Empuje de Flotacion-RUBIO Imprimir

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

EQUILIBRIO DE CUERPOS FLOTANTES CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS I

TEMA: EQUILIBRIO DE CUERPOS FLOTANTES

DOCENTE: ING. JOSE LONGA ALVAREZ

ALUMNO: OLORTEGUI CHAVEZ, LITTMAN RUBIO GAYOSO, MARCO

GRUPO: “A”

Cajamarca, agosto del 2012.

Facultad de Ingenieria

Mecánica de Fluidos I

1. INTRODUCCIÓN En la naturaleza encontramos una serie de fenómenos que suceden a diario y que en algunas ocasiones pasan desapercibidos para nuestros ojos. Él poder comprender de manera más amplia estos fenómenos nos ayuda a entender mejor como se comportan algunas fuerzas que entran en acción bajo ciertas circunstancias. Lo que se pretende en este trabajo es precisamente analizar el comportamiento de las fuerzas que ejercen los líquidos sobre algunos sólidos que manipularemos de manera experimental.

En el proceso de esta práctica se han aplicado y aprendido las condiciones básicas del principio de flotación de Arquímedes. El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza hacia arriba igual al peso del fluido desplazado por dicho cuerpo. Esto explica por qué flota un barco muy cargado; su peso total es exactamente igual al peso del agua que desplaza, y esa agua desplazada ejerce la fuerza hacia arriba que mantiene el barco a flote. El principio de Arquímedes permite determinar también la densidad de un objeto cuya forma es tan irregular que su volumen no puede medirse directamente. Si el objeto se pesa primero en aire y luego en agua, la diferencia de peso será igual al peso del volumen de agua desplazado, y este volumen es igual al volumen del objeto, si éste está totalmente sumergido. Así puede determinarse fácilmente la densidad del objeto (masa dividida por volumen). Si se requiere una precisión muy elevada, también hay que tener en cuenta el peso del aire desplazado para obtener el volumen y la densidad correctos. Con los conceptos descritos anteriormente y aplicados en este trabajo se ha analizado el comportamiento de los cuerpos y su flotación, permitiéndonos comprobar el principio de Arquímedes y posteriormente estos procedimientos podrán ser aplicados en nuestra vida profesional.

2. OBJETIVOS:    

Determinar en forma practica la fuerza de empuje generada por un fluido sobre un cuerpo sólido sumergido. Aplicar el principio de Arquímedes en forma experimental rápida y sencilla. Hallar el calado del elemento al sumergirse en el fluido (en la práctica). Hallar el volumen del elemento sumergido dado, que hemos trabajado en la práctica.

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3. REVISIÓN DE LITERATURA 3.1.

Principio de Arquímedes:

El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado. La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se indica en las figuras: 1. El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido. 2. La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.

Porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido. Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto de fluido. La fuerza que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de separación es igual a p·dS, donde p solamente depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie. Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta resultante la denominamos empuje y su punto de aplicación es el centro de masa de la porción de fluido, denominado centro de empuje. Ingenieria Civil

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De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto, se cumple Empuje=peso especifico*Volumen El peso de la porción de fluido es igual al producto de la densidad del fluido aceleración de la gravedad g y por el volumen de dicha porción V.

f

por la

Se sustituye la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones. Si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones. Las fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su resultante que hemos denominado empuje es la misma y actúa en el mismo punto, denominado centro de empuje. Lo que cambia es el peso del cuerpo sólido y su punto de aplicación que es el centro de masa, que puede o no coincidir con el centro de empuje.

Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que no tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto. En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos y por tanto, coincide el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.

3.2.

