +∞ x→a
x→a
6. Si se verifica que l´ım f (x) = l y l´ım g(x) = l0 con l,l0 ∈ R entonces : x→a
x→a
a) l´ım [f (x) + g(x)] = l´ım f (x) + l´ım g(x) = l + l0 x→a
x→a
x→a
b) l´ım [f (x) g(x)] = l´ım f (x) · l´ım g(x) = l · l0 x→a
x→a
x→a
l´ım f (x)
c) l´ım
x→a
l f (x) = x→a = 0 si l0 6= 0 g(x) l´ım g(x) l x→a
l´ım g(x) 0 g(x) d ) l´ım [f (x)] = l´ım f (x) x→a = ll si l > 0 x→a
x→a
0
e) Si l < l entonces existe un E 0 (a) tal que f (x) < g(x) para todo x ∈ E 0 (a) Vale la propiedad análoga cambiando < por > . f ) Si existe un E 0 (a) tal que f (x) < g(x) para todo x ∈ E 0 (a) entonces l ≤ l0 Vale la propiedad análoga cambiando < por >y ≤ por ≥. 7. Si se verifica que l´ım f (x) = 0 y g está acotada en un E 0 (a) entonces : x→a
l´ım f (x) g(x) = 0
x→a
8. Si se verifica que l´ım f (x) = ∞ y | g(x) |> 0 en un E 0 (a) entonces : x→a
l´ım f (x) g(x) = ∞
x→a
9. Si se verifica que l´ım f (x) = ∞ y g está acotada en un E 0 (a) entonces : x→a
l´ım [f (x) + g(x)] = ∞
x→a
10. Si se verifica que l´ım f (x) = ∞ y l´ım g(x) = l entonces : x→a
x→a
18
a) l´ım [f (x) + g(x)] = ∞
b) l´ım [f (x) g(x)] = ∞ si l 6= 0
x→a
x→a
11. Si se verifica que l´ım f (x) = l´ım g(x) = +∞ (ó −∞) entonces : x→a
x→a
a) l´ım [f (x) + g(x)] = +∞ (ó −∞)
b) l´ım [f (x) g(x)] = +∞
x→a
x→a
12. Si se verifica que l´ım f (x) = +∞ y l´ım g(x) = l > 0 entonces : x→a
x→a
l´ım [g(x)]f (x) =
x→a
+∞ si l > 1
0
si 0 < l < 1
13. Si se verifica que f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ E 0 (a) entonces : a) l´ım f (x) = +∞ ⇒ l´ım g(x) = +∞ x→a
x→a
b) l´ım g(x) = −∞ ⇒ l´ım f (x) = −∞ x→a
x→a
f (x) = l ∈ (0, +∞) entonces : x→a g(x)
14. Si se verifica que g(x) 6= 0 para todo x ∈ E 0 (a) y l´ım
l´ım f (x) = ∞ ⇐⇒ l´ım g(x) = ∞
x→a
x→a
15. Si se verifica que : h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ E 0 (a) l´ım h(x) = l´ım g(x) = l
x→a
x→a
entonces l´ım f (x) = l (propiedad de intercalación)
x→a
16. Sean f : A → R y g : B → R funciones tales que Im f ⊆ B . Sea x0 ∈ A0 tal que l´ım f (x) =y0 con y0 ∈ B 0 . Se verifica que : x→x0
Si l´ım f (x) =y0 y l´ım g(y) =l = g(y0 ) entonces l´ım (g ◦ f ) (x) =l x→x0
y→y0
x→x0
Observar que la condición que tiene que cumplir la función g , esto es l = g(y0 ) , es necesaria pues de lo contrario podría ser falsa la implicación .(Por ejemplo : 1 si y 6= 0 Sean f : R → R / f (x) = 0 y g : R → R / g(y) = . 0 si y = 0 Entonces (g ◦ f )(x) = 0 / ∀x ∈ R con lo cual : l´ım f (x) =0 , l´ım g(y) =1 pero l´ım (g ◦ f )(x) = 0 6= 1
x→0
y→0
x→0
19
17. Sean A ⊆ R , x0 ∈ A0 , f : A → R y g : (a, +∞) → R funciones tales que Im f ⊆ (a, +∞) . Se verifica que : Si l´ım f (x) = +∞ y l´ım g(y) = l entonces l´ım (g ◦ f )(x) = l x→x0
y→+∞
x→x0
18. Sean A ⊆ R , y0 ∈ A0 , f : (a, +∞) → R y g : A → R funciones tales que Im f ⊆ A . Se verifica que : Si l´ım f (x) = y0 y l´ım g(y) = l entonces l´ım (g ◦ f )(x) = l x→+∞
y→y0
x→+∞
19. Sean f : (a, +∞) → R y g : (b, +∞) → R funciones tales que Im f ⊆ (b, +∞) . Se verifica que : Si l´ım f (x) = +∞ y l´ım g(y) = l entonces l´ım (g ◦ f )(x) = l , (l ∈ R ó bien l = ∞) x→+∞
y→+∞
x→+∞
Valen propiedades análogas para funciones definidas en intervalos del tipo (−∞, a) Nota : Cuando se calcula el límite de una función que está definida mediante otras funciones, que tienen límite, puede ocurrir que el límite de la función dada no quede determinado en función de los límites conocidos. Cuando sucede esto decimos que se presenta una "indeterminación". Por ejemplo, sabemos que l´ım sen x = l´ım x =0 pero no podemos usar la propiedad del cociente para calcular x→0 x→0 0 sen x pues se obtine una expresión que carece de sentido, esto es, . En estos casos se debe l´ım x→0 x 0 recurrir a otras propiedades para calcular el límite. 0 ∞ Las "indeterminaciones" son : " " , " " , "0 · ∞" , "∞ − ∞" , " 00 " , "∞0 " , " 1∞ " 0 ∞
2.8.
Continuidad de una función en un punto
Sean f : A → R una función y x0 un punto de acumulación de su dominio, o sea, x0 ∈ A0 . Se dice que la función f es continua en el punto x0 si y sólo si l´ım f (x) =f (x0 ) . x→x0
Esto significa que : Existe f (x0 ) , o sea , x0 pertenece al dominio A de la función Existe y es finito l´ım f (x) =l x→x0
l = f (x0 ) Si no se cumple alguna de las condiciones anteriores se dice que f es discontinua en x0 o presenta una discontinuidad en x0 . Usando la definición de límite : 0 x0 es un punto de acumulación de A (o sea, x0 ∈ A ) f es continua en x0 ⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0/∀ x ∈ A : | x − x0 |< δ ⇒| f (x) − f (x0 ) |< ε 20
Si x0 no es punto de acumulación del dominio de f convenimos en decir que f es continua en x0 si existe f (x0 ) . Si existe l´ım f (x) =l finito pero l 6= f (x0 ) o bien no existe f (x0 ) decimos que f tiene una x→x0
discontinuidad evitable en x0 . Si no existe l´ım f (x) o bien l´ım f (x) =∞ decimos que f tiene x→x0
x→x0
una discontinuidad esencial en x0 . En tal caso, si existen los límites laterales (que son distintos) se dice que la discontinuidad es esencial de primera especie, y si alguno de los límites laterales no existe la discontinuidad se esencial de segunda especie. Si la función se la define en un intervalo cerrado [a, b] , es decir, f : [a, b] → R , definimos la continuidad lateral como : f es continua a la derecha en x = a si l´ım f (x) =f (a) x→a+
f es continua a la izquierda en x = b si l´ım f (x) =f (b) x→b−
2.9.
Propiedades de las funciones continuas
1. Sea f : A → R una función continua en un punto de acumulación x0 de A . Se verifica que : a) f está acotada en un E(x0 , δ) b) Si f (x0 ) 6= 0 entonces sg(f (x)) = sg(f (x0 )) para todo x ∈ E(x0 , δ) 2. Sean f, g : A → R funciones continuas en un punto de acumulación x0 de A. Se verifica que : a) f + g es continua en x0 b) f · g es continua en x0 f c) es continua en x0 si g(x0 ) 6= 0 g d ) f g es continua en x0 si f (x0 ) > 0 3. Si f es una función polinómica, racional, exponencial, logarítmica, trigonométrica o hiperbólica entonces es continua en todo su dominio. 4. Sean f : A → R y g : B → R funciones tales que Im f ⊆ B , x0 ∈ A0 e y0 ∈ B 0 con y0 = f (x0 ) Se verifica que : Si f es continua en x0 y g es continua en y0 entonces g ◦ f es continua en x0
2.10.
Funciones continuas en un intervalo cerrado
Sea f : [a, b] → R una función . Decimos que f es continua en [a, b] si : f es continua en el intervalo abierto (a, b) f es continua por la derecha en a 21
f es continua por la izquierda en b Se dice que f alcanza un máximo absoluto en x0 ∈ [a, b] si f (x0 ) ≥ f (x) para todo x ∈ [a, b]. Análogamente, f alcanza un mínimo absoluto en x1 ∈ [a, b] si f (x1 ) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b]. Propiedades 1. Primer Teorema de Weierstrass : Toda función continua en un intervalo cerrado [a, b] está acotada en [a, b] . 2. Segundo Teorema de Weierstrass : Toda función continua en un intervalo cerrado [a, b] alcanza un máximo y mínimo absolutos . 3. Teorema de Bolzano : Si f es una función continua en [a, b] y verifica que f (a)·f (b) < 0 , o sea, f (a) y f (b) tienen distinto signo, entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0 Geométricamente significa que el gráfico de f corta al eje X en un punto interior de (a, b) . Otra forma de interpretar al teorema es decir que la ecuación f (x) = 0 tiene , al menos, una raíz real en el intervalo (a, b) . 4. Teorema del Valor Intermedio : Sea f una función continua en [a, b] tal que f (a) < f (b) Para cada k ∈ (f (a), f (b)) existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f (c) = k . 5. Continuidad de la función inversa : Sea f : [a, b] → Im f una función continua y biyectiva en [a, b]. Su inversa f −1 : Im f → [a, b] es continua.
22
3.
DERIVADAS
Sean f : A → R una función y x0 un punto interior de A , o sea, x0 ∈ A0 . Diremos que f es derivable en el punto interio x0 si existe y es finito el siguiente límite, que se denota f 0 (x0 ), y se llama derivada de f en x0 : f 0 (x0 ) = l´ım
x→x0
f (x) − f (x0 ) x − x0
− Si este límite existe cuando x → x+ 0 (o bien x → x0 ) lo llamaremos derivada lateral por la derecha (por la izquierda) y se denotan :
f 0 (x+ ım+ 0 ) = l´ x→x0
f (x) − f (x0 ) x − x0
ım− y f 0 (x− 0 ) = l´ x→x0
f (x) − f (x0 ) x − x0
Observaciones : 1. Al cociente
f (x) − f (x0 ) 4f se lo llama cociente incremental de f .También se lo indica x − x0 4x
2. Haciendo el cambio de variable h = x − x0 resulta que x = x0 + h y si x → x0 entonces h → 0 luego : f (x0 + h) − f (x0 ) f 0 (x0 ) = l´ım h→0 h f (x0 + h) − f (x0 ) f 0 (x+ ım+ 0 ) = l´ h→0 h f (x0 + h) − f (x0 ) f 0 (x− ım− 0 ) = l´ h→0 h 3. Puede suceder que l´ım
x→x0
en el punto x0
f (x) − f (x0 ) = ∞ . En ese caso decimos que f tiene derivada infinita x − x0
4. El concepto de derivada es local o puntual, es decir, depende del punto x0 5. Geométricamente la derivada de una función f en un punto x0 se puede ver como la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto (x0 , f (x0 )). En tal caso la ecuación de la recta tangente será y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ) Se llama recta normal al gráfico de f en el punto (x0 , f (x0 )) a la recta perpendicular a la tangente en dicho punto. Luego, la ecuación de la recta normal será, siempre que f 0 (x0 ) 6= 0 y − f (x0 ) = −
1 f 0 (x
0)
(x − x0 )
6. Otras posibles notaciones para la derivada de una función f tal que y = f (x) en el punto x0 son : df dy (x0 ) , (x0 ) , y 0 (x0 ) dx dx 23
Teorema (Condición necesaria de derivabilidad) Sean f : A → R una función y x0 un punto interior de A . Si f es derivable en x0 entonces f es continua en x0 . H) f es derivable en x0 T) f es continua en x0 Demostración Debemos demostrar que l´ım f (x) = f (x0 ) , o sea l´ım [f (x) − f (x0 )] = 0 . Si f es derivable en x0 x→x0
x→x0
entonces existe y es finito el límite f 0 (x0 ) = l´ım
x→x0
f (x) − f (x0 ) x − x0
Entonces : l´ım [f (x) − f (x0 )] = l´ım x→x0 . x→x0
f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) ·(x−x0 ) = l´ım · l´ım (x − x0 ) = f 0 (x0 ) · 0 = 0 x→x x→x0 x − x0 x − x0 0
Luego l´ım [f (x) − f (x0 )] = 0, con lo cual l´ım f (x) = f (x0 ) .
x→x0
x→x0
El recíproco es falso. Por ejemplo, f (x) =| x | no es derivable en x = 0 pero sí es continua en x = 0 Se dice que f es de clase C 1 en el punto x0 si su función derivada f 0 es continua en x0 . Se denota f ∈ C 1 . Una función puede ser derivable en un punto pero no ser de clase C 1 en dicho punto .
