Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Química Práctica 2. “Densidad Como Med Medida ida In Indirecta directa (Relaciones Linea Lineales)” les)”
Equipo 2 Roque Narciso Monserrat Rosas Álvarez Magdalena Torres Ávila Margarita Vázquez Cortés Edgar Josué Grupo 1
Fecha de elaboración de la práctica: 5 y 7|Sep|16
Fecha de entrega del informe: 24|Sep|16
Resumen Para el experimento se utilizaron 30 muestras de plastilina de distintas magnitudes, con el fin de poder observar que la densidad actuaría como una propiedad intensiva de la materia al no verse perjudicada por la cantidad de materia o volumen que estas tuvieran. Se utilizó una probeta graduada para poder contener cierta cantidad de volumen la cual sería desplazada al agregar la masa de plastilina y el cual sería medido con una bureta para registrar el volumen desprendido. Al realizar una gráfica de masa vs volumen obtuvimos algo muy similar a una línea recta, salvo algunos errores, con esto pudimos corroborar que sin importar la cantidad de materia ni de volumen, la densidad actúa como una constante.
Desarrollo experimental Instrumentos utilizados
Bureta graduada de 50 mL con graduación mínima de 0.1 mL Jeringa graduada de 10 mL con graduación mínima de 0.2 mL Balanza analítica con incertidumbre de 0.001 g para una masa máxima de 144.000 g instrumento marca Mensurando incertidumbre Intervalo capacidad unidades
Ilustración
bureta
probeta
Bascula analítica
ml
ml
g
KIMAX volumen ±0.1 de 0-50
KIMAX volumen ±1 0-50
RADWAG masa ± 0.001 0-360
Procedimiento
Datos y resultados 1. Por Histograma Tabla 1 Dispersión no.muestra
masa (g)
volumen [mL]
1 2 3
3.111 2.716 5.255 68.73
2.9 1 3.2 92.95
% dispersion
Tabla 2 Masa 30 3.122 8.559 0.941 7.618 12 0.635 2.825
No. Medidas media maximo minimo intervalo num clases tamaño de clase Mediana
Tabla 3 Clases Masa No de clase
L inf
L sup
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.941 1.582 2.223 2.864 3.505 4.146 4.787 5.428 6.069 6.71 7.351 7.992
1.581 2.222 2.863 3.504 4.145 4.786 5.427 6.068 6.709 7.35 7.991 8.632
Densidad[g/mL]
1.1 2.7 1.6 88.9
Gráfico 1 Histograma masa
Tabla 4 Volumen No. Medidas media maximo minimo intervalo num clases tamaño de clase Mediana
30 1.9 4.8 0.3 4.5 12 0.4 1.8
Tabla 5 Clases volumen No de clase
L infL
L sup
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.3 0.8 1.3 1.8 2.3 2.8 3.3 3.8 4.3 4.8 5.3 5.8
0.7 1.2 1.7 2.2 2.7 3.2 3.7 4.2 4.7 5.2 5.7 6.2
Gráfico 2 Histograma volumen
Tabla 6 Densidad No. Medidas media maximo
30 1.8 3.1
minimo intervalo num clases tamaño de clase Mediana
0.8 2.3 12 0.2 1.8
Tabla 7 Clases densidad No de clase
L inf
L sup
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.8 1.1 1.4 1.7 2.0 2.3 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1
1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4.0 4.3
Gráfico 3 Histograma densidad
Tabla 8 Resultados histogramas Magnitud Media Mediana Moda Intervalo principal Desviación estándar Varianza
Masa(g)
Volumen(cm³)
De nsidad
3.122 2.825 No 7.618 1.756 3.084
1.9 1.8 2 4.5 1.0 1.0
1.8 1.8 1.9 2.3 0.5 0.3
Medida ± incertidumbre (desviación estándar)
3.122±1.756
1.9±1.0
1.8±0.5
2.
