DIR 2 - predavanja
5
To i prethodno razmatranje povlaµce da, za svaki D D0 , smijemo integralnu sumu S (f ; D) zamijeniti pripadnom donjom s(f ; D) ili gornjom S (f ; D) sumom. Dakle,
js(f ; D) J j < "
i
jS (f ; D) J j < ":
Sada, odabravši " = 2 , dobivamo
jJ J j js(f ; D) S (f ; D)j js(f ; D) J j+jJ S (f ; D)j < 2 + 2 = ; pa mora biti J = J , dakle i J = J = J . ( Obratno, neka za ome†enu funkciju f : [a; b] ! R vrijedi J (f ) = J (f ). Dokazat ´cemo da je f integrabilna, tj. da je J (f ) = J (= J ). Odaberimo bilo koji " > 0. Po de…niciji za J i J , postoje rastavi D ; D 2 D([a; b]) takvi da je
3" < s(f ; D) i J + 3" > S (f ; D): Neka je D0 = D [ D pa je D rastav od [a; b] koji pro…njuje D i D . J
Budu´ci da se pro…njenjem donja (gornja) suma ne moµze smanjiti (pove´cati), to za svaki …niji rastav D D0 vrijedi J
3" < s(f ; D) J + 3" ;
dakle, S (f ; D)
s(f ; D) < J + 3" (J 3" ) < s(f ; D) = 2"3 :
Prema tomu, dobili smo da J = J povlaµci sljede´ce:
D0 ) js(f ; D) S (f ; D)j < 2"3 : Budu´ci da je svaka integralna suma izme†u () pripadne donje i gornje ( " > 0)( D0
9 2 D)(8D 2 D([a; b]))
8
D
sume, to je
js(f ; D) S (f ; D)j < 2"3 : Napokon, da postoji traµzeni broj J = J (f ) i da je J = J (= J ) slijedi iz
jS (f ; D) J j
= <
jS (f ; D) J j jS (f ; D) s(f ; D)j + js(f ; D) J j < 2" 3
+
" 3
= ":
DIR 2 - predavanja
6
TEOREM 3 Ako je ome†ena funkcija f : [a; b] ! R neprekidna na skupu [a; b] r A, gdje je A [a; b] prebrojiv, onda je f integrabilna funkcija. DOKAZ. U punoj op´cenitosti, dokaz ovoga teorema probija okvir ovih skripata. (Trebalo bi, naime, de…nirati po jmove kao što su Jordanova i Lebesgueova mjera i usvojiti neke sloµzenije topološke µcinjenice, a to se sve sustavno obra†uje na višim godinama matematiµckoga studija.) Ovdje ´cemo dokazati samo posebni sluµcaj toga teorema, ali još uvijek dovoljno op´cenit da pokrije vrlo široku klasu realnih funkcija (obuhva´caju´ci, dakako, sve elementarne i mnoge neelementarne funkcije): Svaka po dijelovima monotona funkcija f : [a; b] ! R je integrabilna. Najprije primijetimo da po dijelovima monotonost povlaµci ome†enost realne funkcije f na segmentu [a; b]: Naime, ako je f po dijelovima monotona, onda postoji rastav a = a0 < a 1 <
< a n1 < a n = b takav da su suµzenja f j[a ;a ] monotone (dakle i ome†ene) funkcije, i = 1; ; n. Dokaz posebnoga sluµcaja našega teorema rašµclanjujemo na dokaze i1
i
ovih dviju tvrdnja: TVRDNJA (i). Monotona funkcija f : [a; b] ! R je integrabilna; zenja od f : [a; b] ! R na podsegmente [a; c] i TVRDNJA (ii). Ako su su µ [c; b] integrabilne funkcije, onda je i f integrabilna funkcija i vrijedi:
Z
f (x)dx =
[a;b]
Z
f (x)dx +
[a;c]
Z
f (x)dx:
[c;b]
DOKAZ za (i). Pretpostavimo da je funkcija f uzlazna. Tada je f (a) f (x) f (b) za svaki x 2 [a; b]. Aka je D = fx0 ; ; xn g rastav od [a; b], onda je f (xi1 ) f (x) f (xi ) za svaki x 2 [xi1 ; xi ] i svaki i = 1; ; n. Neka je, u skladu s prethodnim oznakama, mi f (xi1 ) i M i f (xi ) (mi+1 = M i ), pa je s(f ; D) =
X
n i=1
f (xi1 )xi
gdje je xi xi xi1 : Stoga je
js(f ; D) S (f ; D)j
i S (f ; D) =
X
X
n i=1
f (xi )xi ;
s(f ; D) = ni=1(f (xi) f (xi1))xi x ni=1(f (xi) f (xi1)) bk a (f (b) f (a)); = S (f ; D)
X
DIR 2 - predavanja
7
pri µcemu je x = max xi i = 1;
f
j
; ng bk a