3.1.
Función derivada
Si f es una función definida en un conjunto A ⊆ R y es derivable en cada punto interior x ∈ A , podemos definir una función que le asigna a cada x ∈ A0 el número f 0 (x). Es decir, que definida la función x ∈ A0 7→ f 0 (x) A esta función se la llama función derivada de f y se denota naturalmente con f 0 . Ejemplos : 1 3 1. f (x) = x2 es derivable en x0 = 1 y f 0 (1) = 2 . En este caso t : y = 2x − 1 y n : y = − x + . 2 2 Observar que la función derivada de f es f 0 (x) = 2x para todo x ∈ R . Como f 0 es continua en x = 1 resulta que f ∈ C 1 . 2. f (x) =| x − 2 | no es derivable pero si continua en x0 = 2. Es decir, no existe f 0 (2) y se dice que el punto (2, 0) es un punto anguloso. √ 3 3. f (x) = x2 no es derivable pero si continua en x0 = 0 . En este caso, f 0 (0) = ∞ y se dice que el punto (0, 0) es un punto cuspidal o de retroceso. 24
√ 3
4. f (x) =
x tiene derivada infinita en x0 = 0 . En este caso f 0 (0) = +∞ .
( x2 si x ≤ 1 5. f (x) = no es derivable en x = 1 . −x + 2 si x > 1 Es decir, no existe f 0 (1) . En este caso f 0 (1+ ) = −1 y f 0 (1− ) = 2 . x · sen 1 si x 6= 0 x no es derivable en x = 0 . 6. f (x) = 0 si x = 0 En este caso no existen f 0 (0) , f 0 (0+ ) ni f 0 (0− ) . Reglas de derivación Sean f, g : A → R funciones derivables en cada punto interior x ∈ A y k ∈ R . Se verifica que : 1. k · f es derivable en x y (k · f )0 (x) = k · f 0 (x) 2. f + g es derivable en x y (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) Demostración Por definición de derivada sabemos que (f + g)0 (x0 ) = l´ım
x→x0
(f + g) (x) − (f + g) (x0 ) x − x0
Entonces 0
(f + g) (x0 ) = l´ımx→x0
(f + g) (x) − (f + g) (x0 ) = x − x0
= l´ım
f (x) − f (x0 ) + g(x) − g(x0 ) f (x) + g(x) − f (x0 ) − g(x0 ) = l´ım = x→x0 x − x0 x − x0
= l´ım
f (x) − f (x0 ) g(x) − g(x0 ) f (x) − f (x0 ) g(x) − g(x0 ) + = l´ım + l´ım = x→x0 x→x0 x − x0 x − x0 x − x0 x − x0
x→x0
x→x0
= f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) . Siendo x0 un punto cualquiera se obtiene la tesis . 3. f · g es derivable en x y (f · g)0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x) Demostración Por definición de derivada sabemos que (f · g)0 (x0 ) = l´ım
x→x0
(f · g) (x) − (f · g) (x0 ) x − x0
Entonces, sumando y restando f (x0 ) · g(x) tememos que (f · g)0 (x0 ) = l´ım
x→x0
(f · g) (x) − (f · g) (x0 ) f (x) · g(x) − f (x0 ) · g(x0 ) = l´ım = x→x0 x − x0 x − x0 25
= l´ım
x→x0
f (x) · g(x) − f (x0 ) · g(x) + f (x0 ) · g(x) − f (x0 ) · g(x0 ) = x − x0
[f (x) − f (x0 )] · g(x) + f (x0 ) · [g(x) − g(x0 )] = x→x0 x − x0 f (x) − f (x0 ) g(x) − g(x0 ) = l´ım · g(x) + f (x0 ) · = x→x0 x − x0 x − x0 = l´ım
= l´ım
x→x0
f (x) − f (x0 ) g(x) − g(x0 ) · l´ım g(x) + f (x0 ) · l´ım = x→x0 x→x0 x − x0 x − x0
= f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ) . Siendo x0 un punto cualquier se obtiene la tesis . 0 f f f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x) es derivable en x y si g(x) 6= 0 4. (x) = g g [g(x)]2
Derivada de algunas funciones 1. Sea f (x) = sen x . Entonces f 0 (x) = cos x para todo x ∈ R Demostración Sea x0 ∈ R . Por definición de derivada sabemos que f 0 (x0 ) = l´ım
x→x0
x − x0 pero sen x − sen x0 = 2 · cos · sen con lo cual 2 x + x0 x − x0 2 · cos · sen sen x − sen x0 2 2 0 = l´ım = f (x0 ) = l´ım x→x0 x→x0 x − x0 x − x0 x + x0 x − x0 x − x0 sen cos · sen x + x0 2 2 2 = = l´ım · = l´ım cos x − x x→x0 x→x0 0 x − x0 2 2 2 x − x0 sen x + x0 2 = cos(x0 ) · 1 = cos(x0 ) = l´ım cos · l´ım x→x0 x→x0 x − x0 2 2 Como el x0 es un punto genérico resulta que (sen x)0 = cos x . Siendo x0 un punto cualquiera se obtiene la tesis . x + x0 2
2. Sea f (x) = ln x . Entonces f 0 (x) =
sen x − sen x0 x − x0
1 para todo x > 0 x
Demostración
26
Sea x0 > 0 . Por definición de derivada sabemos que f 0 (x0 ) = l´ım
x→x0
ln x − ln x0 ln(x0 + h) − ln x0 = l´ım h→0 x − x0 h
Entonces, usando propiedades del logaritmo y la definición del número e resulta que 1 ln(x0 + h) − ln x0 = l´ım · ln f (x0 ) = l´ım h→0 h h→0 h 0
x0 + h x0
=
x0 · 1 1 h h h x0 = l´ım · ln 1 + = l´ım ln 1 + = h→0 h h→0 x0 x0 l´ım 1 x 1 x 0 0 h→0 x0 · 1 h h x0 1 h h = ln l´ım 1 + = ln e x0 = = ln l´ım 1 + h→0 h→0 x0 x0 x0
Luego f 0 (x0 ) =
1 . Como x0 es un punto cualquiera se obtiene la tesis . x0
Teorema (Derivada de la función compuesta o regla de la cadena) Sean f : A → R y g : B → R funciones tales que Im f ⊆ B , f es derivable en x ∈ A0 y g es derivable en f (x) ∈ B 0 . Entonces g ◦ f es derivable en x y además 0
(g ◦ f )0 : A → R / (g ◦ f ) (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) Aplicación : Tomando logaritmo natural en ambos miembros de f (x) = xα , con α ∈ R y x > 0 probar que f 0 (x) = α xα−1 Teorema (Derivada de la función inversa) Sean f : A → R una función biyectiva y x0 ∈ A0 . Si f es derivable en x0 y f 0 (x0 ) 6= 0 entonces : 1. f −1 es derivable en y0 = f (x0 ) 0
2. (f −1 ) (y0 ) =
1 f 0 (x
0)
Aplicación : Sabiendo que la función inversa de f (x) = ex es f −1 (x) = ln(x) y que se verifica (f −1 ◦ f ) (x) = x ∀x ∈ R , probar que f 0 (x) = ex . Ejemplo: Sea f : R → R la función biyectiva dada por f (x) = x3 + x + 1. 1 0 Hallar (f −1 ) (3) . Rta.: 4
27
Tabla de derivadas de las funciones elementales 1. (k)0 = 0
10. (sen(x))0 = cos(x)
2. (x)0 = 1
11. (cos(x))0 = − sen(x)
3. (1/x)0 = −1/x2 √ √ 0 4. ( x) = 1/2 x
12. (tan(x))0 = 1/ cos2 (x)
α 0
5. (x ) = α x
13. (Sh(x))0 = Ch(x)
α−1
8. (ln(x))0 = 1/x
14. (Ch(x))0 = Sh(x) √ 15. (arcsin(x))0 = 1/ 1 − x2 √ 16. (arc cos(x))0 = −1/ 1 − x2
9. (loga (x))0 = 1/x ln a
17. (arctan(x))0 = 1/1 + x2
x 0
6. (e ) = e
x
7. (ax )0 = ax ln a
3.2.
Derivada de funciones definidas implícitamente y en forma paramétrica
Diremos que una ecuación F (x, y) = 0 define implícitamente a una función f tal que y = f (x) . en algún intervalo real I , si para todo x ∈ I se verifica que F (x, f (x)) = 0 . Si la función f es derivable en I entonces F también lo será . En tal caso la expresión de f 0 (x) se puede obtener derivando a F (x, f (x)) como una función compuesta e igualando a cero lo que resulte para luego despejar f 0 (x) . En estos casos la notación usual es y 0 en vez de f 0 (x) . Ejemplo : Hallar la expresión de y 0 siendo y = f (x) la función dada por y 2 sen x + y = arc tg x . Rta.: y 0 =
1 − (1 + x)2 y 2 cos x (1 + x2 )(2y sen x + 1)
Supongamos ahora que las variable x e y dependen de una tercer variable t ∈ I ⊆ R ( t se llama parámetro). Esta dependencia funcional se puede expresar como x = g(t)
e
y = h(t)
Si g es estrictamente monótona sabemos que tiene inversa g −1 , con lo cual t = g −1 (x). En estas condicones podemos encontrar una dependencia funcional entre x e y de modo tal que y = f (x) para alguna función f (proceso conocido como supresión o eliminación del parámetro t ) y decimos que f está definida paramétricamente por g y h . Si g y h son derivables en todo punto interior de I entonces f 0 (x) =
h0 (t) g 0 (t)
En efecto, como g tiene inversa g −1 y t = g −1 (x) tenemos que : y = h(t) = h(g −1 (x)) = (h ◦ g −1 )(x) = f (x) con f = h ◦ g −1 28
Como g es derivable , g −1 también lo es, de modo que f 0 (x) = h0 (g −1 (x))(g −1 )0 (x) = h0 (g −1 (x)) ·
1 h0 (t) 1 0 = h (t) · = g 0 (t) g 0 (t) g 0 (t)
Es usual en las aplicaciones físicas, indicar la dependencia funcional de x e y en función de t como dy , con lo cual la relación anterior queda x = x(t) e y = y(t) , y f 0 (x) como dx dy y 0 (t) = 0 dx x (t) Ejemplo : Hallar la derivada de y en función de x de la curva dada en forma paramétrica por ( x = 2 cos t y = 1 + 2 sen t
Rta.:
3.3.
dy = − cotg t dx
Derivadas sucesivas o de orden superior
Sean A ⊆ R y f : A → R una función derivable en todo punto interior x ∈ A . A la función f 0 también se la llama derivada primera de f en A . Si existe la derivada de f 0 en cada punto interior de A a ella se la llama derivada segunda de f y se la denota f 00 o bien f (2) . Entonces f 0 (x + h) − f 0 (x) f 00 (x) = l´ım h→0 h En general, si n ∈ N , la derivada n-ésima de f o de orden n en un punto interior x de A se define inductivamente como 0 f (n) (x) = f (n−1) (x) Por determinadas razones que luego se verán se considera derivada de orden 0 a f (0) (x) = f (x) . Diremos que f es n veces derivable en x si existe f (n) (x) , y f es de clase C n si f es n veces derivable en todo punto interior de A y la función f (n) es continua en dicho punto . Por último, f es de clase C ∞ si f ∈ C n para todo n ∈ N , o sea, f puede derivarse tantas veces como se necesite en todo punto interior de A . Ejemplo : Hallar la expresión de la derivada n-ésima de f en los siguientes casos : a) f (x) = x3 b) f (x) = ex c) f (x) = e3x d) f (x) = ln x
3.4.