Por ley de propagación
Tabla 9 Medidas directas e indirectas y sus respectivas incertidumbres
Masa(g)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
3.111 2.716 5.255 0.941 3.313 1.955 8.370 8.559 1.028 2.078 1.967 1.762 2.034 1.547 2.264 3.784 2.933 4.956 2.259 2.599 1.398 1.726 3.140 3.145 3.045 3.182 2.715 3.603 3.841 4.011 s 1.756 Ua 0.321 Ub 0.001 Uc 0.321
Incertidumbre relativa
Incertidumbre porcentual
Volumen (cm³)
Incertidumbre relativa
Incertidumbre porcentual
Densidad (g/cm³)
0.10 0.11 0.09 0.11 0.10 0.11 0.09 0.07 0.08 0.09 0.09 0.09 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.10 0.10
10.31 11.00 8.68 10.67 10.45 11.13 8.75 7.50 8.19 8.59 8.98 9.37 9.67 10.06 10.25 10.12 10.17 9.85 10.01 10.11 10.39 10.60 10.58 10.56 10.56 10.54 10.59 10.51 10.42 10.32
2.9 1.0 3.2 0.3 1.7 1.2 4.6 4.8 1.3 1.4 1.1 0.9 1.4 0.5 1.6 2.0 2.0 2.6 2.1 1.8 1.3 0.7 2.0 1.7 2.1 1.8 1.5 1.9 2.3 2.1 1.0 0.2 0.1 0.2
0.07 0.11 0.09 0.11 0.11 0.12 0.10 0.08 0.09 0.09 0.10 0.10 0.10 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
7.15 10.64 8.76 11.21 11.40 12.08 9.74 8.42 8.89 9.26 9.71 10.22 10.47 11.06 11.17 11.12 11.07 10.84 10.78 10.82 10.98 11.31 11.26 11.30 11.23 11.25 11.32 11.31 11.21 11.16
1.1 2.7 1.6 3.1 1.9 1.6 1.8 1.8 0.8 1.5 1.8 2.1 1.5 3.1 1.4 1.9 1.5 1.9 1.1 1.4 1.1 2.5 1.6 1.9 1.5 1.8 1.8 1.9 1.7 1.9
0.4
Tabla 10 Derivadas para el cálculo de la propagación de la incertidumbre
media
f(x)= m/v
d/dm=1/v
d/dv=-m/v²
1.1 2.7 1.6 3.1 1.9 1.6 1.8 1.8 0.8 1.5 1.8 2.1 1.5 3.1 1.4 1.9 1.5 1.9 1.1 1.4 1.1 2.5 1.6 1.9 1.5 1.8 1.8 1.9 1.7 1.9 1.8
0.3 1.0 0.3 3.3 0.6 0.8 0.2 0.2 0.8 0.7 0.9 1.2 0.7 2.0 0.6 0.5 0.5 0.4 0.5 0.6 0.8 1.4 0.5 0.6 0.5 0.6 0.7 0.5 0.4 0.5 0.8
-0.4 -2.7 -0.5 -10.5 -1.1 -1.4 -0.4 -0.4 -0.6 -1.1 -1.6 -2.4 -1.0 -6.2 -0.9 -0.9 -0.7 -0.7 -0.5 -0.8 -0.8 -3.5 -0.8 -1.1 -0.7 -1.0 -1.2 -1.0 -0.7 -0.9 -1.6
Expresión final de la medida de la densidad= 1.8±0.4g/mL
3.
Por ajuste lineal
Tabla 11 Datos Volumen (cm³) 2.9 1.0 3.2 0.3 1.7 1.2 4.6 4.8 1.3 1.4 1.1 0.9 1.4 0.5 1.6 2.0 2.0 2.6 2.1 1.8 1.3 0.7 2.0 1.7 2.1 1.8 1.5 1.9 2.3 2.1
Masa(g) 3.111 2.716 5.255 0.941 3.313 1.955 8.370 8.559 1.028 2.078 1.967 1.762 2.034 1.547 2.264 3.784 2.933 4.956 2.259 2.599 1.398 1.726 3.140 3.145 3.045 3.182 2.715 3.603 3.841 4.011
Tabla 12 Sumatorias n
a [mL/g] 30
0.2131
b[mL] 0.5294
Σx
Σy 93.8370
Σxy 223.0215
223.0215
Σx²
Σy² 383.8815
Σ(yᵢ-axᵢ-b)² 133.3125
26.3704
Gráfico
4
Ajuste
6.0
Dispersión de masa vs
lineal
y = 0.5294x + 0.2131 volumen R² = 0.8726
5.0
4.0 ] L m [
n e 3.0 m u l o V
2.0
1.0
0.0 0.000
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
Masa [g)
Tabla 13 Cálculo de Incertidumbre V=0.5294M+0.2131
Pendiente Densidad σ Δm
0.5294 1/0.5294= 1.89 0.97 0.10 1.79 1.99 0.56 0.50
Mínimo Máximo Inverso mínimo Inverso máximo Ancho del intervalo 0.20 Incertidumbre 0.10 Expresión final de la medida 1.89±0.10
mL/g g/mL mL/g mL/g mL/g g/mL g/mL g/mL g/mL g/mL
6.000
7.000
8.000
9.000
Medidas de dispersión:
valor menor %D valor mayor prom. x100 %D 5.2552.716 3.694 x100 68.73 Para incertidumbre por histograma Media
∑ ̅ ̅ .(.) 9.7308
̅ .(.)
