ANÁLISIS DE DECISIONES 1.
A un inversor, que dispone de tres millones de dólares, se le presentan tres posibles opciones: 1) Invertir en títulos de renta variable, pudiendo conseguir unos beneficios de cuatro millones o pérdidas de dos millones, dependiendo de la situación del mercado bursátil que puede ser a la alza o de baja, habiéndose estimado las probabilidades de dichas situaciones en 0.6 y 0.4 respectivamente. 2) Irse a jugar al casino apostando todo su dinero a rojo, con igual probabilidad de ganar o de perder. 3) Invertir en títulos de renta fija con la seguridad de obtener unos beneficios de medio millón de dólares. a. b.
Defina formalmente todas las opciones de inversión descritas anteriormente. Si el inversor ha definido su función de utilidad de la forma: u ( x) = x + 4 x (x en millones de dólares). i. ¿Cuál es la elección óptima teniendo en cuenta dicha función? ii. ¿Cuál es la actitud del decidor frente al riesgo? iii. ¿Le sería indiferente la opción de ir al casino a una nueva opción consistente en que si gana juega todo su dinero otra vez a rojo? 2
Solución a.
Sean A1, A2 y A3 las opciones de inversión. Si tenemos en cuenta la inversión inicial dichas opciones vendrán definidas mediante las loterías:
⎛ 0.6 0.4 ⎞ ⎟ A1 = ⎜⎜ 1 ⎟⎠ ⎝ 7
⎛ 0.5 0.5 ⎞ ⎟ A2 ⎜⎜ 0 ⎟⎠ ⎝ 6
A3 = 3.5
⎛ 0.5 0.5 ⎞ ⎟⎟ A2 ⎜⎜ ⎝ 3 − 3⎠
A3 = 0.5
Si no tenemos en cuenta la inversión inicial:
⎛ 0.6 0.4 ⎞ ⎟⎟ A1 = ⎜⎜ ⎝ 4 − 2⎠ b.
Determinamos para que valores de x la función u ( x) = x + 4 x es de utilidad. Como la función de derivable, pues lo hacemos a través del signo de la primera derivada. 2
u ' ( x) = 2 x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ −2 Podemos mencionar que para valores de x ≥ −2 la función u (x) es monótona creciente, por lo tanto es función de utilidad. 1.
Las utilidades son:
( u ( A ) = 0.5u (6) + 0.5u (0) = 0.5(6
) ( + 4·6 ) + 0.5(0
)
u ( A1 ) = 0.6u (7) + 0.4u (1) = 0.6 7 2 + 4·7 + 0.4 12 + 4·1 = 48.2 2
2
2
)
+ 4·0 = 30.0
u ( A3 ) = u (3.5) = (3.5) 2 + 4·3.5 = 26.25 Como u ( A1 ) > u ( A2 ) > u ( A3 ) , se tiene que A1 f A2 f A3 . Por lo tanto se recomienda realizar la inversión en títulos de renta variable. 2.
Se puede estudiar la actitud del decidor frente al riesgo mediante la convexidad de la función de utilidad. Como la función de utilidad es sucesivamente variable derivable, vemos su convexidad mediante el signo de la segunda derivada.
u ' ' ( x) = 2 > 0 Entonces u es convexa, es decir, el decisor tiene preferencia por el riesgo. 1
3.
La nueva opción vendría definida mediante la lotería compuesta:
0.5 0.5 ⎞ ⎛ ⎜ ⎛ 0.5 0.5 ⎞ ⎟ L = ⎜⎜ ⎟ ⎟ 0 ⎜ ⎜ 12 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ Por tanto,
⎛ 0.5 0.5 ⎞ ⎟⎟ + 0.5u (0) = 0.5[0.5·u (12) + 0.5·u (0) = 0.25·192 = 48] u ( L) = 0.5·u⎜⎜ ⎝ 12 0 ⎠ Entonces como u ( L) = 48 > u ( A2 ) = 30 es L f A2 , por tanto el decisor prefiere la opción de que si gana juega todo su dinero otra vez al rojo. 2.
