EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES
TÉCNICAS DE CONTEO 1.
Si un experimento consiste en lanzar un dado y después seleccionar aleatoriamente una letra del alfabeto en inglés, ¿cuántos puntos habrá en el espacio de muestra?
2.
¿Cuántos números diferentes pueden formarse con 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, si usamos todos ellos?
3.
En una escuela, las calificaciones posibles son A, B, C, D y E. Si un alumno estudia matemáticas, inglés, física, historia, educación física y arte, ¿cuál es el número de calificaciones diferentes que podían aparecer en su boleta de calificaciones?
4.
Un estudiante de primer año debe tomar un curso de ciencia, uno de humanidades y otro de matemáticas. Si puede elegir entre cualquiera de seis cursos de ciencia, cuatro de humanidades, y cuatro de matemáticas, ¿en cuántas formas puede acomodar su horario?
5.
Un club femenino consta de 13 miembros. ¿De cuántas formas se pueden seleccionar tres dirigentes: presidente, vicepresidente y secretaria?
6.
Felipe tiene cuatro corbatas, seis camisas y tres pares de pantalones. ¿Cuántas combinaciones diferentes puede usar si elige una prenda de cada tipo de artículo?
7.
Indique el número de placas diferentes que pueden formarse si cada placa tiene cuatro letras seguidas de dos dígitos y los números y las letras no pueden repetirse (al respecto, considere 26 letras del alfabeto).
8.
Un cliente puede comprar un automóvil en modelo convertible o con toldo, en uno de seis colores y con cualquiera de tres paquetes de accesorios. ¿Cuántas opciones se ofrecen al comprador?
9.
Un producto se arma en tres etapas. En la primera hay cinco líneas de armado; en la segunda, cuatro, y en la tercera, seis. ¿Dé cuántas maneras diferentes se puede realizar un producto acabado?
10.
¿Cuántos números de cinco cifras formarse con los dígitos 1, 2, 3,....., 9 si:
diferentes
pueden
a) cada número debe ser impar? b) los dos primeros dígitos deben ser pares?
11.
Dado un conjunto de 15 puntos en un plano, ¿cuántas líneas se requieren para unir todos los pares de puntos posibles?
12.
Si en una mesa hay 30 naranjas ¿de cuántas maneras se puede escoger una docena de naranjas?
13.
¿De cuantas maneras puede formarse una comisión de tres hombres y cuatro mujeres de entre un total de ocho hombres y seis mujeres?
ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS 1.
¿Cuál es el espacio experimentos aleatorios?
muestral
para
los
siguientes
a) Se lanzan tres monedas al aire y se multiplica el número de águilas por el número de soles obtenidos. b) Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos en las caras superiores. c) Una caja tiene n esferas entre las cuales r esferas son defectuosas (r < n). Se prueban una a una las esferas hasta encontrar una defectuosa y se cuenta el número de extracciones que fueron necesarias. d) Se prueban diodos de un lote, de uno en uno, y se marcan como defectuosos o no defectuosos. Esto prosigue hasta encontrar dos artículos defectuosos o haber probado cinco artículos. 2.
De 150 soldados que participaron en una cruenta batalla, 80 perdieron un ojo; 70, una oreja; 50, una pierna; 20, un ojo y una oreja; 25, un ojo y una pierna; 30, una oreja y una pierna; y 10, un ojo, una oreja y una pierna. ¿Cuántos escaparon ilesos?
3.
En una clase de 30 estudiantes seleccionados de Ciencias, 20 obtuvieron A en Matemáticas; 23, en Química; 18, en Física; 15, en Matemáticas y Química; 12, en Matemáticas y Física, y 14 en Química y Física. No hubo ninguno sin una A. ¿Cuántos de ellos obtuvieron una A en los tres cursos?
4.
Suponga que en una familia hay dos niños de diferente edad y que nos interesa conocer cuál es su sexo. Sea A el
subconjunto de todas las posibilidades que no incluyen varones; B, el subconjunto que contiene dos varones, y C, el subconjunto que contiene al menos un varón. Liste los elementos de A, B, C, A∩ B, A∪ B, A∩ C, A∪ C, B∩ C, B∪ C y C∩ B C .
Suponga que se lanzan dos dados y que se observa el número de la cara superior de cada lado. Sea Ω el conjunto de todos los pares posibles que pueden observarse, defina los siguientes subconjuntos de Ω :
5.
A: El número en el segundo dado es par. B: La suma de los dos números es par. C: Al menos un número en el par ordenado es impar
6.
En un experimento se lanza una moneda y un dado, Sea A el evento “la moneda muestra cruz” y B el evento “el dado muestra un dos o un cinco”, represente en términos de A y B el evento “la moneda muestra cara o el dado no muestra un dos o un cinco”.
7.
¿Cuáles de las siguientes relaciones son verdaderas? a) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = A ∪ (B ∩ C) b) b) A ∪ B = (A ∩ B C) ∪ B c) c) AC ∩ B = A ∪ B d) d) (A ∪ B)C ∩ C = AC ∩ BC ∩ CC 8.
e) (A ∪ B) ∩ (B C ∩ C) = ∅ Si Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 4, 5}, D = {1, 6, 7},
enumere los elementos de los correspondan a los siguientes eventos:
conjuntos
que
f) A ∪ C g) A ∩ B h) CC i) d) (CC ∩ B) ∪ B j) (Ω ∩ C)C k) A ∩ C ∩ D
9.
Sean A, B y C los eventos. ¿Podemos deducir que A = B si a) AC = BC b) A ∪ C = B ∪ C c) A ∩ C = B ∩ C
10.
Indicar el evento X, que cumple la siguiente igualdad: [( X ∪ A) C ∪ ( X ∪ A C ) C ] = B
11.
12.
¿Qué condiciones deben cumplir los eventos A y B que satisfagan la siguiente igualdad: (A ∪ B) ∩ (A C ∪ B) ∩ (A ∪ B C ) = ∅ ? Sean A, B y C los eventos. Simplificar
para
[(A ∪ B) ∩ (A C ∪ B C )] ∪ [(A ∪ B C ) ∩ (A C ∪ B)]
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDADES
1.
Dos octaedros regulares (poliedros con ocho caras idénticas) tienen caras numeradas 1, 2,.....8. Suponga que se lanzan al aire y se anotan los resultados, para los cuales se listan los números de las caras que caen hacia abajo. a) ¿Cuántos resultados hay? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea siete? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menos que siete?
2.
Se lanzan dos dados al aire, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los números sea par?
3.
Todas las caras de un cubo están pintadas. El cubo se dividió en mil cubos pequeños. ¿Cuál es la probabilidad de que un cubo pequeño tenga exactamente dos lados pintados?
4.
Una caja contiene 10 esferas enumeradas del 1 al 10. Se extrae una esfera y enseguida se extrae una más de las 9 restantes. a) ¿Cuál es unidad?
la
probabilidad
de
que
difieran
en
una
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea mayor que la segunda?
5.
Supóngase que en 10 lanzamientos de un dado, el número seis apareció tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de
que en los tres primeros lanzamientos haya aparecido el números seis?
6.
Se ha cargado un dado para que las probabilidades de obtener 1, ,2 3, 4, 5 y 6 sean de 1/3, 1/4, 1/6, 1/12, 1/12 y 1/12, respectivamente. Suponga que las propiedades usuales de la probabilidad son válidas todavía en esta situación, donde los sucesos no tienen la misma probabilidad. Busque la probabilidad de obtener: a) un número par, b) un número menor que cinco, c) un número par o menor que cinco.
7.
Un monedero contiene tres monedas de 5 centavos, una de 10, una de 25 y una de medio dólar. Si se sacan al azar tres monedas del monedero, ¿cuál es la probabilidad de que su valor sea: a) ¿15 centavos? b) ¿40 centavos? c) ¿un dólar? d) ¿más de 50 centavos?
8.