Diferencial de una función en un punto
Sea f : A → R una función derivable en un punto interior x0 de A. Entonces existe y es finito el límite f (x) − f (x0 ) f 0 (x0 ) = l´ım x→x0 x − x0 29
Esta iguadad podemos escribirla del siguiente modo : f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) 0 0 = f (x0 ) ⇒ l´ım − f (x0 ) = 0 ⇒ = f 0 (x0 ) + α(x) l´ım x→x0 x→x0 x − x0 x − x0 x − x0 con l´ım α(x) = 0 . Luego x→x0
f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ) + α(x)(x − x0 ) con l´ım α(x) = 0 x→x0
Llamaremos diferencial de f en el punto interior x0 con respecto al incremento 4x = x − x0 al producto f 0 (x0 )(x − x0 ). Se lo denota con df (x0 , 4x) . Entonces df (x0 , 4x) = f 0 (x0 )(x − x0 ) . Si 4x → 0 el incremento de la función se aproxima al diferencial lo que permite escribir 4f ' df (x0 , 4x) ⇒ f (x) − f (x0 ) ' df (x0 , 4x) ⇒ f (x) ' f (x0 ) + df (x0 , 4x) Haciendo el cambio de variable h = 4x = x − x0 tenemos que x = x0 + h con lo cual la última implicación queda f (x0 + h) ' f (x0 ) + f 0 (x0 ) h siendo en este caso df (x0 , h) = f 0 (x0 ) h . Esta expresión se conoce como aproximación lineal de f . Si usamos la notación y = f (x), el diferencial se suele escribir como dy, con lo cual, para el caso particular de la función identidad y = f (x) = x , tenemos que dy = dx = x0 4 x = 1 4 x , de donde se obtiene la igualdad dx = 4x . Esto justifica la notación dy = f 0 (x) dx . Geométricamente podemos decir que df (x0 , h) de una función en un punto de abscisa x0 , con un incremento h , representa la variación de la ordenada de la recta tangente a la curva en (x0 , f (x0 )), al pasar de x0 a x0 + h . √ Ejemplo : Calcular usando diferenciales el valor aproximado de 4 e y comparar el resultado con el que dá la calculadora. √ Rta.: 4 e ' 1, 25 Propiedad La variación de una función y su diferencial son infinitésimos equivalentes para h → 0 . En efecto, si f 0 (x0 ) 6= 0 resulta que : l´ım
h→0
4f f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) 1 1 = l´ım = 0 · l´ım = 0 · f 0 (x0 ) = 1 0 df (x0 , h) h→0 f (x0 ) h f (x0 ) h→0 h f (x0 )
3.5.
Funciones monótonas derivables
Sean A ⊆ R , f : A → R una función y x0 un punto interior de A . Diremos que : f es estrictamente creciente en x0 si y sólo si existe un E(x0 , δ) tal que : x < x0 ⇒ f (x) < f (x0 ) ∀ x ∈ E(x0 , δ) : x0 < x ⇒ f (x0 ) < f (x) 30
f es creciente en x0 si y sólo si existe un E(x0 , δ) tal que : x < x0 ⇒ f (x) ≤ f (x0 ) ∀ x ∈ E(x0 , δ) : x0 < x ⇒ f (x0 ) ≤ f (x) f es estrictamente decreciente en x0 si y sólo si existe un E(x0 , δ) tal que : x < x0 ⇒ f (x) > f (x0 ) ∀ x ∈ E(x0 , δ) : x0 < x ⇒ f (x0 ) > f (x) f es decreciente en x0 si y sólo si existe un E(x0 , δ) tal que : x < x0 ⇒ f (x) ≥ f (x0 ) ∀ x ∈ E(x0 , δ) : x0 < x ⇒ f (x0 ) ≥ f (x) En cualquiera de los casos se dice que la función es monótona o (estrictamente monótona) en el punto. Teorema (Relación entre la monotonía en un punto y el signo de la derivada primera) Sean A ⊆ R y f : A → R una función derivable en un punto interior x0 de A. Se verifica que : 1. Si f 0 (x0 ) > 0 entonces f es estrictamente creciente en x0 Demostración Si f es derivable en x0 sabemos que existe y es finito el límite f 0 (x0 ) = l´ım
x→x0
f (x) − f (x0 ) >0 x − x0
Por una propiedad del límite, existe un E 0 (x0 , δ) donde la función conserva el signo de su límite. O sea ∀ x ∈ E 0 (x0 , δ) :
f (x) − f (x0 ) > 0 ⇒ Sg [f (x) − f (x0 )] = Sg(x − x0 ) x − x0
con lo cual x < x0 ⇒ x − x0 < 0 ⇒ f (x) − f (x0 ) < 0 ⇒ f (x) < f (x0 ) x > x0 ⇒ x − x0 > 0 ⇒ f (x) − f (x0 ) > 0 ⇒ f (x) > f (x0 ) luego f es estrictamente creciente en x0 2. Si f 0 (x0 ) < 0 entonces f es estrictamente decreciente en x0 31
3. Si f es creciente en x0 entonces f 0 (x0 ) ≥ 0 4. Si f es decreciente en x0 entonces f 0 (x0 ) ≤ 0 Sean A ⊆ R y f : A → R una función . Diremos que : f es estrictamente creciente en A si y sólo si se verifica que : ∀ x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) f es creciente en A si y sólo si se verifica que : ∀ x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) f es estrictamente decreciente en A si y sólo si se verifica que : ∀ x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) f es decreciente en A si y sólo si se verifica que : ∀ x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) En cualquiera de los casos se dice que la función es monótona o (estrictamente monótona) en el conjunto. Teorema (Relación entre la monotonía en un conjunto y el signo de la derivada primera) Sean A ⊆ R y f : A → R una función derivable en todo punto interior de A. Se verifica que : 1. Si f 0 (x) > 0 ∀ x ∈ A entonces f es estrictamente creciente en A 2. Si f 0 (x) < 0 ∀ x ∈ A entonces f es estrictamente decreciente en A 3. f 0 (x) ≥ 0 si y sólo si f es creciente en A 4. f 0 (x) ≤ 0 si y sólo si f es decreciente en A
3.6.
Teoremas del valor medio
Extremos relativos y absolutos de una función Sean A ⊆ R , f : A → R una función y x0 ∈ A . Diremos que : f admite un mínimo relativo o local en x0 si existe un entorno E(x0 , δ) tal que : E(x0 , δ) ⊂ A y f (x0 ) ≤ f (x) ∀ x ∈ E(x0 , δ) f admite un máximo relativo o local en x0 si existe un entorno E(x0 , δ) tal que : E(x0 , δ) ⊂ A y f (x0 ) ≥ f (x) ∀ x ∈ E(x0 , δ) 32
f admite un mínimo absoluto o global en x0 si f (x0 ) ≤ f (x) ∀ x ∈ A f admite un máximo absoluto o global en x0 si f (x0 ) ≥ f (x) ∀ x ∈ A A los máximos y mínimos relativos (o absolutos) se los llama extremos relativos (o absolutos) Teorema de Fermat (condición necesaria para la existencia de extremos relativos) Sean A ⊆ R y f : A → R una función derivable en un punto interior x0 de A . Se verifica que : Si f tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en el punto x0 entonces f 0 (x0 ) = 0 Demostración Supongamos, por el absurdo, que f 0 (x0 ) 6= 0 , entonces se presentan dos casos : a) f 0 (x0 ) > 0 , con lo cual f es estrictamente creciente en x0 b) f 0 (x0 ) < 0 , con lo cual f es estrictamente decreciente en x0 En ambos casos se llega a un absurdo pues f (x0 ) es un extremo relativo, con lo cual no es estrictamente creciente ni decreciente. Tal abusrdo surgió de suponer f 0 (x0 ) 6= 0 . Luego debe ser f 0 (x0 ) = 0 . Observaciones : 1. El recíproco es falso. Un contraejemplo es f (x) = x3 en x0 = 0 2. Si f no es derivable en x0 no tiene sentido aplicar el teorema. Por ejemplo, f (x) =| x |tiene un mínimo relativo (y absoluto) en x0 = 0 y no existe f 0 (0) 3. Si el conjunto A es un intervalo cerrado [a, b] , el teorema no se verifica en los extremos del mismo (no son puntos interiores). Por ejemplo, f (x) = sen x en [0, π/2] alcanza un mínimo en x = 0 y un máximo en x = π/2 4. El teorema nos "brinda" posibles puntos interiores del dominio de la función donde pueden tener extremos relativos 5. Diremos que x0 es un punto crítico de f si f 0 (x0 ) = 0 o bien f 0 (x0 ) no existe. De este modo los extremos absolutos o globales de una función pueden hallarse en : a) los puntos donde f 0 (x) = 0 b) los puntos donde f 0 (x) no existe c) en los extremos del conjunto donde está definida la función Teorema (Condición suficiente para la existencia de extremos locales) Sean A ⊆ R , f : A → R una función y x0 un punto interior de A . Criterio del signo de la derivada primera Si se verifica que :
33
1. f es continua en x0 2. f es derivable en un E 0 (x0 , δ) 3. x0 es un punto crítico de f Entonces : Si f 0 (x) > 0 para x ∈ (x0 − δ, x0 ) y f 0 (x) < 0 para x ∈ (x0 , x0 + δ) entonces f tiene en x0 un máximo relativo Si f 0 (x) < 0 para x ∈ (x0 − δ, x0 ) y f 0 (x) > 0 para x ∈ (x0 , x0 + δ) entonces f tiene en x0 un mínimo relativo Observar que no se pide que f sea derivable en x0 . Teorema de Rolle Sea f : [a, b] → R una función . Si se verifica que : f es continua en [a, b] f es derivable en (a, b) f (a) = f (b) entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) donde f 0 (c) = 0 . Geométricamente, si se cumple el teorema, existe un punto de la gráfica de f donde la recta tangente es horizotal. Teorema de Lagrange Sea f : [a, b] → R una función . Si se verifica que : f es continua en [a, b] f es derivable en (a, b) entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) =
f (b) − f (a) . b−a
Observaciones : 1. El segundo miembro de la igualdad es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) , mientras que el primer miembro es la pendiente de la recta tangente en (c, f (c)). 2. El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange pues corresponde al caso f (a) = f (b) . 3. A este teorema también se lo conoce como Teorema de los Incrementos Finitos o Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial 34
Teorema de Cauchy Sean f, g : [a, b] → R una funciones . Si se verifica que : f y g son continuas en [a, b] f y g son derivables en (a, b) g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que
f (b) − f (a) f 0 (c) = 0 . g(b) − g(a) g (c)
Este teorema es una generalización del teorema de Lagrange tomando g(x) = x . Como aplicación de este teorema tenemos la llamada Regla de L’Hospital Esta regla es una propiedad muy útil para calcular límites que presentan indeterminación del tipo "0/0" ó "∞/∞" . Si la indeterminación no es de este tipo se debe transformar la expresión de la función para llevar la indeterminación a una de los casos anteriores . Sea a = x0 ∈ R o bien a = ±∞. Si se verifica que : f y g son derivables en un E 0 (a) g 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ E 0 (a) l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0 o bien l´ım f (x) = l´ım g(x) = ∞
x→a
l´ım
x→a
x→a
x→a0
x→a
f 0 (x) existe y es finito o infinito g 0 (x)
entonces l´ım
x→a
f (x) f 0 (x) = l´ım 0 g(x) x→a g (x)
Ejemplos : 2x x2 − 4 = l´ım =4 1. l´ım x→2 1 x→2 x − 2 2. La Regla de L’Hopital se puede aplicar en forma iterada, por ejemplo : l´ım
x→0
ex − x − 1 ex − 1 ex 1 = l´ ım = l´ ım = x→0 x→0 2 x2 2x 2
3. En algunos casos no es conveniente aplicar esta regla, puesto que no se llega nunca a simplificar el resultado. x e + sen x Por ejemplo l´ım x . x→+∞ e + cos x Para resolver este caso basta con dividir numerador y denominador por ex obteniéndose como límite 1. 35
4. En otros casos no se puede aplicar la regla, por ejemplo l´ım
x→+∞
(x + sen x)0 1 + cos x l´ım no existe. = l´ım 0 x→+∞ (x + cos x) x→+∞ 1 − sen x
x + sen x . En efecto : x + cos x
Para calcular el límite dividimos numerador y denominador por x : sen x 1 1+ 1 + sen x x + sen x x x l´ım = l´ım l´ım =1 cos x = x→+∞ 1 x→+∞ x + cos x x→+∞ 1+ 1 + cos x x x 5. Notar que la Regla de L’Hospital sólo se puede aplicar para indeterminaciones del tipo 00 0/000 o 00 ∞/∞00 . Los otros casos se deben transformar para obtener alguna de las indeterminaciones anteriores, por ejemplo : a) l´ım e−x ln x caso 00 0 · ∞00 x→+∞ 1 cos x − caso 00 ∞ − ∞00 b) l´ım x→0 x sen x c) l´ım xsen x caso ” 00 ” x→0
d ) l´ım+ (− ln x)x
caso ”∞0 ”
x→0
e) l´ım (sen x)tg x π x→ 2
3.7.
caso ” 1∞ ”
Concavidad positiva y negativa de una función. Puntos de inflexión
Sean A ⊆ R , f : A → R una función derivable , x0 un punto interior de A y t la recta tangente en (x0 , f (x0 )). Diremos que : el gráfico de f es cóncavo positivo en el punto x0 , si existe un entonrno reducido E 0 (x0 , δ) donde la recta tangente se encuentra por "abajo" de la curva. En decir : f es cónvavo positivo en (x0 , f (x0 )) ⇔ ∃ E 0 (x0 , δ) /∀ x ∈ E 0 (x0 , δ) : t(x) < f (x) el gráfico de f es cóncavo negativo en el punto x0 , si existe un entonrno reducido E 0 (x0 , δ) donde la recta tangente se encuentra por "encima" de la curva. En decir : f es cónvavo negativo en (x0 , f (x0 )) ⇔ ∃ E 0 (x0 , δ) /∀ x ∈ E 0 (x0 , δ) : f (x) < t(x) el punto (x0 , f (x0 )) es un punto de inflexión de f si y sólo si la recta tangente "atraviesa" el gráfico de f , es decir, es cóncava positiva en (x0 − δ, x0 ] y cóncava negativa en [x0 , x0 + δ) o viceversa.