Eliana y Carlos están tratando de decidir donde van a ir a cenar esta noche con unos amigos, y no acaban de ponerse de acuerdo, así que a ver si tú les ayudas. Tienen las siguientes opciones: • El restaurante La Música Loca, donde pagando $60 pueden comer lo que quieran, tienen barra libre y música para bailar hasta altas horas de la madrugada. Si estuviesen hasta muy tarde, volverían en taxi, lo que costaría $5 y en otro caso volverían andando. • El restaurante El Baratito les ofrece sólo la posibilidad de comer, a un precio bastante económico, $30, pero allí no pueden bailar ni tomar copas. Además, ese restaurante está muy lejos de marcha de la ciudad. Eso les obligaría, si les apeteciese, a coger un taxi hacia la zona de copas, lo que les costaría $6, y a gastarse allí $10 en la entrada de una discoteca y otros $30 en copas, más el taxi de vuelta que supondría $10. Si no les apeteciese, se irían a casa dando un paseo. • La última posibilidad consiste en cenar en un restaurante al lado de su casa, donde la cena cuesta $40. Si quisiesen tomar unas copas y bailar se gastarían $25 más. ¿Qué recomiendas tú que hagan, si su objetivo es minimizar los costos? Solución Decisor: Eliana y Carlos Alternativas: Las opciones para salir a cenar
A = {a1 , a 2 , a3 };
a1 : Ir a La Música Loca a 2 : Ir a Baratito a3 : Ir al restaurante al lado de su casa
Estados de la Naturaleza: E = {e1 , e2 };
e1 : Les apetece bailar y tomar copas (llegarán tarde a casa). e2 : No les apetece bailar y tomar copas (no llegarán tarde a casa).
Como no se conoce nada acerca de la posible presentación de esas concreciones, por lo que se trata de un problema en ambiente de incertidumbre. Criterio de Evaluación: Costos de la pareja (resultados desfavorables) Los resultados son: •
a1 : ir a La Música Loca o Si e1 : Les apetece bailar y tomar copas Costo de la cena = 60[$us cena ] Costo del taxi recorrido= 5[$us ]
a
60[$us cena ]·2[cenas] = 120[$us ]
∴ r[a , e ] = 120 + 5 = 125[$us] 1
1
2
o
Si e 2 : No les apetece bailar y tomar copas → no se gastará en el taxi, solo se paga la cena
∴ •
r [a1 , e2 ] = 120[$us ]
a 2 : Ir a Baratito o Si e1 : Les apetece bailar y tomar copas Costo de la cena = 30[$us cena ]
30[$us cena ]·2[cenas] = 60[$us ] Costo del taxi recorrido de ir a la zona de copas = 6[$us ] Costo de la entrada (unidad) = 10[$us entrada ] → 10[$us entrada ]·2[entradas ] = 20[$us ] → 30[$us copa ]·2[copas ] = 60[$us ] Costo de la copa = 30[$ us copa ] Costo del taxi (retorno a casa) = 10[$us ] a
∴ r[a , e ] = 60 + 6 + 20 + 60 + 10 = 156[$us] 2
o
•
1
Si e2 : No les apetece bailar y tomar copas → solo se paga la cena
∴
r [a 2 , e2 ] = 60[$us ]
a3 : Ir al restaurante al lado de su casa o Si e1 : Les apetece bailar y tomar copas Costo de la cena = 40[$us cena ] Costo de la copa = 25[$ us copa ]
40[$us cena ]·2[cenas] = 80[$us ] 25[$us copa ]·2[copas ] = 50[$us ]
a →
∴ r[a , e ] = 80 + 50 = 130[$us] 3
o
1
Si e 2 : No les apetece bailar y tomar copas → solo se paga la cena
∴
r [a3 , e2 ] = 80[$us ]
La matriz de resultados vendrá dada por:
e1
e2
a1 ⎛ 125 ⎜ a 2 ⎜ 156 a 3 ⎜⎝ 130
120 ⎞ ⎟ 60 ⎟ 80 ⎟⎠
Criterio de Decisión: Como el enunciado del problema no menciona cuál es el comportamiento de Eliana y Carlos, aplicamos el criterio de decisión de Hurwicz y Savage. •
Criterio de Decisión de Hurwicz
[
mi = máx{r ai , e j
Ai → ci = α ·mi + (1 − α ) M i
i
Ai∗ → mín[ci ]
]}
[
M i = mín{r ai , e j i
]}
i
a1 a2 a3
e1
e2
mi
Mi
ci = α ·mi + (1 − α ) M i
125 156 130
120 60 80
125 156 130
120 60 80
C1=125α+120(1- α) C2=156α+60(1- α) C3=130α+80(1- α) 3
Como no se conoce el valor de α, representaremos de manera gráfica Ci como función de α.
α'
α =0
α ''
α =1
La región pintada representa los resultados óptimos: mín. ci Calculando ahora los coeficientes de pesimismo (valores de α ' y
α ' ' ).
