ÉLECTROTECHNIQUE
Chez le même éditeur GIANCOLI D .C ., Physique générale Vol. 1 - Mécanique et thermodynamique . Corrigé des exercices 1 Vol. 2 - Électricité et magnétisme . Corrigé des exercices 2 Vol. 3 - Ondes, optique et physique moderne . Corrigé des exercices 3 GUYON E ., BETRENCOURT C ., DEROCHE J .-C., Exploration de la matière . Structures et propriétés. Avec des exercices corrigés de physique HANUS R ., BOGAERTS P., Introduction à l'automatique . Vol. 1 - Systèmes continus HECHT E ., Physique JOURNEAUX R ., Travaux pratiques de physique. Electricité, électronique, c,- - >--,,m LIBOIS J ., Guide des unités de mesure . Un mémento pour l'étudiant SAUZADE M ., Introduction à l'électronique analogique SAUZADE M ., Introduction à l'électronique analogique . Problèmes e SERWAY R .A ., Physique Vol. 1 - Mécanique Vol . 2 - Électricité et magnétisme Vol . 3 - Optique et physique moderne VAN de VORST A ., Électromagnétisme . Champs et circuits . 2e éd . VANDER VORST A., Vanhoenacker-Janvier D., Bases de l'ingénierie m rc__~ VA' .DER VORST A., Transmission, propagation et rayonnement
ÉLECTROTECHNIQUE a
• Théodore W •
Gilbert SYBILLE
Source des photographies : ABB Asea Brown Boveri
Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : w ww .deboeck .co m
© 1978, 1991, 2000, 2005 Les Entreprises Spérika Ltée Tous droits réservés Toute reproduction en tout ou en partie de ce livre, par quelque procédé que ce soit (reprographie, photographie, microfilm, bande magnétique, disque, diapositive ou autre), sans l'autorisation expresse du propriétaire du copyright, est interdite. Diffusion exclusive pour l'Europe et l'Afrique De Boeck Et Larcier s .a ., 2005
4e édition
Département De Boeck Université Rue des Minimes 39, B-1000 Bruxelles
Imprimé au Canada Dépôt légal : Bibliothèque Nationale, Paris :juin 2005
ISBN PUL 2-7637-8185-3
Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2005/0074/151
ISBN DBU 2-8041-4892-0
AVANT-PROPOS
Lors de la préparation de cette quatrième édition du livre Électrotechnique, nous avons ajouté plusieurs sujets traitant des technologies qui ont un impact dans le domaine des courants forts . Les sept paragraphes suivants décrivent les principaux ajouts .
grammables industriels (API) sur la modernisation de l'industrie . Dans ces sections, on présente justement un cas vécu, permettant de comprendre comment le passage aux API s'est effectué dans une entrprise, ainsi que les impacts tant au niveau technique qu'au niveau sociologique .
1 . Les sections 29 .10 à 29 .13 du chapitre 29 présentent les principes fondamentaux du dimensionnement des machines électriques . On y démontre que le couple mécanique est un facteur déterminant dans la taille des machines tournantes . De plus, on constate que le rendement, le coût par kilowatt, et plusieurs autres paramètres favorisent la construction de machines et transformateurs de grande puissance .
5 . Le chapitre 42, sections 42 .61 à 42 .69, explique, de façon simple, le comportement et l'utilité du convertisseur électronique à trois niveaux ("three-level converter") . Ce nouveau type de convertisseur permet de générer une tension alternative variable à partir d'une source à courant continu fixe, tout en réduisant les distorsions harmoniques . Pour les grandes puissances, les convertisseurs à trois niveaux remplacent graduellement les convertisseurs classiques à deux niveaux .
2 . Le chapitre 31, sections 31 .16 à 31 .18, explique les propriétés et les avantages des transformateurs à haute fréquence, soit ceux fonctionnant entre 400 Hz et 100 kHz. Ces transformateurs sont utilisés dans une foule de dispositifs électroniques, comme les blocs d'alimentation à découpage électronique qui transforment la tension continue en tension alternative et vice versa .
6 . Dans le chapitre 45, sections 45 .30 à 45 .37, on présente les propriétés du vent et l'utilisation des éoliennes pour en extraire l'énergie . On y explique les différentes technologies de génération d'électricité, tout en faisant ressortir les mérites de chacune d'entre elles .
3 . Dans le chapitre 34, sections 34 .19 à 34 .22, on explique les propriétés et le comportement de la machine asynchrone à double alimentation . L'utilisation d'une fréquence fixe au stator et d'une fréquence variable au rotor permet de faire varier la vitesse de cette machine lorsqu'elle fonctionne en moteur ou en générateur. Ces machines sont utilisées depuis longtemps comme moteurs pour entraîner les pompes de grande puissance . Plus récemment, on leur a trouvé une nouvelle application comme génératrices à vitesse variable, entraînées par des éoliennes de quelques mégawatts . L'importance de cette technologie dans la production éolienne justifiait une description de ces génératrices spéciales .
7 . Le chapitre 45, sections 45 .38 à 45 .41, traite de la production décentralisée . On regroupe sous ce nom l'ensemble des sources de production d'énergie électrique de petite puissance près des centres de consommation . La production décentralisée s'est développée récemment, surtout grâce aux turbines à gaz associées à la cogénération . La cogénération permet, grâce à un échangeur de chaleur, d'extraire de l'énergie thermique des gaz d'échappement très chauds rejetés par la turbine entraînant la génératrice . L'augmentation du rendement global qui en résulte rend la cogénération attrayante pour les promoteurs privés qui peuvent vendre leurs excédents d'énergie électrique à la compagnie d'électricité locale .
4 . Le chapitre 40, sections 40 .37 à 40 .41, démontre l'impact énorme de l'introduction des automates pro-
Au cours des dernières années, les méthodes de conversion de l'énergie électrique ont progressé de façon VII
importante . Ainsi, il est étonnant de réaliser à quel point l'électronique de puissance a envahi tous les domaines de l'électrotechnique. Ce constat nous indique qu'on ne peut plus étudier isolément les machines à courant continu et à courant alternatif sans, par la même occasion, s'intéresser aux systèmes d'entraînement électronique de ces machines . Comment expliquer ces changements importants? On les attribue principalement à la disponibilité de commutateurs électroniques plus puissants comme les IGBT («Insulated Gate Bipolar Transistors»), pouvant fonctionner à des fréquences allant jusqu'à 20 kHz . Ces changements sont aussi dus à l'utilisation des thyristors et des GTO («Gate Turn-Off thyristor») pouvant porter des courants de plusieurs milliers d'ampères sous des tensions de 5 kV Enfin, ces changements s'expliquent aussi par la puissance des ordinateurs et des microprocesseurs qui exécutent des calculs en temps réel à des vitesses prodigieuses . La plupart des entraînements industriels couvrent la gamme des puissances allant de 1 kW à 500 kW qui correspond précisément à celle où la commande par IGBT est disponible . Ceci a provoqué une véritable explosion dans le remplacement des systèmes d'entraînement existants . Ces nouveaux systèmes à base d'électronique de puissance ont en effet des coûts d'entretien réduits, des rendements supérieurs et une productivité accrue . Par ailleurs, les systèmes d'entraînement à courant continu sont graduellement remplacés par des commandes de moteurs asynchrones qui offrent une réponse dynamique toute aussi performante . Tous les secteurs, tant industriels que commerciaux, sont touchés par cette révolution technologique . Grues, ascenseurs, locomotives, ventilateurs, pompes, compresseurs, lignes de production, etc ., seront donc progressivement transformés . Ce n'est pas tout . L'électronique de puissance commence à avoir un impact dans un secteur relativement stable depuis plus de 50 ans, soit le transport et la distribution de l'énergie électrique . Ainsi, dans ce secteur, les grosses machines rotatives comme les condensateurs synchrones et les convertisseurs de fréquence sont remplacées par des convertisseurs statiques qui ne contiennent aucune pièce mobile .
Ces nouvelles technologies ont permis la conception de nouveaux appareils tels que les convertisseurs statiques de grande puissance, les condensateurs à commande par thyristors et les convertisseurs pouvant remplacer les transformateurs à déphasage variable . Ces nouveaux appareils, regroupés sous la rubrique FACTS («Flexible AC Transmission Systems»), permettront aux lignes de transport et de distribution de porter des puissances accrues . De plus, à cause de leur réponse extrêmement rapide, ces convertisseurs peuvent stabiliser un réseau menacé par une perturbation intempestive . Le lecteur découvrira que, bien que ces innovations touchent un vaste champ de connaissances, le fait qu'elles reposent toutes sur une base commune, lui permettra d'apprécier la cohérence de l'électrotechnique . Par exemple, le lecteur découvrira que les technologies et les équations propres aux machines synchrones sont similaires à celles régissant le transport de puissance active et réactive sur une ligne de transport ou à travers un convertisseur électronique . Il s'ensuit que les connaissances acquises dans un secteur sont renforcées et élargies lorsque le lecteur les rencontre de nouveau dans un autre domaine . Cela lui permet de découvrir un sujet d'étude fascinant offrant un défi intellectuel enrichissant . Le lecteur constatera aussi que, malgré les profonds changements qui touchent l'électrotechnique, cette science continue à s'appuyer sur les grands principes découverts au siècle dernier. Comme dans l'édition précédente, cette quatrième édition de Électrotechnique offre une vue d'ensemble des lois fondamentales de l'électricité, des circuits électriques, des machines électriques, de l'électronique de puissance, des systèmes d'entraînement et des réseaux électriques modernes . À cette fin, la matière du livre est divisée en quatre parties : Partie I
Notions fondamentales et circuits
Partie II
Machines électriques et transformateurs
Partie III
Électronique de puissance et systèmes d'entraînement
Partie IV
Réseaux électriques
Ces grandes sections, regroupées en 50 chapitres, peuvent être abordées indépendamment les unes des autres au gré du programme d'étude suivi par l'étudiant . Nous désirons, en particulier, signaler les points suivants :
L'exposé de la matière suit une progression graduelle et fait appel à des connaissances scientifiques élémentaires . Tant dans la pratique industrielle que dans l'enseignement universitaire, notre expérience de ces deux champs d'action nous a appris qu'il n'est pas nécessaire d'avoir recours aux mathématiques avancées pour résoudre la plupart des problèmes techniques . Rares sont les techniciens et les ingénieurs qui doivent résoudre quotidiennement des problèmes impliquant le calcul intégral et les nombres complexes . Par contre, il est crucial de maîtriser les principes fondamentaux qui permettent de former un jugement technique rationnel .
A . Chaque chapitre a été réexaminé et révisé afin de clarifier les expressions et d'améliorer l'aspect pédagogique . Tous les problèmes en fin de chapitre ont été révisés et leur solution est disponible sous la forme d'un manuel du professeur . B . Le chapitre 41 consacré à l'étude des harmoniques, constitue toujours un sujet de première importance . On montre comment ceux-ci sont créés et on explique leur influence sur les condensateurs, les inductances, les câbles, les transformateurs et la qualité de l'onde . Les harmoniques sont souvent vus comme la bête noire de l'électrotechnique . Ce chapitre, unique en son genre, dissipe le mystère qui les entoure .
De par son caractère multidisciplinaire et sa présentation simple de sujets souvent complexes, ce livre suscitera un intérêt certain pour une gamme très variée de lecteurs . Il s'adresse d'abord aux étudiants, aussi bien des cégeps et des instituts de technologie que des universités, en leur offrant une information qui n'est pas toujours disponible dans les manuels spécialisés d'électrotechnique .
C . Le volumineux chapitre 42 portant sur l'électronique de puissance continue de susciter beaucoup d'intérêt . On y démontre la flexibilité extraordinaire des onduleurs autonomes et la façon dont ils génèrent des ondes de formes diverses et de fréquences variables .
Ce livre constitue également une source de référence utile aux électriciens comme aux ingénieurs dans divers domaines . Leur travail est facilité par le choix de tableaux résumant les propriétés des matériaux, par un répertoire de formules pratiques permettant des calculs rapides, et par l'explication des règles établies par les organismes de normalisation . Enfin, à une époque où l'on accorde beaucoup d'importance à la formation continue, ce livre est tout désigné pour l'autodidacte qui souhaite acquérir une connaissance générale de l'électrotechnique .
D . Le chapitre 50, intitulé «Contrôleurs statiques de réseaux», explique les nouvelles technologies qui permettent de contrôler électroniquement le flux des grandes puissances . On y discute aussi du principe des convertisseurs de fréquence . En ce qui concerne la qualité de l'onde, on discute des creux et des gonflements de tension, de l'influence des harmoniques et des tensions transitoires . Au fur et à mesure que la déréglementation de l'énergie électrique devient réalité, ces méthodes électroniques de commander les flux d'énergie deviendront de plus en plus importantes .
Pour tirer le maximum de ce livre, nous recommandons au lecteur de faire les problèmes qui se trouvent à la fin de chaque chapitre . Nous y avons utilisé une approche graduelle offrant trois niveaux d'expertise (pratique, intermédiaire, avancé) qui permettront à chaque catégorie de lecteurs d'aborder des problèmes adaptés à leurs besoins . Afin d'encourager le lecteur à résoudre ces problèmes, nous donnons les réponses à la fin du livre . À ce propos, aux niveaux intermédiaire et avancé, nous n'avons pas hésité à introduire des équations dont les calculs utilisent les logarithmes et la trigonométrie puisque les calculatrices de poche permettent de résoudre facilement ces équations .
Un traité d'électricité risquerait d'être incomplet s'il ne couvrait pas des phénomènes importants comme l'inertie des masses, la résistance des matériaux et la chaleur. Une attention particulière est donc portée sur les effets mécaniques et thermiques qui influencent le comportement de l'équipement électrique . Pour toutes les raisons énumérées précédemment nous croyons que cette nouvelle édition répondra davantage aux besoins technologiques modernes, tant au niveau théorique que pratique .
IX
Il suffit de feuilleter ce livre pour constater la place importante occupée par les photographies . Tous les appareils ou systèmes décrits sont illustrés à l'aide de schémas et de photos, les montrant en cours de montage ou en fonctionnement . Bien des gens n'ont jamais eu l'occasion de visiter une centrale nucléaire ou de voir de près l'équipement utilisé pour le transport et la distribution de l'énergie ; les photos leur permettront de juger des dimensions imposantes de ces appareils . De plus, de nombreux problèmes font référence à ces photos, ce qui les rend encore plus intéressantes .
De fait, depuis déjà des années, les suggestions et les commentaires de M . Sybille, comme collaborateur sur le fond et la forme du livre, constituent une contribution déterminante à l'aspect global de cet ouvrage . Remerciements Nous désirons remercier le professeur-ingénieur Pierre Lavoie dont les commentaires ont eu un impact important sur l'aspect pédagogique du livre . Il a vérifié tous les problèmes se trouvant en fin de chapitre et contribué de façon importante à la rédaction des solutions qui se retrouvent dans le manuel du professeur.
En résumé, ce livre utilise à la fois une approche théorique, pratique et multidisciplinaire afin de donner une connaissance globale de l'industrie électrique moderne . Ce champ en plein essor offre déjà des occasions d'emplois intéressants pour plusieurs techniciens et ingénieurs .
M . Lavoie compte plusieurs années d'expérience dans l'industrie . Il a été responsable de la mise en route d'automates programmables et il a assuré le service après vente des systèmes d'entraînement à vitesse variable . Il a aussi été ingénieur chargé des projets industriels en électricité, instrumentation et contrôle . Il a réalisé des plans et devis et a été responsable de la surveillance de chantiers (centrales hydroélectriques Alcan, etc .) . Son expérience industrielle très variée, en plus de son statut de professeur, représentent une contribution importante dans la préparation du présent ouvrage .
Nous désirons faire une dernière remarque concernant l'utilisation de ce livre. L' électrotechnique a fait un saut énorme depuis les dernières années, principalement à cause de la disponibilité des microprocesseurs et des commutateurs électroniques à haute vitesse . Il s'ensuivra maintenant une longue période de consolidation durant laquelle les machines et les appareils existants seront remplacés par des modèles plus modernes . Mais la technologie révélée dans ce livre ne changera pas de façon significative . Par conséquent, le lecteur, tout au long de sa carrière, trouvera ce livre utile non seulement comme manuel d'étude mais aussi comme livre de référence à long terme .
Mentionnons aussi les professeurs Hoang Le-Huy et Philippe Viarouge du Département de génie électrique de l'Université Laval pour leur contribution dans les chapitres sur les entraînements électroniques . Nous remercions aussi M . Michel Dostie du Laboratoire des Technologies de l'Énergie d'Hydro-Québec (LTE) pour ses commentaires et l'information qu'il nous a fournie sur la production décentralisée . Enfin, remercions M . Jean Anderson, concepteur de matériel didactique en électronique de puissance de Lab-Volt Ltée, pour ses commentaires avisés .
Coauteur Dans cette quatrième édition, le nom de Gilbert Sybille apparaît comme coauteur. Gilbert Sybille est un ingénieur professionnel comptant plus de 25 ans d'expérience au service de l'Institut de recherche d'HydroQuébec (IREQ) . Son expertise s'étend à des domaines aussi variés que la simulation des grands réseaux, l'étude et la conception des systèmes de commande et des contrôleurs statiques, la conception de logiciels utilisés pour l'étude et l'enseignement des réseaux, et de l'électronique de puissance . Il a aussi exercé au cours des années ses talents de pédagogue en donnant des cours aussi bien aux ingénieurs d'Hydro-Québec qu'aux étudiants universitaires .
Encore une fois, nous remercions Karl Wildi pour son dévouement et sa compétence en ce qui a trait à la préparation des figures et des photographies et, de façon plus générale, à tout ce qui touche la mise en forme de cet ouvrage . Nous remercions aussi les responsables des Presses de l'Université Laval et en particulier Monsieur Denis Dion et Monsieur Benoit Bernier, pour avoir appuyé la publication de cet ouvrage.
X
Louis Bélisle et Jean Lamontagne de Lumen ; Benoit Arsenault et Les Halmos de Rockwell Automation/ Allen Bradley ; Hubert Bilodeau d'Hydro-Québec .
Nous remercions les compagnies d'avoir fourni leurs catalogues, bulletins d'information et photographies illustrant leur équipement. Ces informations techniques, y compris les séminaires et visites industrielles, ont été des plus utiles pour conférer à ce livre son aspect pratique . À ce propos, nous soulignons la contribution des personnes suivantes :
Enfin, nous ne pouvons oublier la contribution prépondérante des étudiants et étudiantes : c'est grâce à leurs questions et à leurs interrogations que nous avons pu mettre en évidence, au cours des années, les vérités fondamentales de l'électrotechnique .
Contributeurs commerciaux, industriels et institutionnels : André Dupont, ingénieur conseil ; Raj Kapila, G . Linhofer, Katherine Sahapoglu et Michel Couture de ABB ; Roger Bullock, Gerry Goyette, Jim McCormick, James Nanney, Darryl J . Van Son et Roddy Yates de Baldor Electric Company ; Jacques Bédard, Guy Goupil et Michel Lessard de Lab-Volt Ltée . ; Richard B . Dubé de Général Electric Company ; Abdel-Aty Edris et Ashock Sundaram de Electric Power Research Institute (EPRI) ; Neil H . Woodley de Westinghouse Electric Corporation ; Maurice Larabie, Jean-Louis Marin et Bernard Oegema de Schneider Canada ; T.R . Daugherty de Edison Electric Institute ; Damiano Esposito et Vance E . Gulliksen de Carnival Cruise Lines ; Scott Lindsay de Daiya Control Systems ; JeanFrançois Rainville de Fluke Electronics Canada Inc . ;
Invitation Nous vous invitons à visiter le site web http ://www.wildi-theo .co m Ce site contient des informations utiles et, toutes les deux semaines, il vous propose de résoudre un nouveau problème industriel dont nous fournissons la solution . Vous pouvez aussi nous rejoindre aux adresses électroniques suivantes : w ildi@wildi-theo .com
XI
svbille.gilbert@ireq .c a
TABLE DES MATIÈRES PARTIE I
1
NOTIONS FONDAMENTALES ET CIRCUITS ÉLECTRIQUES
NOTIONS DE MÉCANIQUE ET DE THERMODYNAMIQUE
1 .1 Les unités SI 1 .2 Multiples et sous-multiples des unités 1 .3 Emploi des exposants 1 .4 Utilisation des symboles ( +) et (-) 1 .5 Force 1 .6 Couple 1 .7 Travail 1 .8 Puissance 1 .9 Puissance d'un moteur 1 .10 Énergie dans les corps en mouvement 1 .11 Énergie dans les corps immobiles 1 .12 Formes de l'énergie 1 .13 Transformation de l'énergie 1 .14 Principe de la conservation de l'énergie 1 .15 Rendement d'une machine 1 .16 Sources d'énergie primaire 1 .17 Calcul du moment d'inertie et de l'énergie cinétique de rotation 1 .18 Couple, inertie et variation de vitesse 1 .19 Vitesse de rotation et charge d'un moteur 1 .20 Échange de puissance mécanique dans un système d'entraînement 1 .21 Changement de vitesse d'un moteur entraînant une charge 1 .22 Moteurs et entraînements linéaires
1 1 2 2 2 3 4 4 5 5 6 7 7 8 8 8 9
23 24 24
2 NATURE DE L'ÉLECTRICITÉ 2 .1 Nature de la matière 2 .2 Attraction entre atomes et molécules 2 .3 Structure atomique 2 .4 Dimensions de l'atome 2 .5 Électrons libres 2 .6 Conducteurs et isolants 2 .7 Distribution des électrons libres 2 .8 Sources d'électricité 2 .9 Courant électrique 2 .10 Sens du courant 2 .11 Protons et neutrons 2 .12 Résumé Problèmes - Chapitre 2
27 27 27 28 28 29 29 29 30 30 31 31 31 33
3 3 .1
10 12 13 14 14 14
THERMODYNAMIQUE
1 .23 Chaleur et température 1 .24 Échelles de température 1 .25 Chaleur requise pour chauffer un corps 1 .26 Rendement d'une turbine à vapeur 1 .27 Transport de la chaleur 1 .28 Propagation de la chaleur par radiation 1 .29 Calcul des pertes par radiation 1 .30 Transport par conduction 1 .31 Calcul des pertes par conduction 1 .32 Transport de la chaleur par convection 1 .33 Calcul des pertes par convection 1 .34 Conversion des unités 1 .35 Mesures en valeurs relatives, système p .u . 1 .36 Système p .u. à base unique 1 .37 Système de mesure p .u . à deux bases
1 .38 Système de mesure p .u . à trois bases 1-39 Résumé Problèmes -Chapitre 1
15 16 16 17 17 17 18 18 19 20 20 21 22 22 23
34
Production d'électricité, différence de potentiel 3 .2 Unité de différence de potentiel 3 .3 Polarité 3 .4 Charges électriques 3 .5 Courant dans un conducteur et dans une source 3 .6 Analogie hydraulique 3 .7 Unité d'intensité de courant 3 .8 Mesures d'une intensité de courant et d'une tension 3 .9 Loi d'Ohm 3 .10 Unité de résistance 3 .11 Application de la loi d'Ohm 3 .12 Résumé Problèmes - Chapitre 3
39 39 40 40 41 42
4
PUISSANCE ET ÉNERGIE ÉLECTRIQUE
44
4.1 4.2 4 .3 4 .4 4 .5
Circuit électrique Puissance électrique Expression de la puissance Puissance d'une génératrice Puissance dissipée dans les fils conducteurs (effet Joule) Pertes dans les lignes de transport Chute de tension dans les lignes de transport
44 44 45 45
4 .6 4 .7 XII
LOI D'OHM
34 34 35 35 35 38 38
46 46 46
4 .8 4 .9 4 .10
Puissance fournie à la charge Cas d'un court-circuit Charges conçues pour produire de la chaleur 4 .11 Distinction entre «source» et «charge» 4 .12 Énergie électrique 4 .13 Emmagasinage de l'énergie 4 .14 Résumé Problèmes - Chapitre 4 5
CIRCUITS SIMPLES À COURANT CONTINU
5 .1 5 .2
Groupement en série Groupement de résistances en série ; résistance équivalente 5 .3 Groupement en parallèle 5 .4 Groupement de deux résistances en parallèle 5 .5 Montage en parallèle ; résistance équivalente 5 .6 Répartition du courant dans un groupement parallèle 5 .7 Court-circuit 5 .8 Groupement de trois ou plusieurs résistances en parallèle 5 .9 Conductance 5 .10 Groupement série-parallèle 5 .11 Résumé Problèmes - Chapitre 5 6
APPAREILS DE MESURE À COURANT CONTINU
6 .1 6 .2
Le mouvement d'Arsonval Mesure des courants intenses ; ampèremètre 6 .3 Remarques sur les shunts 6 .4 Voltmètre 6 .5 Sensibilité d'un voltmètre 6 .6 Précision d'un voltmètre 6 .7 Ohmmètre 6 .8 Mégohmmètre (Megger) 6 .9 Pont de Wheatstone 6 .10 Résumé Problèmes - Chapitre 6 7
7 .1 7 .2 7 .3
CONVENTIONS DE SIGNES POUR TENSIONS ET COURANTS
Cas des distances Addition de distances négatives et positives Méthode des deux indices
47 47 47 48 48 49 49 50
7 .4 Graphique d'une tension alternative 7 .5 Addition de tensions positives et négatives 7 .6 Courants positifs et courants négatifs 7 .7 Méthode des polarités 7 .8 Taux de variation d'une tension 7 .9 Expression du taux de variation 7 .10 Niveau de potentiel 7 .11 Résumé Problèmes - Chapitre 7 8
51
51 52 53 54 55 55 56 56 57 57 58 59
61
61 62 63 64 65 66 66 67 67 68 68
70
70 70 71
SOLUTIONS DES CIRCUITS À COURANT CONTINU
Première loi de Kirchhoff (concernant les tensions) 8 .2 Deuxième loi de Kirchhoff (concernant les courants) 8 .3 Application pratique aux circuits 8 .4 Théorème de Thévenin 8 .5 Courants de maille 8 .6 Théorème de superposition 8 .7 Utilisation de la méthode des deux indices 8 .8 Tension entre deux points d'un circuit 8 .9 Utilisation de la notation hybride 8 .10 Résumé Problèmes - Chapitre 8
71 72 74 75 76 77 78 79 80
81
8 .1
9
ISOLANTS
9 .1 9 .2 9 .3 9 .4 9 .5 9 .6 9 .7 9 .8 9 .9 9 .10 9 .11
Conducteurs et isolants Comparaison des résistivités Types d'isolants Isolants solides Isolants liquides Isolants gazeux Détérioration des isolants organiques Durée de vie de l'équipement électrique Classification thermique des isolants Résistivité électrique des isolants Rigidité diélectrique - phénomène de claquage 9 .12 Ionisation d'un gaz 9 .13 Conductivité thermique 9 .14 Résumé Problèmes - Chapitre 9 10 10.1
10.2 10.3 10.4 10.5
81 84 85 86 88 89 90 92 92 93 93 96
96 96 97 97 99 99 99 100 100 100 100 102 104 105 105
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES
106
Bons conducteurs Conducteurs résistifs Formes des conducteurs Mils Circular mil, conducteurs ronds
106 106 106 107 107
10 .6 Les conducteurs ronds, jauge AWG 10 .7 Câbles toronnés 10 .8 Fils de section carrée 10 .9 Résistance d'un conducteur 10 .10 Variation de la résistance avec la température
107 109 109 109
PILES PRIMAIRES
11 .7 11 .8 11 .9 11 .10 11 .11
111
PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES DES CONDUCTEURS
10 .11 Résistance à la traction 10 .12 Traction et allongement
138 138 138 139 139
PILES SECONDAIRES
112 112
11 .12 Rendement d'une pile secondaire 11 .13 Production d'hydrogène 11 .14 Pile au plomb - théorie de fonctionnement 11 .15 Caractéristiques d'une pile au plomb 11 .16 Entretien d'une batterie 11 .17 Pile au nickel-cadmium 11 .18 Piles primaires et secondaires spéciales
ISOLEMENT DES CONDUCTEURS
10 .13 Types d'isolants 10 .14 Capacité thermique des conducteurs 10 .15 Code régissant les installations électriques 10 .16 Comparaison de divers conducteurs 10 .17 Échauffement rapide des conducteurs facteur izt 10 .18 Le rôle des fusibles 10 .19 Conducteurs liquides, électrolytes 10 .20 Résistance du sol 10.21 Résistance entre deux électrodes de terre 10.22 Mesure de la résistance d'une électrode de terre
Polarisation Pile au carbone-zinc Pile au mercure Pile alkalino-manganèse Durée de vie d'une pile primaire
114 114 114 115
139 139 140 141 141 142 143
PILES À COMBUSTIBLE
116 119 119 120 121
11 .19 Pile à combustible 11 .20 La pile à hydrogène-oxygène 11 .21 Types de piles à combustibles 11 .22 Résumé Problèmes - Chapitre 11
145 146 146 147 147
121
12
149
10 .23 Classes de résistances 10 .24 Résistances à basse température (155 °C et moins) 10 .25 Résistances à température moyenne (275 °C à 415 °C) 10 .26 Radiateurs de plinthe 10 .27 Résistances à haute température (600 °C et plus) 10 .28 Température de fusion 10 .29 Construction et comportement des fusibles 10 .30 Résistance de contact 10 .31 Résistances non linéaires 10 .32 Le thermistor 10 .33 Le varistor 10 .34 Résumé Problèmes - Chapitre 10
122
11
PILES ET ACCUMULATEURS
11 .1 11 .2 11 .3 11 .4 11 .5 11 .6
Principe d'une pile Théorie de fonctionnement Résistance interne Décharge d'une pile Capacité d'une pile Couplage des piles
132 132 133 134 135 135 136
MAGNÉTISME
12 .1 12 .2 12 .3 12 .4 12 .5 12 .6
Aimants naturels, aimants artificiels Orientation des aimants Attraction et répulsion Lignes de force Sens des lignes de force Détermination du spectre magnétique à l'aide de limaille de fer 12 .7 Prédétermination du spectre magnétique 12 .8 Flux magnétique (0) 12 .9 Densité de flux magnétique (B) 12 .10 Aimantation par influence 12 .11 Effet du fer doux sur un champ magnétique 12 .12 Nature du ferromagnétisme 12 .13 Théorie des domaines 12 .14 Aimantation rémanente 12 .15 Aimants permanents 12 .16 Résumé Problèmes - Chapitre 12
RÉSISTANCES
122 122 124 124 125 125 126 127 127 127 128 128
XIV
13
COURANTS ÉLECTRIQUES ET CHAMPS MAGNÉTIQUES
13 .1 13 .2 13 .3 13 .4
Principes de l'électromagnétisme Champ magnétique créé par un courant Forme et sens du champ Densité de flux
149 150 150 150 151 151 151 152 152 153 153 154 154 156 156 156 157
158 158 158 159 159
13 .5 13 .6
Champ créé par plusieurs conducteurs Champ produit par un courant dans une spire 13 .7 Force magnétomotrice (FMM) 13 .8 Champ d'un solénoïde (bobine longue) 13 .9 Règle de la main droite pour un solénoïde 13 .10 Comparaison des champs produits par un aimant et un solénoïde à noyau d'air 13 .11 Électro-aimants 13 .12 Applications des électro-aimants 13 .13 Calcul des bobines pour électro-aimants 13 .14 Résumé Problèmes - Chapitre 13
160
14 14 .1
170
CIRCUITS MAGNÉTIQUES
Champ magnétique à l'intérieur d'un tore 14 .2 Perméabilité magnétique 14 .3 Explication de la perméabilité 14 .4 Perméabilité relative 14 .5 Courbe de saturation du fer 14 .6 Densité de flux (B) 14 .7 Champ magnétique (H) 14 .8 Courbe d'aimantation B-H du vide 14 .9 Courbe d'aimantation B-H d'un matériau magnétique 14 .10 Détermination de la perméabilité relative 14 .11 Analogie entre circuits électriques et circuits magnétiques 14 .12 Solution des circuits magnétiques simples 14 .13 FMM de même sens et de sens contraires 14 .14 Flux de fuite 14 .15 Le SI, le système CGS et le système anglais 14 .16 Résumé Problèmes - Chapitre 14
161 162 162 163 163 163 164 166 168 168
176 176
Énergie magnétique dans l'air Énergie magnétique dans un matériau magnétique Force d'attraction agissant sur un matériau magnétique Densité de flux rémanent et champ coercitif Types d'aimants permanents FMM et flux d'un aimant permanent
186
15 .4 15 .5 15 .6
198
FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
TENSION INDUITE DANS UN CONDUCTEUR
Tension induite dans un conducteur Valeur de la tension induite Tension induite dans un conducteur rectiligne 17 .4 Polarité de la tension induite 17 .5 Conducteur fermé sur une résistance 17 .6 Forme d'onde de la tension induite 17 .7 Tension induite dans un cadre 17 .8 Courbe de la tension induite 17 .9 Courbe de la tension induite en fonction du temps 17 .10 Cycle et fréquence 17 .11 Valeur de la tension induite 17 .12 Alternateur à cadre tournant 17 .13 Génératrice à courant continu 17 .14 Amélioration de la forme d'onde 17 .15 Différence entre un alternateur et une dynamo 17 .16 Résumé Problèmes - Chapitre 17
183 183 184
15 .1 15 .2
16 16 .1
17 .1 17 .2 17 .3
178 182 182
186
191 192
17
178
HYSTÉRÉSIS ET AIMANTS PERMANENTS
Produit énergétique Calcul d'un aimant permanent Variation du champ avec le temps et la température - point de Curie 15 .10 Aimantion et désaimantation d'un aimant permanent 15 .11 Conversion de l'énergie mécanique en énergie magnétique 15 .12 Cycle d'hystérésis 15 .13 Pertes par hystérésis 15 .14 Pertes par hystérésis dues à la rotation 15 .15 Résumé Problèmes - Chapitre 15
Sens de la force agissant sur un conducteur rectiligne 16 .2 Intensité de la force 16 .3 Électrons et champ magnétique 16 .4 Force entre deux conducteurs 16 .5 Cas d'un cadre rectangulaire 16 .6 Conséquences des forces entre les courants 16 .7 Applications des forces électromagnétiques 16.8 Résumé Problèmes - Chapitre 16
170 172 172 173 173 174 175 175
15
15 .3
15 .7 15 .8 15 .9
187 187 188 189 190 Xv
193 193 193 194 194 196 196 197
198 199 200 201 202 203 204 205 205
208 208 209 210 210 211 212 212 214 214 214 215 215 216 218 218 219 219
18 18 .1 18 .2
INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
220
Loi de l'induction électromagnétique Application 1 - Induction dans une bobine 18 .3 Application 2 - Tension induite dans un cadre 18 .4 Application 3 - Induction mutuelle 18 .5 Application 4 - Générateur à réluctance variable 18 .6 Champ magnétique et champ électrique 18 .7 Polarité de la tension induite - Loi de Lenz 18 .8 Méthode de mesure du flux 18 .9 Tension appliquée et tension induite dans une bobine 18 .10 Résumé Problèmes - Chapitre 18
220
19
230
INDUCTANCE
19 .1 19 .2 19 .3 19 .4
Inductance mutuelle - le henry Self-inductance Polarité de la tension induite Énergie emmagasinée dans le champ magnétique d'une bobine 19 .5 Fermeture d'un circuit inductif 19 .6 Constante de temps 19 .7 Forme de la courbe exponentielle 19 .8 Ouverture d'un circuit inductif 19 .9 Méthodes de suppression des arcs 19 .10 Courant dans une inductance
20 .7 20 .8
Augmentation de la tension 252 Transfert de charges par contact 252 mécanique 20 .9 Transfert de charges à l'aide d'une source de tension 253 20 .10 Distribution des charges sur deux sphères conductrices 254 255 20 .11 Champ et lignes de force électriques 20 .12 Spectres électriques 255 20 .13 Ionisation - applications et inconvénients 256 20 .14 Phénomènes atmosphériques 259 260 20 .15 Paratonnerres 20 .16 Éclairs et lignes de transport 260 20 .17 Tension de tenue aux ondes de choc, BIL 261 20 .18 Résumé 262 Problèmes - Chapitre 20 262
221 221 222 222 223 224 226 227 229 229
21 21 .1 21 .2 21 .3 21 .4
230 231 232 233 234 235 237 238 238 240
21 .5 21 .6 21 .7 21 .8 21 .9 21 .10
FORMULES POUR CALCUL D'INDUCTANCES
19 .11 Bobine à noyau de fer ayant un entrefer 19 .12 Bobine toroïdale à noyau d'air 19 .13 Bobine à noyau d'air 19 .14 Rouleau de fil à noyau d'air 19 .15 Deux conducteurs parallèles 19 .16 Deux barres omnibus parallèles 19 .17 Deux conducteurs concentriques 19 .18 Résumé Problèmes - Chapitre 19
243 243 243 244 244 244 245 245 246
20 20 .1
250
20 .2 20 .3 20 .4 20 .5 20 .6
PHÉNOMÈNES ÉLECTROSTATIQUES
Le coulomb - unité de quantité d'électricité Électrons libres dans un métal Transfert de charges et d .d .p . Forces et énergie électrostatiques Décharge des corps Conversion de l'énergie mécanique en énergie électrostatique
21 .11 21 .12 21 .13 21 .14 21 .15 21 .16 21 .17 21 .18
CAPACITANCE
264
Unité de capacitance - le farad Formes de condensateurs Constante diélectrique Tension de service, capacitance et dimensions d'un condensateur Condensateurs en parallèle et en série Énergie dans un condensateur Condensateurs au papier, au plastique et à l'huile Condensateurs au plastique métallisé Condensateurs électrolytiques Condensateurs électrolytiques à courant alternatif Charge d'un condensateur Décharge d'un condensateur Constante de temps Courbes de charge et de décharge Loi fondamentale pour un condensateur Tension variable sur un condensateur Applications des condensateurs Condensateurs fonctionnant à courant alternatif
264 265 266 266 267 268 268 268 269 270 270 270 271 271 272 274 274 275
FORMULES POUR CALCUL DE CAPACITANCES
21 .19 Capacitance de deux fils parallèles 21 .20 Capacitance d'un câble coaxial 21 .21 Capacitance d'une sphère par rapport à une surface plane 21 .22 Résumé Problèmes -Chapitre 21
250 250 250 251 251 252 Xvi
276 276 277 277 279
22
22 .1
CIRCUITS SIMPLES À COURANT ALTERNATIF
Forme d'onde sinusoïdale
23 .16 Division de deux vecteurs 311 23 .17 Impédance d'un circuit 311 23 .18 Impédance vectorielle d'une résistance 312 23 .19 Impédance vectorielle d'une réactance inductive 312 23 .20 Impédance vectorielle d'une réactance capacitive 312 23 .21 Résumé 312 Problèmes - Chapitre 23 313
280 280
CIRCUIT RÉSISTIF
22 .2 22 .3 22 .4
Circuit résistif Puissance dissipée dans une résistance Valeur efficace d'une tension ou d'un courant sinusoïdal
281 282 283
CIRCUIT CAPACITIF
22 .5 22 .6 22 .7
Circuit capacitif Réactance capacitive Puissance réactive dans un condensateur : le var capacitif
285 286
24
SOLUTIONS DES CIRCUITS À COURANT ALTERNATIF
316
287
24 .1 24 .2
Impédance d'un circuit Puissance apparente
316 317
CIRCUIT INDUCTIF
22 .8 Circuit inductif 22 .9 Réactance inductive 22 .10 Puissance réactive dans une bobine : le var inductif 22.11 Comparaison entre les circuits R, L et C 22.12 Valeur moyenne d'un courant ou d'une tension périodique 22.13 Valeur efficace d'un courant ou d'une tension périodique 22 .14 Temps, fréquence et l'angle 0 22 .15 Expressions généralisées d'une tension sinusoïdales 22 .16 Expressions avec angles en radians 22 .17 Résumé Problèmes - Chapitre 22
296 296 296
23
DIAGRAMMES VECTORIELS
299
23 .1 23 .2 23 .3 23 .4 23 .5 23 .6
Somme de deux courants sinusoïdaux Concept de vecteur tournant Représentation d'une tension sinusoïdale Représentation de plusieurs vecteurs Addition de vecteurs Vecteurs négatifs et soustraction de vecteurs Vecteurs «détachés» Vecteurs et phaseurs
299 300 301 303 303
23 .7 23 .8
SOLUTION DES CIRCUITS PAR LA MÉTHODE GRAPHIQUE (MÉTHODE 1)
288 289
24 .3 Solution graphique d'un circuit parallèle 317 24 .4 Solution graphique d'un circuit série 318 24 .5 Solution graphique d'un circuit mixte 319
290 291
SOLUTION DES CIRCUITS SIMPLES À L'AIDE DE FORMULES (MÉTHODE 2)
291 24 .6
Formules donnant l'impédance de deux éléments en série 24 .7 Formules donnant l'impédance de deux éléments en parallèle 24 .8 Circuits résonnants, fréquence de résonance 24 .9 Circuits résonnants série et parallèle
293 294 294
319 321 322 323
SOLUTION DES CIRCUITS PAR LE CALCUL VECTORIEL (MÉTHODE 3)
24 .10 Représentation vectorielle des éléments R, XL , Xc 24 .11 Relation entre tension, courant et impédance 24 .12 Impédances des circuits série, parallèle et mixte 24 .13 Résolution de circuits quelconques 24 .14 Notation hybride 24 .15 Résumé Problèmes - Chapitre 24
304 304 305
325 326 327 327 329 330 331
CALCUL VECTORIEL
23 .9 Représentation polaire d'un vecteur 23 .10 Représentation rectangulaire d'un vecteur 23 .11 Conversion polaire = rectangulaire 23 .12 Conversion rectangulaire = polaire 23 .13 Conjugué d'un vecteur 23 .14 Addition des vecteurs 23 .15 Multiplication des vecteurs
306
25
PUISSANCE ACTIVE, RÉACTIVE ET APPARENTE
307 308 308 309 309 310
25 .1 25 .2 25 .3 25 .4 25 .5
Notions préliminaires Sources et charges actives Sources et charges réactives Mesure de la puissance active et réactive Charges active et réactive - puissance apparente
XVI I
334
334 335 335 337 338
25 .6 25 .7 25 .8 25 .9 25 .10 25 .11 25 .12 25 .13
Facteur de puissance Amélioration du facteur de puissance Systèmes comprenant plusieurs charges Résolution des circuits par la méthode des puissances Transport de puissances P et Q entre deux sources de tension Valeur de la puissance active Valeur de la puissance réactive Commande des puissances active et réactive
339 340 342
345 346 346 347
25 .14 Puissances sous forme vectorielle 25 .15 Sens arbitraires des courants : effet sur les diagrammes vectoriels 25 .16 Résumé Problèmes - Chapitre 25
350
26
356
CIRCUITS TRIPHASÉS
Alternateur diphasé Alternateur triphasé Montage en étoile Propriétés du montage en étoile Charges raccordées en étoile et en triangle 26 .6 Puissance transportée par une ligne triphasée 26 .7 Résolution des circuits triphasés 26 .8 Charges industrielles 26 .9 Séquence des phases 26 .10 Détermination de la séquence des phases 26 .11 Mesure de la puissance active (circuits triphasés à 3 fils) 26 .12 Mesure de la puissance active (circuits triphasés à 4 fils) 26 .13 Mesure de la puissance réactive 26 .14 Puissance instantanée d'un circuit triphasé 26 .15 Mesure de la puissance instantanée 26 .16 Résumé Problèmes - Chapitre 26 PARTIE II
27
GÉNÉRATRICES À COURANT CONTINU
27 .1 27 .2 27 .3
352 353 353
356 357 358 359 361 363 364 365 367 369 369 371 371 371 372 372 373
MACHINES ÉLECTRIQUES ET TRANSFORMATEURS
CONSTRUCTION D'UNE GÉNÉRATRICE À C .C .
Inducteur Induit Collecteur et balais
Enroulement imbriqué Position des balais et zones neutres Génératrices multipolaires
380 382 382
PROPRIÉTÉS D'UNE GÉNÉRATRICE À C.C .
343
CALCUL VECTORIEL
26 .1 26 .2 26 .3 26 .4 26 .5
27 .4 27 .5 27 .6
27 .7 Valeur de la tension induite 27 .8 Réaction d'induit 27 .9 Pôles de commutation 27 .10 Génératrice à excitation séparée 27 .11 Fonctionnement à vide 27 .12 Génératrice à excitation shunt 27 .13 Réglage de la tension 27 .14 Génératrice en charge 27 .15 Génératrice compound additive 27 .16 Génératrice compound différentielle 27 .17 Caractéristiques en charge 27 .18 Spécifications d'une génératrice 27 .19 Commutation du courant de charge 27 .20 Résumé Problèmes - Chapitre 27
384 384 386 387 387 387 388 389 390 391 391 391 391 393 394
28
MOTEURS À COURANT CONTINU
396
28 .1 28 .2 28 .3 28 .4 28 .5
Force contre-électromotrice Accélération du moteur Expression du couple Expression de la vitesse Réglage de la vitesse par la tension de l'induit Réglage de la vitesse par le flux de l'inducteur Marche du moteur shunt en charge Démarrage d'un moteur shunt Démarreur manuel pour moteur shunt Moteur série Réglage de la vitesse d'un moteur série Emploi du moteur série Moteur compound Inversion du sens de rotation Énergie cinétique de rotation et arrêt d'un moteur Freinage dynamique Freinage par inversion Constante de temps mécanique d'un système de freinage Enroulement de compensation Moteurs à aimant permanent
396 397 398 401
28 .6 28 .7 28 .8 28 .9 28 .10 28 .11 28 .12 28 .13 28 .14 28 .15 28 .16 28 .17 28 .18 28 .19 28-20
377
401 403 404 404 405 405 406 407 407 408 408 409 410 411 412 413
PRINCIPES FONDAMENTAUX DES ENTRAÎNEMENTS ÉLECTRIQUES
377 28 .21 Les quatre quadrants de fonctionnement 378 28 .22 Courbe du couple en fonction de la 379 vitesse XVIII
414 416
28 .23 Courbes T - n relatives 28-24 Résumé Problèmes -Chapitre 28 29
PERTES, ÉCHAUFFEMENT ET RENDEMENT DES MACHINES ÉLECTRIQUES
29 .1 Pertes mécaniques 29 .2 Pertes électriques dans les conducteurs 29 .3 Pertes électriques dans le fer 29 .4 Courants de Foucault dans un noyau stationnaire 29 .5 Variation des pertes avec la charge 29 .6 Puissance et capacité de surcharge 29 .7 Courbe de rendement 29 .8 Normes d'échauffement 29 .9 Mesure de l'échauffement
416 419 419
TRANSFORMATEURS UTILISÉS EN PRATIQUE
30 .11 Transformateur idéal comportant un noyau réel 30 .12 Transformateur idéal à couplage partiel 30 .13 Réactances de fuite au primaire et au secondaire 30 .14 Circuit équivalent d'un transformateur 30 .15 Simplification du circuit équivalent 30 .16 Construction du transformateur 30 .17 Marques de polarité d'un transformateur de puissance 30 .18 Test de polarité 30 .19 Réglage de la tension ; transformateur à rapport variable 30 .20 Courbe de saturation et tension d'utilisation 30 .21 Pertes, rendement et capacité d'un transformateur 30 .22 Refroidissement des transformateurs 30 .23 Application du système p .u . aux transformateurs 30 .24 Impédances d'un transformateur exprimées en p .u. 30 .25 Mesure des impédances d'un transformateur 30 .26 Transformateurs en parallèle 30 .27 Résumé Problèmes - Chapitre 30
422 422 422 423 425 426 426 426 427 430
FACTEURS AFFECTANT LA GROSSEUR ET LE RENDEMENT DES MACHINES ÉLECTRIQUES
29 .10 Impact de la tension nominale sur les dimensions 29 .11 Variation des dimensions et du rendement en fonction de la puissance nominale 29 .12 Variation des dimensions avec la vitesse nominale 29 .13 Couple nominal et dimsions d'une machine 29 .14 Résumé Problèmes - Chapitre 29
431
431 434 435 436 437
440 440 30 .1 Tension induite dans une bobine 30 .2 Tension appliquée et tension induite 441 30 .3 Transformateur élémentaire 442 30 .4 Marques de polarité d'un transformateur 443 443 30 .5 Propriétés des marques de polarité 30
TRANSFORMATEURS
TRANSFORMATEURS SPÉCIAUX
31 .1 31 .2 31 .3
Transformateur à secondaire double Autotransformateur Transformateur conventionnel monté en autotransformateur Transformateurs de tension Transformateurs de courant Transformateur de courant toroïdal Danger lorsque le secondaire d'un transformateur de courant est ouvert Autotransformateur variable Transformateurs à haute impédance Transformateurs pour fours à induction Transformateur à 3 enroulements Transformateurs ayant un courant magnétisant important Modèle de transformateur spécial Analyse d'un transformateur spécial lorsque le rapport des nombres de spires est inconnu
31 .4 31 .5 31 .6 31 .7
LE TRANSFORMATEUR IDÉAL
Le transformateur idéal à vide ; rapport de transformation 30 .7 Transformateur idéal en charge ; rapport des courants 30 .8 Conventions et représentation symbolique d'un transformateur idéal 30 .9 Rapport d'impédance 30 .10 Déplacement des impédances du secondaire au primaire et vice versa
31
30 .6
444
31 .8 31 .9 31 .10 31 .11 31 .12
445 446 448
31 .13 31 .14
449
XIX
451 453 454 455 456 458 459 460 461 461 462 465 467 468 470 473 475 475 478 478 479 480 482 483 485 486 486 487 489 490 492 492
494
31 .15 Circuit couplé généralisé 31 .16 Transformateurs à haute fréquence 31 .17 Bloc d'alimentation conventionnel 31 .18 Alimentation à découpage 31 .19 Résumé Problèmes - Chapitre 31
496 497 498 498 501 501
TRANSFORMATEURS TRIPHASÉS
504
Montage triangle-triangle Montage triangle-étoile Montage étoile-triangle Montage étoile-étoile Montage en triangle ouvert Transformateurs triphasés Autotransformateur survolteur dévolteur et puissance intrinsèque 32 .8 Déphasage des tensions des transformateurs 32 .9 Transformation triphasé-hexaphasée 32 .10 Transformation triphasé-diphasé 32 .11 Transformateur à déphasage variable 32 .12 Régulation de tension 32 .13 Transformation d'une charge monophasée en triphasée 32 .14 Marques de polarité des transformateurs triphasés 32 .15 Résumé Problèmes - Chapitre 32
504 505 507 507 507 508
33
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
524
33 .1 33 .2
Parties principales Principe de fonctionnement du moteur asynchrone Champ tournant Sens de rotation Nombre de pôles - vitesse synchrone Démarrage du moteur à cage d'écureuil Accélération du rotor et glissement Moteur en charge Glissement et vitesse de glissement Tension et fréquence induites dans le rotor Caractéristiques des moteurs à cage d'écureuil Calcul approximatif des caractéristiques d'un moteur Cheminement de la puissance active Courbes du couple en fonction de la vitesse
524
32
32 .1 32 .2 32 .3 32 .4 32 .5 32 .6 32 .7
33 .3 33 .4 33 .5 33 .6 33 .7 33 .8 33 .9 33 .10 33 .11 33 .12 33 .13 33 .14
33 .15 Effet de la résistance du rotor 33 .16 Moteur à rotor bobiné 33 .17 Bobinages triphasés 33 .18 Principe du moteur linéaire 33 .19 Moteur d'induction linéaire 33 .20 Déplacement d'un champ magnétique linéaire 33 .21 Propriétés du moteur linéaire 33 .22 Sustentation magnétique 33 .23 Résumé Problèmes - Chapitre 33 34
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
34 .1 Standardisation et classification des moteurs asynchrones 34 .2 Classification selon les conditions environnementales 34 .3 Classification selon les caractéristiques électriques et mécaniques 34 .4 Grosseur des moteurs 34 .5 Choix de la vitesse des moteurs asynchrones 34 .6 Moteurs à deux vitesses 34 .7 Moteur asynchrone fonctionnant comme frein 34 .8 Effets de l'inertie 34 .9 Freinage par courant continu 34 .10 Conditions anormales de fonctionnement 34 .11 Surcharge mécanique 34 .12 Variation de la tension d'alimentation 34 .13 Rupture d'un fil d'alimentation 34 .14 Variation de la fréquence 34 .15 Moteur asynchrone fonctionnant comme génératrice 34 .16 Convertisseur de fréquence 34 .17 Caractéristique couple/vitesse complète d'une machine asynchrone 34 .18 Expression du couple en fonction de la vitesse
509 512 513 513 515 517 519 521 521 522
527 527 530 530 531 532 532 532
538 542 543 546 547 547 548 550 551 551
556
556 556 558 559 559 560 562 563 563 564 564 564 565 565 566 568 570 570
LA MACHINE ASYNCHRONE À
533
DOUBLE ALIMENTATION
34 .19 Moteur asynchrone à double alimentation 34 .20 Moteur à double alimentation en mode sous-synchrone .21 Moteur à double alimentation en 34 mode hyper-synchrone
534 535 536 539 XX
574 576 576
34 .22 Générateur asynchrone à double alimentation 34 .23 Résumé Problèmes -Chapitre 34 35
LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
35 .1 35 .2
Le moteur à rotor bobiné Diagramme vectoriel d'un moteur asynchrone 35 .3 Puissances électrique, mécanique et thermique 35 .4 Puissance transmise au rotor et puissance mécanique 35 .5 Couple et vitesse de décrochage et couple de démarrage 35 .6 Circuits équivalents de deux moteurs industriels 35 .7 Moteur de 5 hp : calcul des grandeurs lors du décrochage 35 .8 Courbe du couple en fonction de la vitesse 35 .9 Propriétés d'une génératrice asynchrone 35 .10 Mesure des paramètres
36 36 .1
585 585 588 589 589 590 591 591 592 593 595
VARIATION DE LA VITESSE D'UN MOTEUR ASYNCHRONE
35 .11 Moteur à vitesse variable et couple constant 35 .12 Couple et courant en fonction de la vitesse de glissement 35 .13 Modification du circuit équivalent selon la fréquence d'opération 35 .14 Plage d'opération lorsque la tension et la fréquence sont variables 35 .15 Flux du stator dans une machine asynchrone et le rapport volts/hertz 35 .16 Commande du couple et de la vitesse 35 .17 Couple et vitesse lors du décrochage 35 .18 Freinage par récupération d'énergie 35 .19 Fonctionnement en survitesse 35 .20 Fonctionnement en survitesse : aperçu préliminaire 35 .21 Autres façons de présenter les caractéristiques du moteur 35 .22 Résumé Problèmes - Chapitre 35
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
Principe des alternateurs de grande puissance 36 .2 Nombre de pôles 36 .3 Stator 36 .4 Rotor 36 .5 Excitatrice 36 .6 Excitation sans balais 36 .7 Facteurs affectant la grosseur des alternateurs 36 .8 Marche à vide : courbe de saturation 36 .9 Circuit équivalent d'un alternateur : réactance synchrone 36 .10 Détermination de la valeur de X, 36 .11 Impédance de base d'un alternateur : valeur relative de XS 36 .12 Rapport de court-circuit 36 .13 Alternateur en charge 36 .14 Courbes de régulation 36 .15 Synchronisation des alternateurs 36 .16 Synchronisation au moyen de lampes 36 .17 Alternateur branché sur un réseau infini 36 .18 Interprétation physique du fonctionnement d'un alternateur 36 .19 Puissance active débitée 36 .20 Commande de la puissance débitée 36 .21 Constante d'inertie H 36 .22 Réactance transitoire 36 .23 Résumé Problèmes - Chapitre 36
576 581 581
597
616 616 617 617 619 621 621 622 624 624 625 626 627 628 628 631 631 632 634 635 636 636 637 639 640
598 37 37 .1 37 .2 37 .3 37 .4 37 .5 37 .6 37 .7
MOTEURS SYNCHRONES
Construction Démarrage du moteur synchrone Accrochage du rotor Moteur en charge - description Moteur en charge - puissance et couple Angles électrique et mécanique Caractéristiques générales d'un moteur synchrone 37 .8 Excitation et puissance réactive d'un moteur synchrone 37 .9 Facteur de puissance : courbes en V 37 .10 Compensateur synchrone 37 .11 Couple de réluctance 37 .12 Arrêt du moteur 37 .13 Usages du moteur synchrone, comparaison avec le moteur asynchrone 37 .14 Résumé Problèmes - Chapitre 37
602 603 603 604 606 607 609 609 612 613 613
XXI
643
643 644 645 646 646 648 649 650 650 652 653 655 656 657 657
38
MOTEURS MONOPHASÉS
38 .1
Construction d'un moteur asynchrone monophasé Vitesse synchrone Couple en fonction de la vitesse Principe de fonctionnement Démarrage par phase auxiliaire Moteur à phase auxiliaire résistive Moteur à démarrage par condensateur Caractéristiques en charge des moteurs asynchrones Vibration des moteurs monophasés Moteur à condensateur permanent Inversion du sens de rotation Moteur à bagues de court-circuit («Shaded-pole motor») Moteur série Moteur à répulsion-induction Moteur à hystérésis Moteur synchrone à réluctance variable Choix des moteurs monophasés Systèmes d'entraînement synchro
38 .2 38 .3 38 .4 38 .5 38 .6 38 .7 38 .8 38 .9 38 .10 38 .11 38 .12 38 .13 38 .14 38 .15 38 .16 38 .17 38 .18
39 .14 Moteurs pas à pas et entraînements linéaires 39 .15 Résumé Problèmes -Chapitre 39
660
660 662 663 663 664 664 667
PARTIE III
667 668 670 671 671 672 673 673 675 675 676
CIRCUIT ÉQUIVALENT D'UN MOTEUR MONOPHASÉ À CAGE
38 .19 Répartition de la FMM 38 .20 FMM tournantes dans un moteur monophasé 38 .21 Déduction du circuit équivalent du moteur monophasé 38 .22 Résumé Problèmes - Chapitre 38 39
39 .1 39 .2 39 .3 39 .4 39 .5 39 .6 39 .7 39 .8 39 .9 39 .10 39 .11 39 .12 39 .13
677 678
ÉLECTRONIQUE DE PUISSANCE ET SYSTÈMES D'ENTRAÎNEMENT
40
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS
40 .1 40 .2
Dispositifs de commande Contacts normalement ouverts et normalement fermés Courant d'excitation d'une bobine de maintien Diagrammes de commande Procédés de démarrage Démarreurs manuels Démarreurs magnétiques Marche par à-coups («jogging») Inversion du sens de rotation Freinage par inversion Démarrage à tension réduite Démarrage par résistances Démarrage par autotransformateurs Autres méthodes de démarrage Commutateurs à cames Systèmes d'entraînements spéciaux
40 .3 40 .4 40 .5 40 .6 40 .7 40.8 40 .9 40.10 40 .11 40 .12 40 .13 40 .14 40 .15 40 .16
701 702 702
706
706 711 711 711 712 714 714 718 719 720 720 722 725 727 707 728
AUTOMATES PROGRAMMABLES
679 681 682
MOTEURS PAS À PAS
684
Moteur pas à pas élémentaire Effet de l'inertie Effet d'une charge mécanique Couple en fonction du courant Mode de rotation pas à pas Mode de rotation en survitesse Accélération et décélération progressive («ramping») Types de moteurs pas à pas Enroulements et systèmes d'excitation Fonctionnement à haute vitesse Méthodes pour réduire la constante de temps Système d'excitation à deux niveaux de tension («bilevel drive») Instabilité et résonance
684 685 686 687 687 688
40 .17 Introduction 40 .18 Capacités des automates programmables industriels 40 .19 Les éléments d'un système de commande 40 .20 Exemples d'utilisation d'un automate programmable 40 .21 Parties d'un automate programmable industriel 40 .22 L'unité centrale de traitement 40 .23 Console de programmation 40 .24 Les modules d'entrée/sortie 40 .25 Structure des modules d'entrée 40 .26 Structure des modules de sortie 40 .27 Modularité des automates programmables industriels 40 .28 Les entrées et sorties à distance 40 .29 Circuits conventionnels et circuits d'automate programmable 40 .30 Règle de sécurité 40 .31 La programmation
689 689 693 697 698 698 701 XXI I
729 729 729 732 734 734 734 735 736 736 737 738 738 739 739
40 .32 40 .33 40 .34 40 .35 40 .36
Les langages de programmation Le diagramme en échelle Le langage booléen Le Grafcet Avantages et inconvénients des automates programmables
740 740 741 741
42
42 .1 42 .2 42 .3
741
CIRCUITS UTILISANT DES DIODES
42 .4 42 .5
MODERNISATION D'UNE INDUSTRIE GRÂCE AU API
40 .37 Planification du changement 40 .38 Le personnel apprend à maîtriser les API 40 .39 Liaisons entre les API 40 .40 Programmation des API 40 .41 Évolutions vers une entreprise virtuelle 40 .42 Résumé Problèmes - Chapitre 40 41
LES HARMONIQUES
41 .1 41 .2 41 .3
Composition d'une onde distorsionnée Harmoniques et diagrammes vectoriels Valeurs efficaces d'une onde distorsionnée Facteur crête et facteur de distorsion (THD) Harmoniques et circuits FP total et FP de déplacement Charges non linéaires Génération des harmoniques Génération d'une puissance réactive
41 .4 41 .5 41 .6 41 .7 41 .8 41 .9
743 744 744 745 747 747 748
42 .6 42 .7 42 .8 42 .9 42 .10 42 .11 42 .12 42 .13 42 .14
751 751 753
42 .15 Circuit 1 - Redresseur contrôlé alimentant une charge passive 42 .16 Circuit 2 - Redresseur contrôlé alimentant une charge active 42 .17 Circuit 3 - Onduleur non autonome 42 .18 Circuit 4 - Contacteur électronique et gradateur 42 .19 Circuit 5 - Cycloconvertisseur 42 .20 Circuit 6 - Onduleur autonome 42.21 Circuit 7 - Hacheur
754 755 756 756 758 760
761
805 806 807 809 809 810 812
CONVERTISSEUR TRIPHASÉ CONTROLÉ À THYRISTORS
762 763 764 765 770 772 774
ANALYSE HARMONIQUE
41 .18 Procédure pour analyser une onde périodique 41 .19 Résumé Problèmes -Chapitre 41
Chargeur d'accumulateur avec résistance 787 Chargeur d'accumulateur avec inductance 788 Redresseur en pont monophasé 789 Filtres 790 Redresseur triphasé à 3 pulsations 792 Redresseur en pont triphasé 795 Courant efficace, courant fondamental et harmoniques 799 Propriétés du thyristor 800 Principe d'amorçage 802 Puissance de commande 803 Principe de blocage 803 CIRCUITS DE BASE UTILISANT DES THYRISTORS
753
EFFET DES HARMONIQUES
41 .10 Courant harmonique dans un condensateur 41 .11 Courants harmoniques dans un conducteur 41 .12 Tension harmonique et flux dans une bobine 41 .13 Courants harmoniques dans une ligne triphasée avec neutre 41 .14 Harmoniques et résonance 41 .15 Filtres harmoniques 41 .16 Harmoniques dans les réseaux publics 41 .17 Courants harmoniques dans les transformateurs : le facteur K
784 Différence de potentiel entre les bornes des éléments de base 784 La diode 785 Caractéristiques principales d'une diode 786 ÉLECTRONIQUE DE PUISSANCE
776 780 781
42 .22 Convertisseur triphasé en pont 42 .23 Principe de fonctionnement en mode redresseur contrôlé 42 .24 Principe de fonctionnement en mode onduleur 42 .25 Convertisseur triphasé contrôlé alimentant une charge active 42 .26 Commutation retardée - mode redresseur 42 .27 Commutation retardée - mode onduleur 42 .28 Plage de commutation 42 .29 Circuit équivalent d'un convertisseur 42 .30 Courants dans un convertisseur triphasé en pont 42 .31 Facteur de puissance
XXIII
812 812 814 815 816 818 818 818 820 821
42 .32 42 .33 42 .34 42 .35
Période de commutation Commutation naturelle Angle de marge Encoches de commutation
822 823 825 827
HACHEURS CONTINU-CONTINU
42 .36 42.37 42 .38 42 .39 42 .40 42 .41 42 .42 42 .43 42 .44 42 .45 42 .46 42 .47 42 .48
Thyristor et GTO - caractéristiques Le BIT - caractéristiques Le MOSFET - caractéristiques L'IGBT - caractéristiques Applications du hacheur Hacheur continu-continu à deux quadrants Le hacheur vu comme un transformateur à c .c . Ondulation du courant continu Courant IH débité par la source Hacheur électronique continu-continu Hacheurs dévolteur et survolteur Hacheur à 4 quadrants Pertes dues à la commutation
827 828 828 829 829 829 832 832 833 836 837 837 839
CONVERTISSEURS CONTINU-ALTERNATIF
42 .49 Convertisseur continu-alternatif à onde carrée 42 .50 Convertisseur continu-continu à modulation de la largeur d'impulsion (MLI) 42 .51 Création de formes d'ondes alternatives quelconques 42 .52 Convertisseur continu-alternatif à onde sinusoïdale 42 .53 Génération d'une tension sinusoïdale 42 .54 Tensions MLI et volts-secondes 42 .55 Autres méthodes de commutation 42 .56 Réalisation graphique de la MLI pour convertisseur à 2 quadrants 42 .57 Réalisation graphique de la MLI pour convertisseur à 4 quadrants (mode bipolaire) 42 .58 Réalisation graphique de la MLI pour convertisseur à 4 quadrants (mode unipolaire) 42 .59 Convertisseur continu-triphasé 42 .60 Convertisseur triphasé : MLI par le calcul de trois rapports cycliques
841
841 842 844 845 846 846 847
848
850 850 855
CONVERTISSEURS À TROIS NIVAUX
42 .61 Convertisseur monophasé à deux nivaux en pont
857
42 .62 Convertisseur monophasé à deux nivaux en demi-pont 42 .63 Convertisseur monophasé à trois nivaux 42 .64 Réalisation d'un convertisseur à trois nivaux 42 .65 Commande de la tension générée par un convertiseur à trois nivaux à onde carrée 42 .66 Réduction des harmoniques générées par un convertisseur à trois nivaux 42 .67 Convertisseur triphasé à trois nivaux 42 .68 Convertisseur à trois nivaux à MLI 42 .69 Convertisseur continu-triphasé à MLI à trois nivaux 42 .70 Résumé Problèmes -Chapitre 42 43
ENTRAÎNEMENT ÉLECTRONIQUE DES MOTEURS À COURANT CONTINU
Entraînement limité au quadrant 1 Entraînement dans les quadrants 1 et 4 par inversion du champ 43 .3 Entraînement dans les quadrants 1 et 4 par inversion de l'induit 43 .4 Entraînement dans les quadrants 1 et 4 utilisant deux convertisseurs 43 .5 Entraînement avec courant de circulation 43 .6 Entraînement électronique dans les quadrants 1 et 2 43 .7 Fonctionnement dans les 4 quadrants 43 .8 Redresseur en pont avec diode de roue libre 43 .9 Redresseur mixte 43 .10 Hacheurs et machines à c .c . 43 .11 Application des hacheurs aux systèmes de traction 43 .12 Entraînement d'un moteur shunt utilisant un convertisseur c .c . - c .c . 43 .13 Introduction aux moteurs sans balais 43 .14 Remplacement du collecteur 43 .15 Moteur synchrone fonctionnant en machine à c .c . 43 .16 Distinction entre un moteur synchrone et un moteur synchrone autopiloté 43 .17 Application d'un moteur à c .c . sans balais 43 .18 Résumé Problèmes - Chapitre 43 43 .1 43 .2
XXIV
858 859 860 861 861 861 864 864 866 868
873 873 876 877 877 878 880 881 882 885 887 888 891 896 897 898 899 900 902 902
44
44 .1
COMMANDE ÉLECTRONIQUE DES MOTEURS À COURANT ALTERNATIF
906
Types d'entraînements à courant alternatif
906
CONTRÔLE VECTORIEL
VARIATEURS DE VITESSE À COMMUTATION NATURELLE
44 .2 44 .3 44 .4 44 .5 44 .6 44 .7 44 .8
Moteur synchrone alimenté par une source de courant Cycloconvertisseur à 6 pulsations Moteur synchrone alimenté par un cycloconvertisseur Moteur asynchrone alimenté par un cycloconvertisseur Commande de vitesse d'un moteur à rotor bobiné Entraînement à vitesse variable utilisant un gradateur Démarreurs statiques pour moteurs asynchrones
908 911 912 914 920 923 925
VARIATEURS DE VITESSE UTILISANT DES ONDULEURS AUTONOMES
44 .9 Note concernant les onduleurs autonomes 44 .10 Onduleurs autonomes à ondes rectangulaires 44 .11 Onduleur à onde rectangulaire alimenté par une source de courant 44 .12 Onduleur autonome alimenté par une source de tension 44 .13 Variateur de vitesse pour moteur à cage de 5 hp
927 928 929 931 933
VARIATEURS DE VITESSE MLI
44 .14 Principe du variateur de vitesse à MLI 44 .15 Tensions générées par un variateur de vitesse MLI 44 .16 MLI synchronisée 44 .17 Variateur de vitesse MLI pour moteur asynchrone de 5 hp 44 .18 Variateur de vitesse pour trains et autobus 44 .19 Composants principaux d'un système de traction 44 .20 Modes d'opération du convertisseur triphasé 44 .21 Fonctionnement du convertisseur monophasé
44 .22 Commande dynamique rapide des moteurs asynchrones 44 .23 Principe du contrôle vectoriel 44 .24 Forces magnétomotrices spatiales 44 .25 Principe et mode d'opération du contrôle vectoriel 44 .26 Orientation des FMM en régime permanent 44 .27 Induction des courants dans le rotor 44 .28 Production d'un couple instantané 44 .29 Commande vectorielle de n et T des moteurs asynchrones 44 .30 Fréquence de découpage
937 939 941 941
953 954 956 956 959 960
COMMANDE DIRECTE DU COUPLE
44 .31 Introduction 44 .32 Commande du flux et du couple par hystérésis 44 .33 Commande de la vitesse 44 .34 Production du champ magnétique dans un moteur biphasé 44 .35 Production d'un champ tournant 44 .36 Commande du champ tournant par hystérésis 44 .37 Commande de la vitesse de rotation 44 .38 Logique de programmation des interrupteurs 44 .39 Vitesse de glissement instantanée et production du couple 44 .40 Commande des moteurs triphasés 44 .41 Système de commande par hystérésis 44 .42 Résumé Problèmes - Chapitre 44 PARTIE IV
PRODUCTION DE L'ÉNERGIE ÉLECTRIQUE
45 .1 45 .2
Appel de puissance d'un réseau Emplacement des centrales - transport de l'énergie primaire Types de centrales Commande de la puissance et de la fréquence - cas d'une centrale isolée Commande de la puissance et de la fréquence - cas de plusieurs centrales reliées Conditions lors d'une panne La fréquence et les horloges
946
45 .3 45 .4
947
45 .5
948 45 .6 45 .7
960 961 962 962 964 966 967 967 969 970 972 973 975
RÉSEAUX ÉLECTRIQUES
45
945
xxv
950 952 952
983 983 984 985 985
986 987 988
PRODUCTION DÉCENTRALISÉE
CENTRALES HYDRAULIQUES
45 .8 Puissance disponible 45 .9 Types de centrales hydrauliques 45 .10 Parties principales d'une centrale hydraulique 45 .11 Centrales à réserve pompée
45 .38 Émergence de la production décentralisée 45 .39 Cogénération 45 .40 Technologies utilisées pour la génération décentralisée 45 .41 Exemple de microturbine avec cogénération 45 .42 Résumé Problèmes - Chapitre 45
989 989 991 992
CENTRALES THERMIQUES
45 .12 La combustion 45 .13 Les éléments combustibles 45 .14 Produits de la combustion 45 .15 Organisation d'une centrale thermique 45 .16 Turbines 45 .17 Condenseur 45 .18 Tours de refroidissement 45 .19 Pompe d'alimentation en eau 45 .20 Diagramme énergétique d'une centrale thermique
994 994 995 995 997 997 998 998
1000 1001 1001 1002 1003 1005 1006 1007
PARCS D'ÉOLIENNES
45 .30 Propriétés du vent 45 .31 Technologies de production d'électricité à partir de l'énergie éolienne 45 .32 Turbine éolienne entraînant une génératrice à c .c . 45 .33 Turbine éolienne entraînant une génératrice asynchrone à vitesse constante 45 .34 Turbine éolienne entraînant une génératrice asynchrone à vitesse variable 45 .35 Turbine éolienne entraînant une génératrice asynchrone à double alimentation 45 .36 Turbine éolienne et génératrice à aimants permanents à couplage direct 45 .37 Exemples de parcs éoliens
1007 1009 1009
1009
1010
1011 1012 1013
1020 1022 1024
TRANSPORT DE L'ÉNERGIE ÉLECTRIQUE
1026
46 .1
Organisation d'un réseau de transport d'énergie Types de lignes Tensions normalisées
1026 1027 1028
46 .2 46 .3
998 1000
1019
46
RÉALISATION PRATIQUE D'UNE LIGNE AÉRIENNE
CENTRALES NUCLÉAIRES
45 .21 Composition du noyau atomique 45 .22 Énergie libérée par la fission atomique 45 .23 Source de l'uranium 45 .24 Réaction en chaîne 45 .25 Types de réacteurs 45 .26 Exemple de réacteur à eau lourde : réacteur CANDU 45 .27 Exemple de réacteur à eau légère 45 .28 Principe du réacteur surrégénérateur 45 .29 Réaction nucléaire par fusion
1018 1019
46 .4 46 .5 46 .6 46 .7
Composants d'une ligne Construction d'une ligne Lignes galopantes Effet couronne - interférences radiophoniques 46 .8 Pollution 46 .9 Fils de garde 46 .10 Mise à la terre des pylônes
1028 1031 1031 1031 1031 1031 1031
PROPRIÉTÉS ÉLECTRIQUES DES LIGNES DE TRANSPORT
46 .11 46 .12 46 .13 46 .14
Circuit équivalent d'une ligne Simplification du circuit équivalent Valeurs des impédances de ligne Variation de la tension et puissance maximale transportable 46 .15 Ligne résistive 46 .16 Ligne inductive 46 .17 Ligne inductive avec compensation 46 .18 Ligne inductive reliant deux réseaux 46 .19 Récapitulation de la puissance transportée 46 .20 Choix de la tension de ligne 46 .21 Méthodes pour augmenter la puissance transportable 46 .22 Transport de l'énergie à très haute tension 46 .23 Échanges de puissance 46 .24 Puissances d'une ligne souterraine 46 .25 Résumé Problèmes - Chapitre 46
XXVI
1032 1033 1034 1032 1035 1036 1037 1038 1039 1040 1041 1044 1046 1048 1049 1049
47
DISTRIBUTION DE L'ÉNERGIE ÉLECTRIQUE POSTES DE TRANSFORMATION ET D'INTERCONNEXION HT ET MT
47 .1
1053
47 .2
Disjoncteurs
1053
47 .3
Interrupteurs à cornes
1056
47 .4
Sectionneurs
1059
47 .5
Sectionneurs de mise à la terre
1059
47 .7 47 .8 47 .9 47 .10 47 .11
Parafoudres Réactances Exemple de poste de transformation
1059 1062
1089
48 .1
Tarification basée sur l'énergie
1089
48 .2
Tarification basée sur l'appel de puissance
1089
48 .3
Indicateur d'appel de puissance
1090
48 .4
Tarification basée sur la puissance
48 .5
Tarification basée sur la catégorie de
le poste La Suète
1064
La Suète - Distribution MT
1067
Réseau souterrain de centre-ville
1068
Sainte-Foy - Distribution BT
1068
47 .12
Coordination de la protection
1069
47 .13
Coupe-circuit à expulsion dirigée
1070
47 .14
Disjoncteur à réenclenchement automatique («recloser»)
1071
47 .15
Autosectionneur («sectionalizer»)
1071
47 .16
Résumé de la protection MT
1072
SYSTÈMES DE DISTRIBUTION BT 47 .17
Systèmes de distribution BT
47 .18
Mise à la terre (MALT) des
client
1094
48 .6
Facture d'un abonné régulier
1094
48 .7
Facture d'un abonné de moyenne
48 .8
1096
Détermination de la puissance à facturer
48 .9
1096
Facture d'un abonné de grande puissance
1096
48 .10
Correction globale du FP d'une usine
1097
48 .11
Cas d'un four à induction
1098
48 .12
Compteur d'énergie ou wattheuremètre
1099
48 .13
Fonctionnement du wattheuremètre
1100
48 .14
Interprétation de la plaque signalétique, lecture du compteur
1101
48 .15
Mesure de l'énergie triphasée
1102
48 .16
Résumé
1102 1103
1072 1074
47 .19
Choc électrique
1074
47 .20
Mise à la terre des systèmes de
49
TRANSPORT DE L'ÉNERGIE À COURANT CONTINU
1107
49 .1
Particularités du transport à c .c .
1107
49 .2
Principe fondamental d'un système de transport à c .c .
1108
49 .3
Relations entre tension, courant et
1075
Mise à la terre de l'équipement électrique
1093
Problèmes - Chapitre 48
installations électriques
distribution à 120 V et à 120/240 V
apparente
puissance
LIGNES DE DISTRIBUTION MT
47 .21
COÛT DE L'ÉLECTRICITÉ TARIFICATION
Appareillage d'un poste de transformation
47 .6
48 1053
puissance
1076
1110
49 .4
Fluctuations de la puissance
49 .5
Caractéristiques
49 .6 49 .7
Contrôle de la puissance Effet des fluctuations de tension
1113 1114
49 .8
Inversion de la puissance
1114
49 .9
Ligne bipolaire
1115
49 .10
Composants d'une ligne de transport à c .c . Inductances et filtres du côté c .c.
1082
49 .11 49 .12
industrielles
1084
49 .13 Source de puissance réactive 49 .14 Filtres harmoniques du côté c .a .
47 .27
Alimentation d'un moteur
1084
47 .28
Résumé
1086
47 .22
Disjoncteur différentiel de courant de fuite
1078
INSTALLATIONS ÉLECTRIQUES À L'INTÉRIEUR DES BÂTIMENTS 47 .23
Éléments principaux d'une installation électrique
1080
47 .24
Appareillage dans une maison
1082
47 .25
Commutateurs à trois et à quatre directions
47 .26 Installations commerciales et
Problèmes - Chapitre 47
1086
1111
E-I des convertisseurs 1112
Transformateurs de convertisseur
1116 1116 1116 1117 1117
49 .15
Liaison de communication
1117
49 .16 49 .17
Électrode de mise à la terre
1117
Exemple d'un convertisseur monopolaire
XXV I I
1117
49 .18 Poste de conversion à 12 pulsations 49 .19 Types d'installations 49 .20 Ligne multiterminale de la Baie James à la Nouvelle-Angleterre
1118 1121 1124
MLI APPLIQUÉE AU TRANSPORT D'ÉNERGIE À COURANT CONTINU
49 .21 Transport d'énergie à c .c . aux sites isolés 49 .22 Composition d'une génératrice statique 49 .23 Vue d'ensemble du système de transport 49 .24 Commande de la puissance active 49 .25 Exemple de système c .c . à MLI alimentant un site éloigné 49 .26 Résumé Problèmes -Chapitre 49 50
CONTRÔLEURS STATIQUES DE RÉSEAUX
1130 1132 1132 1134 1134 1136 1137
1139
CONTRÔLEURS POUR RÉSEAUX DE TRANSPORT
50 .1 Le compensateur statique (SVC) 50 .2 Caractéristique V-I d'un compensateur statique 50 .3 Fonctionnement de l'inductance commandée par thyristors 50 .4 Composante efficace du courant fondamental 50 .5 Système de commande et temps de réponse du convertisseur statique 50 .6 Capacitance série commandée par thyristors (TCSC) 50 .7 TCSC à contrôle continu 50 .8 Compensateur statique synchrone (STATCOM) 50 .9 Élimination des harmoniques 50 .10 Contrôleur de puissance universel (UPFC)
50 .11 Convertisseur statique de fréquence
1140 1141 1142 1143
CONVERTISSEURS STATIQUES POUR RÉSEAUX DE DISTRIBUTION
50 .12 Perturbations et qualité de l'onde 50 .13 Pourquoi utiliser des convertisseurs MLI ? 50 .14 Réseau de distribution 50 .15 Compensateurs et analyse du circuit 50 .16 Le compensateur shunt : principe de fonctionnement 50 .17 Le compensateur série : principe de fonctionnement
1158 1161 1162 1163 1163 1170
RÉGULATEUR DE PUISSANCE INTERPHASE
50 .18 Transfert de puissance entre deux régions 50 .19 Régulateur de puissance interphase 50 .20 Résumé Problèmes es-Chapitre 50
1174 1174 1176 1177
APPENDICES
1179
A-1 CONVERSION DES UNITÉS DE MESURE
1180
A-2 PROPRIÉTÉS DES MATÉRIAUX
ISOLANTS A-3 PROPRIÉTÉS DES CONDUCTEURS (ET ISOLANTS) USUELS A-4 PROPRIÉTÉS DES CONDUCTEURS RONDS EN CUIVRE A-5 LA MACHINE ASYNCHRONE : RELATIONS FONDAMENTALES
1183
RÉPONSES AUX PROBLÈMES
1193
INDEX
1199
QUELQUES TABLEAUX DE RÉFÉRENCE
1208
FORMULES LES PLUS COURANTES
1210
LISTE DE SITES WEB
1214
1184 1185 1186
1144 1144 1146 1148 1151 1152 1156
XXVIII
PARTIE I NOTIONS FONDAMENTALES ET CIRCUITS ÉLECTRIQUES
Notions de mécanique et de thermodynamique
Note : Ce chapitre n'est pas essentiel à la compréhension des chapitres qui suivent, mais il présente plusieurs notions de base concernant la mécanique, la thermodynamique et les unités de mesure. Ce chapitre est donc surtout une source de référence que le lecteur pourra consulter quand il en ressentira le besoin . On recommande une lecture rapide pour commencer, et une étude plus approfondie au fur et à mesure que les divers sujets et unités seront présentés dans les chapitres subséquents . En particulier plusieurs sujets traités dans cette introduction ne seront compris complètement que lorsqu'ils auront trouvé une application pratique dans les autres chapitres . Les appareils électriques sont le siège de phénomènes mécaniques et thermiques, c'est pourquoi il importe d'avoir une bonne connaissance des lois fondamentales qui régissent ces deux domaines . Cependant, avant d'entreprendre une étude de la mécanique et de la thermodynamique, il est indispensable de décrire le système d'unités adopté dans ce livre . Il s'agit du Système international d'unités, désigné universellement par l'abréviation SI .
1 .1 Les unités SI Le SI est un système métrique moderne qui a été adopté par tous les pays du monde . En effet, les unités SI sont plus faciles à manipuler que les anciennes unités métriques et bien supérieures aux unités anglaises (gallon, pouce, etc .) . Le SI repose sur sept unités de base qui sont : 1 . le kilogramme (kg), unité de masse, 2. le mètre (m), unité de longueur, 3 . la seconde (s), unité de temps, 4 . le kelvin (K), unité de température, 5 . l'ampère (A), unité de courant électrique, 6 . la mole (mol), unité de quantité de matière et 7 . la candela (cd), unité d'intensité lumineuse . Toutes les autres unités sont dérivées de ces unités de base, soit par des lois naturelles, soit par définition, soit par des relations géométriques . C'est ainsi que le newton (N), unité de force, est égal à 1 kilogrammemètre par seconde carrée (kg •m/s 2 ), que le joule, unité d'énergie, est égal à 1 newton-mètre, et ainsi de suite .
L LLLV I !lV I LVI IIVI\,(VL Le tableau 1-1 présente une liste des unités SI utilisées dans ce livre . De plus, on donne en appendice une série de tables qui facilitent beaucoup la conversion des unités lorsque cette opération s'avère nécessaire . Le lecteur pourra également les consulter afin de mieux apprécier l'ordre de grandeur des diverses unités . 1 .2 Multiples et sous-multiples des unités
Les multiples et sous-multiples des unités SI sont obtenus en faisant précéder ces unités de préfixes appropriés comme kilo, méga, nano, déci, etc . Ces pré-
TABLEAU 1-1
UNITÉS USUELLES DU SI
grandeur
unité SI
symbole
angle
radian
capacitance (ou capacité)
farad
chaleur champ magnétique
J joule ampère par mètre A/m
charge électrique
coulomb
c
conductance couple
siemens
S N •m
newton-mètre
courant électrique densité de flux magnétique énergie flux magnétique force force magnétomotrice fréquence inductance longueur masse pression puissance résistance surface
ampère tesla joule weber newton ampère hertz henry mètre kilogramme pascal watt ohm mètre carré
rad F
A T J Wb N A Hz H m kg Pa W 52 M2
tension
volt
V
température
kelvin ou degré Celsius
K
travail
joule
vitesse
mètre par seconde
vitesse de rotation
radian par seconde
°C J m/s rad/s
fixes multiplient la valeur de l'unité par les facteurs donnés dans le tableau 1-2 . Par exemple, 1 kilomètre = 1000 mètres, 1 millimètre = 0,001 mètre et 1 méaawatt = 10 6 watts ou 1 million de watts . 1 .3 Emploi des exposants
En électricité comme dans toutes les disciplines scientifiques, on rencontre des grandeurs dont la valeur varie entre des limites énormes . On doit, par exemple, pouvoir comparer la charge minuscule d'un électron avec celle, infiniment plus grande, d'un éclair, ou encore pouvoir mesurer des masses allant de la masse infime d'un atome à la masse énorme de la terre . Le rapport entre la plus grosse et la plus petite valeur est tellement considérable qu'il a fallu trouver un moyen simple pour l'exprimer . Par exemple, un courant électrique de 1 ampère seulement correspond au passage de 6 240 000 000 000 000 000 électrons par seconde . Comment exprimer simplement des chiffres aussi grands? On utilise les exposants, et plus particulièrement les puissances de 10 . D'après cette méthode, les expressions 102 , 10 3 et 104 correspondent respectivement aux nombres 100, 1000 et 10 000 . Les chiffres 2, 3, 4, etc ., en position supérieure sont les exposants : on constate qu'ils indiquent le nombre de zéros suivant le chiffre 1 . Ainsi, 10 7 équivaut à 10 000 000 . De cette manière on peut écrire qu'un courant électrique de 1 ampère correspond au passage de 6,24 x 10 18 électrons par seconde ; ce qui est plus court et moins sujet à erreur . Par un raisonnement analogue, on exprime des quantités très petites en utilisant les exposants négatifs ; ainsi 10-3 équivaut à 1/(10 3 ) = 1/1000 . 1 .4 Utilisation des symboles (+) et (- )
En arithmétique, on utilise les symboles (+) et (-) pour décrire les opérations d'addition et de soustraction . En électricité et en mécanique, on étend leur signification pour indiquer le sens d'une force, d'un courant électrique, d'une vitesse, d'une puissance, etc ., par rapport à une direction de référence choisie . Par exemple, si un courant circulant dans un fil possède d'abord une valeur positive (+) et ensuite une valeur négative (-), cela indique qu'il a simplement changé de sens . De la même façon, si la vitesse d'une machine passe de +1000 r/min à - 400 r/min, cela indique que son sens de rotation a changé . Dans les chapitres qui suivent, nous rencontrerons souvent cette signification des symboles (+) et (-) .
NOTIONS DE MECANIQUE ET DE THERMODYNAMIQUE
1 .5 Force Dans le langage courant, on se soucie peu de faire une distinction entre les termes force, travail, énergie et puissance ; cependant, chacun de ces mots a une signification bien précise pour les personnes initiées, lesquelles ne les emploient jamais indifféremment l'un de l'autre . La manifestation la plus familière d'une force est le poids d'un corps qui correspond à l'attraction terrestre . Un ouvrier doit faire un effort musculaire (doit forcer) pour soutenir une pierre, et il sent très bien l'action de la pesanteur sur cette pierre . Il existe d'autres sortes de forces : celle, par exemple, de la poussée sur une balle de fusil des gaz provenant de l'explosion de la poudre, ou encore celle du frottement d'une roue d'automobile qui est freinée brusquement .
Tout objet est attiré vers la terre par une force de gravité . La valeur de cette force varie légèrement d'un endroit à l'autre sur la surface de la terre, mais, en moyenne, elle équivaut à 9,8 newtons pour 1 kilogramme . C'est dire qu'une masse de 10 kilogrammes est attirée avec une force de 10 x 9,8 ou 98 newtons . Nous en concluons que la force de gravité à la surface terrestre est donnée par l'équation approximative : F = 9,8m où F = force de gravité (ou pesanteur), en newtons [N] m = masse, en kilogrammes [kg] 9,8 = accélération due à la gravité [m/s 2 ]
Dans le SI, l'unité de force est le newton (N) .
TABLEAU 1-2
préfixe
MULTIPLES ET SOUS MULTIPLES DES UNITÉS SI
multiplicateur
symbole
yotta zetta
10 24 1021
Y
5 Ym -1 = 5 x 10 24 par mètre = 5 x 10 24 m -1
Z
exa
10 18 10 15
E
6 ZK = 6 zettakelvins = 6 x 1021 K 2 ES2 = 2 exaohms = 2 x 10 18 S2
péta
P
exemple
3 PJ = 3 pétajoules = 3 x 10 15 J 4 TW = 4 térawatts = 4 x 1012 W
téra giga
10 12
T
10 9
G
méga kilo
106
M
5 GW •h = 5 gigawattheures = 5 x 10 9 W •h 6 MPa = 6 mégapascals = 6 x 10 6 Pa
103
k
7 km = 7 kilomètres = 7000 m
hecto déca
100
h
8 hL = 8 hectolitres = 800 L
10
da
déci
1/10
d
centi
1/100
c
milli micro
10 -3
m
10 -6
µ
nano
n
pico
10 -9 10 -12
femto
10 -15
f
atto
a
zepto
10 -18 10 -21
yocto
10 -24
p
z y
3
9 dam = 9 décamètres = 90 m 1 dm 3 = 1 décimètre cube = (0,1 m) 3 = 0,001 m 3 2 cm = 2 centimètres = (2/100) m = 0,02 m 3 mV = 3 millivolts = 3 x 10 -3 V 4 .pF = 4 microfarads = 4 x 10 -6 F 5 ns = 5 nanosecondes = 5 x 10 -9 s 6 pA = 6 picoampères = 6 x 10 -12 A 7 fm = 7 femtomètres = 7 x 10 -15 m 8 aJ = 8 attojoules = 8 x 10 -18 J 4 zC = 4 zeptocoulombs = 4 x 10 -21 C 2 yg = 2 yoctograms = 2 x 10-24 g = 2 x 10 -27 kg
U aittraction gravitationnelle de la lune est environ six fois plus faible que celle de la terre, se chiffrant à 1,6 newtons pour 1 kilogramme seulement . Sur la lune, une masse de 10 kg ne pèse plus que 10 x 1,6 ou 16 newtons, ce qui explique pourquoi les astronautes étaient capables de manipuler des charges écrasantes sans le moindre effort . 1 .6 Couple
Le couple est une mesure de l'effort tournant . Il est égal au produit d'une force par la distance perpendiculaire entre l'axe de rotation et le point d'application de la force . L'unité SI de couple est le newton-mètre (N .m) .
1 .7 Travail
Si on déplace un objet quelconque d'une distance d en lui appliquant une force F, on effectue un travail W . Par définition, le travail est donné par l'équation : W = Fd
(1-3)
où W = travail, en joules [J] F = force, en newtons [N] d = longueur du déplacement, en mètres [m] D'une manière générale, le travail accompli est égal au produit de la force par le chemin parcouru (dans la direction de la force) . L'unité SI de travail est le joule ; il est égal au travail effectué par une force de 1 newton sur une distance de 1 mètre. Imaginons un treuil (Fig . 1-2) levant une masse de 50 kilogrammes . Si le treuil est actionné à la main, il faudra qu'un ouvrier déploie une certaine activité pour faire monter la masse à une hauteur déterminée . Cette activité, ou travail, se mesure par le produit de la force par la hauteur dont on a élevé la masse . Si la masse est élevée d'une hauteur de 10 mètres, le travail sera :
Figure 1-1 Couple T= Fr.
Imaginons une corde enroulée autour d'une poulie ayant un rayon r (Fig . 1-1) . Si on tire sur la corde avec une force F, la poulie aura tendance à tourner autour de son axe . Par définition, le couple est donné par l'équation : T = Fr
(1-2)
où
T = couple, en newton-mètres [N .m] F = force, en newtons [N] r = rayon, en mètres [m]
W = Fil
= 9,8 x 50 x 10 = 4900 joules = 4900 J Remarquons que le couple et le travail sont tous deux obtenus en multipliant une force par une distance . Il ne faut cependant pas confondre les termes travail et couple . Un travail est toujours accompagné d'un mouvement ou déplacement quelconque où la force et la distance sont dans le même sens . Par contre, le couple
Exemple 1-1
Un moteur développe un couple de démarrage de 150 N-m . Si la poulie a un diamètre de 1 mètre . quelle foi-ce de freinage faut-il appliquer sur la poulie pour empêcher le moteur (le tourner?
Solution Le rayon étant de 0,5 mètre, il faudra une force F = Tir 150/0,5 = 300 newtons . Si le rayon avait été de 2 mètres, une force de 75 newtons aurait suffi .
Figure 1-2 Travail W = Fd.
5
NOTIONS DE MÉCANIQUE ET DE THERMODYNAMIQUE
est simplement un effort tournant, obtenu par l'action d'une force à une certaine distance de l'axe de rotation, la force et la distance étant perpendiculaires . Un couple peut exister même lorsqu'il n'en résulte aucun mouvement. Un travail ne peut exister sans mouvement . 1 .8 Puissance À la section 1 .7, il n'a pas été question du temps pris par l'ouvrier pour faire monter la masse de 50 kg . Il est aisé de se rendre compte qu'il lui est plus facile d'élever la masse de 10 mètres en 10 minutes que de la faire monter à la même hauteur en 1 minute seulement . Le travail dépensé sera toutefois le même dans les deux cas . On dira alors que la puissance mise enjeu est dix fois plus grande dans le deuxième cas . On définit la puissance comme étant la quantité de travail accompli par seconde . Plus une machine exécute un travail rapidement, plus elle est puissante . Inversement, le produit de la puissance par le temps nous donne le travail . On finit toujours par terminer un travail, même avec une faible puissance, si on y met le temps voulu .
Figure 1-3 Puissance P = W/t.
Solution
La tension dans le câble est : F = 9,8 x 500 kg = 4900 newtons Le travail effectué est donc :
D'après ce qui a été dit plus haut, la puissance est définie par l'équation : P= W
W = Fil = 4900 x 30 = 147 000 joules
d'où la puissance P =
(1-4)
W = 147000
t
t
12
= 12 250 W = 12,25 kW
où P = puissance, en watts [W] W = travail effectué, en joules [J] t = temps, en secondes [s] L'unité SI de puissance mécanique est le watt ; il est égal à 1 joule par seconde . On utilise aussi fréquemment un multiple du watt, le kilowatt (kW), valant 1000 watts . Le horsepower (hp) est une unité anglaise de puissance qu'on utilise parfois pour exprimer la puissance d'un moteur. Elle est équivalente à 746 watts et correspond sensiblement à la puissance moyenne d'un cheval . De même, le cheval-vapeur (ch) est une unité française de puissance ; elle équivaut à 735,5 W.
12 la puissance en horsepower = 250 = 16,4 hp 746 12 250 la puissance en chevaux = 16,7 ch 735,5 1 .9 Puissance d'un moteur La puissance mécanique d'un moteur dépend du couple qu'il développe et de sa vitesse de rotation . La puissance P est calculée d'après la formule de base : P = wT
(1-5a)
où Exemple 1-2
Un moteur électrique actionne un monte-charge qui élève une masse de 500 kiloerammes d'une hauteur de 30 mètres en 12 secondes (voir Fige . 1-3) . Calculer la puissance du moteur en kW . en hp et en ch .
P = puissance mécanique, en watts [W] w = vitesse angulaire, en radians par seconde [1/s] T = couple en newton-mètres [N'm] Une autre formule, dérivée de la formule (1-5a) est
O tLtl, I MU I LUF11VIUUt particulièrement utile lorsque la vitesse de rotation est exprimée en tours par minute :
P = nT 9,55
(1-5b)
où P = puissance mécanique, en watts [W] T = couple, en newtons-mètres [N .m] n = vitesse de rotation, en tours par minute [r/min] 9,55 = facteur tenant compte des unités [valeur exacte = 30/n]
Exemple 1-3 un essai de frein de Pronv est fait sur un moteur électrique . Les pesons indiquent respectivement des forces de 25 N et (le 5 N . Le moteur tourne à 1700 rhnin et le rayon de la poulie est de 0 .1 m . Calculer le couple et la puissance développés par le moteur . Solution Le couple T du moteur = (25 - 5) x 0,1 = 2 N •m nT d'où la puissance P = 9,55 1700 x 2
Pour mesurer la puissance d'un moteur, on peut utiliser un frein de Prony qui est composé d'une courroie et de deux pesons à ressort D1 et D2 (Fig . 1-4) . La courroie est tenue serrée sur la poulie par la vis V . Quand le moteur n'est pas en marche, les deux pesons donnent la même lecture et l'effort tournant sur la poulie est nul . Cependant, quand le moteur tourne dans le sens horaire, comme dans la Fig . 1-4, la force indiquée par D1 dépasse celle indiquée par D2 . Sous l'action des deux forces F1 et F2, la poulie de rayon r est soumise à deux couples FI r et Fer agissant en sens inverses . Le couple net développé sera : T = (F1 - F2) X r newton-mètres Si on connaît la vitesse de rotation n, on peut en déduire la puissance du moteur.
9,55 = 356 watts La puissance est de 356 W, soit 0,48 hp environ . Noter que cette puissance est entièrement convertie en chaleur par le frottement de la courroie sur la poulie . Afin que la température de la poulie ne devienne pas trop élevée, il est parfois nécessaire de la refroidir par une circulation d'eau . Il est possible d'augmenter la puissance mécanique développée par le moteur en serrant la courroie davantage . 1 .10 Énergie dans les corps en mouvement Une pierre qui tombe, une automobile qui file sur la route, un volant qui tourne, sont tous doués d'une propriété qui leur permet de faire du travail . Le travail s'effectue lorsque le corps en mouvement est ralenti ou arrêté par un obstacle ou un frein quelconque . On dit que ces corps en mouvement possèdent une énergie cinétique W . Si le corps se déplace en ligne droite l'énergie cinétique est donnée par la formule : 1 2 W = -MI) 2 où
Figure 1-4 Frein de Prony.
W = énergie cinétique, en joules [J] m = masse, en kilogrammes [kg] v = vitesse, en mètres par seconde [m/s]
(1-6)
NOTIONS DE MECANIQUE ET DE THERMODYNAMIQUE
Exemple 1-4 Une automobile de 2000 kg se déplace à une vitesse de 100 kin/h . Calculer son énergie cinétique W .
Solution Une vitesse de 100 km/h correspond à : v = 100 000 m/3600 s = 27,8 m/s E = 1 mv 2 2 1 x 2000 x 27,8 2 2 = 772 840 joules Un corps tournant autour d'un axe (Fig . 1-5) possède aussi de l'énergie cinétique dont la valeur dépend de la vitesse de rotation, de la masse du corps, et de sa forme géométrique . L'énergie est donnée par l'équation :
Figure 1-5 Énergie dans le volant tournant d'une poinçonneuse .
Nous verrons à la section 1 .17 comment calculer le moment d'inertie, et dès lors, l'énergie dans le corps . W= 1 JOo2 2
(1-7a) 1 .11
où W = énergie cinétique, en joules [J] J = moment d'inertie, en kilogramme-mètre carré [kg .m2 ] w = vitesse de rotation, en radians par seconde [radis] Une autre équation, dérivée de l'équation (1-7a), est particulièrement utile lorsque la vitesse de rotation est exprimée en tours par minute : W = 5,48 x 10 3 Jn 2
(1-7b)
ou W = énergie cinétique, en joules [J] J = moment d'inertie, en kilogramme-mètre carrés [kg-m 2 1 n = vitesse de rotation, en tours par minute [r/min] 5,48 x 10-3 = facteur tenant compte des unités [valeur exacte = (n) 2 /1800] .
Énergie dans les corps immobiles
Même à l'état de repos, la matière a la propriété de pouvoir produire du travail . L'eau emmagasinée derrière un barrage peut, en tombant, effectuer un certain travail ; un ressort tendu peut également, en se détendant, accomplir un travail . L'énergie ainsi emmagasinée dans un corps immobile s'appelle énergie potentielle ; elle aussi se mesure en joules . Remarquons que l'énergie du ressort et celle de l'eau derrière un barrage peuvent être conservées indéfiniment, jusqu'à ce qu'on permette au ressort de se détendre et à l'eau de s'écouler . 1 .12 Formes de l'énergie Quels que soient l'état ou la forme sous lesquels se présente l'énergie, elle est toujours susceptible de se transformer en travail . L'énergie et le travail peuvent donc s'exprimer par la même unité, soit le joule . L' énergie se présente sous plusieurs formes, dont voici les plus familières : a) L'eau d'une chute, en tombant, peut faire tourner une turbine et produire de l'énergie mécanique .
U CLCL .l n\lI
CI~nIVlla(VL
b) La chaleur qui, transmise à l'eau d'un récipient, fait soulever le couvercle de ce récipient n'est qu'une autre forme d'énergie, l'énergie thermique . c) L'explosion de la dynamite qui ébranle des blocs de granit est une manifestation de l'énergie chimique . d) L' électricité produite par les génératrices et qui fait briller des lampes à incandescence n'est qu'une autre forme d'énergie, l'énergie électrique . e) La chaleur libérée dans un réacteur atomique provient de l'énergie atomique . Toutes ces formes d'énergie - mécanique, électrique, chimique, atomique et thermique - sont exprimées par la même unité SI, le joule (J) . 1 .13 Transformation de l'énergie L'énergie présente sous une forme quelconque peut être transformée en une autre forme à l'aide de machines . On voit comment (Fig . 1-6) l'énergie chimique du charbon et de l'air se transforme, par combustion, en chaleur (énergie thermique) en utilisant une chaudière . Cette chaleur fait tourner la turbine à vapeur et se transforme en énergie mécanique . Enfin, la turbine peut entraîner une génératrice et produire de l'énergie électrique . Dans cet exemple, la chaudière, la turbine et la génératrice sont les machines qui effectuent la transformation d'énergie . L'énergie électrique à son tour, peut servir à des fins multiples . Par exemple, elle peut faire tourner les moteurs d'une usine (énergie mécanique), chauffer les maisons (énergie thermique), décomposer certains minerais pour libérer l'aluminium pur (énergie chimique) .
1 .14 Principe de la conservation de l'énergie Chaque fois que l'énergie passe d'une forme à une autre, on constate que la quantité d'énergie totale après la transformation demeure la même . L' énergie se transforme tout simplement ; elle ne peut être ni créée, ni détruite . Cependant, quand on passe d'une forme d'énergie à une autre, au moyen d'une machine quelconque, toute l'énergie recueillie n'est pas toujours utilisable pratiquement . Par exemple, l'énergie thermique produite dans un moteur d'automobile servira en grande partie à chauffer inutilement les fumées d'échappement évacuées dans l'atmosphère . De plus, une partie de l'énergie mécanique développée par le moteur est dépensée pour vaincre la résistance de l'air et les frottements des engrenages, paliers, etc . À cause de ces pertes, l'énergie utile est inférieure à l'énergie fournie . 1 .15 Rendement d'une machine Le rendement d'une machine est donné par le rapport : rendement =
énergie utilisable
W2
énergie fournie à la machine
Wi
Dans cette expression, l'énergie utilisable équivaut au produit de la puissance utilisable par le temps et l' énergie fournie équivaut au produit de la puissance fournie par le temps . Pour une transformation d'énergie donnée, le temps est le même . Alors, on peut écrire : uissance utilisable rendement = p puissance fournie soit P2 17 = P1
Figure 1-6 La conversion de l'énergie d'une forme à une autre est effectuée au moyen de machines .
Pour une transformation de l'énergie thermique (chaleur) en énergie mécanique, le rendement est très faible . Les rendements sont, pour une turbine à vapeur, de 25 % à 40 % et pour un moteur à explosion (moteur d'automobile, moteur diesel) de 15 % à 30 % . Pour mieux apprécier l'importance de ces rendements, il est bon de prendre conscience qu'un moteur thermique qui possède un rendement de 20 % occasionne
NOTIONS DE MÉCANIQUE ET DE THERMODYNAMIQUE
des pertes de 80 %, C'est-à-dire que si une quantité de combustible libère 100 000 joules en brûlant, on récupère 20 000 joules en énergie mécanique et 80 000 joules sont perdus en chaleur dans l'atmosphère . Les pertes sont données par : pertes = P t - P2 . Le rendement des machines qui convertissent l'énergie électrique en énergie mécanique est très supérieur puisqu'il va de 80 % à 98 %, selon la grosseur de la machine .
Exemple 1-5 Calculer le rendement d'un moteur électrique qui absorbe une puissance de 10 kW et dont les pertes, à pleine charge, sont de 1 kW.
Solution Puissance fournie = P, = 10 kW Pertes = P, - P2 = 1 kW Puissance utilisable = P 2 = 9 kW Le rendement est alors il
P2
9 kW
P,
10 kW
= 0,90 ou 90 % Noter que toutes les pertes dans le moteur se retrouvent sous forme de chaleur . Dans certains cas, cette chaleur peut surchauffer et détériorer plus rapidement les bobinages . 1 .16
Sources d'énergie primaire
Pour subvenir à nos besoins, nous avons recours à plusieurs sources d'énergie primaire . La plus grande provient de l'énergie chimique contenue dans le pétrole, le charbon et le gaz naturel. Lorsque ces matériaux brûlent, ils libèrent de grandes quantités d'énergie thermique que l'on peut transformer en d'autres formes suivant les besoins . L'eau derrière les barrages est une importante source d'énergie primaire mécanique mais, au niveau mondial, elle représente moins de 1 % des sources d'énergie chimique . Le vent est une source d'énergie mécanique qui est de plus en plus exploitée . Comme source d'énergie primaire électrique, on pourrait penser aux éclairs . Cependant, même si l'on pouvait domestiquer cette source d'énergie, ce qui est peu probable, l'énergie disponible ne pourrait jamais subvenir à nos besoins .
L'énergie atomique pourra sans doute pourvoir à tous nos besoins dans l'avenir; il reste à résoudre, en particulier, le problème de l'élimination des déchets radioactifs . L'origine de toute notre énergie (sauf l'énergie atomique) est le soleil ; c'est grâce à lui que nous disposons aujourd'hui des combustibles fossiles que sont le charbon, le pétrole et le gaz naturel . Le soleil est une source d'énergie thermique sans pareil ; chaque jour il inonde la terre d'une énergie des milliers de fois supérieure à celle que nous utilisons pour alimenter nos avions, nos trains, nos voitures, nos industries et nos maisons . Si l'on pouvait un jour domestiquer cette source d'énergie de façon économique, le soleil pourrait subvenir à nos besoins pour des millénaires . Quelle est la quantité d'énergie contenue dans ces diverses sources d'énergie primaire? Le tableau 1-3 nous donne une idée de l'énergie thermique libérée par les produits chimiques tandis que le tableau 1-4 établit une comparaison avec les autres sources d'énergie . On peut être surpris de constater que les explosifs (TNT, nitroglycérine) emmagasinent moins d'énergie par kilogramme que le charbon ; ces produits semblent en contenir plus parce qu'ils brûlent avec une rapidité effarante lorsqu'on les allume . À cause de cela, les explosifs développent des puissances énormes ; c'est pourquoi on les utilise pour les travaux de démolition . Le tableau 1-4 fait ressortir le fait qu'une grosse génératrice électrique débite en une heure une quantité d'énergie équivalent à celle d'une bombe atomique de 1 kilotonne . Cette énergie correspond sensiblement à la consommation horaire d'une ville moderne de 1 million d'habitants . TABLEAU 1-3
ÉNERGIE DES COMBUSTIBLES
combustible
nitroglycérine TNT bois de pin sec charbon mazout gaz naturel propane, kérosène huile légère, essence hydrogène
énergie libérée kJ/kg 7 000 15 000 18 000 31 400
44 000 49 000 50 000 50 000
140 000
I u CLOU I nV
I CIrnIVNJUC
TABLEAU 1-4
ÉNERGIE ASSOCIÉE À QUELQUES SOURCES
source d'énergie
énergie débitée
durée du débit
100 tonnes de charbon
3100 GJ
bombe atomique de 1 kilotonne
4200 GJ
100µs
génératrice électrique de 1500 mégawatts (une des plus grosses machines jamais installée)
5400 GJ
1 heure
10 GJ
150µs
éclair de forte intensité soleil irradiant une superficie de 1 km 2 1 gramme de matière converti entièrement en énergie, d'après E = met énergie électrique moyenne consommée par une ville moderne de 1 000 000 habitants
1 .17
Calcul du moment d'inertie et de l'énergie cinétique de rotation
Tout corps tournant autour d'un axe s'oppose à un changement de sa vitesse. Cette propriété est caractérisée par son inertie, appelée plus correctement moment d'inertie J. Le moment d'inertie dépend de la masse et de la forme du corps tournant . Connaissant le moment d'inertie J du corps, il est facile de calculer l'énergie cinétique qu'il possède à une vitesse donnée . De plus, la valeur de J permet d'estimer le temps nécessaire pour amener une machine à sa vitesse finale ou pour l'arrêter . L'unité SI de moment d'inertie est le kilogrammemètre carré [kg .m 21 . Le tableau 1-5 donne les formules permettant de calculer le moment d'inertie de quelques corps de forme simple . Si le corps possède une forme plus complexe, on peut le subdiviser en morceaux ayant les formes simples illustrées dans ce tableau . Comme le moment d'inertie total d'un corps est égal à la somme de ses moments d'inertie individuels, on peut trouver la valeur de J pour des corps de formes assez variées . L'inertie joue un rôle important dans les machines rotatives ; par conséquent il est utile d'en donner quelques exemples .
2200 GJ
1
heure
90 000 GJ
1 heure
4000 GJ
Exemple 1-6
Un volant solide en acier a un diamètre de 1 m et une épaisseur de 225 min (Fig . 1-7) . Si sa masse est de 1400 k(-" calculer : a) son moment d'inertie h) l'énergie cinétique lorsque le volant tourne a 1500 r/min
Figure 1-7 Voir exemple 1-6 . Solution
a) En se référant au tableau 1-5, équation (1-10), le moment d'inertie est : z J - mr 2
1400 x 0,5 2
2 = 175 kgm2
NUI IUIVJ Ut MtI;AIVIUUt t I Ut I PitNIVIUUYIVANIIUUt
TABLEAU 1-5 FORMULES DU MOMENT D'INERTIE J AUTOUR D'UN AXE DE ROTATION
masse m à une distance r de l'axe o
disque solide de masse m et de rayon r J= mrz 2
(1-9)
j = mr 2
(1-10)
m
r
O
axe de rotation
Figure 1-8
Figure 1-9
anneau rectangulaire de masse m et de rayons R 1 et R2
barre uniforme de masse m et de longueur L z
z z J= m (R i +Rz )
(1-11)
J= mL 12
2
(1-12)
L R,
R2
O
Figure 1-10
Figure 1-11
barre homogène de masse m à des distances R 1 et R2 de l'axe R,
<
J = m (R2 +R z + RI R2)
R2
O m
3
Figure 1-12
(1-13)
b) l'énergie cinétique est :
Exemple 1-8
W = 5,48 x 10-3Jn 2
éq . 1-7b
Calculer l'énergie emmagasinée dans le volant de la Fig . I ' à 60 r/min et 600 r/min .
= 5,48 x 10-3 x 175 x (1800) 2
Solution
= 3,1 MJ
a) à 60 r/min, l'énergie emmagasinée est :
Exemple 1-7 Un volant avant la forme donnée à la Fig . 1-13 est composé d'un anneau de 80 kg et d'un moyeu droit de 20 kg . Calculer la valeur de son moment d'inertie .
W = 5,48 x 10 3 x 10,6 x (60) 2
= 209 joules b) pour une vitesse de 600 r/min, soit 10 fois plus grande qu'auparavant, l'énergie augmente non pas de 10 fois, mais de 100 fois : W = 20 900 J = 20,9 kJ 1 .18 Couple, inertie et variation de vitesse
Figure 1-13 Voir exemples 1-7 et 1-9 .
Solution Pour l'anneau, la valeur de J est donnée par l'équation (1-11) : m (Ri + R?) J = 2 80(0,42 + 0,32)
Pour changer la vitesse de rotation d'un corps, il faut lui appliquer un couple . Plus ce couple est élevé, plus la vitesse augmente rapidement . D'autre part, pour un couple donné, la vitesse d'un corps massif (possédant un grand moment d'inertie) change plus lentement que celle d'un corps léger . Le seul fait d'appliquer un couple ne suffit pas à faire croître la vitesse de rotation d'un corps ; on doit également y mettre du temps . C'est seulement en appliquant un couple T pendant un temps Ot que l'on réussit à changer la vitesse de rotation . Une expression très simple relie ces divers facteurs :
An =
9,55 TOt
(1-14)
J
= 10 kg m2
2
ou An = variation de vitesse, en tours par minute
Pour le moyeu droit la valeur de J est donnée par l'équation (1-12) : J-
mL 2
12 20 x (0,6) 2 = 0,6 kg-m2 12 Le moment d'inertie total du volant vaut donc : J = 10 + 0,6 = 10,6 kg .m2
[r/min] T = couple en newton-mètre [N .m] Ot = temps d'application du couple, en seconde [s] J = moment d'inertie, en kilogramme-mètre carré [kg .m 2 ] 9,55 = facteur tenant compte des unités [valeur exacte = 30/tt] Si le couple agit dans le même sens que la rotation, la vitesse augmente . Par contre, si le couple agit dans le sens contraire de la rotation, la vitesse diminue . La
NOTIONS DE MECANIQUE ET DE THERMODYNAMIQUE
valeur An peut donc représenter une augmentation ou une diminution de vitesse .
Exemple 1-9 Le volant de la Fig . 1-8 tourne à 60 r/min . On désire porter sa vitesse à 600 rhnin en lui appliquant un couple constant de 20 N •m . Calculer le temps requis .
Solution La variation de vitesse est : An = (600 - 60) = 540 r/min
J = 10,6 kg-m2
Supposons que l'on veuille faire tourner la charge dans le sens horaire à une vitesse nt . Pour ce faire, on doit augmenter le courant I, afin que TM devienne supérieur à Tc . Le couple net sur l'essieu agit dans le sens horaire . La vitesse augmente progressivement mais dès qu'elle atteint la valeur nt, on réduit le courant afin que TM soit de nouveau exactement égal à Tc . Le couple net sur le système est de nouveau nul et la vitesse nt n'a dorénavant aucune tendance à augmenter ni à diminuer (Fig . 1-15) .
La vitesse de rotation d'une charge demeure fixe lorsque le couple TM développé par le moteur est égal et opposé au couple Tc exercé par la charge .
On a donc : 9,55 Tdt J
soit 540 =
cause des couples opposés, l'essieu subit une certaine déformation due à la torsion, mais à part cela, rien ne se produit .
Ceci nous amène à une conclusion très importante .
Le moment d'inertie est:
An =
Ij
9,55 x 20 x
At
10,6
d'où Ot = 30 secondes
1 .19 Vitesse de rotation et charge d'un moteur Lorsqu'un moteur électrique entraîne une charge mécanique, on a un système régi par trois facteurs : le couple développé par le moteur, le couple exercé par la charge, et la vitesse de rotation . Nous expliquons maintenant comment ils sont reliés . Considérons une charge couplée à un moteur par l'entremise d'un essieu (Fig . 1-14) . La charge exerce un couple constant Tc qui agit dans le sens antihoraire . D'autre part, le couple TM développé par le moteur agit dans le sens horaire . De plus, on suppose que l'on peut faire varier le couple en augmentant ou en diminuant le courant I circulant dans le moteur . Supposons que le système soit initialement au repos et que TM = Tc . Puisque les couples sont égaux et agissent en sens contraires, le couple résultant est nul ; par conséquent, l'essieu n'a aucune tendance à tourner . À
De prime abord, il est difficile d'accepter cette conclusion, parce qu'on est porté à croire que le système s'arrêtera tout simplement lorsque TM = Tc . Mais tel n'est pas le cas . Le système composé du moteur et de sa charge reste plutôt dans une condition d'équilibre dynamique car le couple net est nul . Le système tournant maintenant dans le sens horaire à une vitesse nl, supposons que l'on réduise TM afin qu'il soit inférieur à Tc . Le couple net sur l'essieu agit maintenant dans le sens antihoraire . Par conséquent, tant que Tc excède TM la vitesse diminue progressivement . Si cette condition subsiste assez longtemps, la vitesse deviendra finalement nulle, après quoi le moteur se mettra à tourner en sens inverse . Si l'on ajuste le couple du moteur de sorte que TM = Tc au moment où la vitesse inverse atteint la valeur n2, le système tournera indéfiniment à cette nouvelle vitesse (Fig . 1-16) . Noter que dans les figures 1-14, 1-15 et 1-16, les trois couples TM de même que les trois couples Tc sont identiques, même si l'essieu est immobile ou si le sens de rotation est horaire ou antihoraire. Dès que les couples T M et Tc ne sont plus égaux et opposés, la vitesse se met à changer . Le taux de changement de la vitesse dépend de l'inertie des parties tournantes, aspect que nous traitons davantage à la section 1 .21 .
I -r
CLOU 1 r1U I r-unIVI000
charge
charge
charge 1
nie T
T
Î
i Moto u r
Figure 1-14 L'essieu est immobile .
moteur
Figure 1-15 L'essieu tourne dans le sens horaire à une vitesse n t .
1 .20
Echange de puissance mécanique dans un système d'entraînement Considérons le cas de la Fig . 1-15 ; on observe que le couple du moteur TM agit dans le même sens (horaire) que la vitesse n1 . Cela indique que le moteur fournit de la puissance mécanique à l'essieu . Par contre, le couple exercé par la charge agit en sens inverse de la vitesse n1 . Par conséquent, la charge reçoit de la puissance mécanique de l'essieu . On peut alors énoncer la règle générale suivante : Lorsque le couple développé par un moteur agit dans le même sens que la rotation, le moteur fournit de la puissance mécanique à la charge . Dans le cas contraire, le moteur reçoit de la puissance de la charge . Par exemple, dans le cas de la Fig . 1-16, le moteur reçoit de la puissance de la charge parce que TM et n2 agissent en sens contraires . Bien que cette condition soit inhabituelle, elle se produit pendant de courtes périodes dans plusieurs systèmes d'entraînement, notamment dans les locomotives électriques . 1 .21
Changement de vitesse d'un moteur entraînant une charge Lorsqu'un moteur entraîne une charge, la vitesse est habituellement stable. Dans cet état d'équilibre dynamique, le couple TM développé par le moteur est égal au couple Tc requis par la charge . Cependant, comme on vient de le voir, si le couple du moteur est supérieur
Figure 1-16 L'essieu tourne dans le sens antihoraire à une vitesse n 2 .
à celui imposé par la charge, la vitesse augmente . Inversement, lorsque le couple du moteur est inférieur à celui de la charge, la vitesse diminue . L'augmentation ou la diminution de vitesse An est encore donnée par l'équation (1-14), sauf que le couple T est remplacé par le couple résultant (TM - Tc) du système, soit
An =
9,55 (TM - Tc ) At
(1-15)
J ou An = changement de la vitesse de rotation
[r/min] = couple du moteur [N •m Tc = couple exercé par la charge [N •m At = intervalle durant lequel les couples TM et Tc sont appliqués [s] J = moment d'inertie de toutes les parties tournantes [kg-m2]
TM
]
]
1 .22 Moteurs et entraînements linéaires Les charges rotatives comme les ventilateurs et les pompes centrifuges sont bien adaptées pour l'accouplement direct avec des moteurs . Cependant, les charges qui se déplacent linéairement comme les grues, les trains, etc., doivent être munies d'un «convertisseur de mouvement» pour transmettre la puissance provenant d'un moteur tournant . Le convertisseur de mouvement peut être constitué d'une poulie et d'une corde, ou simplement d'une roue qui se déplace sur un rail . Ces con-
IVV I IUINb Ut MLLANIUUL t I Ut I HLFiMUUYNAMIUUL
15
vertisseurs sont tellement simples que l'on ignore souvent le rôle important qu'ils jouent . Le mouvement linéaire est caractérisé par une vitesse linéaire v et une force F . Pour le mouvement rotatif, les grandeurs équivalentes sont la vitesse de rotation n et le couple T. Quelle est la relation entre ces grandeurs dans le cas d'un convertisseur de mouvement ? Considérons le pont de levage de la Fig . 1-17 . Le moteur produit un couple T et tourne à une vitesse n . Le vérin se déplace à une vitesse v, tout en exerçant une force F. La puissance P2 utilisée pour lever la charge est :
P2
_ W _ Fd _F,d t
d'où
t
Figure 1-17 Conversion d'un mouvement rotationnel en mouvement rectiligne.
éq . 1-3 et 1-4
t Solution La force de gravité sur la voiture est :
P2 = vF
D'autre part, la puissance Pl développée par le moteur est nT P 1 = 9,55
éq.1-1
F = 9,8 m
= 9,8 x 1400 = 13 720 N éq.l-Sb En utilisant l'équation (1-16), on trouve le couple T:
Si on néglige les pertes dans le convertisseur de mouvement, on obtient :
nT = 9,55vF 1,5 m x 13 720 60s T = 1,82 N-m
1800 T = 9,55 x P2 = P1 Par conséquent, pour un convertisseur parfait,
La puissance du moteur est : nT = 9,55 vF
(1-16)
ou n = vitesse de rotation [r/min] T = couple [N .m] F = force linéaire [N] v = vitesse linéaire [m/s] 9,55 = facteur tenant compte des unités [valeur exacte = 30/n] Exemple 1-10
Le pont de la Fig . 1-17 doit soulever une voiture de 1400 kg à une vitesse de 1,5 m/min . Si le moteur électrique tourne à 1800 r/min, calculer le couple et la puissance du moteur . Négliger les pertes .
I, _ nT
éq.1-5b
9,55 1800 x 1,82 9,55 343 W THERMODYNAMIQUE
1 .23 Chaleur et température Lorsqu'on fournit de l'énergie thermique à un corps, on lui fournit de la chaleur . La chaleur est une forme d'énergie qui, dans le SI, se mesure en joules (J) . Qu'arrive-t-il quand un corps reçoit cette forme d'énergie? Premièrement, on constate que sa température aug-
mente ; on peut s'apercevoir de cette augmentation de température en le touchant de la main, mais un thermomètre permet une évaluation plus précise . Deuxièmement, les physiciens ont découvert que les atomes du corps deviennent plus agités : à l'intérieur d'un solide, ils vibrent rapidement sur place, tandis que, dans un gaz, ils se déplacent de façon désordonnée et à grande vitesse . Pour une quantité de chaleur donnée, l'augmentation de température dépend de la masse du corps et du matériau dont il est composé . Par exemple, si on fournit 100 kilojoules de chaleur à 1 kg d'eau, sa température augmente de 24 °C . La même chaleur transmise à 1 kg de cuivre provoque une augmentation de température de 263 °C . On voit donc que chaleur et température sont deux choses bien différentes . Si l'on soustrait de l'énergie thermique d'un corps, sa température diminue . Cependant, bien qu'il n'existe aucune limite supérieure à la température qu'on peut atteindre (on atteint déjà des millions de degrés), il existe une limite inférieure que l'on ne peut dépasser. Cette limite en deçà de laquelle un corps ne peut plus être refroidi s'appelle le zéro absolu . Elle correspond à une température de 0 kelvin ou -273,15 °C . Au zéro absolu, la vibration des atomes cesse et plus rien ne bouge sauf les électrons qui continuent à tourner autour des noyaux atomiques .
le fer fond
1806
T 450K le cuivre fond
1533 T 450°C
T 2791 1 8 10°F
1083
1 1981
J_ 1356
1 .24 Échelles de température Bien que l'unité SI de température soit le kelvin, le degré Celsius (°C) peut, lui aussi, être employé avec le SI. Les échelles de la Fig . 1-18 donnent la relation entre ces deux méthodes de mesure de la température . On y voit aussi l'échelle en degrés Fahrenheit . Lorsque la température d'un corps est donnée en kelvins, on dit que cela représente la température absolue du corps . On obtient la température absolue en ajoutant 273,15° à la température exprimée en °C . 1 .25 Chaleur requise pour chauffer un corps On a vu que l'augmentation de température d'un corps dépend de la chaleur qu'il reçoit, du matériau dont il est constitué, et de sa masse . C'est ce qu'exprime la relation suivante : Q = mcO
(1-17)
ou Q = quantité de chaleur, en joules [J] m = masse du corps, en kilogrammes [kg] c = chaleur massique, en J/(kg .°C), grandeur qui dépend du matériau 0 = variation de la température en °C ou en kelvins La chaleur massique de plusieurs substances est donnée au tableau A-3 en appendice . Exemple 1-11 Calculer la quantité (le chaleur requise pour augmenter la te nipétalure de 200 litres d'eau de I O °C à 70 ,` c si le réservoir est paurfaitei lent isolé ( 'i
1-191 . La chaleur massique de Veau est 4150 J/(k °C) .
l'aluminium fond
933
660
r-- 1220
le plomb fond
600
327
-621
Solution
l'eau bout l'eau gèle
373 273
100 0
-212 32
Puisqu'un litre d'eau possède une masse de 1 kg, le nombre de joules requis est:
-273
0 ul échelle Kelvin
Figure 1-18 Échelles de température .
V
-459,67
U
échelle Celsius échelle Fahrenheit
Q = = = =
mc 200 x 4180 x (70 - 10) 50 160 000 joules 50,2 MJ f
NU 1 IUNS DE MEUANIUUE E I DE I HEHMODYNAMIQUE
En fait, par suite des pertes dans la chaudière et d'autres pertes parasites, et parce que la température minimale est toujours supérieure à la température ambiante, le rendement global d'une centrale thermique dépasse rarement 40 % .
70 °c
ÈO
200 litres 10 °c Figure 1-19 Voir exemple 1-11 . 1 .26 Rendement d'une turbine à vapeur La puissance mécanique que peut fournir une turbine à vapeur dépend, non seulement de la chaleur qu'on lui fournit, mais aussi de la température d'entrée Tl et de la température de sortie T2 de la vapeur . En effet, le rendement théorique maximal d'une turbine à vapeur est donné par l'équation de Carnot :
11=1-
T (1-18) T1
ou 11 = rendement T1 = température absolue de la vapeur à l'entrée de la turbine, en kelvins [K] T2 = température absolue de la vapeur à la sortie de la turbine, en kelvins [K] Afin d'obtenir le maximum d'énergie mécanique pour une quantité de chaleur (joules) donnée, on cherche à augmenter Tl et à diminuer T2 . La température minimale T2 est imposée par la température ambiante, située habituellement aux environs de 20 °C, soit 293 kelvins . La température maximale T2 est limitée par la résistance des matériaux aux hautes températures et aux hautes pressions . Dans les turbines modernes, cette température est d'environ 500 °C, soit 773 kelvins, ce qui permet un rendement théorique maximal de = 1 _ 293 = 0,62 ou 62 % 773
I/
Tous les moteurs thermiques convertissant l'énergie thermique en énergie mécanique sont ainsi limités au rendement théorique maximal donné par l'équation (1-18) . Les moteurs à essence, les moteurs diesel et les moteurs à réaction brûlent le combustible dans le moteur même, élevant ainsi la température des gaz à T1 . Puisque la température d'échappement T2 est sensiblement supérieure à la température ambiante, ces moteurs sont limités par les mêmes contraintes que la turbine à vapeur ; leur rendement est donc encore plus faible . 1 .27 Transport de la chaleur Plusieurs problèmes en électrotechnique sont rattachés au refroidissement adéquat des dispositifs et des machines . Cela exige une connaissance du mécanisme de transport de la chaleur d'un corps à un autre . Dans les sections qui suivent nous donnons un bref aperçu du transport de la chaleur : (1) par radiation, (2) par conduction et (3) par convection . Nous donnons aussi quelques équations simples qui permettent d'évaluer approximativement la perte de chaleur et l'échauffement de l'équipement électrique . 1 .28 Propagation de la chaleur par radiation Nous sommes tous conscients de la chaleur produite par les rayons du soleil . Cette énergie radiante possède les mêmes propriétés que la lumière, passant facilement à travers le vide qui sépare la terre du soleil . L'énergie solaire se transforme en chaleur uniquement lorsque les rayons rencontrent un corps solide comme les objets ou les êtres vivants se trouvant à la surface de la terre . Les scientifiques ont constaté que, comme le soleil, tout corps rayonne de l'énergie. La quantité d'énergie dégagée dépend de la température de ce corps . Inversement, tout corps reçoit, des objets qui l'entourent, une quantité d'énergie radiante qui dépend de leur température . Il y a donc un échange continuel d'énergie radiante entre les corps matériels, chacun d'eux se comportant comme un soleil miniature . Un équilibre s'établit lorsque la température d'un corps est la même que celle des objets qui l'entourent ; le corps rayonne alors autant
d'énergie qu'il en reçoit, et sa radiation nette est nulle . Par ailleurs, si le corps est plus chaud que son environnement, il perd de la chaleur par radiation, même s'il est situé dans le vide parfait . 1 .29 Calcul des pertes par radiation Soit un corps de surface A, à une température Tt, placé dans une enceinte dont les parois sont à la température T2 . La puissance nette P irradiée par le corps est donnée par la formule
t1
C
400°C 20 cm
7W murs de la pièce
-3 cm
P= k4 (T4-T2 )
(1-19) Figure 1-20 Voir exemples 1-12 et 1-14 .
où P = puissance irradiée, en watts [W] A = surface du corps, en mètres carrés [m 2] T i = température absolue du corps, en kelvins [K] T2 = température absolue des parois, en kelvins [K] k = constante de radiation [W/(m2.K4)] Le tableau 1-6 donne les valeurs de la constante de radiation k pour quelques surfaces que l'on peut rencontrer dans le calcul des pertes par radiation .
Exemple 1-12 Une résistance cylindrique de 20 cm de long, 3 cm de diamètre a une superficie de 188 cm 2 (Fig . 1-20) . Si elle fonctionne à une température de 400 °C lorsqu'on la dépose dans une pièce dont la température ambiante est 20 C, calculer la puissance nette dégagée par radiation . Prendre k = 5 x 10 - K .
La résistance dissipe 186 W par radiation . 1 .30 Transport par conduction Si l'on chauffe une des extrémités d'un barreau d'acier avec une flamme (Fig . 1-21), on constate que la chaleur se propage graduellement vers l'autre extrémité . On dit alors qu'il y a propagation de la chaleur par conduction ; les atomes du barreau situé près de la flamme deviennent plus agités et leur agitation thermique se transmet de proche en proche aux atomes voisins, jusqu'à l'autre bout du barreau . Le transport de la chaleur par conduction se fait plus ou moins bien selon la nature de la substance . Ainsi, le cuivre est un meilleur conducteur que l'acier alors que les isolants sont reconnus comme étant de très mauvais conducteurs de la chaleur.
Solution Calculons d'abord les températures absolues Tl et T2 . Ti = t i
+ 273
= 400 + 273 = 673 K + 273
T2 = t2
= 20 + 273 = 293 K On obtient d'après la formule 4
4
P=kA(Tl -T2 ) = 5 x le x 0,0188(6734 - 2934 ) =193-7=186W
Figure 1-21 Transport de la chaleur par conduction, par convection et par radiation .
1 .31
NOTIONS DE MECANIQUE ET DE THERMODYNAMIQUE
17
Calcul des pertes par conduction
La perte de chaleur par conduction fait intervenir la conductivité thermique  du matériau transportant la chaleur. L'unité SI de conductivité thermique est le watt par mètre-degré Celsius [W/(m .°C)] . Les tableaux A-2 et A-3 en appendice donnent la conductivité thermique ~ pour plusieurs matériaux utilisés en électrotechnique .
TABLEAU 1-6
ÉMISSIVITÉ DES MATÉRIAUX
nature de la surface
constante de radiation W/(m2 •K4)
argent poli acier oxydé cuivre ordinaire cuivre oxydé émail non métallique matériaux isolants nichrome oxydé peinture aluminium
0,2 x 10 -8 4 x 10 -8 1 3 5 5 2
3 x 5 x 2 x
peinture non métallique tungstène émetteur parfait
Soit une plaque d'un matériau ayant une épaisseur d et dont les deux faces ont une surface A . Si l'on connaît la valeur de la conductivité thermique du matériau et les températures t t et t2 respectives des deux faces, on peut calculer la quantité de chaleur qu'il transporte en utilisant la formule suivante (voir la Fig . 1-22) = ÀA (t 1 -t2 )
5,669
10 -8 10 -8 10 -8 10 -8 10 -8 10 -8 10 -8 10 -8 x 10 -8
Exemple 1-13 La différence de température entre les deux faces d'une plaque de mica ayant les dimensions données à la Fig . 1-23 est de 50 °C . Calculer la puissance transmise sous forme de chaleur, en watts .
Figure 1-22 Transport de la chaleur par conduction .
P
x x x x x
Solution
D'après le tableau A-2 en appendice, la conductivité
(1-20)
d
où
• = puissance (en chaleur) transmise, en watts [W] • = conductivité thermique du matériau, en watts par mètre-degré Celsius [W/(m °C)] A = surface du matériau, en mètres carrés [m 2] t1, t2 = températures respectives des deux faces, en degrés Celsius [°C] • = épaisseur du matériau, en mètres [m] La chaleur transportée dépend de la différence de température (tt - t2 ) entre les deux faces . De plus, elle est toujours transportée de la face la plus chaude vers la face la moins chaude .
3 mm Figure 1-23 Voir exemple 1-13 .
thermique du mica est 0,36 W/(m .°C) . La chaleur transmise vaut donc: ÂA
(tt
- t 2)
P = d
__ 0,36 x 0,02 (120-70) 0,003 120 W
LV
LLLV
111V
I
LVI
IIVIV(VL
1 .32 Transport de la chaleur par convection Dans la Fig . 1-21, un barreau de fer, dont une extrémité est chauffée par une flamme, transmet la chaleur par conduction à l'autre extrémité . En même temps, une partie de la chaleur transmise se perd par radiation . De plus, l'air se trouvant en contact avec le barreau se réchauffe et, devenant ainsi plus léger, il se met à monter comme dans une cheminée . En montant, l'air chaud est aussitôt remplacé par de l'air frais qui, à son tour, est réchauffé . Il se produit donc une circulation d'air autour du barreau qui perd ainsi une autre partie de la chaleur par convection . Le même phénomène se produit lorsque l'on place un corps chaud dans un liquide comme de l'huile . L'huile en contact avec le corps se réchauffe, créant ainsi des courants de convection qui suivent le chemin tracé à la Fig . 1-24 . Lorsque l'huile arrive en contact avec la cuve métallique, elle se refroidit et, devenant plus lourde, elle glisse vers le bas pour ensuite remonter de nouveau le long du corps chaud . La chaleur dégagée par le corps chaud se trouve ainsi transportée par les courants de convection vers la cuve extérieure . La chaleur se dégage particulièrement bien lorsqu'on utilise un ventilateur pour forcer une circulation plus rapide d'air frais . Ce mode de transport de la chaleur par convection forcée est employé dans la plupart des moteurs électriques pour assurer un refroidissement efficace. 1 .33 Calcul des pertes par convection La perte de chaleur par convection d'un corps à l'air libre est donnée par la formule approximative : P = 3A (t, -
t2 ) "25
(1-21)
Figure 1-24 Courants de convection dans un liquide .
Solution
On a : tt = 400 °C t2 = 20 °C A = 188 cm2 = 0,0188 m 2 d' où t2) 1 .25 P = 3A (t, -
= 3 x 0,0188 (400 - 20) 1 = 95 watts
.25
En considérant les pertes par radiation calculées dans l'exemple 1-12, la résistance perd donc au total P = (186 + 95) = 291 W Remarquer que la chaleur dissipée par radiation est deux fois plus grande que celle dissipée par convection . Dans le cas d'une convection forcée, telle que celle produite par un ventilateur, la quantité de chaleur transportée est donnée par :
où P = chaleur dissipée par convection, en watts [W] A = surface du corps, en mètres carrés [m 2 ] tt = température de la surface [°C] t2 = température de l'air ambiant [°C] Exemple 1-14
Calculer la perte de chaleur par convection pour la résistance de la Fi
P = 1280 D (t2 - t, )
(1-22)
ou P = chaleur transportée par convection forcée [W] D = débit d'air refroidissant [m3/s] t1 = température de l'air à l'entrée [°C] t2 = température de l'air à la sortie [°C] 1280 = constante tenant compte des unités
NOTIONS DE MECANIQUE ET DE THERMODYNAMIQUE
Exemple 1-15 Un ventilateur utilisé pour refroidir un moteur de 750 kW fait circuler 240 m 3/min d'air frais dans la machine . Si la température de l'air â l'entrée est de 22 °C et de 31 °C à la sortie, calculer les pertes approximatives dans le moteur.
Solution Les pertes de la machine sous forme de chaleur sont :
ÉNERGIE kilotonne TNT 1,167x 106 kilowattheure 3,6 y mégajou e
1000
British thermal unit
P = 1280D (t2 - t 1 ) = 1280 x
LI
Btu
1,055
240 (31 - 22) = 46 080 W 60
= 46 kW
1000
calorie 4,184
1 .34 Conversion des unités Au cours des années, les unités utilisées en électricité, en mécanique et en thermodynamique ont évolué graduellement pour devenir aujourd'hui les unités SI . Toutefois, on doit à l'occasion convertir les anciennes unités en unités SI . C'est alors que les tables de conversion fournies en appendice au tableau A-1 s'avèrent particulièrement utiles . Elles sont composées de boîtes rectangulaires représentant diverses unités . Les boîtes sont réunies par des flèches portant chacune un chiffre . Pour passer d'une unité à une autre, on doit traverser une, deux ou plusieurs flèches . On applique alors la règle suivante :
jou e 1 newton-mètre
r1 watt-seconde 6,24 x 10 16
y électronvolt
eV
Figure 1-25 Table servant à la conversion des unités d'énergie .
7 kW-h = 7 x 3,6 x 1000 x 1000 J Lorsqu'on circule dans le sens de la flèche, on multiplie par le chiffre associé ; lorsqu'on circule dans le sens contraire, on divise . Les exemples suivants illustrent la méthode . Exemple 1-16 Convertir 7 kilowattheures en joules . Solution En se référant à la table de conversion intitulée ÉNERGIE (Fig . 1-25), on doit traverser trois flèches afin de passer de kilowattheure à joule ; en appliquant la règle, on obtient :
= 25,2 x 10 6 J = 25,2 MJ Exemple 1-17 Convertir 777 calories en kilowattheures . Solution En utilisant la même table, on doit traverser quatre flèches, dont trois dans le sens opposé à la flèche . On obtient donc : 777 calories = 777 x 4,184 - 1000 - 1000 - 3,6 = 9,03 x 10-4 kW . h
LL CLCIJ I r1V
I CL,fIIN UUC
1 .35 Mesures en valeurs relatives, système P.U . Les unités de mesure SI mentionnées à la section 1 .34 servent à exprimer la valeur d'une grandeur. Par exemple, la masse est exprimée en kilogrammes, la puissance en watts et la tension en volts . Toutefois, on peut souvent mieux apprécier l'amplitude d'une grandeur en la comparant à une autre grandeur semblable . Supposons, par exemple, que le poids moyen d'un adulte soit 60 kg . On peut alors comparer le poids de n'importe quel individu à ce poids moyen . Ainsi, une personne pesant 72 kg aurait un poids relatif de 72/60 = 1,2 . Une autre personne pesant 52 kg aurait un poids relatif de 52/60 = 0,87 . Afin de signaler qu'il s'agit bien d'une mesure relative, on ajoute le symbole p .u .* après le chiffre . Ainsi, les poids des deux individus exprimés en valeurs relatives sont respectivement 1,2 p .u . et 0,87 p .u . Le système de mesure p .u . a l'avantage de donner le poids d'une personne par rapport à un étalon convenable, appelé base du système . Dans notre cas, le poids de base est 60 kg . Ainsi, si l'on indique qu'un boxeur poids lourd pèse 1,7 p .u ., on remarque immédiatement que son poids est bien supérieur à la moyenne et que, de plus, sa masse est de 1,7 x 60 = 102 kg . Noter que la valeur d'une grandeur exprimée en p .u . est un simple nombre sans dimension . Ainsi, il est faux de dire que notre boxeur pèse 1,7 kg . Son poids est 1,7 unités, l'unité choisie étant 60 kg . En général, un système de mesure p .u . utilise une ou plusieurs grandeurs comme bases de comparaison . Dans ce livre, nous aurons à choisir des bases convenables principalement pour la puissance, la tension et la vitesse de rotation . 1 .36 Système p .u . à base unique Si l'on choisit une seule grandeur comme étalon, on dit que ce système p .u . possède une seule base . La base peut être une puissance, une tension ou toute autre grandeur . Supposons, par exemple, que trois moteurs possèdent des puissances de 25 kW, 40 kW et 150 kW. Adoptons comme base une puissance P B de 50 kW. Les puissances relatives sont calculées comme suit:
Moteur
puissance du moteur
puissance relative du moteur
A
25 kW
25 - 50 = 0,5 p .u .
B
40 kW
40 _ 50 = 0,8 p .u .
C
150 kW
150 _ 50 = 3 p .u .
On pourrait aussi bien choisir une base de 15 kW . Dans ce cas les puissances relatives seraient: 25 kW - 15 kW = 1,67 p .u . 40 kW =15 kW = 2,67 p .u . 150 kW =15 kW =10p .u . Il est évident que pour trouver la valeur réelle d'une grandeur exprimée en p .u. on doit connaître la valeur de la base . Cependant, même si on ne la connaît pas, la valeur en p .u . est une indication de sa valeur relative, ce qui est souvent fort utile . Exemple 1-18
Dans un système p .u ., on choisit une longueur de hase Lh a , = 6 m . Déterminer la valeur en [mi . des grandeurs suivantes : a) une longueur de 9 in h) une surface de 28 m' C) un volume de 24 in 3 Solution
a) la longueur en p .u . de 9 m est : L
L réelle P .U .
=
L
= 9 m = 1,5 pu . 6 m
b) afin de calculer la valeur relative de la surface, on doit d'abord trouver la valeur de la surface de base : S base
x L base = 6m x 6m = 36m 2 L base
donc, la valeur en p .u . de 28 m 2 est :
S P .U .
=
S'il ree e
P
Sbase
Le symbole «p .u .» est une abréviation de «par unité» ; en anglais «per unit» .
28 m
2
36 mZ _
'jô p .u .
NOTIONS DE MECANIQUE ET DE THERMODYNAMIQUE
c) Sachant que Lasse = 6 m, on trouve que le volume de base est : Vbase=6mx6mx6m=216m 3 La valeur relative de 24 m 3 est donc : V
= Vréelle _ 24 m3 = 0, l 1 g p' u . 216 m Vbase
p .u .
1 .37 Système de mesure p.u . à deux bases En électrotechnique, le système p .u . devient particulièrement utile lorsqu'on utilise deux bases . Les bases sont habituellement une tension EB et une puissance PB . Ainsi, la base de tension pourrait être de 4 kV et la base de puissance, 500 kW . On peut choisir les bases indépendamment l'une de l'autre . Il est important de noter que dès que l'on a choisi les valeurs de base EB et PB, le courant de base IB et l'impédance de base ZB sont aussitôt imposés par les lois de l'électricité . On aura ainsi : PB
(1-23)
IB = EB
et
Li
1 .38 Système de mesure p.u . à trois bases Lors de l'étude des machines électriques rotatives, on sélectionne trois grandeurs de base : (1) la puissance, (2) la tension, et (3) la vitesse de rotation . Dans ce cas, on choisit comme bases les valeurs nominales inscrites sur la plaque signalétique de la machine . À partir de ces bases on peut facilement déterminer la valeur de base du courant, du couple et de la résistance . L'exemple suivant montre la façon de procéder . Exemple 1-20 La plaque signalétique d'un moteur à courant continu donne l'information suivante : Puissance : 30 kW Tension : 240 V vitesse : 1200 r/min résistance du champ shunt : 42 S2 a) Calculer la valeur de base de la résistance et du couple b) Sachant que le moteur développe un couple de 0,3 p.u . lorsqu'il tourne à une vitesse de 0 .65 p .u . exprimer ces valeurs en tenues réels c) Calculer la valeur relative de la résistance du champ shunt
EB
(1-24)
ZB = IB
Solution a) La valeur de la résistance de base est :
Exemple 1-19 Une source possède une tension nominale de 4 kV et une puissance nominale de 500 kW. Connaissant ces deux grandeurs de base, calculer les valeurs du courant de base et de l'impédance de base .
R
2 = Ebase =
2402
p base
30 000
base
= 1,92 52
La valeur du couple de base est donnée par l'équation (1-5), soit :
Solution Le courant de base est :
9,55
Pbase
Tbase = nbase
I B
= pB EB
=
500 000 W = 125 A 4000 V
9,55 x 30 000
= 239 N •m
1200 et l'impédance de base est : Z
=
B
EB = 4000 V = 32Q IB 125 A
Par conséquent, ce système p .u . à deux bases donne en réalité un système à quatre bases .
b) Un couple de 0,3 p .u. correspond à une valeur réelle de : Tréel
= Tp .u . X Tbase = 0,3 x 239 = 71,7 N-m
L`t r-LLU I MU
I tI,F1INIUVr-
Une vitesse de 0,65 p .u . correspond à une valeur réelle de : n réel
= np.u . = 0,65
X
X
n base
1200 = 780 r/min
c) La valeur relative de la résistance du champ shunt est :
R
R réelle p .e shunt
42 S2
= 21,9 p .u .
= Rbase- = 1,92 £2
1-39 Résumé Dans ce chapitre nous avons présenté les lois de la mécanique et de la thermodynamique qui gouvernent le fonctionnement des appareils et machines électriques . Nous y ferons référence dans les chapitres ultérieurs . La force, la puissance, le travail et l'énergie associés à un corps immobile ou en mouvement rectiligne peuvent être calculés par des équations simples . Tout corps en mouvement possède une énergie cinétique dépendant de sa masse et de sa vitesse . Les corps en rotation que sont les moteurs et générateurs constituent une partie importante des appareils utilisés en électrotechnique. Dans ce cas les trois grandeurs utilisées dans les équations régissant le mouvement rectiligne, soit laforce, la vitesse et la masse, sont remplacées respectivement par le couple, la vitesse de rotation et le moment d'inertie . Ce dernier est fonction de la masse et de la géométrie du solide . Nous avons vu que pour changer la vitesse de rotation d'une machine tournante il faut appliquer sur son arbre un couple net (différence entre le couple développé par la machine et le couple imposé par la charge) pendant un certain temps . Nous avons aussi présenté les principales lois et équations de thermodynamique gouvernant l'échauffement ou le refroidissement d'un corps . La quantité de chaleur ou d'énergie requise pour provoquer un changement de température donné dépend de la masse de ce corps et de la chaleur massique du matériau dont il est constitué . Nous avons vu aussi que le refroidissement des appareils électriques dissipant de la chaleur peut s'effectuer de trois façons : par radiation, par conduction et par convection . Nous avons donné les formules permettant de calculer ces pertes .
Nous savons aussi que l'énergie peut exister sous plusieurs formes : mécanique, thermique, électrique et atomique . Nous étudierons dans ce manuel les différents dispositifs permettant de stocker l'énergie ou de la transformer d'une forme à une autre . L'énergie ne se perd pas ; elle peut seulement se transformer. Le rendement d'une machine exprimé en pour cent définit le rapport entre l'énergie utilisable et l'énergie fournie . La différence entre ces deux énergies constitue les pertes dissipées en chaleur. Pour une machine thermique (ex . : turbine à vapeur, moteur à explosion) le rendement théorique dépend exclusivement de la température des gaz à l'entrée et à la sortie . Enfin, nous avons présenté le système d'unités utilisé dans ce manuel et adopté par tous les pays, soit le Système international d'unités ou SI . Il comprend sept unités de base dont sont dérivées toutes les autres unités . Des tableaux donnés en appendice facilitent la conversion des anciennes unités aux unités SI . Nous avons aussi expliqué le système p. u couramment utilisé en électrotechnique . Il consiste à exprimer les différentes grandeurs en unités relatives (p .u .) plutôt qu'en unités réelles (SI) . Il a l'avantage de permettre une évaluation rapide d'une grandeur en la comparant à une valeur de base, comme la tension nominale ou la puissance nominale d'un appareil.
PROBLÈMES -CHAPITRE 1 Niveau pratique 1-1 Exprimer en chiffres les expressions suivantes : 103 10-2 4 x 10 5 3x10-3 3,1 x 102 1-2 Convertir les chiffres suivants en utilisant des exposants et un seul chiffre avant la virgule : 3000
4 300 000
0,0003
0,000 000 752
1-3 Quelle valeur est associée aux préfixes SI suivants? kilo micro milli méga nano giga 1-4 Nommer les unités SI de force ; de travail ; de pression ; de surface ; de masse ; d'énergie ; de puissance ; de température . 1-5 Un bloc de ciment a une masse de 40 kg . Quelle est la force d'attraction de la gravité sur ce bloc? Quelle force doit-on exercer pour le soulever?
NOTIONS DE MECANIQUE ET DE THERMODYNAMIQUE
1-6 Quel travail faut-il dépenser pour soulever une poche de sable de 75 kg d'une hauteur de 4 mètres? 1-7 Un pont-roulant élève un poids de 600 kg d'une hauteur de 20 m en 15 secondes . Évaluer en watts, et en hp, la puissance développée . 1-8 Un moteur électrique développe une puissance mécanique de 50 kW. Déterminer son rendement ainsi que la puissance dissipée sous forme de chaleur sachant qu'il absorbe 55 kW de la ligne d'alimentation .
LS
1-19 Évaluer la consommation d'énergie journalière de la ville de Québec dont la population est de 500 000 personnes . 1-20 Un gros transformateur pour usage intérieur recouvert d'une peinture non métallique doit être rénové et on se propose d'utiliser une peinture à base d'aluminium . La température de l'appareil sera-t-elle affectée? Si oui, sera-t-elle plus basse ou plus élevée qu'auparavant? Niveau avancé
1-9 Un mécanicien exerce une force de 200 newtons au bout d'une clef dont la longueur est de 0,3 mètres . Calculer le couple exercé sur le boulon . 1-10 Un moteur d'automobile tourne à une vitesse de 400 r/min lorsqu'il développe un couple de 600 N .m . Quelle est sa puissance en watts? 1-11 À combien de watts équivaut une puissance de 1 horsepower? 1-12 Une puissance de 2408 ch correspond à combien de hp? 1-13 Nommer et expliquer les 3 modes de transport de la chaleur. 1-14 Par quel moyen peut-on assurer une forte perte de chaleur par convection?
1-21 Une plaque recouverte d'un émail non métallique (k = 5 x 10-8 W/m2 •K4 ) fonctionne à une température de 80 °C dans un milieu où la température ambiante est de 20 °C . Calculer la perte totale en chaleur si la surface est de 3 m 2 . 1-22 Un plancher de ciment chauffé à l'électricité a une superficie de 100 m x 30 m. Sa température surfacique est de 25 °C lorsque la température ambiante est de 23 °C . Quelle est la chaleur approximative dégagée par le plancher, en kilowatts? 1-23 Une grande fenêtre de 1 m x 3 m possède une épaisseur de 10 mm . Calculer la perte de chaleur par conduction, en watts, lorsque la température intérieure est de 22 °C alors que la température à l'extérieur est de -15 °C .
Niveau intermédiaire 1-15 Dans le cylindre d'un moteur d'automobile, les gaz atteignent une température de 500 °C . Quel est le rendement maximal possible du moteur si la température ambiante est de 20 °C? 1-16 Convertir les unités suivantes en unités SI, en utilisant le tableau A-1, en appendice : 3 hp
4 livres masse
10 gallons canadiens
3 acres 42 livres force 4 gallons américains 5 pieds 3 pouces . 1-17 Un système de chauffage résidentiel consomme 6 tonnes métriques de charbon pendant l'hiver . Quelle est l'énergie calorifique disponible si le rendement de la chaudière est de 50 %? 1-18 S'il fallait utiliser du pin sec pour chauffer la résidence du problème 1-17, combien de tonnes de bois seraient requises?
1-24 Un moteur électrique blindé de 450 kW ayant un rendement de 90 %, est refroidi par une circulation forcée de l'air. Lors de son passage à travers les enroulements, l'air se réchauffe . Si l'on désire limiter l'augmentation de la température de l'air à une valeur maximale de 20 °C, calculer le débit d'air requis en mètres cubes par minute . 1-25 Une boîte métallique en forme de cube (2 m x 2 m x 2 m) renferme une résistance de 10 kW. Un ventilateur assure une température uniforme à l'intérieur de la boîte . Les parois sont en fer, et elles ont une épaisseur de 10 mm . Calculer la différence de température entre l'intérieur et l'extérieur des parois . 1-26 Dans le problème 1-25, si l'on recouvre la boîte d'une couche d'époxy ayant une épaisseur de 10 mm, quelle sera la nouvelle différence de température entre l'intérieur et l'extérieur de la boîte?
Lb
tLtU I MU I L(jhINIUUt
1-27 Dans le problème 1-26, calculer la température approximative à l'intérieur de la boîte si la température ambiante est de 20 °C . Suggestion : en choisissant une température quelconque à la surface de la boîte, trouvez, par approximations successives, la température qui produit une dissipation de 10 kW par radiation et convection . 1-28 Combien de Btu sont nécessaires pour élever la température de l'eau d'un réservoir de 50 gal (EU) de 55 °F à 180 °F en supposant que l'isolation thermique soit parfaite? Combien de temps cela prendra-t-il si on utilise un élément chauffant de 2 kW? 1-29 Quatre personnes pèsent respectivement 70 kg, 80 kg, 60 kg et 55 kg . On prend comme base un poids de 75 kg . Calculer le poids relatif des personnes . 1-30 Un arbre a une hauteur relative de 3 p .u. Sachant que la longueur de base est de 2,5 m, calculer la hauteur réelle de l'arbre . 1-31 Dans une municipalité, on prend comme base une longueur de 5 m . a) Calculer la valeur de la superficie de base ; b) Un terrain mesure 20 m x 45 m . Exprimer ces dimensions en valeurs relatives ; c) Exprimer la superficie du terrain en p .u .
1-32 Une ferme de 35 000 m 2 possède une superficie de 8,648 p .u . Calculer : a) la base de superficie, en mètres carrés b) la base de longueur, en mètres c) la base de superficie, en acres 1-33 Dans un circuit électrique, on prend comme bases une puissance de 15 kW et une tension de 240 V . Calculer: a) le courant de base b) la résistance de base 1-34 Une résistance est alimentée par une tension relative de 4 p .u . et elle dégage en chaleur une puissance relative de 8 p .u . Calculer : a) la valeur relative de la résistance b) le courant relatif circulant dans la résistance 1-35 Un moteur ayant une puissance de 4,2 p .u . tourne à une vitesse de 1,2 p .u . a) calculer le couple relatif développé par le moteur b) la puissance de base étant de 1 hp, calculer la puissance du moteur en kilowatts
2 Nature de l'électricité
Afin de comprendre la nature et l'origine de l'électricité, on doit examiner la structure même de la matière . Dans ce chapitre, nous étudierons les propriétés élémentaires des électrons et leur distribution à l'intérieur d'un corps . Nous verrons aussi les propriétés des protons et des neutrons, ainsi que la composition atomique de quelques éléments utilisés en électrotechnique .
deux atomes d'hydrogène et d'un atome d'oxygène . La molécule d'ozone, un gaz libéré lors d'une décharge électrique, est composée de 3 atomes d'oxygène . Enfin, la molécule de caoutchouc contient une chaîne d'au moins 5000 atomes de carbone et 8000 atomes d'hydrogène (Fig . 2-1) . Si l'on fractionnait un échantillon de caoutchouc comme on l'a fait pour l'aluminium, il faudrait, rendu au stade de la molécule, arrêter la subdivision, sans quoi les propriétés de la particule subdivisée ne seraient plus les mêmes que celles de l'échantillon initial .
2.1 Nature de la matière Prenons un bloc d'aluminium et coupons-le en deux . Reprenons une des parties et séparons-la également en deux . Si nous continuons ce procédé de fractionnement des milliers et des milliers de fois, nous atteindrons une limite où il ne sera plus possible de subdiviser la particule d'aluminium extrêmement petite ainsi obtenue, sans en changer les propriétés caractéristiques, c'est-à-dire sans modifier la nature même de l'aluminium . Cette dernière particule est appelée atome .
2.2 Attraction entre atomes et molécules Les atomes et les molécules s'attirent avec une force gravitationnelle identique à celle qui attire une pomme vers la terre . La force d'attraction augmente à mesure que les molécules se rapprochent, mais elle demeure faible à moins que les molécules soient très serrées les unes contre les autres .
La matière est ainsi composée d'atomes dont la structure particulière caractérise les différents éléments tels que l'aluminium, le carbone, le cuivre, l'hydrogène, l'oxygène, etc .
Les molécules d'un gaz sont relativement éloignées les unes des autres ; par conséquent, les forces d'attraction sont négligeables, ce qui explique leurs mouvements indépendants et désordonnés .
Dans la plupart des substances, cependant, la plus petite particule qui conserve toutes les propriétés originales est la molécule . Une molécule est un groupement de deux, trois, quatre, parfois jusqu'à des milliers d'atomes . La molécule d'eau, par exemple, est formée de
Par contre, les atomes d'un corps solide sont tellement rapprochés les uns des autres que la force d'attraction devient très grande, ce qui donne au corps cette rigi27
LO
tLtl, 1 NU
1
tUMIIUL)t
dité que l'on connaît . Contrairement aux molécules d'un gaz, les molécules (ou atomes) d'un corps solide ne sont pas libres de se déplacer, mais demeurent figées sur place . Elles vibrent seulement dans leur position captive, l'amplitude des vibrations augmentant avec la température . Si la température est suffisamment élevée, les vibrations intenses réussissent à éloigner les molécules les unes des autres, de sorte que les forces d'attraction ainsi affaiblies transforment le solide dur en liquide .
eau, H 2 O
L'atome d'aluminium est représenté schématiquement à la Fig . 2-2 . Il comporte un noyau central autour duquel gravitent 13 électrons sur des orbites définies (représentées par des traits pointillés) . Ces électrons sont répartis en couches concentriques comme suit : la couche interne est complète avec deux électrons, la couche intermédiaire est très compacte et très stable avec huit électrons, enfin la couche périphérique ne compte que trois électrons . Toute substance est ainsi formée d'un ensemble d'atomes . La constitution de ces atomes varie d'un corps à l'autre, le noyau étant plus ou moins lourd et les électrons, plus ou moins nombreux . (Voir l'atome de cuivre et l'atome d'hydrogène, Fig . 2-2 .)
®® (a)
plus grande que les électrons seront plus près du noyau .
(b) ozone, 0 3
2 .4 Dimensions de l'atome Même si l'atome est extrêmement petit, on a pu néanmoins, par des procédés ingénieux, évaluer ses dimensions, son poids et sa charge électrique .
(c) partie d'une molécule de caoutchouc (C S H 8 )„
Figure 2-1 Représentation des molécules d'eau, d'ozone et de caoutchouc avec leurs formules . La molécule de caoutchouc est formée d'une longue chaîne de groupements C5H8, ce qui lui confère sa souplesse .
2.3 Structure atomique S'il était possible de le voir, on constaterait que tout atome est composé d'un noyau très petit, très lourd et portant une charge électrique positive (+) autour duquel tournent à une très haute vitesse des électrons portant des charges négatives (-) . La charge totale des électrons neutralise la charge positive du noyau de sorte que l'atome est, dans son ensemble, électriquement neutre . L'atome peut être comparé au système solaire, dans lequel le soleil remplit le rôle du noyau et les planètes, celui des électrons . C'est un fait vérifié expérimentalement que les corps chargés électriquement donnent naissance à des effets d'attraction et de répulsion . Les charges électriques de même signe se repoussent tandis que les charges de signe contraire s'attirent. On conçoit donc qu'il existe des forces d'attraction électriques entre le noyau (+) et les électrons (-) d'un atome ; cette force sera d'autant
(a) hydrogène, H
(b) aluminium, AI
Figure 2-2 Structure simplifiée de quelques atomes .
NATURE DE L'ELECTRICITE
29
L' atome d'aluminium est tellement petit qu'il faudrait en mettre environ 100 millions bout à bout pour former une chaîne d'une longueur égale à un centimètre . L'atome le plus simple est celui de l'hydrogène parce qu'il ne comporte, autour de son noyau, qu'un seul électron. L'exemple suivant nous permet de fixer les dimensions relatives du noyau et de l'électron . Imaginons qu'on puisse grossir un atome d'hydrogène 100 millions de millions (100 x 106 x 106) de fois . On pourrait alors représenter le noyau de l'atome par un grain de sel et l'électron par une balle légère de 10 cm de diamètre, tournant autour de ce noyau à une distance d'environ 5 kilomètres . D'après cet exemple, on réalise que la plus grande portion de l'atome est vide . En effet, s'il était possible de comprimer les électrons et les noyaux ensemble, on pourrait placer toute la matière d'une grande ville dans une boîte d'allumettes . Si on ne peut pas toujours voir à travers un corps, qui pourtant est formé d'atomes si vides, c'est que les rayons lumineux sont déviés par les atomes . 2.5 Électrons libres Revenons maintenant à l'atome d'aluminium de la Fig . 2-2 . On a vu qu'il n'y a que trois électrons sur l'orbite extérieure . Ces trois électrons, étant très peu retenus par le noyau, sont relativement libres et, dans un échantillon d'aluminium, ils sautent continuellement d'un atome à un autre dans toutes les directions (Fig . 2-3) . On les appelle électrons libres par opposition à ceux qui restent liés au noyau . Ces électrons libres se déplacent avec une très grande mobilité dans les espaces entre les atomes et, dans leur mouvement désordonné, frappent les atomes avoisinants . Leur vitesse est de l'ordre de 1000 kilomètres par seconde . Cependant, même si, dans un bloc de métal, ils sont en constante agitation, ils ne quittent pas le métal . Comme le nombre total de noyaux et d'électrons ne change pas, le bloc de métal sera électriquement neutre . La Fig . 2-3 n'est évidemment pas à l'échelle car un centimètre cube d'aluminium compte plus de 10 22 électrons libres . Si maintenant, par un procédé quelconque, on arrache un certain nombre d'électrons au bloc de métal, la charge positive des noyaux ne sera plus exactement équilibrée par la charge négative des électrons, de sorte que la charge électrique résultante du bloc sera positive (+) . Inversement, quand on ajoute des électrons à
Figure 2-3 Les électrons libres à l'intérieur d'un morceau d'aluminium sautent continuellement d'un atome à l'autre .
un bloc de métal originellement neutre, l'excédent d'électrons lui donnera une charge résultante négative (-) . En somme, un corps devient positif ou négatif suivant qu'il y a manque ou surabondance d'électrons . 2.6 Conducteurs et isolants Les corps métalliques comme le cuivre et l'aluminium ne possèdent respectivement qu'un et trois électrons périphériques dans leur atome. Ces corps peuvent abandonner très facilement ces électrons ou en recevoir d'autres aussi facilement, et sont donc d'excellents véhicules d'électrons . On les appelle conducteurs . Il n'en est pas ainsi des corps, comme le caoutchouc, dont les électrons sont retenus énergiquement à leurs noyaux par des forces considérables . Ces corps n'ont pratiquement pas d'électrons libres, et ils sont nommés isolants. La quantité d'électrons libres est précisément ce qui distingue les corps bons conducteurs d'électricité des isolants ; les électrons se déplacent facilement dans les conducteurs, difficilement dans les isolants . Un isolant parfait, interposé entre deux conducteurs, s'oppose à tout échange d'électrons entre eux . 2 .7 Distribution des électrons libres Ordinairement, les électrons libres à l'intérieur d'un barreau d'aluminium sont répartis uniformément, de sorte que chaque millimètre de sa longueur soit électriquement neutre (Fig . 2-4a) . Mais imaginons que l'on puisse, par un moyen quelconque, chasser un grand nombre d'électrons vers une extrémité du bar-
30
ELECTROTECHNIQUE
reau, celle-ci deviendra négative . L'autre extrémité, privée de ses électrons habituels, aura une charge nette positive (voir Fig . 2-4b) . Le barreau aura donc des extrémités positive et négative bien que, dans son ensemble, il demeure neutre, n'ayant ni perdu ni gagné d'électrons . Mais cette distribution inégale des électrons est anormale et l'équilibre sera rétabli dès que l'influence extérieure qui a provoqué la migration aura disparu .
2 .9 Courant électrique Si on relie les deux bornes d'une pile au moyen d'un conducteur (Fig . 2-5), les électrons, en surcroît sur la borne négative, se repousseront mutuellement et chasseront les électrons libres du conducteur vers la borne positive. De plus, cette borne positive, présentant un manque d'électrons, attirera énergiquement les électrons libres . Il en résulte un mouvement continuel d'électrons dans le conducteur, de la borne négative à la borne positive . C'est ce mouvement d'ensemble des électrons libres qui constitue le courant électrique .
(a)
(b)
Figure 2-4 a . Distribution uniforme des électrons libres à l'intérieur d'un barreau métallique . b . Distribution non uniforme des électrons libres .
2 .8 Sources d'électricité Pour produire (ou générer) de l'électricité, il faut changer le peuplement relatif des électrons entre deux points . Les dispositifs capables de créer un tel surplus d'électrons à un point et un manque à un autre point sont appelés générateurs ou sources d'électricité .
Le mouvement d'ensemble des électrons est lent car ils rencontrent sur leur passage un très grand nombre de noyaux d'atomes qui les font dévier et les retardent. Ainsi, la vitesse d'entraînement des électrons dans un conducteur qui alimente une lampe à incandescence de 60 watts sous une tension de 120 volts est seulement de l'ordre de 5 centimètres à l'heure . Bien que cette vitesse soit très faible, le courant électrique s'établit très vite d'un bout à l'autre d'un conducteur (à une vitesse qui se rapproche de celle de la lumière: 300 000 kilomètres par seconde) . Au moment où l'on raccorde un conducteur à une source d'électricité, des électrons supplémentaires sont introduits à l'une des extrémités du conducteur. Presque instantanément, les électrons libres localisés à l'autre extrémité sont contraints d'évacuer . C'est un effet de proche en proche : les électrons qui entrent par une des extrémités ne sont pas les mêmes que ceux qui sortent presque aussitôt par l'autre .
1 . chimiquement, comme dans les piles et les accumulateurs, 2 . mécaniquement, comme dans les dynamos et alternateurs, 3 . par effet thermique, comme dans les thermocouples, ou 4 . par effet optique, comme dans les cellules photoélectriques .
C'est grâce à la grande vitesse d'établissement du courant électrique que deux personnes peuvent communiquer presque instantanément au téléphone . Les électrons mis en branle par la voix d'une personne qui parle à une extrémité de la ligne provoquent aussitôt un mouvement semblable des électrons à l'autre extrémité, de sorte que les deux interlocuteurs peuvent communiquer comme si aucune distance ne les séparait . La vitesse d'établissement du courant permet aussi la grande rapidité des ordinateurs électroniques qui font leur calculs des millions de fois plus vite que les calculatrices mécaniques d'autrefois .
Dans chaque cas, le point (ou borne) ayant un manque d'électrons possède une charge positive, donc une polarité positive (+) . Inversement, le point ayant un surplus d'électrons aura une charge négative, et par conséquent, une polarité négative (-) .
Toutefois, la vitesse d'établissement du courant électrique n'est pas instantanée : en effet, si l'on pouvait relier la planète Mars et la Terre avec une ligne téléphonique, cela prendrait 20 minutes pour transmettre un message.
Cette répartition inégale des électrons peut être provoquée de plusieurs manières . On peut le faire :
NATURE DE L'ÉLECTRICITÉ
2.10 Sens du courant Avant l'établissement de la théorie électronique du courant électrique, certains savants s'étaient imaginés que le courant électrique se déplaçait dans un conducteur extérieur au générateur de la borne positive du générateur à sa borne négative . Malheureusement, ce sens conventionnel du courant, qui a été choisi arbitrairement, est l'inverse du sens de déplacement des électrons . Les électrons, dans un conducteur métallique, se dirigent toujours vers la borne positive du générateur. Dans ce livre nous adopterons le sens conventionnel du courant parce qu'il est reconnu universellement . Il est bon, toutefois, de se rappeler que le sens du courant électronique est, en réalité, inverse du sens conventionnel (voir Fig . 2-5) .
seps
des électrons libres
31
En se référant aux Fig . 2-5b et 2-5c, on notera que le courant circule aussi à l'intérieur de la pile . Cependant, le courant conventionnel y circule de la borne négative à la borne positive, ce qui est l'inverse de son cheminement dans le conducteur extérieur . 2 .11 Protons et neutrons Jusqu'à maintenant, nous avons considéré le noyau d'un atome comme un corpuscule portant une charge électrique positive . En fait, le noyau est composé de deux sortes de particules : les protons et les neutrons . Le proton possède une charge positive dont la valeur est égale à la charge négative de l'électron . Le neutron, comme son nom l'indique, ne porte aucune charge . Les neutrons ne subissent donc aucune force électrique d'attraction ou de répulsion en présence des protons ou des électrons . La masse du neutron est sensiblement égale à celle du proton ; tous deux pèsent environ 1840 fois plus que l'électron . La masse d'un atome est donc surtout concentrée dans son noyau . Le nombre de protons et de neutrons dans le noyau d'un atome dépend de l'élément . De plus, comme chaque atome est électriquement neutre à l'état normal, il comporte autant de protons que d'électrons .
borne +++ positive (+) , = _ borne négative (-)
pile
(b)
Le tableau 2-1 donne la composition atomique de quelques éléments . À titre d'exemple, un atome de cuivre contient 29 protons et 35 neutrons dans son noyau, alors que 29 électrons gravitent autour de celui-ci . Les neutrons font une contribution importante au poids du cuivre, mais aucune en ce qui concerne sa charge électrique . Toutefois, nous verrons que les neutrons jouent un rôle critique dans les centrales nucléaires . 2 .12 Résumé Dans ce chapitre nous avons appris que la matière est constituée d'atomes qui sont regroupés en structures plus complexes appelées molécules . Les atomes sont constitués d'un noyau contenant des particules positives (les protons) et neutres (les neutrons) autour duquel tournent des particules négatives appelées électrons .
(c)
Figure 2-5 a . Une pile est un générateur d'électricité . b . Sens du courant électronique dans un conducteur connecté aux bornes d'une pile .
Le nombre de protons est normalement égal au nombre d'électrons si bien que les atomes ou les molécules sont électriquement neutres . Le nombre de protons et d'électrons (numéro atomique) est caractéristique de chaque élément et détermine ses propriétés chimiques . La presque totalité de la masse de l'atome est concentrée sans le noyau . Comme deux charges de signes con-
3 1-
tLtl I MU I tUMNIUUt
traites s'attirent, les électrons (-) sont attirés par le noyau (+) . Les électrons sont répartis en couches elliptiques autour du noyau .
de ces électrons libres qui en se déplaçant d'un atome à l'autre permet la circulation d'un courant électrique . Au contraire, les corps qui peuvent difficilement perdre des électrons sont appelés isolants. Ces matériaux sont utilisés pour empêcher la circulation d'un courant électrique .
Certains corps appelés conducteurs (ex . : cuivre, aluminium ) peuvent facilement perdre et échanger les électrons de leur couche extérieure . C'est la mobilité TABLEAU 2-1
élément
COMPOSITION ATOMIQUE DE QUELQUES ÉLÉMENTS
symbole
numéro atomique z
masse nombre de atomique neutrons (approx .)
masse volumique kg/m3
hydrogène
H
1
1,008
0
hélium
He
2
4,003
2
0,0898 gaz
bore
B
5
10,81
6
2340
carbone
C
6
12,01
6
2260
azote
N
7
14,01
7
1,26 gaz
oxygène
O
8
16,0
8
1,43 gaz
fluor
F
9
19,0
10
néon
Ne
10
20,18
10
sodium
Na
11
22,99
12
970
0,179 gaz
1,696 0,902 gaz
aluminium
AI
13
26,98
14
2700
silicium
si
14
28,09
14
2330
souffre
S
16
32,06
16
2070
chlore
ci
17
35,45
18
chrome
Cr
24
52,0
28
7190
fer
Fe
26
55,85
30
7860
cobalt
Co
27
58,93
32
8900
nickel
Ni
28
58,71
31
8900
cuivre
Cu
29
63,54
35
8960
zinc
Zn
30
65,37
35
7140
argent
Ag
47
107,87
61
10 500
tungstène
w
74
183,85
110
19 300
platine
Pt
78
195,1
117
21 400
or
Au
79
197,0
118
19 300
mercure
Hg
80
200,6
121
13 600
plomb
Pb
82
207,2
125
11400
radium
Ra
88
uranium
U
92
plutonium
Pu
94
-226 238,0 -242
3,18 gaz
138
5000
146
19 070
148
1 . Chaque élément possède un nombre défini de protons et d'électrons, donné par le numéro atomique Z . Par contre, dans la nature, le nombre de neutrons sur le noyau d'un élément n'est pas constant . 2 . La masse atomique donne la masse relative d'un atome par rapport à un autre, tel que trouvé dans la nature . Ainsi les atomes de cuivre possèdent une masse, qui est, en moyenne, 2,35 plus grande que celle de l'aluminium (63,54/26,98 = 2,35) . 3 . La masse volumique des gaz correspond à une température de 0 °C et une pression de 101,325 kPa .
NATURE DE L'ELECTRICITE
Les générateurs ou sources d'électricité ont la propriété de produire une répartition inégale des électrons entre une borne positive (+) ayant un manque d'électrons et une borne négative (-) ayant un surplus d'électrons . Ces sources utilisent un procédé chimique (ex . : piles), mécanique (ex . : alternateurs), thermique (ex . : thermocouples) ou optique (ex . : cellules photoélectriques) . Lorsque l'on relie un conducteur entre les deux bornes d'une source, un courant se met à circuler dans le conducteur et la source . Le courant conventionnel (inverse du courant électronique) circule de la borne (+) à la borne (-) dans le conducteur. PROBLÈMES - CHAPITRE 2 2-1 Y a-t-il attraction ou répulsion lorsque deux charges négatives sont rapprochées l'une de l'autre? 2-2 Représenter un atome d'aluminium de façon simplifiée . 2-3 Qu'est-ce qui distingue un conducteur d'un isolant? 2-4 Dans un conducteur métallique, le courant d'électrons se déplace-t-il rapidement? 2-5 Sur quelle couche (intérieure ou extérieure) d'un atome métallique les électrons libres se trouvent-ils? 2-6 Est-ce que les atomes d'un solide sont absolument immobiles? 2-7 Que veut dire «sens conventionnel» d'un courant électrique?
33
2-8 a) Montrer le sens de déplacement des électrons lorsque les bornes d'une pile sèche sont raccordées par un conducteur. b) Dans ce conducteur, est-ce que les électrons circulent de la borne (+) à la borne (-) ? c) Dans la pile, est-ce que les électrons circulent de la borne (+) à la borne (-)? 2-9 L'atome de fer contient 26 électrons . Dessiner un schéma de l'atome et indiquer la charge du noyau . 2-10 En utilisant le tableau 2-1, déterminer le nombre a) de protons ; b) d'électrons ; c) de neutrons dans un atome de plomb .
3 Loi d'Ohm
La loi d'Ohm trouve des applications dans tous les domaines de l'électrotechnique . Ce chapitre explique la loi, de même que l'utilisation d'un voltmètre et d'un ampèremètre dans un circuit électrique .
nous l'avons vu, comprend la distribution et le mouvement des électrons localisés dans la matière . Lorsque les deux bornes d'un appareil présentent respectivement un défaut (+) et un excès (-) d'électrons, on dit qu'il existe entre elles une différence de potentiel (en abrégé d .d .p .) . Cette différence de potentiel électrique, appelée très souvent tension électrique, ou force électromotrice, peut être avantageusement comparée à la pression développée par une pompe hydraulique dont la valve est fermée : elle peut exister même s'il n'y a pas de courant d'eau .
3 .1 Production d'électricité, différence de potentiel Le rôle des sources d'électricité est de transformer l'énergie mécanique, chimique, thermique ou radiante en énergie électrique . Elles réalisent cette transformation en maintenant constamment entre leurs deux bornes une différence dans la population d'électrons . Elles soutirent des électrons d'une borne et les accumulent sur l'autre ; une borne aura donc un manque d'électrons tandis que l'autre présentera un surcroît d'électrons . La première sera donc positive car la charge des noyaux des atomes ne sera plus exactement équilibrée par celle des électrons ; la surabondance d'électrons négatifs à la deuxième borne lui donnera une charge électrique résultante négative.
Ainsi, dans la Fig . 3-3, la différence de pression hydraulique entre les points a et b de la pompe peut être comparée à la différence de potentiel électrique entre les bornes x et y du générateur G . 3 .2 Unité de différence de potentiel L' unité SI de différence de potentiel électrique (ou tension) est le volt (symbole V), tiré du nom du célèbre physicien italien Volta .
Les figures 3-1 et 3-2 montrent huit types de sources d'électricité . Il est important de noter que ces générateurs d'électricité ne créent pas plus d'électricité qu'une pompe hydraulique ne fabrique de l'eau : l'électricité,
Le kilovolt (kV) et le millivolt (mV) sont des multiples et sous-multiples du volt qui valent respectivement 1000 volts et 1/1000 de volt . La différence de poten34
LOI D'OHM
35
3 .3 Polarité On identifie la borne qui présente un excès d'électrons par un signe (-), celle qui comporte un manque d'électrons, par un signe (+) . Ces deux bornes sont nommées respectivement borne négative et borne positive . Elles possèdent respectivement une polarité négative et une polarité positive . Figure 3-3 La différence de potentiel entre les bornes x et y d'une génératrice peut être comparée à la différence de pression développée par une pompe entre les points a et b .
tiel, ou tension, se représente par le symbole E et se mesure à l'aide d'un appareil appelé voltmètre (Fig . 3-4) .
3 .4 Charges électriques Les appareils qui reçoivent et transforment l'énergie électrique produite par les générateurs se nomment charges (voir Fig . 3-5) . Les trois principaux types sont : 1 . Les charges qui transforment l'énergie électrique en travail . Exemples : moteurs, vibrateurs électriques, électroplongeurs . 2. Les charges thermiques dans lesquels l'énergie électrique est transformée en chaleur. Exemples : grillepain, chaufferettes, fers à repasser, lampes à incandescence, fours industriels . 3 . Les charges chimiques où l'énergie électrique est transformée en énergie chimique . Exemples : bains à galvanoplastie qui servent à plaquer du chrome sur les objets ; bacs à électrolyse servant à produire l'aluminium, piles rechargeables .
-) (a) chaufferette
Figure 3-4 Ce voltmètre numérique permet de lire les tensions continues de zéro à 1000 V avec une précision de 0,05 % . Il peut aussi mesurer les tensions alternatives . Cet instrument très flexible permet aussi de mesurer les courants continus et alternatifs, la résistance, les fréquences, et la température . (gracieuseté de Fluke Corporation)
(b) bac à aluminium
(c) moteur Figure 3-5 Quelques exemples de charges électriques avec leur symbole .
36
ÉLECTROTECHNIQUE
SOURCES D'ÉLECTRICITÉ
1 . Génératrice à courant alternatif Principe de fonctionnement: Une tension est induite entre les bornes d'un conducteur lorsqu'il se déplace dans un champ magnétique . Énergie primaire - mécanique Tension - 6 V à 25 kV c.a . Puissance - 10 W à 2000 MW Rendement - 20% à 99% Symbole 2 . Générateur électrostatique Principe de fonctionnement : Une courroie mobile amène vers une coupole C les charges positives provenant d'une source S . Une haute tension positive s'établit entre la coupole et la terre . Énergie primaire - mécanique Tension - 100 kV à 10 MV c.c. Puissance - 10 mW à 10 kW Rendement - 5% à 30% Symbole ©
terre
3 . Pile Principe de fonctionnement : Deux plaques de matériaux différents placées dans un électrolyte approprié libèrent de l'énergie électrique par une transformation de leur structure chimique . Énergie primaire - chimique Tension - 1 V à 2 V c .c . Énergie emmagasinée - 1 kJ à 1 MJ
mima
id
électrolyte
Rendement - 40% à80% Symbole
----~I-
ip 10, 4 . Générateur à thermocouple Principe de fonctionnement : Lorsque les points de jonction J 1 et J 2 de deux métaux différents sont gardés à des températures différentes, un transfert d'électrons s'effectue et une tension apparaît entre les bornes A et B . + A
B
Énergie primaire - thermique Tension - 1 mV à 200 mV c .c. Puissance - 1 mW à 1 W Rendement - 3% à 10% Symbole
Figure 3-1 Détails sur quelques sources d'électricité .
0
LOI D'OHM
SOURCES D'ÉLECTRICITÉ 5 . Générateur thermo-ionique Principe de fonctionnement: En chauffant un métal A à une très haute température, les électrons libres deviennent agités à un point tel qu'ils quittent le métal pour s'accumuler sur une plaque B . Une différence de potentiel se crée entre les deux plaques . Énergie primaire - thermique
B
Tension - 0,5 V à 3 V c .c . o .o o .o. 20 mm' . \\`\\\ 1500 K
n
Puissance - 1 mW à 100 W Rendement - 1 % à 5%
A
1
Symbole
6. Cellule photovoltaïque Principe de fonctionnement: Lorsqu'une jonction p-n au silicium (semblable à la jonction d'une diode) reçoit de l'énergie radiante, un transfert de charges se produit et une tension apparaît entre les bornes A et B . Énergie primaire - énergie radiante
radiation A
Tension - 0,3 V à 0,9 V C .C . +
B
Puissance - 100 mW à 100 W Rendement - 8% à14% Symbole -®-
7 . Pile à combustible Principe de fonctionnement: La combinaison chimique de l'oxygène avec un produit comme le pétrole ou l'hydrogène libère toujours une quantité d'énergie . Habituellement, cette énergie apparaît sous forme de chaleur lorsque la combinaison de ces produits se fait par combustion . La pile à combustible permet à ces produits de se combiner chimiquement mais, au lieu de libérer de l'énergie thermique ,c'est de l'énergie électrique qui apparaît. Énergie primaire - chimique Tension - 0,5 V à 1,5 V C.C. Puissance - 10 W à 100 kW Rendement - 30% à 70% Symbole
©
A anode poreuse cathode poreuse A 8 . Générateur magnétohydrodynamique Principe de fonctionnement : Un gaz ionisé à très haute température (appelé plasma) est soufflé à grande vitesse entre les pôles d'un électro-aimant . Une tension apparaît entre les deux plaques qui touchent les parois du jet . Énergie primaire - thermique/mécanique
N
Tension - 100 V à 5 kV c.c. plasma :
S
2500 K
Puissance - 10 kW à 100 MW Rendement - 15% à 35% Symbole ©
Figure 3-2 Détails sur quelques sources d'électricité .
37
38
ÉLECTROTECHNIQUE
Il existe bien d'autres appareils et dispositifs qui agissent comme charges électriques . Mentionnons les téléviseurs et les lampes fluorescentes qui transforment l'énergie électrique en énergie radiante visible, de même que toute la gamme des équipements électroniques de commande et de puissance . 3.5 Courant dans un conducteur et dans une source Nous avons vu au chapitre 2, Fig . 2-5, que le sens conventionnel du courant est l'inverse du sens de déplacement des électrons . Dans une charge le courant conventionnel se dirigera de la borne positive (+) à la borne (-) . Dans une source le courant passera de la borne négative (-) à la borne positive (+) .
D'une façon générale, et quelle que soit sa nature, une charge s'oppose toujours au passage d'un courant électrique . C'est précisément cette opposition qui permet à la charge de recevoir et de convertir l'énergie électrique . 3.7 Unité d'intensité de courant Le courant hydraulique (Fig . 3-6) pourrait se mesurer par le nombre de gouttes qui passent en un point par seconde, et le courant électrique (Fig . 3-7) par le nombre d'électrons par seconde . De telles unités ne seraient évidemment pas pratiques .
pompe
Le courant qui conserve toujours le même sens est appelé courant continu . Nous verrons plus loin qu'il existe également des courants qui changent périodiquement de sens : on les appelle courants alternatifs . Les premiers chapitres de ce livre porteront exclusivement sur l'étude des courants continus et de leurs effets . 3 .6 Analogie hydraulique Il est parfois plus facile de comprendre ce qu'est le courant électrique en faisant une comparaison avec un système hydraulique . La partie pointillée du schéma de la Fig . 3-6 représente un tuyau partiellement rempli de sable . La différence de pression développée par la pompe fait circuler l'eau dans le circuit hydraulique . On peut imaginer que l'eau est composée de milliers de gouttes, qui rencontreront une certaine opposition dans leur passage à travers le sable . De la même façon, à la Fig . 3-7, la différence de potentiel électrique du générateur fait circuler des électrons à travers l'élément d'une chaufferette . Ces électrons (analogues aux gouttes d'eau) rencontrent une certaine opposition à leur passage, car ils rencontrent les atomes du métal qui se trouvent dans leur chemin . Cette opposition dans le cas de l'élément d'une chaufferette est assez considérable ; c'est pourquoi on l'appelle résistance . Le frottement entre les électrons et les atomes produit un dégagement de chaleur . Dans la Fig . 3-7 la génératrice (une source) est raccordée à la résistance (une charge) au moyen de deux fils xl et y2. Les fils sont choisis afin qu'ils ne présentent à peu près aucune opposition au passage du courant électrique . Il en résulte que la différence de potentiel aux bornes x et y de la source apparaît entièrement aux bornes 1 et 2 de la charge .
Figure 3-6 Pompe et sa charge .
génératrice
Figure 3-7 Génératrice et sa charge .
En électricité, l'unité SI d'intensité de courant est l'ampère (symbole A) . Ce mot a été adopté en l'honneur du savant français André Ampère . Un ampère équivaut au passage de 6,2 milliards de milliards (6,2 x 10 18 ) d'électrons par seconde . Pour fixer l'ordre de grandeur d'un ampère, qu'il suffise de se rappeler qu'une lampe à incandescence de 100 watts tirera un courant de près d'un ampère sous la tension de 120 volts .
LOI D'OHM
39
L'intensité d'un courant (représenté par la lettre I) s'exprime donc en ampères . Elle se mesure à l'aide d'un appareil appelé ampèremètre (Fig . 3-8) . Pour des intensités de courant moins élevées, on emploie couramment le milliampère (mA) qui vaut un 1/1000 d'ampère .
Figure 3-9 Raccordement d'un ampèremètre .
gradué en ampères et sa position donne l'intensité du courant . Un ampèremètre numérique affiche la valeur du courant directement . Pour déterminer la différence de potentiel (ou la tension électrique) entre les extrémités de l'élément, on relie les deux bornes d'un voltmètre (V) à ces deux points (voir Fig . 3-10, montage en parallèle ou en dérivation) . Dans le cas d'un voltmètre analogique, une aiguille s'arrête devant une division du cadran et indique, en volts, la valeur de la tension mesurée . Un voltmètre numérique affiche la tension directement . Contrairement à l'ampèremètre, le voltmètre ne laisse passer que très peu d'électrons, de sorte que sa présence ne modifie pratiquement pas la différence de potentiel entre les bornes de l'élément chauffant .
Figure 3-8 Cet ampèremètre numérique permet de mesurer les courants continus de zéro à 1000 A avec une précision de 2 % . Il peut aussi mesurer les courants alternatifs . La pince qui entoure le fil permet de mesurer le courant circulant dans ce conducteur sans que l'on soit obligé de le couper. Cette mesure de courant par induction est expliquée à la section 31 .6 du chapitre sur les transformateurs spéciaux . (gracieuseté de Fluke Corporation)
Fait important à retenir : l'ampèremètre est intercalé dans le conducteur qui mène à l'élément, tandis que le voltmètre est branché directement aux deux extrémités de l'élément .
3 .8 Mesures d'une intensité de courant et d'une tension Pour mesurer le nombre d'électrons qui passent, par seconde, dans l'élément d'une chaufferette, on place un ampèremètre entre le générateur et l'élément, de façon qu'il soit traversé par tous les électrons (voir Fig . 3-9, montage en série) . Dans le cas d'un ampèremètre analogique, une aiguille se déplace devant un cadran
élément
Figure 3-10 Raccordement d'un voltmètre .
40 ÉLECTROTECHNIQUE 1A
essai n° 2
essai n° 1
essai n° 3
Figure 3-11 Le rapport entre la tension et le courant est un nombre constant appelé résistance .
3 .9 Loi d'Ohm La Fig . 3-11 montre comment sont disposés l'ampèremètre (A) et le voltmètre (V), destinés à mesurer, respectivement, l'intensité du courant qui parcourt la chaufferette et la tension à ses bornes . Supposons qu'au moment où la lecture est prise, Fig . 3-11, (essai n° 1), le générateur applique une différence de potentiel de 2 volts et que le courant I résultant soit de 1 ampère . Le rapport de la tension au courant égale :
•
2 volts
I
1 ampère
=2
Agissons maintenant sur le générateur, Fig . 3-11 (essai n° 2), de manière que la tension aux bornes de l'élément, indiquée par le voltmètre, soit de 4 volts . On constate alors que l'ampèremètre marque 2 ampères . Le rapport de la tension au courant égale :
•
4 volts
1
2 ampères
=2
Reprenons l'expérience, Fig . 3-11 (essai n° 3), en appliquant 6 volts à la chaufferette ; l'ampèremètre indique maintenant 3 ampères . Encore une fois, le rapport :
•
6 volts
1
3 ampères
=2
que la tension est grande : en doublant la tension, l'intensité du courant double, en triplant la tension, l'intensité du courant triple . C'est en partant des résultats d'une expérience semblable que le physicien allemand Georg-Simon Ohm énonça en 1827 la loi suivante : le rapport entre la tension appliquée aux bornes d'un conducteur et le courant qui le parcourt est un nombre constant . Ce nombre constant caractérise une propriété du conducteur : sa résistance . La résistance d'un corps quelconque est l'opposition qu'il offre au passage du courant. La résistance se représente par le symbole R . La formule de la loi d'Ohm s'écrit : tension
= résistance
courant ou encore, en abrégé
E =R I
3.10 Unité de résistance L'unité SI de résistance est l'ohm (symbole S2)* . D'après la définition SI, l'ohm est la résistance électrique qui existe entre deux points d'un conducteur lors-
On voit donc que le courant est d'autant plus grand * S2 est une lettre grecque qui se prononce «omega» .
4
LOI D'OHM
qu'une différence de potentiel constante de 1 volt appliquée entre ces deux points produit dans ce conducteur un courant de 1 ampère, ce conducteur n'étant le siège d'aucune force électromotrice . Dans la formule de la loi d'Ohm, si la tension E est exprimée en volts et le courant I en ampères, la résistance R sera exprimée en ohms . Exemple : 18 volts - 3 ampères = 6 ohms . 3 .11 Application de la loi d'Ohm Maintenant que nous connaissons la relation qui existe entre une tension de E volts appliquée aux extrémités d'un élément possédant une résistance de R ohms et parcouru par un courant de I ampères, il est facile, en connaissant deux de ces facteurs, de déterminer le troisième . Ainsi l'équation (3-1) peut être exprimée sous les formes : E -I R
ou
volts = ampères ohms
ou volts = ohms x ampères
EXPRESSIONS DE LA LOI D'OHM
cas
facteurs connus
facteur inconnu
expression
1
E, I
R
R =E I
2
E, R
I
I =E R
3
I, R
E
E=RI
Figure 3-12 Voir exemple 3-1 .
(3-2) Exemple 3-2
et E = RI
TABLEAU 3-1
(3-3)
Une puissante lampe à incandescence ayant une résistance R de 10 ohms est alimentée sous une tension E de 120 volts . Quelle sera l'intensité I du courant tiré par cette lampe
Trois cas peuvent alors se présenter : Solution
1 . On connaît la tension E et le courant I, on cherche la résistance R . 2 . On connaît la tension E et la résistance R, on cherche le courant I . 3 . On connaît le courant I et la résistance R, on cherche la tension E. Ces trois cas, résumés dans le tableau 3-1, sont illustrés par les exemples numériques suivants . Exemple 3-1
Lorsqu'on branche un réchaud électrique à une source de tension E de 120 volts, il est parcouru par un courant I de 5 ampères . Trouver la résistance R de l'élément du réchaud .
En appliquant la forme (3-1) de la loi d'Ohm, la résistance est donnée par :
I
R
E _ I _ 120 volts R
= 12 ampères
10 ohms
Exemple 3-3
Déterminer la chute de tension E dans un fil conducteur dont la résistance R est de 50 milliohms, sachant qu'il porte un courant I de 300 ampères . Solution
D'après la forme (3-3) de la loi d'Ohm: E = RI = 50 x
10-3
ohms x 300 ampères = 15 V
La solution du problème suivant fait intervenir deux des cas précédents .
Solution
E =
La forme (3-2) de la loi d'Ohm donne :
=
120 volts = 24 ohms 5 ampères
Exemple 3-4
Un fer à repasser alimenté par un réseau de distribution dont la tension est de 120 volts est parcouru par un courant de 6 ampères . Si la tension du réseau tombe à 100 volts, quelle sera la nouvelle intensité du courant?
42
ÉLECTROTECHNIQUE
Figure 3-13 Voir exemple 3-4 .
Solution
Pour un appareil donné, le courant dépend de la tension appliquée, laquelle est généralement fixée par le réseau . Le seul facteur qui, ordinairement, ne varie pas, est la résistance, qui est une caractéristique de l'appareil . Il faut donc, en premier lieu, trouver la résistance R du fer à repasser: R =
E
=
I
120 V
= 20 Q
6A
Connaissant la résistance de l'appareil et la nouvelle tension appliquée, le courant résultant sera : E 100 V I= -_ =SA R 20£2 Sachant que le courant est toujours proportionnel à la tension appliquée, le nouveau courant aurait pu être calculé par une simple règle de trois : I=6Ax
100V
=5A
120 V
Les appareils qui sont branchés aux bornes d'une source pour transformer l'énergie électrique sont des charges . Ces charges peuvent transformer l'énergie électrique produite par la source en énergie mécanique (ex . : moteurs), thermique (ex . : appareils de chauffage) ou chimique (ex . : bacs à galvanoplastie, piles en charge) . Dans un circuit formé d'une source et d'une charge, circule un courant électrique . L'unité de courant électrique est l'ampère (symbole A) . Si le courant circule toujours dans le même sens, on dit que c'est un courant continu . Par contre s'il change de sens périodiquement, il s'agit d'un courant alternatif. On utilise un ampèremètre pour mesurer un courant électrique et un voltmètre pour mesurer une tension électrique ou différence de potentiel entre deux points d'un circuit . L'ampèremètre doit être branché en série avec l'appareil dont on veut mesurer le courant alors que le voltmètre doit être branché en parallèle avec l'appareil dont on veut mesurer la tension . Enfin, la loi d'Ohm, une des lois les plus importantes régissant le fonctionnement des circuits électriques s'énonce comme suit : le rapport entre la tension appliquée aux bornes d'un conducteur et le courant qui le parcourt est un nombre constant appelé résistance . La résistance est une grandeur caractéristique de ce conducteur. L'unité de résistance est l'ohm (symbole S2) . La loi d'Ohm permet de calculer une des grandeurs suivantes : tension, courant ou résistance lorsque les deux autres sont connues .
3 .12 Résumé Dans ce chapitre nous avons introduit trois grandeurs fondamentales en électricité : la tension ou différence de potentiel, le courant et la résistance . Nous avons aussi appris qu'il existe deux grandes catégories d'appareils électriques : les sources et les charges . Les sources d'électricité permettent d'imposer une différence de potentiel ou tension électrique entre deux bornes . L'une des bornes présentant un défaut d'élec trons est la borne positive (+) et l'autre ayant un excès d'électrons est la borne négative (-) . Dans le cas d'une source, cette différence de potentiel est aussi appelée force électromotrice . L'unité SI de différence de potentiel (ou tension) est le volt (symbole V) .
PROBLÈMES - CHAPITRE 3 Niveau pratique 3-1 Quel est le rôle des générateurs d'électricité? 3-2 Pourquoi une borne présentant un manque d'électrons est-elle positive? 3-3 Les générateurs créent-ils de l'électricité? 3-4 Quelle est l'unité SI de tension électrique? Nommer une unité plus grande . 3-5 Nommer trois types de charges électriques . 3-6 La borne d'un accumulateur qui comporte une surabondance d'électrons a-t-elle une polarité positive?
LOI D'OHM
3-11
43
Énoncer la loi d'Ohm .
3-12 Quelle est l'unité SI de résistance? Niveau intermédiaire 3-13 Exprimer en kilovolts une tension de 4000 volts . 3-14 Exprimer une intensité de 0,2 ampères en milliampères . 3-15 Quelle est la résistance d'un conducteur parcouru par une intensité de 3 ampères lorsqu'on lui applique une tension de 6 volts? 3-16 Une chauffe-eau absorbe 15A sous 120V . Calculer sa résistance . 3-17 Calculer le courant circulant dans un élément de cuisinière électrique ayant une résistance de 10 Çà, alimenté par une tension de 240 V. 3-18 Un fer à souder est alimenté à 120 V. Sachant que sa résistance est de 50 ohms, calculer le courant tiré . 3-19 On désire faire circuler un courant de 4 A dans un rhéostat de 7 Q . Quelle tension doit-on lui appliquer? 3-20 Calculer la chute de tension dans un fil de 8 S2 lorsqu'il est parcouru par un courant de 15 ampères . Figure 3-14 Ohmmètres pour mesurer la résistance de l'isolation d'un système ou d'un dispositif sous une tension continue de 250 V ou 100 V. Ces instruments peuvent mesurer des M. Léchelle sistances comprises entre 10 kO2 et 1000 M O donne à la fois une lecture analogique et numérique (gracieuseté Megger Instruments Limited) . ré
3-7 Soit un conducteur reliant les deux bornes d'une pile . Les électrons se déplacent-ils dans le conducteur du pôle positif au pôle négatif, ou vice versa? Quel est le sens conventionnel du courant dans le conducteur? 3-8 Quelle est l'unité SI d'intensité de courant? Nommer une unité plus petite. 3-9 Quel appareil utilise-t-on pour mesurer le courant? 3-10 Les ampèremètres et les voltmètres sont-ils raccordés de la même façon? Tracer des schémas illustrant la mesure d'une intensité de courant et la mesure dune tension .
3-21 Une ligne de transport ayant une résistance de 6 ohms est traversée par un courant de 400 A . Quelle est la chute de tension en kilovolts? 3-22 Une chauffe-eau tire un courant de 15 A sous une tension de 240 volts . Quel courant tirera-t-il si la tension baisse à 210 volts? 3-23 L'enroulement du champ d'une génératrice de 500 mégawatts possède une résistance de 62,6 mQ . Quelle tension doit-on appliquer pour y faire circuler un courant de 4060 A? 3-24 Un éclair moyen implique un courant de 20 kA et une tension de 200 MV. Calculer la valeur de la résistance offerte au passage du courant .
4 Puissance et énergie électrique 4.1 Circuit électrique
fournie par le générateur est, par suite, proportionnelle à ces deux mêmes grandeurs E et I . Il existe donc une relation étroite entre la puissance, la tension et le courant électrique .
Un circuit électrique est un ensemble comprenant des sources, des conducteurs et des charges . Le schéma de la Fig . 4-1 représente un circuit comprenant un moteur M et un générateur G qui l'alimente par l'intermédiaire de deux fils conducteurs . Le circuit comprend aussi un interrupteur permettant de commander la circulation du courant. Si l'interrupteur est ouvert, le courant ne passe pas car l'air constitue un bon isolant . Pour qu'il circule, il faut qu'il y ait une suite ininterrompue de conducteurs reliant les deux bornes du générateur. Dans la Fig . 4-1, ces conducteurs sont constitués de deux fils conducteurs et des conducteurs situés à l'intérieur du moteur M, entre les bornes 3 et 4 .
fil conducteur
fil conducteur
Figure 4-1 Éléments d'un circuit électrique .
4 .2 Puissance électrique Nous avons déjà vu que si un courant parcourt une résistance (comme l'élément d'une chaufferette), le frottement des électrons contre les atomes donne naissance à un dégagement de chaleur . Puisque la chaleur est une forme d'énergie et que l'élément seul ne peut pas la produire, il s'ensuit que cette énergie doit provenir du générateur (Fig . 4-2) . On peut prouver expérimentalement que la puissance dégagée sous forme de chaleur est directement proportionnelle à la tension E aux bornes de la résistance et au courant I qui la traverse . La puissance électrique
Figure
4-2
Chaleur dégagée par une résistance .
44
4
PUISSANCE ET ÉNERGIE ÉLECTRIQUE
45
0,1 Q2
50 A
turbine
100 V
7,5 HP
Em = 90 V
50A 0,1 s2
Figure 4-3 Lénergie électrique est transportée de la source à la charge par des fils conducteurs .
4 .3 Expression de la puissance La puissance (P) dépensée par un courant électrique entre deux points d'un circuit s'obtient toujours par le produit de la tension (E) entre ces deux points et de l'intensité (I) du courant: P = EI P = puissance, en watts [W] E = tension, en volts [V] I = courant, en ampères [A]
i =P
E
ou
E d'où le courant I =
ona
Tout comme pour l'expression de la loi d'Ohm, on peut facilement déterminer un des facteurs de l'expression de la puissance lorsqu'on connaît les deux autres . Selon que l'on cherche la puissance P, l'intensité I ou la tension E, on utilise respectivement les formules :
ou
I = P
3000 W = 12,5 A 240 V
Exemple 4-3 Un courant de 3 A circule entre deux points d'un circuit et transporte une puissance de 18 W . Déterminer la tension entre ces points .
où
P=EI
on a
P E=I
(4-2)
En appliquant ces formules, les trois exemples numériques suivants peuvent être facilement résolus . Exemple 4-1 Évaluer la puissance fournie à un moteur qui tire 15 A sous 120 V. P=EI=120Vx15A=1800W Exemple 4-2 Une génératrice produit une puissance de 3 kW sous une tension de 240 V. Quel est le courant débité
E=
P
I d'où la tension
E =
18W = 6 V 3A
4 .4 Puissance d'une génératrice La Fig . 4-3 montre une génératrice G entraînée par une turbine . La génératrice alimente un moteur M par l'entremise d'une ligne électrique composée de deux fils conducteurs . Imaginons que le circuit électrique soit fermé, et que la différence de potentiel aux bornes de la génératrice soit de 100 V. Pour une tension fixe (ce qui est généralement le cas des réseaux de distribution), le courant qui circule dans ce circuit dépend exclusivement de la résistance des fils conducteurs et des caractéristiques électriques de la charge . Supposons que le circuit soit parcouru par un courant de 50 ampères . La génératrice devra donc débiter une puissance électrique de : P = EI = 100 x 50 = 5000 W = 5 kW
46
ELECTROTECHNIQUE
Pour fournir cette puissance électrique de 5 kW elle devra elle-même recevoir une certaine puissance mécanique de la turbine . En supposant que la transformation de l'énergie par la génératrice se fasse sans aucune perte (sans aucun dégagement de chaleur et sans frottement), la valeur de cette énergie mécanique reçue, évaluée en horsepower sera de : P = 5000 = 6,7 hp, car un hp vaut 746 watts 746 Par contre, si le rendement de la génératrice n'est que, disons, de 84 %, la puissance de la turbine qui l'entraînera devra être de 6,7 hp - 0,84 = 8 hp . 4 .5 Puissance dissipée dans les fils conducteurs (effet Joule) Le mouvement d'ensemble des électrons libres dans un conducteur est lent car leur chemin est obstrué par des atomes qui les font dévier. Ces chocs, ces frottements entre les électrons libres et les atomes produisent un dégagement de chaleur, ce qui revient à dire qu'une partie plus ou moins grande de l'énergie électrique transportée par le conducteur est transformée en énergie thermique . Ce phénomène d'échauffement d'un conducteur par le courant d'électrons constitue l'effet Joule : il sera évidemment d'autant plus grand que le nombre d'électrons en mouvement orientés dans un conducteur sera plus considérable . La chaleur dégagée dans les conducteurs d'une ligne de transport (ou dans les enroulements d'un moteur) augmentera donc avec la charge . Puisque ces pertes dépendent du courant, il est utile de connaître l'expression de la puissance consommée par effet Joule en fonction du courant . D'après la loi d'Ohm, la chute de tension E dans un conducteur est égale au produit de sa résistance R par l'intensité du courant I E = RI
éq. 3-3
Si, dans la formule générale de la puissance consommée dans un circuit, P = EI, on remplace la tension E par la valeur RI, on obtiendra pour l'expression de la puissance électrique transformée en chaleur : P = EI = (RI) x I
P=RI 2
(4-3)
où
P = puissance dissipée en chaleur [W] I = courant dans le conducteur [A] R = résistance du conducteur [S2] On voit ainsi que, pour un conducteur donné, la puissance dépensée par effet Joule*, est proportionnelle au carré de l'intensité du courant: si le courant double, le dégagement de chaleur quadruple . Si l'intensité triple, l'échauffement sera 9 fois plus grand . 4 .6 Pertes dans les lignes de transport Si la résistance de chacun des fils conducteurs de la Fig . 4-3 est égale à 0,1 52, la puissance dépensée en chaleur pour une intensité de 50 ampères sera : P = RI2 = 0,1 x (50 x 50) = 250 W par fil, soit 500 W pour la ligne Une partie des 5000 watts fournis par la génératrice à l'entrée de la ligne sera transformée inutilement en chaleur le long des fils conducteurs . La puissance électrique transmise à la charge ne sera donc plus que : P = 5000 - (2 x 250) = 4500 W Ces pertes inévitables par effet Joule dans les lignes de transport sont analogues aux pertes par frottement dans les machines . Dans celles-ci, une partie de l'énergie mécanique est transformée inutilement en chaleur . Il s'ensuit que les lignes de transport d'énergie électrique doivent avoir une résistance aussi faible que possible pour réduire les pertes par effet Joule ; elles utilisent des câbles de grande section, constitués généralement de métaux bons conducteurs (cuivre ou aluminium) . 4.7 Chute de tension dans les lignes de transport La résistance de chaque fil conducteur de la Fig . 4-3 est de 0,1 S2 et comme le courant est de 50 A, il s'ensuit que la différence de potentiel Ef aux bornes de chaque fil est de : Ef = RI = 0,1 x 50 = 5V
* Les conducteurs utilisés le plus souvent dans les appareils électriques étant des fils de cuivre, les pertes Joule sont parfois appelées «pertes dans le cuivre» .
PUISSANCE ET ÉNERGIE ÉLECTRIQUE
fusible
47
0,1 s2 500 A court-circuit
100 V
500 A <
0,1 S2
Figure 4-4 Un fusible protège un circuit contre les courts-circuits .
Cette différence de potentiel est appelée chute de tension dans le fil conducteur . La chute de tension totale dans la ligne (deux conducteurs) est donc de 10 V. La tension de la source est de 100 V, mais à cause de la chute de tension de 10 V le long de la ligne, la différence de potentiel El, appliquée aux bornes du moteur n'est plus que de 100 V - 10 V = 90 V. Notons, en passant, que la tension entre les deux fils de ligne diminue progressivement de 100 V à 90 V à mesure que l'on s'éloigne de la source vers la charge . Par exemple, au centre de la ligne la tension entre les deux fils est de 95 V mais le courant est constant partout dans le circuit . Si l'on utilisait des fils conducteurs de 0,01 0 (résistance 10 fois plus faible qu'auparavant), la chute de tension ne serait plus que de 1 V et la tension aux bornes du moteur monterait alors à 99 V. 4.8 Puissance fournie à la charge La tension aux bornes du moteur de la Fig . 4-3 est de 90 volts, et le moteur est traversé par un courant de 50 A . La puissance P,,, fournie au moteur est donc : Pm = Eml
= 90 V x 50 A = 4500 W Cette valeur correspond bien à la valeur de la puissance calculée précédemment à la section 4 .6 . La plus grande partie de cette puissance électrique absorbée est transformée en puissance mécanique . Une faible partie sera cependant transformée en chaleur, par effet Joule, dans les enroulements du moteur . 4 .9
Cas d'un court-circuit
Si les deux fils conducteurs du circuit se touchent en un point situé près du moteur (Fig . 4-4), l'intensité du
courant sera seulement limitée par la résistance des fils et deviendra : E
100 V
R
0,2 S2
I= = = 500A C'est là une valeur excessive qui produit un dégagement de chaleur intense . Cette condition, que l'on appelle court-circuit, pourrait provoquer la destruction de la génératrice et la fusion des fils, avec risque sérieux d'incendie . Pour limiter les dégâts, on introduit à dessein dans beaucoup de circuits un point faible qui assure automatiquement la rupture du courant lorsque l'intensité devient trop forte . Les dispositifs qui remplissent cette fonction portent le nom de fusibles . Ce sont habituellement des pièces ou des fils métalliques dont l'alliage et les dimensions sont choisis de façon à ce qu'ils fondent sans danger lorsque la surintensité dépasse une valeur prédéterminée . La fusion de la pièce interrompt le courant . 4 .10 Charges conçues pour produire de la chaleur Jusqu'à maintenant nous avons envisagé uniquement les conséquences néfastes de l'effet Joule ; il existe toutefois des dispositifs comme les grille-pain, les radiateurs électriques, les fers à repasser, etc ., qui sont spécialement conçus pour convertir la puissance électrique en chaleur. On les raccorde au réseau domiciliaire dont la tension, malgré des fluctuations occasionnelles, demeure sensiblement constante. Pour ces appareils, on préfère utiliser une formule qui donne la puissance P en fonction de leur résistance R, et de la tension E appliquée à leurs bornes . En utilisant les équations P = EI et I = EIR, on déduit que P = E x (E/R)
48
ÉLECTROTECHNIQUE
Figure 4-5 Identification d'une source et d'une charge .
d'où
dante du courant, et (3) en appliquant la règle suivante : 2 P = E R
• si le courant sort de la borne (+), l'élément est une source ; • si le courant entre par la borne (+), l'élément est une charge.
où
• = puissance dissipée en chaleur [W] • = tension aux bornes de l'élément [V] R = résistance de l'élément [S2] Cette équation démontre que la puissance varie avec le carré de la tension appliquée. Donc, lorsque la tension double, la puissance quadruple ; inversement, lorsque la tension baisse de 10 %, la chaleur dégagée diminue de 19 % . Les appareils de chauffage sont donc très sensibles aux variations de tension . Remarquons que les appareils de chauffage sont les seuls appareils électriques à posséder un rendement de 100 % ; en effet toute l'énergie électrique absorbée se retrouve convertie en chaleur . 4.11
Distinction entre «source» et «charge»
Tout élément de circuit traversé par un courant est soit une source, soit une charge . Une source débite une puissance électrique tandis qu'une charge en absorbe . Afin de mettre en évidence les différences entre les notions de source et de charge, supposons que dans le circuit de la Fig . 4-5 les deux éléments A et B renferment des dispositifs quelconques dont nous ignorons la nature (source ou charge) . Admettons que des mesures au voltmètre et à l'ampèremètre aient fourni les polarités de tensions et les sens de courants indiqués sur la figure . Comment identifier alors la source et la charge ? On y arrive facilement en observant (1) la polarité des bornes de chaque élément ; (2) la direction correspon-
Nous constatons d'après cette règle que l'élément A est une source et l'élément B, une charge . Cette distinction importante entre source et charge nous aidera à comprendre les échanges d'énergie dans les circuits électriques . 4 .12
Énergie électrique
On a vu au chapitre 1 que la puissance mécanique dépendait du taux d'utilisation de l'énergie mécanique . Il en est de même pour la puissance et l'énergie électriques . La puissance électrique P représente le taux d'utilisation de l'énergie électrique W, c'est-à-dire l'énergie électrique divisée par le temps . Inversement, l'énergie est la puissance électrique multipliée par le temps . On peut donc écrire l'équation (1-4) sous la forme : W = Pt où
• = énergie électrique, en joules [J] • = puissance électrique, en watts [W] t = temps, en secondes [s] L'unité SI d'énergie électrique est le joule ; 1 joule est égal à 1 watt-seconde . Si l'on exprime la puissance en kilowatts et le temps en heures, l'énergie électrique est donnée en kilowattheures (kWh) . Le kilowattheure
PUISSANCE ET ÉNERGIE ÉLECTRIQUE
n'est pas une unité SI, mais on l'utilise pour évaluer la consommation d'énergie électrique dans les maisons et les usines (1 kW •h = 3 600 000 J = 3,6 MI) . Exemple 4-4
Une lampe de 100 W allumée pendant 20 secondes consomme 100 watts x 20 secondes, soit 2000 wattsecondes d'énergie, ce qui équivaut à 2000 joules . De la même façon, un alternateur de 1,50 kW fournit pendant 20 heures une quantité d'énergie égale à 150 kW x 20 h . soit 3000 kW .h, Exprimée en joules, cette énergie équivaut `1 3000 x 3 .6 x 10 6 = 10,8 x 10`, i = 10_8 gigajoules = 10,8 GJ . 4 .13
Emmagasinage de l'énergie
D'énormes quantités d'énergie chimique sont emmagasinées dans les puits de pétrole et les mines de charbon de la terre . Lors de la combustion de ces matériaux on libère de l'énergie thermique, qui peut à son tour être convertie en énergie électrique . Nous pouvons aussi emmagasiner de grandes quantité d'énergie mécanique en érigeant des barrages derrière lesquels l'eau accumulée sert à faire tourner les turbines d'une centrale hydro-électrique . Une autre façon d'emmagasiner une quantité importante d'énergie mécanique est de comprimer de l'air dans un réservoir pour actionner des outils pneumatiques. L'énergie nucléaire renfermée dans les mines d'uranium représente une autre source très concentrée d'énergie. Malheureusement, il n'existe aucune méthode permettant d'emmagasiner des quantités importantes d'énergie électrique . (Les batteries, par exemple, n'emmagasinent pas de l'énergie électrique, mais plutôt de l'énergie chimique qui est libérée sous forme d'électricité lors de la transformation de leurs éléments chimiques .) Seulement deux dispositifs, la bobine et le condensateur, peuvent conserver l'énergie électrique à son état naturel ; cependant, si on tient compte de leur grosseur et de leur coût, ces dispositifs emmagasinent très peu d'énergie . En effet, l'énergie maximale qu'on pourrait emmagasiner dans une bobine conventionnelle pesant 2 tonnes (2000 kg) suffirait à peine à faire briller une lampe de 100 watts pendant deux minutes . Les dimensions d'un condensateur pouvant emmagasiner la même énergie seraient encore plus grandes .
49
Cette difficulté d'emmagasiner des grosses quantités d'énergie électrique constitue le problème de base des compagnies d'électricité et les oblige à produire l'énergie au même rythme qu'elle est consommée par l'utilisateur. Si l'énergie consommée diffère légèrement de celle produite, le réseau électrique réagit violemment, provoquant des surtensions ou des excès de courants, lesquels entraînent l'ouverture immédiate des disjoncteurs pour ne pas risquer l'arrêt complet du système . Si l'on pouvait, un jour, conserver l'énergie électrique aussi simplement que l'on conserve l'énergie chimique dans un litre de pétrole, la production, le transport et l'utilisation de l'électricité en seraient profondément modifiés . 4 .14 Résumé
Un circuit électrique est un ensemble de sources et de charges interconnectées par des conducteurs . Pour chaque appareil on peut calculer la puissance électrique générée (pour une source) ou absorbée (pour une charge) . Cette puissance P en watts est toujours donnée par le produit de la tension E en volts à ses bornes et du courant I en ampères qui le traverse (P = EI) . Pour savoir si un appareil agit comme une source ou une charge il suffit de noter le sens du courant par rapport à sa borne positive . Si le courant sort de la borne positive il s'agit d'une source . S'il entre dans la borne positive, il s'agit d'une charge . À tout instant la somme des puissances générées par les sources est égale à la somme de puissances absorbées par les charges et les conducteurs d'interconnexion . Des pertes de puissance sont dissipées sous forme de chaleur (effet Joule) dans les conducteurs . Le courant circulant dans les conducteurs provoque aussi une chute de tension entre la source et la charge . À partir de la loi d'Ohm on peut dériver deux autres expressions pratiques de la puissance : P = RIZ et . La première est utile lorsque le courant P = E2/R est imposé (ex . : calcul des pertes Joule dans un conducteur) . La seconde est utile lorsque le tension aux bornes d'une charge de chauffage est imposée . Enfin, l'énergie électrique W en joules (J) consommée
par une charge est obtenue en multipliant sa puissance P en watts par le temps d'utilisation t (W = Pt) . Une autre unité d'énergie utilisée par les compagnies d'électricité pour facturer l'énergie à leurs clients est le kilowattheure (kWh) .
50
ELECTROTECHNIQUE
PROBLÈMES - CHAPITRE 4
4-12 Quelle est la chute de tension dans une résistance qui dissipe une puissance de 10 W lorsqu'elle est parcourue par un courant de 2 A ?
Niveau pratique 4-1 Pourquoi une résistance chauffe-t-elle lorsqu'elle est parcourue par un courant ? 4-2 Dans quelle proportion le dégagement de chaleur dans un conducteur varie-t-il lorsqu'on diminue de moitié l'intensité du courant qui le traverse ? 4-3 Quand y a-t-il un court-circuit ? 4-4 À quoi servent les fusibles ? 4-5 Énumérer les principales applications de l'effet Joule . 4-6 Quel est le courant tiré par une lampe de 60 W sous une tension de 120 V ? 4-7 L'éclairage d'une maison est assuré par 9 lampes de 100 watts . Trouvez le courant total tiré par ces lampes lorsque la tension du réseau de distribution est de 120 volts . 4-8 Quelle est la différence entre l'énergie électrique et la puissance électrique ? Quelle est l'unité SI d'énergie ? Donner une autre unité pratique d'énergie . Niveau intermédiaire 4-9 Quelle est la puissance électrique perdue dans un conducteur dont la résistance est 10 S2 et qui est parcouru par un courant de 3 A ? 4-10 La plaque signalétique d'un fer à repasser porte l'indication suivante : puissance : 480 W ; tension de service : 120 V. a) Déterminer son courant nominal et sa résistance . b) Calculer le courant tiré, la puissance débitée et l'énergie consommée pendant une heure si l'on branche le fer à repasser sur un réseau à 105 V. 4-11 Un fusible de 100 A possède une résistance de 0,001 ohm. Quelle est la chaleur dissipée lorsque le fusible porte a) le courant nominal ? b) un courant de court-circuit de 1000 A ?
4-13 Calculer la puissance (en kW) d'une génératrice qui débite 30 A sous une tension de 220 V . Sachant que son rendement est de 88,5 %, calculer la puissance du moteur qui l'entraîne . 4-14 Une résistance de 100 S2 peut débiter une puissance de 200 W. Quelle tension maximale peut-on lui appliquer ? 4-15 Pendant un court intervalle, un homme peut développer une puissance mécanique de l'ordre de 1000 W. Cependant, de façon soutenue, il ne peut débiter qu'une puissance de 15 W . a) Exprimer ces deux puissances en horsepower . b) Combien de kilojoules d'énergie mécanique un homme peut-il débiter pendant une journée de huit heures ? Exprimer cette énergie en kilowattheures . 4-16 Au Québec, en 1996, la consommation annuelle moyenne par abonnement domiciliaire était de 9300 kW .h . Quelle était la puissance moyenne utilisée, en watts? 4-17 Compte tenu de l'information donnée au problème 4-15, combien d'hommes seraient requis pour fournir, à court terme, la même puissance que la centrale de génération de Beauharnois dont la capacité installée est de 1574 MW ? Niveau avancé 4-18 Une chaufferette de 1000W fonctionne normalement sous une tension de 120 V . Quelle puissance dégagera-t-elle si la tension baisse de 10 % ? Quelle est, en pour cent, la diminution de puissance ? 4-19 a) Un moteur absorbe 15 A sous 120 V. Quelle est sa puissance en horsepower, si on néglige les pertes ? b) Quelle puissance mécanique développe-t-il, si son rendement est de 90 % ?
5 Circuits simples à courant continu
La plupart des circuits électriques sont raccordés soit en série, soit en parallèle, soit en série-parallèle . Dans ce chapitre nous étudions ces trois types de circuits et comment on peut les résoudre . Les circuits plus complexes et moins fréquents sont expliqués au chapitre 8 .
I,
IL
5 .1 Groupement en série Des appareils électriques sont raccordés en série lorsque la borne de l'un est connectée avec la borne du suivant, de façon à réaliser une chaîne . La Fig . 5-la montre un circuit série formé d'une génératrice, d'un moteur, d'une lampe et d'une chaufferette . Les circuits séries possèdent trois propriétés principales 1) Le courant est le même dans tous les éléments . Dans la Fig . 5- la, les courants sont tous égaux car les électrons ne peuvent pas quitter les conducteurs dans lesquels ils circulent . Par conséquent, les 4 ampèremètres donnent la même lecture .
Figure 5-1a Groupement en série d'ampèremètres .
'moteur = 'lampe - 'chaufferette = 'génératrice IM = IL
= Ic =
IG
51
mesure des courants à l'aide
52
ÉLECTROTECHNIQUE
2) La somme des tensions aux bornes des charges est égale à la tension aux bornes de la source. Dans la Fig . 5-lb on aura Emoteur
+ Elampe + Echaufferette EM + EL + Ec
Egénératrice
EG
Ces trois règles s'appliquent à tout circuit série, quelle que soit la nature des charges . La Fig . 5-2 est une représentation schématique des quatre composants du circuit . 5.2 Groupement de résistances en série ; résistance équivalente Il arrive souvent que les charges dans un circuit série soient composées entièrement de résistances . On peut démontrer que 1) La résistance de l'ensemble de ces résistances est égale à la somme des résistances individuelles .
II)
On peut donc remplacer un groupe de résistances R1, R2, R3 . . . Rn par une seule résistance équivalente R eq qui tirerait le même courant de la source et qui dissiperait la même puissance . Celle-ci serait donnée par Ec
=R 1 +R, +R3 + . . . .+R„
(5-1)
tG 111111111
o
C
Figure 5-1b Groupement en série - mesure des tensions à l'aide de voltmètres .
3) La somme des puissances absorbées par les charges est égale à la puissance fournie par la source .
Considérons les trois résistances connectées en série aux bornes d'une source de 220 V (Fig . 5-3a) . La résistance équivalente à l'ensemble de ces résistances sera donc R =4+6+ 12=2252 eq
La tension de 220 V provoque dans ce montage un courant de I _
C'est une conséquence de la loi de la conservation de l'énergie. Étant donné que la puissance est égale au produit de la tension aux bornes d'un élément par le courant qui le traverse, on aura Pmoteur + Plampe + Pchaufferette
soit
E
=
R I +R2 +R3
ELIL
+ EC I c
= 10A
4+6+12
En utilisant la résistance équivalente (Fig . 5-3b) on trouve directement : I _ E = 220-
Pgénératrice
Req EM IM +
220
= 10 A
22
EG IG 6 S2
22
S2
12 S2
4 S2
220 V 220 V (a) Figure 5-2 Diagramme schématique du montage de la Fig . 5-1 .
Figure 5-3 Résistances branchées en série .
(b)
CIRCUITS SIMPLES À COURANT CONTINU
53
La puissance dépensée par effet Joule dans chacune des résistances a pour valeur P = RI . dans R 1 , P1 = 4 x (10) 2 = 400W dans R 2 , P 2 = 6 x (10) 2 = 600W dans R 3 , P3 = 12 x (10) 2 = 1200 W soit au total : 2200 W. La puissance débitée dans la résistance équivalente a pour valeur: 2 P = 22x (10) = 2200 W
220 V
On vérifie donc que la résistance équivalente tire le même courant et dissipe la même puissance que l'ensemble des résistances .
Figure 5-4 Mesure des tensions aux bornes des résistances .
Aussi, la somme des puissances dépensées dans les résistances est bien égale à la puissance débitée par la génératrice, soit
Il s'ensuit que les points 1, 2 et 3 sont électriquement au même potentiel que la borne A . De la même façon, les points 4, 5 et 6 sont électriquement au même potentiel que la borne B .
P = EI = 220 x 10 = 2200 W 2) La tension aux bornes de chacune des résistances est égale au produit de cette résistance par le courant qui traverse le circuit . De plus, la différence de potentiel aux bornes de l'ensemble est égale à la somme des tensions individuelles aux bornes de chaque résistance . Ainsi, pour le circuit considéré, la tension aux bornes de chaque résistance sera E = RI pour R I , E l = 4 x 10 = 40 V pour R 2 , E2 = 6 x 10 = 60 V pour R 3 , E3 = 12 x 10 = 120 V soit au total : 220 V Ainsi, la somme des tensions indiquées par les voltmètres aux bornes des trois résistances est égale à la tension aux bornes de la génératrice, soit 220 volts (Fig . 5-4) . 5 .3 Groupement en parallèle Des appareils électriques sont raccordés en parallèle lorsque leurs bornes sont connectées aux deux mêmes points . La Fig . 5-5 montre un groupement parallèle formé d'un moteur, d'une lampe et d'une chaufferette branchés aux bornes A et B d'une génératrice . On suppose que les deux conducteurs partant de ces bornes possèdent une résistance négligeable .
Figure 5-5 Groupement en parallèle .
Tout comme les circuits série, les circuits parallèle possèdent trois propriétés principales 1) La tension est la même aux bornes de chaque élément. Sur le montage de la Fig . 5-6a, les quatre voltmètres donnent la même lecture Emoteur
Elampe
Echaufferette
EM =EL =Ec
Egénératrice
=EG
2) La somme des courants tirés parles charges est égale au courant débité par la source .
54
ÉLECTROTECHNIQUE
5 .4 Groupement de deux résistances en parallèle Chacun des montages de la Fig . 5-7 représente deux résistances R1 et R2 montées en parallèle car leurs extrémités sont reliées aux deux mêmes points 1 et 2 . 10
Figure 5-6a Groupement en parallèle - mesure des tensions aux bornes des éléments .
Dans la Fig . 5-6b, les courants indiqués par les quatre ampèremètres donnent moteur + (lampe + (chaufferette
IM + IL + Ic
1 0-
H
4
20 (b)
(a)
(génératrice
IG
(c)
Ce résultat est compréhensible, car le courant tiré par chaque charge doit être fourni par la source . 3) La somme des puissances consommées par les charges est égale à la puissance fournie par la source .
Figure 5-7 Trois manières de grouper 2 résistances en parallèle .
Comme pour les circuits série, on obtient
Considérons une batterie d'accumulateurs de 30 V alimentant une résistance R1 de 6 S2 (Fig . 5-8). Pour une tension de 30 V entre ses bornes 1 et 2, la résistance tire un courant de 5 A de la source . En effet,
p moteur + p lampe + chaufferette EM IM + ELIL + ECIc
p
génératrice
EG IG
Ces trois règles s'appliquent à tout circuit parallèle, quelle que soit la nature des charges .
I=E=30
=5A 6 La circulation de ce courant ne change pas la tension entre les points 1 et 2 ; elle est encore de 30 V. Si on raccorde maintenant à ces deux mêmes points une résistance R 2 de 3 S2 (montage parallèle, tel qu'indiqué à la Fig. 5-9), il circule un courant de 30 V/3 S2 = 10 A dans cette nouvelle résistance . R
R, 6£2
4 Figure 5-6b Groupement en parallèle - mesure des courants dans les éléments .
Figure 5-8 Batterie alimentant une résistance de 6 S2 .
CIRCUITS SIMPLES À COURANT CONTINU
30 V
V 5A', R
652 3 S2
R2
10 A v
T2 - - - - E Figure 5-9 Courants lorsqu'une résistance de 3 S2 est ajoutée en parallèle avec celle de 6 S2 .
Exemple 5-1 Deux résistances (le 6 S2 et 3 £2 sont raccordées en parallèle (Fig . 5-9) . Calculer la valeur de la résistance équivalente . Solution D'après la formule, la résistance unique pouvant remplacer les deux en parallèle a pour valeur R
= eq
Comme ce courant vient de la même source, le courant total fourni par la batterie sera la somme des courants dans chacune des résistances, soit 5 A + 10 A = 15 A . Si les deux résistances étaient cachées, un technicien mesurant une tension de 30 volts et un courant de 15 A en déduirait qu'une résistance de 30 V/15 A = 2 S2 est branchée à la source . Donc, deux résistances de 6 £2 et 3 S2 branchées en parallèle produisent le même effet qu'une seule résistance de 2 Çà (Fig . 5-10) .
Req
55
= 6x3 = 18 = 2S2 R I +R 2 6+3 9 R 1 R2
On constate que la valeur de la résistance équivalente (2 S2) est inférieure à la plus petite des résistances (3 Q) . Il est bon de se rappeler que le fait d'ajouter une deuxième résistance offre un nouveau passage au courant et, par suite, diminue la résistance offerte à la source . 5.6 Répartition du courant dans un groupement parallèle La connaissance de la résistance équivalente nous aide à déterminer la répartition du courant entre deux résistances raccordées en parallèle . Par exemple, lorsqu'on connaît le courant total alimentant deux résistances groupées en parallèle, on peut déterminer le courant dans chacune en appliquant la méthode suivante (voir Fig . 5-11) :
252 552 R
Figure 5-10 Circuit équivalent du montage de la figure 5-9 .
o10A
-o 20 52
5.5 Montage en parallèle ; résistance équivalente Pour le groupement parallèle, on notera que la résistance unique équivalente à deux résistances en parallèle est égale au produit des résistances divisé par leur somme .
(a)
Ainsi la résistance Req de l'ensemble de deux résistances R1 et R2 en parallèle est donnée par la formule
(c)
Req
=
10A
44
(b)
R I R2 R, + R2
Figure 5-11 Répartition du courant de ligne entre deux résistances en parallèle .
ÉLECTROTECHNIQUE 56 Dans cette figure, deux résistances de 5 S2 et de 20 S2 sont alimentées par un courant de 10 A . Calculons le courant circulant dans chacune . a) on détermine tout d'abord la valeur de la résistance équivalente R
a) on trouve la résistance équivalente de deux des résistances, soit
= 5x20 = 4S2 eq 5 + 20
b) on calcule la chute de tension dans la résistance équivalente E = RI = 10x4 _ 40V
La tension commune aux deux résistances en parallèle est donc de 40 V c) une fois que la tension commune des résistances est connue, il est facile d'établir le courant circulant dans chacune d'elles . Ainsi, dans la résistance de 5 0 : I =
40 V
_ 8 A
5Q et dans la résistance de 20 52 :
5 .8 Groupement de trois ou plusieurs résistances en parallèle Pour trouver la résistance équivalente d'un ensemble de trois résistances, on procède comme suit (voir Fig . 5-13) :
I = 40 V _ 2 A 20 S2
soit au total : 8 A + 2 A = 10 A L'intensité du courant est évidemment plus grande dans la plus basse résistance .
R = 8 x 10 = 4,44 S2 8 + 10 b) on calcule ensuite la résistance équivalente de la combinaison parallèle de la troisième résistance avec la résistance équivalente déjà calculée R = 4,44 x 12 = 3,24 S2 4,44 + 12 Les schémas de la Fig . 5-14 indiquent clairement les étapes que nous avons suivies . On procédera de la même façon pour trouver la résistance équivalente à plus de trois résistances en parallèle . Cas particulier : La résistance équivalente à n résistances R identiques en parallèle est égale à Rln . Par
exemple, la résistance équivalente à 7 résistances de 21 Q en parallèle est de 21 £2 - 7 = 3 S2.
5 .7 Court-circuit
s 52
Soit une résistance R I parcourue par un courant. Si on dispose en parallèle avec celle-ci une deuxième résistance R2 constituée par un conducteur de forte section, on dira que la résistance RI est court-circuitée par la résistance R2 (Fig . 5-12) .
100
120
R2 ayant une résistance pratiquement nulle, elle sera
parcourue par tout le courant ; il ne passera qu'un courant négligeable dans la résistance RI mise en courtcircuit .
Figure 5-13 Groupement parallèle de trois résistances .
4,44 0
IR =0
-H I,
Figure 5-12 Court-circuit de la résistance R 1 .
Req 3,24 4
I,
Figure 5-14 Réduction progressive du circuit de la figure 5-13 .
F--
CIRCUITS SIMPLES À COURANT CONTINU
5 .9 Conductance L'inverse de la résistance s'appelle conductance . Ainsi, une résistance de 25 £2 possède une conductance de 1/(25 S2) . L'unité SI de conductance est le siemens (symbole S) et 1 siemens = 1/ohm . Une résistance de 25 £2 a donc une conductance de 1/25 siemens, ou 0,04S . La conductance G d'un groupe de résistances en parallèle est égale à la somme des conductances de chacune . Soit un groupe de résistances RI, R2, R3, . . . R,,, branchées en parallèle dont la résistance équivalente est R eq. Puisque la conductance G du groupe est égale à la somme de leurs conductances individuelles, et que G = 1/Req, il s'ensuit que 1 G = 1 = 1 + 1 + 1 + .. + R„ Req RI R2 R3
(5-3)
Exemple 5-3 Trouver la puissance dissipée dans chacune des résistances de la Fig . 15
Solution Il s'agit d'abord de trouver la résistance équivalente des résistances de 6 S2 et 30 S2 en parallèle . R = 6 x 30 = 180 = 5 S2 6 + 30 36 Le circuit se réduit à celui de la Fig . 5-16 . La résistance équivalente des résistances de 10 Q et 5 S2 disposées en série sera R = RI
+
R2
= 10 + 5 = 15 52
Le groupe mixte des trois résistances est donc finalement remplacé par une seule résistance (Fig . 5-17) .
Exemple 5-2 Soit cinq résistances de 10 . 20, 30, 40 et 50 £2 branchées en parallèle . Calculer leur conductance et la valeur de leur résistance équivalente .
Solution La conductance G du groupe est 1 G= 1 + 1 + 1 + + 1 10 20 30 40 50
Figure 5-15
= 0,228 siemens = 0,228S Il s'ensuit que la résistance équivalente est Req = 1 = 4,38 £2 0,228S 5 .10 Groupement série-parallèle Les groupements série-parallèle sont des groupements mixtes . Pour résoudre de tels circuits on remplace les résistances en parallèle par leur résistance équivalente, et les résistances en série également par leur résistance équivalente . Enfin on trouve la résistance qui peut remplacer cet ensemble de résistances équivalentes . L'exemple numérique suivant illustre cette méthodologie .
57
Figure 5-16 15
Figure 5-17
58 ÉLECTROTECHNIQUE
On procède maintenant par la méthode inverse pour trouver le courant et la tension de chacun des éléments (Fig . 5-18, 5-19 et 5-20) .
est égale à la somme des puissances dissipées dans chacune des résistances . P = El = 90 x 6 = 540 W
Le courant débité par la source de 90 V, sera
I=E= 9c R
=6A
15
6A
La résistance de 15 Çà de la Fig . 5-18 est, nous l'avons vu, la résistance équivalente aux résistances de 10 S2 et de 5 S2 en série ; le courant sera donc le même dans chacune de ces résistances (Fig . 5-19) . Les tensions aux bornes des résistances de 10 S2 et 5 £2 seront respectivement
Figure 5-18
E = RI E l = 10x6 = 60V et
E2 = 5x6 = 30 V
soit au total : 60V + 30V = 90V On vérifie que la somme de ces tensions est bien égale à la d .d.p . aux bornes de la génératrice . Figure 5-19
Maintenant, on remarque que la résistance de 5 S2 remplace les résistances de 6 S2 et de 30 S2 en parallèle . La tension aux bornes de ces dernières sera donc égale à celle aux bornes de la résistance de 5 S2, soit 30 volts (Fig . 5-20) . La tension commune aux résistances de 6 S2 et de 30 £2 étant de 30 volts, le courant dans chacun de ces éléments sera respectivement I = 30 =5A i 6
et
12
0
= 3 =1A 30
soit au total : 5 A + 1 A = 6 A
Figure 5-20
Connaissant les courants dans chacune des résistances, on peut trouver les puissances dissipées par chacune d'elles en utilisant P = RI2 . P résistance de 10 S2 : 10 x (6) 2 = 360 W P résistance de 6 S2 :
6 x (5) 2 = 150 W
P résistance de 30 £2 : 30 x (1) 2 = 30W soit au total : 360 W + 150 W + 30 W = 540 W On vérifie que la puissance débitée par la génératrice
5 .11
Résumé
Dans ce chapitre nous avons appris à résoudre les circuits simples comprenant les deux raccordements de base : la connexion série et la connexion parallèle . Dans un circuit série, le courant qui traverse les différents éléments est le même . La tension apparaissant aux bornes de l'ensemble est la somme des tensions individuelles de chaque élément . De plus, la résistance équivalente d'un groupement de résistances connec-
CIRCUITS SIMPLES À COURANT CONTINU
tées en série est la somme des résistances individuelles, soit Req =R i +R2 + . . .+R„ Dans un circuit parallèle, la tension appliquée aux différents éléments est la même. Le courant circulant dans l'ensemble est la somme des courants individuels circulant dans chaque élément . Pour des résistances branchées en parallèle, il est commode de définir la conductance G = 1/R . L'unité de conductance est le siemens . La conductance d'un groupement de résistances connectées en parallèle est la somme des conductances individuelles, soit : l/R eq = 1/R 1 + 1/R2 + . . .+ 1/R, Dans le cas particulier de 2 résistances branchées en parallèle on a : Req = R 1 R2/(R l + R2) L'utilisation des lois mentionnées ci-dessus permet de trouver les courants, tensions et puissances dans chacune des branches d'un circuit simple comprenant des groupements série-parallèle .
PROBLÈMES - CHAPITRE 5 Niveau pratique 5-1 Trouver la résistance équivalente à l'ensemble de deux résistances de 25 £2 et de 82 £2 disposées en série . 5-2 Trois résistances respectivement égales à 6 S2, 5 S2 et 9 S2 sont groupées en série . Calculer leur résistance équivalente . 5-3 Dans un montage série, tous les éléments portent le même courant . Expliquer. 5-4 Dans la Fig . 5-7b, si la tension entre les points 1 et 2 est de 40 V, quelle est la tension entre les points 34 ? entre les points 2-4 ? 5-5 Dans un groupement de résistances en série, la même tension est-elle commune à toutes les résistances ? Le même courant ? 5-6 Dans un groupement de résistances en parallèle, la même tension est-elle commune à toutes les résistances ? Le même courant ?
59
5-7 On désire introduire une résistance additionnelle de 2,5 S2 dans un circuit afin de limiter l'intensité de courant . Si on ne dispose que de résistances de 20 0, combien faudra-t-il en disposer en parallèle ? 5-8 Trouver la résistance équivalente à l'ensemble de deux résistances de 45 £2 et de 15 S2 disposées en parallèle . 5-9 Une résistance de 25 S2 est connectée en série avec la bobine d'un relais dont la résistance est de 80 S2 . Si une tension de 50 volts est appliquée à cet ensemble, quel sera le courant dans la bobine ? Quelle sera la puissance dissipée dans la résistance de 25 S2 ? Niveau intermédiaire 5-10 Un groupe de deux résistances de 20 S2 et 30 S2 disposées en série est raccordé à une source de 150 V. Quelle tension mesurera-t-on aux bornes de la résistance de 30 S2 ? Quelle sera la puissance débitée par la source ? 5-11 Si deux résistances de 20 S2 et 30 S2 sont groupées en parallèle, déterminer la résistance équivalente à l'ensemble . Sachant qu'elles sont alimentées par une source de 150 V, calculer le courant tiré de celle-ci . 5-12 Un circuit parcouru par un courant de 18 ampères se divise en deux branches parallèles dont les résistances sont respectivement 4 S2 et 5 S2. Calculer la tension aux bornes des résistances ainsi que la répartition du courant dans les branches . 5-13 Calculer la résistance équivalente à trois résistances de 25 S2, 50 S2 et 60 S2 en parallèle . 5-14 Deux résistances de 25 S2 et 40 Q sont disposées en série dans un circuit . Sachant que la tension aux bornes de la résistance de 40 £2 est de 50 volts, déterminer la tension aux bornes du circuit . Calculer la puissance dissipée dans la résistance de 25 S2 . 5-15 Deux résistances A et B sont connectées en série et alimentées par une génératrice sous une tension de 75 volts . Si la tension aux bornes de la résistance A est de 40 volts et si un courant de 2 ampères circule dans le circuit, déterminer la valeur de la résistance B . 5-16 On utilise 16 isolateurs en porcelaine entre une ligne à 132 kV et un poteau en bois . Calculer la valeur de la tension moyenne aux bornes de chaque isolateur.
60
ÉLECTROTECHNIQUE
Niveau avancé 5-17 Le circuit donné à la Fig . 5-21 est raccordé à une génératrice dont la tension est de 108 V . Trouver le courant et la tension pour chacun des éléments du circuit .
5-18 Dans la Fig . 5-22, la résistance de 32 £2 dissipe une puissance de 1152 W . Déterminer la valeur de la tension aux bornes de chaque élément .
-1
Figure 5-22 Voir problème 5-18. Figure 5-21 Voir problème 5-17 .
8 S2
6 Appareils de mesure à courant continu e) un noyau de fer doux cylindrique E concentre le champ magnétique créé par l'aimant . L'aimant est fixé au noyau par le support F ; f) un cadran gradué G . La position de l'aiguille devant les divisions du cadran donne la valeur du courant ou de la tension mesurée . Si aucun courant ne traverse le cadre, les ressorts en spirale maintiennent celui-ci dans une position telle que l'aiguille indique zéro sur le cadran . Lorsqu'un courant traverse les conducteurs de la bobine, les forces électromagnétiques qui résultent de l'action du champ magnétique 0 sur le courant font tourner le cadre, tout en agissant contre la force de torsion des ressorts . L' origine de ces forces électromagnétiques est expliquée dans le chapitre 16 .
Dans ce chapitre, nous couvrons le principe de fonctionnement de quelques appareils de mesure à courant continu qui sont souvent rencontrés dans l'industrie . Nous limiterons l'étude aux instruments à affichage analogique, c'est à dire ceux ayant une aiguille qui se déplace devant un cadran gradué . Les appareils à affichage numérique possèdent essentiellement les mêmes propriétés, mais ils indiquent en chiffres la grandeur mesurée .
6.1 Le mouvement d'Arsonval La plupart des voltmètres et des ampèremètres à courant continu contiennent un élément de base appelé mouvement d'Arsonval . Ce mouvement sert à faire dévier l'aiguille de l'instrument et il comprend les parties suivantes (Fig . 6-1) :
La déviation du cadre, enregistrée par la déviation de l'aiguille, est d'autant plus considérable que le courant est plus fort : elle peut donc servir à la mesure du courant. Si l'on inverse le sens du courant dans le cadre, le sens de rotation du cadre change .
a) un aimant permanent A possédant deux pièces polaires N et S en fer doux . L' aimant produit un champ magnétique 0 ; b) une bobine mobile B en forme de cadre, composée de quelques centaines de spires de fil très fin . La bobine est très légère et elle est soutenue par deux pivots d'acier P qui tournent entre deux diamants ; c) deux ressorts en spirale C qui s'opposent à la rotation de la bobine . Les deux ressorts sont reliés aux extrémités de la bobine et servent à y amener le courant I ; d) une aiguille D fixée au cadre;
On incorpore au mouvement un système d'amortissement afin que l'aiguille prenne rapidement sa position finale . Sinon, il faudrait attendre plusieurs secondes avant qu'elle cesse d'osciller autour de sa position d'équilibre . Selon sa construction, le mouvement d'Arsonval peut donner une déviation complète de l'aiguille pour des courants aussi faibles qu'un milliampère, parfois de 61
62
ÉLECTROTECHNIQUE
B bobine F support A aimant permanent C ressort en spirale pôle S
pivot P
Figure 6-1 Composants d'un mouvement d'Arsonval .
50 gA seulement . Cependant, la bobine peut supporter des courants valant plusieurs fois celui qui provoque la pleine déviation . Par exemple, la bobine d'un mouvement de 1 mA, possédant habituellement une résistance de 50 ohms, dissipe seulement 50 tW lorsqu'elle porte son courant nominal . Une puissance aussi faible provoque une augmentation de température inférieure à 1 °C . La bobine peut donc supporter, sans dommage thermique, des courants de l'ordre de 5 à 10 fois le courant nominal . Lorsque le cadran est gradué directement en milliampères, l'instrument porte le nom de milliampèremètre . 6 .2 Mesure des courants intenses ; ampèremètre Il ne serait pas pratique de fabriquer une bobine de fil assez gros pour supporter les courants intenses que l'on rencontre dans l'industrie, car elle serait lourde et, par suite, très peu sensible . On contourne la difficulté en plaçant en parallèle avec un mouvement d'Arsonval un conducteur de très basse résistance appelé shunt (Fig . 6-2) . De cette façon, la plus grande partie du cou-
rant à mesurer passe par le shunt (qui offre moins d'opposition au passage du courant), et une fraction constante du courant total est déviée dans l'instrument de mesure . L'ensemble du shunt et du mouvement d'Arsonval porte le nom d'ampèremètre . La Fig . 6-3a montre deux shunts constitués de deux blocs de cuivre portant des vis de serrage et reliés par plusieurs lames de manganine . Ce matériau est utilisé car sa résistance demeure rigoureusement constante, quelle que soit la température . Le shunt se monte en série dans le circuit d'utilisation dans lequel on veut mesurer le courant, tandis que le milliampèremètre (mouvement d' Arsonval) est raccordé en parallèle avec le shunt . La Fig . 6-2 montre les bornes A et B du shunt intercalées dans le circuit en question et le milliampèremètre raccordé entre les points X etY du shunt . Lorsque le shunt porte son courant nominal, la chute de tension entre les bornes X et Y est généralement de 50 mV Le courant I qui traverse le circuit d'utilisation se divise en deux parties : la plus grande partie IS passe dans
APPAREILS DE MESURE À COURANT CONTINU
63
sance dégagée pour une telle intensité est de 500 W, ce qui requiert une bonne ventilation, assurée par la structure lamellée des plaques de manganine (Fig . 6-3b) . L' exemple numérique suivant illustre la méthode à suivre pour calculer un shunt, connaissant 1) la valeur du courant qui donne une déviation complète de l'aiguille ; 2) la résistance du mouvement d'Arsonval et 3) l'intensité du courant à mesurer .
Figure 6-2 Montage d'un shunt de 100 A et d'un milliampèremètre .
le shunt et une faible partie ib est dérivée dans le milliampèremètre . Si le courant I dans le circuit double, les courants ib dans l'instrument etI, dans le shunt doublent également . Le rapport des courants reste donc constant, quelle que soit la valeur de I . La déviation de l'aiguille causée par ib peut donc servir à la mesure de I .
Figure 6-3a Shunts de 2000 A et de 100 A .
Pour les instruments usuels, le zéro de l'échelle est placé à l'extrémité gauche . On ne peut donc faire passer le courant que dans un sens déterminé . Une des bornes est toujours marquée d'un signe (+) : si le courant entre par cette borne, l'aiguille dévie dans le bon sens ; si le courant circule en sens inverse l'aiguille tend à dévier vers la gauche, mais elle est arrêtée par une petite tige sans toutefois être endommagée .
6.3 Remarques sur les shunts Pour des intensités de courant inférieures à 20 A, le shunt est logé à l'intérieur du boîtier de l'ampèremètre ; pour des intensités plus grandes, le shunt est placé à l'extérieur. Dans le cas des ampèremètres de laboratoire, on utilise des jeux de shunts extérieurs . Ceci permet la mesure des courants variant entre de très grandes limites (de 0,01 à 500 A par exemple) en changeant tout simplement les shunts, lesquels sont relativement peu coûteux . Les shunts industriels sont construits pour mesurer des courants pouvant atteindre 10 000 A . Même si la chute de tension correspondante n'est que de 50 mV, la puis-
Figure 6-3b Shunt de 10 000 A, 50 mV, ayant une précision de 0,25 % . Dimensions : 330 x 200 x 100 mm ; masse : 32 kg (gracieuseté Cie Générale Électrique du Canada) .
Exemple 6-1
L'aiguille d'un milliampèremètre se rend au bout de son échelle quand un courant de 10 mA circule dans la bobine . Sachant que la résistance de cette bobine est de 15 ohms, quelle doit être la résistance du shunt qui permettra de transformer l'instrument en un ampèremètre calibré de 0 à 50 A?
64
ÉLECTROTECHNIQUE
Solution On désire évidemment que l'aiguille se rende au bout de l'échelle quand il passe 50 A dans le circuit d'utilisation (Fig . 6-4) . 0 0
Figure 6-5 Composants d'un voltmètre.
Figure 6-4 Calcul d'un shunt (voir exemple 6-1) . Puisqu'un courant de 10 mA donne une déviation complète, le courant principal de 50 A devra se partager comme suit : 10 mA (ou 0,010 A) dans la bobine et (50 - 0,010) = 49,990 A dans le shunt . La résistance de la bobine étant de 15 ohms, un courant de 10 mA y crée une chute de tension E=RI=15x0,010=0,15V La bobine et le shunt étant en parallèle, cette même différence de potentiel existe aux bornes X, Y du shunt . Le shunt traversé par un courant de 49,990 A sous une tension de 0,15 V doit avoir une résistance de : R = E =
1
0,15 V = 0,003 S2 49,990 A
D'après la loi d'Ohm I = E/R, si la tension E aux bornes de l'instrument double, le courant ib double, car la résistance de l'instrument est constante . Ce courant ib, en doublant, produit une déviation de l'aiguille deux fois plus grande ; la déviation de l'aiguille peut ainsi servir à la mesure de la tension . La résistance R est ordinairement logée dans le boîtier du voltmètre .
Exemple 6-2 La bobine d'un milliampèremètre a une résistance de 10 12 et donne une déviation maximale de l'aiguille lorsqu'elle est parcourue par un courant de 5 mA . Quelle résistance extérieure faut-il brancher en série avec cette bobine pour transformer l'instrument en un voltmètre calibré de 0 à 150 V?
Solution = 3 m S2
6 .4 Voltmètre On obtient un voltmètre à courant continu en plaçant une résistance élevée en série avec un mouvement d' Arsonval (ou un milliampèremètre), identique à celui utilisé dans les ampèremètres . (Pour obtenir un ampèremètre, une basse résistance ou shunt était disposée en parallèle avec le milliampèremètre .) Pour mesurer la différence de potentiel entre les bornes d'une source, on branche le voltmètre directement entre les bornes (Fig . 6-5) . Une des bornes du voltmètre porte toujours un signe (+) . Lorsque cette borne est connectée du côté (+) de la tension que l'on veut mesurer, l'aiguille dévie dans le bon sens ; autrement, elle dévie dans le sens inverse . Le signe (+) sur le voltmètre permet donc d'identifier la polarité de la source .
On désire que l'aiguille donne une déviation complète pour une tension de 150 V appliquée entre les points A et B (Fig . 6-6) . Pour cela, il faut qu'un courant de 5 mA (0,005 A) passe dans la bobine .
Figure 6-6 Calcul de la résistance d'un voltmètre (voir exemple 6-2) .
APPAREILS DE MESURE À COURANT CONTINU Alors, une tension de 150 V entre A et B doit faire circuler un courant de 0,005 A. La résistance entre ces deux points doit donc être : R = E =
1
150 V = 30 000 S2 0,005 A
= 30 k S2
Puisque la résistance totale du voltmètre doit être de 30 000 S2 et que celle de la bobine est de 10 S2, il faut disposer une résistance extérieure R de (30 000 - 10) = 29 990 S2 en série avec le mouvement d'Arsonval . En pratique, une résistance de 30 kQ2 ayant une précision de 1 % serait acceptable .
1 I
+150 V
+150 V
m
m
100 kÇ2
75 V
V 0 0
1
1 V 50 V
100 kQ
T
(a) Figure 6-8 Effet du voltmètre sur la tension à mesurer .
6 .5 Sensibilité d'un voltmètre Du point de vue électrique, un voltmètre se comporte comme une résistance élevée lorsqu'il est raccordé à deux points d'un circuit pour la mesure de la tension entre ces points . Considérons, par exemple, le circuit de la Fig . 6-7 composé de deux résistances RI et R2 raccordées en série sur une source E . Lorsqu'on branche un voltmètre aux bornes de la résistance R2, on place effectivement une résistance élevée (voltmètre) en parallèle avec R2 . Bien que la présence du voltmètre ait un effet négligeable dans les circuits industriels, elle peut cependant entraîner des erreurs de mesure très appréciables dans les circuits électroniques où les résistances RI et R2, par exemple, auraient des valeurs très élevées .