36
Teorema (Condición necesaria para la existencia de puntos de inflexión) Sean A ⊆ R y f : A → R una función dos veces derivable en un punto interior x0 de A . Si (x0 , f (x0 )) es un punto de inflexión del gráfico de f entonces f 00 (x0 ) = 0 El recíproco es falso. Por ejemplo : f (x) = x4 en x0 = 0 . Nota Puede definirse punto de inflexíón para una función que no es derivable en el punto x0 . En tal caso se dice que (x0 , f (x0 )) es punto de inflexión de f si en dicho punto cambia el sentido de la concavidad (pasa de concavidad positiva a negativa o viceversa). Teorema Sea f : A → R dos veces derivable en todo punto interior de A. Se verifica que : Si f 00 (x) > 0 , ∀x ∈ A0 entonces f es cóncavo positiva en A Si f 00 (x) < 0 , ∀x ∈ A0 entonces f es cóncavo negativa en A Como consecuencia de este teorema surgen otros criterios (condiciones suficientes) para determinar extremos relativos y puntos de inflexión : Teorema (Condición suficiente para la existencia de extremos locales) Sean A ⊆ R , f : A → R una función y x0 un punto interior de A . Criterio del signo de la derivada segunda Si se verifica que : 1. f es continua en x0 2. f es dos veces derivable en todo punto interior de A 3. f 0 (x0 ) = 0 Entonces : Si f 00 (x0 ) > 0 entonces f tiene en x0 un mínimo relativo Si f 00 (x0 ) < 0 entonces f tiene en x0 un máximo relativo Teorema (Condición suficiente para la existencia de puntos de inflexión) Sean A ⊆ R , f : A → R una función continua en x0 un punto interior de A . Si se cumplen alguna de las siguientes condiciones : 1. f es dos veces derivable en el interior de A y f 00 (x0 ) = 0 2. No existe f 00 (x0 ) pero f es dos veces derivable en A − {x0 } entonces si f 00 cambia de signo en (x0 − δ, x0 ) y (x0 , x0 + δ) podemos asegurar que (x0 , f (x0 )) es un punto de inflexión de f . 37
3.8.
Fórmula de Taylor y Mac Laurin
Para analizar el comportamiento de una función f en un entorno de un punto x0 , es usual recurrir a funciones elementales tales como las funciones polinómicas. Si la función es n + 1 veces derivable en un entorno de x0 se puede encontrar un polinomio Pn (x) , de grado n, expresado en potencias 0 (n) de (x − x0 ) , de modo tal que f (x0 ) = Pn (x0 ) , f 0 (x0 ) = Pn (x0 ) , ..., f (n) (x0 ) = Pn (x0 ) . Tal aproximación se mejora aumentando el valor de n . Teorema Sean A ⊆ R , f : A → R una función y x0 un punto interior de A . Si f tiene derivada de orden n + 1 en un entorno E(x0 , δ) entonces : 1. f (x) = Pn (x) + Rn (x) para todo x ∈ E(x0 , δ) 2. Pn (x) = f (x0 ) + o bien Pn (x) =
n X f (i) (x0 ) i=0
3. Rn (x) = 4. l´ım
x−x0
f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) f 0 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 1! 2! n!
i!
(x − x0 )i
donde f (0) (x0 ) = f (x0 )
f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 siendo c un punto entre x0 y x ó entre x y x0 . (n + 1)!
Rn (x) =0 (x − x0 )n
El polinomio Pn (x) se llama polinomio de Taylor de grado n asociado a la función f y centrado en x0 . A Rn (x) se lo llama resto o término complementario de Lagrange. El error que se comete al considerar a Pn (x) en vez de f (x) se lo indica con ε =| f (x) − Pn (x) |. Si el error es "pequeño" se puede escribir f (x) ' Pn (x) . En particular si x0 = 0 , el polinomio de Taylor se llama polinomio de Mac Laurin siendo su expresión n f 00 (0) 2 f (n) (0) n X f (i) (0) i f 0 (0) x+ x + ··· + x = x Pn (x) = f (0) + 1! 2! n! i ! i=0 Rn (x) =
f (n+1) (c) n+1 x con c entre 0 y x ó x y 0 (n + 1)!
Se puede demostrar que el polinomio de Taylor asociado a una función en un punto es único. Ejemplos : 1. Sea f (x) = ex . a) Hallar el polinomio de Mac Laurin de grado 1, 2 ,3 y n. 38
√ b) Calcular 3 e con el polinomio de Mac Laurin de grado 2 y comprobar el error que se comete mediante una calculadora c) Hallar el grado del polinomio de Mac Laurin para que el error cometido se menor que 10−4 xn x2 + ··· + b) 1, 3888 c) n = 4 2! n! x − sen x 2. Empleando la fórmula de Taylor calcular l´ım x→0 x2 ex − 1 − x − 2 Rta.: 1 Rta.: a) Pn (x) = 1 + x +
39
4.
INTEGRALES
Un motivo para introducir el concepto de Integral se encuentra en el siguiente problema : calcular el área de una región plana no poligonal. Un caso puede ser el de calcular el área de la región limitada por el gráfico de una función f continua y positiva en un intervalo cerrado [a, b], el eje X y las rectas verticales x = a y x = b . Una forma de hacerlo puede ser considerando rectángulos inscriptos en la región, calcular el área de cada uno de ellos y luego sumarlas. Se obtendría un valor por defecto, es decir, menor al valor real del área buscada. También se podrían considerar rectángulos que contengan a la región. En ese caso el valor del área sería por exceso .
4.1.
Integral Definida
Sea [a, b] un intervalo cerrado. Una partición de [a, b] es un conjunto finito P = {x0 , x1, · · · , xn } de puntos de [a, b] tales que : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi−1 < xi < · · · < xn = b Para cada partición P de [a, b] quedan determinados los intervalos [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], · · · , [xi−1 , xi ], · · · [xn−1 , xn ] Llamaremos intervalo i-ésimo de la partición al intervalo Ii = [xi−1 , xi ] y anplitud del intervalo Ii al número xi − xi−1 . Una partición P 0 se dice que es más fina que P si P ⊂ P 0 . Ejemplo : Sea [a, b] = [1, 4] . Entonces P0 = {1, 4} es una partición de [1, 4]. Es la "menos fina" ya cualquier otra la debe contener. P = {1, 3, 4} es otra partición de [1, 4] 3 3 3 3 3 Pn = 1, 1 + , 1 + 2 · , 1 + 3 · , 1 + 4 · , · · · , 1 + i · , · · · , 4 . n n n n n Esta es la llamada partición regular de [1, 4] . Notar que todos los intervalos tienen la misma amplitud
3 . n
Sea f : [a, b] → R una función acotada. Esto significa que existen números m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] . Tales números son m = inf{f (x) /x ∈ [a, b]} M = sup{f (x) /x ∈ [a, b]} Si P = {x0 , x1, · · · , xn } es una partición de [a, b], para cada i con 1 ≤ i ≤ n definimos Mi = sup{f (x) /x ∈ [xi−1 , xi ]} 40
mi = inf{f (x) /x ∈ [xi−1 , xi ]} Tales números Mi y mi existen pues se pide que f sea una función acotada en [a, b] , de modo que f está acotada en cada intervalo [xi−1 , xi ] , con lo cual existe el supremo y el ínfimo. Llamaremos suma inferior para f correspondiente a la partición P a la suma sP (f ) = m1 (x1 − x0 ) + m2 (x2 − x1 ) + · · · + mn (xn − xn−1 ) =
n X
mi (xi − xi−1 )
i=1
y suma superior para f correspondiente a la partición P a la suma SP (f ) = M1 (x1 − x0 ) + M2 (x2 − x1 ) + · · · + Mn (xn − xn−1 ) =
n X
Mi (xi − xi−1 )
i=1
Observar que siendo mi ≤ Mi para todo i , siempre ocurre que sP (f ) ≤ SP (f ) para cualquier partición P de [a, b] . Teorema Sea f : [a, b] → R una función acotada. Sean P y P 0 dos particiones de [a, b] . Entonces : 1. sP (f ) ≤ SP 0 (f ) 2. si P 0 es más fina que P entonces sP (f ) ≤ sP 0 (f ) y SP (f ) ≥ SP 0 (f ) Resulta entonces que para cada partición P de [a, b] el conjunto de las sumas inferiores s = {sP (f ) /P es una partición de [a, b]} y el de las sumas superiores S = {SP (f ) /P es una partición de [a, b]} son conjutnos acotados. En efecto, el conjunto s está acotado inferiormente por m(b−a) y superiormente por cuaquier suma superior . En forma análoga, el conjunto S está acotado superiormente por M (b − a) e inferiormente por cualquier suma inferior. Luego el conjunto s tiene supremo y el conjunto S tiene ínfimo en R. Se verifican entonces las siguientes desigualdades para cualquier partición P de [a, b] : m(b − a) ≤ sP (f ) ≤ SP (f ) ≤ M (b − a) Se llama integral inferior de f sobre [a, b] al número ˆ b f (x) dx = sup {sP (f ) /P es una partición de [a, b]} a
e integral superior de f sobre [a, b] al número ˆ
b
f (x) dx = inf {SP (f ) /P es una partición de [a, b]} a
41
Diremos que la función acotada f : [a, b] → R es integrable sobre [a, b] , según Riemann , si ˆ b ˆ b f (x) dx f (x) dx = a
a
Observaciones : 1. Los números a y b se llaman límite inferior y limite superior de integración ˆ 2. El símbolo es una letra "s alargada " y se llama símbolo integral 3. Existen funciones que no son integrables. Por ejemplo ( 1 si x es racional f : [0, 1] → R dada por f (x) = 0 si x es irracional En cada intervalo [xi−1 , xi ] existe un racional qi tal que f (qi ) = 1 y un irracional ti tal que f (ti ) = 0 , con lo cual el conjunto {f (x) /x ∈ [xi−1 , xi ]} = {0, 1} luego mi = 0 y Mi = 1 . Entonces sP (f ) = m1 (x1 − x0 ) + m2 (x2 − x1 ) + · · · + mn (xn − xn−1 ) =
n X
0 (xi − xi−1 ) = 0
i=1
SP (f ) = M1 (x1 − x0 ) + M2 (x2 − x1 ) + · · · + Mn (xn − xn−1 ) =
n X
1 (xi − xi−1 ) = 1
i=1
en consecuencia s = {sP (f ) /P es una partición de [0, 1]} = {0} ⇒ sup{sP (f )} = 0 S = {SP (f ) /P es una partición de [0, 1]} = {0} ⇒ inf{SP (f )} = 1 con lo cual
ˆ
ˆ
1
f (x) dx = 0 6=
1
f (x) dx = 1 0
0
Esto muestra que f no es integrable en [0, 1] . ˆ
ˆ
b
f (x) dx o también
4. Si la función es integrable se escribe simplemente a
b
f a
5. La variable x se llama "muda" y esto significa que puede ser cambiada por cualquier otra : ˆ b ˆ b ˆ b f (x) dx = f (t) dt = f (y) dy a
a
a
6. Puede demostrarse que la condición necesaria y suficiente para que una función acotada f : [a, b] → R sea integrable está dada por la siguiente condición de integrabilidad ∀ ε > 0, ∃ P partición de [a, b] /Sp (f ) − sP (f ) < ε 42
4.2.
