One Day One Problem Termodinamika (Diferensial Eksak dan Tak Eksak Integral Diferensial Eksak dan Tak Eksak )
Hari / Tanggal / Pukul Sumber Buku
: Senin / 12 Januari 2015 / 21:15 : Richard B dan Gabriel B. Costa. 2006. Persamaan
Halaman Nomor Soal
Diferensial. Jakarta : Erlangga : 27 : 5.21
Soal Asli: 1. Konversikan
,
y =2 xy −x menjadi persamaan diferensial eksak.
Pembahasan : jika persamaan ini ditulis ulang dalam bentuk persamaan kita peroleh (-2xy+x) dx + dy = 0 δM δN =−2 x =0 Di sini M (x,y) = -2xy + x dan N(x,y) =1, karena dan δy δy Titik sebanding, (1) tidak eksak, tapi 1 δM δN (−2 x )−( 0 ) − =−2 x = N δy δx 1
(
)
Merupakan fungsi dari x saja. Kita memperoleh1 (x,y) =
e∫
−2 dx
2
2
=e−x , sebagai
−x faktor pengintegrasi. Dengan mengalikan (1) dengan e . Kita memperoleh: 2
2
2
( 2 xy e−x + x x−x ) dx+ e−x dy
= 0 yang adalah eksak.
Soal Modifikasi: 1. Konversikan y2 dx + xy dy = 0 menjadi persamaan diferensial eksak. Pembahasan : Di sini M (x,y) = y2 dan N (x,y) = xy. Karena ∂M ∂y
= 2y dan
∂N ∂x
=y
Tidak sebanding, (1) tidak eksak. Tapi : 1 M
(
∂M ∂y
-
∂N ∂x
)=
2 y− y y2
=
1 y
−ʃ
Merupakan fungsi dari y saja. Kita memiliki factor pengintegrasi I(x,y) = e −¿ y
= e
( 1y )dy
= 1/y
Dengan mengalikan persamaan diferensial yang diberikan dengan I(x,y) = 1/y, kkta memperoleh persamaan eksak y dx + x dy = 0 Hari / Tanggal / Pukul
: Selasa / 13 Januari 2015 / 21:40
Sumber Buku
: Richard B dan Gabriel B. Costa. 2006. Persamaan Diferensial. Jakarta : Erlangga
Halaman
: 24
Nomor Soal
: 5.2
Soal Asli : 2. Diketahui persamaan dp dan ( δp /δV ¿
T
, jelaskan bagaimana makna fisisnya?
Pembahasan : a. Dp mempunyai makna fisis, perubahan total dari tekanan gas dalam bejana = perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan volume gas pada proses isotermis + perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan temperatur pada proses isokhoris. b. ( δp /δV ¿ T mempunyai makna fisis: perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan volume gas pada proses isotermis. Soal Modifikasi : 2. Diketahui persamaan dV dan ( δp /δV ¿
V.
Jelaskan bagaimana makna fisisnya?
Pembahasan : a. dV mempunyai makna fisis : perubahan volume gas dan dT= perubahan temperatur gas. b. ( δp /δV ¿ V mempunyai makna fisis: perubahan parsial tekan gas karena adanya perubahan temperatur pada proses perubahan isokhoris.
Hari / Tanggal / Pukul
: Rabu / 14 Januari 2015 / 20:55
Sumber Buku
: Richard B dan Gabriel B. Costa. 2006. Persamaan Diferensial. Jakarta : Erlangga
Halaman
: 24
Nomor Soal
: 5.9
Soal Asli : 3. Tentukan persamaan diferensial (2x2t-2x3) dt + (4x3- 6x2t + 2xt2) dx = 0 adalah eksak Pembahasan : Dari variabel t dan x, kita memperoleh : δ ( 2 x 2 t−2 x 3) dt=4 xt−6 x 2= δ (4 x 3−6 x 2 t+2 xt 2) δx δt Sehingga persamaan diferensial ini adalah eksak. Soal Modifikasi : 3. Tentukan apakah persamaan diferensial t( 1 + 2y ) dy + y (1 + y) dt = 0 adalah eksak. Pembahasan : Dari vatiabel t dan y, kita memperoleh : M = t ( 1 + 2y ) dan N = y ( 1 + y ) = ( y + y2 ) ∂M ∂N =( 1+2 y )= ∂t ∂y Adalah persamaan diferensial eksak
Hari / Tanggal / Pukul Sumber Buku
: Kamis / 15 Januari 2015 / 20:30 : Ness H.C. Van dan M.M.Abbott.1994.Termodinamika
Halaman Nomor Soal
Edisi Kedua.Jakarta:Erlangga : 85 : 3.1
Soal Asli :
ε dq
4. Hubungan sifat dasar untuk sel elektronika yaitu : dU t = t dSt – V dpt +
ε emf sel (tegangan sel reversibel ),dan q
dengan Ut, St, dan Vt sifat – sifat total sel,