Figure 6-7 Mesure de la tension entre les points
+150 V
65
gradué de 0 à 100 V ayant une résistance totale de 100 kQ2 . En étudiant les schémas des figures 6-8b et 6-8c, on constate que la résistance effective entre les bornes 1 et 2 n'est plus de 100 kQ2 mais seulement de 50 kQ . La présence du voltmètre dans le circuit a donc modifié la résistance totale du circuit. Un calcul rapide nous indique que la tension aux bornes de la résistance R2 de la Fig . 6-8c tombe à 50 volts : c'est cette valeur qui sera indiquée par le voltmètre . Une personne non avertie pourrait conclure, à tort, que la tension aux bornes de R2 est de 50 volts même quand le voltmètre n'y est pas branché . Si un voltmètre de même graduation, mais ayant une résistance beaucoup plus élevée (10 MS2 par exemple), avait été employé pour la mesure de la tension aux bornes de R2, son indication aurait été assez près de 75 V. Ceci résulte du fait que la présence d'une résistance de 10 MS2 groupée en parallèle avec la résistance R2 de 100 kS2 n'aurait pratiquement pas modifié la valeur de la résistance entre les points 1 et 2 du circuit . On dit alors que ce second voltmètre est plus sensible que le premier, parce que sa résistance est plus élevée . La sensibilité d'un voltmètre dépend du courant requis pour produire une déviation complète. Elle est exprimée en ohms/volt et on la trouve par le rapport :
1
et 2 .
Pour illustrer, considérons le circuit composé de deux résistances de 100 kQ2 groupées en série et alimentées par une source de 150 V (Fig . 6-8a) . Puisque les résistances ont la même valeur, la tension aux bornes de chacune est évidemment de 75 V . Branchons maintenant aux bornes de R2 un voltmètre
sensibilité
résistance de l'instrument = en ohms graduation maximale du cadran en volts 1 intensité du courant donnant une déviation complète de l'aiguille
66
ÉLECTROTECHNIQUE
Ainsi, la sensibilité d'un voltmètre ayant une calibration de 0 à 100 V et une résistance de 100 000 12 est : sensibilité = 100 000 S2 =100 V = 1000 ohms/volt.
La sensibilité d'un voltmètre à échelles multiples est la même pour chacune des échelles . La meilleure sensibilité que l'on puisse obtenir avec un voltmètre à mouvement d'Arsonval est de l'ordre de 50 000 Q/V. Les voltmètres électroniques permettent d'obtenir des sensibilités bien supérieures, atteignant 10 MS2/V, mais leur emploi n'est indispensable que pour mesurer des tensions aux bornes de résistances élevées comme celles rencontrées dans les montages électroniques (Fig . 6-9) .
Exemple 6-3 Un voltmètre calibré 0 - 150 V possède une précision de ± 2 0 . S'il indique 60 V lorsqu'il est raccordé à un circuit, à quelle erreur maximale doit-on s'attendre Solution
Étant donné que l'appareil est gradué de 0 à 150 V, l'erreur de l'instrument pour n'importe quelle indication sur le cadran est : ± 2 % x 150 V = ± 3 V . Quand l'instrument indique 60 V, la tension réelle du circuit peut avoir toute valeur comprise entre (60+3)=63V et (60-3)=57V Cela représente une erreur possible de 3V 60 V
= ± 0,05 = ± 5 %
Cette erreur possible dans la lecture est 2,5 fois plus grande que la précision spécifiée par le manufacturier de l'instrument . Cet exemple démontre que l'on doit se méfier des lectures fournies par un instrument lorsque la déviation de l'aiguille représente une faible portion de l'échelle complète . 6 .7 Ohmmètre
Figure 6-9 Multimètre électronique à affichage numérique . Cet instrument, construit avec des circuits à l'état solide, ne contient aucun mouvement d'Arsonval . Comme voltmètre, il a une précision de 0,1 % et une résistance de 10 MQ .
Nous avons déjà expliqué (section 3 .9), comment l'on peut déterminer la valeur de la résistance d'un corps au moyen d'un ampèremètre, d'un voltmètre et d'une source de courant . Il est possible de mesurer directement sa résistance, sans recourir à une source extérieure, avec un instrument de mesure appelé ohmmètre .
6 .6 Précision d'un voltmètre La précision d'un appareil de mesure est l'exactitude avec laquelle l'instrument indique cette mesure . On l'exprime habituellement en % de la graduation maximale de l'échelle . Il ne faut pas confondre la sensibilité d'un instrument avec sa précision . Ainsi, la sensibilité d'un voltmètre dépend de l'intensité du courant qui produit la déviation complète de l'aiguille tandis que sa précision dépend du soin apporté à sa fabrication . L'exemple suivant illustre l'effet de la précision sur l'erreur maximale d'une lecture d'instrument .
La construction de cet appareil, dans sa forme la plus simple, est donnée à la Fig . 6-10 . Il est constitué essentiellement d'un milliampèremètre dont l'échelle est calibrée de zéro ohm à l'infini (eo), d'une pile sèche de tension E et d'une résistance variable Ro . Si l'on raccorde un élément extérieur R x aux bornes A et B, l'aiguille s'arrêtera à une position intermédiaire entre les valeurs extrêmes 0 et oo et l'échelle indiquera directement la valeur de sa résistance . Afin de mesurer avec assez de précision des résistances très différentes, on construit des ohmmètres à plusieurs échelles .
APPAREILS DE MESURE À COURANT CONTINU
Figure 6-10 Construction d'un ohmmètre .
calibrer l'appareil avant de l'utiliser, car la tensim de la pile sèche varie avec le temps . Pour la cawation, on procède comme suit : on court-circuite les fumes A et B (ce qui équivaut à mesurer une résistance exuérieure de valeur nulle) et on ajuste la résistance sable R o pour que l'aiguille indique zéro (0) . S'il au impossible d'obtenir ce résultat, il faut alors chanpor la pile . Quand rien n'est raccordé entre A et B, Faig guille doit indiquer une résistance infinie (oo) ; puisa*e la résistance est infiniment grande, il ne passe pas aie courant dans l'instrument.
67
Figure 6-11 Mégohmmètre de 500 V avec génératrice interne pouvant mesurer des résistances de zéro jusqu'à 100 MO (gracieuseté Evershed & Vignoles Ltd.) .
II faut
6 .9 Pont de Wheatstone Quand on doit mesurer la valeur d'une résistance avec une grande précision, on a recours au pont de Wheatstone . Il est constitué d'une source à courant continu E, de trois résistances, R1, R2 et R3 de haute précision, et d'un microampèremètre (appellé galvanomètre) . La résistance inconnue Rx est connectée dans une des branches du pont comme le montre la Fig . 6-12. Pour mesurer sa valeur, on fait varier RI jusqu'à ce que le courant passant dans le galvanomètre soit
i8 Mégohmmètre (Megger) Le mégohmmètre est un ohmmètre conçu spécialement !ow mesurer les résistances très élevées allant de 1 MS2 à 1000 MS2 et plus . On l'utilise pour vérifier la résistaoce à la masse des circuits électriques et pour tester hqualité de l'isolant des enroulements de machines . Fuir cette raison, la tension de la source interne, au feu d'être de quelques volts seulement comme dans le ans d- un ohmmètre ordinaire, est plutôt de l'ordre de 500 V et peut même aller jusqu'à 10 kV dans certains modèles . Cette tension est générée en tournant une manivelle solidaire d'une petite génératrice à courant continu localisée à l'intérieur de l'appareil (Fig . 6-11) . D'autres instruments développent la tension requise grâce à un circuit électronique qui multiplie plusieurs centaines de fois la tension générée par une pile sèche .
Figure 6-12 Pont de Wheatstone pour mesurer la résistance avec une grande précision .
68
ÉLECTROTECHNIQUE
nul . On dit alors que le pont est équilibré. Les points 1 et 2 sont au même potentiel et on peut écrire les équations suivantes : i 2R2 = i R X
(car V2 = Vx)
i 2R 3 = i 1 R 1
(car V3 = V1)
En résolvant ces équations, on trouve immédiatement que : RX =
Ri R2 R3
La précision de la méthode de mesure dépend du fait que 1) la valeur de la résistance R X s'exprime en fonction de résistances connues avec une grande précision, 2) la valeur de la tension E de la source n'intervient pas dans le résultant et 3) la lecture sur le galvanomètre doit simplement être nulle . Avec un pont de Wheatstone, on peut, sans difficulté, mesurer des résistances avec une précision de ± 0,01 % .
Nous avons vu aussi comment est construit l'ohmmètre utilisé pour mesurer les résistances . Cet appareil utilise une pile et une résistance branchées en série avec le mouvement . La pile fait circuler un faible courant dans la résistance à mesurer et le mouvement affiche la valeur de la résistance en ohms . Pour mesurer des résistances élevées (1 MS2 à 1000 Mb2) on utilise un mégohnimètre fonctionnant sur le même principe, mais dont la source de tension peut générer des tensions pouvant atteindre plusieurs kilovolts . Enfin, pour mesurer des résistances avec une grande précision on utilise un pont de Wheatstone comprenant trois résistances de haute précision, un galvanomètre et une source de tension . La mesure consiste à équilibrer le pont en faisant varier une de ses trois résistances . La résistance mesurée est alors fonction de trois résistances connues .
PROBLÈMES - CHAPITRE 6 Niveau pratique
6 .10 Résumé Dans ce chapitre nous avons appris comment sont construits les appareils de mesure à courant continu à affichage analogique . Ils utilisent tous comme élément de base le mouvement d'Arsonval qui est un ampèremètre très sensible, donnant une pleine déviation pour des courants généralement inférieurs à 1 milliampère .
6-1 Quelles sont les parties principales d'un mouvement d' Arsonval?
Pour obtenir un ampèremètre pouvant mesurer des courant supérieurs à celui donnant la pleine déviation du mouvement, on branche en parallèle avec celui-ci une résistance appelée shunt. On réussit ainsi à mesurer des courants pouvant atteindre 100 kA . Ces shunts sont des résistances de précision ; les shunts prévus pour mesurer des courants intenses ( >20 A) sont branchés à l'extérieur du boîtier pour assurer une bonne ventilation . Nous avons aussi appris comment calculer la résistance d'un shunt en utilisant la loi d'Ohm .
6-4 Comment un milliampèremètre peut-il servir à la mesure d'une tension?
Pour obtenir un voltmètre, on branche en série avec le mouvement une résistance . La sensibilité d'un voltmètre est donnée en ohms/volt . C'est l'inverse du courant produisant la pleine déviation du mouvement . Lorsqu'on effectue une mesure de tension dans un circuit comportant des résistances élevées on doit s'assurer que la sensibilité de l'appareil est suffisante pour ne pas perturber le circuit et fausser les mesures .
6-2 Comment peut-on déterminer la polarité d'une pile sèche? 6-3 À quoi servent les shunts? De quel alliage sontils constitués?
6-5 Comment exprime-t-on la sensibilité d'un voltmètre? 6-6 Un instrument de mesure moins sensible qu'un autre peut-il être quand même plus précis? 6-7 À quoi sert l'ohmmètre? Quelles sont ses parties principales? Niveau intermédiaire 6-8 Un voltmètre dont la sensibilité est de 100 S2/V a une précision de ± 0,1 % . Quelle valeur de courant donne une déviation complète de l'aiguille? 6-9 La bobine d'un milliampèremètre a une résistance de 10 S2 et un courant de 20 mA donne une déviation complète de l'aiguille . Calculer les résistances des
APPAREILS DE MESURE À COURANT CONTINU
shunts à employer pour obtenir des déviations complètes avec des courants a) de 100 mA et b) de 100 A? 6-10 La bobine d'un milliampèremètre a une résistance de 10 S2 et un courant de 20 mA donne une déviation complète de l'aiguille . Quelle résistance doiton raccorder en série avec ce milliampèremètre pour obtenir un voltmètre gradué de 0 à 150 V? 6-11 Un voltmètre gradué de 0 à 150 V donne une déviation complète lorsqu'il est parcouru par un courant de 1 mA . Sa résistance est de 150 k£2 . On désire le convertir en voltmètre gradué de 0 à 3 kV . Trouver la valeur et la puissance de la résistance extérieure à ajouter. 6-12 Dans le problème 6-9, quelle doit-être la puissance de dissipation du shunt de 100 A? Quelle est la puissance dissipée dans la bobine lors d'une déviation complète de l'aiguille? 6-13 Un voltmètre a une sensibilité de 2000 WV. Quel est le courant donnant une déviation complète? 6-14 Dans le circuit de la Fig . 6-7,R1=R2=200 k£2 et E = 240 V. On désire mesurer la tension entre les points 1 et 2 au moyen d'un voltmètre à échelles multiples ayant une sensibilité de 1 k22,/V. a) Quelle est la tension entre les points 1 et 2 quand le voltmètre n'est pas raccordé? b) Quelle sera la lecture du voltmètre si on utilise : 1) l'échelle 0-50 V? 2) l'échelle 0-300 V?
69
6-15 Dans le circuit de la Fig . 6-7, supposons que les résistances R1 et R2 aient maintenant une valeur de 100 £2 et que E = 240 V. On désire mesurer la tension entre les points 1 et 2 au moyen d'un voltmètre à échelles multiples ayant une sensibilité de 1 kk2/V Quelle est la tension mesurée entre les points 1 et 2 si on utilise l'échelle 0-50 V? Niveau avancé 6-16 Deux voltmètres ayant une échelle de 0-150V ont une sensibilité de 10 kQ/V et 20 kW2/V respectivement. Si on les met en série aux bornes d'une source à 120 V, calculer la tension indiquée par chacun . 6-17 Les voltmètres électroniques à affichage numérique sont généralement plus précis et plus sensibles que les voltmètres à mouvement d' Arsonval . Comment expliquer que ces voltmètres électroniques n'aient pas complètement remplacé les autres? 6-18 Un voltmètre gradué de 0 à 150V aune précision de ± 0,2 % . En vérifiant une pile sèche, on mesure une tension de 9,3 V . Quelle est l'erreur maximale possible dans cette mesure (en volts)? Quel est le pourcentage d'erreur possible dans la lecture ? 6-19 Dans le problème 6-18, serait-il préférable de mesurer la tension de la pile avec un voltmètre de 0 à 15 V ayant une précision de ± 5 %? Expliquer .
7 Conventions de signes pour tensions et courants
Afin de faciliter l'étude des chapitres qui suivront, nous présentons ici une notation permettant de donner systématiquement la polarité des tensions et le sens des courants . 7 .1 Cas des distances Nous allons tout d'abord appliquer cette notation conventionnelle au cas des distances afin de rendre la démonstration plus concrète . Disons que la distance verticale entre deux points A et B est de 100 mètres . Cette information seule n'indique pas si A est au-dessus ou au-dessous de B ; elle ne donne pas la position de A par rapport à B .
Figure 7-1 Concept de distances positive (+) et négative (-) . DAB = + 100 m ; D BA = -100 m
De la même façon, on aura :
Il est possible de donner à la fois la distance et la position des points A et B en se servant de la convention simple des distances positives et négatives .
DBA =- 100 mètres
qui se lit : la distance de B par rapport à A = - 100 m
Ainsi, à la Fig . 7-1, puisque A est plus haut que B, on dira que la distance de A par rapport à B est de + 100 mètres . Inversement, B étant moins haut que A, on dira que la distance de B par rapport à A est de -100 mètres . Pour simplifier davantage, on emploie la notation :
7 .2 Addition de distances négatives et positives En se référant à la Fig . 7-2, trouvons la distance verticale entre les points A et C, sachant que DAB = - 3 m et que DBC = + 5 m
DAB = + 100 mètres
La distance DAC sera donnée par la somme algébrique
qui se lit :
DAB + DBC .
la distance de A par rapport à B = + 100 mètres . 70
CONVENTIONS DE SIGNES POUR TENSIONS ET COURANTS
71
Comme pour les distances, la notation suivante est employée: EAB = + 100 V (qui se lit : tension de A par rapport
à B) EBA = - 100 V (qui se lit : tension de B par rapport
à A) Figure 7-2 Application des distances (+) et (-) .
DAC
= DAB
+ DBC
(- 3 mètres) + (+ 5 mètres)
Par exemple, si l'on sait que la génératrice de la Fig . 7-4 a une tension E21 = - 300 V, il s'ensuit que la tension entre ses bornes 1 et 2 est de 300 V et que la borne 2 est négative par rapport à la borne 1 . Cela revient à dire que la borne 1 est positive par rapport à la borne 2 . Cette notation s'appelle méthode des deux indices .
= +2m Il s'ensuit que A est 2 mètres plus haut que C . Le schéma de la Fig . 7-2 illustre bien ce problème . On sait que B est plus haut que A de 3 mètres et que C est plus bas que B de 5 mètres (car la distance D CB est négative) . La personne qui partirait de A pour se rendre en C monterait de 3 mètres mais descendrait de 5 mètres . En C, il serait donc 2 mètres plus bas qu'en A (DCA = - 2 mètres) . 7 .3 Méthode des deux indices On se sert des mêmes conventions de signes pour les tensions électriques . La Fig . 7-3 représente un générateur dont la borne A est (+) et la borne B est (-) . Il est à remarquer ici que la polarité de A est positive seulement par rapport à B ; la borne A a une polarité en vertu de l'existence de B, car, en soi, elle n'a aucune polarité . En d'autres termes, la borne A du générateur n'est pas positive par rapport à une des bornes d'une pile quelconque qui ne lui est pas raccordée (Fig. 7-3) . On dira de la même façon que la borne B est négative par rapport à la borne A .
Figure 7-4 E21 = - 300 signifie que la polarité de 2 est négative par rapport à la borne 1 .
7 .4 Graphique d'une tension alternative Au chapitre 22 nous étudierons des sources de tension dont la polarité des bornes alterne périodiquement . Ces tensions alternatives peuvent être avantageusement représentées au moyen d'un graphique . On porte sur un axe vertical la valeur de la tension à chaque instant, et, sur un axe horizontal, la valeur correspondante du temps en secondes . Les valeurs de tension sont positives quand elles sont au-dessus de l'axe horizontal, et négatives lorsqu'elles sont en dessous (voir Fig . 7-5) . Par exemple, à partir de l'instant zéro, la tension E21 de la génératrice croît d'une valeur nulle à + 100 volts pour redevenir nulle au bout d'une seconde . Pendant cet intervalle, la borne 2 est positive par rapport à la borne 1 .
Figure 7-3 La polarité de la borne A est définie seulement par rapport à la borne B.
Pendant l'intervalle de 1 à 2 secondes, E21 est négative, donc la borne 2 est négative par rapport à la borne 1 . Les conditions qui existent après 0,5, 1,5 et 2,17 secondes sont clairement illustrées par les schémas I, II, III de la Fig . 7-5 .
ÉLECTROTECHNIQUE 72 E 14 est donnée par : E14 = E12 + E34
D'après la Fig . 7-6 : E 12 =+10V et E34
0 f;
il s'ensuit que : E14
o
2 17 temps
nr
=-3V
3 secondes
=(+10)+(-3)=+7V
La tension entre les bornes 1 et 4 est de 7 volts, et la borne 1 est positive par rapport à la borne 4 .
II
10V Figure 7-5 Représentation graphique d'une tension alternative .
7 .5 Addition de tensions positives et négatives Les deux exemples suivants donnent la méthode à suivre pour déterminer la somme de plusieurs tensions .
Figure 7-7 E 14 = + 7 V (voir exemple 7-1) .
Exemple 7-1 Soient deux eénératrices G 1 et G2 dont les tensions respectives sont données à la Fig . 7-6 . Elles peuvent être groupées en série de deux façons : a) la borne 2 de G 1 raccordée i1 la borne 3 de G2 (Fig . 7-7) b) la borne 2 de G I raccordée à la borne 4 (le G3 Fi ,, . 7-8) Trouver la tension résultante dans les deux cas .
b) La borne 2 est reliée à la borne 4, et on cherche la tension E 13 . En se référant à la Fig . 7-8, la tension E13 est égale à la somme E12 + E43 (et non pas E12 + E34, car la borne 2 est reliée à la borne 4 et non à la borne 3) . Or, d'après la Fig . 7-6, E12 = + 10 V et E43 = + 3 V, donc E13 = E12 + E43 E 13 = (+ 10) + (+ 3) = + 13 V
Solution
a) La borne 2 est raccordée à la borne 3, et on cherche la tension E 14 . En se référant à la Fig. 7-7, la tension
10V
La tension entre les bornes 1 et 3 est de 13 volts, et la borne 1 est positive par rapport à la borne 3 .
10V
3V
Figure 7-6 Voir exemple 7-1 .
Figure 7-8 E 13 = + 13 V (voir exemple 7-1) .
CONVENTIONS DE SIGNES POUR TENSIONS ET COURANTS
Exemple 7-2 Soit quatre génératrices indépendantes ayant les polarités indiquées à la Fig . 7-9 . Déterminer la valeur et la polarité de la tension résultante (E l 8 ) lorsque les génératrices sont groupées en série (Fig . 7-10) .
73
Cela signifie que la tension entre les bornes 1 et 8 est de 10 volts, et que la borne 1 est négative par rapport à la borne 8 .
Exemple 7-3 Les deux machines à courant continu G 1 et G2 de la Fig . 7-11 alimentent une résistance R de 10 S2 . Les tensions à leurs bornes sont respectivement : E,ve =-100V et E~r ,=-80V Déterminer la valeur et le sens du courant dans la résistance .
10Q Figure 7-9 Génératrices indépendantes (voir exemple 7-2) . 80 V
Solution D'après les valeurs et polarités données à la Fig . 7-9 pour chacune des génératrices, le lecteur vérifiera que : E 12 = + 50 V
donc
E21 = - 50 V
E 34 = + 20 V
donc
E43 = - 20 V
E 56 = - 40 V E78 = - 80 V
donc
E65 = + 40 V
donc
E 8 7 = + 80 V
Sachant que la borne 2 est reliée à la borne 4, que 3 est reliée à 6, et 5 à 7 (Fig. 7-10), la tension E18 sera donnée par : E 18 = E12 + E43 + E65 + E78 = (+ 50) + (- 20) + (+ 40) + (- 80)
Figure 7-11 G 1 est la source, G 2 la charge .
Solution Pour trouver la valeur et le sens du courant dans la résistance, il faut tout d'abord trouver la valeur et la polarité de la tension EBC à ses bornes . Esc = EBA + EAC = (+ 100) + (- 80) =+20V
= -l0V Cela signifie que B est positif par rapport à C, et inversement, que C est négatif par rapport à B . Le sens du courant dans la résistance sera donc de B vers C . La tension aux bornes de la résistance étant de 20 V, l'intensité du courant sera 20 V/10 £2 = 2 A . Les machines à courant continu sont réversibles, c'està-dire qu'elles peuvent fonctionner soit comme génératrices, soit comme moteurs . En connaissant le sens du courant dans le circuit, nous pourrons établir laquelle des deux machines agit comme génératrice . Figure 7-10 Génératrices en série (voir exemple 7-2) .
En effet, d'après la section 4 .11, pour une source d'énergie électrique, le courant sort toujours de la
74
ÉLECTROTECHNIQUE
borne positive . Pour une charge, le courant entre par la borne positive . En appliquant cette règle au circuit de la Fig . 7-11, on trouve que Gl agit comme source (génératrice) et que G2 agit comme charge (moteur) . puissance débitée par Gl = 2 A x 100 V = 200 W puissance reçue par G2 = 2 A x 80 V = 160 W puissance dissipée dans R = 2 A x 20 V = 40 W La puissance absorbée par la résistance R est dissipée sous forme de chaleur tandis que la puissance électrique reçue par G2 (le moteur) est transformée en puissance mécanique .
Exemple 7-4 Dans l'exemple 7- , si nous augmentons la tension de la machine G2 à une valeur de 120 V tout en rdant la même polarité (Fig . 7-12), nous constatons que la valeur et le sens du courant changent . En effet :
_ (+ 100) +
- 1. 20)
- 20 V
7 .6 Courants positifs et courants négatifs On se sert des signes (+) et (-) pour indiquer le sens du courant dans un circuit par rapport à un sens de référence représenté sur un schéma . Le courant dans un élément de circuit comme une résistance (Fig . 7-13) peut circuler de A vers B ou de B vers A . Il peut circuler dans deux sens, l'un choisi comme positif (+), et l'autre comme négatif (-) .
Figure 7-13 Le courant dans une résistance peut circuler de A vers B ou de B vers A .
Le sens positif du courant dans l'élément est indiqué arbitrairement au moyen d'une flèche (Fig . 7-14) . Ainsi, si un courant de 2 ampères circule véritablement de A vers B dans cette figure, il circule dans le sens de la flèche (positif) et sera désigné par le nombre algébrique + 2 A . Inversement, si le courant circule de B vers A (sens opposé à celui de la flèche), il sera désigné par le nombre - 2 A . I
10 52
100 V
Figure 7-14 La flèche indique le sens (+) du courant .
Exemple 7-5 Figure 7-12 G 2 est la source .
Le courant dans le circuit (Fig . 7-15) est de - 8À . Dans quel sens circule-t-il réellement, et quelle est la polarité des bornes A et B'
Solution
La borne B est devenue négative par rapport à la borne C . Le courant dans le circuit de la Fig . 7-12 sera donc de sens inverse à celui de la Fig . 7-11 . Le courant aura la même valeur : I = 20 V/10 £2 = 2 A . La machine G2 agira maintenant comme source (génératrice) et G1, comme charge (moteur) . Si les deux tensions EAB et EAC étaient égales, le courant deviendrait nul . On dirait alors que les machines «flottent» sur la ligne .
Figure 7-15 Schéma montrant le sens arbitraire du courant I.
CONVENTIONS DE SIGNES POUR TENSIONS ET COURANTS Solution Puisque le courant est négatif, il circule dans le sens contraire à celui de la flèche, soit de B vers A dans la résistance . Le courant dans une résistance circule toujours de la borne (+) à la borne (-) ; il s'ensuit que EBA a une valeur positive . Notons que dans la génératrice le courant circule de A vers B (Fig . 7-16) .
75
le graphique) il circule de B à A dans la résistance (sens de la flèche) . Pendant l'intervalle de 1 à 2 secondes, le courant décroît de + 2 A à zéro, mais il circule encore de B vers A dans la résistance . Entre la deuxième et la troisième seconde, le courant croît de zéro à - 2 A, mais puisqu'il est négatif, il circule dans le sens contraire à celui de la flèche, soit de A vers B dans la résistance . Cet exemple illustre qu'il est possible de représenter la valeur et le sens d'un courant variable dans un circuit en se servant d'un graphique et de la convention de signes .
Figure 7-16 Sens réel du courant lorsque 1= - 8 A . Exemple 7-6 La variation du courant dans une résistance R est donnée par le graphique de la Fig . 7-17 . Interpréter ce graphique .
7 .7 Méthode des polarités Bien qu'on puisse représenter la valeur et la polarité des tensions par la méthode des deux indices (E12, Eab, ECD, etc .,) on utilise souvent une autre convention . Elle consiste à identifier la tension par un symbole quelconque (El, Ed V, etc .) et à identifier une des bornes par le signe (+) . Par exemple, la Fig . 7-18 montre une tension El dont une des bornes est arbitrairement marquée (+) . Il est entendu que l'autre borne est alors négative . (Dans plusieurs publications, pour éviter toute ambiguïté, la borne négative est aussi indiquée) .
Figure 7-18 Autre convention pour désigner la polarité d'une tension . Àd& 21~Wr
Figure 7-17 Représentation graphique de la valeur et du sens d'un courant . Solution Pendant l'intervalle de temps de 0 à 1 seconde, le courant croît de zéro à + 2 A . Comme il est positif (d'après
Avec cette nouvelle convention, on applique les règles suivantes : 1 . Si l'on sait que El = + 10 V, cela signifie que la polarité réelle des bornes correspond bien à celle indiquée sur le schéma . 2 . Inversement, si l'on sait que Et = - 10 V, la polarité réelle des bornes est l'inverse de celle indiquée sur le schéma . Cette façon se désigner une tension s'appelle méthode des polarités .
76
ÉLECTROTECHNIQUE
Exemple 7-7
7 .8 Taux de variation d'une tension
Soit le circuit de la Fig . 7-19 où, selon la convention établie plus haut, chacune des sources V i . V, . V ; possède une borne désignée arbitrairement d'un i ne (+) . Indiquer la valeur et la polarité réelle de la tension aux bornes de chaque source sachant que -4V, ' IOVetV ; -40V.
Lors de l'étude des circuits à courant alternatif, nous verrons que le taux de variation d'une tension ou d'un courant peut être tout aussi important que sa valeur et sa polarité instantanées .
Figure 7-19 Polarités arbitraires de chacune des trois sources . Voir exemple 7-7 .
Soit une tension E qui varie suivant la courbe de la Fig . 7-21 . On constate que la tension augmente de 20 volts durant le premier intervalle Att* (de 0 à 1 seconde) et de 10 volts durant le deuxième intervalle At2 (de 1 à 2 secondes) . Pendant le troisième intervalle At 3 (de 2 à 3 secondes), la tension ne varie pas .
volts +30
Solution
E 20
Les valeurs et les polarités réelles sont données à la Fig . 7-20 . À première vue, il semble impossible que le point A soit à la fois positif (+) et négatif (-), mais rappelons-nous que le point A ne possède pas une polarité (+) et (-) en soi, mais par rapport aux points B et C respectivement. En effet, le point A est négatif par rapport au point B et positif par rapport au point C, c'est pourquoi il porte deux signes contraires .
A 10
Figure 7-20 Polarités réelles de chacune des trois sources . Le point A est (+) par rapport au point C, mais il est négatif par rapport au point B .
Cette nouvelle façon d'indiquer la polarité d'une tension nous sera particulièrement utile dans le chapitre 8, où nous traiterons de la solution des circuits plus complexes .
I 10
o 10 20 - 30 maman
,_
Figure 7-21 Taux de variation d'une tension .
On dit que le taux de variation est respectivement de 20 V/s, 10 V/s et 0 V/s durant les intervalles Att, At2 et At 3 . On observe que le taux est plus élevé quand la pente de la courbe est plus raide . Lorsque la pente est horizontale (intervalle At3 ), le taux de variation est nul . De plus, on note que pendant les intervalles At 2 et At3 , la pente de la courbe «monte» vers la droite de cette façon : / ; une telle pente, ou taux de variation, est considérée comme positive . Passé le sommet de la courbe, on constate que le taux de variation pendant l'intervalle At4 est de nouveau 10 V/s et que pendant l'intervalle At 5 , il est de 20 V/s . Cependant, la pente «descend» vers la droite de cette
* A est une lettre grecque qui se prononce «delta» .
77
CONVENTIONS DE SIGNES POUR TENSIONS ET COURANTS
façon : \ ; on la considère comme négative . La pente est toujours négative pendant les intervalles At6 et At 7 , devenant nulle pendant l'intervalle At8 . Durant les intervalles Atg et At t o, la pente est de nouveau positive, indiquant un taux de variation positif . Il est clair que le taux de variation d'une tension est indépendant de sa valeur et de sa polarité instantanées . Par exemple, lorsque la tension passe par zéro à l'instant t = 5 s, son taux de variation est encore - 20 V/s . Aussi curieux que cela puisse paraître, une tension nulle peut posséder un taux de variation non nul . Exemple 7-8
Déterminer le signe du taux de variation (+) ou (-) de la tension E l de la Fig . 7-22 aux instants taj, 4 tc et tai et indiquer les moments où ce taux de variation est nul .
où AQ = variation de la grandeur Q At = durée de la variation, en secondes Qb = valeur de la grandeur Q à la fin de l'inter-
valle de temps valeur de la grandeur Q au début de Qa l'intervalle de temps La grandeur Q peut être une tension, un courant, une puissance, un flux magnétique, etc . On se souvient que le taux de variation est positif lorsque la courbe représentant la grandeur Q monte vers la droite et négatif lorsqu'elle descend vers la droite . Il est facile de trouver le taux de variation quand on connaît cette courbe en fonction du temps . En se référant à la Fig . 7-23, le taux de variation pendant l'intervalle Att est : A Q
Qb-Qa
At t
At
éq. 7-1
Q2 -QI
Q2 -QI
A tt
t2 - tt
Durant l'intervalle At2 , le taux de variation est :
AMWOdA
5 5
,uF9
e
AQ
Q4- Q3
Q4- Q3
A t2
A t2
t4 - t3
et durant l'intervalle At3 , le taux de variation est:
Figure 7-22 Voir exemple 7-8 .
Solution
AQ
Q6 - Q5
A t3
A t3
AQ
Les signes de taux de variation aux instants ta , tb, t, et td sont respectivement (-), (+), (-) et (+) . Le taux de variation est nul à chaque instant où la pente de la courbe est nulle, c'est-à-dire lorsqu'elle est horizontale . Cette condition se produit aux instants 1, 2, 3, 4,5et6 . 7 .9 Expression du taux de variation
Le taux de variation d'une grandeur Q est donné par l'expression AQ
Qb - Qa
At
At
taux de variation = _
(7-1)
Figure 7-23 Calcul du taux de variation d'une grandeur Q à divers instants .
78
ÉLECTROTECHNIQUE
7 .10 Niveau de potentiel* Nous venons de décrire deux méthodes pour représenter les tensions dans un circuit . Nous présentons maintenant une troisième méthode qui nous sera particulièrement utile lors de l'analyse des circuits rencontrés en électronique de puissance . Il s'agit de la méthode des niveaux de potentiel. Pour comprendre le fonctionnement des circuits électroniques, il est utile d'imaginer que les diverses bornes occupent un «niveau de potentiel» par rapport à une borne de référence . La borne de référence est tout simplement un point convenable, choisi dans le circuit, que l'on affecte d'un potentiel électrique nul . Les niveaux de potentiel de tous les autres points du circuit sont alors mesurés par rapport à cette borne de référence . Le niveau de référence se représente par une ligne droite horizontale dont le potentiel électrique correspond à 0 V. Considérons, par exemple, le montage de la Fig . 7-24 comprenant une batterie de 80 V, raccordée en série avec une source de tension alternative E31 ayant une tension crête de 100 V. Parmi les trois bornes 1, 2 et 3, choisissons la borne 1 comme point de référence . Le niveau de potentiel de cette borne est alors représenté par la ligne horizontale 1 sur la Fig . 7-25 . Considérons maintenant le niveau de potentiel de la borne 2 . À cause de la batterie, la différence de potentiel entre les bornes 1 et 2 est fixe à 80 V et la borne 2 est positive par rapport à la borne 1 . On représente alors le niveau de cette borne par une deuxième ligne horizontale 2 située 80 V au-dessus de la ligne 1 .
Intéressons-nous maintenant à la borne 3 . La tension E31 entre les points 1 et 3 est alternative et on supposera qu'au départ sa valeur est de 100 V (valeur crête) et que la borne 3 est négative par rapport à la borne 1 . C'est dire qu'à t = 0, E31 = -100 V. La tension étant alternative, le potentiel de la borne 3 devient tantôt positif, tantôt négatif par rapport à la borne 1, comme l'indique la courbe 3 . Ainsi, pendant l'intervalle 0 à t1, le niveau du point 3 est situé au-dessous du niveau de 1, ce qui indique que la borne 3 est négative par rapport à la borne 1 . Pendant l'intervalle t t à t4 , la polarité de E31 est inversée ; par conséquent, le niveau de la borne 3 se trouve au-dessus de la ligne 1 . La borne 1 est alors négative par rapport à la borne 3 car la ligne 1 est audessous de la courbe 3 . Ces explications simples n'ajoutent rien à ce que l'on savait déjà, mais nous verrons que cette méthode des niveaux de potentiel permet d'identifier immédiatement la tension instantanée entre deux bornes quelconques d'un circuit, ainsi que leurs polarités relatives . Par exemple, durant la période t2 à t3 , la borne 3 est positive par rapport à la borne 2 car la courbe 3 est audessus de la ligne 2. La tension entre ces deux bornes passe par un maximum de (100 V - 80 V) = 20 V pendant cet intervalle . Ensuite, de t3 à t6 , la borne 3 est négative par rapport à la borne 2 et la tension E 23 atteint une valeur maximale de + 180 V à l'instant t5 . On aurait pu choisir une autre borne comme borne de référence . Ainsi, dans la Fig . 7-26, nous avons choisi
Figure 7-24 Choix d'un point de référence (1) pour établir le niveau de potentiel des autres points dans un circuit .
* L'étude de cette section n'est nécessaire que pour comprendre le chapitre 42 .
Figure 7-25 Graphique montrant les niveaux des points 1, 2 et 3 lorsque le point 1 est choisi comme point de référence .
CONVENTIONS DE SIGNES POUR TENSIONS ET COURANTS
la borne 3 et, comme auparavant, on représente le potentiel nul de cette borne par une ligne horizontale (Fig . 7-27) . Sachant que la tension E31 est alternative et qu'au départ la borne 1 est positive par rapport à la borne 3 (Fig . 7-25), on peut tracer la courbe 1 . Pour déterminer le niveau de la borne 2, on sait qu'elle est toujours positive par rapport à la borne 1, la différence de potentiel restant constante et égale à 80 V . Par conséquent, on trace la courbe 2 de sorte qu'elle soit toujours située 80 V au-dessus de la courbe 1 . Si l'on compare les Fig . 7-25 et 7-27, on constate qu'elles n'ont pas la même allure ; cependant à chaque instant, les polarités relatives et les différences de potentiel sont identiques . Du point de vue électrique, les deux figures sont identiques et on laisse au lecteur le soin d'en faire la vérification . Dans un montage électronique on sélectionne la borne de référence de sorte que le fonctionnement du circuit soit facile à suivre .
79
Pour les tensions, il existe 2 notations : 1) la méthode des deux indices et 2) la méthode des polarités . Résumons ces 2 méthodes avec un exemple : Soit une tension de 100 V entre les bornes A et B, A étant positive par rapport à B . Avec la méthode des deux indices on écrira: EAB = + 100 V ou EBA = - 100V Avec la méthode des polarités, on doit spécifier chaque tension sur le schéma par un symbole (disons El ) et ajouter un signe + vis-à-vis de la borne que l'on choisit arbitrairement . Avec ces deux méthodes, on spécifie toujours la valeur et le signe de la tension entre 2 bornes quelconques . On utilise parfois une troisième notation ou méthode du niveau de potentiel . Avec cette méthode, toutes les tensions sont mesurées par rapport à une borne commune ou borne de référence.
7.11 Résumé Dans ce chapitre nous avons vu les conventions que nous utiliserons dans ce manuel pour donner systématiquement la polarité des tensions et le sens des courants . Ces notations sont couramment utilisées dans l'industrie .
Pour la notation des courants, on spécifie sur le schéma chaque courant à l'aide d'une flèche et d'un symbole (ex . : I, IA) . La flèche indique le sens du courant choisi arbitrairement positif .
Figure 7-26 Le point 3 est choisi comme référence .
Figure 7-27 Graphique montrant les niveaux des points 1, 2 et 3 lorsque le point 3 est choisi comme point de référence .
Enfin, nous avons expliqué le concept de taux de variation d'une grandeur. Par exemple, un taux de variation DIIOt = + 10 A/s pour un courant I indique que ce courant augmente à cet instant, même si la valeur du courant est négative .
80
ÉLECTROTECHNIQUE
PROBLÈMES - CHAPITRE 7 Niveau pratique
7-1 Trois sources à courant continu, G1, G2, G3 génèrent des tensions E 12 = + 100 V, E34 = + 40 V et E56 = - 60 V. Indiquer les polarités (+) (-) des bornes dans chaque cas (Fig . 7-28) .
Niveau intermédiaire
7-5 Dans le circuit de la Fig . 7-30, quels sont les valeur et le sens réel du courant, aux instants (1), (2), (3) et (4)? Quelle est la polarité de la borne a par rapport à la borne b à chaque instant?
Figure 7-28 Voir problème 7-1 .
7-2 Dans le problème 7-1, si Gl et G2 sont reliées en série, quelle est la tension entre les bornes libres si : a) les bornes 2 et 4 sont reliées ensemble b) les bornes 1 et 4 sont reliées ensemble 7-3 Dans le problème 7-1, si les trois connectées en série, quelle est la tension entre les bornes libres si : a) les bornes 2-3 et 4-5 sont reliées b) les bornes 1-4 et 3-6 sont reliées c) les bornes 1-3 et 4-6 sont reliées d) les bornes 1-6 et 5-3 sont reliées e) les bornes 2-6 et 5-3 sont reliées
sources sont et la polarité ensemble ensemble ensemble ensemble ensemble
7-4 En se reportant à la courbe de variation de la tension El en fonction du temps (Fig . 7-29), indiquer sur le schéma de la génératrice la valeur de sa tension et la polarité de ses bornes aux instants (1), (2), (3) et (4) .
Figure 7-30 Voir problème 7-5 .
7-6 En se reportant de nouveau à la Fig . 7-29, donner le taux de variation de la tension pendant chaque intervalle de temps de 10 secondes et indiquer son signe . 7-7 En se reportant à la Fig . 7-30, donner le taux de variation du courant pendant chaque intervalle de temps de 10 secondes et indiquer son signe . 7-8 Dans la Fig . 21-11, quel est le taux de variation moyen de la tension pendant les intervalles suivants : a)Oà7s b)7sà14s c)14sà21s 7-9 Dans la Fig . 21-12, quel est le taux de variation moyen de la tension pendant les intervalles suivants : a)28sà35s b)20sà22s c) 20,99 s à 21,01 s 7-10 Dans la Fig . 21-17, quel est le taux de variation de la tension aux instants suivants : a)5s b)8s c)lls 7-11 Dans la Fig . 7-5, quel est approximativement le taux de variation de la tension aux instants suivants : a) 0,5 s b) 1 s c) 2,17 s
Figure 7-29 Voir problème 7-4 .
8 Solution des circuits à courant continu
Au chapitre 5, nous avons appris à résoudre les circuits série, parallèle et série-parallèle . Il existe toutefois des circuits dont les composants ne sont connectés ni en série ni en parallèle, mais forment un arrangement plus complexe comme, par exemple, le circuit de la Fig . 8-1 . Pour résoudre ces circuits, il faut avoir recours à la première et à la deuxième loi de Kirchhoff concernant respectivement les tensions et les courants .
1
Première loi de Kirchhoff La somme algébrique des tensions dans une boucle fermée d'un circuit est égale à zéro .
1
Figure 8-1 Circuit dans lequel aucune des résistances n'est branchée directement en série ou en parallèle avec une autre résistance .
Deuxième loi de Kirchhoff La somme des courants qui arrivent à un noeud est égale à la somme des courants qui en partent . Étudions à tour de rôle la signification de ces deux lois .
point quelconque, on fait le tour de cette boucle dans le sens horaire, ou dans le sens antihoraire, on trouvera d'après cette loi que la somme des tensions est égale à zéro .
8 .1 Première loi de Kirchhoff (concernant les tensions) Soit une série de tensions El, E2, E3, E4, raccordées en boucle fermée (Fig . 8-2) . Elles sont désignées selon la méthode des polarités (section 7 .7). Si, partant d'un
Lorsqu'on décrit la boucle, on doit affecter chaque ten81
82 ELECTROTECHNIQUE
Figure 8-2 Loi de Kirchhoff concernant les tensions : circuit composé d'une boucle . Figure 8-3 Circuit composé de plusieurs boucles .
sion d'un signe (+ ou -) correspondant à la polarité de la borne rencontrée en premier lieu . Par exemple, sur la Fig . 8-2, en partant du point A et en décrivant la boucle dans le sens horaire, on obtient : + E2 - E, + E4 + E3 = 0
(8-1)
Noter que le signe (+) précède les tensions E-), E4 et E3 parce que dans chaque cas on rencontre d'abord la borne positive .
Les tensions dont on parle dans la première loi de Kirchhoff ne sont pas forcément des sources de tension mais elles peuvent être produites par le passage d'un courant dans une résistance . Quel signe faut-il donner à ces tensions? Considérons, par exemple, le circuit simple de la Fig . 8-4 .
Par contre, si l'on choisit le sens antihoraire et toujours en partant du point A, on obtient : - E3 -E4 + El -E2 = 0
(8-2)
Pour un circuit plus complexe (Fig . 8-3), on applique la même règle : il suffit de suivre une boucle quelconque et, pourvu que l'on revienne au point de départ, la somme des tensions est toujours nulle . Pour le circuit de la Fig . 8-3, on vérifiera les équations suivantes : en suivant la boucle 1 =* 2 = 3 =~> 4 =* 1 on obtient + E l - E4 + E5 - E8 = 0
(8-3)
en suivant la boucle 1 =* 4 => 5 => 3 =* 2 =* 1 on obtient + E8 - E7 - E6 + E4 - Et = 0
(8-4)
en suivant la boucle 3 = 2 = 5 = 3 on obtient + E4 - E2 - E3 = 0
(8-5)
Figure 8-4 Circuit contenant une résistance .
À cause de leur polarité les sources El et E2 ont tendance à produire les courants qui circulent respectivement dans les sens horaire et antihoraire . Si l'on ne connaît pas la valeur de Et ni celle de E2, on ne peut pas en déduire le sens que prendra le courant I résultant . On choisit alors un sens arbitraire . Prenons, par exemple, le sens horaire comme sur la Fig . 8-5 . Le courant I produira une tension RI à travers la résistance . Le signe de cette tension dépend de la direction du courant et du sens dans lequel on parcourt la boucle. Lorsque l'on décrit la boucle, la tension RI sera précédée d'un signe (+) si on traverse la résistance dans le sens du courant et d'un signe (-), si on la traverse dans le sens contraire . Par exemple, en parcou-
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT CONTINU
83
5£2
Figure 8-5 Choix d'un sens arbitraire du courant .
Figure 8-7 Voir exemple 8-1 .
rant le circuit de la Fig . 8-5 dans le sens horaire, on obtient: - E l + RI + E2 = 0
(8-6)
La tension RI est précédée du signe (+) parce que l'on traverse la résistance dans le sens du courant . Si, par contre, on décrit la boucle dans le sens antihoraire, on obtient : - E2 - RI + El = 0
(8-7)
Solution Supposons que le courant circule de gauche à droite dans la résistance, et suivons le circuit dans le sens horaire; on obtient : -E 1 +RI + E2 =0 Soit, en passant aux valeurs numériques : - 10 + 5I+20=0 5I=- 10
La tension RI est précédée du signe (-) parce que l'on traverse la résistance dans le sens contraire du courant . N'étant pas sûr du sens réel du courant, on aurait pu choisir un courant de sens opposé à celui de la Fig . 8-5 . Dans ce cas, si l'on décrit la boucle dans le sens horaire (Fig . 8-6), on obtient l'équation: -E l -RI +E2 = 0
I=-2A La valeur du courant est de 2 ampères ; le signe (-) indique que son sens réel est l'inverse de celui que nous avions supposé . Un courant de 2 ampères circule donc dans le sens antihoraire, soit de droite à gauche dans la résistance .
Exemple 8-2 Soit quatre sources ayant les tensions et polarités indiquées a la Fig . 8-8a . Les sources sont alors raccordées en série suivant le schéma de la Fig . 8-8h . Trouver la valeur et la polarité de la tension entre les bornes <,ouvertes» et B . ,A£
Figure 8-6 Choix d'un sens arbitraire du courant qui est l'opposé de celui de la figure 8-5 .
Bien que certains termes changent de signe suivant le sens choisi pour le courant, la résolution des équations fournit toujours la bonne valeur et le bon sens du courant .
Exemple 8-1 Trouver la valeur et le sens du courant 1 dans le montage de la Fig . 8-7 .
Figure 8-8a Quatre sources indépendantes . Voir exemple 8-2 .
Solution On peut choisir une polarité arbitraire pour une tension tout comme on peut choisir un sens quelconque pour
84
ÉLECTROTECHNIQUE
Figure 8-9 Loi de Kirchhoff concernant les courants .
Figure 8-8b Les sources sont raccordées en série, créant ainsi deux bornes A,B . La tension Eentre ces bornes est supposée (+) du côté A .
un courant. Disons que la tension E entre les bornes A et B est positive (+) du côté de la borne A (Fig . 8-8b) . Suivons maintenant la boucle formée par les quatre sources en série et le chemin en pointillé (dans l'air) reliant les bornes ouvertes . En adoptant le sens antihoraire, on obtient : + E+ 80-40+ 20-50=0 E = - 10V
La tension entre A et B est donc de 10 V, et la polarité est l'inverse de celle qu'on avait choisie : la borne A est donc négative par rapport à la borne B . 8 .2 Deuxième loi de Kirchhoff (concernant les courants) La deuxième loi de Kirchhoff exprime l'impossibilité d'accumuler des électrons en un point. Dans un circuit électrique, on appelle nœud un point commun où aboutissent deux ou plusieurs conducteurs . Considérons les courants I l , 12,13 et 14 circulant dans les sens indiqués sur la Fig . 8-9 . D'après cette loi, la somme des courants qui arrivent au noeud A est égale à la somme des courants qui en repartent . On obtient donc : Il + 12 + 14 = 13
Figure 8-10 Le point B est un noeud .
La deuxième loi de Kirchhoff permet de calculer la valeur et le sens du courant circulant dans un conducteur quelconque lorsque les courants dans les autres conducteurs arrivant au même noeud sont connus .
Exemple 8-3 Trouver la valeur du courant dans le fil X (Fi -,11), connaissant la valeur et le sens des courants dans les quatre autres fils .
Solution Supposons que le fil X porte un courant I qui se dirige vers le nœud (Fig . 8-12) . D'après la deuxième loi de Kirchhoff, on obtient : 1+ 4+ 7+ 2= 8 I = -5 A
(8-9)
Dans le cas de la Fig . 8-10, on aurait au nœud B :
Ia +Ib +Ic =0
(8-10)
car, d'après le sens des flèches, aucun courant ne part du nœud B .
Figure 8-11 On cherche la valeur et le sens du courant dans le fil X . Voir exemple 8-3 .
Figure 8-12 Voir exemple 8-3 .
85
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT CONTINU
Le courant dans le fil est de 5 A et le signe (-) nous indique qu'il circule dans le sens opposé à celui de la flèche . 8 .3 Application pratique aux circuits Connaissant la façon d'appliquer les deux lois de Kirchhoff, nous sommes en mesure de résoudre les circuits les plus complexes . Exemple 8-4
Ensuite, on peut choisir la boucle formée par la source de 108 V et les résistances de 6 S2 et 12 S2 . - 108 + 6 I l + 12 (Il + I2 )
0
(2)
On obtient ainsi un système de deux équations à deux inconnues Il et 12 . On peut donc trouver la valeur des courants Il et 12. I l = 8A
Calculer les courants et les tensions pour chacune des résistances de la Fi- . 8-13 .
=
12
=-3A
et par suite
(h
+ 12 ) = 8A - 3A = 5A
3191452e
Les courants réels circulent dans le sens indiqué sur la Fig . 8-15 . La «source» de 48 V est en réalité une charge puisque le courant de 3 A entre par la borne (+) .
108 V
Figure 8-13 Voir exemple 8-4 .
Solution
\
8A
3A
60
40
108 V
On se donne des sens de courant arbitraires pour Il et 12 (Fig . 8-14) et, afin d'éviter l'emploi d'un troisième courant inconnu, on indique un courant (Il + 12) dans la résistance de 12 S2 . La direction de (Ii + 1 2) n'est pas arbitraire ; elle doit être choisie de façon à respecter la deuxième loi de Kirchhoff . (On constate, Fig . 8-14, que la somme des courants Il et 12 arrivant au noeud A est égale au courant (Il + 12) qui en sort .) 1,
Figure 8-15 Valeurs et sens réels des courants . Voir exemple 8-4 .
Exemple 8-5
Trouver les tensions et les courants dans chacune des branches du circuit de la Fib . 8-16 .
12
8 4
12 52
576V A Figure 8-14 On choisit des sens arbitraires pour les courants II et 12 . Voir exemple 8-4 .
En décrivant la boucle formée par les deux sources et les résistances de 6 S2 et 4 £2, on obtient d'après la première loi de Kirchhoff : - 108 + 6 I l - 412
+
48 = 0
(1)
10£2
24 Q
B
6 S2
C
Figure 8-16 Voir exemple 8-5 . On cherche la valeur de la tension et du courant dans chaque résistance .
86 ELECTROTECHNIQUE Solution
On donne aux courants Il, 12 et 13 des sens arbitraires (Fig. 8-17) . En utilisant le minimum de courants inconnus on réduit le nombre d'équations à résoudre . Cependant, une fois les sens de Il, 12 et 13 choisis, les sens des courants (Il + I2), (I2 + 13) et (Il + 12 + 13) sont imposés par la deuxième loi de Kirchhoff.
On obtient donc un système de 6 équations (équations (4) à (9)) à 6 inconnues, ce qui permet de trouver les 6 courants . On voit, cependant, l'avantage de réduire au départ le nombre de courants inconnus comme on l'a fait sur la Fig . 8-17 .
76 (Il + 12+4)
15
m
1 1
I
57 V
24
Figure 8-17 On choisit des sens arbitraires pour les courants Il, 1 2 et 1 3 . Voir exemple 8-5 .
On obtient le système d'équations suivant : 811 -1012 -12(12 +13 )=0 10 12 + 24 ( Il + 12 ) - 613
(1)
= 0
(2)
- 576 + 8 I l - 1012 + 613 = 0
(3)
après résolution, on trouve : I1 = + 27A (Il +12 )=+15A 12 = - 12A (12 +13 )=+28A 13 = + 40A (I 1 + 12 + 13 ) = + 55A On aurait pu résoudre ce problème en se donnant plusieurs courants arbitraires, comme sur la Fig . 8-18 . Dans ce cas, en parcourant les boucles, on obtient : 8Il + 1012 + 1215 = 0
(4)
-2414 + 1012 +613 =0
(5)
- 576 + 8 I l + 2414 = 0
(6)
La deuxième loi de Kirchhoff nous fournit les équations pour les courants : Il =12 +14
(7 )
= Il + 16
(8)
12 = 15 + 13
(9)
15
13
Figure 8-18 On peut résoudre le circuit en choisissant six courants de sens arbitraires au lieu de trois . Toutefois, cela augmente le nombre d'équations à résoudre .
8.4 Théorème de Thévenin Bien que les lois de Kirchhoff permettent de résoudre n'importe quel circuit, si compliqué soit-il, on peut souvent en simplifier la solution en utilisant l'artifice du théorème de Thévenin, qui est d'ailleurs basé sur les lois de Kirchhoff . Énoncé du théorème de Thévenin Tout circuit à deux bornes ouvertes A et B composé de plusieurs sources et de plusieurs résistances peut être remplacé par une source unique E en série avec une résistance unique R . Soit un circuit composé de plusieurs sources et de plusieurs résistances, représentées respectivement par des cercles et des petits rectangles (Fig. 8-19) . Le montage possède deux bornes A et B lesquelles peuvent être raccordées à une résistance Z. D'après le théorème de Thévenin, ce circuit complexe peut être remplacé par le circuit simple de la Fig. 8-20 . Dans ce circuit simple : a) La tension de Thévenin E est celle qui apparaît entre les bornes A et B du circuit de la Fig . 8-19 (circuit ouvert) .
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT CONTINU
87
40
48 V
Figure 8-21 On cherche la valeur du courant circulant dans la résistance de 6 52 . Voir exemple 8-6 .
Figure 8-19 Montage très complexe où l'on cherche la tension et le courant dans la résistance Z .
b) La résistance R de Thévenin est celle que l'on mesurerait entre les bornes A et B si toutes les sources du circuit de la Fig . 8-19 étaient court-circuitées . En comparant le circuit de la Fig . 8-20 avec celui de la Fig . 8-19, on comprend pourquoi le théorème de Thévenin est un outil puissant : il permet de trouver le courant dans une résistance Z quelconque sans qu'on ait à résoudre le circuit au complet . Appliquons-le à l'exemple 8-4 étudié précédemment .
Ainsi, trouvons d'abord la tension de Thévenin E apparaissant entre ces bornes à circuit ouvert, c'est-à-dire en enlevant la résistance de 6 S2 (Fig. 8-22) . La tension aux bornes de la résistance de 12 S2 est alors 1252 = 36V 48Vx 452+1252 Il s'ensuit que la tension entre A et B vaut (108 - 36) = 72 V. La tension de Thévenin E (Fig . 8-20) vaut donc 72 V. Ensuite, en supposant que les sources de 108 V et de 48 V soient mises en court-circuit, on calcule la résistance vue entre les bornes A et B (Fig . 8-23) . Elle est composée d'une résistance de 12 52 en parallèle avec une résistance de 4 S2, soit une résistance de 3 S2 . Celleci est la résistance R de Thévenin . Le circuit équivalent de Thévenin est donc composé d'une résistance de 3 52 en série avec une tension de 72 V (Fig . 8-24) . 652
Figure 8-20 Circuit équivalent du montage de la figure théorème de Thévenin .
8-19,
selon le
Exemple 8-6
Trouv ci- la valeur et le sens du courant circulant dans la résistance de 6 S2 (Fig . 8-21) .
Solution Le théorème de Thévenin permet de trouver la tension et le courant dans une résistance à la fois . Puisqu'il s'agit de la résistance de 6 S2, on doit déterminer le circuit équivalent de Thévenin entre les bornes A et B (Fig . 8-21) .
Figure 8-22 On trouve EAB lorsque la résistance de circuit . Voir exemple 8-6 .
6 52
est enlevée du
88 ELECTROTECHNIQUE
452
0
12
Figure 8-23 On calcule la résistance entre les bornes A,B lorsque les sources de tension sont en court-circuit . Voir exemple 8-6 .
Cependant, on peut les calculer encore plus simplement en suivant le raisonnement suivant. La chute de tension dans la résistance de 6 S2 étant de 8 A x 6 S2 = 48 V, la tension aux bornes de la résistance de 12 S2 est (108 - 48) = 60 V. Par conséquent, le courant dans celle-ci est de 5 A. Il s'ensuit que la résistance de 4 S2 porte un courant de (8 - 5) = 3 A circulant dans le sens indiqué sur la Fig . 8-26 . Les courants respectifs sont bien identiques à ceux calculés précédemment, et affichés sur la Fig . 8-15 .
6 Ç2 FI
Figure 8-24 Circuit équivalent de Thévenin où E (Thévenin) = 72 V et R (Thévenin) = 3 S2. Voir exemple 8-6 .
Figure 8-26 Calcul des courants et des tensions dans tous les éléments du circuit . Voir exemple 8-6 .
8 .5 Courants de maille Lorsque la résistance de 6 S2 est branchée entre les bornes A et B (Fig . 8-25), on trouve qu'elle porte un courant de 72 V/(3 S2 + 6 S2) = 8 A, et que ce courant circule de gauche à droite dans la résistance . On pourrait trouver les courants circulant dans les deux autres résistances par la même méthode de Thévenin .
Pour la résolution des circuits complexes, on emploie souvent la méthode des courants de maille . Par exemple, dans le cas du circuit de la Fig. 8-27, on utilisera les courants Il , IZ et 13 circulant respectivement dans les mailles (ou boucles) X, Y, Z du circuit . Ainsi, II circule dans la boucle X, composée des résistances de 6 S2 et 3 S2 et de la source de 21 V . De la même façon, le courant 12 circule dans la boucle Y, composée des résistances de 3 S2, 4 S2, 7 S2 et 1 £2 . Les polarités des sources de 21 V et de 46 V sont imposées par le problème, mais le sens choisi pour les courants de maille est arbitraire . Pour écrire les équations du circuit, on suit la méthode habituelle en parcourant chacune des mailles à tour de rôle. Il est utile de grouper ensemble toutes les résistances associées à chacun des courants de maille . Par exemple, en décrivant la maille X dans le sens horaire, on écrira :
Figure 8-25 Calcul du courant dans la résistance de 6 52 .
- 21 + ( 6 + 3)Il -3I2 = 0
(8-11)
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT CONTINU
89
20
21 V
Figure 8-27 Résolution d'un circuit par la méthode des courants de maille .
Les résistances de 6 S et 3 S2 sont groupées ensemble, et le signe (-) figurant devant le terme 312 signifie simplement que l'on se déplace en sens inverse de 12 en décrivant la maille X dans le sens horaire .
Maintenant, il est facile de trouver la valeur et le sens réel de tous les courants (Fig . 8-28) . Le grand avantage de cette méthode des courants de maille réside dans le fait qu'on utilise un nombre réduit d'équations . Il suffit d'employer autant de courants inconnus que le réseau possède de mailles .
De la même façon, pour la deuxième maille Y, on écrira :
(3
+ 4 + 7
+ 1)12 -3Ii +713 =0
(8-12)
8 .6 Théorème de superposition
Enfin, en décrivant la troisième maille Z, dans le sens antihoraire, on aura : + 46 + ( 2 + 7 )
13 +
712
=
0
Enfin, mentionnons une dernière méthode permettant de résoudre les circuits, basée également sur les lois de Kirchhoff. Elle utilise le théorème de superposition .
(8-13)
D'après ce théorème, le courant circulant dans un élément de circuit est égal à la somme algébrique des courants qui seraient produits dans cet élément par chacune des sources agissant seule, les autres sources étant remplacées par des courtcircuits .
On obtient donc un système de 3 équations : 9 Il - 312 -3
Il
=
21
+1512 +713 = 0
712 +913 =-46 De ces équations, on peut déduire les trois courants de maille : i l =+4A
12 =+5A
Exemple 8-7 Trouver les courants circulant dans chacune des résistances de la Fig . 8-29 en utilisant le théorème de superposition .
13 =-9A
452
6 S2
5A Y-
4A` 1A
4A 5A
Figure 8-28 Calcul des courants dans le circuit de la figure 8-27 .
yu
ELECTROTECHNIQUE
6Q
4 Q2
Figure 8-29 Résolution d'un circuit utilisant le théorème de superposition .
Figure 8-30 Courants produits lorsque la source de 108 V agit seule . Voir exemple 8-7 .
Solution
Considérons d'abord le circuit comme si la source de 108 V agissait seule, la source de 48 V étant remplacée par un court-circuit, (Fig . 8-30) . On trouve facilement les courants de 3 A, 9 A et 12 A circulant dans les résistances de la Fig . 8-30 . Considérons maintenant le circuit comme si la source de 48 V agissait seule, celle de 108 V étant, à son tour, remplacée par un court-circuit . Les courants résultants sont donnés à la Fig . 8-31 . D'après le théorème de superposition, lorsque les deux sources fonctionnent, les courants circulant dans chaque résistance sont égaux à la somme algébrique des courants individuels, obtenus respectivement dans les circuits des Fig . 8-30 et 8-31 . Le résultat est donné à la Fig . 8-32 . On vérifie que les courants sont identiques à ceux trouvés dans l'exemple 8-4 . 8.7 Utilisation de la méthode des deux indices Dans les sections 8 .3 à 8 .6 nous avons employé la méthode des polarités (section 7 .7) pour décrire les tensions . Nous pouvons aussi utiliser la méthode des deux indices (section 7 .3) . L'exemple suivant montre la façon d'appliquer cette méthode pour formuler les équations selon les lois de Kirchhoff. La Fig . 8-33 montre un circuit composé de trois sources et de quelques résistances . Les noeuds sont identifiés par des chiffres 1 à 6 . La valeur et la polarité des sources E 12, E45 , E56 sont indiquées dans un tableau séparé, faisant partie de la figure. Ces données représentent des valeurs imposées .
Figure 8-31 Courants produits lorsque la source de 48 V agit seule . Voir exemple 8-7 .
12-4=8A
9-6=3A 12 Q
2=5A
Figure 8-32 Superposition des courants créés par les deux sources . Voir exemple 8-7 .
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT CONTINU
91
choisirons de façon arbitraire le sens horaire ou antihoraire . Les tensions portent alors les indices correspondant à la séquence des nceuds rencontrés .
252
Parcourons, par exemple, la boucle 1-2-3-4-1 dans le sens horaire . En partant du point 1, on peut écrire : E12 =+15 V E45 = - 25 V E56 = + 35 V
E12 + 2Il + 3I2
+ 5(12 +13 ) = 0
(8-14)
Ensuite, parcourons la boucle 3-5-4-3 dans le sens horaire, en partant du point 4 . On écrit: -3 12 + 4(I, -I2) + E54 = 0
(8-15)
Décrivons maintenant la boucle 4-1-6-5-4 dans le sens antihoraire en partant, disons, du nceud 5 . On obtient :
60
E54 + 5(12 + 13) - 6(I, - 12
Figure 8-33
Nous désirons trouver les courants qui circulent dans tous les éléments du circuit . Pour ce faire, nous répétons la figure en y inscrivant, dans trois des branches, les courants I1 , 12, 13 . Le sens de ces courants sont arbitraires (Fig . 8-34) . Cependant, la valeur et le sens des courants dans les autres éléments du circuit doivent respecter la deuxième loi de Kirchhoff . Par exemple, une fois choisis les sens des courants 12 et 13 dans les éléments de 3 S2 et de 25 V, le courant circulant dans la résistance de 5 £2 est nécessairement (I2 + 13), et il doit nécessairement sortir du nceud 4 . Ensuite, on écrit les équations de tension selon la première loi de Kirchhoff . En parcourant les boucles, nous
13) + E65
= 0
(8-16)
Sachant que E 12 = + 15 V, E45 = - 25 V, et E56 = + 35 V, on substitue ces valeurs dans les expressions précédentes, ce qui donne les trois équations suivantes : +15 + 21 + 312 + 5(12+13) = 0
(8-17)
- 312 + 4(I1 -I2) + 25 = 0
(8-18)
25+5(12 + 13)-6(I,- 12 - 13)-35=0
(8-19)
La résolution de ces équations donne les résultats suivants . Le lecteur aura avantage à les vérifier . I l = - 4,70 A
12 = 0,89 A
13 = - 2,54 A
Les autres courants sont faciles à calculer . Leur valeur et leur sens réél, de même que la polarité réelle des tensions, sont montrés à la Fig . 8-35 .
252 E 4,70 A
3
3 0,89 A~ 52
2,54 A
52
5,59 A
E12 = +15 V E45 = - 25 V E56 = + 35 V 5 52
(Il -12 -13)
Figure 8-34
Figure 8-35
3,05 A
92
ÉLECTROTECHNIQUE
8 .8 Tension entre deux points d'un circuit Il arrive souvent que l'on cherche la valeur d'une tension entre deux points quelconques d'un circuit . Dans ce cas, il suffit d'imaginer qu'un voltmètre soit branché entre ces deux points . En parcourant la boucle créée par le «voltmètre» et les éléments du circuit entre ces deux points, on écrit l'expression habituelle de la première loi de Kirchhoff . Par exemple, si on cherche la tension E23 aux bornes de la résistance de 2 S2 (Fig . 8-34), il suffit de parcourir la «boucle» formée par le voltmètre imaginaire VM et cet élément . Ainsi, on écrit E23 - 2It = 0, ce qui donne E23 = 21, = 2 S2 X (- 4,7 A) = - 9,4 V. Donc, la tension est de 9,4 V et la borne 2 est négative par rapport à la borne 3 . De même, on peut trouver la tension E31 entre les bornes 3 et 1, en décrivant la boucle E 31 + E 12 + 2I1 = 0, ce qui donne
2
(a)
(b)
Figure 8-36 Circuit hybride .
Exemple 8-8 La Fig . 8-37 montre un circuit où E 8 V (notation selon la méthode des polarités ) et E_, = + 28 V (notation selon la méthode des deux indices) . On désire connaître a) la valeur et le sens du courant circulant dans le circuit et h) la nature de G (source ou charge L .
E31 =-E 12 -2I1 =-15V-2S2(-4,70 A)=-5,6V
8 .9 Utilisation de la notation hybride Nous avons vu comment on peut résoudre les circuits en utilisant pour les tensions, soit la méthode des deux indices, soit la méthode des polarités . Il est parfois commode d'utiliser les deux notations dans un même circuit . Nous l'appelons alors la notation hybride . Considérons une source de tension Es dont une des bornes porte le signe (+), selon la méthode des polarités (Fig . 8-36a) . L'autre borne est évidemment négative (-) . La borne (+) porte aussi le chiffre 1, et la borne (-) porte le chiffre 2, selon la méthode des deux indices . Supposons qu'un voltmètre fictif VM soit branché aux bornes de la source (Fig. 8-36b) . En parcourant la boucle ainsi formée dans le sens horaire, on peut écrire l'équation
Figure 8-37 Circuit hybride . Voir exemple 8-8 .
Solution a) On choisit d'abord un sens arbitraire pour le courant I, ce qui nous permet d'écrire l'équation suivante, en parcourant la boucle dans le sens horaire : - 121 + E23 - EA = O
E 12 -Es =O
Par conséquent, on obtient E12 = Es On conclut que, dans un circuit, on peut simultanément exprimer les tensions selon la méthode des deux indices et selon la méthode des polarités . La résolution d'un tel circuit se fait par les méthodes que nous venons de décrire .
En substituant les valeurs données à E23 et à EA on obtient -121+(+28)-(-8)=0 donc ,-121+36=0,soitl=+3A Le signe (+) indique que le courant circule réellement dans le sens de la flèche .
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT CONTINU
b) Puisque E23 = + 28 V, la borne 2 est (+) par rapport à la borne 3 . Comme le courant sort de la borne (+), G est une source .
ou antihoraire, sans que cela change le résultat final . Cependant, en pratique, on choisit habituellement le sens horaire.
8 .10 Résumé Dans ce chapitre nous avons appris à utiliser deux lois fondamentales pour la résolution des circuits à courant continu . Selon la première loi de Kirchhoff, la somme des tensions autour d'une boucle est nulle . Selon la deuxième loi de Kirchhoff, la somme des courants arrivant à un noeud est nulle . Alliées à la loi d'Ohm, ces deux lois permettent de trouver les courants et les tensions dans les branches des circuits même les plus complexes . Pour l'écriture des équations de tension, nous avons vu que l'on peut utiliser indifféremment la méthode des deux indices, la méthode des polarités ou une combinaison de ces deux méthodes .
Il est parfois plus rapide d'utiliser d'autres méthodes dérivées des lois de Kirchhoff. Le théorème de Thévenin permet de trouver la tension et le courant dans une branche particulière d'un circuit . Cette méthode consiste à remplacer la portion du circuit alimentant la branche d'intérêt par une source de tension branchée en série avec une résistance . Le théorème de superposition est utile lorsque l'on doit résoudre un circuit alimenté par plusieurs sources .
En appliquant la première loi de Kirchhoff, on a vu qu'on peut parcourir une boucle dans le sens horaire
PROBLÈMES - CHAPITRE 8 Niveau intermédiaire 8-1 Écrire les équations des circuits (a), (b), (c), (d), de la Fig . 8-38 .
On constate que les outils permettant de résoudre les circuits ne manquent pas ; mais tout comme on n'emploie pas une masse pour enfoncer un clou, on n'utilisera pas le théorème de Thévenin pour résoudre un simple circuit série . Seule l'expérience peut nous apprendre quelle méthode est la plus rapide .
8-2 Dans la Fig . 8-38d, El = + 10 V, E2 = - 30 V et R = 5 £1 . Trouver la valeur et le sens réel du courant I . 8-3 Énoncer la première et la deuxième loi de Kirchhoff. 8-4 Énoncer le théorème de Thévenin . 8-5 Trouver la valeur et le sens réel du courant I pour les nceuds (a), (b), (c) de la Fig . 8-39 .
(a
(b) 8A
3A
7A A 4A
(a)
Figure 8-38 Voir problèmes 8-1, 8-2 .
Figure 8-39 Voir problème 8-5.
(b)
(c)
ELECTROTECHNIQUE
y4
8-6 En utilisant le théorème de Thévenin, déterminer pour les circuits (a), (b), (c), (d) de la Fig . 8-40, la valeur et le sens du courant dans chacune des résistances R. 1 5 12
70
L 2 12 R
T
L 4252
T
1552 R
T
(a)
1
8-8 En utilisant la méthode des courants de maille . déterminer les valeurs de Il et de I3 dans la Fig . 8-41, circuits (a), (b) . 8-9 Le circuit de la Fig . 8-42 représente un diviseur de potentiel résistif permettant d'alimenter une résistance R à une tension de 10 V, 20 V, 30 V ou 40 V . Déterminer les valeurs de R1, R2, R3 et R4, sachant que R1 +R2 +R3 +R4 = 200 S2 et que R = 100 S2 .
T
(b) 1 R, 652
7
R2
O~3
R,
S2 10052
T (c)
T
(d)
Figure 8-42 Voir problème 8-9 .
8-10 Une source de 100 V possède une résistance interne de 10 S2 (Fig . 8-43) . Déterminer la valeur du courant I et de la tension E aux bornes de la résistance R, à mesure que cette dernière varie de zéro à l'infini . Pour quelle valeur de R la dissipation de puissance estelle maximale ?
Figure 8-40 Voir problème 8-6 .
Niveau avancé 8-7 En utilisant le principe de superposition, déterminer les tensions et les courants dans les circuits (a) et (b) de la Fig . 8-41 .
(a)
(b)
Figure 8-41 Voir problèmes 8-7, 8-8 .
100V
Figure 8-43 Voir problème 8-10 .
8-11 Dans la Fig . 8-1 on donne les valeurs suivantes : R1 = 10 S2, R2 = 20 S2, R3 = 30 £2, R4 = 40 S2, R5 = 50 S2 et la tension de la source G est de 350 V . En utilisant le théorème de Thévenin, calculer la valeur du courant dans la résistance R3 . 8-12 Une source d'alimentation donne une tension de 25 V à circuit ouvert . Lorsqu'on lui applique une charge de 10 A, la tension à ses bornes baisse à 24,9 V. Calculer : a) la résistance interne de la source b) la puissance maximale qu'elle peut débiter dans une charge dont la résistance est variable
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT CONTINU
8-13 En utilisant le théorème de Thévenin seulement, calculer le courant dans la résistance de 3 S2 de la Fig . 8-27 . Ensuite, déterminer par des méthodes très élémentaires, le courant dans l'élément de 6 £2 et la tension aux bornes de l'élément de 7 S2 . 8-14 Dans le circuit de la Fig . 8-2, El = + 10 V, = - 2 V, E3 = - 13 V, E4 = + 6 V. Calculer la valeur et le sens réel du courant dans le circuit, sachant que chaque source possède une résistance interne de 2 S2 .
E2
8-15 Dans la Fig . 8-21, quelle résistance doit-on placer en parallèle avec l'élément de 12 S2 si l'on désire que le courant dans l'élément de 4 S2 soit nul ?
95
8-22 Dans la Fig . 8-5, Et = +25 V, E2 = -11 V et = 3 S2 . Déterminer la valeur et le sens de I. 8-23 Dans la Fig . 8-16 on veut remplacer la résistance de 12 S2 par une autre afin que le courant soit nul dans la résistance de 10 £2 . Quelle résistance doit-on utiliser? 8-24 Dans la Fig . 8-16, si l'on enlève la résistance de 10 S2, calculer la nouvelle valeur de la tension entre les bornes A et B . 8-25 Dans la Fig . 8-45, on désire remplacer le circuit entre les bornes A et B par un autre composé d'une seule source de tension E en série avec une résistance R . En utilisant le théorème de Thévenin, déterminer la valeur de E et de R . R
8-16 Dans la Fig . 8-21, si l'on place une résistance de 10 S2 entre les bornes positives des deux sources, quel sera le courant dans cette résistance? Quelles seront les nouvelles valeurs du courant dans les autres éléments résistifs ? 8-17 Dans la Fig . 8-21, si l'on intervertit la polarité de la source de 48 V, quel sera la valeur du courant dans la résistance de 12 Q ?
Voir problème 8-25 .
8-18 Dans la Fig . 8-26, si l'on branche une résistance de 14 £2 en parallèle avec la résistance de 6 S2, quelle sera la tension à ses bornes ? (Utiliser de préférence le théorème de Thévenin .)
8-26 Dans la Fig . 8-46, on désire remplacer le circuit entre les bornes A et B par un autre composé d'une seule source de tension E en série avec une résistance R . En utilisant le théorème de Thévenin, déterminer la valeur de E et de R .
8-19 Dans la Fig . 8-1, si le courant dans R3 est nul, prouver que R1R5 = R2R4 quelle que soit la tension de la source . 8-20 Dans la Fig . 8-44 la résistance de 100 S2 dissipe 4 fois plus de chaleur que la résistance R2 . Calculer la puissance de la génératrice et la valeur de R, sachant que la source débite un courant de 6 A .
Figure 8-46 Voir problème 8-26 .
8-27 Dans la Fig . 8-47, on désire remplacer le circuit entre les bornes A et B par un autre composé d'une source de tension E en série avec une résistance R . En utilisant le théorème de Thévenin, déterminer la valeur de E et de R .
100 il
F-.O>à
Figure 8-45
6
Figure 8-44 lbi problème 8-20 .
8-21 Dans la Fig . 8-2, Et = +10 V, _ = -23 V. Calculer la valeur de E4 .
E2 = + 17
V et Figure 8-47 Voir problème 8-27 .
Isolants
La conception et le fonctionnement de l'équipement électrique dépend des matériaux disponibles . Ainsi, les propriétés des conducteurs et des isolants jouent un rôle crucial dans la construction des appareils électriques . Dans ce chapitre, nous examinons les propriétés des isolants, parfois appelés diélectriques. Le chapitre suivant traitera des conducteurs .
miter le courant dans un circuit, ou transformer l'énergie électrique en chaleur, on utilise des conducteurs résistifs comme le nichrome, la fonte et le tungstène . La démarcation entre les bons conducteurs et les conducteurs résistifs n'est pas très nette, mais elle est fonction de l'usage auquel on les destine : ainsi, le carbone employé pour la fabrication des balais utilisés sur les moteurs est considéré comme bon conducteur, tandis qu'on le classe parmi les résistances lorsqu'il constitue l'élément chauffant d'un four électrique . De la même façon, l'argent, un des meilleurs conducteurs, est utilisé comme élément résistif dans certains fusibles .
9.1 Conducteurs et isolants Selon qu'ils possèdent ou non des électrons libres en abondance, les matériaux peuvent être divisés grossièrement en deux catégories : les conducteurs et les isolants . Dans les conducteurs comme l'argent et le cuivre, les électrons se déplacent facilement . On dit que leur résistivité est faible car ils n'offrent que très peu d'opposition au passage du courant .
Le tableau 9-1 donne la classification des matériaux les plus utilisés en électrotechnique . 9 .2 Comparaison des résistivités Afin de donner une idée de la résistivité relative des matériaux de chacun de ces groupes, comparons la résistance de trois échantillons ayant 1 millimètre de diamètre et 1 mètre de long (Fig . 9-1) .
Au contraire, le passage du courant se fait difficilement dans les diélectiques car leurs atomes retiennent énergiquement les électrons . La résistivité des diélectriques est très grande car l'opposition au passage d'un courant est très forte . Un diélectrique placé entre deux conducteurs s'oppose donc au passage du courant entre ceux-ci .
On constate que le nichrome (alliage composé à 80 % de nickel et à 20 % de chrome) est à peu près 60 fois plus résistif que le cuivre . La résistivité du caoutchouc est exceptionnellement grande, plusieurs millions de fois celle du cuivre .
Pour le transport de l'énergie électrique, on utilise des métaux bons conducteurs de faible résistivité, surtout le cuivre et l'aluminium . Par contre, si l'on désire li96
ISOLANTS
TABLEAU 9-1
CLASSIFICATION DES MATÉRIAUX
bons conducteurs
conducteurs résistifs
isolants
aluminium argent bronze carbone cuivre laiton mercure or tungstène
carbone eau salée fer fonte manganine molybdène nichrome tungstène zinc
air sec amiante caoutchouc coton huile mica papier plastique porcelaine
1
m
CUIVRE
NICHROME
R=0,01652
(a)
R=1,052
bon conducteur
(b)
On peut grouper les isolants dans deux grandes classes : les isolants organiques et les isolants inorganiques . En général, les isolants organiques tels que le caoutchouc, le papier, l'huile, le coton, les matériaux thermoplastiques, etc ., sont composés de longues chaînes moléculaires de carbone et d'hydrogène . Ils ne peuvent pas supporter des températures élevées sans se désagréger. Par ailleurs, les isolants inorganiques tels que le mica, la porcelaine, l'air, peuvent tolérer des températures dépassant parfois 1000 °C . Le nombre d'isolants disponibles est impressionnant, de sorte qu'il est difficile aujourd'hui d'en dresser une liste complète . Cette diversité est due à l'arrivée sur le marché des isolants synthétiques (parfois appelés plastiques) inventés et développés par les chimistes . Possédant des propriétés thermiques, électriques et mécaniques bien supérieures à celles des isolants naturels, ces isolants synthétiques ont grandement modifié la fabrication des fils, des câbles et des appareils électriques de toutes sortes . Le nombre des isolants paraît encore plus impressionnant du fait que les fabricants désignent généralement des produits identiques par des noms de commerce différents . Par exemple, le polyuréthane utilisé pour isoler certains fils de cuivre est connu au Canada et aux États-Unis sous sept noms différents selon les fabricants : Polysol (Canada Wire), Soldereze (Phelps Dodge), Isomelt (Pirelli Cables), Analac (Anaconda Copper), Solderex (Essex), Gendure (General Cable) et Beldure (Belden) .
conducteur résistif
CAOUTCHOUC R=10 79 52 (c)
9.3 Types d'isolants
97
isolant
Figure 9-1 Comparaison de la résistivité d'un bon conducteur, d'un conducteur résistif et d'un isolant .
On est souvent porté à combiner deux ou trois isolants afin de créer un produit nouveau possédant les avantages de chacun de ses composants . Par exemple, on combine la fibre de verre avec un vernis synthétique pour produire un isolant pouvant résister à la fois aux températures élevées et aux chocs .
9.4 Isolants solides Lors d'une réaction chimique, dite de polymérisation, certaines molécules simples peuvent s'unir de façon à former une grosse molécule contenant plusieurs fois la molécule initiale . On dit alors que la nouvelle substance ainsi formée est un polymère de la première molécule (Fig . 9-2) . Tous les isolants synthétiques sont des polymères . Le caoutchouc naturel, les résines, les vernis et la bakélite sont des polymères . Selon leur composition et leurs parties constituantes, les polymères peuvent être subdivisés en grandes classes comme les polyvinyles, les polyuréthanes, les polyesters, les polyamides, les polyimides etc . Ainsi, le nylon est un polyamide, le Dacron® et le Mylar® sont des polyesters et le Kapton® est un polyimide . On utilise ces matériaux synthétiques pour couvrir les fils conducteurs servant à construire des bobines de moteurs, transformateurs, électro-aimants, relais, etc ., et pour isoler les fils servant à la distribution de l'électricité dans les bâtiments . Parfois on combine ces isolants avec des matériaux tels que la fibre de verre pour créer des feuilles et des plaques isolantes possédant
98 ÉLECTROTECHNIQUE
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(c) chlorure de polyvinyle (PVC) C 2 H 3CI
(b) polyéthylène CH 2
0 000 000 0000000 • • • • •
(d) nylon C 12 N 2O 2 H 22
LÉGENDE carbone C oxygène O
hydrogène H
Figure 9-2 Structure moléculaire de quelques isolants naturels et synthétiques .
azote N
chlore CI
ISOLANTS
une grande dureté mécanique, une excellente résistance aux hautes températures et des propriétés électriques supérieures . Bien qu'on utilise de plus en plus des isolants synthétiques, les isolants naturels sont encore indispensables dans plusieurs applications . Le coton s'emploie dans la fabrication de feuilles et de plaques isolantes et pour revêtir des câbles . Le papier est encore un des meilleurs matériaux pour recouvrir les conducteurs à haute tension . Parmi les matériaux naturels inorganiques, citons l'amiante qui sert à recouvrir les fils destinés aux endroits chauds et à fabriquer les panneaux isolants pour les tableaux de commande . Le mica sert comme support pour les éléments chauffants des grille-pain, comme isolant des collecteurs de machines, et à tout autre endroit où sa grande résistance aux hautes températures est requise . 9 .5 Isolants liquides Dans les transformateurs de grande puissance, l'huile minérale est utilisée comme isolant et comme caloporteur et sert également à empêcher l'oxydation des conducteurs des enroulements . Notons qu'en l'absence d'huile, le problème de l'oxydation s'avérerait particulièrement grave dans les transformateurs à haute tension où les décharges électriques par effet couronne produiraient de l'ozone, oxydant très puissant . En immergeant les enroulements dans l'huile, on empêche la formation d'ozone et on permet l'évacuation de la chaleur vers la cuve extérieure ; de plus, l'huile étant un meilleur isolant que l'air, on réussit par la même occasion à réduire les dimensions de l'appareil . Cependant, l'huile possède l'inconvénient d'être inflammable, sa température d'ignition étant de l'ordre de 150 °C seulement . Certains isolants liquides syndrétiques contournent ce problème, mais ils sont plus chers et, parfois ils sont incompatibles avec d'autres isolants qu'ils peuvent attaquer chimiquement . 9 .6 Isolants gazeux Dans les conditions normales, un des meilleurs iso!ats connus est l'air qui nous entoure . Ses caractéristdgues thermiques sont supérieures à celles des porce)k nes_ il peut aussi agir comme agent de refroidissement et ne coûte absolument rien . Cependant, à des températures élevées, l'air devient bon conducteur par suite du phénomène d'ionisation .
99
Ainsi, à une température de 2000 °C, sa résistivité se compare à celle de la porcelaine mais lorsque sa température se situe entre 5000 °C et 50 000 °C, sa résistivité correspond à celle de l'eau salée . Dans les disjoncteurs, on utilise parfois un autre gaz isolant: l'hexafluore de soufre (SF6) . Ses molécules sont capables d'absorber des électrons, ce qui lui confère une haute rigidité diélectrique (10 fois celle de l'air à une pression de 400 kPa) . Pour assurer le refroidissement des grosses machines rotatives, on utilise l'hydrogène . Beaucoup moins visqueux que l'air, l'hydrogène produit moins de frottement aux hautes vitesses et, pour une même augmentation de température, il absorbe une quantité de chaleur 14 fois plus grande . Enfin, l'hydrogène prévient toute oxydation des isolants et prolonge ainsi leur durée de vie . Cependant, les systèmes de refroidissement à l'hydrogène sont très élaborés et demandent un entretien permanent . Son emploi n'est donc justifiable que pour les plus grosses machines . Du point de vue sécurité, les explosions dans l'hydrogène sont impossibles, même en présence d'un arc, pourvu que la concentration d'oxygène ne dépasse pas 10% . 9 .7 Détérioration des isolants organiques Les facteurs qui concourent le plus à la détérioration des isolants organiques sont : la chaleur, l'humidité, les vibrations, l'acidité, l'oxydation et les surtensions (Fig . 9-3) . Sous l'action de ces différents facteurs, l'état de l'isolation change avec le temps ; l'isolant se cristallise et cette transformation est d'autant plus rapide que la température est plus élevée . En se cristallisant, l'isolant devient dur et cassant et supporte très mal les moindres chocs ou vibrations mécaniques sans se désagréger. On peut s'attendre à une durée de vie de l'ordre de 8 à 10 ans pour la plupart des isolants organiques naturels si leur température ne dépasse pas 100 °C, pour un usage normal . Par contre, certains polymères synthétiques peuvent supporter, pendant la même période, des températures de l'ordre de 200 °C . Les basses températures sont parfois aussi nuisibles que les hautes car elles risquent de geler et de casser l'isolant. Certains isolants synthétiques conservent leur souplesse jusqu'à des températures de - 60 °C .
100
ÉLECTROTECHNIQUE
acide
temps
température élevée
produits chimiques
humidité
r
microorganisme fongueux
S02
r
poussière
vermine
ozone
gaz nocifs
vibration
Figure 9-3 Facteurs susceptibles de raccourcir la durée de vie d'un isolant .
9 .8 Durée de vie de l'équipement électrique Mis à part les défauts électriques ou mécaniques, la durée de vie d'un appareil électrique est limitée par la température à laquelle est soumis son isolant : plus celleci est élevée, plus sa durée sera raccourcie . Des tests effectués sur un grand nombre d'isolants ont démontré que la durée de vie d'un appareil diminue de moitié, environ, chaque fois que la température augmente de 10 °C . C'est dire que si un moteur possède une durée de vie normale de 8 ans à une température de 105 °C, on peut espérer une durée de vie de 4 ans à 115 °C, de 2 ans à 125 °C et d'un an seulement à 135 °C . 9 .9 Classification thermique des isolants Selon leur aptitude à supporter des températures plus ou moins élevées, on range les isolants en 8 classes . Elles correspondent à des températures maximales de 105 °C, 130 °C, 155 °C, 180 °C, 200 °C, 220 °C, 240 °C, et plus que 240 °C . Autrefois, ces classes étaient représentées respectivement par les lettres A, B, F, H, N . R, Set C . Cette classification (voir tableau 9-2) est utilisée dans la construction des appareils électriques . Comme nous le verrons au chapitre 10, on utilise une autre classification pour les isolants recouvrant les fils et les câbles
destinés à la distribution de l'électricité dans les bâtiments . 9 .10 Résistivité électrique des isolants Lorsque l'on applique une tension à un isolant, aussi bon soit-il, on provoque la circulation d'un très faible courant, dont une partie passe à travers son volume et une autre passe en surface . La résistivité surfacique varie beaucoup avec l'humidité et la propreté de la surface ; par contre, la résistivité volumique, habituellement exprimée en téraohm-mètre (1 TS2 •m = 10 12 £2-m) est assez constante . Ces résistivités prennent une importance capitale lorsque les isolants sont soumis à des tensions très élevées comme dans le cas des bornes de transformateurs ou des isolateurs de lignes à haute tension. 9 .11
Rigidité diélectrique - phénomène de claquage
La fonction principale d'un diélectrique est d'empêcher le passage du courant lorsqu'on le soumet à une tension électrique . Cependant, ce diélectrique ne peut supporter des tensions croissant indéfiniment ; à une certaine tension, il se produit un phénomène de claquage où la substance perd ses propriétés isolantes . Afin d'expliquer ce phénomène, considérons un iso-
ISOLANTS
TABLEAU 9-2 classe
loi
CLASSES D'ISOLANTS définition
105 °C matériaux ou combinaisons de matériaux tels que le coton, la soie et le papier lorsqu'ils sont convenablement intégrés ou recouverts, ou lorsqu'ils sont immergés dans un liquide diélectrique tel que l'huile . D'autres matériaux ou combinaisons de matériaux peuvent être inclus dans cette classe si l'on démontre par expérience ou par des tests approuvés qu'ils ont la même durée de vie thermique à 105 °C . (Auparavant appelée classe A .) 130 °C matériaux ou combinaisons de matériaux tels que le mica, la fibre de verre, l'amiante etc ., utilisés avec des substances adhésives convenables . D'autres matériaux ou combinaisons de matériaux peuvent être inclus dans cette classe si l'on démontre par expérience ou par des tests approuvés qu'ils ont la même durée de vie thermique à 130 °C . (Auparavant appelée classe B .) 155 °C matériaux ou combinaisons de matériaux tels que le mica, la fibre de verre, l'amiante etc ., utilisés avec des substances adhésives convenables . D'autres matériaux ou combinaisons de matériaux peuvent être inclus dans cette classe si l'on démontre par expérience ou par des tests approuvés qu'ils ont la même durée de vie thermique à 155 °C . (Auparavant appelée classe F.) 180 °C matériaux ou combinaisons de matériaux tels que l'élastomère au silicone, le mica, la fibre de verre, l'amiante etc ., utilisés avec des substances adhésives convenables, tels que les résines au silicone . D'autres matériaux ou combinaisons de matériaux peuvent être inclus dans cette classe si l'on démontre par expérience ou par des tests approuvés qu'ils ont la même durée de vie thermique à 180 °C . (Auparavant appelée classe H .) 200 °C matériaux ou combinaisons de matériaux qui ont démontré par expérience ou par des tests approuvés qu'ils possèdent la durée de vie thermique requise à 200 °C . (Auparavant appelée classe N .) 220'C matériaux ou combinaisons de matériaux qui ont démontré par expérience ou par des tests approuvés qu'ils possèdent la durée de vie thermique requise à 220 °C . (Auparavant appelée classe R .) 240 °C matériaux ou combinaisons de matériaux qui ont démontré par expérience ou par des tests approuvés qu'ils possèdent la durée de vie thermique requise à 240 °C . (Auparavant appelée classe S .) > 240 °C matériaux composés entièrement de mica, porcelaine, verre, quartz et de matériaux inorganiques semblables . D'autres matériaux ou combinaisons de matériaux peuvent être inclus dans cette classe si l'on démontre par expérience ou par des tests approuvés qu'ils ont la même durée de vie thermique au-dessus de 240 °C . (Auparavant appelée classe C .) Pour une explication complète sur les classes d'isolants, les systèmes d'isolants et les indices de température, consulter les normes : IEEE Standards Publication N° 96, 97, 98, 99 et 101 ; IEEE Standard 117-1974 ; Underwriters Laboratories publication on insulation systems UL 1446, 1978 .
102
ÉLECTROTECHNIQUE
lant solide placé entre deux plaques métalliques, raccordées à une source de tension variable (Fig . 9-4) . Lorsque la tension est nulle, les électrons tournant autour des noyaux de chaque atome d'isolant suivent une orbite circulaire (Fig . 9-4a) . À mesure que la tension augmente, ces électrons sont attirés vers la plaque (c) tension de claquage isolant solide
(a) tension nulle
Figure 9-4c Lorsqu'on atteint la tension de claquage, des milliards d'électrons sont arrachés de leur orbite extérieur et deviennent des électrons libres .
(a) tension nulle
Figure 9-4a Un isolant placé entre deux plaques métalliques .
positive et repoussés par la plaque négative de sorte que l'orbite décrite tend à s'aplatir et à prendre la forme d'une ellipse, (Fig . 9-4b) . Si l'on continue à augmenter la tension, la force d'attraction devient assez grande
La tension de claquage requise pour provoquer cette avalanche d'électrons dépend de la nature de l'isolant et de son épaisseur . Le rapport entre la tension de claquage et l'épaisseur de l'isolant s'appelle rigidité diélectrique . Elle est exprimée généralement en kV/mm ou en MV/m . Le tableau 9-3 donne la rigidité diélectrique de plusieurs isolants, ainsi que leurs autres propriétés électriques, thermiques et mécaniques . Noter que le Mylar® possède une rigidité diélectrique plus de 100 fois supérieure à celle de l'air sec . Cela permet la fabrication de condensateurs à 400 V dont l'épaisseur du diélectrique n'est que de 0,006 mm, soit le dixième de l'épaisseur d'une page de ce livre . 9 .12
Ionisation d'un gaz
Soient deux plaques conductrices séparées par un gaz isolant, de l'air par exemple (Fig . 9-5a) . Appliquons une tension aux bornes de ces plaques . Les quelques gaz
(b) tension élevée Figure 9-4b Les électrons en orbite sont attirés vers la plaque (+) et repoussés par la plaque (-) .
pour arracher les électrons de leur orbite autour du noyau (Fig . 9-4c) . Le même phénomène se produit pour des centaines de milliards d'atomes, si bien que l'isolant qui était presque dépourvu d'électrons libres se trouve maintenant rempli d'électrons détachés comme dans le cas d'un conducteur . Il se produit alors un courtcircuit entre les plaques et l'isolant se détruit.
li
(a) Figure 9-5a Un gaz entre deux plaques métalliques sous tension . Les atomes de gaz sont bombardés par les électrons libres à l'intérieur du gaz .
103
ISOLANTS
TABLEAU 9-3
PROPRIÉTÉS DES MATÉRIAUX ISOLANTS propriétés électriques
ISOLANT
air sec
rigidité diélectrique
propriétés thermiques
propriétés mécaniques
constante diélectrique
température d'opération
conductivité thermique
masse volumique
MV/m ou kV/mm
£R
°C
W/(m'°C)
kg/m 3
3 3,5
1 1
2000 -
0,024
azote (N 2 )
0,024
1,29 1,25
hexafluorure de
30
1
-
0,014
6,6
soufre (SF 6 ) hydrogène
notes
gaz à 0 °C
(à 400 kPa) 2,7
1
-
0,17
0,09
oxygène
3
1
-
0,025
1,43
amiante solide
1
-
1600
0,4
2000
laine d'amiante
1
-
1600
0,1
400
12 12 à 20
4,5 4
120
-
1560
65
0,14
950
époxy
20
130 110
1600 à2000
10
3,3 2,2
0,3
huile minérale
0,16
860
40 à 240
7
500 à1000
0,36
2800
400
3
150
-
1380
un polyester
16 3
4,1 4
150 1400
0,3 2,4
1140 -
un polyamide
papier imprégné
14
4 à 7
120
0,17
1100
polyamide
40
3,7
100 à 180
0,3
1100
polycarbonate
25
3,0
130
0,2
1200
polyéthylène
40 50
2,3 3,7
90 70
0,4 0,18
930 1390
200
3,8
180 à 400
0,3
1100
polyuréthane
35
3,6
90
0,35
1210
porcelaine
4
6
1300
1,0
2400
sicone
10
0,3
20 100
2 5 à 7
250
leflon verre
260 600
0,24 1,0
1800 à2800 2200 2500
Askarel®, Pyranol® caoutchouc
mica Mylar® nylon oxyde de
101 kPa
magnésium (MgO)
chlorure de polyvinyle (PVC) polyimide
liquide synthétique
une poudre
104
ÉLECTROTECHNIQUE
électrons libres qui se trouvent toujours à l'intérieur d'un gaz sont accélérés vers la plaque positive et, dans leur course, viennent heurter des atomes neutres . Si l'on augmente la tension à un niveau suffisamment élevé, leur vitesse devient tellement grande qu'ils réussissent à déloger des électrons de ces atomes . Les électrons ainsi libérés sont à leur tour accélérés et heurtent encore d'autres atomes de sorte que le gaz est traversé par un flot d'électrons libres . Donc, lorsque le champ électrique (exprimé en MV/m) atteint ce niveau critique, le gaz devient conducteur . Les électrons délogés de leur orbite laissent derrière eux des atomes portant une charge positive . Ces atomes chargés positivement sont appelés ions . Comme les ions positifs sont libres de se déplacer (le matériau est un gaz), ils se dirigent lentement vers la plaque négative alors que les électrons se déplacent vers la plaque positive (Fig . 9-5b) .
0 (b) ions et électrons Figure 9-5b Un atome qui perd un électron devient un ion positif . Lion se dirige vers la plaque (-) alors que l'électron est attiré par la plaque (+) .
--c w
C a
0
(c) courant d'ionisation Figure 9-5c Les ions arrivant à la plaque (+) captent des électrons, pour redevenir des atomes de gaz . Il s'ensuit un courant électrique dans le circuit .
que dans les lampes au mercure et au sodium utilisées pour l'éclairage des rues . 9 .13 Conductivité thermique Les isolants sont tous de mauvais conducteurs de la chaleur, leur conductivité thermique étant environ 2000 fois inférieure à celle du cuivre . L'air immobile est le pire conducteur de tous : il conduit la chaleur 16 000 fois moins bien que le cuivre (Fig . 9-6) . C'est pourquoi on imprègne les isolants poreux (soie, coton) et les enroulements avec un vernis pour éliminer les poches d'air qui empêcheraient la chaleur de se propager vers l'extérieur. Cette faible conductivité thermique des isolants conduit les manufacturiers à réduire le revêtement des conducteurs au strict minimum sans toutefois risquer le claquage ou compromettre leur dureté mécanique . Par exemple, la rigidité diélectrique d'une feuille de papier de seulement 0,02 mm d'épaisseur suffirait à assurer l'isolation des enroulements d'un moteur fonc-
Dès qu'un ion touche la plaque négative, il capte un des milliards d'électrons libres qui s'y trouvent et devient de nouveau un atome de gaz ordinaire (électriquement neutre) . Mais les électrons captés par les ions sont aussitôt remplacés par ceux qui arrivent à la plaque positive. Le circuit formé par la source, les plaques et la région gazeuse est donc traversé par un faible courant appelé courant d'ionisation (Fig . 9-5c) . Si on augmente la tension encore davantage, ce courant d'ionisation peut devenir un arc électrique, produisant ainsi un courtcircuit entre les plaques . L'ionisation d'un gaz est toujours accompagnée d'une luminosité et d'un bruit chuintant. Cette luminosité est mise à profit dans les lampes fluorescentes, de même
air immobile
(a)
isolant solide
(b)
cuivre
(c)
Figure 9-6 Une couche d'air ayant une épaisseur de 1 mm seulement, offre la même résistance au transport de la chaleur que 8 mm d'un isolant solide ou 16 000 mm de cuivre .
ISOLANTS
tionnant sous une tension de 300 volts ; mais la fragilité mécanique de l'isolant impose l'utilisation d'une épaisseur presque dix fois plus grande . Pour les appareils à haute tension, c'est surtout la rigidité diélectrique qui détermine l'épaisseur de l'isolant à utiliser. La très grande rigidité diélectrique des polymères spéciaux permet de réduire l'épaisseur de l'isolant, ce qui favorise le refroidissement de l'appareil . 9.14 Résumé II existe un grande variété d'isolants solides, liquides, et gazeux. En plus des isolants naturels, on trouve sur le marché de nombreux isolants synthétiques qui ont été développés pour différentes applications . La rigidité diélectrique d'un isolant (en MV/m ou en kV/mm) mesure sa capacité à supporter les tensions élevées sans risquer sa destruction par claquage . Le tableau 9-3 résume les propriétés électriques, thermiques et mécaniques des principaux isolants . La chaleur est la principale cause de dégradation des isolants solides . C'est pourquoi ces isolants sont répartis en différentes classes selon leur aptitude à supporter les températures plus ou moins élevées tout en garantissant une certaine durée de vie . Les isolants sont généralement de mauvais conducteurs de la chaleur. Cependant, certains isolants liquides et gazeux sont aussi utilisés comme caloporteurs pour le refroidissement des appareils de grande puissance (huiles dans les transformateurs, SF 6 dans les disjoncteurs, hydrogène dans les machines tournantes) .
PROBLÈMES - CHAPITRE 9 Niveau pratique 9-1 Qu'est-ce qui détermine si un corps est un conducteur ou un isolant? 9-2 Quels sont les deux métaux généralement utilisés pour le transport de l'énergie électrique? 9-3 Les métaux bons conducteurs ont-ils une haute ou une basse résistivité? 9-4 Nommer deux corps métalliques employés dans ks éléments chauffants . 9-5 Pourquoi isole-t-on certains conducteurs?
105
9-6 Nommer trois isolants qui peuvent supporter les hautes températures sans détérioration appréciable . 9-7 Énumérer les facteurs qui concourent le plus à la détérioration des isolants organiques . 9-8 Un transformateur est isolé selon la classe H . Quelle température maximale peut-il supporter? 9-9 Nommer 3 gaz isolants et donner un avantage marqué de chacun . Niveau intermédiaire 9-10 Expliquer ce qui se produit lorsqu'il y a claquage : a) d'un isolant solide b) d'un isolant gazeux 9-11 Un moteur électrique sous charge aune durée de vie normale de 8 ans lorsque la température ambiante est de 30 °C . S'il est transporté à un endroit où la température ambiante est de 60 °C, quelle sera sa durée de vie probable? 9-12 Un électro-aimant isolé selon la classe 105 °C a une durée de vie normale de 2 ans . Quelle sera sa nouvelle durée de vie si on le rebobine en utilisant un isolant classe 155 °C ? (On suppose que la durée de vie dépend surtout de la température de la machine .) 9-13 Une page de ce livre aune épaisseur de 80 µm . Si sa rigidité diélectrique est de 7 MV/m, quelle tension peut-on appliquer entre les deux côtés d'une page avant qu'il y ait risque de claquage? 9-14 En se servant du tableau 9-3, déterminer la tension de claquage approximative des objets suivants : a) vitre d'une épaisseur de 3 mm b) deux sphères dans l'air, séparées par une distance de 25 mm c) isolant en polyimide d'une épaisseur de 0,025 mm qui recouvre un fil de cuivre utilisé pour le bobinage d'un relais 9-15 On se propose d'isoler deux conducteurs avec du papier imprégné . Quelle épaisseur minimale doiton utiliser si la tension entre les conducteurs est de 200 kV? 9-16 Pourquoi doit-on imprégner les enroulements avec un isolant? Donner deux raisons . 9-17 Pourquoi cherche-t-on à donner une épaisseur minimale à l'isolant qui recouvre les conducteurs?
io Conducteurs et résistances
Dans ce chapitre, nous étudierons les propriétés des conducteurs de même que leurs applications . La plupart des conducteurs sont des solides, mais on a vu que dans des conditions spéciales, même un gaz comme l'air peut devenir conducteur . Certains liquides, comme l'eau salée, peuvent également conduire un courant électrique, de sorte qu'on peut les classer parmi les conducteurs .
10 .2 Conducteurs résistifs Parmi les matériaux résistifs, les plus importants sont les alliages de nickel et de chrome comme le Nichrome chrome`Ret le Chromel® . On les rencontre dans les éléments chauffants de toutes sortes et dans les rhéostats et résistances . Le tungstène est surtout utilisé pour la fabrication des filaments à incandescence à cause de sa haute température de fusion, ce qui permet une chaleur suffisamment intense pour émettre une lumière blanche .
10 .1 Bons conducteurs De tous les solides, l'argent est le meilleur conducteur d'électricité mais, en raison de son coût prohibitif, son usage est restreint aux contacts destinés à l'ouverture et à la fermeture des circuits électriques . Paradoxalement, il sert aussi comme élément résistif dans certains fusibles .
Il existe au moins une trentaine d'autres alliages à base de nickel, de fer, de cobalt et de cuivre portant des noms comme Nilvar® , Advance ® , Karma ® , Chromax ® , Copel ® , Ohmaloy ® , etc., dont les propriétés particulières telles que la résistance à la corrosion ou la rigidité mécanique les rendent utiles pour les applications spéciales .
Dans les applications générales, le matériau le plus employé est le cuivre . On utilise des conducteurs d'aluminium (seuls ou avec des fils d'acier) pour les lignes de transport d'énergie, car, pour une même longueur et un même poids, la résistance électrique de l'aluminium est sensiblement la moitié de celle du cuivre . Cependant, pour une résistance donnée, son volume est 1,7 fois plus grand que celui du cuivre, ce qui le rend moins intéressant comme conducteur dans les machines électriques .
10 .3 Formes des conducteurs Suivant leurs applications, les conducteurs prennent une grande variété de formes : on les rencontre sous forme de fils de section ronde, carrée ou plate, sous forme de câbles toronnés et sous forme de barres (barres omnibus) . Les conducteurs se présentent généralement sous forme de fils de section ronde (Fig . 10-l a), obtenus directement par tréfilage .
Le bronze phosphoreux se coule très facilement et il est très employé pour les pièces moulées . 106
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES
107
Les fils bons conducteurs de sections carrée et rectangulaire (Fig . 10-1b, c) sont employés pour les enroulements à grande section des transformateurs et des machines rotatives . L'emploi de tels conducteurs dans les moteurs et génératrices permet une meilleure utilisation du volume des encoches . Figure 10-2 Un cercle ayant un diamètre de 0,001 pouce possède une surface de 1 cmil .
exprimée en circular mils, est égale au carré de son diamètre en mils . (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figure 10-1 Diverses formes de conducteurs .
Les conducteurs constitués par un grand nombre de petits fils (appelés torons) torsadés ensemble sont très souples (Fig . 10-1 d) . La pose des câbles de grande section est ainsi facilitée . Dans le cas de certains conducteurs d'aluminium, un ou plusieurs fils centraux sont en acier afin d'assurer une plus grande résistance mécanique du câble . Ces câbles portent le nom ACSR i KAluminum Cable Steel Reinforced») . Pour les fortes intensités de courant rencontrées dans les centrales et les postes de transformation, on utilise des conducteurs nus de formes particulières qui assurent une meilleure dissipation de la chaleur ou qui possèdent une plus grande rigidité mécanique iFig . 10-le, f) . Enfin, on utilise des conducteurs résistifs de sections ronde, carrée et plate dans la fabrication des chaufferettes . des démarreurs de moteurs et des rhéostats .
10.4 Mils On utilise souvent le diamètre pour déterminer le calibre d'un conducteur. La valeur du diamètre est parfois imprimée en mils . Le mil est une unité de longueur anglaise égale à un millième de pouce . Il équivaut à Œ0254 mm ou 25,4 pin .
10.5 Circular mil, conducteurs ronds La valeur de la section droite des conducteurs ronds est souvent exprimée en circular mils . Le circular mil (cmil) est une unité de surface : c'est la surface d'un cercle ayant un diamètre de 1 mil (Fig . 10-2) . La section droite d'un conducteur circulaire,
Le kilocircular mil (kcmil) est une unité de surface égale à 1000 cmil . Noter que l'unité kcmil remplace aujourd'hui l'ancienne unité MCM . Exprimés en unités métriques : 1 cmil = (0,0254 mm)2 x 7t/4 = 0,000 506 7 mm 2 1 kcmil = 1000 cmil = 0,506 7 mm 2
Exemple 10-1 Trouver la section droite d'un fil rond ayant un diamètre de 0,102 pouce .
Solution Le diamètre vaut 102 millièmes de pouce ou 102 mils, donc la section A vaut: A = 102 mils x 102 mils = 10 404 circular mils = 10,4 kcmil = 10,4 X 0,5067 = 5,27 mm 2
10.6 Les conducteurs ronds, jauge AWG Les diamètres des conducteurs ronds sont standardisés . Au Canada et aux États-Unis on indique le diamètre des conducteurs ronds par un numéro de la jauge «Standard American Wire Gauge», dont l'abréviation est AWG . Le système est aussi connue sous le nom «Brown & Sharpe Gauge» (B & S) . Le système AWG a été conçu en fixant des diamètres de 460 mils et 5 mils respectivement pour les fils #0000 et #36 . Comme il y a 39 intervalles entre #0000 et #36 le rapport entre deux diamètres successifs est de (460/5)i°39 = 1,1229 . Le rapport entre deux sections successives est donc 1,1229 2 = 1,261 . Selon ce système, le diamètre du fil diminue à mesure que le numéro de jauge augmente . Ainsi, le fil portant le #6 de la jauge est plus petit que le #4 . Le tableau 10-1 donne les propriétés des fils ronds cor-
1 08
ÉLECTROTECHNIQUE
TABLEAU 10-1 Numéro dAjauge e B&S
PROPRIÉTÉS DES CONDUCTEURS RONDS EN CUIVRE Diamètre
mQ/m
Section
du fil nu mm
g/m ou kg/km
52/km
mil
mm 2
cmil
25°C
105°C
250 MCM 4/0 2/0
12,7 11,7 9,27
500 460 365
126,6 107,4 67,4
250 000 212 000 133 000
0,138 0,164 0,261
0,181 1126 0,214 953 0,341 600
1/0 1 2
8,26 7,35 6,54
325 289 258
53,5 42,4 33,6
105 600 87 700 66 400
0,328 0,415 0,522
0,429 0,542 0,683
475 377 300
3 4 5
5,83 5,18 4,62
229 204 182
26,6 21,1 16,8
52 600 41 600 33120
0,659 0,833 1,05
0,862 1,09 1,37
237 187 149
6 7 8
4,11 3,66 3,25
162 144 128
13,30 10,5 8,30
26 240 20 740 16 380
1,32 1,67 2,12
1,73 2,19 2,90
118 93,4 73,8
9 10 11
2,89 2,59 2,30
114 102 90,7
6,59 5,27 4,17
13 000 10 400 8 230
2,67 3,35 4,23
3,48 4,36 5,54
58,6 46,9 37,1
12 13 14
2,05 1,83 1,63
80,8 72,0 64,1
3,31 2,63 2,08
6 530 5 180 4110
5,31 6,69 8,43
6,95 8,76 11,0
29,5 25,4 18,5
15 16 17
1,45 1,29 1,15
57,1 50,8 45,3
1,65 1,31 1,04
3260 2 580 2060
10,6 13,4 16,9
13,9 17,6 22,1
14,7 11,6 9,24
18 19 20
1,02 0,91 0,81
40,3 35,9 32,0
0,821 0,654 0,517
1 620 1 290 1 020
21,4 26,9 33,8
27,9 35,1 44,3
7,31 5,80 4,61
21 22 23
0,72 0,64 0,57
28,5 25,3 22,6
0,411 0,324 0,259
812 640 511
42,6 54,1 67,9
55,8 70,9 88,9
3,66 2,89 2,31
24 25 26
0,51 0,45 0,40
20,1 17,9 15,9
0,205 0,162 0,128
404 320 253
86,0 108 137
112 142 179
1,81 1,44 1,14
27 28 29
0,36 0,32 0,29
14,2 12,6 11,3
0,102 0,080 0,065
202 159 128
172 218 272
225 286 354
0,908 0,716 0,576
30 31 32
0,25 0,23 0,20
10,0 8,9 8,0
0,0507 0,0401 0,0324
100 79,2 64,0
348 440 541
456 574 709
0,451 0,357 0,289
33 34 35
0,18 0,16 0,14
7,1 6,3 5,6
0,0255 0,0201 0,0159
50,4 39,7 31,4
689 873 1110
902 1140 1450
0,228 0,179 0,141
36 37 38
0,13 0,11 0,10
5,0 4,5 4,0
0,0127 0,0103 0,0081
25,0 1390 20,3 1710 16,0 2170
1810 2230 2840
0,113 0,091 0,072
39 40
0,09 0,08
3,5 3,1
0,0062 0,0049
12,3 2820 9,6 3610
3690 4720
0,055 0,043
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES
109
respondant à chaque numéro de la jauge . Il est utile de retenir les deux règles suivantes qui s'appliquent au système AWG :
d'un diamètre de 38,54 mils (1486 cmils), a donc rigoureusement la même résistance qu'un fil #10 plein qui a une section de 10 400 cmils .
1 . Un conducteur qui a deux fois la section d'un autre porte un numéro qui est plus petit de 3 unités . Exemple : la section du fil #5 est le double de celle du fil #8 .
Pour les conducteurs qui ont une section plus grande que celle correspondant au 0000 (habituellement désignée 4/0), on indique généralement la section en milliers de circular mils (kcmil) . Ainsi, un conducteur de 250 kcmil ne correspond à aucun numéro de jauge .
2 . Un conducteur qui a 10 fois la section d'un autre porte un numéro qui est plus petit de 10 unités . Exemple : le fil #4 a la même section que 10 fils #14 . La Fig . 10-3 indique comment on mesure le calibre d'un conducteur au moyen d'une jauge . Tout isolant, y compris le vernis, doit être enlevé ; le fil nu doit être inséré dans l'encoche et non dans l'ouverture circulaire de la jauge .
10 .8 Fils de section carrée L'usage veut que les fils de section carrée portent des numéros correspondant à ceux des fils ronds . Si le côté du fil carré est égal au diamètre du fil rond, les deux porteront le même numéro (Fig . 10-4) . Par conséquent, la section d'un fil carré est environ 25 % plus grande que celle d'un fil rond portant le même numéro .
2~2 ~2112£Z z2 tiZOZgTg z-z
tiV
l~
l
ti~
ô
.
2,59 mm
O) CO
3 4
5
Co
` 13 34
Figure 10-4 Dimensions d'un conducteur carré #10 et d'un conducteur rond #10 .
35
conducteur #4
Figure 10-3 Mesure de la grosseur d'un conducteur avec une jauge AWG . Un conducteur nu #4 peut se glisser dans l'ouverture 4 de la jauge . La jauge et ses ouvertures (numérotées de 0 à 36) sont montrées grandeur nature .
10.7 Câbles toronnés La section droite d'un câble toronné est également exprimée en millimètres carrés ou en circular mils : elle eu égale à la somme des sections de chacun des torons et ne comprend pas la surface des interstices . Un fil #10 toronné, habituellement formé de 7 conducteurs
10.9 Résistance d'un conducteur À une température donnée, la résistance d'un conducteur dépend : 1 . de sa longueur 2. de sa section 3 . de la nature de la substance qui le constitue Nous avons vu que le passage du courant dans un conducteur est analogue à l'écoulement de l'eau dans un tuyau . On remarque par expérience que plus le tuyau est long, plus sa résistance au passage de l'eau est grande . De même en électricité, plus le conducteur est long, plus sa résistance au passage du courant est grande . Si l'on remplace le tuyau par un autre ayant une plus grande section, le passage de l'eau se fait plus librement, sa résistance est réduite . Il en est ainsi pour un conducteur électrique : plus sa section est grande, plus
110 ÉLECTROTECHNIQUE son opposition (résistance) au passage du courant est faible .
nanohm-mètre (n52 •m) valant 10-9 S2 •m pour décrire la résistivité des conducteurs .
Le passage du courant électrique dans un conducteur se fait d'autant plus facilement que le nombre d'électrons libres est grand. Or, ce nombre d'électrons libres varie considérablement d'une substance à l'autre . Donc, la résistance au passage du courant dépend de la nature de la substance dont est constitué le conducteur ; plus le nombre d'électrons libres est grand, plus la résistance est basse.
On trouvera au tableau 10-2, la valeur de la résistivité de quelques-uns des métaux usuels . Le tableau 10-5 en fin de chapitre fournit une liste plus complète . Exemple 10-2
Calculer la résistance d'un conducteur de cuivre ayant une longueur de 2 km et une section de 67 mm 2 . (Fig . 10-5) . La résistivité du cuivre vaut 18 n52-m
La formule qui donne la relation entre la résistance d'un conducteur et les trois facteurs énumérés plus haut est la suivante : R=p l A
(10-1)
où R = résistance du conducteur, en ohms [52]
p = résistivité de la substance, en ohm-mètres [Q'm] l = longueur du conducteur, en mètres [m] A = section du conducteur, en mètres carrés [m2] Ce facteur p* qu'on appelle résistivité est précisément ce qui caractérise l'opposition plus ou moins grande qu'offre un conducteur au passage du courant . Il varie suivant la nature de la substance dont est consituté le conducteur. Elle varie aussi avec la température . Tout comme la masse volumique, la résistivité est une propriété caractéristique d'une substance. Bien que l'unité SI de résistivité soit l'ohm-mètre (Sà •m), nous utilisons plutôt un sous-multiple, soit le
Figure 10-5 Ligne de transport de 2 km .
Solution
En exprimant toutes les unités en mètres et en mètres carrés on obtient: R = p
l A
TABLEAU 10-2 conducteur
argent cuivre aluminium tungstène manganine nichrome
RÉSISTIVITÉ DES CONDUCTEURS résistivité à 0 °C
coefficient de température à0°C
nQ2 •m
1/°C
15,0 15,9 26,0 49,6 482 1080
= 18 x 10
9 x
2000 67 x 10
= 0,53752 6
Exemple 10-3 0,00411 0,00427 0,00439 0,0055 0,000 015 0,00011
` p est une lettre grecque qui se prononce «ro» .
Calculer la résistance d'un Fil #20 B & S en nichrome ayant une longueur de 25 mètres, à une température de 0"c . Solution
D'après le tableau 10-1, la section d'un conducteur rond #20 vaut 0,517 mm2 . La résistivité du nichrome à 0 °C étant de 1080 nQ •m (tableau 10-2), la résistance R du conducteur est donnée par :
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES
R = p
l
Solution La résistance du conducteur à - 30 °C est donnée par :
A
25
1080 x 10 9 x
=
R t = R o (1 + ut)
0,517 x 10 6
R_ 3o
ac
= 52,2 S2
Lorsque la température d'un conducteur augmente, l'agitation de ses atomes s'accentue . L'opposition au déplacement des électrons (courant) augmente parce que les collisions entre les électrons et les atomes se multiplient . C'est ce qui explique l'augmentation de la résistivité des métaux conducteurs avec la température . Cette variation obéit à la formule suivante : P = p (1 + at) r
o
(10-2a)
ou
p r = résistivité à une température t, en ohmmètres [S2•m] p o = résistivité à 0 °C, en ohm-mètres [S2 •m] a = coefficient de température, en 1/°C* t = température, en °C Pour le cuivre, a = 0,004 27 . On trouvera au tableau 10-2, la valeur de ce coefficient pour quelques-uns des métaux usuels . Puisque la résistivité varie avec la température, il s'ensuit que la résistance de tout dispositif électrique (bobine, fil, câble, élément chauffant, etc.) varie en proportion . On peut donc exprimer la variation de la résistance par la formule : R = R r
°
(1 + at)
= 100 (1 + (0,00427 x - 30))
= 100 (1 - 0,128) 100 (0,872) = 87 mQ2
Variation de la résistance avec la température
10 .10
111
À 35 °C, la résistance deviendra : R,S c = 100 (1 + (0,00427 x 35)) o
= 100 (1 + 0,149) = 115 mQ La résistance de la ligne augmentera de 87 mS2 à 115 mQ2, soit une variation d'environ 30 % de 87 mb2 . Pour le même courant, les pertes dans la ligne électrique peuvent donc être plus élevées de 30 % pendant les chaleurs d'été que pendant les froids d'hiver . L'augmentation de la résistance est encore plus remarquable pour le filament d'une lampe à incandescence dont la température de fonctionnement est très élevée . En marche normale, le filament de tungstène possède une résistance d'environ 12 fois plus élevée à chaud qu'à froid . Exemple 10-5 Une lampe à incandescence de 60 watts possède une résistance de 17,6 S2 à 20 ''C (Fig . 10-6) . Si elle tire un courant de 0,5A sous une tension de 120 V, quelle est la température du filament? Pour le tungstène : et = 0 .0055 par °C .
(10-2b)
où R
i
-
résistance à une température t, en ohms
R o = résistance à 0 °C, en ohms
a = coefficient de température, en 1/°C* t = température, en °C Exemple 10-4 Trouver la variation de la résistance d'une ligne de transport dénergie entre des températures de -30 `C et + 35 C, si la résistance des conducteurs de cuivre est de 100 mt2 ( milliohms ) à 0 ° C . * a est une lettre grecque qui se prononce «alpha» .
Figure 10-6 La résistance d'une lampe à incandescence dépend de sa température .
112
ÉLECTROTECHNIQUE
Solution Il faut d'abord calculer la résistance du filament à 0 °C . Rr =R0 (1
+
at)
10 .12 Traction et allongement Si l'on augmente la force de traction F exercée sur un fil métallique, tout en observant son allongement d (Fig . 10-7), on obtient une série de valeurs que l'on peut porter sur un graphique (Fig . 10-8) .
17,6 = Ro (1 + 0,0055 x 20) 17,6 = Ra (1,11) d'où
R o = 15,85 S2
Résistance à chaud = E/I = 120 V/0,5 A = 240 £2 . En utilisant à nouveau la formule (10-2b) et en appelant t la température cherchée, on obtient : 240 = 15,85 (1 + 0,0055 t) d'où
t = 2571 °C
La résistance de certains alliages comme le constantan et le manganine ne varie presque pas avec la température ; c'est pourquoi on les utilise dans la fabrication des résistances étalons et des shunts d'ampèremètres . D'autres alliages à base de nickel et de chrome, comme le nichrome et le chromel, possèdent une haute résistivité et un bas coefficient de température ce qui permet la construction d'éléments résistifs économiques dont la résistance varie peu avec la température . Ainsi, la résistance du nichrome V n'augmente que de 7 % lorsque sa température passe de 20 °C à 1000 °C .
i F Figure 10-7 Allongement dd'un conducteur .
Sur cette courbe, nous avons indiqué trois points importants a, b et c, correspondant respectivement aux forces de traction F1 , F2 et F3À mesure que la force de traction croît de 0 à FI,, le fil s'allonge d'une distance dl . Dans la partie droite Oa de la courbe, l'allongement d est proportionnel à la traction exercée et le fil se comporte comme un ressort . Il reprend sa forme originale dès que la traction cesse .
PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES DES CONDUCTEURS 10 .11 Résistance à la traction Jusqu'ici, nous nous sommes intéressés aux propriétés électriques et thermiques des conducteurs, mais dans certains cas on doit considérer également leurs propriétés mécaniques . Par exemple, la résistance des conducteurs à la traction joue un rôle important lors de la pose des lignes aériennes et du bobinage des enroulements . D'abord, il ne faut pas que la tension subie par le conducteur dépasse la tension de rupture . On ne doit pas non plus provoquer un allongement tel que le conducteur ne puisse plus reprendre sa longueur et sa forme originales . Ces deux considérations demandent une connaissance des forces qui peuvent changer sa longueur de façon permanente .
Figure 10-8 Allongement d'un fil en fonction de la force de traction .
Pour des tractions F supérieures à FI, mais inférieures à F2, le fil perd un peu de son élasticité et il ne revient pas à sa longueur originale lorsque la traction cesse . Cependant, l'étirement permanent n'est pas sérieux ni dommageable . La force F2 au point b correspond à la limite élastique ; on évite, en général, de dépasser cette force plus ou moins bien définie .
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES
Si l'on continue à augmenter la traction, le fil s'étire rapidement jusqu'au point c situé au sommet de la courbe ; la tension F3 correspondante est la tension de rupture et elle est sensiblement supérieure à la force F, . Au-delà du point C, une force même inférieure à F3 réussit à étirer le conducteur jusqu'à sa rupture complète . Tous les conducteurs possèdent de telles courbes de traction mais les forces F1, F2 et F3 varient beaucoup suivant le métal . La forme de la courbe dépend aussi de la température, les forces devenant plus petites et hallongement plus grand quand la chaleur augmente . Enfin, la valeur des forces varie beaucoup suivant que le conducteur a été formé à froid, à chaud ou qu'il a été recuit . Soit A la section de l'échantillon initial . On appelle limite élastique («yield strength»), le rapport F1/A exprimé en mégapascals (MPa) et contrainte de rupture t«tensile strength») le rapport F3/A exprimé en MPa . Les catalogues donnant la résistance des matériaux fournissent en général ces deux valeurs, ainsi que l'allongement à la rupture en pour cent (voir les tableaux 10-3 et 10-5) . En observant les valeurs fournies pour le cuivre recuit, on constate que la limite élastique est de 35 MPa, que la contrainte de rupture est de 220 MPa et que le fil s allonge de 60 % avant que ce point de rupture soit atteint . Le tableau 10-3 illustre aussi la grande difféince entre le cuivre recuit et le cuivre durci . Le premier est utilisé pour les bobines, tandis que le second trouve son application dans les lignes aériennes .
TABLEAU 10-3 métal
113
Exemple 10-6 Quelle force de traction peut-on appliquer à un fil de cuivre #12 recuit sans provoquer un allongement a ppréciable . e t quelle force de traction provoque la rupture'' Si le fil a une longueur initiale de 100 mètres, quelle sera sa longueur au moment de la rupturc? La section du fil #I2 = 3 .31 mm' . Solution
La limite élastique étant de 35 MPa, la tension permise est : F2 = (limite élastique) x (section)
X _ (35 10 6 Pa) x (3,31 x 10-6 m2 ) 116 newtons = 116 N La tension de rupture sera : F3 = (contrainte de rupture) x (section)
_ (220 x 10 6 Pa) x (3,31 x 10-6 m 2 ) = 728 newtons = 728 N Enfin, l'allongement à la rupture étant de 60 %, le fil s'étirera de : 100 m x 60 % = 60 m . Il atteindra donc une longueur approximative de 160 m lors de la rupture . La Fig . 10-9 montre deux types de câbles en aluminium utilisés dans les lignes aériennes . Le premier est composé entièrement de torons en aluminium, alors que le deuxième comprend une âme en acier. La tension de traction permise est beaucoup plus grande pour le deuxième câble .
RÉSISTANCE À LÉTIREMENT limite
contrainte
allongement
élastique
de rupture
à la rupture
MPa
MPa
allurninium pur
21
62
50
aluminium durci
140
160
2
aévre recuit
35
220
60
amure durci
410
470
14
1170
1300
15
Figure 10-9 a . Câble nu en aluminium, 500 kcmil, composé de 37 torons, ayant chacun un diamètre de 2,951 mm . Le diamètre du câble est de 20,6 mm . La charge de rupture est de 40 kN ; courant admissible : 640 A . b. Câble nu du type ACSR, 500 kcmil, composé de 37 torons dont 30 sont en aluminium et 7 en acier, ayant tous un diamètre de 3,279 mm . La charge de rupture est de 130 kN ; courant admissible : 690 A .
114
ÉLECTROTECHNIQUE
Dans le cas des lignes de transport, on comprend facilement pourquoi on doit renforcer un câble d'aluminium avec une âme en acier . En effet, l'aluminium ne possède pas la résistance à la traction requise pour les câbles de longue portée . ISOLEMENT DES CONDUCTEURS 10.13
Types d'isolants
La plupart des conducteurs sont recouverts d'un isolant afin d'empêcher le courant de passer d'un conducteur à un autre ou pour éviter les mises à la terre . L'isolement des conducteurs utilisés dans les machines électriques est souvent assuré par du coton, de la soie ou du papier imprégnés de vernis spéciaux . Aujourd'hui on utilise de plus en plus des isolants synthétiques pour les machines de moyenne et de grosse capacités . Les conducteurs utilisés dans les maisons, les usines et les immeubles pour la distribution de l'électricité sont isolés par des isolants souples : caoutchouc, papier, coton, cambric et produits thermoplastiques . Ces conducteurs doivent fonctionner à des températures peu élevées afin de leur assurer une durée de vie très longue . L'isolant à polyéthylène réticulé chimiquement, souvent connu sous le nom XLPE (cross-linked polyethylene), dont la rigidité diélectrique est aujourd'hui entre 13 et 15 kV/mm, permet la construction de câbles allant jusqu'à 400 kV. La température maximale de 250 °C constitue un autre avantage pour résister aux chocs thermiques provoqués par des courtcircuits . Les fils exposés aux hautes températures des fours électriques doivent être recouverts d'un isolant d'origine minérale . Le verre, l'amiante, la porcelaine et le mica supportent très bien, sans détérioration appréciable, des températures très élevées . Cependant, leur application est limitée du fait de leur coût élevé et parce qu'ils sont difficiles à manipuler. 10 .14 Capacité thermique des conducteurs Étant donné que même les meilleurs conducteurs ont une certaine résistance, ils s'échauffent par effet Joule lorsqu'ils sont parcourus par un courant . Dans le cas des conducteurs nus, si la température atteinte est trop élevée, il peut y avoir risque de fusion ou de détérioration des parties voisines du conducteur .
Le conducteur peut lui-même se désagréger par oxydation excessive . Pour les conducteurs isolés, la chaleur produite doit être transmise par les couches isolantes et ensuite dispersée par radiation et par convection . Plus l'intensité du courant dans le fil est grande, plus grande est l'élévation de température de l'isolant . Pour assurer une durée de vie convenable à l'isolant, il est donc nécessaire de limiter le courant que peut porter un fil isolé . On arrive ainsi à une conclusion importante qui s'applique presque toujours : le courant maximal admissible dans un fil isolé est fixé par la température maximale admissible de son isolant . 10 .15 Code régissant les installations électriques La durée de vie des conducteurs servant à la distribution de l'électricité dans les usines, les édifices et les maisons est particulièrement importante, car on ne peut pas se permettre de changer les fils dans les murs tous les dix ans . Pour cette raison, le Code canadien de l'électricité exige des températures maximales particulièrement basses pour les conducteurs employés dans les installations électriques . Selon le type d'isolant, les normes permettent des températures maximales de 60 °C, 75 °C et 90 °C . Elles sont beaucoup plus basses que les températures maximales admises dans les appareils électriques (moteurs, transformateurs, etc .) utilisant le même genre d'isolant . Aux endroits particulièrement chauds, on doit faire courir du fil isolé en amiante ; on peut alors se permettre des températures maximales aussi élevées que 200 °C . Un conducteur doit dégager sa chaleur dans l'air environnant et, afin d'établir le courant admissible, le Code canadien de l'électricité définit une température ambiante standard de 30 °C . Sachant que la température ambiante est fixée à 30 °C et que la température d'un conducteur quelconque ne doit pas dépasser une certaine valeur limite (disons 75 °C), le Code spécifie le courant maximal que ce conducteur peut supporter . Par exemple, le Code stipule qu'un fil #6 à l'air libre, recouvert d'un isolant thermoplastique (type TW), dont la température nominale est de 60 °C peut supporter un courant nominal de 80 A (Fig . 10-1 Oa) . Par ailleurs, le Code stipule que le même conducteur isolé au silicone/caoutchouc (type SRK) peut supporter un courant de 125 A (Fig. 10-10b) . Bien que sa température
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES nominale soit alors de 200 °C, sa durée de vie sera la même que celle du conducteur TW qui aura supporté
115
faible que si le conducteur était seul, afin de ne pas dépasser la température permise pour l'isolant. Par exemple, le Code spécifie que trois conducteurs #4, type TW60, placés dans un conduit ne doivent porter que 70 A chacun, alors qu'il permet un courant de 105 A pour un conducteur seul . 10 .16 Comparaison de divers conducteurs Les câbles montrés dans les Fig . 10-11 à 10-18 donnent une idée de la construction adoptée selon les tensions qu'ils peuvent supporter et l'usage qu'on en fait .
(a) (b) Figure 10-10 Comparaison de la capacité ampérique de deux conducteurs de même section .
Les vues en coupe sont dessinées grandeur nature afin que le lecteur puisse mieux apprécier les dimensions physiques de ces câbles . Un examen détaillé de ces figures révèle l'information suivante :
seulement 60 °C . Le tableau 10-4, tiré du Code canadien de l'électricité, donne un aperçu des courants admissibles pour les divers types de monoconducteurs, lorsqu'ils sont suspendus seuls, à l'air libre, à une température ambiante de 30 °C . Lorsque plusieurs conducteurs isolés sont placés dans un même tuyau métallique (conduit), la chaleur dégagée par chacun contribue à l'échauffement de l'isolant des conducteurs voisins . Le courant doit donc être plus
1 . Une augmentation de la tension de 5 kV à 30 kV exige une plus grande quantité d'isolation, donc un câble plus gros . Par ailleurs, la capacité ampérique n'est pas affectée de façon appréciable (comparer les Fig . 10-12a et 10-12b) . 2 . Un câble à 30 kV possédant un conducteur en aluminium a une capacité de 343 A alors qu'un câble semblable en cuivre peut supporter 440 A (comparer les Fig . 10-12b et 10-12e) .
TABLEAU 10-4 COURANTS ADMISSIBLES DES MONOCONDUCTEURS EN CUIVRE À LAIR LIBRE numéro classe de jauge 60 °C AWG type TW 12 10 8 6 4 2 1 /0 3/0 250 kcmil (tiré
classe classe 75 °C 90 °C type RW75 type R90 TW75 RW90
25 25 25 40 40 40 55 65 70 80 95 100 105 125 135 140 170 180 195 230 245 260 310 330 340 405 425 du Code canadien de l'électricité 1996)
1W: conducteur isolé au thermoplastique et destiné à un endroit humide ltM : conducteur isolé au caoutchouc
classe 200 °C fil nu 55 75 100 135 180 240 325 430
Figure 10-11 a . conducteurs isolé à l'amiante b . conducteurs isolés et recouverts d'une gaine métallique c . conducteurs sous plomb (gracieuseté Canada Wire and Cable Co .) .
116
ÉLECTROTECHNIQUE
3 . Un câble à 30 kV formé de 3 conducteurs en cuivre a une capacité de 359 A par conducteur au lieu de 440 A pour un câble ayant un seul conducteur (comparer les Fig . 10-12b et 10-13) . 4 . Pour une même tension de 600 V, une isolation R90 au polyéthylène réticulé (XLPE) est plus mince qu'une isolation RW60 . De plus, la capacité ampérique est plus élevée (Fig . 10-14) . 5 . Le câble sous-marin à 80 kV, 630 A est plus gros
(a)
5 kV 444 A cuivre
que celui à 30 kV, 343 A, car il est protégé par une lourde gaine d'acier, et parce qu'il transporte une plus grande puissance (comparer les Fig . 10-12c et 10-15) . 10 .17 Échauffement rapide des conducteurs - facteur 12t Il arrive parfois qu'un courant beaucoup plus grand que le courant normal circule dans un conducteur durant une courte période . Les pertes Joule sont alors très
(b) 30 kV 440 A cuivre
(c) 30 kV 343 A aluminium
Figure 10-12 Capacité ampérique à l'air libre de trois conducteurs ayant une section de 250 kcmil (grandeur nature) .
Figure 10-13 Câble triphasé formé de trois conducteurs de section 250 kcmil (grandeur nature) .
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES
R 90 XLPE 600 V
425 A
•01
M
0 00040 . î
cuivre
Figure 10-14 Deux conducteurs isolés à 600 V (grandeur nature) .
80 kV
630 A
conduit d'huile conducteur en cuivre 600 kcmil écran au charbon papier écran à papier métallisé gaine de plomb gaine de renforcement gaine en polyéthylène - jute gaine d'acier
figure 10-15 Vœ en coupe d'un câble sous-marin, grandeur nature . Diamètre extérieur 70 mm . Ce câble est immergé dans le dW*mit de Long Island entre Northport (Long Island) et Norwalk (Connecticut) (gracieuseté Pirelli Cables Ltd) .
117
118
ÉLECTROTECHNIQUE
posons qu'il porte un courant I durant une courte période t, où t est généralement inférieure à 15 secondes . La chaleur Q générée dans le conducteur est donc : Q = RI 2 t
3 conducteurs #6 (133 brins)
(10-3)
2 conducteurs #10 (104 brins)
1 conducteur #8 (133 brins)
Figure 10-16 Câble d'alimentation pour pompe submersible utilisé dans les mines . Il comprend trois conducteurs de puissance, deux de commande et un de mise à la masse .
En utilisant l'équation 1-17, on peut calculer la valeur de l'échauffement 0 Q=mc0
éq . 1-17
donc RI 2 t = mc0 d'où 0 = R
600 A
(12t)
(10-4)
me
250 kcmil
6834 brins #34
coefficient d'utilisation : 30 gaine en polyéthylène
Figure 10-17 Câble ultra-flexible de 600 A pour soudeuse électrique .
425 A
250 °C
250 kcmil solide
isolant: oxyde de magnésium gaine de cuivre Figure 10-18 Câble pour usage dans les endroits très chauds .
grandes, de sorte que la température du conducteur peut monter de plusieurs centaines de degrés en une fraction de seconde . Par exemple, lors d'un court-circuit, des courants intenses circulent brièvement dans les fils et câbles d'un réseau avant que le cicuit soit ouvert par un fusible ou un disjoncteur de protection . Dans ces circonstances, la chaleur dégagée dans les conducteurs n'a pas le temps de se dissiper à travers les parois extérieures et la température du conducteur monte rapidement . Quel est l'échauffement dans ces conditions? Supposons que le conducteur ait une masse m, une résistance R et une chaleur massique c . De plus, sup-
Il s'ensuit que pour un conducteur donné l'échauffement 0 dépend directement du facteur I2 t . Ce facteur s'exprime en ampères carrés seconde (A 2. s) . Nous avons vu que des températures élevées sont dommageables pour l'isolant qui recouvre le conducteur . Le facteur I2 t est donc très important car c'est lui qui détermine la température maximale du conducteur. Par exemple, un conducteur #2 en cuivre initialement à 90 °C ne peut supporter un I2t supérieur à 22 x 106 A2 .S si l'on veut limiter sa température à 250 °C lors d'un court-circuit . De façon générale, on peut calculer la valeur de 12t lorsqu'on connaît (1) le calibre du conducteur, (2) sa composition (cuivre ou aluminium) et (3) l'échauffement qu'il doit subir . La valeur de I2 t pour le cuivre et l'aluminium est donnée par les équations suivantes : pour le cuivre: 2
1 t = 11,5 x 104A 2logio
(234+0.
(10-5)
234 + 00
pour l'aluminium :
1
2 t
= 5,2 x 10 4A 2logio
(228 + 0m 228 + Bo
(10-6)
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES
119
Solution
où I - courant de court-circuit [A] t = durée du court-circuit [s] A = section nette du conducteur, sans compter les espaces vides [mm 2] 0, = température initiale du conducteur [°C] 0,,,= température finale du conducteur [°C] Exemple 10-7 Une ligne aérienne en aluminium est composée d'un conducteur #3 ayant une section de 26 .6 nom--- . Ce conducteur peut .supporter un courant de 160 A en régime permanent . a) Calculer la valeur permissible de I'-t lors d'un court-circuit sachant que la température initiale est de 80 'C et que l'on désire limiter la température maximale à 250 (-' . b) On prévoit un courant de court-circuit de 2000 A . Pendant combien de temps ce courant peut-il circuler sans dépasser le seuil de 250 `C ? Solution
a) En utilisant l'équation 10-6 on obtient : 12 t = 5,2
X
n, 104A210910 228 + O 228 + Bo
5,2 x 104 x (26,6)2log,o
228 + 250 ( 228 + 80
= 7 x 106 A2 -s b) Le courant de 2000 A peut circuler pendant un temps r donné par 2
1 t=7x 106 (2000) 2 t = 7 x 106 t = 1,75 s Exemple 10-8 On se propose d'utiliser un fil de cuivre #30 comme fusible . Si la température initiale du fil est de 50 °C . calculer : a) le I't requis pour faire fondre le fil (la température de fusion du cuivre est de 1083 ° C) b) le temps requis pour faire fondre le 171 si le courant de court-circuit est de 10A,
a) En utilisant le tableau 10-1 on trouve A = 0,0507 mm 2 , et de l'équation 10-5 on obtient : 12 t = 11,5 x 10 4 x (0,0507)21og,o
234 + 1083 234 + 50
= 197 A2 .s on a
I2t
= 197
(30) 2 t = 197 t = 0,22 s Donc le fusible «saute» 220 ms après que le courant de 30 A commence à circuler . 10 .18 Le rôle des fusibles Afin de protéger un conducteur contre les températures excessives occasionnées par des courts-circuits, on place un fusible en série avec le conducteur. Le fusible doit être conçu afin que son facteur 12t de fusion soit inférieur à celui qui provoque une surchauffe du conducteur . En effet, on veut que le fusible brûle avant que le conducteur atteigne une température excessive, ordinairement de l'ordre de 250 °C . En pratique, le 12t du fusible est bien inférieur à ce seuil . Cependant, le 12 t du conducteur demeure un critère important dans le choix du fusible . 10 .19 Conducteurs liquides, électrolytes Les métaux tels que le mercure, le plomb, le fer, etc ., contiennent autant d'électrons libres à l'état liquide qu'à l'état solide, de sorte que sous ces deux formes ils sont de bons conducteurs de l'électricité . Cependant, un liquide comme l'eau pure est un excellent isolant avec une résistivité 10 12 fois plus grande que celle du cuivre . Mais, si on ajoute à un litre d'eau quelques cuillerées de sel de table, on constate que sa résistivité diminue des dizaines de fois ; pourtant le sel, est lui-même un excellent isolant . Comment le mélange d'un isolant liquide et d'un isolant solide peut-il donner une solution conductrice? En présence de l'eau, chaque molécule de sel, formée d'un atome de sodium (Na) et d'un atome de chlore (Cl), se sépare en deux pour former un ion (+) de sodium et un ion (-) de chlore . L'ion de sodium est un atome de sodium ayant perdu un électron, tandis que l'ion de chlore est un atome de chlore possédant un électron en trop . Ces ions se déplacent de façon désor-
120 ÉLECTROTECHNIQUE donnée à l'intérieur de la solution aqueuse, un peu comme les électrons libres à l'intérieur d'un métal . Puisque les charges portées par les ions positifs et négatifs sont égales, la solution est, dans son ensemble, électriquement neutre (Fig . 10-19) .
-------------------------CI CI
0
Na
Figure 10-19 Ions positifs et négatifs . Si l'on plonge deux électrodes raccordées à une pile dans cette solution (appelée électrolyte), les ions (+) et (-) se dirigent respectivement vers les plaques de polarité opposée (Fig . 10-20) . Dès qu'un ion positif (Na+) touche la plaque négative, il capte un électron libre à l'intérieur de cette électrode et devient un atome de sodium neutre . De la même façon, chaque ion négatif (Cl -) touchant la plaque positive libère son électron en surplus pour devenir un atome de chlore neutre .
électrons
tifs et négatifs se déplaçant respectivement vers la droite et vers la gauche . Dans la batterie, les électrons circulent de la borne (+) à la borne (-) . Le même phénomène se produit lorsqu'on mélange avec de l'eau d'autres sels tels que le sulfate de cuivre, ou des acides tels que l'acide sulfurique . L'électrolyte ainsi formé est rempli d'ions positifs et négatifs représentant chacun un atome (ou une molécule) ayant perdu ou gagné un ou plusieurs électrons . Habituellement, il se produit une réaction chimique aux deux électrodes car les atomes libérés par la neutralisation des ions réagissent souvent avec l'eau ou la plaque avec laquelle ces ions viennent en contact . Il se dégage alors des gaz autour des électrodes ou, encore, la plaque se dissout à mesure que le courant électrique circule. Dans certains cas, les atomes libérés à une plaque adhèrent sur celle-ci et forment une couche qui devient de plus en plus épaisse à mesure que le courant circule . Ce procédé, appelé galvanoplastie, permet de recouvrir des objets conducteurs avec un dépôt métallique . Exemple 10-9 Deux électrodes ayant une surface de 1 .? in 2 sont plongées dans de l'eau de nier dont la résistivité est de 0 .3 t2-m . Si la distance entre les plaques est de 10 cm, calculer la valeur approximative du courant lorsqu'on applique une tension de 10 V entre les électrodes . Solution
La résistance de l'électrolyte est : R = p l A
éq.10-1
= 0,3 S2-m x 0,1 m = 0,025 ohm 1,2 m2 Le courant vaut donc I = E/R = 12/0,025 = 480 A Figure 10-20 Migration des ions .
On constate que, même si la résistivité de l'eau salée est 20 millions de fois plus grande que celle du cuivre, le courant qui circule est tout de même appréciable.
Il s'établit ainsi un courant électrique dans le circuit formé par l'électrolyte, les électrodes et la batterie . Cependant, on constate que le courant dans l'électrolyte n'est pas composé d'électrons mais d'ions posi-
10.20 Résistance du sol La résistance du sol joue un rôle extrêmement important dans les installations électriques . D'abord, pour des raisons de sécurité du personnel et de l'équipement,
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES
tous les réseaux électriques sont raccordés à la terre i «mise à la terre») . Ensuite, certaines lignes haute-tension à c .c . utilisent parfois la terre comme conducteur de retour portant des courants de plusieurs centaines d'ampères . Enfin, comme le sol est un assez bon conducteur, il offre un chemin à des courants de fuite de toutes sortes qui peuvent provoquer la corrosion des tuyaux métalliques enfouis dans la terre . La résistivité du sol se situe entre 5 Q •m et 5000 S2 •m selon la composition de la terre (argile, sable, granit. etc.) et son degré d'humidité . Par exemple, au printemps, la résistivité du sol mouillé peut être de 50 4 •m alors que pendant la sécheresse d'été, elle peut grimper à 300 S2-m . Remarquer que la résistivité du sol est plusieurs millions de fois plus grande que celle du cuivre . 10 .21 Résistance entre deux électrodes de terre Malgré sa haute résistivité, le sol devient un excellent conducteur grâce à la section presque sans limite qu'il offre au passage du courant . Par exemple, si l'on applique une tension E à deux électrodes de terre piquées dans le sol, on constate que le courant s'étend à travers tout le volume de la terre en suivant le chemin de la Fs . 10-21 . La résistance mesurée entre les deux électrodes demeure relativement faible, même si elles sont distantes de plusieurs centaines de kilomètres . On peut distinguer 4 résistances sur le circuit de la Fig . 10-21 :
121
1 . résistance des électrodes mêmes - négligeable ; 2 . résistance de contact entre les électrodes et le sol négligeable ; 3 . résistance du sol dans les zones A et B entourant les électrodes respectives - importante ; 4 . résistance du sol entre les zones A et B - négligeable . La résistance (3) dépend surtout de la nature du sol et de la profondeur à laquelle les électrodes sont enfoncées dans le sol . L'expérience montre que la résistance est surtout concentrée dans un rayon de 10 mètres autour de chaque électrode . Au delà de ce rayon, la résistance est négligeable . Par conséquent, la distance séparant les électrodes ne change pas la résistance entre elles, à moins qu'elles soient très rapprochées . On peut réduire la résistance (3) en enfonçant davantage l'électrode dans le sol, ou en imbibant ce dernier d'un produit chimique, tel que le sulfate de cuivre . En général, la résistance diminue de moitié chaque fois que la profondeur augmente d'un facteur de 1,7 . Par exemple, si une profondeur de 1 m donne une résistance de 80 S2, une profondeur de 1,7 m donnera une résistance de 40 S2 . 10 .22 Mesure de la résistance d'une électrode de terre On peut mesurer la résistance d'une électrode A, enfoncée d'une profondeur h dans le sol, en utilisant le montage de la Fig . 10-22 . Voici la procédure à suivre :
Figure 10-22 Mesure de la résistance d'une électrode de terre .
Figure 10-21 Courant et résistance de terre .
1) On enfonce dans le sol, à la même profondeur, une deuxième électrode B, située à une distance d de l'électrode A . Cette distance doit être au moins 10 fois plus grande que la profondeur h .
122
ÉLECTROTECHNIQUE
2) À partir de l'électrode A, on plante une tige métallique C située à une distance de 0,6d de celle-ci, et en ligne avec l'électrode B . 3) On applique une tension Et entre les électrodes A et B, et on mesure le courant I qui en résulte . 4) On mesure la tension E entre la tige C et l'électrode A . 5) Le rapport E/I donne la résistance du sol au voisinage de l'électrode A . On dit tout simplement que c'est la résistance de l'électrode A . Il existe des instruments spéciaux pour mesurer la résistance d'une électrode (Fig . 10-23), mais la méthode simple que nous venons de décrire donne une précision acceptable pour autant que les lectures soient prises loin des installations électriques .
Figure 10-23 Ohmmètre («megger») pour mesurer la résistance de terre . Un générateur interne génère une tension maximale de 30 V à une fréquence de 128 Hz . Cette fréquence assure que la lecture de la résistance ne sera pas affectée par des courants parasites de 50 Hz et 60 Hz circulant dans le sol . Les échelles de 20 S2, 200 S2 et 2 kQ2 produisent respectivement des courants efficaces de 10 mA, 1 mA et 0,1 mA (gracieuseté Megger Instruments Limited) .
Exemple 10-10 Deux électrodes ,-\ et B séparées de 40 m sont enfoncées à une profondeur de 80 cm dans un champ . Une source de tension E_ 1 appliquée entre les électrodes y fait circuler un couvant de 0,2 A . On mesure une tension E de 19 V à une distance de 60 'Ir x 40 = 24 m (le I' électrode A . La résistance de . l'électrode est donc R = E/1= 19/0,2 = 95 £2 .
RÉSISTANCES On rencontre les résistances dans les démarreurs de moteurs, les appareils de chauffage, les fusibles, les lampes à incandescence et les montages électroniques . La plupart fonctionnent à des températures allant de 100 °C pour les montages électroniques jusqu'à 2000 °C pour les fours industriels . 10 .23 Classes de résistances On peut diviser les résistances en trois classes arbitraires selon qu'elles fonctionnent aux basses, moyennes ou hautes températures . 10 .24 Résistances à basse température (155 °C et moins) Les résistances à basse température fonctionnent à 155 °C ou moins . Elles sont surtout utilisées dans les montages électroniques . Comme on les loge souvent dans des boîtiers fermés, les bureaux de normalisation ont prévu que des résistances pouvaient être soumises à des températures ambiantes aussi élevées que 70 °C . On peut donc tolérer pour cette classe de résistances un échauffement (augmentation de température au-dessus de la température ambiante) de (155 - 70) = 85 °C . Ces résistances sont petites et leur puissance varie de 1/4 watt à 10 watts environ . Elles sont fabriquées en déposant une couche de carbone sur une tige de céramique ou en bobinant un fil de nichrome sur un support de vitre ou d'époxy . Il existe dans cette catégorie, une grande variété de résistances dont les spécifications sont souvent établies par des normes militaires (MIL specs) ou par des bureaux de normalisation comme EIA (Electronic Industries Association) et la CEI (Commission électrotechnique internationale) . 10 .25 Résistances à température moyenne (275 °C à 415 °C) La majorité des résistances industrielles fonctionnent à des températures moyennes comprises entre 275 °C et 415 °C . On trouve dans cette classe des résistances fixes et des résistances variables (appelées rhéostats) . Elles sont habituellement conçues pour fonctionner à une température ambiante maximale de 40 °C . Leur puissance varie de 10 watts à plusieurs kilowatts et l'élément résistif (fil ou ruban) est toujours un alliage de nickel et de chrome. En général, on enroule le fil résistif sur un tube en céramique, après quoi on recouvre le tout d'un émail en céramique qui garde les spires en
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES
123
place tout en les protégeant contre l'humidité et l'oxydation . Les résistances ainsi protégées peuvent supporter un échauffement de 300 °C . Les résistances plus puissantes et, par conséquent, plus robustes ont leur élément résistif découvert ; l'échauffement permissible est alors de 375 °C . Bien que cette différence de température entre 300 °C et 375 °C ne paraisse pas très grande, cela permet pourtant une augmentation de la puissance dissipée d'environ 50 % . Les Fig . 10-24a à 10-24i illustrent la construction de diverses résistances ayant des puissances de 0,5 W à 200 kW.
Figure 10-24c Construction d'une résistance tubulaire de 100 W . Longueur : 165 mm, diamètre : 19 mm (Ohmite Mfg. Co .) .
Figure 10-24d Élément de 750 W, 8,5 S2 servant au démarrage d'un moteur à c .c . Longueur : 400 mm, diamètre : 40 mm .
Figure 10-24a Élément de 2,45 kW, 70 A, 0,5 S2 servant au démarrage d'un moteur à rotor bobiné . Dimensions extérieures : 485 mm x 130 mm x 50 mm (gracieuseté Ward Léonard) .
Figure 10-24b Cinq éléments en fonte de 200 kW chacun, servant à freiner une machine de 160 MW .
Figure 10-24e Rhéostat de 1000 W servant à commander un groupe de lampes à incandescence . Diamètre extérieur : 305 mm (gracieuseté Ohmite Mfg . Co.) .
124
ÉLECTROTECHNIQUE
Figure 10-24f Potentiomètre d'ajustement de 7,5 W utilisé dans un montage électronique . Longueur : 14 mm, diamètre : 13 mm (gracieuseté Ohmite Mfg. Co.) .
Figure 10-24i Étalons de résistance de 1 Q ayant une précision de ± 0,000 001 % .
10.26
Radiateurs de plinthe
Par mesure de sécurité, les radiateurs de plinthe (Fig . 10-25a) fonctionnent à une température moyenne . L'élément chauffant est logé à l'intérieur d'un cylindre métallique portant des ailettes de refroidissement . La température à la surface du cylindre est de 275 °C environ et la température de l'air qui en sort est de l'ordre de 100 °C . Un thermostat de sécurité ouvre le circuit électrique si, pour quelque raison que ce soit, la température intérieure dépasse 300 °C .
Figure 10-24g Résistance de 33 300 000 000 Q2 (33,3 GQ) ± 5 (gracieuseté Dale Electronics inc.) .
Une construction spéciale canalise l'air frais par des voies appropriées, et permet d'éviter tout contact avec les parties chaudes .
10.27
Résistances à haute température (600 °C et plus)
Dans cette catégorie de résistances à haute température, on rencontre les résistances utilisées dans les éléments chauffants, les fours et cuisinières électriques, les lampes infrarouges et les lampes à incandescence . Leur température de fonctionnement varie de 600 °C à 2500 °C selon l'application . (À titre d'exemple, un élément de cuisinière (Fig . 10-25b) atteint une température d'environ 950 °C à l'air libre) . La plupart des fours industriels fonctionnent à des températures inférieures à 1200 °C . À ces températures élevées, la chaleur se dégage surtout par radiation, la partie transportée par convection devenant presque négligeable. À 1000 °C, par exem-
Figure 10-24h Rhéostat motorisé pour régulariser la tension d'une source triphasée (gracieuseté Ohmite Mfg. Co.) .
ple, une résistance à l'air libre dégage presque 90 % de sa puissance par radiation et seulement 10 % par convection .
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES
125
rapprochant de celle produite par le soleil . Cependant, le tungstène, qui fond à 3410 °C, conserve sa rigidité mécanique jusqu'à 2500 °C, et à cette température il émet une lumière qui est presque blanche . Le molybdène, qui fond à 2610 °C, est utilisé comme élément résistif dans les fours électriques à haute température . En général le four est maintenu dans une atmosphère d'hydrogène pour éviter l'oxydation des éléments chauffants . Enfin, le zinc, qui fond à 420 °C, est surtout employé dans les fusibles . Bien que le plomb fonde à une température encore plus basse, il est rarement utilisé à cette fin . 10 .29 Construction et comportement des fusibles Le point de fusion d'un élément conducteur est mis à profit dans la construction des fusibles . Habituellement, ces dispositifs contiennent une lame de zinc renfermée dans un tube de fibre (Fig . 10-26) . La fibre est très employée à cause de sa grande résistance aux arcs et de sa dureté mécanique .
Figure 10-25 Comparaison des dimensions d'un radiateur de plinthe de 1250W, d'un élément de cuisinière de 1250 W et d'un chauffeeau électrique de 100 kW . a . Radiateur de plinthe de 1250 W, 240 V pour installation dans une maison . Longueur : 1500 mm, hauteur : 185 mm . b. Élément de cuisinière de 1250 W, 240 V. Diamètre : 205 mm . c . Chauffe-eau de 100 kW pour un restaurant . Hauteur :
fusible à cartouche 30 A 250 V fusible à vis 15A 125V
1500 mm, diamètre : 220 mm .
10.28 Température de fusion La température de fusion est un des facteurs qui détermine le choix des métaux utilisés pour la fabrication des éléments de four, des filaments de lampes à incandescence et des fusibles . La plupart des métaux ne conviennent pas à la production de lumière parce qu'ils se ramollissent et fondent aux environs de 1000 °C à 1300 °C . Or, à ces températures, un conducteur devient rouge vif, et par conséquent, ne peut émettre une lumière blanche se
Figure 10-26 Fusibles de divers calibres (gracieuseté Bussman Mfg .) .
126
ÉLECTROTECHNIQUE
La lame de zinc (parfois d'argent) est amincie à un, deux ou trois endroits sur sa longueur afin de créer des points de plus grande résistance . Lorsque le courant dépasse la valeur nominale, ces zones faibles fondent d'abord, coupant ainsi le circuit .
1000
300s 200 A
100
Lors d'un court-circuit franc, le courant devient très intense, ce qui provoque, sous l'effet de la chaleur, une véritable explosion de l'élément fusible . La cartouche de fibre doit pouvoir résister à la grande pression qui se produit à ce moment et il faut éviter à tout prix que l'arc soit maintenu par le métal vaporisé . Pour répondre à ces exigences, on augmente la longueur du fusible à mesure que la tension d'utilisation augmente et on réduit au strict minimum la quantité de métal qui fond . Pour un fusible industriel on spécifie non seulement le courant nominal, mais aussi le courant maximal qu'il peut interrompre . Par exemple, le fusible de 30 A de la Fig . 10-26 peut ouvrir, sans faire éclater le tube de fibre, un circuit dans lequel le courant de court-circuit pourrait atteindre 200 000 A . Les fusibles de grande capacité possèdent souvent un élément fusible en cuivre ou en argent . La Fig . 10-27 montre les caractéristiques du temps en fonction du courant de fusion d'un fusible de 100 A utilisé sur un réseau de distribution de 24 kV . Pour les périodes courtes, inférieures à une seconde, le 12t de ce fusible est constant et égal à 750 000 A 2 •s . Les fusibles à vis utilisés dans les maisons fonctionnent sur le même principe que les fusibles industriels ; lors d'un court-circuit franc, les gaz sous pression peuvent s'échapper par de petits trous prévus à cet effet . En règle générale, les fusibles sont conçus pour supporter leur courant nominal à une température ambiante de 50 °C . 10 .30 Résistance de contact Lorsqu'un fusible est mis en place, le contact avec les parties stationnaires n'est pas toujours parfait. Il en résulte une résistance de contact appréciable qui peut produire un échauffement considérable . La chaleur peut alors provoquer la rupture de l'élément fusible même lorsque le courant est inférieur à sa valeur nominale . En effet, tout joint peut chauffer lorsqu'il porte un courant . Un mauvais joint génère parfois assez de chaleur pour carboniser les isolants de support, créant ainsi un danger de court-circuit à la masse avec possibilité d'in-
~~
25s 300 A
ÎS 400 A
1
1 s , 866 A
0,1
0,01 100
1000
10 000
- courant en ampères
Figure 10-27 Temps de fusion en fonction du courant pour un fusible de 100 A utilisé dans un réseau de distribution aérien .
cendie . De plus, un mauvais contact tend à s'aggraver avec le temps, à cause de l'oxydation due à l'échauffement . Pour cette raison, on recommande que les joints et points de contact soient vérifiés périodiquement . Les mauvais contacts sont toujours à craindre . Exemple 10-11 Les bornes d'un disjoncteur sont vissées a une barre omnibus et la résistance de contact est de 0,0001 ohm . Si le courant est de 6000A, calculer la chaleur dissipée . Solution
La puissance dégagée sous forme de chaleur vaut : P = RI2 = 0,0001 x (6000) 2 = 3600 watts
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES
Une telle chaleur aura tôt fait de griller les isolants avoisinants, de ramollir et d'oxyder les parties métalliques et peut même causer un incendie . Cet exemple montre que même une résistance de contact très faible peut produire une température dommageable en présence d'un courant intense . 10 .31
Résistances non linéaires
La plupart des conducteurs possèdent une résistivité constante, c'est-à-dire que pour une température donnée, le courant circulant dans l'élément est proportionnel à la tension appliquée. Il existe, cependant, une catégorie importante de conducteurs pour lesquels le courant n'augmente pas proportionnellement à la tension ; pour cette raison, on les appelle résistances non linéaires . Les thermistors dont la résistance diminue avec la température et les varistors dont la résistance diminue avec la tension appliquée en sont deux exemples . 10.32 Le thermistor La Fig . 10-28 montre la caractéristique d'un type de thermistor. Elle montre que la résistance du thermistor décroît brusquement quand la température augmente. La résistance baisse progressivement de 4000 S2 à -50 °C, en passant par 100 S2 à 25 °C pour ne donner plus que 3 il à sa température maximale de 150 °C .
127
Aux environs de 25 'C, sa résistance varie à raison de 4 % par degré Celsius, ce qui rend le thermistor intéressant comme détecteur de température . 10 .33
Le varistor
Le varistor est également un conducteur non linéaire dont la résistance instantanée décroît lorsque la tension à ses bornes augmente . Un type de varistor, appelé Thyrite ® , est fabriqué avec des granules de carbure de silicium . Il se présente sous forme de disques et sa caractéristique courant-tension (Fig . 10-29, courbe 1) montre que le courant augmente très vite avec la tension . Lorsque cette dernière augmente de 0,3 kV à 12,5 kV, le courant passe de 1 A à 10 000 A . Un autre type de varistor, composé de granules d'oxyde de zinc, possède les propriétés montrées sur la courbe 2 de la Fig . 10-29. On constate que sa caractéristique E-I est plus plate que la courbe 1, ce qui le rend encore plus efficace pour écrêter les surtensions . Ce genre de varistor est souvent appelé varistor à oxyde de métal, ou MOV («metal oxide varistor») . 100
12,5 kV 10
courbe 2 2 kV
~7 kV
ô _o
courbe 1
Y 1 0,3 kV 0,1 1
10
100
1000
10 000
ampères Figure 10-29 Caractéristique d'un varistor : courbe 1 - type Thyrite® courbe 2 - type à oxyde de métal (ZnO)
Figure 10-28 Caractéristique d'un thermistor .
Pour des tensions plus élevées, on utilise plusieurs varistors montés en série, comme dans les parafoudres modernes . Placés en parallèle avec les transformateurs et les sous-stations d'usines, les parafoudres suppriment les hautes tensions qui risqueraient d'endommager un appareillage coûteux .
128
ÉLECTROTECHNIQUE
10 .34 Résumé La qualité d'un bon conducteur se mesure à sa faible résistivité . Les principaux conducteurs utilisés en électrotechnique sont le cuivre et l'aluminium . On utilise aussi divers alliages pour la fabrication de conducteurs résistifs (lampes, éléments chauffants) . Les conducteurs existent sous une grande variété de formes et peuvent être recouverts de divers types d'isolants . Au Canada et aux États-Unis, on utilise en plus des unités SI, le circular mil (cmil ou kcmil) pour exprimer la section d'un conducteur simple ou d'un câble toronné . Les fils normalisés portent aussi un numéro de jauge AWG . Il est facile de calculer la résistance d'un conducteur connaissant sa résistivité, sa section et sa longueur . Nous avons vu aussi que la résistivité et donc la résistance augmentent avec la température selon le coefficient de température (environ 0,4 % par degré Celsius pour les métaux usuels) . Selon le type d'isolant dont ils sont recouverts et l'endroit où ils sont installés, les câbles et fils peuvent fonctionner à diverses températures . Nous avons vu que l'augmentation de la température d'un conducteur soumis à un échauffement rapide dépend de sa résistance, de sa chaleur massique et du facteur I2t. Nous avons donné les formules permettant de calculer le I2 t pour un conducteur de cuivre ou d'aluminium .
PROBLÈMES - CHAPITRE 10 Niveau pratique 10-1 Pourquoi l'emploi de l'aluminium comme conducteur est-il assez peu répandu dans les machines électriques? 10-2 Qu'est-ce qu'un circular mil? 10-3 De quoi dépend la résistance d'un conducteur rond? 10-4 La résistance du cuivre diminue-t-elle avec la température? 10-5 Qu'entend-on par l'ancien terme 500 MCM ? 10-6 Qu'est-ce qui limite le courant maximal admissible dans les fils nus? dans les fils isolés? 10-7 Pourquoi permet-on un courant admissible plus grand pour un conducteur isolé à l'amiante que pour un conducteur isolé au caoutchouc? 10-8 Lorsque plusieurs conducteurs isolés sont placés dans un même tuyau métallique, pourquoi le courant dans chacun doit-il être moindre que s'il n'y avait qu'un seul conducteur? 10-9 Qu'est-ce qui détermine l'épaisseur de l'isolant autour d'un conducteur?
Au Canada, les installations électriques sont régies par le Code canadien de l'électricité .
10-10 Pourquoi préfère-t-on parfois employer un fil #10 toronné au lieu d'un fil #10 plein?
Dans certaines applications, les propriétés mécaniques des conducteurs sont également importantes (résistance à la traction) . Les caractéristiques électriques, mécaniques et thermiques des principaux conducteurs sont résumées dans le tableau 10-5 .
10-11 Si un fil #12 toronné est remplacé par un fil #12 plein de même longueur, sa résistance changet-elle?
Les propriétés particulières de certains types de conducteurs sont mises à profit dans des applications spéciales . Par exemple : basse température de fusion des fusibles pour la protection contre les surintensités et les courts-circuits, résistance non linéaire des varistors pour la protection contre les surtensions . Les conducteurs liquides ionisés, appelés électrolytes, sont utilisés dans les piles ou les procédés de galvanoplastie. Enfin, mentionnons que la terre joue un rôle important dans les installations électriques . Nous avons donné une méthode simple de mesure de la résistance d'une électrode de terre .
10-12 Pourquoi la résistance d'un fil augmente-t-elle lorsqu'il porte un courant? 10-13 Le fil #10 est-il plus petit que le fil #20? Quelle est la section de ces deux fils en cmils? 10-14 Un moteur est bobiné avec deux fils #12 en parallèle . Quel calibre de fil pourrait-on employer pour les remplacer? 10-15 Un conducteur est formé de quatre fils #16 . Quel est son numéro de jauge? 10-16 Calculer la résistance de 210 m de fil #14 à une température de 25 °C . (Utiliser le tableau 10-1 .) 10-17 Exprimer 500 kcmil en mm 2 .
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES
129
10-18 Le fil #4 carré a-t-il une section plus grande que le fil #4 rond? Si oui, de combien environ?
a) la résistance totale de la ligne à 25 °C b) les pertes dans la ligne si le courant est de 120 A
10-19 On doit choisir un câble qui devra porter un courant de 90 A. Quelle grosseur de fil est nécessaire si l'isolant est en caoutchouc type RW75? (Voir tableau 10-4 .)
10-32 En utilisant la formule R = pllA, calculer la résistance à 38 °C d'un fil #6 en aluminium, longueur 1500 m . (Voir les tableaux 10-1 et 10-2 .)
10-20 Expliquer ce qu'est un ion, un électrolyte . 10-21 Pour quelle raison doit-on faire fonctionner les lampes à incandescence à très haute température? 10-22 Le radiateur de plinthe et le chauffe-eau de la Fig . 10-25 ont presque les mêmes dimensions, bien que les puissances absorbées soient respectivement de 1 .25 kW et 100 kW. Comment expliquez-vous cela? 10-23 Si l'élément de cuisinière de la Fig . 10-25 avait les mêmes dimensions que le radiateur de plinthe, quels seraient les effets sur la période de cuisson? 10-24 Calculer la puissance absorbée par le varistor de type thyrite de la Fig . 10-29 lorsque la tension à ses bornes est de 2 kV? 12,5 kV? 10-25 a) Quelle est la signification du facteur I2t ?
10-33 Quelle force de traction maximale peut-on exercer sur un fil de cuivre #40 (recuit) sans provoquer un allongement excessif? Quelle force provoquera sa rupture? 10-34 Comparer les puissances nominales que peuvent transporter les 3 câbles de la Fig . 10-12 . 10-35 Un élément de cuisinière de 2400 W ayant une surface de 600 cm2 atteint une température de 700 °C . Calculer : a) la puissance rayonnée par l'élément sachant que la constante de radiation k = 4,2 x 10-8 W/(m2 K4 ) b) la puissance radiante reçue par l'élément si les murs de la pièce sont à une température de 25 °C c) la puissance nette perdue par l'élément, par radiation Niveau avancé
b) Un courant de 500 A circule dans un conducteur pendant 3 secondes . Calculer la valeur de I2t. 10-26 Que signifie le terme résistance non linéaire? Niveau intermédiaire
10-36 Évaluer le courant de fusion d'un fil nu #20 en aluminium si on veut qu'il fonde en 0,5 s . La température initiale du conducteur est de 23 °C .
10-27 Un conducteur rond a un diamètre de 0,0172 pouce . Quelle est sa section droite, en circular mils?
10-37 Déterminer la résistance d'un fil de plomb ayant une longueur de 2 km et un diamètre de 2 mm, à une température de 130 °C .
10-28 Une bobine de fil #22 a une résistance de 400 S2 à 25 °C . Quelle est la longueur du fil? Quel est le poids de la bobine? (Utiliser les données du tableau 10-1 .)
10-38 Un câble en aluminium de calibre 477 kcmil a une contrainte de rupture de 155 MPa . S'il est composé de 19 torons ayant un diamètre de 4,02 mm, calculer la charge de rupture en newtons et en livres force .
10-29 Déterminer à l'aide du tableau 10-1 et des règles propres au système AWG, la section en circular mils des fils #43 et #48 .
10-39 La bobine de cuivre d'un électro-aimant possède une résistance de 4 S2 lorsque sa température est de 22 °C . Après 2 jours de fonctionnement, on constate que le courant est de 42 A pour une tension de 210 V. Calculer la température moyenne de l'enroulement à ce moment .
10-30 La résistance mesurée d'un conducteur de cuivre est de 25 S2 lorsqu'il est plongé dans la glace fondante (0 °C) . Quelle serait sa résistance dans l'eau bouillante (100 °C)? Note : le coefficient de température vaut 0,004 27/°C . 10-31 Une ligne d'alimentation semblable à celle de la Fig . 4-3 est composée de 2 fils conducteurs #4 en cuivre . Si la distance entre la source et la charge est de 800 m calculer
10-40 La résistivité du sable sec (et du granit) est de l'ordre de 1000 S2-m . Calculer la résistance offerte par un cube de 10 m x 10 m x 10 m de ce matériau . 10-41 Un câble triphasé de 15 kV, 750 kcmil, 90 °C, semblable à celui montré à la Fig . 10-13, peut porter un courant de 545 A lorsqu'il est logé dans un conduit .
130
ÉLECTROTECHNIQUE
Chaque conducteur est formé de 61 brins de cuivre . Calculer:
ne demeure pas constant mais augmente progressivement avec le temps . Expliquer ce phénomène .
a) le diamètre de chaque brin b) la chaleur dégagée par kilomètre, à une température de 90 °C
10-47 Un radiateur fonctionnant à une température de 800 °C est alimenté par une tension de 240 V . Si la tension diminue à 210 V, quelle sera la nouvelle température? La température ambiante est de 20 °C et on suppose que les pertes par convection sont négligeables .
10-42 Dans le problème 10-41, si les conducteurs sont en aluminium, quel est le courant maximal qu'on peut faire circuler dans chaque conducteur sans dépasser les limites d'échauffement? 10-43 Un fil #10 en aluminium porte un courant de 20 A . S'il contient 10 28 électrons libres par mètre cube, calculer la vitesse du courant électrique en m/h .
10-48 La durée de vie d'une lampe à incandescence varie inversement avec la cinquième puissance de la tension à ses bornes . Si l'on applique la moitié de la tension normale sur cette lampe, par quel facteur sa vie utile est-elle multipliée? 10-49 Une lampe à incandescence de 100 W fonctionne à une température de 2600 °C . En négligeant les pertes par convection et conduction, calculer la température du filament lorsque la puissance fournie à la lampe est réduite à 50 W. 10-50 a) Quelle est l'énergie requise pour augmenter la température d'une tonne d'eau de 10 °C à 90 °C? b) Quelle est l'énergie requise pour augmenter la température d'une tonne de cuivre de 10 °C à 90 °C?
Figure 10-30 Un réseau électrique comprend des centaines de milliers de joints et de points de contact dont la résistance doit être minimisée . Les joints à compression illustrés ici sont souvent utilisés pour relier deux conducteurs (gracieuseté HydroQuébec) .
10-44 Un four électrique pour la fonte d'acier doit
être gardé à une température de 1550 °C . Calculer la puissance dégagée par les éléments chauffants s'ils ont une superficie de 1 m2 et s'ils fonctionnent à une température de 1650 °C . Utiliser la constante de radiation k = 3 x 10-8 W/(mz K4 ) . 10-45 Le chauffe-eau de 100 kW de la Fig . 10-25c
doit élever la température de l'eau de 15 °C à 80 °C . Quel débit maximal peut-on admettre en litres par minute? Si l'on applique une tension de 100 V sur le thermistor de la Fig . 10-28, on constate que le courant 10-46
10-51 On désire faire circuler un courant très intense, pendant une courte période, dans un fil en cuivre #12 . La période de conduction est limitée à 0,5 s . Initialement, le fil est à 40 °C et on lui permet de s'échauffer jusqu'à 90 °C . Calculer le courant admissible . (On supposera que la chaleur dégagée à l'extérieur est négligeable .) 10-52 Le câble montré à la Fig . 10-12a porte un courant de 444 A et sa température est alors de 90 °C . Calculer le courant que ce câble peut supporter lors d'un court-circuit appliqué pendant 2 secondes, sans dépasser la température maximale de 250 °C . 10-53 Dans le problème 10-52, quel courant est ad-
missible si la durée de la conduction est de 3 secondes? 10-54 La résistance tubulaire de la Fig . 10-24c dis-
sipe une puissance de 100 W . Calculer sa température approximative si la température ambiante est de 40 °C . (Considérer les pertes par convection et par radiation et prendre k = 5 x 10 -8 W/(m2 K4) .) 10-55 Quelle tension faudrait-il appliquer sur la résistance de la Fig. 10-24g afin de provoquer la circulation d'un million d'électrons par seconde?
131
CONDUCTEURS ET RÉSISTANCES
TABLEAU 10-5
PROPRIÉTÉS DES CONDUCTEURS (ET ISOLANTS) USUELS propriétés électriques
propriétés mécaniques
propriétés thermiques
matériaux [symbole] résistivité p
et composition
coeff . a
masse volumique
limite élastique
contrainte de rupture
chaleur massique
conductivité température thermique de fusion
ns2 m a 0 °C
nf2 m a 20 °C
à 0 °C ( X 10-3)
kg/m 3
MPa
MPa
J/(kg °C)
W/(m °C)
°C
aluminium [AI]
26,0
28,3
4,39
2703
21
62
900
237
660
argent [Ag]
15,0
16,2
4,11
10 500
-
172
230
408
960
Constantan ® 54 % Cu, 45 % Ni, 1 % Mn
500
500
-0,02
8900
-
450
410
19,5
1250
cuivre [Cu]
15,88
17,24
4,27
8890
35
220
380
394
1083
fer [Fe]
88,1
101
7,34
7900
131
290
420
79,4
1535
graphite/carbone [C]
8000 à 30 000
-- 0,03
2250
-
-
710
--150
3600
laiton 70 % Cu, 30 % Zn
60,2
62,0
1,5
---8550
124
500
370
115
960
manganine 84 % Cu, 4 % Ni, 12 % Mn
482
482
± 0,015
8410
400
-
20
960
mercure [Hg]
951
968
0,91
13 600
-
-
140
8,4
- 39
molybdène [Mo]
49,6
52,9
3,3
10 200
450
600
246
138
2620
Monel® 33 % Cu, 65 % Ni, 2 % Fe
480
498
1,9
8840
530
750
530
22
1325
Nichrome ® 80%Ni,20%Cr
1080
1082
0,11
8400
-
850
430
11,2
1400
nickel [Ni]
78,4
85,4
4,47
8900
200
500
460
90
1455
or [Au] dur
20,4
22,0
4,0
19 300
205
220
130
318
1064
platine [Pt] dur
98
106
3,9
21 400
180
250
131
71
1773
plomb [Pb]
203
220
4,19
11 300
5,5
15
130
35
327
tungstène [W]
49,6
55,1
5,5
19 300
-
1920
140
70
3410
zinc [Zn]
55,3
59,7
4,0
7100
-
70
380
110
420
2,5 10 14 -
-
1000
-
-
4180
0,58
0,0
-
1,29
-
-
994
0,024
-
0,09
-
-
14 200
0,17
eau pure [H 20]
X
air hydrogène [H]
L
-
-
Piles et accumulateurs
(f.é .m .) d'environ 1 volt apparaît alors spontanément entre les deux électrodes . Si l'on branche une résistance entre le pôle positif et le pôle négatif ainsi formés, un courant commence à circuler comme le montre la Fig . 11-1 .
Les piles sont des sources d'électricité qui transforment directement l'énergie chimique en énergie électrique . Lorsqu'on raccorde ensemble plusieurs piles pour produire une source de puissance ou de tension supérieure, on obtient une batterie d'accumulateurs que nous désignerons par le seul mot «batterie» .
Le passage du courant produit une transformation graduelle de la composition de l'électrolyte et des deux électrodes et c'est grâce à cette réaction chimique que l'énergie électrique est libérée . Lorsque l'une des électrodes (ou l'électrolyte) est plus ou moins complètement transformée, la f.é .m. disparaît et le courant cesse de circuler. La pile est alors épuisée ou déchargée .
L'invention de la pile électrique, par le professeur italien Alessandro Volta en 1800, constitue une des plus importantes découvertes dans le domaine de l'électricité, car elle permettait d'obtenir, pour la première fois, une source ininterrompue de courant électrique . Avant cette époque, on ne connaissait que les décharges momentanées produites par l'électricité statique, lesquelles étaient peu propices pour déceler le champ magnétique et les autres phénomènes associés au passage d'un courant . C'est grâce à ces premières batteries élémentaires de Volta que les découvertes fondamentales d'Oersted, de Faraday et d'autres scientifiques furent rendues possibles .
Dans le cas des piles primaires, la transformation chiI
11 .1 Principe d'une pile Rien de plus simple que de construire une pile : il suffit de plonger deux conducteurs différents (appelés électrodes) dans une solution d'eau acidulée ou alcaline (appelée électrolyte) . Une force électromotrice
Figure 11-1 Deux métaux différents et un électrolyte forment une pile .
132
PILES ET ACCUMULATEURS
urique désagrège progressivement l'une des deux électrodes de sorte que la pile n'est plus utilisable lorsqu'elle est déchargée . Par contre, dans les piles secondaires, ou accumulateurs, la transformation chimique qui s'effectue lors de la décharge est réversible . On peut recharger ces piles en y faisant circuler un courant en sens inverse, ce qui redonne aux électrodes et à l'électrolyte leur composition chimique d'avant la décharge . Bien que la construction d'une pile soit assez simple, il faut toutefois trouver des électrodes et des électrolytes qui débitent beaucoup d'énergie, qui durent longtemps, qui pèsent peu et ne coûtent pas cher. Les électrochimistes ont réalisé un grand nombre de piles primaires et secondaires dont les plus importantes, du point de vue commercial et industriel, sont données au tableau 11-1 . Les tensions qu'elles développent se situent entre 1,3 et 2 V environ, et leur énergie massique varie de 300 kJ/kg pour une pile sèche au mercure utilisable une seule fois, à 40 kJ/kg pour une pile au plomb rechargeable des centaines de fois .
ion +
133
eau acidulée ion -
ee®eeee%e e ®eeé e e ®ee ee e ee ee e e ee ee ee e eeeee eeee Figure 11 -2a Un acide mélangé avec de l'eau produit un électrolyte qui contient des ions (+) et des ions (-) .
électrode A
O-
E ->O
électrode B
e e
9
e C H 9 ee ee Eaae ee -9ee 1)
Figure 11 -2b Lélectrode A a une affinité pour les ions (+), ce qui lui donne une polarité (+) . Lélectrode B attire les ions (-), ce qui lui donne une polarité (-) .
11 .2 Théorie de fonctionnement Les réactions chimiques qui se produisent dans une pile peuvent s'expliquer de la façon suivante (Fig . 11-2) . Considérons un électrolyte composé d'un acide mélangé avec de l'eau (Fig . 1 1-2a) . L'acide se dissocie en ions positifs et négatifs comme on l'a expliqué à la section 10 .19, chapitre 10. Si l'on plonge deux électrodes différentes dans cette solution, on constate que l'une d'elles tend à capter les ions positifs alors que l'autre tend à attirer les ions négatifs . Cette affinité pour l'un ou l'autre des deux types d'ions rend une des électrodes positive et l'autre négative (Fig . 1 1-2b) . Si l'on raccorde une résistance entre les électrodes, un courant électrique s'établit et les ions positifs de la solution se dirigent vers l'électrode positive tandis que les ions négatifs vont vers l'électrode négative . Lors du contact avec les deux électrodes, les ions positifs captent des électrons alors que les ions négatifs en perdent ; c'est précisément cet échange d'électrons qui provoque la circulation d'un courant électrique . L'acquisition ou la perte d'électrons produit en même temps la transformation chimique des électrodes . Sur la Fig . 11 -2c, la partie hachurée des électrodes montre la por-
Figure 11-2c Lorsque les électrodes sont réunies par un élément conducteur R, un courant I se met à circuler .
électrode I=o complètement transformée +
e e e e E) ® ee e ee e Figure 11-2d La circulation du courant transforme les deux électrodes .
134
ÉLECTROTECHNIQUE
tion qui a été ainsi transformée . Lorsque l'une des deux plaques est entièrement transformée (Fig . 11-2d), le courant cesse de circuler.
chute de tension à l'intérieur de la pile . On peut donc représenter une pile par une source de tension E° en série avec une résistance r (Fig . 11-3) .
Malgré leurs caractéristiques particulières, les piles ont plusieurs propriétés en commun . Nous étudierons d'abord ces caractéristiques semblables et analyserons ensuite les propriétés spéciales qui distinguent les piles présentées au tableau 11-1 .
La résistance interne dépend de la capacité de la pile, de son état de décharge, de son âge, de sa température et de sa constitution chimique . Par exemple, la résistance interne d'une pile primaire neuve N° 6 au carbone-zinc (diamètre 63 mm, hauteur 150 mm) est de 0,03 S2 environ . Cette résistance n'est pas constante ; elle augmente lorsque la pile vieillit et au fur et à mesure qu'elle se décharge . Cependant, pour des courants normaux, la chute de tension interne est de l'ordre de 10 % de la tension à vide .
11 .3 Résistance interne
Au moment où l'on raccorde une résistance extérieure aux bornes d'une pile, on constate que la différence de potentiel diminue . Ce résultat provient du fait que la pile possède une résistance interne provoquant une
TABLEAU 11-1
PILES PRIMAIRES ET SECONDAIRES PILES PRIMAIRES carbone-
alkalinomercure
zinc
PILES SECONDAIRES zinc-
lithium
argent manganèse
plomb air
Mn 02
nickel- sodium- nickel cadmium soufre
lithium
M-H polymère
tension à vide
V
1,5
1,35
1,5
1,6
1,45
3,3
2,0
1,3
2,1
1,5
3,2
tension d'utilisation minimale
V
0,8
0,9
0,8
0,9
1,1
2
1,7
1,0
1,5
1,2
2
énergie massique
250
400
370
300
650
700
40 à 80
70 à 120
225
215 à 430
360 à 700
énergie volumique
kJ/dm3
500
1400
900
1600
850
1000 à 150 à 2000 300
150 à 350
400
750
540 à 1200
taux de décharge admissible
bas
bas
bas
bas
très bas
bas
haut
très haut
haut
très haut
très haut
électrode positive
Mn02 +C
Zn
Zn
Zn
02
lithium
Pb0 2
NiOOH
S
-
lithium
électrode négative
Zn
HgO + graphite
Mn02
A920
Zn
Mn
Pb
Cd
Na
-
Vo x
NH 4 CI ZnCI eau
KOH + ZnO + eau
KOH + eau
KOH KOH + eau + eau
H 2 SO4 + eau
KOH + eau
AI2 0 3
-
polymère
0à +50
0à +50
-30 à +50
Oà -40 à +50 +40
-20à -40 à +50 +50
-60 à +40
+300
1à3 ans
5à7 ans
4à5 ans
4à5 ans
3à4 ans
5à7 ans
2à4 ans
4à6 ans
2à3
4à5
3à4
4à5
2à3
5à20
10à20
électrolyte
domaine de température
°C
aptitude au stockage durée de vie
années
02
+ etc
60 à 80
Note : Les valeurs fournies dans ce tableau donnent les ordres de grandeur seulement . Pour connaître les caractéristiques précises d'une pile, consulter les données du fabricant .
135
PILES ET ACCUMULATEURS
(à circuit ouvert)
+ A Eo =1,5V r = 0,2 S2 10
diamètre - 63 mm hauteur - 150 mm
Figure 11-4a Charge raccordée aux bornes d'une pile (exemple 11-1) .
0,2 S2
1 S2
Figure 11-3 Pile sèche et son circuit équivalent .
Exemple 11-1 Une pile a une f.é .m . de 1,5 V et une résistance interne de 0,2 S2 . Calculer l'intensité du courant et la tension entre les bornes A et B de la pile lorsqu'on la raccorde à une résistance de 1 52 (Fig . 11 -4a) .
Solution La résistance interne r agit en série avec la f.é .m. (Fig . 11-4b) . La résistance totale du circuit vaut : R = 1,0 + 0,2 = 1,2 S2 L'intensité du courant est alors i =
1,5 V = 1,25 A 1,2 b2
La chute de tension interne est: e = rI = 1,25
X
0,2 = 0,25 V
La tension entre les bornes A et B vaut alors EAB
=
(1,5 - 0,25) = 1,25 V
Figure 11-4b Calcul du courant et de la tension utilisant le circuit équivalent d'une pile (exemple 11-1) .
11 .4 Décharge d'une pile Lorsqu'une pile alimente une charge, la tension à ses bornes diminue très lentement pendant la décharge puis tombe brusquement seulement lorsque la pile est presque épuisée (Fig . 11-5) . Lorsque la tension atteint la valeur ultime E F , habituellement spécifiée par le fabricant, on considère que la pile est déchargée . Dans le cas d'une pile primaire, on peut se permettre de l'épuiser davantage, sachant que, de toute façon, on doit la jeter . Mais pour une pile secondaire, il faut se garder de trop la décharger, car cela peut réduire son pouvoir de récupération lorsqu'on veut la recharger. 11 .5 Capacité d'une pile La capacité d'une pile est la quantité d'électricité qu'elle peut débiter avant que la tension à ses bornes atteigne la tension E F de la Fig . 11-5 . Cette capacité s'exprime généralement en ampères-heures (A •h), bien qu'on puisse la donner en coulombs (1 A •h = 3600 C) . Une pile sèche ayant une capacité de 30 A .h peut donc débiter un courant de 1 A pendant 30 heures, ou bien 1/10 d'ampère pendant
136 ÉLECTROTECHNIQUE
borne (+) de chaque pile étant relié à la borne (-) de la pile suivante (Fig . 11-6) . Les deux bornes libres constituent les bornes de la batterie .
a - pile au carbone-zinc
b - pile au mercure
V 2,0 1,6 E
a b
1,2
b - pile au mercure (I= 20 mA) E =1 V a - pile au carbone-zinc q, I = 200 mA E F = 0,8 V
0,8 0,4 0
0
20
40
60
80
Figure 11-6 Groupement de deux piles en série alimentant une charge R . Le «boîtier» des piles est négatif ; le pôle noir est positif .
100 120 140 160 180 h
>- temps Figure 11-5 Courbes de décharge d'une pile au carbone-zinc (a) et d'une pile au mercure (b) .
300 heures . Cependant, la pile ne pourra pas débiter un courant de 10 A pendant 3 heures (même si le produit 3 A x 10 h donne 30 A .h), car la polarisation de la pile serait excessive et la tension aux bornes tomberait brusquement . La capacité d'une pile n'est donc pas constante, mais dépend de l'intensité du courant débité . Plus le courant est intense, plus sa capacité en ampères-heures diminue . Ordinairement, la capacité est spécifiée pour un temps de décharge de 8 heures . Parfois on spécifie des périodes de 5 heures, ou de 1 heure . On doit alors se rappeler que si le temps de décharge est plus court que celui spécifié par le fabricant, on perd de la capacité et que, dans le cas contraire, on en gagne .
La force électromotrice de la batterie de piles groupées en série est égale à la somme des forces électromotrices de chaque pile . La résistance interne de la batterie est égale à la somme des résistances internes de chaque pile . La batterie d'une lampe de poche est généralement formée de deux ou trois piles groupées en série .
Exemple 11-2 Trois piles sèches ayant chacune une résistance interne de 0 .3 S2 et une f.é .m . de 1 .5 V sont groupées en série . Quelle sera l'intensité du courant si l'on relie une résistance de 1012 aux bornes de cette batterie?
Solution La force électromotrice de la batterie est : E = 3 x 1,5 V = 4,5 V La résistance interne de la batterie est :
r = 3 11 .6 Couplage des piles L' énergie limitée et la tension peu élevée des piles nécessitent leur couplage . On obtient alors une batterie électrique . 1 . Groupement en série . Dans un groupement en série, les piles sont placées les unes à la suite des autres, la
X
0,3 S2 = 0,9 S2
La résistance totale du circuit vaut donc : R = 0,9 + 10,0 = 10,9 S2 Le courant dans le circuit est : i =
4,5 V = 0,413 A 10,9 S2
PILES ET ACCUMULATEURS
137
La tension aux bornes de la résistance extérieure (et aux bornes de la batterie) vaut donc : E 12 = 10 £2 x 0,413 A = 4,13 V Quand un appareil requiert une intensité de courant plus grande que celle qu'une pile peut normalement lui fournir, on est amené à grouper les piles semblables en parallèle . Dans ce montage, les bornes (+) sont reliées ensemble et les bornes (-) sont reliées ensemble (Fig . 11-7) . La f.é .m . de la batterie composée de piles semblables est la même que celle d'une seule pile . 2 . Groupement en parallèle .
Figure 11-8 Groupement de quatre piles en série-parallèle .
de deux groupes de deux piles en série, ces deux groupes étant eux-mêmes reliés en parallèle . Exemple 11-3
Figure 11-7 Groupement de deux piles en parallèle .
Si les résistances internes des piles sont égales, le courant débité par chacune d'elles est égal au courant total divisé par le nombre de piles . Si la résistance interne de l'une des piles est plus élevée que celle des autres, elle débite un courant moins élevé que celui débité par chacune des autres piles . Toutes les piles que l'on veut grouper en parallèle doivent être du même type . Il est très important de relier les bornes de même signe ensemble . En effet, si la polarité de l'une des piles est inversée dans la batterie, cette pile sera détruite en quelques minutes . De plus, les autres piles se déchargeront complètement . Quand on désire obtenir une tension et un courant plus élevés que ceux d'une seule pile, on emploie le groupement mixte (ou série-parallèle) . 3 . Groupement mixte .
Ainsi, à la Fig . 11-8, le groupement mixte est formé
On désire alimenter sous une tension de 6 V un relais dont la bobine a une résistance de 40 £2 . On dispose de piles sèches de 1,5 V avant une capacité de 30 A •h . Combien de piles sont requises et comment doit-on les grouper pour assurer l'alimentation du relais pendant un minimum de 375 heures? Solution Tout d'abord, pour fournir la tension de 6 V, il suffit de raccorder 4 piles en série . Le courant tiré par le relais est I = 6 V/40 0 = 0,15 A . Chaque pile pourrait facilement débiter ce courant, sans que sa capacité en ampères-heures soit diminuée . Il serait donc possible de relier seulement 4 piles en série pour alimenter le relais . Cependant, avec ce groupement, chaque pile de la batterie serait épuisée au bout de 200 heures, car 30 A .h/0,15 A = 200 h . Il faudra donc limiter le courant débité par les piles à un maximum de 30 A .h/375 h = 0,08 A . Comme le courant requis est de 0,15 A, il suffit de mettre en parallèle 0,15 A/0,08 A = 1,87 groupes de 4 piles en série pour alimenter le relais . Comme il est impossible de réaliser des groupes fractionnaires, on doit utiliser deux groupes en parallèle . Ce groupement mixte de 8 piles est montré à la Fig . 11-9 . Dans ce montage, chaque pile débitera un courant de 0,15 A/2 = 0,075 A .
138 ÉLECTROTECHNIQUE
0
CÀ
60À
mélange relais
charbon (anode) concassé + Mn0 2 NH Q CI ZnCI électrolyte H2 O
Figure 11-9 Voir exemple 11-3 .
récipient en zinc (cathode)
PILES PRIMAIRES
La plupart des piles primaires sont des piles sèches . On désigne sous ce nom les piles dont l'électrolyte est immobilisé par une substance absorbante . Puisqu'elles sont scellées, on peut les transporter et les orienter dans tous les sens sans risquer de répandre l'électrolyte . 11 .7 Polarisation Lors de la décharge d'une pile dans un circuit extérieur, il arrive souvent que de l'hydrogène se dégage sur une des électrodes et entoure celle-ci de bulles de gaz . Comme ces bulles d'hydrogène sont de très mauvais conducteurs d'électricité, elles empêchent le passage du courant . On constate alors que le courant diminue d'autant plus rapidement que la pile est soumise à un taux de décharge plus élevé . Ce phénomène s'appelle la polarisation . Pour éviter la polarisation de la pile, on utilise une substance, appelée dépolarisant, qui absorbe l'hydrogène au fur et à mesure de sa formation . 11 .8 Pile au carbone-zinc La pile au carbone-zinc, très répandue comme pile pour les lampes de poche, comporte un récipient en zinc qui constitue le pôle négatif (Fig . 11-10) . Le pôle positif est un mélange de charbon concassé et de bioxyde de manganèse ; l'électrolyte est un mélange de chlorure d'ammonium et de chlorure de zinc dissous dans l'eau . Ce mélange entoure un bâton de charbon qui sert de conducteur pour amener le courant à l'extérieur . Le récipient de zinc est séparé du mélange par une couche de papier poreux . Lors de la décharge, la réaction chimique consomme
Figure 11-10 Vue en coupe d'une pile «Eveready» au carbone-zinc (Union
Carbide) .
le zinc, à un taux d'environ un gramme par ampèreheure . Cette pile contient une énergie d'environ 540 J/cm 3 . 11 .9 Pile au mercure La pile primaire au mercure (Fig . 11-11) possède plusieurs avantages . Elle est robuste, petite, et peut être entreposée pendant de longues périodes . Sa résistance interne est basse de sorte que sa tension demeure très constante lors de la décharge . Sa tension, à circuit ouvert, demeure tellement stable qu'on peut l'utiliser comme source de tension de référence . Elle contient trois fois plus d'énergie par unité de volume que la pile au carbone-zinc, ce qui explique son emploi dans les postes de radio portatifs, les missiles, les instruments de mesure portatifs, les montres électroniques, les prothèses auditives et dans les appareils pour stimuler le cceur.
oxyde de mercure (cathode) zinc (anode)
électrolyte (KOH)
Figure 11-11 Vue en coupe d'une pile au mercure (Mallory) .
PILES ET ACCUMULATEURS
11 .10
Pile aikalino-manganèse
Comme les piles au mercure, ces piles primaires alkalino-manganèse (Fig . 11-12) peuvent être entreposées pendant de longues périodes sans se détériorer sensiblement . Bien que leur résistance interne ne soit pas aussi basse, et leur tension pas aussi stable, elles emmagasinent environ 900 J/cm3 . Elles sont supérieures aux piles carbone-zinc lorsqu'il faut alimenter des petits moteurs, des appareils photographiques, etc ., qui demandent un gros débit de courant pendant une courte période .
139
seau ou, encore, pour alimenter les dispositifs qu'on ne peut pas raccorder facilement à un réseau de distribution électrique. Ces deux applications principales permettent de distinguer deux types de piles : celles qui travaillent peu souvent, mais qui doivent être toujours disponibles (éclairage d'urgence dans les édifices, source d'énergie auxiliaire dans les postes électriques) et celles qui sont utilisées dans les appareils mobiles (automobiles, voitures électriques, sous-marins, avions, etc .) . La première application exige une pile extrêmement fiable qui dure de 15 à 25 ans, tandis que la seconde demande une pile possédant beaucoup d'énergie par rapport à sa grosseur, même si sa durée de vie est quelque peu restreinte . À cause de son coût peu élevé, la pile au plomb est la plus répandue, mais la pile au Ni-Cd trouve des applications lorsqu'on doit fournir de grandes puissances pendant de courtes périodes ou lorsque l'entretien périodique par un personnel qualifié est impossible . 11 .12
Rendement d'une pile secondaire
Lorsqu'on recharge une pile secondaire, la quantité d'électricité, en coulombs, qu'elle reçoit est presque entièrement récupérable lors de la décharge . Selon son état et sa construction, on peut obtenir des rendements ampériques de l'ordre de 80 % à 90 % . Donc, une batterie qui reçoit 100 A •h d'électricité pendant la charge Figure 11-12 Vue en coupe d'une pile al kali no-manganèse (Union Carbide) .
peut débiter de 80 à 90 A .h lors de la décharge . Par ailleurs, le rendement énergétique se situe entre
11 .11
Durée de vie d'une pile primaire
À cause de réactions chimiques secondaires, une pile se détériore même si elle n'est pas utilisée . Ainsi, la capacité d'une pile neuve au carbone-zinc gardée dans une pièce à une température normale (20 °C) devient à peu près nulle au bout de 4 ans . La température a une influence sur la durée d'une pile : une température élevée accélère les réactions chimiques secondaires et diminue sensiblement sa vie utile . PILES SECONDAIRES
Les deux principaux types de piles secondaires sont les piles au plomb et les piles au nickel-cadmium (NiCd) . Elles sont utilisées pour fournir des puissances importantes pendant les pannes d'électricité sur un ré-
50 % et 70 % seulement, car la tension lors de la charge est sensiblement supérieure à celle qui existe lors de la décharge. On définit le rendement énergétique comme étant le rapport entre l'énergie en joules récupérée lors de la décharge et l'énergie fournie durant la charge .
11 .13 Production d'hydrogène Plusieurs piles secondaires contiennent de l'eau dont les molécules sont constituées de deux atomes d'hydrogène et d'un atome d'oxygène . Quand on recharge une batterie et surtout si l'on dépasse le seuil normal de charge, l'eau se transforme peu à peu en hydrogène et en oxygène. On peut observer le dégagement de ces gaz à l'extérieur par le bouillonnement de l'électrolyte . Dans les piles secondaires scellées, ce dégagement des gaz peut produire une pression interne de 400 kPa (relative) avant de provoquer l'ouverture d'une soupape de sécurité .
140
ÉLECTROTECHNIQUE
Pour les piles ouvertes, l'hydrogène forme avec l'air un mélange explosif. On doit donc éviter que le volume d'hydrogène à un endroit ne dépasse 3 % du volume d'air. La quantité d'hydrogène libérée par une batterie déjà complètement chargée est donnée par l'expression approximative :
électrolyte H2 SO4 +0 eau - 65 % 0acide - 35
Pb02
Pb
V = 0,25 EIt ou
Figure 11-13a Pile au plomb chargée .
V = volume d'hydrogène, en litres [L] E = tension de la batterie, en volts [V] I = courant, en ampères [A] t = durée de la surcharge, en heures [h] Par exemple, si l'on fait passer un courant de surcharge de 2 A dans une batterie d'automobile de 12 V, elle dégage, dans une journée, environ
Pb0 2 diminue PbSO4 augmente +
Pb diminue PbSO 4 - augmente
électrolyte le % d'eau augmente le % d'acide diminue
V = 0,25 Elt = 0,25 x 12 V x 2 A x 24 h = 144 L d'hydrogène On doit donc bien ventiler une pièce contenant des batteries en charge et éviter d'y fumer. De plus, comme chaque mètre cube (1000 litres) d'hydrogène est produit par l'électrolyse de 0,8 litre d'eau, il faut ajouter de l'eau périodiquement à la batterie .
Figure 11-13b Pile au plomb lors de la décharge . Pb02 + PbSO 4
Pb électrolyte +0 eau - 85 acide - 15
Enfin, mentionnons comme autre mesure de sécurité que les électrolytes des piles secondaires sont très corrosifs et que l'on doit éviter tout contact avec les yeux .
11 .14
Pile au plomb -théorie de fonctionnement
Une pile au plomb élémentaire est constituée d'une plaque de plomb spongieux (Pb), et d'une plaque de bioxyde de plomb (PbO2) plongées dans une solution d'acide sulfurique (H2SO4) . La Fig . 11-13a représente schématiquement les plaques d'une pile qui vient d'être chargée . Les réactions chimiques qui se produisent sont généralement expliquées par la théorie suivante . 1 . Décharge . Lorsque les bornes de la pile sont reliées à une charge extérieure, les réactions chimiques font circuler un courant (Fig . 11-13b) . Pendant cette décharge, le bioxyde de plomb de la plaque positive se transforme graduellement en sulfate de plomb (PbSO4) et le plomb spongieux de la plaque négative se transforme également en sulfate de plomb. Lorsque les plaques deviennent à peu près identiques, la tension entre
Figure 11-13c Pile au plomb déchargée .
0 0
I& électrolyte le % d'eau diminue le % d'acide augmente
1LUMAI
Figure 11-13d Pile au plomb en charge .
+
% o - PbSO 4
a un courant nominal de 160 - 8 = 20 A PILES ET ACCUMULATEURS rs-ci devient nulle et le courant cesse (Fig . 11-13c) . 2. Charge . On peut recharger la pile en la reliant aux bornes d'une source à courant continu, de la façon indiquée à la Fig . 11-13d . La borne (+) de la source est relié à la borne (+) de l'accumulateur . On remarquera, en comparant les Fig. 11-13b et 11-13d, que le sens du courant pendant la charge est l'inverse de celui du courant de décharge . Le sulfate de plomb est dissous par le passage du courant et les plaques reprennent leur état initial, comme le montre la Fig . 11-13a . 11 .15 Caractéristiques d'une pile au plomb La tension aux bornes d'une pile au plomb pendant les périodes de charge et de décharge normales est donnée à la Fig . 11-14 .
141
une batterie d'automobile . En effet, une densité plus faible impose des électrodes plus grosses, ce qui assure en même temps une durée de vie plus longue . 11 .16 Entretien d'une batterie L'entretien d'une batterie est souvent dicté par l'usage qu'on en fait . Ainsi, une batterie d'automobile reçoit un soin plus ou moins attentif, tandis qu'une batterie de centrale hydro-électrique exige une surveillance suivie et systématique . La durée de vie moyenne de la première est de 5 ans, et celle de la seconde, de 20 ans (Fig . 11-15) . On doit vérifier fréquemment le niveau de l'électrolyte et le maintenir à une position déterminée par l'addition d'eau distillée .
V décharge
:-i charge
2,6 charge normale 1,275 , .' 'o
2.4 ,. les e tension pa pile
2.0
„ .B
1 .8 lb 0
∎` décharge norm I I 2 4 6 8 10 0 - temps de décharge
o)
1,130 2
4 6 8 10 12 h - temps de charge
Figure 11-14 Variation de la tension et de la densité de l'électrolyte pour une pile au plomb, lors de la décharge et de la charge . Le courant nominal est généralement basé sur une durée de décharge de 8 heures . Ainsi, un accumulateur de 160 A •h . La résistance interne d'une pile utilisée dans une batterie d'automobile est seulement de l'ordre de 2 mS2 . Une telle batterie de 12 V, constituée de six piles de 2 V groupées en série, peut avoir à fournir un courant de F ordre de 200 à 400A pendant l'intervalle très court requis pour le démarrage du moteur . Le tableau 11-1 indique que l'énergie massique peut être de 40 kJ/kg ou de 80 kJ/kg selon l'application de la pile . Cette différence importante provient du fait que 1-électrolyte des sources d'urgence est maintenue à une densité relative de 1,21 comparativement à 1,28 pour
Figure 11-15 Batterie au plomb ayant une durée de vie de 15 ans et plus (Electric Storage Battery) .
La densité de la solution d'acide sulfurique donne une indication de la condition de charge de la batterie . L' eau pure a une densité relative de 1,00 alors que celle de l'acide sulfurique pur est de 1,85 . La solution acide d'une batterie d'automobile qui vient d'être chargée a une densité d'environ 1,28 tandis que celle d'une batterie complètement déchargée est de 1,12 .
142
ÉLECTROTECHNIQUE
La détermination de la densité se fait au moyen d'un pèse-acide (Fig . 11-16) . Le pèse-acide est plongé dans l'électrolyte et le point d'affleurement du liquide sur la graduation donne la densité .
dant désagrège les plaques . Lorsqu'on désire accélérer la réaction en amorçant la charge avec un courant initial intense, l'intensité de celui-ci ne doit pas dépasser le nombre exprimant la capacité en ampères-heures . Par exemple, le courant initial ne doit pas dépasser 160 A pour une batterie ayant une capacité de 160 A .h . L'intensité de ce courant doit être diminuée à mesure que la batterie se charge . Les accumulateurs au plomb doivent être protégés contre le gel, car même s'ils peuvent supporter des températures aussi basses que - 40 °C lorsqu'ils viennent d'être chargés, leur résistance au froid est beaucoup moins bonne lorsqu'ils sont partiellement déchargés . Il faut donc tenir les accumulateurs bien chargés en hiver, car autrement l'eau gèle, ce qui fend le boîtier . La Fig . 11-17 montre la vue en coupe d'une batterie d'automobile .
1 . borne 2 . bouchons avec 3 orifices 3 . trous de remplissage et de ventilation 4 . couvercle 5 . indicateur de niveau d'électrolyte 6, 7 . barre de connexion entre piles 8 . plaque négative 9 . séparateur 10 . plaque positive 11 . récipient
Figure 11-16 Mesure de la densité de l'électrolyte au moyen d'un pèseacide (C & D Battery) .
On ne doit jamais abandonner une batterie qui est partiellement déchargée, car un repos prolongé provoque la sulfatation des plaques . Le dépôt blanchâtre de sulfate de plomb sur les plaques devient dur et insoluble dans l'acide ; la surface active des plaques est réduite et leur résistance interne augmente . La capacité de la batterie est ainsi réduite . Si la sulfatation est légère, on peut la faire disparaître en faisant subir à la batterie une longue surcharge à faible intensité de courant . On ne doit jamais pousser la décharge au-dessous de 1,6 V, car le dépôt de sulfate sur les plaques devient alors très dur et très résistant; ce sulfate durci étant insoluble, les plaques sont endommagées de façon permanente . Il est nécessaire de prendre quelques précautions pendant la charge de la batterie . Ainsi, on ne doit pas pousser la charge trop loin, car le dégagement gazeux abon-
Figure 11-17 Vue en coupe d'une batterie d'automobile de 12 V (Electric
Storage Battery) .
11 .17 Pile au nickel-cadmium La pile au nickel-cadmium (Fig . 11-18) est constituée d'une électrode positive en hydroxyde de nickel et d'une électrode négative en cadmium, plongées dans une solution alcaline d'hydroxyde de potasse (KOH) . Pour les applications stationnaires, l'énergie volumique est comparable à celle des piles au plomb. Les principaux avantages de la pile au Ni-Cd sont les suivants : elle peut débiter des puissances énormes pendant de courtes périodes, on peut la décharger complètement sans nuire à ses caractéristiques, elle se décharge très
PILES ET ACCUMULATEURS
Soupape Une soupape à clapet empêche la mise à feu, par une étincelle extérieure, du gaz contenu dans l'élément. Dans tous les types d'accumulateurs il se forme en effet, au moment de la charge, un mélange gazeux détonnant . Récipient en polypropylène . Un espace entièrement dégagé a été ménagé entre les plaques et le fond du récipient. Ceci évite les courts-circuits causés par les boues sédimentaires .
F _-
143
Protection des connexions Les gaines de protection des connexions, en PVC dur, éliminent les risques de court-circuits extérieurs . Groupes de plaques - Des baguettes verticales isolent et séparent les plaques positives des plaques négatives. ()rei' e soudée par points au cadre ut à la pochette supérieure de la plaque. - Matière active contenue dans des pochettes. La matière active des plaques positives est à base de nickel . Celle des plaques négatives est à base de cadmium .
Figure 11-18 Vue en coupe d'une pile au nickel-cadmium (gracieuseté de
Nife-Junger) .
lentement pendant les périodes inactives, elle ne dégage pas de vapeurs nocives d'acide sulfurique et elle est facile à entretenir. Son débit élevé pendant de courtes périodes explique pourquoi on l'utilise pour le démarrage des moteurs à explosion . De plus, puisqu'on peut la charger et décharger des milliers de fois, elle trouve une application importante dans les installations stationnaires (Fig . 11-19) . La densité de l'électrolyte, formée d'une solution de 20 % de KOH et de 80 % d'eau, ne change pas pendant la charge et la décharge . On ne peut donc pas mesurer l'état de la pile au moyen d'un pèse-acide . Cependant, comme pour la pile au plomb, l'eau se décompose lorsqu'on dépasse le seuil normal de charge, libérant de l'hydrogène et de l'oxygène . 11 .18
Piles primaires et secondaires spéciales Il existe un grand nombre de piles primaires et secondaires spéciales qui, ont été développées pour diverses applications . Par exemple, la pile primaire au lithium/ dioxide de manganèse est utilisée dans certains dispositifs électroniques qui requièrent la conservation, à long terme, de données en mémoire, ou pour enregis-
Figure 11-19 Batterie composée de 3 groupes de 328 piles au nickelcadmium, installée à l'aéroport de Sturup à Malmô, Suède . En cas de panne du réseau principal, elle assure la continuité du service jusqu'à la mise en marche des génératrices d'urgence . Cette batterie alimente un onduleur électronique de 180 kVA qui transforme le courant continu en courant alternatif (gracieuseté de Nife-Junger) .
144 ÉLECTROTECHNIQUE trer la date . Une autre pile primaire au lithium-ion sert à alimenter les pacemakers sur une période de cinq à dix ans . Cette pile d'une grande fiabilité fournit quelques microampères seulement .
(2) feuillard de lithium anode (+) (1) isolant face (-) de la cellule
(4) oxyde de vanadium cathode (-)
On développe présentement des piles secondaires spéciales pouvant fournir les grandes énergies et puissances requises pour alimenter les voitures électriques . Parmi les candidats possibles, mentionnons les piles au sodium-soufre et au disulfure de fer et de lithium . Toutes deux fonctionnent à haute température . Les propriétés de la pile au sodiumsoufre sont résumées dans le tableau 11-1 . Dernièrement, on a eu recours à une autre batterie secondaire à base de lithium/métal-hydraté pour la traction automobile . En 1997, une voiture électrique, équipée de batteries de ce type, a effectué le trajet Boston-New York, une distance de 340 km, sans recharge . On a utilisé 180 piles, donnant une tension de fonctionnement de 220 V, une capacité totale de 126 A •h , et un poids de 431 kg . L'énergie dépensée pour franchir la distance à une vitesse approximative de 85 km/h a été de 27,8 kW .h .
face (+) de la cellule Figure 11-20 Construction d'une cellule ACEP.
Le tableau 11-2 donne les caractéristiques d'un module composé de 8 cellules . TABLEAU 11-2
D'autres batteries, à base de lithium-polymère, sont présentement à l'étude pour alimenter les voitures électriques . Ce type d'accumulateur, baptisé ACEP (accumulateur à électrolyte polymère) a été développé par un groupe de chercheurs d'Hydro-Québec, de pair avec des sociétés américaines* . L'accumulateur est composé de cinq feuilles très minces enroulées ensemble sous forme de rectangle, comme le montre la Fig . 11-20 . La première feuille est un isolant, la deuxième est un feuillard de lithium métallique qui constitue l'anode (+) . La troizième feuille est l'électrolyte à polymère solide, suivie par une feuille polymère à base d'oxyde de vanadium qui devient la cathode (-) . Enfin, la cinquième feuille agit comme collecteur métallique du courant . Les cinq feuilles ont une épaisseur totale de 0,1 mm seulement . En régime normal, la tension est maintenue entre 3,2 V et 2,0 V.
La société 3M et le United States Advanced Battery Consortium, un partenariat associant General Motors, Ford, Chrysler et l'Electric Power Research Institute, avec la participation du Département d'état américain de l'Énergie (DOE) et le Argonne International Laboratory.
/ (3) électrolyte en polymère solide
CARACTÉRISTIQUES D'UN MODULE ACEP
tension nominale
20 V
capacité à un taux C/3
120 A •h
courant maximal masse volume
365 A 15,7 kg 11 kg
Le taux C/3 correspond à une décharge de 3 heures à courant constant . Comme la capacité est de 120 A•h , le courant correspondant est de 40 A . La batterie peut être chargée et rechargée plusieurs centaines de fois . Afin d'assurer une bonne performance elle est maintenue à une température entre 60 °C et 80 °C . De plus, la tension de chaque cellule est surveillée et régularisée par un microprocesseur . La batterie ACEP offre une capacité énergétique par unité de masse neuf fois supérieure à celle d'une batterie au plomb conventionnelle . Comme il n'y a pas d'électrolyte liquide, elle peut être orientée dans toutes les directions . Enfin, comme ses plaques sont très minces et souples, on peut donner à la batterie n'importe quelle forme géométrique, ce qui permet de l'adapter à de nombreux usages . Cette batterie, encore en développement, indique le grand intérêt que l'on porte à la voiture électrique du futur.
145
PILES ET ACCUMULATEURS
charge électrique
PILES À COMBUSTIBLE
R
11 .19
Pile à combustible
Lorsqu'on fait brûler du bois, du charbon ou du gaz naturel, l'oxygène de l'atmosphère réagit avec le combustible pour produire une nouvelle substance . Cette réaction chimique s'appelle oxydation . L'oxydation d'un combustible dégage de grandes quantités d'énergie, principalement sous forme de chaleur . La chaleur dégagée peut être utilisée pour produire de la vapeur qui fait tourner une turbine. Cette turbine entraîne à son tour une génératrice qui produit de l'électricité .
électrons électrolyte
~n combustible
Malheureusement, lorsqu'on utilise de la chaleur pour produire de l'électricité, le rendement est très faible . Par exemple, le rendement d'un système thermo-électrique pouvant débiter une puissance de 1 kW est à peine de 20 % . Pour les grosses installations de 1000 MW, le rendement est seulement de l'ordre de 40 % . De plus, ces rendements sont obtenus en utilisant des températures à la limite de ce que les métaux peuvent supporter. Dans une pile à combustible, on contourne le problème du faible rendement et des hautes températures en combinant l'oxygène avec le combustible d'une manière très astucieuse . En effet, la pile à combustible est un dispositif qui permet l'oxydation d'un combustible sans le brûler. La quantité d'énergie libérée est la même, mais elle apparaît directement sous forme d'énergie électrique . Comment peut-on réaliser cette transformation? Une pile à combustible est constituée essentiellement de deux électrodes A et B en contact avec un électrolyte (Fig. 11-21) . Elle comprend aussi un combustible et une source d'oxygène . Le combustible que l'on désire oxyder est mis en contact avec l'électrode A, tandis que de l'oxygène est mis en contact avec l'électrode B . La charge électrique est raccordée entre les deux électrodes . Lorsque le combustible vient en contact avec son électrode il se produit une réaction spéciale qui a pour effet de décomposer le combustible en ions positifs et en électrons . Ces ions sont absorbés par l'électrolyte, où ils se déplacent lentement vers l'électrode B . Les électrons, par contre, sont captés par l'électrode A, traversent la charge et continuent vers l'électrode B . Les molécules d'oxygène qui touchent l'électrode B viennent capter ces électrons . Il s'ensuit que ces molécules deviennent des ions négatifs qui se répandent
i combustible ion
oxygène ion
oxygène
Figure 11-21 Composants fondamentaux d'une pile à combustible .
dans l'électrolyte . L'électrolyte contient donc des ions positifs venant de l'électrode A et des ions négatifs venant de l'électrode B . Les ions positifs et négatifs se combinent pour former une substance électriquement neutre. Cette substance s'accumule avec le temps et doit être enlevée afin d'empêcher la contamination de la pile . L'oxydation se produit donc à l'intérieur de l'électrolyte où les ions négatifs d'oxygène et les ions positifs du combustible se réunissent . Cependant, comme aucune énergie n'entre en jeu lors de cette réaction, toute l'énergie issue de l'oxydation est libérée aux électrodes sous forme d'énergie électrique . Les électrons libérés à l'électrode A sont captés à l'électrode B de sorte qu'un courant continu circule dans la charge . L'électrode en contact avec le combustible est toujours négative . Selon le combustible utilisé, la différence de potentiel entre les deux électrodes varie entre 0,5 V et 3 V. En théorie, la puissance électrique fournie à la charge est égale à la puissance thermique qui serait libérée si on brûlait le combustible . En pratique, il y a des pertes mais le rendement, même pour les petites piles à combustible, atteint 40 % . Cette utilisation directe de la combustion pour produire de l'électricité constitue donc une nette amélioration par rapport à la méthode conventionnelle utilisant les transformations intermédiaires en énergie thermique et mécanique .
1 46 ELECTROTECHNIQUE
11 .20 La pile à hydrogène-oxygène Les piles à combustible sont très complexes ; par conséquent, nous nous limiterons à une description sommaire de la pile à combustible la plus simple : la pile à hydrogène-oxygène . Il est bien connu que la combustion de 1 kg d'hydrogène consomme 8 kg d'oxygène . La réaction dégage 120 MJ de chaleur et le produit résultant est simplement 9 kg d'eau .
ou un gaz, et l'électrolyte peut être un solide ou un liquide . De plus, l'oxygène peut être utilisé à l'état pur ou combiné avec d'autres substances . La température de fonctionnement dépend du design ; certaines piles fonctionnent à des températures de 60 °C, d'autres donnent leur meilleure performance à 1000°C .
Lorsque l'hydrogène est employé dans une pile à combustible, les électrodes sont faites en platine et l'électrolyte est une solution d'acide sulfurique . De l'hydrogène est continuellement fourni à l'électrode A et de l'oxygène à l'électrode B (Fig . 11-22) . Si on fournit 1 kg d'hydrogène et 8 kg d'oxygène par heure aux électrodes respectives, la réaction chimique produit 120 MJ/heure, soit une puissance électrique de 33,3 kW. La tension théorique est de 1,25 V ; il en résulte un courant débité de 33,3 kW =1,25 V = 26,7 kA . On remarque que, tout comme les piles conventionnelles, les piles à combustible sont des dispositifs à fort courant et faible tension .
hydrogène hydrogène (1 kg/h) ion
oxygène ion
oxygène (8 kg/h)
eau (9 kg/h) Figure 11-22 Modèle simplifié d'une pile à combustible à hydrogèneoxygène .
11 .21
Types de piles à combustibles
Il existe plusieurs façons de construire une pile à combustible. Le combustible peut être un solide, un liquide
Figure 11-23 Cette pile à combustible contient 456 cellules raccordées en série . Vingt de ces unités modulaires sont connectées en série-parallèle pour fournir une puissance de 4500 kW. Détails de construction : électrolyte ; acide phosphorique ; température de fonctionnement : 190 °C; tension par cellule : environ 0,7 V ; densité de courant par cellule : 2500 A/m 2 ; rendement énergétique : 9500 Btu/kW •h ; temps de démarrage à partir de 21 °C : 4 h ; temps de réponse : 0,5 s de 35 % à 100 % de la puissance nominale (Electric Power Research Institute) .
Une pile à combustible est donc essentiellement une pile primaire dans laquelle les agents électrochimiques sont fournis constamment à une enceinte appropriée et dont les produits résiduels sont constamment évacués . Une telle pile ne se décharge jamais car les produits actifs (combustible et oxygène) sont remplacés au fur et à mesure qu'ils sont consommés .
PILES ET ACCUMULATEURS
En résumé, la pile à combustible est un convertisseur d'énergie chimique-électrique exceptionnel car : 1 . elle donne un rendement élevé par rapport à un système thermo-électrique ; 2 . elle peut être construite de façon modulaire et des unités peuvent être ajoutées selon le besoin ; 3 . elle ne fait aucun bruit et elle ne produit pour ainsi dire pas de pollution . La Fig . 11-23 montre une pile à combustible ayant une puissance nominale de 240 kW. 11 .22 Résumé Les piles permettent d'emmagasiner de l'électricité sous forme chimique . Elles sont constituées essentiellement de deux électrodes, une électrode positive (+) et une électrode négative (-) en contact avec un électrolyte solide ou liquide . Lorsque la pile débite un courant, la circulation des ions (+) et des électrons à travers l'électrolyte produit une transformation graduelle des électrodes . Il existe une grande variété de piles utilisant différents types d'électrolytes et d'électrodes . On peut toutefois les regrouper en deux grandes catégories : les piles primaires qui ne sont plus utilisables une fois déchargées et les piles secondaires que l'on peut recharger des centaines de fois . Selon le type de pile la tension développée à vide est comprise entre 1,3 V et 3 V environ . Toutefois, toute pile possède une résistance interne réduisant sous charge la tension disponible entre ses bornes . Pour obtenir une tension ou un courant plus élevé on raccorde les piles en série et en parallèle pour former une batterie ou accumulateur . La quantité de charge qu'une batterie peut fournir est exprimée en ampères-heures . La densité d'énergie ou énergie massique emmagasinée peut varier de 40 kJ/kg pour une batterie au plomb à 700 kJ/kg pour les piles au lithium . Les piles primaires les plus courantes sont la pile au carbone-zinc, la pile au mercure, la pile alkalino-manganèse . Les deux principaux types de pile secondaire sont la pile au plomb et la pile au nickel-cadmium . Des développements récents de piles secondaires spéciales à forte énergie massique permettent d'envisager le développement de la voiture électrique . Enfin, mentionnons les différents types de piles à combustibles qui utilisent la combinaison d'un combustible comme l'hydrogène avec de l'oxygène et permettent de fournir des puissances supérieures à 100 kW .
147
PROBLÈMES - CHAPITRE 11 Niveau pratique 11-1 Quelle est la différence entre une pile primaire et une pile secondaire? 11-2 Nommez deux types de pile primaire et deux types de pile secondaire . 11-3 Pourquoi ne doit-on jamais fumer dans une salle de batteries? 11-4 On se propose d'utiliser une batterie de piles au carbone-zinc pour faire démarrer un moteur diesel de 10 kW. Est-ce un choix judicieux? Quel genre de batterie serait plus approprié? 11-5 Quel est l'avantage des piles scellées? Pourquoi faut-il éviter de sceller les piles complètement? 11-6 Une batterie d'autobus a une capacité de 300 A .h et sa tension nominale est de 12 V . Quel est le débit normal en ampères pendant 8 h? Pendant combien de temps peut-on en tirer un courant de 10 A? Si la batterie est déchargée, quel doit être le courant maximal pendant la période de charge? 11-7 Une batterie au nickel-cadmium de 12V aune capacité de 100 A •h basée sur une période de décharge de 5 heures . Calculez la tension aux bornes lorsque le courant est de 50 A sachant que la tension à circuit ouvert est de 13 V et que sa résistance interne est de 2,4 mQ2 . 11-8 On veut construire une batterie de 120 V utilisant soit des piles au plomb, soit des piles au nickelcadmium. Combien de piles seraient requises dans chaque cas? 11-9 Un pèse-acide de batterie d'automobile indique une densité d'électrolyte de 1,1 . Doit-on recharger la batterie? Quelle est la densité indiquée lorsque la batterie est chargée complètement? Niveau intermédiaire 11-10 La force électromotrice d'une pile sèche est de 1,5 V à circuit ouvert . La tension aux bornes est de 1,2 V quand une résistance de 6 S2 est connectée entre ses bornes . Quelle est la résistance interne de la pile? 11-11 On veut alimenter une bobine avec un courant de 300 mA pendant une période d'environ 100 heures . Si la résistance de la bobine est de 20 Q, combien de piles de 1,5 V sont nécessaires et comment doit-on les connecter? Chaque pile a une capacité de 30 A .h .
148
ÉLECTROTECHNIQUE
11-12 Dans le problème 11-11, s'il fallait alimenter la bobine pendant 250 heures, combien de piles seraient nécessaires et comment faudrait-il les connecter? 11-13 Une salle d'accumulateurs contient 500 piles secondaires donnant une tension de 120 V Si l'on surcharge les batteries pendant 4 heures, quelle quantité d'hydrogène sera libérée, le courant de charge étant de 10 A? 11-14 Une batterie au carbone-zinc de 6 V ales dimensions suivantes : 135 mm x 70 mm x 100 mm . D'après le tableau 11-1, calculer : a) l'énergie disponible en joules b) la capacité approximative en ampères-heures de la batterie c) le nombre d'heures pendant lesquelles on peut alimenter une lampe de 6 W branchée sur la batterie 11-15 Une pile au mercure pour montre a un diamètre de 11,5 mm, une épaisseur de 5,3 mm et pèse 2,55 g . Sa capacité étant de 220 mA .h, déterminez le nombre d'heures de fonctionnement de la montre si celle-ci tire un courant constant de 15 tA . 11-16 Dans le problème 11-15, calculez l'énergie massique et volumique de la pile et comparez vos résultats avec les données du tableau 11-1 . 11-17 Décrivez le principe de fonctionnement d'une pile à conbustible . Niveau avancé 11-18 Un cheval pesant 750 kg peut débiter une puissance de 1 hp pendant 8 heures . a) Calculer la masse d'une batterie au nickel-cadmium pouvant débiter la même quantité d'énergie avant qu'il faille la recharger. b) Répéter les calculs pour une batterie au plomb .
11-19 Une pile au nickel-cadmium peut débiter un courant de 19,5 A pendant 8 heures avant que sa tension baisse à 1 V. La même pile peut débiter un courant de 940 A pendant 5 secondes avant que sa tension baisse à 1 V . a) Calculer la capacité en A .h dans ces deux cas . b) Quelle est la résistance interne de la pile à la fin de la période de 5 secondes? 11-20 Une batterie de 120 V servant à propulser une voiture de mine doit fournir une puissance moyenne de 21 kW pendant 6 heures . Si l'on utilise des piles au plomb, calculez la masse approximative de la batterie et le nombre de piles requises . Quel est le courant moyen débité? (Dans le tableau 11-1, prendre 80 kJ/kg .) 11-21 On doit prévoir une source d'énergie d'urgence pouvant donner une puissance de 500 kW, à 240 V pendant 6 heures . Si l'on utilise des piles au plomb dont la durée de vie est de 15 ans et plus, calculer : a) le volume des piles b) le groupement des piles si chacune a une capacité de 150 A-h 11-22 a) Calculer le rendement de la pile à combustible illustrée à la Fig . 11-23 . b) Quelles sont la tension et le courant approximatifs de cette pile?
12 Magnétisme Le magnétisme est un phénomène qui joue un rôle fondamental dans la plupart des appareils électriques . Dans ce chapitre, nous étudions les principes fondamentaux du magnétisme, de même que les conventions et les unités associées .
tingue les aimants artificiels temporaires et les aimants artificiels permanents . On leur donne des formes diverses : barreau droit (Fig . 12-2a), barreau recourbé en fer à cheval (Fig . 12-2b), aiguille plate, en forme de losange allongé (Fig . 12-2c) . Nous verrons plus loin que les aimants temporaires deviennent aimantés seulement lorsqu'on les place dans un champ magnétique tandis que les aimants permanents conservent en grande partie leur aimantation après avoir été retirés du champ magnétique.
12.1 Aimants naturels, aimants artificiels Les anciens avaient remarqué que certaines pierres ont la propriété d'attirer le fer ; si on les plonge dans de la limaille de fer, celle-ci y reste fixée en certains points . C'est cette propriété que l'on appelle magnétisme . Ces pierres sont appelées aimants naturels (Fig . 12-1) .
(a)
(b)
(c)
Figure 12-1 Un aimant naturel attire la limaille de fer.
Figure 12-2 Divers aimants artificiels : a . barreau droit b . barreau en fer à cheval c . aiguille d'une boussole
Il est possible de communiquer cette propriété à des barres d'acier par un traitement spécial . Celles-ci sont désignées sous le nom d'aimants artificiels; on dis-
Si on plonge un aimant artificiel dans de la limaille de fer, on constate que les particules de limaille adhèrent surtout aux extrémités : l'attraction y est donc plus forte .
pôle
149
150
ÉLECTROTECHNIQUE
Ces extrémités, qui jouissent plus particulièrement de la propriété de magnétisme, constituent les pôles de l'aimant . 12 .2 Orientation des aimants Si un barreau droit aimanté est suspendu par une ficelle, il s'oriente de lui-même sensiblement dans la direction Nord-Sud géographique . La même extrémité de l'aimant se dirige toujours vers le Nord, l'autre, toujours vers le Sud . Les deux pôles ne sont donc pas identiques : par convention, on donne le nom de pôle nord magnétique à l'extrémité qui se dirige vers le pôle Nord de la terre, et celui de pôle sud à celui qui se dirige vers le Sud (Fig . 12-3) .
pôle Nord géographique
pôle nord magnétique
Si l'on approche maintenant le pôle sud d'un aimant du pôle nord de l'autre, on constate cette fois-ci une attraction . On peut alors énoncer la première loi du magnétisme : les pôles semblables de deux aimants se repoussent; les pôles contraires s'attirent . 12 .4 Lignes de force Une boussole est composée essentiellement d'une petite aiguille aimantée, montée sur un pivot et libre de se mouvoir. Si l'on place une boussole dans le voisinage d'un aimant, son pôle nord est repoussé par le pôle nord de l'aimant . Si, à partir de l'extrémité A de l'aimant (Fig . 12-5), on dispose toute une série de petites boussoles de façon que les aiguilles se suivent, on constate qu'elles forment une ligne courbe régulière allant de A à B . De la même manière, en partant d'un autre point tel que X, on trouve un nouveau chemin aboutissant au point Y.
pôle sud magnétique
pôle Sud géographique Figure 12-3 Détermination de la polarité magnétique d'un aimant en suspendant l'aimant dans le champ terrestre .
12.3 Attraction et répulsion Si l'on approche les pôles nord (N) des deux aimants de la Fig . 12-3 l'un vers l'autre, on constate qu'ils se repoussent . On observerait la même répulsion entre les deux pôles sud (S) (Fig . 12-4) .
Figure 12-5 Orientation d'une série de boussoles dans un champ magnétique .
On peut ainsi tracer un nombre infini de ces chemins . La Fig . 12-6 indique quelques-uns de ces chemins que l'on appelle lignes de force ou lignes de flux .
répulsion
En continuant l'expérience, on trouverait que ces lignes de force existent dans tout l'espace entourant le barreau . On donne le nom de champ magnétique à la région de l'espace traversée par les lignes de force .
S attraction N t Figure 12-4 Loi de la répulsion et de l'attraction .
Le champ magnétique autour d'un aimant n'est affecté que par le voisinage du fer, du cobalt, du nickel et de leurs alliages . Les lignes de force peuvent donc traverser des matériaux tels que le ciment, le papier, le bois comme s'ils étaient de l'air .
MAGNÉTISME
151
12.6 Détermination du spectre magnétique à l'aide de limaille de fer Un moyen facile et rapide de déterminer la direction et la distribution des lignes de force consiste à placer une feuille de papier sur un barreau aimanté et à saupoudrer cette feuille de limaille de fer doux . En secouant légèrement le papier, on constate que les grains de limaille se disposent les uns à la suite des autres d'une façon régulière en formant un certain nombre de lignes courbes . L'ensemble des lignes courbes dessinées par la limaille représente le spectre magnétique de l'aimant . La Fig . 12-8 représente le spectre magnétique d'un barreau droit aimanté . Figure 12-6 Concept de ligne de force .
Bien que ces lignes de force n'existent pas réellement, leur représentation est quand même utile, car elle permet de déterminer la direction et l'intensité d'un champ magnétique . 12 .5 Sens des lignes de force Pour faciliter l'étude du magnétisme, on établit par convention que le sens d'une ligne de force en un point est celui vers lequel pointe le pôle nord d'une boussole . Comme le montre la Fig . 12-7, les lignes de force seront orientées du pôle nord au pôle sud à l'extérieur de l'aimant. Donc, toute ligne de force sort du pôle nord pour rentrer dans le pôle sud. On suppose également que chaque ligne se referme à l'intérieur de l'aimant pour compléter une boucle (Fig . 12-7) .
Figure 12-8 Spectre magnétique décrit par la limaille de fer autour d'un barreau aimanté .
Donc, en pratique, on peut déterminer l'allure d'un champ magnétique à l'aide de la limaille et son sens à l'aide d'une boussole . 12 .7 Prédétermination du spectre magnétique Il est possible de prédéterminer la forme d'un champ magnétique sans avoir recours à la limaille de fer, en se basant uniquement sur certaines propriétés des lignes de force . Il suffit d'appliquer les règles suivantes :
Figure 12-7 Détermination du sens d'une ligne de force .
1 . les lignes de force sont semblables à des fils élastiques tendus, entre lesquels existe une force de répulsion ; 2 . les lignes partent toujours d'un pôle nord et aboutissent à un pôle sud ; 3 . les lignes de force ne se croisent jamais ; 4 . les lignes tendent à suivre le chemin le plus court ou le plus facile .
152
ÉLECTROTECHNIQUE
Exemple 12-1 Déterminer le spectre magnétique des deux aimants de la Fig . 12-9a .
Figure 12-9a Orientation polaire de deux aimants permanents (exemple 12-1) .
Le flux est d'autant plus grand que la surface est plus grande et que les lignes de force sont plus serrées . La valeur du flux dépend également de l'orientation de la surface par rapport à la direction des lignes . Si la surface est inclinée par rapport à la direction des lignes (Fig . 12-10), le flux à travers cette surface est plus faible car elle est traversée par un nombre moindre de lignes de force . Le flux est maximal quand la surface est perpendiculaire aux lignes et nul quand elle leur est parallèle .
Solution Le spectre aura la forme donnée à la Fig . 12-9b . On notera que : 1 . les lignes de force sortent des pôles nord et rentrent dans les pôles sud, sans toutefois se croiser ; 2 . les lignes «tendues» cherchent à se rétrécir, en même temps qu'une force de répulsion se manifeste entre elles . L'ensemble de ces forces provoque une déformation, un ballonnement des lignes ; 3 . les barreaux se repoussent à cause de la force de répulsion existant entre les lignes qui sortent des pôles nord .
Figure 12-10 Le flux traversant une surface dépend de son orientation .
L'unité SI de flux magnétique est le weber (Wb) . Il vaut 100 000 000 ou 108 lignes . Un milliweber (mWb) équivaut donc à 100 000 lignes et un microweber (gWb) à 100 lignes . Cette unité SI (1 Wb = 108 lignes) a l'avantage de simplifier les formules de l'électromagnétisme que nous rencontrerons plus loin . Un weber représente une quantité de flux considérable ; en effet, pour produire un tel flux, il faudrait utiliser un aimant permanent énorme ayant une hauteur de 1,5 mètres, une longueur de 1,5 mètres et une épaisseur de 1 mètre (Fig . 12-11) . Sa masse serait de 2 tonnes environ .
Figure 12-9b Spectre magnétique résultant . 12.8 Flux magnétique (O)* Le flux magnétique à travers une surface donnée est l'ensemble des lignes de force qui traversent cette surface .
12.9 Densité de flux magnétique* (B) Nous avons tous remarqué, par expérience, que la force d'attraction d'un aimant permanent, sur un morceau de fer, croît à mesure que l'on approche l'une des extrémités de l'aimant. D'autre part, on voit que les lignes de flux sont plus serrées près de ces extrémités ou pôles (Fig . 12-6) . On est donc amené à la conclu-
* 0 est une lettre grecque qui se prononce «phi» .
* La densité de flux est aussi appelée «induction magnétique» .
MAGNÉTISME
153
12.10 Aimantation par influence Un barreau de fer doux* placé au voisinage d'un aimant, même sans le toucher, acquiert temporairement les propriétés d'un aimant (Fig . 12-13) . On dit alors que le barreau s'aimante par influence .
Figure 12-11 Dimensions d'un aimant pouvant créer un flux de 1 weber .
%ion que la concentration des lignes de force est une mesure de la densité du champ . Plus le champ sera dense, plus le nombre de lignes dans un espace donné sera grand et plus les lignes seront rapprochées . Ainsi le flux magnétique représenté à la Fig . 12-12a, est deux fois plus dense que celui de la Fig . 12-12b car il produit deux fois plus de lignes à travers une même surface .
(a)
(b)
Figure 12-12 La densité de flux en un point est égale au nombre de webers par mètre carré qui traversent une surface orientée perpendiculairement aux lignes de force . La densité de flux en (a) est le double de celle en (b) .
L'unité SI de densité de flux magnétique est le tesla (symbole T) . Elle est égale à un weber par mètre carré ; donc 1 T = 1 Wb/m2 . Pour donner une idée du tesla, mentionnons que la densité de flux dans le noyau d'un transformateur atteint une valeur maximale de 2 teslas et que celle du champ magnétique terrestre varie entre 25 et 50 microteslas (µT), selon l'endroit.
Figure 12-13 Phénomène de l'aimantation par influence .
Le barreau de fer doux présente deux pôles et devient un aimant complet . Son extrémité la plus rapprochée du pôle nord de l'aimant deviendra un pôle sud . Le barreau s'aimante en effet de la façon suivante : il se forme un pôle sud à l'extrémité où les lignes de force pénètrent dans le barreau et un pôle nord, à l'extrémité où elles ressortent . Ce phénomène d'aimantation par influence explique l'attraction exercée par un aimant sur un barreau de fer : lorsqu'on rapproche le barreau d'un pôle de l'aimant, un pôle contraire d'établit dans le barreau et provoque, par le fait même, l'attraction . On peut vérifier que le barreau de fer doux a acquis lui aussi la propriété d'attirer le fer, en y suspendant un clou . Quand on éloigne le barreau de fer doux de l'aimant, l'influence de ce dernier ne se fait plus sentir, l'aimantation du fer doux disparaît et le clou tombe. 12.11 Effet du fer doux sur un champ magnétique La Fig . 12-14 montre ce qui se produit lorsqu'on introduit un morceau de fer doux dans le champ magnétique d'un aimant : les lignes de force sont déformées " fer doux: acier recuit à très basse teneur en carbone, utilisé pour les noyaux de circuits magnétiques .
54
ÉLECTROTECHNIQUE
\ mot`%~\ 1\~S
\s\~/Î
(a) champ magnétique extérieur --- in in sn sn 0 (b)
Figure 12-14 Les lignes de flux ont tendance à passer à travers un morceau de fer placé à proximité d'un aimant .
comme si elles cherchaient à passer surtout à travers le fer plutôt que de continuer à travers l'air . Les lignes de force paraissent «aspirées» par le fer . On dit alors que le fer est plus perméable aux lignes de force que l'air, car il se laisse traverser plus facilement par celles-ci . Le fer est un meilleur conducteur du flux magnétique que l'air. 12 .12 Nature du ferromagnétisme Les pôles d'un aimant sont inséparables ; il n'est pas possible d'obtenir, par exemple, un aimant portant un pôle nord et aucun pôle sud . Si l'on coupe un aimant en deux, chaque morceau possède un pôle nord et un pôle sud ; si l'on continue à briser les morceaux obtenus, chaque fragment forme un aimant complet présentant un pôle nord et un pôle sud. Enfin, si l'on pousse la division des fragments àl' extrême limite, on aboutit à l'aimant élémentaire portant toujours deux pôles contraires et de force égale . D'après la théorie d'Ewing,* tout se passe comme si un morceau de fer non aimanté était constitué d'un grand nombre de ces petits aimants élémentaires, tous identiques, orientés au hasard et produisant des champs dans toutes les directions . Les pôles nord et les pôles sud se neutralisent donc, ne donnant ainsi aucun pôle à l'extérieur du morceau de fer (Fig . 12-15a) .
James Alfred Ewing (1855-1935) est un physicien écossais qui a apporté une importante contribution à la théorie du ferromagnétisme .
Figure 12-15 a . Orientation des aimants à l'intérieur d'un morceau de fer . b . Orientation des aimants élémentaires lorsque le fer est placé dans un champ magnétique .
Quand le morceau est placé dans un champ magnétique extérieur, les petits aimants élémentaires s'alignent comme des milliers de petites boussoles (Fig . 12-15b) . L' orientation des aimants élémentaires est telle que tous leurs pôles nord se dirigent dans le même sens . Les champs magnétiques fournis par chacun d'eux s'ajoutent pour donner un champ magnétique résultant considérable ; il apparaît un pôle nord et un pôle sud aux extrémités du morceau de fer . Dès que le champ magnétique extérieur disparaît, les petits aimants reprennent leur indépendance et s'orientent au hasard, la somme de leurs champs redevient nulle et les pôles du morceau de fer disparaissent . 12 .13 Théorie des domaines Bien que la théorie d'Ewing ait permis d'expliquer convenablement plusieurs phénomènes ferromagnétiques, on fait appel aujourd'hui à une théorie plus évoluée : la théorie des domaines . Selon cette théorie, chaque atome de fer se comporte comme un petit aimant permanent (appelé dipôle) dont le champ magnétique est créé par la rotation et le spin des électrons sur leur orbite . Les champs magnétiques des atomes voisins s'influencent mutuellement, de sorte que les dipôles cherchent à s'aligner. Cette orientation atomique des champs se produit dans de petites régions appelées domaines . Dans un morceau de fer, la grandeur des domaines varie beaucoup, mais ordinairement ils sont assez grands pour être vus à l'aide d'un simple microscope . À l'intérieur d'un domaine, tous les champs magnétiques des atomes sont orientés dans une même
MAGNÉTISME
direction, ce qui produit un champ global assez intense . Cependant, les domaines sont eux-mêmes orientés dans toutes les directions, de sorte que le champ magnétique résultant est nul .
155
domaine 1
Les «aimants élémentaires» mentionnés dans la théorie d'Ewing sont en fait des «domaines magnétiques» .
domaine 3 domaine 4
Afin de comprendre le processus d'orientation, considérons un morceau de fer, extrêmement petit, composé de 4 domaines seulement (Fig . 12-16a) . Chacun des domaines produit un champ magnétique dont le sens est indiqué par une flèche . Comme les flèches se suivent en boucle fermée, le petit morceau de fer ne crée aucun champ à l'extérieur de ses parois .
(a) Figure 12-16a Orientation du champ magnétique à l'intérieur d'un petit morceau de fer composé de 4 domaines . Le morceau de fer ne produit aucun champ extérieur.
Ces domaines sont séparés par des «murs» très étroits (représentés sur la figure par des lignes doubles), épais de 100 nanomètres seulement . Ces murs représentent en fait la zone de transition où l'orientation des dipôles change graduellement d'un sens à l'autre . Par exemple, dans le mur qui sépare les domaines 2 et 3, les dipôles changent progressivement de l'orientation du domaine 2 à celle du domaine 3 . Si on place le morceau de fer dans un champ magnétique extérieur, comme celui créé par le pôle nord d'un aimant (Fig . 12-16b), quelques-uns des dipôles situés dans les murs s'orientent dans le sens des lignes de flux produites par ce pôle nord . Cela a pour effet de grossir le domaine 2, aux dépens des autres domaines qui deviennent forcément plus petits . Il se produit donc un déplacement et un rétrécissement progressif des murs, au fur et à mesure que le champ extérieur augmente . Le petit morceau de fer commence donc à produire son propre champ extérieur, comme le montre la figure . Enfin, si le champ extérieur est suffisamment intense, les murs disparaissent complètement et il ne subsiste plus qu'un seul domaine dans lequel tous les dipôles sont orientés dans le sens du champ extérieur (Fig . 12-16c) . Les extrémités du morceau de fer développent alors un pôle nord et un pôle sud de force considérable . Que se passe-t-il lorsque le champ extérieur disparaît? Pour répondre à cette question, il faut faire appel à des considérations énergétiques . Le champ magnétique créé par un domaine représente de l'énergie emmagasinée dans celui-ci . Dans le cas de la Fig . 12-16a, l'énergie potentielle emmagasinée dans les quatre domaines est égale à la somme de leurs énergies potentielles individuelles .
(b) Figure 12-16b Lorsque le morceau de fer est placé dans un champ magnétique, les murs entre les domaines se déplacent . Cela a pour effet de changer les dimensions des domaines . La prépondérance du domaine 2 produit un champ magnétique qui s'ajoute au champ magnétique extérieur .
(c) Figure 12-16c Si le champ magnétique extérieur est suffisamment intense, les 4 domaines deviennent un seul domaine . Le petit morceau de fer produit un champ intense qui s'ajoute au champ magnétique extérieur .
156
ÉLECTROTECHNIQUE
Cependant, lorsque les 4 domaines sont orientés dans la même direction (Fig . 12-16c), l'énergie potentielle totale est supérieure à celle de la précédente (Fig . 12-16a) . Étant donné que tout système physique tend vers un état d'énergie minimale, il s'ensuit que les domaines réapparaissent dès qu'on supprime le champ extérieur. Les domaines orientés au hasard se rétablissent de nouveau et les pôles magnétiques disparaissent.
Depuis 1970, les scientifiques ont réussi à créer un aimant permanent 5 fois plus fort que l'alnico, pour une même masse . Il est composé d'un alliage de 25 % de samarium, 49 % de cobalt, 12 % de fer, 8 % de cuivre et 6 % de zirconium . Ce genre d'aimant porte le symbole chimique Sm 2Co 1 7 ; à cause de la présence du samarium, il fait partie de la classe des aimants dits à terre rare . Cette classe comprend les aimants composés de néodyme, boron et fer.
12 .14 Aimantation rémanente
La Fig . 12-17 donne les dimensions relatives de quatre aimants de compositions différentes mais ayant la même intensité d'aimantation .
Nous venons de dire que lorsque le fer est soustrait de l'influence du champ magnétique extérieur, son aimantation disparaît . Ceci n'est pas tout à fait exact car un certain nombre de domaines resteront orientés dans le même sens et créeront ainsi un faible pôle nord et un faible pôle sud . La faible aimantation qui subsiste est l'aimantation rémanente et le flux conservé est le flux résiduel . Ce phénomène est traité en plus grand détail à la section 15 .4, chapitre 15 . Si, au lieu du fer doux, on avait placé dans le champ magnétique certaines variétés d'acier, l'aimantation aurait subsisté presque complètement après la suppression du champ . On aurait alors obtenu un aimant permanent. L aimantation du fer doux est temporaire, celle de l'acier, permanente . Cette propriété que possède l'acier de retenir son aimantation est mise en évidence quand un tournevis vient en contact avec un aimant permanent : l'aimantation rémanente est suffisamment forte pour que le tournevis puisse soulever des vis et des clous d'acier . 12 .15 Aimants permanents On appelle aimants permanents les corps qui ont la propriété de conserver une très grande aimantation rémanente, et qui se désaimantent difficilement lorsqu'ils ont été aimantés . On les obtient en plaçant le morceau à aimanter dans un champ magnétique intense . Autrefois, on employait presque exclusivement l'acier au carbone trempé, mais la métallurgie moderne a permis de réaliser un grand nombre d'alliages bien supérieurs . En plus du fer, le constituant principal de ces aimants modernes est soit le chrome, soit le tungstène, soit le nickel . L'aluminium, le cobalt et le titane entrent parfois dans la composition comme éléments secondaires . Citons par exemple l' alnico V qui comporte 51 % de fer, 14 % de nickel, 8 % d'aluminium, 24 % de cobalt et 3 % de cuivre .
Les aimants permanents sont employés dans un très grand nombre d'appareils . Parmi ceux-ci, citons les instruments de mesures (voltmètres à courant continu, indicateurs de vitesse pour automobiles), les hautparleurs, et les aimants utilisés dans certains moteurs électriques . Les aimants permanents seront étudiés plus en détail au chapitre 15 .
Figure 12-17 Évolution de la technologie : dimensions relatives de quatre aimants permanents produisant le même flux . L'aimant TR à terre rare est 100 fois plus petit qu'un aimant à acier au carbone .
12 .16
Résumé
Les aimants existent à l'état naturel mais on peut aussi communiquer cette propriété de magnétisme à certains corps composés essentiellement de fer, nickel, cobalt, qu'on appelle aimants artificiels . Un aimant comprend un pôle nord et un pôle sud . Deux pôles de types contraires (N-S) s'attirent alors que deux pôles de même type (N-N ou S-S) se repoussent . Dans l'espace entourant les pôles d'un aimant existe un champ magnétique composé de lignes de flux ou lignes de force . Les lignes forment des boucles qui partent du pôle nord et entrent dans le pôle sud . L'ensemble de ces lignes de force constitue le spectre magnétique .
157
MAGNÉTISME
La somme des lignes de force traversant une surface donnée constitue le flux magnétique . L' unité SI de flux magnétique est le weber (Wb) . La densité de flux magnétique à un point donné mesure l'intensité du champ magnétique à ce point. L'unité de densité de flux est le tesla (T) ; il équivaut à 1 weber par mètre carré (1 T = 1 Wb/m2) .
12-10 En se basant sur la théorie des domaines, comment peut-on expliquer le phénomène de l'attraction d'un morceau de fer par un aimant permanent?
Certains matériaux ferromagnétiques comme le fer doux sont perméables aux lignes de flux . Cette propriété de canaliser les lignes de flux s'explique par la théorie des domaines . Chaque domaine constitue un petit aimant s'orientant dans le sens des lignes de force créées par le champ extérieur et augmente ainsi la densité de flux à l'intérieur du corps ferromagnétique . Lorsqu'ils sont soustraits à l'influence du champ extérieur, les corps ferromagnétiques conservent une certaine aimantation rémanente ou flux rémanent . C'est ce flux rémanent intense ainsi que leur capacité de conserver cette aimantation qui distingue les aimants permanents . Il existe actuellement des aimants permanents très puissants fabriqués avec des alliages complexes à base de fer, nickel, cobalt, cuivre, comme l'alnico, ou des éléments classés dans les terres rares, comme le néodyme .
12-12 Un aimant permanent très puissant attire toujours l'un des pôles d'une boussole, même si l'on place un pôle de l'aimant vis-à-vis d'un pôle semblable de la boussole . Expliquer.
12-11 À partir des propriétés des lignes de force, établir l'allure générale du spectre magnétique autour de deux barreaux aimantés disposés suivant les Fig . 12-18 et 12-19 .
N
S
S
N
Figure 12-18 Voir problème 12-11 .
PROBLÈMES - CHAPITRE 12 N
Niveau pratique 12-1 Comment peut-on déterminer la polarité N-S d'un barreau aimanté sans aucun appareil magnétique? 12-2 Deux pôles magnétiques semblables s'attirentils? 12-3 Énumérer trois propriétés des lignes de force . 12-4 Quel est le sens adopté pour les lignes de force d'un aimant? 12-5 Nommer trois matériaux magnétiques .
S S
12-6 Qu'est-ce que l'aimantation rémanente? 12-7 Donner deux applications des aimants permanents . Niveau intermédiaire 12-8 Au pôle Nord de la terre (pôle géographique) se trouve un pôle sud magnétique. Expliquer . 12-9 Comment peut-on réaimanter un aimant permanent qui a perdu son aimantation?
Figure 12-19 Voir problème 12-11 .
N
13 Courants électriques et champs magnétiques PRINCIPE I DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
L'électromagnétisme est l'étude des phénomènes résultant de l'interaction des courants électriques et des champs magnétiques . 13 .1
Le fonctionnement des machines électriques, des relais, des transformateurs et, plus généralement, de tout dispositif électromagnétique, est basé sur un ou plusieurs de ces quatre principes .
