La ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado, en general, es aquella en la que el grado máximo de los monomios que la forman, en su forma más sencilla, es 2. 2 x − 3 x + 8 = 2 x es una ecuación de Ejemplos: segundo grado, aunque en este momento no está escrita en su forma más sencilla.
5 xy − 3 x + 8 y = 2 xz es una ecuación de segundo grado porque tiene dos monomios de grado 2 y dos monomios de grado 1. x 2 − 3 x + 8 = x 2
−
x no es una ecuación de segundo
grado porque su forma más sencilla es de primer grado 8 = − x + 3 x , es decir 8 = 2 x . En este momento nos centraremos en las que solo tienen una incógnita, solo una letra, luego en todas 2 x aparecerá el grupo y la forma más sencilla de escribir cualquier ecuación de segundo grado y una incógnita es siempre: ax
2
+ bx + c =
0 con a ≠ 0
Si a = 0 la ecuación no es de segundo grado. Veamos como se resuelven estas ecuaciones
1 caso: b = 0
La ecuación queda ax
er
2
Despejamos x :
ax
2
= −c
−c Si a es negativo a −c
⇒x
2
=
2
+c =
0
−c
a
< 0 la ecuación no tiene
ninguna solución real. −c
Si a es cero ( c = 0 ) la ecuación tiene x = 0 solución doble.
−c Si a es positivo a −c
> 0 la ecuación tiene dos
soluciones reales diferentes, 2 caso: c = 0 o
x = ±
−c
a .
La ecuación queda ax
2
+ bx =
0
Podemos sacar factor común x, queda: x ( ax + b ) = 0 como es una multiplicación que vale 0, uno de los dos factores tiene que q ue ser 0
x = 0 ⇒ −b a x + b = 0 ⇒ a x = −b ⇒ x = a Tenemos dos soluciones diferentes. Inciso importante: Siempre que tenemos una ecuación factorizada e igualada a cero podemos resolverla como acabamos de hacer. 2
2
x ( x − 4 ) ( x + 3 ) ( 2 x − 3 ) = 0 es una Ejemplo: ecuación de grado 6, pero está factorizada e
igualada a 0, entonces sabemos resolverla: x 2
=
0 ⇒ x = 0 Solución doble
x − 4 = 0 ⇒ x = 4 Solución x + 3 = 0 ⇒ x = −3 Solución
2 x − 3 = 0 ⇒ x =
3 2
Solución doble, porque el factor aparece dos veces.
Toda ecuación de grado 6 tiene 6 soluciones, por eso debemos saber cuales son las soluciones dobles, y además porque lo usaremos para la representación de funciones. 2
2
= x ( x − 4 ) ( x + 3) ( 2 x − 3) f x ( ) La función corta el eje x en los puntos que son solución de la ecuación
x
2
( x − 4 ) ( x + 3) ( 2 x − 3)
x =
2
=
0 . Como en x = 0 y en
3
2 tenemos solución doble significa que el punto de corte es algo “especial” veamos la gráfica:
Las soluciones de la ecuación son los puntos donde la gráfica de la función corta el eje OX. Las soluciones dobles son los puntos de tangencia de la gráfica de la función en el eje OX. Esto es lo que tenéis que escribir en la entrada, damos a INTRO, y podemos ver la representación.
A veces no conviene que la escala del eje y sea la misma que la escala del eje x. La veremos en varias escalas:
a , b, c ≠ 0 3er caso: La ecuación queda 2 ax + bx + c = 0 Como hasta ahora lo único que 2 conocemos que tiene x y x al mismo tiempo es el desarrollo de un binomio al cuadrado, identidades notables, lo intentamos.
Debemos “encontrar” un cuadrado perfecto: 1er paso: Multiplicar todo por 4a , queda 2 2 4a x + 4abx + 4 ac = 0 ( 4 a·0 = 0 )
2
2º paso: paso: sumar sumar b en ambos miembros, queda: 4 a 2 x 2 + 4 a bx + 4 ac + b 2 = b 2 3er paso: paso: si si ahora paso 4ac al segundo miembro en el primero me queda una identidad notable: 2 2 2 2 4 a x + 4 a bx + b = b − 4 ac 2
4a x
2
=
( 2 ax )
2
b
2
=
(b )
2
y 4abx = 2·2 ax·b
4º paso Luego la igualdad anterior queda de la forma: ( 2ax + b )
2
=
b
2
− 4 ac
Recordamos que queremos dejar la X sola, despejarla, luego debemos sacar el cuadrado antes de nada. Un cuadrado se saca aplicando la raíz cuadrada que toma siempre dos valores, positivo y 2 + = ± a x b b 2 negativo:
− 4 ac
.
5º paso Ahora se trata de resolver una ecuación de primer grado, +b cambia de miembro y pasa restando y después 2 a cambia de miembro y pasa dividiendo: x =
−b ±
b
2
2a
− 4 ac
Ejemplos resueltos: a. 2 x
2
− 18 =
0 ⇒ 2x
2
= 18 ⇒
x
2
=
18 2
⇒ x2
=
9⇒
⇒ x = ± 9 ⇒ x = ±3 Tiene dos soluciones diferentes. b. 3 x
2
+
27
=
0 ⇒ 3 x
2
= −2 7
⇒x
2
=
−27
3
⇒x
La ecuación no tiene ninguna solución re al.
