Dispensa Del Corso Di Costruzioni in Acciaio I

Università degli studi di Trieste Facoltà di Ingegneria Civile Corso di Costruzioni in Acciaio Prof. Ing. Claudio Amadio Studente: Enrico Bergamo, Marco Fasan

Appunti del corso di Costruzioni in Acciaio Indice

I

Costruzioni in Acciaio I

1 Il materiale 1.1 Proprietà chimiche . . . . . . . . . . 1.2 Processo produttivo . . . . . . . . . . 1.2.1 Estrazione dei minerali . . . . 1.2.2 Produzione della ghisa grezza 1.2.3 Lavorazione dell’acciaio . . . . 1.2.4 Laminazione a caldo . . . . . 1.2.5 Laminazione a freddo . . . . . 1.3 Trattamenti termici . . . . . . . . . . . 1.4 Proprietà meccaniche . . . . . . . . . 1.5 Prove di laboratorio . . . . . . . . . . 1.5.1 Prova di trazione . . . . . . . . 1.5.2 Prova di compressione globale 1.5.3 Prova di durezza . . . . . . . . 1.5.4 Prova di resilienza . . . . . . . 1.6 Proprietà chimiche . . . . . . . . . . 1.6.1 Saldabilità . . . . . . . . . . . 1.6.2 Corrosione . . . . . . . . . . . 1.6.3 Zincatura . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Protezione catodica . . . . . .

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Sicurezza strutturale (NTC 2008, EC3) 2.1 Approccio probabilistico alla valutazione della sicurezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Stati limite . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Metodo semiprobabilistico agli stati limite (metodi di I° livello) . . . . . . . 2.2 Azioni sulle strutture . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Combinazioni delle azioni . . . . . . . 2.3 Materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Proprietà dei materiali per acciai laminati a caldo . . . . . . . . . . . .

4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 8 8 8 9 9 9 11 11 11 11 12 12 13 13

3 Membrature semplici e metodi di verifica agli stati limite (NTC 2008, EC3) 16 3.1 Classificazione delle sezioni . . . . . . . . . 16 3.1.1 Classificazione secondo NTC 2008, EC3 16 Rev. B.1

3.2 Proprietà efficaci per sezioni trasversali di classe IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Verifiche agli S.L.U. . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Tipi di analisi previste per le verifiche agli S.L.U. 3.4.1 Stato limite elastico della sezione . . 3.4.2 Stato limite plastico della sezione . . 3.4.3 Stato limite di collasso plastico della struttura - Formazione di meccanismo 3.4.4 Analisi non lineare . . . . . . . . . . . 3.5 Resistenza delle membrature . . . . . . . . . 3.5.1 Trazione . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Compressione . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Flessione semplice . . . . . . . . . . 3.5.4 Taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5 Flessione e Taglio . . . . . . . . . . . 3.5.6 Flessione e Forza assiale . . . . . . . 3.6 L’instabilità delle membrature (cenni) . . . . . 3.6.1 Verifica dell’instabilità per elementi compressi (NTC 2008-EC3) . . . . . 3.6.2 Verifica dell’instabilità per elementi inflessi (NTC 2008-EC3) . . . . . . . 3.7 Stati limite di esercizio, verifiche . . . . . . . 3.7.1 Controllo degli spostamenti verticali . 3.7.2 Stato limite di vibrazioni . . . . . . . .

20 20 23 23 23 23 24 24 25 25 25 25 26 26 26 27 28 28 28 28

4 La Fatica 4.1 Curve di Wöhler e Limite di resistenza a fatica 4.2 La rottura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Fasi del danneggiamento . . . . . . . 4.2.2 Cause . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Verifiche relative alla fatica . . . . . . . . . . 4.3.1 CNR 10011-88 . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Verifiche a fatica . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Metodo della regola di Miner . . . . . 4.3.4 Metodo del Delta equivalente . . . . . 4.3.5 Sollecitazioni pluriassiali . . . . . . . 4.3.6 Strutture esenti da tensioni interne . . 4.4 Prove a fatica con carichi variabili . . . . . . 4.4.1 Sovraccarico ed Allentamento . . . .

31 31 32 32 32 32 33 34 35 35 35 35 36 36

5 Unioni chiodate

43

6 dicembre 2012

1

Corso di Costruzioni in Acciaio

Università degli Studi di Trieste - Facoltà di Ingegneria Civile

6 Unioni bullonate 6.1 Classificazione dei bulloni . . . . . . . . . . . 6.2 Geometria dei bulloni . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Tolleranze dei bulloni . . . . . . . . . 6.3 Serraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Stato limite ultimo . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Unioni a taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Verifica a taglio (meccanismo a) figura 6.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Verifica a rifollamento della lamiera (meccanismo b) figura 6.4) . . . . . . 6.5.3 Verifica a taglio della lamiera (distanze dai bordi) (meccanismo c) figura 6.4) . 6.5.4 Verifica a trazione dei piatti (meccanismo d) figura 6.4) . . . . . . . . . . . 6.6 Unioni a trazione . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Unioni a taglio e trazione . . . . . . . . . . . 6.8 Stato limite di esercizio . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Unioni a taglio . . . . . . . . . . . . . 6.8.2 Unioni a trazione . . . . . . . . . . . 6.8.3 Unioni a taglio e trazione . . . . . . . 6.9 Effetti delle caratteristiche di sollecitazione e verifiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.1 Sollecitazione di taglio e torsione . . . 6.10 Categorie di collegamenti bullonati . . . . . . 6.11 Distribuzione delle forze fra i dispositivi di giunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12 Detrazione dell’area dei fori per dispositivi di giunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 Membrature soggette a trazione assiale . . .

45 45 45 45 46 46 46 46 47 48 48 49 50 50 50 53 53 53 53 54 55 55 57

7 Unioni saldate 7.1 Generalità delle unioni saldate . . . . . . . . 7.1.1 Procedimenti di saldatura . . . . . . . 7.1.2 Qualifica dei procedimenti di saldatura (CNR 10011) . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Classificazioni delle saldature . . . . 7.1.4 Difettosità delle saldature . . . . . . . 7.1.5 Particolari imposizioni normative (CNR 10011) . . . . . . . . . . . . . 7.2 Le sollecitazioni nelle unioni saldate . . . . . 7.2.1 La trazione . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 La flessione e il taglio . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 La torsione e il taglio . . . . . . . . . 7.4 Resistenza e verifica delle unioni saldate . . 7.4.1 Unioni a completa penetrazione . . . 7.4.2 Giunti con cordoni d’angolo . . . . . .

62 63 64 65 66 67 67 67

8 Giunzioni 8.1 Classificazione dei giunti . . . . . . . . 8.1.1 Giunti intermedi . . . . . . . . . 8.1.2 Giunti di estremità . . . . . . . . 8.2 Modellazione dei giunti . . . . . . . . . 8.2.1 Giunti a cerniera . . . . . . . . . 8.2.2 Giunti flangiati . . . . . . . . . . 8.2.3 Giunti tesi . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Giunti compressi . . . . . . . . . 8.2.5 Giunti trave-colonna . . . . . . . 8.2.6 Verifiche su un incastro a flange 8.2.7 Nodi di travature reticolari . . . .

70 70 70 71 73 74 79 85 91 93 97 98

Rev. B.1

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58 58 58 58 58 60

II

Costruzioni in Acciaio II

9 Analisi dei sistemi intelaiati 9.1 Elementi e classificazione . . . . . . . . . . . 9.2 Imperfezioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Tipologia strutturale e stabilità agli spostamenti laterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Teorie e metodi di analisi . . . . . . . . . . . 9.4.1 Analisi elastica . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Verifica della stabilità trasversale . . . 9.4.3 Metodo dei tagli fittizi . . . . . . . . . 9.4.4 Analisi plastica: metodi rigido-plastici 9.4.5 Analisi plastica: metodi elasto-plastici

104 104 104 104 105 106 106 107 107 108 109

10 Classificazione dei collegamenti trave-colonna 111 10.1 Metodo per componenti . . . . . . . . . . . . 112 10.1.1 Collegamento trave-colonna bullonato 113 10.1.2 Collegamento trave-colonna saldato . 113 10.2 Collegamento trave-colonna flangiato . . . . 116 10.2.1 Procedura operativa . . . . . . . . . . 119 10.2.2 Rigidezza alla rotazione . . . . . . . . 120 10.2.3 Capacità rotazionale . . . . . . . . . 120 11 Schemi di calcolo EC3 11.1 Telaio controventato incernierato . . . . . . . 11.2 Telaio controventato a nodi semirigidi . . . . 11.3 Telaio controventato con trave continua . . . 11.4 Telaio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Edificio monopiano reticolare . . . . . . . . . 11.6 Tipologie aggiuntive e dettagli . . . . . . . . 11.6.1 Edifici multipiano . . . . . . . . . . . 11.6.2 Tipi di controventature . . . . . . . . . 11.6.3 Nodi incastro . . . . . . . . . . . . . . 11.6.4 Specializzazione nell’assorbimento dei carichi . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.5 Nodi cerniera . . . . . . . . . . . . . 11.6.6 Controventatura isostatica . . . . . . 11.6.7 Strutture speciali . . . . . . . . . . . . 11.7 Verifica della stabilità globale della struttura sotto carichi verticali . . . . . . . . . . . . . . 11.8 Schemi di calcolo dei nodi . . . . . . . . . .

121 121 121 122 123 123 124 124 124 125

12 Sistemi strutturali di edifici monopiano 12.1 Manti di copertura . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Arcarecci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Capriate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Controvento di falda . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Controventi verticali . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Crociere rompitratta . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Schemi statici . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7.1 Colonne incastrate trasversalmente e longitudinalmente . . . . . . . . . . . 12.7.2 Colonne incastrate trasversalmente e incernierate longitudinalmente . . . . 12.7.3 Colonne incernierate trasversalmente e longitudinalmente . . . . . . . . . . 12.8 Portale trasversale . . . . . . . . . . . . . . 12.9 Colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.10Schemi costruttivi per vie di corsa . . . . . .

129 129 129 130 130 131 131 133

125 125 125 126 126 127

133 133 134 134 135 136 2



13 Stabilità dell’equilibrio 13.1 Cenni sul metodo dell’energia . . . . . . . 13.1.1 Instabilità di prima specie . . . . . . 13.1.2 Instabilità di seconda specie . . . . 13.1.3 Instabilità di terza specie . . . . . . 13.1.4 Instabilità per cedimento progressivo 13.1.5 Sistema a due gradi di libertà . . . . 13.2 Instabilità dei telai . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Cenni normativi (EC3) sulla stabilità . . . . 13.3.1 Asta perfetta . . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Asta imperfetta . . . . . . . . . . . 13.3.3 Aste reali - EC3 . . . . . . . . . . . 13.4 Instabilità per pressoflessione . . . . . . . 13.4.1 Coefficiente di adattamento plastico 13.4.2 L’EC3 . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

14 Membrature composte 15 Torsione non uniforme 15.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Teoria di Vlasov . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Calcolo dell’origine principale . . 15.2.2 Calcolo del polo principale . . . 15.2.3 Equilibrio del momento torcente 15.2.4 Soluzione del problema . . . . . 15.2.5 Condizioni al contorno . . . . . 15.2.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . 15.2.7 Sollecitazioni miste . . . . . . .

137 137 137 138 138 139 139 140 141 141 143 144 147 148 148

Si è cercato di riportare in modo quanto più fedele possibile i concetti espressi durante le lezioni e di integrarli con le formule di calcolo che si possono ritrovare nelle Norme Tecniche per le Costruzioni D.M. 14/01/2008 ed EC3. Data la particolare dinamicità con cui si modificano i piani di studio abbiamo ritenuto opportuno mettere a disposizione i files sorgenti di questa dispensa, in modo da agevolarne l’aggiornamento. L’archivio è disponibile al seguente indirizzo internet: http://sites.google.com/site/ costruzioniacciaiotrieste/.

150

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155 155 156 158 159 160 160 161 162 164

16 Stabilità laterale delle travi inflesse 166 16.1 Procedimenti semplificati . . . . . . . . . . . 168 16.2 L’EC3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 17 Instabilità flesso-torsionale

170

18 Travi in acciaio a parete piena

186

19 Profili sottili sagomati a freddo

212

20 Travi composte acciaio-calcestruzzo

234

21 Solette composte acciaio-calcestruzzo

279

22 Colonne composte acciaio-calcestruzzo

292

Introduzione Gli appunti riportati in questo testo sono una sintesi di quanto esposto nell’ambito del corsi di Costruzioni in Acciaio I 1 e Costruzioni in Acciaio II 2 tenuti dal Prof. Ing. Claudio Amadio. Buona parte di illustrazioni e testi sono tratti dal libro “Strutture in Acciaio” di Giulio Ballio e Federico M. Mazzolani (Hoepli) e dal testo “Progettare Costruzioni in Acciaio” di Giulio Ballio e Claudio Bernuzzi (Hoepli). 1 Parte 2 Parte

prima seconda

Rev. B.1

3



Parte I

una struttura stabile come la ferrite e/o la perlite).

Costruzioni in Acciaio I 1

Il materiale

1.1

Proprietà chimiche

Il ferro allo stato puro non trova applicazioni nelle costruzioni. Esso risulta molto duttile e malleabile. Con il termine acciaio si intendono particolari leghe ferro-carbonio che si distinguono in due grandi categorie: • ghisa, per valori di carbonio superiori all’1,7%; • acciaio, per tenori di carbonio inferiori. Si distinguono, inoltre, acciai: – extra-dolci, per C < 0,15%, comunemente denominati ferro;

La percentuale di carbonio influenza notevolmente la resistenza e la deformabilità dell’acciaio. In generale all’aumentare di questa percentuale si nota un aumento di resistenza a fronte di una perdita di duttilità e saldabilità.

Altri elementi aggiunti possono modificare diverse proprietà degli acciai: la presenza di manganese in percentuali inferiori all’1, 5% e silicio in percentuali inferiori allo 0, 6% permettono di ottenere acciai saldabili di elevata resistenza e basso contenuto di carbonio. Elementi come lo zolfo e il fosforo (già presenti nel minerale e nel coke3 ) sono molto dannosi in quanto, se presenti in percentuali superiori allo 0, 05%, riducono la saldabilità e rendono fragile il materiale.

– dolci, per C = 0,15 ÷ 0,25 %; – semiduri, per C = 0,25 ÷ 0,50 %; – duri, per C = 0,5 ÷ 0,75 %;

Con l’uso di altri elementi è possibile ottenere leghe con diverse proprietà fisiche. Ne elenchiamo solo alcuni:

– durissimi, per C > 0,75 %;

• Acciai al nichel: quello più comune ha un tenore di nichel del 36% ed è noto anche come acciaio INVAR, perché ha un coefficiente di dilatazione termica estremamente ridotto.

Figura 1.1: Perlite

• Acciai al manganese: il manganese aumenta la penetrazione della tempra negli acciai, ma diminuisce la resilienza rendendoli più fragili se non si usano opportune precauzioni durante il trattamento termico di rinvenimento. Aumenta in generale la durezza e la resistenza all’usura.

Il carbonio può presentarsi sotto forma di: • grafite → Ghise grigie; • cementite → Acciai, Ghisa bianca; Negli acciai da costruzione, dove 0, 1 ≤ %C ≤ 0, 3, la cementite si trova in forma lamellare, con lamelle di cementite alternate a lamelle di ferrite. Questa particolare configurazione prende il nome di perlite. Questa viene ottenuta dalla trasformazione diretta dell’austenite, per raffreddamento al di sotto del punto critico A1 (temperatura di 727°, sotto la quale l’austenite non è più stabile e tende a trasformarsi in

• Acciai al cobalto: non si ossida e viene aggiunto in ogni momento. Il solo elemento che aumenta la velocità critica e quindi diminuisce la penetrazione della tempra. Rende più stabile la martensite quindi rende meno sensibile la lega al rinvenimento. La lavorabilità a caldo è ridotta.

3 Il coke è utilizzato come combustibile e come agente riducente nei forni fusori dei minerali metalliferi. Quello ottenuto come residuo dei processi di raffinazione del petrolio può assomigliare a quello proveniente dal carbone, ma contiene troppe impurità per essere utilizzato in applicazioni metallurgiche.

Rev. B.1

4



1.2

Processo produttivo

1.2.1

Estrazione dei minerali

un ultima diossidazione che permette di ridurre il contenuto di ossigeno che porterebbe ad avere acciai effervescenti e fragili. L’acciaio liquido viene poi colato e tagliato in lingotti.

1.2.3

Lavorazione dell’acciaio

Le lavorazioni che si vanno ad effettuare sull’acciaio nella fase di produzione al fine di ottenere prodotti per le costruzioni sono: • Laminazione: eseguita a freddo o a caldo, consente di ottenere i profilati e le lamiere da carpenteria; • Fusione: consiste nel getto dell’acciaio fuso in stampi; • Fucinatura: per ottenere elementi particolari (piastre di appoggio, ganci, ecc). Nelle costruzioni si adoperano principalmente prodotti laminati sia a caldo che a freddo; vale dunque la pena approfondire il funzionamento di questi due processi di lavorazione. 1.2.4

Laminazione a caldo

Figura 1.2: Altoforno L’estrazione dei materiali ferrosi dalle cave o dalle miniere prevede la frantumazione del minerale estratto, il lavaggio e il vaglio di quanto ottenuto mediante separazione magnetica o gravitazionale. Il materiale è pronto per la fusione in altoforno. 1.2.2

Produzione della ghisa grezza

La prima fase di ossidoriduzione consente di ottenere la ghisa detta di altoforno, caratterizzata da tenori di carbonio molto alti (3, 5% < %C < 5, 0%). La lavorazione inizia con la preparazione della cosiddetta ”carica”, ossia un composto di minerale ferroso, coke e calcare. Il passo successivo consiste nell’introdurla nella bocca dell’altoforno, posta alla sua cima, con montacarichi a piano inclinato. All’interno, l’aria calda proveniente dal Cowper4 surriscalda il coke, che diventa subito incandescente grazie all’ossigeno in esso contenuto. Grazie alla formazione di monossido di carbonio (CO) avviene la seguente reazione: FeO + CO → Fe + CO2 , ossia si separa l’ossigeno dal ferro presente nei minerali caricati. Una successiva fase di affinazione della ghisa consente di eliminare gran parte del carbonio, del silicio, del manganese e dello zolfo. In questa fase di ossidazione della ghisa allo stato liquido possono essere impiegati anche rottami o scarti di officina. Per questa lavorazione si utilizzano forni Martin Siemens, forni ad arco elettrico, convertitori Bressemer o Thomas e convertitori ad ossigeno. Il processo termina con 4

Figura 1.3: Tensioni residue nei laminati a caldo Nella laminazione a caldo i lingotti vengono riscaldati ad una temperatura di circa 1250° C e fatti passare attraverso una serie di cilindri contrapposti ruotanti in senso inverso rispetto al verso di marcia del pezzo. Prima di ottenere il prodotto finale sono necessari molti passaggi che vanno ad intervenire sul reticolo cristallino del materiale. Con i vari passaggi si ottiene un affinamento della grana, l’eliminazione delle soffiature presenti ed il miglioramento delle proprietà meccaniche e deformative. Si viene però a perdere l’isotropia e si introducono delle

Impianto che permette di recuperare il calore dei gas in uscita dall’altoforno per il riscaldamento dell’aria da insufflare nell’altoforno stesso.

Rev. B.1

5



• cementazione: consiste nel riscaldare l’acciaio a contatto con sostanze solide, liquide o gassose in grado di cedergli carbonio. É un trattamento superficiale applicato specialmente nei campi dell’ingegneria meccanica per conferire maggiore resistenza all’usura.

tensioni nel materiale dovute al raffreddamento non contemporaneo delle parti più periferiche rispetto a quelle interne. L’entità delle tensioni residue così generate dipende dai legami tensioni-deformazioni del materiale al variare della temperatura. Essa è condizionata, inoltre, dalla conducibilità termica k, dal calore specifico c, dal coefficiente di dilatazione termica α e dal peso specifico γ .

1.4 1.2.5

Laminazione a freddo

Con la laminazione a freddo si producono lamiere di spessore minore, che non sarebbero ottenibili con la laminazione a caldo. Anche in questo caso sono presenti delle tensioni residue, che saranno di compressione in superficie e di trazione nell’interno delle lamiere. L’origine di queste tensioni è da imputarsi, anche in questo caso, ad un raffreddamento non omogeneo ed al processo di lavorazione che vede la tendenza delle zone superficiali ad allungarsi, rispetto al centro del materiale che non viene deformato. Il processo, infatti, provoca un incrudimento del materiale ed un aumento della sua durezza (effetto combinato della trazione del nastro e della compressione dei rulli). Segue poi una ricottura atta ad aumentare la lavorabilità del pezzo ed una ulteriore laminazione, utile ad eliminare le deformazioni formatesi in ricottura.

1.3

Proprietà meccaniche

Riassumiamo in una tabella le principali proprietà dell’acciaio da carpenteria metallica.

Peso specifico Modulo elastico Tensione di rottura a trazione

Tensione di snervamento

Simbolo Valore kg γ 7876 m 3 kgf 5 N E 2, 1 · 106 cm 2 ≈ 2, 1 · 10 mm2 [MPa] ft

fy

Conducibilità termica k Coefficiente di dilatazione lineare α

Fe 360: 360 ÷ 460 Fe 430: 430 ÷ 530 Fe 510: 510 ÷ 610

Fe 360: ≥ 235 Fe 430: ≥ 275 Fe 510: ≥ 355 0, 113 cmcal ·s·C

N mm2

N mm2

12, 5 · 10−6 /C

Trattamenti termici

Per essere utilizzati nelle costruzioni o in ambito industriale gli acciai, una volta laminati, devono essere sottoposti a trattamenti termici che ne aumentino le prestazioni in termini di resistenza, duttilità, saldabilità, resilienza, ecc. I trattamenti termici più comunemente utilizzati sono: • ricottura: si tratta di un riscaldamento a temperatura elevata seguito da un lento raffreddamento che rende omogenea la matrice del materiale e ne aumenta la lavorabilità; • normalizzazione: è una ricottura ad una temperatura tale da ottenere una completa trasformazione in acciaio austenitico (900 °C - 950 °C). Vengono a formarsi ferrite e perlite a grana fine che garantiscono ottime proprietà meccaniche. Annulla qualunque trattamento termico precedente; • distensione: riscaldamento a temperatura relativamente bassa per eliminare le tensioni residue; • tempra: riscaldamento fino a temperatura di completa austenizzazione seguita da un rapido raffreddamento ad aria od olio. Si ottiene un prodotto molto duro ma fragile ricoperto di uno strato di martensite; • rinvenimento: riscaldamento a temperatura poco elevata di un acciaio temprato allo scopo di attenuare la durezza ed aumentare la duttilità; • bonifica: si tratta di un trattamento termico che combina la tempra col rinvenimento. 5 dagli

1.5

Prove di laboratorio

1.5.1

Prova di trazione

La prova completa di trazione consente di determinare diversi parametri del materiale e viene applicata a provini le cui forme sono dedotte dalle UNI 556. Le informazioni che questa prova consente di ottenere sono: • tensione di rottura; • tensione di snervamento; • allungamento percentuale a rottura; • tipo di rottura; • limite di proporzionalità; • limite di elasticità; • modulo elastico. Il provino5 , sottoposto ad uno stato di sollecitazione monoassiale, presenta un comportamento come quello schematizzato in figura 1.5. Si distinguono diversi comportamenti all’aumentare delle deformazioni: • tratto OP: il legame σ − è lineare ed individuato dal modulo di elasticità normale (modulo di Young) E = σ . Questo tratto termina con una tensione superiore f0 , detta anche tensione limite di proporzionalità6 ;

acciai extra-dolci a quelli semi-duri lo snervamento non si mostra marcato questa tensione si fissa convenzionalmente allo 0,01% di deformazione

6 quando

Rev. B.1

6



• tratto PE: in questo secondo tratto il comportamento si mostra ancora elastico, ma non più lineare e viene definito dal modulo istantaneo (tangente) Et = ddσ . La tensione limite superiore di questo campo viene detta tensione limite di elasticità7 ;

La prova completa di trazione può essere eseguita a temperature diverse allo scopo di fornire la variabilità delle caratteristiche meccaniche con la temperatura. Questi dati interessano il comportamento delle strutture alle alte temperature ed il problema della resistenza al fuoco9 .

• tratto ES: il comportamento non è più elastico, per cui scaricando il provino si nota una discesa rettilinea e parallela al tratto iniziale OP che termina con una deformazione residua r ; • tratto SI: a partire dal valore fy gli acciai extradolci presentano il fenomeno dello snervamento, che si manifesta con un allungamento spontaneo senza incrementi di tensione; • tratto IR: a snervamento esaurito il materiale presenta una ripresa di resistenza dovuta al fenomeno dell’incrudimento, fino al valore ft della tensione di rottura. • tratto RF: il diagramma decresce per assestarsi sul valore di deformazione ultima t , detto allungamento a rottura, in corrispondenza del quale il provino si rompe. L’andamento decrescente del diagramma σ − è solo apparente, in quanto a causa della contrazione laterale del provino, lo stato tensionale non è più monoassiale ed il fenomeno della strizione prevale sull’incrudimento.

1.5.2

Prova di compressione globale

Importata dagli USA e denominata stub column test, si effettua su profilati di dimensioni opportune (tali da evitare un’instabilità precoce) ed è utile alla valutazione dell’influenza delle tensioni residue e della non omogenea distribuzione dello snervamento lungo la sezione trasversale. Questi fattori, infatti, giocano un ruolo degradante sulla resistenza a compressione dei profilati.

1.5.3

Prova di durezza

Le prove di durezza vengono effettuate con appositi apparecchi che si differenziano principalmente per la forma del penetratore (Brinnel, Vickers, Rockwell) e sono basate sulla misura del diametro dell’impronta di penetrazione nel provino di una sfera di acciaio sottoposta ad un carico F per un certo intervallo di tempo. La durezza Brinnel è calcolata con la formula:

HB =

2F p [N /mm2 ] π d(d − d 2 − d02 )

Figura 1.5: Legame costitutivo σ − dove d è il diametro della sfera e d0 il diametro dell’impronta. L’allungamento percentuale a rottura si calcola su lunghezze diverse a seconda del provino che si è sottoposto alla prova di trazione8 : • l0 = 5φ se il provino è circolare;

√

• l0 = 5, 65 A0 per laminati (UNI 556). L’allungamento è calcolato come: A% =

∆l · 100 l0

(1.1)

Figura 1.6: Prova di durezza

7 quando

lo snervamento non si mostra marcato questa tensione si fissa convenzionalmente allo 0,02% di deformazione quanto l’aumento percentuale di lunghezza misurato sul provino a cavallo della sezione ove si è verificata la rottura, varia al variare della lunghezza della base di misura a causa della presenza della strizione che rende l’allungamento specifico variabile lungo l’asse del provino. 9 un esempio: si osserva, per un Fe 600, che a partire da una temperatura di 200 °C tende a scomparire il fenomeno dello snervamento e le curve presentano un andamento continuo. 8 in

Rev. B.1

7



1.5.4

I fenomeni metallurgici sono essenzialmente due: la solidificazione del materiale fuso nelle varie passate di saldatura ed il trattamento termico della zona di materiale base circostante il cordone di saldatura. La saldatura è caratterizzata da piccole masse di metallo portate rapidamente in fusione e rapidamente raffreddate per effetto dell’assorbimento di calore da parte del metallo circostante. Si tratta quindi di cicli termici con elevata velocità di raffreddamento, che possono provocare effetti simili a quelli della tempra.

Prova di resilienza

In generale è richiesta:

• l’assenza di cricche a caldo;

• la non eccessiva durezza; Figura 1.7: Prova di resilienza • che non si manifesti la tendenza alla rottura fragile. La prova di resilienza è utile a determinare la tenacità di un acciaio, intesa come resistenza alla rottura fragile. Si effettua con il pendolo di Charpy ed un provino provvisto di intagli unificati. Il meccanismo di funzionamento è il seguente: un apposito martello viene lasciato cadere da un’altezza h0 , l’urto rompe il provino e la massa battente risale fino ad un’altezza h. La quantità h0 − h è proporzionale all’energia di rottura della provetta che, rapportata all’area di rottura fornisce per definizione il valore della resilienza, che di norma viene espressa in Nm · cm−2 . Eseguendo prove di resilienza a varie temperature, si può osservare che esiste una temperatura detta temperatura di transizione T ∗ , al di sotto della quale la resilienza si riduce a valori estremamente bassi, considerati inammissibili. La temperatura di transizione dipende strettamente dalla composizione chimica dell’acciaio. Operando sul contenuto di carbonio e manganese si possono ottenere temperature di transizione fino a -35 °C. Le norme impongono valori minimi di 27J su provino unificato di 0, 8cm2 di sezione con intaglio a V (tipo KV) alle temperature di +20 °C, 0 °C e -20 °C. Si può verificare che la rottura fragile perviene anche per l’impossibilità delle tensioni tangenziali di raggiungere il valore critico sul piano più favorevolmente orientato (rottura per decoesione).

1.6 1.6.1

Proprietà chimiche Saldabilità

Il procedimento di saldatura venne impiegato fin dall’inizio del secolo scorso per ovviare agli inconvenienti connessi all’uso dei chiodi. Ogni processo di saldatura comporta la fusione locale del materiale base, il raggiungimento di alte temperature in zone limitrofe e un rapido raffreddamento e ritiro che inducono profonde modificazioni di carattere chimico, fisico e tensionale. 10 Fe

La norma prevede di escludere gli acciai effervescenti e identifica tre gradi di saldabilità:

C B C D

≤ 0, 24% ≤ 0, 22% ≤ 0, 22%

P ≤ 0, 055% ≤ 0, 050% ≤ 0, 045%

S ≤ 0, 055% ≤ 0, 050% ≤ 0, 045%

e fissa un limite di resilienza per tutti i tipi di acciaio10 a differenti temperature:

B C D

+20 °C 0 °C -20 °C

≥ 27J

Nella carpenteria si esclude il grado B in quanto la temperatura di 20 °C alla quale vengono richiesti 27 J di resilienza KV non è sufficientemente bassa per coprire il campo di temperature al quale è sottoposta un opera civile. La temperatura minima alla quale l’acciaio di un opera di una struttura saldata può essere utilizzato deve essere stimata sulla base della temperatura alla quale l’acciaio garantisce una resilienza KV maggiore a 27 J. Per spessori maggiori a 40 mm può essere opportuno attenersi a temperature inferiori a quella di esercizio, mentre per spessori di circa 10 mm la temperatura può essere innalzata fino a 30 °C a discrezione del progettista.

360, Fe 430, Fe 510

Rev. B.1

8



1.6.2

poi effettuate la sfiammatura, la spazzolatura e la sabbiatura (con sabbia silicea e graniglia di acciaio); l’ultima fase prima della verniciatura è il decapaggio che prevede l’immersione in vasche con acido cloridrico o acido solforico caldo (quest’ultimo è un passaggio indispensabile per la zincatura a caldo).

Corrosione

La zincatura può essere fatta in quattro modi: • a caldo: prevede l’immersione in zinco fuso tenuto mediamente alla temperatura di 455 gradi; in questa fase lo zinco, oltre a ricoprire l’acciaio, entra anche in lega con lo strato superficiale conferendo resistenza meccanica e il giusto grip al materiale trattato; • elettrolitica: il materiale è immerso in una soluzione contenente sali di zinco e viene creato un passaggio di corrente tra il pezzo e la soluzione che fa depositare lo zinco metallico sulla superficie del pezzo stesso; • a freddo: viene applicata come una normale vernice di fondo con il potere antiossidante sempre legato all’azione galvanica dello zinco; Figura 1.8: Acciaio COR-TEN La corrosione si presenta in diverse forme che sono legate sia al tipo di materiale che al tipo di ambiente. Essa può definirsi come un fenomeno di alterazione del materiale causato da aggressione chimica o elettrochimica della superficie. Essa può essere di due tipi: • corrosione per solubilizzazione: il processo corrosivo necessita che sulla superficie del materiale sia presente acqua (allo stato liquido o di vapore); • corrosione elettrochimica: le cause che portano a questo tipo di corrosione possono essere differenze di potenziale, differenze di costituzione, inclusioni o differenti concentrazioni dell’elettrolita. L’entità del fenomeno corrosivo dipende dal tipo di acciaio e dagli elementi che vengono aggiunti al fine di migliorarne le caratteristiche chimiche: basse percentuali di carbonio rendono il materiale più aggredibile mentre rame, nichel, cromo e vanadio contribuiscono alla creazione di uno strato superficiale uniforme e compatto che lo rende molto più resistente11 . La protezione che si può attuare per proteggere i metalli dalla corrosione è di due tipi: • passiva: mediante verniciatura o zincatura; • attiva: es. protezione catodica (tubazioni). 1.6.3

Zincatura

Al fine di proteggere mediante zincatura, il pezzo deve subire dei trattamenti atti a predisporre un buon supporto. La superficie va dapprima sgrassata con l’ausilio di solventi; segue poi una fase di pulitura a mano o meccanica; vengono

• a spruzzo (proiezione): consiste nello spruzzare lo zinco fuso, finemente polverizzato, sulla superficie dell’acciaio preventivamente sabbiato a metallo bianco. La caratteristica dello zinco è quella di formare un film denso ed aderente che ha una bassissima velocità di corrosione. Lo zinco ha un potenziale più elettronegativo (meno nobile) dell’acciaio, quindi, in caso di rotture o porosità del film protettivo, esso stesso diventa l’anodo sacrificale nella corrosione elettrolitica e si consuma. Lo spessore degli strati che si vengono a formare è quantificato in 50µm per il processo a spruzzo e può essere paragonato ad una quantità di zinco pari a 350 mg2 , mentre nel processo a caldo la quantità depositata è circa di 450 ÷ 600 mg2 . La perdita di peso che annualmente coinvolge le strutture, dipendentemente dall’ambiente di esposizione può essere quantificata in: Atmosfera industriale Atmosfera urbana Atmosfera marina Atmosfera extra-urbana

1.6.4

45 ÷ 60 mg2 21 ÷ 30 mg2 18 ÷ 36 mg2 6 ÷ 12 mg2

Protezione catodica

Per le strutture interrate (come i serbatoi) l’innesco del processo di corrosione è dovuto alla presenza di correnti vaganti dovute a impianti che usano il terreno come conduttore o a fenomeni naturali. Un metodo per proteggere queste strutture è, oltre alla protezione passiva, quello della protezione catodica. Si creano delle correnti impresse IP molto più forti delle correnti di corrosione IC in modo da annullare l’effetto di queste ultime e quindi la corrosione del materiale protetto (catodo).

11 vedi l’acciaio COR-TEN: acciaio basso legato con 0,2-0,5% di rame, 0,5-1,5% di cromo, 0,02-0,04% di fosforo e 0,4% di nichel con resistenze di snervamento fino a 580 MPa.

Rev. B.1

9



É ovvio che per evitare forti correnti di protezione e quindi una eventuale F.e.M., è meglio proteggere il metallo in modo passivo (IC basse). In questo modo è il dispersore ad essere corroso e quindi ad essere sostituito dopo un certo periodo di tempo.

Rev. B.1

10


2 2.1

Sicurezza strutturale (NTC 2008, EC3)

a) definizione dello stato limite nei confronti del quale ci si vuole cautelare;

Approccio probabilistico alla valutazione della sicurezza

b) valutazione della corrispondente probabilità di insuccesso o collasso Pf ;

La valutazione dei margini di sicurezza di una costruzione è legata al grado di conoscenza dei fattori che regolano la meccanica strutturale. Lo stato delle conoscenze dei fenomeni che interessano il sistema è sempre inevitabilmente incompleto o noto con incertezza e quindi affetto da aleatorietà. Il calcolo delle probabilità è una disciplina nata allo scopo di rendere matematicamente quantificabile lo stato di conoscenze limitato relativo a un certo fenomeno di interesse. In altre parole, la teoria delle probabilità non fa altro che tradurre in un linguaggio matematico (e quindi codificato) la fiducia che si ha sull’esito di un certo fenomeno sulla base di quanto si è in grado di descriverlo in tutti i suoi aspetti. In questo contesto la sicurezza strutturale assume, attraverso il concetto di affidabilità, una definizione quantitativa. Si può dire che l’affidabilità R(T) di un sistema è la probabilità che la sua missione sia portata a termine con successo nell’intervallo di tempo di interesse (0,T). L’affidabilità R(T) di una strutture è la probabilità che essa sia ’funzionante’, secondo i criteri stabiliti, al tempo T. La probabilità di ’collasso’ Pf è il complemento a uno dell’affidabilità. Esprime il rischio del raggiungimento di una situazione per cui la struttura non garantisce più le prestazioni richieste. Pf = 1 − R(T ) = 1 − Pr

(sopravvivenza al tempo T ) (2.1)

L’obiettivo della sicurezza strutturale è il controllo della probabilità di collasso per una struttura nuova o la sua valutazione per una struttura esistente. 2.1.1


c) verifica che la probabilità di insuccesso sia sufficientemente piccola da poter essere accettata ovvero inferiore a un prefissato valore Pf∗ . Pf ≤ Pf∗

2.1.2

(2.2)

Metodo semiprobabilistico agli stati limite (metodi di I° livello)

Il funzionamento delle strutture è regolato da enti che, per motivi diversi, non sono noti con certezza, o per meglio dire, sono noti con incertezza (azioni, proprietà dei materiali ecc..). Tutte queste grandezze sono rappresentabili da variabili aleatorie (VA) grandezze che, pur essendo determinate, non sono note allo stato delle conoscenze del progettista. L’incertezza sul valore di ciascuna variabile aleatoria si può caratterizzare attraverso la cosiddetta funzione distribuzione cumulata (CDF), che si indica spesso come F(x). Essa è una funzione che associa a ogni possibile valore della variabile X la probabilità che essa assuma valore inferiore a x:

F (x1 ) = Pr (x ≤ x1 )

(2.3)

Stati limite

Si definisce stato limite una situazione a partire dalla quale una struttura, o una delle sue parti, cessa di assolvere alla funzione alla quale era destinata e per la quale era stata progettata e costruita. Il superamento di uno stato limite corrisponde ad una perdita di funzionalità da parte della struttura. Si distingue tra: • Stati Limite Ultimi (SLU): la perdita di funzionalità è associata ad una vera e propria perdita della capacità portante (locale o globale) della struttura, che in genere può mettere in pericolo la sicurezza delle persone o comportare la perdita di beni, provocare gravi danni ambientali e sociali, mettere fuori servizio l’opera; • Stati Limite di Esercizio o servizio (SLE): la perdita di funzionalità corrisponde a un mancato soddisfacimento di prescritti requisiti di esercizio. Può avere carattere reversibile o irreversibile. In sintesi la verifica della sicurezza in senso probabilistico può essere sintetizzata in: Rev. B.1

(con la lettera minuscola si indica un particolare valore possibile della variabile aleatoria e come tale esso prende anche il nome di realizzazione della VA).

Un’altra funzione che spesso si usa per caratterizzare una variabile aleatoria è la funzione densità di probabilità (PDF) che si indica come f(x). È la derivata della CDF. La PDF, moltiplicata per l’infinitesimo dx, associa a ogni specifico valore x la probabilità che X sia compresa tra x e x + dx. L’area sottesa dalla f(x) alla sinistra di x corrisponde a F(x). Nota la funzione di densità di probabilità f(x) della sollecitazione S e della resistenza R (fig. 2.1), la normativa opera nel seguente modo:

Sd = γ f · Sk ≤

Rk = Rd γmj

(2.4)

11



• S.L.U.: ∆T = 10 ÷ 20 Ts ; • S.L.E.: ∆T = 0.2 ÷ 0.5 Ts . Dove Ts rappresenta il tempo di vita attesa della struttura (normalmente 50 anni).

2.2

Azioni sulle strutture

Per quanto riguarda le azioni da utilizzare nelle verifiche agli stati limite esse si classificano:

Figura 2.1: Calibrazione valori di progetto e caratteristici I due termini Rd e Sd sono detti valori di progetto (design) di resistenza e sollecitazione. I coefficienti γmj e γf sono detti coefficienti parziali di sicurezza, il primo tiene conto delle incertezze sulla conoscenza delle caratteristiche del materiale, il secondo, applicato ai carichi, tiene conto della possibilità di variazioni sfavorevoli delle azioni, della poca accuratezza del modello delle azioni (sisma, vento ecc..) e dell’incertezza nella valutazione degli effetti delle azioni stesse. I valori di γmj per l’acciaio sono riportati in tabella 2.1 come definiti dalla NTC 2008.

a) secondo la modalità di applicazione: - dirette (da forze o carichi); - indirette (da spostamenti o deformazioni imposte); - da degrado (da alterazioni delle proprietà dei materiali). b) secondo la modalità di risposta nella struttura: - statiche (non provocano accelerazioni); - dinamiche (provocano accelerazioni);

Tabella 2.1: Valori dei coefficienti di sicurezza per le membrature e stabilità Resistenza delle sezioni di classe 1-2-3-4

γm0 = 1,05

Resistenza all’instabilità delle membrature

γm1 = 1,05

Resistenza all’instabilità delle membrature di ponti stradali e ferroviari

γm1 = 1,10

Resistenza, nei riguardi della frattura, delle sezioni tese (indebolite dai fori)

γm2 = 1,25

- pseudo-statiche (dinamiche ma rappresentabili da forze statiche equivalenti). c) secondo la variazione d’intensità nel tempo: - azioni permanenti (G, g) quelle che agiscono durante tutta la vita nominale della costruzione e la cui variazione di intensità è tale da poterle considerare costanti (ad es. pesi propri, spostamenti differenziali, ecc..); - azioni variabili (Q, q) quelle che hanno valori istantanei che possono variare significativamente nel tempo. Tali azioni si dicono di lunga durata se agiscono per un tempo non trascurabile rispetto alla vita nominale della struttura; di breve durata altrimenti;

In genere i valori nominali delle variabili (detti valori caratteristici) corrispondono ai frattili 5% e 95% rispettivamente per le resistenze (o in generale per le grandezze che operano a favore di sicurezza) e per le azioni (o in generale per quelle che operano a sfavore di sicurezza). I valori di progetto si riferiscono a frattili di circa un ordine di grandezza inferiore (rispettivamente circa 0.5% e 99.5%).

- azioni eccezionali (A) quelle che si verificano solo eccezionalmente nel corso della vita nominale (per esempio incendi, esplosioni, impatti, ecc.);

Definendo Pr = P(R ≤ S) la probabilità di rovina, si ha che le NTC 2008 come l’EC3 sono tarati in modo che:

- azioni sismiche12 (E) quelle derivanti dai terremoti.

• S.L.U.: Pr = 10−5 per costruzioni normali e Pr = 10−6 per costruzioni strategiche; • S.L.E.: Pr = 10−2 per costruzioni normali e Pr = 10−3 per costruzioni strategiche. Questi valori della Probabilità di rovina corrispondono a periodi di ritorno ∆T : 12 nell’EC3

Rev. B.1

2.2.1

Combinazioni delle azioni

Le combinazioni delle azioni permanenti e variabili ai fini delle verifiche degli stati limite sono, facendo riferimento alle NTC 2008, le seguenti:

le azioni sismiche vengono incluse nelle azioni eccezionali (A)

12



• Combinazione fondamentale, generalmente impiegata per gli stati limite ultimi (SLU)13 : Fd =

m X

γGj · Gkj + γQ1 · Qk1 +

n X

j=1

γQ1 ·ψ0i · Qki

; (2.5)

i=2

• Combinazione caratteristica (rara), generalmente impiegata per gli stati limite di esercizio (SLE) irreversibili14 :

Le azioni variabili Qkj vengono combinate con i coefficienti di combinazione ψij e i cui valori sono forniti nella tabella 2.3. Il valore caratteristico di un’azione variabile Qk è il valore corrispondente a un frattile relativo al 95 % della popolazione dei massimi, in relazione al periodo di riferimento dell’azione variabile stessa. Con riferimento alla durata percentuale relativa ai livelli di intensità dell’azione variabile, si definiscono:

(2.6)

• valore raro (o di combinazione) ψ0j Qkj : il valore di durata breve ma ancora significativa nei riguardi della possibile concomitanza con azioni variabili;

• Combinazione frequente, generalmente impiegata per gli stati limite di esercizio (SLE) reversibili:

• valore frequente ψ1j Qkj : il valore corrispondente al frattile 95 % della distribuzione temporale dell’intensità e cioè che è superato per una limitata frazione del periodo di riferimento;

Fd =

m X

Gkj + Qk1 +

j=1

Fd =

m X

n X

ψ0i · Qki

;

i=2

Gkj + ψ11 · Qk1 +

n X

j=1

ψ2i · Qki

;

(2.7)

• Combinazione quasi permanente (SLE), generalmente impiegata per gli effetti a lungo termine (nelle strutture miste acciaio-cls per tener conto del ritiro e della viscosità): Fd =

m X

Gkj +

j=1

n X

ψ2i · Qki

;

(2.8)

i=1

• Combinazione sismica, impiegata per gli stati limite ultimi e di esercizio connessi all’azione sismica E: Fd = E +

m X

Gkj +

n X

j=1

ψ2i · Qki

;

(2.9)

i=1

• Combinazione eccezionale, impiegata per gli stati limite ultimi connessi alle azioni eccezionali di progetto Ad : Fd =

m X

Gkj + Ad +

j=1

n X

ψ2i · Qki

;

(2.10)

i=1

Nelle combinazioni i coefficienti i γij sono coefficienti parziali amplificativi dei carichi e i ψij sono coefficienti di combinazione che servono tenere conto della probabilità di accadimento contemporaneo di azioni di diversa natura. Con Qk1 si indica l’azione variabile dominante e con Qk2 , Qk3 ecc. azioni variabili che possono agire contemporaneamente a quella dominante. I valori dei coefficienti i γij da assumere per la determinazione degli effetti delle azioni nelle verifiche agli SLU sono riportati nella tabella 2.2. 13 l’EC3

2.3

Materiali

2.3.1

Proprietà dei materiali per acciai laminati a caldo

Per la realizzazione di strutture metalliche e di strutture composte si dovranno utilizzare acciai conformi alle norme armonizzate della serie UNI EN 10025 (per i laminati), UNI EN 10210 (per i tubi senza saldatura) e UNI EN 10219-1 (per i tubi saldati), recanti la Marcatura CE. In sede di progettazione si possono assumere convenzionalmente i seguenti valori nominali delle proprietà del materiale: modulo elastico modulo di elasticita trasversale coefficiente di Poisson coefficiente di espansione termica densità

E = 210.000 N/mm2 G = E / [2 (1 + ν ] Nmm2 ν = 0,3 α= 12 x 10−6 per C −1 ρ= 7850 kg/m3

Sempre in sede di progettazione, per gli acciai di cui alle norme europee EN 10025, EN 10210 ed EN 10219-1, si possono assumere nei calcoli i valori nominali delle tensioni caratteristiche di snervamento fyk e di rottura ftk riportati nella fig. 2.2. Per poter effettuare un’analisi plastica devono essere poi verificate le seguenti condizioni (Specifiche per acciai da carpenteria in zona sismica NTC 2008): • per gli acciai da carpenteria il rapporto fra i valori caratteristici della tensione di rottura ftk (nominale) e la tensione di snervamento fyk (nominale) deve essere maggiore di 1,20 e l’allungamento a rottura A5 , misurato

prevede, per gli edifici comuni, che questa possa essere sostituita da:

– Fd =

Pm

– Fd =

Pm

14 l’EC3

• valore quasi permanente ψ2j Qkj : la media della distribuzione temporale dell’intensità.

i=2

j=1

Gkj + γQ1 · Qk 1 considerando l’azione variabile più sfavorevole;

j=1 Gkj + 0, 9

Pm

i=1

γQ1 · Qki considerando tutte le azioni variabili sfavorevoli;

prevede, per gli edifici comuni, che questa possa essere sostituita da:

– Fd =

Pm

– Fd =

Pm

Rev. B.1

j=1

Gkj + Qk1 considerando l’azione variabile più sfavolevole;

j=1 Gkj + 0, 9

Pm

i=1

Qki considerando tutte le azioni variabili sfavorevoli;

13



Tabella 2.2: Coefficienti parziali per le azioni o per l’effetto delle azioni nelle verifiche SLU coefficiente favorevoli

Carichi permanenti

γG1

sfavorevoli Carichi permanenti non strutturali

favorevoli

1,30

γG2

sfavorevoli Carichi variabili

favorevoli

1,00

0,00 1,50

γQi

sfavorevoli

0,00 1,50

Tabella 2.3: Valori dei coefficienti di combinazione ψ Categoria/Azione variabile

ψ0j

ψ1j

ψ2j

Categoria A Ambienti ad uso residenziale Categoria B Uffici Categoria C Ambienti suscettibili di affollamento Categoria D Ambienti ad uso commerciale Categoria E Biblioteche, archivi, magazzini e ambienti ad uso industriale Categoria F Rimesse e parcheggi (per autoveicoli di peso ≤30 kN) Categoria G Rimesse e parcheggi (per autoveicoli di peso > 30 kN) Categoria H Coperture Vento Neve (a quota ≤ 1000 m s.l.m.) Neve (a quota > 1000 m s.l.m.) Variazioni termiche

0.7 0.7 0.7 0.7 1.0 0,7 0,7 0,0 0,6 0,5 0,7 0,6

0.5 0.5 0.7 0.7 0.9 0,7 0,5 0,0 0,2 0,2 0,5 0,5

0.3 0.3 0.6 0.6 0.8 0,6 0,3 0,0 0,0 0,0 0,2 0,0

Figura 2.2:

Figura 2.3: Spessori massimi per elementi strutturali

Rev. B.1

14



su provino standard, deve essere non inferiore al 20% (condizioni soddisfatte dalle EN 10025); Per le verifiche di resilienza (come da EC3) sono previsti tre gradi di acciaio (B,C,D), nella tabella 2.3 sono forniti per ogni grado, temperatura minima di servizio e condizione di servizio (S1 non saldati o saldati con σt < 0.2σy e S2 saldati con σt < 0.67σy ) i valori massimi degli spessori degli elementi strutturali.