Principes de l'électromagnétisme
Dans ce livre, nous avons divisé arbitrairement l'électromagnétisme en quatre principes fondamentaux comme suit . PRINCIPE I Création d'un champ magnétique par un courant (chapitre 13) PRINCIPE II Force exercée sur un courant placé dans un champ magnétique (chapitre 16) PRINCIPE III Déplacement d'un conducteur dans un champ magnétique, induction d'une tension (chapitre 17)
13 .2 Champ magnétique créé par un courant Si l'on déplace une boussole le long d'un fil parcouru par un courant, on observe que l'aiguille s'oriente toujours perpendiculairement à celui-ci, même aux endroits où le fil est courbé . Lorsqu'on change le sens du courant, l'aiguille s'oriente de nouveau suivant une direction perpendiculaire au fil mais en sens inverse . On constate également que l'aiguille change de sens suivant que la boussole est placée au-dessus ou en dessous du fil (Fig . 13-1) . Enfin, lorsque le courant cesse, l'aiguille reprend son orientation normale dans la direction du champ magnétique terrestre .
PRINCIPE IV Variation du champ magnétique à l'intérieur d'une boucle, induction d'une tension (chapitre 18) Dans les manuels de physique, les principes I et II sont présentés respectivement sous les noms de loi d'Ampère et loi de Lorenz, tandis que les principes III et IV sont deux expressions de la loi de l'induction électromagnétique de Faraday .
Figure 13-1 Un courant électrique produit un champ magnétique .
158
COURANTS ÉLECTRIQUES ET CHAMPS MAGNÉTIQUES
159
Ce phénomène, remarqué pour la première fois en 1819 par le physicien Hans Christian Oersted, est une des plus importantes découvertes du siècle dernier . Oersied a trouvé qu'un conducteur parcouru par un courant s-entoure d'un champ magnétique analogue à celui produit par un aimant . Ce fut la première d'une série de découvertes remarquables dont le sommet fut la découverte de l'induction électromagnétique par Faraday . 13.3 Forme et sens du champ Soit un conducteur raccordé à une pile de sorte qu'il porte un courant I (Fig . 13-2) . Une partie du conducteur traverse une feuille de carton que l'on saupoudre de limaille de fer. On remarque que la limaille se dispose autour du conducteur en une série de cercles concentriques qui révèlent la présence de lignes de force .
champ magnétique
Figure 13-3 La règle de la main droite permet de déterminer le sens des lignes de force, connaissant le sens du courant I . Lentrée du courant dans le conducteur est indiqué par une croix ; la sortie par un point .
Convention - Il est d'usage de représenter le sens du courant à l'extrémité d'un conducteur au moyen d'une croix pour un courant pénétrant dans le conducteur (empennage d'une flèche) et d'un point pour un courant sortant du conducteur (pointe d'une flèche) (Fig . 13-3) . On ne doit pas confondre la croix avec le signe (+) . 13.4 Densité de flux
Figure 13-2 Les lignes de force autour d'un conducteur forment des cercles fermés . La nature de ce champ magnétique est révélée par la limaille de fer.
Lorsqu'un conducteur porte un courant, les lignes de force qui entourent le conducteur deviennent de plus en plus espacées à mesure qu'on s'éloigne du conducteur (Fig . 13-4) . En effet, le nombre de lignes de force par mètre carré diminue . Le flux magnétique est donc moins dense au point B qu'au point A .
Ce champ circulaire entoure le fil sur toute sa longueur, et les lignes de force forment des cercles dont le plan est toujours perpendiculaire à la direction du conducteur. On peut déterminer le sens des lignes de force à l'aide d'une boussole, mais il est plus simple de retenir la règle illustrée à la Fig . 13-3, appelée règle de la main droite : Règle de la main droite Si l'on tient le conducteur dans la main droite, le pouce étant orienté dans le sens du courant, les doigts pointeront dans le sens du flux .
Figure 13-4 La densité de flux décroît à mesure qu'on s'éloigne du conducteur.
Inversement, si l'on connaît le sens du flux, on peut, à l'aide de la même règle, déduire le sens du courant qui le produit .
Le champ existe tout autour du conducteur, même aux endroits très éloignés . Cependant, à quelques centimètres d'un conducteur parcouru par un courant, le
i
160 ÉLECTROTECHNIQUE
champ devient si faible qu'il réussit à peine à faire dévier l'aiguille d'une boussole . Comme ordre de grandeur, signalons qu'un courant de 10 ampères produit à 4 cm du centre d'un conducteur une densité de flux de 50 µT, soit environ celle du champ terrestre . La densité de flux à un point donné est proportionnelle au courant qui traverse le conducteur : si le courant double, la densité de flux double . Cette densité de flux est indépendante du diamètre du conducteur et de la nature de celui-ci . Ainsi, des conducteurs de cuivre et de fer, de diamètres différents mais portant le même courant, produisent, dans l'air, des champs de même densité à 10 cm de leur centre (Fig . 13-5) .
Solution La densité de flux à une distance de 2 cm vaut : B=2x10'1 d = 2 x 10 -7 x
10 0,02
10 4 T 100 pT Le fil #11 possède un diamètre de 2,3 mm, soit un rayon de 1,15 mm . À la surface du conducteur, la densité de flux est donc : B = 2 x 10-7 x 10 = 1739µT 0,00115
fer 10 cm
cuivre 1
13 .5 Champ créé par plusieurs conducteurs Le champ magnétique autour de plusieurs conducteurs est égal à la somme des champs créés par chacun d'eux . Ainsi, un faisceau de 100 conducteurs portant chacun un courant de 5 ampères produit le même champ qu'un seul conducteur parcouru par un courant de 500 ampères (Fig . 13-6) . Cela permet de créer des champs intenses avec des courants relativement faibles .
10 cm
Figure 13-5 La densité de flux B1 = densité de flux B2 .
Par ailleurs, deux conducteurs voisins, portant des courants égaux mais de sens contraires, produisent, ensem-
On peut calculer la valeur de la densité de flux autour d'un conducteur rectiligne par la formule :
B =
2x10-7
1 d
ou B I d 2 x 10-7
= = = =
densité de flux, en teslas [T] courant, en ampères [A] distance, en mètres [m] constante tenant compte des unités
Exemple 13-1 Calculer la valeur de la densité de flux à une distance de 2 cm d'un fil AWG #11 qui porte un courant de 10 A . Quelle est la valeur de la densité de flux à la surface du fil?
(a) 100 conducteurs de 5 A
(b) 1 conducteur de 500 A Figure 13-6 Champ magnétique créé par (a) est le même que celui créé par (b) .
COURANTS ÉLECTRIQUES ET CHAMPS MAGNÉTIQUES
ble, un champ négligeable à quelques millimètres de distance (Fig . 13-7) . Les courants créent des champs de sens contraires de sorte que le champ résultant est faible, même pour des courants élevés . champ négligeable
Figure 13-7 Champ créé par deux courants égaux de sens contraires . Lorsque les conducteurs isolés se touchent, le champ résultant est faible .
En utilisant un câble coaxial formé d'un fil central entouré d'un conducteur de retour cylindrique (Fig . 138) . on peut éliminer complètement le champ à l'extérieur du câble ; toutefois il existera un champ dans l'espace séparant les deux conducteurs . Ce montage est utilisé dans les câbles de soudure à l'arc afin de les empêcher de se coller contre des pièces de fer lorsqu'ils portent des courants intenses . Les câbles coaxiaux trouvent aussi une application dans les circuits à haute fréquence, ce qui permet d'éviter les interférences électromagnétiques avec les circuits voisins .
Figure 13-8 Un câble coaxial ne produit aucun champ extérieur.
161
13 .6 Champ produit par un courant dans une spire Soit un fil circulaire (spire) traversant une feuille de carton en deux points A et B . Saupoudrons cette feuille de limaille de fer comme dans le cas du conducteur rectiligne . Lorsque le fil est parcouru par un courant, des lignes de force se dessinent comme sur la Fig . 13-9 . Aux points A et B, les lignes forment des courbes fermées ; à mesure qu'on s'éloigne de ces deux points, les lignes suivent des courbes de moins en moins prononcées . Au centre, la ligne est rigoureusement droite .
face nord
Figure 13-9 Champ magnétique créé par un courant circulant dans une spire .
Si l'on applique la règle de la main droite à cette spire, on trouve que le sens des lignes de force doit être le même que celui représenté sur la Fig . 13-9 . Par analogie avec les aimants, on appelle face nord (ou pôle nord) celle par laquelle sortent les lignes de force et face sud (ou pôle sud) celle par laquelle elles rentrent. En effet, une spire parcourue par un courant produit un spectre magnétique semblable à celui produit par un aimant permanent en forme de disque (Fig . 13-10) .
Figure 13-10 Le champ créé par un aimant permanent en forme de disque est le même que celui produit par le courant de la figure 13-9 .
162
ÉLECTROTECHNIQUE
Noter que si la spire de la Fig . 13-9 portait, par exemple, un courant de 500 ampères, elle produirait un champ identique à celui d'une bobine de même forme composée de 100 spires et portant un courant de 5 A (Fig . 13-11) .
0 dm
~cccccccc~cc~cv) Figure 13-12 Champ magnétique créé par un solénoïde .
I))
Figure 13-11 Le champ magnétique créé par cette bobine est le même que celui créé par la spire de la Fig . 13-9 .
13 .7 Force magnétomotrice (FMM) Le produit du courant par le nombre de spires s'appelle force magnétomotrice d'une bobine . Ainsi, une bobine de 50 spires portant un courant de 8 ampères, développe une force magnétomotrice (symbole FMM) de : FMM = 50 spires x 8 ampères = 400 ampères Une telle bobine crée le même effet magnétique qu'une seule spire portant un courant de 400 ampères . L'unité SI de force magnétomotrice est l'ampère (A) ; il représente la différence de potentiel magnétique produit par un courant de 1 ampère circulant dans 1 spire* . 13 .8 Champ d'un solénoïde (bobine longue) On appelle solénoïde un fil enroulé régulièrement en hélice de façon à former une bobine longue (Fig . 13-12) . Une telle bobine parcourue par un courant produit le même champ qu'une série de spires indépendantes parcourues par le même courant.
distribuées exactement comme celles d'un barreau aimanté (Fig . 13-13) . Comme pour le barreau aimanté, on appelle pôle nord l'extrémité de la bobine par laquelle sortent les lignes de force, et pôle sud l'extrémité par laquelle elles rentrent . Si l'on applique la règle de la main droite au courant qui circule dans une spire du solénoïde de la Fig . 13-12, on constate que les lignes de force doivent rentrer par l'extrémité A du solénoïde; celle-ci constitue donc le pôle sud . Pour changer le sens du champ, il suffit de changer le sens du courant . On peut remplacer un barreau aimanté par un solénoïde car, leurs spectres magnétiques étant semblables, ils jouissent tous deux des mêmes propriétés magnétiques . En effet, on vérifie expérimentalement que si l'on approche un aimant permanent du solénoïde parcouru par un courant, il y a attraction ou répulsion, comme dans le cas de deux aimants permanents . Le flux créé par un solénoïde, dans l'air ou dans le vide . est proportionnel au courant qui circule dans celui-ci : si l'on double le courant, le flux double . Le nombre de lignes de force dépend donc de la FMM de la bobine . Le flux dépend aussi du diamètre et de la longueur du solénoïde ; l'effet de ces facteurs sera étudié dans le chapitre suivant .
À l'intérieur de la bobine, les lignes de force sont parallèles à l'axe du solénoïde . À l'extérieur, elles sont
*MPI Le terme «ampère-tour» utilisé autrefois équivaut à une FMM de 1 ampère . Nous continuerons à utiliser le terme «ampère-tour» (plutôt que simplement «ampère») aussi souvent que la clarté du texte l'exigera .
Figure 13-13 Ce barreau aimanté produit le même champ magnétique que le solénoïde de la Fig . 13-12 .
COURANTS ÉLECTRIQUES ET CHAMPS MAGNÉTIQUES
Règle de la main droite pour un solénoïde Bien que l'on puisse trouver le pôle nord d'un solénoïde en appliquant la méthode décrite dans la section 13 .6 . il est plus facile d'employer la règle suivante .
163
13.9
Si l'on imagine qu'on tient la bobine de la main droite & façon que les doigts soient dirigés dans le sens du courant circulant dans les spires, le pouce pointera vers k pôle nord du solénoïde . La Fig . 13-14 illustre l'application de cette règle .
qqw Figure 13-15 Cet aimant permanent produit 50 000 lignes de force .
bm Ô O s
Figure 13-16 Cette spire, portant un courant de 120 000 A, produit le même champ magnétique que l'aimant de la Fig . 13-15 .
m
Figure 13-14 Méthode simple pour trouver le pôle nord d'un solénoïde .
13.10 Comparaison des champs produits par un aimant et un solénoïde à noyau d'air Si l'on cherche à produire avec un solénoïde le même flux que celui créé par un aimant permanent de même grosseur, on s'aperçoit que la bobine doit développer une FMM énorme . Par exemple, un aimant permanent en alnico V de 2,5 cm de diamètre et de 15 cm de long produit un flux de 50 000 lignes (500 pWb) environ Fig . 13-15) . Pour produire le même flux avec un solénoïde de mêmes dimensions, mais à noyau d'air, il faudrait que la bobine développe une FMM d'au moins 1 2_0 000 ampères (Fig . 13-16) . C'est dire que cette bobine devrait supporter un courant de 120 000 A si elle était formée d'une seule spire, ou de 120 A si elle en comportait 1000 . Dans un cas comme dans l'autre, la bobine brûlerait en quelques
secondes à cause des fortes pertes par effet Joule . Il est impossible de produire une telle FMM avec une bobine ayant des dimensions aussi restreintes . On en conclut qu'il n'est pas pratique de construire des solénoïdes à noyau d'air produisant des champs magnétiques aussi intenses que ceux obtenus avec les aimants permanents modernes . 13 .11 Électro-aimants Soit un solénoïde à noyau d'air produisant une FMM modérée de sorte que la bobine ne surchauffe pas . On produira ainsi un flux, mais à peine suffisant pour attirer un clou . Mais si l'on introduit un noyau de fer doux à l'intérieur du solénoïde, on constate que le flux augmente de façon spectaculaire et peut devenir aussi grand que celui provenant d'un aimant permanent de mêmes dimensions . Pourtant, la bobine ne développe qu'une FMM modeste . La combinaison d'un solénoïde et d'un noyau de fer doux nous ouvre des possibilités intéressantes . Cette combinaison, appelée électro-aimant, nous permet non seulement de créer des champs aussi intenses que ceux produits par les aimants permanents, mais aussi de les faire varier à volonté (et même les inverser), en faisant simplement varier le courant circulant dans la bobine. Comment expliquer ce phénomène?
164
ÉLECTROTECHNIQUE
Il faut avoir recours aux domaines magnétiques à l'intérieur du morceau de fer doux . Sous l'influence du faible champ produit par le solénoïde, les domaines s'orientent tous dans le même sens que celui-ci, ajoutant ainsi leur flux énorme à celui créé par le solénoïde seul . L' orientation des domaines équivaut à orienter dans une même direction toutes les FMM atomiques créées par la rotation et le «spin» des électrons dans le fer . 13 .12
noyau de fer
Applications des électro-aimants
Les électro-aimants peuvent prendre diverses formes : cylindrique, en fer à cheval, cuirassée, à noyau plongeur, etc ., suivant les applications . En voici quelques exemples . I . Pôles des génératrices et des moteurs Les électro-aimants trouvent leur application la plus importante dans les génératrices et les moteurs . Ils servent à créer un champ magnétique très dense dans l'espace appelé entrefer (Fig . 13-17) . Pour les machines à courant continu, les bobines sont enroulées autour de chacun des noyaux de façon à former un pôle nord et un pôle sud . Les lignes de force circulent de la façon indiquée sur la figure . Il . Électro-plongeur L'ensemble d'une bobine excitatrice et d'un noyau de fer libre de se déplacer à l'intérieur de la bobine constitue un électro-plongeur (Fig . 13-18) .
Figure 13-18 Principe de l'électro-plongeur.
a) Disjoncteurs électromagnétiques
Les disjoncteurs sont des appareils qui coupent automatiquement le circuit quand l'intensité du courant dépasse une certaine valeur (Fig . 13-19) . Grâce à la présence d'un crochet articulé, les contacts fixes d'un interrupteur sont court-circuités par un contact mobile, solidaire du bras mobile du disjoncteur . Le courant I entre par la borne 1, passe par le contact fixe supérieur, le contact mobile, le contact fixe inférieur, à travers la bobine de l'électro-aimant à noyau plongeur, et ressort par la borne 2 .
Lorsque le courant circule dans la bobine, le noyau s'aimante par influence et est alors attiré contre la force de gravité vers le centre de la bobine où le champ est le plus dense . Ce mode de déplacement est mis à profit dans de nombreux disjoncteurs, contacteurs, freins magnétiques et relais .
entrefer - r7_711\ noyau N o S noyau rotor bobin e
à~
là
Figure 13-17 Pôles d'une génératrice à courant continu .
Figure 13-19 Électro-aimant servant à déclencher un disjoncteur .
COURANTS ÉLECTRIQUES ET CHAMPS MAGNÉTIQUES
Lorsque le courant devient trop intense, le noyau plongeur est attiré vers le centre de la bobine et, en remontant . fait sauter le crochet. Le ressort comprimé se dérrend. poussant le bras mobile vers la droite, ce qui coupe le circuit.
165
III . Électro-aimant à noyau fixe
Contrairement à un électro-plongeur, il existe des électro-aimants dont le noyau est fixe. En voici quelques exemples . a) Électro-aimant droit
b, Freins magnétiques
La Fig . 13-20 représente un frein d'ascenseur . Lorsque l'ascenseur est à l'arrêt, un ressort très puissant serre les deux sabots contre un tambour . Dès que le courant circule dans la bobine, celle-ci attire brusquement le plongeur qui, en agissant contre la tension du ressort, libère le tambour. Au moment où le courant est interrompu, le tambour est freiné à nouveau . La bobine de l'électro-aimant est cuirassée en fer afin de concentrer les lignes de force .
12345678-
ressort sabots tambour plongeur bobine fer barre mobile pièce fixe
Figure 13-20 Électro-aimant servant à commander un frein .
et Relais à noyau mobile
La circulation du courant dans la bobine du relais (Fig . 13-21), provoque le déplacement du plongeur. Le contact mobile, solidaire du plongeur, ferme le circuit entre les bornes A et B . Le relais est donc un interrupteur que l'on peut commander à distance en faisant circuler ou non le courant I dans la bobine .
Figure 13-21 Électro-aimant servant à actionner les contacts d'un relais .
Lorsque le courant passe dans la bobine (Fig . 13-22), des pôles N, S apparaissent aux extrémités du noyau . Une armature de fer doux, placée au-dessus du noyau, s'aimante par influence et est attirée vers le noyau . Lorsque le courant cesse dans la bobine, l'armature est ramenée par le ressort . Ce déplacement d'un armature par un électro-aimant est à la base d'un grand nombre d'appareils : sonnerie électrique, relais, appareils de commande à distance, etc .
Figure 13-22 Électro-aimant à noyau fixe utilisé dans un relais .
b) Électro-aimant enfer à cheval
On préfère souvent à l'électro-aimant droit de la Fig . 13-22, l'électro-aimant en fer à cheval qui a l'avantage d'utiliser l'attraction des deux pôles (Fig . 13-23) . Les deux enroulements doivent être raccordés en série afin que les FMM produites par chaque bobine s'additionnent .
Figure 13-23 Électro-aimant à noyau fixe, où on utilise les deux pôles pour attirer une armature .
166
ÉLECTROTECHNIQUE
c) Sonnerie électrique L'organe principal d'une sonnerie électrique est un électro-aimant E en forme de fer à cheval (Fig . 13-24) . Si on appuie sur le bouton poussoir X, le circuit électrique se ferme et le courant passe dans les bobines de l'électro-aimant E puis retourne à la pile par la lame flexible L et par la pointe de la vis fixe V qui fait contact au point C . L'électro-aimant excité attire l'armature A et le marteau M vient frapper le timbre T . Mais dès que cette attraction a lieu, le contact de la vis fixe et de la lame flexible se trouve rompu et le courant ne passe plus . L' aimantation cesse et la lame ramène l'armature à son point de repos . Le courant est ainsi rétabli et l'attraction a lieu à nouveau, et ainsi de suite . Cette succession de chocs du marteau se produit très rapidement et aussi longtemps que l'on appuie sur le bouton X .
Figure 13-25a Le synchro-cyclotron de Berkeley servait à accélérer les particules atomiques telles que les protons, les deutérons, etc . Il utilise le champ magnétique créé par un immense électro-aimant composé de deux bobines principales, de deux bobines auxiliaires et d'un noyau de fer. La photo montre une partie du noyau de fer et les bobines blindées supérieures et inférieures . Les particules atomiques sont accélérées dans l'entrefer, caché dans cette photo par la chambre rectangulaire sous vide (gracieuseté de Lawrence Berkeley Laboratory - University of California) . 17m
1,9 m
noyau de fer
pôle supérieur ~- diamètre 4,67 m -~
5,33 m
3 entrefe4
1305 mm
bobine principale 1300 spires 750 A 1`_~ bobine auxiliaire 212 spires 2700 A
0
t pôle inférieur
Figure 13-25b Vue en coupe et dimensions de l'électro-aimant, à l'échelle . Cet accélérateur illustre bien la construction d'un électroaimant puissant qui a servi à faire des découvertes atomiques importantes . Figure 13-24 Électro-aimant à noyau fixe utilisé dans une sonnette .
d) Électro-aimants spéciaux La Fig . 13-25 montre un électro-aimant énorme qui a servi à étudier les propriétés des particules électroniques . Les détails techniques sont donnés au tableau 13-1 .
13 .13
Calcul des bobines pour électro-aimants Les notions simples que nous avons étudiées dans ce chapitre nous permettent déjà de faire certains calculs sur les électro-aimants . En voici trois exemples .
COURANTS ÉLECTRIQUES ET CHAMPS MAGNÉTIQUES
TABLEAU 13-1
DONNÉES SUR LÉLECTRO-AIMANT DE LA FIGURE 13-25
1.
nombre de bobines
2. 3.
raccordement des bobines
4.
167
enroulement principal
enroulement auxiliaire
2
2 série
parallèle 1300
spires par bobine conducteur de cuivre
212
barre solide 6,35 x 101,6 mm
résistance par bobine à 25 °C
0,62 SQ
barre creuse 30 x 27 mm 0,1 Q2
7.
courant d'excitation par bobine FMM (totale)
750 A 1,95 MA
1,14 MA
8.
tension d'excitation par bobine
5. 6.
9. 10 .
puissance dissipée type de refroidissement
11 .
densité de flux au centre des pôles flux total dans l'entrefer
12 .
550 V 825 kW circulation forcée d'huile 25 Us
13 . masse de cuivre 14 . masse du cuivre (totale) 15 . masse du fer (totale) 16 .
2700 A
énergie des protons après accélération
Exemple 13-2
275 V 1485 kW circulation forcée d'eau dans les conducteurs creux
2,34 teslas 40 webers 275 tonnes 330 tonnes
55 tonnes
3650 tonnes 740 MeV La puissance dissipée deviendra :
Soit une bobine avant 5000 spires et dont la résistance est de 200 12 . Quelle sera sa FMM si elle est raccordée à une souce de 50V'? Quelle sera lapuissance dissipée en chaleur?
P = 0,5 x 100 = 50 watts En doublant la tension, on double la FMM, mais on quadruple la puissance dissipée en chaleur . Ce résultat est très important car il nous fait réaliser que
Solution
l'on ne peut pas obtenir une FMM plus grande sans
Le courant tiré par la bobine sera :
risquer de détériorer l'isolant de la bobine par la
I = E = R
50
= 0,25 A
température élevée, due au dégagement accru de la chaleur.
200
La FMM = courant x tours = 0,25 x 5000
Exemple 13-4 Un électro-aimant comprend une bobine constituée
= 1250 ampères-tours = 1250 A La puissance dissipée en chaleur est donnée par :
P = E I = 50
X 0,25 = 12,5 watts
Exemple 13-3
de 3000 spires de fil #27 . La bobine fonctionne normalement sous une tension de 120 V et tire un courant de 0,4 A . On désire la rebobiner pour servir sous 240 V . Quel devra-être le nombre de spires et la grosseur du fil,
Si on raccorde la bobine de l'exemple 13-2 à une
sachant que les dimensions de la bobine ne doivent
source de 100 V. au lieu de 50'V . quelles seront la >•ouvelle FMM et la nouvelle puissance dissipée?
pas être changées'.' L'électro-aimant deviendra-t-il plus puissant?
Solution .
Solution
La tension étant doublée, le courant sera également doublé à 0,5 A ; la FMM deviendra :
Puisque la bobine doit avoir les mêmes dimensions, la
FMM = 0,5 x 5000 = 2500 A
puissance dissipée en chaleur doit demeurer la même afin de garder le même échauffement .
168
ÉLECTROTECHNIQUE
Sous 120 V, la puissance dissipée était : P=ExI=120x 0,4=48W Sous 240 V, la puissance demeurant la même, le courant sera :
des milliers de fois le champ magnétique créé par la bobine . Les électro-aimants ont de nombreuses applications en électrotechnique : création de flux dans les pôles de moteurs et génératrices, disjoncteurs, freins, relais et sonneries .
I_ P _ 48
=0,2A E 240 Le courant étant diminué de moitié, on pourra utiliser un fil dont la section sera deux fois plus petite que celle du #27, soit un fil #30 . Pour un fil deux fois plus petit, il sera possible de placer deux fois plus de tours sur la bobine, tout en conservant les mêmes dimensions . Le nombre de tours sera porté à 2 x 3000 = 6000 tours .
PROBLÈMES - CHAPITRE 13 Niveau pratique
13-1 Comment peut-on démontrer l'existence d'un champ magnétique autour d'un conducteur portant un courant?
La FMM de la nouvelle bobine sera donc, sous 240 V, de 0,2 A x 6000 spires = 1200 A, soit la même valeur que pour la première bobine .
13-2 Donner la règle de la main droite indiquant le sens du champ magnétique en fonction du courant .
Ce résultat est important : il est possible de rebobiner l'enroulement d'un électro-aimant à courant continu pour servir à une autre tension, sans changer ses dimensions, sa force magnétomotrice et sa température . La FMM ne changeant pas, la puissance magnétique de l'électro-aimant reste la même .
13-4 Dans la Fig . 13-26, en utilisant la règle de la main droite, donner la polarité magnétique de l'extrémité A du noyau de l'électro-aimant .
13 .14
13-6 Le pôle nord d'une boussole est attiré par l'extrémité A d'une bobine (Fig . 13-27) . Déterminer le sens du courant et la polarité électrique (+) (-) de la source .
Résumé
Ce chapitre nous a présenté le premier principe de l'électromagnétisme, à savoir la création d'un champ magnétique par un courant . Tout conducteur parcouru par un courant s'entoure d'un champ magnétique . Les lignes de force suivent des cercles concentriques autour du conducteur . Nous avons vu que la règle de la main droite permet de trouver facilement le sens de ces lignes de champ . Pour un courant donné, la densité de flux en teslas à une distance donnée du centre du conducteur peut être calculée par une formule simple . De la même façon, une spire, et plus généralement une bobine parcourue par un courant, est traversée par un flux magnétique dont les lignes sortent par une extrémité constituant le pôle nord et rentrent par l'autre extrémité constituant le pôle sud . Le produit NI (nombre de spires x courant en ampères) est la force magnétomotrice développée par la bobine . Une bobine parcourue par un courant produit donc un champ magnétique tout comme un aimant permanent . Cette propriété est mise à profit dans les électro-aimants constitués d'une bobine enroulée autour d'un noyau de fer doux . Sa perméabilité élevée permet d'amplifier
13-3 Quelle est l'unité SI de force magnétomotrice?
13-5 On applique une tension de 150 V à une bobine dont la résistance est de 120 S2 . Sachant que la bobine a 1000 spires, calculer sa force magnétomotrice .
A
Figure 13-26 Voir problème 13-4 .
Figure 13-27 Voir problème 13-6 .
COURANTS ÉLECTRIQUES ET CHAMPS MAGNÉTIQUES
Niveau intermédiaire
Un électro-aimant est placé vis-à-vis d'un aimant permanent N-S (Fig . 13-28) . Si la source de tension a la polarité électrique indiquée, y aura-t-il attraction ou répulsion? Qu'adviendra-t-il si les bornes de la bobine sont interverties? 13-7
1 69
13-10 La bobine d'un électro-aimant est constituée de 5000 spires de fil #22, et elle est construite pour une tension nominale de 120 V . Sa résistance est de 120 S2 .
S'il fallait la rebobiner pour qu'elle garde les mêmes propriétés magnétiques et thermiques sous une tension de 6 V, quel devrait être le calibre du fil et le nombre de spires à employer? La bobine aurait-elle les mêmes dimensions? Niveau avancé
N
S 13-11 Le câble d'aluminium de la Fig . 10-12c porte un courant de 343 A . Calculer la densité de flux : a) à la surface du conducteur toronné b) à la surface extérieure du câble Note : mesurer avec une règle, le diamètre du conducteur et du câble .
Figure 13-28 Voir problème 13-7 .
Dans la Fig . 13-25b, vérifier que la FMM totale des enroulements principaux et auxiliaires est bien de 1,95 MA et 1,14 MA . 13-12
Soit deux électro-aimants A et B branchés en série, et raccordés à une source de 60 volts (Fig . 13-29) . La résistance de la bobine A est de 50 S2, celle de B, de 70 S2 . 13-8
Calculer la longueur moyenne d'une spire de l'enroulement principal (Fig . 13-25b), en utilisant les données du tableau 13-1 . 13-13
Si l'eau circulant dans les conducteurs creux de la Fig . 13-25 entre à une température de 12 °C et ressort à 40 °C, quel est le débit en litres par seconde? 13-14
Chacun des 36 pôles d'un alternateur de 500 MVA installé à Churchill Falls est composé de 21 spires de cuivre ayant une section de 11 x 88 mm . Les bobines ont une longueur de 3100 mm et une largeur de 700 mm (voir les 36 bobines montées sur le rotor à la Fig . 36-4) . Sachant que le courant d'excitation est de 2400 A et que les pôles sont raccordés en série, calculer : a) la FMM par pôle b) la tension d'excitation requise si la température des bobines est de 105 °C c) la puissance d'excitation, en kW 13-15
60 V 1 1 Figure 13-29 Voir problème 13-8 .
La bobine A a 2000 spires alors que la bobine B n'a que 800 spires . Déterminer : a) la FMM de chacune des bobines b) la puissance dissipée dans chacune des bobines c) si les deux bobines ont les mêmes dimensions, laquelle atteindra la plus haute température? d) s'il y aura attraction ou répulsion entre ces deux électro-aimants? Pourquoi un électro-aimant raccordé à une source de tension fixe devient-il moins puissant à mesure que sa bobine s'échauffe? 13-9
4 Circuits magnétiques
Un circuit électrique est composé d'un ensemble d'éléments reliés les uns aux autres et destinés à conduire un courant électrique . De façon analogue, un circuit magnétique est composé d'un groupe de corps reliés les uns aux autres et destinés à conduire un flux magnétique (Fig . 14-1) .
fonte
Dans ce chapitre, nous étudions les circuits magnétiques . Nous verrons qu'ils ressemblent aux circuits électriques étudiés au chapitre 5 . Ainsi, on retrouve des circuits magnétiques en série, en parallèle et en sérieparallèle . 14.1
fer
Figure 14-1 Exemple de circuit magnétique .
Champ magnétique à l'intérieur d'un tore
L'exemple suivant servira à illustrer quelques-unes des propriétés des circuits magnétiques . Plions un tube de caoutchouc en forme de U et bobinons sur ce tube des spires espacées régulièrement (Fig . 14-2a) . Supposons que le sens du courant dans la bobine soit tel que les lignes de force aient le sens indiqué, avec la polarité magnétique nord-sud correspondante . Si maintenant on joint les deux bouts du tube de caoutchouc de façon à former un anneau de section circulaire, appelé tore, les pôles nord et sud disparaissent et les lignes de force restent à l'intérieur de la bobine et se referment sur elles-mêmes (Fig . 14-2b) . Ce montage constitue un solénoïde toroidal .
Figure 14-2 a . La bobine produit un flux et deux pôles, N et S . b . Lorsque la bobine est refermée sur elle-même, le flux demeure, mais les pôles N,S disparaissent .
170
CIRCUITS MAGNÉTIQUES
Nous allons maintenant étudier dans ce circuit magnétique, l'effet (1) de la longueur du chemin magnétique, (2) de sa section et (3) de la nature du matériau constituant le tore .
171
que pour une même force magnétomotrice de 800 A, on obtient alors un flux de 20 lignes .
Pour fins de simplification, et comme point de départ, prenons l'exemple numérique du tore de la Fig . 14-3 . Ses données sont : Données du solénoïde toroïdale Section du noyau de caoutchouc :
1 cm 2
Longueur moyenne du chemin magnétique : 1 m Courant dans la bobine:
1 A
Nombre de spires de la bobine :
800
Nombre de lignes à l'intérieur du tore :
Figure 14-3 Données du tore servant à analyser les propriétés d'un circuit magnétique .
10
La force magnétomotrice de la bobine vaut : FMM = 1 A x 800 spires = 800 ampères ou
5 lignes
800 ampères-tours Apportons des changements successifs à ce tore afin de constater l'effet sur le flux . 1 . Effet de la longueur du chemin magnétique
Le tore de la Fig . 14-4a est identique à celui de la Fig . 14-3, à l'exception de la longueur qui a été augmentée de 1 mètre à 2 mètres . Les 800 spires de la bobine sont enroulées uniformément sur sa longueur . On constate alors que le nombre de lignes de force à l'intérieur de la bobine a diminué de moitié . Donc une même force magnétomotrice de 800 ampères ne produit plus que 5 lignes . De façon très intuitive, on peut dire qu'en doublant la longueur du chemin magnétique, on double la «résistance» au passage des lignes de force . Ceci est analogue au passage du courant dans un circuit électrique : en doublant la longueur du conducteur, on double sa résistance .
Figure 14-4a Lorsque la longueur du chemin magnétique double, le flux diminue de moitié .
Dans un circuit magnétique, l'opposition au passage des lignes de force est appelée réluctance. On constate que la réluctance est proportionnelle à la longueur du chemin magnétique . 2. Effet de la section du chemin magnétique
Le tore de la Fig . 14-4b est identique à celui de la Fig . 14-3 à l'exception de la section du tube de caoutchouc qui, cette fois-ci, est augmentée à 2 cm 2 . On découvre
Figure 14-4b Lorsque la section du chemin magnétique double, le flux double .
172
ÉLECTROTECHNIQUE
En doublant la section du chemin magnétique, l'opposition (ou réluctance) au passage des lignes de flux diminue de moitié . Donc, on constate que la réluctance du chemin magnétique est inversement proportionnelle à la section . 3 . Effet de la nature du noyau
Si le noyau de caoutchouc du solénoïde est remplacé par un noyau de bois ou de tout autre matériau non magnétique, le nombre de lignes de force ne changera pas à l'intérieur de la bobine . Si, par contre, on remplace le noyau par un noyau de fer, de cobalt, de nickel ou d'un alliage de ces matériaux magnétiques, le nombre de lignes sera considérablement augmenté . Ainsi, le flux à l'intérieur de la bobine de la Fig. 14-4c peut devenir plusieurs centaines de fois plus grand en remplaçant le noyau de caoutchouc par un noyau de fer doux! On en conclut que les matériaux magnétiques facilitent grandement le passage des lignes de force . fer
ble que le fer doux, son opposition (ou réluctance) au passage des lignes de force sera donc plus grande . On dit alors que la perméabilité du fer doux est supérieure à celle de la fonte . 14 .3 Explication de la perméabilité Considérons de nouveau deux bobines toroïdales (Fig . 14-5), identiques à celle de la Fig . 14-3, dont les 800 spires portent le même courant de 1 ampère . Le noyau du tore de la Fig . 14-5a est constitué d'un matériau non magnétique comme l'air, tandis que celui de la Fig . 14-5b est en fer doux . Comme les bobines ont le même nombre de spires et portent le même courant, elles produisent la même FMM . Cependant, si l'on pouvait mesurer au moyen d'un «fluxmètre» le nombre de lignes traversant chacun des noyaux, on constaterait que le nombre de lignes dans le fer doux dépasse des centaines de fois celui dans l'air . Par exemple, on peut obtenir une valeur de 15 000 lignes pour le fer doux et une valeur de 10 lignes seulement pour l'air . On peut expliquer ce résultat en considérant la théorie des domaines magnétiques . Tout d'abord, remarquons 10 lignes
air bobine 800 spires
(a) Figure 14-4c Lorsque le noyau de caoutchouc est remplacé par un noyau de fer, le flux augmente des centaines de fois .
La réluctance d'un circuit magnétique est donc réduite de beaucoup par l'emploi d'un matériau magnétique . En résumé, la réluctance d'un circuit magnétique dépend de sa longueur, de sa section et du matériau dont il est constitué .
fer
(b)
15 000 lignes
14 .2 Perméabilité magnétique Comme nous l'avons vu à section 14 .1, tout se passe comme si les matériaux magnétiques étaient très perméables aux lignes de force, d'où le nom de perméabilité pour caractériser la facilité avec laquelle ces matériaux se laissent traverser par les lignes . Les matériaux magnétiques ne sont pas tous aussi perméables les uns que les autres : la fonte n'est pas aussi perméa-
m
Figure 14-5 Notion de perméabilité d'un matériau magnétique : a . Le solénoïde à noyau non magnétique produit 10 lignes de flux ; b . Le solénoïde à noyau de fer produit 15 000 lignes .
1 73
CIRCUITS MAGNÉTIQUES
que pour une même FMM de 800 A, la bobine produit toujours 10 lignes, que le noyau soit composé d'un matériau magnétique ou non . Cependant, dans le cas du noyau de fer (Fig .14-5b), les lignes de force de la bobine agissent sur les domaines magnétiques et tendent à les orienter dans une même direction . Ces domaines créent donc des lignes de force additionnelles qui s'ajoutent aux 10 lignes engendrées par la bobine . Ainsi, à la Fig . 14-5b, le flux total de 15 000 lignes est composé de 10 lignes produites par la bobine même et de 14 990 lignes créées par les domaines magnétiques . 14 .4 Perméabilité relative Le rapport entre le nombre total des lignes de force eou flux magnétique) dans un matériau et celui dans 1-air est appelé perméabilité relative (µr )* du matériau . flux dans le matériau
(14-2)
flux dans l'air Dans l'exemple précédent (Fig . 14-5), la perméabilité relative du fer doux est : 15 000 = 1500 µr = 10 Dans cet exemple, l'opposition du fer doux au passage des lignes de force est donc 1500 fois plus faible que celle de l'air. Certains alliages spéciaux, tels que le Permalloy, ont des perméabilités relatives qui atteignent des valeurs de l'ordre de 1 000 000 . La perméabilité d'un matériau magnétique (comme le fer) n'est pas constante ; elle varie avec la densité de flux magnétique . Ceci provient du fait que l'augmentation du flux dans le matériau magnétique n'est pas proportionnelle à l'augmentation de la FMM qu'on lui applique. Ce fait est mis en évidence à la section sui*ante . 14.5 Courbe de saturation du fer Considérons de nouveau le solénoïde toroïdal de la Fig . 14-3 dont la longueur moyenne du chemin magnétique est de 1 mètre, et la section de 1 cm 2 .
Figure 14-6 Instrument à affichage numérique servant à mesurer la densité de flux à partir de 1 millitesla jusqu'à 100 teslas . Il enregistre la densité des flux alternatifs ou continus avec une précision de ± 0,5 % (gracieuseté de FW Bell Inc.) .
On a vu que lorsque le noyau du tore est constitué de caoutchouc ou d'un autre matériau non magnétique, une force magnétomotrice de 800 ampères y fait circuler un flux de 10 lignes . Si on augmente la FMM graduellement, on observe que le flux augmente en proportion . Par exemple, lorsque la FMM est doublée à 1600 A, le flux sera de 20 lignes . Si l'on porte sur un graphique les valeurs correspondantes de la force magnétomotrice et du flux (Fig . 14-7), on constate qu'elles peuvent être jointes par une ligne droite, soit la courbe (a) . On vérifiera sur cette droite qu'un flux de 40 lignes dans le noyau correspond à une FMM de 3200 A . Le flux dans un matériau non magnétique est donc proportionnel à la FMM . Remplaçons maintenant le noyau de caoutchouc par lignes 20 000 coude
19 000 lignes
"
15 000 10 000 40 (a)
20 0
En fait, la perméabilité relative se définit par rapport au vide . Mais comme la perméabilité du vide est sensiblement égale à celle de l'air, l'équation 14-2 est assez précise pour nos besoins . (u est une lettre grecque qui se prononce 'mu» .)
(b)
0
800
1600
2400
3200
FMM Figure 14-7 Courbe de saturation pour un matériau non magnétique (a) et pour le fer (b) .
174
ÉLECTROTECHNIQUE
un noyau de fer, et faisons croître graduellement la FMM de 0 à 3200 A, en notant les valeurs correspondantes du flux magnétique . Si l'on trace un nouveau graphique donnant la relation entre la FMM et le flux, on n'obtient plus une droite mais une courbe (b) qu'on appelle courbe de saturation (Fig. 14-7) . Jusqu'au point A (appelé «coude» de la courbe) le flux croît très rapidement avec l'augmentation de la force magnétomotrice . Passé ce point, le nombre de lignes croît assez peu, même pour une grande augmentation de la force magnétomotrice . Ainsi, dans l'exemple cidessus, pour une FMM de 800 A, le flux est de 15 000 lignes ; pour une FMM de 1600 A, il est de 18 000 lignes seulement . Enfin, en doublant de nouveau la FMM à 3200 A, le nombre de lignes n'augmente que de 1000, pour donner 19 000 lignes . Ceci provient du fait que lorsque le noyau de fer est soumis à une FMM relativement faible, une partie importante des milliers de domaines s'alignent avec ce champ . Leur contribution au flux est énorme, de sorte que le flux augmente très rapidement avec la FMM . Au fur et à mesure que la FMM augmente, un plus grand nombre de domaines s'orientent dans le sens du champ, et le nombre de lignes continue à croître . En augmentant la FMM davantage, on finit par atteindre la condition où tous les domaines sont alignés . Par conséquent, même si l'on persiste à augmenter la FMM, les domaines ne créent plus de lignes supplémentaires . On dit alors que le fer est saturé . La saturation du fer correspond à la condition montrée à la Fig . 12-16c, chapitre 12 .
de cuivre ou de courant pour augmenter la FMM d'une bobine, car l'augmentation de flux ainsi obtenue n'est plus assez forte . 14 .6
Densité de flux (B)
Le flux 0 (en webers) qui traverse un échantillon ferromagnétique ne révèle pas s'il est saturé ou non . Cependant, connaissant la densité de flux (en teslas), il est facile d'établir le degré de saturation de l'échantillon, à l'aide de tables ou de courbes fournies pour tous les matériaux magnétiques usuels . Si l'on connaît le flux qui traverse une surface perpendiculaire à la direction du flux, on peut évaluer la densité de flux . Par définition, la densité de flux B traversant une surface A est donnée par la formule : (14-3) où B
= densité de flux, en teslas [T]
0 = flux traversant la surface, en webers [Wb] A = surface, en mètres carrés [m 2 ] Exemple 14-1
Le circuit magnétique d'un transformateur est composé d'un ensemble de tôles d'acier superposées (Fi- . 14-8) . La section du noyau magnétique est égale à 4 cnm x 5 cm . Sachant que le flux traversant ce noyau est de 3 mWb, trouver la densité de flux dans l'acier .
Lorsque le fer est saturé, le flux continue à augmenter avec la FMM . Cette croissance correspond aux lignes magnétiques créées dans un matériau vide, comme de l'air . On remarque sur la Fig . 14-7 qu'une FMM de 800 A donne une perméabilité relative de
µ
= 15 000 lignes = 1500 10 lignes
tandis qu'une FMM de 3200 A donne une perméabilité relative de seulement
µ
= 19 000 lignes = 475 40 lignes
On peut tirer une conclusion importante de ce phé nomène : passé le point de saturation, il est rarement recommandable de faire une dépense supplémentaire
Figure 14-8 Voir exemple 14-1 .
Solution La section du noyau vaut : A = 4 cm x 5 cm = 4 x 5 = 0,002 m2 100 100 = 3 mWb = 0,003 Wb
175
CIRCUITS MAGNÉTIQUES
d'où B
= 0,003 = 1,5 teslas = 1,5 T = 0 A
0,002
14 .7 Champ magnétique (H) Le champ magnétique (symbole H) en un point est la force magnétomotrice exercée par unité de longueur. Dans le SI, elle est exprimée en ampères par mètre [A/ml Le tore homogène de la Fig . 14-9 possède une lonsueur de 1 mètres et la FMM qui agit sur tout le circuit est de NI ampères . Par définition, le champ magnétique tH) à l'intérieur du tore vaut Nul ampères par mètre . On doit noter que le terme champ magnétique a deux significations : il désigne soit une région contenant des lignes de force (section 12 .4), soit une grandeur précise mesurée en A/m . Dans le SI, le champ magnétique est exprimé en ampères par mètre, et non en ampèrestours par mètre, le mot «tour» étant sous-entendu .
bon de se rappeler que dans un circuit magnétique c'est le champ magnétique H qui donne naissance au flux . Cette relation est exprimée graphiquement par la courbe d'aimantation B-H du matériau . Quelle est la nature de cette relation dans le cas du vide? Dans le vide, la densité de flux B est exactement proportionnelle au champ magnétique H . C'est ce qu'exprime la relation : B = pH ou B = densité de flux, en teslas [T] H = champ magnétique, en ampères par mètre [A/m] constante, appelée constante magnétique µo ou perméabilité du vide = 47t x 10 -7 (= 1/800 000 environ) Dans le SI, la constante magnétique u o est fixée par définition à une valeur numérique de 4rt x 10 -7 ou 1/800 000 environ* . Cela nous permet d'écrire l'équation 14-4 sous la forme approximative :
B =
Exemple 14-2 Une pièce de matériau homogène et de section constante a une longueur de 0 .3 mètre . Si elle est soumise à une FMM de 720 ampères, quel est le champ magnétique?
H
(14-5)
800 000
N spires
Figure 14-9 Champ magnétique à l'intérieur d'un tore : H = Nul .
(14-4)
La courbe d'aimantation du vide est donc une ligne droite qui ne révèle aucune saturation, quelle que soit la grandeur de B ou de H (Fig . 14-11) . On vérifiera sur cette courbe qu'un champ de 8000 A/m produit, dans le vide, une densité de flux de 10 milliteslas . mT 20 courbe d'aimantation du vide et des matériaux non magnétiques
ppe-
p
Solution
Le champ magnétique est :
H =
720 A
= 2400 A/m
'Au
0,3 m
14 .8 Courbe d'aimantation B-H du vide Pour un échantillon donné de matériau magnétique, il existe une relation bien définie entre la densité de flux (B) et le champ magnétique (H) qui la produit . Il est
10
12 kA/m
>H Figure 14-11 Courbe d'aimantation du vide et des matériaux non magnétiques . " L'expression complète de
µo est 4ir x 10 -7 henry/mètre .
176
ÉLECTROTECHNIQUE
Les matériaux non magnétiques ont tous une perméabilité relative sensiblement égale à 1, de sorte que leurs courbes d'aimantation sont presque identiques à celle du vide . L'air, par exemple, possède une perméabilité relative de 1,000 000 4, ce qui indique qu'il est à peine plus perméable que le vide .
utile . Pour ces matériaux, on est donc obligé de représenter la relation entre la densité B et le champ H par une courbe d'aimantation .
14.9 Courbe d'aimantation B-H d'un matériau magnétique
On vérifiera sur ces courbes qu'un champ magnétique de 2000 A/m produit des densités de flux de 1,4 T pour l'acier coulé et 0,5 T pour la fonte .
La Fig . 14-12 donne les courbes d'aimantation de trois matériaux employés dans les machines électriques : acier au silicium (1 %), fonte et acier coulé .
La densité de flux B dans un matériau magnétique dépend aussi du champ magnétique H; sa valeur est donce par l'équation :
+i B. po et H ont la même signification qu'auparavant, d p représente la perméabilité relative du matériau .
La Fig . 14-13 donne les courbes d'aimentation de quelques matériaux magnétiques, étendues sur une grande échelle de H. On remarque que toutes les courbes tendent finalement vers la courbe d'aimantation du vide lorsque le champ magnétique H est suffisamment intense . Cette courbe passe par les points (0,1 T, 80 000 A/m) et (1,25 T, 106 A/m) .
118alheureusement, la valeur de la perméabilité relative ,phi est pas constante, mais dépend de la densité de Ma dans le matériau . Il s'ensuit que la relation entre B ME n'est pas linéaire, ce qui rend l'équation 14-6 peu
14 .10 Détermination de la perméabilité relative Lorsqu'on connaît la courbe d'aimantation d'un matériau magnétique, il est facile d'en déduire la perméabi-
(14-6)
teslas 2,0 1,8
1,6
1,4
'PAF
1,2
MFÀA1
1,0
ÀBÀFB
acier coulé
111pe-
B
0,8
JFÀM
0,6
JÀM
fonte
lino
0,4 0,2
0 0
1000
2000
3000 H
14-12 daimantation de trois matériaux magnétiques .
4000
5000
6000
A/m
CIRCUITS MAGNÉTIQUES
T 2,5
sur
2,0 1,5
177
/_Permaloy fer
~,
pur,I_
[mur cobalt/ Alnico V
N
0,3
m 1VAV
0,2
,'
0,15
a
8 I
20
10
40
80
200 400 800
100
2
a
8
2
10 4
1000 H
Figure 14-13 Courbes d'aimantation permettant une comparaison entre les matériaux magnétiques et non magnétiques . Noter que toutes les courbes deviennent asymptotiques à la courbe B-H du vide lorsque le champ magnétique H est suffisamment intense .
fité relative en un point quelconque . Grace à l'équaâon 14-6, on obtient l'expression approximative :
/r = 800 000
B
Solution En se reportant à la courbe d'aimantation de la Fig . 14-12, on constate que pour l'acier au silicium, la valeur de H correspondant à 1,4 T est de 1000 A/m .
(14-7) H
Il s'ensuit que µr = 800 000
,ur = perméabilité relative [un nombre] • = densité de flux dans le matériau [T] • = champ magnétique agissant sur le matériau [A/m] 000 = constante [valeur exacte = 10 7/4tt] MO Exemple 14-3 (jaelle est la perméabilité de l'acier au silicium (I u'il est utilisé à une densité de 1 .4 T?
B H
• 800 000 x
1,4 1000
• 1120
À cette densité de flux, l'acier est donc 1120 fois plus perméable que le vide .
le )
Exemple 14-4 En se reportant à la Fig . 14, - I déterminer la perméabilité relative du nickel à une densité de 0 .6 T.
178
ÉLECTROTECHNIQUE
Solution
Pour obtenir une densité de flux de 0,6 T, la courbe d'aimantation indique un champ magnétique H de 3 x 10 4 A/m . Par conséquent, µr = 800 000 H B donc
µr = 800 000 x
0,6 30 000
16 14 .11
Analogie entre circuits électriques et circuits magnétiques
Si l'on établit un parallèle entre les circuits électriques et les circuits magnétiques, on s'aperçoit qu'il existe une grande analogie entre : 1 . le courant électrique I et le flux magnétique 0 2. la différence de potentiel E et la force magnétomotrice FMM 3 . la résistance R et la réluctance Ji' 4 . la résistivité p et l'inverse de la perméabilité 1/µ Les lignes de flux qui se referment sur elles-mêmes dans les circuits magnétiques sont analogues aux courants électriques . La force magnétomotrice peut être considérée comme une différence de potentiel magnétique qui, appliquée entre deux points d'un circuit magnétique, fera circuler des lignes de flux entre ces points . La FMM d'une bobine est donc comparable à la force électromotrice d'une génératrice électrique . Enfin, l'opposition au passage des lignes de flux, ou réluctance d'un chemin magnétique, est analogue à la résistance électrique d'un conducteur . À l'expression de la loi d'Ohm
Il existe cependant des différences importantes entre les circuits électriques et les circuits magnétiques : 1 . l'air, parfait isolant électrique, peut être traversé par des lignes de force et fait souvent partie de circuits magnétiques ; 2 . le courant électrique correspond à un mouvement d'électrons tandis que la «circulation» du flux ne correspond à aucun mouvement; 3 . la conductivité de la plupart des matériaux conducteurs est assez constante, alors que la perméabilité des matériaux magnétiques varie avec le flux qui les traverse . À cause de cette non-linéarité, il est plus difficile de résoudre les circuits magnétiques que les circuits électriques . En effet, pour résoudre les circuits magnétiques, on est obligé d'utiliser les courbes d'aimantation B-H; si les matériaux magnétiques avaient des perméabilités constantes, on pourrait résoudre les circuits magnétiques avec autant de facilité que l'on résout les circuits électriques . 14.12
Solution des circuits magnétiques simples
En pratique, pour les circuits magnétiques, on a à résoudre l'un ou l'autre des deux problèmes suivants : 1 . Calculer la FMM nécessaire pour obtenir un flux déterminé dans un circuit magnétique connu . 2 . Pour une FMM donnée, évaluer le flux produit dans un circuit magnétique connu. On rencontre souvent des entrefers dans les machines et les dispositifs électriques . Par conséquent, il est utile de connaître la FMM requise pour produire un flux quelconque dans un entrefer . L'équation 14-5 nous permet de calculer la FMM requise pour forcer un flux de densité B à travers un entrefer de longueur 1 . En effet,
i = E B=
R
correspond la relation :
H
FMM
800 000
8000001
d'où _ FMM 0
(14-8)
ou = flux dans le circuit magnétique [Wb] FMM = force magnétomotrice agissant sur le circuit magnétique [A] Ji = réluctance du circuit magnétique [A/Wb]
FMM = 800 000 Bl où FMM = force magnétomotrice requise [A] B = densité de flux dans l'entrefer [T] l = longueur de l'entrefer [m]
(14-9)
1 79
CIRCUITS MAGNÉTIQUES
Exemple 14-5
FMM regiure pour un rot, ter On désire produire une densité de flux de 0 .7 tesla dans un entrefer dont la longueur est de 2 millimètres (Fi( , . 14-14) . Calculer la FMM requise .
0,7 T
ce qui exigerait le calcul de la réluctance 9î de ce circuit . Pour obtenir cette réluctance, il faudrait connaître la valeur de la perméabilité µ,- de la substance pour une densité de flux donnée . On évite tous ces calculs en employant la courbe d'aimantation de la Fig . 14-12 . Celle-ci donne immédiatement le champ magnétique H requis pour produire, dans le circuit magnétique, une certaine densité de flux . La section du noyau est : A = 10 x 12 = 120 cm 2 = 0,012 m2
m Figure 14-14 Voir exemple 14-5 .
La densité de flux B est donc : B =
Solution D'après l'équation (14-9) la FMM requise est : FMM = 800 000 Bl = 800 000 x 0,7 x2 1000
= 1120A
0,012 = = 1 tesla A 0,012 -
En se référant à la courbe de la Fig . 14-12, pour les tôles d'acier au Si (1 %), on voit qu'il faut un champ H de 300 A/m pour produire 1T . La bobine doit donc produire une FMM de 300 A pour chaque mètre du circuit magnétique . La longueur moyenne du circuit magnétique étant de l ,5 mètres, la force magnétomotrice de la bobine devra être :
Exemple 14-6
FMM requise pour le fer . Soit le noyau d' un transformateur composé de tôles d'acier au silicium (1 %) . Les dimensions du noyau sont données à la Fig . 14-15 . La longueur moyenne de son chemin magnétique est de 1,5 mètres . Quelle doit être la force magnétomotrice de la bobine qui produira un flux de 12 mWb dans ce noyau?
FMM = 300 x 1,5 = 450 A ou 450 ampères-tours Exemple 14-7
FMM requise poire un rznq~enu nt cil série . Calculons maintenant la force magnétomotrice requise pour faire circuler le même flux ( 12 mWb) dans le noyau de l'exemple 14-6, après y avoir coupé une fente de 1,5 mm de longueur (Fi ,, . 14-16a) .
acier au Si (1%) --1,5 m-1
12 mWb
12 mWb
225 A
10cmx 12 cm
FMM fer
L f
j- --r1,5 mm 1
entrefer
N
ô
D
Figure 14-15 Voir exemple 14-6 .
1
FMM fer 225 A
Solution On pourrait faire le calcul en utilisant la formule +I 14-8) :
0
_ FMM
Figure 14-16 a . Circuit magnétique en série (voir exemple 14-7) . b . Circuit magnétique équivalent, montrant les FMM requises pour l'entrefer et les deux branches du noyau de fer .
I 80
ÉLECTROTECHNIQUE
Solution
Exemple 14-8
Il s'agit effectivement d'un groupement magnétique en série, car deux chemins de réluctance différente (acier et air) sont traversés par un même flux (analogie avec deux résistances disposées en série) .
Groupement en parallèle . Considérons le circuit nia-
La FMM créée par la bobine est consommée par les chutes successives de «tension magnétique» dans chacun des chemins (Fig . 14-16b), tout comme la tension E appliquée à un circuit électrique est consommée par les chutes successives de tension dans les résistances groupées en série . La FMM de la bobine est donc donnée par la somme des FMM nécessaires (a) pour l'air et (b) pour l'acier.
gnétique de la Fi` . 14-17a composé de noyaux de fonte et d'acier coulé . Le flux total provenant de la bobine est partagé entre les deux matériaux qui portent chacun ¢q et 02 lignes . Le circuit électrique équivalent (Fig . 14-17h) montre clairement que les chemins parcourus par 01 et 0 , sont en parallèle . Calculons la valeur (les flux 0 1 et 01 sachant que la bobine a une résistance de 400 S2 et comprend 1200 spires . La tension appliquée à la bobine est de 200 V et la longueur moyenne du chemin mnaenétique est de 20 cm .
a) FMM pour l'air . En supposant que dans la fente toutes les lignes suivent le même chemin qu'elles suivaient auparavent dans le fer, la densité de flux dans l'entrefer est la même que dans le noyau, soit 1 T. On a d'après l'équation 14-9 :
fonte
acier coulé
= 20 cm
FMM = 800 000 Bl = 800 000 x 1 x
1,5
200 V
1000 = 1200 A pour l'acier . La longueur du chemin magnétique dans l'acier étant sensiblement la même qu'auparavant (1,5 - 0,0015 = 1,4985 m au lieu 1,5 m), la FMM requise pour l'acier est la même qu'auparavant, soit 450 A . b) FMM
(a) 7,87 mWb
La force magnétomotrice de la bobine doit être :
acier coulé
(b)
FMMbobine = (1200 + 450) = 1650 A Cet exemple démontre toute l'importance des entrefers dans les circuits magnétiques . En effet, alors que dans ce cas la longueur du chemin est 1000 fois plus grande dans l'acier que dans l'air, l'acier requiert environ 2,5 fois moins d'ampères-tours que l'air . Lorsque la longueur du chemin dans l'acier n'est pas trop grande par rapport à la longueur de l'entrefer, on peut négliger la FMM nécessaire pour l'acier. Dans les machines électriques, on cherche à garder l'enterfer entre le rotor et le stator aussi étroit que possible afin de réduire la FMM que les pôles doivent développer . En effectuant une réduction de la FMM, on peut diminuer la grosseur des bobines, ce qui contribue à réduire les dimensions et le coût de la machine .
Figure 14-17 a . Les noyaux de fonte et d'acier coulé sont en parallèle . b . Circuit magnétique équivalent (voir exemple 14-8) .
Solution Le courant dans la bobine vaut : I = 200 V = 0,5 A 400£2 La FMM développée par la bobine vaut : FMM = NI = 1200 x 0,5 = 600 A Le champ magnétique H dans la fonte et dans l'acier
181
CIRCUITS MAGNÉTIQUES
coulé est donc : H = FMM/1 = 600 A/0,2 m = 3000 A/m car la longueur du chemin magnétique (20 cm) est la même pour les deux matériaux .
(a)
Sur les courbes de saturation de la Fig . 14-12, on voit que ce champ magnétique crée des densités de flux B de 0,6 tesla pour la fonte et de 1,5 teslas pour l'acier coulé .
5 cm
D'après la Fig . 14-17a, les deux noyaux possèdent la même section, soit : A = 7,5 cm x 5 cm = 0,003 75 m2
Donc :
0 =
= 0,6 x 0,003 75 = 0,002 25 Wb 2,25 mWb
BA
02 = BA = 1,5 x 0,003 75 = 0,005 62 Wb = 5,62 mWb
Figure 14-18 a . Circuit magnétique en série-parallèle (voir exemple 14-9) . b . Circuit magnétique équivalent .
La densité de flux dans les branches acb et adb est donc :
Exemple 14-9
Groupcnicnt composé. Le circuit magnétique de la
Fig . 14-18a est un groupement composé, c'est-1dire un arrangement de chemins magnétiques sérieparallèle . Le flux créé par la bobine passe par la jambe centrale ah et se divise en deux branches aci) et adb . Le circuit magnétique équivalent (Fig . 14-18b) montre clairement que les chemins acb et adb sont en parallèle . Le noyau est composé de tôles d'acier au silicium (1 %) et les dimensions sont les suivantes :
4 mWb
0,004
5 cm x 8 cm
0,05 x 0,08
Bacb = Badb =
1T Une telle densité exige un champ de 300 A/m (d'après la courbe pour l'acier au silicium, Fig . 14-12) . La différence de potentiel magnétique entre les points a et b doit être de FMMacb = FMMadb = 300 A/m x 0,5 m = 150 A
chemin
section
longueur
ab
10 cm x 8 cm
25 cm
acb
5 cm x 8 cm
50 cm
En d'autres termes, une FMM de 150 A est nécessaire pour faire passer un flux de 4 mWb à travers les chemins acb et adb .
adb
5 cm x 8 cm
50 cm
La densité dans la branche centrale ab est :
Supposons que l'on désire créér un flux de 8 mWb dans la branche centrale ab du noyau (Fig .14-18a) . Quelle doit être la FMM de la bobine excitatrice?
Solution Le flux 01 dans la branche centrale se partage également entre les branches latérales acb et adb car ces deux branches ont la même longueur, la même section et par conséquent, la même réluctance . Il s'ensuit que 02
= 03 = 01/2 = 8mWb/2 = 4 mWb
8 mWb
_
0,008
Bab =
10 cm x 8 cm
= 1 T
0,01 x 0,08
et elle nécessite également un champ magnétique de 300 A/m . La FMM nécessaire pour le chemin ab est donc : FMMab = 300 A/m x 0,25 m = 75 A La bobine doit donc produire une FMM totale de : FMM=150+75=225A
182 ÉLECTROTECHNIQUE Il est important de remarquer qu'on ne doit pas additionner les FMM des branches adb et acb, car elles sont en parallèle et qu'elles sont donc soumises à une seule FMM commune .
Solution
Pour la Fig. 14-19 : La FMM de la bobine X est : FMM x = 70 A x 20 spires = 1400 A
14.13
FMM de même sens et de sens contraires Les moteurs et les génératrices compound, les relais différentiels, les transformateurs et quelques démarreurs portent des enroulements dont les forces magnétomotrices peuvent être de même sens ou de sens contraires . Par exemple, dans la Fig. 14-19, la règle de la main droite indique que les forces magnétomotrices des bobines X et Y agissent dans le même sens, de sorte que la FMM résultante est égale à la somme des deux FMM . Par contre, si le sens du courant dans la bobine X est inversé (Fig . 14-20), les forces magnétomotrices agissent en sens contraires et la FMM résultante est égale à la différence des deux .
La FMM de la bobine Y est : FMMy = 30 A x 20 spires = 600 A La FMM résultante est : FMMx + y = (1400 + 600) = 2000 A d'où le champ magnétique : H = 2000 A = 2000 = 5000 A/m 40 cm 0,4 D'après la courbe pour l'acier coulé (Fig . 14-12), la densité de flux vaut 1,6 teslas . Le flux dans le noyau est donc :
O=BA = 1,6Tx30cm 2 =1,6x30x10 4 = 4,8 mWb
acier coulé 30 cm 2 70 A aO
-- 40 cm --> X
N=20
Y
N=20
b0 30 A c0
Pour la Fig. 14-20 : Les FMM des bobines restent les mêmes mais elles agissent en sens contraires . La FMM résultante est : FMM, _ y = (1400 - 600) = 800 A
do - 4,8 mWb --Figure 14-19 Les FMM des bobines agissent dans le même sens .
70 A
- ------------
aO b0
d'où le champ magnétique: H = 800 A = 800 = 2000 A/m 40 cm 0,4 D'après la courbe pour l'acier coulé (Fig . 14-12), la densité de flux vaut 1,4 teslas . Le flux dans le noyau est donc :
O=BA = 1,4Tx30cm 2 =1,4x30x10 4
30 A
c0
= 4,2 mWb
do 4,2 mWb Figure 14-20 Les FMM des bobines agissent en sens contraires .
Exemple 14-10 Calculer le flux dans le noyau en acier coulé des figures 14-19 et 14-20 . Le noyau a une section de 30 cm' et une longueur de 40 cm . Les bobines X et Y comptent 20 spires et les courants sont respectivement de 70 A et 30 A .
Le sens du flux est l'inverse de celui de la Fig . 14-19 car la FMM de la bobine X est supérieure à celle de la bobine Y. 14.14
Flux de fuite Dans les circuits magnétiques industriels, les lignes ne restent pas toutes canalisées à l'intérieur du circuit désigné . Par exemple, dans la Fig .14-21, une partie des lignes passe en dehors du noyau de fer et de l'entrefer . Le flux correspondant à ces lignes qui s'échappent dans l'air se nomme flux de fuite . Ce flux de fuite prend plus
CIRCUITS MAGNÉTIQUES
183
et que flux utile
64 516 lignes/pouce = 1 tesla Exemple 14-11
flux de fuite Figure 14-21 Le flux de fuite passe dans l'air à l'extérieur du noyau .
Un champ magnétique de 3 avrsteds produit une densité de flux de 12 000 gauss dans un échantillon d'acier. Exprimer ces grandeurs en unités SI et calculer la perméabilité relative du matériau .
Solution d'importance quand le circuit magnétique devient saturé . Lors de l'étude des transformateurs, nous verrons l'effet de ces flux de fuite .
Le champ magnétique de 3 œrsteds vaut : H = 3 x 80 = 240 A/m
La densité de flux de 12 000 gauss vaut : 14.15 Le SI, le système CGS et le système anglais La majorité des calculs de circuits magnétiques se font avec les unités SI . Toutefois, on rencontre parfois l'ancien système métrique CGS (centimètre-gramme-seconde), dans lequel les principales unités magnétiques sont l'œrsted, le gauss et le gilbert . Le gauss est une unité de densité de flux valant une
ligne par centimètre carré, ou 0,1 millitesla. 1 gauss= 0,1 mT L'œrsted est une unité de champ magnétique valant
1000/471 A/m, ou 80 A/m environ . 1 œrsted = 80 A/m Le gilbert est une unité de force magnétomotrice va-
lant 0,4 7t A, ou 1,26 A environ . 1 gilbert = 1,26 A Dans le système CGS la perméabilité du vide est égale à 1 . La relation entre le champ magnétique H, la densité de flux B et la perméabilité relative Pr est donc la suivante : B=pr H B est exprimé en gauss, H, en œrsted .
Dans le système anglais, il suffit de retenir que 10 8 lignes = 1 weber
(14-9)
B = 12 000 X 0,1 = 1200 milliteslas = 1,2 T
d'où la perméabilité relative
µr = B/H = 12 000 gauss/3 œrsted = 4000 14 .16 Résumé Dans ce chapitre nous avons noté la grande analogie entre circuits électriques et circuits magnétiques . Un circuit magnétique est constitué d'éléments reliés les uns aux autres de façon à conduire un flux magnétique . Un circuit magnétique soumis à une force magnétomotrice NI est parcouru par un flux . L'intensité du flux dépend 1) de la longueur du chemin magnétique 2) de la section du chemin magnétique et 3) de la perméabilité du matériau utilisé . Le rapport entre le flux obtenu dans le noyau et celui qu'on obtiendrait dans l'air s'appelle la perméabilité relative ,u r. La perméabilité magnétique du fer doux est supérieure à 1000 et peut dépasser 100 000 pour certains alliages spéciaux . Le champ magnétique H en un point est la force magnétomotrice par unité de longueur. Dans le SI il est exprimé en ampères par mètre (A/m) . Pour l'air et les matériaux non magnétiques, la densité de flux B est proportionnelle à H (B = yA . Pour un matériau magnétique, B est en plus majorée par la perméabilité relative (B = ur ,u0H) . Pour chaque type de matériau magnétique, cette dernière relation est présentée sous forme d'une courbe B-H. À cause du phénomène de saturation, la courbe B-H n'est pas linéaire, ce qui revient à dire que la perméabilité relative n'est pas constante .
184
ÉLECTROTECHNIQUE
Enfin, nous avons vu qu'en appliquant trois formules de base gouvernant la circulation d'un flux 0 dans un circuit magnétique de section A, de longueur 1 et soumis à une force magnétomotrice NI, soit : B = ç/A, B = go µr H et H = NI/1 il est possible de résoudre des circuits les plus complexes . Il peut s'agir d'un circuit série (par exemple un noyau avec entrefer), d'un circuit parallèle, ou d'un circuit composé . Le circuit magnétique peut également comprendre plusieurs forces magnétomotrices .
PROBLÈMES - CHAPITRE 14
Niveau pratique 14-1
Qu'est-ce qu'un circuit magnétique?
14-2 Que veut dire réluctance d'un circuit magnétique? 14-3 Comment varie la réluctance d'un circuit magnétique en fonction de sa longueur? 14-4 Donner les unités SI pour : a) densité de flux b) champ magnétique c) flux magnétique 14-5 Qu'entend-on par coefficient de perméabilité d'un matériau magnétique? 14-6 Expliquer pourquoi le fer est plus perméable que l'air. 14-7 Pourquoi le fer se sature-t-il? 14-8 Faire une analogie entre les circuits électriques et les circuits magnétiques . 14-9 Si la densité de flux dans le noyau magnétique d'un transformateur ne doit pas dépasser 1,5 T, quelle doit être sa section minimum, le flux total étant de 0,3 Wb? 14-10 Un pôle de moteur aune section de 20 cm 2 et doit porter un flux de 2,4 mWb. Quelle sera la densité de flux? 14-11 Le flux à l'intérieur d'une bobine toroïdale est de 20 tWb. Quand on place un noyau d'acier doux à l'intérieur de cette bobine, le flux augmente à 60 mWb . Trouver la perméabilité relative du noyau .
14-12 Dans la Fig . 14-19, si les bobines X et Y portent chacune un courant de 50 A, quelle est la FMM totale développée par les deux bobines? Niveau intermédiaire
14-13 En se référant à la Fig . 14-12, quel est le champ magnétique requis pour établir une densité de flux de 1,4 T : a) dans l'acier au silicium? b) dans l'acier coulé? c) dans le vide? 14-14 En se référant à la Fig . 14-12 et en utilisant la formule (14-7), calculer la perméabilité relative dans les cas suivants : a) acier au silicium à une densité de 1,4 T et 1,6 T b) acier coulé à une densité de 0,7 T et 1,4 T c) fonte à une densité de 0,2 T et 0,6 T 14-15 Combien d'ampères-tours sont requis pour un entrefer de 2 mm de longueur dans lequel on maintient une densité de flux de 1,5 T? 14-16 Soit un noyau d'acier coulé ayant la forme donnée à la Fig . 14-4a. Calculer la densité de flux dans le noyau, de même que le flux total, sachant que la bobine de 800 spires porte un courant de 12,5 A . 14-17 Dans le problème 14-16, quel serait le flux si l'on utilisait de la fonte? 14-18 Dans le problème 14-16, quel serait le flux si l'on enlevait le noyau d'acier complètement? 14-19 a) En se référant à la Fig . 14-13, calculer la perméabilité du Permalloy pour les champs magnétiques suivants : 4 A/m, 400 A/m, 40 kA/m. b) Pour quelle densité de flux la perméabilité du nickel est-elle égale à celle de l'alnico V? 14-20 Un noyau de fonte, ayant la forme donnée à la Fig . 14-15, est excité par une bobine possédant 250 spires. Si l'on désire créer un flux de 7,2 mWb, calculer le courant d'excitation requis . 14-21 Dans le problème 14-20, si le noyau possède un entrefer de 12,5 mm, calculer le courant d'excitation requis pour créer le même flux . 14-22 Dans la Fig . 14-20, si le courant dans la bobine X est de 70 A, quel courant doit-on faire circuler dans la bobine Y afin que le flux devienne nul?
CIRCUITS MAGNÉTIQUES
Niveau avancé 14-23 En se référant à la Fig. 14-13, déterminer la perméabilité relative des matériaux dans les cas suivants : a) acier pour relais, lorsqu'il est soumis à un champ de 100 A/m b) le verre, lorsqu'il porte une densité de flux de 1,25 T. 14-24 On désire créer une densité de flux de 0,7 T dans l'entrefer de la génératrice montrée à la Fig . 13-17 . Sachant que la longueur de chaque entrefer est de 3 mm, calculer la FMM total que les bobines doivent développer (négliger la FMM requise pour le noyau) . 14-25 L'électro-aimant en fer à cheval montré à la Fig . 13-23 a les caractéristiques suivantes : 1) nombre de spires par bobine : 150 2) longueur du fer à cheval (en acier coulé) : 250 mm 3) longueur de l'armature (en acier au silicium) : 50 mm 4) section du fer à cheval, de l'armature et de chaque entrefer : 100 mm 2 5) longueur de chaque entrefer : 1 mm On désire créer une densité de flux de 1,4 T dans l'entrefer. Calculer le courant d'excitation requis . 14-26 En se référant à la Fig . 13-25, on sait que les pôles et le noyau de fer sont faits en acier coulé ayant la courbe d'aimantation donnée à la Fig . 14-12 . Le noyau a une section de 1,9 m x 4,5 m, et les pôles ont un diamètre de 4,67 m . On désire établir un flux de 12 Wb dans l'entrefer, en excitant les bobines prin-
185
cipales seulement . Calculer : a) la FMM requise pour l'entrefer b) la FMM requise pour les deux pôles et la densité de flux correspondante c) la FMM requise pour chaque jambe latérale du noyau de fer (prendre une longueur de 22 m) et la densité de flux correspondante d) la FMM totale créée par l'ensemble des deux bobines e) le courant d'excitation requis dans chaque bobine . 14-27 a) Refaire les calculs du problème 14-26 pour un flux de 27,4 Wb . b) l'acier est-il saturé dans ces circonstances? c) Quelle est la puissance requise pour exciter les bobines principales? 14-28 Dans la Fig . 13-5 a) calculer la FMM créée par le conducteur de cuivre b) calculer la circonférence du cercle en pointillé ayant un rayon de 10 cm c) de (a) et (b), déduire la valeur du champ magnétique H d) calculer la densité de flux à 10 cm du centre du conducteur e) comparer (d) avec la valeur donnée par la formule (13-1) 14-29 Dans la Fig. 16-8, les aimants permanents N et S produisent une FMM totale de 15 000 A. La longueur de l'entrefer est de 4 cm . Calculer la densité de flux B .
15 Hystérésis et aimants permanents gnétique, la quantité d'énergie emmagasinée est bien définie et totalement récupérable . En effet, tout comme on peut emmagasiner de l'énergie mécanique en comprimant un ressort, on peut emmagasiner de l'énergie magnétique en créant un champ magnétique . Comme toute autre forme d'énergie, l'énergie magnétique se mesure en joules .
On se souviendra que dans un matériau magnétique les domaines tendent à garder leurs orientations . En effet, par une réaction semblable au frottement, les domaines s'opposent à tout changement d'orientation imposé par un champ extérieur ; de même, une fois orientés, ils essaient de conserver leur orientation en s'opposant de nouveau à tout autre changement . Ce phénomène, qu'on appelle hystérésis, est une propriété commune à tous les matériaux magnétiques . Ce phénomène d'hystérésis permet de réaliser des aimants permanents . Par contre, ce grand avantage est quelque peu assombri par les pertes que l'hystérésis occasionne dans un matériau magnétique parcouru par un flux alternatif . Examinons d'abord la question des aimants permanents, en reportant à plus tard le sujet des pertes .
Dans les matériaux non magnétiques comme l'air, la quantité d'énergie emmagasinée dépend de la densité de flux et du volume occupé par le champ . Sa valeur est donnée par la formule : 2 V W = B 2µo
(15-1)
qui peut s'écrire sous la forme approximative Les aimants permanents d'aujourd'hui produisent des forces magnétomotrices très intenses de sorte que, à FMM égales, ils sont souvent plus petits que les électroaimants qu'ils peuvent remplacer . Comme ils n'ont besoin d'aucune source d'énergie extérieure pour maintenir leur magnétisme, les aimants permanents permettent de construire des appareils possédant un excellent rendement et des dimensions restreintes .
W = 400 000 B 2 V
(15-la)
où W = énergie dans le champ, en joules [J] B = densité de flux, en teslas [T] V = volume du champ, en mètres cubes [m 3] go = 41, x 10 -7 ( = 1/800 000 environ) Exemple 15-1
15.1 Énergie magnétique dans l'air Lorsqu'un flux magnétique est créé dans un milieu quelconque, il existe toujours une quantité d'énergie emmagasinée qui est récupérable . Dans le cas d'un milieu comme l'air, ou de tout autre matériau non ma-
Un électro-aimant avant 2 pôles de 40 mm x 40 rmn attire une armature à travers un entrefer de 3 mm 15- 1) . Calculer l'énergie W emmagasinée dans les deux entrefers si la densité de flux est de 1,2 T . 186
187
HYSTÉRÉSIS ET AIMANTS PERMANENTS
B = 1,2 teslas
Figure 15-2 Forces agissant sur un matériau magnétique lorsqu'il est placé entre les pôles N,S d'un électro-aimant (voir problème 15-15) . Figure 15-1 Énergie emmagasinée dans le champ magnétique d'un électro-aimant (exemple 15-1) .
Solution Le volume des deux entrefers vaut : V = 2 x (40 x 40 x 3) = 9600 mm3
L'énergie magnétique emmagasinée dans les deux entrefers est : W = 400 000 B 2 V
éq .15-la
Figure 15-3 La valeur de la force d'attraction dépend de la densité de flux B et de la section A traversée par le flux .
= 400 000 x (1,2) 2 x 9600 x 10 9
= 5,53 J La «puissance» d'un aimant permanent dépend principalement de l'énergie magnétique qu'il peut conserver dans un champ magnétique à l'extérieur de ses parois . 15 .2
Énergie magnétique dans un matériau magnétique
Pour une densité de flux donnée, l'énergie magnétique emmagasinée dans un matériau magnétique comme le fer est beaucoup plus faible que celle contenue dans un entrefer de même volume . Sa valeur dépend de la forme de la courbe d'aimantation du matériau et de son niveau d'aimantation . À toutes fins utiles, dans un montage composé d'un noyau magnétique et d'un entrefer, l'énergie magnétique emmagasinée dans le noyau est négligeable . 15.3 Force d'attraction agissant sur un matériau magnétique L'expérience nous montre qu'un matériau magnétique placé dans un champ magnétique subit une force d'attraction . La force agit toujours dans la direction des lignes de force, comme si elles étaient des élastiques attachés au morceau attiré .
Par exemple, un morceau de fer placé entre les pôles d'un électro-aimant subit deux forces F I et F2 qui tendent à attirer respectivement le morceau vers la gauche et vers la droite (Fig . 15-2) . La valeur de la force F dépend de la densité de flux B et de la surface A traversée par le flux (Fig . 15-3) . Sa valeur est donnée par l'expression F =
B2A
(15-2)
2µo qui peut s'écrire sous la forme approximative F = 400000B 2
A
(15-2a)
où F = force d'attraction, en newtons [N] B = densité de flux, en teslas [T] A = section traversée, en mètres carrés [m2 ] µo = 47t x 10 -7 (= 1/800 000 environ)
Exemple 15-2 Calculer la valeur de la force d'attraction F que l'électro-aimant de la Fi« 5-l exerce sur son armature .
ÉLECTROTECHNIQUE 188 Solution
La surface A correspond ici à la surface des deux pôles de l'électro-aimant soit A = 2 x (40 x 40) = 3200 mm 2
H = Nul
Comme B = 1,2 T, la force est donc : F = 400 000 B 2A
éq . 15-2a
= 400 000 x (1,2) 2 x 3200 x 10 6 = 1843 N La force d'attraction permet à cet aimant de soulever une masse de : m = 1843 - 9,8 = 188 kg
éq . (1-1)
Remarquer que la force d'attraction dépend uniquement de la densité de flux à la surface de la pièce attirée ; elle n'est pas affectée par le degré de saturation des autres parties du circuit magnétique . De plus, la provenance du flux n'a aucune importance ; celui-ci peut être créé par la bobine d'un électro-aimant ou par un aimant permanent . 15.4
longueurl Figure 15-4 Lorsqu'on fait varier le courant I dans la bobine, le champ magnétique H produit une densité de flux B . La courbe B-H est montrée à la Fig . 15-5 .
Densité de flux rémanent et champ coercitif
On a déjà vu au chapitre 14 que si l'on fait circuler un courant I dans une bobine entourant un tore magnétique (Fig . 15-4), la densité de flux B dans le circuit magnétique augmente avec le champ magnétique H. Si le flux initial est nul, cette augmentation suit la courbe Oa de la Fig . 15-5, la densité de flux atteignant la valeur Bm pour un champ magnétique Hm. Si, maintenant, on fait décroître le courant I, c'est-àdire le champ H, jusqu'à zéro, la densité de flux ne suit plus la même courbe, mais une courbe ab située audessus de oa. En effet, quand on réduit le champ à zéro, les domaines que l'on vient d'orienter sous l'influence du champ Hm tendent à conserver cette orientation . C'est le phénomène d'hystérésis . Donc, lorsque le champ H devient nul, une densité de flux subsiste et conserve une valeur Br que l'on appelle densité de flux rémanent ou induction rémanente . Si l'on veut faire disparaître complètement ce flux rémanent, il faut renverser le sens du courant dans la bobine et faire croître le champ H jusqu'à une valeur Hc (courbe bc). Lorsqu'on décrit la portion de courbe bc, les domaines sont contraints de changer d'orientation les uns après les autres, jusqu'à ce que la densité de flux s'annule au point c . Le champ magnétique Hc
c Hc'
0,
champ coercitif
champ magnétique H
[A/m]
Figure 15-5 Courbe d'aimantation montrant le phénomène d'hystérésis, d'induction rémanente et de champ coercitif . La surface de la partie hachurée est l'énergie requise (en joules par mètre cube) pour désaimanter le matériau magnétique .
requis pour réduire le flux à zéro s'appelle champ coercitif. Pour réduire la densité de flux de sa valeur B r jusqu'à zéro, il faut dépenser une certaine quantité d'énergie . On peut prouver que l'énergie requise pour désaimanter 1 mètre cube de matériau est exactement égale à la surface hachurée comprise sous la courbe bc . Par exemple, si cette surface (Fig . 15-5) vaut 100 teslas-ampères par mètre, on doit dépenser 100 joules d'énergie par mètre cube de matériau pour réduire le flux Br à zéro* . Cette énergie est entièrement convertie en chaleur dans le matériau magnétique . Elle représente le 1 T •A/m est équivalent à 1 J/m 3 .
HYSTÉRÉSIS ET AIMANTS PERMANENTS
frottement qui se produit lorsque les domaines magnétiques reprennent leur orientation au hasard en passant du point b au point c sur la courbe . En fait, un thermomètre très sensible indiquerait un léger échauffement du matériau magnétique lors de la désaimantation .
52 000 A/m . La surface située en dessous de la courbe comprend environ 52 carreaux, ayant chacun une superficie de 1 carreau = 10 kA/m x 0,1 T = 1000 T•A /m L'énergie requise pour désaimanter l' alnico est donc
Pour les matériaux «doux» comme le fer doux et l'acier employé dans les transformateurs, la quantité d'énergie requise pour les désaimanter est assez faible : de l'ordre de 10 J/m3 . Mais certains matériaux «durs» comme l' alnico requièrent des quantités d'énergie énormes : de l'ordre de 50 000 J/m3 . C'est précisément cette énergie élevée qui distingue les matériaux à aimants permanents des autres matériaux magnétiques .
W = 52 x 1000 T-A/m = 52 kJ/m 3 15 .5 Types d'aimants permanents
Pour fabriquer des aimants permanents puissants, on a recours à divers alliages de substances de toutes sortes : fer, aluminium, cobalt, cuivre, platine, yttrium, oxygène, carbone, etc . Parmi les aimants à base de métaux, on connaît depuis longtemps l'acier trempé (1 % carbone, 0,5 % manganèse, 98,5 % fer) maintenant supplanté par des alliages tels que l' alnico V (8 % aluminium, 14 % nickel, 24 % cobalt, 3 % cuivre, 51 % fer) . Un aimant permanent en alnico V est presque 25 fois plus petit qu'un aimant en acier trempé créant le même champ . Découvert par hasard en 1932 par le physicien japonais I. Mishima, l'alnico, par sa dureté magnétique, a révolutionné l'industrie des dispositifs magnétiques . En effet, pour la première fois, on pouvait réaliser un aimant permanent plus petit qu'un électro-aimant de même force . L'alnico est extrême-
Idéalement, les matériaux utilisés pour la fabrication des aimants permanents doivent donc posséder, à la fois, une densité de flux rémanent (B r ) élevée et un champ coercitif (Ha) de grande intensité de sorte que l'énergie requise pour les désaimanter soit aussi grande que possible. Les courbes de désaimantation pour trois types d'aimants permanents, l'alnico V, l'Indox ® et l'acier au carbone sont montrées à la Fig . 15-6 . Elles représentent la portion bc de la courbe que nous venons de discuter . On constate que l'alnico a une densité de flux rémanent de 1,3 T et un champ coercitif de
T 1,4 Matériau
Induction rémanente Br (teslas)
Champ coercitif Hc (kA/m)
alnico V
1,3
52
40
860
Indox®
1,3
200
20
980
Produit Point de énergétique Curie Bd Hd (kJ/m3 ) °C
Acier au carbone
0,85
4
1,2
800
Acier pour électro-aimant
0,7
0,06
0,015
800
0,008
0,005
730
1,2
alnico V
1,0
0,6 Acier au silicium 1,3 pour transformateur Recoma®
0,8
560
128
acier au carbone 0,4
730
Indox® 0,2
kA/m 200
180
160
140
120
189
100 H-
80
60
Figure 15-6 Courbes de désaimantation de trois matériaux utilisés dans les aimants permanents .
40
20
0
0
190 ÉLECTROTECHNIQUE
ment dur et cassant si bien que l'on peut seulement changer sa forme en meulant les pièces coulées . Les aimants à céramiques, une autre classe d'aimants, sont plus légers et possèdent une résistivité électrique équivalente à celle des bons isolants . Ces aimants, portant des marques de commerce telles que Indox ® , Arnox ® , Vectolite ® , Ferroxdure ® , sont des ferrites composés d'un alliage d'oxyde de fer (Fe203), d'oxyde de baryum (BaO)6 , d'oxyde de zinc, de cobalt, etc . Ces aimants à céramiques possèdent une densité de flux rémanent Br plus basse que celle de l' alnico, mais développent des champs coercitifs HH très élevés, de sorte que l'énergie requise pour annuler le flux rémanent est du même ordre de grandeur . On rencontre ces matériaux dans les pièces polaires de certains moteurs, dans les bandes de caoutchouc servant à sceller les portes de réfrigérateurs et dans les bandes magnétiques pour enregistrement. Enfin, depuis quelques années, les aimants les plus puissants sont ceux fabriqués avec du cobalt allié avec l'yttrium ou une des terres rares, comme le néodyme et le samarium . Notez, par exemple, les propriétés B r et Hc du Recoma® , données à la Fig . 15-6 . Pour un même volume, ils sont 3 fois plus puissants que les meilleurs aimants en alnico . Le seul inconvénient est leur coût relativement élevé . 15 .6
T 1,4 b 1,2
1,0
0,8
2
S
B
0,6 0,4
S 0,2
3
kA/m 60 c
40
20
0
o
H< Figure 15-7 La longueur de l'entrefer détermine la valeur de B et H sur la courbe de désaimantation pour l'alnico V .
FMM et flux d'un aimant permanent
La densité de flux rémanent Br correspond à celle obtenue lorsque le matériau forme un circuit magnétique fermé (Fig . 15-4) . Cependant, un flux ainsi emprisonné dans un tore solide est inutile et, pour rendre ce flux accessible, on doit y ouvrir un entrefer . En agissant ainsi, on observe que la densité de flux diminue graduellement à mesure que l'entrefer augmente, passant successivement par les points b, 1, 2, 3, sur la courbe de désaimantation B-H du matériau (Fig . 15-7) . Par contre, à mesure que la densité B diminue, le champ magnétique H augmente . En effet, pour chaque valeur de B, l'aimant produit une valeur correspondante de H . Par exemple, en se référant à la courbe de désaimantation de l'alnico V (Fig . 15-7), on obtient les valeurs B, H suivantes : B
1,3
1,1
0,8
0,2
teslas
H
0
30
45
50
kA/m
Le champ magnétique H et, par conséquent, la FMM développée par un aimant dépendent donc de la densité de flux B . Connaissant les dimensions de l'aimant, on peut calculer la FMM et le flux qu'il produit . Le flux est donnée par:
0=
B x (section de l'aimant)
et la FMM est : FMM = H x (longueur de l'aimant) Exemple 15-3
Un aimant permanent en alnico V possède les dimensions données à la Fig . 15-8 . Les pièces polaires ajoutées aux extrémités de l'aimant sont en fer doux, et servent a canaliser le flux vers l'entrefer . On suppose que la longueur de l'entrefer est variable, ce qui permet de faire varier le flux ¢. Calculons la FMM développée par l'aimant lorsque le flux vaut (a) 19,2 mWh et (h) 3 .2 mWb .
191
HYSTÉRÉSIS ET AIMANTS PERMANENTS
L'aimant se comporte exactement comme un électroaimant, sauf que sa FMM ne demeure pas fixe . 15.7 Produit énergétique Dans la plupart des montages comportant un aimant permanent, on désire produire un flux 0 dans un entrefer dont la longueur et la section sont connues . On peut donc calculer la FMM requise pour l'entrefer et, par conséquent, celle que l'aimant permanent doit produire . Comme la valeur de H n'est pas constante, mais varie avec B, on doit se demander quelle valeur on doit choisir.
Figure 15-8 Voir exemple 15-3 .
En pratique, on choisit le point de la courbe de désaimantation où le produit BH est maximal . On peut prouver en effet que ce choix assure une quantité minimale de matériau magnétique .
Solution La section de l'aimant est: A = 100 mm x 160 mm = 16 000 mm 2 = 0,016 m2 a) Pour un flux de 19,2 mWb, la densité de flux dans l'aimant est : 19,2 x 10- '
B
A
= 1,2 T
0,016
La courbe de désaimantation (Fig . 15-7) indique que le champ magnétique developpé par l'aimant dans ces circonstances est de 15 kA/m . Comme la longueur de l'aimant est de 200 mm, il produit une FMM de :
Le produit BH en un point correspond à la superficie du rectangle formé à ce point, comme l'indique la Fig . 15-9 . À mesure que l'on se déplace sur la courbe bc, il est évident qu'il existe un point unique (BdHd) où le rectangle aura une superficie maximale . Le produit BdHd s'appelle produit énergétique du matériau . Dans le cas de l'alnico V, ce point correspond T 1,4
FMM = Hl = 15 000 x
200
b
= 3000 A
1000 L'aimant agit donc comme une bobine qui développe une FMM de 3000 ampères-tours . b) Lorsqu'on augmente l'entrefer de façon que le flux tombe à 3,2 mWb, la densité de flux devient :
1,2
BdHd
1,0
0,8
2
B_ 0 _ 3,2 x 10-3 = 0,2 T A 0,016
0,6
À cette densité, la valeur de H développée par l'aimant est de 50 kA/m (Fig . 15-7) . Il s'ensuit que la FMM créée par l'aimant est : FMM = Hl = 50000X
0,4
200
= 10 000 A 1000 L' aimant agit maintenant comme une bobine qui développe une FMM de 10 000 A. Cet exemple montre bien que la FMM développée par un aimant dépend de la densité de flux qui le traverse . Plus la densité est grande, plus la FMM est faible .
B
0,2
kA/m 60
c
20
40 H<
Figure 15-9 Le matériau magnétique produit son énergie magnétique maximale au point BdHd, où le produit BH est maximal .
192 ÉLECTROTECHNIQUE à Bd = 1 T, Hd = 40 kA/m . Le produit énergétique de ce matériau est donc :
Ce flux 0 traverse également l'aimant ; la densité optimale Bd étant de 0,2 T, il faut que la section de l'aimant soit :
Wd = BdHd = 1 T x 40 kA/m = 40 1,J/m3 Dans le cas de l'Indox®, le point optimal correspond à Bd = 0,2 T, Hd = 100 kA/m . Le produit énergétique est donc : Wd = Bd Hd = 0,2 T x 100 kA/m = 20 kJ/m3 Tout matériau magnétique possède ainsi une valeur de Hd et une valeur de Bd optimales assurant la meilleure utilisation du matériau magnétique . On juge la qualité d'un matériau à aimant permanent à la valeur maximale de son produit énergétique . Pour un champ donné, plus ce produit est grand, plus l'aimant sera petit. Ainsi, l' alnico V a un produit énergétique BdHd = 40 kJ/m3 tandis que l'acier au carbone, utilisé couramment dans les aimants permanents avant 1935, a un BdHd de 1,2 kJ/m3 seulement . Par conséquent, pour produire un flux quelconque dans un circuit magnétique donné, un aimant permanent en alnicoV est 40/1,2 = 33 fois plus petit qu'un autre en acier au carbone . Les aimants permanents encore plus puissants composés de néodyme-boron-fer atteignent des produits énergétiques de l'ordre de 380 kJ/m3 . Enfin, il n'est pas difficile de comprendre pourquoi l'acier au silicium n'est jamais employé comme aimant permanent ; son produit énergétique BdHd n'est que de 0,005 kJ/m3 . 15.8 Calcul d'un aimant permanent Les principes que nous venons d'étudier permettent de faire le calcul élémentaire d'un aimant permanent . En voici un exemple . Exemple 15-4 Calculer les dimensions d'un aimant en ferrite du type ludox`5 permettant de produire une densité de flux de 0 .6 T dans un entrefer ayant une surface A = 20 cm2 et une longueur de 5 mm . On sait que B l = 0,2 T et Hd = 100. LA/m
0 _ 0,0012 _ 0,006 m2 - 60 cm2 B 0,2 La FMM requise pour l'entrefer est donnée par la formule 14-9 : FMM = 800 000 Bl = 800 000 x 0,6 x 0,005 = 2400 A Pour l'Indox , Hd = 100 kA/m, d'où la longueur la de l'aimant est : la = FMM = 2400 = 0,024 Hd 100 000 = 24 mm Pour conduire le flux et pour le concentrer dans l'entrefer afin d'y créer une densité 3 fois plus élevée que dans l'aimant lui-même, on doit avoir recours à deux pièces polaires en fer doux . La densité accrue dans l'entrefer est obtenue en diminuant la section des pôles vis-à-vis de l'entrefer. L'arrangement est montré à la Fig . 15-10 . aimant 60 cm2 x 24 mm -®
pièce polaire
pièce polaire
/ /F
Solution Calculons d'abord le flux dans l'entrefer : = BA = 0,6 x 20 x 104 = 0,0012 Wb
entrefer 20 cm2 x 5 mm Figure 15-10 Calcul d'un aimant permanent (exemple 15-4) .
HYSTÉRÉSIS ET AIMANTS PERMANENTS
15.9 Variation du champ avec le temps et la température - point de Curie Les champs magnétiques créés par les aimants permanents modernes sont très stables . Bien que tout aimant ait tendance à perdre sa force avec le temps, cette diminution est si lente qu'elle est presque imperceptible . Par exemple, on estime qu'un aimant en al.icoV retient 99 % de son aimantation originale après 100 ans d'utilisation . On peut, par des méthodes spéciales . stabiliser l'aimant encore davantage . La température joue également un rôle important . À mesure qu'elle augmente, la densité de flux produite par l'aimant diminue et, à une température élevée, appelée point de Curie, il perd complètement sa perméabilité de même que ses propriétés d'aimant permanent . Cette haute température provoque en effet une vibration atomique intense qui détruit l'orientation des domaines . Le point de Curie varie avec les matériaux, mais il se situe habituellement entre 700 °C et 900 °C . 15.10
Aimantion et désaimantation d'un aimant permanent
Pour aimanter un aimant permanent, on doit le placer dans un champ suffisamment fort afin d'orienter tous les domaines dans le même sens . Cela requiert une FMM extrêmement intense, mais comme les domaines s'orientent presque instantanément, celle-ci peut être appliqué pendant une fraction de seconde seulement . Cette courte période d'aimantation permet de faire circuler des courants énormes (jusqu'à 100 000 A) dans des conducteurs relativement petits sans excéder le ht permis pour le conducteur. Par exemple, dans la Fig . 15-11, un conducteur portant un courant momentané de 50 000 A crée la FMM requise .
193
La boucle formée par le conducteur et la source constitue l'unique spire de la «bobine» . Le circuit magnétique de l'aimant est complété par un barreau de fer doux afin que le champ intense H soit appliqué directement sur l'aimant . Si le barreau n'était pas utilisé, une partie de la FMM créée par le conducteur serait «consommée» inutilement par l'entrefer entre les deux pôles N,S . Pour désaimanter un aimant permanent, on doit le placer dans un champ alternatif intense et réduire graduellement la valeur de ce champ jusqu'à zéro . On peut encore employer une seule spire portant un courant alternatif très intense et décroissant . 15.11 Conversion de l'énergie mécanique en énergie magnétique Lorsque les pôles nord et sud d'un aimant permanent sont réunis par une armature en fer doux, l'énergie magnétique contenue dans l'aimant et dans l'armature sont toutes deux très faibles (Fig . 15-12) . Cependant, quand on éloigne l'armature, l'énergie magnétique dans l'entrefer ainsi créée peut être considérable (Fig . 1513) . En effet, pour séparer l'armature de l'aimant, on doit dépenser un certain travail . Cette énergie mécanique est transformée et emmagasinée dans le champ magnétique de l'entrefer.
ne armature
faible énergie magnétique dans l'armature Figure 15-12 Une armature en fer doux collée aux pôles d'un aimant permanent emmagasine peu d'énergie magnétique .
aimant
L
_
eY ~
1 _ =
50 kA
Il y a donc conversion directe de l'énergie mécanique en énergie magnétique lorsqu'on éloigne une armature des pôles d'un aimant .
=~ ~
barreau de fer Figure 15-11 Aimantation d'un aimant permanent par un courant momentané de forte intensité .
D'autre part, en rapprochant l'armature, on doit lutter contre la force d'attraction exercée par l'aimant . Il s'ensuit que l'énergie magnétique libérée par le champ à mesure que le volume de l'entrefer diminue se trouve maintenant convertie en énergie mécanique dépensée
194
ÉLECTROTECHNIQUE
ni
Si l'on trace les variations de la densité de flux B (en teslas) en fonction du champ magnétique H (en A/m), on obtient une courbe fermée portant le nom de cycle d'hystérésis (Fig . 15-14) . Le cycle suit la séquence a,b,c,d,e,f,a, à raison de 60 fois par seconde . Sur ce cycle, on reconnaît les valeurs de la densité de flux rémanent Br et du champ coercitif H, comme dans le cas des aimants permanents .
armature énergie mécanique déployée
Figure 15-13 Lorsque l'armature est retirée, le champ dans l'air emmagasine une énergie considérable . Cette énergie provient du travail mécanique exercé en retirant l'armature .
( - He
lors du freinage . Lorsque l'armature est de nouveau collée contre les pôles, l'énergie magnétique contenue dans l'air redevient nulle . Durant ce processus, l'énergie magnétique dans l'aimant et dans l'armature demeure en tout temps négligeable . L'énergie mécanique est donc convertie en énergie magnétique lorsqu'on éloigne l'armature, et cette énergie magnétique est reconvertie en énergie mécanique lorsqu'on rapproche l'armature . On comprend alors pourquoi l'aimant ne perd pas sa force même si l'on répète ce processus des centaines de fois . On peut aussi se demander pourquoi l'aimant d'un ramasse-clous ne perd pas de sa force, même après avoir ramassé des milliers de clous dont chacun demeure un peu aimanté après avoir été attiré par l'aimant . L'explication vient du fait que l'énergie magnétique associée à chaque clou aimanté provient de l'énergie mécanique qu'on a dû déployer pour le séparer de l'aimant . 15 .12
Cycle d'hystérésis
Les transformateurs et la plupart des moteurs électriques fonctionnent à courant alternatif de sorte que le flux circulant dans leurs parties en acier change continuellement de valeur et de sens . Les domaines doivent donc s'orienter tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre à un rythme qui est d'autant plus rapide que la fréquence du réseau est élevée . Ainsi, sur un réseau à 60 Hz, les domaines décrivent un cycle complet en 1/60e de seconde, passant par des densités maximales +B,,, et Bm sous l'effet d'un champ magnétique variant de +Hm à -Hm .
-Br
d Figure 15-14 Cycle d'hystérésis d'un matériau magnétique . L'énergie dissipée par cycle est proportionnelle à la surface a b c d e f a de la courbe .
15 .13 Pertes par hystérésis À chaque cycle complet d'hystérésis, il se produit une perte d'énergie . La perte est due au «frottement» des domaines magnétiques lorsqu'ils changent de sens . La quantité d'énergie dissipée par mètre cube est égale à la surface du cycle d'hystérésis . Considérons, par exemple, le cas simplifié du cycle d' hystérésis rectangulaire de la Fig . 15-15 . L'énergie requise par mètre cube de ce matériau vaut : W = 1,2Tx2OA/mx4 = 96 T A/m, soit 96 J/m3 Si la fréquence du réseau est de 60 Hz, on dépensera, par mètre cube, une puissance de : P = 96 J x 60 cycles/seconde = 5760 J/s = 5760 W Cette puissance est dissipée sous forme de chaleur dans l'acier, ce qui provoque une augmentation de sa tem-
HYSTÉRÉSIS ET AIMANTS PERMANENTS
pertes 24 joules
195
est environ 5000 fois plus grande que celle du Silectron . L'alnico ne convient donc absolument pas pour conduire les flux alternatifs . B
Le cycle d'hystérésis d'un acier utilisé dans les relais à courant alternatif est donné à la Fig . 15-16b .
T
-20
+20 -H
A/m
T 1,0 -1,2
0,8 0,6
Figure 15-15 Calcul de l'énergie dissipée par hystérésis .
0,4 0,2 0
pérature . Pour réduire ces pertes, on a donc intérêt à iéduire la surface du cycle d'hystérésis des matériaux destinés à supporter des flux alternatifs . Par exemple, an utilise l'acier à grain orienté pour les noyaux de transformateurs .
0,2 0,4 0,6 0,8
Les courbes de la Fig . 15-16a permettent de comparer les cycles d'hystérésis de l'alnico V et de l'acier Silectron® utilisé dans la fabrication des transformaieurs . On constate que la surface du cycle de l' alnico V
A/m -200
-100
0
100
1,0 200
Figure 15-16b Cycle d'hystérésis d'un acier pour relais à courant alternatif .
T
Figure 15-16a Comparaison du cycle d'hystérésis de l'alnico V avec celui d'un acier utilisé dans les transformateurs .
s n s n 196 ÉLECTROTECHNIQUE 15 .14 Pertes par hystérésis dues à la rotation Remarquons que des pertes par hystérésis seront également produites dans une pièce de fer tournant dans un champ constant et fixe . Ainsi, les pôles nord des domaines dans la barre de la Fig . 15-17a sont initialement dirigés vers l'extrémité B . Quand la barre aura fait un demi-tour (Fig . 15-17b), les pôles nord seront dirigés vers l'extrémité A . Il y a donc inversion des domaines dans la pièce, même si le sens du champ magnétique ne change pas . Ce phénomène se produit dans les machines à courant continu où l'induit tourne dans un champ fixe . Ces pertes par hystérésis provoquent un échauffement de l'induit . L'échauffement peut être considérablement réduit par l'emploi d'un acier de bonne qualité . Exemple 15-5 Le rotor d'un moteur à courant continu tourne a 7200 r/min entre deux pôles magnétiques produisant une densité de flux maximale de 0.8 tesla. Le rotor a un volume de 0,2 m" et la surface du cycle d' hystérésis est de 15 T A/m . Calculer les pertes par hvstérésis . Solution Puisque l'énergie dépensée par cycle est de 15 T •A/m = 15 J/m3, l'énergie pour un volume de 0,2 m3 vaut : W = 15 x 0,2 = 3 joules rotation barre tournante (rotor) I
N A
v
•
v
B
s n s n (a)
N B
S n s n t7 D • A s D O s n s n (b)
Figure 15-17 Pertes par hystérésis dues à la rotation .
Puisque le rotor tourne à une vitesse de 7200/60 = 120 r/s, on dépense 3 x 120 = 360 J/s, soit une perte dissipée en chaleur de 360 W. 15 .15 Résumé Nous avons vu dans ce chapitre que le phénomène d'hystérésis, une propriété liée aux domaines magnétiques et commune à tous les matériaux magnétiques, permet de créer les aimants permanents . Tout comme une bobine parcourue par un courant, un aimant possède une force magnétomotrice qui produit un flux magnétique entre ses pôles . Nous avons vu qu'une énergie magnétique est emmagasinée dans l'espace entourant un aimant . Un aimant exerce sur un autre matériau magnétique (comme un morceau de fer) une force d'attraction dirigée selon les lignes de force du champ . Lors du travail effectué pour séparer le morceau attiré, il y a conversion de l'énergie mécanique en énergie magnétique, laquelle est emmagasinée dans le champ . De même, lors du rapprochement, l'énergie magnétique dans le champ est reconvertie en énergie mécanique . Un aimant permanent se distingue des autres matériaux magnétiques par la grande surface de sa courbe de désaimantation B-H . La surface comprise sous cette courbe est une mesure de l'énergie requise pour désaimanter l'aimant . Cette courbe passe par trois points caractéristiques de l'aimant : sa densité de flux rémanent Br , son champ coercitif H, et le point où le produit énergétique B-H est maximal . Les aimants permanents modernes ont des produits énergétiques élevés . Nous avons vu aussi comment calculer les dimensions d'un aimant devant produire une densité de flux donnée . Enfin, le phénomène d'hystérésis n'a pas que des avantages . Il est la cause des pertes dans les parties en fer des machines électriques qui sont soumises à un champ magnétique variable . À chaque fois que l'on décrit un cycle d'hystérésis, une énergie correspondant à la surface du cycle est dissipée en chaleur dans le matériau magnétique .
HYSTÉRÉSIS ET AIMANTS PERMANENTS
197
acier au Si (1 %)
PROBLÈMES - CHAPITRE 15
--1,5 m--12 mWb
Niveau pratique
10cmx 12 cm I '
15-1 Expliquer les termes suivants : induction rémanente, champ coercitif, hystérésis, point de Curie . 15-2 En se référant à la Fig . 15-6, quel est le champ magnétique développé par l'Indox ® , lorsque la densité de flux est 0,3 T ; 0,2 T; 0 T? 15-3 L'acier au carbone (Fig . 15-6) n'est pas un bon matériau pour aimant permanent . Expliquer. 15-4 Comment peut-on désaimanter un aimant permanent? Niveau intermédiaire 15-5 Un aimant permanent, fait en acier au carbone, a une longueur de 0,3 m . Sachant qu'il crée un champ magnétique de 2000 A/m à une densité de flux de 0,5 T, calculer sa FMM . 15-6 Expliquer comment un aimant permanent réalise la conversion d'énergie mécanique en énergie magnétique . 15-7 Quelle est l'énergie emmagasinée dans l'entrefer de la Fig . 14-16 dont la section est de 10 cm x 12 cm? 15-8 Un morceau d' alnico V possède une longueur de 10 cm et une section de 6 cm 2 . Quelle énergie est nécessaire pour le désaimanter complètement? Qu'ar&e-t-il de cette énergie? 15-9 Si l'on introduit un morceau de fer doux dans 1-entrefer de la Fig . 15-8, l'énergie dans le champ diminue . Par ailleurs, l'énergie reprend sa valeur originale lorsqu'on retire le morceau de fer. Expliquer. 15-10 L'Indox ® a une densité de flux B d optimale de 0 .2 T. Comment peut-on créer une densité de flux de 1 .2 T dans un entrefer en utilisant ce matériau? »veau avancé 15-11 On applique une tension alternative de 60 Hz mat bornes de l'enroulement de la Fig . 15-18, et l'on constate que le flux atteint périodiquement une valeur aéte de 1,0 T. Le noyau en acier au silicium est remp'acé par un autre en acier pour relais et qui possède le cycle d'hystérésis montré à la Fig . 15-16b. Calculer la paissance approximative dissipée par hystérésis, en sans .
i
o
Figure 15-18 Voir problème 15-11 .
15-12 L'aimant permanent de la Fig . 14-14 produit un champ dans l'air dont la densité varie de point en point. La densité de flux dans une région à côté de l'entrefer est de 0,5 T . Calculer l'énergie par mm3 à cet endroit. 15-13 L' aimant permanent N Sen alnico V de la Fig . 17-12 a une longueur de 200 mm et une section de 25 cm2 . Si la longueur de chaque entrefer est de 3,4 mm, déterminer : a) la densité de flux dans l'entrefer et le flux par pôle b) la FMM développée par l'aimant. 15-14 Le pôle nord d'un aimant permanent en alnico V crée une densité de flux de 0,4 T dans un entrefer dont la longueur est de 4 mm (Fig . 27-16) . a) Sachant que la surface du pôle est de 500 cm 2 , calculer la section de l'aimant permanent afin d'utiliser le minimum de matériau magnétique b) Calculer la FMM que l'aimant doit développer c) Quel est le volume de l'aimant? 15-15 Le morceau de fer placé entre les pôles N, S de la Fig . 15-2 est traversé par un flux de 1,2 mWb. Les faces traversées ont des surfaces respectives de 100 em 2 et de 50 cm 2 . a) Calculer la valeur des forces FI et F2 b) Vers quel pôle le morceau de fer est-il attiré?
16 Forces électromagnétiques PRINCIPE II DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
Lorsqu'un conducteur portant un courant est orienté convenablement dans un champ magnétique, il est soumis à une force que l'on appelle force électromagnétique . Ce phénomène est d'une importance capitale car il est à la base du fonctionnement des moteurs, des haut-parleurs et d'un grand nombre d'appareils de mesure. Étudions d'abord le cas d'un conducteur rectiligne .
D'autre part, la Fig . 16-2 montre le champ magnétique créé entre les deux pôles d'un aimant permanent puissant . Si l'on place ce conducteur, parcouru par un
16.1 Sens de la force agissant sur un conducteur rectiligne On a vu au chapitre 13 qu'un conducteur rectiligne parcouru par un courant s'entoure d'un champ magnétique . Pour un courant entrant dans la page, les lignes de force auraient le sens indiqué à la Fig . 16-1 . Figure 16-2 Champ magnétique entre les pôles d'un aimant permanent .
courant, entre les pôles de l'aimant permanent (Fig . 16-3), on constate que : 1 . le conducteur est soumis à une force qui tend à le déplacer vers le bas 2 . si l'on change le sens du courant, le sens de la force change également 3 . la force agit dans une direction qui est à la fois perpendiculaire à la direction du courant et à celle des lignes de force
Figure 16-1 Champ magnétique autour d'un conducteur lorsque le courant entre dans la page .
198
FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Figure 16-3 Superposition des champs magnétiques . Les lignes de force agissent dans le même sens au-dessus du conducteur, ce qui augmente la densité de flux à cet endroit . Les lignes de *)rce agissent en sens contraires en dessous du conducteur de sorte que la densité de flux est réduite à cet endroit .
199
Figure 16-5 Lorsque la direction du champ et le sens du courant sont inversés, le sens de la force demeure le même .
Rappelons que les lignes de force sont comme des fils élastiques tendus qui se repoussent ; lorsqu'elles sont concentrées au-dessus du conducteur, la force de répulsion qui existe entre elles tend à repousser le conducteur vers le bas . Cet artifice qui permet de déterminer le sens de la force peut servir de règle . De cette façon, on vérifiera que la force agissant sur le conducteur de la Fig . 16-4 a bien le sens indiqué . Le sens de la force dépend donc du sens du courant et de celui du champ . Si l'on inverse à la fois le sens du courant et celui des lignes de force, le sens de la force mécanique reste inchangé (comparez les Figs . 16-4 et 16-5) . Figure 16-4 Spectre du champ magnétique résultant .
du champ magnétique résultant n'est évidemment pas semblable à celui donné à la Fig . 16-3 car. comme nous l'avons vu au chapitre 12, les lignes de flux ne se croisent jamais . Cependant, on observe que les lignes de force du champ magnétique créé par le conducteur et celles du champ magnétique créé par l'aimant permanent sont de même sens au-dessus du conducteur, et de sens contraires en dessous . Il en résulte une augmentation du nombre de lignes au-dessus du conducteur et une diminution en dessous ; le champ magnétique résultant a donc l'aspect donné à la Fig . 16-4 . :aspect
16 .2 Intensité de la force On peut démontrer expérimentalement que l'intensité de la force qui agit sur un conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique dépend : a) de l'intensité du courant : plus le courant est intense, plus la force est grande b) de la densité de flux du champ magnétique : plus la densité des lignes est grande, plus la force est intense c) de la longueur du conducteur traversant le champ magnétique : plus le conducteur actif est long, plus la force est grande . Par conducteur actif on entend la partie du conducteur qui se trouve dans le champ magnétique
200
ÉLECTROTECHNIQUE
Figure 16-6 La force sur un conducteur est maximale lorsque le conducteur est perpendiculaire au champ magnétique .
Figure 16-7 La force sur un conducteur est nulle lorsque le conducteur est parallèle au champ magnétique .
d) de la direction du conducteur par rapport à celle du champ : la force est maximale quand le conducteur est perpendiculaire aux lignes de force (Fig . 16-6) et nulle quand il est parallèle au champ (Fig . 16-7) ; entre ces deux positions, l'intensité de la force prend des valeurs intermédiaires . La valeur maximale de la force électromagnétique F agissant sur un conducteur rectiligne de longueur l parcouru par un courant I et placé dans un champ de densité B, est donnée par l'équation :
est stationnaire, le champ magnétique ne l'influence pas . Cependant, si l'électron se déplace dans le champ, il subira une force dont l'intensité dépend de sa vitesse et de la densité du champ . La direction de la force est à la fois perpendiculaire au trajet de l'électron et aux lignes de force du champ magnétique . Par exemple, l'électron de la Fig . 16-8 déviera vers le bas lorsqu'il traversera le champ . Les lois de la physique nous indiquent que cette force, extrêmement faible, peut être calculée par la formule suivante :
F=BuI
(16-1)
où
F = evB
(16-2)
où F = force agissant sur le conducteur [N] B = densité de flux, en teslas [T]
l = longueur du conducteur actif dans le champ [m] I = courant circulant dans le conducteur [A] Exemple 16-1 Calculer la force qui agit sur un conducteur de 1 .2 ni de long, parcouru par un courant de 200 A et placé dans un champ magnétique dont la densité de flux est 0 .5 tesla . Le conducteur est perpendiculaire aux lignes de force (Fig . 16-6) .
F = force exercée sur l'électron [N] e = charge de l'électron (1,6 x 10 -19
coulomb) v = vitesse de l'électron [m/s] B = densité de flux, en teslas [T] Bien que cette force soit très faible, elle réussit néanmoins à donner une courbure appréciable à la trajec-
Solution
La force est : F = BlI = 0,5 x 1,2 x 200 = 120 N 16 .3 Électrons et champ magnétique
Afin d'expliquer la façon dont les forces électromagnétiques prennent naissance, considérons un électron placé dans un champ magnétique . Lorsque l'électron
Figure 16-8 Force sur un électron en mouvement et trajectoire résultante .
FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
201
Loire de l'électron car sa masse est minuscule . Il est facile d'observer les conséquences de cette déflection en approchant un aimant permanent de l'écran d'un oscilloscope ou d'un téléviseur . Les électrons libres se déplaçant à l'intérieur d'un conducteur subissent exactement les mêmes forces lorsque le conducteur est placé dans un champ magnétique . Comme ces électrons ne peuvent quitter le corps métallique du conducteur, il s'ensuit que la force agissant sur chacun d'eux est transmise à celui-ci .
Figure 16-9a Deux conducteurs portant des courants circulant dans le même sens .
Les électrons se déplacent très lentement à l'intérieur d'un conducteur, par conséquent ils sont soumis à des forces extrêmement faibles . Cependant, leur nombre est si considérable que toutes ces forces élémentaires produisent une force totale assez intense . 16 .4 Force entre deux conducteurs On a vu, d'une part, qu'un courant traversant un conducteur s'entoure d'un champ magnétique et, d'autre part, qu'un conducteur parcouru par un courant est soumis à une force lorsqu'il est placé dans un champ. Il doit donc nécessairement s'exercer une force sur deux conducteurs voisins parcourus chacun par un courant . Ce phénomène est, en réalité, un cas particulier de l'action d'un champ magnétique sur un courant électrique. Soit deux conducteurs parallèles parcourus par des courants I1 et Iz de même sens (Fig . 16-9a) . La forme des lignes de force autour de chacun des conducteurs considérés individuellement est donnée à la Fig . 16-9b . On constate que, dans l'espace compris entre les deux conducteurs, les lignes créées par Ii sont en sens inverse de celles créées par 1 2 . Par conséquent, entre les conducteurs le champ magnétique sera relativement faible. Cependant, à l'extérieur des conducteurs, les lignes provenant des deux courants ont tendance à se renforcer. Le spectre des lignes de force résultant de l'action mutuelle de ces deux champs magnétiques est montré à la Fig . 16-9c . Sachant que les lignes de force se comportent comme des bandes élastiques tendues et poussant l'une sur l'autre, on constate que les conducteurs sont soumis à des forces qui tendent à les rapprocher . Par contre, si les courants I l et 12 circulent en sens inverses (Fig . 16-10a), les lignes de flux se renforcent dans l'espace compris entre les conducteurs (Fig . 1610b) . Le spectre résultant est montré à la Fig . 16-10c .
Figure 16-9b Superposition des champs magnétiques créés par les deux courants .
Figure 16-9c Spectre du champ magnétique résultant lorsque les deux courants pénètrent dans la page . Les conducteurs s'attirent mutuellement .
Si l'on applique la même règle aux lignes de force du spectre de la Fig . 16-10c, on vérifiera que deux conducteurs parallèles parcourus par des courants de sens contraires tendent à se repousser . Connaissant la valeur des courants I1 et 12 parcourant chacun des conducteurs et la distance d qui les sépare, on peut calculer la force agissant sur chacun d'eux . En
202
ÉLECTROTECHNIQUE
sur un conducteur parcouru par un courant 12, vaut : F = BuI2
d'où F=2x107 Il Figure 16-10a Deux conducteurs portant des courants circulant en sens inverses .
12 1
(16-3)
d
ou F Il, 12 l • d •
force entre deux conducteurs parallèles [N] courants circulant dans les conducteurs [A] longueur des conducteurs [m] distance séparant les conducteurs [m]
Exemple 16-2
Deux barres omnibus cylindriques de 3 mètres de long portent un courant normal de 1000 A . Calculer la force d'attraction lors d'un courant de courtcircuit de 60 000 A sachant qu'elles sont séparées par une distance de 10 cnl .
Solution Figure 16-1Ob Superposition des champs magnétiques crées par les deux courants .
D'après la formule 16-3, on obtient : F=2x10
7Il 12 1 d
•
2 x10 '7 x60000x60000x3 0,1
• 21 600N=21,6kN On constate que les barres omnibus sont soumises à une force considérable lors d'un court-circuit . Elles sont donc sujettes à une certaine déformation . 16 .5 Cas d'un cadre rectangulaire Figure 16-1 Oc Spectre du champ magnétique résultant lorsque les courants traversent la page en sens inverses . Les conducteurs se repoussent mutuellement .
Soit un cadre conducteur ABCD (Fig . 16-11), parcouru par un courant et placé entre les deux pôles d'un aimant . La densité de flux provenant de l'aimant est uniforme. En appliquant à chacun des conducteurs AB et CD, la
effet, d'après la section 13 .4, un courant Ii produit à une distance d un champ dont la densité de flux (en teslas) est : B = 2 x 10'
il
éq . 13-1
d
de plus, on a vu à la section 16 .2 que la force agissant
Figure 16-11 Cadre placé dans un champ magnétique . Des forces agissent sur les côtés AB et CD, elles sont nulles sur les côtés AD et
BC .
FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
203
règle vue à la section 16 .1, on voit que les forces électromagnétiques FI et F2 sont égales, mais agissent en sens contraires . La force est nulle sur les côtés AD et BC car ces conducteurs sont orientés dans la même direction que les lignes de force .
Chaque côté actif du cadre (composé de 40 conducteurs) est donc soumis à une force de
Le cadre est donc soumis à un couple tendant à le faire tourner (Fig . 16-12) . Si l'on change le sens du courant dans le cadre, celui-ci cherchera à tourner dans le sens contraire .
16.6 Conséquences des forces entre les courants
Figure 16-12 Les forces agissant sur les côtés AB et CD du cadre produisent un couple qui tend à le faire tourner .
F=40x0,5=20N d'où le couple T = Fd = 20 x 0,06 = 1,2 N •m
1 . Force sur deux conducteurs parallèles Normalement, les forces qui s'exercent sur les deux conducteurs alimentant une charge sont de faible intensité . Cependant, dans le cas d'un court-circuit, elles peuvent atteindre des valeurs de plusieurs kilonewtons si les conducteurs sont parallèles sur une grande distance (cas des lignes de transport) ou si les intensités des courants de court-circuit sont énormes (cas des barres omnibus dans les centrales et postes électriques) . Pour éviter que les barres omnibus soient déformées par l'action de cette force, on les ancre solidement à une structure et quelquefois même, on les fixe ensemble au moyen d'isolateurs rigides (Fig . 16-14) .
La valeur du couple est donnée par l'expression
T = Fd
champ : 0,5 T 6 cm
(16-4)
où T = couple, en newtons-mètres [N'm] F = force agissant sur chaque conducteur actif,
N /0 A
en newtons [N] d = distance séparant les conducteurs actifs, en mètres [m] Si le cadre possède N spires au lieu d'une seule, le couple sera N fois plus grand, soit : T = NFd .
Figure 16-13 Voir exemple 16-3 .
Exemple 16-3 La bobine rectangulaire de la Fig . 16-1 3 possède 40 spires et porte un courant (le 10 A . Les côtés AB et BC du cadre ont respectivement une longueur de 10 cnm et de 6 cm . Sachant que la densité de flux dans l'entrefer de l'aimant est de 0,5 tesla, calculer le couple agissant sur le cadre . Solution La force s'exerçant sur les conducteurs AB et CD vaut : F = Bll = 0,5 x 0,1 x 10 = 0,5 N
Figure 16-14 Un isolateur fixé entre deux conducteurs les empêche de se déformer lors d'un court-circuit .
204
ÉLECTROTECHNIQUE
2. Force sur les spires d'une bobine
Les spires de la bobine de la Fig . 16-15 sont parcourues par des courants parallèles et de même sens . Il en résulte des forces d'attraction entre les spires qui tendent à comprimer la bobine . D'autre part, les courants circulant en sens inverses dans les sections diamétralement opposées d'une même spire (comme a et b de la Fig . 16-16) se repoussent mutuellement, ce qui tend à déformer la spire en l'élargissant .
Figure 16-17 Lorsqu'un courant intense circule dans un sectionneur la force F4 tend à ouvrir la lame . F
F
et F5 agissent sur les conducteurs . En particulier, la force F4 tend à faire ouvrir la lame . Ces appareils doivent être munis d'un dispositif de blocage pour prévenir toute ouverture accidentelle . 16.7 Applications des forces électromagnétiques
Figure 16-15 Le courant circulant dans une bobine produit des forces tendant à la comprimer.
L'application la plus importante des forces électromagnétiques est le moteur électrique qui sera le sujet de chapitres subséquents . Les appareils de mesure étudiés au chapitre 6 utilisent également les effets électromagnétiques . Parmi les nombreuses autres applications de ces forces, citons le haut-parleur et le soufflage magnétique d'un arc électrique . Le haut-parleur électromagnétique (Fig . 16-18) est composé essentiellement d'une bobine légère, solidaire d'un diaphragme, et logée dans l'entrefer d'un aimant permanent.
Figure 16-16 Le courant circulant dans une spire produit des forces qui tendent à la dilater.
o o 0
C'est pour éviter les effets destructifs de telles forces de compression et de dilatation lors d'un court-circuit que l'on prend soin de cheviller solidement les spires des enroulements d'un transformateur. 3 . Force sur un sectionneur
Lorsqu'un courant intense traverse un sectionneur (Fig . 16-17), les forces électromagnétiques FI, F2, F3, F4,
aimant permanent Figure 16-18 Le courant alternatif circulant dans les spires d'une bobine de haut-parleur produit une force verticale qui agit tantôt vers le haut, tantôt vers le bas . Cette force alternative varie rapidemment, ce qui fait vibrer le diaphragme .
FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES Lorsqu'un courant circule dans la bobine, une force électromagnétique agit sur celle-ci et entraîne le déplacement du diaphragme . Ce déplacement suit les variations rapides du courant dans la bobine et il est d'autant plus grand que ce courant est plus intense . Les mouvements successifs du diaphragme provoquent la vibration de l'air environnant et, par suite, la production d'un son . L'action d'un champ magnétique sur un arc électrique (passage du courant dans l'air) est mise à profit dans les disjoncteurs du type à soufflage magnétique (Fig . 16-19) . L'arc créé à l'ouverture est ainsi soumis à une force électromagnétique qui allonge l'arc et le pousse vers une série de séparateurs qui en provoquent l'extinction . Étant donné que cette force intense agit sur un arc dont la masse est très faible, il s'ensuit que cet arc se déplace extrêmement vite, dépassant même la vitesse du son . Le «soufflage» de l'arc est donc très efficace .
205
soumis à des forces d'attraction ou de répulsion qui dépendent des sens des courants . Ces forces électromagnétiques trouvent de nombreuses applications dont la plus importante est le moteur électrique . Elles peuvent aussi avoir tendance à déformer des circuits parcourus par des courants intenses .
PROBLÈMES - CHAPITRE 16 Niveau pratique 16-1 Expliquer ce que nous avons appelé, dans ce livre, le deuxième principe de l'électromagnétisme . 16-2 De quoi dépend l'intensité de la force s'exerçant sur un conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique? 16-3 Lorsqu'un courant très intense parcourt une bobine de fil flexible, la bobine se rétrécit . Expliquer. 16-4 Donner trois applications de l'action entre les courants électriques et les champs magnétiques . 16-5 Dessiner l'allure des lignes de force entre les pôles de l'aimant de la Fig. 16-20 . Indiquer le sens de la force s'exerçant sur le conducteur.
s Figure 16-19 Soufflage magnétique d'un arc électrique .
16 .8 Résumé Dans ce chapitre nous avons appris qu'un conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique est soumis à une force électromagnétique . Cette force, qui peut être calculée par une formule simple, dépend du courant, de la densité de flux magnétique, de la longueur et de l'orientation du conducteur par rapport aux lignes de force . Comme un conducteur parcouru par un courant crée aussi son propre champ magnétique, il s'ensuit que des conducteurs voisins sont
N
Figure 16-20 Voir problème 16-5 .
16-6 Indiquer la polarité magnétique de l'aimant de la Fig . 16-21 sachant que le conducteur est soumis à une force F dirigée vers le bas .
Figure 16-21 Voir problème 16-6 .
206
ÉLECTROTECHNIQUE
16-7 Quel est le sens de déplacement du conducteur ab dans la Fig . 16-22?
16-10 Un conducteur portant un courant de 2 kA se trouve dans un champ magnétique dont la densité de flux est 0,5 tesla. Quelle force sera produite par mètre de conducteur actif? 16-11 La Fig . 16-25 est une représentation schématique d'un moteur électrique . Le cylindre porte 100 conducteurs dont l'ensemble constitue effectivement un cadre à 50 spires . Les conducteurs ont une longueur active de 200 mm . ils sont parcourus par un courant de 50 ampères et ils sont placés dans un champ de 1,2 T. Calculer la force agissant sur chacun d'eux ainsi que le couple résultant.
Figure 16-22 Voir problème 16-7 .
Niveau intermédiaire 16-8 L'électro-aimant de la Fig . 16-23 est raccordé à une pile sèche . Quel est le sens de la force qui agit sur le conducteur placé entre les pôles de l'électro-aimant? Qu'arrivera-t-il si le sens du courant dans le conducteur est inversé?
Figure 16-25 Voir problème 16-11 .
16-12 Dans la Fig . 16-17, la lame du sectionneur est à une distance de 0,5 m du conducteur vertical et sa longueur est de 300 mm . Calculer la force agissant sur la lame pour le courant nominal de 3 kA et pour un courant de court-circuit de 200 kA .
Figure 16-23 Voir problème 16-8 .
16-9 Quel est le sens de rotation de la boucle de la Fig . 16-24 (horaire ou antihoraire)? Qu'arrivera-t-il si les bornes de la génératrice sont interverties?
ï/ ï Figure 16-24 Voir problème 16-9 .
16-13 La bobine de soufflage de la Fig. 16-19 produit une densité de flux de 50 mT lorsqu'elle porte le courant nominal de 120 A . Lors d'un court-circuit, le courant monte à 6000 A et le disjoncteur ouvre ses contacts . Calculer la force agissant sur l'arc lorsque sa longueur est de 10 mm . 16-14 Dans la Fig . 16-14, si le courant change de sens, dans quelle direction les forces agiront-elles? 16-15 Si le conducteur de la Fig . 16-3 porte un courant alternatif, la force moyenne résultante est nulle . Expliquer.
FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
16-16 La bobine du haut-parleur de la Fig . 16-18 comprend 2000 spires portant un courant maximal de 100 mA . Si le diamètre de la bobine est de 25 mm, calculer la force transmise au diaphragme, sachant que 1a densité de flux créée par l'aimant est de 0,6 T . 16-17 Un mouvement d' Arsonval donnant une pleine déviation pour un courant de 100 µA possède les caractéristiques suivantes (voir Fig . 6-1) : Noyau E en fer doux
diamètre intérieur :
21,8 mm
diamètre extérieur :
28,0 mm
longueur axiale :
14,5 mm
Pièces polaires N S en fer doux
diamètre extérieur :
18,7 mm
longueur axiale :
11,7 mm
longueur de l'arc extérieur : 21,0 mm
Bobine
longueur diamétrale :
20,8 mm
longueur axiale :
14,5 mm
largeur:
4,2 mm
nombre de spires :
600
résistance à 20 °C :
1500£2
matériau :
cuivre
207
Aimant permanent
longueur diamétrale :
15 mm
longueur axiale
11,7 mm
largeur :
10,8 mm
matériau:
alnico V
D'après ces données, calculer : a) la grosseur AWG du fil de la bobine b) la FMM développée par l'aimant permanent si H = 47 kA/m c) la densité de flux dans l'entrefer (la longueur des deux entrefers est de (21,8 - 18,7) = 3,1 mm) d) le couple agissant sur la bobine pour le courant maximal de 100 pA (on suppose que la longueur effective de chaque côté de la bobine est égale à la longueur axiale des pièces polaires (11,7 mm)) .
17 Tension dans
un
induite conducteur
PRINCIPE III DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME électrons libres du conducteur sont chassés de l'extrémité A vers B et, par conséquent, il apparaît une différence de potentiel entre A et B .
En 1831, Michael Faraday découvrit par hasard un des phénomènes les plus importants de l' électromagnétisme . Ce phénomène, nommé loi de l'induction électromagnétique de Faraday, énonce le processus fondamental de l'induction d'une tension dans un circuit . Pour en faciliter l'étude, nous avons séparé arbitrairement la loi de Faraday en deux parties appelées respectivement principe III et principe IV de l'électro magnétisme . Le principe III étudié dans ce chapitre porte sur l'induction d'une tension dans un conducteur mobile ; le principe IV que nous étudierons au chapitre 18 concerne l'induction généralisée d'une tension .
/
électrons=
I (a)
déplacement
17.1 Tension induite dans un conducteur Selon le principe 111 de l'électromagnétisme, lorsqu'on déplace un conducteur dans un champ magnétique de façon à «couper» des lignes de force, il apparaît une différence de potentiel entre ses extrémités . On dit alors qu'une tension est induite dans le conducteur . C'est sur ce principe que fonctionnent les dynamos et les alternateurs qui transforment l'énergie mécanique en énergie électrique .
(
(b)
Afin de mieux comprendre le phénomène, considérons un conducteur en mouvement entre les deux pôles d'un aimant permanent (Fig . 17-1) . On peut démontrer expérimentalement que :
o
déplacement
Figure 17-1 Induction d'une tension dans un conducteur en mouvement : a . La tension induite est maximale lorsque le conducteur est perpendiculaire au flux ; b . La tension induite est nulle lorsque le conducteur en mouvement est parallèle au flux .
1 . Si le conducteur est perpendiculaire aux lignes de force (Fig . 17-1 a), et s'il est déplacé vers le bas, les 208
TENSION INDUITE DANS UN CONDUCTEUR
209
Cette différence de potentiel, ou tension, disparaît dès que le déplacement cesse . . 3 Si le conducteur est parallèle aux lignes de force (Fig . 17-lb), il n'apparaît aucune tension lorsqu'il est déplacé . On est donc amené à conclure qu'une tension est développée seulement quand les lignes de force sont «coups» par le conducteur. Ainsi, dans la Fig . 17-1b, il n - v a aucune ligne de coupée et, par suite, aucune tension . La tension induite est de même nature que celle qui existe entre les bornes d'une pile . Nous disposons donc, pour la première fois, d'un moyen mécanique pour produire une tension . 17 .2
0
Valeur de la tension induite
La valeur de la tension induite dans un conducteur dépend uniquement du nombre de lignes coupées par seconde . Par définition, lorsque le flux est coupé à un taux de 1 weber par seconde, une tension de 1 volt apparaît i est induite) entre les extrémités du conducteur . Chose remarquable, la valeur de la tension induite ne dépend ni de la forme du conducteur, ni de la forme du champ magnétique . Une tension de 1 volt sera toujours induite entre les extrémités d'un conducteur, pourvu qu'il coupe les lignes à un taux de 1 weber par seconde . De même, si un conducteur de forme tordue coupe un champ magnétique à raison de 2 webers par seconde, une tension de 2 volts est induite entre ses deux extrémités (Fig. 17-2) . Notons que le mouvement du conducteur par rapport au champ magnétique est relatif: un conducteur stationnaire peut être coupé par un champ qui se déplace . En somme, la valeur de la tension induite dépend seulement du flux coupé par seconde, quel que soit le moyen utilisé . C'est ce qu'exprime la formule : E _ d0 dt
(17-1)
Figure 17-2 Positions successives d'un conducteur de forme tordue coupant de façon aléatoire un champ magnétique quelconque . Si le conducteur coupe les lignes à raison de 2 Wb/s, une tension de 2 V sera induite entre ses extrémités . La nature aléatoire du déplacement et de la densité de flux n'affecte pas la valeur de la tension .
Exemple 17-1 Lin aimant permanent ayant une section de 100 cm 2 produit une densité de flux de 0 .5 tesla entre ses pcles (Fig . 17-3) . Calculer la tension induite entre les extrémités d'un conducteur traversant le champ en 0, I seconde . Solution
Le flux coupé vaut : do = 0,5 T x 0,01 m 2 = 0,005 Wb
d'où la tension induite : E _ A0 At
_ 0,005 = 0,05 V ou 50 mV 0,1
ou E = tension induite, en volts [V] do = flux coupé en webers [Wb] At = intervalle* de temps, en secondes [s] A est une lettre grecque qui se prononce «delta» . Elle sert généralement à représenter une variation .
Même pour un aimant puissant et un déplacement rapide, la tension induite demeure faible, ce qui explique peut-être pourquoi le principe de l'induction ne fut pas découvert plus tôt.
210
ÉLECTROTECHNIQUE
déplacement t=0,1 s 100 cm2
S
Figure 17-3 Voir exemple 17-1 .
17 .3 Tension induite dans un conducteur rectiligne Si un conducteur rectiligne coupe les lignes de flux à angle droit, on constate que la valeur de la tension induite est proportionnelle à :
Figure 17-4 Tension induite dans les conducteurs d'une génératrice (exemple 17-2) .
1. 2. 3. C'est
17 .4 Polarité de la tension induite
la longueur du conducteur la densité de flux la vitesse du déplacement ce qu'exprime la formule : E = Blv
(17-2)
où
E = tension induite, en volts [V] B = densité de flux, en teslas [T] l = longueur du conducteur dans le champ, en mètres [m] v = vitesse de déplacement, en mètres par seconde [m/s]
Considérons le conducteur de la Fig . 17-5 . On trouve expérimentalement que si le conducteur est déplacé vers le bas, l'extrémité A du conducteur est positive (+) par rapport à l'extrémité B . Par contre, si le conducteur est déplacé vers le haut, l'extrémité B devient positive par rapport à A . Enfin, si le sens des lignes de force est inversé (Fig . 17-6), on obtient les résultats inverses . On en conclut que la polarité de la tension induite dépend à la fois du sens du déplacement et du sens des lignes de force . On peut trouver la polarité de la ten-
Exemple 17-2 Les conducteurs d'une grosse génératrice ont une longueur de ' mètres et ils sont coupés par un champ de 0 .66 tesla qui se déplace à 100 mètres par seconde (Fig . 17-4) . Calculer la valeur de la tension induite dans chaque conducteur . Solution
D'après la formule 17-2, on obtient :
déplacement
E=Blv
= 0,6Tx2mx100m/s =120V
Figure 17-5 La polarité de la tension induite dépend de la direction du déplacement .
TENSION INDUITE DANS UN CONDUCTEUR
21 I
teur est stationnaire et que le flux se déplace . Pour ces raisons, nous lui préférons la règle suivante, que nous appelerons la règle du pouce: Polarité d'une tension induite: règle du pouce
déplacement Fgure 17-6 La polarité de la tension induite dépend de la direction du &Lx .
1 . Étendre les doigts de la main droite de sorte que le pouce soit orienté perpendiculairement aux doigts 2 . Orienter les doigts dans le sens du flux 3 . Placer la paume sur le côté du conducteur qui coupe le flux
lion induite en se servant d'une règle simple, appelée règle des trois doigts de Fleming . Voici la règle : 1 . Orienter le pouce, l'index et le majeur de la main droite afin qu'ils soient à 90° l'un de l'autre 2 . Pointer le pouce dans la direction où le conducteur se déplace 3 . Pointer l'index dans la direction du flux 4 . Le majeur indiquera l'extrémité (+) du conducteur
4 . Le pouce indiquera l' extremité (+) du conducteur La Fig . 17-8 montre l'application de cette règle. 17 .5
Conducteur fermé sur une résistance
Lorsque le conducteur qui coupe des lignes de flux n'est relié à aucune résistance extérieure, on n'a aucun effort à fournir pour le déplacer dans le champ magnétique . Si, par contre, il est fermé sur une résistance (Fig .
déplacement côté du conducteur qui coupe le flux
extrémité (+)
Figure 17-7 Utilisation de la règle des trois doigts de Fleming pour déterminer la polarité de la tension induite .
Figure 17-8 Utilisation de la règle du pouce pour déterminer la polarité de la tension induite .
La Fig. 17-7 montre l'application de la règle . La règle de Fleming laisse parfois à désirer lorsque le flux et le déplacement du conducteur exigent une orientation inhabituelle de la main . De plus, cette règle demande une attention spéciale dans le cas où le conduc-
17-9), la tension induite aux bornes du conducteur fait circuler un courant. Or, nous avons vu au chapitre 16 que le passage d'un courant dans un champ magnétique donne naissance à une force électromagnétique .
212
ÉLECTROTECHNIQUE
17 .6 Forme d'onde de la tension induite La formule E = Blv donne la valeur instantanée de la tension induite . Pour une longueur de conducteur et une vitesse données, la valeur de la tension induite dépend de la densité de flux dans lequel le conducteur se trouve . Considérons, par exemple, un conducteur stationnaire fixé dans l'entrefer d'une machine . Le conducteur coupe les lignes provenant du pôle nord d'un aimant permanent, qui se déplace vers la droite à une vitesse constante (Fig . 17-10) . À cause de la longueur uniforme de l'entrefer, la densité B est constante partout, sauf aux extrémités du pôle N où les lignes sont moins denses .
déplacement Figure 17-9 Le déplacement du conducteur induit une tension . Si le conducteur est raccordé à une charge, la tension induite provoque la circulation d'un courant . À son tour, le courant, situé dans un champ, engendre une force qui s'oppose au déplacement .
Le sens de cette force mécanique est tel qu'elle s'oppose toujours au déplacement du conducteur. Pour faire circuler un courant dans cette résistance, il faut donc vaincre la force qui s'oppose au déplacement du conducteur. En d'autres termes, pour produire de l'énergie électrique, il faut accomplir un certain travail mécanique . Le courant est parfois appellé «courant induit» . Cependant, il est important de retenir que c'est la tension qui est induite et que c'est elle qui donne naissance au courant .
À mesure que le pôle N se déplace, la tension instantanée prend des valeurs qui correspondent à la densité de flux à laquelle est soumis le conducteur à ce moment. La forme d'onde de la tension en fonction du temps est donc identique à la distribution du flux dans l'entrefer. Si l'on change la forme du pôle afin de créer une densité qui diminue progressivement du centre vers les extrémités, on obtient une tension ayant une forme d'onde «arrondie» comme sur la Fig . 17-11 . On peut ainsi générer des formes d'ondes spéciales en faisant varier le spectre du champ magnétique . 17 .7 Tension induite dans un cadre À la suite de la découverte de la loi de l'induction par Faraday, les scientifiques et les techniciens du 19e siècle ne tardèrent pas à inventer et à construire toutes sortes de machines pouvant générer de l'électricité par des moyens mécaniques . Le principe de fonctionne-
conducteur V hI
conducteur
vitesse v
vitesse v
E
E
volts
temps Figure 17-10 La forme d'onde de la tension induite est une réplique de la densité de flux .
temps Figure 17-11 En modifiant la forme d'un pôle on modifie la forme d'onde de la tension induite .
TENSION INDUITE DANS UN CONDUCTEUR
213
Nous aurons alors EAB=+10V ECD=+10V
Les conducteurs AB et CD étant en série, la tension entre les extrémités A et D du conducteur est de 20 V, A étant positif par rapport à D . EAD = + 20 V. À la position 90°, la densité de flux autour des conducteurs est nulle, donc la tension induite est nulle . EAD = ()-
Figure 17-12 Construction élémentaire d'un alternateur . Le flux créé par un aimant coupe les conducteurs d'une spire .
À la position 180°, les conditions sont identiques à celles de la position 0° sauf que les conducteurs AB et CD sont coupés respectivement par les flux provenant du pôle S et du pôle N . Il s'ensuit que les tensions induites seront identiques mais de polarités contraires à celles de la position 0° . EAD = -20 V.
ment de ces machines est toujours basé sur le mouvement relatif d'une bobine en forme de cadre par rapport à un champ magnétique . Considérons un aimant permanent N,S tournant autour d'un axe à l'intérieur d'un anneau de fer F fixe (Fig . 17-12) . L'anneau de fer diminue la réluctance du chemin magnétique, ce qui augmente le flux dans l'entrefer . Une spire métallique en forme de cadre, ouverte à ses extrémités A et D, est fixée à l'intérieur de l'anneau, mais isolée de celui-ci . Supposons que l'aimant tourne dans le sens antihoraire à une vitesse uniforme de 1 tour par seconde . Il est évident qu'une tension est induite dans les conducteurs AB et CD quand ils sont coupés par le flux provenant des pôles N et S . Déterminons la valeur et la polarité de la tension induite lorsque l'aimant, en tournant, occupe successivement les positions 0°, 90°, 180° et 270° . Ces positions correspondent respectivement à l'angle en degrés dont l'aimant a tourné par rapport à sa position initiale (Fig . 17-13) . À la position 0°, le pôle N se déplace vers le bas . Si on applique la règle de la main droite ou la règle du pouce au conducteur AB, on trouve que l'extrémité A est positive par rapport à B . De la même façon, le pôle S . se déplaçant vers le haut, induit une tension dans le conducteur CD de sorte que C soit positif par rapport à D . C'est dans cette position de l'aimant que la tension induite est la plus grande car la densité de flux coupé par les conducteurs est la plus élevée . Supposons que cette valeur maximale de la tension induite soit de 10 volts par conducteur.
mir ©i
D
position 90°
Figure 17-13 Valeur et polarité de la tension induite pour 4 positions de l'aimant tournant .
214
ÉLECTROTECHNIQUE
À la position 270°, la tension induite est nulle pour la même raison qu'à la position 90° . EAD = 0 À la position 360° (pas montrée sur la figure), l'aimant reprend sa position initiale . EAD = +20 V. À la position 45° (pas montrée sur la figure), l'aimant fait un angle de 45° avec la position initiale . Puisque la densité de flux autour des conducteurs a diminué par rapport à sa valeur maximale, la tension induite EAD prend une valeur intermédiaire comprise entre +20 V et 0 V disons 14 volts . EAD = + 14 V. Nous analyserons ces résultats de plus près dans les sections qui suivent . 17 .8 Courbe de la tension induite On peut représenter sur un graphique les différentes valeurs que prend la tension induite EAD pour chacune des positions occupées par l'aimant . On obtient alors une courbe ondulée (Fig . 17-14) . On voit sur cette courbe que, durant le premier quart de tour (0° à 90°), la tension induite est positive (A positif par rapport à D) et tombe progressivement de '_0 volts jusqu'à zéro . Pendant le deuxième quart de tour (90° à 180°), la courbe descend au-dessous de l'axe horizontal et prend des valeurs négatives (car A est devenu négatif par rapport à D) . Au troisième quart de tour. l a tension induite passe de la valeur maximale négative (- 20 volts) à zéro . Enfin, après le tour complet (à 360°), la tension induite reprend sa valeur maximale positive . Tout comme une automobile doit ralentir puis s'arrêter avant de reculer, la valeur positive de la tension in-
duite diminue puis s'annule avant de devenir négative . Une tension dont la polarité alterne successivement d'une valeur positive à une valeur négative est appelée tension alternative . Les machines qui génèrent ces tensions s'appellent alternateurs ou génératrices à courant alternatif. 17 .9 Courbe de la tension induite en fonction du temps Étant donné que l'aimant est entraîné à une vitesse uniforme, chacune des positions de la Fig . 17-13 correspond à un intervalle de temps écoulé . Puisque l'aimant tourne à une vitesse de 1 tour par seconde, le passage de l'aimant de la position 0° à la position 360° correspond à une seconde . On peut donc représenter sur la Fig . 17-15 les différentes valeurs de la tension induite correspondant au temps écoulé . Chaque fois que l'aimant occupe une même position entre les deux pôles, la tension induite a la même valeur et la même polarité . L'aimant tournant à une vitesse uniforme, la tension induite reprend la même valeur et la même polarité à intervalles réguliers . Une grandeur qui se répète ainsi continuellement dans le temps porte le nom de grandeur périodique. 17 .10 Cycle et fréquence L'intervalle de temps mis par l'aimant pour exécuter un tour complet s'appelle cycle . On dira encore qu'un cycle est l'intervalle de temps qui sépare deux passages successifs de la tension par une même valeur et avec le même taux de variation . À la Fig . 17-15, la durée d'un cycle de la tension alternative est de 1 seconde .
Vk
V +20
+20
10
10
EAD
1 cycle
EAD
à
0
0 9Q
180 -> angle
270
360 4! degrés
-10
0,25
0,5 0,75 temps /
1, :
-10 1 cycle
-20
Figure 17-14 Forme d'onde de la tension EAD en fonction de l'angle de rotation .
-20
Figure 17-15 Forme d'onde de EAD en fonction du temps . Définition du cycle .
TENSION INDUITE DANS UN CONDUCTEUR
La Fig . 17-16 représente une onde de tension alternative industrielle dont la durée d'un cycle est de 1/60e de seconde . Entre les instants tt et t2, il s'écoule un cycle complet car l'onde de tension passe par les mêmes valeurs et le même taux de variation . La fréquence d'une onde périodique désigne le nombre de cycles par seconde . Lorsqu'une tension périodique complète un cycle en 1/60e de seconde, sa fréquence est de 60 cycles par seconde, car 60 cycles sont répétés à chaque seconde . La fréquence des tensions industrielles est imposée ; elle est de 60 cycles par seconde sur presque tout le continent nord-américain et de 50 cycles par seconde dans la plupart des autres pays du monde . Gunité SI de fréquence est le hertz (Hz) ; il vaut un cycle par seconde . Une fréquence de 60 cycles par seconde correspond donc à une fréquence de 60 Hz .
215
Sa valeur crête (ou valeur maximale) atteindra maintenant 200 volts . En somme, la tension induite est proportionnelle au nombre de spires du cadre . Si la vitesse ne change pas, la fréquence de la tension induite restera la même, soit 1 cycle par seconde ou 1 Hz . 2 . Effet de la vitesse de rotation
Si la vitesse de l'aimant est doublée, il met deux fois moins de temps à parcourir un tour complet, et la durée d'un cycle devient évidemment la moitié de ce qu'elle était, soit 0,5 seconde . La fréquence de la tension induite est donc doublée, devenant 2 Hz . De plus, en tournant deux fois plus vite, les conducteurs coupent deux fois plus de lignes en une seconde . Par conséquent, la tension induite devient deux fois plus grande . En résumé, la fréquence et la tension induite sont proportionnelles à la vitesse de rotation .
V 200
3. Effet du flux 1 cycle-
Si le flux créé par les pôles est doublé, la tension induite double également car le nombre de lignes coupées par seconde est doublé ; la tension induite varie donc proportionnellement au flux .
169,7
100 E à
4 . Effet de la forme des pôles 0
temps 240
120
60
-100
-169,7 --------------------200
17 .12
Figure 17-16 Tension industrielle à 60 Hz ayant une valeur crête de 169,7 V . La valeur efficace de cette tension est de 120 V .
17 .11
Si l'on change la forme des pôles, on peut générer des tensions ayant des formes d'ondes différentes . Si le flux total produit par chaque pôle reste fixe, la valeur moyenne de la tension induite pendant un demi-cycle demeure constante . La Fig . 17-17 donne quelques exemples de formes d'ondes que l'on peut générer en faisant varier la forme des pôles .
Valeur de la tension induite
1 . Effet du nombre de spires
Dans l'exemple précédent (Fig . 17-13), l'aimant tournait à une vitesse de 60 tours par minute et la bobine ne portait qu'une seule spire . Si le nombre de spires est augmenté à 10, on constate que la tension induite EAD devient 10 fois plus grande .
Alternateur à cadre tournant
Si l'on raccorde une charge aux bornes du cadre de la Fig . 17-12, la tension alternative induite fait circuler un courant dans la charge et dans le cadre . Puisque la polarité de cette tension varie continuellement, le courant change continuellement de sens . Ce courant est donc un courant alternatif ayant la même fréquence que la tension qui le produit . On peut réaliser un alternateur dans lequel l'aimant permanent est fixe et le cadre tourne (Fig . 17-18a) . Étant donné que le mouvement relatif du cadre par rapport à l'aimant est le même que précédemment, la valeur, la
ÉLECTROTECHNIQUE 22 6
90
270 90 110 \ -> angle 0
(a)
270
Ib)
90
1
270
polarité et la forme d'onde de la tension seront identiques . Cependant, comme, d'une part, la tension est induite dans un cadre tournant et que, d'autre part, la charge à raccorder au cadre est stationnaire, il faut trouver un moyen pour raccorder ces éléments fixe et tournant . La seule solution consiste à employer deux balais glissant respectivement sur deux bagues (Fig . 17-18b) . Ces bagues sont soudées à chaque extrémité du cadre et tournent autour de l'axe de rotation de celui-ci . Deux balais fixes frottent sur chacune des bagues et permettent ainsi de raccorder le cadre à une charge extérieure .
angle e 17 .13 Génératrice à courant continu Figure 17-17 Yuence de la forme des pôles sur la forme d'onde de la tousion induite : a.pdes minces et pointus produisant une tension composée d ulsions (+) et (-) de courte durée ; .pales larges avec entrefer uniforme produisant une tension e forme rectangulaire .
Si, par un dispositif quelconque, on pouvait relier un balai à l'une des extrémités du cadre tournant, et à l'autre extrémité lorsque la tension serait sur le point de changer de polarité, on obtiendrait aux bornes du cadre une tension qui aurait toujours la même polarité . On arrive à ce résultat par l'emploi d'un collecteur (Fig . 17-19) . Ce collecteur, dans sa forme la plus simple, est constitué de deux demi-bagues isolées l'une de l'autre :
rotation
rotation
circuit extérieur (b)
circuit extérieur
Figure 17-18 Alternateur élémentaire dans lequel le cadre tourne, alors que l'aimant est fixe . Cette inversion des rôles exige l'emploi de bagues et de balais.
Figure 17-19 On peut convertir un alternateur en génératrice à courant continu par l'ajout d'un collecteur.
TENSION INDUITE DANS UN CONDUCTEUR
217
une lame est relié à l'extrémité A du cadre, et l'autre à l'extrémité D. Le collecteur tourne avec le cadre et la tension induite entre les lames est recueillie par deux balais fixes x et y qui frottent sur le collecteur . Supposons encore que le cadre tourne à une vitesse uniforme de 60 tours par minute et que la tension maximale induite dans chacun des conducteurs soit de 10 volts . La Fig . 17-20 donne les valeurs de la tension EAD induite aux bornes de la bobine, et de la tension Exy qui apparaît entre les balais, pour chacune des positions occupées successivement par le cadre . On constate que les lames (qui sont soudées aux extrémités du cadre) mangent continuellement de polarité, tandis que les balais conservent toujours la même polarité . En effet, à la position 0°, EAD = + 20 V et Exy = + 20 V. Quand le premier quart de tour est terminé (position 90°), la tension induite est nulle, et l'inversion des contacts est en train de s'effectuer . Pendant le deuxième quart de tour, le balai x, qui frottait précédemment sur la lame A, est maintenant en contact avec la lame D . L'inverse s'est produit pour le balai y . Bien que la polarité de chacune des lames ait changé, celle des balais est restée la même . À la position 180° on a :
x y position 180° EAD = - 20 V Exy =+20V
E AD = - 20 V et Exy = +20 V À la fin du troisième quart de tour (position 270°), la tension s'annule de nouveau . Ensuite, durant le quatrième quart de tour, le contact des balais sur les lames s'inverse et, à la position 360°, l'on revient à la position 0°, donc aux mêmes valeurs et aux mêmes polarités. La tension entre les balais x et y a varié entre 0 et 20 volts mais n'a pas changé de polarité . On dit qu'elle a été redressée . La représentation graphique de la tension Exy est donnée à la Fig. 17-21 . La tension obtenue n'est pas parfaitement continue, comme celle fournie par une batterie, mais elle oscille entre une valeur maximale et une valeur nulle ; une telle onde est dite pulsative .
Le lecteur a probablement réalisé que le collecteur agit simplement comme un commutateur mécanique qui intervertit les bornes du cadre dès que la polarité de la tension est sur le point de changer . Puisque la tension entre les balais a toujours la même
x
y
position 360° EAD = + 20 V Exy = + 20 V
Figure 17-20 Polarité de la tension EAD du cadre et de la tension Exy aux bornes de la charge pour 4 positions du cadre .
218 ÉLECTROTECHNIQUE V +20
+20 Exy
ExY 1 0 0
90
180 270
360
-> angle
degrés
a
Figure 17-21 Forme d'onde de la tension aux bornes de la charge .
0 0
90
180 270
360 degrés
angle 0
polarité, le courant circulant dans une charge extérieure aura toujours le même sens . Par conséquent, la machine représentée à la Fig . 17-19 porte le nom de génératrice à courant continu, ou dynamo . 17 .14 Amélioration de la forme d'onde On réussit à améliorer la forme d'onde de la tension continue en utilisant quatre cadres et quatre lames disposés en angle droit (Fig . 17-22) . La forme d'onde de la tension obtenue est donnée à la Fig . 17-23 . On voit que la tension varie encore quelque peu mais ne tombe jamais à zéro ; elle se rapproche davantage d'une tension parfaitement continue . En multipliant les bobines et les lames, on obtient une tension induite à peu près invariable . Dans les dynamos modernes, l'ondulation de la tension est inférieure à 5 % de sa valeur moyenne. 17.15 Différence entre un alternateur et une dynamo Les alternateurs et les dynamos étudiés aux sections précédentes ont une construction à peu près identique : dans les deux cas un cadre tourne entre les pôles d'un
Figure 17-23 La tension de la génératrice avec un collecteur à 4 lames fluctue moins .
aimant. Ils se différencient seulement par la façon dont le cadre est relié aux balais : les alternateurs portent des bagues alors que les dynamos exigent un collecteur composé de lames (Fig . 17-24) . On réalise des machines (Fig . 17-24c) qui portent à la fois des bagues et des lames, et qui peuvent fonctionner simultanément comme alternateur et comme dynamo . Toutefois, les alternateurs de grande puissance qui génèrent l'électricité qu'on utilise sont tous construits avec des électro-aimants tournants et des cadres (ou enroulements) fixes . La construction de ces machines sera étudiée au chapitre 36 .
(a) dynamo
mi . (b) alternateur
(c) dynamo-alternateur
Figure 17-22 Génératrice à 4 bobines avec un collecteur à 4 lames .
Figure 17-24 Construction fondamentale de trois types de génératrices : a . La dynamo utilise un collecteur ; b . Lalternateur utilise des bagues ; c . Une dynamo/alternateur utilise un collecteur et des bagues .
TENSION INDUITE DANS UN CONDUCTEUR
17 .16
Résumé
Ce chapitre nous a permis de découvrir un des phénomènes les plus importants de l'électrotechnique : la loi de l'induction électromagnétique de Faraday . Selon ce principe une tension est induite dans un conducteur en mouvement dans un champ magnétique, ou plus généralement, lorsque le conducteur « coupe » les lignes de force d'un champ . Cette tension dépend seulement du taux de changement 4~/4t du flux balayé par le conducteur. Nous avons vu qu'une formule pratique permet de calculer la tension induite dans un conducteur rectiligne . Nous avons aussi appris deux règles simples permettant de trouver la polarité de la tension induite. La loi de l'induction de Faraday est à l'origine des machines tournantes générant de l'électricité : génératrices à courant continu et alternateurs générant une tension alternative . Dans ces machines une tension est induite dans les conducteurs balayés par un champ magnétique créé par un électro-aimant ou par un aimant permanent . Dans les alternateurs, une tension alternativement positive et négative se répète à chaque cycle . Le nombre de cycles par seconde correspond à la fréquence exprimée en hertz (Hz) . Dans les machines à courant continu, on utilise un commutateur mécanique, le collecteur, pour redresser la tension et obtenir une tension continue .
PROBLÈMES - CHAPITRE 17
Niveau pratique 17-1 Quelle quantité de flux faut-il couper par seconde pour induire une tension de 1 volt dans un conducteur? 17-2 Lorsqu'un conducteur ouvert coupe des lignes de flux, un courant est-il induit? 17-3 Énoncer la règle donnant la polarité de la tension induite dans un conducteur. 17-4 Tracer la forme d'onde de la tension induite dans un alternateur. 17-5 Qu'entend-on par cycle? par fréquence? 17-6 Quel est l'effet du nombre de spires d'une génératrice sur la valeur de la tension induite? Quel est l'effet de la vitesse de rotation?
219
17-7 Qu'est-ce qui différencie une dynamo d'un alternateur? 17-8 À quoi sert le collecteur d'une dynamo? 17-9 En traversant un champ magnétique, un conducteur coupe un flux de 3 Wb en 0,1 s . Quelle est la tension induite? La valeur de cette tension dépend-elle de la forme du conducteur? 17-10 En utilisant la règle des trois doigts et la règle du pouce, vérifier la polarité des tensions induites dans les Fig . 17-1, 17-3, 17-5, 17-6, 17-9 et 17-13 . Niveau intermédiaire 17-11 Un conducteur de 2 m de longueur se déplace à une vitesse de 60 km/h dans un entrefer où règne une densité de 0,6 T . Calculer la tension induite dans ce conducteur . 17-12 Dessiner schématiquement un alternateur simple . 17-13 Un alternateur bipolaire tourne à une vitesse de 1200 r/min . Quelle est la fréquence de la tension induite? quelle est la durée d'un cycle? 17-14 Un alternateur bipolaire doit produire une tension de fréquence 60 Hz . Quelle doit-être sa vitesse de rotation? 17-15 Une tension de 240 V et de fréquence 50 Hz est induite dans un alternateur . Quelle sera la nouvelle tension induite si : a) le nombre de spires de l'induit est doublé b) la vitesse de rotation est réduite de moitié c) le flux est doublé 17-16 Quelle est la polarité de la borne A de la Fig . 17-4? 17-17 Dans la Fig . 17-10, quelle est la polarité de l'extrémité du conducteur dirigée vers le lecteur? Niveau avancé 17-18 Les alternateurs de 500 MVA installés à Churchill Falls ont les caractéristiques suivantes : diamètre du rotor: 9,19 m vitesse de rotation : 200 r/min densité de flux au centre d'un pôle : 1,5 T longueur des conducteurs : 2,9 m Calculer la valeur de la tension crête induite dans les conducteurs .
18 Induction électromagnétique PRINCIPE IV DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
Ce quatrième principe de l'électromagnétisme est à la base du fonctionnement d'un grand nombre d'appareils électriques, notamment des transformateurs et des moteurs à courant alternatif . Comme nous l'avons déjà mentionné au chapitre 17, ce phénomène fut découvert par Michael Faraday en 1831 . Il est connu sous le nom de loi de l'induction électromagnétique .
Pour mieux comprendre la généralité de la loi de l'induction, imaginons une spire souple en mouvement. connectée à un circuit C quelconque . Le circuit contient des sources de tension et des résistances, et la spire porte un courant I (Fig . 18-1) . En même temps qu'elle produit son propre champ magnétique, en raison du courant I, la spire est soumise à un champ magnétique extérieur créé par une bobine qui se déplace aléatoirement vers la droite . Quelle est la tension E induite entre les bornes 1 et 2 de la spire pendant un intervalle de temps At?
18 .1 Loi de l'induction électromagnétique Cette loi énonce que : a) si le flux à l'intérieur d'une boucle (ou spire) varie avec le temps, une tension est induite entre ses bornes ; b) la valeur de cette tension induite est proportionnelle au taux de variation du flux .
On pourrait difficilement imaginer un montage plus compliqué mais, d'après la loi de Faraday, il suffit de connaître les flux 01 et 02 entourés par la spire au début et à la fin de l'intervalle At . La tension moyenne induite est alors donnée par la formule simple :
Par définition, dans le SI, lorsque le flux à l'intérieur d'une boucle varie à un taux de 1 weber par seconde, une tension de 1 volt est induite entre ses bornes .
E = 01 - 02 At
On obtient donc l'équation suivante : E= A0
La tension induite est donc égale au changement de flux AO = (01 - 02) divisé par le temps At. On n'est plus obligé d'imaginer une «coupure» des lignes pour expliquer la tension induite, comme on l'a fait lors de l'étude du principe III, étudié au chapitre 17 .
(18-1)
At ou E = tension induite, en volts [V] Ao = variation du flux à l'intérieur de la boucle, en webers [Wb] At = intervalle de temps, en secondes [s]
La tension induite dans une spire est simplement due à la variation du nombre de lignes de force traversant cette spire. Le principe III apparaît donc maintenant comme un cas particulier du principe IV . 220
INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
22 1
Figure 18-2 Si le flux o varie d'une quantité AO durant un intervalle At, la tension induite est donnée par E = NAO/At.
Exemple 18-1 Une bobine comprenant 2000 spires est traversée par un flux de 5 mWb provenant d'un aimant permanent (Fig . 18-3) . L'aimant est alors éloigné de la bobine en 1/10 de seconde et le flux à l'intérieur de la bobine baisse à 2 mWb . Quelle est la valeur moyenne de la tension induite?
N= 2000 spires
Figure 18-1 La loi de l'induction de Faraday permet de calculer la tension E induite dans une spire, même dans des conditions hautement variables . Figure 18-3 Voir exemple 18-1 .
La loi de l'induction électromagnétique de Faraday ouvre la porte à un grand nombre d'applications pratiques comme l'illustrent les exemples suivants . 18.2 Application 1 - Induction dans une bobine Soit une bobine de N spires traversée par un flux 0 IFïg .l8-2) . Si le flux varie d'une quantité AO pendant un intervalle de temps At, la valeur de la tension induite dans chaque spire est AO/At volts . Pour N spires, la tension E est donc N fois plus grande, soit :
E=N A0 At
(18-2)
En augmentant le nombre de spires on réussit à augmenter la tension induite .
Solution
La variation de flux est : Ao = (5 mWb - 2 mWb) = 3 mWb Comme cette variation dure 1/10 de seconde (At), la valeur moyenne de la tension induite est : E = N
00
At = 60V
= 2000 x
0,003 1/10
18.3 Application 2 - Tension induite dans un cadre Lorsqu'un cadre tourne entre les pôles d'un aimant, le flux à l'intérieur du cadre varie continuellement, induisant ainsi une tension . Par exemple, dans la Fig . 18-4a, à l'instant t = 0, le cadre n'est traversé par au-
ÉLECTROTECHNIQUE
cm flux,
mais 20 millisecondes plus tard (Fig . 18-4b), après avoir exécuté 1/4 de tour, il est traversé par un flux de 0.01 Wb . La tension moyenne induite vaut donc : E = _ 0,01 = 0,5 V At 0,02 On aurait trouvé la même tension moyenne en appliqua t la formule E = Blv du principe III de l'électromagnétisme . Cependant, pour calculer la tension par serte méthode, il faudrait connaître les dimensions du cabe et la valeur de la densité de flux B. t=0
(a)
que fonctionnent les transformateurs . On peut remarquer que l'ouverture rapide de l'interrupteur produit une variation rapide du flux ; il en résulte une tension induite E2 très élevée (voir Fig . 18-5c) . Ce principe est mis à profit dans la bobine d'induction reliée aux bougies d'allumage d'une automobile . La tension produit une étincelle qui amorce l'explosion d'un mélange d'essence et d'air .
1-ffff W370
0 = 10 mWb t = 20 ms
(b)
= 10 mWb Figure 18-4 Laide Faraday appliquée à un cadre tournant : a le flux à l'intérieur du cadre est nul ; ib le flux à l'intérieur du cadre est de 10 mWb .
18.4 Application 3 - Induction mutuelle La variation du courant dans une bobine peut induire une tension dans une autre bobine . Soient deux bobines A et B enroulées sur le même noyau d'acier (Fig . 18-5) . La bobine A peut être raccordée à une batterie de piles au moyen d'un interrupteur. À la Fig . 18-5a, le flux dans le noyau est nul car l'interrupteur est ouvert . Dès que l'interrupteur est fermé (Fig . 18-5b), un courant commence à circuler dans la bobine A produisant des lignes de flux dans le sens indiqué . Le flux dans le noyau passe alors de la valeur zéro à une valeur 0 ; il y a donc variation du nombre de lignes de flux traversant la bobine B . D'après la loi de l'induction, une tension est induite dans cette bobine. Cette induction d'une tension dans une bobine par la variation du courant dans une autre bobine porte le nom d'induction mutuelle . Il est donc possible, par couplage magnétique seulement, de transmettre de l'énergie électrique d'une bobine à une autre . C'est sur ce principe
KIK a7u~
Figure 18-5 Induction mutuelle : a . le montage à l'état de repos ; b . la fermeture de l'interrupteur provoque la circulation d'un courant . La croissance du flux induit une tension E t dans la deuxième bobine ; c . si l'interrupteur est ouvert brusquement, la décroissance rapide de 0 induit une haute tension E2-
18 .5 Application 4 - Générateur à réluctance variable Un aimant permanent N-S produit un flux dans un circuit magnétique formé d'un noyau stationnaire et d'un rotor en fer doux (Fig . 18-6) . La valeur du flux dépend de la réluctance du circuit magnétique, donc de la position du rotor. Lorsque celui-ci se trouve dans l'axe du noyau, l'entrefer est court et le flux possède alors sa valeur maximale 01 ; mais si on le fait tourner de 90°, l'entrefer augmente et le flux tombe à sa valeur minimale 02 .
INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
Si l'on entraîne le rotor par un moteur quelconque, le flux varie de façon périodique entre ses valeurs extrêmes 01 et 02 (Fig . 18-7) . Cette variation périodique induit une tension alternative dans la bobine qui subsiste aussi longtemps que le rotor tourne . La valeur moyenne de la tension induite pendant 1/4 de tour vaut E = (01 - 02)/4t volts, At étant le temps pris pour exécuter cette fraction de tour .
223
raison fondamentale de sa création. D'après Maxwell, un champ électrique s'établit autour de tout champ magnétique qui varie avec le temps . Les lignes de force de ce champ électrique* sont représentées par une série de boucles fermées encerclant les lignes du flux «inducteur» (Fig . 18-8a et 18-8b) . flux croissant champ électrique électron
(a)
flux décroissant Figure 18-6 Générateur à réluctance variable .
champ électrique
électron
(b)
144 fi Figure 18-7 Variation du flux dans le noyau, entre les valeurs extrêmes h et m2 . La tension induite est maximale lorsque le flux varie apdement (instants t3 et t4) ; elle est nulle lorsque le taux de changement est zéro (instants tt et t2)-
18.6 Champ magnétique et champ électrique Faraday a découvert le phénomène de l'induction d'une aeasion, mais c'est l'illustre physicien et mathématicien anglais James Clerk Maxwell qui a expliqué la
flux constant
(c) Figure 18-8 Un champ magnétique qui varie produit un champ électrique . Si des électrons sont présents dans le voisinage du champ magnétique, le champ électrique créé exerce sur ceux-ci une force de sens opposé à celui des lignes de champ électrique . a. sens du champ électrique lorsque le flux croît ; b. sens du champ électrique lorsque le flux décroît ; c . le champ électrique est absent lorsque le flux ne varie pas . Le concept de champ électrique est présenté au chapitre 20 .
224
ÉLECTROTECHNIQUE
Si le flux croît, le sens des lignes électriques est comme indiqué à la Fig . 18-8a ; s'il décroît, elles changent de sens (Fig . 18-8b) . Enfin, si le flux reste constant, c'està-dire qu'il ne varie pas en fonction du temps, le champ électrique disparaît (Fig . 18-8c) . Ce champ électrique possède les mêmes propriétés que celui existant entre les bornes d'une pile, de sorte qu'un électron placé dans ce champ subira une force l'obligeant à suivre le trajet circulaire des lignes de champ électrique . L'électron se mettra à tourner autour du champ magnétique, sa vitesse augmentant rapidement à chaque tour . Remarquer que c'est la croissance ou la décroissance du champ magnétique qui détermine le sens de rotation de l'électron . De même, si l'on place une spire conductrice fermée autour d'un champ magnétique variable, les électrons libres qu'elle contient se déplacent, créant ainsi un courant électrique dans la spire . Comme dans tout conducteur, la vitesse de déplacement des électrons est beaucoup plus faible que dans le cas précédent à cause de la structure atomique de la spire . Ce courant électronique subsiste aussi longtemps que le champ magnétique varie . On se souvient que la circulation des électrons correspond à un courant dont le sens conventionnel est l'inverse du courant électronique . Si le flux varie à l'intérieur d'une spire ouverte, les électrons mis en circulation s'accumulent sur l'une de ses deux extrémités ; il en résulte une différence de potentiel E comme Faraday l'avait constaté . Cette différence de potentiel, ou tension, reste la même quelle que soit la forme de la spire, pourvu qu'elle entoure le même flux (Fig . 18-9) . 18 .7 Polarité de la tension induite - Loi de Lenz La polarité de la tension induite dépend exclusivement de la façon dont le flux varie à l'intérieur de la spire . Alors que la loi de Faraday permet de trouver la valeur Loi de Lenz Soit un flux inducteur 0 1 dont la variation induit une tension E dans une bobine . La polarité de la tension induite E est telle qu'elle tend à faire circuler dans la bobine un courant 1 2, créant un flux 02 qui s'oppose à la variation du flux 01 .
Figure 18-9 La tension induite E est rigoureusement identique pour les quatre spires entourant un même flux, quelles que soient leur forme et leur orientation .
de la tension induite, la loi de Lenz permet d'en déterminer sa polarité . On peut éclaircir l'énoncé de la loi de Lenz à l'aide de la Fig . 18-10 . Elle montre une spire de résistance nulle raccordée aux bornes 1 et 2 d'un circuit C . Ce dernier pourrait contenir n'importe quelle combinaison de sources de tension et de résistances . La spire pourrait aussi porter un courant I quelconque (pas indiqué) . Cette spire entoure un flux inducteur 0 1 qui varie en fonction du temps . Ce flux peut être créé par le courant qui circule dans la spire elle-même, ainsi que par un flux provenant d'un montage à l'extérieur. Selon la loi de Faraday, la valeur de la tension induite apparaisant entre les bornes 1 et 2 est donnée par l'expression E = d 0i/4 t. Pour déterminer sa polarité, considérons maintenant les quatre schémas de la Fig. 18-10 .On examinera successivement les quatre combinaisons possibles obtenues avec un flux 01 orienté vers le haut ou vers le bas, et dont la valeur augmente ou diminue .
INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
Le flux total 01 entouré par la spire se dirige dans le sens indiqué et il est croissant . Le système cherche à s'opposer à cette croissance . Pour ce faire, on imagine un courant 12 qui circule dans la spire afin de produire un flux 02 s'opposant à la croissance de 01 . Le flux Y'2 doit donc avoir un sens opposé à celui de 01 . En appliquant la règle de la main droite (section 13 .3), il s'ensuit que 12 doit circuler dans le sens indiqué . Comme le courant se dirige vers la borne 2, celleci est (+) par rapport à la borne 1 .
225
fig . 18-10a :
C
Le flux total 01 entouré par la spire se dirige dans le même sens que dans la Fig . 18-1 Oa, mais il est décroissant . Le système cherche à s'opposer à cette décroissance . Pour ce faire, on imagine un courant 12 qui circule dans la spire afin de produire un flux o, s'opposant à cette décroissance . Le flux 02 doit donc être orienté dans le même sens que 01 . En appliquant la règle de la main droite, il s'ensuit que 12 doit circuler dans le sens indiqué . Comme le courant se dirige vers la borne 1, celle-ci est maintenant (+) par rapport à la borne 2 . fig . 18-10b :
Le flux total 01 entouré par la spire est orienté dans le sens inverse de celui des deux figures précédentes, et il est croissant . Le système cherche encore à s'opposer à cette croissance . Pour ce faire, on imagine un courant 12 qui circule dans la spire afin de produire un flux 02 s'opposant à cette croissance, et créant donc un flux 02 de sens opposé à celui de 01 . En appliquant la règle de la main droite, il s'ensuit que 12 doit circuler dans le sens indiqué . Comme le courant se dirige vers la borne 1, celle-ci est (+) par rapport à la borne 2 . Fig . 18-10c :
C
croissant
Enfin, le flux total 01 entouré par la spire se dirige dans le même sens que celui de la Fig . 1810c . mais il est décroissant . Le système cherche encore à s'opposer à cette décroissance . Pour ce faire, on imagine un courant 12 qui circule dans la spire afin de produire un flux 02 s'opposant à cette décroissance, et créant donc un flux de même sens que 01 . En appliquant la règle de la main droite, il s'ensuit que 12 doit circuler dans le sens indiqué . Comme le courant se dirige vers la borne 2, celle-ci est (+) par rapport à la borne 1 . Fig . 18-10d :
décroissant
Le même raisonnement permet de trouver la polarité de la tension apparaissant aux bornes d'un enroulement ou d'une bobine dans un circuit quelconque .
Figure 18-10 Schémas montrant l'application de la loi de Lenz pour déterminer la polarité d'une tension induite .
226
ÉLECTROTECHNIQUE
Exemple 18-2 Déterminer la polarité de la tension induite entre les . 18-11 ) . lors de la fermebornes de la bobine B (Fig tme de l'interrupteur .
o
E
N spires Figure 18-12 Méthode de mesure du flux d'un aimant permanent .
Figure 18-11 Mn( exemple 18-2 .
Par ailleurs, si l'on retire l'aimant très lentement, une faible tension est induite pendant un temps plus long (Fig. 18-13b) . Enfin, si l'on retire l'aimant par étapes en arrêtant le déplacement à quelques reprises, on obtient une courbe de tension interrompue (Fig . 18-13e) .
Sokution À la fermeture de l'interrupteur, le courant dans la bobne A croît à partir de zéro jusqu'à une certaine valeur Iimposée par la tension de la source et la résistance de la bobine A . Il s'établit donc un flux variable 01 croismm dont le sens est donné par la règle de la main droite.
surface en volts-secondes
(a)
Ce flux variable 01 traverse également la bobine B et ~ tension est induite entre ses bornes 1 et 2. Sa polarité est donnée par la loi de Lenz . La bobine B tend à produire un flux 02 s'opposant à la croissance du flux 01, donc circulant dans le sens opposé à celui de 01 (Fig . 18-11) . En supposant que le tex o, est créé par un courant fictif 12 , on découvre que la borne 1 est (+) par rapport à la borne 2 . De la même façon, on note que la tension induite entre les bornes 3 et 4 est telle que 3 est (+) par rapport à 4 . 18.8 Méthode de mesure du flux La loi de Faraday nous offre une méthode facile pour mesurer un flux, comme, par exemple, celui créé par un aimant permanent . Soit une bobine possédant N spires, placée au centre d'un aimant permanent (Fig. 18-12) . Dans cette p osition . l a bobine entoure (ou accroche) le flux entier de l'aimant. Si l'on retire l'aimant rapidement, le flux à l'intérieur de l'enroulement tombe vite à zéro et, pendant ce temps, une tension relativement élevée est induite aux bornes de la bobine . La tension instantanée E dépend de la distribution du flux et de la vitesse instantanée du déplacement ; elle pourrait avoir l'allure montrée à la Fig . 18-13a .
(e)
temps
Figure 18-13 a . Si l'aimant est retiré rapidement, une tension élevée de courte durée est induite ; b . si l'aimant est retiré lentement, une faible tension de plus longue durée est induite ; c . si l'aimant est retiré par étapes avec plusieurs arrêts, la tension induite a la forme indiquée ; Dans les trois cas, la surface hachurée est la même . Sa valeur en volts-secondes, divisée par le nombre de spires, donne le flux de l'aimant permanent .
INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
227
Si l'on mesurait les surfaces hachurées (en volts-secondes) situées en dessous de chacune de ces trois courbes, on constaterait qu'elles sont toutes les mêmes . Le nombre de volts-secondes reste donc le même quelle que soit la manière dont on retire l'aimant .
D'après la loi de Faraday, on peut prouver que le nombre de volts-secondes induits est égal au nombre de spires multiplié par le changement de flux à l'intérieur de la bobine . C'est ce qu'exprime la relation suivante : volts-secondes = N (01 - 02)
(18-3)
Figure 18-14 Circuit dont tout les composants ont une résistance nulle . Lorsque l'interrupteur est fermé, la tension induite E I est rigoureusement égale à la tension Es de la source .
où 01 = flux initial dans la bobine, en webers [Wb] 02 = flux final dans la bobine, en webers [Wb] N = nombre de spires Pour mesurer ces volts-secondes, on utilise des voltmètres spéciaux, appelés voltmètres intégrateurs . Une autre méthode consiste à enregistrer l'impulsion de tension sur l'écran d'un oscilloscope . En observant 1 -amplitude de la tension en fonction du temps, il est facile de calculer les volts-secondes, et dès lors la vapeur du flux . Exemple 18-3
Ondésire mesurer le flux produit par un aimant permanent . À cette fin, on glisse une bobine de 200 spires au centre de 1' aimant. comme l'indique la Fig . 18-12. Ensuite, on retire rapidement et totalement Paimant de la bobine . Un voltmètre intégrateur enj acgistre une impulsion de 400 millivolts-secondes . i (quelle est la valeur du flux?
sistance interne de la batterie soient strictement nulles . Qu'arrive-t-il à la fermeture de l'interrupteur? Dans un premier temps, on est porté à croire que le fait de brancher une batterie sur une bobine de résistance nulle provoque un court-circuit franc et qu'un énorme courant I circule immédiatement dans le circuit . Cependant, dès qu'un courant commence à circuler, celui-ci produit un flux . De plus, au fur et à mesure que le courant croît, le flux augmente aussi . Mais l'augmentation du flux induit, à son tour, une tension Ei aux bornes de la bobine . Comme la résistance des conducteurs AX et BY est nulle, cette tension est nécessairement égale, en valeur et en polarité, à celle de la source . On peut donc écrire : Ei = Es
(18-4)
De plus, d'après l'équation 18-2 : El = N AO At
il s'ensuit que :
Solution
Aiisque l'aimant est retiré complètement de la bobine, le flux final 02 est nul . On aura donc : volts-secondes = N (0 1 - O~) = N O, 400 mV •s = 200 x 01 01 = 2 mV-s = 2 mWb 1.9 Tension appliquée et tension induite dans une bobine Cnsidérons une batterie de piles produisant une ten9oin fixe E, que l'on peut brancher aux bornes d'une bobine au moyen d'un interrupteur (Fig . 18-14) . Supposons que la résistance de la bobine, ainsi que la ré-
AO = Es At
(18-5)
N
C'est dire que le taux de variation du flux i\ /At est proportionnel à la tension Es appliquée à l'enroulement . Ce résultat est important, car il met en évidence une relation entre le flux et la tension (plutôt que le courant) appliquée à une bobine . Si la tension Es est fixe (comme dans notre exemple) on peut écrire : AO = 1 Es t N
(18-6)
LLO
tLtL I MU I tUFiNIUUt
où A¢ = changement de flux à l'intérieur de l'enroulement [Wb] N = nombre de spires de l'enroulement ES = tension fixe appliquée à l'enroulement [V] t = temps d'application de la tension [s]
Étant donné qu'un courant de 1 A produit 2 mWb, il s'ensuit qu'il faut un courant de 3 A pour produire 6 mWb . b) Après une période de 36 secondes, le flux sera 36/4 = 9 fois plus grand qu'après 4 secondes ; par conséquent, le flux à ce moment sera 6 mWb x 9 = 54 mWb .
Exemple 18-4
Le courant correspondant est 9
L'enroulement d'un gros transformateur de 100 kV possède 2500 spires . On branche une pile de 1,5 V aux bornes de l'enroulement pendant 40 secondes . Calculer le flux dans le noyau à la fin de cette période, sachant que le flux initial est nul .
On constate que le flux et le courant augmentent tous deux linéairement avec le temps . Si la résistance du montage demeurait strictement nulle, le courant augmenterait théoriquement sans limite .
X
3 A = 27 A .
Exemple 18-6 Solution
Il arrive parfois que des perturbations à la surface du soleil produisent des courants intenses clans la stratosphère . Ces courants produisent à leur tour un champ magnétique variable qui induit une tension de quelques dizaines de volts à la surface de la terre . Ce phénomène . qu'on appelle orage géomagnétique, produit ainsi une tension induite qui porte le nom de tension tellurique .
En utilisant l'équation 18-6, on trouve : AO= 1 Est N
=
1 x 1,5 x 40 = 0,024 2500 24 mWb
Cet exemple montre que le changement de flux à l'intérieur d'un enroulement dépend de la tension qu'on lui applique et de la durée de son application . La valeur du courant d'excitation I qui en découle dépend des propriétés du circuit magnétique . Cette constatation est importante parce qu'on est souvent porté à croire que c'est le courant I et non la tension Es qui produit le changement de flux .
La tension varie très lentement et peut durer pendant quelques minutes avant de changer de polarité . De plus, elle s'étend sur des centaines de kilomètres .
Exemple 18-5
Considérons un long réseau de transport à 735 kV, soumis à un orage géomagnétique . Les lignes sont raccordées au sol à travers les bobinages des transformateurs situés dans les postes séparés de centaines de kilomètres .
Dans la Fig . 18-14, E, = 6 V, N = 4000 spires, et un courant de 1 A produit un flux de 2 mWh . Le flux proportionnel au courant 1. La résistance de la bobine est négligeable . Calculer :
La différence de potentiel tellurique induite dans l'immense boucle formée par la ligne, les transformateurs et la terre peut, dans ces conditions . provoquer la saturation de certains transformateurs .
a) la valeur du flux et (lu courant 4 secondes après lafermeture de l'interrupteur
Supposons qu'ils deviennent saturés lorsque le flux atteint le seuil de 950 mWh . Les enroulements en jeu possèdent 2000 spires . Si le flux initial est de 800 mWb, calculer le temps requis pour atteindre le point de saturation, lorsque la tension tellurique effective est de 15 V .
b) la valeur du flux et du courant 36 secondes après llafermeture de l'interrupteur Solution
a) Le flux après 4 secondes est donné par Solution AO _ ' Es t
N
=
1 x 6 x 4= 0,0060 Wb 4000 = 6 mWb
éq . 18-6
On a Es = 15 V, une tension essentiellement continue . Le changement de flux requis pour atteindre la saturation est : A0 = 950 mWb - 800 mWb
= 150 mWb
INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
l'équation 18-6 on obtient : 1 A0 = -Es t N
229
18-4 Une bobine de 200 spires est traversée par un flux de 3 mWb provenant d'un aimant permanent . On éloigne l'aimant et le flux baisse à 1,2 mWb en 0,2 s . Calculer la valeur moyenne de la tension induite . Niveau intermédiaire
0,150 = 1 x15t 2000 d'où
t = 20 s
Le transformateur devient saturé après 20 secondes . Cet exemple met en évidence le fait que même de très faibles tensions parasites peuvent affecter un grand réseau si elles durent assez longtemps . 18 .10 Résumé Dans ce chapitre, nous avons appris à utiliser la loi de l'induction électromagnétique de Faraday dans sa forme la plus générale . Selon cette loi, une tension est induite à l'intérieur d'une boucle par un flux qui varie avec le temps . Cette tension est proportionnelle au taux de changement -Soldt du flux dans la boucle . Pour une bobine, le tension est multipliée par le nombre de spires . La loi de Lenz permet de trouver la polarité de la tension induite. D'après cette loi, la polarité est telle qu'un courant imaginaire sortant par la borne + de la boucle ou de la bobine crée un flux s'opposant à la variation du flux imposé . Cette loi s'applique même si la boucle porte déjà un courant . Nous avons vu aussi que l'application de la loi de l'induction permet de mesurer le flux en calculant les voltssecondes associés à la tension induite . De la même façon . une tension continue, même très faible, appliquée à une bobine pendant un certain temps produit un flux qui croit proportionnellement aux volts-secondes et peut éventuellement provoquer la saturation du circuit magnétique .
PROBLÈMES - CHAPITRE 18 Niveau pratique 18-1 De quoi dépend la valeur de la tension induite dans une bobine? 18-2 Qu'entend-on par induction mutuelle? 18-3 Quelle est la loi qui donne la polarité de la tension induite dans une bobine? Énoncer cette loi .
18-5 Dans la Fig . 13-25 du chapitre 13, les deux bobines principales créent un flux de 15 Wb lorsque le courant d'excitation total est de 165 A . a) Si le courant est graduellement réduit à zéro dans un intervalle de 2 secondes, quelle sera la tension induite dans chacune des bobines auxiliaires, ces dernières étant ouvertes? b) Quelle est la tension induite dans chaque bobine principale? 18-6 Dans la Fig . 18-12, une bobine de 500 spires entoure un aimant permanent ayant un diamètre de 30 mm. En retirant la bobine lentement, on constate qu'on peut maintenir une tension de 40 mV pendant 6 secondes après quoi la tension devient nulle . a) Quelle est la densité de flux développé par l'aimant? b) Si l'on retirait la bobine en 0,3 seconde, quelle serait la valeur moyenne de la tension induite? 18-7 Appliquer la loi de Lenz à la Fig . 18-9 et montrer que les polarités doivent être telles qu'indiquées . 18-8 Appliquer la loi de Lenz aux Fig . 18-8a et 18-8b, et montrer que les électrons doivent circuler dans le sens indiqué . 18-9 Dans la Fig . 19-4b du chapitre 19, quelle est la polarité de la borne 1 lorsqu'on ouvre l'interrupteur? 18-10 Dans la Fig . 18-6, quelle est la polarité de la borne m par rapport à n à l'instant indiqué? 18-11 Dans la Fig . 19-6a du chapitre 19, quelle est la polarité de la borne 1 par rapport à 2? 18-12 Dans la Fig . 14-8 du chapitre 14, quelle est la polarité de la borne b par rapport à a lorsque le courant diminue? 18-13 Dans la Fig . 18-5, montrer de quelle façon les bobines A et B sont enroulées autour du noyau, sachant que le sens du flux et la polarité des tensions sont tels qu'indiqués .
9 Inductance
Dans ce chapitre, nous étudierons une des propriétés les plus importantes des enroulements . Cette propriété, appelée inductance, permet d'évaluer les tensions induites dans les bobines de même que la quantité d'énergie qu'elles emmagasinent . L'inductance joue un rôle important dans les circuits à courant continu et à courant alternatif, si bien que tous les domaines de l'électrotechnique sont affectés par cette propriété de base . Ce chapitre mérite donc une attention toute particulière . 19.1
dans laquelle k est un simple facteur de proportionnalité . En substituant (19-2) dans (19-1) on obtient :
Eb = kNb AIa
At
=M Ai, Eb
(19-3) At
Considérons deux bobines A et B plus ou moins rapprochées (Fig . 19-1) . La bobine A est parcourue par un courant I, ; elle crée donc un flux Oa dont une partie Ob «accroche» les spires de la bobine B .
Par définition, le facteur M, nommé inductance mutuelle des deux bobines, donne le rapport entre la tension induite dans une bobine et le taux de variation du courant dans l'autre . Ce coefficient dépend du nombre de spires des bobines, de leur position relative et des caractéristiques du circuit magnétique qui les relie .
Lorsque le courant I a varie, le flux Ob varie ; donc, d'après la loi de Faraday, une tension est induite entre les bornes de la bobine B . La valeur de la tension est donnée par l'équation 18-2, soit
L'inductance mutuelle de deux bobines augmente : (1) si l'on augmente le nombre de spires, (2) si on les rapproche l'une de l'autre, ou (3) si on les relie par un noyau magnétique .
AO b
(19-1) At
Si le circuit magnétique n'est pas saturé, toute variation de courant AIa produit une variation de flux AO proportionnelle à AIa , ce qui permet d'écrire l'équation : AO b = k AIa
At
c'est-à-dire
Inductance mutuelle - le henry
Eb = Nb
= M AIa
L'unité SI d'inductance mutuelle est le henry (symbole H) . L'inductance mutuelle de deux bobines est de 1 henry si une variation de courant de 1 ampère par seconde dans l'une induit une tension de 1 volt dans l'autre .
(19-2) 230
INDUCTANCE
Exemple 19-1 Linductance mutuelle des enroulements A et B de la Fig . 19-1 est de 3,7 henrys . Quelle est la valeur moyenne de la tension induite dans la bobine B lorsque le courant dans la bobine A, décroît de 7 A à 3 A en 2 secondes''
231
L'inductance mutuelle de deux bobines demeure la même, quelle que soit la bobine qui est alimentée . C'est d'ailleurs une propriété de l'ensemble des deux bobines tout comme leur masse ou leur couleur . 19 .2 Self-inductance Considérons la bobine de la Fig . 19-2 portant un courant 1 et produisant un flux 0 . Si le courant varie d'un montant AI, cela produira un changement correspondant de flux Ao. Cependant, une variation de flux à l'intérieur de la bobine induit une tension entre ses bornes . Nous en venons à la conclusion que le courant variable dans une bobine induit une tension entre ses propres bornes . C'est le phénomène de self-induction .
Figure 19-1 La variation de courant dans l'enroulement A induit une tension dans l'enroulement B . C'est le phénomène de inductance mutuelle .
Solution Variation de courant AI = (7 A - 3 A) = 4 A
Figure 19-2 La variation du courant I dans la bobine induit une tension entre ses bornes . C'est le phénomène de la self-inductance .
Durée de la variation At = 2 s Inductance mutuelle M = 3,7 H En appliquant la formule 19-3, on trouve: Eb = M
Al,
La tension induite dépend du nombre de spires de la bobine, de sa forme et du taux de variation du courant . Par analogie avec l'induction mutuelle, la valeur de la tension induite est donnée par l'équation :
At = 3,7 x
4
E=L
= 7,4 V
(19-4)
At
2
On remarquera que ce n'est pas le courant dans la bobine A qui engendre une tension dans la bobine B, mais bien la variation de flux (produite par la variation du courant) qui donne naissance à cette tension . Cependant, en pratique, une formule donnant la tension induite dans une bobine en fonction de la variation du courant dans une autre est plus utile qu'une équation faisant intervenir le flux . En effet, il est plus facile de mesurer et de suivre les variations d'un courant que les variations d'un flux .
AI
où E L AI At
= tension induite, en volts [V] = self-inductance de la bobine, en henrys [H] = variation du courant, en ampères [A]
= durée de la variation, en secondes [s]
La self-inductance L donne la relation entre la tension induite dans une bobine et le taux de variation du courant qui la parcourt. Comme pour l'inductance mutuelle, l'unité SI de self-inductance est le henry .
INDUCTANCE
Lorsque le courant diminue (Fig . 19-5c), le flux diminue et une tension E 12 est encore induite . La polarké de cette tension est telle qu'elle tend à s'opposer à la décroissance du courant I. Par conséquent, si la tenon induite agissait seule, elle produirait un courant il, dans le même sens que I. Afin de produire un tel c ousant. il faut que la borne 2 soit (+) par rapport à 1 . La 1-nsion E 12 est donc négative (-) . En comparant les Fig . 19-5b et 19-5c, on constate que la polarité de la tension induite ne dépend pas du sens du courant I, mais de la façon dont il varie . De plus, la tnsion induite tend à s'opposer au changement de couzant dans la bobine . Il est important de réaliser que le vrai courant circulant dans le circuit est I, • les courants i a et il, sont des courants fictifs utilisés comme artifices pour déterminer la polarité de la tension E12 induite .
233
flux croissant
1
(constant)
Figure 19-5a Lorsque le courant ne varie pas, la tension entre les bornes est nulle .
La polarité de la tension induite dans une bobine couplée à une autre peut être établie en suivant le raisonzrrment de l'exemple 18-2 du chapitre précédent . 19 .4 Énergie emmagasinée dans le champ magnétique d'une bobine La polarité en soi n'a pas grand intérêt, mais si on l'associe à la direction du courant I, elle nous conduit à une découverte importante . Ainsi, la Fig . 19-5b indique que lorsque le courant I augmente, il entre par une borne positive . La bobine se comporte donc comme une charge, absorbant une puissance instantanée de El watts pendant un certain temps (voir la section 4-11) . Qu'arrive-t-il de cette énergie? Puisque la bobine ne possède aucune résistance, l'énergie n'est pas dissipée sous forme de chaleur . Puisque le montage est i mmobile . i l n'y a aucune dépense d'énergie mécanique . On conclut que l'énergie est emmagasinée dans le champ magnétique de la bobine, un peu comme on emmagasine de l'énergie mécanique lorsque l'on comprime un ressort .
i (croissant)
Figure 19-5b Lorsque le courant augmente, une tension est induite et la borne 1 est positive . La bobine agit comme une charge .
Dans le cas de la Fig . 19-5c, on constate que lorsque le courant I décroît, il sort par la borne positive . La bobine se comporte alors comme une source fournissant de Fénergie au reste du circuit . Cette énergie provient du champ magnétique qui doit, par conséquent, décroîIre . Un enroulement peut donc emmagasiner et restituer de l'énergie comme le fait une batterie de piles . L' énergie est conservée dans le champ magnétique et elle augmente et diminue avec celui-ci .
Figure 19-5c Lorsque le courant diminue, une tension est induite et la borne 1 est négative . La bobine agit comme une source .
232
ÉLECTROTECHNIQUE
Une bobine possède une self-inductance de 1 henry si une tension de 1 volt est induite lorsque le courant qui la parcourt varie à un taux de 1 ampère par seconde . Notons que le terme self-inductance est habituellement connu sous le nom abrégé d'«inductance» . La Fig . 19-3 montre une inductance de 18 mH pouvant porter un courant de 6400 A .
t=0,1 s 3/
1
1
4 V
100 V
T +~ (b)
2
Figure 19-4 a . Le courant initial dans une bobine est de 5 A, la tension à ses bornes est de 4 V. b . Lors de l'ouverture du circuit, le courant diminue rapidement, ce qui induit une tension de 100 V entre les bornes 1 et 2 . On remarque que la tension induite (100 V) est de beaucoup supérieure à la tension de la pile (Fig . 19-4b) . 19 .3 Polarité de la tension induite
Figure 19-3 Inductance de lissage de 18 mH, 6400 A . c .c . servant de filtre pour l'alimentation des électro-aimants de guidage du synchrotron à protons du CERN, à Genève . Pesant 35 tonnes et refroidie à l'eau, cette inductance élimine les ondulations du courant pour toute fréquence comprise entre 50 Hz et 3000 Hz (gracieusté de Siemens) .
Exemple 19-2 Une bobine ayant une inductance de 2 H est parcourue par un courant de 5 A lorsqu'elle est raccordée à une pile de 4 V (Fig . 19-4) . Calculer la valeur moyenne de la tension induite si le courant est interrompu en 0,'1 s° Solution En appliquant la formule (19-4) on trouve : E
=L
Ai At
=2 x (5-0) =100V 0' l
La bobine de la Fig . 19-5 est branchée à une source de courant G qui lui fournit un courant I . Supposons que la résistance de l'enroulement soit rigoureusement nulle ; il n'y aura donc aucune chute de tension et aucune perte Joule . Dans l'analyse qui suit nous étudierons ce circuit pour trois conditions différentes : a) le courant ne varie pas b) le courant augmente c) le courant diminue Si le courant est constant, le flux est constant et aucune tension n'est induite (Fig . 19-5a) . Puisqu'il n'y a aucune chute de tension RI due à la résistance, la tension E aux bornes de l'enroulement est nulle . Lorsque le courant augmente (Fig . 19-5b), le flux augmente et une tension E est induite . Elle apparaît aux bornes de la bobine . D'après la loi de Lenz, la polarité de cette tension est telle qu'elle tend à s'opposer à la croissance du flux . donc à la croissance du courant I . Par conséquent, si la tension induite agissait seule, elle produirait un courant i a opposé au courant I. Cela veut dire qu'à l'intérieur de la bobine, ia se dirigerait vers la borne 1 . Par conséquent, la borne 1 est (+) par rapport à la borne 2 (voir section 18-7) . La tension E12 est donc positive (+).
134 ELECTROTECHNIQUE
L' énergie W conservée dans le champ magnétique est donnée par l'équation :
W- 1 Lh 2
(19-5)
où W = énergie dans le champ [J] L = inductance de la bobine [H] I = courant dans la bobine [A] Exemple 19-3 Une bobine possédant une self-inductance de 4 H est traversée par un courant de 40 A (Fig . 19-6a) . Calculer : a) la valeur de l'énergie emmagasinée dans le champ magnétique : b) l'énergie débitée par la bobine si le courant diminue de 40 A à 30 A : c) la tension induite aux bornes de la bobine ainsi que la puissance débitée si cette diminution (le 40,3% à 30 A se fait uniformément en 20 millisecondes .
W2 =1/2LI2=1/2x4x302 =1800J La bobine a donc débité une énergie de : W = W 1 - W2 =- 3200 -1800 = 1400 J Cette énergie est retournée au circuit sur lequel la bobine est branchée . c) La tension induite aux bornes est : E = L
AI 40-30 = 4 x = 2000 V At 0,02
La puissance moyenne débitée par la bobine est : P = énergie/temps = 1400 J/0,02 s = 70 000 W = 70 kW Les valeurs de E, I et P en fonction du temps sont montrées à la Fig . 19-6b.
E
2 kV
80 kW
P '60 kW
40 A I 30A
0 Figure 19-6a Voir exemple 19-3 .
Solution a) Pour un courant de 40 A, l'énergie conservée dans le champ vaut : Wi = 1/2 Lie = 1/2 x 4 x 40 2 = 3200 J b) Lorsque le courant tombe à 30 A, l'énergie conservée dans le champ devient :
- temps
20 ms
Figure 19-6b Tension, puissance et courant en fonction du temps, lorsque le courant diminue linéairement de 40 A à 30 A . Voir exemple 19-3 .
19.5 Mise sous tension d'un circuit inductif Lorsqu'on applique une tension E sur une résistance R, le courant monte immédiatement à une valeur I = E R
INDUCTANCE
conformément à la loi d'Ohm . La Fig . 19-7 montre le circuit et le graphique du courant en fonction du temps . Qu'arrive-t-il lorsqu'on applique une tension constante E sur une bobine ayant une inductance L et une résis-
235
Exemple 19-4 Une bobine avant une résistance négligeable possède une inductance de 4 H . Déterminer la courbe du courant en fonction du temps si la bobine est branchée sur une source de 12 V . Combien de temps est
tance nulle? D'après l'équation 19-4 on a :
requis pour atteindre un courant de 27 A? E=L
AI
Solution
At
Le taux de variation du courant est : d'où AI = E = 12V = AI
E
At
L
(19-6)
At
3 A/s
4H
L
Le courant augmente à raison de 3A/s (Fig . 19-9) . Le
Comme E et L sont des constantes, l'équation (19-6) révèle que le taux de variation du courant est constant et égal à E/L . La Fig . 19-8 montre que le courant aug-
temps requis pour atteindre 27 A est de 9 s .
A
mente uniformément avec le temps, à partir de l'instant de fermeture du circuit . Contrairement à une ré-
36
sistance, le courant ne plafonne pas et il augmente théo-
27
riquement sans limite . Cependant, en pratique, le courant ne peut pas augmenter indéfiniment car il y a une limite à ce que la source peut fournir . Notons que si l'inductance était 10 fois plus grande, le taux de croissance du courant serait 10 fois plus petit .
18 9 0
0
6
3
9
s
t
Par conséquent, le courant augmenterait 10 fois moins Figure 19-9 Voir exemple 19-4 .
vite .
t= E R
19 .6 Constante de temps En pratique, une bobine possède toujours une résistance R et une inductance L . Supposons qu'on la branche sur une source de tension E. Si la résistance agissait seule, on obtiendrait la
0 Figure 19-7 Graphique du courant dans une résistance en fonction du Temps lorsque l'interrupteur est fermé à t = 0 .
courbe 1, soit I = E/R (Fig . 19-10) . De même, si l'inductance agissait seule, on obtiendrait la courbe 2, soit AI/At = EIL. La véritable courbe 3 du courant en fonction du temps suit une trace qui est asymptotique aux courbes 1 et 2. La courbe 3 possède une forme dite exponentielle, forme que nous discuterons à la section suivante . La courbe exponentielle possède une caractéristique appelée constante de temps 2* . La constante de temps fournit une mesure du temps requis pour qu'une grandeur comme, dans notre cas,
i ,
le courant I, atteigne sa valeur finale . On peut démontrer que la valeur de 'r est égale au temps requis pour
Figure 19-8 Graphique du courant dans une inductance (bobine ou spire) en fonction du temps, lorsque l'interrupteur est fermé à t = 0 .
atteindre la valeur finale de I si le courant augmentait " 't est une lettre grecque qui se prononce «tau» .
L .J6
ELECTROTECHNIQUE
R=1 52
L=4H
Figure 19-11 Voir exemple 19-5 .
Figure 19-10 Pour une bobine ayant une résistance R et une inductance L, la courbe 3 décrit la variation du courant en fonction du temps . Le temps lest la constante de temps de la bobine .
au taux déterminé par l'inductance seule . La constante de temps correspond donc au point d'intersection des courbes 1 et 2 . Il s'ensuit que la valeur de test donnée par l'expression :
Lorsque le courant a atteint sa valeur finale, le flux ne change plus et la tension induite devient nulle . Le temps requis pour atteindre la valeur finale dépend de l'inductance et de la résistance de la bobine : plus l'inductance est grande et plus la résistance est faible, plus le courant prend de temps à atteindre sa valeur finale. b) La constante de temps est : ti_
L
L _ 4 H = 4 s R
1 S2
(19-7)
R ou
2 = constante de temps de la bobine ou du circuit [s] L = inductance de la bobine ou du circuit [H] R = résistance de la bobine ou du circuit [S2] Exemple 19-5 Une bobine ayant une résistance de 1 S2 et une inductance de 4 H est connectée à une source à c .c . de 12 V (Fig . 19-11) . Calculer :
c) Le circuit de la Fig . 19-12 montre séparément la résistance et l'inductance de la bobine . Cela permet d'analyser le courant et les tensions dans le circuit . La tension de 12 V aux bornes de la bobine est composée de deux tensions : la chute El = RI dans la résistance R et la tension induite E2 = L AI/At. La tension Et dépend de la valeur du courant I tandis que E2 dépend de son taux de variation .
a) La valeur finale du courant b) La constante de temps de la bobine c) Les tensions, le courant et AI/A& au moment de la fermeture de l'interrupteur
E
0 (1) Les tensions et AI/A/ lorsque le courant a atteint 8A Solution a) La valeur finale du courant est : I = E = 12V = 12A R 1 £2
4H
Figure 19-12 Circuit électrique équivalent au montage de la Fig . 19-11, montrant les composants R et L d'une bobine et la tension aux «bornes» de chaque élement .
237
INDUCTANCE
Au moment de la fermeture, le courant est nul, mais il skange rapidement : El = 0 et E2 = 12 V. Le taux de caneement du courant à cet instant est : AI _ E2 _ 12 V At
L
= 3 A/s
4H
* Lorsque le courant atteint 8 A, on a Et = 8 V . Il 3insuit que E2 = 4 V, car la somme (Et + E2) doit aster égale à la tension de la source (12V) . Le taux de n eurent du courant à cet instant est : AI - E 2 At
L
4 V = 1 A/s 4 H
1O L7 Forme de la courbe exponentielle
Lxsqu' une grandeur Q (comme un courant ou une tenlan) suit une courbe exponentielle, sa variation en Iection du temps suit un trajet bien défini . L'expresIon est donnée par la formule : Q = QI + ( Q2 - QI)(' - e = Q I +Qd (1 - e
-tli)
-tlti )
(19-8)
TABLEAU 19-1 COURBE EXPONENTIELLE temps
valeur de Q
0
QI
TO
2 T0
QI + Q d X (1/2) QI + Q d x (3/4)
3To
Q I + Q d x (7/8)
4T0
QI + Qd X (15/16) Q I + Q d x (31/32)
5To 6To
QI + Q d x (63/64)
On constate qu'après une période 6To la valeur de Q est (63/64) de Q2 ou 98,4 % de sa valeur finale . À toutes fins utiles, on peut considérer que c'est la valeur finale . Noter que 6To correspond à 4,2 'r, soit environ 4 constantes de temps . Exemple 19-6
Tracer la courbe du courant en fonction du temps pour la bobine de l'exemple 19-5, sachant que le courant initial est nul . Solution
Q • valeur de la grandeur au temps t
D'après la solution de l'exemple 19-5, on sait que Qt=OA, Q2=12A,ti=4setQd=(12-0)=12A .
QI • valeur initiale de la grandeur
Q2 = Qd • t = 't • e •
valeur finale de la grandeur
Il s'ensuit que
Q2 - Q1
temps écoulé [s] constante de temps [s] base logarithmique (valeur = 2,718 . . .)
Cette formule permet de tracer toute courbe exponentielle à l'aide d'une calculatrice de poche . Il est encore plus facile de tracer cette courbe en faisant appel à une grandeur dérivée de la constante de temps a et appelée demi-temps To . La relation entre To et la constante de temps 'r est donnée par l'expression :
To =0,7'r=0,7x4=2,8s
Les valeurs du temps t et du courant correspondant sont choisies conformément au tableau 19-1, ce qui donne le tableau 19-2 . La courbe du courant en fonction du temps est montrée à la Fig . 19-13 . A 12
------- -------
To = 'r log e 2 = 0,693 'r (19-9) = 0,7'r (approx .) En utilisant le demi-temps To , on peut alors dresser un tableau universel donnant les valeurs de Q à des intervalles distincts, multiples de T o. Ces valeurs sont présentées au tableau 19-1 . En observant les valeurs successives du tableau 19-1, on notera qu'à chaque intervalle To la quantité Q augmente d'une valeur qui est la moitié de celle obtenue à l'intervalle précédent . C'est pourquoi To s'appelle le demi-temps .
3
0 , 0
1
2,8
2 To
3To
4 To
5 To
5,6
8,4
11,2
14
6To 16,8 s
- temps Figure 19-13 Courbe du courant en fonction du temps pour le circuit de la Fig . 19-11 .
ELECTROTECHNIQUE
TABLEAU 19-2 nT0 temps 0 T0
2T0 3T0 4T0 5T0 6T0
0 2,8 5,6 8,4 11,2 14,0 16,8
valeur de I 0 0+12x(1/2) 0 + 12 x (3/4) 0 + 12 x (7/8) 0 + 12 x (15/16) 0 + 12 x (31/32) 0 + 12 x (63/64)
=6A =9 A = 10,5 A = 11,25 A = 11,62 A = 11,81 A
19 .8 Ouverture d'un circuit inductif Considérons une bobine d'inductance L, alimentée depuis un certain temps par une source de tension El (Fig . 19-14) . Le courant I circulant dans la bobine est constant et l'énergie emmagasinée dans le champ vaut alors (t /2)LI2 joules . La borne A est positive par rapport à la borne B .
E
Figure 19-14 Avec un courant constant, l'énergie emmagasinée dans le champ demeure constante .
Si l'on ouvre l'interrupteur, le courant et le flux baissent brusquement, induisant ainsi une tension élevée E2 de polarité inverse entre les bornes de la bobine (Fig . 19-15) . En tenant compte des polarités, on constate que la tension aux bornes de l'interrupteur est la somme de la tension induite et de celle de la source . Cette tension est tellement élevée qu'elle réussit à créer un arc à travers l'air séparant la lame des contacts fixes de l'interrupteur. Le courant continue donc à circuler à travers l'arc tout en diminuant graduellement . Finalement, il devient trop petit pour maintenir l'arc et c'est seulement à ce moment que le circuit entre la source et la bobine est réellement ouvert . Pendant la décroissance du courant, la bobine se comporte comme une source, et l'énergie
E
Figure 19-15 En ouvrant le circuit, l'énergie emmagasinée dans le champ est dissipée dans l'arc . Noter que la polarité des bornes A, B est l'inverse de celle de la figure 19-14 .
qu'elle débite est dissipée dans la résistance de l'arc . Lors de l'ouverture de l'interrupteur toute l'énergie emmagasinée dans le champ doit donc être dissipée dans l'arc . L'ouverture des gros enroulements à courant continu peut créer un arc assez intense pour faire fondre les contacts de l'interrupteur . On devra donc prendre des précautions particulières lors de l'ouverture d'un circuit qui contient un enroulement . En effet, la tension induite au moment de l'ouverture du circuit peut atteindre plusieurs milliers de volts . Cette tension pourrait causer une rupture de l'isolation sur l'enroulement, ou même donner un choc électrique fatal . De plus, l'arc abîme les contacts de l'interrupteur . Le problème de la self-induction est particulièrement grave dans les circuits de commande où des relais électro-magnétiques sont alimentés et désalimentés plusieurs milliers de fois par jour . L'arc créé lors de la séparation des contacts doit être réduit par des méthodes spéciales que nous allons maintenant décrire . 19.9 Méthodes de suppression des arcs On peut réduire la tension aux bornes de la bobine et l'intensité de l'arc en plaçant une résistance Ro en parallèle avec la bobine (Fig . 19-16) . L'énergie dans le champ est alors dissipée surtout dans la résistance et plus faiblement dans l'arc d'ouverture . Plus la résistance est basse, mieux on réussit à étouffer l'arc . Mais une faible résistance possède l'inconvénient de dissiper une puissance considérable lors du fonctionnement normal de l'enroulement . On arrive à un compromis acceptable en utilisant une résistance R0 ayant environ 3 fois la résistance de la bobine .
INDUCTANCE
239
La solution idéale est d'employer une résistance non linéaire, comme un varistor, dont la résistance diminue brusquement lorsque la tension augmente . Une autre méthode particulièrement efficace consiste à placer une diode en série avec la résistance Ro en avant soin de la raccorder comme indiqué sur la Fig . 19-17 . La résistance ne dissipe aucune puissance lorsque l'interrupteur est fermé, mais dès son ouverture, la polarité inverse aux bornes de la bobine permet à la diode de conduire . Si l'on utilise une diode, on peut réduire la résistance Ro à zéro, évitant ainsi tout arc lors de l'ouverture de l'interrupteur. Cependant, le flux créé par la bobine décroît alors très lentement avec une constante de temps i = LIR, où L est l'inductance de la bobine et R sa résistance . Cela peut présenter un inconvénient, car s'il s'agit d'une bobine de relais, ce dernier ne réagira pas immédiatement après l'ouverture de l'interrupteur. On peut aussi réduire l'arc en plaçant un condensateur et une résistance R I aux bornes de l'interrupteur (Fig . 19-18) . Lors de l'ouverture de l'interrupteur, le condensateur emmagasine une partie de l'énergie subitement libérée par l'inductance . Cette énergie est ensuite lentement dissipée dans le circuit formé par la bobine, le condensateur, la source et la résistance totale du circuit. Lorsque l'interrupteur est ouvert, le condensateur demeure chargé à la tension de la source . Le but de la résistance R, est de limiter le courant de décharge lorsque l'interrupteur est refermé, afin de ne pas abîmer ses contacts . Exemple 19-7 La bobine de la Fig . 19-17 possède une inductance de 12 H et une résistance de 35 £2 . Elle est alimentée par une source de 24 V. Afin d'éliminer l'arc lors de l'ouverture de l'interrupteur, on place aux bornes A, B une résistance R o de 175 S2 en série avec une diode . Déterminer la forme d'onde de la tension aux bornes de la bobine à la suite de l'ouverture du circuit .
Solution Avant l'ouverture du circuit, le courant dans la bobine est I = 24 V/35 S2 = 0,686 A . Au moment de l'ouverture, ce courant demeure inchangé, à cause de l'inductance de la bobine . Comme l'arc est supprimé, le courant doit circuler dans Ro et la diode . La chute de tension dans la diode étant négligeable, la tension EAB
Figure 19-16 Une résistance placée aux bornes de la bobine absorbe une partie de l'énergie du champ magnétique .
diode
Figure 19-17 Lajout d'une diode isole la résistance, sauf lors de l'ouverture du circuit .
Figure 19-18 Condensateur et résistance pour supprimer les arcs lors de l'ouverture du circuit .
entre les bornes A et B change subitement de signe et passe de + 24 V à EAB = - 0,686 A x 175 Q = - 120 V, soit EBA = + 120 V. La résistance du circuit est maintenant 175 + 35 = 210 S2, alors que son inductance est toujours 12 H . La constante de temps est donc i = LIR = 12 H/210 £2 = 0,0571 s = 57,1 ms . Cela correspond à un demi-temps de To = 0,7 x 57,1 = 40 ms Le courant dans la bobine, de même que la tension a ses bornes, décroissent exponentionnellement jusqu'à
L`FU ELECTROTECHNIQUE
zéro . On peut alors tracer la courbe de décharge de EBA en utilisant le tableau 19-1 . Dans cet exemple, Q I = 120 V et Q2 = O V, donc Qd = Q2 - QI = - 120V Les valeurs de la tension aux bornes de la bobine en fonction du temps sont présentées au tableau 19-3 . La courbe de décroissance de EAB est montrée à la Fig . 19-19 .
avancées, il est difficile de calculer la valeur du courant en utilisant directement la formule (19-4) . Nous utiliserons plutôt une méthode graphique appelée méthode des volts-secondes . Pour utiliser cette méthode, il s'agit de transposer l'expression ci-dessus, en la mettant sous la forme
TABLEAU 19-3 nT0
(19-4a)
temps
valeur de EBA
0
0
120
T0
40
120 - 120 (1/2)
= 60 V
2T0
80
120 - 120 (3/4)
= 30 V
3T0
120
120 - 120 (7/8)
= 15 V
4T0
160
120 - 120 (15/16) = 7,5 V
5T0
200
120 - 120 (31/32) = 3,75 V
6T0
240
120 - 120 (63/64) = 1,87 V
19.10
Détermination graphique du courant dans une inductance
Nous avons vu à la section 19 .2 qu'il existe à chaque instant une relation entre la tension aux bornes d'une inductance et le taux de variation du courant qui la parcourt . Cette relation est donnée par l'expression (19-4), soit E = LAI/At. Cette formule permet de calculer facilement la valeur de la tension E lorsqu'on connaît la forme d'onde du courant . Cependant, il arrive souvent que la tension E aux bornes d'une inductance soit imposée et qu'on veuille calculer la valeur du courant résultant . Dans ces circonstances, à moins d'employer des mathématiques
t=0
V 120
I
90
o 2
60
T
30 Ta
2 TO
40
80
o 0
TO
3 TO
4 TO
5 Ta
6
120
160
200
240
temps en millisecondes Figure 19-19 Courbe EBA en fonction du temps . Voir exemple 19-7 et Fig . 19-17 .
Comment interpréter cette nouvelle expression? Elle nous indique que si une tension E existe aux bornes d'une inductance L durant un intervalle At, le courant qu'elle porte variera de AI. Le changement sera d'autant plus grand que l'inductance L est petite . Par exemple, supposons que la tension aux bornes d'une bobine soit de 40 V durant un intervalle de 72 ms, et que l'inductance de la bobine soit de 1,2 H . Durant cet intervalle, le changement de courant AI sera : 31 =
EAt L
= 40x0,072
= 24A
1,2 Le courant augmentera ou diminuera selon que la tension E est positive ou négative . Lorsqu'une tension varie en fonction du temps pendant une certaine période, on doit subdiviser la période en intervalles très courts . Cela permet, en effet, de garantir que la tension E reste pratiquement constante durant chaque intervalle . Ensuite, on calcule le changement de courant durant chaque intervalle . Connaissant la valeur initiale du courant, on peut alors, en répétant le calcul de AI, trouver la valeur du courant tout au long de la période . On remarquera que le produit E At représente la petite surface, en volts-secondes, située en dessous de la tension E durant le court intervalle At . Par conséquent, afin de trouver le courant circulant dans une inductance après une période T appréciable, il faut déterminer les surfaces comprises en dessous de la courbe de tension E pendant cette période. Les surfaces sont mesurées en volts-secondes ; elles sont positives lorsque la tension est positive et négatives lorsque la tension est négative . La surface nette après un temps T s'obtient en soustrayant les surfaces négatives des surfaces positives .
INDUCTANCE
Supposons, par exemple, que la tension aux bornes dune inductance suive la courbe de la Fig . 19-20 . Durant la période T, la surface A1 en dessous de la courbe est positive tandis que la surface A2 est négative . Il s'ensuit que A, la surface nette à la fin du temps T_ est égale à (A1 -A2) volts-secondes .
241
Après t2, la tension devient négative et, par conséquent, la surface nette commence à diminuer. À l'instant t3, par exemple, la surface nette est égale à (A 1 + A2 - A3) et le courant correspondant est : I= (A1 +A2 -A3)/L
À l'instant t4, la surface négative (A3 + A4) est égale à la surface positive (A1 + A2) . Par conséquent, la surface nette est nulle et le courant redevient nul, comme il l'était à t = 0 . Après l'instant t4, le courant devient négatif, c'est-à-dire qu'il change de sens (Fig . 19-21 et 19-22) . Note importante : si le courant initial (t = 0) est
IO au lieu de zéro, il suffit d'ajouter Ip à chacune des valeurs calculées selon la méthode des volts-secondes .
Figure 19-20 Courbe montrant la tension aux bornes d'une inductance ipbobine) en fonction du temps .
Si le courant initial est zéro, sa valeur I au bout du temps Test donnée par l'expression :
(19-10) L
I = courant dans l'enroulement après un temps T, en ampères [A] A = surface nette en dessous de la courbe de tension pendant le temps T, en volts-secondes [V .s] L = inductance de l'enroulement, en henrys [H] Considérons un enroulement ayant une inductance L et une résistance négligeable . La tension à ses bornes varie selon la courbe de la Fig . 19-21 . Si le courant initial est nul, sa valeur à l'instant t1 sera :
Figure 19-21 Méthode des volts-secondes pour calculer le courant dans un enroulement .
I
I=A 1 /L
À mesure que le temps s'écoule, la surface augmente progressivement ; par conséquent, le courant continue à croître. Il atteint sa valeur maximale à l'instant t2 car c est à ce moment que la surface comprise sous la courbe de tension cesse d'augmenter (Fig . 19-22) .
(-)
Figure 19-22 Forme d'onde du courant dans l'enroulement .
L`fL ELECTROTECHNIQUE
Exemple 19-8 La tension E aux bornes d'une bobine de 2 H suit la courbe donnée à la Fig . 19-23 . Sa résistance est négligeable . Déterminer la valeur du courant instantané l dans le circuit, sachant que le courant initial est nul .
donc 8 A + 4 A =12 A . Remarquer que la courbe du courant n'est pas une droite pendant cet intervalle, car la tension n'est pas constante . Intervalle de 7 à 8 secondes : la tension change subitement de polarité, passant de 6 V à - 8 V, de sorte que les 8 V •s compris dans cet intervalle se soustraient des volts-secondes accumulés précédemment . La surface nette depuis le début est donc 24 V •s - 8 V •s = 16 V •s . Par conséquent, le courant à la fin de cet intervalle (t = 8 s) est :
Solution Intervalle de 0 à 3 secondes : pendant cet intervalle, la tension de 4 V aux bornes est constante . Donc, la surface en volts-secondes augmente uniformément et linéairement . Ainsi, après 1 seconde la surface est de 4 V •s , après 2 secondes elle est de 8 V •s , après 3 s, de 12 V •s . Le courant 1 est donné par la relation I = AIL, où L = 2 H ; le courant prend donc les valeurs respectives de 2 A, 4 A, etc ., pour atteindre 6 A après 3 secondes .
I=16V •s /2H=8A . la tension est nulle aux bornes de l'inductance . La surface nette demeure inchangée ; par conséquent, le courant ne change pas, mais reste à 8 A . Intervalle de 8 à 10 secondes :
la tension est - 4 V et les volts-secondes négatifs continuent à s'accumuler. À t = 14 s, l'ensemble des surfaces négatives est égale à l'ensemble des surfaces positives, de sorte que le courant redevient nul . Passé cet instant, le courant change de sens. Intervalle de 10 à 14 secondes :
la tension baisse subitement à 2 V durant 2 s . La surface continue à augmenter mais à un taux moins rapide, car la tension E est plus petite qu'auparavant . Lorsque t = 5 s, la surface totale en dessous de la courbe depuis le début est de 16 V •s ; par conséquent, le courant I = AIL = 16 V •s/2H = 8 A . Intervalle de 3 à 5 secondes :
Si le courant avait eu une valeur initiale, disons, de +7 A, on devrait ajouter cette valeur à chacun des courants calculés ci-dessus . Pour obtenir la nouvelle courbe de courant, il suffirait de décaler la courbe de la Fig . 19-23 de 7 A vers le haut. Ainsi, le courant à t = 7 s serait 12 + 7 = 19 A .
pendant cette période la tension augmente de 2 V à 6 V . La surface augmente de 4 carreaux, ce qui équivaut à 8 V -s, donc à une augmentation de courant de 4 A . Le courant à t = 7 s est Intervalle de 5 à 7 secondes :
V, A +12 10 I 8 6 4 2
8
10
0 4 2
6
\
14' •s
12
temps
4 6 8 Figure 19-23 Voir exemple 19-8 .
10 -12
E circuit de gauche
'
circuit de droite
INDUCTANCE
FORMULES POUR CALCUL D'INDUCTANCES
Le calcul de l'inductance pour certains enroulements et pour certaines formes de conducteurs est particulièrement utile . Les formules données dans les exemples qui suivent sont approximatives, mais suffisamment précises pour les applications pratiques .
19 .12
Bobine toroïdale à noyau d'air
Une bobine toroïdale (Fig . 19-25) possède l'avantage de ne créer aucun flux à l'extérieur de ses spires . Lorsque les spires sont réparties uniformément, la bobine possède une inductance donnée par la formule : ,~
L = 0,314 N2 19.11
Bobine à noyau de fer ayant un entrefer
NAIS
• • a b
2
Ve ]
(19-12)
(19-11)
= inductance, en microhenrys [gH] = nombre de spires = diamètre extérieur, en mètres [m] = diamètre intérieur, en mètres [ml
Exemple 19-10 Dans la Fig . 19-2 si N = 1000, b = 30 cn1, on obtient :
• = inductance, en microhenrys [gH] • = nombre de spires de la bobine A = surface de l'entrefer, en mètres carrés [m 2 ] S = longueur de l'entrefer, en mètres [m]
Exemple 19-9 Dans la Fig . 19-24, si N = 1000 spires, A = 4 cnm x 1,5 cmn, é = 1 mm, on obtient : 1
[~ -
où
L'inductance de ce type de bobine (Fig . 19-24) dépend surtout des dimensions de l'entrefer, le noyau de fer ne servant qu'à canaliser le flux . Pour un noyau de fer très perméable, l'inductance est donnée par la formule : L = 1,25
243
1 x 1000- x 0,04 x 0,015 S 0,00 I = 750 000 p H = 0 .75 H
• 0,314N
40 cm,
~'a -
• 0,314 x 1000 [ti' 0 .4 • 2254 uH = 2 .25 mH Bobine à noyau d'air
19 .13
Les bobines droites (Fig . 19-26) sont très répandues dans les circuits à basses et à hautes fréquences . L'inductance de ces bobines est donnée par la formule : L _ 2,2 d
2 N 2
(19-13)
d + 2,2 1
ou • • • l Figure 19-24
= = = =
inductance, en microhenrys [µH] nombre de spires diamètre moyen, en mètres [ml longueur, en mètres [m]
Note : Si 1/d > 0,2, la précision de la formule est plus petite que ± 3 % . Exemple 19-11 Dans la Fig . 19-26, si N = 1000, d = 40 cm, 1 = 20 cm, on obtient : X
0,4 - x 1000`
0 .4 + 2 .2 x 0 . 2 • 0 .419 H Figure 19-25
419 000 pH
L t t
LLLU I MU I I_C:IINIUUb
tance est donnée par la formule :
L = 0,92 l logo
2'6 D
(19-15)
d
ou
• = inductance, en microhenrys [µH] l = longueur des conducteurs, en mètres [m] D = distance séparant les centres, en mètres [m] • = diamètre des conducteurs, en mètres [m]
Figure 19-26
19 .14 Rouleau de fil à noyau d'air Bien que ce type de bobine (Fig . 19-27) soit peu utilisé, la formule suivante permet de déterminer l'inductance approximative des bobines courtes ayant un grand diamètre .
Exemple 19-13
Dans la Fig . 19-28, si 1 = 10 kni, d = 25 mm, on a : 2 .6x3
= 0,92 x 10 000 x
2
L = 1,45 N D logo 1,4 D d
3 m,
(19-14)
0.025 = 22 946 pH = 23 mH
ou
• • • •
= = = =
inductance, en microhenrys[11H] nombre de spires diamètre moyen, en mètres [m] diamètre du faisceau de spires [m]
Exemple 19-12 Dans la
d = 2,5
Fig . 19- 7,
= 1000, D = 40 cm,
cn1, on a :
Figure 19-28
1,45 x 1000 x 0,4 lo
1,4 x 0,4 0,025
= 783 144 tH
0,78 H
19 .16
Deux barres omnibus parallèles
Tout comme deux conducteurs circulaires, deux barres omnibus (Fig . 19-29) forment une spire dont l'inductance est donnée par la formule : L = 0,92 l log,,
4,48 D
(19-16)
a+b
ou Figure 19-27
19.15 Deux conducteurs parallèles Deux conducteurs longs et parallèles (Fig . 19-28) forment une grande spire possédant une inductance appréciable . Cette inductance joue un rôle important dans les lignes de transport de l'énergie électrique . L'induc-
• = inductance, en microhenrys [pH] l = longueur des barres, en mètres [m] D = distance entre les centres, en mètres [m] a = largeur d'une barre, en mètres [m] b = épaisseur d'une barre, en mètres [m] Note : Cette formule donne une précision plus petite que ± 2 % si : D>(a+b)12 et l>60D
INDUCTANCE
245
Exemple 19-14 Dans la Fig . 19-29, si 1 = 12 m . a = 7 cm . b = 10 mm . on obtient : = 0 .92 x 12 1o
= 8 cm,
4 .48 x 0 .08 0 .07 + 0 .01
= 7 .19 tH Figure 19-30
19 .18 Résumé Dans ce chapitre nous avons introduit deux nouvelles grandeurs qui jouent un rôle fondamental dans tous les circuits contenant des bobines : la self-inductance, plus simplement appelée inductance, et l'inductance mutuelle .
Lorsqu'un courant varie dans une bobine avec un taux de changement AI/At, le changement de flux induit une tension entre les bornes de cette même bobine . Cette tension est fonction de l'inductance L de la bobine selon la loi fondamentale E = LAI/At. L'unité SI de mesure de l'inductance est le henry (H) . Figure 19-29
19 .17 Deux conducteurs concentriques Les conducteurs circulaires concentriques (Fig . 19-30) sont utilisés pour le transport de l'énergie (câbles souterrains), de même que dans le domaine des communications (câbles coaxiaux) . Leur inductance est donnée par la formule :
L = 0,46 1 logo
1,28 D
(19-17)
d ou
L = inductance, en microhenrys [pH]
l = longueur du conducteur, en mètres [m] D = diamètre intérieur du conducteur extérieur, en mètres [m] d = diamètre du conducteur intérieur [m]
Exemple 19-14 Dans la Fig . 19-30, s 1 d= 0 .4 min, on obtient : = 0 .46 x 70log 38,8 pH
70 m, 1?8 x 0 .00 0 .0004
mm .
De la même façon, lorsqu'un courant varie dans une bobine avec un taux de changement AI/At, le changement de flux induit une tension E entre les bornes d'une autre bobine voisine qui « accroche » les lignes de force créées par la première . La tension induite dans la deuxième bobine est fonction de l'inductance mutuelle M entre les deux bobines selon la loi fondamentale E = MAI/At . L'unité SI de mesure de l'inductance mutuelle est également le henry . Nous avons vu que la loi de Lenz permet de déterminer la polarité de la tension induite dans une bobine lorsque le courant augmente ou diminue . Retenons que lorsque le courant augmente, la borne par où pénètre le courant est positive . Nous avons aussi donné une formule simple permettant de calculer l'énergie emmagasinée dans une bobine, connaissant le courant et l'inductance . Lorsqu'une tension continue est appliquée à une bobine d'inductance L en série avec une résistance R (qui peut être la résistance de la bobine elle-même), le courant augmente en fonction du temps selon une courbe exponentielle . Le temps requis pour atteindre un courant stable dépend de la constante de temps 's = UR . Nous avons aussi introduit une autre grandeur, le demitemps T0 . Un tableau universel permet de tracer facilement les courbes exponentielles . Enfin, plus générale-
L`t(b
ELECTROTECHNIQUE
ment, lorsque la tension appliquée à une inductance n'est pas continue mais varie de façon quelconque, on peut tracer la forme de l'onde du courant en calculant les volts-secondes compris sous la courbe de tension .
b) Quelle était l'énergie dans le champ magnétique?
Enfin, nous avons vu que lors de l'ouverture d'un circuit contenant une bobine, le phénomène de self-induction peut générer des tensions élevées aux bornes de la bobine et produire des arcs aux bornes de l'interrupteur. Nous avons présenté plusieurs méthodes pour supprimer les arcs .
a) Quelle est l'énergie emmagasinée dans le champ? b) Quelle est la tension aux bornes? c) Quelle est la constante de temps de l'inductance?
PROBLÈMES - CHAPITRE 19 Niveau pratique 19-1 Donner la définition de l'inductance mutuelle et celle du henry . 19-2 Qu'est-ce que la self-inductance? 19-3 Définir l'inductance d'une bobine.
19-11 L'inductance de lissage de la Fig . 19-3 possède une résistance de 4 mS2 et porte un courant continu de 6000 A .
19-12 Dans la Fig . 19-12, le courant augmente graduellement de zéro jusqu'à 12 A . a) Quelles sont les chutes de tension RI lorsque le courant est de 1 A? 5 A? 10 A? b) Quelles sont les tensions induites lorsque le courant est de 1 A, 5 A, 10 A? c) Quelles sont les puissances dissipées par effet Joule lorsque le courant est de 1 A? 5 A? 10 A? d) Quelle puissance est fournie au champ magnétique lorsque le courant est de 1 A? 5 A? 10 A?
19-5 Une tension de 40V est induite lorsque le courant dans une bobine change de 5 A à 1 A en 0,4 s . Quelle est l'inductance de la bobine?
19-13 Une des conséquences importantes de l' inductance est qu'il est impossible de changer le courant instantanément dans une bobine . La bobine de la Fig . 19-17 possède une inductance de 2 H et une résistance de 20 £2 . La tension de la source est de 40 V et la résistance extérieure Ro est de 100 S2 .
19-6 Une bobine a une résistance de 10 S2 et une inductance de 5 H . Si la bobine est raccordée à une source à c .c . de 100 V, quelle est la valeur du courant initial? du courant final?
a) Quelle est la tension maximale aux bornes AB au moment de l'ouverture de l'interrupteur? b) Quelle est la tension maximale induite dans la bobine?
19-7 Dans la Fig . 19-1, le voltmètre indique 10 V lorsque le courant l a augmente à un taux de 40 A/s . Si le courant diminue à un taux de 60 A/s, quelle sera la valeur de la tension enregistrée?
19-14 Dans le problème 19-13, s'il faut limiter la tension aux bornes AB à 600 V, quelle valeur de Ro doit-on utiliser?
19-4 Quel est l'effet de la self-induction à l'ouverture d'un circuit? à la fermeture d'un circuit?
19-8 Donner deux méthodes permettant de limiter la surtension aux bornes d'une bobine . Niveau intermédiaire 19-9 L'inductance mutuelle entre deux bobines est de 5 H. Quelle est la valeur moyenne de la tension induite dans une bobine lorsque l'intensité du courant dans l'autre décroît de 15 A à 5 A en 0,5 s? 19-10 Une bobine ayant une inductance de 3 H est parcourue par un courant de 6 A . a) Quelle est la valeur moyenne de la tension induite quand ce courant est interrompu en 1/30e de seconde?
19-15 Une bobine semblable à celle de la Fig . 19-26 possède une longueur de 100 cm et un diamètre moyen de 20 cm. Si elle contient 1200 spires, quelle est son inductance? 19-16 Dans la Fig . 19-1, le voltmètre indique une tension de 120 V lorsque le courant I a varie à un taux de 2 kA/s . Si l'on intervertit la source et le voltmètre, quelle sera la lecture de l'instrument si le courant varie à un taux de 500 A/s? 19-17 On applique une tension de 12 V aux bornes d'une inductance de 2 H dont la résistance est négligeable . Quel est le courant dans la bobine après 0,1 s? après 8 s? après 1 min? après 1 h?
INDUCTANCE
19-18 Si la bobine du problème 19-17 possède une résistance de 0,35 S2, calculer la constante de temps 2 de même que le demi-temps T0 . Tracer la courbe du courant en fonction du temps . Quelle est la valeur du courant après 0,1 s? après 8 s? après l min? après 1 h? 19-19 Une bobine enroulée sur un noyau de fer (Fig .
19-24) possède une inductance de 5 H . Si l'on réduit la longueur de l'entrefer de moitié, quelle sera l'inductance? Si l'on double le nombre de spires, quelle sera Yinductance? 19-20 Un rouleau de fil (Fig . 19-27) de 600 spires possède une inductance de 90 mH . Si l'on enlève 60 spires, quelle sera la nouvelle inductance?
Deux conducteurs #1/0 (diamètre 8,26 mm) ont une longueur de 40 km . Si la distance entre les conducteurs est de 0,5 m, quelle est l'inductance de la ligne? 19-21
19-22 Dans le problème 19-21, quelle serait la nouvelle inductance si l'on doublait le diamètre du fil? 19-23 Le courant dans une inductance de 2 H varie
a) Tracer la tension aux bornes de l'inductance en fonction du temps . b) Quelle est la tension à 25 s? à 45 s? 19-24 La Fig . 19-31 représente la tension aux bor-
nes d'une inductance de 0,5 H dont la résistance est négligeable . Le temps est donné en millisecondes et le courant initial est nul . a) En faisant une estimation assez précise de la grandeur des surfaces, trouver la valeur du courant après 10 ms et après 20 ms . b) Quel est le courant maximal si le courant initial est de +8 A? 19-25 Une tension ayant la forme donnée à la Fig . 7-
21 est appliquée sur une inductance de 2,5 H dont la résistance est négligeable . a) Tracer le courant en fonction du temps si sa valeur initiale est nulle . b) Quel est le courant après 4 s? 10 s? 7,2 s? 19-26 Dans le problème 19-25, tracer le courant en fonction du temps si la valeur initiale est de -20 A .
selon la courbe donnée à la Fig . 7-30 .
50
0 0
5
50
30
il 10 >- temps
247
1111, il
-100
Figure 19-31 Méthode des volts-secondes pour calculer le courant dans un enroulement .
mou
L t0
bLb(.; I IiU I hUHNIUUt
Niveau avancé
19-30 Dans le problème 19-29, si le courant de 3 A
19-27 Dans la Fig . 19-1, le flux 0a est de 12 mWb
décroît à un taux de 10 kA/s, quelle est la tension aux bornes de la bobine?
lorsque Ia = 6 A . D'autre part, on sait que 20 % du flux oa est capté par la bobine B . Enfin, les bobines A et B ont respectivement 200 et 2000 spires et leur résistance est négligeable. Si le courant Ia augmente à un taux de 2000 A/s, calculer : a) la tension de la source Ea b) la tension lue par le voltmètre c) l'inductance de self de la bobine A d) l'inductance mutuelle 19-28 La ligne du problème 19-21 est alimentée par
une source de 70,7 kV (c .c.) et la charge est composée d'une résistance de 675 S2 . a) Si la résistance de chaque conducteur est de 0,4 S2/km, calculer la constante de temps du circuit composé de la ligne et de la charge? b) Quels sont le courant dans la ligne et la tension aux bornes de la charge 160 gs après fermeture de l'interrupteur? c) Quelle est la tension induite dans la ligne à cet instant? 19-29 La bobine d'un relais possède une résistance de 10 £2 et une inductance de 2 mH. Calculer la tension aux bornes lorsque la bobine porte un courant de 3 A qui croît à un taux de 10 kA/s .
a) Calculer les self-inductances de chaque bobine auxiliaire de la Fig . 13-25b. 19-31
b) Quelle est la self-inductance lorsque les deux bobines sont branchées en série et quelle est la constante de temps? (Utiliser les données du tableau 13 .1 .) 19-32 a) Calculer la self-inductance de chaque bobine principale de la Fig . 13-25b.
b) Si les deux bobines sont branchées en parallèle, calculer la self-inductance de l'ensemble, de même que la constante de temps . 19-33 En prenant comme référence la Fig . 19-26, prouver qu'une bobine de N spires, dont la longueur 1 est beaucoup plus grande que le diamètre d, possède une inductance L = d2N2/l microhenrys . 19-34 Calculer l'inductance de la bobine illustrée à la Fig . 14-3, en négligeant l'épaisseur du fil .
249
MICHAEL FARADAY Michael Faraday (1791-1867) né en Angleterre, fut un des plus grands expérimentateurs qui ait jamais vécu . Son intérêt pour la chimie et la physique l'a conduit à des découvertes fondamentales dans ces deux domaines, dont la plus notable fut le principe de l'induction électromagnétique (gracieuseté de Burndy Library) .
JOSEPH HENRY
HEINRICH LENZ
Joseph Henry (1797-1878), éminent scientifique américain . Il a découvert, indépendamment de Faraday, le phénomène de l'induction électromagnétique . Il fut le premier à avoir l'idée de recouvrir les fils de cuivre d'un vernis isolant, ce qui lui permit de construire des bobines à plusieurs spires et, par suite, des électro-aimants extrêmement puissants . Ses expériences sur l'induction l'ont conduit à développer la communication par télégraphie . C'est en 1893 que l'on adopta en son honneur le Henry comme unité d'inductance (gracieuseté de Burndy Library) .
Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804-1865), physicien russe . Il a montré, en 1834, que le courant induit dans un circuit tend à s'opposer au changement de flux qui a donné naissance à ce courant (gracieuseté de Burndy Library) .
20 Phénomènes électrostatiques par la charge positive équivalente située sur les noyaux fixes des atomes .
Nous avons tous eu la désagréable sensation de prendre un choc en touchant une poignée de porte ou un autre objet métallique après avoir marché sur un tapis . Ce choc correspond à une décharge électrique momentanée entre le corps humain et l'objet touché . Ce phénomène s'explique par cette science qu'on appelle électrostatique . L'électrostatique est l'étude des charges positives et négatives qui sont prisonnières à un endroit ou sur un objet quelconque . 20 .1
Les électrons sont «libres» en ce sens qu'ils ne sont pas attachés à un atome en particulier, mais sont tous prisonniers à l'intérieur du morceau de métal et ne peuvent lui échapper malgré leur grande vitesse . Les parois du métal constituent des «murs» qui empêchent les électrons de sortir . Par ailleurs, si un électron venant de l'extérieur touche le morceau métallique, il est aussitôt capté par celuici, devenant à son tour prisonnier à l'intérieur des «murs» .
Le coulomb - unité de quantité d'électricité
La plus petite quantité d'électricité ou charge électrique connue est celle portée par un électron. Cependant, elle est si infime qu'on préfère utiliser le coulomb, unité SI de quantité d'électricité correspondant à la charge de 6,2 x 10 18 électrons. Le coulomb (symbole C) est la quantité d'électricité transportée en 1 seconde par un courant de 1 ampère .
20 .3 Transfert de charges et d .d .p . Considérons deux corps métalliques parfaitement isolés l'un de l'autre et initialement neutres (Fig . 20-1) . L'isolant qui les sépare peut être de l'air, un isolant liquide ou solide, ou le vide . Admettons que, par un moyen quelconque, on soit capable d'enlever des électrons libres du corps A et de les déposer sur le corps B . Il en résulte un manque d'électrons sur le corps A, ce qui lui donne une charge positive, alors que le surplus d'électrons accumulés sur le corps B lui donne une charge négative . Cette différence de charge électrique entre les deux corps donne naissance à une différence de potentiel (abréviation d .d .p .) . Si l'on raccorde un voltmètre entre les deux corps, on constate bien qu'une tension électrique existe entre eux (Fig . 20-1) .
20 .2 Électrons libres dans un métal On a vu au chapitre 2 qu'une quantité inouïe d'électrons libres fourmille à l'intérieur d'un conducteur . On estime que dans la plupart des métaux leur nombre correspond à environ 10 10 coulombs par mètre cube . Une mince plaque de cuivre ayant une surface de 1 cm 2 et une épaisseur de 1 mm contient donc une charge de 1000 coulombs d'électrons libres . Ces électrons se déplacent au hasard à une vitesse moyenne d'environ 1000 km/s . Cette charge négative mobile est annulée 250
PHÉNOMÈNES ÉLECTROSTATIQUES
251
où W = énergie électrostatique, en joules [J] Q = charge transportée, en coulombs [C] E = tension entre les deux corps, en volts [V]
Figure 20-1 Le transport d'une charge électrique d'un corps à un autre produit une différence de potentiel que l'on peut mesurer au moyen d'un voltmètre .
Plus on transfère d'électrons du bloc A au bloc B, plus cette tension augmente . Des expériences ont démontré que la tension entre deux corps est proportionnelle au nombre d'électrons transférés, ou encore au nombre de coulombs transférés . La différence de potentiel dépend aussi des dimensions et de la forme des corps, de la distance qui les sépare et de la nature du milieu isolant . 'Même s'il y a un grand nombre d'électrons libres à l'intérieur d'un corps métallique, il suffit d'en transporter une fraction infime pour produire des tensions très élevées . Par exemple, si l'on transfère seulement 1 nanocoulomb entre deux plaques ayant une superficie de 1 cm 2 et séparées par une épaisseur d'air de 1 centimètre, il en résulte une différence de potentiel d'environ 10 000 volts (Fig . 20-2a et 20-2b) . 20 .4 Forces et énergie électrostatiques Le fait de transporter une charge électrique d'un corps à un autre non seulement produit une différence de potentiel, mais crée aussi des forces, une transformation de l'énergie mécanique en énergie électrostatique et un champ électrique . Ainsi, lorsqu'on transporte un électron d'un corps positif à un corps négatif, il faut exercer une force car l'électron est à la fois repoussé par le corps négatif et attiré par le corps positif . On doit donc dépenser de l'énergie pour transporter une charge d'un corps à un autre . Qu'arrive-t-il de cette énergie? Elle est emmagasinée dans le diélectrique (isolant) séparant les deux corps sous forme d'énergie électrostatique . Sa valeur est donnée par l'expression :
W=1QE 2
(20-1)
Il est utile d'imaginer que l'espace séparant les deux corps chargés est rempli d'un champ électrique . L' énergie électrostatique est emmagasinée dans ce champ électrique de la même façon que l'énergie magnétique est conservée dans le champ magnétique d'un entrefer .
1 mm - H
iF1 cm -H
I-- 1 mm
Figure 20-2a Chaque plaque métallique contient des électrons libres dont la charge totale équivaut à 1000 coulombs .
Figure 20-2b Si l'on transporte seulement 10-9 coulombs de la plaque A à la plaque B, il en résulte un d .d .p . de 10 kV.
20 .5 Décharge des corps Si l'on réunit les deux corps de la Fig . 20-1 par un fil conducteur, les électrons en surplus sur le corps négatif s'enfuient vers le corps positif, provoquant un courant intense dans le fil pendant un instant seulement. La même chose se produit si on réunit les deux plaques de la Fig . 20-2b. Au moment du contact une étincelle jaillit et provoque un dégagement de chaleur. Cette chaleur dissipée provient de l'énergie électrostatique emmagasinée qui di-
LJL
bLEUIHOIEUHNIUUE
minue rapidement jusqu'à zéro pendant la décharge . Dès que les charges sont équilibrées, le courant cesse et le champ électrique disparaît . 20 .6 Conversion de l'énergie mécanique en énergie électrostatique Les deux corps de la Fig . 20-3a portent des charges opposées de sorte qu'ils s'attirent avec une certaine force . Il s'ensuit que pour les éloigner, il faut dépenser un travail mécanique que l'on peut exprimer en newton-mètres . Qu'arrive-t-il de cette énergie mécanique? Elle sert à augmenter l'énergie électrostatique emmagasinée entre les deux corps . L'énergie électrostatique est donc plus grande dans la Fig . 20-3b que dans la Fig . 20-3a, la différence étant exactement égale au travail mécanique effectué en séparant les corps . Tout comme l'énergie mécanique est convertie directement en énergie magnétique quand on éloigne les pôles d'un aimant (section 15 .11), l'énergie mécanique est convertie directement en énergie électrostatique lorsqu'on augmente la distance entre deux corps chargés .
20 .7 Augmentation de la tension L'augmentation de la distance entre deux corps chargés est accompagnée d'une croissance de la tension entre les corps . Ce phénomène surprenant s'explique d'après la formule (20-1) ; en effet, puisque la charge Q demeure la même, l'énergie électrostatique ne peut augmenter que si la tension entre les deux corps augmente à mesure qu'on les éloigne . L'augmentation de la tension est particulièrement remarquable lorsque l'on sépare deux plaques initalement très rapprochées comme celles montrées à la Fig . 20-4a. Si l'on augmente la distance de 0,01 mm à 1 mm, la tension initiale de 10 V augmente d'environ 100 fois, atteignant une valeur de 1000 V après la séparation (Fig . 20-4b) . Cette augmentation de la tension avec la distance servira à expliquer plusieurs phénomènes électrostatiques .
0 0 champ électrostatique énergie emmagasinée = W i
(a) ~I E
0,01 mm
(a)
champ électrostatique énergie emmagasinée = W 2
-1mml<-
(b)
Figure 20-4 a. Les plaques sont très rapprochées et la tension entre elles est seulement de 10 V. b . En augmentant la distance à 1 mm, la tension monte à 1000 V.
20 .8 Transfert de charges par contact mécanique
(b)
Figure 20-3 Conversion d'énergie mécanique en énergie électrostatique : a . De l'énergie est emmagasinée dans le champ électrostatique . b . En séparant les corps, le travail mécanique se transforme directement en énergie électrostatique .
En pratique, tous les matériaux, les isolants aussi bien que les conducteurs, possèdent une quantité plus ou moins grande d'électrons libres . Théoriquement, si l'on pouvait les saisir, on pourrait enlever ces électrons d'un corps et les déposer sur un autre, comme on vient de l'imaginer. Il existe cependant deux méthodes plus pratiques pour effectuer le transfert : le transfert par simple contact mécanique et le transfert à l'aide d'une source de tension .
PHÉNOMÈNES ÉLECTROSTATIQUES
Lorsque deux matériaux différents, mais électriquement neutres, se touchent, il se produit en général un transfert d'électrons de l'un à l'autre . Le nombre d'éleclorons transférés dépend des matériaux, quelques-uns étant plus susceptibles d'effectuer un échange important que d'autres . Ainsi, lorsqu'un morceau de soie vient en contact avec un morceau de verre, ce dernier devient positif, ayant cédé quelques électrons au morceau de soie (Fig . 205) . Le frottement n'est pas nécessaire pour que ce transfert d'électrons se produise, le simple contact suffit ; mais comme le frottement produit un contact plus intime, il facilite le transfert des charges .
253
Lorsque deux matériaux différents se touchent, le transfert d'électrons produit, au maximum, une différence de potentiel de quelques volts . Cependant, lorsque les deux matériaux sont séparés, la tension augmente de plusieurs milliers de fois, de sorte que l'on peut observer des étincelles dans certains cas . C'est à ce phénomène qu'on attribue les décharges électrostatiques créées par des courroies en contact avec des poulies métalliques, par le passage d'un peigne dans les cheveux, etc . 20 .9 Transfert de charges à l'aide d'une source de tension La méthode la plus simple pour transférer des électrons d'un corps à un autre consiste à relier deux plaques métalliques à une batterie de piles (Fig . 20-6a) . Des électrons sont aussitôt enlevés de la plaque reliée à la borne (+) de la batterie et déposés sur la plaque reliée à la borne (-), de sorte que la tension entre les
l
Figure 20-5 Un transfert de charge se produit en frottant le verre avec un morceau de soie ; la soie accapare des électrons alors que le verre en perd .
Le même phénomène se produit quand on marche sur un tapis par temps sec . Le contact répété entre la semelle du soulier et la surface du tapis produit un transfert de charges qui augmente à chaque pas, de sorte que le corps humain devient très positif par rapport à ses environs . Cette charge accumulée est suivie d'une décharge violente lorsqu'on touche une poignée de porte . Le transfert d'électrons peut se faire lorsque des conducteurs ou des isolants se touchent . Ainsi, le contact momentané entre les cristaux de glace et les gouttes d'eau en suspension dans un nuage produit une séparation des charges qui donne éventuellement naissance à des éclairs . Le contact du blé ou de la farine avec le tuyau métallique qui les transporte peut également produire des transferts de charges importants, ce qui peut parfois provoquer une décharge électrique dangereuse .
Figure 20-6a Transfert d'une charge électrique au moyen d'un accumulateur.
Figure 20-6b La tension entre les plaques est égale à celle de l'accumulateur.
