ECUACIONES DIFERENCIALES
A. Cachafeiro L´ op ez – J. Il opez Ill´ l´ an Go an Gonz nz´ ´ al ez alez Departamento de Matem´ Mate m´ ati ca Apli atica Aplicada cada I
Universidade de Vigo
´ SEGUNDA EDICION A˜ no: no: 2009 Editores: Los autores ISBN: 978-84-611-9916-7
´ SEGUNDA EDICION A˜ no: no: 2009 Editores: Los autores ISBN: 978-84-611-9916-7
´INDICE GENERAL
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Comandos simb´ olicos para resolver ecuaciones. olicos Camp os de direcciones. Iso clinas ´ LICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1.1 COMA COMAND NDOS OS SIMB SIMBO 1.1.1 1.1.1 Comand Comandos os para para la la deri deriv vaci´ acio´n . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 El comando comando DSOLVE. DSOLVE. Resoluci´ Resoluci´ on de PVI . . . . . 1.1. 1.1.44 Ejem Ejempl plos os de EE EEDD DD que que no pu pued eden en ser ser resu resuel elta tass por por 1.1. 1.1.55 Fun unci ci´o´n LAMBERTW(Z) . . . . . . . . . . . . . . 1.2 CAMPO DE DIRECCIONES DE UNA ED . . . . . . . . 1.3 TRAYECTORIAS ISOCLINAS . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 M´etod odoo de las isocl oclinas . . . . . . . . . . . . . . . .
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M´ etodo eto do de separa sep araci´ ci´ on on de variabl ariables. es. Ecuaci Ecuaciones ones homo homog g´ enea e neas, s, exac exacta tas, s, impl impl´ ´ıcit ıcitas as y de Bern Bernou oull llii 2.1 2.2 2.3 2.4 2.4 2.5 2.5 2.6
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DSOL DS OLVE VE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
ECUACION IONES EN VARIABLES SEPARADAS . . . ´ NEAS ECUACION ECUACIONES ES DIFERENCIA DIFERENCIALES LES HOMOG HOMOGE ECUACION IONES DIFERENCIALES EXACTAS . . . . ´ N DE CLAIRAUT . . . . . . . . . . . . . ECUA EC UACI CIO ´ N DE BERNOULLI . . . . . . . . . . . . ECUA EC UACI CIO FACTOR INTEGRANTE . . . . . . . . . . . . . . .
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Resoluci´ on on simb´ olica de sistemas diferenciales
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´ 3.1 SISTEM SISTEMA A LINEAL LINEAL HOMOG HOMOGENEO DE COEFICIENTES CONSTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 SISTEM SISTEMA A LINEA LINEAL L COMP COMPLET LETO O DE COEFICIENTES CONSTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1 1 2 2 3 4 5 8 8
11 14 14 18 19 21
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´ Indice General
ii ´ DE SISTEMAS DIFERENCIALES 3.3 RESOLUCION ´ LINEALES HOMOGENEOS DE COEFICIENTES CONSTANTES POR LA VIA ESPECTRAL . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 C´a lculo de valores y vectores propios via MATLAB . . . . . . 3.3.2 El m´etodo espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 EEDD LINEALES DE ORDEN SUPERIOR . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 EEDD lineales de orden superior homog´eneas . . . . . . . . . 3.4.2 EEDD lineales de orden superior completas . . . . . . . . . . ´ DE EULER Y DE EULER 3.5 ECUACION GENERALIZADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.6 CALCULO DE WRONSKIANOS Y APLICACIONES . . . . . . . . 3.6.1 Wronskiano e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 SOLUCIONES PARTICULARES DE EEDD LINEALES COMPLETAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 M´etodo de coeficientes indeterminados (MCI) . . . . . . . . . 3.7.2 M´etodo de variaci´on de par´ametros (MVP) . . . . . . . . . . . ´ DE ORDEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 REDUCCION 3.9 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.10 APENDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1 Notas sobre funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.2 Sobre el m´etodo basado en el c´alculo aproximado de las ra´ıces caracter´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 30 . 30 . 31 . 32 . 32 . 32
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Transformada de Laplace ´ Y CALCULO ´ 4.1 DEFINICION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Definici´ on de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 C´a lculo mediante comandos MATLAB. Ejemplos . . . . . . . . 4.1.3 Propiedades de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . 4.2 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . ´ DE 4.3 APLICACIONES A LA RESOLUCION ´ INICIAL . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMAS DE CONDICION 4.4 PROBLEMAS DE VALORES INICIALES CON DATOS DISCONTINUOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Funci´on escal´on unitario (Heaviside) . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Representaci´ o n de funciones con discontinuidades de salto finito 4.5 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA ´ PERIODICA ´ FUNCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ DE TRANSFERENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 LA FUNCION
38 38 40 43 44 45 45 45
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´ Indice general
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M´ etodos num´ ericos para PVI (I) 5.1 FUNCIONES ESPECIALES . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 ESTUDIO DE LAS SOLUCIONES DE UNA ED . . . . 5.2.1 M´etodos num´ericos de resoluci´on de PVI . . . . . 5.2.2 M´etodo de Euler o de la tangente . . . . . . . . . 5.2.3 Otra interpretaci´on del m´etodo de Euler . . . . . 5.2.4 Ejemplos en los que se aplica el m´etodo de Euler 5.2.5 Precisi´ on de los resultados . . . . . . . . . . . . . ´ 5.3 METODO DE EULER MEJORADO . . . . . . . . . . . 5.3.1 La f´ormula de los trapecios . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Deducci´ on del m´etodo de Euler mejorado . . . . 5.3.3 Euler versus Euler mejorado . . . . . . . . . . . . ´ ´ 5.4 OTROS METODOS NUMERICOS . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Ejemplo de m´etodo de dos pasos . . . . . . . . . 5.5 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 EJERCICIOS ADICIONALES . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Aplicaci´on: c´ alculo de la elasticidad b(x) . . . . .
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M´ etodos num´ ericos para PVI (II) ´ 6.1 METODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS ASOCIADOS A SISTEMAS DE EEDD . . . . . . . . . 6.1.1 M´etodo de Euler mejorado . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Sobre los programas S2 EULER y RK CELL . . . 6.1.3 Ejercicios con indicaciones para ser resueltos . . . 6.2 EJERCICIOS ADICIONALES . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Indicaciones para resolver los ejercicios (6.4)-(6.7) 6.3 SERIES DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 6.4 APENDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Programa SN EULER . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Interpolaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
iii
M´ etodos num´ ericos para PVI (III) 7.1
65 66 67 68 68 69 70 75 78 78 79 79 82 82 83 84 84
87 . . . . . . . . . . . .
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87 87 88 89 94 95 99 99 99 101 101 102
105
´ METODOS DE RUNGE-KUTTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.1.1 M´etodos de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.1.2 M´etodo de Runge-Kutta de cuarto orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
´ Indice General
iv
7.1.3 Descripci´o n del programa RUNGEKUTTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.1.5 Estabilidad de un m´etodo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.1.6 Descripci´o n del programa EJE7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.2 PROBLEMAS DE CONTORNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.2.1 Planteamiento matem´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.2.2 Aplicaci´on: Viga columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.3 ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.3.1 Ecuaci´o n del calor en una barra de longitud finita . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.3.2 Ecuaci´o n de ondas sobre un intervalo acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.3.3 Herramientas simb´ olicas para EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Bibliograf´ıa de pr´ acticas y sitios WEB
119
LISTA DE FIGURAS 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10
Gr´a fico de las soluciones de los ejemplos 1.3 y 1.4 . . . . Campo de direcciones y soluci´ on particular. Ejemplo 1.8 Campo de direcciones y soluci´ on particular. Ejemplo 1.9 Representaci´ on (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaci´ on (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´afico del ejemplo 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´afico del ejemplo 1.12-a . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´afico del ejemplo 1.12-b . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´ afico del ejemplo 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 4 . 6 . 7 . 8 . 8 . 9 . 9 . 10 . 10 . 10
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
Soluci´on del ejemplo 2.1 Gr´afico del ejemplo 2.6 . Gr´afico del ejemplo 2.7 . Gr´afico del ejemplo 2.8 . Gr´afico del ejemplo 2.9 . Gr´afico del ejemplo 2.10
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12 16 17 18 19 20
3.1 Evidencia gr´afica de que Prueba(2) debe ser nula en [ 1, 1] . . . . . . . . . . . . . . . iv) iii) ii) i) 3.2 Gr´aficas de Z = y1 6y1 + 9y1 24y1 20y1 en [ 2, 2] y [20, 60] . . . . . . . . .
30 47
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− − Representaci´ on gr´afica de γ (t) en [−4, 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 52 4.2 Representaci´ on gr´afica de la entrada g(t) y la salida I (t) . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8
Gr´afica de J 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´afica de J 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´aficas superpuestas de J 1 y J 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr´aficas de Bessel J 3/2 y J 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´etodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretaci´ on del m´etodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones exactas y aproximadas de los ejemplos 5.1 y 5.2 . . . . . Soluciones exactas y aproximadas del ejemplo 5.2 para n = 100, 200
v
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66 66 67 67 71 71 73 73
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Listado de figuras
5.9 5.10 5.11 5.12 5.13
Soluci´on aproximada del ejemplo 5.3 . . . . . . . . . . . . . . Soluciones aproximadas del ejemplo 5.4 . . . . . . . . . . . . R egla del trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones exactas y aproximadas del ejemplo 5.5 (n = 21, 41) Ilustraci´ on de un m´etodo de dos pasos . . . . . . . . . . . . .
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. 74 . 77 . 78 . 81 . 83
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11
Gr´a fico producido por S2 EULER al resolver el ejercicio 6.1 Gr´a fico producido por S2 EULER al resolver el ejercicio 6.2 Gr´a fico producido por S2 EULER al resolver el ejercicio 6.3 Gr´afico obtenido al resolver el ejemplo 6.1 . . . . . . . . . . Gr´a ficas de S2 EULER.M e INTERPOLA.M. Ejercicio 6.4 . RK CELL e INTERPOLA.M aplicados al ejercicio 6.5 . . . Soluci´on gr´afica del ejercicio 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones DSOLVE y RK CELL. Ejercicio 6.7 . . . . . . . . Ejercicio 6.8. Sumas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 6.9. Sumas parciales N = 2, 26 . . . . . . . . . . . Ilustraci´ on gr´afica del m´etodo de interpolaci´on . . . . . . . .
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90 91 92 93 96 96 97 98 100 100 103
7.1 Gr´aficas producidas por EJE7.4.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.2 Gr´a fica producida por CALOR.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.3 Gr´a fica producida por ONDA.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
INDICACIONES GENERALES Antes de comenzar la sesi´on de trabajo con MATLAB (ML) y Adobe-Reader (PDF) debemos personalizar el entorno de trabajo. 1. (ML) Seleccionar adecuadamente, para no da˜nar la vista, el tipo, tama˜no, color de las fuentes y el color de fondo de las ventanas MATLAB. 2. (ML y PDF) Ajustar el tama˜ no de ambas ventanas, Command Window de MATLAB y el gui´on de la clase, para trabajar simult´aneamente con ambas. 3. (ML) Crear carpetas personales temporales y declarar la correspondiente trayectoria (PATH) mediante el men´u principal: FILE\SET PATH. Esto es esencial para la ejecuci´on de programas. Como alternativa basta ejecutar lo siguiente desde la ventana de comandos MATLAB >>!mkdir C:\carpeta_personal >>path(’C:\carpeta_personal’,path)
La primera l´ınea crea nuestra carpeta personal, mientras que la segunda informa a MATLAB d´onde se encuentra ´esta, y la sit´ua al comienzo de la lista de trayectorias. 4. (ML) Para disminuir el espacio vertical inter-l´ınea en la ventana de comandos ejecutar >>format compact
5. (ML) Activar el interruptor MORE mediante >>more on
para impedir el desplazamiento descontrolado de la ventana de comandos. 6. (ML) Desactivar el interruptor WARNING mediante >>warning off
si se desea que el sistema no muestre en pantalla advertencias. El alumno debe entregar por escrito la soluci´on de algunos ejercicios seleccionados, seg´ un se indica en la plantilla correspondiente. Para ello debe basarse en el desarrollo de los ejemplos que aparecen resueltos en el gui´on de la clase.
vii
´ CLASE PRACTICA 1 Comandos simb´ olicos para resolver ecuaciones. Campos de direcciones. Isoclinas
OBJETIVOS
• Abordar la soluci´on de ecuaciones diferenciales (EEDD) y problemas de valor inicial desde
una perspectiva experimental, mediante la aplicaci´on de los recursos simb´olicos del sistema MATLAB.
• Contribuir con el uso de herramientas gr´aficas al estudio de las EEDD a trav´es de la visualizaci´on del campo de direcciones asociado y las isoclinas.
1.1 1.1.1
´ COMANDOS SIMBOLICOS Comandos para la derivaci´ on
La siguiente secuencia halla la funci´on derivada de f respecto a x. >> syms x >> diff(f,x)
Para hallar la derivada en´esima hacemos >>diff(f,x,n)
El s´ımbolo Df representa simb´olicamente la derivada de f . Para derivadas sucesivas usamos D2f, D3f, etc.
1
Clase Pr´ actica 1
2
1.1.2
Problemas resueltos
on Ejemplo 1.1 Dada la ecuaci´ my = comprobar que
−mg + ky ,
y(t) = A + Be kt/m + mgt/k, es una soluci´ on de dicha E.D
Soluci´ on del ejemplo 1.1 1. Definir simb´ olicamente y(t). 2. Sustituir en la ED >>syms t y k m g A B >>y = A + B*exp(k*t/m) + m*g/k*t; >>a=m*diff(y,t,2)-k*diff(y,t)+m*g a=1/m*B*k^2*exp(k*t/m)-k*(B*k/m*exp(k*t/m)+m*g/k)+m >>simplify(a) ans =0
on Ejemplo 1.2 Comprobar que la funci´ 2 2 2 u(x, t) = e−π c t/l sen (πx/l)
es soluci´ on de la ecuaci´ on del calor ut (x, t) = c2 uxx(x, t)
Soluci´ on del ejemplo 1.2 >>syms c >>u=’exp(-pi^2*c^2*t/l^2)*sin(pi*x/l)’ >>diff(u,’t’)-c^2*diff(u,’x’,2) ans=0
olicas a las variables u, t, x y l. Nota 1.1 No ha sido necesario declarar simb´
1.1.3
El comando DSOLVE. Resoluci´ on de PVI
El comando DSOLVE es de tipo simb´olico y permite obtener la soluci´on exacta de algunas EEDD y de los correspondientes problemas de valor inicial.(1 El argumento de este comando es un STRING de modo que no es necesario declarar simb´olicas a las variables involucradas. 1
En lo que sigue usaremos las siglas PVI para problema(s) de valor(es) inicial(es).
Clase Pr´ actica 1
3
Ejemplo 1.3 Resolver la ED y = 1 + y 2, obtener la soluci´ on local correspondiente a la C.I. (0, 1), y representarla gr´ aficamente. Resoluci´ on del ejemplo 1.3 Paso 1 >>dsolve(’Dy=1+y^2’) ans =tan(t+C1)
Paso 2 >>dsolve(’Dy=1+y^2’,’y(0)=1’) ans =tan(t+1/4*pi)
Paso 3 >>ezplot(’tan(t+pi/4)’,[-pi/4,pi/4]); >> hold on >> plot(0,1,’*r’)
Ejemplo 1.4 Resolver la ED y = tarla.
−y − 2t. Obtener la soluci´ on local con la C.I. (−2, 1) y represen-
Resoluci´ on del ejemplo 1.4 >>dsolve(’Dy=-y-2*t’) ans = -2*t+2+exp(-t)*C1 >>dsolve(’Dy=-y- 2*t’,’y(-2)=1’) ans = -2*t+2-5*exp(-t)/exp(2) >>ezplot(’-2*t+2-5*exp(-t)/exp(2)’,[-4,3]), >>hold on >>plot(-2,1,’*g’)
1.1.4
Ejemplos de EEDD que no pueden ser resueltas por DSOLVE
Ejemplo 1.5 Intentar resolver la ED y =
−2t − y + cos(y) con DSOLVE.
Desarrollo del ejemplo 1.5 >>dsolve(’Dy=-2*t-y+cos(y)’) Warning: Explicit solution could not be found. >In C:\MATLABR11\toolbox\symbolic\dsolve.m at line 326 ans = [ empty sym ]
Si el comando DSOLVE no puede obtener expl´ıcitamente la soluci´on, entonces el propio DSOLVE ofrece, en algunos casos, la soluci´on en la forma impl´ıcita .
Clase Pr´ actica 1
4
Fig. 1.1: Gr´afico de las soluciones de los ejemplos 1.3 y 1.4
Ejemplo 1.6 Intentar resolver y = y2 (1
− y) aplicando DSOLVE.
Resoluci´ on del ejemplo 1.6 >>dsolve(’Dy=y^2*(1-y)’) Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned. > In C:\MATLABR11\toolbox\symbolic\dsolve.m at line 292 ans = t+1/y-log(y)+log(-1+y)+C1=0
Ejemplo 1.7 Resolver la ED y =
−y + cos(2x), con las condiciones iniciales y(0) = 1, y(0) = 0.
Resoluci´ on del ejemplo 1.7 >> y=dsolve(’D2y=-y+ cos(2*x)’,’y(0)=1’,’Dy(0)=0’,’x’) y = (1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*sin(x)+(1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*cos(x)+4/3*cos(x)
Observar en las siguientes l´ıneas el efecto del comando SIMPLIFY. >> y=simplify(y) y= -2/3*cos(x)^2+4/3*cos(x)+1/3
1.1.5
Funci´ on LAMBERTW(Z)
MATLAB se vale de una colecci´on de funciones b´asicas elementales m´as amplia que la que usualmente utilizamos, con la cual nos puede dar una mayor cantidad de respuestas en forma cerrada. Una de
Clase Pr´ actica 1
5
estas funciones es w(z) = Lambertw(z) definida impl´ıcitamente por w(z) exp(w(z)) = z
∗
La definici´ on de cualquier funci´on especial MATLAB puede ser consultada invocando en la l´ınea de comandos >>help+nombre
o bien, para aquellas espec´ıficas del n´ucleo MAPLE >>mhelp+nombre donde nombre es el nombre de la funci´on.
Otras funciones especiales incorporadas al sistema MATLAB-MAPLE son BERNOULLI, BESSElJ, DILOG, etc. Para ver el cat´alogo completo MAPLE ejecutamos la orden >>mfunlist
¿C´ omo evitar que Lambertw aparezca en la respuesta final? Un caso en que podemos eliminar a Lambertw de la expresi´on que hemos obtenido al ejecutar DSOLVE, es cuando podemos despejarle, es decir, cuando somos capaces de llegar a lambertw(E 1 (x)) = E 2 (x), donde E 1 y E 2 son ciertas expresiones en la variable x. Entonces, atendiendo a la formulaci´on impl´ıcita que define a esta funci´on, se tiene que E 2 (x)exp(E 2 (x)) = E 1 (x).
Ejercicio 1.1 Resolver las siguientes EEDD y PVI. a) (x2 + 1)dy + (y2 + 1)dx = 0, y(0) = 1/2 b) y = y cos(x)/(1 + y 2 ), y(0) = 1
− 3y + 3y − y = x d) y − 3y + 3y − y = x, c) y
y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = 0
1.2
CAMPO DE DIRECCIONES DE UNA ED
Dada la ED y = f (x, y) , si y = y(x) es soluci´on y (x0 , y0 ) es un punto de la gr´afica de y(x), entonces la pendiente de y = y(x) en (x0 , y0 ) es y (x0 ) que es igual a f (x0 , y0 ).
Clase Pr´ actica 1
6
Fig. 1.2: Campo de direcciones y soluci´on particular. Ejemplo 1.8 Lo anterior significa que, para conocer la pendiente de la soluci´on que pasa por (x0 , y0 ) no hace falta conocer dicha soluci´on; basta con calcular f (x0 , y0 ). Si esto se hace con todos los puntos del plano, tendremos las pendientes de las soluciones que pasan por cada punto del plano. Naturalmente, en la pr´actica es imposible hacer esto con todos los puntos del plano, pero nada nos impide hacerlo con tantos puntos como queramos, configurando un gr´afico que llamaremos campo de direcciones de la ED.
¿C´ omo construir “el campo de direcciones” asociado a una ED? Consideremos la ED gen´erica y (x) = f (x, y(x)). Para construir su campo de direcciones procedemos de la siguiente forma: por cada punto (x, y) de una red de puntos de R2 , convenientemente prefijada, se dibuja un segmento de recta o vector de pendiente f (x, y). El resultado final de este trabajo se interpreta como informaci´on gr´afica acerca de la soluci´o n de la ED que a´un no hemos intentado resolver por otros medios. Para aumentar la eficiencia usaremos un programa MATLAB en el que intervienen los comandos MESHGRID y QUIVER que permiten generar el gr´afico del campo de direcciones. Los vectores a considerar para obtener el campo de direcciones ser´an (1, y ) = (1, f (x, y)). on particular Ejemplo 1.8 Construir el campo de direcciones de la ED y = x, y representar la soluci´ que cumple la condici´ on inicial y(0) = 0.
Resoluci´ on del ejemplo 1.8 Las acciones MATLAB son las siguientes: >>f=inline(’x’,’x’,’y’); >>paso=0.5;
Clase Pr´ actica 1
7
Fig. 1.3: Campo de direcciones y soluci´on particular. Ejemplo 1.9 >>iz=-3; >>der=3; >>[x,y]=meshgrid(iz:paso:der,iz:paso:der); >>[n,m]=size(x); >>dx=ones(n,m); >>z=f(x,y); >>dy=z; >>quiver(x,y,dx,dy)
La figura 1.2 (izquierda) muestra el campo de direcciones. La soluci´on particular se obtiene artesanalmente como y = x2 /2, mediante separaci´on de variables, o bien, aplicando DSOLVE. A continuaci´ on aparecen las ´ordenes MATLAB necesarias (ver figura 1.2-derecha). >>hold on % HOLD ON permite superponer los graficos >>dsolve(’Dy=x’,’y(0)=0’, ’x’) >>ezplot(’1/2*x^2’,[-2.5,2.5]), >>plot(0,0,’*g’)
Ejemplo 1.9 Construir el campo de direcciones asociado a y = particular que cumple la CI y(1) = 1.
−x/y y representar la soluci´ on
Indicaciones para el ejemplo 1.9 La red creada con MESHGRID para el ejemplo 1.9 debe evitar y = 0 y contener al punto (1, 1) de la condici´on inicial. La expresi´on dentro de INLINE que define a la funci´on debe escribirse entre ap´ostrofes, es decir, x./y . El punto debe preceder a /, y ^ pues se opera con vectores componente a componente. La soluci´on gr´afica est´a dada por las figuras en el cuadro 1.3.
−
∗
Clase Pr´ actica 1
8
Ejercicio 1.2 Asociar cada una de las representaciones (a) y (b), mostradas en los cuadros 1.4 y 1.5, con el campo de direcciones de alguna de las siguientes EEDD: i) y = y
− x,
ii) y = 2x.
Fig. 1.4: Representaci´on (a)
1.3
Fig. 1.5: Representaci´on (b)
TRAYECTORIAS ISOCLINAS
Definici´ on 1.1 Dada la ED y = f (x, y) , se llaman curvas de nivel o isoclinas a las obtenidas al imponer la condici´ on y = k.
1.3.1
M´ etodo de las isoclinas
El m´etodo de las isoclinas es una variante de las ideas antes descritas. Los puntos del plano por los que pasa una soluci´on con pendiente k, son los puntos de la curva de ecuaci´on f (x, y) = k (isoclina de pendiente k). Dibujando las distintas isoclinas se obtiene una representaci´ on similar a la del campo de direcciones. Puede tener inter´es identificar la isoclina para la pendiente 0 pues las soluciones tendr´an generalmente un m´aximo o un m´ınimo al pasar por esta isoclina.
Ejemplo 1.10 1 Representar las isoclinas de la ED y = x + y2 . 2 Representar el gr´ afico de contorno (curvas de nivel o isoclinas) de la superficie z = x + y 2 .
Clase Pr´ actica 1
9
Desarrollo de la soluci´ on del ejemplo 1.10 >>[x,y]=meshgrid(0:0.05:3,-2:0.05:2); >> z=x+y.^2; >> isoclinas=contour(x,y,z,20)
El resultado en pantalla es el que ofrece la figura 1.6.
Fig. 1.6: Ejemplo 1.10
Fig. 1.7: Gr´ afico del ejemplo 1.11
Ejemplo 1.11 Representar las isoclinas de la ED y = x2 + y2 . Soluci´ on, paso a paso, del ejemplo 1.11 (ver fig. 1.7) >>[x,y]=meshgrid(-4:0.05:4); >>z=x.^2+y.^2; >>isoclinas=contour(x,y,z,20);
Ejemplo 1.12 (a) Representar las isoclinas de la ED y = 2x
− y.
(b) ¿Qu´e tipo de curvas son dichas isoclinas? (c) Representar las isoclinas correspondientes a k = 0, y k = 2. (d) ¿Qu´e particularidad tiene la correspondiente a k = 2?
Clase Pr´ actica 1
10
Fig. 1.8: Gr´afico del ejemplo 1.12-a
Fig. 1.9: Gr´afico del ejemplo 1.12-b
Ejemplo 1.13 Construir el campo de direcciones y las curvas de nivel de la ED y = sen (x) + y. Desarrollo, paso a paso, de la soluci´ o n del ejemplo 1.13 (figura 1.10)
Fig. 1.10: Gr´afico del ejemplo 1.13
>>f=inline(’sin(x)+y’,’x’,’y’); >>paso=0.5;iz=-3;der=3; >>[x,y]=meshgrid(iz:paso:der,iz:paso:der); >>[n,m]=size(x);dx=ones(n,m); >>z=f(x,y);dy=z; >>hold on,contour(x,y,z,20); >>quiver(x,y,dx,dy);
´ CLASE PRACTICA 2 M´ etodo de separaci´ on de variables. Ecuaciones homog´ eneas, exactas, impl´ıcitas y de Bernoulli
OBJETIVOS 1. Ejercitar el uso de herramientas simb´ olicas para la resoluci´on de ED. 2. Aplicar m´etodos de cuadraturas exactas estudiados en clase.
