Algunos animales pequeños pueden sobrevivir a presiones tan bajas como 3.0 lb f / in2 . En un experimento como el que se muestra en la figura, un manímetro de mercurio conectado al tanque señala 25.4 in Hg y el barómetro indica 14.7 lb f / in2 . ¿Sobrevivirán los ratones?
Problema 1
SOLUCIÓN: 25.4 in Hg
La presión en el tanque se puede calcular con la siguiente ecuación: Ptanque Pat a tm P man
(A)
en donde la presión atmosférica ( P atm ) es medida con el barómetro y la presión manométrica ( P man ) es de 25.4 pulgadas de vacío. Como las unidades de todos los términos deben ser las misma, es necesaria la siguiene conversión 25.4 inHg
25.4 mm 14.5lb f / in 1 in
2
760 mm Hg
12.4788
lbf in 2
(B)
2 Por lo tanto, Pman 12.4788 lbf / in y sustituyendo datos en la ecuación (A) se obtiene
P tanque 14.7 14.7 12.47 12.4788 88 2.22 2.2212 12
lb f in2
(C)
Probablemente los ratones morirán.
Un procedimiento alternativo es resolver el siguiente problema z 2
dP m
z 1
dz z z1 z z2
m g
(D)
Pm P atm
(E)
Pm P tanque
(F)
Resolviendo la ecuación ecuación (D) junto con la condición de frontera (E), se obtiene Pm Patm m g z1 z (G) Evaluando la ecuación anterior para z 2 Pm z z Patm m g z1 z 2 2
Por lo tanto, la presión en el tanque será
(H)
Ptanque Patm m g z1 z 2
(I)
Como z1 z 2 , entonces z1 z 2 es una diferencia negativa. Ya que se van a manejar unidades en el Sistema Inglés, la ecuación (I) se reescribe de la siguiente manera Ptanque Patm m m
g g c
z1 z 2
(J)
845.8833 lbm / ft 3
Sustituyendo los datos con las unidades adecuadas se obtiene g
1
g c
lb f lbm
Ptanque 2116.8
z z 25.4 in 2.1167 ft 1
lbm lbf 845.88 1 2.1167 ft 2 3 ft ft lbm lb f
2
P atm 14.7
lb f in
2
2116.8
328.1885
lb f
lb f
(K)
2
ft
2
ft
y efectuando la siguiente conversión de unidades se obtiene 328.1885
lb f
2
1 ft
ft 2 144 in2
2.2791
lbf in2
(L)
Este resultado es similar al obtenido en la ecuación (C).
A través de un ducto fluye aire sujeto a una presión de succión de 4 in H 2 O . El barómetro indica una presión de 730 mm Hg , ¿Cuál es la presión absoluta del gas en pulgadas de Hg
Problema 1
Aire
SOLUCIÓN
La presión absoluta se puede calcular con la siguiente ecuación 4 in H 20
Pabs Patm P man
(A)
La presión atmosférica se mide con el barómetro Patm 730 mm Hg
(B)
y la presión manométrica con el manómetro. En este caso, el manómetro indica una presión por debajo de la atmosférica, por lo tanto es una presión de vacio y en los cálculos se debe manejar como una cantidad negativa Pman 4 in H 2O
249.1 Pa
760 mm Hg
1 in H 2O 1.013 105 Pa
7.4755 mm Hg (C)
Sustituyendo los datos en la ecuación (A) se obtiene
Pabs 730 7.4755 722.5245 mm Hg
(D)
La presión manométrica en un tanque de CO2 es de 51 lb f /in . Al mismo tiempo, el barómetro indica una lectura de 28 in Hg . ¿Cuál es la presión absoluta expresada en lb f /in2? SOLUCION:
La presión absoluta se calcula de la siguiente manera Pabs Patm P man
(A)
La presión manométrica es un dato y la presión atmosférica se mide con el barómetro, por lo tanto Patm 28 in Hg
14.7 lb f / in 2 29.92 in Hg
13.7567
lb f in2
(B)
Sustituyendo datos en la ecuación (A) se obtiene P abs 13.7567 51 64.7567
lb f
(C
in2
