Elektrotehnika II Zbirka Zadataka

ELEKTROTEHNIKA II

Zbirka zadataka

Poglavlja 5 do 9

Magnetska polja

5.

MAGNETSKA POLJA

Otkrićem magnetskog polja (Oersted 1820. godine) i elektromagnteskog polja omogućen je stvarni i neslućeni razvoj suvremene elektrotehnike i njezine uporabe za dobrobit čovječanstva. Načelo djelovanja svih vrste električnih strojeva, transformatora i drugih naprava temelji se na zakonitostima magnetskih i elektromagnetskih polja. Za razumjevanje i riješavanje jednostavnijih problema u elektromagnetskom područ ju dostajat će slijedeće formule:

B =

φ

e=−

∆φ ∆t

φ = B ⋅ dS

B = µ 0 ⋅ µ r ⋅ H

H = I ⋅ N

µ

φ = I ⋅ N ⋅ S ⋅

φ =

l

e=−

H = I ⋅

Rm

B =

d φ dt

e = − B ⋅ l ⋅ v

3 2 ⋅

L = N ⋅ −

7

i = I ⋅ (1 − e )

di dt

I

(Induktivitet jednoslojnog cilindri č nog svitka)

e2

= − M 12 ⋅

t

τ

eS = − L ⋅

φ

N 1 ⋅ N 2 Rm −

(Helmholtzovi svici)

5 R

L = π 2 ⋅ d 2 ⋅ N 1 2 ⋅ l ⋅ 10

=

N l

I = H ⋅ 2 ⋅ r ⋅ π

8 ⋅ µ 0 ⋅ I ⋅ N

I ⋅ dl ⋅ sin α 4 ⋅ π ⋅ r 2

N 2 L = Rm

M 12

θ

∫ H ⋅ dl = I ⋅ N

V = H ⋅ I

dH =

∫S

φ = B ⋅ S ⋅ cos α

S

i = I ⋅ e

VISOKA TEHNI Č KA ŠKOLA U PULI - POLITEHNI Č KI STUDIJ

−

di dt

M = k ⋅ L1 ⋅ L2

t τ

τ =

L R

34

Magnetska polja

1 1 1 = + L L1 L2

L = L1 + L2 + ... + Ln

F = B ⋅ I ⋅ l

F = B ⋅ I ⋅ l ⋅ sin α r =

F = Q ⋅ v ⋅ B ⋅ sin α

=

1 + κ

tgα 1 tgα 2

µ 1

µ r

F =

5.1.

=

µ 2

m ⋅v Q ⋅ B

+ ... +

1 Ln F = 2 ⋅10

−7

=

∫ L ⋅ i ⋅ di

l a

B = B0 + Bm

I ⋅ N = H 1 ⋅ I 1 + H 2 ⋅ I 2 + ... + H n ⋅ I n

W m

⋅ I 1 ⋅ I 2 ⋅

∫ H i ⋅ dl = I ⋅ N

I 2 W m = L ⋅ 2

1 2 ⋅ B ⋅ S ⋅ µ 0 2

Zadaci za vježbu

216. Objasnite zašto se sije čenjem stalnog magneta ne mogu dobiti odvojeni magnetski polovi? 217. Zbog čega se djelovanjem magnetskog polja na naelektriziranu česticu ne može promjeniti njezina kinetička energija? 218. Objasnite skretanje elektronskog mlaza magnetskim i elektri čnim poljem te primjenu u praksi. 219. Od dvije čelične šipke istog izgleda i veli čine, jedna je stalni magnet a druga nije. Kako ćete utvrditi koja je šipka stalni magnet bez uporabe drugih pomo ćnih sredstava? 220. Je li moguće da sjeverni magnetski pol nekog stalnog magneta privla či sjeverni pol nekog drugog stalnog magneta? Objasnite! 221. Što znate o magnetskom polju zemaljske kugle: kako je nastalo, gdje se nalaze magnetski polovi, što su inklinacija i deklinacija, kolika je gusto ća magnetskog toka u blizini površine zemlje? Može li se žicom razapetom na brodu u gibanju, koja "sije če" magnetsko polje zemlje, dobiti informacija o brzini gibanja broda? Zašto? 222. Oko dugog valjkastog svitka protjecanog promjenljivom strujom nalaze se tri jednaka kratko spojena zavoja od bakra, nikelina i vlažnog savijenog drvenog pruta. U kojem će se zavoju inducirati najve ća elektromotorna sila? 223. Izolirani aluminijski prsten protjecan je promjenjljivom strujom i leži na 1 cm debeloj aluminijskoj plo či. Postoje li u ploči inducirane struje i da li se zbog toga zagrijava? Ako se grije navedite odakle se uzima energija?


35

Magnetska polja

224. Kroz okomito postavljenu bakrenu cijev iz koje je isisan zrak pada jak stalni magnet koji klizi gotovo bez trenja. Magnet će padati: a) jednoliko, b) jednoliko ubrzano, c) neće se uopće gibati. 225. Ako mesinganom njihalu prinesete sjeverni pol snažnog stalnog magneta njihalo će se gibati: a) brže, b) sporije, c) isto kao i prije, d) njihat će se brže ako mu prinesemo južni pol. 226. Dva svitka spojena su serijski. Ovisi li ekvivalentni induktivitet od konkretne geometrijske konfiguracije svitaka? 227. Elektroenergetski instalacioni stambeni vod se križa s telefonskom linijom. Kakvi su me đusobni utjecaji? Koji je kut križanja (ako se ve ć moraju križati) najpovoljniji? Zašto? 228. Objasnite svojim riječima elektromagnetsko polje i val, elektromagnetski spektar, isijavanje elektromagnetskih polja, blisko i daleko polje, antene i vrste antena te utjecaj elektromagnteskih polja različitih frekvencija na žive sustave. 229. Objasnite riječima i crtežom neke praktične primjene trajnih magneta i elektromagneta: mjerni instrumenti, reed relaisi, sklopnici, automatski osigura či, električna brava, električno zvonce, elektromagnetska dizalica itd. 230. Visokopermeabilna prestenasta jezgra ima mali zra čni raspor i N zavoja. Ako se zra čni raspor i broj zavoja udvostruče induktivitet svitka će: a) biti manji, b) biti veći, c) ostati isti. 231. U prostoru u kojem se nalazimo gusto ća toka zemljinog magnetskog polja iznosi 50 µT. Kolika je jakost magnetskog polja? 232. U željeznoj jezgri popre čnog presjeka 12 cm2 magnetska indukacija iznosi 1,2 T. Koliki je magnetski rok? 233. Koliki je magnetski napon (“magnetomotorna sila”, magnetska uzbuda) zavojnice od 1000 zavoja protjecana istosmjernom strujom ja čine 100 mA? 234. Kružni svitak sa 5 zavoja koji obuhva ćaju površinu od 4 cm2 protjecan je strujom ja čine 200 mA. Koliki je magnetski moment svitka? 235. Dugi ravni bakreni vodič kružnog presjeka 25 mm 2 protjecan je istosmjernom strujom ja čine 60 A. Kolika je gustoća magnetskog toka neposredno uz površinu vodi ča?


36

Magnetska polja

236. Okrugli ravni vodič je savijen u kutni oblik mjera prema slici. Protjecan je strujom ja čine 60 A. Naći magnetsku indukciju u to čci T. [Naputak: na ći najprije jakost magnetskog polja u to čci T zbog struje u dijelu vodiča AB po formuli H1=I/4·π·r·(sinα1-sinα2) i na sličan način H2 zbog utjecaja struje u dijelu vodiča BC te ih algebarski zbrojiti obzirom da se poklapaju po p ravcu i smjeru pa je B t = µ0·Ht].

A

I

I = 60 A AB = AC = CD = 2 m

2m

r=2m

T

B m 2 = r

2m 2m C

I

D

237. Dugi ravni aluminijski vodi č kružnog presjeka 70 mm 2 protjecan je strujom jačine 150 A. Naći jakost magnetskog polja i magnetsku indukciju u to čkama udaljenim 1 mm i 10 mm. 238. Prikaži grafički H = f(r) za okrugli vodi č presjeka 35 mm2 i jednolike gusto će struje 2 A/mm2. 239. Duga aluminijska cijev unutrašnjeg radiusa 2 cm i vanjskog 2.5 cm protjecana je istosmjernom strujom jačine 100 A. Naći jakost magnetskog polja na udaljenosti 10 mm i 100 mm. 240. Dva okrugla duga ravna aluminijska vodi ča čije su osi razmaknute u zraku 100 mm protjecana su istosmjernim strujama suprotnih smjerova iznosa 50 A i 70 A. Kolike su jakosti magnetskog polja u točkama A i B ? 150 100 50

I1=50A

A

B I2=70A

241. Tri duga okrugla ravna bakrena vodi ča smještena su u vrhove jednakostrani čnog trokuta stranica 600 mm i protjecana su strujama istog smjera iznosa 100 A. Izra čunati jakost magnetskog polja u to čci sjecišta visina trokuta. Nacrtajte!