α ' : el punto de intersección está entre las rectas c 2 y c3 156α '+60(1 − α ' ) = 130α '+80(1 − α ' ) ⇒ α ' = 0.434 Para α ' ' : el punto de intersección está entre las rectas c1 y c3 125α ' '+120(1 − α ' ' ) = 130α '+80(1 − α ' ) ⇒ α ' ' = 0.888 Para
De esta forma, según el mínimo valor de ci o o o •
α ∈ [0;0.434 ) , la alternativa óptima es a 2 ⇒ Ir a Baratito Si α ∈ (0.434;0.888) , la alternativa óptima es a3 ⇒ Ir al restaurante al lado de su casa Si α ∈ (0.888;1] , la alternativa óptima es a1 ⇒ Ir a La Música Loca Si
Criterio de Decisión de Savage Evaluaremos las consecuencias erróneas o costos de oportunidad.
r 'ij = rij − r j∗ ≥ 0,
a1 a2 a3
r j∗
donde
r j∗ = mejor (rij ) i
e1
e2
125 156 130 125
120 60 80 60
Costos de oportunidad 0 31 5
60 0 20
ri, 60 31 20
Luego la alternativa óptima es a3 , dado que en ella se alcanza mín ri = mín{60,31,20} = 20 ,
i
⇒ Se recomienda ir al restaurante al lado de su casa, le resulta más económico. 3.
El jefe de marketing de una importante empresa productora de computadoras tiene que decidir si lanzar una nueva campaña antes o después del mes de noviembre. Si la lanza antes tendrá aseguradas unas ventas de $100 millones. Si la lanza después corre el riesgo 4
de que la empresa competidora se adelante, lo que ocurrirá con una probabilidad de 0,4. Además las ventas también dependen de las previsiones de la coyuntura económica que se presente, que puede ser al alza, con probabilidad 0,5., estabilidad, con probabilidad 0,3 y recesión. Si la economía está en alza y la competidora no ha lanzado su campaña, las ventas se dispararían hasta los $150 millones y si la competidora ha lanzado su campaña las ventas serían de $120 millones. Si la economía está estable, las ventas serán de $90 millones, si la competidora ha lanzado la campaña, las ventas serán de $70 millones y si no la ha lanzado, las ventas serán de $80 millones. A la vista de los datos, ¿Qué decidirá el jefe de marketing?, ¿Cuánto dinero estaría dispuesto a pagar por conocer con certeza todas las variables inciertas del problema? ¿y por saber cuáles serán las previsiones de coyuntura económica? Si al jefe de marketing se le ofrece la posibilidad de contratar a un espía industrial por $10000 que le dirá con exactitud si la empresa de la competencia va a lanzar la campaña, ¿Qué hará? Solución • •
Decisor: el jefe fe marketing Alternativas: A = {a1 , a 2 };
•
a 2 : lanzar la campaña antes de mayo E = {e1 , e2 } Estado de la naturaleza: Se tiene dos variables de estado, que son:
a1 : lanzar la campaña después de mayo
e1 : La competencia actúa →
c : la competencia lanza su campaña _
c : la competencia no lanza su campaña _
Se conoce que p (c) = 0.4 , y por tanto p (c) = 0.6
a : economía en alza
e2 : Predicción de la coyuntura económica → e : economía estable
r : economía en recesión Se conoce que Se trata de un problema en ambiente de riesgo. • •
p(a) = 0.5 , p(e) = 0.3 y, por tanto p(r ) = 0.2
Criterio de evaluación: ventas (resultados favorables) Criterio de decisión: valor esperado.
ai → VEi = E [ai ] = ∑ rij p j
a ∗ → máx VEi i
j
Para una comprensión mejor, plantearemos el problema mediante un árbol de decisión. p ( a ) = 0 .5
p ( e ) = 0.3
120 90
p ( r ) = 0.2
70
p ( c ) = 0 .4
a1
150 _
p(c) = 0.6
p ( a ) = 0 .5
p ( e ) = 0.3
110
p ( r ) = 0.2
a2
80 100
5
Si planteamos el problema en forma normal, tendremos: 0.2
a1
a2
0.12
0.08
c∧a
c∧e
c∧r
120 100
90 100
70 100
0.3
0.18
c∧ a
c∧ e
c∧ r
VEi
150 100
110 100
80 100
114.8 100
_
_
0.12 _
VE
1
= 120 · 0 . 2 + 90 · 0 . 12 + 70 · 0 . 08 + 150 · 0 . 3 + 110 · 0 . 18 + 80 · 0 . 12 = 114 . 8
VE
2
= 100 ·1 = 100
∴ La alternativa óptima es la alternativa a
1
→ Lanzar la campaña después de mayo, con un rédito de 114.8
En cuanto a saber el monto que estaría dispuesta a pagar el Jefe de Marketing, elegiríamos aquella alternativa que, para cada concreción del estado de la naturaleza nos ofrezca un resultado óptimo:
r j∗ máx rij i
0.2
a1
a2
r j∗
0.12
0.08
c∧a
c∧e
c∧r
120 100 120
90 100 100
70 100 100
0.3 _
0.18 _
0.12 _
c∧ a
c∧ e
c∧ r
150 100 150
110 100 110
80 100 100
VE i 114.8 100
⇒ Resultado Esperado de la Información de Muestra (VEIM) y el Valor Esperado de Riesgo (VER) es: VEIM = ∑ r j∗ p j = 120·0.2 + 100·0.12 + 100·0.08 + 150·0.3 + 110·0.18 + 100·0.12 = 120.8 j
VER = 114.8
⇒ Valor de la Información Perfecta (VIP) será: VIP = VEIM − VER = 120.8 − 114.8 = 6
∴ La cantidad máxima que el Jefe de Marketing está dispuesto a pagar por la información cierta sobre todas las variables inciertas del problema es de 6 MM$us.