Si se lanzan juntos tres dados, ¿cuál es la probabilidad de que el total sea: a) 18? b) 16?
9.
c) mayor que cuatro? Suponga lo siguiente: la probabilidad de que un habitante de la ciudad de México sea mayor de 40 años o tenga calvicie
es de 0.4. Si la probabilidad de que sea mayor de 40 años es de 0.2 y la probabilidad de que tenga calvicie es de 3.0, ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor de 40 años y calvo?
10.
De una caja que contiene 15 tarjetas numeradas del 1 al 15, se sacan tres a l azar. Encuentre la probabilidad de cada evento en el que: a) los tres números sean par, b) al menos un número sea par c) el producto de los tres números sea par.
11.
Un saco contiene tres canicas de color rojo, cuatro de color blanco y cinco de color azul, todas del mismo tamaño y material. Si se seleccionan al azar tres de estas canicas, ¿cuál es la probabilidad de obtener una de cada color?
12.
Si se colocan al azar 12 bolas en 20 urnas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las urnas contenga más de una bola?
13.
Un director de personal selecciona dos un puesto determinado de entre un grupo de hay una mujer y cinco hombres. Calcular la que sea seleccionada la mujer para uno de los
14.
Si las probabilidades de que un estudiante reciba una calificación de A, B o C en un examen de administración son 0.06, 0.22 o 0.44, respectivamente ¿cuál es la probabilidad de que reciba una de estas calificaciones en le examen?
15.
Un paquete de seis focos tiene dos piezas defectuosas. Si se seleccionan tres focos para su uso, calcular la probabilidad de que ninguno tenga defectos.
empleados para seis; en el cual probabilidad de empleos.
16.
Una caja contiene 24 bombillas, de las cuales cuatro están defectuosas. Si una persona selecciona al azar cuatro bombillas de la caja, sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que las cuatro sean defectuosas?
17.
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes con P (A) = 0.3 y P (B) = 0.5, encuentre: a) P (A ∪ B) b) P (AC) c) c) P (AC ∩ B)
18.
En una caja con 24 bombillas, cuatro son defectuosas. Si una persona selecciona aleatoriamente 10 bombillas de la caja y luego una segunda persona toma las 14 bombillas restantes ¿cuál es la probabilidad de que la misma persona seleccione las cuatro bombillas defectuosas?
19.
Si, P(A) = 1/3, Encontrar P(B).
20.
La probabilidad de que un hombre siga vivo dentro de 25 años es de 3/5 y la de que su esposa esté es de 2/3. Hallar la probabilidad de que en ese momento:
P(A ∪ B)
a) ambos estén vivos,
= 1/2
y
P(A ∩ B)
= 1/4.
b) sólo el hombre viva, c) sólo viva la esposa, d) al menos uno esté vivo.
21.
De entre 800 familias con cuatro hijos cada una, ¿qué porcentaje puede esperarse que tenga: a) dos niños y dos niñas, b) al menos un niño, c) ninguna niña, d) a lo sumo dos niñas.
PROBABILIDAD CONDICIONAL 1.
Supóngase que A y B son eventos tales que P(A)= 1/3, P(B)= 1/5 y P(A | B) + P(B | A)= 2/3. Calcular P(A C ∪ B C ).
2.
En cierta universidad para varones, 5 % de los estudiantes de último año eran miembros del equipo de fútbol, 10% de la clase eran vegetarianos y 10% de los vegetarianos eran miembros del equipo de fútbol. Si se selecciona al azar un estudiante del último año, ¿cuál es la probabilidad de que sea vegetariano o haya pertenecido al equipo de fútbol como vegetariano?
3.
Sean P(A)= 0.6, P(B)= 0.4 y P(A ∩ B)=0.18. Obtenga: a) P (B | A) b) P (A | B)
4.
Dados P(A) = 0.4, P(B | A) = 0.3 determine:
y
P(B C | A C ) = 0.2,
a) P (AC) b) P (B | AC) c) P (B)} d) P(A ∩ B) e) P (A | B)
5.
Sean A 1 , A 2 , A 3 los eventos y se sabe que P( A 1 ) = 0.50, P (A 2 ) = 0.30...., P (A 3 ) = 0.40, P (A 1 ∩ A 2 ) = 0.15, P (A 1 ∩ A 3 ) = 0.10, P (A 2 ∩ A 3 ) = 0.20, P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = 0.05. Calcular la probabilidad de que:
a) ocurran al menos dos de los eventos A1, A2, A3, b) ocurran exactamente dos eventos, c) ocurran un máximo de dos eventos.
6.
Demostrar que para los eventos A y B se tiene que P (A ∪ B) = 1 – P (A C ) P (B C )
7.
Demostrar entonces
que
si
A
y
B
son
eventos
independientes,
a) A y BC b) AC y B c) AC y BC 8.
Una caja contiene tres canicas de color rojo y ocho canicas de color negro, todas ellas del mismo material y del mismo tamaño. Si se extraen dos canicas en sucesión y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean de color rojo?
9.
Una urna contiene cuatro pelotas de color rojo, cinco de color blanco y siete de color negro. Se sacan dos pelotas en forma consecutiva. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos pelotas de color blanco si la primera pelota a) es remplazada antes de sacar la segunda? b) no es remplazada antes de sacar la segunda?
10. Se lanzará un dado cuatro veces consecutivas. Encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos. a) Los números 1, 2, 3, y 4 aparecen en ese orden. b) Los números 1, 2, 3, y 4 aparecen en cualquier orden. c) Al menos aparece un seis. d) El mismo número aparece cada vez.
11. Una valija contiene dos frascos de aspirinas y tres tabletas para la tiroides. Una segunda valija contiene tres frascos de aspirinas, dos de tabletas para la tiroides y tabletas laxantes. Si se toma un frasco aleatoriamente de cada valija de equipaje, encuentre la probabilidad de que: a) ambos frascos contengan tabletas para la tiroides, b) ningún frasco contenga tabletas para la tiroides, c) los dos frascos contengan diferentes tabletas.
12.
Tres estudiantes A, B y C están inscritos en la misma clase. Supóngase que A asiste a clase 30% de las veces; B, 50%, y C, 80%. Si estos estudiantes asisten a clase independiente uno de otro, ¿cuál es la probabilidad de que: a) al menos uno de ellos esté en clase un día concreto? b) exactamente concreto?
uno
de
ellos
esté
en
clase
un
día
13.
Considere el segmento siguiente de un circuito electrónico (véase la figura) con tres relevadores. La corriente pasa de a a b si por lo menos hay una trayectoria cerrada cuando los relevadores se cierran. Sin embargo, los relevadores podrían no trabajar bien. Suponer que cierran en forma correcta sólo con una probabilidad de 0.9 cuando se acciona el interruptor, y que trabajan en forma independiente uno del otro. Sea A el evento que denota que denota la corriente pasa de a a b cuando los relevadores se cierran. a) Calcular P(A) b) Calcular la probabilidad de que el relevador 1 cierre en forma correcta, dado que se sabe que la corriente pasa de a a b.
1
2
b
a 3
14. Un jugador de los Pumas de la UNAM que participara en juego de fútbol tiene una probabilidad de 0.6 completar un pase. Si se considera que cada pase independiente de otro, ¿cuál es la probabilidad de que complete un pase por primera vez en el tercer intento?
un de es se
15. La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de televisión es de 0.4 y de la que una mujer
del mismo estado civil la haga, de 0.5. La probabilidad de que un hombre, dado que su esposa lo hace, es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que: a) una pareja de casados vea el programa, b) una esposa vea el programa dado que su esposo lo hace, c) al menos programa.
una
persona
de
un
matrimonio
vea
el
16. En cierta universidad, la distribución geográfica de los estudiantes varones es como sigue: 50% viene del este del país; 30% del centro y 20%, del oeste. Las siguientes proporciones de estudiantes usan corbata: 80% de los que vienen del este, 60% de los que vienen del centro y 40% de los que vienen del oeste. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que usa corbata a) venga del este? b) venga del centro? c) venga del oeste? 17. La probabilidad de que un cliente en un restaurante ordene una hamburguesa es de 0.65 y la probabilidad de que ordene una cerveza es de 0.35. Si se supone independencia entre los dos eventos, ¿cuál es la probabilidad de que un cliente ordene una hamburguesa y una cerveza? 18. En una escuela, de 700 alumnos de primer grado, 150 tienen automóvil. De 200 alumnos de primer grado, provenientes de otra localidad, 90 poseen automóvil. Encontrar las siguientes probabilidades. a) Un estudiante es residente y posee automóvil.
b) Un estudiante es no residente y posee automóvil. c) Un estudiante es residente y no posee automóvil. R = Residente
R C = No residente
C = Tiene un auto.