2.1
ECUACIONES EN VARIABLES SEPARADAS
Son de la forma y (x) = f (x)h(y). Para resolver el PCI y = f (x)h(y), y(x0 ) = y0 , escribimos la ED como sigue:
dy = f (x)dx h(y)
y si llamamos g = h1 , entonces queda g(y)dy = f (x)dx. Integrando en ambos miembros de la igualdad anterior obtenemos G(y) = F (x) + C,
(Soluci´on general de la ED),
y calculamos el par´ametro C usando la CI. As´ı C = G(y0 )
− F (x ) 0
y por lo tanto G(y) = F (x) + G(y0 ) F (x0 ), (Soluci´on del PCI). Ejemplo 2.1 Resolver el PVI, y = 2xy , y(0) = 2, y representar gr´ aficamente la soluci´ on.
−
−
11
Clase Pr´ actica 2
12
Fig. 2.1: Soluci´on del ejemplo 2.1
Resoluci´ on del ejemplo 2.1 Resolveremos el PVI con MATLAB siguiendo el m´etodo de separaci´on de variables. >>syms F G x y c >>f=’-2*x’; g=’1/y’; >>x0=0;y0=2; >>F=int(f); G=int(g); >>sol=solve(G-F-c,y)% solucion general >>c=solve(subs(sol,x0,’x’)-y0,c); >>y=subs(sol,c,’c’)% solucion particular
Para obtener el gr´afico de la soluci´on del ejemplo 2.1 (figura 2.1), ejecutar en la l´ınea de comandos. >>ezplot(y,[-2,2]), hold on, plot(0,2,’+r’)
Debemos distinguir entre la soluci´on general sol =exp(-x^2+2*c)
y la soluci´on particular del PVI y =exp(-x^2+log(2)). El ejemplo 2.1 puede resolverse directamente usando el comando DSOLVE, en efecto >>y=dsolve(’Dy=-2*x*y’,’y(0)=2’,’x’) y =2*exp(-x^2)
Ejemplo 2.2 Resolver el PVI, y = sen (x)(y Resoluci´ on del ejemplo 2.2 >>f=’sin(x)’
− 1),
y(0) = 2.
Clase Pr´ actica 2
13
>>g=’1/(y-1)’ >>F=int(f,’x’,0,’X’) F =-cos(X)+1 >>G=int(g,’y’,2,’Y’) G =log(Y-1) >>sol=solve(G-F,’Y’) sol =exp(-cos(X)+1)+1
Ejemplo 2.3 Resolver y cos(x)dx
2
− (1 + y )dy = 0, y(0) = 1.
Resoluci´ on del ejemplo 2.3 Despejando obtenemos y = y cos(x)/(1 + y2 ) y usando DSOLVE >>y=dsolve(’Dy=y*cos(x)/(1+y^2)’,’x’) y=-i*(-lambertw(exp(2*sin(x)+2*C1)))^(1/2)
La aceptaci´on de la anterior respuesta depender´a del consumidor. Si tenemos en cuenta que Lambertw(x)=w
es la funci´on definida impl´ıcitamente por wew = x, lo que se obtiene es y 2 exp(y2 ) = K exp(2 sen(x)).
∗
∗
∗
Ejemplo 2.4 Resolver la ED anterior, es decir, y cos(x)dx las variables.
2
− (1 + y )dy = 0, y(0) = 1, separando
Nota sobre el ejemplo 2.3. Supongamos que G(Lambertw(x), y , x , C) = 0, es la soluci´on general (con par´ametro C ) , de una ED y = f (x, y). Entonces podemos hallar una expresi´ on equivalente a la anterior si somos capaces de despejar a Lambertw(x) = w. En efecto, supongamos que Lambertw(x) = F (x). Sabiendo que Lambertw(x) = w se caracteriza por satisfacer la ecuaci´on w(x)ew(x) = x, entonces la nueva expresi´on de la soluci´on general es F (x)eF (x) = x. Resoluci´ on del ejemplo 2.4 Escribimos de una vez en la l´ınea de comandos >> x=solve(’int(cos(x),x)-int((1+y^2)/y,y)’) x = asin(1/2*y^2+log(y))
para obtener sen(x) = log(y) + y2 /2 + c, que es la soluci´on general de la ED. Para hallar la soluci´on correspondiente a las condiciones iniciales dadas hacemos >>c=simple(sym(’solve(subs(x=0,y=1,sin(x)=log(y)+1/2*y^2+c),c)’)) c=-1/2
Clase Pr´ actica 2
14 es decir, de nuevo obtenemos la soluci´on particular: sen(x) = ln(y) + (y2
− 1)/2.
Ejercicio 2.1 Aplicar herramientas MATLAB para resolver los siguientes ejercicios extra´ıdos del Bolet´ın 2. a) y + y2 sen (x) = 0 b) 4xy dx + (x2 + 1)dy = 0 c) xy = y + x2 y2 d) (x y)dy = (x + 3y)dx 2 2 e) (x + 1)dy = (y + 1)dx, y(0) = 1/2 f ) (1 + ex )yy = ey , y(0) = 0
−
2.2
−
´ ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS
Ejemplo 2.5 Resolver la ED (x2
2
− y )dx + xydy = 0.
Resoluci´ on del ejemplo 2.5 Es claro que es una ED homog´enea pues P (x, y) = x2 y 2 y Q(x, y) = xy son funciones homog´eneas del mismo grado 2. Se sabe entonces que el cambio de variable z = y/x la transforma en una ED en variables separadas. Para resolverla usando objetos simb´olicos del MATLAB se escribe la ED en la forma y + (x2 y2 )/(xy) = 0,
−
−
y se siguen los pasos siguientes:
>>syms x y z >>y=x*z; >>y=subs(y,’z(x)’,’z’) y =x*z(x) >>subs(diff(y,x)+(x^2-y^2)/(x*y),y,’y’) ans =z(x)+x*diff(z(x),x)+(x^2-x^2*z(x)^2)/x^2/z(x) La respuesta ans es la ED de variables separables que, para simplificar, resolvemos directamente
usando el comando DSOLVE. >>z=dsolve(’z+x*Dz+(x^2-x^2*z^2)/x^2/z=0’,’x’) z =[ (-2*log(x)+C1)^(1/2)] [ -(-2*log(x)+C1)^(1/2)]
Finalmente se deshace el cambio y se obtiene en forma impl´ıcita la soluci´on (y/x)2 =
2.3
−2log(x) + C 1.
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Consideremos la una ED de orden uno, que puede escribirse en la forma diferencial, es decir P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.
Clase Pr´ actica 2
15
Si P y Q tienen derivadas parciales primeras continuas en un abierto simplemente conexo D, entonces en D equivalen: 1. P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 es exacta. 2. ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Si la ED es exacta entonces existe el potencial F (x, y) tal que ∂F/∂x = P y ∂F/∂y = Q y la soluci´on general es F (x, y) = C. Para la obtenci´on de F se procede como sigue. Integramos a F (x, y) respecto a una sola de sus variables, digamos x. F (x, y) =
P (x, y)dx + f (y),
donde f (y) es una constante que depende de la variable y que ha permanecido constante durante la integraci´ on. Notar que para determinar a F (x, y) s´olo resta hallar a f (y) Si derivamos con respecto a y
∂ ( P (x, y)dx) + f (y). Q= ∂y Luego
∂ ( P (x, y)dx) f (y) = Q . ∂y Integrando respecto a y la anterior expresi´on obtenemos f (y). La soluci´on general es
−
F (x, y) = C, C
∈ R.
on Ejemplo 2.6 Comprobar que la ED (2x + y)dx + (x 3y)dy = 0, es exacta. Resolver dicha ecuaci´ y representar las soluciones.
−
Resoluci´ on del ejemplo 2.6 Utilizamos las herramientas Matlab de la siguiente manera. >>P=’2*x+y’; >>Q=’x-3*y’; >>test=diff(P,’y’)-diff(Q,’x’) test =0 >>F1=int(P,’x’); F1 =x^2+y*x >>derf=Q-diff(F1,’y’) derf =-3*y >>f=int(derf,’y’) f =-3/2*y^2 >>F=F1+f F =x^2+y*x-3/2*y^2
Clase Pr´ actica 2
16
Fig. 2.2: Gr´afico del ejemplo 2.6 Por lo tanto la soluci´on general es x2 + xy 3/2y2 = C . Para representar gr´aficamente las soluciones, o curvas de nivel, escribimos (ver figura 2.2)
−
>>[x,y]=meshgrid(0:0.1:3); >>z=x.^2+y.*x-3/2*y.^2; >>contour(x,y,z,15)
Ejemplo 2.7 Comprobar que la ED y = ciones.
x2 , es exacta. Resolver dicha ED y representar las soluy2
Resoluci´ on del ejemplo 2.7 >>P=’x^2’; >>Q=’-y^2’; >>test=diff(P,’y’)-diff(Q,’x’) test =0 >>F1=int(P,’x’) F1 =1/3*x^3 >>derf=Q-diff(F1,’y’) derf =-y^2 >>f=int(derf,’y’) f =-1/3*y^3 >>F=F1+f F =1/3*x^3-1/3*y^3
Por lo tanto, la soluci´on general de la ED es 1/3x3 1/3y3 = C . Para representar las soluciones escribimos (ver figura 2.3)
−
Clase Pr´ actica 2
17
Fig. 2.3: Gr´afico del ejemplo 2.7 >>[x,y]=meshgrid(-3:0.05:3); >>z=z=1/3*x.^3-1/3*y.^3; >>contour(x,y,z,15)
Ejemplo 2.8 Comprobar que la ED cosh(x) sen (y) + senh (x)cos(y)y = 0, es exacta. Resolver dicha ecuaci´ on y representar las soluciones. Resoluci´ on del ejemplo 2.8 >>P=’cosh(x)*sin(y)’; >>Q=’sinh(x)*cos(y)’; >>test=diff(P,’y’)-diff(Q,’x’) test =0 >>F1=int(P,’x’) F1 =sin(y)*sinh(x) >>derf=Q-diff(F1,’y’) derf =0 >>f=int(derf,’y’) f =0 >>F=F1+f o n del ejemplo 2.8 es sen(y) F =sin(y)*sinh(x) Por lo tanto, la soluci´
representar las soluciones escribimos (ver figura 2.4) >>[x,y]=meshgrid(0:0.05:2); >>z=sin(y).*sinh(x); >>contour(x,y,z,15)
∗
senh(x) = C . Para
Clase Pr´ actica 2
18
Fig. 2.4: Gr´afico del ejemplo 2.8
2.4
´ DE CLAIRAUT ECUACION
Recordemos que la ecuaci´on de Clairaut es de la forma y = xy + f (y ).
(2.1)
El m´etodo de resoluci´on es hacer y = p y derivar respecto a x, teniendo en cuenta que p = p(x). Nos queda entonces la expresi´on siguiente dp (x + f ( p)) = 0. dx Si
dp = 0 entonces y = C y por tanto teniendo en cuenta (2.1) se obtiene que dx y = Cx + f (C ), C
∈ R,
(2.2)
siendo (2.2) un haz de rectas, todas ellas soluci´on de la ecuaci´on original (2.1). Si x + f ( p) = 0, usando (2.1) se obtiene la soluci´on singular en forma param´etrica: x = f ( p), y = f ( p) p + f ( p).
− −
En general no es necesario eliminar p para obtener una ecuaci´on de la forma G(x, y) = 0, y de hecho, podr´ıa resultar muy dif´ıcil o imposible. on de Clairaut y = xy Ejemplo 2.9 Resolver la ecuaci´ obtenida, as´ı como la soluci´ on singular.
−
1 2 (y ) . 4
Representar la soluci´ on general
Clase Pr´ actica 2
19
Fig. 2.5: Gr´afico del ejemplo 2.9
Resoluci´ on del ejemplo 2.9 >>sol=dsolve(’y=x*Dy-1/4*Dy^2’,’x’) sol = [ x*C1-1/4*C1^2] [ x^2]
La segunda funci´on es la envolvente de la familia integral de la ecuaci´on. Para dar una idea gr´afica aproximada del conjunto soluci´on hacemos (ver figura 2.5) >>x=(-4:0.1:4); >>y=x.^2; z=0; %envolvente y recta para C1=0 >>w=x.*2-1; %recta para C1=2 >>u=x.*8-16; %recta para C1=8 >>v=x.*4- 4; %recta para C1=4 >>t=x.*3-9/4; %recta para C1=3 >>j=x.*(-2)-1; %recta para C1=-2 >>plot(x,y,x,z,x,w,x,u,x,v,x,t,x,j) >>legend(’Envolvente’,’C1=0’,’C1=2’,’C1=8’,’C1=4’,’C1=3’,’C1=-2’)
on de Clairaut y = xy +ln(y ). Ejercicio 2.2 Resolver utilizando herramientas MATLAB, la ecuaci´
2.5
´ DE BERNOULLI ECUACION
La llamada ecuaci´on de Bernoulli es de la forma y + p(x)y = q(x)yn .
Ejemplo 2.10 Resolver el PVI y + y/x = y 2 ln(x), y(1) = 1, y representar la soluci´ on.
Clase Pr´ actica 2
20
Resoluci´ on del ejemplo 2.10 >>sol=dsolve(’Dy+y/x=y^2*log(x)’,’y(1)=1’,’x’) sol =2/x/(-log(x)^2+2)
La gr´afica en el intervalo [1, 3] se obtiene ejecutando (ver figura 2.6) >>ezplot(sol,[1,3])
Ejercicio 2.3 1. Resolver la ED 3xy
− 2y = 2. Resolver el PVI 3xy − 2y =
x3 . y2 x3 y2 ,
y( 1) = 1.
−
Fig. 2.6: Gr´afico del ejemplo 2.10 La ED de Bernoulli y + p(x)y = q(x)yn se resuelve transform´andola en lineal, para lo cual se procede como sigue: Se divide la ED por yn y se hace el cambio z = y 1−1 , obteniendo una ED lineal en z(x). n
>>syms p q n >>y=’z^(1/(1-n))’; >>y=subs(y,’z(x)’,’z’) y =z(x)^(1/(1-n)) >>op=diff(y,’x’)+p*y-q*y^n; >>a=op/’z(x)^(n/(1-n))’ a=(z(x)^(1/(1-n))/(1-n)*diff(z(x),x)/z(x)p*+... z(x)^(1/(1-n))-q*(z(x)^(1/(1-n)))^n)/(z(x)^(n/(1-n)))
Ejemplo 2.11 Resolver la ecuaci´ on y + y/x = log(x)y 3 , aplicando el m´etodo antes explicado.
Clase Pr´ actica 2
21
Resoluci´ on del ejemplo 2.11 >>syms x >>y=’z^(1/(1-3))’; >>y=subs(y,’z(x)’,’z’) y =z(x)^(1/(1-3)) >>op=diff(y,x)+y/x-log(x)*y^3 op =-1/2/z(x)^(3/2)*diff(z(x),x)+1/z(x)^(1/2)/x-log(x)/z(x)^(3/2) >>a=op/’z(x)^(3/(1-3))’; >>a=simplify(a) a =-1/2*(diff(z(x),x)*x-2*z(x)+2*log(x)*x)/x
A continuaci´on se resuelve la anterior ED lineal usando DSOLVE >>z=dsolve(’-1/2*Dz+z/x=log(x)’,’x’) z =2*log(x)*x+2*x+x^2*C1
Finalmente se debe deshacer el cambio z = 1/y2 para obtener la soluci´on.
2.6
FACTOR INTEGRANTE
Recordemos que si la ED P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 no es exacta, siempre existe una funci´on µ = µ(x, y) tal que µP (x, y)dx + µQ(x, y)dy = 0 s´ı es exacta. Los casos aparentemente m´as sencillos son aquellos en que puede encontrarse un factor µ, llamado “factor integrante” (f.i.), que s´olo depende de x o s´olo depende de y. Un ejemplo de f.i. que depende de ambas variables x e y es aqu´el que encontramos para la ED (xy2 yx2 )dx + x3 dy = 0. (2.3)
−
Si llamamos P (x, y) = xy 2
− yx
2
y Q(x, y) = x3 comprobaremos que 1 1 = 2 2 xP + yQ xy
es un f.i. para la ED (2.3). La comprobaci´on de lo anteriormente dicho podemos hacerla f´acilmente con MATLAB. >>syms x y >>P=’x*y^2-y*x^2’;Q=’x^3’; >>Test=diff(P,y)-diff(Q,x); %No es exacta >>M=1/(x*P+y*Q); %f.i. en (x,y) >>P=M*P;Q=M*Q ; >>Test1=simplify(diff(P,y)-diff(Q,x)) Test1=0 La respuesta Test1 =0 demuestra “experimentalmente” que M = x−2 y−2 es ciertamente un f.i.
para (2.3).
Clase Pr´ actica 2
22 El potencial F (x, y) se obtiene mediante las siguientes operaciones. >>F1=int(P,x) >>derf=Q-diff(F1,y); >>f=int(derf,y) >>F=F1+f
para obtener que F = log(x)
− x/y, por lo tanto la soluci´on es log(x) − x/y = C .
on homog´enea. El alumno Nota 2.1 El anterior procedimiento puede aplicarse a cualquier ecuaci´ puede comprobar que en el caso P = x2 y 2 , Q = xy, el f.i. que se obtiene depende de una sola variable.
−
Ejemplo 2.12 Usar MATLAB para resolver la siguiente ED del Bolet´ın 2. y =
√x + y.
(2.4)
Resoluci´ on del ejemplo 2.12 La soluci´on puede obtenerse mediante el cambio z = x + y, ya que es de la forma: y = G(ax + by + c) con a = b = 1, c = 0 y G(t) = t. Sin embargo, a´ un no tenemos explicaci´on para el siguiente resultado MATLAB:
√
>>dsolve(’Dy=sqrt(x+y)’,’x’) ans =0
Es simple comprobar que y = 0 no es soluci´on de la ecuaci´on. Sin embargo, si elevamos al cuadrado ambos miembros, aunque introduzcamos soluciones adicionales, entonces s´ı obtenemos respuesta: >>dsolve(’Dy^2=(x+y)’,’x’) ans = [ 1-x] [ (-lambertw(-exp(-1-1/2*x+1/2*C1))-1)^2-x]
Notemos que ahora tenemos todas las soluciones de
±√x + y. Mediante comprobaci´on directa vemos que y = 1 − x es solamente soluci´on de √ y = − x + y y =
Por otra parte, teniendo en cuenta que lambertw(x)=w(x) cumple w(x)ew(x) = x, obtenemos de la propia respuesta dada por MATLAB (-lambertw(-exp(-1-1/2*x+1/2*C1))-1)^2-x
Clase Pr´ actica 2
23
la siguiente expresi´on: (1
± √x + y)exp(−1 ± √x + y) = exp(−x/2 + C )
Para nuestro problema original, tenemos como respuesta la siguiente ecuaci´on (1 +
√x + y)exp(−1 − √x + y) = exp(−x/2 + C )
(2.5)
a la cual podemos llegar con el cambio z = x + y, sin usar herramientas MATLAB. Insistamos en el problema. La respuesta MATLAB se obtuvo al integrar la ecuaci´on y = (y )2
− x,
que es de la forma, ”resuelta respecto a y”, del tipo ”Lagrange” y = ( 1)x + (y )2 .
−
Hacemos y = p y derivamos con respecto a x para obtener la ecuaci´on lineal en x = x( p) ( p + 1)x = 2 p, que se integra f´acilmente obteniendo x = 2 p y = p2
− log( p + 1) + C, − 2 p + log( p + 1) − C,
(2.6)
teniendo en cuenta que y = p2 x. Aunque parezca a primera vista que es dif´ıcil, en realidad es muy f´acil eliminar p = x + y de las ecuaciones (2.6), para deducir (2.5). Por lo tanto (2.4) puede ser considerada de dos maneras. A saber, como de la forma y = G(ax + by + c), y como Lagrange y = xf (y ) + g(y ). Tambi´ en podemos ver la ED del ejemplo (2.12) como la ecuaci´ on no exacta
−
√
√x + y dx − dy = 0. Lo m´as interesante ahora es que resulta infructuoso el intento de hallar un f.i. que s´olo dependa de x o que s´olo dependa de y. ¡Comprobarlo! En este caso la sugerencia es descubrir que la ED admite un f.i. de la forma µ(x, y) = ϕ(x + y). Para obtenerlo procedemos de la forma siguiente. Tenemos P = x + y y Q = 1. Si µ es de la forma anterior es f.i. entonces debe ser
√
−
∂ (µP ) ∂ (µQ) = , ∂y ∂x es decir,
√
µy x + y + µ
1 √ = −µ , 2 x+y x
Clase Pr´ actica 2
24 o equivalentemente
√
ϕ (x + y) x + y + ϕ(x + y)
1 √ = −ϕ (x + y). 2 x+y
Debido a la forma de µ , y a la expresi´on anteriormente calculada, si hacemos t = x + y, obtenemos, separando las variables. dϕ dt = (2.7) ϕ 2 t(1 + t)
−√
√
En todo lo anterior, tener en cuenta que hemos usado la regla de la cadena para calcular las derivadas de µ respecto a x e y, esto es, ∂µ ∂µ (x, y) = ϕ (x + y), (x, y) = ϕ (x + y), ∂x ∂y siendo ϕ la derivada ordinaria de la funci´on ϕ(t). Integrando (2.7) obtenemos que el f.i. de la ED es µ(x, y) =
1 √ . 1+ x+y
√
Notar que en este caso ϕ(t) = 1/(1 + t). Sabiendo que µPdx + µQdy = 0 es exacta procedemos al c´alculo del potencial F (x, y). La integral general es F (x, y) = C.
Ejercicio 2.4 Resolver el siguiente PVI (Bolet´ın 2) y =
y , y(1) = 4. x
´ CLASE PRACTICA 3 Resoluci´ on simb´ olica de sistemas diferenciales
OBJETIVOS Ejercitar el uso combinado de t´ecnicas matem´aticas y herramientas simb´olicas del MATLAB para el estudio y resoluci´ on de sistemas diferenciales lineales y ecuaciones lineales de orden superior.
3.1
´ SISTEMA LINEAL HOMOGENEO DE COEFICIENTES CONSTANTES
Ejemplo 3.1 Resolver el sistema diferencial lineal siguiente x = 5x + 3y y = 2x 10y
− − −
1. Mediante el comando DSOLVE. 2. Usando herramientas MATLAB pero siguiendo la via matricial.
Resoluci´ on del ejemplo 3.1 I- MATLAB resuelve directamente este tipo de sistemas utilizando el comando DSOLVE con la sintaxis conocida. Si llamamos S a la soluci´on y escribimos >>S=dsolve(’Dx=-5*x+3*y,Dy=-2*x-10*y’)
MATLAB devuelve las componentes simb´olicas de la soluci´on: S= x: [1x1 sym] y: [1x1 sym]
25
Clase Pr´ actica 3
26
Para obtener expl´ıcitamente la soluci´on S se pide cada una de sus componentes [S.x,S.y] o pretty([S.x,S.y]) >>pretty([S.x,S.y]) [-2C1 exp(-8t)+3C1 exp(-7t)+3C2 exp(-7t)-3C2 exp(-8t), -2C1 exp(-7t)+2C1 exp(-8t)+3C2 exp(-8t)-2C2 exp(-7t)]
es decir, la respuesta es x = C 1 ( 2e−8t + 3e−7t ) + 3C 2 (e−7t e−8t ) y = 2C 1 ( e−7t + e−8t ) + C 2 (3e−8t 2e−7t )
− −
− −
Alternativamente se puede obtener directamente la respuesta indicando las componentes del vector soluci´on. >>[x,y]=dsolve(’Dx=-5*x+3*y,Dy=-2*x-10*y’) x=-2*C1*exp(-8*t)+3*C1*exp(-7*t)+ 3*C2*exp(- 7*t)-3*C2*exp(-8*t) y=-2*C1*exp(-7*t)+2*C1*exp(-8*t)+ 3*C2*exp(- 8*t)-2*C2*exp(-7*t)
Otra v´ıa para resolver el anterior sistema lineal homog´eneo, de coeficientes constantes, es seguir la via matricial directa. Para ello comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial: 5 3 x x x = =A 2 10 y y y
−
− −
Conocer la soluci´on general de este sistema significa conocer una matriz fundamental R(t) del mismo. Eso es lo que calcularemos mediante comandos MATLAB. II- Sabemos que R(t) = etA . Para calcular etA usaremos el comando EXPM de MATLAB. >>A=[-5 3;-2 -10];%Crear la matriz A >>syms t %declarar simbolica t >>Rt=expm(t*A); %calcular matriz fundamental >>X1=Rt(:,1); %opcional calculo de un SFS, >>X2=Rt(:,2); %es decir, de las columnas de R(t) >>diff(X1)-A*X1 %Pueden hacerse comprobaciones ans = [ 0] [ 0] >>diff(X2)-A*X2 ans = [ 0] [ 0]
Clase Pr´ actica 3
27
Visualizar Rt y comparar con los resultados anteriores >>Rt Rt = [-2*exp(-8*t)+3*exp(-7*t),3*exp(-7*t)-3*exp(-8*t)] [-2*exp(-7*t)+2*exp(-8*t),3*exp(-8*t)-2*exp(-7*t)] >>X1 X1 = [-2*exp(-8*t)+3*exp(-7*t)] [-2*exp(-7*t)+2*exp(-8*t)] >>X2 X2 = [-3*exp(-8*t)+3*exp(-7*t)] [-2*exp(-7*t)+3*exp(-8*t)]
3.2
SISTEMA LINEAL COMPLETO DE COEFICIENTES CONSTANTES
Ejemplo 3.2 Resolver el sistema diferencial lineal siguiente: x y = et y + 5x + 2y = sen (3 + t),
−
con x(0) = 1, y(0) =
−1.