Si ahora, la información cierta es sólo referente a la coyuntura económica, tendremos: •
Si se produce a , la cantidad que obtiene será: 0.4
c
a1
a2
120 100
0.6
c 150 100
VE i 138 100 ∗
Luego en esta situación la alternativa óptima es a1 = 138 → r1 = 138 •
Si se produce e , la cantidad que obtiene será:
6
0.4
0.6
c
a2
VE i 102 100
c
90 100
a1
110 100
∗
Luego en esta situación la alternativa óptima es a1 = 102 → r2 = 102 •
Si se produce
r , la cantidad que obtiene será: 0.4
0.6
70 100
80 100
c
a1 a2
VE i 76 100
c
∗
Luego en esta situación la alternativa óptima es a 2 = 100 → r3 = 100
⇒ Resultado Esperado de la Información de Muestra (VEIM) y el Valor Esperado de Riesgo (VER) es: VEIM = ∑ r j∗ p j = 138·0.5 + 102·0.3 + 100·0.2 = 119.6 j
VER = 114.8 ⇒ Valor de la Información Perfecta (VIP) será: VIP = VEIM − VER = 119.6 − 114.8 = 4.8
∴ La cantidad máxima que el Jefe de Marketing está dispuesto a pagar por la información adicional de carácter cierto es de 4.8 MM$us.
Finalmente para saber si es conveniente contratar al espía industrial, se requiere saber cuanto valora el decisor la información que le va a proporcionar el espía, exclusivamente sobre la reacción de la competencia. •
Si se produce c , la cantidad que obtiene será: 0.5
a
a1 a2
120 100
0.3
e
90 100
0.2
r
70 100
VE i 101 100 ∗
Luego en esta situación la alternativa óptima es a1 = 100 → r1 = 101 •
Si se produce c , la cantidad que obtiene será: 0.5
0.3
0.2
150 100
110 100
80 100
a
a1
a2
e
r
VE i 124 100 ∗
Luego en esta situación la alternativa óptima es a1 = 100 → r2 = 124 Así pues se tiene: 7
⇒ Resultado Esperado de la Información de Muestra (VEIM) y el Valor Esperado de Riesgo (VER) es: VEIM = ∑ r j∗ p j = 101·0.4 + 124·0.6 = 114.8 j
VER = 114.8
⇒ Valor de la Información Perfecta (VIP) será: VIP = VEIM − VER = 114.8 − 114.8 = 0 Como el Costo de la Información Perfecta (CIP) que pretende el espía industrial es 10000$us, se tiene:
CIP > VIP 0.01 > 0
∴ El Jefe de Marketing no hará el contrato con el espía industrial, como VIP es 0, la información del espía tiene un valor nulo para el Jefe.
LÍNEAS DE ESPERA 4.
Un equipo de fútbol tiene 3 jugadores que son considerados como claves para el buen rendimiento del equipo. Se ha comprobado que a lo largo de su vida deportiva un jugador de estas características se lesiona de media una vez cada 18 meses. La lesión producida le obliga a permanecer de baja una media de 2 meses, después de lo cual vuelve a estar disponible para el entrenador. Los tiempos se suponen distribuidos exponencialmente. a.
Formalizar el comportamiento de este sistema mediante un modelo de colas.
3λ
0
2λ
1
μ
λ 2
2μ
3
3μ
Se trata de un modelo M/M/3/-/3. Es decir, población finita, N=3 jugadores, y s=3 servidores, ya que los tres jugadores se recuperan simultáneamente. b.
Dentro de un mes el equipo debe jugar un partido decisivo. ¿Cuál es la probabilidad de que el entrenador no pueda disponer de ninguno de los 3 jugadores claves para ese partido por estar lesionados?
