Tema 23

TEMA 23. LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA. UNIDADES E INSTRUMENTOS DE MEDIDA. ESTIMACIÓN Y APROXIMACIÓN EN LAS MEDICIONES. RECURSOS DIDÁCTICOS E INTERVENCIÓN EDUCATIVA. VERSIÓN EXTENDIDA (FUENTES: ASIGNATURA 2º PRIMARIA, BIBLIOGRAFÍA Y DOCUMENTOS)

GUIÓN – ESQUEMA ESQUEMA

I. INTRODUCC INTRODUCCIÓN IÓN II. LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA II.1) Los conceptos de magnitud, cantidad y medida II.2) Importancia y utilidad de la medida de magnitudes. Valor formativo y funcional II.3) Las magnitudes y la medida de magnitudes en el currículo de Educación Primaria. Orientaciones oficiales o ficiales II.4) El aprendizaje de las magnitudes y la medida de magnitudes. Complejidad, Complejidad, dificultades y errores

III. UNIDADES E INSTRUMENTOS DE MEDIDA III.1) Unidades de Medida. Algunos anteceden antecedentes tes históricos históricos III.2) Unidad Unidades es fundamentales. Sistema internaci internacional onal de unidades III.3.- Equival Equivalencia encia de unidades III.4) Instrumentos de medida

IV. ESTIMACIÓN Y APROXIMACIÓN EN LAS MEDICIONES IV.1 Concepto de estimación en medida IV.2 Características de las estimaciones en medida: IV.3 Errores en la medición

V. RECURSOS DIDÁCTICOS E INTERVENCIÓN EDUCATIVA VI. COMENTARIOS FINALES

Oposiciones Primaria

Tema 23 Las Magnitudes y su medida en Educación Primaria

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VII. BIBLIOGRAFÍA VIII. REFERENCIAS LEGISLATIVAS IX. REFERENCIAS WEB

I.

INTRODUCCIÓN

La finalidad de la Educación Primaria es proporcionar a todos los niños y niñas una educación que permita afianzar su desarrollo y su propio bienestar, adquirir habilidades culturales básicas relativas a la expresión y comprensión oral, a la lectura, a la escritura y al cálculo, así como desarrollar las habilidades sociales, los hábitos de trabajo y estudio, el sentido artístico, la creatividad y la afectividad (MEC, 2006); demandas socioculturales e individuales que se pretende satisfacer en la escuela a través del área de Matemáticas y de sus relaciones con otras áreas y con las materias transversales mediante un proceso educativo de carácter global, interdisciplinar e integrador. Así se establece, entre otros documentos oficiales, en el artículo 17 de la LOE (MEC, 2006), en el que se hace referencia a la formación matemática: "desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas . . . así como ser capaces de aplicar las matemáticas a las situaciones de su vida cotidiana”. No en vano la form ación matemática básica proporciona un conjunto de instrumentos para el tratamiento sistemático de la incertidumbre genérica (la información es el elemento central y la resolución de problemas el espacio de juego), un repertorio de posibilidades intelectuales de actuación y desarrollo personal y un modo valioso para analizar la realidad, comprenderla, valorarla y poder actuar sobre ella. Entre los conocimientos matemáticos elementales imprescindibles en una formación básica del individuo, las magnitudes y la medida de magnitudes se sitúan en un lugar destacado, ocupando, junto a los números, las operaciones aritméticas, el cálculo y la geometría, aspectos estos últimos imprescindibles para el desarrollo de la medida, la mayor parte del currículo de matemáticas en Primaria. En el presente tema abordaremos, en el primer apartado, los conceptos de magnitud, cantidad y medida, su importancia y utilidad, su valor formativo y funcional, las magnitudes y la medida de magnitudes en el currículo de Educación Primaria y el aprendizaje de las magnitudes y la medida, su complejidad, dificultades y errores. A continuación, dedicaremos un apartado a las unidades e instrumentos de medida, tratando, por este orden, algunos antecedentes históricos, las unidades fundamentales, el sistema internacional de unidades y los instrumentos de medida. En los apartados siguientes haremos una revisión de la estimación y la aproximación en medida así como de los recursos didácticos para terminar con algunas observaciones sobre la intervención educativa en Educación Primaria.

II. LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA II.1) Los conceptos de magnitud, cantidad, medida y unidad de medida

Magnitud Una magnitud es una propiedad, característica física o atributo observable de los cuerpos, entes, colecciones, fenómenos o situaciones, que se manifiesta en distintos grados o intensidades, normalmente infinitos, cada uno de los cuales recibe el nombre de cantidad de magnitud. Según su naturaleza hay dos tipos de magnitudes: González Marí, J. L.

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- Magnitudes fundamentales: son aquellas que son básicas, no dependen de otras y han sido elegidas por su frecuencia de uso. Es el caso de la masa, la longitud y el tiempo. - Magnitudes derivadas: son aquellas que se definen a partir de las magnitudes fundamentales, dependen de ellas y pueden ser expresadas por fórmulas a partir de éstas (Ej.: v = e / t (velocidad = espacio / tiempo)). Teniendo en cuenta la forma en que se expresan, las magnitudes pueden ser: - Magnitudes escalares: se definen exclusivamente mediante un número, como ocurre con la temperatura o el tiempo. - Magnitudes vectoriales: son aquellas que para definirlas hay que especificar, además de un número o módulo, su dirección y sentido (Ej.: la velocidad). Por otra parte, hay magnitudes con sustrato o soporte físico manejable (longitud, peso, superficie) y sin dicho sustrato físico (tiempo, temperatura).

