FOURIER TRANSFORMU F(w) fonksiyonu f(t)’nin kompleks Fourier transformu adı verilir. f(t) de F(w)’nın ters dönüşümüdür. 1 = 2
=
Bu iki fonksiyon bir Fourier çifti olarak bilinir. Shift (Kayma) Teoremi Şimdi zamanda kaymış bir bir dalga biçiminin spektrumu ile orjinal dalga biçiminin arasındaki ilişkiye bakalım; F(w) f(t)
=
F-T(w), f(t-T) nin Fourier transformu olsun. Yani orjinal dalga biçimi T kadar zamanda gecikmiş;
− = yazalım.
= −
=
= Birinci shift teoremi.
f(t), F(w)’nın ters Fourier transformu olsun.
1 = 2
f-p(t), F(w-p)’nin ters transformu olsun. =
1 − 2
− = yazalım.
1 = 2 =
Dolayısıyla,
1 2
= İkinci shift teoremi.
1) f(t) F(w) ise, f(t-T) 2) F(w) f(t) ise, F(w-p)
Superposition Teoremi
İki dalga biçiminin toplamının spektrumunu inceleyelim; f1(t) F1(w) ve f2(t) F2(w) =
+ =
=
1 2
1 2
1 1 + 2 2
1 + = + 2
Duality Teoremi
! + " → ! + "
f(t), zamanın bir fonksiyonu, g(w), frekansın bir fonksiyonu ve f(t) g(w) olsun.
w ve t’yi yer değiştirelim,
1 = $ 2
1 − = $ 2
− =
1 $ 2
ya da
2− = $
bunu
=
ile karşılaştırınca 2− ile $ nin bir Fourier çifti olduğunu görebiliriz.
Benzer şekilde,
$ =
$− =
t ve w’yı yer değiştirelim,
%
$− =
$− ile nin bir Fourier çifti olduğunu görebiliriz.
Çarpma Teoremi İki fonksiyonun çarpımının integraline bakalım.
=
1 2
1 = 2
1 = − 2 =
1 ∗ 2
Benzer biçimde
1 = ∗ 2
Parseval Teoremi Çarpım teoreminde f1(t)=f2(t) alınırsa,
!" =
ya da
1 ∗ 2
!" =
1 | | 2
Enerji Spektrumu ve Otokorelasyon (Özilinti) Fonksiyonu
Bir dalga biçimindeki toplam enerji genliğinin karesinin integrali ile orantılır;
!"
1 = | | 2
| | ifadesi enerji spektrmu olarak bilinir. Çarpım teoreminden,
=
f2(t) = f1(t+τ) diyelim. 1.shift teoreminden,
+ ( → )
+ ( =
1 ∗ 2
1 ∗ ) 2
1 = | | ) 2
1 + ( ∅ ( = 2
Bu fonksiyon otokorelasyon fonksiyonu olarak bilinir. ∅ ( =
1 | | ) 2
yani, ∅ ( → | | bir Fourier çiftidir.
Enerji spektrumu, otokorelasyon fonksiyonun Fourier trasformu ile verilir.