37

Magnetska polja

242. Dugi ravni vodič protjecan strujom ja čine 10A i pravokutna vodljiva petlja, veli čine 2a·2a udaljena od vodiča za a = 1 cm, nalaze se u istoj ravnini. Koliki magnetski tok obuhva ća petlja? [Naputak: petlju i vodič smjestiti u pravokutni kordinatni sustav tako da na y os postavimo vodi č a na x1 i µ ⋅ I x2 udaljenosti prvu odnosno drugu paralelnu stranu petlje. Kako je B( x ) = 0 , dakle u funkciji 2 ⋅ π ⋅ x udaljenosti od vodiča a diferencijal površine je 2a·dx, napišemo da je: x 2

Φ=

x 2

∫ x B( x) ⋅ dS = x∫ 1

1

µ 0 ⋅ I ⋅ 2a ⋅ dx

2 ⋅ π ⋅ x

= µ 0 ⋅

I ⋅ a π

⋅

ln xΙ x x12

2a

=3a =a

=

µ 0 ⋅ I ⋅ a π

⋅

ln 3 .

a I = 10 A

a 2

a = 1 cm

243. Na plastični prstenasti nosač kružnog presjeka dimenzija datih na slici namotano je jednoslojno, gusto 2000 zavoja protjecanih istosmjernom strujom jakosti 250 mA. Izra čunati magntski napon i približno (s dovoljnom točnosti za praksu) jakost magnetskog polja u svitku, gusto ću magnetskog toka, magnetski tok i magnetski otpor.

svitak I= 250

IN

50 mm

20 mm

20 mm

plastični nosač 244. Kolika je jakost struje potrebna da bi se stvorio magnetski tok u nekom svitku s magnetskim naponom iznosa 100 A i brojem zavoja 5000, 2000, 1000, 100, 10 i 1 zavojem? 245. Dugi vodič kružnog presjeka dužine 200 mm i promjera 1 mm, gusto će struje 3 A/mm2 nalazi se u homogenom magnetskom polju magnetske indukcije 1,2 T tako da su vektori gusto će struje i indukcije međusobno okomiti. Kolika sila djeluje na vodi č? 246. Izračunati elektrodinamske sile izme đu dvaju paralelnih dugih ravnih vodi ča duljine 1,5 m u zraku razmaknutih 100 mm i protjecanih jednakim istosmjernim strujama suprotnih smjerova iznosa 100 A .


38

Magnetska polja

247. Kolikim se silama odbijaju dva ravna, tanka, kružna, beskona čno duga vodiča razmaknuta u vakuumu 1 m i protjecana istosmjernom strujom od 1 A. Kako se definira 1 A? 248. Tri duga ravna okrugla vodi ča rasporeda, razmaka i smjerova struja prema slici su protjecana istosmjernim strujama I1= 80 A, I2 = 130 A i I3 = 60 A. Kolika sila djeluje na segment tre ćeg vodiča duljine 1 m. [Naputak: izračunati metodom superpozicije jakosti magnetskog polja što ga u to čci 3 stvaraju vodi či 1 i 2 (H1 i H2 su međusobno okomiti), te naći gustoću magnetskog toka i silu F = I3⋅(l⋅ B), što obzirom na okomitost B i F daje F=B ⋅I3⋅l (N) ].

1

2

50

I1=80A

I2=130A

30

40

I3=60A 3 249. Vertikalno postavljeni aluminijski okvir, 100 ⋅500 mm, težine 0,5 N protjecan strujom I2 = 20 A udaljen je 10 mm od dugog ravnog vodi ča protjecanog istosmjernom strujom I 1 prema slici. Kojeg smjera i veli čine mora biti struja I1 da bi okvir zadržao zadani položaj? [Naputak: struje I 1 i I 2 moraju stvarati privla čnu silu koja mora biti jednaka zbroju težine i odbojne sile između I1 i I3]. m m 0 1 = a

I 1 =? I2= 20 A

b= 100 mm c= 500 mm

I3 = 20 A

G= F= 0,5 N

250. U homogenom magnetskom polju izme đu polova permanentnog magneta gusto će 0,5 T giba se vodi č duljine 50 cm brzinom od 30 m/s a) okomito na magnetske silnice i b) pod kutem od 45 0 prema vektoru gustoće toka. Naći napon u oba slu č ja i snagu priključenog otpornika od 10 Ω. Nacrtajte!


39

Magnetska polja

251. Slikom je dat vremenski tijek struje te vrijednost i smjer po njoj proizvedenog induciranog napona. Koliki je induktivitet kruga?

2A iL

24 V

1 ms

0

2 ms

t

24 V

252. Nacrtajte tijek napona ako je tijek struje dat na slici pri induktivitetu od 1 mH.

iL

3A

2A

0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.7 0.8 0.9

1

1.1 1.2

ms

3A 253. Izračunati približno induktivitet jednoslojne cilindri čne zavojnice duge 20 cm sa 1000 zavoja namotanih na kružni plastični nosač promjera 3 cm. 254. Naći N i L cilindričnog jednoslojnog svitka duljine 8 cm s tijesno prislonjenim kružnim zavojima promjera 3 cm izrađenog iz žice debljine 0,4 mm zajedno s izolacojom. 255. U unutrašnjosati duge jednoslojne zavojnice (N = 500 zavoja, l = 300 mm i d = 2 cm) vlada magnetski tok -7 Φ=8⋅10 Vs. Kolika je ja čina struje koja proizvodi taj magnetski tok? 256. Zadan je sustav induktivno vezanih svitaka sa L 1= 0,2 H i L2= 0,8 H i faktorom veze 0,25. Koliki je međuinduktivitet M sustava i kolika je njegova magnetska energija uz struje svitaka I 1= 8 A i I 2= 5 A takvog smjera da se magnetski tokovi svitaka podupiru (Wm=L1⋅I1²/2+L2⋅I2²/2+M⋅I1⋅I2). 257. Naći prosječnu (srednju) vrijednost napona samindukcije svitka samoinduktiviteta 0,4 H uz struju svitka 90 A komutiranu u 0,06 s.


40

Magnetska polja

258. Dvije zavojnice L1= 1 H i L2= 1,5 H vezane magnetski i serijski tako da im se magnetski tokovi potpomažu su protjecane istosmjernom strujom od 2 A Ako se struja jednoliko smanji do nule u vremenu od 40 ms na krajevima svitka se inducira napon 200 V. Koliki je me đuinduktivitet zavojnice? L1 = 1 H

L2 = 1,5 H

I= 2 A E= 200 V

259. Magnetska energija zavojnice induktivitete 300 mH iznosi 3 J. Kolika ja čina struje podržava tu energiju? 260. Prstenasti svitak sa 100 zavoja i feromagnetskom jezgrom relativne permeabilnosti 500, srednjeg radiusa 35 mm, presjeka 1,2 cm2 protjecan je strujom 100 mA. Nacrtajte! Izra čunati gustoću magnetskog toka, magnetski tok te magnetski otpor i vodljivost. 261. Isti zadatak kao pod 254. samo sa zra čnom pukotinom δ= 0,5 mm. Napravite poredbenu tabelu dobivenih podataka sa podacima iz zadatka 254 i izvedite zaklju čke. 262. Naći EMS međusobne indukcije nekog kruga 2 vezana me đuinduktivitetom M= 0,02 H na neki krug 1 kojem se struja ja čine 30 A jednolikim smanjivanjem iskop ča u vremenu od 0,1 s. 263. Dva svitka sa N 1= 600 i N2= 800 zavoja vezana su induktivno a magnetski otpor magnetskog kruga iznosi 4⋅107 A/Wb. Koliki im je koeficijent me đusobne indukcije? 264. Koliki je induktivitet zračne zavojnice s 1200 zavoja protjecane strujom 5 A koja joj stvara magnetski tok od 0,7⋅10–4 Wb. 265. Elektron ulijeće desetpostotnom brzinom svjetlosti u stalno magnetsko polje u vakuumu gusto će 1,5 T. Koliki je radius zakrivljenosti putanje po kojoj se giba čestica. [Naputak: iz ravnoteže magnetske sile Fm=Q⋅ (v⋅B) i centrifugalne Fc=m⋅v²/r i činjenice da su vektori v i B okomiti dobijemo za r=m⋅v/Q⋅B; masa elektrona u mirovanju me= 0,9109⋅10-27 grama, Qe= -1,6021⋅10-19 As, brzina svjetlosti u vakumu c0=2,997792⋅108 m/s].

v

e

Fc

B e

Fm r


41

Magnetska polja

266. Svitak sa serijski spojenim ohmskim otporom R= 10 k Ω i induktivitetom L= 100 mH priključen je sklopkom S na istosmjerni napon iznosa 100 V. Nakon koliko vremena će struja poprimiti iznos od 10 mA? 267. Zadan je srijski spoj R i L prema slici. Izra čunati struje prelaznog procesa pri ukap čanju strujnog kruga i vrijednosti napona samoindukcije za 1 τ, 2τ, 3τ, 4τ i 5τ te ih grafički prikazati. 100 Ohma

L=50mH

U=20V

S

268. Strujni krug sa R= 1 kΩ, L= 1 H, U= 100 V prikazan je na slici. Prikazati grafički tok struje i napona samoindukcije pri isključenju sklopke S za vrijeme 5 vremenskih konstanti.

10 kΩ L= 1H

U=100 V

S

269. Zavojnica sa R= 1 Ω i L= 2 H priključena je sklopkom S na istosmjerni napon 10 V. Kolika će struja teći strujnim krugom nakon 3 s?

R= 1 Ω U= 10 V

L= 2 H

S

270. Serijski spojeni svitak s R= 100 Ω i L= 0,5 H priklju čen je na napon 20 V. Ako sklopku S prebacimo u položaj 2 kolika će struja poteći kroz R i L nakon 0,01 s?

1 U= 20 V

2 L= 0,5 H

R=100 Ω

271. Omski otpor R= 35 Ω i induktivitet nepoznatog iznosa L spojeni su serijski na istosmjerni napon U= 82 V. Naći induktivitet L pri uključenju kruga ako struja uklapanja nakon 0,5 ms dostigne 3/4 svoje stacionarne vrijednosti.


42

Magnetska polja

272. Na slici je prikazan istosmjerni strujni krug s R i L. Ako sklopku S zatvorimo u trenutku t= 1,1 s struja iznosi i1= 7 A. Nakon 5 vremenskih konstanti struja postigne vrijednost 14 A. Odrediti ohmski otpor, induktivitet i vremensku konstantu uz zadani napon izvora 82 V.