Cantidad Una cantidad de una magnitud es una manifestación concreta o en un caso particular de la misma (Ej.: una hoja de papel tamaño folio presenta en cada cara una cantidad específica de la magnitud superficie. Dicha cantidad puede ser la misma cantidad de superficie de una baldosa cuadrada o de la cantidad de papel del desarrollo plano de las caras de un cubo. Igualmente, dicha cantidad será distinta de otras cantidades de la misma magnitud, como por ejemplo de la cantidad de superficie del rectángulo de un campo de fútbol, que es mucho mayor). Todos los objetos con la misma cantidad de una magnitud se dice que son equivalentes respecto de dicha magnitud o cualidad o que presentan dicha magnitud o cualidad en el mismo grado (Ej.: objetos que pesan igual o coches que tiene la misma longitud entre ejes o personas que tienen exactamente la misma estatura). Las distintas cantidades de una magnitud se pueden ordenar (según su mayor o menor grado o intensidad; ej.: distintos pesos o longitudes se pueden ordenar mediante la relación “menor o igual que”) y medir (establecer su valor, exacto o aproximado, de una forma objetiva).

Medir, medición y medida Una propiedad fundamental de las cantidades de magnitudes es su capacidad para ser medidas. Medir una cantidad de magnitud es asignarle una valoración numérica objetiva como resultado de comparar dicha cantidad con el de una cantidad unitaria de la misma magnitud que se toma arbitrariamente como referencia. Medición: proceso de búsqueda y determinación de la valoración numérica objetiva. Se asocia con la práctica de la medida, los instrumentos de medida, su lectura e interpretación y las técnicas propias de cada tipo de magnitud (Ej.: ¿cómo se mide y con qué instrumento se mide . Medida: resultado del proceso de medición en cada caso concreto. A veces se utiliza la palabra medida para hacer referencia a los dos significados (proceso (como sinónimo de medición) y resultado). Se habla de medida al referirnos a la expresión o representación del resultado de una medición, aspecto en el que adquiere una importancia especial el sistema métrico o sistema de representación de la medida (unidades, subunidades, etc. según sean las magnitudes (metro, litro, kilo, etc.)).

Unidad de medida: cantidad arbitraria de una magnitud que se adopta por convenio para comparar con ella cualquier otra cantidad de la misma magnitud en procesos de medición. Para las longitudes se han empleado el "pie", la "yarda" o el "metro". Las unidades de medida se establecen y son útiles por dos motivos: - la realización de comparaciones precisas (mejor que las comparaciones groseras en más o en menos, sin menospreciar su utilidad en algunas situaciones (esta sandía pesa más que esta pero González Marí, J. L.

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menos que aquélla, aunque hay mucha diferencia entre las dos más pequeñas . . ¿?)); - el acuerdo y la comunicación sobre mediciones precisas (todo el mundo sabe lo que significa cuando se habla de una distancia de 50 metros).

Práctica de la Medida Medir una cantidad de una magnitud requiere: 1.- establecer una cantidad unitaria o unidad de medida, lo que suele requerir previamente de un consenso sociocultural si se trata de comunicar y hacer comprensible las actuaciones y sus resultados; 2.- comparar la cantidad a medir con la unidad de medida, lo que conlleva dos tipos de acciones, operaciones o determinaciones: - una operación física propia de la magnitud (averiguar una distancia mediante una cinta métrica, superponiendo pies, mediante una cuerda, utilizando un metro láser, etc.) - una operación matemática (cálculo aritmético) cuya finalidad es averiguar el valor numérico que indica cuántas veces está contenida la unidad de medida en la cantidad a medir. 3.- representar el valor concreto o medida que resulta del desarrollo de los pasos y operaciones anteriores. Este valor concreto se expresa como un par formado por un número y la denominación de la unidad utilizada para la medida o unidad de comparación empleando el sistema métrico y los conjuntos numéricos; Ejemplo: la longitud de una calle es de 45 metros significa que dicha calle posee una cantidad de longitud equivalente a 45 veces la cantidad de longitud unitaria a la que llamamos metro y que se ha establecido arbitraria y consensuadamente como unidad de medida de longitud. Dicho de otra forma: si colocamos 45 cantidades de longitud iguales de 1 metro cada una, una a continuación de otra, llegaríamos a formar una cantidad de longitud igual a la longitud de la calle. II.2) Importancia y utilidad de la medida de magnitudes. Valor formativo y funcional La medida de magnitudes constituye una parte esencial del aprendizaje matemático. De un lado por su valor funcional derivado de su aplicabilidad a diversos campos y situaciones (la medida de magnitudes es elemento fundamental para comprender e interpretar adecuadamente la realidad; no se concibe la vida cotidiana sin las magnitudes y la medida (volumen del depósito de un vehículo, distancias a recorrer, peso, relaciones comerciales, superficies de viviendas, capacidad de una copa, etc.)), de otro por su valor altamente formativo (se ejercitan constantemente la comparación, el orden, el cálculo, el manejo de la información, etc.), y, por otro, “... por constituir elementos

básicos necesarios para la construcción de otros conocimientos matemáticos: numéricos, métricos, geométricos, et c.” (Junta de Andalucía, 1992). Pero, además, no es un tema exclusivamente matemático; las Ciencias Experimentales (la medición es un acto fundamentalmente experimental), el Conocimiento del Medio Social (aforos permitidos, legislación sobre envases, contenidos y capacidades de recipientes, la medida en etiquetaje de envases, etc.; distancias y recorridos de eventos, etc.) y del Medio Natural (desnivel entre bocas de un túnel, pendiente necesaria, distancias, cartografía, etc.), la Tecnología (aparatos para medir, precisión de los aparatos de medida) y las Matemáticas (cálculos en el sistema métrico decimal) desde distintos bloques temáticos (numeración, aritmética y geometría), se relacionan entre sí en este tema interdisciplinar, campo privilegiado para el desarrollo de competencias y capacidades básicas diversas y el tratamiento de numerosos temas transversales, como es el caso de la Educación para el Consumo o la Educación Vial entre otros. II.3) Las magnitudes y la medida de magnitudes en el currículo de Educación Primaria. Orientaciones oficiales Principios y metas: El alto valor formativo y funcional y su destacada contribución al desarrollo de las competencias básicas y matemáticas, confieren a estos conocimientos un destacado papel en la González Marí, J. L.

