PROBLEMAS RESUELTOS DE SELECTIVIDAD - ELECTROMAGNETISMO
1. Por un conductor rectilíneo de gran longitud circula una corriente I = 2 A. a) Dibuja las línea líneass del campo magn magnético ético cre creado ado por esta corrient corriente. e. S i en las prox proximida imidades des del conductor conductor situamos una brújula que puede orientarse libremente en cualquier dirección, ¿cómo se orientará?
b) Situamos junto al conductor anterior una espira rectangular rígida por la que circula una corriente I' = 1 A, tal y como se indica en la figura. Calcula la fuerza (módulo y orientación) que actúa sobre cada uno de los dos lados paralelos al conductor. Dato: -7 -2 0 /(4 · ) = 10 m · kg · C c) ¿Qué fuerza neta actúa sobre toda la espira?
a) La brújula señalará en el sentido de las líneas de campo magnético.
b) La fuerza en el conductor se debe a la presencia del campo magnético: r
r
B=
r
La fuerza es: F = I' · l × B Puesto que el conductor es perpendicular al campo magnético el módulo de la fuerza es: F=
µ 0 · I · I' · l 2· π· r
Sustituyendo para cada lado de la espira se tiene que: F1 = F2 =
µ0
· I · I' · l
2 · π · r1 µ0
· I · I' · l
2 · π · r2
=
=
4 · π · 10-7 · 2 · 1 · 0,1 2 · π · 0,05 4 · π · 10 -7 · 2 · 1 · 0,1 2 · π · 0,1
= 8 · 10
-7
N
-7
N
= 4 · 10
c) La fuerza neta es la resta de ambas puesto que tienen sentidos diferentes: F = F 1 - F2 = 8 · 10 -7 - 4 · 10-7 = 4 · 10 -7 N La fuerza entre los dos conductores laterales se anula entre sí.
µ0 · I 2· π· r
2. a) Escribe la expresión de la “fuerza de Lorentz” y comenta su significado y características. b) Cuando una partícula con carga q y masa m se mueve en una región donde existe un campo magnético uniforme, con velocidad v perpendicular a las líneas de B , realiza una trayectoria circular. ¿Por qué? Determina el periodo de la revolución. r
r
a) La Fuerza de Lorentz indica la fuerza que sufre una carga eléctrica cuando se mueve en el seno de campos magnéticos y eléctricos. La expresión es: F = q( E + v × B ) r
r
r
r
Las principales consecuencias son que la fuerza eléctrica es paralela al campo eléctrico, mientras que la magnétic magnéticaa es perpendicular al campo magnético magnético y a la velocidad de propagación, con un módulo que depende del ángulo que formen entre las dos. b) Puesto que la fuerza magnética es perpendicular a la trayectoria en todo momento, y puesto que el campo magnético también lo es, se trata de una fuerza centrípeta que proporcionará trayectorias circulares. v2 v q =q · v · B⇒ = La fuerza centrípeta es la fuerza magnética, por tanto: m · ·B R R m 2 · π· R 2· π· m = El periodo de una revolución será: T = v q· B
3. En una región del espacio existe un campo eléctrico uniforme E = 1 000 N · C -1. En un punto P de esta región, donde supondremos que el potencial elécrico es nulo, V(P) =0, liberamos un protón con velocidad inicial nula. Calcula su energía potencial y su velocidad cuando haya recorrido una distancia d =10cm. Datos: e = 1,6 · 10 -19 C, mP = 1,7 · 10 -27 kg. La energía potencial será: U = -q · E · d = -1,6 · 10 -19 · 1 000 · 0,1 = -1,6 · 10 -17 J La energía cinética compensará esta variación de energía potencial y la velocidad será: 1 2
· m · v2
v=
−2
+ ∆E p = 0
· ∆Ep m
=
2 · 1,6 · 10 -17 1,7 · 10
-27
=137
199 m· s -1
4. Una línea de alta tensión de 220 kV transporta energía eléctrica desde desde una central hasta una ciudad. a) Explica por qué el transporte de energía eléctrica se realiza a tan altas tensiones. b) Para reducir esta tensión hasta su valor de consumo doméstico, 220 V, se emplea un único transformador con 20 espiras en el circuito secundario. ¿Cuántas espiras debe tener el primario? a) La potencia que disipa un cable de resistencia R es: Pdisipada = R · I2, por tanto cuanta menor sea la intensidad menos potencia se disipará. Para tener intensidades bajas es necesario tener altas diferencias de potencial ya que Ptransportada = I · V. ε