R L

E= 82 V

S 273. Prstenasta feromagnetska jezgra prikazana na slici ima zra čni raspor 2 mm, unutrašnji radius 41 mm, kružni presjek 4 cm2 i magnetski tok 4⋅10-4 Wb što ga proizvode magnetski naponi dvaju svitaka smjerova struja prikazanih slikom. Prvi svitak proizvodi magnetski napon θ1= 400 A. U zračnoj pukotini se gusto ća toka smanjuje za 10% (zašto?). Podaci iz krivulje prvog magnetiziranja dati su tablicom. Koliki je magnetski napon drugog svitka? B (T) H (A/m)

0,4 100

0,65 0,82 0,9 150 200 240

1 300

1,1 380

1,2 500 S= 4 cm

I1

I1N1

1,3 750 2

I2

N1

m m 1 4 = r

N2

I2N2

2 mm

274. Prstenasta magnetska jezgra iz ljevanog željeza popre čnog kružnog presjeka 20 cm2 unutrašnjeg promjera 33 cm namotana s 1000 zavoja ima zra čni raspor širine 0,1 cm (širenje silnica i magnetsko rasipanje zanemarujemo). Odrediti jačinu struje kroz gusto, jednoliko namotanu zavojnicu tako da jakost magnetskog polja u zra čnom rasporu iznosi 400000 A/m. Podaci iz krivulje prvog magnetiziranja dati su tablicom. U slučaju potrebe može se izvršiti linearna interpolacija. B (T) H (A/m)

0,2 700

0,4 1100

0,6 2000


43

Magnetska polja

275. U magnetskom krugu mjera i vrste feromagnetskog mateijala prikazanom na slici treba posti ći magnetski tok (zanemarujemo rasipanje i širenje toka) Φ= 2,40·10-3 Wb. Izračunati uzbudnu struju ako je N= 1000 zavoja. Koliki je promjer lak žice ako je dopuštena gusto ća struje 3 A/mm2. Kako ćete smjestiti namot da bi rasipanje toka bilo što manje? Kako ćete provjeriti hoće li se namot mo ći smjestiti na željeznu jezgru. Dimenzije su zadane u milimetrima. ČELIČNI LJEV

B (T) H (A/cm)

1,2 8

1,3 12

1,4 18,5

1,5 26

1,6 60

40 0 4

I

IN

0 6 0 4

0 4

60

0,1 mm

0 4

DINAMO LIM

276. Proračunati elektromagnetsku dizalicu (odrediti nosivu silu približnom metodom) čiji je magnetski krug iz čeličnog ljeva prikazan na slici a namot s 1350 zavoja je protjecan istosmjernom strujom ja čine 12 A. Dimenzije su zadane u milimetrima. 30

40

60

40

30 0 3

0 5

0 2 1

0 1 0 3

Teret

277. Izračunati magnetsku indukciju u središtu kružnog bakrenog zavoja srednjeg radiusa 5 cm protjecanog I ⋅ dl ⋅ sin α strujom jačine 10 A. [Naputak: upotrijebiti Biot–Savartov zakon dH = , gdje r i dl čine 4 ⋅ π ⋅ r 2 pravi kut pa se kružni integral svodi na ∮dl što daje za H= I/2·r].

dl

r

text

H

H l


44

Izmjenič ne struje i naponi

6.

IZMJENI ČN E STRUJE I NAPONI

U ovom poglavlju ćemo riješavati probleme vezane uz karakteristične vrijednosti izmjeničnih sinusnih veličina i jednostavnije serijske i paralelne strujne krugove s "ohmskim", induktivnim i kapacitivnim otporima. "Ohmski" otpor u izmjeničnim strujnim krugovima (uglavnom mrežne frekvencije) držat ćemo istog iznosa kao i u istosmjernim krugovima što znači da ćemo zanemarivati potiskivanje struje zbog površinskog efekta (skin-efekta) obzirom na nisku frekvenciju (50 Hz). Za uspješno riješavanje i najjednostavnjih problema potrebito je poznavanje trigonometrije i trigonometrijskih funkcija te elemenata vektorskog računa. Treba imati na umu da se simbolički prikaz (vektorom) neke konkretne električke veličine ne poistovjeti sa njezinim fizikalnim smislom i značajkama. Tako na primjer jakost neke sinusoidne struje nije nikakva dužina sa strelicom, koja još i rotira, nego se struja samo prikazuje simbolom (otuda i naziv simbolički račun) koji se zove vektor a sve ipak zbog lakšeg shvaćanja i riješavanja i najjednostavnijih strujnih krugova. Voditi računa da su električki otpori (radni, induktivni, kapacitivni i prividni) skalarne veličine pa se ne mogu prkazivati vektorski. Ipak se prikazuju trokutima otpora kako bismo mogli izračunati rezultirajuće otpore strujnog kruga. Svi zakoni koji vrijede u istosmjernim strujnim krugovima vrijede i ovdje ali samo u nešto druga čijem obliku. Formule koje ćemo rabiti:

i = I m ⋅ sin(ω ⋅ t ± α ) I =

I m 2

u = U m ⋅ sin(ω ⋅ t ± α )

U m 2

U =

1 T I sr = ∫ i ⋅ dt T 0 σ =

U m U ef

I ef σ =

i(t)

I sr = 2

I m I ef

Istosm jerna velicina

2 π

⋅ I m

U sr =

2 π

⋅ U m

1 T 2 = ∫ i ⋅ dt T 0 ξ =

U U sr

Sinusoidna velicina

Imax=I

ξ =

I I sr

Trokutasti oblik

Imax

Imax t

Ief

I max

Isr

I max

σ ξ

1,00 1,00

I max 2 2 ⋅ I max π

I max 3 1 ⋅ I 2 max

1,41 1,11

1,73 1,15


45


f =

1 T

i = C ⋅

ω = 2 ⋅ π ⋅ f

du dt

i = L ⋅

l s

X L = L ⋅ ω

X C =

U Z

Y =

R = ρ ⋅

i =

f = p ⋅

u R

I =

1 ⋅ ω C

1 Z

B L =

R = Z ⋅ cos ϕ

u L = I ⋅ X L

U = U 12 + U 22 + U 1 ⋅U 2 ⋅ cosα U = (ΣU x )2 + (ΣU y )2 I R = I ⋅ cos ϕ

BC =

1 X C

G=

1 R

X = Z ⋅ sin ϕ uC = I ⋅ X C

I = I 12 + I 22 + I 1 ⋅ I 2 ⋅ cos α

I = (Σ I x )2 + (Σ I y )2

P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ

A j = U ⋅ I ⋅ sin ϕ

tgδ = ω ⋅ RS ⋅ C S

tgδ =

U 1m U 2 m = U 3m U 4 m

C L

1 ω

S = P 2 + Q 2

Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ

A R = U ⋅ I ⋅ cosϕ

ln d = π ⋅ R ⋅

1 X L

I j = I ⋅ sin ϕ

S = U ⋅ I

d =

α el = p ⋅α g

di dt

Z = R 2 + ( X L − X C )2 u R = I ⋅ R

n 60

⋅ RP ⋅ C P

f r =

1 2 ⋅ π ⋅ L ⋅ C

faktor prigušenja

logaritamski dekrement prigušenja


46


b = f 2 − f 1 = L Q = ω ⋅ R Z r =

L ⋅ R C

Z v =

L C

λ =

6.1.

c f

R

2 ⋅ π ⋅ L

širina frekventnog pojasa, gornja i donja grani č na frekvencija

faktor dobrote

rezonantni otpor kod paralelne rezonancije

valni otpor

valna duljina

Zadaci za vježbu

277. Koji je od tri prikazana vremenski promjenljiva napona izmjeni čni: a), b) ili c)? a).

b).

u(t)

c).

u(t)

T

u(t)

t

t

T

t

T

278. Kolika je maksimalna vrijednost mrežnog napona ako efektivna vrijednost napona iznosi 230 V? 279. Kolika je trenutačna vrijednost mrežnog napona (230 V, 50 Hz) u trenutku t= T/2? 280. U kojem će trenutku trenutna vrijednost mrežnog napona biti jednaka efektivnoj? 281. Napišite jednadžbu sinusne struje efektivnog iznosa 2 A koja za mrežnim naponom 230 V, 50 Hz fazno zaostaje za kut od 30˚ (vektor napona i os x čine kut od 0˚). 282. Izračunajte vrijednosti mrežnog napona 230 V u trenucima t 1= 0 s, t 2= 10 ms, t 3= 4,5 s ako vektor napona s osi x čini kut od + 60˚. [Ako se ne naglasi o kojoj se vrsti napona radi onda se misli na napon sinusnog oblika efektivnog iznosa, frekvencije 50Hz]. 283. Osciloskopom su izmjerene slijede će trenutačne vrijednosti periodičnog nesinusoidalnog napona: 0, 3, 5, 12, 18, 16, 13, 4, 1, 0 V, te isto tolike vrijednosti samo negativnog predznaka. Izra čunajte efektivnu vrijednost, srednju aritmetičku i tjemenu (vršnu, maksimalnu) vrijednost te tjemeni faktor i faktor oblika. Kolika bi jačina struje tekla kroz radni otpor od 10 Ω u trenutku kada napon iznosi 13 V? 284. Kolika je frekvencija napona sinkronog 4-polnog generatora pri 50 okr/s?


47


285. U paralelnom radu sa 1. sinkronim generatorom p= 1 i n= 3000 okr/min tjeranim parnom turbinom rade 2. sinkroni generator tjeran vodenom turbinom predvi đenom za rad izme đu 430 i 590 okr/min i 3. sinkroni generator tjeran dizel motorom predvi đen za rad između 143 i 158 okr/min. Naći kružnu frekvenciju mreže, broj kretaja i broj pari polova (p) generatora pod 2. i 3. 286. Dva serijski spojena svitka smještena su u utore sinkronog 10-polnog generatora i razmaknuta 6 geometrijskih stupnjeva (kut izme đu osi susjednih utora ili izme đu simetrala svitaka). Pri brzini rotora od 720 okr/min u svakom se svitku inducira napon efektivnog iznosa od 100 V. Na ći ukupan napon te pripadajuću kružnu i numeričku frekvenciju. 287. Koliki

je

zbroj

dviju

struja

čije

jednadžbe

i1 = 2 ⋅ 4 ⋅ sin 314 ⋅ t ,

glase:

i2 = 2 ⋅ 3 ⋅ sin (314 ⋅ t − 900 ) . 288. Na slici je prikazan vremenski dijagram struje i= I 0 + I1m·sinωt. Naći srednju aritmetičku i efektivnu vrijednost struje ako je I0= 12 A a I m1= 8 A. [Naputak: za srednju vrijenost primjeniti

1 T integral I sr = ∫ sin ω tdt što daje I sr= I0= 12 A, a za efektivnu vrijednost riješiti integral T 0 2 1 T 2 2 I 1m = 13,26 A]. I = ∫ sin ω t dt što daje konačan rezultat I = I 0 + T 0 2 2

i Im1 Io

t

289. Naći rezultantu dvaju napona u1 =

2 ⋅ 100 ⋅ sin 377 ⋅ t , u 2 = 2 ⋅100 ⋅ sin 377 ⋅ t .