LD`t
ELECTROTECHNIQUE
plaques augmente rapidement. Dès que cette tension atteint la tension E de la source, le courant cesse . On peut alors débrancher la batterie, et la tension E subsistera indéfiniment entre les deux plaques (Fig . 20-6b) . De la même façon, on peut transporter des charges entre deux corps isolants (Fig . 20-7a et 20-7b) . Cependant, les électrons ainsi transférés tendent à être soutirés autour de la région X et déposés autour de la région Y. En effet, ils ne sont pas libres de se répandre dans le corps isolant tout entier comme ils peuvent le faire dans le cas d'un conducteur . Un voltmètre raccordé aux régions X(+) et Y(-) indique une tension, alors qu'il n'indique rien s'il est raccordé en dehors de ces régions . En d'autres termes, les charges déposées sur un isolant tendent à demeurer en place . 20 .10
isolant
électrons li'
100 V Figure 20-7a Transfert d'une charge électrique entre deux isolants .
Distribution des charges sur deux sphères conductrices
Considérons deux sphères métalliques A et B assez rapprochées, entre lesquelles on a transporté une certaine charge de sorte que A soit positive et B négative (Fig . 20-8a) . Les électrons en surplus sur la sphère B se repoussent mutuellement et tendent à se répartir uniformément sur toute sa surface . Cependant, comme ils sont attirés par la charge positive de la sphère A, la concentration des électrons est plus grande sur le côté (1) en regard de la sphère A . De même, cette concentration d'électrons sur la sphère B repousse les électrons libres de la sphère A de sorte que ces derniers sont obligés de se distribuer sur la face opposée (3) . Il s'ensuit que la charge positive est moins concentrée sur la face (3) que sur la face (2). La charge positive sur A et la charge négative sur B ne sont donc pas réparties de façon uniforme . Cependant, la différence de potentiel entre deux points quelconques de la même sphère est rigoureusement nulle . En effet, comme il s'agit d'un conducteur, s'il existait la moindre différence de potentiel entre deux points quelconques de la sphère, les électrons se déplaceraient aussitôt pour l'annuler . Plus généralement, tous les points d'un corps conducteur sont donc au même potentiel peu importe la distribution des charges . Il s'ensuit que la tension entre un point de la sphère A et un point quelconque de la sphère B reste la même . Le voltmètre V t lira donc la même tension que le voltmètre V 2.
Figure 20-7b Les charges sur un isolant tendent à demeurer en place .
(3)
Figure 20-8a Distribution non uniforme des charges sur deux sphères conductrices voisines .
PHÉNOMÈNES ÉLECTROSTATIQUES
Si maintenant on éloigne les sphères d'une grande distance afin que leurs charges respectives ne s'influencent plus, les charges se répartiront uniformément autour des surfaces A et B (Fig . 20-8b) . Évidemment, le fait de déplacer les sphères augmente la tension entre elles, mais ne change pas les charges positives et négatives qu'elles portent .
grande distance
2 .55
entourant un champ magnétique qui varie . Dans ce cas, le champ électrique forme des boucles fermées (section 18 .6) . La direction des lignes est indiquée par une flèche . 2 . Les lignes de champ électriques sont semblables à des fils élastiques tendus entre lesquels existe une force de répulsion . 3 . Les lignes ne se croisent jamais . 4 . Les lignes tendent à suivre le chemin le plus court ou le plus facile . 5 . Les lignes s'orientent toujours perpendiculairement à la surface d'un corps conducteur . 6 . Des lignes réunissent toujours deux points entre lesquels existe une différence de potentiel . 20 .12 Spectres électriques
Figure 20-8b En éloignant les sphères, les charges se répartissent uniformément autour de leur surface .
20 .11
Champ et lignes de force électriques
On avait déjà mentionné à la section 20 .4 qu'il est utile d'imaginer que l'espace séparant deux corps chargés renferme un champ électrique . Tout comme le champ magnétique est composé de lignes de force magnétiques, ce champ électrique est composé de lignes de force électriques . Ces lignes n'existent pas en réalité mais elles aident à comprendre les phénomènes électrostatiques ; de plus elles permettent de déterminer les spectres du champ électrique . Il suffit d'appliquer les règles suivantes : 1 . Les lignes partent toujours d'une charge positive et aboutissent sur une charge négative de même valeur . La grandeur de cette charge est arbitraire, mais pour un spectre donné, chacune des lignes doit réunir des charges de même valeur . À la limite, on peut imaginer que chaque ligne aboutit sur un électron . Contrairement aux lignes de force magnétiques, les lignes de force électriques ne forment pas des boucles fermées mais elles réunissent des charges identiques de signes contraires . Il existe toutefois une importante exception à cette règle : il s'agit du champ électrique
La Fig . 20-9 montre le spectre du champ électrique pour quelques corps métalliques de formes différentes . On a supposé que tous les corps portent le même nombre (sept) de charges, ce qui donne ainsi le même nombre de lignes pour chaque cas . On observe que dans certaines régions entre les corps, les lignes sont plus concentrées ; à ces endroits, la force s'exerçant sur un électron (ou sur une charge quelconque) sera plus forte . Pour une charge positive, la force agit toujours dans le sens de la flèche. Par exemple, si l'on place une petite charge positive proche du point A (Fig . 20-9d), elle suivra la ligne ABC pour aboutir sur le conducteur (-) . La force est intense aux points A et C mais faible au point B où les lignes sont moins concentrées . De la même façon, la force est plus grande près de la pointe de la tige (Fig . 20-9e) que près de la plaque . On dit alors que le champ électrique* est fort aux endroits où la force s'exerçant sur une charge libre est grande . Dans le SI, le champ électrique s'exprime en volts par mètre (V/m) . Par exemple, deux plaques planes ayant une différence de potentiel de 1000 V et séparées d'une distance de 0,01 m créent entre elles un champ électrique de 1000 V/0,01 m = 100 000 V/m . "
Le terme «champ électrique» possède deux significations: (1) région entourant un corps chargé et emmagasinant de l'énergie et (2) quantité précise E dont l'unité est le volt par mètre .
L36
ELECTROTECHNIQUE
(a) plaques parallèles de même forme
(b) plaques parallèles de formes différentes
(c) 2 sphères
(d) 2 conducteurs parallèles
(e) tige pointue et plaque
(f) câble coaxial
Figure 20-9 Divers spectres du champ électrique entre deux corps chargés .
La force s'exerçant sur une particule chargée placée dans un champ électrique est donnée par l'expression : F = qE
(20-2)
ou F = force sur la particule, en newtons [N] q = charge de la particule, en coulombs [C] E = champ électrique, en volts par mètre [V/m]
C'est par simple coïncidence que le symbole E utilisé pour une tension (volts) désigne aussi un champ électrique (volts par mètre) .
20.13
Ionisation - applications et inconvénients
Si un gaz est traversé par un champ électrique suffisamment intense, la force agissant sur les électrons libres peut les accélérer pour déclencher l'ionisation du gaz . On a déjà vu ce phénomène lors de l'étude des isolants (section 9 .12) ; on sait que l'air s'ionise et devient conducteur lorsque l'intensité du champ électrique atteint 3 kV/mm (ou 3 MV/m) . Ce phénomène d'ionisation trouve des applications importantes comme dans la précipitation électrostatique de la poussière, le dépôt électrostatique de la peinture et la reproduction par xérographie . Ces procédés de-
PHÉNOMÈNES ÉLECTROSTATIQUES
257
mandent une ionisation contrôlée qu'on peut réaliser en donnant une forme appropriée aux électrodes sous tension . Supposons, par exemple, qu'on augmente la tension graduellement entre deux plaques métalliques parallèles . L'intensité du champ électrique entre les plaques étant uniforme (Fig . 20-9a), lorsqu'elle atteint la valeur critique de 3 kV/mm l'air s'ionise partout et il se produit un arc qui court-circuite les plaques . Par contre, si l'on applique une tension croissante entre un cylindre métallique et un conducteur central (Fig . 20-9f), le champ électrique E est plus élevé près du conducteur central que près du cylindre . À la surface, ces champs sont dans le rapport des rayons respectifs R1 et R2 (Fig . 20-10) . On peut donc écrire : Econduc teur
R2
Ecylindre
R1
(20-3)
Si ce rapport est de 10, l'ionisation débute autour du conducteur central dès que le champ électrique atteint 3 kV/mm, alors qu'il n'est que de 300 V/mm près du cylindre . À mesure que la tension croît, l'épaisseur de la région ionisée autour du conducteur central aug-
Figure 20-11 A mesure que l'on augmente la tension entre les deux électrodes, la région ionisée augmente .
leurs électrons parasites pour redevenir des molécules neutres . La précipitation électrostatique utilise ce principe pour purifier les fumées d'usines et empêcher ainsi des millions de tonnes de poussière de se répandre dans l'atmosphère . Le système est composé d'un fil conducteur raccordé à une source de haute tension, entouré d'un cylindre métallique, ce dernier servant à la fois de cheminée pour les gaz poussiéreux et d'électrode (Fig . 20-12) .
100 kV cylindre
Figure 20-10 Cylindre métallique ayant un rayon intérieur R2 et conducteur coaxial ayant un rayon R 1 .
poussière
Figure 20-12 Épuration de la fumée .
mente, sans toutefois provoquer un arc entre les deux électrodes (Fig . 20-11) . Si le conducteur central est négatif par rapport au cylindre, il crée un flot d'électrons libres dans la région ionisée . Ceux-ci s'attachent aussitôt aux molécules d'air pour les transformer en ions négatifs . Par milliards, ces ions progressent lentement vers le cylindre positif où ils se débarrassent de
Les ions négatifs mentionnés précédemment s'attachent aux particules de poussière . La force électrostatique les amène vers le cylindre où elles perdent leur charge et, devenant des particules neutres, tombent dans des récipients appropriés (Fig . 20-13) .
ZM
ELECTROTECHNIQUE
où Ed E = porte d'accès
conducteur H .T.
isolateurs de support H .T. charpente
RI = R2 = 2,3 =
tension continue appliquée entre le conducteur et le cylindre [V] champ électrique à la surface du conducteur central [V/m] rayon extérieur du conducteur central [m] rayon intérieur du cylindre [m] une constante
Exemple 20-1 titi conducteur n° 21 est situé au centre d'un cylindre ayant un rayon intérieur de 2 cm . Calculer la tension qu'on doit appliquer entre le conducteur et le cylindre, afin que l'air s'ionise autour du conducteur. électrodes collectrices jreliees a la terre)
(a)
Solution Un champ électrique E de 3 MV/m = 3 x 106 V/m provoquera l'ionisation de l'air . Le conducteur n° 21 possède un diamètre de 0,72 mm, soit un rayon de 0,00036 m. On obtient donc : Ed = 2,3 ER 1 logo
R2 R1
= 2,3 x 3 x 106 x 0,00036 log
0,02 0,00036
= 4334 V
(b) Figure 20-13 a . Vue en coupe d'un précipitateur industriel (gracieuseté de Research-Cottrell) . b . Ce précipitateur purifie la fumée dégagée par une centrale thermique de génération d'électricité . Il élimine des dizaines de tonnes de poussière par heure (gracieuseté de ResearchCottrel! .
Il existe une relation entre le champ électrique à la surface du conducteur central et la tension appliquée entre le conducteur et le cylindre . Elle est donnée par l'équation :
Ed
= 2,3 E R, 1og 1 ,
R2 R,
(20-4)
Le phénomène d'ionisation a parfois ses inconvénients . Par exemple, le champ électrique intense qui règne autour des conducteurs d'une ligne à haute tension produit une ionisation qu'on appelle effet couronne . Le soir, on peut parfois observer la lueur qui s'en dégage . L'effet couronne provoque des pertes le long des lignes de transport mais son effet le plus néfaste est l'interférence qu'il crée dans les postes de radio et de télévision . La décharge incessante produit de l'énergie radiante qui tend à brouiller la réception . Afin de réduire l'effet couronne, il faut grossir les conducteurs à mesure que la tension augmente . Par exemple, pour une ligne fonctionnant à 500 kV, les conducteurs doivent avoir un diamètre d'au moins 60 mm . Lorsque la tension est supérieure à 300 kV, on utilise souvent des conducteurs en faisceaux de 2, 3 ou 4 sousconducteurs . Cette construction donne l'équivalent d'un conducteur ayant un diamètre beaucoup plus grand que celui des sous-conducteurs . Par exemple, sur les lignes à 735 kV reliant Montréal à Churchill Falls, on utilise un faisceau de 4 sous-conducteurs disposés sur un carré
PHÉNOMÈNES ÉLECTROSTATIQUES
259
de 457 mm (Fig . 20-14a et 20-14h) . Du point de vue de l'effet couronne, cet arrangement équivaut à un conducteur rond ayant un diamètre de 441 mm . 20.14
Phénomènes atmosphériques
Par un procédé qui n'est pas entièrement compris, il se produit à l'intérieur de certains nuages une séparation des charges positives et négatives, les charges positives allant vers le haut du nuage alors que les charges négatives restent en bas (Fig . 20-15) . Il s'établit des lignes de champ électriques à l'intérieur du nuage entre les charges (+) et (-) . Cependant, la charge négative proche de la surface de la terre chasse les électrons libres de celle-ci, de sorte que la région T située en dessous du nuage prend une charge (+) par influence. Par conséquent, des lignes de champ et une d.d .p . s'établissent entre le bas du nuage et la surface de la terre .
Figure 20-14a Ligne triphasée à 735 kV traversant la rivière Saguenay . Chacune des trois phases est composée de 4 conducteurs en parallèle lesquels sont retenus en place par des séparateurs métalliques . Le faisceau de 4 conducteurs forme un conducteur dont le diamètre effectif est de 441 mm (gacieuseté de Hydro-Québec) .
457 mm
7 brins d'acier (2,5 mm) 42 brins d'aluminium (4,6 mm)
457 mm
Figure 20-14b Détail du faisceau de 4 conducteurs . En grossissant le diamètre effectif de chaque phase, on réduit les pertes par effet couronne . De plus, cela réduit l'inductance des lignes .
D'autres lignes de champ réunissent les électrons chassés de la région T aux charges positives situées au sommet du nuage, créant à quelques kilomètres du nuage un champ électrique de sens opposé à celui qui règne juste en dessous . À mesure que le transfert de charges se poursuit à l'intérieur du nuage, le champ électrique en dessous devient très fort, pouvant atteindre à certains points la valeur critique d'ionisation de 3 MV/m. Ce phénomène, qui se produit au-dessus des clochers d'église et des grands arbres, etc ., dégage parfois une lumière bleuâtre . Les marins qui autrefois observaient le phénomène autour des mâts de leur bateau l'appelaient le feu SaintElme . Lorsque le champ devient assez intense, un éclair jaillit entre le nuage et la terre . La décharge d'un éclair est accompagnée d'un transfert d'électricité de 0,2 à 20 coulombs sous une tension de plusieurs centaines de millions de volts . Le courant atteint sa valeur crête en 1 à 2 microsecondes et décroît à la moitié de sa valeur crête en 50 microsecondes environ . Ce que l'on observe comme un seul éclair est souvent composé de plusieurs éclairs qui se succèdent rapidement . La décharge totale peut ainsi durer jusqu'à 200 ms . Parfois cette décharge a lieu à l'intérieur du nuage plutôt qu'entre le bas du nuage et le sol . Enfin, plusieurs éclairs se produisent aussi entre les nuages . Le coup de tonnerre est produit par l'onde de choc supersonique créée par l'expansion ultra-rapide de l'air qui entoure l'éclair intensément chaud .
LOU
tLtUIHUILUhNIUUt
Figure 20-15 Champ électrique créé par un nuage lors d'un orage électrique .
20.15 Paratonnerres Les paratonnerres sont simplement des tiges de métal qui dépassent la partie la plus haute d'une structure, afin de canaliser la foudre vers le sol par l'entremise d'un fil conducteur. On réussit de cette manière à empêcher que le courant intense suive un chemin aléatoire dans la structure, ce qui pourrait provoquer un incendie ou présenter un danger pour les occupants . Un paratonnerre n'est pas sans danger ; pendant une décharge il peut créer des hautes tensions près du sol, et on doit se garder d'être proche du fil conducteur pendant les orages . 20 .16
Chocs de foudre sur les lignes de transport Lorsque la foudre frappe directement une ligne de transport, elle dépose sur celle-ci une charge électrique importante de sorte qu'une énorme surtension apparaît immédiatement entre la ligne et la terre . La rigidité diélectrique de l'air se trouve alors dépassée, un arc de décharge s'établit et la ligne se décharge à la terre . Le tout se passe en moins de 50 µs . L' arc déclenché par la foudre produit un éclair et crée une région ionisée entre la ligne et la terre . Cette région se comporte comme un court-circuit . La tension alternative du réseau fournit alors un courant de courtcircuit qui maintient l'arc jusqu'à l'ouverture des disjoncteurs en bout de ligne . Les disjoncteurs les plus rapides ouvrent le circuit en 1/l5e de seconde, soit un temps 1000 fois plus long que la durée de l'éclair qui a touché la ligne . Il est assez rare qu'une ligne soit frappée directement ; il arrive plus souvent que la foudre frappe le fil de garde qui est placé au-dessus de la ligne ou, encore, qu'il
frappe un objet situé dans le voisinage . Dans ces circonstances, la ligne se charge par influence, ce qui produit encore une surtension locale importante mais moins élevée que dans le cas d'un coup direct . Cette charge, d'abord concentrée, se divise en deux (Fig . 2016) pour former deux ondes qui filent en sens opposés, à une vitesse voisine de celle de la lumière (300 m/gs) . À tout instant, la hauteur de l'onde à chaque point de la ligne représente la tension qui existe entre la ligne et la terre . La tension crête correspondant au sommet de l'onde peut atteindre 1 ou 2 millions de volts . Le front ab de l'onde s'étend sur une distance de 300 m alors que la queue bc s'allonge sur quelques dizaines de kilomètres . L'onde représente aussi, à chaque point, la valeur du courant dans la ligne . Pour la plupart des lignes aériennes, le rapport entre la tension et le courant correspond à une résistance de 400 £2 environ ; une tension momentanée et locale de 800 000 V est donc accompagnée d'un courant momentané et local de 800 000/ 400 = 2000 A . À mesure que l'onde se propage sur la ligne, les importantes pertes par effet Joule et par effet couronne aplatissent la forme de l'onde et diminuent sa tension crête. Lorsque l'onde rencontre un isolateur sur un pylône . l'isolateur subit un choc de tension violent mais de courte durée . En effet, la tension peut monter de sa valeur normale à quelques centaines de kilovolts en 1 µs, ce qui correspond à la longueur du front ab de l'onde. Si l'isolateur est incapable de résister à cette surtension, il se produit un arc et, comme dans le cas d'un coup direct, les disjoncteurs doivent ouvrir le cir-
PHENOMENES ELECTROSTATIQUES
Lb I
300 m
Figure 20-16 Ondes de tension de choc se propageant sur une ligne de transport . Londe de gauche atteindra le poste de transformation en quelques microsecondes .
cuit . Si, par contre, l'isolateur supporte la surtension, 1 - onde se propage plus loin pour aboutir finalement à un poste de transformation . C'est là que son arrivée foudroyante» peut produire des ravages . La surtension sur les transformateurs, les compensateurs, etc ., peut endommager leurs enroulements et les mettre hors service . Elle peut également endommager les disjoncteurs, sectionneurs, isolateurs, relais, etc ., faisant partie du poste . Pour cette raison, il faut prévoir des parafoudres à l'entrée d'un poste de transformation pour réduire le niveau de la surtension avant que l'onde de choc n'atteigne l'appareillage critique . Les parafoudres sont conçus pour écrêter la surtension afin qu'elle n'excède pas une valeur prédéterminée, disons 400 kV. L'équipement lourd à l'intérieur du poste est conçu pour supporter une tension impulsionnelle nettement supérieure à 400 kV, disons 550 kV . Par conséquent, si une onde de surtension de 1000 kV arrive au poste de transformation, le parafoudre absorbe une bonne partie de l'énergie qu'elle contient . L'onde qui se propage au-delà du parafoudre n'aura alors qu'une valeur crête de 400 kV . Comme l'équipement lourd peut supporter 550 kV, il ne sera pas endommagé . 20 .17
entre un de ses enroulements et la terre . À mesure que l'on augmente la tension, on atteindra un point où l'isolation claquera, disons à une tension crête de 65 kV . Par contre, si on lui applique une tension continue de courte durée (de l'ordre de quelques microsecondes), on s'aperçoit que l'isolation peut tolérer une tension crête presque deux fois plus élevée, soit environ 130 kV . Les essais ont démontré que les isolateurs, sectionneurs, interrupteurs, compensateurs, disjoncteurs, etc ., se comportent essentiellement de la même façon . Étant donné que les ondes de chocs dues à la foudre sont toujours de courte durée, on a établi des normes concernant ce genre de surtension. En effet, tout appareil électrique doit pouvoir résister à une onde de choc ayant une forme et une valeur crête appropriées . À cette fin, les organismes de normalisation ont établi une onde de tension de choc standard présentée à la Fig . 20-17 . Cette onde de foudre atteint sa valeur crête en 1,2 µs et décroît à la moitié de cette valeur en 50 µs . Pour cette raison, l'onde est habituellement désignée par l'appellation « 1,2 X 50» .
tension crête
Tension de tenue aux ondes de choc, BIL*
Les recherches ont démontré que les matériaux isolants peuvent supporter des tensions particulièrement élevées si elles sont de courte durée . Par exemple, supposons que l'on désire tester la qualité de l'isolation d'un transformateur en appliquant une tension de 60 Hz BIL: abréviation anglaise pour «basic impulse insulation level» .
Figure 20-17 Forme d'onde standard et valeurs normalisées de la tension de choc .
26 2
ÉLECTROTECHNIQUE
La tension crête peut prendre une série de valeurs normalisées comprises entre 30 kV et 2400 kV ; quelquesunes sont affichées au tableau 20-1 . Ainsi, tout appareil qui peut résister à une onde de choc de 900 kV est dit posséder une tension de tenue au choc (ou BIL) de 900 kV. La tension de choc est plusieurs fois plus élevée que la tension nominale de l'appareil . Par exemple, un transformateur de distribution de 69 kV doit pouvoir résister à une tension de choc de 350 kV . Cependant, il n'y a pas de rapport fixe entre la tension de choc et la tension nominale . Notons qu'à mesure que la tension de choc augmente, on doit augmenter la quantité d'isolation, ce qui augmente la grosseur et le coût de l'appareil . Les parafoudres et les tiges de décharge protégeant les appareils électriques doivent écrêter toute tension supérieure à leur tension de tenue au choc . Ainsi, un transformateur ayant un BIL de 900 kV doit être protégé par des parafoudres qui écrêtent la tension à une valeur sensiblement inférieure à 900 kV .
TABLEAU 20-1
ONDES DE CHOC
Quelques valeurs normalisées de la tension crête, en kilovolts (BIL) 30
250
750
1300
90
350
825
1425
110
450
900
1550
150
550
1050
200
650
1175
20 .18
Résumé
Ce chapitre nous a fait découvrir plusieurs phénomènes de l'électrostatique gouvernant le comportement des corps chargés . Lorsque des charges sont transférées d'un corps à un autre, il s'établit entre ces deux corps une différence de potentiel, ou tension électrique. L'unité SI de charge électrique est le coulomb (C) . De la même façon qu'un conducteur parcouru par un courant est entouré d'un champ magnétique, deux corps chargés d'électricité de signes contraires créent un champ électrique . Le spectre de ce champ électrique
est composé de lignes de force partant des charges positives (+) et aboutissant sur des charges négatives (-) . Ce champ électrique contient une énergie électrostatique qui dépend de la tension entre les deux corps et de la charge transférée. Une particule chargée placée dans un champ électrique subira une force qui l'oblige à se déplacer le long des lignes de force du champ . Ce phénomène peut être mis à profit dans plusieurs appareils (dépoussiérage, peinture, . . .) . Il peut aussi provoquer l'ionisation d'un gaz isolant comme l'air lorsqu'il est traversé par un champ électrique intense . Le phénomène d'ionisation provoque les éclairs pendant les orages . L'ionisation cause des pertes par effet couronne le long des lignes de transport . Lorsque la foudre frappe une ligne, la charge importante déposée sur la ligne peut développer des surtensions dangereuses pour les équipements du réseau . La forme d'onde de tension caractéristique des ondes de choc dues à la foudre a été normalisée . De plus, l'isolation des équipements doit être conçue pour supporter un certain «BIL » correspondant à la tension crête de l'onde de choc normalisée . Les parafoudres permettent de protéger les équipements des postes en limitant les surtensions à une valeur inférieure à leur BIL .
PROBLÈMES - CHAPITRE 20 Niveau pratique
20-1 Est-ce que l'énergie dans un champ électrique réside sur les corps chargés ou dans l'espace qui les sépare? 20-2 Donner deux méthodes permettant de transporter une charge électrique entre deux corps . 20-3 Peut-on transporter des charges entre deux corps métalliques? entre deux corps en plastique? 20-4 Expliquer le principe du précipitateur électrostatique . 20-5 Que veut dire tension de tenue au choc? Niveau intermédiaire
20-6 Après avoir transporté une charge de 1 µC entre les corps de la Fig . 20-1, on constate que la tension entre eux est de 50 kV. a) Quelle est l'énergie dans le champ électrique?
PHÉNOMÈNES ÉLECTROSTATIQUES
26 3
b) Si, en court-circuitant les corps, la décharge se fait en 1 Rs, calculer la puissance moyenne dissipée . c) Quelle est l'énergie dissipée en (b)?
20-13 a) Tracer la forme d'onde d'une onde de choc normalisée ayant une tension crête de 1300 kV .
20-7 Lorsqu'on branche la pile sur les deux corps de la Fig . 20-6, on constate qu'il s'effectue un transfert de 1012 électrons . Calculer l'énergie dans le champ électrique .
20-14 Dans la Fig . 20-15, la charge terrestre située immédiatement au-dessous du nuage est de 40 coulombs . Sachant que la tension entre le bas du nuage et le sol est de 100 MV, calculer l'énergie contenue dans le champ, en kW.h .
20-8 Dans la Fig . 20-3a, on constate qu'après avoir effectué un transfert de 20 RC, la tension entre les deux corps est de 8 kV. Lorsqu'on éloigne les deux corps l'un de l'autre (Fig . 20-3b), on constate que la tension augmente à 12 kV. Calculer: a) l'énergie emmagasinée dans le champ électrique avant et après avoir éloigné les deux corps b) le travail mécanique exercé lors de la séparation des corps 20-9 Dans la Fig . 20-9a, chaque ligne de force aboutit sur une charge de 4 RC . a) Calculer la tension entre les plaques sachant que l'énergie totale dans le champ est de 4 mJ . b) Si l'on augmente la distance entre les plaques, le nombre de lignes change-t-il? 20-10 La tension entre les plaques de la Fig . 20-9a est de 2 kV. a) Calculer la valeur du champ électrique, sachant que la distance séparant les plaques est de 2 mm . b) Une particule de poussière portant une charge négative de 3 pC (picocoulombs) se trouve entre les deux plaques . Quelle est la force agissant sur la particule? Dans quel sens agit-elle? 20-11 En touchant une poignée de porte, une personne fait jaillir un arc ayant une longueur de 1 cm . À quelle tension la personne était-elle chargée par rapport au sol? Pourquoi ce choc n'est-il pas mortel? Niveau avancé 20-12 Dans la Fig . 20-9e, le champ électrique près de la tige est de 2 kV/mm alors qu'il est de 500 V/mm près de la plaque. Calculer la force agissant sur un électron qui se trouve : a) près de la tige b) près de la plaque
b) Quelle est la tension après 1,2 Rs? après 50 Rs?
20-15 Une onde de choc ayant la forme indiquée à la Fig . 20-17 et possédant une valeur crête de 90 kV se propage sur une ligne de transport ayant une résistance caractéristique de 400 S2 . Calculer : a) la longueur du front de l'onde de choc b) la longueur de la queue de l'onde de choc entre 100 % et 50 % de la tension crête c) le courant maximal dans la ligne 20-16 Calculer la masse d'un grain de poussière sphérique ayant un diamètre de 8 Rm, sachant que sa masse volumique est de 3000 kg/m 3 . Calculer la force exercée par la gravité sur la poussière (en newtons) . 20-17 Le grain de poussière du problème 20-16 porte une charge de 800 électrons et se trouve dans un champ électrique de 2,4 kV/mm . a) Calculer la force électrostatique (en newtons) agissant sur la poussière ; b) De combien de fois cette force excède-t-elle la force due à la gravité? 20-18 En se référant à la Fig . 20-10, on donne : R I = 4 mm, R 2 = 6 mm, tension entre le conducteur central et le cylindre métallique = 2400 V. Calculer: a) la valeur moyenne du champ électrique (V/m) entre le conducteur et le cylindre b) le champ électrique à la surface du conducteur c) le champ électrique à la surface intérieure du cylindre d) Est-ce que l'air est ionisé près du conducteur? e) Quelle tension minimale doit-on appliquer entre le cylindre et le conducteur central pour que l'air s'ionise à la surface du conducteur?
21 Capacitance
On a vu au chapitre 20 que lorsqu'on transfère une charge électrique d'un corps à un autre, une différence de potentiel ou tension s'établit entre eux . De plus, la charge positive de l'un des corps est exactement égale à la charge négative de l'autre .
La relation donnant la capacitance* est exprimée par la formule :
C = Q
Les expériences ont démontré que lorsque les corps demeurent fixes l'un par rapport à l'autre, la tension est proportionnelle à la quantité d'électricité transférée . On peut donc écrire l'équation : quantité d'électricité transférée
(21-1)
E
où C = capacitance des deux corps, en farads [F] Q = charge d'électricité sur chaque corps, en coulombs [C] E = tension entre les deux corps, en volts 1 V]
= rapport constant
tension entre les corps
Le farad est une unité beaucoup trop grande pour l'usage courant ; on emploie le plus souvent le microfarad (gF) ou le picofarad (pF), valant respectivement 106 F et 10-12 F.
Ce rapport constant est appelé capacitance (symbole C) . L'ensemble des deux corps et l'isolant qui les sépare constitue un condensateur . 21 .1
Unité de capacitance - le farad L'unité SI de capacitance est le farad (symbole F) . Le farad est la capacitance d'un condensateur électrique entre les armatures duquel apparaît une différence de potentiel de 1 volt lorsqu'il est chargé d'une quantité d'électricité égale à 1 coulomb .
Plusieurs manuels français emploient le terme «capacité» au lieu de «capacitance», ce dernier étant plutôt employé dans les manuels américains . Cependant, nous utiliserons le terme capacitance pour caractériser l'effet capacitif, afin d'éviter toute confusion avec la capacité (puissance) des appareils électriques . 264
CAPACITANCE
Exemple 21-1
265
plaques métalliques
La différence de potentiel entre deux plaques ayant une capacitance de 100 microfarads est de 200 volts . Combien de coulombs d'électricité ont été transférés'? Solution
D'après la formule 21-1, on trouve : Q = CE 100
x 200 = 0,02 C
isolant
1 000 000 21 .2 Formes de condensateurs Le condensateur le plus simple est composé de deux plaques métalliques séparées par un isolant ou diélectrique (Fig. 21-1) . Le diélectrique peut être de l'air, du mica, du verre, du papier, etc ., ou même le vide . La capacitance d'un tel condensateur dépend de trois facteurs : 1 . la surface des plaques ; 2 . la distance entre les plaques ; 3 . la nature du diélectrique séparant les plaques .
Figure 21-1 Deux corps conducteurs séparés par un isolant forment un condensateur.
Exemple 21-2
Deux plaques de 200 mm x 300 mm sont distantes de 1 cm dans l'air (F -2) . a) Calculer la capacitance en microfarads h) Que devient la capacitance si la distance est réduite à I min? (E= 1 pour l'air) Solution
La valeur de la capacitance de deux plaques séparées par un isolant est donnée par la formule :
a) D'après la formule (21-2), C = 8,854 x 10 -12
C = 8,854 x 10
12 E
A
d
(21-2)
d
où
soit C= 8,85 x 10 12
C = capacitance, en farads [F] e = constante diélectrique de l'isolant [un nombre sans dimensions] A = surface des plaques en regard, en mètres carrés [m2] d = distance séparant les plaques, en mètres [m] 8,854 x 10-12
= permittivité
E A
x 1 x 0,2 x 0,3 0,01
= 53,1 x 10 12 F = 53,1 pF =
0,000 0531 gF 1 cm
du vide, une constante .
200 mm x 300 mm
On peut donc doubler la capacitance d'un condensateur soit: 1 . en doublant la surface de ses plaques ou 1 en réduisant de moitié la distance qui les sépare . Noter que cette formule ne s'applique que si la distance d est petite par rapport aux dimensions des plaques . Figure 21-2 Voir exemple 21-2 .
266
ÉLECTROTECHNIQUE
b) Lorsque la distance est réduite à 1 mm, la capacitance augmente de dix fois et elle devient 531 pF . L' exemple précédent montre clairement qu'une grande surface de plaques et un faible écartement sont nécessaires pour obtenir une capacitance de quelques microfarads . Il est bon de noter que deux corps séparés par un isolant constituent toujours un condensateur . Ainsi, les conducteurs d'une ligne de distribution forment un condensateur dont les «plaques» sont très longues, très fines et sont séparées par une distance considérable . Un seul fil suspendu au-dessus du sol et isolé de ce dernier forme également un condensateur, une des plaques étant constituée par le fil même, et l'autre, par la terre . De la même façon, une personne se tenant debout sur une plateforme isolée produit avec la terre un condensateur dont la capacitance est de l'ordre de 200 picofarads (Fig. 21-3) . On trouvera aux sections 21 .19 à 21 .21 les formules donnant la capacitance de paires de conducteurs de formes diverses .
21 .3 Constante diélectrique
Nous avons vu que la capacitance d'un condensateur ne dépend pas seulement de sa forme ou de ses dimensions, mais aussi de la nature du diélectrique qui sépare ses plaques . Si l'on intercale un isolant tel que le verre, le papier ou le mica entre les plaques d'un condensateur, sa capacitance devient plus grande que si l'isolant est de l'air. La constante diélectrique e d'un isolant est le rapport entre la capacitance d'un condensateur construit avec cet isolant et la capacitance qu'il aurait si cet isolant était remplacé par le vide . La constante diélectrique est donc une propriété de l'isolant même. Ainsi, la présence du papier qui a une constante diélectrique de l'ordre de 2,5 augmenterait de deux fois et demie la capacitance d'un condensateur auparavant isolé à l'air. Le tableau 21-1 donne les valeurs approximatives de la constante diélectrique e de quelques isolants usuels, ainsi que leur rigidité diélectrique . Une liste plus complète est fournie au tableau A-2, en appendice .
TABLEAU 21-1
PROPRIÉTÉS DES ISOLANTS
isolant
constante diélectrique E
rigidité diélectrique kV/mm
le vide air
1
infinité
1
3
papier
2,5
6
mylar huile isolante
3 2,2
400
caoutchouc
4
12 à 20
10
mica
7
40 à 240
verre
6
100
eau pure
80
21 .4 Tension de service, capacitance et dimensions d'un condensateur Figure 21-3 Une personne forme, avec la terre, un condensateur . La personne constitue une des plaques, la plate-forme de bois et l'air sont les isolants, et la terre et les objets qui y sont raccordés constituent la deuxième plaque . Le schéma montre que la capacitance totale est composée de plusieurs petites capacitances en parallèle .
On a vu qu'il est possible d'augmenter la capacitance d'un condensateur en réduisant l'épaisseur de l'isolant qui sépare ses plaques . Cependant, si l'isolant est trop mince, il y a danger de claquage sous l'effet du champ électrique intense qui règne entre les plaques . Dans ce cas, un arc perce l'isolant et rend le condensateur inu-
CAPACITANCE
tilisable . La rigidité diélectrique de l'isolant est donc une autre caractéristique importante du diélectrique tvoir section 9 .11) . Un condensateur qui doit fonctionner sous une tension de 1000 V doit donc posséder entre ses plaques un diélectrique plus épais que celui d'un condensateur fonctionnant sous 20 V seulement . Donc, pour une capacitance donnée, la surface des plaques d'un condensateur à tension élevée doit être plus grande que celle d'un condensateur à basse tension . Il s'ensuit qu'un condensateur de 40 tF, 600 V doit nécessairement être plus gros qu'un autre de 40 µF, 50 V . 21 .5 Condensateurs en parallèle et en série Lorsque deux ou plusieurs condensateurs sont branchés en parallèle (Fig . 21-4), la capacitance équivalente C de l'ensemble est égale à la somme des capacitances individuelles, soit : C=C1 +
C2 + C3 + . . .+C„
0
267
I
Figure 21-5 Condensateurs raccordés en série .
Exemple 21-3 Deux condensateurs de 4 uF et de 12 uF ,,ont hranchés en Série sur une source à c .c . de 601) V Il i 21-6) . Calculer : a) la capacitance totale équivalente b) la charge sur les plaques e) la tension aux bornes de chaque condensateur
(21-3)
Lorsque deux ou plusieurs condensateurs sont branchés en série, la capacitance équivalente C de l'ensemble est donnée par l'expression : (21-4a) C C1
C2
C3
C,
De cette formule, on déduit que la capacitance équivalente C de deux condensateurs en série (Fig. 21-5) ayant des capacitances CI et C2 est donnée par : C 1 C2 C=
(21-4b)
C 1 + C2
On doit retenir que lorsque les condensateurs sont raccordés en série, la charge électrique sur les plaques est la même pour chacun d'eux . De plus, elle est égale à la charge du condensateur équivalent C . A c
Figure 21-6 Voir exemple 21-3 .
Solution a) La capacitance équivalente est : = 4x12 CI C2 C = = 3 NF 4+12 C I +C2 b) La charge électrique Q, accumulée sur les plaques du condensateur équivalent de 3 µF est donnée par la formule (21-1) : Q = CE = 3 x 10 -6 x 600 = 0,0018 C c) Puisque les condensateurs de 4 gF et de 12 µF sont en série, ils portent la même charge, soit 0,0018 C . La tension aux bornes du condensateur de 4 l .tF vaut :
o B Figure 21-4 Condensateurs raccordés en parallèle .
_ 0,0018 x 106 = 450 V El = Q 4 C,
268
ÉLECTROTECHNIQUE
La tension aux bornes du condensateur de 12 tF vaut : E2 = Q = 0,0018 x 10 6 = 150 V C2 12 On vérifie immédiatement que la somme de ces deux tensions donne bien 450 + 150 = 600 V . La répartition inégale de la tension totale entre les deux condensateurs peut avoir des conséquences fâcheuses . Ainsi, s'ils sont construits pour supporter une tension de 300 volts, l'isolant du condensateur de 4 pF claquera sous la tension de 450 volts . Les plaques de ce condensateur seront aussitôt court-circuitées et la pleine tension de 600 volts sera appliquée au condensateur de 1211F, ce qui entraînera également sa destruction.
21 .7 Condensateurs au papier, au plastique et à l'huile Les condensateurs industriels sont formés par des minces feuilles de métal (telles que l'aluminium) séparées par une fine couche de papier ou une feuille de plastique synthétique . Les feuilles sont enroulées ensemble et forment un rouleau cylindrique qui est placé dans une enveloppe protectrice ou dans un boîtier. Les deux feuilles métalliques sont raccordées à ces bornes extérieures (Fig . 21-7) . Les condensateurs destinés à supporter des tensions élevées sont imprégnés d'huile . La plupart de ces condensateurs sont installés sur les réseaux à courant alternatif; nous étudierons leurs propriétés à la section 21 .18 .
21 .6 Énergie dans un condensateur Il est facile de se rendre compte de l'énergie emmagasinée dans un condensateur chargé, car lorsqu'on le court-circuite, il se produit une forte étincelle . L'énergie emmagasinée est de l'énergie électrique (ou électrostatique) conservée dans le champ électrique entre les plaques ; elle est restituée lors de la décharge . Un condensateur peut donc agir comme charge ou comme source . L'énergie emmagasinée dans un condensateur est donnée par l'équation :
W=
1 CE 2
(21-5)
2 où W = énergie, en joules [J] C = capacitance, en farads [F] E = tension aux bornes, en volts [V] Ainsi, un condensateur de 300 gF chargé sous une tension de 400 V emmagasine une quantité d'énergie égale à: W = 1/2CE2 = 1/2 x 300 x 10-6 x 4002 = 24 J Les meilleurs condensateurs industriels à courant continu emmagasinent environ 40 J/kg (énergie massique) ou 80 J/dm 3 (énergie volumique) . À titre de comparaison, une batterie d'automobile emmagasine environ 80 kJ/kg ou 250 kJ/dm 3 , soit une énergie massique 2000 fois plus grande que pour un condensateur .
Figure 21-7 Construction d'un condensateur conventionnel . Même si la superficie des plaques est très grande, l'encombrement est énormément réduit lorsque le tout est enroulé en forme de cylindre .
21 .8 Condensateurs au plastique métallisé Il est impossible de réaliser des feuilles de papier dont l'épaisseur est inférieure à 6 µm . Cependant, on peut, avec des plastiques et des laques appropriés, obtenir des rubans dont l'épaisseur ne dépasse pas 1 µm. On recouvre ces rubans diélectriques extrêmement minces avec une couche métallique encore plus mince dont l'épaisseur est de l'ordre de 0,02 à 0,1 µm seulement . À titre de comparaison, mentionnons que le diamètre d'un cheveu est de 50 pm environ . Ces techniques permettent de réduire le volume d'un condensateur de 6 fois pour une même capacitance ;
CAPACITANCE
c'est un avantage important lorsqu'il s'agit de construire des appareils de faibles dimensions . 21 .9 Condensateurs électrolytiques Les condensateurs électrolytiques représentent un effort ultime pour réduire l'épaisseur du diélectrique et augmenter la surface des plaques . Les spécialistes en électrochimie ont découvert qu'il était possible de créer une mince couche d'oxyde d'aluminium sur une feuille d'aluminium en la passant dans un bain approprié en présence d'un courant électrique . La couche ainsi déposée est extrêmement mince, mais sa propriété la plus importante est qu'elle constitue un isolant possédant une rigidité diélectrique de l'ordre de 600 kV/mm et une constante diélectrique de 10 . En rongeant la surface des feuilles d'aluminium on peut augmenter leur surface effective bien au-delà des dimensions apparentes . Le diélectrique (oxyde d'aluminium) est en contact intime avec la plaque sur laquelle il a été formé ; il reste à établir un bon contact avec une deuxième plaque . On le réalise en imprégnant un papier poreux d'un liquide conducteur (électrolyte) que l'on intercale entre le diélectrique et une deuxième plaque en aluminium (Fig . 21-8) .
Les condensateurs ainsi formés ont une très grande capacitance par rapport à leur grosseur. Cependant, ils possèdent un inconvénient : lorsqu'on applique une tension, il faut s'assurer que la plaque portant l'oxyde d'aluminium soit positive (+) . Si l'on permute les polarités, il se produit une réaction électrochimique : l'électrolyte s'échauffe, des gaz sont libérés, la pression interne monte et le condensateur risque d'exploser. Les condensateurs électrolytiques sont donc polarisés et on ne peut pas les utiliser en courant alternatif . Les bornes (+) et (-) sont indiquées sur le boîtier. La température ambiante doit être de l'ordre de 25 °C ou moins et la température du condensateur ne doit pas dépasser 40 °C car autrement sa durée de vie se trouve abrégée . Si ces conditions sont respectées, un condensateur électrolytique peut atteindre une durée de vie de 10 ans . Lorsqu'on raccorde un condensateur électrolytique à une source de tension continue, et même après qu'il soit complètement chargé, un courant subsiste pendant un temps appréciable . Ce courant, appelé courant de fuite, diminue avec le temps pour atteindre une valeur de régime permanent après une période de 15 à 30 minutes . Ainsi, un condensateur de 1000 µF fonction-
50 mm 0-11 plaque
plaque (+) ô U)
35 mm
in a~ 1 2 31 (1) plaques d'aluminium gravées (2) papier imprégné d'un électrolyte
300 µ F 300 V
170 mm
300 p F 300 V 130 mm c .c .
(3) couche anodisée (Al2 03 )
électrolytique (a) plaques et isolant vus en coupe .
Figure 21-8 Construction d'un condensateur électrolytique .
269
au papier
(b) comparaison entre les tailles d'un condensateur électrolytique et d'un condensateur au papier de même tension et même capacitance .
270
ÉLECTROTECHNIQUE
nant sous 350 V peut tirer un courant de fuite initial de 100 mA qui se stabilisera aux environs de 10 mA . Cela représente des pertes Joule permanentes de 350 V x 0,01 A = 3,5 W, qui font chauffer le condensateur . 21 .10 Condensateurs électrolytiques à courant alternatif On peut réaliser un condensateur électrolytique à courant alternatif (c .a .) en raccordant deux condensateurs électrolytiques à courant continu (c .c .) en série et en prenant soin de relier soit les deux bornes (+), soit les deux bornes (-) ensemble . La capacitance ainsi formée vaut la moitié de la capacitance de l'un des condensateurs . Les condensateurs à c .a . fabriqués selon ce principe sont donc deux fois plus gros que ceux de même capacitance fonctionnant à courant continu seulement . Ces condensateurs sont utilisés pour les moteurs monophasés à démarrage par condensateur .
bornes du condensateur se maintient à 128 V, même s'il n'est plus relié à la source . Durant la charge d'un condensateur à travers une résistance, la tension aux bornes du condensateur suit une courbe exponentielle identique à celle décrivant la croissance du courant dans une bobine à travers une résistance (tableau 19-1 du chapitre 19) . 21 .12
Décharge d'un condensateur Lorsque notre condensateur initialement chargé sous une tension de 128 V est raccordé à une résistance R . la tension fait circuler un courant . Ce courant résulte de l'écoulement des électrons de la plaque négative du condensateur vers la plaque positive (Fig . 21-12) . À mesure que les électrons quittent la plaque d pour s'accumuler sur la plaque c, la tension aux bornes du con-
La Fig. 21-9 montre les spécifications de plusieurs types de condensateurs . 21 .11
Charge d'un condensateur On a vu, à la section 20 .9, qu'il est possible de charger un condensateur, c'est-à-dire de transférer des électrons d'une plaque à l'autre, en le reliant aux bornes d'une source à courant continu . Dans le schéma de la Fig . 21-1Oa, la source développe une tension de 128 V et la borne b est négative par rapport à la borne a . Il y a donc un surplus d'électrons sur la borne b . Le nombre d'électrons étant le même sur les deux plaques du condensateur, la tension entre ses bornes c et d est nulle. Lorsqu'on ferme l'interrupteur (Fig . 21-1Ob), les électrons de la borne b sont chassés vers la plaque d par répulsion mutuelle. De plus, la charge positive de la borne a attire les électrons de la plaque c . Des électrons sont donc retirés de la plaque c et déposés sur la plaque d et, à mesure que ce transfert s'effectue, la tension aux bornes du condensateur croît . Dans le cas de ce montage, l'augmentation de la tension est assez lente car le courant (taux de charge) est limité par la présence de la haute résistance série de 1 MS2 .
Figure 21-9 Dimensions relatives de six types de condensateurs . (a) Condensateur monophasé au papier imprégné d'huile 100 kvar, 14 400V, 60 Hz, 1,3 µF (pour lignes haute-tension) . Dimensions : 460 mm x 340 mm x 115 mm . (b) Condensateur triphasé au papier imprégné d'huile 50 kvar, 600 V, 60 Hz, 55 µF (pour corriger le facteur de puissance) . Dimensions : 530 mm x 340 mm x 130 mm . (c) Condensateur électrolytique - 0,5 F, 6 V c .c . (pour filtrer la tension des redresseurs électroniques) . Dimensions : 76 mm x 230 mm .
Dès que le nombre d'électrons transférés devient tel que la tension aux bornes du condensateur atteint celle de la source (128 V), le déplacement des électrons cesse. Le condensateur est alors chargé complètement .
(d) Condensateur électrolytique - 300 µF, 160 V c .a . (pour démarrer les moteurs monophasés à c .a .) . Dimensions : 110mmx60mm . (e) Condensateur au papier - 40 µF, 440 V c .a . (pour moteur monophasé à condensateur permanent) . Dimensions : 140 mm x 115 mm x 75 mm .
Si on ouvre l'interrupteur (Fig . 21-1 Oc), les électrons restent prisonniers sur la plaque d, et la tension aux
(f) Condensateur au mylar - 5 µF, 30 kV (pour alimenter des éclateurs à haute puissance) . Dimensions : 610 mm x 360 mm x 180 mm .
271
CAPACITANCE
inductif, on définit une constante de temps 2 pour un circuit capacitif, donnée par l'expression : (21-6)
't=RC ou
z = constante de temps du circuit [s] R = résistance du circuit [S2] C = capacitance du circuit [F] Ainsi, un circuit comme celui de la Fig . 21-10 formé d'un condensateur de 10 tF et d'une résistance de 1 MS2 possède une constante de temps 'r de :
(a)
'r=RC= 1 MS2x 10µF=10s A 0 0
d
On associe également à la constante de temps, un demitemps T0 donné par l'équation 19-9, soit : Ta=0,7 r=0,7x10=7s
(b)
En utilisant le demi-temps T0, on peut tracer la tension en fonction du temps lors de la charge ou la décharge d'un condensateur. 21 .14 Courbes de charge et de décharge La courbe de la Fig . 21-11 représente la tension en fonction du temps aux bornes du condensateur de 10 pF se chargeant à travers la résistance de 1 MS2 sous une tension de 128 V. La courbe a été obtenue d'après la courbe
(c) Figure 21-10 a. La source de 128 V servira à charger le condensateur ; b . Condensateur en voie d'être chargé ; c- La tension subsiste aux bornes du condensateur . De rénergie est emmagasinée dans le champ électrique entre les plaques .
V 128 "" 112 V
120 V
124 V
96
densateur diminue . Elle atteint finalement une valeur nulle lorsque la charge sur les deux plaques devient nulle . Durant la décharge d'un condensateur dans une résistance, la tension à ses bornes suit une courbe exponentielle décroissante . 21 .13 Constante de temps Le temps requis pour charger ou décharger un condensateur dépend des valeurs de la résistance R et de la capacitance C . Tout comme dans le cas d'un circuit
Edc 64
32
7
2 To
3 Tp
14
21
4 To
5 To
6 To
28
35
42
s
temps Figure 21-11 Courbe de charge d'un condensateur. La tension aux bornes augmente de façon exponentielle .
272
ÉLECTROTECHNIQUE
universelle du tableau 19-1, sachant que Q, = 0 V, Q 2 = 128 V, Q d = Q2 - Q i = 128V etTO =7 s . Les valeurs successives de la tension sont indiquées au tableau 21-2. On peut considérer que le condensateur est pratiquement chargé après 6 T0 (98 % de la charge complète) . TABLEAU 21-2
nTo
temps
0
0
0
To 2To 3To 4To 5To
7 14 21 28 35 42
0+128(1/2) 0+128(3/4) 0+128(7/8) 0 + 128(15/16) 0 + 128(31/32) 0 + 128(63/64)
6To
valeur de E dC =64V = 96 V = 112V = 120 V = 124 V = 126 V
1 MS2
V 128 k
100
96
75
50
t
25
32
nTo
temps
0
0
To
40 80 120 160 200 240
2To 3T0 4T0 5T0 6T0
valeur de E dC 128 128 128 128 128 128
128 -
128 128 128 128 128 128
(1/2) (3/4) (7/8) (15/16) (31/32)
= = = = =
64 V 33 V 16 V 8 V 4 V
(63/64) = 2 V
Cette courbe de la tension en fonction du temps a encore été obtenue en se servant de la courbe universelle présentée au tableau 19-1 . Dans ce cas, Q I = 128 V, Q2 = 0 V et Qd = Q2 - QI = - 128 V. Les valeurs successives de la tension sont indiquées au tableau 21-3 .
La courbe de la Fig . 21-12 représente la tension en fonction du temps aux bornes du condensateur de 10 pF chargé initialement à 128 V et se déchargeant à travers une résistance de 1 MS2 . Dans ce circuit, To vaut encore 7 secondes . On constate que la tension n'atteint jamais une valeur nulle mais, en pratique, elle devient négligeable après un intervalle de 6 To secondes .
Edc 64
TABLEAU 21-3
21 .15 Loi fondamentale pour un condensateur Quand la tension appliquée à un condensateur est fixe, il n'y a aucune circulation d'électrons d'une plaque à l'autre et, par conséquent, aucun courant électrique . Cependant, si la tension de la source augmente, le condensateur se charge davantage et, pendant cette période, le courant circule dans le circuit (Fig . 21-13) . Puisque le courant entre par la borne (+) du condensateur, ce dernier constitue une charge (voir section 4 .11) . Le condensateur reçoit de l'énergie, et comme cette énergie n'est pas dissipée dans une résistance, elle est emmagasinée dans le condensateur .
Figure 21-13 Lorsque la tension augmente, le condensateur se charge et la source lui fournit de l'énergie .
16V 4V 0 0
7 T0
14
21
2To
3 T0
28
35
42
4 T0
5 T0
6 T0
0
s
temps Figure 21-12 Courbe de décharge d'un condensateur de 10 µF initialement chargé à 128 V.
De la même façon, quand la tension de la source diminue, le condensateur se décharge et le courant circule dans le sens inverse (Fig . 21-14) . Puisque le courant sort de la borne (+), le condensateur est maintenant une source, fournissant de l'énergie à la «source» à laquelle il est branché .
CAPACITANCE
273
b) La puissance débitée par le condensateur au début de l'intervalle est: P=EI=500Vx12A=6000W
Figure 21-14 Lorsque la tension diminue, le condensateur se décharge et la source reçoit de l'énergie du condensateur.
On constate que même s'il n'est pas très gros (140 x 115 x 75 mm), un condensateur peut fournir des puissances importantes durant de courtes périodes . c) L'énergie emmagasinée dans le condensateur au début de l'intervalle est :
Il est évident qu'un courant circule seulement lorsque la tension aux bornes du condensateur varie . La valeur du courant dépend à la fois du taux de variation de la tension et de la capacitance du condensateur . Cette loi fondamentale gouvernant le courant circulant dans un condensateur est exprimée par la formule :
I=C AE
(21-7)
Wr = 1 CE 2 = 1 x 40 x 10~ x 500 2 = 5 J 2
2
L'énergie emmagasinée à la fin de l'intervalle est : W2 = 1 x 40 x 2
10
x 200
2
= 0,8 J
L'énergie libérée est donc :
At
W = W 1 -W2 = 5 - 0,8 = 4,2 J
où I = courant, en ampères [A] C = capacitance, en farads [F] AE = variation de tension, en volts [V] At = durée de la variation, en secondes [s] Bien qu'elle ne porte pas de nom, cette loi est tout aussi fondamentale que la loi de Faraday E = L AI/At. Exemple 21-4 La tension aux bornes du condensateur de 40 tF iittustré à la Fig . 21-9e varie de 500 V à 200 V en 1 ms . Calculer : a) la valeur du courant pendant cet intervalle b)la puissance débitée par le condensateur au début de l'intervalle ;c)l'éner -gie débitée durant l'intervalle
L'équation (21-7) entraîne des conséquences et des applications importantes . Pour une capacitance donnée, on s'aperçoit que plus la tension change rapidement, plus le courant est grand . Le changement de tension est particulièrement rapide lorsqu'on branche un condensateur non chargé sur une source ES (Fig . 21-15) . En un temps nul, la tension passe de zéro à une valeur E, de sorte qu'un courant I théoriquement infini circule à la fermeture de l'interrupteur . En pratique, ce courant est limité par la résistance et l'inductance du circuit . Les contacts d'un interrupteur destiné à alimenter et à désalimenter un condensateur doivent donc être conçus pour supporter le courant intense de fermeture .
Solution ) On a : C = 40 µF AE = (500 - 200) = 300 V ; At = 0,001 s En reportant ces valeurs dans la formule 21-7, on louve : I=C
AE At
= 40x10 x
300 0,001
= 12A
Figure 21-15 Un courant énorme circule lorsqu'une tension est appliquée directement aux bornes d'un condensateur qui n'est pas chargé .
274
ÉLECTROTECHNIQUE
Cette propriété du condensateur d'absorber une énergie quasi instantanément est mise à profit dans la protection des gros moteurs contre les surtensions momentanées causées par la foudre, ou par l'ouverture et la fermeture des disjoncteurs du réseau . En plaçant un condensateur de 0,2 gF à 0,5 pF en amont du moteur, on intercepte toute onde de choc venant de l'extérieur . La charge transportée par l'onde est absorbée par le condensateur avant que la surtension atteigne les enroulements à l'intérieur de la machine (Fig . 21-16) . Les condensateurs sont ainsi souvent employés comme protection supplémentaire en aval des parafoudres .
Le condensateur se charge, et le courant est positif . On note un point important : le courant est positif lorsque la pente de la tension est positive . Pendant cette période, la tension ne varie pas ; donc A E/A t = 0 et par conséquent I = 0 . Intervalle de 6 à 7 secondes .
La tension diminue de +30 V à -30 V, soit une variation totale de - 60 V. Le courant vaut donc : Intervalle de 7 à 9 secondes .
I = C AE = 2 x At
t,
(-60)
= -60A
2
Le courant est négatif pendant toute cette période, car la pente de la tension est toujours négative . Noter qu'entre 7 s et 8 s le condensateur se décharge et qu'entre 8 s et 9 s il se recharge dans le sens inverse . Intervalle de 9 à 13 secondes. La tension augmente uniformément de -30 à +10 V, ce qui représente une variation de +40 V. On trouve : Figure 21-16 Protection de l'appareillage contre les ondes de choc . Noter l'amortissement de l'onde (a) par le parafoudre et ensuite (b) par le condensateur . Londe de choc arrivant au moteur n'est plus dommageable pour les enroulements .
I=C AE =2 x 4 0=+20A At 4
La pente de la tension étant positive, le courant est également positif. Intervalle de 13 à 14 secondes .
21 .16
Tension variable sur un condensateur
La majorité des condensateurs fonctionnent sur des réseaux à courant alternatif où la tension varie périodiquement . Pour bien comprendre leur fonctionnement dans ces circonstances, il est utile d'analyser d'abord le comportement d'un condensateur soumis à une tension encore plus complexe, telle que celle donnée à la Fig . 21-17 . On se propose de trouver la valeur instantanée du courant lorsque la tension est appliquée à un condensateur de 2 F. Rappelons que le courant est positif lorsqu'il circule dans le sens de la flèche . Pendant cette période, la tension varie de 0 à +30 volts . Sa pente est donc positive . Puisque la capacitance est de 2 F, le courant I vaut : Intervalle de 0 à 6 secondes .
I=C AE =2 At
x 30 =+10A 6
La tension ne varie pas :
le courant est donc nul . On observe, pour chacun de ces intervalles, que le sens du courant ne dépend pas de la polarité de la tension mais seulement de son taux de variation . Enfin, on constate que la forme d'onde du courant diffère totalement de celle de la tension . 21 .17
Applications des condensateurs
En électrotechnique, les condensateurs sont surtout utilisés a) pour la correction du facteur de puissance b) pour le démarrage des moteurs monophasés c) pour réaliser des filtres d) pour régulariser la tension sur les lignes à courant alternatif e) pour la suppression des arcs
275
CAPACITANCE
V, A +60
40 I
E I
I
I
i 2F 2
4
6
81
1
2
14s
temps 20
I 40
-60
Figure 21-17 Tension variable aux bornes d'un condensateur et courant résultant .
21 .18
Condensateurs fonctionnant à courant alternatif*
La plupart des condensateurs industriels sont des appareils monophasés installés sur les réseaux à courant alternatif, fonctionnant à 60 Hz . Leur capacité varie de 5 kvar à 200 kvar et leur tension nominale est comprise entre 240 V et 14,4 kV . Quand il faut réaliser des installations de grande puissance, on groupe les condensateurs en série, en parallèle et en série-parallèle, selon la tension du réseau . Leur puissance massique et volumique, à 60 Hz, atteint respectivement des valeurs aussi élevées que 4 kvar/kg et 7 kvar/dm 3 . Le champ électrique alternatif entre les plaques du condensateur produit des pertes diélectriques qui sont dépgées sous forme de chaleur . Selon les normes, la puissance dissipée doit être inférieure à 3 1/3 W par I var pour des condensateurs fonctionnant à 60 Hz . Les pertes sont proportionnelles à la fréquence mais elles parient avec le carré de la tension appliquée ; on doit donc éviter d'appliquer une tension supérieure à 110 % de la tension nominale . ' Lire cette section après avoir étudié le chapitre 27 .
Afin d'assurer une durée de vie raisonnable, l'augmentation de la température à la surface du boîtier ne doit pas dépasser 25 °C . Pour les applications spéciales à haute fréquence (1 kHz à 10 kHz), on refroidit les condensateurs en faisant circuler de l'eau dans des tubes entourant le boîtier . Les puissances, les tensions et la performance en général des condensateurs doivent se conformer aux standards établis par les bureaux de normalisation . En voici quelques exemples : un condensateur monophasé doit pouvoir supporter pendant au moins 10 secondes une tension alternative valant le double de la tension nominale . 1 . Normes de surtension :
2. Normes pour la tension de tenue aux ondes de choc:
un condensateur monophasé doit pouvoir résister aux ondes de choc données au tableau 21-4 . Noter que l'onde de choc est appliquée entre les bornes en courtcircuit et le boîtier du condensateur . la tension résiduelle aux bornes d'un condensateur de 600 V et moins doit être inférieure à 50 V une minute après que la source a été débranchée . Pour des tensions supérieures à 600 V, on permet un délai de 5 minutes . C'est pourquoi le fabri3 . Normes de sécurité :
276
ÉLECTROTECHNIQUE
TABLEAU 21-4
où
ONDES DE CHOC
tension nominale du condensateur
tension de tenue aux ondes de choc 1,2 x 50 las
240 V
30 kV
2,4 à 4,8 kV
75 kV
6,64 à 13,8 kV
95 kV
cant incorpore souvent une résistance de décharge à l'intérieur même du boîtier. Il est toujours prudent de court-circuiter les bornes d'un condensateur avant d'y toucher. S'il peut emmagasiner une énergie supérieure à 10 J, il est préférable de le décharger au moyen d'une résistance avant d'appliquer le court-circuit . En effet, une énergie de 10 J dissipée en une fraction de milliseconde peut produire un arc destructif. Lorsque les normes sont respectées, et dans les conditions environnantes appropriées, un condensateur peut atteindre une durée de vie de 20 à 50 ans . Cependant, comme tout appareil électrique, on doit le protéger par des fusibles .
C = capacitance de la ligne [F] e = constante diélectrique de l'isolant séparant les conducteurs l = longueur de chaque conducteur [m] D = distance séparant les conducteurs [m] d = diamètre du conducteur [m] 12 x 10 -12 = facteur tenant compte des unités La précision de cette formule est plus petite que 2 % si le rapport D/d est plus grand que 3 . Exemple 21-5
Calculer la capacitance d'une ligne à haute tension de 12 km formée de 2 conducteurs ayant un diamètre de 16 mm et espacés de 3,2 m . Solution
La capacitance est : 1 C=12x1012e log o (2 D/d) 12000 12x1012 x1x log o (2 x 3,2/0,016)
FORMULES POUR CALCUL DE CAPACITANCES
12x10 12 x1 x Le calcul de la capacitance de certaines formes de conducteurs est particulièrement utile . Les sections qui suivent en donnent quelques exemples . 21 .19
Capacitance de deux fils parallèles
Deux fils conducteurs parallèles (Fig . 21-18) forment un condensateur dont la capacitance est donnée par la formule : l C=12x1012E log o (2 D/d)
Figure 21-18 Capacitance de deux fils parallèles .
(21-7)
12000 2,6
= 55 000 pF = 0,055 tF 21 .20
Capacitance d'un câble coaxial
La capacitance d'un câble coaxial (Fig . 21-19) est donnée par l'équation :
C=24x
10 12 E
l log o (D/d)
Figure 21-19 Capacitance d'un câble coaxial .
(21-8)
CAPACITANCE
où C = capacitance du câble [F] = constante diélectrique de l'isolant séparant les conducteurs l = longueur du câble [m] D = diamètre intérieur du conducteur extérieur [m] = diamètre du conducteur intérieur [m] d
277
grande distance de la surface, la capacitance tend vers la valeur : C = 111 x10 12 Er1
(21-10)
24 x 10-12 = facteur tenant compte des unités . Cette formule s'applique pour toute valeur de D et d.
Exemple 21-6 Trouver la capacitance d'un câble sous-marin long de 17 km et dont les diamètres sont :
D = 48 mm et d = 28 mm (prendre c = 3,6) .
Figure 21-20 Capacitance entre une sphère et une surface plane .
Solution D'après l'équation, on a:
C = 24 x10 12 E
On l'appelle parfois, à tort, «capacitance de la sphère», comme si la sphère possédait une capacitance en soi . Cette interprétation est incorrecte car il faut toujours deux corps pour former un condensateur .
1 log o (D/d)
21 .22
17000
=24x 10 12 x3,6x
log o (48/28) = 1,468 x 10-6 x
1 log o 1,714
= 6,27 µF
21 .21
Capacitance d'une sphère par rapport à une surface plane
La capacitance formée par une sphère métallique et une grande surface plane conductrice (la terre, par exemple) est donnée par l'équation :
C= 222 x 1012
E
rd
(21-9)
2d - r ou C = capacitance [F] E = constante diélectrique de l'isolant entre la sphère et la surface d = distance entre le centre de la sphère et la surface [m] r = rayon de la sphère [m] Cette équation est toujours valable lorsque d est plus rand que r (Fig . 21-20) . Si la sphère est éloignée d'une
Résumé
Dans ce chapitre, nous avons introduit un nouvel élément : le condensateur et la grandeur qui le caractérise : la capacitance . La capacitance est le rapport entre la quantité d'électricité transférée d'une des plaques du condensateur à l'autre et la tension appliquée entre ses bornes . L'unité SI de capacitance est le farad (F) . On emploie plus souvent ses sous-multiples (microfarad, tF ; nanofarad, nF ; picofarad, pF) . La valeur de la capacitance dépend de la forme des plaques, de leurs dimensions et de la constante diélectrique de l'isolant qui les sépare . Différents types de diélectriques sont disponibles . Nous savons comment calculer la capacitance d'un groupement de condensateurs en série ou en parallèle . Un condensateur chargé conserve dans le champ électrique de son diélectrique une énergie qui dépend de sa capacitance et de sa tension de charge . Lorsqu'une tension continue est appliquée à un condensateur C en série avec une résistance R, le condensateur se charge et la tension entre ses bornes augmente en fonction du temps selon une courbe exponentielle . Le temps requis pour que la tension du condensateur atteigne la tension de source dépend de la constante de temps i = RC. De la même façon que pour le circuit
278
ÉLECTROTECHNIQUE
inductif L-R, on peut utiliser le demi-temps To et un tableau universel pour tracer facilement les courbes exponentielles de charge et de décharge . Plus généralement, lorsque la tension aux bornes d'un condensateur varie de façon quelconque, le courant circulant dans le condensateur dépend du taux de changement AE/fit de la tension . Le courant I est donné par la loi fondamentale I = CAE/At. Lorsque la tension augmente, le condensateur se charge et le courant entre par la borne positive du condensateur De la même façon qu'une bobine s'oppose au changement rapide du courant qui la traverse, on peut dire qu'un condensateur « s'oppose » à un changement de tension rapide entre ses bornes car il doit accumuler une certaine charge pour que la tension change . Pour cette raison, les condensateurs sont parfois utilisés comme méthode de protection contre les surtensions momentanées .
PROBLÈMES - CHAPITRE 21 Niveau pratique
21-1 Nommer l'unité SI de capacitance et donner deux sous-multiples . 21-2 Quel genre de condensateur emmagasine la plus grande quantité d'énergie par rapport à ses dimensions? 21-3 Pourquoi doit-on brancher une résistance en parallèle avec les bornes d'un condensateur industriel? 21-4 Expliquer pourquoi un condensateur se décharge très rapidement à travers une faible résistance . 21-5 Une source spéciale fournit un courant constant de 1 mA à un condensateur de 50 µF . En combien de temps la tension atteindra-t-elle 500 volts? 21-6 Un condensateur de 100 tF porte une charge de 0,004 coulomb . Calculer la tension à ses bornes . 21-7 Un condensateur de 10 11F, 1 kV est plus petit qu'un autre de 10 pF, 10 kV. Expliquer . Niveau intermédiaire
21-8 Les plaques d'un condensateur ont une surface de 2 m2. a) Calculer la capacitance sachant qu'elles sont séparées par une feuille de papier dont l'épaisseur est de 0,5 mm (consulter le tableau 21-1) ;
b) Quelle aurait été la capacitance si on avait employé du mica au lieu du papier? 21-9 Deux condensateurs de 5 tF et de 20 pF sont reliés en série à une source de 1000 V . Calculer : a) la capacitance totale b) la tension aux bornes de chacun des condensateurs 21-10 La tension aux bornes d'un condensateur de 10 tF change de +60 V à +300 V en 1 ms . Calculer la valeur du courant. Le condensateur se charge-t-il? 21-11 Soit 3 condensateurs de 42 tF, 30 pF et 7 gF ayant chacun une tension nominale de 600 V. Calculer : a) la capacitance totale du groupe si on les branche en série b) la capacitance totale du groupe si on les branche en parallèle c) la tension maximale que l'on peut appliquer sur le groupe dans chaque cas sans risquer le claquage 21-12 Calculer l'énergie volumique du condensateur (f) de la Fig. 21-9 . 21-13 Un accumulateur d'automobile de 12 V peut débiter un courant de 15 A pendant 2 heures . Combien de condensateurs du type (c) (Fig . 21-9) sont-ils requis pour fournir la même quantité d'énergie? 21-14 Cinquante condensateurs de 30 tF sont raccordés en parallèle sur une source de 2 kV . Si l'isolant se rompt à l'intérieur d'un des condensateurs, l'unité en défaut risque d'exploser . Expliquer. Quelle précaution doit-on prendre pour éviter ce problème? 21-15 Un condensateur de 50011F, chargé à une tension de 600 V, se décharge complètement dans une résistance de 1,2 Mb2 . Calculer : a) la constante de temps du circuit b) la durée du «demi-temps» c) l'énergie dissipée en chaleur durant la décharge Niveau avancé
21-16 Deux condensateurs de même capacitance fabriqués avec le même type de diélectrique sont isolés pour des tensions respectives de 600 V et 4800 V. Montrer que le deuxième condensateur aura un volume de diélectrique 64 fois plus grand que le premier . Quel est le rapport entre les énergies emmagasinées dans chacun des deux condensateurs lorsqu'ils fonctionnent à leur tension nominale?
CAPACITANCE
21-17 Cent feuilles de 0,8 m x 2,5 m en aluminium ayant une épaisseur de 0,05 mm sont intercalées avec 99 plaques de verre ayant une épaisseur de 1,6 mm . Cinquante feuilles sont connectées ensemble pour former un pôle du condensateur; les 50 autres feuilles forment le deuxième pôle. Sachant que le verre a une constante diélectrique de 6 et une rigidité diélectrique de 50 kV/mm, calculer : a) la capacitance du condensateur b) la tension maximale qu'on peut lui appliquer, et l'énergie emmagasinée 21-18 Dans le problème 21-17, les plaques de verre doivent être plus grandes que les feuilles en aluminium . Quelles doivent être les dimensions minimales des plaques de verre, étant donné que la rigidité diélectrique de l'air est de 3 kV/mm? 21-19 Un condensateur de 3 tF fonctionne à une tension nominale de 20 kV. Il doit se décharger à une tension de 50 V en moins de 5 min . Trouver : a) la valeur approximative de la résistance de décharge requise b) la puissance dissipée dans celle-ci en régime permanent
279
21-20 Lors du passage d'une onde de choc, on constate que la tension aux bornes d'un condensateur de 0.2 tF a augmenté de 150 V (Fig . 21-16) . Quelle charge a été absorbée par le condensateur? 21-21 Les deux sphères de la Fig . 20-3a possèdent une capacitance de 400 pF et la d .d .p . est de 60 kV. Lorsqu'on les sépare (Fig . 20-3b), on constate que la capacitance diminue à 300 pF. Calculer : a) la tension entre les sphères lorsqu'elles sont séparées b) l'énergie mécanique qu'on a dû fournir pour séparer les sphères 21-22 Calculer la capacitance entre deux fils nus #4 espacés de 0,5 m et ayant une longueur de 10 km. 21-23 Le câble montré à la Fig . 10-12c possède un conducteur intérieur et une gaine de plomb métallique extérieure (anneau noir) . Mesurer les dimensions du câble avec une règle . Calculer la capacitance de 10 km de ce câble sachant que l'isolant possède une constante diélectrique de 3 .
22 Circuits simples à courant alternatif Dans ce chapitre, nous décrivons les propriétés des ondes sinusoïdales . Nous établissons la forme d'onde du courant résultant de l'application d'une tension sinusoïdale à un circuit résistif, un circuit capacitif et un circuit inductif . Cela nous amène aux notions de réactance inductive, réactance capacitive, puissance active et puissance réactive .
donne la valeur de la tension induite dans le cadre pour chacune des positions occupées par l'aimant tournant. Ces positions successives sont repérées par l'angle en degrés dont l'aimant a tourné par rapport à sa position originale . On remarque que la tension part d'une valeur nulle et croît rapidement pour atteindre une valeur maximale à un angle de 90° . Si cette valeur maximale, ou valeur crête, est de 100 V, la tension sera de 50 V à 30° et 86,6 V à 60° .
Ce chapitre introduit donc les principes fondamentaux des circuits à courant alternatif . 22 .1 Forme d'onde sinusoïdale
Après avoir atteint la valeur crête, la tension décroît pour passer par les valeurs de 86,6 V à 120°, de 50 V à 150°, et elle s'annule enfin à 180° .
Lors de l'étude de l'alternateur élémentaire (chapitre 17) nous avons vu qu'un aimant permanent tournant à une vitesse constante à l'intérieur d'un cadre produit une tension alternative aux bornes de ce cadre . On a aussi montré qu'il est possible de changer la forme d'onde de la tension en modifiant la forme des pôles de l'aimant (section 17 .11) .
Puis la polarité de la tension change de signe ; la tension passe successivement par des valeurs négatives : -50 V à 210°, -86,6 V à 240° et -100 V à 270° . Elle atteint finalement une valeur nulle à 360°, après quoi un nouveau cycle commence et la tension passe par la même suite de valeurs pendant le même temps .
Il est donc possible d'obtenir une très grande variété de formes d'onde en changeant les pôles de l'alternateur. Cependant, il existe une forme d'onde qui nous intéresse particulièrement parce qu'elle est la plus simple des courbes périodiques : c'est la courbe sinusoïdale .
Dans toute onde sinusoïdale les mêmes proportions se retrouvent . Ainsi, une tension dont la valeur crête est de 150 V aura une valeur égale à 50 % de 150 V à 30° et une valeur égale à 86,6 % de 150 V à 60° .
On a tracé à la Fig . 22-1 la courbe d'une tension sinusoïdale dont la valeur crête est de 100 V . La courbe
Pourquoi choisit-on une onde sinusoïdale plutôt qu'une onde «simple» comme une onde carrée ou triangulaire? 280
CIRCUITS SIMPLES À COURANT ALTERNATIF
a
V +100
.No0 C
M
60 40 20 0 20
1
RI-286,6V fil pli „
80 Eab
281
I
b
50 V
1
,
30 60 90 120150180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 i - angle 9
40 60
0 V
degres
ô
-50V
-50 V
80
0
-100
Figure 22-1 Forme d'onde d'une tension sinusoïdale ayant une valeur crête de 100 V .
Voici quelques raisons :
dans laquelle les symboles ont une signification analogue .
a) Dans les machines à courant alternatif, c'est l'onde sinusoïdale de tension qui occasionne le moins de pertes . Le rendement est donc meilleur .
Une grandeur sinusoïdale, comme une tension, change le plus rapidement lorsqu'elle passe par zéro . Le taux de variation à cet instant est donné par la formule :
b) Une onde sinusoïdale de tension ou de courant produit moins d'interférence (bruit) sur les lignes téléphoniques . c) Dans les circuits à courant alternatif, une tension sinusoïdale produit un courant sinusoïdal et viceversa . C'est la seule onde possédant cette propriété de se «reproduire» . d) Dans les moteurs électriques, un flux variant sinusoïdalement produit moins de bruit . De plus, le couple durant le démarrage est plus régulier . Mathématiquement, une tension sinusoïdale est décrite par l'équation : e = Em sin 0
(22-1)
(22-3)
ou (dEldt) max = taux de variation maximal de la tension en volts par seconde [V/s] f = fréquence de la tension [Hz] En, = valeur maximale de la tension [V] n = 3,1416 Une expression comparable s'applique pour un courant sinusoïdal . Nous donnons à la section 22 .14, la relation entre l'angle de rotation 0, la fréquence f, et le temps t . CIRCUIT RÉSISTIF
e = valeur instantanée de la tension [V] E,,, = valeur crête de la tension [V] 0 = angle de rotation [°] De la même façon, un courant sinusoïdal est donné par la formule : i = 1m sm 0
(/EiAt) max = 27tfEm
(22-2)
22 .2 Circuit résistif Soit un alternateur produisant une tension sinusoïdale dont la valeur crête est de 100 V . Celui-ci alimente une résistance de 10 S2 (Fig . 22-2) . Supposons que le courant soit positif lorsqu'il circule de la borne a à la borne b dans la résistance .
282
ÉLECTROTECHNIQUE
1
+100
86,6 V
/IIr,
/v%\a∎∎//
∎,I∎∎„~∎∎ ..∎∎∎'∎∎∎ t
I,
\
,
0 30 60 90 120150180 10 240 270 -10
__a
angle
360 degrés 45 0
∎,,,-I∎∎ 1
1
-100
Figure 22-2 Dans un circuit résistif, le courant est en phase avec la tension .
Pour déterminer l'allure de la courbe du courant, appliquons la loi d'Ohm pour quelques valeurs instantanées de la tension . Tout d'abord, à 0°, 180° et 360°, la tension étant nulle, le courant est également nul . À l'angle de 30°, Eab = + 50 V (a est positif par rapport à b) et un courant de 50 V/10 £2 = 5 A circule dans le sens positif . À l'angle de 60°, Eab = +86,6 V, le courant devient 86,6 V/10 £2 = 8,66 A . On trouve de la même façon la valeur du courant à 90°, 120° et 150° . À 210°, Ea b = -50 V (a est négatif par rapport à b) et le courant doit circuler de b à a dans la résistance, soit dans le sens négatif: I = -50110 = -5 A . À 270°, le courant sera : -100 V/10 S2 =-10 A . Avec ces quelques points, on peut tracer la courbe du courant en fonction de l'angle parcouru . On constate que la forme d'onde obtenue est également sinusoidale . En étudiant la courbe de la tension appliquée et celle du courant résultant, on voit que toutes deux passent par une valeur nulle en même temps, et qu'elles atteignent leur valeur maximale positive au même
instant . On dit alors que la tension et le courant sont en phase .
22.3 Puissance dissipée dans une résistance Nous avons vu que la puissance P dissipée par effet Joule dans une résistance est donnée par le produit de la tension E à ses bornes et du courant I qui la traverse . On peut appliquer la même formule au circuit de la Fie . 22-2 : en multipliant à chaque instant les valeurs de la tension par les valeurs correspondantes du courant, on peut tracer la courbe de variation de la puissance P (Fig . 22-3) . À 0°, la tension et le courant sont nuls ; il en est de même pour la puissance . P = 0 watt À90°,Ea b=+100V,I=+10A la puissance vaut : P = (+100 V) x (+10 A)=+1000W Si l'on procède ainsi pour différentes valeurs d'angles comprises entre 0 et 180°, on trouve que la puissance part de zéro, atteint une valeur maximale de 1000 W et retombe à zéro (Fig . 22-3) . Lorsque la tension et le courant deviennent négatifs, la puissance reste positive car le produit de deux nombres négatifs est positif.
CIRCUITS SIMPLES À COURANT ALTERNATIF
+ 100 Eab
A +10
aq∎∎∎ •∎ ∎∎∎∎m∎ ∎∎ MM M.mm Umm
t
+ 1000 800
∎, mffl 11333
.,
∎ ∎∎∎`,~
I
283
∎∎I ∎.,
r
600
P
400 200 0
∎C. angle ∎.∎∎∎∎∎.∎...∎∎∎∎
∎∎∎∎∎∎∎„∎∎II ∎∎∎∎∎ -100
∎.∎∎∎∎∎∎,, .∎∎∎∎∎ ∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎
Figure 22-3 La puissance dissipée dans une résistance par un courant alternatif varie périodiquement . La valeur moyenne de cette puissance est égale à la moitié de la valeur maximale .
Ainsi, à 210°, Eab
=
- 50 V, I = -5 A
500 W
d'où P = (-50 V) x (-5 A) = +250 W On voit que la puissance atteint une valeur maximale de 1000 W, décroît, s'annule, croît de nouveau, et ainsi de suite . La puissance dissipée dans la résistance est variable, mais elle possède une valeur moyenne de 1000 W/2 = 500 W . On dit que la résistance dissipe une puissance active de 500 W. 22 .4 Valeur efficace d'une tension ou d'un courant sinusoïdal
Il est opportun d'établir ici l'équivalence entre une tension alternative et une tension continue, du point de vue de leurs effets thermiques . On peut se demander si une tension alternative sinusoïdale de 100 V crête correspond à une tension continue de 100 V. Considérons alors les exemples suivants . Un alternateur produisant une tension sinusoïdale de 100 V crête alimente une résistance de 10 S2 (Fig . 22-4) . Remplaçons l'alternateur par une source de tension continue dont la valeur est de 100 V (Fig . 22-5) . Si ces deux tensions étaient équivalentes au point de vue thermique, elles produiraient le même dégagement de chaleur dans la résistance .
10 S2
Figure 22-4 Puissance dissipée lorsqu'une tension sinusoïdale de 100 V crête est appliquée à une résistance de 10 d2 .
1000 W
104
Figure 22-5 Puissance dissipée lorsqu'une tension continue de 100 V est appliquée à la même résistance .
Mais on sait que la puissance moyenne dissipée dans le premier cas n'est que de 500 W, alors qu'elle est constante et égale à 1000 W dans le second cas . On doit conclure que les deux tensions ne sont pas équivalentes .
284
ÉLECTROTECHNIQUE
7,07 A
Le mot «efficace» d'une tension ou d'un courant est parfois désigné par les lettres rms («root mean square») . Ainsi on peut dire que la valeur rms d'une tension est de 120 V.
500 W
10 S2
Figure 22-6 Une tension continue de 70,7 V provoque le même échauffement qu'une tension sinusoïdale de 100 V crête . La valeur efficace de la tension alternative est donc de 70,7 V .
Quelle tension continue doit on appliquer afin que la résistance de 10 £2 disssipe 500 W ? On trouve la réponse en utilisant la formule 4-4 : P = E2
R soit
Un voltmètre à courant alternatif indique que la tension dans une résidence est de 120 V. 60 H7 . Calculer : a) la valeur crête de la tension h) la valeur minimale de la tension e) le taux de variation maximal
a) L'instrument indique la valeur efficace de la tension . Sa valeur crête est 120 - 0,707 = 169,7 V. (La forme d'onde de cette tension apparaît à la Fig . 17-
= 70,7 V
Donc, une tension continue de 70,7 V produit le même dégagement de chaleur dans la résistance de 10 S2 qu'une tension sinusoïdale dont la valeur crête est de 100 V (Fig . 22-6) . On dit que la valeur efficace de cette tension sinusoïdale est de 70,7 V. Par définition, la valeur efficace d'une tension alternative est égale à la valeur d'une tension continue qui provoquerait le même échauffement dans une même résistance . La valeur efficace d'une tension sinusoïdale ou d'un courant sinusoïdal est toujours égale, à 0,707 (ou 1/ 2) fois sa valeur crête . (22-4)
I-
Exemple 22-1
Solution
E _ 1/ PR _ x/500 x 10
Ieff =
En ce qui concerne les tensions et courants périodiques mais non sinusoïdaux, on donne à la section 22 .13 la façon de calculer leurs valeurs efficaces .
= 0,707Im
(22-5)
2
Presque tous les instruments de mesure à courant alternatif sont calibrés de façon à indiquer la valeur efficace d'une tension ou d'un courant, et non la valeur crête . Quand on donne la valeur d'une tension alternative ou d'un courant alternatif, il est entendu que c'est la valeur efficace .
16) .
b) La valeur minimale de la tension est évidemment zéro . c) Le taux de variation maximal est obtenu à partir de l'équation 22-3 : (LE/At)max = 2ttfE,,, = 2 x 3,1416 x 60 x 169,7 = 63 977 V/s = 64 kV/s
L'emploi des valeurs efficaces de tension et de courant permet de résoudre les circuits résistifs à courant alternatif par les mêmes méthodes que celles utilisées pour les circuits à courant continu .
Exemple 22-2 Une tension efficace de 100 V est appliquée a une résistance de 50 52 . Calculer : a) le courant efficace h) la puissance dissipée par la résistance
Solution Le courant efficace est: I eff
= Eeff = 100 = 2 A R 50
CIRCUITS SIMPLES À COURANT ALTERNATIF
La puissance dissipée dans la résistance vaut :
285
Intervalle de 0 à 30° : la tension part de zéro et atteint une valeur de 50 V en 1/720 s . Le courant moyen est de :
P=EeffxIeg= 100V x2A=200W CIRCUIT CAPACITIF
I=C AE =100x10
x (50-0) 1/720
At 22 .5 Circuit capacitif
= 3,6 A
Dans ce qui suit, nous verrons qu'une tension sinusoïdale appliquée à un circuit capacitif produit un courant qui a également une forme d'onde sinusoïdale . Cependant, ce courant capacitif est déphasé de 90° en avance sur la tension . Afin d'éviter une présentation trop théorique, nous utiliserons un exemple numérique pour expliquer ce qui se produit dans un circuit capacitif. Nous donnerons ensuite les formules requises pour résoudre ce genre de circuit .
Étant donné que Eab est positif durant cet intervalle de temps, le courant circule dans le sens positif et le condensateur se charge . la tension croît de 50 V à 86,6 V Le courant moyen est alors de : Intervalle de 30° à 60° :
I = 100 x 10-6 x
(86,6-50) 1/720
Un condensateur de 100 µF est relié à un alternateur qui produit une tension sinusoïdale de 100 V crête à une fréquence de 60 Hz (Fig . 22-7) . Le sens positif du courant est indiqué sur le schéma . La durée d'un cycle (360°) étant de 1/60e de seconde, chaque intervalle de 30° dure 1/720 s .
Le condensateur se charge davantage ; le courant est toujours positif.
Pour déterminer l'allure de la courbe du courant, nous calculons la valeur moyenne du courant pour chaque intervalle de 30 degrés . Cette valeur nous est donnée par la formule 21-7 :
Intervalle de 90° à 120° :
= 2,64 A
la tension passe maintenant de 86,6 V à 100 V, soit une variation de 13,4 V . Le calcul donne un courant moyen de 0,965 A . Intervalle de 60° à 90° :
la variation de tension est encore de 13,4 V, et le courant moyen est toujours de 0,965 A . Cependant la tension diminue, le condensateur se décharge et le courant change de sens . Sa valeur est donc de - 0,965 A .
I=C AE At V +100
go.
>
270' ephasage
déphasage
,I
I Eab
,_
3,77 A „
t 100 V (c .a . crête 60 Hz
I® 0,965 0
3
.-
30 60 90 120
A
.mII,, a
1 180
,_
2 0
1/720 /720 s
~,
-„
r
-100
figure 22-7 IYie tension sinusoïdale appliquée à un condensateur produit un courant sinusoïdal déphasé de '` en avance sur la tension .
Iefficace
= 2,67 A
286
ÉLECTROTECHNIQUE
En procédant ainsi, on peut trouver les courants moyens correspondant à chacun des intervalles pendant un cycle et porter ces valeurs sur le graphique de la Fig . 227 . La courbe de courant ainsi obtenue est composée d'une série de paliers . Si les intervalles de temps considérés avaient été plus courts, le nombre de paliers aurait été plus grand et la courbe plus régulière . Si l'on joint les centres de ces paliers, la courbe obtenue est une sinusoïde . La valeur crête de cette sinusoïde correspond à une intensité d'environ 3,7 A . On peut déterminer la valeur exacte de ce courant maximal à l'aide de la formule (22-3) . On s'aperçoit que le courant est maximal lorsque la tension passe par zéro . Or, le taux de variation de la tension à ce moment est (4E/At) max = 27tfEm = 2 x 3,14 x 60 x 100 = 37 700 V/s Le courant maximal est donc :
cifie le déphasage par un angle inférieur à 180° . 22 .6
Réactance capacitive
Si l'on introduit un voltmètre et un ampèremètre d le circuit précédent, ils indiqueront respectivement tension efficace de 70,7 V et un courant efficace de 2,62 A (Fig . 22-8) . Il semble donc que la «résistance» du condensateur soit de Rcondensateur
E 70,7 V = 26,5 Q = - = I
2,67 A
Cependant, on évite la possibilité de confusion avec les circuits résistifs en appelant réactance capacitive le rapport entre la tension et le courant d'un condensateur. La réactance capacitive (symbole XJ est exprimée en ohms, et sa valeur change avec la fréquence de la source . La réactance capacitive d'un condensateur est donnée par la formule suivante : XI _
Le courant efficace dans le circuit est donc 0,707 x 3,77 A, soit 2,67 A . On remarquera, sur le graphique, que le courant est nul lorsque la tension est maximale, et inversement, que le courant atteint sa valeur maximale lorsque la tension est nulle . On pouvait prévoir ce résultat en se rappelant que le courant dans un circuit capacitif ne dépend pas de la valeur de la tension appliquée au condensateur, mais bien de la vitesse de variation de cette tension . On notera de plus que le courant atteint sa valeur maximale positive de 90° (ou un quart de cycle) avant que la tension atteigne elle-même sa valeur maximale positive . Le courant capacitif est déphasé de 90° en avance sur la tension . Inversement, on peut dire que la tension est déphasée de 90° en arrière du courant . Le déphasage entre deux courbes sinusoïdales se mesure par le nombre de degrés qui sépare leurs crêtes positives successives . Ainsi, en se référant à la Fig . 22-7, on pourrait également dire que la tension est déphasée de 270° en avance sur le courant . Cependant, en pratique, on spé-
(22-61
2ttfC
Ot = 100 x 1e x 37 700 = 3,77 A
1
où XX = réactance capacitive, en ohms [S2] f = fréquence de la source, en hertz [Hz] C = capacitance du condensateur, en farads [F] n = 3,1416 Ainsi, dans l'exemple précédent, la valeur de X X pour le condensateur de 100 tF à une fréquence de 60 Hz est :
27[fC
2x3,14x60x 100x 10-6
= 26,5 £2
2,67 A A 0 0 I I b 100 V (c .a .) crête 60 Hz
V 0 0
70,7 V
Figure 22-8 Tension et courant dans un circuit capacitif.
c 100 ,uF
1,
CIRCUITS SIMPLES À COURANT ALTERNATIF
La formule 22-6 indique que la réactance capacitive d'un condensateur diminue à mesure que la fréquence et la capacitance augmentent . Donc un condensateur laisse d'autant mieux passer le courant que sa capacitance est plus grande et que la fréquence est plus élevée .
70,7 V. À la lecture d'un ampèremètre et d'un voltmètre affichant ces valeurs, on pourrait croire que la puissance dissipée dans le condensateur est : P=EI=70,7Vx7,07A=500W Essayons toutefois de vérifier ce résultat à l'aide des courbes de la Fig . 22-9b .
Exemple 22-3 Un condensateur de 10 ftF est raccordé à une source de tension dont la valeur efficace est de 100 V . Si la ? fréquence est de 200 Hz, quel est le courant efficace dans le circuit?
L'une de ces courbes (Eab) représente la tension appliquée au condensateur, l'autre (I) indique les valeurs successives du courant qui le parcourt . Comme dans le cas des circuits résistifs, nous avons tracé la courbe (P) de la puissance en multipliant les valeurs instantanées de la tension par les valeurs correspondantes du courant . Par exemple, à 150° :
Solution On calcule d'abord la réactance capacitive du condensateur :
Eab = +50
27tfC = 79,6 S2
XX
22.7
=1,26A
79,6 S2
Puissance réactive dans un condensateur : le var capacitif
La Fig . 22-9a représente un condensateur parcouru par un courant dont la valeur efficace est de 7,07 A (10 A crête) quand il est soumis à une tension efficace de v +100
a
I = -8,66 A
En examinant cette courbe en pointillés, on se rend compte que durant le premier quart de cycle, entre 0° et 90°, la puissance est positive, c'est-à-dire qu'une certaine quantité d'énergie est fournie par la source et emmagasinée dans le condensateur. Durant le quart de cycle suivant, entre 90° et 180°, la puissance est négative: le condensateur restitue maintenant à la source l'énergie qu'il avait absorbée . On voit donc qu'il y a un échange continuel d'énergie entre la source et le condensateur, de sorte que la valeur moyenne de la puissance fournie par la source est nulle .
La réactance du condensateur étant de 79,6 £2, le courant efficace dans le circuit vaut : 100V
V,
d'où P = (+50 V) x (- 8,66 A) = - 433 W
2 x 3,14 x 200 x 10 x 10 -6
I- E =
287
r,
w +500 Eab
Ieff = 7,07 A
E eff = 70,7 V
0
0
-10
r
180
C absorbe de l'énergie
(a) (b)
-100
Figure 22-9 a Tension et courant efficaces dans un circuit capacitif ; b_ Courbes de tension, courant et puissance instantanés .
;C remet de l'énergie
270
„
3 0
0
degrés
'
-500
288
ÉLECTROTECHNIQUE
Le produit de la valeur efficace du courant dans un condensateur et de la valeur efficace de la tension appliquée à ses bornes est appelé puissance réactive capacitive (symbole Q,) . L'unité de puissance réactive capacitive est le volt-ampère réactif (symbole var) . Il est important de noter que la puissance réactive associée à un condensateur se mesure en vars et non pas en watts . La puissance réactive Q, mise en jeu dans le circuit de la Fig. 22-9a est donc de 500 var et non pas de 500 W. De plus, cette puissance réactive ne produit aucun dégagement de chaleur dans le condensateur . La Fig . 22-10 montre une application importante des condensateurs .
Supposons qu'un courant sinusoïdal de 10 A crête, 60 Hz, traverse une bobine dont l'inductance est de 0,1 henry (Fig . 22-11) . Pour déterminer l'allure de la courbe de la tension à ses bornes, on peut calculer la valeur moyenne de cette tension pour chaque intervalle de temps correspondanÉ à un angle de 30° . Cette valeur de tension est donnée par la formule 19-4 : E = L
Ai
At
le courant croît de 0 à 5 A, et la durée de cette variation de 30° est 1/720 s, car la durée d'un cycle (360°) est 1/60 s . La valeur moyenne de la tension induite pendant cet intervalle est : Intervalle de 0° à 30° :
Eab = L AI/At = 0,1 x (5 - 0) x 720 = 360 V
Le courant étant positif et croissant, il s'ensuit (section 19-3) que la borne a est positive, donc Ea b = + 360 V. le courant croît de 5 à 8,66 A ; la valeur moyenne de la tension induite est alors : Intervalle de 30° à 60° :
Eab = L AI/At = 0,1 x (8,66 - 5) x 720 = 264 V
La polarité de la tension induite Ea b est encore positive car le courant augmente dans le même sens que précédemment. le courant passe de 8,66 à 10,0 A . soit une variation de 1,34 A, d'où Intervalle de 60° à 90° :
Ea b = L AI/At = 0,1 x 1,34 x 720 = 96,5 V Figure 22-10 Groupe de 18 condensateurs ayant une capacité totale de 2,7 Mvar sous une tension de 14,4 kV, 60 Hz . Ils sont installés sur le réseau de la South Carolina Electric and Gas Company pour régulariser la tension de la ligne (gracieuseté de Cie Generale Electrique du Canada) .
CIRCUIT INDUCTIF 22.8 Circuit inductif
Nous verrons dans cette section qu'une tension sinusoïdale appliquée à une bobine donne naissance à un courant dont la forme d'onde est également sinusoïdale . Ce courant est déphasé de 90° en arrière de la tension . Nous utiliserons à nouveau un exemple numérique pour expliquer ce qui se produit dans un circuit inductif .
le courant décroît de 10 A à 8,66 A ; par conséquent, la variation du courant est encore de 1,34 A, et la valeur moyenne de la tension est de nouveau 96,5 V . Cependant, la diminution du courant entraîne une diminution du flux dans le noyau : la tension induite E ab devient alors négative . E ab = -96,5 V. Intervalle de 90° à 120° :
En procédant de cette façon, on peut trouver la valeur moyenne de la tension induite pour chaque intervalle de 1/720 s considéré durant un cycle . Si l'on porte les valeurs ainsi obtenues sur un graphique (Fig . 22-11), il en résulte une courbe composée d'une série de paliers, comme dans le cas du courant dans un condensateur. En joignant les centres de ces paliers on obtient une courbe à peu près sinusoïdale . La valeur crête de cette courbe correspond à une tension d'environ 370 V.
CIRCUITS SIMPLES À COURANT ALTERNATIF
On peut déterminer la valeur exacte de cette tension maximale en se référant à la formule (22-3) . En effet, on s'aperçoit que la tension est maximale lorsque le courant passe par zéro . Or, le taux de variation du courant à ce moment est donné par une expression analogue à la formule (22-3) . On obtient donc
289
à une inductance produit un courant sinusoïdal . De plus, on remarque que le courant inductif est nul lorsque la tension est maximale et, inversement, que le courant est maximal lorsque la tension est nulle . Le courant inductif atteint sa valeur maximale positive à un angle de 90° (ou un quart de cycle) après que la tension ait atteint sa valeur maximale positive . Comme pour le courant capacitif, le courant inductif est déphasé de 90° par rapport à tension, mais cette fois-ci, il est en arrière de la tension .
(dl/At) max = 2nflm = 2 x 3,14 x 60 x 10 = 3770 A/s Par conséquent, la tension maximale exacte est
22.9 Réactance inductive En , = L
Ai
= 0,1 x 3770 = 377 V
Tout comme pour une résistance, l'opposition offerte par la bobine au passage du courant est caractérisée par le rapport E/I entre la valeur efficace de la tension et la valeur efficace du courant . Ce rapport est appelé réactance inductive (symbole XL) de la bobine, et il s'exprime en ohms .
At La tension efficace aux bornes de la bobine est donc de 0,707 x 377 V, soit 267 V . Pour simplifier l'analyse du circuit inductif, nous avons trouvé la valeur de la tension induite Ea b à partir de la valeur du courant . Il convient de remarquer que ce cou-
Si l'on introduit un ampèremètre et un voltmètre dans
v
A I L=0,1 H
, ,'~'a
Icrête = 10 A
30 60 9
120150180
Eab
0
Bang ~a a
360 V Eab 264 V
+10
0
crête = 377 V
90°
+377
1
1
I, I 360 degres
270
-96,5 V I I 1/720 s
-10
-264 V -360 V .
'
-377
Figure 22-11 IIh e tension sinusoïdale appliquée à une inductance produit un courant sinusoïdal déphasé de 90° en arrière de la tension .
mm est produit en réalité par la tension Eab de la source . Cependant, en se référant au circuit de la Fig . 22-11, il clair que la tension Eab de la source est nécessairet égale à la tension Eab induite . constate donc qu'une tension sinusoïdale appliquée
le circuit de l'exemple précédent, les instruments indiqueront les valeurs suivantes (Fig . 22-12) : Ieff
= 7,07 A (ou 0,707
X
10 A)
Ee ff = 267 V (ou 0,707 x 377 V)
290 ÉLECTROTECHNIQUE La formule 22-7 indique que la réactance inductive d'une bobine est proportionnelle à son inductance et à la fréquence de la source. Donc, une bobine s'oppose d'autant plus au passage d'un courant que son inductance est plus grande et que la fréquence est plus élevée .
Exemple 22-4 Une hobine ayant une inductance de 2 H est raccordée 't une source de 100 V efficace dont la fréquence est de 60 Hz . La résistance de la bobine (déterminée par un ohmmètre) est négligeable . Calculer le courant qui la parcourt .
Figure 22-12 Tension et courant dans un circuit inductif.
La réactance de cette bobine est donc :
Solution XL = E =
I
267 V = 37,7 S2 7,07 A
Déterminons d'abord la réactance inductive de la bobine .
On peut démontrer que la réactance inductive d'une bobine est donnée par la formule :
XL=21tfL=2 x 3,14 x 60 x2=75452 On en déduit le courant :
(22-7)
XL = 21tfL
I =
ou
E XL
XL = réactance inductive, en ohms [52]
22.10
f = fréquence de la source, en hertz [Hz] L = inductance de la bobine, en henrys [H] n = 3,1416 Ainsi, dans l'exemple précédent, la valeur de XL pour l'inductance de 0,1 H à une fréquence de 60 Hz est : X L = 21rJL = 2 x 3,14 x 60 x 0,1
= 100 V = 0,133 A (efficace) 75452
Puissance réactive dans une bobine : le var inductif
Nous avons retracé à la Fig . 22-13 les courbes de tension et de courant du montage de la Fig . 22-12 . Si l'on applique la même méthode d'analyse que celle employée dans le cas du condensateur, on trouve que pendant le premier quart de cycle la puissance est positive (Fig . 22-13), et que la bobine reçoit de l'énergie de la
= 37,7 52 v +377
w
ête -
Eab
+2220
A +10
1480 740
0
0 D
270 degrés 360
180
-10 bobine reçoit
bobine débite
o de l'énergie ode l'énergie <-- 1/240 s -<-1/240 s
-2220
j i
~720 sE-
-377
Figure 22-13 La valeur moyenne de la puissance fournie à une inductance est nulle .
p
CIRCUITS SIMPLES À COURANT ALTERNATIF
Exemple 22-5
source. Par exemple, à 60° : Eab = + 188,5 V,
291
I = +8,66 A
Une inductance de 0,2 H est reliée à une source de 110 V ayant une fréquence de 60 Hz . Calculer :
d'où P = (+188,5 V) x (+8,66 A) = +1632 W Pendant le quart de cycle suivant, la puissance est négative : la bobine renvoie à la source l'énergie qu'elle dent d'accumuler dans son champ magnétique . Il y a donc un échange continuel d'énergie entre la source et la bobine, de sorte que la bobine n'absorbe en moyenne aucune énergie . Comme dans le cas du condensateur, la valeur moyenne de la puissance fournie par la source est nulle . Le produit de la valeur efficace du courant traversant une bobine par la valeur efficace de la tension à ses bornes porte le nom de puissance réactive inductive 1svmbole Q L) . L'unité de puissance réactive inductive est le volt-ampère réactif (symbole var) . La puissance réactive fournie à la bobine de la Fig . 22-11 est : QL = Eeff x Ieff
= 267 V x 7,07 A = 1888 var La Fig . 22-14 montre une application importante des réactances inductives .
a) la réactance inductive de la bobine b) le courant efficace c) la puissance réactive absorbée par la bobine
Solution a) La réactance inductive est : XL = 2nfL = 2 x 3,14 x 60 x 0,2 = 75,4 52 b) le courant efficace dans la bobine est : I_ E 110V = =1,46A XL 75,4 52 c) la puissance réactive inductive est :
QL = EI = 110 x 1,46 = 160 var 22.11 Comparaison entre les circuits R, L et C La plupart des circuits électriques sont composés essentiellement de l'un ou d'une combinaison des trois éléments suivants : la résistance R, la capacitance C et l'inductance L. Le comportement de chacun de ces trois éléments dans un circuit à courant alternatif est résumé dans le tableau 22-1 . 22.12 Valeur moyenne d'un courant ou d'une tension périodique Il arrive dans les montages d'électronique de puissance que les tensions et les courants aient des formes d'ondes non sinusoïdales . Nous présentons maintenant une méthode permettant de déterminer facilement la valeur moyenne et la valeur efficace de ces formes d'ondes spéciales . Nous choisirons une onde de courant périodique, sachant que les mêmes remarques s'appliquent à une onde de tension périodique . Le cycle d'un courant périodique peut être subdivisé en une série d'intervalles de durées plus ou moins courtes durant lesquels le courant suit essentiellement une ligne droite . À chaque intervalle, le courant possède une valeur initiale a et une valeur finale b . La valeur moyenne du courant durant un intervalle est donc : valeur moyenne = M = (a + b)/2
Figure 22-14 Groupe de 6 bobines ayant chacune une réactance inductive de 1,2 £2 à 60 Hz . Ces réactances, installées en série avec des lignes à 14,4 kV au poste de transformation La Suète à Sainte-Foy, limitent le courant de court-circuit à une valeur maximale de 12 000 A .
Si la durée de l'intervalle, mesurée en secondes, est At, la surface élémentaire ASM associée à cet intervalle est : AS, = M x At
292
ÉLECTROTECHNIQUE
TABLEAU 22-1
PROPRIÉTÉS DES CIRCUITS R, L, C 1 La valeur de la résistance est indépendante de la fréquence ;
RÉSISTANCE
2) Le courant résistif est en phase avec la tension ;
R 3 La puissance dissipée est une puissance active, exprimée en watts .
1
La réactance inductive X L s exprime en ohms ; elle augmente avec la fréquence : 27rf L
INDUCTANCE
2 Le courant inductif est déphasé de 90° en arrière de la tension ;
L La puissance active est nulle ; la puissance réactive s'exprime en volts-ampères réactifs (var) ; Linductance L d'une bobine ne varie pas avec la fréquence .
La réactance capacitive X 0 s'exprime en ohms ; elle diminue avec la fréquence :
C CAPACITANCE C
2 Le courant capacitif est déphasé de 90° en avant de la tension ; 3) La puissance active est nulle ; la puissance réactive s'exprime en volts-ampères réactifs (var) ; 4 La capacitance C d'un condensateur ne varie pas avec la fréquence .
La surface totale durant un cycle est obtenue en additionnant les surfaces élémentaires . Nous la désignerons par le symbole S M .
des intervalles est également exprimée en degrés (00) . Puisque la période T correspond à 360°, la valeur moyenne du courant est donnée par l'expression
Connaissant la période T du cycle, la valeur moyenne du courant périodique est donnée par l'expression :
SM ,moyenne =
SM ,moyenne =
(22-8)
T
La valeur moyenne ainsi trouvée correspond à la composante à c .c . du courant analysé . Habituellement, pour les ondes périodiques, le temps est exprimé en degrés plutôt qu'en secondes . La durée
(22-9)
360
ou
I moyen1e
= valeur moyenne du courant ou composante à c .c .
SM = surface totale correspondant à un cycle, calculée en ampères-degrés 360 = nombre de degrés dans un cycle
CIRCUITS SIMPLES À COURANT ALTERNATIF
13
Valeur efficace d'un courant ou d'une tension périodique
293
ou i efficace
calculer la valeur efficace d'un courant périodi. on subdivise le cycle de la même manière que la section précédente . On identifie encore par a et les valeurs du courant au début et à la fin de chaque -alle . Cependant, on peut montrer que la valeur enne à utiliser durant un intervalle est maintenant muée par (a2 + b2 + ab)/3 au lieu de (a + b)/2 .
= valeur efficace du courant
SN = surface totale correspondant à un cycle, calculée en ampères carrés-degrés 360 = nombre de degrés dans un cycle Exemple illustratif 22-6
La Fig . 22-1 5 montre la forme d'onde d'un courant périodique durant un cycle . Nous avons choisi une forme d*onde spéciale afin de bien illustrer le calcul des valeurs moyenne et efficace . Le tableau 22-2 indique les valeurs du courant et de l'angle pour chaque intervalle, et les différentes étapes du calcul .
Qs peut donc écrire : N = (a2 + b2 + ab)/3 mi N est la valeur moyenne des carres durant 1rnterHe . & la durée de l'intervalle, mesurée en degrés, est A0, 6 surface élémentaire ASN associée à cet intervalle est ions :
Par exemple, durant l'intervalle de 180° à 315°, on constate sur la Fig . 22-15, que la valeur initiale a = +3 et la valeur finale b = -9 . Par conséquent, la valeur moyenne M est :
ASN = N x A9
La surface totale durant un cycle est obtenue en addilionnant les surfaces élémentaires. Nous la désignons par le symbole S N . Par définition, la valeur efficace du courant est alors donnée par l'expression
M = (a + b)/2 = (+3 - 9)/2 = -3 La durée de l'intervalle est 315-180=135° La surface élémentaire associée à cet intervalle est donc
,efficace
ASM = -3 x 135 = -405
(22-10)
-
360 CALCUL DES VALEURS MOYENNNE ET EFFICACE D'UN COURANT
intervalle
(degrés)
intervalle
valeur
valeur
valeur
valeur
AS M
ASN
durée
au
à la
moyenne
moyenne
de l'inter-
de l'inter-
(degrés)
début
fin
M
N
valle
valle
A6
a
b
(a + b)/2
(a2 + b 2 + ab)/3
M X A0
N x A6
0-90
90
0
6
3
12
270
1080
90-135
45
6
6
6
36
270
1620
135-180
45
3
3
3
9
135
405
180-315
135
3
- 9
- 3
21
-405
2835
315-360
45
- 9
0
-4,5
27
-202,5
1215
+67,5
7155
= SM
= SN
somme
valeur moyenne du courant = 67,5/360 = + 0,188 A valeur efficace du courant = )/ (7155/360) = 4,46 A
294
ÉLECTROTECHNIQUE
De même, la valeur moyenne des carrés N est donnée par :
Or, on peut démontrer que l'angle 9 est une fonctit de la fréquence et du temps, soit 6 = 360 ft
N = [(+3) 2 + (-9)2 + (3) (-9)]/3 = 21 La surface élémentaire associée à cet intervalle est :
6 = angle de rotation [degrés] f = fréquence [Hz] t = temps [s] 360 = constante tenant compte des unités
ASN = 21 x 135 = 2835 Le tableau indique que la valeur moyenne du courant est +0,188 A et que sa valeur efficace est 4,46 A . C'est dire qu'un courant continu de 4,46 A produira dans une résistance quelconque la même dissipation de chaleur que l'onde alternative de la Fig . 22-15 . A 6
( 22-ilj,
où
Exemple 22-7 tin courant sinusoïdal possède une valeur crête de 140 A et une fréquence de 60 Hz . Sachant que sa valeur initiale est nulle et (Iu'il croît vers les valeurs positives, déterminer sa valeur après un intervalle de 93 ms . Solution
3
L' angle 0 correspondant au temps et à la fréquence est
e = 360 ft = 360 x 60 x 0,093 = 2008,8 degrés La valeur du courant à cet instant est donc :
0 0
i = I. sin 0 éq . 22-2 140 sin 2008,8° 140 x (- 0,482) _ - 67,4 A
-3
22 .15 Expressions généralisées d'une tension sinusoïdale
-6
Une tension de forme d'onde sinusoïdale peut avoir une valeur initiale qui n'est pas nulle . De plus, au départ, elle peut croître ou décroître . Dans ces circonstances, on peut décrire sa forme d'onde de deux façons :
-9 Figure 22-15 Un cycle d'un courant non sinusoïdal .
1) par l'expression générale en fonction de l'angle 8 : Il est entendu que la même méthodologie peut servir pour calculer les valeurs moyenne et efficace d'une tension ou de toute autre grandeur.
e = E n sin (0 + a)
2) par l'expression générale en fonction du temps t : e = Em sin (360 ft + a)
22 .14 Temps, fréquence et l'angle 0 Dans la section 22 .1 nous avons indiqué que la tension d'une onde sinusoïdale peut être exprimée par l'équation e = Em sin 9
éq . 22-1
dans laquelle l'angle 0 est exprimé en degrés . Une formule semblable a été donnée pour le courant, soit i = Im sin
e
éq . 22-2
(22-12)
(22-13)
où e = valeur instantanée de la tension [V] Em = valeur crête de la tension sinusoïdale [V] 9 = angle exécuté à partir de t = 0, en degrés [°]
a = angle de départ, en degrés [°] f = fréquence, en hertz [Hz] t = temps, en secondes [s] De ces deux équations, à moins d'être obligé de faire intervenir le temps t, on préfère utiliser l'équation (22-12) qui exprime la tension en fonction de l'angle de rotation 6.
CIRCUITS SIMPLES À COURANT ALTERNATIF
•
emple 22-8
Solution
Une tension sinusoïdale Eah entre deux bornes a et • possède une valeur crête de 200 V et l'angle de départ a est de - 32 degrés . Déterminer. pour les
a) En se référant à l'équation (22-13) on a Em = 200 V et t = 0 . Sachant que a = - 32°, on peut écrire
Eab = Em sin (360 ft + a)
angles 9 compris entre zéro et 900 degrés :
• 200 sin (360 x 9,1 x 0 - 32) • 200 sin (- 32) = - 106
a) la valeur initiale de la tension b) les angles 9 où la tension E
295
p sse par des
valeurs nulles c) les angles 9 où la tension E, passe par des valeurs maximales positives
Eab = - 106 V
soit
b) En se référant de nouveau à l'équation (22-13) on a
Em = 200 V, t = 0,16 s et a est toujours de - 32° . On peut donc écrire :
d) les angles 9 où la tension F . 1) passe par des
Eab = Em sin (360 ft + a)
valeurs maximales négatives
= 200 sin (360 x 9,1 x 0,16 - 32)
e) Faire un schéma . à main levée, montrant la forme d'oncle (le la tension E ah entre 9= 0° et 9= 900° .
= 200 sin (492) = 148
Eab = 148 V
soit
Solution
c) En utilisant un ordinateur, on trouve la forme d'onde
a) La valeur initiale de Eab correspond à 9 = 0, ce qui donne Eab = 200 sin (0 - 32) = - 106 V
de la tension Eab en fonction du temps t (Fig . 22-17) .
b) La valeur de Eab est nulle lorsque sin (9 + a) = 0,
présentée à la Fig. 22-16 .
La même forme d'onde en fonction de l'angle 9 est
soit lorsque (0- 32) = 0, 180, 360, 540, 720 et 900 degrés . Cela correspond à 9 = 32, 212, 392, 572, 752 et 932 degrés . c) La valeur de E ab est maximum positive lorsque sin (9+ a) = + 1, soit lorsque (9- 32) = 90, 450 et 810 degrés . Cela correspond à 9 = 122, 482 et 842 0
degrés . d) La valeur de Eab est maximum négative lorsque sin (9 + et) = - 1, soit lorsque (9 - 32) = 270, 630, 990 degrés . Cela correspond à 9= 302, 662 et 1022 degrés . e) Il suffit de tracer sur papier quadrillé les points de
Figure 22-16 Tension sinusoïdale en fonction de l'angle 6.
repère (E ab et 9) trouvés dans les parties a) à d) et de les relier par une courbe ayant une allure sinusoïdale . Voir Fig 22-16 .
200
Exemple 22-9 Une tension sinusoïdale Eal, possède une valeur crête de 200 V et une fréquence de 9 .1 Hz . Sa valeur ini-
100 Eab 0 80
tiale correspond àun angle ade-32° . Déterminer a) la valeur initiale de la tension
-100
b) la valeur (le la tension après un intervalle de 160 ms e) tracer la l'orme d'onde de la tension entre t = 0 et t = 240 ni ,,
-200 Figure 22-17 Tension sinusoïdale en fonction du temps t.
200
296
ÉLECTROTECHNIQUE
22.16 Expressions avec angles en radians Dans certains cas, on préfère utiliser le radian au lieu du degré comme unité d'angle de rotation . Dans ces circonstances, les équations suivantes s'appliquent :
d'une puissance réactive mesurée en vars qui ne donne lieu à aucun échauffement mais seulement à un échange d'énergie entre l'élément et le reste du circuit .
e = Em sin ( 0rad + arad) e = Em sin (2Tt ft + arad)
Enfin, nous avons présenté une méthode de calcul simple pour trouver la valeur moyenne et la valeur efficace d'une tension ou d'un courant périodique non sinusoïdal .
soit où
(22-13)
arad = angle de départ (à t = 0) f = fréquence [Hz] t = temps [s] 21r = constante tenant compte des unités
PROBLÈMES - CHAPITRE 22 Niveau pratique
Le fait d'exprimer l'angle de rotation en radians au lieu d'en degrés ne change rien à la valeur de la tension instantanée . Cela revient à changer l'unité de mesure, comme par exemple, exprimer une longueur en arpents au lieu d'en mètres . Des expressions analogues s'appliquent aux courants sinusoïdaux . 22 .17 Résumé Dans ce chapitre nous avons défini plusieurs grandeurs que nous utiliserons constamment dans les circuits à courant alternatif . Pour une tension ou un courant sinusoïdal nous utiliserons la valeur efficace plutôt que la valeur crête . Nous avons vu qu'en régime sinusoïdal, à une fréquence donnée, la bobine et le condensateur possèdent une certaine réactance mesurée en ohms . La réactance inductive et la réactance capacitive donnent la relation entre la tension et le courant efficace d'une inductance et d'une capacitance tout comme la résistance dans la loi d'Ohm . Pour une résistance, la tension et le courant sont en phase . Pour une inductance, le courant est déphasé de 90 degrés en arrière de la tension . Pour une capacitance le courant est déphasé de 90 degrés en avant de la tension . Pour chacun des éléments : résistance, inductance et capacitance, la puissance est obtenue en faisant le produit de la tension efficace et du courant efficace . Pour la résistance, il s'agit d'une puissance active mesurée en watts correspondant à un dégagement de chaleur . Par contre, pour un élément comme une inductance ou une capacitance, il s'agit
22-1 Que veut dire l'énoncé suivant : «le courant dans une résistance est en phase avec la tension»? 22-2 La valeur moyenne de la puissance dissipée dans la résistance d'un circuit à c .a . est-elle égale au produit de la valeur crête de la tension et de la valeur crête du courant? 22-3 Qu'entend-on par valeur efficace d'une tension sinusoïdale? 22-4 Qu'est-ce que la réactance d'un condensateur? Par quelle unité l'exprime-t-on? Augmente-t-elle si la fréquence augmente? 22-5 Quelle est la valeur moyenne de la puissance dissipée dans un condensateur? 22-6 Qu'entend-on par puissance réactive? Quelle est son unité? 22-7 Le courant dans une bobine est-il en phase avec la tension? Si non, est-il en avant ou en arrière de celleci? 22-8 La réactance inductive d'une bobine diminuet-elle si la fréquence diminue? 22-9 Dans un circuit à c .a. une bobine agit tantôt comme une source, tantôt comme une charge . Expliquer . 22-10 Quelle est la valeur efficace d'une tension sinusoïdale dont la valeur crête est de 120 V? 22-11 Dans un circuit à c .a ., un ampèremètre indique un courant de 10 A. Calculer la valeur crête de ce courant sinusoïdal .
29 7
CIRCUITS SIMPLES À COURANT ALTERNATIF
22-12 L'enroulement d'un transformateur possède une réactance inductive de 1000 S2 à 60 Hz . Que devient-elle à 25 Hz? 22-13 Tracer la forme d'onde d'une tension sinusoïdale dont la valeur crête est de 180 V . Niveau intermédiaire 22-14 Une tension sinusoïdale de 60 Hz, 100V (efficace) appliquée à un condensateur fait circuler un courant de 20 A (efficace) . Déterminer la réactance capacitive de ce condensateur . Que deviendrait cette réactance si la fréquence de la source doublait? 22-15 Quelle est la valeur de la réactance capacitive d'un condensateur de 0,05 tF à une fréquence de 1000 Hz? 22-16 Un condensateur de 3 tF est raccordé à une source de tension de 63 V, 1000 Hz . Calculer : ai b c)
I
d)
la valeur de la réactance capacitive du condensateur à cette fréquence la valeur efficace du courant la valeur de la puissance active fournie au condensateur la valeur de la puissance réactive
22-17 Une bobine de 2 H dont la résistance est négligeable est raccordée à une source de 110 V, 60 Hz . Quel courant y circule? Quelle est la valeur de la puissance réactive mise en jeu? 22-18 Dans la Fig . 22-10 les condensateurs sont raccordés en parallèle . Calculer pour chaque condensateur : a) la puissance réactive en kvars b) le courant efficace c) la réactance capacitive d) la capacitance, en microfarads e) l'énergie crête emmagasinée, en joules fl la puissance active maximale que le condensateur débite, en watts
a) le courant efficace absorbé par la réactance sachant que la tension appliquée est de 424 kV b) l'inductance et l'énergie maximale emmagasinée dans le champ magnétique 22-21 En se référant à la Fig . 22-9, faire sept schémas montrant la valeur et le sens du courant, de même que la valeur et la polarité de la tension aux bornes du condensateur à 30, 45, 60, 90, 135, 180 et 225 degrés . Puis calculer la valeur de la puissance instantanée (en watts) dans chaque cas et indiquer si le condensateur reçoit ou débite de l'énergie . Niveau avancé 22-22 Une source spéciale produit la forme d'onde de tension périodique illustrée à la Fig . 22-18 . Si cette tension est appliquée sur une résistance de 10 £2 calculer : a) la fréquence de la tension b) la puissance crête c) l'énergie dissipée par cycle d) la puissance moyenne par cycle e) la tension qui donnerait la même puissance moyenne f) la valeur efficace de la tension de la source continue
+ 100 V . . . 0 . . . . . . . . . . 0 2 4 6 8 secondes Figure 22-18 Voir problème 22-22 .
22-23 Répéter les calculs du problème 22-22 pour la forme d'onde de la Fig . 22-19. + 100 V 50 V . . .
-- o instantanée
22-19 Calculer l'inductance de chaque bobine de la Fig . 22-14 . 22-20 Une réactance inductive de 110 Mvar est installée sur un réseau à 60 Hz . Calculer :
. . . . . .. . . . . . . . . . . . 0 6
-100 V Figure 22-19 Voir problème 22-23 .
r--------- ---
12
18 ms
298
ÉLECTROTECHNIQUE
22-24 Répéter les calculs du problème 22-22 pour la forme d'onde de la Fig . 22-20 . +100 V 4 6 0 2
8
secondes
-100 V Figure 22-20 Voir problème 22-24 .
22-25 Un courant sinusoïdal de 60 Hz atteint une valeur crête de 100 A . Quel est le taux de variation maximal de ce courant, et à quel moment ce taux est-il atteint? 22-26 Prouver que si un courant sinusoïdal a une valeur crête Im , son taux de variation maximal peut être exprimé par la formule 360f sin 1 ° I m , où f est la fréquence . 22-27 Une ligne de transport monophasée a les caractéristiques suivantes : type de conducteur : #2/0 en cuivre, toronné, diamètre 10,5 mm distance entre les conducteurs : 2,5 m longueur de la ligne : 60 km tension et fréquence de la source : 69 kV, 60 Hz Calculer : a) la capacitance de la ligne (section 21 .19) et le courant circulant dans celle-ci à circuit ouvert b) la puissance réactive capacitive de la ligne c) la tension crête entre les conducteurs 22-28 Dans le problème 22-27, calculer l'énergie crête emmagasinée dans le champ électrique ; à quel instant est-elle maximale? 22-29 La ligne du problème 22-27 alimente une charge où circule un courant de 50 A . En négligeant l'effet capacitif de la ligne, calculer :
a) la réactance inductive de la ligne (section 19 .15) b) la tension efficace induite par le champ magnétique c) l'énergie crête emmagasinée dans le champ magnétique 22-30 Une inductance semblable à celle montrée à la Fig . 19-24 est composée de 2000 spires . La section du noyau est de 20 cm 2 et l'entrefer a une longueur de 3 mm . Calculer la réactance inductive à une fréquence : a) de 60 Hz
b) de 180 Hz
22-31 Une bobine semblable à celle montrée à la Fig . 19-26 possède un diamètre de 150 mm et une longueur de 500 mm . Elle porte 60 spires de fil #10. Calculer la réactance inductive à une fréquence de 50 kHz . 22-32 On donne l'information suivante sur les barres omnibus de la Fig . 19-29 : a = 150 mm ; b = 6 mm : D = 100 mm ; l = 200 m . La tension efficace entre les barres est de 600 V, 60 Hz . Les barres portent un courant efficace de 1400 A . Calculer: a) l'inductance de la ligne b) la réactance inductive de la ligne c) la chute de tension due à la réactance 22-33 Une réactance d'artère de 2,2 £1, 500 A a un diamètre moyen de 1,5 m et une hauteur de 1,2 m . Sachant qu'elle est construite selon le modèle de la Fig . 19-26 et qu'elle fonctionne à 60 Hz, calculer: a) l'inductance de la bobine b) le nombre de spires c) la section du conducteur en cuivre si l'on utilise une densité de courant de 2 ampères (efficace) par millimètre carré d) le diamètre du conducteur e) la résistance approximative de la bobine à 20 °C
23 Diagrammes vectoriels
Lors de la résolution des circuits à courant continu, on a eu recours aux lois de Kirchhoff (chapitre 8) . Les mêmes lois s'appliquent aux circuits à courant alternatif . Cependant, comme les tensions et les courants sinusoïdaux ne sont pas nécessairement en phase et comme ils varient périodiquement en fonction du temps, il a fallu inventer une méthode simple pour résoudre ces circuits . Cette méthode repose sur le concept de vecteurs et de diagrammes vectoriels . 23 .1
tion des courants IR et Ix à chaque instant . Par exemple, à 60° : IR = 0,866 x 3A = +2,6 A Ix =0,50x-4A=-2,0A IT = IR + Ix = 2,6 - 2,0 = 0,6 A En répétant cette addition à différents instants on trouve une nouvelle courbe sinusoïdale I T dont la valeur crête est de 5 A (Fig . 23-2) . De plus, cette courbe est décalée de 53° en arrière de la tension . Dans cet exemple, la somme de 3 A et 4 A donne 5 A et non pas 7 A .
Somme de deux courants sinusoïdaux
Soient une résistance de 40 S2 et une réactance inductive de 30 S2 branchées en parallèle sur une source de tension sinusoïdale de 120 V (valeur crête) . On désire connaître la valeur du courant I T fourni par la source (Fig . 23-1) .
120 V crête
La tension étant la même aux bornes de chaque élément, le courant IR dans la résistance et le courant Ix dans la réactance sont respectivement de 3 A et de 4 A 1valeurs crêtes) . D'après les lois régissant les circuits à courant continu, on pourrait penser que le courant total IT est de 3 + 4 = 7 A . Cependant, le courant I x dans la réactance est déphasé de 90° en arrière de la tension tandis que le courant I R dans la résistance est en phase avec la tension (Fig . 23-2) . Pour connaître le véritable courant I T résultant, il faut effectuer l'addi-
30 S2 Figure 23-1 Circuit composé d'une résistance en parallèle avec une réactance inductive . On cherche la valeur du courant IT.
299
300
ÉLECTROTECHNIQUE
20 V
A +6
E 1~ /A\ I~ IR
4
c2 c0 D o 0 !A 53-©/
-4
un
-6 0
60
rotation du vecteur
T
projection H
Ii
e
A
M
B
O -' ,
-
-2
C
valeurs positives
@\
\\n
me,
\ales l B\1\
1 /d
I/ I
,EN`~RI-`~R
'lui
120 180 240 angle
300
360
valeurs négatives D Figure 23-3a Un vecteur tournant à vitesse constante autour de l'origine génère une onde sinusoïdale .
420°
Figure 23-2 Forme d'ondes de E, I R et Ix . La forme d'onde de IT est obtenue en additionnant les valeurs instantanées de IR et Ix .
Cette méthode pour trouver la somme de deux courants alternatifs est laborieuse ; c'est pourquoi on a recours à un procédé graphique plus commode : la technique des vecteurs tournants . 23 .2 Concept de vecteur tournant Considérons deux axes perpendiculaires AB et CD qui se coupent au point O, soit à l'origine (Fig . 23-3a) . Imaginons une droite d'une longueur de 100 mm tournant autour du point O dans le sens antihoraire . La droite porte une flèche à l'extrémité opposée à l'origine . On peut, à chaque position de la droite, mesurer l'angle de rotation 0 et la hauteur H correspondante projetée sur l'axe CD . Par exemple, lorsque l'angle est de 30°, la hauteur H mesure 50 mm, et quand l'angle est 90°, H mesure 100 mm . Si l'on considère ces hauteurs comme étant positives lorsqu'elles sont au-dessus de l'axe AB et négatives quand elles sont en dessous, on peut dresser un tableau des hauteurs en fonction de l'angle (voir le tableau 23-1) . En traçant le graphique de H en fonction de 0, on obtient une onde sinusoïdale (Fig . 23-3b) . Il est évident que les valeurs des angles et des hauteurs se répètent chaque fois que la ligne droite (appelée vecteur) exécute un tour, de sorte que ce système possède une période semblable à celle d'une tension ou
90
150180
240
C A
240° o' B
Figure 23-3b Forme d'onde générée par la projection du vecteur tournant sur l'axe CD .
d'un courant sinusoïdal . Ainsi, un vecteur de 170 mm de long tournant à une vitesse de 60 tours par seconde (60 r/s) peut représenter une tension de 170 V crête, ayant une fréquence de 60 Hz . Un cycle complet correspond à 360° mais, au fur et à mesure que le vecteur tourne, il passe par des valeurs d'angles bien supérieures à 360° . Par exemple, un angle de 7350° correspond à 7350 - 360 = 20,4166 tours, soit (20 tours + 0,4166 tour), ce qui équivaut à 0,4166 x 360° = 150° . Donc, un angle de 7350° génère la même hauteur H qu'un angle de 150° . Il est donc possible de représenter une tension sinusoïdale au moyen d'un vecteur tournant dont la lon-
DIAGRAMMES VECTORIELS
301
C
60 r/s 50 V &
A
(a)
À&
(b) D
Figure 23-4 a . Un vecteur peut représenter complètement une onde sinusoïdale ; b . Onde générée par le vecteur .
TABLEAU 23-1
0
0 15 30 45 60 75 90 120 150 180
PROJECTIONS EN FONCTION DE LANGLE DE ROTATION
H
9
0
180 195 210
25,9 50 70,7 86,6 96,6 100 86,6 50 0
225 240 255 270 300 330 360
H 0 -25,9 - 50 -70,7 -86,6 -96,6 -100 -86,6 - 50 0
gueur est égale à la valeur crête de la tension, et dont la ,%itesse de rotation correspond à la fréquence . Un courant sinusoïdal peut être représenté de la même manière . Cette représentation des courants et des tensions par des diagrammes vectoriels facilite énormément la solution des circuits à courant alternatif* .
23 .3
Représentation d'une tension sinusoïdale
La longueur d'un vecteur et sa vitesse de rotation décrivent respectivement sa valeur crête et sa fréquence . De plus, sa position sur un diagramme vectoriel sert à définir sa valeur initiale . Considérons, par exemple, le vecteur représentant une tension de 100 V crête dont la fréquence est 60 Hz (Fig . 23-4a) . Il fait un angle de 30° avec l'axe horizontal AB ; sa projection sur la ligne CD est donc de 50 V. Cette projection OP représente la valeur initiale de la tension . Le vecteur gras de la Fig . 23-4a représente alors la forme d'onde donnée à la Fig . 23-4b. De façon générale, la valeur d'une grandeur (tension, courant, etc.) qui varie sinusoïdalement est donnée par l'équation : V = V,,, sin (0 + a) (23-1) = Vm sin (360 ft + a) ou
En génie électrique, on adopte généralement comme valeur instantanée la projection du vecteur, non pas sur l'axe vertical CD, mais sur l'axe horizontal AB . Dans ce livre, nous avons décidé d'utiliser la projection sur l'axe vertical pour faciliter la visualisation du vecteur et de l'onde qu'il génère . Les deux méthodes de projection donnent exactement les mêmes résultats ; en effet, il suffit de tourner les axes AB et CD de 90° dans le sens horaire pour arriver à la représentation classique utilisée par les ingénieurs .
V = valeur instantanée de la grandeur Vm = valeur crête de la grandeur
0 = angle exécuté à partir de t = 0, en degrés [°] a = angle de déphasage, en degrés [°] f = fréquence, en hertz [Hz] t = temps, en secondes [s] 360 = constante tenant compte des unités
302
ÉLECTROTECHNIQUE
Cette équation peut être représentée graphiquement, soit par le vecteur gras de la Fig. 23-5a, soit par la forme d'onde de la Fig . 23-5b .
d) le diagramme vectoriel du courant et l'onde correspondante sont tracés à la Fig . 23-6 . La valeur initiale du courant est I = 8 sin 240° = - 6,93 A .
180-a
e=0
C
1
i
---
f r/s
i 09 Pl
(a)
8A
(b) t=0
t
1801 a 360 f
360 l a 360 f
Figure 23-5 Diagramme vectoriel et forme d'onde correspondant à l'équation V = V m sin (360 ft + a) = Vm sin (0 + a) .
D
Figure 23-6 Voir exemple 23-1 .
23.4 Représentation de plusieurs vecteurs Exemple 23-1 Un courant sinusoïdal à 180 Il/ a une valeur crête de 8 A et un angle de déphasage de 240° . I)éterminer . a) b) c) d)
L'expression algébrque du courant la valeur instantanée du courant à 7 = 3 .03 s la valeur du courant lorsque I'anele 0= 210 ° tracer le diagramme vectoriel du courant et sa forme d'onde
Solution a) L'expression algébrique du courant est donnée par la formule
I=1 sin(0+a) = I,,, sin (360 ft + a) m
Essayons d'appliquer la méthode des vecteurs au circuit de la Fig . 23-1 . Rappelons que la tension E et le courant I sont respectivement de 1.20 V et 5 A et que le courant est décalé de 53° en arrière de la tension . On peut représenter ces deux grandeurs par les vecteurs de la Fig . 23-7 . Pour construire ce diagramme vectoriel, on choisit d'abord une échelle convenable pour la tension et une autre pour le courant . Ainsi, 1 mm pourrait représenter une tension de 2 V de sorte que le vecteur de la tension (120 V) aurait une longueur de 60 mm . De la même façon, 8 mm pourrait représenter un courant de 1 A, de sorte que le vecteur de courant (5 A) aurait une longueur de 40 mm . T
Quelle position devons nous donner au vecteur de tension? Nous avons arbitrairement choisi la position horizontale, avec la flèche orientée vers la droite . Cepen-
éq. 23-1
= 8 sin (360 x 180 t + 240)
origine
= 8 sin (64 800 t + 240)
120 V
O
Y-E
l
b) la valeur instantanée du courant à t = 3,63 s est :
53°
1 = 8 sin (64 800 x 3,63 + 240)
• 8 sin 235 464° = 8 sin 24° • 3,25 A
5A
c) la valeur du courant à 0 = 210° est : I = I. sin (0 + a) • 8 sin (210 + 240) • 8 sin 450° = 8A
Figure 23-7 Représentation à l'échelle des vecteurs correspondant à E et de la figure 23-2 . I R
303
DIAGRAMMES VECTORIELS
P
dant, dès qu'on a choisi la position du vecteur E, celle du courant n'est plus arbitraire . En effet, la fréquence du courant et de la tension étant la même, les deux vecteurs tournent à la même vitesse, ce qui fait que le courant est toujours décalé de 53° en arrière de la tension, quelle que soit sa position . Dans la Fig . 23-7 nous avons négligé la présence des axes AB et CD, tout en imaginant qu'ils existent en arrière-plan . On peut compléter ce diagramme en ajoutant les courants IR et Ix de la Fig . 23-1, ce qui nous donne le diagramme vectoriel de la Fig . 23-8 . Noter que le vecteur IR est en phase avec le vecteur de tension E alors que le vecteur Ix est décalé de 90° en arrière de E . La Fig . 23-8 représente donc la même information que les courbes de la Fig . 23-2 ; on réalise immédiatement la grande simplification apportée par le diagramme vectoriel . 3A IR 120V
(c)
53°
Figure 23-9 a . Deux vecteurs que l'on désire additionner ; b . La somme vectorielle E l + E2 donne le vecteur OP ; c . La somme vectorielle E2 + El donne le même vecteur OP .
5A
3 . La somme vectorielle (Et + E2) est alors donnée par le vecteur OP qui part de l'origine O et aboutit à la flèche de E3 .
>E
4A
'x Figure 23-8 Représentation vectorielle de la tension et des courants de la figure 23-2 .
23.5 Addition de vecteurs Lors de la résolution des circuits à courant alternatif, on a souvent besoin de trouver la somme de deux vecteurs représentant deux tensions ou deux courants . Il est facile d'effectuer cette addition si l'on utilise une méthode graphique . Supposons que l'on cherche la somme des tensions Et et E2 représentées sur le diagramme vectoriel de la Fig . 23-9a . En se référant à la Fig. 23-9b, on procède de la manière suivante : 1 . On choisit un des vecteurs, El par exemple, comme vecteur de départ. 2 En partant de la flèche du vecteur Et on trace un vecteur E3 ayant la même direction et la même longueur que le vecteur E2.
On aurait pu commencer avec le vecteur E2 et y ajouter le vecteur El sans modifier le résultat final (Fig . 23-9c) . On utilise la même méthode pour trouver la somme de trois, quatre, ou plusieurs vecteurs . Ainsi, sur la Fig . 23-10, la somme Et + E2 + E3 donne le vecteur E4 . Pour trouver le vecteur résultant, on a suivi la chaîne E3=> E2=> El . P E4 E2
El E2
El + E2 + E3 E3
O
(b) O
Figure 23-10 a . Trois vecteurs de tension que l'on désire additionner ; b . La somme vectorielle donne le vecteur E4 .
304
ÉLECTROTECHNIQUE
Exemple 23-2 Trouver la somme vectorielle des courants I 12 et lx de la Fig . 23-11 a .
Si, dans la Fig . 23-13, on cherche la différence vectorielle Ea - Eb , on fait la somme Ea + (- Eb), ce qui donne le vecteur OP.
Solution Les courants ont respectivement une valeur crête de 3 A et de 4 A et ils sont décalés de 90° . En traçant ces vecteurs à l'échelle, on trouve que leur somme vectorielle donne un courant IT de 5 A et un rapporteur révèle que l'angle eest 53° (Fig . 23-1 lb). Cette méthode est beaucoup plus simple que la méthode laborieuse que nous avons utilisée pour trouver le courant IT de la Fig . 23-2 .
Figure 23-13 Soustraction de deux vecteurs .
23 .7 Vecteurs «détachés» IR
3 A
IR
3A
Jusqu'à présent, nous avons supposé que tous les vecteurs de tension et de courant tournent autour d'un point commun qui coïncide avec l'extrémité opposée à la flèche. Cependant, on peut détacher les vecteurs de cette origine commune sans pour autant changer leur amplitude ni leur angle de phase .
4A IX (a)
(b)
Figure 23-11 a . On cherche la somme vectorielle IR + Ix (exemple 23-2) ; b . La somme vectorielle donne un courant IT de 5 A déphasé de 53° en arrière de IR .
23 .6 Vecteurs négatifs et soustraction de vecteurs Dans certains cas, il faut soustraire un vecteur d'un autre ; c'est alors que le concept de vecteur négatif est particulièrement utile . Soit un vecteur Ea (Fig . 23-12) . Le vecteur négatif - Ea (en pointillé) a la même longueur que Ea, mais il est dirigé dans le sens opposé .
Par exemple, les vecteurs de la Fig . 23-7 peuvent être détachés de l'origine 0, et représentés comme à la Fig . 23-14 . Le vecteur E est encore horizontal et il tourne autour de l'origine 0 1 . De plus, le vecteur IT est toujours de 53° en arrière de E mais il tourne autour de son origine 0 2 . Comme la position des origines est arbitraire, on peut tracer les vecteurs de plusieurs façons, comme, par exemple, celles de la Fig . 23-14 . Remarquer que si un système composé de plusieurs vecteurs tourne de 30°, tous les vecteurs tourneront de 30° autour de leurs origines respectives . Comment trouver l'angle entre deux vecteurs détachés? Imaginons qu'on fasse tourner un des vecteurs autour de son origine jusqu'à ce qu'il pointe dans la même direction que l'autre . L'angle de rotation correspond au déphasage entre les vecteurs, et le sens de rotation
-Ea r
Figure 23-12 Pour changer le signe d'un vecteur, on le fait tourner de 180° .
Figure 23-14 Vecteurs détachés .
305
DIAGRAMMES VECTORIELS
indique si le vecteur est en avant ou en arrière de l'autre . Par exemple, si on doit faire tourner un vecteur A dans le sens horaire afin qu'il s'aligne avec un vecteur B, alors A est en avant de B .
1 2
Exemple 23-3 La génératrice à c .a . de la Fig . 15a produit trois tensions égales E l ,, et E3 i entre ses bornes 1, 2 et 3 . Ces tensions sont représentées par Lies vecteurs détachés disposés en forme de triangle (Fig . 2-3-15b) . Sachant que les trois tensions ont chacune une valeur crête de 200 V . déterminer :
E23
3
(a)
(b) E23
a) leur polarité et leur valeur instantanée lorsque F-'3 = + 200 V (cas de la Fig . -15b) b) le déphasage entre ces trois tensions
Solution a) Les valeurs instantanées sont données par la projection des vecteurs sur l'axe vertical CD . Les projections sont positives lorsque les vecteurs pointent vers le haut, et négatives lorsqu'ils pointent vers le bas . E23 = +200 V ; la borne 2 est positive par rapport à la borne 3 ; E12 = -100 V; la borne 1 est négative par rapport à la borne 2 ; E31 = -100 V; la borne 3 est négative par rapport à la borne 1 . b) Pour déterminer le déphasage entre les vecteurs, considérons d'abord les vecteurs E31 et E12 . Afin de les aligner, on doit faire tourner E12 de 120° dans le sens antihoraire. Par conséquent, E12 est en arrière de E31 . Cependant, il est plus facile de redessiner les trois vecteurs avec une origine commune (Fig. 23-15e) ; on peut indiquer le déphasage de plusieurs manières, en voici quelques-unes : E23 est déphasé de 120° en arrière de E12
E3
Figure 23-15 a . Générateur produisant 3 tensions déphasées de 120° ; b . Diagramme vectoriel des tensions ; c . Autre manière de présenter le diagramme vectoriel .
ne sont plus requis, car on ne s'intéresse pas aux valeurs instantanées des tensions et des courants. Toutefois, on trouve la somme ou la différence des vecteurs de la même manière . Ces vecteurs qui ne tournent pas sont parfois appelés phaseurs (en anglais «phasors») .
Exemple 23-4 Tracer le diagramme vectoriel pour le circuit de la Fig . 23-16 . Trouver la valeur efficace du courant 'T et son déphasage par rapport à la tension E . La tension de la source est de 360 V efficace .
E12 est déphasé de 120° en avant de E23 IT
E23 est déphasé de 240° en arrière de E31 E31 est déphasé de 120° en arrière de E23
et ainsi de suite .
23 .8 Vecteurs et phaseurs Dans la résolution des circuits à courant alternatif, on utilise habituellement les valeurs efficaces des tensions et des courants . On peut alors employer des vecteurs dont la longueur correspond aux valeurs efficaces respectives . Dans ce cas, les axes AB et CD (Fig . 23-3a)
360 V
xc 40 52
Figure 23-16 Circuit composé de trois éléments . On cherche le courant IT (voir exemple 23-4) .
306
ÉLECTROTECHNIQUE
Solution
03
Dans ce circuit, la tension est commune aux trois éléments R, XL et Xc . Par conséquent, nous la choisissons comme vecteur de référence . On la trace donc dans le sens horizontal en utilisant une échelle appropriée (1 mm = 6 V) . À partir de ce vecteur de référence, on trace les vecteurs I l , 12 et 13 . I l = 360 V/90 S2 = 4 A, en phase avec E, car l'élément est résistif. (On utilise l'échelle 3 mm = 1 A .) 12 = 360 V/60 S2 = 6 A, 90° en arrière de E, car l'élément est inductif. 13 = 360 V/40 S2 = 9 A, 90° en avant de E, car l'élément est capacitif . Le courant IT est la somme vectorielle des courants Il, 12 et 13 . D'après la construction graphique, on mesure IT = 15 mm, soit 5 A efficace . Un rapporteur indique que IT est déphasé de 37° en avance sur E (Fig . 23-17) .
I3
Ii....».
9A
I2
6A
I3
I2
Oz
360 V
»-E
9A
O, -h 4A 04 Figure 23-18 Diagramme vectoriel de la Fig . 23-17, montrant les vecteurs sous forme détachée .
CALCUL VECTORIEL
On peut résoudre la plupart des circuits à courant alternatif en utilisant la méthode graphique exposée dans ce chapitre . Cependant, pour décrire les vecteurs, il est souvent plus pratique d'utiliser une expression mathématique plutôt qu'une représentation purement graphique. Le calcul vectoriel permet de trouver facilement la somme ou la différence de deux vecteurs . Il permet aussi de trouver le produit ou le quotient de deux vecteurs . Par la suite, cette méthode permet de calculer l'impédance d'un circuit et les puissances active et réactive qu'il consomme .
5A 37° I 4A »
360V »E
Le calcul vectoriel exige seulement une connaissance élémentaire de la trigonométrie . Les paragraphes qui suivent expliquent les règles de base de cette méthode de calcul .
6A
23.9 Représentation polaire d'un vecteur 12 Figure 23-17 Diagramme vectoriel du circuit (voir exemple 23-4) .
Considérons un vecteur VE de tension ayant une valeur efficace E, et faisant un angle 6 avec l'axe horizontal (Fig . 23-19) .
On observe que le courant fourni par la source (5 A) est inférieur à celui circulant dans le condensateur (9 A) et dans l'inductance (6 A) . C'est un phénomène nouveau, bien différent de ce que nous avons rencontré dans les circuits à courant continu . La Fig . 23-18 montre les mêmes phaseurs que ceux de la Fig . 23-17, sauf qu'ils sont détachés les uns des autres . On constate que 12 est encore 90° en arrière de E, alors que Ii est en phase avec E.
Figure 23-19 Représentation polaire d'un vecteur .
307
DIAGRAMMES VECTORIELS
On peut le représenter sous la forme polaire par l'expression :
V2 VP2
VE =
EL 0
(23-2) VH2
ou VE = vecteur de tension E = valeur efficace de la tension 0 = angle entre le vecteur et l'axe horizontal
V P4
Noter que le symbole utilisé pour le vecteur est donné en caractère gras . La Fig . 23-20 donne deux autres exemples de la représentation polaire . Dans cette figure, l'angle d t est positif parce qu'il est mesuré dans le sens antihoraire à partir de l'axe horizontal . Par contre, l'angle 02 est négatif parce qu'il est mesuré dans le sens horaire . Ainsi, le vecteur I T de la Fig . 23-7 serait désigné : IT =5/-53° tandis que celui de la Fig . 23-17 serait désigné : I T = 5/37° Nous utiliserons toujours la forme polaire pour multiplier ou diviser deux vecteurs .
Figure 23-21 Le vecteur V est composé d'un vecteur horizontal et d'un vecteur vertical .
Les vecteurs V H sont positifs lorsqu'ils pointent vers la droite, et négatifs lorsqu'ils pointent vers la gauche . Ainsi, les vecteurs VHI et VH4 sont positifs, alors que V H2 et VH3 sont négatifs . De la même façon, les vecteurs Vp sont positifs lorsqu'ils pointent vers le haut, et négatifs lorsqu'ils pointent vers le bas . Par conséquent, les vecteurs VP1 et VP2 sont positifs, tandis que V P3 et V P4 sont négatifs . Afin de distinguer les vecteurs verticaux des vecteurs horizontaux, on ajoute le préfixe j * à tous les vecteurs verticaux . Ainsi, dans la Fig . 23-22a, le vecteur V 1 est composé du vecteur horizontal ayant une longueur «a» et d'un vecteur vertical ayant une longueur «b» . Le vecteur V 1 est donc la somme vectorielle des vecteurs a et jb, soit : V, =a+jb De la même façon, le vecteur V2 (Fig . 23-22b) est donné par la somme : V2
Figure 23-20 a . Langle est positif lorsqu'il est mesuré dans le sens antihoraire ; b . l'angle est négatif lorsqu'il est mesuré dans le sens horaire .
Représentation rectangulaire d'un vecteur On peut imaginer qu'un vecteur est composé de la somme vectorielle de deux vecteurs, l'un qui est parallèle à l'axe horizontal et l'autre qui lui est perpendiculaire . Par exemple, les vecteurs V 1 , V 2 , V 3 , V 4 de la Fig . 23-21 sont tous composés de deux vecteurs V H et Vp .
=c-jd
23 .10
(a)
(b)
Figure 23-22 Représentation rectangulaire d'un vecteur. Le lecteur familier avec la théorie des nombres complexes reconnaîtra que le symbole j représente
.
308
ÉLECTROTECHNIQUE
Nous utiliserons toujours la forme rectangulaire pour additionner ou soustraire deux ou plusieurs vecteurs .
soit V = ALO= Acos0+ jAsine
23 .11
Conversion polaire = rectangulaire
(23-3)
ou
Nous avons mentionné qu'on utilise la forme polaire pour multiplier ou diviser les vecteurs, alors qu'on utilise la forme rectangulaire pour les additionner ou les soustraire . Afin d'effectuer toutes ces opérations, on doit établir une méthode permettant de convertir les vecteurs d'une forme à l'autre .
V = le vecteur (ou phaseur) A = amplitude du vecteur 0 = angle entre le vecteur et l'axe horizontal Acose = composante horizontale du vecteur Asine = composante verticale du vecteur
Considérons le vecteur V dont l'amplitude est A, incliné à un angle 0 (Fig . 23-23) . On peut écrire sous la
Le symbole j qui précède l'expression Asin 0 veut simplement dire que ce vecteur est perpendiculaire à l'axe horizontal . Exemple 23-5 Un vecteur V est exprimé par la forme polaire : V = 1062148° Exprimer ce vecteur sous la forme rectangulaire . Solution
La forme rectangulaire est donnée par : V = x + jy Figure 23-23 Relation entre les formes polaire et rectangulaire d'un vecteur .
= Acose + jAsinO
• 106 cos 148° + j 106 sin 148° • 106 x (-0,848) + j 106 x 0,53 • -90+j56
forme polaire : V = ALO D'autre part, en utilisant la forme rectangulaire, on obtient : V = x + jy La composante horizontale de V a une amplitude x donnée par: x = Acose De même, la composante verticale de V a une amplitude y donnée par: y =Asine On peut donc écrire : V = ALO =x+jy =AcosO+ jAsine
Par conséquent, V = 1062148° _ - 90 + j 56 23 .12 Conversion rectangulaire = polaire Supposons maintenant que le vecteur V soit donné sous la forme rectangulaire et qu'on désire l'exprimer sous la forme polaire . On procède comme suit: V=x+jy En se référant à la Fig . 23-23 on constate que l'amplitude du vecteur est donnée par: A
=
\/x2 +
y2
De plus, l'angle 0 est donné par : O = arctan Y x
DIAGRAMMES VECTORIELS
Par conséquent, la forme polaire est donnée par : V = AL9 = V x2
+ y2 /
arctan Y
(23-4)
X
309
Le conjugué d'un vecteur est un vecteur de même longueur, mais dont l'angle est mesuré dans le sens contraire à celui du vecteur original . La Fig . 23-24 donne deux exemples d'un vecteur et de son conjugué .
ou V = le vecteur A =amplitude du vecteur 0 = angle entre le vecteur et l'axe horizontal x = composante horizontale du vecteur y = composante verticale du vecteur Note: Lorsque x est négatif, ont doit ajouter 180° à l'angle 0 = arctan y/x indiqué par une calculatrice .
Exemple 23-6 Un vecteur V est exprimé sous la forme rectangulaire : Figure 23-24 Vecteur V et son conjugué V* .
35+j1 2 Exprimer cc vecteur sous la forme polaire .
23.14
Solution L'amplitude du vecteur est :
Addition des vecteurs
Soient deux vecteurs donnés par : V 1 =a+ jb
A = 1~ x 2
+ y2
=
1~ (- 35) 2
+
122
1f 1369 = 37 l'angle du vecteur est : 12 9 = arctan Y = arctan x - 35 = arctan (- 0,3428) = -19° + 180° = 161 ° Remarquer qu'on a dû ajouter 180° à l'angle calculé par arctan car la composante x est négative . Par conséquent, la forme polaire du vecteur est :
et
V 2 =c+ jd
La somme vectorielle donne un nouveau vecteur V : V = V1 + V2 a + jb + c + jd _ (a + c) + j (b + d) C'est dire que la composante horizontale du vecteur V est égale à la somme des composantes horizontales de V, et de V2 . De même, la composante verticale du vecteur V est égale à la somme des composantes verticales de V I et de V2.
23 .13 Conjugué d'un vecteur
Exemple 23-7 Il .s'agit de trouver la somme des deux vecteurs de la Fie . i, définis comme suit :
Lors du calcul des puissances active et réactive dans un circuit à courant alternatif, on utilise le conjugué d - un vecteur. Soit un vecteur donné par la forme polaire :
Calculer :
V = 372161°
V = AZO Par définition, le conjugué V* du vecteur (identifié par un astérisque) est alors : V * = AZ-0
a) les composantes horizontale et verticale du vecteur résultant b) I' amplitude et l'angle de phase du vecteur résultant ci la forme polaire (lu vecteur
310
ÉLECTROTECHNIQUE
tudes . L' angle est égal à la somme (9 1 + 62 ) des ang Par conséquent, le produit des vecteurs est un noue vecteur V donné par : V = V 1V2 = A 1 20 1 x A2 202 = A 1 A2 2(e1 + e2 )
(b)
on a donc Figure 23-25 a . Forme rectangulaire de deux vecteurs (voir exemples 23-7, -8, -9) ; b . Addition des vecteurs .
a) Le vecteur résultant est : V = V 1 + V2
Exemple 23-8
3 + j4+9- j9 = 12 -j5 La composante horizontale (x) est 12 ; la composante verticale (y) est -5 . Le vecteur résultant est montré à la Fig . 23-25b . b) L'amplitude du vecteur résultant est: =
\/ X 2
y2
+
où V 1 V 2 = produit des deux vecteurs A 1 , A 2 = amplitudes respectives des vecteurs 91 , 92 = angles respectifs des vecteurs V = vecteur résultant
Solution
A
V = V, V2 = A, A2 Z (e1 + 92 )
Trouver le produit des vecteurs montrés à la Fig. 23-25a, soient :
Solution Afin de trouver le produit des vecteurs, on doit d'abord les transformer dans la forme polaire . Pour V 1 on a :
_ ~/12 2 = 13
(-5) 2
+
A 1 = 13 2 + 4 2 =5
L'angle est :
e1 = arctan
donc
0 = arctan y x = arctan
-5
4
= arctan 1,33 = 53,1° 3 V 1 = 5 Z53,1 -
Pour V 2 on a : arctan - 0,417
12
A2 = 1~ 9 2
+
(-9)2
=
12,73
= - 22,6°
e2
c) La forme polaire du vecteur résultant est : V = 13Z-22,6° 23.15 Multiplication des vecteurs Soient deux vecteurs donnés par : V 1 = A 1 Le1
et
V 2 = A 2Le2
Le produit de deux vecteurs donne un nouveau vecteur dont l'amplitude est égale au produit A 1 A 2 des ampli-
= arctan -9 = arctan - 1 = - 45° 9 donc V2 = 12,73 L- 45° Par conséquent, le produit donne : V = V 1 V 2 = 5 L53,1 x 12,73 L- 45 = 63,65 253,1 +(-45)
= 63,65 28,1°
311
DIAGRAMMES VECTORIELS
23 .16
Division de deux vecteurs
Soient deux vecteurs exprimés par : V 1 = A 1 L01
et
V 2 = A 2 L02
La division de V 1 par V2 donne un nouveau vecteur V dont l'amplitude A et l'angle 0 sont : 1 A=A A2
(a)
0=0 1 -
Figure 23-26 a . Circuit électrique généralisé ; b . Relations vectorielles entre E, I, dans un circuit à courant alternatif .
02
C'est dire que : A,201 V = VI = V2 A2 /02 on a donc
=
al
L(01 - 02) = A/e
A2
VI V = = A I L(01 -02) V2 A2
(23-6)
où les symboles ont la même signification qu'auparavant .
la charge Z est composée d'un groupement de résistances, d' inductances et de condensateurs raccordés de façon quelconque . La tension aux bornes de la charge est E et le courant résultant est I. Comme dans le cas d'une résistance, le rapport E/I est une mesure de l'opposition que la charge offre au passage du courant . Dans les circuits à courant alternatif, le rapport E/I généralisé s'appelle impédance . Supposons que la tension soit exprimée par le vecteur :
Exemple 23-9
V E = EL01
Calculer l'amplitude et l'an e de phase du vecteur résultant de la division de V 1 par V, (Fig . 23-25a) .
et que le courant soit donné par le vecteur :
Solution
V I =I202
On vient de trouver dans l'exemple 23-8 que : VI = 5/53,1
et
V2 = 12,73/-45
Par conséquent, V = V1 = V2
5/53 , 1
(b)
= 0,393 /53,1- (-45)
où E, I sont les valeurs efficaces de la tension et du courant (Fig . 23-26b) . L'impédance Z du circuit est alors : Z = V E _ EL 01
12,73/- 45
= 0,393/98,1° Ceci complète les règles concernant la manipulation des vecteurs . Appliquons maintenant le calcul vectoriel aux circuits électriques . 23 .17 Impédance d'un circuit Nous avons déjà vu à la section 23 .8 que la tension d'une source et le courant qu'elle fournit sont souvent déphasés . L'angle de déphasage dépend de la nature de la charge . Dans la Fig . 23-26a, nous supposons que
= E /(9 - 9 ) = VI
I/92
I
1
2
E
LB
I
On constate que l'impédance est aussi un vecteur dont l'amplitude est E/I et que l'angle 0 est celui compris entre le vecteur tension et le vecteur courant (Fig . 23-26b) . Si l'on exprime l'impédance sous la forme rectangulaire, on obtient : E Z = E cos 0 + j sin 0 I I
312
ÉLECTROTECHNIQUE
Trouvons maintenant, à tour de rôle, l'impédance d'une résistance, d'une réactance inductive et d'une réactance capacitive . 23 .18
Impédance vectorielle d'une résistance On sait que pour une résistance, l'angle 0 entre la tension et le courant est nul . Par conséquent, on peut écrire : E
E sin 0 Z résistance = j cos 0+ j i
23 .20
Impédance vectorielle d'une réactance capacitive Dans le cas d'une réactance capacitive, la tension est 90° en arrière du courant . Par conséquent, 0 = - 90°, ce qui nous permet d'écrire :
cos 0 + j
Z réactance capacitive
sin 0
I
I
I
E =0-jI
=E+0 I E
.E
I
I
Le rapport Eh est simplement égal à la résistance R, de sorte que nous pouvons écrire : Z résistance - R
(23-7)
En d'autres mots, le vecteur représentant une résistance a une longueur R et il est dirigé vers la droite sur l'axe horizontal . 23 .19
Impédance vectorielle d'une réactance inductive On se souvient (section 22 .8) que pour une inductance la tension est 90° en avant du courant . Par conséquent, 0 = +90°, ce qui nous permet d'écrire :
Z réactance inductive
E
E cos (-90°) + j E sin (-90°)
= E cos 0° + j E sin 0° I
Une réactance inductive est donc un vecteur d'amplitude XL, dirigé verticalement vers le haut.
E cos 0+ j E sin 0 I I
= E cos 90° + j E sin 90° I I =O+jI E = JI
Comme le rapport E/I est simplement la valeur de la réactance inductive XL, on peut écrire : Z réactance inductive ZL = J XL
(23-8)
Puisque le rapport EII est égal à la valeur de la réactance capacitive Xc on peut écrire : Z réactance capacitive ZC
- -J
Xc
(23-9)
Une réactance capacitive est donc un vecteur d'amplitude Xc, dirigé verticalement vers le bas . La représentation vectorielle de R, ZL et Zc est très utile dans la résolution des circuits à courant alternatif . Nous l'appliquerons dans les chapitres qui suivent . 23 .21 Résumé Dans ce chapitre, nous avons appris qu'une grandeur sinusoïdale comme une tension ou un courant peut être représentée par un vecteur tournant. Lorsque ces vecteurs sont représentés graphiquement, ils forment un diagramme vectoriel . Chaque vecteur peut aussi être exprimé par deux nombres, soit sous forme rectangulaire (composante horizontale et composante verticale), soit sous forme polaire (valeur efficace et angle) . On définit aussi l'impédance vectorielle d'une résistance, d'une réactance inductive et d'une réactance capacitive . Le calcul vectoriel permet de généraliser les techniques de solution des circuits à courant continu aux circuits à courant alternatif. Nous avons appris comment effectuer les opérations d'addition, soustraction, multiplication et division sur les vecteurs représentant des tensions, courants et impédances . Pour l'addition et la
DIAGRAMMES VECTORIELS
soustraction, il est plus commode d'utiliser les vecteurs sous forme rectangulaire . Par contre, pour les opérations de multiplication et de division on utilise la forme polaire .
PROBLÈMES - CHAPITRE 23 Niveau pratique 23-1 Une tension sinusoïdale de 60 Hz possède une valeur crête de 200 V . Dessiner le vecteur correspondant à cette tension en utilisant l'échelle 1 mm = 2 V. a) Quelle est la longueur du vecteur? b) À quelle vitesse le vecteur tourne-t-il, en tours par seconde? c) Quel est le temps requis pour exécuter un tour? 23-2 Répétez le problème 23-1 pour une tension de 4 Hz dont la valeur crête est de 80 V. 23-3 Répétez le problème 23-1 pour un courant ayant une valeur efficace de 42,4 A et une fréquence de 5 kHz . (La projection du vecteur sur l'axe vertical doit donner la valeur instantanée du courant .) 23-4 Les vecteurs représentant les tensions et les courants électriques tournent tous dans le sens conventionnel . Quel est ce sens de rotation conventionnel? 23-5 Une tension de 50 Hz ayant une valeur crête de 400 V est représentée par un vecteur dont la longueur est de 100 mm . a) Doit-on tracer ce vecteur dans le sens horizontal, vertical ou à un angle quelconque? b) Calculer le temps requis pour que le vecteur tourne d'un angle de 360° . c) Calculer le temps requis pour que le vecteur tourne d'un angle de 90°, 30°, 2°, 2700° . 23-6 Un courant sinusoïdal de 50 Hz ayant une valeur crête de 12 mA est représenté par un vecteur ayant une longueur de 60 mm. a) Quelle est l'échelle utilisée? b) De combien de degrés le vecteur tourne-t-il dans un intervalle de 5 ms? de 100 µs? de 2 s? 23-7 Deux tensions E a et Eb ayant une valeur crête de 200 V possèdent respectivement une fréquence de
313
50 Hz et de 40 Hz . L' angle entre ces deux tensions est initialement nul . a) De combien de degrés les vecteurs tournent-ils, respectivement, dans un intervalle de 5 ms? de 195 ms? b) Quel est le déphasage entre les tensions Ea et Eb après un intervalle de 5 ms? de 195 ms? 23-8 En s'inspirant de la section 23 .7 et en choisissant les échelles 1 mm = 2 V et 5 mm = 1 A, tracer les diagrammes vectoriels correspondant aux tensions et courants efficaces suivants : a) tension de 160 V déphasée de 90° en avant d'un courant de 10 A b) courant de 6 A déphasé de 30° en arrière d'une tension de 120 V c) courant de 18 A déphasé de 150° en avant d'une tension de 60 V d) tension de 200 V déphasée de 690° en arrière d'un courant de 8 A 23-9 En se référant à la Fig . 23-27, trouver la grandeur du vecteur résultant et son déphasage par rapport au courant 12 lorsqu'on fait les sommes vectorielles suivantes : a) Il +12 b) Il -I2 c)-I l +I2 d)-Ii -12 (Prendre une échelle appropriée et utiliser une solution graphique .) 23-10 En se référant à la Fig . 23-28, trouver la grandeur du vecteur résultant et son déphasage par rapport au courant 13 lorsqu'on fait les sommes vectorielles suivantes : a)I3+14
b)I3-I4
c)-I3+I4
d)-I3-I4
(Prendre une échelle appropriée et utiliser une solution graphique .) 23-11 En se référant à la Fig . 23-29, trouver la grandeur du vecteur résultant et son déphasage par rapport à la tension E2 lorsqu'on fait les sommes vectorielles suivantes : a)Et+E2+E3+E4 C)
El -E2+E3-E4
b) El +E2+E3-E4 d)-Et+E4
(Prendre une échelle appropriée et utiliser une solution graphique .) 23-12 Dans la Fig . 23-27, exprimez les vecteurs dans la forme polaire .
314
ÉLECTROTECHNIQUE
Niveau intermédiaire
8 A
23-13 Trouver la somme vectorielle des vecteurs de la Fig . 23-30 . 23-14 a) Tracer la forme d'onde représentée par le vecteur Ii de la Fig. 23-27 sachant que 8 A représente la valeur crête du courant et que les valeurs instantanées sont données par la projection sur l'axe vertical .
t1 l 2>
Figure
15A
23-27
Voir problèmes 23-9, 23-14, 23-15 .
13
b) Quelle est la valeur instantanée du courant aux angles suivants : 0°? 90°? 240°?
,>4
20 A
L J 20°
10A
23-15 a) Tracer la forme d'onde représentée par le vecteur 12 de la Fig . 23-27, sachant que 15 A représente la valeur crête .
Figure 23-28 Voir problèmes 23-10, 23-16 .
b) Quelle est la valeur instantanée du courant aux angles suivants : 0°? 90°? 270°?
110V
23-16 a) Tracer la forme d'onde représentée par le vecteur 14 de la Fig . 23-28, sachant que 10 A représente la valeur crête et que la fréquence est de 50 Hz . b) Calculer la valeur instantanée du courant aux angles suivants : 0°, 30°, 120° . c) Calculer la valeur instantanée du courant aux instants suivants : 0, 5 ms, 10 ms, 955 ms .
20 V
E3
E2
4
Figure 23-29 Voir problème 23-11 .
23-17 Dans la Fig . 23-30, quel est le déphasage : a) de 16 par rapport à 15? b) de 16 par rapport à h ? c) de 17 par rapport à 15 ? 23-18 Dans la Fig . 23-31, quel est le déphasage :
15
a) de E12 par rapport à E31 ? b) de E23 par rapport à E31? c) de E12 par rapport à E23? 23-19 a) Tracer sur un même graphique les formes d'ondes des tensions E12, E23, E31 (Fig . 23-31), sachant que la fréquence est de 60 Hz et que les valeurs efficaces sont de 600 V. On supposera que E12 = 0 V à
10A
ts
3A
Figure
23-30
Voir problèmes 23 -13, 23-17 .
t=0. E 12
b) Quelles sont les polarités instantanées et les valeurs des tensions E12, E23, E31 après 6 ms? après 100 ms? après 27 min? Niveau avancé 23-20 Une tension sinusoïdale est exprimée par l'équation E = 850 sin (18 000 t + 90°) . Calculer la fréquence et tracer la forme d'onde .
Figure 23-31 Voir problèmes 23-18, 23-19 .
DIAGRAMMES VECTORIELS
23-21
Dans la Fig . 23-30 exprimer le vecteur 17 :
a) sous la forme polaire b) sous la forme rectangulaire
23-25 Dans la Fig . 23-31, les vecteurs représentent chacun une tension crête de 180 V. Exprimer le vecteur E 31 :
23-22 Une tension efficace est exprimée par le vecteur E = 8 -j15 .
a) sous la forme polaire b) sous la forme rectangulaire
a) Exprimer ce vecteur sous la forme polaire . b) Déterminer le conjugué du vecteur sous la forme rectangulaire.
23-26 Soient deux vecteurs donnés par :
23-23 Une tension est représentée par l'équation :
a) la valeur du produit des vecteurs b) la valeur de V1/V2
E
= 850 sin 18 000 t
où l'angle est exprimé en degrés et t en secondes . Calculer : a) la fréquence de la tension b) la valeur efficace de la tension 23-24 Dans la Fig . 23-15, la tension E13 aune valeur instantanée de + 75 V. Sachant que la fréquence est de 72 Hz, calculer : a) la valeur efficace de E13 b) la valeur instantanée de E13 3 s plus tard
315
V 1 =63+j16 et V 2 =-5-j12 Calculer sous la forme polaire :
24 Solution des circuits à courant alternatif en régime permanent, lorsque les tensions et les courants sont sinusoïdaux. Cependant, la méthode graphique (méthode 1), appuyée au besoin par une connaissance de la trigonométrie, suffit pour résoudre la majorité des problèmes quotidiens .
Il est indispensable de connaître quelques principes de base sur la résolution des circuits à c .a . Ces règles sont faciles à utiliser et elles nous aideront à comprendre le fonctionnement des moteurs, génératrices, lignes de transport et, plus généralement, de tout dispositif fonctionnant à courant alternatif. Dans ce chapitre, nous utiliserons trois méthodes pour résoudre les circuits parallèles, séries et mixtes :
24 .1
Impédance d'un circuit
Le rapport E/I dans un circuit à courant alternatif s'appelle l'impédance du circuit (Fig . 24-1) et il se mesure en ohms . L'impédance (symbole Z) représente la «résistance» que le circuit offre au passage d'un courant alternatif. Par exemple, si la tension efficace aux bornes d'un montage quelconque est de 120 V et le courant de 4 A, l'impédance du circuit est :
méthode 1 : résolution par diagrammes vectoriels tracés à l'échelle . Cette méthode graphique ne nécessite que des calculs simples et permet de visualiser les tensions et les courants . méthode 2 : résolution à l'aide de formules mathématiques . Ces formules permettent de résoudre les circuits plus rapidement mais elles sont limitées aux circuits simples . méthode 3 : résolution par les techniques de calcul vectoriel présentées au chapitre 23 . Cette méthode est la plus générale . Elle est plus précise que la méthode graphique et permet de résoudre des circuits complexes .
Z=E/I= 120V/4A=3052 Le terme «impédance» englobe toutes les sortes d'op-
montage quelconque à courant alternatif
Il existe en effet plusieurs méthodes permettant de résoudre les circuits à c .a ., chacune ayant une utilité particulière . Ainsi, les équations différentielles et les transformées de Laplace servent à analyser les phénomènes transitoires, tandis que le calcul vectoriel utilisant les nombres complexes convient pour résoudre les circuits
Figure 24-1 Définition de l'impédance et de la puissance apparente d'un circuit à courant alternatif.
316
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT ALTERNATIF
317
position d'un circuit au passage d'un courant alternatif. y compris la résistance d'un élément chauffant, la réactance inductive d'une bobine, la réactance capacitive d'un condensateur et toute combinaison imaginable de ces trois composants fondamentaux .
Exemple 24-1
24 .2
a) le courant I et son déphasage par rapport à la tension E h) l'impédance du circuit e) les puissances active . réactive et apparente du circuit
Puissance apparente
La puissance apparente S d'un circuit à courant alternatif est égale au produit de la tension efficace E à ses bornes par le courant efficace I qui circule (Fig . 24-1) . La puissance apparente se mesure en volts-ampères i VA) ; on utilise souvent les multiples de cette unité, soit le kilovolt-ampère (kVA) et le mégavolt-ampère 111VA) . La Fig . 24-1 peut représenter un montage complexe contenant des éléments résistifs, inductifs et capacitifs . Le montage peut aussi comprendre des sources de tension . La puissance apparente englobe donc toutes les formes de puissances, à savoir les puissances actives (watts), les puissances réactives (vars) et toute combinaison possible de ces deux puissances . Cela nous permet d'écrire les formules générales suivantes : Z= E I
(24-1)
S = EI
(24-2)
Z = impédance du circuit, en ohms [Q2] S = puissance apparente, en volts-ampères [VA] E = tension sinusoïdale efficace, en volts [V] I = courant sinusoïdal efficace, en ampères [A]
Le circuit de la Fig . 24-2a comprend une résistance de 30 £2 et une réactance capacitive de 16 Q raccordées en parallèle sur une source de 240 V. Trouver :
Solution a) Pour trouver la valeur du courant I, on doit d'abord calculer la valeur de Il dans la résistance de même que 12 dans la réactance capacitive, et ensuite tracer un diagramme vectoriel . 1 . La tension étant commune aux deux éléments, on la choisit comme vecteur de référence . Traçons le vecteur dans le sens horizontal . 2 . Il = 240 V/30 S2 = 8 A . L'élément de 30 Q2 étant résistif, le courant Il est en phase avec la tension . 3 . 12 = 240 V/16 S2 = 15 A . L'élément de 16 £2 étant capacitif, ce courant est déphasé de 90° en avance sur la tension . 4 . Le courant I est égal à la somme vectorielle I=It+I2
D'après le diagramme vectoriel, tracé à l'échelle (Fig . 24-2b), on trouve que I possède une valeur de 17 A
Les exemples numériques suivants indiquent comment résoudre les circuits parallèle, série et mixte . Les vecteurs y sont tracés à l'échelle, ce qui permet de mesurer leurs amplitudes avec une règle, et leurs angles de phase avec un rapporteur .
30 S2
240 V
SOLUTION DES CIRCUITS PAR LA MÉTHODE GRAPHIQUE (Méthode 1)
Il
(a)
I2
15A
17 A 62°
24.3 Solution graphique d'un circuit parallèle
L'exemple numérique suivant indique comment résoudre un circuit parallèle .
16 S2
240 V
8A I (b) Figure 24-2 a . Circuit parallèle ; b . Résolution du circuit (voir exemple 24-1) .
)-E
318
ÉLECTROTECHNIQUE
efficace . Un rapporteur indique qu'il est déphasé de 62° en avant de la tension . b) L'impédance du circuit est : Z=E/I=240V/17A=14,1 £2 Noter que l'impédance est une propriété d'un circuit et qu'elle est indépendante de la valeur de la tension appliquée . Cependant, l'impédance dépend de la fréquence de la source, car la valeur des réactances inductives et capacitives varie avec la fréquence . c) L'élément résistif de 30 S2 consomme une puissance active : P=EI1 =240Vx8A=1920W L'élément capacitif de 60 S2 représente une puissance réactive : Q = EI2 = 240 V x 15 A = 3600 var La puissance apparente du circuit est: S=EI=240x 17=4080 VA On observe que la puissance apparente n'est pas égale à la somme arithmétique des puissances active et réactive : 4080 1920 + 3600 .
teur ER dans la même direction que le vecteur I; la longueur de ce vecteur, mesurée à l'échelle, correspond à 120 V Le courant de 10 A traversant une réactance inductive de 5 Q produit une tension EL de : EL =10Ax5Q=50V
Puisque, dans une inductance, le courant I doit être déphasé de 90° en arrière de la tension, il faut tracer le vecteur EL dans une direction perpendiculaire à celle du vecteur I et de façon à ce que EL soit décalé de 90° en avant de I (Fig . 24-3b) . La tension totale E aux bornes du circuit est donnée par la somme vectorielle de ER et EL. En la mesurant à l'échelle, on trouve E = 130 V. De plus, un rapporteur indique que E est en avance sur I de 22,6° . Noter que la tension totale aux bornes du circuit n'est pas égale à (120 + 50) = 170 V, car les tensions ER et EL ne sont pas en phase . b) L'impédance du circuit est Z=E/I=130V/10A=1352 c) La puissance apparente du circuit est: S=EI= 130V x 10 A= 1300 VA
24 .4 Solution graphique d'un circuit série L'exemple numérique suivant indique comment résoudre un circuit série .
La puissance active est P = ERI = 120 V x 10 A = 1200 W
Exemple 24-2 Soit un circuit (Fig . 24-3) formé d'une résistance de 12 S2 en série avec une réactance inductive de 5 S2, et parcouru par un courant I de 10 A . Trouver : a) la tension E et son déphasage par rapport au courant I
(a)
b) l'impédance du circuit c) les puissances active, réactive et apparente du circuit Solution
a) Puisque le courant I est le même pour les deux éléments considérés, prenons-le comme vecteur de référence . On le trace horizontalement vers la droite .
(b)
La tension aux bornes de la résistance est : ER =10Ax 1252=120V
Puisque le courant dans une résistance est en phase avec la tension, nous traçons sur le diagramme un vec-
Figure 24-3
a . Circuit série ; b . Résolution du circuit (voir exemple 24-2) .
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT ALTERNATIF
La puissance réactive est :
et son vecteur est en phase avec El . Le courant IL a une valeur de :
Q=EL I=5OVx 10A =+500 var 24 .5
319
Solution graphique d'un circuit mixte
La solution générale des circuits mixtes (série-parallèle) exige l'utilisation du calcul vectoriel . On peut, cependant, utiliser une méthode graphique dans plusieurs cas . En voici un exemple . Exemple 24-3
Déterminer l'impédance entre les points a et h du circuit mixte de la Fi<,, . 24-4 .
IL = 12V/4S2 = 3 A et son vecteur est 90° en arrière de Et . Le courant le dans le condensateur est égal à la somme vectorielle de I R et de IL et sa valeur (mesurée à l'échelle) est de 5 A . La tension E2 aux bornes du condensateur est donc : E, = IcXc = 5 A x 2 S2 = 10 V
Le vecteur E2 doit être tracé 90° en arrière de le car le courant dans un condensateur est toujours 90° en avant de la tension . 4 S2
La tension E (entre les bornes a et b) est donnée par la somme vectorielle de E t et de E2 , ce qui donne 10 V (mesurée à l'échelle) . L'impédance Zab du circuit est donc : (a) E
10 V
le
5 A
Zab = - _
12V » .
El
= 2 Q
À l'aide d'un rapporteur, on trouve que le courant l e est déphasé de 16° en avant de la tension E . SOLUTION DES CIRCUITS SIMPLES À L'AIDE DE FORMULES (Méthode 2)
Figure 24-4 a Circuit mixte ; IL Résolution du circuit mixte (voir exemple 24-3) .
Solution
bisque l'impédance d'un circuit n'est pas affectée par h tension qu'on lui applique, supposons que la tenon El soit de 12 V et choisissons cette tension comme secteur de référence . On le trace horizontalement vers h droite . U courant IR a donc une valeur de : IR = 12 V/3 S2 = 4A
24 .6 Formules donnant l'impédance de deux éléments en série On a souvent besoin de calculer l'impédance d'un circuit composé de deux éléments en série . Lorsque les éléments sont de même nature, on additionne simplement leurs impédances, mais quand ils sont différents on est obligé d'utiliser des méthodes vectorielles pour obtenir l'impédance totale . Il est alors très utile d'avoir recours à une formule permettant de calculer l'impédance directement. Il existe trois possibilités de raccordement de deux éléments différents en série (Fig . 24-5, 24-6 et 24-7) . Considérons le circuit de la Fig . 24-5 : il comprend une résistance R et une réactance inductive XL . Nous démontrons ci-après que la valeur de l'impédance Zab entre les bornes a et b est donnée par la formule 24-3, soit Zab = l1(R2 + XL 2) .
320
ÉLECTROTECHNIQUE
Supposons qu'un courant de I ampères traverse ce circuit . Il produit une tension ER aux bornes de la résistance et une tension EL aux bornes de l'inductance . Les vecteurs de ces deux tensions sont tracés à partir du vecteur du courant I qui constitue le vecteur de référence (voir le diagramme vectoriel de la Fig . 24-5) . La valeur Eab de la somme vectorielle de ER et de EL est évidemment égale à :
Exemple 24-4
Soit le circuit de 1 a) h) c) d)
24-8 . Trouver :
le courant I les tensions E R et f-' la puissance apparente et la puissance active le déphasage entre le courant I et la tension de la source
Eab = ~ ER + EL
Mais
ER = RI et EL = X L I
donc
Eab = 1~ ER + EE
_ -\IR ZI 2 + XLI 2
Par définition, l'impédance d'un circuit est le rapport entre la tension à ses bornes et le courant qui le parcourt ; donc Zab
xc
â-H
2 = Eab = 1I R2 +XL
H(-O
R I
I
Ec
On procède de la même façon pour résoudre les circuits des Fig . 24-6 et 24-7 . On découvre alors les expressions suivantes : 2
Zab = ~R 2 + XL
(24-3)
Zab = ~R 2 + XL 2
(244)
Zab = Xc - XL
(24-5)
Le troisième circuit, composé de X L et Xc , demande peut-être une explication supplémentaire . Les vecteurs de tension sont tracés avec Ec (tension sur le condensateur) plus grande que EL , ce qui implique que Xc est plus élevée que XL . Toutefois, il aurait pu arriver que XL excède Xc et, dans ce cas, le vecteur Eab aurait été en avant de I au lieu d'être en arrière, comme indiqué sur la figure . L'impédance du circuit aurait donc été égale à (X L - Xc) ohms au lieu de (X c - XL) ohms .
R 2 + Xc 2
Zab = ,/
Figure 24-6 Circuit RC en série et son impédance .
(24-4)
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT ALTERNATIF
321
-c
40 0 a
b
(a) 30 S2
Figure 24-9 Impédances en parallèle .
où
E,
Z Z, Z2 Zs
(b) R 53° y >' 2 A >-I 60 V E R
= impédance parallèle, en ohms [S2] = impédance de Z 1 , en ohms [S2] = impédance de Z2 , en ohms [S2] = impédance du circuit composé de Z i et Z2 en série, en ohms [S2]
Cette formule reste valable même si les impédances Z i et Z2 sont constituées de groupements mixtes . Elle nous permet d'établir l'impédance des circuits parallèles des Fig . 24-10, 24-11 et 24-12. Ainsi, pour la Fig . 24-10 :
Figure 24-8 a . Circuit série (voir exemple 24-4) ; b . Résolution du circuit .
Z l =XL Solution
Trouvons d'abord l'impédance du circuit entre les bornes a et b . D'après la formule 24-3 : Zab = 1~ 302 + 402
Zs = d'où
Tension ER = RI = 30 S2 x 2 A = 60 V c) Puissance apparente EI = 100 V x 2 A = 200 VA Puissance active ERI = 60 V X 2 A = 120 W d) En traçant le diagramme vectoriel (Fig . 24-8b), on trouve, avec un rapporteur, que le courant lest déphasé de 53° en arrière de la tension E .
Formules donnant l'impédance de deux éléments en parallèle
L'impédance équivalente à deux impédances Z, et Z 2 en parallèle (Fig . 24-9) est donnée par la formule suivante : Z i Z2 Z = Zs
~ R 2 + XL R XL
Zab =
VR 2 +XL
b) Tension EL = XLI = 40 £2 x 2 A = 80 V
24 .7
et l'impédance de Z i et Z2 en serte est donnée par l'équation 24-3 . Donc,
= 50 S2
100 V_ 2 A al Courant I= E= Z 50 S2
Z2 =R
(24-6)
2
ÉLECTROTECHNIQUE
322
On procède de la même manière pour déterminer l'impédance des circuits des Fig . 24-11 et 24-12. On obtient alors les expressions suivantes : R XL
Z=
i` .
2
R Xc Z =
à 2 + Xo 2
z=
Calculer l'impédance du circuit montré à la 24-13 .
(24-7)
VR 2 + XL
-
Exemple 24-5
XLXC
30 £2
240 V
(24-8)
I
1 T
16 S2
~
(24-9)
Figure 24-13 Voir exemple 24-5 .
XL - XC
Solution
Ce circuit est semblable à celui de la Fig . 24-11 . L'impédance est donc : Z=
R Xc
_
,\/R2 + X o2 =
30 x 16 V302 + 162
480 = 14,1 £2 34
ce qui correspond exactement à la valeur que nous avons trouvée graphiquement à la section 24 .3 . 24.8 Circuits résonnants, fréquence de résonance Lorsqu'un circuit est composé de plus de deux éléments, il est impossible de donner des formules universelles permettant le calcul de l'impédance du circuit. Cependant, il existe deux circuits à trois éléments qui méritent notre attention . Il s'agit des circuits résonnants utilisés dans les filtres (Fig . 24-14 et 24-15) .
xc IC
I
IC
oa
I
--0 IL _--f
Eab
b \_
La Fig . 24-14 montre trois éléments R, XL et Xc connectés en série . L'impédance entre les bornes a et b est donnée par la formule :
IL
Zab =
z=
XL XC X L - Xc
Figure 24-12 Circuit LC en parallèle .
(24-9)
R2 + (XL - Xc )
2
(24-10)
La Fig . 24-15 montre trois éléments semblables connectés en série-parallèle . L'impédance est donnée par la formule : XC 11R 2 +XL
2
Zab =
~R 2 + (XL - Xc )2
(24-11)
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT ALTERNATIF
a
Xe
X
b
L R
I
Z
ab =
L
/R 2 + (X
c
- X )2
(24-10)
Figure 24-14 Circuit RLC en série et son impédance .
323
courant circulant dans le montage est donc I = E ab/R (Fig . 24-14) . Comme la réactance X L d'une bobine est habituellement entre 10 et 100 fois plus grande que la valeur de sa résistance R, il s'ensuit que la tension aux bornes de la bobine (composée de R en série avec XL) sera entre 10 et 100 fois la tension appliquée entre les bornes a, b du circuit . À toutes fins utiles, la tension aux bornes du condensateur sera aussi de 10 et 100 fois la tension de la source . Ce phénomène d'amplification est illustré par l'exemple suivant .
Exemple 24-6 Un circuit résonnant série (Fig . 24-16a) comprend une bobine avant une résistance de 10 £2 et une réactance X L de 100 £2, raccordée en série avec un condensateur de réactance X,, = 100 £2 . Déterminer la valeur de la tension aux bornes de chaque élément si la tension de la source est de 120 V .
100 S2
Ec
1200 V
100 52 E
r 1200 V
120 V
Dans ces deux circuits, les éléments R et XL sont habituellement associés à une bobine. Examinons maintenant le phénomène de résonance. Dans la Fig . 24-14, le circuit est dit en résonance série lorsque XL = Xc. De la même façon, le circuit de la Fie . 24-15 est dit en résonance parallèle lorsque XL = Xc. Sachant que XL = 2ttfL et que Xc = 1 /2nfC, il s "ensuit que la fréquence de résonance est donnée par la formule :
1052
E
ER
120 V
12 A (a)
E
1206 V 1200 V
f
_
1
a
(24-12)
84°
21c1'LC
12 A' I
120 V
fR
= fréquence de résonance, en hertz [Hz] L = inductance de la bobine, en henrys [H] C = capacitance, en farads [F]
1200 V
Ec
(b)
24.9 Circuits résonnants série et parallèle D- après la formule 24-10, l'impédance d'un circuit résonant série est simplement égale à la résistance R. Le
Figure 24-16 a . Circuit résonnant série ; b . Résolution du circuit (voir exemple 24-6) .
324
ÉLECTROTECHNIQUE
Solution
Xc ~R 2 +
L'impédance du circuit est :
Zab
XL2
2
R + (XL - Xc )
Zab = 1I R 2 + (XL - Xo) 2
éq. 24-10
Xc X XL
Zab = V 102 + (100 - 100)2
~R 2 + 0
= 10 S2 Le courant I = E/Z = 120/10 = 12 A . Puisque l'impédance est résistive, le courant est en phase avec la tension . Tension Ec aux bornes du condensateur :
éq. 24-11 2
XL x XL
R
soit XL
Zab =
X XL
(241 la)
R Ec = 100 S2 x 12 A = 1200 V, 90° en arrière de I .
Tension EL aux bornes de l'inductance : EL = 100 S2 x 12 A = 1200 V, 90° en avant de 1 .
Tension aux bornes de la résistance : ER = 10 x 12 = 120 V, en phase avec le I.
La tension EB aux bornes de la bobine est égale à la somme vectorielle EL + ER EB = V 1200 2 + 1202
= 1206 V, 84° en avant du courant .
Étant donné que le rapport XL/R est généralement entre 10 et 100, l'impédance entre les bornes a, b est de 10 à 100 fois la valeur de XL (ou de Xc) . Donc, le courant circulant dans la bobine et dans le condensateur est de 10 à 100 fois celui fourni par la source . Cette amplification du courant peut avoir des conséquences importantes dans certains montages . Nous aurons l'occasion de le constater dans les chapitres qui suivent . L' amplification de courant se produit même lorsque la résonance n'est pas parfaite . L'exemple suivant démontre l'effet d'une résonance partielle dans un montage parallèle .
Noter que les tensions Ec et EB sont 10 fois plus grandes que celle de la source .
Exemple 24-7
Le diagramme vectoriel est donné à la Fig . 24-16b.
, de 8 £2 est un condensateur ayant une réactance X ( raccordé à une source de 200 V (Fig . 24-17) . La
Signalons que l'on ne peut pas mesurer la valeur de EL ni celle de ER car l'inductance et la résistance de la bobine sont physiquement indissociables . Étant donné qu'on a accès seulement aux bornes de la bobine, on peut seulement mesurer la valeur de EB . En ce qui concerne le circuit parallèle de la Fig . 24-15, son impédance lors de la résonance est obtenue en utilisant la formule 24-11 . En pratique, cette formule peut s'écrire sous une forme simplifiée . On note en effet que l'on peut remplacer le terme i(R 2 + XL2) par XL , pour autant que XL > 5 R . Cette approximation introduit une petite erreur qui est inférieure à 2% . De plus, il est évident qu'on peut remplacer X c par XL . On peut donc écrire :
Un circuit composé d'une bobine en parallèle avec
bobine possède une résistance de 2 £2 et une réactance Xi (le 10 12 . Calculer : a) l'impédance du circuit b) la valeur des trois courants
circuit équivalent de la bobine 84 25A
Figure 24-17 Bobine en parallèle avec un condensateur (voir exemple 24-7) .
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT ALTERNATIF
Solution a) L'impédance du circuit est donnée par la formule (24-11) : Xc - (R z + XL2 ) Z= 1I R a + (XL - XX ) 2
8~(2a + 102 ) 1~ 22 + (10 - 8)2
325
1 Une résistance est un vecteur horizontal dirigé vers la droite . Son amplitude est égale à la valeur ohmique de la résistance . Sa forme rectangulaire est R Sa forme polaire est R L0° 2 . Une réactance inductive X L est un vecteur vertical dirigé vers le haut. Son amplitude est égale à la valeur de la réactance inductive . Sa forme rectangulaire est jXL Sa forme polaire est XL . 90°
- 81,6 = 28,8 S2 2,83 b) Le courant fourni par la source est: I - E = 200 V = 6,94 A Z 28,8 S2 Le courant dans la bobine est : I = E = 200 V = 200 V ' Z1 2 10,2 S2 ~ 10 + 2
19,6 A
Le courant dans le condensateur est :
E = 200 V I z = Z1
= 25 A
8 S2
On note que le courant fourni par la source (6,94 A) est bien inférieur aux courants circulant dans le condensateur et dans la bobine . La Fig . 24-18 montre une application importante de la résonance série et parallèle . SOLUTION DES CIRCUITS PAR LE CALCUL VECTORIEL (Méthode 3)
Les méthodes graphiques que nous venons de présenter donnent la solution d'un grand nombre de circuits, mais il est souvent plus facile d'utiliser le calcul vectoriel. Dans les paragraphes qui suivent nous donnons les éléments de base de cette troisième méthode . Cependant, nous recommandons au lecteur de réviser d- abord le chapitre 8 sur les circuits à courant continu, et les sections 23 .9 à 23 .20 du chapitre 23 . 24 .10
Représentation vectorielle des éléments R, XL , Xc
On se souvient (sections 23 .18 à 23 .20) que les résistances et réactances peuvent être exprimées sous forme vectorielle :
Figure 24-18 Circuit résonnant série-parallèle installé dans le réseau HydroQuébec au poste Radisson dans le complexe de La BaieJames . Les deux inductances situées du côté gauche, superposées l'une sur l'autre, et les condensateurs supportés par la structure du côté droit, constituent un filtre . Celui-ci produit simultanément un circuit résonnant série pour les harmoniques de 660 Hz et de 780 Hz, sur le réseau à 60 Hz . Lorsque l'interrupteur est fermé, le filtre est soumis à une tension de 180 kV à 60 Hz (gracieuseté Hydro-Québec) .
326
ÉLECTROTECHNIQUE
3 . Une réactance capacitive est un vecteur dirigé vers le bas . Sa forme rectangulaire est jX c Sa forme polaire est Xc Z-90°
En résumé, le signe à utiliser dépend du sens arbitraire choisi pour le courant . On écrira
24.11 Relation entre tension, courant et impédance Avant d'entreprendre la résolution des circuits par la méthode vectorielle, il est important de se rappeler les conventions de signes associées au courant et à la tension aux bornes d'un élément . Ces conventions sont basées sur les deux lois de Kirchhoff .
si le courant dans l'impédance Z est orienté de a vers b
La Fig . 24-19 montre un courant I circulant de gauche à droite dans une impédance Z . Il se produit donc une chute de tension entre les bornes a et b . On désire connaître la valeur de la tension Eab en fonction de I et de Z .
Signalons aussi que lorsqu'un vecteur écrit sous la forme polaire est précédé d'un signe (-) on peut le ramener à une forme positive en ajoutant ou en retranchant 180° à son angle .
Un voltmetre VM branché aux bornes de l'impédance
on peut écrire :
Eab = +ZI
ou Eab = -ZI
si le courant dans l'impédance Z est orienté de b vers a
Par exemple, si Eab = - 4 Z27°
Eab = 4 Z(27 + 180) = 4 Z207°
ou encore : VM ,,
Ea b = 4 Z(27 - 180) = 4 Z- 153°
Exemple 24-8 a
d--I
Z
f
-o
b
Un courant I = 40 Z-30 circule dans l'impédance Z = 16 + j 63 (Fig . 24-20) . Déterminer la valeur et
I
l'angle de phase de la tension E,,
Figure 24-19 Relation entre E, I et Z; Eab = ZI.
Z mesure la tension Eab . Appliquons la première loi de Kirchhoff à la boucle formée par le voltmètre et l'impédance Z. En parcourant la boucle dans le sens horaire, on peut écrire :
1 p
Z I
Figure 24-20 Voir exemple 24-8 .
Eab -ZI =0
(24-12) soit Eab = ZI
Solution Avec le sens choisi pour le courant, on a :
Par contre, si le courant circulait de droite à gauche dans l'impédance, on obtiendrait :
E12 = - ZI
_ - (16 + j 63)(40 Z-30)
Eab +ZI =0
_ - (65 275,75) x (40 Z-30) soit Eab =-ZI
_ - 2600 245,75
Notons aussi qu'en tout temps, on peut écrire : Eab = -Eba
= 2600 Z(45,75 - 180) (24-13)
= 2600 Z-134,25°
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT ALTERNATIF Z, =-j12
24 .12 Impédances des circuits série, parallèle et mixte a o-
Les règles à utiliser pour les groupements d'impédances en série, en parallèle ou mixtes sont les mêmes que pour les résistances . En voici 3 exemples . 1 . Circuit série . Soit un circuit série composé des éléments R, XL, Xc (Fig. 24-21) . L'impédance est : Z
Z = -j 60 + 10 + j 100
= V 10
2
-ob
Figure 24-22 Calcul de l'impédance d'un circuit parallèle .
Le circuit de la Fig . 24-22 est donc équivalent à un circuit composé d'une résistance de 3,7 S2 en série avec un condensateur de réactance X c = 10,7 £2 .
= Z I + Z2 + Z3
• 10 + j 40
327
(forme rectangulaire)
+ 40 2 Zarctan (40/10)
3. Circuit mixte. Soit le circuit mixte de la Fig . 24-23 (identique à celui de la Fig . 24-4) . Son impédance est donnée par l'expression :
• 41,2 Z76° (forme polaire) Zac =Zi + Z,=-j60
=-j2+(j4)(3)
Z2 +Z3
Z3 =j100
Z2 =10
2273
=-j2+ b
3 +j4
12Z90 5 Z53,1
a
= - j 2 + 2,4 Z36,9 Figure 24-21 Calcul de l'impédance d'un circuit série .
= -j2 + 2,4 (cos 36,9 + j sin 36,9) = -j2 + 1,92 + j 1,44 = 1,92 - j 0,56
2. Circuit parallèle . Soit le circuit parallèle de la Fig . 24-22 . L'impédance est :
=
(forme rectangulaire) 2 1,922 + (- 0,56) Zarctan (- 0,56/1,92)
Zac = 2 Z-16,2° (forme polaire)
Z = Zi Z2
= (-j 12) (35) =
- j 420
35-j12
35-f12
Z, +Z2
Z2 = j4
Afin de permettre la division de cette expression, nous transformons le numérateur et le dénominateur sous forme polaire: - j 420 = 420 Z-90 35 - j 12 = ~ 35 2 + (- 12) 2 Zarctan (-12/35)
Figure 24-23 Calcul de l'impédance d'un circuit mixte .
• 37 Z-18,9° Le circuit mixte est donc équivalent à une résistance de 1,92 £2 en série avec un condensateur de réactance Xc = 0,56 S2 .
on a donc : Z =
420 Z-90 = 11,35 Z(-90 + 18,9) 37 Z-18,9
Z = 11,35 Z-71,1
(forme polaire)
= 11,35 cos (-71,1) + j 11,35 sin (-71,1) Z = 3,7 - j 10,7
(forme rectangulaire)
24 .13
Résolution de circuits quelconques
Au chapitre 8 nous avons présenté les deux lois de Kirchhoff et nous avons donné les règles de base permettant de résoudre n'importe quel circuit à courant continu .
328
ÉLECTROTECHNIQUE
Il est remarquable que les mêmes lois et les mêmes règles (y compris le théorème de Thévenin) puissent être utilisées pour résoudre les circuits à courant alternatif. Il suffit d'employer les grandeurs vectorielles pour les tensions, les courants, et les impédances . Les exemples numériques qui suivent montrent la façon de les appliquer.
Exemple 24-9 Le circuit de la Fig . 24-24a comprend deux sources dont les tensions respectives sont : E,, = 200 L 120°
Eh, = 100 L 150°
16
j63
Figure 24-24a Voir exemple 24-9 .
Eac
Calculer : a) la valeur - du courant I dans le circuit b) Fangle entre 1 et E, ,, c) la valeur de E at, et son angle de phase
Solution a) Pour résoudre ce circuit, on doit d'abord choisir une direction arbitraire pour le courant . Supposons qu'il circule de a vers b dans l'impédance (Fig . 24-24a) . En utilisant la première loi de Kirchhoff, et en décrivant la boucle dans le sens horaire, on peut écrire :
Figure 24-24b Relations vectorielles (exemple 24-9) .
Eca +I (16+j 63)+Ebc =0
Exemple 24-10
donc I( 16 +j 63 ) =- Eca - Ebc I (65 275,7) = Eac - Ebc
Soit le circuit (le la Fig . 24-25a, alimenté par une source E = 1600 260° . Calculer : a) le courant dans chaque élément b) la tension aux bornes (le X L.
= 200 z120 - 100 Z150 =-100+j173+86,6-j50 _- 13,4+j 123
j40
30
21
= 123,7 z96,2 123,7 I = Z(96,2 - 75,7) 65 = 1,9 z20,5° b) Le diagramme vectoriel de Eac, Ebc et I est montré à la Fig . 24-24b. Le courant est en retard sur Eac de 120° - 20,5° = 99,5° . c) On a Eca + Eab + Ebc = 0 donc Eab = Eac - Ebc = 123,9 L96,2°
Figure 24-25a Voir exemple 24-10 .
Solution Identifions d'abord les neeuds du circuit, soient les points 3, 4, 5 (Fig . 24-25b) .
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT ALTERNATIF
j40
30
329
pressions polaires en forme rectangulaire :
21
2400 L- 67 - 30,7 I2 (cos - 74 + j sin - 74) +33,412 (cos 16 + j sin 16) +j371 2 = 0 2400 L- 67 - 8,46 12 + j 29,5 12 + 32,112 + j 9,21 12 + j 3712 = 0 2400 L- 67 + 23,6 12 + j 75,7 I2 = 0 Figure 24-25b Résolution du circuit ; choix du sens arbitraire des courants .
d'où 2400 L- 67 _ 2400 2(- 67 + 180) 12= 23,6 + j 75,7 79,3 /73
On choisit ensuite un sens arbitraire pour les courants Il et 12 ; I l circule du noeud 1 au nceud 4, 12 circule du no_ud 4 au nceud 2 . D'après la 2e loi de Kirchhoff, le courant circulant dans la branche 4 - 5 - 2 aura comme -*aleur Ii - 12 .
En substituant 12 dans l'équation 24-16 on obtient :
En suivant la première boucle dans le sens horaire, on écrit :
Il = 32/7 + (0,74 /37) (30,3 /40)
E21 +j40I1 +3011 +(-j37)12 =0
(24-14)
= 30,3 L40 donc
12 = 30,3 L40°
= 32 /7 + 22,4 /77 = 31,8 +j 3,9 + 5 +j 21,8
En suivant la deuxième boucle dans le sens horaire, on abtient : (Il -I2) (21-j72)-(-j 37)12 =0
(24-15)
donc I, = 44,8 /35° Le courant dans la branche de droite est :
De l'équation 24-14 on obtient : Il (30 + j 40) = E 12 + j 37 I2
Il
= 36,8 + j 25,7 = 44,9 /35
1 1 -12 = 36,8 + j 25,7 - 30,3 L40 = 36,8 + j 25,7 - 23,2 - j 19,5 = 13,6 + j 6,2 = 14,9 224
1600 L60 + j 37 12 50 /53 = 32 L7 + 0,7412 237 = 32 27 + 0,5912 + j 0,44512
(24-16)
b) La tension aux bornes du condensateur de réactance XX = - j 72 est:
(24-17)
En substituant (24-17) dans (24-15) on obtient : (32 /7-0,41 12 +x,445 12)(21 -172) + .%3712 =0 132 /7-0,41 I2 +0,445 12 /90)(75 /-74) +,3712 =0
E52 = (Il - 12)( - j 72) = (14,9 L24) (72 L-90) = 1073 L- 66 Le diagramme vectoriel complet est donné à la Fig . 24-25c .
2400 /- 67 -30,7 I2 /-74 +33,4 12 /16 + j37 12 = 0 d'additionner les vecteurs, transformons les ex-
24.14 Notation hybride Comme nous l'avons signalé à la section 8 .9, il est parfois utile d'utiliser simultanément la notation à dou-
330
ÉLECTROTECHNIQUE
E1
Eb
Figure 24-26 Voir exemple 24-11 .
En transposant les termes, on obtient : E12 = Ea
E52
-
Eb = 26/0 0 - 26/120° = 45/-30°
E23 = Eb - E, = 26/120° - 26/240° = 45/90 E31 = E, - Ea = 26/240° - 26/0° = 45/210°
On peut aussi utiliser la notation à doubles indices pour Ea . D'après l'équation de boucle EI N - Ea = 0, on obtient E IN = E a = 26/0° . Les différents vecteurs sont montrés à la Fig . 24-27 . E23
axe de référence Figure 24-25c Relation vectorielle entre les tensions et les courants (voir exemple 24-10) .
bles indices et la notation des polarités pour désigner les tensions . En voici un exemple . Exemple 24-11 La Fig . 24-26 montre un circuit triphasé dans lequel = 26/0" . E,, = 26/ 120' . E, = 26/ 2 40° (notation des polarités) . Nous désirons calculer la valeur des tensions E l ,, E, 3 , et E. 3i (notation à doubles indices) entre les bornes 1, 2
Solution Écrivons les équations de Kirchhoff, en parcourant les boucles respectives dans le sens indiqué : E 12 + Eb - Ea = 0
(sens horaire)
E23 + E, - Eb = 0
(sens horaire)
E31 + Ea
-
Ec = 0
(sens antihoraire)
E3
E12
Figure 24-27
24 .15 Résumé Dans ce chapitre nous avons appris à utiliser trois méthodes de résolution des circuits à courant alternatif la méthode graphique, l'utilisation de formules d'impédance et le calcul vectoriel .
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT ALTERNATIF
La méthode graphique exige le traçage à l'échelle d'un diagramme vectoriel . Les formules donnant l'impédance de groupements série-parallèle d'éléments R, L, C fournissent une solution rapide mais elles sont limitées aux circuits relativement simples .
24-31 inclusivement. Ensuite, en utilisant la méthode graphique, trouver la valeur du courant débité par la source et son déphasage par rapport à la tension . 24-4 Dans la Fig . 24-30, quelle réactance inductive doit-on placer en série avec la réactance de 20 S2 pour que le circuit devienne résonnant?
Le calcul vectoriel est la méthode la plus générale . Les courants, tensions et résistances qui sont exprimées par de simples nombres dans les circuits à courant continu sont alors remplacés par des vecteurs de tension, courant et impédance. Selon le type d'opération à effectuer, on exprimera ces vecteurs sous forme polaire ou rectangulaire. Le calcul vectoriel associé à l'utilisation judicieuse des lois et méthodes apprises pour le courant continu (loi d'Ohm, lois de Kirchhoff, théorème de Thévenin, . . .) permet de résoudre les circuits à courant alternatif même les plus complexes .
24-5 Calculer l'impédance des circuits dans les Fig . 24-28 à 24-31 . Niveau intermédiaire 24-6 a) Déterminer, à l'aide de formules seulement, l'impédance des circuits des Fig . 24-32 à 24-34 . b) Trouver la valeur du courant débité par la source . c) Calculer la tension aux bornes de chaque élément . 24-7 a) Déterminer, à l'aide de formules seulement, l'impédance des circuits des Fig . 24-28 à 24-30 .
PROBLÈMES - CHAPITRE 24
b) Calculer le courant débité par la source .
Niveau pratique
24-8 Une bobine possède une inductance de 2 H et une résistance de 10 S2 . Quel courant circulera dans la bobine si on la branche
24-1 Qu'entend-on par impédance, résistance, réactance d'un circuit? 24-2 Qu'est-ce que la puissance apparente?
a) sur une source à c .c . de 600 V? b) sur une source à c .a. de 600 V, 60 Hz?
24-3 Déterminer la valeur du courant dans les éléments résistif, inductif et capacitif des Fig . 24-28 à
Figure 24-28
Figure 24-29
Figure 24-30
40£2
70 100 V 24 0
Figure 24-31
331
Figure 24-32
T T
10V 45 0
Figure 24-33
T Figure 24-34
ÉLECTROTECHNIQUE
332
24-9 a) Déterminer, par la méthode graphique, les tensions et les courants dans chaque élément des circuits des Fig . 24-35 à 24-37 .
24-12 Dans la Fig . 24-16, la réactance capacitive est modifiée à 60 S2 . Calculer la valeur du courant ainsi que la tension aux bornes de la bobine .
b) Trouver le déphasage entre le courant de la source et la tension de la source .
24-13 Une impédance Z est décrite par l'expression Z=30-j80 . a) De quoi est-elle composée : R, L, ou C? b) Exprimer l'impédance dans la forme polaire . 24-14 Dans la Fig. 24-28, déterminer la valeur et l'angle de phase de I en utilisant le calcul vectoriel . La tension E12 de la source est de 100 L 0° volts .
30 S2
24-15 Dans la Fig . 24-37, calculer la valeur et l'angle de phase du courant dans la résistance de 30 S2, en utilisant le calcul vectoriel . La tension E12 de la source est de 100 Z 0° volts .
Figure 24-35
24-16 Dans la Fig . 24-38, on adonné des directions arbitraires aux courants Il, 12, 1 3- Sachant que E12 = 100 Z- 30°, a) écrire les équations du circuit pour les boucles A et B en utilisant la première loi de Kirchhoff b) écrire l'équation reliant les courants (deuxième loi de Kirchhoff)
1A 60 S2
Figure 24-36
c) résoudre le circuit et trouver les valeurs et les angles de phase de E12, E13, E32, I1, 12, 13 d) tracer le diagramme vectoriel montrant E12, E32 et les trois courants 100 V 30 Q
Figure 24-37
24-10 Un condensateur de 30 µF est raccordé en série avec une résistance de 80 £2 aux bornes d'une source de 240 V à fréquence variable . Déterminer le courant de la source et la tension aux bornes du condensateur lorsque la fréquence est de : a) 60 Hz c) 6 Hz
b) 600 Hz d) 0 Hz
Niveau avancé 24-11 Un condensateur de 10 tF est raccordé en série avec une bobine . Quelle doit être l'inductance de la bobine pour que la résonance se produise à une fréquence de 180 Hz?
Figure 24-38
24-17 En se référant à la Fig . 24-39, et en utilisant le calcul vectoriel, déterminer la valeur de l'impédance a) à la droite des points 3, 4 b) à la droite des points 2, 4 c) à la droite des points 1, 4 d) Quelle est la nature de l'impédance aux bornes de la source?
SOLUTION DES CIRCUITS À COURANT ALTERNATIF
j 10
333
24-20 La ligne haute-tension à c .c . qui alimente le poste de transformation Dorsey à Winnipeg comprend un filtre L-C-R composé d'une inductance de 0,244 H, d'un condensateur de 0,2 µF, et d'une résistance de 11,05 S2 raccordés en série . À quelle fréquence l'impédance est-elle minimale?
100 V
Figure 24-39
e) Sachant que E14 = 100 L0°, calculer la valeur du courant II et tracer le diagramme vectoriel, en montrant seulement les vecteurs E14, Il et 12 . 24-18 En se basant sur les résultats obtenus dans le problème 24-17, calculer, pour le circuit de la Fig . 24-39, la valeur de 13 et de E34 . Exprimer ces deux vecteurs sous la forme polaire . Ensuite, déterminer la valeur des courants 14 et 15 . Tracer le diagramme vectoriel du circuit au complet . 24-19 En se basant sur les résultats obtenus dans les problèmes 24-17 et 24-18, et en se référant à la Fig . 24-40 déterminer a) la valeur de l'impédance aux bornes de la source b) la valeur et l'angle de phase du courant Il c) la valeur de la tension aux bornes de la charge d) l'angle entre la tension E15 de la source et la tension E45 aux bornes de la charge
GUSTAV ROBERT KIRCHHOFF
10
5 Figure 24-40
Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), physicien prussien, fut l'auteur de plusieurs découvertes scientifiques importantes. Avec le chimiste Robert Bunsen, il est à l'origine de la théorie de la spectroscopie, ce qui lui permit de découvrir deux éléments, le césium et le rubidium . C'est en 1845 qu'il a formulé la loi sur les circuits électriques qui porte son nom (gracieuseté de Burndy Library) .
25 Puissance active, réactive et apparente En électrotechnique, les concepts de puissance active, de puissance réactive et de puissance apparente est d'une importance capitale . Nous verrons que, bien souvent, il est plus facile d'expliquer les phénomènes électriques en travaillant avec les puissances plutôt qu'avec les tensions et les courants .
resse au transport de puissance, il est préférable (et plus simple) de dessiner une seule ligne entre la source et la charge, cette ligne pouvant représenter deux ou plusieurs fils conducteurs (Fig . 25-1b) . Ce circuit simplifié à un seul fil porte le nom de schéma unifilaire . On peut, de la même façon, montrer le transport d'une puissance réactive Q entre une source et une charge . La source et la charge sont alors nommées respectivement «source réactive» et «charge réactive» et une flèche Q se dirige de la source vers la charge (Fig . 25-2) .
Dans les explications qui suivent, on doit se rappeler que les puissances active, réactive et apparente s'appliquent seulement aux circuits à courant alternatif fonctionnant en régime permanent et dont les formes d'ondes sont sinusoïdales . Le lecteur aurait avantage à revoir brièvement le chapitre 22 traitant des circuits à c .a . simples . On y a vu qu'une puissance active nécessite une consommation d'énergie électrique . Par contre, une puissance réactive n'est associée à aucune dépense d'énergie .
Il arrive souvent qu'un dispositif B (Fig . 25-3) absorbe simultanément une puissance active et une puissance réactive ; dans ce cas, les flèches P et Q se dirigent dans
1
25.1 Notions préliminaires
P (a)
Le circuit de la Fig . 25-la représente un système à courant alternatif comprenant une source et une charge raccordées par deux fils conducteurs . La charge consomme une puissance active P . Si ce réseau fonctionne à 60 Hz, la tension change de polarité et le courant change de sens 60 fois par seconde . Par contre, la puissance active se dirige constamment de la source vers la charge . La direction de la puissance active est montrée par une flèche P .
E (c .a .
1
R charge
(b) Figure 25-1 a . La puissance active est transportée par les deux conducteurs ; b . Schéma unifilaire . Une seule ligne représente le câble entre la source et la charge.
Cette puissance est transportée par l'ensemble des deux fils conducteurs, c'est-à-dire par le câble reliant la source et la charge . Pour cette raison, lorsqu'on s'inté334
PUISSANCE ACTIVE, RÉACTIVE ET APPARENTE
335
un travail . La Fig . 25-5a montre deux dispositifs reliés ensemble dont les bornes sont a et b et dont le courant I circule dans le sens indiqué .
Figure 25-2 Schéma unifilaire du circuit de la Fig . 25-1 . La puissance réactive est transportée par le câble .
le même sens . Dans cette figure, B est à la fois une charge active et une charge réactive . Dans d'autres cas, les puissances active et réactive se dirigent en sens inverses, comme l'indique la Fig . 25-4 . Dans cette figure, A est à la fois une source active et une charge réactive . II peut paraître surprenant que deux puissances puissent circuler en sens inverse dans un même câble, mais il faut se rappeler qu'une puissance active P n'est pas de même nature qu'une puissance réactive Q et que Tune et l'autre peuvent être traitées séparément . 25 .2 Sources et charges actives La plupart des sources actives sont des générateurs à courant alternatif, ou alternateurs . Une prise de courant constitue aussi, en quelque sorte, une source active car elle est effectivement branchée à un alternateur, aussi éloigné soit-il . La plupart des charges actives sont des moteurs électriques à courant alternatif fournissant une puissance mécanique, et des éléments résistifs dégageant de la chaleur. À ceux-ci, il faut ajouter les convertisseurs ëkctroniques servant à transformer le courant alternatif en courant continu . La propriété unique d'une puissance active est de faire source active et réactive
charge active et réactive
Par définition, un dispositif ayant deux bornes a et b absorbe une puissance purement active lorsque le courant I entrant dans la borne a du dispositif est en phase avec la tension Eab. Le dispositif est alors une charge active . Cette définition de la charge active en entraîne naturellement une autre pour la source active : Un dispositif ayant deux bornes a et b débite une puissance purement active lorsque le courant I sortant de la borne a du dispositif est en phase avec la tension E ab . Le dispositif est alors une source active. Par exemple, supposons que dans un cas particulier on trouve que Ea b = 80V Z-15° et I= 6 A Z-15° (Fig . 25-5b) . Selon cette information, et d'après nos définitions, Y est une charge active et X est une source active . Le même diagramme vectoriel s'applique à la source X, à la charge Y et à la ligne qui les relie . La puissance active se mesure en watts (W), en kilowatts (kW) ou en mégawatts (MW) . 25 .3 Sources et charges réactives Les principales sources de puissance réactive sont les alternateurs et les condensateurs . Il n'est pas surprenant qu'un alternateur qui tourne soit capable de fournir ce genre de puissance, mais il est tout à fait inattendu qu'un élément passif comme un condensateur puisse se comporter comme une source . Rappelons, a
Figure 25-3 Puissance active et réactive circulant dans le même sens . source active et charge réactive
charge active et source réactive (b)
1 Eab=80V -15°
Figure 25-4 Puissance active et réactive circulant en sens contraires .
Eab
I=6AI-15°
Figure 25-5 Définitions d'une source et d'une charge actives .
336
ÉLECTROTECHNIQUE a
cependant, qu'une puissance réactive ne requiert aucune énergie électrique (joules) . Elle représente en effet de l'énergie qui oscille sur une ligne électrique tantôt dans un sens, tantôt dans le sens inverse . Par conséquent, l'énergie fournie par le condensateur est, en moyenne, nulle . Toutefois, même si l'énergie change de sens périodiquement, il est utile de conserver les concepts de «source» et de «charge» pour la puissance réactive . En électrotechnique, les condensateurs sont toujours considérés comme des sources de puissance réactive. La plupart des charges réactives sont des enroulements qui produisent un champ magnétique alternatif . Tout comme une puissance active fait un travail, une puissance réactive produit un champ magnétique alternatif . C'est dire que tout dispositif nécessitant un champ alternatif, comme les bobines, les moteurs, les relais, les électro-aimants, absorbe une puissance réactive . Toutefois, des puissances réactives sont aussi mises en jeu lorsque le courant dans un circuit est retardé ou avancé par l'action d'un ou de plusieurs interrupteurs électroniques . La Fig . 25-6a montre deux dispositifs reliés ensemble dont les bornes sont a et b et dont le courant I circule dans le sens indiqué . Par définition*, un dispositif ayant deux bornes a et b absorbe une puissance purement réactive lorsque le courant I entrant dans la borne a du dispositif est 90° en arrière de la tension Eab . Le dispositif est alors une charge réactive .
source réactive
charge réactive
(a) Eab
(b) Ea b = 60 V X140°
I=7A150°
Figure 25-6 Définitions d'une source et d'une charge réactives . La puissance réactive se mesure en vars (var), en kilovars (kvar) ou en mégavars (Mvar) . Dans le cas général d'un dispositif où la tension et le courant ne sont pas parfaitement en phase ou en quadrature, ce dispositif absorbe ou génère simultanément une puissance active et une puissance réactive . Dans ce cas, on doit procéder comme expliqué à l'exemple ci-dessous pour trouver la puissance active et la puissance réactive. Exemple 25-1
Un dispositif D raccordé à un montage M porte un courant l de 7 A déphasé de 130" en avance sur la tension E ab (Fig . 25-7a) . Déterminez la nature des puissances actives et réactives mises enjeu .
Cette définition de la charge réactive en entraîne naturellement une autre pour la source réactive :
Par exemple, supposons que dans un cas particulier Ea b = 60 V L140° et I= L7 A L50° (Fig . 25-6b) . Selon cette information, et d'après nos définitions, Y est une charge réactive et X est une source réactive . Le même diagramme vectoriel s'applique à la source X, à la charge Y et à la ligne qui les relie. Note: L'interprétation que nous donnons ici de la puissance réactive est conforme à la définition donnée par l'IEEE .
I 7A
2 eo)
Un dispositif ayant deux bornes a et b débite une puissance purement réactive lorsque le courant I sortant de la borne a du dispositif est 90° en arrière de la tension Eab . Le dispositif est alors une source réactive .
130°
o E
80 V > - Eab
(a) I 7A Iq 5,36 A
130° ---------I 4,50 A
Figure 25-7 Voir exemple 25-1 .
80 V - Eab
(b)
PUISSANCE ACTIVE, RÉACTIVE ET APPARENTE
337
Solution Décomposons le courant I en deux vecteurs I p et Iq respectivement en ligne et en quadrature avec la tension Eab (Fig . 25-7b) . On obtient les résultats suivants : 1) Valeur de Ip = 7 cos 130° =-4,50 A . Ce courant est donc déphasé de 180° par rapport à Eab . 2) Selon nos définitions, si Ip était en phase avec Eab, le montage M serait une charge active . Comme c'est le cas contraire, M est une source active ; par conséquent, D est une charge active . La puissance active absorbée par D est donc : P=EI=80Vx4,50A=360W 3) Valeur de Iq = 7 sin 130° = 5,36 A . Ce courant est déphasé de 90° en avance sur Eab . 4) Selon nos définitions, si Iq était 90° en arrière de Eab, le montage M serait une charge réactive . Comme c'est le cas contraire, M est une source réactive . Par conséquent, D est une charge réactive . La puissance réactive absorbée par D est donc : Q=EI=80 V x5,36A=429 var
25 .4 Mesure de la puissance active et réactive Pour mesurer la puissance active dans un circuit, on utilise un wattmètre . Cet instrument (Fig . 25-8) possède 4 bornes : deux pour mesurer la tension et deux pour mesurer le courant . Une des bornes de tension est marquée d'un signe (±), de même qu'une des bornes
Ere 25-8 ittrnètre de haute précision à échelles multiples ; tensions : V. 100 V, 200 V ; courants : 1 A, 5 A . Échelles de puissance : à 50 W jusqu'à 0 à 1000 W (gracieuseté de Weston is uments) .
Figure 25-9 Méthode de raccordement d'un wattmètre (ou d'un varmètre) dans un circuit monophasé . de courant . Un wattmètre peut donc être considéré comme un voltmètre et un ampèremètre combinés dans le même boîtier. La résistance entre les bornes de courant est très faible, tandis que celle entre les bornes de tension est très élevée . La tension et le courant maximum que l'instrument peut supporter sont toujours indiqués . La Fig . 25-9 montre comment on doit raccorder le wattmètre dans un circuit monophasé . Lorsque la puissance active circule des bornes 1, 2 (côté source) vers les bornes 3, 4 (côté charge), l'aiguille dévie dans le bon sens . Par contre, si la puissance circule dans le sens inverse, l'aiguille se déplace vers la gauche, ce qui rend la lecture impossible . On peut mesurer cette puissance négative en intervertissant les deux fils connectés aux bornes de tension . Pour mesurer la puissance réactive dans un circuit, on utilise un varmètre (Fig . 25-10) . Sa construction est similaire à celle d'un wattmètre et il est raccordé dans un circuit exactement de la même manière (Fig . 25-9) . Si l'aiguille se déplace vers la droite, cela indique que
Figure 25-10 Varmètre pouvant afficher une puissance réactive positive et négative (gracieuseté de Cie Générale Électrique du Canada) .
338
ÉLECTROTECHNIQUE
la puissance réactive circule des bornes 1, 2 vers les bornes 3, 4. Par contre, si la puissance circule dans le sens inverse, on doit intervertir les deux fils raccordés aux bornes de tension, afin de prendre la lecture négative . Dans certains modèles, le zéro de l'échelle se trouve au centre du cadran, ce qui permet une lecture de la puissance réactive circulant dans une direction ou l'autre .
Puisque les puissances P et Q sont positives, il s'ensuit que la charge absorbe de la puissance active et réactive . Par conséquent, le courant I dans la ligne est déphasé en arrière de la tension d'un angle 0 . On peut décomposer ce courant en deux composantes . soient les vecteurs Ip et Iq , qui sont respectivement en phase, et 90° en arrière du vecteur E 12 (Fig . 25-1 lb) . On peut donc représenter la charge par une résistance R en parallèle avec une réactance inductive X L (Fig . 25-1 lc) . La résistance tire un courant Ip tandis que la réactance tire un courant Iq .
De nos jours, il existe plusieurs modèles de wattmètres et de varmètres . Quelques-uns mesurent la puissance par un procédé électromécanique à l'aide d'un enroulement fixe et d'un enroulement mobile et utilisant un cadran à affichage analogique . D'autres modèles contiennent des composants électroniques et un cadran à affichage numérique .
Il est évident que
On peut calculer les valeurs de Ip et de Iq à partir des lectures des instruments :
25 .5 Charges active et réactive - puissance apparente En général, les charges, comme un moteur, absorbent à la fois une puissance active P et une puissance réactive Q .
P
voltmètre :
E
Iq = Q
(25-3)
E
Par définition, la puissance apparente du circuit est donnée par S = EI (éq . 24-2), d'où :
E volts
1 =
I ampères
wattmètre :
+ P watts
varmètre :
+ Q vars
(25-4)
Sachant que
wattmètre
2
2
= Ip + Iq
varmètre ~__l P
I O O ampèremètre
Q 0 01
f1"l
voltmètre
S E
I
source G
(25-2)
IP =
Considérons, par exemple, le circuit monophasé de la Fig . 25-1 l a composé d'une source G, d'une charge et des instruments de mesure . Supposons que les instruments donnent les lectures suivantes :
ampèremètre :
(25-1)
IZ = Ip + Iq
IP E
E
0 0
(b)
(a) Figure 25-11 a . Instruments utilisés pour mesurer les valeurs de E, I, P, Q dans un circuit ; b . Diagramme vectoriel des tensions et courants découlant de la lecture des instruments ; c . La charge industrielle peut être représentée par une résistance en parallèle avec une réactance inductive .
(c)
PUISSANCE ACTIVE, RÉACTIVE ET APPARENTE
On peut écrire : S
339
Solution 2
Ej
P E
2
2
Q
S = VP2 + Q2
éq. (25-5)
E
= 1~ 40 2 + 302 = 50
soit S2 = P2 + Q2
(25-5)
La puissance apparente est de 50 kVA. 25 .6
ou
• = puissance apparente, en volts-ampères [VA] • = puissance active, en watts [W] Q = puissance réactive, en vars [var]
Facteur de puissance
Le facteur de puissance d'un circuit alternatif est donné par l'expression : FP = P S
On peut représenter la relation entre P, Q, S par le triangle de la Fig . 25-12, parfois appelé triangle de puis-
(25-6)
ou FP = facteur de puissance, exprimé par un simple
nombre sans dimension, ou en pourcent • = puissance active du circuit, en watts [W] • = puissance apparente du circuit, en volts-ampères [VA]
Figure 25-12 Relation graphique entre les vecteurs de puissance pour un despositif qui absorbe une puissance active P et une puissance réactive Q.
Étant donné que la puissance active P ne peut jamais être supérieure à la puissance apparente, il s'ensuit que le facteur de puissance ne peut pas excéder une valeur de 1 (ou 100 %) . Le FP d'une résistance est de 100 % car sa puissance apparente est égale à sa puissance active . Le FP d'une bobine idéale est nul car elle ne consomme aucune puissance active .
lance . Les puissances respectives sont représentées par des vecteurs P, Q, S . Voici comment on interpète ces vecteurs :
En somme, le facteur de puissance d'un circuit est simplement un nombre indiquant le pourcentage de la puissance apparente qui est active .
1) Dans le cas d'une charge qui absorbe une puissance active, le vecteur P est tracé vers la droite .
Le facteur de puissance donne une autre information utile . En se référant à la Fig . 25-1 lb, on peut écrire :
2) Dans le cas d'une charge qui absorbe une puissance réactive, le vecteur Q est tracé vers le haut . 3) Dans le cas d'une source qui débite une puissance active, le vecteur P est tracé vers la gauche . 4) Dans le cas d'une source qui débite une puissance réactive, le vecteur Q est tracé vers le bas .
Ip = I cos 0
En multipliant les deux côtés de l'équation par la tension efficace E de la source, on obtient : EIp = EIcos 0
soit
P = S cos 0
Puisque le rapport PIS = facteur de puissance, il s'ensuit que :
Exemple 25-2 Un moteur à
courant alternatif absorbe une puissance aarve de 40 kW et une puissance réactive de 30 kvar. Calculer la valeur de la puissance apparente fournie moteu r .
FP = cosO
d'où
0 = arccos FP
(25-7)
340
ÉLECTROTECHNIQUE
Donc, si l'on connaît le facteur de puissance d'un circuit, on connaît le déphasage entre la tension d'alimentation et le courant de ligne . Étant donné que le courant peut être en avance ou en retard sur la tension, on qualifie le FP de la manière suivante : - le FP est dit en retard lorsque le courant est en retard sur la tension ; - le FP est dit en avance lorsque le courant est en avance sur la tension. La Fig. 25-13 montre un instrument permettant de mesurer le facteur de puissance dans une usine .
Exemple 25-3 a) Dans l'exemple 25-2, calculer le facteur de puissance du moteur et indiquer s'il est en avance ou en retard . b) Calculer l'angle entre la tension et le courant . Solution
b) L'angle de déphasage est :
e
= arccos FP = arccos 0,8 = 36,9°
Exemple 25-4 Un wattmètre et an varmètre sont raccordés dans une ligne à 120 V alimentant un moteur. Les instruments indiquent respectivement 1800 W et 960 var. Calculer : a) les composants h) c) d) e)
'q du courant la valeur du courant dans la ligne la puissance apparente fournie au moteur le facteur de puissance du moteur l'angle de déphasage entre la tension et le courant de ligne
Solution
a) Le facteur de puissance est donné par :
FP =
Le facteur de puissance est en retard parce que, dans le cas d'un moteur, le courant est en arrière de la tension .
a) En se référant à la Fig . 25-11, où la charge est maintenant un moteur, on a :
P
40 kW = = 0,8 = 80 % S 50 kVA
I __ P1800W p
Donc 80 % de la puissance apparente fournie au moteur est une puissance active .
E
I _Q - 960 var 9
E
=15A
120 V _8A
120 V
b) Du diagramme vectoriel on tire : I = ~ Ip + Iq2 =
V 15 2
+ 82
= 17 A c) La puissance apparente est : S = EI = 120 x 17 = 2040 VA d) Le FP est: FP
= P _ 1800 W
= 0,882 ou 88,2 %
S 2040 VA e) l'angle de déphasage est : 0 = arccos FP = arccos 0,882 = 28,1° 25 .7 Amélioration du facteur de puissance Figure 25-13 Instrument mesurant le facteur de puissance en avance ou en retard . Lorsque l'aiguille est au centre de l'échelle, le facteur de puissance est de 1 ou 100 % .
Considérons un moteur raccordé à une source par l'entremise d'une ligne a3, b4 d'une longueur de quelques dizaines de mètres (Fig . 25-14) . Un groupe
341
PUISSANCE ACTIVE, RÉACTIVE ET APPARENTE
28 kW
125 A
45 kvar vara ètre
wattmètre I1-11 P O O
I • O ampèremètre
P = 28 kW ; » Q = 45 kvar 3
125'À 424 V
voltmètre E 424 V 0 0
LL o b Figure 25-14 Puissances active et réactive transportées par une ligne ayant une longueur de plusieurs mètres .
d'instruments sert à mesurer les grandeurs électriques . La tension est de 424 V et le courant de ligne est de 125 A . De plus, on observe que le moteur absorbe une puissance active de 28 kW et une puissance réactive de 45 kvar . Un calcul rapide révèle que la source fournit une puissance apparente de 424 V x 125 A = 53 kVA à un facteur de puissance de 28 kW/53 kVA = 0528 = 52,8 %, en retard .
4 du moteur, pourrait fournir une partie ou même toute la puissance réactive dont le moteur a besoin . Supposons que le condensateur génère exactement 45 kvar (Fig . 25-15) . Dans ce cas, la puissance réactive fournie par la source tombe à zéro, car toute la puissance réactive est maintenant générée localement . La puissance active fournie par la source demeure inchangée parce que le moteur développe toujours la même puissance mécanique . Comme la source fournit seulement 28 kW, il s'ensuit que le courant dans la ligne tombe de 125 A à
La ligne reliant la source et la charge porte donc une paissance oscillatoire «inutile» de 45 kvar en même semps qu'elle transporte la puissance utile de 28 kW . Le transport de cette puissance réactive impose un échauffement supplémentaire aux conducteurs de ligne. Comme la ligne est assez longue, la circulation de la puissance réactive peut occasionner des pertes Joule i®portantes . Comment peut-on remédier à cette situa-
• 28kW 1 = = = 66 A 424 V • Cette réduction importante du courant de ligne diminue l'échauffement des conducteurs de plus de 70 % . De plus, la source doit seulement fournir une puissance active de 28 kW, au lieu d'une puissance apparente de 53 kVA . En effet, la source «voit» maintenant une
On se souvient qu'un condensateur est une source de puissance réactive . Par conséquent, un condensateur branché en bout de la ligne, directement aux bornes 3,
28 kW
66 A wattmètre
~) P
f1~t_1
I • 0 ampèremètre
0 kvar
P=28 kW
~~ varmètre f\) a
Q = 0 kvar
3
Q
66
125 A 106A~
(fil
voltmètre E 424 V o o
424 V 45 kvar
b 25-15 condensateur branché aux bornes de la charge diminue la puissance apparente transportée par la ligne .
342
ÉLECTROTECHNIQUE
charge dont le FP est de 100 %, alors qu'il était auparavant de 52,8 % .
source
Notons que le facteur de puissance du moteur n'a pas changé ; il est encore de 52,8 %, et il tire toujours un courant de 125 A (Fig . 25-15) . Le condensateur fournit un courant de : I - Q -
E
45 kvar =
5 kvar
106 A
424 V
Sa réactance capacitive est donc : X
= E =
I
424V =452, 106 A
7 kvar Figure 25-16 Système complexe composé de plusieurs charges raccordé à une source de 380 V .
En utilisant la formule 22-6, on trouve la capacitance du condensateur : source C-
1 =
1 380 V
21tJXc
2tt x 60 x 4
= 663 x 10-6 F = 663µF En général, on cherche à placer les condensateurs le plus près possible des charges réactives inductives, afin de réduire le courant dans les lignes . Nous verrons au chapitre 48 que l'amélioration (ou «correction») du facteur de puissance qui en résulte a une influence importante sur la tarification de l'électricité .
2 kW 1
7 kvar 1
16 kvar
14 kW
f ~
I
25.8 Systèmes comprenant plusieurs charges Les notions de puissances active et réactive permettent de simplifier la résolution des circuits complexes . Considérons, par exemple, le système de charges raccordées selon la Fig . 25-16 et alimentées par une source de 380 V. On veut calculer la puissance apparente fournie par la source d'alimentation, ainsi que le courant qu'elle débite . En utilisant la méthode des puissances, on n'a plus besoin de se préoccuper du raccordement entre les charges . Il suffit de tracer un simple schéma unifilaire (Fig. 25-17) et d'additionner les puissances actives et réactives associées aux divers éléments, comme suit : 1 . Puissance active absorbée par les éléments B, E, M : P=(+2+8+14)=+24 kW 2. Puissance réactive absorbée par les éléments A, F, M : QI
= (+
5 + 7 + 8) = +20 kvar
1
8 kvar Figure 25-17 Simplification du montage utilisant le concept des puissances active et réactive .
3 . Puissance réactive débitée par les condensateurs C, D : Q2
= (-
9 - 16) _ -25 kvar
4 . Puissance réactive nette absorbée par le système : Q = Q I + Q2 =
(+20
- 25) = -5 kvar
5 . Puissance apparente fournie au système : S =
~ P 2 +Q 2
= ~ 24 2 +
(-5) 2
=
24,5 kVA
6 . La tension de la source d'alimentation étant de 380 V le courant I vaut : I = S = E
24 500 VA 380 V
= 64,5 A
343
PUISSANCE ACTIVE, RÉACTIVE ET APPARENTE
2 kW
(a)
24 kW
(b)
8 kW Figure 25-18 Représentation graphique des puissances active et réactive et de la puissance apparente du système de la Fig . 25-16 .
Figure 25-19 a . Effet d'un condensateur branché sur un réceptacle . b . Direction des puissances active et réactive .
prise de courant et devient disponible sur le grand réseau de la compagnie d'électricité. La puissance apparente associée à la charge est :
La Fig . 25-18 montre les vecteurs des puissances actives et réactives mises en jeu . Cette figure fournit une solution graphique du problème . En commençant par le vecteur de puissance réactive de 5 kvar, on dessine, à l'échelle, la grandeur de chacun des vecteurs de puissance . Chaque vecteur de puissance active est tracé à l'horizontale, vers la droite ou vers la gauche selon son signe . De même, chaque vecteur de puissance réactive est dessiné à la verticale, vers le haut ou vers le bas, selon son signe. Une fois les vecteurs ajoutés les uns à la suite des autres, on relie le point de départ au point final, ce qui donne un vecteur incliné dont la longueur correspond à 24,5 kVA . La composante horizontale de ce vecteur est de 2.4 kW; comme il est dirigé vers la droite, il représente une puissance active absorbée par l'ensemble des charges . La composante verticale est de 5 kvar . Puisque ce vecteur de puissance réactive est dirigé vers le bas, il représente une puissance réactive débitée par l'ensemble des charges . Comme autre exemple, considérons le circuit de la Fig . 25-19 composé d'une charge résistive de 24 kW en parallèle avec une «charge» capacitive de 7 kvar, le tout alimenté par une prise de courant (réceptacle) de 600 V . Le réceptacle débite une puissance active de 24 kW qui se trouve dissipée dans la résistance . Par contre, il reçoit une puissance réactive de 7 kvar générée par le condensateur. Cette puissance réactive entre dans la
S = ,
p1 + Q 2
= ~242 + (- 7)z
= 25 kVA
Le courant de la source d'alimentation vaut donc I = S/E = 25 000/600 = 41,7 A
25 .9 Résolution des circuits par la méthode des puissances Le concept des puissances active et réactive peut servir à résoudre des circuits à courant alternatif . Il suffit de calculer les puissances associées aux divers éléments . En utilisant cette méthode, on peut souvent résoudre des circuits assez compliqués sans même tracer un diagramme vectoriel . En voici deux exemples . Exemple 25-5 Trouver l'impédance du circuit de la ig . 25-20a . 1
84
3 1 12 S2
o
T
2 Figure 25-20a Montage série-parallèle dont on cherche l'impédance .
344
ÉLECTROTECHNIQUE
Solution L'impédance du circuit ne dépend pas de la tension qu'on lui applique. On peut donc supposer une tension quelconque aux bornes d'un élément approprié et, par déductions successives, déterminer les tensions et les courants dans tous les autres éléments .
9 . puissance apparente associée au circuit entre les points 1 et 2 :
Supposons donc une tension de 60 V entre les points 3 et 2 (Fig . 25-20b) . On a : 1 .Ic =60V/552=12 A .
11 . impédance vue entre les points 1 et 2
S =300 2 + 632 2 = 700 VA 10 . tension
E12
= S/IL = 700/13 = 53,8 V
Z=E 12/IL =
53,8/13 = 4,1452
Exemple 25-6
Comme le condensateur est une source de puissance réactive, on a : Qc = -(12 A x 60 V) = -720 var 2 .IR=60V/1252=5A d'où
P=5Ax6OV = +300W
3 . puissance apparente associée au circuit entre les points 3 et 2 : S
= ,5/p 2
+
Q2
Solution Une simple règle de trois permet de calculer le courant. En effet, comme une tension de 53,8 V entre les bornes 1 et 2 produit un courant de 5 A dans la résistance, une tension de 300 V donnera : IR = 5 A x 300/53,8 = 27,9 A Exemple 25-7
= 300 2 + (-720) 2 = 780 VA 4 . courant IL = S/E32 = 780/60 = 13 A 5 . tension aux bornes de la réactance : E13
Dans l'exemple 25-5 . déterminer le courant circulant dans la résistance lorsque E,, = 300 V .
= X LIL = 8£2 x 13A =104V
6 . puissance réactive absorbée par la réactance : Q L = E13 X IL = 104 V x 13 A = + 1352 var 7 . puissance réactive totale absorbée par le circuit entre les points 1 et 2 : Q = 1352 + (- 720) = +632 var 8 . puissance active totale absorbée par le circuit entre les points 1 et 2 : P=+300W
Une ligne monophasée à 12 .47 kV partant d'un poste de transformation alimente une charge située quelques kilomètres plus loin (Fig . 25-21 ) . La ligne possède une réactance inductive de 1 _5 12 et une résistance de 2,4 £2 . Au poste, les instruments indiquent qu'il débite une puissance active de 3 MW, et une puissance réactive de 2 Mvar . Calculer : a) la valeur du courant de ligne et son déphasage par rapport à la tension au poste b) la puissance active absorbée par la charge e) la puissance réactive absorbée par la charge d) la tension aux bornes de la charge l'angle (le déphasage entre la tension au poste et celle aux bornes de la charge
POSTE 15 S2
IR
12A
5
2 Figure 25-20b Résolution du circuit par la méthode des puissances .
2,4 b2
12,47 kV 3 MW 2 Mvar Figure 25-21 Ligne longue transportant une puissance importante (voir exemple 25-7) .
PUISSANCE ACTIVE, RÉACTIVE ET APPARENTE
ion Puissance apparente fournie à la ligne : + Q2 = V 3 2 = 3,60 MVA
S =
/p2
+
2
2
Courant de ligne :
345
Il s'ensuit que la tension aux bornes de la charge est en retard sur celle au poste par (33,6° - 15,2°) = 18,4° . La Fig . 25-22 résume les résultats de cette analyse . On aurait pu obtenir le même résultat en utilisant le calcul vectoriel, ou une méthode graphique, mais la «méthode des puissances» est d'une simplicité fort attrayante .
I = S = 3 600 000 VA = 289 A
12 470 V
E
1,25 Mvar n
0,2 MW ~
Facteur de puissance au poste : 3 MW
P =
FP =
S
= 0,833
CHARGE
POSTE 1552
3,6 MVA
Angle entre la tension et le courant au poste : 0 = arccos 0,833 = 33,6°
12,47 kV 3 MW 2 Mvar
2452 10,03 kV 2,8 MW 0,75 Mvar
289 A
b) Puissance dissipée dans la ligne : PL =
RI 2
= 2,4 x 289
2 10,03 kV
= 0,2 x 106 = 0,2 MW Puissance active absorbée par la charge : PC = "poste - P L = 3 MW - 0,2 MW
2,8 MW et Puissance réactive absorbée par la ligne : QL = XLJ2 = 15 x 289 2 = 1,25 x 106 = 1,25 Mvar Puissance réactive absorbée par la charge : QC
= Qposte - QL = 2 Mvar - 1,25 Mvar = 0,75 Mvar
dl Puissance apparente de la charge : Sc =
1/P
+
Q' = 1/2,8 2 + 0,75 2
= 2,90 MVA Tension aux bornes de la charge : Ec = Sc I
=
2,90 MVA
= 10,03 kV
289 A
e) Facteur de puissance de la charge : 2,8 MW FP = Pc = Sc
= 0,965 ou 96,5 %
2,90 MVA
289 A
289 A
Figure 25-22 Tensions, courants et puissances sur le réseau (voir exemple 25-7) .
25 .10 Transport de puissances Pet Q entre deux sources de tension Il arrive assez fréquemment que deux sources d'énergie X et Y soient reliées par une réactance inductive (Fig . 25-23a) . On rencontre notamment ce genre de circuit dans l'étude des alternateurs, des moteurs synchrones, des lignes de transport et des convertisseurs statiques de toutes sortes . Dans ces circuits, une certaine puissance active et réactive est transportée entre les sources . La valeur et la direction des puissances dépendent de l'amplitude des tensions Eab et Ecb des sources, de l'angle de phase (5 entre ces deux tensions et de la réactance X . En se référant à la Fig . 25-23a, on peut écrire les équations de Kirchhoff suivantes : Eb a + jXI +Ecb = 0
Angle entre le courant et la tension aux bornes de la charge : Oc = arccos 0,965 = 15,2 °
d'où I = J (Ecb - Eab)/X
346
ÉLECTROTECHNIQUE
Prenons la tension Eab comme vecteur de référence, et supposons qu'elle soit déphasée en avance sur Ecb d'un angle 8. On obtient alors le diagramme vectoriel de la Fig . 25-23b. Dans ce diagramme, le vecteur I est nécessairement perpendiculaire au vecteur E ac ; il est déphasé en arrière du vecteur Ea b d'un angle 0. Décomposons le courant I en deux vecteurs Ip et Iq , respectivement parallèle et perpendiculaire à la tension Ea b (Fig . 25-22c) . On constate que Ip est en phase avec Eab et qu'il circule de la borne a vers la borne b . Donc, selon notre définition de la section 25-2, le circuit situé à droite des bornes a et b absorbe une puissance active . Par conséquent, la source X débite une puissance active donnée par : P = Eablp = E abICOs0
On constate aussi que I q est 90° en arrière de Eab et que ce courant circule de la borne a vers la borne b . Donc, selon la définition donnée à la section 25-3, le circuit situé à droite des bornes a et b absorbe une puissance réactive . Par conséquent, la source X débite une puissance réactive donnée par : Q = E abIq = EabIsin0 Exprimons maintenant les puissances P et Q en fonction des tensions Eab, Ecb et de l'angle 6 . Pour ce faire, examinons d'abord les relations géométriques entre les vecteurs de la Fig . 25-23c . Afin d'alléger le texte, remplaçons les tensions Eab, Ecb et jIX par E,, E 2 et Ex . Cherchons d'abord une expression pour la puissance active P . 25 .11 Valeur de la puissance active On constate que les vecteurs forment un triangle dont les longueurs des côtés om, on et mn sont respectivement E 1 , E2 et Ex (Fig . 25-23c) . À partir du point n, traçons une ligne pointillée np perpendiculaire à la ligne om . On note que l'angle mnp est alors égal à 0. La puissance active débitée par la source X est donnée par :
P =
El E2 sin 6
où P = puissance active débitée ou absorbée par la source X [W] E l = tension efficace de la source X [V] E2 = tension efficace de la source Y [V] 6 = angle d'avance de E, sur E2 X = réactance reliant les sources X et Y [S2] La formule 25-13 est importante car nous aurons l'occasion de l'utiliser à plusieurs reprises dans les chapitres qui suivent . Retenons que la puissance active circule toujours de la source dont la tension est en avance vers la source dont la tension est en retard. L'amplitude de la tension n'affecte pas la direction de la puissance active . Ainsi, dans la Fig . 25-23a, la puissance active circule de X vers Y parce que El est en avance sur E2 . Par contre, si E 2 est en avance sur El (Fig . 25-23d), la puissance active circule deY vers X . (Notons que l'angle 6 est négatif dans cette figure .) Cherchons maintenant une expression pour la puissance réactive associée à la source X . 25.12 Valeur de la puissance réactive En se référant de nouveau aux Fig . 25-23a et 25-23b. on déduit de la manière suivante la puissance réactive Q débitée ou absorbée par la source X : Q = Eabl sin 0 = E l I sin 0 El IX sinO
El Ex sin 0
X
X
El x segment mp
El (E1 -E2 cos 8)
X
X
On peut donc écrire :
Q =
El I X cos 0 Ei Ex cos 0 X
El x segment np
E, E2 sin 8
X
X
(25-13)
X
El (E l -E2 cos 8)
P = EabI cos 0 = E,I cos 0
X
On peut donc écrire :
X
(25-1 .1)
347
PUISSANCE ACTIVE, RÉACTIVE ET APPARENTE
où
Q = puissance réactive débitée ou absorbée par la source X [var] E t = tension efficace de la source X [V] E2 = tension efficace de la source Y [V] S = angle d'avance de Et sur E2 X = réactance reliant les sources X et Y [S2] (a)
Eab (= El )
Retenons que la source X débite de la puissance réactive lorsque Q est positive . Cette condition se produit lorsque El est supérieure à la composante de tension E2 cos8. Dans le cas contraire, la source X reçoit de la puissance réactive . Par exemple, dans la Fig . 25-23c où Et > E2 cos6, la source X débite de la puissance réactive . Dans la section qui suit, en utilisant les formules 2513 et 25-14, nous verrons comment l'angle Set l'amplitude de E2 permettent de commander les puissances P et Q .
25 .13 Commande des puissances active et réactive Supposons que l'on désire commander les puissances active et réactive débitées par une source X dont la tension E l est fixe . Connectons-la à travers une réactance X à une deuxième source Y dont la tension E2 est variable en amplitude et en phase (Fig . 25-23a) . Imposons de plus une contrainte au courant : le courant I ne doit pas dépasser une valeur nominale quelconque I N . Par conséquent, la tension Ex aux bornes de la réactance ne doit pas dépasser XIN . Puissance active de la source X . Supposons d'abord que l'on désire que X débite ou absorbe exclusivement une puissance active . Dans ces circonstances, il faut que le courant I soit en phase, ou déphasé de 180° avec la tension E l . Lorsque le courant est en phase avec E l (Fig . 25-24a), l'angle S est positif ; par conséquent P est positive car p = E
l E2
sin ô
éq . 25-13
X
La source A débite alors une puissance active . Figure 25-23 a) Échange de puissances entre deux sources X et Y. b) Diagramme vectoriel des tensions et du courant . c) Relations géométriques entre les vecteurs . d) Tension E2 de Y est en avance sur E1 de X.
Par contre, lorsque le courant est déphasé de 180° avec E, (Fig . 25-24b), l'angle Sest négatif ; par conséquent P est négative et X absorbe une puissance active . Dans un cas comme dans l'autre, Q est toujours égale à zéro .
348
ÉLECTROTECHNIQUE
Il faut donc que E2 soit toujours en phase avec E 1 mais E2 peut être inférieure ou supérieure à E 1 .
jxI
Lorsque E 2 < E 1 (Fig . 25-25a), Q est positive car. d'après l'équation 25-14, on a: Q = E1 (E l - E2 cos S)/X = E1 (E 1 - E2)IX Dans ce cas, X débite une puissance réactive .
jxI
Par contre, lorsque E 2 > E, (Fig . 25-25b), Q est négative, ce qui signifie que la source X absorbe une puissance réactive .
E1
Ces deux possibilités sont combinées en un seul dia-
(b)
gramme vectoriel (Fig . 25-25c) . Dans cette figure, on constate que lorsque l'amplitude de E2 varie, l'extré2
mité du vecteur E2 suit le pointillé 3, 4 . En glissant le long de cette ligne, le vecteur E2 atteint éventuellement les limites 3, 4 qui représentent les limites de chute de
E2
E1 jXIi
l
(a)
// ///2/ /// 1 Figure 25-24 Commande de la puissance active PA .
La Fig . 25-24c montre les deux diagrammes vectoriels combinés en un seul diagramme . On constate que lors-
E1
que l'on fait varier E2, l'extrémité du vecteur E2 suit le pointillé 1, 2 qui est perpendiculaire au vecteur E 1 . En
jXI
(b)
glissant le long de ce trait, le vecteur E2 bute finalement contre les limites 1, 2 imposées par la chute de tension maximale XI N au courant nominal IN . Donc, en faisant varier l'amplitude et la phase de la tension E2 , on peut faire varier à volonté la puissance
(E2 > E1) I
E 1 -XIN
E 1 + k7I
active débitée ou absorbée par la source X . /
E2
Puissance réactive de la source X . Supposons main/
tenant que l'on désire que la source X débite ou absorbe exclusivement une puissance réactive . Dans ces circonstances, il faut que le courant I soit 90° en retard, ou 90° en avance sur la tension El . De plus, en
I (E2 < E1 )
(c)
vertu de l'équation 25-13, une puissance active nulle impose un angle 5= 0.
Fig . 25-25 Commande de la puissance réactive QA
E1
PUISSANCE ACTIVE, RÉACTIVE ET APPARENTE
349
tension XIN imposées par le courant nominal I N . Ces limites correspondent respectivement aux tensions E, = El -XIN et E2 = Et +XIN . En gardant S= 0 et en faisant varier l'amplitude de E 2 , on peut donc faire varier à volonté la puissance réactive Q débitée ou absorbée par la source X . Regardons maintenant ces conclusions d'un autre point de vue . Lorsque la source X débite une puissance réactive . le courant est 90° en retard sur E l ; c'est comme si une inductance était branchée entre ses bornes a et b FFg . 25-23a) . Par contre, lorsque la source X absorbe une puissance réactive, le courant est 90° en avance sur Et ; c'est comme si un condensateur était branché entre les bornes a et b . On constate que ce jeu de tensions offre la possibilité de simuler un condensateur ou une inductance variable, en faisant simplement varier l'amplitude et la phase de la tension E2 . On peut ainsi contrôler, à volonté, des puissances réactives de plusieurs mégavars . Enfin, en modifiant l'amplitude et la phase de E2 on peut obtenir différentes combinaisons de P et de Q . Il suffit de limiter les tensions et les courants aux valeurs nominales admissibles par les sources X et Y. En ce qui concerne la source Y, la puissance active P qu'elle absorbe est égale à la puissance P débitée par la source X, car la réactance X n'absorbe aucune puissance active . Cependant, la puissance réactive absorbée par Y est égale à (Q - XI2) . Lorsque cette expression est positive, cela indique que la source Y absorbe une puissance réactive . Dans ce qui précède, nous avons utilisé une réactance X pour relier les sources X et Y. On aurait pu aussi contrôler les puissances P et Q de la même manière en utilisant une résistance . Cependant une résistance a l'inconvénient de chauffer et de consommer de l'énergie . Évidemment, l'utilisation d'une résistance au lieu d'une réactance changerait les formules ainsi que les diagrammes vectoriels .
Exemple 25-8 Une source A de 24 kV, 60 Hz, est raccordée à une source B de 25 kV par une réactance X de 3 S2 (Fig . 25-26) . La tension E, est 6" en avance sur E,, donc b= 6° . Calculer la valeur et la direction des puissances P QA , et Q u .
Figure 25-26 Voir exemple 25-8 .
Solution La puissance active P A est : = El E2 sin S
e925-13
PA X
24kVx25kVxsin6°
= 20,9 MW
3 £2 Étant donné que E, est en avance sur E2 , il s'ensuit que A débite cette puissance active . Comme la réactance X n'absorbe aucune puissance active, la puissance absorbée par B est égale à PA . La puissance réactive associée à A est : Et (E 1 -E2 cos b) QA = eq . 25-15 X
= 24 kV (24 kV - 25 kV cos
6°) _ _ 6,9 Mvar
3 £2 Puisque Q A est négative, la source A reçoit cette puissance réactive comme si un condensateur était branché à ses bornes . La puissance apparente de A est : z
z
SA = PA + QA
20,92 +(-6 ,9) 2 = 22 MVA Le courant est donc : I = 22 MVA/24 kV = 917 A
350
ÉLECTROTECHNIQUE
Il est évident que ce même courant circule dans la réactance et dans la source B .
On sait (section 23 .13) que, par définition, le conjugué de VI est un nouveau vecteur:
La puissance réactive absorbée par la réactance est : Qx = Xi2 = 3 x 917 2 = 2,5 x 10 6 VA = 2,5 Mvar On obtient donc pour la source B :
V I* =1 L- 0, Par définition, le vecteur représentant la puissance apparente V s associée* au circuit est :
Q B = QA - Q x = - 6,9 - 2,5 = - 9,4 Mvar VS = VE VI Y
La puissance réactive Q B étant négative, il s'ensuit que B débite de la puissance réactive . C'est logique, car comme la source A et la réactance X absorbent toutes deux de la puissance réactive, la source B doit nécessairement en débiter .
soit
(25-8)
VS = (Eab L0I ) x (I L-O2 )
d'où VS
= Eab
I L(0 1 - 02 )
En remplaçant (0 1 - 02) par 0, on peut écrire: CALCUL VECTORIEL
Vs =
Eab
I LO = SLO
(25-9)
25 .14 Puissances sous forme vectorielle
Nous avons déjà utilisé le calcul vectoriel pour résoudre les circuits (voir chapitre 23, sections 23 .9 à 23 .19) . Nous l'appliquons maintenant au calcul des puissances active, réactive et apparente . Sur la Fig . 25-27a, le circuit branché entre les bornes a et b peut être plus ou moins complexe . Ce circuit peut contenir des résistances, des réactances, des sources, ou toute combinaison de ces trois types d'éléments . Un courant I circule de la borne a vers la borne b . Supposons que la tension aux bornes du circuit soit exprimée par le vecteur V E :
ou Vs vecteur de la puissance apparente S = valeur de la puissance apparente [VA] 0 = (0I - 02 ) = déphasage de la tension par rapport au courant (si la tension est en avance sur le courant, 0 est positif) valeur efficace de la tension [V] Eab I valeur efficace du courant [A] L'expression polaire (25-9) peut aussi être mise sous la forme rectangulaire, soit : Vs = SLO = P + jQ
VE = Eab L 0 1
et que le courant soit représenté par le vecteur V I :
V I = I LO2
avec
P = Eab I cOS 0
et
Q = EabI sin 0
(25-10)
ou P = puissance active associée au circuit [W] Q = puissance réactive associée au circuit [var] Eab , 1, 0 = grandeurs déjà définies dans la formule (25-9)
I ao s=P+jQ
bO (a)
(b)
Figure 25-27 La direction du courant I et l'identification des bornes déterminent la direction des puissances P et Q obtenues par calcul vectoriel .