b) La relación entre las bobinas es:
=
'
ε
N
⇒
N'
N
=
N' ·
ε = ε
'
20 ·
220 000 220
=
20 000 espiras
5. a) Una partícula con carga q se mueve con velocidad v por una región donde existe un r
r
campo magnético B . ¿Qué fuerza actúa sobre ella? Explica las características de esta r
fuerza. ¿Para qué orientación relativa entre v y B es nula dicha fuerza? b) Un electrón que viaja con velocidad v0 = 107 m/s penetra en la región sombreada de la figura, donde existe un campo magnético uniforme. Se observa que el electrón realiza una trayectoria R semicircular de radio R = 5 cm dentro de dicha región, de forma que sale de ella moviéndose en dirección paralela a la de incidencia, pero en sentido opuesto. Determina el módulo, dirección y sentido del campo magnético que existe dentro de esa región. Relación carga/masa del electrón: e/m = 1,76 · 10 11 C/kg r
a) La fuerza que actúa es la de Lorentz en ausencia de campo eléctrico. Su fórmula es: r
r
F = q v× B r
Esta fuerza es proporcional al valor de la carga, y depende del valor de la velocidad, del valor del campo magnético y del ángulo entre ellos. Además es perpendicular a ambas. La fuerza es nula cuando la carga se mueve paralelamente al campo magnético. b) El campo magnético tiene que ser perpendicular a la trayectoria en todo punto, de manera que entra o sale del papel. Al tratarse de una carga negativa se tiene que el campo magnético sale perpendicularmente de la hoja. Al tratarse de una órbita circular se tiene que la fuerza magnética es la fuerza centrípeta. Además, puesto que el campo magnético es perpendicular a la velocidad de la carga se tiene: q v B = mv
2
R Por tanto:
B=
m v q R
=
1
10 7
1,76 · 1011 0,05
=
1,14 · 10 -3 T
6. a) Explica el concepto de campo eléctrico creado por una o varias partículas cargadas. b) Dos partículas con carga q = 0,8 mC, cada una, están fijas en el vacío y separadas una distancia d = 5 m. Determina el vector campo eléctrico que producen estas cargas en el punto A, que forma un triángulo equilátero con ambas. c) Calcula el campo y el potencial eléctricos en el punto medio entre las cargas, B. Constante de Coulomb: K = 1/(4 π ε o) = 9 · 109 N m2 C-2
A
B
a) Las partículas cargadas generan un campo eléctrico en todos los puntos del espacio que hacen que cualquier carga que se sitúe en él sufrirá una fuerza eléctrica que tendrá la dirección, sentido y módulo del producto del campo por la carga. Cuando el campo es generado por varias cargas el campo total será la suma de los campos generados por cada una de ellas, considerando que los campos tienen carácter vectorial. b) El campo total será la suma de los campos generados por las dos cargas. En el eje x su suma se anula, mientras que en el eje y su suma es el doble de lo que aporte cada carga. Por tanto:
E E
=
=
r
E
2 E y
=
2K
2 · 9 · 10
Q r 2
cos 30 º
8 · 10 -4
9
52
cos 30 º
A =
5,0 · 10 5 N/C
5,0 · 105 j N/C r
=
B c) En B el campo total es nulo, ya que se anulan los campos de las dos cargas. El potencial será: V V
=
=
2V Q
=
2 K
2 · 9 ·10
9
Q r
8 ·10 - 4 2,5
=
5,76 · 10 6 V
7. Una espira conductora cuadrada, de lado L = 20 cm, está situada en una región donde existe un campo magnético uniforme B = 0,2 T perpendicular al plano de la espira y, en la figura, con sentido saliente. a) Calcula la f.e.m. media inducida en la espira cuando ésta rota 90º en torno a un lado en un intervalo de tiempo t = 0,1 s. b) Si la espira permanece fija, pero el campo magnético se duplica en el mismo intervalo de tiempo indicado, ¿cuál es la f.e.m. inducida inducida? ? Razona en qué sentido tiende a circular corriente por la espira.