Gráfica del principio de Arquímedes

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Mecánica de Fluidos I Principio de Arquímedes

Al sumergirse parcial o totalmente en un fluido, un objeto es sometido a una fuerza hacia arriba, o empuje. El empuje es igual al peso del fluido desplazado. Esta ley se denomina principio de Arquímedes, por el científico griego que la descubrió en el siglo III antes de nuestra era. Aquí se ilustra el principio en el caso de un bloque de aluminio y uno de madera. (1) El peso aparente de un bloque de aluminio sumergido en agua se ve reducido en una cantidad igual al peso del

agua desplazada. (2) Si un bloque de madera está completamente sumergido en agua, el empuje es mayor que el peso de la madera (esto se debe a que la madera es menos densa que el agua, por lo que el peso de la madera es menor que el peso del mismo volumen de agua). Por tanto, el bloque asciende y emerge del agua parcialmente —desplazando así menos agua— hasta que el empuje iguala exactamente el peso del bloque.

Distribución de las fuerzas sobre un cuerpo sumergido ¿Como hace un barco para flotar?

Pues bien, el mismo está diseñado de tal manera para que la parte sumergida desplace un volumen de agua igual al peso del barco, a la vez, el barco es hueco (no macizo), por lo que se logra una densidad media pequeña. En el caso de los submarinos, tienen un sistema que le permite incorporar agua y de esta manera consiguen regular a sus necesidades la densidad media de la nave.

3.3 ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES La estabilidad de un cuerpo parcial o totalmente sumergido es vertical y obedece al equilibrio existente entre el peso del cuerpo (W) y la fuerza de flotación o empuje (FF).

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FF = W

(en equilibrio)

Ambas fuerzas son verticales y actúan a lo largo de la misma línea. La fuerza de flotación estará aplicada en el centro de empuje o centro de flotación (CF) y el peso estará aplicado en el centro de gravedad (CG).

La estabilidad de un cuerpo parcialmente o totalmente sumergido es de dos tipos:

3.3.1

ESTABILIDAD LINEAL

Se pone de manifiesto cuando desplazamos el cuerpo verticalmente hacia arriba. Este desplazamiento provoca una disminución del volumen de fluido desplazado cambiando la magnitud de la fuerza de flotación correspondiente. Como se rompe el equilibrio existente entre la fuerza de flotación y el peso del cuerpo (FF ≠ W), aparece una fuerza restauradora de dirección vertical y sentido hacia abajo que hace que el cuerpo regrese a su posición original, restableciendo así el equilibrio.

De la misma manera, si desplazamos el cuerpo verticalmente hacia abajo, aparecerá una fuerza restauradora vertical y hacia arriba que tenderá a devolver el cuerpo a su posición inicial. En este caso el centro de gravedad y el de flotación permanecen en la misma línea vertical.

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Facultad de Ingenieria 3.3.2


ESTABILIDAD ROTACIONAL

Este tipo de estabilidad se pone de manifiesto cuando el cuerpo sufre un desplazamiento angular. En este caso, el centro de flotación y el centro de gravedad no permanecen sobre la misma línea vertical, por lo que la fuerza de flotación y el peso no son colineales provocando la aparición de un par de fuerzas restauradoras. El efecto que tiene dicho par de fuerzas sobre la posición del cuerpo determinará el tipo de equilibrio en el sistema:

a.

EQUILIBRIO ESTABLE

Cuando el par de fuerzas restauradoras devuelve el cuerpo a su posición original. Esto se produce cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte inferior del mismo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por debajo del centro de flotación.

b. EQUILIBRIO INESTABLE

Cuando el par de fuerzas tiende a aumentar el desplazamiento angular producido. Esto ocurre cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte superior del cuerpo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por encima del centro de flotación.

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Facultad de Ingenieria c.


EQUILIBRIO INDIFERENTE O NEUTRO

Cuando no aparece ningún par de fuerzas restauradoras a pesar de haberse producido un desplazamiento angular. Podemos encontrar este tipo de equilibrio en cuerpos cuya distribución de masas es homogénea, de manera que el centro de gravedad coincide con el centro de flotación.