za neki k 2 N. Ovo povlaµci da za svaki " > 0 postoje n0 2 N i odgovaraju´ci rastav D0 segmenta [a; b]; takvi da je
js(f ; D) S (f ; D)j < ": Po tomu zakljuµcujemo da su za funkciju f donji i gornji Riemannov integral jednaki, J = J . Sada Teorem 1. povlaµci prvu tvrdnju u sluµcaju uzlazne funkcije f . Posve sliµcno se tvrdnja dokazuje kad je funkcija f silazna. DOKAZ (ii). Budu´c i da su suµzenja f j[a;c] i f j[c;b] integrabilne funkcije, za svaki " > 0 postoje rastavi D1 = fx0 = a; x1; ; xk1 ; xk = cg od [a; c] i D2 = fxk = c; xk+1 ; ; xk+n1 ; xk+n = bg od [c; b] takvi da je, s uobiµcajenim oznakama,
X X
j S (f j[a;c]; D1) = ki=1(M i mi)xi < 2" ; k+n s(f j[c;b] ; D2 ) S (f j[c;b] ; D2 ) = (M i mi )xi < 2" : i=k+1 Primijetimo da je D1 [ D2 D rastav od [a; b], pa zbrajanjem relacija s(f [a;c] ; D1 )
odozgor dobivamo nejednakost
(*) jJ J j js(f ; D) S (f ; D)j =
X
k+n i=1
(M i
mi)xi < ":
Po Teoremu 1., to znaµci da je funkcija f integrabilna, tj. postoji J b cito je da vrijede i ove tri nejednakosti a f (x)dx. Nadalje, oµ
R
X X X Z
Z X Z X Z X Z Z c
k i=1
mi xi
i=k+1
i=1
i=1
a
b
k+n
k+n
k
f (x)dx
mi xi
k+n
f (x)dx
i=k+1
c
b
mi xi
M i xi ;
k+n
f (x)dx
i=1
a
M i xi ;
M i xi :
Iz njih, po (), lako zakljuµcujemo da je, za svaki " > 0, b
a
c
f (x)dx
b
f (x)dx +
a
f (x)dx
c
< ;
DIR 2 - predavanja
8
što, konaµcno, dokazuje tvrdnju (ii). Geometrijska interpretacija odre†enog integrala. Uobiµcajena geometrijska interpretacija odre†enog integrala jest ova: Neka je f : [a; b] ! R; f ([a; b]) R+ [f0g, ome†eno (i nenegativno) preslikavanje. Po Teoremu 3. slijedi da je funkcija f integrabilna, a po Teoremu 2. - da je
Z
b
J =
a
f (x)dx = J = J :
Oznaµcimo slovom P ploštinu pseudotrapeza odre†enoga krivuljom (grafom) y = f (x) i pravcima y = 0, x = a i x = b. Svaku donju sumu s(f ; D), D 2 D ([a; b]), smijemo shvatiti zbrojem ploština svih (pseudotrapezu) upisanih pravokutnika, odre†enih rastavom D, a svaku gornju sumu S (f ; D) zbrojem ploština svih pripadnih opisanih provokutnika (v. crteµz dolje).
Oµcito je ( D
8 2 D)
P S (f ; D); što onda povlaµci J P J . Slijedi, zbog J = J , formula za površinu
Z
s(f ; D)
b
P =
f (x)dx:
a
Primijetimo da ima smisla de…nirati i
Z
a
b
Z
b
f (x)dx =
f (x)dx;
a < b:
a
Pritom se kaµze da odre†eni integral zamjenom svojih granica mijenja predznak. Sljede´ci teorem slijedi izravno iz De…nicije 1. (usp. i opis gore). TEOREM 4 Ako je funkcija f : X ! R, X R, integrabilna na segmentu [a; b] X , onda je
DIR 2 - predavanja
9
(i) f integrabilna i na svakom podsegmentu [c; d] [a; b];
Z
d
(ii)
Z Z
r
f (x)dx =
c
Z
d
f (x)dx +
c
r
f (x)dx,
c;d;r
2 [a; b];
b
(iii) m(b a)
M (b a), pri µ cemu je m = inf ff (x) j x 2 [a; b]g, a M = supff (x) j x 2 [a; b]g. f (x)dx
a
Izraµcun odre†enog integrala po de…niciji je i za jednostavne funkcije kompliciran, ali primjenom Newton-Leibnizove formule postupak se uvelike po jednostavnjuje. O tome govori sljede´ci teorem. TEOREM 5 Neka je skup prekidnih toµ caka integrabilne funkcije f : [a; b] ! R prebrojiv. Tada vrijedi Newton-Leibnizova formula:
Z
b
a
f (x)dx = F (b)
F (a);
pri µ cemu je F : [a; b] ! R bilo koja primitivna funkcija za f .
Izraµcun odre†enog integrala svodi se na odre†ivanje primitivne funkcije, tj. pripadnoga neodre†enog integrala i te pojmove treba objasniti - to je sadrµzaj sljede´ceg odjeljka.