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consecución de la alfabetización matemática, entendida como la capacidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático en situaciones reales o simuladas, interpretar y expresar con claridad y precisión informaciones, datos y argumentaciones con contenido numérico, aritmético y métrico e identificar y resolver problemas, seleccionando las estrategias, técnicas e instrumentos adecuados. Las orientaciones oficiales sobre magnitudes y medida de magnitudes se recogen en los siguientes documentos legislativos oficiales: - LOE, MEC (2006) - Real Decreto 1513/2006 (MEC, 2006) - Orden de 10/08/2007 de la Junta de Andalucía de desarrollo del currículo en Educación Primaria.

Los contenidos de este núcleo de conocimientos, procedimientos y destrezas se sitúan, de acuerdo con el Real Decreto 1513/2006 (MEC, 2006), en el bloque temático nº 2 “La medida: estimación y cálculo de magnitudes” y de acuerdo con la Orden de 10 de agosto de 2007 de la Junta de Andalucía, en el bloque disciplinar denominado “Sentido Numérico y medida de magnitudes” y en la relación de éste con los tres bloques transversales: “Resolución de problemas”, “TIC” y “Dimensión histórica, social y cultural de las matemáticas”. Por otra parte, dado que entre las

magnitudes más importantes se encuentran las magnitudes geométricas (longitud, superficie, volumen, amplitud angular, etc.), también existe una relación especial con dicho bloque (ver esquema).

Núcleos de interés en Educación Primaria: - construcción de los conceptos de magnitud, cantidad y medida - comparación, equivalencia y orden entre cantidades - conocimiento y construcción de las magnitudes usuales - conocimiento y construcción de las principales unidades de medida y del sistema métrico decimal - equivalencia y conversión de unidades; cálculo con medidas - conocimiento y uso de los instrumentos de medida usuales - realización de mediciones con los instrumentos adecuados - estimación y aproximación en medida

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- problemas de aplicación de las magnitudes y su medida - Las magnitudes y la medida en la red y en la realidad familiar y sociocultural: visión histórica y actual. Transversalidad en relación con las magnitudes y sus medidas. Para el desarrollo de las magnitudes y su medida en Educación Primaria se establecen los siguientes contenidos, orientaciones y criterios de evaluación específicos (Real Decreto 1513/2006 (MEC, 2006); Orden de 10/08/2007 de la Junta de Andalucía):

Primer ciclo: Contenidos: Longitud, peso/masa y capacidad (comparación, medición e instrumentos no convencionales y convencionales, estimación de resultados y resolución de problemas); medida del tiempo y unidades; sistema monetario. Criterios de evaluación: comparar cantidades y expresar los resultados; medir objetos, espacios y tiempos familiares con unidades de medida e instrumentos adecuados. Segundo ciclo: Contenidos: Longitud, peso/masa y capacidad (comparación, medición e instrumentos no convencionales y convencionales, estimación de resultados y resolución de problemas); medida del tiempo, unidades, instrumentos. Criterios de evaluación: realizar estimaciones y mediciones en contextos reales; escoger unidades e instrumentos adecuados. Tercer ciclo: Contenidos: Longitud, peso/masa, capacidad y superficie (medición, unidades e instrumentos convencionales, equivalencia de unidades, estimación de resultados y resolución de problemas); medida del tiempo, unidades, equivalencias; medida de ángulos. Criterios de evaluación: realizar estimaciones y mediciones en contextos reales; escoger unidades e instrumentos adecuados; expresar con precisión medidas de longitud, superficie, peso/masa, capacidad y tiempo. II.4) El aprendizaje de las magnitudes y la medida de magnitudes. Complejidad, dificultades y errores El aprendizaje y la construcción de las nociones numéricas y métricas constituye una de las tareas más complejas en los primeros niveles educativos. El dominio de las magnitudes y la medida de magnitudes requiere del desarrollo conjunto de nociones correspondientes al medio natural, a las ciencias experimentales, a la tecnología, a las áreas socioculturales y matemáticas, etc. La medida es el fruto de la necesidad de disponer de unos procedimientos y valores comunes para poder comparar y evaluar de manera objetiva y precisa las cantidades de magnitudes. Ya sean las magnitudes discretas (“numerosidad” o “cardinalidad”) o contínuas (longitud, masa, capacidad, etc.), la medida es el resultado de utilizar el número para cuantificar las distintas cantidades de una magnitud. Pero una cosa es el número (objeto matemático), otra la cantidad (estado de una magnitud o cualidad medible; manifestación concreta de una magnitud) y otra la medida (síntesis del número y la cantidad a través de la unidad de medida y la aritmética). El proceso lógico de desarrollo inicial de estas nociones comienza con las magnitudes o cualidades medibles discretas o separadas y continuas, se sigue con la constitución del número como síntesis de procesos lógicos sobre diferentes numerosidades o cantidades y termina con la aplicación del concepto de número para expresar de forma precisa la medida de cantidades. ETAPAS EN EL APRENDIZAJE Y CONOCIMIENTOS RELACIONADOS El proceso de aprendizaje es largo y complejo. Las principales etapas y conocimientos son las que se mencionan a continuación:

Magnitud y cantidad 1. apreciación de la cualidad o atributo comparable; estimación grosera (mucho, poco, etc.) Identificación y diferenciación entre atributos cuantificables (distinguir, a nivel intuitivo y González Marí, J. L.

