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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Profª. Lídici Pomin

15 kN 10 kN.m 50 kN/m D

C

E

A

F

B

2,0 m

5,0 m

3,0 m

150 kN 160 kN.m 40 kN/m A

C

B

2,0 m

6,0 m

30 kN

20 kN 1,5 m

15 kN/m

5 kN/m

15 kN/m

Carga Móvel

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- Isostática: Pórtico Plano

..........................................

1.1 Reações de Apoio ...................................................................................................................................... 4 1.2 Esforço Normal .......................................................................................................................................... 6 1.3 Esforço Cortante ....................................................................................................................................... 7 1.4 Momento Fletor ......................................................................................................................................... 9


.......................................

2.1 Reações de Apoio ................................................................................................................................... 12 2.2 Esforço Normal ....................................................................................................................................... 14 2.3 Esforço Cortante .................................................................................................................................... 15 2.4 Momento Fletor ...................................................................................................................................... 18


.......................................

3.1 Reações de Apoio ................................................................................................................................... 24 3.2 Análise da Barra Inclinada ................................................................................................................. 26 3.3 Esforço Normal ....................................................................................................................................... 28 3.4 Esforço Cortante .................................................................................................................................... 29 3.5 Momento Fletor ...................................................................................................................................... 31

–

Linha de Influência e Cargas Móveis

........

4.1 Análise da Seção ..................................................................................................................................... 35 4.2 Esforços devido à Carga Permanente ............................................................................................ 37 4.3 Análise da Carga Móvel ....................................................................................................................... 38 4.3.1 Análise do Trecho AS ................................................................................................................ 38 4.3.2 Análise do Trecho SC ................................................................................................................ 39 4.3.3 Linha de Influência .................................................................................................................... 40 4.3.4 Esforço devido à Carga Móvel ............................................................................................... 41 4.4 Esforços Mínimos e Máximos ........................................................................................................... 43

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– (a) (b) (c) (d)

ISOSTÁTICA: PÓRTICO PLANO

–

Reações de Apoio; Esforço Normal: Diagrama e Equações; Esforço Cortante: Diagrama e Equações; Momento Fletor: Diagrama e Equações.

30 kN/m C

D

A

B

20 kN

6,0 m

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Página | 3


Definir um sentido aleatório para as reações de apoio:

30 kN/m D

E

C 20 kN HA

A

B 6,0 m

VA

VB

Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações:

determi nnarar HV AA MFFB =0=0=0 ∴∴∴ para para determi para determinar V B

 



Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo anterior: 

F =0 ∴ −H A +20=0 ∴ = =  

Conclusão: Valor da reação H A positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!

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Página | 4




MB =0 ∴ 66.V.VAA=−40+540 +20.2 −30.6.3 =0 6 .VA =500 ∴ V A = 5006 ∴  =, 

Conclusão: Valor da reação V A positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!



 =,   F =0 ∴ V 83,A +333+V VB −30B −180=0 .6 =0 VB −96,667=0 ∴   =,   =, 

Conclusão: Valor da reação V B positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!

Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise: X3 D X2

X1

E

C A

B

X4

Consideração: Trecho 1: análise de A para C Trecho 2: análise de C para D Trecho 3: análise de D para E Trecho 4: análise de B para E

6,0 m

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Página | 5


Definição das Equações: X3

Nx=−V A = − 83,333 kN Nx=VA =20 kN Nx=HA −20=20−20=0 Nx= −VB = − 96,667 kN

30 kN/m

D C

Página | 6

E

X2

20 kN A

X1

B

X4

HA = 20 kN 6,0 m

VA = 83,333 kN

VB = 96,667 kN

Observação: Pode-se observar que, para esta estrutura específica, as ações geram esforços normais constantes nos trechos, sendo assim, o cálculo das equações será utilizado como memória para traçar o diagrama. Traçado do Diagrama de Esforço Normal:

D

E

_

_

A

B DEN (kN)

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X3

Definição das Equações:

Qx=+H A =20 Qx=+H A −20=20−20=0 QxQx=+V A −30 .x  =+83,333 −30x 



30 kN/m

D C

E

Página | 7

X2

20 kN A

X1

B

X4

HA = 20 kN 6,0 m

VA = 83,333 kN

VB = 96,667 kN

Qx= 0 Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante:

QAA =+HA =20 kN Q =+HA =20 kN QDD =+HA −20=20−20=0 QD =0 QDEDED =+VA = 83,333 kN QE =+VA −30 .6=83,333−180= −96,667 kN Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade D o valor do esforço é positivo (o diagrama será traçado para cima) e na outra extremidade o valor é negativo (o diagrama será traçado para baixo). Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.

