Soluciones TP1

Universidad Nacional de Salta Matemática I

Facultad de Ciencias Económicas, Jurídicas y Sociales Responsable: Prof. Angélica E. Astorga de Bárcena

SOLUCIONES DEL TRABAJO PRÁCTICO N° 1 “REVISIÓN” ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓN 1.

PARA PENSAR CON MÁS TIEMPO: 1

2

3

4 5

7

6

8 9 4x6 =

2.

1 + 2 + 5 + 7 + 9 = 24

¿Cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas respuesta a)

? Justificar la

(F) se suman los exponentes

b)

(V) propiedad

c)

(V) propiedad (F) la resta de exponentes resulta 4 – (-4) = 4 + 4 = 8

d) e)

(V) definición

f)

(F) la resta de exponentes resulta 3/2

g)

(F) Se resuelve (m + n) (m + n) se aplica distributiva

h) 3.

3x8 =

(V) aplicando distributiva y operando algebraicamente

Resolver las operaciones e indicar a qué conjunto numérico pertenece el resultado: 4

a)

 8 3

b)

 83 

c)

 1  27 3     

d)

5. 2  2. 18  3. 2  8 



4

2



1 2

48 =

e)

12 +

f)

1 3   75  3 16

27 -

1 2

g) ( 27  1) . 3 - 2. 12 =

Cartilla de Trabajos Prácticos 2015

Página 1



2  3. 2  3 

h)

 

i)

 2  3 4 3  2 6  150 . 6  3  2  

j)

2  2 

1



1

=

64 0,25  16 0,5

k)

 8

1 3

 27 

2 3



4. Escribir las siguientes definiciones y dar ejemplo en cada caso: (Ver teoría cartilla del Ingreso) 5.

Completar el siguiente cuadro:

Polinomio

Grado

Coeficiente Principal

3x  4x 2  1

2

-4

NO

SI

1

 y 5  y 2  4y  5

5

-1

NO

NO

-5

3

-3

NO

NO

0

3

-3

NO

NO

0

NO

NO

0



x 12 x  3x 2



 3m3  m  7y 

1 2 6

y2

6z 2  z  5

2 2 m 3

2

¿Es Mónico?

¿Está completo?

Término Independiente

2

6

NO

SI

5

- 87

0

87

NO

SI

87

1 2

1

1

SI

SI

-1/2

x

Completar y ordenar el polinomio

87

6. Hallar el valor numérico de los siguientes polinomios en los valores indicados:   2 x 2  3 x 4  2 en x  1, x  5 , x  0 y x  2 a) P(x )

 3x 3  2x  3 en x  2 , x  1, x  3 y x   3 b) Q(x )

Cartilla de Trabajos Prácticos 2014

2



7. Dado el polinomio (m  1) 2 x 3  x 2  p 2 x  2(n 2  1) , establecer las condiciones sobre los números m, n y p, y para que el grado del polinomio sea: a) b) c) d)

Tres Dos Uno Cero

, entonces , entonces no es posible ya que el término cuadrático no anula para ningún valor de m, n y p posible ya que el término cuadrático no anula para ningún valor de m, n y p

8. Responder justificando su respuesta a) ¿Es posible que al sumar dos polinomios de grado 4, resulte un polinomio de grado 2? Si es posible, por ejemplo al sumar los polinomios: y , el resultado es b) Cuando se multiplican los polinomios P(x) y Q(x) de grados m y n respectivamente, ¿de qué grado es el polinomio P(x) . Q(x)? El grado del polinomio H(x)=P(x).Q(x) es igual a la suma de los grados de P(x) y Q(x) c) Al dividir dos polinomios de distinto grado, ¿cómo es el grado del polinomio resultante? El grado del polinomio H(x)=P(x)/Q(x) es igual a la resta de los grados de P(x) y Q(x) d) Si el valor numérico de un polinomio mónico de grado 2 es 6 cuando y el cociente de su división con x-2 es , ¿de qué polinomio se trata? Un polinomio Mónico de grado 2 puede expresarse como: Como , entonces . Aplicando el algoritmo de la división , donde k es el resto de la división. Igualando a la expresiones . De la expresión anterior se observa que a=3, por lo tanto b=2 9. Dados los polinomios px   x 2  6x  9 y qx   2x  6 , calcular la operación indicada: a)

px   2qx  

b)

qx   px  

c)

