Estructuras de Acero

DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO

Columnas Aisladas Flexocomprimidas

Oscar de Buen López de Heredia

DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO COLUMNAS AISLADAS FLEXOCOMPRIMIDAS Oscar de Buen López de Heredia

© Derechos Reservados 2003 Fundación ICA, A. C. Av. del Parque No. 91 Colonia Nápoles C.P. 03810 México, D.F. Tel. 52 72 99 91 Ext. 2721-2722 Fax.2753 e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] http:// www.fundacion-ica.org.mx Derechos exclusivos de edición reservados para todos los países de habla hispana. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin autorización escrita de los editores. ISBN 968-5520-06-2 Impreso en México.

Columnas aisladas flexocomprimidas

CAPITULO 7 INDICE 7.1 Introducción.......................................................................................................................................7 7.2 Columnas cortas...............................................................................................................................11 7.2.1 Resistencia de columnas cortas...............................................................................................12 7.2.1.1 Flexión en un plano....................................................................…............................12 7.2.1.1a Ecuaciones de interacción ..........................................................................12 7.2.1.2 Flexión biaxial..................................................................................….......................16 7.2.1.2a Ecuaciones de interacción.............................................................…............18

7.3 Columnas largas.......................................................................................................................….....26 7.3.1 Flexión en un plano. Comportamiento elástico............................................................…........29 7.3.1.1 Factor de amplificación (efecto Pδ)............................................................…............29 7.3.1.1.1 Flexión alrededor de los ejes de mayor momento de inercia (x) ..............................................................…............32 7.3.2 Determinación de la resistencia máxima.........................................................................…...36 7.3.2.1 El pandeo lateral está impedido.........................................................................…....36 7.3.2.2 El pandeo lateral no está impedido....................................................................…....42 7.3.3 Ecuaciones generales de interacción.................................................................................…...42 7.3.4 Flexión alrededor de los ejes de menor momento de inercia (y) ...........................…...........43 7.3.5 Flexión biaxial................................................................................................................….....44 7.3.5.1 Resistencia máxima de columnas en flexocompresión biaxial.....................…..........44 7.3.6 Diseño de columnas en flexocompresión biaxial................................................................….46


7.3.6.1 Resistencia de columnas largas...............................................................................46 7.3.6.1.1

Ecuaciones de interacción lineales.......................................................46

7.3.6.1.2

Ecuaciones de interacción no lineales...............................................…49

7.4 Especificaciones de diseño .............................................................................................................53 7.4.1 Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de estructuras metálicas, Reglamento de Construcciones para el D.F.......................................53 7.4.1.1 Estados límite.............................................................................................................53 7.4.1.2 Determinación de los momentos de diseño Muox, Muoy, M*uox, M*uoy,...........….54 7.4.1.3 Dimensionamiento de las columnas que forman parte de estructuras regulares....................................................................................................................54 7.4.1.3.1 Revisión de las secciones extremas........................................................54 7.4.1.3.2 Revisión de la columna completa............................................................56 7.4.2. Especificaciones AISC.........................................................................................................57 7.4.2.1 Especificación para diseño de edificios de acero estructural. Diseño por esfuerzos permisibles y diseño plástico..........................57 7.4.2.1.a Diseño por esfuerzos permisibles...........................................................58 7.4.2.1b Diseño plástico........................................................................................60 7.4.2.2 Especificación para diseño de edificios de acero estructural por factores de carga y resistencia ..........................................................................62 7.4.2.2.1 Factores de amplificación ......................................................................62 7.4.2.2.2 Ecuaciones de interacción alternas .......................................................66 7.4.2.3 Comparación de las ecuaciones propuestas en las dos especificaciones AISC........................................................................68 7.4.3 Normas canadienses ..................................................................................................................................70


7.4.3.1 Resistencia y estabilidad del miembro. Secciones de todas las clases, excepto secciones H clase 1............................................................................…70 7.4.3.2 Resistencia y estabilidad del miembro. Secciones H clase1.................................…71 7.4.3.3 Valores de U1................................................................................................….....…71 7.4.3.3.1 Valores de ω1...................................................................…....................71 7.4.3.3.2

Efectos de segundo orden...............................…..................................72

7.5 Referencias.................................................................................................…..................................116


7

CAPITULO 7. COLUMNAS AISLADAS FLEXOCOMPRIMIDAS 7.1 INTRODUCCIÓN En las barras flexocomprimidas obran, al mismo tiempo, fuerzas normales de compresión y momentos flexionantes, aplicados alrededor de uno o de los dos ejes centroidales y principales de las secciones transversales. En los libros de habla inglesa suelen designarse “vigas-columnas”; aquí se llaman columnas flexocomprimidas o, simplemente, columnas. Casi todos los miembros de las estructuras están en esas condiciones, pues no suele haber en ellas ni columnas en compresión pura, ni vigas en flexión únicamente; sin embargo, cuando predomina la flexión y los efectos de la fuerza normal son pequeños o nulos, se tratan como vigas (Capítulos 4 y 5), y cuando la flexión es despreciable y la barra trabaja principal o únicamente en compresión, como columnas comprimidas axialmente (Capítulo 2). Entre los dos extremos hay toda una gama de posibles combinaciones. Podrían estudiarse las barras flexocomprimidas y obtener de ellas, como casos particulares, vigas y columnas. Sin embargo, como tienen las características combinadas de ambas, complicadas por los diversos efectos secundarios originados por su interacción, el estudio teórico de su comportamiento es muy complejo, por lo que se ha seguido el camino contrario: una barra flexocomprimida se obtiene combinando una columna comprimida axialmente y una viga en flexión pura, tomando en cuenta, además, de una manera generalmente simplificada, la interacción de esas dos formas de trabajo. En este capítulo se estudian sólo las barras flexocomprimidas de eje recto y sección transversal constante, que constituyen la mayor parte de las columnas de los edificios y las cuerdas comprimidas de las armaduras, cuando actúan en ellas fuerzas aplicadas fuera de los nudos. La flexión puede tener varios orígenes diferentes, lo que modifica la respuesta del elemento que la recibe, e introduce cambios en los procedimientos de diseño. En las columnas de los edificios no suele haber cargas transversales intermedias; la flexión se debe a momentos aplicados en sus extremos, a través de las uniones que las conectan con el resto de la estructura, producidos por las cargas verticales que soportan las vigas, o por acciones horizontales, viento o sismo, que suelen considerarse concentradas en los pisos. En cambio la flexión en la cuerda de una armadura es originada, sobre todo, por fuerzas normales a su eje, aplicadas entre los extremos. Se debe también, en casos poco frecuentes, a cargas paralelas al eje de la columna, que no coinciden con él, como en columnas de edificios industriales que soportan trabes carril para grúas móviles.


8

Cuando el eje de la barra se deforma, por efecto de las cargas transversales o de los pares en los extremos, la fuerza normal, que era axial en un principio, deja de serlo, y produce momentos flexionantes secundarios, proporcionales a su intensidad y a la magnitud de los desplazamientos laterales del eje, por lo que la respuesta de las piezas flexocomprimidas no es nunca lineal, ni siquiera cuando el material que las compone cumple, todavía, la ley de Hooke. La importancia de este fenómeno depende de la esbeltez de las piezas, de la intensidad de la fuerza normal, del valor y signo de los momentos, y de las condiciones en los extremos, pues todo ello hace que la columna se flexione en curvatura simple o doble, que haya, o no, desplazamientos transversales relativos entre sus extremos, y que las rotaciones de éstos se aceleren o restrinjan. Con la sola excepción de las piezas muy cortas, el comportamiento de las barras flexocomprimidas constituye un problema de inestabilidad, pues la interacción de fuerza axial y flexión ocasiona, eventualmente, deformaciones laterales que crecen con más rapidez que las cargas, y que siguen aumentando aunque éstas disminuyan, lo que caracteriza el colapso. Este fenómeno se presenta aunque la columna esté flexionada alrededor de un solo eje y, ya sea por sus características geométricas o porque haya elementos exteriores que le impidan salirse de él, se conserve en el plano de flexión original durante todo el proceso, pero su resistencia puede reducirse todavía más por pandeo lateral o local. Han de considerarse varios estados límite; los principales son el pandeo local, cuando las columnas tienen paredes delgadas, la plastificación de la sección, o secciones, en las que las solicitaciones son máximas, y la inestabilidad global de la barra. El pandeo local suele evitarse limitando las relaciones ancho/grueso de los elementos planos por lo que, en general, después de comprobar esas relaciones, se revisan sólo la resistencia de la sección a la plastificación, y la estabilidad de conjunto. Sin embargo, tiene que considerarse cuando, por algún motivo, se utilizan columnas de paredes delgadas. La falla por inestabilidad puede adoptar diversas formas, que dependen de las acciones, las condiciones de soporte lateral y el tipo de sección transversal. Uno de los aspectos más importantes es la presencia (o ausencia) de un sistema de contraventeo que evite la traslación relativa de los extremos de la barra; cuando se presenta esa traslación, el problema se estudia, más adecuadamente, en el contexto del comportamiento de conjunto de la estructura completa (Capítulo 9). En columnas con extremos fijos lateralmente se identifican los casos siguientes (Fig. 7.1): 1. La flexión es alrededor del eje de menor momento de inercia (o del de mayor inercia, pero hay restricciones exteriores que impiden que la columna se salga del plano de flexión); el colapso se produce por deformación excesiva en ese plano (casos a y c). 2. La flexión actúa alrededor del eje de mayor momento de inercia; el elemento falla flexionándose alrededor del eje de menor inercia y retorciéndose (caso b). Es similar al pandeo por flexotorsión de las vigas. 3. La flexión es biaxial; el colapso se presenta por flexotorsión (caso d). El último caso es el más general.


9

Fig.7.1 Modos de falla por inestabilidad

En la actualidad, las columnas se diseñan separándolas del resto de la estructura de la que forman parte, y considerándolas sujetas a las fuerzas normales y momentos en los extremos que provienen del trabajo de conjunto. De esta manera, se tratan como elementos aislados, biarticulados, bajo las acciones determinadas con un análisis de la estructura completa. Se cuenta con tres enfoques para incluir, en el diseño de las columnas, su interacción con el resto de la estructura. En el primero se modifica el diseño de la columna biarticulada individual, con fórmulas que incluyen términos que las ajustan por inestabilidad de conjunto. El segundo se basa en que si bien las resistencias máximas de los marcos y de los elementos que los componen son interdependientes (pero no se alcanzan, necesariamente, al mismo tiempo), no es práctico en muchos casos considerar esa interdependencia de manera rigurosa; además, en estructuras complejas resulta difícil tener en cuenta la inestabilidad de conjunto por medio de las fórmulas para diseño de columnas aisladas, ajustando, por ejemplo, sus longitudes efectivas. Por lo anterior, se recomienda que los dos aspectos, estabilidad de los elementos individuales y estabilidad de la estructura en conjunto, se traten por separado (ref. 7.1). La separación de los dos fenómenos conduce a fórmulas más sencillas para el diseño de las columnas, pero obliga al diseñador a resolver el problema adicional de evaluar la estabilidad de la estructura completa (ref. 7.2).


10

El tercer enfoque, que se ha desarrollado en los últimos años, consiste en aplicar en la estructura fuerzas laterales ficticias, además de las reales, y en diseñar las columnas por separado, con un factor de longitud efectiva K = 1.0, pero sometidas a las acciones obtenidas en un análisis en el que se incluyen las fuerzas ficticias mencionadas (refs. 7.3 y 7.4).


11

7.2 COLUMNAS CORTAS Las ecuaciones de interacción que se emplean para determinar la resistencia de columnas cortas provienen de fórmulas deducidas considerando comportamiento elástico, modificadas cuando el diseño se basa en la resistencia última. El esfuerzo máximo en régimen elástico en una sección (o una columna muy corta) sometida a compresión y flexión alrededor de sus dos ejes centroidales y principales se calcula con la ecuación σ má

x

=

P A

+

My Mx y má x + x má Ix Iy

x

=

P A

+

Mx Sx

+

My Sy

(7.1)

P es la fuerza normal en la sección, Mx y My los momentos alrededor de sus ejes centroidales y principales, todos producidos por solicitaciones de servicio, y A, Sx y Sy son el área y los módulos de sección. La ec. 7.1 es válida hasta que el esfuerzo máximo alcanza el límite de fluencia del material lo que, si se ignoran los esfuerzos residuales, sucede cuando σmáx =

P Mx My + + = σy A Sx Sy

Dividiendo los dos miembros entre σy, y teniendo en cuenta que P/A = σa, Mx/Sx = σfx, My/Sy = σfy, Aσy = Py, Sxσy = Myx y Sy σy = Myy, se obtienen dos formas de la ecuación: M y / Sy M x / Sx P/ A + + = 1.0 , σy σy σy My Mx P + + = 1.0 , Aσ y Sx σ y Sy σ y

σ fy σa σ + fx + = 1.0 σy σy σy

My Mx P + + = 1.0 Py M yx M yy

(7.2)

(7.3)

σa es el esfuerzo de compresión axial producido por P, σfx y σfy los esfuerzos máximos de compresión originados por Mx y My, Py la fuerza de compresión que ocasionaría, por sí sola, la plastificación completa de la sección, y Myx y Myy los momentos que producirían la aparición del esfuerzo de fluencia, si cada uno actuase aislado. Igualando el esfuerzo máximo dado por la ec. 7.1 a un esfuerzo permisible σp, y procediendo de la misma manera que arriba, se obtiene la ec. 7.4, con la que pueden dimensionarse columnas flexocomprimidas cortas, si se considera como estado límite la aparición del esfuerzo permisible en algún punto de la sección:


σ fy σa σ + fx + = 1.0 σp σp σp

12

(7.4)

σp es un porcentaje del esfuerzo de fluencia (σp = σy/CS, y CS = coeficiente de seguridad). Una sección es aceptable si la suma de términos del primer miembro no excede de 1.0, con lo que se comprueba que el esfuerzo máximo no es mayor que el permisible. 7.2.1 Resistencia de columnas cortas Si los elementos planos que componen la sección transversal tienen relaciones ancho/grueso que impidan el pandeo local, la resistencia queda regida por la plastificación completa de la sección. 7.2.1.1 Flexión en un plano En este caso es fácil determinar la posición del eje neutro de la sección completamente plastificada, y pueden obtenerse expresiones exactas o aproximadas para encontrar pares de valores de P y M que producen la plastificación, o para determinar el momento Mpc (momento plástico reducido por fuerza axial) que, junto con la fuerza axial P, ocasiona la formación de una articulación plástica (refs. 7.5, 7.6). Si la flexión es biaxial el problema se complica, pues la posición del eje neutro para cada tercia de valores de P, Mx y My debe determinarse por iteraciones; sin embargo, se han desarrollado métodos numéricos que permiten resolverlo (ref. 7.7). 7.2.1.1a Ecuaciones de interacción En las Fig. 7.2 y 7.3 se han trazado los diagramas de interacción de secciones H flexocomprimidas, con momentos alrededor de los ejes x y y, respectivamente, para dos cocientes Ap/Aa = área de un patín/área del alma, 1.0 y 1.5, que abarcan a la mayoría de los perfiles H laminados; también se muestran en ellas relaciones simplificadas entre fuerza y momento y las ecuaciones de interacción correspondientes. (En las refs. 7.5 y 7.40 se dan fórmulas “exactas” para calcular Mpc en secciones H flexionadas alrededor de uno u otro de sus ejes centroidales y principales; son bastante complejas y su empleo no se justifica en problemas de diseño, pues las expresiones que se proponen aquí proporcionan una buena aproximación).


Fig.7.2 Curvas y ecuaciones de interacción aproximadas para columnas cortas, de sección H, flexionadas alrededor del eje de mayor momento de inercia

Fig.7.3 Curvas y ecuaciones de interacción aproximadas para columnas cortas, de sección H, flexionadas alrededor del eje de menor momento de inercia

13


14

Las ecuaciones simplificadas son (refs. 7.5, 7.6): Flexión alrededor del eje de mayor momento de inercia Si 0 ≤ P ≤ 0.15 Py , M pc

(7.5a)

= M px

x

Si 0.15 Py < P ≤ Py , M pc

 P  = 1.18 1 M  Py  px  

x

(7.5b)

Estas dos condiciones pueden escribirse en la forma Mx P ≤ 1.0 + 0 .85 Py M px

(7.5c)

MX ≤ Mpx

(7.5d)

Flexión alrededor del eje de menor momento de inercia Si 0 ≤ P ≤ 0.40 Py,

(7.6a)

Mpcy = Mpy Si 0.40 Py < P ≤ Py, 2  P    Mpcy = 1.19 1 -    M py   Py   

(7.6b)

O, también, 2

P     Py 

+ 0 .84

My M py

≤ 1.0

My ≤ Mpy

(7.6c) (7.6d)

Se obtienen buenos resultados si la expresión no lineal 7.6c se sustituye por la forma, más sencilla (refs. 7.4 y 7.7), My P ≤ 1.0 + 0 .6 Py M py

que se ha representado en la Fig. 7.3, en la forma

(7.6e)

Columnas aisladas flexocomprimidas M pcy M py

 P  = 1.67 1.0  Py  

15

(7.6f)

Mpcx y Mpcy son los momentos plásticos reducidos, por fuerza axial, para flexión alrededor de los ejes x y y, respectivamente, es decir, los momentos que al obrar sobre la sección al mismo tiempo que la fuerza axial P ocasionan la formación de una articulación plástica. Mx y My son los momentos exteriores de diseño, que incluyen el factor de carga correspondiente. En el Apéndice F de la ref. 7.8 se proponen las expresiones siguientes para evaluar Mpcx y Mpcy:   Mpcx = 1.18 Mpx 1 − P  ≤ M px   

Mpcy = 1.19 Mpy

Py 

2     1 −  P   ≤ M py   Py   

Son las ecs. 7.5b y 7.6b; al imponerles la condición de que Mpc no exceda de Mp, se aplican a todos los valores de P (0 ≤ P ≤ Py). En el Apéndice H de la ref. 7.9 se emplean las mismas ecuaciones, redondeando a 1.2 los factores 1.18 y 1.19. En ese mismo Apéndice se proporcionan también expresiones para secciones rectangulares huecas (en cajón):  P  Mpcx = 1.20 Mpx 1 − u  ≤ M px Py    P  Mpcy = 1.20 Mpy 1 − u  ≤ M py Py  

Todas las ecuaciones anteriores son válidas para secciones I, H o en cajon, tipo 1 o 2 (capítulo 3, tabla 7.6,). Para las secciones en I o H, tipo 3 o 4, y para las secciones restantes, de cualquier tipo, se considera la ecuación de interacción (refs. 7.11 y 7.12) 

Muc = Mu 1 − 

P  Pu 

Mu y Pu son las resistencias últimas en flexión y compresión para los tipos considerados.

La ecuación anterior es válida para flexión alrededor de cualquiera de los dos ejes centroidales y principales.


16

Si la sección es tipo 1 o 2, Mu = Z Fy = Mp, y Pu = AFy = Py; si es tipo 3, Mu = SFy = My (Z y S son los módulos de sección plástico y elástico); cuando es tipo 4 debe considerarse el posible pandeo local. Con las expresiones 7.5b o 7.5c, y 7.5d, se determina si un par de valores de P y Mx ocasiona la plastificación íntegra de la sección, cuando la flexión es alrededor de x, y las expresiones 7.6b o 7.6c, y 7.6 d, proporcionan la misma información cuando el eje de interés es el y. En la Tabla 1 se proporcionan fórmulas aproximadas para secciones H y circulares y rectangulares huecas, en flexión uniaxial; se han deducido suponiendo que el grueso de las paredes es muy pequeño comparado con las dimensiones exteriores de la sección.

Sección transversal

Ap

 A σ y A pD1 + a  4A p 

Aa Ap

   

D

7.2.1.2 Flexión biaxial La ec. 7.3, que describe la terminación del comportamiento elástico de una sección en flexocompresión biaxial, define un plano inclinado en un sistema de ejes P - Mx - My, o, en forma adimensional, P/Py - Mx/Myx - My/Myy (Fig. 7.4); las coordenadas de los puntos del plano representan tercias de valores de los elementos mecánicos P, Mx y My, que ocasionan el comienzo de la plastificación, y las de los puntos situados dentro del espacio limitado por el plano inclinado y los tres planos coordenados corresponden a una condición de carga para la que toda la sección se conserva en el dominio elástico. Los puntos entre el plano y la


17

superficie curva (de la que se habla más adelante) representan combinaciones de acciones que producen la plastificación parcial de la sección, y los que están fuera de la superficie corresponden a acciones que no pueden ser resistidas por ella. En la Fig. 7.4 se han escrito las ecuaciones de las rectas definidas por las intersecciones del plano inclinado con los coordenados; describen las condiciones para las que se inicia la plastificación cuando sólo hay dos elementos mecánicos, la fuerza axial y uno de los momentos, o los dos momentos, sin fuerza axial.

Fig. 7.4 Superficies de interacción correspondientes a la terminación del comportamiento elástico y a la resistencia máxima. Secciones H en flexocompresión biaxial

Lo mismo que en flexión pura o en flexocompresión con momentos alrededor de un solo eje, el comienzo de la plastificación de una sección flexocomprimida biaxialmente no representa el agotamiento de su resistencia; puede soportar incrementos adicionales de carga, hasta plastificarse por completo. El lugar geométrico de los puntos representativos de los conjuntos de elementos mecánicos que plastifican íntegramente a la sección es una superficie curva (Fig. 7.4); sus intersecciones con los planos de referencia representan las condiciones de falla, por plastificación total, de la sección en flexocompresión con momentos alrededor de un solo eje o en flexión biaxial, sin fuerza normal.


18

En la figura se indican las ecuaciones aproximadas de las curvas definidas por las intersecciones con los planos de referencia; el caso de flexión biaxial con P = 0 se ve más adelante. La superficie que representa la iniciación del flujo plástico queda dentro de la que describe la plastificación completa; sólo coinciden en el punto B, en el que P = Py, Mx = My = 0, pues bajo carga axial todos los puntos de la sección se plastifican al mismo tiempo. En cambio, si P = My = 0, la sección se plastifica cuando Mx = Mpx = fxMyx, o sea cuando Mx/Myx = fx; el valor de fx, factor de forma de la sección para flexión alrededor del eje x, está comprendido entre 1.10 y 1.14, aproximadamente. De manera análoga, si P = Mx = 0, la sección se plastifica cuando My = Mpy = fyMyy; My/Myy = fy ≈ 1.5. Las expresiones 7.5c y 7.6e se combinan para cubrir, de manera sencilla y aproximada, la flexocompresión biaxial (ref. 7.10): My Mx P ≤ 1.0 + 0 .85 + 0 .6 Py M px M py

(7.7)

Al mismo tiempo, y para todo valor de P/Py, debe satisfacerse la condición My Mx ≤ 1.0 + M px M py

(7.8)

que suele regir cuando la fuerza axial P es pequeña (refs. 7.8 y 7.11). 7.2.1.2a Ecuaciones de interacción Como la superficie de interacción de la Fig. 7.4 no es apropiada para diseño, se han obtenido familias de curvas que proporcionan la combinación de momentos Mx y My que ocasionan la plastificación completa de la sección, cuando actúan al mismo tiempo que una fuerza P de magnitud conocida (refs. 7.13 y 7.14). Las curvas son las intersecciones de la superficie con planos horizontales situados a diversas alturas, cada uno para un valor determinado de P. Los mismos resultados se han publicado también en forma numérica (refs. 7.6, 7.7, 7.15), calculados para la sección W8” x 31 lb/ft; se ha demostrado que las curvas de interacción deducidas para ese perfil representan con buena aproximación las de otras secciones H, para las que son conservadoras en la relación de su factor de forma a 1.10. (El factor de forma de la sección W8 x 31, 1.10, es menor que el de la mayoría de las secciones H). En la Fig. 7.5 (ref. 7.7) se muestra una familia de curvas de interacción obtenida para una sección H ligera; es semejante a las de todas las secciones H laminadas (refs. 7.7, 7.15).