muatan sel. Tuliskan dampak dan kriteria keeksakan. Pembahasan : Dengan pemeriksaan yang kita peroleh dari : δy δy δy xj , … , Cn= xj, … . , C1= xj Ct = δ x 1 δ xn δ x1
( )
( )
( )
Maka, δT Vt.q t δS
( )
T=
p=
δ Ut t ¿ S .q δVt
δUt t t ε= S .V δQ
( )
Dari persyaratan matematis yaitu: δ Ci δ Ck xj= xj δ Xk δ Xi
( ) ( )
Maka, δT t δp S . q=− Vt.q t t δV δS
( )
( δTδq ) s . v =−( δδεS )V . q
( )
t
t
t
t
( δpδp ) s v =( δδsv ) s . q t
t
t
t
Soal modifikasi : 4. Diketahui dWt = T dXt – Z dPt + ε dq , dengan Wt , Xt , Zt sifat-sifat total sel, ε emf sel (tegangan sel reversibel), dan q muatan sel. Tuliskan dampak dan kriteria keeksakan. Pembahasan : Dengan pemeriksaan kita peroleh dari : ∂Y ∂Y C1 = ∂ X 1 xj ,...., Cn = ∂ X n xj ,...., C1 =
( )
( )
Maka , ∂T ∂W t t ∂W t t t t Z . q P= X . q ε= X Z ∂q ∂ Xt ∂ Zt
( )
T=
( )
Dari persyaratan matematis yaitu : ∂ Cl ∂C k = ∂ X k xj ∂ X l xj
( )
Maka ,
( )
( )
∂Y ∂ X1
( )
xj
( ∂∂ ZT ) X .q=−( ∂∂XP ) Z . q( ∂∂T ) X . Z =( ∂∂Xε ) Z . q( ∂∂P ) X Z =−( ∂∂Zε ) X . q t
t
t
t
t
q
t
t
t
t
t
q
t
t
Hari / Tanggal / Pukul Sumber Buku
: Jum’at / 16 Januari 2015 / 19:35 : Bronson Richard dan Gabriel Costa.2007.Persamaan
Halaman Nomor Soal
Diferensial Edisi Ketiga.Jakarta: Erlangga : 24 : 5.7
Soal Asli : 5. Tentukan apakah persamaan diferensial y2 dt + (2yt+1) dy = 0 adalah eksak. Pembahasan : Ini adalah persamaan untuk fungsi y (t) yang di cari. Dalam suku t dan y , kita
memiliki M(t,y) = y2, N(t,y) = 2 yt +1 dan
∂M ∂ 2 = ( y )=2 y= ∂ ( 2 yt+1 )= ∂ N ∂y ∂ y ∂t ∂t
Sehingga persamaan diferensial ini adalah eksak. Soal Modifikasi : 5. Tentukan apakah persamaan diferensial y4 dt + (2yt + 1) dy = 0 adalah eksak. Pembahasan : Ini adalah persamaan untuk fungsi y (t) yang di cari. Dalam suku t dan y, kita memiliki M(t,y)= y4, N(t,y) = 4 yt + 1 dan ∂M ∂ 4 = ( y ) =4 y= ∂ ( 4 yt +1 )= ∂ N ∂y ∂ y ∂t ∂t Sehingga persamaan diferensial ini adalah eksak.
Hari / Tanggal / Pukul
: Sabtu / 16 Januari 2015 / 20:15
Sumber Buku
: Ness H.C. Van dan M.M.Abbott.1994.Termodinamika Edisi Kedua.Jakarta:Erlangga
Halaman
: 86
Nomor Soal
: 3.2
Soal Asli: 6. Carilah sebuah persamaan yang harus dipenuhi oleh sembarang faktor integrasi I (x,y) untuk pernyataan diferensial tidak eksak : ∂ z=M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy Jawab : I ∂ z=1 M dx +1 N dy
menjadi eksak,
∂(1 M ) ∂ (1 N ) = ∂y ∂x Ekspansi menurut aturan perkalian dan penyusunan ulang memberikan persamaan diferensial yang dicari untuk I : ∂I ∂I N −M ∂x ∂y
( ∂∂My − ∂∂Nx ) I
Soal Modifikasi 6. Carilah sebuah persamaan yang harus dipenuhi oleh sembarang faktor integrasi I (x,y) untuk pernyataan diferensial tidak eksak : I ∂ z=1 M dx +1 N dy menjadi eksak, ∂(1 M ) ∂ (1 N ) = ∂y ∂x Ekspansi menurut aturan perkalian dan penyusunan ulang memberikan persamaan diferensial yang dicari untuk I : ∂I ∂ I ∂ M ∂N N −M − I ∂x ∂ y ∂ y ∂x
(
)
Hari / Tanggal / Pukul
: Minggu / 18 Januari 2015 / 16:53
Sumber Buku
: Richard B dan Gabriel B. Costa. 2006. Persamaan Diferensial. Jakarta : Erlangga
Halaman
: 23
Nomor Soal
: 5.3
Soal Asli : 7. Tentukan apakah persamaan diferensial y dx – x dy = 0 adalah eksak. Pembahasan : Dengan M(x,y) = y dan N(x,y) = -x. Di sini ∂M ∂y
∂N ∂x
= 1 dan
= -1
Yang nilainya tidak sama, sehingga persamaan diferensial dalam bentuk yang diberikan ini tidak eksak. Soal Modifikasi : 7. Tentukan apakah persamaan diferensial –y dx + x dy = 0 adalah eksak. Pembahasan : Dengan M(x,y) = -y dan N(x,y) = x. Di sini ∂M ∂y
= -1 dan
∂N ∂x
=1
Yang nilainya tidak sama, sehingga persamaan diferensial dalam bentuk yang diberikan ini tidak eksak.