Propiedades de la Integral Definida
1. Sea f : [a, b] → R una función acotada . Se verifica que : ˆ
b
f (x) dx ≥ 0
a) Si f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] y f es integrable sobre [a, b] entonces a
b) Si f es integrable sobre [a, b] entonces | f | es integrable sobre [a, b] y se cumple que : ˆ b ˆ b f (x) dx ≤ | f (x) | dx a
a
c) Si f es continua en [a, b] , o discontinua en un número finito de puntos de [a, b] , entonces f es integrable sobre [a, b] d ) Si f es monótona en [a, b] , entonces f es integrable sobre [a, b] e) Si f es continua en [a, b] entonces existe un punto c ∈ [a, b] tal que : ˆ
b
f (x) dx = f (c)(b − a) a
Esta propiedad se conoce como Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral . Demostración Como f es continua en [a, b] existe mínimo m y máximo M tal que m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ [a, b] Por la propiedad de monotonía se deduce que ˆ b ˆ b ˆ b M dx f (x) dx ≤ m dx ≤ a
a
a
ˆ
b
m(b − a) ≤
f (x) dx ≤ M (b − a) a
dividiendo por b − a se obtiene que 1 m≤ b−a
ˆ
b
f (x) dx ≤ M a
Puesto que f es continua en [a, b], por el Teorema del Valor Intermedio, existe un ˆ b 1 c ∈ [a, b] tal que f (c) = f (x) dx con lo cual b−a a ˆ b f (x) dx = f (c)(b − a) a
Interpretación geométrica : Si f es una función positiva en [a, b], entonces la expresión anterior puede pensarse como que el área de la región limitada por el gráfico de f , el eje X y las rectas x = a e y = b, es igual al área del rectángulo de base b − a y altura f (c) . 43
f ) Si a < c < b y f es integrable sobre [a, b] entonces f es integrable sobre [a, c] y [c, b] , y se cumple que ˆ c ˆ b ˆ b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx a
a
c
g) Si f es integrable sobre [a, b] entonces se definen ˆ
ˆ
a
b
f (x) dx = −
f (x) dx = 0 y a
ˆ
a
b
f (x) dx a
2. Sean f, g : [a, b] → R funciones integrables sobre [a, b] . Se verifica que : ˆ
ˆ
b
a
ˆ
ˆ
b
k·f (x) dx = k ·
b) a
b
g(x) dx
f (x) dx +
[f (x) + g(x)] dx =
a)
ˆ
b
a
a b
f (x) dx con k ∈ R a
ˆ
ˆ
b
f (x) dx ≤
c) Si f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b] entonces
g(x) dx a
a
4.3.
b
Función Integral
Sea f : [a, b] → R una función integrable sobre [a, b] . Puede demostrarse que f es integrable sobre [a, x], para todo x ∈ [a, b] . Se define entonces una función F : [a, b] → R como ˆ x f (t) dt F (x) = a
llamada integral indefinida de f sobre [a, b] . Esta función tiene las siguientes propiedades : 1. F es continua en [a, b] (aunque f no lo sea) 2. Si f es continua en [a, b] entonces a) Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ [a, b] Demostración F (x) − F (x0 ) Sea x0 un un punto interior de [a, b] . Entonces F 0 (x0 ) = l´ım con lo cual x→x0 x − x0 ˆ ˆ ˆ x ˆ x ˆ x0 x a f (t) dt + f (t) dt f (t) dt f (t) dt − f (t) dt a x0 x0 a a 0 F (x0 ) = l´ım = l´ım = l´ım x→x0 x→x0 x→x0 x − x0 x − x0ˆ x − x0 x Por el Teorema del Valor Intermedio del Cálculo resulta que f (t) dt = f (c)(x − x0 ) x0
para algún c entre x y x0 . Luego 44
f (c)(x − x0 ) = l´ım f (c) . Por ser f continua resulta que l´ım f (c) = x→x0 x→x0 x→x0 x − x0 l´ım f (c) = f (x0 )
F 0 (x0 ) = l´ım c→x0
Si x0 = a ó x0 = b se aplican derivadas laterales . b) Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral o Regla de Barrow ˆ
b
f (x) dx = F (b) − F (a) a
Demostración ˆ x f (x) dx . Siendo f continua en [a, b] es G0 (x) = f (x) para todo x ∈ [a, b] Sea G(x) = a
. Luego G0 (x) = F 0 (x) , con lo cual G(x) = F (x) + C para todo x ∈ [a, b] . En particular G(a) = F (a) + C Como G(a) = 0 resulta que C = −F (a) , luego G(x) = F (x) − F (a) . Para el caso x = b tenemos que G(b) = F (b) − F (a) con lo cual ˆ
b
f (x) dx = F (b) − F (a) a
Se llama primitiva de una función f : [a, b] → R a toda función derivable F : [a, b] → R tal que F 0 (x) = f (x) ∀x ∈ [a, b] . Observar que por la propiedad 2 a), toda función continua en un intervalo cerrado posee una primitiva. Ejemplos : 1. Si f : [0, 1] → R está dada por f (t) = 2t entonces F : [0, 1] → R es F (x) = x2 . En efecto, F 0 (x) = 2x ∀x ∈ [0, 1] . Como f es continua la función F es una primitiva de f . 2. Si f : [0, 2] → R es la función definida por ( 0 si 0 ≤ t < 1 f (t) = 1 si 1 ≤ t ≤ 2 entonces F : [0, 2] → R está dada por ( F (x) =
0 si 0 ≤ x < 1 x − 1 si 1 ≤ x ≤ 2
Notar que F es continua en [0, 2] pero no derivable (no existe F 0 (1) ) . Luego, la función f no tiene primitiva en [0, 2].
Es claro que si f posee una primitiva F entonces posee infinitas : Si G es otra primitiva de f entonces G(x) = F (x) + C siendo C una constante
45
Puede ocurrir que en la función integral uno o ambos límites de integración sean a su vez funciones derivables u y v de x . En tal caso, por composición de funciones , y siendo f continua, se tiene que : ˆ u(x) f (t) dt ⇒ F 0 (x) = f (u(x)) · u0 (x) F (x) = ˆ
a u(x)
f (t) dt ⇒ F 0 (x) = f (u(x)) · u0 (x) − f (v(x)) · v 0 (x)
F (x) = v(x)
4.4.
Cálculo de Primitivas
Sean A ⊆ R y f : A → R una función continua en A . Al conjunto de todas las primitivas de una función f se lo denota con ˆ f (x) dx Si f, g : A → R son funciones que tienen primitiva entonces se verifican las siguientes propiedades ˆ
ˆ [f (x) + g(x)] dx =
ˆ
f (x) dx +
g(x) dx
ˆ k · f (x) dx = k ·
4.5.
ˆ
f (x) dx con k ∈ R
Métodos de integración
1. Método por sustitución Para aplicar este método nos basamos en el siguiente teorema : Si F es una primitiva de f entonces F ◦ g es una primitiva de (f ◦ g) · g 0 Ejemplos : ˆ a) cos(4x) dx ˆ b) (x + 3)4 dx ˆ c) sen2 x · cos x dx ˆ 1 d) dx 3x + 2 ˆ e) tg x dx
ˆ f) ˆ
1 dx 1 + 4x2
1 √ dx (t = 2x ) x− x √ ˆ √ √ x+ 3x √ h) dx (t = 6 x) 3 1+ x ˆ x5 2 5 4 i) 4 dx (t = 1 + x , x = x · x ) 2 (1 + x ) g)
46
2. Método por Partes Si u y v son dos funciones derivables entonces (u(x) · v(x))0 = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x) con lo cual : ˆ ˆ ˆ 0 0 (u(x) · v(x)) dx = u (x) · v(x) dx + u(x) · v 0 (x) dx ˆ ˆ 0 u(x) · v(x) = u (x) · v(x) dx + u(x) · v 0 (x) dx luego
ˆ
ˆ 0
u(x) · v (x) dx = u(x) · v(x) − Ejemplos : ˆ a) x ex dx ˆ b) x2 ex dx ˆ c) x ln x dx
u0 (x) · v(x) dx
ˆ ln x dx
d) ˆ e)
ex sen x dx
ˆ f)
arc sen x dx (partes y sustitución)
3. Fracciones Simples Este método se aplica para integrales cuyo integrando sea una función racional donde el grado del numerador es menor estricto que el grado del denominador. Se presentan cuatro casos : a) El denominador tiene todas sus raíces reales y distintas, por ejemplo : ˆ ˆ 2x + 1 2x + 1 dx = dx 3 x − 7x + 6 (x − 1)(x + 3)(x − 2) b) El denominador tiene todas sus raíces reales y algunas múltiples, por ejemplo : ˆ ˆ x2 − x + 4 x2 − x + 4 dx = dx x3 − 4x2 + 5x − 2 (x − 1)2 (x − 2) c) El denominador tiene algunas raíces complejas simples , por ejemplo : ˆ ˆ x+2 x+2 dx = dx 3 2 2 x − 2x + x − 2 (x + 1)(x − 2) d ) El denominador tiene algunas raíces complejas múltiples, por ejemplo : ˆ ˆ x2 + 3x − 1 x2 + 3x − 1 dx = dx x6 − 2x4 − 7x2 − 4 (x − 1)(x + 3)(x2 + 1)2
47
4. Integrales con funciones trigonométricas Se usan las identidades : sen2 x =
1 − cos(2x) 1 − cos(2x) y sen2 x = 2 2
Por ejemplo : ˆ ˆ ˆ 3 2 a) sen x dx = sen x · sen x dx = (1 − cos2 x) sen x dx ˆ ˆ 1 − cos(2x) 2 b) sen x dx = dx 2
4.6.
(t = cos x)
Noción de Ecuación Diferencial
Llamaremos ecuación diferencial a toda ecuación que contenga una función incógnita y sus deridy = y0 vadas, o bien, sólo a sus derivadas. La notación usual para la derivada de y = f (x) es dx Ejemplos : 1/3 x + 3x2 3 2 0 3 a) La solución general de y = con y(0) = 6 es la curva y = x + 3x + 8 y2 2 b) Hallar la curva que pasa por el punto (0, −2), de modo tal que la pendiente de la recta tangente en cada punto sea igual a la ordenada de ese punto aumentada en tres unidades dy Tenemos que = y + 3 e y(0) = −2 . La curva es y = ex − 3 dx
4.7.
Integrales Impropias o Generalizadas
Hasta ahora pedimos que f sea una función acotada en un intervalo cerrado [a, b] . Se generaliza el concepto de integral para funciones definidas en intervalos no acotados y/o funciones no acotadas.
4.8.
Integrales impropias de primera especie (intervalo de integración no acotado)
Sea f : [a, +∞) → R una función tal que para todo x ≥ a resulta f integrable en [a, x] . Definimos entonces
ˆ
ˆ
+∞
t
f (x) dx = l´ım
f (x) dx
t→+∞
a
a
En forma simétrica se define ˆ
ˆ
b
f (x) dx = l´ım −∞
t→−∞
48
b
f (x) dx t
Si f : R → R es una función para la cual existe un c ∈ R de modo tal que existan la integrales ˆ c ˆ +∞ f (x) dx f (x) dx y −∞
c
ˆ
entonces se define
ˆ
+∞
ˆ
c
f (x) dx = −∞
+∞
f (x) dx +
f (x) dx
−∞
c
Si los límites anteriores existen y son finitos la integral se dice que es convergente, si son infinitos divergente y si no existen oscilantes. Valor Principal de Cauchy Sea f : R → R una función integrable en [−m, m] , ∀m > 0 . Llamaremos valor principal de Cauchy al siguiente límite : ˆ m l´ım f (x) dx m→+∞
ˆ
−m
+∞
f (x) dx converge entonces su valor coincide con el valor principal, pero puede ocurrir que ˆ +∞ f (x) dx sea divergente. exista el valor principal aún cuando Si
−∞
−∞
Propiedades Sean f, g : [a, +∞) → R funciones integrables en [a, x] para todo x ≥ a . ˆ
ˆ
+∞
+∞
| f (x) | dx converge entonces
1. Si a
f (x) dx converge a
2. Si f y g son integrables en [a, x] para todo x ≥ a y 0 ≤ f (x) ≤ g(x) ∀ x ≥ a entonces ˆ +∞ ˆ +∞ a) Si f (x) dx diverge entonces g(x) dx diverge a a ˆ +∞ ˆ +∞ b) Si g(x) dx converge entonces f (x) dx converge a
a
3. Si f y g son continuas, positivas para todo x ≥ a y l´ım
x→+∞
ˆ a) Si 0 < l < +∞ entonces
ˆ
+∞
+∞
f (x) dx y a
f (x) = l se verifica que g(x)
g(x) dx tienen el mismo carácter (ambas a
convergen o divergen) ˆ +∞ ˆ +∞ b) Si l = 0 y g(x) dx converge entonces f (x) dx converge a a ˆ +∞ ˆ +∞ c) Si l = +∞ y g(x) dx diverge entonces f (x) dx diverge a
a
Valen propiedades análogas para una función f : (−∞, a] → R 49
4.9.