290. Naći fazni pomak između dvaju napona U 1= 50 V i U2= 80 V čiji geometrijski zbroj iznosi 120 V. (U 1 fazno zaostaje za U2). 291. Kolika je geometrijska razlika dvaju napona U 1= 60 V i U2= 60 V ako je fazni pomak me đu njima 60˚? (U2 fazno prethodi naponu U1). 292. Koliki fazni pomak mora biti između dviju jednakih sinusnih struja da bi one bile jednake svojoj rezultanti (geometrijskom zbroju)? 293. Voltmetar s pomičnim svitkom mjeri srednje vrijednosti ispravljenih izmjeni čnih sinusnih napona. Kolika je efektivna vrijednost punovalno ispravljenog mrežnog napona ako voltmetar pokazuje 60 V? 294. Jednadžba napona glasi: u= 325,27 sin(377t-30˚). Na ći efektivnu vrijednost, numeri čku frekvenciju i trenutačni napon u trenutku t= 8 ms. 295. Naći brzinu promjene sinusne struje 5 A, 50 Hz u trenutku prolaza kroz nulu. [Naputak: analitički izraz za struju i=Im ·sinωt derivirati po dt što daje di/dt= 314·5· 2 ·cos0˚= 2220 A/s].


48


296. Koliko pokazuje ampermetar s pomi čnim svitkom (mjeri srednje aritmeti čke vrijednosti) ako je dioda idealna a u = 100·sin314·t; R= 10 Ω? a) 0 A b) 10 A c) 10 2 A d 10/ π A e) 10 2 / π A

u= 100 sin314t

R= 10 Ω A I= ?

297. Koliki je fazni pomak izme đu struja I 1 i I2 čije jednadžbe glase: i1 = 6·sin(314t - 300) i2 = 8·sin(314t + 600) a) 450 b) 900 c) 1350 d ) 1800 298. Naći crtanjem i računski rezultirajuću ja činu struja čiji su vektori prikazani slikom. Podaci: I 1=6 A; I2=10 A; I3= 8 A; I4= 7 A. I3= 8 A

I4= 9 A 120

45

I2= 10 A 30 I1= 6 A

299. Zadane su dvije struje: i 1= 2·sin(ωt + 45˚) i i2= 4·sin(ωt + 30˚). Treba izračunati: i3= i1 + i2 i i4= i2 - i1. 300. Kolika je geometrijska razlika i zbroj dvaju napona: u 1=


2 ·230 sin 314t i u 2= 2 ·230 sin (314t - 120˚)?

49


301. Rezultanta triju jednakih sinusnih struja maksimalnog iznosa 14,1 A i međusobnog faznog pomaka 120˚ iznosi: a) 30 A b) 30· 2 A c) 10· d) 0 A.

2A

302. Kolika jačina struje teče kroz cekas žicu duljine 6 m, promjera 0,6 mm ( ρ= 1,13 Ωmm2 /m; α=16·10-6 0 C-1) priključenu na napon u= 310 sin 314t ako zanemarimo toplinski uzrokovano pove ćanje otpora? 303. Nacrtati vremenski dijagram dviju jednakih sinusnih struja I 1= I2= 4 A, f= 50 Hz, fazno pomaknutih tako da struja I1 fazno zaostaje za strujom I 2 za kut 60˚. 304. Koliki je induktivni, radni i prividni otpor cilindrične, jednosloje, zračne zavojnice duge 50 mm, promjera 20 mm namotane s 250 zavoja lak žice promjera 0,2 mm pri frekvenciji: a) 50 Hz, b) 1 kHz (zanemarujemo skin-efekt). 305. Izračunajte induktivnu vodljivost zavojnice induktiviteta 200 mH pri frekvenciji 500 Hz. 306. Izračunajte kapacitivnu vodljivost kondenzatora kapaciteta 10 µF, tolerancije ±10%, nazivnog napona 350 V pri frekvenciji periode 20 ms. 307. Kolika struja teče strujnim krugom s idealnim kondenzatorom kapaciteta 100 µF i nazivnog napona 500 V priključenog na napon u= 310 sin 314t?

2 sin 314t. Kolika je efektivna vrijednost napona?

308. Kroz ohmski otpor 10 Ω teče struja i= 10·

309. Strujni izvor sinusne struje i 0= 3· 2 sin(ωt + 30˚) A napaja dva paralelna ohmska otpora R 1= 5 Ω i R2= 10 Ω. Napišite analiti čke izraze za struje otpornika i 1 i i2.

i1 io

i2 R1

R2

310. Kondenzator 0,5 µF propušta pri naponu 110 V struju 0,25 A. Izra čunajte kružnu i brojčanu frekvenciju napona i struje. 311. Objasnite kako je moguće da kondenzator "propušta" izmjeni čnu struju ako mu je bitni dio izolator? Zašto ne "propušta" istosmjernu struju? 312. Jednoslojna cilindrična zavojnica duljine 60 mm i promjera 25 mm namotana je sa 240 zavoja lak žice promjera 0,25 mm. Koliki je maksimalni sinusni napon frekvencije 1000 Hz na koji je smijemo priklju čiti ako je dopuštena gusto ća struje 3 A/mm2? 313. Idealna zavojnica induktiviteta 500 mH i kondenzator kapaciteta 50 µF spojeni su serijski na napon u= 100 sin 314t. Kolika struja te če strujnim krugom? 314. Mjerenjem je utvr đeno da zavojnica ima omski otpor 30 Ω i induktivitet 100 mH. Koliki kapacitet kondenzatora treba serijski dodati zavojnici da bi pri mrežnom naponu od 220 V poništili induktivni otpor? Nacrtajte shemu!


50


315. Omski (radni, djelatni) otpor iznosa 100 Ω i kondenzator kapaciteta 60 µF spojeni su serijski na mrežni napon 230V, 50Hz. Izra čunati prividni otpor, djelatnu, jalovu i prividnu jakost struje i snage, padove napona, faktor snage i fazni pomak te nacrtati trokut napona, struja, otpora i snaga. 316. Kako biste osmislili i izveli mjerenje induktiviteta svitka bez željeza "U-I" metodom? Nacrtajte! 317. Kako biste osmislili i izveli (u ve ćini slučajeva za praksu dovoljno to čno) mjerenje kapaciteta realnog kondenzatora? 318. Svitak podataka R= 30 Ω i L= 0,1 H propušta kod sinusnog napona 400 V struju 8A. Na ći faznu brzinu (kružnu frekvenciju) i broj čanu frekvenciju struje i napona, cos φ te radnu i jalovu struju i snagu. 319. Mjerenjem je utvrđeno da zavojnica ima omski otpor 40 Ω i induktivitet 0,2 H. Priključenjem zavojnice na transformirani mrežni napon strujnim krugom te če struja 0,32 A. Treba izračunati na koji je napon svitak priključen, koliki je fazni pomak izme đu struje i napona, kolika je prividna, jalova (induktivna) i radna snaga, koliki su padovi napona, djelatna i prazna (jalova) komponenta struje te nacrtati trokute otpora, napona, struja i snaga. 320. Žarulju 10 W / 6 V treba priklju čiti na izmjenični napon od 12 V, 50Hz. Izra čunati kapacitet kondenzatora koji bismo spojili serijski s žaruljom kao predotpor. 321. Na slici je prikazan višestruki spoj omskog, induktivnog i kapacitivnog otpora priklju čenog na napon u= 310 sin 314t. Ostali podaci: X c1= X c2 = Xc3= X L1= X L2= R 1 = R2= R 3= 10 Ω. Izračunati jačinu struje i sve padove napona te nacrtati vektorski dijagram.

XL1

R1

XC2

R2

XC3 XL2 R3

XC1 u=310sin314t

322. Omski otpor iznosa 50 Ω i idealni induktivitet iznosa 100 mH spojeni su paralelno na napon u= 84,85 sin 314t. Izračunati ukupnu prividnu i jalovu struju, struju svakog elementa, prividni otpor, sve vodljivosti, prividnu djelatnu i jalovu snagu, cos ϕ spoja te nacrtati vektorske prikaze struja i napona, trokut vodljivosti i trokut snaga. 323. Omska vodljivost iznosa 0,02 S i kapacitivna vodljivost 0,035 S spojene su paralelno na transformirani mrežni napon u=34 sin 314t. Izra čunati kapacitet kondenzatora, ukupnu prividnu, jalovu i radnu ja čine struje, prividnu, jalovu (kapacitivnu) i djelatnu snagu, faktor snage spoja te nacrtati vektorski prikaz struja i napona, trokut vodljivosti i trokut snaga. 324. Tri idealna elementa: R= 35 Ω; L= 120 mH; C= 70 µF spojena su paralelno na napon u= 325 sin 314t. Izračunati struju koju vuče svaki otpor, ukupnu prividnu i jalovu struju, prividnu, djelatnu i jalovu snagu, cosφ spoja, nacrtati vektorski prikaz struja i napona, trokut vodljivosti i tr okut snaga. 325. Naći struju kroz induktivitet L3 ako je L1= L2= L3= 100 mH a generator izmjeničnog napona daje napon u= 141 sin 314t. L2 L1 L3

u=141sin314t VISOKA TEHNI Č KA ŠKOLA U PULI - POLITEHNI Č KI STUDIJ

51


326. Na paralelni spoj tri radna otpora vrijednosti 24, 40, 7 Ω i tri jalova otpora vrijednosti 32, 30, 24 Ω djeluje sinusoidni napon 220 V, 50 Hz. Izra čunati struju svakog trošila, ukupnu prividnu struju, cos φ svakog trošila i cijelog spoja (mreže). 327. Na slici je prikazan vremenski tijek sinusnog napona. Napišite njegov analitički izraz? 100V