Geçici Sinyallerin Analizi Fourier serisi ile periyodik dalga biçimlerinin yapılabildiğini daha önce görmüştük. Bu bölümde de Fourier integrallerinin geçici (transient waveforms) dalga biçimlerinin analizinde kullanabileceğimizi bazı örneklerle göreceğiz. Dikdörtgen Darbe (Rectengular Pulse)
−
2
−
(a)
2
(b)
Yukarıdaki şekli verilen dikdörtgen darbe sinyalinin matematiksel olarak tanımlayalım: =
1 2
− < <
= 0, .ğ 0 1 02 0
Fourier transformu ile darbenin spekrumunu elde ederiz;
= =
=
ya da
1 2
1 −1 4 5 2 3
1 1 − 2 3
=
6.7
Bu ifade, paydanın da sıfır olduğu orijinde hariç 6.7 = 0 olduğu her yerde yani = 7/ için sıfır olacaktır. küçük olduğunda 6.7 yaklaşık ye eşit olur ve = 0 da F birim değere sahip
olur. daha büyük oldukça 6.7 , +1 ile -1 osile eder. , büyüdükçe osilasyonun genliği azalır ve sonuçta sıfır olur. Spektrumun çizimi yukarda (b)’de verilen şekilde görülmektedir. Dikdörtgen Frekans Dağılımı Şimdi zamanda dikdörtgen dalga biçimi yerine frekans bölgesinde dikdörtgen dalga biçimini ele alalım; 1 2 :
− :
1 2
:
−
2 − : :
(a)
:
2 :
(b)
=
1 2 :
− : < < :
= 0, .ğ 0 1 02 0
=
1 2
; 1 1 = 2 2 : ;
=
=
1 1 1 ; ; 2 2 : 3
1 ; − ; 43 : =
1 6.7 : 2 :
Not: bu sonucu duality teoreminden de elde edebilirdik. Karşılıklı Yayılım (Reciprocal Spreading) Önceki bölümde sinyalin frekans spektrumundaki ilk sıfırın = de olduğunu gördük. Sinyal %
enerjisinin büyük bölümü bu frekansın altında toplanacağından sinyal bandgenişliği için
∆~1/2 yazabiliriz. ∆ → 2 olduğundan ∆. ∆ = 1 olur. Sinyalin zaman bölgesinde kapladığı alan küçüldüğünde frekans bölgesinde kapladığı alan büyür. Birim Impulse (The Unit Impulse) Önemli bir fonksiyondur ve önceki bölümdeki dikdörtgen darbeden oluşturulabilir. Alanı birim alan olacak biçimde tanımlanır. Ve T 0 limiti alınarak elde edilebilir. Bu durumda fonksiyonun genliği orijinde sonsuz olur ancak alanı birim alan kalır. Spektrum orijinde w=0 da bir değerini alır ve orijinin her iki yanında ilk sıfır sonsuza gider. Spektrum bu durumda aşağıdaki biçimi alır: 6.7 =1 →C
= lim
Spektrumun genliği w’dan bağımsızdır ve genliği bir olan w eksenine paralel düz bir çizgi biçiminde olur. Birim impulse’ın enerjisi sonsuz olur. Duality teoreminden orijinde bir frekans impulse’sının 1/2π sabit yükseklikte bir sinyal vereceğini söyleyebiliriz. Yani orijindeki bir frekans impulsı bir d.c. sinyali gösterir.
İkinci shift teoremini w=p frekansında görülen bir frekans impulsına uygularsak, sinyalini verecektir. Bu, zamanın reel bir fonksiyonu değildir. Bu güçlüğü yenmek için w=-p frekansında ikinci bir sinyal ekleyelim. Bu durumda bu sinyal içinde shift teoreminden yazabiliriz. f(t), bir sabit (1/2π) olduğundan sonuç sinyal süperpozisyon teoreminden (1/π)cospt olur. Dolayısıyla sinüzoidal türde bir değişim frekans impulsları ya da spektral çizgiler verir. cospt sinyali için spektral çizgilerin genliği π olacaktır.
=
=
1 2
1 D + E = FG6 2
Sonlu Darbe Dizisi (Finite Pulse Train)
Daha önce orijinde birim alanlı ve 2τ süreli bir darbenin spektrumunun sin(wτ)/(wτ) olduğunu görmüştük. Nitekim aşağıdaki şekilde görülen t=T deki bir darbenin spektrumunun da shift teoreminden . sin (/ ( olacağını söyleyebiliriz. f(t) 1 2(
T-τ
T
T+τ
t
Şimdi de N adet darbeyi gözönüne alalım, öyleki;
= −J, −J − 1, … − , 0, , , , J − 1, J noktalarında görülsün. Burada N=2k+1 dir. Süperpozisyon teoremini uygularsak, = =
6.7 ( 1 + + + ⋯ + M + M (
6.7 ( −1 + 2!1 + FG6 + FG62 + ⋯ + FG6J " (
olur. Kare parantez içindeki seri, karşılık gelen üstel serinin reel kısımları alınarak toplanabilir. −1 + 2N 1 + + ⋯ + M = −1 + 2N O
1 − M P 1 −
D1 − M E1 − = −1 + 2N O P 21 − FG6
= −1 +
1 − FG6 + FG6J − cos J + 1 1 − FG6 =
FG6J − cos J + 1 1 − FG6
1 1 26.7 2 2J + 1 . 6.7 2 = 1 26.7 2
Dolayısıyla da,
olur.