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perceptivo, entre masa, longitud, superficie, capacidad, etc.). clasificación de objetos por sus cualidades y reconocimiento en un objeto de las diversas cualidades medibles (una plancha cuadrada de madera tiene longitudes, masa, superficie, volumen, etc.)). Cualidades medibles que un objeto no tiene o que no son pertinentes y las relaciones con el lenguaje ordinario (Ejemplos: el peso no se expresa en litros o el número de años en kilos) y cualidades no medibles (amor, desesperación, simpatía, color, belleza, etc.). Identificación / diferenciación, clasificación, seriación / ordenación, correspondencias en: - Atributos y propiedades no medibles (color, forma, textura, utilidad) - Atributos y propiedades medibles (diferenciación peso, longitud, etc.) y comparaciones groseras (grueso-delgado, grande-pequeño, mucho-poco) 2. comparación directa e indirecta; comparaciones aproximadas; la cantidad unitaria; Comparación perceptiva directa entre dos cantidades utilizando más y menos; comparación perceptiva entre dos cantidades utilizando el despazamiento o la traslación de objetos para comparar (emparejamiento manual; uso de un término intermedio (mano, dedo, pie, etc.); comparación entre tres cantidades; operatividad de la propiedad transitiva; idea “estar entre”. 3. seriación y ordenación de cantidades; Apreciación perceptiva de cantidades diferentes. Comparación y ordenación utilizando los términos más y menos. Seriaciones con cantidades. Ordenación parcial y total de cantidades. 4. transformación, composición, descomposición y equivalencia de cantidades Una cantidad se puede descomponer en otras más pequeñas (iguales o distintas). También se puede formar la misma cantidad pero con distinta composición y comprobar que ambas son equivalentes. La secuencia anterior, no obstante, no se puede seguir al mismo tiempo con todas las magnitudes. Así, el dominio de la longitud, la capacidad o el peso es anterior al de la superficie o el volumen. El proceso descrito se continúa con la medida propiamente dicha sobre la base de lo tratado aquí y una vez desarrolladas las nociones básicas sobre numeración, operaciones aritméticas y geometría, necesarias para medir.

Numeración y operaciones aritméticas - Lectura y escritura numérica - Secuencia numérica verbal (contar) - tipos de números. Naturales, fracciones y números decimales - operaciones aritméticas, significados y propiedades - algoritmos de las operaciones aritméticas - cálculo aritmético - estimación y aproximación en cálculo Medida y unidad de medida En este bloque se incluyen los aspectos propiamente métricos a partir del dominio de las cualidades medibles, las cantidades y su comparación. Los contenidos aquí se referirán a aquéllos aspectos en los que interviene el número y las operaciones aritméticas para obtener medidas o estimaciones más precisas. Hay que dedicar aquí una atención especial a la Unidad de Medida como solución a la necesidad de efectuar comparaciones precisas, bien utilizando una unidad arbitraria (objetual (unidad no independiente del objeto concreto a ser medido), situacional (mayor atención a la cualidad medible que al objeto) o figural (tamaño objeto – tamaño unidad), o utilizando la unidad estándar a través de la partición. En el aprendizaje de la medida de magnitudes es muy importante la noción de unidad de medida y los pasos para establecerla, que didácticamente pueden ser: 1º.- determinación experimental de la medida de una cantidad concreta (longitud, masa, etc.); 2º.- comunicación (mensaje sobre la medida obtenida para que los demás me entiendan); 3º.- validación (fabricación de un objeto equivalente a González Marí, J. L.

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esa medida o que tenga esa medida); 4º.- reflexión sobre la necesidad de una unidad de medida que reúna los requisitos de universalidad, exactitud, etc.

Instrumentos de medida Simultáneamente al tratamiento de la medida y la unidad de medida, se deben introducir y emplear de manera efectiva los instrumentos de medida, tanto los instrumentos clásicos para cada tipo de magnitud como algunas variantes o tipos de instrumentos diferentes existentes. Igualmente se deben trabajar las relaciones: Instrumentos - tipos de magnitud (no se puede medir el peso con un metro, etc.; Instrumentos equivalentes (metros (distintos tipos: carpintero, cinta métrica, etc.), balanzas (distintos tipos: platos, electrónica, romana, etc.), etc.). Los instrumentos de medida se deben utilizar, sin problemas y de acuerdo con las posibilidades de los niños. Incluso es conveniente que los más pequeños se acostumbren a manipular el metro, la balanza, etc., aunque no entiendan completamente lo que hacen o sus consecuencias. En este sentido, se favorecerá el aprendizaje de la medida de magnitudes si el alumno aprende a manejar los instrumentos de medida y a leer e interpretar los resultados en sus graduaciones. Por último, cuestiones interesantes para los alumnos de Primaria y que deberían ser contempladas en el aula, en la medida de lo posible, son: - la justificación de las graduaciones de los instrumentos de medida - el funcionamiento de los instrumentos de medida (¿cómo funciona una balanza?¿y un termómetro?. . ¿porqué? (estas cuestiones presentan aspectos que entroncan con otras áreas y con la práctica de la medición). Cálculo y expresión. Sistema Métrico decimal El dominio del sistema métrico decimal y de las operaciones con medidas se inicia en los primeros cursos de Primaria, coincidiendo con el inicio del dominio de las operaciones aritméticas. La práctica de la medida con unidades arbitrarias o no convencionales, debe ser sustituida por las unidades convencionales y la práctica de la medida debe dar paso al aprendizaje del sistema métrico decimal. También se han de trabajar aquí los múltiplos y submúltiplos de la unidad así como las equivalencias de unidades. Por otra parte es necesario desarrollar un proceso mucho más rico y diversificado sobre el cambio de unidades que vaya más allá de las meras consideraciones aritméticas (la clásica escalera de 10 en 10 para aprender los múltiplos y submúltiplos de una unidad y los ejercicios escolares clásicos para calcular equivalencias). Dicho proceso debe contemplar: a) diversificación de actividades: manipulativas (equivalencias mediante composición y descomposición de palillos, cubos, recipientes de distinta capacidad, otros materiales), verbales, geométricas (dibujos, magnitudes geométricas), de representación (gráfica, formal o icónica), entre otras. b) la utilización de unidades no convencionales (con el propio cuerpo: palmos, etc.; objetos; etc.) previamente al empleo de unidades y sistemas convencionales. c) la utilización de distintas unidades en estimación ( “de aquí a allí puede haber 8 metros o menos de un decámetro o 800 centímetros . . “). Estimación y aproximación en medida Desde el principio del tratamiento didáctico de las magnitudes y la medida se debe acostumbrar a los niños a realizar estimaciones, aunque no demuestren habilidad en las aproximaciones. Es evidente que la discusión y los sucesivos intentos en todos los ámbitos, incluidas las comprobaciones y el ensayo y error, irán conduciendo a los alumnos a construir ideas cada vez más precisas sobre la medida de las magnitudes fundamentales. Desde el punto de vista del diagnóstico, la habilidad para estimar o aproximar medidas de cantidades constituye un elemento a tener en cuenta en todas las edades. El grado de habilidad dependerá de la edad, evidentemente, y las actividades para el diagnóstico deben también estar adaptadas a las edades de los sujetos.