C C = No tiene auto
C CC Totales
R 60 440 500
RC 90 110 200
Totales 150 550 700
19. Una caja contiene 100 focos de los cuales 10 son defectuosos. Dos focos son seleccionados al azar sin reemplazo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los focos seleccionados sean defectuosos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea defectuoso?
La probabilidad de que la señora de la casa esté cuando una representante de Avon llama es de 0.6. Si se encuentra, la probabilidad de que realice una compra es de 0.4. Calcular la probabilidad de que la señora este en casa y de que realice una compra cuando la representante llame. 21. La probabilidad de que un médico diagnostique correctamente una enfermedad particular es de 0.7. Dado que realice el diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente levante una demanda es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el médico realice el diagnóstico incorrecto y de que el paciente lo demande? 20.
PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES 1.
Considérense dos urnas, una con tres pelotas de color rojo y siete de color blanco, la otra con seis pelotas de color rojo y seis de color blanco. Si se elige una urna al azar y después se saca una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color rojo?
2.
Fernando López conoce una nueva chica en la mitad de las fiestas a las que asiste. Tres cuartas partes de las veces en que conoce a una nueva joven, se divierte, pero la probabilidad de que se divierta cuando no conoce una nueva chica es solamente de 0.10. Fernando López acaba de decir que se está divirtiendo, ¿cuál es la probabilidad de que haya conocido una nueva joven?
3.
Se tienen cinco cajas que contienen cada una 100 focos para cámara fotográfica. Dos de las cajas tienen 10 focos defectuosos cada una; dos de ellas tienen cinco focos defectuosos cada una, y una tiene dos focos defectuosos. Si se selecciona al azar una de estas cajas y de ella se toma un foco, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
4.
Un estudiante presenta un examen de selección múltiple en el cual cada pregunta tiene cinco posibles respuestas, de las cuales una es correcta. Suponga que el estudiante conoce la respuesta de 70% de las preguntas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante, sobre una pregunta dada, conteste la respuesta correcta? b) Si el estudiante contesta correctamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que conozca la respuesta?
5.
En una fábrica hay dos máquinas, A y B, que realizan 60 y 40 % de la producción total, respectivamente. De su producción, la máquina A produce 3% de material defectuoso, y la B, 5%. Encontrar la probabilidad de que dado un material defectuoso, provenga de la máquina B.
6.
Supongamos que 5% de los hombres y 0.25% de todas las mujeres son daltonianos. Una persona elegida al azar resulta
ser daltoniana.¿Cuál es la probabilidad de que esta persona sea un hombre? (Se considera que la cantidad de hombres y mujeres es igual).
7.
Suponer que la ciencia médica ha desarrollado una pruebe para el diagnóstico del SIDA que tiene 95% de exactitud, tanto en los que padecen SIDA como entre los que no lo padecen. Si 0.005 de la población realmente tiene SIDA, calcular la probabilidad de que determinado individuo tenga SIDA si la prueba indica que lo tiene.
8.
De los artículos producidos diariamente por cierta fábrica, 40% proviene de la línea I y 60% de la línea II. El porcentaje de artículos defectuosos de la línea I es 8%, mientras que el porcentaje de defectuosos de la línea II es 10%. Si se elige un artículo al azar de la producción diaria; calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.
9.
En cierta población de votantes 40% son conservadores y 60% liberales. Se reporta que 30% de los conservadores y 70% de los liberales están a favor de cierta elección. Se elige una persona al azar de esta población y declara a favor de dicha elección. Encuentre la probabilidad condicional de que esta persona sea un liberal.
10.
En una escuela, 35% de los alumnos son de primer grado; 25%, de segundo; 20%, del penúltimo grado, y 20%, del último. Todos los de primer grado cursan matemáticas, pero solo 50% de los de segundo, 20% de los de penúltimo y 10% de los del último grado. Si se elige al azar un alumno y éste cursa matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que sea de segundo grado?
11.
Una clase de matemáticas avanzadas está formada por 10 estudiantes de segundo año, 30 de cuarto año y 10 graduados. Tres estudiantes de segundo año, 10 de cuarto año y cinco graduados obtuvieron una calificación de A. Si se selecciona al azar un estudiante de esta clase y se encuentra que su calificación es A, ¿cuál es la probabilidad de que sea un graduado?
12.
Una compañía emplea a 100 personas (75 hombres y 25 mujeres). El departamento de contabilidad da trabajo a 12% de los hombres y 20% de las mujeres. Si se elige un nombre al azar del departamento de contabilidad, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? ¿De que sea mujer?
13.
Tres servicios de mensajería anuncian que entregarán un paquete en cualquier parte de México en 24 horas o menos. Las compañías A, B y C transportan 55, 35 y 10 %, respectivamente, del número total de paquetes que se entregan. Si 0.65% de los paquetes entregados por la compañía A, 0.35% de los paquetes entregados por la compañía B y 2.1 5 de la compañía C fueron entregados con retraso, ¿cuáles son las probabilidades de que un paquete entregado con retardo haya sido llevado por: a) la compañía A? b) la compañía B? c) la compañía C?
14.
Tres máquinas producen piezas fundidas de metales no ferrosos. La máquina A produce 1% de piezas defectuosas; la máquina B, 2%, y la máquina C, 5%. Cada máquina produce 1/3 de la producción total. Un inspector examina una pieza fundida y determina que no está defectuosa. Estime las probabilidades de que dicha pieza haya sido producida por cada máquina.
15.
Un invitado a un día de campo selecciona al azar dos latas de refresco de un paquete de seis de marca X, que contiene cuatro latas de refresco de cola y dos de ginger ale; o de un paquete de seis latas de marca Y, que contiene cuatro latas de ginger ale y dos de refresco de cola. Pero el invitado tiene tres veces mayor probabilidad de seleccionar la marca Y que la marca X. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas latas seleccionadas por el invitado sean de ginger ale? b) Si ambas latas seleccionadas por el invitado son de ginger ale, ¿cuál es la probabilidad de que sean de la marca Y? c) Si el invitado selecciona cuando menos una lata de refresco de cola, ¿cuál es la probabilidad de que el refresco sea de marca X?
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 1.
Encontrar la función de distribución de la variable aleatoria X = número de águilas que se obtiene al lanzar cuatro monedas.
2.
Encontrar la función de probabilidad de la variable aleatoria X = producto de los dos números que se obtienen al lanzar dos dados.
3.
Encontrar la función de probabilidad de la variable aleatoria X = suma de los dos números que se obtienen al lazar dos dados.
4.
Un vendedor de equipos pesados puede entrevistar a uno o dos clientes por día, con probabilidad 1/3 y 2/3, respectivamente. Cada entrevista produce una venta de 50 mil pesos o ninguna venta con probabilidades 1/10 y 9/10, respectivamente. ¿Cuál es el valor esperado de sus ventas diarias?
5.
En un tablero de ajedrez de tamaño 8 x 8 se coloca al azar un caballo. Sea X el número de casillas a donde puede moverse el caballo desde la posición en que está colocado. ¿Cuál es la distribución de la probabilidad de X ?
6.