3.3.3 ESTABILIDAD DE CUERPOS PRISMÁTICOS

Hay ciertos objetos flotantes que se encuentran en equilibrio estable cuando su centro de gravedad está por encima del centro de flotación. Esto entra en contradicción con lo visto anteriormente acerca del equilibrio, sin embargo este fenómeno se produce de manera habitual, por lo que vamos a tratarlo a continuación.

Vamos a considerar la estabilidad de cuerpos prismáticos flotantes con el centro de gravedad situado encima del centro de flotación, cuando se producen pequeños ángulos de inclinación.

La siguiente figura muestra la sección transversal de un cuerpo prismático que tiene sus otras secciones transversales paralelas idénticas. En el dibujo podemos ver el centro de flotación CF, el cual está ubicado en el centro geométrico (centroide) del volumen sumergido del cuerpo (Vd). El eje sobre el que actúa la fuerza de flotación está representado por la línea vertical AA’ que pasa por el punto CF.

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Vamos a suponer que el cuerpo tiene una distribución de masas homogénea, por lo que el centro de gravedad CG estará ubicado en el centro geométrico del volumen total del cuerpo (V). El eje vertical del cuerpo está representado por la línea BB’ y pasa por el punto CG. Cuando el cuerpo está en equilibrio, los ejes AA’ y BB’ coinciden y la fuerza de flotación y el peso actúan sobre la misma línea vertical, por tanto son colineales, como muestra la figura. Ahora inclinamos el cuerpo un ángulo pequeño. Como vemos, el volumen sumergido habrá cambiado de forma, por lo que su CF habrá cambiado de posición. Podemos observar también que el eje AA’ sigue estando en dirección vertical y es la línea de acción de la fuerza de flotación. Por otro lado, el eje del cuerpo BB’ que pasa por el centro de gravedad CG habrá rotado con el cuerpo. Ahora los ejes AA’ y BB’ ya no son paralelos, sino que forman un ángulo entre sí igual al ángulo de rotación. El punto donde se interceptan ambos ejes se llama METACENTRO (M). En la figura siguiente podemos ver que el metacentro se encuentra por encima del centro de gravedad y actúa como pivote o eje alrededor del cual el cuerpo ha rotado.

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Como sabemos, la fuerza de flotación actúa verticalmente en el CF y a lo largo del eje AA’, mientras que el peso actúa sobre el centro de gravedad CG y también en dirección vertical. En esta configuración ambas fuerzas no son colineales, por lo que actúan como un par de fuerzas restauradoras que hacen girar el cuerpo en sentido contrario a la rotación producida en un principio, devolviendo al cuerpo a su posición inicial. Se dice entonces que el cuerpo se encuentra en equilibrio estable. Si la configuración del cuerpo es tal que la distribución de masas no es homogénea, la ubicación del metacentro puede cambiar. Por ejemplo, consideremos un cuerpo prismático cuyo centro de gravedad se encuentre sobre el eje vertical del cuerpo BB’ pero descentrado, como indica la siguiente figura.

Cuando inclinamos el cuerpo, puede ocurrir que el metacentro M esté ubicado ahora por debajo del centro de gravedad. Como el metacentro actúa de eje de rotación alrededor del cual el cuerpo gira, el par de fuerzas actúan como un par de fuerzas restaurador, haciendo girar el cuerpo en el mismo sentido en el que se realizó la rotación y dándole la vuelta, sin alcanzar la posición que tenía inicialmente. Se dice entonces que el cuerpo presenta equilibrio inestable.

En resumen, cuando el metacentro M se encuentra por encima del centro de gravedad CG, el cuerpo presenta equilibrio estable. Cuando el metacentro se encuentra por debajo de CG el equilibrio es inestable; y cuando el metacentro coincide con CG, está en equilibrio indiferente o neutro. Ingenieria Civil

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La distancia entre el metacentro y el centro de flotación se conoce como “distancia metacéntrica” y es una medida directa de la estabilidad del cuerpo. Esta distancia se calcula mediante la siguiente expresión:

Donde: I es el momento de inercia de la sección horizontal del cuerpo flotante. Vd es el volumen de fluido desplazado por el cuerpo.