Il est important de retenir que les équations (25-8). (25-9), (25-10) sont basées sur la Fig . 25-27, soit sur une tension Eab et un courant I qui circule de la borne a vers la borne b . Dans ce cas, les règles suivantes s'appliquent :
Le terme «associé» signifie la puissance active ou réactive qui est absorbée ou débitée par un circuit .
PUISSANCE ACTIVE, RÉACTIVE ET APPARENTE
RÈGLES DES PUISSANCES
1 . Si la valeur de P est positive, le circuit est une charge qui absorbe P watts
351
La puissance apparente associée à l'élément B est donc : SB = V E VI *
2 . Si la valeur de P est négative, le circuit est une source qui débite P watts
= EyxI
3 . Si la valeur de Q est positive, le circuit est une charge réactive qui absorbe Q vars
= 1500 L- 20°
4 . Si la valeur de Q est négative, le circuit est une source réactive qui débite Q vars
= 1500 [(cos (- 20°) + j sin (- 20°)] • 1410 -j 513
• 30 Z30° x 50 L- 50°
• P +jQ
Exemple 25-9 Dans le circuit de la lia 2_5-28 où le courant circule dans le sens indiqué . on donnne :
Puisque P = +1410 W, B est une charge, qui absorbe 1410 W (règle 1) . Puisque Q = - 513 var, B est aussi une source réactive débitant 513 var (règle 4) .
30 V L- 150° = 50 A L5()
Déterminer la valeur des puissances active et réactive, et sp ci(ïer si les élément, A et B sont des sources ou des c liarecs .
Connaissant les puissances associées à l'élément B, on peut immédiatement déduire celles associées à l'élément A : ce dernier est une charge réactive absorbant 513 var, en même temps qu'il est une source active débitant 1410 W. Exemple 25-10
Solution
Dans un circuit comprenant deux ou plusieurs éléments, on doit considérer chaque élément individuellement. Choisissons l'élément B . On doit alors choisir une tension telle que ses indices soient conformes au sens de la circulation du courant I dans l'élément B . Puisque le courant circule de la borne y à la borne x, on doit utiliser la tension Eyx (et non pas Exy ) . On a donc :
Dans le montage de la Fi , ~5-20 on donne : 100 V 1240° 1 = 70 A Ly3"
Déterminer la nature dies puissances active et réactive associées à ce montage . Solution
Eyx = - Exy = -30 L-150°
• 30Z(-150° + 180°) • 30L30° d'où
Le courant circule de la borne 2 à la borne 1 . On doit donc utiliser la tension E2, (et non pas E12 ) dans le calcul des puissances . La puissance apparente associée à l'élément est :
V E = 30L30°
De plus, on a VI * = 50 L- 50
S = V E VI * = E21 I* =-E12 1* _ - 100 L240° x 70 L- 83 0 _ - 7000 L157° _ - 7000 (cos 157° + j sin 157°) = 6444 -j 2735 Donc le montage absorbe 6444 W et débite 2735 var.
F-o 2
10--j I Figure 25-28 Voir exemple 25-9 .
Figure 25-29 Voir exemple 25-10 .
352
25 .15
ÉLECTROTECHNIQUE
Sens arbitraires des courants : effet sur les diagrammes vectoriels
Lors de l'étude du chapitre 22 nous avons appris que le courant dans une résistance est en phase avec la tension à ses bornes . De plus, le courant dans une bobine est 90° en retard sur la tension, tandis que celui dans un condensateur est 90° en avance .
OBI (a)
Cependant, dans le chapitre 24 et le présent chapitre 25, on a vu que l'on peut assigner des directions arbitraires aux courants dans un circuit . Ces choix arbitraires affectent l'apparence des diagrammes vectoriels sans pour autant affecter la solution du circuit . Dans cette section nous démontrerons l'effet du changement de direction arbitraire d'un courant . Certains choix produisent des relations vectorielles inattendues bien qu'elles soient parfaitement correctes . Par exemple, on pourrait trouver que le courant dans une résistance est déphasé de 180° avec la tension à ses bornes . Toutefois, on peut être confiant que lorsque les équations de Kirchhoff sont bien formulées, la résolution des courants, des tensions et des puissances apparentes donnera toujours la réponse juste . Les exemples suivants illustrent la méthodologie vectorielle pour trois montages simples . Exemple 25-11 Une tension E l , = 60 VZ 13° est appliquée aux bornes d'une résistance de 4 S2 (Fig . 25-30a) . Calculer : a) le courant circulant dans le circuit
E 12 = 60113°
i
(b) E12
13°
E21
Figure 25-30 Voir exemple 25-11 .
riel de la Fig . 25-30d. Dans ce cas, le courant dans la résistance est déphasé de 180° avec la tension à ses bornes . Ce diagramme vectoriel est tout aussi valable que celui de la Fig . 25-29e . b) La puissance apparente associée à la source est donnée par S = E21 I* . (On prend la tension E21 car dans la source le courant circule de la borne 2 à la borne 1 .) Comme 1= 15 /13°, il s'ensuit que I* = 15 L- 13° . On peut donc écrire :
b) la puissance apparente associée à la source S = E21 I Solution
a) Choisissons un courant I circulant arbitrairement de la borne 1 vers la borne 2 dans la résistance (Fig . 2530b) . Écrivons l'équation de Kirchhoff en parcourant le circuit dans le sens horaire : E21 +RI=0 d'où I = _
E21
= E12
R
R
=
60/13°
= 15213° 4Z0° Le diagramme vectoriel est montré à la Fig 25-30e . On constate que le courant est en phase avec la tension, ce qui correspond à nos attentes pour un circuit résistif . Toutefois, on peut mettre en évidence le vecteur E21 au lieu du vecteur E 12 , ce qui donne le diagramme vecto-
_ [- 60L13°] [15/-13°] _ - 900 L0° _ - 900 (cos 0° + j sin 0°) =-900+j 0 La puissance active associée à la source est de - 900 W. Le signe négatif indique qu'elle débite en fait une puissance active de 900 W. La puissance réactive (j0) associée à la source est nulle . Exemple 25-12 Une tension E l , = 60 VL 13° est appliquée aux bornes d'une résistance de 4 £2 (Fig . 25-31 a) . Calculer : a) le courant dans le circuit b) la puissance apparente associée à la source
PUISSANCE ACTIVE, RÉACTIVE ET APPARENTE
9DZI
452
452
E12 = 60 13 -
(a)
La puissance active associée à la source est de - 900 W, ce qui indique qu'elle débite en fait une puissance active de 900 W. La puissance réactive (j0) est nulle . On constate que le fait d'avoir changé le sens du courant n'a aucunement affecté les puissances active et réactive associées à la source .
(b)
13' I=15A193° (c) Figure 25-31 Voir exemple 25-12 .
Solution
a) Choisissons un courant I circulant arbitrairement de la borne 2 vers la borne 1 dans la résistance (Fig . 25-3 lb), soit l'inverse de celui de la Fig . 25-30b . Écrivons l'équation de Kirchhoff en parcourant le circuit dans le sens horaire : E21 -RI=0
d'où I = -E12 R
353
= - 60/13°
4/0°
15/(13 0 + 180 0 ) = 15 A /193° Le diagramme vectoriel est montré à la Fig 25-31c . On constate que le courant est déphasé de 180° avec la tension E l 2 . Bien que ce résultat puisse paraître bizarre, il est strictement correct . Le diagramme vectoriel de la Fig . 25-31c (qui découle du schéma de la Fig . 25-3 lb) est aussi valable que celui de la Fig . 25-30c . b) La puissance apparente associée à la source est donnée par S = E121* . (On prend la tension E L2 car dans la source le courant circule de la borne 1 à la borne 2 .) Comme I= 15 /193° il s'ensuit que 1 * = 15 /-193° . On peut donc écrire :
25 .16 Résumé Dans ce chapitre nous avons vu que tous les composants d'un circuit ou réseau électrique à courant alternatif peuvent se comporter comme une source ou une charge, active ou réactive . Nous avons appris comment connecter un wattmètre et un varmètre pour mesurer respectivement la puissance active et la puissance réactive . Le facteur de puissance d'un circuit est un nombre inférieur ou égal à 1 définissant le rapport entre la puissance active et la puissance apparente . On a vu qu'un condensateur, qui est une source de puissance réactive, permet d'améliorer le facteur de puissance, et donc de réduire le courant d'un circuit qui consomme de la puissance réactive (ex . : circuit inductif, moteur) . On a vu qu'il est possible de résoudre un circuit en faisant simplement le bilan des puissances active et réactive . Cette méthode permet de résoudre des circuits à c .a . sans faire appel au calcul vectoriel . Nous avons aussi donné les formules permettant de calculer les circulations de puissance active et réactive entre deux sources reliées par une réactance inductive . On a constaté qu'il est possible de simuler un condensateur ou une inductance simplement en agissant sur l'amplitude et la phase de l'une des deux sources . Enfin, on a vu comment utiliser le calcul vectoriel pour calculer les puissances à partir des vecteurs de tension et de courant . La puissance apparente est elle-même un vecteur qui, exprimé sous forme rectangulaire, donne la puissance active et réactive .
PROBLÈMES - CHAPITRE 25 Niveau pratique
S = E12 V1 * _ [60/13°] [15/-193°] = 900 /-180° = 900 [cos (-180°) + j sin (-180°)] =-900+j 0
25-1 Nommer l'unité de puissance active ; de puissance réactive ; de puissance apparente . 25-2 Un condensateur de 500 kvar est mis en parallèle avec une inductance de 400 kvar. Quelle est la puissance apparente de l'ensemble?
354
ÉLECTROTECHNIQUE
25-3 Nommer un dispositif statique qui génère une puissance réactive .
a) la puissance réactive de l'ensemble b) la puissance apparente de l'ensemble
25-4 Nommer un dispositif statique qui absorbe une puissance réactive .
c) le facteur de puissance de l'ensemble Niveau avancé
25-5 Quel est le facteur de puissance d'un condensa-
Niveau intermédiaire
Un moteur ayant un facteur de puissance de 80 % absorbe une puissance active de 1200 W. Calculer la puissance réactive absorbée .
25-6 Une ligne alimente les charges suivantes :
25-14
teur? d'une bobine? d'une lampe à incandescence?
1) une résistance de 120 kW 2) une bobine de 40 kvar 3) un condensateur de 90 kvar Calculer la puissance apparente de l'ensemble de ces charges, ainsi que le facteur de puissance .
25-13
Dans la Fig . 25-14, on branche un condensateur de 30 kvar en parallèle avec le moteur . Calculer : a) la puissance active absorbée par l'ensemble b) la puissance apparente absorbée par l'ensemble c) le FP de la source 25-15 Dans la Fig . 25-19, calculer la valeur, en ohms .
25-7 Un moteur d'induction absorbe une puissance
apparente de 400 kVA à un facteur de puissance de 80% . a) Calculer la puissance active absorbée par la machine .
de la réactance inductive qu'il faudrait placer en parallèle avec la résistance afin que le facteur de puissance de l'ensemble devienne 100 % .
b) Quelle est la puissance réactive et à quoi sert-elle?
25-16 Une source monophasée de 240 V alimente une charge de 160 kW ayant un FP de 80 % . Calculer
25-8 Dans la Fig . 24-3 (chapitre 24), calculer :
le courant dans la ligne .
a) b) c) d)
25-17 Dans la Fig . 25-15, on remplace le condensa-
la puissance active absorbée par la résistance la puissance réactive absorbée par l'inductance la puissance apparente de l'ensemble le facteur de puissance de l'ensemble
25-9 Dans la Fig . 24-17, calculer :
teur de 45 kvar par un autre de 35 kvar . Calculer : a) la puissance réactive fournie par la source b) la puissance active fournie par la source c) le courant fourni par la source
a) la puissance réactive absorbée par la bobine
25-18 Une ligne monophasée relie un poste de trans-
b) la puissance réactive générée par le condensateur c) la puissance active dissipée par la bobine
formation à une charge . Les instruments indiquent les valeurs suivantes :
d) la puissance apparente de l'ensemble e) le facteur de puissance de l'ensemble Dans la Fig . 24-16, calculer : a) la puissance réactive totale de la charge b) le FP de l'ensemble 25-10
Une bobine, ayant une résistance de 5 S2, porte un courant continu de 20 A. a) Quelle est la puissance active absorbée? b) Quelle est la puissance réactive absorbée? 25-11
25-12 Dans la Fig . 25-16, on branche une réactance
inductive de 19 S2 en parallèle avec la source de 380 V . Calculer :
au poste :
Pt = 36 MW
St = 39 MVA
tension = 115 kV
à la charge :
P2 = 35 MW
S2 = 37 MVA Calculer : a) le courant dans la ligne b) la tension à la charge c) la résistance et la réactance inductive de la ligne d) l'angle de déphasage entre la tension au poste et la tension à la charge 25-19 En se référant à la Fig . 24-25b (chapitre 24).
calculer l'impédance du circuit vue entre les bornes 1 et 2 . Utiliser la méthode des puissance et supposer une
PUISSANCE ACTIVE, RÉACTIVE ET APPARENTE
tension de 72 V aux bornes du condensateur de 72 S2 . Dès lors, déterminer l'angle entre la tension E et le courant Il . 25-20 En se référant à la Fig . 25-32, calculer la valeur des puissances active, réactive et apparente associées à l'impédance Z. Utiliser le calcul vectoriel décrit dans la section 25-14 .
25-22 Une tension E32 = 24 VZ-17° apparaît aux bornes d'une réactance inductive de 3 £2 (Fig . 25-34) . On désire connaître: a) la valeur du courant dans le circuit b) la valeur de la tension E 12 c) la puissance associée à la source Choisir un sens de courant I circulant arbitrairement de la borne 2 vers la borne 3 dans la réactance .
Z = 16+j63 10--j
H0 2
4 S2
1 = 401-30° Figure 25-32 Voir problème 25-20 .
25-21 En se référant à la Fig . 25-33 et en utilisant le calcul vectoriel, déterminer : a) les puissances active et réactive associées à la source A b) les puissances active et réactive associées à la source B c) la puissance active dissipée dans la résistance de 16 S2 d) la puissance réactive absorbée par la réactance de 63 S2 e) Faire le bilan des puissances actives pour le circuit et vérifier que le tout s'équilibre . f) Faire le bilan des puissances réactives pour le circuit et vérifier que le tout s'équilibre .
Eau = 2001120° Ebc = 1001150°
Figure 25-33 Voir problème 25-21 .
355
Figure 25-34 Voir problème 25-22 .
26 Circuits triphasés Jusqu'à maintenant, nous avons étudié le transport et l'utilisation de l'énergie électrique dans les circuits à courant continu et dans les circuits à courant alternatif alimentés par une seule source . Comme ils ne contiennent qu'une source et deux lignes d'alimentation, ces circuits sont appelés circuits monophasés .
sance séquentielles, plutôt que simultanées . Il en résulte un moteur qui tourne plus doucement, avec moins de vibrations . De la même façon, dans un système électrique triphasé . les trois phases sont identiques, mais elles fournissent leur puissance à des moments différents . Par conséquent, le flux total de puissance est très uniforme. De plus, comme les phases sont identiques, on peut en considérer une seule comme étant représentative des trois .
Cependant, l'énergie électrique est distribuée à la plupart des installations industrielles par un système triphasé, composé de trois lignes . Les tensions alternatives entre les lignes ont même valeur et même fréquence, mais elles sont déphasées l'une par rapport à l'autre .
Retenons, sans pousser plus loin l'analogie, qu'un système triphasé est composé essentiellement de trois systèmes monophasés fonctionnant en séquence .
Pour une puissance donnée, une ligne de transport triphasée demande moins de cuivre (ou d'aluminium) qu'une ligne monophasée de même tension . De plus, les moteurs et les alternateurs triphasés sont plus petits, plus simples et moins coûteux que les moteurs et les alternateurs monophasés de même capacité, de même tension et de même vitesse .
Afin de faciliter l'analyse des circuits triphasés, nous étudierons tout d'abord les circuits diphasés, bien que ces derniers ne soient plus utilisés que dans des applications spéciales . 26 .1 Alternateur diphasé
On peut comprendre l'avantage du système triphasé en le comparant à un simple moteur à essence . Un moteur ayant un seul cylindre peut être assimilé à une machine monophasée . De même, un moteur à deux cylindres peut se comparer à une machine électrique diphasée . Enfin, un moteur à six cylindres peut être considéré comme un moteur à six phases . Dans un tel moteur, des pistons identiques montent et descendent à l'intérieur de cylindres identiques, mais pas en même temps . Ils sont en effet reliés à l'arbre de façon à lui fournir des impulsions de puis-
Au cours de l'étude de l'alternateur monophasé (section 17 .7), nous avons vu qu'une tension alternative apparaît aux bornes d'un enroulement lorsqu'il est coupé par le flux magnétique d'un aimant tournant . Considérons maintenant deux enroulements identiques montés sur un noyau d'acier et disposés en quadrature, c'est-à-dire décalés de 90° l'un par rapport à l'autre, (Fig . 26-la) . Leurs bornes sont respectivement identifiées par les symboles a, 1 et b, 2 . Quand on fait tourner le rotor, des tensions Ea i et Eb2 356
357
CIRCUITS TRIPHASÉS
∎∎z∎m∎∎∎∎∎∎∎∎∎ ∎nsang∎ ∎∎∎////∎∎ auvagenau y∎~∎∎∎∎∎∎~∎∎yy ~∎∎
∎ •~ ~ ∎270∎360∎450∎ ∎t\\∎~011! angle de rotation 0 ∎∎∎∎∎∎∎∎ ∎∎∎∎~~∎∎L~∎∎∎∎∎∎∎∎~~ ∎∎∎∎∎i/.ii~ü∎∎∎∎∎∎ ∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎ ∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎∎ (a)
rotation des vecteurs
oa Eat 01
2 b
(c)
(b)
Figure 26-1 a . Alternateur diphasé ; b. Tensions alternatives générées par les enroulements A et B de l'alternateur ; c . Diagramme vectoriel des tensions .
Ia
sont induites dans chacun des enroulements . Ces tensions ont évidemment même valeur et même fréquence; cependant, elles n'atteignent pas leur valeur maximale en même temps . En effet, à l'instant où l'aimant occupe la position indiquée à la Fig . 26-la, la tension Ea t passe par sa valeur maximale positive, tandis que la tension Eb2 est nulle . Dès que le rotor a complété un quart de tour (ou 90°), la tension Ea t devient nulle à son tour, tandis que la tension Eb2 atteint sa valeur maximale positive . Ces deux tensions sont donc déphasées de 90° . Elles sont représentées sous forme de courbes à la Fig . 26-1b, et vectoriellement à la Fig . 26-1c . Chacune des tensions E a i et Eb2 est une tension monophasée possédant les mêmes propriétés que la tension alternative simple que nous avons déjà étudiée . Sur la Fig . 26-2a, elles alimentent chacune un circuit distinct; le circuit raccordé aux bornes a, 1 et celui raccordé aux bornes b, 2 sont identifiés comme étant respectivement laphase A et la phase B . L'ensemble constitue un système à deux phases et l'alternateur est dit diphasé .
Si une charge résistive est branchée sur chacune des phases, les courants la et lb sont respectivement en phase avec les tensions Ea t et Eb2 (Fig . 26-2b) . Ces deux courants sont donc également déphasés de 90° dans le temps, c'est-à-dire que Ia atteint sa valeur maximale positive un quart de période avant Ib . 26.2 Alternateur triphasé Un alternateur triphasé est semblable à un alternateur diphasé, sauf que le stator porte trois enroulements
charge de la phase A
(a)
charge de la phase B
Eat
(b)
Ia
> Ib
>Eb2
Figure 26-2 a. Alternateur diphasé en charge ; b . Diagramme vectoriel des tensions et des courants .
identiques au lieu de deux . Les trois enroulements sont disposés à 120° l'un de l'autre, comme l'indique la Fig . 26-3a . Lorsque le rotor tourne à vitesse constante, les tensions induites dans les trois enroulements ont même valeur
358
ÉLECTROTECHNIQUE
c3
ai E
~~i!//!!//! //!! 0
J
120
3503///\19//w
(a)
(b)
(c)
Figure 26-3 a . Alternateur triphasé ; b . Tensions alternatives générées par les trois enroulements ; c . Diagramme vectoriel des tensions induites,
efficace, mais elles n'atteignent pas leur valeur maximale en même temps . En effet, à l'instant où l'aimant occupe la position indiquée sur la Fig . 26-3a, seule la tension Ea passe par sa valeur maximale positive . La deuxième tension Eb2 atteint sa valeur maximale positive quand le rotor a tourné d'un angle de 120° (soit un tiers de tour) . Enfin, la tension Ec3 atteint sa valeur maximale positive lorsque le rotor a tourné d'un angle de 240° (ou 2/3 de tour) par rapport à la position initiale . u
Les trois tensions Eat, Eb2 et Ec3, déphasées l'une de l'autre de 120°, sont représentées sous forme de courbes sinusoïdales à la Fig . 26-3b, et vectoriellement à la Fig . 26-3c . 26 .3 Montage en étoile Les trois enroulements d'un alternateur triphasé pourraient alimenter trois circuits distincts (Fig . 26-4a) . Cet arrangement exigerait 6 fils pour alimenter la charge totale constituée par trois charges monophasées . Si chaque phase alimente une charge résistive, les courants Ia , Ib et le sont respectivement en phase avec les tensions Ea i, Eb2 et E,3- Si, de plus, les trois résistances sont égales, les courants ont la même valeur efficace, mais ils sont déphasés de 120° l'un de l'autre (Fig . 264b) . On peut toutefois réduire le nombre de fils de ligne en groupant les trois fils de retour en un seul (Fig . 26-5) . Ce fil de retour, appelé fil neutre (ou phase neutre), porte la somme des trois courants de sorte que 'neutre = (l a + Ib + 'e ) .
Eat
(a)
(b) Ec3
Eb2
Figure 26-4 a . Système à 3 phases, 6 fils ; b . Diagramme vectoriel des tensions et des courants .
À première vue, il semble que la section du fil neutre doive être trois fois plus grande que celle des lignes ab et c . Cependant, le diagramme vectoriel de la Fig . 26-5b montre que la somme vectorielle de ces trois courants est nulle . Par conséquent, Ineutre = 0 . On peut donc enlever le fil neutre complètement sans que les tensions ou les courants soient affectés (Fig .
CIRCUITS TRIPHASÉS
359
celui de la Fig . 26-5 est un montage en étoile à quatre fils . La plupart des alternateurs triphasés sont montés en étoile, avec 3 ou 4 fils de sortie . Les lignes qui sortent de l'alternateur sont généralement appelées phases*, tout comme les trois enroulements eux-mêmes . 26 .4 Propriétés du montage en étoile
(a)
la
La Fig . 26-7a représente, de façon schématique, la disposition des trois enroulements sur l' induit d' un alternateur. Les bornes 1, 2, 3 sont raccordées ensemble pour former une seule borne n, appelée neutre . Le diagramme vectoriel des trois tensions induites Ean, Ebn, E,n est montré à la Fig . 26-7b . Supposons que leur valeur efficace soit de ELN volts . Quelle est alors la valeur des tensions entre les bornes a, b et c? D'après la première loi de Kirchhoff, et en suivant d'abord la boucle a, b, n dans le sens horaire, on peut écrire l'équation suivante :
(b)
E ab+Eb n +Ena =0 donc Figure 26-5 a . Système à 3 phases, 4 fils ; b . Le courant dans le fil neutre est nul .
26-6) . On réalise du même coup une forte économie sur la ligne de transport . Toutefois, il faut remarquer que, pour supprimer le fil neutre, les trois charges doivent être identiques . Si les charges ne sont pas identiques, l'absence de fil neutre occasionne un déséquilibre des tensions sur les trois charges . Le circuit de l'alternateur et de la charge de la Fig . 26fest appelé montage en étoile à trois fils, tandis que
Eab = - Ena - Ebn
soit Eab = Ean - Ebn Cette somme vectorielle donne le vecteur E ab montré à la Fig . 26-7c. Il est 30° en avance sur le vecteur E an et sa valeur efficace EL est donnée par : EL = 2 x (valeur efficace de E an cos 30°) =2xELN cos30°
= 2 xELNx
~
2
_ ~3
ELN
Le terme «phase» peut avoir différentes significations selon le contexte . Les exemples suivants montrent comment le terme est utilisé: 1 . le courant est en phase avec la tension (dans un diagramme vectoriel) ; 2 . les trois phases d'une ligne de transport (désigne les trois conducteurs de la ligne); 3 . la tension entre les phases (signifie la tension entre les lignes); 4 . la séquence des phases (désigne l'ordre dans lequel les vecteurs de tension se suivent dans un montage triphasé) ; 5 . la phase grillée d'un moteur (désigne l'enroulement grillé d'un moteur triphasé) ; 6 . les courants de phase sont équilibrés (signifie que les courants dans un montage triphasé sont égaux et décalés de 120°) ; 7 . les phases sont déséquilibrées (signifie que les tensions d'une ligne triphasée ne sont pas égales et qu'elles ne sont pas décalées de 120°) .
360
ÉLECTROTECHNIQUE
Ean
En effet, et
Ebc = Ebn - Ecn Eca = Ecn - Ean
Le diagramme vectoriel complet est montré à la Fig . 26-7d . On constate que les tensions Eab, Ebc et Eca entre les lignes sont aussi déphasées entre elles de 120° . Pour une ligne triphasée on peut donc écrire :
(a)
EL
(b)
= F ELN
(26-1)
ou EL = tension entre les lignes [V] ELN = tension entre les lignes et le neutre [V]
= constante [valeur approximative = 1,73]
3
(c)
Afin de clarifier davantage ces résultats, nous montrons à la Fig . 26-8 un alternateur dont la tension ligne à neutre est de 100 V. Les tensions entre les lignes sont toutes égales et leur valeur est 100 x f volts ou 173 V. Pour le montage en étoile, les tensions de ligne à
Ebn
Ecn
30°
n
Figure 26-8 Tensions produites par un alternateur connecté en étoile .
ligne sont donc 1,73 fois plus grandes que les tensions de ligne à neutre* . Figure 26-7 a . Enroulements d'un alternateur raccordés en étoile ; b . Diagramme vectoriel des tensions ligne à neutre ; c . Construction du vecteur de tension Eab ; d . Les tensions Eab , Ebc, Eca sont égales et déphasées de 120° .
En choisissant, à tour de rôle, les boucles b, c n, et c, a, n, on obtient exactement la même valeur efficace pour la tension entre les bornes b, c et c, a .
Les tensions entre les lignes a, b, e constituent un système triphasé, mais la tension entre deux lignes quel-
Les termes ligne-ligne et ligne-neutre sont aussi utilisés . Lorsqu'on donne la tension d'un système triphasé ou d'une machine triphasée sans spécifier s'il s'agit d'une tension ligne-neutre ou ligne-ligne, il est entendu qu'il s'agit de la tension efficace ligne à ligne . Par exemple, si l'on parle d'une ligne de distribution de 24,9 kV, il est entendu que cette tension désigne la tension efficace ligne à ligne ou phasephase.
361
CIRCUITS TRIPHASÉS
conques (a et b, b et c, ou c et a) demeure une tension monophasée .
IL
Exemple 26-1
1
Un alternateur triphasé à 60 Hz génère une tension sinusoïdale de 23 900 V entre les lignes . Calculer :
00
a) la tension efficace entre une ligne et le neutre b) la tension crête entre deux lignes c) l'intervalle de temps qui sépare les valeurs crête positives des tensions E,h et Ebc
Solution a) La tension ligne à neutre ELN est :
ELN
EL
23 900 =
=
V
F
EL
Figure 26-9a Charge triphasée équilibrée montée en étoile .
IL
= 13 800 V
IL
b) La tension crête entre deux lignes est: EL
aête = EL
C = 23 900
= 33 800 V c) Un angle de 120° sépare les vecteurs Ea b et Ebc. Comme un cycle (360°) a une durée de 1/60 s, l'intervalle entre les valeurs crêtes positives de Ea b et de Ebc est :
t
1200
1
= X
360°
= 0,00556 s = 5,56 ms
60
26 .5 Charges raccordées en étoile et en triangle Pour que les courants dans les trois lignes d'un système triphasé soient égaux, il faut que la charge soit équilibrée, condition rencontrée très souvent dans les circuits triphasés . Une charge triphasée est dite équilibrée lorsqu'elle est constituée de trois impédances identiques . Les trois impédances peuvent être montées en étoile (Fig . 26-9a) ou en triangle (Fig. 26-9b) . Les relations entre les tensions et les courants de chaque élément, par rapport à la tension de ligne EL et au courant de ligne IL , sont indiquées sur ces figures .
Figure 26-9b Charge triphasée équilibrée montée en triangle .
Pour le montage en étoile, il est facile de comprendre d'après ce que nous venons d'expliquer, que les règles suivantes s'appliquent : CONNEXION EN ÉTOILE
1 . le courant dans chaque élément est égal au courant IL dans la ligne 2. la tension aux bornes de chaque élément est égale à la tension EL de ligne à ligne divisé par 3 3 . les trois tensions aux bornes des éléments sont déphasées de 120° 4 . les trois courants dans les éléments sont déphasés de 120°
362
ÉLECTROTECHNIQUE
En ce qui concerne le raccordement en triangle, déterminons les relations entre les tensions et les courants en supposant une charge résistive (Fig . 26-10a) . Les résistances étant branchées entre les lignes, les courants Il , 72, 13 sont en phase avec les tensions correspondantes Eab, Ebc et Eca (Fig . 26-1Ob) . Ces dernières sont créées par un alternateur qui n'apparaît pas sur la figure . Si on examine le nceud A de la ligne a, la deuxième loi de Kirchhoff nous permet d'écrire :
diquent que la valeur efficace de Ia est i fois plus grande que la valeur efficace de I l (ou de 1 3 ) . À cause de la symétrie du montage pour les trois phases, on peut écrire : (26-2) où IL = courant dans les lignes [A] I
Ia
=1 1
courant dans chaque branche de la connexion en triangle [A]
=
-13
En faisant cette somme vectorielle, on constate que le vecteur Ia se trouve 30° en avance sur le vecteur I 1 . De plus, les relations géométriques de la Fig . 26-10b in-
= constante [valeur approximative = 1,73] Nous concluons que pour un montage en triangle (Fig . 26-9b), les règles suivantes s'appliquent : CONNEXION EN TRIANGLE
1 . le courant dans chaque élément est égal au courant L dans la ligne divisé par 3 2 . la tension aux bornes de chaque élément est égale à la tension EL de ligne à ligne 3 . les tensions aux bornes des éléments sont déphasées de 120° 4 . les courants dans les éléments sont déphasés de 120° I
(a)
Exemple 26-2
Une ligne triphasée à 550 V (ligne à ligne) alimente trois résistances identiques montées en étoile . Quelle est la tension aux bornes de chaque résistance? Solution
La tension aux bornes de chaque résistance est égale à la tension de ligne à neutre soit :
E =
EL = 550 V
LN V
J
= 318V
1,73
Exemple 26-3
Trois impédances identiques montées en triangle sur une ligne triphasée à 550 V tirent un courant de ligne de 10 A . Calculer : Figure 26-10 a . Charge triphasée équilibrée montée en triangle ; b . Diagramme vectoriel pour une charge résistive .
a) le courant dans chaque impédance et la tension à ses bornes b) la valeur des impédances
CIRCUITS TRIPHASÉS
Solution a) Le courant dans chacune des impédances est : I
_ IL 3
b) la valeur de chaque impédance est : 2 = EL = 550 V
I
- la puissance totale absorbée par les trois résistances est trois fois plus grande, soit :
P=3x ELIL
= 10 A = 5,78 A 1,73
et la tension aux bornes de chacune est EL = 550 V.
= 95 S2
363
C3 ELIL
= 1,13 E LIL
F On arrive au même résultat, que le montage soit raccordé en étoile ou en triangle . Or, la puissance dissipée dans les résistances est évidemment égale à celle fournie par la ligne ; il en résulte que la puissance active transportée par la ligne vaut :
5,78 A P = t ELIL watts
26 .6 Puissance transportée par une ligne triphasée On a souvent à calculer la puissance transportée par une ligne triphasée en fonction de sa tension EL et du courant de ligne I L . Calculons tout d'abord la puissance active absorbée par une charge constituée de trois résistances identiques montées a) en étoile et b) en triangle .
D'une façon générale, et pour une charge équilibrée, la puissance apparente totale transportée par une ligne triphasée est donnée par la formule : S =
• = puissance apparente totale transportée par la ligne triphasée, en volts-ampères [VA] EL = tension de ligne à ligne (et non de ligne à neutre), en volts [V] IL = courant de ligne, en ampères [A]
le courant dans chaque résistance est IL ampères ;
la puissance active Pz absorbée par chaque résistance est donc : Pz = EL
XIL =
ELIL
1_ 3 3 la puissance totale absorbée par les trois résistances est trois fois plus grande, soit :
Les relations entre les puissances active P, réactive Q, et apparente S sont les mêmes dans les circuits triphasés équilibrés que dans les circuits monophasés . Il en est de même pour le facteur de puissance d'un circuit triphasé . On a donc : S2 = P2 + Q 2
(26-4)
FP = PIS
(26-5)
et
P = 3 x ELIL = ï ELIL = 1,73 ELIL
3
(26-3)
où
Pour le montage en étoile (Fig . 26-9a) :
la tension aux bornes de chaque résistance est de EL/'3 volts ;
3 ELIL
où
Pour le montage en triangle (Fig. 26-9b) :
le courant dans chaque résistance est :
• = puissance active du circuit triphasé [W] • = puissance apparente du circuit triphasé [VA] • = puissance réactive du circuit triphasé [var]
Exemple 26-4 la tension aux bornes est EL volts ; la puissance active Pz absorbée par chaque résistance est donc : IL Pz = EL
ELIL
X
F3
U3
Un moteur triphasé raccordé à une li ne à 480 V tire un courant de 5 A dans chaque sil . a) Calculer la puissance apparente fournie au moteur h) Quelle est la puissance active fournie au moteur sachant que son facteur (le puissance est de 80 ~î17
364
ÉLECTROTECHNIQUE
Solution
Le courant dans chaque ligne est également de 2,88 A .
a) la puissance apparente totale est :
On obtient directement ce résultat en appliquant la formule 26-3, soit :
S = \ ELIL = 1,73 x ,480 x 5
= 4157 VA = 4,16 kVA b) la puissance active totale est : P=SxFP=4,15 x0,80=3,32 kW
26.7 Résolution des circuits triphasés On peut résoudre assez facilement les circuits triphasés équilibrés en ne considérant qu'une seule phase . En effet, une charge triphasée équilibrée est tout simplement un ensemble de trois charges identiques monophasées . Les exemples qui suivent illustrent comment on doit procéder.
IL _
S EL
_
F
3000
= 2,89 A
600 x 1,73
b) Résistance de chaque élément : R = E _ 347 V
I
= 120 S2
2,89 A
Exemple 26-6 Dans le circuit de la Fig . 26-12 . calculer : a) le courant dans chaque ligne b) la tension aux bornes des inductances
Exemple 26-5
Solution
Trois résistances égales montées en étoile sur une ligne triphasée à 600 V dissipent une puissance totale de 3000 W (Fig . 26-11) . Calculer :
a) Chacune des trois branches du circuit comprend une réactance inductive XL = 4 Ç2 et une résistance R = 3 S2 . Chaque branche est soumise à la tension monophasée qui existe entre une ligne et le neutre . Cette tension a pour valeur :
a) le courant dans chaque ligne h) la valeur de chaque résistance
EL
Solution
ELN _
a) Puissance dissipée par chaque résistance : 3000 W = 1000 W 3 Tension aux bornes de chaque résistance :
F
= 440 V
= 254 V
1,73
L'impédance de chaque phase est :
P =
E = EL
= 600
F
1,73
E
347 V
2
+ XL
= V3 2 + 4 2 =552 = 347 V Le courant dans chaque élément est donc :
Courant dans chaque résistance : I_P=1000W
Z = ~ R
=2,88A
I _
254
V = 50,8 A 5 S2
Ce courant est aussi le courant de ligne .
30
3 S2
ligne 600 V
3 S2
Figure 26-11 Voir exemple 26-5 .
Figure 26-12 Voir exemple 26-6 .
éq . 24-3
CIRCUITS TRIPHASÉS
b) La tension aux bornes de chaque inductance est : E=IXL =50,8Ax4S2=203 V Exemple 26-7
Une ligne triphasée à 550 V, 60 Hz, alimente trois condensateurs identiques montés en triangle (Fig . 26-13) . Le courant de ligne est de 22 A . Calculer la capacitance de chaque condensateur . Solution Courant dans chaque condensateur : I
=
IL
= 22 A = 12,7 A 1,73
Tension aux bornes de chaque condensateur : EL = 550 V
Réactance capacitive X c de chaque condensateur : Xc = 550 V = 43,3 S2 12,7 A
365
tent que 3 bornes de raccordement, de sorte qu'il est impossible de dire comment les connexions sont effectuées à l'intérieur . Dans ces circonstances, comme il est plus facile de traiter une connexion en étoile qu'une connexion en triangle, on suppose que le raccordement est en étoile . L'hypothèse d'une connexion en étoile peut être appliquée non seulement à des charges individuelles, mais aussi à des usines entières ou des centres commerciaux qui comprennent des milliers de charges dont on ignore la connexion . En voici deux exemples . Exemple 26-8
Une usine absorbe 414 kVA d'une ligne triphasée à 2400 V (Fig. 26-14a) . La charge est assez bien équilibrée, et le facteur de puissance est de 87,5 (4 (en retard) . Déterminer : a) l'impédance de l'usine, par phase h) l'angle entre le courant de lime et la tension ligne à neutre c) le diagramme vectoriel complet de l'usine
d'où la capacitance C Solution C
_
1
_
2iggXc
1 2n x
60 x 43,3
= 61,3 x10 6 F = 61,3 tF
a) Nous modélisons la charge de l'usine en la représentant par trois impédances raccordées en étoile (Fig . 26-14b) . La tension par phase est : ELN =
A o
550V60Hz B 3 phases o C o
> 22 A
EL
= 1386 V
La puissance apparente par phase est : = Stotale =
414 kVA
3
3
Spar phase 22 A > 22 A
= 2400
= 138 kVA
Le courant par phase est: R I = Spar phase =
Figure 26-13 Voir exemple 26-7 .
ELN
138 000 VA
= 100 A
1386 V
d'où l'impédance par phase :
26.8 Charges industrielles Il arrive souvent que l'on ne sache pas si une charge triphasée est raccordée en étoile ou en triangle . Par exemple, les moteurs, condensateurs, etc ., ne présen-
Z = E = 1386 V = 13,9 S2 I 100 A
366
ÉLECTROTECHNIQUE
b) L'angle entre le courant et la tension ligne à neutre est donné par : 0 = arccos
(FP)
= arccos 0,875 = 29°
éq . 25-7
Le courant est en retard sur ELN de 29°, dans chaque phase . c) Le diagramme vectoriel est montré à la Fig . 26-14c . En pratique, on simplifierait le diagramme en ne montrant qu'une seule phase, soient les vecteurs Ean, Ia , et l'angle entre les deux .
Exemple 26-9 Un moteur de 5000 hp tire un courant de 462A d'une ligne triphasée à 4000 V (Fig . 26-15) . L .e facteur de puissance du moteur est de 85 U . Un banc de condensateurs de 900 kvar est installé aux hornes du moteur pour améliorer le facteur de puissance de la lieue . Calculer : a) la puissance active absorbée par le moteur b) la puissance réactive absorbée par le moteur c) la puissance réactive fournie par la ligne d) le courant tiré de la ligne e) Tracer le diagramme vectoriel pour une phase
a 414 kVA o
2400 V 3 phases
b o
1 >QL
Qm
c o Fp = 87,5 (a)
5000 hp FP=85%
900 kvar Figure 26-15 Charge composée d'un gros moteur et d'un banc de condensateurs pour améliorer le facteur de puissance de la ligne (voir exemple 26-9) . (b)
Solution Dans cet exemple, nous appliquerons une autre approche, en utilisant les puissances actives, réactives et apparentes totales, au lieu de leur valeur par phase . a) La puissance apparente absorbée par le moteur est : )l- Ean Sm = EI
C
= 4000 x 462 x
= 3200 kVA La puissance active absorbée par le moteur est : Eb (c)
Pm = S x FP
= 3200 x 0,85 = 2720 kW
b) La puissance réactive absorbée par le moteur est : Figure 26-14 a . Tension et puissance à l'entrée d'une usine (voir exemple 26-8) ; b . Circuit équivalent de l'usine ; c . Diagramme vectoriel des tensions et des courants .
Qm =
5,;, -
Pm = 1~ 3200 2 - 2720
= 1686 kvar
2
CIRCUITS TRIPHASÉS
c) La puissance réactive fournie par la ligne est la différence entre Qm et la puissance réactive Qc fournie par le banc de condensateurs . QL = Qm - Qc = 1686 - 900 = 786 kvar
d) La puissance active fournie par la ligne est la même que celle absorbée par le moteur, soit : PL = 2720 kW
La puissance apparente fournie par la ligne est : SL = ~PL + QL
= ~ 2720
+ 786 2
= 2831 kVA Le courant tiré de la ligne est : _
SL
_ 2 831 000 =
EL 1'
4000 13
IL
409 A
367
prend ELN comme vecteur de référence parce qu'il est commun à tous les équipements . 26 .9 Séquence des phases En plus de sa tension et de sa fréquence, un système triphasé possède une propriété importante appelée séquence des phases . Dans une ligne triphasée, la séquence des phases est l'ordre dans lequel les trois tensions maximales positives se succèdent. Comme on le verra au chapitre 36, le sens de rotation des moteurs triphasés dépend de la séquence des phases, et la mise en parallèle des lignes triphasées ne peut se faire que si les séquences sont les mêmes . Pour ces raisons, il est souvent nécessaire de connaître la séquence des phases en plus de la valeur et de la fréquence des tensions . On peut facilement comprendre le concept de séquence des phases en considérant l'analogie suivante .
e) Le facteur de puissance de la ligne est : = PL
= 2720 kW = 0,96 = 96 % SL 2831 kVA
FPL
L'angle entre le courant de 409 A et la tension ligne à neutre est : 6L = arccos FPL = arccos 0,96 = 16°
La tension ligne à neutre est : ELN _
EL = 4000
3
Courant triphasé tiré par le banc de condensateurs : j c
=
Qc EL 1~
409 A
= 2309 V
462 A
VS
= 900 000
4000 V 3 phases
= 130 A
4000 13
Ce courant est 90° en avance sur la tension ELN . L' angle entre le courant de 462 A tiré par le moteur et la tension E LN est : 6m = arccos FPm = arccos 0,85 = 32° Ces informations nous permettent de tracer le diagramme vectoriel pour une phase (Fig . 26-16a) . On
900 kvar Figure 26-16 a . Diagramme vectoriel des courants et de la tension (voir exemple 26-9) ; b . Courants dans les trois lignes . Noter que le courant tiré de la source est inférieur à celui tiré par le moteur .
368
ÉLECTROTECHNIQUE
Supposons que les lettres a, b, c soient inscrites à intervalles de 120° sur un disque tournant autour d'un axe (Fig . 26-17) . Si le disque tourne dans le sens antihoraire, les lettres se présenteront à un observateur dans la séquence a-b-c-a-b-c-, etc . Cette séquence est appelée séquence directe ou séquence a-b-c* . Par contre, si le disque tournait dans le sens horaire, l'observateur verrait la séquence a-c-b-a-c-b-, etc . (Fig. 26-18) . Cette séquence s'appelle séquence inverse ou séquence a-c-b . Intervertissons maintenant deux lettres quelconques sur le disque de la Fig . 26-17, tout en gardant le sens de rotation antihoraire . Par exemple, si on intervertit les lettres a et c, on obtient le résultat montré à la Fig . 2619 . Pour l'observateur, la séquence est c-b-a-c-b-a-, etc ., soit en abrégé a-c-b . C'est donc la même séquence que celle générée par le disque de la Fig . 26-18 . Nous concluons qu'on peut convertir une séquence directe en séquence inverse en intervertissant deux des trois lettres . Considérons maintenant une source triphasée possédant les bornes a, b, c (Fig . 26-20) . Supposons que les tensions entre les bornes soient fidèlement représentées par les vecteurs tournants Eab, Ebc, Eca • Comme ces derniers tournent dans le sens antihoraire, ils traversent l'axe vertical dans la séquence : Eab
Ebc
Eca
Eab
Ebc
Figure 26-17 Les lettres apparaissent dans la séquence a-b-c .
Figure 26-18 Les lettres apparaissent dans la séquence a-c-b .
Eca
En ne retenant que les indices de cette série de tensions, on obtient la séquence ab-be-ca-ab-be-ca-, ce qu'on peut écrire sous la forme abbccaabbccaa . . ., etc . En remplaçant les lettres doubles par une seule, on obtient la séquence a-b-c . Par définition, on dit que la séquence des phases est a-b-c, ou que les tensions générées par la source sont en séquence directe .
Figure 26-19 Les lettres apparaissent dans la séquence a-c-b .
Exemple 26-10 La séquence des phases dans la Fig . 26-21 est A-CB (,séquence inverse) . Tracer le diagramme vectoriel des tensions de ligne .
source 30
Solution Les tensions suivent la séquence A - C - B, ce qui est équivalent à la séquence AC - CB - BA - AC . Par con-
Dans les manuels anglais, les séquences directe et inverse sont respectivement désignée par positive sequence et negative sequence .
Ec
(a)
(b)
Figure 26-20 La tension triphasée entre les lignes a, b, c est fidèlement représentée par le diagramme vectoriel . La séquence est a-b-c (séquence directe) .
CIRCUITS TRIPHASÉS
369
jours plus que l'autre* et la séquence des phases sera dans l'ordre : lampe brillante - lampe faible - condensateur . Figure 26-21 Voir exemple 26-10 .
ECB
EAC
séquent, la séquence des tensions est EAC - EcB - EBA • Le diagramme vectoriel correspondant est donné à la Fig . 26-21 . Noter que l'orientation de l'ensemble des trois vecteurs n'a pas d'importance, c'est leur position relative qui indique la séquence.
Dans la Fig . 26-22a, la séquence est donc C-B-A (ou A-C-B) . Le diagramme vectoriel correspondant est donné à la Fig. 26-22b. 26 .11 Mesure de la puissance active (circuits triphasés à 3 fils) La puissance active fournie à une charge triphasée à trois fils peut être mesurée au moyen de deux wattmètres montés suivant le schéma de la Fig . 26-23 .
En ce qui concerne la charge, on peut inverser la séquence des phases d'une ligne triphasée en intervertissant simplement deux conducteurs . Bien que cette opération semble triviale, elle peut créer un problème majeur lorsqu'il s'agit d'intervertir les grosses barres omnibus alimentant un moteur triphasé . Il en serait de même s'il fallait intervertir les conducteurs d'une ligne de transport à 500 kV. En pratique, afin d'éviter ces problèmes, on tient compte de la séquence des phases lors de la planification du réseau . La séquence des phases de tous les réseaux de transport, de répartition et de distribution est connue d'avance, et toute modification à ces réseaux en tient compte . 26.10
Détermination de la séquence des phases Bien qu'il existe des instruments spéciaux pour déterminer la séquence des phases, on peut en fabriquer un très simplement en branchant en étoile deux lampes à incandescence identiques et un condensateur (Fig . 26-22a) . Si l'on branche ce montage aux trois fils de lignes, sans raccorder le neutre, une lampe brillera tou-
ECB
EBA
EAC
(a)
Figure 26-23 Méthode de raccordement de deux wattmètres dans un circuit à 3 phases, 3 fils .
La puissance totale fournie à la charge est égale à la somme des puissances indiquées par les deux wattmètres . Si le facteur de puissance de la charge est inférieur à 100 %, les valeurs indiquées par chacun des instruments sont différentes . De plus, si le FP de la charge est inférieur à 50 %, l'aiguille de l'un des deux wattmètres tend même à dévier dans le mauvais sens, c'est-à dire qu'il donne une lecture négative . Il faut alors inverser les connexions de la bobine de courant ou de la bobine de potentiel de ce wattmètre afin d'obtenir une indication numérique de cette quantité négative . Dans ce cas, c'est la différence entre les valeurs indiquées par les wattmètres qui donne la puissance du circuit triphasé .
(b)
Figure 26-22 a . Montage simple pour déterminer la séquence des phases ; b . Diagramme vectoriel des tensions .
Afin d'observer une différence notable dans l'éclairage, il faut que l'impédance du condensateur soit comprise entre un dixième et dix fois la résistance nominale d'une lampe .
370
ÉLECTROTECHNIQUE
La méthode des deux wattmètres donne la puissance active totale, même si les charges sont déséquilibrées . De plus, la mesure ne dépend pas de la séquence des phases . La Fig . 26-24 montre un wattmètre triphasé utilisé pour mesurer la puissance totale sur un réseau .
Solution Puissance apparente fournie au moteur :
S = TELIL = 1,73 x 600 x 10 = 10 380 VA Puissance active fournie au moteur :
Exemple 26-11
Un essai a deux wattmètres sur un moteur triphasé donne les résultats suivants :
P = 5950 + 2355 = 8305 W d'où le facteur de puissance :
P,
+ 5950 W
= + 2355 W
Les courants dans les trois fils de ligne sont de 10 A et la tension entre les lignes est de 600 V . Calculer le FP du moteur.
8305 FP _ P _ = 0,80 ou 80 % S 10 380
marques de transformateurs polarité de courant A
-1 -- transformateurs ,,,, de tension -marques de polarité
Figure 26-24 Wattmètre utilisé pour la mesure de la puissance active dans une ligne triphasée à 3 fils . Les transformateurs de potentiel et de courant sont intercalés entre la ligne triphasée et l'instrument, selon le schéma de raccordement montré ci-dessus . Le wattmètre lui-même est doté d'un multiplicateur Et qui génère une tension à courant continu proportionnelle à la puissance active totale . Laiguille est donc actionnée par un simple mouvement d'Arsonval (voir aussi la figure 25-10 montrant un varmètre triphasé fonctionnant selon le même principe) (gracieuseté de Cie Générale Électrique) .
CIRCUITS TRIPHASÉS
371
Exemple 26-12
Dans l'exemple 26-11 montrant l'application de la méthode des deux wattmètres dans un circuit à 3 fils, les tensions de lignes sont équilibrées .
P, AO
a) Calculer la puissance réactive tirée par le moteur P2
b) Connaissant P et Q, vérifier que le facteur de puissance est bien 80 %
Bo charge P3 Co
Solution
a) Les wattmètres indiquent les valeurs respectives de +5950 W et +2355 W La puissance réactive tirée par le moteur est donc
No
Q = (5950 - 2355) x
= 6227 var
b) La puissance active P = 5950 + 2355 = 8305 W Figure 26-25 Méthode de raccordement de trois wattmètres dans un circuit à 3 phases, 4 fils .
La puissance apparente : 1
S = 1~ P + Q 2 = 8305 2 +6227 = 10 380 VA
d'où le facteur de puissance: 26.12 Mesure de la puissance active (circuits triphasés à 4 fils) Pour mesurer la puissance dans les circuits triphasés à quatre fils, on doit utiliser trois wattmètres . La bobine de courant de chacun des wattmètres est en série avec un fil de phase . La bobine de potentiel est connectée entre le fil neutre et le fil de phase correspondant (Fig . 26-25) . La puissance totale fournie à la charge est égale à la somme des puissances indiquées par les trois wattmètres . La méthode des trois wattmètres donne la puissance active totale, même si les charges sont déséquilibrées . 26 .13 Mesure de la puissance réactive Le varmètre indique la puissance réactive dans un circuit . Sa construction est identique à celle d'un wattmètre, mais la tension appliquée sur la bobine de potentiel est décalée de 90° par rapport à son angle réel . On rencontre les varmètres surtout dans les salles de commande des centrales, les postes et les grandes usines . Dans les montages expérimentaux triphasés (3 fils ou 4 fils), on peut mesurer la puissance réactive en utilisant deux wattmètres branchés selon le schéma de la Fig . 26-23 . Il suffit de multiplier la différence des lectures par le facteur I3 . Remarquer que cette méthode Ç applique seulement aux circuits triphasés équilibrés .
FP = PIS = 8305/10380 = 0,80
La Fig . 25-10 (chapitre 25) montre un varmètre triphasé utilisé pour mesurer la puissance réactive totale dans une ligne . 26 .14
Puissance instantanée d'un circuit triphasé Lors de l'étude des circuits monophasés (chapitre 22, Fig . 22-3), nous avons vu que la puissance instantanée fournie à une résistance varie périodiquement entre zéro et un maximum . Le même phénomène se produit dans un circuit résisiif triphasé . Cependant, comme les tensions et les courants sont déphasés de 120°, il s'ensuit que les puissances actives des trois phases sont aussi déphasées . La Fig . 26-26 montre les tensions ligne à neutre d'une charge triphasée et les ondes correspondantes des puissances instantanées Pa , Pb, Pc. Si l'on additionne ces trois puissances, on constate que la puissance totale donne à tout instant une valeur constante . Cette puissance est égale à 1,5 fois la puissance crête d'une seule phase . Donc, dans un circuit triphasé équilibré, la puissance active instantanée totale est constante . Nous verrons plus loin que cette propriété des puissances triphasées a un effet important sur le comportement des moteurs et des génératrices à courant alternatif .
372
ÉLECTROTECHNIQUE
Ea b
Figure 26-27 La tension v est proportionnelle à la puissance instantanée fournie à la charge .
Pc
À cause de l'effet Hall, une tension v dont la valeur est proportionnelle au produit instantané I x Op (donc au produit EI) apparaît alors entre les deux autres faces i Si on applique cette tension aux bornes d'un oscillographe, on peut observer la forme d'onde de la puissance instantanée . La Fig . 26-26 montre trois de ces puissances instantanées . Elle peut aussi être appliquée sur un voltmètre à c .c . sensible dont l'aiguille fournira une indication proportionnelle à la puissance moyenne active, tout comme un wattmètre de construction conventionnelle . 0
120 240
360 540 720
degrés
Figure 26-26 Schéma montrant que la puissance active totale d'un circuit triphasé équilibré est constante .
26 .15 Mesure de la puissance instantanée Le wattmètre est un instrument qui multiplie la tension instantanée E par le courant instantané I et affiche la valeur moyenne de ce produit . Dans le wattmètre conventionnel, c'est par un moyen mécanique (inertie du cadre et de l'aiguille) que l'on obtient la valeur moyenne du produit EL Dans les wattmètres électroniques, on utilise plutôt un multiplicateur qui donne la valeur instantanée du produit EL Ce multiplicateur peut être réalisé au moyen de composants électroniques ou d'un générateur à effet Hall . Ce dernier est composé d'un semi-conducteur spécial en forme de parallélépipède . Le courant I passe par deux faces parallèles pendant qu'un flux ¢ p , proportionnel à la tension E, traverse deux autres faces (Fig . 26-27) .
26 .16 Résumé Les circuits triphasés sont utilisés pour la production, le transport et la distribution de l'énergie électrique . ainsi que pour l'alimentation des charges importantes_ Nous avons vu qu'il existe deux façons de connecter les branches d'un circuit triphasé : le montage en étoile et le montage en triangle . Il est important de retenir les relations entre les tensions ligne à ligne et les tensions ligne à neutre (montage en étoile), de même que les relations entre les courants de lignes et les courants de branches (montage en triangle) . Retenons aussi la formule S = EI\13 donnant la puissance apparente S d'un circuit triphasé équilibré en fonction de la tension E et du courant I de ligne . Ces relations font toutes intervenir le facteur i3 . Nous avons vu que la résolution d'un circuit triphasé équilibré est simplifiée en ne considérant qu'une seule phase . Nous avons aussi appris comment déterminer la séquence des phases et comment mesurer les puissances active et réactive dans un circuit à trois ou quatre fils .
CIRCUITS TRIPHASÉS
PROBLÈMES - CHAPITRE 26 Niveau pratique
373
26-10 Donner le montage de deux wattmètres dans un circuit triphasé à 3 fils .
26-1 Un alternateur triphasé connecté en étoile génère une tension de 2400 V dans chacune de ses phases . Quelle est la tension entre les 3 fils de sortie?
Niveau intermédiaire
26-2 L'alternateur de la Fig . 26-3 génère une tension crête de 100 V par phase . Déterminer:
a) Quelle est la puissance fournie à l'ensemble? b) Si l'un des fusibles de la ligne brûle, quelle sera la nouvelle puissance fournie?
a) la valeur instantanée de la tension aux bornes al à 0°, 90°, 120°, 240° et 330 b) la polarité de la borne a par rapport à la borne 1 à chacun des instants c) la valeur instantanée de la tension aux bornes b2 aux mêmes instants 26-3 Dans le diagramme vectoriel de la Fig . 26-3c, la tension Eb2 est 120° en arrière de la tension E,1 . Peut-on dire également que la tension Eb2 est 240° en avant de la tension Ea1? 26-4 La tension entre les lignes a-b-c de la Fig . 26-6 est de 620 V. a) Calculer la tension aux bornes de chaque résistance . b) Si R = 15 S2, quel est le courant dans chaque ligne? c) Quelle est la puissance fournie à la charge? 26-5 Trois charges résistives Z sont raccordées en triangle selon le schéma de la Fig . 26-1Oa . La tension entre les lignes A - B - C est de 13,2 kV et le courant dans les fils de ligne est de 1202 A . Calculer : a) le courant dans chaque résistance b) la tension aux bornes de chaque résistance c) la puissance fournie à chaque résistance d) la puissance totale fournie à la charge 26-6 a) Quelle est la séquence des phases dans la Fig . 26-10 : a-c-b ou a-b-c? b) Comment peut-on inverser cette séquence? 26-7 Un moteur triphasé est alimenté par une ligne à 600 V. Le courant tiré de la ligne étant de 25 A, quelle est la puissance apparente fournie au moteur? 26-8 Trois lampes à incandescence de 60 W, 120 V sont raccordées en triangle . Quelle doit être la valeur de la tension d'alimentation triphasée pour que les lampes éclairent normalement? 26-9 Représenter par un schéma le montage d'un wattmètre dans un circuit monophasé .
26-11 Trois résistances de 10 S2 sont connectées en triangle sur une ligne triphasée à 208 V .
26-12 Si l'un des trois conducteurs d'une ligne triphasée est coupé, la charge devient-elle alimentée par une tension monophasée ou diphasée? 26-13 Un groupe triphasé d'éléments chauffants de 15 kW est alimenté à 208 V. Quel est le courant dans chaque ligne? 26-14 On désire charger à pleine capacité, au moyen de résistances, un alternateur triphasé de 100 kVA, 4 kV . Calculer la résistance de chaque élément pour une connexion : a) en étoile
b) en triangle
26-15 Les enroulements d'un moteur triphasé sont raccordés en triangle . On mesure une résistance de 0,6 £2 entre deux des trois bornes du moteur . Quelle est la résistance de chaque phase? 26-16 Trois résistances de 24 £2 sont raccordées en triangle sur une ligne triphasée à 600 V . Calculer la résistance par élément d'un montage en étoile dissipant la même puissance . 26-17 Un moteur triphasé de 45 kW (puissance mécanique) absorbe une puissance active de 50 kW d'une ligne triphasée à 600 V. Sachant que le courant dans chaque ligne est de 60 A, calculer : a) b) c) d)
le rendement du moteur la puissance apparente absorbée par le moteur la puissance réactive absorbée par le moteur le facteur de puissance du moteur
26-18 Trois résistances de 15 £2 et trois réactances de 8 S2 sont raccordées en étoile selon le schéma de la Fig . 26-12 . Sachant que la tension de la ligne est de 530 V, calculer : a) les puissances active, réactive et apparente fournies à la charge b) la tension aux bornes de chaque résistance
374
ÉLECTROTECHNIQUE
26-19 Deux lampes de 60 W et un condensateur de
26-25 Trois résistances branchées en triangle sur une
10 µF raccordés en étoile sont branchés sur trois bornes triphasées X-Y Z dont la tension est de 120 V. Le condensateur est connecté à la borne Y et la lampe qui brille le plus est connectée à la borne X .
ligne triphasée consomment 60 kW . Quelle sera la puissance absorbée si on les raccorde en étoile?
a) Quelle est la séquence des phases? b) Tracer le diagramme vectoriel des tensions ligne à ligne . 26-20 Deux wattmètres montés dans un circuit tri-
phasé à 220 V indiquent respectivement 3,5 kW et 1,5 kW. Le courant dans chacun des fils de ligne étant de 16 A, calculer :
26-26 Trois résistances de 15 S2 et trois réactances
de 8 S2 sont raccordées symétriquement à une ligne triphasée de 530 V selon les montages suivants : a) R, X en série, connexion en étoile b) R, X en parallèle, connexion en triangle c) R en triangle, X en étoile Déterminer pour chaque cas, le courant dans les fils de ligne sans avoir recours aux diagrammes vectoriels (utiliser la méthode des puissances) .
a) la puissance apparente de la charge b) son FP
26-27 Dans la Fig . 26-13, quel serait le courant dans
Un moteur électrique ayant un FP de 82 % tire un courant de 25 A d'une ligne triphasée à 600 V.
26-28
26-21
a) Calculer la puissance active fournie au moteur . b) Sachant que le rendement du moteur est de 85 %, quelle puissance en kW développe-t-il? c) Quelle est sa consommation d'énergie, si le moteur marche pendant trois heures? 26-22 Un wattmètre de 0-3 kW, dont la tension maxi-
male est de 300 V et le courant maximal de 10 A, est inséré dans un circuit dont le FP est de 10 % et la tension de 200 V. Il indique alors une puissance de 1,7 kW . On s'aperçoit cependant qu'une fumée se dégage du wattmètre au bout de quelques instants . Expliquer. Niveau avancé 26-23 Trois condensateurs de 10 µF sont montés en
étoile sur une ligne triphasée à 2,3 kV, 60 Hz . a) Quel courant tirent-ils de chaque fil de ligne? b) Quelle est la puissance réactive fournie par l'ensemble des condensateurs? 26-24 Si dans le problème 26-19, le condensateur est
raccordé à la borne X, quelle est la lampe qui brille le plus?
chaque ligne si la fréquence était de 50 Hz? Sur la Fig . 26-7c, la tension E n instantanée est de +100V (valeur projetée sur l'axe vertical) . Quelle est la valeur instantanée des 5 autres tensions? Copier le schéma de la Fig . 26-7a et indiquer toutes les tensions instantanées avec leurs polarités . D'après la loi de Kirchhoff, la somme des tensions dans une boucle fermée est nulle . Vérifier que cette loi est bien vérifiée pour ce montage. 26-29 Pour le problème 26-28, la fréquence est de
50 Hz . Déterminer la valeur des tensions instantanées après un intervalle de 1,667 ms . 26-30 Une charge résistive-inductive branchée sur
une ligne à 2,4 kV absorbe une puissance apparente de 600 kVA à un FP de 80 % . Déterminer les valeurs de R et de XL en supposant une connexion semblable à celle montrée à la Fig . 26-12 . Les wattmètres de la Fig . 26-23 indiquent respectivement des puissances de +35 kW et -20 kW . La charge étant équilibrée, calculer : 26-31
a) le FP de la charge b) le courant dans la ligne si la tension triphasée est de 630 V
PARTIE II MACHINES ÉLECTRIQUES ET TRANSFORMATEURS
27 Génératrices à courant continu
Nous avons déjà vu le principe de fonctionnement d'une génératrice à courant continu (chapitre 17, section 17 .13) . Dans ce chapitre, nous examinerons de plus près la construction et le comportement de cette machine .
27 .1
Inducteur
L'inducteur (parfois appelé «champ») produit le flux magnétique dans la machine . Il est constitué d'un électro-aimant qui engendre la force magnétomotrice (FMM) nécessaire à la production du flux . Dans les machines bipolaires (à deux pôles), deux bobines excitatrices sont portées par deux pièces polaires montées à l'intérieur d'une culasse . La culasse est généralement en fonte d'acier, tandis que les pièces polaires sont formées de tôles d'acier doux .
Aujourd'hui, les génératrices à c .c . jouent un rôle mineur car le courant continu est produit surtout par des redresseurs électroniques . Ces redresseurs, étudiés au chapitre 42, convertissent le courant alternatif d'un réseau en courant continu, sans utiliser d'éléments mécaniques tournants . Il est quand même indispensable d'étudier les génératrices car certains moteurs à c .c . fonctionnent en génératrice pendant de courtes périodes . C'est le cas, par exemple, des moteurs utilisés dans les grues et dans les laminoirs .
Les bobines excitatrices sont alimentées en courant continu, et le courant qui les traverse porte le nom de courant d'excitation . Elles sont composées de plusieurs centaines de spires et portent un courant relativement faible . Les bobines sont bien isolées des pièces polai-
La théorie des moteurs s'appuie en effet sur celle des génératrices, à tel point qu'on peut utiliser une machine à courant continu soit comme moteur, soit comme générateur. Nous étudierons les moteurs à c .c . au chapitre 28 .
flux
collecteur
culasse pièce polaire inducteur bobine excitatrice
CONSTRUCTION D'UNE GÉNÉRATRICE À C .C .
induit
Une génératrice à c . c . comprend quatre parties principales : l'inducteur, l'induit, le collecteur et les balais (Fig . 27-1 et 27-2) . Nous les examinons successivement dans les sections qui suivent .
Figure 27-1 Parties principales d'une génératrice à courant continu . 377
378
ÉLECTROTECHNIQUE
culasse
pièce polaire bobine excitatrice
induit
Figure 27-3 Polarités magnétiques d'une génératrice à 6 pôles et mode de raccordement des bobines du champ shunt .
Figure 27-2 Vue en coupe d'une génératrice de 1,8 kW, 6 V, 300 A .
res afin de réduire les risques de court-circuit à la terre . Dans certaines génératrices spéciales, les bobines et pièces polaires sont remplacées par des aimants permanents . La force magnétomotrice (FMM) des bobines crée un champ magnétique qui traverse les pièces polaires, la culasse, l'induit et l'entrefer (Fig . 27-1) . L'entrefer est l'espace d'air séparant la surface de l'induit de celle des pièces polaires : il est de l'ordre de 1,5 mm à 5 mm pour les machines de faible et moyenne puissance . Comme l'induit et l'inducteur sont construits avec des matériaux possédant une bonne perméabilité, la majeure partie de la FMM sert à pousser le flux à travers l'entrefer. Donc, en réduisant la longueur de celui-ci, on peut diminuer la grosseur des bobines excitatrices . La vue en coupe de la Fig . 27-8 montre les différentes parties d'une génératrice bipolaire . Le nombre de pôles que porte l'inducteur dépend surtout de la grosseur de la machine . Plus une machine est puissante et plus sa vitesse est basse, plus elle aura de pôles . En utilisant plus de deux pôles on réduit les dimensions et le coût des grandes machines .
Les bobines sont disposées de telle façon que leurs deux côtés coupent respectivement le flux provenant d'un pôle nord et d'un pôle sud de l'inducteur . Le noyau est formé d'un assemblage de tôles en fer doux . Ces tôles sont isolées les unes des autres et portent des encoches destinées à recevoir les bobines (Fig . 27-4a) .
(a)
(b)
/
Les bobines excitatrices d'un inducteur multipolaire sont connectées de façon que les pôles adjacents aient des polarités magnétiques contraires (Fig . 27-3) . 27 .2 Induit L'induit est composé d'un ensemble de bobines identiques réparties uniformément autour d'un noyau cylindrique . Il est monté sur un arbre et tourne entre les pôles de l'inducteur . L'induit constitue donc un ensemble de conducteurs qui coupent le flux magnétique.
Figure 27-4 a . Le noyau de l'induit est composé d'un empilage de tôles d'acier. b . Les conducteurs sont retenus dans les encoches au moyen de cales en fibre .
GÉNÉRATRICES À COURANT CONTINU Les conducteurs de l'induit sont parcourus par le courant débité par la machine . Ils sont isolés du noyau par des couches de papier ou d'autres feuilles isolantes . Pour résister aux forces centrifuges, ils sont maintenus solidement en place dans les encoches au moyen de cales en fibre (Fig . 27-4b et 27-5) . Si le courant est plutôt faible, on emploie des conducteurs ronds, mais s'il dépasse une cinquantaine d'ampères, on se sert de conducteurs rectangulaires qui permettent une meilleure utilisation du volume de l'encoche .
379
autres d'une fraction de millimètre seulement, des étincelles seraient produites par le rebondissement des balais quand la machine serait en charge . De telles étincelles rongeraient et détérioreraient les balais, tout en surchauffant et en carbonisant le collecteur, ce qui ne peut évidemment être toléré. Les machines multipolaires ont autant de balais que de pôles . Par exemple, une génératrice ayant 6 pôles possède 6 balais, dont 3 positifs (+) et 3 négatifs (-) . Les balais (+) sont reliés ensemble pour former la borne positive de la machine . De même, les balais (-) sont reliés ensemble pour en former la borne négative (Fig . 27-6c) . Les balais sont faits en carbone car ce matériau possède une bonne conductivité électrique et est assez doux pour ne pas user indûment le collecteur . Pour améliorer leur conductivité, on ajoute parfois au carbone une petite quantité de cuivre .
Figure 27-5 Photo d'un induit illustrant collecteur, empilage de tôles, cales en fibre, bobinage et ventilateur (gracieuseté de General Electric Company, U .S .A .) .
27 .3 Collecteur et balais Le collecteur est un ensemble cylindrique de lames de cuivre isolées les unes des autres par des feuilles de mica . Le collecteur est monté sur l'arbre de la machine, mais isolé de celui-ci (Fig . 27-6a) . Les deux fils sortant de chaque bobine de l'induit sont successivement et symétriquement soudés aux lames du collecteur. Dans une génératrice bipolaire, deux balais fixes et diamétralement opposés appuient sur le collecteur . Ainsi, ils assurent le contact électrique entre l'induit et le circuit extérieur (Fig . 27-6b) . La construction du collecteur demande un soin considérable, car, s'il arivait qu'une des lames dépasse les
(b)
(c)
Figure 27-6 a . Collecteur à 16 lames et noyau d'acier montés sur un arbre . b . Balais sur une génératrice bipolaire . c . Groupement des balais sur une machine à 6 pôles .
380
ÉLECTROTECHNIQUE
La pression des balais sur le collecteur peut être réglée à une valeur appropriée grâce à des ressorts ajustables (Fig . 27-7). Si la pression est trop grande, le frottement provoque un échauffement excessif du collecteur et des balais ; par contre, si elle est trop faible, le contact imparfait peut produire des étincelles . La pression des balais sur le collecteur est généralement de l'ordre de 15 kPa (1,5 N/cm 2) et la densité du courant qui les traverse est d'environ 10 A/cm 2 . Par exemple, un balai ayant une largeur de 3 cm et une épaisseur de 1 cm exerce une pression d'environ 4,5 newtons sur le collecteur et peut porter un courant de 30 A .
porte-balai (a) balai
27 .4 Enroulement imbriqué Les bobines de l'induit peuvent être reliées entre elles et au collecteur de plusieurs manières ; une des plus employées est l'enroulement imbriqué . Afin de comprendre ce genre d'enroulement, considérons une simple bobine qui tourne entre les deux pôles d'un inducteur (Fig . 27-9) . On sait qu'une tension alternative sera induite entre ses bornes a et b . La valeur instantanée de cette tension dépend de la position de la bobine. Supposons que la tension maximale soit de 10 V. On montre à la Fig . 27-10, huit positions successives de la bobine, avec les tensions et les polarités correspondantes . Par exemple, lorsque la bobine passe par la position 225', la tension E a b est de -7 V car a est (-) par rapport à b .
ressort (b)
Figure 27-7 Balai et porte-balai d'une machine à c .c . Pour les forts courants de collecteur, on utilise deux et même plusieurs balais connectés en parallèle . En se référant à la Fig . 27-2, on remarque que chaque point de contact comprend trois balais, côte à côte, reliés en parallèle . Comme la génératrice possède 4 pôles, il y a 12 balais en tout, dont 6 sont connectés à la borne (+) et 6 à la borne (-) . Le courant par balai est donc de 300A=6=50 A .
s Figure 27-9 La tension induite dans le cadre tournant dépend de sa position .
+ a 90+ 10* v -
c
b
+
10 V c 270°
a -
Figure 27-10 Tensions induites pour 8 positions du cadre .
Figure 27-8 Vue en coupe d'une génératrice à c .c . bipolaire (gracieuseté de General Electric Company, U.S .A .) .
Imaginons maintenant un induit possédant 8 bobines identiques à celle qu'on vient de décrire . Les bobines sont distribuées uniformément autour de l'induit, à 45° les unes des autres (Fig . 27-11) . Elles sont identifiées
GÉNÉRATRICES À COURANT CONTINU
Figure 27-11 Induit portant 8 bobines . Les bobines logées dans les mêmes encoches produisent des tensions identiques mais de polarités contraires .
381
Figure 27-12 Valeurs instantanées des tensions induites dans les huit bobines .
0
par les chiffres encerclés (1) à (8), et logées dans 8 encoches numérotées 1 à 8 . Faisons tourner cet ensemble de 8 bobines à la même vitesse qu'auparavant . Chaque bobine génère une tension et une polarité correspondant à sa position . Pour chaque bobine, la tension obtenue est identique à celle induite dans la bobine de la Fig . 27-10 . Notons que les bobines (1), (5) sont logées dans les mêmes encoches ; par conséquent, leurs tensions Ea b ont instantanément la même valeur, mais de polarités contraires . Il en est de même pour les bobines (2), (6) ; (3), (7) et (4), (8) . Si l'on considère l'instant particulier où la bobine (1) est à 0°, la tension dans cette bobine est nulle, et les tensions dans les autres bobines sont celles que présente la Fig . 27-12 . Un instant plus tard, lorsque l'induit a tourné de 45°, la tension Eab de la bobine (1) est de +7 V, celle de la bobine (2) est nulle, celle de la bobine (3) est de - 7 V, et ainsi de suite . Jusqu'à présent nous avons supposé que les bobines étaient isolées les unes des autres ; relions-les maintenant en série pour créer une boucle fermée (Fig . 2713) . La tension résultante est égale à la somme des tensions des huit bobines . Cependant, en faisant la somme, on s'aperçoit que les tensions induites dans les bobines logées dans les mêmes encoches s'annulent. Par conséquent, la somme algébrique des ten-
Figure 27-13 Étant donné que la somme des tensions autour de la boucle est nulle, on peut la fermer sans produire un courant de circulation .
sions autour de la boucle est nulle à tout instant . Donc aucun courant ne circule dans la boucle et les tensions de la Fig . 27-13 demeurent les mêmes que celles de la Fig . 27-12 . Connectons alors les bobines à un collecteur à huit lames (Fig . 27-14). Ces connexions sont montrées en pointillé. Il est évident que la tension induite dans chaque bobine apparaît maintenant entre deux lames consécutives . C'est cet arrangement des bobines, et leur raccordement au collecteur, qui constitue un enroulement imbriqué .
382
ÉLECTROTECHNIQUE
sance à un courant de court-circuit important qui risque de produire des étincelles et de provoquer la destruction progressive des balais et de la surface du collecteur. On dit alors que ces étincelles sont dues à une mauvaise commutation .
Figure 27-14 On place les balais à l'endroit produisant la plus grande tension Exy .
En pratique, l'induit comporte beaucoup plus que huit bobines . Ainsi, l'induit d'une génératrice de 250 kW, 250 V, 1200 r/min peut contenir 240 bobines, ce qui exige un nombre égal de lames sur le collecteur . 27 .5 Position des balais et zones neutres Si on place les balais x, y à l'endroit indiqué sur la Fig . 27-14, la tension EXy recueillie est égale à la somme des tensions entre les lames, soit EXY =+7+10+7= +24 V.
Lorsque l'induit tourne de 45°, les tensions induites sont les mêmes, sauf qu'elles sont générées par un autre groupe de bobines . Il s'ensuit que la tension entre les balais demeure constante à 24 V, et que le balai x demeure toujours positif par rapport au balai y . Notons, toutefois, que lorsque l'induit tourne de 22,5° par rapport à la position originale, il y a 4 bobines entres les balais (au lieu de 3), de sorte que la tension est légèrement différente de 24 V La tension entre les balais fluctue donc autour d'une valeur moyenne de 24 V . Dans la Fig . 27-14, le balai x est en contact avec deux lames, mettant ainsi la bobine (1) en court-circuit . De la même façon, le balai y court-circuite la bobine (5) . Mais comme la tension induite dans ces bobines est nulle, ce court-circuit momentané n'a aucun effet. Par contre, si les balais sont déplacés de 45° dans le sens horaire, ils court-circuiteront les bobines (2) et (6) . Or, la tension de 7 V générée par ces bobines donnera nais-
Le déplacement des balais occasionne aussi une diminution de la tension entre les balais, même si les tensions induites dans les bobines demeurent inchangées . En effet, si les balais sont déplacés de 45°, la tension EXy devient (+ 10 + 7 + 0) = 17 V, au lieu de 24 V Enfin, si l'on déplace les balais de 90°, la tension EX , tombe à (+ 7 + 0 - 7) = 0 V. En même temps, les balais court-circuitent les deux bobines qui génèrent une tension de 10 V. Par conséquent, le problème de la commutation sera encore pire . En se référant de nouveau à la Fig . 27-11, on remarque que les 8 bobines sont logées dans 8 encoches . Chaque encoche contient donc les conducteurs de deux bobines différentes . Ainsi, l'encoche 1 contient les conducteurs appartenant à la bobine (1) et à la bobine (5) . Pour des raisons de symétrie mécanique, un côté d'une bobine est logé dans le fond d'une encoche tandis que l'autre côté est logé dans la partie supérieure de l'encoche . Par exemple, un côté de la bobine (5) est logé dans le fond de l'encoche 5 et l'autre dans la partie supérieure de l'encoche 1 . Les zones neutres sont les endroits situés à la surface de l'induit où la densité de flux est nulle . Lorsque la génératrice fonctionne à vide, les zones neutres se trouvent exactement à mi-chemin entre les pôles . Aucune tension n'est induite dans une bobine traversant une zone neutre ; c'est pourquoi on cherche à disposer les balais autour du collecteur afin qu'ils soient en contact avec les bobines franchissant ces zones neutres . On assure en même temps une tension maximale entre les balais . Cette condition idéale est rencontrée à la Fig . 27-14 . 27 .6 Génératrices multipolaires Afin de mieux comprendre les machines multipolaires, examinons la construction d'une génératrice à 12 pôles . La Fig . 27-15a montre le diagramme schématique d'une telle machine possédant 72 encoches sur l'induit, 72 lames sur le collecteur et 72 bobines . L'enroulement est du type imbriqué et le lecteur notera la grande ressemblance avec le diagramme schématique d'une machine bipolaire (Fig . 27-14) .
GÉNÉRATRICES À COURANT CONTINU
383
Figure 27-15a Diagramme schématique d'une génératrice à c .c . comportant 12 pôles et 72 bobines sur l'induit .
Les bobines A et C traversent momentanément la zone neutre, tandis que la bobine B coupe le flux au centre des pôles . La largeur des bobines (appellée pas de bobine) est telle que leurs côtés coupent le flux provenant respectivement de pôles N, S adjacents . Ainsi, les côtés de la bobine B se trouvent au milieu du pôle 2 et au milieu du pôle 3 . De la même façon, les côtés de la bobine A sont dans les zones neutres entre les pôles 1 .2 et les pôles 2,3 . La tension entre les balais x et y est égale à la somme des tensions engendrées dans les cinq bobines connectées entre les lames 1-2, 2-3, 3-4, 4-5 et 5-6 . Les tensions entre les autres balais sont similairement engendrées par cinq bobines . Les six balais (+) sont connectés ensemble pour former la borne positive . De la même façon, les six balais (-) sont connectés ensemble pour former la borne né-
gative . Ces connexions ne sont pas montrées sur le diagramme . La Fig . 27-15b montre, en plus grand, les bobines situées entre les balais x et y . Pour ne pas compliquer le diagramme, on ne montre que les bobines A, B et C . Les deux côtés de la bobine A sont logés dans les encoches 1 et 7, tandis que ceux de la bobine B sont dans les encoches 4 et 10 . La bobine A est raccordée aux lames 72 et 1, alors que la bobine B est raccordée aux lames 3, 4 . Dans la position montrée sur la figure, les côtés de la bobine A sont dans des zones neutres . Par conséquent, aucune tension n'est induite dans celle-ci . Par contre, les côtés de la bobine B sont situés directement en dessous des pôles N et S . La tension induite dans cette bobine est alors à son maximum . Il s'ensuit que la tension entre les lames 3 et 4 est à son maximum .
384
ÉLECTROTECHNIQUE
PROPRIÉTÉS D'UNE GÉNÉRATRICE À C .C .
zone
s A
fil rotation
Figure 27-15b Génératrice à 12 pôles . Détails montrant la disposition des bobines A, B, C (Fig . 27-15a) dans les encoches, ainsi que les raccordements au collecteur . En pratique, une telle machine aurait beaucoup plus que 72 bobines .
27 .7 Valeur de la tension induite La valeur de la tension induite aux bornes d'une génératrice à c .c . dépend de sa vitesse de rotation, du nombre de bobines sur l'induit, du nombre de spires par bobine, du flux par pôle et du genre d'enroulement. Dans le cas d'un enroulement imbriqué, la tension est donnée par l'équation : E E.
Zn0
(27-1)
60 où Eo = tension induite aux bornes de la génératrice
La tension aux bornes de la bobine C est aussi nulle car ses côtés se trouvent dans des zones neutres . Enfin, on observe que les balais (+) et (-) mettent en courtcircuit des bobines dont la tension induite est momentanément de zéro . Exemple 27-1 Le générateur de la Fig . 27-15a développe une tension de 240 V entre les balais adjacents, tout en débitant un courant de 2400 A dans la charge . Calculer : a) le courant fourni par chacun des balais b) le courant circulant dans chaque bobine e j la valeur moyenne de la tension induite dans les bobines Solution
a) Le courant de 2400 A sort de la borne (+) et entre par la borne (-) de la génératrice . Il y a 12 balais en tout, dont 6 (+) et 6 (-) . Le courant par balai est :
à courant continu [V] Z = nombre total de conducteurs sur l'induit n = vitesse de rotation en tours par minute [r/min] 0 = flux par pôle, en webers [Wb] 60 = constante tenant compte des unités Dans cette équation, il est bon de retenir que chaque spire sur l'induit correspond à deux conducteurs . Exemple 27-2 L'induit d'une génératrice à 6 pôles, 600 r/min, contient 45 encoches et 90 bobines de 4 spires . L'enroulement est imbriqué . Calculer la valeur de la tension induite aux bornes, sachant que le flux par pôle est de 0,04 Wb. Solution
Chaque spire comprend 2 conducteurs, et 90 bobines sont utilisées pour remplir les 45 encoches . Le nombre total de conducteurs sur l'induit est : Z = 90 bobines x 4 spires/bobine x 2 = 720, d'où la tension induite :
I = 2400 A/6 = 400 A b) Au point de contact avec le collecteur, chaque balai (+) porte le courant venant des enroulements situés à gauche et à droite du balai . Donc, le courant porté par chaque bobine est de 400/2 = 200 A . c) L'induit comporte 72 bobines réparties entre 12 balais, soit 72/12 = 6 bobines entre deux balais consécutifs . La tension entre les balais étant de 240 V, la tension moyenne par bobine est Emoyenne = 240 V/6 = 40 V
E E.
Zn0 60 720 x 600 x 0,04
= 288 V
60 27 .8 Réaction d'induit Jusqu'à présent, nous avons supposé que seule la FMM de l'enroulement inducteur agissait sur le circuit magnétique d'une machine à courant continu (moteur ou
GÉNÉRATRICES À COURANT CONTINU
génératrice) . Cependant, le passage du courant dans les conducteurs de l'induit crée également une force magnétomotrice qui a pour effet de déformer et d'affaiblir le flux provenant des pôles . L' action magnétique de la FMM de l'induit est appelée réaction d'induit . Pour comprendre la réaction d'induit, on doit connaître le sens des courants circulant dans les conducteurs de l'induit situés en dessous de chacun des pôles . On peut facilement le déterminer pour un moteur ou une génératrice lorsqu'on connaît le sens de rotation de la machine .
N
o
Figure 27-16 Sens du courant dans les conducteurs situés en dessous du pôle nord lorsque la génératrice tourne dans le sens antihoraire .
Considérons, par exemple, les conducteurs situés en dessous du pôle nord d'une génératrice tournant dans le sens antihoraire (Fig . 27-16) . Étant donné qu'on doit exercer un travail mécanique pour faire tourner la génératrice, il s'ensuit que les courants circulant dans les conducteurs doivent s'opposer au déplacement ; cette force a donc tendance à faire tourner le rotor dans le sens horaire . Par conséquent, les courants doivent être dirigés vers le lecteur (voir section 16 .1) . Lorsqu'un générateur fonctionne à faible charge, le faible courant circulant dans l'induit ne modifie pas de façon appréciable le champ magnétique 01 provenant des pôles (Fig . 27-17) . Mais quand le courant dans l'induit devient important, il produit une FMM élevée créant un champ magnétique 02 (Fig . 27-18) . La somme des champs 01 et 02 donne le champ résultant 03 (Fig . 27-19) . On constate alors que la densité de flux augmente sous la moitié gauche du pôle, alors qu'elle diminue sous la moitié droite . Ce phénomène a deux conséquences . D'abord, la zone neutre se déplace vers la gauche (avec le sens de rotation) . Ensuite, à cause de la saturation de l'extrémité A du pôle, l'augmentation de flux produite sous la partie gauche ne réussit pas à compenser la diminution sous la partie droite ; le flux 0s en charge est donc légèrement inférieur au flux 0, à vide . Pour les gros générateurs, cette diminution peut être de l'ordre de 5 % .
Figure 27-17 Champ créé par le pôle N de l'inducteur .
X02
o
.. .
o 10~
Figure 27-18 Champ dû au courant circulant dans l'induit .
En outre, si l'on veut éviter une mauvaise commutation, on doit réajuster les balais sur la nouvelle zone neutre . Pour les génératrices, les balais doivent donc être déplacés dans le sens de la rotation . Une fois les balais déplacés, la commutation est bonne ; cependant, si le courant diminue, la FMM de l'induit baisse et le point neutre occupe une nouvelle position située entre les deux positions précédentes . Il faut alors déplacer à nouveau les balais pour obtenir une com-
385
Figure 27-19 Champ résultant dû à la réaction d'induit .
386
ÉLECTROTECHNIQUE
mutation sans étincelles . Ce procédé est inacceptable lorsque le courant varie fréquemment et de façon très marquée . Dans les générateurs de faible puissance (moins de 500 W), on peut cependant se permettre de fixer les balais à une position intermédiaire, ce qui assurera une commutation acceptable pour toutes les charges .
momentanément court-circuitées par les balais se trouvent toujours dans une zone où la densité de flux es nulle . Il n'est donc plus nécessaire de déplacer les balais à mesure que la charge varie . La Fig . 27-21 montre les pôles de commutation intercalés entre les 4 pôles principaux d'une génératrice de 25 kW.
27 .9 Pôles de commutation Pour compenser l'effet de la réaction d'induit, on dispose entre les pôles ordinaires des machines à c.c, des pôles de commutation . Ces pôles auxiliaires sont conçus pour développer une FMM égale et opposée en tout temps à la FMM de l'induit . À cette fin, l'enroulement des pôles de commutation est raccordé en série avec l'induit de façon qu'il soit traversé par le même courant et qu'il développe une FMM proportionnelle au courant d'induit. La Fig . 27-20 montre les connexions des pôles de commutation d'un générateur bipolaire tournant dans le sens antihoraire . On voit que la FMM C des pôles de commutation s'oppose à la FMMi de l'induit, et annule ainsi l'effet de celle-ci . Par conséquent, les bobines qui sont
(a)
(b)
Figure 27-20 Les pôles de commutation produisent une FMMc égale et opposée à la FMMi de l'induit .
Figure 27-21 a . Les pôles de commutation sont placés entre les pôles principaux de cette génératrice compound à 4 pôles . b . Construction de l'inducteur . Les deux fils alimentent le champ shunt tandis que les deux bornes sont reliées au champ série (gracieuseté de General Electric Company, U. S . A .) .
GÉNÉRATRICES À COURANT CONTINU 27 .10 Génératrice à excitation séparée Nous avons vu que le flux dans la machine est créé par le passage d'un courant d'excitation dans les bobines de l'inducteur. Lorsque ce courant continu est fourni par une source indépendante, c'est-à-dire séparée de la machine (une batterie d'accumulateurs, par exemple), on dit que la génératrice est à excitation séparée . La Fig . 27-22 représente une telle génératrice . La source de courant d'excitation est raccordée aux bornes a et b . Lorsque les deux pôles sont excités et que l'induit est entraîné au moyen d'une turbine ou d'un moteur quelconque, une tension Eo apparaît aux bornes x et y reliées aux balais .
387
ration de la génératrice (Fig . 27-23) . Durant cet essai, la vitesse de rotation de la génératrice est maintenue constante . On peut donc faire varier la tension induite à volonté en faisant varier le courant d'excitation . La tension nominale de la machine est habituellement située un peu plus haut que le «coude» de la courbe de saturation, soit, dans le cas de la Fig . 27-23, aux environs de 120 V. tension nominale
V 150 Eo 120 90 60 30 0 0
1
2 -
3 A
IX
Figure 27-23 Courbe de saturation à vide . Figure 27-22 Génératrice à excitation séparée .
27 .11 Fonctionnement à vide Quand une génératrice à excitation séparée tourne à vide (c'est-à-dire lorsqu'elle n'est raccordée à aucun circuit d'utilisation et que l'induit ne débite aucun courant), une variation du courant d'excitation ou de la vitesse de rotation entraîne une variation correspondante de la tension induite . Si on augmente le courant d'excitation, la FMM des bobines de l'inducteur augmente, ce qui augmente le flux dans la machine . Par conséquent, les conducteurs coupent un plus grand nombre de lignes par seconde et la tension aux bornes de l'induit (entre les balais) augmente . Lorsque ce courant est faible, la perméabilité de l'entrefer étant constante, le flux croît proportionnellement au courant d'excitation . Mais lorsque le fer de l'inducteur et de l'induit commencent à se saturer, la perméabilité diminue et le flux ne croît presque plus . On dit alors que la machine est saturée . 1 . Effet du courant d'excitation .
Si l'on trace la valeur de la tension induite en fonction du courant d'excitation, on obtient la courbe de satu-
Quand les bornes du circuit d'excitation sont interverties, le courant circule en sens inverse dans les bobines d'excitation, ce qui change le sens des lignes de force . Ce changement entraîne un changement de la polarité de la tension induite . Lorsqu'on augmente la vitesse de rotation sans faire varier le courant d'excitation, le nombre de lignes coupées par seconde augmente en proportion, ce qui augmente la tension induite. La tension induite Eo est strictement proportionnelle à la vitesse de rotation . 2. Effet de la vitesse de rotation .
Quand on change le sens de rotation, la polarité des bornes x et y change aussi . Lorsqu'on change à la fois la polarité de la tension d'excitation et le sens de rotation, la polarité de la tension induite demeure la même . 27 .12
Génératrice à excitation shunt
Lorsque les bobines excitatrices sont reliées directement aux bornes du générateur, de façon que le courant d'excitation soit fourni par l'induit, la génératrice est dite à excitation shunt (Fig . 27-24) . Le grand avantage de cette connexion réside dans le fait qu'elle n'exige aucune source extérieure pour le fonctionnement de la machine .
388
ÉLECTROTECHNIQUE
x
y
Figure 27-24 Génératrice shunt .
27 .13 Réglage de la tension Il est facile de régler la valeur de la tension induite dans un générateur shunt . Il suffit de faire varier l'intensité du courant d'excitation au moyen d'une résistance variable intercalée en série avec les bobines excitatrices (Fig . 27-25) . Cette résistance variable porte le nom de rhéostat d'excitation. Pour comprendre comment on peut faire varier la tension au moyen de ce rhéostat, supposons que la tension entre les bornes x et y soit de 120 volts lorsque le curseur p est au centre du rhéostat. En déplaçant le curseur vers l'extrémité m du rhéostat, la valeur de la résistance entre les points a et b diminue, ce qui provoque une augmentation du courant d'excitation I x . Cet accroissement du courant dans les bobines excitatrices entraîne un accroissement du flux, donc une augmentation de la tension induite . Par contre, si l'on déplace le curseur vers l'extrémité n, la résistance augmente, le courant IX diminue, le flux diminue et la tension induite Eo diminue .
Si l'on connaît la courbe de saturation et la résistance totale Rt du champ et du rhéostat, on peut déterminer la valeur de la tension induite . Il suffit de tracer, sur le graphique de la courbe de saturation, une droite correspondant à la résistance R t. Le point de coupure de cette droite avec la courbe correspond à la tension induite . Par exemple, si la résistance de l'inducteur est de 50 £2 et celle du rhéostat est nulle, la droite passe par le point E = 50 V, I = 1 A . Cette droite coupe la courbe de saturation à un point correspondant à une tension de 150 V (Fig . 27-26) . Étant donné que la résistance du rhéostat est nulle, cela représente la tension maximale que peut atteindre la génératrice à excitation shunt . En déplaçant le curseur p, la résistance du circuit inducteur augmente et lorsqu'elle est, disons, de 120 S2 on obtient une nouvelle droite coupant la courbe à une tension E o de 120 V. Si l'on continue à augmenter la résistance R t, on atteindra une valeur critique où sa pente correspond à celle de la courbe de saturation . Dans ce cas, la tension commence à chuter et tombera à zéro . En fait, la tension sera nulle pour toute valeur R t supérieure à la valeur critique. Dans la Fig . 27-26, la valeur critique correspond à 200 S2 .
V 160 140
0 120 100 Eo 80 60
i
40
i 20
i
0 0
Figure 27-25 Réglage de la tension induite au moyen d'un rhéostat .
ii 1
3 A
Figure 27-26 Méthode pour déterminer la valeur de la tension induite .
GÉNÉRATRICES À COURANT CONTINU
389
27 .14 Génératrice en charge L'induit d'une génératrice est formé d'un grand nombre de conducteurs ayant une certaine résistance . On appelle résistance de l'induit celle qu'on peut mesurer entre les balais de la machine, à la surface même du collecteur. Elle est généralement très faible, souvent de l'ordre du centième d'ohm ; elle dépend particulièrement de la puissance et de la tension de la machine . Pour faciliter l'étude du circuit de la génératrice on représente cette résistance R o en série avec l'un des balais .
Figure 27-27 Circuit équivalent de l'induit d'une génératrice .
On peut donc représenter le circuit de l'induit par une résistance R o en série avec une tension Eo , cette dernière représentant la tension induite dans les conducteurs tournants (Fig . 27-27) . Lorsque la machine fonctionne à vide, la tension E12 entre les balais est égale à la tension induite E o , car la chute de tension dans la résistance de l'induit est nulle puisqu'il n'y circule aucun courant. Par contre, lorsqu'on relie l'induit à une charge (Fig . 27-28), le courant de charge I provoque une chute de tension dans la résistance R o . La tension E 12 obtenue entre les balais (et par conséquent aux bornes de la charge) est alors inférieure à la tension induite Eo . Cette dernière demeure fixe si la vitesse et le flux provenant des pôles restent constants . À mesure que la charge augmente, la tension aux bornes de la charge diminue progressivement, comme l'in dique la Fig . 27-29. Le graphique représentant cette variation de la tension en fonction du courant débité porte le nom de caractéristique en charge. Dans le cas d'une génératrice shunt, la diminution de la tension aux bornes avec la charge est plus grande que celle d'une génératrice à excitation séparée. En effet, la tension induite dans cette dernière est à peu près constante . Ce n'est pas le cas pour la génératrice shunt, car le courant d'excitation et le flux diminuent à mesure que la tension entre les bornes s'abaisse . Pour la génératrice shunt, la baisse de tension entre les conditions à vide et les conditions de pleine charge est de l'ordre de 15 %, tandis que pour une génératrice à excitation séparée, elle est d'environ 10 % . Outre la résistance de l'induit, le phénomène de réaction de l'induit fait aussi baisser la tension aux bornes de la génératrice . En effet, on a vu que le passage du courant dans les conducteurs de l'induit donne nais-
Figure 27-28 Circuit équivalent lorsque la génératrice est sous charge .
V 100 95 . . . . . . . . . . . . . . . . 90
00
:
5 -* .I
10 A
Figure 27-29 Caractéristique en charge d'une génératrice à c .c .
sance à une FMM qui tend à déformer et à réduire le flux provenant des pôles . Cet affaiblissement du flux provoque une diminution correspondante de la tension induite Eo et, par conséquent, de la tension aux bornes .
390
ÉLECTROTECHNIQUE
Exemple 27-3
Pour éviter ces fluctuations de tension avec la charge.
Une génératrice à excitation séparée de 150 kW,
on emploie une génératrice compound additive* .
250 V, 350 r/min a les caractéristiques suivantes :
La construction de la génératrice compound additive
résistance de 1'induit : 15 rn12 résistance des pôles de commutation : 10 mQ2
(Fig . 27-30a) est semblable à celle de la génératrice shunt, sauf qu'elle comprend des bobines excitatrices additionnelles, branchées en série avec l'induit . Ces
résistance du champ shunt : 60 £2 longueur de l'entrefer : 5 mm
bobines sont composées de quelques spires de fil assez gros pour supporter le courant de l'induit . Leur ré-
On estime qu'a pleine charge, la réaction de l'induit diminue le flux d'environ 3 % . La tension à vide est ajustée à 260 V . Calculer la valeur de la tension aux
sistance totale est donc très faible . Par contre, les bo-
bornes lorsque la génératrice débite son courant nominal .
La Fig . 27-30b donne une représentation schématique
bines shunt comprennent un grand nombre de spires de fil plus petit : leur résistance est relativement élevée . des connexions .
Solution
Lorsque la génératrice tourne à vide, le courant est nul
Le courant nominal est :
dans les bobines excitatrices série . Toutefois, les bobines excitatrices shunt sont parcourues par un cou-
I
= P = 150 000 W E
rant IX produisant une FMM qui engendre un flux dans = 600 A
250 V
la machine . Quand on branche une charge aux bornes de la généra-
La chute de tension dans la résistance de l'induit est : Einduit = RI = 0,015 x 600 = 9 V
trice, la tension aux bornes tend à baisser. Cependant. la FMM développée par les bobines excitatrices série croît avec le courant de charge le et s'ajoute à la FMM
La chute de tension dans les pôles de commutation est : Ecommutation = RI = 0,010 x 600 = 6 V
du champ shunt. Cette augmentation du flux produit une tension induite plus grande que celle à vide . Selon le nombre de spires de l'enroulement série, il est pos-
À cause de la réaction d'induit, la tension induite sous charge est de 3 % inférieure à celle induite à vide . Donc, E o sous charge vaut : Eo =97%x260V=252V Eo
et la tension aux bornes de la génératrice est : E = Eo - Einduit - Ecommutation E=252-9-6=237V
27.15 Génératrice compound additive Pour certaines applications, on peut tolérer des variations de la tension à la charge mais c'est inacceptable pour les circuits d'éclairage . Par exemple, le réseau de distribution à c .c . de certains bateaux alimente à la fois
(b)
des moteurs et des lampes à incandescence . Le courant débité par la génératrice est exposé à de grandes fluctuations (démarrage, usage intermittent des divers appareils) . Ces variations de courant entraînent nécessairement une tension variable aux bornes du générateur.
Figure 27-30 a . Génératrice compound additive . b . Diagramme schématique de la génératrice . * Parfois appelée génératrice compound cumulative .
GÉNÉRATRICES À COURANT CONTINU
sible de maintenir une tension à peu près constante aux bornes, car l'augmentation de la tension induite Eo compense la chute de tension causée par la résistance de l'induit, des pôles de commutation et de l'enroulement série . Dans certains cas, il est nécessaire de compenser, non seulement la chute de tension dans l'induit, mais également celle des lignes de distribution . On dispose alors un plus grand nombre de spires sur l'enroulement série de façon à ce que la tension aux bornes de la génératrice croisse quand le courant de charge augmente . La machine est alors appelée génératrice à excitation hypercompound. 27.16 Génératrice compound différentielle Si la FMM de l'enroulement série s'oppose à celle de l'enroulement shunt, la diminution de tension est accentuée avec le courant de charge . La génératrice s'appelle alors génératrice compound différentielle . Cette connexion est réalisée en inversant les bornes de l'enroulement série d'une génératrice compound additive . Cette machine est peu employée ; elle sert surtout à l'alimentation de certaines soudeuses à arc électrique . 27 .17 Caractéristiques en charge Les courbes de la Fig . 27-31 donnent les caractéristiques en charge de génératrices utilisant différents systèmes d'excitation .
100
391
On remarque sur ces courbes que la tension de la génératrice hypercompound augmente de 10 % lorsque la pleine charge est appliquée, tandis que celle de la génératrice compound est la même à vide et à pleine charge . Par ailleurs, la tension en charge de la machine shunt est 15 % plus faible que sa valeur à vide, et celle de la génératrice compound différentielle est 30 % plus basse . 27 .18 Spécifications d'une génératrice La plaque signalétique d'une génératrice fournit à l'utilisateur des détails sur la puissance, la tension, la vitesse de rotation, etc ., de la machine. Ces spécifications, ou caractéristiques nominales, sont des valeurs garanties par le fabricant . Analysons, par exemple, les données fournies sur la plaque signalétique d'une génératrice de 100 kW. Puissance
100 kW
Tension
250 V
Vitesse
1200 r/min
Courant d'excitation
20A
Type Classe
compound 130 °C
Ces spécifications nous indiquent que cette machine peut débiter continuellement une puissance de 100 kW sous une tension de 250 V, sans dépasser la température maximale permise . Elle peut donc fournir un courant de : I _ p _ 100 000 W E
= 400 A
250 V
Elle possède un enroulement série et le courant dans l'enroulement shunt est de 20 A . En pratique, la tension sera ajustée à une valeur située aux environs de 250 V, et on pourra alimenter toute charge ne consommant pas plus de 100 kW. La classe 130 °C désigne le type d'isolant utilisé dans la construction de la machine (voir le chapitre 9) .
40 20
Afin d'illustrer l'évolution remarquable des génératrices à courant continu, nous montrons à la Fig . 27-32 une génératrice qui a servi au début du siècle .
0 0
50 100% courant de charge
Figure 27-31 Caractéristiques en charge de divers types de génératrices : 1) hypercompound ; 2) compound ; 3) excitation séparée ; 4) shunt ; 5) compound différentielle .
27 .19 Commutation du courant de charge On a vu que lorsque la génératrice est à vide, des étincelles sont créées en dessous des balais si leur position est telle qu'ils court-circuitent des bobines dont la ten-
392
ÉLECTROTECHNIQUE
charge
Figure 27-33 La commutation du courant de +50 A à -50 A produit des étincelles en dessous des balais .
cernent exige que le courant de 50 A dans la bobine 2 tombe à zéro et remonte ensuite à 50 A dans le sens Figure 27-32 Génératrice Thomson à courant continu installée à Montréal en 1889 pour l'éclairage des rues . Elle débitait un courant de 250 A sous une tension de 110 V. Autres caractéristiques de cette ancienne machine : vitesse de rotation masse totale diamètre de l'induit diamètre intérieur du stator nombre de lames au collecteur grosseur du fil de l'induit grosseur du fil de l'inducteur
1300 r/min 2390 kg 292 mm 330 mm
inverse . Cette inversion du courant se produit en un temps At très court, soit le temps requis pour que le collecteur traverse la largeur du balai x . Comme les bobines possèdent une certaine inductance L, ce changement subit de courant AI engendre une tension EL dont la valeur moyenne est donnée par :
76 #4
EL = L
éq . 19-4
At
#15
Une génératrice moderne de même puissance tournant à la même vitesse aurait une masse de 350 kg seulement .
AI
Cette tension est présente tant que la bobine 1 est courtcircuitée par le balai x . Il en résulte un courant de courtcircuit qui risque de produire des étincelles en dessous du balai.
sion induite n'est pas nulle . Nous expliquons ci-après
Le même phénomène se produit en dessous du balai y
comment la commutation du courant produit des étin-
durant l'inversion du courant dans la bobine 5 . Cette
celles tout aussi importantes lorsque la génératrice est
situation se répète chaque fois qu'une bobine traverse
sous charge .
un balai ; il s'ensuit un crépitement d'étincelles et une
La Fig . 27-33 montre l'induit d'une génératrice à 8
carbonisation du collecteur qui peut rapidement deve-
bobines imbriquées tournant dans le sens antihoraire .
nir inacceptable .
Elle alimente une charge tirant un courant de 100 A .
Afin de diminuer la tension EL , on cherche à réduire
Pour la position de l'induit montrée sur la figure, ce
l'inductance L des bobines . On y arrive en diminuant
courant est fourni par les bobines 2, 3, 4 et 6, 7, 8 . Ces
le nombre de spires par bobine . Mais comme le nom-
deux groupes de bobines sont en parallèle, de sorte que
bre total de spires est fixé par la tension Eo qu'on veut
chacun porte la moitié du courant total, soit 50 A . Les
générer, il s'ensuit qu'on doit augmenter le nombre de
courants des bobines 1 et 5 sont nuls . Cependant, en
bobines dans la même proportion . C'est donc princi-
tournant, la bobine 2 aura tôt fait d'occuper la position
palement pour améliorer la commutation que l'induit
de la bobine 1 et ensuite celle de la bobine 8 . Ce dépla-
des machines à courant continu est construit avec un
393
GÉNÉRATRICES À COURANT CONTINU
grand nombre de bobines . Comme le nombre de lames du collecteur est égal au nombre de bobines, cela explique aussi pourquoi les collecteurs comportent un si grand nombre de lames . Exemple 27-4 Chacune des 8 bobines de la Fig . 27-33 possède 12 spires et une inductance de 270 pH . Le diamètre du collecteur est de 100 mm, et la largeur des balais est de 8 mnm . L'induit tourne à une vitesse de 1800 r/min .
bre de spires de 12 à 4 (un facteur 3) on diminue l'inductance par un facteur 9 . La nouvelle inductance par bobine est donc : L = 1 x 270 gH = 30 p.H 9 La nouvelle tension de commutation est : EL =L
AI
= 30x106
At
x
100
= 3,5V
0,85x10 3
a) Calculer la valeur moyenne de la tension E l induite, due à l'inductance .
Cette tension est encore élevée, mais la commutation sera probablement acceptable .
b) On réduit à 4 le nombre de spires par bobine, tout en augmentant le nombre de bobines à 24 . Calculer la nouvelle valeur de E, .
Pour améliorer davantage la commutation, on peut augmenter la FMM des pôles de commutation en y ajoutant une ou deux spires . Il en résultera un flux en dessous des pôles de commutation qui, au lieu d'être nul, induira une tension de polarité contraire à celle de EL . Par conséquent, la tension nette dans la bobine en court-circuit deviendra encore plus faible, ce qui diminuera davantage le courant de court-circuit . Par conséquent, les étincelles néfastes seront supprimées .
Solution a) Le collecteur fait un tour en un temps t : t = 60/1800 = 0,033 s La circonférence C du collecteur est : C=irx 100 mm =314 mm =0,314m La surface du collecteur se déplace donc à une vitesse : v = C/t = 0,314 m/0,033 s = 9,52 m/s Le temps pour franchir une distance d de 8 mm (la largeur d'un balais) est : ~t
8 mm = 0,008 m - d = = 0,84 x 10-3 s v 9,52 m/s 9,52 m/s
Le changement de courant durant cet intervalle est : OI=50-(-50)=100A d'où la tension induite, à cause de l'inductance : EL = L
AI Ot
= 270 x 106
x
100
= 32 V
0,85 x 10 3
Cette tension est beaucoup trop élevée et la commutation sera inacceptable . b) L'inductance est proportionnelle au carré du nombre de spires (voir éq . 19-11) . En réduisant le nom-
27 .20 Résumé Dans ce chapitre nous nous sommes familiarisés avec la construction de la génératrice à courant continu . Nous avons vu qu'elle comprend un enroulement inducteur ou «champ» bobiné sur une ou plusieurs paires de pôles produisant le champ magnétique . L'induit tournant est composé d'un grand nombre de bobines reliées au collecteur . Le collecteur assure la conversion des tensions alternatives générées dans les bobines de l'induit en tension continue et les balais établissent le contact avec la charge . La tension induite est proportionnelle à la vitesse de rotation et au champ magnétique créé par l'inducteur . Pour des courants de champ importants, la saturation du fer de l'induit et de l'inducteur vient limiter la tension induite . En charge, la chute de tension dans la résistance de l'induit diminue la tension disponible aux bornes de l'induit . Différents types de caractéristiques en charge sont obtenues selon la connexion de l'inducteur . En changeant la façon dont l'inducteur est relié à l'induit, on obtient une génératrice à excitation séparée, ou à excitation shunt . La machine compound comporte à la fois un inducteur shunt et un inducteur série .
394
ÉLECTROTECHNIQUE
Des pôles de commutation sont aussi ajoutés entre les pôles principaux . Les enroulements des pôles de commutation sont branchés en série avec l'induit ; ils améliorent la commutation en s'opposant à la réaction d'induit.
a) la tension aux bornes de l'induit lorsque la machine débite 12 A b) la puissance dissipée sous forme de chaleur dans l'induit c) le couple de freinage exercé par l'induit
PROBLÈMES - CHAPITRE 27
27-12 Une génératrice à excitation séparée aune tension à vide de 115 V. Que se passera-t-il si :
Niveau pratique
27-1 Nommer et dessiner les parties principales d'une génératrice à c .c . 27-2 Pourquoi doit-on toujours placer les balais d'une machine à c .c . sur la zone neutre? 27-3 Dans une génératrice à c .c . a) De quoi le collecteur est-il constitué? b) Que veut dire le terme zone neutre? c) Dans la Fig . 27-11 un côté de la bobine 6 est logé en haut de l'encoche 2 ; vrai ou faux? d) Si, dans la Fig . 27-11, chaque bobine contient 23 spires, combien de conducteurs y a-t-il par encoche? 27-4 Quel est l'effet d'une augmentation du courant d'excitation sur la tension induite d'une génératrice à excitation séparée? Quel est l'effet d'une diminution de vitesse? 27-5 Comment peut-on régler la tension d'une génératrice shunt? 27-6 Pourquoi la tension d'une génératrice shunt diminue-t-elle lorsque le courant de charge augmente? 27-7 Expliquer comment une génératrice compound additive peut produire une tension qui augmente avec la charge . 27-8 En quoi les génératrices shunt, compound additive et compound différentielle diffèrent-elles? 27-9 Que veut dire le terme réaction d'induit?
a) la vitesse est augmentée de 20 % b) le sens de rotation est changé c) le courant d'excitation est augmenté de 10 % d) la polarité du champ est inversée 27-13 Une génératrice compound additive de 100 kW, 250 V, possède un enroulement shunt de 2000 spires et un enroulement série de 7 spires . Sachant que la résistance de l'enroulement shunt est de 100 S2, calculer la FMM résultante lorsque la machine fonctionne : a) à vide
b) à pleine charge
27-14 La Fig . 27-23 donne la courbe de saturation d'une génératrice à excitation séparée lorsqu'elle tourne à 1500 r/min . Quel doit être le courant d'excitation approximatif pour obtenir une tension de 120 V lorsque la machine tourne à 1330 r/min? 27-15 Dans la Fig . 27-14, la tension induite dans la bobine 6, à un instant donné, est de 10 V . Quelle est la tension induite dans les bobines 1 et 8 au même moment? 27-16 Dans la Fig . 27-12, quelle sera la tension induite dans la bobine 4 lorsque le rotor aura tourné de 45°? de 135°? 27-17 La génératrice de la Fig . 27-15 tourne à une vitesse de 960 r/min et le flux par pôle est de 0,02 Wb . Chaque bobine possède 6 spires . Quelle est la tension entre les balais lorsque la charge est nulle? 27-18 a) Dans la Fig . 27-15, combien de balais frottent sur le collecteur?
27-10 Quel est le rôle des pôles de commutation? Pourquoi sont-ils connectés en série avec l'induit?
b) Quel est le courant porté par chacune des bobines de l'induit lorsque la machine débite un courant de 1800 A?
Niveau intermédiaire
27-19 Une génératrice de 100 kW tournant à 450 r/min génère une tension de 125 V, à vide . Le collecteur contient 118 lames et les bobines de l'induit ont une seule spire . Calculer la valeur du flux par pôle, en webers .
27-11 La tension induite, dans une génératrice à excitation séparée, est de 127 V lorsque l'induit tourne à 1400 drain . La résistance de l'induit est de 2 S2 . Calculer :
GÉNÉRATRICES À COURANT CONTINU
Niveau avancé 27-20 Dans le problème 27-19, le collecteur a un diamètre de 420 mm et les balais ont une largeur de 25 mm . Calculer la durée de la commutation .
395
b) Quelle est la densité de flux moyen par pôle? c) Sachant que le diamètre du collecteur est de 450 mm et que la largeur des balais est de 15 mm, calculer le temps requis pour inverser le courant dans une bobine .
27-21 a) Dans la Fig . 27-15b, déterminer la polarité de la tension E 34 , entre les lames 3 et 4, sachant que l'induit tourne dans le sens horaire . b) Au même instant, quelle est la polarité de la lame 35 par rapport à la lame 34? 27-22 L'induit de la Fig . 27-34 possède 81 encoches et 243 lames sur le collecteur. La machine possède 6 pôles, et elle est bobinée avec un enroulement imbriqué composé de 243 bobines ayant chacune 1 spire . Le flux par pôle est de 30 mWb . a) Calculer la tension induite lorsque l'induit tourne à 1200 r/min.
Figure 27-34 Le noyau d'induit et le collecteur d'un moteur de 225 kW, 250 V, 1200 r/min . Diamètre de l'induit : 559 mm ; longueur axiale : 235 mm .
28 Moteurs à courant continu
quoi les moteurs de puissance supérieure à 1 kW contiennent toujours des pôles de commutation .
Les moteurs à courant continu sont des appareils qui transforment l'énergie électrique qu'ils reçoivent en énergie mécanique. La construction des moteurs est identique à celle des génératrices, de sorte qu'une machine à courant continu peut servir indifféremment comme moteur ou comme génératrice .
Dans le cas des génératrices, seuls la tension et le courant ont retenu notre attention . Cependant, pour les moteurs, la compréhension des phénomènes mécaniques faisant intervenir le couple, la vitesse et l'inertie est particulièrement importante . Nous encourageons donc le lecteur à revoir au chapitre 1 les lois fondamentales reliant ces trois paramètres .
L'usage des moteurs à courant continu est plutôt restreint, car la distribution se fait à courant alternatif . Cependant, pour certaines applications il est parfois avantageux d'utiliser des moteurs à courant continu alimentés par des convertisseurs qui transforment le courant alternatif en courant continu . La supériorité de ces moteurs réside dans le fait qu'ils se prêtent facilement à un contrôle souple, continu et presque instantané de leur vitesse .
28.1 Force contre-électromotrice Considérons une machine bipolaire dont l'inducteur est un aimant permanent, et dont l'induit, de résistance Ro , est raccordé à une source de tension E S (Fig . 28-1) .
Les moteurs à courant continu ont les mêmes modes d'excitation que les génératrices . On distingue donc : 1 . les moteurs à excitation shunt 2 . les moteurs à excitation série 3 . les moteurs à excitation compound De plus, tout comme pour les génératrices, la réaction d'induit se manifeste dans les moteurs, produisant une distorsion et un affaiblissement du flux provenant des pôles à mesure que la charge augmente . Les problèmes de commutation existent également, c'est pour-
Figure 28-1 Démarrage d'un moteur à courant continu .
396
MOTEURS À COURANT CONTINU
Avant que l'interrupteur ne soit fermé, l'induit est immobile . Dès qu'il est fermé, la source fait passer un courant très intense dans l'induit, car la résistance R o de celui-ci est très faible (Fig . 28-2) . Or, nous savons (principe II de l'électromagnétisme) que le passage du courant dans les conducteurs de l'induit, situés dans le champ magnétique de l'aimant permanent, engendre une force sur chacun d'eux . L' action de ces forces produit un couple qui fait tourner l'induit . D' autre part, dès que l'induit se met à tourner, un autre phénomène se manifeste : l'effet générateur . En effet, dans toute machine à courant continu, une tension est induite dans les conducteurs de l'induit dès que ceuxci coupent des lignes de flux, quelle que soit la cause produisant le mouvement de l'induit .
397
Pour les moteurs, cette tension induite Eo porte le nom de force contre-électromotrice (f.c .é .m .) car sa polarité est telle qu'elle agit «contre» la tension de la source. Elle s'y oppose en ce sens que la tension totale agissant sur le circuit série de la Fig . 28-2 est égale à (Es - Eo) volts et non pas à (Es + Eo ) volts . 28 .2 Accélération du moteur La tension résultante agissant sur le circuit valant (E 5 - E o ) volts, le courant I n'est limité que par la résistance R o , ce qui donne : ES - Eo I=
(28-2) Ro
Lorsque le moteur est au repos, la vitesse est nulle, donc la tension induite Eo = 0, et l'équation ci-dessus devient : ES I= Ro
Figure 28-2 La rotation du moteur induit une tenson E 0 , appelée force contre-électromotrice .
La valeur et la polarité de la tension sont les mêmes que celles qu'on obtiendrait si la machine fonctionnait comme génératrice . Comme pour cette dernière, la tension induite Eo est proportionnelle à la vitesse de rotation n du moteur et au flux 0 entre les pôles . Elle peut donc être exprimée par la même équation que celle utilisée pour les génératrices, soit : Eo =
ZnO 60
où Eo = tension induite dans l'induit [V]
Z = nombre de conducteurs sur l'induit n = vitesse de rotation du moteur [r/min] 0 = flux par pôle [Wb] 60 = constante tenant compte des unités
(28-1)
C'est dire qu'au démarrage le courant est énorme car la résistance Ro de l'induit est très basse . En effet, ce courant de démarrage peut être de 20 à 50 fois plus grand que le courant de pleine charge du moteur . La grande force agissant alors sur les conducteurs produit un couple de démarrage puissant, provoquant une accélération rapide de l'induit. À mesure que la vitesse croît, Eo augmente et la valeur de la tension résultante (Es - Eo) diminue . On en conclut que le courant I diminue avec l'augmentation de la vitesse . Pendant que le courant diminue dans l'induit, le moteur continue d'accélérer jusqu'à une vitesse limite . Pour la marche à vide, cette vitesse est telle qu'elle produit une force contre-électromotrice légèrement inférieure à la tension de la source . En effet, si la f.c .é.m. pouvait devenir égale à la tension de la source, la tension résultante (ES - Eo) serait nulle, ce qui donnerait une valeur nulle pour le courant I . Dans ces conditions, aucune force électromagnétique n'agirait sur les conducteurs de l'induit . Cependant, pour continuer à tourner, le moteur doit toujours produire un couple suffisant pour vaincre le frottement . Par conséquent, la f.c .é .m . doit donc être quelque peu inférieure à la tension de la source pour permettre le passage du faible courant nécessaire à la production de ce couple .
398
ÉLECTROTECHNIQUE
Exemple 28-1 L'induit d'une machine bipolaire, dont la résistance est de 1 12, génère une tension de 50 V lorsque sa vitesse de rotation est 500 r/min . L'inducteur est composé de deux aimants permanents . L'induit est raccordé à une source de 150 V (Fig . 28-3) . Calculer : a) le courant de démarrage b) la f .c .é .n1 . E ( , lorsque le moteur tourne 1000 r/min : à 1460 r/min c) le courant dans l'induit à 1000 r/min : à 1460 r/min
Eo = 50 V lorsque N= 500 r/min
150 A
(a)
50A
E
Solution a) Au moment où le moteur démarre, l'induit ne tourne pas et, par conséquent, la tension induite E o = 0 V (Fig . 28-3a) . Le courant de démarrage étant seulement limité par la résistance de l'induit, sa valeur est : I =
Es
= 150 V
Ro
1 £2
c) La f .c .é .m . étant de 100 V à 1000 r/min, il s'ensuit que la tension résultante dans le circuit de l'induit (Fig . 28-3b) est : Es -Eo =150-100=50V Le courant dans l'induit vaut donc : I= Es -E0
(e)
Figure 28-3 a . Conditions lorsque l'induit est au repos (voir exemple 28-1) ; b . Conditions lorsque l'induit tourne à 1000 r/min ; c . Conditions lorsque l'induit tourne à 1460 r/min .
= 50V = 50A
Ro
1 S2
Lorsque le moteur atteint une vitesse de 1460 r/min (Fig . 28-3c) la f.c .é .m . sera 146 V, soit une tension presque égale à la tension de la source . Dans ces circonstances, le courant dans l'induit n'est que :
Ro
E4 A
= 150 A
b) Étant donné que la tension induite à 500 r/min est de 50 V, la f.c .é .m . du moteur à 1000 r/min sera 100 V, et à 1460 r/min, 146 V. Remarquer que la f.c .é .m . (ou tension induite) est proportionnelle à la vitesse .
I- Es -Eo
(b)
= 150- 146
28.3 Expression du couple La puissance mécanique et le couple sont deux des caractéristiques importantes d'un moteur à c .c . Nous dérivons ci-après les équations permettant d'évaluer ces deux grandeurs . On a vu que la tension induite dans un enroulement imbriqué est donnée par :
=4A
1
et le couple développé par le moteur est beaucoup plus petit qu'auparavant.
Eo =
Znç
60
éq . 28-1
MOTEURS À COURANT CONTINU
En se référant à la Fig . 28-2, la puissance électrique fournie à l'induit est : Ps = EsI
Cette équation indique qu'on peut augmenter le couple d'un moteur en augmentant, soit le courant I dans l'induit, soit le flux 0 provenant des pôles .
Exemple 28-2
D'autre part, E s est égale à la f .c .é .m . de EO plus la chute de tension R O I dans l'induit soit : Es = EO + ROI
Par conséquent, la puissance fournie à l'induit est :
L'induit d'un moteur
Ps = (E() + RAI = EOI + R OI 2
Le terme ROiz représente les pertes Joule dissipées sous forme de chaleur dans l'induit . Par conséquent, le très important terme EOI représente la puissance électrique convertie en puissance mécanique . Donc : Pr,., = EOI
399
(28-3)
où
243 V 638 A 1260 r/min
On considère que la chute de tension dans les balais est 1 V. Calculer : a) le flux par pôle b) la puissance mécanique développée par le moteur c) le couple développé
Solution PI ,., = puissance mécanique développée par le mo-
teur [W] EO = f.c .é .m du moteur [V] I = courant dans l'induit [A]
EO = Es - R O I - Echute dans les balais
= 243 - 0,0094 x 638 - 1 = 243 - 6 - 1
Rappelons que la puissance mécanique d'une machine est donnée par : Pm = nT19,55
a) La f.c .é .m est :
= 236 V
éq. l-5
où n est la vitesse de rotation en tours par minute et T le couple, en newton-mètre . En combinant les équations (28-1), (28-3) et (1-5) on obtient:
T =
ZoI
(28-4)
6,28 ou T = couple du moteur [N •m] Z = nombre de conducteurs sur l'induit = flux par pôle [Wb] I = courant dans l'induit [A] 6,28 = constante tenant compte des unités [valeur exacte = 2 n]
Figure 28-4a Noyau d'induit et collecteur d'un moteur de 225 kW, 250 V, 1200 r/min . Le noyau de fer a un diamètre de 559 mm et une longueur de 235 mm ; il est composé de 400 tôles dentées de 0,56 mm .
400
ÉLECTROTECHNIQUE
le nombre de conducteurs sur l'induit est: Z = 243 bobines x 2 conducteurs/bobine = 486 En utilisant l'équation 28-1, le flux par pôle est :
b) La puissance mécanique est : Pm = E0I = 236 V x 638 A
150,6 kW c) Le couple du moteur est :
60 Eo _ Zn
60 x 236 486 x 1260
0,023 Wb = 23 mWb
9,55 Pm 9,55 x 150,6 x 103 T = = n 1260 = 1141 N •m
1
2
3
4
Figure 28-4b Bobinage d'un induit de moteur à c .c . de 225 kW pour pelle mécanique (gracieuseté de H . Roberge) . 1) machine-outil utilisée pour former les bobines ; 2) bobine formée prête à être introduite dans les encoches ; 3) et 4) raccordement des bobines au collecteur de 243 lames .
éq . 1-5
MOTEURS À COURANT CONTINU
401
28 .4 Expression de la vitesse Lorsqu'un moteur à courant continu marche en régime normal, la chute de tension R 0 I dans la résistance de l'induit est généralement faible, de sorte qu'on peut la négliger dans la plupart des calculs de la vitesse . Cette approximation revient à supposer que la f .c .é.m . Eo est égale à la tension de la source Es (Fig . 28-2) .
28.5 Réglage de la vitesse par la tension de l'induit Si le flux 0 ne varie pas (cas d'un inducteur à aimant permanent, ou d'un inducteur à courant d'excitation constant), l'équation 28-5 nous indique que la vitesse ne dépend plus que du terme E5 , c'est-à-dire de la tension de la source.
D'autre part, nous avons vu que la f .c .é .m. peut s'exprimer sous la forme
Si l'on augmente ou diminue ES , la vitesse du moteur augmente ou diminue à peu près dans les mêmes proportions .
Eo =
Zno
60 En remplaçant Eo par E s , on obtient: Zn r
ES =
60 on en déduit que la vitesse est : 60 ES n =
(approximativement) (28-5)
zo où n = vitesse de rotation [r/min] ES = tension aux bornes de l'induit [V] Z = nombre de conducteurs sur l'induit 0 = flux par pôle [Wb] Pour un moteur donné, cette expression nous indique que la vitesse de rotation dépend de la tension de la source ES et du flux par pôle 0. Étudions d'abord l'effet de Es .
IxG
(variable)
En pratique, on peut réaliser cette variation en alimentant l'induit du moteur M avec une génératrice G de tension variable (Fig . 28-5) . La génératrice est entraînée par un moteur à courant alternatif M c .a , qui reçoit son énergie du réseau . On maintient l'excitation I xM de l'inducteur du moteur M constante, alors que l'on fait varier celle (I xG ) de la génératrice . On peut même changer le sens de rotation du moteur en inversant la polarité de la tension ES produite par la génératrice . Cette inversion de polarité est obtenue par simple inversion du courant d'excitation IxG . L'ensemble des trois machines M c .a . - G - M de la Fig . 28-5 constitue un groupe Ward-Leonard . Cette méthode assure une extrême souplesse dans le réglage de la vitesse entre de très grandes limites . On l'utilise pour le contrôle des moteurs de laminoirs et d' ascenceurs dans les mines et les grands édifices . La flexibilité du système Ward-Leonard provient du fait qu'il permet de forcer le moteur M à développer à la fois la vitesse et le couple requis par la charge . Supposons, par exem-
OM
OG
IxM (fixe)
o
induit du moteur
inducteur de la génératrice
Ex _~
T
o
réseau triphasé
inducteur du moteur moteur triphasé
Figure 28-5 Commande de vitesse Ward-Leonard .
402
ÉLECTROTECHNIQUE
ple, que ES soit ajusté à un niveau légèrement supérieur à Eo . Le courant I circule alors dans le sens indiqué à la Fig . 28-5 et le moteur produit un couple positif. Le moteur absorbe de la puissance car le courant I entre par la borne positive de l'induit .
d'où le couple du moteur :
Supposons maintenant que l'on réduise l'excitation du générateur de sorte que ES devienne inférieur à E o . Le courant change de sens, ce qui inverse le couple développé par le moteur. Simultanément, le moteur devient une génératrice, car le courant sort par la borne positive . La puissance électrique que le «moteur» M fournit à G provient de l'énergie cinétique emmagasinée dans le moteur et sa charge . Sous l'effet du couple négatif, le moteur décélère rapidement . (Voir explications au chapitre 1, sections 1-10 à 1-20 .)
b) Lorsque Es = 350 V, le courant dans l'induit est :
Comme la «génératrice» G reçoit de la puissance, elle fonctionne en moteur, entraînant le moteur à courant alternatif qui fonctionne à son tour en générateur . Par conséquent, de la puissance à courant alternatif est retournée au réseau . Cette possibilité de récupérer l'énergie est particulièrement efficace, et constitue un autre avantage du groupe Ward-Leonard .
T _ 9,55 P m - 9,55 x 760 000 n
I =
380 = _ 3000 A
0,01
Le courant est négatif, donc il circule dans le sens inverse, produisant ainsi un couple négatif . La vitesse du moteur est encore 228 r/min car E0 = 380 V. Cependant, à cause du couple négatif, le moteur est freiné et sa vitesse commence à décroître . Le moteur renvoie au reste du système une puissance P m = Eo7 = 380 x 3000 = 1140 kW dont la plus grande partie PG = 3000 x 350 = 1050 kW est fournie à la génératrice . Le reste est dissipé dans la résistance de 10 m£2 . Comme le couple est proportionnel au courant dans l'induit, le moteur développe un couple de : T =
Exemple 28-3
Es - Eo = 350 R
= 31,8 kN-m
228
3000 A
x 31,8 kN •m = 41,8 kN-m
2000 A
Le système Ward-Leonard montré à la Fig . comprend un moteur à courant continu de 2000 kW et un générateur (le 2500 kW. La résistance totale du circuit reliant les deux induits (y compris leur propre résistance) est de 10 mQ . Le moteur tourne à une vitesse de 300 r/min lorsque E„ est de 500 V. Calculer le couple et la vitesse du moteur M : a) lorsque E, = 400 V et E,, = 380 V b) lorsque F_ 350 V et E ( = 380 V
Une autre façon de faire varier la tension aux bornes de l'induit d'un moteur pour contrôler sa vitesse, consiste à placer un rhéostat en série avec celui-ci (Fig . 28-6) . Le passage du courant dans le rhéostat crée une chute de tension qui, soustraite de la tension de la source . réduit la tension aux bornes du moteur .
réduire la vitesse à partir de la vitesse nominale . Elle est onéreuse à cause Cette méthode permet seulement de
Solution a) Le courant dans l'induit est : I _ ES - Eo = 400 - 380
R
= 2000 A
0,01
La puissance fournie au moteur est : P,,,=EOI= 380x2000=760 kW
La vitesse approximative du moteur est : n = 380 V
500 V
x 300 = 228 r/min
Figure 28-6 Commande de vitesse par rhéostat en série avec l'induit .
MOTEURS À COURANT CONTINU
de la puissance dissipée inutilement par effet Joule dans le rhéostat . De plus, la régulation de vitesse est très mauvaise. En effet, la chute de tension dans le rhéostat augmente à mesure que le courant de l'induit augmente, d'où une baisse substantielle de vitesse avec la charge .
Exemple 28-4 Soit un moteur à c .c . de 2 kW, 240 V, 1500 r/min, à excitation shunt . Il doit entraîner une charge à une vitesse de 975 r/min, tout en développant un couple de 5 N •m . On utilise le montage de la Fig. 28-6, avec E, = 240 V. Calculer la valeur approximative de la résistance R et la puissance qu'elle dissipe .
Solution Comme le moteur doit tourner à 975 r/min, la tension induite Eo doit être environ : Eo
= 975
x 240 V = 156 V
1500 La tension aux bornes de R est donc : ER = 240 - 156=84V
La puissance mécanique développée par le moteur est : nT - 975 x 5 Pm = -
9,55
= 510W
9,55
Le courant d'induit est : I=
Pm = 510W Eo
= 3,27 A
156 V
403
60 ES n = éq. 28-5
zo reste constant . Par conséquent, la vitesse de rotation n du moteur devient inversement proportionnelle au flux 0 . Quand le flux augmente, la vitesse diminue et vice versa . Cette méthode de variation de la vitesse est fréquemment employée car elle est très simple et ne requiert qu'un rhéostat d'excitation peu coûteux . Le rhéostat est branché en série avec l'inducteur (Fig . 28-7) . Si l'on augmente la résistance du rhéostat, le courant d'excitation et le flux diminuent . Cet affaiblissement du flux réduit la tension induite E0 , ce qui fait augmenter temporairement le courant Ia dans l'induit . Le moteur développe un couple plus grand qu'auparavant et il accélère jusqu'à ce que la tension Eo redevienne presque égale à la tension E, de la source . Pour développer la même f .c .é .m . que précédemment avec un flux plus faible, le moteur doit tourner plus vite . Il est donc possible d'élever la vitesse d'un moteur au-dessus de sa vitesse normale en intercalant une résistance dans le circuit de l'inducteur . Ce mode de réglage permet de faire varier la vitesse de certains moteurs shunt dans un rapport de 3 à 1 . Une variation plus grande entraîne des problèmes de stabilité et de commutation . On notera ici que lorsque la valeur du flux 0 se rapproche de zéro, le moteur tend à atteindre une vitesse extrêmement élevée, à s'emballer . Cette condition peut entraîner la destruction du moteur. Si le courant d'excitation est interrompu dans l'inducteur d'un moteur shunt, le flux correspondant à l'aimantation rémanente
U s'ensuit que R est donnée par : R = ER = Ia
84 V
= 25,7
e
3,27 A
La résistance dissipe une puissance de : PR = ERIa = 84 x 3,27 = 275 W
2IL6 Réglage de la vitesse par le flux de l'inducteur autre façon de faire varier la vitesse est de chanle flux 0. En effet, si la tension E, de la source est tenue constante, le numérateur de l'expression
Figure 28-7 Commande de vitesse par rhéostat en série avec l'inducteur shunt .
404 ÉLECTROTECHNIQUE devient tellement faible que le moteur doit tourner à une vitesse dangereusement élevée pour induire une f.c.é .m . suffisante . Des dispositifs de protection, montés sur l'arbre du moteur, peuvent prévenir cet emballement en ouvrant le circuit d'alimentation . 28 .7 Marche du moteur shunt en charge Lorsqu'une charge mécanique est subitement appliquée à l'arbre d'un moteur shunt tournant à vide, le faible courant à vide ne peut produire un couple suffisant pour entraîner cette charge, et le moteur ralentit . La force contre-électromotrice diminue alors, ce qui provoque le passage d'un courant plus intense dans l'induit. Le courant augmente jusqu'à ce qu'il produise un couple suffisant pour supporter la charge mécanique à entraîner . En résumé, plus la charge mécanique appliquée est grande, plus la vitesse diminue, et plus le courant dans l'induit est intense . La vitesse d'un moteur shunt est relativement constante, même pour des charges variables . Dans la plupart des cas, elle diminue seulement de l'ordre de 5 à 15 % lorsque la pleine charge est appliquée . La Fig . 28-8 montre les caractéristiques typiques d'un moteur shunt . La courbe donnant les valeurs relatives du couple T en fonction de la vitesse n indique que la vitesse varie seulement de 1,1 p .u . à 0,9 p .u . lorsque le couple augmente de zéro à 2 p .u . La deuxième courbe montre que le couple est proportionnel au courant d'induit dans
la région comprise entre zéro et 2 p .u . Cependant, cette droite se transforme progressivement en une courbe aplatie lorsque le courant dépasse 2 p .u . En effet, la réaction d'induit devient tellement intense que le flux 0 (éq . 28-4) diminue, même si le courant d'excitation demeure fixe . Dans le cas des gros moteurs, la diminution de flux 0 due à la réaction d'induit se fait déjà sentir à pleine charge . Par conséquent, la vitesse de ces moteurs tend à augmenter avec la charge . Comme cela risque de produire une instabilité lorsque la charge varie, on ajoute à ces moteurs un enroulement série qui impose une diminution de vitesse lorsque la charge croît . Ce genre de moteur s'appelle moteur shunt stabilisé . La Fig . 28-9 montre deux moteurs couplés de 4100 kW utilisés pour la propulsion d'un brise-glace . La Fig . 2810 illustre l'utilisation de moteurs à c .c . dans un laminoir à chaud . 28.8 Démarrage d'un moteur shunt On a vu que si la pleine tension est appliquée à un moteur au repos, l'appel de courant est énorme . On risque alors de faire sauter les fusibles, de brûler l'induit et d'endommager le collecteur. Pour tout moteur shunt à courant continu, il faut donc prendre des précautions appropriées pour limiter le courant de démarrage à une valeur raisonnable, de l'ordre de 1,5 à 2 fois le courant nominal . Pour réduire le courant au démarrage, il suffit de mon-
p .u . 2 11
T
RIER ~~ charge nominale
1
0
1 0
1
2 p. u. vitesse n courant dans l'induit I
Figure 28-8 Caractéristiques en charge d'un moteur shunt .
Figure 28-9 Deux moteurs de 4100 kW couplés propulsent le brise-glace russe «Kiev» (gracieuseté de Siemens) .
MOTEURS À COURANT CONTINU
405
Figure 28-11 Rhéostat de démarrage pour moteur shunt . Figure 28-10 Laminoir à chaud . Le laminage est effectué par 6 laminoirs consécutifs actionnés chacun par un moteur à c .c . de 2500 kW. La feuille d'acier laminé est ensuite entraînée vers la gauche par 161 moteurs à c .c . de 3 kW (gracieuseté de Générale Électrique) .
ter en série avec l'induit un rhéostat de démarrage. La résistance introduite est ensuite progressivement diminuée à mesure que le moteur accélère, et finalement enlevée du circuit dès que le moteur atteint sa vitesse de régime permanent. Pour assurer un couple de démarrage satisfaisant, il faut que le flux soit aussi grand que possible, c'est-à-dire que l'inducteur doit être connecté directement à la source d'alimentation . Ces conditions sont remplies dans le montage de la Fig . 28-11 . Aujourd'hui, on utilise plutôt des circuits électroniques pour limiter le courant de démarrage et pour régler la vitesse (chapitre 43) . 28 .9 Démarreur manuel pour moteur shunt La Fig . 28-11 montre le schéma d'un rhéostat de démarrage ainsi que la manière de le raccorder à un moteur shunt. Ce rhéostat est du type à plots ; les plots en cuivre sont reliés aux extrémités des résistances R I , R 2 , R3 et R 4 . Lorsque la manette de contact 1 est sur le plot mort M, le circuit du moteur est ouvert . Lorsqu'on déplace la manette au moyen de la poignée 2, elle vient d'abord en contact avec le plot N . La pleine tension E S est alors appliquée aux bornes du champ shunt . En même temps, un courant I commence à circuler dans l'induit . Ce courant est limité par la somme des quatre résistances plus la résistance Ro de l'induit . Le moteur accélère, et le courant I diminue progressivement . On fait alors avancer la manette au plot suivant et le courant prend de nouveau une valeur relativement élevée .
À mesure que la vitesse du moteur augmente, on passe ainsi d'un plot à l'autre, pour amener finalement la manette au dernier plot. Elle y est retenue par l'attraction d'un petit électro-aimant 4, branché en série avec l'inducteur. Si la tension de la source d'alimentation est soudainement interrompue, ou si l'excitation de la bobine shunt est coupée accidentellement, l'électro-aimant n'est plus alimenté et la manette est rappelée par le ressort 3 sur le plot mort . Ce dispositif est nécessaire pour éviter que le moteur ne reparte intempestivement au retour de la tension . 28 .10 Moteur série La construction d'un moteur série est identique à celle d'un moteur shunt, sauf en ce qui concerne l'inducteur. L'inducteur est connecté en série avec l'induit et, par conséquent, il doit porter le plein courant du moteur (Fig . 28-12) . L'enroulement série est donc composé de quelques spires de fil de gros calibre . Bien que sa construction soit similaire à celle d'un moteur shunt, les caractéristiques d'un moteur série sont complètement différentes . Dans un moteur shunt, le flux 0 par pôle est constant pour toute charge normale, car l'inducteur shunt est connecté à la source de tension, laquelle est fixe . Mais dans un moteur série, le flux dépend du courant qui circule dans l'induit ; par conséquent, le flux croît avec le courant de charge . Malgré ces différences, les même équations fondamentales s'appliquent aux deux machines . Lorsqu'un moteur série fonctionne à pleine charge, le flux par pôle est le même que celui d'un moteur shunt de même puissance et de même vitesse . Cependant, lors du démarrage, le courant d'induit est supérieur au
406
ÉLECTROTECHNIQUE
28 .11 0 (a)
(b)
Figure 28-12 a . Schéma de connexions d'un moteur série sans pôles de commutation ; b . Diagramme schématique d'un moteur série, montrant l'induit et le champ série .
courant nominal ; le flux est donc supérieur au flux obtenu à pleine charge . Par conséquent, le couple de démarrage d'un moteur série excède celui d'un moteur shunt . Par contre, lorsque la charge est inférieure à la puissance nominale, le courant d'induit et le flux par pôle sont inférieurs aux valeurs normales . Cet affaiblissement du flux a le même effet qu'une réduction de l'excitation dans un moteur shunt et impose une vitesse supérieure à la valeur nominale . Par exemple, si le courant d'un moteur série diminue de la moitié de sa valeur nominale, le flux 0 diminue également de moitié, de sorte que la vitesse double . Il est clair que si la charge mécanique est faible, la vitesse risque d'atteindre des valeurs dangereuses . Pour cette raison, on ne doit jamais permettre à un moteur série de fonctionner à vide . Il a tendance à s'emballer, et les forces centrifuges peuvent arracher les enroulements de l'induit et provoquer la destruction de la machine . Lors du démarrage, tout comme pour le moteur shunt, il faut limiter le courant au moyen d'un rhéostat ; les connexions sont cependant plus simples à cause de l'absence d'enroulement shunt . Pour le démarrage manuel, on peut employer un rhéostat de démarrage semblable à celui de la Fig . 28-11 . L'électro-aimant 4 qui retient la manette de contact doit être connecté en série avec l'induit . De cette façon, lorsque le courant d'induit devient trop faible (indication de survitesse) la manette retourne automatiquement à la position ouverte .
Réglage de la vitesse d'un moteur série
Lorsque le moteur série entraîne une charge, sa vi peut être augmentée en branchant une résistance fai en parallèle avec l'enroulement inducteur . Le cou circulant dans l'enroulement série est alors affaibli . qui provoque une diminution de flux et une augme tion de vitesse. De la même façon, la vitesse peut être diminuée cmi branchant une résistance en série avec l'induit et l'iW .ducteur La Fig . 28-13 donne les caractéristiques en charge typiques d'un moteur série . Remarquer que la vitesse a augmente en flèche lorsque le couple T diminue . Noter aussi que la caractéristique couple-courant n'est pas linéaire, mais a plutôt une forme parabolique .
p .u . 3 a
oU T
////l///////// ////b
charge nominale
///
∎∎®∎∎∎/\5/∎∎∎///U 2 3 p. . vitesse n courant dans l'induit I Figure 28-13 Caractéristiques en charge d'un moteur série .
Exemple 28-5 Un moteur série de 15 hp, 240 V, 1780 r/min a un courant nominal de 54 A . Ses caractéristiques en charge sont données par les courbes normalisées de la Fig . 13 . Calculer : a) la valeur du outrant et de la vitesse lorsque le couple e,t de 24 N m b) le rendement du moteur dans ces circonstances
MOTEURS À COURANT CONTINU
Solution
a) Établissons d'abord la puissance de base, la vitesse de base et le courant de base du moteur. Ces valeurs correspondent aux spécifications nominales du moteur, soit : PB = 15 hp = 15 x 746 = 11 190 W nB = 1780 r/min IB =54A
Le couple de base est donc : 9,55 PB _ 9,55 x 11 190
TB _
nB
= 60 N -m
1780
407
propriété d'atteindre une haute vitesse à faible charge est avantageuse . Le moteur série convient particulièrement bien à la traction, comme dans les locomotives électriques et les voitures de métro (Fig . 28-14) . La mise en marche est rapide car, aux faibles vitesses le couple est élevé . Le moteur série ralentit dans les côtes et, de ce fait, il ne tire pas un courant trop élevé . En terrain plat, il atteint une vitesse beaucoup plus grande . On l'emploie également pour la commande d'engins de levage tels que grues, palans, cabestans . Lorsqu'il actionne une grue, les charges légères sont déplacées rapidement alors que les charges lourdes sont déplacées lentement.
Le couple de 24 N •m correspond à un couple relatif de
0,4 p .u . T p .u . = TB
60
En se référant à la Fig . 28-13, un couple de 0,4 p.u . correspond à une vitesse de 1,4 p .u . La vitesse réelle est donc : n = np u x n B = 1,4 x 1780 = 2492 r/min
On note sur la caractéristique T-I, qu'un couple de 0.4 p .u . requiert un courant de 0,6 p .u . Le courant est donc : I =
IP.U .
x IB = 0,6 x 54 = 32,4 A
b) Pour calculer le rendement, il faut connaître les valeurs de la puissance électrique P l et de la puissance mécanique P2 . = EsI = 240 x 32,4 = 7776 W P2 =
nT _ 2492 x 24 = 6263 W
9,55
9,55
Figure 28-14 Voiture électrique utilisée sur les trains du métro de Montréal . La voiture est munie de 2 moteurs série de 114 kW, 360 V c .c . Autres spécifications des moteurs : vitesse : 0 à 3160 r/min ; isolation : classe 155 °C ; masse : 650 kg . refroidissement : à l'air ;
Le rendement est donc : __ P2
P,
6263 = 0,805 = 80,5 % 7776
28.12 Emploi du moteur série Le moteur série est utilisé chaque fois qu'une charge exige un couple de démarrage puissant ou une accélération rapide . Il est aussi employé dans les cas où sa
28 .13 Moteur compound Le moteur compound porte un inducteur série et un inducteur shunt . La FMM de l'enroulement série agit toujours dans le même sens que celle de l'enroulement shunt . La FMM de l'enroulement shunt est habituellemement plus grande que celle du champ série, même à pleine charge.
ÉLECTROTECHNIQUE
À mesure que la charge augmente, la FMM de l'inducteur série croît, alors que celle de l'inducteur shunt reste constante . La FMM totale du champ est donc plus grande en charge qu'à vide, de même que le flux . Le moteur doit donc ralentir . La diminution de vitesse de la marche à vide à la pleine charge est généralement de l'ordre de 20 % à 30 % . Le moteur compound sert à entraîner des machines présentant une charge très élevée et de courte durée : étaux-limeurs, cisailles, poinçonneuses, presses, etc . Ces machines comportent souvent un volant d'inertie
qui emmagasine de l'énergie mécanique et la restitue lorsque de fortes surcharges sont brusquement appliquées ; les moteurs compound permettent cet échange d'énergie car leur vitesse tombe au moment de la surcharge . Le graphique de la Fig . 28-16, donnant les courbes caractéristiques des vitesses des moteurs shunt, série et compound, illustre bien l'influence du champ série sur la vitesse .
1,6 1,4
po un d
série charge nominale
1,2 unt
sh
La Fig . 28-15 donne le schéma d'un moteur compound . Lorsque le moteur tourne à vide, le courant I dans l'enroulement série est faible et sa FMM est négligeable devant celle de l'inducteur shunt . Dans ces conditions, le moteur agit comme un moteur shunt: il ne s'emballe donc pas à vide .
com
408
shunt serle
co mpoun d di fférenti et comPo un d
0,4 0,2 0
0,2
0,4
0,6 0,8 1,0 couple (p .u .)
1,2
1,4
1,6
Figure 28-16 Caractéristiques vitesse-couple de divers types de moteurs à c .c .
(a)
série
(b)
0
shunt
28 .14 Inversion du sens de rotation Si l'on désire changer le sens de rotation d'un moteur shunt, il faut inverser le sens du courant, soit dans l'induit, soit dans l'inducteur.
comm
Eo
Figure 28-15 a . Schéma des connexions d'un moteur compound avec pôles de commutation ; b . Diagramme schématique d'un moteur compound avec pôles de commutation .
Dans le cas d'un moteur compound, il faut inverser le sens du courant dans l'induit (Fig . 28-17) . Il est entendu que le terme «induit» comprend les pôles de commutation . 28.15 Énergie cinétique de rotation et arrêt d'un moteur Lorsqu'un moteur démarre une charge ayant une inertie importante, comme un gros volant, on constate qu'il faut attendre plusieurs minutes avant qu'il n'atteigne
MOTEURS À COURANT CONTINU
409
ser deux méthodes : comm
série
série
comm
a) le freinage dynamique b) le freinage par inversion («plugging»)
(a)
(b)
Figure 28-17 a . Connexions d'un moteur compound ; b . Inversion du sens de rotation .
sa vitesse de régime permanent . Si l'on coupe l'alimentation du moteur, la période de décélération est encore plus longue, et peut atteindre une heure et plus .
28 .16 Freinage dynamique Considérons un moteur shunt à excitation séparée raccordé à une source de tension ES . Le sens du courant Il dans l'induit et la polarité de la tension induite Eo sont tels qu'indiqués sur la Fig . 28-18a . Si l'on néglige la résistance de l'induit, la tension induite est sensiblement égale à la tension ES de la source . Si l'on coupe l'alimentation de l'induit (Fig . 28-18b), le moteur continue à tourner, sa vitesse diminuant graduellement sous l'effet des pertes par frottement . D'autre part, le champ étant toujours alimenté, la tension induite diminue au même rythme que la vitesse . Le moteur devient alors une génératrice qui fonctionne à vide .
Le temps requis pour amener la charge à la vitesse finale, ou pour l'arrêter, dépend de l'énergie cinétique emmagasinée . Lors du démarrage, la charge reçoit de l'énergie du moteur mais, à cause de son couple limité, il faut attendre un temps appréciable avant que la vitesse finale soit atteinte . De même, lors du ralentissement, si les pertes par friction et par ventilation sont faibles, une longue période doit s'écouler avant que cette énergie cinétique soit dissipée . Une décélération lente est bien souvent inacceptable ; on doit alors appliquer un couple de freinage pour assurer un arrêt rapide .
Si maintenant on raccorde l'induit à une résistance extérieure R (Fig . 28-18c), la machine fonctionne toujours en génératrice et la tension induite Eo produit un courant d'induit 12 circulant dans le sens inverse du courant original I l . Il en résulte un couple de freinage d'autant plus grand que le courant 12 est grand. En pratique, on choisit une résistance R telle que le courant de freinage initial soit environ 2 fois le courant nominal . Dans ces conditions, le couple de freinage initial est le double du couple normal du moteur .
On pourrait évidemment freiner le moteur à l'aide d'un frein mécanique . Une autre approche, évitant l'usure mécanique, consiste à freiner le moteur en faisant circuler dans l'induit un courant de sens approprié . Pour effectuer ce freinage électromécanique, on peut utili-
À mesure que le moteur ralentit, la décroissance progressive de la tension Eo produit une diminution correspondante du courant 1 2 . Le couple de freinage devient de plus en plus faible et il atteint finalement une valeur nulle lorsque l'induit cesse de tourner .
(c) Figure 28-18 z Moteur alimenté par une source E s ; IL Moteur débranché de la source ; il continue à tourner grâce à son inertie ; c Induit raccordé à une résistance R . Lénergie cinétique est dissipée dans la résistance sous forme de chaleur .
410
ÉLECTROTECHNIQUE
100 sans fr einage 4)
75 freinage dynamique
N N
a) 50
25 freinage par inversion 00
To
2 To temps
3 To
secondes
Figure 28-19 Taux de décroissance de la vitesse selon le genre de freinage utilisé .
Le freinage dynamique provoque donc une décroissance de la vitesse qui est rapide au début, et lente vers la fin . Afin d'illustrer l'efficacité de cette méthode de freinage, nous avons représenté sur la Fig . 28-19 les courbes de décélération obtenues par freinage dynamique et en débranchant simplement le moteur de la source .
28.17
freinage dynamique, sa valeur est ajustée de façon à limiter le courant initial de freinage 12 à environ 2 fois le courant nominal . Avec ce montage, contrairement au freinage dynamique, un couple est développé même à l'arrêt . En effet, pour une vitesse nulle, Eo = 0 et 12 = Es /R, soit environ la moitié de sa valeur initiale .
Freinage par inversion
On peut arrêter un moteur encore plus rapidement en utilisant le freinage par inversion . Cette méthode consiste à inverser brutalement le sens du courant dans l'induit en intervertissant les bornes de la source (Fig . 28-20) . En marche normale (moteur), le courant I i absorbé par l'induit vaut : Ii = (Es - E,)/Ro, où Ro représente la résistance de l'induit . Si l'on intervertit subitement les bornes de la source, la tension résultante agissant sur l'induit devient (Eo + Es ) . Cette tension fera aussitôt circuler dans le sens inverse un courant dont la valeur est I = (Eo + E s )/R o . Si l'on ne prenait aucune mesure pour le limiter, ce courant serait énorme, plus de 50 fois supérieur à l'intensité normale . Il produirait un arc autour du collecteur provoquant la destruction des lames, des balais et de leurs supports avant même que les disjoncteurs de sécurité aient le temps d'ouvrir le circuit . Pour éviter une telle catastrophe, il faut introduire une résistance R en série avec l'induit au moment où l'on intervertit les bornes (Fig . 28-20b) . Comme pour le
(a)
(b)
Figure 28-20 a . Moteur alimenté par une source E s , b . Moteur alimenté par la source, mais dans le sens inverse .
MOTEURS À COURANT CONTINU
Dès que le moteur s'arrête, il faut ouvrir immédiatement l'interrupteur, sinon le moteur repart en sens inverse . Habituellement, cette ouverture est commandée automatiquement par un dispositif sensible à la vitesse nulle . Les courbes de la Fig . 28-19 permettent de comparer le freinage par inversion avec le freinage dynamique, le courant initial étant le même dans les deux cas . On constate que le freinage par inversion arrête le moteur complètement à un instant où la vitesse par freinage dynamique vaut encore 25 % de sa valeur originale . Cependant, la grande simplicité du freinage dynamique le rend plus populaire dans la plupart des applications . 28 .18 Constante de temps mécanique d'un système de freinage Lorsqu'on utilise le freinage dynamique, la vitesse d'un moteur décroît exponentiellement avec le temps . On peut alors définir un demi-temps mécanique T o similaire au demi-temps électrique d'un circuit RC . La valeur de To est le temps requis pour que la vitesse du moteur tombe à 50 % de sa valeur précédente . Connaissant la valeur de To , il est facile de tracer la courbe de décroissance de la vitesse en suivant la méthode expliquée à la section 19-7 du chapitre 19 . On peut prouver que la valeur de T o est donnée par :
41 I
égale au produit de la tension Eo générée dans l'induit et du courant initial circulant dans celui-ci .
Exemple 28-6 Un moteur à c .c . de kW . 250 V, 1200 r/min entraîne une charge possédant une grande inertie dont la valeur totale, rapportée à l'arbre du moteur . est de 177 kg •m - . En régime normal, le moteur est branché à une source de 210 V, et sa vitesse est de 1280 r/min . On utilise une résistance extérieure de 0,2 S2 pour arrêter le moteur par freinage dynamique . Calculer : a) la valeur du temps T T , b) le temps requis pour que i vitesse tombe à 80 r/min Estimer le temps requis pour atteindre 80 r/min sans freinage dynamique . sachant que les pertes par frottement, par aération et dans le fer sont de 8 kW
Solution a) Avant le moment du freinage, la tension aux bornes de l'induit est de 210 V, et la vitesse est de 1280 r/min . Lorsque l'induit est subitement branché sur la résistance de 0,2 S2, la tension induite Eo est encore près de 210 V. Le courant initial lors du freinage est : I=Eo/R=210V/0,252=1050A
Jnl T0 _
La puissance de freinage initiale de l'induit est donc : (28-6)
132 P t
P = E0 I = 210 x 1050 = 220,5 kW Le demi-temps T o est donné par l'équation 28-6 :
To = temps requis pour que la vitesse du moteur
J
ni Pl 132
tombe à la moitié de sa valeur initiale [s] = moment d'inertie du moteur et de sa charge, rapporté à l'arbre du moteur [kg .m2] = vitesse au début du freinage [r/min] = puissance de freinage initiale développée par l'induit [W] = constante tenant compte des unités [valeur exacte = (30/jr)2 /loge 2]
Cette équation suppose que le freinage est attribuable entièrement à la puissance dissipée dans la résistance . En pratique, les pertes par frottement et aération s'ajoutent à cette puissance de sorte que le temps d'arrêt est plus court que celui indiqué par l'équation 28-6 . Noter que la puissance de freinage est en tout temps
To =
Jn
2
132 P t 177 x 1280
2
= lOs
132 x 220 500 b) Il s'ensuit que la vitesse du moteur diminue de moitié pour chaque intervalle de 10 s . Le tableau suivant donne la vitesse et le temps correspondant . vitesse [r/min]
temps [s]
1280 640
0 10
320
20
160
30
80
40
ÉLECTROTECHNIQUE
412
On constate que la vitesse atteint 80 r/min après une période de 40 s . c) Les pertes par frottement, par aération et dans le fer ne varient pas exactement de la même façon que les pertes joules dans une résistance de freinage . Cependant, leur comportement est semblable, ce qui nous permet de faire une estimation du temps de freinage . On a: n i = 1280 r/min
P r = 8000 W
0
Jni
2
132 P,
i =
E = 420
R
= 1050 A
0,4
La puissance initiale de freinage développée par l'induit est: P r = EO I = 210 x 1050 = 220,5 kW
D'après l'équation 28-6, il s'ensuit que la valeur de To demeure inchangée, donc To = 10 s .
Le nouveau temps T 112 est : T _
Le courant initial de freinage est:
b) Le temps pour arrêter la machine complètement est alors :
_ 177 x 1280 132 x 8000
T=2T0 =2x10=20s
= 275 s = 4,6 min Le temps d'arrêt augmente en proportion de T0 . Par conséquent, le temps requis pour atteindre 80 r/min est :
Dans certains systèmes de commande, il faut que le moteur puisse changer de vitesse avec une extrême rapidité. Dans ces circonstances, on a intérêt à réduire l'inertie de l'induit au minimum (Fig . 28-21) .
t= 275 s
x 40s = 1100s 10 s = 18,3 min
Théoriquement, il faut un temps infini pour freiner un moteur dont la vitesse décroît de façon exponentielle ; en pratique, on peut considérer que la machine s'arrête après un intervalle égal à 5T0 . Si le moteur est freiné par inversion, on peut prouver que le temps d'arrêt est donné par : ts = 2T0
(28-7)
où ts = temps de freinage par inversion [s]
Figure 28-21 Induit de moteur à c .c . ultra-rapide . Son inertie a été réduite au minimum en supprimant le noyau d'acier traditionnel . Ne comportant plus que les enroulements et le collecteur, l'induit peut accélérer de zéro à 1200 r/min en 1 milliseconde (gracieuseté de Honeywell) .
To = «demi-temps» mécanique du système [s]
Exemple 28-7 Dans l'exemple 28-6, on se propose d'utiliser le freinage par inversion . On choisit une résistance de freinage de 0 .4 £2 alun que le courant de freinage initial reste le même qu'auparavant . Calculer : a) la puis .~ance de freinage initiale P r b) le temps requis pour arrêter le moteur
Solution a) La tension aux bornes de la résistance au début du freinage est: E = Eo + Es = 210 + 2 10 = 420 V
28.19 Enroulement de compensation Certains moteurs de 100 kW à 10 000 kW, utilisés pour entraîner les laminoirs, sont soumis a des cycles de fonctionnement très exigeants . Ils doivent accélérer, décélérer, s'arrêter, changer de sens de rotation dans des temps très courts . Donc, le courant circulant dans l'induit augmente, diminue et change de sens de façon saccadée, ce qui provoque de brusques variations de la réaction d'induit . Pour ces moteurs, les pôles de commutation ne suffisent pas à maîtriser complètement la réaction d'induit .
MOTEURS À COURANT CONTINU
On doit faire appel à un enroulement de compensation raccordé également en série avec l'induit mais logé dans la face des pièces polaires (Fig. 28-22) . Tout comme l'enroulement de commutation, cet enroulement produit une FMM égale et opposée à la FMM de l'induit . Cependant, puisqu'il est réparti dans plusieurs encoches, la FMM de l'induit est annulée point par point, ce qui permet d'éviter la distribution inégale du champ observée à la Fig . 27-19 .
413
non compensé est limité à des valeurs nettement plus faibles en raison de la réaction d'induit qui affaiblit le flux ¢ provenant de l'inducteur ; 4 . Lors des changements de couple brusques, la possibilité de créer un arc entre les balais à la surface du collecteur est réduite . L'enroulement de compensation est donc essentiel sur les gros moteurs à c .c . qui doivent subir des variations de charges très brusques . 28-20
Moteurs à aimant permanent
Nous avons vu que dans un moteur shunt le champ magnétique est produit par un courant d'excitation circulant dans les bobines excitatrices . L'energie dépensée, la chaleur dégagée et l'espace relativement important occupé par ces bobines constituent parfois des inconvénients du moteur à c .c . conventionnel . On peut éviter ces inconvénients en remplacant les bobines par des aimants permanents . Il en résulte un moteur plus petit et qui ne risque pas de s'emballer à cause d'une défaillance du champ .
Figure 28-22 Moteur à 6 pôles avec enroulements de compensation logés dans des encoches taillées dans la face des pôles . La machine possède en outre 6 pôles de commutation . Ces deux enroulements compensent, point par point, la FMM créée par induit (gracieuseté de General Electric Company) .
L'ajout d'un enroulement de compensation a une grande influence sur la conception et la performance d- un moteur à c .c . : 1 . La longueur de l'entrefer peut être réduite car on n'a plus à se soucier de l'effet de la réaction d'induit sur le champ de l'inducteur ; '2 L'inductance du circuit de l'induit est réduite par un facteur 4 ou 5 ; par conséquent, le courant dans l'induit peut changer plus rapidement, ce qui assure une meilleure réponse de la machine ; 3- Le couple crête peut atteindre 3 ou 4 fois le couple nominal du moteur . Le couple crête d'un moteur
De plus, comme la perméabilité des aimants est presque égale à celle de l'air, la longueur effective de l'entrefer est augmentée des dizaines de fois . Par conséquent, la réaction d'induit crée un champ magnétique beaucoup plus faible que celui résultant de l'utilisation de pièces polaires en fer doux . Le champ créé par les aimants ne subit donc pas la forte distorsion montrée à la Fig . 27-19 . Par conséquent, la commutation et la capacité de surcharge du moteur sont améliorées . Un dernier avantage provient du fait que l'inductance de l'induit est réduite, ce qui diminue le temps de réponse de la machine lors des changements rapides du courant d'induit. Mentionnons toutefois deux inconvénients de ce type de moteur: le coût relativement élevé des aimants et l'impossibilité d'augmenter la vitesse du moteur en réduisant le champ magnétique . Les moteurs à aimant permanent sont particulièrement utiles dans la gamme des puissances inférieures à 5 kW. Les aimants utilisés sont en céramique (ferrite) ou en alliage de terres rares et de cobalt . La Fig . 28-23 montre la construction d'un moteur de 1,5 hp, 90 V, 2900 r/min . Son induit allongé assure une faible inertie et une réponse rapide dans les systèmes asservis .
414
ÉLECTROTECHNIQUE
générateur ou frein ID â quadrant 2 o
moteur quadrant 1
U
+ -- vitesse
Figure 28-23 Moteur à aimant permanent de 1,5 hp, 90 V, 2900 r/min, 14,5 A . Nombre d'aimants : 2 ; type d'aimant : ferrite ; diamètre de l'induit : 73 mm ; longueur de l'induit : 115 mm ; nombre d'encoches : 20 ; nombre de lames du collecteur : 40 ; nombre de spires par bobine : 5 ; conducteur : n° 17 AWG ; type d'enroulement : imbriqué ; résistance de l'induit à 20 °C = 0,34 bQ (gracieuseté de Baldor Electric Company) .
quadrant 3
quadrant 4
moteur
générateur ou frein
Figure 28-24 Un système d'entraînement électrique peut fonctionner dans les 4 quadrants .
tionnement, identifiés respectivement quadrants 1, 2 .3 et 4 (Fig . 28-24) . PRINCIPES FONDAMENTAUX DES ENTRAÎNEMENTS ÉLECTRIQUES 28 .21
Les quatre quadrants de fonctionnement
Nous venons de voir les divers équipements utilisés pour le démarrage et l'arrêt des moteurs à courant continu . Nous avons vu aussi qu'il existe des applications industrielles où un moteur doit fonctionner à des vitesses et couples variables, parfois dans les deux sens de rotation . En plus d'agir comme moteur, la machine doit fonctionner comme générateur ou comme frein pendant de courts intervalles . Par exemple, dans une locomotive électrique le moteur peut tourner dans le sens horaire ou antihoraire et le couple peut agir soit dans le même sens que la rotation, soit dans le sens opposé . En d'autres mots, la vitesse et le couple peuvent être positifs ou négatifs, indépendamment l'un de l'autre . C'est au moyen d'un graphique que l'on peut le mieux décrire le comportement d'un entraînement électrique . Les vitesses positives et négatives sont affichées sur l'axe horizontal, tandis que les couples positifs et négatifs sont représentés sur l'axe vertical . Les deux axes séparent le graphique en quatre quadrants de fonc-
Lorsqu'une machine fonctionne dans le quadrant 1, le couple et la vitesse sont positifs, de sorte que ces deux grandeurs agissent dans le même sens (disons dans le sens horaire) . Par conséquent, une machine fonctionnant dans ce quadrant fonctionne nécessairement en moteur : elle fournit de la puissance mécanique à la charge (voir section 1 .20) . La Fig . 28-25a montre le circuit de la machine lorsqu'elle fonctionne comme moteur . La tension Es de la source est légèrement supérieure à la tension induite Eo, de sorte que le courant I entre par la borne positive (+) . La résistance de l'induit étant R, la valeur du courant I est donnée par: I = (Es - Eo )IR
Une machine fonctionne aussi en moteur dans le quadrant 3, sauf que le couple et la vitesse sont tous deux inversés par rapport au quadrant 1 (Fig . 28-25b) . Dans le cas illustré, on a simplement changé la polarité de la source Es . Lorsque le moteur fonctionne dans le quadrant 4, sa vitesse est positive alors que le couple est négatif (Fig . 28-26a) . Le moteur fonctionne donc comme générateur. Cette condition se produit lorsque la tension induite Eo est plus grande que celle de la source . Par conséquent, le courant sort par la borne (+) de Eo . Puisque
MOTEURS À COURANT CONTINU
QUADRANT2
415
QUADRANT1 (+)
R=252
R=252
T
(+)
générateur n = - 900 r/min T=+4,8 N-m
Figure 28-26b
Figure 28-25a
R=252
vitesse n
Figure 28-27b
(+) 0 QUADRANT3
QUADRANT4
R=252
I=5A
moteur n = - 900 r/min T=-4,8 N •m
Figure 28-25b
Figure 28-26a
(-)
Figure 28-27a
416
ÉLECTROTECHNIQUE
le courant entre par la borne (+) de la source, la puissance débitée par la machine est fournie à la source, sauf pour la faible portion dissipée dans la résistance R . Dans ces circonstances, le moteur ralentit, et on dit qu'il y a freinage par récupération d'énergie . À mesure que la machine ralentit, l'énergie cinétique des parties tournantes est retournée au réseau d'alimentation . Dans le cas des gros moteurs, on préfère ce mode de freinage à celui où l'énergie est simplement dissipée en chaleur. Toujours dans le quadrant 4, si l'on intervertit la polarité de Es , la polarité de Eo agit dans le même sens que celle de la source (Fig . 28-27a) . La valeur du courant est maintenant I = (Es + Eo )IR
Il en résulte un gros courant qui circule dans le sens indiqué . Le moteur débite une puissance E0I en même temps que la source débite une puissance ES I. La somme de ces deux puissances est dissipée dans la résistance R . Dans ces circonstances, même si le moteur fonctionne encore en générateur, on dit qu'il agit en frein parce que la puissance électrique qu'il génère est entièrement convertie en chaleur dans la machine . Le rendement est nul et l'induit du moteur surchauffe rapidemment . Lorsque le moteur fonctionne dans le quadrant 2, les conditions sont analogues à celle du quadrant 4, sauf que la polarité des tensions, le sens des courants, la vitesse et le couple sont inversés . Les valeurs données dans les Fig . 28-25, 28-26 et 28-27 servent uniquement à illustrer les principes de fonctionnement . 28 .22 Courbe du couple en fonction de la vitesse La courbe du couple en fonction de la vitesse d'un moteur shunt à c .c . illustre bien les différents modes de fonctionnement de la machine comme moteur, comme génératrice ou comme frein . En se référant à la courbe (1) de la Fig . 28-28, la machine agit comme moteur dans le quadrant 1, comme frein dans le quadrant 2 et comme génératrice dans le quadrant 4 . En intervertissant la polarité de la source (ou en intervertissant les bornes de l'induit ou du champ), on obtient la courbe (2) montrée en pointillé . La machine fonctionne alors comme moteur dans le quadrant 3, comme génératrice dans le quadrant 2 et
frein
moteur n génératrice
0 \`
courbe 1
courbe 2 Figure 28-28 Courbes du couple en fonction de la vitesse d'un moteur shunt à c .c . La courbe en pointillé est obtenue en intervertissant les bornes de l'induit .
comme frein dans le quadrant 4 . Cela démontre que. selon les connexions, la machine peut fonctionner comme frein ou comme génératrice dans les quadrants 2et4. Les systèmes d'entraînement à vitesse variable sont conçus pour faire varier graduellement la vitesse et le couple, afin de satisfaire aux exigences de la charge . On atteint cet objectif en déplaçant la courbe (1) horizontalement, vers la gauche ou vers la droite, selon le besoin . Dans le cas d'une machine shunt, ce déplacement est obtenu en faisant varier la tension de la source qui alimente l'induit, en gardant le champ fixe . Lorsque la tension augmente, la vitesse augmente, et la courbe (1) se déplace vers la droite, tout en gardant la même pente . En effet, la pente demeure la même tant que la résistance de l'induit et le flux de l'inducteur shunt demeurent constants . Cela décrit précisément le comportement du moteur M dans le système Ward Leonard discuté à la section 28 .5 . 28.23 Courbes T - n relatives en p .u . Le couple T et la vitesse n sont les deux principales caractéristiques d'un moteur. Comme il existe une grande variété de machines, dont la puissance, la tension, la vitesse et le champ magnétique peuvent varier dans une gamme importante, il est utile de relativiser ces différentes grandeurs . Il s'agit alors d'exprimer ces grandeurs en unités relatives (p .u .) .
417
MOTEURS À COURANT CONTINU
son couple nominal (T pu = 1) à la vitesse nominale (npu = 1) . La vitesse nominale constitue la vitesse de p
base («base speed»> .
Figure 28-29 Schéma d'un moteur shunt montrant les grandeurs relatives de tension, courant, flux, vitesse et couple.
Pour développer la courbe T-n en p .u ., choisissons un moteur shunt à excitation séparée (Fig . 28-29) . Il se prête bien à une commande de la vitesse et du couple . Toutefois, on doit respecter les limites de performance de la machine . Ainsi, on ne doit pas dépasser les valeurs nominales du courant d'induit, de la tension d'induit, ni du flux de l'inducteur. On peut évidement utiliser des valeurs inférieures . La tension E aux bornes de l'induit, le courant I dans l'induit, le flux 0 et la vitesse n sont exprimés en valeurs relatives (p .u .) . Par exemple, si la tension nominale E est de 240 V et le courant nominal I de 600 A, ces deux grandeurs auront une valeur relative de 1 . De même, si le flux 0 a une valeur nominale de 5 mWb, sa valeur relative est aussi de 1 .
Pour faire décroître la vitesse en dessous de sa valeur nominale, on diminue graduellement la tension Epu de 1 à zéro, tout en gardant constants le courant d'induit et le flux (I pu = 1, Opu = 1 ) . En appliquant la formule 28-8, on trouve que le couple relatif Tpu est alors égal à 1: Tpu
=0pu XIPu
=1x1=1
Cela indique que durant cette phase d'opération (Fig . 28-30), le couple conserve sa valeur nominale . Donc, lorsque la vitesse npu est comprise entre zéro et 1, le moteur fonctionne dans le mode dit à couple constant. Durant la même phase d'opération, et d'après la formule 28-9, la tension relative Epu est donnée par : Epu = npu X Opu = n pu x 1 = npu
Comme Epu = npu, on obtient une droite inclinée à 45° . Les Fig . 28-30 et 28-31 montrent les relations entre Epu , n pu , Ipu et Op ,, pendant le mode à couple constant (pour n pu plus petit que 1,0) . ,pu
1,0 Ipu Epu
u
Dans les explications qui suivent, nous utiliserons les symboles suivants pour la notation des valeurs réelles et relatives :
i
i
couple mo i, puissance,, constant constante 0
valeur réelle
E
I
n
T
0
valeur relative
Epu
Ipu
n pu
Tpu
opu
L'avantage du système p .u . est qu'il permet de formuler des relations simples entre ces différentes grandeurs, .et d'en déduire une courbe couple-vitesse universelle .
1,0
2,0
vitesse npu Figure 28-30 Tension et courant relatifs en fonction de la vitesse relative .
On sait, par exemple, que le couple Test proportionnel m produit du flux 0 et du courant d'induit I . . En valeurs relatives, on peut donc écrire: Tpu = 0pu X Ipu
(28-8)
sait aussi que la tension E de l'induit est proporelle au produit de la vitesse n et du flux 0. En urs relatives, on peut donc écrire : Epu = npu X OPU (28-9) point de départ logique sur la courbe relative T-n .28-30) correspond à celui où le moteur développe
couple constant
~F puissance constante 1
0 0
1,0 1,25 vitesse n pu
Figure 28-31 Flux relatif en fonction de la vitesse relative .
2,0
418
ÉLECTROTECHNIQUE
On constate d'après la Fig . 28-30 que, à couple constant, on ne peut augmenter la vitesse au-dessus de sa valeur nominale (npu > 1), car on ne peut pas augmenter la tension de l'induit au delà de sa valeur nominale . Par conséquent, pour augmenter la vitesse, la seule solution est de maintenir Ep „ = 1 et de réduire le flux . En se référant à la formule 28-9, on peut écrire = npu
Epu
soit
x 0P ,
1=nom x
donc
opu
éq . 28-9
opu
_ 1 npu
Durant ce mode de fonctionnement en survitesse, le courant d'induit peut être gardé à sa valeur nominale, Ip „ = 1 . En appliquant la formule 28-8, il s'ensuit que : Tpu
= op„ x Ipu 1
éq . 28-8
vitesse dépasse de beaucoup la vitesse nominale . problèmes de commutation se manifestent et les fo centrifuges risquent de devenir dangereuses . Lorsque la vitesse est inférieure à sa valeur nomin l'aération est moins bonne et l'échauffement tend ` dépasser la limite permise . Par conséquent, on doit ré duire le courant dans l'induit, ce qui diminue le couple . Enfin, lorsque la vitesse est nulle, la ventilation forcée cesse et même le courant du champ shunt doit être réduit afin de ne pas surchauffer les bobines . Le couple à induit bloqué peut alors n'avoir qu'une valeur relative de 0,25 . La diminution importante imposée au couple à mesure que la vitesse décroît peut être résolue en utilisant une ventilation externe pour refroidir le moteurElle fournit un débit constant d'air frais, indépendamment de la vitesse du moteur. Dans ces circonstances la courbe relative T-n s'approche de celle montrée à la Fig . 28-32 .
xl
npu
Epu = Ipu = opu =1 1,0
d'où
1 Tpu = npu
Tpu
Donc, lorsqu'on dépasse la vitesse nominale, le couple relatif Tpu diminue en rapport inverse avec la vitesse relative npu . Étant donné que la tension Ep„ et le courant Ipu sont tous deux égaux à 1 durant cette phase d'opération, la puissance électrique relative fournie au moteur est: Ppu =Epu XIpu
=1x1=1
Durant cette phase, le moteur développe donc sa puissance nominale . Pour cette raison, en survitesse, le mode de fonctionnement est dit à puissance constante .
0,5
couple constant 0 0
1,0
Figure 28-32 Caractéristique théorique T-n normalisée d'un moteur shunt . montrant les modes d'opération à couple constant et à puissance constante .
o
La Fig . 28-33 montre la courbe T-n typique d'un moCette courbe indique une vimais dans certaines machines on peut atteindre des valeurs allant jusqu'à 3 ou 4, en réduisant le flux suffisamment . Cependant, lorsque la
E c E t o / U C
1,0
I nT= 1 I I I -1
0,75 T
teur shunt quelconque . tesse npu maximale de 2,
2,0
vitesse npu
Un moteur shunt idéal doit donc fonctionner à l'intérieur des limites T-n imposées par la courbe relative de la Fig . 28-32 . En pratique, des considérations thermiques et mécaniques viennent diminuer les limites théoriques de la Fig . 28-32 .
1 puissance iii constante 'i
0,5
û Û d Û E o
0,25 0 0
I 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ,
2 0 o. N 2,0
vitesse n
Figure 28-33 Caractéristique T-n normalisée d'un moteur shunt réalisable en pratique .
MOTEURS À COURANT CONTINU
28-24 Résumé Dans ce chapitre, nous avons vu que la construction du moteur à courant continu est identique à celle de la génératrice à courant continu et qu'il possède les mêmes modes d'excitation . Comme dans le cas de la génératrice, une tension est induite dans les enroulements de l'induit lorsque le moteur tourne . C'est la différence entre la tension de source appliquée à l'induit et cette tension induite qui provoque la circulation du courant dans l'induit . Le couple développé par le moteur est proportionnel au courant d'induit et au champ magnétique créé par l'inducteur. Pour régler la vitesse d'un moteur à courant continu, on peut changer le flux créé par l'inducteur ou faire varier la tension de la source . Lors du démarrage du moteur on doit limiter le courant d'induit à l'aide d'une résistance, comme dans les démarreurs manuels, ou en contrôlant la tension de source . Pour diminuer le temps d'arrêt dû à l'inertie du moteur et de sa charge on peut utiliser le freinage dynamique . Le moteur fonctionne alors en génératrice et son énergie cinétique est dissipée rapidement dans la résistance de charge . On obtient un arrêt encore plus rapide en appliquant le freinage par inversion . Dans certains procédés, le moteur suit différents modes de fonctionnement. Selon les signes respectifs du couple et de la vitesse, le moteur peut agir comme moteur, commefrein ou comme génératrice . Son point d'opération peut alors se déplacer sur la caractéristique couple-vitesse et occuper successivement un des quatre quadrants délimités par les axes du couple et de la vitesse.
PROBLÈMES - CHAPITRE 28 Niveau pratique 28-1 Nommer les trois modes d'excitation des moteurs à courant continu . Tracer les schémas de connexions .
28-6 Expliquer pourquoi le courant d'induit d'un moteur shunt diminue à mesure que celui-ci accélère . 28-7 Pourquoi faut-il employer un rhéostat de démarrage avec un moteur à courant continu? 28-8 Montrer une façon de changer le sens de rotation d'un moteur compound . 28-9 Un moteur shunt est branché sur une ligne de 230 volts, et le courant nominal tiré par l'induit est de 60 A . Sachant que la résistance de l'induit est de 0,15 £2, calculer : a) la f.c .é .m, en volts b) la puissance fournie à l'induit, en kilowatts c) la puissance dissipée par effet Joule dans l'induit, en watts d) la puissance mécanique débitée par le moteur, en kW et en hp 28 .10 Dans le problème 28-9, a) quelle serait la valeur du courant de démarrage si le moteur était branché directement sur la ligne, au départ? b) quelle est la résistance du rhéostat de démarrage qui limiterait ce courant à 115 ampères? 28.11 Sur quels types de moteurs à c .c . doit-on poser des enroulements de compensation? Niveau intermédiaire 28-12 La Fig . 28-34 représente une partie d'un moteur à c .c . possédant 6 pôles . Le moteur tourne dans le sens antihoraire et les pôles principaux ont les polarités indiquées . a) Dans quel sens le courant circule-t-il dans les conducteurs de l'induit situés au-dessous du pôle N? b) Dans quel sens le courant doit-il circuler dans l'enroulement de commutation?
28-2 Expliquer l'effet générateur dans un moteur . 28-3 De quoi dépend la force contre-électromotrice d'un moteur? 28-4 La f.c .é .m . d'un moteur qui fonctionne normalement est légèrement inférieure à la tension appliquée sur l'induit . Expliquer. 28-5 De quelles façons peut-on faire varier la vitesse d'un moteur à courant continu?
419
Figure 28-34 Voir problème 28-12 .
420
ÉLECTROTECHNIQUE
b) Calculer la résistance de l'induit ainsi que la force contre-électromotrice, sachant que la moitié des pertes à pleine charge sont dues à la résistance de l'induit . c) Quelle est la valeur approximative du courant d'excitation si le champ shunt consomme 20 % des pertes totales à pleine charge? d) Quel sera le courant d'excitation approximatif pour obtenir une vitesse de 1100 r/min?
c) Qu'arriverait-il au couple développé par le moteur si l'on faisait circuler le courant d'induit instantanément dans le sens inverse? Qu'arrive-t-il à la valeur et à la polarité de la f.c .é .m .? 28-13 Un moteur compound (Fig . 28-15) a 1200 spires par pôle sur l'inducteur shunt et 25 spires sur l'inducteur série . Le moteur est raccordé à une source de 230 volts et son courant nominal est de 23 A . La résistance totale de l'inducteur shunt est de 115 ohms . Calculer :
28-16 Un système de commande Ward-Leonard (Fig 28-5) est composé d'une génératrice de 1000 kW entraînant un moteur de laminoir de 800 kW. Lors du laminage d'un lingot d'acier, on observe les vitesses, tensions et courants indiqués à la Fig . 28-35 . À partir de ces données, calculer :
a) la FMM totale par pôle, à pleine charge b) la FMM totale, à vide 28-14 Un moteur à excitation séparée tourne à 1200 r/min quand l'induit est alimenté par une source de 115 volts . Quelle tension faudrait-il employer pour que la vitesse devienne environ 1500 r/min? 100 r/min?
a) la puissance fournie à l'induit aux instants suivants : t = 2, 10, 25 et 40 secondes b) le couple aux mêmes instants, en kN .m c) le temps requis pour abaisser le courant IXm du champ de 280 A à 160 A d) la puissance maximale du champ évaluée en pourcentage de la puissance du moteur, sachant que la tension d'excitation est de 200 V e) l'énergie fournie au moteur durant l'intervalle de 0 à 40 secondes. Quel est le coût de l'énergie dépensée si l'aciérie paie 4,5e le kW-h?
28-15 On donne les spécifications suivantes pour un moteur shunt : puissance 180 kW tension 230 V vitesse 435 r/min courant de pleine charge 832 A isolation classe 180 °C masse 3400 kg diamètre extérieur 915 mm longueur de la carcasse 1260 mm
28-17 On désire arrêter un moteur en utilisant le système de freinage dynamique représenté par le circuit de la Fig . 28-18 . Le moteur a une puissance de 90 kW .
a) Calculer le rendement ainsi que les pertes totales du moteur à pleine charge . A 300 Ixm
Ix du moteur 280 A
160 A
0
r/min 400
t 0
200 A ~~ 1100 A
1700 A
V 12 0 A 900 ES 120V
1
60 V
8500 V
∎
0 32 r/min l
320 r/min i 10
15
20
25 - temps
Figure 28-35 Tension, courants et vitesse d'un moteur de laminoir (problème 28-16) .
16 r/min 30
35
40
45s
MOTEURS À COURANT CONTINU
421
un courant nominal d'induit de 400 A et il tourne à 400 r/min sous une tension ES de 240 V. Calculer :
28-23 Un train de métro avec ses passagers a une masse de 30 tonnes .
a) la valeur de la résistance de freinage R si l'on désire limiter le courant de freinage '2 à 125 % de sa valeur nominale b) la puissance de freinage (en kW) lorsque le moteur tourne à 200 r/min, 50 r/min, 0 r/min
a) Quelle est son énergie cinétique lorsqu'il roule à une vitesse de 120 km/h? b) Ce train est équipé de 4 moteurs série ayant chacun une puissance de 114 kW. En combien de temps passe-t-il de 0 à 120 km/h en supposant que la moitié de la puissance est disponible pour l'accélération?
28-18 a) On utilise le freinage par inversion pour arrêter le moteur du problème 28-17 . Le moteur a une puissance de 90 kW, un courant nominal d'induit de 400 A et il tourne à 400 r/min sous une tension ES de 240 V. Quelle doit être la valeur de R (Fig . 28-20) afin que le courant maximal de freinage soit encore limité à 125 % de sa valeur nominale? b) Quelle est la puissance de freinage (en kW) lorsque le moteur tourne à 200 r/min? 50 r/min? 0 r/min? c) Comparer la puissance de freinage avec la puissance instantanée dissipée dans la résistance R au moment où le moteur tourne à 50 r/min . 28-19 Dans la Fig . 28-34, montrer l'allure du champ magnétique dans l'entrefer au-dessous des pôles N et S si les pôles de commutation n'existaient pas . 28-20 Dans la Fig . 28-22, combien d'encoches sont taillées dans la face de chaque pôle principal pour recevoir l'enroulement de compensation? Combien de bobines de compensation y a-t-il en tout? 28-21 Un moteur à c.c. possédant des enroulements de compensation et de commutation est appelé à fonctionner comme génératrice pendant de courtes périodes . Doit-on changer les connexions de ces enroulements pendant les périodes de fonctionnement en génératrice? Expliquer. Niveau avancé 28-22 L'induit d'un moteur à c .c . de 225 kW, 1200 r/min (Fig . 28-4a) a un diamètre de 559 mm et une longueur axiale de 235 mm . a) Calculer son moment d'inertie sachant que la masse volumique du fer est de 7900 kg/m 3 . Négliger la présence des dents . b) Calculer l'énergie cinétique de l'induit lorsqu'il tourne à 1200 r/min . c) En supposant que le moment d'inertie des enroulements et du collecteur est égal à celui de l'induit calculé précédemment, déterminer l'énergie cinétique totale du rotor pour une vitesse de 600 r/min .
28-24 Lorsqu'on diminue le courant d'excitation nominal d'un moteur shunt de 50 %, la vitesse augmente, mais jamais du double . Expliquer. 28-25 La vitesse d'un moteur série diminue à mesure que sa température augmente, tandis que celle d'un moteur shunt augmente . Expliquer. 28-26 Un moteur série de 100 kW tourne à une vitesse de 800 r/min lorsque son courant de charge est de 600 A . Si le courant diminue de moitié, la vitesse doublera-t-elle? Expliquer . 28-27 La tension appliquée à un moteur shunt augmente de 10 % . De combien sa vitesse est-elle affectée? 28-28 Une machine à papier comprend un moteur à c .c . qui enroule le papier sur un grand rouleau dont le diamètre augmente graduellement de 300 mm à 1000 mm . Le débit de papier est constant et la feuille est maintenue sous une tension fixe . Le moteur développe une puissance de 50 kW et tourne à 600 r/min lorsque l'on commence le rouleau. Quelles doivent être sa vitesse et sa puissance lorsque le rouleau est terminé? 28-29 On désire calculer les valeurs des 4 résistances du démarreur de la Fig . 28-11, utilisé pour un moteur shunt de 60 kW, 320 V, 200 A, 775 r/min dont la résistance d'induit est de 0,05 S2 . À vide, le moteur tourne à une vitesse de 800 r/min . Le moteur entraîne un convoyeur qui impose un couple constant égal au couple nominal du moteur. Lors du démarrage, on désire limiter le courant maximal d'induit à 200 % du courant nominal . Avant de changer de plot, on attend que la vitesse du moteur se soit stabilisée. Déterminer, d'après ces données, la valeur de chacune des résistances R,, R 2 , R3 et R4 . Quelles sont les vitesses successives atteintes par le moteur à la fin des cinq périodes d'accélération?
29 Pertes, échauffement, rendement et dimensions des machines électriques Nous avons déjà vu au chapitre 1 que la transformation de l'énergie d'une forme en une autre au moyen d'une machine s'accompagne toujours d'une certaine perte de puissance . Cette perte se produit dans la machine elle-même et donne lieu :
2 . du frottement des balais sur le collecteur ou sur les bagues ; 3 . du frottement de l'air sur l'induit et sur le ventilateur destiné au refroidissement de la machine .
1 . à un échauffement des différentes parties de la machine ; 2 . à une diminution du rendement de la machine, la puissance débitée par la machine étant inférieure à la puissance qui lui est fournie . L'étude des phénomènes occasionnant des pertes de puissance est d'un grand intérêt, car elle nous révèle comment ces pertes peuvent être réduites . Dans ce chapitre, nous analysons les pertes dans les machines à c .c ., mais les mêmes remarques s'appliquent à la plupart des machines à courant alternatif .
Les pertes qui proviennent du frottement du rotor sur des organes fixes (paliers, balais) contribuent à l'échauffement de la machine . Plus la machine tourne vite, plus les pertes mécaniques deviennent importantes . Ces pertes dépendent de nombreux facteurs et il est très difficile de prédire leur valeur. Pour les déterminer avec exactitude, il faut faire des essais sur la machine . 29 .2 Pertes électriques dans les conducteurs Les pertes électriques sont divisées en deux catégories : les pertes dans les conducteurs et les pertes dans le fer. Dans les conducteurs, elles sont dues à l'effet Joule . Elles s'expriment par la formule P = RI2 , où I est le courant qui parcourt l'enroulement de résistance R . Ces pertes se manifestent par la chaleur qui se dégage des conducteurs .
Les machines électriques peuvent être classées en deux groupes : celles qui comprennent des parties tournantes (moteurs, génératrices) et celles_ qui n'en ont pas (transformateurs, réactances) . Des pertes électriques et mécaniques sont produites dans les machines tournantes ; dans les machines fixes, seules les pertes électriques sont produites .
Dans le cas des moteurs et des génératrices, les pertes ont lieu dans l'enroulement de l'induit, dans les enroulements inducteurs (shunt et série), dans les balais . dans le rhéostat d'excitation et dans l'enroulement des pôles de commutation .
29.1 Pertes mécaniques Les pertes mécaniques proviennent :
Au lieu d'utiliser la formule P = RI2 , il est parfois plus commode de calculer les pertes d'après la masse des
1 . du frottement dans les paliers ; 422
423
PERTES, ÉCHAUFFEMENT, RENDEMENT ET DIMENSIONS DES MACHINES ÉLECTRIQUES
conducteurs . Les pertes massiques sont donnés par la formule: JZ P
Pmc =
(29-1)
ou pertes massiques des conducteurs [W/kg] • densité de courant dans les conducteurs [A/cm 2 ] résistivité du conducteur [nQ .m] p masse volumique du conducteur [kg/m 3 ] • ç 10 • constante tenant compte des unités
Pmc J
On constate que les pertes par unité de masse sont proportionnelles au carré de la densité de courant dans le conducteur. Comme ordre de grandeur, on utilise des densités variant de 150 A/cm2 à 600 A/cm2 pour les conducteurs en cuivre . Les pertes correspondantes varient alors d'environ 5 W/kg jusqu' à 80 W/kg . Les densités élevées requièrent un bon refroidissement pour éviter les températures excessives . La faible résistance des balais produit des pertes Joule négligeables comparativement aux pertes électriques occasionnées par la chute de tension entre le balai et le collecteur. Cette chute varie ordinairement de 0,8 à 1,3 volts, selon le type de balai utilisé et la pression appliquée . Dans les balais en carbone, on utilise des densités de courant beaucoup plus faibles que dans le cuivre, soit environ 10 A/cm 2 (Fig . 29-1) .
Exemple 29-1 Linduit de la Fig . 28-4 loge 243 bobines pesant chacune 0 .35 kg . Calculer les pertes Joule à une température de 120 °C pour une densité de courant (le 400 A/cm' . La masse volumique du cuivre est de 8890 kg/m' et sr résistivité à 0 C est cle 15,88 nS2-m (nanohm-mètre) . Solution La masse totale du cuivre est : m = 243 bobines x 0,35 kg/bobine = 85 kg La résistivité du cuivre à 120 °C est : p = po (1 +
at)
éq . 10-2a
= 15,88 (1 + 0,00427 x 120) = 24 nS1m D'après l'équation 29-1, les pertes massiques sont :
Pmc =
JZ P 10Ç
400 2
x 24 = 43,2 W/kg 10 x 8890 Les pertes Joule dans l'induit sont : P = 43,2 W/kg x 85 kg = 3672 W = 3,67 kW 29 .3 Pertes électriques dans le fer
1 cm 2
conducteur en cuivre ~ 1 cm 2
Figure 29-1 Comparaison des densités de courant utilisées dans les conducteurs en cuivre et dans les balais . x
Ç est une lettre grecque qui se prononce «dzéta» .
Il ne se produit aucune perte dans une pièce de fer traversée par un flux qui ne change ni d'intensité, ni de direction . Ainsi, lorsqu'un électro-aimant est excité par un courant continu, il se produit des pertes dans le cuivre de la bobine seulement ; il n'y en a aucune dans le fer du noyau . Par contre, des pertes importantes se produisent dans les parties en fer où le flux varie en grandeur ou en direction . C'est le cas du circuit magnétique des machines à courant alternatif dans lesquelles le flux est alternatif. C'est aussi le cas de l'induit des machines à courant continu où le flux, bien que constant en intensité, change de sens périodiquement et rapidement . À noter que les pertes dans le fer d'un induit imposent un couple de freinage mécanique, tout comme les pertes par frottement sur les paliers .
424
ÉLECTROTECHNIQUE
Les pertes dans le fer sont attribuables au phénomène d'hystérésis et aux courants de Foucault. On a vu au chapitre 15, sections 15 .12 à 15 .14, que les pertes par hystérésis sont proportionnelles au nombre de fois où l'aimantation change de sens par seconde, donc à la vitesse de rotation des parties tournantes . Elles varient à peu près comme la densité de flux à l'exposant 1,6 .
rotation
1 . Pertes par hystérésis .
2. Pertes par courants de Foucault . Pour expliquer les pertes par courants de Foucault, considérons un noyau cylindrique en fer qui tourne entre les pôles d'un aimant (Fig . 29-2a) . En tournant, le noyau coupe des lignes de flux et, d'après le principe III de l'électromagnétisme, une tension est induite dans le noyau même, avec les polarités indiquées . Cette tension fait circuler des courants dans la masse du noyau . Ces courants, auxquels on donne le nom de courants de Foucault, provoquent un échauffement, par effet Joule, du noyau de fer (Fig . 29-2b) . La chaleur dégagée correspond à une perte de puissance proportionnelle au carré de la vitesse de rotation et au carré de la densité de flux .
Si le noyau magnétique de l'induit des machines à courant continu était fabriqué d'un seul bloc, la chaleur produite par les courants de Foucault serait tellement grande que le noyau serait porté au rouge en peu de temps, de sorte que ces machines seraient inutilisables . Pour minimiser les pertes par courants de Foucault, on est conduit à feuilleter le noyau de l'induit . Le noyau est alors formé d'un empilage de tôles minces, isolées les unes des autres afin d'empêcher le passage du courant d'une tôle à l'autre . Les tôles sont disposées parallèlement au sens des lignes de force (Fig . 29-3) . Les pertes sont atténuées davantage en augmentant la résistivité de la tôle par addition de 3 à 4 % de silicium. Avec des tôles au silicium de 0,35 mm d'épaisseur (Fig . 29-4), on peut limiter ces pertes à une petite fraction de la puissance de la machine* . Comme les pertes dans le fer dépendent de plusieurs facteurs, les fabricants de tôles d'acier présentent généralement cette information sous forme de courbes .
Bien que le flux ne varie pas dans les pièces polaires des machines à courant continu, ces pièces sont généralement formées de tôles de fer doux car il est plus économique de tailler des tôles que d'usiner une grosse pièce d'acier pour lui donner la forme particulière des pièces polaires .
(a)
(b)
Figure 29-2 a. Tension induite dans un rotor plein ; b . Courants de Foucault résultants .
tôle
(a)
E:' O
isolant
Figure 29-3 a . Rotor formé d'un empilage de tôles ; b . Les courants de Foucault dans chaque tôle sont beaucoup moins grands que dans un rotor plein .
Comme ordre de grandeur, pour une densité de 1,5 T et une fréquence de 60 Hz, les pertes totales dans la tôle de 0,35 mm (jauge n) 29), varient de 1,5 W/kg à 8 W/kg, selon la qualité de l'acier.
PERTES, ÉCHAUFFEMENT, RENDEMENT ET DIMENSIONS DES MACHINES ÉLECTRIQUES
425
dement et aux transformateurs . On note que pour une induction donnée, la tôle mince (0,35 mm) donne des pertes massiques sensiblement inférieures à celles d'une tôle plus épaisse (0,56 mm) . Cette diminution est due uniquement à la réduction des pertes par courants de Foucault . 29 .4 Courants de Foucault dans un noyau stationnaire Nous avons vu à la section 29 .3 que des pertes par courants de Foucault sont produites dans un noyau métallique lorsqu'il tourne dans un champ magnétique . Des pertes semblables sont aussi produites lorsqu'un noyau stationnaire est traversé par un flux alternatif . Figure 29-4 Four électrique de 150 kW utilisé pour recuire les tôles magnétiques après le poinçonnage des encoches . Cette opération, effectuée à 800 °C dans une atmosphère contrôlée, réduit sensiblement les pertes massiques du fer . On voit ici les tôles sortant du four (gracieuseté de Générale Électrique) .
La Fig . 29-5 donne les pertes massiques en fonction de la densité de flux pour diverses tôles utilisées dans les induits . Ces pertes donnent la somme des pertes par hystérésis et par courants de Foucault pour une fréquence de 60 Hz . On utilise l'acier au silicium M-36 sur des induits de puissance moyenne, tandis que le type M-14 est réservé aux grosses machines à haut ren-
La Fig . 29-6a montre une plaque métallique traversée par un flux alternatif . On peut considérer que la plaque est formée de plusieurs spires rectangulaires courtcircuitées sur elles-mêmes . Le flux alternatif induit une tension alternative dans chacune des «spires», produisant ainsi des courants de court-circuit alternatifs montrés à la Fig . 29-6b. Ces courants de Foucault produisent dans la plaque métallique des pertes RI2 qui varient avec le carré de la fréquence et le carré de la densité de flux . Or, la densité de flux circulant dans le noyau de fer d'un transformateur ou d'un moteur à courant alternatif est toujours importante, de sorte que si le noyau était plein, les courants de Foucault et les pertes résultantes seraient excessivement élevés (Fig . 29-7) . Afin de réduire les pertes, le noyau est constitué de lamelles d'acier très minces, isolées les unes des autres (Fig . 29-8) . Le flux dans chaque lamelle est alors très petit et comme sa résistance est beaucoup plus élevée que celle d'un noyau plein, les courants de Foucault,
plaque métallique 1-1
(a)
Figure 29-5 Pertes massiques de diverses tôles utilisées dans les induits et les noyaux de transformateurs .
courants de Foucault
(b)
Figure 29-6 Un flux alternatif traversant une plaque métallique induit dans celle-ci des tensions alternatives et des courants de Foucault .
426
ÉLECTROTECHNIQUE
le courant augmente dans l'induit, dans l'inducteur série et dans les bobines de commutation . Les pertes par fet Joule dans ces enroulements augmentent donc . Par contre, les pertes dans le fer et les pertes mécaniques demeurent sensiblement les mêmes qu'à vide, à moins que la vitesse ne change de façon appréciable .
e
flux alternatif
Figure 29-7 Des courants de Foucault intenses sont induits dans un noyau de fer plein .
courants de Foucault dans une lamelle
flux alternatif
Figure 29-8 Un noyau de fer composé de tôles minces diminue de beaucoup les pertes par courants de Foucault .
de même que les pertes totales, sont réduites à une fraction de leur valeur originale. Pour une fréquence de 60 Hz, on utilise des tôles ayant généralement une épaisseur de 0,35 mm . 29.5 Variation des pertes avec la charge Un moteur à c .c . tournant à vide ne développe évidemment aucune puissance utile . Il faut cependant lui fournir une certaine puissance si l'on veut qu'il continue à tourner. Cette puissance est absorbée par le frottement mécanique, la ventilation, les pertes dans le fer et les pertes dans le cuivre de l'enroulement shunt . Les pertes dans le cuivre de l'induit, de l'inducteur série et de l'enroulement de commutation sont minimes car le courant à vide est très faible par rapport au courant nominal . Quand la machine est chargée (mécaniquement, si c'est un moteur, et électriquement, si c'est une génératrice),
De façon générale, les pertes dans une machine sort composées de pertes constantes et de pertes variables qui augmentent avec la charge . Puisque ces pertes se transforment en chaleur, il en résulte une élévation de température . Cette élévation de température par rapport à la température ambiante est appelé échauffement29.6 Puissance et capacité de surcharge L'échauffement d'une machine dépend des pertes et on sait que ces pertes augmentent avec la charge . Puisque l'échauffement doit être limité afin de ne pas détériorer les isolants, la charge doit aussi être limitée . En somme, dans la majorité des cas, c'est l'élévation maximum de température des isolants qui détermine la puissance maximale qu'une machine peut débiter . Lorsqu'une machine fournit une puissance dépassant sa puissance nominale, il y a échauffement excessif et . par suite, détérioration partielle de la machine, ce qui réduit inévitablement le nombre d'années de service qu'on peut en attendre . Lorsqu'une machine fonctionne de façon intermittente, elle peut supporter, sans risque d'échauffement excessif, une surcharge d'autant plus forte que son temps d'utilisation est plus court . Ainsi, un moteur d'une puissance nominale de 10 kW peut facilement supporter une charge de 15 kW s'il ne fonctionne que quelques minutes par heure . Toutefois, à des valeurs plus élevées, sa capacité de surcharge est limitée par d'autres facteurs, principalement électriques . Par exemple, il est impossible pour une machine de 10 kW de débiter une puissance de 100 kW. 29 .7 Courbe de rendement Le rendement d'une machine est le rapport entre la puissance utile P2 et la puissance P i fournie à la machine (voir chapitre 1, section 1 .15) . La puissance fournie est égale à la somme de la puissance utile et des pertes p . On a alors :
z = P2
rendement 17 = P
P,
(29-2)
P2 + p
PERTES, ÉCHAUFFEMENT, RENDEMENT ET DIMENSIONS DES MACHINES ÉLECTRIQUES
Le rendement varie donc avec la puissance utile et les pertes ; la relation entre le rendement et la puissance utile est généralement donnée par un graphique . L' exercice numérique suivant indique la marche à suivre pour le calcul du rendement d'un moteur à courant continu .
Exemple 29-2 Un moteur compound à C .C . de 10 kW. 1150 11111ili 230 V. 50 /\ a les pertes suivantes à pleine charte : 40 W pertes par frottement sur les paliers 50 W pertes par frottement des balais pertes par ventilation = 200 W 290 W (1) pertes mécaniques totales pertes Joule dans le champ shuni = 120 W ( ) = 420 W (3) pertes dans le fer de l'induit Total des pertes constantes
= 8_30 W
Lorsque le moteur est chargé à 25 % de sa puissance nominale, le courant qu'il tire est d'environ 25 % (ou 1/4) du courant nominal . Puisque les pertes par effet Joule varient selon le carré du courant, les pertes dans le circuit de l'induit sont : Fonctionnement en charge .
pertes variables = (1/4) 2 x 595 = 37 watts Les pertes totales à 1/4 de la charge nominale sont : p = 37 + 830 = 867 W
La puissance utile P2 développée par la machine à 25 % de la charge nominale, exprimée en watts, est : P 2 = 10 kW x 0,25 = 2500 W La puissance P r absorbée par le moteur est donnée par la somme de la puissance utile et des pertes : P i =P 2 +p=2500+867=3367W Le rendement est alors :
(4)
a) l'ind(lit b) le champ série c) l'enroulement de commutation
= 500 W 25 W 70 W
P2
2500 =
0,74 ou 74 % P, 3367 On trouvera de la même façon les pertes à 50 %, 75 %, 100 % et 150 % de la charge nominale : t1 =
pertes Joule à pleine charge dans :
427
_
A 50 % : p = (1/2)2 x 595 + 830 = 979 W
Total des pertes variables
595 W ( )
a) Evaluer les pertes et le rendement à vide . ainsi qu'à 2 5 `4 .50 1 (" 75 11î, 100 1-1 et 150 ` ;f de lacharge nominale (le la machine . (On négligera les pertes dues à la chute de tension entre les balais et la sur.) face du collecteur b) Tracer la courbe du rendement en fonction de la charge .
Solution Les pertes à vide sont données par la somme des pertes mécaniques (1), des pertes dans le champ shunt (2) et des pertes dans le fer ( 3) : a) Fonctionnement à vide .
pertes à vide = 290 + 120 + 420 = 830 W Ces pertes demeurent sensiblement constantes, même quand la charge varie . À vide, les pertes Joule dans le circuit de l'induit sont négligeables . Le rendement est nul à vide, car aucune puissance utile n'est développée par le moteur .
À 75 % : p = (3/4) 2 x 595 + 830 = 1165 W À 100 % : p = 595 + 830 = 1425 W À 150 % :
p = (1,5)2 x 595 + 830 = 2169 W b) Les calculs du rendement à différentes valeurs de charge sont résumés dans le tableau 29-1 . Les résultats sont représentés graphiquement à la Fig . 29-9 . Il est bon de retenir que le rendement d'un moteur est faible aux faibles charges . On aura donc intérêt à choisir la capacité d'un moteur destiné à entraîner une charge de valeur déterminée, de façon que la puissance nominale de ce moteur soit à peu près égale à la puissance exigée par la charge . 29 .8 Normes d'échauffement
On a déjà vu à la section 9 .9 que les isolants sont groupés en différentes classes correspondant à la température maximale qu'ils peuvent supporter. Ainsi, un iso-
428
ÉLECTROTECHNIQUE
TABLEAU 29-1
charge
pertes totales W
0 25 50 75 100 150
830 867 979 1 165 1 425 2 169
petits, donc moins coûteux lorsqu'on spécifie une température ambiante normalisée de 30 °C au lieu de 40 °C
PERTES ET RENDEMENT D'UN MOTEUR À C .C . puissance puissance utile P2 absorbée P1 W W
2 5 7 10 15
0 500 000 500 000 000
3 5 8 11 17
830 367 979 665 425 169
rendement
0 74 83,6 86,6 87,5 87,4
La Fig . 29-10 montre les limites de température des différentes classes d'isolants (courbe 1) et la température ambiante normalisée (courbe 3) . Pour chaque classe, la différence de température entre ces deux courbes donne l'échauffement normalisé («hot-spot temperature rise») ; c'est elle qui permet au fabricant d'établir la grosseur de son moteur, de son relais, etc . Par exemple, supposons que l'on désire déterminer l'échauffement d'un moteur de 100 kW, isolation classe 130 °C . Lors des essais, on devra lui appliquer une charge de 100 kW et déterminer l'endroit le plus chaud («hot-spot») à l'intérieur de la machine . Ce point le
kW
classe 180 °C
3 2
classe
ue) Q G)
1
2,5
5 7,5 10 12,5 puissance mécanique
165 °C
155 °C 145°C :
classe 130°C1
15 kW 0
Figure 29-9 Rendement et pertes en fonction de la puissance mécanique développée .
lant de classe 130 °C aura une durée de vie raisonnable (environ 20 000 h) si sa température n'excède pas 130 °C . Les organismes de normalisation établissent également une température ambiante maximale dont la valeur est habituellement de 40 °C . Cette température normalisée est établie pour les raisons suivantes : 1 . elle permet aux fabricants de machines électriques de prévoir les pires conditions de température ambiante auxquelles leurs machines peuvent être soumises et, par conséquent, 2 . elle permet aux mêmes fabricants de normaliser la grosseur des machines et de donner des performances garanties . On peut mieux apprécier l'impact de cette norme quand on réalise que toutes les machines et tous les appareils électriques isolés classe 105 °C sont environ 15 % plus
classe
O 105 °C 0 100 °C
120 °C échauffement maximal par résistance 145 - 40 = 105 °C
échauffement maximal par thermocouple implanté 180 - 40 = 140 °C
température ambiante normalisée 40 °C température ambiante normalisée 30 °C (P < 750 W)
• Température maximale que la classe d'isolant peut tolérer pour avoir une durée de vie normale • Température maximale permise avec la méthode de l'augmentation de résistance • Température ambiante normalisée (puissances supérieures à 750 W) • Température ambiante normalisée (puissances inférieures à 750 W) Figure 29-10 Normes de température utilisées pour certains moteurs à courant alternatif (tirées des publications CSA C22.2, n°S 0, 11, 54) . Voir aussi le chapitre 9, tableau 9-2 .
PERTES, ÉCHAUFFEMENT, RENDEMENT ET DIMENSIONS DES MACHINES ÉLECTRIQUES
plus chaud est probablement situé en plein milieu d'une
429
facturiers de vérifier l'échauffement de leurs moteurs
encoche, à l'intérieur même d'une bobine, soit à un
dans des températures ambiantes plus confortables que
endroit tout à fait inaccessible . Comment atteindre cet
40 °C .
endroit critique? Le fabricant peut implanter des petits
Il est intéressant de remarquer que pour les moteurs à
détecteurs de température (thermocouples ou
courant alternatif ayant une puissance inférieure à
thermistors) à l'intérieur des bobines, permettant de déterminer la température crête lorsque la machine est
750 W, on a établi une température ambiante norma-
en marche . Cependant, cette méthode directe de me-
sont installés dans des résidences où la température
sure de la température du point le plus chaud «hot-
n'atteint pas les valeurs élevées que l'on rencontre dans
spot» est coûteuse et elle n'est justifiable que pour les
certaines industries . Le choix de 30 °C au lieu de 40 °C
machines de grande capacité .
lisée de 30 °C (courbe 4) . La plupart de ces moteurs
implique des échauffements de 10 °C plus élevés, soit
C'est pourquoi les bureaux de normalisation comme
70 °C pour la classe 105 °C . Cela permet d'augmenter
le CSA (Association canadienne de normalisation) per-
la puissance que l'on peut tirer de ces moteurs .
mettent l'utilisation d'une deuxième méthode pour mesurer la température . Comme nous allons l'expliquer à la section 29 .9, elle consiste à mesurer l'augmentation
Les normes d'échauffement dépendent non seulement de la classe d'isolant utilisée mais également du genre d'appareil (moteur, transformateur, relais, etc .), de sa
de résistance d'un enroulement, et à en déduire la température . Cette température représente la température moyenne de l'enroulement . Elle est évidemment plus basse que celle que donnerait un détecteur implanté . Il a donc fallu définir une autre norme : on suppose que l'écart entre la température maximale réelle et la température déterminée par la méthode de l'augmentation de résistance est, soit 5 °C, soit 10 °C, soit 15 °C . Habituellement, l'écart dépend de la classe d'isolant . La courbe 2 donne la température maximale permise des enroulements d'un moteur à courant alternatif lorsqu'on utilise la méthode de l'augmentation de résistance . On constate que l'écart entre cette courbe et la courbe 1 est de : 5 °C pour l'isolation classe 105 °C, 10 °C pour les classes 130 °C et 155 °C, 15 °C pour la classe 180 °C . Il s'ensuit que l'échauffement permis lorsqu'on utilise la méthode de l'augmentation de résistance est de : 60 °C pour l'isolation classe 105 °C, 80 °C pour la classe 130 °C, 105 °C pour la classe 155 °C et 125 °C pour la classe 180 °C . Les normes CSA supposent que l'échauffement à pleine charge sera le même pour toute température ambiante comprise entre 10 °C et 40 °C . Ceci permet au manu-
Figure 29-11 Moteur blindé de 450 kW, 3600 r/min, refroidi à l'eau . Lair qui circule à l'intérieur sort par le centre de la machine, passe à travers un échangeur de chaleur et rentre de nouveau dans le moteur par les deux tuyaux de section carrée situés à chaque extrémité . Les deux tuyaux circulaires placés en diagonale sont l'entrée et la sortie d'eau de l'échangeur de chaleur (gracieuseté de Westinghouse) .
430
ÉLECTROTECHNIQUE
construction (abrité, blindé, etc .) et de son application (commerciale, industrielle, navale, etc) . Il est donc important de consulter les normes avant de faire un essai d'échauffement sur une machine . À ce propos, la Fig . 29-11 montre un moteur dont l'échauffement permis est établi d'après des normes spéciales .
R2 t2 =
(234 + t1 ) - 234
RI 59,5
(234 + 23) - 234
44,6 = 109 °C
29.9 Mesure de l'échauffement On peut déterminer l'échauffement d'une machine par la méthode de l'augmentation de résistance . Cette méthode consiste à mesurer la résistance d'un enroulement à froid à une température connue, et de nouveau lorsque l'enroulement est chaud . Si le bobinage est en cuivre, la température à chaud est donnée par la formule :
t2 = R2(234 + t1 ) - 234 R1
0 =
t2 - ta
(29-3)
(29-4)
ou t2 = température de l'enroulement à chaud [°C] R2 = résistance de l'enroulement à chaud [S2] R 1 = résistance de l'enroulement à froid [S2] t 1 = température de l'enroulement à froid [°C] 234 = constante égale à 1/a = 1/0,004 27 (voir tableau 10-5) 0 = échauffement de l'enroulement [°C] ta = température ambiante lorsque l'enroulement est chaud [°C]
Exemple 29-3 L'inducteur shunt d'un moteur de 500 kW, 300 V, arrêté depuis gl.relquesjours . possède une résist utce de 44,6 12 . La température ambiante est alors de 23 ° C . Lorsque la machine est en marche, à une température ambiante (le 28 °C . la résistance (le l' inducteur est de 59,5 S2 . Calculer : a) la température de l'enroulement b) l'échauffement (le l'in(Iucteur shunt Solution
a) En appliquant la formule (29-3) on trouve :
b) L'échauffement est donc : 0 =
t2 - ta
= 109 - 28 = 81°C On peut aussi mesurer l'échauffement au moyen d'un thermomètre. Cependant, la température varie beaucoup à différents points de la même machine ; si l'on emploie un thermomètre pour déterminer l'échauffement, il est important de le placer sur la partie accessible la plus chaude . Suivant les calculs ou les préférences du constructeur, le point le plus chaud peut se trouver dans l'induit ou dans l'inducteur. Étant donné que la température est plus élevée à l'intérieur même des enroulements, un thermomètre ne peut jamais atteindre le point le plus chaud. Cette méthode de mesure de l'échauffement n'a donc qu'une valeur comparative . Pour la plupart des machines possédant un système d'isolation classe 105 °C, l'échauffement admissible mesuré par la méthode du thermomètre est de 40 °C .
Exemple 29-4 La plaque signalétique d'un moteur indique un échauffement (« temperature risc») de 40 "C . Au moyen d'un thermomètre, on trouve que la température de la partie la plus chaude de la machine est de 67 ° C . la machine fonctionnant à pleine charge . La température de Vair environnant est alors de 30 `C . Déterminer si la machine surchauffe . Solution
L'échauffement est de 67° - 30° = 37 °C, alors que l'échauffement permis est de 40 °C . La machine n'est donc pas trop chaude . Certaines machines sont isolées au mica, au verre ou avec d'autres isolants minéraux qui peuvent supporter des températures beaucoup plus élevées que les isolants organiques des machines ordinaires . On admet alors une limite d'échauffement, mesuré par thermomètre, supérieure aux valeurs conventionnelles de 40° ou 55 °C .
431
PERTES, ÉCHAUFFEMENT, RENDEMENT ET DIMENSIONS DES MACHINES ÉLECTRIQUES
FACTEURS AFFECTANT LA GROSSEUR ET LE
TABLEAU
29-2
À COURANT CONTINU DE MÊME VITESSE
RENDEMENT DES MACHINES ÉLECTRIQUES
Une machine électrique est caractérisée par les trois grandeurs nominales suivantes : tension, puissance et vitesse . Dans les quatre sections qui suivent nous démontrons comment ces trois grandeurs affectent la taille et le rendement des machines . Les explications sont basées sur des exemples numériques concrets utilisant une génératrice à c .c . Cependant, les conclusions obtenues pour cette machine à c .c . (moteur ou génératrice) s'appliquent aussi bien à une machine à courant alternatif (c .a .) . 29 .10
Impact de la tension nominale sur les dimensions
Considérons une génératrice à c .c . de 100 kW, 125 V, 1800 r/min dont le courant de pleine charge est 800 A . Supposons que l'on désire construire une génératrice semblable mais fonctionnant à 250 V . Les dimensions vont-elles changer ? Pour répondre à cette question nous utilisons le raisonnement suivant . Étant donné que la nouvelle machine aura la même puissance de 100 kW, mais une tension deux fois plus grande, il s'ensuit que le courant sera deux fois plus petit . Par conséquent, pour conserver la même densité de courant (A/m 2 ) dans les conducteurs de l'induit, on peut réduire leur section de moitié . Toutefois, afin de générer une tension de 250 V au lieu de 125 V avec le même flux provenant des pôles, il faudra deux fois plus de conducteurs sur l'induit . Il s'ensuit que la quantité de cuivre dans les encoches demeure la même . En d'autres mots, à moins que la tension devienne très élevée . ce qui exigerait une augmentation de l'isolation, Les dimensions d'une machine tournante ne changent pas lorsque l'on change sa tension nominale . De plus, comme la densité de courant dans les conducteurs reste la même, les pertes Joule et par conséquent le rendement demeurent également inchangés . Nous allons voir qu'il en est tout autrement lorsqu'on change la puissance nominale . 29.11
Variation des dimensions et du rendement en fonction de la puissance nominale
Considérons maintenant une génératrice à c .c . ayant ks caractéristiques fournies dans la première colonne i tableau 29-2, soit la Machine 1 .
CARACTÉRISTIQUES DE DEUX GÉNÉRATRICES
puissance nominale tension nominale courant nominal vitesse nominale rendement diamètre extérieur longueur extérieure masse moment d'inertie puissance massique couple nominal
Machine 1 1 kW 125 V 8A 1800 r/min 73 % 0,18 m 0,15 m 20 kg 0,0075 kg-m2 50 W/kg 5,30 N •m
Machine 2 81 kW 1 125 V 72A 1800 r/min 89% 0,54 m 0,45 m 540 kg 1,8 kg-m2 150 W/kg 430 N•m
Les dimensions de la Machine 2 sont toutes 3 fois plus grandes que celles de la Machine 1
Utilisons la puissance nominale P,, et le rendement rJ de la Machine 1 pour calculer la puissance mécanique P m requise pour l'entraîner, de même que ses pertes . Or, on a : Pn éq . 29-2 Pm
kW 0,73 = 1 Pm
soit: donc
Pm
= 1 kW/0,73 = 1,37 kW
d'où les pertes = Pm - P n = 1,37 - 1,0 = 0,37 kW Les pertes comprennent les pertes Joule dans les enroulements, les pertes par hystérésis et courants de Foucault dans le fer, ainsi que les pertes par friction et ventilation . Considérons maintenant une deuxième machine (Machine 2) plus grosse que la Machine 1 . Pour cette nouvelle machine, nous augmentons toutes les dimensions (longueur, diamètre, profondeur des encoches, entrefer, etc .,) par un même facteur, tout en conservant les mêmes matériaux . Donc, si on a utilisé un type particulier de tôles pour l'induit de la Machine 1, on utilisera les mêmes tôles (même épaisseur) pour la Machine 2 . On conserve également le même type d'isolation . À l'exception de l'épaisseur des tôles, tout est donc grossi par un même facteur, incluant les roulements à billes, les boulons et les écrous . Ce facteur d2/di est le rapport entre les dimensions d, de la Machine 2 et les dimensions correspondantes dl de la Machine 1 . Pour
432
ÉLECTROTECHNIQUE
notre Machine 2, nous imposons les deux contraintes de design suivantes : la densité de courant dans les conducteurs (A/m2) et la densité de flux dans l'acier et dans l'entrefer (teslas) restent les mêmes que pour la Machine 1 . Il s'ensuit que les pertes massiques respectives (W/kg) dans le cuivre et dans l'acier sont inchangées . Les pertes respectives augmenteront donc en proportion de la masse, donc du volume du cuivre et de l'acier . Supposons que les pertes par friction et ventilation augmentent aussi dans les mêmes proportions . Nous supposons en outre que la Machine 2 utilise le même nombre d'encoches et de conducteurs, et que sa vitesse de rotation (1800 r/min) est la même que pour la Machine 1 . Une fois ces hypothèses établies, il est possible de prévoir les caractéristiques de la Machine 2 . Supposons , par exemple, que toutes les dimensions d l de la Machine 1 soient augmentées par un facteur 3 . Ainsi, le diamètre augmente de 0,18 m à 0,54 m et la longueur augmente de 0,15 m à 0,45 m, comme l'indique le tableau 29-2 . Quels seront la puissance nominale et le rendement de la Machine 2? Premièrement, le volume augmentera par un facteur (d2/d i ) 3 = 33 = 27 . Par conséquent, les masses respectives augmentent aussi par un facteur 27 . Comme les pertes massiques restent constantes, les pertes respectives augmentent également par un facteur 27 . Notre Machine 2 a donc une masse de 20 kg x 27 = 540 kg, et ses pertes sont de 0,37 kW x 27 = 10 kW . Deuxièmement, les encoches sont 3 fois plus profondes et 3 fois plus larges . Comme le nombre de conducteurs par encoche n'a pas changé, les conducteurs ont une section 9 fois plus grande . Comme on veut conserver la même densité de courant, ces conducteurs peuvent donc porter un courant 9 fois plus grand . Le courant nominal de notre Machine 2 est donc 8 A x 9 = 72 A . Troisièmement, en ce qui concerne la tension induite, celle-ci est gouvernée par l'équation (17-2) E = Blv. Dans cette équation, B représente la densité de flux dans l'entrefer qui, rappelons-le, n'a pas changé, l est la longueur des conducteurs qui a augmenté par un facteur 3, et v est vitesse à laquelle les conducteurs coupent les lignes de flux . Comme la vitesse de rotation (1800 /min) ne change pas et que le diamètre fut augmenté par un facteur 3, la vitesse v augmente égale-
ment par un facteur 3 . En conclusion, la tension nominale de notre Machine 2 augmente par un facteur 9, soit 125 Vx9= 1125V . Donc en triplant les dimensions d l , nous avons augmenté le courant nominal de même que la tension nominale par un facteur 9, ce qui correspond à une augmentation de la puissance nominale de 9 x 9 = 81 . La puissance nominale P n2 de notre Machine 2 est donc de 1 kW x 81 = 81 kW . En multipliant les dimensions dl par 3, la puissance nominale est donc multipliée par 3 4 = 81 . En généralisant ce raisonnement, on arrive à une première conclusion importante : À vitesse constante, la puissance nominale varie avec l'exposant 4 des dimensions, soit ~
d2
Pn2 = Pnl ( _)4
(29-5)
où Pnl = puissance nominale de la Machine 1 [W] Pn2 = puissance nominale de la Machine 2 ayant la même vitesse que la Machine 1 [W] d2/d1 = rapport entre les dimensions d2 de la Machine 2 et les dimensions dl de la Machine 1
Voyons maintenant l'impact de cette augmentation des dimensions sur le rendement . La puissance mécanique Pm2 requise pour faire tourner la Machine 2 est Pm2 = Pn2 + pertes = 81 kW + 10 kW = 91 kW
Le rendement est donc : Il =p n2/Pm2 = 81 kW/91 kW = 0,89 = 89 % En augmentant les dimensions de notre Machine 1 par un facteur 3, on obtient donc une augmentation considérable du rendement, soit de 73 % à 89 % . Ceci est dû au fait que la puissance de sortie augmente par un facteur (d2/d l ) 4 = 34 = 81 alors que les pertes n'augmentent que par un facteur (d2/d l )3 = 33 = 27 . Cela démontre clairement que pour une vitesse donnée le rendement d'une machine augmente avec sa grosseur, donc avec sa puissance . La puissance massique de la Machine 1 est de 1 kW/20 kg = 1000 W/20 kg = 50 W/kg . En ce qui concerne la Machine 2, on a une puissance nominale
PERTES, ÉCHAUFFEMENT, RENDEMENT ET DIMENSIONS DES MACHINES ÉLECTRIQUES
de 81 kW pour une masse de 540 kg, soit une puissance massique de 81 kW/540 kg = 150 W/ kg. Cela représente un gain par un facteur 3 sur la puissance développée par unité de masse . La grosse machine est donc relativement plus légère et moins coûteuse que la petite . On peut apprécier le gain obtenu en disant que si l'on avait décidé de générer une puissance de 81 kW avec des Machines 1 (1 kW), il aurait fallu 81 de ces machines, pour une masse totale de 81 x 20 kg = 1620 kg, alors que l'on arrive au même résultat avec une Machine 2 de 540 kg . De plus, à cause du rendement plus élevé de la Machine 2 (89 % au lieu de 73 %), l'économie réalisée lors de l'achat est accompagnée d'une économie récurrente sur l'énergie consommée par la turbine ou le moteur entraînant la génératrice .
433
d'inertie de l'induit. Rappelons que le moment d'inertie est proportionnel à la masse de l'induit et au carré de son rayon (voir tableau 1-5) . Donc, lorsque les dimensions sont triplées, le moment d'inertie J = mr2 est multiplié par un facteur (d21d,)3 (d2 /d, ) 2 = 3 3 x 3 2 = 3 5 = 243 . Le moment d'inertie de la Machine 2 est donc J= 0,0075 kg •m2 x 243 = 1,8 kg-M2 . Les caractéristiques de la Machine 2 sont affichées dans la colonne 2 du tableau 29-2, ce qui permet de comparer les caractéristiques des deux machines . Si l'on continue d'augmenter les dimensions on peut montrer, en suivant le même raisonnement, que l'on pourra atteindre des rendements dépassant 95 % . La Fig . 29-12 montre la variation du rendement en fonction de la puissance pour la gamme de puissance comprise entre 1 kW et 10 MW.
Regardons maintenant comment évolue le moment
70 3 10
10
Figure 29-12 Variation du rendement avec la puissance nominale .
105 Puissance (W)
106
107
ÉLECTROTECHNIQUE
La figure montre que, si l'on augmente les dimensions de notre machine de 1 kW (rendement 73 %) par un facteur d2/d1 = 10, la puissance augmente à 10 000 kW, ou 10 MW. Le rendement grimpe alors à 97 % . Tout semble donc favoriser les grosses machines . Il existe cependant un problème lorsque l'on augmente la puissance d'une machine . Dans notre exemple, lorsque les dimensions ont été triplées, les pertes ont augmenté par un facteur (d2 /di ) 3 = 27 alors que la surface extérieure de la machine n'a augmenté que par un facteur (d,ld i ) 2 = 32 = 9 . La puissance dissipée par mètre carré a donc augmenté par un facteur 3 . Par conséquent, à moins d'améliorer l'évacuation de la chaleur, la Machine 2 de 81 kW sera beaucoup plus chaude que la Machine 1 . Pour prévenir une dégradation des matériaux isolants, on doit limiter la température . Le refroidissement devient donc une préoccupation très importante pour les concepteurs de grosses machines . Concluons en disant que la taille, la puissance, le rendement et les problèmes de refroidissement évoluent de la même manière pour les machines à c .a . qu'avec les machines à c .c . Ces conclusions s'appliquent aux machines rotatives fonctionnant en moteur ou en génératrice, et même aux appareils stationnaires comme les transformateurs .
courant I . Comme le nombre total de conducteurs sur l'induit n'a pas changé, la tension nominale E est donc réduite par 2, soit de 125 V à 62 .5 V. La puissance nominale, qui est proportionnelle à EI, est également réduite par 2, si bien qu'on ne dispose plus que d'une puissance nominale P„ 3 de 0,5 kW. Afin d'augmenter la puissance nominale de la Machine 3 à 1 kW, on n'a pas d'autre choix que d'augmenter les dimensions de la génératrice. Or, on a vu à la section 29 .11 que lorsque la vitesse est constante, la puissance varie comme (d2/d i ) 4 , soit 4
éq . 29-5
P n 3 = P n 1 (d3 d, i
D'où l'on tire 1/4
d, d,
(29-6) P n, pn3
On en déduit le rapport requis pour augmenter la puissance de la Machine 3 de 0,5 kW à 1 kW :
d3 =
( 1 kW/0,5 kW)" =
2"
= 1,19
d, 29 .12 Variation des dimensions avec la vitesse nominale Dans la section précédente nous avons vu que, pour une vitesse nominale donnée, la puissance nominale et le rendement d'une machine varient très rapidement avec les dimensions de la machine . Mais pour une puissance donnée, quel est l'impact de la vitesse nominale sur les dimensions? Pour répondre à cette question revenons à notre Machine 1 ayant une puissance nominale de 1 kW, une tension nominale de 125 V et une vitesse nominale de 1800 r/min . Supposons que l'on désire construire une machine ayant la même puissance, mais qui fonctionne à une vitesse nominale deux fois plus faible, soit à 900 r/min . Nous conserverons les mêmes contraintes de conception (même densité de courant dans les conducteurs et même densité de flux dans l'entrefer) . Désignons cette machine par Machine 3 . Si l'on ne change pas les dimensions de la Machine 1, les encoches de la Machine 3 logeront les mêmes conducteurs . Par conséquent, l'induit peut débiter le même
En d'autres termes, pour réduire la vitesse par un facteur 2 tout en gardant la même puissance de 1 kW, on doit augmenter toutes les dimensions de 19 % . La Fig . 29-13 compare les dimensions de deux machines de 100 kW, 125 V ayant respectivement une vitesse de 1800 r/min et 900 r/min .
(a) Figure 29-13 a . Machine de 100 kW, 125 V, 1800 r/min ; b . Machine de 100 kW, 125 V, 900 r/min .
(b)
PERTES, ÉCHAUFFEMENT, RENDEMENT ET DIMENSIONS DES MACHINES ÉLECTRIQUES
En généralisant ce raisonnement, on arrive à la conclusion qu'à puissance constante, le rapport d2/d 1 de deux machines fonctionnant à des vitesses différentes est donné par l'expression : d2 (ni ~1/4 d1 = kIn2 J
T2/T 1
=
435
(9,55 Pi2 /n2)l (9,55 Pn1/n 1 )
= (Pn2/n 2) / (Pn1/n1)
(29-10)
En combinant les équations 29-10 et 29-8, on obtient la relation très intéressante :
(29-7)
d2
)1/4
(29-11)
- (T où n 1 = vitesse nominale de la Machine 1 [W] n2 = vitesse nominale de la Machine 2 ayant la même puissance que la Machine 1 [W] d,ld = rapport entre les dimensions de la Machine 2
et les dimensions de la Machine 1, les deux machines ayant la même puissance
où T1 = couple nominale de la Machine 1 [W] T2 = couple nominale de la Machine 2 [W] d2ld 1 = rapport entre les dimensions de la Machine 2 et les dimensions de la Machine 1
On constate donc qu'une machine est d'autant plus grosse que sa vitesse nominale est plus basse . Le coût d'une machine à basse vitesse est donc plus élevé que celui d'une machine à haute vitesse . Lorsque la vitesse désirée est très basse, il est souvent plus économique d'utiliser un moteur à haute vitesse connecté à une boîte de vitesse .
Cette équation montre que la grosseur d'une machine rotative dépend fondamentalement de son couple nominal, peu importe sa vitesse . Le couple nominal est défini selon l'équation (29-9) . Ainsi, le couple nominal de notre Machine 1 est donné par
29 .13 Couple nominal et dimensions d'une machine
soit
Il est utile de combiner les résultats énoncés dans les équations (29-6) et (29-7) en une seule expression . En effet, lorsque, à la fois, la puissance nominale et la vitesse de rotation nominale varient, on obtient l'expression « universelle » suivante : 1 11/4
1/4
Tn = 9,55 P nlnn
éq . 29-9
Tl = 9,55 x 1000/1800 = 5,30 N •m
Exemple 29-5
Un moteur d'induction triphasé de 7 .5 hp, 3600 r/min, 460 V, de type abrité, possède un poids de 78 kg et un rendement de 57,5 °k . Déterminer : a) le poids et b) le rendement d'un moteur semblable de 600 V ayant une puissance de 200 hp et une vitesse nominale de 1800 r/min .
(29-8) d1
( P„
1
1 2I
Solution
Rappelons la relation entre la puissance P, la vitesse de rotation n et le couple T d'une machine rotative, soit : P=
nT 9,55
éq . 1-5b
a) Trouvons d'abord le rapport d2/d l en utilisant l'équation 29-8 . d2/dl = (Pn21Pn1)
T„ = 9,55 Pn lnn
(29-9)
De l'équation 29-9 on peut déduire la relation suivante entre les valeurs nominales respectives de deux machines :
1/4
éq . 29-8
On obtient d2/d 1
Pour une puissance nominale Pn et une vitesse nominale nn , le couple nominal T„ est donné par l'expression :
(n 1 /n 2)
=
( 200/7,5) 1/4 (3600/1800) 1 /4
= 2,27 x 1,19 = 2,70 Comme le poids varie selon le rapport (el 21d,)" on trouve que la masse du moteur de 200 hp est de 2,703 x 78 = 19,7 x 78 = 1537 kg b) La puissance mécanique du moteur est de 7,5 hp x 746 = 5595 W
436
ÉLECTROTECHNIQUE
Comme le rendement est de 87,5 %, la puissance électrique fournie au moteur est de 5595 W/0,875 = 6394 W Les pertes dans le moteur de 7,5 hp : pertes = 6394 - 5595 = 799 W Comme les pertes varient selon le rapport (d2/dt ) 3 , il s'ensuit que les pertes dans le moteur de 200 hp seront de 799 x 2,703 = 15 727 W. La puissance mécanique du moteur de 200 hp est de 200 x 746 = 149 200 W. La puissance électrique absorbée par le moteur est de 149 200 + 15 727 = 164 927 W. Le rendement du moteur de 200 hp est donc de 149 200/164 927 = 0,905 = 90,5 % Nous tenons à signaler que les valeurs du poids et du rendement que nous venons de calculer sont très approximatives . En effet, les valeurs ainsi calculées sont basées sur une densité de courant et une densité de flux qui sont maintenues constantes . Or, il est fort possible que ces valeurs aient été modifiées par le concepteur afin (entre autres choses) de garder l'échauffement du moteur à un niveau acceptable . Cependant, cette méthode de prédire le poids et le rendement des machines donne un ordre de grandeur des valeurs réelles . Notons aussi que l'extrapolation que nous avons utilisée peut seulement se faire pour les machines d'une même famille . Par exemple, on ne peut pas utiliser les caractéristiques d'un moteur à c .a. abrité pour estimer les caractéristiques d'un moteur à c .a. blindé .
Exemple 29-6 Un moteur monophasé de 113 fil), 1725 r/min, 230 V, 60 Hz. isolation classe B, pèse 5,9 kg et possède un rendement de 68 % . Estimer a) le poids et b) le rendement approximatif ('un moteur semblable de 1725 r/train, 115 V, 60 Hz dont la puissance est de 1 / 100 hp . On sait que la carcasse du moteur à une longueur de 150 mm et un diamètre de 146 mm . e) Estimer le diamètre du moteur de 1/100 hp .
Solution a) Déterminons d'abord le rapport des dimensions d2/d l . On sait que la tension d'opération n'affectera pas la grosseur du moteur . Comme la vitesse demeure essentiellement la même, il s'ensuit que le couple du moteur de 1/100 hp est 33,3 fois plus petit que celui de 1/3 hp . On peut donc écrire d2 /di = (T2/Tt )°•25 = (1/33,3)0,25 = 0,416 La masse du moteur varie selon (d2/dl)' = (0,416) 3 = 0,072 Le moteur de 1/100 hp aura un poids approximatif de 0,072 x 5,9 kg = 0,42 kg b) Puissance fournie au moteur de 1/3 hp P = 1/3 x 746/0,68 = 365,7 W Pertes dans le moteur = 365,7 - (1/3) x 746 = 117 W Pertes dans le moteur de 1/100 hp = 117 x (d2/d i ) 3 = 117 (0,416) 3 = 8,42 W Puissance équivalente de 1/100 hp = 746 x 1/100 = 7,46 W Puissance à fournir au moteur = 7,46 + 8,42 = 15,9 W Rendement du moteur de 1/100 hp = 7,46/15,9 = 0,469 = 46,9 % c) Le diamètre du moteur de 1/100 hp sera environ 146 mm x d2/d t = 146 x 0,416 = 61 mm.
29 .14 Résumé La transformation d'énergie dans les machines comme les génératrices, les moteurs, les transformateurs, ne peut s'effectuer sans pertes . Ces pertes provoquent un échauffement de la machine et une diminution du rendement. Les pertes et donc le rendement d'une machine varient avec la charge . On distingue les pertes mécaniques par frottement et les pertes électriques dans les conducteurs et dans le fer. Les pertes dans les conducteurs sont dues à l'effet Joule. Les pertes massiques (W/kg) dépendent de la densité de courant utilisée, de la résistivité et de la masse volumique du conducteur . Les pertes dans le fer sont dues
PERTES, ÉCHAUFFEMENT, RENDEMENT ET DIMENSIONS DES MACHINES ÉLECTRIQUES
au phénomène d' hystérésis et aux courants de Foucault. Les pertes massiques dans le fer dépendent de la densité de flux et de la fréquence, ou de la vitesse de rotation . L'utilisation de tôles minces permet de réduire les pertes par courants de Foucault . Des courbes fournies par les manufacturiers permettent d'évaluer les pertes dans le fer pour différents types d'acier . L'échauffement permis pour les machines est établi par les organismes de normalisation . Les normes de température établissent différentes classes de température selon le type d'isolant . Chaque classe correspond à une température maximale permise, allant de 105 °C à 180 °C . Pour mesurer l'échauffement on peut déterminer directement la température du point chaud à l'aide d'un thermocouple ou déduire la température moyenne des enroulements en mesurant leur augmentation de résistance . Finalement, nous avons étudié l'impact de la tension nominale, de la puissance nominale et de la vitesse nominale d'une machine, sur sa grosseur et son rendement. Retenons que : (1) la tension nominale d'une machine n'affecte pas ses dimensions ni son rendement, (2) à vitesse constante, le rendement d'une machine augmente rapidement avec sa puissance nominale et (3) à puissance constante, une machine est d'autant plus grosse que sa vitesse de rotation est plus basse .
437
29-6 Peut-on surcharger un moteur utilisé dans un endroit très froid? Pourquoi? Niveau intermédiaire
29-7 Un moteur à c .c . développe une puissance mécanique de 120 kW. Sachant que ses pertes sont de 12 kW et qu'il est alimenté à 240 V, calculer la puissance qu'il absorbe et le courant qu'il tire . 29-8 Une génératrice débite un courant de 120A sous une tension de 115 V et son rendement est de 81 % . Quelle puissance mécanique absorbe-t-elle? 29-9 Calculer le courant de pleine charge d'un moteur à c .c . qui développe 250 kW à 230 V, avec un rendement de 92 % . 29-10 Une machine expérimentale, isolée selon la classe 130 °C et fonctionnant à pleine charge, atteint une température de 124 °C, mesurée par la méthode de l'augmentation de résistance . La température de l'air environnant est de 32 °C . a) Quelle est l'échauffement de la machine, en °C? b) Quel est l'échauffement permis selon les normes? c) La machine aurait-elle une durée de vie normale si elle marchait toujours à une température ambiante de 32 °C? 29-11 Le rendement d'une machine est toujours faible lorsqu'on la fait fonctionner à seulement 10 % de sa puissance nominale. Expliquer.
PROBLÈMES - CHAPITRE 29 Niveau pratique
29-1 Quelles pertes rencontre-t-on dans un moteur à c .c .? 29-2 À quoi attribue-t-on les pertes dans le fer? Com-
ment peut-on les réduire? 29-3 Expliquer pourquoi la température d'une machine augmente avec la charge . 29-4 Qu'est-ce qui détermine la puissance nominale d'une machine? 29-5 La puissance nominale d'un moteur doit être réduite si l'on bouche les ouvertures d'aération . Expliquer.
29-12 Calculer le rendement du moteur du tableau 29-1 lorsqu'il débite une puissance de 30 kW. 29-13 Un moteur électrique actionne une grue qui extrait 1,5 tonnes métriques de minerai d'une tranchée de 20 m de profondeur en 30 secondes . En supposant que le rendement de la grue est de 94 %, calculer la puissance fournie par le moteur (en hp et en kW) . 29-14 On mesure la température d'un moteur à courant alternatif de 1200 kW possédant une isolation classe 155 °C, à l'aide de thermocouples logés à l'intérieur des enroulements . Quelle doit être la température maximale indiquée par ces détecteurs lorsque la température ambiante est de 40 °C? 30 °C? 14 °C? (Appliquer les normes décrites à la section 29 .8 .)
438
ÉLECTROTECHNIQUE
29-15 Un moteur à courant alternatif de 60 kW possède un enroulement dont la résistance à 23 °C est de 12 d2 . Lorsqu'il fournit sa puissance nominale à une température ambiante de 31 °C, on constate que la résistance de l'enroulement monte à 17,4 Q . a) Calculer la température de l'enroulement . b) Quelle est l'échauffement du moteur? c) Sachant que l'enroulement possède une isolation
classe 155 °C . le fabricant aurait-il pu indiquer use: puissance nominale plus grande sur la plaque signalétique du moteur? 29-16 Le moteur du problème 29-15 possède une isolation classe 155 °C et fonctionne à une température ambiante de 12 °C . On lui fait débiter une puissance de 75 kW, soit une surcharge de 15 kW. Sans que la vie normale du moteur soit raccourcie, quel
Figure 29-14 Moteur d'induction triphasé de 350 hp, 1785 r/min . Voir problème 29-24 (gracieuseté de Franklin Empire) .
PERTES, ÉCHAUFFEMENT, RENDEMENT ET DIMENSIONS DES MACHINES ÉLECTRIQUES
est alors l'échauffement (mesuré par l'augmentation de résistance) que l'on peut tolérer pour les enroulements? 29-17 Un fil rond n° 10 en cuivre ayant une longueur de 210 m porte un courant de 12 A . La température du conducteur étant de 105 °C, calculer : a) la densité du courant, en A/mm 2 b) les pertes massiques, en W/kg Niveau avancé
29-18 Un conducteur en aluminium fonctionne à une température de 120 °C . Sachant que la densité de courant est de 2 A/mm2 , calculer les pertes massiques en W/kg . 29-19 a) Quelle est la fréquence engendrée dans les tôles (type M-36, jauge 24) de l'induit de la Fig . 28-4a, lorsqu'il tourne à une vitesse de 1200 r/min, sachant que l'inducteur possède 6 pôles . Chaque dent a une largeur de 10 mm, une profondeur de 35 mm et une longueur de 235 mm. b) Calculer les pertes dans les dents sachant que l'induction maximale dans les 81 dents est de 1,4 T. 29-20 L'échauffement d'un moteur est à peu près proportionnel à ses pertes . D'autre part, son rendement est habituellement assez constant pour toute puissance comprise entre 50 % et 150 % de sa puissance nominale (voir, par exemple, la Fig . 29-9) . À pleine charge, un moteur de 20 kW a un échauffement de 80 'C . Calculer la puissance approximative qu'il pourra débiter si l'on permet un échauffement de 105 °C? 29-21 Un moteur à courant alternatif de 250 W possède une isolation classe 105 °C . a) Selon les normes de l'ACNOR, quel est l'échauffement permis, mesuré par l'augmentation de résistance? b) Si l'on rebobine le moteur avec une isolation classe 130 °C, quelle sera le nouvel échauffement permis? Compte tenu des remarques faites au problème 29-20, quelle sera alors la nouvelle puissance approximative du moteur?
439
29-22 Un moteur à courant alternatif de 10 kW possède une isolation classe 130 °C . Selon les normes de l'ACNOR (Fig . 29-10), ce moteur aura une durée de vie «normale» si la température de ses enroulements (mesurée par augmentation de résistance) ne dépasse pas 120 °C . Si l'on suppose que cette durée de vie normale est de 20 000 h, de combien d'heures la durée de vie sera-t-elle raccourcie si le moteur fonctionne pendant 3 heures à une température de 200 °C? (Voir section 9 .8 .) 29-23 L'induit d'un moteur de 300 kW est composé de tôles de jauge n° 24, type M-36 . a) Sachant que la densité de flux est de 1,2 T, de quel pourcentage les pertes diminueraient-elles si le fabricant utilisait de la tôle de jauge n° 29, type M-14? b) Quels sont les avantages de cette diminution des pertes? c) Quels sont les inconvénients à utiliser ce type de tôle? 29-24 La plaque signalétique du moteur illustré à la Fig . 29-14 affiche les informations suivantes : Puissance vitesse nominale tension triphasée courant par phase fréquence rendement masse moment d'inertie couple nominal
350 hp 1785 r/min 575 V 312 A 60 Hz 95,8% 3130 lb 74 lb .ft2 1030 lbf .ft
Type de moteur : triphasé à induction, TEFC (« totally enclosed, fan cooled ») Comme ce moteur est destiné au marché américain, les unités sont exprimées en « American customary units » . En utilisant ces informations, déterminer les valeurs approximatives a) du poids b) du rendement et c) du moment d'inertie pour un moteur triphasé semblable de 25 hp, 460 V, 1150 r/min .
30
Transformateurs
Le transformateur est un appareil électrique très simple, mais il n'en constitue pas moins l'un des plus utiles . Le transformateur permet de modifier la tension et le courant dans un circuit . Grâce à lui, l'énergie électrique peut être transportée à grande distance de façon économique et distribuée dans les usines et les maisons .
ou E = tension efficace induite, en volts [V] f = fréquence du flux, en hertz [Hz] N = nombre de spires de la bobine 0max = valeur maximale du flux, en webers [Wb] 4,44 = constante (valeur exacte = ni2) La provenance du flux n'a aucune importance ; il peut être créé par un enroulement extérieur, par un aimant
L'étude du transformateur nous aidera également à comprendre le fonctionnement d'un grand nombre de machines telles que moteurs d'induction, alternateurs, compensateurs synchrones, etc ., car ces machines utilisent aussi le principe de l'induction électromagnétique . C'est pourquoi nous recommandons au lecteur de porter une attention particulière à ce chapitre . Nous établirons d'abord quelques concepts de base, pour ensuite procéder à l'analyse du transformateur idéal . Connaissant les propriétés fondamentales du transformateur idéal, nous les appliquerons à l'étude des transformateurs utilisés en pratique .
0 fréquence f (a)
30 .1 Tension induite dans une bobine Soit une bobine entourant un flux qui varie sinusoïdalement à une fréquence f, atteignant périodiquement des crêtes positives et négatives de valeur o,,,ax (Fig . 30-1) . Ce flux alternatif induit entre les bornes de la bobine une tension alternative donnée par l'équation : E = 4,44 fNOmax
tE N spires
(b) temps
Figure 30-1 a. Une tension alternative est induite aux bornes d'une bobine qui entoure un flux alternatif . b . Le flux sinusoïdal induit une tension sinusoïdale .
(30-1) 440
TRANSFORMATEURS
en mouvement, ou par un courant qui circule dans la bobine elle-même . Cette formule indique que pour une fréquence donnée la tension induite est proportionnelle au flux maximal ~max .
441
IM
0 N spires
L'équation 30-1 découle de la loi de Faraday
Il-- --l'
E = NAç/4t, où Ai/At est le taux de changement du flux . Ainsi, dans la Fig . 30-1b, durant l'intervalle de 0 à t i , AO/At est positif, donc la tension est positive . De même, durant l'intervalle de t i à t3 , AO/At est négatif, donc la tension induite est négative. Enfin, aux instants t i et t3, 4/At est nul, donc la tension est nulle . Noter que A4/Ot est maximal aux moments où le flux 0 est nul . Or, c'est précisément à ces moments que la tension induite est maximale .
Exemple 30-1 Une bobine possédant 4000 spires entoure un flux sinusoïdal dont la valeur crête est de 2 milliwebers et la fréquence est 60 Hz . Calculer la valeur de la tension induite .
Figure 30-2 a . La tension induite dans une bobine est égale à la tension appliquée . b . Diagramme vectoriel des grandeurs sinusoïdales .
d'où l'on tire : Eg
Solution
(30-3)
On a :
4,44 fN
E = 4,44 fNlmax = 4,44 x 60 x 4000 x 0,002 = 2131 V La tension efficace induite est de 2131 V, et sa valeur crête est 2131 i12 = 3014 V 30 .2
Eg ,E
Tension appliquée et tension induite
La Fig . 30-2a montre une bobine à noyau d'air raccordée à une source de tension sinusoïdale Eg . Si la résistance de la bobine est négligeable, le courant vaut I. = EgIXL où XL est la réactance inductive de l'enroulement . Le flux créé par le courant alternatif induit aux bornes de la bobine une tension E dont la valeur est donnée par l'équation (30-1) . D'autre part, si l'on se réfère à la figure, on constate que la tension appliquée Eg et la tension induite E sont identiques car elles apparaissent entre les deux mêmes bornes . Puisque Eg = E, on peut ecrire : Eg = 4,44 fNÇmax
(30-2)
Pour une fréquence et un nombre de spires donnés, cette équation révèle que le flux 0max varie proportionnellement à la tension appliquée . De plus, si la tension Eg est constante, le flux maximal doit aussi demeurer constant. Supposons, par exemple, qu'on introduise graduellement un noyau de fer à l'intérieur de la bobine tout en gardant la tension E g de la source constante (Fig . 303) . La valeur maximale du flux demeure rigoureusement constante pendant cette maneeuvre et, lorsque le noyau d'acier sera rentré complètement à l'intérieur de la bobine, le flux Omax n'aura pas changé . En effet, si le flux augmentait (comme on pourrait le croire), la tension induite E augmenterait également . Ceci est impossible car la tension Eg de la source demeure constante . Pour une même tension Eg, le flux dans les Fig . 30-2 et 30-3 reste donc le même. Cependant, le courant est beaucoup plus petit lorsque le noyau d'acier est à l'intérieur de l'enroulement. En effet, pour produire le même flux avec un noyau de fer, on a besoin d'une FMM plus faible, donc d'un courant plus faible . Ce
442
ÉLECTROTECHNIQUE
La FMM crête est : FMMcrête = NIm crête = 90 spires x 5,66 A = 509 A
(a)
0
Notons que le flux atteint sa valeur crête omax à l'instant où la FMM est de 509 A . c) La réactance inductive de la bobine est : X _ Eg _ 120 V
Eg ,E
L -
Im
= 30£2 4 A
(b)
d) L'inductance de la bobine est : L = XL =
Figure 30-3 a. Le flux demeure constant pendant que le noyau est introduit dans la bobine . b . Diagramme vectoriel des grandeurs sinusoïdales . Le courant magnétisant est plus petit que dans la Fig . 30-2 .
2nf
Exemple 30-2 Une bobine de 90 spires est raccordée à une source de 120 V, 60 Hz . Sachant que le courant magnétisant est de 4 A, calculer : a) la valeur crête du flux b) la valeur crête de la FMM développée par la bobine j la réactance inductive de la bobine d) l'inductance de la bobine
Solution a) La valeur crête du flux est : 120
Eg Omax =
_ 4,44 fN
4,44 x 60 x 90 = 0,005 = 5 mWb b) La valeur crête du courant magnétisant est : IM crête = Im ~ 2 = 4 = 5,66 A
12
= 0,0796 H
2n x 60
= 79,6 mH 30 .3
courant Im est appelé courant magnétisant ; il est déphasé de 90° en arrière de la tension Eg , comme dans toute inductance (Fig . 30-2b et 30-3b) .
30
Transformateur élémentaire
Sur la Fig. 30-4, une bobine à noyau d'air est alimentée par une source de tension Eg . Le courant magnétisant I n produit un flux total 0 qui est dispersé autour de l'enroulement. Si l'on approche de ce montage une deuxième bobine, une partie du flux 0 est captée (ou accrochée) par les spires de cette deuxième bobine et une faible tension E2 est induite à ses bornes . L'ensemble de ces deux bobines constitue un transformateur. La bobine raccordée à la source est appelée enroulement primaire (ou simplement «primaire») et l'autre est appelée enroulement secondaire (ou simplement «secondaire») . Il existe une tension seulement entre les bornes 1 - 2 du primaire et les bornes 3 - 4 du secondaire . Il n'existe aucune tension entre une des bornes du primaire et une des bornes du secondaire . Il s'ensuit que le secondaire est isolé électriquement du primaire . Le flux 0 créé par le primaire peut être subdivisé en deux parties : un flux mutuel On,, qui accroche les spires du secondaire, et un flux de fuite of, qui ne les accroche pas . Lorsque les bobines sont éloignées l'une de l'autre, le flux mutuel est faible par rapport au flux total 0; on dit alors que le couplage entre les bobines est faible . On peut obtenir un meilleur couplage (et une tension E2 plus grande) en rapprochant les deux enroulements . Cependant, même si l'on colle le secondaire contre le primaire, le flux mutuel demeure faible
TRANSFORMATEURS
443
Figure 30-4 Définition du flux mutuel et du flux de fuite .