0

t

90

180

270

360

t

100V

328. Zadan je spoj prema slici. Podaci: R 1= 40 Ω; R2= 60 Ω; L= 95,54 mH; C= 39,8 µF; u= 100·sin3142t. Treba izračunati struju svake paralelne grane, ukupnu prividnu, djelatnu i jalovu ja činu struje, zatim prividnu, djelatnu i jalovu snagu, cos φ cijele mreže i svake paralelne grane te nacrtati vektorske prikaze struja i napona. R1 R2

L C

u=100sin3142t

329. Objasnite opširno svojim rije čima pojmove prividne, djelatne (radne) i jalove struje i snage! Koji je fizikalni smisao jalove struje? 330. Može li snaga imati negativni predznak? Može li faktor snage imati negativan predznak? 331. Koliko pokazuje wattmetar u strujnom krugu prikazanoma na slici ako je I= 3,14 A; C= 100 µF i u = 100 ⋅ 2 ⋅ sin 314t ? I=3,14A

A u=141sin314t

W C=100 µ F

332. Jednofazni asinkroni motor faktora snage 0,78 i stupnja djelovanja 0,82 priklju čen je na mrežni napon 230 V pri čemu vuče struju od 6,79 A. Kolika je snaga motora na vratilu?


52


333. Jednofazni asinkroni motor napona 220 V vu če struju 30A pri čemu wattmetar pokazuje 5,5 kW. Koliki je cosφ motora? P=5.5kW

I=30A

L1

A

W

M

u=325.3sin314t N

334. Na jednofaznu mrežu 230 V su paralelno priklju čena 2 asinkrona motora snage tako da prvi troši 2100 W uz faktor snage 0,8 a drugi 2500 W pri struji 15 A. Kolika je ukupna prividna struja i faktor snage? 335. Tri jednofazna asinkrona motora spojena su paralelno na mrežni napon 220 V. Podaci: P 1= 1000 W; cosφ1=0,78; P2=1300 W, cosφ2= 0,84; P3= 500 W, cosφ3= 0,65. Treba naći ukupnu djelatnu, prividnu i jalovu snagu te cosφ cijele mreže (spoja). 336. Transformator za zavarivanje podataka 5000 VA, 220 V, 50 Hz ima faktor snage 0,75. Koliki kapacitet kondenzatora treba paralelno priklju čiti na primarnoj strani transformatora da bi faktor snage iznosio 0,97? 337. Jednofazni asinkroni motor podataka 1000 W, 220 V, 50 Hz ima cos φ 0,68. Izračunati kapacitet kondenzatora kojim bismo faktor snage popravili na 0,95. 338. Fluorescentna cijev (induktivni spoj) nazivne snage 40 W, pogonskog napona 110 V (pad napona na cijevi) vuče struju jačine 0,45 A. Priklju čena je na mrežni napona 230 V, 50 Hz preko prigušnice (predspojna naprava) ohmskog otpora 20 Ω. Koliki je induktivitet prigušnice? "starter"

FC40W

L,R u=310sin314t

L1

N

339. Trošilu 13,2 kW, 1000 V i 22 A treba poništiti praznu induktivnu struju. Dimenzionirati kapacitet i prividni učin kondenzatora kojeg ćemo paralelno spojiti trošilu. 340. Nacrtajte rezonantne krivulje serijskog rezonantnog kruga sa R= 10 Ω, L= 100 mH i C= 10 µF priključenog na sinusni naponski izvor promjenljive frekvencije maksimalnog napona 10 V. 341. Izračunati rezonantnu frekvenciju i rezonantnu struju uz najviši dopustivi napon serijske kombinacije svitka R= 20 Ω, L= 406 mH i C= 0,25 µF opteretiv do 7000 V. Izra čunati ukupni napon kombinacije i pripadni napon svitka.


53


342. Paralelni rezonantni krug odašilja čke antene lokalne radiopostaje čine induktivitet L= 0,05 mH i kondenzator nepoznatog kapaciteta C. Koliko mora iznositi kapacitet kondenzatora da bi postaja mogla emitirati radiofreknenciju 701 kHz? A

L

C

POJACALO A

Z

343. Na kondenzator kapciteta 150 nF nabijen na 100 V priklju čena je zavojnica R= 3 Ω i L=6·10-6 H Odredite titrajnu frekvenciju kruga. 344. Titrajni krug koji se sastoji od L= 1 mH, C= 100 pF treba imati širinu pojasa b= 8 kHz. Izra čunati radni otpor kruga, rezonantnu te gornju i donju frekvenciju i valnu duljinu. 345. Koliki je rezonantni otpor paralelnog kruga prikazanog na slici ako je L= 20 µH, C= 300 pF i R= 3 Ω. R L C

U

346. U strujnom krugu na slici treba odrediti X L tako da uz R= 200 Ω i XC= 400 Ω strujni krug bude u rezonancji [Naputak: paralelni spoj R i C treba pretvoriti u serijski formulom Z RC= X C·RL /R² + XC² ili još bolje kompleksnim računom pa jalovi dio otpora ZRC mora biti jednak induktivnom otporu]. R XL Xc

U


54

Simbolič ki rač un

7.

SIMBOLI ČK I RAČ UN

Iako i vektorski račun spada u simboličke račune pod ovim pojmom u elektrotehnici podrazumjevamo u biti primjenu kompleksnih brojeva u riješavanju različitih složenijih tehničkih problema, poglavito složenijih mreža koje bismo poznatim analitičkim metodama i vektorskim računom teško riješili i u jednostavnijim slučajevima. Iako vektorski i kompleksni račun zamagljuju fizikalne odnose među izmjeničnim veličinama proučavajući odnose među vektorima kojima se mogu prikazati i kompleksni brojevi moramo znati dobivene rezultate prenijeti na izmjenične veličine koje su stvarno jedine objekt proučavanja. Kompleksni račun je moćno matematičko sredstvo u elektrotehnici ali ima i niz nedostataka i nedosljednosti: uporabljiv je samo u linearnim strujnim krugovima, vrijedi samo za sinusoidne veličine, snaga izmjenične struje nema svoga reprezentanta u kompleksnim brojevima. Zakonitosti koje smo do sada upoznali za izmjenične strujne krugove i dalje vrijede samo u nešto drugačijem matematičkom obliku - kompleksnom obliku. Riješavanje linearnih mreža kompleksnim računom slično je riješavanju problema istosmjernih mreža pri čemu se koriste slični postupci i metode. Prisjetimo se da se svaki kompleksni broj može prikazati u algebarskom, trigonometrijskom, polarnom i eksponencijalnom obliku. Najviše ćemo upotrebljavati algebarski i eksponencijalni oblik. Obzirom da se u matematici slovo "i" rabi kao oznaka za imaginarnu jedinicu a u elektrotehnici za jakost struje uobičajeno je da se u elektrotehnici za imaginarnu jedinicu rabi slovo "j" (izgovara se "jot"). U stručnoj literaturi postoje različiti načini označavanja kompleksnih izmjeničnih veličina a mi ćemo upotrebljavati točku iznad slovne oznake izmjenične veličine.   

7.1.

Zadaci za vježbu

347.Kompleksni broj Z= 3+4j prikažite u kompleksnoj (Gaussovoj) ravnini. Nacrtajte pripadaju ći vektor i izračunajte apsolutni iznos kompleksnog broja (modul). Prikažite kompleksni broj u eksponencijalnom i polarnom obliku. [Za polarni oblik možemo koristiti simbol kao na primjer Ż= 10 ║– 45º ║ Ω, a za eksponencijalni oblik Ż=10e-j45 ]. 348.Zbrojite kompleksne brojeve Z 1= 10+12j i Z 2= 15e-j60. 349.Podjelite i pomnožite kompleksne brojeve Z 1= 18e j60 i Z2= 9e -j60. 350.Podjelite kompleksni broj Z 1= 8 –6j sa Z2 = 5+7j te sve prikažite u kompleksnoj ravnini. 351.Napišite nadomjesnu impedanciju svitka koja se sastoji od R= 50 Ω i XL= 100 Ω u algebarskom, eksponencijalnom i polarnom kompleksnom obliku te prikažite u kompleksnoj ravnini. 352.Izmjenične struje i1= 10 sin(314t–45º) i i 2= 15 sin(314t+60º) napišite u kompleksnom obliku, zbrojite ih i izračunajte apsolutni iznos (vrijednost struje koju bi pokazao ampermetar u strujnom krugu). Prikažite u kompleksnoj ravnini. •

353. Na kompleksnu impedanciju Ż= 60-80j Ω je narinut kompleksni napon U =100 ║0º║ V. Kolika jakost struje teče strujnim krugom (struja koju bi pokazao ampermetar - efektivna vrijednost). Prikažite kompleksne veličine u Gaussovoj ravnini. •

354.Na napon U =220 ║0º║ V priključen je serijski spoj kompleksnih otpora Ż1= 50-40j Ω i Ż2= 60+30j Ω. Izračuajte i prikažite kompleksnu jakost struje u eksponencijalnom obliku.