a) Para Conocer el valor de la fuerza electromotriz inducida hay que calcular el valor de la variación del flujo en función del tiempo. El área de la espira es: s L2 0,2 2 0,04 m 2 A rotar 90º, la espira pasa de ofrecer toda su superficie al campo a no ofrecer ninguna superficie. Como lo único que varia es el área de la espira: =
∆Φ
=
B· ∆s;
=
ε
=
B·∆s
∆Φ =
−
∆t
=
−
=
∆t
−
B·(s f
−
∆t
s0 )
0,2·(0 =
−
−
0,04 )
0,1
=
0,08 V
b) el procedimiento es el mismo que el del apartado anterior, pero ahora lo que varía es el campo magnético que atraviesa la espira. (B f B 0 )·s (0,4 0,2)·0,04 ∆B· s ∆Φ 0,08 V ∆Φ ∆B· s; ε 0,1 ∆t ∆t ∆t −
=
=
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
El valor de la f.e.m. inducida en cada caso es el mismo, pero con diferente signo ya que en el primer apartado se producía una disminución del flujo y en el segundo apartado se produce un aumento.
a) Explica qué son las líneas de fuerza de un campo eléctrico. ¿Cómo están relacionadas con las superficies equipotenciales? b) Explica cómo son y dibuja las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales del campo creado por una esfera cargada positivamente y por una placa plana indefinida cargada negativamente. Supón que, en ambos casos, las densidades de carga son uniformes.
8.
RESPUESTA a) Las líneas de fuerza del campo eléctrico son unas líneas imaginarias tangentes al vector fuerza que actuaría sobre la unidad de carga positiva. Si abandonamos libremente una unidad de carga positiva en un campo de fuerzas la trayectoria que seguiría coincide con las líneas de campo cuando dichas líneas son rectas. Las superficies equipotenciales son zonas del espacio donde el valor del potencial es el mismo y por tanto no se consume energía al desplazarse por ellas. Siempre son perpendiculares alas líneas de campo.
b) Las líneas de campo de la esfera son radiales partiendo perpendiculares desde la superficie de la esfera. Las superficies equipotenciales tienen la misma forma que la esfera que produce el campo.
V1
-Q
V1
Q V2
V1
Las líneas de campo de la placa son perpendiculares a la placa y paralelas entre si. Tienen sentido hacia la placa y las superficies equipotenciales son planas y paralelas a la placa.
9. a) Enuncia y explica las Leyes de Faraday y Lenz. Un alambre conductor se dobla en forma de U, con sus lados paralelos separados una distancia d = 20 cm. Sobre estos lados se apoya una varilla conductora, formando un circuito rectangular por el que puede circular corriente eléctrica. Existe un campo magnético uniforme de intensidad B = 0,2 T perpendicular al plano del circuito y, en la figura, dirigido hacia adentro. La varilla se mueve como indica la figura, con velocidad uniforme v = 0,5 m/s. b) Calcula la f.e.m. inducida en el circuito. c) ¿En qué sentido circula corriente por la varilla? Razona tu respuesta.
a) Faraday explicó los fenómenos de inducción electromagnéticas señalando que en todos los experimentos en los que se producía una fuerza electromotriz inducida(f.e.m.) había tenido lugar previamente un a variación del flujo que atravesaba el circuito.
Ley de Faraday-Henry : La fuerza electromotriz ε inducida en un circuito es igual a la variación, por unidad de tiempo, del flujo magnético Φ que lo atraviesa. dΦ
ε =
dt La ley de Faraday indica el valor de la f.e.m. pero no su sentido. Este aspecto fue investigado por Lenz.
Ley de Lenz: El sentido de la corriente inducida se opone a la variación del flujo que la produce. Las leyes de Faraday y Lenz se sintetizan conjuntamente en la expresión: ε =−
dΦ
dt b) Calculamos en primer lugar el valor del flujo para poder conocer sus variaciones con el tiempo. Φ=
B·s = B·(d·v·t ) = 0,2·0,2·0,5·t ε =−
dΦ dt
=
0,02 t Wb
= −0,02 V
c) La corriente gira en el sentido de las agujas del reloj para que el flujo que genere por autoinducción compense el aumento que se produce al desplazársela varilla y aumentar la superficie del circuito.