19

Fig. 7.5 Curvas de interacción de una columna corta, de sección H ligera, sometida a flexocompresión biaxial

Las curvas y los resultados numéricos proporcionan relaciones adimensionales entre los momentos Mx y My que producen la plastificación completa de las secciones transversales de columnas H de esbeltez nula, para fuerzas axiales de magnitud constante. Las relaciones de interacción no son líneas rectas; más bien, sobre todo para valores reducidos de la fuerza axial, se aproximan a cuadrantes de círculo (Fig. 7.5). Además, si una sección está completamente plastificada por compresión y flexión alrededor de un eje, no le queda resistencia adicional para soportar flexión alrededor del otro, pero una pequeña disminución en las solicitaciones hace que crezca rápidamente la resistencia en flexión correspondiente al segundo eje. Utilizando un sistema de ejes Mx/Mpcx - My/Mpcy, se obtienen las curvas de la Fig. 7.6, que se han trazado para cuatro cocientes P/Py, 0, 0.3, 0.6 y 0.9. Su forma general puede aproximarse con la ecuación de interacción adimensional


20

Fig. 7.6 Comparación de curvas de interacción para columnas cortas en flexocompresión biaxial α

 M  x   M  pcx 

α

 My  +    M pcy 

(7.9)

= 1.0

Mpcx y Mpcy se evalúan con las ecs. 7.5b y 7.6b, deducidas para columnas cortas de sección transversal H, comprimidas y flexionadas alrededor de un solo eje, que se reproducen aquí:  P  ≤ M px Mpcx = 1.18 Mpx 1  Py    Mpcy = 1.19 Mpy

(7.5b)

2  P   1 -    ≤ M py   Py   

(7.6b)

α es un exponente numérico que depende de la forma de la sección transversal y de la magnitud de la fuerza normal; para secciones H se calcula con buena precisión con las expresiones: Para bp/d < 0.5,

α = 1.0


Para 0.5 ≤ bp/d ≤ 1.0,

α = 1.60 -

21 p 2 Ln p

(7.10)

bp y d son el ancho del patín y el peralte de la sección, p = P/Py, y Ln indica logaritmo natural. Tomando α = 1, sustituyendo Mpcx y Mpcy por sus valores dados por las ecs. 7.5b y 7.6b, y haciendo algunas manipulaciones algebraicas, la ec. 7.9 se reduce a la ecuación de interacción lineal 7.7. Con fines comparativos, en la Fig. 7.6 se ha trazado la ecuación de interacción lineal Mx/Mpcx + My/Mpcy = 1.0; es muy conservadora, y se va haciendo cada vez más al crear la fuerza axial P. Con la ec. 7.9 se pueden generar curvas de interacción para todos los valores de p. En las Figs. 7.6 y 7.7 se comparan esas curvas con los resultados numéricos obtenidos para secciones H; la concordancia es buena. En la Fig. 7.7 se han representado también las ecuaciones de interacción lineal 7.7 y 7.8.

Fig. 7.7 Comparación de curvas de interacción para columnas cortas en flexocompresión biaxial

De la discusión anterior se concluye que con la ec. 7.9 (o las curvas o tablas de las que proviene) se obtiene la resistencia de columnas cortas de sección transversal H en flexocompresión axial con una precisión mucho mayor que utilizando ecuaciones lineales; además cuando se emplea en problemas de diseño se obtienen estructuras más económicas, pues tiene en cuenta la resistencia máxima, en el intervalo inelástico, de la sección.


22

Secciones en cajón La ec. 7.9 es aplicable también a secciones rectangulares huecas; en ese caso, el exponente α toma la forma α = 1.7 - p/Lnp

(7.11)

y los momentos Mpcx y Mpcy se calculan con las expresiones  P  Mpcx = 1.2 Mpx 1 − u  ≤ Mpx  Py 

(7.12)

 P  Mpcy = 1.2 Mpy 1 − u  ≤ Mpy  Py 

(7.13)

EJEMPLO 7.1 Calcule los momentos plásticos reducidos por carga axial de una sección W14” x 132 lb/ft (ref. 7.41), para flexión alrededor del eje x y del y, y fuerzas axiales de 110 y 550 Ton. Utilice las ecuaciones aproximadas 7.5 y 7.6, y las “exactas” de la ref. 7.40, y compare los resultados entre sí y con los momentos plásticos Mpx y Mpy. El acero es A992, Gr. 50 (Fy = 3515 Kg/cm2). La sección y sus propiedades geométricas se muestran en la Fig. E7.1.1.

ta

Fig. E7.1.1 Sección W14” x 132 lb/ft Py = AFy = 878.8 Ton Mpx = Zx Fy = 135.0 Tm; Mpy = Zy Fy = 65.4 Tm De la ref. 7.40:

Flexión alrededor del eje x. Si P/Py ≤ Aa/A (eje neutro en el alma),


M pcx M px

P = 1 -   Py

   

2

23

2

A

(a)

4t a Z x

Si P/Py > Aa/A (eje neutro en un patín), M pcx M px

 P = A 1 Py 

   

 d - A  2b 

 P 1  Py 

 1   2 Z  x

(b)

A es el área total de la sección transversal, y Aa el área del alma. Flexión alrededor del eje y. Si

Si

P Py P Py

≤

>

t ad A

t ad A

1er caso.

(eje neutro en el alma),

M pcy

(eje neutro en un patín),

M py M pcy M py

P = 1 -   Py

2

   

2

A

(c)

4 d Zy

 4bt  P p =  - 1 −  A Py  

  P  1 −   Py  

2  A   8t Z  p y

(d)

P = 110.0 Ton, P/Py = 110.0/878.8 = 0.125

Flexión alrededor de x. Mpx = Zx Fy = 135.0 Tm Ref. 7.40 P/Py = 0.125 < Aa/A = 31.96 x 1.64/250.0 = 52.4/250.0 = 0.210 ∴ Se utiliza la ec. a. Ec. a.

M pcx M px

= 1 - 0.125

2

250.0

2

4 x 1.64 x 3840

= 0.961 , Mpcx = 0.961 x 135 = 129.7 Tm

Ecuaciones aproximadas 7.5 P/Py = 0.125 < 0.15 ∴ Mpcx = Mpx = 135.0 Tm

De acuerdo con la ecuación “exacta”, el momento plástico resistente disminuye en 4%, aproximadamente, por efecto de la fuerza axial de 80 Ton; las ecs. 7.5 no tienen en cuenta esta reducción. Flexión alrededor de y. Mpy = Zy Fy = 65.4 Tm


P Py

= 0.125 <

t ad A

=

1.64 x 37.2 250.0

24

= 0.244

Ref. 7.40

Ec. c.

M pcy M py

= 1 - 0.125

250.0

2

2

4 x 37.2 x 1860

= 0.996, Mpcy = 0.996 x 65.4 = 65.2 Tm

Ecuaciones aproximadas 7.6 P/Py = 0.125 < 0.40 ∴ Mpcy = Mpy = 65.4 Tm

Las ecuaciones aproximadas no reducen tampoco la resistencia en flexión; la reducción que se obtiene con la “exacta” es mínima, 0.1%. 2º caso.

P = 550 Ton; P/Py = 550.0/878.8 = 0.626

Flexión alrededor de x. Ref. 7.40 P/Py = 0.626 > Aa/A = 0.210 ∴ Se utiliza la ec. b.

Ec. b.

M pcx M px

  250.0 1 (1 - 0.626 )  = 250.0 (1 - 0.626 ) 37.2 = 0.438   2 x 3840 2 x 37.4

Mpcx = 0.438 x 135.0 = 59.1 Tm

Ecuaciones aproximadas 7.5 P/Py = 0.626 > 0.15 ∴ Se emplea la ec. 7.5b.  P   Mpx = 1.18 (1 - 0.626) 135.0 = 0.441 x 135.0 = 59.6 Tm Ec. 7.5b. Mpcx = 1.18 1 −  P  y 

La disminución en resistencia es importante; las dos ecuaciones dan resultados prácticamente iguales (la aproximada sobrestima el momento resistente en 0.8%). Flexión alrededor de y. Referencia 7.40 P/Py = 0.626 > tad/A = 0.244 ∴ Se utiliza la ec. d.


Ec. d.

M pcy M py

25

250.0 2  4 x 37.4 x 2.62  = - (1 - 0.626 ) (1 - 0.626 ) = 0.716 250.0 8 x 2.62 x 1860  

Mpcy = 0.716 x 65.4 = 46.8 Tm

Ecuaciones aproximadas 7.6 P/Py = 0.626 > 0.4 ∴ Se emplea la ec. 7.6b.   P  Ec. 7.6b Mpcy = 1.19 1 −   P   y

2

   

 M = 1.19 (1 - 0.6262) 65.4 = 0.724 x 65.4 = 47.3 Tm  py 

Otra vez las dos ecuaciones dan resultados casi iguales; la aproximada vuelve a sobrestimar la resistencia, ahora en 1.2%. La reducción de resistencia en flexión es casi nula cuando la fuerza axial es de 110.0 Ton; aumenta considerablemente para P = 550 Ton. En ambos casos, las ecuaciones aproximadas proporcionan buenos resultados. Es interesante observar que la influencia de la fuerza axial es mayor cuando la flexión es alrededor del eje x que cuando el eje de flexión es el y. Esto se advierte claramente comparando las curvas de las Figs. 7.2 y 7.3.


26

7.3 COLUMNAS LARGAS La ec. 7.4 es la base de las ecuaciones de interacción modernas; esto se comprueba en las recomendaciones para diseño de barras flexocomprimidas de las especificaciones AISC de 1949 (ref. 7.16), que se reproducen aquí. “Los miembros sujetos a esfuerzos axiales de compresión y de flexión combinados se dimensionarán de manera que la cantidad fa f + b Fa Fb

no exceda la unidad. Fa = esfuerzo axial máximo que se permitiría si la barra estuviese sometida únicamente a compresión axial; es función de la esbeltez L/r de la columna (L es la longitud real, lo que equivale a tomar, siempre, un factor de longitud efectiva K = 1.0). Fb = esfuerzo máximo ocasionado por flexión que se permitiría si la barra estuviese sometida únicamente a flexión. fa = esfuerzo producido por la fuerza axial de compresión que actúa sobre la barra (cociente de la fuerza axial entre el área de la sección transversal de la columna). fb = esfuerzo máximo producido por flexión (cociente del momento flexionante máximo entre el módulo de sección de la columna)”. Los esfuerzos fa y fb son producidos por solicitaciones nominales o de trabajo. En la época en que se utilizaban las normas anteriores los análisis se hacían con métodos elásticos de primer orden, generalmente aproximados. De acuerdo con la ref. 7.16, la condición de diseño es fa f + b ≤ 1.0 Fa Fb

(7.14)

Cuando las columnas trabajan en flexión biaxial, se convierte en fby fa f ≤ 1.0 + bx + Fa Fbx Fby

(7.15)

Esta es la ec. 7.4 en la que se ha sustituido, de manera arbitraria, el esfuerzo permisible único, σp = σy/CS, por tres valores diferentes, correspondientes a la columna sujeta, por separado, a cada solicitación. Se obtiene así una ecuación de interacción semiempírica, correcta en los casos extremos en que la barra trabaja sólo en compresión o en flexión alrededor de uno de sus ejes centroidales y principales (si Mx = My = 0, fbx = fby = 0, y la


27

ecuación se reduce a fa/Fa ≤ 1.0, fa ≤ Fa; si P = My = 0, fa = fby = 0, y se obtiene fbx/Fbx ≤ 1.0, fbx ≤ Fbx, lo mismo que si la única solicitación es My), y que proporciona una seguridad adecuada, pero desconocida, cuando está sometida a compresión y flexión alrededor de uno o de los dos ejes x y y. En las columnas esbeltas hay dos efectos geométricos de segundo orden que incrementan los momentos, al interactuar las fuerzas de compresión con las deflexiones laterales de sus ejes; no se manifiestan en las acciones internas determinadas con un análisis elástico convencional, de primer orden y no se toman en cuenta en las ecs. 7.14 y 7.15. Cuando la columna forma parte de una estructura de rigidez lateral suficiente para que no sean significativos los efectos de esbeltez debidos a desplazamientos lineales de sus extremos, puede considerarse que éstos están fijos linealmente; el incremento en los momentos flexionantes se debe sólo al producto de la fuerza axial P por los desplazamientos laterales respecto al eje recto original: éste es el llamado efecto Pδ (Fig. 7.8). Si, en cambio, los desplazamientos lineales de los extremos son significativos, los momentos flexionantes se incrementan por el efecto P∆, debido a esos desplazamientos, y el Pδ, producido por la deformación del eje de la columna respecto a la recta que une sus extremos desplazados (Figs. 7.9 y 7.10; en la Fig. 7.10 se ha dibujado el caso particular en que los dos extremos de la columna giran ángulos iguales, como sucede, aproximadamente, en entrepisos intermedios de marcos rígidos regulares de varios niveles bajo cargas verticales y horizontales combinadas).

Fig. 7.8 Efectos geométricos de segundo orden en columnas con extremos fijos linealmente (efecto pδ)


Fig. 7.9 Desplazamientos globales ∆ y locales δ

Fig.7.10 Efectos geométricos de segundo orden en columnas cuyos extremos se desplazan linealmente ( efectos P∆ y Pδ )

28


29

La rigidez lateral necesaria para que los efectos P∆ no sean significativos se obtiene, muchas veces, con muros de rigidez o contraventeos, pero hay casos en que la proporcionan los marcos rígidos solos. Cuando el efecto P∆ es importante, conviene basar el diseño en un análisis de segundo orden, exacto o aproximado (Capítulo 9). 7.3.1 Flexión en un plano. Comportamiento elástico En la Fig. 7.11 se muestra una barra larga aislada, de sección transversal constante, con una fuerza axial de compresión P y pares en los extremos, flexionada en uno de sus planos de simetría; se supone, por ahora, que se deforma conservándose en el plano de flexión, sin pandeo lateral, y que su respuesta es elástica. Los apoyos permiten que el extremo derecho se desplace linealmente a lo largo del eje original y que los dos extremos giren libremente, pero impiden sus movimientos transversales, por lo que no hay efecto P∆.

Fig. 7.11 Barra larga flexocomprimida;pares aplicados en los extremos

En el estudio de columnas con pares en los extremos suele tomarse como referencia el momento numéricamente mayor, y el otro se expresa como el producto del primero por un factor menor que la unidad; en la Fig. 7.11 se ha supuesto que M2 es el mayor de los dos momentos y q el factor de proporcionalidad, comprendido entre -1.0 y + 1.0. 7.3.1.1 Factor de amplificación (Efecto Pδ) Para dimensionar la columna debe conocerse el momento máximo, que puede ser M2 o presentarse en alguna sección transversal intermedia; se obtiene multiplicando el mayor de los dos pares exteriores por un factor de amplificación, φ (que puede ser igual a 1.0), que tiene en cuenta la interacción carga axial-desplazamiento debido a la deformación de la columna entre sus extremos (efecto Pδ); es función de P, de la relación entre los momentos en los extremos y de las características geométricas y mecánicas de la barra; se determina estudiando la geometría del eje deformado y la variación de momentos, primarios y secundarios, a lo largo de él. En el intervalo elástico, φ se calcula con la expresión (refs. 7.6, 7.17)


φ=

Fv =

1 + q 2 - 2q cos Fv L sen Fv L P π = EI x L

30

(7.16)

π 2 EI x P , donde PE = es la carga crítica de Euler de pandeo en el plano de PE L2

la flexión de la columna biarticulada. El momento máximo puede presentarse en un extremo o en una sección intermedia de la barra (Fig. 7.12).

Fig. 7.12 Diagramas de momentos de barras largas flexocomprimidas

Los valores de φ que proporciona la ec. 7.16 son siempre iguales o mayores que 1.0, pero no tienen significado físico cuando q < cos FvL, pues en ese caso el momento máximo teórico está fuera de la columna, el máximo real en uno de sus extremos, y no hay amplificación; φ es igual a 1.0 (ref. 7.6). Si los momentos son iguales y producen curvatura simple (q = +1.0), la ec. 7.16 se reduce a φq = 1.0 =

2 (1 - cos Fv L ) sen Fv L

(7.17)

La expresión φq = 1.0 =

1 1 - P / PE

(7.18)

en la que P es la fuerza de compresión en la columna y PE se ha definido arriba, proporciona, con buena precisión, el factor de amplificación de las deflexiones de barras rectas flexocomprimidas libremente apoyadas, con cargas transversales o momentos aplicados en los extremos que producen deformaciones máximas en el centro de la barra (refs. 7.6, 7.18); la deflexión total es la que se tendría si la fuerza axial fuese nula, multiplicada por el factor φ (ec. 7.18), que depende de la relación P/PE de la fuerza en la columna y su carga crítica de


31

Euler en el plano de los momentos. Con este factor se toma en cuenta el efecto de la interacción fuerza normal-desplazamiento sobre las deflexiones de la barra (efecto Pδ). Si el momento primario es constante, producido por pares aplicados en los extremos de la columna iguales en magnitud y que la flexionan en curvatura simple, o variable, pero máximo en la sección media, el momento en ésta, amplificado por efectos de segundo orden, es (Fig. 7.12) Mmáx = Mo + Pδmáx = Mo + P

δo 1 - P / PE

Mo y δo son el momento primario y la deflexión correspondiente, en la sección media. Efectuando manipulaciones algebraicas, la ecuación anterior toma la forma Mmáx = Mo

1 + ψP / PE 1 - P / PE

donde ψ =

PEδ o π 2 EIδ o - 1 = - 1 Mo M o L2

En las refs. 7.20 y 7.25, entre otras, se proporcionan valores de ψ para columnas con diferentes condiciones de apoyo y cargas transversales, uniformes o concentradas en el punto medio. Cuando actúan sobre la barra pares exteriores de magnitudes iguales y sentidos contrarios δo vale MoL2/8EI, Ψ es igual a (π2/8) - 1 = 0.234, y el momento máximo es Mmáx = Mo

1 + 0.234 P / PE 1 - P / PE

El factor de amplificación de los momentos es φq = 1.0 =

1 + 0.234 P / PE 1 - P / PE

El numerador es poco mayor que 1.0, sobre todo cuando la fuerza axial P es pequeña comparada con PE, de manera que una forma aún más sencilla de φq = 1 es φq = 1.0 =

1 1 - P / PE

De acuerdo con esta expresión, el factor de amplificación de los momentos es igual al de la flecha (ec. 7.18); proporciona resultados un poco menores que los que se obtienen con la ec. 7.17, pero suficientemente precisos, en general, para diseño.


32

7.3.1.1.1 Flexión alrededor de los ejes de mayor momento de inercia (x) La ec. 7.3, que corresponde a la terminación del comportamiento elástico de elementos cortos, puede adaptarse a columnas largas flexionadas en un plano, alrededor de los ejes de mayor momento de inercia, suprimiendo el momento My y sustituyendo Mx por Mmáx, pues el esfuerzo de fluencia aparece por primera vez en la sección en que el momento total, incrementado por efecto Pδ, adquiere el valor máximo. Se obtiene así la ecuación

P Py

+

M má My

x

=

P Py

+ φ

M2 My

= 1.0

(7.19)

Py se sustituye por PE, carga crítica de pandeo elástico por flexión en el plano de mayor momento de inercia, si es menor que Py. My es el momento aplicado alrededor del eje x que ocasionaría la aparición del esfuerzo de fluencia en la sección, si la fuerza normal fuese nula; se le ha quitado el subíndice x en vista de que ahora sólo hay flexión en un plano. M2 es el mayor, en valor absoluto, de los momentos en los extremos de la columna. En el caso particular en que los momentos en los extremos son de magnitudes iguales, Mo, y producen curvatura simple, se tiene P + φq Py

=1

Mo = 1.0 My

(7.20)

El factor de amplificación φq = 1 puede calcularse con la expresión exacta (ec. 7.17), o con la aproximada (ec. 7.18). Si se usa ésta, Mo P 1 + = 1.0 Py 1 - P / PE M y

(7.21)

Los límites se satisfacen: si Mo = 0, P/Py = 1.0, P = Py ≤ PE; ésta es la fuerza que, por sí sola, ocasionaría la plastificación completa de la columna o su falla por pandeo elástico por flexión alrededor de x. Si P = 0 no se amplifican los momentos, Mo/My = 1.0, Mo = My. Con las ecuaciones de interacción 7.20 y 7.21 se obtienen pares de valores de P y Mo para los que termina el comportamiento elástico de una barra flexocomprimida, en curvatura simple con momentos iguales en los extremos (q = +1.0); son aplicables para 0 ≤ P ≤ Py (o PE, cuando es menor que Py).


33

En la Fig. 7.13 se comparan las soluciones “exacta” y aproximada (ecs. 7.20 y 7.21) para columnas de acero A36 de dos relaciones de esbeltez, 80 y 120; la ec. 7.21 sobreestima ligeramente la resistencia en ambos casos, pero proporciona resultados muy cercanos a los exactos. Se ilustra también la influencia de la esbeltez, comparando las curvas con la resistencia de una sección (L/rx = 0).

Fig. 7.13 Comparación de las ecuaciones de interacción “exacta” y Aproximada para dos relaciones de esbeltez diferentes. q =+1.0. Acero A36. comportamiento elástico

Todas las curvas convergen en Mo = My cuando P = 0: el miembro es una viga, y como el pandeo lateral está impedido, por hipótesis, el comportamiento elástico termina cuando el momento, constante, alcanza el valor My. En el otro extremo, para Mo = 0, se tiene una columna en compresión axial, y la fuerza P es la menor de Py y PE. Cuando aumenta la esbeltez disminuye la resistencia pues las columnas más esbeltas se deforman más, crece el efecto Pδ, y los momentos ocasionados por él representan una parte mayor de los totales. La columna de esbeltez L/rx = 80, en compresión axial, resiste la fuerza Py, sin pandeo prematuro, pero la más esbelta (L/rx = 120) falla cuando P = PE = 0.522 Py. La ec. 7.18 sólo es válida cuando q = + 1.0, y la amplificación de momentos es máxima; si se aplica a otras condiciones de carga produce resultados que pueden ser demasiado conservadores.


34

Cuando los momentos de primer orden varían a lo largo del eje de la columna, pueden convertirse en momentos uniformes “equivalentes”, que se obtienen multiplicando el más grande, en valor absoluto, de los pares aplicados en los extremos, por un factor menor que la unidad, tal que la columna queda sometida a una flexión primaria uniforme que, al amplificarse, produce un momento máximo aproximadamente igual al momento máximo amplificado de la columna con la flexión no uniforme real (Fig. 7.14). Utilizando el concepto de momento uniforme equivalente, el diseño de una columna sujeta a una combinación cualquiera de momentos en los extremos se convierte en el de una barra con pares iguales y de sentidos contrarios, a la que se le aplica el factor de amplificación dado por la ec. 7.18.