55


355.Kompleksna struja İ= 3-2j A teče kroz kompleksnu impedanciju Ż= 65-45j Ω (prikažite u kompleksnoj ravnini). Koliki bi napon pokazao voltmetar na prividnom otporu Z. 356.Na tri serijski spojena kompleksna otpora: Ż1= 20-30j Ω, Ż2= 50 ║–35º║ Ω, Ż3= 25e j45 Ω djeluje izmjenični •

napon U = 110║–60º ║V. Izračunajte fazni pomak φ između struje i napona. 357.Izračunajte kompleksne vodljivosti slijede ćih kompleksnih otpora: Ż1= 2-2j Ω, Ż2= 2+3j Ω, Ż3= 8e j40 Ω, Ż4= -20j Ω, Ż5= 20j Ω, Ż6= 20+j0 Ω. 358.Paralelni spoj prikazan na slici pretvorite simboli čkom metodom u serijski spoj. Poznato: R= 60 Ω, L= 50 mH, f= 50 Hz. R A

B L

359.Izračunajte simboličkom metodom admitanciju i impedanciju spoja prikazanog slikom. Zadano: R= 10 k Ω, C= 10 nF, f= 10 MHz. R

A

B

C

360.Izračunati simboličkom metodom admitanciju, impedanciju i jakost struje za spoj prikazan slikom. Zadano: R= 200 Ω, C= 1000 nF, L= 1 H, u= 310sin(314t+30º) V. R C

L

u(t)

361.Koliko pokazuje ampermetar u spoju prikazanom na slici. Zadano: R 1= 40 Ω, R 2= 30 Ω, L= 60 mH, C= 30 µF, u= 220 sin(314t-30º) V. Koliki su padovi napona na otporima R 1 i R2? L R1 C

R2

A u(t)


56


362.Izračunati kompleksnim ra čunom prividni otpor izme đu točaka A i B za frekvencije 50 Hz, 1 kHz i 1 MHz. Ostali podaci: R1= 1 kΩ, R2= 1,5 Ω, C= 300 nF, L= 2 mH. L R1 A

B

C

R2

u(t)

363.Izračunati sve struje, padove napona na svim otporima, djelatne i jalove snage spoja prikazanog na slici. Zadano: R1= 10 kΩ, R2= 8 kΩ, R3= 6 kΩ, L1= 1 mH, L2= 100 µH, C1= 3 µF, C2= 2 µF, u= 10 sin6280t V. R1 C1

R2

L1 L2 C2

R3

u (t)=10sin6280t

364.Naći impedanciju izme đu točaka A i B spoja prikazanog na slici. Zadano: C= 250 nF, R= 14 Ω, L= 0,05mH, f= 50 kHz. R C A

B L

365.Odrediti prividni otpor, ukupnu prividnu jakost struje i struju kroz otpor R 1 spoja prikazanog na slici. Zadano: u= 141 sin314t, C 1= C2= C3= C4= C5= 53,07 µF, L 1= L2= L3= L4= 95,54 mH, R1= R2= R3= 30 Ω. C1 L1 R1

R2

C2 L2

L3 C3

R3 C4

C5 L4

u (t)


57


366.Zadana su tri kompleksna otpora: Ż1= (2+j3) Ω, Ż2= (4–j2) Ω, Ż3= (3+j5) Ω.Treba ih spojiti: 1. serijski i izračunati kompleksni otpor, 2. paralelno i izračunati admitaciju, 3. kao naponsko djelilo i pri izmjeni čnom sinusnom naponu U= 10 V izra čunati napon U 2, 4. kao strujno djelilo i uz ukupnu kompleksnu struju İ=10·e j0º A izračunati struje I1, I2 i I3, 5. u zvijezdu i pretvoriti u trokut, 6. u trokut i spojiti ih u zvijezdu, [Naputak: trokut u zvijezdu: Ż1= Ż12·Ż31 / ΣŻ, Ż2= Ż12·Ż23 / ΣŻ, Ż3= Ż23·Ż31 / ΣŻ zvijezda u trokut: Ż1= Ż1·Ż2 / Ż0, Ż2= Ż2·Ż3 / Σ Ż0, Ż3= Ż3·Ż1 / Σ Ż0,gdje je 1/ Ż0= 1/ Ż1+1/ Ż2+1/ Ż3 ]. 367.Metodom superpozicije i konturnih struja riješiti mrežu prikazanu na slici. Podaci: Ů1= 12·e j0º V, Ů2= 12·ej30 V, Ż1= (2+j3) Ω, Ż2= (4–j2) Ω, Ż3= (3+j5) Ω. Z1

Z2

U1

U2

Z3

368.Izračunati pad napona na otporu Ż3. Zadano: Ů1= (20+j30) V, Ů2= (10-j30) V, Ż1= (2-j2) Ω, Ż2= (4-j3) Ω, Ż3= -j2 Ω. Z2

U1

U2

Z3 Z1

369.Theveninovom metodom izra čunati kompleksnu jakost struje kroz otpor Ż. Zadane vrijednosti: Ů1= (30-j15) V , Ů2= 30 ║0º║ V, Ż1= (3+j5) Ω, Ż2= (4+j0) Ω, Ż= (3-j3) Ω.

Z1

R

E1

Z

E2

370.Izračunati ekvivalentni induktivitet galvanski i induktivno spojenih dvaju svitaka ako je L 1= 100 mH, L2= 400 mH, faktor veze k=0,9. [Naputak: obzirom da nije vidljiv smjer namatanja svitaka točkama označujemo mjesta na kojima magnetske silnice izlaze pa se u našem slučaju magnetski tokovi potpomažu što daje ukupni induktivitet svitka Luk= L1+L2+2M, a M= k· L1 ⋅ L2 ]. k i (t)

L1

L2 u (t)


58


371.Izračunati kompleksnu prividnu snagu spoja prikazanog na slici. Zadano: R= 50 Ω, L1= 1/ π H, L 2= 2/ π H, C= 200/ π µF, İ3=1·e j0º, f= 50 Hz. C

I1 I2

L1

L2 R

I3

U

372.Izračunati kompleksne jakosti struja İ1 i İ2 induktivno spojenih svitaka spoja prikazanog na slici. Zadano: Ů1= (1+j0) V, Ż1= (10-j15) Ω, Ż2= (5+j5) Ω, L1= 2 mH, L2= 5 mH, f= 1 kHz, M= 3 mH. M12 Z1 L1

E

I2

L2

I1

Z2

373.Za induktivno vezane strujne krugove prikazane na slici treba odrediti kompleksne struje İ1 i İ2 ako je poznato: L1= L 2= 1 mH, C 1= C 2 = 200 pF, R 1= 100 kΩ, R 2= 20 Ω, ω= 2,24·106 [1/s], È= (2+j0) V, k=0,05. [Naputak: E, R1 i C1 predočiti naponskim izvorom i napisati za obje konture jednadžbe po drugom Kirchhoffovom zakonu. Obzirom na smjerove namatanja koeficijent međusobne indukcije ima negativni predznak].

R1

M12

C1

E

R2

A I1 L1

I2 L2

C2

B

374.Izvesti formulu za ravnotežu Maxwellovog mosta i izračunati L1= Lx ako je L2= 10 mH, a R 3 /R4= 10. Lx=L1, R1

R3


L2, R2

R4

59


375.Izvesti formulu za ravnotežu Maxwell-Wienovog mosta i izra čuna induktivitet ako je R 2= 1 kΩ, R3= 4 k Ω, C= 100 nF. [Riješenje: L= R2·R3·C4].

Lx=L1, R1

R2

C4

R3

R4

376.Izvesti formulu za frekvenciju kod koje će Robinsonov most biti u ravnoteži i izra čunati je za slijedeće podatke: R= 10 k Ω, C= 180 nF. [ Riješenje: f= 1/R·C].

R

R

C C

R3

R4

377.Theveninovom metodom izra čunati pokazivanje ampermetra s mekim željezom mosnog spoja prikazanog na slici. Zadano: R1= 100 Ω, R2= 200 Ω, XL= (j100) Ω, XC= (-j200) Ω, Ů= 100 ║0º║ V.

R1

jXL

A

-jX

R2

U


60

Višefazni sustavi

8.

VIŠEFAZNI SUSTAVI

U područ ju izmjeničnih struja do sada smo razmatrali isključivo jednofazne sustave koji u praksi uglavnom dolaze kao dijelovi trofaznih sustava. Trofazni sustavi za sada imaju najveću praktičnu vrijednst pri proizvodnji, prijenosu, razdiobi i potrošnji električke energije obzirom na svoje ekonomske i tehničke značajke. Između jednofaznog i trofaznog sustava nalazi se dvofazni sustav koji ima povijesni didaktički značaj. Spomenimo da se dvofazni sustav najpovoljnije može realizirati dvofaznim generatorom, koji u slučaju jednog para polova ima dva međusobno okomita svitka koji proizvode dva napona fazno pomaknuta za 90º (električkih odnosno geometrijskih stupnjeva). Spajanjem svršetaka ovih svitaka (ili u ovom slučaju bilo kojih krajeva svitaka) možemo dobiti dva razli čita napona, fazni i

2 puta. U idealnom slučaju trofazne napone uvijek čine tri linijski, koji se me đusobno razlikuju jednaka napona fazno pomaknuta međusobno za 120 električkih stupnjeva. Pri niskonaponskoj potrošnji trošila manjih snaga (na primjer rasvjetna trošila) se priključuju jednofazno (mada se mogu rasporediti na sva tri fazna voda), rijetko pak imamo dvofazne priključke trošila, a trofazno se priključuju trošila većih snaga (na primjer trofazni asinkroni motori). Sve zakonitosti jednofaznih strujnih krugova vrijede i u trofaznim sustavima uz minimalne specifične nadopune. Za riješavanje složenijih problema u trofaznim strujnim krugovima te uz dobro poznavanje fizikalnih dnosa u njima, ali i u istosmjernim i jednofaznm krugovima, dosatajt će nam slijedeće formule: u1 = U ⋅ 2 sin ω t •

•

•

u2

•

•

U 1 + U 2 + U 3 = U 0

=

U L 3

•

2 sin(ω t − 120 0 ) •

u3

= U ⋅

2 sin(ω t − 240 0 )