8
P3 = C 3 ·P0 ;
P0 =
1 ∞
∑C n =0
n
1
C1 =
3! ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ ⎟ = ; 2!·1! ⎝ 9 ⎠ 3
⎛λ⎞ N! ⎜ ⎟ Cn = ( N − n)!n! ⎜⎝ μ ⎟⎠
1 = ; C 0 + C1 + C 2 + C 3
2
C2 =
3! ⎛ 1 ⎞ 1 ; ⎜ ⎟ = 1!·2! ⎝ 9 ⎠ 27
n
3
C3 =
3! ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ ⎟ = 0!·3! ⎝ 9 ⎠ 729
∴ P0 =
1 1 729 = = = 0.729 1 1000 C 0 + C1 + C 2 + C 3 1 + 13 + 271 + 729
⇒ P3 = C 3 ·P0 =
1 729 = 0.001 · 729 1000
∴
La probabilidad que los tres jugadores estrella estén lesionados al mismo tiempo es de 0.1%, prácticamente casi nula. c.
¿Cuál es el número medio de lesiones de jugadores clave que se producen por temporada (12 meses)? _
λ = ( N − L)·λ ∞
L = ∑ n·Pn n =0
Hallando la probabilidad de que 1, 2, ó 3 jugadores estén lesionados
1 729 = 0.243 P1 = C1 ·P0 = · 3 1000 1 729 = 0.027 P2 = C 2 ·P0 = · 27 1000 P3 = 0.001 Reemplazando en la ecuación del número promedio de lesionados en atención (sistema). 3
L = ∑ n·Pn = 1·P1 + 2·P2 + 3·P3 = 1·0.243 + 2·0.027 + 3·0.001 = 0.3[lesionados ] n =1
Con este dato hallamos el número medio de lesionados por temporada
λ = ( N − L)·λ = (3 − 0.3)·181 = 0.15[lesiones mes ] _
Como la temporada es de 1 año calendario
⇒
≅ 12 meses
λ temporada = 0.15·12 = 1.8[lesiones temporada ] __
9
∴ El número de jugadores lesionados estrella por temporada es aproximadamente de 2 jugadores. d.
Por cada jugador clave que está de baja el club pierde 100 millones de $us. al mes. ¿A cuanto ascienden las pérdidas por lesiones por temporada (12 meses)? Como el costo por el tiempo en atención (sistema) es
E [WC ] = CW ·L Entonces el costo por lesión será
E [WC ] = CW ·L = 100 MM × 0.3 = 30[MM $us mes ]
⇒
El costo por toda la temporada asciende a:
Costo Temporada = 30[MM $us mes ]× 12[meses ] = 360[MM $us ] e.
¿Cuál es el número medio de jugadores clave que están disponibles en cada partido?
(N − L ) = 3 − 0.3 = 2.7[ jugadores ]
∴ Los jugadores clave disponibles por partido, son aproximadamente 3 f.
Suponiendo los 3 jugadores clave lesionados en un momento dado, ¿cuánto tendrá que esperar por término medio el entrenador hasta poder disponer de alguno de estos jugadores? Estamos en el estado 3, por tanto la tasa de servicio, o de ‘recuperación de jugadores’ es 3µ. _
t=
1 1 2 = 1 = = 0.667[meses] 3μ 3· 2 3
∴ El tiempo medio que tendrá que esperar el entrenador es de 0.667 meses que aproximadamente es de 3 semanas. g.
Uno de estos 3 jugadores es el ídolo de la afición y buena parte de los seguidores del club van al campo con el único propósito de verlo jugar. ¿Cuál es la probabilidad de que un aficionado que va a ver un partido al campo no pueda contemplar el juego de su ídolo? Si hay 1 jugador lesionado, existe una probabilidad de 1/3 de que sea el ídolo. Si hay 2 jugadores lesionados, existe una probabilidad de 2/3 de que un de ellos sea el ídolo. Si están todos lesionados, seguro que el ídolo lo está.
P = 13 ·P1 + 23 ·P2 + P3 = 13 ·0.243 + 23 ·0.027 + 0.001 = 0.1
∴ La probabilidad de que el aficionado no pueda contemplar a su ídolo en el partido es de 10% 5.
Supongamos que un sistema de colas tiene dos sirvientes, distribución de tiempo entre llegadas exponenciales, de media 2 horas, y distribución de tiempos de servicio exponencial de media 2 horas. Sabemos que un cliente ha llegado a las 12:00 de mediodía. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llegadas entre 1:00 p. m. y 2:00 p. m. sea cero?, ¿Uno?, ¿Dos o más? Solución Consideremos como unidad de tiempo un intervalo de amplitud 1 hora. La variable aleatoria T “tiempo entre dos llegadas consecutivas” es exponencial de media (1/λ) = 2 horas.