De una caja que contiene cuatro monedas de mil pesos y dos 500, se seleccionan tres monedas ala zar sin reemplazo. Determine la distribución de probabilidad para el total T de las tres monedas.
7.
Un equipo electrónico contiene seis transistores, dos de los cuales son defectuosos. Se seleccionan tres transistores al azar, se sacan del equipo y se inspeccionan. Sea X el número de transistores defectuosos observados, donde X = 0, 1, 2. Encuentre la distribución de probabilidad de X.
8.
Una inversión puede producir uno de tres resultados: una ganancia de siete mil pesos, una ganancia de cuatro mil pesos
o una pérdida de 10 mil pesos con probabilidades 0.55, 0.20 y 0.25, respectivamente. Encuentre la ganancia esperada del inversionista.
9.
Encuentre la distribución de probabilidad para el número de discos de jazz cuando cuatro se seleccionan al azar de una colección formada por cinco discos de jazz, dos de música clásica y tres de polka. Exprese el resultado mediante una fórmula.
10.
Si llueve, un vendedor de paraguas gana $30 al día; si no llueve, pierde $6 al día. ¿Cuál es su esperanza matemática si la probabilidad de lluvia es de 0.3?
11.
Encontrar la media y la varianza de la variable aleatoria X = al número de caras en un solo lanzamiento de una moneda.
12.
Si dos finalistas de un juego de tenis participan en un set cuyo ganador recibirá un premio e $24 000 en efectivo y el perdedor uno de $16 000, ¿cuáles son las esperanzas matemáticas de los dos jugadores si: a) quedan empatados en la clasificación?
13.
14.
b) sus probabilidades de ganar son de 3/4 y 1/4 ? La variable aleatoria X toma valores 1, 2, 3....., con probabilidades P ( X = r ) = k (1- β ) r- 1 0 < β < 1. Calcular la constante k.
Supóngase que una variable aleatoria X tiene distribución discreta con la siguiente función de densidad
una
f ( x ) = 0
c x2 x = 1, 2, ....., para las demás
Encontrar el valor de la constante c.
15.
El gerente de un almacén de ropa para caballeros está interesado en el inventario de trajes, que en ese momento es de 30. El número de trajes vendidos a partir de ese momento hasta el final de la temporada se distribuye como e
-20
x!
20 x x = 0, 1, 2, ....., 30
p ( x ) = 0
para las demás x
Encuentre la probabilidad de que le queden trajes sin vender al final de la temporada. 16.
Una variable aleatoria X puede tomar cuatro valores con probabilidades (1 + 3x)/4, (1 – x)/4, (1 + 2x)/4 y (1 – 4x)/4. ¿Para qué valores de x es ésta una distribución de probabilidades? DISTRIBUCIÓN BINOMINAL
1.
Determinar la probabilidad de sacar tres seises en cinco tiradas de un dado.
2.
Un ingeniero de control de tráfico informa que 75% de los vehículos que pasan por un punto de verificación tiene matrículas del estado. ¿Cuál es la probabilidad de que más de cuatro de los siguientes nueve vehículos no sean del estado.
3.
Una moneda se lanza 10 veces. Obtener la probabilidad de que caigan seis, siete u ocho caras.
4.
En una gran compañía, 20% de los empleados son miembros de algún club deportivo. En una muestra aleatoria de 30 empleados, ¿cuál es la probabilidad de que tres, cuatro o cinco pertenezcan a un club de deportes?
5.
Suponga que para cierta clase de flores cerca de 5% de las semillas no germina. Las semillas se empaquetan y venden en cajas de 10, con la garantía de que al menos nueve germinarán. Hallar la probabilidad de que una caja fija arbitraria no tenga la propiedad garantizada.
6.
Una nueva técnica quirúrgica tiene una probabilidad p de éxito. Suponga que la operación se efectúa cinco veces y que los resultados son independientes uno de otro. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco operaciones sean exitosas, si p = 0.8? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro operaciones sean exitosas, si p = 0.6?
7.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de dos operaciones sean exitosas, si p = 0.8? Un informe reciente declara que 70% de los habitantes de Cuba han reducido bastante el uso de energía eléctrica para disfrutar de descuentos en las tarifas. Si se seleccionan al azar cinco residentes de la Habana, encuentre la probabilidad de que: a) los cinco califiquen para tarifas más favorables. b) al menos cuatro califican para tarifas más favorables.
8.
¿Cuál es la probabilidad de que una auditoria de Hacienda detecte solamente dos declaraciones de impuestos con deducciones ilegales si se selecciona aleatoriamente seis de 18 declaraciones, ocho de las cuales contienen deducciones ilegales?
9.
Considérese que 50% de los empleados de una gran compañía están casados. Sea X el número de empleados casados. En una muestra aleatoria de 100 empleados, obténgase la media y la desviación típica de X.
10.
Una empresa vende cuatro artículos seleccionados al azar entre un lote grande del que se sabe que contiene 10% de piezas defectuosas. Sea X el número de piezas defectuosas de entre las cuatro que se vendieron. El comprador del artículo regresa las piezas defectuosas para su reparación y el costo de la reparación es C = 3X 2 + X + 2. Calcular el costo de reparación esperado.
11.
Un dado se lanza tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca al menos un cinco o un seis?
12.
Un experimento consta de cuatro ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito p en cada uno de ellos. La variable aleatoria X es el número de éxitos. Enumere la distribución de probabilidad de X. Suponga la probabilidad de que al tirar un dado y quede un número non hacia arriba es 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que en cinco tiradas de un dado, el número de veces que aparece un non sea:
13.
a) menos de dos? b) más de dos? c) entre dos y cuatro?
14.
Demostrar que para la distribución binominal la función de densidad P (k; n, p) cumple la siguiente relación de recursividad: n – k p P (k + 1; n, p) = k – 1 1 – p P (k; n, p) Si se sabe que P (3; 7, 1/4) = 0.173, calcular P (4; 7, 1/4)
15.
Un agente de bienes raíces estima que la probabilidad de vender una casa es de 0.10. El día de hoy debe ver a cuatro clientes. Si tiene éxito en las tres primeras visitas, ¿cuál es la probabilidad de que la cuarta no sea exitosa?
16.
En una fábrica se observa que, en promedio, 20% de las tuercas producidas por una máquina son defectuosas. Si se toman 10 tuercas al azar, hallar la probabilidad de que: a) solo dos sean defectuosas. b) dos o más sean defectuosas. c) más de cinco sean defectuosas.
17.
De la clase del último semestre, 60% son muchachas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 10 estudiantes seleccionados aleatoriamente haya: a) cinco muchachas? b) al menos cinco muchachas? c) cuando más cinco muchachas? d) entre cuatro y seis muchachas inclusive?
18.
Si en el experimento del nacimiento de un solo hijo los resultados nacimiento de un niño y nacimiento de una niña son igualmente probables y si suponemos independencia de ensayos repetidos, ¿cuál es la probabilidad de que una familia con cuatro hijos tenga: a) dos niñas y dos niños? b) tres niños y una niña? c) cuatro niños?
19.
De todas las unidades producidas en cierto proceso, 10% es defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 12 unidades producidas en este proceso: a) al menos dos unidades sean defectuosas? b) un máximo de tres defectuosas? c) entre dos y cinco defectuosas?
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA 1.
Una persona se presenta a un examen de manejo varias veces hasta que lo aprueba. Suponer que la probabilidad de que lo apruebe en cualquier momento dado sea de 0.1 y que las pruebas sean independientes. Calcular la probabilidad de que: a) le tome más de cuatro intentos, b) le tome más de 10 intentos.
2.
Se repite un experimento en el que un evento tiene una probabilidad p de suceder hasta que el evento ocurre por primera vez. Calcular la probabilidad de que el evento ocurra exactamente en k+1 ensayos.
3.
Un tirador experto da en el blanco 95% de las veces. ¿Cuál es la probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo?
4.