El momento máximo en una columna con flexión variable es igual al mayor de los momentos en los extremos multiplicado por el factor de amplificación φ, ec. 7.16; cuando la flexión es uniforme, se utiliza φq = 1 (ec. 7.17). Para determinar la magnitud del momento equivalente, Meq, se igualan los dos máximos, haciendo que el momento uniforme primario sea el Meq, buscado. M2

1 + q

2

- 2q cos Fv L

senFv L

= M eq

2 (1 - cos Fv L) senFv L

De aquí, M eq

  2  1 + q - 2q cos Fv L   M2 = C M2 =  2 (1 - cosFv L)  

(7.22)

El factor C, por el que se multiplica el mayor de los momentos en los extremos para obtener el uniforme equivalente, es C=

1 + q 2 - 2q cos Fv L 2 (1 - cosFv L)

(7.23)


35

La ec. 7.23 puede utilizarse directamente en el diseño; sin embargo, se han recomendado varias expresiones simplificadas (refs. 7.17, 7.6); la más común es la adoptada por el AISC (refs. 7.9 y 7.23): C = 0.6 + 0.4 q

(7.24)

q es positivo cuando la columna se flexiona en curvatura simple y negativo cuando la curvatura es doble.1 En la ec.7.24 se ignora la influencia de la fuerza axial en el valor de C; sin embargo, cuando esa influencia es importante, y la columna se flexiona en curvatura doble, como sucede casi siempre en los marcos rígidos, se obtienen resultados conservadores. El coeficiente C se introduce en la ec. 7.21 para extenderla al caso en que los momentos en los extremos son diferentes: M2 P C + = 1.0 Py 1 - P / PE M y

(7.25)

M2 es el mayor de los momentos en los extremos de la columna, CM2 es un momento uniforme ficticio, equivalente al variable real, y 1/(1 - P/PE) es el factor de amplificación en la barra con la flexión primaria uniforme ficticia; cuando q = M1/M2 = + 1, C vale también 1.0 y la ec. 7.25 se reduce a la 7.21. La ec. 7.25 proporciona resultados muy cercanos a los “exactos” (ref. 7.19). Cuando no hay amplificación de los momentos φ vale 1.0, y el diseño queda regido por la resistencia del extremo en que el momento es máximo; cuando hay amplificación, φ es mayor que 1.0; nunca puede ser menor que la unidad. En cambio, el cociente C/(1 - P/PE), que sustituye a φ en la ecuación aproximada 7.25, resulta con frecuencia menor que 1.0, sobre todo en columnas en curvatura doble con fuerzas P reducidas; en esos casos los efectos de segundo orden son de poca importancia, no hay amplificación del momento máximo, que es el mayor de los aplicados en los extremos, y la ec. 7.25 sobrestima la resistencia de la columna. La terminación del comportamiento elástico queda descrita por la ecuación P/Py + M2/My = 1.0

(7.26)

Por consiguiente, para revisar elásticamente una barra flexocomprimida, con pares en los extremos, ha de utilizarse la ec. 7.18, con valores “exactos” de φ (ec. 7.16), o emplearse, simultáneamente, las ecs. 7.25 y 7.26. Debe comprobarse, además, que P es menor que PEX, pues en caso contrario la pieza fallaría por compresión, por pandeo en el plano de los momentos, y no resistiría ninguna flexión adicional. (Esto sólo sucede en columnas muy esbeltas, pues en general PEX es mayor que Py, y la condición extrema, con momentos nulos, es P/Py = 1.0, o sea P = Py < PEX). 1

Cuando el coeficiente C se incluyó, por primera vez, en las especificaciones AISC (en ellas se llama Cm) se le puso un límite inferior de 0.4, que corresponde a q = -0.5 (ver, por ejemplo, la ref. 7.24); sin embargo, posteriormente se ha reconocido que ese límite introduce errores en los resultados, por lo que se ha suprimido (refs. 7.9, 7.20, 7.23 y 7.25).


36

7.3.2 Determinación de la resistencia máxima 7.3.2.1 El pandeo lateral está impedido La resistencia máxima de columnas de acero aisladas flexocomprimidas que fallan por exceso de flexión en el plano de los momentos2 se determina teniendo en cuenta que se trata de un fenómeno de inestabilidad, generalmente inelástica, y no de un problema de cálculo de esfuerzos. En la ref. 7.26 se presenta un método para resolver el problema, que se basa en las hipótesis siguientes (ver, también, la ref. 7.5): a)

La columna es un perfil H laminado, con esfuerzos residuales idealizados, semejantes a los medidos en perfiles reales.

b)

La falla se produce por exceso de flexión en el plano de los momentos, que es el del alma de las secciones transversales (flexión alrededor de los ejes de mayor momento de inercia).

c)

El pandeo lateral por flexotorsión está impedido.

d)

No hay pandeo local prematuro.

e)

El comportamiento del acero es elastoplástico perfecto; se ignora el endurecimiento por deformación.

f)

Se desprecia el efecto de la fuerza cortante sobre el proceso de plastificación.

g)

Las columnas son de sección transversal constante y originalmente rectas.

h)

Las secciones transversales planas antes de la deformación se conservan planas después de ella.

i)

Las rotaciones en los extremos del eje deformado son pequeñas.

j)

No hay desplazamientos lineales relativos entre los extremos.

k)

Las deflexiones del eje de la barra dependen sólo de las solicitaciones finales, y no de la historia del proceso de carga.

Cuando la falla se inicia en el intervalo inelástico, la resistencia última no puede calcularse con ningún procedimiento matemático explícito, por lo que se recurre a la integración numérica de relaciones elastoplásticas entre momentos y curvaturas (ref. 7.6).

2

Lo que sucede cuando hay elementos exteriores que les impiden salirse de ese plano, y cuando la flexión es alrededor de los ejes principales de menor momento de inercia.


37

La solución del problema se ha obtenido en forma de curvas de interacción fuerza axialmomento, que proporcionan la resistencia máxima de las columnas, determinadas para diversas relaciones q de los momentos en los extremos y para esbelteces comprendidas entre cero y 120. La validez de las teorías que llevan a la obtención de las curvas ha sido verificada experimentalmente de manera muy extensa; se obtiene una excelente concordancia entre los resultados teóricos y experimentales. Las Figs. 7.15 y 7.16 contienen las curvas de interacción para q = +1.0 y q = 0. Se determinaron para un acero con esfuerzo de fluencia de 2320 Kg/cm2 (el acero A7, que se empleaba cuando se obtuvieron las curvas), pero pueden utilizarse para columnas de sección H de otros aceros usando una relación de esbeltez equivalente, igual a la real multiplicada por σ y /2320 , donde σy es el esfuerzo de fluencia del acero particular, en Kg/cm2. (Si el acero es A36 pueden emplearse las curvas directamente, con un error muy pequeño, pues 2530 / 2320 = 1.044 ; sin embargo, en la actualidad se usan resistencias mayores, la más común es σy = 3515 Kg/cm2 (50 Ksi); en ese caso, 3515 / 2320 = 1.231).

Fig. 7.15 Curvas de interacción para secciones H flexionadas alrededor del eje de mayor momento de inercia (q=+1.0) σy = 2320 Kg/cm2


38

Fig. 7.16 Curvas de interacción para secciones H flexionadas alrededor del eje de mayor momento de inercia (q=0) σy = 2320 Kg/cm2

Se han publicado tablas, obtenidas de las curvas, que enlistan los momentos máximos, aplicados en los extremos, que resisten columnas de esbeltez dada, sometidas a compresiones de magnitud conocida, para diferentes valores de q (ref. 7.27); con ellas pueden obtenerse resultados más precisos que con las curvas. Se cuenta también con fórmulas aproximadas, deducidas de las curvas para tres condiciones extremas de carga, que constituyeron el primer método recomendado por el AISC para dimensionar columnas en estructuras diseñadas plásticamente (ref. 7.28). Las líneas llenas de la Fig. 7.17 representan la resistencia última de columnas con esbelteces de 40 y 120, y las rectas interrumpidas corresponden a la ecuación de interacción lineal.


39

Fig. 7.17 Comparación de la ecuación de interacción lineal 7.26 flexión alrededor del eje x y la solución analítica σy = 2320 Kg/cm2 P M + = 1.0 Po Mp

(7.26)

Po es la fuerza axial que ocasionaría la falla de la columna si no hubiese flexión, es decir, es la carga crítica de pandeo alrededor del eje de mayor momento de inercia, sin exceder de Py. Las curvas se han trazado para un acero con σy = 2320 Kg/cm2; en ambos casos el pandeo se inicia en el intervalo inelástico. La ec. 7.26 coincide con los resultados analíticos en los dos extremos, y proporciona muy buena aproximación para L/rx = 40; sin embargo, sobrestima considerablemente la resistencia cuando L/rx = 120, debido a que la esbeltez elevada hace que sean importantes los efectos de segundo orden (efecto Pδ), que no se tienen en cuenta en ella. Para esbelteces menores de 40 la ecuación de interacción lineal es conservadora. La ec. 7.26 puede modificarse multiplicando su segundo término por el factor de amplificación de los momentos (ec. 7.18): P 1 M + = 1.0 Po 1 - P / PE M p

(7.27)

El factor φ = 1/(1 - P/PE), que se dedujo para comportamiento elástico, se utiliza también para determinar la amplificación de momentos en columnas que fallan en el intervalo inelástico. En la Fig. 7.18 se compara la solución analítica con la ecuación de interacción no lineal 7.27; ésta proporciona resultados muy parecidos a los analíticos, ligeramente conservadores.


40

Fig. 7.18 Comparación de la ecuación de interacción lineal 7.26 y la solución analítica. σy = 2330 kg/cm2. Flexión alrededor del eje x

Con el factor de amplificación se incluye en la ecuación el efecto Pδ, único efecto geométrico de segundo orden en columnas con extremos fijos linealmente; para esbelteces L/rx pequeñas PE es grande, el factor de amplificación es cercano a uno, y la ec. 7.27 se aproxima a la 7.26; cuando la esbeltez crece, PE disminuye, 1/(1 - P/PE) aumenta, y los efectos de segundo orden se hacen más importantes (Fig. 7.17, curva para L/rx = 120). El factor de amplificación crece de manera ilimitada cuando la fuerza de compresión P se acerca a PE. Si los momentos en los extremos de la columna son desiguales, se modifica la ec. 7.27, introduciendo el coeficiente C (ec. 7.24): M2 P C ≤ 1.0 + Po 1 - P / PE M p

(7.28)

M2, CM2 y 1/(1 - P/PE) tienen los mismos significados que en la ec. 7.25. Lo mismo que el término 1/(1 - P/PE), el coeficiente C se extrapola al intervalo inelástico. (En la ref. 7.29 se demuestra que al hacerlo se obtienen resultados conservadores). La ec. 7.27 (la ec. 7.28 con C = 1.0), que proporciona resultados muy cercanos a los analíticos cuando q = + 1 (Fig. 7.18), es demasiado conservadora para otros valores de q


41

(Fig. 7.19). Al introducir el factor C, con lo que se obtiene la ec. 7.28, mejora la correlación entre la solución “exacta” y la fórmula semiempírica de interacción, que proporciona siempre resultados conservadores. Además, las dos soluciones se acercan cuando se aplican a columnas de esbeltez menor que 120, como son la mayoría de las que se utilizan en estructuras. La ec. 7.29, que se ha trazado también en la Fig. 7.19, corresponde a la plastificación completa de una sección H comprimida y flexionada alrededor del eje de mayor momento de inercia (es la ec. 7.5a, con la limitación de que M no puede ser mayor que Mp):

Fig. 7.19 Comparación de la ecuación de interacción lineal 7.28 (momentos desiguales en los extremos) y la solución analítica. σy = 2320 kg/cm2. Flexión alrededor del eje x.  M P  = 1.18 1  ≤ 1.0 Mp Py  

(7.29)

M es el momento exterior que actúa alrededor del eje x y Mp el momento plástico resistente correspondiente. En todos los casos en que q y C son menores que 1.0, las curvas cortan a las rectas que representan la ecuación 7.29 antes de llegar al eje de las abscisas. A partir del punto de intersección la resistencia queda regida por la ec. 7.29: la falla no es por inestabilidad, sino por agotamiento de la resistencia de la sección extrema en la que el momento es máximo. Con las ecuaciones de interacción 7.28 y 7.29 se determina, con precisión razonable, la resistencia máxima de columnas aisladas flexocomprimidas de sección transversal H, con extremos articulados pero fijos lateralmente, con pares aplicados en los extremos alrededor de los ejes de mayor momento de inercia, cuando la falla se produce por exceso de flexión


42

en el plano de los momentos. Con ellas se revisan los estados límite de falla por inestabilidad de la barra y por agotamiento de la resistencia de alguno de sus extremos. 7.3.2.2 El pandeo lateral no está impedido En este caso, su influencia puede tenerse en cuenta sustituyendo el momento plástico Mp por Mcr, momento flexionante máximo que resistiría el miembro si no hubiera fuerza axial, disminuido por pandeo lateral cuando éste es crítico, y la fuerza Po por Pcr, que es la más pequeña de las cargas críticas de pandeo en compresión axial, correspondiente al eje principal para el que la relación de esbeltez es más grande, sin importar que el pandeo se presente en el plano de la flexión o fuera de él (en el límite, cuando M2 = 0, debe llegarse a la condición P ≤ (Pcr)mín). 7.3.3 Ecuaciones generales de interacción El conjunto completo de ecuaciones de interacción que describen la resistencia máxima de las columnas de sección H, flexionadas alrededor del eje de mayor momento de inercia, es (ref. 7.39) M2 P C + = 1.0 Pcr 1 - P / PE Mcr

(7.30)

M P + 0.85 2 = 1.0 Mp Py

(7.31)

M2 ≤ Mp

(7.32)

La ec. 7.31 es la 7.5b, que describe la resistencia de las secciones extremas. Cuando una de éstas es crítica, y P < 0.15 Py, ha de comprobarse que el momento que actúa en ella no es mayor que Mp (Ec. 7.32). En las refs. 7.8 y 7.12 se introduce un factor igual a 0.85 en el numerador del segundo término de la ec. 7.30, cuando se aplica a secciones tipo 1, para que se convierta en la 7.31 cuando (KL/r)x = 0. En este caso, Pcr = Py, Mcr = Mp, PE = ∞, luego 1/(1 - P/PE) = 1.0, y C = 1.0, puesto que sólo se considera el momento en la sección. Siempre deben utilizarse las tres ecuaciones; con la primera se revisa la posible falla por inestabilidad de conjunto del miembro, y las otras dos indican si se forma una articulación plástica en el extremo en que el momento es más grande. Con fines de diseño, el signo = que aparece en cada ecuación se sustituye por ≤, pues se busca que los valores combinados de P y Mx no ocasionen ninguno de los dos tipos de falla. Para que el perfil escogido sea económico se ha de lograr que el primer miembro de alguna de las ecs. 7.30 y 7.31 sea muy cercano a 1.0; salvo en casos excepcionales, no se puede satisfacer esa condición en las dos ecuaciones simultáneamente, pues en general sólo es crítica una de las dos formas de falla posibles.


43

Las ecuaciones de interacción anteriores han sido verificadas experimentalmente para secciones transversales de varios tipos y diferentes condiciones de carga, y se ha encontrado que concuerdan razonablemente con los resultados experimentales (ref. 7.30). Si se trabaja con cargas nominales y esfuerzos permisibles, las ecs. 7.30 y 7.31 toman la forma fa Cfb ≤ 1.0 + Fa (1 - fa / F' e )Fb

(7.33)

fa f + b ≤ 1.0 0.6Fy Fb

(7.34)

La primera expresión equivale exactamente a la 7.30, teniendo en cuenta que Fa = Pcr/A(CS), Fb = Mcr/S(CS), F’e = PE/A(CS), fa = Ptrab/A y fb = Mtrab/S (el subíndice “trab” se refiere a acciones de trabajo (nominales), y CS es el coeficiente de seguridad), y la segunda a la 7.31, con el término 0.85 sustituido por 1.0, lo que es conservador. 7.3.4 Flexión alrededor de los ejes de menor momento de inercia (y) Como los perfiles I y H flexionados alrededor de sus ejes de menor inercia no se pandean lateralmente, se conservan en el plano de la flexión hasta la falla, excepto en los casos, poco comunes, en que la esbeltez para pandeo por flexión alrededor del eje y es menor que alrededor del eje x (Ky LY/rY < Kx Lx/rx), y la fuerza normal es predominante. Por este motivo, no es necesaria una ecuación para pandeo fuera del plano de carga. Resistencia en el plano de carga Siguiendo un camino similar al utilizado para estudiar la resistencia de las piezas flexionadas alrededor de x, se obtiene la ecuación de interacción 7.35, adecuada para determinar la resistencia de secciones I o H flexionadas alrededor de y: P Pcry

+

0.60C y

M 2y

1 - P / PEy

M py

≤ 1.0

(7.35)

Con la constante 0.60 la ecuación se convierte en la 7.6c, que proporciona la resistencia de la sección, cuando (KL/r)y = 0. Con esta ecuación se revisa la posible falla por inestabilidad en el plano de carga. Resistencia de las secciones extremas Se revisa con la ec. 7.6c. My P ≤ 1.0 + 0.6 Py M py

(7.6c)


44

Además, debe comprobarse que el mayor de los momentos en los extremos no sobrepase a Mpy, cuando P < 0.4 Py: My M py

≤ 1.0

7.3.5 Flexión biaxial Cuando las vigas que se apoyan en las columnas producen flexión alrededor de los dos ejes centroidales y principales de sus secciones transversales, lo que es frecuente en estructuras reales, las ecuaciones 7.33 y 7.34 se generalizan introduciendo un tercer término para la flexión alrededor de y: Cy fby fa C x fbx ≤ 1.0 + + Fa (1 - (fa / F' ex ))Fbx (1 - (fa / F' ey ))Fby

(7.36)

fby fa f ≤ 1.0 + bx + 0.6 Fy Fby Fby

(7.37)

Estas expresiones son las propuestas en el capítulo H, “Esfuerzos combinados”, de las especificaciones AISC de 1989 (ref. 7.23), para diseño por esfuerzos permisibles. En el capítulo N, “Diseño plástico”, de las mismas especificaciones, se recomienda el uso de las ecs. 7.30 a 7.32. También la ec. 7.30 se amplía para cubrir la flexión biaxial: Cy M y Cx M x P ≤ 1.0 + + Pcr (1 − P / Pex )Mux (1 − P / Pey )Muy

(7.38)

La revisión de las secciones extremas de columnas en flexocompresión biaxial se hace con la ec. 7.9. Los esfuerzos fbx y fby de la ec. 7.36 se calculan con los momentos Mx y My más grandes, aunque no coincidan en el mismo extremo, pues el momento uniforme equivalente para flexión alrededor de cada eje se obtiene multiplicando el mayor de los momentos en los extremos, correspondientes a ese eje, por el coeficiente Cx o Cy. Por la misma razón, los momentos Mx y My de la ec. 7.38 son también los mayores. En cambio, las ecs. 7.37 y 7.9 se aplican dos veces, una a cada extremo, con los momentos Mx y My que hay en él, puesto que sirven para revisar la posibilidad de que se agote la resistencia de alguno de ellos. 7.3.5.1 Resistencia máxima de columnas en flexocompresión biaxial El comportamiento fuera del intervalo elástico de las barras flexocomprimidas no es lineal, debido a los efectos geométricos de segundo orden introducidos por la interacción de fuerza


45

axial, momentos y deformaciones y, además, a que el material que las constituye deja de cumplir la ley de Hooke. El análisis convencional de columnas en flexocompresión biaxial requiere resolver un conjunto de ecuaciones simultáneas no lineales y no homogéneas; la solución analítica es difícil en problemas elásticos, y en el intervalo inelástico sólo puede obtenerse recurriendo a métodos numéricos e introduciendo simplificaciones que conducen a soluciones aproximadas de las ecuaciones diferenciales de equilibrio. En las refs. 7.7, 7.15 y 7.31 se presentan resultados numéricos basados en la obtención analítica de la relación lineal entre pequeños incrementos de las cargas y los desplazamientos generalizados correspondientes, suponiendo que la columna tiene imperfecciones geométricas iniciales. Si las cargas exteriores se aplican en una secuencia de incrementos suficientemente pequeños, la respuesta durante cada uno de ellos es esencialmente lineal; la no linealidad real se tiene en cuenta resolviendo una sucesión de ecuaciones linealizadas {δ∆} = [K]-1 {δF} {δ∆} y {δF} son los vectores de incrementos de las deformaciones y fuerzas exteriores y [K] es la matriz de rigideces tangente, en la que se consideran el flujo plástico parcial de las secciones transversales y el efecto geométrico de inestabilidad; esta matriz se actualiza al aplicar cada incremento de carga, pues depende de la penetración del flujo plástico, de la magnitud de las fuerzas exteriores y de los desplazamientos del eje. La resistencia máxima se determina estableciendo la relación carga-desplazamiento completa (refs. 7.15 y 7.31). Se han obtenido soluciones numéricas para columnas aisladas formadas por perfiles H laminados con imperfecciones geométricas iniciales, libremente apoyadas y con alabeo libre, que satisfacen las hipótesis (exceptuando la b, la c y la segunda parte de la g) que sirven de base para evaluar la resistencia de las columnas flexionadas alrededor de los ejes de mayor inercia. Además se supone que los momentos aplicados en los extremos de la columna son iguales en magnitud y producen curvatura simple, en cada plano de flexión. Los resultados finales son familias de curvas de interacción, tablas (refs. 7.6, 7.7 y 7.15), y fórmulas aproximadas. Curvas, tablas y fórmulas se han obtenido para σy = 2530 Kg/cm2, pero pueden emplearse para otros aceros utilizando la relación de esbeltez equivalente (L/r)eq = (L/r) σ y / 2530) . En la Fig. 7.20 se muestra una familia típica de curvas de interacción (refs. 7.6 y 7.31), obtenidas para P/Py = cte = 0.3.


46

Fig. 7.20 Curvas de interacción que proporcionan la resistencia máxima de columnas en flexocompresión biaxial

7.3.6 Diseño de columnas en flexocompresión biaxial La resistencia de una columna comprimida y flexionada por pares aplicados alrededor de los dos ejes de simetría de sus secciones extremas queda regida por alguno de los fenómenos siguientes: a)

Resistencia de la sección transversal en un extremo o en una sección intermedia provista de contraventeo adecuado.

b)

Inestabilidad del miembro completo, ocasionada por la amplificación de los momentos primarios producida por la fuerza axial que actúa sobre la columna deformada.

Si se evita el pandeo local, la resistencia máxima de una sección (que es, también, la de una columna muy corta) corresponde a la plastificación completa del material que la compone. 7.3.6.1 Resistencia de columnas largas 7.3.6.1.1 Ecuaciones de interacción lineales a)

En sus especificaciones de 1989 (ref. 7.23) el AISC recomienda las ecs. 7.36 y 7.38 para diseñar columnas largas en flexocompresión biaxial, cuando el estado límite es el de inestabilidad del miembro.