Rev. B.1

15


3


Membrature semplici e metodi di verifica agli stati limite (NTC 2008, EC3)

3.1

I Raggiungono il momento resistente plastico Mp con una buona capacità rotazionale, in grado di garantire le richieste di un calcolo a rottura. Possono generalmente classificarsi come tali le sezioni con capacità rotazionale Cϑ ≥ 3(tutti i profili IPE, HE);

Classificazione delle sezioni

Le sezioni delle membrature semplici, laminate e saldate, in acciaio sono costituite dall’assemblaggio di elementi piani, alcuni posizionati internamente (anime dei profili a I, anime e flagie dei profili scatolari), altri esternamente (flangie di profili a I). Quando gli elementi componenti sono relativamente sottili il loro comportamento è fortemente influenzato dalle parti compresse e possono instabilizzare localmente (la dimensione delle semionde che caratterizzano la configurazione deformata del profilo è comparabile con le dimensioni trasversali della sezione dell’elemento) limitando la capacità portante e la resistenza flessionale del profilato. Per evitare tale fenomeno è necessario impiegare profilati le cui parti elementari siano caratterizzate da un rapporto b/t (larghezza/spessore) sufficientemente basso. L’anima può infatti essere vista come una lastra indefinita, appoggiata su ambo i lati e l’ala come una lastra appoggiata su un lato solo (fig. 3.1).

II Raggiungono Mp con una limitata capacità rotazionale a causa dei fenomeni di instabilità locale che sopravvengono in fase plastica; Possono generalmente classificarsi come tali le sezioni con capacità rotazionale Cϑ ≥ 1, 5 (profili saldati); III Quando nella sezione le tensioni calcolate nelle fibre estreme compresse superano la tensione di snervamento ma l’instabilità locale impedisce lo sviluppo del momento resistente plastico; IV Non permettono il raggiungimento del momento elastico a causa di prematuri fenomeni di instabilità (profili sottili). Come già detto un profilo viene classificato di classe tre se dopo aver raggiunto fy instabilizza, di conseguenza per sezioni di questo tipo si ha σcr = fy . p Introducendo la ¯ snellezza adimensionale del pannello λp = fy /σcr si ha:

s λ¯ p =

fy

σcr

r fy b = 1, 05 t E kσ

(3.3)

Ne consegue che una sezione di classe III dovrà avere una snellezza λ¯ p ≤ 1. Sostituendo tale valore in 3.3 si ha (considerando che per le anima compresse kσ = 4): Figura 3.1: L’instabilità in campo elastico è retta dalla relazione:

π2 · E σcr = kσ 12(1 − ν 2 )

2 t b

(3.1)

Dove Kσ è il coefficiente di imbozzamento che tiene conto dei vincoli esterni, della distribuzione degli sforzi e del rapporto L/b. 3.1.1

Classificazione secondo NTC 2008, EC3

Ogni componente compressa che realizza la sezione trasversale ha una classe di appartenenza che influenza la scelta del modello di rappresentazione nella fase di dimensionamento. La classe di appartenenza della sezione trasversale è funzione della sua capacità rotazionale Cϑ definita come (fig. 3.2): Cϑ =

ϑr −1 ϑy

(3.2)

essendo ϑr e ϑy le curvature corrispondenti rispettivamente al raggiungimento della deformazione ultima ed allo snervamento. Si distinguono le seguenti classi di sezioni: Rev. B.1

b 1 ≤ t 1.05

s

E kσ fy

b =⇒ ≤ 39.5 t

s

235 = 39.5 (3.4) fy

Definendo il valore della snellezza ‘limite’ per le classi di sezioni, la normativa fornisce delle relazioni per b/t sia per l’anima che per l’ala al variare del tipo di sollecitazione (compressione, flessione, pressoflessione)(fig. 3.3, 3.4, 3.5). In questo modo si può classificare il singolo profilo in relazione alla sua forma e al processo di produzione (laminato o saldato). In particolare la sezione viene classificata in base della classe della componente meno favorevole (classe più alta). L’EC3 (come le NTC) assume per l’anima compressa: - λ¯ 3 = 0.7

=⇒

b/t ≤ 42 ;

- λ¯ 2 = 0.6

=⇒

b/t ≤ 38 ;

- λ¯ 1 = 0.5

=⇒

b/t ≤ 33 ;

Questi valori risultano più bassi rispetto a quelli teorici perché corretti in modo da considerare le imperfezioni geometriche e le tensioni residue. 16



Figura 3.2: Classificazione delle sezioni secondo NTC 2008, EC3

Rev. B.1

17



Figura 3.3: Massimi rapporti b/t per parti compresse

Rev. B.1

18





Rev. B.1

19


3.2


Proprietà efficaci per sezioni trasversali da (Istruzioni NTC 2008, relazioni che derivano dalla formula della σcr )15 : di classe IV

Per gli elementi di sezioni inflesse o compresse, quando la snellezza λ¯ p > 0.673 la sezione si presenta già instabilizzata, di conseguenza per valutare la resistenza devo andare a considerare le risorse in campo post-critico della stessa. Le sezioni di classe IV vengono quindi penalizzate introducendo il concetto di larghezza efficace beff . Infatti, come si vede in fig. 3.6 e fig. 3.7 le fibre più vicine ai vincoli tendono a non instabilizzare, a differenza del resto della sezione. Una volta determinata l’area efficace della sezione, la tratto come un profilo di classe III.

• Nel caso di pannelli irrigiditi su entrambi i lati longitudinali: per λ¯p ≤ 0.673

ρ=1 ρ=

λ¯p − 0.055(3 + ψ ) λ¯2p

per λ¯p > 0.673

(3.7) (3.8)

• Nel caso di pannelli irrigiditi su un solo lato longitudinale: per λ¯p ≤ 0.748

ρ=1 ρ=

λ¯p − 0.188 λ¯2

per λ¯p > 0.748

(3.9) (3.10)

p

Dove: •

s λ¯p =

fy

σcr

=

b¯ 28.4 · t · ·

√

kσ

(3.11)

• ψ è uguale al rapporto fra le tensioni ai bordi del pannello, essendo σ1 la tensione di compressione massima in valore assoluto si ha:

Figura 3.6: Sezioni trasversali di classe IV, forza assiale

ψ=

σ1 σ2

(3.12)

Il coefficiente di imbozzamento kσ dipende da ψ e dalle condizioni di vincolo ed è fornito in fig. 3.8 per gli elementi compressi interni e in fig. 3.9 per gli elementi compressi sporgenti.

3.3

Verifiche agli S.L.U.

Gli stati limite ultimi sono quelli associati al collasso o ad altre forme di cedimento strutturale che possono mettere in pericolo la sicurezza delle persone. Il collasso in generale può avvenire per: Figura 3.7: Sezioni trasversali di classe IV, momento flettente ¯ dove ρ è La larghezza efficace è definita come beff = ρ· b, il coefficiente di riduzione che tiene conto dell’instabilità della lastra e b¯ è la larghezza pertinente del pannello. b¯ é uguale a hw per i pannelli d’anima, alla larghezza b della piattabanda per le piattabande interne, a b-3tf per le piattabande delle sezioni rettangolari cave di spessore tf ed è uguale alla lunghezza c dello sbalzo per le piattabande o le ali irrigidite da un solo lato. Il valore del coefficiente di riduzione ρ è dato 15 l’EC3

• Collasso per raggiunta resistenza o deformazione (limite elastico, capacità plastica, formazione di meccanismo) • Collasso per perdita di stabilità della struttura o di una parte di essa (verifica di stabilità flessionale, tensionale, ecc..) • Perdita di equilibrio della struttura o di una sua parte, considerata come corpo rigido (verifica al ribaltamento)

fornisce un’unica relazione per entrambi i casi:

ρ=1 per λ¯p ≤ 0.673 ¯ λp − 0.22 ρ= per λ¯p > 0.673 λ¯2

(3.5) (3.6)

p

Rev. B.1

20



Figura 3.8: Larghezza efficace di pannelli compressi con entrambi i bordi longitudinali irrigiditi

Rev. B.1

21



Figura 3.9: Larghezza efficace di pannelli compressi con un solo bordo longitudinale irrigidito

Rev. B.1

22


3.4 3.4.1

Tipi di analisi previste per le verifiche agli S.L.U. Stato limite elastico della sezione

a) si definiscono le azioni di progetto Fd ; b) si calcolano mediante analisi elastica le sollecitazioni di progetto Sd : (Md , Td , Nd ); c) si verifica che Sd ≤ Rd (oppure σid (Sd ) ≤ fd = fk /γm con Rd calcolata al limite elastico.


e) verifico che α ≥ 1; Al posto del calcolo a collasso plastico della struttura posso anche fare un calcolo elastico con una ridistribuzione dei momenti pari al 15%, si può quindi fare un’analisi elastica purchè il momento non superi 1,15Mpl /γm (questo perchè ci sono delle riserve di resistenza plastiche). Il metodo può applicarsi solo a sezioni di tipo compatto di classe I.

Con tale metodo di verifica è possibile operare nello spazio delle sollecitazioni verificando che S(γf , Fk ) ≤ R(fk , γm ) o nello spazio delle tensioni, in questo caso il prodotto γg ·γm è prossimo al coefficiente di sicurezza del metodo delle tensioni ammissibili. Il metodo può applicarsi a tutte le classi di sezioni, con l’avvertenza di riferirsi al metodo delle sezioni efficaci nel caso di sezioni di classe IV. 3.4.2

Stato limite plastico della sezione

Questo calcolo è possibile quando le sezioni e i collegamenti consentono di superare il limite elastico e raggiungere il limite plastico senza che prima intervengano fenomeni di instabilità (locale). Fasi di calcolo: a) si definiscono le azioni di calcolo Fd ; b) si calcolano mediante un analisi elastica le caratteristiche della sollecitazione di progetto Sd : (Md , Td , Nd ); c) si valuta Rd considerando un comportamento σ − di tipo elastico-perfettamente plastico nella sezione più sollecitata; d) si verifica che Sd ≤ Rd .

Figura 3.10: Esempio di calcolo calcolo a collasso: Consideriamo una trave incastrata-incastrata ed incrementiamo il carico distribuito fino a giungere al collasso della struttura. Supponiamo per semplicità che la struttura sia simmetrica, sezione simmetrica e materiale duttile a comportamento simmetrico (fig. 3.11). Chiamiamo α il moltiplicare del carico distribuito q (α ≥ 1). Passo 1: figura 3.11

Il metodo può applicarsi solo a sezioni di tipo compatto, cioè di classe I e II. N.B.: non sono possibili ridistribuzioni degli sforzi nella struttura ma solo delle tensioni nella sezione. 3.4.3

Stato limite di collasso plastico della struttura Formazione di meccanismo

Questo calcolo è possibile quando le sezioni, i collegamenti o il tipo di struttura (a nodi fissi) consentono una ridistribuzione delle sollecitazioni nella struttura senza che prima intervengano fenomeni di instabilità. E’ quindi richiesta una prefissata duttilità nelle sezioni e nei collegamenti. Fasi di calcolo: a) si definiscono le azioni di calcolo Fd ; b) si calcolano le caratteristiche della sollecitazione di progetto Sd : (Md , Td , Nd ); c) si valuta Rd (fd ) nelle sezioni maggiormente sollecitate; d) calcolo il moltiplicatore di carico α in corrispondenza del collasso; Rev. B.1

Figura 3.11: Calcolo plastico a rottura passo 1 Passo 2: Quando il momento negativo massimo raggiunge il valore di Mpl , la struttura perviene al limite elastico e si raggiunge 23



la plasticizzazione delle sezioni d’incastro (fig. 3.12); il moltiplicatore di carico α viene chiamato α1 , moltiplicatore al limite elastico. Ricordiamo inoltre che: Mpl = Momento Plastico della sezione = Wpl · fy

(3.13)

Dove Wpl è il modulo resistente plastico della sezione, pari a 2 volte il momento statico valutato rispetto all’asse baricentrico. Il modulo resistente plastico può anche essere calcolato come:

Wpl = Wel · ψ

con ψ = fattore di forma = Wpl /Wel (3.14) Wel è al solito il modulo di resistenza elastico (Wel = J /ymax )

Figura 3.12: Calcolo plastico a rottura passo 2

Passo 3: Se ora si aumenta il carico per α ≥ α1 , la sezione di incastro non può più riprendere momento e inizia a ruotare - vedi legame costitutivo: si è formata una cerniera plastica; Da questo momento in poi, per ogni ulteriore incremento di carico la trave si comporta come una trave in semplice appoggio (fig. 3.13).

Figura 3.14: Calcolo plastico a rottura passo 4 3.4.4

È possibile, assumendo come S.L.U. quello di collasso della struttura, effettuare un’analisi non lineare al passo mediante codici di calcolo opportuni che permettono di determinare il carico di collasso tenendo conto anche degli effetti del 2° ordine.

3.5

Figura 3.13: Calcolo plastico a rottura passo 3

Analisi non lineare

Resistenza delle membrature

Per la verifica delle travi la resistenza di calcolo da considerare dipende dalla classificazione delle sezioni. La verifica in campo elastico è ammessa per tutti i tipi di sezione, con l’avvertenza di tener conto degli effetti di instabilità locale per le sezioni di classe IV. Le verifiche in campo elastico, per gli stati di sforzo piani tipici delle travi, si eseguono con riferimento al seguente criterio:

Passo 4:

σid = Si può incrementare il carico fino a quando non si ha la terza cerniera plastica, con formazione di un meccanismo di collasso (3 cerniere allineate); il moltiplicatore trovato α2 viene definito moltiplicatore di collasso (fig. 3.14). Rev. B.1

q

2 ≤ f = σx2 + σy2 − σx σy + 3τxy d

fyk γm0

(3.15)

La verifica in campo plastico richiede che si determini una distribuzione di tensioni interne staticamente ammissibile, cioè in equilibrio con le sollecitazioni applicate (N, 24



M, T, ecc.) e rispettosa della condizione di plasticità. I modelli resistenti esposti nei paragrafi seguenti definiscono la resistenza delle sezioni delle membrature nei confronti delle sollecitazioni interne, agenti separatamente o contemporaneamente.

• per le sezioni di classe I, II e III: Nc,Rd =

A · fyk

γm0

(3.22)

• per le sezioni di classe IV: 3.5.1

Trazione

Il dimensionamento di massima di elementi soggetti ad uno sforzo di trazione N è molto semplice: basta introdurre una sezione con un’area minima: Amin

N = fyd

(3.16)

L’azione assiale di calcolo NEd deve rispettare la seguente condizione: NEd ≤ Nt,Rd (resistenza di progetto a trazione)

(3.17)

dove la resistenza di calcolo a trazione Nt,Rd di membrature con sezioni indebolite da fori per collegamenti bullonati o chiodati deve essere assunta pari al minore dei valori seguenti: a) la resistenza plastica della sezione lorda, A: Npl,Rd =

A · fyk

γm0

(3.18)

b) la resistenza a rottura della sezione netta, Anet , in corrispondenza dei fori per i collegamenti: Nu,Rd =

0, 9 · A · ftk

γm2

3.5.2

fyk γm2 0, 9 · Anet ≥ · A ftk γm0

Aeff · fyk

γm1

(3.23)

Lo stato di sollecitazione di compressione semplice è sempre associato al fenomeno dell’instabilità. La verifica di resistenza deve essere quindi sempre accompagnata dalla verifica di stabilità. La verifica di resistenza in sè è significativa solo per elementi tozzi. 3.5.3

Flessione semplice

Il momento flettente di calcolo MEd deve rispettare la seguente condizione: MEd ≤ Mc,Rd

(3.24)

dove la resistenza di calcolo a flessione retta della sezione Mc,Rd si valuta tenendo conto della presenza di eventuali fori in zona tesa per collegamenti bullonati o chiodati. La resistenza di calcolo a flessione retta della sezione Mc,Rd vale: • per le sezioni di classe 1 e 2 si effettua l’analisi platica:

(3.19) Mc,Rd =

Nel caso di elementi collegati simmetricamente e con fori non sfalsati, l’area netta si calcola semplicemente detraendo dall’area della sezione perpendicolare all’asse dell’elemento, l’area di tutti i fori che giacciono nel piano della sezione stessa. Qualora il progetto preveda la gerarchia delle resistenze, come avviene in presenza di azioni sismiche, la resistenza plastica della sezione lorda, Npl,Rd , deve risultare minore della resistenza a rottura delle sezioni indebolite dai fori per i collegamenti, Nu,Rd (comportamento duttile). Npl,Rd ≤ Nu,Rd =⇒

Nc,Rd =

Wpl · fyk

γm0

(3.25)

• per le sezioni di classe 3 l’analisi elastica: Mc,Rd =

Wel · fyk

γm0

(3.26)

• per le sezioni di classe 4 l’analisi elastica relativa alla sezione efficace: Mc,Rd =

Weff · fyk

γm1

con Weff = Jn,eff /ymax

(3.27)

(3.20) Posso, andando a favore di sicurezza, effettuare un’analisi elastica anche per le sezioni di classe 1 e 2.

Compressione

Un elemento è considerato compresso se è soggetto ad azione assiale centrata oppure se è pressoinflesso e l’eccentricità è comunque estremamente modesta. Nella pratica progettuale l’eccentricità si considera trascurabile se non eccede 1/1000 della lunghezza dell’elemento stesso. La forza di compressione di calcolo NEd deve rispettare la seguente condizione: NEd ≤ Nc,Rd

(3.21)

dove la resistenza di calcolo a compressione della sezione Nc,Rd vale: Rev. B.1

3.5.4

Taglio

Il valore di calcolo dell’azione tagliante VEd deve rispettare la condizione: VEd ≤ Vpl,Rd

(3.28)

dove la resistenza a taglio plastica di progetto Vpl,Rd in assenza di torsione, vale: Av · fyk Vpl,Rd = √ 3 · γm0

(3.29)

25



dove Av è l’area resistente a taglio, diversa per ogni tipo di sezione (Per profilati ad I e ad H caricati nel piano dell’anima è per esempio: Av = A − 2 · b · tf + (tw + 2r ) · tf ); La verifica a taglio della sezione può anche essere condotta in termini tensionali (analisi elastica) nel punto più sollecitato della sezione trasversale utilizzando la formula (teoria di Jouwrasky):

τmax

fyk Vsd · Sy,max ≤√ = Jy · ρ 3 · γm0

ciò equivale ad applicare il criterio di resistenza:

My,Ed NEd Mz,Ed + + ≤1 A · fyd Wel,y · fyd Wel,z · fyd

(3.30)

d ≤ 69 tw

(3.31)

Flessione e Taglio

Se il taglio di calcolo VEd è inferiore a metà della resistenza di calcolo a taglio Vc,Rd : VEd ≤ 0, 5Vc,Rd

(3.32)

si può trascurare l’influenza del taglio sulla resistenza a flessione, eccetto nei casi in cui l’instabilità per taglio riduca la resistenza a flessione della sezione. Se il taglio di calcolo VEd è superiore a metà della resistenza di calcolo a taglio Vc,Rd bisogna tener conto dell’influenza del taglio sulla resistenza a flessione. Posto:

2

(3.39)

con: fy γm0 My, Ed = momento sull 0 asse forte Mz, Ed = momento sull 0 asse debole

Deve inoltre essere verificata la resistenza all’instabilità per taglio. Per un’anima non irrigidita questa non va verificata se:

3.5.5

2

MEd NEd + ≤1 (3.38) Mpl,Rd Npl,Rd Per sezioni di classe 3 il criterio da applicare è di tipo elastico ed è una sovrapposizione degli effetti (EC3):

2VEd ρ= −1 Vc,Rd

(3.33)

la resistenza a flessione si determina assumendo per l’area resistente a taglio Av la tensione di snervamento ridotta (1 − ρ)fyk . Dovrà quindi essere verificato che: MEd ≤ (1 − ρ) · Mc,Rd

(3.34)

fyd =

Per sezioni di classe 4 il criterio da applicare è di tipo elastico ed è una sovrapposizione degli effetti (EC3) dove si crea un momento aggiuntivo a causa dell’instabilità delle parti non efficaci che sposta il baricentro creando una eccentricità: My,Ed + NEd · eny Mz,Ed + NEd · enz NEd + + ≤ 1 (3.40) Aeff · fyd Weff ,y · fyd Weff ,z · fyd

3.6

L’instabilità delle membrature (cenni)

Per il generico elemento compresso, nell’ipotesi che non siano presenti imperfezioni e che sia realizzato da un materiale avente legame costitutivo elastico-lineare (asta ideale o di Eulero), esiste un valore del carico, definito carico critico elastico, Ncr , che attiva il fenomeno dell’instabilità dell’elemento. Generalmente la verifica a instabilità è sempre la più penalizzante.

π 2 EJ l02 con l0 lunghezza libera di inflessione (fig. 3.15). Ncr =

(3.41)

Con Mc,Rd calcolato come sopra nel caso di flessione e differenti classi di sezione. Posso altrimenti effettuare un’analisi elastica assumendo il criterio di Huber:

√ σid =

fyk γm0

(3.35)

VEd · Sy,max Jy · ρ

(3.36)

σ 2 + 3τ 2 ≤

con:

σ= 3.5.6

MEd ·z Jy

e

τ=

Flessione e Forza assiale

Per sezioni di classe 1 e 2 in assenza di taglio si effettua la verifica a flessione con un momento plastico di progetto ridotto dallo sforzo normale NEd :

" MEd ≤ MN,Rd

Rev. B.1

con

MN,Rd = Mpl,Rd 1 −

2 #

NEd Npl,Rd (3.37)

Figura 3.15: Determinazione delle lunghezze libere di inflessione in funzione dello schema statico Se si tiene conto solo della limitata resistenza del materiale fy e si trascura l’influenza delle imperfezioni meccaniche e geometriche: il dominio di resistenza di un’asta compressa nel piano σ − λ è dato dall’intersezione tra l’iperbole 26



di Eulero (che individua il collasso per instabilità) e la retta σ = fy (collasso plastico)(fig. 3.16). Quando il punto rappresentativo dello stato tensionale dell’elemento sta all’interno di tale dominio non si ha collasso.

limite delle aste tozze λ < 0, 2 · λy è pari al limite plastico del materiale. Il punto di inflessione della curva che descrive il comportamento delle aste reali determina il limite delle medie snellezze (fig. 3.17). Le aste con medie snellezze collassano per instabilità elasto-plastica: quando l’elemento instabilizza alcune fibre della sezione trasversale hanno già raggiunto lo snervamento (lo stato tensionale non è uniforme all’interno della sezione): il carico limite (critico) non è più funzione della sola snellezza ma dipende anche dalla distribuzione delle tensioni residue e dalla non linearità dell’asse dell’elemento nella configurazione indeformata. A seguito delle imperfezioni geometriche iniziali, che si possono schematizzare con un’eccentricità iniziale del carico di compressione, l’asta risulta pressoinflessa. La risposta dell’asta, in termini di relazione forzaspostamento trasversale, inizialmente coincide con quella dell’elemento ideale con imperfezione iniziale (il materiale è in campo elastico). Raggiunto a livello locale il valore della tensione limite (snervamento) si ha un decremento di rigidezza associato ad un valore ridotto (o nullo) del modulo elastico del materiale nelle zone della sezione sollecitate in campo plastico. Il valore del carico Nu < Ncr corrisponde al raggiungimento della resistenza massima dell’elemento. La verifica dell’elemento compresso viene effettuata controllando che il valore della tensione non ecceda un valore limite (inferiore o al più uguale alla tensione resistente di progetto del materiale) funzione di:

Figura 3.16: Iperbole di eulero per aste ideali

• snellezza dell’elemento; • forma della sezione trasversale; • tipo di acciaio. 3.6.1

Figura 3.17: Andamento della snellezza per aste reali

La normativa, in accordo con l’EC3 definisce quattro curve di instabilità in funzione delle caratteristiche della sezione trasversale degli elementi. In funzione del tipo di sezione e del tipo di acciaio considerato si ricavano i coefficienti p riduttivi χ in funzione della snellezza adimensionale λ¯ = Afy /Ncr . La verifica consiste nell’accertare che:

Il punto P di intersezione tra le due curve (retta σ = fy ed iperbole di Eulero) definisce il limite di snellezza λy al limite di proporzionalità superato il quale λ ≥ λy si ha collasso per instabilità (snellezza a cui corrisponde un carico critico euleriano σcr pari alla resistenza a compressione semplice del materiale fy ).

π 2 EJ π 2 · E · A · ρ2min π 2 EA = = ⇒ λ2 l02 l02 s π2 E E ⇒ σcr = 2 = fy ⇒ λy = π λ fy

NEd ≤ Nb,Rd

(3.43)

Dove Nb,Rd è pari a: • per le sezioni in classe 1,2 e 3:

χ · A · fy γm1

(3.44)

χ · Aeff · fy γm1

(3.45)

Nb,Rd =

Ncr =

• per le sezioni in classe 4: Nb,Rd =

(3.42)

Nel caso di aste reali (industriali), la presenza di imperfezioni meccaniche e geometriche condiziona fortemente la capacità portante nel campo delle medie snellezze. La tensione di collasso delle aste con grandi snellezze λ ≥ λe è ancora determinata dalla legge di Eulero mentre la tensione Rev. B.1

Verifica dell’instabilità per elementi compressi (NTC 2008-EC3)

con:

χ=

1 p ≤1 φ + φ2 + λ¯2

e

φ = 0.5[1 + α(λ¯ − 0.2) + λ¯2 ] (3.46) 27



Nel caso in cui λ¯ sia minore di 0,2 oppure nel caso in cui la sollecitazione di calcolo NEd sia inferiore a 0,04Ncr , gli effetti legati ai fenomeni di instabilità per le aste compresse possono essere trascurati.

3.7

3.6.2

Verifica dell’instabilità per elementi inflessi (NTC 2008-EC3)

Glie elementi inflessi possono manifestare una particolare forma di instabilità costituita dall’instabilità laterale, anche chiamata svergolamento o instabilità flesso-torsionale. Questa è dovuta alla forza di compressione che agisce su una parte del profilo (per elementi in semplice appoggio con carichi verticali è l’ala superiore del profilo) e che può provocare sbandamento laterale e al contempo torsione, ossia traslazione e rotazione della sezione senza che il profilo possa esplicare le proprie risorse flessionali. Si studia il fenomeno in maniera semplificata scomponendo il momento sollecitante Msd in una coppia di forze applicate in corrispondenza delle due piattabande della trave N=M/h. La piattabanda compressa tenderà a sbandare nel piano di minor rigidezza (verticale) ma essendo vincolata all’anima traslerà orizzontalmente provocando la deformazione dell’anima stessa e la torsione della trave. Con questo approccio (comunque a favore di sicurezza) non si tiene conto in modo accurato della rigidezza torsionale della trave e dell’effetto irrigidente dell’anima. Il carico di collasso (momento critico) per instabilità flesso-torsionale dipende da:

Stati limite di esercizio, verifiche

In condizioni di esercizio lo stato tensionale è ben distante dai valori di rottura, perciò la legge costitutiva σ − del materiale ed il metodo di analisi strutturale adottati sono sempre lineari. In quanto ai carichi, si utilizzano per essi valori aventi una probabilità di essere superati maggiore rispetto a quelli utilizzati per le verifiche allo stato limite ultimo (e quindi più bassi). Anche in questo caso la verifica è positiva se: Sd ≤ Rd 3.7.1

Controllo degli spostamenti verticali

Le deformazioni delle membrature in acciaio devono essere contenute entro limiti sufficientemente piccoli per evitare che: • l’utilizzazione dell’opera venga impedita o ridotta (funzionalità degli impianti, confort abitativo); • gli elementi portati (tamponamenti, pavimenti, rivestimenti) siano danneggiati; • la ripartizione degli sforzi sia alterata rispetto all’analisi effettuata (solitamente analisi del I ordine). Con riferimento alla figura 3.19 si ha:

δmax = δ1 + δ2 − δc

• la distanza L tra due ritegni torsionali consecutivi;

dove:

• la rigidezza flessionale EJz nel piano orizzontale;

• δ1 è la freccia dovuta ai carichi permanenti:

• la forma della sezione: sezioni compatte con poca distanza tra le due piattabande garantiscono una notevole resistenza nei confronti dello sbandamento laterale; • l’andamento del momento flettente, nel caso in cui il momento sollecitante non sia costante gli effetti instabilizzanti risultano inferiori; La normativa, in accordo con l’EC3, impone la seguente verifica: (3.47)

Dove Mb,Rd è pari a: • per le sezioni in classe 1,2 e 3: Mb,Rd = χLT · Wpl,y

fy

γm1

(3.48)

• per le sezioni in classe 4: Mb,Rd = χLT · Weff ,y

Rev. B.1

fy γm1

(3.49)

(3.51)

• δ2 è la freccia dovuta ai carichi variabili più eventuali deformazioni variabili nel tempo dovute ai carichi permanenti; • δc è la controfreccia La verifica di deformabilità che corrisponde allo stato limite di esercizio risulta spesso determinante nel dimensionamento delle strutture metalliche. La verifica consiste nel verificare che la freccia massima si minore dei rapporti riportati in figura 3.19 e 3.20. 3.7.2

MEd ≤ Mb,Rd

(3.50)

Stato limite di vibrazioni

Nel progetto bisogna prendere idonei provvedimenti verso i carichi imposti che possono produrre urti, vibrazioni ecc..(si hanno frequenze vicine alla frequenza propria della struttura questa entra in risonanza). Nel caso di solai caricati regolarmente da persone, la frequenza naturale più bassa della struttura del solaio non deve in generale essere minore di 3 Hz, ciò è soddisfatto se l’inflessione totale istantanea ottenuta con la combinazione quasi permanente è minore di 28 mm. Nel caso di solai soggetti a eccitazioni cicliche la frequenza naturale più bassa non deve in generale essere inferiore a 28



Figura 3.19: Limiti di deformabilità per gli elementi di impalcato delle costruzioni ordinarie

Figura 3.20: Limiti di deformabilità per costruzioni ordinarie soggette ad azioni orizzontali

Rev. B.1

29



5 Hz, ciò è soddisfatto se l’inflessione totale istantanea ottenuta con la combinazione quasi permanente è minore di 10 mm. Le strutture di elevata flessibilità, quali edifici alti e snelli, coperture molto ampie, ecc., devono essere verificate per gli effetti indotti dall’azione dinamica del vento sia per le vibrazioni parallele che per quelle perpendicolari all’azione del vento (secondo EC1). Le verifiche devono condursi sia per le vibrazioni indotte dalle raffiche, sia per quelle indotte dai vortici.

Rev. B.1

30



4

la rottura. Queste prove vengono eseguite attraverso una apposita macchina chiamata macchina di Moore. Per caratterizzare il ciclo, queste prove vengono eseguite con R o σm costanti. Riportando i risultati su di un grafico in scala bi-logaritmica si ottiene una curva con l’andamento tipico di fig. 4.1 dove N indica il numero di cicli alla rottura. Tale curva è detta curva di Wöhler16 e stabilisce la resistenza a fatica dell’acciaio.

La Fatica

La fatica è un fenomeno che interessa principalmente le costruzioni metalliche, in ambito strutturale può presentarsi nella costruzione di ponti e carroponti. Spesso si verificano cedimenti di strutture ed organi meccanici sottoposti all’azione di forze ripetute nel tempo anche se queste mantengono la struttura in campo elastico: in questi casi si dice che il guasto è avvenuto per fatica. Gli elementi meccanici sono spesso soggetti a sollecitazioni che variano ciclicamente nel tempo, cioè sono soggetti a storie di carico nelle quali si può identificare una successione di valori massimo (picchi) e minimi (valli) alternati. Si noti che nella vita a fatica di un materiale contano soltanto i livelli dei picchi e dei valli della storia di carico e non la forma della funzione compresa tra essi. La resistenza a fatica è la resistenza che il materiale offre a carichi applicati in modo ciclico. I vari tipi di ciclo, caratterizzati dall’ampiezza di oscillazione ∆σ attorno al valore medio σm oppure tramite il parametro R = σmin /σmax e il valore σmax , sono riassunti nella seguente tabella:

Figura 4.1: Curva di Wöhler (σm = cost)

Figura 4.2: Diagramma di Moore-Kommers-Jasper

La fatica si suddivide in: • classica: si ha quando il n° di cicli è maggiore di 10 000 e questi avvengono ad una tensione σmax < σy di snervamento; • oligociclica: si ha quando il n° di cicli è compreso tra 10 e 10 000 e questi avvengono ad una tensione σmax = σy di snervamento (per esempio nel caso si sisma o di piegatura).

4.1

Curve di Wöhler e Limite di resistenza a fatica

Per determinare la resistenza del materiale sotto l’azione di carichi di fatica i provini vengono assoggettati a forze variabili ciclicamente nel tempo tra un valore massimo σmax e un valore minimo σmin prefissati contando i cicli necessari per 16 A.

Limite di resistenza a fatica Dall’analisi della fig. 4.1 si nota che l’ultimo tratto della curva tende a divenire orizzontale oltre il milione di cicli. Tale asintoto orizzontale rappresenta la tensione al limite di resistenza a fatica dove per limite di resistenza a fatica si intende il n° di cicli oltre il quale non intervengono più per un dato tipo di ciclo fenomeni di fatica. Per gli acciai è dell’ordine dei 2 milioni di cicli. Un’altra rappresentazione utilizzata nel caso di cicli di carico ad ampiezza costante è quella di Moore-Kommers-Jasper (fig. 4.2) che utilizza gli stessi parametri adottati per le curve di Wöhler: N, σmax ed R. Ad ogni valore di N corrisponde una curva che fornisce la tensione di rottura al variare del rapporto di fatica R. Nel diagramma, tutti i punti al di sotto della curva limite (caratterizzata da N = 2 · 106 cicli) rappresentano situazioni di non rottura, cioè la vita dell’elemento può essere ritenuta infinita.

Wöhler (Soltau 1819 - Hannover 1914), della provincia di Hannover, ingegnere ferroviario, pioniere degli studi sulla fatica.

Rev. B.1

31



4.2

In corrispondenza di una discontinuità (foro, variazione di sezione, ecc..) si possono raggiungere tensioni di snervamento con conseguente plasticizzazione del materiale. Aumentando i cicli di carico la zona plasticizzata si degrada fino a portare alla crisi per fatica. La deformazione plastica oscillante è la causa finale della rottura per fatica.

La rottura

4.2.1

Fasi del danneggiamento

Il danneggiamento dovuto a fenomeni di fatica si può dividere in tre fasi successive: 1. Incrudimento plastico del materiale: dipendente dallo stato iniziale del materiale e dall’ampiezza degli sforzi e delle deformazioni a cui è sottoposto. Questa fase è caratterizzata dai cambiamenti nella microstruttura del metallo che interessano l’intero volume caricato;

Altri fattori che possono influenzare la resistenza a fatica sono: • Frequenza di oscillazione: nel campo pratico cioè per frequenze comprese tra 1 ÷ 30 Hz non incide. Per frequenze più alte porta ad un lieve incremento della resistenza a fatica se la temperatura viene mantenuta costante;

2. Enucleazione della cricca a livello microscopico: consiste in una fessurazione del materiale che prende luogo in una piccola parte del volume totale e specificamente nello strato superficiale. Pertanto, risulta particolarmente importante conoscere la concentrazione degli sforzi sulla superficie che provoca l’apertura della fessura;

• Dimensione dei pezzi: in generale incide molto poco sulla resistenza. Nei provini non saldati sembra comunque che essa decresca leggermente all’aumentare del provino infatti più la dimensione è elevata e più si ha il propagarsi delle cricche; • Corrosione: produce ovviamente una diminuzione della resistenza a fatica. In questo caso la curva di Wöhler non raggiunge più il limite di fatica (l’asintoto della curva non è più orizzontale) di conseguenza si parla di resistenza a termine;

3. Propagazione della cricca: la cricca si espande fino alla rottura finale controllata da un parametro che è la deformazione plastica concentrata nella zona che si trova alle estremità della cricca stessa.

• Stato di tensione: In questo caso il comportamento a fatica non ha ancora trovato una soluzione univoca. Sembra che in questo caso sia pià idoneo il criterio della tensione massima principale rispetto al criterio di Von Mises.

4.3

Figura 4.3: La rottura per fatica 4.2.2

Cause

La rottura per fatica è dovuta principalmente a fenomeni derivanti da: • Difettosità interne: queste possono essere l’inomogeneità e l’anisotropia dei cristalli che compongono il metallo, le inclusioni o altri difetti interni; • Difettosità superficiali: sono dovute alla lavorazione eseguita sulla superficie, la sua rugosità infatti costituisce un invito (innesco) al formarsi della cricca per fatica. L’influenza è tanto più grave quanto più rugosa è la superficie e quanto più duro e meno plastico il materiale; • Forma delle sezioni: brusche variazioni della sezione comportano brusche variazioni dello stato tensionale. Rev. B.1

Verifiche relative alla fatica

Fino al 1985 la normativa Italiana prevedeva che il fenomeno di fatica, anche per giunti saldati, dipendesse oltre che dalla ∆σ anche dalla σm . Venivano infatti forniti una serie di diagrammi di Moore-Kommers che fornivano i valori delle ∆σ e τamm in funzione del tipo di acciaio, del tipo di giunto e del particolare costruttivo. Le curve erano fornite per un prefissato n° di cicli (2 · 106 , 6 · 105 , 1 · 105 ) ad ampiezza costante (cicli uniformi di fatica). Tutto questo concordava con la teoria classica della fatica. In realtà, già attorno agli anni 70, si è visto che questo tipo di approccio andava rivisto, soprattutto per gli elementi saldati. Al tempo, infatti, si era appurata sperimentalmente l’inifluenza (a livello di resistenza a fatica) del processo di distensione nei provini a scala ridotta. Questo risultato era quindi stato erroneamente esteso anche alle strutture reali. Le sperimentazioni degli anni ’70, realizzate su strutture in scala reale, portarono invece alle seguenti conclusioni per le strutture saldate: • la variabile che influenza maggiormente la fatica è l’escursione di tensione ∆σ e cioè la differenza tra la σmax e la σmin applicate; • particolari costruttivi simili e di analoga fabbricazione anche se costituiti da acciaio di tipo diverso non hanno dimostrato differenze significative per quanto riguarda il valore della resistenza a fatica; 32


• nessuno dei particolari costruttivi e delle travi provate ha presentato un limite di fatica in situazioni inferiori ai 2 · 106 cicli; • la vita a fatica risulta essere distribuita secondo una legge normale (gaussiana) a quasi tutti i livelli di escursione ∆σ (fig. 4.4);


• Ciclo di tensione: il tratto di un diagramma tempooscillazione che ha inizio in corrispondenza di una tensione minima ed ha fine in corrispondenza della tensione minima successiva (fig. 4.5); • ∆ di tensione: la differenza algebrica fra la tensione massima e quella minima di un ciclo di tensione. Esso verrà designato con ∆σ o ∆τ a seconda che sia un ∆ relativo alle tensioni normali o tangenziali; • Spettro di carico dei ∆ di tensione: il diagramma che mette in relazione i vari ∆σi che si verificano in un punto di una struttura con il numero di cicli ad esso relativo (fig. 4.7).

Figura 4.4: Distribuzione prove a fatica 4.3.1

CNR 10011-88

La norma CNR (molto simile all’EC3) impone per procedere alle verifiche di fatica la conoscenza dell’oscillogramma di tensione (fig. 4.5) e conseguentemente dello spettro di carico (fig. 4.6) che genera queste tensioni.

Figura 4.7: Spettro dei ∆ di tensione

Figura 4.5: Oscillogramma delle tensioni

Figura 4.6: Spettro di carico La stessa definisce poi: Rev. B.1

Per ogni particolare costruttivo la norma riporta il ∆σa (delta di tensione ammissibile corrispondente a sollecitazioni di ampiezza costante a 2 · 106 cicli)(fig. 4.14 e seguenti); Questo ∆σa è il parametro che li caratterizza ed è chiamato ‘categoria’ del particolare. I particolari aventi la medesima categoria hanno, dal punto di vista della fatica, la stessa probabilità di rottura. Essi vengono poi suddivisi in quattro gruppi principali: Gruppo

I

-

Gruppo

II

-

Gruppo Gruppo

III IV

-

Particolari non saldati sollecitati a trazione-compressione; Particolari saldati sollecitati a trazione-compressione; Particolari sollecitati a sforzi tangenziali; Particolari di strutture tubolari.

La norma fa inoltre corrispondere ad ogni particolare costruttivo una linea S-N in un diagramma di Wöhler in doppia scala logaritmica. In ogni linea si ritrova il limite di resistenza a fatica a ∆ costante (5 · 106 ÷ 107 ) e il limite di troncamento cioè il limite oltre il quale non si considerano influenti i cicli nel calcolo a fatica (108 cicli)(fig. 4.8 e fig. 4.9). Le linee S-n corrispondono all’equazione ∆σ m · n = cost dove m assume valori diversi in relazione al tipo di sollecitazione e al numero di cicli. In particolare le linee con m=3 sono derivate dall’analisi statistica dei valori sperimentali e rappresentano i valori medi diminuiti di due deviazioni standard. 33



dovrà essere ridotta ed il suo valore calcolato con la formula:

r ∆σa,t = ∆σa

4

25 t

(4.1)

dove:

∆σa è il ∆ tabulare a 2 · 106 cicli; t è lo spessore della parte più sollecitata del particolare strutturale;

∆σa,t è il ∆ corretto da impiegare per lo spessore t. 4.3.2

Verifiche a fatica

In generale nessuna verifica a fatica è richiesta se: • se tutti i ∆ di trazione-compressione sono minori di 26N /mm2 o comunque al limite di fatica ∆σD ; • se tutti i ∆ di taglio sono minori di 35N /mm2 ; • se il numero totale dei cicli è minore di 104 .

Figura 4.8: Linee SN dei particolari strutturali sollecitati a trazione o compressione

In tutti gli altri casi si deve effettuare la verifica a fatica considerandola relativa ad uno stato limite di servizio in campo elastico (verifica con carichi d’esercizio). Indicata con ∆σr la resistenza a termine individuata sulle curve S-N e con ∆S il delta di tensione per cicli di carico ad ampiezza costante si deve avere:

∆σr (4.2) γm ove γs è il coefficiente parziale di sicurezza relativo alle azioni di fatica (poiché è un carico d’esercizio sarà γs =1) e γm è il coefficiente parziale relativo alla resistenza che tiene conto delle incertezze sul materiale. I valori dei coefficienti γm da adottare nelle verifiche delle strutture sono riportati in tabella 4.1 in funzione delle conseguenze dell’eventuale rottura per fatica. γ s · ∆S =

Tabella 4.1: Coefficienti parziali γm Numero di derivazioni Standard adottato Coefficiente γm

2 1,0

2,5 1,1

3 1,2

3,5 1,3

Si adotterà γm =1 se la rottura comporta solo un danneggiamento locale (es. struttura iperstatica), un γm =1,3 se la rottura comporta il collasso globale della struttura.