1. Directamente usando DSOLVE. 2. Utilizando el MVP (1 .
Resoluci´ on del ejemplo 3.2 1. Mediante DSOLVE >>[x,y]=dsolve(’Dx-y=exp(t),Dy+5*x+2*y=sin(3+t)’,’x(0)=1,y(0)=-1’) x= 1/2*exp(-t)*sin(2*t)*(5/8-1/5*sin(3)+1/10*cos(3))+1/2*exp(-t)*... sin(2*t)*(-3/8-1/5*cos(3)-1/10*sin(3))+(5/8-1/5*sin(3)+1/10*... cos(3))*exp(-t)*cos(2*t)+3/8*exp(t)+1/5*sin(3+t)-1/10*cos(3+t) y= 1
M´etodo de Variaci´on de Par´ametros
Clase Pr´ actica 3
28 -5/2*exp(-t)*sin(2*t)*(5/8-1/5*sin(3)+1/10*cos(3))-1/2*...
exp(-t)*sin(2*t)*(-3/8-1/5*cos(3)-1/10*sin(3))+1/5*cos(3+t)... +(-3/8-1/5*cos(3)-1/10*sin(3))*exp(-t)*cos(2*t)-5/8*exp(t)... +1/10*sin(3+t)
2. Para la resoluci´ on mediante el MVP usaremos la f´ormula correspondiente para obtener una soluci´ on particular del sistema diferencial lineal X = A(t)X + B(t). La soluci´ on general del mismo es t (3.1) X (t) = R(t)V + R(t) R(s)−1 B(s)ds,
0
siendo R(t) una matriz fundamental y V
∈R . n
La f´ormula (3.1) corresponde al caso general A(t) de coeficientes variables. El caso particular de coeficientes constantes aparece a continuaci´on. Recordemos que, en caso de sistemas diferenciales homog´eneos con coeficientes constantes, X = AX , una matriz fundamental est´a dada por R(t) = etA . Luego, si se trata de un sistema completo de coeficientes constantes X = AX + B(t), una soluci´ on particular X p est´a dada por tA
X p = e
t
e−sA B(s)ds.
0
Para resolver el sistema diferencial lineal del ejemplo 3.2, es decir x y = et y + 5x + 2y = sen(3 + t),
−
con x(0) = 1, y(0) = 1, usaremos la f´ormula general de variaci´on de par´ametros para hallar una soluci´on particular X p del sistema no homog´eneo.
−
>>syms s t >>A=[0 1;-5 -2]; >>Bt=[exp(t);sin(3+t)]; >>Bs=subs(Bt,s,t); >>Rt=expm(t*A) Rt=[exp(-t)*cos(2*t)+1/2*exp(-t)*sin(2*t),1/2*exp(-t)*sin(2*t)] [-5/2*exp(-t)*sin(2*t), exp(-t)*cos(2*t)-1/2*exp(-t)*sin(2*t)] >>Rs=subs(Rt,s,t) Rs=[exp(-s)*cos(2*s)+1/2*exp(-s)*sin(2*s),1/2*exp(-s)*sin(2*s)]
Clase Pr´ actica 3
29
[-5/2*exp(-s)*sin(2*s),exp(-s)*cos(2*s)-1/2*exp(-s)*sin(2*s)] >>Xp=Rt*int(Rs\Bs,s,0,t); >>Prueba=diff(Xp)-A*Xp-Bt;% Comprobacion
Si >>simplify(Prueba)
no produce [0;0], ejecutar >>ezplot(Prueba(1),[-1,1]), >>ezplot(Prueba(2),[-1,1])
para apreciar, con cierta significaci´ on, que realmente Prueba es cero.(2 La formulaci´on expl´ıcita de la soluci´on particular X p se compone de una cadena de caracteres demasiado larga y por tanto de reducida utilidad, en efecto, si hacemos la conversi´on de SYM a STRING mediante el comando CHAR, tendremos que >>size(char(Xp)) ans = 1
1669
es decir, ¡Xp est´a compuesto de 1669 caracteres! La figura 3.1 muestra gr´aficamente el resultado de ejecutar ezplot(Prueba(2),[-1,1]). El rango de variaci´on en el intervalo [ 1, 1] sugiere la nulidad con una significaci´on del orden de 10 −15 .
−
Ejemplo 3.3 Resolver el siguiente sistema lineal completo de coeficientes constantes x + x + 2y = cos(t) + sen (t) + e−t y 2x + y = sen (t) cos(t),
−
x(0) = 1, y(0) = 1.
−
Obtenci´ on de la soluci´ on del ejemplo 3.3 mediante DSOLVE >>sis1=’Dx+x+2*y=cos(t)+sin(t)+exp(-t)’; >>sis2=’Dy-2*x+y=sin(t)-cos(t)’; >>[x,y]=dsolve(sis1,sis2,’x(0)=1,y(0)=1’) x =cos(t)-1/2*exp(-t)*sin(2*t) y =1/2*exp(-t)+sin(t)+1/2*exp(-t)*cos(2*t) 2
Los errores menores que eps
≈ 2.2e − 16 se asume que son cero.
Clase Pr´ actica 3
30
Fig. 3.1: Evidencia gr´afica de que Prueba(2) debe ser nula en [ 1, 1]
−
3.3
´ DE SISTEMAS DIFERENCIALES RESOLUCION ´ LINEALES HOMOGENEOS DE COEFICIENTES CONSTANTES POR LA VIA ESPECTRAL
Definici´ on 3.1 Valores y vectores propios. Sea A una matriz constante, cuadrada de orden n. Decimos que λ es un valor propio o autovalor de A si existe un vector u no nulo tal que Au = λu. A este u se le llama vector propio o autovalor asociado a λ.
3.3.1
C´ alculo de valores y vectores propios via MATLAB
Si A es una variable que contiene una matriz cuadrada, entonces >>[V,D] = eig(A)
produce la matriz V = [u1 un ] de autovectores, y la matriz diagonal D, tales que AV = V D. Es decir, la diagonal principal de D contiene a los autovalores de A. Si hacemos
···
>>valores_propios=eig(A)
almacenamos en la variable vectorial valores_propios a los valores propios de A.
Clase Pr´ actica 3
3.3.2
31
El m´ etodo espectral
El siguiente resultado nos ofrece la herramienta te´ orica para resolver un sistema diferencial lineal homog´eneo, de coeficientes constantes por la via de los valores y vectores propios.
Teorema 3.1 Si la matriz A tiene n valores propios diferentes λ1 ,...,λn , y uk es un vector propio asociado a λk , k = 1,...,n, entonces λ1 t
{e
u1 ,
λn t
··· , e
un ,
}
es un sistema o conjunto fundamental de soluciones (SFS) para el sistema diferencial X = AX .
Ejemplo 3.4 Resolver por la via espectral, y aplicando herramientas MATLAB, el siguiente problema con valores iniciales X =
1 1 4
2 0 4
−
−1 1 5
X (t) X (0) =
− 1 0 0
Indicaciones para resolver el ejemplo 3.4 Usar el comando EIG para calcular los valores y vectores propios de la matriz del sistema y verificar si son diferentes dos a dos para aplicar el Teorema 3.1. Recordar que una vez tengamos una matriz fundamental R(t), entonces c1 X (t) = R(t) c2 c3
− −
nos da la soluci´o n general del sistema. Luego, la ´unica soluci´on estar´a dada por la soluci´o n del siguiente sistema 1 c1 0 = X (0) = R(0) c2 0 c3 es decir,
c1 c2 c3
= R(0)−1
1 0 0
Clase Pr´ actica 3
32
3.4
EEDD LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
Las EEDD de orden superior pueden ser tratadas con el comando DSOLVE de una manera muy flexible. Se presentan a continuaci´on diversos ejemplos de EEDD homog´eneas y completas de coeficientes constantes para las que se obtiene la soluci´on general as´ı como ciertas soluciones particulares. Se presenta tambi´en un ejemplo de coeficientes variables que corresponde a una Euler.
3.4.1
EEDD lineales de orden superior homog´ eneas
Ejemplo 3.5 Resolver la ED y + 4y + 4y = 0 Resoluci´ on mediante MATLAB del ejemplo 3.5 >>S=dsolve(’D2y+4*Dy+4*y=0’) S =C1*exp(-2*t)+C2*exp(-2*t)*t %(sol. gral.)
Obs´ervese que
−2 es una ra´ız doble del polinomio caracter´ıstico
Ejemplo 3.6 Resolver el PVI y + 4y + 4y = 0, y(0) = 1, y (0) = 4. Resoluci´ on mediante MATLAB del ejemplo 3.6 >>S=dsolve(’D2y+4*Dy+4*y=0’,’y(0)=1,Dy(0)=4’) S=exp(-2*t)+6*exp(-2*t)*t %(sol. part.)
Notar que se ha obtenido C 1 = 1 y C 2 = 6. En todos los casos las respuestas son exactas, con f´ormulas cerradas.
3.4.2
EEDD lineales de orden superior completas
Ejemplo 3.7 Resolver la ED y + y + 4y = 1. Resoluci´ on mediante MATLAB del ejemplo 3.7 >>S=dsolve(’D2y+Dy+4*y-1=0’) S=1/4+C1*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15^(1/2)*t)+C2*exp(-1/2*t)*... sin(1/2*15^(1/2)*t)
− ± i√15)/2.
Notar que el polinomio caracter´ıstico tiene ra´ıces complejas conjugadas ( 1
Ejemplo 3.8 Resolver y = log(x)/x2 , y(1) = 0, y (1) = 1, y (1) = 2.
Clase Pr´ actica 3
33
Resoluci´ on mediante MATLAB del ejemplo 3.8 >>y=dsolve(’D3y=log(x)/x^2’,’y(1)=0’,’Dy(1)=1’,’D2y(1)=2’,’x’) y=-1/2*log(x)^2*x+3/2*x^2-2*x+1/2
´ ¿COMO SOLVENTAR DIFICULTADES RELACIONADAS CON DSOLVE? Si una ED no admite soluci´on exacta en t´erminos del cat´alogo de funciones elementales MATLAB, entonces DSOLVE no puede ofrecer una soluci´on. Existen otras causas que impiden a DSOLVE llegar a una respuesta exacta pero su consideraci´on queda fuera de nuestras posibilidades. En algunos casos el comando DSOLVE puede producir respuestas poco amigables, es decir, excesivamente largas o expresadas en t´ erminos de funciones especiales poco usuales. En tales casos debemos hallar m´etodos alternativos que produzcan soluciones, quiz´ as aproximadas pero mucho m´as potables. Para ilustrar lo dicho, a continuaci´ on se ofrece un ejemplo de EDL homog´enea de cuarto orden, cuya soluci´on se obtiene de forma aproximada, siguiendo un m´etodo basado en nuestros conocimientos te´oricos. En el ap´endice se ampl´ıan los detalles t´ecnicos del m´etodo y se ejerce una cr´ıtica necesaria.
Ejemplo 3.9 Considere la EDLH (3 L[y] = 0, donde L[y] = yiv)
− 6y
iii)
+ 9yii)
i)
− 24y − 20y.
Intente resolverla, es decir, halle informaci´ on util ´ sobre la soluci´ on.
Desarrollo del ejemplo 3.9 Tratemos de resolver L[y] = 0 utilizando DSOLVE. >>y=dsolve(’D4y-6*D3y+9*D2y-24*Dy-20*y=0’); >> size(char(y)) ans = 1 2765
¡La respuesta (4 consta de 2765 caracteres! Siendo la EDL de coeficientes constantes, podemos intentar hallar una respuesta, satisfactoria en cierto sentido (ver Ap´endice), calculando un SFS a partir del polinomio caracter´ıstico P = m4
3
− 6m
+ 9m2
− 24m − 20.
Calculemos aproximadamente las ra´ıces de P con alguno de los comandos SOLVE y ROOTS. El comando SOLVE resuelve exactamente, en t´erminos de radicales, ecuaciones polin´omicas hasta el grado 4. ROOTS calcula aproximadamente las ra´ıces de cualquier polinomio mediante un 3 4
Ecuaci´ on Diferencial Lineal y Homog´enea La respuesta puede cambiar seg´un la versi´on MATLAB o el software que se utilice
Clase Pr´ actica actica 3
34
procedimiento muy eficiente y preciso. No obstante, los resultados num´ ericos ericos obtenidos mediante SOLVE SOLVE deber´ deber´ıan ser superiores, en algunos algunos casos, casos, a los producidos producidos por ROOTS. ROOTS. El nivel nivel de coin− 15 cidencia entre ambos es del orden 10 en el caso que nos ocupa, seg´un un se aprecia en las pruebas num´ericas ericas que se muestran a continuaci´on. on. >>form >>format at long long e >>S=numeric(solve(’x^4-6*x^3+9*x^2-24*x-20’)) S = 5.291305619991860e+00 6.653067648628088e-01+2.373811784418384e+00i 6.653067648628088e-01-2.373811784418384e+00i -6.219191497174775e-01 >>R=ro >>R=roots ots([1 ([1 -6 9 -24 -20]) -20]) R = 5.291305619991865e+00 6.653067648628106e-01+2.373811784418383e+00i 6.653067648628106e-01-2.373811784418383e+00i -6.219191497174774e-01 >>max(abs(R-S)) ans= 5.329070518200751 5.329070518200751e-015 e-015
El correspondiente SFS es y1 y2 y3 y4
= e0.6653067648628088 t sen(2. sen(2.373811784418384 t), = e 0.6653067648628088 t cos(2. cos(2.373811784418384 t), 5.291305619991860 t =e = e−0.6219191497174775 t
´ Ver en el AP ENDICE c´omo omo intentamos valorar la calidad de esta soluci´on on aproximada.
Ejercicio 3.1 Dadas las siguientes EEDD iv ) a.- yiv) iii) b.- yiii) iv ) c.- yiv)
10y − 10y − 2y − 6y
iii) iii)
ii) + 3y 3yii)
i)
20y = 0, 0, − 2y − 20y
ii) ii)
+ 3y 3yi) = 0, 0,
iii) iii)
ii) + 9y 9yii)
24y − 24y
i)
+ 50y 50y = 1,
obtener una soluci´ on particular para la ED del apartado c) mediante el m´etodo etodo de coeficientes coeficientes indeterminados (MCI) sin ayuda del MATLAB, y un SFS para a), b) y c).
Clase Pr´ actica actica 3
35
´ DE EULER Y DE EULER ECUACION GENERALIZADA
3.5
La ecuaci´ ecuaci´on on de Euler de segundo orden es de la forma αx2 y (x) + βxy (x) + γy( γy (x) = δ(x) Recordemos que ´esta esta se transforma en una ED de coeficiente co eficientess constantes mediante el cambio x = et , y que la ecuaci´on on de Euler generalizada de segundo orden es de la forma α(ax + b)2 y (x) + β (ax + b)y (x) + γy( γy (x) = δ(x)
Ejemplo 3.10 Resolver (2x (2x + 1)2 y
− (4x (4x + 2)y 2)y − 12y 12y = 8x. 8 x.
Resoluci´ on del ejemplo 3.10 mediante MATLAB on Aplicando DSOLVE se obtiene que >>y=dsolve(’(2*x+1)^2*D2y-(4*x+2)*Dy-12*y=8*x’,’x’) y=2/3*x^3*(2+x)/(2 y=2/3*x^3*(2+x)/(2*x+1)+ *x+1)+ C1*(2*x+1)^3+C2/( C1*(2*x+1)^3+C2/(2*x+1) 2*x+1)
ales de las siguientes siguientes EEDD, despu´ despu´es es de ser transforma transformadas das en EDL de coeoeEjercicio 3.2 ¿A cu´ ficientes constantes, puede aplicarse el MCI? ¿Cu´ al es la alternativa al MCI? Intentar resolverlas mediante DSOLVE y mediante m´etodos etodos artesanales. Contrastar los resultados. 1. (2x (2x + 1)2 y (4x (4x + 2)y 2)y 12y 12y = 8x
− − 2. x y + 5xy 5xy − 2y = −5log(x 5log(x) 3. (10x (10x + 50) y − 3(x 3(x + 5)y 5)y + 7y 7y = x− 4. x y − 6x y + 2xy 2xy = x + 1 5. 5x y − 6xy + y = e 2
2
3
2
2
3.6
2
x
´ CALCULO DE WRONSKIANOS Y APLICACIONES
En lo que sigue se utilizar´a el wronskiano para el estudio de la independencia lineal de sistemas de funciones. funcion es. Tambi´en en se aplicar´ aplica r´a en la obtenci´on on de una EDLH conocidas algunas de sus soluciones. El wronskiano wron skiano juega un u n papel pap el relevante en la l a teor´ıa ıa y pr´ p r´actica actica de las EDL. Si y1 e y2 son funciones definidas sobre el intervalo I , entonces entonces el wronskiano wronskiano W ( estas se define como: W (y1 , y2 ) de ´estas )(t) = det W ( W (y1 , y2 )(t
y1 (t) y2 (t) y1 (t) y2 (t)
, t
∈ I.
Clase Pr´ actica actica 3
36
3.6.1 3.6.1
Wronski ronskiano ano e indepe independ nden encia cia linea lineall
Teorema 3.2 Sean x1 (t) y x2 (t) dos soluciones de una ED del tipo x (t) + p(t)x (t) + q(t)x(t) = 0, con p(t) y q(t) continuas en I . Entonces se cumple que: x1 y x2 son linealmente independientes en I )(t) = 0 t I W ( W (x1 , x2 )(t )(t) = 0. 0. t I tal que W ( W (x1 , x2 )(t
∃∈
∀∈ ⇔
⇔
Nota 3.1 Sean x1 y x2 de clase 1 en I , no necesariamente soluciones de una EDLH. Entonces 1) W ( )(t) = 0 para alg´ un t I W (x1 , x2 )(t x1 y x2 son linealmente independientes en I . 2) Sin embargo, es posible que x1 y x2 sean linealmente independientes en I y W ( )(t) = 0 W (x1 , x2 )(t 2 2 en alg´ un I . Por ejemplo, t y t son l.i. en [ 1/2, 1/2] y W ( 0. W (t, t )(0) = 0.
∈ ⇒
−
senh (t) Ejemplo 3.11 Calcular el Wronskiano de e−2t y senh
− 2 cosh(2 cosh(2tt).
Resoluci´ on on del ejemplo 3.11 >>a=’[exp(-2*t), >>a=’[exp(-2*t), sinh(t)-2*cosh(2*t sinh(t)-2*cosh(2*t)] )] ’; >> b=diff(a b=diff(a,t) ,t) % tambien tambien diff(a) diff(a) b=[-2*exp(-2*t),cosh(t)-4*sinh(2*t)] >> c=[a;b] c=[a;b] c=[exp(-2*t),sinh(t)-2*cosh(2*t)] [-2*exp(-2*t),cosh(t)-4*sinh(2*t)] >>d=det( >>d=det(c) c) %(es el Wronskia Wronskiano no pedido) pedido) d=exp(-2*t)*cosh(t)-4*exp(-2*t)*sinh(2*t)+... 2*exp(-2*t)*sinh(t)-4*exp(-2*t)*cosh(2*t)
Para abreviar puede utilizarse el programa WRONSKY.M, que puede descargarse desde la Web de la asignatura [15].
Ejemplo 3.12 Calcular el Wronskiano de ex , e2x y e3x . Resoluci´ on on del ejemplo 3.12. >>a=’[exp(x),exp(2*x),exp(3*x)]’; >>b=diff(a,’x’); >>c=diff(b,’x’); >>d=[a;b;c]
Clase Pr´ actica 3
37
d=[exp(x),exp(2*x),exp(3*x)] [exp(x),2*exp(2*x),3*exp(3*x)] [exp(x),4*exp(2*x),9*exp(3*x)] >>W=det(d)%%%%(es el Wronskiano) W=2*exp(x)*exp(2*x)*exp(3*x)
Ejemplo 3.13 Determinar si las siguientes funciones son linealmente independientes: f (t) = et sen (2t) y g(t) = sen (t)cos(t) en el intervalo [1/2, 3/4]. Resoluci´ on del ejemplo 3.13 usando MATLAB >>syms a b c d t >>a=’[exp(t)*sin(2*t),sin(t)*cos(t)]’; >>b=diff(a,t); >>c=[a;b]; >>d=det(c); >>d=simplify(d) d=2*exp(t)*sin(2*t)*cos(t)^2-exp(t)*... sin(2*t)sin(t)*cos(t)*exp(t)*... sin(2*t)-2*sin(t)*cos(t)*exp(t)*cos(2*t) >>W=subs(d,3/4,t) W=-1.05320353709056
Por lo tanto f y g son linealmente independientes.
Ejemplo 3.14 Estudiar la independencia lineal de f (t) = 1, g(t) = ( 1, 2).
−
Resoluci´ on del ejemplo 3.14 usando MATLAB >>syms t >>a=’[1,-t+1,3*t^2+2*t-4]’; >>b=diff(a,t); >>c=diff(b,t); >>d=[a;b;c]; >>e=det(d) e =-6
Por lo tanto las funciones son l.i.
Ejemplo 3.15 Dadas las familias de funciones
−t + 1, h(t) = 3t
2
+ 2t
− 4 en
Clase Pr´ actica 3
38 a) y1 = ex , y2 = e2x , y3 = e3x b) y1 = 1, y2 = x, y3 = 1/(1 + x2 ) c) y1 = sen (x), y2 = x d) y1 = ex , y2 = cos(3x) e) y1 = x, y2 = x2 + 1, y3 = x2 + 2x + 1
hallar para cada una la EDL homog´ enea con el menor orden posible para la cual las funciones yi forman parte de un conjunto fundamental de soluciones, considerando por separado los casos
{ }
1. coeficientes constantes (cuando sea posible), 2. coeficientes variables.
Construcci´ on de una EDLH de coeficientes variables teniendo a las funciones del ejemplo 3.15, apartado b) como SFS Pueden ejecutarse comandos MATLAB en l´ınea tal como se muestra a continuaci´on, o utilizar el programa WRONSKY. >>syms x y dy d2y d3y >>A=[1 x 1/(1+x^2)]; >>A1=[y,A]; >>A2=[dy,diff(A)]; >>A3=[d2y,diff(A,2)]; >>A4=[d3y,diff(A,3)]; >>W=det([A1;A2;A3;A4]) W=-2*(12*d2y*x^3-12*d2y*x+2*d3y*x^2+3*d3y*x^4-d3y)/(1+x^2)^4
La ecuaci´on es W = 0, siendo dy = y , d2y = y , etc. Si se selecciona un intervalo dominio I 0 , entonces I 0 no debe contener ceros del wronskiano.
3.7 3.7.1
SOLUCIONES PARTICULARES DE EEDD LINEALES COMPLETAS M´ etodo de coeficientes indeterminados (MCI)
El MCI es aplicable cuando la ED tiene coeficientes constantes y la parte completa es de tipo CI. on particular de la ED Ejemplo 3.16 Obtener una soluci´ x + 3x
4t
2t
− 4x = 3 sen (t) + 7e− − e
Clase Pr´ actica 3
39
Resoluci´ on del ejemplo 3.16 con DSOLVE >>y=dsolve(’D2x+3*Dx-4*x=0’) y=C1*exp(t)+C2*exp(-4*t)
que es la soluci´on general de la homog´enea. Teniendo en cuenta la forma de la parte completa de la ED, se busca una soluci´on particular x p que sea combinaci´on lineal de x1 = sen(t), x2 = cos(t), x3 = te−4t , y x4 = e2t . >>syms t A B C D >>xp=A*sin(t)+B*cos(t)+C*t*exp(-4*t)+D*exp(2*t);
que es la soluci´on particular buscada. Para determinar los coeficientes A, B, C y D se debe sustituir x p en la ED. >>l=diff(xp,2,t)+3*diff(xp,t)-4*xp l= -5*A*sin(t)-5*B*cos(t)-5*C*exp(-4*t)+6*D*exp(2*t)+3*A*cos(t)-3*B*sin(t) >>eqn=l-3*sin(t)-7*exp(-4*t)+exp(2*t) eqn= -5*A*sin(t)-5*B*cos(t)-5*C*exp(-4*t)+6*D*exp(2*t)+3*A*cos(t)-3*B*sin(t)-... 3*sin(t)-7*exp(-4*t)+exp(2*t)
Para resolver eqn=0 y as´ı obtener A, B, C , y D, se eval´ua eqn y sus derivadas 1ra, 2da y 3ra en un punto (en este caso tomamos el punto 0), obteni´endose un sistema cuya resoluci´on nos da A, B, C , y D. >>eqn1=subs(eqn,0,t) eqn1= -6-5*B-5*C+6*D+3*A >>eqn2=subs(diff(eqn,t),0,t) eqn2= -5*A+27+20*C+12*D-3*B >>eqn3=subs(diff(eqn,t,2),0,t) eqn3= -108+5*B-80*C+24*D-3*A >>eqn4=subs(diff(eqn,t,3),0,t) eqn4= 5*A+459+320*C+48*D+3*B
Clase Pr´ actica 3
40
A continuaci´on se resuelve el sistema lineal formado por las 4 ecuaciones eqn1, eqn2, eqn3 y eqn4, con las inc´ognitas A, B, C , y D. >>[A B C D]=solve(eqn1,eqn2,eqn3,eqn4) A =-15/34 B =-9/34 C =-7/5 D =-1/6
Una soluci´on particular es xp=-15/34 *sin(t)-9/34 *cos(t)-7/5*t*exp(-4*t)-1/6 *exp(2*t)
El procedimiento anterior usado para el c´alculo de los coeficientes no es aconsejable sin la ayuda de instrumentos de c´alculo, pero s´ı parece ser m´as adecuado para simular el proceso en el ordenador. En su defecto puede usarse el programa MCI descargable desde la Web de la asignatura [15].