10. En el átomo de hidrógeno el electrón se encuentra sometido al campo eléctrico y gravitatorio creado por el protón. a) Dibuja las líneas del campo eléctrico creado por el protón así como las superficies equipotenciales. b) Calcula la fuerza electrostática con que se atraen ambas partículas y compárela con la fuerza gravitatoria entre ellas, suponiendo que ambas partículas están separadas una dist di stan anci cia a de 5,2· 5,2· 10-11 m. c) Calcula el trabajo realizado por el campo eléctrico para llevar al electrón desde un punt o P1, situ situad ado o a 5,2 5,2·· 10-11 m del núcleo, a otro punto P2, sit situa uado do a 8· 8· 10-11 m del núcleo. Comenta el signo del trabajo.
a) Las superficies equipotenciales son circunferencias y las líneas de campo son rectas radiales hacia fuera del protón.
b) La fuerza electrostática: Fe
=
K·
q e ·q p r
2
=
9
9·10 ·
(1,6·10
19
−
(5,2·10
2
)
11 2
−
)
=
8 ,52 10 ⋅
8
−
N
La fuerza gravitatoria: Fg
=
G·
m e mp ⋅
r
=
2
W
=
W
=
6,67 10 ⋅
11
−
·
9,1 10 ⋅
−
31
=
1,67 10
⋅
K qe qp ( ⋅
⋅
⋅
1 R1
9 10 9 ·(1,6 10 ⋅
⋅
−
19
−
1,55 10 ⋅
18
−
⋅
(5, 2 10
1 R2
)2 ( ⋅
−
27 =
11 2
−
)
3,74 10 ⋅
47
−
N
) 1 5,2 10 ⋅
W
⋅
1 11
−
−
8 10 ⋅
−
11
)
J
El trabajo es positivo, lo que quiere decir que se aumenta la energía potencial.
la figura se representan algunas superficies 11. En correspondientes a una zona del espacio donde existe un campo electrostático. a) ¿Qué dirección y sentido tendrán las líneas de campo del citado campo eléctrico? b) Si en el instante de tiempo t = 0 situamos un electrón en el punto A y desde el reposo se deja en libertad, ¿cuáles serán la dirección y el sentido de la trayectoria inicial del mismo? c) Una carga eléctrica, ¿se moverá siempre a lo l argo de una línea de campo? Justifica la respuesta.
a) Las líneas indican la dirección y sentido del campo eléctrico.
b) Irá hacia valores de potencial electrostático mayores (hacia V1), ya que al ser una carga de signo negativo minimiza su energía potencial aumentando el valor del potencial electrostático. La dirección será paralela a las líneas de campo dibujadas en el apartado a. c) Seguirá la línea de campo siempre que partan del reposo. Si tiene una velocidad inicial ya no lo hará. Las cargas positivas se mueven en el sentido de las líneas de campo y las negativas tienen el sentido contrario.
12. Una carga q = 30 mC penetra en una zona de campo magnético constante, cuya 12. intensidad es B = 0,05 T, con una velocidad de 4000 m/s que forma un ángulo de 30º con el campo. a) Calcular la fuerza que actúa sobre la carga. (Módulo y componentes) b) La misma carga que antes, y con la misma velocidad, incide ahora perpendicularmente al campo B. Calcular el campo eléctrico necesario para que la fuerza total sobre la carga sea nula. (Módulo y componentes).
a) El valor de la fuerza lo obtenemos sustituyendo los datos en la expresión: r
(
r
)
F = q· v × B ; r
−
F = q·v·B·sen30
6
3
−
F = 30·10 ·4000·0,05·sen30 = 3·10 N Como se obtiene mediante un producto vectorial, la fuerza tendrá dirección perpendicular r
al plano que formen los vectores v y B y su sentido será el que resulte de aplicar la regla del tornillo. r
r
Por ejemplo si se considera que B está dirigido en el sentido positivo del eje z y v forma 30 con este eje en el plano YZ el vector de la fuerza estará dirigido en el sentido positivo del eje X.
v
r
B
F
El vector velocidad se puede descomponer en dos vectores, uno r
paralelo y otro perpendicular al B . Cuando se realiza el r
producto vectorial de B por la componente paralela del vector velocidad no se obtiene fuerza, solo la componente perpendicular proporciona una fuerza que como es perpendicular obliga a la carga a realizar un movimiento circula que unido al de la velocidad que esta dirigida en el sentido del campo produce un movimiento helicoidal.