47

Si los momentos en los extremos producen, por sí solos, flexión uniforme en cada uno de los planos, Cx y Cy valen 1.0, y las ecuaciones toman la forma: Diseño por esfuerzos permisibles: fby fa fbx ≤ 1.0 + +   Fa fa  fa  1 F 1 F F' ex  bx  F' ey  by 

(7.39)

Diseño por resistencia última: My Mx P ≤ 1.0 + +   Pcr P  P  1 M 1 M Pex  ux  Pey  uy 

(7.40)

La segunda ecuación es una extensión, para flexión biaxial, de la que propone el AISC. fa = P/A es el esfuerzo de compresión axial producido por las acciones nominales (de trabajo), fbx = (Mx)máx/Sx y fby = (My)máx/Sy los esfuerzos máximos de flexión, correspondientes también a solicitaciones nominales, Fa el esfuerzo que se permitiría si la columna trabajase en compresión axial (para pandeo en el plano más crítico), Fbx y Fby los esfuerzos de compresión que se permitirían si el miembro estuviese sometido sólo a flexión en cada uno de sus planos principales (al determinarlos se tienen en cuenta todos los modos de falla posibles, incluyendo flujo plástico, pandeo lateral por flexotorsión y pandeo local) y F’ex, F’ey son las cargas críticas de Euler para pandeo en cada plano, multiplicadas por 12/23 (o, lo que es igual, divididas entre 1.92). P, Mx y My son la fuerza axial y los momentos en los extremos de la columna, producidos por las acciones de diseño (debidas a cargas factorizadas), Pcr la resistencia máxima de la columna en compresión axial (no es necesariamente la carga crítica, aunque ésta se toma en muchos casos como una medida de la resistencia máxima), Mux y Muy los momentos resistentes máximos de la barra flexionada alrededor de cada uno de los ejes, reducidos, cuando sea necesario, por pandeo lateral por flexotorsión (se evalúan suponiendo que los momentos en el otro plano y la fuerza axial son nulos), y Pex y Pey las cargas críticas de Euler. Cuando la columna es de sección H compacta y su longitud no sobrepasa ciertos límites, de manera que el pandeo lateral por flexocompresión no es crítico en ningún plano, lo que es frecuente en estructuras urbanas, los esfuerzos permisibles Fbx y Fby son, respectivamente, 0.66 Fy y 0.75 Fy, diez y 25 por ciento mayores que el esfuerzo permisible básico en flexión, 0.60 Fy (ref. 7.23); se reconoce así que el momento máximo que resisten las secciones compactas (el momento plástico) es mayor que el de iniciación del flujo plástico, en una cantidad igual al factor de forma; sin embargo, la relación entre esfuerzos permisibles, Fby/Fbx = 0.75 Fy/0.66 Fy = 1.14, es bastante menor que el cociente de los factores de forma, fy/fx ≈ 1.55/1.12 = 1.38, por lo que cuando el momento alrededor de y es significativo la ec. 7.39 (o la 7.36) lleva a diseños más conservadores que la 7.40 (o la 7.38), en la que Mux es el


48

momento plástico Mpx, reducido, cuando sea necesario, por pandeo lateral, y Muy es igual a Mpy. Para valores dados de fa/Fa (o P/Py), cada una de las ecuaciones anteriores queda representada, en un sistema de ejes coordenados fbx-fby (o Mx - My), por una línea recta; son ecuaciones de interacción lineales. Trasponiendo P/Pcr al segundo miembro de la ec.7.40, y dividiendo todos los términos entre 1-P/Pcr, toma la forma Mx  P 1 − Pcr 

 P   1  M ux   Pex 

+

My  P 1 − Pcr 

 P   1  M uy   Pex 

≤ 1.0

(7.41)

que puede escribirse M Mx 3 + y ≤ 1.0 Mucx Mucy

(7.42)

Tomando el signo “igual” se obtiene una ecuación que relaciona los momentos Mx y My que, al obrar al mismo tiempo que una compresión P, ocasionan la falla. Para que la ecuación sea correcta cuando las solicitaciones son compresión y flexión alrededor de un solo eje, los denominadores deben ser los momentos que resiste la columna en esas condiciones; si, por ejemplo, My = 0, la ecuación se reduce a Mx = 1.0, Mucx

Mx = Mucx

La barra falla cuando Mx alcanza el valor Mucx que es, por consiguiente, la resistencia de la columna sometida a compresión y a flexión alrededor del eje x, disminuida por pandeo si éste es crítico. Sustituyendo Mp por Mcrx, la ec. 7.27 describe, en forma aproximada pero bastante precisa, la falla de columnas en la condición de carga mencionada; de ella puede obtenerse el momento máximo que resiste la barra en combinación con la fuerza de compresión P: 

Mx =  1 − 

P  P   1 M Po   PE  crx

El segundo miembro es el denominador del primer término de la ec. 7.41; el denominador del segundo término tiene el mismo significado, cuando sólo hay flexión alrededor del eje y. (En este caso el momento que multiplica a los dos paréntesis es Mpy, pues no hay pandeo lateral por flexotorsión). 3

El primer miembro de esta ecuación tiene el mismo valor numérico que el de la ec. 7.40 sólo cuando es 1.0. En caso contrario, las dos expresiones proporcionan valores ligeramente diferentes, pero ambas describen de manera correcta la condición que rige el diseño.


49

Por consiguiente, Mucx y Mucy se pueden calcular, con precisión suficiente para diseño, con las expresiones 

Mucx = 1 − 



Mucy = 1 − 

P  P   1 M Pu   Pex  mx

(7.43)

P  P  1 Pu   Pey

(7.44)

 M  py 

Pu es la resistencia última de la columna en compresión axial (como se mencionó arriba, puede ser, pero no es necesariamente, la carga crítica), y Mmx el momento máximo que resistiría si estuviese sometida sólo a flexión alrededor de x; se determina con la teoría de la flexión de vigas de sección I (capítulo 5), o se calcula con la expresión aproximada (refs. 7.23 y 7.25) 

Mmx = 1.07 

(L / r y ) Fy  M px ≤ M px 26500 

(7.45)

Esta ecuación se obtuvo empíricamente, tomando como base los resultados de ensayes de laboratorio; proporciona un valor aproximado del momento crítico de pandeo lateral cuando no hay fuerza axial, para el caso en que M1/M2 = 1 (flexión en curvatura simple); para otros valores de M1/M2, la ecuación se ajusta con el factor C adecuado. Con Fy en kg/cm2, Mmx se obtiene en las unidades de Mpx. En la obtención de la ec. 7.45 no parecen haberse considerado esbelteces L/ry mayores que 2 2 π E / Fy , por lo que si se sobrepasa este límite el momento Mmx debe evaluarse de manera más precisa (ref. 7.7 y capítulo 5); sin embargo, en columnas de edificios urbanos no suele excederse esa esbeltez. (Para acero A36, 2 π 2 E / Fy = 126.1; para grado 50, 2 π 2 E / 3515 = 107.0; ambas esbelteces son elevadas, aún para el eje de menor radio de giro). Mucx y Mucy son los momentos máximos que resiste la barra en cada plano principal, incluyendo la fuerza axial y teniendo en cuenta la posibilidad de falla por pandeo por flexotorsión (que no se presenta nunca cuando el eje de flexión es el y), pero excluyendo el otro momento. 7.3.6.1.2 Ecuaciones de interacción no lineales La línea recta de la Fig. 7.21 es la representación gráfica de la ec. 7.42, en la forma MX/Mucx + My/Mucy = 1.0; las coordenadas de sus puntos son pares de valores de Mx y My que ocasionan la falla de la columna en combinación con una fuerza axial determinada, con la que se evalúan Mucx y Mucy.


50

Fig. 7.21 Representación gráfica de la ecuación 7.46

Se ha demostrado (refs. 7.7, 7.15, 7.31; Fig. 7.20) que la interacción de momentos, para fuerzas axiales determinadas, no es lineal; en un sistema de ejes como el de la Fig. 7.21 la curva de interacción se parece mucho más a un cuadrante de círculo que a una línea recta; la ec. 7.42 es, casi siempre, muy conservadora. Para acercarse a los resultados teóricos más precisos, se ha propuesto (refs. 7.7 y 7.15) sustituirla por  M  x  M ucx

  

β

 M y +   M ucy

   

β

≤ 1.0

(7.46)

con lo que se tiene, para columnas largas, una expresión de interacción semejante a la 7.9, que se dedujo para columnas cortas.4 Mucx y Mucy se calculan con las ecs. 7.43 y 7.44. Cuando la columna es de sección transversal H, el exponente β se determina como sigue (Apéndice H, ref. 7.9): 4

Si β = 1.0, la ec. 7.46 se reduce a la 7.42, que ya se ha demostrado que es igual a la 7.40.


Si B/D < 0.3, Si 0.3 ≤ B/D ≤ 1.0,

51

β = 1.0 β = 0.4 + p + B/D ≥ 1.0

(7.47a) (7.47b)

B y D son el ancho del patín y el peralte de la sección, y p = Pu/Py. La ec. 7.46 es aplicable, también, a secciones rectangulares huecas; en ese caso, β = 1.7 -

p Ln p

b

- aλ x p

> 1.1

(7.48)

Si p ≤ 0.4, a = 0.06, b = 1.0 Si p > 0.4, a = 0.15, b = 2.0 λx = KL/rx En la Fig. 7.21 se han trazado las curvas correspondientes a la ec. 7.46, para varios valores de β; la recta para β = 1.0, que representa la condición de diseño de los códigos tradicionales, es un límite inferior de los resultados proporcionados por la ec. 7.46. Momentos exteriores de cualquier magnitud y sentido Los métodos para determinar la resistencia máxima de miembros en flexocompresión biaxial con momentos desiguales en los extremos son demasiado complicados para aplicaciones prácticas, pero las curvas de interacción obtenidas para flexión simétrica pueden utilizarse en el caso general, extrapolando al intervalo inelástico al factor C (ec. 7.24), que se dedujo para comportamiento elástico (refs. 7.6, 7.7, 7.15, 7.29 y 7.35). De esta manera pueden utilizarse las curvas y tablas, o la ecuación 7.46, para cualquier valor de los momentos exteriores, sustituyéndolos por momentos ficticios equivalentes: (Mx)eq = CxM2x

(My)eq = CyM2y

(7.49)

M2x y M2y son los momentos más grandes aplicados alrededor de cada uno de los ejes x y y, y Cx y Cy se calculan con la ecuación 7.24, que se reproduce aquí: C = 0.6 ± 0.4 M1/M2

(7.24)

M1 y M2 son el menor y el mayor de los momentos en los extremos de la columna, tomados en valor absoluto; el signo positivo corresponde a curvatura simple y el negativo a curvatura doble. Las ecuaciones de interacción 7.9 y 7.46 tienen la ventaja de que los dos estados límite de falla de interés, resistencia de las secciones extremas y de la columna completa, regida por estabilidad de conjunto del miembro, se revisan con ecuaciones semejantes que, además, son de aplicación general, pues si no se conoce el coeficiente α o β de alguna sección particular se puede considerar, conservadoramente, igual a 1.0.


52

Para utilizar la ec. 7.46 se recomienda que la resistencia en compresión axial no se considere igual a la carga crítica de pandeo de la barra perfecta, sino se determine con las curvas múltiples para diseño de columnas, que se han obtenido con métodos compatibles con los empleados para el análisis de las barras flexocomprimidas, basados ambos en la determinación de la curva carga-deflexión de columnas con imperfecciones geométricas iniciales.


53

7.4 ESPECIFICACIONES DE DISEÑO En los artículos siguientes se reproducen, con comentarios, las especificaciones de diseño incluidas en varios códigos y reglamentos, poniendo énfasis en las columnas que forman parte de estructuras de rigidez lateral suficiente para que los efectos P∆ (art. 7.3) no sean significativos. El estudio de los casos en que esos efectos son importantes se hace en el Capítulo 9. Las ecuaciones tienen el número que les corresponde en este capítulo y, junto a él, entre paréntesis rectangulares, el del reglamento correspondiente. Se presentan también algunos ejemplos numéricos especificaciones, y se comparan los resultados.

resueltos

con

las

diversas

7.4.1 Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de estructuras metálicas, Reglamento de Construcciones para el D. F. Las normas que están en vigor actualmente (mayo de 2003) son las de la ref. 7.33, que se explican en detalle en la ref. 7.27; en un futuro cercano serán sustituidas por las de la ref. 7.34, a las que se refiere este artículo. Cabe señalar que entre las refs. 7.33 y 7.34 no hay diferencias básicas, pero sí hay modificaciones de alguna importancia. En las normas se trata el diseño de miembros de eje recto y sección transversal constante, con dos ejes de simetría, sujetos a compresión y a flexión producida por momentos que obran alrededor de uno o de los dos ejes de simetría. Las estructuras de las que forman parte esos miembros se clasifican en regulares e irregulares. En la ref. 7.34 se describen las características que debe satisfacer una estructura para ser considerada en uno u otro de los dos grupos, y en sus secciones 3.4.3 y 3.4.4 se indica cómo dimensionar columnas que forman parte, respectivamente, de estructuras regulares y de estructuras irregulares. También se incluye el diseño de miembros flexocomprimidos del tipo de las cuerdas en compresión de armaduras sobre las que obran cargas transversales aplicadas entre los nudos. 7.4.1.1 Estados límite En el diseño de miembros flexocomprimidos se consideran los estados límite de falla siguientes: • Pandeo de conjunto de un entrepiso, bajo carga vertical • Pandeo individual de una o varias columnas, bajo carga vertical • Inestabilidad de conjunto de un entrepiso, bajo acciones verticales y horizontales combinadas


54

• Falla individual de una o varias columnas, bajo acciones verticales y horizontales combinadas, por inestabilidad o porque se agote la resistencia de alguna de sus secciones extremas • Pandeo local Debe considerarse también un estado límite de servicio, de deformaciones laterales de entrepiso, que dependen, en buena parte, de las características de las columnas. En lo que sigue se dan recomendaciones para evitar que se alcancen los estados límite de falla anteriores, excluyendo el pandeo local. Este se trata en la sección 2.3 de las normas, y se ha estudiado en el Capítulo 3. 7.4.1.2 Determinación de los momentos de diseño Muox, Muoy, M*uox, M*uoy En todos los casos que se describen a continuación (excepto en el análisis de primer orden de estructuras irregulares), ya sea que el diseño quede regido por cargas verticales, o por su combinación con acciones horizontales, producidas por viento o sismo, las estructuras, sean regulares o irregulares, deben analizarse bajo la acción combinada de las fuerzas reales que actúan sobre ellas y de fuerzas ficticias horizontales que se aplican en la misma dirección y sentido que las fuerzas de viento o sismo, o, en estructuras asimétricas bajo carga vertical, en el sentido en que sus efectos se sumen con los debidos a la asimetría, de manera que los momentos de diseño Muo y M*uo incluyen contribuciones de los dos tipos de cargas, reales y ficticias. Las fuerzas ficticias horizontales, que se aplican en cada uno de los niveles de la estructura y en todas las combinaciones de cargas, se toman igual a 0.005 veces la carga vertical de diseño (factorizada) que actúa en el nivel, correspondiente a la combinación de cargas en estudio. La justificación del uso de las cargas laterales ficticias está en el Capítulo 9. 7.4.1.3 Dimensionamiento de columnas que forman parte de estructuras regulares En la ref. 7.34 se dan también algunas recomendaciones para estructuras irregulares, que no se reproducen aquí. Se revisa la resistencia de las dos secciones extremas y de la columna completa, incluyendo efectos de segundo orden. Para la revisión de las secciones extremas se utilizan las ecuaciones 7.47 o 7.48 y 7.49, 7.50 o 7.51, según el tipo de sección de que se trate, y para la columna completa la ecuación 7.52 o 7.54. Las dimensiones de las columnas se obtienen de manera que se cumplan, simultáneamente, las condiciones de resistencia de las secciones extremas y de la columna completa. 7.4.1.3.1 Revisión de las secciones extremas a) Secciones tipo 1 y 2 En cada uno de los extremos de la columna debe satisfacerse la condición:

Columnas aisladas flexocomprimidas Pu

Secciones H o I

FR Py

+

55

0.85M uox FR M px

+

0.60M uoy FR M py

(7.47) [3.51]

≤ 1.0

Esta ecuación es la 7.7, aplicable a secciones que pueden plastificase por completo sin que haya ninguna falla prematura por pandeo local, en la que se han introducido los factores de resistencia. Secciones en cajón, cuadradas

0.80Muoy Pu 0.80Muox + + FRPy FRM px FRM py

≤ 1.0

(7.48) [3.52]

En las expresiones anteriores, FR = 0.90 Pu, Muox y Muoy son la fuerza axial de diseño en la columna y los momentos de diseño en el extremo considerado, calculados como se indica en el Capítulo 9. Muox y Muoy se determinan con un análisis elástico de segundo orden, “exacto” o aproximado, que incluye los efectos P∆ (art. 7.3 y Capítulo 9). Cuando la columna forma parte de una estructura que tiene rigidez lateral suficiente, propia o proporcionada por su interacción con contraventeos o muros de cortante, para que puedan despreciarse los efectos de esbeltez debidos a desplazamientos laterales de entrepiso, el único efecto de segundo orden que se considera es el Pδ, ocasionado por la deformación del eje del miembro entre sus extremos. En ese caso, los momentos en las secciones extremas no se amplifican, pues la resultante de la fuerza axial sigue pasando por sus centros de gravedad. Mpx = Zx Fy y Mpy = Zy Fy son los momentos plásticos resistentes nominales de la sección, para flexión alrededor de los ejes x y y, respectivamente. Py = At Fy es la fuerza axial nominal que, obrando por sí sola, ocasionaría la plastificación de una columna corta con secciones transversales de área At. Cuando se emplea alguna de las ecs. 7.47 o 7.48 para revisar columnas de sección transversal H, I o en cajón, cuadrada, ha de comprobarse que se cumple, además, la condición Muoy Muox ≤ 1.0 + FR Mpx FR Mpy

(7.49) [3.53]

Si la sección transversal de la columna no es ninguna de las mencionadas arriba, las ecuaciones 7.47 y 7.48 se sustituyen por Pu FR Py

b)

+

Muox FR M px

+

Muoy FR M py

≤ 1.0

Secciones tipo 3 y 4

(7.50) [3.54]


56

En cada uno de los extremos de la columna debe satisfacerse la condición Muoy Pu Muox + + FR Py MRx MRy

≤ 1.0

(7.51) [3.55]

Si la sección es tipo 3, MRx = FRSx Fy, MRy = FR Sy Fy; si es tipo 4, debe tenerse en cuenta la posible falla por inestabilidad local; las otras cantidades que aparecen en la ecuación se han definido arriba. 7.4.1.2.2 Revisión de la columna completa a) Secciones tipo 1 y 2 Debe satisfacerse la condición: Pu Rc

+

M * uox Mm

+

M * uoy FR M py

≤ 1.0

(7.52) [3.56]

FR = 0.90 Pu, M*uox y M*uoy son la fuerza axial de diseño que obra sobre la columna y los momentos de diseño, calculados como se indica en el Capítulo 9. En la ec. 7.52, lo mismo que en las ecs. 3.58 y 3.59, se utilizan siempre los momentos de diseño máximos, alrededor de los ejes x y y, aunque los dos no se presenten en el mismo extremo de la columna. Mm es el momento resistente de diseño, para flexión alrededor del eje x; se calcula como se indica en la sección 3.2.2 de las Normas (Capítulos 4 y 5) o, en forma aproximada, con la ecuación (válida para secciones I o H):  (L / ry ) Fy Mm = FR 1.07 26500 

  Mpx ≤ FR Mpx  

(7.53) [3.57]

En las ecuaciones de la sección 3.3.2 (Capítulos 4 y 5) se hace C = 1.0. Mm puede tomarse igual a FR Mpx cuando la columna está soportada lateralmente en forma continua, o cuando está provista de soportes laterales con separación L no mayor que Lu, dada por la ec. 5.34 [3.25] si no se requiere capacidad de rotación, o no mayor que Lp, ecs. 5.45 [3.33] o 5.47, cuando sí se requiera. RC, resistencia de diseño en compresión, se determina de acuerdo con la sección 3.2.2 de las normas.5 Se calcula con K = 1.0. b) Secciones tipo 3 y 4 5

La sección 3.2.2 de la ref. 7.34 es muy semejante al art. 2.6.7 del Capítulo 3, pero se han incluido en ella aceros de mayor resistencia. La diferencia se debe a que las normas que se reproducen en el art. 2.6.7.1a corresponden a la ref. 7.33.


57

Debe cumplirse la condición: Pu Rc

+

M * uox M Rx

+

M * uoy MRy

(7.54) [3.58]

≤ 1.0

MRx y MRy, momentos resistentes de diseño alrededor del eje x y del y, se calculan de acuerdo con la sección 3.3.2 de las Normas (sec. 5.6, Cap. 5), haciendo C = 1.0. Rc se calcula con K = 1.0. En lugar de las ecs. 7.47, 7.48 y 7.52 pueden usarse expresiones más refinadas, que aparecen en la literatura técnica, aplicables a columnas de sección transversal H o en cajón (Ecs. 7.9 y 7.46, y Apéndice H, ref. 7.9, reproducido en el art. 7.4.2.2.2). Cuando sólo es significativo el efecto Pδ, los momentos de diseño M*uo se determinan multiplicando por el factor de amplificación B1 los momentos correspondientes, obtenidos con un análisis de primer orden. B1 =

C 1 - Pu / FR PE1

(7.55) [1.3]

donde PEI = Atπ2E/(KL/r)2 es la carga crítica de pandeo elástico de la columna, en el plano en consideración, calculada con K ≤ 1.0. B1 es el factor de amplificación del art. 7.3.1.1.1 (ver, por ejemplo, la ec. 7.25). 7.4.2 Especificaciones AISC El AISC cuenta en la actualidad con dos especificaciones diferentes: la “Especificación para edificios de acero estructural, diseño por esfuerzos permisibles y diseño plástico”, de junio de 1989 (ref. 7.23), y la “Especificación para diseño de edificios de acero estructural utilizando factores de carga y resistencia”, de diciembre de 1999 (ref. 7.9). En la primera se conservan, con modificaciones mínimas, los métodos de diseño utilizados desde hace bastantes décadas (la ref. 7.23 es casi igual a la 7.24, que representa el estado que había alcanzado, en 1978, el diseño por esfuerzos permisibles y, aunque con menor detalle, el diseño plástico); la segunda se basa en la revisión de estados límite de servicio y resistencia.66 7.4.2.1 Especificación para edificios de acero estructural. Diseño por esfuerzos permisibles y diseño plástico (ref. 7.23) Se utiliza la nomenclatura que emplea el AISC.

6

En el AISC se tiene la intención de incorporar, en un solo documento (que aparecerá en el año 2005 o 2006), las dos formas de diseño que hoy son objeto de dos normas diferentes, por esfuerzos permisibles y por factores de carga y resistencia.


58

7.4.2.1a Diseño por esfuerzos permisibles Las recomendaciones que siguen se refieren a columnas de sección transversal con uno o dos ejes de simetría. Los miembros sujetos a la acción combinada de esfuerzos de compresión axial y de flexión deben dimensionarse de manera que se cumplan las condiciones siguientes: fa

+

Fa

fa 0.60Fy

C mx f bx  f 1 − a  F' ex

+

f bx Fbx

 Fbx 

+

+

f by Fby

C my f by  f 1 − a  F'  ey ≤ 1.0

 F  by 

≤ 1.0

(7.55) [H1-1]

(7.56) [H1-2]

La ec. 7.45 es la 7.36; aunque está escrita en términos de esfuerzos producidos por acciones de trabajo y de esfuerzos permisibles, no describe la terminación del comportamiento elástico, sino el colapso de la columna, al que se aplican coeficientes de seguridad adecuados. Proviene de la ecuación de interacción correspondiente a la falla por inestabilidad de la columna completa (ec. 7.30, con un término adicional, necesario cuando la flexión es biaxial); se obtiene dividiendo las fuerzas axiales P, Pcr, PEx y PEy, entre el área A de la sección transversal, y los momentos M2x, M2y, Mcrx y Mcry7 entre el módulo de sección Sx o Sy, con lo que se obtienen esfuerzos normales, y dividiendo después los numeradores y denominadores de todas las fracciones, incluyendo las de los factores de amplificación, entre los coeficientes de seguridad usuales para compresión axial y para flexión. Los esfuerzos permisibles Fa, Fbx y Fby no corresponden, en general, a pandeo elástico, sino a la forma de pandeo, elástico o inelástico, que sea crítica en cada caso particular. La ec.7.56 proviene de la 7.31, que se transforma en la 7.34 cuando se trabaja con acciones nominales y esfuerzos permisibles, y en la 7.37 al añadir el término para flexión alrededor de y. Con ella se revisan las secciones extremas, en las que no interviene la inestabilidad de conjunto; sin embargo, Fbx y Fby pueden ser menores que 0.60 Fy si la sección es de paredes delgadas y el pandeo local crítico, o mayores en secciones con factor de forma alto, pues se permiten esfuerzos más elevados para tener en cuenta, en parte, su resistencia adicional en el intervalo inelástico; por ejemplo, en secciones H compactas, flexionadas alrededor del eje de menor momento de inercia, que tienen un factor de forma mayor que 1.5, se especifica un esfuerzo permisible Fby = 0.75 Fy. El denominador del primer término no puede exceder de 0.60 Fy, pero sí podría ser más pequeño si la ecuación se utilizase para revisar una columna de paredes delgadas. En todos los casos deben satisfacerse, simultáneamente, las dos condiciones expresadas por las ecs. 7.55 y 7.568, pero si fa/Fa ≤ 0.15 pueden sustituirse por una sola: 7

En el denominador del término correspondiente a flexión alrededor del eje y no aparece en realidad un momento crítico, sino My o Mp, ya que las barras flexionadas alrededor de su eje de menor momento de inercia no se pandean lateralmente.