3.7.2
M´ etodo de variaci´ on de par´ ametros (MVP)
on particular de la ED Ejemplo 3.17 Obtener una soluci´ t2 x + tx
−x=
sen (t).
Se utilizar´ a que x1 = t y x2 = 1/t son soluciones l.i. de la ED homog´enea. (Se pueden obtener con DSOLVE)
Resoluci´ on del ejemplo 3.17 La soluci´on general de la homog´enea es xh = At + B/t, A, B
∈R
y se busca una particular de la completa de la forma x p = A(t)t + B(t)/t. Sabemos que A (t) y B (t) son soluciones del sistema
t 1
1/t 1/t2
−
Procedemos a resolver dicho sistema.
A (t) B (t)
=
0 sen(t)/t2
Clase Pr´ actica 3
41
>>syms t >>a=[t,1/t] >>b=diff(a); >>c=[a;b] c = [t,1/t ] [1,-1/t^2] >>W=det(c) W =-2/t >>A=int(sin(t)/(2*t^2)) >>B=int(-sin(t)/2) >>xp=A*t+B*1/t xp=(-1/2*sin(t)/t+1/2*cosint(t))*t+1/2*cos(t)/t >>pretty(sym(xp)) / sin(t) \ cos(t) |- 1/2 ------ + 1/2 cosint(t)| t + 1/2 -----\ t / t
on particular de la ED x Ejemplo 3.18 Obtener una soluci´
−
e3t 6x + 9x = 2 . t
Resoluci´ on del ejemplo 3.18 >>y=dsolve(’D2x-6*Dx+9*x=0’) y=C1*exp(3*t)+C2*exp(3*t)*t %(sol. gral. homogenea)
Para obtener xp=A(t)*exp(3*t)+B(t)*exp(3*t)*t,
nos basamos en que A (t) y B (t) son soluciones del sistema
e3t te3t (e3t ) (te3t )
Por lo tanto, se procede a resolver dicho sistema >>syms t >>a=[exp(3*t),t*exp(3*t)] >>b=diff(a,t); >>c=[a;b] c=[exp(3*t), t*exp(3*t)] [3*exp(3*t),3*exp(3*t)*t+exp(3*t)] >>W=det(c) W =exp(3*t)^2
A (t) B (t)
=
0 3t 2 e /t
Clase Pr´ actica 3
42 >>A=int(-1/t) A =-log(t) >>B=int(1/t^2) B =-1/t >>xp=A*exp(3*t)+B*t*exp(3*t) xp=-log(t)*exp(3*t)-exp(3*t)
´ Esta es la soluci´on particular obtenida.
Ejemplo 3.19 Resolver mediante el MVP la ED x + 3x + 2x = e3t cos(5t) + 2t4 .
Resoluci´ on del ejemplo 3.19 >>dsolve(’D2x+3*Dx+2*x=0’) % hallar un SFS ans= C1*exp(-2*t)+C2*exp(-t)
Se buscan A(t) y B(t) para tener una soluci´on particular x p cuya expresi´on pretendemos que sea x p = A(t)e−2t + B(t)e−t . El procedimiento interactivo (l´ınea de comandos) aparece a continuaci´on. Puede usarse el programa MVP.M que se descarga desde la Web de la asignatura [15]. >>syms t >>a=[exp(-2*t),exp(-t)];b=diff(a,t);c=[a;b] c =[exp(-2*t),exp(-t)] [-2*exp(-2*t),-exp(-t)] >>H=[0;exp(3*t)*cos(5*t)+2*t^4]; >>S=inv(c)*H;A=int(S(1));B=int(S(2)); >>xp=simplify(A*exp(-2*t) +B*exp(-t)) xp=-8/205*cos(t)^5*exp(3*t)+72/205*cos(t)^4*sin(t)... *exp(3*t)+2/41*cos(t)^3*exp(3*t)-54/205*cos(t)^2... *sin(t)*exp(3*t)-1/82*cos(t)*exp(3*t)+9/410*... sin(t)*exp(3*t)+t^4-6*t^3+21*t^2-45*t+93/2
Como alternativa podemos usar el MCI y el principio de superposici´on, pero en cualquier caso es mucho m´as c´omodo usar directamente DSOLVE que aplica autom´aticamente el principio de superposici´on.
Clase Pr´ actica 3
3.8
43
´ DE ORDEN REDUCCION
on Ejemplo 3.20 Resolver la ED x + (2/t)x + x = 0, usando que f (t) = sen (t)/t es una soluci´ particular.
Resoluci´ on del ejemplo 3.20 Buscamos una soluci´ on de la forma x = sen(t)/t v(t). Derivando y sustituyendo en la ED y haciendo v = y se llega a una ED de primer orden en y.
∗
y + (2/t + 2f (t)/f (t))y = 0. Resolviendo esta ED se obtiene su soluci´on general. y = F (t, C 1 ). Como y = v , integrando se obtiene v = G(t, C 1 , C 2 ). Finalmente haciendo x = f v
∗
se obtiene la soluci´on general de la ED. Los pasos con MATLAB se indican a continuaci´on. >>syms t C2 %ecuacion original x’’+2/tx’+x=0 >>f=sin(t)/t >>diff(f) ans=cos(t)/t-sin(t)/t^2 >>diff(f)/f ans=(cos(t)/t-sin(t)/t^2)/sin(t)*t
Se resuelve la ED y + (2/t + 2f /f )y = 0 copiando f’/f =diff(f)/f en DSOLVE >>y=dsolve(’Dy+2*(1/t+((cos(t)/t-sin(t)/... t^2)/sin(t)*t))*y=0’) y =-2*C1/(-1+cos(2*t))
Como y = v , se integra >>v=int(y,t)+C2
Clase Pr´ actica 3
44 v =-C1/tan(t)+C2
Se usa que x = f v
∗
>> x=sin(t)/t*v x=sin(t)/t*(-C1/tan(t)+C2) >>simplify(x) ans= -(C1*cos(t)-C2*sin(t))/t %(sol. gral.)
3.9
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
Ejercicio 3.3 1. Investigar si las funciones y1 (t) = et , y2 (t) = tet , e y3 (t) = t2 et , son linealmente independientes en [a, b]. 2. Resolver el siguiente problema de CI 2y + 5y + 5y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1/2. 3. Resolver 9yiv)
− 6y
iii)
+ 46yii)
− 6y
i)
+ 37y = 0.
4. Hallar la soluci´ on general del sistema de ecuaciones y + z = exp(x) y + z = x 5. Determinar la soluci´ on del sistema x = y y = z z = y
−
x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 0. 6. Calcular una matriz fundamental para el sistema del apartado 5). 7. Intentar hallar la soluci´ on de las siguientes EEDD mediante MATLAB.
− 4ty + y = 1 − 4t y + y = 0 (c) y − 4ty + ty = 0
(a) y (b) y
2
Clase Pr´ actica 3
45
(d) ty 4y + y = 0 (e) x + 5x 50x = 1/t
−
−
´ Ver en el APENDICE una notas relativas a las funciones especiales que pueden aparecer en la soluci´on de algunos de los problemas anteriores.
3.10
´ APENDICE
3.10.1
Notas sobre funciones especiales
Para complementar lo dicho en la clase No. 1 -pag. 4 de este material- sobre la funci´on Lambertw, mencionaremos otras funciones b´asicas tambi´en incorporadas a MATLAB. Estas son: WhittakerW, WhittakerM , besselj, bessely, Ei, dilog, la funci´on de error erf , Heaviside, Dirac, etc, que tambi´ en pueden ser conocidas mediante MHELP. Se trata de funciones especiales para el matem´atico y el f´ısico debido a que son la soluci´on de problemas espec´ıficos, frecuentes y de gran importancia en determinados ´ambitos de la matem´atica, la ingenier´ıa o la f´ısica. La filosof´ıa que sigue el MATLAB respecto a estas funciones es la usual. Expresar las soluciones de una ED en t´erminos de ciertas funciones especiales que hemos adoptado, y que son bien conocidas en el sentido de que tenemos suficiente informaci´on acerca de ellas: intervalos de convexidad y de crecimiento, m´aximos y m´ınimos locales, comportamiento asint´ otico en el infinito, derivabilidad, singularidades, desarrollo en serie de potencias, etc. Las EEDD de coeficientes variables del ´ultimo listado de ejercicios ser´an estudiadas en el 2do cuatrimestre utilizando un m´etodo relativamente simple, basado en asumir a priori que la soluci´on admite un desarrollo en serie de potencias.(5 Con estos apuntes no se pretende que el alumno estudie detalladamente todas estas funciones sino que aumente su cultura profesional, conociendo a´un mejor cu´al es la tarea que desempe˜nan las funciones especiales y que ´estas no se reducen a las conocidas exponencial, seno, coseno, etc.
3.10.2
Sobre el m´ etodo basado en el c´ alculo aproximado de las ra´ıces de la ecuaci´ on caracter´ıstica
Para resolver la ecuaci´on lineal homog´enea de coeficientes constantes ayiv) + byiii) + cyii) + dyi) + ey = 0 aplicamos el comando DSOLVE. Si la respuesta que se obtiene con DSOLVE no es satisfactoria, una variante poco ortodoxa, que no recomendamos, consiste en tomar el polinomio caracter´ıstico P = as4 + bs3 + cs2 + ds + e 5
Notar que ninguna de las EEDD del problema (7) del ejercicio 3.3 es del tipo Euler.
Clase Pr´ actica 3
46
y calcular aproximadamente sus ra´ıces mediante el comando SOLVE tal como se muestra a continuaci´on >>format long e % se sugiere formato largo >>S=numeric(solve(’a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e’))
Finalmente damos como soluci´on el correspondiente SFS. ¿Es exacta la respuesta? Obviamente no lo es. En las siguientes l´ıneas se reconsidera el ejemplo 3.9 de la p´agina 33, para ilustrar el nivel de ajuste que se obtiene al calcular una soluci´on aproximada y˜ por este m´etodo. Lo primero a tener en cuenta es que el criterio que aqu´ı se sigue es el de medir el error en la ecuaci´ on: L[˜ on: y˜ y . y ] , en lugar del error en la soluci´ Tomemos por caso a L[˜ y] en los intervalos [ 2, 2] y [20, 60].
|
|
| |
−
−
>>syms t; >>y1=exp(t*0.6653067648628088)*sin(2.373811784418384*t);
y calculemos Z = L[y1 ]. >>Z=diff(y1,4)-6*diff(y1,3)+9*diff(y1,2)-24*diff(y1,1)-20*y1;
Hagamos (6 >>subplot(1,2,1);ezplot(Z,[-2,2]),title(’’) >>subplot(1,2,2);ezplot(Z,[20,60]),title(’’)
para obtener los gr´aficos que se muestran en la figura 3.2.
¿Tienen calidad los resultados? El m´ etodo alternativo a DSOLVE que hemos utilizado es aproximado, y concuerda con nuestros conocimientos te´oricos. Sin embargo, en el ´ambito experimental los baremos cambian. La calidad de los resultados obtenidos se mide, en este caso, a partir de la estimaci´on que hagamos del residuo Z = L[˜ y(t)] sobre ciertos intervalos. Hemos comprobado que Z es del orden de 10 −15 10 = 10−14 cuando y˜ est´a dada por y˜(t) = eα t sen(β t), 2 t 2
| | |
|
| | − ≤ ≤
×
siendo α = 0.6653067648628088, y β = 2.373811784418384. ¿Podemos aceptar que Z = 0 en [ 2, 2]? La respuesta podr´ıa ser afirmativa si tenemos en cuenta que los c´alculos MATLAB se hacen con una precisi´on finita.(7 Parece correcto aceptar que los errores experimentales son nulos cuando ´estos son < eps 2.22e 016, y ´este no es el caso que nos ocupa.(8 ¿Pero acaso 10−14 no es suficientemente peque˜no? ¿Podemos aceptar como SFS al obtenido por el m´etodo descrito anteriormente?
−
≈
6
−
Agregando title(”) evitamos que en el t´ıtulo de la gr´afica aparezcan cadenas interminables de caracteres. Se llama precisi´on al n´umero de d´ıgitos que forman la mantisa. 8 Por eps se representa al epsilon de m´aquina, es decir, el n´umero positivo m´as peque˜ no, representable internamente, tal que 1 + eps > 1. Hacer >> eps para obtener su valor con 16 d´ıgitos. 7
Clase Pr´ actica 3
47
iv)
Fig. 3.2: Gr´aficas de Z = y1
− 6y
iii) 1
ii)
+ 9y1
i) 1
− 24y − 20y
1
en [ 2, 2] y [20, 60]
−
En principio la respuesta a la primera pregunta es afirmativa. Podemos aceptar un resultado aproximado siempre que tengamos una medida de la calidad de dicha aproximaci´on y que ´esta, a su vez, se corresponda con la tolerancia de nuestros instrumentos. En este caso tendremos presente que no tenemos informaci´on acerca del error en la soluci´on
y˜ − y, y que nuestra conclusi´on depender´a del intervalo considerado. La respuesta a la segunda pregunta es negativa, y es que en realidad hemos avanzado muy poco pues la soluci´on general de la ED es de la forma (9 y˜G = C 1 eα3 t cos(β t) + C 2 eα3 t sen(β t) + C 3 eα1 t + C 4 eα2 t ,
(3.2)
de modo que las constantes C 1 ,...,C 4 pueden modificar sustancialmente la escala y por ello podr´ıa ser a´ un m´as dif´ıcil aceptar que el residuo relativo a y˜G sea cero. A pesar de lo anterior, el criterio basado en medir directamente las discrepancias en la ecuaci´on es una estrategia universalmente aceptada. El llamado “m´ etodo de los residuos (ponderados)”(10 consiste en aceptar como soluci´on aquella que anula al residuo en un sentido m´as d´ebil que el aqu´ı utilizado. 9 10
Un serio inconveniente es que la funci´on y˜G depende no linealmente de los par´ametros α1 ,..., α3 , y β . Est´ an dise˜ nados para resolver problemas de contorno (Tema 7). Ver 20.3 de [5]
§
48
Clase Pr´ actica 3
Para terminar de momento esta discusi´on, reiteremos que es posible para EEDD lineales y homog´eneas de orden cuatro o menor, calcular exactamente las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico utilizando SOLVE sin aplicar NUMERIC, solo que la expresi´on literal de dichas ra´ıces puede ser un STRING con demasiados caracteres. En cualquier caso, las ventajas que se derivan del trabajo con objetos simb´olicos no parecen ser concluyentes, al menos con este enfoque. Para resolver ´este y muchos otros problemas nos apuntamos al uso de los m´etodos num´ ericos tradicionales cuyo estudio ser´a abordado en las clases pr´acticas 5, 6 y 7.
´ CLASE PRACTICA 4 Transformada de Laplace
OBJETIVOS Ejercitar el uso combinado de t´ecnicas matem´aticas y herramientas simb´olicas del MATLAB para la resoluci´on, mediante la transformada de Laplace, de problemas de valores iniciales asociados a sistemas diferenciales lineales y ecuaciones lineales de orden superior.
´ Y CALCULO ´ DEFINICION
4.1 4.1.1
Definici´ on de la transformada de Laplace
La transformada de Laplace de una funci´on f (t) definida en [0, + ) es una nueva funci´o n que ˜ o (f )(s), definida por la integral denotaremos por F (s) o f (s)
∞
L
˜ = f (s)
+∞
e−st f (t)dt.
(4.1)
0
˜ est´a formado por los valores de s para los cuales la integral (4.1) existe. El dominio de f (s) Recordar que si g es integrable en cada intervalo [0, b], entonces
+∞
0
b
g(t)dt = lim b→+∞
g(t)dt.
(4.2)
0
Decimos que g es integrable Riemann en [0, + ] si el l´ımite de la derecha en (4.2) existe y es finito. El s´ımbolo de la izquierda recibe el nombre de integral impropia de primera especie. Si g es integrable Riemann en [0, + ] decimos que g es absolutamente integrable. En el resto de esta clase s´olo trabajaremos con funciones f (t) tales que e−st f (t) es absolutamente integrable. ˜ Atendiendo a los objetivos de la clase, en la siguiente subsecci´on abordaremos el c´alculo de f (s) (y de la transformada inversa) utilizando comandos MATLAB-MAPLE.
∞
||
∞
49
Clase Pr´ actica 4
50
4.1.2
C´ alculo mediante comandos MATLAB. Ejemplos
Para el c´alculo automatizado de (4.1) MATLAB ofrece el comando LAPLACE de tipo simb´olico, cuya sintaxis es >>F=laplace(f)
donde f es una funci´on escalar de la variable simb´olica t, previamente declarada y F es una funci´on cuya variable es por defecto s. Tambi´en podemos formular >> syms u v >>F=laplace(u^2,v) F = 2/v^3
lo que permite elegir las variables a utilizar. on f (t) = 1. Ejemplo 4.1 Calcular la transformada de Laplace de la funci´
Resoluci´ on del ejemplo 4.1. >>syms t s >>laplace(1,t,s) ans =1/s
Ejemplo 4.2 Calcular la transformada de Laplace de la funci´ on f (t) = e−at y f (t) = e−at sen (bt) . Resoluci´ on del ejemplo 4.2 >>syms a; >>laplace(exp(-a*t),t,s) ans =1/(s+a)
Alternativamente se puede crear la funci´on como una cadena de caracteres (string) >>syms t s >>f=’exp(-a*t)’ >>laplace(f,t,s) ans =1/(s+a)
De esta forma no tenemos que declarar previamente a ning´un par´ametro como simb´olico. Invocando al n´ ucleo MAPLE podemos trabajar exclusivamente con STRINGS. >>maple(’f:=t->exp(-a*t)*sin(b*t)’) >>F=maple(’laplace(f(x),x,s)’) F=b/((s+a)^2+b^2)
Clase Pr´ actica 4
51
Ejercicio 4.1 Calcular, utilizando MATLAB, la transformada de Laplace de las funciones f (t) = t, f (t) = t2 y f (t) = t3 . Nota para el ejercicio 4.1 Recordar que para n
∈ N la f´ormula general viene dada por la expresi´on:
tn (s) = y para r >
n! sn+1
,
−1, r ∈ R, se tiene, a´un m´as general, que
tr (s) =
Γ(r + 1) , sr+1
donde Γ(r) se define a continuaci´on. La funci´on Gamma se define como Γ(t) =
+∞
ut−1 e−u du, t > 0.
0
MATLAB posee el comando gamma que permite simular a Γ(t).
Ejemplo 4.3 (a) Comprobar experimentalmente la igualdad Γ(n) = (n 1)!, utilizando el comando factorial. (b) Calcular Γ(1/2) y Γ(17/3) por las diferentes v´ıas que se sugieren a continuaci´ on.
−
Resoluci´ on del ejemplo 4.3. >>gamma(1/2) >>maple(’gamma(1/2)’) >>numeric(maple(’gamma(1/2)’)) >>int(’t^(1/2-1)*exp(-t)’,0,inf)
Representaci´ on gr´ afica de la funci´ on Γ(t) La figura 4.1 sugiere que las rectas t = n, n = 0, 1, 2, 3 son as´ıntotas verticales de la funci´ on Γ(t). Verdaderamente, esto es cierto para cualquier recta t = n, n = 0, 1, 2,....
− − −
4.1.3
− −
Propiedades de la Transformada de Laplace
El ejemplo 4.2 anterior se corresponde con la Propiedad de Traslaci´on: at f (t)(s) = f (s ˜ e
− a),
que MATLAB aplica autom´aticamente.
Ejercicio 4.2 Calcular la transformada de Laplace de las funciones f (t) = e−at cos(bt) y f (t) = eat t4 utilizando recursos MATLAB-MAPLE de modo que no intervengan variables SYM.
Clase Pr´ actica 4
52
Fig. 4.1: Representaci´on gr´afica de γ (t) en [ 4, 4]
−
Ejercicio 4.3 Calcular f ˜ en los siguientes casos y reconocer las propiedades que se han aplicado en cada caso. (a) f (t) = t1/3 (b) f (t) = e−2t t5/6 (c) f (t) = g (t) (d) f (t) = sen (t + a) (e) f (t) = sen (t 1)u(t 1) (f ) f (t) = t2 senh (t)
−
−
En (c) hacer >>laplace(diff(sym(’g(t)’))). Notar que esta sintaxis no exige declaraci´on previa SYMS. Aplicar la misma t´ecnica al apartado (e), es decir, laplace(sym(’Heaviside(t-1)*sin(t-1)’)), donde Heaviside(t-a) es el nombre codificado de la funci´on de salto unitario u(t a).
−
4.2
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
El comando ILAPLACE ha sido dise˜ nado para calcular exactamente, cuando ello sea posible, la transformada inversa de Laplace. La sintaxis es como sigue. >>ilaplace(expresion_simbolica,s,t)
o simplemente >>ilaplace(expresion_simbolica)
Notar que ILAPLACE calcula la transformada inversa de Laplace de una expresi´on F(s), produciendo otra expresi´on f(t). La versi´on MAPLE es la que sigue >>maple(’invlaplace(F(s),s,t)’)
Clase Pr´ actica 4
53
Ejemplo 4.4 Obtener la transformada inversa de la funci´ on F (s) =
s+3 s2
Resoluci´ on del ejemplo 4.4. >>syms s >>F=(s+3)/s^2; >>ilaplace(F) ans =3*t+1
Alternativamente con MAPLE >>maple(’invlaplace((s+3)/s^2,s,t)’)
Ejemplo 4.5 Calcular las transformadas inversas de Laplace de las siguientes funciones: F (s) =
1 1 1 = = , F (s) , F (s) . s3 + 1 s4 + 1 s5 + 1
Resoluci´ on del ejemplo 4.5. >>F=1/(s^3+1) >>ilaplace(F) ans = 1/3*exp(-t)- 1/3*exp(1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)+1/3*3^(1/2)*exp(1/2*t)*... sin(1/2*3^(1/2)*t)
Tambi´en puede utilizarse >>F=1/(s^4+1) >>pretty(ilaplace(F)) ans= 1/2*2^(1/2)*(sin(1/2*2^(1/2)*t)*cosh(1/2*2^(1/2)*t)-cos(1/2*2^(1/2)*t)*... sinh(1/2*2^(1/2)*t))
El caso 1/(s5 + 1) MATLAB lo resuelve en el campo complejo, pues factoriza a s5 + 1 seg´ u n sus 5 ceros simples y complejos, de modo que todo sale por la v´ıa de exponenciales. >>F=1/(s^5+1) >>ilaplace(F) ans=1/5*Sum(exp(1/5*i*pi*(2*k-1))*exp(-exp(1/5*i*pi*(2*k-1))*t),k=1..5)
umero Nota 4.1 exp(1/5*i*pi*(2*k-1)),k=1..5 son las 5 ra´ıces complejas del n´
−1
Clase Pr´ actica 4
54
4.3
´ DE APLICACIONES A LA RESOLUCION ´ INICIAL PROBLEMAS DE CONDICION
Ejemplo 4.6 Resolver el siguiente problema de valor inicial usando transformadas de Laplace. x (t) + 3x(t) = 0, x(0) = 1.
Resoluci´ on del ejemplo 4.6. Se ver´a que el comando LAPLACE aplica autom´aticamente la propiedad
−
x = sx
x(0)
>>syms t s lapx >>diffeqn=’diff(x(t),t)+3*x(t)’ % se introduce la ED diffeqn=diff(x(t),t)+3*x(t) >>a=laplace(diffeqn,t,s) % se transforma la ED a =s*laplace(x(t),t,s)-x(0)+3*laplace(x(t),t,s) >>a=subs(a,’laplace(x(t),t,s)’,lapx) % por comodidad a =s*lapx-x(0)+3*lapx en la expresion transformada se sustituye laplace(x(t),t,s) por lapx >>lapx=solve(a,lapx) % en a=0 se despeja lapx lapx =x(0)/(s+3) >>x=ilaplace(lapx,s,t) %se calcula x mediante x =x(0)*exp(-3*t)
La transformada inversa >>sol=subs(x,’x(0)’,1) en x(t) se sustituye x(0) por 1 sol =exp(-3*t)
Ejemplo 4.7 Resolver el siguiente problema de valor inicial x (t) + 3x (t) + 2x(t) = sen (t), x(0) = x (0) = 0.
Resoluci´ on del ejemplo 4.7. >>syms s t lapx x >>diffeq=’diff(x(t),t$2)+3*diff(x(t),t)+2*x(t)-sin(t)’; >>a=laplace(diffeq,t,s) a =s*(s*laplace(x(t),t,s)-x(0))-D(x)(0)+... 3*s*laplace(x(t),t,s)-3*x(0)+ 2*laplace(x(t),t,s)-1/(s^2+1)
Clase Pr´ actica 4
55
>>a=subs(a,’laplace(x(t),t,s)’,lapx) a=s*(s*lapx-x(0))-D(x)(0)+3*s*lapx3*x(0)+2*lapx-1/(s^2+1) >>lapx=solve(a,lapx) lapx=(x(0)*s^3+s*x(0)+D(x)(0)*s^2+D(x)(0)+... 3*x(0)*s^2+3*x(0)+1)/(s^4+3*s^2+3*s^3+3*s+2) >>x=ilaplace(lapx,s,t) >>x =-exp(-2*t)*x(0)-1/5*exp(-2*t)exp(-2*t)*D(x)(0)+2*exp(-t)*x(0)+... 1/2*exp(-t)+exp(-t)*D(x)(0)3/10*cos(t)+1/10*sin(t) >>sol=subs(x,’x(0)’,0); >>sol=subs(sol,’D(x)(0)’,0) sol=-1/5*exp(-2*t)+1/2*exp(-t)-3/10*cos(t)+1/10*sin(t)
Ejercicio 4.4 Resolver el siguiente problema de valor inicial x (t) 3x (t) + 2x(t) = 2e−2t , x(0) = 1/6, x (0) = 5/3.