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Práctica de la medida y aplicación a situaciones reales La práctica de la medida se refiere a la medición real, que comienza por la decisión sobre qué instrumento es el más adecuado en cada caso (distinción entre magnitudes diferentes y adecuada elección del instrumento de medida), continúa por su utilización real (métodos usuales de medición (¿cómo se mide?)) y termina mediante la observación, lectura y el registro preciso de la medida (anotación). Aquí es importante dedicar atención al planteamiento y resolución de problemas cotidianos, al empleo real de la medida y los instrumentos de medida, a la lectura e interpretación de gráficos con medidas, al inicio de la resolución de problemas de modelización matemática, etc. DIFICULTADES Y ERRORES La complejidad de los conocimientos, como se desprende de lo tratado anteriormente, y las características del proceso educativo ordinario, que no suele tener en cuenta la mayor parte de lo mencionado, provoca numerosos errores que constituyen un verdadero reto para los maestros y responsables educativos. A modo de ejemplo podemos citar la confusión que suelen tener los alumnos entre los conceptos de perímetro y superficie, superficie y volumen o masa y volumen o las dificultades que suelen tener con las magnitudes no lineales, muy por encima de las que se detectan con las magnitudes lineales. Igualmente, se producen desajustes en las ideas de exactitud y aproximación en la medida debido a una falta de tratamiento didáctico completo y riguroso de estas cuestiones, afectando como consecuencia a las nociones sobre errores en la medición y a las capacidades de estimación en medidas.

III. UNIDADES E INSTRUMENTOS DE MEDIDA III.1) Unidades de Medida. Algunos antecedentes históricos Las necesidades comerciales obligaron desde muy antiguo a establecer unidades para medir longitudes, superficies, masas, etc. Así, la unidad de longitud en Egipto era el "codo real" (524 mm), en Grecia el "dedo" (19,3 rnm), en Roma el "pie" (25,7 rnm.). En cuanto a las unidades de masa se empleó en Babilonia la "mina" (500 g) y el "talento" en Egipto; en Roma la "libra" (327 g) que a su vez se dividía en12 “onzas ”. Durante la Edad Media se mantuvieron muchas de las unidades romanas, así en Castilla se empleaba la "libra" y el "pie". El sistema anglosajón utilizaba otras unidades tales como la "pulgada" y la "libra". Para intentar unificar las unidades en 1790, la Asamblea Nacional Francesa encargó un informe a la Academia de Ciencias de París proponiendo como unidad de longitud el "metro". Se estableció como valor para el metro el de la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. La Academia recomendó como unidad de masa (en aquella época peso) el peso del agua destilada que había en un cubo de un metro de arista. Igualmente, la mencionada Academia aprobó que para obtener unidades mayores o menores a una dada se multiplicasen o dividiesen las unidades primitivas por 10, 100 etc., con lo que se originó lo que luego se llamaría el Sistema Métrico Decimal. III.2) Unidades fundamentales. Sistema Internacional de unidades Las Unidades Fundamentales son los valores consensuados o aceptados universalmente para las unidades o cantidades unitarias de las distintas magnitudes. Deben reunir las siguientes condiciones: a) Comodidad: es decir que su orden de magnitud sea adecuado para su uso. b) Invariabilidad: se refiere a la constancia en su valor. c) Inalterabilidad: que no se altere por los agentes atmosféricos, la oxidación etc. González Marí, J. L.

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d) Reproductibilidad: conviene que las unidades elegidas sean fácilmente reproducibles para facilitar su uso en las mediciones. En 1906, la Conferencia General de Pesas y Medidas de París estableció un sistema práctico denominado "Sistema Internacional de Unidades" que fue aceptado legalmente en España con posterioridad. Veamos con más detalle cuáles son las unidades y características de este Sistema. MAGNITUD UNIDAD Longitud Metro Masa Kilogramo Tiempo Segundo Intensidad corriente eléctrica Amperio Temperatura termodinámica Kelvin Cantidad de sustancia mol Intensidad luminosa candela

SIMBOLO m Kg s A K mol cd

Hay otra serie de medidas que destacamos por su importancia: MAGNITUD Superficie Volumen Velocidad Aceleración Fuerza/peso Energía Potencia

UNIDAD Metro cuadrado Metro cúbico Metro por segundo Metro por segundo cuadrado Newton Julio Watío

SIMBOLO m2 m3 m/s m/s2 N J W

III.3.- Equivalencias de unidades Existen relaciones entre las medidas de algunas magnitudes, como ocurre con la superficie y el volumen que presentan una dependencia evidente de la longitud (toda área o medida de superficie resulta de productos de longitudes y toda medida de volumen está relacionada con la longitud y la superficie). Igualmente, la capacidad, el volumen y el peso están relacionadas. En consecuencia, las unidades de medida correspondientes presentan ciertas relaciones y equivalencias que son útiles para la resolución de problemas que involucran al sistema métrico decimal. La equivalencia más importante se da entre las unidades de capacidad, volumen y peso, de manera que para una sustancia de densidad 1 (como el agua), son equivalentes: Unidad de volumen dm3 (decímetro cúbico) ---

Unidad de capacidad l (litro)

----

Unidad de peso/masa 1 Kg (kilogramo)

III.4) Instrumentos de medida Los instrumentos de medida más usuales son: 1) Medidas de longitud: reglas para las medidas menores del metro, metros y cintas métricas para las medidas del orden de uno o varios metros. Para pequeñas mediciones de precisión se usa el calibre. 2) Medidas de masa: las medidas del orden de kilogramo se realizan en las básculas, muy usadas en el comercio. Para medidas del orden de gramo y para pequeñas masas del orden del miligramo se usan las balanzas de precisión. Hoy en día las antiguas balanzas han quedado desplazadas por las modernas balanzas electrónicas monoplano; 3) Medidas de tiempo: los relojes solares y los de arena eran los primitivos medidores del tiempo. González Marí, J. L.