Se supone que 30% de los aspirantes para cierto trabajo industrial tiene entrenamiento avanzado en programación computacional. Los aspirantes son entrevistados, uno tras otro, y son seleccionados al azar del conjunto de aspirantes. Determine la probabilidad de que se encuentre el primer aspirante con un entrenamiento avanzado en programación en la quinta entrevista.
5.
Un explorador de petróleo perforará una serie de pozos en cierta área para encontrar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es de 0.2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el productivo sea el tercer pozo perforado?
primer
pozo
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el explorador no vaya a encontrar un pozo productivo si solo se puede perforar un máximo de 10 pozos?
6.
Diez por ciento de las máquinas producidas en una línea de montaje resultan defectuosas. Si se seleccionan máquinas aleatoriamente de una por una para probarlas. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la primera máquina defectuosa: a) en la segunda prueba? b) en la quinta prueba? c) en la quinta prueba o antes?
7.
Una compañía aeroespacial ha construido cinco misiles. La probabilidad de un disparo exitoso es, en cualquier prueba, de 0.95. Si se suponen lanzamientos independientes, ¿cuál es la probabilidad de que la primera falla ocurra en el quinto disparo?
8.
La probabilidad de que un experimento tenga resultado exitoso es de 0.75. El experimento se repetirá hasta que ocurran cinco resultados exitosos. ¿Cuál es el número esperado de repeticiones necesarias? ¿Cuál es la varianza?
9.
Sea X una variable aleatoria probabilidad de tener éxito igual a p.
geométrica
con
la
a a) Demuestre que para un entero positivo a, P ( X > a) = q
b) Demuestre
que
para
los
enteros
positivos
a
y
b,
P ( X > a + b / X > a ) = q = P ( X > b). a
10.
Un gerente de personal está entrevistando empleados otenciales con el fín de cubrir dos vacantes. La probabilidad de que el entrevistado tenga las cualidades necesarias y acepte un ofrecimiento es de 0.8.
11.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea entrevistar exactamente a cuatro personas?
necesario
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea entrevistar a menos e cuatro personas?
necesario
Demostrar Que el valor esperado para la distribución de probabilidad geométrica es
E( X ) =
1 p
12.
Un comandante del ejército desea construir un puente enemigo. Cada vuelo de aviones que envía tiene una probabilidad de 0.8 de conseguir un impacto directo sobre el puente. Par destruirlo por completo se requieren cuatro impactos directos. Si puede preparar siete asaltos antes de que el puente pierda importancia desde el punto de vista táctico, ¿Cuál es la probabilidad de destruir el puente?
13.
Demostrar que para la función de distribución de Pascal, la función de densidad P(k; r, p) cumple la siguiente relación de recursividad: P (k +1; r , p ) =
k qP ( k , r , p ) k − r +1
Si se sabe que P(6; 4, ½) = 5/35, calcular P(7; 4, ½). 14.
Calcular la media y la varianza de una variable aleatoria de Pascal (binomial negativa)
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 1.
Unas especificaciones piden que un tipo de termistor soporte entre 9 y 10 mil ohm a 25 C. De 10 termistores disponibles, se seleccionarán tres para usarlos. Sea X el número entre los tres que no se apegue a las especificaciones. Calcular la distribución de probabilidad de X, en forma tabular, si: a) entre los 10 hay especificaciones
dos
que
no
se
apegan
a
las
b) entre los 10 hay cuatro que no se apegan a las especificaciones.
2.
Un problema importante presentan los jefes de personal y otras personas encargadas de la selección de los mejores de un conjunto finito de elementos, se describe mediante la selección siguiente. Se seleccionan 10 personas para un trabajo de un grupo de 20 ingenieros con doctorado. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo de los 10 ingenieros seleccionados incluya a los cinco mejores del grupo de 10?
3.
Suponer que un radiorreceptor contiene seis transistores, de los cuales dos son defectuosos. Se quitan y prueban tres transistores seleccionados al azar. Sea X el número de transistores defectuosos encontrados, donde X = 0, 1 o 2: Encuentre la distribución de probabilidad para X.
4.
Entre 100 artículos de un lote hay cinco defectuosos. Calcular la probabilidad de que entre 10 artículos seleccionados al azar no haya más que un artículo defectuoso.
5.
El señor López es responsable de la compra de cajas de vino para el restaurante Casa Blanca. De manera periódica elige una caja de prueba (12 botellas por caja) para determinar si el proceso de sellado es adecuado. Para esta prueba, selecciona al azar cuatro botellas de la caja para catar el vino. Si una caja contiene dos botellas de vino en mal estado, calcular la probabilidad de que precisamente una de ellas aparezca en la muestra del señor López.
6.
Un lote de 25 cinescopios para televisor a color se somete a un procedimiento de pruebas de aceptación. El procedimiento consiste en extraer cinco tubos al azar, sin reemplazo, y probarlos. Si dos o menos tubos fallan, los restantes se aceptan. De otro modo, el lote se rechaza. Suponga que el lote contiene cuatro tubos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad exacta de que el lote se acepte?
7.
Si siete de 14 maletas contienen artículos de contrabando, determine la probabilidad de que exactamente cuatro e seis maletas seleccionadas al azar en la inspección de pasajeros contengan artículos de contrabando.
8.
Un grupo de programas de cómputo disponibles para resolver un problema de programación líneal se clasificó del 1 al 16 (del mejor al peor). Una empresa de ingeniería selecciona dos de esos paquetes para comprarlos, sin consultar la clasificación. Sea X el número de paquetes que adquirió la firma de clasificados como, 3, 4, 5 o 6. Indicar en forma tabular la distribución de probabilidades de X.
9.
Una bolsa contiene 10 focos, de los cuales ocho están en buen estado. Si se eligen al azar cinco focos: a) ¿Cuál es la función de probabilidad para los focos que sirven?
10.
b) ¿Cuál es la función de probabilidad para el número de focos que no sirven? De una urna que contiene nueve canicas de color azul y tres de color negro se extraen ocho sin reemplazo. Encontrar la probabilidad de obtener precisamente x canicas de color azul?
11.
Una caja contiene cinco canicas, de las cuales tres están dañadas. Se eligen dos canicas al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la función de probabilidad para el número de canicas dañadas en la muestra?
12.
De una baraja normal de 52 naipes, se sacan 13 al azar sin reemplazo. a) ¿Cuál es la función de probabilidad para el número de naipes rojos en la muestra? b) ¿Cuál es la media y la varianza del número de naipes rojos?
13.
Demostrar que para la función hipergeométrica la función de densidad P(k; N, M, n) cumple la siguiente relación de recursividad: P (k +1; N , M , n) =
n −k M −k P ( k ; N , M , n) k +1 N − M − n + k + 1
Si se sabe que P(2; 10, 4, 5) = 0.476, calcular P(3; 10, 4,5) 14.
En un lote de N elementos, se investigan n de ellos al azar. El lote es aprobado si dentro de los elegidos para el control de calidad se descubren m dañados. ¿Cuál es la probabilidad que se acepte el lote si contiene M elementos dañados?
DISTRIBUCIÓN DE POISSON 1.
Un distribuidor vende semillas de cierta clase de tulipán rojo en paquetes de mil y sabe, por experiencia, que casi 1% de un gran número de semillas no serán de la clase deseada. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete dado contenga más de 1% de semillas de otra clase?
2.
Si la probabilidad de que una persona sufra una reacción nociva debido a una inyección de cierto suero es de 0.001, ¿cuál es la probabilidad de que entre mil personas, dos o más sufran esta reacción?
3.
Suponga que en promedio una de cada mil personas comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan al azar 10 mil formas, encuentre la probabilidad de que seis, siete u ocho tengan error.
4.
En el supuesto de que el conmutador de una oficina de asesoría recibe un promedio 0.6 llamadas por minuto, calcúlese las probabilidades de que: a) en un minuto cualquiera haya al menos una llamada, b) en un intervalo de cuatro minutos haya al menos tres llamadas.