−
Ejemplo 4.8 Resolver el siguiente sistema x = x y y = y + x x(0) = 1, y(0) = 2
− − − −
Resoluci´ on del ejemplo 4.8 >> syms s t lapx lapy % Se introducen las dos ED. >>diffeq1=’diff(x(t),t)+x(t)+y(t)’; >>diffeq2=’diff(y(t),t)+y(t)-x(t)’;
A continuacion se transforman las dos ED. >> a=laplace(diffeq1,t,s) a =s*laplace(x(t),t,s)-x(0)+laplace(x(t),t,s)+ laplace(y(t),t,s) >> b=laplace(diffeq2,t,s) b=s*laplace(y(t),t,s)-y(0)+laplace(y(t),t,s)- laplace(x(t),t,s) >>a=subs(a,’laplace(x(t),t,s)’,lapx); >>a=subs(a,’laplace(y(t),t,s)’,lapy) a=s*lapx-x(0)+lapx+lapy >>b=subs(b,’laplace(x(t),t,s)’,lapx);
Clase Pr´ actica 4
56 >>b=subs(b,’laplace(y(t),t,s)’,lapy) b=s*lapy-y(0)+lapy-lapx % En las expresiones a=0 y b=0 se despejan % las transformadas de x e y: lapx, lapy >>[lapx,lapy]=solve(a,b,lapx,lapy) lapx = (s*x(0)-y(0)+x(0))/(s^2+2*s+2) lapy =(s*y(0)+x(0)+y(0))/(s^2+2*s+2) % Se obtienen x e y mediante la transformada inversa >>x=ilaplace(lapx,s,t) x = exp(-t)*x(0)*cos(t)-exp(-t)*y(0)*sin(t) >>y=ilaplace(lapy,s,t) y =exp(-t)*x(0)*sin(t)+exp(-t)*y(0)*cos(t) % En las expresiones de x e y se sustituyen las condiciones iniciales >>x=subs(x,’x(0)’,1); >>x=subs(x,’y(0)’,-2) x =exp(-t)*cos(t)+2*exp(-t)*sin(t) >>y=subs(y,’x(0)’,1); y =exp(-t)*sin(t)-2*exp(-t)*cos(t)
Ejercicio 4.5 Resolver el siguiente sistema: x (t) = x (t) 2y (t) + 2y(t), y (t) = 3y(t) + x(t), y(0) = 0, x(0) = 2, x (0) = 1.
−
−
4.4 4.4.1
PROBLEMAS DE VALORES INICIALES CON DATOS DISCONTINUOS Funci´ on escal´ on unitario (Heaviside)
La funci´on de salto unitario u(t) =
0
t<0
1
t
≥0
se representa en notaci´on MATLAB como Heaviside(t) y es de gran utilidad para representar otras funciones definidas a tramos. Veamos c´omo se calcula su transformada: >>syms t s >>f=’Heaviside(t)’
Clase Pr´ actica 4
57
>>laplace(f,t,s) ans=1/s
on u(t a). Teniendo en cuenta la notaci´ on Ejemplo 4.9 Calcular la transformada de la funci´ τ a (f )(t) = f (t a)u(t a), y la terminolog´ıa al uso, podemos decir que u(t a) = τ a (1), es decir, on f = 1 al punto a. u(t a) es la trasladada paralelamente al eje OX de la funci´
−
−
−
−
−
Resoluci´ on del ejemplo 4.9. >>syms t s >>f=’Heaviside(t-1)’; >>laplace(f,t,s) ans=exp(-s)/s
Lo anterior es un resultado ya visto en clases, y f´acil de obtener. Es oportuno recordar una importante propiedad vinculada a la funci´on escal´on unitario.
Propiedad de la traslaci´ on en t. ˜ y a > 0. Entonces Sea F (s) = f (s) f (t a)u(t
−
− a)(s) = e−
as
F (s),
que se transforma en la siguiente igualdad cuando aplicamos en (4.3) la transformada inversa: as F (s) = f (t e−
− a)u(t − a).
Ejemplo 4.10 Resolver el siguiente problema de condici´ on inicial x (t) + x(t) = 1
− u(t − 2),
x(0) = 0. utilizando las herramientas MATLAB que simulan la transformada de Laplace. ¿Es posible resolverlo siguiendo los m´etodos anteriormente vistos?
Resoluci´ on del ejemplo 4.10. >>syms s t lapx >>diffeqn=’diff(x(t),t)+x(t)-1+Heaviside(t-2)’ diffeqn =diff(x(t),t)+x(t)-1+Heaviside(t-2) >>a=laplace(diffeqn,t,s) a=s*laplace(x(t),t,s)-x(0)+laplace(x(t),t,s) -1/s+exp(-2*s)/s
(4.3)
Clase Pr´ actica 4
58 >>a=subs(a,’laplace(x(t),t,s)’,lapx) a=s*lapx-x(0)+lapx-1/s+exp(-2*s)/s >>lapx=solve(a,lapx) lapx=(x(0)*s+1-exp(-2*s))/s/(1+s) >>x=ilaplace(lapx,s,t) x=x(0)*exp(-t)+1-exp(-t)-Heaviside(t-2)+ Heaviside(t-2)*exp(-t+2) >>sol=subs(x,’x(0)’,0) sol=1-exp(-t)-Heaviside(t-2)+Heaviside(t-2)*exp(-t+2)
4.4.2
Representaci´ on de funciones con discontinuidades de salto finito
a regida por el problema de valor inicial: Ejemplo 4.11 La corriente I (t) en un circuito RLC est´ I (t) + 4I (t) = g(t), I (0) = I (0) = 0, siendo
− 1
g(t) =
1
0
Determinar I (t).
0
2
≤1 ≤2
on g(t) puede escribirse como g(t) = u(t) Nota 4.2 Obs´ervese que la funci´
− 2u(t − 1) + u(t − 2).
Resoluci´ on del ejemplo 4.11. >>syms s t a I lapI >>diffeq=’diff(I(t),t$2)+4*I(t)-Heaviside(t)+2*Heaviside(t-1)-Heaviside(t-2)’; >>a=laplace(diffeq,t,s) a=s*(s*laplace(I(t),t,s)-I(0))-D(I)(0)+... 4*laplace(I(t),t,s)-1/s+2*exp(-s)/s-exp(-2*s)/s >>a=subs(a,’laplace(I(t),t,s)’,lapI) a=s*(s*lapI-I(0))-D(I)(0)+4*lapI-1/s+... 2*exp(-s)/s-exp(-2*s)/s >>lapI=solve(a,lapI) lapI=(s^2*I(0)+D(I)(0)*s+1-2*exp(-s)+exp(-2*s))/s/(s^2+4) >>I=ilaplace(lapI,s,t) I=I(0)*cos(2*t)+1/2*D(I)(0)*sin(2*t)+1/4-1/4*cos(2*t)-1/2*Heaviside(t-1)+... 1/2*Heaviside(t-1)*cos(2*t-2)+1/4*Heaviside(t-2)-1/4*Heaviside(t-2)*cos(2*t-4) >>sol=subs(I,’I(0)’,0) % condicion inicial I(0)=0 >>sol=subs(sol,’D(I)(0)’,0) % condicion inicial I’(0)=0
Clase Pr´ actica 4
59
sol=1/4-1/4*cos(2*t)-1/2*Heaviside(t-1)+1/2*Heaviside(t-1)*cos(2*t-2)+... 1/4*Heaviside(t-2)-1/4*Heaviside(t-2)*cos(2*t-4) % fin de la resolucion del ejemplo 4.11
Fig. 4.2: Representaci´on gr´afica de la entrada g(t) y la salida I (t) La representaci´o n gr´afica conjunta de la entrada g(t) y la salida I (t), que pueden verse en la figura 4.2, se obtiene como sigue: (1 >>maple(’g:=t->1-2*Heaviside(t-1)+Heaviside(t-2)’); >>maple(’I:=t->1/4-1/4*cos(2*t)-1/2*Heaviside(t-1)+... 1/2*Heaviside(t-1)*cos(2*t-2)+1/4*Heaviside(t-2)-... 1/4*Heaviside(t-2)*cos(2*t-4)’); >>x=linspace(0,6,500); >>for k=1:500,a=num2str(x(k));... h(k)=str2num(maple(strcat(’evalf(g(’,a,’),12)’))); j(k)=str2num(maple(strcat(’evalf(I(’,a,’),12)’)));end >>plot(x,h,’r.’);hold on;plot(x,j,’r.’) >>axis([0 6 -2 2]);title(’funciones g(t) e I(t)’)
La delta de Dirac Sea a
∈ R. La delta de Dirac δ(t − a), se caracteriza por las dos propiedades siguientes: a 0 t= δ(t − a) = ∞ t=a
1
Lo m´as sencillo es copiar lo anterior en el Editor-Debugger, b orrar los s´ımbolos >> y ejecutar.
(4.4)
Clase Pr´ actica 4
60 y
∞
f (t)δ(t
− a)dt = f (a),
(4.5)
−∞ para cualquier funci´on f (t) que sea continua en un intervalo abierto que contiene a t = a. Observemos que δ(t a) no es una funci´on en el sentido usual ya que toma el valor punto. De la propiedad (4.5) se obtiene que
−
∞ en un
a)(s) = e−as δ(t
(4.6)
−
La Delta de Dirac se relaciona con la funci´on escal´on unitario de la siguiente forma
t
−∞
δ(u
− a)du =
0 1
t
≥
− a),
(4.7)
lo que, formalmente, significa que δ(t a) = u (t a). La delta de Dirac sirve para modelizar fen´omenos en los que intervienen entidades f´ısicas de ´ındole el´ectrica o mec´anica, cuyas magnitudes alcanzan en poco tiempo valores relativamente grandes. Ello ocurre cuando se aplica una carga muy pesada concentrada en un punto de una viga, un golpe de martillo a un sistema masa-resorte, picos de voltaje, etc. Debido a razones hist´oricas y pr´acticas, la delta de Dirac se presenta tal como acabamos de hacer en este gui´on, pero el alumno puede intentar conciliar las relaciones (4.5-4.7) asumiendo que dδa (t) = δ(t a)dt es la medida de probabilidad concentrada en t = a. Despu´es de un per´ıodo oscuro pero exitoso, el uso de δ(t a) fue rigurosamente justificado en 1944 por Laurent Schwarz, al crear las distribuciones lo que le vali´o recibir en 1950 la Medalla Fields. Sobre este tema se recomienda leer la secci´on 7.8 del libro de Nagle-Saff [8], la 7.8 del Nagle-SaffSnider [9], o la 7.6 de D. G. Zill [11].
−
−
−
−
Ejemplo 4.12 Una masa sujeta a un resorte se suelta a partir del reposo 1 m por debajo de la posici´ on de equilibrio del sistema resorte-masa, y empieza a vibrar. Despu´es de π segundos la masa es golpeada por un martillo que ejerce un impulso sobre la masa. El sistema est´ a regido por el problema de valor inicial siguiente x (t) + 9x(t) = 3δ(t x(0) = 1, x (0) = 0,
− π)
donde x(t) representa el desplazamiento a partir del equilibrio en el instante t. Hallar x(t).
Resoluci´ on del ejemplo 4.12 >>syms s t lapx x % lapx=X >>diffeq=’diff(x(t),t$2)+9*x(t)-3*Dirac(t-pi)’ diffeq =diff(x(t),t$2)+9*x(t)-3*Dirac(t-pi)
Clase Pr´ actica 4
61
>>a=laplace(diffeq,t,s) a=s*(s*laplace(x(t),t,s)-x(0))-D(x)(0)+9*laplace(x(t),t,s)-3*exp(-pi*s) >>a=subs(a,’laplace(x(t),t,s)’,lapx) a=s*(s*lapx-x(0))-D(x)(0)+9*lapx-3*exp(-pi*s) >>lapx=solve(a,lapx) lapx=(s*x(0)+D(x)(0)+3*exp(-pi*s))/(s^2+9) >>lapx=subs(lapx,’x(0)’,1) % cond. inicial x(0)=1 lapx=(s+D(x)(0)+3*exp(-pi*s))/(s^2+9) >>lapx=subs(lapx,’D(x)(0)’,0) %cond. inicial x’(0)=0 lapx=(s+3*exp(-pi*s))/(s^2+9) >>x=ilaplace(lapx,s,t) x=cos(3*t)-Heaviside(t-pi)*sin(3*t) % fin de la resolucion del ejemplo 4.12
Ejemplo 4.13 Resolver la siguiente ED de coeficientes variables, sujeta a ciertas condiciones. tx (t) + (t 1)x (t) x(0) = 5, lim x(t) = 0. t→+∞
−
− x(t) = 0,
on alguna sobre x (0)! En su lugar Nota 4.3 Esta ED es de 2do orden...¡pero no se establece condici´ se impone una condici´ on en el infinito... Notar que t = 0 es una singularidad (¿por qu´e?). Quiz´ as esto ultimo ´ est´e asociado a esas “extra˜ nas condiciones” que se imponen a la soluci´ on. Una idea: si no, la ED es casi de orden uno...y para t grande es indudablemente t [ ε, ε] con ε > 0 muy peque˜ una ecuaci´ on de orden dos.
∈−
Resoluci´ on del ejemplo 4.13 >>syms s t a x >>diffeq=’t*diff(x(t),t$2)+(t-1)*diff(x(t),t)-x(t)’; >>a=laplace(diffeq,t,s) a=-2*s*laplace(x(t),t,s)+2*x(0)-... s*(laplace(x(t),t,s)+s*diff(laplace(x(t),t,s),s))-... 2*laplace(x(t),t,s)-s*diff(laplace(x(t),t,s),s) >>X=dsolve(’-2*s*X+2*5-s*(X+s*DX)-2*X-s*DX=0’, ’s’) X=5/(s+1)+1/(s+1)/s^2*C1%Ver nota sobre X y x >>x=ilaplace(X,s,t) x=5*exp(-t)+C1*(t-1+exp(-t))
on habitual escribiendo X en lugar de x. Nota 4.4 Hemos sido consecuentes con nuestra notaci´ Aunque esto no es esencial a los efectos de la compilaci´ on y el c´ alculo, s´ı facilita la lectura del c´ odigo. Es un ahorro innecesario de memoria usar la misma variable x para ambos papeles. Notar que X se crea por asignaci´ on y no por la declaraci´ on SYMS.
Clase Pr´ actica 4
62
Finalmente, teniendo en cuenta el comportamiento de x en el punto del infinito se sigue que C 1 debe ser cero. Por lo tanto la soluci´on del ejemplo 4.13 es x(t) = 5e−t .
4.5
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA ´ PERIODICA ´ FUNCION
En primer lugar recordamos la expresi´ on obtenida en clase para calcular la transformada de Laplace de una funci´on peri´odica f (t) con per´ıodo T .
T
˜ = f (s)
e−st f (t)dt
0
1
Ts
− e−
.
A continuaci´on la escribimos de nuevo utilizando ahora la notaci´on MATLAB. 1/(1-exp(-T*s))*(int(exp(-s*t)*f(t),0,T)
on f (t), peri´ odica de per´ıodo 2π, definida por Ejemplo 4.14 Obtener la transformada de la funci´
−
20
f (t) =
20
0
≤t≤π
π < t < 2π
Resoluci´ on del ejemplo 4.14 >>Lf=1/(1-exp(-2*pi*s))*(int(20*exp(-s*t),0,pi) -int(20*exp(-s*t),pi,2*pi)); >>Lf=simplify(Lf) Lf=-20*(exp(-pi*s)-1)/s/(exp(-pi*s)+1)
4.6
´ DE TRANSFERENCIA LA FUNCION
on de transferencia H (s) de un sistema lineal se define como la raz´on entre la transformada La funci´ de Laplace de la salida y(t) y la transformada de Laplace de la entrada g(t), asumiendo que las condiciones iniciales son nulas. Supongamos que el sistema est´a gobernado por la EDL de coeficientes constantes siguiente ay + by + cy = g(t), t > 0, (4.8) y(0) = y (0) = 0. Al aplicar transformadas en ambos miembros de la ecuaci´on, y reflejar las condiciones iniciales nulas, se obtiene (as2 + bs + c)Y (s) = G(s).
Clase Pr´ actica 4
63
Luego, obtenemos la siguiente f´ormula para H (s) en t´erminos del polinomio caracter´ıstico de la ED H (s) =
1 Y (s) = 2 G(s) as + bs + c
˜ = H , se sigue que de donde, si h Y (s) =
G(s) ˜ = G(s)H (s) = g˜h. 2 as + bs + c
(4.9)
Notar que H (s) no depende de la entrada g(t). on de respuesta al impulso como Definamos ahora la llamada funci´ h(t) = L−1 H (t) Notar que h(t), al igual que H (s), tampoco depende de la entrada g(t). El alumno est´a en capacidad de deducir de (4.9) que la soluci´on y(t) de la ecuaci´on (4.8) est´a dada por (aplicar teorema de convoluci´on) (4.10) y(t) = g h (t)
∗
Lo anterior significa que h(t) juega el papel de n´ucleo resolvente de la ecuaci´on (4.8). Se halla de una vez, y luego, convolucionado con cualquier g(t) de entrada nos produce la respuesta o salida y(t). alculo directo halle la funci´ on de transferencia H (s) del sistema. Con la Ejercicio 4.6 Mediante c´ ayuda del MATLAB encuentre la funci´ on de respuesta al impulso h(t) de los siguientes PVI, con condiciones nulas. (i) y + 9y = g(t) (iii) y y 6y = g(t) (v) y + 2y + 5y = g(t)
− −
(ii) y 9y = g(t) (iv) y + 2y 15y = g(t) (vi) y 4y + 5y = g(t)
− − −
Los resultados que se piden ya sabemos que no dependen de g(t). Usar la f´ ormula (4.10) para calcular 2 la soluci´ on y(t) de (i) cuando g(t) = 4t y de (vi) cuando g(t) = exp(3t). (Para calcular el producto de convoluci´ on ver las instrucciones que se dan a continuaci´ on.)
Indicaciones sobre el ejercicio 4.6 El siguiente c´odigo puede ejecutarse en la l´ınea de comandos, o puede confeccionarse un programa. >>syms s t u >>h=ilaplace(H,s,t); >>f=subs(h,t,t-u); >>g=subs(g,t,u); >>P=f*g; >>y=int(P,u,0,t)
Clase Pr´ actica 4
64
Nota 4.5 Tener en cuenta que eit
it
eit + e−it sen (t) = , cos(t) = 2i 2 et e−t et + e−t senh (t) = , cosh(t) = 2 2 Usar tentativamente el comando SIMPLIFY si fuese necesario
− e− −
´ CLASE PRACTICA 5 M´ etodos num´ ericos para PVI (I)
OBJETIVOS Presentar los m´etodos num´ericos de Euler y Euler mejorado para aproximar la soluci´on de problemas de valores iniciales. Resolver problemas concretos, obteniendo soluciones num´ericas y estimados del error, mediante el manejo de programas dom´esticos MATLAB basados en los algoritmos correspondientes.
5.1
FUNCIONES ESPECIALES
En Matem´atica Aplicada, F´ısica e Ingenier´ıa aparecen con frecuencia ED de segundo orden. Entre ellas destacamos la Ecuaci´ on de Bessel. Esta ED ha sido ampliamente estudiada y sus soluciones, asi como las de otras EEDD que surgen en las aplicaciones, reciben el nombre de FUNCIONES ESPECIALES. La ED lineal de segundo orden x2 y + xy + (x2
2
− q )y = 0
(5.1)
donde q es un par´ametro fijo, se llama ecuaci´ on de Bessel de orden q y tiene una ´unica singularidad regular en x = 0. Aplicando el m´etodo de Frobenius se obtienen, si 2q / N, las 2 soluciones linealmente independientes siguientes: ∞ ( 1)n x ( )2n+q J q (x) = n!Γ(1 + q + n) 2 n=0 ∞ ( 1)n x ( )2n−q J −q (x) = n!Γ(1 q + n) 2 n=0
∈
−
− −
que son las funciones de Bessel de primera especie de ´ordenes q y q respectivamente. Las Funciones de Bessel verifican diversas relaciones de recurrencia, a saber:
−
J q+1 (x) + J q−1 (x) = 2q/xJ q (x), J q+1 (x)
− J − (x) = 2J (x). q 1
65
q
Clase Pr´ actica 5
66
Si q Z, entonces J q (x) y J −q (x) son linealmente dependientes. Adem´ as J −q (x) = ( 1)q J q (x). Si q = 1/2, 3/2, 5/2, , las funciones de Bessel J q se pueden expresar como una combinaci´on finita de senos, cosenos y potencias de x; es decir que son funciones elementales. En concreto se cumple que: 1/2 2 sen(x) J 1/2 (x) = πx y 1/2 2 cos(x). J −1/2 (x) = πx Las Funciones de Bessel J q para q N son anal´ıticas en 0. Adem´as son funciones pares si q es par e impares si q es impar. A continuaci´on se representan las funciones de Bessel J 0 , J 1 , J 1/2 y J 3/2 .
∈
±
±
±
−
···
∈
5.1.1
Funciones de Bessel
Dentro del grupo de funciones matem´aticas especializadas que contiene MATLAB se encuentran las funciones de Bessel de primera clase: besselj(n, x). A continuaci´on se representan la funci´ones de Bessel J 1 y J 0 . >>ezplot(’0+x*0’,[-20,20]) >>hold on; ezplot(’besselj(1,x)’,[-20,20]) >>ezplot(’0+x*0’,[-10,10]) >>hold on; ezplot(’besselj(0,x)’,[-10,10])
Fig. 5.1: Gr´afica de J 1
Fig. 5.2: Gr´afica de J 0
Funciones de Bessel J 0 y J 1 Se representan conjuntamente en [ 20, 20] las dos funciones de Bessel J 0 y J 1 . Obs´ervese c´omo se alternan los ceros de J 0 y J 1 .
−
Clase Pr´ actica 5
67
>>x=linspace(-20, 20,300); >>y=besselj(0,x); >>z=besselj(1,x); >>plot(x, y,’b.’,x,z, ’r-’,x,zeros(1,max(size(x))),’k’)
Funciones de Bessel J 1/2 y J 3/2 Ejecutar en la l´ınea de comandos el c´odigo >>subplot(2,1,1),ezplot(’besselj(3/2,x)’,[0,100]) >>subplot(2,1,2),ezplot(’besselj(1/2,x)’,[0,100])
Para lograr los efectos que se muestran en la figura 5.4 deben usarse los recursos que ofrece la propia ventana gr´afica.
Fig. 5.3: Gr´aficas superpuestas de J 1 y J 0
5.2
Fig. 5.4: Gr´aficas de Bessel J 3/2 y J 1/2
ESTUDIO DE LAS SOLUCIONES DE UNA ED
Los m´etodos a utilizar se pueden clasificar como: (1) M´etodos anal´ıticos de cuadraturas exactas (Temas 2, 3, 4 y 5). (2) M´etodos cualitativos. (3) M´etodos num´ericos (Clases Pr´acticas 5, 6 y 7). Los m´etodos exactos hasta ahora estudiados tienen grandes limitaciones, pues la mayor´ıa de las ED que se encuentran en las aplicaciones no se pueden resolver de forma exacta, mediante f´ormulas
Clase Pr´ actica 5
68
impl´ıcitas o expl´ıcitas.(1 Para compensar estas limitaciones se introducen los m´etodos num´ericos que son el objeto de esta pr´actica.
5.2.1
M´ etodos num´ ericos de resoluci´on de PVI
Consideremos el siguiente PVI y = f (x, y), y(x0 ) = y0 , siendo x0
(5.2)
∈ [a, b] y f ∈ C ([a, b] × R).
∂f son continuas en un rect´angulo que contiene al punto (x0 , y0 ), de modo que ∂y el problema (5.2) tiene soluci´on u ´nica. Se asume que f y
Estrategia de los m´ etodos num´ ericos: Si y(x) es la soluci´on exacta del problema (5.2), se trata de obtener valores aproximados yk de y en ciertos puntos xk de [a, b]. Se trata de crear una tabla de valores de la variable dependiente y correspondientes a valores conocidos de la variable independiente x en un intervalo [x0 , X ] [a, b]. El primer paso para obtener una soluci´on num´ erica consiste en determinar una partici´on del subintervalo [x0 , X ], esto es, x0 < x1 < < xN = X.
⊂
···
Se supone que los puntos est´an distribuidos uniformemente, de modo que xk+1
−x
k
= h, k = 0, 1,...,N
− 1.
Los m´etodos num´ ericos que estudiaremos permiten determinar los valores yk que constituyen una aproximaci´ on del valor de la soluci´on de (5.2) en los puntos xk .
Definici´ on 5.1 El conjunto
{y }
k k=0,...N
se llama Soluci´ on Num´erica de (5.2) relativa al paso h.
5.2.2
M´ etodo de Euler o de la tangente
Reconsideremos el problema (5.2). Sabemos que el punto P = (x0 , y0 ) est´a en la curva soluci´on del mismo y que la pendiente de la tangente a dicha curva en P es y (x0 ) = f (x0 , y0 ). El m´etodo de Euler aproxima el valor de la soluci´on exacta en x cercano a x0 usando la ecuaci´on de la tangente en el punto P = (x0 , y0 ): y(x) = y0 + f (x0 , y0 )(x 1
−x ) 0
(5.3)
No se pueden resolver de forma exacta porque el cat´alogo disponible de “funciones elementales” no alcanza para obtener una f´ormula cerrada, o porque dicha expresi´on es “muy dif´ıcil” de encontrar.
