INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y MECÁNICA AZCAPOTZALCO
DISTRIBUCION BINOMIAL MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
PROFESOR: VLADIMIR AGUIRRE BUITRÓN ALUMNOS: BARROSO STEFANONI JORGE CABRERA MENDEZ VICTOR ROGELIO ESCORZA MAGOS HORACIO YERIEL EUTIMIO ORTEGA JOSE ANTONIO EDGAR GRUPO: 6MM7 FECHA: 31 DE MARZO DEL 2014
OBJETIVO Se explicara y darán ejemplos sobre el tema de “distribución binomial” también llamada “distribución de Bernoulli”, tratando de comprender en este texto desde historia, aplicaciones
ventajas y desventajas.
MARCO TEORICO Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características: 1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso. 1. La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p. 2. 3.La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q, q=1−p
3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. 4. La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n. La distribución bimomial se expresa por B(n, p)
Cálculo de probabilidades en una distribución binomial
n = es el número de pruebas. k = es el número de éxitos. p = es la probabilidad de éxito. q = es la probabilidad de fracaso. El número combinatorio
Parámetros de la distribución binomial
Media
Varianza
Desviación típica
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli. Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:
La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.
Parámetros
número de ensayos (entero) probabilidad (real)
Dominio Función de probabilidad
Función de distribución Media Mediana Moda Varianza Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos
Uno de
1
de
éxito
ECUACIONES Su función de probabilidad es
DONDE
SIENDO
las combinaciones de n en x (n elementos tomados de x en x)
EJEMPLOS DEMOSTRATIVO 1 PROBLEMA
Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 águilas. SOLUCION 1
Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, y podemos decir que efectivamente así es, ya que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, águila o sol, donde las probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son constantes, n = 3. Para dar solución a este problema, lo primero que hay que hacer es un diagrama de árbol, en donde representaremos los tres lanzamientos, de ahí se obtendrá el espacio muestral y posteriormente la probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.
d={AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS} Para obtener la fórmula, definiremos lo siguiente: n = número de lanzamientos de moneda x = número de “éxitos” requeridos = número de águilas = 2 p = probabilidad de “éxito”= p(aparezca águila) =1/2 q = probabilidad de “fracaso”= p(aparezca sol) =1/2
Entonces podemos partir de la siguiente expresión para desarrollar l a fórmula; P(aparezcan 2 águilas)=(No. De ramas del árbol en donde ap. 2 águilas)(probabilidad asociada a cada rama) Entonces el número de ramas en donde aparecen dos águilas se puede obtener son 3
Ejemplos:
1. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos.
Solución: a) n = 5 x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75 q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25
b)
c) En este caso cambiaremos el valor de p; n =5 x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25 q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75
PROBLEMAS 1
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el
80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: 1
¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2
personas? B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
2
¿Y cómo máximo 2?
2. Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos Solución: a) n =12 x = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensa x = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensa p =p(se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm)= 0.40 q = p(no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60
= 0.21284