Figure 30-5 Les bornes ayant la même polarité instantanée sont identifiées par un point noir .
par rapport au flux total 0. Lorsque le couplage est faible, la tension E2 est petite et, de plus, elle s'écrase dès qu'on applique une charge entre les bornes du secondaire . Il faut donc trouver un moyen d'améliorer le couplage .
30 .5 Propriétés des marques de polarité Habituellement, un transformateur est logé dans un boîtier de sorte que seulement les bornes primaires et secondaires sont accessibles . Bien que les enroulements ne soient pas visibles, les règles suivantes s'appliquent quand on connait les marques de polarité .
On peut l'améliorer de beaucoup en bobinant le secondaire par-dessus le primaire . Avec cette construction, la presque totalité du flux 0 créé par le primaire est accrochée par le secondaire . Le flux de fuite n'est plus qu'une petite fraction du flux total, ce qui augmente la valeur de la tension induite E2 à vide et la maintient presque constante en charge. 30 .4 Marques de polarité d'un transformateur Dans la Fig . 30-4, les flux of , et oml sont tous deux produits par le courant magnétisant I,,, . Par conséquent, les flux sont en phase, atteignant tous deux leur valeur crête en même temps . Ils passent aussi par zéro en même temps . Il s'ensuit que la tension E2 atteint sa valeur crête en même temps que Eg . Supposons qu'au moment où les tensions atteignent leur maximum, la borne 1 soit positive par rapport à la borne 2, et que la borne 3 soit positive par rapport à la borne 4 (Fig . 305) . On dit alors que les bornes 1 et 3 possèdent la même polarité. On l'indique en plaçant un gros point noir ris-à-vis de la borne 1 et un autre vis-à-vis de la borne 3. Ces points sont appelés marques de polarité . On pourrait aussi bien placer les marques de polanité vis-à-vis des bornes 2 et 4, car elles deviennent à leur tour simultanément positives lorsque les tensions alternent . On peut donc placer les marques de polarité, soit à côté des bornes 1 et 3, soit à côté des bornes 2et4 .
1 . Un courant qui entre par une marque de polarité produit une FMM dans le sens «positif» . Par conséquent, il produit un flux dans le sens «positif» (Fig . 30-6) . Inversement, un courant sortant d'une marque de polarité crée une FMM dans le sens «négatif» . Une FMM «négative» agit en sens inverse d'une FMM «positive» . 2 . Si une borne portant une marque de polarité est momentanément positive, toutes les bornes ayant une marque de polarité sont momentanément positives (par rapport à l'autre borne du même enroulement) .
boîtier Figure 30-6 Un courant qui entre par une borne portant une marque de polarité crée un flux dans le sens «positif» .
444
ÉLECTROTECHNIQUE
Ces règles nous permettent de tracer le diagramme vectoriel des circuits primaire et secondaire, même si ces deux enroulements sont électriquement isolés . Par exemple, dans la Fig . 30-6, compte tenu des marques de polarité, la tension E34 est nécessairement en phase avec la tension E12 . LE TRANSFORMATEUR IDÉAL 30.6 Le transformateur idéal à vide ; rapport de transformation
Avant d'entreprendre l'étude des transformateurs industriels, nous allons examiner les propriétés d'un transformateur idéal . Par définition, un transformateur idéal n'a aucune perte et son noyau est infiniment perméable . De plus, le couplage entre le primaire et le secondaire est parfait . Par conséquent, un transformateur idéal n'a aucun flux de fuite . En pratique, les transformateurs ont des caractéristiques qui se rapprochent de celles d'un transformateur idéal . L'étude du transformateur idéal nous aidera donc à comprendre les propriétés des transformateurs réels .
ou Et = tension induite au primaire [V] E2 = tension induite au secondaire [V] NI = nombre de spires du primaire N2 = nombre de spires du secondaire
Cette relation signifie que le rapport des tensions primaire et secondaire est égal au rapport des nombres de spires . De plus, puisque les tensions primaire et secondaire sont produites par le même flux Om, elles atteignent leurs valeurs maximales et minimales en même temps . Le diagramme vectoriel pour la marche à vide est donné à la Fig . 30-7b . Vu les marques de polarité du transformateur (points noirs), et les polarités des tensions (signes +), le vecteur E2 est en phase avec le vecteur E l . Pour un transformateur dont le secondaire comporte moins de spires que le primaire, le vecteur E2 est plus court que le vecteur El . Comme pour toute inductance, le courant Im est déphasé de 90° en arrière de la tension E l . Le vecteur représentant le flux O n est en phase avec Im car le flux est créé par le courant magnétisant .
La Fig . 30-7a montre un transformateur idéal dont le primaire et le secondaire possèdent respectivement N 1 et N2 spires . Le primaire est raccordé à une source Eg , et le secondaire est ouvert . Les tensions induites ont respectivement El et E2 volts . Le flux Om créé par le primaire est accroché complètement par le secondaire . Comme sa valeur crête est 0max, on peut écrire les équations suivantes : E l = Eg E1 = 4,44 fNl omax
et E2
E2 = 4,44 fN2 omax
>-Eg ,Ei
En divisant la première équation par la deuxième, on tire l'expression du rapport de transformation d'un transformateur:
E1
N1
E2
N2
(30-4)
tm
(b)
Figure 30-7 a . Transformateur idéal à vide . b . Diagramme vectoriel des grandeurs sinusoïdales .
TRANSFORMATEURS
445
Cependant, comme il s'agit d'un transformateur idéal, le circuit magnétique est infiniment perméable, ce qui veut dire qu'un courant magnétisant infiniment petit suffit à créer le flux o,,, . Le diagramme vectoriel à vide est donc tel que le montre la Fig . 30-7b, mais I,,, est infiniment petit.
Exemple 30-3 On applique une tension efficace de. 24(X) V au primaire d'un transformateur abaisseur de tension, dont le primaire comporte 500 spires et le secondaire 25 spires . a) Calculer la tension efficace induite au secondaire b) Quelle est la valeur de la tension instantanée au secondaire au moment où la tension au primaire est de 37 V?
(b)
Solution al La tension induite dans chacune des spires de l'enroulement primaire est : 2400 V . 500 spires = 4,8 V/spire Cette valeur est aussi celle de la tension induite dans chaque spire de l'enroulement secondaire . La tension totale aux bornes du secondaire est donc : E2 = 4,8 V/spire x 25 spires = 120 V On aurait pu calculer directement cette tension en utilisant le rapport de transformation . De l'équation 30-4 on obtient : E2 = E, x
N2
N1 = 2400 x 25 = 120 V 500 bl La tension au secondaire est 25/500 = 0,05 fois la &ension au primaire à chaque instant . Par conséquent, lorsque El = 37 V, E2 = 37 x 0,05 = 1,85 V. 30.7 Transformateur idéal en charge ; rapport des courants Raccordons une charge Z au secondaire d'un transformateur idéal (Fig . 30-8) . Un courant 12 circulera immédiatement . Ce courant est donné par : 12 = Z
Figure 30-8 a . Transformateur idéal en charge ; il produit seulement un flux mutuel . b . Diagramme vectoriel des grandeurs sinusoïdales .
Noter que ce courant circule dans la charge ainsi que dans les N2 spires du secondaire . La valeur de E2 change-t-elle lorsqu'on branche la charge? Avant de répondre à cette question, rappelons deux faits. Premièrement, dans un transformateur idéal, le primaire et le secondaire sont couplés par le flux mutuel Om seulement . Par conséquent, le rapport de transformation en charge est le même qu'à vide, soit: E,/E2 = NI/N2
Deuxièmement, comme la tension Eg de la source demeure constante, la tension El (induite par On,) reste également constante. Il s'ensuit que E 2 ne change pas lorsque la charge est branchée au secondaire . Examinons maintenant les FMM qui sont engendrées par les enroulements primaire et secondaire . Tout d'abord, le courant 12 produit une FMM secondaire N2I2 . Si elle agissait seule, cette FMM produirait un changement majeur dans le flux o,,, . Mais on vient de constater que le flux 0. ne change pas . Le flux on, ne peut donc demeurer constant que si le primaire crée, à tout instant, une FMM N1 I1 d'égale valeur mais op-
446
ÉLECTROTECHNIQUE
posée à N2I2 . Ainsi, le courant I i circulant au primaire doit respecter la relation : Ni Il = N2 12
(30-5)
un simple boîtier possédant les bornes primaires et secondaires (Fig . 30-9) . Les marques de polarité du transformateur (les deux points noirs) permettent d'indiquer la relation vectorielle entre les courants et les tensions au primaire et au secondaire .
Afin de créer cette opposition instantanée, I l et 12 doivent augmenter et diminuer en même temps . Il faut donc que I l et 12 soient en phase. De plus, pour que les FMM s'opposent, il faut que I l entre par la marque de polarité du primaire lorsque 12 sort par la marque de polarité du secondaire (Fig . 30-8a) .
Pour les courants, nous adoptons les règles suivantes :
Compte tenu de ce qui précède, on peut tracer le diagramme vectoriel du transformateur idéal en charge (Fig . 30-8b) . Si l'on suppose une charge résistive-inductive, le courant 12 sera en retard d'un angle 0 sur la tension E2. Le flux 0,,, est toujours 90° en arrière de Eg , mais aucun courant magnétisant n'est requis, du fait qu'il s'agit d'un transformateur idéal dont le noyau a une perméabilité infinie . Les courants I l et 12 sont en phase et ils sont définis par l'équation :
Il s'ensuit que Ii et
Il = N2 12
(30-6)
NI
où Il = 12 = NI = N2 =
courant primaire [A] courant secondaire [A] nombre de spires au primaire nombre de spires au secondaire
1 . Le courant I l au primaire entre par la marque de polarité 2. Le courant 12 au secondaire sort par la marque de polarité 12
sont en phase .
En ce qui concerne les tensions, deux notations sont possibles : l'une selon la méthode des polarités (+-), l'autre selon la méthodes des deux indices (voir chapitre 7, sections 7 .3 et 7 .7) . Lorsque les tensions sont indiquées selon la méthode des polarités, nous adoptons la règle suivante (Fig . 309a) : 1 . La tension primaire est indiquée par le symbole E l . et sa polarité (+) est inscrite vis-à-vis de la marque de polarité du primaire 2 . La tension secondaire est indiquée par le symbole E2 et sa polarité (+) est inscrite vis-à-vis de la marque de polarité du secondaire
En comparant les équations 30-4 et 30-6, on constate que le rapport des courants est l'inverse de celui des tensions . Autrement dit, ce que l'on gagne en tension, on le perd en courant et vice versa . Des équations 30-4 et 30-6, on tire : Etlt =
E212
(30-7)
La puissance apparente absorbée au primaire est donc égale à la puissance apparente débitée par le secondaire . Il s'ensuit que les puissances active et réactive débitées par le secondaire sont exactement égales à celles absorbées par le primaire . 30 .8 Conventions et représentation symbolique d'un transformateur idéal Afin de se concentrer sur les propriétés fondamentales du transformateur idéal, il est utile de le représenter sous forme symbolique . Ainsi, au lieu de tracer en détail les enroulements et le flux mutuel 0m, on montre
Figure 30-9a Symbole d'un transformateur idéal et diagramme vectoriel associé lorsque les tensions sont notées selon la méthode des polarités (+, -) .
447
TRANSFORMATEURS
Cette règle assure que E l et E2 sont en phase .
Exemple 30-4
Lorsque les tensions sont indiquées selon la méthode des deux indices, nous adoptons la procédure suivante (Fig . 30-9b) : 1 . Les bornes sont identifées par des symboles, tels que les lettres a, b, c, d 2 . En tenant compte des marques de polarité on peut immédiatement écrire les tensions primaire et secondaire qui sont en phase .
Un transformateur idéal ayant 90 spires au primaire et 2250 spires au secondaire est branché sur une source de 200V, 60 H7 (Fig . 30-10a) . La charge tire un courant de 2A et son facteur de puissance est de 80 % en retard . Tracer le diagramme vectoriel .
Ainsi, dans la Fig . 30-9b, Eab et Ecd sont en phase, car les symboles a et c sont tous deux vis-à-vis d'un point noir.
Eg , E l _ E2 = 5000V
200V 36,9° 12 =2A
(b)
= 50 A Ecd
Eab
O rr, = 8,34 mWb Figure 30-10 a . Voir exemple 30-4 . b . Diagramme vectoriel des tensions et des courants .
Solution Figure 30-9b Symbole d'un transformateur idéal et diagramme vectoriel associé lorsque les tensions sont notées selon la méthode des deux indices .
En se référant à la Fig . 30-1 Oa, la polarité des tensions E,, E2 et la direction des courants I l , 12 sont indiquées conformément aux règles que nous venons de décrire . Le rapport de transformation est :
Nous définissons aussi le rapport de transformation a, selon l'expression : nombre de spires au primaire
a =
nombre de spires au secondaire II s'ensuit que : E l = a E2
(Fig . 30-9a)
E ab = a Ec d
(Fig . 30-9b)
12
= a Ii
(Fig . 30-9a et 30-9b)
_
NI N,
N' a =
=
N2
90
= 0,04
2250
La tension secondaire est donc : E2 = El = 200_ = 5000 V
a 0,04 Comme le facteur de puissance est 80 % en retard, il s'ensuit que 12 est en retard sur E, d'un angle : 0 = arccos 0,8 = 36,9°
448
ÉLECTROTECHNIQUE
Le courant au primaire est : h
'1
12
2 A Iz =-_ = 50A a 0,04
La valeur crête du flux est : El Omax =
200
4,44 fNt
(a)
_
4,44 x 60 x 90 I,
= 0,00834 = 8,34 mWb Le vecteur O,T, est 90° en arrière de Eg et de E 1 . En prenant Eg comme vecteur de référence, on obtient le diagramme vectoriel montré à la Fig . 30-1Ob . 30.9
Zp =a2Zs
(b)
Rapport d'impédance
Le transformateur est utilisé pour modifier une tension ou un courant. Nous montrons ci-après que ces transformations de la tension et du courant produisent aussi une tranformation d'impédance . Considérons, par exemple, la Fig . 30-11, où un transformateur idéal est branché entre une source Eg et une charge ayant une impédance Z s . Le rapport de transformation étant a, on peut écrire : I Ii = a
et
El = a E2
(30-9)
(30-10)
h
En substituant les équations 30-8 et 30-9 dans l'expression 30-10, on obtient : _ El _
a E2
_a 2 E2
Il
I2/a
12
(30-11)
ou
D'autre part, la source Eg «voit» une impédance Z p donnée par :
z p
Par conséquent, on peut écrire : Zp = a 2 Zs
12
El zp = -
b. l'impédance vue par la source est a 2 fois l'impédance réelle .
(30-8)
Les bornes secondaires «voient» une impédance Z s donnée par : E2
Figure 30-11 a . Un transformateur idéal peut transformer la valeur d'une impédance .
Zp = impédance vue entre les bornes du primaire [~2] Zs = impédance réelle entre les bornes du secondaire [52] a = rapport de transformation Cette expression révèle que l'impédance Zp vue par la source est a2 fois l'impédance réelle (Fig . 30-1 lb) . Un transformateur idéal a donc la propriété remarquable de pouvoir augmenter ou abaisser la valeur d'une impédance, quelle que soit sa nature . Cette transformation est bel et bien réelle . Un transformateur permet de changer la valeur de n'importe quelle composante, que ce soit une résistance, un condensateur ou une inductance. Par exemple, si l'on branche une résistance de 100 S2 au secondaire d'un transformateur ayant un rapport de transformation a = 0,2, elle apparaît au primaire comme une résistance de
= a 2 Zs
Rp = 100 x (0,2)2 = 4 £2
TRANSFORMATEURS
De même, un condensateur possédant une réactance capacitive X c = 100 S2 apparaîtra au primaire comme un condensateur ayant une réactance de 4 S2 . Comme la réactance est inversement proportionnelle à la capacitance, il s'ensuit que la capacitance vue par la source est 25 fois plus grande que la capacitance réelle . On peut donc augmenter (ou diminuer) la capacitance d' un condensateur ou l'inductance d'une bobine à l'aide d'un transformateur . 30 .10 Déplacement des impédances du secondaire au primaire et vice versa Pour résoudre un circuit comprenant un transformateur, il est parfois utile de l'éliminer afin de simplifier le circuit . Cela peut se réaliser en transférant les impédances du côté secondaire au côté primaire . Considérons le circuit de la Fig . 30-12a composé de quatre impédances et d'un transformateur alimentés par une source E g . Le transformateur a un rapport de transformation a . On peut progressivement déplacer au primaire les impédances situées du côté secondaire, comme l'indiquent les Fig . 30-12b à 30-12e . On constate que l'arrangement série-parallèle des éléments demeure intact, mais la valeur des impédances ainsi transférées est multipliée par le facteur a 2 . En même temps, la tension réelle aux bornes de chaque élément est multipli~e par a et le courant qu'il porte est divisé par a . Comparer, par exemple, la tension et le courant dans l'élément Z2 avant et après le transfert (Fig . 30-12a et 30-12b) . Si l'on transfère toutes les impédances, le transformateur se retrouve à l'extrême droite du circuit (Fig . 3012d) . On constate que le secondaire est alors ouvert, ce qui implique que les courants au primaire et au secondaire sont nuls . On peut donc éliminer le transformateur sans que le circuit soit affecté (voir Fig . 3012e) . Dans cette figure, les impédances sont toutes ramenées du côté primaire du transformateur. Comme le transformateur a disparu, le circuit peut être résolu par les méthodes habituelles . En général, lorsqu'on transfère une impédance, la tension réelle à ses bornes est multipliée par le rapport de transformation . Si l'impédance est transférée du côté où la tension est plus élevée, la tension aux bornes de l'impédance ainsi transférée augmente dans les mêmes proportions .
449
(a)
(b)
(c)
Z,
a 2z3
1=0
r=0
(d)
z,
a2 z3
Figure 30-12 a . Montage composé de 4 impédances et d'un transformateur idéal . b. Limpédance Z2 est rapportée au côté primaire . c . Z2 et Z3 sont rapportées au côté primaire . d . Toutes les impédances sont rapportées au côté primaire . Le transformateur ne porte plus aucune charge . e . Circuit équivalent après élimination du transformateur .
450
ÉLECTROTECHNIQUE
est parfois utile de transférer les éléments primaires au côté secondaire (Fig . 30-13a) . On procède alors de la même manière mais la valeur des impédances ainsi transférées est divisée par a2 (Fig . 30-13b) . On peut même transférer la source au côté secondaire ; sa tension devient alors E g la . Il
On constate de nouveau que les courants dans le transformateur (situé maintenant à l'extrême gauche, Fig . 30-13c) sont nuls, ce qui permet de l'éliminer, pour arriver au montage de la Fig . 30-13d .
Z,
Exemple 30-5 Soit le montage de la Fig . 30-14 dans lequel le transformateur idéal a un rapport de transformation a = N I IN,
a) Tracer le circuit équivalent en rapportant toutes les impédances au côté primaire . Calculer la valeur de I, . h) Tracer le circuit équivalent en rapportant toutes les impédances au côté secondaire . Calculer la valeur de I, .
Z3
(a)
z4
a: Z, a2
(b)
Eg
Z3
Figure 30-14 Voir exemple 30-5 .
Z4
Solution a) Lorsque les impédances de 4 S2 et 3 £2 sont rapportées au primaire, leurs valeurs sont augmentées dans le rapport (N1IN2 ) 2 , soit par un facteur 22 = 4 . Cela donne le circuit équivalent de la Fig . 30-15 .
19 Q2 (c)
160
z4
Figure 30-15 Les impédances sont rapportées au côté primaire . (d)
Z4
L'impédance de ce circuit est : Z = 1~ R 2 + Figure 30-13 Transfert progressif des éléments du côté primaire au côté secondaire .
= V 122 - ~ 122
+ +
XL ( 19 + 16)2 2 35 = 37 S2
éq . 243
TRANSFORMATEURS
451
Il s'ensuit que: Eg 148 V Il =-_ = 4A Z 37 S2
De plus, puisque Il = IZ, il s'ensuit que 2
12
=
8 A.
b) Lorsque les éléments sont tous rapportés au côté secondaire, l'impédance de 19 Q2 devient : XL = 19 = 19 = 4,75 S2 4 a La tension de 148 V devient : 148 V _ 148
=
E'
= 74 V
2
a
g
2A
Ce qui donne le circuit équivalent de la Fig . 30-16. L'impédance du circuit est: Z = \IR 2 +
24 V
8A
Figure 30-17 Diagramme vectoriel du circuit de la Fig . 30-14 .
XL
TRANSFORMATEURS UTILISÉS EN PRATIQUE _ /32 +
8,75 2 Nous venons d'étudier les propriétés du transformateur idéal . Cependant, en pratique, les transformateurs réels ne sont pas parfaits et notre analyse doit en tenir compte . Ainsi, les enroulements d'un transformateur réel possèdent une résistance, et le noyau n'est pas infiniment perméable . De plus, le flux créé par le primaire n'est pas complètement accroché par le secondaire, de sorte qu'il faut tenir compte des flux de fuite . Enfin, les pertes dans le fer contribuent à l'échauffement du transformateur et diminuent son rendement .
= 9,25 £2 II s'ensuit que : _ E'g _ 74 V = 8 A 12
Z
9,25 S2 4,75 d2
40
74 V
3 S2
Figure 30-16 Les impédances sont rapportées au côté secondaire .
Le diagramme vectoriel du montage réel est donné à la Fig . 30-17 . On a pris le courant 12 comme vecteur de référence . Le lecteur vérifiera que les tensions aux bornes des réactances et de la résistance sont respectivement de 76 V, 32 V et 24 V, telles qu'indiquées .
Nous verrons que l'on peut représenter un transformateur réel par un circuit équivalent composé d'un transformateur idéal, de résistances et de réactances . Ce circuit nous permettra de décrire toutes les propriétés d'un transformateur, même lorsqu'il est branché en parallèle avec d'autres transformateurs . Enfin, pour mieux saisir l'ordre de grandeur des éléments composant le circuit équivalent du transformateur, nous aurons recours aux valeurs relatives, soit le système p .u . 30.11
Transformateur idéal comportant un noyau réel
Le noyau d'un transformateur idéal est parfaitement perméable et ne présente aucune perte . Qu'arrive-t-il
452
ÉLECTROTECHNIQUE
ou
•
I2 =0 . > o
Rm = résistance représentant les pertes dans le fer
[Ç] Xm = réactance magnétisante du primaire [S2] E2
E, R
T idéal
T
o
(a)
(b)
E, = tension induite au primaire [V] Pm = pertes dans le fer [W] Qm = puissance réactive requise pour créer le flux
mutuel Om [var] Pour créer le flux dans un noyau imparfait, on a besoin d'un courant I o égal à la somme vectorielle de If et de Im. Ce courant s'appelle courant d'excitation . La Fig . 30-18b montre le diagramme vectoriel de ce transformateur imparfait lorsqu'il fonctionne à vide . Le flux mutuel est encore donné par l'équation 30-3 : Et 0m =
Figure 30-18 a . Circuit d'un transformateur idéal comportant un noyau réel . b . Diagramme vectoriel des variables .
si on le remplace par un autre ayant des pertes par hystérésis et par courants de Foucault et dont la perméabilité n'est pas infinie? Ces imperfections peuvent être représentées au moyen d'une résistance R m et d'une réactance Xm branchées en parallèle avec le primaire d'un transformateur idéal (Fig . 30-18a) . La résistance Rm représente les pertes dans le fer et la chaleur qu'elles dégagent . Un faible courant If est tiré de la ligne pour fournir ces pertes . La réactance magnétisante Xm est un indice de la perméabilité du noyau . Ainsi, à une faible perméabilité, correspond une valeur de Xm relativement basse . Le courant Im est le courant magnétisant requis pour créer le flux dans le noyau .
4,44
Eg
fN
4,44
fN
Exemple 30-6 Un transformateur de 20 kVA, 120 V/600 V, fonctionnant à vide, tire un courant de 5 A lorsqu'il est raccordé à une source de 120 V, 60 Hz (Fig . 30-19a) . Un wattmètre indique une puissance de 180 W . Calculer : a) la puissance réactive absorbée par le noyau h) la valeur de R,,, et de X, e) les valeurs de If, 1
(a)
120 V 60 Hz
Les valeurs de R m et Xm sont données par les équations suivantes : f=1,5A = Et2
Rm
- 120V
(30-12)
Pm
(b)
I, = 4,8 A =5A
0m Xm =
EtZ Qm
(30-13)
Figure 30-19 Voir exemple 30-6 .
TRANSFORMATEURS
Solution a) La puissance apparente fournie au noyau est : Sm = Eglo = 120 V x 5 A
= 600 VA Les pertes dans le fer sont : Pm = 180 W
453
est respectivement N I et N2 et on suppose que la résistance des enroulements est nulle . Considérons alors un tel transformateur raccordé à une source Eg et fonctionnant à vide (Fig . 30-20) . Puisque le noyau est parfait, le courant Il au primaire est nul . Branchons alors une charge Z au secondaire tout en maintenant la tension Eg fixe (Fig . 30-21) . Cette manoeuvre simple entraîne une série d'événements que nous énumérons ci-après :
La puissance réactive absorbée par le noyau est : - P,2i
=
6002 - 1802
= 572 var b) L'impédance correspondant aux pertes dans le fer est : =
Eg
1202
Pm
180
1 . Des courants I l et 12 commencent à circuler dans les enroulements primaire et secondaire . Ils sont reliés par l'équation 30-6 : Il
N2
12
Ni
= 80f2
La réactance magnétisante est : EZ
1202 = = 25,2 £2 572 Qm c) Le courant requis pour fournir les pertes dans le fer est : `Ym =
If
E
= Eg = Rm
120 V
= 1,5 A
80 S2
Figure 30-20 Transformateur idéal comportant un noyau parfait et un couplage relativement faible .
Le courant magnétisant est : In, _
Eg _ 120 V Ym
= 4,8 A
25,2 S2
On vérifie que le courant d'excitation est :
1m
= 1 1,5 2 + 4,82
Le diagramme vectoriel est montré à la Fig . 30-19b . 30.12
Transformateur idéal à couplage partiel
Nous venons d'étudier le comportement d'un transformateur idéal lorsque son noyau est imparfait . Supposons maintenant que le noyau soit idéal, mais que le couplage entre le primaire et le secondaire soit imparfait . Le nombre de spires au primaire et au secondaire
Figure 30-21 Flux mutuels et flux de fuite lorsque le transformateur est sous charge . Les flux de fuite sont d'autant plus grands que le couplage est faible . Noter que le flux 0m1 n'a pas la même valeur que dans la Fig . 30-20 .
454
ÉLECTROTECHNIQUE
2 . 12 produit une FMM N2 12 et I, produit une FMM N I II . Ces FMM agissent en sens contraires car lorsque I, entre par la marque de polarité 1, 12 sort par la marque de polarité 3 . 3 . La FMM Nf h produit un flux total 0 1 . Comme le couplage est imparfait, seulement une partie 0,,,, de ce flux est accrochée par le secondaire, alors que l'autre partie of, ne l'est pas . Le flux of , s'appelle flux de fuite du primaire . 4 . La FMM N2I2 produit un flux total 02 . Une partie 0,n2 de ce flux est accrochée par le primaire, alors que l'autre portion 0f2 ne l'est pas . Le flux 0f2 s' appelle flux de fuite du secondaire . On constate donc qu'en raison des flux de fuite, les FMM créées par Ii et 12 changent complètement la configuration du champ magnétique par rapport au cas sans charge . Comment analyser cette nouvelle situation? En se référant à la Fig . 30-21, nous établissons les cinq points suivants : 1 . Étant donné que les flux mutuels 0m1 et f0m2 suivent le même chemin dans le noyau, on peut les combiner en un seul flux mutuel om (Fig . 30-22) . Ce flux est créé par l'action conjointe des FMM du primaire et du secondaire . 2 . Le flux de fuite f , est créé par la FMM N1 I, ; par conséquent of , est en phase avec I l . Par un raisonnement analogue on trouve que Of2 est en phase avec 123 . La tension ES induite entre les bornes du secondaire est composée de deux tensions :
o
(i) une tension E2 due au flux mutuel Om, donnée par : E2 = 4,44 fN2 0m
(ii) une tension Ef2 due au flux de fuite 0f2, donnée par: Ef2 = 4,44 fN2 Of2
4 . De la même façon, la tension Ep induite aux bornes du primaire est composée de deux tensions : (iii) une tension E l due au flux mutuel om, donnée par : El = 4,44 fN] Om
(iv) une tension Efl due au flux de fuite of,, donnée par : Ef , = 4,44 fNf Off,
t,
Figure 30-22 Le flux mutuel est produit par l'action combinée des FMM N1 11 et N2,2-
5 . Enfin, la tension Ep induite au primaire est égale à la tension Eg de la source . À l'aide de ces données, nous sommes en mesure de développer le circuit équivalent du transformateur . 30 .13 Réactances de fuite au primaire et au secondaire Il est plus facile d'identifier les quatre tensions E,, E 2 . Eff, et Ef2 en réarrangeant le circuit du transformateur comme l'indique la Fig . 30-23 . Afin de mettre en évidence les deux flux Om et 0f2 accrochés par l'enroulementN2, l'enroulement secondaire est représenté deux fois . La tension Ef2 apparaît comme une chute de tension aux bornes d'une réactance . Cette réactance s'appelle réactance de fuite du secondaire, et sa valeur est donnée par :
Xf2 =
EI2 12
De même, l'enroulement primaire est représenté deux fois . La tension Eff, apparaît alors comme une chute de tension à travers la réactance de fuite du primaire . Sa valeur est donnée par : l, Xfl = E il Les réactances de fuite sont montrées de façon conventionnelle à la Fig . 30-24 . On y a ajouté les résistances R I et R 2 des enroulements primaire et secondaire, lesquelles sont évidemment en série avec leurs enroulements respectifs .
455
TRANSFORMATEURS
Figure 30-23 Ce circuit est électriquement identique à celui de la Fig . 30-22 .
Figure 30-24 Réactances de fuite et résistances des enroulements primaire et secondaire .
30.14 Circuit équivalent d'un transformateur En examinant la Fig . 30-24, on constate que le transformateur situé à l'intérieur du rectangle pointillé ne possède plus aucune perte ni flux de fuite . C'est donc un transformateur idéal possédant toutes les propriétés décrites dans les sections précédentes . Par exemple, on peut rapporter les impédances du côté secondaire au côté primaire en multipliant leurs valeurs par (N,/N2 ) 2 . Si l'on ajoute les éléments R,,, et X,,, pour représenter ∎n noyau réel avec pertes, on obtient le circuit équivalent complet d'un transformateur industriel (Fig . 30-25) . Dans ce circuit, seules les bornes primaires 1, 2 et les bornes secondaires 3, 4 sont accessibles . Les
autres composants, y compris le transformateur idéal T, demeurent cachés à l'intérieur du transformateur . Cependant, il est possible de déterminer la valeur de ces composants au moyen de tests appropriés . Exemple 30-7
On donne l'information suivante relativement aux .30-22 et 30-23 : = 180 spires
= 20 mWb (crête)
18 A, 60 Hz
= 0,3 mWb (crête)
Calculer : a) la valeur de E2 induite par le flux mutue b) la valeur de EF, induite par le flux de fuite c) la valeur de la réactance de fuite X,-,
17
456
ÉLECTROTECHNIQUE
Xf2
12
3
R2
A
+
Figure 30-25 Circuit équivalent d'un transformateur réel . Le rectangle T représente un transformateur idéal .
Solution
a) La valeur de E2 est : E2 = 4,44 fN2 Om = 4,44 x 60 x 180 x 0,02 = 959 V b) La valeur de Ef2 est : Et2 = 4,44 fN2
Of2
= 4,44 x 60 x 180 x 0,0003 = 14,39 V
geable, de sorte que la pleine tension Ep apparaît aux bornes de la branche d'excitation . Le circuit à vide prend donc la forme simple montrée à la Fig . 30-27 . La tension Ep aux bornes du transformateur est évidemment égale à la tension Eg de la source . 2 . Transformateur fonctionnant en charge . Lorsque
la charge d'un transformateur est plus grande que 20 % de sa puissance nominale, la valeur de I o est négligeable devant celle de I i (Fig . 30-28) . On peut donc négliger la branche d'excitation, ce qui donne le circuit de la Fig . 30-29 .
R
Xf1
c) La réactance de fuite du secondaire est :
Xf2
R2
12
Xf2
_ Erz _ 14,39 V 12
30 .15
= 0,8 S2
18 A a
N1
Simplification du circuit équivalent
Le circuit équivalent du transformateur présenté à la Fig . 30-25 est très général, de sorte qu'il peut représenter le comportement du transformateur pour toutes les conditions de charge . En pratique, selon que le transformateur fonctionne à vide ou en charge, on peut négliger certains éléments, ce qui simplifie énormément les calculs . Nous examinons ces deux cas ci-après . 1 . Transformateur fonctionnant à vide . Lorsque le
transformateur fonctionne à vide (Fig . 30-26), la charge est nulle et le courant 12 = 0 ; il s'ensuit que If = 0 car T est un transformateur idéal . Par conséquent, seul le courant d'excitation I o circule dans Ri et Xff . Comme l'impédance de ces deux éléments est faible et que Io est petit, la chute de tension correspondante est négli-
N2
Figure 30-26 Circuit équivalent complet lorsque le transformateur fonctionne à vide .
10 Ep
1
Xm
R T a
N1
N
Figure 30-27 Circuit équivalent simplifié lorsque le transformateur fonctionne à vide .
457
TRANSFORMATEURS
R
Xf
Xf2
R2
12 Es
a2z
a N,
N
Figure 30-28 Circuit équivalent complet lorsque le transformateur est en charge .
Figure 30-30 Circuit équivalent lorsque les impédances sont rapportées au côté primaire .
a 2Z a2Z
Figure 30-29 Circuit équivalent simplifié lorsque la charge est supérieure à 20 % de la puissance nominale du transformateur.
Le circuit se simplifie encore davantage lorsque toutes les impédances sont rapportées au côté primaire . Ce transfert d'impédances permet d'éliminer le transformateur idéal T (Fig . 30-30), selon la technique expliquée à la section 30 .10 . Enfin, en regroupant les résistances et les réactances primaires et secondaires, on obtient le circuit de la Fig . 30-31 . Dans ce circuit: Rp = R 1 +a 2 R2 Xp = Xn + a
2 Xf2
(30-14)
Figure 30-31 Résistance totale R p , réactance de fuite totale X p et impédance totale Z P du transformateur rapportées au primaire .
XP
a2z
Figure 30-32 Limpédance totale d'un gros transformateur est pratiquement égale à sa réactance de fuite .
(30-15)
ou Rp = résistance totale du transformateur rapportée au primaire [S2] Xp = réactance totale du transformateur rapportée au primaire [S2] L'ensemble R p et Xp constitue l'impédance totale Z p du transformateur rapportée au primaire . L'équation 24-3 permet d'écrire : Zp = '\/ RP + XP
(30-16)
Lorsque la puissance nominale du transformateur dépasse 500 kVA, le calcul des tensions et courants est simplifié encore davantage . En effet, dans ce cas, la valeur de Xp est au moins 5 fois plus grande que Rp, de sorte que Rp devient négligeable . Cependant, pour les calculs de pertes et d'échauffement, R p doit évidemment être prise en considération . Le circuit équivalent relativement complexe de la Fig . 30-25 se résume donc à une simple réactance Xp reliant la source et la charge (Fig . 30-32) .
458
ÉLECTROTECHNIQUE
30 .16
Construction du transformateur
Habituellement, la conception des transformateurs utilisés en pratique est telle que leurs propriétés se rapprochent de celles du transformateur idéal. Ainsi, afin
primaire
primaire
secondaire
d'obtenir une bonne perméabilité, le noyau est fait en acier de bonne qualité . De plus, pour minimiser les pertes dans le fer, le noyau est laminé en utilisant de l'acier au silicium . Il s'ensuit que le courant magnétisant I I, est au moins 5000 fois plus petit que si le noyau était composé d'un matériau non magnétique . Le courant If fournissant les pertes dans le noyau est de 2 à 10 fois plus faible que le courant magnétisant I m . On réussit à diminuer les réactances de fuite Xf1 et Xn en bobinant le primaire et le secondaire l'un par-dessus l'autre, tout en réduisant la distance qui les sépare . Cependant, afin de conserver une isolation adéquate entre les enroulements, on ne peut diminuer cette distance en deçà d'une valeur critique . Autrement, l'isolation risque de claquer lors des surtensions dues aux chocs de foudre ou aux manceuvres sur le réseau .
isolant H1
X2 noyau en acier laminé
î P
Le couplage étant excellent, il s'ensuit que la tension secondaire reste très proche de N2 1NI fois la tension primaire . Cela assure une bonne régulation de la tension en fonction de la charge . De plus, afin d'assurer un bon rendement, on cherche à limiter les pertes Joule en minimisant les résistances R 1 et R 2 . La Fig . 30-33 montre un transformateur dont le primaire et le secondaire sont divisés en deux sections . chacune d'elles étant bobinée sur une des jambes du noyau . Le primaire (bornes Hl, H2) est enroulé pardessus le secondaire (bornes X1, X2) .
(a)
H1
X1
X2
H2
(b)
Figure 30-33 a . Construction d'un transformateur montrant le noyau et la façon dont les enroulements primaire et secondaire sont montés . b . Circuit montrant comment les deux sections de chaque enroulement sont raccordées .
Figure 30-34 Montage du noyau d'un transformateur de 100 VA, en utilisant des tôles en E et en I .
TRANSFORMATEURS
La Fig . 30-34 montre comment les tôles sont empilées pour former le noyau d'un petit transformateur de 100 VA . La Fig . 30-35 montre l'enroulement d'un gros transformateur en voie de construction . Le nombre de spires des enroulements primaire et secondaire est proportionnel à la tension (éq . 30-1) . D'autre part, le courant nominal dans un enroulement est inversement proportionnnel à la tension . Il s'ensuit que la quantité de cuivre (ou d'aluminium) requise pour les enroulements respectifs est à peu près la même . En pratique, la bobine extérieure (le primaire dans la Fig . 30-33) pèse un peu plus car la longueur moyenne des spires est plus grande . Mentionnons qu'en pratique le transformateur est parfaitement réversible en ce sens que le primaire peut agir comme secondaire, et vice versa .
459
30 .17
Marques de polarité d'un transformateur de puissance Jusqu'à présent nous avons indiqué la polarité des bornes d'un transformateur par deux points noirs au primaire et au secondaire . Ce type d'identification est utilisé surtout pour les transformateurs servant à l'instrumentation . Cependant, pour les transformateurs de puissance, les bornes sont désignées par les symboles H1 et H2 pour l'enroulement à haute tension, et par X1 et X2 pour l'enroulement à basse tension (Fig . 30-33) . Par convention, lorsque H1 est instantanément (+) par rapport à H2, X1 est (+) par rapport à X2 . On dit alors que H1 et X1 ont la même polarité . En fait, H1 et X1 remplacent les deux points noirs . Bien que les marques de polarité d'un transformateur soient connues lorsque les symboles H1, H2, X1 et X2
Figure 30-35 Enroulement primaire d'un gros transformateur en voie de construction . Lenroulement fonctionne à 128 kV, sous un courant de 290 A (gracieuseté de ABB) .
460
ÉLECTROTECHNIQUE
sont donnés, il est d'usage de disposer les quatre bornes d'une façon conventionnelle selon que la polarité du transformateur est additive ou soustractive . On dit qu'un transformateur a une polarité additive lorsque la borne haute tension H1, montée sur la cuve du transformateur, est diamétralement opposée à la borne basse tension X1 . La polarité est dite soustractive lorsque la borne HI est physiquement en regard de la borne X1 (Fig . 30-36) . Si l'on sait qu'un transformateur a une polarité additive ou soustractive, il n'est donc pas nécessaire d'identifier les bornes par des symboles H1, H2, Xl, X2 . L'origine de ces dénominations de polarité additive et soustractive sera expliquée à la section suivante .
polarité additive
.H1
polarité soustractive
X2 10
(a)
H1
X1
H2
X2
(b)
• H2
X1
Figure 30-36 La polarité additive et soustractive d'un transformateur dépend de l'orientation de ses bornes .
Figure 30-37 Détermination de la polarité d'un transformateur avec une source à courant alternatif .
Si la lecture EX est supérieure à celle de Ep , la polarité est additive. Par conséquent, les bornes H1 et X1 sont diamétralement opposées . Dans le cas contraire, la polarité est soustractive, et les bornes H1 et X1 sont adjacentes . Dans ce test de polarité, le cavalier (composé d'un simple fil) sert à connecter la tension secondaire Es en série avec la tension primaire Ep . Par conséquent, suivant la polarité, on obtient l'une des deux possibilités suivantes : Ex =Ep +ES
Les normes veulent que la polarité soit soustractive pour tout transformateur ayant une capacité supérieure à 200 kVA, pour autant que la tension primaire dépasse 8660 V. Dans le cas contraire, la polarité est additive . 30 .18
Test de polarité
d'où l'origine des expressions «polarité additive» et «polarité soustractive» . Exemple 30-8 Au cours d'un essai de polarité sur un transformateur de 500 kVA . 69 kV/600 V (Fig . 30-37) . on a obtenu les lectures suivantes :
La polarité d'un transformateur peut être déterminée facilement à l'aide du test suivant (Fig . 30-37) : 1 . Connecter un cavalier J entre une borne de l'enroulement haute tension (HT) et la borne adjacente de l'enroulement basse tension (BT) 2. Brancher un voltmètre EX entre les deux autres bornes 3 . Brancher un deuxième voltmètre Ep aux bornes de l'enroulement HT 4. Brancher l'enroulement haute tension à une source à courant alternatif, Eg . Lors de l'essai, on peut utiliser une tension Eg de l'ordre de 120 V, 60 Hz, même si la tension nominale HT est de plusieurs centaines de kilovolts .
ou Ex =Ep -ES
Ep
118VE y = 117V
Déterminer la polarité du transformateur et identifier les marques de polarité H1, X1 .
Solution La polarité est soustractive car EX est inférieure à Ep . Par conséquent, les bornes reliées par le cavalier doivent porter les symboles H1 et X1 (ou H2 et X2) . La Fig . 30-38 illustre un autre montage qui peut servir pour déterminer les marques de polarité d'un transformateur. Une pile sèche est raccordée aux bornes à basse tension du transformateur à travers un interrupteur, et un voltmètre à c.c. est branché aux bornes à
TRANSFORMATEURS
461
2 o 0 30 4 0 2400 V 5 Figure 30-38 Détermination des marques de polarité avec une source à courant continu .
0 1
haute tension . Lors de la fermeture de l'interrupteur, une tension est induite dans l'enroulement à haute tension . Si à cet instant l'aiguille du voltmètre dévie dans le bon sens, la borne du transformateur reliée à la borne positive (+) du voltmètre est marquée H1 et l'autre est marquée H2 . Quant aux bornes à basse tension, celle qui est reliée au pôle positif (+) de la pile est marquée X1 et l'autre est marquée X2 .
Figure 30-39
30 .19
Prises au primaire d'un transformateur et tableau donnant le réglage de la tension .
Réglage de la tension ; transformateur à rapport variable
À cause des chutes de tension dans les lignes de distribution, la tension sur une partie du réseau est parfois constamment inférieure à la tension nominale . Par exemple, un transformateur ayant un rapport de transformation de 2400 à 120 V peut être branché sur une ligne de distribution dont la tension n'est que de 2000 V au lieu de 2400 V. Dans ces conditions, la tension recueillie au secondaire n'est plus que de 100 V . Si la charge est constituée de lampes à incandescence, il en résulte une diminution de l'intensité d'éclairage ; si la charge est formée d'éléments chauffants, la puissance dissipée dans ces appareils est fortement réduite . Enfin, si la charge est composée de moteurs, leur démarrage peut être long et difficile . Pour remédier à ces inconvénients, on dispose des prises de réglage sur l'enroulement primaire des transformateurs . Par exemple, dans le cas de la Fig . 30-39, ces prises permettent de modifier le rapport de transformation de façon à changer la tension secondaire de 4 1/2 %, 9 % ou 13 1/2 % . Elles permettent donc de garder la tension secondaire à sa valeur nominale même si la tension appliquée au primaire est de 4 1/2 %, 9 % ou 13 1/2 % plus faible que la tension nominale . Ainsi, pour le transformateur représenté à la Fig . 30-39, si la tension de ligne n'est que de 2076 V (13,5 % inférieure à la tension nominale de 2400 V) on peut utiliser la prise 5, c'est-à-dire les bornes 1 et 5 pour maintenir la tension secondaire à 120 V .
1-2
0
tension pr maire 2400 V
1-3
41/2
2292 V
120 V
1-4
9
2184 V
120 V
2076 V
120 V
prise H .T .
1-5
131/2
tension secondaire 120 V
Certains transformateurs sont conçus pour changer de prise automatiquement lorsque la tension secondaire s'écarte d'une valeur préétablie . Ces transformateurs régulateurs de tension peuvent maintenir la tension à ± 2 % quelles que soient les fluctuations de la tension primaire survenant durant la journée . 30 .20
Courbe de saturation et tension d'utilisation
Supposons que l'on augmente graduellement la tension Ep au primaire d'un transformateur, le secondaire étant ouvert. Le flux mutuel On, augmente proportionnellement à la tension, conformément à l'équation 30-3 . Par conséquent, le courant d'excitation I o augmente graduellement. Cependant, dès que l'acier commence à se saturer, la composante I n, doit augmenter brusquement afin de créer le flux requis . La Fig . 30-40 montre la courbe de saturation E vs I o d'un transformateur de 500 kVA, 15 kV/600 V, prise du côté de l'enroulement à haute tension . Tant que le flux mutuel est inférieur au coude de la courbe de saturation O-I de l'acier, le courant d'excitation reste faible et sensiblement proportionnel à la tension . Mais au-delà ce coude, le courant augmente brusquement . Cette condition anormale de fonctionnement provoque une augmentation modérée des pertes dans le fer, mais entraîne une très forte augmentation du courant d'excitation .
462
ÉLECTROTECHNIQUE
le flux est sinusoïdal . Lorsqu'on connaît la forme de la courbe d' hystérésis donnant la relation flux/courant du noyau (Fig . 30-40b), on peut déduire la forme d'onde du courant d'excitation . La marche à suivre est expliquée dans l'exemple encadré .
kV 20 18 16 E
On verra lors d'une étude des harmoniques (chapitre 40) que ce courant non sinusoïdal comprend une composante fondamentale sinusoïdale à 60 Hz plus des composantes sinusoïdales à des fréquences multiples de 60 Hz (harmoniques) . La composante fondamentale du courant contient une composante qui est en phase avec la tension . C'est cette composante du courant qui fournit les pertes dans le fer .
point normal de fonctionnement
14 12 10
courant nominal du transformateur = 33 A 8 6 4 2
o
0 0,5 1
2
4 5 3 courant d'excitation Io
6 A
Figure 30-40 Courbe de saturation d'un transformateur de 500 kVA, 15 kV/600 V, 60 Hz . Le courant d'excitation Io augmente brusquement dès que l'on dépasse la tension nominale de 15 kV .
On observe sur la Fig . 30-40 que le courant d'excitation est de 0,5 A alors que le courant de pleine charge est de 33 A . C'est dire qu'en régime normal, I,, représente seulement 0,5/33 = 1,5 % du courant nominal . La densité de flux crête dans les transformateurs est généralement comprise entre 1,5 T et 1,7 T, ce qui correspond approximativement au coude de la courbe de saturation . On peut appliquer sans problème une tension de 10 % supérieure à la tension nominale, mais si l'on doublait cette tension, le courant d'excitation excéderait le courant de pleine charge de l'enroulement . La relation non linéaire entre la tension et le courant d'excitation révèle que les impédances R m et Xm (Fig . 30-25) ne sont pas aussi constantes qu'on pourrait le croire . Alors que Rm demeure assez constante, Xm diminue rapidement lorsqu'on dépasse la densité de flux normale . Toutefois, en régime normal, les transformateurs fonctionnent près de leur tension nominale, si bien que l'on peut considérer que R m et Xm demeurent pratiquement constantes, même lorsque la charge varie . La non-linéarité de la courbe de saturation provoque une distorsion du courant d'excitation, même lorsque
30 .21 Pertes, rendement et capacité d'un transformateur Comme toute machine électrique, le transformateur occasionne des pertes de puissance . Ces pertes sont causées par : a) l'effet Joule dans les deux enroulements (section 29 .2) b) l'hystérésis et les courants de Foucault dans le fer (section 29 .3) Les pertes dans le transformateur se manifestent sous forme de chaleur et donnent lieu : 1) à une élévation de température 2) à une diminution de rendement Dans les conditions normales de fonctionnement, le rendement des transformateurs est très élevé ; il peut atteindre 99,5 % pour les transformateurs de grande puissance . La quantité de chaleur occasionnée par les pertes dans le fer dépend de la valeur maximale Om c du flux, laquelle dépend elle-même de la tension appliquée au primaire . D'autre part, la puissance dissipée en chaleur dans les enroulements dépend de l'intensité du courant qui les parcourt . Afin de maintenir la température du transformateur à une valeur acceptable, on est amené à limiter à la fois la tension qu'on lui applique et le courant qu'on en tire . C'est pour cette raison que la puissance nominale que peut débiter un transformateur est exprimée par le produit de la tension nominale et du courant nominal . Cependant, le résultat n'est pas exprimé en watts, car l'angle entre la tension et le courant peut prendre n'importe
463
TRANSFORMATEURS
Forme d'onde du courant d'excitation Un transformateur de 30 kVA, 120 V/24 V, 60 Hz possède un primaire de 45 spires . Lorsqu'il est alimenté par une source sinusoïdale de 120 V, il tire un courant d'excitation I o de 7,32 A efficace . En appliquant la formule (30-1), on trouve que le flux atteint une valeur crête de 10 mWb (Fig . 30-40a) . La courbe d'hystérésis du noyau montre les valeurs instantanées du flux 0 en fonction du courant d'excitation Io (Fig . 30-40b) . Donc, pour chaque valeur de 0 dans la Fig . 30-40a il existe, selon la Fig . 30-40 b, une valeur correspondante de I o .
En comptant les carreaux compris à l'intérieur de la courbe d'hystérésis, on trouve que la surface S est de 0,067 A-Wb . Par conséquent, les pertes dans le fer sont :
P =SNf = 0,067 x 45 x 60 = 181 W La valeur efficace de la composante du courant en phase avec la tension est : If = 181 W/120 V = 1,5 A La valeur efficace du courant magnétisant est : I,r, = i(7,32 2 - 1,5 2) = 7,16 A
e
Le tableau ci-dessous donne les valeurs du flux et du courant Io au cours d'un cycle de 360° . Il nous permet de tracer la forme d'onde du courant d'excitation (Fig . 30-40a) . On constate qu'il est fortement distorsionné, atteignant une valeur crête de 14 A .
. ..
..
Les pertes dans le fer sont données par l'expression
. ..
..
6
4
P =SNf
8
12
16
(30-16A)
où S = surface de la courbe d'hystérésis [A •W b] N = nombre de spires de l'enroulement f = fréquence de la source [Hz] La surface comprend les pertes par hystérésis ainsi que les pertes dues aux courants de Foucault .
0
angle
flux
degrés
mWb
0 12 24 37 53 90 127 143 156 168 180 192 204 217 233 270 307 323 336 348 360
0 2 4 6 8 10 8 6 4 2 0 -2 - 4 -6 - 8 - 10 -8 - 6 - 4 - 2 0
-4 6
%'
8
courant d'excitation (A)
lo(inst) A 2 2 2 2,48 6,32 14 3,76 -1,36 - 2 - 2 - 2 -2 - 2 -2,48 -6,32 -14 -3,76 1,36 2 2 2
Figure 30-40b Courbe d'hystérésis d'un transformateur .
200
o c d
Figure 30-40a Formes d'onde de la tension, du flux et du courant d'excitation d'un transformateur .
464
ÉLECTROTECHNIQUE
quelle valeur, selon la nature de la charge . Par consé-
Exemple 30-10
quent, la puissance nominale est donnée en voltampères (VA), en kilovoltampères (kVA) ou en
Un transformateur triphasé de 110 MVA, ' kV à
mégavoltampères (MVA) . L'échauffement d'un transformateur dépend donc de la puissance apparente qui
tes :
34,5 kV, 60 Hz, possède les caractéristiques suivan-
le traverse . Ainsi, un transformateur de 500 kVA de-
masse du noyau (acier type M-14 jauge #29) : 53,6 t
viendra aussi chaud en alimentant une charge résistive
masse totale du cuivre : 15,2 t (1 t = 1000 k`g)
de 500 kW qu'une charge capacitive de 500 kvar .
densité (le flux dans le noyau : 1,4 T
Les valeurs de la fréquence nominale, de la tension nominale et de l'intensité nominale des courants pri-
Calculer :
maire et secondaire sont inscrites sur la plaque signalétique ; ces valeurs ne doivent pas être dépassées sauf
densité de courant dans les enroulements : 2 A/mm2
a) les pertes dans le fer b) les pertes dans le cuivre à 75 "C
pour de courtes périodes .
c) le rendement du transformateur pour une charge
Exemple 30-9
de 110MW
Un transformateur (le 100 kVA a un rapport de transformation de 2400 à 600 volts .
d) le rendement pour une charge capacitive de 110 Mvar
a) Quelles sont les intensités nominales des cou-
Solution
rants? h) On applique une tension de 2000 volts seulement à l'enroulement haute tension du transformateur . Peut-on en tirer 100 kVA sans risquer de le faire
a) En se référant aux courbes de la Fig . 29-5, chapitre 29, on trouve: pertes massiques dans le fer à B = 1,4 T : 2,6 W/kg d'où les pertes totales dans le fer :
surchauffer?
Pf= 2,6 x 53 600 = 139 360 W = 139 kW
Solution a) Le courant nominal de l'enroulement de 2400 V est :
b) En utilisant l'équation 29-1, on calcule les pertes Joule comme suit :
1 _ S = 100 x 103 Ep
Résistivité du cuivre à 75 °C : = 41,7 A
2400
p = po (1 + a t)
Le courant nominal de l'enroulement de 600 V est :
J
_ S _ 100 x 103 ES
éq.10-2a
= 15,88 (1 + 0,00427 x 75) = 21,0 nLl'm Densité de courant = 2 A/mm 2 = 200 A/cm2
= 167 A
d'où les pertes massiques dans le cuivre:
600 J~ p
b) Il est vrai qu'en appliquant 2000 V seulement à
P me =
l'enroulement haute tension on réduit le flux dans
éq . 29-1
10 Ç
le noyau et, par suite, les pertes dans le fer ; cepen200 2
dant, on ne doit pas tirer du transformateur un cou-
x 21,0 = 9,45 W/kg 10 x 8890
rant excédant sa valeur nominale . La puissance maximale que l'on peut transformer sous cette tension réduite est donc : S = 2000 V x 41,7 A = 83,4 kVA
Les pertes totales dans les enroulements sont donc :
Pcu
= 9,45 x 15 200 = 143 640 W = 144 kW
TRANSFORMATEURS
465
c) Les pertes totales sont : Pf+ Pcu = 139 + 144 = 283 kW La puissance active débitée par le transformateur est: P2
= 110 MW = 110 000 kW
La puissance active fournie au transformateur est : P 1 = 110 000 + 283 = 110 283 kW d'où le rendement : 11 =
P2
Pl
=
110 000
= 0,9974 ou 99,74 %
110 283
d) Lorsque la charge est purement capacitive, la puissance active P2 débitée par le transformateur est nulle . Cependant, la puissance active fournie au transformateur est toujours 283 kW. Par conséquent : 17 = P2/P i = 0/283 = 0 ; le rendement est nul . Note : Les pertes supplémentaires engendrées dans les boulons, la cuve et dans les conducteurs de cuivre, à cause des flux de fuite, plus la puissance requise par les ventilateurs, peuvent augmenter de 10 % à 15 % les pertes totales calculées ci-dessus . Le rendement sera donc légèrement inférieur à celui que nous avons calculé .
Figure 30-41 Transformateur monophasé de 25 kVA, 600 V/240 V, 60 Hz, isolation classe 150 °C, pour usage intérieur, refroidi par circulation naturelle de l'air . Hauteur ; 600 mm ; largeur : 434 mm ; profondeur: 230 mm ; masse : 79,5 kg (Hammond) .
30 .22 Refroidissement des transformateurs Si l'on veut empêcher qu'un échauffement exagéré détériore les isolants d'un transformateur, il faut en assurer un refroidissement convenable . Dans les transformateurs de faible puissance et à basse tension, le refroidissement est assuré par la circulation naturelle de l'air environnant . L' enveloppe métallique de ces transformateurs est munie d'ouvertures permettant le libre passage de l'air (Fig . 30-4 1) . Si l'on désire un refroidissement plus énergique, on peut souffler de l'air à l'intérieur de l'enveloppe métallique à l'aide d'un ventilateur. Les transformateurs de distribution baignent dans une cuve contenant de l'huile minérale (Fig . 30-42) . L'huile assure le transport de la chaleur provenant du noyau et des enroulements jusqu'à la paroi de la cuve ; de là, la chaleur est ensuite cédée à l'air extérieur. De plus, l'huile assure un isolement meilleur que l'air et elle protège les enroulements contre l'humidité de l'air . L'humidité a pour effet d'accélérer l'oxydation des iso-
Figure 30-42 Groupe de deux transformateurs monophasés à l'huile ayant une capacité de 75 kVA, 14,4 kV/240 V, 60 Hz, 55 °C, impédance = 4,2 % . Les petits radiateurs augmentent la surface de dissipation des cuves afin d'améliorer le refroidissement .
466
ÉLECTROTECHNIQUE
lants soumis aux hautes tensions . La cuve est ordinairement refroidie par ventilation naturelle . La puissance des transformateurs de distribution est inférieure à 200 kVA . Pour les grandes puissances, on augmente la surface de rayonnement de la cuve en disposant des radiateurs autour de celle-ci (Fig . 30-43) . L'huile s'échauffe dans le transformateur, monte dans la cuve et circule de haut en bas dans les tubes extérieurs où elle se refroidit .
Figure 30-44 Transformateur triphasé de 1300 MVA, 24,5 kV/345 kV, 60 Hz . OFAF, 65 °C, impédance 11,5 % . Ce transformateur survolteur, installé à la centrale de génération nucléaire Cook à Bridgeman, Michigan, est un des plus gros jamais construits . Les pompes assurant la circulation d'huile sont visibles sous les ventilateurs (gracieuseté de Westinghouse) .
Figure 30-43 Transformateur de mise à la terre de 1,9 MVA, 26,4 kV, 60Hz . La capacité de ce transformateur est 25 fois plus grande que celle des transformateurs de la Fig . 30-42, mais il est encore refroidi par la circulation naturelle de l'air environnant . Remarquer toutefois que le radiateur est alors aussi volumineux que le transformateur lui-même .
Enfin, pour les transformateurs de plusieurs milliers de kVA, on facilite la dissipation de la chaleur en assurant la ventilation forcée des radiateurs eux-mêmes . De puissants ventilateurs, disposés autour des radiateurs, produisent les courants d'air nécessaires (Fig . 30-44) . Une autre méthode de refroidissement artificiel consiste à installer dans le bain d'huile un serpentin dans lequel circule un courant d'eau .
Certains transformateurs ont des capacités variables selon la méthode de refroidissement utilisée . Par exemple, un gros transformateur (Fig . 30-45) peut avoir trois puissances nominales différentes de 36 000/48 000/ 60 000 kVA selon qu'il est refroidi : (a) par la convection naturelle de l'air (36 000 kVA) . (b) par la ventilation forcée avec des ventilateurs extérieurs (48 000 kVA), ou (c) par la circulation forcée de l'huile au moyen de pompes, avec les ventilateurs en marche (60 000 kVA) . Ces méthodes de refroidissement élaborées restent économiques si l'on considère le coût élevé d'un gros transformateur dont le refroidissement serait assuré exclusivement par la circulation naturelle de l'air . Le mode de refroidissement est désigné par les symboles suivants . AA- transformateur à sec, circulation naturelle de l'air
TRANSFORMATEURS
467
OFAF - circulation forcée de l'huile (OF) et de l'air (AF) L'échauffement par résistance admis pour les transformateurs à l'huile est soit 55 °C soit 65 °C . On doit limiter l'échauffement à des valeurs basses pour empêcher la détérioration rapide de l'huile . Par contre, l'échauffement des transformateurs à sec peut s'élever jusqu'à que 180 °C, selon le type d'isolant utilisé . 30.23
Figure 30-45 Transformateur triphasé de 36/48/60 MVA, 225 kV/26,4 kV, ONAN/ONAF/OFAF, 60 Hz, impédance 7,4 % . La capacité variable de cet appareil dépend du mode de refroidissement utilisé . Le réservoir cylindrique permet l'expansion de l'huile lorsque la température augmente, tout en réduisant au minimum la surface de l'huile en contact avec l'air pour éviter l'oxydation . Autres détails: 37,7 t masse du noyau et des enroulements masse de la cuve et les accessoires masse de l'huile (44,8 m 3) masse totale
28,6 t 38,2 t 104,5 t
AFA - transformateur à sec, circulation forcée de l'air OA - transformateur à l'huile*, circulation naturelle de l'air OA/FA - transformateur à l'huile, circulation naturelle de l'air / circulation forcée de l'air OA/FA/FOA - transformateur à l'huile, circulation naturelle de l'air / circulation forcée de l'air / circulation forcée de l'huile et de l'air.
Application du système p .u . aux transformateurs Nous avons vu au chapitre 1 (sections 1 .35 à 1 .37) les principes d'utilisation du système de mesure relative, ou le système «per unit» (p .u .) . Dans le cas des transformateurs, on choisit deux grandeurs de base, soit la puissance nominale Sn et la tension nominale En du transformateur . Il s'ensuit que le courant de base et l'impédance de base sont respectivement I„ = Sn/En et Zn = En/II . Noter que En et In sont les valeurs nominales du côté primaire ou du côté secondaire . On peut aussi calculer l'impédance de base par la formule suivante : = En2
(30-17)
Zn Sn
où Zn = impédance de base du transformateur [S2] Sn = puissance nominale du transformateur [VA] En = tension nominale du primaire ou du secon-
daire [V] Comme les tensions primaire et secondaire sont habituellement différentes, le transformateur possède deux impédances de base : l'une pour le primaire, l'autre pour le secondaire . Nous les désignons respectivement par les symboles Znp et Zn, .
Exemple 30-11 Calculer les impédances (le base au pnniaire et au secondaire d'un transformateur de 250 kVA, 4160 V/480 V . 60 Hz .
Solution Les désignations suivantes sont aussi employées : ONAN - circulation naturelle de l'huile (ON) et de l'air (AN) ONAF - circulation forcée de l'air (AF) La lettre «O» désigne l'huile («oil») .
Impédance de base au primaire : Z
- Ep - 41602 np Sn
250000
= 69 S2
468
ÉLECTROTECHNIQUE
VALEURS TYPIQUES EN P.U . DES ÉLÉMENTS D'UN TRANSFORMATEUR
0,009 0,008 20 20 0,05
10
à à à à à
0,005 0,025 30 50 0,03
0,005 à 0,002 0,03 à 0,08 30 à 50 100 à 500 0,01 à 0,001
Impédance de base au secondaire :
Exemple 30-12 _ Ez Zns
Sn
4802
= 0,92 Q2
250 000
30 .24 Impédances d'un transformateur exprimées en p.u . Il est particulièrement utile, pour fins de comparaison, de connaître la valeur relative des diverses impédances (résistances, réactances de fuite, etc .) d'un transformateur . Par définition, ces impédances en p .u . sont calculées en faisant le rapport entre la valeur réelle de l'impédance en ohms et l'impédance de base (Znp ou Zns ) correspondant à l'enroulement considéré . On donne au tableau 30-1 les valeurs typiques en p .u . pour des transformateurs ayant une capacité comprise entre 3 kVA et 100 MVA . On remarque que pour un paramètre donné (R 1 ou Xm , par exemple), la valeur en p .u . demeure du même ordre de grandeur, quelles que soient la puissance et les tensions primaire et secondaire . Cette constatation est surprenante, surtout si l'on considère qu'il existe une différence de taille aussi grande entre deux transformateurs de 3 kVA et 100 MVA qu'entre une mouche et un éléphant!
En utilisant l'information donnés au tableau 30-1, calculer l'ordre de grandeur des impédances d'un transïormateur de 250 kVA . 4160V/'480 V . 60 Hz. Solution
Calculons d'abord les impédances de base du primaire et du secondaire. D'après les valeurs trouvées à l'exemple 30-11, on a : Znp = 69 Q2
Z ns = 0,92 Q2
Calculons les valeurs réelles des impédances respectives en multipliant Z np et Zns par les valeurs en p.u . fournies dans le tableau 30-1 . On obtient : R 1 = R I(p . ,, .)
X
Znp = 0,005
X
69 £2
R2 = R 2( p u .) x Zns = 0,005 x 0,92 S2 _
Xf1
=
Xfl(p. ..)
X , = Xf2(p .u .)
x Z np = 0,025 x 69 f2 X
= 0,35 S2 = 4,6 mQ = 1,7 0
Zns = 0,025 x 0,92 £2 = 23 mQ2
Xm = Xm(p .n . ) x Znp = 30 x 69 £2
= 2,1 kQ
Rm = Rm(p .u . )
= 3,5 kQ2
X
Znp = 50 x 69 S2
TRANSFORMATEURS
469
Zns
(a)
a =
4160 8,67 480
a = 69 = 16,59
Figure 30-46 Circuit équivalent d'un transformateur de 250 kVA, 4160 V/480 V, 60 Hz (voir exemple 30-12) .
Le circuit équivalent de ce transformateur est donné à la Fig . 30-46 . Les valeurs réelles peuvent être situées dans une plage comprise entre 50 % et 200 % des valeurs calculées plus haut, car les valeurs fournies dans le tableau 30-1 sont approximatives . L'impédance d'un transformateur est habituellement exprimée en pour cent de l'impédance de base du primaire ou du secondaire . Le pourcentage d'impédance est toujours inscrit sur la plaque signalétique . Les impédances en p .u . et en pour cent sont liées par la relation :
4,16
Xp =127Q
a2z
(b)
2380 62
Figure 30-47 Voir exemple 30-13 .
De l'expression (30-18) on tire : Z% = Zp u
X
100
8 = Zp u x 100 Z% = Zp u X 100
(30-18)
Exemple 30-13 Un transformateur de 3000 kVA, 69 kV/4,16 kV, 60 Hz possède une impédance de 8 Y% . Calculer : a) la valeur de l'impédance rapportée au primaire b) la régulation de tension pour une charge résistive de. 2000 kW la valeur des courants si un court-circuit se produit au secondaire, la tension au primaire demeurant égale à 69 kV
donc
Zp u = 0,08
L' impédance totale du transformateur rapportée au primaire est donc : Zp = Zp „ x Znp = 0,08 x 1587 £2 = 127 S2 Comme la puissance du transformateur excède 250 kVA, la résistance des enroulements est négligeable comparée à la réactance de fuite . On peut donc écrire : Zp = Xp = 12752
Solution
Voir la Fig . 30-47a.
a) L'impédance de base du primaire est : b) L'impédance correspondant à une charge de 2000 kW au secondaire est :
En Znp _ S n
69 0002 3000000
= 1587 S2
Z = Es = P
41602 2000000
= 8,65 £2
470
ÉLECTROTECHNIQUE
Le rapport de transformation est : a
=
Ep _69 kV = 16,59 Es 4,16 kV
La valeur de Z rapportée au primaire est : a 2 Z = 16,59 x 8,65 = 2381 52 En se référant au circuit de la Fig . 30-47b, on obtient : 69000
69 000 V
1~ 127 2 + 2381
2384 S2
Ip =
= 28,95 A Il s'ensuit que : a ES = (a 2Z)1p = 2381 x 28,95 = 68 930 V d'où la tension E, sous charge : 68 930
68 930
a
16,59
ES
Un calcul rapide indique que les courants de court-circuit au primaire et au secondaire sont 12,5 fois plus grands que les courants nominaux de ces deux enroulements . Les pertes Joule sont donc 12,5 2 = 156 fois supérieures aux pertes à pleine charge. Le disjoncteur ou fusible protégeant le transformateur doit s'ouvrir très rapidement afin d'empêcher un échauffement excessif. Ces courants intenses produisent aussi des forces électro-magnétiques très fortes . Celles-ci sont également 156 fois plus grandes que normal, c'est pourquoi les enroulements doivent être solidement attachés (voir section 16 .6, chapitre 16) . 30.25 Mesure des impédances d'un transformateur On peut déterminer la valeur des impédances d'un transformateur au moyen d'un essai à vide et d'un essai en court-circuit. 1 . Essai à vide . Lors de l'essai à vide, la tension nominale est appliquée à un des enroulements (disons le primaire) et les valeurs de Ep, Es , I, et de la puissance active P m sont mesurées (Fig . 30-48) . Lors d'un essai à vide, les pertes Joule dans l'enroulement alimenté sont toujours négligeables . On peut donc écrire : 1 . Puissance apparente absorbée par le noyau :
= 4155 V
Sm=EpIo
À vide, la tension au secondaire est 4160 V
2 . Puissance réactive absorbée par le noyau :
La régulation de tension, en pour cent, est définie par : régulation =
Z -Pm
tension à vide - tension en char g e tension en charge 4160 - 4155
x 100 = 0,12 %
4155
fil
La régulation est donc excellente . c) Si un court-circuit se produit aux bornes du secondaire, le courant au primaire devient : Ip
_ Ep _ 69 000 V Xp
= 543 A
127 £2
Io (1__~) Pm 0 0
0
J L
C H,
U EP 0 0d ,J
Es 0 0
J
Le courant correspondant au secondaire est : I, = aIp = 16,59 x 543 A = 9008 A = 9 kA
Figure 30-48 Essai à vide et détermination de R m , Xm et du rapport de transformation a .
TRANSFORMATEURS
E2 3 . Valeur de Rm : Rm = p Pm
éq. 30-12
8 . Réactance de fuite totale du transformateur rapportée au primaire : Xp =
E2 4 . Valeur de Xm : Xm = p Qm
éq. 30-13
5 . Rapport de transformation : a = NI = Ep N2 ES 2 . Essai en court-circuit . Lors de l'essai en court-circuit, un des enroulements est mis en court-circuit (disons le secondaire) et une tension E, beaucoup plus petite que la tension nominale, est appliquée au primaire . Afin d'éviter de surchauffer les enroulements, la tension est augmentée graduellement de façon à obtenir un courant n'excédant pas le courant nominal . On mesure alors E, II et la puissance active PC (Fig . 30-49) .
0 0 O o
2 Rp
On peut aussi déterminer la valeur de Rp en mesurant les résistances Rt et R2 des enroulements primaire et secondaire . On a alors Rp = RI + a2R2 . Exemple 30-14 Soit un transformateur de 500 kVA, 69 kV/4160 V, 60 Hz . Lors d'un essai en court-circuit, les bornes Xl, X2 étant reliées, on a relevé les lectures suivantes : = 2400 W E 2600 V Calculer du côté HT : a) l'impédance totale du transformateur b) la résistance totale du transformateur e) la réactance de fuite totale du transformateur (1) le pourcentage d'impédance Calculer ensuite : e) l'impédance rapportée au côté BT f) le pourcentage d'impédance rapporté au côté BT Solution a) Impédance du transformateur vue du côté HT :
o O Z p = Ec = 2600 V = 650 SZ I, 4 A Figure 30-49 Essai en court-circuit et détermination de Rp, XP et ; . Ces lectures donnent l'information suivante : 6 . Impédance totale du transformateur rapportée au primaire :
b) Résistance du transformateur vue du côté HT : R p = PC = 2400 = 150 S2 2 2 IC 4 c) Réactance de fuite vue du côté HT :
Zp Ec = le-
RP = V6502 - 1502 = 632 e
7 . Résistance totale du transformateur rapportée au primaire : Pc Rp = Z Ic
471
d) Impédance de base du côté HT : z„ p - Ep - 69 0002 = 9522 e S 500 000
472
ÉLECTROTECHNIQUE
Solution
d'où l'impédance relative vue du côté HT:
a) Valeur de R m vue du côté BT : 650 £2
Zp = Zp .u, = = 0,068 p .u . Znp 9522 S2
Rm = E s
_ 41602
Pm
2100
= 8241 £2
et le pourcentage d'impédance : Valeur de Rm vue du côté HT : Z% = Zp u x 100 = 0,068 x 100
= 6,8 %
Rm = 8241 x
e) Impédance du transformateur vue du côté BT :
'69 000'2 1 4160 1 = 2,27 MS2 111
b) Valeur de If vue du côté BT : 4160 ZZ = Zp x 1 = 650 x (69 000 a2
2
= 2,36 S2
If _ Pr, = 2100W = 0,50 A E,
Valeur de Im vue du côté BT :
f) Impédance de base du côté BT :
2 2 -I =V242 -052
I. 2
ES _ 4160
2
= 2,35 A = 34,6 S2
Zns _
S
Valeur de X m vue du côté BT :
500 000
Pourcentage d'impédance vue du côté BT :
E, = 4160 V Xm _ -
Z, Z% =
x 100 = Z ns
4160 V
2 ' 36 il X
100
34,6 S2
Im
Valeur de X m rapportée au côté HT :
= 6,8 % Xm = 1770 x
En comparant les résultats obtenus en (d) et en (f), on constate que le pourcentage d'impédance est le même vu du côté HT ou du côté BT.
Exemple 30-15
= 1770 S2
2,35 A
(69 00012
= 487 kil
4160 Le circuit équivalent du transformateur est montré à la Fig . 30-50. Les bornes accessibles sont H1, H2, Xl et X2 . Selon que le transformateur fonctionne à vide ou
Un essai à vide sur le transformateur de 500 kVA, 69 kV/4160 V. décrit à l'exemple 30-14 donne les résultats suivants lorsque l'enroulement BT est excité : F_,=4160V
2 .4A
a= 16,59
=2100W
Calculer : a) les valeurs de R,,, vues du côté BT et HT b) les valeurs de X,„ vues du côté BT et HT Tracer le circuit équivalent du transformateur .
H2
c X2
Figure 30-50 Circuit équivalent d'un transformateur obtenu à partir des essais à vide et en court-circuit (voir exemples 30-14 et 30-15) .
473
TRANSFORMATEURS
-m
en charge, ce circuit équivalent peut être simplifié comme expliqué à la section 30 .15 .
30.26
Transformateurs en parallèle
Il est parfois nécessaire de brancher deux transformateurs en parallèle . C'est le cas, par exemple, lorsque la charge dépasse la puissance nominale d'un seul transformateur. Pour que deux transformateurs puissent fonctionner en parallèle, il faut d'abord que les deux aient le même rapport de transformation. De plus, il faut joindre les bornes de même polarité comme l'indique la Fig . 30-51 . Si l'on se trompe dans les connexions, l'équivalent d'un court-circuit franc est créé aux bornes de la source alimentant les deux transformateurs .
0
Figure 30-52a Circuit équivalent d'un transformateur alimentant une charge ZL .
a2ZL
1
o
•
OH, X1
A O
•
• H2 X2
2
Figure 30-52b Circuit équivalent où toutes les impédances sont rapportées au côté primaire .
Figure 30-51 Méthode de raccordement de deux transformateurs en parallèle .
Afin de calculer les courants circulant dans chaque transformateur, on doit déterminer le circuit équivalent des deux transformateurs en parallèle . Considérons d'abord le circuit équivalent d'un seul transformateur alimentant une charge ZL (Fig . 30-52a) . La tension au primaire est Ep , et l'impédance du transformateur rapportée au primaire est Z p 1 . Le rapport de transformation étant a, le circuit peut être simplifié comme indiqué à la Fig . 30-52b . Lorsqu'un deuxième transformateur d'impédance Z p2 est branché en parallèle avec le premier, le circuit équivalent prend la forme indiquée à la Fig . 30-53 . On constate que les impédances Z p l et Zp2 sont en parallèle et que le courant I de la charge se divise en deux parties, I l et 12 circulant dans les deux transformateurs . Étant donné que la chute de tension E13 est la même pour
2ZL
Figure 30-53 Circuit équivalent de deux transformateurs en parallèle, alimentant une charge ZL . Toutes les impédances sont rapportées au côté primaire .
chaque impédance, on peut écrire : il Zpi = 12
Zp2
soit Il
Zp2
12
Zp 1
(30-19)
Le rapport des courants dépend donc du rapport des impédances . Cependant, pour que l'échauffement soit le même pour chaque transformateur, les courants doi-
474
ÉLECTROTECHNIQUE
vent être proportionnels aux puissances nominales respectives, d'où la relation :
Courant nominal au primaire du transformateur de 100 kVA : In2 = 100 kVA/7200 V = 13,9 A
h
= I2
s.1
(30-20)
S„ 2
b) Impédance de la charge rapportée au primaire :
EZ
En combinant les équations 30-17, 30-19 et 30-20, on
Z
peut prouver que les transformateurs peuvent fournir
7200 2 = = 15752 330 000 Scharge
= P
chacun leur puissance nominale pour autant qu'ils possèdent le même pourcentage d'impédance .
c) Impédance de base du transformateur de 250 kVA
Dans le cas contraire, la capacité totale disponible est
rapportée au primaire :
inférieure à la somme des puissances nominales des deux transformateurs . Ce point est illustré par l'exem-
z Ep Znpt =
=
ple suivant .
S nt
72002
= 20752
250 000
Impédance du transformateur de 250 kVA rapportée
Exemple 30-16 Un transformateur de 100 kVA avant une impédance de 4 (/ est connecté en parallèle avec un autre trans-
au primaire : Zpi = Zl
formateur de 250 kVA dont Iimpédance est de 6'li (Fig. 30-54) . Le rapport (le transformation est de
(P .u) X Znpi
= 0,06 x 207 52 = 12,4 52
7200V/240 V et la charge est (le 330 LVA . Calculer :
Impédance de base du transformateur de 100 kVA rap-
a) le courant nominal au primaire de chaque transformateur
portée au primaire :
b) l'impédance de la charge rapportée au primaire c) l'impédance de chaque transformateur rapportée au primaire
~
7
_
EZ P
Znp2 Sn2
7200 2 _ = 518 52 100 000
L'impédance du transformateur de 100 kVA rapportée
d) le courant réel circulant dans le primaire de chaque transformateur
au primaire est : Zp2 = 0,04 X 518 S2 = 20,7 52 d) Le circuit équivalent des deux transformateurs et de
E
3
charge
Lp = 6% 240 V
250 kVA
330 kVA
3 7200 V
la charge est montré à la Fig . 30-55 . Le courant dans la charge est : = Scharge = 330 000 = 46 A
I1 Ep
7200
Il = 28,8 A
100 kVA
Figure 30-54 Raccordement des transformateurs (voir exemple 30-16) . 7200 V
157 4
Solution a) Courant nominal au primaire du transformateur de 250 kVA : 41 = 250 kVA/7200 V = 34,7 A
Figure 30-55 Circuit équivalent du montage de la Fig . 30-54 (voir exemple 30-16) .
TRANSFORMATEURS
Le courant Il porté par le transformateur de 250 kVA est : 20,7 S2 = 28,8 A Il = 46 A x 20,7 S2 + 12,4 S2 Le courant Il porté par le transformateur de 100 kVA est : 12 =46A-28,8A=17,2A Le transformateur de 100 kVA est surchargé du fait qu'il porte un courant de 17,2 A alors que son courant nominal est seulement de 13,9 A . Cela représente une surcharge de 24 % . Par contre, le transformateur de 250 kVA n'est pas surchargé car il porte un courant de 28,8 A alors que son courant nominal est de 34,7 A . Les transformateurs ne se partagent pas la charge en proportion de leur puissance nominale parce que leurs pourcentages d'impédance n'ont pas les mêmes valeurs . Le transformateur ayant le plus faible pourcentage d'impédance accapare une plus forte proportion de la charge . Notons que dans cet exemple, si les deux transformateurs avaient le même pourcentage d'impédance, ils pourraient alimenter une charge de 250 + 100 = 350 kVA, sans surchauffer alors qu'ils ne peuvent même pas porter une charge de 330 kVA . 30 .27 Résumé Le transformateur est un appareil très simple permettant de modifier la tension et le courant dans un circuit à courant alternatif . Dans sa forme la plus élémentaire, il est constitué de deux bobines couplées appelées primaire (côté source) et secondaire (côté charge) montées sur un noyau . Bien que le transformateur idéal n'existe pas, il est important d'en connaître les propriétés fondamentales car les transformateurs utilisés en pratique ont des propriétés très semblables . Pour le transformateur idéal, le rapport des tensions primaire et secondaire est égal au rapport des nombres de tours de ces deux enroulements . Les courants sont dans le rapport inverse . Le transformateur idéal change donc les valeurs des tensions et des courants, et «transforme» les impédances . Toutefois, la puissance active et la paissance réactive sont transportées sans aucune perte du primaire au secondaire . Pour les transformateurs utilisés en pratique, il faut considérer les pertes et le couplage imparfait entre les bobines . Le noyau de fer est le siège de pertes actives dues à l'hystérésis et aux courants de Foucault . De plus, k flux requis par le noyau exige un courant magnéti-
475
sant qui se traduit par une absorption de puisssance réactive . À cause de la résistance des enroulements, des pertes sont également dissipées dans le cuivre . Enfin, comme tout le flux créé par le primaire ne traverse pas complètement le secondaire, et vice versa, il faut considérer les flux de fuite qui se traduisent par des puissances réactives supplémentaires . L'échauffement causé par les pertes actives dissipées dans le noyau et les enroulements exigent l'utilisation de méthodes de refroidissement . Selon la puissance, on utilise le refroidissement par circulation naturelle ou forcée de l'air et/ou de l'huile . Malgré leurs imperfections, les transformateurs demeurent des appareils de rendement élevé . Si l'on prend en considération les différentes imperfections du transformateur, on peut établir un circuit équivalent pour le transformateur réel . Ce circuit comprend un transformateur idéal auquel on ajoute les résistances et les réactances de fuite des enroulements, ainsi qu'une branche de magnétisation . Ce circuit permet de calculer avec précision les pertes et les chutes de tension à l'intérieur du transformateur . Dans les calculs impliquant des transformateurs de grande puissance, on peut même simplifier le circuit équivalent à une simple réactance de fuite en série avec le transformateur idéal .
PROBLÈMES - CHAPITRE 30 Niveau pratique 30-1 Quelles sont les parties essentielles d'un transformateur? 30-2 a) À quoi sert le courant tiré par un transformateur fonctionnant à vide? b) Peut-on le négliger dans les calculs pratiques lorsque le transformateur est en charge? 30-3 Expliquer comment une tension est induite au secondaire d'un transformateur. Que veut dire flux mutuel? flux de fuite? 30-4 Si le secondaire d'un transformateur possède deux fois plus de spires que le primaire, la tension secondaire est-elle plus faible que la tension primaire? 30-5 Quelles sont les relations entre les tensions et les courants au primaire et au secondaire d'un transformateur idéal en charge?
4 76
ÉLECTROTECHNIQUE
30-6 Nommer les sources de pertes dans un trans-
formateur . 30-7 Quel enroulement alimente la charge : le pri-
maire ou le secondaire? 30-8 Nommer deux conditions essentielles pour bran-
Dans le problème 30-16, calculer la nouvelle valeur de la FMM et du flux crête si la tension de la source est réduite à 40 V . 30-17
30-18 On donne l'information suivante relativeme
au transformateur idéal illustré à la Fig . 30-8 :
cher deux transformateurs en parallèle .
N1 = 500 spires
Eg
quoi servent les prises de réglage des transformateurs?
N2 = 300 spires
Z = 12 S2 (résistif)
30-10 Nommer trois modes de refroidissement des
a) E2 12 1, b) la puissance fournie au primaire c) la puissance débitée par le secondaire d) l'impédance vue par la source
30-9
À
transformateurs . Comment les désigne-t-on? Une tension de 600 V est appliquée au primaire d'un transformateur possédant 1200 spires au primaire et 240 spires au secondaire. Calculer la valeur de la tension secondaire . 30-11
30-12 On branche l'enroulement basse tension d'un
transformateur à une source de tension de 2400 V . Quelle tension recueille-t-on sur l'enroulement haute tension sachant que les enroulements haute tension et basse tension possèdent respectivement 7500 spires et 300 spires . 30-13 Une ligne de distribution alimente sous une
tension de 6900 V un transformateur dont le primaire comporte 1500 spires et le secondaire 24 spires . Calculer: a) la tension secondaire b) les courants primaire et secondaire si une charge de 5 £2 est raccordée au secondaire 30-14 L'enroulement primaire d'un transformateur possède deux fois plus de spires que le secondaire . La tension primaire est de 220 V. Le secondaire est raccordé à une résistance de 5 S2 . Calculer la puissance débitée par le transformateur ainsi que les courants primaire et secondaire .
Un transformateur de 3000 kVA a un rapport de transformation de 60 kV à 2,4 kV. Calculer le courant nominal de chaque enroulement . 30-15
La bobine de la Fig . 30-2 possède 500 spires de résistance négligeable, et sa réactance est de 60 Q . Elle est raccordée à une source de 120 V, 60 Hz . Calculer : 30-16
a) la valeur efficace du courant I m b) la valeur crête de Im c) la valeur crête de la FMM développée par la bobine d) la valeur crête du flux 0
= 600 V
Calculer la valeur de:
Niveau intermédiaire 30-19 Dans le problème 30-11, calculer la valeur
maximale du flux dans le noyau si la fréquence est de 60 Hz . 30-20 Expliquer pourquoi le flux maximal dans un
transformateur doit demeurer constant lorsque la tension d'alimentation reste constante? Surie schéma de la Fig. 30-4, le primaire elle secondaire possèdent respectivement 200 spires et 600 spires. La tension d'alimentation a une valeur efficace de 120 V, 60 Hz ; le courant magnétisant I, n est de 3 A . On constate que 40 % du flux 0 créé par le primaire est accroché par le secondaire . Calculer : 30-21
a) la valeur efficace de la tension E2 b) la valeur crête du flux 0 c) Tracer le diagramme vectoriel montrant les vecteurs Eg, Im , E2, Om1 et off Dans la Fig . 30-36a, on applique une tension de 600 V aux bornes H, H2 et l'on mesure une tension de 80 V entre les bornes X 1 et X 2 . 30-22
a) Quelle tension mesure-t-on entre les bornes H 1 et X2? b) Quelle tension mesure-t-on entre les bornes H 2 X 2 si l'on relie les bornes H 1 X 1 ? a) Qu'arriverait-il si, dans la Fig . 30-51, on intervertissait les connexions aux bornes Hl et H 2 du transformateur B? 30-23
b) Le fonctionnement du groupe serait-il affecté si l'on intervertissait les bornes Hl H2 et les bornes Xl X 2 du transformateur B? Expliquer.
477
TRANSFORMATEURS
30-24 Expliquer pourquoi la tension au secondaire d'un transformateur diminue à mesure que la charge résistive augmente?
une source de 600 V. La charge résistive est de 100 S2 . Calculer la valeur maximale du flux dans le noyau sachant que la fréquence de la source est de 50 Hz .
30-25 Qu'entend-on par:
30-33 Plus les flux de fuite d'un transformateur sont importants, plus son impédance est élevée . Expliquer.
a) impédance d'un transformateur? b) pourcentage d'impédance d'un transformateur? 30-26 Un transformateur de 3000 kVA ayant un rapport de transformation de 60 kV à 24 kV a une impédance de 6 % . Quelle est la valeur de l'impédance (en ohms) ramenée : a) au primaire de 60 kV? b) au secondaire de 2,4 kV? c) Sachant que la tension au primaire est de 67,5 kV, calculer la valeur des courants dans chaque enroulement lors d'un court-circuit au secondaire . 30-27 On applique une tension de 2300 V entre les bornes 1 et 4 du transformateur montré à la Fig . 30-39 . a) Quelle est la tension entre les bornes Xt X2? b) Calculer la valeur des courants dans chaque enroulement lorsque l'on applique une charge de 12 kVA au secondaire . 30-28 Un transformateur de 66,7 MVA a un rendement de 99,3 % lorsqu'il alimente une charge dont le facteur de puissance est de 100 % . a) Calculer les pertes, en kilowatts dans ces circonstances . b) Calculer les pertes et le rendement de ce transformateur lorsqu'il alimente une charge de 66,7 MVA dont le facteur de puissance est de 80 % . 30-29 Le transformateur de la Fig . 30-45 alimente une charge de 44 MVA . Quel mode de refroidissement doit-on utiliser pour que l'on obtienne le rendement maximal sans dépasser l'échauffement permis? 30-30 Si l'on vidait l'huile du transformateur de la Fig . 30-42, sa capacité baisserait de 75 kVA à 40 kVA . Expliquer. 30-31 Si l'on plaçait le transformateur de la Fig . 3041 dans une cuve remplie d'huile, la température maximale de 150 °C devrait être abaissée à 95 °C . Expliquer. N veau avancé 30-32 Un transformateur idéal ayant 300 spires au primaire et 1200 spires au secondaire est alimenté par
30-34 Pour le transformateur de la Fig . 30-25, on fournit les renseignements suivants : R i = 18 S2
R 2 = 0,005 S2
Xfi = 40 S2
Xf2 = 0 .01 S2
El = 14,4 kV
E2 = 240 V
La capacité du transformateur est de 75 kVA. En négligeant la branche d'excitation, calculer : a) l'impédance du transformateur ramenée au primaire (14,4 kV) b) le pourcentage d'impédance du transformateur vu du côté primaire c) l'impédance du transformateur ramenée au secondaire (240 V) d) le pourcentage d'impédance vu du côté secondaire e) les pertes totales dans le cuivre à pleine charge f) les valeurs en p .u . de la résistance et de la réactance du transformateur 30-35 Pour déterminer l'impédance d'un transformateur monophasé de 10 MVA, 66 kV/7,2 kV, on utilise le montage de la Fig . 30-49 . On mesure les valeurs suivantes : E,=2640V
II =72A
PC =9,85 kW
Calculer : a) la résistance et la réactance de fuite rapportées au primaire b) l'impédance de base du côté primaire c) le pourcentage d'impédance du transformateur 30-36 Dans le problème 30-35, les pertes dans le fer sont de 35 kW . Calculer le rendement du transformateur à pleine charge à un FP de 100 % . 30-37 En se basant sur les données du transformateur de la Fig . 30-45, faire une estimation de la puissance du transformateur de la Fig . 30-44 en supposant que l'on arrête les ventilateurs et les pompes de circulation d'huile . 30-38 Un transformateur construit selon le schéma de la Fig . 30-21 aurait une très mauvaise régulation . Expliquer pourquoi et comment l'améliorer .
31 Transformateurs spéciaux
Dans les applications industrielles, on rencontre un grand nombre de transformateurs de construction spéciale . La plupart possèdent les propriétés de base que nous avons étudiées dans le chapitre précédent :
extérieurs (Fig . 31-1) . Le fil central (appelé neutre) est généralement mis à la terre . Nous verrons au chapitre 47 l'avantage d'un tel système de distribution à 120 V/240 V .
1 . La tension induite dans un enroulement est proportionnelle au nombre de spires ; 2 . Lorsque le transformateur est en charge, les ampèrestours du primaire sont égaux aux ampères-tours du secondaire ; 3 . Le courant d'excitation est négligeable par rapport à la valeur du courant de pleine charge du primaire . Cependant, lorsque le couplage entre le primaire et le secondaire est relativement faible, et lorsque le courant d'excitation est élevé, ces relations ne tiennent plus . Dans ces circonstances, on doit utiliser le circuit équivalent complet pour décrire le comportement du transformateur. Nous étudierons vers la fin de ce chapitre les propriétés de ce type de transformateur . Cette analyse est particulièrement utile car elle nous permettra de comprendre les circuits couplés quelconques .
Ces transformateurs sont souvent suspendus sur les poteaux de la compagnie d'électricité et chacun alimente un, deux et parfois jusqu'à une vingtaine de clients (Fig . 31-2) . L'appel de puissance imposé par les clients fait varier beaucoup la charge de ces transformateurs de distribution au cours de la journée . Dans les secteurs résidentiels, la crête de puissance a lieu le matin, et une autre se produit entre 5 h et 7 h du soir. Comme la durée de l'appel de puissance maximal n'excède jamais 2 heures, ces transformateurs fonctionnent la plupart du temps à faible charge . Étant donné que des dizaines de
H,
f
31 .1 Transformateur à secondaire double
Xi fX,~3 120 V
14,4 kV
N
240 V
~ X2 120 V
La plupart des transformateurs destinés à la distribution de l'énergie électrique chez les clients domiciliaires ont un enroulement à haute tension (le primaire) et un double enroulement à basse tension . Les deux secondaires sont raccordés en série de sorte que la tension entre chacun des fils extérieurs et le fil central est de 120 V, tandis qu'elle est de 240 V entre les deux fils
0
H2
o X4
y
Figure 31-1 Transformateur de distribution à secondaire double de 14,4 kV à 240/120 V. Le neutre N est habituellement mis à la terre .
478
TRANSFORMATEURS SPÉCIAUX
479
Figure 31-3 Autotransformateur ayant N1 spires entre les bornes A et B et N2 spires entre les bornes A et C.
Figure 31-2 Transformateur de distribution de 100 kVA, 14,4 kV à 240/120 V. Le primaire est branché entre la terre et une des trois phases au sommet du poteau . milliers de ces transformateurs sont branchés sur le réseau, on cherche à minimiser leurs pertes à vide . On atteint cet objectif en utilisant des noyaux en acier de très haute qualité . 31 .2 Autotransformateur On appelle autotransformateur, un transformateur composé d'un enroulement unique monté sur un noyau d'acier . La haute tension est appliquée à l'enroulement complet et la basse tension est obtenue entre une extrémité de l'enroulement et une prise intermédiaire . Soit un autotransformateur (Fig . 31-3) composé d'un enroulement AB de N1 spires monté sur un noyau de fer. L'enroulement est raccordé à une source de tension constante Eg . Le courant d'excitation crée un flux et, comme dans tout transformateur, ce flux demeure constant tant que Eg est constante .
ayant N1 et N2 spires . Cependant, comme les enroulements primaire A B et secondaire A C ont une borne commune A, ils ne sont plus isolés . Si l'on branche une charge aux bornes C et A, le courant 12 provoque la circulation d'un courant Il au primaire (Fig . 31-4) . La section BC de l'enroulement porte le courant Il . D'après la deuxième loi de Kirchhoff, appliquée au noeud A, la section CA porte un courant (I2 - Il) . De plus, la FMM créée par I1 doit être égale et opposée à celle produite par (12 - Il) . On a donc : il (N1 - N2) = (I2 - Il) N2 soit N1 Il = N2 12
(31-2)
Enfin, si l'on suppose que les pertes et le courant magnétisant sont négligeables, la puissance apparente absorbée par la charge doit être égale à celle fournie par la source . Par conséquent, E1 Il = E2 12
(31-3)
Supposons que l'on sorte une prise C entre les extrémités A et B de l'enroulement, et que N2 spires soient comprises entre les bornes A et C . Comme la tension induite est proportionnelle au nombre de spires, la tension entre ces bornes est : E2 = N2 x El N1
(31-1)
Cette relation est la même que celle obtenue avec un transformateur conventionnel à deux enroulements
Figure 31-4 Dans un autotransformateur on a N1I1 = N2I2 et E1I1 = E2I2 .
ÉLECTROTECHNIQUE
480
On constate que les équations (31-1), (31-2) et (31-3) sont identiques à celles obtenues avec un transformateur conventionnel ayant un rapport de transformation N t 1N2 . Cependant, dans un autotransformateur, l'enroulement secondaire fait partie de l'enroulement primaire . Il s'ensuit qu'un autotransformateur est plus petit, moins lourd et moins coûteux qu'un transformateur conventionnel de même puisance . Cette économie devient particulièrement importante lorsque le rapport de transformation E t1E2 se situe entre 0,5 et 2 . Par contre, l'absence d'isolation entre la haute tension et la basse tension constitue parfois un grand inconvénient. Les autotransformateurs servent au démarrage à tension réduite des moteurs, à la régulation de la tension des lignes de distribution et, en général, à la transformation de tensions de valeurs assez rapprochées . Exemple 31-1
Un autotransfrxmaleur ayant une prise de 80 % est connecté à une source de 300 V fFie . 31-5) . Une charge do 3600 W est branchée aux bornes du seeondairc . Calculer : a) la tension et le courant de la rharce h) Ics courants circulant dans les parsies BC CA de I enrouler ent C la Grosseur relatise des conducteurs des enroulements BC et CA Solution
a) Tension au secondaire : E2= 80 % x 300 = 240V
Courant dans la charge : I_ = P E2
= 3600 W = 15A 240 V
1
El
= 3600W
c) La section des conducteurs de la partie CA de l'enroulement peut être réduite au quart de celle de la partie BC, car le courant y est 4 fois plus petit . Cependant, comme la partie CA a 4 fois plus de spires, les deux parties de l'enroulement utilisent à peu près la même quantité de cuivre . 31 .3 Transformateur conventionnel monté en autotransformateur Un transformateur à deux enroulements peut être monté en autotransformateur ; il suffit de relier le secondaire en série avec le primaire . Selon le mode de connexion . l a tension secondaire peut s'ajouter à la tension primaire ou se soustraire de celle-ci . Considérons, par exemple, un transformateur ayant un rapport de transformation de 600 V à 120 V. Les bornes des enroulements et les marques de polarités sont montrées à la Fig . 31-6a . Lorsqu'il est connecté de la façon indiquée à la Fig . 31-6b, c'est-à-dire quand les bornes de même polarité sont reliées ensemble, la tension secondaire se soustrait de la tension primaire : E2 = 600 V - 120 V =480 V
b) Courant fourni par la source: I = P
Figure 31-5 Voir exemple 31-1 .
Par contre, si deux bornes de polarités contraires sont reliées ensemble, les deux tensions s'ajoutent (Fig . 316c) : E2 = 600 V + 120 V = 720 V
= 12A
300 V
Courant dans la partie BC de l'enroulement: IBC =It =12A Courant dans la partie CA : ICA =I2 -It = 15A-12A=3A
Lorsqu'on utilise des transformateurs conventionnels comme autotransformateurs, il est important de se souvenir des règles suivantes : 1 . Le courant dans un enroulement ne doit pas dépasser la valeur nominale 2 . La tension aux bornes d'un enroulement ne doit pas être supérieure à la valeur nominale 3 . Si le courant nominal circule dans un enroulement, le courant nominal circule automatiquement dans
TRANSFORMATEURS
SPÉCIAUX
481
600 V
120 V
(a) Figure 31-6 a . Transformateur conventionnel de 600 V/120 V. b. Transformateur raccordé en autotransformateur de c. Transformateur raccordé en autotransformateur de
(c)
(b)
600 V/480 V. 600 V/720 V.
l'autre . (Ceci découle de l'égalité des ampères-tours dans les deux enroulements .) 4- Si la tension nominale apparaît aux bornes d'un enroulement, la tension nominale correspondante apparaît automatiquement aux bornes de l'autre 5 . Si un courant Il entre par une borne H1 , un courant I, doit sortir par la borne X 1 et vice versa
La répartition des courants à pleine charge est indiquée sur le schéma de la Fig . 31-7b. On constate que : 1 . le courant de 100 A entre par la borne X 1 ; il faut donc que le courant de 20 A sorte par la borne H 1 . Il
Exemple 31-2 Le transformateur montré à la Fig . 31-6a a une puissance nominale de 12 kVA . Calculer la charge maximale qu'on peut en tirer s'il est monté en autotransformateur ayant un rapport de transformation de 600 V à 480 V.
(a)
Solution Le courant nominal dans l'enroulement de 600 V est : I = S = 12 000 VA = 20 A 1 E1 600 V
Le courant nominal dans l'enroulement de 120 V est : 12 000 VA = 100 A 12 = S = E2 120 V La Fig . 31-7a donne les connexions pour la transformation de 600 V à 480 V; le circuit est représenté schématiquement à la Fig . 31-7b. On remarque que la charge est raccordée directement en série avec l'enroulement de 120 V. Puisque cet enroulement peut débiter un courant de 100 A, la charge peut tirer une puissance maximale de : Scharge = E12 = 480 V x 100 A = 48 kVA
Figure 31-7 a . Autotransformateur de 600 V/480 V sous charge . b . Schéma montrant les courants dans le montage et dans les enroulements .
482
ÉLECTROTECHNIQUE
H,
s'ensuit qu'un courant de 80 A doit circuler dans la source ; 2 . La puissance fournie par la source est bien égale à celle absorbée par la charge :
H, 20 A
.--( '%_t X 100 A X2
Ssource = E 1 Il = 600 V X 80 A = 48 kVA
- 480 V -->
80 A
Cet exemple démontre que le transformateur conventionnel monté en autotransformateur peut alimenter une charge beaucoup plus grande que la capacité nominale du transformateur. Cependant, cela dépend du genre de connexion utilisé . Ainsi, supposons que l'on désire monter le transformateur de l'exemple précédent en autotransformateur ayant un rapport de 120 V à 480 V (Fig . 31-8) . Dans ce cas, la charge est en série avec l'enroulement H l H2 . Comme ce dernier peut supporter un courant maximal de 20 A, la puissance de la charge ne peut donc dépasser: Scharge = 480 V x 20 A = 9,6 kVA
soit une capacité inférieure à la capacité nominale du transformateur . Ce transformateur atteindra la même température dans les montages des Fig . 31-7 et 31-8 car les courants et les tensions supportés par les enroulements restent les mêmes dans les deux cas . 31 .4
charge F-
120 V
Figure 31-8 La charge maximale qu'un autotransformateur peut supporter dépend du rapport de transformation désiré .
ligne à 69 kV primaire C1 capacitance distribuée
C
voltmètre Oà150V
Figure 31-9 Montage d'un transformateur de tension utilisé pour mesurer la tension sur une ligne à 69 kV.
Transformateurs de tension
Les transformateurs de tension sont des transformateurs de haute précision dont le rapport de transformation varie très peu avec la charge . De plus, la tension secondaire est en phase avec la tension au primaire à une fraction de degré près . Les transformateurs de tension sont utilisés sur les lignes à haute tension pour alimenter des appareils de mesure (voltmètres, wattmètres, etc .) ou de protection (relais) . Ils servent (1) à isoler ces appareils de la haute tension et (2) à les alimenter à des tensions appropriées . Le rapport de transformation est choisi de façon que la tension secondaire soit d'une centaine de volts, ce qui permet l'utilisation d'instruments de fabrication courante (0-150 V) pour la mesure de tensions élevées (Fig . 31-9) . Le primaire des transformateurs de tension est branché en parallèle avec le circuit dont on veut connaître la tension . Leur construction diffère très peu de celle des transformateurs conventionnels . Cependant, leur puissance nominale est généralement faible (inférieure à 500 VA),
de sorte que le volume de l'isolation dépasse souvent celui du cuivre et de l'acier. Les transformateurs de tension installés sur les lignes HT sont toujours raccordés entre une ligne et le neutre. Cela élimine la nécessité d'utiliser deux grosses bornes en porcelaine car un côté de l'enroulement HT est raccordé à la terre . Par exemple, la Fig . 31-10 montre un transformateur utilisé sur une ligne à 138 kV Il comprend une grosse borne (traversée) en porcelaine afin d'isoler la ligne haute tension du boîtier qui est mis à la terre . Ce dernier renferme le transformateur proprement dit . On doit toujours connecter un des fils de l'enroulement secondaire à la masse, sans quoi on risque de prendre un choc électrique en touchant l'instrument de mesure ou un de ses fils de raccordement . En effet, bien que le secondaire paraisse isolé du primaire, la capacitance distribuée entre les deux enroulements effectue une connexion invisible qui peut produire au secondaire une tension très élevée par rapport au sol si l'on néglige de la raccorder à la masse (Fig . 31-9) .
TRANSFORMATEURS SPÉCIAUX
483
de ces transformateurs est monté en série avec la ligne dont on veut mesurer le courant (Fig . 31-11) . Ces transformateurs sont employés seulement pour fins de mesure et de protection ; donc leur capacité est faible et est normalement de l'ordre de 15 à 200 VA . Comme pour les transformateurs conventionnels, le rapport de transformation du courant est inversement proportionnel au rapport des nombres de spires du primaire et du secondaire . Un transformateur de courant ayant un rapport de 150 A/5 A a donc 30 fois plus de spires au secondaire qu'au primaire . Le courant nominal du secondaire est généralement de 5 A ou 1 A . L'emploi des transformateurs de courant sur les lignes à haute tension est indispensable pour des raisons de sécurité . Supposons que le courant dans une ligne à 69 kV soit de 30 A . Bien que ce courant puisse être mesuré directement par un ampèremètre de 0-50 A, personne ne pourrait approcher ou toucher l'instrument sans subir un choc électrique fatal . Il est essentiel que l'instrument soit isolé de la haute tension au moyen d'un transformateur, comme l'indique la Fig . 31-11 . L'isolation entre le primaire et le secondaire doit être suffisante pour éviter toute possibilité de court-circuit. La valeur de la tension maximale que cette isolation peut supporter est normalement inscrite sur la plaque signalétique . Figure 31-10 Transformateur de tension de 7000 VA, 80,5 kV, 50 Hz à 60 Hz . Une borne primaire est raccordée à une ligne H .T. et l'autre à la terre . Le secondaire comprend 2 enroulements de 115 V ayant chacun une prise à 66,4 V . Autres caractéristiques - précision : 0,3 % ; BIL : 650 kV ; hauteur totale : 2565 mm ; hauteur de la borne en porcelaine : 1880 mm ; huile : 250 litres ; masse : 740 kg (gracieuseté de Ferrant,) .
Comme dans le cas d'un transformateur de tension, on doit toujours raccorder un des fils secondaires à la masse . Afin d'assurer une bonne précision, les transformateurs de courant utilisés pour la mesure de l'énergie et de la
ligne à 69 kV primaire
I 31 .5
Transformateurs
de
charge
courant
Les transformateurs de courant sont des transformateurs de haute précision dont le rapport de transformation demeure essentiellement constant même lorsque la charge au secondaire varie . On atteint un haut niveau de précision en réduisant au minimum le courant d'excitation . Les transformateurs de courant sont utilisés pour ramener à une valeur facilement mesurable les courants intenses des lignes à haute ou à basse tension . Ils servent aussi à isoler les appareils de mesure ou de protection des lignes à haute tension . Le primaire
c=
_
secondaire
A masse 17* (mise à la terre)
ampèremètre Oà5A
Figure 31-11 Montage d'un transformateur de courant . Le primaire est raccordé en série avec la ligne à 69 kV.
484
ÉLECTROTECHNIQUE
puissance électrique sont construits avec beaucoup de soin . En particulier, le courant d'excitation doit être extrêmement petit, ce qui impose au constructeur une faible densité de flux dans le noyau, de l'ordre de 0,3 tesla seulement . Selon la capacité en volts-ampères du transformateur, la tension nominale au secondaire est de l'ordre de 4 V à 20 V. La Fig . 31-12 montre un transformateur de courant de 500 VA, 1000 A/5 A, conçu pour une ligne à 230 kV. La grosse traversée en porcelaine sert à isoler la ligne HT du sol . Le transformateur est monté à l'intérieur du boîtier situé en bas de la traversée . La partie supérieur de la traversée comprend deux bornes qui sont raccordées en série avec la ligne HT . Le courant circulant dans la ligne entre par une borne, descend le long de la traversée, circule dans l'enroulement primaire, remonte le long de la traversée et ressort par l'autre borne . Une installation habituelle de transformateurs de courant est illustrée à la Fig . 31-13 .
Figure 31-13 Trois transformateurs de courant montés à l'entrée d'un poste de transformation servent à mesurer les courants d'une ligne triphasée à 220 kV . Les trois colonnes situées à droite des transformateurs sont des parafoudres .
En guise de comparaison, le transformateur de 50 VA montré à la Fig . 31-14 est beaucoup plus petit, principalement parce qu'il est isolé pour une tension de 36 kV au lieu de 230 kV .
Figure 31-12 Transformateur de courant de 500 VA, 1000/5 A, isolé pour une tension de 230 kV . Les deux extrémités de l'enroulement H .T. passent à l'intérieur de la borne de porcelaine (gracieuseté de Westinghouse) .
Figure 31-14 Transformateur de 50 VA, 400 A/5 A, isolé pour une tension de 36 kV.
TRANSFORMATEURS SPÉCIAUX
485
200 spires
Exemple 31-3 Le transformateur de courant de la Fig . 31-14 a une
1 spire
I, = 600 A
capacité de 50 VA, 400A/5A, 36 kV, 60 Hz . Il est installé sur une ligne dont la tension liane à neutre est de 24,9 kV. Les ampèremètres, relais et fils
barre omnibus
de raccordement au secondaire ont une impédance
A 0 0
totale de 1 .2 S2 . Sachant que le courant dans la ligne de transport est de 280 A, calculer : a) la valeur du courant au secondaire b) la tension aux hornes (lu .secondaire
Figure 31-15 Montage d'un transformateur de courant toroïdal .
c) la chute de tension aux bornes du primaire possède N spires, le rapport de transformation est N. Ainsi, un transformateur ayant un rapport de 1000 A à
Solution a) Rapport de courant :
h _ 400 A
5 A a 200 spires sur le secondaire . Si l'on fait passer le conducteur primaire 4 fois à l'intérieur du noyau, le = 80
5A
12
Les transformateurs de courant toroïdaux sont simples
Rapport des spires : N,
1
N2
80
rapport de transformation est alors réduit à 250/5A .
et peu coûteux . Ils sont fréquemment utilisés sur les réseaux à moyenne tension (MT) et à basse tension (BT) . On les incorpore dans les traversées de disjonc-
Le courant au secondaire est donc :
teurs pour mesurer le courant dans la ligne (Fig . 3116) . Si le courant dépasse le seuil préétabli, le transformateur provoque l'ouverture du disjoncteur .
12=280A=80=3,5A Exemple 31-4 b) Tension aux bornes du secondaire :
E2
= IZ =
3,5 A x 1,2 £2 = 4,2 V
On utilise un transformateur de tension de 14 400/ 120 V et un transformateur de courant (le 75/5 A pour mesurer la tension et le courant dans une ligne
c1 Tension aux bornes du primaire :
Et =
E2
_
4,2 V
80
(le transport . Le voltmètre indique 100 V et l'ampèremètre 3 A .
= 0,0525 V
Calculer la tension et le courant de la ligne .
80
= 52,5 mV Cela représente une chute de tension minuscule comparée à la tension de 24,9 kV de la ligne .
31 .6 Transformateur de courant toroïdal Lorsque le courant à mesurer dépasse 100 A, on peut utiliser un transformateur de courant toroïdal . C'est un transformateur de construction simple car son noyau est un tore d'acier laminé autour duquel on bobine un enroulement secondaire . Le primaire est constitué par le simple conducteur de ligne traversant l'anneau sans k toucher (Fig . 31-15) . Ce conducteur est équivalent à une spire primaire entourant l'anneau . La position du conducteur primaire n'est pas importante, pour autant qu'il passe à l'intérieur de l'anneau . Si le secondaire
Transformateur entourant le conducteur H .T. Figure 31-16 Transformateur de courant toroïdal monté dans une borne de disjoncteur.
486
ÉLECTROTECHNIQUE
Solution
14 400 V
Tension sur la ligne = 100 V x
120 V = 12 000 V Courant dans la ligne = 3 A
75 A X
= 45 A
5A 31 .7 Danger lorsque le secondaire d'un transformateur de courant est ouvert On ne doit jamais ouvrir le secondaire d'un transformateur de courant lorsque le primaire est alimenté . S'il est nécessaire de retirer un instrument raccordé au secondaire, il faut auparavant mettre le secondaire en court-circuit et ensuite retirer l'instrument. Si par mégarde on ouvre le circuit secondaire, le courant dans le primaire continue à circuler inchangé, car celui-ci est déterminé par la charge du réseau . Le courant de ligne devient alors le courant d'excitation du transformateur. Comme celui-ci est 100 à 200 fois plus grand que la normale, il produit une densité de flux très élevée qui sature le noyau . En se référant à la Fig . 31-17, lorsque le courant II au primaire croît et décroît durant le premier demi-cycle, le flux croît et décroît également, mais il demeure au niveau de saturation 0s pour presque tout le demicycle. Le même phénomène se produit pour le cycle négatif qui suit. Lors de ces périodes de saturation, la
(a)
tension induite est très faible, car le flux change très peu . Cependant, durant les périodes non saturées, le flux change très vite, ce qui peut induire aux bornes du secondaire une tension crête de quelques milliers de volts, assez haute pour provoquer un choc électrique dangereux . La tension est d'autant plus élevée que la capacité en voltampères du transformateur est grande . 31 .8 Autotransformateur variable Quand on a besoin d'une tension variable de zéro à 600 V ou moins, on a souvent recours à un autotransformateur ayant une prise mobile (Fig . 31-18 et 31-19) . Le transformateur comprend un enroulement d'une seule couche bobiné sur un noyau d'acier toroïdal, et un balai de carbone mobile que l'on peut déplacer au moyen d'un bouton de réglage . Le balai glisse sur les spires, et à mesure que le point de contact se déplace, la tension E2 augmente proportionnellement au nombre de spires parcourues . Si la source de tension El est connectée sur une prise fixe de 87 %, on peut faire varier la tension E2 de zéro à 100/0,87 = 115 % de la tension E 1 . On préfère ce genre d'autotransformateur à un rhéostat car, pour une position donnée du balai, la tension E2 varie beaucoup moins avec la charge, et les pertes Joule sont minimes . Il faut toujours brancher un fusible ou un disjoncteur en série avec la ligne qui alimente la charge afin que le courant 12 n'excède jamais la valeur nominale de
M
(b)
Figure 31-17 a. Courant et flux au primaire d'un transformateur de courant dont le secondaire est ouvert ; b . Forme d'onde de la tension induite au secondaire .
Figure 31-18 Vue en coupe d'un autotransformateur variable montrant (1) noyau de fer toroïdal ; (2) enroulement ; (3) balai mobile (gracieuseté dAmerican Superior) .
TRANSFORMATEURS SPÉCIAUX
487
Figure 31-19 Diagramme schématique d'un autotransformateur variable alimentant une charge .
l'autotransformateur. Sans ce fusible, on risquerait de brûler les spires entre le balai et le point N (Fig . 31-19) lorsque E2 est faible et que la charge est en court-circuit . La Fig . 31-20 montre un autotransformateur variable motorisé .
31 .9 Transformateurs à haute impédance Il existe plusieurs applications où l'on doit limiter le courant d'un transformateur . Cette caractéristique est requise quand on veut protéger le transformateur sans utiliser un fusible ou un disjoncteur, ou lorsque le secondaire est effectivement en court-circuit en marche normale . On peut limiter le courant en plaçant une résistance ou une réactance en série avec le primaire ou le secondaire d'un transformateur conventionnel . Cependant, il est souvent plus convenable et plus économique d'inclure cette réactance dans le transformateur même, en disposant les enroulements de telle façon que le couplage soit lâche . Ce type de construction permet d'obtenir un transformateur possédant des flux de fuite considérables et, par conséquent, une impédance élevée . Parmi ces transformateurs on retrouve les transformateurs alimentant les jouets, les transformateurs de soudage à l'arc, les transformateurs pour enseignes au néon, les transformateurs de brûleurs à l'huile, les transformateurs pour lampes fluorescentes et enfin les énormes transformateurs alimentant les fours à arc .
Figure 31-20 Autotransformateur de 200 A, 0 à 240 V, 50 à 60 Hz, composé de 8 unités de 50 A, 120 V connectées en sérieparallèle . Cette unité motorisée permet de faire passer la tension de zéro à 240 V en 5 secondes . Dimensions : 400 mm x 1500 mm (gracieuseté dAmerican Superior) .
Un transformateur alimentant un jouet est souvent mis en court-circuit par inadvertance et il ne serait ni pratique ni sécuritaire de le protéger par un fusible . On se fie alors à sa haute impédance pour limiter le courant afin qu'il ne surchauffe pas dans des conditions d'utilisation anormales . Les mêmes remarques s'appliquent à certains transformateurs de sonnette utilisés dans les domiciles . Les arcs électriques et les décharges dans les gaz possèdent une caractéristique EII de pente négative, c'està-dire que la tension diminue à mesure que le courant
488
ÉLECTROTECHNIQUE
augmente . Ce genre de charge est instable . Pour maintenir un courant et un arc stables, on est obligé d'ajouter une impédance en série avec la charge . Il est souvent plus simple d'utiliser un transformateur à haute impédance . Les transformateurs qui alimentent les lampes à décharge haute densité, telles que les lampes au mercure et les lampes à halogénure de métal sont de ce type . La Fig . 31-21 montre la construction d'un transformateur pour enseigne lumineuse . Le primaire, alimenté à 240 V, induit une tension de 7500 V dans chacun des enroulements secondaires S raccordés en série . À cause des flux de fuite oa, Ob, 0, considérables, la tension secondaire s'écrase à mesure que le courant de charge augmente . Ainsi, lorsque l'arc est amorcé, le secondaire est en court-circuit, mais le courant ne dépasse
pas 30 mA . En régime normal, le courant est de 15 mA sous une tension de 15 kV. Ces transformateurs possèdent des capacités comprises entre 50 VA et 1500 VA et la tension secondaire est disponible entre 2 kV et 20 kV. Les transformateurs de brûleurs à l'huile possèdent essentiellement les mêmes caractéristiques que les transformateurs pour enseignes lumineuses . Une tension secondaire de 10 kV environ produit un arc entre deux électrodes situées au-dessous du jet d'huile vaporisée et qui assurent ainsi son ignition . La fonte des métaux se fait parfois dans la chaleur créée par un arc électrique à basse tension qui brûle entre deux électrodes en carbone (Fig . 31-22) . La capacité de ces transformateurs varie d'une centaine de kVA à 50 MVA . Dans le cas des grosses capacités, la réactance de la boucle formée par les conducteurs du secondaire suffit à limiter le courant . Les transformateurs utilisés pour la soudure à arc possèdent aussi une grande réactance de fuite afin de stabiliser l'arc durant la soudure . La tension à circuit ouvert est de l'ordre de 70 V, ce qui favorise l'amorçage de l'arc lorsque l'électrode touche la pièce à soudez Dès que l'arc s'établit, la tension baisse à environ 15 V. selon la longueur de l'arc et l'intensité du courant.
(a)
(b) yN P
Enfin, citons comme autre exemple de transformateur à haute impédance les énormes unités triphasées de certains types de compensateurs statiques qui absorbent la puissance réactive des lignes de transport. Ces trans-
0240 VO
Figure 31-21 a . Construction d'un transformateur pour enseigne lumineuse ; b . Circuit du transformateur ; c . Caractéristique de la tension en fonction du courant .
Figure 31-22 Four à arc triphasé à l'usine Sambre et Meuse de Feignies, France (photo gracieuseté de Desmarez-Cléside) .
489
TRANSFORMATEURS SPÉCIAUX
formateurs sont conçus spécialement pour créer des flux de fuites : par conséquent le couplage entre le primaire et le secondaire est lâche . Les trois enroulements primaires sont raccordés sur la ligne HT (généralement entre 230 kV et 765 kV) . Les enroulements secondaires (généralement 5 à 20 kV) sont connectés à un ensemble d'interrupteurs électroniques (valves) dont l'ouverture et la fermeture sont pilotées par un système de commande (Fig . 31-23) . Le système de commande contrôle ainsi l'intensité des courants Ia, lb, I, ce qui fait varier le flux de fuite et, par conséquent, la puissance réactive absorbée par le transformateur. L'emploi des compensateurs statiques sera expliqué au chapitres 46 et 50 .
acier liquide
source à c .a .
i
enroulement primaire
o o o ` ~, _ 1
1_1
courants de Foucault
bac
Figure 31-24 Four à creuset . Le flux produit des courants de Foucault dans l'acier fondu . Le condensateur fournit la puissance réactive absorbée par la bobine .
0
31 .10 Transformateurs pour fours à induction Les fours à induction de grande puissance utilisent le principe du transformateur pour produire de l'acier de haute qualité et d'autres alliages . On peut comprendre le principe de l'induction en se référant à la Fig . 31-24 . Une tension alternative dont la fréquence est de l'ordre de 500 Hz est appliquée à une bobine qui entoure un grand bac contenant de l'acier liquide . La bobine agit comme primaire et l'acier fondu constitue le
ligne triphasée à 230 kV
Ces fours à induction, appelés fours à creuset, ont des capacités variant de 15 kVA à 40 MVA . La fréquence requise diminue à mesure que leur puissance augmente . Ainsi, lorsque la puissance dépasse environ 3000 kVA, on peut utiliser la fréquence du réseau, soit 50 ou 60 Hz . Le facteur de puissance d'un four à induction est très bas (de l'ordre de 20 %) car un gros courant magnétisant est requis pour établir le flux magnétique dans l'air et dans l'acier fondu . Comme la température de l'acier fondu est bien supérieure à celle du point de Curie, la perméabilité de l'acier est essentiellement la même que celle de l'air. Pour cette raison, ce genre de four est parfois appelé four à induction sans noyau .
1l
flux de fuite au primaire
enroulement tertiaire
Pour générer la puissance réactive requise on installe des condensateurs près du four .
flux de fuite au secondaire
commande
Figure 31-23 Réactance statique triphasée variable .
secondaire . L'acier agit en effet comme une spire en court-circuit, ce qui engendre des courants très intenses à l'intérieur de la masse liquide . Ce courant produit des pertes Joule qui gardent l'acier à l'état liquide et fondent l'acier en vrac lorsqu'il est ajouté au bain .
Un autre type de four utilise un transformateur possédant un noyau de fer qui entoure un canal rempli d'acier fondu, comme l'indique la Fig . 31-25 . Dans ce four, le canal est constitué d'un tuyau en céramique monté en dessous du bac de métal fondu . Le primaire du transformateur est excité par une source de 60 Hz et le courant secondaire 12 circule dans le canal et dans le bain, qui agissent comme une spire en court-circuit .
490
ÉLECTROTECHNIQUE
sions et des courants pour chacun des enroulements . Cependant, il est plus facile de faire le bilan des puissances active et réactive mises en jeu du côté secondaire . L' exemple suivant montre la procédure à suivre .
Figure 31-25 Four à induction à canal . Le primaire est refroidi à l'eau .
Le courant magnétisant est faible, car le flux circule dans un noyau de fer laminé . Par contre, le flux de fuite est considérable car le couplage entre la «spire» secondaire et le primaire est lâche . Néanmoins, le facteur de puissance est plus élevé que pour un four à creuset, et il est généralement compris entre 60 et 80 % . Par conséquent, la correction du facteur de puissance exige moins de condensateurs . Un transformateur pour four à induction fonctionne à une température ambiante très élevée . Pour cette raison, le primaire est composé de conducteurs creux dans lesquels on fait circuler de l'eau . Les fours à induction sont également utilisés pour la fonte de l'aluminium, du cuivre et d'autres métaux . La Fig . 31-26 montre une autre application du chauffage par induction.
31 .11
Transformateur à 3 enroulements
Dans certaines applications on a besoin d'un transformateur comportant deux enroulements secondaires au lieu d'un seul . Pour déterminer la valeur du courant primaire, on peut tracer le diagramme vectoriel des ten-
Figure 31-26 La photo ci-dessus illustre une étape de la construction de rotor d'un turbo-alternateur : il s'agit de dilater un noyau d'acier de 5 tonnes (frette de têtes de bobines) en le chauffant . Pour ce faire, on enroule à la main un bobinage composé d'un fi d'amiante ultra-flexible autour de l'anneau . Ce bobinage, alimenté par la source mobile de 35 kW, 2000 Hz visible à gauche, agit comme primaire, tandis que l'anneau d'acier agit comme secondaire en court-circuit . Le primaire produit un champ magnétique qui engendre des courants de Foucault dans l'anneau, portant sa température à 280 °C en l'espace de 3 heures . La dilatation qui en résulte permet de faire glisser la frette chaude sur une extrémité dd rotor où elle se rétrécit et se serre en refroidissant . Cetie méthode de chauffage par induction est plus propre et provoque un échauffement plus uniforme que toute autre méthode . La fréquence de 2 kHz permet de créer des courants de Foucault intenses avec relativement peu de spires au primaire (gracieuseté de ABB) .
491
TRANSFORMATEURS SPÉCIAUX
Exemple 31-5 Un transformateur de O0 MVA possède un primaire à 230 kV et deux secondaires da 124 kV et 17 kV respectivcment . Le secondaire ù 1_4kV a Lu le, nominale de 70 M VA, tandis que celui a 17 kV a une puissance nominale de 2O M\7\ . Lorsque le transformateur est en chagee on obtient les lectures suivantes aux deux secondaires (Fie . 31-27) : Secondaire (1 1 124 kV' nominale : tension lue : 123 kV
433 A H X FP = 80 % en retard
123 kV 810 A
227 kV
FP=10% en avance
18 kV H2 X4
charges Figure 31-27 Transformateur ayant deux enroulements secondaires (voir exemple 31-5) .
courant lu : 4 3 ? A facteur de puissance : 80
en retard
Puissance active débitée :
Secondaire 12) 17 kV nominale : tension Iue : 18 kV
P2
courant Iu : 810 A
= S2
x FP = 14,6 x 0, 10
= 1,5 MW
facteur de puissance : 10 , en a\ o nce Calculer le courant et le facteur de puissance au primaire, sachant que la tension de la source est de 227 kV .
Puissance réactive :
Q2
= v Sz
- Pz =14,6 2 - 1,52
= 14,5 Mvar Solution Considérons d'abord le secondaire 1 . Puissance apparente débitée :
Puisque le facteur de puissance est en avance, le secondaire reçoit 14,5 Mvar. Puissance active débitée par les deux secondaires :
S t = EI = 123 kV x 433 A Ps = P 1 + P2 = 42,6 + 1,5
= 53,3 MVA
44,1 MW Puissance active débitée : Puissance réactive débitée par les deux secondaires : P, = Si x FP = 53,3 kVA x 0,8
QS
= 42 .6 MW
= 17,3 Mvar
Puissance réactive débitée :
QI ='V
S -
P1 =
= QI + Q2 = 31,9 + (- 14,6)
53,3 2 - 42,62
Ces puissances doivent être fournies par la source . Par conséquent, la puissance apparente au primaire est :
= 31,9 Mvar Considérons maintenant le secondaire 2 . Puissance apparente :
s + QS =
Sp =
44,1 2
+
17,3 2
= 47,4 MVA Facteur de puissance au primaire :
S2 = EI = 18 kV x 810 A = 14,6 MVA
FP =
P
S
=
44,1
MW = 0,93 ou 93 % 47,4 MVA
492
ÉLECTROTECHNIQUE
Courant au primaire : I _ S _ 47,4 x 106 p E
= 209 A
227 000
En pratique, le courant primaire sera légèrement plus élevé que 209 A à cause des pertes dans le fer et dans le cuivre, et à cause de la puissance réactive associée au courant magnétisant et aux flux de fuites . Pour les mêmes raisons, le facteur de puissance sera légèrement plus faible que 93 % .
2 Figure 31-28 Circuit équivalent complet d'un transformateur .
31 .12
Transformateurs ayant un courant magnétisant important Jusqu'à présent nous avons fait des calculs sur les transformateurs conventionnels dont les réactances X m sont très élevées, alors que les réactances de fuite Xf1 et Xf2 sont très petites . Il suffit de consulter le tableau 30-1 (chapitre 30) pour se rendre compte de leurs amplitudes relatives. Il s'ensuit que le courant d'excitation est faible, de sorte qu'on peut le négliger lorsque le transformateur est en charge . Toutefois, nous avons vu qu'il existe des transformateurs spéciaux, comme ceux utilisés dans les fours à induction, dont le courant magnétisant et les flux de fuite sont très importants . Dans ces transformateurs, les réactances de fuite Xf1 , Xf2 sont beaucoup plus grandes que d'habitude, tandis que les réactances magnétisantes Xm sont beaucoup plus petites . Par conséquent, leurs valeurs relatives sont toutes du même ordre de grandeur.
Figure 31-29 Circuit équivalent simplifié lorsque les réactances de fuite et la réactance magnétisante sont du même ordre de grandeur.
31 .13 Modèle de transformateur spécial La Fig. 31-30 montre la construction d'un transformateur spécial dont le noyau et l'agencement des enroulements favorisent la création de flux de fuite et d'un courant magnétisant importants . La partie supérieure du noyau est séparée de la partie inférieure par trois entrefers, ayant des longueurs respectives de 8 mm. 12 mm et 3 mm. Les enroulements 1 et 2 possèdent respectivement 90 et 45 spires .
En se référant à la Fig . 31-28, c'est la performance de ce genre de transformateur que nous allons maintenant étudier. Dans cette étude, nous négligerons l'élément R m car son impédance est toujours très élevée par rapport à Xm . De même, nous ignorons la présence des résistances R 1 et R2 car leurs valeurs sont habituellement négligeables devant celles de Xf1 et Xf2. Le circuit équivalent prend donc la forme générale montrée à la Fig . 31-29. Comme toujours, le rectangle T représente un transformateur idéal . Pour mieux saisir les facteurs qui entrent en jeu, nous utiliserons un exemple numérique plutôt qu'un modèle théorique . Après avoir expliqué les principes de base, nous prendrons alors une approche plus générale .
8 mm
3 mm
mm
E
c 2
1
2
90 spires
45 spires 1
I
,3 3
7 4
Figure 31-30 Construction d'un transformateur produisant des flux de fuite et un courant magnétisant importants .
493
TRANSFORMATEURS SPÉCIAUX
Afin de déterminer le circuit équivalent, nous ferons trois essais et dans chaque cas nous analyserons les tensions, les courants et les flux . Alimentons donc les enroulements, à tour de rôle, avec une tension alternative ayant une fréquence de 60 Hz .
On constate que le flux mutuel est de 8 mWb, tandis que le flux de fuite est de 2 mWb . Il s'ensuit que le flux mutuel induit dans la bobine 1 une tension :
Essai 1 :
et que le flux de fuite y induit une tension :
E1 =0,8x240V=192V
Enroulement 1 alimenté; enroulement 2 ouvert
Lorsque l'enroulement 1 est alimenté par une source de 240 V, 60 Hz, l'enroulement 2 étant ouvert, on obtient les lectures suivantes (Fig . 31-31) : E 12 =240V
Il =8A
E34
Cela nous permet de déterminer la valeur de la réactance magnétisante et de la réactance de fuite du primaire . En effet:
=96V
Pour un transformateur conventionnel, avec un couplage presque parfait, on aurait obtenu E2 = 120 V car le rapport des spires est de 2 . Mais comme le couplage n'est pas parfait, la valeur de E2 n'est que 96 V. C'est dire qu'une fraction seulement du flux créé par la bobine 1 est captée par la bobine 2 . Cette fraction est 96 V/120 V = 0,8 . On dit que le coefficient de couplage k entre la bobine 1 et la bobine 2 est de 0,8, soit
Xm =
D'après l'équation 30-3, on trouve le flux créé par la bobine 1 E12
240
4,44 fN
4,44 x 60 x 90
~i
Efl 48 V Xfl = _ = 6 S2 Il 8 A Il reste à déterminer la valeur de Xf2 . Pour cela, on fait un deuxième essai . Enroulement 2 alimenté ; enroulement 1 ouvert
Lorsque l'enroulement 2 est alimenté par une source de 120 V, 60 Hz, l'enroulement 1 étant ouvert (Fig . 3132), on obtient les lectures suivantes : E34 =120V
= 10 mWb Comme le coefficient de couplage est de 0,8 seulement, 8 mWb des 10 mWb accrochent les spires de la bobine 2 . La distribution du flux est montrée à la Fig . 31-31 .
8
192 V = = 24 S2 Il 8 A
El
Essai 2:
k 12 = 0,8
=
=0,2x240V=48V
Ef1
12=12A
E12
=144V
Pour un transformateur conventionnel à couplage serré, on aurait obtenu E12 = (90 spires/45 spires) x 120 V = 240 V, au lieu de seulement 144 V . On en déduit que le
Wb
6
Wb
10 mWb
10 mWb 96 V
144 V
mWb
4
Wb
8A
3 E
1
2
1
2
90 spires
45 spires
90 spires
45 spires
12A
7 2
Figure 31-31 Essai à vide et lectures obtenues lorsque l'enroulement 1 est alimenté .
Figure 31-32 Essai à vide et lectures obtenues lorsque l'enroulement 2 est alimenté .
494
ÉLECTROTECHNIQUE
coefficient de couplage entre la bobine 2 et la bobine 1 est : 652
k 21
4 Q2
240
= 144 V = 0,6 240 V
D'autre part, on se souvient que k 12 = 0,8, ce qui démontre un point important : lorsque deux bobines 1 et 2 sont couplées, les coefficients de couplage k 12 et k21 peuvent être très différents .
Figure 31-33 Circuit équivalent du transformateur de la figure 31-30 .
Le flux créé par la bobine 2 est donné par :
02
E~4
120
4,44 fN2
4,44 x 60 x 45
=
10 mWb À cause de k21 , 60 % de ce flux, soit 6 mWb, est accroché par la bobine 1, et 40 % passe par la jambe centrale (Fig . 31-32) . La tension induite dans la bobine 2 par le flux de fuite est donc : Ef2 = 0,4 x 120 V = 48 V Par conséquent, la valeur de la réactance de fuite au secondaire est :
Figure 31-34 Essai en court-circuit et valeurs obtenues lorsque l'enroulement 1 est alimenté .
Ef1=IlXf1=10Ax652=60V Il s'ensuit que la tension aux bornes de X m est : E1 =156-60=96V
48 V Xt2 = _ = 452 12 12 A E12
Cela nous permet de compléter le circuit équivalent du transformateur (Fig . 31-33) .
La tension induite au secondaire du transformateur idéal T est donc : E2
=96V=2=48V
Ce qui donne une réactance de fuite :
Essai 3: Enroulement 1 alimenté ; enroulement 2 en court-circuit
X
Nous avons réussi à déterminer le circuit équivalent du transformateur au moyen de deux essais à vide . Toutefois, on aurait pu parvenir aux mêmes résultats au moyen d'un essai à vide et d'un essai en court-circuit, comme dans le cas d'un transformateur conventionnel . Ainsi, après avoir fait l'essai 1, supposons qu'on applique une tension de 156 V à l'enroulement 1, la bobine 2 étant en court-circuit . On obtient les lectures suivantes : E12 =156V
Il =10A 1 2 =12A
En se référant à la Fig . 31-34, la chute de tension dans l'impédance de 6 Q (déjà connue) est:
= Ef2 12
= 48 V = 4 52 12 A
La valeur de X f2 est la même que celle trouvée dans l'essai 2 . 31 .14 Analyse d'un transformateur spécial lorsque le rapport des nombres de spires est inconnu Dans la section précédente, nous avons déterminé le circuit équivalent d'un transformateur spécial dont le nombre de spires était connu . Cependant, il arrive souvent que le rapport N1 1N2 soit inconnu. Comment peuton, dans ces circonstances, trouver le circuit équivalent? On procède alors aux deux essais suivants .
TRANSFORMATEURS SPÉCIAUX
495
Essai 1 . Le transformateur fonctionnant à vide, on alimente un enroulement et on mesure les tensions EA(I) et EB(t) aux bornes des enroulements respectifs . L'indice (1) désigne l'essai 1 . On désigne parA l'enroulement ayant alors la tension la plus élevée . L'autre enroulement est désigné par B . Ces symboles A, B indiqueront les mêmes enroulements pour le reste de l'expérience . Le rapport de transformation apparent a1 =
EA(t) EB(p
est obligatoirement plus grand que 1 .
Figure 31-35 Essai à vide et lectures obtenues lorsque l'enroulement 1 - 2 est alimenté . Le rapport du nombre de spires est inconnu . Le rapport de transformation apparent est de 6 (voir exemple 31-6) .
On mesure aussi la valeur du courant qui circule dans l'enroulement alimenté . Essai 2 . On répète l'essai 1 en alimentant l'autre enroulement. On mesure les nouvelles valeurs de EA(2) (tension aux bornes de l'enroulement A) et EB (2) (tension aux bornes de l'enroulement B) . Le nouveau rapport de transformation apparent est : a2
= EA(2) EB(2)
Noter que le rapport a 2 peut être plus grand ou plus petit que 1 . On mesure aussi la valeur du courant dans l'enroulement alimenté . On peut prouver qu'il est possible de choisir tout rapport de transformation a compris entre a 1 et a 2 . On peut choisir celui qui nous convient le mieux . Par exemple, si a 1 est plus grand que 1 et a 2 plus petit que 1 on peut choisir a = 1 . (Lorsque a = 1, le circuit équivalent est plus facile à résoudre .)
Figure 31-36 Essai à vide et lectures obtenues lorsque l'enroulement 3 - 4 est alimenté. Le rapport de transformation apparent est de 14 (voir exemple 31-6) .
Comme la tension de 600 V est la plus élevée, on désigne l'enroulement 3,4 par le symbole A, l'autre par B. donc
ai =
EA(1) EB(1)
Par contre, si a 1 et a 2 sont tous deux plus grands que 1, on peut choisir un chiffre entier qui est plus ou moins proche de la valeur moyenne, soit : a =
100 V
Dans l'essai 2 (Fig . 31-36) on a : E 12 = 60 V
E34 = 840 V
a 1 + a2
2
donc
a 2 = EA(2) EB(2)
Exemple 31-6 Lors de deux essais u vide sur un transformateur spécial, on obtient le, rz,,ultau, indiqués par les Fig . 31-35 et 31-36 . I)étermincr le circuit équivalent du transformateur .
Solution Dans l'essai 1 (Fig . 31-35), on a : E1, = 100 V
= 600 V _ 6
E34 = 600 V
= 840 = 14
60
Le rapport de transformation peut donc avoir n'importe quelle valeur comprise entre 6 et 14 ; nous choisirons la valeur moyenne, soit : a _ at +a2 = 6+14
=10 2 2 Le circuit équivalent correspondant à ces deux essais est montré aux Fig . 31-37 et 31-38 .
496
ÉLECTROTECHNIQUE
Figure 31-37 Tensions et courants lorsque l'enroulement 1 - 2 est alimenté (exemple 31-6) .
840 V
Figure 31-38 Tensions et courants lorsque l'enroulement 3 - 4 est alimenté (exemple 31-6) .
Figure 31-39 Circuit équivalent du transformateur lorsqu'on choisit un rapport de transformation a = 10 .
Si l'on avait choisi une valeur de a autre que 10 (mais comprise entre 6 et 14), on aurait obtenu des valeurs différentes pour Xfl , Xf2 et Xm ,, . Toutefois, lorsque le transformateur est alimenté, ce nouveau circuit équivalent donnera exactement le même résultat que celui montré à la Fig . 31-39 . Par exemple, si on choisit a = 8 . on obtient le circuit de la Fig . 31-40 . Le lecteur aurait avantage à valider ce nouveau circuit en suivant la méthode que nous venons de décrire .
En se référant à la Fig . 31-37, il est évident que : E34
E 1 = 10
= 600 V
ai
= 60 V
10
donc = El = 60V
Xm -
Xn -
Ip
Figure 31-40 Circuit équivalent du transformateur lorsqu'on choisit un rapport de transformation a = 8 .
_ 6 S2
10 A
En - Eg - El - 100 V - 60 V Ip
I
P - 40 V
10 A
= 4 S2
1OA
En se référant maintenant à la Fig . 31-38, on trouve : E2
= 10 E12 = 10 x 60 = 600 V E334
X2
- E2
12
_
840 V - 600 V 1 A
= 240£2 Le circuit équivalent du transformateur est donné à la Fig . 31-39 .
31 .15
Circuit couplé généralisé
Considérons le transformateur de la Fig . 31-41, où deux enroulements sont couplés de manière très arbitraire . Il est impossible dans un tel montage de préciser le nombre de spires . Et pourtant, on peut déterminer expérimentalement les rapports de transformation EA(1)/EB(1) et EA(2)/EB(2) lorsque les enroulements 1, 2 et 3, 4 sont excités à vide, à tour de rôle . En mesurant les deux courants d'excitation, on peut alors appliquer la même méthode pour déterminer un rapport de spires a convenable, et dès lors définir un circuit équivalent . Cette méthodologie permet d'analyser des transformateurs très spéciaux .
TRANSFORMATEURS SPÉCIAUX
497
daire . Comme la grosseur des spires au primaire et au secondaire n'a pas été modifiée, il s'ensuit que les courants nominaux au primaire et au secondaire demeureront les mêmes, soit 0,3 A et 1,5 A . Donc, la puissance nominale du transformateur est maintenant de 1200 V x 0,3 A = 360 VA, au lieu de 36 VA .
Figure 31-41 Montage de deux enroulements couplés de façon très arbitraire . On peut déterminer le circuit équivalent de ce «transformateur» même s'il est impossible de préciser le nombre de spires du primaire et du secondaire .
31 .16
Transformateurs à haute fréquence
Nous avons vu que la puissance nominale P d'un transformateur est exprimée par le produit de la tension nominale E l et du courant nominal I l au primaire, soit P =E l
h
(31-4)
Nous savons aussi que la tension primaire est donnée par l'expression E t = 4,44f NI Omax
éq . 30-1
où
E1
= tension nominale du primaire [V] f = fréquence d'opération [Hz] Ni = nombre de spires au primaire `Ymax = valeur crête du flux dans le noyau [Wb]
En combinant les équations (31-4) et (30-1) on obtient P = 4,44f Ni omax Il
(31-5)
La formule (31-5) révèle une propriété très intéressante du transformateur. En effet, pour un courant I l , un nombre de spires Ni et un flux crête Om,,, donnés, on peut augmenter la puissance nominale d'un transformateur en augmentant simplement sa fréquence d' opération f. Considérons, par exemple, un petit transformateur de 36 VA, 60 Hz ayant un rapport de transformation de 120 V à 24 V et ne pesant que 0,5 kg (Fig . 31-42) . Les courants nominaux au primaire et au secondaire sont respectivement de 0,3 A et 1,5 A . Si l'on fait fonctionner ce transformateur à une fréquence de 600 Hz au lieu de 60 Hz, tout en conservant le même flux dans le noyau, l'équation 30-1 indique que la tension que l'on peut appliquer au primaire augmente à 120 V x 600 Hz/60 Hz = 1200 V On recueille alors une tension de 240 V, au lieu de 24 V au secon-
Cependant, les tensions au primaire et au secondaire sont maintenant 10 fois supérieures aux tensions désirées . Pour ramener les tensions nominales à leurs valeurs originales, tout en conservant le même flux dans le noyau, il suffit de rebobiner les enroulements primaire et secondaire en utilisant 10 fois moins de spires (voir éq . 30-1) . Pour que les bobinages conservent les mêmes dimensions, on utilisera du fil de calibre 10 fois plus gros (Fig . 31-43) . Par conséquent, les courants nominaux au primaire et au secondaire augmentent respectivement à 3 A et 15 A . La puissance nominale du transformateur fonctionnant à 600 Hz est donc encore 120 V x 3 A = 360 VA . Une augmentation de la fréquence par un facteur 10 nous permet donc d'augmenter la puissance nominale par 10 . Il y a, cependant, un problème . En effet, lorsque le primaire de ce transformateur sera branché sur une source de 120 V, 600 Hz, il deviendra beaucoup trop chaud . Si l'on conserve le même noyau, cette haute fréquence d'opération (600 Hz) produira des pertes excessives dans le fer (pertes par hystérésis et par courants de Foucault) . Afin de corriger ce problème on peut : (a) réduire l'épaisseur des tôles (b) choisir un matériau magnétique spécial dont les pertes sont moindres (c) réduire la densité de flux dans le noyau Si l'on réussit à trouver un matériau de meilleure qualité produisant, avec la même densité de flux, les mêmes pertes qu'à 60 Hz, on obtiendra effectivement un transformateur de 360 VA, 600 Hz ayant le même échauffement que le transformateur original de 36 VA, 60 Hz . Toutefois, si l'on continue à augmenter la fréquence au delà de 600 Hz, on sera probablement obligé de réduire la densité de flux dans l'acier pour conserver des pertes acceptables . Pour un noyau de dimensions données, il en résultera une augmentation moindre de la puissance espérée aux très hautes fréquences . Il est maintenant évident que l'on peut réduire la grosseur et le poids d'un transformateur en augmentant sa fréquence d'opération . Les fréquences utilisées sont généralement comprises dans la gamme 400 Hz à
498
ÉLECTROTECHNIQUE
100 kHz . Les noyaux des transformateurs à très haute fréquence sont composés de ferrite ou de poudre de fer. Les transformateurs à haute fréquence trouvent une application dans les équipements où l'on a des contraintes de poids et d'espace . Dans les avions, par exemple, pour diminuer le poids des composantes électriques, on installe des réseaux de distribution dont la fréquence est de 400 Hz, au lieu de 60 Hz . Mais où peuton utiliser des fréquences de l'ordre de 100 kHz? Ces hautes fréquences sont utilisées dans des blocs d'alimentation spéciaux appelés alimentations à découpage ou « switching power supplies » . Dans les sections qui suivent, nous expliquerons brièvement l'utilité de ces appareils .
31 .17 Bloc d'alimentation conventionnel Supposons que nous désirions construire un bloc d'alimentation à courant continu de 12 V, 10 A à partir d'une source à c .a . de 120 V, 60 Hz . On postule, en plus, que la charge à c .c . doit être isolée de la source à 60 Hz . La Fig . 31-44 montre la solution traditionnelle . Le montage comprend un transformateur de 120 VA, 120 V/15 V à 60 Hz, un redresseur à diodes en pont, et un gros filtre LC utilisé pour réduire les ondulations de la tension continue . Comme le transformateur de 120 VA fonctionne à 60 Hz, il sera assez volumineux et pesant . Le filtre LC aussi sera lourd et encombrant car il doit supprimer les ondulations dont la fréquence fondamentale est relativement basse (120 Hz) . 31 .18 Alimentation à découpage
primaire : 600 spires fil N° 30 secondaire :120 spires fil N° 23
La Fig . 31-45 montre les composantes d'une alimentation à découpage qui génère la même tension à c .c_ de 12 V et qui peut débiter un courant de 10 A, soit la même puissance de 120 W, à partir de la source de 120 V, 60 Hz . Il comprend les éléments suivants
1-11 1--l
0,3 A
1,5 A
120 V 60 Hz
24 V 1,5 A
36 VA
2) un condensateur électrolytique qui lisse la tension continue ;
0,5 kg
Figure 31-42 Détails de construction d'un transformateur de 36 VA, 60 Hz ayant un rapport de transformation de 120 V/24 V .
I 1
3) un convertisseur électronique qui transforme la tension continue en tension alternative à 100 kHz . Ce convertisseur est petit et assez léger ; 4) un transformateur de 120 VA à 100 kHz qui abaisse la tension au secondaire à environ 15 V. Ce transformateur à noyau de ferrite est très petit car il fonctionne à 100 kHz ;
primaire : 60 spires, fil N° 20 secondaire :12 spires, fil N° 13
360 VA
1) un redresseur en pont qui convertit le courant alternatif en courant continu ;
5) un redresseur en pont transformant le c .a . à 100 kHz en c .c . Là encore, il s'agit d'un dispositif petit et léger;
24 V 15 A
0,5 kg
Figure 31-43 Détails de construction d'un transformateur de 360 VA, 600 Hz ayant un rapport de transformation de 120V/24 V . Bien qu'il soit 10 fois plus puissant, il possède les mêmes dimensions que le transformateur de la Fig . 31-42 . Toutefois, il possède un noyau spécial afin de garder les pertes dans le fer à un niveau acceptable .
6) un filtre qui lisse la tension continue . Étant donné que ce filtre est conçu pour supprimer des ondulations à haute fréquence (composante fondamentale de 200 kHz), il suffit d'installer un petit condensateur . Bien que le bloc d'alimentation de la Fig . 31-45 comprenne 6 éléments, alors que celui de la Fig . 31-44 n'en comporte que trois, il n'en demeure pas moins que le bloc d'alimentation à découpage sera beaucoup plus petit, moins lourd, moins coûteux et plus efficace . Ces réductions de poids et de dimensions, ainsi que l'amélioration du rendement, sont réalisables grâce au con-
TRANSFORMATEURS SPÉCIAUX
source 120 V 60 Hz
499
IR
9D
transformateur 120 VA 120 V/15 V 60 HZ
redresseur
Figure 31-44 Composantes d'un bloc d'alimentation à c .c . traditionnel de 12 V, 10 A . La sortie du bloc est isolée de la source à c .a. Ce bloc est volumineux et lourd .
transformateur à redresseur convertisseur haute fréquence redresseur filtre source 120 V 60 Hz
cc
charge 12V 10A
ca (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Figure 31-45 Composantes d'une alimentation à découpage dont les tensions et courants d'entrée et de sortie sont les mêmes que pour le montage de la Fig . 31-44 . Malgré ses dimensions réduites, ce bloc d'alimentation possède un meilleur rendement que le bloc d'alimentation traditionnel .
vertisseur électronique qui transforme la tension continue en tension alternative à 100 kHz . Le fonctionnement de ce genre de convertisseur est expliqué au chapitre 42 . Exemple 31-7
Le transformateur illustré à la Fig . 31-46 possède les spécifications suivantes : puissance
96 VA
tension primaire
120 V
tension >econdaire
24 \ a\ ce prie médiane
fréquence
60 Hz
Le courant nominal au primaire est donc 96 \A/ 120 V = 0 .~> A Le noyau e,st composé de tôles de type M 14 avant un épaisseur de 0 .35 min et doolt les pertes fer en fonction de 1,1 densité de fluy (induction) 1 60 Hz sont presenlecs à l t 29-5 . Le noyau a une largeur de R2 111111, une hauteur de 7011111) et une épaisseur de -i0 mon . Le nonlhre de spires des enroulements primaire et secondaire est tel que la densité
de flux crête cet de 1 .4'l'. En se référant à la Fig . 29-5, on constate que les pertes dans le fer à 60 Hz sont alors de 2,6 W/kg . On désire remplacer le noyau afin que le transformateur puisse fonctionner à une fréquence de 10 kHz avec le même échauffement . tout en conservant les mêmes enroulements . Afin de réduire les pertes dans le fer . on utilise des tôles de meilleure qualité ayant une épaisseur de 0 .1 mm . Les pertes dans le fer pour ce nouveau type de tôle sont décrites par I e\pression : )5 x 10- bf '-" B'-ss
(31-6)
où
pertes massiques dans le fer 1 W/kg1 fréquence [Hz B = densité crête de 11u\ T] Cette formule est valable pour les fréquences comprises entre 400 Hz et 20 kHz et pour les densités de flux inférieures à 0 .5 T. On désire calculer la puissance nominale du nouveau
500
ÉLECTROTECHNIQUE
densité de flux requise . La formule (31-6) nous permet d'écrire 2,6 = 395 x 10
6
x 10 000 1,59
X
B1 '88
éq 31-6
2,6 = 905 B" 88 soit
/188 B = (2,6/905) 1
d'où
B = 0,044 T
Nous constatons que lorsque la fréquence augmente de 60 Hz à 10 000 Hz il faut baisser la densité de flux de 1,4 T à 0,044 T afin que le noyau (et le transformateur) fonctionne à la même température . Cela représente une diminution de B par un facteur 32! La tension maximale que l'on peut appliquer au primaire du nouveau transformateur est donc :
Figure 31-46 Voir exemple 31-7 .
E l o khz =
donc
E60 Hz
x 10 000 HzI ( 60 HZ 1 x
Biokhz B6o Hz
(0,0441 Elo khz =-- 120 V x (167) x 1,4
soit a3
E10 khz = 630 V
Puisque l'enroulement primaire demeure inchangé, le courant qu'il peut porter est encore de 0,8 A . La puissance du nouveau transformateur est alors :
a y R
E d r
P 10 khz = 630 V x 0,8 A = 504 VA Nous avons donc réussi à augmenter la puissance du transformateur de plus de 5 fois en augmentant la fréquence de 60 Hz à 10 000 Hz, et en utilisant des tôles plus minces .
CL
induction B Figure 29-5 (duplication) Pertes massiques de diverse tôles utilisées dans les induits de machines et les noyaux de transformateurs .
transformateur fonctionnant à 10 kHz sachant que l'on impose pour le noyau le même échauffement qu'à 60 Hz . Solution
Comme les dimensions du noyau ne changent pas, sa masse ne change pas . Il faut donc, pour conserver le même échauffement qu'à 60 Hz, que les pertes dans le fer à 10 kHz se maintiennent à 2,6 W/kg . Calculons la
Toutefois, signalons un autre facteur important . On constate sur la Fig . 31-46 que les enroulements primaire et secondaire sont disposés côte à côte au lieu d'être placés l'un par dessus l'autre . Par conséquent, le couplage « lâche » entre ces deux bobinages produira une réactance de fuite relativement élevée, même à 60 Hz . Cela nous cause un problème encore plus important à 10 kHz, car lorsque la fréquence augmente de 60 Hz à 10 000 Hz, la réactance de fuite augmente dans les mêmes proportions, soit par un facteur de 167 . Cela aura un impact certain sur la régulation de tension à la charge . Il est donc souhaitable d'améliorer le couplage en rebobinant les enroulements primaire et secondaire afin qu'ils soient disposés l'un par dessus l'autre, tout en conservant les mêmes nombres de spires .
TRANSFORMATEURS SPÉCIAUX
501
En ce qui concerne les nouvelles résistances des enroulements primaire et secondaire, elles seront sensiblement les mêmes que celles de la Fig . 31-46 .
chauffage à induction ont un courant de magnétisation élevé et, de ce fait, consomment une grande puissance réactive qui doit être compensée par des condensateurs .
31 .19 Résumé
Nous avons vu aussi que quel que soit le couplage entre les enroulements il est toujours possible de trouver un circuit équivalent permettant de prévoir le comportement du transformateur alimentant n'importe quelle charge. On a aussi montré que l'on peut même trouver le circuit équivalent d'un circuit couplé quelconque dont on ne peut préciser les nombres de spires .
Dans ce chapitre, nous avons étudié les propriétés des transformateurs spéciaux, c'est-à-dire ceux dont la construction diffère du simple transformateur à deux enroulements présenté au chapitre précédent . Il existe de nombreux types de transformateurs spéciaux . Selon le couplage entre les enroulements, on pourrait résumer leurs propriétés en les regroupant en deux grandes catégories . Dans une première catégorie de transformateurs spéciaux, les propriétés de base du transformateur quasi idéal sont conservées : 1) la tension induite dans chaque enroulement est proportionnelle au nombre de spires, car les flux de fuites sont faibles et 2) la somme algébrique des forces magnétomotrices NI de tous les enroulements est nulle, ce qui revient à dire que le courant de magnétisation est négligeable . Dans cette catégorie on trouve les transformateurs de puissance comme le transformateur à secondaire double utilisé pour effectuer la distribution d'électricité dans les maisons, l'autotransformateur et les transformateurs à plusieurs enroulements . Pour des rapports de transformation voisins de l'unité (généralement compris entre 0,5 et 2) l'autotransformateur est moins coûteux que le transformateur conventionnel. Nous avons vu aussi comment monter un transformateur à deux enroulements isolés en autotransformateur abaisseur ou élévateur de tension . Les connexions doivent alors tenir compte des marques de polarité . Entrent aussi dans cette catégorie les transformateurs de mesure qui transforment de faibles puissances, soit le transformateur de courant et le transformateur de tension . Pour le transformateur de courant toroïdal le primaire est constitué d'une seule spire formée par le seul conducteur dont on veut mesurer le courant . Une deuxième catégorie de transformateurs spéciaux englobe les transformateurs à fuites élevées ou à courant de magnétisation important qui sont utilisés dans divers appareils et procédés industriels . Par exemple, les transformateurs utilisés pour l'alimentation des fours à arc, la soudure électrique et l'alimentation des lampes à gaz, ont des réactances de fuite élevées pour limiter le courant. Les transformateurs utilisés pour le
Finalement, nous avons montré les applications d'une propriété fondamentale du transformateur : si l'on maintient une densité de flux constante dans le noyau et une densité de courant constante dans les conducteurs, la puissance que l'on peut en tirer est proportionnelle à sa fréquence d'alimentation . C'est pourquoi l'utilisation d'une haute fréquence, comme le 400 Hz, permet de réduire la taille des transformateurs dans les réseaux embarqués à bord des avions . Dans les alimentations à découpage, l'utilisation de très hautes fréquences, de l'ordre de 100 kHz, combinée avec l'emploi d'aciers spéciaux, permet une réduction substantielle des dimensions tout en améliorant la qualité de la tension c .c . de sortie.
PROBLÈMES - CHAPITRE 31 Niveau pratique 31-1 Expliquer la différence entre l'autotransformateur et le transformateur conventionnel . 31-2 À quoi servent les transformateurs de tension? Les transformateurs de courant? 31-3 Expliquer pourquoi on ne doit pas ouvrir le circuit secondaire d'un transformateur de courant . 31-4 On doit toujours raccorder à la masse un côté de l'enroulement secondaire d'un transformateur de courant ou de tension . Pourquoi? 31-5 Un transformateur toroïdal a un rapport de 1500 A/5 A . a) Combien le secondaire possède-t-il de spires? b) Combien de fois doit-on passer le fil primaire dans le trou du transformateur afin que le rapport devienne 300 A/5 A?
502
ÉLECTROTECHNIQUE
31-6 En se référant à la Fig . 31-19, la tension de la source est de 120 V, et celle aux bornes de la charge est de 4 V. Le courant dans la charge est de 30 A . Calculer : a) la valeur du courant tiré de la source b) la valeur du courant circulant dans l'enroulement compris entre le balai et le point neutre Niveau intermédiaire
31-13 Dans la Fig . 31-17, le flux de saturation passe de +7 mWb à -7 mWb pendant un intervalle de 20° . Sachant que la fréquence est de 60 Hz et que le secondaire possède 50 spires, calculer la valeur crête de la tension induite . Niveau avancé 31-14 Soit un transformateur à 60 Hz représenté par le circuit équivalent de la Fig . 31-47, dans lequel : Xfl = 10 S2
31-7 Un transformateur monophasé de 100 kVA, 7,2 kV/600 V est raccordé en autotransformateur pour donner un rapport de transformation de 7,8 kV/7,2 kV . Quelle charge maximale peut-on appliquer au secondaire de 7,2 kV, la tension primaire étant de 7,8 kV?
Xf2 Xm
= 320 52 = 30 Ç
Ni = 200 spires N2 = 800 spires
31-8 Dans le problème 31-7, montrer comment on doit raccorder les bornes H 1 H2 et X 1 X2 . 31-9 On monte le transformateur du problème 31-7 en autotransformateur pour obtenir un rapport de 6,6 kV/600 V. a) La tension primaire étant de 6,6 kV, calculer la charge maximale que l'on peut appliquer du côté 600 V. b) Comment doit-on faire les connexions? 31-10 Un transformateur de courant de 2000 A/5 A, 60 Hz est installé sur une ligne HT ayant une tension de 132 kV ligne à neutre . Sachant que la capacitance entre les enroulements primaire et secondaire est de 250 pF, calculer le courant circulant dans le fil de mise à la terre. 31-11 En se référant au transformateur de la Fig . 311, une charge résistive de 10 kW est branchée entre les bornes X, et N et une charge inductive de 5 kvar est branchée entre les bornes X 4 et N . Calculer la valeur du courant dans l'enroulement à 14,4 kV. 31-12 Un four à induction alimenté par une source monophasée de 600 V, 400 Hz absorbe une puissance de 70 kW. Le courant dans l'enroulement primaire est de 210 A . Calculer : a) la puissance réactive absorbée par le four b) la capacitance du condensateur qui fournira toute la puissance réactive du four c) la valeur du courant fourni par la source dans ces circonstances
Figure 31-47 Voir problème 31-14 .
On applique une tension de 80 V, 60 Hz entre les bornes 1,2, les bornes 3,4 étant ouvertes . Calculer: a) b) c) d) e)
la la le la la
valeur du courant tiré de la source tension entre les bornes 3,4 coefficient de couplage k12 valeur du flux total produit par le primaire valeur du flux de fuite of ,
31-15 Dans le problème 31-14 on alimente les bornes 3,4 avec la même source de 80 V, 60 Hz . Calculer: a) la valeur du courant tiré de la source b) la tension qui apparaît entre les bornes 1,2 c) le coefficient de couplage k21 31-16 On désire monter le transformateur de 12 kVA de la Fig . 31-48 en autotransformateur ayant un rapport de 720 V/600 V. a) Quelles sont les bornes primaires et secondaires? b) Calculer la charge maximale que l'on peut appliquer au secondaire si la tension primaire est de 720 V.
503
TRANSFORMATEURS SPÉCIAUX
600 V
14,4 kV
o H2
X3
1
T 120 V N
240 V
X 2 120 V oi X4
120 V Figure 31-50 Voir problème 31-18 .
Figure 31-48 Voir problème 31-16 .
31-17 Le transformateur toroïdal de la Fig. 31-49 a un rapport de 1000 A/5 A . Calculer : a) la tension induite au secondaire si l'impédance de l'ampèremètre est de 0,15 S2 b) la chute de tension dans la barre omnibus portant le courant de 600 A c) Si l'on fait passer le conducteur primaire 4 fois à l'intérieur du noyau, quel est le nouveau rapport de transformation?
200 spires
Calculer : a) la valeur du courant tiré de la ligne à 14,4 kV b) les puissances active P et réactive Q tirées de la source de 14,4 kV c) le déphasage entre le courant et la tension au primaire du transformateur 31-19 Une ligne monophasée fournit une tension de 250 V et on désire la baisser temporairement à environ 208 V. Pour ce faire, on propose d'utiliser d'urgence le transformateur de 12 kVA de la Fig . 31-6a, monté en autotransformateur. a) Comment doit-on effectuer les connexions de la source, de la charge et du transformateur? b) Calculer la charge maximale que l'on peut appliquer sans faire surchauffer le transformateur.
A 0 0
Figure 31-49 Voir problème 31-17 .
31-20 Soit le transformateur de la Fig . 31-41 dont la résistance des enroulements et les pertes dans le fer sont négligeables . Lors de deux essais à vide, on obtient les résultats suivants : tension bornes
31-18 Le transformateur de la Fig . 31-50 alimente huit résidences, et la distribution des charges est comme suit : entre les bornes X I et N : 3 kW à un facteur de puissance de 80 %, en retard ; entre les bornes X4 et N : 5 kW à un facteur de puissance de 85 %, en retard ; entre les bornes X 1 et X4 : 30 kW à un facteur de puissance 90 %, en retard .
1,2 3,4
tension
appliquée courant
120 V 360 V
4 A 1 A
induite E34 = 240 V E12 = 60 V
a) Calculer les valeurs minimale et maximale du rapport de transformation ; b) Choisir une valeur appropriée pour le rapport de transformation ; c) Calculer les courants au primaire et au secondaire lorsqu'on applique une tension de 120 V aux bornes 1,2, les bornes 3,4 étant en court-circuit .
32 Transformateurs triphasés
La possibilité de créer un déphasage avec un système triphasé permet aussi de changer le nombre de phases . Par exemple, un système triphasé peut être converti en système diphasé . On pourrait même, au besoin, le convertir en un système à 5 phases .
Tout comme sur les lignes monophasées, on utilise des transformateurs pour élever ou abaisser la tension des lignes triphasées . Cette transformation peut être effectuée avec des transformateurs triphasés comportant trois enroulements primaires et trois enroulements secondaires, ou avec des montages spéciaux de transformateurs monophasés .
Pour comprendre le comportement de base d'un groupe de transformateurs triphasés, nous ferons les hypothèses suivantes :
Avant d'interconnecter les enroulements dans un montage triphasé, il est bien important d'en connaître la polarité car une erreur de connexion peut provoquer un court-circuit ou un déséquilibre des tensions .
1 . Les courants d'excitation sont négligeables ; 2 . Les résistances et réactances de fuite sont négligeables ; 3 . La puissance apparente à l'entrée du groupe est égale à la puissance apparente à la sortie .
Lorsqu'on utilise trois transformateurs monophasés pour transformer une tension triphasée, on peut raccorder les enroulements de diverses façons . Par exemple, les primaires peuvent être raccordés en triangle et les secondaires en étoile, ou vice versa. Il s'ensuit que le rapport de transformation entre la tension triphasée d'entrée et la tension de sortie dépend non seulement du rapport du nombre de spires, mais aussi de la manière dont les trois transformateurs sont raccordés .
Notons aussi que lorsqu'ils sont utilisés dans un groupe triphasé, les transformateurs monophasés conservent leurs propriétés monophasées . C'est dire que le rapport de transformation du courant et de tension, le flux dans le noyau et la valeur de l'impédance demeurent strictement inchangés . De plus, les tensions primaire et secondaire sont en phase, en tenant compte des marques de polarité .
Un groupe de transformateurs peut aussi produire un déphasage entre la tension triphasée d'entrée et la tension de sortie . La valeur du déphasage dépend du rapport de transformation et de la manière dont les primaires et secondaires sont interconnectés .
32.1 Montage triangle-triangle Les trois transformateurs P, Q et R de la Fig . 32-1 sont montés en triangle-triangle : la borne H, de chaque 504
TRANSFORMATEURS TRIPHASÉS
l'enroulement entre la borne A et la borne B se dirige dans le même sens que le vecteur EAB (Fig . 32-2) .
H l X1
a,
r la
•
2 X2•
Hi Xi H
Y- Hl X~ r H2 X2 -
505
-J
Figure 32-1 Montage triangle-triangle de trois transformateurs monophasés .
transformateur est reliée à la borne H2 du transformateur précédent ; il en est ainsi des bornes X 1 et X 2 . Les connexions sont effectuées conformément à la disposition physique à la Fig . 32-1 . Le diagramme schématique correspondant est donné à la Fig . 32-2 . Dans ce diagramme, on dispose les enroulements de façon à montrer à la fois les raccordements et le déphasage des tensions à leurs bornes . Ainsi, les enroulements secondaires sont dessinés de façon à être parallèles aux enroulements primaires avec lesquels ils sont couplés . De plus, si la source G produit des tensions triphasées EAB, EBC, ECA représentées sur le diagramme vectoriel, les enroulements primaires sont alors orientés de la même manière, phase par phase . Ainsi,
borne C 0 Figure 32-2 Diagramme schématique du montage triangle-triangle .
Puisque les tensions primaire et secondaire d'un même transformateur sont en phase, la tension de ligne E12 (au secondaire du transformateur P) est en phase avec la tension EAB (au primaire du même transformateur) . Il en est ainsi des tensions E23 et EBc , E31 et E CA . On constate que, dans ce montage, les tensions de ligne secondaires sont en phase avec les tensions de ligne primaires . Si on raccorde une charge équilibrée aux fils 1-2-3, les courants secondaires sont égaux, de même que les courants primaires . Comme pour tout montage en triangle, les courants de ligne primaires et secondaires valent respectivement 1,73 Ip et 1,73 Is , où Ip et IS sont les courants dans les enroulements primaires et secondaires (Fig . 32-2) . La capacité du groupe, en kVA, vaut trois fois la capacité d'un seul transformateur . Remarquons toutefois que, même si l'ensemble de trois transformateurs constitue un système triphasé, chaque transformateur, considéré séparément, se comporte comme s'il était placé dans un circuit monophasé . 32 .2
Montage triangle-étoile
Dans un montage triangle-étoile, le groupement des enroulements primaires des trois transformateurs est identique à celui de la Fig . 32-1 . Par contre, les bornes
borne 3 0
506
ÉLECTROTECHNIQUE
X2 des trois secondaires sont reliées ensemble pour créer un point neutre N (Fig . 32-3) . La tension primaire des transformateurs est évidemment égale à la tension entre les fils A, B et C, tandis que la tension entre les fils de ligne 1, 2 et 3 est égale à la tension secondaire de chaque transformateur, multipliée par 1,73 . Les valeurs relatives des courants sont indiquées à la Fig . 32-3b . Le montage triangle-étoile produit un déphasage de 30° entre les tensions de ligne primaires et secondaires . Ainsi, la tension secondaire E 12 est déphasée de 30° en avance sur la tension EAB du primaire . Si la charge n'est pas alimentée par une autre source, cela ne crée pas de problème, mais si le secondaire fait partie d'un autre réseau, ce déphasage peut ne pas être acceptable, même si le réseau impose les mêmes tensions .
Solution
Pour résoudre ce problème, nous allons encore considérer chaque phase séparément . La manière d'effee tuer les connexions est montrée à la Fig . 32-4 . a) La tension appliquée au primaire de chaque transi formateur est évidemment 13,2 kV. La tension induite dans les secondaires est donc 80 kV Les secondaires étant en étoile, la tension entre les f ils. de ligne 1, 2 et 3 vaut : E= 1,73 x 80 kV = 138 kV
b) Puisque la charge totale est de 90 MVA, chaque transformateur doit fournir 30 MVA . Courant Ip dans chaque enroulement primaire : Ip = S/E = 30 MVA/13,2 kV = 2273 A
Exemple 32-1 Trois transformateurs monophasés de 40 MVA, 13 .2 kV/80 kV sont raccordés en triangle-étoile sur une ligne triphasée à 13,2 kV . Une charge équilibrée de 90 MVA est appliquée au groupe . Calculer :
Courant IS dans chaque enroulement secondaire :
a) la tension de ligne du côté secondaire h) les courants de lime et les courants dans les enroulements
Courant de ligne au secondaire :
I, = 30 MVA/80 kV = 375 A Courant de ligne au primaire : I = 1,73 x 2273 = 3932 A
I = 375 A
02
(a)
(b)
EN2 10 E23 3
Figure 32-3 a . Montage triangle-étoile de trois transformateurs monophasés . b . Diagramme schématique du montage triangle-étoile . Noter que les tensions ligne-ligne au secondaire sont déphasées de 30° en avance sur les tensions ligne-ligne au primaire .
TRANSFORMATEURS TRIPHASÉS
A
507
3932 A
13,2 kV
3932 A Figure 32-4 Voir exemple 32-1 .
32 .3 Montage étoile-triangle
Les enroulements tertiaires sont raccordés en triangle .
Le calcul des tensions et des courants ainsi que le mode
Ils suppriment les tensions distorsionnées et, de plus,
de connexion pour un montage étoile-triangle sont les
ils servent souvent à alimenter des charges auxiliaires
mêmes que ceux du montage triangle-étoile ; il suffit d'intervertir les côtés primaire et secondaire .
dans le poste de transformation (Fig . 32-5) .
32 .5 Montage en triangle ouvert
32 .4 Montage étoile-étoile
On peut transformer les tensions d'un système tri-
La connexion étoile-étoile n'est jamais utilisée à moins
phasé en employant seulement deux transformateurs . Cette connexion est appelée montage en trian-
que le neutre du primaire soit relié au neutre de la source . En effet, lorsque les neutres ne sont pas reliés, les tensions entre les lignes et le neutre contiennent une forte troisième harmonique due à la non-linéarité
gle ouvert. Les connexions se font comme dans le montage triangle-triangle, mais en enlevant un transformateur (Fig . 32-6) .
de la courbe de saturation des noyaux . La distorsion
Un des avantages du montage triangle-triangle provient
qui en résulte produit des surtensions entre les lignes
justement du fait que si l'un des trois transformateurs
et le neutre car ces tensions possèdent une valeur crête
devient défectueux, les deux autres peuvent continuer à alimenter une partie de la charge . Dans les installa-
plus élevée que celle correspondant à une tension sinusoïdale.
tions de moyenne et de grande puissance, la connexion
Toutefois, cette connexion peut être utilisée sans rac-
en triangle ouvert est toujours provisoire, car la capa-
corder les neutres si les transformateurs possèdent un troisième enroulement appelé enroulement tertiaire .
cité totale du groupe est égale à seulement 86,6 % de la somme des capacités des deux transformateurs .
Figure 32-5 Connexion étoile-étoile avec enroulement tertiaire raccordé en triangle, afin d'éviter la distorsion de tension . Les tensions de ligne au secondaire sont en phase avec celles au primaire .
508
ÉLECTROTECHNIQUE
EAB
E12
Figure 32-6 a . Montage en triangle ouvert de deux transformateurs monophasés . b . Diagramme schématique d'un montage en triangle ouvert . Les tensions de ligne au secondaire sont en phase avec les tensions de ligne au primaire .
Exemple 32-2
32 .6
Deux transformateurs de 150 kVA, 7200 VV/600 V sont montés en triangle ouvert . Calculer la capacité maximale du groupe en kVA .
Un montage de trois transformateurs monophasés peut être remplacé par un seul transformateur triphasé (Fig . 32-7) .
Solution Même si la capacité de chaque transformateur est de 150 kVA, la capacité du groupe ne sera pas 300 kVA . En effet, le courant nominal au secondaire d'un transformateur est : I
= S = 150 000 VA = 250 A E
600 V
Il s'ensuit que le courant maximal dans les lignes 1, 2 et 3 (Fig . 32-6) ne devra pas dépasser cette valeur . La puissance triphasée que le groupe peut débiter ne doit donc pas dépasser :
S=1,73EI = 1,73 x 600 x 250 = 259 500 VA = 260 kVA Cette puissance de 260 kVA correspond précisément à 86,6 % de la capacité totale des deux transformateurs (300 kVA) . Ces derniers ne sont donc pas employés de façon optimale .
Transformateurs triphasés
Le circuit magnétique d'un tel transformateur comporte ordinairement trois colonnes disposées dans un même plan . Chaque colonne porte un enroulement primaire et un enroulement secondaire et peut être considérée comme un transformateur monophasé . Les trois enroulements, primaires et secondaires, sont connectés en étoile ou en triangle de sorte que le transformateur comporte trois bornes primaires et trois bornes secondaires seulement . Pour une puissance donnée, le transformateur triphasé est toujours plus petit et moins coûteux que trois transformateurs monophasés ayant la même capacité totale . Même si le prix d'achat et les frais d'installation d'un transformateur triphasé sont moindres que ceux d'un groupe de même capacité formé de trois transformateurs monophasés, ces derniers demeurent toutefois plus avantageux quand on doit prévoir une unité de réserve pour remplacer un transformateur défectueux . Ainsi, pour alimenter une usine absorbant 5000 kVA, on peut installer deux transformateurs triphasés de 5000 kVA chacun dont l'un restera en réserve . Par contre, on pourrait installer quatre transformateurs mono-
TRANSFORMATEURS TRIPHASÉS
509
phasés de 1667 kVA chacun dont un seul sera gardé en réserve. Le coût de la première installation serait plus grand (capacité totale de 10 000 kVA) que celui de la seconde (capacité totale de 6667 kVA) . La Fig . 32-7 illustre les différents stades de fabrication d'un transformateur triphasé de 110 MVA, 222,5 kV/34,5 kV. Il est muni d'un changeur de prise sous charge à 9 positions . En plus des trois colonnes de fer habituelles, le noyau possède deux colonnes latérales (Fig . 32-7a) . Ces dernières permettent de réduire la hauteur du transformateur et d'éliminer les courants de Foucault qui seraient induits dans la cuve pour une charge non équilibrée .
Figure 32-7a Noyau d'un transformateur triphasé de 110 MVA, 222,5 kV/ 34,5 kV, 60 Hz . Lemploi de tôles de largeurs différentes permet la construction de colonnes de section presque cylindrique, ce qui permet de réduire la quantité de cuivre utilisée pour les bobines . Les colonnes sont ceinturées solidement par des bandes horizontales afin de réduire les vibrations . Masse du noyau : 53 560 kg (gracieuseté de ABB) .
Figure 32-7b Même transformateur avec ses enroulements posés . Les 3 phases du primaire sont raccordées en étoile et celles du secondaire sont raccordées en triangle . Chaque primaire est doté de 8 prises permettant de faire varier la tension par étapes de ± 2,5 % . Le changement de prise est effectué par le commutateur motorisé visible à droite . Masse du cuivre : 15 230 kg (gracieuseté de ABB) .
La Fig . 32-8 montre la construction d'un transformateur triphasé utilisé pour l'alimentation d'un four à arc. Huit enroulements secondaires sont raccordés en parallèle sur chaque colonne pour fournir le courant nominal de 65 000 A par phase .
32 .7 Autotransformateur survolteur dévolteur et puissance intrinsèque Lorsqu'on doit augmenter ou diminuer la tension sur un réseau triphasé dans une gamme comprise entre 200 % et 50 % de sa valeur nominale, il est avanta-
Figure 32-7c Même transformateur prêt à livrer . Il a subi des essais de tenue aux ondes de choc de 1050 kV du côté H .T. et 250 kV du côté B .T. Caractéristiques : impédance : 8,3 % ; capacité : 110 MVA/146,7 MVA - ONAN/ONAF ; masse totale avec l'huile : 158,7 t ; hauteur hors tout : 9 m ; largeur : 8,2 m ; longueur : 9,2 m (gracieuseté de ABB) .
510
ÉLECTROTECHNIQUE
geux d'utiliser un autotransformateur. Comme on l'a mentionné au chapitre 31, pour une même puissance transformée, l'autotransformateur est beaucoup plus petit et coûte moins cher qu'un transformateur conventionnel . Afin de pouvoir comparer la grosseur physique d'un autotransformateur avec celui d'un transformateur conventionnel, il est utile de définir ce que nous appelerons la puissance intrinsèque d'un autotransformateur . Soit un autotransformateur ayant deux enroulements ou plus . Chaque enroulement est construit pour fonctionner à une tension E nominale et un courant I nominal quelconques . Par conséquent, une puissance apparente S = EI est associée à chaque enroulement . La puissance intrinsèque de l'autotransformateur est égale à la somme des puissances apparentes de tous les enroulements, divisée par deux. On effectue cette division par deux dans le but de comparer la grosseur du transformateur à deux ou plusieurs enroulements avec celle d'un transformateur conventionnel à deux enroulements .
Figure 32-8 Transformateur triphasé pour four à arc de 36 MVA, 13,8 kV/ 160 V à 320 V, 60 Hz . La tension secondaire est ajustable de 160 V à 320 V à l'aide de 32 prises situées sur l'enroulement primaire. Le refroidissement est à circulation forcée d'huile traversant un échangeur de chaleur huile/eau . Autres caractéristiques : impédance : 3,14 % ; diamètre de chaque colonne du noyau : 711 mm ; hauteur du noyau : 3500 mm ; distance entre les colonnes : 1220 mm (gracieuseté de Ferranti-Packard) .
A o
Hl
Avec cette définition, si la puissance intrinsèque d'un autotransformateur est égale, disons, à 50 kVA, il aura à peu près la même grosseur qu'un transformateur conventionnel de 50 kVA .
X
s
P X
O
1
Hl
X
charge
A H N
Q H
X
Hl X 2 R H2 X
(a)
(b)
Figure 32-9 a . Montage d'un autotransformateur triphasé survolteur . b . Diagramme schématique des connexions . Les tensions de ligne au secondaire sont en phase avec les tensions de ligne au primaire .
511
TRANSFORMATEURS TRIPHASÉS
r les réseaux triphasés, on utilise de préférence des atotransformateurs raccordés en étoile . Le neutre est affdinairement connecté au neutre du réseau, sinon on toit prévoir un enroulement tertiaire pour éviter les wrtensions mentionnées dans le montage étoile-étoile section 32 .4) .
Exemple 32-3 On doit auninenter la tension d'une ligne triphasée de 230 kV ;à 345 kV afin d'alimenter une charge de ?00 MV2s . On se propose d utiliser trois autotransformateurs monophasés raccordés en étoile, selon le schéma de la Fin . 9, (' :i culer:
Les raccordements pour un autotransformateur survolkm sont montrés à la Fig . 32-9 . Les tensions ligne-àneutre du primaire et du secondaire sont évidemment cm phase . Par conséquent, les tensions entre les lignes secondaires 1, 2 et 3 sont en phase avec les tensions entre les lignes primaires A, B et C .
a) l .e rapport de transformation 1 I i H, :X l x, b) La puissance intrinsèque de chaque autotrarishormateur
La Fig . 32-10 montre l'application d'un groupe ddautotransformateurs triphasés sur un grand réseau .
Solution a) Afin de simplifier les calculs nous considérons une seule phase (disons la phase A) . Tension ligne-à-neutre entre les bornes X I et H 2 : E IN = 345/3 = 199 kV Tension ligne-à-neutre entre H I et H2 : EAN = 230/V3 = 133 kV
Tension de l'enroulement X I X2 entre les lignes 1 et A: EIA = 199 - 133 = 66 kV
Rapport H l H 2 :X I X 2 = 133 kV/66 kV = 2 b) Courant dans la ligne 1 : I, = SIE1
éq. 26-3
= (200 x 106 )/ (F3 x 345 000) = 335 A Puissance apparente associée à l'enroulement X I X2 :
Sa = 66 kV X 335 A = 22,2 MVA Courant dans la ligne A : IA = 200 MVA/(230 kV x J3) = 502 A
Courant dans l'enroulement H I H 2 : Ip = IA - Is = 502 - 335 = 167 A Figure 32-10 Autotransformateur monophasé faisant partie d'un groupe triphasé installé au poste de Boucherville, Québec, pour transformer la tension du réseau de 700 kV en 300 kV. Caractéristiques de chaque autotransformateur : puissance : 200/267/333 MVA ; refroidissement : ONAN/ONAF/OFAF ; tension : 404 kV/173 kV; enroulement tertiaire : 11,9 kV, 35 MVA ; masse du noyau et des enroulements : 132 t ; masse de la cuve et des accessoires : 46 t ; masse de l'huile : 87 t ; masse totale : 265 t ; tension de tenue aux ondes de choc H .T. : 1950 kV, B .T. 1050 kV; échauffement : 55 °C (gracieuseté d'Hydro-Québec) .
Puissance apparente associée à l'enroulement H I H2 : Sb=133kVx 167A=22,2MVA La puissance intrinsèque de chaque autotransformateur est donc de (22,2 + 22,2)/2 = 22,2 KVA . Par conséquent, la capacité intrinsèque du groupe est de 22,2 x 3 = 66,6 MVA . On constate que la capacité intrinsèque du groupe est seulement le tiers de la puissance transformée de 200 MVA .
512
ÉLECTROTECHNIQUE
Cet exemple nous fait réaliser qu'un autotransformateur est beaucoup plus petit qu'un transformateur de même puissance ayant deux enroulements isolés . 32 .8 Déphasage des tensions des transformateurs Le système triphasé permet de faire varier le déphasage d'une tension de manière très simple . Ce déphasage permet de créer des systèmes diphasés, hexaphasés et même dodécaphasés, à partir d'une simple ligne triphasée . Les systèmes hexaphasés sont utilisés dans les puissants convertisseurs qui transforment le courant alternatif en courant continu . Ce déphasage permet aussi de contrôler le transport de la puissance dans un grand réseau maillé . Nous étudierons cette technique au chapitre 46 . Pour comprendre le principe du déphasage dans les transformateurs triphasés, considérons un potentiomètre raccordé entre deux phases B et C d'une ligne triphasée (Fig . 32-1 la) . À mesure que le curseur P se déplace de la phase B vers la phase C, la tension EAP
OA
AO (a)
EAP
PO P B
change en amplitude et en phase . La phase change de 60° lorsque le curseur passe d'une extrémité à l'autre du potentiomètre . Pendant cette variation, la tension diminue d'une valeur E (égale à la tension entre les phases) jusqu'à un minimum de 0,866 E lorsque le curseur est au point milieu . Passé ce point, la tension augmente pour atteindre à nouveau une valeur E lorsque le curseur est en contact avec la phase C . Noter que le déplacement de B vers C produit une avance de phase progressive de la tension EAP par rapport à la tension EAB , car la tension EAC est 60° en avance sur la tension EAB (Fig . 32-11 b) . Un potentiomètre branché sur une source triphasée constitue donc un déphaseur simple . Toutefois, on n'utilise cette méthode que dans les montages électroniques où la puissance requise est très faible . En effet, l'amplitude et le déphasage de EAP changent radicalement si l'on applique une charge importante entre les bornes A et P. Cependant, il est possible de déphaser la tension d'une charge importante en utilisant un autotransformateur à prises multiples, comme l'indique le montage de la Fig . 32-12 . En déplaçant la prise P on obtient le même déphasage qu'auparavant, mais la valeur de la tension et son déphasage ne changent pas lorsqu'on applique une charge entre les bornes A et P. Comment expliquer cette constance de la phase et de la tension? La raison est que le flux dans l'autotransformateur demeure constant tant que la tension E BC est constante . Par conséquent, la tension induite par spire demeure constante . tant en valeur qu'en phase, quelle que soit la charge .
C ligne A
(b)
ligne B Figure 32-11 a . Un potentiomètre permet de faire varier la phase de EAP par rapport à la tension EAB . b . Diagramme vectoriel montrant l'amplitude et le déphasage de EAP par rapport à EAB .
2 3 4 5 6 7
ligne C
Figure 32-12 Un autotransformateur à prises multiples permet d'obtenir un déphasage progressif de E AP par rapport à EAB . Le déphasage n'est pas affecté par la présence d'une charge entre les bornes A et P.
TRANSFORMATEURS TRIPHASÉS
32 .10
Transformation triphasé-diphasé
Dans un système diphasé, les deux tensions sont égales et déphasées de 90° . Il existe plusieurs façons de réaliser ce déphasage ; une des plus simples consiste à utiliser un autotransformateur monophasé ayant des prises à 50 % et à 86,6 % . Il est branché entre deux phases d'une ligne triphasée. En se référant aux Fig . 32-15a et 32-15b, si la tension entre les phases A, B, C est de 100 V, les tensions EAT et ENC auront une valeur de 86,6 V et seront déphasées de 90° . On peut comprendre cette relation en regardant le diagramme vectoriel (Fig . 32-15c) :
0 Figure 32-13 Autotransformateur triphasé à déphasage progressif .
Si l'on utilise trois autotransformateurs dont les prises P l , P2 et P 3 se déplacent ensemble, on obtient une source triphasée P t , P2 , P3 dont le déphasage varie progressivement par rapport au réseau A-B-C (Fig . 32-13) . 32.9 Transformation triphasé-hexaphasée Pour transformer un système à 3 phases en 6 phases, il suffit d'utiliser trois transformateurs monophasés dont les secondaires possèdent une prise médiane . En reliant les prises médianes à un point commun N, on obtient six tensions secondaires égales et déphasées de 60° (Fig . 32-14) .
1) Les vecteurs EAB, EBC, ECA sont fixés par la source ; 2) Le vecteur E AN est en phase avec le vecteur EAB parce que ces tensions sont induites par le même flux ; 3) Pour les mêmes raisons, le vecteur EAT est en phase avec le vecteur EAB ; 4) D'après la loi de Kirchhoff, EAN + ENC + ECA = 0 ; par conséquent, le vecteur ENC doit avoir la valeur et le sens indiqués dans la figure . Les charges alimentées par EAT et ENC doivent être isolées l'une de l'autre, comme par exemple les deux enroulements d'un moteur diphasé . Aujourd'hui, les systèmes diphasés sont rares. Ils sont utilisés presque exclusivement pour l'alimentation des servomoteurs dans les systèmes de commande .
EAB (a)
513
(b)
Figure 32-14 a . Montage d'un groupe de trois transformateurs permettant de transformer un système triphasé en un système hexaphasé . b . Diagramme schématique du montage .
514 ÉLECTROTECHNIQUE i2
(a)
E
A
E
N
Xi N T X
2
EAT
B charge diphasée
Figure 32-16 Voir exemple 32-4 .
ments du circuit . Par exemple, le courant dans la section NT est évidemment (i l + i 3 ) et il doit circuler de gauche à droite .
(b)
Ensuite, on écrit les données pour les tensions : EAT E
c
EAB = 600 L0°
EAN = 300 L0°
EAT = 0,866 x 600 = 520-/0 0
(c)
ENC =520L-90'
D'après la première loi de Kirchhoff on peut écrire : ENC
Figure 32-15 a. Montage d'un autotransformateur utilisé pour transformer un système triphasé en un système diphasé . b. Diagramme schématique du montage . La tension diphasée vaut 86,6 % de la tension triphasée . c . Diagramme vectoriel des tensions .
EAT - 26 i 2 = 0
(32-1)
ENc + 26 i l = 0
(32-2)
Enfin, la somme algébrique des FMM des trois sections du transformateur doit égaler zéro . En désignant le nombre total de spires par le symbole N, on obtient : i3 x 0,5 N + (i l + i3 ) x (0,866 N - 0,5 N) + (i i + i 2 + i3 ) x (N - 0,866 N) = 0 d'où
Exemple 32-4 L'autotransformateur de la Fig . 32-15 est connecté sur un réseau triphasé de 600 V pour alimenter deux charges diphasées de 26 12 . Calculer la valeur des courants dans les sections AN, NT et TB du transformateur, ainsi que les courants dans la ligne triphasée . Déterminer la capacité intrinsèque du transformateur. Solution Le montage est reproduit à la Fig . 32-16 . On a choisi des sens arbitraires pour les courants i l , i2 et i 3 . Ils circulent respectivement dans les charges et la section AN du transformateur. De ces directions arbitraires, en appliquant la deuxième loi de Kirchhoff, on a déduit la direction et la valeur des courants dans les autres élé-
i 3 + 0,5 i l + 0,134 i2 = 0
(32-3)
La solution de ces trois équations donne les résultats suivants : i l = 20 L+ 90° 1. 2 = 20 L0° i 3 = 10,35 L-105° ii + i2 + i3 = 20
2+
300
i 2 + i 3 = 20 L-30° i i + i 3 = 10,35 L+ 105° Les courants dans les sections AN, NT et TB sont respectivement 10,35 A, 10,35 A et 20 A . Le diagramme vectoriel des courants est montré à la Fig . 32-17 .
515
TRANSFORMATEURS TRIPHASÉS
teur est conçu de sorte que la tension d'entrée reste égale à la tension de sortie, la puissance intrinsèque est donnée par la formule approximative : ST = 0,025 SL c6 a.,
(32-4)
où ST = puissance intrinsèque de l'autotransforma-
teur triphasé [VA] SL = puissance apparente transportée par la ligne triphasée [VA] = angle de déphasage maximal [°] (xmax 0,025 = coefficient approximatif Exemple 32-5
Figure 32-17 Voir exemple 32-4 .
Les courants i i , (i 2 + i 3 ) et - (i l + i 2 + i3 ) dans les lignes triphasées sont tous de 20 A et ils sont déphasés de 120° l'un de l'autre . Donc, la charge totale diphasée de 20 A x 520 V x 2 = 20,8 kW se transforme en un système triphasé équilibré dont la puissance est aussi de 20 A x 600 V x l)3 = 20,8 kW. La somme des puissances apparentes des trois enroulements de l'autotransformateur est : (10,35Ax300V)+(10,35Ax(520V-300V))+ (20 A x (600 V - 520 V)) = 7 kVA . La capacité intrinsèque de l'autotransformateur est égale à la moitié de cette somme, soit 3,5 kVA . On constate que sa puissance intrinsèque est bien inférieure à la puissance de 20,8 kVA qui est transformée .
Un autotransformateur déphaseur doit commander l'angle de phase d'une ligne triphasée transportant une puissance de 150 MVA sous une tension de 230 kV, ligne à ligne (Fig . -18) . Pour un déphasage de ± 20°, calculer : a) la puissance intrinsèque du transformateur h) la valeur du courant dans les lignes d'entrée et de sortie
230 kV 0° à +20° 0° à -20°
230 kV 0° i > 150 MVA
i 150 MVA
(a)
32.11 Transformateur à déphasage variable Un autotransformateur à déphasage variable est un transformateur triphasé spécial qui change l'angle entre la ligne d'entrée et la ligne de sortie, sans en changer le rapport de transformation . Ainsi, dans le transformateur de la Fig . 32-18, les tensions entre les lignes 1-2-3 sont déphasées, en avance ou en arrière, de celles entre les lignes A-B-C . On fait habituellement varier l'angle de déphasage au moyen d'un changeur de prise motorisé . La grosseur d'un autotransformateur déphaseur dépend de la puissance apparente transmise par les lignes triphasées et du déphasage maximal désiré . Lorsque le déphasage est inférieur à 20° et lorsque le transforma-
(b)
Figure 32-18 a . Autotransformateur à déphasage variable (voir exemple 32-5) . b . Diagramme vectoriel montrant les positions extrêmes des tensions ligne-ligne à la sortie par rapport aux tensions d'entrée .
516
ÉLECTROTECHNIQUE
Solution a) La puissance intrinsèque de l'autotransformateur est : ST = 0,025
SLamax
= 0,025 x 150 x 10 6 x 20 = 75 MVA Noter que la puissance intrinsèque de l'autotransformateur (puissance qui détermine sa grosseur) est seulement la moitié de la puissance transportée . b) Le courant est le même dans les lignes d'entrée et de sortie, car l'amplitude de la tension reste la même . Le courant est : j _
150 x 106
SL EL
230 x 103 x 1,73
Figure 32-20 Raccordement des enroulements pour obtenir un déphasage .
= 377 A Les Fig . 32-19 et 32-20 permettent de mieux comprendre le principe de fonctionnement du transformateur déphaseur. La Fig . 32-19 montre un transformateur triphasé où les trois enroulements primaires sont connectés en étoile . Chaque primaire est couplé à deux enroulements secondaires identiques, mais de tension moindre . Ainsi, la phase A comprend le primaire A et les secondaires al et a2 . Les enroulements respectifs sont interconnectés de la façon montrée à la Fig . 32-20 . Les bornes 1-2-3 sont connectées à la ligne d'entrée . Suivant le déphasage désiré, les bornes 1-2-3, ou les bornes 4-5-6, ou les bornes 7-8-9 sont connectées à la ligne de sortie, au moyen d'un changeur de prise .
La Fig . 32-21 montre les tensions entre les bornes 7, 1 . 4, et le neutre N . Il est évident que la tension END est en avance sur la tension E N4 . De la même façon, la tension EN4 est en retard sur la tension EN , . Donc, en changeant simultanément les prises sur les trois phases, on obtient le déphasage triphasé désiré. En pratique, pour des raisons économiques, on utilise seulement un enroulement secondaire par phase, au lieu
1
Figure 32-19 Composants d'un transformateur déphaseur.
Figure 32-21 Diagramme vectoriel des tensions .
TRANSFORMATEURS TRIPHASÉS
de deux . Dans ce cas, on obtient un déphasage en avance ou en retard, en modifiant les connexions . De plus, cet enroulement secondaire comporte plusieurs prises afin d'obtenir des déphasages intermédiaires . La Fig . 32-21 indique clairement que le déphasage dépend de la tension secondaire . Le raisonnement suivant indique comment choisir le rapport de transformation pour réaliser un déphasage donné . Supposons que l'on désire un déphasage de 15° en retard, et que la tension entre les lignes d'entrée soit de 230 kV . La tension ligne à neutre EN, est donc 230/'J3 = 133 kV. La tension E 14 est 120° en retard sur la tension EN, . L'angle a opposé au vecteur N4 a donc une valeur fixe de 60° . Le diagramme vectoriel (Fig . 32-21) montre les angles entre les divers vecteurs . L'angle /3 opposé au vecteur EN, a pour valeur (180 - 60 - 15) = 105° . La règle des sinus permet de résoudre le triangle . Cette règle s'écrit : E
d'où E14
1 . On suppose que les enroulements primaires et secondaires sont raccordés en étoile, même s'ils ne le sont pas (voir chapitre 26, section 26 .8) . Cette supposition simplifie la manipulation des tensions et courants associés aux connexions triangle-étoile et triangle-triangle . 2 . Comme la charge est équilibrée, on ne considère qu'un seul transformateur de ce groupe étoile-étoile . 3 . La tension primaire du transformateur est égale à la tension ligne à neutre de la ligne d'entrée, soit celle venant de la source . 4 . La tension secondaire du transformateur est égale à la tension ligne à neutre de la ligne de sortie (celle connectée à la charge) . 5 . La puissance nominale du transformateur est le tiers de la puissance du groupe triphasé . 6 . La charge portée par le transformateur est le tiers de la charge portée par le groupe triphasé . Exemple 32-6
E14
ENI
EN4
sin 15°
sin 105°
sin 60°
=
517
sin 15 0 ' 259 EN , = 133 x = 35,6 kV sin 105 0,966
La règle des sinus nous fournit aussi la tension ligneà-neutre N4 entre les lignes de sortie :
Le transformateur triphasé ((ntré à la Fig . 30-44 (chapitre 30) a une puissance nominale de 1300 MVA, 24,5 LV/345 kV, 60 Hi et son impédance est de 1 1,5 I
a) Déterminer le c rcuit équivalent du transtixniateur .
E
sin 60 EN4 = ENI
sin 105
= 133 x
0,866
= 119 kV
0,966
La tension entre les lignes de sortie est 119 J3 = 206 kV. Cette tension est environ 10 % plus basse que la tension à l'entrée (230 kV) . On peut corriger cet écart en utilisant des prises supplémentaires sur les enroulements primaires . Cependant, on se fie généralement sur les transformateurs régulateurs de tension situés en aval du transformateur déphaseur pour réajuster la tension à sa valeur nominale . En ajoutant des prises sur les enroulements secondaires, on peut obtenir différents déphasages . 32 .12
Régulation de tension
On peut calculer la régulation de tension d'un groupe de transformateurs triphasés de la même manière que pour un transformateur monophasé . La méthode à sui%Te est expliquée ci-après :
h) Calculer la tension aux bornes de la source, sachant que la charge est (le 1200 MV,A sous une tension de 340 kV à un facteur de puissanccc de 90 `î% . en retard . c) Déterminer la régulation de tension avec cette char(Te . Solution Tout d'abord, on remarque que les connexions du primaire et du secondaire ne sont pas données . On n'a pas besoin de cette information . Nous supposerons simplement que les enroulements primaires et secondaires sont connectés en étoile . Comme il s'agit d'un gros transformateur, l'impédance est presque entièrement réactive . Le circuit unifilaire composé de la source, du transformateur et de la charge est donné à la Fig . 3222a . a) En ce qui concerne le transformateur, on a :
Puissance nominale par phase : SL = 1300 MVA - 3 = 433 MVA
518
ÉLECTROTECHNIQUE
a = 14,08
Courant 12 par phase: charge 1200 MVA FP=90% E ligne = 340 kV
source
S 400 x 106 12 = _ = 2041 A 196 000
Es
Le courant 12 est en retard sur Es d'un angle : 1300 MVA 24,5 kV/345 kV Z=11,5%
(a)
0 = arccos 0,9 = 25,8° Choisissons la tension E s comme référence, et calculons les autres grandeurs (voir Fig . 32-22b) : Es = 196 000 210400 MVA FP = 90 % 196 kV
12 =
2041 A Z-25,8°
E2 = ES
+jZr l2
E2 = ES +jZTI2
(b) Figure 32-22 a. Schéma unifilaire (voir exemple 32-6) . b . Circuit représentant une phase du système .
=
196 000 Z0° + (10,5 290 0 ) x (2041 Z- 25,8 - 1
= 196 000 Z0° + 21 430 264,2° = 196 000 Z0° + 9327 Z0° + 19 290 Z90° = 205 300 + 19 290 Z90°
Tension nominale au primaire :
= 206 200 Z5,4° E l „ = 24,5 kV = 1 3 = 14,1 kV
Tension de la source :
Tension nominale au secondaire : E2 , = 345 kV -
3 = 199 kV
Rapport de transformation :
E2
Eg = E, =
= 206 200 Z5,4a 14,08
= 14 650 25,4° a _ E2n _ 199 Et „
kV = 14,08 14,1 kV
Impédance de base rapportée au secondaire :
Courant débité par la source : Il = ale = 14,08 x 2041 Z-25,8°
= 28 740 Z-25,8° ZB _ E2 . 2
SL
=
199 000 2
= 91,5 Q
433 x 10 6
Le diagramme vectoriel pour une phase est donné à la Fig . 32-22c .
L'impédance du transformateur rapportée au secondaire est donc : Zr =ZB xZp , =91,5x0,115=10,552
21 430 V
b) En ce qui concerne la charge, on a :
Puissance apparente par phase : S = 1200 MVA - 3 = 400 MVA Tension par phase : Es = 340 kV - ~3 = 196 kV
Figure 32-22c Diagramme vectoriel des grandeurs (voir exemple 32-6) .
519
TRANSFORMATEURS TRIPHASÉS
Étant donné que l'angle entre El et ES est de 5,4°, il s'ensuit que la tension ligne à ligne du côté charge est déphasée de 5,4° en arrière de la tension de source . c) À vide la tension Es serait: Es à
vide
= a Eg = 14,08 x 14 650 V
= 206 200 V La régulation de tension est donc :
régulation =
Es à vide Es
-
Es
sous charge
sous charge
206 200 - 196 000 196 000 0,0520 = 5,2 % 32.13 Transformation d'une charge monophasée en triphasée 11 arrive parfois qu'on doive alimenter une charge monophasée à partir d'une ligne triphasée . Cependant, une charge monophasée importante branchée entre deux lignes d'une ligne triphasée peut produire un déséquilibre inacceptable des courants dans les trois lignes . Nous présentons ci-après une méthode ingénieuse permettant de rééquilibrer les courants de lignes sans consommation de puissance additionnelle. Il suffit d'ajouter une réactance inductive et une réactance capacitive entre les deux lignes raccordées à la charge et la troisième ligne .
L'impédance des deux réactances doit être 3 f ois celle de la résistance (Fig . 32-23) . De plus, le raccordement des réactances doit tenir compte de la séquence des phases . Par exemple, pour une séquence directe des tensions E12, E23 , E31 , il est essentiel d'effectuer les connexions comme indiqué sur la figure . Si l'on permute les éléments capacitif et inductif, le système triphasé devient complètement déséquilibré . L'exemple suivant permet de comprendre l'astuce utilisée par cette méthode qui transforme une charge monophasée en une charge triphasée équilibrée . Exemple
32-7
Une charge monophasée de 800 kW est branchée entre les phases 1 et 2 au secondaire d'un transformateur triphasé de 25 kV/440 V . Les trois tensions de ligne sont données par les expressions suivantes : E 1 = 440 Z0°
= 440 2- 20°
2
1
E~ 1 = 440 / 120° Calculer les courants dans les trois lignes secondaires : a) avec seulement la charge monophasée b) lorsque les réactances appropriées sont ajoutées selon la Fig . 32-24 Solution
a) Résistance de la charge monophasée : R = E2 _
P
4402
= 0,242 S2
800 000
E31
E12
E23
Figure 32-23 Transformation d'une charge monophasée en charge triphasée équilibrée .
520
ÉLECTROTECHNIQUE
E31
E23
(b)
Figure 32-24 Voir exemple 32-7 .
Courant dans la charge et dans deux des lignes : I = E = 440 R
En appliquant la deuxième loi de Kirchhoff aux noeuds 1, 2, et 3 on obtient :
= 1818 A
0,242
IA
- I3
1818 /0 - 1050 /30
Le courant dans la troisième ligne est nul . La ligne est donc fortement déséquilibrée (Fig. 32-23) . b) En ajoutant les réactances inductive et capacitive ayant chacune une impédance de 0,242 3 = 0,419 S2, on obtient une ligne équilibrée, comme le démontrent les calculs suivants .
= Il
= 1818-909-j525 = 1050 /-30 IB = 12 - Il
= 1050 /-30 - 1818 /0
Appliquons la première loi de Kirchhoff aux boucles de la Fig . 32-24a . On obtient les résultats suivants :
= 909 - j 525 - 1818 = -909 - j 525
E12
-
= 1050 /210
0,2421, = 0
E23 + j 0,41912 = 0 E31 - j 0,41913 = 0
IC
= Il =
par conséquent,
= 2,386 x 440/(- 120 + 90)
= 1050 /-30 = -j 2,386E31
= 2,386 x 440 /(120 + 90 - 180) = l050/30
= 1050j = 1050 /90
= 1818 /0
I3
1050 / 30-l050/-30
= 909+j 525-909+j 525
Il = 4,132E 12 = 4,132 x 440 /0
12 = j 2,386E23
-12
On constate que les courants IA , IB , IC dans les trois lignes secondaires sont parfaitement équilibrés car ils sont égaux et déphasés de 120° (Fig . 32-24b) . Noter aussi que leur valeur de 1050 A est sensiblement inférieure au courant monophasé de 1818 A . Par conséquent, les pertes Joule dans les lignes sont moindres et les tensions demeureront équilibrées .
TRANSFORMATEURS TRIPHASÉS H1
Pour évaluer cette diminution des pertes, supposons que la résistance effective de chaque conducteur de la ligne triphasée soit de RL ohms . Lorsque la charge monophasée est seule sur la ligne, les pertes totales dans les deux conducteurs sont : PT2 = 2R LI2 = 2R L X 1818 2 = 6,610 x 106 RL watts Par contre, lorsque les éléments capacitifs et inductifs sont ajoutés, les pertes Joule dans les trois conducteurs sont:
xl
X3
H2
H3
X2
(a)
PT3 = 3R L12 = 3R L X 1050 2 = 3,308 x 106 RL watts Les pertes triphasées sont donc la moitié des pertes monophasées . Courant dans les trois lignes primaires :
521
x1
H1
1050 A x 440 V/25000 V = 18,48 A Puissance apparente du transformateur :
X3
440 V x 1050 A x i3 = 800 kVA Celle-ci est exactement égale à la puissance active consommée par la charge . Il s'ensuit que le transformateur fonctionne à un facteur de puissance de 100 % . 32.14
Marques de polarité des transformateurs triphasés Les bornes d'un transformateur triphasé sont identifiées respectivement HI, H2, H3 pour la haute tension, et X1, X2, X3 pour la basse tension . Les normes suivantes s'appliquent à ces marques de polarité : 1 . Lorsque les enroulements primaires et secondaires sont raccordés en étoile-étoile ou en triangle-triangle, les tensions entre les bornes similaires sont en phase . Ainsi : EH1,H2 est en phase avec Exi, x2 E112,111
est en phase avec Ex2, xi
EH1,H3
est en phase avec EXI, x3 et ainsi de suite
2 . Lorsque les enroulements primaires et secondaires sont raccordés en étoile-triangle ou en triangle-étoile (Fig . 32-25), il se produit un décalage de 30° entre les tensions ligne à ligne . Dans ces circonstances, est en avance de 30° sur Ex ,, x2 EH2,H3 est en avance de 30° sur Ex2, x3 EH3,H2 est en avance de 30° sur Exi, x2
EHi,H2
et ainsi de suite
(b)
X2
Figure 32-25 Relation entre les tensions primaires et secondaires d'un transformateur triphasé raccordé (a) en étoile-triangle et (b) en triangle-étoile . 3 . Ces normes ne sont pas affectées par la séquence de phase des tensions appliquées au primaire . 32 .15 Résumé Dans ce chapitre, nous avons étudié les transformateurs utilisés dans les montages et les réseaux triphasés . Les transformateurs triphasés peuvent comporter trois enroulements primaires et trois enroulements secondaires montés sur un même noyau ou ils peuvent être réalisés à partir de trois transformateurs monophasés . Pour les transformateurs utilisés pour élever ou abaisser la tension, il existe deux façons de monter les trois enroulements primaires et les trois enroulements secondaires : la connexion en triangle et la connexion en étoile . On peut donc réaliser n'importe quelle combinaison de ces connexions . La connexion étoile-triangle ou triangle-étoile introduit un déphasage de + 30 ou - 30 degrés entre les tensions primaires et secondaires . Le montage triangle-triangle a l'avantage qu'il permet de fonctionner à puissance réduite avec un des
522
ÉLECTROTECHNIQUE
trois transformateurs hors service (montage en triangle ouvert) . Certains transformateurs comportent un troisième enroulement généralement monté en triangle et appelé enroulement tertiaire . Afin d'éviter les problèmes de distorsion dus à la troisième harmonique, la connexion étoile-étoile n'est jamais utilisée sans relier les neutres de la source et du primaire, à moins d'utiliser un enroulement tertiaire . Pour des rapports de transformation voisins de l'unité (généralement entre 0,5 et 2), on utilise souvent les autotransformateurs triphasés montés en étoile Pour une puissance donnée à transformer, les autotransformateurs sont moins coûteux que les transformateurs à enroulements isolés . Les transformateurs déphaseurs sont utilisés pour commander la circulation de puissance active dans les réseaux de transport en changeant le déphasage entre les tensions d'entrée et de sortie . Ces déphasages variables sont obtenus en combinant dans les bonnes proportions (à l'aide d'un changeur de prise) les tensions de deux phases différentes . Enfin, mentionnons les montages spéciaux permettant d'effectuer les transformations triphasé-diphasé, triphasé-hexaphasé et triphasé-monophasé .
PROBLÈMES - CHAPITRE 32 Niveau pratique
32-1 Montrer, au moyen d'un schéma, comment raccorder trois transformateurs monophasés : a) en triangle-étoile b) en triangle ouvert (indiquer clairement les marques de polarité) 32-2 Trois transformateurs monophasés de 250 kVA, 7200 V/600 V sont montés en étoile-triangle sur une ligne à 12 470 V Ils alimentent une charge de 450 kVA . Calculer les courants :
32-4 Calculer les valeurs nominales des courants au primaire et au secondaire du transformateur de 1300 MVA, illustré à la Fig . 30-44 . 32-5 Le transformateur triphasé montré à la Fig . 3045 est refroidi en mode ONAF. a) Calculer la valeur du courant dans les lignes secondaires lorsque le courant dans les lignes à 225 kV est de 150 A . b) Le transformateur est-il surchargé? Niveau intermédiaire
32-6 Trois transformateurs monophasés de 250 kVA . 7200 V/600 V sont employés pour élever la tension d'un réseau de 600 V à 7,2 kV. a) Comment faut-il les raccorder? b) Quels sont les courants dans les fils de ligne et dans les enroulements pour une charge de 600 kVA? 32-7 Trois transformateurs monophasés de 100 kVA . 13 200/2400 V sont connectés en étoile-triangle sur une ligne à 18 kV. Calculer: a) la tension entre les lignes du côté secondaire b) la plus grande charge, exprimée en kVA, que l'on peut appliquer à ce groupement 32-8 Deux transformateurs de 250 kVA, 2,4 kV/ 600 V sont connectés en triangle ouvert pour alimenter une charge de 400 kVA . a) Est-ce que les transformateurs sont surchargés? b) Quelle est la plus grande charge que l'on peut alimenter sans dépasser la capacité des transformateurs? 32-9 Une ligne A-B-C à 6,9 kV alimente les transformateurs de la Fig . 32-3 et l'on mesure trois tensions équilibrées de 600 V entre les lignes 1, 2, 3 . On intervertit, par mégarde, les bornes X 1 , X 2 du secondaire du transformateur P .
a) dans les fils de ligne b) dans les enroulements
a) Quelles sont les tensions mesurées entre les bornes 1-2, 2-3 et 3-1 ? b) Tracer le diagramme vectoriel des tensions secondaires et primaires .
32-3 Le rapport de transformation du transformateur de 36 MVA de la Fig . 32-8 est de 13,8 kV à 320 V. Sachant que le transformateur est chargé à pleine capacité, calculer les courants :
32-10 Soit l'autotransformateur dévolteur illustré à la Fig . 32-10 . Le courant dans la ligne à 700 kV est de 800 A . La charge de l'enroulement tertiaire est négligeable . Calculer :
a) dans les lignes primaires b) dans les lignes secondaires
a) le courant dans la ligne à 300 kV b) le courant dans les enroulements du transformateur
TRANSFORMATEURS TRIPHASÉS
32-11 Les prises sur l'enroulement BC de la Fig . 3212 sont espacées uniformément . Le contact P se trouve sur la prise 3 et la tension entre les lignes A, B, C est de 600 V. Déterminer, en traçant les vecteurs à l'échelle, la valeur de la tension EAP et son angle de déphasage par rapport à la tension EAn . 32-12 Dans les Fig . 32-13 et 32-26, les 7 prises sont espacées uniformément et la tension entre les phases A, B, C est de 600 V On sait que EAB = 600 L-120°, EBC = 600 L0°, ECA = 600 L+120° . Déterminer, en traçant les vecteurs à l'échelle, la valeur des tensions entre Pi , P2, P3 lorsque les trois contacts sont sur les prises no 2 (Fig . 32-26) . Quel est le déphasage par rapport à la position de départ lorsque les contacts P l , P2, P3 étaient sur les prise no 1?
523
32-13 Dans la Fig . 32-12, le contact mobile est sur la prise no 4 et une charge monophasée est branchée entre les bornes AR La tension entre les phases A, B, C est de 600 V et le courant dans la phase A est de 100 A . Calculer : a) la valeur du courant dans les lignes B et C b) la puissance apparente fournie à la charge 32-14 Dans le problème 32-13, le contact mobile est sur la prise no 6 et le courant dans la phase A est toujours de 100 A . Calculer la valeur du courant dans les phases B et C . 32-15 En se référant à la Fig . 32-15, la tension entre les bornes A, B, C est de 208 V, et la charge diphasée absorbe une puissance apparente de 1800 VA . Calculer: a) la valeur des tensions EAT et ENc b) le courant dans les quatre lignes qui alimentent la charge c) le courant dans les lignes A, B, C 32-16 En se référant à la Fig . 32-22, la tension de ligne de la source est maintenue constante à 24,5 kV . Calculer la valeur de la tension de ligne au secondaire :
0
Figure 32-26 Voir problème 32-12 .
.
. 0
a
0
a
a) lorsque le transformateur fonctionne à vide b) lorsque le transformateur alimente une charge capacitive de 1200 Mvar 32-17 Un autotransformateur déphaseur produit un déphasage maximal de 15° . Sachant qu'il doit transporter une puissance de 50 MVA, calculer sa puissance intrinsèque .
33 Moteurs asynchrones triphasés Les moteurs asynchrones triphasés sont les moteurs employés le plus fréquemment dans l'industrie . Ils possèdent en effet plusieurs avantages : simplicité, robustesse, prix peu élevé et entretien facile . Vu l'importance de ces moteurs, nous leur consacrerons trois chapitres . Dans le présent chapitre, nous étudierons la construction et les principes fondamentaux des moteurs asynchrones triphasés lorsqu'ils fonctionnent à fréquence fixe . Nous développerons les équations simples qui décrivent leur fonctionnement, et nous expliquerons l'agencement des enroulements . Dans les deux chapitres suivants, nous étudierons les applications de ces machines, leur circuit équivalent et leur fonctionnement lorsqu'ils sont alimentés à fréquence variable . 33.1 Parties principales Le moteur asynchrone triphasé (parfois appelé moteur d'induction triphasé) comprend deux parties : le stator (fixe) et le rotor (tournant) . Figure 33-1 Vue du stator d'un moteur asynchrone triphasé à cage d'écureuil de 2 kW, 1725 r/min . Les bobines du stator sont serrées dans les 48 encoches par des cales de fibre . Ensuite, le tout est trempé dans un vernis chaud qui pénètre jusqu'au fond des encoches et imprègne le bobinage au complet . Il en résulte une masse solide pouvant résister aux vibrations tout en offrant une bonne conduction de la chaleur vers l'extérieur de la machine . Les trois phases sont connectées en étoile et seulement trois fils sortent à l'extérieur (gracieuseté de Brook Crompton-Parkinson Ltd) .
Le stator comporte une carcasse en acier renfermant un empilage de tôles identiques qui constituent un cylindre vide ; ces tôles sont percées de trous à leur périphérie intérieure . L'alignement de ces trous forme des encoches dans lesquelles on loge un bobinage triphasé (Fig . 33-1) .
Le rotor se compose d'un cylindre de tôles poinçonnées à leur périphérie extérieure pour former les en524
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
coches destinées à recevoir des conducteurs . Il est séparé du stator par un entrefer très court - de l'ordre de 0,4 à 2 mm seulement . Il existe deux types de rotors : le rotor à cage d'écureuil et le rotor bobiné . L'enroulement du rotor à cage d'écureuil (Fig . 33-2) est constitué de barres de cuivre nues introduites dans les encoches ; ces barres sont soudées à chaque extrémité à deux anneaux qui les court-circuitent . L'ensemble ressemble à une cage d'écureuil d'où le nom de rotor à cage d'écureuil, ou simplement rotor à cage . Dans les moteurs de petite et moyenne puissance, les barres et les anneaux sont formés d'un seul bloc d'aluminium coulé (Fig . 33-3) .
Figure 33-2 Les 52 encoches du rotor sont fermées, ce qui explique la surface lisse extérieure . Les 52 barres de cuivre sont glissées à l'intérieur des encoches puis soudées aux anneaux extérieurs . Le ventilateur de gauche sert au refroidissement du moteur et le roulement à billes de droite maintient le rotor bien centré afin qu'il ne vienne pas frotter contre le stator (gracieuseté de Crompton-Parkinson) .
Les Fig . 33-4 et 33-5 montrent les différents stades de fabrication d'un moteur à cage d'écureuil .
1
2
3
4
4
Figure 33-3 Vue éclatée d'un moteur asynchrone dont le rotor possède une cage d'écureuil en aluminium coulé . Les anneaux coulés à chaque extrémité servent aussi de ventilateur.
525
5
Figure 33-4 Étapes de fabrication des laminations du stator et du rotor d'un moteur à cage d'écureuil . La feuille d'acier est coupée en carré (1) ; les coins sont arrondis et le trou de l'arbre est percé (2) ; les encoches du stator sont perforées (3) ; le diamètre intérieur est découpé, formant du même coup les laminations du rotor et du stator (4) ; les encoches du rotor sont perforées (5) .
526
ÉLECTROTECHNIQUE
cylindre piston
LILI ~àI
Le rotor bobiné comprend un bobinage triphasé, semblable à celui du stator, placé dans les encoches . Il est composé de trois enroulements raccordés en étoile ; l'extrémité libre de chaque enroulement est reliée à une bague tournant avec l'arbre (Fig . 33-6) . Ces bagues permettent, par l'intermédiaire de trois balais, d'insérer une résistance extérieure en série avec chacun des trois enroulements lors du démarrage du moteur . En fonctionnement normal, les trois balais sont courtcircuités.
admission de l'air comprimé
(b)
moule supérieur
rotor moule inférieur
résidu d'aluminium
(a)
rotor vu en coupe
Figure 33-5 Étapes du moulage d'une cage d'écureuil : a) On coule de l'aluminium fondu dans une cavité cylindrique . Les laminations empilées du rotor sont retenues entre deux moules . b) Sous l'action de l'air comprimé, un piston enfonce les laminations dans la cavité . Laluminium fondu est ainsi injecté dans les ouvertures des moules et dans les encoches du rotor. c) Le piston remonte et retire le rotor, les moules et l'aluminium figé qu'ils contiennent . d) Les moules sont enlevés, dégageant le rotor et sa cage d'écureuil .
(b) Figure 33-6 a) Vue éclatée d'un moteur asynchrone à rotor bobiné de 5 kW, 1730 r/min . b) Vue agrandie des bagues du rotor (gracieuseté de Crompton-Parkinson Ltd) .
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
527
33 .2 Principe de fonctionnement du moteur asynchrone Le fonctionnement du moteur asynchrone triphasé est basé sur l'application des principes I, II et 111 de l'électromagnétisme . On peut le comprendre à l'aide de l'exemple suivant . Considérons une série de conducteurs de longueur 1 dont les extrémités sont court-circuitées par deux barres conductrices A et B (Fig . 33-7) . Un aimant permanent, placé au-dessus de cette «échelle», se déplace rapidement vers la droite à une vitesse v, de sorte que son champ magnétique B coupe les conducteurs à tour de rôle.
Figure 33-8 Une échelle conductrice recourbée sur elle-même forme une cage d'écureuil . (Fig . 33-8) et l'aimant est remplacé par un champ tournant qui coupe les conducteurs du rotor. Ce champ tournant est créé par l'ensemble des courants triphasés circulant dans les trois enroulements du stator .
- ~5
33 .3 Champ tournant
Morte ÀffÀ/ÀL ---- ----- ---- -----
7
ë
-~o ©,
Figure 33-7 Un aimant permanent qui se déplace vers la droite tend à entraîner l'échelle conductrice . D'après le principe III, une tension E = Blv est induite dans chacun des conducteurs coupé par le champ . D'autre part, puisque le circuit est fermé par les barres et les autres conducteurs, un courant I se met à circuler dans le conducteur qui est momentanément en dessous de l'aimant (Fig . 33-7) . Ce courant traverse le champ magnétique de l'aimant permanent, de sorte que, d'après le principe II, le conducteur est soumis à une force mécanique . Cette force agit toujours dans une direction telle qu'elle entraîne le conducteur dans le sens de déplacement du champ . Si «l'échelle» de conducteurs était libre de se déplacer, elle accélérerait vers la droite . Cependant, à mesure qu'elle gagne de la vitesse, la «coupure» des conducteurs par le champ magnétique se fait moins rapidement et la tension induite diminue, de même que le courant I . Par conséquent, la force agissant sur les conducteurs situés en dessous de l'aimant diminue . Si l'échelle se déplaçait à la même vitesse que le champ, la tension induite, le courant I et la force deviendraient nuls . Dans le moteur asynchrone, l'échelle est recourbée sur elle-même pour former une cage d'écureuil
Considérons un stator élémentaire comportant 6 pôles saillants et bobiné de la façon indiquée à la Fig . 33-9 . Trois enroulements identiques Aa-aN, Bb-bN et Cc-cN, composés de 2 bobines en série (pôles nord et sud), sont disposés à 120° l'un de l'autre dans l'espace . Les extrémités N sont reliées pour former un montage en étoile . À cause de la symétrie parfaite des enroulements, les impédances entre les bornes A, B,
e
Figure 33-9 Stator élémentaire dont les enroulements sont connectés en étoile . Les bornes A, B, C sont raccordées à une source triphasée (pas montrée) .
528
ÉLECTROTECHNIQUE
C et le neutre N sont identiques . Les trois bobines dont les bornes sont A, B, C constituent donc une charge triphasée équilibrée . Par conséquent, si l'on applique une source de tension triphasée aux bornes A, B et C, des courants alternatifs identiques fa , Ib et II déphasés de 120° dans le temps traversent les bobines (Fig . 33-10) . Ces courants produisent des forces magnétomotrices qui engendrent des flux . Ce sont les flux qui nous intéressent . Afin de suivre la séquence des événements, nous supposons que les courants sont positifs lorsqu'ils circulent d'une ligne vers le neutre N . Un courant négatif circule donc du neutre vers la ligne . Supposons que chaque bobine possède 5 spires et que le courant crête par phase soit de 10 A . Ainsi, lorsque Ia = + 7 A, les deux bobines de la phase A produisent ensemble une FMM de 7 A x 10 spires = 70 A et un flux d'une valeur correspondante. Puisque le courant est positif, il produit un flux qui se dirige verticalement vers le haut, d'après la règle de la main droite . En observant, à différents instants, la valeur et le sens du courant dans chacune des bobines, on peut établir
+10
les directions successives du champ magnétique résultant (Fig . 33-10) . À l'instant 1, par exemple, le courant Ia a une valeur de +10 A alors que les courants Ib et le ont chacun -5 A . La FMM de la phase A vaut alors : 10 A x 10 = 100 A ; celles des phases B et C, 50 A chacune . La direction du flux étant imposée par le sens des courants . le champ doit avoir l'allure indiquée à la Fig . 33-1 la. On remarque que les six pôles produisent un champ résultant qui équivaut à celui que donneraient un seul pôle nord et un seul pôle sud . À l'instant 2, soit un sixième de cycle plus tard, le courant le atteint sa valeur crête de -10 A, tandis que les valeurs Ia et Ib sont de +5 A chacune (voir Fig . 33-10) . Comme précédemment, on détermine la valeur des FMM et l'on constate que le champ garde la même allure, sauf qu'il s'est déplacé (dans l'espace) d'un angle de 60° . En d'autres termes, le flux a effectué 1/6 de tour entre les instants 1 et 2 . En procédant ainsi pour chacun des instants 3, 4, 5, 6 et 7, séparés par des intervalles de 1/6 de cycle, on constate que le champ résultant exécute un tour complet pendant un cycle (Fig . 33-1 la à 33-11f) .
-
Ia /
5
60
120
180 -> angle 0
240
300
cycle
-10
L6~1 O
Figure 33-10 Courants instantanés circulant dans les enroulements de la figure 33-9, et position correspondante du champ magnétique .
360
degrés '
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
Figure 33-11 a. Champ magnétique à l'instant 1 ; l'orientation est verticale . b . Le champ magnétique à l'instant 2 est identique à celui de l'instant 1, sauf qu'il a tourné d'un angle de 60° . c . Champ magnétique à l'instant 3 .
529
d . Champ magnétique à l'instant 4 . e . Champ magnétique à l'instant 5 . f . Champ magnétique à l'instant 6 . Le flux a exécuté 5/6 de tour depuis l'instant 1 .
530
ÉLECTROTECHNIQUE
La vitesse de rotation du champ dépend donc de la fréquence de la source qui alimente le moteur . Si la fréquence des courants est de 60 Hz, le champ fait un tour complet en 1/60 s, ce qui équivaut à 60 tours par seconde ou 3600 tours en une minute . Par contre, si la fréquence est de 5 Hz, le champ effectue un tour en 1/5 s, ce qui donne une vitesse de rotation de 300 r/min seulement. Puisque la vitesse de rotation du champ est forcément synchronisée avec la fréquence du réseau, on l'appelle vitesse synchrone . 33 .4 Sens de rotation Les valeurs maximales des courants de la Fig . 33-10 se succèdent dans l'ordre A-B-C . On observe que, pour une telle séquence des phases, le champ tourne dans le sens horaire . Si l'on intervertit deux des fils de ligne alimentant le stator, la nouvelle séquence sera A-C-B . En suivant un raisonnement analogue à celui de la section 33 .3, on constaterait que le champ tourne à la vitesse synchrone dans le sens antihoraire, ce qui change le sens de rotation du moteur.
Figure 33-12a Le groupe 1 de la phase A est composé de 5 bobines réparties dans les encoches du stator . Les bobines sont raccordées en série . Le groupe 2 est identique au groupe 1 . Les deux groupes produisent un pôle N et un pôle S lorsque le courant circule dans les bobines . On montre en lignes pointillées le spectre du champ créé par la phase A .
33 .5 Nombre de pôles - vitesse synchrone Les stators des anciennes machines avaient des pôles saillants, mais les stators modernes sont lisses . Ainsi, le stator de la Fig . 33-9 est plutôt construit comme celui montré à la Fig . 33-12 . Les deux bobines originales Aa et aN constituent alors ce qu'on appelle les groupes 1 et 2 de la phase A (Fig . 33-12a) . Un groupe est donc équivalent à un pôle saillant . Chaque groupe est composé de 2, 3 ou plusieurs bobines disposées dans des encoches successives et raccordées en série . Par exemple, le groupe 1 de la Fig . 33-12a est composé de 5 bobines distribuées dans 10 encoches . Les cinq bobines ensemble constituent un pôle . De la même façon, les cinq bobines du groupe 2 constituent un pôle . Lorsque le courant Ia circule dans les deux groupes, il produit le flux montré dans la Fig . 33-12a . Les groupes des deux autres phases sont identiques à ceux de la phase A, mais ils sont disposés à 120° l'un de l'autre (Fig. 33-12b) . Le champ créé par l'ensemble des trois phases forme encore 2 pôles (Fig . 33-12b) . Lorsque les enroulements d'un stator sont arrangés pour former 2 pôles par phase (6 pôles en tout), on obtient un champ tournant bipolaire . En disposant plusieurs groupes de pôles sur le stator, on obtient un spectre magnétique multipolaire . Ainsi, une machine triphasée ayant 8 groupes par phase (soit 24 groupes au to-
Figure 33-12b Stator bipolaire montrant la disposition des groupes des trois phases . Le champ magnétique résultant correspond à l'instant où la = + 10Aet'b=le =-5A .
tal) produit un champ tournant à 8 pôles ; on l'appelle alors machine à 8 pôles (Fig . 33-13) . Le nombre de pôles du champ tournant est toujours égal au nombre de groupes par phase . Pour une même fréquence d'alimentation, la vitesse de rotation d'un champ multipolaire est inférieure à celle d'un champ bipolaire . On a vu que, pour une ma-
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
groupe 1 phase A (fa =+10A)
Exemple 33-1
groupe 1 phase B (Ib = - 5 A) groupe 1 phase C (II =-5 A)
groupe 8 phase A
531
Un moteur asynchrone possédant ?0 pôles par phase est alimenté par une source triphasée à 50 Hz . Calculer la vitesse synchrone . Solution
La valeur de la vitesse synchrone est :
ns =
120f = 120 x 50 p
= 300 r/min
20
33 .6 Démarrage du moteur à cage d'écureuil
Figure 33-13 Stator triphasé à 8 pôles et champ magnétique résultant à l'instant où Ia = + 10 A et Ib = le = - 5 A .
chine bipolaire, le champ tournant exécute un tour pendant un cycle . On peut démontrer que dans une machine à 8 pôles, le champ exécute 1/4 de tour seulement pendant 1 cycle . Sur un réseau à 60 Hz, la vitesse synchrone est alors 1/4 de tour par 1/60 s, ou 900 r/ min . Les 8 pôles de la Fig. 33-13 produisent un spectre magnétique qui ressemble à une roue à 8 rayons, tournant à une vitesse de 900 r/min . La vitesse de rotation du champ dépend donc de la fréquence de la source et du nombre de pôles du stator . Sa valeur est donnée par la formule :
ns =
120f
(33-1)
p où
n s = vitesse synchrone, en tours par minute [r/min] f= fréquence de la source, en hertz [Hz] p=
nombre de pôles par phase*
Cette expression indique que la vitesse synchrone augmente avec la fréquence, mais diminue avec le nombre de pôles . Le nombre de pôles est toujours un chiffre pair car un pôle N est toujours accompagné d'un pôle S . Lorsqu'on donne le nombre de paires de pôles p', la formule devient ns = 60 f/p'.
Au moment où l'on ferme l'interrupteur pour brancher les enroulements du stator d'un moteur asynchrone sur une ligne triphasée, le rotor à cage est encore au repos . Le champ tournant qui provient du stator coupe les conducteurs du rotor et il engendre une tension dans ceux-ci . Cette tension est alternative, car les conducteurs sont tantôt devant un pôle nord, tantôt devant un pôle sud du champ tournant . La fréquence de la tension dépend du nombre de pôles N et S passant devant un conducteur en une seconde ; lorsque le rotor est au repos, elle est toujours égale à la fréquence du réseau . Les conducteurs étant court-circuités à leurs extrémités par les deux anneaux, la tension induite fait circuler des courants . La résistance et l'inductance offertes par la cage sont très faibles et les courants sont intenses : quelques centaines d'ampères pour les machines de moyenne puissance . Les mêmes conducteurs du rotor portant ces courants se trouvent toujours dans le chemin du flux provenant du stator ; ils sont alors soumis à des forces électromagnétiques considérables . Les forces ainsi produites tendent à entraîner le rotor dans le sens de rotation du champ . Pour résumer:
1 . les tensions d'un système triphasé appliquées au stator d'un moteur asynchrone y produisent des courants triphasés ; 2 . les courants produisent un champ tournant (principe I) ; 3 . le champ tournant induit une tension dans les barres du rotor (principe III) ;
532
ÉLECTROTECHNIQUE
4 . la tension induite donne naissance à des courants intenses dans les barres ; 5 . les barres portant un courant, et situées dans un champ magnétique, sont soumises à des forces électromagnétiques (principe II) ; 6 . les forces tendent à entraîner le rotor dans le sens de rotation du champ .
Noter que la diminution de vitesse est très petite . Même à pleine charge, le glissement du rotor ne dépasse guère 0,5 % de la vitesse synchrone pour les gros moteurs (1000 kW et plus) et 3 % pour les petits (10 kW et moins) . C'est pourquoi l'on considère souvent les moteurs asynchrone comme des moteurs à vitesse constante .
33 .7 Accélération du rotor et glissement L'ensemble des forces agissant sur les conducteurs produit un couple qui met rapidement le rotor en mouvement quand il est libre de tourner . À mesure que le rotor accélère, la vitesse relative du champ tournant par rapport au rotor diminue . On note alors que la valeur et la fréquence de la tension induite dans les conducteurs du rotor diminuent, car la vitesse de coupure des lignes de flux décroît . Le courant, intense au début, tombe rapidement.
On ne peut augmenter indéfiniment la charge mécanique appliquée à un moteur asynchrone; si la charge dépasse une certaine valeur, la vitesse tombe subitement et le moteur s'arrête .
La vitesse du rotor continue d'augmenter, mais elle n'atteint pas celle du champ tournant. En effet, si le rotor tournait à la même vitesse que le champ (vitesse synchrone), le flux ne couperait plus les conducteurs ; la tension induite et les courants dans le rotor seraient donc nuls . Dans ces conditions, les forces agissant sur les conducteurs deviendraient nulles et le frottement du rotor sur les paliers et sur l'air aurait tôt fait de freiner le moteur . La vitesse du rotor doit donc être légèrement inférieure à la vitesse synchrone pour produire un courant et, par conséquent, un couple suffisant pour vaincre les frottements. À vide, c'est-à-dire lorsque le moteur n'entraîne aucune charge mécanique, la différence entre la vitesse du champ tournant et celle du rotor est très faible : moins de 0,1 % de la vitesse synchrone . On dit alors que le glissement est de 0,1 % . 33 .8 Moteur en charge On a vu que le moteur tourne à une vitesse voisine de la vitesse synchrone lorsqu'il n'est pas chargé . Quand on le charge, il ralentit . Le champ tournant coupe alors les barres du rotor à une vitesse relative plus grande . Il en résulte que la tension induite et le courant dans le rotor augmentent de façon à développer un couple suffisant pour vaincre la charge mécanique à entraîner . La vitesse se stabilise lorsque le couple développé par le moteur est exactement égal au couple imposé par la charge (voir section 1 .19, chapitre 1) .
33.9 Glissement et vitesse de glissement La vitesse de glissement ng d'un moteur asynchrone est simplement la différence entre la vitesse synchrone et la vitesse du rotor: n g =ns -n
(33-2a)
Par ailleurs, le glissements d'un moteur asynchrone est la différence entre la vitesse synchrone et celle du rotor exprimée relativement à la vitesse synchrone . On peut donc écrire : ns - n
ng
S = _
ns
(33-2b) ns
où s ns n ng
= glissement [p .u .] = vitesse synchrone [r/min] = vitesse du rotor [r/min] = vitesse de glissement [r/min]
La valeur de n est positive lorsque le rotor tourne dans le même sens que le champ tournant . Si on multiplie la valeur relative (p .u .) du glissement s par 100, on obtient le glissement en pour cent . Le glissement d'un moteur tournant à vide est presque nul alors qu'il est de 1 (ou 100 %) lorsque le rotor est à l'arrêt. Exemple 33-2
Un moteur asynchrone à 6 pôles est alimenté par une source triphasée à 60 Hz . En charge, il tourne à une vitesse de 1140 r/min . Calculer sa vitesse de glissement et son glissement .
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
Exemple 33-3 Un moteur asynchrone possédant 6 pôles est alimenté par une source triphasée de 60 Hz . Calculer la fréquence du courant dans le rotor dans les conditions suivantes :
Solution
Vitesse synchrone du moteur : 120 f = 120 x 60 ns = = 1200 r/min p
6
Vitesse de glissement : n g =ns -n
= 1200 -1140 = 60 drain En appliquant la formule (33-2b), on obtient le glissement : S
= ns - n =
60
ns
1200
a) rotor bloqué h) rotor tournant à 500 r/min dans le même sens que le champ tournant c) rotor tournant à 500 r/min dans le sens inverse du champ tournant d) rotor tournant à 2000 r/min dans le même sens que le champ tournant Solution
= 0,05 ou 5 %
La vitesse synchrone du moteur, calculée dans l'exemple 33-2, est de 1200 r/min .
33 .10 Tension et fréquence induites dans le rotor La tension et la fréquence induites dans le rotor dépendent du glissement . Elles sont données par les équations suivantes :
f2
= sf
(33-3)
a) À l'arrêt, la vitesse du moteur est nulle ; par conséquent, d'après l'équation 33-3, le glissement est :
s-
(33-4)
où = = s = E2 = f
fréquence dans le rotor [Hz] fréquence du réseau alimentant le stator [Hz] glissement tension induite dans le rotor à circuit ouvert
[V] Ego = tension induite dans le rotor à circuit ouvert,
le rotor étant immobile [V] Dans un rotor à cage, la tension E, 0 à circuit ouvert est celle qu'on obtiendrait aux bornes des barres si elles étaient disconnectées des anneaux . Dans le cas d'un moteur à bagues, elle est égale à 1/I3 de la tension mesurée aux bornes des bagues à circuit ouvert .
1200
La fréquence de la tension et du courant induits dans le rotor est :
f2 E2 = sE,,a
n s - n - 1200-0 = 1 ns
et
f2
533
= sf
= 1
X
60 =60Hz
b) Lorsque le moteur tourne dans le même sens que le champ, la vitesse n du moteur est considérée comme positive . Le glissement est :
S
= ns ns
n
= 1200 - 500 =
0,583
1200
La fréquence de la tension et du courant induits dans le rotor est: f2 = sf
= 0,583 x 60 = 35 Hz
c) Lorsque le rotor tourne dans le sens inverse du champ, la vitesse du moteur est négative . Le glissement est :
S -
ns - n - 1200 - (- 500) ns
1200
= 1,417
534 ÉLECTROTECHNIQUE
La fréquence de la tension et du courant induits dans le rotor est:
1 . Moteur fonctionnant à vide . Lorsque le moteur tourne à vide, le courant est compris entre 50 % et 30 % du courant de pleine charge . Ce courant est semblable au courant d'excitation d'un transformateur. Ainsi, il est composé en majeure partie d'un courant magnétisant qui produit le flux tournant 0m et d'une faible composante active pour fournir les pertes par frottement et aération, plus les pertes dans le fer. Le flux On, accroche le rotor et le stator : par conséquent, il est semblable à un flux mutuel (Fi -
f2 =sf=1,417x60 =85Hz
d) Lorsque le moteur tourne à 2000 r/min dans le même sens que le champ, la vitesse est toujours positive . Le glissement est: = 1200 - 2000 = _ 0,667 1200
_ ns - n S
ns
33-14) .
Un glissement négatif indique que le moteur fonctionne comme génératrice . La fréquence de la tension et du courant dans le rotor est : f2 = s f
La puissance réactive requise pour créer le champ tournant est donc considérable et, afin de la réduire.
= - 0,667 x 60 = - 40 Hz
Une fréquence négative indique que la séquence des phases dans le rotor est inversée . Par exemple, si la séquence des tensions dans le rotor est A-B-C lorsque la fréquence est positive, la séquence sera A-C-B lorsque la fréquence devient négative . Toutefois, un fréquencemètre donnera la même lecture, que la fréquence soit positive ou négative .
33 .11
Caractéristiques des moteurs à cage d'écureuil
Le tableau 33-1 donne les caractéristiques électriques moyennes des moteurs asynchrones à cage d'écureuil dans la gamme des puissances comprises entre 1 kW et 20 MW. Les explications suivantes nous aideront à comprendre les valeurs relatives (p .u .) indiquées .
TABLEAU 33-1
CARACTÉRISTIQUES DES MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
courant p .u .
condition de charge
couple p .u .
puissance faible* grande* pleine charge
Figure 33-14 Lorsqu'un moteur asynchrone fonctionne à vide, le flux créé est essentiellement un flux mutuel Om . À cause de la présence de l'entrefer, une puissance réactive considérable est requise pour produire ce flux .
vitesse p .u .
puissance puissance faible grande faible grande
rendement p .u .
facteur de puissance
puissance faible grande
puissance faible grande
0,7 à 0,9 0,93 à 0,98
0,8 à 0,85 0,87 à 0,90
1
1
1
1
0,97
0,996
à vide
0,5
0,3
0
0
-- 1
-- 1
0
0
0,2
0,05
rotor bloqué
5à8
4à6
1,5à3
0,5à1
0
0
0
0
0,4
0,1
* faible puissance veut dire 1 kW à 10 kW
* grande puissance veut dire 1 MW à 20 MW
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
on est amené à utiliser un entrefer aussi petit que possible, en tenant compte des tolérances mécaniques acceptables . Le facteur de puissance à vide est compris entre 20 % pour les petits moteurs et 5 % pour les gros . Le rendement est nul, car la machine ne débite aucune puissance utile . 2 . Moteur fonctionnant à pleine charge . Lorsque le moteur est en charge, le courant circulant dans le rotor produit une FMM qui tend à changer le flux mutuel o,,, . Ceci engendre un courant dans le stator dont la FMM tend à s'opposer à celle créée par le rotor. Ces FMM sont très semblables à celles produites par le primaire et le secondaire d'un transformateur sous charge . Par conséquent, en plus du flux mutuel O,,,, des flux de fuite Ofl et O sont créés, (Fig . 33-15) . Lorsque le moteur fonctionne en charge, la puissance réactive (kvar) requise pour produire ces trois flux est légèrement supérieure à celle absorbée à vide . Par contre, la puissance active (kW) absorbée par le moteur varie proportionnellement avec la charge mécanique . Il s'ensuit que le facteur de puissance du moteur (kW/kVA) s'améliore à mesure que la charge croît : à pleine charge, il est compris entre 80 % pour les petits moteurs et 90 % pour les gros . Le rendement à pleine charge est particulièrement élevé ; il peut atteindre 98 % pour les grosses machines .
535
Enfin, le tableau indique que la vitesse à pleine charge est comprise entre 0,97 et 0,996 de la vitesse synchrone . 3. Moteur au démarrage . Lorsque le rotor est bloqué, le courant est 5 à 8 fois plus grand que le courant de pleine charge . Cela entraîne des pertes Joule de 25 à 64 fois plus grandes que les pertes normales . On doit donc éviter de bloquer le rotor, pour prévenir la surchauffe des enroulements . Puisque le moteur ne tourne pas, la puissance mécanique est nulle, son rendement est donc nul . Cependant, il développe un couple considérable . En ce qui concerne le facteur de puissance, il demeure bas, car une grande puissance réactive est requise pour entretenir les flux de fuite du rotor et du stator. Ces flux sont beaucoup plus grands que dans un transformateur, car les enroulements du stator et du rotor ne sont pas couplés aussi étroitement (voir section 30 .12) . 33.12
Calcul approximatif des caractéristiques d'un moteur
Le tableau 33-1 nous permet de calculer l'ordre de grandeur des caractéristiques d'un moteur asynchrone quelconque . L'exemple suivant présente la marche à suivre .
Exemple 33-4 Soit un moteur asynchrone triphasé de 500 hp . 2300 V, 890 r/min . a) Exprimer la puissance du 1nolcur en kilowatts . b) Calculer la valeur approximative du courant de pleine charge . du courant n % idc et du courant de démarrane c) Faire une estimation (le la puissance apparente tirée parle moteur nu nuement du démarrage . sous pleine tension . d) Calculer la valeur approximaliv e du couple lorsque le rotor est bloqué .
Solution
Figure 33-15 À pleine charge, le flux mutuel Om diminue mais des flux de fuites sont créés par le rotor et le stator. Il s'ensuit que la puissance réactive est légèrement supérieure à celle obtenue dans la figure 33-14 .
a) La puissance d'un moteur est toujours celle que le moteur développe mécaniquement. La puissance de 500 hp correspond à 500 x 746 = 373 kW. Le tableau donne les caractéristiques relatives pour les moteurs dont la puissance est comprise entre 1 kW et 10 kW, pour ensuite sauter de 1 MW à 20 MW. Comme
536
ÉLECTROTECHNIQUE
la puissance du moteur est plus proche de 1 MW que de 10 kW, nous tirons les valeurs suivantes du tableau : rendement : 0,93 facteur de puissance : 0,87 courant à vide : 0,3 p .u . couple à rotor bloqué : 0,5 à 1 p .u . courant à rotor bloqué : 4 à 6 p .u . b) Puissance active tirée de la ligne : P = 373 kW/rendement = 373/0,93 = 401 kW Puissance apparente tirée de la ligne : S = 401 kWIFP = 401/0,87 = 461 kVA
éq. 25-6
Puissance réactive tirée de la ligne : Q = J(461 2 - 401 2) = 227 kvar
éq. 25-5
Courant de pleine charge : I = S/(E i3) = 461000/(2300 I3)
éq . 26-3
où I = courant approximatif à pleine charge [A] Php = puissance nominale du moteur, en horsepower [hp] Pkw = puissance nominale du moteur, en kilowatts [kW] E = tension triphasée nominale du moteur [V] 600, 800 = constantes empiriques Par exemple, un moteur triphasé de 30 hp, 600 V, tire un courant d'environ 30 A à pleine charge . On se souviendra également que la valeur du courant de démarrage (rotor bloqué) vaut environ 6 fois celle du courant de pleine charge et que le courant à vide est compris entre 30 % et 50 % du courant de pleine charge . Ces règles de base permettent de calculer les valeurs approximatives du courant de n'importe quel moteur triphasé alimenté à une tension quelconque .
33.13
= 116A Courant à vide = 116 x 0,3 p .u. = 35 A Courant à rotor bloqué = 116 x (4 à 6 p .u .) = 464 A à 696 A selon le design . c) Puissance apparente lorsque le rotor est bloqué : S = 2300 ' 3 x (464 A à 696 A) = 1,8 à 2,8 MVA d) Couple de pleine charge : T _ 9,55 P _ 9,55 x 373 000 n
éq . 1-5
890
= 4 kN .m Couple à rotor bloqué : Tbloqué = 4 kN •m x (0,5 à 1,0 p .u .) = 2 à 4 kN •m, selon
le design . Il est parfois utile de faire une estimation rapide des courants et des puissances d'un moteur asynchrone triphasé . On peut alors utiliser l'une des formules suivantes qui donnent la valeur approximative du courant à pleine charge :
Cheminement de la puissance active
Les tensions et les courants d'un moteur asynchrone permettent de comprendre son fonctionnement détaillé . Cependant, on comprend mieux la transformation de l'énergie électrique en énergie mécanique en suivant le cheminement de la puissance active qu'il absorbe (voir Fig . 33-16) . Ainsi, lorsqu'on alimente un moteur asynchrone, une partie Pj, de la puissance active P e qu'il reçoit est dissipée par effet Joule dans les enroulements du stator, et une autre partie Pf est perdue dans le fer. Le reste de la puissance, P r , est transporté au rotor, par induction, à travers l'entrefer . Une troisième tranche Pe r se dissipe par effet Joule dans les enroulements du rotor, et le reste P m est enfin disponible sous forme de puissance mécanique. Si l'on en soustrait les pertes par ventilation et friction P,, on obtient la puissance mécanique Pmc fournie à la charge. Afin d'exploiter ce diagramme de répartition des puissances actives pour les calculs, on donne ci-après trois relations importantes associées à ces diverses puissances . 1 . Rendement . Le rendement du moteur est, par dé-
I = 600 Php (33-5a) E 800 PkW I= E
(33-5b)
finition, le rapport entre le puissance mécanique Pmc fournie à la charge et la puissance électrique P e fournie au moteur soit: Pmc rendement (Il) =
Pe
(33-6)
537
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
pertes par frottement et aération puissance mécanique puissance mécanique pv fournie à la charge
n
Figure 33-16 Cheminement de la puissance active dans un moteur asynchrone triphasé . Dans plusieurs calculs pratiques, les pertes P, sont assimilées aux pertes Pf dans le fer . Dans ce cas Pmc = Pm .
2 . Pertes Joule dans le rotor. On
peut démontrer (texte encadré) que la relation entre les pertes Joule Pj r dans le rotor et la puissance P r qu'il reçoit est donnée par la formule : Pjr = sPr
Pj r = sPr
D émonstration de la relation puissance électromagnétiqu transmise au rotor
puissance mécaniqu -
pertes électriques dans le rotor
(33-7) Pm - Pr Pjr
ou
(i)
D'après l'équation 1-5 du côté du rotor : vitesse du rotorx couple mécaniqu Pm 9,55
Pi, = pertes Joule dans le rotor [W] s = glissement Pr = puissance transmise au rotor [W] La puissance mécanique Pi, développée par le moteur est égale à la puissance transmise au rotor moins les pertes Joule dans celui-ci . Ainsi, 3 . Puissance mécanique .
Pm = P r (1 - s)
9,55 D'après l'équation 1-5 du côté du stator : P = vitesse du fluxx couple électromagnétiqu
Pm = Pr - Pjr = Pr - sPT d'où
doncP,,, =
r
9,55
(33-8) donc Pr =
(iii
nsTmag
9,55 En raison des pertes Pv par frottement et aération, la puissance mécanique Pr„, disponible pour entraîner la charge est légèrement inférieure à P,,,. Dans la plupart des calculs pratiques, on incorpore les pertes Pv avec les pertes dans le fer Pf . Dans ces circonstances, la puissance Pmc se confond avec la puissance P m . Le couple développé par le moteur est donné par l'expression : 4 . Couple du moteur.
9,55 Pm T = éq. 1-5 n
mais d'après la loi de l'action et de la réaction de Newton, le couple mécaniquim est nécessairement égal au couple électromagnétiquêmag soit aussi
Tm = Tmag s=(ns -n)ln s
en substituant (ii), (iii) et (iv) dans Pj r ='sP r
éq. 33-21 (i)
on trouve
538
ÉLECTROTECHNIQUE
Si on substitue dans cette équation les expressions du glissement (33-2) et de la puissance mécanique (33-8), on obtient : 9,55 Pr 9,55P, (l - s) T= _ ns (1 - s) ns donc 9,55 Pr T=
(33-9) ns
où T = couple, en newton-mètres [N •m ] Pr puissance transmise au rotor, en watts [W] n s = vitesse synchrone, en tours par minute [r/min] 9,55 = facteur tenant compte des unités [valeur exacte 30/hr] Les équations 33-6 à 33-9 sont valables pour toutes les vitesses, positives et négatives, y compris la vitesse nulle au moment du démarrage. L'équation 33-7 nous indique que les pertes Joule dans le rotor croissent lorsque le glissement augmente . Ainsi, un rotor tournant à la moitié de la vitesse synchrone (s = 0,5) dissipe sous forme de chaleur 50 % de la puissance qu'il reçoit . Au moment du démarrage (s = 1), toute la puissance est dissipée en chaleur dans le rotor . L'équation (33-9) nous révèle que le couple est d'autant plus grand que la puissance P r fournie au rotor est plus élevée . Donc, pour obtenir un fort couple de démarrage, il faut fournir une grande puissance active au rotor . Toutefois, comme celle-ci est alors entièrement dissipée en chaleur, la température du rotor monte très rapidement .
Figure 33-17a Voir exemple 33-5 .
Exemple 33-5 Un moteur asynchrone triphasé ayant une puissance nominale de 100 hp (-= 75 kW) est alimenté par une lime à 600 V (Fie . 33-17a) . Deux wattmètres placés dans les fils (le ligne indiquent une puissance totale de 70 kW et un ampèremètre indique un courant de ligne de 73 A . Des mesures précises indiquent une vitesse de rotation de 1763 r/min . De plus, on fournil 1 information suivante : pertes dans le fer = 2 kW pertes par ventilation et friction = 1 2 kW résistance entre deux bornes du stator = 0 .3-1 S2 Calculer : a) la puissance P r fournie au rotor b) les pertes Joule dans le rotor la puissance mécanique fournie à la charge . en hp d) le rendement du moteur e) le couple développé par le moteur
Solution 1 . Puissance fournie au stator : P e =70kW 2 . Résistance du stator par phase (on suppose une connexion en étoile) : R=0,34=2=0,17 S2 3 . Pertes Joule dans le stator: pi, =3RI 2 =3 x0,17x(78) 2 =3,1kW 4 . Pertes dans le fer : Pf=2kW 5 . Puissance fournie au rotor : Pr =P e -Pj s
-Pf=(70-3,1-2)=64,9 kW
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
539
6 . Glissement: S = ns - n = 1800 - 1763 = 0,0206 ns 1800 7 . Pertes Joule dans le rotor : Pjr = sPr = 0,0206 X 64,9 = 1,3 kW 8 . Puissance mécanique interne Pm : Pm = Pr -Pjr = 64,9 - 1,3 = 63,6 kW
Figure 33-17b Cheminement des puissances pour l'exemple 33-5 .