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En la actualidad hay que distinguir entre dos clases de aparatos: relojes de pulsera y los cronómetros. 4) Otros aparatos de medida: - Transportador de ángulos. - Medidor de temperaturas (termómetros). - Medidas eléctricas: el polímetro permite determinar con un único aparato varias magnitudes eléctricas. Medidas de presión: se utilizan barómetros si se trata de medir la presión atmosférica - Medidas de capacidad y volúmen: probetas graduadas si se tratan de medidas del orden del litro o las pipetas graduadas para medidas del orden del mililitro. Los instrumentos de medida han cambiado mucho en los últimos años: balanzas electrónicas y digitales, metros láser, instrumentos de medida industriales, nuevos instrumentos de precisión, etc.

IV. ESTIMACIÓN Y APROXIMACIÓN EN LAS MEDICIONES IV.1 Concepto de estimación en medida Siguiendo a Chamorro (2004), llamaremos estimación de una medida a la apreciación "a ojo" de lo que una cantidad puede medir, bien directamente, bien combinada con un cálculo. Desde un punto de vista más formal, la estimación en medida consiste en la acción de valorar el resultado de una medición o una medida concreta de una manera aproximada. Al resultado de dicha actuación se le llama medida estimada o aproximada. La estimación de una medida se realiza cuando lo que se persigue no es la exactitud del resultado. Se emplea con cantidades grandes y se suele basar en el redondeo. Su utilidad es indiscutible y se debe emplear como mecanismo corrector o detector de errores. Es recomendable la realización de estimaciones antes del empleo del procedimiento estándar, tradicional o “exacto” de medir, aunque en realidad este también es aproximado. IV.2 Características de las estimaciones en medida: - Se valora la cantidad o el resultado numérico o métrico de una medida. - La persona que va a hacer la estimación tiene alguna referencia, información o experiencia sobre la situación que va a enjuiciar. - La valoración se realiza por lo general de forma mental. - Se hace con rapidez y empleando números sencillos. - El valor no es exacto pero sí es adecuado para tomar decisiones. - El valor admite distintas aproximaciones, según quién realice la estimación. Conviene practicar la estimación desde los primeros niveles escolares, pues, por un lado, no es necesario utilizar siempre unidades estándar, y, por otro, la estimación es fundamental para la comprensión del proceso de la medida. La pregunta es siempre cuántas veces cabe (o hay que repetir) tal cantidad para lograr tal otra. O a la inversa, cuántas partes iguales se pueden hacer de una cantidad que tengan un tamaño dado. Para estimar y aproximar medidas de cantidades se ha de estar previamente familiarizado con el orden de magnitud (partes en que se puede descomponer fácilmente una cantidad, tamaños relativos, comparaciones y/o unidades) y disponer de una parrilla de medidas familiares listas para su utilización. IV.3 Errores en la medición La práctica totalidad de las medidas que podemos efectuar presenta un sesgo o diferencia respecto al auténtico valor de la cantidad medida. Siempre que se hace una medida o una estimación de una González Marí, J. L.

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medida se comete un error. De la magnitud de este error dependerá el que la medida obtenida se acerque más o menos al verdadero valor o valor real. Existe una teoría de errores en medición a caballo entre las matemáticas y las ciencias experimentales que utiliza métodos estadísticos para averiguar la desviación entre el valor real y el calculado o estimado y aproximar mejor el resultado al verdadero valor de la medida. Esta teoría se basa en las siguientes consideraciones: Dos tipos de errores: a) Error absoluto: E [valor calculado - valor real] b) Error relativo: indica el grado de precisión de una medida y se calcula mediante el cociente entre el error absoluto y el valor real. Cualidades de una medida : Las dos cualidades que debe tener una medida para que su valor se aproxime al valor real son la exactitud y la precisión. La exactitud hace referencia a su proximidad al valor real de la cantidad de magnitud que se mide (Ej.: si un cuerpo tiene 52 cm y medimos 51,99 cm, nuestra medida es bastante exacta). La precisión se aplica a un conjunto de medidas y no a una sola medida, y se refiere a la reproductibi1idad de las mismas (¿se obtendrá un resultado similar en nuevas mediciones en las mismas condiciones?). Unas medidas con mucha precisión son poco “dispersas” (poca separación entre las determinaciones y con respecto al verdadero valor), siendo sus valores muy próximos. En el ejemplo anterior, unas medidas de 51.99 cm., 52.01 y 52.00 cm son poco dispersas. =

En la práctica de la medición es aconsejable la realización de varias medidas o medidas repetidas, de forma que si los resultados son reproducibles se incrementa la precisión. Así, ante un conjunto de medidas repetidas se deben emplear instrumentos estadísticos para establecer el valor que se aceptará como el mejor para la medida que se esté efectuando. Dichos instrumentos son de dos tipos: de carácter central (media aritmética o mediana del grupo de medidas obtenidas) y de dispersión del grupo de medidas ( varianza y desviación típica). Se calculan estos valores para el conjunto de medidas realizadas y se interpretan los resultados de la siguiente manera:

Cuanto menos dispersas (valores menos separados o distantes entre sí) estén las medidas efectuadas tanto mayor será la precisión. Cuanto más se acerquen los datos a la media o a la mediana del conjunto de datos tanto mejor será la exactitud.