Clase Pr´ actica 5
69
Si se denotan por y1 , , yN los valores aproximados correspondientes a los valores exactos y(x1 ), entonces, aplicando (5.3) se sigue que dado y0 se calcula y1 mediante
···
N ),
··· , y(x
y1 = y0 + f (x0 , y0 )h, e y2 mediante y2 = y1 + f (x1 , y1 )h, y asi sucesivamente hasta yN yN = yN −1 + f (xN −1 , yN −1 )h, En forma compacta se obtiene el siguiente esquema yk+1 = yk + hf (xk , yk ), k = 0,
5.2.3
··· , N − 1.
(5.4)
Otra interpretaci´ on del m´ etodo de Euler
Integrando ambas partes de la ecuaci´on y (x) = f (x, y(x)) en el intervalo [xk , xk+1 ], obtenemos
xk+1
y(xk+1 )
− y(x ) = k
xk+1
y (x)dx =
xk
f (x, y(x))dx,
xk
y sustituyendo la integral de la derecha por el ´area de cierto rect´angulo Q se obtiene que y(xk+1 )
≈ y(x ) + f (x , y(x ))(x − x ). k
k
k
k+1
k
Si ponemos el paso h = xk+1 xk y sustituimos y(xk ) por yk obtenemos de nuevo el esquema (5.4) del m´etodo de Euler. (5.5) yk+1 = yk + f (xk , yk )h, k = 0, , N 1.
−
···
−
La f´ormula (5.5), llamada “ecuaci´on en diferencias finitas”, permite predecir yk+1 en t´erminos del valor de yk . El dato o condici´ on inicial (CI) es y0 y desde ´el marchamos en una direcci´on haciendo cada vez una nueva estimaci´on sobre la base de predicciones anteriores. Esto ´ultimo introduce desviaciones en nuestros sucesivos c´alculos, provocando que ´estos sean m´as imprecisos a medida que nos alejamos del punto inicial x0 . ´ La formulaci´on (5.5) anterior corresponde al llamado m´etodo de Euler. Este resulta ser el m´as sencillo entre los m´etodos que se establecen mediante diferencias finitas para resolver problemas de valores iniciales. La simplicidad del m´ etodo de Euler lo hace especialmente adecuado para introducirnos en el tema num´ erico-experimental, si bien su utilizaci´on profesional es nula. Sea y(x; h) la soluci´on aproximada obtenida con paso h, mediante un m´etodo num´erico, por ejemplo Euler, de un PVI cuya soluci´on exacta es y(x).
Clase Pr´ actica 5
70
Principio 5.1 Si agregamos m´ as puntos en la malla (xk ), para que h sea m´ as peque˜ no, entonces la expectativa es que los errores y(x) y(x; h) sean m´ as peque˜ nos.(2
|
−
|
¿Qu´e significa decir que el m´etodo utilizado converge? (ver el 7.6 de [3])
§
Definici´ on 5.2 Si lim y(x; h) = y(x),
h→0
entonces decimos que el m´etodo converge. Lo anterior significa que las soluciones y(x; h) de las ecuaciones en diferencias finitas que caracterizan al m´etodo considerado, aproximan a la soluci´ on exacta y(x) de la ED cuando h 0. Luego, te´oricamente, deber´ıamos obtener mejores respuestas considerando valores cada vez m´as peque˜ nos de h. Desafortunadamente, la aritm´etica de precisi´on finita del ordenador no lo permite. Para h muy peque˜no los valores yk obtenidos podr´ıan estar muy lejos del valor exacto y(xk ).(3 En general, la velocidad con la que y(x; h) se acerca a la soluci´on exacta y(x) se expresa de la siguiente forma: y(x) y(x; h) = O(h p ),
→
−
lo que significa que p
|y(x) − y(x; h)| ≤ M |h| para h peque˜ no y M > 0 dependiendo de x.
on anterior se le llama orden del m´etodo. Definici´ on 5.3 Al exponente p de la relaci´
Nota 5.1 El m´etodo de Euler es de orden p = 1.
5.2.4
Ejemplos en los que se aplica el m´ etodo de Euler
on aproximada del PVI Ejemplo 5.1 Obtener una soluci´ y = y2 + 2x
4
− x , 0 ≤ x ≤ 1, con y(0) = 0
En el programa EULER1.m que indicamos a continuaci´ on, se calcula la soluci´ on aproximada del PVI y = y2 + 2x
4
− x , a ≤ x ≤ b,
con y(a) = y0 . Se calcula tambi´en el error cometido comparando con la soluci´ on exacta del PVI que es y = x2 . 2
Un principio es un enunciado metalingu´ıstico, mediante el cual se establecen expectativas, se resumen resultados, se sugieren acciones,... Los principios surgen de la experiencia y conforman el criterio experto. 3 Es decir, la mantisa correspondiente a yk , podr´ıa no tener d´ıgitos significativos coincidentes con la representaci´on de punto flotante de y (xk ).
Clase Pr´ actica 5
71
Fig. 5.5: M´etodo de Euler
Fig. 5.6: Interpretaci´on del m´etodo de Euler
Resoluci´ on del ejemplo 5.1 Programa EULER1.m Datos: n es el n´umero de puntos de la malla, a, b: extremos del intervalo dominio. Resultados (salida): arreglo y = [y(1) y(n)] con los valores aproximados de la soluci´on en los puntos x(k) = a + (k 1) h con k = 1, , n y donde h = (b a)/(n 1) es el paso. Error m´aximo maxk y(k) y(x(k))
···
−
− ∗ − {
−
··· }
>>clear x y >>n=20 >>a=0, b=1, y0=0 >>tic % Se comienza a calcular el tiempo de ejecucion >>x=linspace(a,b,n), y(1)=y0; h=(b-a)/(n-1) >>fork=1:n-1 >>y(k+1)=y(k)=+h*(y(k)^2+2*x(k)-x(k)^4); >>end >>error=max(abs(x.^2-y)); >>toc % Se termina el computo del tiempo de ejecucion >>y >>disp(’El error maximo es: ’), disp(error) >>xx=linspace(a,b,50); >>plot(x,y,’k*’,xx,xx.^2,’b-’)
Clase Pr´ actica 5
72 >>title(’Solucion exacta y aproximada de y’=y^2+2*x-x^4’) >>gtext(’Solucion exacta : --’) >>gtext(’Solucion aproximada : *’)
Soluci´ on: n = 20, a = 0, b = 1, y0 = 0, h = 5.263157894737e 02 El error m´aximo es: 8.093460004977e 02 Los valores aproximados se obtienen en la l´ınea de comandos seg´ un se indica a continuaci´on.
−
−
>>[y(1:10)’ y(11:20)’] ans = 0 2.4775e-001 0 3.0234e-001 5.5398e-003 3.6218e-001 1.6615e-002 4.2720e-001 3.3218e-002 4.9729e-001 5.5333e-002 5.7235e-001 8.2942e-002 6.5225e-001 1.1602e-001 7.3682e-001 1.5454e-001 8.2584e-001 1.9847e-001 9.1907e-001
Ejemplo 5.2 Obtener en el ejemplo 5.1 las diferentes aproximaciones correspondientes a n = 10, 100, 200 y 400. Calcular en cada caso el error comparando con la soluci´ on exacta, y relacionar ´este con el paso h. Apreciar gr´ aficamente los resultados obtenidos. Resultados del ejemplo 5.2 n 10 100 200 400
paso h Error max 0.111111 0.1579 0.010101 0.0166 0.005025 0.0083 0.002506 0.0042
on aproximada del PVI Ejercicio 5.1 Modificar el programa EULER1 para calcular una soluci´ y = 2xy2 , 0
≤ x ≤ 1,
con y(0) =
−1.
Obtener los errores cometidos, comparando con la soluci´ on exacta, considerendo los pasos h1 = 2−3 y h2 = 2−5 .
Clase Pr´ actica 5
73
Fig. 5.7: Soluciones exactas y aproximadas de los ejemplos 5.1 y 5.2
Fig. 5.8: Soluciones exactas y aproximadas del ejemplo 5.2 para n = 100, 200 A continuaci´on se presenta el siguiente c´odigo modificado para el m´etodo de Euler que llamaremos EULER2.m. para resolver la ecuaci´on y = F (x, y) con la CI y(a) = y0 , en el intervalo [a, b], en n puntos x(k) = a + (k 1)h,
−
con k = 1, , n y donde el paso es h = (b a)/(n 1). La funci´on F se define previamente mediante el comando inline. Se obtiene el gr´afico y el vector y de la soluci´on. El programa EULER2.m es un procedimiento de tipo FUNCTION y uno de sus argumentos es una funci´on que se debe crear previamente. Una de las aplicaciones m´as u ´tiles de los ficheros .M se presenta en la definici´on de funciones mediante la directiva FUNCTION cuya sintaxis es FUNCION PARAMETROS SALIDA=NOMBRE FUNCION(parametros entrada) El c´odigo de EULER2.m es el siguiente
···
−
−
Clase Pr´ actica 5
74
function y=euler2(F,a,b,y0,n) h=(b-a)/(n-1) x=linspace(a,b,n);y(1)=y0; for k=1:n-1 y(k+1)=y(k)+h*F(x(k),y(k)); end disp(’Solucion de dy/dx=F(x,y), donde’), disp(’F es la funcion inline’), disp(F) disp(’El numero de puntos es n=’), disp(n) disp(’Paso h=’), disp(h) plot(x,y,’k’) title(’Solucion de la ED dy/dx=F(x,y)’)
on de la ED Ejemplo 5.3 Calcular aproximadamente, usando EULER2.m, la soluci´ y = y + sen (x) con y(0) = 1, 0
≤ x ≤ 1.
Fig. 5.9: Soluci´on aproximada del ejemplo 5.3
Soluci´ on del ejemplo 5.3 >>F=inline(’y+sin(x)’) F=Inline function: F(x,y) = y+sin(x) >>y=euler2(F,0,1,1,10)
Clase Pr´ actica 5
75
El numero de puntos es n = 10 Paso h = 0.11111111111111 >>y’= 1.00000000000000 1.11111111111111 1.24688819329123 1.40991996404094 1.60293270413395 1.82880926720753 2.09061200642747 2.39160998526049 2.73531085875018 3.12549783431139
Nota 5.2 Obs´ervese que el programa EULER2 no permite juzgar la calidad de los resultados obtenidos. Ejercicio 5.2 Aproximar, usando EULER2.m, la soluci´ on de la ED 1 (y + y2 ), x y(1) = 1, 1 x y =
≤ ≤2
(5.6)
tomando el paso h = 2−2 .
5.2.5
Precisi´ on de los resultados
Todo c´alculo aproximado debe tener en cuenta un indicador que permita evaluar la calidad de los resultados. En nuestro caso se trata de calcular la soluci´on aproximada de una ED y de poder decidir sobre la precisi´on del resultado. El error exacto es imposible de conocer, de modo que se trata de obtener una estimaci´on del mismo. Si dicha estimaci´on se obtiene despu´es de realizar los c´alculos y se basa en la utilizaci´on de ´estos, se dice que es una estimaci´on del error a posteriori. El siguiente programa EULER3 es una versi´o n m´as flexible que la anterior, pues permite que el usuario defina el dato F (x, y), el intervalo y la CI. Como salida se obtienen los valores aproximados y las gr´aficas de dos resultados calculados con diferentes mallas de puntos, lo que permite estimar el error a posteriori si nos basamos en el siguiente on exacta de un PVI, entonces d principio: Si d es la distancia entre dos aproximaciones de la soluci´ es una estimaci´ on de la distancia entre una cualquiera y la soluci´ on exacta.(4 El programa EULER3.m es un procedimiento de tipo FUNCTION y uno de sus argumentos es una funci´on que se debe crear previamente. 4
Se trata de un enunciado obviamente impreciso y aparentemente peligroso. Es frecuente en la pr´actica cuando no hay otra opci´on. Se emplea en los comandos Matlab: ODE45 y ODE32.
Clase Pr´ actica 5
76
Resuelve la ecuaci´on y = F (x, y) con la condici´ on inicial y(a) = y0 , en el intervalo [a, b], en N puntos x(k), (k = 1, , N ), donde
···
h = (b
− a)/(N − 1) y N = n, 2n − 1.
La funci´on F se define previamente mediante el comando INLINE.
Procedimiento para estimar el error Se estima a posteriori el error tomando la diferencia m´axima entre las soluciones obtenidas con los pasos h = (b a)/(n 1) y h1 = h/2 = (b a)/(2n 2).
−
−
−
−
Salida. Se ofrece la estimaci´on del error a posteriori y los gr´aficos de ambas aproximaciones num´ericas. C´odigo de EULER3.M function [error,x1,y1]=euler3(F,a,b,y0,n) N=n; h=(b-a)/(N-1); x=linspace(a,b,N); y(1)=y0; donde y es la soluci´on con N = n puntos. for k=1:N-1 y(k+1)=y(k)+h*F(x(k),y(k)); end N=2*n-1; h=(b-a)/(N-1) x1=linspace(a,b,N) y1(1)=y0 donde y1 es la soluci´on con N = 2n 1 puntos. for k=1:N-1 y1(k+1)=y1(k)+h*F(x1(k),y1(k)); end for k=1:n e(k)=abs(y(k)-y1(2*(k-1)+1); end error=max(e) plot(x,y,’b’,x1,y1,’r’) legend(’Aprox. con n puntos’, ’Aprox. con 2n-1 puntos’) title(’Solucion de la ecuacion dy/dx =F(x,y)’)
−
Clase Pr´ actica 5
77
Ejemplo 5.4 Obtener, usando EULER3.m, una soluci´ on aproximada de la ED y = y2 + 2x
4
− x , 0 ≤ x ≤ 1,
con la C.I. y(0) = 0. Estimar el error.
Resoluci´ on del ejemplo 5.4 >>F=inline(’y.^2+2.*x-x.^4’) Inline function: F(x,y) = y.^2+2.*x-x.^4 >>[error,x1,y1]=euler3(F,0,1,0,10) h =1.111111111111111e-001 h =5.555555555555555e-002 error = 7.285473724418645e-002
Fig. 5.10: Soluciones aproximadas del ejemplo 5.4
Ejercicio 5.3 Sea el PVI siguiente y =
2
−y , 0 ≤ x ≤ 1/2,
con y(0) =
−1.
• ¿A qu´e tipos conocidos de ecuaciones corresponde la anterior ED? • ¿Por qu´e no es lineal? • ¿Qu´e m´etodos utilizar´ıas para intentar hal lar una soluci´ on exacta? • Usando EULER3 obtener las soluciones aproximadas con N = 2 estimar el error cometido.
(5.7)
3
y N = 24
− 1 puntos y
• Calcular el error exacto y compararlo con el error estimado teniendo en cuenta que la soluci´ on exacta es y = 1/(x − 1).
Clase Pr´ actica 5
78
5.3
´ METODO DE EULER MEJORADO
Para dise˜ nar otro m´etodo num´erico m´as eficiente que el de Euler, utilizaremos una nueva f´ormula de integraci´ on num´ erica de mayor orden de exactitud que la utilizada en el m´etodo de Euler.
5.3.1
La f´ ormula de los trapecios
La f´ormula de los trapecios consiste en sustituir el valor exacto de la integral
b
f (x)dx,
a
por el n´umero (b
− a) (f (a) +2 f (b)) ,
es decir, el ´area del trapecio cuyos v´ertices son (a, 0), (a, f (a)), (b, f (b)) y (b, 0). Con ello se trata de efectuar c´alculos m´as precisos en la aproximaci´on de la integral sobre cada uno de los subintervalos [xk , xk+1 ]
xk+1
f (x, y(x))dx.
xk
Notar otra vez que el integrando de la expresi´ on anterior tiene dentro de s´ı a la inc´ognita y(x) de nuestro problema.
Fig. 5.11: Regla del trapecio En resumen y dicho en t´erminos geom´etricos, el m´etodo de Euler consisti´o en sustituir el ´area bajo la curva de g(x) = f (x, y(x)) por el ´area de cierto rect´angulo, mientras que ahora, en lugar del
Clase Pr´ actica 5
79
rect´angulo utilizaremos un trapecio para obtener la siguiente expresi´on(5
xk+1
f (x, y(x))dx
xk
h f (xk , y(xk )) + f (xk+1 , y(xk+1 )) , 2
≈
donde h = xk+1 xk . Surge as´ı un m´etodo de c´alculo aproximado cuya formulaci´on es la siguiente.
−
yk+1
h = yk + f (xk , y(xk )) + f (xk+1 , yk+1 ) . 2
Se trata de un m´etodo impl´ıcito ya que la inc´ognita yk+1 , no aparece despejada en la f´ormula. Adem´as se prueba que el error global de discretizaci´on E (h) cumple E (h) =
2
O(h ),
y por tanto es de orden p = 2.
5.3.2
Deducci´ on del m´ etodo de Euler mejorado
El m´etodo de Euler mejorado se obtiene realmente como el m´etodo predictor-corrector siguiente (1) Se predice yk+1 mediante Euler
∗ = y + hf (x , y ). yk+1 k k k (2) Se corrige mediante la anterior relaci´on yk+1
h = yk + f (xk , yk ) + f (xk + h, yk + hf (xk , yk )) 2 ∗ xk+1 yk+1
Resultando definitivamente el algoritmo de Euler mejorado yk+1 = yk +
5.3.3
h [f (xk , yk ) + f (xk+1 , yk + hf (xk , yk ))] . 2
Euler versus Euler mejorado
El siguiente programa, EULER M, nos permite comparar entre s´ı los dos m´etodos estudiados anteriormente. El procedimiento consiste en tratar de resolver una ED, cuya soluci´on es conocida, mediante Euler y Euler mejorado. El experimento culmina con la estimaci´ on del error global con respecto a ambos m´etodos, y el trazado en pantalla de los respectivos gr´aficos. 5
Ver secci´on 3.5 del Nagle Saff y la figura 5.11.
Clase Pr´ actica 5
80
Descripci´ on del programa EULER M El programa EULER M resuelve la ecuaci´on y = F (x, y) con la C.I. y(a) = y0 , en el intervalo [a, b], en n puntos x(k), (k = 1, , n), con el paso h = (b a)/(n 1), utilizando los m´etodos Euler y Euler mejorado. Las funciones F (campo de direcciones) y f (soluci´on exacta conocida) se definen previamente mediante el comando INLINE. El programa estima los respectivos errores absolutos y los ofrece como salida, seg´un el formato que m´as aba jo se explica. Estos errores se obtienen directamente en t´erminos del m´aximo de la distancias entre cada estimaci´on yk y el valor exacto f (xk ). Los correspondientes gr´aficos se despliegan en una misma ventana para facilitar la apreciaci´on visual.
· ··
−
−
C´ odigo EULER M function [es,em]=euler_m(F,f,a,b,y0,n) h=(b-a)/(n-1); x=linspace(a,b,n); phi=f(x); ys(1)=y0; for k=1:n-1 ys(k+1)=ys(k)+h*F(x(k),ys(k)); end ym(1)=y0; for k=1:n-1 ym(k+1)=ym(k)+(h/2)*(F(x(k),ym(k))+F(x(k)+h,ym(k)+h*F(x(k),ym(k)))); end % Errores absolutos em=max(abs(ym-phi)); es=max(abs(ys-phi)); plot(x,phi,’g*’,x,ys,’k’,x,ym,’b’) legend(’Solucion exacta’,’Euler’,’Euler mejorado’)
on aproximada de la ED Ejemplo 5.5 Obtener una soluci´ y + y/x y2 log(x) = 0,
−
en [1, 3] con la C.I. y(1) = 1, usando los m´etodos de Euler y de Euler mejorado. Para el c´alculo del error, usar que la soluci´on exacta es f (x) =
2
−2/x/(log(x) − 2),
la cual se puede obtener usando el comando DSOLVE. >>dsolve(’Dy+y/x-y^2*log(x)=0’,’y(1)=1’,’x’) ans =-2/x/(log(x)^2-2)
Clase Pr´ actica 5
81
Resoluci´ on del ejemplo 5.5 Se resuelve el ejercicio usando EULER M >>F=inline(’-y./x+y.^2.*log(x)’) F =Inline function: F(x,y) = -y./x+y.^2.*log(x) >>f=inline(’-2./x./(log(x).^2-2)’) f =Inline function: f(x) = -2./x./(log(x).^2-2) >>[es,em]= euler_m(F,f,1,3,1,21) es =1.4013e-001 em =4.6401e-003
Fig. 5.12: Soluciones exactas y aproximadas del ejemplo 5.5 (n = 21, 41) Variando el n´ umero de puntos de la partici´on se obtienen los resultados siguientes: >>[es,em]=euler_m(F,f,1,3,1,41) es = 7.4861e-002 em = 1.1086e-003 >>[es,em]=euler_m(F,f,1,3,1,81) es = 3.8867e-002 em = 2.7031e-004 >>[es,em]=euler_m(F,f,1,3,1,101) es = 3.1342e-002 em = 1.7211e-004
Ejercicio 5.4 Valorar el comportamiento del m´etodo Euler mejorado comparando ´este con Euler, mediante el c´ odigo EULER M, aplicado a los siguientes datos: (a) F (x, y) = 2y, f (x) = exp(2x), 0 x d, (b) F (x, y) = y, f (x) = exp( x), 0 x d,
−
−
≤ ≤ ≤ ≤
ambos con y(0) = 1, siendo f (x) la soluci´ on exacta en cada caso, considerando (1) n = 24 , d = 1,
Clase Pr´ actica 5
82 (2) n = 2 4 , d = 100, (3) n = 2 7 , d = 100.
Valorar los resultados num´ ericos con el error absoluto, para lo cual el alumno deber´ a utilizar la plantilla donde aparece una tabla de resultados con las entradas ya organizadas. Indicaciones para el Ejercicio 5.4. Separar los problemas seg´ un el apartado al que pertenecen, por ejemplo >>Fa=inline(’2*y+0*x’); >>fa=inline(’exp(2*x)’); >>[es,em]=euler_m(Fa,fa,0,1,1,2^4) % no poner ; al final para producir eco en pantalla,
con lo cual obtenemos directamente y sin pausas los errores generados por el m´etodo de Euler y Euler mejorado, es y em respectivamente, para el problema (a) con d = 1 y 24 nodos. Definir F b y f b y proceder aplicando EULER M. Las plantillas que el profesor ha entregado en clases deben rellenarse con los resultados para ser entregadas al final. La realizaci´on de este tipo de problemas debe permitirnos llegar a conclusiones experimentales y te´oricas, y adem´as, ganar experiencia en la aplicaci´on de estos m´etodos.
5.4
´ ´ OTROS METODOS NUMERICOS
Podemos dise˜ nar otros m´etodos num´ericos para resolver y = f (x, y), y(x0 ) = y0 , calculando aproximadamente la integral
xk+1
f (x, y(x))dx,
xk
mediante nuevos procedimientos num´ ericos. Seg´un sea el orden del error producido por la f´ormula de integraci´on que utilicemos, as´ı ser´a el orden del m´etodo num´erico que permitir´a calcular aproximadamente la soluci´ on del PVI.
5.4.1
Ejemplo de m´ etodo de dos pasos
Para desarrollar ideas haremos la deducci´o n r´apida de un tercer enfoque para resolver un PVI. El nuevo m´etodo que veremos se clasifica como un m´etodo de dos pasos, le llamaremos m´etodo del punto medio. Al igual que Euler aproximamos el ´area bajo la curva sustituy´ endola por el ´area de un rect´angulo, esta vez a la altura y(xk ) de la imagen del punto medio xk del intervalo [xk−1 , xk+1 ] (ver figura 5.13). La formulaci´on del m´etodo del punto medio es la siguiente yk+1 = yk−1 + 2hf (xk , yk ).
(5.8)
Clase Pr´ actica 5
83
Fig. 5.13: Ilustraci´on de un m´etodo de dos pasos Notar que (5.8) es un m´etodo expl´ıcito porque yk+1 aparece despejado, y que la estimaci´on yk+1 depende de las estimaciones yk e yk−1 (dos pasos). Esto ´ultimo indica que para iniciar el proceso, tambi´en debemos conocer de antemano el valor de y1 . Recordar que y0 es un dato del propio problema. No continuaremos tratando este m´etodo que el alumno interesado puede encontrar en [1].
5.5
CONCLUSIONES
En general podemos postular que 1. El orden de un m´etodo es un indicador que est´ a relacionado con el n´umero de operaciones l´ogico-aritm´eticas que han de ejecutarse para alcanzar una precisi´on dada. Es una referencia vaga ya que en la pr´actica experimental influyen diversos factores en la eficiencia de un m´etodo. No obstante, permite hacer una primera comparaci´on entre dos m´etodos diferentes. 2. No existe un m´etodo num´erico que sea de aplicabilidad universal. 3. Los estimados del error a posteriori, ya contemplados en el programa EULER M, permiten juzgar acerca de la calidad de los resultados num´ ericos al aplicar un m´etodo a un problema concreto cuya soluci´on exacta es desconocida. 4. El m´etodo de Euler es un m´ etodo muy simple, que no se utiliza en la pr´actica, pero resulta muy adecuado para introducirnos en el estudio general de los m´etodos num´ericos que resuelven aproximadamente problemas de valor inicial. El m´etodo de Euler pertenece a una clase de m´etodos llamados de “un paso”, y que en general se caracterizan por la siguiente relaci´on recurrente: yk+1 = yk + φ(h, xk , yk ).
Clase Pr´ actica 5
84
5.6
EJERCICIOS ADICIONALES
Ejercicio 5.5 Utilizar el programa EULER3 para calcular una soluci´ on de y =
2x 2 y , 0 9
≤ x < 3, con y(0) = 1.
(5.9)
Detectar una anomal´ıa, en este caso la presencia de una “singularidad” en x = 3, calculando la soluci´on para n = 20, 100, 500, 1000, 1500, 3000, y el correspondiente error (que debe crecer con n). Se sugiere poner punto y coma al final de la l´ınea donde se ha invocado EULER3, para evitar el eco incontrolado en pantalla, y dar ´unicamente salida al contenido de aquellas variables que deseamos conocer, por ejemplo >>[error,x1,y1]=euler3(F,0,3,1,3000); >>error error =2.2165e+002
La soluci´on exacta del problema es y = 9/(9
5.6.1
2
− x ).