5.
El número de errores tipográficos cometidos por una mecanógrafa en particular tiene una distribución de Poisson con una media de cuatro errores por página. Si un página dad tiene más de cuatro errores, la mecanógrafa tendrá que repetir la página entera. ¿Cuál es la probabilidad de que no repita la página?
6.
El número de nudos en un tipo particular de madera tiene una distribución de Poisson con una media de 1.5 nudos por 10 pies cúbicos de madera. Encuentre la probabilidad de que un bloque de esta madera de 10 pies cúbicos tenga un nudo como máximo.
7.
El número de llamadas telefónicas que entra a una central de edificio de oficinas es de cuatro por minuto en promedio. a) Calcular la probabilidad de que no lleguen llamadas en un determinado periodo de un minuto. b) Calcular la probabilidad de que por lo menos lleguen cuatro llamadas en un periodo de un minuto. c) Calcular la probabilidad de que por lo menos lleguen dos llamadas en un periodo de un minuto.
8.1
La llegada de clientes en un torniquete de una tienda de departamentos tiene una distribución de Poisson con un promedio de ocho por hora. Para una hora determinada calcular la probabilidad de que: a) lleguen ocho clientes, b) no lleguen más de tres clientes, c) lleguen por lo menos dos clientes.
9.
El número de automóviles que entra a un estacionamiento es de variable aleatoria con distribución de Poisson con un promedio de cuatro por hora. El estacionamiento tiene lugar sólo para 12 vehículos y está vacío al principio.
10.
Tres por ciento de cierto tipo de arbustos híbridos de rosa de té no florecerán durante la primera temporada de crecimiento. Calcular la probabilidad de que en una muestra de 100 arbustos tomada al azar, tres arbustos no florezcan durante su primera temporada de crecimiento.
11.
Si 2.5% de los conductores de automóviles que pasan por una caseta de cobro tienen el cambio exacto, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra tomada al azar de 250 automóviles que pasan por la caseta, cinco tengan el cambio exacto?
12.
El número de vuelos que llegan a un aeropuerto privado durante el día es una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con λ = 3. ¿Cuáles son las probabilidades de los siguientes números de llegadas de vuelos en una hora del día seleccionada al azar:
a) cero? b) uno? c) dos? d) cuando mucho dos? 13.
Una compañía grande de seguros ha descubierto que 0.2% de la población de una ciudad está lesionada como resultado de algún tipo de accidente particular. Esta compañía tiene 15 mil asegurados protegidos contra tal accidente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tres o menos reclamos se entablen en relación con estas pólizas de seguro durante el siguiente año? b) ¿Cinco o más reclamos?
14.
Un libro de texto de matemáticas tiene 200 páginas en las que pueden ocurrir errores tipográficos en las ecuaciones. Si hay cinco errores dispersos de manera aleatoria entre las 200 hojas, a) ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 50 páginas haya al menos un error? b) ¿qué tan grave debe ser la muestra aleatoria para asegurar que al menos dos errores se encontrarán con probabilidad de 90%?
15.
Se ha observado que los paquetes de cierta cerveza se toman de los estantes de cierto supermercado a razón de 10 por hora durante los periodos de mayor venta.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se saque al menos un paquete durante los seis primeros minutos de un periodo de mayor venta? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se tome del estante al menos un paquete durante cada uno de tres intervalos consecutivos no traslapados de seis minutos? 16.
Suponer que uno de cada 10 mil bebés nace ciego. Si en el hospital grande de una ciudad hubo cinco mil nacimientos en 1970: a) calcular la probabilidad de que ninguno de los nacidos en ese año estuviera ciego al nacer? b) calcular la probabilidad de exactamente un bebé ciego?
que
haya
nacido
c) calcular la probabilidad de que hayan nacido al menos dos ciegos?
17.
Una panadería hace galletas con pedacitos de chocolate; un lote tiene mil galletas. Se agregan tres mil pedazos de chocolate a la masa para un lote y se mezcla bien toda la masa. Si se elige al azar una galleta de un lote, a) ¿Cuál es la probabilidad de que no contenga ningún pedacito de chocolate? b) ¿Cuál es la pedacitos?
probabilidad
de
que
contenga
tres
c) ¿Cuántas galletas con un solo pedacito de chocolate podría haber en un lote?
18.
Un voceador vende periódicos en una esquina. Los periódicos que vende son eventos de un proceso de Poisson con parámetro λ = 50 por hora. Si alguien acaba de comprarle un periódico:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran al menos dos minutos antes de que venda otro? Si ya transcurrieron cinco minutos desde la última venta.
19.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran al menos dos minutos más para su siguiente venta? Cierta área del este de México resulta afectada, en promedio, por seis huracanes al año. Encuentre la probabilidad de que en un año determinado esta área resulte afectada por: a) menos de cuatro huracanes, b) cualquier cantidad entre seis y ocho huracanes.
20.
En un restaurante preparan una ensalada que contiene en promedio cinco verduras diferentes. Encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de cinco verduras: a) en un día determinado, b) en tres de los siguientes cuatro días, c) por primera vez el cinco de abril.
21.
La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis (desviación lateral sufrida por la columna vertebral) en una escuela de la localidad es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes revisados, encuentre la probabilidad de que: a) menos de cinco presenten este problema, b) ocho, nueve o diez presenten este problema.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINÚAS 1.
Establezca si las discretas o continuas:
siguiente
variables
aleatorias
son
a) El número de errores encontrados en una auditoria de los registros financieros de una compañía. b) Tiempo que espera un cliente para que lo atienda la cajera en un supermercado. c) Número de automóviles que General Motors retirará el próximo año. d) Cantidad real de onzas de cerveza que contiene una lata de 12 onzas. 2.
¿Qué valor debe tener la constante k para que f(x) sea una función de densidad?
k x0 ≤ x ≤ 2 f (x) = 0 p al a dr sae x m á s 3.
4.
Demostrar que constante.
V ( X ) = E ( X − c ) − ( c − EX 2
) 2 , donde c es una
Encontrar la media de la distribución que tiene densidad
x − ex x > 0 f ( x) = 0 x≤ 0 5.
6.
Encuentre la función de densidad acumulativa y calcule P(X ≥ 2).
Sea X con la función de densidad representada por
c 2 x+ x 0 < x < 2 f (x) = 0 p al ard as e xm á s a) Calcular c. b) Determinar F(x). c) Calcular P(0 < X < 0.5).
d) Calcular la media y la varianza de X. 7.
Considere probabilidad:
la
siguiente
función
de
densidad
de
k x 0≤ x≤ 2 f ( x) = k ( 4 − x ) 2 ≤ x ≤ 4 0 p a lr aa ds e m x á s 8.
Suponga que X tiene la función de densidad
c x0 ≤ x ≤ 2 f (x) = 0 p al ard as e xm á s a) Encontrar el valor de c que hace de f(x) una función de densidad de probabilidad b) Obtener la función de densidad acumulativa F(x). c) Utilizar F(x) para encontrar P(1 ≤ X ≤ 2).
9.
Sea una variable aleatoria con una función de densidad
c x 0< x < 2 f (x) = 0 p a l ar das e mx á s
a) Determine el valor de c. b) Encuentre F(x) y utilícela para evaluar P(0.3 < X <0.6). 10.
Calcular a de modo que la función
x≤ 1 0 1 F (x) = 2 1 − 1 < x ≤ a x 1 x> a 11.
Es una función de densidad acumulativa. Calcular P(-1≤ X ≤ 1.5).
12.
La proporción del tiempo X que un autómata industrial trabaja durante una semana de 40 horas es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad de probabilidad:
2x 0 ≤ x ≤ 1 f (x) = 0 p al ard as e xm á s a) Encuentre E(X) y V(X). b) La ganancia semanal Y para este autómata está dada por Y =200Y-60, determine E(X) y V(X).
13.