Calcule la presión en lb f / in2 y en kN / m2 en el fondo de un tanque esférico que contiene petróleo y cuyo diámetro es de 8 pies. La parte superior del tanque está abierta a la atmósfera con una presión de 14.7 lb f / in2 . La densidad del petróleo es de 0.992 g / cm 3 . SOLUCIÓN
La presión en el fondo del tanque esférico se puede calcular con la siguiente ecuación P Patm gh
En este caso, en lugar de h se debe emplear el díametro del tanque. Por lo tanto, sustituyendo datos se obtiene
D 8 ft 96 in 2.4384 m
3
992 kg / m 2
(A)
P 1.013 105 9.81(992)(2.4384) 125.03 kPa
(B)
5
Patm 14.7 lb f / in 1.013 10 Pa
125.03 10 Pa 3
14.7 lb f / in2 1.013 105 Pa
18.1435
lb f in2
(C)
En el fondo de un tubo de ensayo abierto a la atmósfera se colocan
12.1 cm de Hg y encima 5.6 cm de agua. Calcule la presión en el fondo del tubo de ensayo cuando la atmósfera es de 756 mm Hg . Proporciones la respuesta en Pa. SOLUCIÓN:
La presión en el fondo del tubo de ensayo se calcula con la siguiente ecuación (A P Patm g mhm AhA hm 0.121 m A m
hA 0.056 m
1000 kg / m
3
13550 kg / m
g 9.81 m / s
Primero se realiza la siguiente conversión 756 mm Hg
3
1.013 105 Pa 760 mm Hg
1.008 105 Pa
(B
2
Sustituyendo datos en la ecuación (A) se tiene P 1.008 105 9.8113550 0.121 1000 0.056
(C
117.43 kPa
La presión en la parte superior de un tanque de combustible es de 180.6 kN /m2. La profundidad del líquido en el tanque es de 6.4 m y la densidad del combustible es de 825 kg /m3. Calcule la carga del liquido en m correspondiente a la presión absoluta en el fondo del tanque. SOLUCIÓN: La presión en el fondo del tanque es P fondo Patm c gh
(1)
Sustituyendo datos en la ecuación anterior se obtiene P fondo 1.806 105 825(9.81)(6.4) 232.4 kPa
(2)
En términos de carga Carga
P c g
(3)
Sustituyendo datos Carga
2.324 105 Pa kg m 825 3 9.81 2 m s
28.7149 m
(4)
¿Cuál es la presión en el tanque de agua? Deben resolverse los siguientes problemas PROBLEMA I
Agua
z3
z2
15 in
18 in
dP A dz
z1= 0 Mercurio
A g
PROBLEMA II (E)
dP m dz
m g
(H)
z z3
PA P tanque
(F)
z z2
Pm P atm
(I)
z z1
PA P m
(G)
z z1
Pm P A
(J)
Resolviendo la ecuación (A) junto con la condición de frontera (B), se obtiene (K) P A Ptanque A g z3 z Evualuando la ecuación anterior para z z 1 P A z Ptanque A g z3 z 1
(L)
1
Resolviendo la ecuación (D) junto con la condición de frontera (E), se obtiene (M) Pm Patm m g z2 z Evaluando la ecuación anterior para z z 1 Pm z Patm m g z2 z 1
(N)
1
m
845.8833 lbm / ft 3
g g c
1
Por la condición de frontera (C) o por la condición (E), las ecuaciones (H) y (J) se deben igualar
lb f
Ptanque A g z3 z1 Patm m g z2 z 1
lbm
z z 25.4 in 2.1167 ft 1
2
P atm 14.7
lb f in
2
2116.8
lb f 2
ft
(O)
y se obtiene la siguiente expresión Ptanque Patm g m z2 z1 A z3 z 1
(P)
Debe tomarse en cuenta que z2 z1 15 in y que z3 z1 18 in . Por lo tanto, sustituyendo datos en la ecuación (L) se obtiene P 1.013 105 9.8113550 0.3810 1000 0.4572 tanque
A
m
1000 kg / m
3
13550 kg / m
3
(Q)
1.4746 105 Pa
La presión manométrica se obtiene restando el valor de la presión atmosférica del resultado anterior, es decir
5
Patm 1.013 10 Pa
g 9.81 m / s
2
z 3 H
z 2 z 1 = 0
Pman 1.4746 1.013 105 4.616 104 Pa 6.6947 psig (R)