Aplicaci´ on: c´ alculo de la elasticidad b(x)
La elasticidad b(x) es un indicador utilizado por los economistas en algunas de sus versiones discretas para analizar la llamada elasticidad de la demanda y = y(x), como funci´on del precio x de un producto. Este an´alisis puede conducir a decisiones arriesgadas como es la de subir los precios con expectativas de mayores ingresos, a´un cuando la demanda disminuye. odigo EULER3 para obtener soluciones aproximadas de Ejercicio 5.6 Utilizar el c´ xy = y b(x), y(1) = 1, en los dominios siguientes (I) 1
≤ x ≤ 2, (II) 1 ≤ x ≤ 2 × 10 , (III) 1 ≤ x ≤ 2 × 10 , 2
12
considerando las elasticidades: 1. b(x) =
−0.2,
2. b(x) = sen (x)
− 1.
Estimar el error global de discretizaci´ on para n = 100 puntos.
(5.10)
Clase Pr´ actica 5
85
Ejercicio 5.7 Resuelva la ecuaci´ on (5.10) mediante variables separables y responda con argumentos a las siguientes preguntas. 1. ¿Es (5.10) una ecuaci´ on diferencial lineal? 2. ¿Influyen el intervalo y el signo de b(x) en la calidad de la aproximaci´ on num´erica? 3. ¿Se justifica aplicar un m´etodo num´erico cuando b(x) es constante (apartado 1)?
´ CLASE PRACTICA 6 M´ etodos num´ ericos para PVI (II)
OBJETIVOS 1. Aplicar los m´etodos num´ericos estudiados en la clase pr´actica No. 5 a problemas de valores o condiciones iniciales asociados a ecuaciones y sistemas diferenciales. 2. Profundizar en el estudio de las series de Fourier mediante ejemplos gr´aficos. En esta clase el alumno comprobar´a la importancia que tiene transformar ecuaciones y sistemas diferenciales de orden superior en sistemas de primer orden. Al igual que la clase anterior, s´olo utilizaremos herramientas gr´aficas y num´ericas del sistema MATLAB.
6.1
´ METODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS ASOCIADOS A SISTEMAS DE EEDD
Para simplificar consideremos un sistema S de dos ecuaciones y dos inc´ognitas x = x(t) e y = y(t). S :
x = f (t,x,y) y = g(t,x,y) x(t0 ) = x0 , y(t0 ) = y0
Notemos que el anterior sistema S puede ser no-lineal. Si los t´erminos de la derecha no dependiesen de t dir´ıamos que S es un “sistema aut´onomo”.
6.1.1
M´ etodo de Euler mejorado
Aplicaremos m´etodos como el de Euler mejorado(1 para estudiar num´ ericamente la soluci´ o n del sistema S . No obstante, cualquiera sea el m´etodo que apliquemos a un sistema de EDs se tiene que: 1
Euler mejorado pertenece a la familia de m´etodos de Runge-Kutta que m´as adelante estudiaremos.
87
Clase Pr´ actica 6
88
1. En cada etapa debe ser aplicado el m´etodo a todas las ecuaciones antes de pasar a la siguiente etapa. Adem´as, el paso h debe ser el mismo para todas las ecuaciones. 2. Otra cuesti´ on que no podemos pasar por alto es que la soluci´on num´erica de una ecuaci´on o sistema diferencial de orden mayor que uno debe ser primero transformado en un sistema de orden uno. A ´este u ´ltimo se le aplica directamente el m´etodo num´erico. 3. Cualquiera de los m´ etodos de diferencias finitas que estudiemos para resolver el PVI escalar y = F (x, y), y(x0 ) = y0 , puede tambi´en ser aplicado a un sistema diferencial. A continuaci´on recordamos c´omo se transforma una ED de orden dos y = f (t, y , y)
(6.1)
en un sistema de EEDD de orden uno. Si hacemos x = y , entonces y = x . Sustituyendo en (6.1) y agregando la nueva ecuaci´on y = x, originada por el propio cambio, obtenemos el sistema de primer orden x = f (t,x,y) y = x De su soluci´on (x(t), y(t)) s´olo necesitamos la componente y = y(t) que es la soluci´on del problema original. El algoritmo de Euler mejorado aplicado a un sistema diferencial gen´erico S queda formulado tal como se muestra a continuaci´on
Euler mejorado aplicado a un sistema xk+1 = xk +
h ∗ ) g(tk , xk , yk ) + g(t∗k+1 , x∗k+1 , yk+1 2 donde las predicciones para k + 1 est´an dadas por yk+1 = yk +
h ∗ ) f (tk , xk , yk ) + f (t∗k+1 , x∗k+1 , yk+1 2
(6.2)
t∗k+1 = tk + h x∗k+1 = xk + hf (tk , xk , yk )
(6.3)
∗ = y + hg(t , x , y ) yk+1 k k k k
6.1.2
Sobre los programas S2 EULER y RK CELL
El programa S2 EULER, descargable desde la Web de la asignatura [15], se compone de dos m´odulos. El primero, a modo de interfaz logra que el c´odigo sea transparente al usuario. El alumno s´olo tiene que saber qu´e datos debe dar como entrada, e interpretar los resultados.
Clase Pr´ actica actica 6
89
Los datos relativos al campo de direcciones o a la entrada opcional de la soluci´on exacta se entregan cuando lo solicita el programa, con la sintaxis o notaci´on on usual, sin encerrar entre ap´ostrofes ostrofes ni poner puntos delante de operadores. Esto ´ultimo ultimo es necesario necesario para la ejecuci´ ejecuci´ on pero el propio programa se on encarga de hacerlo autom´aticamente. aticamente. Como sintaxis se admite una cualquiera de las siguientes:(2 s2_e s2_eul uler er
y=s2 y=s2_e _eul uler er
[t,y [t,y]= ]=s2 s2_e _eul uler er
[t,x [t,x,y ,y]= ]=s2 s2_e _eul uler er
El segundo m´odulo odulo est´a constituido por dos sub-programas situados al final del c´ odigo. odigo. Uno de ellos, tal como se se˜nal´ nal´o anteriormente, se encarga de “escribir” el punto delante del operador divisi´on \, la multiplicaci´ on on *, y la exponenciaci´on on ^. La otra sub-funci´on, on, de mayor inter´es es para p ara el alumno, a lumno, permite simular el m´etodo etodo de Euler mejorado aplicado a un sistema diferencial de dos ecuaciones, y se corresponde con la formulaci´on on (6.2-6.3). Los c´alculos alculos se realizan atendiendo al paso h dado por el usuario, y para h/2, h/2, con la finalidad de comparar los correspondientes resultados y obtener un estimado del error a posteriori. Pueden entrarse varios pasos h, de modo que al final se dispone de una sola vez de los errores correspondientes. Los gr´aficos aficos de las soluciones aproximadas aparecen en pantalla superpuestos y s´olo corresponden al ultimo u ´ltimo paso. El programa programa RK CELL, que tambi´ tambi´ en en podemos p odemos obtener en la Web de la asignatura asignatura [15], es una interfaz de usuario para facilitar el uso de la herramienta ODE45 de MATLAB aplicada a sistemas de ecuaciones. El dise˜ no de RK CELL se basa en usar objetos CELL para simular funciones vectoriales no de cualquier n´umero umero de dimensione dimensiones. s. El propio programa programa crea autom´ aticamente el fichero FUNCaticamente TION correspondiente al campo vectorial, con las caracter´ caracter´ısticas exigidas por ODE45. Este comando Matlab ejecuta algoritmos correspondientes corresp ondientes a los m´etodos etodos de Runge-Kutta que estudiaremos en la clase pr´actica actica 7.
6.1.3 6.1.3
Ejerci Ejercicio cioss con indica indicacio ciones nes para para ser ser resuelt resueltos os
Ejercicio 6.1 Dado el sistema diferencial lineal siguiente x = x + y, y = x y, x(0) = 1 + 1, y(0) = 1,
− √ 2,
(6.4)
k
donde 0 t resolverlo.
≤ ≤ 1, emplear el programa S2 EULER con los pasos h = 0.05/ 05/2 , k = 0, 1, 2, 3, 4, para
Indicaciones para el ejercicio 6.1 Escribir 2
Para m´as as informaci´on on ejecutar
help s2 euler
Clase Pr´ actica actica 6
90 >>s2_euler
y oprimir INTRO. La soluci´on on exacta del sistema (6.4), que es una entrada opcional, es la siguiente x(t) = (1 +
√ √2)e 2)e , t 2
y (t) = et
√
2
El problema problema (6.4) es lineal lineal y homog´ homog´eneo. eneo. El alumno deber´ deber´ıa intent intentar ar resolver resolverlo lo artesanalme artesanalmente nte mediante los m´etodos etodos estudiados en clases. Ver la figura 6.1.
Fig. 6.1: Gr´afico afico producido por S2 EULER al resolver el ejercicio 6.1
ericamente el sistema sistem a no n o lineal: l ineal: Ejercicio 6.2 Resolver num´ericamente 5y x = x2 + x + 5y 2 3x y = y + sen (x) + 3x 0.001, 001, x(0) = 0. 0.001, 001, y(0) = 0.
−y
0
≤ t ≤ 1.
Obtener una estimaci´ on del error para h = 0.05/ 05/2k , k = 0, 0 , 1, 2, 3, 4.
Indicaciones para el ejercicio 6.2 Escribimos de nuevo >>s2_euler
oprimimos INTRO e introducimos lo datos del problema para despu´es es obtener los resultados. No cerramos el gr´afico afico de salida, cuyo aspecto podemos apreciar anticipadamente en la figura 6.2, para poder comparar con el que produciremos en el ejercicio 6.3.
Clase Pr´ actica actica 6
91
Fig. 6.2: Gr´afico afico producido por S2 EULER al resolver el ejercicio 6.2
Ejercicio 6.3 Resolver num´ericamente ericamente el sistema sistem a lineal: l ineal: 5y x = x + 5y y = 4x y 0.001, 001, x(0) = 0. 0.001, 001, y(0) = 0.
−
0
≤ t ≤ 1.
Obtener una estimaci´ on del error para h = 0.05/ 05/2k , k = 0, 1, 2, 3, 4.
Indicaciones para el ejercicio 6.3 Antes de ejecutar >>s2_euler aplicar HOLD ON para que el gr´afico afico anterior, del ejercicio 6.2, quede superpuesto al gr´afico afico del ejercicio 6.3.
A continuaci´ on on se muestra c´ omo se ha “perturbado localmente” el problema 6.2 para omo transformarle en el problema 6.3 Los problemas planteados en los ejercicios 6.2 y 6.3 est´an an relacionados entre s´ s´ı. El estudiante debe apreciar que las ecuaciones diferenciales del ejercicio 6.2 son no lineales, mientras que las del 6.3 son todas lineales. lineales. Mostraremo Mostraremoss c´omo omo el campo de direcciones del sistema diferencial del ejercicio 6.2 se aproxima localmente mediante su diferencial, y c´omo omo a partir de ´este este ultimo u ´ ltimo se producen las ecuaci ecuacione oness lineal lineales es del problema problema 6.3. Se dice dice que el sistem sistemaa del ejercic ejercicio io 6.3 es una aproxima aproximaci´ ci´ on on lineal del sistema sistema del ejercicio ejercicio 6.2. Las expectativ expectativas as son: que la soluci´on on de 6.3 sea una aproximaci´on on aceptable de la correspondiente a 6.2 en un intervalo [0, [0 , ε], con ε > 0 “suficientemente peque˜no”, no”, y que el m´etodo etodo num´erico erico seleccionado seleccion ado sea m´as as efectivo resolviendo el problema lineal 6.3, que el (3 problema no lineal 6.2. 3
La frase “suficientemente peque˜no” no” encierra otro problema cuya soluci´on no abordaremos en este material.
Clase Pr´ actica 6
92
Fig. 6.3: Gr´afico producido por S2 EULER al resolver el ejercicio 6.3 El c´alculo de los siguientes diferenciales en (0, 0) D(x2 + x + 5y)(0, 0) = dx + 5dy D(y2 + sen(x) + 3x
− y)(0, 0) = 4dx − dy
y la conocida f´ormula f (x, y)
≈ f (0, 0) + Df (0, 0)(x − 0, y − 0)
v´alida para x e y “peque˜ nos”, nos muestran que x2 + x + 5y y2 +
≈ x + 5y sen(x) + 3x − y ≈ 4x − y
Es oportuno se˜ nalar que los valores iniciales x(0) = 0.001, y(0) = 0.001 se han seleccionado intencionadamente “peque˜ nos” en correspondencia con el proceso anterior.
Ejemplo 6.1 El siguiente PVI, extra´ıdo del Bolet´ın 7, consiste de una ED lineal y homog´enea de orden dos con coeficientes variables. y ty + y = 0, y(0) = 2, y (0) = 1, t
−
∈ [0, 1],
(6.5)
Indicaciones para el ejemplo 6.1 El PVI (6.5) del ejemplo 6.1, puede ser resuelto mediante el m´etodo de las series de potencias. Ahora nos proponemos aplicar el programa S2 EULER al sistema de orden uno que se le asocia, y que el propio alumno debe calcular directamente.
Clase Pr´ actica 6
93
Fig. 6.4: Gr´afico obtenido al resolver el ejemplo 6.1 Como comprobaci´ on de los resultados apreciaremos que la gr´ afica de la soluci´ on num´erica, obtenida seg´ un Euler, es muy similar a la del polinomio y(t) = 2 + t
2
t4 12
−t − −
t6 , 120
(6.6)
obtenido al truncar la serie de potencias que da la soluci´ on exacta de este problema. (4
Resoluci´ on del ejemplo 6.1 A continuaci´ on expondremos el proceso de obtenci´o n de la soluci´o n exacta y los gr´aficos de las soluciones aproximadas. Comencemos viendo que la soluci´on exacta del problema (6.5), expresada en t´erminos de una serie de potencias en torno al punto x = 0, es
∞
an tn ,
n=0
siendo los an definidos por la recurrencia a tres t´erminos an+2 =
an (n 1) , n = 0, 1, 2,... (n + 2)(n + 1)
−
donde a0 = 2 y a1 = 1, seg´ un se indica en las condiciones iniciales. 4
Observar que siendo t [0, 1], y atendiendo a la precisi´on deseada, el t´ermino con la potencia t6 tambi´en podr´ıa despreciarse en la aproximaci´on (6.6).
∈
Clase Pr´ actica 6
94
Sea P=[a_6,...,a_0], el vector formado por los coeficientes an , n = 0,..., 6, de la suma parcial que estamos considerando como una aproximaci´on de la soluci´on del problema (6.5) 6
an tn = a6 t6 +
n=0
··· + a t + a . 1
0
El comando POLYVAL interpreta a P como un polinomio y permite evaluarlo en variables escalares o vectoriales.(5 Para comparar los resultados obtenidos mediante series de potencias y el m´etodo Euler mejorado aplicado al sistema asociado, ejecutar S2 EULER optando por la salida gr´afica y hacer >>hold on >>tt=linspace(0,1,50); >>P=[-1/120, 0, -1/12, 0, -1, 1, 2]; >>yy=polyval(P,tt); >>plot(tt,yy,’+g’)
El resultado en pantalla deber´ıa ser similar a la figura 6.4.
RESUMEN Para resolver una ED o un sistema de EEDD de orden mayor que uno, ´estos deben ser convertidos previamente en un sistema de orden uno, y aplicarle a este ´ultimo uno de los m´etodos estudiados para el caso escalar. La serie de potencias que representa a la soluci´on de un problema con datos anal´ıticos, puede ser simulada num´ericamente utilizando una suma parcial seleccionada convenientemente, lo que, en principio, constituye otro m´etodo para aproximar la soluci´ on.
6.2
EJERCICIOS ADICIONALES
on del PVI Ejercicio 6.4 Aproximar los valores de la soluci´ y + 2t2 y + 5y = 0, y(0) = 1, y (0) = 1, t [0, 2].
−
∈
en los puntos t = 0.21, 0.95, 1.31, 1.84. ognita y = y(t) Ejercicio 6.5 Aproximar los valores de la inc´ x = tx + 5y + t2 , y = 2x + 6y + 4,
−
x(0) = 0, y(0) =
−1, t ∈ [0, 1].
en los puntos t = 0.11, 0.23, 0.59, 0.82. 5
El comando POLYVAL es compatible con la arquitectura matricial del MatLab, es decir, admite matrices como argumento de entrada.
Clase Pr´ actica 6 Ejercicio 6.6
95
x = tx 10y 4t 2t2 , y = x + 6y, x(0) = 1, y(0) = 1, t [0, 1].
−
− − − ∈
Ejercicio 6.7 y = x + 6y + 3, x = 2x + y, x(0) = 2, y(0) = 4, t
6.2.1
∈ [0, 2].
Indicaciones para resolver los ejercicios (6.4)-(6.7)
Indicaciones para el ejercicio 6.4 Si intentamos resolver el ejercicio 6.4 con DSOLVE obtenemos >> dsolve(’D2y+2*t^2*Dy+5*y=0’,’y(0)=1’,’Dy(0)=-1’) Warning: Explicit solution could not be found. > In C:\MATLABR11\toolbox\symbolic\dsolve.m at line 326 ans = [ empty sym ]
Abordemos la soluci´on por la v´ıa num´erica. Para ello escribimos la EDLH de 2do orden del ejercicio 6.4 como un sistema de primer orden x = 2t2 x 5y, y = x,
−
x(0) =
−
−1, y(0) = 1,
para aplicar S2 EULER.M o RK CELL.M. Hagamos >>[t,y]=s2_euler
porque s´olo nos interesa almacenar en memoria los valores aproximados de y = y(t), la inc´ognita del problema original. Entrar h = 0.2 Desplegamos el gr´afico para contrastarlo con el de la figura 6.5. Los puntos t donde se nos pide el valor aproximado de la soluci´on no est´a previsto que coincidan con los de la red uniforme asociada al paso h escogido, por tanto, debemos interpolar. Ejecutamos el programa INTERPOLA con la siguiente sintaxis >>[T1,Y1]=interpola(t,y)
Entramos los puntos donde queremos interpolar seg´ un se nos indica en la plantilla. Entrar el vector T1=[t1,...,tm]=[.21 .95 1.31 1.84]
A continuaci´on aparecen las listas de los puntos interpolados (T 1 , Y 1 ) y el gr´afico que muestra su posici´on (ver figura 6.5). La leyenda que aparece en la esquina superior izquierda puede moverse arrastr´andola con el cursor.
Clase Pr´ actica 6
96
Fig. 6.5: Gr´aficas de S2 EULER.M e INTERPOLA.M. Ejercicio 6.4
Indicaciones para el ejercicio 6.5 Para el ejercicio 6.5 tampoco DSOLVE ofrece respuesta. Es posible que el t´ermino tx de la primera ecuaci´ on provoque una complejidad excesiva o no existe, de hecho, una soluci´on representable con el cat´alogo de funciones MATLAB. Nos queda la alternativa de aplicar S2 EULER o RK CELL al sistema anterior. Los resultados gr´aficos que se muestran en la figura 6.6 corresponden al m´etodo RK CELL. Proceder tal como se hizo en el ejercicio 6.4, empleando el programa INTERPOLA (ver fig. 6.6).
Fig. 6.6: RK CELL e INTERPOLA.M aplicados al ejercicio 6.5
Indicaciones para el ejercicio 6.6 Aplicamos S2 EULER con h = 0.001 al ejercicio 6.6, y ejecutamos en la l´ınea de comandos
Clase Pr´ actica actica 6
97
>>hold >>hold on
Podemos comprobar experimentalmen exp erimentalmente te la coincidencia de dos m´etodos etodos vistos en clases. Si transformamos el sistema del problema 6.6 en una EDL de 2do orden obtenemos 6)y + (6t (6t + 10)y 10)y = y (t + 6)y y(0) = 1, y (0) = 5.
−
−
−
2
−4t − 2t ,
La anterior ecuaci´on on es excesivamente complicada para el n´ucleo ucleo simb´olico olico de MATLAB. La ecuaci´on on homog´enea enea asociada aso ciada tiene soluci´on on mediante el comando DSOLVE en t´erminos ermi nos de la l a funci f unci´´on on especial (6 WhittakerM. Notemos que la ED lineal y
2
− (t + 6)y 6)y + (6t (6t + 10)y 10)y = −4t − 2t ,
puede ser resuelta mediante series de potencias aunque su proceso de resoluci´on es algo m´as as complicad plicadoo que los proble problemas mas vistos vistos en clases. clases. Sin embarg embargo, o, lo aprend aprendido ido nos sobra sobra para abordar abordar su soluci´on on en torno a t = 0. Despu´es es de asumir que y(t) es anal ana l´ıtica ıtic a en x0 = 0, llegamos a que
y(t) =
∞
an tn
n=0
donde
Fig. 6.7: Soluci´on on gr´afica afica del ejercicio 6.6 6
Usar mhelp en lugar de help para ver m´as as detalles sobre esta funci´on on especial.
Clase Pr´ actica actica 6
98
Fig. 6.8: Soluciones DSOLVE y RK CELL. Ejercicio 6.7 a0 a1 a2 a3 a4
= 1, = 5, = 3a1 5a0 = = (12a2 9a1 = (18a3 8a2
··· an+2 =
− −
···
−
− −
10, −10, 4)/6, − 6a − 4)/ 2)/12, 12, − 6a − 2)/ + (n (n − 10)a 10)a − 6a − , 0 1
6(n 6(n + 1)a 1)an+1 n (n + 2)(n 2)(n + 1)
n 1
n = 3, 4, 5,...
Ahora ejecutamos el programa TRUNCADA.M- que descargamos desde [15]- para calcular las sumas parciales de la anterior serie de potencias. Para obtener la suma parcial correspondiente al t´ermino ermino N = 12, procedemos como sigue. >>t=linspace(0,1,100); >>yy=truncada(t) >>hold >>hold on >>plot(t,yy,’+’)
En la figura 6.7 se comprueba gr´aficamente aficamente el nivel de coincidencia entre las dos soluciones aproximadas.
Indicaciones para el ejercicio 6.7 El ejercicio 6.7 tiene soluci´on on calculable con DSOLVE pero con una expresi´on on excesivamente extensa. (7 Los gr´aficos aficos de las soluciones exactas x(t) e y(t) pueden verse en la figura 6.8 y compararse con las obtenidas usando S2 EULER o RK CELL. Para hacer los gr´aficos aficos se recomienda usar EZPLOT. 7
Con otra versi´on on de MATLAB o con otro software el resultado puede variar.
Clase Pr´ actica actica 6
99
>>S=dsolve(’Dy=x+6*y+3’,’Dx=2*x+y’,’x(0)=2’,’y(0)=4’); % En S.x y S.y estan las soluciones x(t) e y(t). >>ezplot >>ezplot(S.x (S.x,[0, ,[0,2])% 2])%camb cambiar iar el color color de la grafica grafica >>hold >>hold on >>ezplot(S.y,[0,2]) >>title( >>title(’ ’ ’)% titulo titulo vacio vacio >>legend(’S.x’,’S.y’)
6.3 6.3 6.3. 6.3.1 1
SERI SERIES ES DE FOURI OURIER ER Prog Progra rama mass
Los ejercicios de esta secci´on on se basan en la utilizaci´on on de los programas SERIE, SERIE1 y SERIE2, todos descargables desde la Web de la asignatura [15]. El programa programa SERIE nos permite dibujar los gr´aficos aficos superpuestos de las 6 primeras sumas parciales de la serie de Fourier trigonom´etrica etrica de la funci´on on (6.7) (figura 6.9). Mediante SERIE1 podemos dibujar los gr´aficos aficos no superpuestos de las 20 primeras sumas parciales de la serie de Fourier trigonom´etrica etrica de la funci´on on (6.7) (figura 6.9). Con SERIE2 podemos visualizar la convergencia de las series de Fourier viendo los gr´aficos sobre ( 3π, 3π ), de las primeras 25 sumas parciales de la funci´on on f ( f (x) = x para π < x < π. π.
−
6.3. 6.3.2 2
−
Ejer Ejerci cici cios os
on Ejercicio 6.8 Dada la funci´ f ( f (x) =
−
1 si 1 si
−π ≤ x < 0, 0≤x<π
(6.7)
representar gr´ aficamente la funci´ on f y las apr aproximaci oximaciones ones de su serie de Fourier trigonom´ trigonom´ etrica etrica mediante las primeras sumas parciales.
Indicaciones para resolver el ejercicio 6.8 La serie de Fourier de f viene dada por 4 π
∞
n=1
sen((2n sen((2n 1)x 1)x) . 2n 1
− −
Basta ejecutar ejecutar los programas programas SERIE y SERIE1. on Ejercicio 6.9 Representar la funci´ f ( f (x) = x en [ π, π] y su extensi´ on 2π-peri´ odica al intervalo [ 3π, 3π].
−
−
Clase Pr´ actica 6
100
Fig. 6.9: Ejercicio 6.8. Sumas parciales
Fig. 6.10: Ejercicio 6.9. Sumas parciales N = 2, 26
Indicaciones para resolver el ejercicio 6.9 La serie de Fourier de f viene dada por
2
− ∞
n=1
( 1)n+1
sen(nx) . n
Usar el programa SERIE2 para realizar esta tarea (ver figura 6.10).