El tiempo de espera en horas, que tarda un radar en detectar dos conductores sucesivos a alta velocidad es una variable aleatoria continua con una distribución acumulativa
0 x< 0 F (x) = − 8x 1− e x ≥ 0 Encuentre la probabilidad de esperar menos minutos entre dos conductores sucesivos. 14.
de
12
Las variables aleatorias X y Y (independientes) tienen la misma densidad dada por xi pi
0 1/3
1 1/3
2 1/3
Sean U1 = X+Y; U2 = 2X; U3 = XY; U4 = X2. Para las variables aleatorias Ui (i = 1, 2, 3, 4), calcular: a) la función de densidad b) la media c) la varianza 15.
La proporción de personas que responden encuesta enviada por correo es una variable continua X que tiene la función de densidad.
2( x + 2) , 0< x< 1 f (x) = 5 0 e cn u a loq t cur aoi es ro a) Muestre que P ( 0 < X < 1) = 1
a cierta aleatoria
b) Encuentre la probabilidad de que más de 1/4 , pero menos de 1/2 de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta 16.
Suponga que una variable aleatoria continua X tiene la distribución de probabilidad
e− x x ≥ 0 f (x) = 0 p al ar das e xm á s Determine la distribución de probabilidad de Z = X2. 17.
Una función de densidad que a veces emplean los ingenieros como modelo de la duración de componentes electrónicos es la densidad de Rayleigh, dada por
2x − x e θ x > 0 f (x) = θ 0 p a l ra ads e mx á s 2
a) Si X tiene la función de densidad de Rayleigh, obtener la función de densidad de probabilidad para Y = X2. b) Calcular E(X) y V(X). 18.
La velocidad de una molécula en un gas uniforme en equilibrio es una variable aleatoria V cuya función de densidad está dada por
a 2ev− b v v > 0 f (v) = 0 p al ar das e vm á s 2
Donde b = m/(2kT); k, T y m representan la constante de Boltzmann, la temperatura absoluta y la masa de la molécula, respectivamente. a) Obtener la distribución W = mV2/2, la energía cinética de la molécula. b) Calcular E(W). DISTRIBUCIÓN CONTINÚA 1.
Se elige un punto al azar en el segmento de la línea [0,4] a) ¿Cuál es la probabilidad de que el punto se encuentre entre 0.5 y 1.75? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el punto se encuentre entre 9/4 y 27/8?
2.
El precio por inauguración de determinado tipo de mercancías se distribuye de manera uniforme en el intervalo [35 ¾,44 ¼]. a) ¿Cuál es la probabilidad de que algún día este precio sea menor que 40? b) ¿Cuál es la probabilidad de que algún día este precio sea entre 40 y 42?
3.
Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en (-1,3) y Y una variable aleatoria distribuida exponencialmente con parámetros λ. Encontrar λ tal que σ2X = σ2Y.
4.
La cantidad diari9a en litros de café despachada por una máquina X, la que tiene una distribución uniforme continua con a = 7 y b = 10. Encuentre la probabilidad de que en un determinado día la cantidad de café despachada por esta máquina sea:
a) Cuando mucho 8.8 litros, b) Más de 7.4 litros, pero menos de 9.5, c) Al menos 8.5 litros. 5. 6.
Si la variable aleatoria R está distribuida uniformemente en [0,5], ¿Cuál es la probabilidad de que las raíces de la ecuación 4x2 + 4Rx + R + 2 = 0 sean reales? Una corriente eléctrica I fluctuante puede considerarse como una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo (9,11). Si esta corriente pasa por una resistencia de 2 ohm, encontrar la función de densidad de la potencia P= 2I2.
DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL Y BETA 1.
¿Hay una densidad exponencial que cumple la siguiente condición? P{X ≤ 2} =2/3 P {X ≤ 3} Es así, encuentre el valor de β.
2.
En una investigación sismológica se observó que hay una relación Y=cex entre la intensidad de las vibraciones en un lugar de la tierra y la intensidad de los terremotos X en un epicentro, donde c depende de la distancia entre dicho lugar y el epicentro. Supongamos que x es una variable aleatoria con distribución exponencial definida por λe −λx f ( x) = 0
x >0 Para las demás x
Calcular la función de distribución acumulativa de la variable Y. 3.
La duración (en horas) X de electrónico es una variable aleatoria densidad
cierto componente con la función de
1 − 1x 0 0 e x> 0 1 0 0 f ( x) = 0 P al adr sae mx á s Tres de estos componentes trabajan independientemente en una pieza de un equipo. El equipo falla si al menos dos de los componentes fallan. Encuentre la probabilidad de que el equipo funcione al menos durante 200 horas sin fallar. 4.
Suponga que el tiempo en horas, que toma reparar una bomba es una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con parámetros α = 2 y β = ½ ¿Cuál es la probabilidad de que en el servicio siguiente tome cuando mucho una hora reparar la bomba?
5.
El tiempo para entregar pedidos de diodos a cierto fabricante cumple con la distribución gamma con una media de 20 días y una desviación estándar de 10 días. Determine la probabilidad de enviar una orden dentro de los 15 días posteriores a la solicitud.
6.
El tiempo semanal X (en horas) en el que no funciona cierta máquina industrial tiene casi una distribución gamma con α = 3 y β = 2. la pérdida, en dólares, para la operación industrial debido a esta baja está dada por L = 30X + 2X2. calcule el valor esperado y la varianza de L.
7.
Considere una tasa de falla de un componente electrónico de una vez cada cinco horas. Es importante considerar el tiempo requerido para que fallen dos componentes. Si se sabe que se aplica la distribución gamma:
a) ¿Cuál es el tiempo medio que tardan en fallar dos componentes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran 12 horas antes de que fallen los dos componentes? 8.
El kilometraje (en miles de kilómetros) que alcanzan los automovilistas con cierto tipo de neumático es una variable aleatoria con densidad de probabilidad.
1 − 2x 0 e x> 0 2 0 f ( x) = 0 P al ard as e mx á s Calcule las probabilidades de que uno de los neumáticos dure: a) A lo sumo 10 mil kilómetros, b) Entre 16 mil y 24 mil kilómetros, c) Al menos 30 mil kilómetros. 9.
El tiempo que transcurre antes de que atiendan a una persona en una cafetería es una variable aleatoria X que tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que atiendan a una persona antes de que transcurran tres minutos en al menos cuatro de los seis días siguientes?
10.
Si el tiempo X de que tarde en realizarse cierta tarea clave en la construcción de una casa es una variable aleatoria
con una distribución exponencial con β = 10 horas. El costo C para completar esta tarea está relacionado con el cuadrado del tiempo que tarda en completarse mediante la fórmula C = 100 + 40X + 3X 2 Encontrar el valor esperado y la varianza de C.
DISTRIBUCIÓN NORMAL 1.
2.
Sea Z una variable siguientes probabilidades:
aleatoria
estándar,
calcule
a) P(0 ≤ Z ≤ 2)
e) P(│Z │> 1.5)
b) P(-1 ≤ Z ≤ 1)
f) P(-1.9 ≤ Z ≤ 2)
c) P( Z ≤ 1.65)
g) P(Z ≤ 1.37)
d) P(Z ≤ 1.96)
h) P(│Z │≤ 1.5)
las
Si una variable aleatoria tiene una distribución normal estándar, calcúlense las probabilidades de que tome un valor: a) menor que 1.5,
b) menor que -1.2, c) mayor que 2.16, d) mayor que -1.75 3.
Determinar las probabilidades a) P(X ≤ 2.44) b) P(X ≤ -1.66) c) P(X ≤ 1.923) d) P(X ≥ 1) e) P(X ≥ -2.9) f) P(2 ≤ X ≤ 10)
4.
Sea X normal con media 100 y varianza 36. Encontrar: a) P(X>110) b) P(X<105) c) P(90
5.