El manómetro que se muestra en la figura tiene un diámetro de 6.35 mm. El tubo se llena con agua y luego se añaden 3.25 cm3 de aceite (gravedad específica 0.827), por el lado izquierdo. Calcule el valor de H que se alcanzará cuando el sistema alcance el equilibrio. SOLUCIÓN:
Aceite
Agua
Deben resolverse los siguientes problemas: PROBLEMA I
PROBLEMA II
Figura P4 dP o dz z z3 z z1
(S)
dP A
Po P atm
(T)
z z2
Po P A
(U)
z z1
o g
dz
A g
(V)
PA P atm
(W)
PA P O
(X)
Se ha empleado el súínidce O para el aceite y el suínidice A para el agua. Resolviendo la ecuación (A) junto con la condición de frontera (B), se obtiene Po Patm o g z3 z
(Y)
La ecuación anterior se evalua para z z 1 Po z Patm o g z3 z 1
(Z)
1
La solucíon de la ecuación (D) con la condición de frontera (E) es P A Patm A g z2 z
(AA)
y evaluando la expresión anterior para z z 1 se obtiene P A z Patm A g z2 z 1
(BB) De acuerdo con las condiciones de frontera (C) o (F), las ecuaciones (H) y (J) deben igualarse 1
Vo 3.25 cm
3
D 6.35 mm 0.635 cm
o g
z3 z1 A g z2 z 1
(CC)
De acuerdo con la Figura P4, se puede establecer que
z2 z1 z3 z1 H
(DD)
y sustituyendo esta relación en la ecuación (K) se obtiene o
0.827
o g
z3 z1 A g z3 z1 H
(EE)
Rearreglando la ecuación (M) se llega a
H z3 z 1 1
A o
(FF)
La ecuación se simplifica aún mas ya que o o / A es la gravedad específica del aceite, por lo tanto, la ecuación (N) se reescribe de la siguiente manera H z3 z 1 1 o
(GG)
En la ecuación anterior z3 z 1 es la altura de la columna de aceite y esta se puede calcular a partir del dato de volumen de aceite que ha sido introducido en el manómetro. El volumen del aceite en el tubo cilíndrico se puede calcular con la siguiente expresión Vo
D
2
h
4
(HH)
en donde D es el diámetro del tubo de vidrio y h es la altura de la columna de aceite. Despejando h de la ecuación anterior se obtiene 4V o
h
D
2
(II)
Al sustituir datos en la ecuación anterior se llega al siguiente resultado h
4(3.25) 2
(0.635)
10.2623 cm
(JJ)
Entonces z3 z1 h 10.2623 cm y finalmente el valor de H se puede ser calculado H 10.26231 0.827 1.7754 cm
(KK)
Calcule la diferencia de presiones P 1 - P 2 para el siguiente sistema SOLUCIÓN:
Deben resolverse los siguientes problemas PROBLEMA I
PROBLEMA II
P 1
P 2
z 3
dP Ai dz
Agua
A g
dP Ad
(1)
dz
A g
(4)
z 2
z z3
P Ai P 1
(2)
z z3
P Ad P 2
(5)
z 1= 0
z z1
PAi P T
(3)
z z2
PAd P T
(6)
10.2 mm Tetracloruro de carbono
PROBLEMA III dP T dz
T g
z z1
PT P Ai
z z2
PT P Ad
(7) (8)
(9) En las ecuaciones (1)-(3), el subíndice d se refiera al agua del brazo derecho del manómetro y en las ecuaciones (4)-(6), el subíndice i se refiera al agua del lado izquierdo del manómetro. La solución de la ecuación (1) con la condición de frontera (2) es P Ai P1 A g z3 z
(10)
Al evaluar la ecuación anterior para z z 1 se obtiene P Ai z P1 A g z3 z 1
(11)
1
La solución de la ecuación (4) con la condición de frontera (5) es (12) P Ad P2 A g z3 z Al evaluar la ecuación anterior para z z 2 se obtiene P Ad z P2 A g z3 z 2
(13)
2
Resolviendo la ecuación (7) con la condición de frontera (8) se obtiene (14) PT PAi z T g z1 z 1
Sustituyendo la ecuación (11) en la ecuación anterior se obtiene PT P1 A g z3 z1 T g z1 z
(15)
Evaluando la ecuación anterior para z z 2 se llega a PT z P1 A g z3 z1 T g z1 z 2
(16)
2