V. RECURSOS DIDÁCTICOS E INTERVENCIÓN EDUCATIVA En la Educación Primaria se busca alcanzar una eficaz alfabetización numérica, entendida como la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números y sus relaciones, permitiendo obtener información efectiva, directamente o a través de la comparación, la estimación y el cálculo mental o escrito (MEC, 2006). Es evidente que la medida de magnitudes presenta una estrecha relación con los aspectos mencionados anteriormente. La planificación y el desarrollo didácticos en el aula de matemáticas de Primaria se deben basar en los siguientes principios y orientaciones generales: Según el Real Decreto 1513/2006, la intervención educativa tiene que fundamentarse en unos principios psicopedagógicos que pueden enmarcarse en la concepción constructivista del aprendizaje escolar, en la formación disciplinar y en el desarrollo de las competencias básicas y matemáticas, para lo que se han de tener en cuenta, entre otros aspectos: - Partir del nivel de desarrollo del alumnado, de sus conocimientos previos, intereses, curiosidades, ideas previas, estilos de aprendizaje, etc.. - Organizar cuidadosa y coherentemente, mediante una planificación previa flexible, los contenidos y las actividades en un proceso educativo en espiral, bien planificado en lo fundamental, con variedad de experiencias y actividades en situaciones diversas, motivador; con contenidos significativamente relacionados y que tenga en cuenta lo que los alumnos ya saben; - Adoptar un enfoque disciplinar en lo instrumental y globalizado e interdisciplinar en lo formativo y funcional, procurando que siempre exista relación entre el trabajo instrumental y la faceta González Marí, J. L.

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funcional del conocimiento matemático y que adopte la modelización matemática, la transversalidad y la resolución de problemas como ejes centrales del proceso; - los procesos de resolución de problemas (verdaderos problemas y no ejercicios camuflados de problemas) deben constituir uno de los ejes principales de la actividad escolar en matemáticas, puesto que se utilizan muchas capacidades básicas: leer comprensivamente, reflexionar y razonar, establecer un plan de trabajo que se va revisando y modificando si es necesario, comprobar la solución, comunicar los resultados, etc.. - Un clima adecuado para aprender, una metodología diversificada y la devolución de la responsabilidad como principios orientadores del trabajo en el aula; - Utilizar distintas metodologías de trabajo en el aula (trabajo individual para el desarrollo de determinados aprendizajes (expresión escrita, lectura, ejercicios de cálculo, etc.) y en grupos de distinto tamaño, equilibrados y diversos en cuanto a las características de sus componentes); - Propiciar en todo momento y siempre que se pueda el aprendizaje significativo y el gusto por el trabajo bien hecho creando en el aula un ambiente agradable e intelectualmente estimulante mediante experiencias adecuadas a las características e intereses de los alumnos, que constituyan retos y buenas ocasiones para la implicación personal y la generación de actitudes de indagación y descubrimiento (Goñi (2006)); - Es importante el enfoque experiencial en el aula de matemáticas, para lo que se debe prestar atención al trabajo sobre situaciones reales, material didáctico y recursos y actividades lúdicas; - La utilización reiterada de recursos del entorno y materiales didácticos manipulativos favorecen el aprendizaje y son medios interesantes para la atención a la diversidad, pues acercan los conceptos abstractos a la intuición a través de la manipulación y permiten romper la uniformidad de los procedimientos con variantes más adecuadas para algunos alumnos. - Utilizar distintos códigos y modos de expresión fomentando en todo momento la comunicación y la expresión verbal y matemática; A las consideraciones anteriores, válidas con algunos matices para todos los temas, bloques y unidades de matemáticas, hemos de añadir los siguientes principios, reflexiones y orientaciones específicas para el caso de las magnitudes y sus medidas: A) La mayor parte del currícul o de matemáti cas de Educación Primar ia está dedicada a la enseñanza de las unidades de medida, del sistema métrico decimal y de las operaciones aritméticas con medidas (lo que se cono ce como “aritmetización de la medida”), tanto en lo que se refiere a ejercicios como a problemas de enunciado verbal. Pero se echa en falta una atención especial a las siguientes cuestiones: - Relación de la medida con las materias y temas transversales; - Actividades sobre magnitudes y cantidades, en las que se comparen, se aprecie la cualidad, se distingan entre sí distintas cualidades, se diferencie la cantidad de su medida, etc. En particular es necesario dedicar un espacio mayor a las relaciones entre la superficie y el volumen como conceptos y a las relaciones entre las medidas de superficie y volumen. - Actividades de medición real y de uso de instrumentos reales de medida; - Reflexiones sobre las graduaciones de los instrumentos de medida y su funcionamiento; - Problemas reales de medida y medición. Modelización matemática sobre las magnitudes y la medida; - Uso práctico de la medida en situaciones familiares y cotidianas; - Actividades sobre estimación y aproximación de medidas con inclusión de actividades sobre errores, su estimación y cálculo; Hay razones de tipo formativo para dedicar una atención especial a los aspectos mencionados (aprender a gestionar la información; las capacidades para el desarrollo de la autonomía, facilita el razonamiento, etc.) y de tipo funcional (aprender a medir con instrumentos reales o a elegir el instrumento adecuado en cada caso influye sobre las habilidades de estimación y aproximación con González Marí, J. L.