vz
v
B vy F
b) Hay que igualar a cero el valor de la fuerza de Lorentz:
(
r
r
r
F = q· E + v × B r
)
=
0
r
Si v y B forman 90º, el modulo de la fuerza será: r
F = q(E + vB) = 0
⇒
E
= −
vB;
E
200 N / C
= −
Como la carga sobre la que ejerce la fuerza es positiva, el campo E hay que aplicarlo en sentido contrario a la fuerza magnética que como se vio en el apartado anterior es r
perpendicular al plano que forman v y B y su sentido es el de la regla del tornillo. r
13. Dos esferas conductoras aisladas y suficientemente alejadas entre sí, de 6 y 10 cm de radio, están cargadas cada una con una carga de 5 · 10 -8 C. Las esferas se ponen en contacto mediante un hilo conductor y se alcanza una situación de equilibrio. Calcula el potencial al que se encuentra cada una de las esferas, antes y después de ponerlas en contacto, y la carga de cada esfera cuando se establece el equilibrio. Dato: K = 9 · 109 N m2 C2
El potencial electrostático de una esfera se puede calcular con el potencial de una carga puntual: V = K
Q R
Sustituyendo para cada esfera:
V 1
=
Q1
K R1
9
9 · 10
=
5 · 10 -8
=
0,06
7 500 V ; V 2
=
K
Q2
=
R2
9 · 10
9
5 ·10 -8
=
0,10
4 500 V
Tras ponerlas en contacto los potenciales se igualan, lo que implica que hay transferencia de carga desde la esfera menor a la mayor. K
Q1
=
R1
K
Q2 R2
; Q = Q1
+ Q2
Despejando y sustituyendo: Q − Q2
=
R1
Q1
=
Q2
⇒
R2 Q − Q2
=
Q2
=
R2 R1
+ R2
10 - 7 - 6,25 · 10 -8
Q =
0,10
=
0,10 + 0,06 3,75 ·10 -8 C
Finalmente, el potencial de ambas esferas será: Q1
V = K R1
=
9 · 10
9
3,75 · 10 -8 0,06
=
5 625 V
10
7
−
=
6,25 · 10 -8 C
y
14.- Dos hilos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos distan entre si 60 cm. El primer conductor está recorrido por una corriente en sentido ascendente de 4 A. a) Si por el segundo conductor no circula corriente, determina el campo magnético en el punto P; b) ¿Cuál ha de ser el valor y sentido de la corriente que debe circular por el segundo conductor para que el campo magnético sea nulo en el punto P?; c) Hallar la fuerza por unidad de longitud que se ejercen entre si los hilos cuando por el segundo conductor circula la corriente calculada en el apartado anterior. ¿Será una fuerza atractiva o repulsiva? -7 0 = 4 ·10 T·m/A
x z
I1 =4 A 40 cm
I2
P
20 cm
a) El campo magnético creado por el primer hilo conductor en el punto P es: B=
4 π·10 7 ·4 −
µ 0 I1
=
2πd
=
2 π·0,8
10
−
6
T
b) Hacemos que el valor del campo creado por el segundo conductor sea igual al del primero y despejamos el valor de la intensidad que debe recorrer el conductor. µ 0I2 2 π·10 6 ·0,2 6 10 = I2 = ⇒ = 1A 7 2π·0,2 4 π·10 −
−
−
Para que los campos aparezcan en sentidos opuesto y se puedan contrarrestar, el sentido de la corriente del segundo conductor debe ser el contrario a la del primero. Por tanto la intensidad I2 debe estar dirigida hacia abajo. c) Aplicando la primera ley de Laplace se tiene: F12
=
I 2 L B1 ·sen 90 = I 2 L B1
=
I2 L
µ 0 I1 2 πa
La fuerza por unidad de longitud es F12 µ 0 I1I 2 F21 =
L F
B2 B1
F21
F12
=
2 πa
L
7
−
=
I1
4 π·10 ·4·1
=
1,3·10 6 N / m −
L 2 π·0,6 Como se puede apreciar en el dibujo, las fuerzas son repulsivas.
I2
15. Un electrón y una partícula alfa (carga q a = 3,2.10 -19 C y masa ma = 6,68.10 -27 kg) penetran perpendicularmente en el mismo campo magnético uniforme y con la misma velocidad. a) Dibuje esquemáticamente las trayectorias descritas por ambas partículas y calcule la relación entre los radios de las órbitas circulares que describen (2 puntos). b) Determine la relación entre sus frecuencias de rotación (1 punto). Carga del electrón e - = 1,6x10 -19 C Masa del electrón me = 9,11x10 -31 kg a) Para ambas partículas cargadas que entran en un campo magnético con velocidad perpendicular a dicho campo, aparecerá una fuerza que provocará la trayectoria circular que se puede ver en la figura.