Clase Pr´ actica 6
6.4 6.4.1
101
´ APENDICE Programa SN EULER
A modo de complemento, el alumno puede utilizar el programa SN EULER para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales con un n´umero arbitrario de ecuaciones, utilizando el m´etodo Euler mejorado. Este c´odigo consta de tres partes: la primera es una interfaz de usuario, y las dos restantes son subfunciones situadas al final del script. Una de las sub-funciones es de especial inter´ es para el alumno pues se corresponde con el procedimiento de Euler mejorado expresado en t´erminos vectoriales. La otra subrutina FUNCTION, llamada CEVAL, permite la evaluaci´on num´erica de campos vectoriales almacenados como objetos CELL. Este programa puede ser descargado de la Web de la asignatura [15], y se activa directamente en la l´ınea de comandos haciendo >>sn_euler
En caso de que deseemos almacenar en memoria los valores aproximados de las inc´ognitas escribimos >>x=sn_euler;
Si adem´as queremos almacenar en la variable t los valores de la red t0 ,...,tm, hacemos >>[x,t]=sn_euler; La variable x es una matriz con tantas columnas como ecuaciones tiene el sistema. El n´umero de filas de x se corresponde con el n´umero de puntos t0 ,...,tm .
Para visualizar una breve descripci´on del programa, en particular lo concerniente a la entradasalida, ejecutamos en l´ınea lo siguiente >>help sn_euler
Para obtener la respuesta ................... ................... ENTRADA Numero de ecuaciones Componentes del campo vectorial Intervalo dominio Condicion inicial paso de integracion SALIDA Error a posteriori Graficos de las soluciones aproximadas SALIDAS OPCIONALES -Para almacenar en memoria la solucion [x1(1),...x1(m); x2(1),...,x2(m);... ;xn(1)...xn(m)] escribir >>x=sn_euler;
Clase Pr´ actica 6
102 -Para almacenar en memoria la solucion [x1(1),...x1(m); x2(1),...,x2(m);... ;xn(1)...xn(m)] y ademas: [t(1);t(2);....;t(m)] escribir >>[x,t]=sn_euler;
6.4.2
Interpolaci´ on
Sea el PVI: y = F (x, y), y(x0 ) = y0 . Una vez calculados los valores aproximados de la soluci´on y(x) de un PVI, sean estos yk
≈ y(x ), k
k = 1,...,n
nos puede interesar aproximar el valor de y(t) para t (xk−1 , xk ). Seguiremos el procedimiento m´as sencillo consistente en “interpolar linealmente”, es decir uniremos los puntos P k−1 = (xk−1 , yk−1 ), P k = (xk , yk )
∈
mediante el segmento de la recta y = mx + b que dichos puntos determinan. El valor aproximado es mt + b = y ∗ (t)
≈ y(t).
Se trata pues, de construir un aproximante poligonal- lineal a tramos- continuo, de una funci´ on y(x) que admite derivadas hasta el segundo orden (ver figura 6.11). Existen otros m´etodos de interpolaci´ on que aseguran la suavidad del aproximante, pero no los trataremos en este curso. La figura 6.11 ilustra el proceso de interpolaci´on mediante poligonales. Para realizar eficientemente los c´alculos usaremos el programa INTERPOLA.M -descargable desde [15]- basado en el comando INTERP1 de MATLAB. >>Y1=interp1(T,Y,T1);
donde T = [x(1)
··· x(n)], Y = [y(1) · ·· y(n)], T 1 = [t(1) ··· t(n)], Y 1 = [m(1) ∗ t(1) + b(1) ··· m(n) ∗ t(n) + b(n)] Notar que hasta ahora los m´etodos de diferencias finitas nos han ofrecido la soluci´ on como un vector n de R , y que seg´un el procedimiento basado en interpolaci´on estamos hallando una soluci´on en la forma de una funci´on que, aunque continua, desafortunadamente no es derivable en todos los puntos. A continuaci´on se muestra el c´odigo de INTERPOLA.
Clase Pr´ actica 6
103
Fig. 6.11: Ilustraci´on gr´afica del m´etodo de interpolaci´on function interpola disp(’Se exige que x1
´ CLASE PRACTICA 7 M´ etodos num´ ericos para PVI (III)
OBJETIVOS Adquisici´on de conocimientos te´orico-experimentales sobre los m´etodos num´ericos de resoluci´o n de problemas de condici´ on inicial. Visualizar las soluciones obtenidas mediante separaci´on de variables para las ecuaciones del calor y de ondas.
7.1
´ METODOS DE RUNGE-KUTTA
7.1.1
M´ etodos de Taylor
Sea la ED y = f (x, y), sujeta a la CI y(x0 ) = y0 . Los m´etodos de Euler y Euler mejorado son de ´ordenes 1 y 2, respectivamente, y s´olo requieren evaluaciones de la funci´on f (x, y). A continuaci´on presentaremos brevemente a los M´etodos de Taylor, antes de pasar a los m´etodos de Runge-Kutta. etodos de Taylor consiguen o´rdenes altos para el error con el correspondiente Los llamados m´ coste que supone tener que derivar repetidamente la funci´on. Para ello se parte del desarrollo de Taylor de la soluci´on y(x) en x0 y(x0 + h) = y(x0 ) + hy (x0 ) + h2 /2!y (x0 ) +
n
··· + h /n!y
(n)
(x0 ) +
(n+1)
O(h
),
y se sustituyen las derivadas hasta el orden n, y (x0 ) = f (x0 , y0 ) y (x0 ) = f x (x0 , y0 ) + f y (x0 , y0 )f (x0 , y0 ) =
···
· ··
···
El m´etodo de Taylor de orden 1 es el ya conocido m´etodo de Euler expl´ıcito, estudiado en la anterior clase pr´actica, y en el mismo no intervienen derivadas. Los m´etodos de Taylor de orden n 2, que no estudiaremos, s´ı involucran a las derivadas de f (x, y).
≥
105
Clase Pr´ actica 7
106
Sustituyendo las derivadas de y(x) en x0 hasta un orden n 3 arbitrario, podemos obtener un m´etodo de mayor orden que el de Euler mejorado. Estos m´etodos se llaman m´etodos de Taylor debido al papel jugado por el desarrollo de Taylor de f (x, y) en su deducci´on. Aunque, tal como se ha mencionado, se pueden te´oricamente alcanzar ´ordenes altos para el error, ´estos dependen de que podamos derivar a f (x, y) repetidamente, lo cual en la pr´actica no siempre es factible, es impracticable con herramientas num´ ericas y muy costoso con simb´ olicas.(1 El camino que se sigue para evitar el inconveniente de calcular derivadas de diferentes ´ordenes, un proceso en el que ocurren graves problemas num´ ericos, es el dise˜no de los llamados m´etodos de Runge-Kutta. Estos combinan ingeniosamente los valores de f (x, y) para evitar la presencia de las derivadas en los c´alculos y al mismo tiempo, producir o´rdenes similares a los que se obtienen con los m´etodos de Taylor.
≥
7.1.2
M´ etodo de Runge-Kutta de cuarto orden
Hay una variedad de m´etodos de Runge-Kutta que difieren entre s´ı atendiendo a la forma en que combinamos los valores de la funci´on f (x, y) que define el PVI. El que s´olo requieran evaluaciones de la funci´on f (x, y) es una cualidad que los Runge-Kutta comparten con Euler y Euler mejorado, pero llegando alcanzar mayores ´ordenes que estos u ´ ltimos. Los m´etodos de Runge-Kutta est´an considerados entre los m´as adecuados para resolver problemas de valores iniciales. Los de orden n = 2 incluyen entre otros al m´etodo de Euler mejorado. El de orden 4 cl´asico es una buena elecci´on por su precisi´o n y f´acil programaci´on. El esquema del m´etodo cl´asico de Runge-Kutta de 4to orden es el siguiente: yk+1 = yk + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )/6 donde
7.1.3
k1 k2 k3 k4
= hf (xk , yk ) = hf (xk + h/2, yk + k1 /2) = hf (xk + h/2, yk + k2 /2) = hf (xk + h, yk + k3 )
Descripci´ on del programa RUNGEKUTTA
Se trata de un programa dom´estico que podemos descargar desde la Web de la asignatura [15], con el cual intentaremos resolver EEDD de primer orden y = f (x, y) con una condici´on inicial y(a) = y0 , x 1
∈ [a, b].
La derivaci´on num´erica es un problema mal acondicionado, lo que significa que peque˜nos errores en los datos pueden producir grandes errores en los resultados.
Clase Pr´ actica 7
107
Tal como indica su nombre, este c´odigo permite simular un m´etodo de Runge-Kutta, particularmente el cl´asico de orden 4. El programa cuenta con una interfaz de usuario desarrollada para facilitar el trabajo, que permite opcionalmente introducir la soluci´on exacta si fuese conocida. En una sola ejecuci´ o n es capaz de calcular los errores a posteriori para un vector de pasos [h1 ,...,hm ]. Tambi´en muestra los gr´aficos de las aproximaciones para hm y hm /2. El error a posteriori lo calcula como la mayor de las discrepancias entre las soluciones para h y h/2. Para invocar a RUNGEKUTTA se oprime INTRO despu´es de escribir en la l´ınea de comandos alguna de las siguientes sentencias >>rungekutta
>>Y=rungekutta
>>[T,Y]=rungekutta
dependiendo de la informaci´on que deseamos almacenar en memoria. Aqu´ı T representa al vector cuyas componentes ordenadas forman la red de puntos T (k) del dominio seg´ un el paso h, e Y es el vector de las correspondientes aproximaciones Y (k) de la soluci´on. En cualquier caso el programa permite opcionalmente ver en la pantalla los valores T (k) e Y (k) (hasta 50 como m´aximo), pero no los almacena en memoria.
7.1.4
Ejercicios
on del PVI Ejercicio 7.1 Aproximar la soluci´ y = 1 + y2 , y(0) = 0 para x
∈ [0, 1], con pasos h 0.05 0.05/2 0.05/4 0.05/8 0.05/16
utilizando el programa RUNGEKUTTA. Teniendo en cuenta que la soluci´ on exacta es y = tan(x), calcular el error exacto cometido y compararlo con el estimado a posteriori.
Ejercicio 7.2 Aproximar la soluci´ on del PVI 2y = (x y(0) = 1 para x
− y),
∈ [0, 3], con pasos h 0.05 0.05/2 0.05/4 0.05/8 0.05/16
utilizando el programa RUNGEKUTTA. Teniendo en cuenta que la soluci´ on exacta es y = x y compararlo con el estimado a posteriori.
− 2 + 3e−
x/2
calcular el error exacto cometido
Clase Pr´ actica 7
108
Ejercicio 7.3 Aproximar la soluci´ on del PVI (ex + 1)y + y(ex y(0) = 3 para x
− 1) = 0,
∈ [0, 1], con pasos h 0.05 0.05/2 0.05/4 0.05/8 0.05/16
utilizando el programa RUNGEKUTTA
12ex Teniendo en cuenta que la soluci´ on exacta es y = x calcular el error exacto cometido y (e + 1)2 compararlo con el estimado a posteriori.
7.1.5
Estabilidad de un m´ etodo num´ erico
Un m´etodo num´erico para resolver una EDO de primer orden, est´a dado por una ecuaci´on en diferencias finitas (EDF). Decimos que el m´etodo es estable si su EDF produce una soluci´on acotada cuando la soluci´on exacta es acotada. Si la soluci´ on obtenida no es acotada, siendo la exacta acotada, decimos que el m´etodo es inestable. S´olo analizamos la estabilidad cuando tratamos con EEDD ordinarias lineales y + py = q(x), p R, en las que el t´ermino q(x) no influye. Los siguientes enunciados pueden verse en Hoffman [3], secciones 7.8-7.9.
∈
• Los m´etodos de Euler y Euler mejorado son estables cuando 0 < ph ≤ 2. • Runge-Kutta es estable cuando 0 < ph ≤ 2.784. on del siguiente problema de valor inicial (Hoffman Ejercicio 7.4 Estudiar num´ericamente la soluci´ [3], 7.14) aplicando el programa EJE7.4 (Web de la asignatura [15]). y = p(y (x + 2)) + 1, y(0) = 1, x [0, + ).
∈
Considere los valores p = indica en la tabla 7.1.5.
− ∞
±1000 considerando los intervalos [0, b], b > 0, y los pasos h seg´ un se
a) ¿Influyen los valores de p, b y h sobre el error y la estabilidad? b) Tratar de explicar el papel que desempe˜ na p en los resultados calculando artesanalmente la soluci´ on de la homog´enea asociada. Seg´ un se aprecia en la tabla 7.1.5, el tama˜no de h se selecciona m´as peque˜ no para mostrar: (A-B) c´ omo cambia la precisi´on ( p = 1000)
Clase Pr´ actica 7
109
b A 0.01 B 0.01 C 0.01 D 1 E 1
Euler RK-2 RK-4 ODE45 h p 1e-03 1000 5e-04 1000 1e-03 -1000 1e-03 -1000 5e-03 -1000
Tabla 7.1: Informe de resultados seg´un los valores de b, h y p
(D-E) estabilidad condicional ( p =
−1000)
(Se detectan en los valores num´ericos del error ) (ODE45 no se afecta pues selecciona autom´aticamente el paso h) Los diferentes valores de b revelan: (C-D) la existencia de dos escalas relevantes para la variable independiente ( p =
−1000)
(Se detecta gr´aficamente con los cuatro programas ) (En este ejemplo de PVI, el error producido por Notar que hB =
7.1.6
ODE45
se modifica algo con el cambio de intervalo )
hA hE y que hD = . 2 5
Descripci´ on del programa EJE7.4
Tal como sugiere su nombre, este c´odigo est´a especialmente dise˜nado para resolver el ejercicio 7.4 de esta pr´actica. Para facilitar el trabajo se cuenta con una interfaz de usuario que permite seleccionar uno de los dos posibles PVI mediante una ventana-men´u, atendiendo a que la ecuaci´on que le define depende del valor de un par´ametro p. El programa se encarga de aplicar los m´etodos de Euler, Euler mejorado y Runge-Kutta 4, mostrando al final los respectivos errores y los gr´aficos (ver figura 7.1). Se aplica adicionalmente la herramienta MATLAB ODE45, basada en Runge-Kutta 4 y 5. Esta ´ultima adopta como tolerancia de entrada (error m´aximo permitido), al menor de los errores producidos por los m´etodos anteriores. Los principales objetivos de este experimento consisten en la detecci´on experimental de inestabilidad y escalas relevantes en el dominio.
Clase Pr´ actica 7
110
Fig. 7.1: Gr´aficas producidas por EJE7.4.M
7.2 7.2.1
PROBLEMAS DE CONTORNO Planteamiento matem´ atico
Sea el operador diferencial lineal de segundo orden Λ[y] = a(x)y + b(x)y + c(x)y, siendo a(x) > 0, para todo x [a, b], y consideremos los operadores lineales de primer orden
∈
B1 [y](x) = α1 y(x) + α2 y (x), B2 [y](x) = β 1 y(x) + β 2 y (x). Al siguiente problema Λ[y](x) = f (x), x B1 [y](a) = 0, B2 [y](b) = 0,
∈ [a, b],
(7.1)
Clase Pr´ actica 7
111
se le llama problema de contorno con condiciones separadas. El problema de valores propios se establece como el problema de hallar los λ tales que Λ[y] = λy, B1 [y](a) = 0, B2 [y](b) = 0,
−
(7.2)
admite soluciones no triviales y = y(x). Sea w(x) el factor de simetrizaci´on asociado a Λ[y], es decir L[y] = w(x)Λ[y] = ( p(x)y ) + q(x)y, entoces (7.2) se convierte en el Problema Regular de Sturm-Liouville L[y](x) + λw(x)y = 0, B1 [y](a) = 0, B2 [y](b) = 0.
7.2.2
(7.3)
Aplicaci´ on: Viga columna
Para calcular las cargas cr´ıticas que act´uan longitudinalmente sobre una columna empotrada y las deformaciones correspondientes disponemos del modelo matem´atico siguiente λ y (x) + y(x) = 0 EI (7.4) y(0) = y(L) = 0, donde EI es el momento flector y L es la longitud de la viga. En la Web de la asignatura, encontramos el programa PANDEO que utiliza las soluciones del sistema de Sturm-Liouville formado por λ y (x) + y(x) = 0 y diferentes condiciones homog´eneas de frontera, para mostrar gr´aficamente las EI deformaciones (autofunciones) y calcular las cargas que producen deformaci´on (autovalores).
Ejemplo 7.1 Ejecutar en la l´ınea de comandos >>pandeo
e introducir los datos seg´ un se soliciten.
7.3 7.3.1
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Ecuaci´ on del calor en una barra de longitud finita
aficamente la soluci´ on del siguiente problema: Ejemplo 7.2 Representar gr´ ut = 5uxx , 0 x 3, t 0, u(0, t) = u(3, t) = 0, u(x, 0) = 5 sen (4πx) 3 sen (8πx) + 2 sen (10πx).
≤ ≤
≥
−
(7.5)
Clase Pr´ actica 7
112
Fig. 7.2: Gr´afica producida por CALOR.M
Resoluci´ on del ejemplo 7.2 La soluci´on exacta u(x, t) de (7.5) es u(x, t) = 5 sen(4πx)exp( 5(122 )π2 t/9)
−
2
2
2
2
− 3 sen(8πx)exp(−5(24 )π t/9) + 2 sen(10πx) exp(−5(30 )π t/9),
y se ha obtenido aplicando el m´etodo de separaci´ on de variables. El programa CALOR (se descarga en [15]) utiliza la soluci´on de (7.5) para hacer los gr´aficos del ejemplo 7.2. on de: Ejemplo 7.3 El flujo de calor a trav´es de una barra cil´ındrica de longitud π, es soluci´ ut = 2uxx ; 0 < x < π, t > 0, u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) =
x π
−x
0 < x π/2, π/2 < x < π.
≤
1. Obtener una aproximaci´ on de la soluci´ on (serie (7.8)) en el instante t = 0, en x = π/2.
(7.6) (7.7)
Clase Pr´ actica 7
113
2. Comparar la aproximaci´ on con el dato inicial u(x, 0) = f (x) 3. Representar gr´ aficamente la temperatura en el instante t = 1.25 en toda la barra. 4. Ver la evoluci´ on de la temperatura en dos instantes de tiempo. Para ello representar la distribuci´ on de temperaturas para t = 1.25 y t = 2. (Notar el descenso de temperaturas conforme avanza el tiempo.)
Recursos para resolver el ejemplo 7.3 El m´etodo de separaci´on de variables permite obtener la soluci´on como la suma de la serie ∞ 2 4 k exp( 2(2k + 1) t) sen((2k + 1)x) ( 1) u(x, t) = (2k + 1)2 π k=1
−
−
(7.8)
Usar la funci´on TEMP.M para aproximar la temperatura u(x, t) cualquiera sea el instante t y la posici´on x. >>u=temp(x,t)
El programa F INICIO.M (ver Web de la asignatura [15]) vale para simular el dato inicial f (x). >>y=f_inicio(x)
Los dos anteriores programas FUNCTION son compatibles con la arquitectura matricial de MATLAB, y sus respectivos c´odigos se muestran a continuaci´on. function u=temp(x,t) mx=max(size(x)); mt=max(size(t)); k=0:400;n=2*k+1; for jx=1:mx for jt=1:mt u(jx,jt)=sum((-1).^k.*exp(-2*n.^2.*... t(jt)).*sin(n.*x(jx))./n.^2); end end u=4*u/pi; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function y=f_inicio(x) y=x.*(0
on del calor siguiente Ejercicio 7.5 Consid´erese el problema de conducci´ 0 < x < π, t > 0, T t (x, t) 3T xx (x, t) = 0, T (0, t) = T (π, t) = 0, T (x, 0) = sen (x) 7 sen (3x) + sen (5x).
−
−
(7.9)
Si el tiempo t se mide en segundos, estime el momento en que la temperatura T se hace m´ axima en los primeros 10 segundos, en el punto π/6 de la barra.
Clase Pr´ actica 7
114
A continuaci´on se ofrecen indicaciones para seguir un m´etodo basado en la potencia gr´ afica del Matlab y en nuestra capacidad de apreciaci´on. El alumno puede seguir cualquier otro m´etodo, pero, en tal caso, debe ofrecer una breve descripci´on del mismo. La soluci´on exacta de (7.9) puede obtenerse aplicando el m´etodo de separaci´on de variables y viene dada por T (x, t) = e−3t sen(x) 7e−27t sen(3x) + e−75t sen(5x).
−
Hacer
>>T=’sin(x).*exp(-3*t)-7*sin(3*x).*exp(-27*t)+sin(5*x).*exp(-75*t)’; >>x=pi/6;t=linspace(0,10,50);Z=eval(T);plot(t,Z)
Apreciar el punto donde se sospecha se alcanza el m´aximo, y hacer de nuevo >>x=pi/6;t=linspace(a,b,50);Z=eval(T);plot(t,Z)
donde esta vez los valores a y b son aproximaciones por defecto y por exceso, respectivamente, del punto de m´aximo. Repetir el proceso hasta obtener al menos dos d´ıgitos correctos en la aproximaci´ on, es decir, cuando (b a)/a < (1e 02)/2.
−
7.3.2
−
Ecuaci´ on de ondas sobre un intervalo acotado
on del siguiente problema Ejemplo 7.4 Sabiendo que la soluci´ ytt = a2 yxx , (a = 20) yx (0, t) = yx (π, t) = 0, t 0, y(x, 0) = 1, yt (x, 0) = cos(x), 0
≥
es y(x, t) = 1 +
(7.10)
≤ x ≤ π.
sen (at)cos(x) , a
hacer su gr´ afico en R3 .
Resoluci´ on del ejemplo 7.4 Usaremos el programa ONDA.M. que podemos descargar desde la Web de la asignatura [15] (ver figura 7.3).
Ejercicio 7.6 El movimiento de una cuerda de longitud finita se rige por la EDP ytt (x, t) = 4yxx (x, t) con las condiciones de frontera yx (0, t) = 0, y(π, t) = 0, (t
≥ 0)
Clase Pr´ actica 7
115
Fig. 7.3: Gr´afica producida por ONDA.M y las condiciones iniciales y(x, 0) = 0, yt (x, 0) = 2, (0
≤ x ≤ π).
Si la unidad de tiempo es el segundo, se pide: 1. Obtener la trayectoria del movimiento del punto de la cuerda cuya coordenada es x = π/3, durante los diez primeros segundos y estimar los valores m´ aximo y m´ınimo alcanzados por dicho punto en el per´ıodo. 2. Representar gr´ aficamente la posici´ on de la cuerda pasadas dos horas despu´es del momento inicial y calcular el desplazamiento del extremo x = 0 con respecto al nivel y = 0.
Resoluci´ on del ejercicio 7.6 La soluci´on del ejercicio puede obtenerse aplicando el m´etodo de separaci´on de variables y viene dada por ∞ 8( 1)n (2n + 1)x cos sen (2n + 1)t . (7.11) y(x, t) = 2 + 1) 2 π(2n n=0
−
La serie (7.11) converge para todo x, t R. Un an´alisis del resto arroja el siguiente resultado: la suma parcial de 400 sumandos aproxima “uni-
∈
Clase Pr´ actica 7
116
formemente” 2 al valor exacto de la serie con dos d´ıgitos significativos correctos. El programa CUERDA se ha dise˜ nado atendiendo al anterior an´alisis y permite aproximar hasta con dos d´ıgitos correctos a la serie (7.11). A continuaci´on se muestra el c´odigo MatLab del programa CUERDA.M. Entrada: vectores x y t. Salida: matriz u. function u=cuerda(x,t) mx=max(size(x)); mt=max(size(t)); k=0:400; n=2*k+1; for jx=1:mx for jt=1:mt u(jx,jt)=sum((-1).^k.*cos(n*x(jx)*.5).*... sin(n*t(jt))./n.^2); end end u=8*u/pi;
Para obtener los gr´aficos ejecutar: Primera parte del ejercicio 7.6. >>t=linspace(0,10,100); >>u=cuerda(pi/3,t); >>plot(t,u)
Segunda parte del ejercicio 7.6. >>x=linspace(0,pi,100); >>u=cuerda(x,7200); >>plot(x,u)
Obtener las aproximaciones num´ericas solicitadas a partir de los gr´aficos, mediante los comandos max y min o evaluando adecuadamente a CUERDA(x,t).
7.3.3
Herramientas simb´ olicas para EDP
MATLAB implementa varios comandos para EDP, a trav´es del n´ucleo MAPLE. >>maple(’pdesolve(ecuacion,func(var1,...,varn))’)
resuelve la ecuaci´on en derivadas parciales identificada por ecuacion, para la funci´on f = func(x1 ,...,xn ) 2
La precisi´on que se obtiene no depende de x ni de t.
Clase Pr´ actica 7
117
Ejemplo 7.5 Intentar resolver las siguientes ecuaciones en derivadas parciales aplicando herramientas simb´ olicas MAPLE-MATLAB. a) f xx + 5f xy = 3 b) 3gx + 7gxy = xy c) htt
−h
xx
=0
d) uxx + uyy = x + y 2
Resoluci´ on del ejemplo 7.5 En lo que sigue _F1 y _F2 son funciones arbitrarias. a) >>maple(’pdesolve(diff(f(x,y),x,x)+5*diff(f(x,y),x,y)=3, f(x,y))’) ans = f(x,y) = 3/2*x^2+_F1(y)+_F2(y-5*x) --------------------------------------
b) >>maple(’pdesolve(3*diff(g(x,y),x)+7*diff(g(x,y),x,y)=x*y,g(x,y))’) ans = g(x,y) = 1/6*x^2*y-7/18*x^2+_F1(y)+exp(-3/7*y)*_F2(x) --------------------------------------
c) >>maple(’pdesolve(diff(h(t,x),t,t)-diff(h(t,x),x,x)=0,h(t,x))’) ans = h(t,x) = _F1(x+t)+_F2(x-t)
on en derivadas parciales del Ejemplo 7.5, apartado d), aplicando Ejercicio 7.7 Resolver la ecuaci´ herramientas simb´ olicas MAPLE-MATLAB. d) uxx + uyy = x + y 2
Emplear la misma sintaxis MAPLE de los ejemplos resueltos 7.5-a), 7.5-b) y 7.5-c).
