bulunur. İkinci taraflı denklemin çözümü için c nin nasıl bir c(x) fonksiyonu olması gerektiğini araştıralım.(yani homjen çözümde c=c(x) koyalım türevleri alarak (1) yerlerine yazalım.
u=c(x) e −
x2
du/dx=u’=
2 dc − x 2 e − 2 xc( x)e − x dx
2 2 2 1 dc − x 2 ( e − 2 xc( x)e − x ) + xc( x)e − x = e − x 2 dx
2 1 dc − x 2 e = e−x 2 dx
dc=2dx
(3)
c=2x+c1
(3) nolu ifade (2) yerine konur ve u=y-2 olduğu dikkate alınarak
y-2=(2x+c1)
e−x
2
elde edilir. 2 1 du = e −x 2 dx
veya
xu +
µ(x)= e
∫P(x)dx
= e ∫2xdx= e x
[µ(x)y ]’=µ(x)Q(x) ile
6)
2
u ' + 2 xu = 2e − x ile 2
2
[ e x y ]’=
2
y=(2x+c)
xdy-ydx=x2exdx diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
e−x
2
-(y+x2ex)dx+xdy=0
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
M(x,y)= -(y+x2ex) N(x,y)= x
∂N =1 ∂x
∂M = −1 ∂y ∂M ∂N ≠ ∂y ∂x
Tam diferansiyel değil.
x’ e bağlı integrasyon çarpanı: ∂ ln µ M y − N x − 1 − 1 − 2 = = = N ( x, y ) x x ∂x
yardımıyla integrasyon çarpanı
µ = 1/ x 2 elde edilir. Verilen diferansiyel denklemle çarpılarak yani, 1 / x 2 (-(y+x2ex)dx+xdy=0) -(y/x2+ex)dx+1/x dy=0 elde edilir. Bu durumda M(x,y)= -(y/x2+ex) N(x,y)= 1/x
∂M ∂N 1 =− 2 = ∂x ∂y x tam diferansiyal denklem elde edilir.
Genel çözüm için y ' =c yazılırsa ygenel=xc+c3 tekil çözüm için c’ye türev alınıp sıfıra eşitlenerek c ifadeden çekilerek parametrik denklemler elde edilir. Yani; x+3c2=0
x=-3c2
y=(-3c2)c+c3=-2c3
c2=-x/3 c nin karşılığı y=-2c3 de yerine konarak
x −x − x3 y= − 2(− ) = −2 3 3 27
veya
y 2 = −4
x3 27
10) y’=2tanxsecx-y2sinx Riccati diferansiyel denkleminin bir özel çözümü y1=secx dir genel çözümü bulunuz.
Q(x)= 2tanxsecx, R(x)= -sinx P(x)=0 olmak üzere riccati tipi diferansiyel denklemdir. (y’=P(x)y+R(x)y2+Q(x) tipi) y=y1+1/u dönüşümü kullanılarak türevler alınıp verilen diferansiyel denkleminde (y’=2tanxsecx-y2sinx)yerlerine konursa , yani; y=secx+1/u y’=sinx/cos2x- u’/u2= tanxsecx- u’/u2 tanxsecx- u’/u2=2tanxsecx- (secx+1/u) 2sinx