2
= −9
c. 5 x
2
− 10 x =
0 ⇒ x ( 5 x − 10 ) = 0 ⇒
x = 0 ⇒ 10 ⇒ x = 2 5 x − 10 = 0 ⇒ 5 x = 10 ⇒ x = 5 Tiene dos soluciones diferentes.
3 x = 0 ⇒ x = 0 d . 3 x + 18 x = 0 ⇒ 3 x ( x + 6 ) = 0 ⇒ x + 6 = 0 ⇒ x = −6 Tiene dos soluciones diferentes. Resolver la siguiente ecuación sin utilizar la fórmula de resolución: resolución: 2
e. x
2
− 7 x + 12 =
0⇒a
= 1, b = −7, c = 12
por 4a, es decir por 4 y obtengo: 4 x 2
S u m o b , es d ec i r 4 x 2
− 28 x +
Queda : 4 x 2
( −7 )
2
=
2
−
Multiplico
28 x + 48 = 0
4 9 en am b o s m i em b ro s :
48 + 49 = 49, cambio el 48 de miembro: − 28 x +
49 = 49 − 48 ⇒ 4 x 2
Aplico identidades notables ⇒ ( 2 x − 7 ) 2 x − 7 = ±1 ⇒ 2 x = 7 ± 1 ⇒ x =
2
=1⇒
8 / 2 ⇒ x = 4 ⇒ 2 6 / 2 ⇒ x = 3
7 ±1
Tiene dos soluciones diferentes.
− 28 x + 49 = 1
Resolvamos ahora otras ecuaciones de segundo grado aplicando la fórmula: f . 9 x 2 − 7 x − 2 = 0 ⇒ a = 9, b = −7, c = −2 x =
(
)
− −7 ±
( −7 ) 2·9
2
(
− 4·9· −2
)
⇒x=
7 ± 49 + 72 18
⇒
7 + 11 18 x = ⇒ x =1 = 7 ± 121 7 ± 11 18 18 ⇒ x = ⇒x= ⇒ 11 −4 18 18 x = 7 − 11 ⇒ x = −2 / 9 = 18 18
Tiene dos soluciones diferentes.
En resumen: Para resolver una ecuación de segundo grado puedo usar, en general, 3 métodos: Pintar la gráfica de la función asociada. Resolverla completando cuadrados. Resolverla utilizando la fórmula de resolución. x
2
Resolver la ecuación 2 métodos.
+
x
2
−6 =
0
usando los tres
1º Gráficamente: Pinto la gráfica de la función 2 x x + −6 f ( x ) = 2 2 Podemos ver la gráfica corta el eje OX en los puntos x = −4 y x = 3 , esas son las soluciones de la ecuación. 2º completando cuadrados:
x 2
+
2
x
2
−6 =
0⇒ a
=
0, 5, b = 0, 5, c
por 4a, es decir por 4·
1 2
1
2
Sumo Sum o b , es de deci cirr x
2
2
+ x − 12 +
Queda : x
2
+
1
=
4 x+
1 4 1 4
=
2
=
= −6
2 y obtengo: x 2 1 4
2
=±
x − 12 = 0
, ca cambio el 12 de miembro: =
1 4
+ 12 ⇒
x
2
x +
+
en am ambo boss mi miem embr bros os::
+ x +
Aplico identidades notables ⇒ x + 1
Multiplico
1
49
=
4
1
4
2
2
=
49 4
⇒
6 / 2 ⇒ x = 3 ⇒ x+ = ± ⇒ x = ± − ⇒ 4 2 2 2 2 −8 / 2 ⇒ x = −4
49
1
7
7
1
3º Aplicando la fórmula x 2
x
+
2
2 −
x
−
=
1
6
±
2
=
0⇒ a
1 2
2
2·
⇒ x
= −
1 2
±
−
=
1 2
,b
=
1 2
x
,c
=
1
−
4ac
= −6
−
⇒ x
b2
2a
1
4 · ·( − 6 ) 2
−b ±
=
1
1
±
2
4 1
+ 12
⇒
2
49 4
⇒ x
= −
1 2
±
6 −1 + 7 x = = ⇒ x 7 2 2 ⇒ 2 x = − 1 − 7 = − 8 ⇒ x 2 2
En todo caso obtenemos las mismas soluciones.
=
3
= −4
Resuelve: a. x 2 b. x
− 4x =
2
+ 9x =
e. 3x 2
0 0
d. x i.
2
+ 25 =
g . 2x
0
− 6x + 9x + 6 =
k . 2x l. x
2
− 5x + 1 =
+ 2 + 5x +
− 50 =
2
+ 2
h.
2
2
2
f . 2x
c. x 2 − 49 = 0
0
j. 4x
− 4x =
0 0
x −1 = 0
− 2 x − 4 x + 16 = 2
−
0
x − 27 = x ( x − 3) + 2 x
x ( x + 2) − 5
x ( x + 6) = 7 x + 2