De acuerdo con la condición de frontera (9), las ecuaciones (13) y (16) deben igualarse
P1 A g z3 z1 T g z1 z2 P2 A g z3 z 2
(17)
y rearreglando la ecuación anterior se obtiene P1 P2 g A T z1 z 2
(18)
La ecuación anterior puede ser escrita en términos de la gravedad específica del tetracloruro de carbono T T / A de la siguiente manera (19) P1 P2 g A 1 T z1 z 2 1000 kg / m
A
T
3
De la Figura P4 se tiene que z1 z2 0.0102 m , por lo tanto, sustituyendo datos en la ecuación (19) se obtiene
1.595
g 9.81 m / s
P 1
2
P1 P2 9.8110001 1.595 0.0102 59.5369 Pa (20)
z 3
P 2
Líquido A
z 2
h z 1= 0
El manómetro de la Figura P4 está lleno con dos líquidos. El líquido A tiene una gravedad específica de 0.88 y el líquido B tiene una gravedad específica de 2.95. Calcule h si la diferencia de presiones P1 P 2 es igual a 870 Pa. SOLUCION:
Deben resolverse los siguientes problemas PROBLEMA I
Líquido B
dP Ai dz
P1 P2 870 Pa agua A
1000 kg / m
0.88
T
g 9.81 m / s
A g
dP Ad
(1)
dz
A g
(4)
z z3
P Ai P 1
(2)
z z3
P Ad P 2
(5)
z z1
PAi P B
(3)
z z2
PAd P B
(6)
PROBLEMA III 3
2.95 2
PROBLEMA II
dP B dz
B g
(7)
z z1
PB P Ai
(8)
z z2
PB P Ad
(9)
En las ecuaciones (1)-(3), el subíndice i se refiera al brazo izquierdo del manómetro y en las ecuaciones (4)-(6), el subíndice d se refiere al brazo derecho del manómetro. La solución de la ecuación (1) con la condición de frontera (2) es
P Ai P1 A g z3 z
(10)
Evaluando la ecuación anterior para z z 1 se obtiene P Ai z P1 A g z3 z 1
(11)
1
La solución de la ecuación (4) con la condición de frontera (5) es P Ad P2 A g z3 z
(12)
Evaluando la ecuación anterior para z z 2 se obtiene P Ad z P2 A g z3 z 2
(13)
2
La solución de la ecuación (7) con la condición de frontera (8) es P B PAi z B g z1 z
(14)
1
Sustituyendo (11) en (14) se obtiene P B P1 Ag z3 z1 B g z1 z
(15)
y evaluando la ecuación anterior para z z 2 se llega a P B z P1 A g z3 z1 B g z1 z 2
(16)
2
De acuerdo con la condición de frontera (9), deben igualarse las ecuaciones (13) y (16) P1 Ag z3 z1 B g z1 z2 P2 Ag z3 z 2
(17)
Reareglando la ecuación anterior se obtiene P1 P2 g A B z1 z 2
Tomando en cuenta que A A / agua y que ecuación (18) se reescribe de la siguiente manera
(18) B
P1 P2 g agua A B h
B / agua , la
(19)
en donde se ha tomado en cuenta que de acuerdo a la Figura P4 se tiene que z1 z2 h . Despejando h de la ecuación anterior se obtiene h
P1 P 2 g agua B A
Sustiuyendo datos en la expresión anterior se obtiene
(20)
h
870 9.81(1000) 2.95 0.88
0.0428 m
(21)
Determina la presión en el tanque de agua. El líquido A tiene una gravedad específica de 0.75 y el líquido B tiene una gravedad específica de 1.20. hm 0.121 m
1
A m
hA 0.056 m
1000 kg / m
Líquido B
Líquido A
3
13550 kg / m
g 9.81 m / s
z 5
3
z 4 36 in
2
10 in
z 3
5 in 0.127 m
15 in
z 2
10 in 0.254 m
5 in Agua
z 1= 0
15 in 0.3810 m
Figura P4 SOLUCIÓN:
Inicialmente se calcula la presión en el fondo del tanque que contiene al líquido B. Para esto, se emplea la siguiente ecuación P B z 1 Patm B ghB
(1)
en donde h B 36 in . Para no introducir el factor g c, se trabajará en unidades del SI, por lo que las diferencias de altura indicadas en la Figura P4 se transformarán a metros. Sustituyendo datos en la ecuación (1) se obtiene 5