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Qx=83,333 −30x  0=83,333 −30x  ∴ 30x  =83,83,333333 x = 30 ∴  =,  QBBEEE =0 Traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 2,778 m

83,333

+ D

E

_

96,667

+

A

B

DEC (kN)

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Página | 8



Mx=+H A .x di=20xagrama linear Mx +HxA .x−20.  −20.x  MMx==+40 =20.Mx2+20.  x  diagrama uniforme Mx=+V A.x −30 .x . x2 Mx=83,333.x  −30. x2 diagrama parabólico−2° Grau

Página | 9

X3

30 kN/m

D C

E

X2

20 kN A

X1

B

X4

HA = 20 kN 6,0 m

VA = 83,333 kN

VB = 96,667 kN

Mx= 0 Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor:

MAA=0 M =+HA.2=20.2 =40 kN.m MD =MA =40 kN.m MDD =+HA.4 −20.2 =20.4 −40=80−40= 40 kN.m MDDE =MDD = 40 kN.m 6 MEDE =MDD +VA.6−30.6. 2 =40+83,333.6 −540≅ 0 kN.m www.wlcursos.com

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Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x 3 = 2,778 m, sendo assim, deve-se calcular o momento máximo:

MáDE =MDD +VA.2,778−30. 2,778. 2,7278 MáDE =40+83,333. 2,778−115,759 MáDE =155,740 kN.m MBBEBE =0 ME =0

Página | 10

Traçado do Diagrama de Momento Fletor: 2,778 m

D

40

40

A

E 0

D 40

M máx = 96,667

0E

135 =

q.L² 135 = ___ 8

DMF (kN.m)

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q.L² ___ 8

B

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– (a) (b) (c) (d)


–


15 kN 10 kN.m 50 kN/m

C

D

E

A 2,0 m

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F

B 5,0 m

3,0 m

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Página | 11


Definir um sentido aleatório para as reações de apoio: 15 kN 10 kN.m

50 kN/m C

D

E

A

F

B

2,0 m

5,0 m

3,0 m

Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações: 

MF =0=0∴∴paraparadetermi determinnararHH BA MFB =0=0 ∴∴ para para determi determinnarar VV BA

 



Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo anterior:

M =0 ∴ 3 .H A − 30.23 .13 .3=0 33.H.HA A=45−45=0∴ H A =453 ∴  =   = 



Conclusão: Valor da reação HA positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!

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Página | 12




F =0 ∴ − H A − HB + 30.23 =0 H B +45=0 −−H15− +30=0 ∴   =  B

Conclusão: Valor da reação HB positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!

 =   MB =0 ∴ 7 .V A + 30.23 .23 .3−50.10.2−15.5+10=0 7 .VA +90−1000−75+10=0 7 .VA =975 ∴ V A = 9757 ∴  =,   =,  F =0 ∴ V A + VB −15−50.1 0=0 V139,B −375, 286+V714=0B −15−500=0 ∴   =,   =, 



Conclusão: Valor da reação V A positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!



Conclusão: Valor da reação V B positiva = sentido adotado no 1° passo, correto!!

Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise: E

D

C X2

X3

X1

X4

B

A 2,0 m

F

5,0 m

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X5 3,0 m

Consideração: Trecho 1: análise de A para C Trecho 2: análise de C para D Trecho 3: análise de D para E Trecho 4: análise de F para E Trecho 5: análise de B para E

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Página | 13



Nx=− 139,286 kN Nx=15− 30.23 Nx=15−45=−30kN Nx=Nx =−30 kN Nx= 0

15 kN 10 kN.m 50 kN/m C F X2

15 kN

D

X3

E

X1 A

30 kN

139,286kN 2,0 m

X4 X5 B 375,714kN

5,0 m

3,0 m

Nx= − 375,714 kN

Observação: Pode-se observar que, para esta estrutura específica, as ações geram esforços normais constantes nos trechos, sendo assim, o cálculo das equações será utilizado como memória para traçar o diagrama.

