UNIDAD II: ESTADO GENERAL DE DEFORMACIONES
2.1. Concepto de desplazamiento de un cuerpo. ............................................................................... 2 2.1.1. Traslación. ............................................................................................................................ 2 2.1.2. Rotación. ..............................................................................................................................2 2.1.3. Alargamiento. ....................................................................................................................... 3 2.2. Estado general de deformaciones. .............................................................................................. 3 2.2.1. Deformación volumétrica. ..................................................................................................... 3 2.2.2. Distorsión.............................................................................................................................. 4 2.2.3. Deformaciones principales. .................................................................................................. 5 2.2.4. Círculo de Mohr para deformaciones. .................................................................................. 7 .......................................................................................................................................................... 7 FÓRMULAS: ................................................................................................................................... 12
1
2.1. Concepto de desplazamiento de un cuerpo. 2.1.1. Traslación. Es el transporte en relación a un sistema de coordenadas externo. Es la variación de la posición del cuerpo en el espacio con el tiempo. Indica si el cuerpo se mueve, es decir, si varía su posición a medida que varía el tiempo, está en movimiento. Para definir la posición de un cuerpo en su total en caso general es difícil de hacer, en algunos casos no es preciso indicar la posición de cada uno de los puntos del cuerpo en movimiento. Si estos se mueven en la misma forma. Por ejemplo el movimiento de cada punto de un bicitaxi cuando es llevado cuesta arriba, ya que sus movimientos no difieren en nada entre si. De la misma forma se mueven todos los puntos cuando levantamos un maletín o mochila del suelo, entre otros. Cuando todos los puntos se mueven en el mismo modo recibe el nombre de traslación del movimiento de un cuerpo. Figura 1. Movimiento de traslación.
2.1.2. Rotación. Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste. El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido.
2
Figura 2. Movimiento de rotación. El vector velocidad angular es único (invariante), pero cada punto del sólido tiene una velocidad diferente de la de los otros.
2.1.3. Alargamiento. Alargamiento unitario (ε) es la cantidad que alarga un cuerpo (δ) por unidad de lo ngitud
(L). ε = δ/L
(ε Para los alargamientos totales debido a la deformación producida por una fuerza
externa (despreciando su propio peso), la fórmula a utilizar es: δ = PL/AE
(siendo δ, el alargamiento total; P, la fuerza que actua; L, la longitud; A, l a sección y E, el
módulo de elasticidad.) no tiene unidades) Figura 3. Componentes del tensor tensión en un punto P de un sólido deformable.
2.2. Estado general de deformaciones. 2.2.1. Deformación volumétrica. El módulo de elasticidad volumétrica se refiere a situaciones donde el volumen de un material sufre un cambio a causa de un esfuerzo externo. A diferencia de los módulos de Young y de elasticidad transversal, que solamente se aplican con los sólidos, el módulo de elasticidad volumétrica es aplicable tanto con sólidos y líquidos como con gases. 3
Consideremos la siguiente membrana esférica que contiene un gas a un volumen V. La presión que se encuentra dentro de la membrana es, en primera instancia, la misma que se encuentra por fuera de la membrana. Supongamos que esta última presión aumenta de tal manera que se ejerce una presión sobre toda la superficie de la membrana y causa que ésta se compacte ligeramente. La presión que causó el cambio de volumen, se manifiesta como una fuerza
que actúa perpendicularmente en todos los puntos sobre la superficie esférica
de la membrana. La reducción de su volumen es de . Podemos decir que el esfuerzo volumétrico equivale al incremento de la fuerza que actúa por área unitaria.
Es decir:
Adicionalmente, la deformación volumétrica se manifiesta como la razón del cambio del volumen, entre el volumen original:
El módulo de elasticidad volumétrica sería entonces:
Debido a que es concebible que la fuerza que se aplique sea positiva y el cambio en el volumen sea negativo, es necesario incluir el signo negativo en la expresión anterior para asegurar que la constante , sea positiva. Recordemos que convierte en:
es el cambio de presión
, por lo tanto, la expresión anterior se
2.2.2. Distorsión. 4
El criterio de la máxima energía de distorsión fue formulado primeramente por Maxwell en 1861 y más tarde también mencionado por Huber (1904). Sin embargo, fue con el trabajo de Richard Edler von Mises (1913) que el criterio alcanzó notoriedad, a veces se conoce a esta teoría de fallo elástico basada en la tensión de Von Mises como teoría de MaxwellHuber-Hencky-von Mises. La expresión propuesta por Von Mises y Hencky, de acuerdo con este criterio una pieza resistente o elemento estructural falla cuando en alguno de sus puntos la energía de distorsión por unidad de volumen rebasa un cierto umbral: En términos de tensiones este criterio puede escribirse sencillamente en términos de la llamada tensión de von Mises como:
Donde: son las tensiones principales en el punto considerado.
Comparación de las superficies de fluencia para los criterios de Von Mises y Tresca en una pieza usando las tensiones principales como coordenadas. 2.2.3. Deformaciones principales. cambio de longitud de un cuerpo. deformación unitaria longitud original deformación total 5
Deformación total: cuanto Deformación
se deforma todo el cuerpo unitaria: por cada metro cuanto se deforma
Siempre que existan esfuerzos en un cuerpo ocurrirán deformaciones.
Los 2 primeros diagramas representan deformaciones normales en X & Y. y no hay cambios en sus ángulos. En la figura (c) la forma geométrica queda distorsionada porque existe un cambio angular. Este tipo de deformación se llama cortante.
6
2.2.4. Círculo de Mohr para deformaciones.
7
8
9
10
11
FÓRMULAS:
Un círculo de Mohr de deformaciones se transforma en una circunferencia concéntrica de esfuerzos mediante las siguientes transformaciones de escala y origen:
12