Patm 1.013 10 Pa
P B
h B 0.9144 m B
B agua
B 1.20(1000) 1200
kg m
3
z 1
1.013105 1200(9.81) (0.9144) 112.0643kPa
(2)
Ahora deben resolverse los siguientes problemas PROBLEMA I dP B dz
z z1 z z3
PROBLEMA II (3)
dP A
PB P B z
(4)
z z3
PB P A
(5)
B g
dz
1
z z4
PROBLEMA III
A g
(6)
PA P B
(7)
PA P agua
(8)
dP agua
agua g
dz z z2
(9)
Pagua P tanque
(10)
Pagua P A
(11)
z z4
La solución de la ecuación (3) con la condición de frontera (4) es P B PB z B g z1 z
(12)
1
Evaluando la expresión anterior para z z 3 se obtiene P B z PB 3
z 1
B g z1 z 3
(13)
La solución de la ecuación (6) con la condición de frontera (7) es P A PB z A g z3 z
(14)
3
Sustituyendo la ecuación (13) en la ecuación (14) se llega a P A PB z A g z3 z B g z1 z 3
(15)
1
Evaluando la expresión anterior para z z 4 se obtiene Pagua
z 4
PB z A g z3 z4 B g z1 z 3 1
(16)
La solución de la ecuación (9) con la condición de frontera (10) es Pagua Ptanque agua g z2 z
(17)
Evaluando la ecuación anterior para z z 4 se obtiene P A z Ptanque agua g z2 z 4
(18)
4
De acuerdo con la condición de frontera (11), las ecuaciónes (16) y (18) deben igualarse para obtener Ptanque PB z g A z3 z4 B z1 z3 agua z2 z 4 (19) 1
La ecuación puede reescribirs en términos de las gravedades específicas de los líquido A y B, de la siguiente manera Ptanque PB z g agua A z3 z4 B z1 z3 z2 z 4 (20) 1
De acuerdo con la Figura P4, todas las diferencias son negativas:
z3 z 4 0.2540 m
z1 z3 0.3810 m
(21)
z2 z 4 0.3810 m
Sustituyendo datos en la ecuación (20) se obtiene P tanque 1.121 10
5
A
0.75
B
1.20
9.811000 0.75 0.254 1.2 0.381 0.381 (22)
109.5 kPa
Calcule la diferencia de presiones P1 P 2 Benceno
z 4 z 3 z 2
1600 mm 610 mm
1080 mm
1
2
Agua
z 1= 0
Figura P4 PROBLEMA I dP Ai dz
A g
PROBLEMA II dP Ad
(23)
dz
A g
(26)
z z1
P Ai P 1
(24)
z z1
P Ad P 2
(27)
z z3
PAi P B
(25)
z z2
PAd P B
(28)
PROBLEMA III dP B dz
B g
(29)
z z3
PB P Ai
(30)
z z2
PB P Ad
(31)
A
3
1000 kg / m B
En las ecuaciones (1)-(3), el subíndice i se refiera al brazo izquierdo del manómetro y en las ecuaciones (4)-(6), el subíndice d se refiere al brazo derecho del manómetro. La solución de la ecuación (1) con la condición de frontera (2) es
0.879
P Ai P1 A g z1 z
(32)
Evaluando la ecuación anterior para z z 3 se obtiene P Ai z P1 A g z1 z 3 La solución de la ecuación (4) con la condición (5) es
(33)
3
P Ad P2 A g z1 z
(34)
Evaluando la ecuación anterior para z z 2 se obtiene P Ad z P2 A g z1 z 2
(35)
2
Resolviendo la ecuación (7) con la condición de frontera (8) se obtiene P B PAi z B g z3 z
(36)
3
Sustituyendo la ecuación (11) en (14) P B P1 A g z1 z3 B g z3 z
(37)
Evaluando la expresión anterior para z z 2 P B z P1 A g z1 z3 B g z3 z 2
(38)
2
De acuerdo con la condición de frontera (9), las ecuaciones (13) y (16) deben igualrase P1 A g z1 z3 B g z3 z2 P2 A g z1 z 2
(39)
y rearreglando la expresión anterior se obtiene P1 P2 g A B z3 z 2
Tomando en cuenta la definición de gravedad específica la ecuación anterior se simplifica de la siguiente manera P1 P2 A g 1 B z3 z 2
De la Figura P4 se tiene que
(40) B
B / A ,
(41)
z3 z2 1.080 0.610 m 0.47 m
(42)
Sustituyendo datos en la ecuación (19) se obtiene P1 P2 (1000)(9.81)(1 0.879)(0.47) 557.8947 Pa
(43)