•

I 1 + I 2 + I 3 = I 0

u1 + u 2 + u3 = 0 U f

= U ⋅

i1 + i2 + i3

=

0

I L = I f 3

S = 3 ⋅U ⋅ I

P = 3 ⋅U ⋅ I ⋅ cos ϕ

Q = 3 ⋅U ⋅ I ⋅ sin ϕ

P = P1 + P2 + P3 •

•

U 0

=

•

•

•

•

•

U 1 ⋅ Y 1 + U 2 ⋅ Y 2 + U 3 ⋅ Y 3 •

•

•

•

•

(Izra č un napona nul-to č ke bez nultog vodi č a izostaviti

Y 0 )

Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 0 •

•

•

U t = U f − U 0 ( Napon trošila je geometrijska razlika izme đ u faznog napona i napona nulte to č ke s i bez nultog vodi č a).

n=

U 1 N 1 = U 2 N 2

I 1 ⋅ N 1 = I 2 ⋅ N 2


Z 1 = n 2 ⋅ Z 2

61

Višefazni sustavi

E = 4,44 ⋅ Bm ⋅ S Fe ⋅ N ⋅ f f = p ⋅

8.1.

n 60

o=

I µ ⋅ N ⋅ 2 = ∑ H m ⋅ l nS − nr ⋅100 % nS

Zadaci za vježbu

378.Dvofazni generator spojen u "zvijezdu" daje dva fazna napona, svaki po 156 V. Koliko iznose me đufazni (linijski, združeni) naponi. Prikažite vektorski! 379.U trofaznoj 4-vodnoj niskonaponskoj mreži, ispravnoj i od zemlje izoliranoj, linijskog napona 400 V čovjek otpora 2000 Ω u vodljivom spoju s zemljom dodiruje fazni vodi č. Kolika struja teče kroz osobu? 380.U niskonaponskoj mreži s uzemljenim zvjezdištem (otpor uzemljenja ispod 5 Ω) faznog napona 230 V, čovjek otpora 2000 Ω ( mjereno između ruku i nogu) u vodljivom spoju sa zemljom dodiruje fazni vodi č. Kolika jačina struje teče kroz čovjeka? 381.Koliki je fazni napon 110 kV voda? 382.Nacrtajte vektorski i vremenski dijagram trofaznih napona zadanih podataka: u 1= 230 u2= 230

2 sin(314t–120º)

V, u3= 230

2 sin(314t–240º)

2 sin314t

V,

V. Izračunajte trenutačnu vrijednost svakog

napona u trenutku t=0,075 s. Koliki je njihov zbroj? 383.Koliki je geometrijski zbroj faznih napona prve i tre će "faze" iz zadatka 381? 384.Tri jednaka omska otpora iznosa 100 Ω spojena su u zvijezdu i podvrgnuta me đufaznom naponu 380 V: a) s nul-vodičem i b) bez nul-vodiča. Izračunati fazne i linijske struje u oba slučaja, te struju kroz nulti vodi č. Kolika je ukupna snaga? 385.Tri jednaka ohmska otpora svaki po 50 Ω spojena su u trokut i priključena na sustav simetri čnih trofaznih napona 380 V. Izračunajte fazne i linijske struje i snagu. 386.Tri ohmska otpora R1=80 Ω, R2=120 Ω, R3=200 Ω, spojena su u zvijezdu s nul-vodi čem zanemariva otpora i priključena na linisjki napona 400 V. Izra čunajte grafički i računski jačinu struje kroz nulti vodi č. 387.Termoakumulaciona peć snage 6 kW priklju čena je na linijski napon 380 V. Kolika ja čina struje teče dovodnim vodičima ako su grija či spojeni u a) zvijezdu, b) trokut? 388.Tri otpora 100 Ω, j100 Ω i -j100 Ω spoji su u zvijezdu s nulvodi čem i priključeni na linijski napon 220 V. Kolika jačina struje teče kroz nulti vodič? Riješiti grafički i računski-simboličkim računom. 389.Tri kompleksna otpora Ż1= 50+j60 Ω, Ż2= 60-j100 Ω i Ż3= 100 Ω spojena su u zvijedu s nultim vodi čem zanemariva otpora na sustav simetričnih linijskih napona iznosa 400 V. Kolika struja teče nultim vodičem? 390.Trofazni asinkroni motor građen za trokut 380 V, faktora snage 0,81 i stupnja djelovanja 0,85 vu če struju jačine 11 A. Kolika mu je snaga na vratilu?


62

Višefazni sustavi

391.Trofazni asinkroni motor snage 3 kW gra đen za trokut 220 V prespojen je u zvijezdu i priklju čen na linijski napon 380 V: a) namotaj motora će pri nazivnoj snazi pregorjeti, b) motor će ispravno raditi pri snazi 3 puta manjoj, c) motor ćemo moći opteretiti i 3 većom snagom, d) motor će ispravno raditi pri nazivnoj snazi. 392.Tri nejednaka radna otpora R 1= 30 Ω, R2= 50 Ω, R3= 120 Ω spojena su u zvijezdu bez nultoga vodi ča i priključena na sustav linijskih napona 380 V. Odrediti grafički napon nulte to čke, potrošačke napone, izračunati pripadajuće struje i ukupan učin. [Naputak: vidjeti dr. Lončar, Osnovi elektrotehnike, knjiga druga, Tehnička knjiga, Zagreb, str. 75 ]. 393.Tri jednaka ohmska otpora po 200 Ω spojena su u zvijezdu, a) s nultim vodi čem zanemariva otpora i b) bez nultog vodiča, i priključena na sustav me đufaznih napona 400 V. U jednoj fazi (prvoj) je došlo do prekida. Kolika je jačina struje kroz svaki otpor, fazne vodi če (u oba slučaja) i nulti vodič. Kolika je snaga kod ispravog rada i kod prekida? 394.Tri jednaka radna otpora po 200 Ω spojena su u zvijezdu, a) s nultim i b) bez nultog vodi ča, i priključena na sustav međufaznih napona 400 V. U jednoj fazi (prvoj) je došlo do premoštenja otpornika. Kolika je ja čina struje kroz svaki otpor, fazne vodi če (u oba slučaja) i nulti vodič? Kolika je snaga kod ispravog rada i premoštenja otpora? 395.Tri nejednaka ohmska otpora R 1= 60 Ω, R 2= 100 Ω, R 3= 220 Ω spojena su u zvijezdu, a) bez nul-vodi ča i b) s nul-vodičem otpora 2 Ω na sustav linijskih napona 400 V. Izra čunati po Millmanovom teoremu napone nulte točke, potrošačke napone, struje i ukupne u čine u oba slučaja. 396.Tri kompleksna otpora Ż1= 50 + j60 Ω, Ż2= 60 - j100 Ω i Ż3= 100 Ω spojena su u zvijezdu, a) s nultim •

•

vodičem otpora 2,5 Ω, b) bez nultog vodi ča i priključena na sustav napona: U 1 = 220 + j0 V, U 2 = -110 •

U 3 = -110 + j190,5 V. Izra čunati simboličkom metodom i Millmanovim teoremom napone j190,5 V, nulte točke za oba slučaja, struju kroz nulti vodi č, potrošačke napone i ja činu struje. 397.Trofazni 10 kV vod rasporeda vodi ča u obliku uspravnog jednakostrani čnog trokuta, razmaka vodiča 1 m i presjeka vodiča 3·35 mm2 Al, opterećen je na kraju s 300 kW uz faktor snage 0,9. Je li pad napona u granicama pretpostavimo dopuštenih 2% od nazivnog napona. [Naputak: uzeti u obzir pri izračunu pada napona induktivni i radni otpor. Induktivni možemo izra čunati ili još bolje uzeti iz nekog priru čnika. Tako, za naš slučaj nalazimo: induktivni otpor po jednoj fazi 0,37 Ω /km, srednji omski otpor 0,845 Ω /km. Induktivitet po jednoj fazi bismo izračunali prema poznatoj jednadžbi: L1= (4,6 logA/r +0.5)·10-4 [H/km], uz r= 3,75 mm, L 1=(4.6 log 1000/3.75+0.5)·10-4 = 0,001166 H/km odnosno XL1= 314·0,001166= 0,366 Ω /km. Nacrtajmo vektorski prikaz struje, napona i padova napona, pa ćemo lako uočiti formulu za pad napona u= 3 I· (R1·l·cosφ + XL1·l·sinφ) ]. 398. Četveropolni trofazni asinkroni motor snage 5 kW, trokut 400 V, 50 Hz, faktora snage 0,82 ima pri nazivnom opterećenju 1457 okr/min. Izra čunati klizanje (u postocima). 399.Kako se mijenja frekvencija rotora asinkronog motora ako se pove ćava broj okretaja: a) raste, b) ostaje ista, c) smanjuje se.


63

Višefazni sustavi

400.Na slici je prikazan primarni namot trofaznog transformatora snage 10000 / 400 / 230 V. Koliki bi bio napon između točaka A i C u slu čaju izbacivanja nadstrujne zaštite u fazi L1. Prikažite vektorski! A

L1

L2

B

L3

C

401.Tri elektrodinamska wattmetra su spojena prema slici. Ovakvim spojem se može mjeriti: a) radna snaga za bilo koje trošilo, b) prividna snaga za bilo koje trošilo, c) djelatna snaga za simetri čna trošila, d) radna snaga samo za nesimetri čna trošila.

L1

W

L2

W

L3

W

O L I Š O R T

N

402.Linijska struja simetri čno opterećenog primara trofaznog transformatora snage iznosi 20 A. Kolika će biti struja I1 ako izbaci nadstrujna zaštita u fazi L 1? IN=25A L1

IL=20A

A I3

IN=25A L2

B I1

I2

IN=25A L3


C

64

Višefazni sustavi

403.Na slici je prikazano simetri čno trošilo linijskog napona 400 V. Koliko pokazuje voltmetar ako "izgori" osigurač u fazi L1? A

L1

R3 L2

B

R2

L3

R1

V V

C

404.Koliko pokazuje voltmetar zanemarivog potroška spoja na slici ako je U L= 380 V a otpori trošila spojenog u zvijezdu su međusobno jednaki? L1

380V

L2 L3 V Z

Z

Z

405.Tri žarulje jednakih snaga su spojene prema slici na linijski nappon 230 V. Objasnite kako će žarulje svjetliti (pojmovima isto, jače, slabije) ako izbaci nadstrujna zaštita u fazi L1.