Figura 4.9: Linee SN dei particolari strutturali sollecitati a sforzi tangenziali La resistenza a fatica dei vari particolari costruttivi dipende poi dallo spessore. In particolare se t > 25 mm la ∆σa Rev. B.1

Se i cicli non sono ad ampiezza costante la verifica a fatica potrà essere effettuata con il metodo della Regola di Miner o con quello del ∆ equivalente. La determinazione dello spettro dei ∆ di tensione deve essere ottenuto dall’oscillogramma delle tensioni secondo il metodo del ‘serbatoio’. Il diagramma dell’andamento nel tempo delle tensioni viene considerato come profilo di fondo di un serbatoio pieno d’acqua (fig. 4.10; gli estremi sono costituiti dal tratto che 34



converge verso il punto di massimo assoluto del diagramma (punto A) e da un tratto corrispondente, reale o fittizio, posto a termine del diagramma stesso. La determinazione dei vari cicli si effettua immaginando di svuotare il serbatoio scaricando dal punto più basso D, al vuoto d’acqua che si forma corrisponde il 1° ciclo ed il ∆ ad esso relativo è la discesa 0 di livello D D. Si formano ora dei bacini secondari semplici o multipli; i bacini multipli vengono anch’essi svuotati a partire dal punto più basso come in precedenza e al vuoto lasciato corrisponde il secondo ciclo e così via fino ad aver svuotato l’intero ‘serbatoio’.

La verifica a fatica si effettua confrontando il ∆ equivalente con il ∆ resistente ∆σr o ∆τr ricavato dai diagrammi 4.8 e 4.9 in corrispondenza dello stesso numero di cicli n; si tratta più precisamente di verificare che sia:

γs · ∆σef ≤ 4.3.5

∆σr γm

o

γs · ∆τef ≤

∆τr γm

(4.4)

Sollecitazioni pluriassiali

• se sono minori del 15 % delle coesistenti tensioni normali il loro effetto può essere trascurato; • se τ > 15 % σ e cioè quando lo stato di sollecitazione nei gradini di uno spettro è caratterizzato da cicli simultanei di tensioni normali e tangenziali, si effettuerà per ciascun gradino il calcolo delle tensioni principali in corrispondenza delle tensioni minime e massime, se ne ricaverà il ∆ relativo e la verifica a fatica verrà fatta sullo spettro dei ∆ delle tensioni principali così ottenuto (criterio della massima tensione principale); • se le tensioni normali e tangenziali non sono contemporanee si può applicare la regola di miner Σni /ni∗ (caso raro). 4.3.6

Figura 4.10: Metodo del Serbatoio 4.3.3

Per strutture non saldate o saldate e poi trattate in modo da eliminare le tensioni interne da ritiro della saldatura, si possono aumentare i campi di resistenza mediante il coefficiente K fornito in funzione del rapporto R=σmin /σmax (fig. 4.11).

Metodo della regola di Miner

Dovrà essere verificata la seguente condizione: D=

ni ≤1 ni ∗

Strutture esenti da tensioni interne

(4.3)

dove: D è il danno; ni è il n° di cicli effettivi relativi al ∆σi o al ∆τi ; ni ∗ è il numero di cicli che sulla linea SN di riferimento corrisponde al ∆σi o al ∆τi . 4.3.4

Metodo del Delta equivalente

Viene indicato campo equivalente di uno spettro ed indicato con ∆σef o con ∆τef il campo di ampiezza costante che operando per un numero di cicli pari al numero totale n di cicli dello spettro da luogo al medesimo danneggiamento a fatica dello spettro stesso. (applico la regola di Miner considerando ∆σ costanti equivalenti). Esso è dato dalle seguenti espressioni:

q 3

Σ∆σ 3 ·n

i i nel caso di spettri relativi a tensioni • ∆σef = n di trazione-compressione;

q 5

Σ∆τi5 ·ni

• ∆τef = tangenziali. Rev. B.1

n

nel caso di spettri relativi a tensioni

Figura 4.11: Coefficiente di riduzione per tensioni interne Se invece il ∆ di calcolo ha una componente di trazione ed una di compressione la norma stabilisce che si può impiegare una ∆ fittizio ottenuto sommando alla componente di trazione il 60% di quella di compressione. 35


4.4

4.4.1


Prove a fatica con carichi variabili

Sovraccarico ed Allentamento

Quando un provino è soggetto ad un ciclo base di carico, salvo temporanei intervalli di tempo nel quale il carico si accresce o si riduce, si constata che il campione è sottoposto temporaneamente a cicli di tensioni alterne su sezioni al limite di fatica. Si trova successivamente un limite più basso di quello che si sarebbe ottenuto senza l’applicazione temporanea della sovratensione (raggiungo la rottura ad un numero più basso di cicli). Questo effetto si dice di SOVRACCARICO.(fig. 4.12) Viceversa se si assoggetta il provino per brevi intervalli di tempo ad un livello di tensione inferiore a quella del ciclo base, si ottiene una risposta a fatica con un valore superiore a quello del ciclo base. Si parla in questo caso si ALLENAMENTO del provino (fig. 4.13). Relativamente alle figure 4.12 e 4.13 si definiscono poi l’Indice di sovraccarico I = AE/AB e l’Effetto di sovraccarico E = FD/CD.

Rev. B.1

Figura 4.12: Sovraccarico

Figura 4.13: Allenamento

36



Figura 4.14:

Rev. B.1

37



Figura 4.15:

Rev. B.1

38



Figura 4.16:

Rev. B.1

39



Figura 4.17:

Rev. B.1

40



Figura 4.18:

Rev. B.1

41



Figura 4.19:

Rev. B.1

42



Figura 4.20:

5

Unioni chiodate

L’utilizzo dei chiodi come come metodo di unione tra elementi metallici non è più ormai molto utilizzato, principalmente per gli alti costi di legati alla manodopera e alla poca praticità propria di questo metodo. Il chiodo è costituito da una testa forgiata assieme al gambo, l’altra testa viene ottenuta per battitura dopo aver riscaldato alla temperatura del rosso il gambo e posto il chiodo in opera nell’apposito foro. Il raffreddamento del chiodo comporta una contrazione dello stesso che comprime i pezzi con cui è a contatto, realizzando un’unione che trasmette sforzi anche per attrito (anche se nel calcolo la resistenza per attrito di questo sistema non viene considerata) e che garantisce nel tempo un’adeguata assenza di infiltrazioni. Il sistema a chiodi non permette nessun gioco tra gambo e foro, realizzando unioni molto rigide. Per il calcolo si considera esclusivamente la resistenza a taglio del chiodo. Sono previsti chiodi dei seguenti diametri (misure in mm):

φ chiodo φ foro

10 10,5

13 14

16 17

19 20

22 23

= =

• chiodi a testa tonda e a testa svasata piana per 4, 5mm ;

t d

≤

• chiodi a testa svasata con calotta per 4, 5mm ≤ 6, 5mm .

t d

≤

50 MPa 120 MPa

La forma dei chiodi può essere di diverso tipo, la normativa CNR 10011 ne specifica le caratteristiche: Rev. B.1

In relazione allo spessore complessivo t da chiudere si impiegheranno diversi tipi di chiodi:

25 26

Le tensioni ammissibili sono:

σb,adm τb,adm

Figura 5.1: Tipologie di chiodo

Le caratteristiche dimensionali sono da calcolarsi sulla base del diametro del foro e sul sistema usato per la ribaditura. 43



Figura 5.2: Dimensioni dei chiodi

δ=

4 3

Rev. B.1

· d (a macchina); δ =

7 4

· d (a mano)

44



6

6.2

Unioni bullonate

Questo tipo di unione risulta risulta più deformabile delle unioni chiodate (a causa del foro più grande del gambo), ma grazie ad una maggiore praticità nella posa in opera e nel recupero, stanno trovando un uso sempre più vasto. Questa deformabilità è comunque manifesta solo ben oltre il carico di servizio in quanto il preserraggio imposto dalle norme fa lavorare il giunto prevalentemente ad attrito e, solo nell’ultima fase, a taglio. Nelle giunzioni ad attrito possono essere impiegati solo bulloni ad alta resistenza.

6.1

Geometria dei bulloni

I bulloni che vengono usati per carpenteria metallica possono avere i seguenti diametri nominali: d [mm] 12 14 16 18 20 22 24 27 30 Ares [mm2 ] 84,3 115 157 192 245 303 353 459 581 Le varie dimensioni utili alla definizione della geometria dei bulloni possono riassumersi in:

Classificazione dei bulloni

I bulloni sono organi di unione costituiti da: • vite con testa per lo più esagonale e gambo completamente o parzialmente filettato; • dado, anch’esso di forma per lo più esagonale; • rondelle per lo più di forma circolare. Figura 6.2: Dimensioni dei bulloni

p - passo della filettatura d - diametro nominale del gambo dn - diametro del nocciolo dm - diametro medio dres = ( dn + dm ) / 2 - diametro della sezione resistente A questi diametri è possibile associare le seguenti aree:

Figura 6.1: Bulloni

Le classi delle viti e bulloni che possono essere accoppiati sono le seguenti (CNR 10011): Normali 4.6 5.6 4A 5D

Vite Dado

6.8 5S

6.2.1

Alta resistenza 8.8 10.9 6S 8G

Le tensioni ammissibili espresse in MPa per le varie classi di viti: Classe 4.6 5.6 6.8 8.8 10.9

fbt 400 500 600 800 1000

fy 240 300 480 640 900

fk,N 240 300 360 560 700

σb,adm 160 200 240 373 467

τb,adm 113 141 170 264 330

Rev. B.1

0, 7 · ft fy

Tolleranze dei bulloni

L’accoppiamento fra bulloni e piastre richiede delle tolleranze, sia per quanto riguarda il gioco foro-bullone, sia per quanto concerne l’eventuale lunghezza del tratto non filettato del gambo. Indicato con φ il diametro del foro, viene normalmente ammesso un gioco foro-bullone φ − d pari a :

φ − d ≤ 1mm φ − d ≤ 1, 5mm

per per

d ≤ 20mm d > 20mm

Con l’ausilio di “accoppiamenti di precisione” e possibile scendere a valori minori:

Ai fini del calcolo quello che interessa è il valore caratteristico fk,N della resistenza del materiale costituente la vite (o, in sua assenza, il valore il valore della tensione limite di deformazione permanente dello 0,2%). Si assume, convenzionalmente: fk,N = min

A = π· d2 / 4 - area della parte non filettata del gambo Ares = π· d2res / 4 - area resistente della parte filettata

(6.1)

φ − d ≤ 0, 3mm φ − d ≤ 0, 5mm

per per

d ≤ 20mm d > 20mm

La lunghezza della parte non filettata deve essere tale da intersecare tutti i piani di taglio delle piastre da unire. Nel caso in cui ciò non fosse possibile, ovvero quando il gambo filettato intersecasse un piano di taglio, l’area di calcolo per la verifica a taglio sarà l’Ares . 45


6.3


Serraggio

• rottura per taglio del bullone;

Nel serraggio del bullone, all’avvitamento del dado corrisponde un allungamento del gambo che, unitamente al torcente applicato, crea uno stato di autotensioni che si esplica in:

• rottura per rifollamento della lamiera; • rottura per taglio della lamiera; • rottura per trazione della lamiera.

• una pretrazione del bullone equilibrata da una precompressione delle piastre; • una torsione nel bullone equilibrata dall’attrito fra piastra e bullone; Il serraggio è benefico in quanto aumenta le prestazioni dell’unione nei confronti degli stati limite di esercizio quali: • lo scorrimento delle piastre con conseguente ripresa del gioco foro-bullone per unioni in cui i bulloni lavorino a taglio; • il distacco delle piastre per unioni in cui i bulloni lavorino a trazione, con conseguente eliminazione dei pericoli di corrosione. D’altra parte il serraggio non deve essere spinto oltre un certo limite per non compromettere la capacità ultima dell’unione. Nei giunti con bulloni ad alta resistenza “precaricati” la resistenza ad attrito dipende dalle modalità di preparazione delle superfici a contatto, dalle modalità di esecuzione e dal gioco foro-bullone. In via semplificativa la resistenza di progetto allo scorrimento di un bullone ad attrito si calcolerà assumendo una forza di precarico pari al 70% della resistenza ultima a trazione del bullone. (§4.2.8.1.1 delle NTC) Fp,Cd = 0, 7 ·

ftb · Ares

γM7

Figura 6.4: Meccanismi di rottura

La resistenza delle unioni bullonate può venir determinata convenzionalmente sulla base di verifiche numeriche, che interpretano dei comportamenti statici semplificati. Si distinguono le unioni in cui il bullone è sollecitato: • a taglio;

(6.2)

La norma armonizzata UNI EN 13499-1 prescrive che viti, dadi e rondelle siano forniti dal medesimo produttore e che rechino la marchiatura CE. La norma armonizzata prevede che vengano eseguite, tra l’altro, prove sistematiche di serraggio del complesso vite, dado e rondella(e); queste prove forniscono informazioni sul fattore k che lega la forza di precarico Fp,Cd ed il momento di serraggio M. Si ha:

• a trazione; • a trazione e taglio. Per ognuno di questi tipi di unione si deve distinguere la resistenza nei riguardi: • dello stato limite ultimo; • dello stato limite di esercizio.

M = k · d · Fp,Cd (C4.2.106 circolare esplicativa) dove d è il diametro nominale della vite. Il valore del fattore k , secondo le prescrizioni della norma, è indicato sulle targhette delle confezioni (dei bulloni, oppure delle viti) per le differenti classi funzionali (§4.4.4 NTC). Nel caso il momento di serraggio non sia riportato sulle targhette delle confezioni, ma compaia il solo fattore k secondo la classe funzionale, per facilitare gli operatori addetti ai montaggi, si può fare riferimento alle Tabelle C4.2.XX e C4.2.XXI (fig. 6.3) (che si riferiscono alle viti di classe 8.8 e 10.9 rispettivamente) per definire il momento di serraggio dei bulloni.

6.4

Stato limite ultimo

Per ogni tipo di unione si ha interesse a valutare, oltre alle condizioni in esercizio, anche le prestazioni al collasso. I vari meccanismi che interessano le componenti di un’unione bullonata sono i seguenti: Rev. B.1

In questa sezione (quella relativa allo stato limite ultimo) verranno trattati sia il funzionamento dei diversi tipi di unione che il metodo di verifica a stato limite ultimo; mentre nella sezione successiva verranno solo spiegate le verifiche allo stato limite di esercizio.

6.5 6.5.1

Unioni a taglio Verifica a taglio (meccanismo a) figura 6.4)

I valori di resistenza che seguono, possono essere utilizzati come valori della resistenza di progetto, ma non hanno un chiaro significato statistico: sono valori convenzionali per i quali l’esperienza costruttiva e l’evidenza sperimentale hanno mostrato un corretto funzionamento. Un’unione bullonata è tanto più correttamente concepita quanto più vicini fra loro sono i carichi di rottura corrispondenti ai meccanismi sopra elencati. Per definire la resistenza di progetto a taglio di ogni sezione 46



Figura 6.3: Tabelle C4.2.XX e C4.2.XXI

resistente non ha senso ricorrere al criterio di Huber Von Mises, in quanto la lunghezza della vite è dello stesso ordine di grandezza del diametro (quindi non può essere considerato una trave inflessa). Per ogni piano di taglio che interessa il gambo dell’elemento di connessione viene quindi assunta una resistenza pari a: Fv ,Rd =

0, 6 · ftb · Ares

γM2

(6.3)

6.5.2

Verifica a rifollamento della lamiera (meccanismo b) figura 6.4)

La verifica a rifollamento della lamiera consiste nell’assicurare che lo stato tensionale in prossimità del foro sia compatibile con le caratteristiche del materiale. La verifica viene condotta ipotizzando una distribuzione delle tensioni a plasticizzazione avvenuta. La norma impone che:

per bulloni di classe 4.6, 5.6 e 8.8. Mentre Fv ,Rd =

0, 5 · ftb · Ares

γM2

σrif ≤ α · σadm (6.4)

con

per bulloni di classe 6.8 e 10.9.

σrif =

Ares indica l’area resistente della vite e si adotta quando il piano di taglio interessa la parte filettata della vite. Nei casi in cui il piano di taglio interessa il gambo non filettato della vite si ha una resistenza pari a: Fv ,Rd =

0, 6 · ftb · Ares

γM2

Fv ,Ed ≤ Fv ,Rd

dove [CNR 10011]

(6.5)

La verifica sul bullone viene condotta verificando che lo sforzo di taglio agente Fv ,Ed sia minore del valore resistente Fv ,Rd . Ovvero: (6.6)

a d α ≤ 2, 5

α=

Appare chiaro come convenga quindi assumere a = 2, 5 · d. In generale si assume α = 2, cioè a = 2d. La resistenza della lamiera a rifollamento [NTC 2008] si calcola nel seguente modo:

La resistenza complessiva della singola unione a taglio è perciò data da min(Fv ,Rd ; Fb,Rd )17 . 17 F b,Rd

N d ·t

Fb,Rd =

k · α · ftk · t · d

γM2

(6.7)

è la resistenza a rifollamento della lamiera, definita nel prossimo paragrafo.

Rev. B.1

47



dove d è il diametro nominale del gambo del bullone, t è lo spessore della piastra collegata, ftk è la resistenza a rottura del materiale della piastra collegata,

e

e1 ftb ; ;1 α = min 3d0 ft

per bulloni di bordo nella direzione del carico applicato,

α = min

p1 ftb − 0, 25; ; 1 3d0 ft

e2 > 1, 5 · d0 Le limitazioni superiori sono da distinguersi per lamiere con bordo irrigidito: e1 ≤ 6 · tmin e e2 ≤ 6 · tmin

e per lamiere senza bordo irrigidito

per bulloni interni nella direzione del carico applicato,

k = min 2, 8

e2 − 0, 17; 2, 5 d0

e1 ≤ 9 · tmin

e e2 ≤ 9 · tmin

per bulloni di bordo nella direzione perpendicolare al carico applicato, p2 k = min 1, 4 − 0, 17; 2, 5 d0 per bulloni interni nella direzione perpendicolare al carico applicato, essendo e1 , e2 , p1 e p2 le dimensioni indicate in figura 6.5 e d0 il diametro nominale del foro di alloggiamento del bullone.

Valori più aggiornati sono disponibili nella Tabella 4.2.XIII (Posizione dei fori per unioni bullonate e chiodate) delle NTC 2008. 6.5.4

Verifica a trazione dei piatti (meccanismo d) figura 6.4)

Figura 6.5: Dimensioni sulle piastre Figura 6.6: Distribuzione degli sforzi La verifica consiste nell’assicurare che Fv ,Ed ≤ Fb,Rd 6.5.3

(6.8)

Verifica a taglio della lamiera (distanze dai bordi) (meccanismo c) figura 6.4)

Per cautelarsi da questo tipo di rottura vengono definite delle distanze per il posizionamento dei fori, alle quali si assume che altri tipi di rotture prevalgano su quella a taglio della lamiera. Sempre con riferimento alla figura 6.5 è possibile definire due condizioni per i passi p1 e p2 : per elementi tesi avremo 25 · tmin ≥ pi ≥ 3 · d0 mentre per elementi compressi 15 · tmin ≥ pi ≥ 3 · d0 dove tmin è il minore tra gli spessori delle lamiere componenti l’unione. Per quanto riguarda le distanze dai bordi abbiamo:

Anche la resistenza di progetto per rottura a trazione del piatti costituenti l’unione viene determinata in modo convenzionale. In effetti la distribuzione degli sforzi in una sezione forata è del tipo di quella illustrato in figura 6.6 in campo elastico. La ridistribuzione degli sforzi al collasso consente l’uso di un valore medio. Chiameremo in maniera del tutto convenzionale questa resistenza Bv ,Rd 18 . Bv ,Rd = fbt · Anom

(6.9)

dove Anom = tmin · (b − φ). Nel caso che vi siano più bulloni la scelta della sezione critica può diventare complessa: essa deve venir fatta sulla base della resistenza a collasso per trazione e taglio della piastra, in funzione delle possibili linee di rottura. Una regola empirica, che si è sempre dimostrata a favore di sicurezza è quella che corrisponde al minimo percorso passante per uno o più fori.

e1 > 2 · d0 18 non

è prevista nella nomenclatura delle NTC 2008. Si veda nei paragrafi successivi la “Resistenza di progetto a rottura per taglio” (Vu,Rd )

Rev. B.1

48



Figura 6.8: Determinazione del carico Figura 6.7: Scelta della sezione critica Quindi, come illustrato in figura, ai percorsi sopra determinati corrisponderanno i seguenti sforzi: • 2L1 + 2L2 → 38 NSd

Ad esempio, la sezione critica della piastra illustrata in figura 6.7 è quella caratterizzata dal valore minimo di area fra:

• 2L1 + 2L3 + L4 → 58 NSd • 2L1 + 2L3 + 2L5 → 68 NSd Nel caso di giunto non simmetrico si ipotizza un comportamento plastico (materiale snervato con tensione uniforme in tutti i pezzi). Varrà dunque la seguente equazione:

• 2L1 + 2L2

σ= • 2L1 + 2L3 + L4

F1 F2 = A1 A2

da cui le forze sulle singole lamiere F1 =

• 2L1 + 2L3 + 2L5

F · A2 F · A1 ; F2 = A1 + A2 A1 + A2

ciò provoca l’insorgere di un momento flettente rispetto alla linea media della lamiera centrale pari a: Nel determinare il valore di sollecitazione corrispondente Bv ,Ed 19 si utilizza il metodo “delle corde”. Posto che l’unione sia sollecitata da uno sforzo di trazione pari a N, questo viene ripreso in maniera distribuita dalle n file di bulloni che la compongono. La distribuzione reale di tale sollecitazione risulta essere parabolica (vedi figura ??), ma, per semplicità, essa viene assunta costante per tutte le n file. Il metodo consiste nel considerare il numero di corde tagliate dal percorso condiderato per calcolare il Bv ,Rd . La formula sarà quindi:

Bv ,Ed =

cC · NSd cT

(6.10)

dove per cC si intende il numero di corde tagliate dal percorso considerato, mentre per cT il numero totale di corde (numero totale di bulloni). 19 notazione

Rev. B.1

M = F2

6.6

t2 t0 + 2 2

− F1

t1 t0 + 2 2

Unioni a trazione

Le unioni a trazioni si ritrovano ogni qualvolta si vuole ripristinare la continuità degli elementi strutturali mediante giunzioni flangiate. Per comprenderne il comportamento si consideri l’unione costituita da due elementi giuntati con un unico bullone e sollecitati da una forza esterna FN . Prima dell’applicazione del carico esterno FN ciascuna testa del bullone trasmette alle lamiere del giunto uno sforzo totale di compressione di risultante pari all’azione assiale NS presente nel gambo del bullone dovuta al serraggio: a tale azione corrisponde un allungamento iniziale del gambo del bullone. All’agire del carico FN lo sforzo del gambo del bullone si aumenta di un aliquota X che determina un

assunta nell’ambito di questo testo e non prevista nella nomenclatura delle NTC 2008.

49



leggero allungamento del bullone: la risultante di compressione sulle lamiere si riduce di conseguenza di una quantità Y . Se Y risulta inferiore a NS le parti restano ancora in contatto e l’allungamento ∆L1 del bullone coincide con la decompressione ∆L2 della lamiera. Questi risultano:

Se il bullone è serrato, anche per forza esterna nulla, è presente nel gambo un’azione assiale NS cui corrisponde un allungamento ∆LS . Al crescere della forza esterna FN l’azione assiale nel gambo N cresce molto lentamente fino a quando è FN = NP ≈ 1, 1 · NS , cioè fino al valore che porta alla decompressione delle piastre (curva b). Per FN > NP l’azione assiale N ritorna ad essere uguale al carico applicato FN fino a rottura. La resistenza di calcolo a trazione semplice degli elementi di connessione Ft,Rd può essere assunta pari a:

∆L1 =

Y X ; ∆L2 = k1 k2

dove k1 e k2 sono le rigidezze estensionali del bullone e delle piastre rispettivamente. La rigidezza del bullone vale: 1 L1 L2 = + k1 EA EAres

Ft,Rd = 0, 9

essendo A e Ares rispettivamente l’area della sezione del gambo e di quella resistente, L1 e L2 la lunghezza della parte non filettata e di quella filettata interessata dal collegamento. Più difficile è la valutazione della rigidezza delle piastre: lo stato tensionale è infatti tridimensionale e dipende dalla estensione della zona di contatto. In prima approssimazione si può porre k2 = EAt eff , dove Aeff è l’area convenzionale della zona soggetta a compressione ipotizzando una diffusione a 45° e t è lo spessore della piastra. Per disposizioni costruttive iniziali che presuppongono spessori t maggiori od eguali al diametro d del bullone è k2 ≥ 10k1 . Diagrammando gli allungamenti con lo sforzo normale applicato è possibile notare il diverso ordine di grandezza esistente tra piastre e bullone: Per l’equilibrio del bullone deve risultare:

ftb · Ares

(6.11)

γM2

Inoltre, nelle unioni bullonate soggette a trazione è necessario verificare la piastra a punzonamento; ciò non è richiesto per le unioni chiodate. La resistenza a punzonamento del piatto collegato è pari a Bp,Rd =

0, 6 · π · dm · tp · ftk

γM2

(6.12)

dove dm è il minimo tra il diametro del dado e il diametro medio della testa del bullone; tp è lo spessore del piatto e ftk è la tensione di rottura dell’acciaio del piatto. La verifica a stato limite ultimo viene condotta assicurando che: Ft,Ed ≤ Ft,Rd

(6.13)

La resistenza della singola unione a trazione è quindi ottenuta come min(Bp,Rd ; Ft,Rd ).

X + Y = FN Per la congruenza deve essere:

∆L1 = ∆L2 =

X Y = k1 k2

Risulta pertanto: X =

Y =

FN 1+

1−

k2 k1

k2 k1

Nel caso in cui vi sia la presenza combinata di taglio e trazione si può adottare la formula di interazione lineare:

≥

Ft,Ed Fv ,Ed + ≤1 Fv ,Rd 1, 4 · Ft,Rd 10 FN 11

L’incremento X dello sforzo di trazione nel gambo corrisponde quindi a non più del 10% dello sforzo di trazione esterno Fn applicato. Nell’eventualità poi che il bullone, sempre per effetto di NS sia inizialmente sollecitato oltre il limite elastico si ottiene una rigidezza del bullone k1 tendente a zero; pertanto l’incremento X risulta del tutto trascurabile. Le relazioni precedentemente dedotte hanno valore fino a quando le piastre restano a contatto: cioè per Y < NS . Per Y > NS si determina il distacco delle piastre ed il bullone viene così a sopportare l’intero valore del carico esterno FN . L’inizio del distacco avviene quindi per FN ≥ 1.1NS . In figura 6.11 a) è diagrammato il legame tra carico esterno FN e allungamento del bullone ∆L, mentre in b) viene rappresentato il legame che intercorre tra carico esterno FN e azione assiale N agente nel gambo del bullone. Se il bullone non è serrato, al crescere di FN cresce in egual misura N (curva a) e, raggiunto il limite elastico, si entra in campo plastico fino al raggiungimento della rottura per un valore del carico NU . Rev. B.1

Unioni a taglio e trazione

FN 11

!

1 1+

≤

6.7

(6.14)

Questa formula (NTC 2008) risulta particolarmente cautelativa in quanto risultati sperimentali hanno evidenziato un dominio ultimo ellittico di equazione:

6.8 6.8.1

Fv ,Ed Fv ,Rd

2

+

Ft,Ed Ft,Rd

2 ≤1

Stato limite di esercizio Unioni a taglio

Per i bulloni di classe 8.8 e 10.9 (alta resistenza), nella verifica di deformabilità in condizioni di esercizio, si può tenere conto del funzionamento ad attrito del giunto. Si ammette cioè che per carichi minori del limite di scorrimento per attrito, il giunto sia rigido. Si riporti in un diagramma (figura 6.12) lo scorrimento relativo ∆L fra i punti A e B delle piastre in funzione del carico applicato FV . Si possono osservare quattro fasi di comportamento ben distinte fra loro: 50



Figura 6.10: Rigidezza delle lamiere e dei bulloni

Figura 6.11: Relazione tra azione applicata e allungamento / azione interna

Rev. B.1

51



Per i bulloni disposti in fori aventi il gioco foro-bullone “normale” e per bulloni in fori asolati con l’asse dell’asola perpendicolare alla direzione di applicazione del carico, il corfficiente parziale di sicurezza γMs per la resistenza allo scorrimento deve essere preso pari a:

γMs,ult = 1, 25 γMs,ser = 1, 10 I collegamenti con bulloni in fori maggiorati o in fori asolati con l’asse dell’asola parallelo alla direzione di applicazione del carico devono essere calcolati come appartenenti alla categoria C, resistenti allo scorrimento allo stato limite ultimo. In questo caso il coefficiente parziale di sicurezza per la resistenza allo scorrimento deve essere preso pari a:

γMs,ult = 1, 40 Figura 6.12: Scorrimento di un giunto da attrito

1. Lo scorrimento è praticamente nullo al crescere del carico: la trasmissione della forza avviene quindi per attrito fra le lamiere. La fase ha termine per un valore FV ,f del carico applicato che corrisponde al superamento dell’attrito fra le lamiere.

La forza di precarico Fp,Cd in caso di serraggio controllato, può essere assunta pari a 0, 7 · ftb · Ares , invece che pari res . a 0, 7 · ftb · γAM7 Il coefficiente di attrito µ dipende dalla classe del trattamento superficiale (“Norma di riferimento” 8):

µ = 0, 50 per superfici di classe A: superfici sabbiate meccanicamente o a graniglia, esenti da incrostazioni di 2. Si manifesta un brusco scorrimento della giunzione in ruggine e da vaiolature; superfici sabbiate meccanicacorrispondenza del carico esterno FV ≈ FV ,f . La fase mente o a graniglia e metallizzate a spruzzo di allumiha termine con la ripresa del gioco foro-bullone. nio; superfici sabbiate meccanicamente o a graniglia e metallizzate a spruzzo con una vernice a base di zinco 3. Lo scorrimento è praticamente proporzionale al caricertificata per assicurare un coefficiente non minore di co, evidenziando il comportamento elastico dell’unio0,5. ne. La fase elastica ha termine con il raggiungimento del limite elastico o nelle piastre collegate o nel µ = 0, 40 per superfici di classe B: superfici sabbiate mecbullone. canicamente o a graniglia e verniciate con silicato di zinco alcalino applicando uno spessore dello strato di 4. Si manifestano grandi scorrimenti per piccoli incre50 − 80µm; menti di carico. La fase ha un termine con il collasso della giunzione in corrispondenza del carico ultimo µ = 0, 30 per superfici di classe C: superfici pulite medianFV ,u . te spazzolatura o alla fiamma, esenti da icrostazioni di ruggine; La norma prevede che per le unioni a taglio per attrito con bulloni ad alta resistenza la massima forza trasmissibile sia pari a: Fs,Rd =

ks · n · µ·

γM3

Fp,Cd

(6.15)

dove: Fp,Cd è la forza di progetto di precarico definita al punto 6.5.8.2 dell’ EC3, n è il numero delle superfici di attrito, µ è il coefficiente di attrito tra le piastre (definito in seguito). Il coefficiente ks deve essere determinato come segue: ks = 1, 0 Quando i fori in tutti i piatti hanno gioco foro-bullone “normale”;

µ = 0, 20 per superfici di classe D: superfici non trattate; Qualora un collegamento ad attrito sia soggetto ad una forza di trazione Ft , oltre all’azione di taglio Fv che tende a provocare lo scorrimento, la resistenza allo scorrimento di un bullone deve essere assunta come segue: Categoria B: il collegamento resistente allo scorrimento allo stato limite di sevizio: Fs,Rd,ser = ks · n · µ ·

Rev. B.1

γMs,ser

Categoria C: collegamento resistente allo scorrimento allo stato limite ultimo.

ks = 0, 85 Per i fori maggiorati o per fori ad asola corta; ks = 0, 7 Per fori ad asola lunga.

Fp,Cd ˘0, 8 · Ft,Sd,ser

Fs,Rd = ks · n · µ ·

Fp,Cd − 0, 8 · Ft,Sd

γMs,ult 52


6.8.2


Unioni a trazione

Figura 6.14: Concomitanza di taglio e trazione

6.9

Effetti delle caratteristiche di sollecitazione e verifiche

Le unioni bullonate possono essere sostanzialmente sollecitate in due modi diversi: Figura 6.13: Effetto leva • sollecitazioni di taglio e torsione che agiscono nel piano delle lamiere collegate dai bulloni e i cui effetti ne impegnano a taglio i gambi; La principale differenza fra lo schema illustrato in figura 6.11 e il comportamento reale della unione consiste nel fatto che il carico FN non è applicato alla testa del bullone, ma vi è trasmesso attraverso le lamiere che subiscono deformazioni flessionali in conseguenza delle quali il completo distacco non è mai possibile. (Figura 6.13) Ne risulta che il valore NP ≈ 1.1NS sopra dedotto rappresenta il limite superiore della forza assegnabile al bullone prima del distacco della unione. L’assumere come resistenza allo stato limite di decompressione un valore della forza pari a quello della azione assiale NS indotta dal serraggio del bullone risulta quindi sempre cautelativo. Da un punto di vista costruttivo è evidente che se si vuol eliminare l’eventualità di un distacco delle piastre si deve operare un serraggio secondo le modalità indicate nella normativa NTC 2008 e si devono adoperare bulloni di classe 8.8, 10.9 o 12.9 per evitare la perdita di serraggio nel tempo per effetti di rilassamento del materiale.

• sollecitazioni assiali e flettenti che agiscono in piani paralleli al gambo dei bulloni e che quindi li impegnano a trazione. La ripartizione di tali effetti sui singoli bulloni viene eseguita sulla base di metodi convenzionali, suffragati da risultati sperimentali. Nel seguito si riportano i metodi più comunemente adottati e le ipotesi su cui questi si fondano.

Figura 6.15: Concomitanza di taglio e torsione 6.8.3

Unioni a taglio e trazione

Il carico Fv per cui avviene lo scorrimento di una giunzione a taglio, a parità di coefficiente di attrito, è proporzionale alla forza di precompressione fra le superfici a contatto. Il dominio della resistenza è quindi rappresentato in figura 6.14 ed b è espresso dalla relazione Fv = Fv ,Rd (1 − FFp,Cd ), dove Fb è la forza assiale sul bullone. È opportuno limitare il campo di validità della formula a valori in Fb ≤ 0, 8 · Fp,Cd per garantire un adeguato margine nei riguardi della decompressione delle piastre. Rev. B.1

6.9.1

Sollecitazione di taglio e torsione

Con riferimento al problema indicato in figura, risulta necessario individuare il punto più adeguato alla definizione del momento torcente che impegna l’unione. Le ipotesi che stanno alla base di questo calcolo sono due: • lamiere infinitamente rigide; • bulloni perfettamente elastici. 53



essendo ai la distanza fra il centro del bullone ed il baricentro della bullonatura. Dall’equilibrio alla rotazione: T = nV Σn1 VT ,i · ai si ricava: VT ,i =

6.10

Tai nV Σai2

Categorie di collegamenti bullonati

L’eurocodice 3 prescrive che il progetto del collegamento bullonato debba essere conforme ad una delle seguenti categorie:

Figura 6.16: Concomitanza di taglio e torsione

Lo spostamento relativo di ogni bullone è costante per effetto del taglio e proporzionale alla distanza dal baricentro dei bulloni per effetto del momento F · e. In questo modo non si considera la ridistribuzione delle dai bulloni più sollecitati a quelli meno sollecitati, si ipotizza invece una plasticizzazione locale (ovalizzazione) attorno ai fori per distribuire gli sforzi nei bulloni.

Il ruolo del gioco foro-bullone e delle ovalizzazioni dei fori è messo in evidenza dal giunto in figura ??. Se si ammettesse un comportamento perfettamente elastico delle lamiere e dei bulloni e si escludesse ogni gioco foro-bullone, la distribuzione delle forze sui bulloni, anzichè costante, avrebbe un andamento a catenaria e i bulloni estremi sarebbero i più caricati. Proprio per l’esistenza del gioco foro-bullone è invece più aderente alla realtà equiripartire la forza esterna fra tutti i bulloni, a patto che il giunto non sia troppo lungo: ciò implica contenere gli interassi entro i limiti indicati in precedenza e soprattutto ridurre la lunghezza del giunto in direzione parallela alla forza FV applicata.

Distribuzione della componente tagliante Conseguentemente alle ipotesi sopra discusse la componente tagliante può essere considerata ripartita in egual misura su tutti i bulloni. Il carico agente su ogni faccia risulta pertanto: V =

FV n · nV

dove n è il numero di bulloni presenti nel giunto e nV il numero di sezioni resistenti per ogni bullone. Distribuzione della componente torcente Il momento torcente si ripartisce sui bulloni in ragione della loro distanza dal baricentro. Risulta quindi sul bullone i-esimo: VT ,i = k · ai Rev. B.1

Categoria A Collegamenti a taglio - In questa categoria si devono impiegare bulloni ordinari o bulloni ad alta resistenza dalla classe 4.6 fino alla classe 10.9 compresa. Non sono richiesti precarico e prescrizioni particolari per le superfici di di contatto. Il carico ultimo di progetto non deve eccedere nè la resistenza di progetto a taglio, nè la resistenza di progetto a rifollamento. Categoria B Collegamenti ad attrito resistenti allo stato limite di servizio - In questa categoria si devono impiegare bulloni ad alta resistenza precaricati con coppia di serraggio controllata. Non si deve avere scorrimento allo stato limite di servizio. La combinazione delle azioni da considerare deve essere selezionata in funzione delle condizioni di carico per le quali è richiesta la resistenza allo scorrimento. Il carico di progetto a taglio allo stato limite di servizio non deve eccedere la resistenza di progetto allo scorrimento. Il carico ultimo di progetto a taglio non deve eccedere nè la resistenza di progetto a taglio, nè la resistenza di progetto a rifollamento. Categoria C Collegamenti ad attrito resistenti allo stato limite ultimo - In questa categoria si devono impiegare bulloni ad alta resistenza precaricati con coppia di serraggio controllata. Non si deve avere scorrimento allo stato limite ultimo. Il carico ultimo di progetto a taglio non deve eccedere nè la resistenza di progetto allo scorrimento, nè la resistenza di progetto a rifollamento. Categoria D Collegamenti caricati a trazione con bulloni non precaricati - In questa categoria devono essere impiegati bulloni ordinari (prodotti con acciaio a basso contenuto di carbonio) o bulloni ad alta resistenza fino alla classe 10.9 compresa. Non è richiesto precarico. Questa categoria non deve essere usata qualora i collegamenti siano frequentemente soggetti a variazioni della forza di trazione. Essi tuttavia possono essere impiegati nei collegamenti calcolati per resistere ai normali carichi di vento. Categoria E Collegamenti caricati a trazione con bulloni ad alta resistenza precaricati - In questa categoria si devono impiegare bulloni ad alta resistenza precaricati con coppia di serraggio controllata. Tale precarico migliora la resistenza a fatica. L’entità del miglioramento dipende comunque dai dettagli costruttivi e dalle tolleranze. 54



Per i collegamenti caricati a trazione di entrambe le categorie D e E non è necessario alcun trattamento delle superfici di contatto, ad eccezione dei collegamenti di categoria E soggetti alla combinazione di trazione e taglio (combinazione E-B oppure E-C). Si veda la tabella in figura 6.18 di cui indichiamo la simbologia:

fori per i dispositivi di giunzione ad eccezione del caso di fori maggiorati o asolati. Per il progetto dei collegamenti degli altri tipi di membrature si applica quanto indicato al paragrafo 5.4 dell’EC3.

Fv ,Sd,eser Fv ,Sd Fv ,Rd Fb,Rd Fs,Rd,eser Fs,Rd Ft,Sd Ft,Rd

6.11

Forza di progetto a taglio per ogni bullone allo stato limite di servizio Forza di progetto a taglio per ogni bullone allo stato limite ultimo Resistenza di progetto a taglio di un bullone Resistenza di progetto a rifollamento di un bullone Resistenza di progetto allo scorrimento di un bullone allo stato limite di servizio Resistenza di progetto allo scorrimento √ (fy / 3) · Av ,eff di un bullone allo stato limite ultimo (6.16) Vu,Rd = Forza di progetto a trazione per ogni bullone γM0 allo stato limite ultimo Resistenza di progetto a trazione di un bullone dove Av ,eff è l’area netta del meccanismo “block shear” che deve essere determinata nel modo seguente:

Distribuzione delle forze fra i dispositivi dove di giunzione

La distanza delle forze interne fra i dispositivi di giunzione allo stato limite ultimo deve essere proporzionale alla distanza dal centro di rotazione solo per: • collegamenti resistenti ad attrito di categoria C; • altri collegamenti a taglio dove la resistenza di progetto a taglio Fv ,Rd di un dispositivo di giunzione è inferiore alla resistenza di progetto a rifollamento Fb,Rd . Negli altri casi la distribuzione delle forze interne fra i dispositivi di giunzione allo stato limite ultimo può essere o come indicato sopra o altrimenti plastica. Può essere ipotizzata ogni ragionevole distribuzione purchè essa soddisfi determinati requisiti20 In un giunto a sovrapposizione, si deve assumere per ciascun dispositivo di giunzione la stessa resistenza al rifollamento in ogni particolare direzione.

6.12

Detrazione dell’area dei fori per dispositivi di giunzione

Il calcolo dei collegamenti di membrature compresse è normalmente richiesto senza considerare alcuna detrazione dei 20 I

Il meccanismo di collasso “block shear” in una serie di fori per dispositivi di giunzione vicini all’estremità dell’anima di una trave o di una squadretta deve essere prevenuto mediante un’opportuna spaziatura dei fori. Questo tipo di collasso consiste generalmente in una rottura a trazione, lungo la linea dei fori, sulla superficie tensionata del gruppo di fori e in uno snervamento a taglio nella sezione lorda, in corrispondenza della fila di fori, lungo la faccia sollecitata a taglio dei fori stessi. La resistenza a taglio ultima di progetto Vu,Rd lungo la linea di rottura per meccanismo tipo “block shear” dovrà essere assunta pari a:

Lv ,eff = Lv + L1 + L2

Av ,eff = t · Lv ,eff

con la limitazione

Lv ,eff ≤ L3

nella quale L1 = a1 con la limitazione L1 ≤ 5 · d L2 = (a2 − k · d0,t )(fu /fy ) L3 = Lv + a1 + a3 con la limitazione L3 ≤ (Lv + a1 + a3 − nd0,v )(fu /fy ) dove a1 , a2 , a3 e Lv sono indicate in figura; d è il diametro nominale del dispositivo di giunzione; d0,t è la larghezza della superficie trazionata del foro, in genere il suo diametro, ma per fori asolati orizzontali si deve considerare la lunghezza dell’asola; d0,v è la larghezza della superficie del foro soggetta a taglio, in genere il diametro del foro, ma per fori asolati verticali si deve considerare la lunghezza dell’asola; n è il numero dei fori per dispositivi di

collegamenti possono essere progettati distribuendo le forze ed i momenti interni nel modo che risulta il più razionale purchè: • le forze ed i momenti interni assunti siano in equilibrio con le forze ed i momenti applicati; • ciascun elemento del collegamento sia in grado di resistere alle forze ed alle sollecitazioni considerate nell’analisi; • le deformazioni derivanti da questa distribuzione non superino la capacità di deformazione dei dispositivi di giunzione o saldature delle parti collegate; • le deformazioni assunte in qualsiasi modello di progetto basato sulle linee si snervamento siano basate su rotazioni rigide (e deformazioni nel piano) che siano fisicamente possibili.

Inoltre, la distribuzione assunta delle forze interne deve essere realistica per quanto riguarda le rigidezze relative nel giunto. Le forze interne cercheranno di seguire il percorso di maggior rigidità. Tale percorso deve essere identificato con chiarezza e coerentemente seguito lungo tutto il progetto del collegamento.

Rev. B.1

55



Figura 6.18: Connessioni EC3

Rev. B.1

56



Figura 6.19: Distribuzione delle forze fra i dispositivi di giunzione

giunzione nella superficie soggetta a taglio; è lo spessore dell’anima o della squadretta; è un coefficiente con i seguenti valori: per una fila di bulloni: k = 0, 5; per due file di bulloni: k = 2, 5;

t k

6.13

Membrature soggette a trazione assiale

Per membrature soggette a trazione assiale il valore di progetto della forza NSd in corrispondenza di ciascuna sezione trasversale deve soddisfare la relazione

dei fori per i dispositivi di giunzione Nu,Rd cioè: Nu,Rd ≥ Npl,Rd ciò sarà soddisfatto se: 0, 9[Anet /A] ≥ [fy /fu ][γM2 /γM0 ] Cioè se il rapporto Anet /A sarà maggiore delle seguenti percentuali: 82% 81% 87%

Fe360 Fe430 Fe510

NSd ≤ Nt,Rd dove Nt,Rd è la resistenza di progetto a trazione della sezione trasversale, pari al valore minore fra: 1. la resistenza plastica della sezione lorda: Npl,Rd = A · fy /γM0 2. la resistenza ultima di progetto della sezione netta in corrispondenza dei fori per i dispositivi di giunzione: Nu,Rd = 0, 9 · Anet · fu /γM0 Per le giunzioni di categoria C progettate per resistere allo scorrimento allo stato limite ultimo, la resistenza plastica di progetto della sezione netta in corrispondenza dei fori per i dispositivi di giunzione Nnet,Rd non deve essere assunta maggiore di Nnet,Rd = Anet · fy /γM0 Qualora sia richiesto un comportamento duttile, la resistenza plastica di progetto Npl deve risultare inferiore alla resistenza ultima di progetto della sezione netta in corrispondenza

Rev. B.1

57


7


Unioni saldate

La saldatura è un processo di giunzione che consente di unire elementi metallici in modo permanente realizzando la continuità del materiale mediante fusione. Confrontando le unioni saldate con le unioni bullonate si nota che i collegamenti saldati risultano più rigidi e semplici ma necessitano un maggiore controllo al fine di evitare possibili riduzioni di resistenza o rotture fragili associate al procedimento di saldatura stesso. Per tale motivo, nella realizzazione di una struttura metallica si preferisce eseguire la maggior parte delle unioni saldate in officina dove vi è maggiore controllo e la possibilità di utilizzare attrezzature automatizzate e sofisticate.