Traçado do Diagrama de Esforço Normal: 30,000 C

D

_

0 F

E

_

_ B

A DEN (kN)

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Página | 14


Definição das Equações: 15 kN 10 kN.m 50 kN/m C X3

X1 A

15 kN

F

E

D X2

X4

139,286kN 2,0 m

X5 B

30 kN

375,714kN 5,0 m

Qx=+15− 30.2x  .13 .x=15−5.x

3,0 m

 diagrama parabólico−2° grau

Qx=+139,286−50.x  diagrama linear QxQ==139, Qx 2−15−50. x x  86−50 . 2 −15−50. QQx=24, =39,286−50. 286−15−50. xdiagrama linear x   Qx= 50.x 

diagrama linear

Qx= 30

diagrama uniforme

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Página | 15


Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante: 15 kN 10 kN.m 50 kN/m C X2

15 kN

D

X3

X1 A

X4 X5 B

30 kN

139,286kN 2,0 m

F

E

375,714kN 5,0 m

3,0 m

QA =15 kN 30 .3 QA =QA − 2 =15−45=−30kN Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade A o valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.

Qx=15−5.x  ∴ 0=15−5.x  ∴ 5.x  =15 x = 155 ∴  =,  QDD =139,D 286 kN QD =Q −50.2 =139,286−100=39,286kN QDDEEE ==QQDEDDD−50. −15=39, 286 kN714 kN 5 =24,286−15=24, 286−250= −225, Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade D o valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.

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Página | 16


Qx=24,286−50.x  ∴ 0=24,286−50.x  ∴ 50.x  = 24,286 x = 24,50286 ∴  =,  Q = 0 QEE =50.3 =150kN QBEB = 30 QE =QB =30 kN

Página | 17

Traçado do Diagrama de Esforço Cortante:

150

139,286 39,286 24,286

+

C

+

E

D

F _

2,486 m

C

30 225,714

_

E

+ 30

DEC (kN)

15

+

A

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B

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Detalhe do traçado do trecho AC: C q.L ___ =11,25 8

Página | 18

A

Definição das Equações: 15 kN 10 kN.m 50 kN/m C

15 kN

X3

X1 A

X4 30 kN

139,286kN 2,0 m

F

E

D X2

X5 B 375,714kN

5,0 m

3,0 m

Mx=+15.x  −30.3x .x2.13 .x x  M=15. Mx =15.diaxgrama−30. −5.x 18 3 parabólico−3° grau www.wlcursos.com

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Mx= Mx +139,286 .x −50.x .x2 M =15.3− 5.33 +139,286.x  −25.x  M =0+139,286.x  −25.x  Mx=139,286.x  −25.x  diagramaparabólico−2°grau Mx= Mx +139,286.x  −100.x −15.x  −50 .x .x2 M =139,286 .2−25 .2 +39,286.x −15.x  −50. x2 Mx=178,572+24,286.x  −25.x  diagramaparabólico−2°Grau x Mx= −10−50. −10−50. x2.  2diagramaparabólico−2°Grau Mx= −30.x 

diagrama linear

Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: 15 kN 10 kN.m 50 kN/m C F X2

15 kN

D

X3

X1 A

30 kN

139,286kN 2,0 m

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E

X4 X5 B 375,714kN

5,0 m

3,0 m

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Página | 19


MA =0 30 .3 1 MA =+15.3− 2 .3. 3 =0

Página | 20

Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x 1 = 1,732 m, sendo assim, deve-se calcular o momento máximo:

MáAD =15 .1,732−30. 1,7332.1,7232.13 .1,732 MMáDEDE =25, 98−17,32 .0,866 .0,577 á =25,98−8,654 MáAD =17,326 kN.m MD =MA =0

2 DD D MDD =0+278, =M +139,572−100=178, 286 .2−50.2.5272 kN.m MDDE = MDD =178,572 kN.m 7 MEDE =MD +139,286 .7−50.7.2−15 .5 MEDE =0+975,002−1225−75 ≅ 325 kN.m Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando x 3 = 0,486 m, sendo assim, deve-se calcular o momento máximo:

MáDE =MD +139,286−50..2,02,+0,0+0,486486.+ 2,0+0,486 −15 .0,486 2 DE MáDE =0+346,265−154,505−7,29 Má =184,470 kN.m www.wlcursos.com

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ME =−10 3 MEE =ME −50.3. 2= −10−225= −235 kN.m

Página | 21

BE MEBE =M =0 BE −30.3= 0−90= −90kN.m Traçado do Diagrama de Momento Fletor: 325 235

D

C

F

E

178,572

E

C Mmáx = 17,326

90

DMF (kN.m)