2px .qx  

d)

px  : qx  

e)

 px 2 

f)

qx3 

Soluciones del T.P.N.º 1

con x  3

Página 3



10. Efectuar los siguientes cocientes de polinomios y expresar la respuesta en la forma p(x) = c(x) q(x) + r(x):  x 4  3x 3  2x 2  x  5 q(x )  x2  4 a) p(x )

 3x 2  2x  1 b) p(x )

q(x )  2x 2  1

 3x 4  6x 3  9 c) p(x )

q(x )  x2

 x 5  32 d) p(x )

q(x )  x2

En base a las actividades resueltas, responder: ¿Qué relación se puede afirmar que existe entre p(x) y q(x) si r(x) = 0? ¿En qué casos ocurrió esto? Si r(x)=0, entonces p(x)=q(x).c(x). Decimos que q(x) y c(c) son factores o divisores de p(x). 11. Calcular el valor de h y de k según corresponda en cada caso: 3 2 a) Los polinomios px   2 x  h  1x  3 y qx  (2k  1) x3  7 x2  3 son opuestos. No puede ser que p(x) y q(x) sean opuestos para algún valor de h y k, pues, ya el término independiente es el mismo para ambos. b) Los polinomios px  3x2  2(h  1) x  3k  2 y qx  3x2  3kx  4 son iguales. Como p(x) = q(x), al comparar coeficientes de términos semejantes queda el siguiente sistema de ecuaciones:  3k 2(h  1) que al resolverlo resulta: k = - 2 y h = 2    3k  2  4 c) El cuadrado de

px  

1 hx  1 menos qx   kx  4 es igual a r x   4 x 2  13x  3 2

(considerar h >0). Al resolver [p(x)]2 – q(x) = r(x), e igualando términos semejantes luego de operar algebraicamente, se plantea el siguiente sistema de ecuaciones: 1   h2  4 resulta, h = 4 o h = - 4 , pero como el enunciado indica que h > 0, entonces 4  h  k  13  h=4yk=-9 12. Factorizar e indicar las raíces reales de cada uno de los siguientes polinomios: 2 a) A x   8x 3  125 = (2x + 5) (4x2 – 10x + 25) Raíces:  5 b) Bx   24x 2  x 3  144 x = x ( x + 12)2 Raíces: 0, -12 c) Cx   3x 2  48 = 3x  4x  4

Raíces: 4 ; -4

d) Dx   x 4  2x 2  1 = (x -1). (x + 1) . (x -1). (x + 1)

Raíces: 1 ; -1

e) Ex   8(x  3 ) 64(x  3 )  128 = 8 (x – 7)

Raíces: 7

2

f)

2

Fx  (x  2 ) 25 = (x – 7) (x + 3) 2

g) Gx   30x  5x 2  45 = - 5.(x – 3)

Raíces: 7 ; -3

2

h) H x   x  2 x  8x  16 = (x – 2) (x – 2x +4) 4


3

2

2

Raíces: 3 Raíces: 2

Página 4


i) j)


1 2 x 2= 8

1  2 1 1   x   x  x  x  4x  4 Raíces: - ½ ; 4 ; - 4 2  2 4  2 4 Raíces: 2; 2 Jx   16 x  64 = 16. x  2 x  2 x  2

Ix   x 5  16 x 3 









13. Operar, simplificando las siguientes expresiones, indicando las restricciones que valen en cada caso: x 2m1 a) 2m1 = x4m con x  0 x 7 x 4 .y 3 y b) 3  4 =   con x  0 x .y x 2x 2 c) 1  2 = 0 x x 2 x  y 2 y 2  x 2  d) = x  y 2 con x  0 e y  0 2 2 (x.y ) x  y  e) f) g) h) i) j)

x 2  10 x  25 x 5 = 2 x5 x  25 2 y 1 = y–1 y 1 1 2 x x 1  2 = x 3 x 24  x 2 =  x 8 8x 2x  10 1 1 =  2 x5 x  25 x  5 2 5 y3 4y  17 = 2   y  2 y  2 y2  4 y 4

con x  5 y x  -5 con y  -1 con x  0 con x  0 con x  5 y x  -5 con y  2 e y  -2

x2 1 2x  1 x 1 = . 2 2 2x  x  1 2 2 2 m n mn mn . l)   =  4  4m  4n   m  n  x 1  1  1 m) 1   : 1   = x x x 1    

con x  1 y x  

k)