Columnas aisladas flexocomprimidas fa Fa

+

f bx Fbx

+

f by Fby

≤ 1.0

59

(7.57) [H1-3]

Cuando el esfuerzo normal producido por la fuerza axial no excede de 15 por ciento del permisible la influencia de los factores Cm/(1 - fa/F’e) es pequeña, y puede despreciarse (ref. 7.25); al hacerlo, la ec. 7.55 se reduce a la 7.57, que es conservadora con respecto a la 7.56, puesto que Fa es siempre menor que 0.60 Fy. Esta simplificación es útil cuando la revisión de una columna se hace manualmente, pero deja de tener sentido si se utilizan hojas de cálculo o programas de computadora. En las expresiones anteriores, los subíndices x y y, combinados con b, m o e, indican el eje de flexión al que corresponde un esfuerzo o propiedad particular, y Fa = esfuerzo de compresión axial que se permitiría si la barra trabajase exclusivamente en compresión Fb = esfuerzo de compresión producido por flexión que se permitiría si hubiese sólo flexión alrededor de uno de los ejes x o y Fb se calcula con las ecuaciones que se recomiendan en las especificaciones AISC 89 (ecs. F1-6 a F1-8, ref. 7.23). Cuando se emplea en la ec. 7.55 se consideran dos casos: si la columna pertenece a un marco en el que los desplazamientos laterales de entrepiso no influyen significativamente en las acciones de diseño, en el cálculo de Fb se toma Cb = 1.0, con lo que se obtiene el esfuerzo permisible en la pieza en flexión pura, puesto que el efecto de la flexión no uniforme se tiene en cuenta en la ec. 7.55, al sustituir los esfuerzos máximos fbx y fby por los uniformes equivalentes Cmx fbx y Cm fby; en cambio, si los desplazamientos laterales de entrepiso producen efectos significativos, Cb = 1.75 + 1.05 (M1/M2) + 0.3 (M1/M2)2 ≤ 2.3, porque ahora los coeficientes Cm son parte del factor de amplificación , y no tienen por objeto convertir los momentos variables en uniformes equivalentes (ref. 7.6). Fb es mayor que 0.60 Fy en miembros de sección compacta provistos de contraventeo lateral adecuado. F’e = 12 π2E/23 (KLb/rb)2. Lb es la longitud real entre secciones soportadas lateralmente en el plano en que se está considerando la flexión, y rb y K son el radio de giro y el factor de longitud efectiva correspondientes. F’e se obtiene dividiendo el esfuerzo crítico de Euler en cada plano de flexión entre 23/12 = 1.92, que es el coeficiente de seguridad máximo para compresión axial, de acuerdo con esta especificación. Igual que Fa, Fb y 0.60 Fy, F’e puede incrementarse cuando en el diseño intervienen acciones accidentales.

8

Obsérvese que, en general, no puede lograrse que los primeros miembros de las dos ecuaciones valgan 1.0, puesto que corresponden a dos posibles formas de falla diferentes.


60

fa = esfuerzo de compresión producido por la fuerza axial. fb = esfuerzo máximo de compresión producido por uno de los momentos en el punto en consideración. Cuando no hay cargas transversales entre los extremos de las columnas fbx y fby se calculan, para la ec. 7.55, con los momentos Mx y My máximos, aunque actúen en extremos diferentes, porque con ellos se obtienen los momentos uniformes equivalentes Cmx M2x y Cmy M2y, o los esfuerzos correspondientes; en cambio, en la ec. 7.56, que debe aplicarse, en general, a los dos extremos de la columna, por separado, fbx y fby se evalúan con los dos momentos que hay en cada uno de ellos; si los dos momentos máximos actúan en el mismo extremo, no hace falta revisar el otro. Cm (en la ref. 7.34 se llama C) es un coeficiente que vale: 1. En miembros flexocomprimidos que forman parte de marcos cuyos nudos pueden desplazarse lateralmente, Cm = 0.85. 2. En miembros flexocomprimidos que forman parte de marcos en los que los desplazamientos laterales de entrepiso no son significativos se tienen dos casos: 2a. Cuando no hay cargas transversales entre los extremos, en el plano de la flexión, Cm = 0.6 - 0.4 M1/M2, donde M1 y M2 son el menor y el mayor de los momentos en los extremos del tramo del miembro no soportado lateralmente en el plano de flexión que se esté considerando; el cociente M1/M2 es positivo cuando el miembro se flexiona en curvatura doble y negativo cuando la curvatura es simple. 2b. Cuando hay cargas transversales aplicadas entre los extremos, Cm se puede determinar por medio de un análisis, o se emplean los valores siguientes: a. Para miembros con extremos restringidos contra la rotación en el plano de la flexión, Cm = 0.85. b. Para miembros con extremos no restringidos contra la rotación en el plano de la flexión, Cm = 1.0. Estos valores pueden utilizarse para el diseño de otros miembros flexocomprimidos con condiciones de apoyo y carga semejantes, como las cuerdas comprimidas de armaduras con cargas fuera de los nudos. En la ref. 7.25 se recomienda un procedimiento aproximado para evaluar los coeficientes Cm del caso 2b; ver también la ref. 7.6. 7.4.2.1b Diseño plástico Los miembros sometidos a la acción combinada de compresión axial y flexión en un plano han de dimensionarse de manera que se satisfagan simultáneamente las fórmulas de interacción siguientes (que son las ecs. 7.30 a 7.32):

Columnas aisladas flexocomprimidas P Pcr

P Py

+

+

Cm M  P 1 − Pe  M 1.1.8 M p

61

≤ 1.0

(7.58) [N4-2]

≤ 1.0; M ≤ M p

(7.59) [N4-3]

 M m 

En las expresiones anteriores, M = momento máximo de diseño (factorizado). P = fuerza axial de diseño (factorizada). M y P incluyen el factor de carga; en la ref. 7.23 se recomienda que en diseño plástico se tome 1.7 para cargas permanentes, muertas y vivas, y 1.3 para combinaciones que incluyan viento o sismo. La resistencia nominal de los miembros estructurales debe ser mayor o igual que la acción (o combinación de acciones) factorizada correspondiente. Pcr = 1.7 A Fa; A es el área de la sección transversal del miembro y Fa el esfuerzo permisible en compresión axial de la columna, que falla por pandeo inelástico. La relación de esbeltez L/rx en el plano de flexión de columnas en las que se formará una articulación plástica, bajo carga última, se limita a valores para los que el pandeo en ese plano no se inicia en el intervalo elástico (L/rx ≤ (L/r)c); además, las columnas deben estar soportadas lateralmente de manera adecuada para evitar pérdidas de resistencia por pandeo lateral por flexotorsión en las zonas donde se formen articulaciones plásticas asociadas con el mecanismo de colapso. Fa se calcula con la relación de esbeltez más grande, en el plano de la flexión o fuera de él. Pe = carga crítica de Euler en el plano de la flexión = π2EA/(KLb/rb)2 ≈ (23/12)AF’e ; F’e está tabulado en la ref. 7.23. Cm = coeficiente definido en 7.4.2.1a. Mm = momento máximo que puede resistir el miembro cuando la fuerza axial es nula. Mp = momento plástico = FyZ. Z = módulo de sección plástico. Para columnas soportadas lateralmente, Mm = Mp. Para columnas no soportadas lateralmente, Mm se calcula con la ec. 7.45. Las especificaciones AISC de 1989 para diseño plástico no cubren las columnas en flexocompresión biaxial, pero se recomienda (refs. 7.2, 7.5, 7.21) que en ese caso se revise la condición de inestabilidad introduciendo en la ec. 7.58 un tercer término, para flexión alrededor del segundo eje centroidal y principal, con lo que se obtiene la ec. 7.38. La resistencia de las secciones extremas se revisa con las ecs. 7.7 y 7.8, o con la 7.9.


62

7.4.2.2 Especificación para diseño de edificios de acero estructural por factores de carga y resistencia (ref. 7.9) El diseño de barras de sección transversal con uno o dos ejes de simetría, en flexocompresión biaxial, hecho con métodos basados en el uso de factores de carga y resistencia, se efectúa de manera que se cumplan las ecuaciones de interacción siguientes: a) Pu φ c Pn

b)

Pu 2φ c Pn

Si

+

Pu φ c Pn

≤ 0.2

M uy 8  M ux  + 9  φ b M nx φ b M ny

Si

Pu φ c Pn

  ≤ 1.0  

(7.60) [H1-1a]

< 0.2

 M M uy ux +  + φ bM ny  φ bM nx

  ≤ 1.0  

(7.61) [H1-1b]

en las que φc = 0.85, φb = 0.90, factores de reducción de la resistencia en compresión y flexión, respectivamente. Pn = resistencia nominal de la columna en compresión axial. Mnx, Mny = resistencia nominal de la barra en flexión alrededor del eje x, y. Pu = resistencia requerida en compresión (fuerza de compresión de diseño). Mux, Muy = resistencias requeridas en flexión (momentos de diseño). Para revisar un perfil propuesto se utiliza una sola ecuación, que se escoge según el valor del cociente Pu/φcPn, pues la manera como se definen los factores de amplificación requeridos para calcular Mux y Muy hace innecesaria la revisión, por separado, de las secciones extremas. Pn se determina con la longitud efectiva crítica de la columna, y Mux y Muy se obtienen por medio de un análisis elástico de segundo orden de la estructura con cargas factorizadas, o amplificando, como se indica a continuación, los momentos obtenidos con un análisis elástico de primer orden. 7.4.2.2.1 Factores de amplificación9 Si el diseño se basa en un análisis elástico de primer orden, los momentos de diseño Mux y Muy se calculan con la ecuación

9

En el Capítulo 9 se estudian los diversos métodos de análisis y diseño de estructuras constituidas principalmente por marcos rígidos, y se deduce la ec. 7.62.


Mu = BlMnt + B2Mlt

63

(7.62) [C1-1]

donde Mnt = momento de diseño producido por cargas que no ocasionan desplazamientos laterales apreciables de los extremos de la columna. Mlt = momento de diseño originado por fuerzas que sí producen desplazamientos significativos (desplazamientos laterales de entrepiso). B1 =

Cm 1 − Pu / Pe

≥ 1.0

(7.63) [C1-2]

Cm = coeficiente C de la ec. 7.24 (ver también el art. 7.4.2.1a). Pe1 = carga crítica de pandeo elástico de la columna en el plano en que se esté calculando B1, obtenida con K ≤ 1.0 (Pe1 = π2EI/(KL)2, donde I es el momento de inercia de la sección en el plano de la flexión y K el factor de longitud efectiva en ese mismo plano, determinado como se indica en el Capítulo 9, para el marco contraventeado). B2 se determina con cualquiera de las expresiones B2 =

B2 =

1 -

1 -

1 ∑ Pu ∆oh

(7.64) [C1-4]

∑ H.L 1 ∑ Pu

(7.65) [C1-5]

∑ Pe2

En ellas, ∑Pu = suma de fuerzas axiales de diseño que obran en todas las columnas del entrepiso (carga vertical total de diseño en el entrepiso). ∆oh = desplazamiento lateral relativo de los dos niveles que limitan el entrepiso. ∑H = suma de todas las fuerzas horizontales de diseño que producen el desplazamiento ∆oh. L = altura del entrepiso. ∑Pe2 = suma de cargas críticas elásticas, en el plano en el que se está calculando B2, de todas las columnas del entrepiso, calculadas suponiendo que pueden presentarse desplazamientos laterales, con K > 1.0 (Pe2 = π2EI/(KL)2, donde I es el momento de inercia en el plano de la flexión y K el factor de longitud efectiva en ese mismo plano, determinado como se indica en el Capítulo 9, para el marco sin contraventeo).


64

Aunque no se menciona en la ref. 7.9, donde aparecen con carácter general, las ecs. 7.64 y 7.65 proporcionan resultados de precisión suficiente para diseño sólo cuando se aplican a columnas de marcos rígidos regulares. Con las ecs. 7.62 a 7.65 se evalúan los factores de amplificación y los momentos de diseño correspondientes a los dos ejes de flexión, x y y; se han omitido los índices en ellas. B1 (ec. 7.64) tiene en cuenta el efecto Pδ; el origen de ese factor ya se ha tratado en este capítulo. Con el coeficiente B2, en cualquiera de sus formas, se incluye, de manera aproximada, el incremento de momentos producido por el efecto P∆. En el capítulo 9 se estudia cómo se obtiene. La obtención de las ecuaciones 7.60 y 7.61 se basó en las consideraciones siguientes (ref. 7.36): 1. Las ecuaciones de diseño deben ser generales, aplicables a una gran variedad de problemas: flexión alrededor de cualquiera de los ejes, de mayor o menor inercia, columnas imperfectas en geometría y con esfuerzos residuales, desplazamientos laterales de entrepiso impedidos o permitidos, cargas laterales intermedias, comportamiento inelástico, diversos valores de la relación de esbeltez y de las restricciones en los extremos, efectos de segundo orden, 2. El diseño debe hacerse con los resultados de un análisis elástico de segundo orden, en vista de que no se cuenta todavía con métodos prácticos de análisis inelástico para uso en oficinas. 3. Las ecuaciones deben distinguir claramente los efectos de las cargas y las resistencias, de manera que el análisis elástico de segundo orden pueda efectuarse con facilidad. 4. Los resultados de las ecuaciones de interacción, que utilizan los elementos mecánicos de un análisis elástico de segundo orden, no deben diferir en más del 5 por ciento, del lado de la inseguridad, de las soluciones “exactas” obtenidas por medio de análisis inelásticos de segundo orden en los que se considere la amplitud creciente de las zonas plastificadas. 5. No debe ser necesario considerar, por separado, resistencia y estabilidad, porque, en general, todas las columnas de longitud finita fallan por una combinación de flexión inelástica y efectos de estabilidad. 6. Debe permitirse ajustar la longitud efectiva de las columnas, teniendo en cuenta que cuando se inicia el pandeo suelen estar parcialmente plastificadas. Las ecs. 7.60 y 7.61 son empíricas, determinadas, en parte, para que sus resultados coincidan con los de un gran número de soluciones elastoplásticas de segundo orden de estructuras planas sencillas.


65

Los estudios se concentraron en columnas de marcos planos sin contraventeo, en las que el efecto del desplazamiento lateral es significativo, ya que hay una literatura muy abundante relativa al comportamiento de columnas con extremos fijos linealmente. Se investigaron marcos de un piso con diversas condiciones de apoyo, algunos con columnas biarticuladas, que no contribuyen a la rigidez y resistencia laterales, utilizando un método inelástico de segundo orden teóricamente exacto, en el que se considera la amplitud creciente de las zonas plastificadas. Se investigó la posibilidad de utilizar valores de Pn calculados con la longitud real de la columna (K = 1.0), en combinación con momentos Mu elásticos de segundo orden, pero se encontró que cuando la fuerza axial es elevada, y los desplazamientos laterales de los extremos de la columna significativos, es difícil formular una ecuación de interacción general para barras flexocomprimidas, que sea suficientemente precisa para todos los valores de interés de fuerzas axiales y momentos, sin incluir en ella la longitud efectiva, sea directa o indirectamente, en este caso por medio de una segunda ecuación. Por este motivo, si los desplazamientos laterales de entrepiso no están impedidos, la resistencia nominal en compresión, Pn, se calcula con la relación de esbeltez KL/r máxima, con K > 1.0 (ref. 7.20). El momento máximo en el miembro, Mu, está amplificado por interacción fuerza axialdesplazamiento lateral. En el caso general, los momentos de primer orden que no están asociados con movimientos laterales de los extremos se multiplican por B1, y los que sí están asociados con ellos, por B2. B1 y B2 toman en cuenta, respectivamente, los efectos Pδ y P∆. Las especificaciones AISC para diseño por esfuerzos permisibles (ref. 7.23) requieren que los momentos máximos totales de las columnas de marcos carentes de contraventeo adecuado se multipliquen por el factor de amplificación 0.85/(1 - fa/F’e), por lo que, en muchos casos, los momentos producidos por carga vertical se incrementan excesivamente. Esto se ha corregido utilizando dos factores de amplificación, B1, que afecta sólo a los momentos correspondientes a solicitaciones que no ocasionan desplazamientos lineales significativos de los extremos de las columnas, y B2, que multiplica a los debidos a acciones que sí producen esos desplazamientos. B1 se determina para cada columna aislada y B2 para todo el entrepiso, reconociendo que los desplazamientos laterales son un fenómeno de conjunto. En edificios diseñados de manera que los cocientes ∆oh/L no sobrepasen límites prefijados, el factor B2 puede calcularse antes de dimensionar los miembros individuales. Además, pueden establecerse límites superiores de los desplazamientos laterales de entrepiso tales que la flexión secundaria asociada con B2 (es decir, el efecto P∆), sea insignificante. En general, los momentos Mnt de la ec. 7.62 son producidos por cargas gravitacionales, y los Mlt por acciones horizontales, viento o sismo, pero en estructuras muy asimétricas en geometría, en cargas, o en ambos aspectos, las acciones verticales pueden ocasionar momentos Mlt significativos. En edificios irregulares en los que los desplazamientos laterales incluyen un componente importante producido por torsión, el factor B2 subestima la amplificación de los momentos, sobre todo en las columnas alejadas del centro de rotación.


66

En marcos contraventeados adecuadamente el cálculo de Pn y Pe2 se basa siempre en factores de longitud efectiva K menores que 1.0; en el análisis de la estructura se utilizan las longitudes reales de los miembros. Pn corresponde a la relación de esbeltez máxima; Pe2, en cambio, se calcula siempre con el valor de KL/r asociado con el plano en que se evalúa el factor de amplificación. 7.4.2.2.2 Ecuaciones de interacción alternas (ref. 7.9, Apéndice H) Cuando las columnas son de sección transversal H, con bp/d ≤ 1.0, o en cajón, y se utilizan en marcos contraventeados, pueden utilizarse las ecs. 7.66 y 7.67, en lugar de las ecs. 7.60 y 7.61. Las dos ecuaciones deben satisfacerse simultáneamente.10  M ux   φ M'  b px

   

C M  mx ux  φ b M' nx

ζ

η

  

 M uy +   φ bM' py

   

C M my uy +   φ bM' ny

ζ

(7.66) [A-H3-1]

≤ 1.0

η

   

(7.67) [A-H3-2]

≤ 1.0

Los términos de estas ecuaciones se determinan como sigue: a) Miembros de sección transversal H: Si bp/d < 0.5,

ζ = 1.0

Si 0.5 ≤ bp/d ≤ 1.0,

ζ = 1.6 -

Si bp/d < 0.3,

η = 1.0

Si 0.3 ≤ bp/d ≤ 1.0

η = 0.4 +

Pu / Py

[ (

2 In Pu / Py

Pu Py

+

bp d

)]

(7.68) [A-H3-3]

≥ 1.0

(7.69) [A-H3-4]

bp y d son el ancho del patín y el peralte total de la sección, Cm es un coeficiente aplicado al término correspondiente a la flexión en la ecuación de interacción, que depende de la curvatura de la columna (art. 7.4.2.1a), y M’px = 1.2 Mpx [1 - (Pu/Py)] ≤ Mpx

(7.70) [A-H3-5]

M’py = 1.2 Mpy [1 - (Pu/Py)2] ≤ Mpy

(7.71) [A-H3-6]

10

En la ref. 7.9 el uso de estas ecuaciones se limita al diseño de columnas que forman parte de marcos adecuadamente contraventeados, pero en las refs. 7.32 y 7.33 se permite utilizarlas también para dimensionar columnas de marcos sin contraventeo, si en los momentos de diseño se incluye el efecto P∆. Estas ecuaciones no aparecen en la ref. 7.34, pero se permite su empleo como un método alterno al que se propone en ella.

Columnas aisladas flexocomprimidas  Pu M’nx = Mnx 1 − φ c Pn 

 Pu  1 −  Pex  

 Pu M’ny = Mny 1 − φ c Pn 

 Pu   1 −  Pey  

67

(7.72) [A-H3-7]

(7.73) [A-H3-8]

b) Miembros de sección transversal rectangular hueca (en cajón): ζ = 1.7 -

Pu / Py

(7.74) [A-H3-9]

In(Pu / Py )

P - aλx  u η = 1.7 In(Pu / Py )  Py Pu / Py

   

b

(7.75) [A-H3-10]

> 1.1

Si Pu/Py ≤ 0.4, a = 0.06 y b = 1.0 Si Pu/Py > 0.4, a = 0.15 y b = 2.0 M’px = 1.2 Mpx [1 - Pu/Py] ≤ Mpx

(7.76) [A-H3-11a]

M’py = 1.2 Mpy [1 - Pu/Py] ≤ Mpy

(7.77) [A-H3-11b]

 Pu M’nx = Mnx 1 − φ c Pn 

 P 1.25 1 − u 1/ 3 Pex (B / H) 

  

 Pu M’ny = Mny 1 − φ c Pn 

 Pu 1.25 1 − 1/ 2  Pey (B / H) 

   

(7.78) [A-H3-12]

(7.79) [A-H3-13]

En las expresiones anteriores, Pe = carga crítica de pandeo de Euler = AFy/λc2, donde λc es el parámetro de esbeltez de la columna, definido en el art. 2.6.7.2 (Capítulo 2). (Pe = At π2E/(KL/r)2). Mp = momento plástico ≤ 1.5 FyS. B = ancho exterior de la sección en cajón, paralelo al eje centroidal y principal de mayor momento de inercia, x. H = peralte exterior de la sección en cajón, perpendicular al eje centroidal y principal de mayor momento de inercia, x. λx = KL/ry Las literales restantes se han definido con anterioridad. En el Comentario de la ref. 7.9 (ref. 7.20) se indica que las ecs. 7.70 y 7.71 (A-H3-5 y A-H36) pueden usarse como una alternativa para determinar la resistencia en flexión, cuando ésta es alrededor de un solo eje y el miembro no está sujeto a pandeo lateral.