⇒ λ = ½. 10
Equivalentemente, la variable aleatoria n(T) “número de llegadas por unidad de tiempo” es Poisson de media λ = ½ llegadas/hora. Sabemos que para una variable de Poisson P{n(T ) = x} =
e − 2 ( 12 ) 1 = e− 2 ; Por tanto, P{n(T ) = 0} = 0!
e − 2 ( 12 ) e− 2 P{n(T ) = 1} = = 1! 2
0
1
e −λ λx x! 1
1
1
P{n(T ) ≥ 2} = 1 − P{n(T ) < 2} = 1 − P{n(T ) = 0} − P{n(T ) = 1} = 1 − e 6.
e− 2 − 2 1
− 12
Consideremos los siguientes diagramas de tasas, correspondientes a diferentes modelos de colas para procesos de nacimiento y muerte. i.
λ
λ
λ
1
0
λ
2
cμ
c2μ
3
…
λ
n-1
n+1
n
c3μ
cnμ
c n +1 μ
Donde c es una constante, 0 < c < 1 ii.
λ
λ
0
1
μ
λ
λ
2
4
3
2μ
3μ
λ
3μ
λ 5
λ
n-1
…
3μ
n+
n
3μ
…
3μ
iii.
λ
1
0
μ a.
λ
λ
2
2
μ
λ
3
3
μ
…
λ
n
n-1
n +1
n+1
n
μ
…
μ
Para los modelos anteriores (i, ii y iii) describa brevemente el sistema, a que tipo de situaciones corresponden. Solución
11
i.
Población infinita. Cola infinita. Tiempo entre llegadas exponencial de parámetro λ. Un único servidor cuya tasa de servicio depende del estado (número de individuos en el sistema). La tasa de servicio del servidor disminuye cuanta más gente hay (0
ii.
Población infinita. Cola finita. Tiempo entre llegadas exponencial de parámetro λ.. Hay tres servidores. El segundo servidor se incorpora cuando hay 2 individuos en el sistema, pero el 3er. Servidor no se incorpora hasta que haya 4 individuos en el sistema. Todos los servidores tienen la misma tasa de servicio μ.
iii.
7.
Población infinita. Cola infinita. La tasa de llegadas depende del número de individuos en el sistema: decrece inversamente con el número de individuos en el sistema. Un único servidor con tasa de servicio μ.
A un determinado sistema de manufactura, están llegando piezas para ser procesadas de acuerdo a un Proceso de Poisson { N (t ), t ≥ 0 } , a tasa λ piezas hora .
[
a.
b.
]
[α , β ], con
0 < α < β han llegado n piezas al sistema. Determine una expresión simplificada para la probabilidad que en el intervalo [0, α ] hayan llegado j de ellas. Suponga que en
Determine una expresión simplificada para la distribución de probabilidades del número de piezas que llegan al sistema en el intervalo α , β , x ≤ n.
[
]
Solución a.
Asumiremos que con, “han llegado j de ellas” o sea que lleguen j piezas del mismo tipo dado que han llegado n. Con estos datos se tiene que:
P{N (α ) = x / N ( β − α ) = n} = P{N (α ) = x / N ( β ) − N (α ) = n} ← Por incrementos estacionarios P{N (α ) = x / N ( β − α ) = n} = P{N (α ) = x} ← Por incrementos independientes P{N (α ) = x / N ( β − α ) = n} = b.
e − λα ( λα ) x x!
← Por distribución de procesos de Poisson
La distribución de probabilidades del número de piezas que llegan al sistema en el intervalo
P{N ( β ) − N (α ) = x} = P{N ( β − α ) = x} = e −λ ( β −α ) · 8.
(λ ( β − α ) )x x!
[α , β ] quedaría:
← Incrementos estacionarios. ∀x = 0,1,2,3, K
Los comerciantes de una calle de Barcelona han instalado recientemente el alumbrado navideño. Este consiste en 5 adornos luminosos idénticos que representan árboles de navidad, que están distribuidos de forma homogénea a lo largo de la calle. Cada adorno luminoso se estropea en media una vez a la semana, estando distribuido exponencialmente el tiempo que transcurre entre 2 averías consecutivas de un mismo adorno. Se ha contratado un técnico para reparar los adornos estropeados. El precio establecido es de 8.000 $us. diarias fijas mas otras 5.000 $us. por cada adorno reparado. El técnico tarda en media dos días en reparar un adorno luminoso, siguiendo una distribución de Poisson el número de adornos reparados al día. La asociación de comerciantes ha decidido no poner en marcha la iluminación los días en que no estén operativos por lo menos 2 adornos luminosos. Para intentar que esto ocurra el menor número de ocasiones posible, cuando hay 3 ó más adornos estropeados el técnico es ayudado por un aprendiz lo cual reduce el tiempo de arreglo a un día y medio, pero aumenta su tarifa en esas ocasiones a 7.500 $us. por adorno para cubrir los gastos del ayudante (manteniendo el precio fijo). Los comerciantes han observado que cuando la iluminación no está en marcha se reducen notablemente los clientes potenciales de la zona lo cuál supone una pérdida estimada de 500.000 $us. /día en ventas. Por este motivo se plantean contratar adicionalmente otro técnico igual de eficiente del actual que trabajaría con las mismas condiciones y tarifas (ahora ya no sería necesario ningún ayudante).