1 2

con m  n y m  -n con x  1 y x  0

 a2  b2 n)   ab

 a b a b :   b  = a  x  3  x2  9  2(2 x  1) o)  = : 2   x3  4x   8x  16 x 

con a  -b  0 con x  0 y x  3 y x  -3

1   1   1 p)  = 2x  :  x  2 x  2   x 2  4 

con x  2 y x  - 2

14. Resolver y determinar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones a) 5  36  x   2 b)

3  x  4x  16   3 6  4 


S= {-5}  39  S =    7

Página 5


x8 x4  2 2 6 2 x  3   1 2x  1 d) 5 2 2x  10 3x  12 e)   6,75 3 4 c)

g) h)

j)

S = { - 8} 1 S =    2

S={5}

9 S =   16  14(x  4 ) (x  2 ) (x  2 ).(x  4 ) S = { 5 ; 10} S = { -2; -1 } 4x(x  2 )  5x(x  1) 2  7  S =  ;1 ( t 2t  9 )  7  2  S = { 20; 50} (60  2x ).(80  2x )  800

2x  32  x4x  7

f)

i)


15. Resolver y determinar el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas 1   x  4y  2  x a)  S =  2;  2    x  1  2y 1   1000 1000   x  10 y  100 b)  S =  ;  1 11 11    y  x  100 10  x  2y  1  c)  S =  4; 2,5   y  1,5  x 2x  y  14 d)  x  2y  1 2  x  y2  3 e)  1  y  1  x  2 3 

 29 12  S =  ;   5 5   2  S =   ; 2  3  

16. Interpretar y resolver las siguientes situaciones: a) Las dos terceras partes de un número disminuido en tres es igual a la mitad de dicho número. ¿De qué número se trata? 2 x Traducción: x  3  3 2 Solución: S = 18 b) Si el triple del anterior de un número es igual a la tercera parte de la suma entre el número y siete, ¿cuál es el número? x7  Traducción: 3(x  1) 3 Solución: S = 2 c) A un congreso acuden 60 personas. Si se fueran 3 hombres y vinieran 3 mujeres, la cantidad de mujeres sería un tercio de la de los hombres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres hay en ese congreso?


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x  y  60   Traducción:  x  3  y3   3 Solución: S = 48; 12 


x : hombres

y : mujeres

d) Un día en una librería se vendieron 30 cuadernos. Los cuadriculados costaban $9,95 y los rayados $10,50. En cuadernos se recaudó un total de $310,60. ¿cuántos cuadernos de cada tipo se vendió ese día? x  y  30  Traducción:  9,95 x  10,50y  310,60 rayados Solución: S = 8; 22 

x : cuadernos cuadriculados

y : cuad.

e) Carlos es 8 años mayor que su hermana María. Hace 4 años la edad de María era dos tercios de la de Carlos. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos ahora? x  y8   Traducción:  2 x : edad de Carlos y : Edad de María x  4   y  4  3 Solución: S = 28; 20  f) Si se aumenta en 3cm el largo y el ancho de un rectángulo, el perímetro resulta de 26cm. Si el largo se disminuye en 3cm, resulta un cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? x  3  y  3  13 Traducción:  x : largo del rectángulo y : ancho del x 3  y  rectángulo Solución: S = 5; 2 g) En una elección se presentaron únicamente dos listas: A y B. Sobre un total de 375 votantes, hubo 15 votos anulados y 10 en blanco. Si la lista B obtuvo una cuarta parte menos de votos que los obtenidos por la lista A, ¿cuántos votos obtuvo cada una de las listas? x  y  25  375   3 Traducción:  x : votos de lista A y : votos lista B y x  4  Solución: S = 200; 150  Prof. Mónica Lisi y Prof. Claudia G. González


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Soluciones TP1

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