68

Las ecuaciones de este artículo, relativas a secciones I o H, son las de los artículos 7.2.1.1.2a (ecs. 7.9, 7.5b y 7.6b) y 7.3.5.1.2 (ecs. 7.96 a 7.98) con algunos coeficientes redondeados y con los factores de resistencia, φc y φb, incorporados en ellas. Las ecuaciones para secciones cajón se han obtenido siguiendo un camino semejante. 7.4.2.3 Comparación de las ecuaciones propuestas en las dos especificaciones AISC Introduciendo en la expresión para calcular el momento de diseño Mu (ec. 7.62) los valores de B1 y B2 dados por las ecs. 7.63 y 7.65, llevando Mu a las ecs. 7.60 y 7.61 y ordenando sus términos, estas ecuaciones toman la forma Si

Pu ≥ 0.2 Pn

Pu

+ 0.89

Pn

Si

Pu

2Pn

M nt

+ 0.89

1 - Pu / Pe1 M n

1

M lt

1 - ∑ Pu / ∑ Pe2 M n

≤ 1.0

(7.80)

≤ 0.2

Pn

Pu

Cm

+

Cm

M nt

1 - Pu / Pe1 M n

+

1

M lt

1 - ∑ Pu / ∑ Pe2 M n

≤ 1.0

(7.81)

Las ecuaciones se han escrito para flexión en un solo plano (desaparece uno de los términos del paréntesis de las ecs. 7.60 y 7.61), y sin los factores de reducción de la resistencia. La ecuación que recomienda el AISC en sus especificaciones de 1989 para diseño plástico (ref. 7.23) para revisar el estado límite de inestabilidad del miembro es la 7.58, que se reproduce aquí como ec.7.82, con pequeños cambios de nomenclatura, para que coincida con la de las ecs. 7.80 y 7.81. Pu Pn

+

Cm

M2

1 - Pu / Pe M n

≤ 1.0

(7.82)

Si la columna forma parte de un marco en el que el efecto P∆ es significativo, Cm es igual a 0.85. Sustituyendo CmM2/(1 - Pu/Pe) por Mu, la ecuación toma la forma Pu Pn

+

Mu Mn

≤ 1.0

(7.83)

Descomponiendo ahora Mu en las dos partes que lo forman (ec. 7.62), y conservando los coeficientes B1 y B2 recomendados en la ref. 7.9, se llega a: Pu M nt M lt Cm 0.85 + ≤ 1.0 + Pn 1 - Pu /Pe M n 1 - Pu / Pe M n

(7.84)


69

La ec. 7.80 se obtiene multiplicando por 0.89 el factor de amplificación del segundo término de la ec. 7.84, que corresponde al efecto Pδ, con lo que se tiene en cuenta que los momentos Mnt y Mlt máximos no se presentan en la misma sección de la columna, y sustituyendo Pe por Pe1 y Pu/Pe por ∑Pu/∑Pe2 en el tercer término, reconociendo que el efecto P∆ es un fenómeno de conjunto de todo el entrepiso, no de cada columna por separado. Las ecs. 7.84 y 7.81 difieren en el 2 del denominador del primer término de la ec. 7.81 y en la modificación del factor de amplificación del tercer término en el que, además de sustituir Pu y Pe por las sumas respectivas, se cambia el factor 0.85 por 1.0. En 7.81, aplicable a columnas con fuerzas axiales reducidas, se le quita importancia al término Pu/Pn, y se aumenta la de los momentos originados por fuerzas que producen desplazamientos laterales de entrepiso significativos. En la Fig. 7.22 se comparan las ecuaciones 7.60, 7.61 y 7.83.

Fig. 7.22 Comparación de las ecuaciones para diseño de columnas flexocomprimidas de las refs. 7.9 y 7.23

La ec. 7.83 es ligeramente conservadora, en comparación con las otras dos; sin embargo, las recomendaciones de la ref. 7.23 no lo son necesariamente, cuando se aplican a columnas de marcos con desplazamientos laterales de entrepiso significativos, porque de acuerdo con ellas se multiplica por

0.85 1 − Pu / Pe

el momento total, producido por cargas verticales y

horizontales combinadas, a diferencia de lo que se hace al utilizar las ecs. 7.60 y 7.61 (ref. 7.9).


70

Si el diseño se hiciese con la ec. 7.60 para todos los valores de Pu/Pn, añadiendo la condición Mu/Mn ≤ 1.0, se obtendrían resultados casi iguales que con las dos ecuaciones, aunque ligeramente del lado de la inseguridad para valores de Pu/Pn < 0.2 (zona sombreada de la Fig. 7.22). 7.4.3. Normas Canadienses (ref. 7.8) En lo que sigue se utiliza la simbología de la ref. 7.8. 7.4.3.1 Resistencia y estabilidad del miembro - Secciones de todas las clases, excepto secciones H clase 1 Los miembros que deben resistir, simultáneamente, compresión axial y momentos en los dos planos principales, se dimensionan de manera que se cumpla la condición Cf Cr

+

U1x M fx M rx

+

U1y M fy M ry

≤ 1.0

(7.85)

donde Mf es el momento flexionante máximo, incluyendo los efectos de estabilidad, calculado como se indica en el art. 7.4.3.3. Debe revisarse la resistencia del miembro para los casos siguientes: (a) Resistencia de la sección transversal En este caso, Cr tiene el valor indicado en la cláusula 13.3, calculado con λ = 0 (la parte de interés de esa cláusula se ha reproducido en el art. 2.6.7.4, del Capítulo 2), Mp es igual a φZFy = φMp si la sección es clase 1 o 2, e igual a φ SFy = φ My si es clase 3, y U1x y U1y se toman iguales a 1.0. (b) Resistencia de conjunto del miembro Cr se determina según la cláusula 13.3 (art. 2.6.7.4), con K = 1.0, y está basada, cuando la flexión es biaxial, en la esbeltez máxima, y cuando sólo hay flexión alrededor del eje de mayor momento de inercia, Cr = Crx. La longitud efectiva se toma igual a la real (K = 1.0) en elementos que fallan por flexión en el plano, siempre que los efectos geométricos de segundo orden se incluyan en el análisis de la estructura, cuando sean significativos. Mr tiene los mismos valores que en (a). U1x y U1y se calculan de acuerdo con el art. 7.4.3.2.1. (c) Resistencia al pandeo lateral por flexocompresión, cuando sea aplicable Ahora Cr se calcula con la cláusula 13.3 (art. 2.6.7.4), para pandeo alrededor del eje de menor momento de inercia (en columnas que fallan por pandeo lateral por flexotorsión, la longitud efectiva se basa en las restricciones rotacionales y translacionales existentes en los extremos de la longitud sin contraventear), Mrx tiene el valor indicado en la cláusula 13.6


71

(ecs. 5.48 a 5.50), Mry es igual a φ Mpy o φ Myy, U1x se calcula de acuerdo con el art. 7.4.3.3, pero no debe ser menor que 1.0, y U1y se calcula según el art. 7.4.3.3. 7.4.3.2 Resistencia y estabilidad del miembro - Secciones H clase 1 Los miembros que deben resistir, simultáneamente, compresión axial y momentos en los dos planos principales, se dimensionan de manera que se cumpla la condición Cf Cr

0.85U1x M fx

+

M rx

+

0.60U1y M fy M ry

≤ 1.0

(7.86)

Todos los símbolos de esta expresión se definen en el art. 7.4.3.1.1. La capacidad del miembro se revisa para (a) Resistencia de la sección transversal, (b) Resistencia de conjunto del miembro, y (c) Resistencia al pandeo lateral por flexocompresión. Además, debe satisfacerse la condición M fx M rx

+

M fy M ry

≤ 1.0

(7.87)

Mrx y Mry se calculan como se indica en 7.4.3.1 (c). 7.4.3.3 Valor de U1 En lugar de hacer un análisis más detallado, el valor de U1 correspondiente al eje que se esté considerando, con el que se incluyen los efectos de segundo orden debidos a la deformación del miembro entre sus extremos, puede tomarse igual a U1 =

ω1 C 1 - f Ce

ω1, para el eje en consideración, se define en el art. 7.4.3.3.1, y Ce = π2EI/L2, para el mismo eje. 7.4.3.3.1 Valores de ω1 Exceptuando los casos en que se determinen con un análisis, se usarán los valores de ω1 siguientes: (a) En miembros que no tienen cargas transversales entre los extremos, ω1 = 0.6 - 0.4 M1/M2 ≥ 0.4


72

(b) En miembros que tienen cargas distribuidas, o una serie de cargas puntuales entre los extremos, ω1 = 1.0

(c) En miembros sujetos a una carga o momento concentrado, aplicado entre los extremos ω1 = 0.85

Con fines de diseño, los miembros sujetos a una carga o momento concentrado, aplicado entre los extremos (por ejemplo, las columnas provistas de ménsulas para soportar trabes carril para grúas móviles), pueden considerarse divididos en dos segmentos, en el punto donde está aplicada la carga (o el momento). Cada segmento se trata como un miembro que depende de su propia rigidez en flexión para evitar los desplazamientos laterales relativos en el plano de la flexión, y ω1 se toma igual a 0.85. En el cálculo de la relación de esbeltez que debe usarse en el art. 7.4.3.1, se utiliza la longitud total del miembro. 7.4.3.3.2 Efectos de segundo orden Mf es el momento máximo, alrededor de x o de y. Incluye los efectos de esbeltez producidos por las cargas verticales que obran sobre la estructura deformada lateralmente; debe determinarse, de preferencia, con un análisis de segundo orden. Como una alternativa, puede evaluarse multiplicando los efectos de las cargas que ocasionan desplazamientos laterales por el factor de amplificación U2 =

1  ∑C ∆  f f  1 -   ∑Vf h 

Así, Mf = Mfg + U2Mft, Tf = Tfg + U2Tft, etc.

Cuando los efectos elásticos de segundo orden (P∆) exceden del 40% de los de primer orden (es decir, cuando U2 > 1.4), debe aumentarse la rigidez de la estructura para reducir ∆f, o efectuar un análisis elastoplástico de segundo orden, a menos que pueda demostrarse que los esfuerzos en la sección crítica, incluyendo esfuerzos residuales, no son mayores que Fy. EJEMPLO 7.2. En la Fig. E7.2.1 se muestra un tramo de la cuerda superior de una armadura, hecha con secciones transversales rectangulares huecas, y las acciones que actúan sobre él. Se desea determinar las dimensiones de la sección, teniendo en cuenta que todos los nudos están soportados lateralmente. El acero es ASTM A500 Grado B, con Fy = 3230 Kg/cm2 (46 Ksi) (ref. 7.38). Las acciones indicadas en la figura son nominales (de trabajo), producidas por carga muerta. La armadura es parte de la cubierta de una sala de espectáculos. Utilice las normas de las refs. 7.9, 7.23 y 7.34 empleando, en los tres casos, los factores de carga de la ref. 7.44.


73

Fig. E7.2.1 Cuerda superior de la armadura del ejemplo 7.2

Fig. E7.2.2 Sección transversal de la cuerda superior de la armadura de la fig. E7.2.1

Acciones de diseño La estructura es del grupo 1. Factor de carga Fc = 1.5 (ref. 7.37). Pu = 1.5 x 32.0 = 48.0 Ton. Como el tramo considerado es intermedio, puede suponerse que se comporta, aproximadamente, como una viga empotrada en los dos extremos. (Mmáx)u = 1.5 x 0.1 x 4.52/12 = 0.25 Tm


74

Los momentos máximos aparecen en los extremos, por lo que no se amplifican por efecto Pδ; tampoco por efecto P∆, pues los desplazamientos lineales de los nudos, normales al eje, son prácticamente nulos. a) NORMAS TÉCNICAS COMPLEMENTARIAS DEL RCDF (ref. 7.34) Clasificación de la sección (Tabla 2.1, ref. 7.34 y Tabla 3.6, Capítulo 3) Se ensaya una sección H55 6”x6”x3/16” (Fig.E7.2.2) tomada de la ref.7.38, Las cuatro caras están en condiciones iguales (suponiendo que la sección trabaja en compresión axial, lo que es conservador; en flexocompresión es crítica la cara en que se suma la compresión directa y la debida a flexión). b/t = 13.92/0.44 = 31.6

Secciones tipo 1 o 2. Secciones tipo 3.

b/t ≤ 1.12 E / Fy = 28.1

28.1 < b/t ≤ 1.47 E / Fy = 36.9

La sección de la Fig. E7.2.2 es tipo 3. Resistencia de diseño en compresión Ec. 2.29 [3.3] Rc =

FR = 0.9; λ =

Fy 2n

(1 + λ

KL

Fy

r

2

π E

=

− 0.15

2n 1 / n

)

At FR ≤ Fy At FR

0.9 x 450

Fy

6.02

2

π E

= 67.28

Fy 2

π E

= 0.852

Como la sección es en cajón, laminada, con Fy < 4220 Kg/cm2, n = 1.4 Rc =

3230 x 25.68 x 0.9 x 10-3 = 52.6 Ton < 3230 x 25.68 x 0.9 x 10-3 = 74.7 Ton (1 + 0.852 − 0.15 2.8 )1/1.4 2.8

∴ Rc = 52.6 Ton

Resistencia de diseño en flexión Las secciones cuadradas no se pandean lateralmente; para las tipo 3, Ec. 5.42 [3.20]

MR = FR SFy = FR My = 0.9 x 121.6 x 3230 x 10-5 = 3.54 Tm

Revisión en flexocompresión Secciones extremas. Py = A Fy = 82.9 Ton

Columnas aisladas flexocomprimidas Ec. 7.51 [3.55]

75

Pu M 48.0 0.25 = 0.643 + 0.055 = 0.698 < 1.00 + uox = + FRPy MRy 0.9 x 82.9 3.54

Columna completa. Ec. 7.54 [3.58]

Pu Rc

M * uox

+

MRx

=

48.0 52.6

+

0.25 3.54

= 0.913 + 0.071 = 0.984 < 1.00

El perfil es adecuado; es crítica la estabilidad de la columna completa. b) NORMAS AISC PARA DISEÑO POR FACTORES DE CARGA Y RESISTENCIA (ref. 7.9) El AISC ha publicado unas normas especificas para el diseño de secciones estructurales huecas, de sección transversal circular o rectangular (ref. 7.39). Aunque son muy semejantes a la ref. 7.9, hay algunas diferencias, que se tienen en cuenta en este ejemplo. Se revisa la sección de la parte a) de este ejemplo. Clasificación de la sección El parámetro de esbeltez es λ = b/t, donde b es la distancia libre entre los puntos en que se inician las curvas que unen la placa que forma el patín con las placas de alma (o cada una de las placas de alma con los patines) y t es el grueso de la pared. Cuando no se conoce el radio de las esquinas, b puede tomarse igual al ancho total (B o H) menos tres veces el grueso de la pared (ref. 7.39). Se supone que la sección trabaja en compresión pura (ésto, que es casi cierto, en este ejemplo, resulta conservador cuando el trabajo es en flexocompresión). De la Tabla 2.2.1, ref. 7.38 (ver, también, la Tabla 3.6, Capítulo 3), λp = 1.12

E / Fy = 28.1 ; λr = 1.40

E / Fy = 35.2

b = 15.24 - 3 x 0.44 = 13.92 cm ; b/t = 13.92/0.44 = 31.6 λ = b/t = 31.6 está comprendida entre λp y λr; la sección es no compacta (ref. 7.39).

Resistencia de diseño en compresión Como λ < λr, no hay pandeo local prematuro. En la ref. 7.39 se indica que en cuerdas continuas de armaduras hechas con secciones tubulares puede tomarse un factor K, que modifica la longitud de pandeo entre nudos, igual a 0.90. En esas condiciones, λc =

KL

Fy

πr

E

=

0.9 x 450

3230

6.02 π

E

= 0.852 < 1.5


∴ Fcr = ( 0.658

2 λ c

)

Fy = (0.658

0.852

2

76

) 3230 = 2384 Kg / cm

2

φcPn = 0.85 A Fcr = 0.85 x 25.68 x 2384 x 10-3 = 52.0 Ton

Resistencia de diseño en flexión Una barra de sección transversal cuadrada hueca no puede pandearse lateralmente; por tanto, sólo debe revisarse la posible falla por pandeo local (ref. 7.39 y Apéndice F, ref. 7.9). λ − λ  p  Como λp < λ < λr, Mn = Mp - (Mp - Mr)   λ λ  r p 

Mp = Fy Z = 3230 x 1414 x 10-5 = 4.57 Tm; Mr = Fy S = 3230 x 121.6 x 10-5 = 3.93 Tm Mn = 4.57 - (4.57 - 3.93)

31.6 − 28.1 35.2 − 28.1

= 4.25 Tm

Revisión en flexocompresión Pu/φcPn = 48.0/52.0 = 0.923 > 0.2 Ec. 7.60 [H1-1a]

Pu φ c Pn

+

8

Mux

9 φ b M nx

= 0.923 +

8

0.25

9 0.9 x 4.25

= 0.923 + 0.058 = 0.981 < 1.00

Se acepta la sección de la Fig. E7.2.2. c) NORMAS AISC PARA DISEÑO POR ESFUERZOS PERMISIBLES (ref. 7.23) Acciones de diseño Se utilizan acciones nominales: P = 32.0 Ton, Mmáx = 0.17 Tm Clasificación de la sección (Tabla B5.1, ref. 7.23). Secciones compactas. b/t ≤ 1593/ Fy = 28.0 Secciones no compactas. b/t ≤ 1996/ Fy = 35.1 Estos límites son iguales a λp y λr, calculadas arriba. La sección es no compacta. Resistencia en compresión Cc = 2 π 2 E / Fy = 111.6 ; KL/r = 0.9 x 450/6.02 = 67.3 < 111.6 ∴ El esfuerzo permisible se calcula

con la Ec. E2-1. 3 3 C.S. = 5 + 3(KL/r) - (KL/r) = 5 + 3 x 67.3 - 67.3 = 1.87 3 3 8C C 3 8 X 111.6 8 x 111.6 3 8C C


Ec. E2.1. Fa =

 ( KL / r ) 2 1 −  2Cc 2

  FY 

=

C.S.

77

2  67.3 1 − 2  2 x 111.6

  3230 

1.87

= 1413 Kg/cm2

Resistencia en flexión El esfuerzo permisible en flexión para secciones tubulares cuadradas no compactas es Fb = 0.60 Fy ; en este caso, Fb = 0.60 Fy = 0.60 x 3230 = 1938 Kg/cm2

En secciones en cajón, cuadradas, el pandeo lateral no es posible. Revisión en flexocompresión fa = P/A = 32 x 103/25.68 = 1246 Kg/cm2 ; fa/Fa = 1246/1413 = 0.882 > 0.15 ; fbx = Mmáx/Sx = 0.17 x 105/121.6 = 140 Kg/cm2.

Se revisan las dos ecuaciones 7.55 [H1-1] y 7.56 [H1-2]. 2

F’e =

2

12 π E 23(KL / r)

2

12 π E

=

23 x 67.3

2

= 2318 Kg/cm2

En el comentario de la ref. 7.23 se proporciona el valor de Cm, en una barra empotrada en los extremos, comprimida y con una carga uniformemente repartida: Cm = 1 - 0.4 fa/f’e = 1 - 0.4 x 1246/2318 = 0.78 Ec. 7.55 [H1-1]

fa Fa

+

Cmx fbx

 fa 1 − F'  ex

 Fbx 

= 0.882 +

0.78 140 x =  1246  1938 1   2318 

= 0.882 + 1.69 x 0.072 = 1.004 ≈ 1.0 Ec. 7.56 [H1-2]

fa 0.60Fy

+

fbx Fbx

=

1246 1938

+

140 1938

= 0.643 + 0.072 = 0.715 < 1.00

Es crítica la estabilidad de conjunto del miembro; el perfil escogido es adecuado. Con las tres normas se obtienen resultados muy semejantes. EJEMPLO 7.3. La columna biarticulada de la Fig. E7.3.1 está sometida a dos condiciones de carga diferentes (la flexión es alrededor del eje x, en los dos casos). Las acciones de la figura, debidas a cargas permanentes, son de diseño (factorizadas). El perfil es una W 10” x 54 lb/ft, de acero A36, que tiene las propiedades geométricas siguientes (ref. 7.41):


Fig. E7.3.1 Longitud de la columna y acciones de diseño A = 102.0 cm2 ; Ix = 12600 cm4 ; Sx = 984 cm3 ; Zx = 1090 cm3 ; rx = 11.1 cm Iy = 4310 cm4 ; Sy = 338 cm3 ; Zy = 513 cm3 ; ry = 6.5 cm

La sección es compacta. Revise si el perfil propuesto es adecuado, utilizando: a) Las normas técnicas complementarias del RCDF 2003 (ref. 7.34). b) Las normas AISC 89 para diseño por esfuerzos permisibles (ref. 7.23). c) Las normas AISC 89 para diseño plástico (ref. 7.23). a) NORMAS TÉCNICAS COMPLEMENTARIAS DEL RCDF (ref. 7.34) Py = AFy = 258.3 Ton ; Mpx = Zz Fy = 27.6 Tm

Caso I Resistencia de diseño en compresión (KL/r)x = 1 x 600/11.1 = 54.1;

(KL/r)y = 1 x 600/6.5 = 92.3

Es crítico el pandeo alrededor de y (es evidente, sin necesidad de calcular KL/rx). λ =

KL

Fy

πr

E

=

92.3

Fy

π

E

= 1.035 ; n = 1.4 (Art. 2.6.7.1, Cap. 2).

78

Columnas aisladas flexocomprimidas Ec. 2.29 [3.3]

Rc =

79

Fy 2n

(1 + λ

− 0.15

2n 1 / n

)

A FR =

2530 (1 + 1.035

2.8

− 0.15

2.8 1 /1.4

)

= 102.0 x 0.9 x 10-3 =

137.1 Ton < Fy A FR = 0.9 x 102.0 x 2530 x 10-3 = 232.3 Ton ∴ Rc = 137.1 Ton

(De la Tabla 2.3, Cap. 2, para KL/r = 92.3, Rc/At = 1342Kg/cm2 , Rc = 1342 x 102.0 x 10-3 = 136.9 Ton) Resistencia en flexión Ec. 5.50b [3.24] Mu =

2  J  π  Iy  +   Ca  L  2.6 

πE CL

M1/M2 = 8.1/10.2 = 0.79 ; C = 0.60 + 0.40 M1/M2 = 0.60 + 0.40 x 0.79 = 0.92 De la ref. 7.42, J = 75.8 cm4, Ca = 623 000 cm6 Mu =

2  75.8   π  -5 4310  +   623 000  x 10 = 51.8 Tm.  600   2.6 

πE 600 x 0.92

Mu = 51.8 Tm >

2 3

Mpx = 18.4 Tm ∴ El momento de diseño se determina con la ec. 5.48 [3.22] 

0.28 M p   0.28 x 27.6   = 1.15 x 0.9 x 27.6 1  = 24.3 Tm < FR   Mu  51.8

Ec. 5.48 [3.22] MR = 1.15 FR Mp 1 

Mp = 0.9 x 27.6 = 24.8 Tm ∴ Mn = 24.3 Tm

Aunque no es necesario hacerlo, a continuación se calcula Mn siguiendo el camino largo, que requiere determinar longitudes características. 4

ZFy

Ca

GJ

Iy

Ec. [3.28]

Xr =

Ec. [3.27]

Xu = 3.220

Ec. 5.54 [3.25]

3

C

Lu =

=

4 3

x 0.92 x

1090 x 2530

623 000

784000 x 75.8

4310

= 0.684

Xr = 2.204

2π

ECa

Xu

GJ

1 +

2

1 + Xu =

2π

623 000 E

2.204

784000 x 75.8

1 +

1 + 2.204

2

=

= 545.1 cm < L = 6.0 m. Ec. 5.55 [3.26]

Lr =

2π

ECa

Xr

GJ

1 +

2

1 + Xr

=

2π

ECa

0.684

GJ

1 +

1 + 0.684

2

=

= 1412.2 cm > L = 6.0 m.

Como L = 6.0 m < Lr = 14.12 m, el momento resistente se calcula con la ec. 5.48 [3.22], como se hizo arriba.