Para calcular el radio se utiliza la siguiente expresión, que qu e se obtiene de igualar la fuerza de Lorentz con la fuerza centrípeta.
q·v·B = m·
v
m e ·v
2
R
⇒
R
=
m·v
Re
q ·B
R
α
=
q e ·B m ·v α
q ·B α
me =
qe m
α
q
α
b) El período de rotación viene dado por la fórmula:
T
=
2πR
=
2π·m
v
q ·B
2π·m e Te Ta
=
q e ·B 2 π·m a q a ·B
me =
qe ma qa
=
Re Ra
=
f a f e
=
2,72·10
−
4
16. Un electrón y un protón que tienen la misma velocidad penetran en una región donde hay un campo magnético perpendicular a la dirección de su velocidad. Entonces su trayectoria pasa a ser circular. a) Razone cuál de las dos partículas describirá una trayectoria de radio mayor. b) Dibuje esquemáticamente la trayectoria de cada partícula e indique cuál es el sentido de giro de su movimiento. Recuerde que me < mp; qe = –qp a) Sabemos que una partícula cargada que se introduce en un campo magnético con velocidad perpendicular al mismo, comienza a describir una trayectoria circular cuyo radio se obtiene de la siguiente igualdad:
q·v·B = m·
v
2
R
⇒
R
=
m·v q ·B
Como me < mp : El radio de la trayectoria que describe el electrón será menor que el radio de la del protón. b) Ambas partículas describirán una trayectoria circular, pero cada una con un sentido, como se puede ver en la figura: Electrón
Protón
1 7 . a) ¿Cuál es la condición para que una partícula cargada, que se mueve en línea recta, siga en su trayectoria rectilínea cuando se somete simultáneamente a un campo eléctrico y a otro magnético, perpendiculares entre sí y perpendiculares a la velocidad de carga? b) Dibuje las trayectorias de la partícula cargada del apartado a) si sólo existiera el campo eléctrico o campo magnético, y explique en cada caso, si varía la velocidad. a) La fuerza que experimenta una partícula cargada cuando se mueve en un campo eléctrico y un campo magnético, se puede puede escribir como: F = q · (E + v × B ) r
r
r
r
Para Par a que no se desvíe des víe de la trayectoria, trayectoria, las fuerzas tienen que anularse entre sí. Por tanto el módulo de la fuerza eléctrica tiene que ser igual igual que el de la fuerza magnética, magnética, y puesto pue sto que la velocidad es perpendicular a la trayectoria se tiene que: E = v · B Por último, el vector campo eléctrico tiene que tener el sentido contrario al producto vectorial de la velocidad por el campo magnético, para que sus efectos se compensen. Esto se puede ver en la figura. b) Si se quita el campo magnético, las fuerzas que actúan sobre la carga quedan como las de la figura. Puesto que la fuerza que se realiza es constante, la partícula seguirá una trayectoria parabólica. La velocidad según la dirección inicial se mantiene y se acelera en la dirección del campo eléctrico.
Por contra, si se elimina el campo eléctrico, la partícula se moverá con movimiento circular uniforme. El motivo es que la fuerza magnética siempre es perpendicular a la trayectoria de la partícula, comportándose como una fuerza centrípeta.
18. Dos hilos metálicos largos y paralelos, por los que circulan corrientes de 10 A, pasan por dos vértices opuestos de un cuadrado de 1 m de lado situado en un plano horizontal. Ambas corrientes discurren perpendicularmente perpendicularmente a dicho plano y hacia arriba. a) Dibuja un esquema en el que figuren las interacciones mutuas y el campo magnético resultante en uno de los otros dos vértices del cuadrado. b) Calcula los valores numéricos del campo magnético en dicho vértice y de la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre uno de los hilos. Dato: µ 0 = 4 · π · 10-7 N · A-2
a) Las figuras muestran las interacciones entre los dos hilos y el campo magnético resultante en un vértice del cuadrado.