12
a. b. c. d.
Construya un modelo de colas adecuado para representar la situación actual y describa sus parámetros: tasas de llegadas, tasas de servicio, tamaño del sistema, tamaño de la población ¿Qué porcentaje de días no se pone en marcha la decoración navideña? ¿Cuál es el costo medio diario total asociado a la decoración navideña? ¿Merece la pena contratar el nuevo técnico?
Solución a. 5λ
0
4λ
1
[
1 llegadas 7 día por adorno
5· 17
μ=
1
2
[
servicios
µ1
día por técnico
10 = 1.429 ⇒ 7 2 5·( 17 )·4( 17 ) 2 C2 = = 80·( 17 ) = 1.633 2 C1 =
=
1
3
µ
];
2λ
2
µ
λ=
3λ
µ1
];
μ1 = 2 3 [servicios día
1 1 + C1 + C 2 + C3 + C 4
por técnico con ayudante
]
P1 = 0.257 ⇒
P = 0.294
2 ( 12 ) 5·( 17 )·4( 17 )·3( 17 ) 3 C3 = = 360·( 17 ) = 1.050 ⇒ 2 ( 12 ) ( 2 3 ) 5·( 17 )·4( 17 )·3( 17 )·2( 17 ) 4 C4 = = 1080·( 17 ) = 0.450 2 2 2 1 ( 2) ( 3)
P0 =
4
P3 = 0.189 ⇒
P4 = 0.081
= 0.180
b.
P4 = 0.081 c.
Costo = 500000 P4 + [8000 + 5000μ (P1 + P2 ) + 7500μ1 (P3 + P4 )]
Costo = 40500 + [8000 + 2500·0.551 + 5000·0.270] = 51227.50[$us día ] d. 5λ
0
4λ
1
µ
3λ
2
2µ
2λ
3
2µ
4
2µ 13
10 = 1.429 ⇒ P1 = 0.387 7 2 5·( 17 )·4( 17 ) 2 C2 = = 40·( 17 ) = 0.816 ⇒ P2 = 0.221 1 1 ( 2 )·2( 2 ) 5·( 17 )·4( 17 )·3( 17 ) 3 C3 = = 120·( 17 ) = 0.350 ⇒ P3 = 0.095 2 1 1 ( 2 )[2( 2 )] 5·( 17 )·4( 17 )·3( 17 )·2( 17 ) 4 C4 = = 240·( 17 ) = 0.09995 ⇒ P4 = 0.027 2 1 1 ( 2 )[2( 2 )] C1 =
5· 17 1
=
P0 =
1 1 + C1 + C 2 + C 3 + C 4
= 0.271
El nuevo costo es:
Costo nuevo = 500000 P4 + [16000 + 5000[P1 μ + 2μ (P2 + P3 + P4 )]] Costo nuevo = 13527.22 + [16000 + 2730.07] = 32257.29[$us día ]
El costo nuevo es menor que el costo actual
∴ es conveniente contratar al nuevo técnico.
9. Un centro de atención primaria tiene que administrar la vacuna de poliomielitis a los niños de un barrio. El centro está organizado de forma que los padres van llegando con los niños, forman una cola, y se atienden 40 por hora, con una distribución exponencial, por cualquiera de las enfermeras que están de servicio. Este servicio de vacunación se ofrece una vez a la semana, y en este día las llegadas se realizan con una tasa igual a 40 niños por hora. El director del centro sabe que la mayoría de los padres vienen durante sus horas de trabajo y por ello quiere limitar el tiempo total de administración de la vacuna a 15 minutos (incluyendo la espera) ¿Cuántas enfermeras tendrá que usar el gerente? Solución El proceso de vacunación se puede modelar con una M/M/s, donde s es el número de enfermeras. Los parámetros del sistema son
λ = 40
y
μ = 40 ;
por tanto, el factor de utilización es
ρ = 40 40 s =
1
s
.
Para que el sistema tenga estado estacionario y éste sea independiente del estado inicial es necesario que (No puede haber una única enfermera).