80

Revisión en flexocompresión Secciones extremas Deben satisfacerse las condiciones 7.47 [3.51] y 7.49 [3.53], en los dos extremos En este caso es claro que el extremo crítico es el superior, por lo que es el único que se revisa. Pu

Ec. 7.47 [3.51] Ec. [1.1]

+

FR Py

0.85 Muox

≤ 1.0

FRM px

Muox = Mtix = 10.2 Tm

Los momentos en los extremos de las columnas no se amplifican cuando no se desplazan lateralmente. 120.0

+

0.9 x 258.3

0.85 x 10.2 0.9 x 27.6 Muox

Ec. 7.49 [3.53]

= 0.516 + 0.349 = 0.865 < 1.0

=

FR M px

10.2 0.9 x 27.6

= 0.411 < 1.00

Columna completa Pu

Ec. 7.52 [3.56] Ec. [1.2]

Rc

B1 = Pu Rc

π EA (KL /

M * uox

2 r)x

=

54.1

2

1 − 120.0 / (0.9 x 701.3) M * uox Mm

C 1 − Pu FR PEI

;

2

π E x 102.0

0.92

+

≤ 1.0

Mm

M*uox = B1 Muox ; B1 =

2

PEI =

+

=

120.0 137.1

+

x 10

-3

= 701.3 Ton

= 1.14 , M * uox = 1.14 x 10.2 = 11.6 Tm

11.6 24.3

= 0.875 + 0.477 = 1.352 > 1.0

El perfil propuesto está escaso; es crítica la estabilidad de conjunto de la columna. Caso II Resistencia de diseño en compresión Rc = 137.1 Ton.

Se determinó en el caso I.


81

Resistencia en flexión No es igual que en el caso I, porque al cambiar la forma del diagrama de momentos se modifica el coeficiente C. Todos los términos restantes de la ec. 5.50b. [3.24] se conservan sin cambio. M1/M2 = 16.0/19.8 = 0.81 ; C = 0.6 - 0.4 M1/M2 = 0.6 - 0.4 x 0.81 = 0.28 Mu = 51.8 x 0.92/0.28 = 170.2 Tm > (2/3) Mpx 

MR = 1.15 x 0.9 x 27.6 1 − 

0.28 x 27.6   = 27.3 Tm > FR Mp = 24.8 Tm ∴ MR = 24.8 Tm 170.2 

Revisión en flexocompresión Secciones extremas Se revisa solo el extremo superior. 80.0 0.9 x 258.3 19.8 0.9 x 27.6

+

0.85 x 19.8 0.9 x 77.6

= 0.344 + 0.678 = 1.022 ≈ 1.00

= 0.797 < 1.00

Columna completa B1 =

0.28 1 − 80.0 / (0.9 x 701.3)

80.0 137.1

+

6.35 24.8

= 0.321 ; M*uox = 19.8 x 0.321 = 6.35 Tm

= 0.584 + 0.256 = 0.840 < 1.00

Ahora es crítica la resistencia del extremo superior de la columna, el perfil propuesto es adecuado. b) NORMAS AISC 89 POR ESFUERZOS PERMISIBLES (ref. 7.23) La columna se revisa con las acciones nominales. Si se supone que al obtener las de la Fig. E7.3.1 se empleó un factor de carga de 1.4, y teniendo en cuenta que el factor de resistencia es 0.9, las acciones nominales se obtienen dividiendo las de la figura entre 1.4/0.9 = 1.56. En la Fig. E7.3.2 se muestran las acciones nominales.


82

Fig. E7.3.2 Acciones nominales

Caso I Esfuerzo permisible en compresión Las relaciones de esbeltez están en la pág. 78. 2

Cc =

5 3

+

 KL  = 126.1 >   = 92.3 ∴ Se utiliza la ec. 2.37 [E2-1].  r y

2π E Fy 3(KL / r) 8Cc

3

-

Ec. 2.37 [E2-1)]

(KL / r) 8Cc 3

= 1.89

 (KL/r)3   92.3 2  2530  F 1  1 − y  2C c2  2 x 126.12   Fa =  = = 980 Kg/cm 2 1.89 1.89

Esfuerzo permisible en flexión Ec. [F1-2]

Lc =

687b Fy

=

637 x 25.5 Fy

= 323 cm < L = 6.0 m

La sección es compacta, pero la longitud libre de pandeo es mayor que Lc.


83

3

Ec. [F1-8]

Fb =

843.72 x 10 Cb Ld / Ap

M1/M2 = 5.2/6.5 = 0.80; Cb = 1.75 + 1.05 (-0.80) + 0.3 (-0.802) = 1.10; Ld/Ap = 600 x 25.6/(25.5 x 1.56) = 386.1 3

Fb =

843.72 x 10 x 1.10 386.1

= 2404 Kg/cm2 > 0.6 Fy = 1518 Kg/cm2 ∴ Fb = 1518 Kg/cm2

Como Fb no puede ser mayor que 0.6 Fy, no es necesario revisar las otras ecuaciones. Las dimensiones de la sección transversal están tomadas de la ref. 7.41. Revisión en flexocompresión fa = P/A = 76.9 x 103/102.0 = 754 Kg/cm2 ; (fbx)máx = Mmáx/Sx = 6.5 x 105/984 = 661 Kg/cm2 fa/Fa = 754/980 = 0.769 > 0.15 ∴ Deben satisfacerse las ecs. 7.55 [H1-1] y 7.56 [H1-2].

Secciones extremas Sólo se revisa la superior. fa

Ec. 7.56 [H1-2)

0.60Fy

+

fbx Fbx

=

754 1518

+

661 1518

= 0.497 + 0.435 = 0.932 < 1.00

Columna completa Cm = 0.6 - 0.4 (M1/M2) = 0.6 - 0.4 (-0.80) = 0.92 2

2

F' e =

12 π E 2

23(KL / r)x

Ec. 7.55 [H1-1]

= fa Fa

12 π E 23x54.1 +

2

= 3587 Kg / cm C mx f bx

(1 - f a / F' ex )Fbx

2

= 0.769 +

0.92 x 661 (1 - 754 / 3587) 1518

=

= 0.769 + 1.165 x 0.435 = 1.276 > 1.0

La sección propuesta está escasa; es crítica la inestabilidad de la columna. Los resultados son bastante parecidos a los que se obtienen con la ref. 7.34. Caso II Esfuerzo permisible en compresión Se determinó en el caso I.


84

Esfuerzo permisible en flexión Lo único que puede cambiar, respecto al caso I, es el coeficiente Cb de la ec. [F1-8]. M1/M2 = 10.3/12.7 = 0.81 ≈ 0.80. (Se conserva la relación entre los momentos en los extremos). ∴ Fb = 0.60 Fy = 1518 Kg/cm2.

Revisión en flexocompresión fa = P/A = 51.3 x 103/102.0 = 503 Kg/cm2; (fb)máx = Mmáx/Sx = 12.7 x 105/984 = 1291 Kg/cm2 fa/Fa = 503/380 = 0.513 > 0.15 ∴ Se revisan las ecs. 7.55 [H1-1] y 7.56 [H1-2].

Secciones extremas Sólo se revisa la superior. Ec. 7.56 [H1-2]

503 1518

+

1291 1518

= 0.331 + 0.850 = 1.182 > 1.0

Columna completa Cm = 0.6 - 0.4 x 0.81 = 0.276 Ec. 7.55

[H1-1] 0.513 +

0.276 1291 (1 - 503/3587) 1518

= 0.513 + 0.321 x 0.850 = 0.513 + 0.273 = 0.786 < 1.0

También ahora está escaso el perfil, pero es crítico el extremo superior; en cambio, según la ref. 7.34, era adecuado. La diferencia se debe a que en esa referencia la falla de las secciones extremas corresponde a su plastificación completa. En la revisión por inestabilidad se obtienen resultados parecidos. En este caso, el término Cm/(1 - fa/F’ex), con el que se “amplifica”, de manera aproximada, el momento uniforme equivalente, es menor que 1.0, lo que indica que es crítica una sección extrema; en el caso I sucede lo contrario. c)

NORMAS AISC 89 PARA DISEÑO PLÁSTICO (ref. 7.23)

Las acciones de diseño son las de la Fig. E7.3.1. Caso I Resistencia de diseño en compresión Ec. [N4-1] Pcr = 1.7 Fa A = 1.7 x 980 x 102.0 x 10-3 = 169.9 Ton

Fa se determinó en la pág. 83.


85

Resistencia de diseño en flexión  (L / ry ) Fy Mn = 1.07 −  26500

Ec. 7.45 [N4-5]

  (600 / 6.5) Fy   27.6 = 24.7 Tm < Mp = 27.6  M = 1.07 − px    26500

Tm

Revisión en flexocompresión Secciones extremas P

Ec. 7.59 [N4-3]

Py

+

M 1.18 M p

=

120.0 258.3

+

10.2 1.18 x 27.6

= 0.465 + 0.313 = 0.778 < 1.00

M = 10.2 Tm < Mp = 27.6 Tm

Columna completa Pe = carga crítica de Euler = 701.3 Ton (pág. 80). Cm = 0.92 (pág. 83) Ec. 7.58 [N4-2] .

P Pcr

Cm M

+

(1 - P / Pe )M m

=

120.0 169.9

+

0.92 (1 - 120.0 / 701.3)

x

10.2 24.7

=

0.706 + 1.110 x 0.413 = 1.165 > 1.00

El perfil está escaso. Comparando estos resultados con los de la parte a) del ejemplo se ve que las resistencias en flexión son casi iguales, pero las resistencias en compresión difieren considerablemente; esto se debe, seguramente, a que en la ref. 7.23 se utiliza una sola curva para diseñar todas las columnas. Caso II Revisión en flexocompresión Secciones extremas Ec. 7.59 [N4-3]

80.0 258.3

+

19.8 1.18 x 27.6

= 0.310 + 0.608 = 0.918 < 1.0; M = 19.8 Tm < Mp = 24.7 Tm

Columna completa Cm = 0.276 (pág. 84). Ec. 7.58 [N4-2]

80.0 169.9

+

0.276 (1 - 80.0 / 701.3)

x

19.8 24.7

= 0.471 + 0.312 x 0.802 = 0.721 < 1.00

El perfil es correcto (de acuerdo con la ref. 7.34 resulta escaso).


86

EJEMPLO 7.4. Determine el valor máximo de los momentos de diseño que puede resistir la columna de la Fig. E7.4.1, para las dos condiciones de carga que se muestran en ella. La fuerza axial es de diseño (multiplicada por el factor de carga). La columna, una W10” x 54 lb/ft de acero A36 (Fy = 2530 Kg/cm2), es igual a la del ejemplo 7.3 (en él se indican sus propiedades geométricas). La flexión es alrededor del eje x. Utilice:

Fig. E7.4.1 Condiciones de carga

a) b) c) d)

Las normas técnicas complementarias del RCDF 2003 (ref. 7.34). Las normas AISC 89 para diseño plástico (ref. 7.23). El cuerpo principal de las normas AISC 99 (ref. 7.9). El apéndice H de las normas AISC 99 (ref. 7.9).

a) NORMAS TÉCNICAS COMPLEMENTARIAS DEL RCDF (ref. 7.34) El momento Mu es el menor de los proporcionados por las ecuaciones siguientes: Resistencia de las secciones extremas Muox =

 Pu 1 0.85  FR Py FR

 M ≤ F M R px  px 

(I)

La expresión anterior se ha obtenido de la ec. 7.47 [3.51] para flexión alrededor de x únicamente; al limitar el valor de Muox a FR Mpx se cumple también la condición 7.49 [3.53]. Resistencia de la columna completa 

M*uox = 1.0 − 

 Pu  C P  Mm , M*uox = B1 Mu = MU, MU = 1.0 − u 1 − Pu / FR PE1 Rc Rc  

  

 Pu  M m 1 −  FR PE1  C 

(II)


87

Esta ecuación proviene de la 7.52 [3.56], también para flexión alrededor del eje x. Los parámetros que intervienen en I y II se han calculado en el ejemplo 7.3. Caso I Ec. I

Muox =

0.9  120.0  1  27.6 = 14.1 Tm < 0.9 x 27.6 = 24.8 Tm 0.85  0.9 x 258.3  120.0  24.3 120.0   = 2.7 Tm  1  137.1   0.9 x 701.3  0.92



Ec. II M*uox = 1 

La columna resiste un momento máximo de 2.7 Tm; es crítica la estabilidad de conjunto. Caso II Ec. I

Muox =

 0.9  80.0 1  27.6 = 19.2 Tm < 0.9 M px 0.85  0.9 x 258.3  

80.0    24.3 80.0 = 31.6 Tm > Mp = 27.6 Tm   1 0.9 x 701.3  0.28 137.1  

Ec. II M*uox = 1 

Un valor de la ec. II mayor que Mpx no es real; en ese caso rige la resistencia de una sección extrema. b) NORMAS AISC 89 PARA DISEÑO PLÁSTICO (ref. 7.23) De las ecs. 7.58 [N4-2] y 7.59 [N4-3] se obtiene, respectivamente, Resistencia de las secciones extremas 

Mux = 1.18 1 − 

Mux =

P  Mpx < Mpx Py 

Mn  P 1 - u Cm x  Pcr

 Pu  1 PEX 

  

(III)

(IV)

La ec. IV proporciona el valor de Mu en función de la estabilidad de la columna, y la III se refiere a las secciones extremas; esta ecuación es la 7.5b. Caso I 

Ec. III Mux = 1.18 1 

120.0   27.6 = 17.4 Tm < M p = 27.6 Tm 258.3 

Columnas aisladas flexocomprimidas Ec. IV Mux =

88

24.7  120.0   120.0  1  = 6.5 Tm  1 0.92  169.9   701.3 

La columna resiste un momento máximo de 6.5 Tm; es crítica la flexión de conjunto. Caso II 

Ec. III

Mux = 1.18 1 -

Ec. IV

Mux =



80.0   27.6 = 22.5 Tm < M p 258.3 

24.7  80.0   80.0  1  = 42.0 Tm  1 0.276  169.9   701.3 

El diseño queda regido por el extremo superior; la columna resiste 22.5 Tm. c) CUERPO PRINCIPAL DE LAS NORMAS AISC 99 (ref. 7.9) Las barras flexocomprimidas se revisan con una sola ecuación. El momento resistente se obtiene con la ec. 7.60 [H1-1a] o 7.61 [H1-1b], de las que se despeja Mu. Si

Si

Pu φ c Pn Pu φ c Pn

9

≥ 0.2,

Mux =

< 0.2,

Mux = φ b

8

φb

M nx  Pu 1.0 B1  φ c Pn

M nx  Pu 1.0 B1  φ c Pn

En las dos ecuaciones,

B1 =

Cm 1 − Pu / PEI

  

  

(VI)

≥ 1.0

Resistencia de diseño en compresión De la pág. 78, λc = 1.035 < 1.5 Ec. 2.41 [E2.2]

Fcr = (0.658

1.035

2

(V)

) Fy = 1616 Kg/cm2

φcPn = φcAFcr = 0.85 x 102.0 x 1616 x 10-3 = 140.1 Ton

Resistencia de diseño en flexión Lp = 326 cm; Lr = 1338 cm

Los valores de Lp y Lr se han tomado de la ref. 7.42.


89

Como L = 6.00 m está comprendido entre Lp y Lr, la resistencia en flexión Mn se determina con la ec. 5.97 [F1-2]; lo único que difiere en los casos I y II es el coeficiente Cb. Caso I Ec. 5.103 [F1-3]

Cb =

12.5 x 1.0 2.5 + 3 x 0.843 + 4 x 0.895 + 3 x 0.948

= 1.089

Los valores de los momentos necesarios para calcular Cb, en los dos casos, están en la Fig. E7.4.2.

Fig. E7.4.2 Diagramas de momentos y valores Para calcular Cb FL = Fy - Fr = 2350 - 700 = 1830 Kg/cm2 Mr = FLSx = 1830 x 984 x 10-5 = 18.0 Tm

Ec. 5.100 [F1-7] Ec. 5.97 [F1-2]

 M n = Cb  M p - M p - M r 

(

)

L - Lp   = Lr - Lp 

600 - 326   = 1.089 27.6 - (27.6 - 18.0 ) = 27.2 Tm < Mp = 27.6 Tm 1338 − 326  

φb Mn = 0.9 x 27.2 = 24.5 Tm Cm = 0.6 - 0.4 (-0.79) = 0.92 B1 =

0.92 1 − 120 / 701.3

= 1.11


90

Pu/φcPn = 120.0/140.1 = 0.857 > 0.2

Ec. V

Mux =

9 8

x

24.5 1.11

(1 - 0.857 ) = 3.6 Tm

La columna resiste un momento de 3.6 Tm; no se distinguen los dos estados límite de resistencia de los extremos y de la columna completa. Caso II Cb =

Mn =

12.5 x 1.0 2.5 x 1.0 + 3.0 x 0.357 + 4 x 0.095 + 3 x 0.548 27.2 1.089

= 2.234

x 2.234 = 55.8 Tm > M p ∴ M n = M p = 27.6 Tm , φb Mn = 24.8 Tm

Cm = 0.6 - 0.4 (0.81) = 0.28; B1 =

0.28 1 − 80.0 / 701.3

= 0.31 < 1.00 ∴ B1 = 1.00

Pu/φcPn = 80.0/140.1 = 0.571 > 0.2 Ec. V

Mu =

9 8

x

24.5 1.0

(1 - 0.571) = 11.8 Tm

El momento Mu máximo es de 11.8 Tm. d) APÉNDICE H DE AISC 99 (ref. 7.9) Despejando Mux de las ecs. 7.66 [A-H3-1] y 7.67 [A-H3-2] se obtiene Revisión de los extremos De la ec. 7.66 [A-H3-1], Mux = φb M’px

  M uy   − 1   φ M'  b py 

ξ 1 / ξ

   

  

Revisión de la columna completa De la ec. 7.67 [A-H3-2], Mux =

 C M   my uy − 1   φ M'  b ny 

φ bM' nx Cmx

η 1 / η

   

  

Si sólo hay flexión alrededor de x, estas ecuaciones se reducen a Extremos





 



Mux = φb M’px = φb 1.2 M px 1 -

 Pu   ≤ φ M b px Py 

(VII)

Columnas aisladas flexocomprimidas Columna completa

Mux =

φ bM' nx Cmx

=

91 φb Cmx

 Pu   Pu   1  M nx 1 Pex  φ c Pn   

(VIII)

Exceptuando los factores de reducción φb, estas ecuaciones son iguales que las que propone AISC 89 para diseño plástico (ecs. III y IV), y la ec. VIII es idéntica a la del cuerpo principal de AISC 99, para Pu/φcPn < 0.2 (ec. VI). Caso I 

Ec VII Mux = 0.9 x 1.2 x 27.6 1 − 

Ec. VIII Mux =

120.0   = 16.0 Tm < 0.9 x 27.6 = 24.8 Tm 258.3 

 120.0   120.0  x 27.2 1 −  1 −  = 3.2 Tm  0.92 140.0   701.3  0.9

Mnx y φc Pn se han determinado en c). Controla la estabilidad de conjunto; (Mu)máx = 3.2 Tm Caso II 

Ec VII Mux = 0.9 x 1.2 x 27.6 1 − 

Ec. VIII Mux =

80.0   = 20.6 Tm < 0.9 Mp 258.3 

 80.0   80.0  x 27.2 1 −  1 −  = 33.2 Tm  0.28 140.0   701.3  0.9

Ahora rige la resistencia del extremo superior; (Mu)máx = 20.6 Tm Resumen de resultados Ref. 7.34 Caso I Caso II Sec. extremas

14.1

19.2

Ref. 7.23 Caso I Caso II 17.4

Ref. 7.9 Caso I Caso II

22.5 3.6

Col. completa 2.7 31.6 6.5 42.0 Los valores subrayados son los críticos en cada caso.

Ref. 7.9, Ap. H Caso I Caso II 24.8

20.6

3.2

33.2

11.8

Con excepción del cuerpo principal de AISC 99 (ref. 7.9), en todas las normas se revisan, por separado, las secciones extremas y la estabilidad de conjunto de la estructura; las tres coinciden en el estado límite crítico. La concordancia entre los resultados finales no es demasiado buena; sobre todo, el cuerpo de la norma AISC 99 proporciona en el caso II, un momento resistente muy pequeño.


92

L = 6.0 m

EJEMPLO 7.5 Las acciones nominales en los miembros que componen una estructura tridimensional se han determinado con un análisis elástico de segundo orden.11 Debe revisarse el perfil propuesto para una de las columnas, para saber si es adecuado. En la Fig. E7.5.1 se muestran las acciones nominales, y se indican las dimensiones y propiedades geométricas de la sección. El acero es A992 (Fy = 3515 Kg/cm2).

Fig. E7.5.1 Acciones nominales, perfil propuesto y propiedades geométricas

Después de hacer la revisión con las normas que se indican, se compararán los resultados. a) b) c) d) e)

Normas técnicas complementarias del RCDF 2003 (ref. 7.34). Normas AISC 89 para diseño plástico (ref. 7.23). Cuerpo principal de las normas AISC 99 (ref. 7.9). Apéndice H de las normas AISC 99 (ref. 7.9). Normas Canadienses CAN/CSA-SI6.1-94 (ref. 7.8).

Las propiedades geométricas están tomadas de la ref. 7.41, excepto J y Ca, que provienen de la 7.42.

11

Como las acciones de la Fig. E7.5.1 provienen de un análisis de segundo orden, ya están amplificadas por efecto P∆; sólo falta incluir el efecto Pδ (ver el Capítulo 9).


93

a) NORMAS TÉCNICAS COMPLEMENTARIAS DEL RCDF 2003 (ref. 7.34) Combinaciones de carga De acuerdo con la ref. 7.44, deben satisfacerse las combinaciones de carga siguientes: 1. 2.

1.4 (CM + CV) 1.1 (CM + CV + S)

La combinación 2 comprende 2a 1.1 (CM + CV + 1.0 Sx + 0.3 Sy) 2b 1.1 (CM + CV + 0.3 Sx + 1.0 Sy)

CM, CV, Sx y Sy indican, respectivamente, carga muerta, carga viva, y sismo en las direcciones x y y. Clasificación de la sección. (Tabla 2.1, ref. 7.34) Patines. b/2tp = 42.4/(2 x 7.71) = 2.7 < 0.32 E / Fy = 7.7 Alma. h/ta = 28.6/4.76 = 6.0 < 1.47 E / Fy = 35.4

h es la distancia libre entre patines menos los radios de las curvas de unión entre alma y patines, leída en la ref. 7.41. El alma se ha revisado como si estuviese comprimida uniformemente, condición más crítica que la que se presenta en flexocompresión. Los patines y el alma y, por consiguiente, la sección completa, son tipo 1. Resistencia en compresión axial Depende sólo de las características de la columna y de las restricciones en sus extremos, por lo que no varía en las diversas condiciones de carga. En la ref. 7.34 se indica que en el análisis se incluyan fuerzas laterales ficticias, y que el diseño de las columnas se haga con K = 1.0. Sin embargo, para comparar los resultados con los del AISC, que sí considera factores de longitud efectiva mayores que 1.0, se tomará Kx = 1.6, Ky = 1.3,

suponiendo que en la determinación de las acciones de diseño no se han incluido fuerzas ficticias. (KL/r)x = 1.6 x 600/18.4 = 52.2 ; (KL/r)y = 1.3 x 600/11.0 = 70.9

Es crítico el pandeo alrededor del eje y.

Columnas aisladas flexocomprimidas Ec. [3.4] λ =

KL

Fy

r

π E

Ec. 2.29[3.3] Rc =

2

94

= 0.937 ; n = 1.4 (sección H laminada, tipo 1).