A B

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Detalhe do traçado do trecho CE:

Página | 22

C

D

D

E

q.L² __ =25 8

q.L² 156,25 = __ 8 q.L² 156,25 = __ 8

Mmáx

Detalhe do traçado do trecho AC e EF:

C q.L² 56,25 = __ 8

Mmáx

q.L² 56,25 = __ 8

q.L² 22,5 = __ 12

A

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E

F

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– (a) (b) (c) (d)


–


20 kN/m

D

C

B

A 4,0 m

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4,0 m

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Página | 23


Definir um sentido aleatório para as reações de apoio:

20 kN/m

D

C

B

A 4,0 m

4,0 m

Definir as equações de equilíbrio para encontrar as Reações:

determi nnarar HV BA MFFB =0=0=0 ∴∴∴ para para determi para determinar V B

 



Definir um sentido de referência para resolver as equações do passo anterior: 

F =0 ∴ − −H HBB ++15=0 5 . 3 =0  =   = 

Conclusão: Valor da reação H B positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!

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Página | 24




MB =0 ∴ 8 .V A +5.3. 32−20 .8 . 82=0 8 .VA +22,5−640=0 617,5 8 .VA =617,5 ∴ V A = 8 ∴  =, 

Conclusão: Valor da reação V A positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!



 =,  F =0 ∴ V 77,A +187+V VB −20B −160=0 .8 =0 VB −82,813=0 ∴   =, 

Conclusão: Valor da reação V B positiva = sentido adotado no 1° passo correto!!

 =, 

Para iniciar a análise dos esforços internos é necessário definir como será a análise: D

C

X2

A

B

X3 4,0 m

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X1

Consideração: Trecho 1: análise de B para D Trecho 2: análise de D para C Trecho 3: análise de A para C

4,0 m

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Página | 25


Comprimento da barra:

 =b +c = 3 +4 =9+16 hihippotenusa otenusa= √25 ∴ hipotenusa=5m

Página | 26

20 kN/m

A



B

4,0 m

5,0

4,0 m

m

C

V′A = VA .cos V′′A = VA . sen



A

V'' A

cateto oposto = 35 hi=potenusa cateto=hipotenusa adjacente = 45

sen cos

D

C

V'A

=77,4531=61, 87 . 750 kN =77,51=46, 87 . 312 kN



VA

20 kN/m

80



q'' C

A



80

C

A





A

q' 

C



4,0 m

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45 =64. kN Resultante: q = 80 .cos64 =80 Carga distribuída: q = 5 =12,8 kN.m

5,0

m

m N/ k ,8 12

C

Página | 27



A

35 =48. kN Resultante: q = 80 .sen48 =80 Carga distribuída: q = 5 =9,6 kN.m

m 5,0

9,

C

m N/ 6k 

A

p''

C

C

C



15 A

15 





p'

A

35 =9. kN Resultante: p = 15 .sen =15 Carga distribuída: p = 95 =1,8 kN.m

5 ,0

A

m

1,8

/m kN

C



A

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45 =12. kN Resultante: p = 15 .cos =15 Carga distribuída: p = 125 =2,4 kN.m

m 5,0

C

/m kN 4 , 2

Página | 28



A

/m kN 6 , 14

C

/m kN 2 7,

A

46,31 kN

61,75 kN

Definição das Equações: 20 kN/m

Nx=− 82,813 Nx=−15

,6 14

m

D

C

7,2

X2

/m kN

15 kN

A

X1 B

X3 46,31 kN

Nx=− 46,31+7,2.x

/ kN

61,75 kN

82,813 kN

4,0 m

4,0 m

Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante:

NB =NDBD =− 82,813 kN www.wlcursos.com

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NDD = ND =− 15 kN NAA=− 46,31 N =− 46,31+7,2 .5= −46,31+36=−10,31 kN

Página | 29

Traçado do Diagrama de Esforço Normal:

1

15,000

1 0,3

_

C

D

_

,3 46

_

1

A

B

DEN (kN)

Definição das Equações: 20 kN/m

Qxdi=+15 agrama uniforme 

,6 14

/m



D

C

7,2

Qx =−82,di8agrama 13+20.linearx Qx= di+61,agrama75−14, 6.x linear www.wlcursos.com

kN

kN

X2

/m

15 kN

A

X3 46,31 kN

X1 B

61,75 kN

82,813 kN

4,0 m

4,0 m

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Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Esforço Cortante:

QBDB =+15 kN QD =+15 kN

Página | 30

QDD =+82, 813 kN4 =+82,813−80=−2,813 kN =QDD −20. QAA = +61,75 kN Q =QA −14,6 .5=+61,75−73= −11,25 kN Neste trecho há uma seção onde o Esforço Cortante é nulo, pois na extremidade A o valor do esforço é positivo e na outra extremidade o valor é negativo. Assim, nesta seção ocorre o Momento Fletor máximo do trecho. Diante disso, deve-se calcular o ponto exato onde isto ocorre.