DEMOSTRACIÓN DE LA ALTURA O DISTANCIA METACÉNTRICA

Dicha distancia nos permite determinar la estabilidad vertical del cuerpo.

1.

Se tiene un cuerpo flotante en equilibrio.

2.

Se gira el cuerpo un pequeño ángulo α, teniendo en consecuencia el cuerpo en desequilibrio.

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3.


Esta última figura nos ayudará a mostrar y hallar las fórmulas para determinar la distancia metacéntrica.

4.

Sabemos que:

5.

Hallaremos el momento desequilibrante con respecto al eje MC.CF’

6.

Integramos esta expresión:

∫

∫

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Mecánica de Fluidos I … (a)

7.

Ahora, hallamos el par restaurador:

… (b)

8.

Igualamos (a) y (b):

Donde:

MC.CG:

distancia metacéntrica.

MC

:

metacentro

I

:

momento de inercia del área de línea flotación

V

:

volumen de fluido desplazado por el cuerpo

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NOTA Si:

3.3.

MC.CG > 0

:

el cuerpo es estable.

MC.CG < 0

:

el cuerpo es inestable.

MC.CG = 0

:

existe estabilidad indiferente.

FLOTACIÓN:

Los cuerpos cuya densidad relativa es menor que la unidad, flotan en el agua. Esto nos lleva al importante concepto llamado flotación que se trata con el principio fundamental de Arquímedes. Cuando un cuerpo se sumerge total o parcialmente en un fluido, una cierta porción del fluido es desplazado. Teniendo en cuenta la presión que el fluido ejerce sobre el cuerpo, se infiere que el efecto neto de las fuerzas de presión es una fuerza resultante apuntando verticalmente hacia arriba, la cual tiende en forma parcial, a neutralizar la fuerza de gravedad, también vertical, pero apuntando hacia abajo. La fuerza ascendente se llama fuerza de empuje o fuerza de flotación y puede demostrarse que su magnitud es exactamente igual al peso del fluido desplazado. Por tanto, si el peso de un cuerpo es menor que el del fluido que desplaza al sumergirse, el cuerpo debe flotar en el fluido y hundirse si es más pesado que el mismo volumen del líquido donde está sumergido.

Para que un cuerpo flote, es necesario que el centro de flotación (CF) esté por debajo del CG del cuerpo. Centro de flotación CF: Es el centro de gravedad del volumen desalojado.

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Facultad de Ingenieria 4.


PROCEDIMIENTO y CALCULOS 4.1

4.2

MATERIALES: 

1 modelos de madera ( NUESTRA FOTO PERRA!!!)



Regla o vernier



Balde con agua.

PROCEDIMIENTO:  

Una vez construido los elementos flotantes, hemos procedido a someterlos a flotación para verificar el equilibrio estable. Sometemos a flotación a nuestro modelo a flotación observando que su flotación es estable, con un ángulo de inclinación mínimo.

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 

4.3


Observamos el nivel de agua y tomamos la medida respectiva. Prosiguiendo, ahora invertiremos nuestro modelo y realizar la flotación tomando los respectivos datos.

CALCULOS: 

DATOS:

Para poder realizar nuestros cálculos tendremos que conocer los pesos específicos de los materiales usados en los elementos flotantes, ya que primero se calculara el Centro de Gravedad. Y como el elemento flotante está hecho de madera pino por lo tanto su centro de gravedad será hallado en función de su peso. Es decir se utilizará la siguiente fórmula: ̅∑

∑̅

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Cálculos: PRIMERA FORMA 1. Enseguida se procede al cálculo de los centro de gravedad: Centro de Gravedad del Elemento Flotante con respecto a “y” Muestra las diferentes medidas y materiales para calcular sus pesos, sus “y”, por ende podremos hallar el CG de la figura total.