10 A
10 A
10 A
10 A b) En la vista superior, figura derecha, se puede ver que los campos magnéticos forman un ángulo de 90º entre sí. El módulo del campo magnético que genera cada uno de los cables es: µ0 · I 4 · π · 10 -7 · 10 −6 B= = = 2 · 10 T 2· π· R 2· π·1 Por tanto la suma de las dos será: B Total =
2·B=
2 · 2 · 10-6 = 2,83 · 10 -6 T
La fuerza ejercida sobre un cable por el campo creado por otro paralelo a él es: F12 µ0 · I2 4 · π · 10 -7 · 10 -5 N = I1 · B 2 = I 1 · = 10 · = 1, 41 · 10 F12 = I1 · l1 · B2 ⇒ l1 2· π·d m 2· π· 2
19.-
Un solenoide de 20 W de resistencia está formado por 500 espiras circulares de 2,5 cm de diámetro. El solenoide está situado en un campo magnético uniforme de valor 0,3 T, siendo el eje del solenoide paralelo a la dirección del campo. Si el campo magnético disminuye uniformemente hasta anularse en 0,1 s, determine: a) El flujo inicial que atraviesa el solenoide y la fuerza electromotriz inducida. b) La intensidad recorrida por le solenoide y la carga transportada en ese intervalo de tiempo.
a) Como el eje del solenoide es paralelo a la dirección del campo su flujo será el producto del campo por la superficie y por el número de espiras.
2,5 2 = 0,0736 Wb Φ = N B S = 500·0,3 π 2·100 La fuerza electromotriz inducida es la variación del flujo en función del tiempo cambiada de signo. Como la variación es decreciente se considera negativa: ∆Φ 0,0736 ε =− = − − = 0,736 V 0 , 1 ∆t b) La intensidad se calcula aplicando la ley de Omh para el solenoide: 0,736 ε I= = = 0,0368 A = 36,8 mA R 20 como la carga es el producto de la intensidad por el tiempo, se tiene: Q = I·∆t = 0,00368 C = 3,68 mC
20. Un conductor rectilíneo indefinido transporta una corriente de 10 A en el sentido 5 positivo del eje Z. Un protón que se mueve a 2·10 m/s, se encuentra a 50 cm del conductor. Calcule el módulo de la fuerza ejercida sobre el protón si su velocidad: a) Es perpendicular al conductor y está dirigida hacia él. b) Es paralela al conductor. c) Es perpendicular a las direcciones definidas en los apartados a) y b). d) ¿En qué casos de los tres anteriores, el protón ve modificada su energía cinética?.
Un campo magnético produce fuerza sobre una carga eléctrica en movimiento dada por la expresión: r
r r
F = q ( v × B) El valor del campo magnético creado por el conductor es: µ I B= 0 2πd Donde d es la distancia del punto en el que se calcula el campo al hilo conductor. I B
B
El sentido del campo se obtiene aplicando la regla de la mano derecha.
B
B=
4π·10 −7 ·10 2π·0,5·10
−1
= 8·10
−6
T
a) Cuando la partícula se dirige hacia el conductor: α
I B
=90º F = q·v·B·sen90 = 1,6·10
-19
5
B v B F
F = 2,56·10 F se dirige hacia abajo
-19
-6
· 2·10 ·8·10 = N
b) α
v
=90º
v
F = q·v·B·sen90 = 1,6·10
-19
5
-6
· 2·10 ·8·10 =
I B
B F
F = 2,56·10
-19
N
F
F se dirige hacia el hilo conductor B
c) α
= 0º sen 0º = 0
⇒
F=0
I B
B v
v B
d) Solo varía la energía cinética cuando se produce un trabajo. Para que se produzca un trabajo, alguna componente de la fuerza debe aplicarse en la misma dirección que la velocidad. En los casos vistos la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad por lo tanto, no se produce trabajo en ningún caso.
21.-
Una partícula cargada penetra con velocidad v en una región en la que existe un campo magnético uniforme B. Determine la expresión de la fuerza ejercida sobre la l a partícula en los siguientes casos: r
a) La carga es negativa, la velocidad es v = v 0 j y el campo magnético r
r
r
es: B = - B 0 k . r
r
b) La carga es positiva, la velocidad es v = v 0 ( j + k ) y el campo r
r
r
magnético es: B = B 0 j . Nota: Los vectores i , j y k son los vectores unitarios según los ejes X, Y y Z respectivamente.