1 6.7 2 S = 1 6.7 2
1 6.7 ( 6.7 2 S
= ( 6.7 1 2
Gaus Fonksiyonu Basit gaus fonksiyonu biçimini ele alalım, T
Fourier transformu;
=
T
=
∞
=
−∞
1 2 +23
−2
T
T T
=
=
T
=
T √2
T
W + 3 /√2X
T
Y Z = √
T
T
= √2
Gaus fonksiyonu hem zamanda hem frekansta aynı biçimdedir ve self reciprocal denilir. Gaus fonksiyonu Hermite fonksiyonları olarak bilinen bir kümenin üyesidir. Bunlar aşağıdaki gibi ifade edilir; [\ = ] ^ T ]^
_ T
Gaus fonksiyonu [C dir. Tüm Hermite fonksiyonları self-reciprocal özelliğine sahiptir.
Birim Adım Fonksiyonu (The Unit Step Function) Birim adım fonksiyonu şöyle tanımlanır;
= 1
>0
=0 <0
f(t) 1
0 a|| sonlu olmadığından birim adım fonksiyonu Dirichlet koşullarını sağlamaz. Bu zorluğun üstesinden gelmek için yeni bir fonksiyon tanımlayalım;
= 1
0<<
= 0 .ğ 0 1 02 0
Dirichlet koşulları şimdi sağlanır, bu fonksiyonla devam edelim;
= =
1 1 − 3
=
Dolayısıyla, =
C
1 1 1 − 2 3
1 1 1 1 − = 2 3 2 3
Bu fonksiyonu T’yi büyük yaparak birim adım fonksiyonuna yaklaştırabiliriz. Bu durumda, a = a
b cdef
Bu standard bir integraldir ve T>0 için değeri –π dir. =
1 1 + 2 2 3
= − < 0 3
= + > 0
Dolayısıyla da,
Formülden,
= 1 > 0 =0 <0
1 1 1 = + 2 2 3
=
1 3
| | =
Üstel Azalma (The Exponential Decay) Şu şekilde tanımlanır;
1
= g > 0 =0 <0
f(t) 1
0
t
=
∞
∞
= −h −3 = −h+3 −0
=
Nitekim,
−0
−1 1 4 −h+3 5C = h + 3 h + 3
=
1 h + 3
1 | | = i ∗ = j h + 3 h − 3 | | =
1
ih +
Üstel Yükselme (The Exponential Rise) Bir önceki fonksiyonla ilişkilidir ve sıklıkla aynı sistemin farklı bölümlerinde birlikte görülürler (bir RC devresinin geçici tepkesi gibi). = 1 − g > 0 =0 <0 f(t) 1
0 Bu fonksiyon da birim adım gibi a|| sonlu olma koşulunu sağlamaz. Spektrumu
süperpozisyon yöntemiyle elde edilir. Bu fonksiyonu birim adım fonksiyonu eksi g biçiminde düşünebiliriz. Birim adımın spekturumu
=
1 3
1 1 1 = + 2 2 3
ve
dolayısıyla üstel yükselmenin spektrumu;
=
1 1 h − = 3 h + 3 3 h + 3
| | = jk
−3h 3h . l h + 3 h − 3
| | = ve
=
h
ih +
1 1 h + 2 2 3 h + 3
Sonlu Süreli Kosinüs Dalgası Radar mühendisliğinde kullanılan r.f. darbe bu tür bir fonksiyondur. 1 1 = FG6 − < < 2 2
= 0 .ğ 0 1 02 0 f(t)
1/2(T)
-1/2(T)
= = FG6
Bu integrali almak biraz uzun sürebilir. Daha basit bir integral, F(w) nın özellikleri kullanılarak elde edilebilir. f(t), fonksiyonu çifttir ve Fourier transformu saf reel (pure real) bir fonksiyon olur. Dolayısıyla kosinüs transformu biçiminde yazılabilir. (F(w)=a(w)-jb(w), buradaki a(w) kosinüs transformudur.) 2
= m = FG6 . FG6
−2
1 2 = !cos − + cos + " 2 − 2
2 1 1 1 = O sin − + sin + P 2 − + − 2
=
1 1 sin − + sin + − 2 + 2
1 1 6.7 2 − 6.7 2 +
= n + o 1 2 1 − 2 2 +
T zamanında p açısal frekanslı pT/2π adet cycle görülür.