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Cuadro n° 01: Cuadro para el cálculo de centro de gravedad de la figura total. Figura

Y(cm) 1 2 3 4 5

2.44 -2.44 0 1.375 2.44

Volumen(cm3) P. especifico(gr/cm3) Peso(w)(gr.) Y.(peso) 36.35 0.5 18.175 44.347 36.35 0.6 21.81 -53.2164 75 0.5 37.5 0 11.22 0.5 5.61 7.71375 36.35 0.5 18.175 44.347

Total

231.62

123.08

̅∑

̅

-10.02505

∑̅

∑ ∑

̅ 2. Cálculo del centro de flotación: que vendría a ser el centro de gravedad pero de la parte que está sumergida. Por lo que trabajaremos en función a las nuevas medidas resultantes, teniendo en consideración el calado que en este caso es de 0.3cm (tomando en cuenta desde la base del cono hacia abajo), tal como se muestra en la figura. Figura n° 02: Figura en 3d que muestra hasta donde llega el nivel del agua, para poder hallar el centro de flotación de la figura. Ingenieria Civil

Y 18



Figura n° 03: Muestra las diferentes medidas y materiales para el centro de flotación, teniendo sólo en cuenta la parte sumergida.

Y

A

B

2

X

3

1 0.35 cm

Figura

Y(cm) 1 2 3 A B total

-2.29 0 -2.29 0.25 0.25

̅∑

̅

Volumen(cm3) y*volumen 36.35 -83.2415 52.5 0 36.35 -83.2415 1.61 0.4025 1.61 0.4025 128.42 -165.678

∑̅

∑ ∑

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3. Hallamos la distancia desde el centro de gravedad al centro de flotación CGCF=1.359 Figura n° 04: Muestra las ubicaciones del CG y el CF

CG 0.419 0.94 CF

4. Hallamos la distancia del metacentro al centro de flotación Para ello empleamos la siguiente fórmula:

 Hallamos momento de inercia de la figura que resulta al momento del corte, del elemento que flota con el agua. Figura n° 05: Vista en planta de la figura para visualizar la forma en que corta el agua

15cm 5cm

11.5cm

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0.7cm

(

)

 Sabemos por Arquímides que el volumen desalojado es igual a:

W=γliquido*vdesalojado 231.62=1* vdesalojado vdesalojado =231.62 cm3 Entonces:

5. Verificamos la estabilidad del cuerpo

Por lo tanto decimos que el cuerpo está en equilibrio estable. SEGUNDA FORMA Figura n° 06: Evaluado el elemento flotando de esa manera

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1. Evaluando del otro lado tendríamos lo siguiente: Y

1

2

5 3 6

Z

4

X

El centro de gravedad sería el mismo que en el caso anterior CG=-0.081 2. Hallamos ahora el centro de flotación: Figura n° 07: figura para visualizar distancias y hallar el CF

Y

0.3 cm 0.4cm X 3.8 cm

Figura

Y(cm) 1 2 3 A

-2.24 0 -2.24 0.25

Volumen(cm3) y*volumen 36.35 -81.424 52.5 0 36.35 -81.424 1.61 0.4025

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Mecánica de Fluidos I B 4

0.25 1.175

1.61 11.22 139.64

total

0.4025 13.1835 -148.8595

̅

3. Hallamos la distancia desde el centro de gravedad al centro de flotación CGCF=1.189

Figura n° 08: Nos permite visualizar la distancia entre CG Y CF

CG 0.419 0.77 CF

4. Hallamos la distancia del metacentro al centro de flotación

 Hallamos momento de inercia de la figura que resulta al momento del corte

15cm 5cm

11.5cm

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(

)

 Sabemos por Arquímides que el volumen desalojado es igual a

W=γliquido*v 231.62=1*v Vdesalojado=231.62

5. Verificamos la estabilidad del cuerpo

Por lo tanto decimos que el cuerpo está en equilibrio estable.

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