7.1

Generalità delle unioni saldate

7.1.1

questo si fonde per formare il cordone di saldatura (filo continuo); la protezione del bagno di fusione è affidata ad una polvere granulare (flusso) che ha la stessa funzione degli elettrodi rivestiti. Questo flusso viene distribuito sul giunto ed al suo interno scocca l’arco che di conseguenza risulta sommerso ed invisibile; • saldatura con protezione di gas ed elettrodo fusibile (MIG e MAG): sono anch’esse saldature a filo continuo dove la protezione del bagno è affidata ad un gas inerte (saldature MIG) o ad un gas chimicamente attivo (MAG). Tali procedimenti hanno un costo elevato e vengono impiegati per saldare acciai particolari (acciai al nichel-cromo, acciai inossidabili ecc.) La presenza del gas previene la formazione di ossidi e nitruri. 7.1.2

Procedimenti di saldatura

Nelle unioni saldate il materiale base è quello dei pezzi da collegare mentre il materiale di apporto è il materiale che viene introdotto allo stato fuso tra gli elementi. I procedimenti di saldatura si distinguono in procedimenti autogeni e procedimenti eterogeni: nei primi si ha fusione sia del materiale base sia del materiale di apporto eventualmente introdotto tra gli elementi da collegare. I procedimenti eterogeni prevedono invece solo la fusione del materiale di apporto ad una temperatura inferiore. Generalmente si impiegano procedimenti autogeni distinti a seconda dei metodi impiegati per ottenere la sorgente termica e per proteggere il bagno di fusione, questi sono: • saldatura ad arco con elettrodi rivestiti: Rappresenta la tecnica più usata e semplice da eseguire. Infatti bastano un semplice generatore di corrente dal quale si dipartono due cavi, uno da collegare al pezzo da saldare e l’altro munito di una speciale pinza portaelettrodo. L’elettrodo viene posto a brevissima distanza dai pezzi da saldare in modo da far scoccare l’arco elettrico tra i due elementi. La sorgente di calore che si viene a formare risulta localizzata e produce altissime temperature (3000-5000 °C) che fanno fondere rapidamente sia il materiale base che l’elettrodo dando luogo ad un bagno di fusione il cui successivo raffreddamento forma il cordone di saldatura che unisce i pezzi saldati. L’elettrodo è formato da un metallo analogo a quello da saldare ed è rivestito da un materiale le cui funzioni sono quelle di formare una atmosfera gassosa che protegge l’arco elettrico e dare luogo a una scoria più leggera del metallo che galleggia nel bagno di fusione che solidificandosi protegge il bagno fuso e limita la velocità di raffreddamento del bagno stesso prevenendo la formazioni di difetti. Gli elettrodi impiegati dovranno essere del tipo omologato dalle norme UNI 5132; • saldatura ad arco sommerso: l’elettrodo è costituito da un filo avvolto a matassa (bobina) che un opportuno dispositivo provvede a far avanzare man mano che Rev. B.1

Qualifica dei procedimenti di saldatura (CNR 10011)

L’impiego di elettrodi omologati secondo UNI 5132 esime da ogni prova di qualifica del procedimento. Per l’impiego di altri procedimenti di saldatura (arco sommerso o sotto protezione di gas) occorre eseguire prove preliminari di qualifica atte ad accertare: • l’attitudine ad eseguire i principale tipi di giunto della struttura ottenendo giunti senza difetti (da accertare con radiografie e prove di rottura del giunto); • la resistenza a trazione su giunti testa a testa mediante provette trasversali al giunto, resistenza che deve essere maggiore di quella del materiale base; • capacità di deformazione del giunto mediante prove di piegatura a 180° su mandrino con φ = 3t per S235-275 (Fe 360,430) e φ = 4t per S375 (Fe 510); • prove di resilienza su provette intagliate a V secondo UNI 4713 ricavate trasversalmente al giunto saldato. E’ richiesta una resilienza maggiore a 27 J a 20 °C se la struttura deve essere impiegata a temperatura maggiore di 0 °C, a 0 °C se deve lavorare a temperature minori. 7.1.3

Classificazioni delle saldature

Le unioni saldate si possono classificare in vari modi che tengono in conto di alcune caratteristiche della saldatura stessa: - in funzione della posizione dei cordoni di saldatura (fig. 7.1): • saldature in piano; • saldature frontali; • saldature verticali; • saldatura sovratesta (quando si esegue dal basso verso l’alto). - in relazione alla posizione dei pezzi da saldare(fig. 7.2): • a) giunti testa a testa; • b) giunti d’orlo; 58



• c) giunti d’angolo; • d) giunti a T; • e) giunti a L; • f) giunti per sovrapposizione. - in funzione della lavorazione delle parti a contatto, limitatamente ai giunti testa a testa: • giunti a V; • giunti a U; • giunti a X; • giunti a Y.

Figura 7.2: Classificazione in funzione della posizione dei pezzi

- in funzione della sezione trasversale di un cordone d’angolo(fig. 7.3): può essere piana, concava o convessa. - in funzione della direzione dello sforzo le saldature possono essere(fig. 7.4): • a) laterali; • b) frontali; • c) oblique. Ai fini delle verifiche di resistenza le norme (CNR10011, D.M. 2008) fanno riferimento a due categorie di unioni saldate (fig. 7.7): 1. giunti a completa penetrazione (testa a testa, a croce, a T);

Figura 7.3: Classificazione in funzione della sezione trasversale di un cordone d’angolo

2. giunti a cordone d’angolo e a parziale penetrazione (fig. 7.5,7.6).

Figura 7.4: Classificazione in funzione della direzione dello sforzo le saldature possono essere

Figura 7.1: Classificazione in funzione della posizione dei cordoni Rev. B.1

Figura 7.5: Saldature di testa a parziale penetrazione (EC3) 59



disassamento). Le cricche (fig. 7.9) sono microlesioni che interrompono la continuità della saldatura. Si distinguono le cricche a caldo che si generano nella zona fusa a causa di un elevato tenore di impurezze presente e le cricche a freddo che si manifestano ai margini del cordone di saldatura e sono provocate dall’eccessiva durezza che si produce nel materiale base in seguito al rapido raffreddamento del bagno di fusione (tempra).

Figura 7.6: Saldature di testa a T (EC3) Limitatamente ai giunti a completa penetrazione, le norme (CNR10011) distinguono due classi di saldatura: • CLASSE I: comprende i giunti effettuati con elettrodi di classe 3 o 4 secondo UNI 5132 o altri procedimenti qualificati di saldatura. Devono soddisfare l’esame ai raggi x con i risultati richiesti per il raggruppamento B, UNI 7278. L’aspetto della saldatura deve essere regolare e non ci devono essere discontinuità con il materiale base (realizzati in officina); • CLASSE II: possono essere effettuati con elettrodi di clesse 2,3,4 secondo UNI 5132, devono soddisfare ai requisiti del raggruppamento F, UNI 7278. L’aspetto della saldatura deve essere quello della classe I (realizzati in cantiere, sono ammesse piccole diffetosità). Gli elementi tipici di giunti a completa penetrazione sono (fig. 7.8): • l’angolo di smusso α;

Figura 7.8: Elementi dei giunti a completa penetrazione

• la sua profondità d; • la spalla rettilinea s; • la distanza fra i lembi g. La distinzione tra queste due classi è associata alla bontà di esecuzione dell’unione saldata e si traduce in una differente capacità portante dell’unione: maggiore per le unioni di prima classe rispetto a quelle della seconda. I giunti con cordoni d’angolo, effettuati con elettrodi di qualità 2,3 o 4 devono essere considerati come appartenenti ad un unica classe caratterizzata da una ragionevole assenza di difetti interni e di assenza di incrinature interne o di cricche a strappo sui lembi dei cordoni. 7.1.4

Difettosità delle saldature

Come conseguenza dei fenomeni metallurgici (solidificazione del materiale fuso e trattamento termico del materiale di base che circonda la saldatura) si possono avere difetti dell’unione saldata: difetti metallurgici (cricche, strappi lamellari, inclusioni) e geometrici (mancanza di penetrazione, Rev. B.1

Figura 7.9: Cricche nei cordoni di saldatura Gli strappi lamellari (fig. 7.10) corrispondono a cricche dovute ad una sollecitazione di trazione ortogonale al piano di laminazione del materiale base (sono generate dalle tensioni di ritiro successive al raffreddamento e dal notevole 60



Figura 7.7: Tipologie comuni di giunti saldati (EC3)

Rev. B.1

61


spessore del materiale base). La mancanza di penetrazione (fig. 7.11)si manifesta quando esistono zone in cui il materiale fuso non è penetrato e la saldatura dell’unione non risulta pertanto continua. Il disassamento (fig. 7.11) dei lembi è dovuto invece ad un montaggio imperfetto delle componenti da unire che può provocare una variazione della geometria del profilo assemblato.


• nelle saldature di testa gli elementi di spessore diverso sollecitati normalmente al giunto, l’elemento di spessore maggiore deve essere rastremato come in fig. 7.12. I valori maggiori di L sono da adottarsi in presenza di sollecitazioni a fatica; • Per gli attacchi di estremità di aste sollecitate da sforzo normale, realizzati soltanto con cordoni d’angolo paralleli allo sforzo di sollecitazione, la lunghezza minima degli stessi cordoni deve essere maggiore di 15 volte lo spessore t; • l’impiego di saldature entro fori o intagli deve essere considerato eccezionale; qualora non si possa evitarlo il loro contorno non deve presentare punti angolosi ne raggi di curvatura minori di metà della dimensione minima dell’intaglio;

Figura 7.10: Tipici strappi lamellari

• devono essere previsti di classe I i giunti a testa di maggior importanza appartenenti a membrature tese esposte a temperature minori di 0 °C; • devono essere evitate per quanto possibili le discontinuità locali; tale regola deve essere sempre osservata in presenza di sollecitazioni a fatica o di basse temperature; • la saldatura a tratti è ammessa solo per cordoni d’angolo e deve essere evitata nelle membrature sollecitate a fatica (fig. 7.14);

Figura 7.11: Difetti nelle saldature Tutti questi difetti possono arrecare notevoli danni alla resistenza dei giunti. I mezzi più diffusi per il loro riconoscimento sono: l’esame radiografico che utilizza i raggi x o gamma, l’esame agli ultrasuoni, l’esame magnetoscopico e l’esame con liquidi penetranti. 7.1.5

Particolari imposizioni normative (CNR 10011)

• i cordoni d’angolo che uniscono due laminati di spessore t1 e t2 devono avere il lato b (fig. 7.13) soddisfacente le condizioni di calcolo e la limitazione seguente: t2 ≤ b ≤ t2 (7.1) 2 Per spessori t1 ≥ 20 mm invece conviene di regola che sia b ≥ b1 purchè non in contrasto con la precedente limitazione; i valori di b1 sono riportati in tabella 7.1; • nei giunti a croce o a T a completa penetrazione deve essere previsto un graduale allargamento della saldatura (fig. 7.13), la cui larghezza deve essere almeno pari al 1,3 volte t in corrispondenza della lamiera in cui viene ad innescarsi.

Il progetto deve essere redatto col criterio di limitare il più possibile le saldature in opera. La posizione dei giunti deve essere tale da agevolare l’esecuzione, da evitare la concentrazione di saldature in zone ristrette e da permettere che i giunti di testa siano suscettibili di controlli non distruttivi (in corso d’opera o a opera finita). In particolare:

Figura 7.12: Rev. B.1

Figura 7.13: 62



Figura 7.15:

Nei giunti a cordone d’angolo la sezione resistente chiamata sezione di gola viene identificata dalla lunghezza L del cordone di saldatura moltiplicata per l’altezza di gola a ovvero l’altezza del triangolo inscritto nella sezione trasversale del cordone di saldatura (fig. 7.16, 7.17).

Figura 7.14: Saldature a cordoni d’angolo discontinue (EC3)

Tabella 7.1: Altezza limite b1 del cordone

7.2

t1 mm

b1 mm

20 30 50 70 100

6 8 11 13 14

Le sollecitazioni nelle unioni saldate

Nei giunti a testa a completa penetrazione, in assenza di difetti interni, lo stato di tensione può essere assimilato a quello di un pezzo continuo. La sezione resistente della saldatura ha come lunghezza l’intera lunghezza L della saldatura e come altezza t il minore dei due spessori collegati nel caso di giunti testa a testa oppure lo spessore dell’elemento completamente penetrato nel caso di giunti a T o a croce (fig. 7.15). Rev. B.1

Figura 7.16: Altezza di gola di una saldatura a cordoni d’angolo 63



7.2.1

La trazione

Nel caso di unione saldata interessata da una forza di trazione F i cordoni possono essere paralleli alla forza (cordoni laterali), perpendicolari (cordoni frontali) o inclinati (cordoni inclinati). Cordoni laterali Con riferimento alla figura 7.19 le tensioni possono essere determinate direttamente sulla sezione di gola di ogni cordone nella sua posizione effettiva oppure ribaltato sul piano verticale o su quello orizzontale. In ogni caso si hanno contributi tensionali τ// il cui valore è dato dall’espressione:

τ// = Figura 7.17: Altezza di gola di una saldatura a cordoni d’angolo a forte penetrazione

F 4·L·a

(7.2)

Si assume l’ipotesi semplificativa di considerare le tensioni uniformemente distribuite nella sezione di gola e si individuano convenzionalmente con la seguente simbologia (fig. 7.18): Figura 7.19: Unione con cordoni laterali Cordoni frontali Con riferimento alla figura 7.20 non risulta agevole effettuare la stima delle tensioni direttamente sulla sezione di gola di ogni cordone. Ipotizzandola ad esempio inclinata di 45° sull’orizzontale (piano x-z) si ha:

√

σ⊥

F 2 = · 2·L·a 2

√

τ⊥

F 2 = · 2·L·a 2

(7.3)

Figura 7.18: Stato tensionale nella sezione di gola

σ⊥ rappresenta la tensione che agisce in direzione normale alla sezione di gola; τ⊥ rappresenta la tensione che agisce nella sezione di gola in direzione perpendicolare all’asse del cordone; τ// rappresenta la tensione che agisce nella sezione di gola in direzione parallela all’asse del cordone; σ// rappresenta la tensione che agisce in direzione parallela all’asse del cordone sulla sua sezione trasversale. La sezione di gola può essere ribaltata, a seconda della convenienza, sul piano verticale o su quello orizzontale, ovvero secondo qualsiasi altra giacitura, al fine di semplificare la quantificazione delle sollecitazioni per la fase di progetto e di verifica. Rev. B.1

Figura 7.20: Unione con cordoni frontali Se però ribaltiamo la sezione di gola sul piano verticale (y-z) o su quello orizzontale (x-z) si può semplificare la stima delle tensioni. Nel piano verticale si hanno tensioni normali alla sezione di gola date da:

σ⊥ =

F 2·L·a

(7.4)

Nel piano orizzontale si ha invece:

τ⊥ =

F 2·L·a

(7.5)

64



Cordoni inclinati

Cordoni frontali longitudinali

Nel caso di due cordoni inclinati nella sezione di gola agisce una forza scomponibile in un contributo tangente (V=F cos ϑ) ed uno normale (N= sinϑ) all’asse del cordone. Facendo riferimento alla figura 7.21 se la sezione di gola viene ribaltata sul piano orizzontale le tensioni associate sono interamente contenute in questo. Le componenti sono:

Figura 7.22: Unione inflessa con cordoni frontali longitudinali La sezione resistente (fig. 7.22) giace nel piano verticale (yz) ed è costituita da due sezioni rettangolari, corrispondenti alla sezione di gola di ogni cordone di altezza a e lunghezza h:

Figura 7.21: Unione con cordoni inclinati

σ⊥,max = τ⊥ =

F · sinϑ 2·L·a

τ// =

F · cosϑ 2·L·a

F · Lb F · Lb = W 2 · a · h2 /6

τ// =

F 2·h·a

(7.8)

(7.6) Cordoni frontali trasversali

Ribaltando la sezione di gola nel piano verticale si hanno invece i seguenti contributi tensionali:

σ⊥ =

F · sinϑ 2·L·a

τ// =

F · cosϑ 2·L·a

(7.7)

Combinazione di cordoni Nel caso siano presenti più tipologie di cordoni è bene affidare l’intero carico ad un solo tipo di cordone. E’ buona norma che le altezze di gola dei cordoni di saldatura siano uguali, in modo da poter sfruttare la loro mutua collaborazione.

7.3

La flessione e il taglio

Questo tipo di sollecitazione è estremamente frequente nelle unioni saldate per costruzioni ad uso civile e industriale. Rev. B.1

Figura 7.23: Unione inflessa con cordoni frontali trasversali La sezione resistente (fig. 7.23) giace nel piano verticale (y-z) ed è costituita da due sezioni rettangolari orizzontali, corrispondenti alla sezione di gola di ogni cordone di altezza a e lunghezza b:

σ⊥,max =

F · Lb F · Lb = W (b · a) · h

τ⊥ =

F 2·b·a

(7.9)

65



Combinazione di cordoni

L’azione torcente viene bilanciata da una coppia di forze dei cordoni di intensità H (fig. 7.25): H=

F ·e h

(7.10)

All’azione H è associata nei cordoni una tensione tangenziale riferita alla sezione di gola τ// pari a: F ·e h·a·L

(7.11)

σ⊥ =

F 2·a·L

(7.12)

τ⊥ =

F 2·a·L

(7.13)

τ// = Nel piano orizzontale: Figura 7.24: Combinazione di cordoni frontali longitudinali e trasversali Nel piano verticale: Nel caso di collegamenti saldati per profilati con sezioni a I o ad H si possono utilizzare cordoni trasversali combinati con cordoni longitudinali (fig. 7.24). Se le dimensioni dei cordoni sono appropriate allo spessore delle ali e dell’anima del profilo da collegare le tensioni nella saldatura possono essere valutate considerando le caratteristiche inerziali di una sezione resistente composta dai cordoni d’anima (assorbono il taglio) e dai cordoni perimetrali della ali (assorbono la flessione). Ribaltando le sezioni di gola nel piano verticale y-z si ha:

σ⊥,max =

7.3.1

Cordoni frontali L’azione torcente viene bilanciata da una coppia di forze dei cordoni di intensità V (fig. 7.26):

F · Lb F · Lb = W (L1 · a1 · h1 ) + 2 · (L2 · a2 · h2 ) F τ// = 2 · a3 · L3

La torsione e il taglio

Per effetto di azioni eccentriche su unioni saldate in cui i cordoni resistenti e la retta di applicazione del carico appartengono ad un unico piano si può originare uno stato di sollecitazione caratterizzato da contemporanea presenza di torsione e taglio. Figura 7.26: Unione a torsione e taglio con cordoni laterali Cordoni laterali V =

F ·e z

(7.14)

All’azione V è associata una tensione tangenziale nei cordoni:

τ//,1 =

F ·e 2 · (a · L)

(7.15)

F ·e 2 · (a · L)

(7.16)

Al carico F è associata:

τ//,2 =

La tensione massima totale risulta quindi: Figura 7.25: Unione a torsione e taglio con cordoni laterali Rev. B.1

τ// = τ//,1 + τ//,2

(7.17) 66


7.4


Resistenza e verifica delle unioni saldate

L’approccio seguito nei criteri di verifica consiste nel ricondurre lo stato tensionale pluriassiale ad uno stato equivalente ideale monoassiale e confrontarlo con la resistenza del materiale opportunamente ridotta per tener conto della presenza di eventuali difetti.

7.4.1

Unioni a completa penetrazione

Nel caso di unioni a completa penetrazione (fig. 7.27) le verifiche andranno effettuate solo per i giunti di classe II (0.85fd ) in quanto per i giunti di classe I la resistenza di progetto della saldatura è uguale a quella del materiale base (CNR 10011). Se nel giunto agiscono contemporaneamente tensioni normali e tangenziali si adotta il criterio di Hencky - von Mises:

Figura 7.30: Diversi domini di resistenza Al fine di esemplificare le verifiche sul cordone, le varie norme tendono a consentire di non effettuare le verifiche sul piano di gola, ma più semplicemente sul piano di attacco al cordone per una sezione di ampiezza a pari all’altezza di gola. Inoltre, al fine di poter effettuare indifferentemente le verifiche sui diversi piani, si cerca di adottare un dominio sferico.

Prima di elencare le verifiche diamo alcune prescrizioni (EC3): Lunghezza efficace:

Figura 7.27: Tensioni nei cordoni di saldatura

Sarà pari alla lunghezza del cordone a piena sezione. Le saldature con L efficace inferiore ai 40 mm o a 6 volte la sezione di gola devono essere trascurate.

σid =

q 2 2 2 σ⊥ + σ// − σ⊥ · σ// + 3τ// ≤ 0, 85fd

(7.18)

Dove fd = resistenza di progetto del materiale base.

7.4.2

Giunti con cordoni d’angolo

I metodi proposti a livello normativo per la verifica dei cordoni d’angolo sono di origine sperimentale. Si è visto che le σ// non influenzano il comportamento del cordone e quindi possono essere trascurate. Le prime esperienze (anni ’50) su cordoni soggetti a sforzi interni comunque diretti nel piano normale all’asse del cordone (σ⊥ , τ⊥ , τ/ ) furono condotte da Van den Eb con la finalità di definire il dominio spaziale delle resistenze. Il dominio spaziale corrispondente a suddette prove fu chiamato ’peroide’(fig. 7.28). Il peroide può essere approssimato mediante un elissoide con semiasse nella direzione τ⊥ C1 ∼ = 0.58σ⊥ mentre nella direzione delle τ// è C2 ≥ 0.7σ⊥ . Negli anni successivi furono proposte da vari autori e successivamente recepite dalle normative internazionali diverse equazioni di domini di resistenza (elissoidi, sfere etc.) che si adattavano al ’peroide’ sperimentale (fig. 7.30). Rev. B.1

Sezione di gola (fig. 7.16, 7.17): Sarà pari all’altezza del triangolo più grande che può essere iscritto fra le facce di fusione e la saldatura, essa non deve essere inferiore a 3 mm. Secondo il D.M. 14.01.2008, la verifica può essere condotta sia nella sezione di gola ribaltata, secondo il criterio della ’sfera mozza CNR 10011’, sia considerando la sezione di gola nella sua effettiva posizione. Verifica della sezione di gola nella sua effettiva posizione - Con riferimento alle fig. 7.27 e 7.18 dovrà essere controllata la disuguaglianza (metodo basato sul controllo dello stato tensionale, criterio di Huber-Von Mises):

q

2 2 2 σ⊥ + 3 · (τ⊥ + τ// )≤

ftk βγM2

(7.19)

Dove: ftk rappresenta la resistenza a rottura dell’elemento più debole;

β è uguale a: 67



Figura 7.28: Peroide sperimentale

Figura 7.29: Dominio a sfera mozza

Rev. B.1

68



e al cubo:

• 0,80 per acciaio S235 (Fe 360); • 0,85 per acciaio S275 (Fe 430);

|t⊥d | + |tnd | ≤ β2 fyk

• 0,90 per acciaio S355 (Fe 510);

(7.25)

Dove β1 , β2 hanno i valori riportati in tabella 7.2.

γM2 coefficiente di sicurezza (Tabella 4.2.V NTC 2008). Tale metodo è contenuto anche nell’allegato M dell’EC3 dove però contemporaneamente a 7.19 deve essere verificato che risulti anche:

σ⊥ ≤

fu

Tabella 7.2: Valori dei coefficienti β1 , β2 S235 S275-S355 S420-460

β1 β2

0.85 1.00

0.70 0.85

0.62 0.75

(7.20)

γMw

Dove: fu rappresenta la resistenza a rottura dell’elemento più debole;

γMw coefficiente di sicurezza per la resistenza dei giunti saldati; -In alternativa sempre per le NTC 2008 (metodo usato anche nell’EC3) si può usare un metodo che semplifica il dominio assumendolo pari ad una sfera di raggio √ fvw = ftk /β · γM2 · 3 pari al semiasse minore dell’elissoide, con β coefficiente di correlazione che tiene conto dell’efficienza del cordone rispetto al materiale base avente valori come visto in 7.19. Si dovrà avere: Fw,Ed ≤ Fw,Rd

(7.21)

dove Fw,Ed è la forza di calcolo che sollecita il cordone d’angolo per unità di lunghezza e Fw,Rd è la resistenza di calcolo del cordone d’angolo per unità di lunghezza pari a: Fw,Rd = fvw · a = √

a · ftk 3 · β · γM2

(7.22)

con fvw resistenza a taglio di progetto. Ciò equivale a dire che deve essere verificata la seguente disuguaglianza:

q 2 2 2 σ⊥ d + (τ⊥d + τ//d ) ≤ fvw

(7.23)

(nell’ EC3 tale verifica viene utilizzata anche per le sezione di gola in posizione ribaltata ovviamente proiettando le q tensioni sul piano di attacco del cordone

2 2 2 + t⊥ tnd d + τ//d ≤

fvw , le τ//d restano le stesse) Verifica della sezione di gola in posizione ribaltata In questo caso le NTC 2008 adottano un dominio a sfera mozza (fig. 7.29) ottenuta dall’intersezione di una sfera di raggio 0.7 fuw con un cubo di lato 2 · 0.58fuw dove fuw = 1.2 · fu per Fe 360 e fuw = fu per Fe 430 e 510 (CNR 10011) rappresenta la resistenza a trazione della sezione di gola. Dovranno quindi essere verificate contemporaneamente la condizione di appartenenza alla sfera:

q 2 2 2 tnd + (t⊥ d + τ//d ) ≤ β1 fyk Rev. B.1

(7.24) 69


8


Giunzioni

La giunzione fra membrature può essere realizzata interamente saldata o completamente bullonata o in parte saldata e in parte bullonata. Si definisce quindi come collegamento un insieme di più unioni bullonate e/o saldate. È estremamente difficile sistematizzare in modo organico una materia siffatta soprattutto perché essa è in continua evoluzione. Infatti la concezione di un giunto dipende sia dal tipo di attrezzature e di lavorazione che la carpenteria metallica è in grado di prestare, sia dalla destinazione dell’opera e delle modalità di trasporto e di montaggio. È sufficiente che l’introduzione di una nuova macchina permetta nuovi tipi di lavorazione o che divenga determinante il volume rispetto al peso trasportato via mare, per rendere ottimale un tipo di giunzione rispetto ad un altro. Gli sforzi attuali di molti progettisti e sperimentatori sono quelli di concepire collegamenti sempre più semplici, al fine di eliminare quei dettagli costruttivi che incidono sul costo della giunzione, ma non risultano determinanti ai fini della resistenza della giunzione stessa. È questo uno degli studi più difficili, in quanto, per definizione, il giunto costituisce un particolare costruttivo in cui vi è una concentrazione di sforzi e pertanto il suo comportamento non può comunque essere colto nell’ambito delle ipotesi che stanno alla base dei casi classici di St. Venant. La modellazione di una giunzione può essere fatta solo sulla base del calcolo a rottura, andando ad individuare delle soluzioni equilibrate e conformi ai criteri di resistenza.

8.1

Classificazione dei giunti

Figura 8.1: Nella progettazione di una trave continua esistono svariati modi per realizzare il giunto dell’appoggio centrale. Esso può essere realizzato in modo da assicurare diversi valori di Mu trasmissibile, garantendo in ogni caso l’equilibrio. 1. Se, ad esempio, si realizza un collegamento a completo ripristino della sola resistenza a taglio, si deve avere che la trave AB e BC deve poter assorbire in campo elastico un momento M = 81 ql 2 e la giunzione deve poter consentire una rotazione θB = ql 3 /24EJ in semplice appoggio. 2. Se il giunto, viceversa, è a completo ripristino della sezione MB = 18 ql 2 allora non è richiesta nessuna capacità di rotazione del giunto. 3. Se il giunto è a parziale ripristino della resistenza flessionale (MB = αql 2 con 0 ≤ α ≤ 18 ), bisogna Rev. B.1

assicurare che la trave possa sopportare il carico q ed il momento MB oltre poter consentire la rotazione θB = (q − q1 )l 3 /24EJ con q1 = 8MB /l 2 Si possono allora trarre le seguenti conclusioni: • I giunti a completo ripristino della sezione possono essere localizzati in qualsiasi sezione della struttura. • I giunti a completo ripristino della sola resistenza flessionale possono essere collocati in ogni sezione in cui V ≤ Vlim /3 (in questo caso è trascurabile la deformazione aggiuntiva da taglio del collegamento), deve comunque essere verificato che il taglio V sia trasmissibile dal collegamento. • i giunti a parziale ripristino della resistenza flessionale devono essere in grado di consentire le rotazioni conseguenti la distribuzione dei momenti flettenti assunti. C’è poi da fare un’importante distinzione per quanto riguarda la possibilità di consentire o meno spostamenti relativi tra i pezzi da collegare: • le articolazioni consentono, nelle usuali condizioni di esercizio, spostamenti relativi fra i pezzi collegati senza però provocare plasticizzazioni localizzate negli elementi costituenti il collegamento. Queste, che realizzano un cinematismo attivo e funzionante nelle normali condizioni di esercizio, possono essere distinte in articolazioni a perno, articolazioni per contatto o articolazioni in materiale sintetico. Le articolazioni, diffuse e comuni nel mondo delle costruzioni in acciaio fino ai primi decenni del secolo scorso, sono ancora frequentemente utilizzate soltanto per applicazioni particolari quali principalmente appoggi per ponti e viadotti. • i giunti, che non consentono invece spostamenti relativi a meno che non si generino plasticizzazioni locali nei dettagli componenti l’unione. In questi particolari costruttivi si hanno concentrazioni di sforzi e pertanto la modellazione basata sui casi classici della Teoria di De Saint Venant non può essere utilizzata. 8.1.1

Giunti intermedi

La struttura in acciaio nasce dall’assemblaggio di elementi monodimensionali, lavorati in officina ed assemblati in sito. Generalmente è possibile trasportare, in condizioni normali, elementi di lunghezza non superiore a 12-13 m, e pertanto, nel caso di profilati singoli (tipicamente i profilati ad I ed a H, correntemente utilizzati per realizzare travi e colonne), lunghezze maggiori possono essere movimentate soltanto ricorrendo a trasporti eccezionali. Giunti trave-trave I giunti intermedi tra travi possono costituire, come anche per tutte le altre tipologie di giunto, soluzioni a parziale ripristino come a completo ripristino delle sollecitazioni. Nel primo caso conviene posizionare il giunto in zone opportune (ad esempio, se il giunto non garantisce un significativo grado 70



di continuità flessionale, in prossimità delle zone a momento nullo). In dettaglio è possibile individuare: • giunto con piastre in acciaio (flange) saldate all’estremità di ogni trave e bullonate in opera; • giunto con piastre coprigiunto saldate (interamente in opera oppure all’estremità di una trave in stabilimento ed a quella dell’altra in opera); • giunto con saldature testa a testa nelle ali e nell’anima delle estremità delle travi collegate. Usualmente, per questa soluzione, è conveniente che le estremità delle travi siano opportunamente lavorate in officina.

Figura 8.3: Giunti tra colonne

8.1.2 Figura 8.2: Giunti tra travi

Giunti di estremità

Esistono differenti tipologie di giunti di estremità, classificabili in base agli elementi che vengono collegati. Ci si ririferirà ai seguenti tipi:

Giunti colonna-colonna I giunti intermedi tra le colonne sono prevalentemente compressi o presso-inflessi e di conseguenza anche la problematica dell’instabilità deve essere tenuta debitamente in conto. a) giunto con doppie piastre coprigiunto d’ala e d’anima bullonate in opera;

• giunto tra travi, ossia tra elementi orizzontali inflessi ed ortogonali tra loro;

• giunto tra trave e colonna;

b) giunto con doppie piastre coprigiunto d’ala bullonate in opera; c) giunto con piastre coprigiunto d’ala singole e piastre coprigiunto d’anima doppie bullonate in opera; d) giunto per contatto con piastre coprigiunto interne saldate alle ali dei profili;

• attacco per controventi;

• giunto di base delle colonne.

e) giunto per contatto con piastre coprigiunto d’ala interne al profilo e bullonate; f) giunto per contatto con flangia saldata in stabilimento all’estremità della colonna inferiore ed in opera alla colonna superiore; g) giunto per solo contatto tra flange saldate in stabilimento all’estremità di ogni colonna. Rev. B.1

Giunti tra travi Innumerevoli sono le soluzioni di collegamento tra trave principale e trave secondaria ed in figura 8.4 ne vengono proposte alcune a titolo di esempio: 71



Figura 8.5: Giunti tra travi e colonne Figura 8.4: Giunti tra travi

Giunti tra trave e colonna I giunti trave-colonna possono essere realizzati collegando la trave all’ala della colonna oppure vincolandola alla sua anima. In figura 8.5 sono presentati alcuni tipici collegamenti all’ala della colonna. In dettaglio, le soluzioni considerate, possono essere comunque utilizzate anche per vincolare la trave all’anima alla colonna.

Giunti per elementi di controventi Le giunzioni tra le membrature principali e le diagonali che realizzano i controventi trasferiscono forze tra elementi differentemente orientati. Usualmente il dimensionamento dei controventi viene eseguito considerando gli elementi diagonali soggetti soltanto ad azioni assiali, ossia ipotizzando cerniere all’estremità. (figura 8.6) Rev. B.1

Figura 8.6: Giunti per controventi

72



Giunti di base

dimensionali sensibilmente diverse (per l’acciaio nell’ordine dei millimetri e per il calcestruzzo dei centimetri).

Una componente sempre presente nel giunto di base delle colonne è la piastra saldata, generalmente con cordoni d’angolo, all’estremità inferiore della colonna, che usualmente poggia su uno strato di malta di livellamento, all’estradosso della fondazione in conglomerato cementizio (eventualmente armato). In quest’ultima vengono annegati i tirafondi (generalmente barre in acciaio filettate alle estremità) unitamente ad eventuali perni di centraggio che agevolano la fase di assemblaggio del giunto stesso. La piastra deve avere le superfici spianate e forate per consentire il passaggio dei tirafondi.

Figura 8.8: Giunti tra elementi in acciaio ed elementi in calcestruzzo

8.2

Modellazione dei giunti

Preliminarmente alla trattazione di alcuni concetti relativi alla modellazione dei giunti viene introdotta la specifica terminologia. In dettaglio, intendendo il nodo come il punto di intersezione tra gli assi di due o più elementi, appare evidente che che la teoria di base per la progettazione degli elementi mono-dimensionali non risulta più direttamente applicabile in queste zone in quanto vengono trasferite forze di elevata entità in zone di dimensioni limitate. Facendo riferimento alla figura, relativa ad un nodo tra due travi ed una colonna interna ad un sistema intelaiato piano, si distinguonole seguenti componenti:

Figura 8.7: Giunti di base

il collegamento , ossia il dettaglio o l’insieme degli elementi che rendono possibile l’unione tra due differenti membrature (piastre, angolari, bulloni, saldature, ecc.);

Giunti tra elementi in acciaio ed elementi in calcestruzzo (figura 8.8) Negli edifici in acciaio, i controventi verticali possono essere costituiti, in alternativa a specifici sistemi in acciaio, dai vani scala e/o vani vani ascensore o da pareti a taglio in conglomerato cementizio armato. Sorge quindi l’esigenza di vincolare le componenti in acciaio alle pareti del controvento in calcestruzzo.In figura vengono preposte alcune soluzioni per i collegamenti di elementi di differente materiale, per i quali possono essere garantite inevitabilmente tolleranze Rev. B.1

il giunto , ossia la zona in prossimità del collegamento in cui si manifestano interazioni specifiche tra gli elementi collegati;

la zona nodale , ossia la zona individuata da tutti i giunti che concorrono in un nodo. 73



Per travi secondarie molto basse (fig. 8.9) è possibile che le restrizioni dimensionali consentano di collocare solo una fila di bulloni: Dall’equilibrio alla rotazione rispetto al bullone più esterno si ha: g Vmax = T · c Ne consegue che: Vmin = T − Vmax H=0 Rmax = Vmax 8.2.1

Giunti a cerniera

In questa sezione si illustrerà il funzionamento di alcuni tipi di collegamento tra travi principali e secondarie funzionanti con uno schema statico assimilabile a quello di una cerniera. Nodo cerniera per travi appoggiate

Il nodo tra trave principale e trave secondaria che può essere assimilato ad una cerniera presenta solamente resistenza a taglio. La squadretta consente infatti rotazioni relative tra le due travi senza che insorga alcun momento flettente aggiuntivo all’appoggio. La giunzione può essere provvista, inoltre, di squadrette inferiori, utili all’appoggio e al centraggio della trave secondaria al momento della posa in opera, o di piatti di irrigidimento trasversali alla trave principale, utili a prevenire fenomeni di instabilità locale. L’ancoraggio alla trave secondaria (della squadretta o del piatto) può avvenire tramite bullonatura o saldatura. Nodo cerniera bullonato

Per la squadretta connessa con una fila di n bulloni avremo che il taglio che si scarica su ogni bullone è pari a: T V = n mentre per quanto riguarda la reazione orizzontale massima, essa risulta ricavabile tramite Hmax = f1 dove f1 =

Ta h0

6n−1 . n n+1

In questo caso Rmax =

q

2 Hmax + V2

Nel caso siano presenti più file di bulloni, ad esempio due, disposte parallele o sfasate, si ritrovano i seguenti valori di sollecitazione: Per le file parallele indicate in figura 8.10 il massimo sforzo verticale agente sarà pari a Figura 8.9: Fila singola V = Rev. B.1

T 2n 74



Figura 8.10: Fila doppia con n+n bulloni

Figura 8.11: Unione tra trave principale e trave secondaria

Rev. B.1

75



dove n è il numero di bulloni per fila. Lo sforzo orizzontale massimo viene invece valutato come

Angolari (1)

Hmax = f2p

Ta h0

6 n−1 f1 = . In questo caso la reazione di 2n n + 1 2 taglio massima sul bullone è pari a dove f2p =

Rmax =

q 2 Hmax + V2

Nel caso di bulloni a file sfasate le formule saranno analoghe: per la massima reazione verticale V =

T n1 + n2

mentre per quella orizzontale Hmax = f2v

Ta h0

dove f2v questa volta viene definito come f2v = 6

n2 − 1 n2 (2n2 − 1)

n1 a1 + n2 a2 . La Rmax si ottiene come sopra. n1 + n2 Per altre configurazioni di bulloni si faccia riferimento alla seguente tabella:

ea=

Esempio - Unione trave-trave

σmax =

Nell’esempio indicato in figura 8.11 dovremo determinare le azioni che nascono sulla squadretta e sulla trave sia principale che secondaria, e controllare che esse siano compatibili con la resistenza dei materiali. Con riferimento alla figura avremo che: M = Ta V = T T b V¯ = T2 2 ¯ momento dove M viene detto momento parassita e M di trasporto. Conseguentemente le reazioni sui bulloni saranno: ¯ = M

T V = n Hmax = Rmax =

V¯ =

M f h0

T /2 n

H¯ max =

p 2 V 2 + Hmax

¯ max = R

¯ M f h0

q 2 V¯2 + H¯ max

21

Si esegue la verifica nella sezione 1: Bulloni (1) La verifica consiste nel verificare che Fv ,Ed = Rmax sia minore di Fv ,Rd (già definito precedentemente al §6.5 pag. 46). Supponendo di utilizzare bulloni di classe 8.8: Fv ,Rd = 21 in

0, 6 · fbt · Ares

γM2

La resistenza degli angolari va verificata sia a flessione che a taglio, considerando l’area efficace (al netto dei fori). La presenza contemporanea di flessione e taglio impone un controllo delle tensioni considerando la σid :

≥ Fv ,Ed = Rmax =

q 2 V 2 + Hmax

M Weff

τm =

T Aeff

σid =

p 2 σmax + 3 · τm2

Per quanto riguarda poi le distanze dai bordi vale quanto già riportato al §6.5.3 pag. 48. Anche per il rifollamento, la verifica da condurre è riportata al §6.5.2 pag. 47. Le verifiche da condurre sulla trave secondaria prevedono poi che nel caso le estremità della trave siano mortesate, venga valutato l’indebolimento della sezione (§6.12 pag. 55).

Nodo cerniera saldato Può essere conveniente saldare gli angolari alla trave secondaria in modo da evitare due bullonature in opera (fig. 8.13). In questo caso non si tratterebbe più di angolari ma di un piatto saldato ortogonalmente all’anima della trave secondaria, successivamente bullonato all’anima della trave principale. Solitamente le saldature sono a cordoni d’angolo. In questo caso l’eccentricità del taglio T rispetto al baricentro della lunghezza di gola è molto piccola quindi si può trascurare il momento parassita. La verifica che si conduce in questo tipo di giunzioni riguarda la resistenza a taglio del cordone d’angolo: si deve verificare che la τ// , calcolabile come

τ// =

T 2·L·t

sia minore della σadm , calcolabile con i metodi già illustrati al §7.4.2 pag. 67.

questo caso f = f1

Rev. B.1

76



Figura 8.12: Da “A. Gregor - Der Fraktische Stahlbau” - Band IV - Trägerbau - pag. 284

Figura 8.13: Unione tra trave principale e trave secondaria mediante saldature

Rev. B.1

77



Esempio - Unione trave-trave, con trave secondaria continua

• Verifica a rifollamento della lamiera (§6.5 pag. 47);

Nel caso si voglia realizzare la continuità della trave secondaria, è possibile prevedere, oltre alle giunzioni con squadrette o saldature per collegare le due anime, un coprigiunto, atto a realizzare la continuità di trasmissione dello sforzo e dei piatti inferiori per riprendere eventuali giochi.

• Verifica delle distanze dai bordi (§6.5 pag. 48); • Verifica a trazioni dei piatti (§6.5 pag. 48);

5) Trave secondaria La trave secondaria va verificata sia a rifollamento, che a taglio (nella sezione ridotta indebolita dai fori e nella sezione ridotta) con i criteri esposti al §6.12 pag. 55.

6) Trave principale I bulloni che fissano gli angolari alla trave principale devono essere verificati, come quelli della trave secondaria, per le azioni di taglio e rifollamento.

Esempio - Unione trave-trave, con trave secondaria continua - Collegamenti saldati

Figura 8.14: Unione tra trave principale e trave secondaria continua

Si suppone che il momento M venga trasmesso solo dalle piattabande e che il taglio T venga ripreso solo dagli angolari. Il taglio a destra è diverso da quello a sinistra e i bulloni di destra portano solo il taglio T2 . Per i bulloni sulla trave secondaria bisogna tener conto di un momento parassita dovuto al braccio a. Si verificheranno ora i vari elementi componenti l’unione: 1) Bulloni Angolari Le azioni agenti si determinano come riportato sopra. Le resistenze a taglio dei bulloni sono già state esposte al §6.5 pag. 46. 2) Angolari (sezione α) La verifica degli angolari è la stessa esposta precedentemente. In più è necessario verificare anche la sezione β in quanto, pur non essendoci fori, è sollecitata da un momento T2 · a0

Figura 8.15: Unione tra trave principale e trave secondaria continua

Cordone coprigiunto La sollecitazione nel cordone coprigiunto è di tipo parallelo τ// ed è ricavabile come:

3) Bulloni coprigiunto e 4) Coprigiunto Analogamente ai bulloni degli angolari anche quelli del coprigiunto sono soggetti a prevalenti sforzi di taglio, quindi è necessario eseguire: • Verifica a taglio del bullone (§6.5 pag. 46); Rev. B.1

τ// =

S 2 · a · λa

per le verifiche si rimanda al capitolo sui collegamenti saldati. 78



8.2.2

Cordone d’anima Il cordone verticale deputato al trasferimento degli sforzi di taglio può essere verificato mediante un calcolo rigoroso o approssimato. Il calcolo rigoroso prevede che le azioni di calcolo siano: Tverif = T2

Mverif = Manima,rid =

Giunti flangiati

I giunti flangiati sono molto utilizzati nella pratica strutturale per la loro notevole semplicità di esecuzione e praticità di collegamento. Possono essere utilizzati sia per giunti di estremità, che per giunti intermedi. A seconda della resistenza della piastra o dei bulloni possono essere considerati a completo o parziale ripristino della resistenza a flessione della sezione. Un’immediata considerazione sulla differenza tra queste due categorie riguarda il diverso posizionamento che i giunti hanno all’interno della trave. Poiché i giunti a completo ripristino sono più complessi e necessitano di maggiori lavorazioni rispetto a quelli a parziale ripristino, si preferisce in genere utilizzare quest’ultimi, posizionando il giunto in una sezione intermedia non particolarmente impegnata; i giunti di estremità saranno considerati delle cerniere plastiche capaci di trasmettere un momento inferiore a quello delle membrature collegate. Seguendo tale criterio si possono individuare due tipologie di giunti a parziale ripristino, ambedue capaci di adattarsi plasticamente.

Janima,rid ·M Jx

dove Janima,rid =

1 sa,s · h03 12

con sa,s spessore dell’anima della trave secondaria. Nel calcolo approssimato non si considera il momento di verifica. Si tiene conto però del Manima,rid al fine di pervenire alla definizione dello stato pluriassiale di tensione: Tverif = T2

Wα =

σ⊥ =

Questo tipo di giunzione flangiata è in grado di trasmettere il taglio di calcolo Vd insieme a momenti flettenti di una certa entità. Il criterio di calcolo è il seguente: • Si ripartisce il taglio in parti uguali sui bulloni VEd = Vtot ; nb,tot

Mverif = 0 1 2a · h02 6

Manima,rid Wα

τ// =

• Si calcola l’azione assiale Nf trasmessa all’ala tesa F M Nf = + ; 2 D T2 2a · h0

• Si determina l’azione assiale trasmissibile da ogni bullone tenuto conto della presenza del taglio Ved :

σid =

Rev. B.1

q

2

2

σ⊥ + τ//

NEd NRd

2 2 VEd + =1 VRd

s →

NEd = NRd ·

1−

VEd VRd

2

79



• Si controlla che sia verificata la resistenza flessionale delle sezioni della flangia assumendo un valore arbitrario per la forza di contatto. Deve quindi essere:

Q·e = Nf ·

a = 2

nN −

nN −

Nf 2

Nf 2

e ≤ Mres,2 e ≤ Mres,1

essendo Mres,1 il momento resistente della sezione a contatto con l’ala tesa, Mres,2 il momento resistente della sezione forata della flangia e n il numero di bulloni disposti su una fila. La flangia di figura viene dimensionata per trasferire la sola azione tagliante: essa può quindi essere assimilata ad una cerniera. La fabbricazione di tale giunto necessita di una certa precauzione nei riguardi delle tolleranze dimensionali relative sia alla lunghezza della trave, che alla ortogonalità delle superfici: la sua la sua lavorazione deve quindi essere più accurata di quelle necessarie per i giunti a squadrette. Per garantire una sufficiente capacità di rotazione è opportuno che lo spessore della flangia sia compreso fra i 6 e i 10 mm. La verifica del giunto va condotta sulla base delle reazioni R della trave. Essa infatti impegna i cordoni di saldatura che connettono la flangia alla trave e va ripartita egualmente fra tutti i bulloni per calcolarne il diametro. Infine la verifica a rifollamento o la resistenza nei confronti di un valore convenzionale del momento flettente M = 12 R p2 dà la misura dello spessore della flangia di estremità. Per un giunto di questo tipo non sono necessarie verifiche nella zona compressa. Come sezione resistente della flangia di ipotizza una distribuzione delle forze secondo una legge lineare che comporta un’area resistente ottenuta secondo una distribuzione a 48° - 45°. In linea di principio, il valore della larghezza collaborante può essere stabilito istituendo una equivalenza fra il comportamento reale bidirezionale della flangia e quello monodimensionale di una trave di rigidezza opportuna: si può così istituire un modello convenzionale di calcolo, semplice ed utile ai fini progettuali. L’equivalenza fra sistema reale e modello può essere stabilita in campo elastico e a collasso, indipendentemente dallo stato limite che si considera. L’equivalenza in campo elastico è sempre prudenziale: sottovalutando le risorse statiche della flangia ne limita le deformazioni. Essa è quindi consigliabile quando si desidera equiripartire le forze su più ordini di bulloni. L’equivalenza in campo plastico valuta in modo realistico la resistenza della flangia, considerando il comportamento a rottura. Essa tiene conto delle forze di contatto e pertanto è utilizzabile per coglierne i meccanismi; mal si presta invece al calcolo delle flange con più ordini di bulloni. L’equivalenza in campo elastico è basata sui risultati dell’analisi di una lastra indefinita caricata da un carico concentrato F. Nel punto O più sollecitato risultano i valori seguenti dei momenti flettenti per unità di lunghezza (vedi fig. 8.16): mx = 0, 509 · F

my = ν · mx = 0, 1527 · F

Il limite elastico del materiale viene raggiunto per:

σid = Rev. B.1

q 6q σx2 + σy2 − σx σy = 2 mx2 + my2 − mx my = fy t

Il valore del limite elastico risulta pertanto 1 2 t fy 2, 21 2 6 Fe = √ ≈ t fy 2 2 6 0, 509 + 0, 1527 − 0, 509 · 0, 1527 Per una trave incastrata di larghezza beff e del medesimo spessore t e aggetto a della flangia il valore del limite elastico FeI risulta: FeI =

fy 1 beff t 2 6 a

L’equivalenza fra trave e flangia può quindi istituirsi ponendo Fe = FeI e quindi per: beff ≈ 2, 21 a

beff ≈ 48. 2a Il problema del calcolo della larghezza beff rappresenta un problema non ancora risolto in modo esauriente. La figura 8.17 indica come sia possibile ricavare la larghezza efficace per diverse geometrie. e cioè per un angolo di diffusione α = arctg

Figura 8.17: Larghezza efficace per diverse geometrie

Sollecitazioni di trazione e flessione La ripartizione delle sollecitazioni assiali e flettenti su un giunto bullonato è di più difficile individuazione in quanto dipende essenzialmente dalla rigidezza della lamiera (flangia) attraverso la quale l’azione esterna è applicata. Per analizzare il problema da un punto di vista qualitativo si fa riferimento alla figura 8.18 che illustra la più semplice unione a trazione. Se la flangia è sufficientemente rigida è possibile trascurare la sua deformazione: i bulloni risultano semplicemente tesi e quindi privi di flessioni parassite (fig. 8.18 a ). Viceversa se la flangia è più deformabile nascono delle forze Q di contatto e li bullone, per seguire l’inflessione della flangia è impegnato anche a flessione (fig. 8.18 b). L’evidenza sperimentale ha messo in luce l’importanza di tale fenomeno, anche se è ben difficile dare delle leggi di tipo generale per calcolare le forze Q.