Integrales impropias de segunda especie (función no acotada)
Sea f : [a, b) → R una función tal que para todo x < b , con a ≤ x < b , resulta que f es integrable sobre [a, x]. Si l´ım− f (x) = ∞ entonces definimos x→b
ˆ
ˆ
b−
a
f (x) dx = l´ım−
a
ˆ
→b
b
f (x) dx .
f (x) dx o simplemente
Otras notaciones para esta integral son ˆ
f (x) dx
t→b
ˆ
t
a
a b
En forma simétrica se define a+
f (x) dx para f : (a, b] → R y l´ım+ f (x) = ∞. x→a
Propiedades Sean f, g : [a, b) → R funciones integrables en [a, x] para todo x < b . ˆ
ˆ
b−
b−
| f (x) | dx converge entonces
1. Si
f (x) dx converge
a
a
2. Si f y g son integrables en [a, x] para todo x < a y 0 ≤ f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b) entonces ˆ
ˆ
b−
b−
f (x) dx diverge entonces
a) Si a
ˆ
g(x) dx diverge a
ˆ
b−
g(x) dx converge entonces
b) Si a
b−
f (x) dx converge a
3. Si f y g son continuas, positivas para todo x ∈ [a, b) y l´ım
x→+∞
ˆ
ˆ
b−
b−
g(x) dx tienen el mismo carácter (ambas
f (x) dx y
a) Si 0 < l < +∞ entonces a
a
convergen o divergen) ˆ b− ˆ b) Si l = 0 y g(x) dx converge entonces a
ˆ
c) Si l = +∞ y
f (x) = l se verifica que g(x)
b−
f (x) dx converge
a
ˆ
b−
g(x) dx diverge entonces a
b−
f (x) dx diverge a
Valen propiedades análogas para una función f : (a, b] → R , integrable en [x, b] con a < x ≤ b y l´ım+ f (x) = ∞ x→a
Ejemplos :
50
ˆ
+∞
a) 1
ˆ
+∞
b) 1
ˆ
+∞
c) −∞ +∞
ˆ
ˆ
dx = +∞ x dx =1 x2
+∞
ˆ
dx =π 1 + x2
e) a
ˆ
( converge si dx = p x diverge si
ˆ
+∞
e−x dx )
(comparar con 1 +∞
2 + x3 g) dx converge 1 + x6 1 ˆ +∞ 1 dx ) (comparar con x3 1 ˆ 1 ln x dx = −1 h)
−∞
ˆ
2
e−x dx converge 1
x dx diverge aunque vp = 0
d)
+∞
f)
p>1 p≤1
0+
1
1 . Observar que no es una integral impropia pues l´ım+ x ln x = 0, con lo x→0 4 0 cual la función está acotada en el intervalo cerrado [0, 1]. Una primitiva es 2 x2 x ln x − si 0 < x ≤ 1 F (x) = 2 4 0 si x = 0 Sea
4.10.
x ln x dx = −
Aplicaciones de la Integral Definida
Si la función f : [a, b] → R es continua sobre [a, b] y f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] , la integral ˆ b f (x) dx nos dá el área de la región limitida por el gráfico de f , el eje X y las rectas verticales a
x = a y x = b. Si f y g son funciones continuas tales que sus gráficos se cortan en los puntos A = (a, f (a)) y B = (b, f (b)) , y se cumple que f (x) ≥ g(x) ∀x ∈ [a, b] entonces el área de la región limitada por los gráficos de f y g es ˆ b
[f (x) − g(x)] dx a
Ejemplos : 1. Hallar el área de la región limitada por el gráfico de f (x) = 2x , el eje X para [0, 2] . Rta.: 4 2. Hallar el área limitada por los gráficos de f (x) = x2 y g(x) = 3 − 2x . Rta.: 88/3 3. Hallar el área limitada por las curvas y = −x + 2 e x = y 2 . Rta.: 9/2 4. Hallar el área limitada por las curvas y = x3 e y = 9x . Rta.: 81/2 5. Hallar el área de la región comprendida entre la curva y =
x2 − 1 y su asíntota. Rta.: 2π x2 + 1
6. Hallar el área de la región limitada por el gráfico de f (x) = x2 , el eje X y la recta tangente al gráfico de f en el punto (1, 1) . Rta.: 1/3
51
5. 5.1.
SUCESIONES y SERIES NUMÉRICAS Sucesiones Numéricas
Se llama sucesión de números reales a toda función a : N →R . En este contexto N ={1, 2, 3, · · · } o bien N = {0, 1, 2, 3, · · · } . La imagen de cada elemento de N se indica an en vez de a(n), y el conjunto imagen de la sucesión es el conjunto ordenado {a1 , a2 , · · · , an , · · · } donde an se denomima el término general de la sucesión. La sucesión de término general an se denota de alguna de las siguientes formas : (an )n∈N
, (an )n≥1
o simplemente (an )
Ejemplos : n es 1. La sucesión de término general an = n+1
1 2 n , ,··· , ,··· 2 3 n+1
2. La sucesión de término general an = 2n es (2, 4, 6, · · · , 2n, · · · ) 3. La sucesión de término general an = (−1)n es (−1, 1, −1, 1, −1, · · · , (−1)n , . . . ) . Notar que la imagen de esta sucesión es {−1, 1} . √ √ 4. La sucesión (a por recurrencia como a 2 y a 2 + an . Tal sucesión es n ) definida 1 = n+1 = √ p √ 2, 2 + 2, · · · Una sucesión (an ) se dice que es de términos positivos si an > 0 para todo n ∈ N. Asi, las sucesiones 1., 2. y 4. son de términos positivos pero no la 3. Diremos que la sucesión (an ) está acotada si existe un número M > 0 tal que | an |≤ M para todo n ∈ N. Por ejemplo, la sucesiones 1.y 3. son acotadas pero no la 2.
5.2.
Sucesiones Convergentes
Diremos que una sucesión numérica (an ) tiene límite l , o converge a l si se cumple que : ∀ ε > 0 , ∃ n0 ∈ N /∀ n ∈ N : n ≥ n0 ⇒| an − l |< ε En tal caso se escribe l´ım an = l , l´ım an = l o simplemente an → l . n→∞
Observaciones : Afirmar que l´ım an = l significa que dado un entorno de centro l y radio ε > 0 , fuera de n→∞ dicho entorno existen, a lo sumo, un número finito de términos de la sucesión
52
Una sucesión no tiene límite l si existe un entorno de l tal que fuera de él existan infinitos términos de la sucesión. Por ejemplo, la sucesión dada por an = (−1)n no tiene límite 1 pues fuera del entorno E(1, 1) (de centro 1 y radio 1) existen infinitos términos de la sucesión, esto es, todos los de subíndice impar e iguales a −1. 1 Ejemplo : Sea (an ) la sucesión dada por an = . Tal sucesión es n 1 Se cumple que l´ım an = l´ım = 0 n→∞ n→∞ n
5.3.
1 1 1 1, , , · · · , , · · · . 2 3 n
Sucesiones no Convergentes
Sea (an ) una sucesión de números reales . Diremos que : l´ım an = +∞ ⇔ ∀ M > 0 , ∃ n0 ∈ N /∀ n ∈ N : n ≥ n0 ⇒ an > M
n→∞
Ejemplo : La sucesíon (an ) dada por an = 2n l´ım an = −∞ ⇔ ∀ M > 0 , ∃ n0 ∈ N /∀ n ∈ N : n ≥ n0 ⇒ an < −M
n→∞
Ejemplo : La sucesión (an ) dada por an = −3n l´ım an = ∞ ⇔ ∀ M > 0 , ∃ n0 ∈ N /∀ n ∈ N : n ≥ n0 ⇒| an |> M
n→∞
Ejemplo : La sucesión (an ) dada por an = (−1)n · n
En cualquier de los casos se dice que la sucesión es divergente o que diverge. Si la sucesión no es convergente ni divergente se la llama oscilante. Por ejemplo, la sucesión dada por an = (−1)n ·n diverge a infinito y la sucesión dada por an = (−1)n es oscilante. Si la sucesión es de términos positivos se puede demostrar la siguiente propiedad conocida como Criterio de D’Alambert Sea (an ) una sucesión de términos positivos. Se verifica que : l´ım an = 0 l < 1 ⇒ n→∞ l > 1 ⇒ l´ım an = +∞ an+1 n→∞ =l⇒ l´ım n→∞ an l = 1 ⇒ no hay información √ n a = l l´ım n n→∞
Ejemplos : 53
n 1. l´ım n = 0 n→∞ 3 2. l´ım 2 · 7n = +∞ n→∞
5n =0 n→∞ n! √ 4. l´ım n n = 1 3. l´ım
n→∞
5.4.
Sucesiones Monótonas
Sea (an ) una sucesión de números reales. Diremos que : 1. (an ) es creciente si an ≤ an+1 ∀n ∈ N 2. (an ) es estrictamente creciente si an < an+1 ∀n ∈ N 3. (an ) es decreciente si an ≥ an+1 ∀n ∈ N 4. (an ) es estrictamente decreciente si an > an+1 ∀n ∈ N En cualquiera de los casos se dice que la sucesión es monótona ( o estrictamente monótona) . Para este tipo de sucesiones vale el siguiente Teorema Sea (an ) una sucesión monótona. Se verifica que : 1. Si (an ) está acotoda entonces es convergente 2. Si (an ) no está acotoda entonces l´ım an = ∞. En particular : n→∞
a) (an ) creciente ⇒ l´ım an = +∞ n→∞
b) (an ) decreciente ⇒ l´ım an = −∞ n→∞
Ejemplos : 1. (an ) /an =
n es creciente y acotada n+1
2. (an ) /an = 2 +
1 es decreciente y acotada n
3. (an ) /an = 2n es creciente y no acotada 1 4. (an ) /an = sen no es monótona y es acotada n
54
El número e Dada la sucesión de término general an =
1 1+ n
n se verifica que :
1. (an ) está acotada . En particular 2 ≤ an < 3 para todo n ∈ N 2. (an ) es estrictamente creciente Luego, por el teorema anterior la sucesión tiene límite finito y se lo llama número e, siendo su valor aproximado 2, 718 . O sea : n 1 l´ım 1 + =e n→∞ n En general, si l´ım an = ∞ y an 6= 0 ∀n ∈ N se tiene que l´ım n→∞
5.5.
n→∞
1 1+ an
an =e
Subsucesiones
Dada una sucesión de números reales (an ), se llama subsucesión de (an ) a toda sucesión de la forma : (an1 , an2 , an3 , · · · , ank , · · · ) donde n1 < n2 < n3 < · · · < nk < · · · . A tal subsucesión se de la denota (ank )k∈N o (ank ) . 1 , entonces sus elementos son n 1 1 1 1 1 1, , , , , , · · · 2 3 4 5 6
Por ejemplo, si (an ) es la sucesión dada por an =
Algunas de sus subsuciones son : 1 1 1 , , , · · · siendo ank = a2k 2 4 6 1 1 1, , , · · · siendo ank = a2k−1 3 5
Vale la siguiente propiedad Teorema Una sucesión de números reales es convergente si y sólo si toda subsucesión de la misma también es convergente y converge al mismo límite. En símbolos : l´ım an = l ⇔ ∀ (ank ) : l´ım ank = l
n→∞
k→∞
Luego, si una sucesión tiene al menos dos subsucesiones que convergen a límites distintos, entonces la sucesión no tiene límite. Por ejemplo, si (an ) es la sucesión dada por an = (−1)n entonces 55
la subsucesión de índice par, es decir, a2k es constantemente igual a 1 pues a2k = (−1)2k = 1, luego l´ım a2k = l´ım 1 = 1 k→∞
k→∞
la subsucesión de índice impar, es decir, a2k−1 es constantemente igual a −1 pues a2k−1 = (−1)2k−1 = −1 , luego l´ım a2k−1 = l´ım −1 = −1 k→∞
k→∞
resulta entonces que la sucesión (−1)n no tiene límite, o sea, no converge.