1.2 Neodre†eni integral: de…nicija i osnovna svojstva In…nitezimalni raµcun vuµce korijene iz Newtonovih i Leibnizovih radova o problemima ”trenutne” brzine i krivuljine tangente. Od tada pa do danas, skoro triipolstoljetna teorija, primjena i praksa pokazuju da se mnogi tehniµckotehnološki, a i ini problemi svode na probleme in…nitezimalnoga raµcuna. Me†u njima, pak, mnogi se svode na ovo pitanje: Je li dana realna funkcija f : X ! R, X R, derivacija neke realne funkcije g : X ! R?
Nadalje, ako je odgovor na to pitanje potvrdan, zadatak je
DIR 2 - predavanja
10
odrediti funkciju g , tj. riješiti jednad µzbu (u skupu realnih funkcija RX ) g 0 = f , pri µ cemu se za dani f tra µ zi g.
Pokazat ´cemo da ta jednadµzba ili nema rješenja ili ih ima beskonaµcno mnogo. Skup svih pripadnih rješenja ´cemo nazvati (neodre†enim) integralom funkcije f i pritom ´cemo govoriti da smo funkciju f integrirali . Pokazat ´ce se da je integriranje tehniµcki neusporedivo sloµzeniji raµcun-postupak od deriviranja, premda se, na neki naµcin, radi o obratnomu raµcunu. Ovdje ´cemo, jednostavnosti radi i kad to ne bude imalo zasebnog utjecaja, nazivom interval i oznakom I obuhvatiti sve mogu´cnosti ha; bi, ha; b], [a; bi, [a; b], h; bi, , h; i = R. Štoviše, ponekad ´ce I oznaµcavati i neku uniju disjunktnih intervala, jer ´c e, najµceš´ce, de…nicijska podruµcja promatranih funkcija biti ili intervali ili razlike nekih intervala i prebrojivih podskupava od R. DEFINICIJA 6 Neka su dani interval (ili njihova unija) I , prebrojiv podskup A I funkcija f : X ! R, pri µ cemu je I r A X R. Svaku neprekidnu funkciju F : I ! R sa svojstvom F 0 (x) = f (x) za svaki x 2 I rA, nazivamo primitivnom funkcijom za funkciju f na intervalu I . PRIMJER. Funkcija F : R ! R, F (x) =
8>< >: 8>< >:
x2 2 x2 x2 2
+ 2,
x<
2
4; 2 x < 2 2, x 2
;
je primitivna funkcija za funkciju f : R r f2g ! R, x;
f (x) =
x<
2
2 < x < 2 ; x; x2 jer je F 0 (x) = f (x) za svaki x 2 R r f2; 2g (v. X = R r f2g, A = f2; 2g.) 2x;
crteµz). (Ovdje je I = R,
DIR 2 - predavanja
11
Primijetimo da je ista funkcija F primitivna funkcija i za f 1;2 : R ! R, x, x 2 x, x < 2 f 1 (x) = 2x, 2 < x < 2 , f 2 (x) = 2x, 2 x < 2 , x, x2 x, x2 kao i za mnoge druge koje se smiju razlikovati od f , f 1 ili f 2 po vrijednostima u toµckama 2 i 2.
8>< >:
8>< >:
PRIMJER Za funkciju f : R ! R, f (x) = 2x, su izme†u ostalih i ove funkcije primitivne (na I = R): F 1 (x) = x2 , F 2 (x) = x2 3, F 3(x) = p x2 + 5 (A = ;). Funkcija x 7! G(x) = arcsin x je primitivna za funkciju x 7! g(x) = p 1x2 na I = X = h1; 1i, A = ;. (Primijetimo da se ovdje 1 za I smije uzeti i [1; 1i, h1; 1], [1; 1] redom, s pripadnim suµzenjima od arcsin, µcim je A = f1g, f1g), f1; 1g redom.) Funkcija x 7! H (x) = x1 je primitivna za funkciju x 7! h(x) = x12 na I = X = R r f0g, A = ;. Napokon, primijetimo i to da je funkcija F 1 (x) = x2 primitivna ne samo za funkciju f (x) = 2x nego i za funkcije 2x, x 6 =1 2x, x 2 =N f 1 (x) = , f 2 (x) = itd. 0; x =1 0, x2N
(
(
Jedan od temeljnih teorema matematiµcke analize jest onaj o dovoljnim uvjetima za obstojnost primitivne funkcije. Mi ´cemo ga iskazati i dokazati (u posebnom sluµcaju) u idu´cemu odjeljku. A ovdje ´cemo dokazati da je, grubo govore´ci, dostatno poznavati jednu (bilo koju) primitivnu funkciju za danu funkciju f da bi se znale i ”sve” ostale njezine primitivne funkcije. No, to podrazumijeva pretpostavku da su te primitivne funkcije derivabilne (na cijelom intervalu) i da im se derivacije podudaraju (ali ne nuµzno s f jI u