80



Figura 8.16: Modello

Nelle flange invece è possibile superare il limite elastico e tener quindi conto della ridistribuzione degli sforzi dovuti alla plasticizzazione dei punti più sollecitati. Il metodo di analisi non è quindi univoco: va determinato caso per caso ricercando soluzioni equilibrate e compatibili con la resistenza dei bulloni e delle flange.

Figura 8.18: Flangia rigida e flangia deformabile

Se si analizza in dettaglio fino a collasso un giunto del tipo di quello illustrato si può affermare che le forze di contatto Q dipendono dalla rigidezza della flangia, da quella del bullone, dal carico applicato e che il collasso può avvenire: • per snervamento del bullone penalizzato dall’intervento di flessioni parassite e sollecitato assialmente dalla forza FN = F + Q; • per la formazione di una o più cerniere plastiche nella flangia che risulta impegnata a flessione. Da queste sommarie considerazioni si evince che si possono seguire due metodi distinti per analizzare la ripartizione di componenti di trazione e di flessione sulle giunzioni. La scelta di uno dei due metodi dipende dalla deformabilità della flangia. a) Si può considerare la flangia deformabile a fare appello alle forze Q di contatto per limitare le azioni flettenti in esse presenti. In questo caso la distribuzione delle forze sui bulloni dipende sia dalla geometria della sezione che dalla rigidezza della flangia. I bulloni andranno verificati tenendo conto della flessione parassita nel gambo e quindi assumendo valori γM più sfavorevoli. Rev. B.1

b) Si può trascurare la deformabilità della flangia. Si schematizza allora la sezione come parzialmente reagente: le trazioni sono assorbite dai bulloni, le eventuali compressioni per contatto. La distribuzione delle forze sui bulloni dipende quindi dalla geometria della giunzione. I bulloni potranno essere verificati trascurando l’effetto delle flessioni parassite nel gambo e quindi assumendo i valori γM più favorevoli. Lo spessore delle flange dovrà essere adeguato per garantire il rispetto delle ipotesi alla base del calcolo. È quindi opportuno, in assenza di analisi più sofisticate, verificare che in ogni punto delle flange non venga superato il limite elastico: ogni ridistribuzione degli sforzi dovute alla plasticità del materiale comporta infatti un incremento di deformabilità, che può risultare inammissibile con le ipotesi di partenza. 81



Giunti flangiati simmetrici

Infine le deformazioni della flangia possono essere grandi rispetto a quella dei bulloni. Il meccanismo di rottura è quello di figura 8.19c: si formano due cerniere plastiche in corrispondenza delle sezioni A-A e B-B. Risulta cioè: F +Q 2

N=

F · a − Q · c = Md,B 2

Q · c = Md,A

da cui: F =2

Md,A + Md,B a

Q=

Md,A c

N=

Md,A + Md,B Md,A + a c

Ricapitolando, nel caso di: • Mensola rigida Vale l’equazione F · a = 2 · Mpl dove Mpl = spessore della flangia e l lunghezza). F è assunto pari alla sommatoria degli N:

tf2 fy · l (con tf 4

F = ΣN = 2 · N

Figura 8.19: Meccanismi di rottura della flangia Avremo quindi: In figura 8.19 è rappresentata una flangia con due bulloni sollecitata a trazione da un carico F e i suoi tre possibili meccanismi di rottura. Se la flangia ha delle deformazioni flessionali piccole rispetto a quelle assiali dei bulloni il meccanismo è illustrato in figura 8.19a. I bulloni saranno sollecitati da uno sforzo N = F /2 e non saranno aggravati da flessioni parassite importanti, mentre la flangia dovrà avere uno spessore adeguato per assorbire un momento flettente M2 = F2 a. Se la flangia ha delle deformazioni flessionali di un ordine di grandezza pari a quelle dei bulloni il meccanismo di rottura è del tipo di quello illustrato in figura 8.19b. Nascerà una forza di contatto Q di verso eguale a quello di F . I bulloni saranno caricati di una forza N = F2 + Q e saranno impegnati anche a flessione in modo non trascurabile, mentre la flangia sarà impegnata da un diagramma di momenti flettenti intrecciato con valori massimi M1 e M2 . La forza Q è a priori indeterminata: si dovrà trovare una soluzione equilibrata e conforme col criterio di resistenza. Sia Md,A il momento resistente della sezione A-A (al netto del foro), Md,B quello della sezione B-B e Ft,Rd il tiro massimo ammesso per il bullone. Deve risultare: N=

F + Q ≤ Ft,Rd 2

Il valore della forza Q potrà essere scelto arbitrariamente in modo da soddisfare tutte le disuguaglianze. Operativamente si può fissare il diametro e la classe del bullone e quindi Ft,Rd . Risulta allora che, al massimo, può essere Q = Ft,Rd − F /2. La flangia avrà allora uno spessore tale da soddisfare le seguenti limitazioni: Ft,Rd

F − 2

Rev. B.1

c ≤ Md,A

F (a + c) − Ft,Rd · c ≤ Md,B 2

tf2 fy l 4

tf2 · fy · l come β - coefficiente di rigidezza della a · ΣN flangia - otteniamo: Nominando

1=

1 tf2 fy l 2 a · 2N

tf2 fy l =2 a · 2N

→

→

β=2

• Mensola deformabile Nel caso in cui la mensola abbia una rigidezza tale da deformarsi sotto l’azione dei carichi abbiamo detto che vale: F =2

Md,A + Md,B a

che è possibile approssimare a come: F =2

t 2 fy l t 2 fy l 2 · Mpl =4· f = f a 4·a a

(8.1)

Il valore della forza Q potrà quindi essere scritto come: Q=

Mpl 1F ·a Md,A ≈ = c c c 4

(8.2)

Per avere equilibrio deve essere:

Fa F + 2Q = F + 2c

Q · c ≤ Md,A

−Q(c + a) + N · a ≤ Md,B

2N · a = 2

Ponendo γ =

F

= ΣN

c avremo: a

1 1+ 2γ

→

= ΣN

F =

2γ ΣN 2γ + 1

(8.3)

Combinando 8.1 e 8.2 con 8.3 si ottiene che il coefficiente β per le flange deformabili vale:

β=

2γ 1 + 2γ 82



Diagrammando il coefficiente β con la forza F applicata otteniamo una rappresentazione dei valori limite dei vari meccanismi di collasso (figura 8.20).

dagli n bulloni resti piana. Ni =

FN e FN yi + n n Σi=1 yi2

essendo e la eccentricità della forza applicata rispetto al baricentro e yi la distanza dall’asse baricentrico dal bullone i-esimo.

Figura 8.21: Flangia rigida

Figura 8.20: Rigidezza della flangia

Si evince quindi come, nell’ipotesi che tutta la larghezza l della flangia sia efficace, β sia un parametro che lega la rigidezza del bullone a quella della piastra (Eurocodice 3 - J 3.3). Riassumendo, per calcolare flange di rigidezza intermedia, per le quali Q è indeterminato, la procedura da seguire è la seguente: • si sceglie un valore di Q arbitrariamente in modo da soddisfare tutte le disuguaglianze, in modo che l’equilibrio sia comunque soddisfatto; • si sceglie il diametro e la classe del bullone; • il valore massimo di trazione nel bullone sarà Q = Ft,Rd − F /2; • si dimensiona la flangia con uno spessore tale da soddisfare le:

Ft,Rd −

F 2

c ≤ Md,A

Se la forza assiale di trazione è applicata esternamente al nocciolo d’inerzia della sezione formata dai soli bulloni, oppure la forza assiale di compressione è applicata esternamente al nocciolo d’inerzia della sezione rettangolare costituita dalla flangia, la sezione risulta parzializzata. La piastra reagisce a compressione per contatto, i bulloni a trazione. Di regola si trascura l’effetto dei fori per cui la sezione viene considerata di forma rettangolare e non reagente a trazione, se non per la presenza dei bulloni. Con riferimento alla figura, se la zona compressa della flangia risulta estesa e non irrigidita nelle zone più esterne, è ragionevole assumere una distribuzione delle deformazioni e delle tensioni σ lineari. In tal caso la sezione ruota attorno all’asse passante per il punto C: la forza agente sui bulloni e la tensione massima di compressione possono essere espresse dalle seguenti relazioni: Ni = Ai · k (yi − yc )

;

σc = k · yc

essendo k una costante di proporzionalità ed Ai l’area del singolo bullone.

F (a + c) − Ft,Rd · c ≤ Md,B 2

Le stesse considerazioni fatte per la piastra saldata valgono anche per le ali dei profilati giuntati come giunti flangiati (T-Stub). Nel caso in cui la flangia rigida non sia soggetta solamente ad uno sforzo normale che potremmo definire centrato, occorre verificare le proprietà statiche della giunzione al fine di determinare l’effettiva distribuzione di trazioni e compressioni. Con riferimento alla figura 8.21 si supponga che la forza assiale di trazione FN agente sulla giunzione costituita da n bulloni di egual diametro sia applicata internamente al nocciolo d’inerzia della sezione formata dai soli bulloni. In questo caso la forza Ni agente sul generico bullone i-esimo, può essere valutata ipotizzando che la sezione resistente formata Rev. B.1

Figura 8.22: Flangia rigida Imponendo l’equilibrio alla rotazione e alla traslazione della sezione si ottengono le seguenti equazioni determina83


trici dell’asse neutro in base alle quali è possibile determinare i valori della pressione massima di contatto σc e delle forze assiali agenti sui bulloni: • flessione semplice (N = 0): yc2

σc =

M · yc J

b + yc Σni=1 Ai − Σni=1 Ai yi = 0 2 con Ni =

J=

b · yc3 + Σni=1 Ai (yi − yc )2 3

M (yi − yc )Ai J

• flessione e azione assiale: yc3 b 2 b a a a +yc (e − )+yc Σni=1 Ai (e − +yi )−Σni=1 Ai yi (e − +yi ) = 0 6 2 2 2 2 con e > 0 se N di compressione o con e < 0 se N di trazione. yc |FN | σc = b yc2 − ΣAi (yi − yc ) 2 Ni = |σc |

Ni = k · Ai (yi − yc ) a Σni=1 Ni (yi − yc ) = M − FN ( − yc ) 2

Figura 8.23: Flangia irrigidita

Rev. B.1

a − yc ) 2 Ni = n · Ai (yi − yc ) Σi=1 Ai (yi − yc )2 M − FN (

Imponendo l’equilibrio alla traslazione orizzontale si ottiene il valore della risultante R delle pressioni di contatto. Esso è dato da: R = Σni=1 Ni + FN Tale risultante può essere ragionevolmente ipotizzato uniformemente distribuito su un’area rettangolare di lati b e 2yc di cui il punto C è il baricentro. Risulta quindi:

σc =

Σni=1 Ni + FN 2yc b

Si possono infine ricercare le prestazioni ultime della giunzione. In questo caso è lecito assumere una distribuzione del tipo illustrato in figura 8.24.

Ai (yi − yc ) yc

Le sommatorie sopra indicate si estendono ai soli bulloni tesi; se l’asse neutro così determinato ha un ordinata yc maggiore dell’ordinata y1 del primo bullone che è considerato teso, bisognerà ripetere il calcolo non considerando nella sommatoria il bullone corrispondente. Quando è presumibile che la zona di contatto sia di limitata estensione o la flangia è irrigidita (fig. 8.23) non ha più senso ipotizzare una distribuzione lineare delle pressioni di contatto. Appare più realistico concentrare la risultante delle pressioni di contatto in un punto C ragionevole e attorno a questo punto imporre l’equilibrio alla rotazione, assumendo una distribuzione lineare delle forze dei bulloni. Essendo quindi yc determinato a priori ed FN positivo de di compressione, risulta:

Si ha in definitiva:


Figura 8.24: Prestazioni ultime Tutti i bulloni sono impegnati dalle forze assiali di progetto Ft,Rd (= Nd,0 ) e la pressione di contatto ha il valore di progetto fd pari alla resistenza di progetto del materiale costituente la flangia. L’unica incognita del problema è la posizione dell’asse neutro. Essa è definita dall’equilibrio alla traslazione della sezione. Assumendo per l’azione assiale il valore positivo se di compressione è:

−n · Nd,0 + fd yc b = FN essendo n il numero dei bulloni reagenti a trazione. Risulta: FN + n · Nd,0 yc = fd b Noto yc è possibile determinare il momento ultimo sopportabile, concomitante con l’azione assiale FN . Dall’equilibrio alla rotazione attorno a O è: yc a yc Mu = FN e = Nd,0 Σni=1 (yi − ) + FN ( − ) 2 2 2 Tale valore del momento non può però essere sempre assunto come valore del momento ultimo sopportabile dalla sezione. Affinché ciò sia vero il bullone più vicino all’asse neutro considerato nella verifica, deve poter esplicare il suo carico massimo senza che il bullone più lontano abbia raggiunto un allungamento pari a quello di rottura. Con riferimento alla figura 8.24 deve cioè essere max ≤ t . Il valore max è determinato dalla deformazione 1 = fd,N /E conseguente la resistenza di progetto fd,N del bullone più vicino 84



all’asse neutro che è stato considerato nel calcolo. Risulta cioè:

Al fine di evitare collassi di questo tipo sono state effettuate analisi sperimentali che hanno portato a determinare degli schemi geometrici di progettazione delle giunzioni flangiate.

max = 1

ymax − 2yc fd,N ymax − 2yc = < t y1 − 2yc E y1 − 2yc

Il valore di progetto dell’allungamento a rottura t del bullone sarà da assumersi in modo cautelativo e comunque non superiore ai valori minimi prescritti dalla UNI 3740-65. Per comprendere i limiti di applicabilità dei metodi sopra indicati si deve osservare che questi sono basati sull’ipotesi seguente: il comportamento dei bulloni sia indipendente dalle deformazioni della flangia. In realtà questa affermazione non è veritiera e per questa ragione le previsioni dei calcoli sono spesso disattese dall’evidenza sperimentale. A riprova di ciò è utile riportare, almeno qualitativamente, i risultati di una esperienza (fig. 8.25a). Essa è relativa ad una trave su due appoggi realizzata da due pezzi solidarizzati da un collegamento flangiato. La trave è composta da un profilo della serie statunitense (W 16x36) di circa 400 mm di altezza. Le sue prestazioni flessionali sono nell’ordine dell’80% di quelle di una IPE 400. Il giunto (fig. 8.25c) è costituito da 8 bulloni equivalenti a bulloni φ20 di qualità 8.8 e da una piastra di spessore di circa 64 mm per il primo campione e 38 mm per il secondo campione.

8.2.3

Giunti tesi

La tipologia dei giunti per elementi tesi è essenzialmente legata a quella degli elementi da collegare. La figura 8.30a,b illustra dei tipici giunti fra tondi. Questi possono essere considerati a parziale ripristino, in quanto la sezione filettata è ricavata per asportazione del materiale della barra: il tirante dovrà essere dimensionato in relazione all’area resistente della filettatura, che costituisce comunque un punto di debolezza della struttura: la rottura del tirante può avvenire quando nella sezione corrente non si è ancora raggiunto il limite elastico. Per tale ragione è preferibile, ove si voglia tener conto della redistribuzione plastica delle azioni interne nella struttura, ricorrere a tiranti la cui filettatura sia ricavata per rullatura (fig. 8.30c).

Figura 8.30: Giunti tesi In figura 8.30d è illustrato un attacco “a martello” per un tondo teso. È composto da due piatti di lamiera che vengono saldati al tondo e che per contatto trasmettono la forza N ai due profili a C. Mentre la verifica dell’unione saldata fra piastre e tondo è banale, più delicata appare la trasmissione della forza N ai due profili, anche in relazione alla necessità o meno di disporre delle costole con la funzione di raccogliere il carico e trasmetterlo alle anime dei profili.

Figura 8.25: Prove sperimentali La figura 8.25b mostra il risultato ottenuto. La trave con la piastra più spessa raggiunge il massimo valore compatibile con le sue prestazioni flessionali e il collasso avviene per cedimento dell’ala compressa della trave. La trave con flangia di spessore pari a 38 mm cede prematuramente per rottura dei bulloni più vicini al lembo teso. Le misure delle forze agenti sui singoli bulloni hanno messo in evidenza il comportamento rappresentato qualitativamente in figura 8.25d,e. La flangia di spessore elevato è praticamente indeformabile e la distribuzione delle forze sui bulloni è lineare. La deformazione della flangia da 38 mm provoca invece una zona di contatto anche nella parte inferiore del giunto e pertanto la distribuzione delle forze sui bulloni è sostanzialmente diversa da quella assunta alla base del calcolo. Rev. B.1

Figura 8.31: Giunti tesi (profilati) Nel caso di collegamento tra profilati tesi, essi possono essere realizzati con saldature a completa penetrazione o con coprigiunti saldati o bullonati. Il primo, se realizzato con 85



Figura 8.26: Collegamenti unificati - Travi IPE con flange sporgenti in acciaio St 37; qualità bulloni 10K

Figura 8.27: Collegamenti unificati - Travi IPE con flange a filo in acciaio St 37; qualità bulloni 10K

Rev. B.1

86



Figura 8.28: Collegamenti unificati - Travi HEB con flange sporgenti in acciaio St 37; qualità bulloni 10K

Rev. B.1

87



Figura 8.29: Rapporto delle frecce in una trave collegata mediante flange in confronto ad una trave senza giunto

Rev. B.1

88



saldature opportune, è a completo ripristino e non necessita nemmeno di verifiche, il secondo e il terzo devono essere verificati con maggior accuratezza. I collegamenti tra elementi tesi possono essere costruiti anche con giunti flangiati. In figura 8.32a è mostrato un collegamento fra due tubi; in figura 8.32b quello tra due profilati e in figura 8.32c,d quello tra due lamiere, simmetrico il primo, eccentrico il secondo.

che impegna le ali e l’anima del profilato. Se questa sollecitazione è incompatibile con lo stato di tensione ammissibile è necessario ridimensionare la giunzione. Si può poi ritenere che il carico N si scarichi direttamente sull’anima della trave. In tal caso si potrà ammettere (fig. 8.33b) una distribuzione a 45° e ritenere l’anima compressa da una pressione specifica pari a: p=

N /2 (t + 2tf )tw

In conseguenza di tale pressione specifica l’anima può essere soggetta sia a schiacciamento per eccesso di pressione specifica che da instabilità locale. Le verifiche nei confronti di questi fenomeni sono convenzionali e basate su evidenze sperimentali. Secondo tale procedimento, non si deve sommare la pressione p sopra dedotta alle altre componenti di tensione presenti nell’anima: è sufficiente controllare che: p ≤ α · fd

Figura 8.32: Giunti tesi (flangiati) Prima di passare allo studio dei giunti compressi vale la pena approfondire la verifica di alcuni componenti dei collegamenti tesi appena visti.

con α ≥ 1 (secondo le CNR-UNI α = 1, 15) per premunirsi dalla possibilità di schiacciamento. Potrà essere necessario predisporre delle costole che colleghino le ali all’anima. Questo collegamento irrigidisce localmente il profilo rendendo collaboranti anche le ali dello stesso. Quello che bisogna verificare è che la pressione specifica di contatto p=

Giunto a “martello” La verifica della saldatura che collega il tondo alle due ali si effettua tenendo conto dello sforzo di taglio causato dalla trazione diretta della barra, ma anche della flessione parassita che viene ad innescarsi a causa della larghezza dell’ala componente il martello: W =

τ=

F 2·t ·l

;

σid =

q

t · l2 6

σmax =

F a/2 · 2 W

Dove l è l’altezza dell’ala del “martello”, mentre a rappresenta la base. Oltre alla saldatura è necessario verificare che l’azione agente sui due profilati non superi valori che portino alla crisi il pezzo. Si può ritenere che i piatti distribuiscano il carico N sulle ali superiori; queste per flessione e taglio lo riportano sull’anima della trave. Si ha allora una pressione specifica (fig. 8.33a) di contatto p = 2·Na·t che sollecita a flessione la flangia interessandone una certa zona di larghezza collaborante beff . Consegue un momento per unità di lunghezza: N a · m= 2 2 beff Rev. B.1

sia inferiore al valore α · fd . A causa della eccentricità e = a/2 del carico, la sezione a L tenderà a ruotare e pertanto sarà opportuno collegare fra loro le flange inferiori e superiori per chiudere fra di loro i momenti N /2 · a/2 che insorgono, scomponendoli in due forze: H=

2 σmax + 3τ 2

N /2 t ·a

N a · /d 2 2

Giunto a coprigiunto Nei collegamenti con coprigiunto fra due profilati, è opportuno distribuire le varie unioni in modo da deviare il meno possibile il flusso delle tensioni presenti nella membratura. Se i profili sono soggetti a forza assiale, conviene quindi distribuire i coprigiunti in parti proporzionali all’area della sezione del profilo stesso. Con riferimento alla figura , detto N il valore del carico assiale e A = Af + AIf + Aw l’area totale della sezione del profilo, converrà dimensionare le unioni contrassegnate con A, B, C rispettivamente per una forza di trazione pari:

NA = N ·

Af A

;

NB = N ·

AIf A

;

NC = N ·

Aw A 89



Figura 8.33: Giunto a martello grafo precedente. Se si segue un criterio di equivalenza elastico e si ipotizza una diffusione a 45° risulta, (fig. 8.35c): beff = 2a + d − φ

Figura 8.34: Giunto a coprigiunto Ovviamente le unioni potranno essere saldate o bullonate. Quelle saldate, se progettate a completo ripristino di sezione (cioè N = fd · A), danno buone garanzie di duttilità: la rottura può cioè avvenire fuori dal giunto e per un valore del carico tale da consentire il raggiungimento del limite elastico in tutto il profilo.Più fragili risultano invece le giunzioni bullonate. Infatti anche se progettate a completo ripristino esse collassano per rottura della sezione netta e pertanto non sempre consentono deformazioni plastiche nelle altre sezioni dell’elemento collegato. Se il coprigiunto non è doppio ma semplice, si effettua comunque la verifica a solo taglio, trascurando il momento secondario. Giunto flangiato eccentrico Nel caso in cui non sia possibile eseguire un giunto flangiato simmetrico, si può procedere alla giunzione tramite un collegamento tipo quello indicato in figura 8.35a. In questo caso è possibile ritrovare uno schema equilibrato solo mettendo in conto la forza di contatto Q, che si esercita agli estremi della flangia. Lo schema statico della trave equivalente è illustrato in figura 8.35b: si ha N = F (a + c)/c, mentre la flangia deve essere dimensionata per un momento M = F · a in corrispondenza di una sezione di larghezza collaborante beff . Il valore di beff potrà essere desunto secondo il metodo illustrato nel paraRev. B.1

essendo d il diametro della rondella e φ quello del foro. Naturalmente per beff > b − φ si assumerà beff = b − φ. Se invece si utilizza il criterio di equivalenza a collasso, si può utilizzare il meccanismo di figura 8.35d. La flangia è però più deformabile di quelle simmetriche; appare quindi prudente trascurare il benefico effetto della ripartizione del carico da parte della testa del bullone o della rondella. Avremo quindi: • per la lastra: N = Flim (

a + 1) ≤ mlim 2π c

• per la trave: Flim a ≤ mlim beff Risulta per l’equivalenza: 2π beff = a valida per beff ≤ b − φ. Per beff ≥ b − φ si 1 + a/c utilizzerà una larghezza pari a b − φ. Se la flangia non è sufficientemente rigida e quindi non è idonea a trasmettere le azioni flettenti dovute alla eccentricità del carico, si manifestano delle vistose deformazioni trasversali, che portano a un ricentramento del carico applicato. Questo fenomeno è illustrato in figura 8.36 dove è rappresentato il comportamento di giunti di differente rigidezza. La soluzione a) rappresenta un giunto in cui la flangia e il bullone sono dimensionati secondo lo schema precedentemente illustrato. La soluzione b) simula invece un giunto per cui la flangia e il bullone sono calcolati a semplice azione assiale, senza tener conto dell’effetto della eccentricità. Si può notare dalla figura che, il giunto a) dopo una prima fase in cui manifesta un comportamento praticamente rigido dovuto al serraggio, 90



Figura 8.35: Giunto eccentrico evolve in fase elastica fino a circa 38 kN e la componente trasversale di spostamento v è estremamente contenuta: il giunto cioè si discosta poco dalla sua configurazione indeformata. Il giunto b) invece non manifesta un tratto elastico. Iniziano subito le plasticizzazioni nella flangia e il carico può aumentare solo se si mantiene costante il momento flettente: ciò è possibile se il braccio della forza diminuisce e cioè se le componenti di spostamento trasversai v diventano dello stesso ordine di grandezza delle eccentricità del bullone rispetto alla forza esterna. Le forme dei provini al temine delle prove mostrano con chiarezza quanto sopra illustrato. Il giunto a) è ancora perfettamente rettilineo, il giunto b) si è deformato trasversalmente fino a portare l’asse del bullone in corrispondenza della retta di applicazione del carico.

Figura 8.36: Test sperimentale su giunti eccentrici Rev. B.1

8.2.4

Giunti compressi

Figura 8.37: Giunti compressi 91


Poiché a causa dei fenomeni di instabilità non possono in generale essere raggiunti i limiti di resistenza del materiale, perde di importanza la realizzazione di un giunto a completo ripristino di resistenza della sezione. Basta infatti che il collegamento possa trasmettere il carico in corrispondenza delle instabilità del profilo che non si ha nessuna penalizzazione dell’elemento. Il collegamento viene in genere realizzato ad una distanza di 80 ÷ 50 cm dal nodo, in modo che sia facile la sua realizzazione e la sezione sia poco influenzata dal fenomeno della instabilità. I collegamenti spesso interessano profili di sezione poco diverse tra loro. In questo caso i giunti risultano molto semplici e possono essere: • giunti saldati; • giunti bullonati;


Figura 8.38: Giunti a contatto Si preferisce ricorrere a ricorrere al contatto fra superfici per trasferire il carico. Ciò può essere realizzato: • direttamente fra i profili saldati di testa a parziale penetrazione o bullonati (fig. 8.38a,b); • interponendo una piastra saldata con cordoni d’angolo (fig. 8.38c);

• giunti a contatto. • interponendo due flange bullonate tra loro (fig. 8.38d). Giunti saldati Quando il giunto viene realizzato a completa penetrazione non è necessario il calcolo della portata, in quanto il cordone ripristina completamente la resistenza della sezione. L’elemento superiore (fig. 8.37b) avrà le superfici preparate, mentre su una parte di quello inferiore saranno saldate o bullonate opportune piastre a L o a C atte a posizionare in via provvisoria l’elemento superiore e tenerlo fisso durante la saldatura.

Giunti bullonati I giunti bullonati possono essere a doppio coprigiunto e a semplice coprigiunto. Talvolta il collegamento è eseguito solo fra alcune parti della sezione, mentre altre sono lasciate non collegate. Se il collegamento coinvolge tutte le parti della sezione è opportuno suddividere le forze fra le varie unioni in modo proporzionale alle aree delle parti collegate. È comunque preferibile, negli elementi compressi, a I e a C, solidarizzare meglio le ali che non le due anime: sono infatti le prime che risultano più impegnate da eventuali effetti flessionali. Nelle giunzioni di colonne importanti è inoltre opportuno adottare bulloni ad alta resistenza e verificare l’unione ad attrito, in concomitanza dei carichi di servizio. Infatti lo scorrimento delle giunzioni può comportare deformate residue della struttura, incompatibili con la sua utilizzazione.

Giunti a contatto Quando gli spessori dei profilati divengono notevoli, non è più possibile eseguire dei giunti saldati; analogamente non è più possibile realizzare dei giunti bullonati.

Affinché il giunto sia corretto è necessario che il contatto sia assicurato per tutta la superficie e non solo per alcune sue parti. In particolare deve essere garantita l’ortogonalità fra la superficie a contatto e gli assi delle membrature e se le estremità non sono provviste di flange, devono essere segate o lavorate con macchina utensile. I giunti a contatto devono rispondere ai seguenti requisiti: • assorbire le eventuali azioni taglianti e di trazione; • non costituire un punto di crisi nei confronti dell’instabilità dell’elemento compresso. Per rispettare la prima condizione i cordoni di saldatura o le bullonature dovranno essere verificati: • per l’intero valore delle azioni taglianti; • per gli eventuali effetti di trazione conseguenti a particolari combinazioni di carico. Per rispettare la seconda condizione i giunti devono essere disposti il più vicino possibile ai vincoli e comunque a una distanza non superiore a una distanza non superiore al 20% della lunghezza libera di inflessione assunta nei calcoli. Variazione di sezione Quando la variazione di sezione si mantiene contenuta, si può effettuare una verifica della piastra di collegamento verificandone l’idoneità a trasferire il carico assiale tramite un comportamento flessionale. Se il collegamento è fra due profilati si deve trasferire solo la quota parte di carico assorbito dalle ali, in quanto le anime sono allineate. Indicato con σ il valore della tensione media agente nel profilo, con fd quella di progetto della piastra, e con Af = bf tf l’area della sezione di un ala, risulta: Nf = σ · bf tf

Rev. B.1

;

M = Nf e = σ · bf tf · e 92



Figura 8.39: Modesta variazione di sezione essendo Nf l’aliquota del carico totale N assorbita da un’ala. La condizione di verifica allo stato limite elastico: 1 · b · t 2 · fd ≥ σ · bf tf · e 6 comporta che lo spessore della flangia risulti tale che sia soddisfatta la seguente disuguaglianza:

2 t bf e σ ≥6 tf b tf fd (in condizioni normali risulta quindi che si debba disporre una piastra di spessore pari a circa due volte lo spessore dell’ala) La piastra sarà sollecitata da un momento pari a: M=

1 N ·e 2

Nel caso in cui la variazione di sezione sia importante occorre predisporre dei dispositivi atti a distribuire il carico ed evitare pressioni localizzate che porterebbero al collasso del giunto. Se lo stato di sollecitazione non è particolarmente impegnativo può risultare sufficiente un dettaglio del tipo di quello indicato in figura 8.40a. La piastra, solidarizzata in officina con l’elemento inferiore, è utile per facilitare le saldature in opera dell’elemento superiore, tenuto fermo dalle squadrette bullonate in fase di montaggio. Opportune costole ricevono il carico trasmesso dall’ala dell’elemento superiore e lo trasferiscono all’anima inferiore, che a sua volta lo distribuisce nella parte sottostante. Trascurando le variazioni delle tensioni normali nello spessore, la forza agente nell’ala vale: N f = σ · Af M Essendo Af l’area dell’ala e σ = NA + W la tensione massima presente. La forza Nf impegna trasversalmente i cordoni “W1 ” e “W2 ” e longitudinalmente il cordone “W3 ”. L’anima deve essere in grado di di resistere alla concentrazione degli sforzi. Assumendo una distribuzione del carico a 30° deve risultare: Nf ≤ fd b · tw

Quest’ultima verifica può non essere soddisfatta se i carichi agenti sulle colonne sono notevoli. Si può allora ricorrere Rev. B.1

a un particolare analogo a quello illustrato in fig. 8.40b: si realizza una trave a doppio T che può essere considerata caricata da due forze concentrate: Nf ,1 =

M N − 2 d

Esse impegnano trasversalmente i cordoni di tipo “W1 ” e “W2 ”, e longitudinalmente quelli di tipo “W3 ”. I cordoni tipo “W4 ” assorbono invece le azioni di scorrimento della trave a doppio T. Un’altra possibilità è illustrata in figura 8.40c. Il giunto risulta rastremato e la risultante degli sforzi presenti nelle ali viene deviata mediante le due flange saldate, che fungono da tirante e puntone. Se è presente solo una azione assiale N, l’azione di trazione o compressione nelle costole vale ±Nf · tg α essendo Nf = N · Af /A. Il momento flettente M ingenera invece un’azione tangenziale nel pannello di lamiera il cui valore massimo può essere valutato in τ = 2N · tg α/Aw essendo Aw l’area dell’anima e Nf = M · Af /W . Combinando gli effetti dell’azione assiale e del momento flettente p si dovrà controllare la resistenza del pannello d’anima: σw2 + 3τ 2 ≤ fd , con σw = Nf /A. 8.2.5

Giunti trave-colonna

I giunti fra travi e colonne non si differenziano sostanzialmente, almeno per quanto riguarda la loro funzione e il loro comportamento, dai giunti inflessi. Anche per i giunti travecolonna si può mantenere la distinzione fra giunti a completo ripristino e a parziale ripristino di resistenza, con la seguente precisazione. Se il giunto collega la colonna a una trave disposta da una sola parte (giunto a `) si intende per ripristino quello della sezione più debole collegata. Se il giunto collega la colonna a due travi disposte d lati opposti (giunto a croce +) si intende per ripristino quello della sezione più debole delle due travi collegate. Esso può essere realizzato mediante angolari o flange, in modo da trasmettere solo il taglio, garantendo nel contempo la possibilità di una sufficiente rotazione del giunto. Il calcolo dei bulloni e dei fazzoletti viene fatto allo stesso modo del giunto incernierato trave-trave. Appoggio a sedia Un giunto che realizza in modo altrettanto semplice uno schema pendolare per la trave è quello con appoggio a se93



Figura 8.40: Sensibile variazione di sezione dia. Gli appoggi a sedia possono essere di tipo con sedia a tacco, a sedia irrigidita, e a sedia non irrigidita. Le verifiche da condurre sono due: • verifica della pressione specifica sull’anima della trave all’attacco del raggio di raccordo con l’ala inferiore; • verifica della sedia.

Figura 8.42: Calcolo dell’appoggio a sedia

Per la sedia irrigidita è sufficiente calcolare la dimensione dei cordoni di saldatura che uniscono alla colonna la costola verticale, purché questa e il piatto orizzontale risultino di spessore almeno pari a quella dell’anima della trave. La pressione su quest’ultima non deve essere superiore a 1, 3 · fd ; per la sedia non irrigidita la larghezza di sovrapposizione si calcola quindi come: Figura 8.41: Appoggio a sedia b= Per la sedia a tacco il valore dell’eccentricità è trascurabile. É quindi sufficiente determinare la sezione dei cordoni di saldatura che uniscono il tacco alla colonna. Le sollecitazioni possono essere assunte pari a: T =R

;

b M = R(a + ) 2

essendo a la distanza fra la sezione terminale della trave e la colonna.

Per quanto riguarda l’angolare, la verifica a taglio e a flessione viene condotta nel seguente modo:

σmax =

M R·e = b t2 a a W 6

Rev. B.1

R 1, 30 · fd tw

;

τ=

R ba ta

;

σid ≤ σadm

94



Trave continua

b), anche se costoso, si è dimostrato molto valido in zona sismica per il buon comportamento sotto carico alterno. Particolare attenzione deve essere fatta al problema della formazione di strappi lamellari nelle ali delle colonne dovuti alle deformazioni localizzate nella lamiera per effetto della saldatura. Questo fenomeno è tanto più importante quanto più spessa è l’ala e resistente è l’acciaio di cui è composta (per la sua minore duttilità). Questi collegamenti hanno inoltre il vantaggio di non generare ingombri aggiuntivi per la struttura. Se la colonna non viene nervata, si deve verificare l’anima all’imbozzamento in zona compressa, allo strappamento le ali della colonna e la resistenza del pannello d’anima. Verifica in corrispondenza del lembo compresso Nella zona compressa l’anima può divenire instabile prima di raggiungere i suoi limiti di resistenza. Si evita tale fenomeno controllando che lo spessore tw dell’anima, soddisfi la formula seguente, che interpola, a favore di sicurezza, i risultati di esperienze statunitensi:

Un collegamento molto semplice che rende la colonna incernierata alla trave è quella è quello riportato in figura. In questo caso le verifiche sul pannello d’anima si effettua come per il collegamento tra colonne compresse. La colonna, in questo caso, viene impiegata solo assialmente. Lo schema che ne segue è una schematizzazione a pendolo della colonna. Può essere più oneroso di quello a squadretta visto in precedenza. Giunti standard trave-colonna Come già esposto prima, i giunti trave colonna soggetti ad elevati valori di momenti flettenti sono tipici delle strutture intelaiate. Per esse i nodi possono risultare: • a completo ripristino; • a completo ripristino delle sole capacità flessionali; • a parziale ripristino con sufficiente capacità di rotazione.

hw · tw ≥ 30

r

235 fd

Se questa limitazione non è soddisfatta si devono comunque disporre delle costole. Dalle numerose esperienze condotte negli Stati Uniti e in Olanda si può ritenere che, in assenza di irrigidimenti, gli effetti di una forza di compressione F possano essere ripartiti su una lunghezza beff ricavabile come da fig. 8.44. Avremo quindi:

σ=

F ≤ σadm tw · beff

Verifica in corrispondenza del lembo teso L’ala della colonna è inflessa dal carico trasmesso dalla trave. La sua resistenza dalla modalità dell’attacco. Se esso è saldato o con coprigiunto saldato, si può manifestare il meccanismo di collasso di figura 8.45b. Per prevenirlo deve risultare: F ≤ 24 · mres essendo F = M /d la forza agente dell’ala della trave ed mres il momento resistente per unità di lunghezza dell’ala della colonna. Per i giunti a completo ripristino risulta a collasso: p 1 da cui tf ≥ 0.4 k · Af Fu = Af ·fy,b ; mres = mu = fy,c ·tf2 4 essendo k = fy,b /fy,c il rapporto fra la tensione di snervamento della trave e della colonna. Inoltre le evidenze sperimentali hanno mostrato che si può ritenere effettiva solo una lunghezza del cordone di saldatura pari a beff = 2tw + 7tf

Figura 8.43: Giunti trave colonna Il giunto a completo ripristino più naturale è quello interamente saldato in figura 8.43a. Come anche il collegamento Rev. B.1

se l’attacco è a flangia o con coprigiunti bullonati, l’ala della colonna si comporta come una flangia simmetrica. É lecito assumere una larghezza collaborante sulla base di una verifica a collasso della flangia per i meccanismi già studiati in precedenza. 95



Figura 8.44: Valutazione della larghezza efficace al lembo compresso

Figura 8.45: Valutazione della larghezza efficace al lembo teso

Rev. B.1

96



Lo snervamento dell’anima può provocare il distacco dell’ala. Se l’attacco è saldato, si può ripartire la forza di trazione su una lunghezza beff = tb + 5(tc + rc ) eguale a quella utilizzata per le compressioni (fig. 8.44a). Più favorevole è invece la diffusione dello sforzo di trazione nel caso di giunti flangiati e coprigiunti bullonati (fig. 8.45c,d): per essi si può assumere la stessa larghezza utilizzata per il calcolo a flangia dell’ala della colonna. In ogni caso si può comunque considerare nell’anima della colonna una tensione pari a:

σ=

F beff · tw

Gli spessori possono essere assunti pari a:

Verifica dei pannelli d’anima I pannelli d’anima delle colonne sono sottoposte ad azioni taglianti quando: • Le travi sono di altezza diversa (d1 6= d2 ); • I momenti applicati sono diversi (M1 6= M2 ). Se infatti le due travi sono di altezza diversa ma trasmettono lo stesso momento M1 , nel pannello d’anima, per ragioni di equilibrio, discende: M1 M2 S1 = − = M1 · d1 d2

1 1 − d1 d2

1 · S1 S3 = d3

sppiastra = spcolonna

d1 + d2 2

se

M 1 = M2

sppiastra ≈ 2 · sptrave,piattabanda

Se invece i momenti applicati sono diversi ma le travi sono di altezza uguale, allora lo sforzo di taglio sul pannello risulta: M2 − M1 S1 = d2

;

sprinf = sptrave IPE

Il calcolo del nodo si conduce dimensionandolo in modo che resista fino al momento ultimo della trave. Per fare ciò è necessario determinare il momento ultimo raggiungibile dalla sezione in campo plastico. Avremo quindi: Mpl = fyd · Wpl

M2 − M1 S3 = d3

in

;

Mel = fyd · Wel

Il collasso del pannello si ha per un valore pari a: fyd τs = √ 3

Evidentemente questi effetti possono verificarsi contemporaneamente e possono dar luogo a

Il momento plastico massimo sopportabile dal nodo è pari a:

M2 − M1 τ= − M1 d2

1 1 − d1 d2

1 = tw hw

M2 M1 − d2 d1

1 tw hw

Per una trave di bordo dove è presente solamente un momento M la tensione tangenziale è valutabile come:

τ=

Verifiche su un incastro a flange

Gli spessori dei piatti della colonna sono uguali a quelli della piattabanda della trave. I piatti servono per evitare gli strappi al lembo teso e gli imbozzamenti al lembo compresso. Si dividono gli effetti flessionali da quelli taglianti.

Rev. B.1

dove per hr si intende l’interasse tra le ali della colonna e per ht l’interasse tra le ali della trave. Confrontando le due equazioni (Mpl = M¯pl ), risulta:

M 1 d tw hw

Per la verifica del pannello basterà quindi verificare che la τ ≤ τadm . Se la verifica non è soddisfatta si dovrà irrigidire l’anima con piatti saldati o con opportune costolature diagonali. 8.2.6

M¯pl = τs · spanima · hr · ht

fyd fyd · Wpl = √ sppan · hr ht 3 da cui sppan = Definito η pari a

√ Mpl 3 hr ht

spcol , avremo: sppan spcol hr ht η= √ 3 Wpl

Nel caso in cui η ≥ 1 il nodo funziona adeguatamente, mentre se η < 1 risulta necessario disporre una costola diagonale.

97



Figura 8.46: Valutazione dell’azione tagliante nei pannelli d’anima Dal punto di vista teorico di assume che tutti gli assi geometrici delle aste confluiscano in un unico punto e che il vincolo tra le aste sia un vincolo di cerniera.

Questo rinforzo assorbe la compressione diagonale che si viene a creare a causa del momento flettente: lo sforzo è pari a: Mpl (1 − η ) Mpl (1 − η ) N= = = Ad · fyd hr ht cos α ht p hr2 + ht2 dove Ad = 8.2.7

q

hr2

+

ht2

Wpl spcol − √ hr ht 3

.

Nodi di travature reticolari

Al fine di avvicinarsi a questa ipotesi si deve realizzare la piastra di nodo più piccola possibile al fine di contenere la rigidezza del nodo. Si deve inoltre fare in modo che gli assi baricentrici delle aste (per collegamenti saldati) o gli assi delle bullonature (assi di “truschino”, per i collegamenti bullonati) concorrano in un unico punto che si assume come “cerniera ideale”. Se il nodo è bullonato si devono seguire le seguenti operazioni: • disegno dello schema geometrico del nodo; • disegno delle aste che concorrono al nodo, facendo coincidere l’asse di truschino delle forature di ogni asta con l’asse geometrico corrispondente confluente nel nodo; • verifica del numero di bulloni strettamente necessari, in funzione degli sforzi nelle aste confluenti e delle caratteristiche geometriche del nodo; • disegno della posizione dei bulloni nel nodo, compatibilmente con le limitazioni imposte dalla norma; • disegno della piastra di nodo ed indicazione del suo spessore; • verifica dei bulloni;

Molti elementi strutturali di un edificio civile o industriale possono essere realizzati mediante uno schema statico reticolare. In particolare, nell’edificio civile, si ricorre di norma ad una struttura reticolare per realizzare i controventi di piano ed i controventi verticali. Rev. B.1

• verifica delle piastre; • verifica delle aste. Un collegamento teoricamente corretto presuppone, come detto, il rispetto delle seguenti condizioni: 98



a) Gli assi baricentrici delle aste confluenti nel nodo devono appartenere ad un unico piano (piano di simmetria della travatura reticolare);

dove tmin è il minore tra gli spessori delle lamiere componenti l’unione. Poi a > 2 · d0 ; a1 > 1, 5 · d0

b) Gli assi baricentrici delle aste confluenti nel nodo devono coincidere con gli assi dello schema geometrico del nodo. Di norma la condizione a) è sempre rispettata (a meno che non si tratti di elementi secondari o poco sollecitati) e può essere perseguita sia con profilati singoli che accoppiati. La seconda condizione è sempre rispettata nelle unioni saldate, nelle unioni bullonate, esiste talvolta (per esigenze geometriche di bullonatura) una eccentricità fra l’asse baricentrico dell’asta e quello della bullonatura (figura 8.47a). Quando possibile comunque si cerca di realizzare il nodo in figura 8.47b poiché non genera momenti secondari nel nodo e quindi nelle aste. Lo schema b) però richiede una maggiore difficoltà nella realizzazione del nodo poiché è molto più scomodo disegnare la piastra di nodo e le relative forature. La norma consente il trascinamento sull’asse di truschino per strutture reticolari composte da angolari purché si dimensioni la bullonatura tenendo conto del momento N · e. Gli effetti secondari sul nodo in questo caso si considerano trascurabili. Per il calcolo della lunghezza libera l0 delle aste compresse si deve in ogni caso considerare la distanza tra le cerniere ideali e non tra i centri della bullonatura. Quando possibile ovviamente si fa coincidere l’asse di truschino con l’asse geometrico dell’asta.