Mediana
(+) .−. 3.433
.− . 0.1466
Moda
MASA: NO
VOLUMEN: 2
Intervalo principal (rango)
T=max (Xi)-min (Xi) T=8.559-0.941= 7.618
T=4.8-0.3= 4.5
Numero de clases
√ 5.4772 Regla de sturges =1+3.332log10(n)= 5.9217 TAMAÑO DE CLASE
5.4772 1.87 . 5.9217 (b)Incertidumbre por Ley de propagación Incetidumbre relativa
MASA:
VOLUMEN
∆̅ .. 0.10
∆̅ .. = 0.11
Incetidumbre porcentual
I%= Ir x 100 I%= 0.10X100=10
I%= 0.11X100=11
√ 1.√ 73560 0.32 ∑ (−) − = 1.756 Ub= Incertidumbre del instrumento
√0.321 0.001=0.321 Uc (ley de propagación)
(0.8)(0.321) (1.6)(0.2)=0.4 (c) Incertidumbre por mínimos cuadrados Varianza
∑ ( )
2 . 0.9418 La desviación típica
√0.9418 0.97 Incertidumbre de la pendiente
∆
√ ∑= (∑= )
0(0.97) ∆ (30)(383.√ 83815 ) (93.8370)
Análisis de resultados Al tomar las medidas de dispersión se pudo observar que tenían un porcentaje de dispersión muy elevado , esto es debido a que las muestras utilizadas fueron hechas de forma aleatoria y por diversos integra ntes del equipo por lo que presentaban irregularidades en la forma, el volumen y el tamaño entre sí. Estas mismas condiciones justifican los espacios vacíos en el histograma. A su vez, la medición del volumen se vio afectada por errores sistemáticos como ligeras fallas con la paralaje del menisco y errores del medidor. Así mismo, errores aleatorios como la pequeña pérdida de volumen al transportar el líquido de la probeta a la bureta con la jeringa y unas pequeñas burbujas de aire que se formaban dentro del líquido al introducir las masas y los errores asociados a los instrumento s.
Conclusiones Es posible determinar la densidad a través de modelos matemáticos tales como el método de mínimos cuadrados, así como su incertidumbre utilizando métodos distintos como mínimos cuadrados, propagación de la incertidumbre e incertidumbre combinada, siendo el método de mínimos cuadrados el más exacto y con menos incertidumbre. Estos modelos necesitaron de mensurados, el volumen y la masa.
Cuestionario 1. ¿Cómo determinas el valor de la incertidumbre de cada una de las variables directas ? Primero se calcula la incertidumbre tipo a (Ua) obtenida por la relación de la desviación estándar y la raíz del número de datos. Ua = La desviación tipo b (U b) estará dada por la resolución del instrumento utilizado para cada mensurando. Finalmente se calcula la desviación combinada (Uc) Uc = Esta será la incertidumbre que se reporta con la medida directa.
√
√
2. ¿Qué precauciones se tomaron en cuenta durante la experimentación para obtener el valor de densidad como medida indirecta en la primera parte de esta práctica?
Se procuró utilizar el instrumento más exacto, para esto se midió el volume n desplazado con la bureta y la masa con las balanzas digitales, se tuvo el cuidad o de que el menisco siempre coincidiera en las marcas de la bureta. 3. ¿Qué tipo de comportamiento presenta la curva obtenida al graficar la masa en función del volumen en el fenómeno estudiado? Obtuvimos una recta mx + b 4. ¿El gráfico obtenido pasa por el origen?, Sí o no ¿Por qué? Se acerca mucho al origen, tiene una ordenada de 0.2131. Debería pasar por el origen debido a que cuando hubo 0 mL de volumen, hubo 0 g de plastilina, este desfase lo podemos atribuir como un error en los instrumentos o un error al medir 5. ¿Qué representa la Es el inverso de la densidad de nuestra plastilina
pendiente
en
el
gráfico?
6. ¿Al tomar en cuenta las incertidumbres con el método de cuadrados mínimos esa primera gráfica mejoro? ¿Por qué? Sí, al hacer la corrección logramos hacer que un número mayor de puntos experimentales se encontraran dentro de nuestra recta mientras que con la primera gráfica únicamente dos coincidían tres puntos 7. Para obtener la incertidumbre de una medida indirecta, ¿Cuál de los métodos usados es mejor y por qué? El método de los cuadrados mínimos debido a que en este método lo que se busca es minimizar el cuadrado del residuo haciendo que tienda a cero. 8. Considerando el valor teórico de densidad de la plastilina, ¿cuál de los valores obtenidos se acerca más al valor teórico? ¿Por qué? Encontramos que el valor teórico de la densidad El valor más cercano a este es de 1.4 y se repite dos veces.
de la plastilina
es de 1.3 g/mL.
9. ¿Qué factores influyeron en la determinación del valor de densidad de la plastilina? Que el agua se fuera contaminando levemente con residuos de plastilina, lo que hacía que del agua se incrementara levemente, aunque, el agua se cambió cada 10 tomas.
Bibliografía - Ohanian Hans C., Markert John T. Física para ingeniería y ciencias. Volumen 1. Tercera Edición. Editorial Mc Graw Hill, 2009.