L1 Ž1 L2

Ž3 Ž2

L3

406.Objasnite pojmove i zna čajke: transformator snage, autotransformator, transformator s odvojenim namotajima, mrežni transformator, zaštitini transformator, transformator za galvansko odvajanje, transformator za zavarivanje, mjerni transformator, mali transformator. 407.Jednofazni transformator primarnog napona 230 V ima prijenosni omjer 10. Koliki je sekundarni napon?


65

Višefazni sustavi

408.Feromagnetska jezgra iz transformatorskih limova ima dva namotaja N 1= 460 i N2= 50 zavoja. Maksimalna gustoća toka iznosi 1,4 T frekvencije 50 Hz. Koliki se naponi induciraju u namotima, ako je presjek jezgre (jezgrasti oblik) 16 cm2 (omjer ukupnog presjeka jezgre i čistog željeza neka bude 0,97) a magnetsko rasipanje zanemarujemo. 40 40

Bm E1

N1

N2

E2

40 0 4

Transformatorski lim

409.Treba izračunati struju magnetiziranja, inducirani napon i induktivitet prigušnice s željeznom jezgrom iz transformatorskih limova i zanemarivim gubicima u željezu. Podaci: N= 1000 zavoja, presjek čistog željeza SFe= 9,7 cm2, srednja duljina silnica l sr= 55 cm a odabrana maksimalna magnetska indukcija 1,2 T i f= 50 Hz. 410.Transformator 220 / 24 V je na sekundaru optere ćen strujom I2= 5 A. Je li dovoljan rastalni osigura č na primarnoj strani nazivne struje 0,5 A. 411.Dipol TV antene ima valni otpor (kako se ra čuna?) 300 Ω a koaksijalni kabel 75 Ω. Treba izračunati prijenosni omjer i broj zavoja prilagodnog transformatora (asimetri čni član). Koje su mogu će posljedice neprilagodbe? 412.Jednofazni transformator 220 / 220 V je na sekundaru optere ćen radnim otporom 1000 Ω. Koliki je taj otpor sveden, reduciran ili preslikan na primarnu stranu? 413.Trofazni transformator snage 10000 / 400 / 230 V spojen je na sekundaru u zvijezdu. Izme đu nultog vodiča i svakog faznog vodiča priključena je kondenzatorska baterija kapaciteta 1000 µF. Koji je to spoj kondenzatora? Koliki su kapaciteti preslikani na primarnu stranu? 414.Proračunati približnim metodama transformator 200 VA, 220 / 16 V, 50 Hz (za punja č akumulatora). [Naputak: odabrati vrstu i presjek željezne jezgre prema naputku proizvo đača. Također odabrati magnetsku indukciju, gustoću struje i vrstu vodiča i izračunati primarni i sekundarni broj zavoja, presjek žice i stupanj djelovanja transformatora ako su specifi čni gubici snage dati u slijede ćoj tabeli: Magnetska indukcija [T]

1,1

1,2

1,3

1,4

Specifični gubici snage [W/kg]

3,1

3,7

4,35

5,1

Provjerite smještaj namotaja transformatora.


66

Višefazni sustavi

415.Shema transformatora 220 /220 V, 50 Hz data je na slici. Osoba u vodljivom spoju sa zemljom dodiruje jedan vodič sekundarne strane. Kolika struja te če kroz čovjeka ako mu je otpor noge-ruke 2000 Ω?

U1= 220 V

N1 N2

U2= 220 V

2000 Ω


67

Nesinusoidalne velič ine

9.

NESINUSOIDALNE VELI ČI NE

Svi računski postupci kojke smo do sada izvodili u izmjeni čnim strujnim krugovima polazili su od temeljne pretpostavke da su izmjenične veličine bile sinusoidalnog oblika. Teoretski i matematički je lako zamisliti sinusne oblike struja i napona ali ih je u praksi teže proizvesti. U elektroenergetici sinusni oblici napona moraju postojati već s njegovom prozvodnjom, dakle sinkroni generatori su prvi koji moraju biti tako konstruirani i građeni da daju prihvatljive sinusne oblike napona. I drugi elementi elektroenergetskog sustava mogu biti uzroci nesinusoidalnosti napona ( transformatori i asinkroni motori), ali je i to riješeno tehničkim i konstruktivnim postupcima. Sve izmjenične veličine za koje ne vrijedi jednadžba u(t)=Um·sinωt, držat ćemo nesinusnim veličinama. Njihova je pak velika važnost i primjena u elektronici, komunikacijskoj i ra čunalnoj tehnici, gdje se upravo sintezom sinusnih veličina različitih frekvencija, amplituda i faznih pomaka dobiva bilo koji potrebni oblik nesinusne veli čine kao što su primjerice pravokutni naponski impulsi, pilasti naponi, trokutasti naponi itd. Obrnuto od sinteze je analiza, postupak bilo matematički ili instrumentalni, kojim se nesinusna veli čina rastavlja na određeni broj sinusnih veličina različitih frekvencija, amplituda i faznih pomaka. Zanimljiva je činjenica da viši harmonici u sastavu nesinusne veličine djeluju svaki za sebe. Tako primjerice tre ći harmonik (u pravilu uvijek najveće amplitude poslije prvog harmonika) nailazi na tri puta ve ći induktivni otpor od prvog člana i tri puta manji kapacitivni otpor a snagu mogu proizvesti samo struja i napon istog reda. Za riješavanje ovih složenih problema bit će dostatne slijedeće jednadžbe:

u (t ) = U 0 + U m1 ⋅ sin ω t + U m 2 ⋅ sin 2ω t + ... + U mn ⋅ sin(nω )t u (t ) =

4 ⋅ U m  1 1  ω t + sin 5ω t + ... ⋅ sin ω t + sin 3   π 3 5

pravokutni oblik napona

u (t ) =

2 ⋅ U m  1 1  ω t + sin 3ω t − ... ⋅ sin ω t − sin 2   π 2 3

pilasti oblik napona

•

•

I 1 =

•

U 1 R + jX 1

•

I 2 =

•

U 2 R + jX 2

•

I 3 =

U 3 R + jX 3

P = U 1 ⋅ I 1 ⋅ cos ϕ 1 + U 2 ⋅ I 2 ⋅ cos ϕ 2 + ... + U n ⋅ I n ⋅ cos ϕ n k = U ekv

U 22 + U 32 + ... + U n2 U 1 =

U 02 + U 12 + ... + U n2

L τ = R

 i = I ⋅ 1 − e 

I ekv R t  L 

− ⋅

 

=

i = I ⋅ e


I 02 + I 12 + ... + I n2 R t L

− ⋅

68


9.1.

Zadaci za vježbu

416. Nacrtajte vremenski dijagram nesinusne veli čine čija jednadžbe glasi: i(t)= 2,42 sin314t + 1,41 sin952t. 417. Kako utječu gubici u željezu na oblik struje magnetiziranja? Osmislite pokus kojim bismo oblik stuje magnetiziranja promatrali na osciloskopu. 418. Mreža prikazana na slici uz R= 20 Ω, C= 15 µF podvrgnuta je pravokutnom naponu maksimalnog iznosa 120 V i frekvencije 800 Hz. Napišite jednadžbe trenutnih vrijednosti struje i napona u obliku Fourierovog reda sve do petog nadvala (petog harmonika).

R u(t) C

419. Naći efektivnu vrijednost nesinusoidalne struje zadane j ednadžbom: i(t)= 30 sinωt + 12 sin3 ωt + 7 sin5ωt + 2 sin7 ωt. Kolika je snaga razvijena u radnom otporu R= 25 Ω? 420. Na nesinusni napon u(t)= 141 sinωt + 28,2 sin3ωt + 14,1sin5ωt priključena je impedancija koja za prvi harmonik iznosi Ż1= 12 + j(10-30) Ω. Napisati jednadžbu i(t) i odrediti efektivne vrijednosti struje i napona. 421. Koji od navedenih faktora oblika pripada sinusnom naponu: a) b)

2 2 π

c)

d)

π

2 2 1 2

422. Koji od navedenih faktora izobličenja pripada naponu čija se krivulja najviše približava sinusnom obliku napona: a) 0,15 b) 1,1 c) 0,51 d) 0,018 Zašto? 423. Na RC mrežu, R= 100 k Ω, C= 1 nF, je primjenjen pojedinačni impuls širine 100 µs i maksimalnog napona 10 V. Izračunati vrijednosti i nacrtati oblik izlaznog napona. Unutrašnji otpor generatora funkcija iznosa 50 Ω možemo zanemariti. R

10V Uul

C

0V

Uiz

0.001ms


69


424. Na RC mrežu, R= 100 k Ω, C= 10 µF, je primjenjen pojedina čni impuls širine 5 s i maksimalnog napona 10 V. Izračunati vrijednosti i nacrtati oblik izlaznog napona. Unutrašnji otpor generatora funkcija iznosa 50 Ω možemo zanemariti. R

10V Uul

Uiz

C

0V

5s

425. Na CR mrežu, R= 2 M Ω, C= 1 pF, je primjenjen pojedinačni impuls širine 10 µs i maksimalnog napona 5 V. Izračunati vrijednosti i nacrtati oblik izlaznog napona. Unutrašnji otpor generatora funkcija iznosa 50 Ω možemo zanemariti.

C

5V Uul 10 µs

Uiz

R

0V

426. Na CR mrežu, R= 100 k Ω, C= 10 µF, je primjenjen niz impulsa, jednakih širina impulsa i pauza, periode 10 s i maksimalnog napona 10 V. Izra čunati vrijednosti i nacrtati oblik izlaznog napona. Unutrašnji otpor generatora funkcija iznosa 50 Ω možemo zanemariti. C

Uul=10V R

0V

Uiz

10 s


70

Elektrotehnika II Zbirka Zadataka

Recommend Documents