Un fabricante de resistencias sabe por experiencia que el valor de las resistencias que produce es normal con media de 100 Ω y desviación estándar de 2 Ω. a) ¿Qué porcentaje de resistencias tendrán valor entre 98 y 102 Ω? b) ¿Qué porcentaje entre 95 y 105 Ω?
6.
Los tiempos de la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras de inyección de tinta tienen
aproximadamente una distribución normal N(1500; 40 000). ¿Qué fracción de esas impresoras fallarán antes de mil horas? 7.
Si el tiempo(en segundos ) que una bacteria resiste a determinado antibiótico se distribuye N(1200; 120), ¿cuál es la proporción de bacterias que resisten más de mil segundos?
8.
La variable aleatoria X tiene una distribución normal N(3,49). calcular el valor c tal que P( X > c ) = 2P( X ≤ c ).
9.
Una variable aleatoria tiene una distribución normal con desviación estándar de σ = 3.75. Si la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor que 145.6 es de 0.9961, ¿cuál es la probabilidad de que tome un valor entre 125.8 y 129.0?
10.
Una variable aleatoria tiene una distribución normal con desviación estándar de σ = 12. Si la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor que 193.4 es de 0.8023, ¿cuál es la probabilidad de que tome un valor mayor que 189.8?
11.
El gerente de una compañía financiera sabe por experiencia que el número de solicitudes de préstamo que se reciben en su oficina durante una semana es una variable aleatoria con distribución normal N(66.4, 10.9). ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana la oficina reciba: a) más de 75 solicitudes? b) cuando menos 75 solicitudes? c) Entre 65 y 75 solicitudes?
12.
El peso medio de 500 estudiantes varones de cierta universidad es de 151 libras y la desviación típica es de 15
libras. En el supuesto de que los pesos estén normalmente distribuidos, hallar cuántos estudiantes pesan: a) entre 120 y 155 libras b) más de 185 libras 13.
Si un conjunto de observaciones están normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de éstas difiere de la media en: a) más de 1.3σ? b) menos de 0.52σ?
14.
15.
El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media de 485 y desviación estándar de 30, ¿qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba? Demostrar
que
si
X
distribución N(0, σ), entonces
es
una
E X −µ =
variable 2
π
σ
.
aleatoria
con
FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS 1.
El tiempo de reparación X (en horas) para cierta máquina de molienda controlada electrónicamente sigue la función de densidad.
4x − 2Xe x> 0 f ( x) = 0 P al adr as e mx á s Determine la función generatriz de momentos para X y emplee esta función para evaluar E(X) y V(X). 2.
Un vendedor de automóviles usados encuentra que vende X = 1, 2, 3, 4, 5 o 6 autos a la semana con igual probabilidad.
a) Determine la función generatriz de momentos de X. b) Mediante el uso de la función generatriz de momentos determine E(X) y V(X). 3.
Evalúe la función generatriz de momentos para la distribución geométrica y utilice el resultado para calcular el valor esperado y la varianza de ella.
4.
Determinar la función generatriz de momentos para una variable aleatoria del tipo de Bernoulli.
5.
Demostrar que la función generatriz de momentos para una variable aleatoria X binomial esta dada por
6.
MX (t)=[ pet + ( 1- p )]n .
7.
A partir de este resultado, deducir el valor esperado y la varianza de la distribución binomial.
8.
Determinar la función generatriz de momentos para la variable aleatoria X con distribución exponencial.
1 x− a λ e x− λp x > a f ( x) = 0 P la ad r sae xm á s 9.
Determinar la función generatriz de momentos para la distribución Laplace con distribución
f ( x) =
10.
1 −x e 2
x ∈R
Usando la función generatriz de momentos calcular: a) El segundo momento normal para la distribución de Poisson. b) El tercer binomial.
momento
para
la
distribución
c) k-ésimo momento normal para exponencial con función de densidad.
la
distribución
f ( x) =
normal
x exp − λ λ 1
para x > 0, λ > 0
d) k – ésimo momento normal para gamma, con función de densidad. f ( x) =
11.
ap x p −1e −ax Γ( p )
la
distribución
para x > 0, a, p > 0
Demostrar, si x y Y son las variables independientes, con distribución gamma
f1 ( x ) =
1 x p1 −1e − x Γ( p1 )
para x > 0
f2 ( y) =
1 y p2 −1e −y Γ( p2 )
para y > 0
aleatorias
Entonces la variable aleatoria Z = X + Y se distribuye como gamma con la función de densidad
f ( z) =
12.
1 z p1 + p2 e −z Γ( p1 + p2 )
para z > 0
Sean X y Y las variables aleatorias independientes con idénticas funciones generatriz de momentos M(t). Calcular la función generatriz de momentos para la variable aleatoria Z = X – Y
13.
Sean X y Y las variables aleatorias independientes con la misma distribución exponencial
e -x f ( x) = 0
x >0 Para las demás x
Calcular la función de densidad para la variable aleatoria Z = X – Y.
14.
Calcular la función generatriz de momentos variable aleatoria X con función de densidad 1 1 2 1 − 2 x x ≤2 f ( x) = 0 Para las demás x ix Aplicar Formula de Euler e = cos ( x ) + isen ( x )
para
la
DISTRIBUCIONES CONJUNTAS Y VARIABLES INDEPENDIENTES 1.
La función de probabilidad de dos variables aleatorias discretas X y Y está dada por f(x,y) = cxy para x = 1, 2, 3 y y =1, 2, 3, y de otra manera igual a cero. Encuentre a) b) c) d)
2.
la constante c, P ( X = 2, Y = 3)
P ( X ≤ 2, Y ≤ 2) , P ( X ≥ 2) ,
e) P ( X < 2) , f) P ( X = 1) , g) P (Y = 3)
Encuentre las distribuciones de probabilidad marginal de (a) X y (b) Y, para las variables aleatorias del problema anterior. (c) Determine si X y Y son independientes.
3.
Sean X y Y variables aleatorias continuas con función de densidad
( )
c x 2 + y 2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 f (x, y) = e on tc r ao s o 0 Determine a) la constante c, 1 1 PX < ,Y > 2 2 b)
3 1 P < Y < 4 c) 4 1 P Y < 2 d)
e) Si X y Y son independientes 4.
Encuentre las funciones de distribución marginal (a) de X, y (b) de Y, para la función de densidad del problema anterior.
5.
Dos variables aleatorias independientes, X y Y tienen las siguientes funciones de densidad, respectivamente
c1e− 2x x > 0 f (x) = 0 x≤ 0 Encuentre a) c1 y c2,
c2y − 3ey y > 0 g(x) = 0 y≤ 0
b) P ( X +Y > 1) c) P (1 < X < 2, Y ≥ 1) d) P (1 < X < 2) e) P (Y ≥ 1)
6.
Sean X y Y variables aleatorias que tienen función de densidad conjunta
Encuentre
c( 2x + y ) 0 < x < 1, 0 < y < 2 f (x, y) = e on tc r ao s o 0
a) la constante c 1 3 PX > ,Y < 2 2 b)
c) La función de densidad (marginal) de X d) La función de densidad (marginal) de Y 7.
8.
En el problema anterior, Y<3/2)=P(X>1/2)P(Y<3/2)? ¿Por qué?
¿es
Si X y Y tienen función de densidad conjunta
P(X>1/2,
1/ y 0 < x < y , 0 < y < 1 f (x, y) = e on tc r ao s o 0 a) Determine si X y Y son independientes 1 PX > 2 b) Encuentre 1 1 PX > ,Y > 2 3 c) Encuentre 1 PX +Y = 2 d) Encuentre
9.
La función de probabilidad conjunta para las variables aleatorias X y Y está dada en la siguiente tabla XY 0 1 2
0 1/18 1/9 1/6
1 1/9 1/18 1/6
2 1/6 1/9 1/18
a) Encuentre las funciones de probabilidad marginal de X y Y. b) Encuentre P (1 ≤ X ≤ 3, Y ≥ 1) c) Determine si X y Y son independientes