9 . Puissance mécanique Pmc fournie à la charge : Pmc = Pm - Pv = 63,6 - 1,2 = 62,4 kW 10 . Puissance mécanique exprimée en horsepower : Pmc = 62 400 = 83,6 h p 746 11 . Rendement du moteur : Pmc 62,4 = 0,89 ou 89 % Pe
70
12 . Couple interne développé par le moteur : 9,55 Pr T = ns = 9,55 x 64 900 = 344 N •m 1800 13 . Couple qui entraîne la charge : 9,55 Pmc Tmc n 9,55 x 62 400 = 338 N -m 1763 Ce couple est légèrement inférieur au couple interne à cause du couple requis pour vaincre les pertes par ventilation et friction . La Fig . 33-17b montre le cheminement des puissances . 33 .14 Courbes du couple en fonction de la vitesse Considérons un moteur à cage, alimenté par une source triphasée dont la tension et la fréquence sont fixes . À mesure qu'on augmente la charge mécanique, la vi-
tesse baisse progressivement . Cependant, lorsque le couple atteint la valeur critique appelé point de décrochage, la vitesse chute subitement et le moteur s'arrête . Il existe donc une relation entre le couple développé par le moteur et sa vitesse . Cette relation n'est pas simple ; c'est pourquoi on préfère la présenter sous forme de courbe plutôt que par une équation . On montre à la Fig . 33-18 une courbe du couple en fonction de la vitesse pour un moteur de 1 kW, de construction conventionnelle . Si T désigne la valeur du couple de pleine charge, on voit que le couple de démarrage vaut 1,5 T. À mesure que la vitesse croît, le couple diminue, et passe par un minimum avant d'augmenter de nouveau . Il atteint une valeur maximale de 2,5 T à 80 % de la vitesse synchrone . Passé ce point, le couple diminue, tandis que la vitesse continue à augmenter . On passe alors par le point d'opération normal (T, n) de pleine charge, avant d'atteindre la vitesse synchrone ns, où le couple est nul . Les moteurs de petite puissance (10 kW et moins) atteignent leur couple de décrochage à une vitesse nd qui est d'environ 80 % de la vitesse synchrone ; les machines de grosse puissance (1000 kW et plus) décrochent à une vitesse de l'ordre de 0,98 ns . La forme de la courbe couple/vitesse dépend donc de la grosseur du moteur et de ses caractéristiques particulières . 33 .15 Effet de la résistance du rotor Si l'on augmente la résistance du rotor sans effectuer aucun autre changement, on constate que la courbe du couple en fonction de la vitesse change . Le couple de décrochage demeure le même, mais il est développé à une vitesse plus basse . Le couple de démarrage, la vi-
540
ÉLECTROTECHNIQUE
20
40
60 vitesse de rotation
80 nd
Figure 33-18 Courbe typique du couple en fonction de la vitesse d'un moteur asynchrone triphasé de 1 kW.
tesse de régime permanent et les autres propriétés du moteur sont également affectés comme le démontre l'exemple suivant. La Fig . 33-19a illustre les caractéristiques du couple en fonction de la vitesse (T vs n) et du courant en fonction de la vitesse (I vs n) d'un moteur à cage de 10 kW, 50 Hz, 380 V ayant une vitesse synchrone de 1000 r/min . Le couple nominal est de 100 N .m . Le courant nominal est de 20 A, le courant à vide est de 7 A, et le courant de démarrage est de 100 A . La résistance du rotor a une valeur normale R .
(Fig . 33-19 c) . Cela procure une réduction intéressante du courant de démarrage . Cependant, la vitesse au couple nominal est maintenant de 800 r/min seulement . TABLEAU 33-2
RÉSISTANCE DU ROTOR
à vide courant
(A)
7
7
7
7
à pleine charge (T = 100 N •m ) courant
(A)
20
20
20
20
couple
(N •m )
100
100
100
100
À pleine charge, le couple est de 100 N •m à une vi-
vitesse
(r/min)
960
900
800
0
tesse de 960 r/min . Le couple de décrochage de
au démarrage
250 N •m se produit à une vitesse de 800 r/min .
courant
(A)
100
90
70
20
couple
(N •m )
100
200
250
100
La Fig . 33-19b montre les nouvelles courbes T vs n et I vs n lorsque la résistance du rotor est augmentée à 2,5 R . (Cette augmentation pourrait se faire en remplaçant le rotor par un autre dont la section des barres et des anneaux est réduite par un facteur 2,5 .)
On constate que le couple de démarrage augmente de 100 à 200 N •m , alors que le courant correspondant diminue de 100 A à 90 A . Le couple de décrochage nd est atteint lorsque la vitesse est de 500 r/min, comparativement à sa valeur originale de 800 r/min . Notons aussi que la vitesse au couple nominal (100 N •m) est maintenant 900 r/min au lieu de 960 r/min . En doublant à nouveau la résistance de telle sorte qu'elle devienne 5 R, on atteint un couple de démarrage de 250 N •m pour un courant correspondant de 70 A
Si l'on augmente la résistance au-delà de 5 R, le couple de démarrage commence à décroître . Par e xemple . si la résistance est 25 R, le courant de démarrage est de 20 A seulement, mais le moteur développe le même couple que lorsque le courant était de 100 A (Fig . 3319d) . Le tableau 33-2 montre les caractéristiques principales du moteur en fonction de la résistance du rotor . En résumé, une résistance du rotor relativement élevée donne un bon couple de démarrage tout en réduisant le courant correspondant. Par contre, en régime normal, on désire une résistance basse, car la vitesse demeure plus stable lorsque la charge varie, les pertes Joule au
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
démarrage (a) R résistance normale du rotor
T nominal pleine charge (10 kW) I donnant 100 N •m 960 r/min
7 A à vide
(b) 2,5 R résistance du rotor
(c) 5R résistance du rotor
A 70
0
oU
C N o 0 U 20 500 800 1000 r/min vitesse
I donnant 100 N •m --------------7 A à vide-1000 r/min
00
(d) 25 R résistance du rotor
Figure 33-19 Courbes montrant le changement progressif des propriétés d'un moteur asynchrone de 10 kW, 50 Hz, 380 V à mesure que la résistance du rotor augmente .
- vitesse
541
542
ÉLECTROTECHNIQUE
rotor sont moins élevées et le rendement du moteur est meilleur. On peut atteindre ces deux objectifs opposés en utilisant une construction spéciale pour la cage d'écureuil (voir chapitre 34, section 34-3) . Une autre solution est d'employer un moteur à rotor bobiné . Le rotor bobiné permet de faire varier la résistance du rotor au moyen d'un rhéostat extérieur, selon les exigences . 33 .16
Moteur à rotor bobiné
Nous avons vu à la section 33 .1 les différences de construction entre le moteur à cage d'écureuil et le moteur à rotor bobiné. Ce dernier est aussi appelé moteur à bagues . Bien que le moteur à bagues soit plus coûteux que le moteur à cage, il offre, cependant, les avantages suivants : 1 . son courant de démarrage est moins élevé que celui d'un moteur à cage lorsqu'on intercale trois résistances extérieures dans l'enroulement triphasé du rotor 2 . son couple de démarrage est alors supérieur à celui du moteur à cage ordinaire 3 . sa vitesse peut être réglée au moyen de résistances extérieures En plus de convenir aux charges qui demandent une vitesse variable, ce moteur s'adapte parfaitement aux charges qui exigent une période de démarrage prolongée, accompagnée d'un couple de démarrage élevé . La Fig . 33-20 représente schématiquement le montage employé pour le démarrage d'un moteur à rotor bobiné . Par l'intermédiaire des bagues, on relie les enroulements du rotor à trois résistances extérieures variables, raccordées en étoile . Au démarrage, les résistances variables ont leur valeur maximale . Au fur et à
o o o
source triphasée
mesure que la vitesse du moteur augmente, on réduit la valeur des résistances . Quand la vitesse de régime permanent est atteinte, on court-circuite les trois enroulements . Un choix approprié de la valeur des résistances (Fig . 33-19) permet d'obtenir à la fois une grande diminution du courant de démarrage et une forte augmentation du couple moteur. Dans le cas des moteurs de grande capacité, on utilise souvent un rhéostat liquide pour assurer le démarrage . Ce rhéostat est constitué de trois électrodes baignant dans un électrolyte dont le principal composant est de l'eau. Pour faire varier la résistance, on change tout simplement le niveau de l'électrolyte qui entoure les électrodes . La grande capacité thermique de l'eau évite une augmentation excessive de température lors du démarrage . Par exemple, dans un poste de transformation à Winnipeg, Manitoba, on utilise un moteur à rotor bobiné de 1260 kW avec rhéostat liquide pour démarrer et porter à la vitesse synchrone un gros compensateur synchrone de 160 MVA . On peut régler la vitesse du moteur à rotor bobiné en faisant varier la résistance du rhéostat . La vitesse est d'autant plus basse que la résistance est plus grande . Cette méthode présente l'inconvénient qu'une partie importante de la puissance fournie au moteur est dissipée en chaleur dans les résistances ; le rendement est donc mauvais . De plus, la vitesse varie sensiblement avec les fluctuations de la charge mécanique . La puissance motrice qu'on peut tirer d'un moteur à rotor bobiné dépend de sa vitesse . Ainsi, pour le même échauffement, un moteur qui peut produire 100 kW à 3600 r/min ne fournira que 40 kW environ à 1800 r/min . Lorsqu'on désire faire varier la vitesse d'un gros mo-
stator balais
rotor bagues rhéostat de démarrage et de commande de vitesse Figure 33-20 Montage d'un moteur à rotor bobiné .
544
ÉLECTROTECHNIQUE
roule de sorte que la circonférence devienne rectiligne (Fig . 33-22a) . Les 24 bobines sont tenues debout dans chacune des 24 encoches .
1 pôle d'une phase
chaque pôle comprend 2 bobines en sém
1
M
Figure 33-23a Lenroulement est composé de 12 groupes de 2 bobines par groupe .
encoche 2 Figure 33-22a Les 24 bobines sont tenues debout dans les 24 encoches . La largeur P est le pas de bobine .
Si l'on rabat les enroulements de sorte que les autres côtés des bobines tombent aussi dans les encoches, on obtient l'apparence classique d'un enroulement triphasé imbriqué (Fig . 33-22b) . Il reste à connecter les bobines ensemble afin d'obtenir le nombre de pôles requis et à sortir les trois fils d'alimentation à l'extérieur de la machine . L'exemple illustratif qui suit fera comprendre les différentes connexions et la façon de disposer les bobines .
4 4 i i .- Z - =20 21 22 23 24 1
2
3
4
5
6
7
Figure 33-22b Les bobines sont rabattues, créant ainsi l'apparance typique d'un enroulement imbriqué .
Exemple illustratif 33-6 On veut bobiner un moteur triphasé à 4 pôles, utilisant un stator à 24 encoches . Le bobinage sera donc composé de 24 bobines . Les 24 bobines étant placées debout, chacune dans une encoche, nous déterminerons d'abord l'emplacement des groupes, puis nous ferons les connexions requises pour la phase A . La même méthode est utilisée pour les phases B et C . On fait alors le raisonnement suivant : a) Le champ tournant possède 4 pôles ; le moteur a donc 4 pôles par phase, soit un total de 12 groupes pour les 3 phases . Chaque rectangle de la Fig . 33-23a représente un groupe avec ses deux fils d'entrée et de sortie . Comme le stator comporte 24 bobines, chaque groupe sera composé de 24/12 = 2 bobines consécutives . Le schéma indique 12 groupes, donc 12 «pôles», mais le stator créera un champ tournant à 4 pôles lorsque les 3 phases seront alimentées .
b) Les 4 groupes d'une phase doivent être répartis de façon uniforme autour du stator . On doit donc répartir la phase A selon la distribution de la Fig . 33-23b. Remarquons qu'en ce qui concerne les tensions induites, la séparation mécanique entre deux groupes consécutifs d'une phase donnée correspond toujours à un déphasage électrique de 180° .
+180° électriques--J
Figure 33-23b Les 4 groupes de la phase A sont disposés symétriquement autour du stator.
c) Les pôles successifs d'une phase doivent être de polarités contraires . On raccorde donc les 4 groupes de la phase A en série de façon à obtenir successivement des pôles N S N S (Fig . 33-23c) . En pratique, on fait les connexions après que les bobines aient été rabattues dans les encoches . Les groupes d'une même phase peuvent être raccordés en série. en parallèle ou en série-parallèle, pour autant que les polarités N, S soient respectées .
A
commencement phase A
A
Figure 33-23c Les groupes de la phase A sont raccordés en série afin de créer des pôles N,S successifs .
d) La répartition des groupes des phases B et C est identique à celle de la phase A . Cependant, on doit décaler leurs pôles N et S respectivement de 120° et de 240° électriques par rapport à ceux de la phase A (Fig . 33-23d) .
543
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
teur, la perte de puissance continuelle dans un rhéostat extérieur devient inacceptable . Dans ces circonstances, on utilise des onduleurs électroniques dans le circuit du rotor. Au lieu de gaspiller cette énergie, les onduleurs la renvoient dans le réseau triphasé qui alimente le moteur. Le principe de fonctionnement de ces onduleurs est expliqué au chapitre 44 . 33 .17 Bobinages triphasés En 1883, à l'âge de 27 ans, le Yougoslave Nikola Tesla inventait le moteur asynchrone triphasé . Son premier modèle ressemblait beaucoup au stator de la Fig . 33-9 . Depuis, la construction des machines et, en particulier, des bobinages a beaucoup évolué ; les moteurs asynchrones modernes sont tous construits avec des enroulements distribués dans plusieurs encoches . Presque tous les moteurs triphasés utilisent les enroulements imbriqués . Un enroulement imbriqué est composé de groupes de bobines distribués uniformément à la périphérie du stator (voir, par exemple, les Fig . 33-1, 33-12 et 33-13) . Le nombre de groupes est donné par l'expression : nombre de groupes = nombre de pôles
x nombre de phases
Par exemple, un moteur triphasé à 4 pôles aura 4 x 3 = 12 groupes . Étant donné qu'un groupe doit comprendre au moins une bobine, il s'ensuit que le nombre de bobines ne peut pas être inférieur au nombre de groupes . Ainsi, un moteur triphasé à 4 pôles doit posséder au moins 12 bobines . Dans un enroulement imbriqué le nombre de bobines est égal au nombre d'encoches . Par conséquent, un moteur triphasé à 4 pôles doit avoir au moins 12 encoches . Cependant, les concepteurs de machines ont découvert qu'il est préférable d'employer 2, 3 bobines ou plus par groupe plutôt que seulement une . Cela augmente proportionnellement le nombre de bobines et d'encoches . Par exemple, un moteur triphasé à 4 pôles avant 5 bobines par groupe aura un total de 4 pôles x 3 phases x 5 bobines/groupe = 60 bobines logées dans 60 encoches . Les bobines d'un même groupe sont raccordées en série et elles sont réparties dans 5 encoches successives (Fig . 33-21) . Les bobines sont identiques et peuvent contenir plusieurs spires . La largeur d'une bobine s'appelle pas de la bobine . Il est évident qu'un enroulement distribué de cette panière dans plusieurs encoches coûte plus cher que
1-
-2
-
Figure 33-21 Les cinq bobines raccordées en série forment un groupe . Un groupe correspond à un pôle d'une phase .
si l'on utilisait une seule bobine par groupe . Cependant, un enroulement distribué améliore le couple lors du démarrage, tout en réduisant le bruit lorsque le moteur atteint sa vitesse de régime permanent. Lorsque le stator est excité par une source triphasée, un champ tournant multipolaire est créé . La distance entre deux pôles adjacents s'appelle pas polaire . Un pas polaire est égal à la circonférence intérieur du stator divisée par le nombre de pôles . Par exemple, un stator à 12 pôles, 72 encoches ayant un diamètre intérieur de 200 mm aura un pas polaire de : pas polaire =
ird
pôles
=x 200 = 52,3 mm 12
En pratique, le pas polaire est exprimé par le nombre d'encoches divisé par le nombre de pôles . Ainsi, dans l'exemple que nous venons de donner, le pas polaire serait : pas polaire = n
o mbre d'encoches = 72 nombre de pôles
12
6 encoches Il s'ensuit qu'un pas polaire s'étend de l'encoche 1 à l'encoche 7 . Le pas de bobine est habituellement compris entre 80 % et 100 % du pas polaire . L'utilisation d'un pas raccourci (inférieur à 100 %) permet d'améliorer la distribution du flux tournant, et de diminuer la quantité de cuivre requise . Dans le cas d'une machine à 2 pôles, le pas raccourci facilite de beaucoup le bobinage du moteur. Afin d'expliquer la façon dont l'enroulement imbriqué est installé dans les encoches, considérons un stator possédant 24 encoches, et imaginons qu'on le dé-
546
ÉLECTROTECHNIQUE
La Fig . 33-26 montre quelques étapes du bobinage d'un moteur de 37,5 kW (50 hp) . 33.18
Principe du moteur linéaire Soit un moteur triphasé à 8 pôles, 440 V, 60 Hz ayant une vitesse synchrone de 900 r/min. Coupons le stator en deux et enlevons la moitié de l'enroulement . Il ne
reste donc que 4 pôles par phase . Raccordons les trois phases en étoile, sans modifier les autres connexions entre les bobines . Enfin, montons le rotor au dessus de ce stator sectoriel, en laissant un petit entrefer (Fig . 33-27) . Si l'on raccorde les bornes du stator à une source triphasée de 60 Hz, le rotor tournera de nouveau à une
(a)
(c)
(b)
(d)
Figure 33-26 Bobinage du stator d'un moteur asynchrone triphasé de 37,5 kW, 1765 r/min, 575 V. Ce stator contient 48 encoches qui logent autant de bobines . a) Bobine formée de 10 spires de 4 fils #17 isolés avec un vernis polyimide et prête à placer dans deux encoches .
c) Chaque côté de bobine remplit la moitié d'une encoche et on le recouvre d'un papier isolant afin qu'il ne vienne pas en contact avec la deuxième bobine qui sera posée par-dessus . La photo montre, à partir du haut, trois encoches vides non isolées et 4 encoches vides isolées avec papier spécial . Les 10 autres encoches contiennent un côté d'une bobine .
b) On place un côté de la bobine dans l'encoche 1 (disons) et l'autre côté dans l'encoche 12 . Le pas de la bobine s'étend donc de 1 à 12 .
d) Une feuille de toile vernie, découpée en forme de triangle, sert à augmenter l'isolation entre deux phases adjacentes (gracieuseté d'Électro Mécanik) .
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
545
commencement phase B
0 0
A
A
C
T
iii
Figure 33-23d Le début B 1 de la phase B est décalé de 120° électriques par rapport au début A 1 de la phase A. Le début C 1 de la phase C est décalé de 120° électriques par rapport au début B 1 de la phase B . Cette répartition permet de désigner correctement tous les pôles des phases B et C autour du stator .
Figure 33-24 Le pas polaire va de l'encoche 1 à l'encoche 7 ; le pas des bobines s'étend de l'encoche 1 à l'encoche 6 .
e) Les groupes des phases B et C sont raccordés en série de la même façon que pour la phase A (Fig . 33-24e) . On obtient donc six bornes A1,A2 ; B1,B2 ; C1,C2 que l'on peut relier de façon à réaliser une connexion en étoile ou en triangle . Les 3 fils de sortie résultant de cette connexion sont amenés à l'extérieur de la machine aux bornes 1, 2, 3 (Fig . 3323f) .
A,C -
b
c 'C I
B,
V
Figure 33-23e Après le raccordement des groupes, il reste 6 fils de sortie, soit 2 fils par phase .
1
0
,
Figure 33-25a Stator d'un moteur asynchrone de 450 kW, 1180 r/min, 575 V, 3 phases, 60 Hz . Lenroulement imbriqué est formé de 108 bobines préfabriquées dont le pas va de l'encoche 1 à l'encoche 15 . On place un côté de la bobine dans le fond d'une encoche puis l'autre côté est placé dans le haut . Diamètre du rotor : 500 mm ; longueur axiale : 460 mm (gracieuseté de Services Électromécaniques Roberge) .
A2 N--
B,
B2
C,
C2
2 3
Figure 33-23f On raccorde les trois phases en étoile ou en triangle pour obtenir les trois fils de sortie 1, 2 et 3 de la machine .
f) En rabattant les bobines, on obtient l'enroulement triphasé imbriqué . Comme le pas polaire s'étend sur 24/4 = 6 encoches, le pas P des bobines peut être raccourci à 5 encoches . Dans ce cas, la première bobine de la phase A sera donc logée dans la première et la sixième encoche (Fig . 33-24) . La Fig . 33-25 montre le stator et une des bobines d'un moteur asynchrone triphasé de 450 kW (600 hp) .
Figure 33-25b Photo montrant les dimensions et la forme des bobines (gracieuseté de Services Électromécaniques Roberge) .
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
5 47
En pratique, une simple plaque de cuivre ou d'aluminium peut constituer le «rotor» (Fig . 33-28) . Afin d'augmenter la force de traction et pour réduire la réluctance du chemin magnétique, on peut monter deux stators face à face de chaque côté de la plaque . Pour inverser la direction de la force, il suffit d'intervertir deux des fils alimentant le stator.
L1 L2 L3
Figure 33-27 Moteur asynchrone sectoriel .
vitesse proche de 900 r/min . Afin d'éviter la saturation, la tension appliquée doit être réduite à environ la moitié de la tension nominale originale, soit environ 220 V. Dans ces circonstances, ce moteur «sectoriel» peut développer environ 30 % de sa puissance originale . Le moteur sectoriel produit un champ «tournant» dont la vitesse de rotation est toujours 900 r/min . Cependant, au lieu d'exécuter un tour complet, le champ se déplace continuellement d'un bout du stator sectoriel à l'autre . 33 .19 Moteur d'induction linéaire Il est clair qu'on pourrait aplatir le stator sectoriel sans affecter la forme ou la vitesse du champ magnétique . Un stator plat produit un champ magnétique qui se déplace en ligne droite, à une vitesse constante . En utilisant le même raisonnement que dans la section 33 .3, on peut prouver que le flux se déplace à une vitesse linéaire donnée par la formule : = 2 wf
Dans plusieurs applications, il arrive que le rotor soit fixe alors que le stator se déplace . Par exemple, dans les moteurs linéaires utilisés pour la propulsion de certains trains, le rotor est composé d'une plaque épaisse en aluminium, fixée au sol sur toute la longueur du parcours . Le stator linéaire est fixé en dessous de la carosserie de façon à enjamber la plaque . La vitesse est commandée en faisant varier la fréquence de la source qui alimente le stator (Fig . 33-29a et 33-29b) . Exemple 33-7 Le stator d'un moteur linéaire est alimenté par une source électrique de 75 Hz . Le pas polaire a une longueur de 300 mm . Calculer la vitesse du champ magnétique . Solution La vitesse du champ est : Vs =2wf = 2x0,3x75 = 45 m/s ou 162 km/h 33 .20 Déplacement d'un champ magnétique linéaire On pourrait penser que lorsque le flux atteint une extrémité du stator linéaire, il se produit un délai avant qu'il puisse reprendre sa course à l'autre extrémité . Tel
(33-10) rotor linéaire (aluminium, cuivre ou fer)
ou vs = vitesse synchrone linéaire du champ [m/s] w = longueur d'un pas polaire [m] f = fréquence du réseau [Hz] Notons que la vitesse ne dépend pas du nombre de pôles mais seulement du pas polaire . Par conséquent, pour un pas polaire donné, un stator bipolaire ou un stator, disons, à 6 pôles produisent des flux de même vitesse . Si une cage d'écureuil plate est placée à proximité du stator plat, le champ magnétique l'entraînera avec une force considérable . C'est le principe du moteur linéaire .
Ia L1o-~ lb L2 0 le L30
stator linéaire triphasé
Figure 33-28 Composants d'un moteur linéaire triphasé .
548
ÉLECTROTECHNIQUE
électro-aimant supraconducteur rail d'induit (surface con
moteur linéaata (stator) rail d'indus (moteur)
Figure 33-29a Ce train électrique de 17 tonnes est propulsé par un moteur d'induction linéaire . Le moteur comprend un «rotor» stationnaire constitué par le rail vertical en aluminium situé au centre de la voie et un «stator» mobile fixé en dessous du train . Selon les données, le stator de 3 tonnes est alimenté par un onduleur dont la fréquence varie de 0 à 115 Hz . Ce moteur linéaire absorbe une puissance de 4,7 MVA et développe une force de traction maximale de 35 kN . La vitesse maximale du véhicule est de 200 km/h (gracieuseté de Siemens) .
n'est pas le cas . Le moteur triphasé produit une onde magnétique qui se déplace continuellement et uniformément d'une extrémité à l'autre du stator . La Fig . 3330 montre comment l'onde se déplace de gauche à droite dans un moteur linéaire bipolairç . Le flux disparaît brusquement aux deux extrémités A et B du stator. Cependant, aussitôt qu'un pôle N (ou un pôle S) «disparaît» à droite, il se renouvelle à gauche . 33 .21
Propriétés du moteur linéaire
Les propriétés du moteur d'induction linéaire sont comparables à celles du moteur asynchrone conventionnel . Par conséquent, les expressions pour le glissement, la force de traction, la puissance, etc ., sont similaires .
Figure 33-29b La vue en coupe du véhicule et de la voie montre l'agencement des parties principales . La sustentation électromagnétique est obtenue grâce à un électro-aimant supraconducteur ayant une longueur de 1300 mm, une largeur de 600 mm et une hauteur de 400 mm pesant 500 kg. Les bobines de l'aimant, maintenues à une température de 4 kelvins par la circulation forcée d'hélium liquide, fonctionnent à une densité de courant de 80 A/mm 2 et développent une densité de flux d'environ 3 T. La force de répulsion verticale peut atteindre une valeur maximale de 60 kN et la hauteur de sustentation varie entre 100 mm et 300 mm selon le courant d'alimentation (gracieuseté de Siemens) .
v s -v vs où
s = glissement vs = vitesse synchrone linéaire du champ [m/s] v = vitesse linéaire du rotor [m/s] 2. La puissance active . La puissance active traverse
un moteur linéaire de la même façon que dans un moteur rotatif (voir Fig . 33-16) . Par conséquent, les formules 33-6, 33-7 et 33-8 s'appliquent aux deux types de machines . (i) le rendement est :
1 . Le glissement. Le glissement d'un moteur linéaire
est donné par :
(33-11)
s=
t1 =
Pmc Pe
éq. 33-6
549
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
(ii) les pertes Joule dans le rotor sont : pi, = sPr
éq .33-7
(iii) la puissance mécanique est : ic "Lb Pm = (1 - s) Pr
éq . 33-8
3 . La force . La force de traction développée par un moteur linéaire est donnée par : Pr
F =
(33-12)
il s où
ÀK
F = force de traction, en newtons [N] P r = puissance fournie au rotor [W]
~~
vs = vitesse synchrone linéaire [m/s]
Exemple 33-8 Un pont roulant utilisé dans une usine est propulsé par deux moteurs linéaire montés sur la charpente du pont . Les rotors sont composés de deux poutres en acier formant le chenun de roulement . Chaque moteur possédr 4 pèles dont le pas et de 8 cm . Lors d'un essai sur un des moteurs, on a receuilli les résultats su sauts :
la
fréquence appliquée au stator : 15 H
ia
puissance active absorhéc par le stator : 5 kW pertes dans le ter et le cuis re du stator : 1 kW vitesse du pont roulant : I,(S m/s Calculer :
v
ia
d
e) les pertes Joule dans le rotor d) la force de propulsion et la puissance mécanique du moteur ia
ÀK
a) la vitesse synchrone et le glissement b) la puissance fournie au rotor
Solution a) Vitesse synchrone linéaire :
v
vs =2wf = 2x0,08x15 = 2,4 m/s (= 8,6 km/h) Glissement :
Figure 33-30 Forme linéaire du champ magnétique créé par un stator linéaire durant un cycle . Les instants successifs sont séparés d'un intervalle de 1/6 de cycle, soit de 2,78 ms sur un réseau à 60 Hz .
s= _ vs = 0,25
2,4-1,8 2,4
550
ÉLECTROTECHNIQUE
b) Puissance fournie au rotor : aimant
Pr = Pe -Pjs -Pf
= 5 kW - 1 kW = 4 kW
échelle conductrice (stationnaire)
basse vitesse > v
N s
rala
n
c) Pertes Joule dans le rotor : Pjr = sPr = 0,25 X 4 kW
= 1 kW d) Force de propulsion :
F = Pr =
4000
vs
Figure 33-31 La tension induite dans le conducteur 2 est maximale à l'instant où le conducteur se trouve au centre de l'aimant . % l'aimant se déplace lentement, il se trouve encore au-dessus du conducteur 2 lorsque le courant dans celui-ci atteint sa valeur crête .
= 1667 N
2,4
= 1,67 kN (= 375 lbf) Puissance mécanique développée : Pm = Pr - Pjr = 4 kW - 1 kW
= 3 kW 33 .22 Sustentation magnétique Nous avons expliqué à la section 33 .2 comment un aimant permanent se déplaçant au-dessus d'une échelle conductrice tend à entraîner celle-ci dans le sens du déplacement de l'aimant . Nous allons montrer que cette force de traction horizontale est accompagnée d'une force verticale qui tend à repousser l'aimant vers le haut . Ce phénomène trouve une application pratique très intéressante : la sustentation magnétique .
Figure 33-32 Lorsque l'aimant se déplace très rapidement, il se trouve entre les conducteurs 2 et 3 lorsque le courant dans le conducteur 2 atteint sa valeur crête .
Revenons à notre échelle et supposons que, à un instant donné, le centre du pôle N de l'aimant passe audessus du conducteur 2 (Fig . 33-31) . Le champ magnétique balayant ce conducteur y induit une tension qui est alors maximale . Si l'aimant se déplace lentement, le courant induit dans ce conducteur atteint sa valeur maximale en même temps que la tension . Ce courant, revenant par les conducteurs 1 et 3, crée des pôles magnétiques nnn et sss comme l'indique la figure . On constate alors que, selon la loi de l'attraction et de la répulsion, la partie avant de l'aimant est repoussée vers le haut et que la partie arrière est attirée vers le bas . Comme la distribution des pôles nnn et sss est symétrique par rapport au centre de l'aimant, les
Supposons maintenant que l'aimant se déplace très rapidement. À cause de l'inductance des conducteurs, le courant dans le conducteur 2 atteint sa valeur maximale une fraction de seconde après le maximun de tension induite . Par conséquent, lorsque le courant dans le conducteur 2 est maximal, l'aimant se trouve déjà à une certaine distance en avant de ce conducteur (Fig . 33-32) . Le courant, revenant par les conducteurs 1 et 3, crée encore des pôles nnn et sss comme auparavant ; cependant, le pôle N de l'aimant se trouve maintenant entièrement au-dessus d'un pôle nnn et il en résulte une force verticale importante qui repousse l'aimant mobile vers le haut. C'est le principe de la sustentation magnétique .
forces verticales d'attraction et de répulsion sont égales et la force résultante est nulle ; il ne reste donc que la force de traction horizontale .
I
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
La sustentation magnétique est mise à profit dans certains trains ultra-rapides qui glissent sur un coussin magnétique plutôt que sur des roues . L'aimant fixé en dessous du train se déplace au-dessus d'une surface conductrice plane où sont induits des courants de Foucault, de la même façon que dans notre échelle . Remarquer que la force de sustentation est toujours accompagnée d'une force de freinage horizontale qui doit être évidemment vaincue par le moteur propulsant le train . La Fig . 33-29b montre les électro-aimants qui assurent la sustentation d'un wagon pesant plusieurs tonnes . 33.23 Résumé Dans ce premier chapitre sur le moteur asynchrone triphasé, nous nous sommes familiarisés avec sa construction, son principe de fonctionnement et ses propriétés de base . Nous avons vu que le moteur comprend essentiellement un stator fixe et un rotor tournant, portant tous deux un bobinage triphasé . Dans le moteur à rotor bobiné, le rotor est constitué d'un bobinage triphasé dont les trois bornes sont accessibles à travers un ensemble de bagues et de balais . Cet enroulement est courtcircuité en fonctionnement normal . Le rotor du moteur à cage d'écureuil est beaucoup plus simple . Il est constitué d'un ensemble de barres conductrices courtcircuitées à leurs deux extrémités . La cage d'écureuil ainsi formée se comporte comme un bobinage triphasé en court-circuit . Nous avons aussi expliqué comment sont construits les enroulements imbriqués du stator et du rotor . Nous avons vu comment le bobinage triphasé du stator parcouru par trois courants déphasés de 120 degrés produit un champ tournant dans l'entrefer. La vitesse de rotation de ce champ tournant ou vitesse synchrone est imposée par la fréquence de la source et le nombre de paires de pôles que comporte chaque phase . Lorsque le rotor tourne à une vitesse inférieure à la vitesse synchrone, le champ tournant induit dans le rotor une tension dont la fréquence dépend de l'écart de vitesse relative ou glissement entre le champ tournant et le rotor. Cette tension induite provoque la circulation de courants dans les conducteurs du rotor, et donc de forces qui ensemble produisent le couple moteur .
551
Nous avons présenté le cheminement des puissances actives dans le moteur depuis le stator jusqu'à la puissance mécanique utile disponible à l'arbre . Nous avons aussi donné plusieurs formules simples qui permettent de calculer les performances mécaniques du moteur . Retenons que la puissance mécanique et le couple développés par le moteur se calculent simplement à partir de la puissance transmise au rotor, de la vitesse synchrone et du glissement. Nous avons vu aussi que l'utilisation d'un moteur à rotor bobiné permet à la fois d'augmenter le couple de démarrage et de diminuer le courant de démarrage lorsqu'on insère trois résistances en série avec le rotor . Enfin, nous avons démontré le principe de fonctionnement du moteur asynchrone linéaire qui, avec son stator plat, utilise le même principe que le moteur conventionnel. Associé à la sustentation magnétique, ce système de traction encore à l'état expérimental trouvera probablement des applications intéressantes dans les trains du futur. PROBLÈMES - CHAPITRE 33 Niveau pratique 33-1 Quelles sont les parties principales d'un moteur asynchrone? 33-2 Comment le champ tournant est-il produit dans le moteur asynchrone triphasé? 33-3 Si l'on double le nombre de pôles sur le stator d'un moteur asynchrone, sa vitesse synchrone doublera-t-elle? 33-4 Pourquoi doit-on éviter de maintenir bloqué le rotor d'un gros moteur asynchrone alimenté à tension nominale? 33-5 Pourquoi le rotor d'un moteur asynchrone tourne-t-il moins vite que le champ tournant? 33-6 Comment varient la vitesse et le courant du rotor d'un moteur asynchrone quand la charge mécanique augmente? 33-7 Y a-t-il un inconvénient à utiliser un moteur asynchrone de 25 kW pour entraîner une charge de 10 kW? Pourquoi?
552
ÉLECTROTECHNIQUE
33-8 Nommer deux avantages du moteur asynchrone à rotor bobiné par rapport au moteur à cage d'écureuil . 33-9 La valeur et la fréquence de la tension induite dans le rotor d'un moteur asynchrone diminuent à mesure qu'il accélère . Expliquer . 33-10 Un moteur asynchrone triphasé possédant 20 pôles est alimenté par une source de 600 V, 60 Hz . a) Quelle est la vitesse synchrone du moteur? b) Est-ce que cette vitesse change lorsque la tension diminue de moitié? 33-11 Dans le problème 33-10, combien de pôles y a-t-il par phase? 33-12 Quelles sont les valeurs approximatives des courants de démarrage, de pleine charge et à vide d'un moteur asynchrone triphasé de 150 HP, 575 V? 33-13 Dessiner le spectre du champ magnétique à l'intérieur d'un moteur asynchrone triphasé à 12 pôles . 33-14 Comment peut-on changer le sens de rotation d'un moteur asynchrone? Niveau intermédiaire 33-15 a) Quelle est la vitesse synchrone d'un moteur asynchrone triphasé à 12 pôles alimenté par une source de tension à 60 Hz? b) Calculer sa vitesse nominale si son glissement en pleine charge est de 6 % . 33-16 Un moteur asynchrone triphasé à 6 pôles est alimenté par une source triphasée à 60 Hz . La tension induite dans les barres du rotor est de 4 V lorsque celui-ci est bloqué . En supposant que le flux mutuel est constant, calculer la valeur et la fréquence de la tension induite : a) à 300 r/min b) à 1000 r/min c) à 1500 r/min 33-17 a) Quels sont les courants approximatifs de pleine charge, de démarrage et à vide d'un moteur asynchrone triphasé de 75 kW, 4000 V, 900 r/min? b) Calculer la vitesse et le couple nominal sachant qu'à pleine charge le glissement est de 2 % .
33-18 Un moteur asynchrone triphasé de 75 HP a un rendement de 91 % et un FP de 83 % à pleine charge. Quel est son courant nominal si la tension est de 440 V? 33-19 Une tension de 240 V apparaît entre les bagues d'un moteur à rotor bobiné lorsque le rotor est au repos, à circuit ouvert. Sachant que la machine a 6 pôles et qu'elle est alimentée à une fréquence de 60 Hz calculer la valeur et la fréquence de la tension entre les bagues si le rotor est entraîné par un autre moteur: a) à 600 r/min dans le même sens que le champ tournant b) à 900 r/min dans le même sens que le champ tournant c) à 3600 r/min dans le sens contraire à celui du champ tournant 33-20 a) Sur la Fig . 33-10, quelles sont les valeurs de fa, Ib et II pour un angle de 150°? b) Déterminer le sens réel des courants à cet instant et calculer la valeur et le sens des FMM développées par les enroulements . c) La FMM résultante agit-elle bien dans une direction située entre les positions des FMM aux instants 3 et 4? 33-21 Un stator triphasé possédant 72 encoches aune vitesse synchrone de 900 r/min sur un réseau à 60 Hz. Calculer le nombre de bobines par groupe ainsi que le pas approximatif des bobines, sachant que l'enroulement est du type imbriqué . Faire le diagramme des connexions en suivant les étapes a à f de la Fig . 33-23 . 33-22 Le stator triphasé de la Fig . 33-26 possède 4 pôles et son alésage est de 250 mm . La densité de flux maximale par pôle est de 0,7 T et l'épaisseur de l'empilage de tôles du rotor est de 200 mm . a) À quelle vitesse (en m/s) le flux se déplace-t-il à la surface du rotor si le stator est alimenté par une source à 60 Hz? b) Calculer la tension crête induite dans les barres du rotor. c) Calculer la longueur d'un pas polaire . 33-23 Un moteur asynchrone triphasé à 10 pôles, 4000 V tire de la ligne d'alimentation un courant de 385 A et une puissance active de 2344 kW lorsqu'il fonctionne à pleine charge sur un réseau à 60 Hz . Le
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
stator est raccordé en étoile et la résistance entre deux bornes extérieures est de 0,10 S2 . Les pertes totales dans le fer sont de 23,4 kW et une mesure précise indique que la vitesse de rotation à pleine charge est de 709,2 r/min . Les pertes par friction et par ventilation sont de 12 kW. Calculer : a) le facteur de puissance du moteur b) la puissance active fournie au rotor à pleine charge c) les pertes Joule dans le rotor d) la puissance mécanique (en kW) et le couple (en kN .m) développés par le moteur. Quel est son rendement? 33-24 Si l'on augmente la résistance du rotor d'un
moteur asynchrone, quel est l'effet (augmentation ou diminution) sur : a) le couple de démarrage b) le courant de démarrage c) la vitesse de pleine charge d) le rendement e) le facteur de puissance f) la température 33-25 Expliquer le principe de la sustentation ma-
gnétique .
553
2 . résistance entre les bornes du rotor à circuit ouvert : 0,0073 £2 à 17 °C 3 . tension induite entre les bornes du rotor à circuit ouvert, le rotor étant immobile : 1600 V 4 . tension aux bornes du stator : 6000 V 5 . courant à vide, par phase : 100 A 6 . puissance active absorbée par le moteur, à vide : 91 kW 7 . pertes par friction et par ventilation : 51 kW 8 . pertes dans le fer du stator : 39 kW 9 . courant de démarrage par phase : 1800 A 10 . puissance active absorbée au démarrage : 2207 kW Calculer : a) la résistance par phase du rotor et du stator à une température de 75 °C (supposer des connexions en étoile) b) la tension et la fréquence induites dans le rotor lorsqu'il tourne à 200 r/min et à 594 r/min c) la puissance réactive requise pour créer le champ tournant d) les pertes Joule dans le stator lorsque le moteur tourne à vide (à 75 °C) e) la puissance fournie au rotor à vide
33-26 Dans la Fig . 33-7, l'aimant permanent a
f) la vitesse du rotor à vide 33-30 En se référant au moteur décrit au problème 33-29, calculer, lors du démarrage :
une largeur de 100 mm et il se déplace à une vitesse de 30 m/s . Sachant que la densité de flux est de 0,5 T et que la résistance effective de la barre en dessous de l'aimant est de 1 mQ2, calculer le courant I, ainsi que la force .
a) la puissance réactive absorbée par le moteur b) les pertes Joule dans le stator c) la puissance active fournie au rotor d) la puissance mécanique développée
Niveau avancé
33-27 Si, dans la Fig . 33-7, l'échelle subit une force
de 20 N, quelle est la force de freinage produite sur l'aimant? 33-28 Un moteur triphasé à rotor bobiné de 3730 kW,
6000 V, 60 Hz, tourne à une vitesse de 594 r/min . Calculer la valeur approximative des pertes Joule dans le rotor.
e) le couple développé 33-31 On désire faire un montage semblable à celui de la Fig . 33-20 afin que le moteur du problème 33-29 puisse tourner à une vitesse de 300 r/min tout en développant son couple nominal . Calculer:
33-29 Un moteur triphasé à rotor bobiné de 3730 kW,
a) la valeur de la résistance par phase et la puissance totale dissipée b) le courant au stator, par phase (approximativement)
6000 V. 60 Hz possède les caractéristiques suivantes :
33-32 Le train de la Fig . 33-29 se déplace à une vi-
1_ résistance entre les bornes du stator : 0_112Qà17cC
tesse de 200 km/h lorsque la fréquence est de 105 Hz . En supposant le glissement négligeable, déterminer le pas polaire du moteur linéaire . en millimètres.
554
ÉLECTROTECHNIQUE
33-33 Un moteur triphasé de 300 kW, 2,3 kV, 1780 r/min, 60 Hz entraîne un compresseur . Il possède un rendement de 92 % et un FP de 86 % lorsqu'il fonctionne à pleine charge . Si la tension du réseau monte à 2,8 kV, quel sera l'effet (augmentation ou diminution) sur : a) la puissance mécanique débitée par le moteur b) la vitesse de rotation c) le couple du moteur d) le courant de pleine charge e) le FP et le rendement f) le couple de démarrage g) le courant de démarrage h) le couple de décrochage i) la température j) le flux par pôle k) le courant d'excitation
33-34 On doit rebobiner le moteur décrit dans le problème 33-33 afin qu'il puisse fonctionner à la même vitesse sur un réseau triphasé à 575 V, 60 Hz . Quels changements doit-on apporter : a) au nombre de spires par bobine? b) à la grosseur du fil des bobines? c) au pas des bobines?
MOTEURS ASYNCHRONES TRIPHASÉS
NIKOLA TESLA Nikola Tesla, néon Yougoslavie en 1856, inventa plusieurs dispositifs électromagnétiques . Ses découvertes les plus importantes sont le moteur asynchrone (1883) et le concept de champ magnétique tournant . C'est en son honneur qu'on a donné son nom à l'unité SI de densité de flux, le tesla [T]
(gracieuseté de Burndy Library) .
555
34 Applications des machines asynchrones triphasées Lorsqu'on veut utiliser un moteur asynchrone triphasé pour une application particulière, on se rend compte que plusieurs types de moteurs remplissent les exigences de la charge . Il faut donc faire un choix . Le problème est généralement simplifié du fait que le fabricant du tour, du ventilateur, de la pompe, etc ., indique la catégorie de moteur convenant le mieux à la charge à entraîner. Il est cependant très utile de connaître les caractéristiques de construction et d'utilisation des différents types de moteurs asynchrones triphasés, car ce sont elles qui en déterminent le choix .
lement l'aspect mécanique ; elle dicte également les exigences minimales en ce qui concerne les caractéristiques électriques des moteurs . Ainsi, les moteurs doivent satisfaire aux valeurs limites établies pour le couple de démarrage, le courant de démarrage, la capacité de surcharge, l'échauffement et les normes de sécurité . 34 .2 Classification selon les conditions environnementales Selon les conditions environnementales auxquelles on les destine, les moteurs peuvent être classés en cinq types principaux :
Nous étudierons aussi dans ce chapitre le principe de fonctionnement d'une génératrice asynchrone et d'un convertisseur de fréquence .
1 . Moteurs abrités («Drip-proof») . Leur carcasse protège les bobinages contre la chute des particules solides et liquides qui tombent verticalement à un angle compris entre 0° et 15° de la verticale . Ils sont ventilés par l'intérieur, grâce à un ventilateur solidaire du rotor. Leur échauffement par résistance peut être de 60 °C, 80 °C, 105 °C ou 125 °C selon la classe d'isolation utilisée. Ces moteurs sont utilisables dans la plupart des applications (Fig . 34-1) .
34 .1
Standardisation et classification des moteurs asynchrones Tous les moteurs industriels de puissance inférieure à 500 HP ont des carcasses dont les dimensions importantes ont été standardisées par des organismes de normalisation* . Ainsi, le moteur de 25 HP, 1725 r/min, 60 Hz d'un fabricant peut être remplacé par celui d'un autre fabricant sans qu'il soit nécessaire de changer les trous de fixation, la hauteur de l'arbre ou le mode d'accouplement . La standardisation ne couvre pas seu-
2. Moteurs étanches aux éclaboussures («Splash-
proof») . Leur carcasse protège les bobinages contre la chute des particules solides ou liquides qui tombent à un angle compris entre 0° et 100° de la verticale . Leur ventilation se fait aussi par l'intérieur . Leur limite d'échauffement admissible est la même que celle des moteurs abrités . Ces moteurs sont surtout employés dans les endroits humides .
Mentionnons la Canadian Electrical Manufacturers Association (CEMA), l'Association Canadienne de normalisation (CSA), la National Electrical Manufacturer's Association (NEMA) . En général, les normes de CEMA (Canada) et de NEMA (États-Unis) sont identiques .
556
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
55 -
4 . Moteurs blindés avec ventilateur extérieur («Totally enclosed, fan-cooled») . Le refroidissement
des moteurs fermés de moyenne et grande puissances . servant dans les conditions défavorables, est assuré par une ventilation extérieure forcée ; il suffit de souffler de l'air entre la carcasse du moteur et une seconde enveloppe concentrique (Fig . 34-3) . On leur permet le même échauffement que pour les moteurs abrités . 5 . Moteurs antiexplosifs («Explosion-proof») . Ces
Figure 34-1 Moteur abrité à haut rendement ayant une capacité de 3 hp, 1750 r/min, 230 V/460 V, 3 phases, 60 Hz (gracieuseté de Gould) .
moteurs sont utilisés quand le milieu environnant présente des dangers d'explosion (mines de charbon, raffinerie de pétrole, moulins à grain) . Ils sont toujours fermés hermétiquement ; de plus, leur carcasse peut résister à l'énorme pression qui résulterait d'un violent court-circuit interne (Fig . 34-4) . On leur permet le même échauffement que pour les moteurs blindés .
3. Moteurs blindés («Totally enclosed, non-ventilated») . Ils comportent une enveloppe empêchant toute
communication directe entre l'intérieur du moteur et le milieu ambiant. Ils sont destinés aux locaux très humides ou très poussiéreux . Ces moteurs sont habituellement de faible puissance ; l'évacuation de la chaleur s'y fait difficilement, car ils ne comportent ni ventilation intérieure, ni ventilation extérieure (Fig . 34-2) . On leur permet un échauffement par résistance de 65 °C, 85 °C, 110 °C ou 130 °C selon leur mode d'isolation .
(a)
(b) Figure 34-2 Moteur blindé pour pompe centrifuge (gracieuseté de Crompton-Parkinson) .
Figure 34-3 a . Vue éclatée d'un moteur blindé avec ventilateur extérieur ; b . Même moteur assemblé (gracieuseté de CromptonParkinson) .
558
ÉLECTROTECHNIQUE
ristique est parfois mise à profit pour l'entraînemem de machines telles que cisailles, poinçonneuses et presses . Celles-ci comportent un volant qui emmagasirrc de l'énergie mécanique et la restitue lorsque de fortes surcharges sont brusquement appliquées . Ces moteurs sont aussi employés avec des appareils de levage . Cependant, dans tous les cas, leur régime de charge dot être intermittent afin de prévenir tout échauffement excessif . La cage d'écureuil de ces moteurs est généralement en laiton .
Figure 34-4 Moteur antiexplosif avec ventilateur extérieur . Noter la construction particulièrement robuste (gracieuseté de Crompton-Parkinson) .
34 .3 Classification selon les caractéristiques électriques et mécaniques
En plus de pouvoir choisir parmi les catégories environnementales, l'usager peut également opter pour une grande variété de moteurs triphasés offrant des caractéristiques électriques et mécaniques diverses . Nous ne donnons ici que les principales catégories : 1 . Moteurs à couple de démarrage normal (CEMA classe B) . La grande majorité des moteurs asynchro-
nes appartient à ce groupe . Ces moteurs, d'usage général, peuvent entraîner des ventilateurs, des pompes centrifuges, des machines-outils, etc . 2. Moteurs à couple de démarrage élevé (CEMA
classe C) . Ces moteurs sont utilisés dans les cas où le démarrage est difficile ou d'une durée plutôt longue . Les pompes et les compresseurs à piston qui démarrent en charge doivent être entraînés par de tels moteurs . Ces moteurs comportent, en général, un rotor spécial à double cage . 3 . Moteurs à glissement élevé (CEMA classe D). En
plus de développer un couple de démarrage très élevé, ces moteurs ont un bas courant de démarrage . Ainsi, les moteurs qui entraînent des charges à grande inertie (comme un séchoir centrifuge) démarrent lentement ; leur courant de démarrage doit donc être assez faible pour éviter l'échauffement excessif des bobinages . La vitesse nominale de ces moteurs est d'environ 10 % plus faible que leur vitesse synchrone . Cette caracté-
Le graphique de la Fig . 34-5 permet de comparer les caractéristiques couple-vitesse de ces différents moteurs . Les détails de construction de leurs rotors y sont également indiqués . Remarquer que les différentes caractéristiques sont obtenues surtout par des changements effectués sur le rotor . Ainsi, plus la résistance de la cage d'écureuil est élevée, plus le couple de démarrage est grand et plus la vitesse nominale est basse . L'emploi du laiton au lieu du cuivre dans le rotor a pour effet d'augmenter sa résistance et, par conséquent, son couple . Par contre, plus la résistance du rotor est considérable, plus les pertes dans celui-ci sont grandes en régime normal, et plus le rotor s'échauffe. Le fonctionnement du rotor à double cage (moteur classe C) est basé sur le fait que la fréquence du courant rotorique diminue à mesure que la vitesse du moteur croît, et que la réactance inductive est plus grande pour un conducteur logé profondément dans l'acier (cage 2) que pour un autre placé près de la surface du rotor (cage 1) . De plus, à cause de sa petite section, la résistance de la cage 1 est sensiblement plus grande que celle de la cage 2. Au moment où le moteur est mis sous tension, la fréquence du courant dans le rotor est égale à celle de la ligne d'alimentation . La réactance inductive de la cage 2 est alors élevée, de sorte que le courant circule surtout dans la cage 1 à haute résistance . À mesure que le moteur accélère, la réactance inductive des deux cages d'écureuil baisse et, finalement, lorsque le moteur marche en régime normal, elle devient tellement basse que le courant dans le rotor est limité seulement par les résistances en parallèle de la cage 1 et de la cage 2 . On peut constater que la valeur de la résistance effective du rotor est élevée au démarrage et basse en régime normal .
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
559
300 ~=
barres de laiton classe D
200
cage 1
Q oU
classe
c
cage 2
~
go
double cage
1
classe B
ï
100 couple nominal à pleine charge ' barres de cuivre ou d'aluminium 00
20
40
60
80
100
vitesse Figure 34-5 Courbes du couple en fonction de la vitesse pour moteurs de classe B, C et D de CEMA . Chaque courbe donne les couples minimaux de démarrage, d'accélération et de décrochage pour un moteur triphasé à cage d'écureuil de 60 Hz . La vue en coupe du rotor indique le genre de conducteurs utilisés .
34 .5 Choix de la vitesse des moteurs asynchrones
née uniquement par la fréquence du réseau et par le nombre de pôles de la machine . Ainsi, lorsque la source d'alimentation est de 60 Hz, il est impossible de construire un moteur asynchrone ayant un rendement acceptable et dont la vitesse serait, disons, de 2000 r/min . Un tel moteur aurait nécessairement deux pôles, mais comme la vitesse synchrone est alors de 3600 r/min, il s'ensuit que le glissement serait (3600 - 2000)/3600 = 0,44 . Cela implique que 44 % de la puissance fournie au rotor serait dissipée sous forme de chaleur, donnant ainsi un très mauvais rendement .
Le choix de la vitesse des moteurs asynchrones est limité du fait que la vitesse synchrone est détermi-
Pour une application particulière, le choix de la vitesse du moteur est fixé par la nature de la charge à entrai-
34.4
Grosseur des moteurs
Le tableau 34-1 donne les dimensions approximatives de la gamme des moteurs asynchrones compris entre 0.75 kW et 7500 kW. Remarquer qu'un moteur de 750 kW n'est pas mille fois plus gros qu'un moteur de 0.75 kW, ce qui explique son prix relativement bas . En effet, les dimensions et la masse d'un appareil augmentent toujours moins rapidement que sa puissance . Voir chapitre 29, sections 29 .10 à 29 .13 .
TABLEAU 34-1
puissance
0,75 7,5 75 750 7500
DIMENSIONS ET COÛTS APPROXIMATIFS DES MOTEURS ASYNCHRONES
masse
volume
diamètre extérieur
longueur extérieure
coût (2004)
coût/P (2004)
grosseur de carcasse
16 60 350 2000 15 000
5,5 20 130 800 6800
180 270 500 780 1800
220 350 650 1700 2700
220 680 4000 45 000 300 000
293 91 53 60 40
143 215 404
560
ÉLECTROTECHNIQUE
ner. Dans le cas de charges devant tourner à basse vitesse, il est souvent plus avantageux d'utiliser un moteur à haute vitesse avec un réducteur de vitesse (engrenage, poulie) au lieu d'un moteur à basse vitesse accouplé directement à la charge . Les avantages d'un moteur équipé avec une boîte de vitesses sont les suivants :
différentes . Ces moteurs sont utilisés sur les ventilateurs, les pompes et les perceuses à colonne . Une méthode simple consisterait à utiliser deux enroulements distincts, ayant, par exemple, respectivement 4 et 6 pôles . L'inconvénient de cette technique est qu'un seul enroulement est en service à la fois, de sorte que seulement la moitié du cuivre dans les encoches est utilisée .
1 . pour une puissance donnée, l'encombrement et le coût d'un moteur à haute vitesse sont plus petits que pour un moteur à haute vitesse ; 2. le rendement et le facteur de puissance des moteurs asynchrones sont d'autant plus haut que la vitesse est plus haute ; 3 . le couple de démarrage relatif (en p .u .) d'un moteur à haute vitesse est toujours plus fort que celui d'un moteur à basse vitesse de même catégorie . À titre d'exemple, comparons les caractéristiques de deux moteurs triphasés de 10 hp, 60 Hz, ayant des vitesses synchrones différentes (tableau 34-2) . L'écart dans les prix justifie à lui seul l'emploi d'un moteur à haute vitesse avec un système de poulies et de courroie pour entraîner une charge à 900 r/min .
C'est pourquoi on a inventé des enroulements spéciaux dont on peut faire varier le nombre de pôles simplement en changeant les connexions extérieures . Les vitesses synchrones ainsi obtenues sont toujours dans un rapport de 2 à 1 : 3600/1800 r/min ; 1200/600 r/min, 900/450 r/min, etc . Considérons, par exemple, l'enroulement d'une phase d'un moteur triphasé, à 2 pôles, 60 Hz, (Fig . 34-7a) . L'enroulement est composé de deux groupes (pôles)
Lorsque des moteurs doivent tourner à des vitesses très basses (200 r/min ou moins), le choix d'une boîte de vitesses s'impose . Les engrenages font souvent partie intégrante de l'unité motrice (Fig . 34-6) et sont habituellement peu encombrants . On a aussi recours à une boîte de vitesses lorsqu'on doit entraîner une charge à une vitesse supérieure à 3600 r/min . Par exemple, dans une application industrielle où la fréquence disponible est de 60 Hz, un compresseur de 1200 hp, 5000 r/min est entraîné par un moteur asynchrone tournant à 3560 r/min . 34 .6
Moteurs à deux vitesses
On peut bobiner le stator d'un moteur à cage d'écureuil de telle sorte que le moteur tourne à deux vitesses
TABLEAU 34-2 puissance
Figure 34-6 Moteur asynchrone de 2,25 kW, 1740 r/min, 60 Hz avec engrenage réducteur . La vitesse et le couple à la sortie sont respectivement de 125 r/min et 172 N •m (gracieuseté de Reliance Electric) .
COMPARAISON DE DEUX MOTEURS DE VITESSES DIFFÉRENTES vitesse synchrone
hp
kW
r/min
10 10
7,5 7,5
3600 900
facteur de puissance
89 82
rendement
90 85
couple de démarrage
masse
coût (2004)
p . U.
kg
$ CAN
1,5 1,25
50 115
700 2600
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
connectés en série et la prise 4 est amenée à la boîte de connexions avec les fils 1 et 2 . Si l'alimentation est branchée entre les bornes 1 et 2, on obtient un pôle nord et un pôle sud ; selon l'équation (33-1), la vitesse synchrone de ce moteur est:
120 f
120 x 60
P
2
561
puissance inférieurs à ceux des moteurs conventionnels . Ils peuvent être construits pour fournir une puissance constante, un couple constant ou un couple variable, selon le type de charge à entraîner . Dans le cas des ventilateurs et des pompes centrifuges, le couple et le débit varient avec le carré de la vitesse . On choisira donc un moteur à couple variable . La vi-
= 3600 r/min source
Relions maintenant les bornes 1 et 2 et branchons l'alimentation entre la jonction obtenue et la borne 4 . Les courants I,, Iz doivent donc circuler dans le sens indiqué sur la Fig . 34-7b . Cette connexion crée maintenant deux pôles de même polarité, soit deux pôles nord au moment où les courants alternatifs circulent dans le sens indiqué . D'autre part, comme tout pôle nord implique l'existence d'un pôle sud, il se produit deux pôles sud intercalés entre ces deux pôles nord . Les pôles sud ainsi créés sont appelés pôles conséquents . La nouvelle connexion produit donc 4 pôles en tout et la vitesse synchrone correspondante est de 1800 r/min . En d'autres termes, il est possible de doubler le nombre de pôles d'un moteur simplement en changeant ses connexions. C'est ce principe qu'utilisent la plupart des moteurs asynchrones à deux vitesses . Noter que dans ces machines, le pas des bobines doit être égal au pas polaire de la basse vitesse .
(a)
La Fig . 34-8 est un diagramme schématique montrant les connexions du stator pour une machine triphasée à deux vitesses ayant 4 pôles et 8 pôles, respectivement . Six fils numérotés 1 à 6 sont logés dans la boîte de connexions du moteur. Pour la haute vitesse, la ligne triphasée est connectée aux bornes 1, 2, 3 et les bornes 4, 5, 6 sont ouvertes . Cette connexion en triangle produit deux pôles N et deux pôles S alternés, soit un total de 4 pôles (Fig . 348a) . Il est entendu que les pôles à l'intérieur du moteur suivent la séquence N-S-N-S . Pour la basse vitesse, les bornes 1, 2, 3 sont mises en court-circuit, et la source est branchée entre les bornes 4. 5, 6. Il en résulte une connexion en double étoile parallèle, créant sur chaque phase quatre pôles de même polarité (Fig . 34-8b) . Quatre autres pôles conséquents de polarité inverse sont automatiquements créés, donnant ainsi un total de 8 pôles . Ces machines possèdent un rendement et un facteur de
(b)
Figure 34-7 a . Les deux bobines connectées en série produisent un pôle nord et un pôle sud . Noter que Il = 12 . b . Lorsque les bobines sont connectées en parallèle, il en résulte deux pôles nord, car le courant 1 2 circule dans le sens inverse du précédent . Les deux pôles sud sont des pôles conséquents .
562
ÉLECTROTECHNIQUE
(a)
ventilateur, sans que la réduction de débit soit excessive. Par exemple, les connexions du stator d'un moteur PAM à 38 pôles peuvent être changées pour passer à 46 pôles . Sur un réseau à 60 Hz, les vitesses synchrones correspondantes sont respectivement de 189,5 r/min et 156,5 r/min . Le débit est donc réduit par un facteur: (156,5/189,5)2 = 0,68 . 34 .7 Moteur asynchrone fonctionnant comme frein Certaines applications industrielles imposent au moteur asynchrone des modes de fonctionnement que nous avons ignorés jusqu'ici . Par exemple, lorsqu'on désire provoquer un arrêt rapide, on utilise le freinage par inversion . On intervertit deux fils de ligne de sorte que le champ tourne en sens inverse du rotor . Le moteur agit alors comme frein .
(b)
Lorsque le moteur fonctionne comme frein, il absorbe l'énergie cinétique des parties tournantes si bien que la vitesse diminue . Cette énergie absorbée est entièrement dissipée en chaleur dans le rotor . De plus, ce dernier reçoit toujours une puissance P r du stator qui est également dissipée en chaleur. Le freinage par inversion produit donc des pertes Joule Pj r importantes dans le rotor ; elles sont même supérieures aux pertes Pjr
Figure 34-8 a . Connexions d'un moteur triphasé donnant 4 pôles (haute vitesse) . b . Connexions du même moteur donnant 8 pôles (basse vitesse) . Le moteur développe la même puissance aux deux vitesses .
tesse étant réduite de moitié, le débit (m 3 /min) chute à (1/2) 2 , soit 1/4 du débit original . Cependant, cette variation de débit est trop grande pour certaines applications . Afin de surmonter ce problème, on a conçu des moteurs à cage dont le rapport des vitesses est inférieur à 2 . Avec ces moteurs spéciaux, appelés moteurs PAM*, on peut obtenir des rapports de vitesse tels que 8 :10, 14:16, 26 :28, 10 :14 et 38 :46 . Ces moteurs sont utilisés pour entraîner les gros ventilateurs à débit variable dont la puissance est de quelques centaines de kilowatts . Le moteur PAM offre l'avantage de réduire la vitesse d'un est l'abréviation anglaise de : «Pole Amplitude Modulation».
* PAM
Pjs 2^1~
Pf
n
Pv
n LJ
Û
Pe Pis Pf Pr Pm Pj r Pv -
LÉGENDE puissance active fournie au stator pertes Joule dans le stator pertes dans le fer du stator puissance active fournie au rotor puissance mécanique fournie au rotor pertes Joule dans le rotor pertes par ventilation et friction dans le rotor
Figure 34-9 Lors du freinage par inversion, la puissance mécanique de freinage P m s'ajoute à la puissance P r pour donner des pertes Joule Pir très élevées dans le rotor .
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
produites lorsque le moteur est bloqué (Fig . 34-9) . On doit donc éviter de freiner trop souvent un moteur de cette façon, sinon les températures élevées risquent de détériorer les isolants, et même de faire fondre les barres du rotor . 34.8
Effets de l'inertie
Lors de l'étude des moteurs à courant continu, on a vu qu'une grande inertie occasionne un démarrage pénible et un temps d'arrêt très long . Les mêmes remarques s'appliquent aux moteurs asynchrones ; de plus, il est bon de retenir les deux règles suivantes s'appliquant à ces machines : 1 . lorsqu'on démarre un moteur asynchrone, la chaleur dissipée dans le rotor pendant la période de démarrage est égale à l'énergie cinétique emmagasinée dans les parties tournantes ; 2 . lorsqu'on arrête un moteur par inversion, la chaleur dissipée dans le rotor pendant la période de freinage vaut trois fois l'énergie cinétique qui était emmagasinée dans les parties tournantes . Ces règles sont valables quelles que soient la tension appliquée et la forme de la courbe couple/vitesse . Il suffit que la vitesse passe d'une valeur nulle à sa valeur nominale pendant la période de démarrage et inversement pendant la période de freinage .
Exemple 34-1 Un moteur as y nchrone de 100 kW, 60 Ha, 1175 r/min est accouplé à un volant par un engrenage . L'énergie cinétique de toutes les parties tournantes est de 300 kJ lorsque le moteur a atteint sa vitesse nominale . On intervertit deux fils rie lie=ue afin de freiner le moteur jusqu'à une vitesse nulle et on le laisse aller dans le sens inverse jusqu'à la vitesse de 1175 r/niin . Quelle est l'énergie dissipée dans le rotor?
Solution Pendant la période de freinage, le moteur passe de 1175 r/min à une vitesse nulle . La chaleur dissipée dans le rotor vaut alors 3 fois l'énergie cinétique : Qdécélération = 3 X 300 kJ = 900 kJ
Le moteur accélère ensuite pour atteindre sa vitesse nominale dans le sens inverse . La chaleur dissipée dans
563
le rotor pendant cette période est alors égale à l'énergie cinétique emmagasinée : Qaccélération = 1 x 300 kJ = 300 kJ
La chaleur totale dissipée dans le rotor vaut donc : Q = Qdécélération + Qaccélération
= 900 + 300 = 1200 kJ Lorsqu'il faut accélérer et freiner des charges de grande inertie, les moteurs à rotor bobiné sont à recommander, car l'énergie absorbée par le rotor peut être dissipée surtout dans les résistances extérieures . De plus, en faisant varier les résistances extérieures de façon appropriée, le couple de démarrage ou de freinage peut être maintenu à une valeur élevée . Cela permet d'obtenir une accélération et une décélération sensiblement plus rapides que celles obtenues avec un moteur à cage d'écureuil . 34 .9 Freinage par courant continu On peut arrêter rapidement un moteur asynchrone et sa charge en faisant circuler un courant continu dans les enroulements du stator. Il suffit de brancher deux des trois bornes à une source à courant continu . Le courant continu produit dans le stator autant de pôles N, S qu'en fonctionnement normal, mais cette fois les pôles sont stationnaires . Ainsi, un moteur asynchrone à 8 pôles produira 4 pôles N et 4 pôles S quelle que soit la façon dont les bornes sont raccordées à la source à c .c . Lorsque le rotor tourne dans le champ stationnaire, une tension alternative est induite dans les barres . Il en résulte des courants alternatifs et des pertes Joule dans le rotor qui réduisent d'autant l'énergie cinétique des parties tournantes . Lorsque toute l'énergie cinétique est dissipée en chaleur dans le rotor, le moteur s'arrête . Le freinage par courant continu possède l'avantage de dissiper dans le rotor seulement le tiers de l'énergie requise par la méthode d'inversion . L'énergie dissipée est indépendante du courant continu qui circule dans le stator. Cependant, un faible courant augmente le temps de freinage . Comme le couple de freinage augmente avec le carré du courant continu circulant dans le stator, on a avantage à faire circuler un courant de l'ordre de 2 à 6 fois le courant nominal si l'on désire un freinage rapide .
564
ÉLECTROTECHNIQUE
Exemple 34-2
mentionnons :
Soit un moteur asynchrone triphasé de 50 hp, 440 V . 1760 r/min, 60 Hz . entraînant une charge dont le moment d'inertie est de 5 kg m 2 . La résistance entre deux bornes du stator est de 0,32 12, et le courant nominal est de 62 A . On désire freiner le moteur en branchant une batterie de 24, V aux bornes du stator. Calculer : a) la valeur du courant continu dans le stator b) l'énergie dissipée dans le rotor e) le couple moyen de freinage si le moteur s'arrête en 6 s
Solution a) Le courant dans le stator est : j= E = 24V =75A R 0,32 £2
b) L'énergie cinétique du rotor et de sa charge est: X
10-3 J n 2
éq . 1-7b
= 5,48 x 10-3 x 5 x 1760 2 = 85 kJ Le rotor absorbe 85 kJ durant la période de freinage . c) Le couple moyen de freinage est calculé avec l'équation 1-14 : Au =
9,55 T At
éq.1-14
J
(1760 - 0) =
9,55 T x 6 5
d'où 34 .10
T
la surcharge mécanique la variation de la tension d'alimentation la rupture d'un fil d'alimentation la variation de la fréquence du réseau
L'effet de ces quatre paramètres est traité successivement dans les quatre sections qui suivent . D'après les normes de CEMA, un moteur doit fonctionner de façon satisfaisante pour des variations de la tension nominale n'excédant pas ± 5 % . Par ailleurs, si la tension et la fréquence varient, la somme des deux écarts ne doit pas dépasser 10 % . Enfin, les machines doivent fonctionner à des altitudes inférieures à 1000 m . En effet, en altitude l'air est moins dense et son pouvoir de refroidissement diminue, ce qui peut provoquer un échauffement excessif . 34 .11
Ce courant est de 21 % supérieur au courant nominal, mais comme le freinage est de courte durée, le stator ne surchauffera pas .
W = 5,48
1. 2. 3. 4.
= 154 N-m
Conditions anormales de fonctionnement Quand un moteur asynchrone ne fonctionne pas normalement, la cause peut être interne (court-circuit, coupure d'un conducteur du stator, échauffement des paliers), ou externe. Au nombre des causes externes,
Surcharge mécanique
Bien que les moteurs asynchrones conventionnels puissent développer, de façon intermittente, une puissance double de leur puissance nominale, on ne peut leur appliquer continuellement une surcharge, même de seulement 20 % de la pleine charge . Autrement, l'échauffement du moteur dépasserait les limites permises et la durée de vie du moteur serait réduite de façon appréciable à cause de la détérioration de l'isolement . En pratique, puisque le courant du moteur augmente avec la charge, les relais de surcharge thermiques provoquent l'arrêt du moteur avant que sa température n'atteigne une valeur dangereuse . Certains moteurs abrités sont toutefois conçus pour supporter continuellement, sans danger, une surcharge de 15 % . Leur capacité de surcharge est indiquée sur la plaque signalétique par le coefficient de surcharge = 1,15 («service factor») . En cas d'urgence, un moteur abrité peut supporter une surcharge de l'ordre de 50 % à condition qu'on assure une ventilation extérieure énergique . Ceci n'est pas recommandable pour une durée prolongée, car même si la surface de la carcasse est tiède, la température des bobinages à l'intérieur peut être très élevée . 34 .12
Variation de la tension d'alimentation
La conséquence la plus importante résultant d'une variation de la tension d'alimentation est le changement de couple qu'elle occasionne . En effet, pour une vitesse donnée, le couple développé par un moteur asyn-
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
chrone est proportionnel au carré de la tension d'alimentation . Si la tension diminue de 10 %, par exemple, le couple diminue de 19 % . Pendant le démarrage, le fort courant tiré du réseau occasionne parfois une baisse de tension importante, dépendant de la capacité du réseau . Si la tension d'alimentation est trop élevée, le flux augmente, ce qui provoque une augmentation du courant magnétisant . Ceci a pour effet de diminuer le facteur de puissance du moteur et d'augmenter les pertes dans le fer. Cependant, tant que la tension n'excède pas 1,1 p .u ., l'échauffement, le rendement et le facteur de puissance demeurent acceptables . Un léger déséquilibre des tensions triphasées produit un déséquilibre très marqué des courants du stator . Cela se traduit par une augmentation des pertes et une augmentation de température du moteur . Un déséquilibre des tensions de 3,5 % seulement peut faire augmenter la température de 15 °C . Lorsqu'une des tensions de ligne s'écarte de plus de 2 % de la valeur moyenne des trois tensions, il est recommandé d'avertir le distributeur d'électricité . Par exemple, pour une artère dont les tensions ligne à ligne sont respectivement de 615 V, 600 V et 621 V la valeur moyenne est de 612 V . L' écart maximal est alors (621 - 600)/612 = 0,034 ou 3,4 %, ce qui excède le maximum tolérable . 34.13 Rupture d'un fil d'alimentation Si l'un des fils d'alimentation est coupé ou si l'un des fusibles fond quand un moteur asynchrone triphasé est
20
40
565
en marche, le moteur est alimenté en monophasé . S'il n'est pas trop chargé, il continuera à tourner, mais il tirera, des deux autres conducteurs, un courant environ 1,8 fois plus intense qu'avant la coupure . Encore une fois, si le courant est trop grand, les relais thermiques se déclencheront avant que les bobinages soient endommagés . Par contre, si la charge est assez forte, la vitesse du moteur tombe brusquement jusqu'à l'arrêt et le courant monte à environ 90 % du courant de démarrage nominal . Les relais thermiques ou les fusibles doivent alors s'ouvrir avant que le moteur soit endommagé . Lorsqu'un moteur triphasé fonctionne subitement en régime monophasé, la caractéristique du couple en fonction de la vitesse est sérieusement compromise . Le couple de décrochage tombe à environ 50 % de sa valeur originale et le moteur ne développe plus aucun couple de démarrage . La Fig . 34-10 montre les courbes du couple en fonction de la vitesse lorsqu'un moteur fonctionne normalement en triphasé et lorsqu'il fonctionne en monophasé . On constate que les deux courbes se suivent d'assez près jusqu'au couple de décrochage monophasé . 34 .14 Variation de la fréquence À moins d'une panne majeure, il ne se produit jamais de changement de fréquence important sur les grands réseaux . Cependant, la fréquence peut varier sur les réseaux isolés de faible capacité qui génèrent l'énergie électrique à partir de moteurs diesel ou de turbines à
60
80
100 %
vitesse n ns Figure 34-10 Courbes typiques du couple en fonction de la vitesse lorsqu'un moteur triphasé fonctionne normalement et lorsqu'il fonctionne en monophasé .
566
ÉLECTROTECHNIQUE
gaz . Mentionnons les alimentations d'urgence des hôpitaux, le réseau électrique des bateaux et les génératrices alimentant les camps de construction sur les sites éloignés . La conséquence la plus importante résultant d'une variation de fréquence est le changement de vitesse qu'elle occasionne . La vitesse synchrone du champ tournant étant proportionnelle à la fréquence, il se produit un changement correspondant dans la vitesse du moteur : si la fréquence diminue de 3 %, la vitesse baisse de 3 %. Les machines-outils et autres équipements motorisés importés de pays où la fréquence est de 50 Hz peuvent créer des problèmes lorsqu'ils sont branchés sur un réseau à 60 Hz . Ces appareils tournent alors à une vitesse de 20 % supérieure à leur régime normal, ce qui peut être inacceptable . Dans ces circonstances, on doit réduire la vitesse au moyen d'engrenages ou installer une source indépendante à 50 Hz .
Qu'arrive-t-il lorsque le train commence à descendre la côte? La force de gravité vient aider le moteur, de sorte qu'il commence à tourner à une vitesse supérieure à la vitesse synchrone . On constate alors que le moteur développe un couple s'opposant à l'augmentation de vitesse . Ce couple a le même effet qu'un frein, sauf que la puissance mécanique des roues est renvoyée au réseau sous forme de puissance électrique . Un moteur asynchrone tournant au-dessus de sa vitesse synchrone agit donc comme génératrice . On l'appelle alors génératrice asynchrone .
Bien que l'on utilise rarement des moteurs asynchrones pour la traction des trains (Fig . 34-11), il existe plusieurs applications industrielles qui imposent au moteur des conditions d'opération semblables . Dans les grues, par exemple, le moteur est parfois forcé de tourner à des vitesses dépassant la vitesse synchrone . Dans
Un moteur à 50 Hz peut être branché sur un réseau à 60 Hz mais, pour maintenir le flux à sa valeur normale, la tension d'alimentation devrait être augmentée à 6/5 ou 120 % de la valeur nominale inscrite sur la plaque signalétique . Le couple de décrochage est alors le même qu'auparavant, et le couple de démarrage est légèrement inférieur . Le facteur de puissance, le rendement et l'échauffement demeurent presque les mêmes . Inversement, un moteur à 60 Hz peut fonctionner sur un réseau à 50 Hz, mais la tension doit être réduite à 5/6 ou à 83 % de sa valeur nominale . Sa puissance est alors réduite dans les mêmes proportions . Dans ces circonstances, les couples de décrochage et de démarrage demeurent presque les mêmes qu'auparavant . Le rendement, le facteur de puissance et l'échauffement demeurent acceptables . 34 .15 Moteur asynchrone fonctionnant comme génératrice Considérons une locomotive électrique munie d'un moteur asynchrone . Lorsque le train monte une côte, le moteur fonctionne normalement et développe un couple suffisant pour vaincre les frottements et la force de gravité . Au sommet, et sur terrain plat, la force de gravité n'agit plus et le moteur ne doit plus vaincre que les frottements causés par les rails et le déplacement de l'air . Comme la charge est moindre, la vitesse augmente légèrement mais demeure toujours inférieure à la vitesse synchrone .
Figure 34-11 Cette automotrice fait la navette entre Zermatt (1604 m) et Gornergrat (3089 m), Suisse . La traction est assurée par 4 moteurs triphasés à rotor bobiné de 78 kW, 1470 r/min, 700 V, 50 Hz . Deux phases sont alimentées par des conducteurs aériens et la troisième est reliée aux rails . La pente très raide nécessite l'emploi d'une traction à crémaillère, utilisant des roues dentées de 573 mm de diamètre . La vitesse peut être ajustée de zéro à 14,4 km/h grâce à des résistances insérées dans le circuit du rotor. En régime continu, l'effort de traction à la jante est de 78 kN . Lors de la descente, les moteurs tournent à une vitesse légèrement supérieure à leur vitesse synchrone . Ils fonctionnent alors en génératrices asynchrones et ils renvoient l'énergie dans le réseau tout en freinant le véhicule . En cas de panne d'électricité, on a prévu, en plus des freins mécaniques, le système d'urgence utilisant le principe décrit à la section 34 .9 . On fait circuler un courant continu de 55 A dans deux phases du stator de chacun des moteurs à rotor bobiné . Le courant continu est fourni par deux génératrices également accouplées aux roues dentées (gracieuseté de ABt3) .
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
réseau triphasé
567
sans que le réseau soit requis (Fig . 34-13) . La fréquence générée est alors légèrement inférieure à celle correspondant à la vitesse d'entraînement. Ainsi, un moteur
moteur à explosion
à 4 pôles, entraîné à une vitesse de 2400 r/min produit une fréquence légèrement inférieure à :
q
000 -"
I©I
f _ pn
_ 4 x 2400
120
moteur à cage d'écureuil
= 80 Hz
120
La valeur de la tension augmente avec la valeur des Figure 34-12 Génératrice asynchrone raccordée à un réseau triphasé . Lorsque le moteur à explosion entraîne le moteur à une vitesse supérieure à la vitesse synchrone, la machine asynchrone fonctionne en génératrice .
capacitances mais elle est limitée par la saturation de l'acier. Par contre, si la capacitance n'est pas suffisante, la génératrice ne peut s'amorcer. En pratique, la batterie de condensateurs doit pouvoir fournir une puissance réactive un peu supérieure à celle que la machine absorbe lorsqu'elle fonctionne à pleine charge comme
ce cas, le moteur fonctionne en génératrice asynchrone ;
moteur. En plus, les condensateurs doivent fournir la
il tire sa puissance de l'énergie accumulée précédem-
puissance réactive absorbée par la charge . Enfin, pour
ment dans la charge mécanique et il la renvoie dans le
assurer l'amorçage, on doit appliquer la charge seule-
réseau .
ment après l'établissement de la tension .
On peut réaliser une génératrice asynchrone en accouplant un simple moteur à cage d'écureuil à un moteur
Exemple 34-3
à explosion (Fig . 34-12) . Si la vitesse d'entraînement
On désire utili>er un moteur triphasé
dépasse la vitesse synchrone d'un faible pourcentage
1760 r/min . 440 V, 60 Hr comme génératrice asyn-
0 h p.
seulement, le moteur devient une source débitant une
chrone sur un réseau ü 140 V . (0 Hz . Le courant
puissance active P dans le réseau . Cependant, pour créer
nominal du moteur est de 41 A, et son facteur de
son champ magnétique, la machine a besoin d'une puis-
puissance est de S4 r{ . I)c plus, on veut a noter un
sance réactive Q . Comme celle-ci peut seulement pro-
banc de condensateurs aim que la génératrice. vue
venir du réseau, les kilovars Q circulent en sens con-
du réseau, fonctionne à un facteur de puissance de
traire des kilowatts P (voir chapitre 25, section 25 .2) .
100 % . Le moteur est entraîné par une turbine hydraulique . Calculer :
La puissance réactive requise peut être fournie par une batterie de condensateurs branchée aux bornes de la machine ; dans ce cas, on peut alimenter une charge
a) la capacitance requise si les condensateurs sont raccordés en trian_le b) la vitesse approximative de la génératrice lorsqu'elle est chargée à pleine capacité Solution a) La puissance apparente de la machine lorsqu'elle fonctionne comme moteur est :
000 - . .-101--
.
S=EIU3 =440x41x1,73 = 31,2 kVA La puissance active correspondante est :
Figure 34-13 Génératrice asynchrone autonome . Les condensateurs fournissent la puissance réactive requise par le champ magnétique .
P = S x FP = 31,2 x 0,84 = 26,2 kW
568
ÉLECTROTECHNIQUE
La puissance réactive correspondante est : 2
Q = -\IS
- P 2 = -V 31,2 2 - 26,2 2
= 17 kvar
Lorsque la machine marche comme génératrice asynchrone, la batterie de condensateurs doit fournir au moins 17 _ 3 = 5,7 kvar par phase . Puisque les condensateurs sont connectés en triangle, la tension aux bornes est de 440 V. La réactance capacitive est donc : X
2 _ 4402 = E = 340 c Q 5700
Le fonctionnement d'un convertisseur de fréquence est identique à celui d'un moteur asynchrone sauf que la puissance Pe r , ordinairement dissipée dans le rotor, est disponible pour alimenter une charge . Le convertisseur agit donc comme une génératrice . Le cheminement des puissances actives se fait selon le schéma de la Fig. 34-15 .
La capacitance par phase est:
C =
Lorsqu'on désire une fréquence différente de celle de réseau, on entraîne le rotor avec un moteur M et on alimente le stator par le réseau (Fig . 34-14) . La machine à rotor bobiné se comporte alors comme un transformateur rotatif; le stator constitue le primaire et le rotor alimentant la charge à une fréquence différente constitue le secondaire .
1
1
2 nf Xc
2 ,r x 60 x 34
= 0,000 078 F = 78 tF
b) Pour que la génératrice débite sa puissance nominale, la turbine doit tourner à une vitesse supérieure à la vitesse synchrone . Lorsque la machine fonctionne en moteur la vitesse de glissement est : n g = ns - n = 1800 - 1760 = 40 r/min Pour obtenir la même puissance lorsque la machine fonctionne en génératrice, la vitesse de glissement doit être approximativement la même. D'où la vitesse d'entraînement :
Figure 34-14 Convertisseur de fréquence utilisant un moteur à rotor bobiné entraîné par un moteur à cage d'écureuil .
n = 1800 + 40 = 1840 r/min Un cas particulier de l'autogénération par condensateurs mérite notre attention . Lorsqu'un condensateur est branché aux bornes d'un moteur dans le but d'améliorer le facteur de puissance, la tension peut grimper bien au-dessus de sa valeur nominale lors de l'ouverture du disjoncteur situé en amont du groupe condensateurs/moteur . En effet, à cause de son inertie, le moteur continue à tourner après que la source ait été débranchée, ce qui correspond à un fonctionnement en génératrice asynchrone à vide . La surtension risque d'endommager les condensateurs ou d'autres composants du montage. 34 .16
Convertisseur de fréquence
Une application intéressante du moteur à rotor bobiné est son utilisation comme convertisseur de fréquence.
Figure 34-15 Cheminement des puissances actives dans un convertisseur de fréquence . La puissance P e fournie au stator du convertisseur est transmise au rotor bobiné, à l'exception des pertes dissipées dans le stator . La puissance mécanique P m fournie au rotor par le moteur à cage d'écureuil s'ajoute à la puissance P r pour donner la puissance totale Pj r débitée par le rotor.
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
La fréquencefr et la tension E aux bornes du rotor dépendent du glissements . Leurs valeurs sont données par les expressions (33-3) et (33-4),
569
En se référant à la Fig . 34-15, la puissance Pj r que l'on veut fournir à la charge vaut : Pj r = spr = 60 kW
fr = sf
et
E = sE0
En général, la fréquence désirée est de deux à trois fois celle du réseau .
Exemple 34-4 Soit un moteur à rotor bobiné de 30 kW . -140 V, 900 r/min . (>0 Hz . A circuit ouvert . le stator étanl alimenté à 440 V, la tension entre les bagues est de 240 V. On se propose d'utiliser ce moteur connue convertisseur de f équence pour produire une puissance de 60 k1 W' à une fréquence de 180 Hz . La fréquence du réseau étant de 60 Hz, déterminer a) la vitesse et la puissance du moteur asynchrone M entraînant le convertisseur b) la tension approximative aux bornes de la charge
Solution a) On désire générer une fréquence de 180 Hz lorsque le stator est alimenté à 60 Hz . Cela nous permet de calculer le glissement s . D'après l'équation (33-3) on a : fr=sf
d'où
180 = sx60 s = 3
d'où
Pr =
60
= 20 kW
3 La puissance transmise du stator au rotor du convertisseur est donc de 20 kW . Le reste de la puissance requise par la charge doit donc provenir de la puissance mécanique fournie à l'arbre soit : P m =Pjr -Pr =60-20 =40 kW
La puissance mécanique fournie à l'arbre du convertisseur est de 40 kW et la puissance électrique fournie à son stator est de 20 kW. L'écoulement des puissances est montré à la Fig . 34-16 . Le moteur asynchrone M entraînant le convertisseur doit donc avoir une puissance de 40 kW à 1800 r/min . Le stator du convertisseur ne surchauffera pas . En effet, il absorbera une puissance P e légèrement plus grande que 20 kW pour suppléer aux pertes Joule Pi s et les pertes dans le fer Pf . Or, cette puissance est bien inférieure à sa puissance nominale de 30 kW. Le rotor ne surchauffera pas non plus, même s'il débite une puissance de 60 kW. La puissance accrue provient du fait que la tension induite dans le rotor est trois fois plus élevée qu'au repos, car la vitesse relative du rotor par rapport au champ tournant est trois fois plus grande qu'au repos . Cependant, les pertes dans le fer du rotor seront élevées, car la fréquence y est de 180 Hz ; mais
D'autre part, d'après l'équation (33-2) on a : ns - n
s= ns
3 - 900 - n 900 d'où
n = - 1800 r/min
On doit donc entraîner le convertisseur à une vitesse de 1800 r/min . Le signe négatif signifie que l'on doit entraîner le rotor dans le sens inverse du champ tournant .
Figure 34-16 Voir exemple 34-4 . Dans cette figure, on a négligé les pertes dans le rotor et le stator du convertisseur.
570
ÉLECTROTECHNIQUE
comme le rotor tourne à deux fois sa vitesse normale, le refroidissement est plus efficace. b) La tension approximative aux bornes de la charge sera: E=sE0 =3x240V=720V
34 .17
En fait, à cause de la chute dans les résistances et les réactances de fuite des enroulements, la tension sera légèrement inférieure à 720 V. Exemple 34-5 On désire construire une source triphasée pouvant fournir 20 kW à 50 Hz, en se servant du réseau à 60 Hz et d'un moteur à rotor bobiné ayant 4 pôles . En négligeant les pertes dans le cuivre, dans le fer et par frottement . calculer : a) la puissance approximative du moteur à rotor bobiné b) la puissance approximative et la vitesse du moteur qui l'entraîne Solution
a) Afin d'obtenir une fréquence fr de 50 Hz, il faut que le glissement soit : s = frlf = 50/60 = 5/6
la vitesse synchrone est de 1800 r/min accouplé à une boîte de vitesses dont le rapport est de 6 à 1 . Si on utilise un moteur asynchrone, sa vitesse sera légèrement supérieure à 1800 r/min . Par conséquent, la fréquence générée sera légèrement inférieure à 50 Hz .
éq . 33-3
En se référant à la Fig . 34-15, on constate que la puissance de 20 kW débitée par le convertisseur est égale à sPr . Donc, Pr = 20 kW/s = 20/(5/6) = 24 kW. Comme la puissance Pr est à peu près égale à Pe , il s'ensuit que la puissance approximative du moteur à bagues est de 24 kW. b) Le stator du moteur à bagues fournit 24 kW au rotor, alors que la charge n'en absorbe que 20 kW. Il en résulte que le moteur qui entraîne le moteur à bagues doit recevoir une puissance P,,, de 24 kW - 20 kW = 4 kW. Dans ce cas, si l'on se réfère à la Fig . 34-15, la flèche P m doit pointer dans le sens inverse . Le moteur fonctionne donc en génératrice asynchrone, et il retourne les 4 kW au réseau à 60 Hz . La vitesse de glissement est 5/6 x 1800 = 1500 r/min . Par conséquent, le rotor à bagues doit tourner à (1800 -1500) = 300 r/min . À cette basse vitesse, il est plus économique d'employer un moteur de 4 kW dont
Caractéristique couple/vitesse complète d'une machine asynchrone
On a vu qu'une machine asynchrone peut fonctionner comme moteur, comme génératrice ou comme frein . Ces trois modes de fonctionnement suivent une transition graduelle qui devient évidente quand on trace la courbe donnant le couple en fonction de la vitesse (Fig . 34-17) . Cette courbe et les schémas donnant la répartition des puissances actives résument le comportement global de toutes les machines asynchrones triphasées . 34 .18 Expression du couple en fonction de la vitesse La Fig . 34-17 donne la caractéristique généralisée du couple en fonction de la vitesse pour les trois modes de fonctionnement d'une machine asynchrone . La machine fonctionne normalement comme moteur, développant un couple variant entre zéro et le couple de pleine charge TN. Or, entre ces limites, la courbe donnant le couple en fonction de la vitesse est essentiellement une ligne droite (Fig . 34-18) . À tension constante, la pente de cette droite dépend surtout de la résistance du rotor : plus la résistance est grande, plus la pente est faible . En fait, on peut prouver que le glissement s, le couple T, la tension d'alimentation E et la résistance du rotor R sont liés par la relation : s=k TR
(34-1)
E2 où k est une constante qui dépend de la construction
du moteur. Cette relation est très intéressante car elle permet d'estimer la vitesse d'un moteur, son couple, son rendement, etc ., pour n'importe quel point de fonctionnement, simplement à partir de ses caractéristiques nominales .
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
FREIN T = couple développé par la machine
MOTEUR
GÉNÉRATRICE
n = sens de rotation de la machine
n s = sens de rotation du champ tournant
Figure 34-17 Courbe généralisée donnant le couple en fonction de la vitesse d'une machine asynchrone . Noter le sens des puissances dans les trois modes d'opération .
vitesse Figure 34-18 La courbe du couple en fonction de la vitesse entre le régime à vide et la pleine charge est une droite .
571
572
ÉLECTROTECHNIQUE
La relation 34-1 peut en effet s'écrire sous la forme :
575 V 3 ph 60 Hz
2
TX
Rx
EN
TN
RN
EX
(34-2)
SX = SN
40 kW = 364 N •m
Iii
(a)
1050 r/min
R N =100%
où
condition nominale (N)
•
indice spécifiant les conditions de fonctionnement données, lesquelles peuvent correspondre aux indications données sur la plaque signalétique • indice spécifiant les nouvelles conditions de fonctionnement s glissement T = couple [N•m] R = résistance du rotor [S2] • = tension aux bornes du stator [V] La seule restriction concernant cette formule est que le couple TX doit être inférieur à TN (EX/EN)2. Dans ces circonstances, la formule (34-2) donne une précision meilleure que ± 5 %, ce qui suffit pour résoudre la majorité des problèmes pratiques . Exemple 34-6
Lin moteur asynchrone triphasé classe I) de 40 kW, 105)) i/min . 5 75 V, 60 Hz (Fie . 34-19a) . iinetionne à un endroit particulièrement chaud . La tension d alimentation est temporairement de 420 V au lieu de 5 \ . Sachant que la charge impose un couple de 80 N -in et que la résistance du rotor est de II) ,,c plus élevée que sa valeur nonreile (Fig . 3-1-19b), calCuler :
420 V 3 ph 60 Hz
Iii
(b)
Rx = 110 %
nouvelle condition (X) Figure 34-19 Voir exemple 34-6 . Vérifions si le nouveau couple (80 N •m) est dans les limites d'utilisation de la formule (34-2) : •
< TN
(EX/EN) 2
• < 364 (420/575)2 • < 194 N •m (80 N •m ) est inférieur à 194 N •m. on peut utiliser l'expression (34-2), soit : Comme le couple Tx
Rx TX
TN
RN
2
EX
80 x 1,1 x 575
= 0,125 x
a) la vitesse du moteur b) les pertes Joule dans le rotor
x
x
SX = SN
EN
364
1
2
420
= 0,0566 Solution
a) Calculons d'abord les caractéristiques nominales du moteur : Une vitesse nominale de 1050 r/min indique qu'il s'agit d'une machine à 6 pôles dont la vitesse synchrone est de 1200 r/min. S N = ( 1200 - 1050)/1200 = 0,125
Vitesse approximative du moteur : n x = 1200 (1 - 0,0566) = 1132 r/min
b) Puissance mécanique : Pm =
nT
9,55 TN
9,55 P - 9,55 x 40 000 = n
EN = 575 V
1050
= 364 N -m
1132 x 80 9,55
= 9,48 kW
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
Solution a) Vitesse synchrone = 1800 r/min
Puissance fournie au rotor : Pm
9,48 kW
pr = (1 - s) = 10,0 kW
573
Glissement à 450 r/min :
(1 - 0,0566) S =
Pertes Joule dans le rotor :
( 1800 - 450) = 0,75 1800
Puissance mécanique P m = 20 kW
Pe r = sPr = 0,0566 x 10,0 kW
Puissance Pr fournie au rotor :
= 0,566 kW = 566 W Exemple 34-7 Un moteur triphasé à rotor bobiné de 1 10 kW . 1760 r; min . ~ .3 LV', 60 Hz entraîne un conv oy cur (Fig . 34-_'()a) . Le rotor est raccordé en étoile et la tension entre les bagues à circuit ouvcrl est de 530 V. Déterminer :
Pr = Pm 1-s
éq. 33-8
20 kW
= 80 kW
1-0,75 Puissance Pjr dissipée dans le circuit du rotor: Per = spr
a) la résistance à placer en série avec le rotor (par phas(2) pour que le moteur développe une puissance de 20 kW à une s tosse de 150 r/min lorsque la tension au, bornes du stator est de 2 .4 kV tFie . 34 200) b) la puissance dissipée dans les résistances
= 0,75 x 80 kW = 60 kW Tension approximative induite entre les bagues du rotor : éq . 33-4
E2 = sE,~,
=0,75x530x
bagues en 2,3 kV 3 ph 60 Hz
2 .4kV 2,3 kV
court-circuit
= 415 V
W
110 kW 1760 r/min
Les trois résistances extérieures, connectées en étoile, ont chacune une valeur approximative de:
condition nominale (N)
Rext = E~ P
(a)
4152 - 2,9 S2 60 000
b) La puissance dissipée dans les trois résistances est de 60 kW.
Rext
2,4 kV 3 ph 60 Hz
LA MACHINE ASYNCHRONE À DOUBLE ALIMENTATION 20 kW 450 r/min
nouvelle condition (X) (b) Figure 34-20 Voir exemple 34-7 .
éq.33-7
Une machine asynchrone à rotor bobiné peut être alimentée par deux sources distinctes branchées respectivement au stator et au rotor . Cette machine, appelée « machine asynchrone à double alimentation », est utilisée dans des applications requérant une vitesse variable . Elle peut être utilisée comme moteur pour, par
574
ÉLECTROTECHNIQUE
exemple, entraîner des pompes . Elle est aussi utilisée dans les éoliennes comme génératrice à vitesse variable . Les sections qui suivent décrivent le principe de fonctionnement et les caractéristiques de cette machine .
34.19
Moteur asynchrone à double alimentation
Avant d'introduire la machine ,asynchrone à double alimentation, revenons au moteur à rotor bobiné présenté dans les sections précédentes . Comme d'habitude, son stator est branché à une source de fréquence de 60 Hz ou de 50 Hz . Cependant, au lieu de brancher au rotor une charge résistive triphasée à travers un ensemble de bagues et balais (comme sur la Fig . 33-20), relions plutôt le rotor à une deuxième source ayant une fréquence de, disons, 14 Hz (Fig . 34-21) . Comment se comporte cette machine à double alimentation?
rotor . Supposons de plus que ce flux tourne également dans le sens horaire par rapport au rotor . Pour que les pôles N du stator restent alignés aux pôles S du rotor, il faut que notre observateur externe voie les pôles du rotor tourner à la même vitesse que les pôles du stator. Il s'ensuit que le flux rotorique doit tourner dans le sens horaire à 1800 r/min . Cela implique que le rotor doit lui-même tourner à une vitesse de 1800 - 420 = 1380 r/min . Toute autre vitesse produirait en effet un glissement continuel des pôles du rotor par rapport aux pôles du stator. Le couple moyen serait alors nul et le moteur s'arrêterait . On constate donc que cette machine peut fonctionner en moteur si, et seulement si, sa vitesse est exactement de 1380 r/min . On dit alors qu'elle fonctionne à une vitesse sous-synchrone .
Supposons que les enroulements triphasés du stator et du rotor de notre machine aient chacun 4 pôles et que le stator soit branché à une source à 60 Hz . Le flux créé par le stator tourne à la vitesse synchrone n s = 120 f/p = 120 x 60/4 =1800 r/min . Supposons de plus que ce flux tourne dans le sens horaire . Un observateur externe « voit » donc ce flux statorique tourner dans le sens horaire à 1800 r/min.
En permutant deux des trois fils de la source à 14 Hz reliée aux balais, on force le flux tournant produit par le rotor à changer de sens par rapport au rotor (sens anti-horaire) . Dans ces conditions, pour que les pôles N du stator restent alignés avec les pôles S du rotor, il faut que le rotor tourne maintenant à une vitesse de 1800 + 420 = 2220 r/min. On dit alors que le moteur fonctionne à une vitesse hyper-synchrone .
Puisque le rotor est branché à une source à 14 Hz, celui-ci produit un flux tournant à une vitesse n 2 = 120 f/p = 120 x 14/4 = 420 r/min par rapport au
À partir de cet exemple, on peut généraliser et montrer que lorsqu'un moteur à rotor bobiné est alimenté par deux sources, il doit tourner à une des deux vitesses suivantes :
Es Is f=60Hz 0 -~ source o triphasée
stator
F_
rotor O
0
Figure 34-21 Moteur à rotor bobiné à double alimentation connecté à deux sources triphasées .
ER f2=14Hz
source triphasée
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
n = 120 (f _
575
f2)
(34-3a)
Le cheminement de la puissance de la source à la charge est expliqué ci-dessous . Le lecteur a tout avantage de suivre minutieusement les 8 étapes, de même que les informations correspondantes données à Fig . 34-22 .
.f2)
(34-3b)
l) La source triphasée Es fournit une puissance active Pe au stator.
P ou n = 120 (f + P où n = vitesse du rotor [r/min] f = fréquence appliquée au stator [Hz]
f2 =
fréquence appliquée au rotor [Hz] p = nombre de pôles du stator et du rotor
Pour une fréquence f2 donnée, la vitesse n dépend de la séquence des phases de la tension triphasée appliquée au rotor. Une séquence directe produit une vitesse soussynchrone (éq . 34-3a), alors qu'une séquence inverse produit une vitesse hyper-synchrone (éq . 34-3b) . Pour un moteur à cage ou un moteur à rotor bobiné relié à une charge résistive, on sait comment se répartit la puissance provenant de la source (Fig . 34-22) . Mais comment se répartit la puissance dans cette machine reliée à deux sources ? Considérons d'abord la Figure 34-22 montrant la répartition de la puissance active dans une machine à rotor bobiné avec une charge résistive R branchée au rotor.
Figure 34-22 Cheminement de la puissance dans un moteur à rotor bobiné .
2) Après soustraction des pertes Joule P is dans le stator et des pertes fer P f , la puissance résultante Pr est transmise au rotor à travers l'entrefer . 3) Avec un glissement s, une portion sP r de la puissance P r est dissipée en chaleur . Ces pertes correspondent à la somme des pertes Joule dans le rotor (P ir ) et dans les résistances externes R (PAR) . 4) La différence P r - sPr est convertie en puissance mécanique P m transmise à l'arbre, soit P m = ( 1- s)Pr .
5) On doit soustraire les pertes par friction et ventilation P,, pour obtenir la puissance mécanique nette P L transmise à la charge . 6) Introduisons maintenant la relation entre le glissements, la fréquence statorique f et la fré-
ÉLECTROTECHNIQUE
576
quence rotorique f2 . D'après l'équation 33-3, f2 = sf, soit s = f2/f 7) On peut maintenant exprimer la puissance mécanique en fonction de la fréquence statorique f, de la fréquence rotorique f2 et de la puissance P r transmise au rotor, soit :
De plus, la puissance électrique fournie par le rotor est encore (f2/f)Pr . Une partie Per de cette puissance est dissipée dans la résistance du rotor et le reste Per est absorbé par la source ER . Il est intéressant de noter que le couple développé par le moteur est encore donné par la relation 9,55 Pr Tm = éq . 33-9
Pm = (1 - f2/f)Pr
La puissance électrique fournie par le rotor est Pr - P,,, = (f2/f)Pr . Cette puissance est dissipée sous forme de chaleur dans les enroulements du rotor (Pj- r) et dans les résistances externes (PJR ) . 8) Le couple développé par le moteur est toujours donné par 9,55 Pr Tm = éq . 33-9 ns
Après ce rappel sur le fonctionnement du moteur à rotor bobiné, revenons à notre machine à double alimentation fonctionnant en mode sous-synchrone et en mode hyper-synchrone . 34.20
Moteur à double alimentation en mode sous-synchrone Lorsque le moteur à rotor bobiné est alimenté par une source de tension Es de fréquence f au stator, et une source ER de fréquence f2 au rotor, le glissement s est automatiquement imposé, soit s = f2/f La vitesse du moteur est donc également imposée par la relation . Comme la vitesse du moteur n = n,(1-s) = n,(1-f2/f) est imposée, on peut considérer cette machine comme un type spécial de moteur synchrone . En particulier, lorsque la fréquence f2 appliquée au rotor est nulle (rotor alimenté en c .c .), la machine tourne à la vitesse syn.(1- s) = n s (1- f2/f) chrone n = n
ns
34 .21
Moteur à double alimentation en mode hyper-synchrone
Lorsque l'on inverse la séquence des tensions appliquées au rotor, le moteur tourne à une vitesse hypersynchrone . Dans ces circonstances, la puissance électrique s'inverse dans le rotor, mais sa valeur est encore donnée par (f2/f)Pr (Fig . 34-24) . Dans ce cas, la source ER fournit de la puissance P eT au rotor. La puissance mécanique développée par le rotor est donc
f
Pm = (1 + 2
r
(34-5)
fIP Le couple est toujours donné par la relation : 9,55 P r T T. = éq . 33-9 ns
Ce moteur à double alimentation est parfois utilisé pour entraîner des charges à vitesse variable . La source de tension ER est alors un convertisseur raccordé au réseau à 60 Hz ou 50 Hz et générant une fréquence f2 variable. L'utilisation d'un convertisseur au lieu de résistances permet de faire varier la vitesse dans une plus grande gamme (Fig . 34-25) et de retourner dans le réseau la puissance qui devrait autrement être gaspillée dans les résistances .
=ns(1-0/f)=ns .
Quoi qu'il en soit, les relations fournies plus haut pour le moteur à rotor bobiné restent valables . La Fig . 3423 montre la répartition de puissance pour la machine à double alimentation tournant à vitesse sous-synchrone . La puissance mécanique Pm est encore donnée par Pm = (1
(34-4) Ï-)
34 .22
Générateur asynchrone à double alimentation
Le moteur asynchrone à double alimentation que nous venons de décrire peut fonctionner en générateur . Il suffit pour ce faire d'appliquer à l'arbre un couple dont le sens est tel qu'il tend à faire augmenter la vitesse sous-synchrone ou hyper-synchrone . Sous l'effet de ce couple les pôles du rotor avancent légèrement en avant des pôles du stator, mais la vitesse en régime perma-
577
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
de la tension ER . Il n'est donc plus nécessaire d'installer des bancs de condensateurs aux bornes du stator pour lui fournir la puissance réactive . Exemple 34-8
Une machine asynchrone à double alimentation triphasée, 6 pôles, 800 kW est couplée à une turbine éolienne pour produire de l'énergie électrique sur un réseau à 60 Hz (Fig . 34-28) . Le stator est branché sur le réseau à 60 Hz et le rotor est alimenté par un convertisseur de fréquence produisant une tension de 24 Hz à séquence directe . La turbine éolienne développant une puissance mécanique P L de 500 hp est couplée au rotor à travers un réducteur de vitesse à engrenages G . Figure 34-25 Lapprovisionnement en eau potable de la ville de Stuttgart, en Allemagne, est assuré par un pipeline de 1,6 m de diamètre et 110 km de long, alimenté par les eaux du lac de Constance dans les Alpes . La pompe visible en arrière-plan est actionnée par un moteur à rotor bobiné de 3300 kW, 425 à 595 r/min, 5 kV, 50 Hz . La vitesse variable du moteur permet de régler le débit d'eau selon les besoins de la ville . Le refroidissement du moteur blindé est assuré par un échangeur de chaleur air/eau utilisant l'eau froide du lac à 5 °C . Pendant le démarrage, on utilise un rhéostat liquide, après quoi le rotor est branché aux onduleurs (situés contre le mur) qui réinjectent l'énergie de glissement dans le réseau (gracieuseté de Siemens) .
nent reste inchangée . Par contre, les puissances circulant dans le stator et dans le rotor changent de sens comme l'indiquent la Fig . 34-26 (mode sous-synchrone) et la Fig . 34-27 (mode hyper-synchrone) . La transition du mode sous-synchrone au mode hyper-synchrone s'effectue en changeant la séquence des phases de la tension ER . L'exemple 34-8 qui suit illustre la répartition des puissances dans un générateur à double alimentation en mode sous-synchrone entraîné par une turbine éolienne . En plus de pouvoir fonctionner à vitesse variable, le générateur asynchrone à double alimentation possède un autre avantage par rapport à la machine asynchrone à cage : il permet de fournir une puissance à facteur de puissance unitaire . Pour ce faire, on ajuste l'amplitude
On fournit en outre les informations suivantes Pertes par friction dans la machine et dans le réducteur de vitesse P, = 1 1 kW Pertes Joule dans le rotorP _= 3 kW Pertes Joule dans le stator Pertes dans le fer Pertes dans le convertisseur
12 kW = 7 kW 2 kW
Calculer : a) la vitesse sous-synchrone du rotor r/min b) la puissance mécanique P,,, fournie au rotor [kW] c) la puissance électroma nétique P r transférée du rotor au stator cl) le couple mécanique , développé sur l'arbre IkN'm e) la puissance électrique fournie au rotor j kW 1 t a puissance électrique P, absorbée par le convertisseur du réseau à 60 Hz 1 kW] la puissance électrique P z fournie par le stator au réseau à 60 Hz l kW j h) la puissance nette P i fournie au réseau à 60 Hz IkWI du groupe générale rendement ii = teur-convertisseur
578
ÉLECTROTECHNIQUE
Figure 34-23 Cheminement de la puissance dans un moteur à double alimentation en mode sous-synchrone .
Figure 34-24 Cheminement de la puissance dans un moteur à double alimentation en mode hyper-synchrone .
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
r
stator
1
f
Pr
120 f ns = P n=ns(1 _ f2 ) f Tm =
9,55 P, ns
Figure 34-26 Cheminement de la puissance dans un générateur à double alimentation en mode sous-synchrone .
Figure 34-27 Cheminement de la puissance dans un générateur à double alimentation en mode hyper-synchrone .
579
580
ÉLECTROTECHNIQUE
Figure 34-28 Voir exemple 34-8 .
Solution
Pm
=I1- f2)P r
362 = 1 -
n = 120 (f éq . 34-3a fz) P n = 120 (60 - 24) = 720 r/min 6 b) Puissance mécanique fournie par la turbine au réducteur de vitesse : PL = 500 hp = 500 x 746 = 373 kW Pertes par friction dans la machine et dans les engrenages : P`, = 11 kW
= 373 - 11 = 362 kW
24 Pr 60
362 = 0,6 Pr d'où : d)
Pr=
362 = 603 kW 0,6
La vitesse synchrone est nç = 120 f/p = 120
X
60/6
= 1200 r/min Couple mécanique appliqué à l'arbre
Puissance mécanique P m fournie au rotor Pm = PL - P v
éq . 34-4
f
a) Vitesse sous-synchrone :
9,55
Tm
Pr
= eq . 33-9 nS
c) La puissance électromagnétique P est donnée par l'expression
Tm
= 9,55 x 603 000 = 4,8 kN .m 1200
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
e) Puissance électrique fournie au rotor, excluant les pertes Joule : Pr(f/f) = 603 kW x (24/60) = 241 kW
Pertes Joule dans le rotor : Pir = 3 kW
D'après la Fig . 34-28, la puissance électrique totale fournie par le convertisseur au rotor est Per = 241 + 3 = 244 kW
f) Puissance électrique absorbée par le convertisseur P2 = Per + PC, = 244 + 2 = 246 kW g) Puissance électrique fournie par le stator P e = Pr -Pis -Pf
= 603 - 12 - 7 = 584 kW h) Puissance nette P l fournie au réseau à 60 Hz : P i =Pe -P2 =584-246
= 338 kW i) Le rendement du groupe générateur-convertisseur :
17
i = 338 = 0,906 = 90,6 % 373 PL
= P
34 .23 Résumé Dans ce chapitre, nous avons vu que les moteurs asynchrones font l'objet d'une standardisation . Selon les conditions environnementales auxquelles ils sont soumis on distingue cinq classes de moteurs, soit les moteurs abrités, étanches, blindés, blindés avec ventilateur extérieur et antiexplosif Les moteurs sont aussi classés selon leurs caractéristiques électriques et mécaniques . On distingue ainsi, selon la construction du rotor, les moteurs à couple de démarrage normal, à couple de démarrage élevé (double cage) et à glissement élevé (résistance de rotor élevée) . Les dimensions et le coût des moteurs asynchrones ne varient pas proportionnellement à leur puissance . Nous avons fourni un tableau permettant de comparer ces caractéristiques pour des puissances comprises entre 0.75 et 7500 kW . Nous avons appris aussi que les moamrs à basse vitesse ont généralement des performan-
581
ces inférieures et un coût plus élevé que ceux à haute vitesse . Nous avons vu qu'il est possible de réaliser des moteurs à deux vitesses à l'aide d'enroulements spéciaux qui permettent de doubler le nombre de pôles simplement en changeant les connexions du stator. Le moteur asynchrone peut fonctionner également comme frein ou comme génératrice, d'où la dénomination plus générale de machine asynchrone . On a d'ailleurs présenté la caractéristique couple/vitesse complète d'une machine asynchrone pour ses trois modes de fonctionnement (frein, moteur, génératrice) . Lorsque la fréquence de la source est fixe, on peut freiner un moteur en inversant le sens de rotation du champ tournant en permutant deux phases du stator . On peut aussi le freiner en injectant un courant continu dans le stator. La machine asynchrone peut fonctionner en génératrice à condition de l'entraîner à une vitesse supérieure à la vitesse synchrone . La machine à rotor bobiné qui fonctionne en fait comme un transformateur rotatif peut également être utilisée comme un générateur à fréquence variable, dépendant de la vitesse du rotor . On a vu qu'en fonctionnement normal, on peut, à l'aide d'une relation simple, quantifier l'impact sur le point de fonctionnement (couple/vitesse) d'une variation de la tension d'alimentation et de la résistance du rotor . On a aussi expliqué l'impact des conditions anormales de fonctionnement (surcharge mécanique, variation de la tension d'alimentation, rupture d'un fil d'alimentation, variation de la fréquence du réseau) .
PROBLÈMES - CHAPITRE 34 Niveau pratique 34-1 Quelle est la différence entre un moteur abrité et un moteur antiexplosif? 34-2 Quelle est la durée de vie normale d'un moteur? 34-3 L'usage d'un moteur classe D est à déconseiller lorsqu'on doit entraîner une pompe . Expliquer. 34-4 Identifier les parties principales du moteur montré à la Fig . 34-3a .
582
ÉLECTROTECHNIQUE
34-5 On veut entraîner à une vitesse de 350 r/min un treuil absorbant une puissance de 10 kW . Le choix d'un moteur asynchrone tournant à 350 r/min est-il judicieux? Expliquer. 34-6 Montrer la direction de toutes les puissances actives dans un moteur asynchrone lorsqu'il fonctionne : a) comme moteur
b) comme frein
34-7 Si une des lignes alimentant un moteur asynchrone triphasé est ouverte, le moteur continuera-t-il à tourner? 34-8 Du point de vue environnemental, quelle catégorie de moteur asynchrone faudrait-il utiliser dans : a) un convoyeur de blé?
b) une buanderie?
c) une scierie? 34-9 Quel type de moteur utiliserait-on dans chacune des applications suivantes : 1) ventilateur
5) scie circulaire
2) tour
6) pompe centrifuge
3) poinçonneuse
7) ascenseur
4) cisaille
8) convoyeur à courroie
34-10 Donner trois avantages de la normalisation des moteurs asynchrones . Nommer trois organismes de normalisation. Niveau intermédiaire 34-11 Comment le facteur de puissance, le rendement, l'échauffement et la vitesse sont-ils affectés si un moteur triphasé prévu pour fonctionner à une tension nominale de 440 V est alimenté à 550 V? 34-12 Qu'arriverait-il au couple de démarrage et de décrochage si un moteur triphasé à 550 V était raccordé à une ligne triphasée à 208 V? 34-13 Un moteur triphasé de 30 kW, 900 r/min est construit selon les normes classe C (Fig . 34-5) . Tracer la courbe du couple en fonction de la vitesse . 34-14 En se basant sur les données du tableau 34-1, déterminer la masse et le coût approximatifs d'un moteur asynchrone triphasé tournant à 1800 r/min ayant une puissance : a) de 300 kW
b) de 30 kW
34-15 a) En se référant à la Fig . 34-6, si l'on utilisait un moteur sans réducteur de vitesse pour obtenir un couple de 172 N •m à 125 r/min, quelle serait sa puissance nominale? b) Combien de pôles posséderait-il?
34-16 On désire bobiner un moteur à deux vitesses selon les schémas des Fig. 34-7 et 34-8 . Montrer l'arrangement des pôles pour la haute et la basse vitesse sachant que les vitesses synchrones respectives sont de 1200 r/min et 600 r/min sur un réseau à 60 Hz . Faire un schéma semblable à celui de la Fig . 34-7 indiquant les connexions pour une phase . 34-17 Expliquer pourquoi on ne doit pas arrêter ni redémarrer un moteur asynchrone de façon répétée s'il entraîne une charge ayant une grande inertie . 34-18 Un moteur triphasé de 10 kW, 1450 r/min, 380 V, 50 Hz doit être branché sur un réseau à 60 Hz . Quelle tension doit-on lui appliquer et à quelle vitesse ce moteur tournera-t-il? 34-19 Dans le problème 34-18, comment sont affectés le couple de démarrage, le rendement, le facteur de puissance et l'échauffement à pleine charge si le moteur est branché sur un réseau à 60 Hz, a) à 440 V
b) à 600 V
34-20 On fait circuler un courant continu dans deux phases d'un moteur asynchrone à cage d'écureuil . Montrer que si l'on essaie de faire tourner le rotor, il se produira un couple de freinage s'opposant à la rotation . 34-21 Dans le problème 34-20, montrer que le couple de freinage est proportionnel à la vitesse de rotation (négliger l'inductance du rotor) . 34-22 a) En se référant à la Fig . 34-17, donner les glissements correspondant aux vitesses suivantes : - 2 n s , - ns,
0,
+n, +2 n,
b) Pour quels glissements la puissance P r est-elle maximale? Niveau avancé 34-23 Un moteur asynchrone à cage d'écureuil classe B accélère de zéro à 1800 drain une charge ayant un moment d'inertie de 1,4 kg-m 2 . On se propose d'utiliser un moteur classe D ayant la même puissance .
APPLICATIONS DES MACHINES ASYNCHRONES TRIPHASÉES
a) Lequel des deux moteurs démarrera le plus vite? b) Lequel des deux rotors sera le plus chaud à la fin de la période d'accélération? 34-24 On ale choix de freiner jusqu'à l'arrêt un mo-
teur asynchrone soit par inversion, soit en faisant circuler un courant continu dans les enroulements du stator. Laquelle des deux méthodes produira le moins d'échauffement du moteur? Expliquer. 34-25 Un moteur asynchrone triphasé de 30 kW,
583
d) la masse totale si le poids moyen des passagers est de 60 kg e) l'énergie requise pour monter de Zermatt à Gornergrat f) le temps minimal requis pour faire le trajet g) en supposant que 80 % de l'énergie électrique est convertie en énergie mécanique utile lors de la montée et que 80 % de l'énergie potentielle mécanique est reconvertie en énergie électrique lors de la descente, déterminer la dépense totale d'énergie [kW .h] pour un voyage aller-retour
575 V, 60 Hz possédant 8 pôles entraîne un volant cylindrique en fer ayant un diamètre de 800 mm et une épaisseur de 200 mm. La caractéristique du couple du moteur en fonction de sa vitesse correspond à celle de la classe D, Fig . 34-5 . Calculer :
34-28
a) la masse du volant et son moment d'inertie b) la vitesse nominale du moteur à pleine charge et le couple correspondant c) le couple de démarrage du moteur d) tracer la courbe du couple en fonction de la vitesse et donner les couples à 0, 180, 360, 540, 720 et 810 r/min
a) la puissance dissipée dans le rhéostat de chaque moteur b) la résistance du rhéostat par phase
34-26 a) Dans le problème 34-25, calculer le cou-
ple moyen pour les vitesses comprises entre 0 et 180 r/min . b) En utilisant la formule (1-14), calculer le temps requis pour accélérer le volant de 0 à 180 r/min . c) En utilisant la formule (1-7b), calculer l'énergie cinétique emmagasinée dans le volant lorsqu'il tourne à 180 r/min . d) Trouver la quantité de chaleur dégagée par le rotor pendant cet intervalle . e) Déterminer le temps requis pour accélérer le volant de 0 à 540 r/min sachant que, cette fois, la charge impose, en plus de l'inertie du volant, un couple égal au couple nominal du moteur. 34-27 L'automotrice de la Fig . 34-11 a une masse à
vide de 35,6 t et peut transporter 240 personnes . Calculer : a) la vitesse de rotation des roues dentées lorsque l'automotrice se déplace à une vitesse de 14,4 km/h b) le rapport de réduction de l'engrenage entre les moteurs et les roues dentées c) le courant approximatif dans les lignes d'alimentation lorsque les moteurs fonctionnent à pleine charge
Dans le problème 34-27, chaque moteur possède un rhéostat de démarrage semblable à celui montré à la Fig . 33-20 . La tension entre les bagues à circuit ouvert est de 290 V. Au démarrage, on désire créer un effort de traction total à la jante de 39 kN . Calculer:
c) la puissance active approximative fournie au stator 34-29 On désire transformer un moteur asynchrone
triphasé à cage d'écureuil de 30 kW, 208 V, 60 Hz, 870 r/min en génératrice asynchrone autonome (Fig . 34-13) . La génératrice est entraînée par un moteur à explosion tournant à 2100 r/min . La charge est composée de trois résistances de 5 S2 raccordées en étoile . La génératrice s'amorce lorsqu'on la relie à trois condensateurs de 100 .tF raccordés en étoile; elle maintient alors une tension ligne à ligne de 520 V . Calculer : a) la fréquence approximative produite par la génératrice b) la puissance active fournie à la charge c) la puissance réactive fournie par les condensateurs d) le courant débité par la génératrice par phase e) On dispose des moteurs à explosion suivants : 30 hp ; 100 hp ; 150 hp . Lequel est le plus approprié? f) Comparer les pertes dans le fer et dans le cuivre avec celles produites lorsque la machine fonctionne en moteur . 34-30 L' approvisionnement en eau potable de la ville
de Stuttgart, Allemagne, est assuré par un pipeline de 1,6 m de diamètre et 110 km de long, alimenté par les eaux du lac de Constance dans les Alpes . La pompe est actionnée par un moteur à rotor bobiné dont
584
ÉLECTROTECHNIQUE
la puissance nominale est de 3300 kW, 595 r/min, 5 kV, 50 Hz . À pleine charge, le moteur a un rendement de 97 % et un facteur de puissance de 90 % . Afin de régler le débit en eau selon les besoins de la ville, la vitesse du moteur à 10 pôles varie de 595 r/min à 425 r/min . La pompe débite 4,5 m 3 /s d'eau lorsque le moteur tourne à 595 r/min . Calculer: a) b) c) d)
la vitesse de l'eau dans le pipeline la pression nominale développée par la pompe le courant approximatif tiré par le moteur les pertes Joule dans le rotor
34-31
Afin de maintenir la même pression d'eau, le
moteur du problème 34-30 doit développer son couple nominal à toutes les vitesses de fonctionnement . À circuit ouvert, la tension induite entre les bagues du rotor est de 2250 V. À une vitesse de 425 r/min, calculer : a) b) c) d) e) f)
le couple développé le glissement et la puissance fournie au rotor la puissance mécanique fournie à la pompe la puissance active réinjectée dans le réseau la fréquence et la tension entre les bagues du rotor le courant débité par le rotor
35 La machine asynchrone : circuit équivalent et variation de la vitesse de l'étude des convertisseurs électroniques utilisés pour commander la vitesse des machines asynchrones .
Dans les deux chapitres précédents nous avons décrit les propriétés importantes du moteur asynchrone triphasé sans avoir recours à un circuit équivalent . Cependant, pour acquérir une meilleur connaissance du comportement du moteur, un circuit équivalent devient indispensable . Contrairement à ce qu'on pourrait penser, ce circuit est aussi simple que celui d'un transformateur.
Ce chapitre contient plusieurs formules . Cependant, elles ne sont pas compliquées et les exemples numériques permettront d'en saisir l'utilité . 35 .1 Le moteur à rotor bobiné La construction d'un moteur triphasé à rotor bobiné (aussi appelé moteur à bagues) s'apparente beaucoup à celle d'un transformateur triphasé . Ainsi, le moteur possède 3 enroulements identiques montés sur le stator, et 3 enroulements sur le rotor, soit un enroulement par phase . À cause de cette symétrie parfaite, on peut, comme pour le transformateur, analyser le comportement du moteur en considérant seulement un enroulement primaire et un enroulement secondaire .
Dans la première partie de ce chapitre, nous développerons le circuit équivalent de la machine asynchrone à partir des principes de base . Nous pourrons alors démontrer les relations et caractéristiques importantes données dans les chapitres précédents . Ensuite, nous analyserons les caractéristiques de deux moteurs : l'un de faible puissance et l'autre de grande puissance, afin de comprendre leurs différences intrinsèques . Nous examinerons aussi le circuit équivalent d'une génératrice asynchrone et nous en déterminerons les caractéristiques en charge. À la fin de cette première partie, nous décrivons comment on trouve les paramètres d'une machine asynchrone .
Lorsque le rotor ne tourne pas, le moteur fonctionne exactement comme un transformateur conventionnel ; par conséquent, son circuit équivalent est le même que celui que nous avons développé au chapitre 30, Fig. 30-25 . Afin de simplifier les calculs, nous supposons que les enroulements du stator et du rotor sont branchés en étoile et que le rapport de transformation est de 1 :1 (Fig . 35-1) . Le moteur est au repos et les bagues sont
La deuxième partie du chapitre présente les principes de base de la variation de vitesse d'une machine asynchrone en contrôlant la fréquence et la tension d'alimentation . Ces concepts seront d'une grande utilité lors 585
586
ÉLECTROTECHNIQUE 0f1
0f2
x1
x2 r2
H
I2
Rf
E
Rext
T
1 :1
o N
Figure 35-1 Circuit équivalent d'un moteur à rotor bobiné à l'arrêt . Les bagues sont connectées à une résistance extérieure . 0f1 1 r2
H
12 T
courtcircuit
E2 = E1
o
1 :1
Figure 35-2 Circuit équivalent d'un moteur à rotor bobiné lorsque le rotor est bloqué . Les bagues sont en court-circuit .
raccordées à une résistance extérieure R eXY. Les paramètres du circuit sont définis comme suit : ES = tension de la source d'alimentation, ligne à neu-
tre [V] résistance du stator [S2] résistance du rotor [S2] réactance de fuite du stator [S2] réactance de fuite du rotor [S2] Xm = réactance de magnétisation [S2] Rf = résistance représentant les pertes dans le fer et par frottement et aération [S2] T = transformateur idéal ayant un rapport de transformation 1 :1 f = fréquence de la source [Hz] n s = vitesse synchrone du moteur [r/min] 0m = flux mutuel dans le moteur [Wb] Ofl = flux de fuite du stator [Wb] Of2 = flux de fuite du rotor [Wb] ~s = Om + t = flux total accroché par le stator [Wb] El = tension induite dans le stator par le flux mutuel r, r2 xi x2
= = = =
[V] E2 = tension induite dans le rotor par le flux mutuel [V] Ev = tension induite dans le stator par Om et off, [V]
La Fig . 35-2 représente le circuit du moteur lorsque le rotor est bloqué, avec les bagues en court-circuit . Que devient-il lorsque le moteur commence à tourner? Supposons que le rotor tourne avec un glissement s de sorte que sa vitesse n soit: n=ns (1-s)
Si le moteur était au repos, la tension E 2 induite au secondaire du transformateur idéal T serait égale à la tension El au primaire (Fig . 35-3) . Mais comme le moteur tourne avec un glissements, la tension efficace au secondaire est : E2 = sEl
De plus, la fréquence du côté secondaire devient sf
où
f est la fréquence de la source . Cela a pour effet de changer la réactance de fuite du rotor de x 2 à sx 2. La valeur de r 2 n'est évidemment pas affectée par ce chan-
gement de fréquence . La Fig . 35-3 montre ces nouvelles conditions . Comme r 2 et sx2 sont en série, le courant rotor est donné par sEl 12 =
1 r2 + (sx 2 )2
12
dans le
(35-1)
LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
587
Off 1
T
E = sE 1
1 :1
N V
fréquence = sf
fréquence = f
Figure 35-3 Circuit équivalent d'un moteur à rotor bobiné pour un glissement s . La fréquence appliquée au primaire est f, mais celle apparaissant au secondaire est sf.
et 12 est en retard sur E2 (= sE1 ) d'un angle /3 donné par /3 = arctan
sx2
En divisant le numérateur et le dénominateur par s, cette équation peut s'exprimer sous la forme
(35-2)
r2
E1
Le diagramme vectoriel du circuit du rotor est donné à la Fig. 35-4a. Il est important de se rappeler que ce diagramme est basé sur la fréquence rotorique s f ; il ne peut donc pas s'intégrer du côté primaire où la fréquence est toujours f. Néanmoins, il existe une relation directe entre la valeur efficace de 12 (fréquence sj) et la valeur efficace de Il (fréquence f) . En effet, On peut démontrer que, même si les fréquences sont différentes au stator et au rotor, le rapport de transformation de 1 :1 impose que ces courants efficaces soient égaux .
2
soit
E1 Il
r2
+ x2
(35-4)
s
De plus, on peut prouver que le déphasage entre E 1 et I l est exactement le même que le déphasage entre E2 et 12, soit /3 degrés . Cela nous permet de tracer le diagramme vectoriel du côté primaire (Fig . 35-4b) . Pour résumer:
1 . La valeur efficace de I l est égale à la valeur efficace de 12, même si leurs fréquences sont différentes ; 2 . la valeur efficace de E2 est égale à la valeur efficace de El multipliée par le glissements. 3 . le déphasage /3 entre E l et Il est le même que celui entre E2 et 12 . Du côté primaire, on peut donc écrire : _
sEl
Il _ 12 1 r2 + (sx2 ) 2
(35-3)
E1
Figure 35-4 a . Diagramme vectoriel du circuit du rotor. La fréquence est sf, b . Diagramme vectoriel du circuit du stator . La fréquence est f et le déphasage /3 est le même que celui du rotor .
588 ÉLECTROTECHNIQUE vecteur I l r2/s est également en phase avec I i . Par contre, la chute de tension à travers la réactance de fuite x est un vecteur jI1 x qui est de 90° en avance sur Il .
N Figure 35-5 Circuit équivalent d'un moteur à rotor bobiné où tous les éléments sont rapportés au primaire (stator) .
Le rapport El/Il de l'équation 35-4 équivaut à une impédance composée d'une résistance r 2 Is en série avec une réactance x 2 placée entre les points 3 et N (Fig . 35-3) . Par conséquent, le circuit de la Fig . 35-3 se simplifie beaucoup pour donner celui montré à la Fig . 35-5 . Dans le cas d'un transformateur, on peut souvent négliger la branche d'excitation (Xm et Rf) car le courant d'excitation I o est négligeable comparé au courant total Ip . Cependant, à cause de la présence de l'entrefer, le courant Im d'un moteur peut parfois atteindre 50 % de Ip . Par conséquent, on ne peut pas éliminer la branche d'excitation. Toutefois, pour des moteurs de 2 kW et plus, on peut la déplacer aux bornes de l'alimentation, comme l'indique la Fig . 35-6 . Cela permet aussi de combiner les réactances de fuite x l et x2 en une seule réactance de fuite x . Cette dernière est la réactance de fuite totale du moteur, rapportée au stator.
La tension Es de la source est composée de la somme des vecteurs (Il r1 + Il r2/s + jI1 x) . Le courant If est requis pour fournir les pertes fer plus les pertes par frottement et aération ; il est donc en phase avec Es . Le courant magnétisant Irr, crée le flux mutuel entre le stator et le rotor. Par conséquent, il est de 90° en retard sur Es . La somme vectorielle de I,,, et de If donne le courant d'excitation Io du moteur. Enfin, la somme vectorielle (Io + Ii ) donne le courant Ip tiré de la source. Dans ce diagramme vectoriel, ainsi que pour les calculs futurs, nous définissons l'impédance Z, et l'angle a comme suit : Zi =
2
ri + x
2
(35-5)
a = arctan xlr, Puisque, pour un moteur donné, r 1 (résistance du stator) et x (réactance de fuite totale) sont constantes, il s'ensuit que Z 1 et a sont constants, quels que soient la vitesse ou le sens de rotation du moteur. Z,
Le circuit résultant, et le diagramme vectoriel correspondant, sont montrés à la Fig . 35-6 . Avec ce circuit, les équations décrivant la performance du moteur deviennent plus simples, sans affecter de façon significative la précision des calculs . Quelle est la signification de la résistance r 2/s? En combinaison avec le courant I l , elle représente la puissance Pr = Il2r2/s transmise du stator au rotor . Or, celle-ci est proportionnelle au couple T car T = 9,55 P rln s (éq . 33-9) . 35 .2 Diagramme vectoriel d'un moteur asynchrone Le diagramme vectoriel de la Fig . 35-6b mérite notre attention . Nous avons pris comme vecteur de référence le courant I l . Il occasionne dans la résistance du stator une chute de tension I, r 1 qui est en phase avec I l . Le
0 (b)
Figure 35-6 a . Les réactances de fuite du rotor et du stator sont combinées pour donner la réactance de fuite totale, rapportée au stator . La puissance active fournie au rotor correspond à la puissance absorbée par la résistance r 2/s. b . Diagramme vectoriel du circuit .
590
ÉLECTROTECHNIQUE
ble R r„ c . Les circuits équivalents d'un moteur triphasé et d'un transformateur sont tellement similaires que le moteur asynchrone peut être considéré comme un transformateur rotatif. En pratique, on préfère utiliser le circuit de la Fig . 35-6 à cause de sa simplicité et parce que la puissance P r associée à la résistance r2/s est proportionnelle au couple T développé par le moteur (éq . 33-9) . On remarque que la valeur de la résistance r 2/s dépend du glissement s . Lorsque le moteur est à l'arrêt, s = 1 et r2/s devient simplement r2 . Le moteur se comporte alors comme un transformateur en court-circuit . Par contre, lorsque le moteur tourne à vide, le glissement s devient très petit, donnant à r2/s une valeur très élevée . Le moteur se comporte alors comme un transformateur fonctionnant pratiquement à vide, c'est-à-dire avec le secondaire ouvert . Un glissement négatif se produit lorsque la machine asynchrone fonctionne comme génératrice asynchrone . Cela donne à la résistance r 2/s une valeur négative . Par conséquent, la puissance I l 2 r2/s associée au rotor devient elle aussi négative . Cela signifie que le rotor fournit de la puissance au stator, à travers l'entrefer.
ment au maximum . La puissance peut être positive ou négative, selon que la machine fonctionne en moteur ou en générateur. En se référant au circuit de la Fig . 35-6a, la puissance P r est celle dissipée dans la résistance r2/s . On peut prouver que cette puissance devient maximale lorsque la résistance r2/s est égale à ± la valeur de l'impédance de (ri + jx) située en amont de r 2/s . D'après la figure, cette impédance est donnée par : Zi = V r, + x 2
éq . 35-5
Désignons par sd le glissement lors du décrochage . On peut donc écrire : r2 sd
On en déduit les expressions suivantes, respectivement pour un moteur et un générateur r2
(moteur)
sd = + -
(35-10a)
Zi ou
Enfin, lorsque le rotor tourne en sens inverse du champ tournant, le glissement devient plus grand que 1 . Les circuits des Fig. 35-6 et 35-7 sont donc toujours valides, quelle que soit la valeur du glissement . Le circuit équivalent du moteur à cage d'écureuil est identique à celui du moteur à rotor bobiné que nous venons d'étudier. Cependant, on ne peut pas mesurer la valeur de r2 avec un ohmmètre, car les conducteurs du rotor sont tous en court-circuit . On peut toutefois déterminer la résistance équivalente de la cage d'écureuil au moyen de tests décrits plus loin à la section 35 .10 . 35 .5 Couple et vitesse de décrochage et couple de démarrage Nous avons vu à la Fig . 34-17 que la courbe du couple en fonction de la vitesse atteint un maximum lorsque la machine asynchrone fonctionne comme moteur ou comme générateur. Dans cette section, nous donnons les formules pratiques permettant de calculer le couple de décrochage ainsi que le courant et le glissement correspondants . Au décrochage, comme le couple est maximum, la puissance par phase Pr fournie au rotor est nécessaire-
r2
(générateur)
sd= -Zl
(35-10b)
Pour les grosses machines, le rapport r2lZl peut être aussi bas que 0,02 . Par conséquent, pour ces moteurs, le glissement lors du décrochage est seulement de l'ordre 2 % . Il n'est donc pas surprenant que l'on qualifie ces moteurs de moteurs à vitesse constante . Dans le cas d'une petite machine de 200 W, le rapport r2/Zi est de l'ordre de 0,4 . Pour un moteur, le courant I l lors du décrochage, désigné par le symbole Id, est donné par : ES Id = ~
(r i +Z1 ) 2 +x 2 ES 'V ri
+Z1 +2r1 Z1 +x 2 ES
~2Z; +2r1 Z i
LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
591
d'où 9,55 r2 Tdémarrage=
ES (moteur)
(35-l la)
ns
démarrage
(35-12d)
/2Z, (Zf + r, ) Une formule semblable s'applique lorsque la machine fonctionne comme générateur :
Toutes ces observations sont conformes aux schémas présentés à la Fig . 33-19, chapitre 33 . 35.6 Circuits équivalents de deux moteurs industriels
E, (générateur)
(35-l lb)
,\/2Z, (Z, - r, ) Ces équations révèlent que le courant de décrochage possède deux valeurs différentes, selon que la machine agit comme moteur ou comme générateur . La puissance fournie au rotor lors du décrochage est 2 r2 Pr = Id sd
Afin de mettre en application le circuit équivalent que nous venons de développer, et pour apprécier l'ordre de grandeur des paramètres, considérons deux moteurs industriels ayant respectivement des puissances de 5 hp et de 5000 hp . Leurs caractéristiques respectives (r,, r2 , jx, etc .), sont données dans les Fig . 35-8 et 35-10 . Les enroulements sont raccordés en étoile, et les valeurs listées sont fournies pour une phase . Commençons notre analyse avec le moteur de 5 hp .
Des équations 33-9, 35-10 et 35-11, on déduit la valeur du couple de décrochage par phase :
35 .7 Moteur de 5 hp : calcul des grandeurs lors du décrochage Calculons d'abord la valeur de la vitesse, du courant et du couple lors du décrochage . On a :
9,55 Es (moteur)
Td =
(35-12a) 1.
2 n s (r, +Z,)
Z, = 'V r~ +x 2 = ~ 1,52 + 6 2 = 6,18 S2
2 . Glissement lors du décrochage :
ou
= r2
9,55 Es (générateur)
Td =
(35-12b)
Sd
2 ns (r, - Z,)
Z,
= 1,2 = 0,194 6,18
éq . 35-10a
On constate que le couple de décrochage possède deux valeurs différentes, selon que la machine fonctionne en moteur ou en générateur. Il est évident que le couple de décrochage en mode générateur est plus grand que celui en mode moteur. Les équations 35-11 et 35-12 indiquent que le courant de décrochage Id, de même que le couple de décrochage Td, sont indépendants de la résistance r2 du rotor. Par contre, le glissement sd lors du décrochage est proportionnel à r2 (éq . 35-10) . Il est facile de démontrer par simple inspection de la Fig . 35-6 que le courant I, et le couple au démarrage (s = 1) sont donnés par les équations : ES (35-12c)
,démarrage= (r,
+ r2)2
+x
2
Figure 35-8 Circuit équivalent d'un moteur asynchrone triphasé de 5 hp, 1800 r/min . Caractéristiques du moteur de 5 hp, 440 V, 3 phases, 60 Hz, 1800 r/min :
r,=1,552 r2 = 1,2 52 x=652
X m =11052 Rf = 90052
592
ÉLECTROTECHNIQUE
3 . Vitesse lors du décrochage :
couple de décrochage 66,9 N •m
N-m nd = ns
(1- sd)
= 1800 (l - 0,194) = 1450 r/min
72
4 . Courant de décrochage : E Id = / s éq. 35-1 la +r1) N 2Z 1 (Z 1
254
,
5hp440V3ph 18 0 r/min 60 Hz
60 48 36
0 24
\/2 x6,18x(6,18+1,5)
/ou
eCL =
'ak .,
----
M
le de démarrage = 28,5 N•m
--- ---- --couple nominal =20,5 N •m
r1753 ~ r/min
12
=26,1 A 0 0
200 400
5 . Couple de décrochage : 9,55 Es éq . 35-12a
Td =
2
n s (r 1
+ Z1 ) 9,55 x 254
Figure 35-9 Courbe du couple en fonction de la vitesse d'un moteur de 5 hp, 1800 r/min, 60 Hz .
2 la Fig . 35-9 . On constate qu'à pleine charge le rendement (89,6 %) et le facteur de puissance (88,1 %) sont satisfaisants .
2 x 1800 x (1,5 + 6,18) = 22,3 N •m
Noter qu'il s'agit du couple
par phase ; le couple de décrochage total est donc 3 x 22,3 = 66,9 N .m .
35 .8
600 800 1000 1200 1400 1600 1800 r/min vitesse
On répète les mêmes calculs pour le gros moteur de 5000 hp (Fig . 35-10) . Ses caractéristiques sont listées dans le tableau 35-2 et la courbe du couple en
Courbe du couple en fonction de la vitesse
Nous pouvons tracer la courbe du couple en fonction de la vitesse en dressant une liste des glissements s compris entre zéro et 1 . Pour chaque glissement sélectionné, on résout le circuit de la Fig . 35-8 . Le tableau 35-1 donne les résultats et la courbe T-n est donnée à
1 6900
V
TABLEAU 35-1 Caractéristiques d'un moteur asynchrone de 5 hp, 1800 r/min, 440 V, 60 Hz s
T
p. U .
N •m
hp
0 0,0125 0,025 0,026 0,05 0,1 0,194 0,4 0,6 0,8 1
0 10,3 19,8 20,5 36 56,4 66,9 54,9 42,6 34,2 28,5
0 2,58 4,86 5,06 8,61 12,8 13,6 8,3 4,3 1,7 0
P mc
n
cos 9
r
Ip
r/min
%
%
A
1800 1777 1755 1753 1710 1620 1450 1080 720 360 0
12,1 75,9 87,7 88,1 90,6 86,4 75,0 57,3 48,3 42,9 39,5
0 87,8 89,3 89,6 86,7 78,3 63,8 39,4 22,5 9,8 0
2,32 3,79 6,08 6,28 10,7 18,5 27,8 35,9 38,8 40,1 40,8
r
f 2
0,083 S2
x 2,6£2
Rf
0,08 S2
600 Q2
s
T 5000 hp
N Figure 35-10 Circuit équivalent d'un moteur asynchrone triphasé de 5000 hp, 600 r/min . Ce moteur développe un couple nominal 3000 fois supérieur à celui du moteur de la figure 35-8 . Caractéristiques du moteur de 5000 hp, 6900 V, 3 phases, 60 Hz, 600 r/min : r1 = 0,083 52 r2 = 0,08 Q
Xm = 46 0 Rf = 600 Q
x = 2,6 £2 Les pertes à vide de 26,4 kW (par phase) comprennent 15 kW pour les pertes par frottement et aération et 11,4 kW pour les pertes dans le fer.
LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
fonction de la vitesse est donnée à la Fig . 35-11 . On observe que le couple de démarrage est beaucoup plus petit que le couple de décrochage . De plus, pour tout couple compris entre zéro et le couple de décrochage la vitesse demeure très proche de la vitesse synchrone . Ces caractéristiques inhérentes aux moteurs de grosse capacité sont dues à la faible valeur du rapport r2 /x .
35.9
Propriétés d'une génératrice asynchrone
Nous avons déjà appris qu'un moteur asynchrone devient une génératrice lorsqu'on le fait tourner au-dessus de la vitesse synchrone . Connaissant le circuit équivalent du moteur de 5 hp, on peut calculer la puissance qu'il peut fournir à un réseau triphasé de 440 V, 60 Hz . Faisons-le tourner à 1845 r/min, soit 45 r/min au-dessus de la vitesse synchrone . Le glissement est: S
TABLEAU 35-2 Caractéristiques d'un moteur
593
= ns - n = 1800 - 1845 = _
0,025
1800
ns
asynchrone de 5000 hp, 600 r/min, 6,9 kV, 60 Hz s
T
Pmc
n
cos 0
17
Il,
p .u .
kN •m
hp
r/min
%
%
A
0
0
0,0033 0,0067 0,02 0,03077 0,05 0,1 0,2 0,4 0,6 1
30,6 59,7 129 141 126 80,4 43,2 22,2 14,8 8,9
7,6 85,1 90,1 79,8 68,2 51,7 30,8 17,7 10,6 8,2 6,3
0 95,4 96,6 95,1 93,1 89,5 80,4 64,7 40,8 23,4 0
600 2577 598 5000 596 10 679 588 11520 581,5 10114 570 6095 540 2921 480 1120 360 500 240 0 0 0
87 198 358 878 1133 E1363 1535 1593 1610 1614 1616
En se référant au circuit équivalent (Fig . 35-12), la valeur de r2/s est : rz =1,2 = -48 S2 s -0,025 La valeur négative de cette résistance signifie que la puissance active circule du rotor vers le stator, plutôt que dans le sens inverse . En suivant la Fig . 35-12, on fait les calculs suivants : 1 . Résistance totale de la branche a-2-N : Rn = - 48 + 1,5 = - 46,5 S2
2 . Impédance de la branche a-2-N : Z = ~ Rp +x 2
couple de décrochage
kN •m
46,5) 2 +62
= 141 kN~m
150
= 46,9 Q 120
d o .
5000 hp 6900 V 3 ph 600 r/min 60 Hz
90
oO
60
30
couple nominal = 59,7 kN •m couple de démarrage
= 8,9 kN •m I 100
I 200
300 400 vitesse
500 r/min
600
Figure 35-11 Courbe du couple en fonction de la vitesse d'un moteur de 5000 hp, 600 r/min, 60 Hz .
Figure 35-12 Circuit équivalent du moteur de 5 hp fonctionnant comme générateur asynchrone . La résistance négative de 48 0 génère de la puissance active au lieu d'en consommer .
594
ÉLECTROTECHNIQUE
3 . Courant dans la branche a-2-N : I, = E/Z = 254/46,9 = 5,42 A 4 . Puissance active fournie au rotor : Pr =
12
r2 /s = 5,422 (-48)
_ - 1410 W Cette puissance négative indique que la puissance est transmise du rotor au stator. 5 . Pertes Joule dans le rotor : 2 Pjr = I r2 = 5,422 x 1,2
11 . Puissance réactive absorbée par la réactance de magnétisation : 2 Q2 = E 2/Xm = 254 /110 = 587 var 12. Puissance réactive totale par phase absorbée par la génératrice asynchrone : Q=Qi+Q2 • 176 + 587 = 763 var
13 . Puissance apparente aux bornes 1, N de la génératrice asynchrone : S =
Pe + Q
2
= V 1294 2 + 762'
= 1502 VA
= 35,2 W 6 . La puissance mécanique fournie à l'arbre est égale à Pr plus les pertes Pj r dans le rotor, soit : P mc = Pr +Pjr
14 . Courant de la ligne : Ip = SIE = 1502/254
• 5,91 A
• 1410 + 35,2
15 . Facteur de puissance aux bornes de la génératrice :
• 1445 W
cos 0 = P e/S = 1294/1502
7 . Pertes Joule dans le stator :
= 0,862 = 86,2 %
Pjs = I2 r, = 5,422 x 1,5
16 . Rendement de la génératrice asynchrone :
• 44,1 W
8 . Pertes dans le fer et par frottement et aération : 2
Pf + P, = E /Rf = 254
2 /9()()
-
= 71,7 W 9 . Puissance active transmise à la ligne raccordée à la génératrice asynchrone : P e = puissance fournie au stator - pertes
puissance électrique utile
Pe
puissance mécanique fournie
Pmc
~1 =
1294 = 0,896 = 89,6 % 1445
17 . Puissance mécanique totale requise pour entraîner la génératrice : P =
3Pmc = 3 x 1445 = 5,81 h P
746 = P r -Pjs -(Pf+Pv,) = 1410-44,1 -71,7
746
18 . Couple de décrochage par phase comme génératrice:
= 1294 W (pour les 3 phases : Pe = 3
X
1294 = 3882 W)
10 . Puissance réactive absorbée par la réactance de fuite : QI
2
a
9,55 Es Td = éq . 35-12b 2 ns(r, - Z,)
9,55 x 254 2
= -36,6 N-m
2 x 1800 x (1,5 - 6,18)
= I, x = 5,42 x 6
• 176 var
soit au total : 3 x (-36,6) = -109,8 N •m
LA MACHINE ASYNCHRONE: CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
595
Ce couple de décrochage de 109,8 N •m est sensiblement phis grand que celui de 66,9 N •m lorsque la maEA
chine fonctionne comme moteur (voir section 35 .7) .
35 .10
Mesure des paramètres
o-
On peut mesurer les valeurs approximatives de rl , r2 ,
r/i
v 0 o
X,,,, Rf et x d'un moteur asynchrone en faisant un essai
'A
PAv
à vide et un essai à rotor bloqué . Essai à vide . Lorsqu'un moteur asynchrone tourne à vide, son glissement est très faible . Cela veut dire que la valeur r2 ls (Fig . 35-6) est très élevée . Par consé-
Figure 35-13 Lessai à vide permet de calculer les valeurs de X, et Rf de la branche d'excitation .
quent, le courant I l devient négligeable par rapport au courant d'excitation lo . Il s'ensuit que le circuit n'est composé que de X,,, en parallèle avec Rf. On peut éva-
La réactance de magnétisation est :
luer ces deux paramètres en mesurant la tension, le courant et la puissance active absorbée par le moteur . Xm =
On procède alors comme suit:
2 EAv
(35-16)
QAV
a) Mesurer la résistance RLL entre deux bornes du stator, le moteur étant débranché du réseau . En suppo-
Essai à rotor bloqué . Lorsqu'on applique la pleine
sant une connexion en étoile, on trouve la valeur de r t :
tension à un moteur asynchrone dont le rotor est bloqué, le courant I i du stator (Fig . 35-6) est de l'ordre de
RLt rt =
(35-13) 2
6 fois le courant nominal . Comme le glissement s est alors de 1, la valeur r2/s devient simplement r2, où r2 est la résistance du rotor ramenée au stator.
b) Le moteur tournant à vide, appliquer la tension no-
Étant donné que Il est alors beaucoup plus grand que
minale ligne à ligne EAv à ses bornes (Fig . 35-13) . En-
le courant d'excitation Io , on peut négliger la branche
suite, mesurer les valeurs du courant I AV et de la puis-
d'excitation . Cela permet de déterminer les valeurs de
sance active totale P Av . Cela permet de calculer les
x et de r2 en faisant les essais suivants :
valeurs de la puissance apparente totale S AV et de la a) Le rotor étant bloqué, appliquer environ le sixième
puissance réactive totale QAV .
de la tension nominale au stator . De cette façon, le SAV
courant est à peu près égal à sa valeur nominale et le
= EAV IAV 13
(35-14)
QAV =
2 2 SAV - PA,
moteur ne surchauffe pas . b) Prendre les lectures de E RB (ligne à ligne), de IRB et de la puissance active totale PRB (Fig . 35-14) .
Pf +PV, = PAV La résistance Rf correspondant à Pf + P., est* : 2 EAv
Rf
ER
(35-15)
( Pf + P ' ) O ERB
Lorsqu'on désire connaître les pertes P, par frottement et aération, on peut appliquer environ 15 % de la tension nominale aux bornes du moteur lorsqu'il tourne à vide . Les pertes dans le fer sont alors négligeables, ce qui permet de calculer la valeur de P,
O
r/i
0
PRB
-ÀIRB
Figure 35-14 Lessai à rotor bloqué permet de calculer les valeurs de la réactance de fuite x et de la résistance totale (r f + r2 ) .
ÉLECTROTECHNIQUE
596
On calcule alors la puissance apparente S RB et la puissance réactive QRB , ce qui permet de trouver les valeurs de x et r2, comme suit :
À partir de l'essai à vide, on obtient :
575 x 14 U
= EAV IAV U =
SAV
= 13 943
VA
SRB = E. I. V 3 2
QRB =
= V SAv - PAV
QAV
2
SRB - PRB
Pf + PV, = x=
=1
13 943 2 -1588
= 13 852 var
QRB
PAV
= 1588 W
(35-17)
31RB
EAV
_
=
Rf (Pf +P,)
3IRB (r 1 + r2 ) = PRB donc
575 2 = 208 S2 1588
2 EAV
575 2
QAV
13 852
23,9 S2
Xm =
PRB r2 = - r,
(35-18)
À partir de l'essai à rotor bloqué, on obtient :
3IRB Généralement, des essais plus élaborés sont effectués pour déterminer avec une meilleure précision les paramètres d'une machine, mais la méthodologie décrite ci-dessus donne des valeurs acceptables . Parmi ces essais, mentionnons ceux pour tester les moteurs à double cage où la résistance r2 , mesurée à rotor bloqué, peut être trois ou quatre fois plus élevée que lorsque le moteur tourne en charge, près de sa vitesse synchrone .
Q RB =
E. I,,,, l 'V
SRB
= 94 x 29 C = 4722
VA
-PRB = V47222 - 1263 2
= 4550 var Réactance de fuite totale rapportée au stator : X =
QRB = 4550 3x 29
31;,, 3IR
= 1,80 S2 2
Résistance totale rapportée au stator :
Exemple 35-1 Un moteur à cage d'écureuil de 30 hp, 885 r/min, 575 V,3 phases, 60 H est soumis à des tests à vide et à rotor bloqué . Voici les résultats obtenus .
tension à vide (ligne-li ne) E y courant à vide ! w puissance active à vide P v résistance entre deux bornes du stator tension à rotor bloqué (ligne-lieue) courant à rotor bloqué l sii puissance active à rotor bloqué l' l 'i'
SRB =
575 V 14 A 1588 W 0,40 £2 94 V 29 A 1263 W
= PRB ri + r2
3IRB
=
1263
= 0,50 S2
3 x 292
0,20 + r2
=
0,50
r2
=
0,50 - 0,20 = 0,30 S2
Le circuit équivalent du moteur est donné à la Fig . 35-15 .
r, 0,2 S2
x1 1,80
Déterminer le circuit équivalent du moteur .
Solution En supposant que les enroulements du stator sont connectés en étoile, la résistance par phase est : rt = 0,40 S2/2 = 0,20 S2
Figure 35-15 Détermination du circuit équivalent d'un moteur asynchrone à cage d'écureuil . Voir exemple 35-1 .
LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
des couples produits par tous les conducteurs du rotor donne un couple total de 100 N .m.
VARIATION DE LA VITESSE D'UN MOTEUR ASYNCHRONE
Pour contrôler la vitesse d'un moteur à cage, on pense immédiatement à la possibilité de faire varier la fréquence appliquée au stator, car cela changera la vitesse du champ tournant . Dans les deux prochaines sections, nous établirons, à l'aide d'une analyse simple, les principes de base régissant le fonctionnement d'une machine asynchrone alimentée à fréquence et à tension variable . 35.11
Moteur à vitesse variable et couple constant
La Fig . 35-16a est un diagramme schématique du rotor d'un moteur triphasé à cage d'écureuil alimenté à 60 Hz et dont la vitesse synchrone est 1800 r/min . La figure montre un pôle seulement du champ tournant, créé par le stator. Il s'agit du flux mutuel 0m reliant le stator et le rotor. Supposons que le moteur développe un couple de 100 N .m lorsqu'il tourne à 1730 r/min . Le flux et le rotor tournent dans le même sens, mais relativement au rotor le flux se déplace à une vitesse de 70 r/min . La croix sur la figure représente un conducteur du rotor qui est coupé par le champ tournant . Il en résulte un courant induit 12 de 100 A . Comme ce courant se trouve dans le champ magnétique 0, il est soumis à une force qui produit un couple. L'ensemble
f = 60 Hz
La vitesse de 1730 r/min correspond à un glissement s = (1800 -1730)/1800 = 0,0389 . Cependant, lorsqu'on étudie les moteurs asynchrones à vitesse variable, il est préférable d'utiliser comme paramètre la vitesse de glissement ng, plutôt que le glissement s . Dans notre cas, la valeur de n g est 1800 - 1730 = 70 r/min . La Fig . 35-16b montre la même machine lorsque le stator est alimenté par une source à 30 Hz, soit la moitié de la fréquence nominale . Il s'ensuit que la vitesse synchrone est de 900 r/min . La tension aux bornes du stator est ajustée afin que le flux par pôle demeure à sa valeur nominale . Dans ces conditions, le niveau de saturation dans les diverses parties de la machine est le même que précédemment . Supposons aussi que la charge mécanique appliquée au moteur soit telle que la vitesse de glissement soit encore 70 r/min . Il est évident que la tension induite dans les barres du rotor est la même qu'auparavant ; par conséquent, le courant 12 est encore 100 A . Il en découle que le moteur développe le même couple que dans la Fig . 35-16a . Sa vitesse est maintenant de (900 - 70) = 830 r/min . Poursuivons notre analyse avec une troisième condition de fonctionnement . Supposons que le rotor soit bloqué et que l'on désire maintenir un couple de démarrage de 100 N •m en changeant la fréquence (Fig . 35-16c) Quelle doit-être la valeur de cette fréquence?
f =30 Hz
n s = 1800 r/min
n s = 900 r/min
n = 1730 r/min
n = 830 r/min
f = 2,33 Hz ns = 70 r/min n=0
n g = 70 r/min
ng = 70 r/min
ng = 70 r/min
I2 =100A
I2 =100A
I2 =100A
T= 100 N •m
597
T= 100 N •m
T= 100 N •m
Figure 35-16 Lorsque le flux mutuel est constant, le couple et le courant dans le rotor dépendent uniquement de la vitesse de glissement
598
ÉLECTROTECHNIQUE
Tout d'abord, on doit ajuster la tension aux bornes du stator de sorte que le flux 0m soit le même qu'auparavant . Ensuite, afin de maintenir un couple de 100 N •m , il faut que le courant dans les conducteurs soit toujours de 100 A . Par conséquent, le champ doit les couper à raison de 70 r/min . Comme le rotor est stationnaire, le flux doit lui-même tourner à 70 r/min, ce qui exige une fréquence de 60 Hz x (70/1800) = 2,33 Hz . Ces conditions de fonctionnement sont illustrées à la Fig . 35-16c . Cet aperçu préliminaire nous fait réaliser que pour un même flux mutuel Om et une même vitesse de glissement ng , le couple, ainsi que le courant dans le rotor, demeurent constants, indépendamment de la fréquence appliquée au stator. Ceci constitue un phénomène de base en ce qui concerne la commande de vitesse de tout moteur asynchrone. Regardons maintenant de plus près ce qui se passe dans la machine . Comme le moteur agit comme un transformateur tournant, le courant 12 dans le rotor est réfléchi au stator comme un courant Ii (voir Fig. 35-3) . On doit ajouter à ce courant le courant d'excitation I o pour obtenir le courant I p tiré de la source . Puisque le flux mutuel est constant, il s'ensuit que 10 demeure constant . Il en résulte que pour un flux Om donné, le couple et le courant Ip dans le stator dépendent uniquement de la vitesse de glissement ng, peu importe la fréquence. Toutefois, la fréquence détermine la vitesse synchrone ns du moteur et dès lors sa vitesse n = ns - ng . Les mêmes remarques s'appliquent lorsque la machine fonctionne comme générateur asynchrone . 35 .12
Couple et courant en fonction de la vitesse de glissement
O f2
of,
o
L R
+
2
r /s
Il
E
0,415 S
T7oo Q
T
c
N Figure 35-17 Circuit équivalent d'un moteur asynchrone de 18,5 kW, 460 V, 60 Hz, 1730 r/min .
valeur nominale, soit 460/'3 = 266 V. Cela veut dire que le flux 0s demeurera fixe . On peut simplifier le circuit en déplaçant la branche d'excitation en amont de la réactance x t comme le montre la Fig . 35-18 . Cela permet de combiner les réactances de fuite x, et x2 en une seule réactance x = 1,87 £2, sans affecter sensiblement le comportement de la machine. Noter qu'on peut exprimer la résistance r 2/s en fonction de n s et de la vitesse de glissement ng : r2
r2
r2 n,
r2 ns
s
(n s - n)lns
(n s - n)
ng
soit r2
r 2 ns
S
ng
(35-19)
En utilisant cette expression et le circuit de la Fig . 3518, on peut déduire la courbe du couple T en fonction de la vitesse de glissement n g (Fig . 35-19) . Pour tracer cette courbe, on a utilisé une fréquence de 60 Hz et on
La Fig . 35-17 montre le circuit équivalent d'une phase d'un moteur asynchrone de 18,5 kW (25 hp), 460 V, 60 Hz, 1730 r/min . La tension d'alimentation E s et les valeurs des paramètres x 1 , x2, r1 , r2, Xm et Rf sont indiquées sur la figure . Par exemple, la réactance de fuite x, du stator est de 0,77 S2 . On observe que la tension Ev est égale à la somme des tensions E, et E23 . Or, ces tensions correspondent respectivement aux tensions induites dans le stator par le flux mutuel c,,, et le flux de fuite of, . La somme de ces deux flux est égale au flux 0s accroché par les spires du stator. Dans ce qui suit, nous maintiendrons E„ à sa
Figure 35-18 Circuit équivalent lorsque la branche d'excitation est placée entre les points 2 et N .
LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
[N .m]
599
400
[A]
Td = 300 N •m 300 T Ip
°~ ngd
147 A
= 400 r/min
180 N • m 147 A
/
102 N •m
106 A ~130A
100
II
\
8A
\ 127
27A
0
1600
1200
800
400
0
-400
-800
-1200 -1600
vitesse de glissement n g [r/min] -~ -100
70 r/min T
/
-200
127 N •m -300
-Td=-300 N •m n g d = -400 r/min -400 n s - 1600
ns - 1200
n s - 800
ns - 400
ns
vitesse du moteur
ns + 400
n s + 800
n s + 1200 ns + 1600
[r/min]
Figure 35-19 Courbes du couple et du courant dans le stator en fonction de la vitesse de glissement n g . Les courbes sont symétriques car la tension appliquée est ajustée de façon à maintenir un flux os constant . Les données correspondent au moteur asynchrone de 18,5 kW, 460 V, 60 Hz, 1730 r/min .
a gardé la tension E, strictement constante et égale à 266 V. À cette fin, la tension E s aux bornes 1, N du stator a été légèrement réajustée à chaque point d'opération afin de compenser la chute de tension dans la résistance du stator. Il en résulte une courbe T-ng qui est parfaitement symétrique par rapport à l'origine, là où la vitesse de glissement ng est nulle* . Ainsi, la vitesse de glissement n gd et le couple Td lors du décrochage en mode générateur possèdent les mêmes valeurs (400 r/min, 300 N •m) que celles obtenues lors du décrochage en mode moteur, mais elles sont de signe négatif. On observe que le couple nominal de 102 N •m
La forme de cette courbe est légèrement différente de celle qu'on obtiendrait avec une tension E s constante appliquée au stator. Voir par exemple la courbe de la Fig . 34-19 ; elle n'est pas symétrique car le couple de décrochage en mode génératrice est supérieur à celui en mode moteur .
se produit lorsque ng = 70 r/min . Cela correspond à une vitesse n = 1800 - 30 = 1730 r/min . La puissance mécanique est alors : nT - 1730 x 102
Pmc =
9,55
= 18 477 W = 18,5 kW
9,55
La Fig . 35-19 montre aussi le courant Ip dans le stator en fonction de ng . On constate que cette courbe en «V» est parfaitement symétrique par rapport à l'axe vertical passant par ng = 0 . Que le glissement soit positif ou négatif, le courant est toujours positif car Ip représente la valeur efficace . Le courant au glissement nul est de 8 A ; il correspond au courant d'excitation I o. Le courant Ip dans le stator est de 27 A lorsque la machine développe son couple nominal. Afin de démontrer l'origine de ces valeurs, calculons le couple T et le courant Ip pour une vitesse de glisse-
600 ÉLECTROTECHNIQUE
constituent
= 300 N
ment de 70 r/min, la fréquence de la source Es étant de 60 Hz (Fig . 35-18) .
10 . Courant Ip :
1 . Vitesse synchrone : 1800 r/min
Calculons maintenant la tension requise pour la source Es : 11 . Puissance active fournie par Es :
2 . Vitesse de glissement ng = 70 r/min 3 . r2nslng = 0,415 x 1800/ng = 747/ng = 747/70 = 10,67 S2 4 . Courant Il : Il = 266/ (10,67 2 + 1,872) = 24,56 A 5 . Puissance transmise au rotor, par phase : Pr = 10,67 X 24,562 = 6436 W
Ip = SIE,, = 7304/266 = 27,5 A 27 A
Ps = 6537 + I2 ri = 6537 + 27,52 x 0,5 = 6537 + 378 = 6915 W 12 . Puissance réactive fournie par Es : Q, = 3259 var (voir 8) 13 . Puissance apparente fournie par Es :
6 . Couple total développé par les trois phases : Ps + Q5 =1~ 69152 +32592 = 7644 VA
T =3 x 9,55 Pr ns • 3 x 9,55 x 6436 = 102 N •m 1800
Ainsi, les valeurs ng = 70 et T = 102 N•m un point sur la courbe de la Fig . 35-19 . Calculons maintenant la valeur du courant Ip . 7 . Puissance active P fournie par la source E,, : 2 P = r2 h + Ev s f
14 . Tension E, = S,lIp = 7644/27,5 = 278 V La tension Es requise est seulement de 5 % plus élevée que la tension E,, . Déterminons maintenant le couple de décrochage Td . 15 . Puisque la tension E,, est maintenue constante, la puissance fournie au rotor, de même que le couple, atteignent leurs valeurs maximales lorsque r2ns/ng = x . On peut donc écrire : 16 . Vitesse de glissement ngd lors du décrochage : r2ns = 0,415 x 1800 _ 747 = 1,87
2 = 10,67 x 24,562 + 266 700 = 6436 + 101 = 6537 W 8 . Puissance réactive Q fournie par la source E,, :
ngd d'où
ngd
ngd
ngd = 747 = 400 r/min 1,87
17 . Courant de décrochage (Il = Id) : E,
E2 Q=xII + Xm 2 • 1,87 x 24,562 + 266
33,2 • 1128 + 2131 = 3259 var 9 . Puissance apparente S fournie par Ev : S =V P2 + Q2 =65372 +32592 = 7304 VA
(r2ns/ngd)2 +x2 = 100,6 A = 100 A
266 ~ 1,872 + 1,872
18 . Puissance transmise au rotor, par phase : Pr = 1,87 X 100,62 = 18 925 W 19 . Couple de décrochage total : 9,55 x 18 925 Td= 3 x 9,55 Pr = 3 x ns 1800 = 301 N •m •m
LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
Les valeurs Td = 300 et ng d = 400 r/min définissent un autre point sur la courbe T-n g de la Fig . 35-19 . En procédant de la même manière que dans les parties 7 à 10 ci-dessus, on trouve que le courant I p lors du décrochage est de 106 A . Noter que nous aurions pu utiliser une fréquence différente de 60 Hz pour générer les deux courbes de la Fig . 35-19 . Tant que le flux total 0s accroché par le stator est maintenu à sa valeur nominale, les courbes T-n g et I-ng resteront les mêmes, peu importe la fréquence . Sur ce graphique, les vitesses de glissement n g sont affichées sur l'axe horizontal . Comme la vitesse du moteur est donnée par n = n s - n g, nous avons affiché en bas du graphique une deuxième échelle qui donne directement la vitesse n de la machine, connaissant la vitesse synchrone . Par exemple, si la vitesse synchrone est, disons 500 r/min, il s'en-
[N •m] [A]
suit que le couple de décrochage de 300 N •m sera développé à une vitesse n = n s - n g = 500 - 400 = 100 r/min . Le courant statorique correspondant sera de 106 A . Cette deuxième échelle permet donc d'exprimer les valeurs du couple T et du courant Ip en fonction de la vitesse n pour différentes fréquences d' alimention . Par exemple, quelle sera la courbe du couple en fonction de la vitesse lorsque la machine est alimentée par une source de 40 Hz? Tout d'abord, la nouvelle vitesse synchrone sera 1800 x (40Hz/6OHz) = 1200 r/min . Si la tension appliquée au stator est ajustée de façon à produire le flux 0s nominal, la forme de la courbe T-ng sera exactement la même que celle de la Fig . 35-19 . Le couple passe maintenant par zéro à 1200 r/min (Fig . 35-20) . On constate que le couple de démarrage est alors de 180 N •m et le courant de démarrage de 130 A . Le couple nominal de 102 N •m est atteint à une vitesse de (1200 - 70) = 1130 r/min .
400
300 180 N m
200 102 N •m Î 100
0 40 0
80
00
16 00
2000
113 -100 vitesse n
601
[r/mi n]
-200
-300
-400
Figure 35-20 Couple et courant dans le stator en fonction de la vitesse du moteur pour une vitesse synchrone de 1200 r/min .
602
ÉLECTROTECHNIQUE
35 .13
Modification du circuit équivalent selon la fréquence d'opération
Lorsqu'on connaît le circuit équivalent d'un moteur asynchrone à une fréquence donnée, il est facile de le transformer pour une autre fréquence . Il suffit de changer la valeur des réactances inductives afin qu'elles correspondent à la nouvelle fréquence . Les éléments résistifs du circuit demeurent inchangés . De plus, la signification des paramètres tels que le glissements, la vitesse synchrone n, et la vitesse de glissement n g demeurent les mêmes . En général, on désire maintenir le flux total 0s à sa valeur nominale . Dans ces circonstances, il faut que le courant magnétisant Im soit gardé à sa valeur nominale .
0552 r,
0,18752 L
H
X
o
Ip +
26,6 V 39,2 V
8,0 1 A R
X
EV
-
0,415
3,32 T700 52 52
74,7 ng
o N N Figure 35-21 Circuit équivalent lorsque f = 6 Hz et n s = 180 r/min . Voir exemple 35-2 .
6 . Courant I i : Il = 26,6/ (1,067 2 + 0,187 2) = 24,55 A
7 . Puissance transmise au rotor, par phase : Exemple 35-2
Le moteur asynchrone de 18,5 kW, 460 V, 60 H7 . 1730 r/min que nous venons d'étudier, possède le circuit équivalent moufté à la Fil, . 35-18 . Il s'agit de déterminer le circuit équivalent lorsque le m0leur est alimenté par une source E, de 6 Hz . la vitesse de elissement étant de 70 r/min .
Pr =
1,067 x 24,55 2 = 643 W
8 . Couple total développé par les trois phases : 9,55 P r T =x 3 ns
= 3 X 9,55 x 643
= 102 N-m
180
Solution
Comme la fréquence est de 6 Hz, il suffit de multiplier les réactances dans la Fig . 35-18 par le rapport (6 Hz/60 Hz), soit par 1/10 . Ainsi, à 6 Hz la réactance magnétisante devient X m = ( 1/10) x 33,2 £2 = 3,32 S2 . De la même façon, la réactance de fuite devient x = (1/10) x 1,87 £2 = 0,187 S2 . Les paramètres résistifs ne changent pas . Le nouveau circuit équivalent est montré à la Fig . 35-21 . On suit alors le raisonnement et les calculs suivants : 1 . Afin de garder le même flux statorique Os , le courant magnétisant Im doit être le même que dans la Fig . 3518, soit 8,0 A . 2 . La tension E, est donc :
9 . Vitesse de rotation n = 180 - 70 = 110 r/min 10 . Puissance active P fournie par la source E,, : 2
P= r2 Ii + E° s Rp
= 1,067 x 24,55 +
26,6
700 = 643 + 1,0 = 644 W 11 . Puissance réactive Q fournie par la source E, : E2 Q=x11 +
Ev = I,,,Xm = 8,0 x 3,32 = 26,6 V
Xm
3 . Vitesse synchrone : ns = (6 Hz/60 Hz) x 1800 = 180 r/min
4 . Vitesse de glissement: n g = 70 rlmin 5 . Résistance r2/s : rz _ rzns
s
ng
2
=
0,187 x 24,55
2
+ 26,6
2
3,32 = 326 var = 112,1 + 213,1 12 . Puissance apparente S fournie par E, :
= 0,415 x 180 = 74,7 70
70
= 1,067 S2
S = VP 2 + Q 2 =6442 +3262 = 722 VA
LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
13 . Courant Ip : Ip = SIED, = 722/26,6 = 27,1 A = 27 A
Calculons maintenant la tension requise pour la source Es : 14 . Puissance active fournie par E s : 2
Ps = 644 + 1 r, = 644 + 27,1 2 x 0,5 p
= 644 + 367 = 1011 W 15 . Puissance réactive fournie par E s : Ps = 326 var (voir 11)
16 . Puissance apparente fournie par Es : Ss =
PS + Qs =1/ 1011 2 + 326 2
= 1062 VA 17 . Tension Es = S slIp = 1062/27,1 = 39,2 V On constate que, dans ce cas, la tension Es requise est de 147 % de la tension E, Ces observations complètent les principes fondamentaux régissant le fonctionnement d'une machine asynchrone alimentée à fréquence et tension variables . Le lecteur désirant une explication plus complète est invité à consulter l'Appendice A-5 . 35 .14 Plage d'opération lorsque la tension et la fréquence sont variables La grande majorité des moteurs asynchrones installés dans les commerces et les industries sont raccordés à une source triphasée dont la tension et la fréquence (60 Hz ou 50 Hz) sont maintenues constantes . Dans ces circonstances, pour connaitre la performance du moteur, on a besoin de la courbe complète du couple en fonction de la vitesse . Une courbe T-n typique est montrée à la Fig . 34-17, chapitre 34 . Pendant la période de démarrage le courant est très élevé, mais cette phase d'opération est de courte durée . En régime normal, la charge du moteur peut varier entre zéro et sa valeur nominale . Par moments, le moteur doit supporter des couples s'approchant du couple de décrochage . En pratique, le couple variera donc entre les limites imposées par les couples de décrochage + Td et -Td (Fig . 35-19) . Lorsqu'on dispose d'une source dont la tension et la fréquence sont variables, il y a avantage, au démarrage aussi bien qu'en régime permanent, à utiliser seule-
603
ment la portion de la courbe T-n comprise entre + Td et - Td . Dans cette plage d'opération, le couple développé par ampère est excellent, et le rendement et le facteur de puissance sont bons . La Fig . 35-22 montre en plus grand détail la courbe T -n g dans cette plage d'opération pour le moteur de 18,5 kW que nous venons d'étudier (Fig . 35-18) . La figure montre aussi la courbe du courant efficace Ip en fonction de ng . 35 .15
Flux du stator dans une machine asynchrone et le rapport volts/hertz Le flux total 0s = om + Of , est celui accroché par les spires du stator. Il induit la tension E, qui est mise en évidence dans les Fig . 35-1, 35-2, 35-3, 35-5 et ailleurs dans ce chapitre . Quelle est donc la valeur de ce flux? Tout comme dans un transformateur, la relation entre le flux et la tension induite dans un enroulement du stator est donnée par une expression semblable à l'équation 30-2, soit : EE = 4,44 fNOs
(35-20)
ou E, = tension induite dans le stator, par phase [V] f = fréquence [Hz]
N = nombre de spires effectives du stator, par phase os = flux total par pôle [Wb] 4,44 = constante (valeur exacte = nr2) En réarrangeant les termes, on obtient 1
Ev
4,44 N
f
(35-21)
L'équation 35-21 indique que pour un nombre de spires N donné, le flux total dépend directement du rapport (E~lf) . Tant et aussi longtemps que ce rapport est gardé constant, le flux mutuel 0s demeure constant. Il en découle que pour maintenir un flux constant avec une fréquence variable, on doit augmenter ou diminuer la tension E, dans les mêmes proportions que f . Donc, si la fréquence diminue du tiers, on doit réduire E„ du tiers . Le rapport E~lf s'exprime en volts par hertz (V/Hz) . Il joue un rôle très important dans la description des caractéristiques d'un moteur asynchrone . En résumé, le rapport «volts par hertz» constitue une façon simple d'exprimer l'amplitude du flux dans un moteur.
604
[N-m] [A]
ÉLECTROTECHNIQUE 400
300
200 T Ip 100
0
-100
-200
-300
-400
∎w
Figure 35-22 Plage d'opération de la machine asynchrone de 18,5 kW, 460 V, 60 Hz . Le couple peut varier entre + 300 N •m et - 300 N .m .
Lorsque le moteur fonctionne à des fréquences comprises entre la fréquence nominale et 1/3 de celle-ci, la tension E, appliquée au stator est proche de la tension induite E, , et reste presque proportionnelle à celle-ci (Fig . 35-1) . Pour cette raison, on peut indiquer l'amplitude du flux au moyen du rapport ES/f, plutôt que E,,l f , car la tension E, est plus facile à mesurer que E,, . Cependant, à basse vitesse, lorsque la fréquence et la tension Ev sont toutes deux inférieures à 10 % de leurs valeurs nominales, la chute de tension r1Ip dans le stator prend de l'importance, car elle devient alors aussi grande et même plus grande que Ev . Dans ces circonstances, si on désire maintenir le flux 0, à sa valeur nominale, la tension E, de la source doit être considérablement plus grande que E,, . Donc, afin de garder Ev/f constant, on doit progressivement augmenter le rapport ES /f à mesure que la fréquence diminue . La correction est particulièrement importante lorsque la fré-
quence tend vers zéro . En effet, à pleine charge la tension E, de la source est sensiblement égale à la somme E,. + r 1 Ip .
35 .16
Commande du couple et de la vitesse La Fig . 35-23 illustre les caractéristiques couple/ vitesse et courant/vitesse obtenues lorsque l'on diminue simultanément la tension E„ et la fréquence aux bornes d'un moteur à cage de 18,5 kW, 460 V, 1730 r/min, 60 Hz . La courbe 1 donne le couple en fonction de la vitesse lorsque la fréquence est de 60 Hz . La courbe est symétrique car la tension nominale de 460 V ligne à ligne a été légèrement réajustée à chaque point d'opération de façon à maintenir le flux 0, constant . Cet ajustement est facile à réaliser lorsqu'on a une source dont la tension E, et la fréquence peuvent être commandées
qui est atteint est presque lorsque égal la au vitesse couple de LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
605
[N •m ] [A] 400 -400 r/min
900 r/min
285 N-m
1400 r/min
300 C .C .
7V 10 Hz
325 V 43,3 Hz
460 V 60, Hz
200 T Ip 90A
t t
O 102 Nm 270 r/min
102 N •m 1730 r/min
O
100 O 27 A ,, Fe
` 0 -600
lO 0
27 A
600
1200
1800
24 0
- n [r/min] -100 300
1300
-200 1q, -300
IL
-400 Figure 35-23 Variation du couple, du courant, en fonction de la vitesse lorsque le moteur de 18,5 kW est alimenté à 60 Hz, 43,3 Hz, 10 Hz et 0 Hz . Dans chaque cas, la tension affichée correspond à la valeur Ev~3 .
à volonté. À pleine charge le couple et le courant sont respectivement de 102 N •m , et de 27 A . Le couple de décrochage de 300 N •m glissement ngd est de 400 r/min . Lorsqu'on réduit la tension et la fréquence, disons, à 325 V et 43,33 Hz (0,722 p .u .), la courbe se déplace vers la gauche, tout en conservant la même forme (courbe 2) . Elle coupe l'axe horizontal à une vitesse synchrone de 1300 r/min . Ensuite, si l'on diminue la tension et la fréquence à 75 V et 10 Hz (0,167 p .u .), la courbe se déplace davantage vers la gauche, donnant lieu à un couple de démarrage de 285 N •m
de décrochage (courbe 3) . Noter que le courant de démarrage (90 A) est maintenant sensiblement inférieur au courant de démarrage habituel (147 A) qu'on obtiendrait si le moteur était alimenté par une source de 460 V, 60 Hz (voir Fig . 35-19) . En réduisant la fréquence à 10 Hz, on obtient donc un couple de démarrage plus grand avec un courant plus faible . Cette dernière observation constitue un des avantages de la commande de vitesse par variation de la fréquence . Durant la période d'accélération, le système de commande peut être programmé de sorte que le moteur développe en tout temps un couple proche du couple de décrochage . Cela assure un démarrage rapide avec un courant constant qui n'est pas trop élevé .
606
ÉLECTROTECHNIQUE
La courbe T-n conserve sa forme, même lorsque la fréquence est nulle (courbe 4) . Cette situation correspond à l'alimentation du stator en courant continu . Le moteur produit alors un couple de freinage symétrique de part et d'autre de la vitesse nulle. Nous avons aussi tracé les courbes en «V» du courant efficace en fonction de la vitesse . Ces courbes sont symétriques par rapport à l'axe passant par la vitesse synchrone . Les courbes couple/vitesse et courant/vitesse se déplacent donc ensemble lorsque l'on fait varier la fréquence .
La nouvelle vitesse à 110 N •m est donc : n=ns -ng =500-110 = 390 r/min Exemple 35-4
En utilisant les courbes de la . Fi* calculer : a) la tension et la fréquence requises afin que le moteur de 18 .5 kW développe un couple de 140 N •m lorsqu'il tourne à 12_34 1/min
b) le courant tiré de la ligne dans ces conditions
Exemple 35-3
Un moteur conventionnel à cage (I 'écureuil de 10 hp . 575 V . 1150 r/min . 60 Hz produit un couple de 110 N •m à une vitesse de 1090 r/min . On se propose d'alimenter ce moteur à une fréquence d 25 Hz . Calculer : a) la tension d'alimentation requise pour que le flux dans la machine demeure inchangé b) la nouvelle vitesse au même couple de 1 10 N •m
Solution a) Le rapport nominal V/Hz est ESIf = 575/60 = 9,58 V/Hz . Afin de garder le même flux 0, dans le stator, il faut que ce rapport soit encore 9,58 V/Hz lorsque la fréquence est 25 Hz . Donc la tension E s requise est environ
Solution a) On doit d'abord déterminer la vitesse de glissement correspondant à un couple de 140 N •m . En se référant à la Fig . 35-22, la vitesse ng est de 100 r/min lorsque le moteur développe un couple de 140 N •m. Pour que le moteur développe un couple de 140 N •m à 1234 r/min, la vitesse de glissement doit rester la même. Par conséquent, la vitesse synchrone doit être : ns = 1234 + 100 = 1334 drain La fréquence correspondante est : f = 1334
On arrive au même résultat en réduisant la tension d'alimentation en proportion de la fréquence :
La tension d'alimentation doit être réduite approximativement dans les mêmes proportions que la fréquence:
E, = - x 575 = 240 V
60 b) La vitesse synchrone à 60 Hz est évidemment 1200 r/min, donc, la vitesse de glissement n g correspondant au couple de 110 N •m est : ng = ns - n
=
1200 - 1090
= 110 r/min La vitesse synchrone à 25 Hz est: ns = 25
x 60 = 44,47 Hz
1800
Es = 25 Hz x 9,58 V/Hz = 240 V
= 44,47 E1
x 460 = 341 V
60
b) La Fig . 35-22 indique que pour un couple de 140 N •m , le courant Ij, est environ de 37 A . 35 .17
Couple et vitesse lors du décrochage
On peut démontrer (voir l'Appendice A-5) que le couple de décrochage total pour un moteur triphasé est donné par la formule approximative :
x 1200 = 500 r/min 2
60
0,019p Td3
La vitesse de glissement demeure inchangée, car le couple est toujours de 110 N•m .
(35-22)
-
L
(Ev f l
LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
où couple de décrochage total [N.m] nombre de pôles sur la machine L inductance de fuite rapportée au stator [H] (note : L = xl2içf, où x est la réactance de fuite totale du moteur rapportée au stator à la fréquence nominale f) Ev = tension ligne à neutre, en aval de la résistance du stator [V] (voir Fig . 35-5) fréquence d'alimentation [Hz] f 0,019 constante [valeur exacte = 3/(161t2 ) Td3 p
Le couple de décrochage est donc proportionnel aux volts par hertz E~/f au carré .
Supposons, en première approximation, que la tension Ev soit assez proche de la tension d'alimentation, d'où Ev = 6900/ 3 = 3984 V . En substituant ces valeurs dans l'équation 35-22 on obtient : Td3
19,1 r2
E 2 éq . 35-22 0 L 9p lf 1 - 0,019 x 12 (3984' 2 60 6,9 x 10= 145 687 N •m = 146 kN•m
b) La vitesse de glissement lors du décrochage est donnée par l'équation 35-23 :
Quant à la vitesse de glissement ngd lors du décrochage, elle est donnée par la formule : ngd =
607
19,1 r2 ngd = éq. 35-23 pL
(35-23)
19,1 x 0,08
pL
= 18,5 r/min
12 x 0,0069
ou ngd = vitesse de glissement lors du décrochage [r/min] r2 = résistance du rotor rapportée au stator [S2] p, L = même signification que dans la formule 35-22 . 19,1 = constante [valeur exacte = 60/t] Noter que la vitesse de glissement n g d dépend uniquement de la construction du moteur. Elle ne dépend ni de la tension, ni de la fréquence d'opération, ce qui est assez surprenant. C'est une propriété des moteurs asynchrones qui mérite d'être retenue . Exemple 35-5 Le circuit équivalent du moteur asynchrone d 5000 hp, 6900 V, 600 r/min, 60 Hz (Fig . 35-10) indique que la résistance r, du rotor est de 0,08 S2 et la réactance de fuite totale x est (le 2,6 £2 . Calculer :
La vitesse de décrochage est: n = n s - n g d = 600 - 18,5 = 581,5 r/min On constate que les valeurs de Td3, ngd et n s'accordent bien avec les valeurs affichées au tableau 35-2 . On pourrait faire les mêmes calculs pour le moteur de 5 hp, 1800 r/min, 440 V, 60 Hz dont le circuit équivalent est montré à la Fig . 35-8 . Cependant, comme il s'agit d'un moteur relativement petit, la chute de tension r1Id est relativement plus grande . Par conséquent, lors du décrochage, la tension Ev s'éloigne de la tension d'alimentation ligne à neutre, et elle n'est plus que de 88,5 % de celle-ci . Pour obtenir une évaluation plus précise de Td3, on doit tenir compte de cette chute de tension . 35 .18
Freinage par récupération d'énergie
a) Comme la vitesse synchrone est de 600 r/min à 60 Hz, il s'ensuit que le moteur possède un nombre de pôles p = 120 f/n s = 120 x 60/600 = 12 .
La commande de la fréquence offre encore un autre avantage dans l'entraînement d'un moteur : celui du freinage par récupération d'énergie . En se référant à la Fig . 35-24, supposons que le moteur de 18,5 kW soit raccordé à un réseau de 460 V, 60 Hz . Il entraîne une charge qui exige un couple constant de 60 N •m (point d'opération 1 sur la courbe A) . La vitesse correspondante est 1760 r/min .
L'inductance de fuite est :
Que faire si on désire diminuer la vitesse?
a) la valeur du couple de décrochage b) la vitesse de décrochage Solution
L = xl2itf = 2,6/(2n x 60) = 0,0069 H
Supposons que l'on réduise brusquement la tension et
608
ÉLECTROTECHNIQUE 400
.
~~- .~
.
~~ .
300
h l
200
T
M~
100
.. .
. .
1400 ..
1ooo
'
1500 1600 .. -`-~~~-^-~-'-
1rno
1800
1900 ..
2000
-100 ~~.i .i .~ . -200
-300
-
-
1
-400 Figure 35-24 Freinage d'un moteur par récupération d'énergie . Les valeurs correspondent à celles du moteur de 18,5 kW, 460 V, aoHz .17oor/nm .
la fréquence 685% de leurs valeurs nominales, de sorte que la courbe A soit subitement remplacée par la courbe B . Les nouvelles conditions d'alimentation sont l, =460x0 .85=3o! \(/=00xO,85=5l Hz . La vitesse synchrone correspondante est 1530 r/min . Comme la vkeome du moteur ne peut ponchanger instantanément (6oxuocdz!'iueuic) .le point d'opération passe d'abord du point 1 (courbe A) au point 2 (courbe B) . Dans ces circonstances, le moteur exerce un couple uéguh[du26UN-m .Ce couple de freinage s'ajoute au couple de la charge (60 N-m), de sorte que le couple rmul de freinage est à ce moment de 32U[N . nu . La vi
tesse diminue donc très rapidement . À mesure que la vitesse diminue, le couple exercé par le moteur (fonctionnant maintenant en générateur) décroîtt progressivement, en suivant la courbe B . Rendu à !530i1min au point 3 . A couple exercé par le moteur est nul, mais sa vitesse continue 6d6crviître rapidement 6cuuoe du couple (60 N-m) imposé par la charge . Après le point 3, le moteur développe un couple positif qui augmente progressivement, jusqu'au moment où il devient égal à celui de la charge (point 4) . Dorénavant, la vitesse demeurera stable à 14oUr/min .
LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
Lorsque le point de fonctionnement passe du point 2 au point 3, une partie de l'énergie cinétique du rotor et de la charge est retournée au réseau, car, durant cet intervalle, le moteur fonctionne en génératrice asynchrone . Donc, le freinage rapide est accompagné d'une certaine récupération d'énergie . Cet exemple démontre que l'on peut freiner une charge et en récupérer de l'énergie, en imposant au moteur une fréquence telle que la vitesse de rotation du champ soit inférieure à celle du moteur . Durant cette période de freinage, on doit s'assurer que la vitesse de glissement soit en tout temps inférieure à ngd afin de ne pas dépasser le couple de décrochage . 35 .19 Fonctionnement en survitesse La vitesse nominale et le couple nominal d'un moteur déterminent ensemble sa grosseur et son échauffement . Pour cette raison, la vitesse nominale est souvent appelée vitesse de base («base speed») . Nous venons d'étudier le comportement d'un moteur asynchrone lorsqu'il fonctionne à des vitesses comprises entre la vitesse nominale et des vitesses relativement basses . On peut se demander si on peut faire tourner un moteur à des vitesses supérieures à la vitesse nominale . Si oui, quelles sont les limites de vitesse? Pourrait-on, par exemple, doubler la vitesse du moteur de 18,5 kW, 1730 r/min, que nous venons d'étudier? Outre les limitations imposées par les effets mécaniques (forces centrifuges, vibrations, paliers, etc .), la réponse est oui, mais avec certaines restrictions . Par exemple, on pourrait alimenter le moteur à 120 Hz sous une tension de 920 V, soit le double des valeurs nominales . Cela conserverait le même flux total OS , de sorte que la courbe T-n aurait la même allure que celle de la Fig . 35-19, avec une vitesse synchrone de 3600 r/min . Le problème est que, au couple nominal, la source triphasée à fréquence variable doit fournir le double de la puissance nominale du moteur, ce qui augmentera son coût. De plus, comme la fréquence est doublée, les pertes dans le fer du moteur augmenteront d'environ quatre fois, ce qui risque de faire surchauffer les laminations . Enfin, il n'est pas recommandé de faire marcher un moteur à 920 V alors que sa tension nominale est de 460 V . S'il fallait tripler la vitesse nominale, les problèmes seraient encore plus graves .
609
Pour ces raisons, on maintient la tension à sa valeur nominale lorsque le moteur fonctionne en survitesse . Dans ces conditions, comme le courant nominal peut encore circuler dans le stator, le moteur absorbe sa puissance électrique nominale, et débite donc sa puissance mécanique nominale . Comme cette dernière est égale au produit de la vitesse et du couple, il s'ensuit que le couple développé par le moteur varie inversement avec la vitesse . Ainsi, lorsque la vitesse est deux fois la vitesse nominale, le moteur peut développer la moitié du couple nominal. De plus, puisque la tension d'alimentation demeure constante alors que la fréquence augmente, il s'ensuit que le rapport volts/hertz diminue progressivement lorsque la vitesse croît . Le flux os dans le stator décroît donc inversement avec la fréquence . Examinons maintenant les autres aspects électromécaniques lorsque le moteur marche en survitesse . 35.20
Analyse du fonctionnement en survitesse
La Fig . 35-16 illustrait le comportement du moteur fonctionnant à des vitesses inférieures à la vitesse nominale. Répétons cette analyse pour le même moteur fonctionnant en survitesse . La Fig . 35-25a montre les propriétés du moteur en régime normal . La fréquence est 60 Hz, la vitesse est 1730 r/min, le couple est 100 N •m, la vitesse de glissement est 70 r/min, et le courant représentatif dans le rotor est 100 A . Dans la colonne des données, nous avons ajouté le couple de décrochage Td (300 N .m) et la vitesse de glissement ngd lors du décrochage (400 r/min) . Le flux mutuel On, a sa valeur nominale de 1 p .u. Supposons que le moteur soit alimenté à une fréquence de 120 Hz (Fig . 35-25b) . Étant donné que la tension reste la même alors que la fréquence est doublée, le flux mutuel tombe à la moitié de sa valeur originale (0,5 p .u .) . Pour maintenir le courant dans le rotor à 100 A, il faut que la vitesse de glissement soit deux fois plus grande, soit ng = 2 X 70 = 140 r/min . Le rotor tourne donc à 3600 - 140 = 3460 r/min. Le courant dans le rotor se trouve dans un champ magnétique qui est la moitié de ce qu'il était auparavant ; donc le couple devient 100 N .m/2 = 50 N •m .
610
ÉLECTROTECHNIQUE
f = 60 Hz
f = 150 Hz
f = 120 Hz
.f = 180
n s = 1800 r/min
n s = 3600 r/min
ns = 4500 r/min
ns = 5400 r/min
n g = 70 r/min
n g = 140 r/min
ng = 175 r/min
ng = 210 r/min
I, =100A
12 =100A
I2 = 100 A
12 =100A
T = 100 N •m
T = 50 N •m
T = 40 N-m
T = 33,3 N •m
n
= 1730 r/min
n = 4325 r/min
n = 5190 r/min
Td = 48 N •m
Td = 33,3 N •m
ng d = 400 r/min
ngd = 400 r/min
n g d = 400 r/min
Om = 0,5 PU P = 18,1 kW
Om = 0,4 p .u .
n
= 3460 r/min
Td = 300 N-m
Td = 75 N-m
n g d = 400 r/min Om = 1,0 P .U .
P
= 18,1 kW
P
Om = 0,33 p .u .
= 18,1 kW
P = 18,1 kW
Figure 35-25 Commande du moteur en survitesse . La tension d'alimentation est gardée constante alors que la fréquence est augmentée .
La Fig . 35-25c montre les conditions lorsque la fréquence est de 150 Hz, soit 2,5 fois 60 Hz . La vitesse synchrone est 4500 r/min, et le flux mutuel possède maintenant une valeur de 1/2,5 = 0,4 p .u . Afin d'induire un courant de 100 A dans le rotor, il faut que ng devienne 2,5 x 70 = 175 r/min . Le moteur tourne alors à 4500 - 175 = 4325 r/min . Le couple du moteur est 100 N •m x 0,4 = 40 N •m . Pendant ce temps qu'advient-il du couple de décrochage ? Il est évident que lorsque le flux mutuel diminue, le couple Td diminue en conséquence . Or, celui-ci est donné par la formule 35-21 : 0 0l9 p Td
,
Ev 2 L
(35-24)
(f)
On constate que Td varie selon le carré du rapport volts/ hertz . Puisque la tension E, est demeurée constante lors du fonctionnement en survitesse, il s'ensuit que Td est inversement proportionnel au carré de la fréquence. Donc, lorsque la fréquence est 120 Hz, la valeur de Td baisse à 300 N •m x (60/120)2 = 75 N •m : soit le quart de sa valeur à 60 Hz .
Par le même raisonnement, on trouve que le couple de décrochage à 150 Hz est 300 x (60/150) 2 = 48 N •m . Le couple du moteur est alors 40 N .m . On remarque que le couple T du moteur s'approche de plus en plus du couple de décrochage Td à mesure que la vitesse augmente . S'il fallait, en effet, que la fréquence soit augmentée à 180 Hz (Fig . 35-25d), le couple de décrochage deviendrait 300 N •m x (60/180) 2 = 33,3 N .m, ce qui correspond au couple que le moteur devrait produire pour fournir la puissance nominale (100 N •m x (60/180) = 33,3 N •m). On atteint alors une condition instable sur la courbe T-n et le moteur décrochera . Il existe donc une limite à la survitesse qu'on peut atteindre tout en gardant la puissance égale à la puissance nominale . On peut démontrer que la survitesse ultime théorique est donnée par: Td N u s max = nN TN
(35-25)
LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
120 Hz pour illustrer la forme des courbes T-n à ces fréquences, et pour démontrer la décroissance progressive du couple de décrochage .
où
survitesse synchrone ultime, en dessous de laquelle le moteur peut développer sa puissance nominale [r/min] vitesse nominale du moteur [r/min] couple de décrochage nominal [N .m] couple nominal du moteur [N .m]
ns max
nN TdN TN
61 I
On peut tracer chacune de ces courbes à partir du circuit équivalent à 60 Hz (Fig . 35-18) . Ainsi, lorsque la fréquence est de 90 hz, on a: n s = 1800 x (90/60) = 2700 r/min
Dans notre cas, la survitesse synchrone ultime est
x = 1,87 Q x (90/60) = 2,81 S2 ns max = nN
TAN
= 1800 x
TN
300
= 5400 r/min
X,,, = 33,2 S2 x (90/60) = 49,8 S2
100
1,„ = 266 V/49,8 S2 = 5,34 A
Une dernière observation : en survitesse, la vitesse de glissement lors du décrochage demeure 400 r/min, soit la même valeur que celle pour toutes les autres conditions d'opération . Ce fait découle de l'équation 35-23 . La Fig 35-26 montre les courbes T-n pour le moteur de 18,5 kW, 460 V, 1730 r/min, 60 Hz, fonctionnant en survitesse . La tension E, a été maintenue à 266 V pendant que la fréquence augmentait de 60 Hz à 120 Hz . Nous avons choisi les fréquences de 60 Hz, 90 Hz et
Le courant I,,, est de 66,6 % du courant magnétisant nominal de 8 A . Le flux total 0s a donc une valeur de 66,6 % de sa valeur nominale . En procédant de la même façon que dans la section 35 .12, on obtient les résultats suivants (Fig . 35-27) : 1 . Résistance r2/s rzls = rzn s ln g = 0,415 x 2700/ng = 1120/n g
Td = 300 N • m
N •m 300
Td = 134 N •m 200 T=66N •m
T
Td=75N-m
100 O
400
/1800 1730
2300
2700
T=47 N •m
3600
3200 3460
2595
-100 60 Hz
90 Hz
120 Hz
-200
-300
Figure 35-26 Courbes T-n obtenues lorsque le moteur de 18,5 kW, 460 V, 60 Hz, 1730 r/min fonctionne en survitesse à puissance constante . Noter que le couple de décrochage Td diminue rapidement à mesure que la fréquence augmente .
[r/min]
612
ÉLECTROTECHNIQUE
IP
2 . Soit une vitesse de glissement ng = 105 r/min: 1,0
1120/ng = 1120/105 = 10,67 S2 I l = 24,1 A
T= 66 N •m
Ip =26,3A
ES =278V
n = 2700 - 105 = 2595 r/min
T
IP
1
P 0,5
3 . Lors du décrochage, 1120/n gd = 2,80 S2
----------------------
0,33
d'où ng d = 400 r/min
E,2 x 2,80
(2,802 +2,80
2)
_
2662 x 2,80 15,68
= 12 635 W 9,55 Pr Tgd = X3 ns 9,55 x 12 635
Puissance constante
couple constant
4 . Couple de décrochage Tgd : r=
----------------------P
i'
x 3 = 134 N •m
2700 Le lecteur retrouvera ces points d'opération sur la courbe à 90 Hz de la Fig . 35-26 . 35.21 Autres façons de présenter les caractéristiques du moteur Nous avons montré les courbes T-n en détail afin de bien saisir le comportement du moteur asynchrone . Il existe d'autres méthodes graphiques pour décrire ses propriétés . La première indique le couple, le courant et la puissance en fonction de la vitesse pour la plage complète d'opération, en tant que moteur (Fig . 35-27) . Les échelles sont graduées en unités p .u ., où le chiffre 1 signifie la valeur nominale de la vitesse n, du courant Ip , du couple Tet de la puissance P . Pour les vitesses inférieures à 1 p .u ., le couple, de même que le courant Ip , demeurent constants à leurs valeurs nominaux . En survitesse, le couple est inversement proportionel à la vitesse, produisant ainsi une puissance constante . Comme nous l'avons vu, le couple de décrochage impose une limite à la vitesse maximale lorsque P = 1 . Sur le graphique, cette limite est de 3 p .u . Noter que ce graphique est semblable à celui obtenu pour un moteur shunt à courant continu (voir Fig . 2830, 28-31, 28-32, chapitre 28) . Une autre façon de présenter le comportement d'un moteur asynchrone est d'utiliser les quatre quadrants
1,0
2,0
3,0
n (P . U .) Figure 35-27 Courbes normalisées d'un moteur asynchrone donnant T, P et Ip en fonction de la vitesse n .
d'un graphique T-n (Fig . 35-28) . La courbe T-n d'un moteur asynchrone triphasé illustre bien les différents modes de fonctionnement de la machine comme moteur, comme génératrice ou comme frein . Pour la courbe 1, la machine fonctionne en moteur dans le quadrant 1, en frein dans le quadrant 2 et en générateur dans le quadrant 4. En changeant la séquence A-B-C des phases de la source (ou en intervertissant les bornes de la machine), on obtient une courbe 2 montrée en pointillé . La machine fonctionne alors comme moteur dans le quadrant 3, comme génératrice dans le quadrant 2 et comme frein dans le quadrant 4 . Cela démontre que la machine peut fonctionner comme frein ou comme génératrice dans les quadrants 2 et 4 .
0 n
Figure 35-28 Courbes du couple en fonction de la vitesse d'un moteur triphasé à cage d'écureuil, montrant le fonctionnement dans les quatre quadrants . La courbe en pointillé est obtenue en intervertissant deux des trois lignes d'alimentation .
LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
35 .22 Résumé Ce chapitre nous a révélé que le circuit équivalent d'une machine asynchrone est pratiquement identique à celui d'un transformateur dont le primaire correspondrait au circuit du stator et le secondaire au circuit du rotor. Comme pour le transformateur, le circuit comprend deux branches série représentant la résistance et la réactance de fuite des enroulements du stator et du rotor ainsi qu'une branche shunt représentant les pertes dans le fer et par frottement et aération, et le courant de magnétisation . Ce circuit est «chargé» au secondaire par une résistance r2/s variant avec le glissements . La puissance dissipée sans cette résistance permet de calculer le couple développé par le moteur . Ce circuit est valable pour les trois modes de fonctionnement : moteur, générateur et frein . En faisant varier le glissement, disons entre -1 et + 2, il est possible de déterminer la caractéristique couple/ vitesse complète de la machine pour les trois modes de fonctionnement (s < 0 : mode générateur ; 0 < s < 1 : mode moteur ; s > 1 : mode frein) . Cette courbe passe par deux maximas correspondant au décrochage en mode moteur et en mode générateur. Nous avons aussi fourni les formules qui permettent de calculer rapidement la vitesse, le couple et le courant lors du décrochage . Nous avons vu aussi qu'il est possible de commander la vitesse d'un moteur asynchrone en faisant varier à la fois la fréquence et la tension de la source . Afin de conserver le même flux mutuel dans la machine, on doit alors maintenir le rapport tension/fréquence constant lorsque la fréquence change . Pour faciliter l'étude du fonctionnement à vitesse variable, nous avons introduit une nouvelle grandeur, soit la vitesse de glissement, qui est l'écart entre la vitesse synchrone et la vitesse . Dans ces circonstances, la clé permettant de déterminer le point de fonctionnement de la machine réside dans la caractéristique couple/vitesse de glissement qui reste la même quelle que soit la fréquence, à condition que le rapport tension/fréquence soit maintenu constant . Il en est de même pour la caractéristique courant/vitesse de glissement. Cela revient à dire que les caractéristiques couple/vitesse et courant/vitesse se déplacent ensemble horizontalement lorsque la fréquence change . Enfin, lorsque l'on commande la vitesse d'un moteur entre zéro et sa vitesse nominale on peut maintenir un
613
couple constant tout en maintenant son courant constant . Par contre, en survitesse, la limite de fonctionnement est imposée par une courbe à puissance constante .
PROBLÈMES - CHAPITRE 35 Niveau pratique 35-1 Sans consulter le texte, expliquer la signification des impédances, courants et tensions de la Fig . 35-2. 35-2 Dans la Fig . 35-11, la tension de ligne baisse à 6200 V. Calculer les nouveaux couples : a) au démarrage b) au décrochage 35-3 Pour le moteur de 5000 hp, dont le circuit équivalent est montré à la Fig . 35-10, calculer : a) le nombre de pôles du stator b) la valeur de l'inductance de fuite, en henrys 35-4 Calculer la valeur nominale des V/Hz (ligne à ligne) pour les moteurs de 5 hp et de 5000 hp (Fig . 358 et 35-10) . 35-5 En se référant à la Fig . 35-16, le flux 0n, étant constant, calculer la valeur de 1 2 et de T dans les conditions suivantes : a) b)
f = 60 Hz
n = 1765 drain
f =3O Hz
n = 865 drain
c)
f = 30 Hz n = 850 drain
d) e)
f = 30 Hz
n = 940 r/min
f =40 Hz
n = 1180 r/min
Niveau intermédiaire 35-6 En se référant à la formule 35-23, quel est l'effet sur la vitesse de glissement lors du décrochage si la résistance du rotor augmente du double? 35-7 En se référant à la Fig . 35-22 on désire obtenir un couple de démarrage de 240 N m en ajustant la fréquence à une valeur appropriée. La tension Es appliquée au stator est ajustée de sorte que le flux 0s demeure constant . Calculer : a) la valeur de la fréquence requise b) la valeur approximative du courant de démarrage
614
ÉLECTROTECHNIQUE
35-8 En se référant à la Fig . 35-19, on désire attein-
35-13 Le moteur à cage d'écureuil de 5 hp, 440 V,
dre un couple de décrochage de 300 N m à une vitesse de 732 r/min .
1800 r/min (Fig 35-8) a les caractéristiques suivantes :
a) Calculer la valeur de la fréquence qu'on doit appliquer au stator. b) À quelle vitesse le moteur développera-t-il un couple de 102 N •m? 35-9 Un moteur triphasé à cage d'écureuil possède
les caractéristiques suivantes, par phase : résistance du stator: 0,7 S2 résistance équivalente du rotor : 0,5 S2 réactance de fuite totale : 5 S2 tension ligne à neutre : 346 V vitesse synchrone : 900 r/min
ri = 1,5 £2
r2 = 1,2 £2
x = 6 S2
En négligeant la branche d'excitation, calculer les valeurs du couple de démarrage et du couple de décrochage, si une résistance de 4,5 S2 est raccordée en série avec chacune des lignes d'alimentation . 35-14 Le stator d'un moteur triphasé à cage d'écu-
reuil de 460 V, 60 Hz possède 620 spires effectives en série, par phase . Sachant que le stator est raccordé en étoile, calculer : a) la tension ligne à neutre b) la valeur nominale des volts/hertz c) le flux 0, approximatif par pôle, en webers
En se référant à la Fig . 35-6, calculer :
Niveau avancé
a) b) c) d)
35-15 En se référant au circuit équivalent du mo-
l'impédance Zi la vitesse lors du décrochage courant I l lors du décrochage le couple de décrochage [N •m ]
35-10 Dans le problème 35-9 tracer le circuit équi-
valent lorsque le moteur tourne à 950 r/min, dans le même sens que le champ tournant . a) Est-ce que la machine fonctionne en génératrice? b) Calculer le couple mécanique exercé par la machine . c) Tracer le circuit équivalent lorsque le rotor tourne à 950 r/min en sens inverse du champ tournant . Estce que le moteur absorbe de la puissance du réseau? Calculer le couple . Un moteur triphasé de 550 V, 1780 r/min, 60 Hz fonctionne à vide . Le courant de ligne est de 12 A et le moteur absorbe une puissance totale de 1500 W. Calculer la valeur de Xm et Rf, par phase . 35-11
35-12 Le moteur du problème 35-11 tire un courant
de 30 A et absorbe une puissance de 2,43 kW lorsque le rotor est bloqué, le stator étant alimenté à une tension triphasée ligne à ligne de 90 V La résistance entre deux bornes du stator est de 0,8 S2 . En négligeant la branche X, Rf, calculer : a) les valeurs de r i , r2 et x b) la valeur du couple de démarrage à la pleine tension de 550 V
teur de 5 hp (Fig . 35-8) et en utilisant les équations 35-22 et 35-23, calculer : a) la valeur du couple de décrochage en supposant que E, =254V b) la vitesse de décrochage c) Comparer ces valeurs avec celles affichées au tableau 35-1 . d) Calculer la véritable valeur de E, et la nouvelle valeur de Td . 35-16 Un moteur asynchrone de 2250 hp,
1786 r/min, 2300 V, 60 Hz possède les paramètres suivants, par phase : résistance du stator: rl = 29 mû2 résistance équivalente du rotor: r2 = 22 mû2 réactance magnétisante : Xm = 13 S2 pertes dans le fer et par frottement et aération : 11 kW réactance de fuite : x = 0,452 S2 Calculer: a) la valeur de Rf b) le courant dans le stator lorsque le moteur tourne à vide c) la vitesse du moteur lors du décrochage d) le couple de décrochage, la tension de la source étant de 2300 V
LA MACHINE ASYNCHRONE : CIRCUIT ÉQUIVALENT ET VARIATION DE LA VITESSE
615
35-17 Dans le problème 35-16, calculer : a) le le b) le c) le
couple et la puissance mécanique développés par moteur lorsqu'il tourne à 1786 r/min rendement et le facteur de puissance du moteur courant tiré de la source
35-18 Un moteur commercial à vitesse variable possède les caractéristiques nominales suivantes :
•
'
I
r2 ns n
g
N
puissance : 10 hp Figure 35-29
vitesse : 1764 r/min tension ligne à ligne : 575 V fréquence : 60 Hz résistance du stator, par phase : r, = 1,2 S2 résistance équivalente du rotor : r2 = 0,8 S2 réactance de fuite : x t = 5,6 S2 réactance magnétisante : Xm = 72 S2 résistance représentant les pertes à vide : Rf = 780 S2 Le circuit équivalent est montré à la Fig. 35-29 .
On désire faire marcher le moteur à vide à une vitesse de 2580 r/min, la tension Es de la source étant de 575/~3 = 332 V . Calculer : a) la fréquence de la source ES b) les nouvelles valeurs de x et de X m c) la valeur du courant I p d) la vitesse de décrochage lorsque la tension Eç =332V
36 Alternateurs triphasés
Les alternateurs triphasés sont la source primaire de toute l'énergie électrique que nous consommons . Ces machines constituent les plus gros convertisseurs d'énergie au monde . Elles transforment l'énergie mécanique en énergie électrique avec des puissances allant jusqu'à 1500 MW. Dans ce chapitre, nous verrons comment sont réalisés ces puissants alternateurs modernes et quelles sont leurs caractéristiques . Leur principe élémentaire de fonctionnement est couvert dans les sections 17 .7 et 26 .2 et le lecteur aurait avantage à les revoir. 36 .1
appliquée à la charge . L'induit est entraîné par un moteur à explosion ou toute autre source de force motrice . La valeur de la tension triphasée dépend de la vitesse de rotation et de l'intensité du champ magnétique . La fréquence dépend de la vitesse et du nombre de pôles de l'inducteur. Les alternateurs à inducteur fixe sont utilisés pour des puissances inférieures à 5 kVA . Pour des puissances plus importantes, il est plus économique, plus sécuritaire et plus pratique d'employer un inducteur tournant .
Principe des alternateurs de grande puissance
Un alternateur à inducteur tournant possède un induit fixe, appelé stator. Cette construction est plus avantageuse car elle permet d'alimenter directement le circuit d'utilisation sans passer par les bagues de fortes dimensions qui seraient requises avec un induit tournant . De plus, l'isolement des bobinages du stator est grandement simplifié du fait qu'ils ne sont soumis à aucune force centrifuge .
Les alternateurs commerciaux sont construits avec un inducteur fixe ou un inducteur rotatif . L'inducteur est composé de deux ou de plusieurs pôles produisant un champ magnétique constant. Un alternateur à inducteur fixe a la même apparence extérieure qu'une génératrice à courant continu . Les pôles saillants produisent le champ magnétique qui est coupé par les conducteurs situés sur l'induit . L'induit porte un enroulement triphasé dont les bornes sont connectées à trois bagues montées sur l'arbre . Un groupe de balais fixes recueille la tension triphasée qui est
Une génératrice à courant continu, appelée excitatrice, habituellement montée sur le même arbre que l'alternateur, fournit le courant d'excitation aux électroaimants inducteurs . 616
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
617
commande à c .c . 25 kW
alternateur triphasé 500 MW, 12 kV, 60 Hz
Figure 36-1 Vue en coupe d'un alternateur de 500 MW avec son excitation principale de 2400 kW . Le courant d'excitation Ix de 6000 A doit passer par un collecteur et deux bagues . Le courant de commande I, provenant de l'excitatrice pilote permet de faire varier le champ de l'excitatrice et, par la suite, le courant IX .
La Fig . 36-1 montre les parties principales d'un alternateur à inducteur tournant . Noter que pour alimenter le champ au moyen du courant I x , les balais frottant sur le collecteur de l'excitatrice doivent être raccordés à un deuxième groupe de balais qui glissent sur deux bagues . Nous verrons plus loin que dans les systèmes modernes, on remplace l'excitatrice à c .c . par un générateur à c.a. et un redresseur monté sur l'arbre . 36 .2 Nombre de pôles Le nombre de pôles d'un alternateur est imposé par la vitesse du rotor et par la fréquence du courant à produire . Ainsi, considérons un conducteur de l'induit devant lequel se déplacent les pôles nord et les pôles sud du rotor. Si la tension induite dans ce conducteur prend une série de valeurs positives pendant le passage d'un pôle nord, elle prendra une série de valeurs égales, mais négatives, pendant le passage d'un pôle sud . Chaque fois qu'une paire de pôles se déplace devant un conducteur, la tension induite décrit donc un cycle complet . On en déduit que la fréquence est donnée par l'équation : pn
f= 120
(36-1)
où f = fréquence de la tension induite [Hz] p = nombre de pôles du rotor n = vitesse du rotor [r/min]
Exemple 36-1 Une turbine hydraulique tournant à une vitesse de 200 r/min entraîne un alternateur . Si la fréquence de la tension induite est de 60 Hz, combien de pôles le rotor comporte-t-il' .
Solution De l'équation (36-1) on déduit que : 120f p = n
soit p =
120x60 200
= 36 pôles ou 18 paires de pôles 36 .3 Stator Du point de vue est identique à (sections 33 .1 feuilleté ayant
électrique, le stator d'un alternateur celui d'un moteur asynchrone triphasé et 33 .5) . Il se compose d'un noyau la forme d'un cylindre vide et compor-
618
ÉLECTROTECHNIQUE
Figure 36-2a Stator d'un alternateur triphasé de 500 MVA, 14 kV, 200 r/min, 60 Hz, installé à Churchill Falls, Labrador. Diamètre intérieur: 9250 mm ; hauteur de l'empilage de tôles : 2350 mm ; nombre d'encoches : 378 (gracieuseté de Marine Industries) .
Figure 36-2b Les barres de cuivre reliant les phases du stator peuvent supporter un courant de 3200 A . Le débit total de l'alternateur est de 19,25 kA par phase (gracieuseté de Marine Industries) .
tant des encoches dans lesquelles sont logés les conducteurs d'un enroulement triphasé (Fig . 36-2 et 363) . L'enroulement est toujours raccordé en étoile et le neutre est accessible pour permettre sa mise à la terre . On préfère la connexion en étoile à celle en triangle pour les raisons suivantes : 1 . La tension par phase étant seulement 1/~ _ 3, ou 58 % de celle entre les lignes, on peut réduire l'épaisseur de l'isolant dans les encoches . Cela permet de grossir la section des conducteurs et, par conséquent, la puissance de la machine . 2 . Lorsque l'alternateur est en charge, la tension induite par phase se déforme de sorte que la forme d'onde n'est plus tout à fait sinusoïdale . Cette distorsion est due principalement à la présence des tensions de troisième harmonique qui se superposent à la tension fondamentale . Avec une connexion en étoile, les troisièmes harmoniques n'apparaissent pas entre les fils de ligne, car elles s'annulent . Par contre, si l'on utilise une connexion en triangle, ces tensions s'additionnent et provoquent la circulation d'un courant dans le triangle et, par conséquent, occasionnent des pertes Joule supplémentaires . La tension nominale (ligne à ligne) d'un alternateur varie selon sa puissance en kVA . En général, plus la capacité de la machine est grande, plus sa tension est
111111111
Figure 36-2c Segment d'une lamination du stator et d'une lamination des pôles saillants du rotor. Chaque segment de tôle du stator est recouvert d'un vernis isolant pour limiter les courants de Foucault . Les encoches ont une largeur de 22,3 mm et une profondeur de 169 mm . Les plaques d'acier utilisées dans la construction des pôles saillants sont beaucoup plus épaisses (2 mm vs 0,5 mm) et elles ne sont pas isolées car elles sont traversées par un flux constant. La largeur maximale du pôle est de 600 mm et l'entrefer a une longueur de 33 mm . Les huit petits trous dans la face du pôle servent à loger les barres de cuivre formant la cage d'amortissement . Les gros trous servent à boulonner les plaques ensemble .
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
619
est imposée, on doit placer un grand nombre de pôles sur le rotor. Les alternateurs à basse vitesse ont donc toujours un grand diamètre, de façon à donner l'espace nécessaire pour loger le nombre de pôles requis . Dans ces machines, le rotor est constitué d'une roue en acier montée sur un arbre vertical et sur laquelle sont fixées les pièces polaires (Fig . 36-4) . Les bobinages d'excitation placés sur les pièces polaires sont constitués de barres de cuivre ordinairement nues, mais isolées entre elles par des bandes de mica (Fig . 36-5). L'emploi de conducteurs nus favorise leur refroidissement . Les bobines sont reliées en série de façon que deux pôles voisins soient de polarités contraires .
Figure 36-3 Stator d'un turboalternateur de 722 MVA, 3600 r/min, 19 kV, 60 Hz, en cours de montage . Les enroulements sont refroidis à l'eau . Une fois terminé, l'alternateur sera complètement recouvert d'une enveloppe métallique (voir turboalternateur en arrière-plan) contenant de l'hydrogène sous pression afin d'assurer un refroidissement encore plus efficace (gracieuseté d'ABB).
En plus de l'enroulement à courant continu, on installe une cage d'écureuil dans la face des pôles (Fig. 36-6) . En régime permanent, cet enroulement ne porte aucun courant, car le rotor tourne à la vitesse synchrone . Lorsque la charge de l'alternateur change brusquement, il en résulte une oscillation mécanique du rotor de part et d'autre de la vitesse synchrone et un courant induit se met à circuler transitoirement dans la cage . Ce courant réagit avec le champ et amortit les oscillations du rotor ; pour cette raison, cette cage d'écureuil est appelée enroulement amortisseur.
élevée. Cependant, la tension nominale d'un alternateur dépasse rarement 25 kV, car autrement le volume de l'isolation des conducteurs dans les encoches deviendrait prohibitif. 36 .4 Rotor Si l'on fait tourner le rotor, les lignes de flux produites par les pôles inducteurs balaient les trois enroulements du stator et induisent dans ceux-ci des tensions triphasées . Les rotors sont à pôles saillants ou à pôles lisses selon qu'ils sont entraînés à basse vitesse par des turbines hydrauliques ou à haute vitesse par des turbines à vapeur. a) Rotor à pôles saillants . Afin d'extraire la puissance maximale de la chute d'eau, les turbines hydrauliques des centrales à basse et à moyenne chutes d'eau tournent toujours à basse vitesse : entre 50 et 300 r/min. Comme les alternateurs sont raccordés directement aux turbines et puisqu'une fréquence de 60 Hz (ou 50 Hz)
Figure 36-4 Rotor à 36 pôles prêt à être placé à l'intérieur du stator de la figure 36-2 ; masse : 600 t ; moment d'inertie : 4140 t •m 2 ; entrefer : 33 mm . Lexcitation de 2400 A sous une tension continue de 330 V est assurée par un redresseur électronique (gracieuseté de Marine Industries) .
620
ÉLECTROTECHNIQUE
Figure 36-5 Enroulement du rotor d'un alternateur de 250 MVA . Il est formé de 18 spires de cuivre nu ayant une largeur de 89 mm et une épaisseur de 9 mm .
Figure 36-6 Pôle saillant de l'alternateur de 250 MVA . Les conducteurs de la cage d'écureuil seront logés dans les 12 encoches taillées dans la surface du pôle .
Lorsque la charge triphasée n'est pas équilibrée, l'enroulement amortisseur tend également à combattre le déséquilibre des tensions induites dans le stator et à maintenir une forme d'onde sinusoïdale à ses bornes .
taillées dans la masse même du rotor (Fig . 36-7) . Les forces centrifuges intenses dues à la haute vitesse de rotation imposent une limite au diamètre du rotor ; comme, d'autre part, les grandes puissances (500 MW à 1500 MW) nécessitent un gros rotor, on est obligé de lui donner une forme très allongée (Fig . 36-7)* .
b) Rotor à pôles lisses . Les turbines à vapeur tournent toujours à haute vitesse : 3600 r/min ou 1800 r/min sur les réseaux à 60 Hz, et 3000 ou 1500 r/min sur ceux à 50 Hz . Par conséquent, les alternateurs qu'elles entraînent comportent 2 ou 4 pôles seulement ; on les désigne sous le nom de turbo-alternateurs . Leur rotor a une forme cylindrique, car les pôles sont formés en plaçant des bobines dans des encoches
Pour un rotor tournant à 3600 r/min, la limite élastique de l'acier utilisé impose aux constructeurs un diamètre n'excédant pas 1,2 m . On peut doubler le diamètre lorsque la vitesse est de 1800 r/min mais, en raison des problèmes de transport, on dépasse rarement 1,8 m .
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
621
Figure 36-7a Rotor d'un turbo-alternateur triphasé de 1530 MVA, 1500 r/min, 27 kV, 50 Hz, en cours d'usinage . Les quarante encoches destinées à loger l'enroulement à c .c . sont taillées directement dans le cylindre d'acier coulé d'un bloc . Longueur effective : 7490 mm ; diamètre : 1800 mm (gracieuseté d'Attis Chalmers Power Systems, Inc. West Allis, Wisconsin) .
Figure 36-7b Rotor avec ses enroulements ; masse totale : 204 t ; moment d'inertie : 85 t•m 2 ; entrefer : 120 mm . Le courant d'excitation de 11,2 kA sous une tension de 600 V est fourni par une excitatrice sans balais montrée sur la photo 36-9 (gracieuseté dAllis Chalmers Power Systems, Inc. WestAllis, Wisconsin) .
36 .5 Excitatrice
En régime normal, l'excitation est commandée automatiquement ; elle varie suivant les fluctuations de la charge pour garder la tension constante ou, encore, pour changer la puissance réactive débitée par l'alternateur . Une perturbation grave sur un réseau peut occasionner une baisse subite de la tension aux bornes de l'alternateur. L'excitatrice doit alors répondre très rapidement pour soutenir la tension . Par exemple, la tension d'excitation peut doubler par rapport à sa valeur nominale en 300 ou 400 ms, ce qui représente une réaction extrêmement rapide, si l'on considère que la puissance des excitatrices est de quelques milliers de kilowatts .
L'excitation d'un alternateur puissant constitue un de ses éléments les plus importants . En effet, le champ doit non seulement induire une tension appropriée, mais il doit aussi pouvoir varier rapidement lorsque la charge varie brusquement . La vitesse de réponse est un facteur important pour le maintien de la stabilité du réseau auquel l'alternateur est branché . Afin d'obtenir une réponse rapide on utilise deux excitatrices : une excitatrice principale et une excitatrice pilote . L'excitatrice principale fournit le courant d'excitation de l'inducteur, habituellement par l'intermédiaire de balais et de bagues . En régime normal, la tension générée est comprise entre 125 V et 600 V . On peut la régler manuellement ou automatiquement en faisant varier l'intensité du champ inducteur, c'est-à-dire en agissant sur le courant d'excitation I, provenant de l'excitatrice pilote (Fig . 36-1) . La puissance nominale de l'excitatrice principale dépend surtout de la capacité et de la vitesse de l'alternateur qu'elle alimente . Par exemple, la puissance fournie par une excitatrice à un alternateur de 1000 kVA peut être de l'ordre de 25 kW (soit 2,5 % de la puissance), alors que celle fournie à un alternateur de même vitesse, mais d'une puissance de 500 MW, est d'environ 2500 kW (soit seulement 0,5 % de la puissance de l'alternateur) .
36 .6
Excitation sans balais
À cause de l'usure des balais et de la poussière conductrice qu'ils dégagent, il faut effectuer une maintenance constante des bagues et du collecteur, sinon on risque des courts-circuits . Pour éviter ce problème, on utilise de nos jours les systèmes d'excitation sans balais dans lesquels un alternateur-excitateur et un groupe de redresseurs fournissent le courant continu à l'alternateur principal (Fig . 36-8) . Si on compare le système d'excitation de cette figure avec celui de la Fig . 36-1, on constate qu'ils sont identiques, sauf que le redresseur remplace le collecteur, les bagues et les balais . Le courant de commande II provenant de l'excitatrice pilote régularise Ix , comme dans le cas d'une excitatrice à courant continu conventionnelle .
622
ÉLECTROTECHNIQUE
champ stationnaire
le
excitatrice principale
alternateur
Figure 36-8 Schéma montrant le principe d'une excitation sans balais . Lexcitatrice pilote est un convertisseur électronique alimenté par une source triphasée . Le courant continu de commande le fait varier l'intensité du champ de l'inducteur . Lexcitatrice principale est un alternateur triphasé à inducteur fixe . La tension triphasée induite dans le rotor est redressée par des diodes, permettant de fournir le courant d'excitation I X à l'alternateur .
L'alternateur-excitateur et les redresseurs sont montés en bout d'arbre et tournent ensemble avec l'alternateur principal (Fig . 36-9) . L'alternateur-excitateur triphasé possède habituellement un nombre de pôles tel que sa fréquence soit 2 ou 3 fois celle du réseau . 36.7 Facteurs affectant la grosseur des alternateurs La quantité énorme d'énergie électrique générée par les compagnies d'électricité les a rendues très sensibles à l'importance du rendement de leurs alternateurs ; chaque augmentation de 1 % représente, pour chaque alternateur, des économies de plusieurs milliers de dollars par jour. Or, l'analyse effectuée à la section 29 .11 a démontré que son rendement augmente à mesure que sa puissance croît . Par exemple, si un alternateur de 1 kW possède un rendement de 73 %, un alternateur de 10 MW de forme identique mais de beaucoup plus grande taille aura inévitablement un rendement voisin de 90 % . Les alternateurs de 1000 MW et plus possèdent un rendement de l'ordre de 99 % . D'autre part, plus la puissance d'une machine augmente, plus la puissance débitée par kilogramme augmente . En se référant de nouveau à notre exemple, si l'alternateur de 1 kW pèse 20 kg (50 W/kg), celui de 10 MW ne pèsera que 20 000 kg, ce qui donne 500 W/ kg . Une machine de grande puissance pèse donc rela-
Figure 36-9 Lexcitation sans balais est réalisée au moyen d'un alternateur de 7 MVA et de deux groupes de diodes . Les diodes, associées aux pôle positifs et négatifs du système à c.c ., sont montées à l'intérieur des deux anneaux solidaires de l'arbre, visibles au centre de la photo . Les conducteurs sortant au centre de l'arbre sont destinés à alimenter le rotor du turboalternateur de 1530 MVA (gracieuseté d Allis Chalmers Power Systems, Inc. West Allis, Wisconsin) .
tivement moins qu'une machine de faible puissance, de sorte que la première coûte relativement moins cher que la seconde . Tout semble donc favoriser les grosses machines . Cependant, ce dernier avantage provoque des problèmes de refroidissement . En effet, les dimensions devenant relativement plus petites, les pertes par unité de surface augmentent, de sorte que les grosses machines tendent à s'échauffer davantage . Pour prévenir une
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
623
augmentation inacceptable de la température, on doit donc assurer un refroidissement de plus en plus efficace à mesure que la puissance augmente . Par exemple, pour des turbo-alternateurs de puissance inférieure à 50 MW, un refroidissement à l'air suffit, mais entre 50 MW et 300 MW on utilise un refroidissement à l'hydrogène pour les raisons mentionnées à la section 9 .6 . Enfin, pour les machines encore plus puissantes, on a recours à des conducteurs creux dans lesquels on fait circuler de l'eau froide . Finalement, on arrive à un point où le coût accru du système de refroidissement dépasse les économies faites ailleurs . C'est à ce stade qu'on doit forcément cesser de grossir les machines davantage . En somme, l'évolution des alternateurs de grosse puissance a été dictée, dans une large mesure, par les techniques de refroidissement (Fig . 36-10 et 36-11) . D'autres innovations technologiques, telles que des nouveaux matériaux et des nouveaux bobinages, ont joué un rôle important dans l'évolution des machines d'autrefois (Fig . 36-12) . En ce qui concerne les alternateurs à basse vitesse, nous avons montré à la section 29 .12, qu'ils sont toujours plus gros que ceux de même puissance tournant à haute vitesse . Leur grosseur facilite le problème de refroidissement et ils sont généralement refroidis à l'air . Il suffit d'une bonne aération, complétée au besoin par un échangeur de chaleur à l'eau froide . Par exemple,
Figure 36-10 Lénergie électrique utilisée à bord du Concorde est fournie par 4 alternateurs de 60 kVA, 200/115 V, 12 000 r/min, 400 Hz . Chaque alternateur est entraîné par un moteur hydraulique absorbant une fraction de l'énorme puissance développée par chacun des quatre turboréacteurs . Le liquide sortant du moteur sert également à refroidir l'alternateur . La masse de l'alternateur n'est que de 54,5 kg (gracieuseté dAir France) .
Figure 36-11 Vue partielle d'un alternateur triphasé à pôles saillants de 87 MVA, 428 r/min, 50 Hz, montrant le système de refroidissement à l'eau du rotor et du stator . La haute résistivité de l'eau purifiée et l'emploi de tubes isolants permettent d'amener l'eau en contact direct avec les parties sous tension (gracieuseté dABS) .
Figure 36-12 En Amérique du Nord, le premier alternateur à champ tournant fut mis en service en 1888 . Il servait à l'éclairage et alimentait 1000 lampes . Il débitait un courant de 30 A sous une tension de 2000 V, 110 Hz . Sa vitesse de rotation était de 1100 r/min et il pesait 2320 kg, ce qui représente une puissance de 26 W/kg . Aujourd'hui, un alternateur équivalent produit environ 140 W/kg, et occupe une surface au sol trois fois plus petite .
624
ÉLECTROTECHNIQUE
les alternateurs de 500 MVA, 200 r/min, installés à Churchill Falls, sont refroidis à l'air tandis qu'un alternateur plus petit, mais plus rapide de 275 MVA, 1800 r/min, installé à Lubbock, Texas, est refroidi à l'hydrogène . 36.8 Marche à vide : courbe de saturation La Fig . 36-13a montre un alternateur bipolaire tournant à vide à une vitesse constante. Le courant d'excitation Ix , provenant d'une excitatrice appropriée, crée le flux 0 dans l'entrefer. Les extrémités de l'enroulement triphasé du stator sont raccordées aux bornes A, B, C et N . La Fig . 36-13b est un diagramme schématique de l'alternateur, montrant le rotor et les trois phases du stator.
(a)
bobinage de`, , l'alternateur phase A
Supposons que l'on augmente graduellement le courant d'excitation tout en observant la tension E o entre une phase (la phase A, par exemple) et le neutre N . On constate que Eo augmente d'abord proportionnellement à Ix . Cependant, au fur et à mesure que le flux augmente, l'acier se sature, et la tension croît de moins en moins pour une même augmentation de I x . En effet, si l'on trace la courbe de Eo en fonction de Ix , on obtient une courbe de saturation semblable à celle d'une génératrice à c.c .
N
(b)
kV 18
La Fig . 36-13c donne la courbe de saturation à vide pour un alternateur de 36 MW ayant une tension nominale de 12 kV (ligne à neutre) . La tension augmente proportionnellement au courant jusqu'à 9 kV, puis l'acier commence à se saturer . On atteint une tension de 12 kV lorsque Ix = 100 A, mais si l'on double le courant, la tension ne monte qu'à 15 kV .
16 14 tension n
le (lign e a n eutre)
12
36.9 Circuit équivalent d'un alternateur : réactance synchrone Lors de l'étude des génératrices à courant continu, on a montré qu'on peut représenter le circuit équivalent par une tension induite Eo en série avec la résistance R de l'induit (Fig . 36-14) . Le courant d'excitation Ix produit le flux 0, lequel engendre la tension Eo . Enfin, la tension Eb aux bornes de la génératrice dépend de la valeur de Eo et du courant I tiré par la charge . On peut représenter un alternateur triphasé par un circuit semblable qui montre trois tensions induites Eo, correspondant à chacune des phases (Fig . 36-15) . De plus, comme il s'agit d'une machine à c .a ., il faut ajouter à la résistance R de chaque phase une réactance X,
6 4 (c)
2
0
0
100
200 . Ix -
300
400 A
Figure 36-13 a . Alternateur de 36 MVA, 21 kVW b . Diagramme schématique des enroulements de l'alternateur, c . Courbe de saturation de l'alternateur montrant la tension induite en fonction du courant d'excitation .
625
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
charge
Figure 36-14 Circuit équivalent d'une génératrice à c .c .
Figure 36-16 Circuit équivalent d'un alternateur triphasé, montrant une phase seulement .
appelée réactance synchrone de l'alternateur . La réactance synchrone est due à la self-inductance des enroulements du stator et, comme leur résistance, elle constitue une impédance interne qu'on ne peut pas voir ni toucher. La charge raccordée aux bornes de l'alternateur comprend trois impédances identiques Z connectées en étoile . Puisque toutes les impédances du circuit sont équilibrées, il s'ensuit que le neutre de l'alternateur est au même potentiel que celui de la charge . Le circuit de la Fig . 36-15 est assez complexe, mais on peut le simplifier en ne montrant qu'une seule phase . En effet, les deux autres phases sont identiques sauf que les courants et les tensions respectifs sont déphasés de 120° et 240° . De plus, on peut simplifier le circuit davantage, car la valeur de X s est toujours au moins 10 fois plus grande que celle de R . On peut donc négliger la résistance, ce qui donne le circuit simple de la Fig . 36-16 . Évidemment, on doit tenir compte de cette résistance en ce qui concerne les pertes et l'échauffement du stator.
s R
0° le && /120° /240° ,R R,
xs
l'-'--- . N
00
Dans cette figure, le courant d'excitation Ix produit le flux r , lequel engendre la tension alternative interne E0 . La tension Eb aux bornes de l'alternateur dépend de la valeur et de la nature de la charge Z . Enfin, les tensions Eo et Eb sont les tensions de ligne à neutre et le courant I circule dans un fil de ligne . Selon le type de construction de l'alternateur, la valeur de la réactance synchrone peut varier entre 0,8 et 2 fois l'impédance de la charge nominale . Malgré cette impédance interne élevée, l'alternateur peut débiter des puissances très importantes, car la réactance synchrone ne consomme aucune puissance active . 36 .10
Détermination de la valeur de X S On peut déterminer la valeur de la réactance synchrone Xs au moyen d'un essai à vide et d'un essai en courtcircuit . Lors de l'essai à vide, l'alternateur est entraîné à la vitesse nominale et le courant d'excitation est ajusté de façon à produire la tension nominale E0 , ligne à neutre . On note alors la valeur correspondante du courant d'excitation Ixn Ensuite, l'excitation est réduite à zéro, les trois bornes du stator sont mises en court-circuit, et des ampèremètres sont introduits dans le circuit du stator afin de mesurer les courants de court-circuit . L'alternateur tournant toujours à la vitesse nominale, on augmente le courant d'excitation à sa valeur originale I x, et on mesure le courant de court-circuit I sc résultant . La valeur de Xs est alors donnée par l'expression : En Xs =
(36-2) Isc
où Figure 36-15 Tensions et impédances d'un alternateur alimentant une charge triphasée .
Xs = réactance synchrone, par phase [52] En = tension nominale, ligne à neutre [V] Isc = courant de court circuit [A]
ÉLECTROTECHNIQUE
626
La valeur de la réactance synchrone ainsi obtenue s'ap-
XS = E„ = Isc
pelle réactance synchrone non saturée .
La valeur de la réactance synchrone n'est pas constante ; elle dépend du niveau de saturation de l'alternateur. Lorsque la saturation dans le fer est intense, la valeur de XS peut tomber à la moitié de sa valeur non saturée . Cependant, même si la valeur de X S dépend du niveau de saturation, on utilise dans la plupart des calculs la valeur non saturée .
4000 V = 5
£2
éq. 36-2
800 A
b) La Fig . 36-17a montre le circuit équivalent par phase lorsque l'alternateur est chargé . Impédance du circuit: Z = V R 2 + Xs = 1~ 12 2 +5
2
= 13 £2
Exemple
36-2
Un alternateur triphasé produit à circuit ouvert, une tension nominale de 6920 V, ligne à ligne . Le courant d'excitation est de 50A, . Les bornes sont alors mises en court-circuit, et le courant de court-circuit est de 800 A, par phase . Calculer : a) la valeur (le la réactance synchrone, par phase b) la tension aux bornes de l'alternateur lorsque trois résistances de 12 ohms, connectées en étoile, sont branchées à ses bornes
Courant par phase : I _ Eo _ 4000 V
Z
= 307,7 A
13 S2
Tension aux bornes de la résistance : Eb = RI
= 12 x 307,7 = 3692 V
Tension ligne à ligne, aux bornes de l'alternateur : EL = Eb ~ 3 = 3692 x
Solution
U
= 6395 V
a) La tension nominale induite, ligne à neutre est : E = E.
EL = 6920
= 4000 V
Le diagramme de la Fig . 36-17b montre les tensions et les courants en charge .
1,73
36.11 Impédance de base d'un alternateur : valeur relative de Xs
Lorsque les bornes sont court-circuitées, seule la réactance synchrone X S limite le courant . Par conséquent :
On se rappellera que pour utiliser le système de mesure en unités relatives (p .u .), on doit choisir une tension de base et une puissance de base . Dans le cas de l'alternateur, nous utiliserons comme tension de base EB , la tension nominale de ligne à neutre et comme puissance de base S B , la puissance correspondant à la charge nominale par phase* . Il s'ensuit que l'impédance de base ZB est donnée par :
i
Xs =5t2
EB2 ZB =
(36-3)
SB 308 A
+0
(b)
o alternateur tension
308 A
où charge
308 A ELL = 6395 V
Figure 36-17 a . Circuit équivalent de l'alternateur et sa charge . Voir exemple 36-2 . b . Diagramme montrant la tension et les courants en charge .
ZB = impédance de base [S2] EB = tension de base, ligne à neutre [V] SB = puissance de base, par phase [VA] Dans plusieurs études on prend comme bases la puissance nominale totale de l'alternateur et la tension nominale ligne à ligne . Cela donne la même valeur d'impédance de base Z B .
627
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
Habituellement, on indique la valeur de la réactance synchrone d'un alternateur en pourcentage de l'impédance de base . On l'exprime aussi en valeur relative (p .u .) . Par exemple, si un alternateur possède une réactance synchrone de 24 S2 par phase et si l'impédance de base est de 20 S2 par phase, on indiquera comme réactance synchrone :
c) Réactance synchrone, par phase : Xs = X s (p .u .)
X ZB
1,2 x 7,5 = 9 S2 d) Résistance du stator, par phase : R = R (p .u .) x ZB
Xs
24 Q
Xs (P .U .) _
ZB
= 0,02 x 7,5
_ 1,2 p .u . ou 120 %
20f2
= 0, 15 £2 e) Impédance relative de l'alternateur :
Exemple 36-3 Un alternateur de 30 MVA, 15 kV. 60 Ha possède une réactance synchrone de 1,2 p .u . et une résistance de 0 .02 p . u . Calculer :
2
Z (p .u .) = _
a) b) c) d) e) t1
l'impédance de base de l'alternateur le courant de base la réactance synchrone . par phase la résistance du stator, par phase l'impédance relative de l'alternateur (en p .u .) les pertes Joule totales dans le stator, à pleine charge l'impédance de hase de l'alternateur si on choisit comme bases la tension nominale ligne à ligne et la puissance nominale totale de l'alternateur.
1,2 +0,02 2
f) Pertes Joule totales dans le stator : P = 0,02 S B = 0,02 x 30 MW = 0,6 MW = 600 kW g) Impédance de base: 2
- EB ZB -
ligne à ligne
SB
totale
15 000
Solution a) Tension de base :
2
= 7,5 S2 6
= 7,5 S2
EL = 15 000
= 8660 V
= C Puissance de base, par phase : - SB
2
= 1,20
30 x 10
EB
2
Xs (p .u .) + R (p .u .)
total
30 MVA = 10 MVA 3
-
SB
3
On obtient donc la même valeur ZB que celle calculée en (a) . 36 .12
Rapport de court-circuit Au lieu de donner la réactance synchrone relative (p .u .) d'un alternateur, on spécifie parfois son rapport de court-circuit . Il est donné par l'expression :
= 10 VA 7
rapport de court-circuit =
Impédance de base :
X1 1
(36-3a)
,2
1
EB = 86602
Z B -
SB
10
= 7,5 S2
7
b) Courant de base : IB
= EB
ZB
= 8660 7,5
= 1155 A
ou Ixl = courant d'excitation à c .c . requis pour générer la tension nominale, les bornes du stator étant ouvertes [A] courant d'excitation à c .c . requis pour produire le courant nominal, les bornes du stator étant en court-circuit [A]
628
ÉLECTROTECHNIQUE
Le rapport de court-circuit est égal à l'inverse de la réactance synchrone (p .u .) non saturée . Par exemple, si Xs (p .u .) = 1,25, le rapport de court-circuit est égal à 1/1,25 ou 0,80 . 36 .13
Figure 36-18b : Avec une charge résistive, le courant I
de 1 kA est en phase avec Eb de sorte que la tension de 5 kV est déphasée de 90° en avant de Eb . On trouve que Ea doit être : 2
Alternateur en charge
Le comportement d'un alternateur dépend de la nature de la charge qu'il alimente . On distingue quatre sortes de charges : 1 . charge résistive 3 . charge capacitive 2 . charge inductive 4 . réseau infini Nous étudierons d'abord les trois premiers types de charges, reportant l'étude du réseau infini à la section 36 .17 . Soit un alternateur de 36 MVA, 20,8 kV, ayant une tension nominale de 12 kV (ligne à neutre), une réactance synchrone de 5 £2 et un courant nominal de 1 kA . La courbe de saturation de cet alternateur est donnée à la Fig . 36-13c . En considérant une phase seulement, branchons successivement aux bornes de cette machine une charge résistive, inductive et capacitive de 12 £2 . Ajustons l'excitation à chaque fois afin que la tension aux bornes reste égale à 12 kV (ligne à neutre) et le courant à 1 kA (Fig . 36-18) . La chute de tension dans la réactance synchrone demeure donc constante et égale à une valeur de : EX =5 S2 x1kA=5kV
À cause de la nature inductive de X, cette tension est déphasée de 90° en avant du courant. Considérons maintenant les Fig. 36-18a à 36-18e et les diagrammes vectoriels correspondants . Figure 36-18a : L'alternateur tournant à vide, la ten-
sion induite Eo est égale à la tension aux bornes Eb, car la chute de tension dans X S est nulle. On a donc : Eo =Eb=12kV. En se référant à la Fig . 36-13c, pour générer une tension Eo de 12 kV, le courant d'excitation doit être de 100A .
Eo = V Eb + EX = V 12 + 5'
= 13 kV Il faut donc augmenter le courant d'excitation I, pour maintenir une tension de 12 kV aux bornes de l'alternateur. Comme la tension Eo est de 13 kV, le courant d'excitation doit être de 120 A (Fig . 36-13c) . Figure 36-18c : Avec une charge inductive, le courant I
est de 90° en arrière de Eb de sorte que la tension de 5 kV est en phase avec Eb . Il s'ensuit qu'il faut augmenter Eo à Eo =12kV+5kV=17kV
ce qui nécessite un courant IX encore plus grand, soit une valeur de 325 A (Fig . 36-13c) . Figure 36-18d : Avec une charge capacitive, I est de 90° en avance sur Eb de sorte que la tension de 5 kV est déphasée de 180° par rapport à Eb. Il s'ensuit qu'on doit diminuer Eo à E o =12kV-5kV=7kV
ce qui implique un faible courant d'excitation . En se référant à la Fig . 36-13c, on trouve que le courant requis est de 50 A seulement . (La tension aux bornes est toujours plus élevée que la tension induite quand un alternateur alimente une charge capacitive .) Figure 36-18e : Avec une charge industrielle ayant un
facteur de puissance de 90 % en avance, I est en avance sur Eb de 25,8° . La résolution du diagramme vectoriel donne une tension induite Eo de 10,8 kV, déphasée de 24,6° en avance sur Eb . Par conséquent, le courant d'excitation Io doit être de 80 A (Fig . 36-13c) . 36 .14
Courbes de régulation
Lorsqu'un seul alternateur alimente une charge, on s'intéresse à la tension à ses bornes en fonction du courant de charge . Pour un facteur de puissance donné de la charge, on trace cette courbe de régulation en gardant l'excitation constante .
629
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
(a)
1
,le-v -Y
Eo , Eb 12 kV
Ix100A o o a) circuit ouvert
o (b)
Xs
5kV~ -)90° Ex
Eb ' 12 kV
Eo
'
17 kV
s 5 S2 (d)
Eb=12kV
`~ IX
o
Ex
Eo '
Eb
X
5 kV
50 A o
7 kV
Xc =1252
d) charge capacitive
(e)
Z= 12 S2 /-25,8° e) charge dont le facteur de puissance est de 90 % en avance Figure 36-18 Circuits équivalents et diagrammes vectoriels pour diverses charges raccordées aux bornes d'un alternateur de 36 MVA, 20,8 kV, 60 Hz ayant une réactance synchrone de 5 52 .
12 kV
'
630
ÉLECTROTECHNIQUE
La Fig . 36-19 montre trois courbes de régulation pour le même alternateur de 36 MVA, 20,8 kV (12 kV ligne à neutre), 60 Hz étudié à la section 36 .13 . Ces courbes correspondent respectivement à un facteur de puissance de 100 %, de 90 % en retard et de 90 % en avance . On obtient ces courbes en suivant la méthodologie de la section 36 .13 . Le point de départ de chaque courbe correspond à la pleine charge à la tension nominale de 12 kV, ligne à neutre . La valeur de la tension Eo trouvée dans ces circonstances est alors maintenue constante pour chacune des courbes . Cela revient à dire que pour chacune des courbes, le courant d'excitation est gardé constant. On fait varier le courant de charge et on calcule la tension correspondante aux bornes . Le pourcentage de régulation est donné par l'expression : régulation = Ev-EB X 100 EB
[kV] 15 14
â •
13 FP
• _ •
12 11,65
11
10 0
250
500 courant
750 [A]
1000 1250
Figure 36-19 Courbes de régulation pour un alternateur de 36 MVA, 20,8 kV, 60 Hz ayant une réactance synchrone de 5 0 .
(36-4)
où EB = tension nominale à pleine charge, pour un
facteur de puissance donné [V] Ev = tension à vide au même courant d'excitation
[V]
d'une charge résistive ou d'une charge inductive, le pourcentage de régulation est toujours positif . b) Lorsque le courant est de 500 A, la chute de tension dans la réactance synchrone est: Ex =IXS =500x5=2,5kV
Exemple 36-4 Dans la Fie . 36-19, calculer : a) le pourcentage de régulation pour un facteur de puissance de 90 % en avance
D'autre part, le courant d'excitation étant de 80 A, la valeur de Eo est toujours de 10,8 kV. En se référant au diagramme vectoriel de la Fig . 36-20, on trouve que la tension Eb aux bornes est donnée par :
b) la tension aux bornes de l'alternateur lorsque le courant est de 500 A à un FP de 90 % en avance
Solution
Eb = 2,5 cos 64,2 + ~10,8 2 - (2,5 sin 64,2)2
= 1,09 + 10,56 = 11,65 kV
a) En se référant au diagramme vectoriel tracé à la Fig . 36-18e on trouve que Eo = 10,8 kV. Puisque la tension à vide E v est nécessairement égale à la tension induite Eo , il s'ensuit que la régulation est :
Noter que 64,2° = 90° - 25,8°
régulation = Ev-EB x 100 EB = 10,8-12
x100
12 _ -10% Le pourcentage de régulation est négatif car la tension à vide est inférieure à la tension en charge . Dans le cas
Figure 36-20 Diagramme vectoriel donnant la tension aux bornes de l'alternateur pour un courant de 500 A à un facteur de puissance de 90 % en avance (voir exemple 36-4) .
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
36 .15
Synchronisation des alternateurs
disjoncteur turbine
Pour brancher un alternateur sur le réseau ou le coupler avec un autre alternateur, il faut respecter les conditions suivantes : 1 . la tension de l'alternateur doit être égale à celle du réseau 2 . la fréquence de l'alternateur doit être la même que celle du réseau 3 . la tension de l'alternateur doit être en phase avec celle du réseau 4 . la séquence des phases de l'alternateur doit être la même que celle du réseau Procédure de synchronisation . En agissant sur le régulateur de vitesse de la turbine, on amène tout d'abord l'alternateur à une vitesse voisine de la vitesse synchrone, afin que sa fréquence soit proche de celle du réseau . On règle ensuite l'excitation de façon que la tension induite soit égale à celle du réseau .
On observe que les tensions ont même fréquence et même phase au moyen d'un synchronoscope (Fig . 3621) . Suivant le sens de rotation de l'aiguille de cet instrument, on ralentit ou on accélère la machine jusqu'à ce que l'aiguille tourne très lentement . Enfin, au moment où l'aiguille passe devant le point neutre du synchronoscope, les tensions sont en phase ; on ferme alors l'interrupteur qui réalise le couplage de l'alternateur avec le réseau . Dans les centrales modernes, la synchronisation se fait automatiquement au moment précis où les conditions énumérées précédemment sont respectées .
631
Eo
lmi '
reseau
Figure 36-22 Synchronisation d'un alternateur à l'aide de trois lampes .
36 .16
Synchronisation au moyen de lampes
Bien que cette méthode soit rarement utilisée, on peut synchroniser un alternateur avec un réseau triphasé en utilisant trois lampes à incandescence, au lieu d'un synchronoscope . Le montage est donné à la Fig . 3622. La fréquence et la tension Eo de l'alternateur sont ajustées à des valeurs proches de celles imposées par le réseau . On remarque alors que les lampes s'allument et s'éteignent ensemble à un rythme correspondant à la différence entre les deux fréquences . Par exemple, si la fréquence de l'alternateur est de 60,1 Hz alors que celle du réseau est de 60 Hz, la fréquence du battement est de 60,1 - 60 = 0,1 Hz et les lampes s'éteindront toutes les 10 secondes . Le disjoncteur peut être fermé au moment où les lampes sont éteintes . C'est en effet à ce moment précis que les tensions du réseau et de l'alternateur sont en phase . Lors du battement, la tension maximale apparaissant aux bornes de chaque lampe est environ deux fois la tension ligne à neutre du réseau . Donc, si la tension ligne à ligne est EL , la valeur efficace de cette tension est:
Elampe = 2
Figure 36-21 Synchronoscope (gracieuseté de Cie Générale Électrique) .
EL x = 1,15 EL
(36-5)
Lorsque la séquence des phases de l'alternateur n'est pas la même que celle du réseau, le battement existe
632
ÉLECTROTECHNIQUE
disjoncteur turbine
1
Eo
reseau
Figure 36-23 Lorsque la séquence des phases de l'alternateur n'est pas la même que celle du réseau, on doit intervertir deux phases .
toujours, mais au lieu de s'éteindre simultanément, les lampes s'éteignent à tour de rôle . Dans ces circonstances, il est essentiel d'intervertir deux des phases de l'alternateur avant de fermer le disjoncteur (Fig . 36-23) . 36 .17
Alternateur branché sur un réseau infini
À l'exception des endroits isolés (Fig . 36-24), il est assez rare que l'on soit obligé de coupler deux alternateurs en parallèle. Il arrive plus souvent que l'on branche un alternateur à un grand réseau comportant déjà plusieurs centaines d'alternateurs . Ce réseau est tellement puissant qu'il impose une tension et une fréquence constantes à tout appareil branché à ses bornes . C'est pourquoi on l'appelle réseau infini . Une fois couplé à un grand réseau (réseau infini), un alternateur fait partie d'un système comprenant des centaines d'autres alternateurs qui alimentent des milliers de charges . Il est alors impossible de préciser la nature de la charge (grosse ou petite, résistive, inductive ou capacitive) branchée aux bornes de cet alternateur en particulier. Quels sont donc les paramètres qui déterminent la puissance qu'il débite dans ces circonstances? La tension et la fréquence appliquées aux bornes de la machine étant constantes, on ne peut plus faire varier que deux paramètres : 1 . le courant d'excitation I, 2 . le couple mécanique exercé par la turbine
Figure 36-24 Cette plate-forme flottante de forage utilisée pour l'extraction du pétrole de la mer Adriatique est complètement autonome . Elle est alimentée par 4 alternateurs triphasés de 1200 kVA, 440 V, 900 r/min, 60 Hz, entraînés par des moteurs diesel . Bien que la génération et la distribution se fassent à c.a ., la plate-forme n'utilise que des moteurs à c .c . commandés par thyristors (gracieuseté de Siemens) .
1 . Effet du courant d'excitation . Lorsqu'on synchro-
nise un alternateur, la tension induite Eo est égale et en phase avec la tension Eb du réseau (Fig . 36-25a) . Il n'existe donc aucune différence de potentiel EX aux bornes de la réactance synchrone . Par conséquent, le courant I est nul et, bien que l'alternateur soit raccordé au réseau, il n'y débite aucune puissance . On dit alors qu'il «flotte» sur le réseau .
633
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
Si l'on augmente le courant d'excitation, la tension Eo augmente et la réactance X s est soumise à une tension Ex = Eo - Eb . Un courant I = (E o - Eb)/Xs s'établit dans le circuit et, puisque la réactance synchrone est inductive, ce courant est déphasé de 90° en arrière de EX (Fig . 36-25b) . Il est par le fait même déphasé de 90° en arrière de Eb . L'alternateur «voit» donc le réseau comme une inductance, ou encore, ce qui revient au même, le réseau «voit» l'alternateur comme une capacitance . Donc, lorsque l'on surexcite un alternateur, il fournit au réseau une puissance réactive d'autant plus grande que le courant d'excitation est plus élevé . Contrairement à ce qu'on pourrait penser, il est impossible de changer la puissance active débitée par un alternateur en agissant sur son excitation .