Le limitazioni superiori per lamiere senza bordo irrigidito a ≤ 9 · tmin

;

a1 ≤ 9 · tmin

Lo sforzo ripreso dai bulloni risulta essere pari a:

V =

N

;

Hmax = f ·

Fv ,Ed =

q 2 V 2 + Hmax

n·b

N ·e h0

con

6(nb − 1) nb (nb + 1) la verifica nei bulloni consiste quindi nel verificare che f =

Fv ,Rd ≥ Fv ,Ed Ponendo particolare attenzione al numero di sezioni resistenti nei casi di angolare singolo (b) o accoppiato (cb). Oltre ai bulloni occorre bisogna verificare la piastra di collegamento e l’asta ed effettuare le verifiche a rifollamento (§6.5.2 pag.47).

Verifica sulla piastra

Figura 8.47: Posizionamento delle bullonature Per il dimensionamento dei bulloni si consideri lo schema:

La normativa impone: 25 · tmin ≥ p ≥ 3 · d0 mentre per elementi compressi 15 · tmin ≥ p ≥ 3 · d0 Rev. B.1

Per la verifica della piastra si ipotizza una diffusione dello sforzo a 60°. La verifica va quindi effettuata nella sezione AA, su una lunghezza c, depurata dei fori. Ne consegue che si deve avere: N ≤ σadm σ= (c − φ)s 99



dove φ è il diametro del foro interessato dalla sezione A-A s è lo spessore della piastra.

contenute nelle norme inglesi BS 449 e sono state parimenti adottate anche nelle Raccomandazioni Europee (CECM), nonché dalle Istruzioni CNR-UNI 10011. Per i profili a C collegati sull’anima e a T sull’ala (fig. 8.48d,e,f,g) possono adottarsi gli stessi criteri precedentemente esposti per gli angolari. Sono da sconsigliare i collegamenti che interessano una sola delle ali di un profilo a T o a doppio T (fig. 8.48h,i).

Verifica sulla piastra Quando si effettuano le verifiche delle aste si deve fare attenzione ai tipi di profili collegati ed al modo con cui si realizza il collegamento. Possono infatti instaurarsi nelle aste delle sollecitazioni secondarie dovute ad effetti flessionali che talvolta incrementano notevolmente le tensioni dovute allo sforzo normale N se di trazione. La norma specifica che per un singolo angolare collegato si deve considerare come area resistente o efficace:

Nel caso di aste compresse si deve ovviamente effettuare una verifica di resistenza ed una verifica di instabilità. Per la verifica di resistenza si opera come nel caso di aste tese: A · fyk ≥ NEd NRd =

γM0

Per quanto riguarda la verifica all’instabilità si rimanda a quanto già esposto al §3.6 pag. 26. Il collegamento saldato è in genere vantaggioso rispetto al collegamento bullonato poiché si ottiene: • un completo utilizzo della sezione poichè questa non viene penalizzata dai fori; • un collegamento molto più rigido tra le aste per la mancanza dei fori e quindi frecce ridotte; • la coincidenza dell’asse geometrico della struttura con l’asse baricentrico delle aste. Figura 8.48: Valutazione dell’area efficace Per un angolare collegato su entrambe le ali l’area resistente da considerare coincide con l’area netta: Ares = An Per un angolare collegato su una sola ala (fig. 8.48a) l’area resistente è data da: Ares = A1 + ξ A2 dove: A1 è l’area netta dell’ala collegata; A2 è l’area netta dell’ala non collegata; 3A1 ξ= 3A1 + A2 Nel caso di due angolari eguali accoppiati a T e collegati alla piastra di nodo nel piano delle ali (fig. 8.48b), l’area resistente è data da: Ares = 2A1 + 2ξ A2

Per soddisfare questo ultimo punto è necessario che le lunghezze dei due cordoni d’angolo siano diverse, in particolare si deve avere:

  2 · a1 · l1 · τ||,adm + 2 · a2 · l2 · τ||,adm = N 

2 · τ||,adm · a1 l1 b1 = 2 · τ||,adm · a2 l2 b2

 N b2   · l =   1 a1 · τ||,adm b1 + b2     l2 =

N a2 · τ||,adm

·

b1 b1 + b2

progetto

Le altezze di gola a1 ed a2 sono in genere legate alla larghezza dei profili collegati. In una struttura reticolare è quindi conveniente in genere utilizzare unioni di tipo saldato. Le unioni bullonate si adottano in corrispondenza delle estremità delle travi ed in corrispondenza di giunti interni realizzati per motivi di trasportabilità delle strutture realizzate in officina.

dove A1 e A2 hanno il significato precedente e

ξ=

5A1 5A1 + A2

Se i due angolari accoppiati a T sono collegati alla piastra di nodo nel piano dell’anima (fig. 8.48c) si avrà: Ares = 2An dove An è l’area netta di ciascun angolare. Queste regole pratiche, ispirate a ricerche di Nelson, sono Rev. B.1

Collegamento di fondazione Molti sono i tipi di collegamento colonna plinto di fondazione. La loro differenziazione è dovuta principalmente alle caratteristiche della sollecitazione che il collegamento deve trasmettere. In generale gli sforzi da trasmettere possono essere: • sforzo normale di compressione o di trazione; • presso o tensoflessione; 100



Figura 8.49: Diffusione del carico nelle giunzioni saldate • presso o tensoflessione + taglio; In figura 8.7 sono rappresentati dei semplici collegamenti in grado di trasmettere le caratteristiche della sollecitazione sopra citate. Le differenze sono minime poiché un vincolo di incastro, nel caso in cui la colonna sia solo compressa, si può considerare sufficientemente duttile consentire la schematizzazione del nodo come cerniera. I problemi tipici di questo collegamento sono: • la verifica delle dimensioni geometriche in pianta della piastra e definizione del diametro dei tirafondi; • la trasmissione delle azioni taglianti; • il dimensionamento dello spessore della piastra di fondazione in finzione delle eventuali costolature;

rettangolare fittizia di dimensioni 0, 8 b · 0, 95 h (vedi figu NEd m lo ra 8.50b). Detto L = max e σc = n AB − 4π d02 /4 spessore t della piastra si determina in base alla relazione: M = σc

L2 2

;

W(1m) =

t2 6

da cui: M σs = ≤ fyd W

s →

t≥

3 · σc · L2 fyd

Ovviamente, se t risulta troppo grande si ricorre ad una piastra nervata in modo da effettuare la verifica su una sezione del tipo figura 8.50c.

• il proporzionamento dei tirafondi di ancoraggio. Di seguito si analizzeranno questi problemi per gli schemi più ricorrenti. Cerniera per colonne compresse Questo vincolo viene di norma richiesto per le colonne degli edifici multi piano in acciaio con elementi a schema statico pendolare. In questo caso, a meno che lo sforzo non sia molto elevato, si ricorre a piastre semplici, ancorate con quattro tirafondi (fig. 8.50a). Per il dimensionamento in pianta della piastra, detta fcd la tensione ammissibile di compressione del calcestruzzo della fondazione, si deve avere:

NEd ≤ fcd

d2 A·B−4·π 0 4

Se la piastra è quadrata, sarà:

r A=B≥

NEd + π d02 fcd

Per dimensionare lo spessore della piastra, per i profilati della serie HEA, HEB e HEM, si deve assumere che lo sforzo di compressione dovuto a N sia distribuito su una superficie Rev. B.1

Figura 8.50: Cerniera per colonne compresse Cerniera per colonne tese Le colonne dei controventi verticali di un edificio multi piano con colonne aventi schema pendolare o di un capannone industriale, oltre che a forze di compressione, in presenza della pressione del vento, possono risultare soggette a forze di trazione. In questo caso, per gli sforzi di compressione, si dimensiona il collegamento come in precedenza, mentre per gli sforzi di trazione si dovranno dimensionare in modo opportuno i tirafondi di ancoraggio. Questi possono trasmettere il tiro alla fondazione in c.a. essenzialmente in tre modi: • per aderenza tra la superficie del tirafondo ed il calcestruzzo; 101



• per ancoraggio a traverse in acciaio mediante tirafondi con testa a martello; • per aderenza fra la superficie del tirafondo ed il calcestruzzo, oltre al contatto con quest’ultimo di una rosetta d’acciaio, saldata al tirafondo.

Il carico q distribuito è fornito dalla seguente espressione: q = 2 · b · σb dove

σb = Tirafondi per aderenza Detto N lo sforzo di trazione da trasmettere, indicata con Ares l’area resistente di un tirante (0, 75 · Atot ) e con n il numero di tiranti si ha: NEd N= n N σs = ≤ fyd Ares Se il tirante lavora per aderenza, la lunghezza necessaria può essere determinata una volta nota la tensione massima ammissibile di aderenza del calcestruzzo fbd . Per impedire lo sfilamento di una barra da un blocco di calcestruzzo è necessario che essa sia immersa per una lunghezza tale da consentire la trasmissione al calcestruzzo dell’intera forza di trazione esercitata sulla barra. Dall’equilibrio alla traslazione si ottiene, indicato con φ il diametro della barra:

πφlb · fbd =

πφ2 · fyd 4

→

lb =

fyd φ 4 · fbd

Se il tirafondo risulta ancorato con uncini, questi si fanno equivalere ad una lunghezza di ancoraggio di venti diametri. Se l’ancoraggio avviene in zona di calcestruzzo non compressa (quello che avviene di norma) la tensione fbd va ridotta del 50 %22 .

2·N ≤ fcd 2 · b(L − 4a)

con i termini a e b desumibili dalla seguente figura:

Figura 8.52:

mentre per L si intende tutta la lunghezza del profilato UPN. Va ovviamente verificata anche la saldatura del martello (come già esposto nei paragrafi precedenti).

Tirafondi per aderenza + Rosetta

Traverse di fondazione a contatto Durante il getto della fondazione vengono annegate nel getto delle traverse costituite da due profili UPN. Il passaggio degli sforzi di trazione N, avviene mediante il contatto delle traverse con il calcestruzzo. La verifica della traversa viene effettuata sullo schema di trave indicato in figura 8.51.

Figura 8.53:

Quello con la rosetta, può essere considerato un tipo intermedio di collegamento tra tirafondi e traverse di fondazione. La tensione σc nel calcestruzzo a contatto è pari a:

Figura 8.51: 22 É

σc =

N 2 − d 2) (c 4

π

necessario verificare la congruenza di queste ultime due disposizioni con il metodo degli Stati Limite

Rev. B.1

102



Per quanto riguarda invece la verifica a flessione della piastra, bisogna considerare la particolare forma del pezzo, che porterà ad uno stato di tensione pluriassiale definibile come:

le verifiche nelle situazioni più sfavorevoli per ogni elemento strutturale (base della colonna, calcestruzzo, tiranti). Per ogni coppia di valori (M;N), si procede come segue: Indicato Es e As = nb · At si determina l’asse neutro mediante con n = Ec la relazione:

σid = η · σc ·

c /2 s

2 ≤ fyd

è chiaro come sia possibile agire su spessore e diametro della piastra per far tornare la verifica. Il coefficiente η è infatti legato al diametro dal rapporto c /d: c /d

η

1,25 1,50 2 3 0,124 0,373 0,947 1,96

5 3,36

10 5,30

Si rende necessaria anche una sorta di verifica a “punzonamento” del calcestruzzo: si consideri un cono di distacco di semiampiezza 30° e si verifichi che le tensioni di trazione che vengono a svilupparsi siano sostenibili dal calcestruzzo o se sia necessario disporre dell’apposita armatura.

x 3 +3 e −

B 2

x 2 +6n

As A

e+h−

B 2

x −6n

As A

e+h−

B 2

Valutata la posizione dell’asse neutro si determina:

σmax,c =

N x As A − (h − x)n 2 x

che rappresenta la tensione massima nel cls, ottenuta imponendo l’equilibrio alla traslazione;

σt = n

σmax,c (h − x) x

che rappresenta la tensione del tirante nel gambo; Vincolo di incastro

σt0 = σt

At Ares

che rappresenta la tensione del tirante in corrispondenza della zona con area resistente pari ad Ares (nucleo). Una volta noti gli sforzi nella piastra si determina il suo spessore o gli eventuali irrigidimenti necessari.

Figura 8.54: Per vincolo di incastro si intende un vincolo in grado di trasmettere le caratteristiche della sollecitazione N, M, T. Per quanto riguarda l’azione tagliante, essa si tramuta in una tensione ortogonale alla costola di fondazione di entità pari a: T σt = A·h Ovviamente il dimensionamento dello spessore della costola va effettuato in base alla flessione della stessa. Per la determinazione delle tensioni dovute a all’azione normale e flessionale, si assimili la superficie di contatto tra la piastra di base e il calcestruzzo della fondazione come una sezione rettangolare in c.a. a semplice armatura pressoinflessa. Poiché le caratteristiche della sollecitazione N, M presenti alla base della colonna, sono dovute a carichi si varia natura (pesi propri, carichi di esercizio, neve, vento, azioni sismiche, distorsioni, ecc.), si devono effettuare Rev. B.1

103

h=0



Parte II

• intelaiatura semplice (collegamenti cerniera);

Costruzioni in Acciaio II

• continua (collegamenti rigidi); • semi-continua (collegamenti semi-rigidi)23 .

9

Analisi dei sistemi intelaiati

Nelle costruzioni in acciaio la struttura, molte volte ben distinta dalle componenti accessorie, ha tipicamente una configurazione a ossatura portante spaziale. Con riferimento a sistemi intelaiati regolari in pianta e in elevazione, ossia a situazioni ricorrenti nel mondo delle costruzioni in acciaio, se possibile è conveniente, in fase di progettazione, individuare modelli di calcolo piani sui quali basare il dimensionamento strutturale. Di conseguenza la progettazione, nell’ipotesi usualmente soddisfatta di solai infinitamente rigidi nel proprio piano, risulta indubbiamente semplificata e al contempo caratterizzata comunque da un soddisfacente grado di sicurezza. Appare quindi di fondamentale importanza affrontare in modo corretto il dimensionamento dei sistemi intelaiati piani, garantendo però sempre la piena rispondenza tra il modello di calcolo e la struttura reale. I telai devono essere verificati facendo in modo che venga garantita la: • resistenza delle sezioni trasversali; • resistenza delle membrature all’instabilità; • resistenza dei collegamenti; • stabilità globale del telaio;

La distinzione tra telai controventati e telai non controventati è legata alla presenza o all’assenza di uno specifico sistema strutturale (il sistema di controvento) in grado di trasferire in fondazione tutte le azioni orizzontali dovute al vento o al sisma, oppure associate alle imperfezioni strutturali. Sulla base delle indicazioni riportate nell’EC3, il sistema di controvento viene individuato come quella parte della struttura che è in grado di ridurre gli spostamenti trasversali del sistema strutturale almeno dell’80%. In modo del tutto equivalente, il sistema strutturale è controventato se la rigidezza trasversale dell’organismo che funge da controvento è almeno 5 volte quella del telaio.

9.2

Imperfezioni iniziali

Così come le singole aste compresse devono essere considerate imperfette ai fini della stabilità, anche i telai secondo l’EC3 devono essere considerati come dotati di imperfezioni dovute alla mancanza di verticalità, di rettilineità e alle eccentricità nei collegamenti. Secondo l’EC3 (5.3.2), gli effetti delle imperfezioni devono essere messi in conto tramite una imperfezione laterale iniziale: Φ = φ0 · αh · αm (9.1) con

φ0 = • equilibrio al ribaltamento come corpo rigido.

9.1

Elementi e classificazione

Secondo l’EC3 gli elementi componenti il telaio possono distinguersi in:

1 200

valore base; αh coefficiente di riduzione per l’altezza h applicabile alle colonne: 2 2 αh = √ con la limitazione ≤ αh ≤ 1 3 h

• travi; h è l’altezza della struttura in metri; αm è il coefficiente di riduzione per il numero di colonne in una fila: s

• colonne; • giunti.

I giunti possono classificassi in base alla loro rigidezza e alla loro resistenza: Rigidezza

Resistenza

Cerniera Rigido Semi-Rigido

Incernierato A completa resistenza A parziale resistenza

Per quanto riguarda le intelaiature, esse potranno essere classificate come:

αm =

1 0, 5 1 + m

m è il numero di colonne in una fila, includendo solo quelle colonne che portano un carico verticale NEd non minore del 50% del valore medio del carico agente nelle colonne appartenenti al piano verticale considerato. L’equilibrio viene quindi scritto nella configurazione iniziale indeformata e le imperfezioni vengono messe in conto applicando delle forze laterali agli impalcati. Queste forze andranno applicate in tutte le direzioni orizzontali pertinenti, ma considerando le presenti in una sola direzione per volta.

23 rispetto ai collegamenti cerniera quelli semi-rigidi sono in grado di riprendere momento negativo agli appoggi, riducendo in questo modo la freccia in campata

Rev. B.1

104



9.3

Tipologia strutturale e stabilità agli spostamenti laterali

Secondo l’EC3, tutte le strutture devono avere una rigidezza sufficiente a limitare gli spostamenti laterali. Questa rigidezza deve essere fornita: • da un sistema di controvento; • dai collegamenti e dagli elementi componenti il telaio.

Figura 9.1: Sostituzione delle imperfezioni iniziali con forze orizzontali equivalenti (1. Imperfezioni laterali iniziali; 2. Imperfezioni locali in termini di curvatura iniziale) Occorre inoltre tenere conto dei possibili effetti torsionali sulla struttura, prodotti da spostamenti laterali non simmetrici di due facce opposte. Vedi figura 9.2.

Un telaio in acciaio può essere trattato come controventato se il sistema di controvento riduce i suoi spostamenti di almeno l’80%. Un telaio controventato può essere considerato a nodi fissi. Più in generale, un telaio può essere considerato a nodi fissi se la sua risposta alle forze orizzontali è sufficientemente rigida da poter trascurare, con accettabile approssimazione, le forze o i momenti addizionali interni provocati dagli spostamenti orizzontali dei suoi nodi. Se il telaio non è a nodi fissi, è cioè a nodi spostabili, gli effetti degli spostamenti orizzontali dei nodi devono essere considerati nel progetto. Dal punto di vista pratico, un approccio comunemente seguito per la classificazione dei telai, e riportato nell’EC3, consiste nel considerare un telaio a nodi fissi per una assegnata condizione di carico, se è rispettata la seguente condizione:

Figura 9.2: Effetti traslazioni e torsionali (vista in pianta) Come è possibile notare dalla figura 9.1 esiste una perfetta analogia tra il comportamento di un’asta ed il comportamento di un telaio; sia nel caso questo venga considerato privo di imperfezioni, sia che si consideri il suo comportamento reale. In generale il carico critico euleriano è un carico non raggiungibile da una struttura reale per la presenza di imperfezioni geometriche, per la non linearità del materiale (plsticizzazione) e per gli effetti del secondo ordine dovuti alla presenza dei carichi verticali.

VSd ≤ 0.1 (9.2) Vcr dove VSd rappresenta il carico verticale totale di progetto relativo alla condizione di carico in esame e Vcr è il carico di collasso elastico per spostamento (instabilità) laterale del telaio. Poiché Vcr = λcr · VSd → λcr ≥ 10. In sostituzione alla 9.3, di difficile determinazione, l’EC3 propone la seguente formula semplificata: M II V ·δ = ≤ 0.1 MI H ·h

(9.3)

Figura 9.3: Effetto primario ed effetto secondario ovvero è necessario verificare che per ogni piano e per ogni combinazione di carico prevista il rapporto tra l’effetto secondario (V · δ con δ spostamento di piano determinato con analisi elastica) e l’effetto primario (H · h con H taglio di piano) sia inferiore a 0.1. Rev. B.1

105



9.4

5 - analisi rigido-plastica con effetti del II ordine : questo caso il λp decresce linearmente;

Teorie e metodi di analisi

I metodi di analisi che si possono adottare sono: • Analisi elastica globale (sempre); • Analisi plastica globale (con sezioni di classe I e II di acciaio idoneo). Effetti delle deformazioni: in genere le sollecitazioni interne possono essere determinate con:

in

6 - analisi elasto-plastica senza effetti del secondo ordine : si creano progressivamente una serie di cerniere plastiche fino al valore asintotico λp 4; 7 - analisi elasto plastica con effetti del secondo ordine : esatta;

• teoria del I ordine, usando la geometria iniziale della struttura; • teoria del II ordine, si può usare sempre. Entrambe applicabili sia ad analisi elastiche che plastiche. La teoria del I ordine può essere usata se: • il telaio è controventato; • il telaio può essere considerato a nodi fissi; • si usano metodi di progettazione che indirettamente tengano conto degli effetti del II ordine (EC3). Al riguardo, si sottolinea che non si ha equivalenza tra i termini telaio controventato e telaio a nodi fissi, poiché sono riferiti a due diversi aspetti del comportamento strutturale. Il primo è associato alla resistenza della struttura e fornisce indicazioni relative al meccanismo di trasferimento delle forze orizzontali; il secondo invece è relativo alla deformabilità trasversale. Più in generale è possibile elencare le differenti analisi che è si possono condurre su una struttura, riferendosi allo schema di figura 9.4.

Figura 9.5: Analisi

9.4.1

Analisi elastica

Si può dimostrare che in generale vale per i telai la formula di Rankine: 1 1 1 = + (9.4)

λu

λcr

λp

Da cui segue che se

λcr λp allora

λu ' λp Figura 9.4: Spostamento e amplificazione dei carichi 1 - analisi elastica lineare : si considera la struttura indefinitamente elastica, materiali lineari e non si considerano gli effetti del secondo ordine; 2 - determinazione del carico critico euleriano ; 3 - analisi elastica non lineare : considero gli effetti del II ordine (P − ∆); 4 - analisi rigido-plastica ; Rev. B.1

Questa è la condizione per cui gli effetti del secondo ordine sono piccoli, da cui si deduce che la curva 6 e 7 sono praticamente sovrapposte. In questo caso anche un’analisi elastica del primo ordine può essere accettabile. Per l’EC3 si accetta questa condizione se:

λcr > 10 · λp

(9.5)

Si può assimilare il comportamento della struttura che sottostà a questa condizione a quella delle aste tozze caricate di punta: 106



all’estremità della colonna e di valore Nj · ∆Vj /hj . Viene quindi richiesta una nuova analisi elastica del del I ordine in cui la condizione di carico è stata aggiornata includendo anche il contributo del taglio fittizio F∆j . Lo spostamento conseguente risulta allora superiore a quello determinato nell’analisi precedente e quindi ne deriva un’azione flettente associata alla deformabilità del sistema di entità maggiore. Con un numero limitato di iterazioni è possibile, nella maggior parte dei casi approssimare in termini di spostamenti e di azioni interne la risposta elastica del II ordine della struttura per un’assegnata condizione di carico.

Figura 9.6: Analogia con l’asta caricata di punta 9.4.2

Verifica della stabilità trasversale

Per stabilire se una struttura è a nodi fissi si opera come segue: 1. si effettua un calcolo elastico del primo ordine; VSd M II 2. si calcola o in via semplificata I = Vcr M

V ·δ H ·h

Figura 9.7: Stima dei tagli fittizi

; max

VSd > 0.1 allora la struttura è a nodi spostabili e Vcr devono essere amplificati i momenti del primo ordine (e gli sforzi normali) della quantità24 :

3. se

1 VSd 1− Vcr VSd Si noti che questo metodo non è applicabile qualora > Vcr 0.25; in tal caso è necessario effettuare un’analisi del secondo ordine rigorosa o si ridimensiona la struttura, irrigidendola. 9.4.3

Metodo dei tagli fittizi

Il metodo dei tagli fittizi permette di approssimare, mediante una serie di analisi elastiche del I ordine, ossia in modo iterativo, la risposta del sistema intelaiato tenendo approssimativamente in conto gli effetti del secondo ordine con riferimento alla particolare condizione di carico in esame. Il principio di funzionamento del metodo è illustrato in figura 9.7, con riferimento a componenti di telai a nodi mobili. La generica colonna, di altezza hj è soggetta all’azione assiale Nj , determinata mediante un’analisi del primo ordine. Nella configurazione deformata (in cui le estremità hanno subito uno spostamento relativo ∆Vj ) è soggetta a un’azione flettente aggiuntiva pari a Nj · ∆Vj dovuta all’eccentricità dell’azione assiale tra sommità e base della colonna. Il metodo è basato sulla trasformazione di questa azione flettente aggiuntiva in una copia equivalente di tagli fittizi F∆j agenti 24 Metodo

Rev. B.1

Riferendosi al generico sistema intelaiato deve essere in primo luogo fissato il parametro di controllo sul quale basare la verifica di convergenza (usualmente lo spostamento trasversale massimo, il massimo spostamento di interpiano oppure il valore di un’azione interna in una sezione critica) per potere interrompere la procedura iterativa, essendosi raggiunto un grado di accuratezza soddisfacente ai fini progettuali (usualmente fissato in qualche unità percentuale). Le fasi operative del metodo dei tagli fittizi sono indicate in figura 9.8 e l’aggiornamento della condizione di carico sulla base dei tagli fittizi calcolati è schematicamente rappresentata in figura 9.9 per il generico caso di un telaio a due piani e a due campate. In dettaglio, indicati con V e q rispettivamente gli spostamenti trasversali assoluti e i carichi verticali (ipotizzati, a titolo d’esempio, uniformemente distribuiti nel piano) e riferendo i pedici 1 e 2 rispettivamente I e II piano, si valutano: • le azioni flettenti aggiuntive: M∆ 2 = (

X

M∆ 1 = (

X

q2 Li ) · (V2 − V1 ) = (

X

q1 Li ) · V1 = (

X

q2 Li ) · ∆V2

q1 Li ) · ∆V1

• i conseguenti tagli fittizi associati: F∆ 2 =

M∆ 2 h2

F∆1 =

M∆ 1 h1

• i tagli addizionali risultanti per l’aggiornamento della condizione di carico:

∆F2 = F∆2

∆F1 = F∆ 1 − F∆ 2

dell’amplificazione dei momenti

107



Figura 9.11: Passo 1

Passo 2 k · u 2 = F 0 + ∆F 2 ⇒ δ2 , se δ2 − δ1 ≤

→

H3I =

STOP

2P0 δ2 h

Figura 9.8: Principali fasi applicative del metodo

Figura 9.12: Passo 2

Figura 9.9: Valutazione dei tagli fittizi in un telaio multipiano Usualmente, per arrivare a un soddisfacente livello di accuratezza sono richieste poche iterazioni (3 o al massimo 4 iterazioni). Nel caso in cui il numero di iterazioni sia invece superiore, il metodo non è applicabile (in tal caso i risultati ottenibili con questo approccio semplificato non sono affidabili) e pertanto è richiesto uno strumento di analisi più raffinato.

Altrimenti FINO ALLA CONVERGENZA

Esempio di calcolo 2P0 δ0 h con k matrice di rigidezza, u 0 vettore degli spostamen-

Passo 0 k · u 0 = F 0 ⇒ δ0 ,

H1I =

ti (incognito) → ottenuto δ0 ricavo la forza equivalente agli effetti del secondo ordine H1

Figura 9.13: Passo 3 Si noti che k è sempre la stessa matrice; il metodo risulta quindi di facile applicazione ma non rigoroso. 9.4.4

Analisi plastica: metodi rigido-plastici

Le ipotesi introdotte nel metodo di calcolo rigido-plastico, anche definibile come un calcolo semplificato a rottura, sono: • Elementi componenti il telaio perfettamente rigidi (EJ → ∞, nessuna deformazione elastica dei componenti);

Figura 9.10: Passo 0 Passo 1 k · u 1 = F 0 + ∆F 1 ⇒ δ1 , se δ1 − δ0 ≤ Rev. B.1

→

STOP

H2I =

2P0 δ1 h

• Deformazioni concentrate sulle cerniere plastiche considerando il modello rigido-plastico: 108



9.4.5

Analisi plastica: metodi elasto-plastici

Si inseriscono delle molle rigido-plastiche nelle aste con rigidezza EJ (vedi SAP2000)

Figura 9.14: Metodi elasto-plastici

⇓ È possibile utilizzare una legge σ − bilineare:

Il moltiplicatore λ viene valutato attraverso il PLV trascurando gli effetti del secondo ordine: Lvi = Lve

λH θh = 4Mpl θ λpl =

4Mpl hH

Figura 9.15: Legame costitutivo: 1. Elastico - Perfettamente Plastico 2. Elasto Plastico (incrudente) In questo caso la sezione trasversale rimane elastica fino allo snervamento delle fibre esterne. All’aumentare del momento la plasticizzazione prosegue all’interno della sezione e lungo l’elemento. Questa schematizzazione viene implementata in codici sofisticati come “ABAQUS”.

Questo metodo corrisponde alla curva 4 di figura 9.5. Avendo applicato il criterio cinematica avrò che il moltiplicatore di collasso sarà il minimo tra quelli calcolati per i diversi meccanismi. Considerando anche gli effetti del secondo ordine il lavoro esterno sarà addizionato di un contributo pari a 2 · P · abbassamento = 2Ph(1 − cosθ) '

' 2Ph

θ2 = Phθ2 2

e quindi Lve = λHhθ + Phθ2 Lvi = Lve

⇒ λpl =

λHhθ + Phθ2 = 4Mpl θ 4Mpl Pθ − Hh H

Questo metodo corrisponde alla curva 5 di figura 9.5 e rappresenta un legame lineare decrescente. Rev. B.1

Figura 9.16: Elementi implementati nei programmi di calcolo Sia l’analisi rigido-plastica che elsto-plastica possono essere effettuate secondo la teoria del primo o del secondo ordine; se il sistema è a nodi fissi (vedi 9.4.2 pag. 107) possono essere trascurati gli effetti del secondo ordine; se VSd 0.1 ≤ ≤ 0.2 può essere effettuata un’analisi rigidoVcr plastica amplificando tutte le sollecitazioni della quantità 109



1 , come per l’analisi elastica. 1 − VSd /Vcr Requisiti per le colonne Se le cerniere plastiche si vengono a formare nelle colonne (ad es. al piede), deve esserne garantita una certa rigidezza; occorre, in buona sostanza controventare il telaio. Nei telai controventati è richiesto che:

r λ¯ ≤ 0.4 ·

Npl NSd

(9.6)

ossia si richiedono colonne “tozze” che instabilizzino in campo plastico; mentre per i telai non controventati:

r λ¯ ≤ 0.32 ·

Npl NSd

(9.7)

con λ¯ snellezza della colonna nel piano in cui si plasticizza.

Rev. B.1

110



10

In figura è rappresentato l’andamento della sollecitazione flessione all’aumentare della curvatura

Classificazione dei collegamenti trave-colonna

Come già visto l’EC3 prevede la possibilità di utilizzare giunti rigidi, semi-rigidi e a cerniera. La proprietà di un giunto di essere rigido o meno, così come di essere a completo o parziale ripristino, non è una proprietà intrinseca assoluta; è invece una proprietà relativa, strettamente connessa alle proprietà degli elementi collegati, trave in particolare. La risposta di un giunto è tipicamente rappresentata da una legge momento-rotazione di tipo non lineare.

Figura 10.3: Diagramma M − φ

Il tratto O − My è elastico; il tratto My − MRd rappresenta il tratto a snervamento incrudente; il massimo viene raggiunto in corrispondenza dell’instabilizzazione di una delle tre componenti. Con riferimento al diagramma appena visto l’EC3 distingue diversi tipi di giunto:

Figura 10.1: Rotazione relativa fra trave e colonna

Figura 10.4: Giunto: Rigido - Completo ripristino

Figura 10.2: Giunto La rotazione φ è provocata da: 1. deformazioni locali dell’anima della colonna in zona tesa; 2. deformazioni locali dell’anima della colonna in zona compressa; 3. dalla deformazione del pannello d’anima a taglio, dalla deformazione della flangia e dei bulloni, ecc. Rev. B.1

Figura 10.5: Giunto: Rigido - Parziale ripristino 111



4. bulloni a trazione;

5. anima della colonna a trazione;

6. ala della colonna a flessione;

7. piatto flangiato d’estremità a flessione. Figura 10.6: Giunto: Semi-Rigido - Completo ripristino

Figura 10.7: Giunto: Semi-Rigido - Parziale ripristino

10.1

Metodo per componenti

In aggiunta alla determinazione sperimentale della relazione M − φ, può essere possibile, per alcune tipologie di giunzione, valutarla in modo teorico, mediante l’approccio per componenti, di recente proposto anche dall’EC3 per le seguenti tipologie di collegamento: • collegamento con angolari d’ala; • collegamento con flangia;

Figura 10.8: Modellazione di giunti semi-rigidi

• collegamento con flangia in spessore di trave. Nell’ambito di questo approccio sono individuate alcune componenti elementari fondamentali ed ognuna di queste è schematizzata con una molla assiale, la cui relazione forza-allungamento viene definita analiticamente. Il giunto è simulato da un insieme di molle opportunamente collegate e, mediante specifiche relazioni analitiche, è possibile ottenere la legge di comportamento del giunto. A titolo di esempio, in figura 10.8 viene proposto per il giunto flangiato con piatto esteso oltre le ali della trave, il modello di molle in grado di simularne la risposta. Le componenti fondamentali evidenziate sono: 1. pannello dell’anima della colonna a taglio; 2. anima della colonna a compressione; 3. ala della trave a compressione; Rev. B.1

La relazione momento-rotazione del giunto, sia essa ottenuta dalla sperimentazione oppure mediante approccio analitico, è usualmente di tipo non lineare. Spesso è quindi necessaria una sua rappresentazione semplificata per poter effettuare un’analisi strutturale. In figura 10.9 sono proposte alcune tipiche soluzioni: in aggiunta alla schematizzazione multilineare (curva a), è possibile una rappresentazione semplificata mediante modelli di tipo elastico-perfettamente plastico. In dettaglio, nella figura sono proposte due alternative comunemente usate, differenti per il valore della rigidezza rotazionale elastica: nella curva b) si utilizza il valore della rigidezza tangente alla curva sperimentale mentre nella proposta c) si adotta un valore di rigidezza secante individuata dall’origine e dal punto della curva M − φ in corrispondenza di un livello di momento pari a 2/3 della capacità portante del giunto. 112



Sostituendo F con M /H: 5 M X 1 EH 2 ki

θ=

i=1

da cui M=

EH 2 5 X 1 ki

· θ = SJini · θ

(10.1)

i=1

SJini =

EH 2 5 X 1 ki

(10.2)

i=1

Figura 10.9: Esempi di modellazione della relazione M − φ 10.1.1

con SJini rigidezza elastica iniziale del giunto. Ovviamente, ricordando che F = M /H, il momento resistente del giunto sarà: MRd = min(FR,di ) · H

Collegamento trave-colonna bullonato

(10.3)

in quanto il collasso avviene quando una sola molla plasticizza, ossia quando raggiunge il proprio FR,di .

Si consideri, ad esempio, il seguente giunto:

Per lo stesso giunto può essere data una doppia rappresentazione della legge momento-rotazione:

Figura 10.10: Giunto modellato per componenti M . Si assuma che ogni componente sia H caratterizzato da una legge del tipo: in cui F =

Il tratto ABC rappresenta la risposta reale del giunto; il tratto OA la schematizzazione in campo elastico, da utilizzarsi per una progettazione in campo elastico del giunto, quando richiesta per ragioni specifiche, utilizzando i seguenti parametri: 2 Ml = MRd S = SJini 3 la legge bilineare OBC rappresenta la schematizzazione da usare per la progettazione elasto-plastica usuale: Figura 10.11: Legge componente Seguirà quindi che la rotazione θ sarà data da (ricordando che in una molla F = k · x):

∆ 1 θ= = H H

F E · k1

+

F E · k2

+

F E · k3

5 F X 1 = EH ki i=1

Rev. B.1

+

F E · k4

+

F E · k5

SJ = SJini /2 SJ = SJini /3

per giunto trave − colonna

(10.4)

per giunto trave − trave

(10.5)

=

10.1.2

Collegamento trave-colonna saldato

In genere il metodo per componenti da buoni risultati per elementi non irrigiditi, per applicarlo è innanzitutto necessario definire la geometria della sezione (profili tipo IPE o HE). 113



Figura 10.12: Collegamento irrigidito e non irrigidito

√ beff = tfb + 2 2ab + 5(tfc + rc ) 5(tfc + ec ) corrisponde ad una diffusione degli sforzi di circa 60° Figura 10.13: Geometrie definite su profili standard

L’EC3 in appendice J, presenta un metodo semplificato per il calcolo delle resistenze e delle rigidezze delle componenti.

Ft,Rd =

fyc · twc · beff γm0

c1) - Resistenza colonna irrigidita in zona tesa Se la colonna è irrigidita mediante un irrigidimento di spessore non minore all’ala della trave, la resistenza a trazione è pari alla resistenza dell’ala della trave:

1) - Zona tesa Ft,Rd = a1) - Resistenza ala colonna non irrigidita in zona tesa La resistenza viene definita attraverso la determinazione di una base efficace:

Ft,Rd =

fyb

γm0

· tfb [twc + 2rc + 7tfc ]

Se Ft,Rd < 0.7 · fyb /γm0 · tfb · bfb il giunto deve essere irrigidito. Le saldature che collegano l’ala della trave alla colonna devono poter assorbire lo sforzo di plasticizzazione

fyb · tfb · bfb

γm0

fyb · tfb · bfb γm0

Una volta calcolato il valore minimo di Ft,Rd conosciamo la resistenza in zona tesa. 2) - Zona compressa In questo caso si possono avere due differenti tipi di collasso: • schiacciamento; • instabilizzazione. b2) - Resistenza anima colonna non irrigidita in zona compressa

√ b1) - Resistenza anima colonna non irrigidita in zona tesa

beff = tfb + 2 2ab + 5(tfc + rc ) come per la zona tesa.

Rev. B.1

114



La resistenza allo schiacciamento è assunta pari a: Fc,Rd = fy,c · twc

σn,Ed beff · 1.25 − 0.5γm0 · · fyc γm0

La resistenza plastica di progetto del pannello d’anima risulta 0.9 · fyc · Av √ Vpl,Rd = γm0 3 con Av = Ac − 2 · bc · tfc + (twc + 2 · rc ) · tfc

beff nel caso σn,Ed = 0, con σn,Ed = 0 γm0 pari alla tensione normale massima di compressione nell’anima della colonna, dovuta a sforzo normale e momento flettente di progetto. Il termine entro le parentesi quadre tiene conto dell’iterazione con lo sforzo normale: ho uno area resistente a taglio. stato di sforzo di compressione bi-assiale, quindi plasticizza N.B.: per aumentare la resistenza a taglio del pannello prima. d’anima può essere saldato un piatto su un lato dell’anima. c2) - Resistenza anima colonna irrigidita in zona In questo caso lo spessore totale dell’anima sarà pari allo spessore dell’anima più metà spessore del piatto di irrigidicompressa mento. Come per la zona tesa, la resistenza a compressione è Quando vengono usati irrigidimenti diagonali per aumenpari alla resistenza di progetto dell’ala della trave, purché lo tare la resistenza a taglio, questi devono essere progettati spessori dell’irrigidimento sia almeno pari a tfb . per resistere alle forze di trazione e compressione trasmesN.B.: Deve essere verificato che l’anima della colonna se alla colonna dalle ali della trave. Le saldature fra irrigidimenti e ali colonna devono essere non instabilizzi. progettate in modo da resistere alle forze negli irrigidimenti. con Fc,Rd ≤ fy,c · twc ·

Posto H = hb − tfb , definito braccio della coppia interna, si ha che: MRd = min(FRt ; FRc ; Vpl,Rd ) · H (10.6) Rigidezza rotazionale

beff = H (diffusione a 45°) Rb,Rd =

fyc · beff · twc

γm1

3) - Zona soggetta a taglio a3) - Pannello d’anima di colonna non irrigidita

Rev. B.1

Per questo tipo di giunto l’EC3 propone una formulazione semplificata per il calcolo della rigidezza secante SJ del giunto: E · H 2 · twc (10.7) SJ = 3 X 1 Fi 2 ki Fi,Rd i=1

con Fi Forza nel componente i del collegamento dovuto ad M, ma non minore di Fi,Rd /1.5; Fi,Rd Resistenza di progetto del componente i del collegamento; 115



ki 0.24 per anima colonna soggetta a taglio; 0.8 anima colonna zona tesa; 0.8 anima colonna con a compressa;

Modo1 : Meccanismo plastico completo ala (cerniera plastica);

N.B.: se il generico componente è irrigidito, si può porre ki = ∞; non si considera la deformabilità dell’ala della colonna in zona tesa, ma solo la sua resistenza; un collegamento saldato, irrigidito sia in zona tesa che in zona compressa può essere considerato come rigido.

Modo2 : Rottura bulloni con snervamento ala; Modo3 : Rottura bulloni;

Capacità rotazionale Si può assumere che un collegamento trave-colonna saldato non irrigidito, abbia una capacità di rotazione φCD = 0.015 rad (in realtà può ruotare anche fino a 0.030 rad). Si può assumere che un collegamento trave-colonna saldato a completo ripristino abbia una adeguata capacità di rotazione per l’analisi plastica; questa capacità rotazionale è assicurata se lo stesso giunto è governato dalla resistenza della zona di taglio. Inoltre: • se la colonna è irrigidita in zona tesa e in zona compressa, allora ha una capacità di rotazione per l’analisi plastica anche se non è a completo ripristino; • se la colonna è irrigidita in zona tesa e non in zona compressa, allora ha una capacità di rotazione per l’analisi plastica; • se la colonna è irrigidita in zona compressa e non in zona tesa, quando la resistenza non è governata dalla zona a taglio, φCD = 0.025 hc /hb con hc altezza della colonna e hb altezza della trave;

10.2

Collegamento trave-colonna flangiato

Indicato con: Mpl,Rd =

tf2 · σy · leff 4 · γm0

il momento plastico dell’ala; Bt,Rd resistenza a rottura del bullone e leff la larghezza efficace del t-stub (di difficile valutazione), avremo: Modo1 : Ft,Rd =

4Mpl,Rd m

Modo2 : Ft,Rd =

2Mpl,Rd + e · Σ Bt,Rd e+m

Modo3 : Ft,Rd = Σ Bt,Rd con la sommatoria estesa a tutti i bulloni del t-stub. Ponendo

β=

4Mpl,Rd e · Σ Bt,Rd

e

λ=

e m

si ha: Le ipotesi che si assumono per questo calcolo sono di avere due bulloni per fila e che la flangia non sia irrigidita. Nello studio di questo tipo di giunto un ruolo importante viene svolto dagli elementi a t equivalenti (t-stub). Il comportamento di questo elemento è governato da: • resistenza-rigidezza ala; • resistenza dei bulloni; • resistenza anima; • resistenza saldatura anima-ala. Tre sono i possibili meccanismi di collasso di un elemento t-stub: Rev. B.1

Figura 10.14: Modalità di collasso dei t-stub 116


Risulta quindi sconsigliabile ricadere in meccanismi fragili di tipo 3. Resistenza zona di trazione I meccanismi di tipo t-stub riguardano le seguenti zone in trazione:


Sul bullone si viene a formare un cono plastico. L’ala della colonna a trazione si deve considerare come una serie di t-stub con una lunghezza totale uguale alla lunghezza totale efficace Σ leff . Per ogni riga di bulloni la leff deve essere la minore tra i tre meccanismi visti in precedenza.

• ala colonna; Bulloni intermedi: • flangia. L’ala della colonna può avere tre diversi tipi di meccanismi di collasso: a1) Meccanismo globale per il gruppo di bulloni

• leff = p

per il meccanismo a1;


• leff = 4m + 1.25e

• leff = 2π m


Bulloni di estremità:

• leff = 0.5p + 2m + 0.625e


Figura 10.15: Cerniere cilindriche su meccanismo globale • leff = 4m + 1.25e


a2) Meccanismi separati per ogni bullone • leff = 2π m


Nota: il modo di collasso e la resistenza massima di progetto devono essere determinate considerando tutte le file di bulloni nella zona di trazione come un unico gruppo che agisca tutto insieme in un singolo elemento t-stub equivalente.

Figura 10.16: Meccanismi separati La valutazione della leff si basa su considerazioni energetiche.

Il contributo della flangia si considera, invece, per la zona di trazione, schematizzando la stessa in una serie di t-stub equivalenti. La lunghezza efficace di questi andrà valutata a seconda della posizione dei bulloni.

a3) Meccanismi per imbutimento

Figura 10.17: Imbutimento Rev. B.1

117



In questo caso la lunghezza efficace risente del contributo irrigidente dovuto all’ala e all’anima della trave. Per la valutazione di α è possibile utilizzare il seguente abaco:

Figura 10.18: Schematizzazione per t-stub della flangia

Figura 10.19: Valori di α per ali di colonne irrigidite (J.3.7) Un valore di α pari a 2π corrisponde al meccanismo di imbutimento. Per i bulloni esterni all’ala della trave in trazione:

leff ,a = min

0.5 · bp −0.5 · w + 2 · mx + 0.625 · ex

Per la prima riga di bulloni interni all’ala della trave in trazione:

leff ,b = min con λ1 =

α·m 2π m

m2 m1 e λ2 = m1 + e m1 + e

Per gli altri bulloni, se interni alla trave ed intermedi: Per la prima riga di bulloni interni all’ala della trave in trazione: leff ,c

  p (passo bulloni) 4m + 1.25e = min  2π m

α = f (λ1 , λ2 ) I bulloni interni alla trave, ma di estremità:

leff ,d

  0.5p + 2m + 0.625e 4m + 1.25e = min  2π m

Una volta individuati i t-stub, bisogna valutare la loro efficacia adottando un criterio plastico (nel caso di collasso secondo modalità 1 e 2 del grafico di figura 10.14) o elastico (proporzionale alla distanza dal centro di rotazione, vedi modo 3 del grafico di figura 10.14). Si preferisce la scelta di un criterio plastico per la determinazione del momento resistente del giunto. Questo criterio si basa sulla scelta di t-stub con comportamento duttile. Rev. B.1

118



P

4. Se i Ft,i,Rd > Rmin (con i numero di t-stub) si devono ridurre le file o righe P di bulloni nella zona di trazione in modo da avere i Ft,i,Rd < Rmin (con Rmin ricalcolata in base al passo 3). 5. una volta determinato il numero di righe che effettivamente collabora si può calcolare il momento resistente In presenza di un irrigidimento o dell’ala della trave si devono distinguere i gruppi di bulloni come appartenenti a t-stub separati.