5.6.
Propiedades de los límites de sucesiones
Se presentan las mismas indeterminaciones que en el cálculo de límites de funciones de variable real. 1. El límite de una sucesión es único 2. Si una sucesión es convergente entonces está acotada. El recíproco es falso. Un contraejemplo puede ser (−1)n . 3. Sea (an ) una sucesión y k ∈ R . Se verifica que : a) Si l´ım an = l entonces l´ım | an |=| l | n→∞
n→∞
b) Si l´ım an = l y an > 0 ∀n ∈ N entonces l´ım n→∞
n→∞
√ √ an = l
c) Si l´ım an = l < k entonces existe n0 ∈ N tal que , para todo n ≥ n0 es an < k n→∞
d ) Si l´ım an = l > k entonces existe n0 ∈ N tal que , para todo n ≥ n0 es an > k n→∞
e) Si l´ım an = l y an > k para todo n ≥ n0 entonces l ≥ k n→∞
f ) Si l´ım an = l y an < k para todo n ≥ n0 entonces l ≤ k n→∞
g) Si l´ım an = l > 0 y an > 0 ∀ n ∈ N entonces l´ım ln an = ln l n→∞
n→∞
h) Si l´ım an = 0 y an > 0 ∀ n ∈ N entonces l´ım ln an = −∞ n→∞
n→∞
i ) Si l´ım an = +∞ entonces l´ım ln an = +∞ n→∞
n→∞
j ) Si l´ım an = l entonces l´ım k an = k l si k > 0 n→∞
n→∞
1 =∞ n→∞ n→∞ an 1 l ) Si l´ım an = ∞ entonces l´ım =0 n→∞ n→∞ an √ m) Si l´ım an = +∞ entonces l´ım an = +∞ k ) Si l´ım an = 0 entonces l´ım
n→∞
n→∞
4. Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones. Se verifica que : a) Si l´ım an = l y l´ım bn = l0 entonces : n→∞
n→∞
56
• l´ım (an + bn ) = l + l0
• l´ım
n→∞
n→∞
• l´ım (an · bn ) = l · l0
• l´ım
n→∞
n→∞
an bn
=
l si l0 6= 0 l0
0 anbn = ll si l > 0
b) Si l´ım an = 0 y (bn ) está acotada entonces l´ım an · bn = 0 n→∞
n→∞
c) Si l´ım an = l 6= 0 y l´ım bn = ∞ entonces l´ım an · bn = ∞ n→∞
n→∞
n→∞
d ) Si l´ım an = l´ım bn = +∞ (ó −∞) entonces : n→∞
n→∞
l´ım an · bn = +∞
n→∞
y
l´ım (an + bn ) = +∞ (ó −∞)
n→∞
e) Si existe n0 ∈ N tal que, para todo n ≥ n0 es an ≤ bn se verifica que : 1) Si l´ım an = l y l´ım bn = l0 entonces l ≤ l0 n→∞
n→∞
2) Si l´ım an = +∞ entonces l´ım bn = +∞ n→∞
n→∞
3) Si l´ım bn = −∞ entonces l´ım an = −∞ n→∞
n→∞
f ) Si l´ım an = +∞ y l´ım bn = l > 0 entonces l´ım abnn = +∞ n→∞
n→∞
n→∞
g) Si l´ım an = l > 1 y l´ım bn = +∞ entonces l´ım abnn = +∞ n→∞
n→∞
n→∞
5. Sean (an ) , (bn ) y (cn ) tres sucesiones. Si se verifica que : Existe n0 ∈ N tal que, para todo n ≥ n0 es cn ≤ an ≤ bn l´ım cn = l´ım bn = l
n→∞
n→∞
entonces l´ım an = l (Teorema de intercalación o "sandwich") n→∞
6. Límites especiales. Sean r ∈ R+ y k ∈ R . Se verifica que : ( 0 si 0 < r < 1 a) l´ım rn = n→∞ +∞ si r > 1 √ b) l´ım n r = 1 con r > 0 n→∞ √ c) l´ım n n = 1 n→∞
k =0 n→∞ nr e) l´ım k · nr = ∞ k 6= 0
d ) l´ım
n→∞
Ejemplos : 1. Verificar los siguientes límites : 57
a) l´ım 3n = +∞ n→∞ n 1 b) l´ım =0 n→∞ 2 √ c) l´ım n 5 = 1
j ) l´ım (7n3 − 4n2 + 5n + 1) = ∞ n→∞
(−1)n 1 = l´ım 2 (−1)n = 0 2 n→∞ n + 1 n→∞ n + 1 √ √ √ n n l ) l´ım 2n3 = l´ım n 2 n3 =1 n→∞ n→∞ √ m) l´ım n2 + 2n = +∞ k ) l´ım
n→∞
4 =0 n→∞ n3 e) l´ım 5n2 = +∞
d ) l´ım
n→∞
4n3 + 2n =2 n→∞ 2n3 − n 6n − 5 2n + 2 ñ) l´ım = e3 n→∞ 2n + 1 n) l´ım
n→∞
f ) l´ım − 3n4 = −∞ n→∞ √ 5 n g) l´ım + 2 =0+1=1 n→∞ n2 √ n 7 1 √ h) l´ım 3 = l´ım 3 n 7 = 0 · 1 = 0 n→∞ n n→∞ n √ n i ) l´ım ln 3 = ln 1 = 0
2n =0 n→∞ n! √ 1 p) l´ım n2 + n − 2 − n = n→∞ 2 o) l´ım
n→∞
2. Sabiendo que 2 −
5.7.
√ 9 3 ≤ 7 − 2an ≤ 1 + n 4 ∀ n ∈ N se obtiene l´ım an = n→∞ n 2
Series Numéricas
Sea (an ) una sucesión de números reales . Llamaremos sucesión de sumas parciales correspondientes a la sucesión (an ) a la sucesión (Sn ) definida por : S 1 = a1 S 2 = a1 + a2 S 3 = a1 + a2 + a3
Sn = a1 + a2 + · · · + an =
n X
ak
k=1
Se llama serie asociada a la sucesión (an ) a la sucesión (Sn ) . Tal serie se denota usualmente como : ∞ X
an
o simplemente
X
an
n=1
y se suele escribir
∞ X
an = a1 + a2 + · · · + an + · · ·
n=1
donde an se llama el término principal de la serie. 58
Algunas veces resulta conveniente considerar series del tipo
∞ X
an , es decir, el primer término
n=0
comienza con a0 en vez de a1 . ∞ X Dirememos que una serie an es convergente si existe y es finito el límite siguiente l´ım Sn = S n→∞
n=1
Al número S se lo llama suma de la serie. Si tal límite existe pero es infinito se dice que la serie diverge y si no existe oscilante. El carácter de una serie es la particularidad de ser convergente, divergente u oscilante. Resulta entonces que ∞ X
⇔ l´ım Sn = S
an es convergente
n→∞
n=1 ∞ X
an es divergente
⇔ l´ım Sn = ∞ n→∞
n=1 ∞ X
⇔ l´ım Sn no existe
an es oscilante
n→∞
n=1
Teorema (Condición necesaria de convergencia) ∞ X an es convergente entonces l´ım an = 0 . El recíproco es falso. Si n→∞
n=1
Luego, si l´ım an 6= 0 entonces n→∞
∞ X
an no converge .
n=1
Ejemplo ∞ X 2n 2n La serie no converge pues l´ım = 2 6= 0 n→∞ n + 1 n + 1 n=0 Para las series convergentes valen las siguientes propiedades : ∞ ∞ X X bn son dos series convergentes y k ∈ R entonces : an y Si n=1
n=1 ∞ X
k · an es convergente y
n=1 ∞ X
∞ X
k · an = k ·
n=1
(an + bn ) es convergente y
n=1
∞ X
an
n=1 ∞ X
(an + bn ) =
n=1
∞ X n=1
an +
∞ X
bn
n=1
Ejemplos ∞ X
1 1 1 · En este caso Sn = 1 − y l´ım Sn = l´ım 1 − =1 1. n→∞ n→∞ n(n + 1) n + 1 n + 1 n=1 ∞ X 1 Luego, la serie es convergente con suma igual a 1. n(n + 1) n=1 59
2.
∞ X
2 · En este caso Sn = 2n y l´ım Sn = l´ım 2n = + ∞ n→∞
n=1
Luego, la serie
∞ X
n→∞
2 es divergente.
n=1
3.
∞ X
(−1)n · En este caso Sn = 0 si n es par y Sn = 1 si n es impar.
n=0
No existe l´ım Sn con lo cual la serie n→∞
5.8.
∞ X
(−1)n es oscilante .
n=0
Series Particulares
1. Serie Geométrica ∞ X
a · rn = a + a r + a r2 + · · · + a rn + · · · con a ∈ R − {0} y r ∈ R
n=0
Se verifica que : a) si | r |< 1 entonces la serie es convergente y su suma vale S = Se escribe
∞ X n=0
a · rn =
a · 1−r
a 1−r
b) si r ≥ 1 la serie divergente c) si r ≤ −1 la serie es oscilante Ejemplos ∞ X 5 · En este caso a = 5 y r = 1/2 , luego la serie converge con suma S = 10 a) 2n n=0
b)
∞ X
3 · 5n · En este caso a = 3 y r = 5 , luego la serie diverge
n=0
c)
∞ X
6 (−1)n En este caso a = 6 y r = −1 , luego la serie oscila
n=0
2. Serie p o armónica generalizada
∞ X 1 np n=1
Se verifica que : a) si p > 1 la serie es convergente
60
b) si p ≤ 1 la serie es divergente ∞ X 1 se llama serie armónica. En particular, la serie n n=1 Ejemplos ∞ X 1 a) La serie converge pues es una serie p con p = 3 > 1 . n3 n=0 ∞ X 1 √ diverge pues es una serie p con p = 1/2 ≤ 1 . b) La serie n n=0
5.9.
Serie de términos positivos
Son las series para las cuales an > 0 ∀ n ∈ N . En tal caso (Sn ) es una sucesión creciente, con lo se verifica que : si (Sn ) está acotada entonces
∞ X
an converge
n=1
si (Sn ) está no está acotada entonces
∞ X
an diverge a +∞
n=1
Para este tipo de series existen criterios para decidir su carácter ∞ ∞ X X Sean an y bn dos series de términos positivos. Se verifica que : n=1
n=1
1. Criterios generales de comparación a) Criterio de la mayorante Si existe un n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 entonces an ≤ bn se cumple que : ∞ ∞ X X si an diverge , entonces bn diverge n=1
si
∞ X
n=1 ∞ X
bn converge , entonces
n=1
an converge
n=1
b) Criterio del cociente ∞ ∞ X X an si l´ım = l , 0 < l < +∞ entonces an y bn tienen el mismo carácter n→∞ bn n=1 n=1 ∞ ∞ X X an si l´ım = l < +∞ y bn converge entonces an converge n→∞ bn n=1 n=1 ∞ ∞ X X an si l´ım =l>0y bn diverge entonces an diverge n→∞ bn n=1 n=1
61
2. Criterios automáticos de convergencia a) Criterio de D’Alambert
l´ım
n→∞
an+1 an
∞ X l < 1 ⇒ an converge n=1 ∞ X =l ⇒ l>1 ⇒ an diverge n=1 l = 1 ⇒ el criterio no dá información
b) Criterio de la raíz o de Cauchy ∞ X l<1 ⇒ an converge n=1 √ ∞ X l´ım n an = l ⇒ n→∞ an diverge l > 1 ⇒ n=1 l = 1 ⇒ el criterio no dá información c) Criterio de Raabe
l´ım n ·
n→∞
an+1 an
∞ X l>1 ⇒ an converge n=1 ∞ X −1 =l ⇒ an diverge l < 1 ⇒ n=1 l = 1 ⇒ el criterio no dá información
d ) Criterio de la integral ∞ X Si an es una serie de términos positivos que verifica : n=1
(an ) es una sucesión decreciente f : (1, +∞) → R es una función monótona decreciente tal que f (n) = an ∀n ∈ N entonces
∞ X n=1
ˆ an y
+∞
f (x) dx tienen el mismo carácter 1
Ejemplos 1. La serie
∞ X n=0
∞ X 1 1 converge (comparar con la serie p dada por ) 2 n2 + 1 n n=0
∞ ∞ X X 5n + 3 1 2. La serie diverge (aplicar criterio del cociente con ) 2 2n + 1 n n=0 n=1
62
∞ X n 3. La serie converge (aplicar el criterio de D’Alambert) 6n n=0 ∞ X 1 4. La serie converge (aplicar el criterio de Cauchy) nn n=0 ∞ X n−1 diverge (aplicar el criterio de Raabe) 5. La serie 2n2 + 1 n=1 ∞ X 1 6. La serie diverge (aplicar el criterio de la integral) n n=0
5.10.