Enfin, si l'on diminue le courant d'excitation de façon que Eo devienne plus petite que Eb, le courant I reste déphasé de 90° en arrière de Ex (Fig . 36-25c) . Cependant, il est maintenant de 90° en avance sur Eb de sorte que l'alternateur voit le réseau comme une capacitance . Donc, lorsque l'on sous-excite un alternateur il absorbe de la puissance réactive . Cette puissance réactive produit une partie du champ magnétique nécessaire à la machine, l'autre partie étant fournie par le courant Ix . Imaginons de nouveau que l'alternateur flotte sur le réseau, Eo et Eb étant égales et en phase . Si l'on ouvre les vannes de la turbine afin d'augmenter le couple mécanique, le rotor accélère et la tension E o atteint sa valeur maximale un peu plus tôt que précédemment . Tant que le rotor accélère, le vecteur Eo glisse graduellement en avant du vecteur Eb . 2 . Effet du couple mécanique .
E o = Eb = 12 kV
(a)
Ex
(b)
(c)
800 A
Ex
90 ,
Eb
.)90 0 4 kV
12 kV 16 kV
800 A
4 kV
Figure 36-25 Alternateur de 36 MVA, 21 kV, 60 Hz sur un réseau infini - effet du courant d'excitation . a . Alternateur flottant sur le réseau . b . L'alternateur surexcité fournit de la puissance réactive au réseau . c . L'alternateur sous-excité absorbe de la puissance réactive du réseau .
Eo
Eo
Eb
8 kV
12 kV
634
ÉLECTROTECHNIQUE
Supposons que le rotor cesse d'accélérer lorsque l'angle entre Eo et Eb est de 19,2° . L'alternateur continue à tourner à la vitesse synchrone, mais l'angle de décalage 8 entre Eo et Eb reste constant . Bien que les deux tensions aient même valeur, l'angle de décalage 8produit une différence de tension EX = Eo -Eb=4kV
aux bornes de la réactance synchrone (Fig . 36-26) . Il en résulte un courant I de 4 kV/5S2 = 800 A, toujours déphasé de 90° en arrière de EX . Mais l'on constate, sur la Fig. 36-26b, qu'il est maintenant presque en phase avec Eb . Il s'ensuit que l'alternateur débite une puissance active dans le réseau . Comme le courant est légèrement en avance sur Eb, l'alternateur absorbe en même temps une faible puissance réactive du réseau .
Lorsque l'alternateur flotte sur la ligne, le courant circulant dans l'induit est nul et la distribution du flux provenant des pôles du rotor est telle que l'indique la Fig . 36-27a. Ce flux induit une tension Eo qui est en phase avec la tension Eb du réseau . Dans ces circonstances, l'axe des pôle du rotor coïncide avec l'axe central du stator . L'axe central du stator dépend de la phase des tensions appliquées du stator . Si l'on applique à l'alternateur un couple tendant à le faire accélérer, le rotor avance d'un angle mécanique a par rapport à l'axe central du stator . Comme il a été expliqué à la section 36 .12, ce décalage provoque la circulation d'un courant dans le stator (Fig . 36-26b) . Il se développe alors des forces d'attraction et de répulsion entre les pôles N,S du stator et les pôles N,S du rotor. Ces forces produisent un couple qui tend à ra-
36 .18
Interprétation physique du fonctionnement d'un alternateur Le diagramme vectoriel de la Fig . 36-26b indique que la puissance active débitée par l'alternateur augmente lorsque le déphasage entre la tension Eb du réseau et la tension induite Eo augmente . Afin de comprendre les origines physiques de ce diagramme vectoriel, nous examinerons maintenant les courants, les flux et la position des pôles à l'intérieur de la machine . Tout d'abord, les courants triphasés circulant dans le stator créent un champ tournant identique à celui créé dans le stator d'un moteur asynchrone . Dans un alternateur, ce champ tourne à la même vitesse et dans le même sens que les pôles du rotor . Les champs du rotor et du stator sont donc stationnaires l'un par rapport à l'autre.
Eb
turbine (a)
réseau infini
a '
(b)
Il
-Eb n
= ap/2
Eb
(b)
Figure 36-26 Alternateur sur un réseau infini - effet du couple mécanique .
Figure 36-27 a . Lorsque l'alternateur flotte sur le réseau, la tension induite par le flux 0 est égale à celle du réseau . b . Relation entre le décalage mécanique a et le déphasage électrique 5.
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
mener le rotor à sa position originale . C'est précisément ce couple que la turbine doit vaincre pour maintenir l'angle de décalage a (Fig . 36-27b) .
635
E0 E
.) .U (P
Pmax =
X s
2,0
∎∎∎∎∎/%∎u\P∎∎∎//
Il existe une relation entre l'angle de décalage mécanique a et le déphasage électrique 8 séparant les vecteurs Eo et Eb . Cette relation est donnée par l'équation :
S= p
a
1,5 P 1,0 ∎∎∎AUU •• •∎∎∎∎∎\∎∎// 0,5
(36-6)
2
30
60
où p est le nombre de pôles . Ainsi, pour un alternateur possédant 8 pôles, un décalage mécanique a de 10° correspond à un déphasage électrique 6 de : 8=
120 150 180 degrés
angle 3
Figure 36-28 Graphique montrant la relation entre la puissance active débitée par un alternateur et l'angle de décalage 6 .
pa _ 8x10 =40° 2
2
L'angle Ô s'appelle angle interne de l'alternateur. 36 .19
90
---»-
Puissance active débitée
On peut prouver (voir section 25 .11) que la puissance active débitée par un alternateur est donnée par l'équation :
avec l'angle lorsque ce dernier augmente de zéro à 30° . En fait, pour des considérations de stabilité, la puissance nominale d'un alternateur est atteinte aux alentours de 30° . Cependant, la puissance maximale qu'un alternateur peut débiter dans un réseau infini correspond à un angle interne de 90° . La puissance active maximale est alors : E O Eb
P = E°Eb- sin S XS
(36-6)
où P = puissance active débitée par phase [W] E0 = tension induite par phase [V] Eb = tension aux bornes par phase [V] XS = réactance synchrone par phase [S2] 6 = angle de déphasage interne entre E,, et Eb, en degrés électriques Cette équation s'applique pour toutes les charges, y compris un réseau infini . Dans ce dernier cas, la tension Eb est fixe . Supposons que le courant d'excitation I,, de l'alternateur soit maintenu constant, de sorte que la tension induite Eo est constante. Par conséquent, le terme E0 EbIXs est fixe et la puissance active P que l'alternateur débite dans le réseau variera selon le sinus de l'angle 6. S'il s'agit d'un alternateur entraîné par une turbine à eau, plus on augmente le débit d'eau, plus l'angle 3 augmente, ce qui augmente la puissance active P . La relation entre P et S est montrée à la Fig . 36-28 . On note que la puissance augmente presque linéairement
Pmax Xs
Si l'on cherche à dépasser cette limite (par exemple en augmentant le couple de la turbine), l'alternateur perd son synchronisme et «décroche» du réseau . Le rotor se met à tourner plus vite que le champ tournant du stator et des courants pulsatifs intenses circuleront dans ce dernier. En pratique, cette condition ne se produit jamais car les disjoncteurs de protection s'ouvrent aussitôt . Il faut alors resynchroniser l'alternateur avant qu'il puisse reprendre la charge .
Exemple 36-5 Un alternateur de 36 MVA, 20,8 kV, 1800 r/min possède une réactance synchrone de 5 S2 par phase . La tension induite E,, est de 12 kV (ligne à neutre) et la tension du réseau E t, est de 10 kV (ligne à neutre) . Calculer : a) la puissance qu'il débite lorsque le décalage électrique est de 30 b) la puissance niav i cale qui provoquerait le décrochage
ÉLECTROTECHNIQUE
636
jours prêts à répondre à un changement de vitesse d'une turbine, en particulier si celle-ci, pour une raison ou pour une autre, se détache du réseau .
Solution
a) On a
Eo = 12 kV Eb = 10 kV
8 = 30°
d'où
P =
EoEb
E°Eb sin 8 =
sin 30°
XS
Xs
12 kV x 10 kV
x 0,5 = 12 MW
5 La puissance totale débitée par les 3 phases est de 36 MW. b) La puissance maximale par phase est atteinte lorsque 6= 90° . EoEb sin 90°
P = XS
12 kV x 10 kV
xl = 24MW
5 La puissance maximale de l'alternateur est donc :
Il se peut, dans des conditions anormales, qu'un alternateur en charge soit débranché subitement du réseau . Les vannes de la turbine étant ouvertes, il s'ensuit une accélération rapide de la machine qui peut atteindre une vitesse de 50 % supérieure à sa vitesse normale en 4 ou 5 s . Comme les forces centrifuges à la vitesse synchrone sont déjà près de la limite que les matériaux peuvent supporter, cet excès de vitesse constitue une situation extrêmement dangereuse . Il faut donc prévoir un dispositif de fermeture rapide des vannes, tant pour les centrales thermiques que pour les centrales hydrauliques . Dans le cas des turbines à vapeur il faut en même temps fermer les brûleurs . Le problème des survitesses se pose également lorsqu'un court-circuit se produit près de la centrale . Bien que le courant soit alors une ou deux fois plus élevé que la normale, la puissance active débitée par l'alternateur tombe subitement à zéro, car la réactance de l'alternateur ne consomme que des kilovars . Un courtcircuit inattendu est donc tout aussi dangereux qu'un circuit ouvert en ce qui concerne les survitesses. 36.21
Pmax (totale) = 3 x 24 MW = 72 MW
36.20
Commande de la puissance débitée
Lorsqu'un seul alternateur alimente un réseau, sa vitesse est maintenue constante par l'action d'un régulateur extrêmement sensible . Celui-ci peut détecter des changements de vitesse de l'ordre de 0,01 % de sorte que tout changement dans la puissance active débitée par l'alternateur modifie immédiatement l'ouverture des vannes de la turbine . La fréquence demeure donc très constante . Dans le cas d'un grand réseau, la puissance débitée par chaque alternateur dépend d'un programme de commande établi d'avance entre les diverses centrales de génération . Les opérateurs communiquent entre eux pour modifier le débit de chaque centrale afin que la génération et le transport de l'énergie soient aussi efficaces que possible . Dans des systèmes plus élaborés, la gestion de l'énergie est appuyée par des programmes d'ordinateur . Toutefois, les régulateurs sont tou-
Constante d'inertie H
La constante d'inertie H d'un alternateur permet de calculer son moment d'inertie et de prédire ses variations de vitesse lors d'un changement de régime ou d'une panne . Elle est définie par l'expression : H _ énergi e cinétique de l' alternateur
(36-8)
puissance apparente de l'alternateur La valeur de H s'exprime en MW •s par MVA ou simplement en secondes . La valeur en secondes équivaut au temps requis pour que la vitesse de la machine augmente de 50 % lorsqu'elle est entraînée à pleine puissance mécanique, sa charge électrique étant nulle . Une autre expression, qui découle de l'équation 36-8, est obtenue en utilisant l'équation (1-7b) :
5,48 x 10 3 Jns (36-9)
H=
s
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
637
Solution
ou H = constante d'inertie de l'alternateur [s]
J = moment d'inertie du rotor [kg-m 2] nç = vitesse synchrone de l'alternateur [r/min] S = puissance apparente de l'alternateur [VA] 5,48 x 10-3 = constante tenant compte des unités
a) Le moment d'inertie de l'alternateur est obtenu par la formule : 5,48 x 10 3 J ns H = éq . 36-9 S
La valeur de H varie de 0,7 à 9 pour tous les types d'alternateurs dont la puissance est comprise entre 10 MVA et 1500 MVA .
7,5 =
L'alternateur de 500 MVA, 200 r/min, illustré aux Fig . 36-2 et 36-4 possède un moment d'inertie de 4140 x 10 3 kg •m ' . Calculer :
2
60 x 10 6 J = 25,3 x 103 kg-M2
d'où
Exemple 36-6
5,48 x 10 3 J 1800
b) Le moment d'inertie total du groupe électrogène est donc : "total = ( 25,3 + 11) X 103 = 36,3 x 10 3 kg •m2 Le couple développé par la turbine au moment de l'accident est:
a) l'énergie emmagasinée dans le rotor b) la constante H
T _ 9,55 P Solution
éq . 1-5
n
a) L'énergie emmagasinée dans le rotor est :
9,55 x 54 x 106 W = 5,48 x 10 3 J ns
éq . l-7b 2 = 5,48 x 10 3 x 4140 x 103 x 200
d'où
= 907,5 x 106 J = 907,5 MJ
L'augmentation An de la vitesse est de 2000 - 1800 =
1800 T = 286,5 x 10 3 N•m
200 r/min . On peut donc écrire : b) La valeur de H est donc : H = 907,5 MJ = 1,8 s 500 MVA
9,55 T At An = éq . 36-8
éq . 1-14
"totale
200 =
Habituellement, on dit que la valeur de H est de 1,8 sans mentionner l'unité (seconde) .
9,55 x 286,5 x10 3 At 36,3 x 10 3
d'où
At = 2,65 s
Exemple 36-7
36 .22 Réactance transitoire
Un turbo-alternateur entraîné par une turbine à gaz a une capacité de 60 MVA, 1800 r/min, 60 Hz, 7,2 kV et possède une constante fi de 7,5 . Au moment où il débite une puissance de 54 MW, les disjoncteurs s'ouvrent accidentellement, et le `groupe électrogène commence à s'emballer . Sachant que la turbine à gaz possède un moment d'inertie de 1 1 000 kg •m ' calculer :
Un alternateur alimentant un réseau subit des variations de charge imprévues qui sont parfois très rapides . Dans ces circonstances, le circuit équivalent simple de la Fig. 36-16 ne reflète pas le vrai comportement de l'alternateur . En effet, ce circuit n'est valable que lorsque l'alternateur fonctionne en régime permanent et non pas en régime transitoire .
a) le moment d'inertie du groupe turbine/alternateur h) le temps requis pour que la vitesse du groupe électrogène atteigne 2000 r/min
On constate que, pour de brusques variations de charge, la réactance synchrone est plus petite qu'en régime permanent* . Pour des alternateurs de grande puissance, la réactance en régime transitoire peut être aussi faible " L'explication de ce phénomène de la réactance transitoire dépasse le cadre de ce livre .
638
ÉLECTROTECHNIQUE
La basse réactance qui accompagne les variations rapides de charge facilite la régulation de la tension sur un réseau . D'une part, la chute de tension IX'd à l'intérieur de l'alternateur est plus faible que celle qui serait occasionnée par la réactance synchrone XS . D'autre part, la réactance X au début de l'intervalle de réajustement (to à t1 ) se maintient à une valeur bien inférieure à XS pendant un temps assez long pour que l'on puisse augmenter l'excitation I x et garder ainsi une tension Eb relativement stable .
(a)
Eb1 E X Eb2 -------------------------
(b)
xs X'd
6 S
to
circuit ,
t1
circuit fermé
>ouvert
Figure 36-29 a . Alternateur sur le point d'être branché à une charge inductive . b . Variation de la tension aux bornes de la charge en fonction du temps, et valeur instantanée de la réactance synchrone correspondante .
que 15 % de la réactance synchrone X S conventionnelle. La Fig . 36-29 représente la variation de la réactance d'un alternateur et la variation correspondante de la tension lorsqu'on lui applique subitement une charge inductive XL . Lors de la fermeture du disjoncteur, la réactance synchrone XS diminue instantanément à une valeur X'd, puis elle remonte graduellement pour atteindre de nouveau la valeur X S . Pour les gros alternateurs la période de récupération peut varier de 3 à 8 s alors que pour les petits, elle ne dure qu'une fraction de seconde . La valeur minimale de la réactance est appelée réactance transitoire X'd de l'alternateur . Cette variation de X avec le temps a pour effet de produire une chute immédiate de Eb à une valeur Ebl . Ensuite, Et, diminue graduellement pour atteindre sa valeur finale Eb 2 OÙ Eb2 =E°XL
XS + XL
(36-8)
Si un court-circuit franc se produit près d'un alternateur lorsqu'il est en marche, des courants très intenses en résultent à cause de la faible réactance transitoire . Cela nécessite des disjoncteurs capables d'interrompre ces courants forts . Dans certains cas, on ajoute des réactances en série avec les sorties des alternateurs afin de réduire les courants de court-circuit . Cela permet l'installation de disjoncteurs de plus faible capacité de rupture, donc moins coûteux .
Exemple 36-6 Un alternateur triphasé de 250 MVA, kV possède un rapport de court-circuit de 0,625 et une réactance transitoire de 0,23 p .u . 11 débite une puissance de 250 MW à un facteur de puissance de 100 % . Un court-circuit se produit dans un poste de transformation proche de l'alternateur. Calculer : la tension induite avant le court-circuit b) la valeur initiale du courant de court-circuit a valeur finale du courant de court-circuit si les disjoncteurs ne s'ouvraient pas
Solution Impédance de base de l'alternateur :
ZB
=
E.2 SB
25 0002 = = 2,5 S2 250 x 106
éq . 36-3
Réactance synchrone : Xs(p .u .) =
1 = = 1,6 0,625 rapport de court-circuit 1
donc X s = Xs (p .u .) x ZB =1,6x2,5=40
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
Tension ligne à neutre Eh aux bornes de l'alternateur :
charge
court-circuit
nominale
Eb = 25 kV/1 _ 3 = 14,4 kV
639
47,3 kA
Courant nominal par phase : 0
o I
250 x 106
_ S _ E ~3
25 000 x
= 5774 A
5,78 kA
6,8 kA
U
Chute de tension E,, interne :
1
Ex = I Xs = 5774 x 4 = 23,1 kV
2 3 -> temps
6 s
Figure 36-31
Le courant est en phase avec Eb car le facteur de puissance est de 100 % . En se référant au diagramme vectoriel de la Fig . 36-30, la tension induite Eo est
Voir exemple 36-6.
Ce courant est seulement 1,2 fois le courant nominal . Eo = 1/ Eb +
= 1~ 14,42 + 23,1 2 = 27,2 kV
EX
b) La réactance transitoire est X'd = X'd (P .) .U
En pratique, les disjoncteurs s'ouvriraient en un temps inférieur à 0,1 s après le début du court-circuit . Ils doivent, par conséquent, interrompre un courant de 47 kA .
x ZB
= 0,23 x 2,5 = 0,575 S2 Le courant initial de court-circuit est ' court-circuit'
27,2 kV
Eo _
Xd
= 47,3 kA
0,575 S2
Ce courant est 8,2 fois plus grand que le courant nominal de 5774 A . c) Si le court-circuit se maintient, le courant diminuera pour atteindre, au bout de quelques secondes, une valeur de : 27,2 kV
Eo 'court-circuit=
_
Xs
Eo 27,2 kV
= 6,8 kA
4 f2 Ex 23,1 kV
Eb 14,4 kV 5774 A Figure 36-30 Voir exemple 36-6 .
La Fig . 36-31 montre le courant dans l'alternateur avant et pendant le court-circuit .
36.23 Résumé Dans ce chapitre nous avons appris la construction, le principe de fonctionnement et les propriétés des alternateurs triphasés . Les alternateurs de grande puissance sont constitués d'un stator ou induit portant un enroulement triphasé branché en étoile et distribué dans des encoches, et d'un rotor ou inducteur portant un enroulement alimenté en courant continu . Le courant d'excitation peut être produit par une génératrice à courant continu ou excitatrice montée en bout d'arbre et branchée à l'inducteur à travers une paire de bagues et de balais . Dans les machines modernes, on utilise plutôt une excitation sans balais ni bagues constituée d'un alternateur triphasé à induit tournant et d'un redresseur tournant . Pour les alternateurs entraînés par des turbines hydrauliques tournant à basse vitesse, l'inducteur comporte un grand nombre de pôles saillants . Par contre, pour les turboalternateurs entraînés par des turbines à haute vitesse (3600 r/min ou 1800 r/min) sur un réseau à 60 Hz, le rotor est parfaitement cylindrique et comporte deux ou quatre pôles lisses . Le circuit équivalent de l'alternateur est très simple . Chaque phase comprend une tension interne correspondant à la tension induite par le courant d'excitation, branchée en série avec la résistance du stator et la
640
ÉLECTROTECHNIQUE
réactance synchrone (0,8 à 2 p .u .) . Ce circuit équivalent permet de prévoir le courant et la tension de la machine pour tout type de charge et lors d'un courtcircuit . Lorsque l'alternateur est branché à un grand réseau, on doit, avant de fermer le disjoncteur, le synchroniser avec le réseau . Lorsque la turbine entraînant l'alternateur fournit une puissance mécanique, la tension interne de l'alternateur se décale d'un angle de Ô degrés électriques en avance sur la tension à ses bornes . L' alternateur débite alors de la puissance active . Cet angle électrique correspond à un décalage mécanique entre les pôles du rotor et ceux du champ tournant créé par les courants du stator . On a vu aussi que l'alternateur peut absorber ou générer de lapuissance réactive . Lorsque l'alternateur est sous-excité, il absorbe de la puissance réactive du réseau ; lorsqu'il est surexcité, il en fournit.
courant d'excitation afin de garder cette tension constante? 36-5 Nommer les conditions qui doivent être respectées avant de mettre un alternateur en parallèle avec i réseau. 36-6 D'après les données de la Fig . 36-12, calculer le nombre de pôles de l'alternateur . 36-7 Combien de pôles y a-t-il sur les alternateurs du Concorde (Fig . 36-10)? 36-8 Un alternateur fonctionnant à vide et tournant à 1200 r/min, génère une tension triphasée de 9 kV 60 Hz . Comment la tension à ses bornes sera-t-elle affectée lorsqu'on y branche : a) une charge résistive b) une charge inductive c) une charge capacitive
Rappelons enfin que lorsque la charge de l'alternateur change brusquement, ou lorsqu'un court-circuit est appliqué à ses bornes, la réactance synchrone du circuit équivalent doit être remplacée par la réactance transitoire de plus faible valeur (environ 0,2 p .u .) . Cette réactance transitoire permet de calculer le fort courant de court-circuit . Par la suite, le courant se stabilise à sa valeur de régime permanent correspondant à la réactance synchrone .
36-9 Dans le problème 36-8, calculer la tension et la fréquence à vide, si la vitesse baisse à :
PROBLÈMES - CHAPITRE 36
36-11 Quels sont les avantages d'une excitation sans balais sur une excitation conventionnelle? Montrer, par un schéma, comment on excite le rotor de la Fig . 36-7 .
Niveau pratique 36-1 Nommer les avantages d'un induit fixe dans les alternateurs de grande capacité . Pour quelles raisons l'induit est-il raccordé en étoile? 36-2 Quelle est la différence principale entre un turbo-alternateur et un alternateur à pôles saillants? Pour une puissance donnée, lequel de ces types d'alternateurs est le plus volumineux?
a) 1000 r/min b) 5 r/min Niveau intermédiaire 36-10 Expliquer ce que représente la réactance synchrone d'un alternateur . Tracer le circuit équivalent d'un alternateur et expliquer la signification de tous les paramètres .
36-12 a) Dans la Fig . 36-13, quel doit être le courant d'excitation pour obtenir une tension de 24,2 kV entre les bornes A et B? b) Quel est le courant requis pour obtenir la moitié de la tension (12,1 kV)?
36-3 Afin de maximiser son rendement, une turbine hydraulique doit tourner à une vitesse voisine de 350 r/min . Sachant que l'alternateur doit fonctionner à 60 Hz, combien de pôles faut-il poser sur le rotor?
36-13 L'alternateur de la Fig . 36-16 possède une réactance synchrone de 6 £2 . Sachant que la tension induite Eo est de 3 kV, calculer la valeur de Eb pour une charge résistive de 8 S2 . Tracer le diagramme vectoriel du circuit .
36-4 Un alternateur développe une tension de 13,2 kV entre ses bornes lorsque la charge est nulle . Une charge, dont le FP est de 85 % arrière, est raccordée à la machine . Doit-on augmenter ou diminuer le
36-14 a) Dans le problème 36-13, tracer la courbe de la tension Eb en fonction du courant de charge I lorsque la charge résistive prend les valeurs successives suivantes : 1000, 100, 10, 8, 4, 2, 1 et 0 ohms .
ALTERNATEURS TRIPHASÉS
b) Calculer la puissance active fournie à la charge pour chacune des résistances données en (a) . c) Tracer la courbe de la tension Eb aux bornes de l'alternateur en fonction de la puissance active fournie à la charge . Pour quelle valeur de résistance la puissance est-elle maximale?
Figure 36-32 Voir problèmes 36-15 et 36-24 .
641
c) la réactance totale du circuit, par phase d) la valeur ohmique de l'impédance totale (Z + Z S) par phase e) le courant par phase f) la tension ligne à neutre, aux bornes de la charge Z g) la tension entre les lignes, aux bornes de la charge h) la puissance active totale débitée par l'alternateur i) les pertes Joule totales dans l'alternateur j) la puissance de la turbine qui entraîne le rotor k) Tracer le diagramme vectoriel, par phase, montrant les chutes de tension dans R et X, de même que la tension aux bornes de la charge . 1) Quel est l'angle de déphasage entre le courant I a et la tension E o? Niveau avancé
36-15 Pour la Fig . 36-32, on fournit les informations suivantes :
36-18 En se référant à la Fig . 36-2, calculer la longueur d'un pas polaire mesuré sur la circonférence intérieure du stator.
Ea =12kV Eb=14kV Xs =2 S2 Eo est en avance de 30° sur Eb a) Quelle est la puissance active totale débitée par l'alternateur?
36-19 L'alternateur de la Fig . 36-2 possède un rendement de 98,4 % lorsqu'il débite une puissance de 500 MW.
b) Tracer le diagramme vectoriel par phase . c) Quel est le déphasage entre le courant I et la tension Eb? d) La charge est-elle plutôt inductive ou capacitive? 36-16 Le turbo-alternateur de la Fig . 36-3 possède une réactance synchrone de 0,5 S2 et il est branché sur un réseau triphasé à 19 kV . Calculer la puissance active et le courant qu'il débite pour une tension induite Eo de 12 kV par phase (ligne à neutre) et un angle interne de 20° . Tracer le diagramme vectoriel . 36-17 L' alternateur triphasé de la Fig . 36-15 possède les caractéristiques suivantes : Tension induite par phase Eo = 2400 V Réactance synchrone X, par phase = 144 S2 Résistance R, par phase = 17 S2 Impédance Z de la charge = 175 £2 (résistive) Calculer : a) l'impédance interne Z, par phase b) la résistance totale du circuit, par phase
a) Sachant que l'excitation est de 2400 A sous une tension de 330 V, calculer les pertes dans le stator . b) Calculer la différence de température de l'air entre l'entrée et la sortie lorsque le débit d'air est de 280 m3/s . 36-20 Chaque pôle du rotor de la Fig . 36-4 est composé de 21,5 spires portant un courant de 500 A . Sachant que l'entrefer a une longueur de 33 mm, calculer la densité de flux dans l'entrefer en négligeant la FMM requise pour le fer. 36-21 Calculer l'énergie cinétique des rotors illustrés aux Fig . 36-4 et 36-7 lorsqu'ils tournent à leur vitesse nominale . 36-22 Lors d'un essai sur l'alternateur de 500 MVA illustré à la Fig . 36-2, on note les lectures suivantes : 1 . Tension entre les lignes à circuit ouvert = 6 kV, pour un courant d'excitation de 500 A 2. Courant par phase = 7500 A, lorsque le stator est en court-circuit (même courant d'excitation) Calculer la réactance synchrone par phase, sachant que les enroulements sont raccordés en étoile.
642
ÉLECTROTECHNIQUE
36-23 L'alternateur de la Fig . 36-2 possède une réac-
36-26 Dans le problème 36-25, de combien de de-
tance synchrone de 0,4 S2 par phase . Il est branché sur un réseau infini à 14 kV (ligne à ligne) et l'excitation est ajustée pour que Eo soit de 16 kV (ligne à ligne) .
grés mécaniques les pôles ont-ils avancé par rapport à leur position normale durant l'intervalle de 0,5 s? De combien de degrés électriques?
a) Calculer le décalage mécanique des pôles lorsque l'alternateur débite une puissance de 420 MW b) Quel est l'écart mécanique (mesuré à la périphérie des pôles) correspondant à cet angle?
36-27 Un alternateur de 3000 kVA, 20 kV, 900 r/min,
36-24 Pour la Fig . 36-32, on fournit les informations
suivantes : Eo =12kV
Eb=14kV XS =2S2 Eo est en avance de 30° sur Eb Calculer la valeur de la puissance apparente totale débitée lorsque le décalage entre E b et E° est réduit à zéro (en fermant les aubes directrices) . Est-ce que l'alternateur débite ou reçoit de la puissance réactive? 36-25 a) Calculer le couple exercé par la turbine qui
entraîne le rotor de la Fig . 36-4 lorsque l'alternateur débite une puissance de 500 MW avec un rendement de 98,8 %? b) Sachant que la turbine possède un moment d'inertie de 2300 t •m 2 , déterminer la vitesse et la fréquence de l'alternateur après un intervalle de 0,5 s suivant l'ouverture subite des disjoncteurs . On supposera que les aubes directrices demeurent dans la position ouverte (voir équation 1-14) .
60 Hz alimente une charge triphasée de 2400 kVA, 16 kV dont le FP est de 80 % en retard . a) Sachant que la réactance synchrone de l'alternateur est de 115 S2, calculer la tension d'excitation Eo requise par phase . b) Déterminer le courant d'excitation requis en utilisant la courbe de saturation de la Fig . 36-13c . 36-28 Un turbo-alternateur de 1530 MVA, dont le
rotor est illustré à la Fig . 36-7, débite une puissance active de 1200 MW sur un réseau . Si les disjoncteurs s'ouvrent subitement, en combien de temps la vitesse atteindra-t-elle le seuil dangereux de 1700 r/min, si l'on ne réduit pas immédiatement l'admission de vapeur dans la turbine?
37 Moteurs synchrones
L' alternateur décrit au chapitre 36 est réversible ; il peut fonctionner comme générateur ou comme moteur . Lorsqu'on l'utilise comme moteur (en le raccordant à une source de tension triphasée), on l'appelle moteur synchrone . Comme le nom l'indique, le rotor de ce moteur tourne en synchronisme avec le champ tournant du stator, c'est-à-dire à la même vitesse que ce champ . Cette vitesse est donc liée à la fréquence de la source et comme cette fréquence est constante, la vitesse du moteur est rigoureusement constante . Elle ne varie ni avec la charge, ni avec la tension de la source .
37 .1
Construction
La construction des moteurs synchrones industriels est semblable à celle des alternateurs triphasés à pôles saillants . Le stator se compose d'un noyau magnétique percé d'encoches dans lesquelles est logé un bobinage triphasé (voir Fig . 37-19 en fin de chapitre .) L'enroulement imbriqué du stator est identique à celui d'un moteur à induction triphasé .
Cependant, l'utilisation du moteur synchrone dans la plupart des applications industrielles ne tient généralement pas au fait que sa vitesse est constante, mais elle dépend surtout de ses propriétés électriques tout à fait particulières, comme nous le verrons dans ce chapitre . La plupart des moteurs synchrones ont une puissance comprise entre 150 kW (200 hp) et 15 MW (20 000 hp) et leur vitesse synchrone est habituellement comprise entre 180 et 450 r/min. Ils sont donc surtout utilisés dans l'industrie lourde (Fig . 37 .1) . À l'autre extrémité du spectre de puissance, on trouve des moteurs synchrones minuscules qui servent à entraîner les minuteries et les horloges . Nous les verrons au chapitre 38 .
Figure 37-1 Moteur synchrone triphasé de 2200 kW, 327 r/min, 4 kV, 60 Hz, F.P. 100 %, entraînant un compresseur utilisé dans une station de pompage de pétrole du pipeline Trans-Canada . L'excitation sans balais est assurée par un système alternateur/redresseur 250 V, 21 kW, monté en bout d'arbre du moteur (gracieuseté de la Cie Générale Électrique) .
643
644
ÉLECTROTECHNIQUE
Le rotor comporte un ensemble de pôles saillants autour desquels sont montées des bobines raccordées en série à deux bagues solidaires de l'arbre de la machine (Fig . 37-2) . Ces bobines sont alimentées en courant continu . En plus, on insère dans des encoches pratiquées à la périphérie des pôles, des conducteurs court-circuités formant une cage d'écureuil comparable à celle des moteurs à induction . Cette cage sert à faire démarrer le moteur synchrone selon le principe du moteur asynchrone . Le rotor porte autant de pôles que le stator . Comme pour le moteur asynchrone, le nombre de pôles détermine la vitesse du moteur, suivant l'équation :
n =
120 f
(37-1)
p
où n = vitesse du moteur [r/min] f = fréquence du réseau [Hz] p = nombre de pôles
Actuellement, on a tendance à utiliser une excitation sans balais, identique à celle utilisée dans certains alternateurs . L'excitatrice montée en bout d'arbre est un alternateur polyphasé qui alimente un bloc redresseur tournant avec le moteur (Fig . 37-3) . Le champ de l'excitatrice est stationnaire et on fait varier son intensité en faisant varier le courant continu I, Les Fig . 37-4a et 37-4b illustrent comment le stator, le rotor, l'excitatrice et le redresseur sont montés dans un moteur synchrone de 3000 kW, à excitation sans balais . 37 .2
Démarrage du moteur synchrone
Le moteur synchrone ne peut démarrer seul . C'est pourquoi on place une cage d'écureuil sur son rotor afin qu'il puisse démarrer en moteur asynchrone . En appliquant la pleine tension triphasée sur le stator, on crée un champ tournant qui amène rapidement le moteur à une vitesse légèrement inférieure à sa vitesse synchrone . En général, la résistance de la cage d'écureuil est assez élevée afin d'assurer un fort couple de démarrage .
Dans plusieurs moteurs, le courant continu est amené aux pôles du rotor par des balais frottant sur deux bagues . Ce courant provient d'une source auxiliaire, généralement une excitatrice . Cette excitatrice peut être indépendante ou montée en bout d'arbre .
1 - source de commande à c .c . 2 - pôles à c.c . stationnaires 3 - alternateur (excitatrice) 4 - ligne triphasée 5 - redresseur à diodes 6 - ligne à c .c . Figure 37-2 Rotor à double roue polaire d'un convertisseur de fréquence synchrone-synchrone de 50 Hz à 16 2/3 Hz utilisé dans les chemins de fer en Norvège . À gauche : rotor de l'alternateur monophasé de 7000 kVA, 16 2/3 Hz, FP 85 % ; à droite : rotor du moteur synchrone triphasé de 6900 kVA, 50 Hz, FP . 90 % . Les pôles saillants du moteur synchrone et de l'alternateur portent des cages d'écureuil (gracieuseté de ABB).
7 - rotor du moteur synchrone 8 - stator du moteur synchrone 9 - ligne d'alimentation triphasée Figure 37-3 Schéma montrant le principe de fonctionnement d'une excitatrice sans balais pour moteur synchrone . Le même système est utilisé pour l'excitatrice des alternateurs .
MOTEURS SYNCHRONES
Pendant la période de démarrage, les bobines du rotor ne sont pas alimentées par l'excitatrice . Comme le champ tournant balaie les bobines, aussi bien que les barres de la cage, une tension élevée est induite dans ces bobines . Afin de remédier à cet inconvénient et surtout pour améliorer le couple de démarrage, on court-
645
circuite l'enroulement du rotor ou on le relie à une résistance extérieure pendant la période d'accélération . À mesure que le moteur accélère, la tension induite diminue et elle tombe à une valeur négligeable lorsque le rotor tourne presque à la vitesse synchrone. Lorsque la puissance du réseau alimentant le moteur est limitée, on applique une tension réduite sur le stator comme on le fait dans le cas des gros moteurs asynchrone . Ainsi, on utilise des autotransformateurs, des résistances et parfois des réactances pour limiter le courant pendant le démarrage . Les moteurs synchrones de très grande puissance (20 MW et plus) sont parfois amenés à leur vitesse synchrone au moyen d'un moteur auxiliaire . Dans d'autres cas, on utilise un convertisseur électronique à fréquence variable pour accélérer la machine jusqu'à la vitesse synchrone . 37 .3 Accrochage du rotor Dès que le moteur a atteint une vitesse proche de la vitesse synchrone, on alimente les pôles du rotor en courant continu. Le passage de ce courant produit des pôles N et S dans le rotor. Ces pôles tournent dans le même sens et à peu près à la même vitesse que les pôles N et S du champ tournant .
Figure 37-4a Moteur synchrone triphasé de 3000 kW, 200 r/min, 6,9 kV, 60 Hz, FF 80 %, pour broyeur de minerai de fer . Lexcitatrice (alternateur/redresseur) montée en bout d'arbre peut fournir une puissance de 50 kW sous une tension de 250 V (gracieuseté de la Cie Générale Électrique) .
Figure 37-4b Vue de l'excitatrice de 50 kW montrant l'induit et 5 des 6 diodes utilisées pour redresser le courant alternatif (gracieuseté de la Cie Générale Électrique) .
Si, au moment de l'excitation, les pôles S du rotor sont en regard des pôles N du stator (Fig . 37-5), une force d'attraction considérable s'établit entre eux et les maintient vis-à-vis ; on dit alors que le moteur est accroché . Une force d'attraction identique s'exerce évidemment entre les pôles N du rotor et les pôles S du stator. Les pôles du rotor se trouvent alors entraînés par les pôles du stator et ils se déplacent nécessairement à la même vitesse . Le moteur tourne donc à la vitesse synchrone . Le couple développé par le moteur à ce moment s'appelle couple d'accrochage . Ce couple est puissant, mais on doit exciter le rotor au bon moment, afin de réussir l'accrochage du rotor . Par exemple, si on applique l'excitation à un instant où les pôles N du rotor sont en regard des pôles N du stator, il se produira une grande force de répulsion au lieu d'une attraction . Le moteur subira un choc violent, il ralentira et on ne pourra plus le faire accrocher à moins d'ouvrir le circuit d'excitation et de recommencer la procédure de démarrage . En pratique, les démarreurs de moteurs synchrones sont conçus pour détecter le moment précis où l'excitation doit être appliquée et ils accomplissent cette fonction automatiquement .
646
ÉLECTROTECHNIQUE
Quand le rotor tourne en synchronisme avec le champ tournant, la tension induite dans les barres de la cage d'écureuil est nulle ; en régime normal, le principe de fonctionnement du moteur synchrone est donc bien différent de celui du moteur asynchrone . Le moteur synchrone est entraîné par la force d'attraction qui s'établit entre les pôles du rotor et les pôles contraires du champ tournant . Pour renverser le sens de rotation d'un moteur synchrone, on change le sens de rotation de son champ tournant en intervertissant deux des trois câbles alimentant le stator . 37 .4 Moteur en charge - description Lorsque le moteur synchrone tourne à vide, les pôles du rotor sont vis-à-vis des pôles du champ tournant et et l'axe du rotor coïncide avec l'axe central du stator (Fig . 37-5) . On se souvient que l'axe central du stator dépend de la phase des tensions appliquées au stator . Quand une charge mécanique est appliquée à l'arbre du moteur, les pôles du rotor glissent légèrement en arrière de ceux du champ tournant, tout en continuant à tourner à la même vitesse . L' angle de décalage a entre l'axe des pôles du rotor et l'axe central du stator croît à mesure que la charge augmente (Fig . 37-6) . Cependant, la force d'attraction entre les pôles du rotor et les pôles contraires du stator les maintient accrochés, à moins que le couple appliqué ne devienne excessif. Plus la charge mécanique croît, plus l'axe des pôles du rotor s'éloignent de l'axe central du stator . Si la charge devient trop grande, les pôles du rotor décro-
Figure 37-5 Les pôles du rotor sont attirés par les pôles contraires du stator. Lorsque le moteur fonctionne à vide, l'axe des pôles du rotor coïncident avec l'axe central du stator .
client des pôles du stator et le moteur s'arrête brusquement. Un moteur qui décroche produit une perturbation majeure sur le réseau et le disjoncteur de protection doit aussitôt s'ouvrir. Cela protège les enroulements du stator de même que la cage d'écureuil du rotor qui, autrement, s'échaufferaient rapidement lorsque le moteur perd son synchronisme . Le couple de décrochage dépend de la force magnétomotrice des pôles du stator et du rotor. La FMM du rotor dépend du courant continu qui circule dans les bobines, tandis que celle du stator dépend du courant alternatif qui le parcourt . Donc, le couple de décrochage augmente si le rotor est surexcité, et il diminue s'il est sous-excité . En général, le couple de décrochage est compris entre 1,5 et 2,5 fois le couple nominal . Le décalage a entre l'axe des pôles du rotor et l'axe central du stator produit un effet immédiat sur le courant triphasé tiré du réseau . Plus le décalage augmente, plus le courant croît ; c'est une conséquence normale, car un décalage accru correspond à une puissance mécanique plus grande . Or, la puissance mécanique provient nécessairement de la puissance électrique tirée du réseau . 37 .5 Moteur en charge - puissance et couple On peut encore mieux comprendre le fonctionnement du moteur synchrone à l'aide de son circuit équivalent (Fig . 37-7a) . Ce circuit est identique à celui d'un alter-
Figure 37-6 Lorsque le moteur développe un couple, les pôles du rotor se déplacent en arrière des pôles du stator . Langle a entre l'axe du rotor et l'axe central du stator est une mesure du couple exercé .
MOTEURS SYNCHRONES
nateur, car les deux machines possèdent la même construction . Ainsi, le flux 0 créé par le rotor induit une tension E° dans le stator lorsque le moteur tourne . Comme ce flux dépend du courant continu Ix , la tension E° varie avec le courant d'excitation . Comme on l'a déjà mentioné, lorsque le moteur tourne à vide, les axes des pôles du rotor coïncident avec ceux du champ tournant. Dans ces circonstances, la tension E° est en phase avec la tension Eb de la source (Fig . 37-7b) . Si l'on ajuste l'excitation afin que E° = Eb, le moteur «flotte» sur la ligne et le courant I est presque nul . En effet, le courant requis doit seulement suppléer les faibles pertes par friction et aération plus les pertes Joule dans le stator. Si, maintenant, on applique une charge au moteur, il ralentit momentanément et les pôles du rotor se décalent d'un angle aen arrière de l'axe central du stator . À cause de ce décalage mécanique, la tension E° atteint sa valeur maximale un peu plus tard qu'auparavant, ce qui donne le diagramme vectoriel de la Fig . 37-7c . Ce
647
décalage mécanique a correspond à un déphasage électrique 8 entre les tensions Eo et Eb. En appliquant la loi de Kirchhoff au circuit de la Fig . 37-7a, on obtient : -Eb +jIXs +E° =0
d' où
I = - j (Eb - E° )/Xs
La différence de tension Eb - E° apparaît aux «bornes» de la réactance synchrone ; c'est pourquoi le courant est déphasé de 90° en arrière de cette tension . On constate sur le diagramme vectoriel de la Fig . 37-7c que le courant I est légèrement en retard sur Eb . La machine absorbe donc une puissance active et une puissance réactive . La puissance active est transformée en puissance mécanique, à l'exception des pertes Joule et des pertes dans le fer dissipées dans le stator. Si l'on néglige ces pertes, la puissance mécanique par phase est donnée par l'équation :
P = E°Eb sin ô Xs
(37-2)
ou P (a)
puissance mécanique, par phase [W]
E° = tension, par phase, induite par le courant
d'excitation I, [ V ] Eb = tension ligne à neutre de la source [V] XS = réactance synchrone, par phase [S2] Eb, Eo (b) Ex =Eb-Eo À
(c)
Figure 37-7 a . Circuit équivalent d'un moteur synchrone . Le flux 0 créé par le rotor induit une tension Eo dans le stator . b . Lorsque E ° est égale et en phase avec la tension Eb de la source, le courant dans le stator est négligeable . c . Lorsque la charge mécanique appliquée au moteur un couple, le vecteur Eo glisse en arrière du vecteur E b . Le déphasage augmente avec le couple .
8 = angle de déphasage électrique entre la position du rotor au repos et sa position en charge, en degrés électriques Cette formule est basée sur l'équation 25-13 que nous avons développée au chapitre 25, section 25 .11 . Noter que l'angle interne 6 est toujours égal au déphasage entre E° et Eb . En pratique, selon la puissance mécanique et le facteur de puissance désirés, la valeur de E° peut être supérieure, inférieure ou égale à Eb . L'équation indique que la puissance du moteur augmente avec l'angle interne, mais qu'elle atteint sa valeur maximale Pmax lorsque l'angle est de 90° : E°E b Pmax =
(37-3) XS
648
ÉLECTROTECHNIQUE
Les pôles du rotor se trouvent alors à mi-chemin entre les pôles N et S du champ tournant . Passé ce point maximal, la puissance commence à baisser et devient nulle lorsque l'angle interne est de 180° . À titre d'exemple, la Fig . 37-8 donne la variation de la puissance P en fonction de l'angle interne pour un moteur synchrone de 40 kW, 1200 r/min, dont la puissance maximale est de 100 kW. Pour des angles internes supérieurs à 90°, le moteur développe toujours une puissance mécanique . Cependant, cette région comprise entre 90° et 180° correspond à un régime de fonctionnement instable, car la puissance du moteur diminue à mesure que l'angle interne augmente. En ce qui concerne le couple, il est proportionnel à la puissance active du moteur, car la vitesse est constante . Il est donné par l'équation : T _ 9,55 P
(37-4)
ns
37.6 Angles électrique et mécanique Comme pour les alternateurs, il existe une relation précise entre l'angle de décalage mécanique a (Fig . 37-5) et l'angle électrique interne 6. Elle est encore donnée par l'équation (36-2) : S =
pu
éq. 36-2
2 où p représente le nombre de pôles . Exemple 37-1
Un moteur synchrone de 6000 kW, 4 kV, 180 r/min, 60 Hz, possède une réactance synchrone de 2,4 12 . Lorsque la tension E,, induite pire phase est de 3,2 kV, l'angle de décalage mécanique est de I Calculer : a) la puissance mécanique développée par le moteur b) le couple de décrochage c) le couple de décrochage si la tension du réseau baisse de 4 kV à 3 .6 kV
où
Solution
T = couple, par phase [N•m ] P = puissance mécanique, par phase [W] ns = vitesse synchrone [r/min] 9,55 = constante [valeur exacte = 30/,r]
a) Trouvons d'abord le nombre de pôles et le décalage en degrés électriques . Le nombre de pôles est donné par :
La courbe du couple en fonction de l'angle interne 6 est donc semblable à celle de la puissance . La Fig . 37-8 montre que le couple de décrochage est égal à 800 N •m . kW 100 80 P
60
T ~,
40 -M
600 T
k, 200 60
d'où 120 f
120 x 60
ns
180
90
angle 6
120 150
180
6_ p a _ 40 x 1° = 20°
2
Figure 37-8 Puissance et couple en fonction de l'angle interne 6, pour un moteur synchrone de 40 kW, 1200 r/min, 60 Hz . La puissance maximale est de 100 kW .
2
De plus, on sait que
0
degrés
40
Le moteur possédant 40 pôles, on a :
MkW 400
20 .A 0M 0 30
800
éq .37-1
p
N •m 1000
MMM p FÀA
ns _ 120 f
Eb
_
4 kV = 2,3 kV par phase
E o = 3,2 kV
sin 20° = 0,342
Xs = 2,4 S2
MOTEURS SYNCHRONES
La puissance par phase vaut donc : E°Eb
sin 8
P = XS
_
3,2 kV x 2,3 kV
x 0,342
2,4
37 .7
649
Caractéristiques générales d'un moteur synchrone
Il est utile de connaître l'ordre de grandeur des paramètres d'un moteur synchrone . À cette fin, nous avons dressé au tableau 37-1 une liste des caractéristiques de deux moteurs : l'un de 1500 kW, l'autre de 150 kW, soit d'une puissance 10 fois plus petite . Signalons les points suivants :
= 1,05 MW La puissance mécanique pour les trois phases est : P = 3 x 1,05 MW
1 . L' angle interne 5 à pleine charge se situe entre 27° et 37° . TABLEAU 37-1
CARACTÉRISTIQUES DE DEUX MOTEURS SYNCHRONES
= 3,15 MW = 4223 hp b) La puissance maximale et le couple maximal sont développés à un angle de 90° . D'après l'équation 37-3 on a pour les trois phases : EoEb Pmax = 3 x
XS
grandeur
moteur A
moteur B
puissance
1500 kW
150 kW
4000 V
440 V
tension de ligne courant
220 A
208 A
vitesse
1800 r/min
900 r/min
60 Hz
60 Hz
fréquence
= 3 x
3200 x 2300 2,4
= 9,2 x 106 = 9,2 MW
phases
3
3
connexion
étoile
étoile
entrefer
10 mm
6 mm
CARACTÉRISTIQUES SOUS CHARGE
D'après l'équation 37-4 le couple maximal est : 9,55 Pmax Tmax =
ns 9,55 x 9,2 x 106
facteur de puissance
1
1
couple de décrochage
1,4 p .u .
2,2 p .u .
angle à pleine charge
36,7°
27°
puissance d'excitation
4,2 kW
2,1 kW
125 V
125 V
2873 V
285 V
tension d'excitation (c .c .) tension d'excitation
180
induite par phase
= 488 x 10 3 = 488 kN-m
PERTES ET RENDEMENT frottement et aération
c) L'équation 37-2 indique que la puissance et, par conséquent, le couple sont proportionnels à la tension d'alimentation Eb . Lorsque la tension du réseau diminue à 3,6 kV, le couple de décrochage baisse donc à :
pertes dans le fer
1 kW
11 kW
2 kW
pertes Joule (stator)
10,3 kW
3,5 kW
pertes Joule (rotor)
4,2 kW
2,1 kW
4 kW
1 kW
pertes totales
38 kW
9,6 kW
rendement
97,5
94,0%
pertes parasites
3,6 Tmax = 488 x = 439 kN •m 4 Contrairement au moteur asynchrone, le couple d'un moteur synchrone est proportionnel à la tension d'alimentation et non pas au carré de celle-ci . Le moteur synchrone peut donc mieux supporter une baisse temporaire de la tension d'alimentation sans décrocher.
8,5 kW
IMPÉDANCES RELATIVES réactance synchrone
0,73 (p .u .)
0,48 (p .u .)
résistance du stator
0,006 (p .u .)
0,02 (p .u .)
122
24
rapport Xs/R
650
ÉLECTROTECHNIQUE
2 . La puissance d'excitation de 4,2 kW pour le moteur de 1500 kW est de seulement 2 fois celle du moteur de 150 kW. On constate que plus une machine est puissante, plus sa puissance d'excitation relative diminue . 3 . Les pertes totales (38 kW) du moteur de 1500 kW sont seulement 4 fois plus grandes que celles du moteur de 150 kW. Il s'ensuit que le rendement du gros moteur est sensiblement plus élevé . 4 . Pour les deux moteurs, la réactance synchrone est beaucoup plus grande que la résistance des enroulements . Pour le moteur de 1500 kW, ce rapport est de 122 . Par conséquent, en ce qui concerne la performance électromécanique d'un moteur synchrone, la résistance du stator est toujours négligeable . 37 .8
Excitation et puissance réactive d'un moteur synchrone Considérons le stator d'un moteur synchrone triphasé branché sur un réseau dont la tension Eb est constante (Fig . 37-9) . Il s'ensuit que la tension ligne à neutre du moteur est constante . Mais on vient de constater que la chute de tension dans la résistance des enroulements est négligeable. Par conséquent, la tension E, induite aux bornes de chaque phase est sensiblement égale à Eb, donc E, demeure constante . Comme cette tension est induite par un flux 0 qui coupe les conducteurs du stator, le flux 0 doit demeurer constant . Par conséquent, quelle que soit la charge, le flux total 0 à l'intérieur d'un moteur synchrone est constant tant que la tension d'alimentation demeure constante . Considérons par exemple la phase A (Fig . 37-9) . Le flux total 0 est composé pour la plus grande partie d'un flux mutuel o,,, qui accroche à la fois les conducteurs du stator et du rotor, et d'un flux de fuite 4fa relativement faible .
Figure 37-9 Le flux 0 accroché par chacune des phases demeure constant . Pour la phase A, il comprend le flux de fuite Ofa créé par le courant ia et le flux mutuel Om créé par la FMM totale développée par le rotor et le stator .
La FMM nécessaire pour produire le flux cm peut provenir indifféremment du stator ou du rotor . Si le courant d'excitation dans les bobines du rotor est nul, tout le flux doit être produit par le stator, de sorte que ce dernier doit absorber une puissance réactive considérable de la ligne triphasée . Si l'on augmente graduellement le courant d'excitation, la FMM associée à ce courant contribue à la production du flux Om et la puissance réactive absorbée par le stator diminue progressivement . On arrive finalement à un point où la FMM du rotor crée tout le flux 0 à elle seule . La puissance réactive absorbée par le stator est alors nulle et le facteur de puissance du moteur atteint 100 % . Qu'arrive-t-il si l'on augmente le courant d'excitation au-dessus de cette valeur critique? On constate que le stator, au lieu d'absorber de la puissance réactive, fournit de la puissance réactive au réseau . De plus, la puissance réactive générée augmente à mesure que l'on augmente l'excitation . Dans ces conditions, le moteur se comporte comme une source de puissance réactive, donc comme une capacitance . À cause de cette propriété extrêmement importante, le moteur synchrone est souvent utilisé à la place des condensateurs statiques pour corriger le facteur de puissance d'une usine . 37 .9 Facteur de puissance : courbes en V Habituellement, les moteurs synchrones sont construits pour fonctionner à un facteur de puissance de 100 % . Cependant, certains moteurs sont conçus pour débiter une puissance réactive en même temps qu'ils développent leur pleine puissance mécanique . On construit alors des moteurs synchrones pouvant fonctionner à un FP de 80 % en avance . Une machine ayant un FP de 80 % peut débiter une puissance réactive égale à 75 % de sa puissance nominale mécanique . Les moteurs pouvant fournir de la puissance réactive sont plus gros que ceux fonctionnant à un FP de 100 %, car leur rotor et leur stator doivent supporter des courants plus élevés ; ils coûtent donc plus cher . Exemple 37-2 Le moteur synchrone de la Fig . 37-4 développe une puissance mécanique de 3000 kW . Sachant qu'il est conçu pour fonctionner à un facteur de puissance de 0,8 en avance, calculer a) la puissance réactive qu'il peut fournir au réseau et b) le nombre de pôles saillants sur le rotor.
651
MOTEURS SYNCHRONES
Solution
[V] 700
a) Puissance active : P = 3000 kW
600
Puissance apparente : S -
P
-
FP
3000
3750 kvar
0,8
500 E
Puissance réactive que le moteur peut fournir :
400 m C
Q =
~ S 2 -P Z
=
3750 2 - 3000 2
= 2250 kvar rapport
w° 300 r_ o
= 2250 = 0,75 = 75 % P 3000
J? 200
Q
100
b) La vitesse synchrone est de 200 r/min et la fréquence de 60 Hz . On en déduit le nombre de pôles en utilisant l'équation 37-1 : p
-
120 f - 120 x 60 ns
o
o
5
10
15
20
25 [A]
courant d'excitation I x
= 36 pôles
200
Figure 37-10 Courbe de saturation d'un moteur synchrone de 800 kW .
soit 18 pôles nord et 18 pôles sud . Supposons qu'un moteur synchrone de 800 kW débite sa puissance mécanique nominale . Nous désirons étudier son comportement lorsqu'on fait varier le courant d'excitation . Étant donné qu'un changement dans l'excitation ne modifie pas la vitesse du moteur, il s'ensuit que la charge mécanique imposée au moteur demeure strictement constante .
Si l'on réduit le courant d'excitation à 7 A, le moteur absorbera une puissance réactive du réseau, en plus de la puissance active . La valeur correspondante de Eo est de 306 V. Cela fait augmenter la puissance apparente à 1000 kVA . Par conséquent, le courant tiré du réseau augmente à 1000 A . La puissance réactive absorbée est donc :
Supposons que le moteur absorbe une puissance active constante de 800 kW d'un réseau triphasé à 577 V (333 V ligne à neutre), et qu'il possède une réactance synchrone de 0,35 S2 . Sa courbe de saturation donnant Eo en fonction de Ix est montrée à la Fig . 37-10 .
2 Q = ~S -P 2 = 1/ 1000 2 - 8002 = 600 kvar
Dans un premier temps, ajustons l'excitation de sorte que le moteur opère à un facteur de puissance unitaire (Fig . 37-1 la). Le courant tiré du réseau est donné par: I= (800 kW/3)/333 V = 800 A La chute de tension dans la réactance synchrone est : EX = 800 A x 0,35 S2 = 280 V D'après le diagramme vectoriel, il s'ensuit que la tension induite E o doit être 435 V En se référant à la courbe de saturation, cela exige un courant d'excitation I x d'environ 11 A .
Le circuit équivalent et le diagramme vectoriel sont donnés à la Fig . 37-1 lb . Augmentons maintenant le courant d'excitation afin que le moteur devienne surexcité . Par conséquent, il fournira une puissance réactive au réseau . Supposons que l'excitation soit ajustée afin que le moteur fonctionne à un FP de 80 % en avance . Dans ces circonstances, le moteur débite 600 kvar au réseau, tout en tirant de celui-ci une puissance active de 800 kW (Fig . 37-11c) . La puissance apparente est donc 1000 kVA. e t le courant tiré du réseau sera de nouveau 1000 A. mais 36,9° en avance sur la tension Eb . Le diagramme vectoriel indique que la tension Eo est maintenant de 611 V, ce qui exige un courant d'excitation de 20 A .
652
ÉLECTROTECHNIQUE
kvar 600 Ex
Eb
800 kW
0
moteur surexcité
P = 800 kW 300
280 V
Ix
moteur sous-excite
I
Q
I12
0
4
8
16
20 A
courant d'excitation
a) excitation normale
-300 333 V
Eb
-600 Figure 37-12a Variation de la puissance réactive avec l'excitation .
600 kvar'
b) moteur sous-excité
Ix = 7 A
20 A
.Y.
Eb
IX
12
20
IX
o o
Figure 37-12b Courbes en V d'un moteur synchrone de 800 kW dont le FP est de 80 % en avance .
800 kW 600 kvar c) moteur surexcité
Ix = 20 A
Figure 37-11 Puissances active et réactive pour trois excitations différentes, et diagrammes vectoriels correspondants . Ces conditions sont présentées graphiquement à la Fig . 37-12 .
En choisissant d'autres courants d'excitation compris entre 7 A et 20 A, on obtient une courbe de la puissance réactive en fonction du courant I x (Fig . 37-12a) . On peut aussi tracer une courbe de la puissance apparente S en fonction de Ix . À cause de sa forme, on l'appelle courbe en V. La Fig . 37-12b montre deux courbes en V, correspondant respectivement à 100 % et 0 % de la puissance active nominale du moteur . En conclusion, les schémas et les diagrammes vectoriels des Fig . 37-11 a, 37-11b et 37-lic permettent de suivre l'évolution de la puissance réactive et des dé-
phasages entre les tensions et les courants lorsque le moteur passe d'un régime sous-excité (Ix = 7 A) à un régime surexcité (Ix = 20 A) . Remarquer que le courant I est toujours déphasé de 90° en arrière de la tension Ex, car XS est inductive. Donc, en résumé, un moteur synchrone absorbe de la puissance réactive quand on le sous-excite et il en débite lorsqu'on le surexcite . 37 .10
Compensateur synchrone
On appelle compensateur synchrone, un moteur synchrone qui tourne à vide et dont la seule fonction est de fournir ou d'absorber de la puissance réactive sur une ligne de transport ou sur un réseau. Nous verrons au chapitre 46 que, pour régulariser la tension d'un réseau, on doit lui fournir une puissance réactive pen-
MOTEURS SYNCHRONES
dant les heures de pointe . Inversement, pendant les périodes creuses, on doit absorber l'excès de puissance réactive générée par les lignes . Le compensateur synchrone permet de compenser ces fluctuations de puissance réactive en ajustant l'excitation selon les besoins . Le compensateur agit alors comme une énorme capacitance ou inductance variable dont la valeur est réglable en faisant varier le courant d'excitation de son rotor (Fig . 37-13) .
653
La plupart de ces machines ont une capacité de l'ordre de 200 Mvar et on les refroidit à l'hydrogène . Le démarrage se fait de la même façon que pour les moteurs synchrones conventionnels . Cependant, si le réseau est incapable de supporter l'appel de puissance pendant le démarrage, on utilise des moteurs asynchrones pour les accélérer jusqu'à la vitesse synchrone . Par exemple, les compensateurs synchrones de 160 Mvar installés au poste de Dorsey à Winnipeg sont démarrés par des moteurs à rotor bobiné ayant une puissance de 1270 kW. 37 .11
Couple de réluctance
Si l'on coupe l'excitation d'un moteur synchrone fonctionnant à vide, on constate qu'il continue à tourner à la vitesse synchrone . En effet, lorsque le couple dû au courant d'excitation disparaît il subsiste un couple, appelé couple de réluctance . Ce couple est assez fort pour vaincre les frottements et maintenir le rotor accroché au champ tournant . Examinons donc l'origine de ce couple de réluctance .
Figure 37-13a Compensateur synchrone triphasé de -200 à +300 Mvar, 16 kV, 900 r/min, 60 Hz installé au poste de Lévis, Québec, pour régulariser la tension du réseau à 735 kV entre Churchill Falls et Montréal . Caractéristiques mécaniques : masse du rotor: 143 t ; diamètre du rotor: 2670 mm ; longueur axiale du fer : 3200 mm ; longueur de l'entrefer: 39,7 mm (gracieuseté de Marine Industries Ltée/Hydro-Québec) .
Lorsque l'excitation est nulle, le flux créé par le stator passe par les pôles saillants du rotor où l'entrefer est court, plutôt que par l'entrefer beaucoup plus long entre les pôles . En effet, la réluctance du chemin magnétique est plus faible dans l'axe des pôles, de sorte que le flux se concentre comme le montre la Fig . 37-14a. Lorsqu'on applique une charge mécanique, les pôles du rotor glissent en arrière des pôles du stator et le flux prend l'allure montrée à la Fig . 37-14b. Le moteur continue à tourner à la vitesse synchrone, tout en développant un couple de réluctance . Cependant, le couple devient nul lorsque les pôles du rotor sont à mi-chemin entre les pôles du stator, soit lorsque l'angle interne S= 90° (Fig . 37-14c) . Dans ces circonstances, les pôles N et S du stator attirent les pôles saillants avec la même force, mais en sens contraire. Par conséquent, le couple de réluctance devient nul précisément à l'angle où le couple principal donné par les équations 37-2 et 37-4 atteint son maximum .
Figure 37-13b Compensateur monté dans son enveloppe d'acier contenant de l'hydrogène sous pression (gracieuseté d'Hydro-Québec) .
La Fig . 37-15 montre le couple de réluctance en fonction de l'angle interne S. Le couple atteint une valeur maximale positive à S = 45° . Lorsque l'angle est de 135°, le couple atteint sa valeur maximale négative. Un couple négatif agit contre le sens de rotation du moteur . Pour que le moteur puisse fonctionner comme moteur à réluctance, l'angle interne doit donc être compris entre zéro et 45° .
654
ÉLECTROTECHNIQUE
Q 0U
//R 45 M//E1'a'/~ffl"80 M//an angles //N\m/n/a/
Figure 37-15 Courbe du couple de réluctance en fonction de l'angle de décalage interne ô.
(b)
Ce couple de réluctance a-t-il un effet sur le couple «normal» illustré à la Fig . 37-8? La réponse est oui . En effet, la courbe de la Fig . 37-8 représente le couple d'un moteur synchrone ayant un rotor lisse . Le couple développé par un moteur synchrone à pôles saillants est la somme du couple dû à l'excitation (donné par les équations 37-2 et 37-4) et du couple de réluctance . Par conséquent, la courbe véritable prend la forme (3) montrée à la Fig . 37-16 . En régime normal, le couple maximal dû à la réluctance représente environ 25 % du couple Tmax attribuable à l'excitation à c .c . Par conséquent, le couple de décrochage d'un moteur synchrone à pôles saillants est légèrement supérieur à celui donné par l'équation 37-4 . Cependant, la différence n'est pas grande, si bien que les équations 37-2 à 37-4, décrivent assez fidèlement le comportement du moteur synchrone .
(c) Figure 37-14 a. Le flux du stator traverse l'entrefer et passe par les pôles du rotor . b . Les pôles saillants du rotor sont attirés par les pôles du stator, donnant naissance à un couple de réluctance . c . Le couple net est nul lorsque les pôles du rotor sont à michemin entre les pôles du stator .
angle de décalage interne Figure 37-16 Dans un moteur synchrone, le couple de réluctance (1) plus le couple dû à l'excitation (2) donnent le couple résultant (3) .
655
MOTEURS SYNCHRONES
37 .12
Arrêt du moteur
16 52
Comme toutes les machines de grande puissance, les moteurs synchrones prennent du temps à s'arrêter lorsqu'on les débranche du réseau . Pour diminuer ce temps d'arrêt, on peut employer le freinage par inversion ou le freinage dynamique . Dans le premier cas, on doit court-circuiter le champ avant d'intervertir les fils de ligne . Dans le deuxième cas, on débranche le stator du réseau et on le connecte à un groupe de résistances triphasé, tout en maintenant le courant d'excitation . Le moteur ralentit rapidement, car il fonctionne alors en alternateur. L'énergie cinétique du rotor est rapidement dissipée dans la résistance des enroulements et les résistances extérieures .
0,2 Q
2400 V 600 r/min
courtcircuit
Figure 37-17a Circuit équivalent lorsque le moteur tourne à 600 r/min et que l'induit est en court-circuit . Voir exemple 37-3 .
1,652
0,20
240 V 60 r/min
courtcircuit
Exemple 37-3 Un moteur synchrone de 1500 kW, 4600 V . 600 r/min a une réactance synchrone de 16 52, une résistance siatoriquc de 0,212 et une tension induite E(, de 2400 V, par phase . Le moment d'inertie du . On désire freiner le moteur rotor est de 275 kg-m2 en court-circuitant l'induit, tout en maintenant le courant d'excitation constant . Calculer : a) la puissance totale dissipée dans l'induit lorsque le moteur tourne à 600 r/min et à 60 r/min h) l'énergie cinétique emmagasinée dans le rotor à 600 r/min et à 60 r/min e) le temps requis pour que la vitesse (lu moteur passe de 600 r/min à 60 r/min d) la constante d'inertie H du moteur
Solution a) En se référant à la Fig . 37-17a, le moteur vient d'être débranché du réseau et l'induit est en court-circuit . La vitesse est encore 600 r/min, de sorte que la fréquence est toujours 60 Hz . L'impédance par phase est : ,~ Z600 r/min
2
Figure 37-17b Circuit équivalent lorsque le moteur tourne à 60 r/min et que l'induit est en court-circuit . Voir exemple 37-3 .
Étant donné que le courant d'excitation est constant, la tension E° est proportionnelle à la vitesse. Par conséquent, lorsque la vitesse est 60 r/min Eo = 2400 x 60
= 240 V 600 La fréquence est aussi proportionnelle à la vitesse, donc : 60
= 6 Hz 600 La réactance synchrone est proportionnelle à la fréquence, donc : f = 60 Hz x
XS = 16Qx6 = 1,652 60 En se référant à la Fig . 37-17b, la nouvelle impédance par phase à 60 r/min est :
2
R +XS
2
Z60 r/min
= 1~ 0,2 2 +162
=
V
2
R + XS
1652 = 1~ 0,22 + 1,6 2
Courant par phase :
= 1,61 52 I = E° = 2400 = 150 A 16 Z Puissance dissipée dans les 3 phases : 2 2 P=3RI =3 x 0,2 x 150 = 13,5 kW
Courant par phase : I _ Eo = 240 V Z
1,6152
= 149 A
656
ÉLECTROTECHNIQUE
On remarque que le courant de court-circuit change à peine lorsque la vitesse diminue de 600 r/min à 60 r/min . La puissance dissipée dans le stator à 60 r/min est donc la même qu'à 600 r/min, soit 13,5 kW . b) Énergie du rotor à 600 r/min : W600 r/min
= 5,48
10 3 Jn
2
éq.1-7b 2 = 5,48 x 10 3 x 275 x 600 X
= 542,5 kJ Énergie à 60 r/min : W60
r/ni, = 542,5 kJ
X
60 2
= 5,4 kJ
600 ) c) Perte d'énergie cinétique entre 600 r/min et 60 r/min : 4 W = 542,5 - 5,4 = 537 kJ Cette énergie est consommée par les pertes Joule (13,5 kW) dans le stator . Le temps de freinage est donc : t _ AW P
537 kJ = = 40s 13,5 kW
Noter que le rotor s'arrêterait encore plus rapidement si l'on branchait des résistances extérieures aux bornes du stator. d) La valeur de H est donnée l'équation 36-9 : H
5,48 x 10 3 x 275 x 6002 = - 1500 x 103 = 0,36 s
37 .12
Usages du moteur synchrone, comparaison avec le moteur asynchrone
Comme nous l'avons déjà mentionné, les moteurs asynchrones conviennent fort bien pour actionner des machines à des vitesses supérieures à 600 r/min . Cependant, aux vitesses inférieures, les moteurs asynchrones sont encombrants et coûteux . De plus, leur facteur de puissance et leur rendement diminuent à mesure que la vitesse est plus basse . C'est à ces basses vitesses que l'emploi du moteur synchrone devient particulièrement avantageux, car, quelle que soit sa vitesse, son facteur de puissance est toujours réglable à 100 % et son rendement demeure élevé . Bien que la construction de ce moteur soit plus compliquée, son coût et son poids sont souvent inférieurs à ceux d'un moteur asynchrone de même puissance tournant à la même vitesse . Ceci est surtout remarquable aux vitesses inférieures à 300 r/min. Le moteur synchrone présente un autre avantage : si l'on surexcite son rotor, il débite une puissance réactive de sorte que l'on peut corriger le FP d'une usine . Enfin, un moteur synchrone développe un plus grand couple de démarrage qu'un moteur asynchrone, car on peut augmenter la résistance de sa cage d'écureuil, sans nuire au rendement et au glissement en régime permanent (Fig . 37-18) .
éq . 36-9
250
98 m oteur synch rone 97 96
- ----------moteur d induction
moteur synchrone l
200
,l 95 94 moteur d'induction ------------
93
i
50 92 91
0 0 25 50 75 100 125 puissance mécanique
0
20 40 60 80 100 vitesse
Figure 37-18 Comparaison des rendements et des couples de démarrage d'un moteur synchrone et d'un moteur asynchrone à cage d'écureuil de 3000 kW, 1500 r/min, 6,9 kV .
MOTEURS SYNCHRONES
En contrepartie, lorsque le réseau est exposé à des interruptions de service de très courte durée (de l'ordre d'une seconde), le moteur asynchrone peut continuer à fonctionner alors que le moteur synchrone décroche et s'arrête. Les convertisseurs électroniques de grande puissance et à basse fréquence ont permis d'étendre l'emploi des moteurs synchrones aux applications jugées, autrefois, impossibles . Ainsi, on fabrique maintenant des moteurs synchrones de 10 000 kW dont la vitesse est réglable de zéro à quelques tours par minute, grâce à des cycloconvertisseurs électroniques pouvant générer des fréquences comprises entre zéro et 5 ou 6 Hz . Cette technique de commande sera étudiée au chapitre 44 . 37 .13 Résumé Le moteur synchrone triphasé est construit de la même façon qu'un alternateur . Il comporte un stator portant un enroulement triphasé qui produit un champ tournant et un rotor à pôles saillants portant des enroulements alimentés en courant continu . Le rotor comporte aussi une cage d'écureuil permettant de démarrer le moteur en moteur asynchrone . Lorsqu'il atteint une vitesse voisine de la vitesse synchrone, le rotor s'accroche au champ tournant du stator et se met à tourner en synchronisme avec celui-ci . La vitesse de rotation est donc imposée par la fréquence du réseau et par le nombre de pôles de la machine. À vide, les pôles du rotor sont alignés avec les pôles de polarité contraire du champ tournant . Lorsqu'un couple mécanique est appliqué à l'arbre, les pôles du rotor se décalent en arrière des pôles du champ tournant . Le couple et la puissance mécanique développés par le moteur sont proportionnels au sinus de cet angle de décalage, et ils atteignent un maximum lorsque les pôles du rotor sont à mi-chemin entre les pôles du champ tournant. Selon que son rotor est sous-excité ou surexcité le moteur synchrone absorbe ou génère de la puissance réactive . Le courant d'excitation peut donc être ajusté pour que le moteur fonctionne avec un facteur de puissance unitaire . Cette propriété du moteur synchrone est mise à profit dans les compensateurs synchrones qui sont d'énormes moteurs synchrones tournant à vide, utilisés parfois pour réguler la tension des réseaux de transport .
657
Le circuit équivalent du moteur est identique à celui de l'alternateur. Chaque phase comprend une source de tension interne correspondant à la tension induite par le courant d'excitation, branchée en série avec la résistance du stator et la réactance synchrone . Ce circuit équivalent permet de calculer la puissance active absorbée par le moteur (ou sa puissance mécanique développée) ainsi que la puissance réactive absorbée ou générée . Le décalage mécanique des pôles est proportionnel au déphasage électrique entre la tension interne et la tension de la source d'alimentation .
PROBLÈMES - CHAPITRE 37 Niveau pratique 37-1 Comparer la construction d'un alternateur, d'un moteur synchrone et d'un moteur asynchrone triphasé . 37-2 Expliquer comment le moteur synchrone démarre . Les pôles du rotor sont-ils excités pendant cette période? 37-3 Pourquoi la vitesse d'un moteur synchrone demeure-t-elle constante, même si la charge varie? 37-4 Dans quelles circonstances préfère-t-on employer un moteur synchrone plutôt qu'un moteur asynchrone? 37-5 Quelle est l'utilité des compensateurs synchrones? 37-6 Calculer : a) le courant approximatif de pleine charge du moteur synchrone de la Fig . 37-1 b) la résistance du rotor 37-7 Calculer la vitesse de rotation du rotor à double roue polaire illustré à la Fig . 37-2 pour qu'il génère les fréquences indiquées? 37-8 a) Expliquer ce qu'on entend par un moteur synchrone sous-excité. b) Si l'on surexcite un moteur synchrone, est-ce que sa puissance mécanique augmente? c) De quoi dépend la puissance mécanique développée par un moteur synchrone? 37-9 Un moteur synchrone absorbe une puissance de 2000 kVA à un FP de 90 % en avance. Calculer la puissance mécanique approximative qu'il développe .
658
ÉLECTROTECHNIQUE
37-10 Un moteur synchrone fonctionne à un FP de
100 % . Qu'arrive-t-il lorsqu'on augmente le courant d'excitation? Un moteur synchrone tire un courant de 150 A d'une ligne triphasée . Lorsqu'on augmente le courant d'excitation, on observe que ce courant diminue à 140 A. Le moteur était-il surexcité ou sous-excité avant le changement? 37-11
Niveau intermédiaire 37-12 Un moteur synchrone triphasé branché sur une ligne à 4 kV, 60 Hz tire un courant de 320 A et absorbe une puissance de 2000 kW . Sachant qu'il tourne à une vitesse de 225 r/min, calculer:
a) la puissance apparente fournie au moteur b) le facteur de puissance du moteur c) la puissance réactive absorbée par le moteur d) le nombre de pôles du rotor 37-13 Un moteur synchrone triphasé de 600 kW, 2,4 kV, 60 Hz fonctionne normalement à un FP de
100 % lorsque la tension d'alimentation est de 2,4 kV . La tension diminue subitement à 1,8 kV. Expliquer comment les grandeurs suivantes seront affectées : a) le courant dans le stator b) le FP du moteur c) la vitesse d) la position des pôles du rotor e) Est-ce que le moteur absorbe ou débite une puissance réactive? 37-14 Le moteur synchrone illustré schématiquement
à la Fig . 37-7 possède les paramètres suivants, par phase : Ee = 2,4 kV ; Eo = 3 kV; XS = 2 S2 ; I = 900 A
Tracer le diagramme vectoriel du circuit et déterminer : a) b) c) d)
le la la le
déphasage électrique 8 puissance active par phase puissance réactive absorbée ou débitée par phase facteur de puissance du moteur
37-15 Dans le problème 37-14, si la charge mécani-
que devient nulle, calculer :
a) le nouveau courant par phase et l'angle de déphasage 8 b) la puissance réactive totale débitée par le moteur 37-16 Un moteur synchrone de 500 kW entraîne un compresseur d'air et l'excitation est ajustée afin que le FP soit de 100 % . Si l'on augmente l'excitation à c.c., indiquer comment sont affectées les grandeurs suivantes : a) la puissance mécanique développée par le moteur b) le courant d'induit c) la puissance réactive échangée avec le réseau d) la position des pôles, par rapport à la position qu'ils occupent lorsque l'excitation est normale? Niveau avancé 37-17 Le moteur synchrone triphasé de 3000 kW,
6,9 kV illustré à la Fig . 37-4a possède une réactance synchrone de 10 S2 par phase . Le stator est raccordé en étoile. Le moteur fonctionne à pleine charge (3000 kW) à un FP de 90 % en avance. Déterminer : a) b) c) d) e) f)
la puissance apparente absorbée le courant par phase la tension d'excitation Eo par phase l'angle de décalage mécanique des pôles la puissance réactive fournie au réseau la puissance maximale que le moteur peut développer, sans décrocher
37-18 Dans le problème 37-17, on désire ajuster le
FP à 100 % sans modifier la puissance mécanique . Calculer a) la tension d'excitation Eo requise par phase b) le nouvel angle de décalage des pôles 37-19 Un moteur synchrone triphasé de 300 kW,
600 V, 450 r/min, 60 Hz entraîne une pompe à eau . Le stator est raccordé en étoile et la réactance synchrone est de 0,9 £2 par phase . Sachant que la tension d'excitation par phase est ajustée à 400 V, calculer : a) le couple maximal que le moteur peut développer sans décrocher b) le courant de ligne lorsque le moteur est sur le point de décrocher
MOTEURS SYNCHRONES
37-20 Le moteur synchrone décrit au problème 3719 développe une puissance de 300 kW lorsqu'il fonctionne sur une ligne à 600 V . La tension d'excitation est ajustée à 400 V, par phase . Calculer le changement dans l'angle de décalage mécanique des pôles lorsque la tension de ligne baisse de 20 % pendant 10 s . La vitesse de rotation est-elle affectée? 37-21 On désire faire tourner le moteur de 3000 kW de la Fig . 37-4a à une vitesse de 10 r/min en appliquant une fréquence et une tension appropriées sur le stator.
659
De plus, on désire maintenir le même flux par pôle, en conservant une excitation à c .c . normale . Calculer : a) la fréquence qu'on doit appliquer au stator b) la tension nominale (ligne à ligne) qu'on doit appliquer au stator c) la réactance synchrone par phase, si sa valeur à 60 Hz est de 10 S2 d) la puissance nominale que le moteur peut développer à cette vitesse e) le couple nominal du moteur à cette vitesse
Figure 37-19 Pose d'un enroulement imbriqué dans le stator à 112 encoches d'une machine synchrone triphasée de 1150 kW, 5250V, 428,6 r/min (14 pôles), 50 Hz (gracieuseté de ABB) .
38 Moteurs monophasés
De tous les moteurs à courant alternatif, le moteur monophasé est celui qui nous est le plus familier, car il est utilisé dans les appareils ne requérant qu'une faible puissance, comme les machines-outils portatives et les appareils électro-ménagers . D'une façon générale, on doit l'utiliser dans les installations où l'on ne dispose pas de courant triphasé .
La Fig . 38-2 montre les principales étapes de la construction d'un stator à 4 pôles . Les 36 encoches sont d'abord isolées avec des feuilles isolantes, puis l'enroulement principal est installé (Fig . 38-2a, 38-2b) . Ensuite, l'enroulement auxiliaire est installé par dessus l'enroulement principal de façon à le chevaucher (Fig . 38-2c) .
Il existe une grande variété de moteurs monophasés adaptés à une multitude d'applications . Leur principe de fonctionnement est plus compliqué que celui des moteurs polyphasés . Nous étudierons dans ce chapitre quelques types importants, et plus particulièrement le moteur asynchrone monophasé que l'on rencontre le plus souvent . 38 .1
Construction d'un moteur asynchrone monophasé
Le moteur asynchrone monophasé se compose essentiellement d'un rotor à cage d'écureuil semblable à celui des moteurs triphasés, et d'un stator (Fig . 38-1) . Le stator porte un enroulement principal bobiné de façon à former des pôles dont le nombre détermine la vitesse de la machine . Il porte aussi un enroulement auxiliaire qui fonctionne seulement durant la brève période de démarrage. L'enroulement auxiliaire a le même nombre de pôles que l'enroulement principal .
Figure 38-1 Vue en coupe d'un moteur monophasé de 5 hp, 1725 r/min, 60 Hz, à démarrage par condensateur (gracieuseté de Goule .
660
MOTEURS MONOPHASÉS
Chaque pôle de l'enroulement principal est composé de 4 bobines concentriques, raccordées en série (Fig . 38-3a) . Les pôles adjacents sont connectés afin de créer des pôles contraires N,S . L'encoche vide située au mi-
661
lieu de chaque pôle, et les encoches partiellement remplies de chaque côté de celle-ci, servent à loger l'enroulement auxiliaire . Cet enroulement ne possède que deux bobines concentriques par pôle (Fig . 38-3b) .
Figure 38-2a Stator d'un moteur monophasé de 1/4 hp (187 W) . Les 36 encoches sont isolées par des feuilles de papier robuste qui empêchent tout contact électrique entre le noyau et les enroulements . Le rotor à cage d'écureuil est semblable à celui d'un moteur triphasé (gracieuseté de Lab-Volt) .
Figure 38-2b Les quatre pôles de l'enroulement principal sont enfilés dans les encoches et connectés en série .
Figure 38-2c Les quatre pôles de l'enroulement auxiliaire chevauchent ceux de l'enroulement principal (gracieuseté de Lab-Volt) .
662
ÉLECTROTECHNIQUE
un pas polaire < (180'), 10 20
ou 25 30 spires de fil n° 16
ns = vitesse synchrone du moteur [r/min]
0888
f = fréquence de la source [Hz] p = nombre de pôles Le rotor tourne à une vitesse légèrement inférieure à la vitesse synchrone . Pour les moteurs à puissance fractionnaire (moins de 1 hp) le glissement à pleine charge est généralement compris entre 3 % et 5 % . Exemple 38-1
Un moteur monophasé à 4 pôles . 60 H7 possède un glissement de 3 .5 % à pleine charge . Calculer sa vitesse de rotation .
(a)
Solution
La vitesse synchrone est : ns =
120 f
120 x 60
p
4
= 1800 r/min La vitesse est donnée par l'équation 33-2 :
90°-x, centre de centre de l'enroulement l'enroulement principal auxiliaire
n = ns (l - s)
= 1800 (1 - 0,035)
(b)
= 1737 r/min Figure 38-3 a . Les 4 bobines concentriques constituant chaque pôle de ce moteur monophasé à 4 pôles possèdent respectivement 10, 20, 25 et 30 spires de fil n° 16 . b . Les deux bobines concentriques constituant chaque pôle de l'enroulement auxiliaire possèdent chacune 25 spires de fil n° 22 .
La Fig . 38-4 montre le stator d'un moteur bipolaire . L'enroulement principal et le plus petit enroulement auxiliaire sont disposés à 90° l'un de l'autre . La raison de cet agencement sera expliquée plus loin . 38 .2
Vitesse synchrone
Tout comme pour les moteurs polyphasés, la vitesse synchrone d'un moteur asynchrone monophasé est exprimée par la formule :
ns =
120 f p
(38-1)
Figure 38-4 Stator d'un moteur bipolaire montrant les enroulements principal et auxiliaire . Le contact branché en série avec l'enroulement auxiliaire s'ouvre lorsque l'interrupteur centrifuge, monté sur l'arbre, atteint environ 75 % de la vitesse synchrone du moteur.
MOTEURS MONOPHASÉS
38.3 Couple en fonction de la vitesse La Fig . 38-5 représente schématiquement le rotor et l'enroulement principal d'un moteur asynchrone monophasé à deux pôles . Supposons que le rotor soit au repos . Quand une tension monophasée est appliquée à l'enroulement du stator, un flux 0s y prend naissance . Ce flux est alternatif, donc variable, mais il ne produit pas de champ tournant . Des courants alternatifs sont induits dans les conducteurs du rotor par la variation de ce flux . Lorsque le rotor est stationnaire, tous les conducteurs sont soumis à l'action d'une force électromagnétique F car ils sont parcourus par un courant et placés dans un champ . Cependant, le couple résultant est nul car les forces en regard l'une de l'autre sont respectivement égales mais agissent en sens contraires . Le moteur ne peut donc pas démarrer. Si maintenant le moteur est lancé à la main dans un sens ou dans l'autre, on constate que le rotor produit un couple qui fait accélérer le moteur dans le sens du lancement . Le moteur atteint rapidement une vitesse légèrement inférieure à la vitesse synchrone et s'y maintient . La Fig . 38-6 montre la courbe du couple en fonction de la vitesse lorsque l'enroulement principal est alimenté . Bien que le couple de démarrage soit nul, le moteur produit un couple de plus en plus puissant à mesure qu'il s'approche de la vitesse synchrone . Le couple atteint sa valeur maximale à environ 80 % de la vitesse synchrone, après quoi il redevient nul . 38.4 Principe de fonctionnement La théorie du fonctionnement du moteur asynchrone monophasé assez complexe et nous en donnons ci-après une version simplifiée . Les sections 38 .19 à 38 .21 en fin de chapitre explique la théorie des champs tournants ainsi que le circuit équivalent du moteur monophasé .
663
une FMM produisant un flux or. C'est l'action combinée de ces flux 0s et Or qui donne naissance au champ tournant . En effet, ces flux n'atteignent pas leurs valeurs maximales en même temps et comme ils sont
1[ l 120 V, 60 Hz source à c .a . Figure 38-5 Sens des courants et des forces agissant sur le rotor lorsqu'il est au repos .
Figure 38-6 Caractéristique du couple en fonction de la vitesse d'un moteur monophasé lorsque seul l'enroulement principal est excité .
Aussitôt que le moteur tourne, un champ tournant prend naissance ; ce champ résulte de l'action combinée de la FMM du stator et de la FMM produite par le courant circulant alors dans le rotor . En se rapportant à la Fig . 38-7, on voit qu'au moment où le moteur commence à tourner, une tension est induite dans chacun des conducteurs des sections abc et adc du rotor parce qu'ils coupent les lignes de force du flux 0s produit par la FMM du stator . Étant donné que tous les conducteurs sont court-circuités dans une cage d'écureuil, il s'ensuit que des courants de circulation Ir traversent les conducteurs de la cage et créent
Figure 38-7 Lorsque le rotor tourne, le flux os provenant du stator est coupé par les barres du rotor, ce qui engendre des courants Ir . Ces courants produisent un flux Or, en quadrature avec le flux os , produisant ainsi un champ tournant .
664
ÉLECTROTECHNIQUE
décalés de 90° dans l'espace, ils produisent un champ tournant comme celui d'un moteur diphasé . 38 .5 Démarrage par phase auxiliaire Le fonctionnement du moteur que nous venons d'étudier est satisfaisant une fois qu'il est en marche, mais le fait qu'il ne démarre pas seul constitue un grave inconvénient . C'est pourquoi on place sur le stator un enroulement auxiliaire qui rend possible le démarrage du moteur . Comme on l'a vu, cet enroulement possède le même nombre de pôles que l'enroulement principal, mais ses pôles sont décalés dans l'espace de 90° électriques par rapport aux pôles de l'enroulement principal (Fig . 38-8) . L'enroulement auxiliaire est généralement débranché au moyen d'un interrupteur centrifuge qui s'ouvre dès que la vitesse du moteur atteint approximativement 75 % de sa vitesse nominale (Fig . 38-9) . Quand l'enroulement principal et l'enroulement auxiliaire sont raccordés en parallèle à une source de tension alternative, l'enroulement principal produit un flux Os et l'enroulement auxiliaire, un flux oa . Si ces deux flux sont déphasés l'un par rapport à l'autre, il en résulte un champ tournant . On obtient un champ tournant parfait quand Os et Oa sont égaux et déphasés de 90° . Dans ces conditions, le couple de démarrage atteint sa valeur maximale et le moteur fonctionne en moteur diphasé . Cependant, comme on le verra plus loin, le déphasage est généralement inférieur à la valeur idéale de 90° . Dès que le démarrage est effectué et que l'enroulement auxiliaire est mis hors tension, le champ tournant se maintient, comme dans le cas d'un moteur lancé à la main . Le couple de démarrage à rotor bloqué est donné par l'expression :
partie fixe de l'interrupteur centrifuge
Figure 38-8 Courants et flux pendant le démarrage d'un moteur monophasé . Les enroulements principal et auxiliaire produisent ensemble un champ tournant .
avec l'enroulement auxiliaire . Selon le couple de démarrage désiré, cette impédance peut être une résistance, une inductance ou une capacitance . Le choix de l'impédance branchée en série avec l'enroulement auxiliaire distingue les divers types de moteurs monophasés disponibles sur le marché. Il arrive souvent que l'impédance soit incorporée dans le bobinage même de l'enroulement auxiliaire .
= courant dans l'enroulement principal [A] a = angle de déphasage entre I S et Ia [°] k = constante, dépendant de la construction du moteur
38 .6 Moteur à phase auxiliaire résistive Dans le moteur à phase auxiliaire résistive (Fig . 3810), l'enroulement principal comporte un nombre considérable de spires de gros fil . Sa réactance inductive est donc élevée et sa résistance est faible ; le courant IS qui y circule est donc fortement en retard sur la tension E. D'autre part, l'enroulement auxiliaire compte un nombre moindre de spires de fil fin . Sa résistance est donc plus élevée et sa réactance inductive plus faible que pour l'enroulement principal ; le courant Ia qui parcourt l'enroulement auxiliaire est presque en phase avec la tension E de la source.
Afin de produire un déphasage entre I S et Ia (donc entre Os et oa), on doit ajouter une impédance en série
Sur le diagramme vectoriel de la Fig . 38-10, on remarque que les courants IS et Ia , ainsi que les flux corres-
T = k Ials sin a
(38-2)
ou T = couple de démarrage [N .m] Ia = courant dans l'enroulement auxiliaire [A]
I,
665
MOTEURS MONOPHASÉS
Figure 38-9 À gauche : position de l'interrupteur centrifuge au repos . Dans cette position, le contact stationnaire en série avec l'enroulement auxiliaire est fermé . À droite : position de l'interrupteur centrifuge après le déclenchement . La force centrifuge agissant sur les masselottes rectangulaires exerce une pression contre les ressorts . Lorsque la force atteint une valeur critique, les ressorts sont comprimés et le mouvement axial du collier en plastique déplace le contact mobile, ce qui provoque l'ouverture de l'interrupteur .
pondants, sont bien déphasés . Ces deux flux peuvent donc produire le champ tournant nécessaire au démarrage du moteur. Le courant de démarrage IT tiré de la ligne est égal à la somme vectorielle des courants I s et Ia. Sa valeur est de 6 à 7 fois celle du courant nominal du moteur . En raison de la faible section du conducteur, la densité de courant dans l'enroulement auxiliaire est extrême-
ment élevée . Son échauffement est donc rapide . Pour que sa température n'atteigne pas une valeur dangereuse, il faut que l'interrupteur centrifuge le mette hors circuit en 1 ou 2 secondes ; si la période d'accélération dure plus de 5 secondes, on risque de brûler l'enroulement auxiliaire, à moins que le moteur soit protégé par un relais thermique . Ce type de moteur ne convient donc pas à des démarrages fréquents . Exemple 38-2
interrupteur centrifuge enroulement auxiliaire 70 spires/pôle fil #22
Soit un moteur à phase auxiliaire résistive de 1/4 hp (187 W), 1725 r/min, 115 V, 60 Hz . Lors d'un essai à rotor bloqué, effectué à tension réduite, on obtient les lectures suivantes : enroulement enroulement
a
a
s
enroulement principal 120 spires/pôle fil #16
tension appliquée courant puissance active Calculer :
principal
auxiliaire
E =23V
E =23V
= 60W
= 1,5 A =30 W
a) l'angle de déphasage (x entre I, et h b) le courant de ligne à rotor bloqué, sous une tension de 115 V E
Solution Calculons d'abord le déphasage entre I, et E, pour l'enroulement principal . a) Puissance apparente : S,=EI, =23x4 = 92 VA Figure 38-10 Moteur monophasé à phase auxiliaire résistive .
666
ÉLECTROTECHNIQUE
Facteur de puissance : co s
S
S = \l p 2 + Q 2
P. = ' = 60 - = 0,652 SS 92
= V 90 2 + 86,7 2 = 125 VA Le courant de démarrage à 23 V est donc :
donc, OS = arccos 0,652 = 49,3° 1(23 v) = S _ 125 = 5,43 A E 23
IS est en retard de 49,3° sur E Calculons maintenant le déphasage entre I a et E pour l'enroulement auxiliaire . La puissance apparente est :
Comme le courant est proportionnel à la tension, on en déduit le courant de démarrage à 115 V :
Sa = EIa = 23 x 1,5 = 34,5 VA
I, = 5,43 A x
Facteur de puissance: cos donc,
ça
°a
Exemple 38-3
30 = Pa = = 0,870 Sa 34,5 = arccos 0,870 = 29,5°
fa est en retard de 29,5° sur E
L'angle entre IS et Ia est donc : a = 0, - oa
115 V_ 27,2 A 23 V
= 49,3° - 29,5° = 19,8°
b) Afin de déterminer le courant dans la ligne, nous calculons d'abord les valeurs de P et Q absorbées respectivement par les deux enroulements, afin d'en déduire la puissance apparente totale S . Puissance active totale : P = P S +P a = 60+30 = 90W
L'enroulement auxiliaire d' un moteur à phase auxiliaire réaistive (Fi`= . 38-3) est composé de lil no 22 en cuivre . On laisse le moteur fonctionner pendant quelques heure, . puis on J'arrête et on constate que la température de ses enroulements est de 70 ° C . On fait repartir le moteur avant qu'il ait le temps de refroidir. Le courant de démarrage dans l'enroulement auxiliaire est de 16 A . Pendant comhien de temps cet enroulement petit-il étre alimenté .,,achant que sa température ne doit pas dépasser 150 ('
Solution On calcule d'abord le 122t permissible en utilisant l'équation (10-5) : I
a z
2 t
234 + 00
Puissances réactives QS et Q a des enroulements : On a :
Qs
234 + 0m
= 11,5 x 10 A 1og 10 éq . 10-5
A = 0,324 mm` (Appendice, Tableau A-4) 00 = 70°C et 0,,, = 150 °C
= ~ 92 2 - 602 2
Qa =
=
69,7 var d'où
2
a - Pa
= ~ 34,5 2 - 30 2
=
17,0 var
Puissance réactive totale absorbée par le moteur : Q = Qs + Qa
= 69,7 +17,0 = 86,7 var
4 (234 + 150) 1 2t = 11,5 x 10 x 0,3242 logea 234 + 70 = 1225 A2 s Comme le courant de démarrage est de 16 A, le temps maximal est: t _ 1225
Puissance apparente totale : 12
=
1225 = 1225 = 4,8s 2 256 16
MOTEURS MONOPHASÉS
38 .7 Moteur à démarrage par condensateur Le moteur à démarrage par condensateur (Fig . 38-11) ressemble au moteur à démarrage par phase auxiliaire résistive . Cependant, son enroulement auxiliaire a pratiquement autant de spires mais de fil plus petit que l'enroulement principal . De plus, un condensateur est connecté en série avec l'enroulement auxiliaire . Un interrupteur centrifuge met la phase auxiliaire hors circuit lorsque la vitesse atteint environ 75 % de la vitesse nominale . La réactance capacitive du condensateur est choisie de façon que le courant Ia dans la phase auxiliaire soit déphasé en avance sur la tension appliquée E. Le courant dans la phase principale est évidemment en retard sur la tension (Fig . 38-11) . On réussit ainsi à obtenir un déphasage a entre les courants I a et IS (donc entre les flux et OS) plus grand que dans le cas du moteur r a
interrupteur centrifuge C
enroulement auxiliaire 100 spires/pôle fil #22
C enroulement principal 120 spires/pôle fil #16
s
667
à phase auxiliaire résistive . Le couple de démarrage est donc plus fort (éq . 38-2), ce qui diminue la durée du démarrage, ainsi que le temps t a pendant lequel l'enroulement auxiliaire demeure en circuit . De plus . comme le courant Ia est plus petit, le facteur d'échauffement est beaucoup plus faible que pour le moteur à phase auxiliaire résistive . Son enroulement auxiliaire chauffe donc moins . On se souviendra (chapitre 10, section 10-17) que lorsqu'un courant circule pendant une courte période, c'est le facteur qui détermine l'échauffement d'un conducteur . 12 t
Izt
Le moteur à démarrage par condensateur offre donc le double avantage de produire un plus grand couple de démarrage et de tirer un plus petit courant de démarrage . Ce courant IT représente seulement 4 ou 5 fois le courant de pleine charge . Le démarrage peut donc se faire dans des conditions plus difficiles qu'avec le moteur à phase auxiliaire résistive. Seules les caractéristiques de démarrage de ce moteur sont supérieures à celles du moteur à phase auxiliaire résistive ; en marche normale, les deux types de moteurs ont exactement les mêmes caractéristiques car seul l'enroulement principal du stator reste actif . L'emploi très répandu des moteurs à démarrage par condensateur (Fig . 38-14) est dû au perfectionnement des condensateurs électrolytiques à c .a . peu coûteux et offrant de fortes capacitances pour de faibles encombrements . Bien que ces condensateurs ne puissent pas rester continuellement sous tension, ils conviennent très bien à un usage intermittent . Avant l'apparition de ces condensateurs, on avait recours aux moteurs à répulsion-induction (à collecteur) dans les applications requérant un fort couple de démarrage . 38 .8 Caractéristiques en charge des moteurs asynchrones Le rendement et le facteur de puissance des moteurs asynchrones monophasés à puissance fractionnaire est habituellement bas . Ainsi, à pleine charge, un moteur de 186 W (1/4 hp) a un rendement et un facteur de puissance de l'ordre de 60 % .
Figure 38-11 Moteur à démarrage par condensateur.
En raison du courant d'excitation élevé, le courant à vide est compris entre 70 % et 90 % du courant de pleine charge. Par conséquent, même pour la marche à vide, ces moteurs atteignent un échauffement se rapprochant de la moitié de celui à pleine charge .
668
ÉLECTROTECHNIQUE
1370 r/min
N •m 10
9 5N•m '-.
h 8 m
n
oU.
6
T
4
3,4 N •m 2,8 N •m
o
pleine charge 1760 r/min i .
2
00
200
400
600
800
1000
1200 1400 1600 1800 r/min
vitesse n Figure 38-12 Courbes du couple en fonction de la vitesse d'un moteur monophasé à démarrage par condensateur ; capacité : 250 W, 115 V, 60 Hz, isolation classe 105 °C, CEMA classe N .
Le tableau 38-1 donne les caractéristiques d'un moteur asynchrone monophasé à démarrage par condensateur, ayant une capacité de 250 W (1/3 hp), 1760 r/min, 115 V, 60 Hz . De plus, on donne à la Fig . 38-12, les courbes du couple en fonction de la vitesse pour ce même moteur . On constate que pendant la période d'accélération, l'enroulement principal et l'enroulement auxiliaire produisent ensemble un couple très élevé comparativement au couple nominal de la machine. Par conséquent, à moins que l'inertie de la charge soit très élevée, le moteur atteint sa vitesse nominale en une fraction de seconde .
D'où provient cette vibration? Elle résulte du fait qu'un moteur monophasé reçoit une puissance électrique pulsative alors qu'il débite une puissance mécanique constante . Considérons le moteur de 250 W dont les caractéristiques sont données au tableau 38-1 . Le courant de pleine charge est de 5,3 A et comme le FP est
Lorsque le rotor atteint une vitesse de 1370 r/min, l'interrupteur centrifuge s'ouvre et le moteur tombe subitement sur la caractéristique couple-vitesse de l'enroulement principal seul . Le couple diminue subitement de 9,5 N-m à 2,8 N •m , mais le moteur continue à accélérer jusqu'à une vitesse de 1760 r/min, correspondant à la vitesse de pleine charge .
isolation classe 105 °C, CEMA classe N
38.9
Vibration des moteurs monophasés
Si l'on met la main sur le stator d'un moteur monophasé en marche, on sent des vibrations rapides même lorsque le moteur tourne à vide . Ces vibrations n'existent pas dans le cas des moteurs diphasés et triphasés et, par conséquent, ces machines sont moins bruyantes .
TABLEAU 38-1
CARACTÉRISTIQUES D'UN MOTEUR MONOPHASÉ À DÉMARRAGE PAR CONDENSATEUR
250 W, 1760 r/min, 115 V, 60 Hz
Pleine charge
À vide
Tension
115V
Tension
Puissance
250 W
Courant
115V 4,0 A
Courant
5,3 A
Pertes
105 W
FP
64%
Au démarrage
Rendement 63,9%
Tension
Vitesse
1760 r/min
Courant Is
Couple
1,35 N-m
115V 23 A
Courant Ia
19 A
Au décrochage
Courant IT
29 A 6 N-m
Couple
3,4 N-m
Couple
Vitesse
1600 r/min
Condensateur 320 pF
Courant
13 A
MOTEURS MONOPHASÉS
de 64 %, il est déphasé de 50° en arrière de la tension . La puissance apparente est
669
p = 1223 sin 80° sin (80° - 50°) = 1223 x 0,985 x 0,5 = 602 W
S=EI=115Vx5,3A=610 VA En choisissant des angles entre 0° et 360°, on découvre que la puissance instantanée oscille entre une valeur crête de + 1000 W et une valeur minimale de -218 W, passant périodiquement par des valeurs nulles . La valeur moyenne de cette puissance, soit 390 W, correspond à la puissance absorbée par le moteur. Lorsque la puissance est positive, le moteur reçoit de l'énergie; lorsqu'elle est négative, le moteur renvoie de l'énergie dans le réseau. Par contre, la puissance mécanique débitée par le moteur dépend de la charge ; or, celle-ci demeure constante et reste égale à 250 W .
et la puissance active est P=SxFP=610x0,64=390W Bien que le moteur absorbe 390 W, il ne débite qu'une puissance mécanique de 250 W . La différence est due aux pertes dans le moteur. Cette information donne une vue globale du fonctionnement du moteur. Afin d'expliquer la source des vibrations, il faut examiner la puissance instantanée livrée à la machine . Pour ce faire, traçons sur un même graphique les ondes de la tension E et du courant I, puis calculons la puissance électrique instantanée p fournie au moteur (Fig . 38-13) . Ainsi, la tension et le courant sont:
Il est évident que le moteur ralentit pendant les périodes où la puissance électrique est négative ou nulle . Par contre, il accélère lorsque la puissance électrique qu'il reçoit est supérieure à la somme des pertes et de la puissance mécanique (250 W) . Ces périodes d'accélération coïncident avec les sommets de la courbe de puissance instantanée . Remarquer que les périodes d'accélération/décélération se répètent 2 fois par cycle, soit tous les 1/120e de seconde sur un réseau à 60 Hz . Il en résulte des vibrations du stator et du rotor à une fréquence double de celle du réseau électrique .
E = 115 1 sin 0 = 163 sin 0
I = 5,3 i sin (0- 50°) = 7,5 sin (0- 50°) La puissance instantanée est égale au produit EI, soit : p = 163 sin 6 x 7,5 sin (0 - 50°) = 1223 sin 0 sin (0 - 50°) Par exemple, lorsque 0= 80° on obtient :
1 120 s
+1000 W
163 V ~,
a El
w
puissance mécanique - 250 kW
~/
- P = 390 W = P active absorbée i
i
i 0 mangle 0
1 0
360
--218 W
degrés
i
Ee ff = 115 V Ecrête = 163 V \ Ieff = 5,3 A Icrête = 7,5 A \~ !
1 cycle
1 15 V 500 ~ 5,3 A
Figure 38-13 Puissance électrique instantanée P absorbée par un moteur lorsqu'il débite une puissance mécanique constante de 250 W .
670
ÉLECTROTECHNIQUE
Les vibrations du stator sont transmises au support auquel il est fixé et peuvent parfois créer des bruits inacceptables . Pour éviter cela, on intercale, entre les deux flasques du moteur et son support, un anneau en caoutchouc qui assure un isolement mécanique (Fig . 38-14) . Pour les mêmes raisons, on doit parfois intercaler un anneau de caoutchouc entre l'arbre du moteur et la charge qu'il entraîne (un ventilateur, par exemple) . Les moteurs triphasés ne vibrent pas car, comme on l'a vu au chapitre 26, section 26 .14, la puissance instantanée totale qu'ils reçoivent des trois phases est constante .
rage par condensateur car il ne comporte pas d'interrupteur centrifuge . Son couple de démarrage est généralement faible . Le moteur agit comme un véritable moteur diphasé seulement lorsqu'il fonctionne à pleine charge . Dans ces circonstances, les flux rp a et 0s créés par les deux enroulements sont égaux et déphasés de 90° . Par conséquent, pour ce type de moteur, la vibration qui caractérise les moteurs monophasés est éliminée lorsqu'il fonctionne à pleine charge . Cependant, la vibration réapparaît aux faibles charges .
38.10
Moteur à condensateur permanent Le moteur à condensateur permanent est essentiellement un moteur diphasé ; il comporte un enroulement auxiliaire en série avec un condensateur à papier imprégné d'huile (Fig . 38-15) . La phase auxiliaire, aussi bien que la phase principale, reste alimentée par la source tant que le moteur est en marche . On emploie ce moteur particulièrement silencieux dans les hôpitaux, les studios radiophoniques, etc ., pour entraîner des charges constantes . Son facteur de puissance est très bon et sa construction mécanique est plus simple que celle des moteurs à phase auxiliaire et à démar-
Figure 38-14 Moteur à démarrage par condensateur, à suspension antivibratoire . Le condensateur électrolytique est monté sur le bâti du moteur (gracieuseté de Crompton Parkinson) .
Ec
+, E
S
C
Figure 38-15 Schéma d'un moteur de 30 W, 1720 r/min, 120 V, 60 Hz à condensateur permanent . Le diagramme vectoriel représente les conditions à pleine charge .
MOTEURS MONOPHASÉS
En raison de son faible couple de démarrage, on rencontre ce type de moteur seulement dans les puissances de 500 W ou moins . Il existe cependant des moteurs possédant deux condensateurs : un condensateur électrolytique et un autre imprégné d'huile . Le condensateur électrolytique possède une grande capacitance, assurant ainsi un fort couple de démarrage . Dès que le moteur atteint 75 % de sa vitesse synchrone, le condensateur électrolytique est débranché . Alors le condensateur à l'huile, de plus faible capacitance, demeure seul en permanence en série avec l'enroulement «auxiliaire» . On construit ce genre de moteur particulièrement silencieux et à rendement supérieur, pour des puissances allant jusqu'à 15 kW (20 hp) . 38.11 Inversion du sens de rotation Pour inverser le sens de rotation des moteurs monophasés discutés jusqu'ici on doit intervertir les bornes de l'enroulement principal ou de l'enroulement auxiliaire . Cependant, si le moteur contient un interrupteur centrifuge, on ne peut pas changer la rotation lorsque le moteur est en marche . Si l'on intervertit les bornes de l'enroulement principal, le moteur continuera à tourner dans le même sens .
enroulements sont identiques . Lorsque le commutateur est en position 1 la tension de la ligne apparaît aux bornes de l'enroulement A et le condensateur est en série avec l'enroulement B . Dès que le commutateur bascule en position 2, le moteur ralentit, arrête, puis retourne à pleine vitesse dans le sens opposé . 38 .12
Moteur à bagues de court-circuit («Shaded-pole motor») Le moteur à bagues de court-circuit (Fig . 38-17 et 38-18) est très répandu dans les puissances inférieures à 50 W car il ne contient pas de phase auxiliaire conventionnelle . Dans ce petit moteur monophasé à cage, l'enroulement auxiliaire est constitué d'une seule spire de cuivre en court-circuit - en forme de bague - disposée autour d'une portion de chaque pôle saillant . Cette spire entoure une partie $2 du champ alternatif 0 1 créé par l'enroulement principal, de sorte qu'un courant alternatif est induit dans la bague . Ce courant produit un flux 0, qui est déphasé en arrière des flux 02 et 0, Ce déphasage des flux 4a et 0s produit un champ tournant suffisant pour assurer le démarrage . Même si le couple de démarrage, le rendement et le FP sont faibles, la simplicité du bobinage et l'absence d'interrupteur centrifuge donnent à ce type de moteur un avantage marqué. Le sens de rotation de ce moteur ne peut être changé ; il est imposé par la position des bagues .
Dans le cas du moteur à condensateur permanent, on peut inverser le sens de rotation parce que les deux enroulements sont toujours en service . Ainsi, un simple commutateur à 2 pôles permet de changer la rotation (Fig . 38-16) . Dans ce type de moteur, les deux
1
X O
Y Figure 38-16 Moteur réversible à condensateur permanent .
671
Figure 38-17 Construction d'un moteur à bagues de court-circuit .
672
ÉLECTROTECHNIQUE
Le tableau 38-2 donne les caractéristiques d'un moteur à bagues de court-circuit développant une puissance mécanique de 6 W.
Solution Le rendement à pleine charge est : P2
Exemple
P,
Calculer le rendement et le glissement p Bine charge du moteur décrit dans le tableau 38-2 .
TABLEAU 38-2
x 100 =
11 =
38-4
Le glissement est : S =
CARACTÉRISTIQUES D'UN MOTEUR À BAGUES DE COURT-CIRCUIT DE 6W,115V,60HZ
À vide courant puissance absorbée vitesse
0,26 A 15 W 3550 r/min
Au démarrage courant puissance absorbée couple
0,35 A 24 W 10 mN •m
En charge courant nominal puissance absorbée vitesse nominale couple nominal puissance mécanique vitesse de décrochage couple de décrochage
0,33 A 21 W 2900 r/min 19 mN •m 6W 2600 r/min 21 mN •m
Figure 38-18 Moteur à bagues de court-circuit ayant une capacité de 5 millihorsepower, 115 V, 60 Hz, 2900 r/min (gracieuseté de Gould) .
6 W x 100 = 28,6 % 21 W
us - n u
_
s
3600 - 2900 3600
0,194 = 19,4 % 38 .13
Moteur série
Le moteur série monophasé est du type à collecteur. À l'exception du circuit magnétique qui est entièrement lamellé pour réduire les pertes par courants de Foucault, il est identique au moteur série à courant continu (section 28 .10) . Il peut fonctionner indifféremment en courant alternatif ou en courant continu ; c'est pourquoi on lui donne souvent le nom de moteur universel . Quand une tension alternative est appliquée aux bornes du moteur série, le même courant circule dans l'induit et dans les pôles du moteur. Le courant d'induit de même que le flux produit par les pôles changent donc de sens périodiquement et simultanément . Par conséquent, le couple produit dans le rotor agit toujours dans le même sens (Fig . 38-19) . Ce moteur ne produit pas de champ tournant ; son principe de fonctionnement est le même que celui du moteur série à courant continu et il possède les mêmes caractéristiques de base .
Figure 38-19 Schéma d'un moteur série à courant alternatif . La construction est typique d'un moteur à puissance fractionnaire tournant à haute vitesse .
MOTEURS MONOPHASÉS
Le principal avantage des moteurs série à puissance fractionnaire réside dans leur vitesse élevée . Ils conviennent donc à l'entraînement des aspirateurs domestiques et aux petites machines-outils . À vide, ces moteurs atteignent des vitesses de l'ordre de 10 000 à 15 000 r/min ; la vitesse chute en flèche lorsque le moteur est chargé . À cause de sa vitesse élevée et, par conséquent, de son faible couple, ce type de moteur est moins volumineux et moins lourd que les autres types de moteurs monophasés de même puissance . Cet avantage est exploité dans les outils portatifs où le poids et l'encombrement sont particulièrement importants . La Fig . 38-20 donne les graphiques de la vitesse, du courant et du rendement d'un moteur série de faible puissance . On utilisait autrefois, pour l'entraînement de locomotives électriques, des moteurs série monophasés de quelques centaines de kilowatts fonctionnant à une fréquence de 16 2/3 Hz . La mise en marche en était rapide car, aux faibles vitesses, le couple était élevé ; sur terrain plat, ils pouvaient atteindre une grande vitesse .
12 000
50 . .
• •
8000
e 6000
rendement
r~ '
E
Le moteur à répulsion-induction est un moteur à collecteur offrant, à la fois, le fort couple de démarrage du moteur série et la vitesse quasi constante du moteur asynchrone . À cause de son coût élevé, il est remplacé maintenant par le moteur à démarrage par condensateur, si bien qu'aujourd'hui on rencontre rarement ce type de moteur. 38 .15
Moteur à hystérésis
Dans certaines applications, comme dans les horloges, le moteur doit tourner à la vitesse synchrone . Le moteur à hystérésis offre alors un choix intéressant . Pour comprendre le fonctionnement de ce type de moteur, considérons la Fig . 38-21 . Un rotor stationnaire est entouré de deux aimants permanents N, S que l'on peut faire tourner dans le sens horaire . Ils représentent le champ tournant provenant du stator d'un moteur quelconque . Le rotor est composé d'un matériau magnétique en céramique possédant une grande force coercitive, comme celle d'un aimant permanent (section 15 .5) . Sa résistance élevée empêche la circulation des courants de Foucault; par conséquent, il est impossible pour ce moteur de fonctionner comme moteur asynchrone .
300
courant
4000
200
p AFUMalo
2000 id
I 0
mA 400
40
Moteur à répulsion-induction
Les pôles N, S produisent un flux qui traverse le rotor . Par conséquent, lorsque les pôles tournent, ils réorientent continuellement les domaines magnétiques à l'intérieur du rotor. Il est évident que chacun des domaines subira un cycle complet d'aimantation chaque fois que les aimants exécutent un tour . Il s'ensuit que des pertes par hystérésis sont produites dans le rotor, et ces pertes sont proportionnelles à la surface de la courbe d'hystérésis (section 15 .14) . Les pertes sont dissipées sous forme de chaleur dans le rotor.
r/min 14 000
10 000
38.14
673
0
-- couple 10 20 couple
s 100
nominal 30 mN m
40
0
Figure 38-20 Courbes de la vitesse, du courant et du rendement en fonction du couple d'un moteur série universel de 1/100 hp, 8000 r/min, 115 V, 60 Hz .
rotation Figure 38-21 Deux pôles N,S qui tournent autour d'un rotor en ferrite possédant une grande force coercitive, exercent un couple constant sur ce rotor. C'est le principe du moteur à hystérésis .
674
ÉLECTROTECHNIQUE
Supposons que les pertes par hystérésis soient de W H joules par tour et que les aimants tournent à une vitesse de n tours par minute. L'énergie dissipée dans le rotor en une minute est donc nWH joules . Ceci équivaut à une puissance (dissipée sous forme de chaleur) de : P H = nWH /60 [watts]
Cependant, la puissance dissipée dans le rotor peut seulement provenir de la puissance mécanique déployée par les aimants tournants . Or, cette puissance est donnée par l'expression : P = nT/9,55
éq . 3-5
où T = couple requis pour entraîner les aimants .
Figure 38-22 Caractéristiques du couple en fonction de la vitesse : (a) d'un moteur à hystérésis, et (b) d'un moteur asynchrone triphasé .
Comme P = P H , on obtient : nT/9,55 = nWH /60
d'où
T =
Wh (38-3) 6,28
où T = couple exercé sur le rotor [N .m] = énergie dissipée par hystérésis, par tour [J/r] 6,28 = constante [valeur exacte = 2,r] Wh
L'équation 38-3 révèle une propriété remarquable du moteur à hystérésis : le couple requis pour entraîner les aimants N, S est constant, et indépendant de la vitesse de rotation . Ce couple est évidemment égal au couple exercé sur le rotor. Donc, que les aimants exécutent un tour/heure ou 1800 tours/minute, le couple exercé sur le rotor reste le même . De plus, un couple se manifeste même lorsque les aimants N, S sont stationnaires par rapport au rotor. Il suffit que l'axe des pôles rémanents du rotor soit décalé par rapport à l'axe des pôles N, S (Fig . 38-21) .
Comme la fréquence des grands réseaux de distribution est très stable, les moteurs à hystérésis sont utilisés dans les horloges et les minuteries de précision (Fig . 38-23) .
Ces moteurs sont aussi employés dans les dispositifs à grande inertie, comme les platines tourne-disque, où une vitesse constante est requise . Comme on le verra plus loin, l'inertie peut empêcher les autres moteurs synchrones comme les moteurs à réluctance d'atteindre le synchronisme car leur rotor doit subitement s'accrocher au champ tournant . Le moteur à hystérésis n'impose pas cette transition brusque, parce qu'il développe un couple constant jusqu'à la vitesse synchrone . De plus, on peut éviter toute vibration en utilisant un stator à condensateur permanent .
C'est cette propriété fondamentale qui distingue les moteurs à hystérésis des autres types de moteurs . En pratique, le champ tournant est créé par un stator triphasé ou par un stator monophasé muni d'un enroulement auxiliaire . Comme l'indique la Fig . 38-22, le couple reste pratiquement égal au couple de démarrage jusqu'à la vitesse synchrone . Le processus d'accélération est donc bien différent de celui d'un moteur asynchrone à cage d'écureuil, dont le couple tend vers zéro à mesure que la vitesse s'approche de la vitesse synchrone .
Figure 38-23 Moteur à hystérésis pour horloge, composé d'une seule bobine produisant 32 pôles qui font tourner un rotor en ferrite .
MOTEURS MONOPHASÉS
675
Exemple 38-5
Un moteur i hysterésis utilisé dans une horloge possède 32 pôles . Les pertes par hy stérésis dans le rotor sont de 0 .8 J par tour . calculer : a) le couple d'accrochage et de décrocha e b) la puissance maximale développée par le moteur et les pertes dans le rotor lorsqu'il tourne la vitesse synchrone
O O
O O O
Là
O O O
Solution
a) Les couples d'accrochage et de décrochage d'un moteur à hystérésis sont à peu près égaux : Wh = 0,8 J
T =
6,28
6,28 le moteur à réluctance variable a l'avantage de coûter moins cher que tout autre type de moteur synchrone .
= 0,127 N •m b) Vitesse synchrone : n5 =
120 f
120 x 60
p
32
= 225 r/min Puissance maximale : p
nT
225 x 0,127
9,55
9,55
3 W (ou 3/746 = 4 millihorsepower) c) Lorsque le moteur tourne à la vitesse synchrone, les pertes dans le rotor sont nulles parce que les domaines magnétiques ne se renversent plus . 38 .16
Figure 38-24 Rotor à cage d'écureuil utilisé dans un moteur à réluctance variable .
Moteur synchrone à réluctance variable
On peut construire un moteur synchrone à réluctance variable en meulant un rotor à cage d'écureuil pour former des pôles saillants . Le nombre de pôles ainsi formés doit être égal au nombre de pôles du stator . La Fig . 38-24 montre un rotor ayant 4 pôles saillants . Le moteur à réluctance variable démarre comme un simple moteur à induction mais, lorsqu'il s'approche de la vitesse synchrone, les pôles saillants s'accrochent au champ tournant . Il en résulte que le moteur tourne à la vitesse synchrone . Les couples d'accrochage et de décrochage sont plutôt faibles, et le moteur ne peut pas porter à la vitesse synchrone une charge possédant une inertie appréciable. En dépit de cet inconvénient,
Pour les puissances plus importantes, il s'adapte bien aux systèmes d'entraînement à fréquence variable . Dans ce genre d'entraînement, l'inertie ne crée pas de problème car le rotor demeure toujours en synchronisme avec le champ tournant . C'est ainsi que l'on construit les moteurs à réluctance variable atteignant plusieurs centaines de kilowatts . 38 .17
Choix des moteurs monophasés En raison de son bas prix, le moteur asynchrone à phase auxiliaire résistive est le moteur monophasé le plus utilisé . On ne l'emploie, cependant, que dans les applications qui requièrent un couple de démarrage moyen et où les démarrages sont peu fréquents . Il est surtout utilisé pour des puissances comprises entre 60 W et 250 W(= 1/12 hp à 1/3 hp) . On utilise ce type de moteur pour entraîner des ventilateurs, des pompes centrifuges, des machines à laver, des brûleurs, de petites machines-outils telles que les tours, les meules, etc . Le moteur à démarrage par condensateur est utilisé dans les applications qui nécessitent un fort couple de démarrage ou lorsque la charge possède une grande inertie. Il est construit pour des puissances allant de 120 W à 15 kW(= 1/6 hp à 20 hp) . Il peut entraîner un compresseur, un gros ventilateur, une pompe à pistons, etc . Enfin, on trouve sur le marché un grand choix de moteurs synchrones monophasés . Ils sont généralement de faible puissance (10 W ou moins) et servent à entraîner des horloges ou des minuteries . Leur mise en marche est souvent assurée par un stator à bagues de court-circuit .
676
ÉLECTROTECHNIQUE
38.18 Systèmes d'entraînement synchro Dans certains types de commandes à distance, on doit manipuler un dispositif, comme une vanne ou un rhéostat. Si le dispositif est situé à un ou deux mètres de distance, un simple arbre flexible permet de résoudre ce problème . Cependant, si le rhéostat se trouve à 100 m, cette solution n'est pas pratique . Dans ces circonstances, on peut utiliser un arbre «électrique» pour relier le rhéostat au bouton de commande . Comment réalise-t-on ce type de commande? Considérons deux moteurs triphasés à rotor bobiné dont les stators sont connectées en parallèle (Fig . 38-25) . On remarque que deux des trois phases des rotors sont aussi raccordées en parallèle, et branchées à une source de tension monophasée . Ce système possède une caractéristique remarquable : si les rotors sont libres de tourner, le rotor d'une machine suit automatiquement le mouvement de l'autre . Par exemple, si on fait tourner le rotor A de 17° dans le sens horaire, le rotor B tournera de 17° dans le même sens . Ce système permet donc de contrôler le rhéostat à distance . Pour réaliser ce système, deux moteurs miniatures à rotor bobiné sont requis . L'essieu du premier (le transmetteur) est couplé à la poignée de commande, et le second (le récepteur) est couplé au rhéostat . Un câble à cinq conducteurs (a, b, c, 1, 2) constitue «l'arbre électrique» reliant le transmetteur et le récepteur .
Le principe de fonctionnement de cette commande synchro s'explique comme suit . Supposons que le récepteur et le transmetteur soient identiques et que les rotors occupent la même position . Lorsqu'on les excite, les rotors se comportent comme les primaires de transformateurs, induisant des tensions dans les trois enroulements de chacun des stators . Les tensions induites dans les trois enroulements du transmetteur n'ont pas la même valeur car les enroulements sont décalés de 120° . De plus, contrairement à une machine alimentée en triphasé, ces tensions ne sont pas déphasées de 120°, mais elles sont toutes en phase avec la tension E de la source . Il est de même pour les tensions induites dans le stator du récepteur . Lorsque les deux rotors occupent la même position par rapport à leur stator respectif, les tensions induites dans les deux stators (considérées phase par phase) sont égales et en phase . Les tensions de chaque phase étant parfaitement équilibrées, les courants dans les lignes a, b, c sont nuls . Toutefois, les rotors tirent un faible courant d'excitation Io qui produit le flux . Si l'on fait tourner le rotor du transmetteur de quelques degrés, les tensions induites dans le stator changent ; par conséquent, des courants Ia, Ib, le commencent à circuler entre les deux stators . Ces courants exercent un couple qui tend à aligner les rotors . Comme le rotor du récepteur est libre de tourner, il s'alignera avec celui du transmetteur. Dès que les deux rotors sont par-
--i Ia
récepteur
Figure 38-25 Composants d'un système synchro .
MOTEURS MONOPHASÉS
677
faitement alignés, les tensions induites dans les stators se rééquilibrent (phase par phase) et les courants Ia, Ib, II disparaissent. Certains synchros servent à indiquer seulement la position d'une antenne, d'un canon ou d'un robot . Dans ce cas, le couple à exercer est très faible . Les transmetteurs et récepteurs sont alors construits avec une grande précision afin que la position du dispositif soit fidèlement reproduite dans la salle de commande . CIRCUIT ÉQUIVALENT D'UN MOTEUR MONOPHASÉ À CAGE
Figure 38-26 Circuit équivalent d'une phase d'un moteur asynchrone triphasé rapporté au primaire (stator) .
Dans le chapitre 35 nous avons développé le circuit équivalent pour une phase d'un moteur asynchrone triphasé (Fig . 35-5) . Nous reproduisons ce circuit à la Fig . 38-26 . Nous utiliserons ce modèle triphasé pour développer le circuit équivalent d'un moteur monophasé . 38 .19
Répartition de la FMM
Afin d'améliorer le couple de démarrage, le rendement, le facteur de puissance et le niveau de bruit d'un moteur monophasé, la force magnétomotrice (FMM) produite par chaque pôle du stator doit être répartie sinusoïdalement. Pour cette raison, on utilise un nombre de spires différent (10, 20, 25 et 30 spires) dans les quatre bobines concentriques montrées à la Fig . 38-3a . Examinons la FMM créée par un des quatre pôles lorsqu'il porte un courant, disons, de 2 A . Le tableau 38-3 montre la répartition de la FMM produite par le pôle compris entre les encoches 1 et 9, soit la largeur d'un pas polaire . Par exemple, la bobine de 25 spires logée dans les encoches 2 et 8 (Fig . 38-27) produit entre ces encoches une FMM de 25 x 2 A = 50 A (ou 50 ampères-tours) . De la même façon, la bobine de 10 spires placée dans les encoches 4 et 6 produit entre ces encoches une FMM de 10 x 2 A = 20 A . On constate que la FMM totale créée au milieu du pôle est de 60 + 50 + 40 + 20 = 170 A, et qu'elle décroît par échelons de chaque côté du centre . Nous avons superposé sur cette figure une FMM «idéale» continue dont la distribution est parfaitement sinusoïdale . On observe que la FMM en escalier suit d'assez près la courbe continue, si bien qu'on peut la remplacer par une FMM sinusoïdale sans introduire une erreur significative .
Figure 38-27 Répartition de la force magnétomotrice sous un pôle lorsque le courant est de 2 A .
TABLEAU 38-3
FMM POLAIRE
pas
spires
FMM
1 -9
30
2x30=60A
2-8
25
2x25=50A
3-8
20
2x20=40A
4-6
10
2x10=20A
Le courant circulant dans les quatre bobines varie sinusoïdalement à une fréquence de 60 Hz . Par conséquent, la FMM varie dans les mêmes proportions . Par exemple, lorsque la valeur instantanée du courant est de 0,4 A, la répartition de la FMM demeure sinusoïdale, mais sa valeur maximale au centre de chaque
678
ÉLECTROTECHNIQUE
pôle sera de 0,4 A x 85 spires = 34 A . Un instant plus tard, lorsque le courant change de sens pour prendre une valeur, disons, de -1,2 A, la FMM s'inverse aussi, devenant -1,2 A x 85 spires =-102 A . Les pôles adjacents génèrent la même FMM mais de polarité magnétique contraire . Le courant alternatif crée donc une FMM pulsatoire, répartie sinusoïdalement le long des pôles, et dont l'amplitude varie sinusoïdalement avec le temps . Contrairement à la FMM d'un moteur triphasé, la FMM d'un moteur monophasé ne tourne pas, mais demeure fixe et son amplitude est pulsatoire . 38.20
FMM tournantes dans un moteur monophasé
On peut prouver qu'un champ stationnaire mais pulsatoire ayant une FMM crête de M ampères, peut être remplacé par deux champs qui tournent en sens contraire à la vitesse synchrone . L'amplitude des champs tournants est constante et égale à M/2 ampères . Par exemple, le champ pulsatoire de la Fig . 38-27 qui atteint des valeurs crêtes de ± 170 A, peut être remplacé par deux champs de 85 A tournant en sens inverse à 1800 r/min . Les champs tournants sont eux aussi répartis sinusoïdalement dans l'espace . Au fur et à mesure que les champs tournants occupent une position nouvelle, la somme de leurs FMM à un endroit donné est précisément égale à la FMM du champ pulsatoire à cet endroit, à cet instant . Cela apparaît clairement sur la Fig . 38-28 . Elle montre une portion des champs tournants (fmm( +) et fmm(_)) se déplacant respectivement à gauche et à droite du champ pulsatoire stationnaire . Les champs fmm(+) et fmm(_) produisent le même effet sur le rotor que le champ tournant d'un moteur triphasé . Par convention, le champ fmm( + ) se déplace dans le même sens que le rotor . Pour cette raison, on l'appelle champ direct. L' autre champ fmm(_) porte le nom de champ inverse. On peut donc s'attendre que le circuit équivalent d'un moteur monophasé ressemble à celui d'un moteur triphasé . Toutefois, comme le champ fmm(_) tourne en sens contraire, son effet sur le rotor sera différent . En particulier, si le glissement est s par rapport au champ fmm(+), il sera (2 - s) par rapport au du champ fmm(_) .
M=170A fmm pulsatoire M=85A fmm (+) 2
-90°60 30 0 30 60+90°
t=0
fmm(_)
85A
85A
-90,
0
t=1
85A >fmm(+) +90'
6f 85A
85 A fmm(_ -s--'
B OA -90°
+ i0t=1,
Figure 38-28 Une FMM pulsatoire ayant une valeur crête de 170 A, peut être représentée par deux champs tournant en sens contraire et dont la FMM crête est de 85 A . La figure montre le champ pulsatoire et les deux champs à quatre instants successifs .
On s'inspire du circuit équivalent d'un moteur triphasé pour présenter le circuit équivalent pour la fmm( + ) (Fig. 38-29a) . De même, le circuit équivalent pour la fmm(_) est donné à la Fig . 38-29b. Pour le moment on ne se préoccupera pas de la signification précise des paramètres r1 , r2, x 1 , x 2, etc . Mentionnons seulement qu'ils sont associés aux résistances et réactances du rotor et du stator.
679
MOTEURS MONOPHASÉS
r2 s
(a)
Le circuit de la Fig . 38-30 se réduit alors à celui de la Fig . 38-31 . Le moteur se comporte comme un simple transformateur où le secondaire est mis en courtcircuit. Le circuit révèle que les paramètres r 1 , x1 , etc ., représentent les éléments physiques suivants : 2r, 2r2 2jx 1 2jx,
= résistance du stator = résistance du rotor rapportée au stator = réactance de fuite du stator = réactance de fuite du rotor rapportée au stator 2Rm = résistance correspondant aux pertes dans le fer et par friction et aération 2IXm = réactance magnétisante (En pratique, on suppose que x 1 = x2 )
r2 2-s
1
r1
x1
I I Ia(+) i
4
X2
1 (b)
I( +~
Figure 38-29 a . Circuit équivalent pour le champ tournant direct . b . Circuit équivalent pour le champ tournant inverse .
r2 2-s
38 .21 Déduction du circuit équivalent du moteur monophasé
Deuxièmement, la tension E(,) est associée avec le champ tournant direct, tandis que E (_) est associée avec le champ inverse . La somme de ces tensions doit nécessairement égaler la tension E appliquée au bornes du stator. Il s'ensuit que le circuit équivalent du moteur monophasé est tel que le montre la Fig . 38-30 . Supposons maintenant que le rotor soit bloqué . Cela nous permet de comprendre la signification des différentes résistances et inductances du circuit . Le glissement est alors égal à 1 et les circuits pour les champs direct et inverse deviennent identiques .
s
T
Comment peut-on réunir ces deux circuits pour en faire un seul, représentant fidèlement le moteur asynchrone monophasé? C'est ce que nous révélera la section suivante .
Premièrement, on sait que les fmm (+) et fmm r_) créées par le stator ont chacune la même amplitude . Par conséquent, les courants I i(+) et I l( - ) circulant dans le stator sont identiques, ce qui veut dire qu'on peut raccorder les deux circuits de la Fig . 38-29 en série .
r2
Rm
Figure 38-30 Circuit équivalent d'un moteur asynchrone monophasé . 1
2
2 r1
2x1
2 x2
Figure 38-31 Circuit équivalent d'un moteur monophasé lorsque le rotor est bloqué .
680
ÉLECTROTECHNIQUE
Cette analyse indique que les impédances montrées aux Fig . 38-29 et 38-31 sont égales à la moitié des grandeurs réelles . Par exemple, si la résistance du stator est réellement 10 ohms, la valeur de r i est
j 1,5
1 ~-1
r i =(1/2)X10 = 5 £2 Il en est de même pour les autres impédances du circuit équivalent . Exemple 38-6 Un essai sur un moteur monophasé à cage de 1 /4 hp, 120 V. 60 Hz . 1725 r/min donne les résultats suivants : Essai à rotor bloqué résistance du stator : 2 résistance du rotor rapportée au stator : 4 Q réactance de fuite du rotor et du stator rapportée au stator : 6 £2 Essai à vide résistance correspondant aux pertes dans le fer et par friction et aération : 600 12 réactance magnétisante : 6012 Tracer le circuit équivalent et calculer la puissance mécanique, le rendement et le facteur de puissance du moteur lorsqu'il tourne à 1725 r/rnin .
tri =2 £2
donc rt =1S2
2r2 =4S2
donc rt =2S2
2 (x, + x2 ) = 6 £2
donc (x 1 + x2) = 3 £2
Le glissement est : s = (1800 - 1725)/1800 = 0,0417 Trouvons d'abord l'impédance Z( + ) du circuit compris entre les points 1 et 3 pour le champ tournant direct :
j 1,5
5
I (-)
I
1 I(-)
j 30
300
T
T
2 __2 2-s 1,958 = 1,02
Figure 38-32 Voir exemple 38-6 .
Z(+) = 1 + j 1,5 + 1 1 1 1 + + j 30 300 48 + j 1,5 = 1 + j 1,5 + 13,89 + j 19,53 = 14,89 + j 21,03 = 25,77L54,7° L'impédance Z(_) comprise entre les points 3 et 2 pour le champ tournant inverse est : ZO = 1+j 1,5+
1 j 30
+
1 300
1 +
1 1,02 + j 1,5
= 1 + j 1,5 + 0,93 + j 1,45
xt = x2 = 1,5 S2 et 2 R,,, = 600 S2, donc R,,, = 300 S2
j 1,5
1
= 48
T
I 120 V 30
En supposant que x t = x 2, on obtient : de même, 2 X,,, = 60 S2, donc X,,, = 30 S2
2 _ 2 s ,0417
300
0
Solution
Le circuit équivalent (Fig . 38-32) montre que les valeurs des impédances listées ci-dessus ont été systématiquement divisées par deux . Ainsi,
j 1,5
4
= 1,93 + j 2,95 = 3,52 L56,8 Courant dans le stator: I =
E (Z(+) + Z(_ ) )
_
120 29,29 L54,95°
120 (16,82 + j 23,98) = 4,097 2-54,95 0
MOTEURS MONOPHASÉS
Tension E(+) entre les points 1, 3 : E(+) = I Z(+)
Le couple net est donc : Tnet =
= 4,097 Z- 54,95
Tension E(_) entre les points 3, 2 : EO = I Z(_) 1 - 54,95°
x 3,52 256,8°
= 14,42 Z1,85° Courant I( +)
= 0,982 N-m et la puissance mécanique est : I, = nT = 1725 x 0,982
soit P =
177 746
9,55
48 + j 1,5
48 + j 1,5
4,097 Z- 54,95 0 x 23,96 254,58°
= 0,24 hp
P = 120 x 4,097 cos 54,95 = 282,3 W Facteur de puissance = cos 54,95 = 0,57 = 57 % Rendement =
48,02 Z1,79 Courant I(_) : IZ32
1 (0,93 + j 1,45)
1,02 + j 1,5
1,02 + j 1,5
_
)
4,097 2- 54,95° x 1,72 257,32° 1,81 255,78° • 3,89 Z- 53,4°
Puissance P(+) fournie au rotor : P(+) = I(+)2 x 48 = 2,044 2 x 48 = 200,5 W Couple T(+) : 9,55 P(+)
9,55 x 200,5
us
1800
= 1,064 N •m Puissance P(_) fournie au rotor : P(_) = IO2
X
1,02 = 3,89 2 x 1,02 = 15,4 W
Couple T(_) : 9,55 P () _ 9,55 x 15,4 TO us 1800 = 0,082 N-m
177 282
= 0,627 = 62,7 %
38.22 Résumé
• 2,044 Z- 2,16°
1(
= 177 W
Puissance active fournie au stator = EI cos 0 I (13,89 + j 19,53)
+)
T(+) - TO = 1,064 - 0,082
9,55
= 4,097
681
Dans ce chapitre nous avons vu qu'il existe une grande variété de moteurs monophasés . Ces moteurs sont utilisés pour des applications de petite puissance. Le type le plus répandu est le moteur asynchrone . Le stator de ce type de moteur comporte un enroulement principal et un enroulement auxiliaire comportant chacun le même nombre de pôles . Le rotor est constitué d'une cage d'écureuil . C'est l'action combinée de l'enroulement principal et de l'enroulement auxiliaire qui, lorsqu'ils sont parcourus par des courants déphasés, permet de produire un champ tournant et un couple de démarrage. Tout comme le moteur asynchrone triphasé, le moteur asynchrone monophasé tourne à une vitesse légèrement inférieure à la vitesse synchrone . Cette vitesse est déterminée par le nombre de pôles et la fréquence d'alimentation . Selon le type de moteur, l'enroulement auxiliaire peut être utilisé seulement pour assurer le démarrage (moteur à phase auxiliaire résistive, moteur à démarrage par condensateur) ou pour éliminer les vibrations en régime continu (moteur à condensateur permanent) . Dans le cas du moteur à bague de court-circuit, la phase auxiliaire comporte une seule spire en court-circuit . Il existe aussi d'autres types de moteurs monophasés . Le moteur série tourne à haute vitesse . Il contient un collecteur comme un moteur série à courant continu . Le moteur à hystérésis et le moteur à réluctance variable sont des moteurs synchrones .
682
ÉLECTROTECHNIQUE
Enfin, nous avons vu que le circuit équivalent du moteur asynchrone monophasé est semblable à celui du moteur triphasé, mais qu'il est plus compliqué . Pour introduire ce circuit nous avons expliqué comment la FMM stationnaire pulsative produite par un enroulement monophasé est équivalente à deux FMM d'amplitude constante tournant à la vitesse synchrone mais en sens inverses . Il en résulte un circuit équivalent comprenant deux circuits semblables branchés en série, représentant chacun l'effet du champ direct et du champ inverse .
PROBLÈMES - CHAPITRE 38
Niveau pratique
38-1 Un moteur asynchrone monophasé à 6 pôles est alimenté par une source de 60 Hz . Quelle est sa vitesse synchrone? 38-2 Pourquoi un moteur asynchrone monophasé doit-il porter un enroulement auxiliaire? Cet enroulement peut-il être continuellement sous tension? Expliquer. Comment peut-on changer le sens de rotation d'un moteur monophasé à phase auxiliaire résistive? 38-3 Quelle est la différence principale entre un moteur monophasé à phase auxiliaire résistive et un moteur à démarrage par condensateur? Quels sont les avantages de l'un par rapport à l'autre? 38-4 Expliquer brièvement le principe de fonctionnement d'un moteur à bagues de court-circuit . 38-5 Donner les avantages du moteur série monophasé. 38-6 Pourquoi les moteurs monophasés sont-ils dotés d'une suspension antivibratoire, alors que les moteurs triphasés ne le sont pas? 38-7 Quel est le principal avantage du moteur à condensateur permanent? 38-8 Parmi les moteurs décrits dans ce chapitre, lesquels conviendraient le mieux aux appareils suivants : a) perceuse portative de 186 W b) compresseur d'air de 560 W c) aspirateur
d) e) f) g)
ventilateur de 10 W pompe à eau centrifuge de 250 W ventilateur pour hôpital de 186 W minuterie
Niveau intermédiaire
38-9 Le moteur de la Fig . 38-10 ales caractéristiques suivantes : résistance
réactance
enroulement principal
4,0£2
7,5£2
enroulement auxiliaire
7,5 S2
4,0 S2
tension d'alimentation
119 V
Calculer: a) le déphasage entre les courants Ia et IS b) le courant I T tiré de la ligne c) le FP du moteur au démarrage 38-10 En se référant à la Fig . 38-12, quel serait l'effet sur le comportement du moteur si l'interrupteur ouvrait à 800 r/min au lieu de 1370 r/min? 38-11 En se référant à la Fig . 38-12, on suppose que la charge exerce un couple constant de 3 N .m . Le moteur n'atteindra jamais sa vitesse normale . Expliquer pourquoi et décrire ce qui se produira . 38-12 Le moteur de la Fig . 38-15 fonctionne à pleine charge . Calculer: a) le courant I T b) le FP du moteur c) Est-ce que les deux enroulements fournissent la même énergie au rotor? 38-13 Pour le moteur de 6 W, 115 V décrit dans le tableau 38-2, calculer : a) le rendement à pleine charge b) le FP à pleine charge c) le pourcentage du courant d'excitation par rapport au courant de pleine charge 38-14 En se référant aux courbes de la Fig . 38-12, calculer : a) le couple de démarrage lorsque les enroulements auxiliaire et principal sont en circuit b) le couple de démarrage développé lorsque l'enroulement principal seulement est en circuit
MOTEURS MONOPHASÉS
c) le couple développé à 800 r/min si l'enroulement principal seulement est en circuit Comment les couples seront-ils affectés si la tension d'alimentation diminue de 115 V à 100 V? Niveau avancé 38-15 En se référant au tableau 38-1, calculer : a) la tension aux bornes du condensateur lorsque le rotor est bloqué b) le déphasage entre Ia et Is 38-16 Le moteur ayant les caractéristiques données à la Fig . 38-12 possède un rotor ayant un diamètre de 82 mm et une longueur axiale de 32 mm . a) Quel est le moment d'inertie approximatif du rotor? b) Sachant que le moteur démarre à vide, calculer le temps approximatif requis pour passer de zéro à 200 r/min? de 1000 à 1200 r/min? de zéro à 1600 r/min? Note : Utiliser l'équation (1-14) .
683
38-17 Le moteur ayant les caractéristiques données à la Fig . 38-12 entraîne une essoreuse ayant un moment d'inertie de 2 kg .m2 . Un engrenage placé entre l'arbre du moteur et l'essoreuse effectue une réduction de vitesse dans un rapport de 2 à 1 . Pendant combien de temps l'enroulement auxiliaire sera-t-il en service si, en plus de l'inertie, le moteur doit vaincre un couple constant de 1,3 N .m? 38-18 Un moteur monophasé entraîne à 1760 r/min une charge dont le moment d'inertie est de 0,5 kg-m 2 . Afin de provoquer un arrêt plus rapide, on fait circuler un courant continu de 5 A dans l'enroulement principal . a) Quelle est la chaleur dégagée dans le rotor pendant l'arrêt? b) Est-ce que la quantité de chaleur dégagée par le rotor dépend de la valeur du courant continu? 38-19 Dans le problème 38-18, le moteur s'arrête en 2 secondes lorsque le courant continu est de 5 A . Calculer le temps d'arrêt pour un courant de 2,5 A .
39
Moteurs pas à pas Les moteurs pas à pas sont des moteurs spéciaux utilisés pour commander avec une grande précision le déplacement et la position d'un objet . Comme leur nom l'indique, ces moteurs tournent par incréments discrets . Chaque incrément de rotation est provoqué par une impulsion de courant fournie à l'un des enroulements du stator.
présenterons aussi les systèmes d'entraînement qui alimentent ces moteurs . Enfin, à cause de la documentation considérable écrite en anglais sur les moteurs pas à pas, nous donnerons la version anglaise de quelques termes rencontrés fréquemment. 39 .1
Selon sa construction, un moteur pas à pas peut avancer de 90°, 45°, 18°, ou d'une fraction de degré seulement par impulsion . En faisant varier la fréquence des impulsions, on peut faire tourner le moteur très lentement, d'un pas à la fois, ou rapidement à des vitesses aussi élevées que 4000 r/min .
Moteur pas à pas élémentaire
Nous montrons à la Fig . 39-1 un moteur pas à pas très simple . Il est composé d'un stator ayant trois pôles saillants, et d'un rotor bipolaire en fer doux . En manipulant les trois commutateurs A, B, C, on peut raccorder les enroulements, à tour de rôle, à une source à courant continu .
Le comportement d'un moteur pas à pas dépend beaucoup de la source d'alimentation qui génère les impulsions . Ces impulsions sont généralement initiées par un microprocesseur ou par un ordinateur. Les impulsions «horaires» (+) et «anti-horaires» (-) sont comptées et enregistrées par l'ordinateur . Par conséquent, on connaît à tout moment le nombre exact de tours exécutés par le moteur. Le moteur pas à pas constitue donc un dispositif de positionnement de grande précision . C'est pourquoi on l'utilise dans les machines outils, les traceurs x-y, les machines à écrire, les platines de magnétophones et les imprimantes . Nous expliquerons dans ce chapitre le principe de fonctionnement des principaux types de moteurs pas à pas, ainsi que leurs propriétés et leurs limitations . Nous 684
Figure 39-1 Moteur pas à pas simple ; chaque pas correspond à un déplacement de 60° .
685
MOTEURS PAS À PAS
Lorsque les commutateurs sont ouverts, le rotor peut occuper n'importe quelle position . Cependant, si l'on ferme le commutateur A, le champ magnétique produit par le pôle 1 attirera le rotor, de sorte qu'il s'alignera dans la position indiquée à la Fig . 39-1 . Si, ensuite, on ouvre le commutateur A, tout en fermant le commutateur B, le rotor s'alignera avec le pôle 2 . Le rotor tournera donc de 60° dans le sens anti-horaire . Ensuite, en ouvrant le commutateur B tout en fermant le commutateur C, le rotor tournera d'un angle additionnel de 60°, pour s'aligner avec le pôle 3 . On peut ainsi faire tourner le rotor par incréments de 60° en fermant et en ouvrant les commutateurs dans la séquence A,B,C,A,B,C, Pour inverser le sens de rotation il suffit d'appliquer la séquence contraire, soit A,C,B,A,C,B, Pour maintenir le rotor à sa dernière position, on doit garder le dernier commutateur de la séquence en position fermée . Cela empêche le rotor de se déplacer sous l'influence d'un couple extérieur . Tant que le couple extérieur ne dépasse pas le couple statique («holding torque») du moteur, le rotor demeure bloqué. Le couple statique correspond au couple de décrochage lorsque l'enroulement porte le courant nominal . Le nombre de pôles du stator d'un moteur pas à pas est toujours différent du nombre de pôles du rotor . Cette particularité distingue les moteurs pas à pas de tous les autres types de moteurs . C'est précisément cette différence dans le nombre de pôles qui permet à ces moteurs d'avancer d'un pas à la fois . Lorsque le rotor tourne d'une position donnée à la position suivante, son mouvement est influencé par les forces de frottement et d'inertie . Examinons maintenant la nature de ces forces . 39 .2
Effet de l'inertie
Supposons que le moteur fonctionne à vide, et que le frottement sur les paliers soit faible . Le rotor est d'abord devant le pôle 1, ce qui correspond à la position angulaire de 0° (Fig . 39-1) . Dès que le commutateur A s'ouvre et que le commutateur B se ferme, le rotor accélère vers le pôle 2 . Sa vitesse augmente rapidement et il a tôt fait d'atteindre le centre du pôle 2, où il devrait s arreter. Cependant, le rotor tourne maintenant a une vitesse considérable, de sorte que, en raison de son inertie, il dépasse la ligne médiane . Le champ magnétique du pôle 2 attire alors le rotor dans le sens inverse
et freine ainsi son élan . Le rotor s'arrête et accélère dans le sens inverse pour dépasser à nouveau la ligne médiane du pôle 2 et ainsi de suite . Le rotor oscillera donc comme un pendule de part et d'autre de la ligne médiane du pôle 2 . À cause du frottement sur les paliers, l'amplitude des oscillations décroît graduellement . Le graphique de la Fig . 39-2 montre la position angulaire du rotor en fonction du temps . Ainsi, le rotor démarre à 0° et atteint le centre du pôle 2 (60°) après un intervalle de 2 ms . Il dépasse de 30° la ligne médiane, avant de s'arrêter momentanément (à 3 ms) . Le rotor se met alors à tourner dans le sens inverse, et traverse de nouveau la ligne médiane à t = 4 ms . Les oscillations subsistent pendant quelques cycles, mais diminuent graduellement en amplitude jusqu'à l'arrêt complet à t = 10 ms .
position angulaire 80 30 0
0
2
4
vitesse p'.S' ,r8,,1 4. . 1S . . .18 temps
ms s.
Figure 39-2 En se déplaçant du pôle 1 au pôle 2, le rotor oscille de part et d'autre de la position finale de 60° avant de s'immobiliser . La vitesse devient nulle chaque fois que le rotor passe par un maximum de dépassement .
Le graphique en pointillé montre la vitesse du rotor en fonction du temps . On pourrait la donner en tours par seconde, mais dans le cas des moteurs pas à pas, il est plus commode de l'exprimer en degrés par seconde . On constate ainsi que la vitesse est momentanément nulle à t = 3 ms, 5 ms, 7 ms, et devient nulle en permanence lorsque t excède 10 ms . Elle passe par un maximum chaque fois que le rotor traverse la ligne médiane du pôle 2 . Il est clair que le temps requis pour stabiliser le rotor est relativement long, comparé au temps requis pour passer du pôle 1 au pôle 2 . Sans faire aucun autre changement, augmentons l'inertie du rotor en y ajoutant un volant . On découvre que la période des oscillations et leur amplitude augmentent (Fig . 39-3) . Ainsi, la figure révèle que le temps requis pour atteindre la position de 60° a augmenté de
686
ÉLECTROTECHNIQUE
2 ms à 4 ms . De plus, l'amplitude des oscillations a augmenté et le rotor prend plus de temps pour atteindre l'état de repos (18 ms au lieu de 10 ms) .
60
On peut amortir les oscillations en augmentant le frot-
30
position angulaire
tement. Ainsi, on peut freiner les oscillations de la Fig .
0
-vitesse 0
2
4 •.,a , ~ 6 10 12 14 16 18 ms
39-3 de sorte qu'il ne se produise plus qu'un seul dépassement, comme l'indique la Fig . 39-4 . En pratique, cet amortissement est réalisé à l'aide d'un frein visqueux qui utilise un fluide tel que de l'air ou de l'huile pour ralentir le rotor. Un amortissement visqueux produit un couple de freinage proportionnel à la vitesse ; par conséquent son influence est nulle lorsque le rotor est au repos .
Figure 39-2 (reprise) En se déplaçant du pôle 1 au pôle 2, le rotor oscille de part et d'autre de la position finale de 60° avant de s'immobiliser . La vitesse devient nulle chaque fois que le rotor passe par un maximum de dépassement .
39 .3 Effet d'une charge mécanique
N
Retournons à la condition représentée par la Fig . 39-2 où le rotor possède une inertie et un frottement visqueux faibles . Si, maintenant, le rotor entraîne une charge mécanique, la courbe du déplacement aura l'allure montrée à la Fig. 39-5 . Comme on pouvait le prévoir, le temps requis pour atteindre le centre du pôle 2 a augmenté (de 2 ms à 4 ms) . De plus, le dépassement est moindre et les oscillations s'amortissent plus rapidement .
adt .
deg ∎∎ .' 90 ~
> m ii
Revenons à la Fig . 39-1 et excitons les enroulements à tour de rôle, afin que le rotor tourne à un rythme constant. La Fig . 39-6 montre les impulsions de courant Ia , Ib, Ic, de même que la position et la vitesse instantanées du rotor. On suppose que le rotor et sa charge possèdent une certaine inertie . On observe que la vitesse du rotor est nulle au début et à la fin de chaque pas . Comme la durée d'un pas est de 8 ms, il s'ensuit que la vitesse de rotation correspond à 1/0,008 = 125 pas par seconde .
position angulaire ∎∎∎
60 30
o
"dit
mon . . ∎
10 12 14 16 18 - temps
ms
Figure 39-3 Mêmes conditions que dans la Fig . 39-2, sauf que l'inertie est plus grande . Le dépassement est plus grand et le rotor prend plus de temps avant de s'arrêter .
C'est dire qu'une charge mécanique ou une grande inertie augmentent la durée d'un pas . Donc, pour effectuer un pas rapide, qui se stabilise rapidement, on doit (1) minimiser l'inertie totale du rotor et de sa charge et (2) amortir les oscillations au moyen d'un frein visqueux . On peut aussi réduire la durée d'un pas en augmentant le courant dans les enroulements . Toutefois, l'échauffement dû aux pertes Joule limite le courant admissible .
temps
deg 90 60 30
o temps Figure 39-4 Mêmes conditions que dans la Fig . 39-3, sauf qu'un amortissement visqueux est ajouté . deg N
m m m
11
90 60 30 0
OFF
2 4 6
position angulaire
8 10 12 14 16 18 ms - temps
Figure 39-5 Mêmes conditions que dans la Fig . 39-2, sauf que le rotor entraîne une charge mécanique .
MOTEURS PAS À PAS
courant
ta
10 A
10A
lb le deg 240
l r
i
180 120
1
687
période » - stabilisa 6 ms 8
60 0
o
t
16
24 ms
temps
Figure 39-6 Graphique montrant les impulsions de courant, la position angulaire et la vitesse du rotor durant les 4 premiers pas . Trois pas (24 ms) constituent un demi-tour.
vpaàl
~..!u!~..:: :~ 0 8 16 24 -. temps
Le temps requis pour exécuter 6 pas, soit un tour com-
plet est donc :
t = 6 - 125 = 0,048 s La vitesse de rotation moyenne est donc : n =
60 0,048
= 1250 r/min
Le moteur avance de façon saccadée, tout en s'arrêtant momentanément à la fin de chaque pas avant d'entre-
prendre le pas suivant . Un moteur pas à pas ne tourne pas à vitesse uniforme comme un moteur conventionnel .
39.4 Couple en fonction du courant Le couple développé par un moteur pas à pas dépend du courant . La Fig . 39-7 montre la relation couple-cou-
ms
courant se succèdent trop rapidement, le rotor ne peut plus les suivre avec précision, et on «perd» des pas par
rapport à ceux enregistrés par l'ordinateur. Dans ces conditions, le moteur ne remplit plus sa fonction première qui est d'établir une corrélation parfaite entre
la position instantanée du rotor et le nombre net (+ et -) d'impulsions . Afin de rester en synchronisme avec les impulsions,
le rotor doit s'arrêter avant d'avancer à la position
suivante . En se référant au graphique de la Fig . 39-6,
on constate que les impulsions se suivent à des intervalles de 8 ms . Cependant, la période de transition d'une position à la position suivante ne dure que 6 ms . Cela veut dire que l'intervalle entre les impul-
sions pourrait être aussi court que 6 ms - mais pas moins . Par conséquent, en ce qui concerne le moteur
rant d'un moteur typique . Ainsi, lorsque le courant est de 8 A, le couple est de 3 N •m .
Nm 5-
Noter que le couple développé n'est pas constant, mais
dépend de la position du rotor . Le couple montré à la
a
exercer lors de son passage d'une position à la posi-
C a V w
Fig. 39-7 est le couple maximal que le moteur peut
tion suivante . Ce couple porte le nom de couple dynamique maximal («pull-over torque») .
Lorsque le rotor cesse de tourner, on doit faire circuler un courant de maintien dans la dernière bobine alimentée, afin de le maintenir à sa dernière position .
39 .5 Mode de rotation pas à pas Lorsque le moteur tourne pas à pas, l'expérience démontre qu'il existe une limite supérieure à la fréquence
des impulsions . En effet, lorsque les impulsions de
43 I
2-
courant nominal
8
I 2
4
6
8
10
12
14 16
A
- . courant
Figure 39-7 Couple dynamique maximal en fonction du courant pour un moteur pas à pas ; dimensions du moteur : diamètre extérieur : 86 mm ; longueur axiale : 94 mm ; poids : 2,36 kg .
688
ÉLECTROTECHNIQUE
et sa charge implicite dans la Fig . 39-6, un taux maximal de 1/0,006 = 167 impulsions par seconde serait permissible . Si l'on se rappelle les explications de la section 39 .2, on comprend que le nombre maximal de pas par seconde dépend du couple exercé par la charge et de l'inertie du système . Plus le couple et l'inertie sont grands, plus le nombre de pas permissible par seconde doit être réduit . Il existe donc une fréquence limite de démarrage qui dépend du couple résistant et de l'inertie de la charge . Dans la Fig . 39-6 elle est de 167 impulsions par seconde . Cette rotation saccadée constitue le mode de fonctionnement habituel d'un moteur pas à pas . On l'appelle parfois le mode de «démarrage sans erreur» . Cependant, pour les besoins de ce livre, nous l'appellerons simplement le mode normal . En mode normal, la caractéristique couple-vitesse, ou couple en fonction du nombre de pas par seconde, correspond à la courbe 1 de la Fig . 39-8 . Cette courbe indique que lorsque le couple exercé par la charge est de 1,4 N •m, la vitesse de rotation maximale correspond à 500 pas par seconde . Cependant, lorsque la même charge possède une inertie importante (courbe 2), le taux maximal permissible décroît à 400 pas par seconde .
39.6 Mode de rotation en survitesse
Un moteur pas à pas peut tourner à une vitesse uniforme, sans s'arrêter après chaque pas . Lorsqu'il tourne de cette manière, on dit qu'il fonctionne en mode de survitesse («slewing») . Puisque le moteur tourne à une vitesse constante, le phénomène de l'inertie ne se manifeste plus . Par conséquent, pour un taux d'impulsions donné, le moteur peut développer un couple plus grand, sans perdre le synchronisme . En survitesse, un moteur pas à pas se comporte en effet comme un moteur synchrone conventionnel, sauf que la tension d'alimentation n'est pas sinusoïdale . La courbe 3 (Fig . 39-8) donne le couple en fonction de la vitesse en mode de survitesse . On remarque que le moteur produit un couple de 2,2 N •m lorsqu'il tourne à 500 pas par seconde, soit un couple supérieur au couple correspondant de la courbe 1 (mode normal) . La Fig . 39-9 montre encore plus clairement la distinction entre le mode normal et le mode de survitesse . Dans les deux cas, le moteur exécute 250 pas par seconde . Il effectue donc 1 pas toutes les 4 ms . Lorsque le moteur fonctionne en survitesse, l'angle (position du rotor) augmente uniformément avec le temps . Par conséquent, la pente de la courbe OA est constante (Fig . 39-9a) . La vitesse instantanée est donc constante (Fig . 39-9b) .
.∎magnum ∎∎ _ ~ Ba /,∎ ~~,∎∎ ∎∎
N
C. 3 o
F/
(a)
V
•~
m
N
200
400 500 600 Y-
800 sps
pas par seconde
Figure 39-8 Graphique du couple dynamique maximal en fonction de la vitesse pour les modes normal et de survitesse d'un moteur pas à pas . Chaque pas correspond à une avance de 1,8° . Courbe 1 : Mode normal du moteur seul ; Courbe 2 : Mode normal avec ajout d'une inertie de 2 kg cm 2 ; Courbe 3 : Mode de survitesse . Dans ce mode, l'inertie n'a pas d'effet .
(b)
'
modede survitesse
d
mammun a a z∎∎∎
Figure 39-9 a . Position angulaire instantanée en fonction du temps lorsqu'un moteur pas à pas fonctionne en mode normal et en mode de survitesse . Le nombre d'impulsions est le même dans les deux cas . b . Vitesse instantanée en fonction du temps pour les deux modes .
MOTEURS PAS À PAS
689
Par contre, en mode normal, la vitesse instantanée varie constamment entre une valeur maximale et une valeur nulle . La valeur moyenne de cette vitesse correspond à la vitesse en mode de survitesse . 39 .7 Accélération et décélération progressive («ramping») Lorsqu'un moteur pas à pas fonctionne en mode normal, on peut changer instantanément le nombre d'impulsions par seconde, sans perdre le synchronisme entre les impulsions et la position angulaire du rotor . Il est possible, par exemple, de faire passer subitement la fréquence des impulsions de 25 à 373 pas par seconde . Cette variation brusque est permise car le rotor s'arrête à la fin de chaque impulsion . Cependant, lorsque le moteur fonctionne en mode de survitesse, on ne peut pas passer instantanément d'une vitesse nulle à une vitesse, disons, de 5000 pas par seconde . De la même façon, un moteur tournant en survitesse à 5000 pas par seconde ne peut pas s'arrêter brusquement à l'intérieur d'un seul pas . Pour augmenter ou diminuer la vitesse en mode de survitesse, il faut en effet prévoir une accélération et une décélération progressives du rotor. Durant ces périodes d'accélération et de décélération, la position instantanée du rotor doit toujours correspondre au nombre d'impulsions fourni aux enroulements . Habituellement, le changement de vitesse est effectué en une fraction de seconde . Il est généré par la source qui alimente le moteur. Le programme d'accélération et de décélération assure un contrôle précis du nombre d'impulsions et de la position correspondante de la charge . 39 .8 Types de moteurs pas à pas Il existe 3 types principaux de moteurs pas à pas : - moteurs à réluctance variable - moteurs à aimant permanent - moteurs hybrides Les moteurs à réluctance variable sont du type illustré à la Fig . 39-1 . Cependant, le stator possède souvent 4 pôles (au lieu de 3) et des encoches sont taillées dans la face des pôles afin de produire une série de dents . Le rotor est également denté, chaque dent correspondant à un pôle saillant miniature . Le nombre de dents (pôles) du rotor et du stator détermine l'avance angulaire d'un pas . Les pas de 18°, 15°, 7,5°, 5°, et 1,8° sont les plus répandus .
Figure 39-10 Moteur pas à pas à aimant permanent . Chaque pas correspond à un déplacement de 30° . Les moteurs à aimant permanent sont semblables aux moteurs à réluctance variable, sauf que le rotor possède des pôles N, S aimantés . La Fig . 39-10 montre un moteur à aimant permanent possédant 4 pôles sur le stator et 6 pôles aimantés sur le rotor . À cause des aimants permanents, le rotor demeure bloqué à sa dernière position lorsque le bloc d'alimentation cesse de fournir des impulsions . Les bobines A1, A2 du stator sont connectées en série, de même que les bobines B1, B2 . En partant de la position indiquée sur la figure, le rotor tourne de 30° lorsque les bobines B sont excitées . Le sens de rotation dépend de la direction du courant . Par exemple, si le courant dans les bobines B1 et B2 produit respectivement des pôles N et S, le rotor tournera dans le sens anti-horaire . Les moteurs à aimant permanent sont toujours utilisés lorsque le couple à développer est important . Les moteurs du type hybride possèdent deux armatures identiques en fer doux, montées sur le même arbre . Ces deux armatures sont décalées l'une par rapport à l'autre afin que leurs pôles saillants se chevauchent . On montre à la Fig . 39-1 la deux armatures à 5 pôles placées à l'intérieur d'un stator commun à 4 pôles . Cet arrangement donne au moteur l'apparence d'un moteur à réluctance variable . Cependant, un aimant per-
690
ÉLECTROTECHNIQUE
I 1-«--- stator Al
aimant
A
AP
armature 1
(b)
r
I 1
armature 2
I A2 1
Figure 39-11 a . Moteur hybride composé d'un stator à 4 pôles et de deux armatures à 5 pôles, montées sur le même arbre . Les pôles saillants des armatures ont respectivement une polarité N et une polarité S . Chaque pas équivaut à un déplacement de 18° . b . Vue de côté du moteur, montrant l'aimant permanent AP entre les deux armatures en fer doux . Les pôles du stator chevauchent les deux armatures .
marient AP est coincé entre les armatures (Fig . 39-11 b) . L' aimant produit une FMM axiale, avec le résultat que tous les pôles de l'armature 1 sont des pôles N, alors que ceux de l'armature 2 sont des pôles S .
Les bobines A1, A2 du stator sont raccordées en série, de même que les bobines B 1, B2 . Comme dans le cas du moteur à aimant permanent, le moteur demeure à sa dernière position lorsque le courant dans les bobi-
nes est nul . En alimentant les bobines B, le rotor tour-
nera de 18° pour s'aligner avec les pôles B du stator. Le sens de rotation dépend encore de la direction du courant circulant dans les bobines .
détail d'une amlnation de pole saillant
airnant à Ylnténeur d'une dent
La Fig . 39-12 montre un moteur hybride de construction spéciale avec des aimants permanents enfouis dans
les encoches du stator, en plus de l'aimant permanent du rotor. La Fig . 39-13 montre une vue éclatée d'un moteur hybride .
empilr-rnen des , lare suL ens du stator
La Fig . 39-14a montre encore un autre type de moteur
hybride dont la vue en coupe est illustrée à la Fig . 39-
l4b . Les Fig . 39-14c et 39-14d donnent respectivement
les spécifications et les courbes du couple en fonction
de la vitesse de ce moteur. Noter que la courbe de décrochage («pull-out») correspond au
mode de
survitesse tandis que la courbe d'accrochage («pull-
in») correspond au mode normal .
Figure 39-12 Détails de construction d'un moteur hybride optimisé . Des petits aimants permanents montés à l'intérieur des encoches du stator produisent un champ magnétique qui s'ajoute à celui créé par l'aimant permanent du rotor (gracieuseté de Pacifie Scientific, Motor and Control Division) .
MOTEURS PAS À PAS
Figure 39-13 Vue éclatée d'un moteur hybride. Le rotor comprend 2 armatures en fer doux ayant chacune 50 pôles saillants . Les 8 pôles principaux du stator sont dentés de façon à créer 5 pôles saillants par pôle . Diamètre extérieur du moteur : 56 mm ; longueur axiale : 38 mm ; poids : 0,18 kg (gracieuseté de Pacific Scientific, Motor and Control Division, Rockford, IL .) .
Figure 39-14a Vue extérieure d'un moteur hybride . Les enroulements sont du type bipolaire, fonctionnant à une tension nominale de 5 V. Diamètre extérieur du moteur : 42 mm ; longueur axiale : 22 mm ; poids : 144 g (gracieuseté de AIRPAX © Corporate) .
Figure 39-14b Vue en coupe du moteur .
691
692
ÉLECTROTECHNIQUE
Specifications L82401 Unipolar
Ordering Part No . (Add Suffix) SuffixDesignation DC Operating Voltage Res. per Winding i2 d . per W nding mH Holding Torque mNm/oz- n Rotor Moment of Inertia g • m 2 DetentTorque mNm/oz-in Step Angle Step Angle Tolerance S eps per Rev. Max Operating Temp AmbientTemp Range Operating Storage BearingType insul tion Res. at 500Vdc Dielectric Withstanding Voltage Weight g/oz ead Wires 'Measured with 2 phases energized .
L82402 Bipo ar
-Pl
-P2
-P1
5 9 .1 7 .5
12 524 468
5 91 14 .3
73 .4/10 .4
12 .5 x 10-4 9 2/1 3 7.5° .5° 48 100°C
-P2
87 .5/12 .4
12 52.4 77 .9
-20°C to 70° C - 40° C to 85°C Bronze sleeve 100 megohms max 50 VRMS 60 Hz for 1 to 2 seconds 144/5 .1 26 AWG
650
Figure 39-14c Tableau extrait du catalogue donnant les spécifications du moteur pas à pas illustré à la Fig . 39-14a . Le fabricant offre un moteur unipolaire ou bipolaire, fonctionnant à 5 V ou à 12V. Le «detent torque» correspond au couple requis pour faire tourner le rotor lorsque les enroulements du stator ne sont pas alimentés
(gracieuseté de AIRPAX© Corporate) .
UNIPOLAR
BIPOLAR
TORQUE vs SPEED
L82401 L/R 2 PHASE DRIVE
70 .0
TORQUE vs SPEED
L62402 L/R 2 PHASE DRIVE
9.91
70 .0
60.0
8.50
60 .0
8 .50
50.0
7.08
50 .0
708
E 40.0
5 .66
= 40 .0
4 .25
Ô p 30.0
Ê
É 2 PULL OU7
O X30.0 F
PULL IN
20 .0 10.0
0
9 .91
0
50
100
150
200 250 SPEED (PPS)
300
350
400
O
2 .83
20.0
1,42
100
0
0
566 PULL OUT
425
PULL IN
2 .83
142
0
50
100
150
200 250 SPEED (PPS)
300
350
NOTE : The above curves are typical .
Figure 39-14d Courbes du couple en fonction de la vitesse du moteur de la Fig . 39-14a (gracieuseté de AIRPAX© Corporate) . La courbe de décrochage («pull-out») correspond au mode de survitesse . La courbe d'accrochage («pull-in») correspond au mode de démarrage sans erreur, ou mode normal .
400
0
Z
693
MOTEURS PAS À PAS 39 .9
Enroulements et systèmes d'excitation
E
Les enroulements du stator d'un moteur pas à pas sont de type bipolaire ou unipolaire. De plus, chacun de ces types d'enroulement peut être alimenté par différents modes d'excitation .
+
+
-~ T 1A1
A2
Dans un stator à 4 pôles, l'enroulement bipolaire comprend deux groupes de bobines A1, A2 et B1, B2 (Fig . 39-15) . Enroulements bipolaires .
Le courant Ia circulant dans le groupe A change de direction périodiquement, de même que le courant Ib circulant dans le groupe B . Une source à courant continu sert à alimenter les bobines, mais comme les courants Ia , Ib doivent changer de sens, un système de commutation s'impose . Les commutateurs sont représentés par les contacts Q1 à Q8 . Les commutateurs utilisés en pratique sont des transistors car ils permettent d'initier et de bloquer le courant à des instants bien précis . Grâce à ces commutateurs, on peut exciter les bobines, en séquence, de trois manières différentes : (1) excitation ondulée («wave drive») (2) excitation standard («normal drive») (3) excitation à demi-pas («half-step drive») Lorsqu'on utilise l'excitation ondulée, seulement un groupe de bobines (A1, A2 ou B1, B2) est alimenté à la fois . La commutation donnant une rotation horaire est donnée dans le tableau 39-1 ; les impulsions de courant Ia , Ib correspondantes sont montrées à la Fig . 39-16 . Remarquer sur la Fig . 39-16c comment le flux créé par I a et Ib tourne de 90° à chaque étape . Excitation ondulée .
Excitation standard . Lorsqu'on utilise l'excitation standard, les deux groupes de bobines sont alimentés en même temps . La commutation donnant une rotation horaire est donnée dans le tableau 39-2 ; les impulsions de courant Ia , Ib qui en résultent sont montrées à la Fig . 39-17b . Noter qu'à chaque étape le flux résultant se trouve à mi-chemin entre les pôles . Cependant, chaque pas correspond encore à un incrément de 90° . L' excitation standard a l'avantage de produire un couple légèrement supérieur à celui de l'excitation ondulée.
-> lb Figure 39-15 Diagramme schématique montrant le raccordement des bobines A1, A2 et 131, B2 à la source E. Les commutateurs Q1 à Q8 représentent l'action des transistors . Afin de simplifier le diagramme, la source est montrée deux fois .
TABLEAU 39-1 EXCITATION ONDULÉE, ROTATION HORAIRE Étape
1
2
3
4
1 F
Q1
Q2
F
-
-
-
Q5
Q6
-
F
-
-
Q3
Q4
-
F
Q7
Q8
-
-
-
F
(a)
Ia
Pl P
V%%%7/
Ib
étape (
1
1
1 (b)
Figure 39-16 a . Tableau donnant la séquence d'opération des commutateurs pour l'excitation ondulée d'un stator à 4 pôles . F indique un interrupteur fermé . b . Impulsions de courant, résultant de l'action des commutateurs .
69 4
ÉLECTROTECHNIQUE
(c)
étape 1
étape 2
étape 4
étape 3
Figure 39-16c Excitation ondulée . Orientation du flux à chaque étape, lors d'un cycle complet des impulsions de courant.
TABLEAU 39-2 Étape
EXCITATION STANDARD, ROTATION HORAIRE 1
2
3
4
1
Q1
Q2
F
-
-
F
F
Q5
06
F
F
-
-
F
Q3
Q4
-
F
F
-
-
Q7
Q8
-
-
F
F
-
Ieelo,
i„olOMM
étape
I
1
I
2
3
u u u -,/C ~~C IN] ~ES ~~,C n n n n N
(c)
étape 1
étape 2
étape 3
étape 4
Figure 39-17 a . Tableau donnant la séquence d'opération des commutateurs pour l'excitation standard d'un stator à 4 pôles . b . Impulsions de courant, résultant de l'action des commutateurs . c . Orientation du flux à chaque étape, lors d'un cycle complet des impulsions de courant .
Excitation à demi-pas . L'excitation à demi-pas est une combinaison des excitations ondulée et standard . La commutation donnant une rotation horaire est donnée dans le tableau 39-3 ; les impulsions de courant Ia, Ib sont montrées à la FiZ, . 39-18b . Le flux tourne seule-
ment de 45° par étape . Le principal avantage de l'excitation à demi-pas est qu'il améliore la résolution de la position . De plus, ce mode d'excitation diminue le problème de résonance dont nous discuterons plus loin .
TABLEAU 39-3
EXCITATION À DEMI-PAS, ROTATION HORAIRE
Étape
(a)
1
2
Q1
Q2
F
F
Q5
Q6
-
F
Q3
Q4
Q7
Q8
3
4
F
5
6
7
8
1
F
F
F F
(b)
F
F
-
F
F
F
Pr
étape 1
C
•
• (c)
MOTEURS PAS À PAS
étape 1
•
•
étape 5
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6 1 1 8 1 1 1
u u C --s ,,/ C I1 n n étape 2
u n
étape 6
étape 3
u n étape 7
u ~~C n étape 4
N1 n
étape 8
Figure 39-18 a . Tableau donnant la séquence d'opération des commutateurs pour l'excitation à demi-pas d'un stator à 4 pôles . b . Impulsions de courant, résultant de l'action des commutateurs . c . Orientation du flux à chaque étape, lors d'un cycle complet des impulsions de courant .
695
696
ÉLECTROTECHNIQUE
Enroulement unipolaire. La technique de l'enroule-
ment unipolaire* consiste à utiliser deux bobines par pôle au lieu d'une seule (Fig . 39-19a) . Le premier groupe de bobines A1, A2 produit un flux dans le sens inverse du deuxième groupe lA, 2A . Il en résulte un flux alternatif lorsque les deux groupes sont alimentés à tour de rôle par la même source . L'enroulement
unipolaire possède l'avantage de réduire le nombre de commutateurs (transistors) de 8 à 4, et d'améliorer un peu le temps de réponse . La Fig . 39-19b donne le diagramme schématique des enroulements et la séquence de commutation utilisant le mode ondulé . Le flux tourne exactement de la même façon que dans la Fig . 39-16 .
Q1
Al
Iai
A2
Q2
1A
'a2
2A
Q3
B1
Ib1
B2
Q4
1B
(a)
Ia1 ___L!'?
i/L_ TABLEAU 39-4
Ia2
Étape r/!~Ti
1
Ib2 étape
11
I
2
1
2B
(b)
~ C!%
Ib1
_Ib2
3
I
4
I
1
EXCITATION ONDULÉE, ROTATION HORAIRE
1
2
3
4
1
Q1
F
-
-
-
F
03
-
F
02
-
-
F
-
-
Q4
-
-
-
F
-
I
(c) Figure 39-19 a . Emplacement des bobines dans un moteur unipolaire . b . Diagramme schématique des enroulements, des commutateurs, et de la source pour un moteur unipolaire . c . Tableau donnant la séquence d'opération des commutateurs pour une excitation ondulée . Le choix du terme unipolaire peut sembler bizarre pour désigner un enroulement à deux bobines . Il se réfère au fait que le courant circule toujours dans le même sens et qu'une bobine crée toujours un pôle de même polarité (N ou S) .
MOTEURS PAS À PAS
39.10
Fonctionnement à haute vitesse
Jusqu'à présent, nous avons supposé que lorsqu'une impulsion est appliquée à un enroulement du stator, le courant monte immédiatement à sa valeur finale I N et tombe immédiatement à zéro à la fin . En pratique, à cause de l'inductance des enroulements, les impulsions de courant n'ont pas cette forme idéale montrée à la Fig . 39-20a. Si un enroulement possède une inductance L et une résistance R, sa constante de temps (section 19 .6) est donnée par :
= L secondes
éq . 19-7 R Supposons que la bobine soit branchée à une source de tension continue E par l'entremise d'un transistor Q1(Fig . 39-20b) . Le transistor permet d'établir et d'interrompre le courant dans la bobine . Une diode D, raccordée aux bornes de l'enroulement, protège le transistor contre les surtensions apparaissant à ses bornes, lorsqu'il coupe le courant (Fig . 39-20c) . L'amorce et la coupure du courant dans la bobine donnent la forme montrée à la Fig . 39-20d . T
697
La forme de cette impulsion s'explique comme suit . Lorsque le transistor entre en conduction, le courant i i atteint sa valeur de régime permanent IN = E/R après environ 3T secondes . Ensuite, lorsque le transistor coupe le courant de ligne, un courant transitoire i2 continue à circuler dans la bobine et la diode pendant environ 3T secondes (Fig . 39-20c) . En comparant cette impulsion de courant avec l'impulsion idéale, on constate deux faits importants : 1 . Étant donné que le courant n'atteint pas immédiatement sa valeur finale lorsque le transistor commence à conduire, le couple développé par le moteur est plus petit que le couple normal . Par conséquent, le rotor n'accélère pas aussi rapidement qu'on l'aurait souhaité . 2 . Lorsque le transistor cesse de conduire, un courant i 2 continue à circuler dans la boucle formée par la diode et la bobine . Par conséquent, la durée effective de l'impulsion est Tp + 3T au lieu de Tp . Comme la durée de l'impulsion est prolongée, on ne peut plus alimenter la bobine suivante aussi rapidement .
i=0
J
temps
TP
Figure 39-20a Impulsion de courant idéale . ip=0 f-
t,TP
Figure 39-20c Lorsque le transistor coupe le courant de la source, un courant transitoire circule dans la bobine et la diode .
O-_t
Figure 39-20d Impulsion de courant réelle dans la bobine .
698
ÉLECTROTECHNIQUE
Figure 39-20e Forme d'onde de la plus courte impulsion de courant ayant une valeur crête égale à IN . L'impulsion la plus rapide pouvant encore atteindre le courant nominal IN ne peut donc avoir une durée inférieure à 6T (Fig . 39-20e) . Pour les moteurs pas à pas la valeur de T se situe entre 1 ms et 8 ms . Par conséquent, la durée d'une impulsion ne peut être inférieure à 6T = 6 x 1 ms = 6 ms, ce qui correspond à une fréquence de 1/0,006 = 166 pas par seconde . Comme ce taux d'impulsions constitue une vitesse plutôt lente, on a recours à diverses techniques pour l'améliorer . 39.11 Méthodes pour réduire la constante de temps Une façon d'augmenter le nombre de pas par seconde est de réduire la constante de temps T . On peut réaliser cet objectif en ajoutant une résistance extérieure branchée en série avec les enroulements du moteur, tout en augmentant la tension d'alimentation afin de conserver le même courant nominal . La Fig . 39-21 montre un tel arrangement . La résistance extérieure vaut 4 fois la résistance de l'enroulement ; par conséquent, la constante de temps diminue par un facteur 5 (de LIR à L/(5R) . Cependant, la tension de la source doit être augmentée de E à 5E volts . Le nombre maximal de pas par seconde augmente donc par un facteur 5, ce qui permet d'atteindre des vitesses de l'ordre de 1000 pas par seconde . Les seuls inconvénients de cette solution astucieuse sont les suivants : 1 . Le bloc d'alimentation devient plus coûteux parce qu'il doit fournir une puissance 5 fois plus élevée (la tension étant 5 E au lieu de E) ; 2 . Les résistances externes dissipent beaucoup de chaleur, ce qui diminue le rendement du système . Ce faible rendement est sans conséquence lorsqu'il s'agit d'entraîner un moteur de quelques watts . Cependant, cette dissipation de puissance devient inacceptable pour entraîner des moteurs rapides de l'ordre de 100 W, ou si la source est une batterie d'accumulateurs . On a alors recours à d'autres méthodes .
(a)
(b)
U -. temps
Tp
Figure 39-21 a . Circuit permettant d'augmenter le taux de croissance et de décroissance d'une impulsion de courant. b . Impulsion de courant résultante . Comparer avec la Fig . 39-20d . 39 .12 Système d'excitation à deux niveaux de tension («bilevel drive») Le système d'entraînement à deux niveaux de tension permet une croissance et une décroissance rapide du courant sans avoir recours à une résistance externe . On peut comprendre son principe de fonctionnement en suivant les diagrammes de la Fig . 39-22 . Le système comprend, en plus de l'enroulement que l'on désire alimenter, deux commutateurs QI, Q2, une source de basse tension El, une source de haute tension E2 et deux diodes Dl, D2 . L'enroulement possède une résistance R et une inductance L. Analysons la séquence des opérations : Figure 39-22a. Les commutateurs Q1, Q2 étant ouverts, aucun courant ne circule dans l'enroulement . Figure 39-22b . On ferme les deux commutateurs, ce qui applique la tension El + E2 aux bornes de l'enroulement. Le courant il, initialement nul, augmente à un taux donné par : E, + E2 = L Ai, At
699
MOTEURS PAS À PAS
D2
Q2
D2
Q2
Figure 39-22a Montage d'un système d'excitation à deux niveaux de tension . Les transistors sont représentés par les commutateurs Q1, Q2 .
soit Ai ]
E, + E2
At
L
Comme la tension E2 est élevée, il s'ensuit que le courant augmente très rapidement .
Figure 39-22b Lorsque les commutateurs Q1 et Q2 sont fermés, le courant augmente rapidement à cause de la haute tension El + E2 .
Étant donné que E2 est une tension élevée par rapport à E l , le taux de décroissance de i2 est à peu près le même que le taux de croissance de i l . Lorsque i 2 atteint une valeur nulle, les diodes empêchent toute circulation dans le sens inverse, de sorte que le circuit reprend l'état donné à la Fig . 39-22a .
Figure 39-22c . Lorsque i i a atteint sa valeur nominale IN, on ouvre QI . La diode D l permet au courant I N de continuer à circuler, car il est alimenté maintenant par la source Et . On choisit la valeur de E 1 de façon que : El = RIN + chute dans la diode D1 Par conséquent, le courant IN demeure constant aussi longtemps que Q2 est fermé . Figure 39-22d . On ouvre Q2, de sorte que le courant IN tend à tomber à zéro . Cependant, la décroissance rapide du courant induit une tension élevée aux bornes de la bobine ayant la polarité -, + indiquée . Cette tension induite excède la tension E2 , si bien que la diode D2 s'amorcent instantanément . D'autre part, la présence des diodes D1, D2 a pour effet de brancher la bobine aux bornes de la source E2 . Le courant i2 décroît alors à un taux donné par 4i 2
- E2
At
L
D2
Q2 Figure 39-22c Louverture de Q1 force le courant à suivre le chemin alimenté par la basse tension E, .
700
ÉLECTROTECHNIQUE
Solution
Le courant nominal étant de 10 A, la tension aux bornes de l'enroulement en régime permanent est : Eb = RIN = 0,3 S2 x 10 A = 3 V En se référant à la Fig. 39-22e, et sachant que la chute de tension dans la diode D1 est de 1 V, il s'ensuit que : Et = Eb +1V = 3V+1V =4V
D2
Le courant doit atteindre sa valeur nominale (10 A) en 0,4 ms . Donc, le taux de croissance est : Ai t _ At Q2 Figure 39-22d Louverture de Q2 force le courant à suivre le chemin alimenté par la haute tension -E 2 . Par conséquent, le courant décroît rapidement jusqu'à zéro .
10 A 0,4 ms
= 25 000 A/s
D'autre part
donc
Ai t
Et + E2
At
L
E2 = 4 + E2 25 000 = 4 + 2,4 mH 0,0024 E2 = 25 000 x 0,0024 - 4 Q2 s'ouvre %à 1 s'ouvre Q1, 02 Qi 02 ouverts ouverts 01,02 01,02 se ferment se referment
d'où
À la fin de l'impulsion, le courant décroît de 10 A à 0 A, sous l'influence de E2 seulement . On a donc d'après la Fig . 39-22d :
Figure 39-22e Forme d'onde du courant dans l'enroulement .
Il en résulte une impulsion de courant qui a la forme indiquée à la Fig . 39-22e . Exemple 39-1
L'enroulement d'un moteur pas à pas possède une inductance de 2 .4 mH et une résistance de 0,312 . Le courant nominal est de 10 A . On désire créer une impulsion de courant avant une durée de 5 ans et dont le temps de croissance et de décroissance du courant est d'environ 0 .4 ms . En utilisant le circuit de la Fig . 39-22, calculer les valeurs de E l et de E? . On supposera que la chute de tension moyenne aux bornes des diodes en conduction est de 1 V .
E2 = 56 V
Ai e
- E 2 - chutes dans D1 et D2
At
L -56-1-1
-58
0,0024
0,0024
_ -24 167 A/s Comme le courant décroît de 10 A à zéro durant cet intervalle, il s'ensuit que: At =
10 Aie _= 0,41 ms -24167 -24167
La forme du courant impulsionnel est donnée à la Fig . 39-23 .
MOTEURS PAS À PAS
t = 0,40 ms , Q1 s'ouvre Q1 Q2 ouverts Q1, 02 se ferment t=0
t = 5 ms 02 s'ouvre
' 01, 02 ouverts t = 5,41 ms Q1, Q2 se referment
Figure 39-23 Voir exemple 39-1 .
D'autre méthodes électroniques, encore plus sophistiquées, sont utilisées pour commander des moteurs pas à pas . Quelques-uns de ces systèmes d'excitation sont montrés à la Fig . 39-24, avec les moteurs associés . 39 .13 Instabilité et résonance Lorsqu'un moteur pas à pas tourne en mode de survitesse, il arrive que sa vitesse devienne instable . Le rotor tourne alors de façon aléatoire ou il se met simplement à vibrer sur place . Cette instabilité, souvent appelée résonance, se manifeste dans une certaine plage de vitesses . La région d'instabilité peut se situer,
701
par exemple, entre 7000 et 8000 pas par seconde . On peut traverser cette région instable sans perdre la synchronisation en accélérant le rotor dans le mode survitesse . Après l'avoir franchie, le moteur peut tourner à toute vitesse comprise, par exemple, entre 8000 et 15 000 pas par seconde . 39 .14
Moteurs pas à pas et entraînements linéaires
La plupart des moteurs pas à pas sont couplés à une vis sans fin qui permet de transformer la rotation en un mouvement de translation de haute précision . Supposons, par exemple, qu'un moteur tournant à 20 pas par tour soit couplé à une vis sans fin ayant 5 filets par centimètre . Pour obtenir un déplacement d'un centimètre, le moteur doit donc exécuter 20 x 5 = 100 pas . Par conséquent, chaque pas correspond à un déplacement de 0,01 cm ou 0,1 mm . Cela veut dire que l'on peut ajuster la position d'une machine outil, d'un traceur x-y, etc ., avec une précision d'un dixième de millimètre sur la totalité de la course . Cette grande précision obtenue sans asservissement («feedback») constitue la principale qualité des moteurs pas à pas dans les systèmes de commande .
Figure 39-24 Systèmes d'excitation et moteurs pas à pas typiques (gracieuseté de Pacific Scientific, Motorand Control Division) .
702
39.15
ÉLECTROTECHNIQUE
Résumé
Dans ce chapitre nous avons vu que les moteurs pas à pas sont conçus pour tourner par incréments discrets, d'une fraction de tour à la fois, lorsqu'ils sont alimentés par une série d'impulsions . Ils comprennent un stator à pôles saillants munis d'enroulements et d'un rotor également à pôles saillants, en fer doux ou à aimants permanents et comportant un nombre de pôles différent du stator. À chaque impulsion appliquée à un enroulement du stator, le rotor tourne d'un angle constant dont la valeur dépend du nombre de pôles du stator et du nombre de pôles du rotor. Selon la construction du rotor, on distingue trois types principaux de moteurs pas à pas : les moteurs à réluctance, les moteurs à aimants permanents et les moteurs hybrides . Les moteurs hybrides comportent deux armatures de fer doux à pôles saillants, enserrant un aimant permanent axial qui crée une alternance de pôles N et S . Les enroulements du stator sont de type bipolaire (une bobine par pôle créant un pôle N ou S selon le sens du courant) ou unipolaire (deux bobines par pôle créant chacune un pôle qui a toujours la même polarité) . Ils sont excités à tour de rôle par une source de tension continue, à travers des commutateurs électroniques, généralement des transistors . L'excitation peut être de type ondulée (un seul groupe de bobines alimentées à la fois), de type standard (deux groupes de bobines alimentées en même temps) ou de type demi-pas (combinaison des deux modes précédents) . En mode de rotation normal (pas à pas), à cause de l'inertie du rotor, le déplacement du rotor produit par chaque impulsion prend un certain temps . Dans ce mode, il existe donc une limite supérieure à la fréquence des impulsions que l'on peut appliquer au stator. Si l'on continue à augmenter la fréquence des impulsions, le moteur fonctionne en survitesse, sans s'arrêter à chaque pas, mais tout en gardant le synchronisme avec les impulsions . Enfin nous avons vu que l'inductance des enroulements du stator limite le temps de montée et de descente des impulsions de courant, ce qui a pour effet de réduire le couple développé et la fréquence maximale des impulsions qu'on peut appliquer. Afin de réduire la cons-
tante de temps d'établissement du courant, on peut augmenter la résistance en série avec les enroulements et la tension d'alimentation . Pour éviter les pertes occasionnées par cette méthode on a aussi recours à une alimentation à deux niveaux de tension, combinée avec des interrupteurs à transistors et des diodes .
PROBLÈMES - CHAPITRE 39 Niveau pratique 39-1 Quelle est la principale utilité des moteurs pas à pas? 39-2 Expliquer la différence entre les moteurs pas à pas à réluctance variable et à aimant permanent . 39-3 Décrire la construction d'un moteur pas à pas hybride . 39-4 Un moteur pas à pas avance de 2,5° par pas . Combien d'impulsions sont requises pour effectuer 8 tours? 39-5 Expliquer ce que signifie: excitation normale, excitation ondulée et excitation à demi-pas . Niveau intermédiaire 39-6 On remplace le rotor bipolaire de la Fig. 39-1 par un rotor à 4 pôles . Calculer le nouvel angle de rotation par impulsion . 39-7 Pourquoi, dans un moteur pas à pas, utilise-ton un amortissement visqueux? 39-8 Lorsqu'un moteur accélère progressivement ou lorsqu'il tourne en mode de survitesse, chaque impulsion correspond à un angle précis de rotation . Vrai ou faux? 39-9 Le moteur de la Fig . 39-10 est entraîné par une série d'impulsions dont la durée est de 20 ms . En combien de temps le moteur fait-il un tour complet? 39-10 Un moteur pas à pas avance de 1,8° par pas . Il entraîne une vis sans fin ayant 20 filets par centimètre . Calculer le déplacement linéaire lorsque le moteur est pulsé 7 fois .
MOTEURS PAS À PAS
39-11 Un moteur pas à pas avance de 7,5° par pas . Le couple en fonction de la vitesse est donnée à la Fig . 39-8 . Calculer la puissance développée par le moteur lorsqu'il tourne dans le mode de survitesse : a) à 500 pas par seconde b) à 200 pas par seconde 39-12 Le moteur de la Fig. 39-14 possède un enroulement unipolaire, et il fonctionne en mode de démarrage sans erreur à raison de 150 pas par seconde . Calculer : a) le couple maximal que le moteur peut développer b) la puissance en millihorsepower c) l'énergie mécanique qu'il produit pendant 3 secondes (en joules) 39-13 En se référant à la Fig . 39-14d, calculer la vitesse maximale du moteur unipolaire lorsqu'il fonctionne en mode de survitesse . Niveau avancé 39-14 a) En se référant aux propriétés du moteur pas à pas indiquées à la Fig . 39-14c, calculer la constante de temps de l'enroulement bipolaire dont la tension nominale est de 12 V. b) Si l'on utilise une source de 12 V, en combien de temps approximativement le courant dans l'enroulement atteindra-t-il sa valeur finale? c) Calculer la valeur finale du courant . 39-15 Les deux armatures d'un moteur hybride possèdent chacune 50 dents (pôles) . Calculer : a) l'angle entre deux dents successives d'une armature b) l'angle entre la dent d'une armature et la dent suivante de l'autre armature c) l'angle de rotation exécuté par impulsion de courant
703
39-16 Comment expliquer qu'un moteur pas à pas puisse produire un couple plus élevé en mode de survitesse qu'en mode normal? 39-17 Un moteur puissant à aimant permanent possède les spécifications suivantes : type d'enroulement : courant nominal : résistance de l'enroulement : inductance de l'enroulement : couple à 50 pas par seconde : nombre de pas par tour : inertie du rotor : diamètre extérieur du moteur : longueur axiale du moteur : poids du moteur :
bipolaire 13 A 60 mQ2 0,77mH 8 N•m 200 0,7 x 10-3 k g - M2 106,7 mm 177,8 mm 9 kg
Le moteur est entraîné par une source électronique de 65 V, et produit un couple de 2,2 N •m à une vitesse de 10 000 pas par seconde . Calculer: a) la vitesse [r/min] et la puissance [hp] du moteur lorsqu'il fonctionne à 10 000 pas par seconde b) la constante de temps des enroulements c) le temps requis [µs] pour que le courant dans un enroulement atteigne 13 A lorsqu'il est alimenté par une tension de 65 V
PARTIE III SYSTEMES D'ENTRAINEMENT ET ÉLECTRON QUE DE PUISSANCE
40
Commande industrielle des moteurs
40 .1 Dispositifs de commande Tout circuit de commande comprend quelques composants de base raccordés entre eux de façon à assurer le contrôle désiré du moteur. Leurs dimensions peuvent varier selon la grosseur du moteur à commander, mais leur principe de fonctionnement reste le même . Avec seulement une dizaine de dispositifs de base, on réalise des montages de commande très complexes . En voici les principaux composants :
La commande industrielle désigne, dans son sens le plus large, l'ensemble des méthodes qui permettent de contrôler les performances d'un appareil électrique, d'une machine ou d'un système . Appliquée aux moteurs, la commande industrielle contrôle le démarrage, l'accélération, le sens de rotation, la vitesse, la décélération et l'arrêt des parties tournantes . Nous avons déjà vu au chapitre 28 quelques principes de la commande des moteurs à courant continu .
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Sectionneurs Disjoncteurs manuels Commutateurs à cames Boutons-poussoirs Relais de commande Contacteurs magnétiques Relais thermiques Lampes témoins Interrupteurs spéciaux (ex . : interrupteurs de fin de course) 10 . Détecteurs de proximité 11 . Résistances, réactances, condensateurs et transformateurs .
Dans ce chapitre, nous étudierons la commande électrique (mais non électronique) des moteurs à courant alternatif. Nous nous bornerons à l'étude des circuits élémentaires, car les montages industriels sont souvent trop élaborés pour permettre une présentation simple et des explications faciles . Toutefois, les principes de base que nous examinerons s'appliquent à tout système de commande, quelle que soit sa complexité . Ensuite, nous donnerons un aperçu des automates programmables avec leurs applications . Depuis les années 1980, ces dispositifs de commande ont connu un essor remarquable, de sorte qu'une connaissance de ces appareils est devenue indispensable pour le technicien et l'ingénieur industriel .
On donne, au tableau 40-1 une description de ces composants ; le tableau 40-2 indique les symboles utilisés . 706
TABLEAU 40-1
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS COMPOSANTS DE BASE POUR CIRCUITS DE COMMANDE
Sectionneurs
Les sectionneurs (Fig . 40-1) isolent le circuit d'un moteur de celui de la source . Ils doivent pouvoir supporter indéfiniment le courant nominal ainsi que les courants de court-circuit pendant de courtes périodes . Ils comportent des contacts à couteaux et des fusibles .
Figure 40-1 Sectionneur à fusibles triphasé, 600 V, 30 A (gracieuseté de Square D) .
Disjoncteurs manuels
Les disjoncteurs manuels (Fig . 40-2) sont conçus pour ouvrir et fermer manuellement le circuit d'un moteur et pour ouvrir le circuit automatiquement si le courant dépasse une limite prédéterminée . On peut réenclencher le disjoncteur après une ouverture anormale . Souvent, on utilise le disjoncteur manuel au lieu d'un sectionneur. Figure 40-2 Disjoncteur triphasé, 600 V, 100 A (gracieuseté de Square D) .
Commutateurs à cames
Les commutateurs à cames (Fig. 40-3) comprennent une série de contacts fixes et autant de contacts mobiles actionnés par la rotation manuelle d'un arbre à cames . On les utilise pour la commande manuelle des moteurs de grues, calandres, pompes, etc .
Figure 40-3 Commutateur à cames triphasé, 230 V, 2 kW, montage en saillie (gracieuseté de Klockner-Moeller) .
707
708 ÉLECTROTECHNIQUE TABLEAU 40-1
COMPOSANTS DE BASE POUR CIRCUITS DE COMMANDE
Boutons-poussoirs
Les boutons-poussoirs (Fig . 40-4) sont des commutateurs actionnés par une pression du doigt, et qui ouvrent ou ferment deux ou plusieurs contacts . Habituellement, un ressort ramène le bouton-poussoir à sa position normale dès que la pression est enlevée .
Figure 40-4 Bouton-poussoir «marche» avec contacts NO et NF capable d'interrompre 1 million de fois un courant de 6 A (gracieuseté de Siemens) .
Relais de commande
Les relais de commande (Fig . 40-5) sont des interrupteurs électromagnétiques qui ouvrent ou ferment leurs contacts lorsqu'on excite leur bobine de maintien . On les utilise surtout dans les circuits de faible puissance. Dans cette classe se trouvent les relais temporisés dont les contacts sont actionnés un certain temps après la fermeture (ou après l'ouverture) du circuit de leur bobine de maintien .
Figure 40-5 Relais de commande (gracieuseté de Potter and Brumfield) .
Relais thermiques
Les relais thermiques (Fig. 40-6) sont des dispositifs de protection dont les contacts s'ouvrent (ou se ferment) lorsque la chaleur créée par le passage d'un courant dépasse une limite prédéterminée . Leur fonctionnement est temporisé, car la température ne peut pas suivre instantanément les variations du courant . Figure 40-6 Relais thermique à fixation par broches ; plage de réglage 6 A à 10 A (gracieuseté de Klockner-Moeller) .
TABLEAU 40-1
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS
COMPOSANTS DE BASE POUR CIRCUITS DE COMMANDE
Contacteurs magnétiques
Les contacteurs magnétiques (Fig . 40-7) sont de gros relais destinés à ouvrir et à fermer un circuit de puissance. Une bobine de maintien sert à ouvrir et à fermer les contacts . On utilise les contacteurs dans la commande des moteurs dont la puissance est comprise entre 0,5 kW et plusieurs centaines de kilowatts . Comme pour les moteurs, la grosseur et les dimensions principales des contacteurs sont standardisées par les organismes de normalisation . Figure 40-7 Contacteur triphasé pour moteur asynchrone de 75 hp, 575 V, 60 Hz . Au moment de l'alimentation, la bobine de maintien à 120 V absorbe une puissance de 345 VA ; la puissance diminue à 29 VA lorsque le contacteur est fermé . Le temps de fermeture varie de 20 ms à 50 ms et le temps d'ouverture varie de 5 ms à 30 ms . La durée de vie mécanique représente 10 millions d'opérations, et les contacts doivent être remplacés après 1 million de cycles de fermeture et d'ouverture . Le relais thermique, monté en dessous du contacteur, est ajustable de 16 A à 80 A . Il est compensé de sorte que la variation de la température ambiante ne fait pas varier le seuil de déclenchement . Dimensions du contacteur complet - hauteur : 194 mm ; largeur : 123 mm ; profondeur : 140 mm (gracieuseté de Siemens) .
Lampes témoins
Les lampes témoins (Fig . 40-8) servent à indiquer l'état d'un composant dans un système de commande .
Figure 40-8 Lampe témoin à 120 V (gracieuseté de Siemens) .
710 ÉLECTROTECHNIQUE TABLEAU 40-1
COMPOSANTS DE BASE POUR CIRCUITS DE COMMANDE
Interrupteurs spéciaux Les interrupteurs de fin de course (Fig . 40-9a) servent à ouvrir ou à fermer un contact selon la position d'une pièce mécanique . De la même façon, certains interrupteurs spéciaux sont actionnés par une pression, une température, un niveau de liquide (Fig . 40-9b) ou un sens de rotation .
(a)
(b)
Figure 40-9 a . Interrupteur de fin de course, un contact NF, levier à galet, 10 millions d'opérations ; fidélité : 0,5 mm (gracieuseté de Square D) .
b . Interrupteur à flotteur
(gracieuseté de Square D) .
Détecteurs de proximité Les détecteurs de proximité (Fig . 40-10) sont des dispositifs scellés qui peuvent détecter des objets sans y toucher . Leur durée de vie est indépendante du nombre d'opérations qu'ils effectuent. Ils sont connectés à une source externe d'alimentation, ce qui leur permet de générer un champ magnétique alternatif au moyen d'un oscillateur interne . Lorsqu'un objet métallique s'approche à quelques millimètres du détecteur, le champ magnétique diminue, ce qui fait augmenter un courant de commande à c .c . Ce dernier est alors utilisé pour activer un deuxième dispositif comme, par exemple, un relais ou un automate programmable . Des détecteurs de proximité capacitifs, basés sur le même principe, mais créant un champ électrique, sont capables de détecter des objets non métalliques, y compris les liquides .
Figure 40-10 Détecteur de proximité surveillant la charge d'un convoyeur (gracieuseté de Télémécanique, Groupe Schneider) .
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS
40 .2 Contacts normalement ouverts et normalement fermés Les diagrammes de commande montrent les divers organes à l'état de repos, c'est-à-dire lorsqu'ils ne sont pas alimentés (électriquement) ou actionnés (mécaniquement) . Dans cet état, certains contacts sont ouverts alors que d'autres sont fermés . On les appelle, respectivement, contacts normalement ouverts (NO) et contacts normalement fermés (NF) . Ils sont désignés par les symboles suivants : contact normalement fermé contact normalement ouvert -1
H
Ordinairement, on dessine les contacts de puissance avec des traits gras et les contacts de commande avec des traits fins . 40 .3 Courant d'excitation d'une bobine de maintien Lorsqu'un contacteur est à l'état de repos, le circuit magnétique possède un entrefer qui est très long par rapport à l'entrefer du contacteur à l'état fermé . Il s'ensuit que la réactance inductive de la bobine de maintien est beaucoup plus faible lorsque le contacteur est ouvert que quand il est fermé . Comme la bobine est alimentée par une source de tension alternative, il en résulte un appel de courant important à l'instant où la bobine est excitée . Lorsque le contacteur se ferme, le courant diminue jusqu'à sa valeur nominale en l'espace d'un ou deux cycles . Cet appel de courant initial impose des conditions difficiles aux petits contacts qui servent à alimenter la bobine . Exemple 40-1 tin contacteur triphasé de classe NEMA 5 aune capacité de 270 A sous une tension de 460 V. La bobine de maintien de 120 V absorbe, dans la position ouverte, une puissance apparente de 2970 VA, alors que la puissance est de 212 VA seulement dans la position fermée . Calculer : L'appel de courant au moment où la bobine est excitée b) Le courant d'excitation en régime permanent c ) Le rapport de la puissance commandée à la puissance de commande
71 I
Solution
a) À l'instant où la bobine est alimentée, l'appel de courant initial est : I = S = 2970 E
= 24,75 A
120
b) En régime permanent le courant d'excitation est : I = S = 212 E
120
= 1,77 A
c) En régime permanent, la puissance requise pour actionner la bobine de maintien est de 212 VA . La puissance maximale que le contacteur peut commander est : S = EIF = 460 X270xF3 = 215 120 VA Le rapport de ces puissances est : puissance commandée
_ 215 120
puissance de commande
212
= 1015
Un contacteur agit donc comme un amplificateur de puissance, en ce sens que la puissance commandée est bien supérieure à la puissance de commande. 40.4 Diagrammes de commande On peut représenter un système de commande de quatre façons : 1 . le diagramme synoptique 2 . le diagramme unifilaire 3 . le diagramme schématique 4 . le diagramme des connexions La méthode de représentation dépend de l'usage qu'on désire en faire . Les Fig . 40-11 à 40-14, décrivant le même système de commande d'un moteur triphasé, fournissent un exemple d'utilisation de chacun de ces diagrammes . Le diagramme synoptique (Fig . 40-11) comprend un groupe de rectangles représentant chacun un dispositif de commande et comprenant une courte description de sa fonction . On réunit les rectangles par des flèches pour indiquer la direction de la puissance électrique .
712
ÉLECTROTECHNIQUE lampe témoin (moteur en marche)
600 V 3 phases
sectionneur avec fusible
contacteur magnétique
relais thermique
moteur à cage d'écureuil
boutons-poussoirs marche-arrêt Figure 40-11 Diagramme synoptique («block diagram») .
Le diagramme unifiliare (Fig . 40-12) est semblable au diagramme synoptique sauf que les composants sont représentés par leur symbole plutôt que par des rectangles . Les symboles donnent une idée de la nature des composants, de sorte que le diagramme unifilaire révèle plus d'information . Une seule ligne relie les divers composants, quel que soit le nombre de conducteurs réellement utilisés . Le diagramme schématique (Fig . 40-13) montre toutes les connexions électriques entre les composants sans respecter leurs positions respectives, ni la disposition de leurs bornes . Ce genre de diagramme est indispensable quand on doit localiser un défaut dans un circuit de commande, ou quand il faut connaître son fonctionnement en détail . Afin de distinguer le circuit de puissance du circuit de commande, on les représente respectivement avec des traits gras et des traits fins . Le diagramme des connexions (Fig . 40-14) montre les connexions entre les composants en tenant compte de la disposition physique des bornes et parfois de la couleur des fils . On utilise ces diagrammes lors de l'installation ou quand il faut identifier les fils pour localiser une panne, par exemple . 40 .5 Procédés de démarrage Les procédés de démarrage des moteurs asynchrones à cage sont : 1 . le démarrage direct 2 . le démarrage à tension réduite Le choix de la méthode de démarrage dépend des caractéristiques du réseau d'alimentation et de la nature de la charge entraînée par le moteur . Comme avantages du démarrage direct, mentionnons sa simplicité et son coût d'installation peu élevé . Son
principal inconvénient est l'appel considérable de courant au démarrage: 5 à 6 fois le courant de pleine charge . Sur les réseaux de distribution à 240 V et moins, ce procédé de démarrage est limité aux moteurs de faible puissance (quelques dizaines de kilowatts), car l'appel de courant important a pour effet de faire baisser brusquement la tension et de gêner les usagers sur la même ligne . Pour des variations subites de tensions supérieures à 3 %, la variation de l'intensité lumineuse des lampes à incandescence devient excessive . Dans le cas des grandes installations industrielles, on peut parfois utiliser le démarrage direct, même pour des moteurs dont la puissance dépasse 1000 hp . Il faut alors s'assurer que les fusibles ou les disjoncteurs de protection peuvent supporter le courant intense de démarrage pendant le temps nécessaire à l'accélération du moteur . Il faut aussi que cette accélération ne soit pas trop rapide afin de limiter le choc mécanique subi par les parties tournantes . On intercale ordinairement un sectionneur et des fusibles entre la ligne d'alimentation et le démarreur . Ces composants peuvent être montés dans le coffret du démarreur . On est amené à choisir des fusibles dont le courant nominal vaut environ 3,5 fois le courant de pleine charge du moteur. Ces fusibles ne conviennent donc pas à la protection des moteurs contre les surcharges dangereuses . Les fusibles protègent le moteur et la ligne d'alimentation contre les surintensités résultant d'un démarrage trop lent ou d'un court-circuit dans le moteur ou dans le démarreur lui-même . Le calibre des fusibles doit être choisi de façon à respecter les exigences du Code de l'électricité .
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS
O
600 V 3 ph
o~ sectionneur
fusible
0
bobine de maintient j B1
PB2
L lampe témoin bouton-poussoir
Figure 40-12 Diagramme unifilaire («one-fine diagram») .
S
1-1
t0
Figure 40-13 Diagramme schématique («schematic diagram») .
600 V 3 ph
L1
L2 L3
sectionneur B1
o o L2 L3
L1
moteur
démarreur T1 o T2 o T30
B2 B3
boutons-poussoirs 8 Figure 40-14 Diagrammme des connexions («wiring diagram») .
O
/13
714
ÉLECTROTECHNIQUE
On distingue deux types de démarreurs : les démarreurs manuels et les démarreurs magnétiques . 40 .6 Démarreurs manuels Les démarreurs manuels (Fig. 40-15) se présentent sous la forme d'un coffret comprenant un interrupteur tripolaire à commande manuelle et deux ou trois relais à protection thermique contre les surcharges . Ils conviennent aux moteurs de faible puissance (7 kW ou moins) sous des tensions de 120 V à 600 V . La pleine tension est appliquée sur la machine, ce qui assure un démarrage rapide . Les éléments thermiques doivent être choisis de façon à déclencher l'ouverture du disjoncteur si le courant dans une des phases dépasse la valeur nominale .
démarrage et le courant nominal sans surchauffer . La bobine de maintien du contacteur est représentée par le symbole OA . Lorsqu'elle est mise sous tension, elle provoque la fermeture des contacts A et Ax ; b) un relais thermique triphasé qui protège le moteur contre les surcharges . Le relais comprend trois éléments chauffants montés respectivement en série avec chacun des fils de la ligne d'alimentation, et un contact T normalement fermé. Le calibre du relais doit être choisi de façon à obtenir une protection convenable contre les surcharges persistantes, même peu élevées . Le déclenchement (ouver-
40.7 Démarreurs magnétiques Lorsque l'on désire commander un moteur à partir d'un endroit éloigné ou lorsque sa puissance dépasse environ 7 kW, on doit utiliser un contacteur magnétique . Ces démarreurs magnétiques peuvent être commandés à distance par boutons-poussoirs, car ils comportent un contacteur qui ouvre ou ferme le circuit d'alimentation du moteur. La Fig . 40-16a montre un démarreur magnétique et un poste de commande, tandis que la Fig. 40-16b donne le schéma d'installation . Il comporte les parties principales suivantes : a) un contacteur A possédant trois contacts principaux A et un contact auxiliaire A, Les contacts A doivent être suffisamment gros pour supporter le courant de
Figure 40-15 Démarreurs manuels pour moteurs monophasés de 0,75 kW ; a) montage en saillie ; b) montage encastré ; c) boîtier à l'épreuve de l'eau (gracieuseté de Siemens) .
Figure 40-16a Démarreur magnétique triphasé pour puissance maximale de 22 kW, 600 V avec son poste de commande à distance comprenant les boutons-poussoirs marche-arrêt et une lampe témoin (gracieuseté de Klockner-Moeller) .
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS
715
lui
marche
arrêt Figure 40-16b Diagramme schématique d'un démarreur magnétique pour moteur triphasé .
ture de T) se fait après un temps d'autant plus court que le courant de surcharge est plus grand . La courbe de la Fig . 40-17 donne les temps de déclenchement d'un relais thermique en fonction des multiples du courant nominal . Ainsi, à pleine charge (multiple 1) le relais ne s'ouvre pas, alors qu'il s'ouvre au bout de quarante secondes lorsque le courant atteint deux fois sa valeur nominale, et cinq secondes seulement s'il atteint six fois sa valeur nominale .
position normale, mais la bobine demeure alimentée grâce au contact A X qui est maintenant fermé . Pour arrêter le moteur, on appuie sur le bouton «arrêt», ce qui ouvre le circuit de la bobine . Dans le cas d'une surcharge, l'ouverture du contact T produit le même effet.
min
Pour toute application particulière, on doit s'en tenir aux recommandations du constructeur et du code de l'électricité pour le choix du relais thermique de protection . On ne doit jamais court-circuiter ce relais . Le relais thermique est muni d'un bouton de réenclenchement («reset») qui permet de refermer le contact T après son ouverture à la suite d'une surcharge . On recommande toutefois d'attendre quelques minutes avant d'appuyer sur le bouton de réenclenchement afin que le relais thermique puisse se refroidir ; c) un poste de commande à boutons-poussoirs «marche-arrêt», qui peut être éloigné du démarreur . Lorsque les contacts sont dans la position indiquée à la Fig . 40-16b, la bobine et le moteur sont hors tension . Pour démarrer le moteur, on ferme d'abord le sectionneur et l'on appuie sur le bouton «marche» . La bobine A est aussitôt alimentée, les contacts A et A X se ferment et la pleine tension apparaît aux bornes du moteur. Si l'on relâche le bouton «marche», il revient à sa
120 60 30 6
â E
2 1 min 40s 20 10 5 2 1
1 1,1 1,5 2 4 6 10 - multiples du courant de réglage
Figure 40-17 Courbe de déclenchement donnant le temps d'ouverture du relais thermique T en fonction du courant de surcharge . Le délai est mesuré à partir des conditions à froid . Si le moteur fonctionne déjà à pleine charge, les délais d'ouverture sont raccourcis d'environ 30 % .
716 ÉLECTROTECHNIQUE TABLEAU 40-2
IE
SYMBOLES GRAPHIQUES POUR DIAGRAMMES ÉLECTRIQUES*
.
1 0
15
2
1
ou
ou
T 16 }( ou * ou
4 5
-
17 e ou V ou
>-
6 -»
18 H * F- ou -Wv-
71
ou
20 e~_ 1
ou
24 ---j l-ou - i125
12 = ou -1
14
~ô
23 'C ou
11 ô
13 o ---o
H
21
22
ou r ou
10
33 34 35
bi
ou
e
e APPLICATION
36
19 -
8 -J 9 1 T
32
37 38 * mettre une lettre appropriée 39 1 )
j-
0~
o o10 0 0-10 1 . borne; jonction 2 . croisement de conducteurs 3 . conducteurs raccordés 4. trois conducteurs 5. fiche, réceptacle 6 . connexion débrochable 7 . mise à la terre; parafoudre 8 . sectionneur 9. contact normalement ouvert (N .O .) 10. contact normalement fermé (N .F .) . interrupteur a bouton-poussoir N .O. et N .F . 12. disjoncteur 13 . interrupteur à bascule 1 pôle 1 direction ; 1 pôle 2 directions 14 . interrupteur à bascule 2 pôles, 2 directions 15. fusible 16 . dispositif de déclenchement thermique 17 . bobine de maintien 18. résistance 19. enroulement, inductance ou réactance 20. condensateur ; condensateur polarisé (électrolytique) 21 . transformateur 22 . transformateur de courant 23 . transformateur de potentiel 24. source à courant continu (symbole général) 25 . pile 26 . enroulement shunt 27 . enroulement série ; enroulement de commutation ou de compensation 29. moteur à c .c . ; génératrice à c .c . (symboles généraux) 28 . moteur ; génératrice (symboles généraux) 30. moteur à c.a . ; génératrice à c.a. (symboles généraux) 32 . moteur triphasé à cage d'écureuil ; moteur triphasé à rotor bobiné 33 . moteur synchrone, alternateur 34 . diode 35 . thyristor 36 . disjoncteur débrochable à déclenchement magnétique 37. moteur shunté c .c. avec un enroulement de commutation ; génératrice à c .c . avec inducteur à aimant permanent 38 . relais magnétique possédant un contact N .O . et un contact N .F . 39 . lampe témoin Symboles tirés de la publication «IEEE Standard and American National Standard Graphic Symbols for Electrical and Electronics Diagramsv publiée par The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc ., New York, N .Y. 10017 . On utilise les mêmes symboles au Canada .
Dans certaines installations, il arrive que le relais thermique commande l'arrêt du moteur une ou deux fois par semaine, sans cause apparente . Cette condition se présente lorsque la température ambiante de l'air entourant le démarreur est trop élevée. On peut remédier à cette situation en changeant le démarreur de place ou en remplaçant le relais par un autre d'un calibre supérieur. Cependant, tout remplacement doit être fait avec précaution pour maintenir une protection adéquate du moteur. Il existe des relais thermiques qui sont compensés pour les variations de la température ambiante .
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS
717
lement spécial pour le circuit de commande, tout en réduisant le danger de choc électrique pour les opérateurs (voir les Fig . 40-19a et 40-19b) . La Fig . 40-20 illustre un démarreur à moyenne tension pour le démarrage direct d'un moteur asynchrone de 2500 hp, 4160 V, 3 phases, 60 Hz . Le compartiment
La Fig . 40-18 montre un démarreur combiné, comprenant un sectionneur et le démarreur proprement dit. Lorsque la tension d'alimentation dépasse 600 V, on utilise un transformateur abaisseur de tension pour alimenter le circuit de commande . Par exemple, si la tension est de 4 kV, on utiliserait un petit transformateur ayant un rapport de 4 kV/120 V ; on évite ainsi un iso-
(a) arrêt
600 V
marche
o
(b)
Figure 40-18 Démarreur magnétique triphasé combiné pour puissance maximale de 110 kW, 600 V. Le levier sert à actionner le disjoncteur; des boutons marche-arrêt sont encastrés dans le couvercle en polycarbonate transparent (gracieuseté de Klockner-Moeller) .
Figure 40-19 a . Démarreur magnétique combiné pour moteur triphasé de 75 kW, 600 V, 60 Hz . Le disjoncteur manuel est actionné par le levier extérieur . Le contacteur est monté en bas à gauche . Le petit transformateur visible en bas à droite abaisse la tension du circuit de commande de 600 V à 120 V. Un système de verrouillage mécanique empêche l'ouverture du coffret si le disjoncteur est fermé (gracieuseté de Square D) . b . Circuit de commande du démarreur utilisant un transformateur.
718
ÉLECTROTECHNIQUE
métallique renferme trois fusibles et un disjoncteur triphasé à vide . Le disjoncteur peut démarrer 250 000 fois à pleine charge avant qu'un entretien soit recommandé . La bobine de maintien tire un courant initial de 21,7 A, qui tombe à 0,4 A en régime permanent . Les temps de fermeture et d'ouverture des contacts principaux sont respectivement de 65 ms et 130 ms . La Fig . 40-21 montre un démarreur spécial pour moteur à cage . 40.8 Marche par à-coups («jogging») On doit parfois faire avancer un moteur par petits coups («jogging») afin d'ajuster la position d'une pièce mécanique . On alimente alors le moteur pendant une fraction de seconde, de sorte qu'il n'atteint jamais sa vitesse nominale . Pour réaliser ce mode de commande, on ajoute au circuit habituel un bouton-poussoir J à contact double, comme l'indique la Fig . 40-22 . Cet arrangement permet la commande marche-arrêt habituelle du moteur, tout en permettant le «jogging» . Ce mode d'opération impose des conditions très dures
Figure 40-21 Démarreur spécial pour moteur à cage de 40 hp, 460 V, 60 Hz ayant une capacité de court-circuit de 42 kA, sous 460 V . Il comprend des ajustements thermique et magnétique . Dimensions hors-tout : hauteur: 243 mm ; largeur : 90 mm ; profondeur: 179 mm (gracieuseté de Télémécanique, Groupe Schneider) .
aux contacts de puissance, car ils doivent couper un courant environ 6 fois plus intense que le courant nominal du moteur. On estime que chaque à-coup correspond à 30 ouvertures normales, de sorte qu'un contacteur pouvant normalement exécuter 3 millions d'ouvertures peut seulement en réaliser 100 000 en marche par à-coups . Il faut éviter une répétition trop rapide du cycle d'ouverture/fermeture, car cela risque de faire fondre la surface des contacts principaux ou même de les souder ensemble . Mentionnons ici qu'un contacteur possède une durée de vie mécanique correspondant à une vingtaine de millions de cycles
Figure 40-20 Démarreur triphasé de 5 kV pour moteur asynchrone de 2500 hp . Pour fins de sécurité, les circuits à basse tension et à moyenne tension sont totalement isolés l'un de l'autre . Le boîtier a une hauteur de 2286 mm, une largeur de 610 mm et une profondeur de 813 mm . Le tout pèse 499 kg (gracieuseté de Square D, Groupe Schneider) .
O
/
/
o /
Figure 40-22 Circuit de commande permettant le démarrage normal et le démarrage par à-coups .
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS
d'ouverture/fermeture alors que les contacts électriques doivent être changés après 3 millions d'opérations normales . 40 .9
soit impossible d'alimenter les bobines A et B en même temps . Toutefois, il se peut qu'un défaut mécanique empêche un des contacts (A ou B) de s'ouvrir lorsque la bobine de maintien n'est plus alimentée . Dans ce cas, on produirait un court-circuit franc sur la ligne . Pour éviter cela, on place entre les deux contacteurs un système de verrouillage mécanique à bascule les empêchant de se fermer en même temps .
Inversion du sens de rotation
Certains moteurs doivent fonctionner dans les deux sens comme, par exemple, les moteurs d'ascenseur. On peut inverser le sens de rotation en changeant la séquence des phases des trois lignes alimentant le moteur . Pour ce faire, on utilise deux contacteurs magnétiques A et B (Fig . 40-23a) et un commutateur manuel à trois positions (Fig . 40-23b) .
Le bouton-poussoir U muni d'un gros bouton rouge sert à arrêter le moteur en cas d'urgence . Il est en effet beaucoup plus rapide pour un opérateur d'appuyer sur le gros bouton (Fig . 40-23c) que de tourner le commutateur à sa position neutre .
Lorsqu'on change le sens de rotation, on doit passer par la position neutre (0) du commutateur de sorte qu'il L1 O
•o
L2
o- sectionneur
L3 0-
• •
o o
marche avant marche arrière
Figure 40-23a Schéma élémentaire d'un démarreur permettant deux sens de rotation .
Figure 40-23b Commutateur à cames à 3 positions (gracieuseté de Siemens) .
719
Figure 40-23c Bouton d'arrêt d'urgence (gracieuseté de Square D) .
720 ÉLECTROTECHNIQUE
40 .10
Freinage par inversion
On a déjà vu à la section 34 .7 qu'on peut freiner un moteur asynchrone rapidement en changeant le sens de rotation de son champ tournant, soit en permutant deux fils de ligne . Au moment où le moteur commence à tourner dans le sens inverse, un détecteur de sens de rotation doit ouvrir le circuit de la source pour que la machine demeure immobile . Le circuit de la Fig . 4024 montre les éléments requis pour réaliser ce freinage par inversion . 1 . Les boutons-poussoirs A et B commandant respectivement la marche et l'arrêt ont chacun un contact normalement ouvert (A X1 et B Xl ) et un contact normalement fermé (A X2 et B XZ ) . Les deux contacts normalement fermés constituent un système de verrouillage électrique . Il assure que la fermeture du circuit alimentant la bobine A est précédée par l'ouverture du circuit de la bobine B, et vice versa . 2 . Le contact F-L du détecteur de vitesse nulle est normalement ouvert, mais il se ferme dès que le moteur tourne dans le bon sens . Cela prépare le circuit pour le freinage éventuel du moteur . L1 O
3 . Les contacts auxiliaires normalement fermés AX2 et BX2 constituent un deuxième système de verrouillage . C'est une autre mesure de sécurité : on ne peut pas alimenter la bobine B lorsque A est alimentée, et vice versa . Il existe plusieurs types de détecteurs de rotation . La Fig . 40-25a montre un détecteur à induction qui fonctionne sur le principe du moteur asynchrone . Il est composé d'un rotor à aimant permanent N-S à l'intérieur d'un anneau en bronze pouvant pivoter entre deux points de support . Lorsque le rotor tourne, l'aimant induit un courant dans l'anneau, ce qui provoque son entraînement . L'anneau est muni d'un contact mobile L . de sorte que le mouvement horaire ou antihoraire du rotor ferme les contacts F-L ou R-L (Fig . 40-24) . La Fig . 40-25b montre un autre détecteur qui utilise la force centrifuge créée par la rotation . La Fig . 40-26 illustre une application des dispositifs de commande . 40 .11 Démarrage à tension réduite Plusieurs procédés industriels requièrent un démarrage lent afin d'atteindre graduellement le régime de fonc-
• c
L2 0___ sectionneur L3
A marche 1ï ~2j Ax 1 0
4
B arrêt 1 ,. 7 y8
1 5L
16
Bx1
odétecteur de vitesse nulle oL
x2
Ax2
o o R F i o-
Figure 40-24 Schéma élémentaire d'un démarreur permettant le freinage par inversion .
T
o
tionnement normal . C'est le cas des machines à papier et des machines à textile, par exemple. Dans d'autres cas, on ne peut pas brancher un moteur directement sur la ligne, car le courant de démarrage risque de causer une chute de tension inacceptable, non seulement pour l'usager, mais aussi pour les abonnés raccordés sur le même réseau . Dans ces circonstances, il faut limiter le couple de démarrage ou le courant de démarrage en réduisant la tension aux bornes du moteur. Cette réduction se fait
(a)
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS
721
en intercalant des résistances (ou des réactances) en série avec les fils de ligne, ou en utilisant un autotransformateur . Dans ces cas, on doit se rappeler que : 1 . le courant de démarrage est proportionnel à la tension aux bornes du moteur : si l'on réduit la tension de moitié, le courant de démarrage diminue de moitié ; 2 . le couple de démarrage est proportionnel au carré de la tension aux bornes du moteur : si l'on réduit la tension de moitié, le couple est réduit par quatre .
(b)
Figure 40-25 Interrupteurs/détecteurs de vitesse nulle : (a) type à induction ; (b) type centrifuge (gracieuseté de Hubbel) .
Figure 40-26 Ce pont roulant à électro-aimants pouvant transporter des tôles de plusieurs tonnes est commandé par des petits boutonspoussoirs et des commutateurs à cames (gracieuseté de Lacheroy, Chambre syndicale de la sidérurgie française) .
722
ÉLECTROTECHNIQUE
sectionneur
T2
2 B 3
40 .12 Démarrage par résistances Le démarrage par résistances consiste à intercaler trois résistances en série avec les trois phases du moteur pendant la période de démarrage (Fig . 40-27a) . En appuyant sur le bouton marche, le contacteur A ferme d'abord et lorsque le moteur a atteint une vitesse proche de la vitesse synchrone, un deuxième contacteur B court-circuite les trois résistances . Cette méthode permet un démarrage en douceur, car la chute de tension dans les résistances, élevée au début (à cause du fort courant), diminue à mesure que la vitesse augmente . Par conséquent, la tension aux bornes du moteur croît avec sa vitesse, de sorte que le choc est réduit lors de l'application de la pleine tension (fermeture du contacteur B) . Néanmoins, le glissement du moteur doit être assez faible au moment de la fermeture, sinon le choc peut être considérable . Habituellement, les résistances sont court-circuitées automatiquement, après un délai ajusté par un relais temporisé .
T
RT
Lorsque les contacteurs A et B sont très gros, les courants initiaux d'excitation des bobines risquent d'endommager les contacts du bouton-poussoir marche . Dans ce cas, il est préférable d'ajouter un relais auxiliaire dont les contacts sont plus robustes . Ainsi, dans la Fig . 40-27b, le contact du relais auxiliaire RA porte
0
Figure 40-27a Schéma élémentaire et circuit de commande illustrant le démarrage par résistance .
o
Le diagramme schématique (Fig . 40-27a) comprend les éléments suivants : A, B - contacteurs principaux ; RT - relais temporisé dont le contact RT ferme le circuit de la bobine B après un délai . Dès qu'on appuie sur le bouton marche, les bobines A et RT sont alimentées, ce qui provoque la fermeture des contacts principaux A et du contact auxiliaire A x. Le contact RT ferme quelques secondes plus tard, ce qui provoque la fermeture du contacteur B .
T3
RT
RA RA RT
O
Figure 40-27b Même circuit de commande avec relais auxiliaire RA .
les courants d'excitation des bobines A et B alors que les contacts du bouton-poussoir servent seulement à alimenter les bobines RA et RT . Le principe de fonctionnement du circuit ne présente aucune difficulté de compréhension .
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS
PÀR li
300 m â ü i
200
100 40 0
0
400
800
723
1200 vitesse
A 600
1
0 400
2
16001800 r/min
C (0 7
i 200
0 Figure 40-28 Démarreur triphasé à résistances insérées dans le primaire . Capacité 37,5 kW, 600 V (gracieuseté de Siemens) .
La Fig . 40-28 montre la construction d'un démarreur à tension réduite .
0
400
800
1200 vitesse
16001800 r/min
Figure 40-29 Courbes du couple et du courant en fonction de la vitesse : moteur triphasé, 100 kW, 575 V, 1765 r/min . Courbes (1) : raccordement direct sur la ligne ; courbes (2) : avec résistances insérées dans le primaire .
Exemple 40-2 Un moteur asynchrone triphasé de 150 kW, 460 V,
La Fig . 40-29 montre les courbes (1) du couple et du
352t) r/min, (,U Hz a un courant de démarrage de
pleine tension à un moteur triphasé de 100 kW, 575 V,
résistances sont hranchécs en senne avec le stator afin
(2) correspondantes lorsqu'une résistance est interca-
ler :
courant en fonction de la vitesse lorsqu'on applique la 1765 r/min . Sur la même figure, on a tracé les courbes
lée dans chacun des trois fils de ligne . La valeur de cette résistance est telle que la tension au moment du
démarrage est réduite à 65 % de la tension nominale, soit 374 V.
Étant donné que cette réduction de tension diminue
le couple de démarrage à environ 40 % du couple de pleine tension, le moteur doit démarrer à vide ou avec
une faible charge . Lorsque la vitesse atteint environ
1700 r/min, les résistances sont court-circuitées. Le
couple et le courant suivent alors les courbes (1) .
1400 A et un couple de démarrage de 600 N •tn . Trois
de réduire la tension à ses bornes ia 0 .65 p.ti . Calcu-
La puissance apparente absorbée par le moteur s'il était branché directement sur le réseau, le rotor étant bloqué
bj I .n puissance apparente tirée du réseau lorsque les résistances sont en circuit, le rotor étant blo(tué
c) Le couple de démarrage développé par le nioteur
724 ÉLECTROTECHNIQUE
SL = 725 kVA
Sm = 471 kVA
0-
460 V
résistances
299 V
rotor bloqué
S m = 471 kVA
P L = 575 kW Q L = 441 kvar
P m = 165 kW Q m = 441 kvar
460 V
résistances
299 V
910 A
910 A
910 A
Figure 40-31 Voir exemple 40-3 .
Figure 40-30 Voir exemple 40-2 .
Solution a) La puissance apparente absorbée par le moteur à pleine tension est: S = EI ~_ 3 = 460 x 1400 x ~_ 3 = 1115 kVA
b) À 0,65 p .u . la tension aux bornes du moteur est : E = 0,65 x 460 V = 299 V Le courant du moteur diminue proportionnellement avec la tension . Par conséquent, I = 0,65 x 1400 A = 910A Dans ces conditions, la puissance apparente absorbée par le moteur est: Sm = EI ~ 3 = 299 x 910 x ~_ 3 = 471 kVA
La puissance tirée du réseau est :
l3 = 460 x 910 x U = 725 kVA
c) Le couple varie avec le carré de la tension : T = (0,65) 2 x 600 N •m
rotor bloqué
III
1
910 A
SL = EI
SL = 725 kVA
= 254 N •m
La Fig . 40-30 montre les tensions, les courants et les puissances mises enjeu .
Exemple 40-3 Dans l'exemple 40-2, le facteur de puissance du moteur à rotor bloqué est de 0 .35 . Calculer la résistance et la puissance dégagée par les éléments résistifs connectés en série avec le moteur. Solution Nous trouverons la solution à ce problème en utilisant la méthode des puissances . En se servant des résultats de l'exemple 40-2, la puissance apparente absorbée par le moteur est : S m = 471 kVA et la puissance apparente tirée du réseau est :
SL = 725 kVA La puissance active absorbée par le moteur est: Pm = Sm cos 9 = 471 x 0,35 = 165 kW
d'où la puissance réactive absorbée par le moteur : Qm =
2
2
Sm - Pm = ~ 471 2 - 1652 = 441 kvar
Les éléments résistifs en série peuvent seulement absorber une puissance active du réseau . Il en résulte que la puissance réactive tirée du réseau doit être égale à celle absorbée par le moteur : QL = 441 kvar
La puissance active tirée du réseau est : PL = ~SL - QL = ~ 725
2
- 441 2
=
575 kW
Par conséquent, la puissance active absorbée par les trois éléments résistifs est : PR = PL - Pm = 575 - 165 = 410 kW La puissance active par élément est : P = PR -3 = 410=3 = 137 kW
Puisque le courant dans chaque résistance est de 910 A (voir exemple 40-2), la valeur de chacune est donnée par : P=RI2 137 000 = R x 910 d'où R = 0,165 Q
2
Chaque élément doit donc avoir une résistance de 0,165 £2 et une capacité thermique à court terme de 137 kW. Cet exemple illustre de nouveau la simplicité de la méthode des puissances . Les résultats sont résumés à la Fig . 40-31 .
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS
725
40 .13 Démarrage par autotransformateurs Pour un couple donné, le démarrage par autotransformateurs tire moins de courant du réseau que le démarrage par résistances ; l'inconvénient est que les autotransformateurs coûtent plus cher que les résistances . Habituellement, les autotransformateurs possèdent des prises à 80 %, 65 % et 50 % de la tension nominale . Les couples de démarrage sont donc réduits respectivement à 64 %, 42 % et 25 % du couple de démarrage à pleine tension. Les courants correspondants tirés du réseau sont également réduits à 64 %, 42 % et 25 % du courant de démarrage à pleine tension . La Fig . 40-32 montre un démarreur typique, et la Fig . 40-33 en donne le circuit simplifié. Il est composé de deux autotransformateurs raccordés en triangle ouvert (section 32 .5) et utilisant une prise à 65 % . Dans le circuit de commande, un relais temporisé RT possède trois contacts RT dont l'un se ferme instantanément lorsque la bobine RT est alimentée . Les deux autres contacts RT fonctionnent après un délai qui dépend de l'ajustement du relais . Les contacteurs A et B sont munis d'un système de verrouillage à bascule pour éviter qu'ils puissent se fermer en même temps .
Figure 40-32 Démarreur avec autotransformateur pour moteur triphasé, 100 kW, 600 V avec prises à 65 % (gracieuseté de Square D) .
L1 O L2 O L3 O
sectionneur • •o
RT / RT
Figure 40-33 Diagramme schématique d'un démarreur par autotransformateur.
A
~ verrouillage mécanique à bascule
726
ÉLECTROTECHNIQUE
En appuyant sur le bouton marche, le contacteur A se ferme et la tension réduite est appliquée aux bornes du moteur. Quelques secondes plus tard, par l'action de retardement du relais RT, le contacteur A s'ouvre et le contacteur B se ferme . Au moment du transfert à la pleine tension, le moteur est momentanément débranché du réseau et, à l'instant où les contacts B se ferment, l'appel transitoire de courant peut être aussi élevé que le courant de démarrage à pleine tension . Ce phénomène transitoire abîme les contacts et produit un choc mécanique lors du transfert . Pour cette raison, on utilise parfois un circuit plus élaboré qui évite de débrancher le moteur du réseau. On donne à la Fig . 40-34 les courbes (3) du couple et du courant en fonction de la vitesse lors du démarrage d'un moteur de 100 kW, 575V, 1765 r/min . Il s'agit du même moteur utilisé pour illustrer le démarrage par résistances . Pour fins de comparaison, nous avons reproduit les courbes (2) du couple et du courant de démarrage obtenues pour le démarrage par résistances . On note que lors du démarrage les couples (2) et (3) sont presque identiques . Cependant, passé environ 90 % de la vitesse synchrone (1600 r/min), le démarrage par résistances donne un meilleur couple, car la tension aux bornes du moteur est alors supérieure à la tension initiale (65 %) . Par contre, le courant tiré du réseau est toujours nettement plus faible avec le démarrage par autotransformateurs . Comme les autotransformateurs (et les résistances) ne sont en circuit que pour une courte période, on les construit en utilisant un minimum de matériel afin de réaliser une économie d'espace et de coût .
Exemple 40-4
Un moteur asynchrone triphasé de 150 kW . 460 V, 3520 r/min possède un couple de démarrage de 600 N-m et un courant de démarrage de 1400 A (même moteur que dans l'exemple 40-2) . Lors du d émarrage, on utilise les prises de 65 4 sur deux autotransformateurs raccordés eu triangle ouvert . Calculer : a) la puissance apparente absorbée par le moteur b) la puissance apparente tirée du réseau c) le courant tiré du réseau
200
0
0
1200 800 vitesse
400
16001800 r/min
A 600
ô 400 o
î
___________ 2
(résistances)
3
200
(autotransformateur)
00
400
800 1200 vitesse
16001800 r/min
Figure 40-34 Courbes du couple et du courant obtenus respectivement avec trois résistances insérées dans le primaire (courbes 2) et un autotransformateur (courbes 3) . Dans chaque cas, la tension aux bornes du moteur est limitée à 65 % de la pleine tension .
Solution
a) Lorsque le moteur fonctionne à une tension de 0,65 p .u ., on a déjà vu que : E = 299 V
I =910A
Sm = 471 kVA
b) La puissance apparente S L tirée du réseau est la même que celle absorbée par le moteur parce que les puissances active et réactive absorbées par l'autotransformateur sont négligeables . Par conséquent : SL =Sm =471kVA
c) Le courant tiré du réseau est: SL I= _
E13
= 592 A
471 000 460 x 1,73
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS SL = 471 kVA
-0 0
Sm = 471 kVA
-
460 V 592 A
rotor bloqué
L1 o
299 V
autotransformateur
L2 o
910 A
L3 o
Figure 40-35 Voir exemple 40-4 .
Noter que ce courant est seulement 65 % de celui tiré du réseau avec le démarreur à résistances . C'est le principal avantage du démarrage par autotransformateur . Les résultats sont résumés à la Fig . 40-35 . 40 .14 Autres méthodes de démarrage Il existe plusieurs autres méthodes pour démarrer les moteurs asynchrones . Quelques-unes demandent un changement dans le raccordement des enroulements du stator comme, par exemple, le démarrage à enroulement partiel . On utilise cette méthode pour démarrer les gros moteurs dont le bobinage est constitué de deux enroulements triphasés identiques, raccordés en parallèle . Lors du démarrage, on utilise un seul enroulement . Il en résulte que l'impédance est plus élevée et le courant de démarrage plus petit que si les deux enroulements étaient en service. Lorsque le moteur a atteint une certaine vitesse, le deuxième enroulement est branché en parallèle, ce qui permet au moteur de développer sa pleine puissance . La Fig . 40-36 montre comment deux contacteurs assurent le démarrage à enroulement partiel . Les contacts A ferment en premier, alimentant l'enroulement 1, 2, 3, puis les contacts B du deuxième contacteur alimentent l'enroulement 4, 5, 6 . Il existe d'autres façons de réaliser le démarrage à enroulement partiel ; parfois les enroulements sont conçus spécialement pour favoriser un démarrage optimal . Le démarrage en étoile-triangle est une autre manière de démarrer un moteur. Dans ce cas, les 6 bornes de l'enroulement triphasé sont amenées à la boîte des connexions . Les enroulements sont connectés en étoile au démarrage et en triangle en marche normale . Cette méthode donne le même résultat qu'un démarrage par autotransformateur sur une prise de 1/ 3 = 0,58 p .u . Dans le cas des moteurs à rotor bobiné, on court-circuite en une ou deux étapes les résistances extérieures pla-
I
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
727
Figure 40-36 Démarrage à enroulement partiel .
cées en série avec le rotor . Le nombre d'étapes dépend de la grosseur du moteur et de la nature de la charge. Le démarrage le plus doux s'obtient en remplaçant les résistances par trois électrodes mobiles trempant dans un bain d'eau salée . Aujourd'hui, on utilise de plus en plus les démarreurs à semi-conducteurs dans lesquels les contacts mobiles sont remplacés par des interrupteurs électroniques . Ils sont absolument silencieux et les contacts ne s'abîment jamais . Ces démarreurs sont décrits au chapitre 44 . 40 .15
Commutateurs à cames
Certains systèmes de commande requièrent la surveillance constante d'un opérateur . C'est le cas, par exemple, des grues où un opérateur doit ajuster les vitesses de montée et de descente ainsi que la hauteur de la charge au niveau désiré. Ce genre d'opération s'effectue en utilisant des commutateurs à cames . Ils sont composés d'une poignée qu'on peut tourner à différentes positions fixes, d'une série de cames de formes variées montées sur un arbre et d'une paire de contacts associés à chaque came . La Fig . 40-37a montre un commutateur à 3 positions identifiées arrêt, avant et arrière . À chaque position de la poignée, certains contacts sont fermés et d'autres sont ouverts . Cette information est donnée dans un tableau, habituellement collé sur le boîtier du commutateur. Dans ce tableau, les X correspondent à un contact fermé et les cases vides à un contact ouvert . À la position avant, par exemple, on constate que les contacts
728
ÉLECTROTECHNIQUE
a rière
6
avant
(a)
contact 1
arrière/
Figure 40-38 Diagramme schématique d'un commutateur à cames permettant la commande d'un moteur triphasé dans les deux sens de rotation .
0 \
avant
O
(b)
came montrée dans la position «arrêt»
contact
ma che avan
ar et
1 2
marche a e e X
X
3
X
4
X
5
X
X
Figure 40-37 État d'un commutateur à cames .
2, 4 et 5 sont fermés et que les contacts 1 et 3 sont ouverts . Si le levier est tourné à la position arrêt, tous les contacts sont ouverts . La Fig . 40-37b montre la forme de la came qui commande l'ouverture et la fermeture du contact 1 . On peut utiliser ces commutateurs pour commander directement des moteurs asynchrones triphasés de petite puissance. Le diagramme schématique de la Fig . 40-38 indique la façon de raccorder un commutateur à cames pour obtenir un fonctionnement du moteur dans les deux sens . L'état des contacts (ouvert ou fermé) est indiqué directement sur le schéma des connexions . Par exemple, lors de la marche avant, les trois X indiquent que les contacts 2, 4, et 5 sont fermés . La ligne triphasée et le moteur sont raccordés aux bornes L et T appropriées et on remarque que quatre cavaliers 10, 11, 12, 13 sont requis pour effectuer les bonnes connexions à l'intérieur du commutateur . On laisse
au lecteur le soin d'analyser le cheminement des courants lorsque la poignée occupe chacune des trois positions possibles . On fabrique des commutateurs pouvant porter quelques centaines d'ampères, mais, pour les grandes puissances, on préfère utiliser des contacteurs . Dans ce cas . le commutateur à cames commande seulement les bobines de maintien des contacteurs .
40.16 Systèmes d'entraînements spéciaux
Nous venons de voir les divers équipements utilisés pour le démarrage et l'arrêt des moteurs asynchrones . Ces systèmes d'entraînement fonctionnent à vitesse constante et en boucle ouverte, en ce sens qu'on n'utilise aucun système asservi pour commander la vitesse . Ces systèmes simples représentent la majorité des installations motorisées, d'où leur importance. Cependant, il existe des applications industrielles où un moteur doit fonctionner à des vitesses et des couples variables, parfois dans les deux sens de rotation . Dans ces circonstances, on peut se référer aux sections 28 .21 à 28 .23, chapitre 28, et aux sections 35.11 à 35 .20 . chapitre 35, qui décrivent les principes fondamentaux des entraînements électriques . Nous recommandons au lecteur de relire ces sections, le cas échéant . Nous étudierons aux chapitres 43 et 44 les entraînements électroniques des moteurs à courant continu et à courant alternatif. Enfin, enfin, on utilise fréquemment les automates programmables pour faciliter la commande de plusieurs moteurs qui doivent fonctionner ensemble sur une ligne de production . Leur principe de fonctionnement est expliqué dans les sections qui suivent .
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS
725
AUTOMATES PROGRAMMABLES
40 .17
Introduction
Dans toute la panoplie d'appareils utilisés pour commander les automatismes et les procédés de fabrication, l'automate programmable industriel (API)* occupe une place très importante . La création du premier API remonte à la fin des années 60 . L'industrie automobile en est la principale instigatrice et la première utilisatrice . Jusqu'alors, la commande des automatismes industriels était réalisée à l'aide d'armoires de commande à relais . Les changements annuels de modèle de voiture impliquaient des modifications fréquentes des chaînes de montage et de leurs armoires de commande . Comme ces dernières étaient complexes, leurs modifications étaient difficiles et comportaient un risque élevé d'erreur de branchement. L'industie automobile a donc amené la création d'un appareil programmable capable de remplacer les armoires de commande . Ce fut alors le début d'une grande aventure pour plusieurs compagnies . Les ordinateurs qui étaient principalement utilisés pour faire de la comptabilité furent modifiés afin de répondre aux exigences de la commande industrielle . Petit à petit, la technique s'améliora et gagna plus d'adeptes . Il a fallu cependant attendre une bonne décennie avant que le concept soit introduit de façon systématique dans l'industrie . Aujourd'hui, l'API est le principal système de commande utilisé dans l'industrie . On dénombre environ 45 fabricants qui ensemble offrent plus de 200 modèles . 40 .18
Capacités des automates programmables industriels
Lors de sa création, les capacités de l'API se limitaient au remplacement des relais de commande industriels . Évidemment, il offrait déjà des avantages aux utilisateurs . Il prenait moins de place que les armoires de commandes conventionnelles et consommait moins d'énergie . Il était programmable et était muni d'indicateurs d'état, facilitant la vérification de son bon fonctionnement et l'identification des problèmes . En anglais: PLC (programmable logic controller) .
Aujourd'hui, grâce à l'évolution de l'électronique et de l'informatique, sa performance et ses capacités sont impressionnantes . Tout en continuant à remplacer les relais de commande, l'API peut maintenant effectuer des opérations mathématiques, contrôler et régulariser des procédés industriels (température, débit), commander la vitesse et le positionnement des moteurs, etc . De plus, les API peuvent communiquer entre eux, ainsi qu'avec un ordinateur hôte . Ce dernier peut faire la collecte de données, modifier les paramètres d'opération des API et même modifier leur programme . On retrouve sur le marché des API pouvant recevoir plus de 30 000 entrées et sorties . Ces API remplacent facilement plus de 10 000 relais de commande . Bien que ce ne soit pas une pratique courante, il serait donc possible de commander le fonctionnement d'une usine complète à l'aide d'un seul API . Dans les sections qui suivent, nous expliquerons d'abord le principe de base d'un automate programmable, en utilisant un modèle très simple. Ensuite, nous traiterons plus en détail de la composition et de la construction d'un API . 40 .19 Les éléments d'un système de commande Lors de l'étude des circuits de commande au début de ce chapitre, nous avons vu que quelques boutons-poussoirs et contacts auxiliaires de faible puissance pouvaient actionner des gros contacteurs pour démarrer des moteurs . Les diagrammes schématiques des Fig . 40-16, 40-24 et 40-27 se ressemblent . Ils contiennent tous des boutons-poussoirs, des contacts auxiliaires et des contacteurs . Si l'on fait exception du nombre de dispositifs utilisés, on constate que la différence fondamentale entre les trois circuits de commande réside dans la façon dont les différents dispositifs sont raccordés . Imaginons donc une «boîte noire» à l'intérieur de laquelle on peut réaliser diverses liaisons entre, d'une part, les dispositifs de commande (boutons-poussoirs, contacts auxiliaires) et d'autre part, les dispositifs commandés (bobines de contacteurs, lampes témoins) . Cette approche donne pour la Fig . 40-24 le montage illustré
730
ÉLECTROTECHNIQUE
dispositifs de commande A
bornes d'entrée
bornes de sortie
dispositifs commandés
B
~ o-- ~ o-
-o1 o-
-o o-
marche
arrêt
J
boîte des connexions
L o R -o
o- F
Figure 40-39 Dans un système de commande, les dispositifs de commande et les dispositifs commandés demeurent essentiellement les mêmes . On modifie le système en changeant les connexions entre ces divers dispositifs .
à la Fig . 40-39 . Les dispositifs de commande sont raccordés aux bornes d'entrée de la boîte des connexions . De même, les dispositifs commandés (bobines de maintien A et B) sont branchés aux bornes de sortie . Supposons que la boîte de connexions soit un ordinateur. Bien que ce dernier consomme très peu d'énergie, il est capable de simuler les connexions requises, de même que l'action des contacts et des bobines de relais . Cela ouvre des possibilités énormes car il devient alors possible de créer des milliers de contacts et de bobines, dans la mesure où la mémoire de l'ordinateur est suffisante . Le système de commande peut donc prendre la forme montrée à la Fig . 40-40 . Le système comprend 5 parties : 1 . Une unité centrale de traitement (UCT), soit un ordinateur pouvant simuler les contacts et les bobines de relais requis, ainsi que les interconnexions . 2 . Un module d'entrée qui sert d'interface entre les dispositifs de commande et l'unité centrale de traitement. 3 . Un module de sortie qui sert d'interface entre les dispositifs commandés et l'unité centrale de traitement .
4 . Une unité de programmation, dotée d'un affichage et d'un clavier pour programmer l'UCT . L'unité de programmation (ou console de programmation) permet de choisir les différents types de relais et de contacts que l'UCT doit simuler, ainsi que la façon de relier ces composants . 5 . Un bloc d'alimentation qui fournit la puissance requise par l'UCT, par l'unité de programmation et par les modules d'entrée et de sortie . bl c d alimentation
dispositifs d'entrée
module d entrée
UCT unité centrale de traitement
module de sortie
unite de programmation Figure 40-40 Les cinq parties d'un automate programmable .
dispositifs de sortie J
COMMANDE INDUSTRIELLE DES MOTEURS
L'ensemble de ces cinq parties constitue un automate programmable . Lorsqu'il est affecté à un système de commande industrielle, on le nomme automate programmable industriel (abréviation API) . Voyons maintenant la construction et le rôle des quatre premiers éléments de ce système . Pour fins d'explications, nous choisirons un API extrêmement simple ne comprenant que 3 bornes d'entrée et 4 bornes de sortie (Fig . 40-41) . Le module d'entrée possède 3 bornes El, E2, E3 ainsi qu'une borne commune CE. Les dispositifs de commande (appelés dispositifs d'entrée) sont raccordés d'une part individuellement à une borne (El, E2 ou E3), et d'autre part à une source d'alimentation à c.c . de 24 V, elle-même reliée à la borne CE . Un rectangle, identifié par un numéro de référence, est associé à chaque borne . Par exemple, le numéro 102 est associé à la borne E2 . Pour comprendre le fonctionnement de l'API il est utile d'assimiler chaque rectangle à une bobine de relais activée par le dispositif d'entrée qui lui est associé . Par exemple, dans notre modèle, la «bobine» 102 est normalement activée, alors que les «bobines» 101 et 103 ne le sont pas . La Fig. 40-41 montre aussi le module de sortie . Il possède 4 bornes SI, S2, S3, S4 ainsi qu'une borne commune CS . Deux bobines de contacteurs A, B et une lampe témoin sont connectées entre trois de ces bornes et une source à c .a . de 120 V. Les 4 bornes sont associées à 4 contacts normalement ouverts, portant chacun un numéro de référence . Ainsi, la borne S 1 est associée au contact 111, alors que la borne S4 est associée au contact 114 . module d'entrée E1 -o o o E2
o
E3
Hi i
24 V
CE
1H 102F1103H
Les numéros de référence des modules de sortie et d'entrée sont des «adresses» établies par le fabricant de l'API ; nous verrons bientôt leur utilité . Afin d'illustrer les capacités et les fonctions de l'unité centrale de traitement de notre exemple, nous pouvons supposer qu'elle contient un important «stock» de contacts et de bobines de relais . Ce stock de «pièces virtuelles» est conservé dans ce qu'on appelle la mémoire de l'UCT . Le modèle simple présenté à la Fig . 40-41 contient dans sa mémoire les composants suivants : (a) les bobines de relais associées aux 4 contacts du module de sortie. Ces bobines portent les mêmes numéros 111, 112, 113 et 114 que les contacts qu'elles actionnent . Comme il n'y a que 4 sorties, le nombre de ces bobines est limité à 4 . (b) les bobines de relais internes . Ces bobines de relais fonctionnent exclusivement à l'intérieur de l'UCT; elles ne figurent pas dans le module d'entrée ni dans le module de sortie . Nous supposons que le stock comprend 50 bobines de relais internes conventionnels, portant les numéros de référence 701 à 750 . En plus, la mémoire contient 10 bobines de relais temporisés, portant les numéros 901 à 910. Les délais associés sont déterminés lors de la programmation . (c) un nombre presque illimité de contacts associés à n'importe quelle bobine de relais mentionnée cidessus . Ces contacts portent le même numéro de référence que la bobine de relais qui les actionne . Selon les exigences du système de commande, pour chaque bobine, on peut sortir de la mémoire autant de contacts que l'on désire. module de sortie
UNITÉ CENTRALE DE TRAITEMENT (
BOBINES DE RELAIS (i) pour relais de sortie (4) (ii) pour relais internes (50) conventionnels (iii) pour relais internes (10) temporisés 