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cantidades y medidas, desarrolla las competencias de pensar y razonar o argumentar, entre otras, y facilita la toma de decisiones en numerosas situaciones cotidianas). B) Es fundamental la Utilización de recursos, instrumentos y materiales manipulativos Siguiendo a Chamorro (2003) y a otros autores, los principales medios que se deben utilizar para el desarrollo didáctico del tema son los siguientes: 1) Materiales manipulativos No estructurado: papel (opaco, transparente y cuadriculado), cartulinas, cintas, barras, alambres; Tijeras; Clavos, tuercas, canicas; agua, arena, recipientes de distintas formas y tamaños; Troceado de folios; Didáctico estructurado: Tangrams; Policubos; Regletas encajables y de colores; Sólidos para ensamblar; bloques multibases; geoplanos; Dominós sobre el sistema métrico y unidades; Material para fracciones: Áreas incompletas y sombreado de áreas (la parte rayada representa una fracción del área total de la figura considerada como la unidad); dominós de fracciones; listones que representan las principales medidas de longitud submúltiplos del metro; Puntos y tramas isométricas;. 2) Instrumentos de medición estándar : regla graduada; cinta métrica; Cronómetros y relojes; recipientes graduados para medidas de capacidad; balanzas de platillos; balanzas graduadas; etc. Hay que precisar que lo que aquí llamamos instrumento de medición estándar, cuyas bases de funcionamiento son asequibles a nivel escolar, están dejando de serlo, ya que están siendo sustituidos por instrumentos digitalizados de funcionamiento más complejo, como ocurre con los metros-láser (Sanz, 2001). no estándar : palillos, tiras de cartón, cuadrículas, baldosas, cajitas, tazas, vasos; relojes de arena; relojes de sol; El propio cuerpo humano puede ser considerado como un recurso genérico útil para hacer estimaciones de las medidas de cantidades de cualquiera de las magnitudes, además de proporcionar unidades de medición no estándar: dedos, palmo, pie, paso, latidos del corazón, etc. 3) Recursos didácticos El ordenador, el video, el microscopio; la fotografía (estimación de volúmenes, distancias, etc.); Magnetofón con contador; instrumentos musicales (percusión, etc.); Velas de cera para arder, etc..

VI. COMENTARIOS FINALES La presente área se debe enmarcar en un enfoque pluridisciplinar y globalizado e integrador con todas las áreas del currículo. El área de matemáticas siempre ha sido y seguirá siendo, una de las áreas con más solidez en el sistema educativo, dada su importancia para resolver problemas de la vida diaria, representar la realidad, formar en autonomía y espíritu crítico a los ciudadanos, facilitar la comprensión y la manipulación de la realidad, etc. Pero su principal característica es que utiliza un lenguaje común a todos los seres humanos en el que las magnitudes, la medida de magnitudes, las unidades y los instrumentos de medida constituyen parte del patrimonio compartido de toda la humanidad. Además, las matemáticas proporcionan una manera común de comprender y organizar la realidad a través de la modelización matemática y la resolución de problemas, los significados del lenguaje matemático o el modo de hacer conjeturas y razonamientos, lo que capacitará a los alumnos/as para analizar la realidad, producir ideas y conocimientos nuevos y comunicarlos, entender situaciones nuevas y acomodarse a contextos cambiantes. Pero el reto en el área de Matemáticas en Educación Primaria consistirá más que en “facilitar el aprendizaje / enseñar ” al alumnado las magnitudes y las medidas, el uso de los instrumentos de medida adecuados o el sistema métrico decimal, en enseñarles a pensar matemáticamente: abstraer González Marí, J. L.

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y aplicar ideas matemáticas en un amplio abanico de situaciones, desarrollar las competencias básicas y matemáticas específicas e iniciarse en la resolución de problemas como fundamento para una formación personal, laboral y social de calidad y como garantía para el desarrollo de la autonomía e iniciativa personal y la continuación independiente del proceso permanente de aprendizaje en el futuro. Se trata, evidentemente, de un proceso lento cuyos resultados se irán viendo de forma progresiva a lo largo de toda la Educación Primaria.

VII. BIBLIOGRAFÍA Cascallán, M T. (2002) "Iniciación a las matemáticas. Materiales y recursos didácticos. Madrid. Aula XXI. Santillana. Castro, E. (Ed.) (2001).- Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid: Síntesis. Coriat, M (2001). Materiales didácticos y recursos. En E. Castro "Didáctica de la Chamorro, C.; Belmonte, J. (1994).- El problema de la medida. Madrid: Síntesis Chamorro, C. (coord..) (2003).- El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida. Cap. 8 en: Didáctica de las Matemáticas. Madrid: Prentice-Hall. Dickson y Brown. (1991). El aprendizaje de las Matemáticas. Barcelona: Labor. Goñi, J. M. (2006) "Matemáticas e interculturalidad". Barcelona: Graó. Hernán, F. (1988).- Recursos en el aula de Matemáticas. Madrid: Síntesis. Actividades para comprender la potencialidad del sombreado de áreas. Juegos y pasatiempos de la Colección Matemáticas, cultura y aprendizaje de la Editorial Síntesis.

VIII. REFERENCIAS LEGISLATIVAS JUNTA DE ANDALUCÍA: Orden de 10/08/2007 de la Junta de Andalucía Ley 17/2007, de 10 de diciembre, de Educación. Junta de Andalucía. MEC : MEC (2006 a) Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo de 2006, de Educación. MEC (2006, b) Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria. Ley Orgánica de Educación 2/2006 de 3 de mayo (LOE). MEC Decretos 230 y 231 de 2007, de 31 de julio, sobre ordenación y enseñanzas correspondientes a la Educación Primaria y Secundaria Obligatoria.

IX. REFERENCIAS WEB - ares.cnice.mec.es/matematicasep/index.html (proyecto cifras. Recurso didáctico que incorpora actividades específicas estructuradas por ciclos y bloques de cotenidos. - escolar.comlmenumate.htm (página con recursos sobre cómo abordar contenidos en el área de matemáticas como fracciones, números decimales, números enteros ... ) - juntadeandalucia.es/averroes/recursos/area-matematica.php3 (Página de Averroes, Red telemática Educativa de Andalucía. Recursos para el área de matemáticas.- matematicas.net/ (Página para la exposición de recursos matemáticos sirviendo de punto de unión entre profesores) - Thesaurus.maths.org (Enciclopedia de Matemáticas con numerosos enlaces) - Jgodino/edumat-maestros/welcome (Godino, J. (2004); matemáticas y su didáctica para maestros: fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, sistemas numéricos, proporcionalidad, geometría, magnitudes, etc. - Wikipedia.org/wiki/Matem% (Enciclopedia digital sobre matemáticas con numerosos enlaces). González Marí, J. L.

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