MRd =

X

Ft,i,Rd · hi

i

con hi distanza della riga i-esima di bulloni dal centro di resistenza della zona di compressione. Si noti come questo metodo non sia applicabile qualora i t-stub siano soggetti a collasso fragile (modo 3, grafico di figura 10.14). Esempio

Per ogni gruppo ci deve essere equilibrio tra le resistenze di progetto dell’ala della colonna e della flangia. Ciò implica che non tutti i bulloni di un gruppo partecipano alla resistenza del gruppo stesso ma solo quelli che minimizzano la differenza di resistenza tra i t-sub dell’ala della colonna e i t-stub della flangia (punto J.3.3).

10.2.1 1.

Procedura operativa (a) Si deve calcolare la resistenza efficace di ogni fila di bulloni in base alla resistenza del t-stub dell’ala o della flangia (nel caso di gruppi si deve determinare la resistenza efficace minimizzando la differenza tra resistenza gruppo ala e flangia; ciò implica che per le singole file di bulloni del gruppo si può calcolare la resistenza ridistribuendo al più la resistenza della prima fila di bulloni omessa). (b) Se il valore di progetto della resistenza efficace per una qualsiasi fila di bulloni supera 1.8 · Bt,Rd (con Bt,Rd resistenza del bullone) si deve cambiare tipo di collegamento (ad es. usare bulloni più resistenti) in modo che il t-stub sia di tipo duttile.

2. Nota la resistenza efficace della singola fila di bulloP ni Ft,i,Rd si calcoli la i Ft,i,Rd su tutte le file di bulloni tesi. 3. si determini Rmin come valore minimo tra: • resistenza dell’anima della colonna nella zona di trazione; • resistenza dell’anima della colonna a compressione; • resistenza dell’anima della colonna a taglio. Rev. B.1

Per quanto riguarda la beff ,1 è possibile ipotizzare una diffusione a 45° oppure la somma della larghezza efficace dei due t-stub. Nella zona a compressione beff ,2 = tfb + 2tp + 5(tfc + rc ) Risulta evidente che affinché entrambe le file siano efficaci non si deve avere un prematuro cedimento dell’anima della colonna: • a trazione; • a compressione; • a taglio. La bullonatura inferiore, oltre che collaborare a taglio, lavora allo stesso modo della bullonatura superiore nel caso di inversione del momento. 119



10.2.2

10.2.3

Rigidezza alla rotazione

L’EC3 propone la seguente relazione per la rigidezza secante: E · h12 · twc SJ = (10.8) X µi Fi 2 ki Fi,Rd i

con h1 distanza della prima riga di bulloni sotto l’ala tesa della trave dal centro di compressione.

µi =

  1

per i = 1, 2, 3

F1,Rd  h1 MRd

per i = 4, 5, 6

Capacità rotazionale

Si può assumere che un collegamento trave colonna, nel quale la resistenza al momento sia governata dal pannello d’anima a taglio, abbia adeguata capacità rotazionale per effettuare un analisi plastica. Un collegamento bullonato, nel quale la resistenza al momento è governata dalla resistenza della zona tesa a trazione, ha adeguata capacità di rotazione per effettuare un’analisi plastica se per ogni fila di bulloni coinvolta, almeno un componente (ala-colonna, flangia) sia caratterizzato da un t-stub con modo di collasso 1. Ovvero un t-stub per cui sia

β≤

con: Fi forza nel componente i dovuta al momento M con M ≤ MRd Fi,Rd resistenza di progetto della componente i collegamento

φcd =

molla 3 anima colonna a compressione k3 = 0.8; tf3,c 4m2 twc

10.6 − 4βmin 1.3 · h1

Ft,Rd con βmin = β per la componente con il minimo P . Bt,Rd Quanto detto sopra vale anche per la flangia estesa.

molla 2 anima colonna a trazione k2 = 0.8;

molla 4 ala colonna a trazione k4 =

2λ <β<2 1 + 2λ allora

molla 1 anima colonna a taglio k1 = 0.24;

;

se la resistenza è associata al modo di collasso 2, ovvero se

del

ki coefficiente di rigidezza della componente i

2λ 1 + 2λ

;

2AS con lb twc AS area a trazione bullone; lb lunghezza bullone (da metà spessore dado a metà spessore testa); twc spessore anima colonna;

molla 5 bulloni a trazione k5 =

molla 6 flangia trave a trazione k6 =

λ2 =

tp3 12 · λ2 m2 twc

con

m2 valido per flangia non estesa m1 + e

Nel caso di flangia estesa si deve assumere h1 con riferimento alla fila di bulloni esterni, inoltre k6 =

te3 4 · mx2 twc

Si può assumere che un collegamento bullonato con flangia di estremità sia un collegamento rigido se: • La colonna ha irrigidimenti d’anima in zona tesa e compressa; • Il momento resistente è determinato secondo l’approccio elastico (punto J.3.2). In presenza di irrigidimenti d’anima si può porre: k2 = k3 = ∞ e k4 >

Rev. B.1

k4 =

tfc3 12 · λ2 m2 twc

tfc3 4 · m2 twc 120



11

classificazione giunto : non necessaria qualora si realizzino, appunto, giunti cerniera.

Schemi di calcolo EC3

Figura 11.3: Giunti cerniera a squadretta (a) e a sedia (b) Un altro tipo di giunto cerniera può realizzarsi mediante saldatura di flangia sull’anima della trave. La classificazione del telaio non è necessaria, in quanto essendo controventato può essere considerato a nodi fissi e si possono perciò trascurare gli effetti del secondo ordine. Gli effetti delle imperfezioni geometriche viene scaricato tutto sul controvento.

Figura 11.1: Schema di calcolo secondo EC3 Nel capitolo verranno analizzate le tipologie di edificio trattate nell’EC3.

11.1

Telaio controventato incernierato

Figura 11.4: Effetto delle imperfezioni geometriche L’analisi viene quindi condotta, per quanto riguarda il calcolo delle caratteristiche della sollecitazione, come da CNR (elasticamente). Le verifiche e le combinazioni di carico vengono eseguite secondo EC3 (SLU). Le verifiche vanno eseguite nelle ipotesi elastiche; ciò implica che se i profili che compongono il telaio sono di classe I, II, o III, questi andranno trattati come profili di classe III (campo elastico con Wel ).

Figura 11.2: Telaio controventato incernierato

Nulla vieta che il telaio in acciaio sia incernierato ad un controvento in C.A.. Anche in questo caso il telaio in acciaio può essere considerato controventato e privo di imperfezioni.

Nella figura wi si riferisce al peso totale di piano. Nel condurre l’analisi elastica per questo tipo di struttura è necessario tenere conto di: classificazione sezioni : non è un problema a meno che non si usino profili sottili di classe IV; sono consoni profili di classe I, II, III; Rev. B.1

11.2

Telaio controventato a nodi semirigidi

Al fine di incrementare la capacità portante delle travi e migliorare il loro comportamento in esercizio è possibile introdurre la giunzione semirigida. In questo modo posso trasferire parte del momento positivo della campata agli appoggi. 121



11.3

Figura 11.5: Giunti semirigidi

Sussistono tre possibilità: • trave in campo elastico e giunto in campo elastico;

Telaio controventato con trave continua

Figura 11.6: Telaio controventato con trave continua Vale quanto detto per l’esempio precedente. I profili componenti le aste devono essere di classe I, II o III. La classificazione del giunto non è necessaria in quanto non ho giunti sulla trave essendo essa continua.

• trave in campo elastico con giunto plasticizzato (occorre verificare che il giunto sia in grado di sopportare le rotazioni senza collassare prematuramente); • formazione di un meccanismo in condizioni ultime (quindi con giunto plasticizzato e trave plasticizzata);

Ovviamente è necessario fare in modo che la capacità rotazionale del giunto sia sufficiente a consentire la formazione della cerniera plastica in campata senza che si abbiano premature perdite di stabilità.

Figura 11.7: Nodo con trave continua e colonna pendolare Anche per quanto riguarda la classificazione del telaio e la valutazione della relativa imperfezione geometrica si rimanda a quanto esposto nell’esempio precedente. Calcolo della trave Si può utilizzare la teoria elastica se i profili delle aste componenti il telaio sono di classe I, II, o III. Nel caso in cui si adotti il modello elasto-plastico esso potrà essere applicato: • senza redistribuzione per profili di classe I e II; • con redistribuzione per profili di classe I.

Vanno usati profili di classe I o II ed è necessario caratterizzare la risposta M − θ del giunto secondo l’allegato J dell’EC3. Rev. B.1

Calcolo delle colonne Si veda il calcolo ad instabilità secondo EC3. 122



11.4

VSd /Vcr < 0.25).

Telaio continuo

La determinazione delle caratteristiche della sollecitazione è semplice anche nel caso di telaio a nodi spostabili (occorre amplificare i momenti flettenti secondo le indicazioni contenute nell’EC3) oppure possono essere valutati gli effetti del secondo ordine mediante l’impiego di un appropriato codice di calcolo. Le verifiche di resistenza andranno condotte come indicato nell’EC3, considerando tutte le sezioni come se fossero di classe III. L’analisi plastica è consentita con sezioni di classe I e giunzioni rigide a completo ripristino. Il calcolo a rottura può condursi in maniera lineare per telai a nodi fissi, considerando gli effetti del secondo ordine per telai a nodi spostabili. Per il calcolo elasto-plastico occorre impiegare codici non lineari appropriati.

Figura 11.8: Telaio continuo Le aste componenti il telaio sono di classe I, II, o III. Per quanto riguarda la classificazione del giunto esso deve essere rigido (criterio rigidezza) e a completa resistenza (criterio resistenza).

11.5

Edificio monopiano reticolare

Figura 11.11: Edificio monopiano reticolare Figura 11.9: Giunto saldato irrigidito; considerato a completo ripristino

può essere

È equivalente ad un sistema a pendolo rovescio (con una capacità dissipativa limitata). La classificazione delle sezioni è immediata (secondo EC3 - solo la colonna). La classificazione dei nodi non si rende necessaria in quanto vengono utilizzati nodi cerniera per la trave e un incastro alla base della colonna. È superflua anche la classificazione del telaio. La colonna viene verificata direttamente per carico di punta. Il giunto di fondazione deve essere a completo ripristino di resistenza.

Figura 11.10: Giunto flangiato irrigidito con flangia estesa; è facile realizzarlo a completo ripristino La classificazione del telaio comprende: • telaio a nodi fissi; • telaio a nodi spostabili. Sulla base del rapporto VSd /Vcr . È possibile utilizzare il metodo semplificato come indicato sull’EC3 (se Rev. B.1

Figura 11.12: Effetto dell’imperfezione 123



Le verifiche di resistenza sono da condursi tutte in campo elastico indipendentemente dal profilo utilizzato.

11.6.2

11.6

Tipologie aggiuntive e dettagli

11.6.1

Edifici multipiano

Tipi di controventature

Figura 11.15: Tipologie di controventature I vari tipi di controventi verticali: (a) Mohniè: in cui l’asta diagonale deporrebbe resistere anche a compressione; (b) a croce di S. Andrea: in cui l’asta compressa instabilizza elasticamente in virtù della snellezza minima garantita con cui è progettata; (c) a V rovescia; (d) a maglie a portale zoppo; (e) a maglie a portale a tre cerniere; Figura 11.13: Tipologie di edifici multipiano Gli edifici intelaiati così composti possono essere costruiti con telai trasversali (poco usati in quanto comportano l’uso di travi di luce maggiore) o con telai longitudinali. In ogni caso essi possono essere interamente intelaiati o interamente controventati. Quest’ultima tipologia mi consente di impiegare giunti cerniera più semplici e meno costosi.

(f) a V; Oltre che all’assorbimento efficace dei carichi orizzontali da parte del telaio occorre verificare l’intera struttura a ribaltamento, eventualmente predisponendo una zavorratura.

Secondo le indicazioni dell’EC4 i solai componenti gli orizzontamenti del telaio possono considerarsi infinitamente rigidi nel loro piano qualora lo spessore della soletta in calcestruzzo posta in opera sia maggiore di 4 cm.

Figura 11.14: Soluzioni per solaio rigido Rev. B.1

Figura 11.16: Stabilità globale 124


11.6.3


Nodi incastro

• angolari;

Qualora il telaio non preveda controventatura è necessario predisporre collegamenti nodali in grado di trasmettere le forze orizzontali in fondazione.

• flangiati; • a sedia.

11.6.6

Figura 11.17: Nodi incastro

Controventatura isostatica

Possono esistere controventi che impongano tre condizioni di vincolo per ogni piano e che realizzino quindi una struttura isostatica.

Possono essere: (a) saldati a completa penetrazione (irrigiditi e non); (b) saldati a cordoni d’angolo (irrigiditi e non); (c) flangiati; (d) bullonati con coprigiunti; 11.6.4

Specializzazione nell’assorbimento dei carichi

In presenza di controvento si può assumere che le forze H siano riprese interamente e solo da esso.

Figura 11.20: Controventatura isostatica

Figura 11.18: Specializzazione nell’assorbimento dei carichi 11.6.5

Nodi cerniera

Figura 11.21: Forze di piano

L’equilibrio sulla controventatura di piano impone: q

→

R1 = R2 =

qL 2

R3 = 0

Figura 11.19: Nodi cerniera I nodi cerniera, più economici, possono realizzarsi con: Rev. B.1

Fi

→

R1 = R2 =

F1 2a + F2 a L

R3 = F1 + F2 + F3 125



11.6.7

Strutture speciali

Figura 11.22: Sezioni Figura 11.24: Strutture speciali (a) Struttura di edificio del tipo sospeso; (b) Struttura di edificio del tipo “ad ombrello”; (c) Telaio di facciata di tipo reticolare a maglie rombiche; (d) Struttura di edificio del tipo “a grandi luci a ponte”.

La controventatura può avvenire anche con nucleo in C.A. (detta anche “mista”).

11.7

Verifica della stabilità globale della struttura sotto carichi verticali

• Metodo 1 Si calcola il carico critico per il controvento in modo approssimato π2 · E · J ∗ Nc = l02 con J ∗ momento d’inerzia flessione del controvento considerato formato dalle sole sezioni trasversali dei montanti del controvento stesso.

Figura 11.23: Controventatura mista Rev. B.1

126



11.8

Schemi di calcolo dei nodi

P

Si calcola il carico Ntot = Ni,max , somma delle massime azioni assiali in tutte le colonne dell’edificio. Dovrà essere Nc /Ntot ≥ 4 ÷ 8.

Figura 11.25: Schematizzazione di calcolo dei giunti Schema 1 - colonna semplicemente compressa

• Metodo 2 - proposto dalla normativa La trave ha una luce pari ad l. In assenza di determinazione diretta del carico critico Euleriano dell’intera struttura, la norma consente di saggiare la stabilità globale controllando che accanto alla condizione di carico imposta dalla norma, vento escluso, la struttura possa sopportare anche un carico orizzontale pari a qH =

qV 80

giunto a

giunto b

V = R1 M = R1 · a

V = R1 M = R1 · (a + e)

Schema 2 - colonna pressoinflessa

con qV carichi verticali agenti. Dovrà risultare

N = R1 M = R1 · a

H δ≤ 500

colonna

(anche gli spostamenti δ da vento, come noto, devono H essere tali che δ ≤ 500 )

La trave ha una luce pari ad l − 2a.

giunto a

giunto b

V = R1 M=0

V = R1 M = R1 · e

Schema 3 - colonna pressoinflessa

colonna

Rev. B.1

N = R1 M = R1 · (a + e) 127



La trave ha una luce pari ad l − 2(a + e).

giunto a

V = R1 M = R1 · e

giunto b

V = R1 M=0

Ognuno di questi tre modelli è a favore di sicurezza e può essere assunto nel calcolo.

Rev. B.1

128


12

Sistemi strutturali di edifici monopiano

12.1


– > 6% se giuntate; • fibrocemento > 20 ÷ 25% (comporta maggiori ingombri volumetrici).

Manti di copertura

Esso può essere essenzialmente di tre tipi: • lamiera d’acciaio; • fibrocemento; • sandwich di lamiere

La copertura in lamiera incide sul peso proprio della struttura apportando circa il 50% di massa in meno rispetto ad una in fibrocemento. Non si altera nel tempo se protetta con zincatura e vernice protettiva o rivestimento plastico. Ha una maggiore sicurezza per quanto riguarda la pedonabilità e gli urti (grandine). Comporta però delle complicazioni dal punto di vista termotecnico per l’elevato rischio di condensa.

Figura 12.1: Manti di copertura In funzione della luce si adottano, generalmente, le seguenti scelte costruttive:

Figura 12.3: Collegamenti con lamiera grecata

• 1 ≤ l ≤ 4 m in lamiera con s ≥ 6/10; • 1 ≤ l ≤ 1.2 m in fibrocemento; • 6 ≤ l ≤ 8 m con sandwich di lamiere. Il carico utile viene valutato come quel carico che produce una freccia inferiore a

12.2

Arcarecci

Sono travi continue su due o tre campate, appoggiate ogni 4 ÷ 7 m soggetti, generalmente, a flessione deviata. Le sezioni utilizzate sono normalmente profili di tipo IPE, NP, L. La condizione di carico può schematizzarsi come segue:

l 200

Figura 12.4: Schema di carico arcarecci in cui:

qV = q · cos α qO = q · sin α

Figura 12.2: Carichi utili per lamiere grecate Le pendenze necessarie allo smaltimento delle acque piovane possono essere: • lamiera – 2% per Ltot > 8 m; – 3 ÷ 4% per L < 8 m; Rev. B.1

Per la determinazione del carico q si rimanda al metodo agli stati limite. Una sua quantificazione per α = 3 ÷ 12 e per Pvento ≈ 0 è data da: q = pp + (ppcopertura + Pneve ) · d Le frecce massime consentite non possono superare 1/200 della luce. 129



Figura 12.5: Quattro tipologie di arcarecci

Figura 12.7: Capriata i > 7 m I carichi gravanti sulle capriate saranno quindi: • peso proprio ( travi longitudinali, d falda, falsi puntoni); • peso proprio orditura secondaria;

12.3

Capriate

Lo schema statico adottato nel caso di interasse tra le capriate minore o uguale a 7 m è quello riportato in figura.

• peso proprio neve; Ulteriori carichi sulle capriate sono dati dalle azioni del controvento di falda (briglie superiori) e dalle azioni trasmesse dalle colonne e dagli sbatacchi (briglie inferiori). Il vento contribuisce in maniera diversa a seconda dell’inclinazione della falda di copertura (può esserci anche un carico di decompressione). Per maggiori dettagli si rimanda al capitolo C3.3.10 della circolare applicativa delle NTC 2008.

12.4

Controvento di falda

Nelle capriate, generalmente, avrò le briglie superiori compresse e le diagonali tese:

Figura 12.6: Capriata con arcarecci semplici

Nel caso l’interasse tra le capriate sia maggiore di 7 m occorre presidporre, oltre agli arcarecci, delle travi di falda, delle travi longitudinali e dei falsi puntoni. Rev. B.1

con Nm sforzo normale medio sui puntoni della capriata. Il peso proprio della capriata più il peso del manto di copertura valgono generalmente ≈ 50 ÷ 70 kg /m2 . Nella briglia compressa posso avere problemi di instabilità soprattutto fuori piano in quanto l0 non è uguale ad a bensì almeno ad l /2 se non realizzo un piano rigido. Questo può essere fatto con un controvento di falda. 130



il secondo addendo è dovuto al trasporto del momento d’inerzia all’asse baricentrico. Trascurando il termine 2Jx0 avremo: A1 b 2 Jx = J ∗ = 2 La verifica ad instabilità è da ritenersi soddisfatta qualora Ncr =

π 2 EJ ∗ ≥ ν · n · Nm l2

con ν = 4 ÷ 8 fattore di sicurezza. Il posizionamento del controvento di falda ne comprende due di testata e uno centrale o due longitudinali. La controventatura di falda ha la funzione di: • assorbire l’azione del vento;

12.5

• creare un corpo rigido;

Il posizionamento ideale di queste strutture è verso la mezzeria del fabbricato, in modo da amplificare il meno possibile le sollecitazioni indotte dalle dilatazioni termiche. Si considera la diagonale compressa in bando. Generalmente questo tipo di controvento esclude la parete nella quale viene installato dal transito di veicoli. I carichi F ai quali viene assoggettato sono il vento, il sisma, azioni di frenatura, ecc.

• stabilizzare la briglia compressa della capriata È quindi necessario verificare ad instabilità le aste:

Controventi verticali

Figura 12.8: Controvento verticale

12.6

con Nm sforzo di compressione medio nella briglia n numero delle capriate (sei nell’esempio di figura). Il carico critico sarà pari a

π 2 EJ ∗ l2 Il problema sarà quindi calcolare la rigidezza del controvento J ∗ che sarà data dalla rigidezza degli elementi che lo compongono: 2 b 0 A1 ⇒ Jx = 2Jx + 2A1 2 Ncr =

Rev. B.1

Crociere rompitratta

È spesso necessario vincolare la briglia inferiore delle capriate mediante aste diagonali collegate al controvento di falda, questo essenzialmente per assolvere alle seguenti funzioni: • dividere la briglia inferiore in un numero di parti tali che in ciascuna esse la snellezza della briglia (se compressa per effetto del collegamento con le colonne) sia inferiore del valore voluto; • evitare il fenomeno dell’instabilità flesso torsionale della travatura. Le capriate infatti sono trattenute nel loro piano dagli arcarecci collegati ai controventi di falda in corrispondenza della briglia superiore. Niente impedisce invece che la capriata, abbassandosi elasticamente sotto i carichi si disponga fuori piano ruotando attorno alla briglia superiore. 131



e nell’ipotesi di piccoli spostamenti:

θ ≈ tg θ =

u h

si ha che:

h 2 u2 θ = 2 2h Quando la capriata sbanda compie del lavoro interno pari all’energia di deformazione: v = h · (1 − cos θ) =

(b)

Z l

EJy Li = 2

0

d 2u dz 2

2 dz

in quanto 1 Li = 2

l

Z 0

M2 dz EJ

M = −EJ

;

d 2u dz 2

Dall’uguaglianza Le = Li , ipotizzando u(z) = sin ottiene q 2h

Figura 12.9: Sbandamento fuori piano della capriata

Z

(b)

l

u 2 dz =

0

πz π u 0 (z) = cos Le ipotesi che si fanno per questo calcolo sono: l l πz • la rigidezza torsionale propria della capriata è = u(z) ma dato che sin praticamente nulla; l • è trascurabile l’energia corrispondente al lavoro delle tensioni assiali nella briglia tesa dovuto allo sbandamento laterale della stessa.

u 00 (z) =

EJy π 4 2 l4

Z

πz si l

l

u 2 dz

0

u 00 (z) = −

π2 πz sin 2 l l

d 2u π2 = − u(z) dz 2 l2

il carico critico risulta quindi essere: (b)

q = qcrit = π 4

EJy h l4

(12.1)

(b)

dove Jy rappresenta il momento d’inerzia della sola briglia tesa secondo il piano k a quello della capriata. Per la 12.1 consegue che è possibile determinare la distanza d alla quale devono essere poste le crociere atte a evitare questo tipo di instabilità. La verifica è da ritenersi soddisfatta qualora qsd ≤

qcr

ν

con ν coefficiente di sicurezza ≈ 2 Con queste ipotesi una via molto semplice può essere seguita per verificare la stabilità flesso torsionale della capriata. In termini energetici (criterio euleriano) si determina quel carico (critico) che produce un lavoro esterno Le pari al lavoro di deformazione Li dovuto alla flessione fuori piano della briglia tesa. Ipotizzando che la capriata abbia le briglie parallele e sia soggetta ad un carico uniforme q = P /a si ottiene:

Z

l

q · v (z) dz =

Le = 0

q 2h

Z

l

u 2 (z) dz

0

Poiché sviluppando in serie θ(fino al secondo ordine) si ottiene: cos θ = 1 − Rev. B.1

θ2 2

Figura 12.10: Crociere rompitratta 132



In alternativa alle crociere è possibile disporre degli elementi diagonali più compatti chiamati sbatacchi.

Figura 12.11: Sbatacchi

12.7

Schemi statici

12.7.1

Colonne incastrate trasversalmente e longitudinalmente

12.7.2

Colonne incastrate trasversalmente e incernierate longitudinalmente

In questo sistema tutta la forza longitudinale viene trasferita al controvento, mentre il controvento trasversale di falda dispone di un appoggio fisso.

Nella parte superiore della figura è possibile notare la schematizzazione degli appoggi del controvento longitudinale di falda con molle di rigidezza k = 3EJ /h3 (rigidezza delle colonne incastrate alla base - mensola). Le colonne sono soggette a pressoflessione deviata in quanto ricevono spinte orizzontali dovute alle deformazioni della copertura e spinte orizzontali trasversali data l’assenza del controvento verticale di parete. Rev. B.1

133



12.8 12.7.3

Colonne incernierate trasversalmente e longitudinalmente

Portale trasversale

Tre diverse schematizzazioni per i portali trasversali sono riportate nella figura seguente

Nel portale a) il punto di nullo del momento flettente è spostato verso l’alto in quanto il traverso non è considerabile infinitamente rigido. Nella situazione in b), invece, il traverso rigido, impedendo le rotazioni dei nodi, porta il punto di nullo del momento flettente in mezzeria. Lo schema statico da considerare per le colonne

comporta 2M =

F ·h 2

⇒

M=

F ·h 4

Quindi ho una rigidezza traslazionale pari a:

δ=

Rev. B.1

F F · h3 = 12EJ 24EJ 2· h3 134



Con questo schema ho lo svantaggio che diagonali e correnti inferiori possono essere compressi. Nel terzo schema, invece, essi sono sempre tesi.

12.9

Colonne

Per una corretta valutazione delle caratteristiche della sollecitazione sulle colonne si procede ad una separazione dei carichi agenti:

δa = δa,0 − X δa,a δb = δb,0 − X δb,b Per la congruenza dovrà essere:

δa = δb con δa,0 spostamento dovuto alle forze esterne e δa,a spostamento dovuto alla biella. Avremo quindi: X =−

δb,0 − δa,0 δa,a + δb,b

Le condizioni di carico per il calcolo delle colonne prevedono quindi: 1. carico verticale alla sommità delle colonne dovuto al peso proprio del tetto; 2. carico come sopra dovuto al sovraccarico (neve) nel tetto; 3. azione del vento sul fabbricato da sinistra a destra; 4. azione del vento sul fabbricato da destra a sinistra; 5. carico verticale della gru con carrello spostato a destra; P1 peso proprio copertura;

6. carico verticale della gru con carrello spostato a sinistra;

P2 sovraccarico copertura;

7. spinta orizzontale della gru sulla colonna destra;

P3 peso proprio pilastro;

8. spinta orizzontale della gru sulla colonna sinistra; 9. variazioni termiche.

P4 peso proprio vie di corsa + sovraccarico; P5 peso proprio tamponamenti; P6 peso proprio pilastro; H spinte vie di corsa; W azione vento; La soluzione pendolare con i controventi presuppone delle colonne incastrate alla base con delle bielle (le briglie delle capriate) che le facciano collaborare tra loro: Rev. B.1

La verifica delle colonne nella sezione di fondazione va condotta con: 1. Mmax

→

Ncorrispondente ;

2. Mmin

→

Ncorrispondente ;

3. Nmax

→

Mcorrispondente ;

4. Nmin

→

Mcorrispondente ;

Da notare che le condizioni più gravose per la colonna non sempre lo sono per la fondazione. Le verifiche sulla colonna saranno quindi di: • Resistenza • Stabilità (solitamente più limitante). 135


12.10


Schemi costruttivi per vie di corsa

Figura 12.13: Sezioni laminate di carroponte per piccole luci

Le schematizzazioni a) e b) vengono adottate per carroponti con carichi modesti, mentre il tipo c), con giunto a baionetta, prevede una struttura composta, saldata. Nella valutazione del carico indotto dal carroponte occorre tenere conto, oltre che del carico verticale e orizzontale longitudinale indotto dalla frenatura, anche dell’effetto del serpeggiamento il quale comporta azioni orizzontali trasversali.

Figura 12.14: Sezioni composte di carroponte per grandi luci

Riassumendo, si avranno carichi di: • peso proprio;

• reazioni massime alla ruota + effetto dinamico (rmax );

• azioni trasversali di serpeggiamento (1/10 rmax );

• azioni longitudinali di frenatura (1/r rfre - dipende da quante ruote frenano);

Figura 12.15: Schema di carroponte con profilato IPE e piatto di irrigidimento

Figura 12.12: Carichi agenti sulle vie di corsa

Il carroponte può essere costituito con travi in semplice appoggio o travi continue.

Rev. B.1

136



13

Ecco che allora sarà possibile valutare la qualità dell’equilibrio in C0 studiando come E(u) varia in un intorno di C0 . Definiremo stabile l’equilibrio in C0 (alla Liapunov) se esiste un intorno di C0 per cui per ogni spostamento u non nullo contenuto in questo intorno risulti:

Stabilità dell’equilibrio

Molte strutture quando soggette ad un processo di carico crescente subiscono improvvisamente una brusca variazione nel modo di deformarsi che non è conseguenza della crisi del materiale o di altre proprietà meccaniche. Esso è dovuto al fatto che il modo di deformarsi della struttura al crescere del carico per un certo valore di questo, diventa instabile e la struttura cerca allora un altro tipo di deformata stabile. Se questo brusco passaggio nel modo di deformarsi della struttura avviene quando il materiale è ancora linearmente elastico, si parla di instabilità elastica, altrimenti di instabilità elastoplastica. Il carico per cui si ha questa variazione nel comportamento deformativo viene detto carico critico per la struttura.

E(u) > 0 Se invece qualsiasi sia l’intorno di C0 esiste almeno uno spostamento u 1 per cui: E(u 1 ) < 0 allora l’equilibrio si dice instabile. Ecco allora che se E2 (u) > 0 l’equilibrio si definisce stabile (la E ha un minimo in C0 ); E2 (u) = 0 bisogna valutare le E3 , E4 , ...;

Per valutare il fenomeno della stabilità di una struttura esistono in generale tre metodi di soluzione:

E2 (u) < 0 l’equilibrio si definisce instabile;

metodo statico per sistemi elastici e non elastici;

13.1.1

metodo energetico per sistemi conservativi (dal punto di vista della struttura (elastica) e dei carichi);

Analizziamo il seguente esempio di mensola rigida incernierata elasticamente alla base.

Instabilità di prima specie

metodo dinamico generale. Si utilizzeranno principalmente i primi due metodi che, quando applicabili, forniranno soluzioni coincidenti.

13.1

Cenni sul metodo dell’energia

Si consideri un corpo ad n gradi di libertà la cui generica configurazione sia individuata dai parametri lagrangiani q1 , q2 , ... , qn . Sia C0 una sua configurazione di equilibrio che per semplicità si consideri caratterizzata da dai parametri qi = 0. Si supponga che il sistema costituito dalla struttura e dalle forze esterne sia conservativo (il lavoro compiuto dalle forze esterne e dalle tensioni interne non debba quindi dipendere dal percorso) e perciò ammetta una funzione potenziale. = Se si indica con u il vettore spostamento u T (q1 , q2 , ... , qn ) che rappresenta lo spostamento generico impresso alla struttura a partire dalla configurazione C0 (u = 0) e che quindi individua la generica configurazione C, e con E(q1 , q2 , ... , qn ) = E(u), la funzione che rappresenta la variazione di energia potenziale totale rispetto alla configurazione C0 (che si ammette essere n volte differenziabile) è noto che nella configurazione di equilibrio (per il PLV) deve essere che:

Figura 13.1: Mensola elasticamente incernierata L’energia di deformazione della molla è pari a V =

1 2 kθ 2

mentre l’energia potenziale dei carichi esterni è pari a U = −Pl(1 − cos θ) Quindi l’energia potenziale totale sarà pari a: E =V +U =

1 2 k θ − Pl(1 − cos θ) 2

Le condizioni di equilibrio sono: ∂E =0 (i = 1, 2, ... , n) 1. ∂E ∂ qi C0 = k θ − Pl sin θ = 0 ∂θ Per le ipotesi di differenziabilità di E in C0 , si può porre: ovvero: kθ 2. E(u) = E2 (u) + E3 (u) + ... + En (u) + O(k u kn ) θ=0 P= dove l sin θ 2 L’esistenza di diversi rami di configurazioni di equilibrio 1 ∂ E 3. E2 (u) = qi qj ; ... che si dipartono dalla configurazione corrispondente allo 2! ∂ qi ∂ qj C0 stato critico costituisce una diramazione o biforcazione n 1 ∂ E En (u) = qi qj ... qn dell’equilibrio. n! ∂ qi ∂ qj ... ∂ qn C0

Rev. B.1

137



Per valutare la qualità dell’equilibrio nei diversi rami si deve considerare la

In questo caso l’energia potenziale totale assume la forma:

∂2E = k − Pl cos θ ∂θ2

E(θ) =

per θ = 0 avremo quindi:

∂2E ∂θ2

1 2 kl sin2 θ − Pl(1 − cos θ) 2

Le configurazioni ammissibili di equilibrio sono individuate dalla relazione:

= k − Pl

∂E =0 ∂θ

θ =0

ovvero, (secondo Liapunov):

se

     P < k /l

∂2E >0 ∂θ2

eq. stabile

    P > k /l

∂2E <0 ∂θ2

eq. instabile

Per P = Pcrit = k /l abbiamo che valutare le derivate successive:

∂2E ∂θ 2

= 0. Bisogna quindi

∂3E = Pl sin θ = 0 ∂θ3 θ=0 4 ∂ E = Pl cos θ = Pl > 0 ∂θ4 θ=0

Ciò implica che l’equilibrio allo stato critico è stabile. Ne segue che l’asta una volta pervenuta al carico critico si sposterà lateralmente per portarsi su uno dei due rami della curva di diramazione. La configurazione θ = 0 per P > Pcrit è ancora ammissibile ma è di equilibrio instabile. Questo tipo di instabilità, per essere caratterizzata da rami di biforcazione stabili si classifica come instabilità classica o di prima specie. 13.1.2

Analizzandone le derivate si nota che lo stato critico ed il successivo ramo sono instabili. Infatti sul ramo P = kl cos θ

∂4E ∂θ4

= −kl 2 sin2 θ < 0

Questo tipo di instabilità viene definita per diramazione instabile o di seconda specie.

13.1.3

Instabilità di terza specie

Un esempio di tale tipo di instabilità è quello di una mensola rigida strallata.

Instabilità di seconda specie

Un esempio di tale tipo di instabilità è quello di una mensola rigida sostenuta lateralmente.

Figura 13.3: Mensola strallata

Allo stato critico si ha:

Figura 13.2: Mensola sostenuta lateralmente Rev. B.1

∂3E ∂θ3

=− θ =0,P=Pcr

kl 2 <0 4

ovvero di equilibrio instabile. 138



L’energia potenziale dei carichi è, invece, pari a: U = −P · f (θ) = −P · (l tg θ0 − l tg θ) ≈ −Pl(θ0 − θ) La condizione di equilibrio è quindi data da:

∂E =0 ⇒ P(θ) = kl θ(θ02 − θ2 ) ∂θ Diagrammando questa relazione si ottiene:

In questo caso si possono avere imperfezioni “stabili” che impongono l’inclinazione dell’asta a sinistra e imperfezioni “instabili” che impongono l’inclinarsi dell’asta verso destra. Questo tipo di instabilità con un ramo stabile ed un ramo instabile viene detta instabilità di terza specie. Questo è ad esempio tipico del problema:

13.1.4

Instabilità per cedimento progressivo

Si consideri lo schema di arco ribassato di figura: Si nota come in corrispondenza del carico critico (nel √ ∂2E = kl 2 (3θ2 − θ02 ) = 0 ) si ha θcr = θ0 / 3 (punto quale è 2

∂θ

C). L’equilibrio diventa instabile, infatti

∂3E = 6kl 2 θ 6= 0 ∂θ3 Consegue che l’arco passa dalla configurazione C alla configurazione E, con vibrazioni di grande ampiezza attorno alla configurazione di equilibrio stabile E. Questo comportamento è tipico di archi a campate sottili e molto ribassate. Questo tipo di instabilità per cedimento progressivo (snap-through) si presenta con una grande riduzione della rigidezza della Le aste vengono schematizzate con due molle di ri- struttura fino a raggiungere, con l’aumentare del carico, una gidezza k . Ciascuna asta subirà un accorciamento pari situazione di collasso geometrico in cui la rigidità è addirittua ra nulla. Avviene senza alcun indebolimento del materiale e l l viene definita instabilità per cedimento progressivo. − ∆l = cos θ cos θ0 13.1.5

L’energia elastica di deformazione è pari a: 1 V (θ ) = 2 k 2 è possibile porre

l l − cos θ cos θ0

1 θ2 ≈1− : cos θ 2 V =

Rev. B.1

1 2 4 kl (θ0 − 2θ02 θ2 + θ4 ) 4

2

Sistema a due gradi di libertà

Si faccia riferimento al seguente link:

https://www.dropbox.com/s/ag86pd2pfx4iawp/ inst2GDL.pdf Nell’esercizio precedente, come in tutti, si è assunto che nella configurazione banale di equilibrio fosse E(0) = 0. Inoltre E(u) = E2 (u) + E3 (u) + ... 139



essendo E1 (u) =

X ∂E i

∂ qi

qi = 0 C0

poiché la configurazione C0 è sicuramente una configurazione di equilibrio. Operando in un intorno infinitesimo della configurazione banale C0 si può allora porre E(u) ≈ E2 (u) =

2 1X ∂ E 1 qi qj = u T [E2 ]0 u (13.1) 2 ∂ qi ∂ qj 0 2 i,j

con u T = {θ1 , θ2 } ed

∂2E ∂θ2 1 [E2 ]0 = 2 ∂ E ∂θ ∂θ 1 2

Nell’ipotesi di trascurare la deformabilità assiale e tagliante dell’asta l’energia di deformazione è pari a:

∂2E ∂θ1 ∂θ2 ∂2E ∂θ22

Vd = 0

se la matrice [E2 ]0 risulta definita positiva, ovviamente la configurazione C0 è di equilibrio stabile (in quanto è minimo). Se det[E2 ]0 = 0, la variazione seconda dell’energia è nulla in C0 e ciò implica che l’equilibrio è indifferente. In questo caso risulta allora che dalla condizione di equilibrio:

Riassumendo: affinché C0 sia di equilibrio indifferente, il problema [E2 ]0 u = 0 deve ammettere soluzioni non banali e quindi necessariamente deve essere che la condizione det[E2 ]0 = 0 fornisca gli eventuali carichi critici, mentre la condizione [E2 ]0 u = 0 fornisca i corrispondenti modi di instabilizzarsi della stessa.

Z EJ(s) s

θ≈

dv dx

2 ds

(13.2)

dθ ≈ v 00 ds

;

per cui la 13.2 diventa Vd (v (x)) ≈

1 2

l

Z

EJ(x)v 002 ds

(13.3)

0

che rappresenta una soluzione linearizzata ossia una teoria del primo ordine. L’energia potenziale dei carichi, se si considera φ l’energia in corrispondenza della configurazione indeformata, diventa

Z

l

W = −P · ∆ l −

q(x)v (x) dx

(13.4)

0

dato che

Z

l

Z (ds − dx) =

∆l = 0

I carichi critici e le corrispondenti forme di instabilizzazione della struttura sono gli autovalori e gli autovettori del sistema di equazioni [E2 ]0 u = 0 che può in genere essere posto nella forma (k − λI)u = 0.

dθ ds

valida per spostamenti comunque grandi, ma con deformazioni piccole (M = EJ χ). Se la configurazione deformata è poco discosta dalla configurazione rettilinea (spostamenti geometricamente piccoli) si può porre che

∂E = [E2 ]0 u = 0 ∂u ovvero esistono infinite soluzioni u diverse dalla u = 0.

1 2

l

(1 − cos θ) ds 0

Linearizzando la ∆l, rientrando cioè nell’ipotesi di piccoli spostamenti (ma considerando la configurazione deformata distinta da quella iniziale indeformata, teoria del secondo ordine):

θ2 2 (quando in una teoria del primo ordine cos θ ≈ θ). Avremo 13.2 Instabilità dei telai quindi: Z l Z l L’espressione dell’energia di deformazione U0 e dell’energia 1 02 potenziale dei carichi, nei problemi dell’equilibrio elastico W (v ) = − P v dx − q(x) · v (x) dx (13.5) 2 0 0 fino ad ora trattati, veniva scritta considerando la configurazione deformata coincidente con quella indeformata (ipotesi per cui si ottiene che di piccoli spostamenti, o teoria del primo ordine). Per valutaZ Z l 1 l re la stabilità dell’equilibrio dei corpi elastici, bisogna invece X (v ) = (EJv 002 − Pv 02 ) dx − q · v dx (13.6) 2 0 0 esprimere U e V in funzione della configurazione deformata, cos θ ≈

distinta da quella indeformata (anche se al limite può essere linearizzata). Nel caso dell’asta caricata di punta: Rev. B.1

Nell’ambito di una modellazione con gli elementi finiti, ovvero trasformando la struttura da un sistema continuo ad un insieme di elementi discreti, è possibile estendere quanto appena ottenuto in modo da implementare codici di calcolo 140



automatici che tengono conto dell’evolvere delle deformazioni.

che porta alla

Per un sistema di elementi discreto X può essere scritta come: ∂ Xae = k e · u¯ − λ · k e · u¯ − F e (13.7) ∂ u¯ E G con u¯ vettore dei parametri di spostamento modale della struttura; ke = E

Z

K ·u =F

Le u 0 , soluzione della 13.2, sono naturalmente valide solo se la u 0 è sufficientemente vicina alla configurazione iniziale, altrimenti bisognerebbe espandere ulteriormente la X (u). Inoltre, essendo troncata la X ai soli termini del secondo ordine è chiaro che la 13.2 risulta al più lineare in u. Per valutare se la configurazione ottenuta tramite la 13.2 è stabile è necessario valutare il segno della derivata seconda, cioè:

N 00eT EJN 00e dx matrice di rigidezza elastica della

∂2X = kij ∂ ui ∂ uj

L

trave (N funzioni di forma);

Z

(13.11)

N 0eT · N 0e dx matrice geometrica della trave con

Normalmente i termini kij sono delle costanti per cui basta valutare se la K è definita positiva (equilibrio stabile). Nella

ψ e sforzo normale dell’elemento, ciò implica che con λ = 1 sarà ψ e λ = P e con λ fattore di moltiplicazione dei carichi; Z F e = q · N e dx carico nodale equivalente per l’elemento.

equazione 13.9 è chiaro che la K è funzione lineare del pa-

k e = ψe G

L

L

La condizione di stazionarietà del funzionale

X ∂X e e

∂ u¯

Per λ = λcritico si ha det K = 0 e ne consegue quindi che il sistema di equazioni omogeneo deve ammettere soluzioni non banali. (K − λ · K )u = 0

X X (k e − λ · k e ) · u¯ = Fe E

λ per il sistema di equilibrio stabile. Per λ = λcritico allora è chiaro che la matrice K diventa singolare per diventare semidefinita positiva per λ > λcritico .

=φ

porta alla relazione

e

rametro λ. Solitamente per λ < λcritico si ha che la matrice K è definita positiva ed esiste un unica soluzione per ogni

G

(13.8)

e

E

(13.12)

G

L’equazione 13.12 può essere scritta come

che in forma contratta diventa K ·u =λ·K ·u (k − λk )u¯ = F E

E

(13.9)

(13.13)

G

G

In questo modo considero in modo approssimato l’influenza degli effetti del secondo ordine, individuando un moltiplicatore dei carichi che porta all’instabilità della struttura (si nota, infatti, che una forza assiale di compressione diminuisce la rigidezza dell’asta).

per cui si vede che il problema della determinazione del carico critico è diventato un problema agli autovalori. Il più piccolo degli autovalori λ¯ 1 sarà perciò il carico critico, ed il corrispondente autovettore u¯ 1 , il tipo di deformata. Per concludere:

Si è visto che X = X (u). Espandendo in serie di Taylor ed arrestando al secondo ordine si ottiene:

K

X (u) = −

n X

Fi ui +

i=1

con

Fi = −

∂X ∂ ui

n 1X kij ui uj 2

K

in generale non lo è. Gli autovalori saranno N, indipenG

se u 0 = φ

i,j=1

;

kij =

0

2

∂ X ∂ ui ∂ uj

X (u) = −F T u +

1 T u Ku 2

denti, ma nulla si può dire sul loro segno e sul tipo. In generale si devono usare routine in cui la K non è definita positiva.

G

0

per cui in forma matriciale si ha la nota relazione: (13.10)

Si è visto che la condizione di equilibrio, applicando il principio di stazionarietà dell’energia potenziale totale, è data dalla ∂X =0 ∂u Rev. B.1

è una matrice definita positiva, E

13.3

Cenni normativi (EC3) sulla stabilità

13.3.1

Asta perfetta

Utilizzando un approccio statico, la determinazione del carico critico avverrà equiparando il momento interno dovuto alla curvatura a quello esterno dovuto al braccio creatosi in seguito all’inflessione della trave.

141



Il minore carico critico è, ovviamente, quello per n = 1, corrispondente alla deformata di figura 13.4. Le deformate relative ad n = 2 ed n = 3 sono riportate in figura 13.5.