Series Alternadas
Sea (an ) una sucesión de números reales no negativos , o sea, an ≥ 0 ∀ n ∈ N ∞ X (−1)n+1 · an , es decir : Llamaremos serie alternada a la serie definida por n=1 ∞ X
(−1)n+1 · an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + (−1)n+1 · an + · · ·
n=1
Para estas series vale la siguiente propiedad Teorema de Leibniz Si en una serie alternada
∞ X
(−1)n · an se verifica que :
n=1
(an ) es una sucesión decreciente , o sea, an+1 − an ≤ 0 ∀n ∈ N l´ım an = 0
n→+∞
entonces : 1. la serie
∞ X
(−1)n · an es convergente
n=1
2. | Sn − S |< an+1 siendo S la suma de la serie Ejemplos 1. La serie
∞ X (−1)n+1 n=0 ∞ X
3n + 2
es convergente pues verifica las hipótesis del teorema
n 3 2. La serie (−1) no verifica las hipótesis del teorema de Leibniz. 2 n=0 3 Es divergente pues se trata de una serie geométrica de razón r = − 2 n
63
5.11.
Convergencia absoluta y condicional
Dada una serie
∞ X
an de términos cualesquiera se dice que es :
n=1
absolutamente convergente si
∞ X
| an | es convergente
n=1
condicionalmente convergente si
∞ X
an es convergente pero
n=1
∞ X
| an | es divergente
n=1
Teorema ∞ X Sea an una series de términos cualesquiera. Se verifica que : n=1
1. si
∞ X
an es absolutamente convergente entonces la serie
n=1
n=1
∞ ∞ X X 2. si an no es oscilante entonces an < | an | n=1 n=1 n=1 ∞ X
Ejemplos 1. La serie
∞ X (−1)n n=0
2. La serie
∞ X
n+1
es condicionalmente convergente
∞ X (−1)n+1 n=0
5n
es absolutamente convergente
64
an es convergente
65
6. 6.1.
SERIES DE POTENCIAS Concepto de serie de potencias
Sea (an ) una sucesión cualquiera de números reales, x ∈ R una variable y x0 ∈ R fijo. Llamaremos serie de potencias centrada en x0 a la serie dada por : ∞ X
an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · · + an (x − x0 )n + · · ·
n=0
Como caso particular tenemos la serie de potencias centrada en el origen, es decir, x0 = 0 : ∞ X
an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + · · ·
n=0
Teorema Para cada serie de potencias
∞ X
an (x − x0 )n existe un r ≥ 0 (r puede ser +∞ ), llamado radio
n=0
de convergencia tal que : 1. si | x − x0 |< r entonces
∞ X
an (x − x0 )n es absolutamente convergente
n=0
2. si | x − x0 |> r entonces
∞ X
an (x − x0 )n no es convergente
n=0
3. si | x − x0 |= r entonces
∞ X
an (x − x0 )n puede o no ser convergente
n=0
1 siendo : l p an+1 ó bien l = l´ım n | an | l = l´ım n→∞ n→∞ an
4. el radio de convergencia r es r =
Si l = 0 se toma r = +∞ y decimos que la serie converge en R , y si l = +∞ se toma r = 0 y la serie solamente converge para x = x0 . Se llama intervalo o campo de convergencia al intervalo real donde la serie converge . Para hallar el intervalo de convergencia siempre se debe analizar en los extremos del mismo, o sea, en x = x0 − r y x = x0 + r . Luego, el intervalo de convergencia Ic será alguno de los siguientes conjuntos (x0 − r, x0 + r) , [x0 − r, x0 + r] , [x0 − r, x0 + r) , (x0 − r, x0 + r] , R , {x0 }
66
Ejemplos Hallar el intervalo de convergencia de las siguientes series : 1.
∞ X n=0
2.
∞ X xn n=0
3.
n!
Rta.: [−4, −2]
(n + 1)2
∞ X (−1)n−1 n=1
Rta.: [−2, 2)
Rta.: R
∞ X (x + 3)n n=0
4.
xn (n + 1) 2n
2n + 1
x2n−1
Rta.: [−1, 1]
Dada una serie de potencias
∞ X
an (x − x0 )n , se llama suma de la serie de potencias a la
n=0
función definida por f : Ic → R / f (x) =
∞ X
an (x − x0 )n
n=0
La función suma tiene las siguientes propiedades : es continua en Ic se puede integrar término a término en cada intervalo [x0 , x] ⊂ Ic tiene derivada de cualquier orden en Ic , que se obtiene derivando término a término a la serie. Se comprueba que f (n) (x0 ) = n! an para todo n ∈ N , con lo cual la función suma está representada por la serie de potencias f : Ic → R / f (x) =
Si dos series de potencias
∞ X
n
an (x − x0 ) y
n=0
∞ X
∞ X f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! n=0
bn (x − x0 )n tienen la misma suma, para todo
n=0
x ∈ Ic , entonces las dos series son iguales, es decir, an = bn para todo n ∈ N .
6.2.
Serie de Taylor y Mac Laurin
Diremos que una función f : A → R admite un desarrollo en serie de potencias de x − x0 si existe ∞ X una serie de potencias an (x − x0 )n tal que n=0
f (x) =
∞ X
an (x − x0 )n ∀ x ∈ A
n=0
67
Sean I un intervalo abierto, f : I → R una función con derivada de cualquier orden en I y x0 ∈ I Se llama serie de Taylor asociada a f y centrada en x0 a la serie ∞ X f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! n=0 La condición necesaria y suficiente para que f sea igual a la serie de Taylor asociada a f , es decir, para que se cumpla la igualdad ∞ X f (n) (x0 ) f (x) = (x − x0 )n para todo x ∈ I n! n=0 f (n+1) (α) (x − x0 )n+1 el término n→∞ (n + 1)! complementario de Taylor, con α entre x0 y x o bien entre x y x0 .
es que se cumpla la condición l´ım Rn (x) = 0 , siendo Rn (x) = Ejemplos
1. Hallar el desarrollo en serie de potencias centradas en 0 (serie de Mac Laurin) de f (x) = ex y f (x) = sen x ∞ ∞ X X 1 n (−1)n 2n+1 Rta : a) ex = x para x ∈ R b) sen x = x para x ∈ R n! (2n + 1)! n=0 n=0 2. Usando el desarrollo en serie de potencias de 1 = 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · para x ∈ (−1, 1) 1−x comprobar los siguientes desarrollos : f (x) =
∞
X 1 (−1)n xn para | x |< 1 ( sustituir x por −x ) = a) 1 + x n=0 ∞
X 1 b) (−1)n x2n para | x |< 1 ( sustituir x por x2 en 1. ) = 1 + x2 n=0 ∞ X (−1)n+1 n c) ln(x + 1) = x para | x |< 1 ( integrar 1. ) n n=1 ∞ X (−1)n 2n+1 d ) arctan x = x para x ∈ [−1, 1] (integrar 2. ) 2n + 1 n=0
Referencias [1] Curso de Análisis Matemático - Elon Lages Lima - Ed. Edunsa [2] Cálculo Diferencial e Integral - Ricardo J. Noriega - Ed. Docencia S.A. [3] Calculus - Michael Spivak - Ed. Reverté S.A. [4] Cálculo Infinitesimal de una Variable - Juan de Burgos - Ed. Mac Graw Hill 68
Propiedades del límite de funciones En todo lo que sigue a = x0 ∈ R o bien a = ±∞. Con E 0 (a) representamos un entorno reducido de a , es decir : si a = x0 ∈ R entonces E 0 (x0 ) = (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ) para algún δ > 0 si a = +∞ entonces E 0 (+∞) = (h, +∞) para algún h ∈ R si a = −∞ entonces E 0 (−∞) = (−∞, h) para algún h ∈ R Sean f , g y h funciones definidas al menos en un entorno reducido de a . 1. Si se verifica que existe l´ım f (x) = l ∈ R entonces : x→a
a) l es único . b) Existe un entorno reducido de a donde f está acotada . c) Si l < k entonces existe un E 0 (a) tal que f (x) < k para todo x ∈ E 0 (a) . Vale la propiedad análoga cambiando < por > . d ) Si existe un E 0 (a) tal que f (x) < k para todo x ∈ E 0 (a) entonces l ≤ k . Vale la propiedad análoga cambiando < por > y ≤ por ≥. e) l´ım k f (x) = k l´ım f (x) = l = k · l x→a
x→a
f ) l´ım | f (x) |=| l´ım f (x) |=| l | x→a x→a n n g) l´ım (f (x)) = l´ım f (x) = ln x→a x→a h) l´ım ln (f (x)) = ln l´ım f (x) = ln(l) si l > 0 x→a x→a q p √ n i ) l´ım f (x) = n l´ım f (x) = n l con l > 0 si n es par x→a
x→a
l´ım f (x) j ) l´ım k f (x) = k x→a = k l si k > 0 x→a
2. Se verifica que : 1 =0 x→a f (x)
l´ım f (x) = ∞ si y sólo si l´ım
x→a
3. Si se verifica que existe l´ım f (x) = +∞ entonces : x→a
b) l´ım ef (x) = +∞
a) l´ım ln (f (x)) = +∞ x→a
x→a
69
4. Si se verifica que l´ım f (x) = l y l´ım g(x) = l0 con l,l0 ∈ R entonces : x→a
x→a
a) l´ım [f (x) + g(x)] = l´ım f (x) + l´ım g(x) = l + l0 x→a
x→a
x→a
b) l´ım [f (x) g(x)] = l´ım f (x) · l´ım g(x) = l · l0 x→a
x→a
x→a
l´ım f (x) f (x) l x→a c) l´ım = = 0 si l0 6= 0 x→a g(x) l´ım g(x) l x→a
l´ım g(x) 0 d ) l´ım [f (x)]g(x) = l´ım f (x) x→a = ll si l > 0 x→a
x→a
0
e) Si l < l entonces existe un E 0 (a) tal que f (x) < g(x) para todo x ∈ E 0 (a) Vale la propiedad análoga cambiando < por > . f ) Si existe un E 0 (a) tal que f (x) < g(x) para todo x ∈ E 0 (a) entonces l ≤ l0 Vale la propiedad análoga cambiando < por >y ≤ por ≥. 5. Si se verifica que l´ım f (x) = 0 y g está acotada en un E 0 (a) entonces : x→a
l´ım f (x) g(x) = 0
x→a
6. Si se verifica que l´ım f (x) = ∞ y g está acotada en un E 0 (a) entonces : x→a
l´ım [f (x) + g(x)] = ∞
x→a
7. Si se verifica que l´ım f (x) = ∞ y l´ım g(x) = l entonces : x→a
x→a
a) l´ım [f (x) + g(x)] = ∞
b) l´ım [f (x) g(x)] = ∞ si l 6= 0
x→a
x→a
8. Si se verifica que l´ım f (x) = l´ım g(x) = +∞ (ó −∞) entonces : x→a
x→a
a) l´ım [f (x) + g(x)] = +∞ (ó −∞)
b) l´ım [f (x) g(x)] = +∞
x→a
x→a
9. Si se verifica que l´ım f (x) = +∞ y l´ım g(x) = l > 0 entonces : x→a
x→a
l´ım [g(x)]f (x) =
x→a
+∞ si l > 1
0
si 0 < l < 1
10. Si se verifica que f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ E 0 (a) entonces : a) l´ım f (x) = +∞ ⇒ l´ım g(x) = +∞ x→a
x→a
b) l´ım g(x) = −∞ ⇒ l´ım f (x) = −∞ x→a
x→a
70
f (x) = l ∈ (0, +∞) entonces : x→a g(x)
11. Si se verifica que g(x) 6= 0 para todo x ∈ E 0 (a) y l´ım
l´ım f (x) = ∞ ⇐⇒ l´ım g(x) = ∞
x→a
x→a
12. Si se verifica que : h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ E 0 (a) l´ım h(x) = l´ım g(x) = l
x→a
x→a
entonces l´ım f (x) = l (propiedad de intercalación)
x→a
71