ρ < 1 ; por tanto, s ≥ 2
Cuanto mayor sea el número de enfermeras, menor será el tiempo medio en el sistema; por tanto, calcularemos los tiempos medios de administración de la vacuna para valores crecientes de s (desde s = 2) hasta que éste quede debajo de 15’.
[
Para s = 2, w = 130 horas director del centro.
]
es decir w = 2 minutos. Por tanto, 2 enfermeras serán suficientes para conseguir los propósitos del
10. En un Banco hay una sola caja. El cajero tarda un tiempo medio de quince minutos con cada cliente. Por razones de seguridad sólo se admiten dos clientes en el Banco: uno en caja y otro esperando. Los clientes que llegan cuando ya hay dos clientes en el Banco, se van. Los clientes llegan a un promedio de tres por hora. a. b.
¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue se tenga que ir? Habiendo encontrado el Banco lleno un día, lo intenta el día siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que de nuevo no pueda entrar?
Solución 14
El sistema se puede modelar como una cola M/M/1/2. Es decir, la capacidad del sistema es:
k = 2, con λ = 3[clientes hora ], μ = 4[clientes hora ], ρ =
a.
λ
μ
=
3
4
La probabilidad de que haya 2 clientes en el sistema. 1 ρ k (1 − ρ ) ρ 2 (1 − ρ ) ⎛ 3 ⎞ 1 − 34 9 ⎛3⎞ 4 = = = p2 = = ≅ 0.2432 ≈ 34.32% ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ k +1 3 3 3 37 1− ρ 1− ρ ⎝ 4 ⎠ 1 − (34 ) ⎝ 4 ⎠ 1 − (34 ) 2
2
b.
Se tiene los siguientes sucesos:
a1 = No hay sitio el primer día a 2 = No hay sitio el segundo día Para calcular P(a1∩a2 ) se debe tomar en cuenta que lo que suceda un día es independiente de que lo que suceda el siguiente día, lo cual permite calcular la probabilidad de la intersección de sucesos como el producto de sus probabilidades.
P (a2 a1 ) =
P ( a1 ∩ a2 ) P ( a1 )
=
P ( a1 )· P ( a2 ) P ( a1 )
= P(a 2 ) = p 2 =
9 37
≅ 0.2432
11. Usando el número medio de clientes en el sistema como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas:
Alternativa 1: λ/2
Alternativa 2:
μ/2 μ/2
λ μ/2
λ/2
μ/2
Solución Alternativa 1 (se puede notar que hay 2 colas):
L1 = 2
ρ1 λ 2ρ = , donde ρ = μ 1 − ρ1 1 − ρ
Alternativa 2:
ρ2 =
λ λ = =ρ μ μ
2
2
n 2 −1 ⎛ 22 ρ 2 ( 2ρ ) ⎞ ⎟ ⎜ p02 = ⎜ +∑ ⎟ ( ) ρ 2 ! 1 n ! − n =0 ⎠ ⎝
−1
15
−1
⎛ 4ρ 2 ⎞ ⎛ 4ρ 2 + 2 − 2ρ + 4ρ − 4ρ 2 ⎞ ⎟⎟ p02 = ⎜⎜ + 1 + 2 ρ ⎟⎟ = ⎜⎜ 2(1 − ρ ) ⎝ 2(1 − ρ ) ⎠ ⎝ ⎠
−1
−1
⎛ 2 + 2ρ ⎞ 1− ρ ⎟⎟ = p02 = ⎜⎜ 1+ ρ ⎝ 2(1 − ρ ) ⎠
⎛ 1⎞ 2λ L2 = λW2 = λ ⎜⎜Wq 2 + μ ⎟⎟ = λWq 2 + = λWq 2 + 2 ρ μ 2 ⎠ ⎝ L2 = Lq 2 + 2 ρ =
L2 =
4 ρ 3 p02 2 ρ 3 (1 − ρ ) + 2ρ + 2 ρ = 2 (1 − ρ )2 (1 + ρ ) 2(1 − ρ )
2ρ 3 2ρ 3 + 2ρ − 2ρ 3 2ρ + 2ρ = = (1 − ρ )(1 + ρ ) (1 − ρ )(1 + ρ ) (1 − ρ )(1 + ρ )
Para que la alternativa 2 sea mejor, ha de cumplirse que L1>L2:
⎧ 2ρ ⎫ 2ρ 2ρ 1 > ⇒⎨ > 0⎬ ⇒ 1 > 1 − ρ (1 + ρ )(1 − ρ ) ⎩1 − ρ 1+ ρ ⎭ ⇒ 1+ ρ > 1 ⇒ ρ > 0 Como ρ > 0 siempre se cumple, → se tiene que la alternativa 2 siempre es mejor, Es decir, no conviene poner dos colas, sino tener una única cola global
16