Figura 13.4: Schematizzazione asta perfetta Il momento esterno varrà quindi: Me (z) = N · y (z) Mentre per quanto riguarda il momento interno vale la relazione: M = y 00 − EJ che rappresenta una teoria del secondo ordine linearizzata. Avremo quindi: Mi = −y 00 · EJ Mi − Me = 0

Figura 13.5: Deformate sotto carico critico per n = 2 ed n = 3 La formula 13.15 (formula di Eulero) può essere posta nella forma

σcr =

y 00 · EJ + Ny = 0

EJ Ncr ρ2 = π 2 2 = π 2 E min A Al0 l02

L’equazione differenziale omogenea risolvente assume la forma Ny y 00 + =0 (13.14) EJ

dove σcr è la tensione normale corrispondente al carico critico. Posto: l0 λ=

Definendo k 2 come:

dove λ è detta snellezza dell’asta, la formula di Eulero diviene: π2 E σcr = 2 (13.16)

N EJ avremo che l’equazione omogenea assume la forma: k2 =

ρmin

λ

Se si riportano in ascissa λ2 e in ordinata σcr , l’equazione 13.16 descrive l’iperbole di Eulero.

y 00 + k 2 y = 0 La sua equazione caratteristica sarà quindi:

λ2 + k 2 = 0 ⇒ λ 2 = −k 2 ⇒ λ1,2 = ± i k La soluzione generale vale: y = A sin kz + B cos kz

con

k2 =

N EJ

Imponendo le condizioni al contorno: y =0

per z = 0

y =0

per z = l

→ →

B=0 kl = nπ Figura 13.6: Iperbole di Eulero

Avremo quindi che: Ncr =

Rev. B.1

n2 π 2 EJ l02

(13.15)

La formula di Eulero è limitata in validità dalla richiesta che la σcr non super il valore della fy della tensione normale 142



al limite di proporzionalità. Il valore della snellezza corrispondente, λ1 , detta snellezza limite, si ottiene imponendo che sia: fy =

π2 E λ21

da cui

s λ1 = λy = π ·

E fy

(13.17)

Ipotizzando di avere a che fare con un materiale elastico perfettamente plastico avremo che: Ncr = χ · Npl

⇒ σcr = χ · fy

con χ coefficiente di riduzione. Definendo inoltre λ¯ come una snellezza normalizzata data da: Figura 13.7: Imperfezione iniziale ¯ 1 λ¯ = λλ In questo caso l’equazione risolvente assume la forma: è possibile ottenere il seguente diagramma:

Me = Mi

−EJv 00 = N · (v + v0 ) L’equazione differenziale, questa volta non omogenea, è v 00 +

N (v + v0 ) = 0 EJ

(13.18)

con v inflessione aggiuntiva e v0 (z) inflessione iniziale. Si assume che la deformata iniziale abbia una forma sinusoidale: πz v0 (z) = v0 sin l Dalla figura si nota come l’asta imperfetta tenda al carico critico solo per spostamenti molto grandi.

Sin noti, invece, come legami costitutivi diversi portino a diverse curve χ − λ¯ (Shanley):

13.3.2

Asta imperfetta

Si analizza il comportamento di un asta caricata di punta avente un’imperfezione iniziale in termini di freccia. Rev. B.1

Il momento del secondo ordine che deriva dalla soluzione generale è pari a: M = N · Vtot =

N · v0 N 1− Ncr 143



Figura 13.8: Eccentricità iniziale

Figura 13.10: Zona di influenza

Anche nel caso di eccentricità iniziale l’equazione differenziale che deriva dall’impostazione del problema

Questo comporta una perdita di linearità del materiale molto prima del raggiungimento del limite elastico di snervamento; ciò ne comporta un abbassamento. Le tensioni influenzando il comportamento dell’astaper σcr ≥ σ¯ p e quindi nel campo delle snellezze intermedie. È evidente che gli effetti dovuti a curvature iniziali, eccentricità iniziali e tensioni residue devono essere considerati contemporaneamente.

y0 +

N N ·e y =− EJ EJ

(13.19)

conduce, dopo opportune semplificazioni, alla stessa formula: N ·e M = N(e + ymax ) ≈ N 1− NE Potrò quindi trattare allo stesso modo l’eccentricità di carico e le imperfezioni dovute a flessioni iniziali.

13.3.3

Aste reali - EC3

Se si considera l’effetto su un’asta reale dovuto ad una eccentricità iniziale si ha la seguente risposta:

Un altro importante fenomeno da tenere in considerazione durante la progettazione delle aste reali è quello delle tensioni residue insite nel materiale: si vengono a creare delle trazioni nella parte nodale a causa delle differenti velocità di raffreddamento.

Figura 13.11: Risposta dell’asta reale

Figura 13.9: Tensioni residue Rev. B.1

In cui è possibile riconoscere il tratto AB di diffusione della plasticizzazione dovuta appunto al prematuro raggiungimento della deformazione causato da e0 , somma di tutte le imperfezioni a cui è soggetta la trave. Si nota come dal punto di primo snervamento A si passi al punto di massimo cairco B senza mai raggiungere C, punto corrispondente all’asta perfetta con legame elastico perfettamente plastico. Sebbene, quindi, il massimo carico raggiungibile sia Nx , per operare a favore di sicurezza si considera Ny . 144



Diagrammando i vari effetti in termini di σ − λ possiamo individuare cinque curve significative:

Il termine η è pari a

e0 A e viene denominato fattore di imW perfezione generalizzata. Al fine di pervenire alla versione della formula contenuta nell’EC3, introduciamo due coefficienti:

σ¯ Nmax N¯ = = fy Npl

λ λ¯ = = λy

e

s

fy σe

Dividendo la 13.23 per fy si ottiene:

σE − N¯ fy

1 − N¯ = N¯

σE η fy

Moltiplicando poi entrambi i membri per fy /σE si ottiene: ¯ ¯ = N¯ η (1 − λ¯ 2 N)(1 − N)

È poi possibile porre la 13.24 come equazione di secondo ¯ grado in N:

a asta inizialmente rettilinea elasto-plastica;

λ¯ 2 N¯ 2 − (λ¯ 2 + η + 1)N¯ + 1 = 0

b effetto delle tensioni residue; A, B curve dovute ad una curvatura iniziale; tratto punto curva dovuta ad una eccentricità iniziale. Per la determinazione del carico critico Ny è necessario determinare il punto di primo snervamento A. Lo spostamento, come detto, è pari a e0

e=

1−

N Ncr

1

= e0 ·

1−

N Ncr

Delle due soluzioni N¯ 1,2 viene considerata solo quella con il segno negativo, in quanto interessa il carico critico più basso. N¯ =

1 + η + λ¯ 2 −

p [1 + η + λ¯ 2 ]2 − 4λ¯ 2 2λ¯ 2

= χ(λ¯ , η ) (13.25)

Nell’EC3 si pone

φ=

= e0 · α

1 (1 + η + λ¯ 2 ) 2

1

χ=

e

φ+

p

φ2 − λ¯ 2

e si assume per η :

con α fattore di amplificazione. La formula della presso-flessione fornisce il valore di Nx : N N ·e + = fy A W ponendo poi σ¯ =

(13.24)

(13.20)

η = α(λ¯ − λ¯ 0 ) = α(λ¯ − 0.2) con α coefficiente calibrato su prove sperimentali. Se per λ < 0.2 si impone che il coefficiente di riduzione valga 1 si ritrova il diagramma dell’EC3:

Nx può essere riscritta come: A

σ¯ + σ¯

e·A = fy W

(13.21)

la 13.21, in base alla 13.20, si può porre nella forma:

σ¯ + σ¯

e0

σ¯ 1− σE

·

A = fy W

(13.22)

con σE tensione critica Euleriana pari a

σE =

Figura 13.12: Diagramma χ − λ¯ secondo EC3

π2 E λ2

Scelta delle imperfezioni La 13.22 si può porre nella forma: (σE − σ¯ ) · (fy − σ¯ ) = σE σ¯ e0 · (σE − σ¯ ) · (fy − σ¯ ) = σE σ¯ η

Il coefficiente η si può porre anche come:

A W

η= (13.23)

La 13.23 è la formula di Ayrton-Perry ed è alla base della determinazione del carico critico dell’asta. Rev. B.1

l ·A γ·W

da

η=

e0 · A W

avendo posto

γ=

l e0 145



con γ coefficiente di imperfezione geometrica, rappresentante il rapporto tra la lunghezza dll’asta e la curvatura iniziale della stessa. Si può porre:

λ=

l

ρ

ρ2 =

J A

W =

J ρ2 A = d d

con d distanza tra asse neutro e lembo teso.

η=

λ γ · (ρ/d)

poiché ¯ λ = λπ

r

Figura 13.13: Curve di instabilità

= 93, 9 · · λ¯ fy

se fy = 255 MPa si ottiene:

η=

93.9 λ¯ = α1 λ¯ γ · (ρ/d)

Volendo inoltre mettere in conto un plateau per le snellezze minori di 0.2 η = α(λ¯ − 0.2) con α coefficiente di imperfezione, variabile tre 0.21 e 0.76. Secondo l’EC3 quindi l’eccentricità e la curvatura iniziale vengono quantificate pari a: e0 = α(λ¯ − 0.2)

Wpl A

e0 = α(λ¯ − 0.2)

Wel A

Utilizzando la stessa notazione dell’EC3: Nb,Rd =

χβA Afy = χ · Nc,Rd γM1

(13.26)

con χ coefficiente di riduzione per la modalità di instabilità pertinente e Nc,Rd sforzo normale plastico. Al solito il fattore βA vale 1 per le sezioni trasversali di Classe 1, 2, o 3; vale Aeff /A per le sezioni trasversali di Classe 4. Per le membrature a sezione costante l’EC3 codifica il χ in funziona della snellezza adimensionale pertinente λ¯ : 1

χ= φ+

p

(13.27)

φ2 − λ¯ 2

con la limitazione χ ≤ 1. I vari termini, come già visto, assumono il significato:

Figura 13.14: Curve di instabilità che, come detto, tiene conto del tipo di sezione, delle tensioni residue e delle imperfezioni geometriche. Si noti come per grandi valori di snellezza le curve tendano all’iperbole di Eulero.

φ = 0.5[1 + α(λ¯ − 0.2) + λ¯ 2 ] dove α è un coefficiente di imperfezione pari a: Curva di instabilità Coeff. di imperfezione α

a 0.21

b 0.34

c 0.49

d 0.76

La scelta di α è subordinata alla scelta dell’appropriata curva di instabilità: Rev. B.1

s λ¯ =

βA Afy = Ncr

λ λ1

p

βA

consλ snellezza per la modalità di instabilità pertinente. E λ1 = π = 93, 9 · è la snellezza al limite elastico, quando fy

=

p

235/fy . 146



13.4

La formula semplificata approssima, quindi, il dominio con una retta; questa legge è a favore di sicurezza per λ ridotti, ma non per λ grandi. Le quantità indicate si riferiscono:

Instabilità per pressoflessione

Nello studio di un’asta reale, molti sono i parametri che influenzano questo problema: • eccentricità e = M /N;

Ncr massimo carico sopportabile dall’asta semplicemente compressa;

• snellezza λ;

Mpl momento ultimo della sezione inflessa.

• la tensione di snervamento del materiale fy ;

Per correggere la valutazione nel caso di λ elevati è possibile utilizzare la relazione corretta in modo da presentare la convessità sempre verso l’origine:

• la forma della sezione; • la forma del suo dominio ultimo;

N + Ncr

• la presenza di tensioni residue e di imperfezioni geometriche iniziali; • il processo di carico e la distribuzione del momento flettente lungo l’asta. Evidentemente per risolvere un problema così complesso non esistono soluzioni in forma chiusa ma solo procedimenti numerici di simulazione e prove sperimentali di confronto dei risultati. Questi studi numerici hanno portato alla determinazione delle seguenti curve di iterazione:

M ≤1 N Mpl · 1 − Ncr

(13.29)

Considerando i metodi di calcolo riportati nelle CNR 10011, nel caso di aste prismatiche pressoinflesse soggette ad un’azione assiale costante, N, e a una distribuzione di azione flettente ricondotta al valore Meq costante lungo tutta l’asta, deve essere soddisfatta la seguente relazione:

ω·N + A

M eq ≤ ν·N ψ·W · 1− Ncr

fd

σadm

(13.30)

in cui ω rappresenta il coefficiente di amplificazione del carico, A e W rispettivamente l’area e il modulo di resistenza della sezione, ψ il coefficiente di adattamento plastico. Il temine ν rappresenta il coefficiente di sicurezza mentre le tensioni di confronto dipendono dal metodo di calcolo utilizzato (SL o TA). La 13.30 risulta ulteriormente a favore di sicurezza poiché sostituisce ad Mpl il ψ · Me ed amplifica il fattore N /Ncr per il coefficiente di sicurezza ν . Per momenti variabili linearmente e per aste a nodi fissi, la norma adotta la formula di Austin, introducendo un momento equivalente Meq = β · M pari a: Meq = β M = 0.6Ma − 0.4Mb con |Ma | ≥ |Mb | e purché sia Meq > 0.4Ma .

Figura 13.15: Curve sperimentali I punti A individuano evidentemente il valore del carico critico per M = 0 in funzione della snellezza λ. Per λ = 0 il dominio coincide con il dominio plastico della sezione. Si nota inoltre che per piccoli λ, il dominio presenta una concavità verso l’origine, mentre per λ elevati si ha convessità del dominio nei confronti dell’origine. Molti autori hanno proposto relazioni dirette per esprimere i domini di iterazione M − N al variare di λ. Il metodo più semplice per costruire il dominio è quello di considerare la retta N M + ≤1 (13.28) Ncr Mpl Rev. B.1

Se l’asta non è invece a nodi fissi si deve adottare un momento Meq = 1.3 · Mmedio con la limitazione 0.75Mmax ≤ Meq ≤ Mmax . Questa formulazione è da adottare anche in presenza di carichi lungo 147



l’asta ed è stato verificato che risulta sempre a favore di sicurezza. Introducendo un momento equivalente generalizzo quindi il problema riconducendolo a quello di un asta caricata in modo costante. 13.4.1

Coefficiente di adattamento plastico

Una delle limitazioni nel calcolo delle strutture con il metodo delle tensioni ammissibili è costituito dalla impossibilità di considerare le differenze tra le riserve plastiche possedute da sezioni di forma diversa. La necessità di considerare l’influenza del comportamento post-elastico delle sezioni nella verifica delle strutture, appare evidente se si osserva che due sezioni caratterizzate da diversi coefficienti di forma e sottoposte alla stessa tensione di lavoro (ad es la σadm ) hanno un diverso coefficiente di sicurezza dei confronti del collasso plastico. La CNR 10011 tiene conto di questo mediante un coefficiente di adattamento plastico che amplifica il modulo di resistenza delle sezioni inflisse definendo dei momenti limite elastici caratterizzati non dalla tensione di snervamento ma da una deformazione irreversibile della sezione, con un procedimento del tutto simile a quello usato nella definizione della tensione convenzionale di snervamento negli acciai con legame σ − continuo. Operando con il metodo suddetto si definisce un momento limite elastico per le sezioni inflisse come:

Figura 13.17: Alcuni coefficienti di adattamento plastico

13.4.2

L’EC3

Mlim = ψ · W · fy dove ψ è il coefficiente di adattamento plastico o coefficiente di forma, W il modulo elastico ed fy la tensione di snervamento. Con questo modo di operare si perviene in pratica ad un nuovo stato limite detto stato limite di adattamento plastico che è intermedio tra lo stato limite elastico caratterizzato da un Me = W · fy ed uno stato limite di completa plasticizzazione caratterizzato da un Mu = α · W · fy con α fattore di forma della sezione trasversale. Il coefficiente ψ si può pensare come un coefficiente di forma ridotto 1 ≤ ψ ≤ d che esprime un campo compreso tra il calcolo elastico e quello plastico.

Figura 13.16: Legame adimensionale M /Me - curvatura

χ/χe Si considera quindi il ψ che amplificando Me = W · fy comporta una freccia residua vr ≤ L/1000. Rev. B.1

148


Rev. B.1


149


14


Membrature composte

Quando si hanno grandi luci da coprire oppure carichi notevoli da sostenere è conveniente utilizzare dei profili composti ottenuti unendo fra loro, con collegamenti trasversali, membrature distanziate in modo da aumentare il momento di inerzia senza aumentare troppo il peso complessivo della struttura (sono caratterizzate, quindi, da prestazioni superiori). Ai vantaggi appena elencati ci sono da sommare gli svantaggi dovuti all’ingombro maggiore, alla minore rigidezza trasversale a causa della non trascurabile influenza del contributo deformativo associato all’azione tagliante ed un costo per unità di peso più alto connesso alle lavorazioni da attuare per la loro realizzazione. La risposta globale di una membratura composta dipende, in maniera a volte sostanziale dalla deformabilità per flessione e taglio. La deformabilità per flessione è legata al momento di inerzia della sezione composta, mentre quella per taglio è prevalentemente imputabile alla deformabilità delle aste di collegamento e dei correnti. A seconda del tipo di collegamento è possibile classificare le aste composte in:

Rev. B.1

150


Rev. B.1


151


Rev. B.1


152


Rev. B.1


153


Rev. B.1


154


15


Torsione non uniforme

15.1

Introduzione

Nella teoria di De Saint Venant (di solido cilindrico caricato solo alle estremità) si assumono due ipotesi fondamentali: • il momento torcente è costante lungo tutta la trave; • le sezioni sono libere di ingobbarsi e l’ingobbamento è uguale per tutte le sezioni. Queste ipotesi sono, in realtà, difficili da soddisfare e qualora dovesse mancarne una occorre introdurre metodi alternativi per la valutazione del comportamento della trave. Il mancato rispetto delle ipotesi conduce infatti ad uno stato tensione e deformativo diverso da quello di De Saint Venant, soprattutto in presenza di profili aperti (in genere questi effetti sono trascurabili per le sezioni composte).

Figura 15.2: Situazione di torsione uniforme

Un esempio immediato della necessità di introdurre una nuova teoria può aversi osservando la figura 15.1:

Figura 15.3: Situazione di torsione non uniforme

Per poter applicare la teoria di D.S.V. dovrei vincolare in modo da consentire l’ingobbamento ω . Ciò è possibile utilizzando un appoggio torsionale.

Figura 15.4: Appoggio torsionale Figura 15.1: Sistema di forze autoequilibrato

Nella teoria di D.S.V. se applico un sistema di forze autoequilibrato,

Alcuni casi in cui il momento torcente Mt non è costante lungo la trave: • Mt applicato in mezzeria

R=0 M=0

dopo una certa distanza di estinzione le tensioni normali sulla sezione si annullano. Nel nostro caso, però, la trave è incastrata al piede. In corrispondenza dell’incastro la sezione non è libera di ingobbarsi (ω = 0) e non esiste una distanza di estinzione, per Vlasov, dalla sezione in cui si viene a creare un bimomento. • Carico torcente costante Rev. B.1

155



– Sezione generica: Mt Mt b= bmax Jt Jt

τ¯ = 1 Jt = 3 Alcuni richiami riguardo la distribuzione delle tensioni tangenziali: • Torsione nelle travi di sezione sottile chiusa:

Z

b3 ds =

l

1X 3 bi li 3 i

Centro di taglio: indicato con CT è il punto che disaccoppia l’effetto del taglio dall’effetto del momento torcente (se il taglio passa per il centro di taglio, esso non crea momento torcente). Equazioni costitutive:

x =

1 (σx − ν (σy + σz )) E

1 (σy − ν (σx + σz )) E 1 z = (σz − ν (σy + σx )) E

y =

τ=

Mt 2Ωbmin

τxy G τxz = G τyz = G

γxy =

con Ω area racchiusa dalla linea media; bmin spessore minimo.

γxz γyz

• Torsione nelle travi di sezione sottile aperta

15.2

Teoria di Vlasov

La teoria più semplice sviluppata per lo studio di questi problemi è la teoria di Vlasov. Questa si basa su tre ipotesi: 1. indeformabilità trasversale della sezione a parete sottile (δ ≥ 4 ÷ 5mm) (cioè la sezione ruota come un rigido attorno a CT ); 2. struttura a parete sottile, quindi tensioni costanti; 3. assenza di scorrimenti γzs tra la direzione z che individua l’asse della trave e la generica direzione s della parete (assumendo γzs = 0 si irrigidisce la struttura); – Sezione rettangolare:

τ¯ =

Rev. B.1

Mt ·b Jt

Jt =

1 3 b h 3

⇒

Mt =

τ¯

b 4

2 b 3 156



La generica sezione dell’ascissa z si ipotizza quindi che possa ruotare attorno ad un opportuno polo C(z) di una quantità θ(z) (si noti che C(z) può variare lungo z) in modo che gli spostamenti

si può porre ξ = r · θ, essendo ξ la componente dello spostamento del punto P(s) nella direzione tangente t (proiezione di V¯ sulla linea rossa tratteggiata). Deriva quindi che

  u = u(s, z) v = v (s, z)  w = w(s, z)

(15.1)

dx dy dx dy u +v = (y − yc ) + (x − xc ) =r ·θ ds ds ds ds (15.4) e che

ξ=

siano legati dalle relazioni (relazioni che legano u a θ):

∂ξ = θ0 · r + θr0 ≈ θ0 · r ∂z nell’ipotesi di piccoli spostamenti.

u = −θz (y (s) − yc (s)) (15.2) v = θz (x(s) − xc (s))

(15.5)

Si vede che dalla condizione

γzs = 0 =

∂ w ∂ξ + =0 ∂s ∂z

segue che

∂w = −θ0 (z) · r (s, z) (15.6) ∂s Se si ipotizza (teoria di Vlasov) che la w possa esprimersi nella forma: dw = −θ0 (z) · r (s, z) · ds ovvero w(s, z) = −θ0 (z) · ω (s, z)

(15.7)

Si può, quindi, porre Si noti che la prima delle 15.2 è un espressione negativa in quanto θ positivi comportano u negativi nel sistema di riferimento adottato. Noti quindi CT e θ posso individuare u e v in quanto vige l’ipotesi di moto rigido; w resta ancora da definire così come resta da definire il punto CT attorno al quale ruota la sezione.

∂ω = r (s, z) ∂s

⇒

d ω = r · ds

(15.8)

r (s, xc (z), yc (z)) ds

(15.9)

integrando

Z ω (s, z) = ω0 (z) +

s

0

Per trovare ω è quindi sufficiente sommare tutte le aree “spazzate” dalla sezione con riferimento al polo C. Dalla 15.6 si vede quindi che a meno di una funzione di amplificazione con z, rappresentata da −θ0 (z), l’ingobbamento w della sezione segue la “forma” rappresentata dalla ω in 15.8. Notato che se la w non è costante con z nasce una tensione σz lungo la trave (il cui andamento è quello della funzione ω )

∂w ∂ω = −E · ω · θ00 − E · θ00 · ≈ −E · ω · θ00 ∂z ∂z (15.10) (trascurando gli infinitesimi di ordine superiore) deve accadere che per ogni z: Z    N(z) = σz dA = 0 Indicato con r = r (s · z) la distanza tra il polo C e la dire   ZA  zione tangente al generico punto P(s) (tratteggiata in rosso Mx (z) = σz · y dA = 0 (15.11) nella figura) con le seguenti convenzioni di segno  ZA       My (z) = σz · x dA = 0 + +   r > 0 se d θ+ → ds− A r < 0 se d θ → ds (15.3) 25 in quanto lungo la trave si suppone presente solo un tordy dx   r = (x − xc ) − (y − yc ) cente Mz (le tensioni devono essere autoequilibrate, queste ds ds σ ω = E · z = e

25 vedi

dispense di Meccanica dei Solidi - equivalenza statica nelle sezioni rette

Rev. B.1

157



equazioni permettono di calcolare xc , yc e ω0 ). Ne segue che per ogni z risultano determinati xc , yc e ω0 e quindi ω . Si vede subito che ipotizzando xc (z) = x¯ c ; yc (z) = y¯ c ; ω0 (z) = ω¯ 0 si ha equivalgono a porre che:

∂ω = 0 per cui le 15.11 ∂z

 Z   ω dA = Sω = 0     ZA ω · y dA = Jy ω = 0    ZA    ω · x dA = Jx ω = 0

(15.12)

A

¯ 0 26 , x¯ C , y¯ C che coincide con la Si ha un unica soluzione in Ω soluzione del problema per l’unicità della soluzione. Si può pensare a Sω come al “momento statico” di ω e Jy ω e Jx ω come “momenti centrifughi”. Si può notare che al posto di assumere come origine delle coordinate un punto sul contorno della sezione, è possibile ¯ 0 = 0, così come è posassumere un punto interno in cui Ω sibile dare una interpretazione fisica al punto C: esso infatti sotto queste ipotesi risulta coincidere con il centro di taglio della sezione.

Figura 15.5: Sezione a C La sezione presenta un asse di simmetria che quindi sarà luogo del baricentro G e del centro di taglio C. Dal grafico ¯ in basso a destra si vede come al variare di e (distanza OC), vari anche la quantità Jω con un minimo proprio in corrispondenza di C. In corrispondenza di questo punto, per quanto detto prima, sarà anche:

 Z   ω dA = 0     ZA ω · y dA = 0  ZA      ω · x dA = 0 A

Sarà, inoltre:

Z ω = ω0 +

Si supponga infatti di avere due aste soggette all’estremità libere ad un torcente Mz e ad un taglio T . L12 = Mz · θ = 0 poiché la sezione 2 non ruota. Ciò implica che T · δC = L21 = 0 per Betti. Affinché L21 sia pari a zero il taglio deve passare per il centro di taglio (dimostrazione non rigorosa). Il punto C è inoltre quello che minimizza la quantità:

r ds

Per una sezione a C si avranno due valori di r : ¯ → r = −a OA

¯ →r = AB

h 2

avremo quindi:

ω (A) = −a ·

h 2

h h · b = (b − a) 2 2 quindi per una sezione a C ω ha una distribuzione nota prendendo O come origine principale.

ω (B) = ω (A) +

Z Jω =

ω 2 dA

(15.13)

A

15.2.1

Si consideri il seguente esempio con una sezione a C 26 area

Calcolo dell’origine principale

Per determinare l’origine O del riferimento in modo che Sω = 0 ed il punto C di coordinate x¯ c , y¯ c tali da soddisfare le 15.12 si può operare nel modo seguente:

spazzata rispetto a C

Rev. B.1

158



Si considerino due origini O1 e O2 . L’area settoriale relativa al punto P se calcolata rispetto all’origine O1 può porsi:

Z

P

ω1 =

Z

O2

r (s) ds = O1

Z

P

r (s) ds + O1

r (s) ds O2

ω1 = 2 · Ω12 + ω2 Si ha quindi che per trovare l’origine O2 in modo che Sω = 0 (ossia per trovare l’origine principale) si può procedere nel Z

Z

ω1 dA

modo seguente: si fissa O1 e si calcola S1,ω =

s

A

Z

che sarà Z in genereZdiverso da zero. Se deve essere che A

=

(ω1 − 2Ω12 ) dA = S1,ω − 2Ω12 A = 0,

ω2 dA =

S2,ω =

x · ω2 dA =

Jx,ω2 =

Z

x · ω1 dA − x1C

s

A

s

+y1C

allora ciò implica che l’origine O2 deve essere tale da avere:

Z

S1,ω 2A

x dA + s

Z

2

x dA − x0 s

Ω12 =

Z xy dA − y0 x dA s

anche interpretabile come: (15.14)

Z Jx,ω2 =

x ·ω1 dA−x1C Jxy (= 0) − y0 Sy (= 0) +y1C Jx − x0 Sy (= 0)

s

N.B.: Si opera trovando prima il CT e poi O2 . In realtà l’origine principale coincide sempre con l’intersezione dell’asse di simmetria con la sezione.

Quindi se x e y sono direzioni principali:

Jx,ω2 = Jx,ω1 + y1C Jy Jy,ω2 = Jy ,ω1 − x1C Jx

quindi ponendo

15.2.2

Calcolo del polo principale

Jx,ω2 = 0 Jy,ω2 = 0

Avremo che:

Sfrutto le condizioni

Z    Jy,ω = ω · y dA = 0 ZA   Jx,ω = ω · x dA = 0 A

 Jx,ω1   y1C = − Jy   x1C = Jy,ω1 Jx Il polo principale cade sull’asse di simmetria; praticamente trovato il baricentro e gli assi principali di inerzia, si trova ω1 rispetto ad un polo qualsiasi e conseguentemente Jx,ω1 e Jy,ω1 , dopodiché valuto il vero polo principale.

partendo da due assi principali di inerzia. Rev. B.1

159


15.2.3


Equilibrio del momento torcente

Fissato il centro di torsione C che coincide con il polo principale e con il centro di taglio si possono quindi calcolare le ω (s) e di conseguenza si ha dalla 15.10:

σz = −E ωθ00 = σω

(15.15)

Si nota come questo modello comprenda D.S.V. in quanto se

θ0 = cost = θ1

⇒

σz = 0

con θ0 angolo unitario di torsione. Il modello di Vlasov consente di calcolare le σ ma non le τ , essendo (proprio da modello), γsz = 0 → τsz = 0. Per il loro calolo è possibile procedere sulla base di considerazioni di equilibrio:

Z Mω = s

Z τω · δ (s) · r (s) ds = τω · δ (s) d ω = s Z 2 dω 000 r dA = = Eθ Sω dA 1 integrando per parti

= E θ000 Sωr · ω

(ricordado che σω = −E ωθ00 ) Infatti la variazione delle σz comporta, per il mantenimento dell’equilibrio, la presenza di tensioni tangenziali. Per l’equilibrio alla traslazione (alla Jourawski) si ha:

2

− E θ000 1

Z

2

1

dSωr ω dA = dA

(15.17)

Sωr = 0 dato che sono nell 0 origine principale = −E θ000

2

Z

ω 2 dA = −E Jω θ000

1

Z

con −E Jω rigidezza torsionale secondaria di Vlasov.

d σω dA + τω δ (s) dz = 0 A

Quindi per l’equilibrio deve essere: (con δ (s) spessore lungo la linea media) ma essendo d σω = −E ωθ000 dz

⇒

−E θ dz

ω dA + τω δ (s) dz = 0 Ar

e posto Sωr = che:

(15.18)

Mω (z) = −E θ000 Jω

(15.19)

Md (z) = G Jd θ0

(15.20)

con

Z

000

Mz (z) = Mω (z) + Md (z)

e

Z ω dA pari al momento statico di Ar avremo Ar

τω = E θ000 ·

momento alla D.S.V. (con GJd rigidezza torsionale primaria). r

2

r

Sω d θ 1 Sω · =E· δ (s) dz 2 δ (s)

(15.16)

ricordando che θ1 = d θ/dz è pari all’angolo unitario di torsione. Quindi anche le τ , come le σ , variano lungo la linea media; lo stato tensionale nella sezione, in presenza di un momento torcente Mz sarà allora caratterizzato da delle σω e delle τω . La presenza delle τω implica che una parte del torcente Mz venga assorbito da queste. Indicata questa quota con Mω avremo: Rev. B.1

15.2.4

Soluzione del problema

Indicato con mz il carico torcente lungo la trave: 160



(analogamente alla formula

dM = T ): dz

dB = −EJω θ000 = Mω dz

(15.25)

(e analogamente alla formula di Jourawski):

τω = E θ000 ·

e quindi

Teoria Tecnica delle Travi

dMz = −mz dz Analogamente al taglio (dT /dz = −q) la derivata del torcente è quindi pari al carico torcente. Dalla 15.18 si ha:

−mz (z) = GJd θ00 − EJω θVI

var spostamento η Rotazione η 0 =

Taglio T = (15.21)

(analogamente alla flessione EJ η IV = q) Per risolvere questa equazione differenziale è utile introdurre k: il rapporto tra rigidezza primaria e secondaria, che indica numericamente quanto sia preponderante la teoria di Vlasov su quella di D.S.V..

s k =l·

G · Jd E · Jω

dη dz

Momento M = −EJ η 00

che si può riscrivere come:

θVI

δ

=−

Mω · Sωr Jω · δ

(15.26)

Esiste quindi un’analogia tra la teoria di Vlasov e la teoria tecnica delle travi:

dMz + mz dz = 0

GJd 00 mz − θ = EJω EJω

Sωr

dM dz

Teoria di Vlasov

→ var rotazione θ → θ0 = θ1 ≈ W Ingobbamento → B = −EJω θ00 Bimomento → Mω =

dB Momento dz torcente secondario

Quindi le condizioni al contorno le impongo analogamente al problema flessionale:

→

Appoggio

Appoggio torsionale

(15.22)

La 15.21 si può quindi porre nella forma:

θ

IV

2 mz (z) k θ00 = − l EJω

(15.23)

che sviluppata porta a:

θ = θp + C1 + C2

z z z + C3 sinh k + C4 cosh k l l l

η=0

→

θ=0

η 00 = M = 0

→

θ00 = B = 0

Incastro

→

Incastro torsionale

dove θp rappresenta la soluzione dell’integrale particolare (dipendente dal carico) e gli altri termini la soluzione dell’omogenea associata con le costanti C1 , C2 , C3 e C4 incognite. 15.2.5

Condizioni al contorno

Al fine di semplificare la soluzione dell’equazione 15.23 è opportuno introdurre la quantità “bimomento” (caratteristica della sollecitazione):

Z B= A

σ · ω · ω dA = −E θ00

Z

ω 2 dA = −E θ00 Jω

(15.24)

A

η = η0 = 0

Estremo libero

θ = θ0 = 0 (W = 0)

→

→

Estremo libero

in questo modo si vede che (analogamente alla formula di Navier): B ·ω σ · ω = −E · θ00 · ω = Jω Rev. B.1

161



k > 20 torsione alla D.S.V. (sezioni compatte piene);

η 0 = η 00 = 0

→

θ0 = θ00 = 0

M=T =0

→

B = Mω = 0

Continuita0

→

Continuita0

Ms = Md

→

Bs = Bd

→

Ts = Td

ηs = ηd 0

0

ηs = ηd

Mω,s = Mω,d

→

θs = θd

→

θs0 = θd0

Con queste condizioni posso quindi risolvere l’equazione 15.23 e pervenire alla soluzione del problema. Esempio di trave con incastro torsionale

Quindi quando EJω GJd avremo situazioni del tipo:

In Vlasov γsz = 0 quindi la soluzione risulta più rigida di quella reale ma molto vicina. D.S.V. invece ha una rigidezza più bassa quindi grandi rotazioni significativamente discoste dalla realtà. Si nota quindi come sia influente tale teoria nelle strutture in acciaio. Un’ulteriore considerazione è da fare in merito alla forma delle sezioni: tutte quelle sezioni in cui il centro di taglio cade nell’intersezione delle linee medie dei vari segmenti portano ad avere Jω = 0.

¯ In A sarà θ = θ0 = 0, B = 0 e Mz = M. Si ha ¯ Mz = Mω + Md = −EJω θ000 (l) + GJd θ0 (l) = M si nota quindi come in A tutto il torcente Mt sia dovuto a Mω .

15.2.6

Esempi

Sezione a C La quota tra Mω e Md a regime dipende da

s k =l·

G · Jd E · Jω

Occorre conoscere ω , Sωr , Jω e CT .

Possiamo dare dei valori indicativi di questo parametro: k = 0 ÷ 0, 5 (EJω molto alti) profili laminati a freddo, prevale Mω ; k = 0, 5 ÷ 2 laminati o saldati, prevale ancora Mω ; k = 2 ÷ 5 torsione mista (molto frequente), laminati a caldo, impalcati da ponte; k = 5 ÷ 20 prevale la torsione uniforme (sezioni tubolari o molto tozze); Rev. B.1

162



Ora occorre calcolare

Z Jω =

ω 2 dA

Ar

Per cui, alla fine, le τω seguono l’andamento di Sω :

ciò implica che, essendo

ω → σ · ω = −E ωθ00

Sezione a doppio T In questo caso vi è una biforcazione della coordinata s:

Risulta necessario quantificare Sω(r ) dato che

τω = − Dato che

Mω · Sω(r ) Jω · δ (s)

Z ω dA

Sω = Ar

partendo dal bordo, dove le τ = 0, è possibile calcolare l’integrale, che risulterà una parabola in quanto ω ha andamento lineare. La funzione ω e conseguentemente σ · ω :

Rev. B.1

163



Il momento statico di ω , Sω(r ) vale, nel punto di massimo

Z

B /2

B /2

Z

ω ds = δ

ω dA = δ

Sω,max =

0

0

BH B 1 B 2 H δ = 4 22 16

area di ω

Z σ · ω · ω dA ⇒ B =

B=

X

A

Pi · ωi = 4P

i

bh 4

= P ·b·h

e quindi

Z Jω =

ω 2 dA = δ

=

δB3 H 2 24

Z

ω 2 ds = 4δ

BH 4

2

1B = 32

si vede dunque che B è dato dal momento di un altro momento (dalla coppia per la distanza dall’altra coppia). Gli ωi rappresentano le aree settoriali associate ai punti in cui sono applicati i carichi. Lo stato tensionale trovato è congruente con il problema.

2 (= H 2 /4 · Jyy,ali )

area di ω

2

Ovviamente le distribuzioni studiate in questi esempi sussistono quando la trave è vincolata con un incastro torsionale:

Se fosse stato presente un appoggio torsionale avremmo avuto Mω = 0

⇒ C1 = C2 = C3 = C4 = 0 ⇒θ=0

15.2.7 Ora, si vede come applicare alla trave uno stato di sollecitazione di questo tipo sia equivalente ad applicare un bimomento: Rev. B.1

Sollecitazioni miste

Consideriamo l’applicazione, oltre che del momento torcente, l’applicazione di un carico qx e qy .

164



Le equazioni differenziali che regolano il problema misto di torsione e taglio sono, rispetto ad un riferimento principale:

          

EJx u IV = qx EJy v IV = qy EJω ϕIV + GJd ϕII = mz

Ciò porta ad avere

σz =

My Mx B y+ x+ ω Jx Jy Jω

Lungo la linea media, avremo:

|τ (s)| =

Ty (r ) Tx (r ) Mω (r ) 1 Sx (s) + Sy (s) + S (s) δ (s) Jx Jy Jω ω

lungo lo spessore deve essere aggiunta la τ primaria alla D.S.V. che lungo le pareti vale

τd = Rev. B.1

Md δ (s) Jd 165


16


Stabilità laterale delle travi inflesse

Consideriamo una trave sollecitata a flessione semplice nel piano y − z. La flessione è retta, nello stesso piano, poiché un asse principale della sezione giace nello stesso piano. La configurazione della trave è equilibrata: si vuole conoscere la qualità di tale equilibrio: stabile, indifferente, instabile. A tale scopo perturbiamo la configurazione iniziale, portando la trave in una configurazione diversa, soggetta anche a flessione laterale e torsione. Se l’equilibrio è indifferente la configurazione perturbata è anch’essa equilibrata. Il momento Mx,o,cr , che corrisponde all’equilibrio indifferente (punto di biforcazione dell’equilibrio), è il momento flettente ‘critico’. L’instabilità flesso-torsionale si manifesta per travi caratterizzate dall’avere Jx Jy .

La direzione di Mx,o non cambia passando dalla configurazione originale a quella variata. Determinando sulla configurazione variata i momenti flettenti e torcenti che agiscono sulla sezione generica, si trova: Momento flettente laterale : My = Mx,o sin φ ≈ Mx,o · φ du dz Nella situazione di equilibrio indifferente sono possibili, per lo stesso valore del momento critico Mx,o,cr , due configurazioni di equilibrio. Scriviamo per ciascuna di esse le 3 equazioni di equilibrio. Momento torcente : Mt = Mx,o sin β ≈ Mx,o tan β = Mx,o

Configurazione iniziale Mx,o = −EJx

d 2v dz 2

(16.1)

My = 0

(16.2)

Mt = 0

(16.3)

Configurazione variata Mx,o = −EJx

d 2v dz 2

(16.4)

d 2u (16.5) dz 2 du dφ Mt = Mx,o = GJt (16.6) dz dz Per determinare Mx,o,cr sono sufficienti le ultime due equazioni di equilibrio della configurazione variata, che contengono le incognite φ = φ(z) ed u = u(z). Manipoliamo le due equazioni differenziali per ricondurci ad una sola equazione. In particolare eliminiamo la funzione incognita u = u(z). My = Mx,o · φ = −EJy

Rev. B.1

166



Dalla equazione numero 16.5 si ricava: Mx,o · φ d 2u =− dz 2 EJy

(16.7)

Deriviamo poi l’equazione 16.6 rispetto a z: Mx,o Ricaviamo quindi

d φ d u = GJt 2 dz 2 dz

Uguagliando le due espressioni di

2 Mx,o π2 = 2 EJy GJt l

πp EJy GJt (16.18) l Quindi tanto più piccolo è Jy tanto minore sarà Mcr ; inoltre GJt ≈ b3 h/3. Soffrono quindi di questo problema le travi alte e snelle. Per aumentare Mcr posso:

(16.9)

• aumentare Jy , ossia la rigidezza flessionale dell’asse debole;

d 2u si ha: dz 2

Mx,o,cr =

• incremento la rigidezza torcente.

GJt d 2 φ Mx,o · φ =− 2 Mx,o dz EJy

(16.10)

2 Mx,o d 2φ + ·φ=0 dz 2 EJy GJt

(16.11)

Si ottiene così:

E’ questa una equazione differenziale del 2° ordine, omogenea. La sua soluzione richiede l’imposizione di 2 condizioni al contorno. 2 Mx,o . EJy GJt Sostituendo si ha:

Questo è fondamentalmente un Mcr Euleriano in quanto è stato calcolato nelle ipotesi di trave priva di imperfezioni e in campo plastico. È comunque un valore a favore di sicurezza, dato che si è trascurata la rigidezza torsionale secondaria. La verifica da effettuarsi sarà quindi del tipo: M = Mx ≤

Mcr

ν

con ν fattore di sicurezza, oppure:

σmax =

Poniamo α2 =

σcr Mx Mcr = ≤ Wx Wx ν ν

Dato che la crisi avviene per λ1 = π/l, avremo:

2

d φ + α2 · φ = 0 dz 2

(16.12)

λ1 = −α +

Si riconosce immediatamente che l’equazione è formalmente identica a quella dell’asta di Eulero. La soluzione generale è:

φ(z) = C1 sin αx + C2 cos αx

(16.13)

Le condizioni al contorno sono quelle di incastro torsionale in corrispondenza degli appoggi torsionali di estremità, vincoli che impediscono le rotazioni:

φz=0 = 0

φz=l = 0

(E) Mcr

π = l

s

p

α2 + β =

→ C2 = 0

(16.14)

Dalla seconda si ha: C1 sin αl = 0

(16.15)

Affinché non si ottenga la soluzione banale occorre che sia: kπ sin αl = 0 → αl = k π → α = l con k = 1.

Rev. B.1

k 2 π2 → α2 = 2 l (16.16)

π2 l2

EJω π 2 EJy GJt 1 + GJt l 2

Si noti che ponendo EJω = 0 si ritrova la 16.18. In termini di tensioni avremo:

σcr

1 π = W l

s

EJy GJt

EJω π 2 1+ GJt l 2

Il caso fin qui considerato di Mx = cost, carico uniforme e trave appoggiata può essere esteso ad altre condizioni di vincolo e di carico, introducendo un coefficiente k:

Imponendo le condizioni al contorno si ottiene: C1 sin α0 + C2 cos α0 = 0

(16.17)

(16.8)

d 2u : dz 2 GJt d 2 φ d 2u = 2 dz Mx,o dz 2

α2 =

E quindi il momento flettente critico, Mx,o,cr , vale:

2

2

2 Mx,o si ottiene: EJy GJt

Ricordando che α2 =

σcr

1 πp EJy GJt · =k· W l

s 1+

EJω π 2 GJt l 2

(16.19)

Esso dipende da vincolo e carico e può essere visto come prodotto di due fattori: k = k1 · k2 con k1 dipendente da condizioni di vincolo e carico e k2 dipendente dalla posizione del carico. I valori teorici di k1 e k2 sono stati calcolati, ma la normativa non li utilizza, introducendo ulteriori semplificazioni. 167


Figura 16.1: Valori di k1


Il secondo metodo prevede di trascurare la rigidezza torsionale primaria alla D.S.V. e quindi impone di limitare la tensione a quella di crisi della sola piattabanda compressa.

σce =

11, 4 · E

λ2

≈

π2 E λ2

La CNR 10011 recepisce questo risultato affermando che (ponendosi a favore di sicurezza) travi ad I, laminate o composte, simmetriche o asimmetriche, inflesse nel piano dell’anima, possono essere semplificate considerando la stabilità della sola ala compressa supposta isolata dall’anima. A tale fine si può usare il metodo ω , determinando tale coefficiente in base alla snellezza λ dell’ala compressa tra due ritegni torsionali consecutivi ed imponendo che:

σ=ω

Neq,f ≤ σadm Af

essendo Af l’area della piattabanda compressa e Neq,f = Figura 16.2: Valori di k2

Meq,f Mmax Sx = Sx = Jx Jx · k

dove Jx è il momento d’inerzia di tutta la sezione attorno all’asse x e Sx il momento statico dell’ala compressa rispetto all’asse x.

16.1

Procedimenti semplificati

I procedimenti semplificati di calcolo prevedono di trascurare la rigidezza torsionale secondaria e la rigidezza torsionale primaria ponendo pari ad 1 i rispettivi radicali. Trascurando la rigidezza all’ingobbamento la verifica finale è:

σ=

Mmax · ω1 ≤ σadm k ·W

con

σy hl ω1 = · 0, 585 · E bs dove Rev. B.1

Le verifiche precedenti sono state effettuate in campo elastico e sotto le limitazioni imposte dalle norme per particolari tipi di profili, risultano, in generale, sufficientemente cautelative.

16.2

L’EC3

Il momento resistente di progetto all’instabilità di una trave non controventata lateralmente dovrà essere assunto pari a: Mb,Rd = χLT

βW Wpl,y fy γM1

(16.20)

dove, al solito, βW è il parametro che tiene conto della classe della sezione:

βW = 1 per sezioni trasversali di Classe 1 o 2; βW = Wy /Wpl,y per sezioni trasversali di Classe 3; 168



βW = Weff ,y /Wpl,y per sezioni trasversali di Classe 4;

αLT = 0, 21 per le sezioni laminate;

Analogamente all’asta caricata di punta, χLT è un coefficiente di riduzione. Esso conserva anche la stessa forma analitica: 1 q χLT = φLT + φ2LT − λ¯2LT

αLT = 0, 49 per le sezioni saldate. Il valore di λ¯LT può essere determinato dall’espressione:

s λ¯LT =

(con la limitazione χLT ≤ 1), nella quale

φLT = 0, 5 · [1 + αLT (λ¯LT − 0, 2) + λ¯2LT ] I valori dei coefficienti di imperfezione αLT per l’instabilità flesso-torsionale devono essere assunti pari a:

Rev. B.1

βW Wpl,y fy λLT p βW = Mcr λ1

s

p E 235/fy e Mcr il = 93, 3 · con: = fy momento critico elastico per instabilità flesso-torsionale. dove λ1 = π

169


17


Instabilità flesso-torsionale

Rev. B.1

170


Rev. B.1


171


Rev. B.1


185


18


Travi in acciaio a parete piena

Rev. B.1

186


Rev. B.1


187


Rev. B.1


211


19


Profili sottili sagomati a freddo

Rev. B.1

212


Rev. B.1


213


Rev. B.1


233


20


Travi composte acciaio-calcestruzzo

Rev. B.1

234


Rev. B.1


235


Rev. B.1


278


21


Solette composte acciaio-calcestruzzo

Rev. B.1

279


Rev. B.1


280


Rev. B.1


291


22


Colonne composte acciaio-calcestruzzo

Rev. B.1

292


Rev. B.1


293

Dispensa Del Corso Di Costruzioni in Acciaio I

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