 ∴ 14,6 .x  = 61,75 Qx= +61,75−14,6.x ∴ x0=+61, 5 ∴ 6.x =,  = 61,14,765−14, Traçado do Diagrama de Esforço Cortante: C 2,81

D

_

C

82,81

11,25 61,75

D +

15

+

A

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3m 4, 2

DEC (kN)

B

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20 kN/m

Definição das Equações: ,6 14

Mxdi=−15. x  agrama linear

kN

/m

7,2

D

C

kN

X2

/m

15 kN

A

X3 46,31 kN

61,75 kN

82,813 kN

4,0 m

Mx= Mx +82,813 .x −20.x .x2 M =−15 .3+82,813.x  −10. x  M =−45+82,813.x  −10.x 

X1 B

4,0 m

diagrama parabólico−2° grau

Mx= 61,75.x  −14,60 .x.x2 M =61,75.x  −7,3 .x  diagrama parabólico−2° Grau Cálculo dos Esforços para o traçado do Diagrama de Momento Fletor: 20 kN/m

MBBD=0 MDBD =MB −15 .3 MD =0−15 .3 =−45 kN.m

,6 14

/m kN 7,2

D

C

X2

/m kN

15 kN

A

X3 46,31 kN

61,75 kN 4,0 m

X1 B

82,813 kN 4,0 m

MDD =MDDDBD +82, =−45813kN.m.4−20.4. 42 MD =−45+331,252−160=126,25 kN.m www.wlcursos.com

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Página | 31


MA =0 MA =MA +61,75 .5−14,6 .5 .  52= 126,252 kN.m MA =0+308,75−182,50= 126,25kN.m Obs: Neste trecho há um cortante nulo quando calcular o momento máximo nesta seção:

MáA =61,75 .4,23−14,6.4,23. 4,223 MáDEA =261,202−130,618 Má =130,58 kN.m

Página | 32

, sendo assim, deve-se

x =4,23 m

Traçado do Diagrama de Momento Fletor: 45 C D

126,25 C

3 4,2

45 D

m 126,25

A

130,58 Mmáx

B DMF (kN.m)

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Detalhe do traçado do trecho AC:

C Página | 33

3m 4,2

Mmáx

A q.L² 46,625 = __ 8

q.L² 46,625 = __ 8

Detalhe do traçado do trecho CD:

C D q.L² 40 = __ 8 q.L² 40 = __ 8

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- LINHA DE INFLUÊNCIA E CARGAS MÓVEIS Página | 34

150 kN 160 kN.m 40 kN/m A

C

B

2,0 m

6,0 m

30 kN

20 kN 1,5 m

15 kN/m

5 kN/m

15 kN/m

Carga Móvel

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ONDE SERÁ A SEÇÃO DE ANÁLISE ?

Página | 35

A seção de momento fletor máximo localiza-se onde o esforço cortante é nulo, então, essa situação será analisada do traçado do Diagrama de Esforço Cortante, para que possamos observaratravés onde esse esforço vale 0. Após, iremos definir uma equação para esse trecho e igualar a zero. Assim, definimos o local exato onde o cortante vale 0 e o momento fletor seja máximo.

150 kN A

320 kN

160 kN.m C

B

4,0 m

4,0 m

2,0 m

6,0 m 8,0 m

150 . 6 8 320 . 4 8 160 8

VA

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150 kN 160 kN.m 40 kN/m A

C

B

2,0 m

Página | 36

6,0 m

VA 252,5 kN

Esforço Cortante:

Q =,   =+252, 2 =,  QQBB=+252, =+172,555 −40.−40. −150=, 8 −150=−,   252,5 172,5 + A

DEN (kN)

22,5 B

C

_

217,5

Conclusão: a seção onde o cortante é nulo está no trecho BC Equação do Trecho BC:

Q x=22,5 −40.x 

Seção onde o cortante vale zero:

5−40.5 x  x40.0=22,  =x 22,540=22,  =,  www.wlcursos.com

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Conclusão: O momento fletor ocorre na seção distante 2,5625 m da seção A, chamaremos este ponto de Seção S. 252,5 172,5 +

Página | 37

DEN (kN)

22,5

A

_

B

0,5625 m

2m

C

217,5

150 kN 160 kN.m 40 kN/m C

A

2,0 m

B

S

0,5625

5,4375 m

2,5625 m

VA 252,5 kN

QS =0 MMSS =647, =+252, 2,5m625−40 328−84,. 32,755625 .2,52625 −150 . 0,5625 =431,0331285 . kN.−131, www.wlcursos.com

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0 ≤ x ≤ 2,5625m

(

) Página | 38

P = 1 kN x

x

-

A

8 C

S

2,5625 m

5,4375 m 8,0 m

1 . (8 - x ) 8 VA

P = 1 kN x

2,5625 - x

A

C

S

2,5625 m

5,4375 m 8,0 m

VA

x 8−x −8 x LI QSx=QS8−x QSx= 8  −1 = 8 =− 8  =−    =  0 LI QS0 = − 8 =0   =,  2,5625 LI QS2,5625 = − 8 =−0,320 Então:

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LI MSx=MSx=8−x8 1  .2,5625−1 . 2,5625−x 1 MSx= 8−x.2,5625 −88 . 2,5625−x  5 −2, 5  625 x8 −20,5 +8 x  = 5,43758 x   MSx== 20,,    = 5,4375 .0 LI MS0 = 8 =0   =,  5,4375 .2,5625 LI MS2,5625 = 8 =1,742 Então:

0 ≤ x ≤ 5, 4375m P = 1 kN x A

5,4375 - x C

S

2,5625 m

5,4375 m 8,0 m

1 . (5,4375 - x ) 8 5,4375 - x A

LI QSx=QSx= 5,4375−x 8   = ,−   www.wlcursos.com

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Página | 39


Então:

  = 5,4375−0 LI QS0 = 8 =0,680   =,  5,4375−5,4375 LI QS5,4375 = 8 =0 LI MSx=MSx=5,4375−x 8  .2,5625 = 13,933−2,85625 x   = ,−,     = 13,933−2,5625.0 LI MS0 = 8 =1,742  LIM=, 5,S 4375= 13,933−2,5625.8 5,4375 =0 Então:

-0,320 S

A

C

0,680 2,5625 m

5,4375 m 8,0 m

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Página | 40


S C

A

Página | 41

1,742 2,5625 m

5,4375 m 8,0 m

20 kN

1,5 m

30 kN

15 kN/m 5 kN/m

-0,320 A

y'

S

C

y''

2,5625 m 1,0625 m

-0,320

2,5625 m 3,9375 m

0,680 y

0,680 2,5625 m 30 kN

5,4375 m 1,5 m

20 kN

y’

’

15 kN/m 5 kN/m

Esforço Cortante Mínimo:

QS í =30 . −0,320+20. −0,133+ 15. 1, 0625. 2−0,133 1,5.−0,133−0, 320  +5 .  2 QS í =−9,600 −2,660 −1,060−1,700  í =−,  www.wlcursos.com

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Esforço Cortante Máximo:

492  QS á =30 . 0,680+20. 0,492+5. 1,5.0,680+0, 2 3,9375 .20,492 +15.  QS á =20,400+9,840+4,395+14,529  á =,  2,5625 m

Página | 42

5,4375 m S C

A

y''' 5,4375 m 3,9375 m

1,742 30 kN

1,5 m

15 kN/m

20 kN

1,742

y’’

15 kN/m 5 kN/m

Momento Fletor Mínimo:

 í =

Momento Fletor Máximo:

MS á =30 . 1,742+20. 1,261+15. 2,5625.21,742  1,5 . 1,742+1,261 3,9375.1,261  =52,+5.260+25, MS á  220+33,2 479+11,+261+37, 15. 239 2  á =, . www.wlcursos.com

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1 QS í = QS ( )+ QS  óv QS í =0 −15,020  )+ QS  óv 2 QSíá=, = QS ( QS á =0+49,164  á =,  1 MS í = MS ( )+ MS  óv MS í =431,328 −0  í =, .  2 MS á = MS ( )+ MS  óv MS á =431,328+159,459  á =, .

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