RESPUESTA: Aplicamos el valor de la fuerza de Lorentz a cada caso:
(
r
r
r
F = q· v × B
r
)
r
r
a) La carga es negativa, -q; v = v 0 j y B = B 0 k r
(
r
r
r
)
F = −q· v 0 j × B 0 k
r
r
r
= −
qv 0 B 0 i
r
r
b) La carga es positiva, q; v = v 0 ( j + k ) y B = B 0 j r
r
(
r
r
r
F = −q· v 0 ( j + k ) × B 0 j
)
r
= −
qv 0 B 0 i
22.- Una espira circular de 0,2 m de radio se sitúa en un campo magnético uniforme de 0,2 T con su eje paralelo a la dirección del campo. Determine la fuerza electromotriz inducida en la espira si en 0,1 s y de manera uniforme: a) Se duplica el valor del campo. b) Se reduce el valor del campo a cero. c) Se invierte el sentido del campo. d) Se gira la espira un ángulo de 90º en torno a un eje diametral perpendicular a la dirección del campo magnético.
RESPUESTA: Consideraremos la espira y el campo en la posición dibujadas. El valor de la f.e.m. se obtiene a partir de la expresión:
B = 0,2 T
ε
= −
dΦ dt
r
donde Φ = B·s
r
El valor de la superficie es: s
=
π·r 2
=
2
π·(0,2 )
=
0,216 m
2
El de B lo calcularemos para cada apartado. a) Consideraremos que el campo magnético es de la forma: B = B0
+
at
=
0,2 + at
Calculamos a: 0,4 = 0,2 + a·0,1
⇒
a
=
2
B = 0,2 + 2 t
ε
= −
dΦ dt
= −
d((0,2 + 2 t )·0,126) dt
0,252 V
= −
s
b) Calculamos a: 0 = 0,2 + a·0,1
⇒
a
= −
2
B = 0,2 − 2t
ε
= −
dΦ
= −
d((0,2 − 2t )·0,126)
dt
=
dt
0,252 V
c) Calculamos a: −
0,2 = 0,2 + a·0,1
a
⇒
= −
4
B = 0,2 − 4t
ε
= −
dΦ
= −
d((0,2 − 4t )·0,126)
dt
=
dt
0,504 V
d) Lo que cambia ahora es la superficie de la espira.
s 0 cos ωt
s
=
s
=
ε
= −
ω
π
φ =
=
t
2
0,1
=
5π
s 0 cos 5πt dΦ = −
dt
B·
ds = −
dt
0,2(− 5πs 0 ·sen5π·0,1)
=
0,2·5π·0,125
=
0,396 V
23. Un hilo conductor, rectilíneo e indefinido, situado en el vacío sobre el eje OZ de un sistema de referencia cartesiano (OXYZ), transporta una corriente eléctrica de intensidad I = 2 A en el sentido positivo de dicho eje. Calcula la fuerza magnética que actuará sobre una partícula cargada, con q = 5 C, en el instante en que pasa por el punto (0,4, 0) m con una velocidad v = 20 j m/s. r
r
Dato:
0
=4·
· 10-7 T · m · A-1
El campo magnético que genera el hilo en el eje y es tiene el sentido de − i , y su módulo es: r
B=
µ0 ·
I
2·π· r
=
4 · π · 10 -7 · 2 2 · π · 0,4
= 10
-6
T
Finalmente, la fuerza que ejerce el campo magnético según la fuerza de Lorentz es: F = q · v × B ; utilizando la regla de la mano derecha se obtienen que la fuerza tiene la dirección r
r
r
y sentido del sentido positivo del eje Z. Su módulo es: | F | = q · v · B · sen α = 5 · 20 · 10 -6 = 10-4 N r
24. Una partícula con carga q = 2 C penetra en una región del espacio en la que existe un campo magnético B = 0,02 k T , se pide: r
r
1. Si la partícula entra en el campo magnético con una velocidad v = 3 · 10 2 ( j + k ) m/s , r
r
r
calcular la fuerza que actuará sobre la misma. 2. Si la velocidad de la partícula fuese perpendicular al campo magnético, ¿cuál sería su trayectoria? Justificar la respuesta. r
r
1. La fuer za que actúa actú a sobr e la carg cargaa sigue sigue la ley de Coulomb: Coulomb: F = q · v × B, si hacemos el r
producto vectorial se tiene que: r
i
r
F= 2· 0 0
r
r
j
k
300
300
0
0,02
r
=
12 i N
2. Cuando la velocidad es perpendicular al campo, la fuerza que sufre la partícula es perpendicular a la tray ecto ria en todo punto, por tanto se trata de una acel aceler erac ació ión n centrípe centrípeta. ta. Por tanto la trayectoria de la partícula seguiría un movimiento circular uniforme.