(1 + λ

2n

Fy - 0.15

)

2n 1 / n

At FR =

0.9 x 808 x Fy

(1 + 0.937

2.8

- 0.15

)

2.8 1 /1.4

x 10-3 = 1661 Ton < Fy At

FR = 2556 Ton (De la tabla 2.4, Cap. 2, para KL/r = 70.9, Rc/A = 2056 Kg/cm2, Rc = 1661 Ton).

Resistencia en flexión Mpx = Zx Fy = 14200 Fy x 10-5 = 499.1 Tm ; Mpy = Zy Fy = 7120 Fy x 10-5 = 250.3 Tm 

Ec. 5.45 [3.33] Lp = 0.12 + 0.076 

M1x  E  ry M2x  Fy

El valor de Lp depende del cociente de los momentos en los extremos de la columna, que es diferente para cada condición de carga; Lp debe evaluarse para cada una de ellas. Combinaciones de carga 1.

1.4 (CM + CV)

Acciones de diseño Pu = 1.4 (245.0 + 305.0) = 770.0 Ton

Para determinar los momentos de diseño se requiere sólo el factor de amplificación B1x (ver nota al pie de la pág. 92). Momentos nominales (Mx)sup = 20.0 + 25.0 = 45.0 Tm ; (Mx)inf = 9.8 + 12.2 = 22.0 Tm ; (M1/M2)x = 22.0/45.0 = 0.49 (My)sup = 16.0 + 20.0 = 36.0 Tm ; (My)inf = -22.2 + 27.8 = 5.6 Tm ; (M1/M2)y = 5.6/36.0 = 0.16 Cx= 0.6 - 0.4 x 0.49 = 0.40 ; Cy = 0.6 - 0.4 x 0.16 = 0.54 PE1x = Aπ2E/(KL/r)x2 = (808.0 π2E/52.22) 10-3 = 5967 Ton PE1y = Aπ2E/(KL/r)y2 = (808.0 π2E/70.92) 10-3 = 3235 Ton Ec. 7.63 [C1-2] B1x =

B1y =

1 -

C 1 - Pu / (FR PE1 ) 0.54 770 0.9 x 3235

=

0.40 1 - 770.0 / (0.9 X 5967)

= 0.734

= 0.467


95

Momentos de diseño (Muox)sup = M = 1.4 (20.0 + 25.0) = 63.0 Tm ; (Muox)inf = 1.4 (9.8 + 12.2) = 30.8 Tm -(Muoy)sup = 1.4 (16.0 + 20.0) = 50.4 Tm ; (Muoy)inf = 1.4 (-22.2 + 27.8) = 7.8 Tm Ec. 7.62 [C1-3] M*uox=B1 (Mx)máx = 0.467 x 63.0 =29.4 Tm ;M*upy = B1 (My)máx = 0.734 x 50.4 = 37.0 Tm

Resistencia en flexión 2 2  J  13777  π   π  πE 5 Iy  +   Ca  = 98300  +   38669200  10 = L  600   2.6   2.6  0.4 x 600

πE

Ec.5.50b [3.24] Mux =

Cx L

= 20964 Tm Mux = 20964 Tm > (2/3) Mpx = 332.7 Tm ∴ Se aplica la ec. 5.48 [3.22]  .028M p x 1 −  Mu x 

MRX=1.15 FR Mpx

  0.28 x 499.1   =1.15 x 0.9 x 499.1 1  = 513.1 Tm > FR Mpx = 449.2    20964 

Tm ∴ MRX = 449.2 Tm

Como no hay pandeo cuando la columna se flexiona alrededor del eje y, MRy = 0.9 Mpy = 225.3 Tm

Revisión de los extremos Basta revisar al superior, en el que actúan los momentos más grandes alrededor de x y y. Ec.7.47 [3.51]

Pu FR Py

+ Ec. 7.49 [3.53]

+

0.85 Muox FR M px

0.60 x 50.4 0.9x250.3 Muox FR M px

+

0.60 Muoy

+

FR M py

770.0

=

2556.1

Muoy FR M py

=

=

53.55

+

449.2

63.0 499.2

+

770.0 0.9 x 2840.1 30.2

+

225.3

50.4 225.3

+

0.85 x 63.0 0.9x499.1

= 0.301 + 0.119 + 0.134 = 0.554 < 1.0

= 0.140 + 0.224 = 0.364 < 1.0

Revisión de la columna completa Ec.7.52 3.56]

Pu Rc

+

M * uox Mm

+

M * uoy FR M py

=

770.0 1661.0

+

29.4 499.2

+

37.0 225.3

=0.464+0.065+0.164 = 0.693 < 1.0

El perfil es adecuado; es crítica la estabilidad de la columna completa.


96

Mm se ha tomado igual a MRx, calculado en la pág. 95. Puede determinarse también con la ecuación aproximada 7.53 [3.57], que aquí se ha escrito en forma adimensional: 

(L / ry ) Fy / E   Mpx = 425.8 Tm < FR Mp = 449.2 Tm  18.55 

Mm = FR 1.07 

Este valor es conservador respecto al utilizado arriba, que es más exacto. 2a 1.1 (CM + CV + 1.0 Sx + 0.3 Sy)

Acciones de diseño Pu = 1.1 (245.0 + 305.0 + 260.0 + 0.3 x 120.0) = 930.6 Ton

Momentos nominales (Mx)sup = 20.0 + 25.0 + 20.0 + 0.3 x 32.0 = 74.6 Tm; (Mx)inf = 9.8 + 12.2 + 18.0 + 0.3 x 38.0 = 51.4 Tm (My)sup =16.0 + 20.0 + 65.0 + 0.3 x 20.0 =107.0 Tm; (My)inf= -22.2 + 27.8 + 55.0 + 0.3 x 22.0 = 67.2 Tm (M1/M2)x = 51.4/74.6 = 0.69, Cx = 0.6 - 0.4 x 0.69 = 0.32 (M1/M2)y = 67.2/107.0 = 0.63, Cy = 0.6 - 0.4 x 0.63 = 0.35 B1x =

0.32 1 − 930.6 / (0.9 x 5967)

= 0.387 ;

B1y =

0.35 1 − 930.6 / (0.9 x 3235)

= 0.514

Momentos de diseño (Muox)sup = 1.1 (Mx)sup = 1.1 x 74.6 = 82.1 Tm ; (Muox)inf = 1.1 x 51.4 = 56.5 Tm (Muoy)sup = 1.1 x 107.0 = 117.7 Tm

(Muoy)inf = 1.1 x 67.2 = 73.9 Tm

Ec.7.63 [C1-2] M*uox=B1x (Muox)máx=0.387 x 82.1=31.8 Tm ; M*uoy=B1y (Muoy)máx =0.515 x 117.7=60.6 Tm

Revisión de los extremos Basta revisar el superior. Pu FR Py Muox FR M px

+

+

0.85Muox

+

FR M px Muoy FR M py

=

0.60Muoy FR M py 82.1

449.2

+

=

117.7 225.3

930.6 2556.1

+

0.85x82.1 449.2

+

0.6x117.7 225.3

= 0.183 + 0.522 = 0.705 < 1.0

= 0.364 + 0.155 + 0.313 = 0.832 < 1.0


97

Revisión de la columna completa Pu M * uox M * uoy 930.6 31.8 60.6 = 0.560 + 0.071 + 0.269 = 0.900 < 1.0 = + + + + FR M py 1661.0 449.2 225.3 Mm Rc

El perfil es adecuado; es crítica la estabilidad de la columna completa. 2b 1.1 (CM + CV + 0.3Sx +1.0Sy)

Procediendo de la misma manera que en la combinación 2a, al aplicar las ecuaciones de interacción se llega a los resultados siguientes: 0.716, 0.572 Extremo superior Columna completa 0.753

El perfil ensayado es adecuado también para esta condición de carga; vuelve a ser crítica la estabilidad de la columna. En resumen, de acuerdo con las Normas Técnicas Complementarias del RDF, el perfil propuesto es adecuado para soportar las acciones que actúan sobre él. La combinación crítica de carga es la 2a; el diseño queda regido por la estabilidad de la columna completa. Para este caso, la ecuación de interacción proporciona un valor de 0.900 < 1.00, lo que indica que la columna está sobrada un 10%, aproximadamente. b) NORMAS AISC 89 PARA DISEÑO PLÁSTICO (ref. 7.23) Ecuaciones de interacción Las especificaciones AISC de 1989 para diseño plástico no cubren las columnas en flexocompresión biaxial, pero se recomienda (art. 7.4.2.2b) que en ese caso se introduzca un tercer término en la ec. 7.58 [N4.2], con lo que se obtiene la ecuación P

Cmx M x

+

Pcr

(1 - P / Pex )M m

+

Cmy M y (1 - P / Pey )Muy

≤ 1.0

(a)

La resistencia de las secciones extremas se revisa con las ecuaciones P Py

+ 0.85

Mx M px

+ 0.6

My M py

≤ 1.0 ,

Mx M px

+

My M py

≤ 1.0 ,

(b) y (c)

que deben satisfacerse simultáneamente, o con la ecuación  M  x M  pcx

   

ζ

 M y +   M pcy

   

ζ

≤ 1.0

(d)


98

La expresiones (b) y (c) son las ecs. 7.47 y 7.48 (3.51 y 3.53 de la ref. 7.34), y la (d) es la 7.66 (A-H3-1 del Apéndice H de la ref. 7.9). Las ecs. b y c no incluyen los factores de resistencia, porque en las normas que se están utilizando la seguridad se obtiene con un factor de carga, exclusivamente. Combinaciones de carga Deben satisfacerse las siguientes: 1. 2.

1.7 (CM + CV) 1.3 (CM + CV + S)

La combinación 2 comprende: 2a. 1.3 (CM + CV + 1.0 Sx + 0.3 Sy) 2b. 1.3 (CM + CV + 0.3 Sx + 1.0 Sy)

Resistencia en compresión axial Es crítico el pandeo alrededor de y: (KL/r)y = 70.9 < Cc = 2 π 2 E / Fy = 107.0 Ec. [2.4.1]

Pcr = 1.7 A Fa

Fa se calcula con la ec. [1.5.1].

Coeficiente de seguridad =

5 3

+

3(KL / r)y 8Cc

-

(KL / r) 8Cc

3

3

y

= 1.88

 2  2   F (KL / r)y  Fy 70.9    Y = 1459 Kg/cm2 = 1 Fa = 1 −  2 3    2Cc  CS 2X107.0  1.88  

En la Tabla 3-50 de la ref. 7.23, para KL/r = 70.9, se lee Fa = 20.77 Ksi = 1460 Kg/cm2. Pcr = 1.7 x 808.0 x 1459 x 10-3 = 2004.1 Tm

En el diseño plástico de la ref. 7.23 se utilizan factores de carga, pero no de resistencia; es decir, se comparan las acciones de diseño, factorizadas, con las resistencias nominales. Resistencias en flexión  Ec. 7.53 [2.4-4] Mm = 1.07  

(L / r )

 ( 600 / 11.0 ) Fy  Fy   M = 1.07 −  499.1 = 473.1 Tm px   26500  26500  y

Muy = Mpy = 250.9 Tm


99

COMBINACIONES DE CARGA 1.

1.7 (CM + CV)

Pu = 1.7 (245.0 + 305.0) = 935.0 Ton (Mx)sup = 1.7 (20.0 + 25.0) = 76.5 Tm;

(Mx)inf = 1.7 (9.8 + 12.2) = 37.4 Tm ; Cmx = 0.6 - 0.4 x 37.4/76.5 = 0.40

(My)sup = 1.7 (160.0 + 20.0) = 61.2 Tm; (My)inf = 1.7 (-22.2 + 27.8) = 9.5 Tm ; Cmy = 0.6 - 0.4 x 9.5/61.2 = 0.54

Relaciones ancho/grueso (sec. 2.7, ref. 7.23) Patines. b/2tp = 2.7 < 7.0 Alma. P/Py = 935.0/2840.1 = 0.33 > 0.27.

d/ta = 47.4/4.76 = 9.96 < 2155/ Fy = 36.3

Revisión de los extremos Basta revisar el superior.

Ec. b.

P Py

+ 0.85

(M x )sup M px

+ 0.60

(M y )sup M py

= 0.329 + 0.85 x

76.5 499.1

+ 0.60 x

61.2 250.3

= 0.329 + 0.130 +

0.147 = 0.606 < 1.00 Ec. c.

(M x )sup M px

+

(M y )sup M py

=

76.5 499.1

+

61.2 250.3

= 0.153 + 0.245 = 0.398 < 1.00

Revisión de la columna completa C my (M y )máx (M x )máx 935.0 0.40 76.9 + Ec. a. P + C mx = + x + Pcr (1 - P/Pex ) Mm (1 - P/Pey ) Mpy 2004.1 (1 - 935.0/5967 ) 473.1 0.54 (1 − 935.0 / 3235)

x

37.4 250.3

=0.467+0.474 x 0.163 + 0.760 x 0.149 =0.467 + 0.077 + 0.113 =0.657 < 1.0

En esta condición de carga, el perfil está sobrado; es crítica la estabilidad de la columna completa. 2a. 1.3 (CM + CV + 1.0 Sx + 0.3 Sy) Pu = 1.3 (245.0 + 305.0 + 260.0 + 0.3 x 120) = 1099.8 Ton (Mx)sup = 1.3 x 74.6 = 97.0 Tm ; (Mx)inf = 1.3 x 51.4 = 66.8 Tm Cmx = 0.32 < 0.4 ∴ Cmx = 0.4 (My)sup = 1.3 x 107.0 = 139.1 Tm ; (My)inf = 1.3 x 67.2 = 87.4 Tm Cmy = 0.35 < 0.4 ∴ Cmy = 0.4


100

Los momentos son los nominales, calculados en la pág. 96, multiplicados por el factor de carga 1.3; los coeficientes Cm son los C de esa misma página, con el límite que se fija en la ref. 7.23 (no deben ser menores de 0.4). Relaciones ancho/grueso Patines. Es independiente de la carga; por tanto, se satisface (pág. 93). Alma. P/Py = 1099.8/2840.1 = 0.39 < 1.27.

El límite de h/ta es el mismo que en la

condición de carga 1. Revisión del extremo superior 1099.8 2840.1 97.0 499.1

+ 0.85 x

+

139.1 250.3

97.0 499.1

+ 0.60 x

139.1 250.3

= 0.387 + 0.165 + 0.333 = 0.885 < 1.0

= 0.194 + 0.555 = 0.749 < 1.0

Columna completa 1099.8 2004.1

+

0.4 (1 -1099.8 / 5967)

x

97.0 473.1

+

0.4 (1 -1099.8 / 3235)

x

139.1 250.3

= 0.549 + 0.101 + 0.337 =

= 0.987 ≈ 1.0

El perfil es adecuado; es crítica la inestabilidad de conjunto. 2b. 1.3 (CM + CV + 0.3 Sx + Sy)

Procediendo como en el caso anterior, se llega a Extrema superior.- 0.769, 0.611 Columna completa.- 0.818 El perfil es adecuado; la condición de carga crítica es la 2a. El perfil está justo, pues se obtiene, en el caso más desfavorable, 0.987 ≈ 1.0. c) CUERPO PRINCIPAL DE LAS NORMAS AISC 99 (ref. 7.9) Combinaciones de carga En la ref. 7.9 se indica que las estructuras deben diseñarse de manera que satisfagan las combinaciones de carga estipuladas en la ref.7.43. Las de interés, en este ejemplo, son 1. 2.

1.4 CM 1.2 CM + 1.6 CV

Columnas aisladas flexocomprimidas 3.

101

1.2 CM + 0.5 CV + 1.0 S

Clasificación de la sección (Tabla B5.1, ref. 7.9). Patines. b/2tp = 42.4/(2 x 7.71) = 2.7 < 0.38 E / Fy = 9.2 Alma. h/ta = 28.6/4.76 = 6.0 < 1.49 E / Fy = 35.9

h es la distancia entre los puntos en que se inician las curvas de unión del alma con los patines (ref. 7.41). La sección, supuesta en compresión axial, es compacta; como esta condición es más crítica que la flexocompresión, se concluye que es compacta para cualquier condición de carga (lo son casi todas las secciones H que se emplean como columnas). Resistencia en compresión axial Es una propiedad de la columna y de las restricciones en sus extremos, por lo que es válida para todas las condiciones de carga. Kx = 1.6, Ky = 1.3

Estos valores se determinan considerando la columna parte de la estructura completa; en este ejemplo se han supuesto, (KL/r)x = 1.6 x 600/18.4 = 52.2 ;

(KL/r)y = 1.3 x 600/11.0 = 70.9

Es crítico el pandeo alrededor del eje y. Ec. [E2-4] λc =

KL

Fy

πr

E

=

70.9

Fy

π

E

2 λ

= 0.937 < 1.5

Ec. 2.33 [E2.2] Fcr = (0.658 c ) Fy = (0.658

0. 937

2

) Fy = 2434 Kg/cm2

Ec. 2.32 [E2.1] Pn = A Fcr = 808.0 x 2434 x 10-3 = 1966 Ton φc Pn = 0.85 x 1966.7 = 1671.7 Ton (De la Tabla 2.7, Cap. 2, para KL/r =70.9, se obtiene Rc/A = 2069 Kg/cm2 , Rc =φcPn =2069x808x10-3 = 1671.8 Ton).

Resistencias en flexión L = 600 cm = Lb Mpx = 499.1 Tm ; Mpy = 250.3 Tm Estos valores se obtuvieron en la parte a) del ejemplo.


102

Ec. 5.98 [F1-4] Lp = 1.76 ry E / Fy = 1.76 x 11.0 E / Fy = 466.3 cm < Lb = 600 cm FL = Fy - 700 = 2815 Kg/cm2 Ec. 5.100 [F1-7] Mr = FL Sx = 2815 x 11600 x 10-5 = 326.5 Tm Ec. 5.101 [F1-8] X1 =

π

EG JA

Sx

2

=

π 11600

2

Ec. 5.102 [F1-9] X2 = 4

Ca  Sx    I y  GJ 

13 777 x 808.0 E

= 4x

2

= 807 961 Kg/cm2

2 x 2.6

38669200  2.6 x 11600    98300  13777E 

2

= 1.81 x 10

-9

cm4/Kg2

En las expresiones anteriores se ha tomado G = E/2.6. Ec. 5.99 [F1- 6] Lr =

ry X1 F1

1 +

2

1 + X 2 FL

=

11.0 x 807 961 2815

1 +

1 + 1.81 x 10

-9

x 2815

2

= 4473 cm

Lp y Lr están tabulados en la ref. 7.42; sus valores son 4.66 m y 44.81 m, prácticamente iguales a los calculados aquí. Como Lp = 466.3 cm < Lb = 600 cm < Lr = 4473 cm, la resistencia nominal en flexión se calcula con la ec. 5.97 [F1-2]; el único término que cambia con la condición de carga es Cb, por lo que aquí se determina Mn/Cb, que es constante. Ec. 5.97 [F1-2]

M nx Cbx

= M px - (M px - M r )

Lb - Lp Lr - Lp

= 499.1 - (499.1 - 326.5)

600 - 466 447.3 − 466

= 493.3 Tm

En cada combinación de carga debe revisarse la condición Mnx = 493.3 Cbx ≤ Mpx Resistencia de diseño: φb Mnx = 0.9 Mnx Como las secciones H flexionadas alrededor de y no se pandean, y ésta se compacta, Mny = Mpy = 250.3 Tm

Resistencia de diseño φb Mn0y = 0.9 x 250.3 = 225.3 Tm COMBINACIONES DE CARGA 1. 1.4 CARGA MUERTA Resistencia en flexión Coeficiente Cbx Sólo interesa este coeficiente, porque para flexión alrededor de y no hay pandeo.


103

(M1/M2)x = 9.8/20.0 = 0.490 El cociente es positivo, porque la columna se flexiona en curvatura

doble.

Aunque en la ref.7.9 se recomienda el uso de la ec. 5.103 [F1-3] para calcular Cb, en el comentario se indica que cuando el diagrama de momentos es una línea recta puede seguir empleándose la ecuación de ediciones anteriores de las normas. Ec. 5.32 [C-F1-1] Cbx = 1.75 + 1.05 (M1/M2) + 0.3 (M1/M2)2 = 1.75 + 1.05 x 0.490 + 0.3 x 0.4902 = 2.34 > 2.3 ∴ Cbx = 2.3

Mnx = 493.3 Cbx = 493.3 x 2.3 = 1134.6 Tm > Mpx = 499.1 Tm ∴ Mnx = 499.1 Tm

Factores de amplificación B1 2

Pe1x =

π EI x (K x L)

2

2

=

274000 π E (1.6x600)

2

x 10

-3

= 5983 Ton

Ec. 7.24 [C1-3] Cmx = 0.6 - 0.4 (M1/M2)x = 0.6 - 0.4 x 0.490 = 0.404 Ec. 7.63 [C1-2] B1x = 2

Pe1y =

π EI y (K y L)

2

0.404 C mx = = 0.429 < 1.0 ∴ B1x = 1.0 (1 − Pu /Pe1x ) (1 − 1.4 x 245.0 / 5983) 2

=

98300 π E (1.3x600)

2

x 10

-3

= 3251 Ton

Pe1x y Pe1y son iguales en todas las combinaciones de carga. (M1/M2)y = -16.0/22.2 = -0.721 ; Cmy = 0.6 - 0.4 (-0.721) = 0.888 B1y =

0.888 (1 − 1.4 x 245.0 / 3251)

= 0.993 < 1.00 ∴ B1y = 1.0

Acciones de diseño Pu = 1.4 x 245.0 = 343.0 Ton; (Mux)máx = 1.4 B1x (Mx)máx = 1.4 x 1.0 x 20.0 = 28.0 Tm (Muy)máx = 1.4 B2x (My)máx = 1.4 x 1.0 x 22.2 = 31.1 Tm

Ecuación de interacción Pu φ c Pn

=

343.0 1671.7

= 0.205 > 0.2

Ec. 7.60 [H1-1a]

Pu φ c Pn

= 0.205 +

Muy 8  M ux  + + 9  φ b M nx φ b M ny 8 9

  8  28.0 31.1  = 0.205 + +   =   9 0.9 x 499.1 0.9 x 250.3  

(0.062 +`0.138) = 0.383 < 1.0


104

El perfil supuesto está muy sobrado para esta condición de carga. 2. 1.2 CARGA MUERTA + 1.6 CARGA VIVA Resistencia en flexión (Mx)sup = 1.2 x 20.0 + 1.6 x 25.0 = 64.0 Tm (Mx)inf = 1.2 x 9.8 + 1.6 x 12.2 = 31.3 Tm

La flexión es en curvatura doble. (M1/M2)x = 31.3/64.0 = 0.489 Cbx = 1.75 + 1.05 x 0.489 + 0.3 x 0.4892 = 2.34 > 2.3 ∴ Cbx = 2.3 Mnx = Mpx = 499.1 Tm.

Igual que en la combinación de carga 1.

Factores de amplificación B1 Pu = 1.2 x 245.0 + 1.6 x 305.0 = 782.0 Ton Cmx = 0.6 - 0.4 x 0.489 = 0.404 ,

B1x =

0.404 (1 − 782.0 / 5983)

= 0.465 < 1.0 ∴ B1x = 1.00

(My)sup = 1.2 x 16.0 + 1.6 x 20.0 = 51.2 Tm (Mx)inf = -1.2 x 22.2 + 1.6 x 27.8 = 17.8 Tm

También ahora se flexiona la columna en curvatura doble. (M1/M2)y = 17.8/51.2 = 0.348. Cmy = 0.6 - 0.4 x 0.348 = 0.461 B1y =

0.461 (1 − 782.0 / 3251)

= 0.607 < 1.0 ∴ B1y = 1.00

Acciones de diseño Pu = 782.0 Tm. Está calculada arriba.

( )

 (Mx)sup = B1x 1.2 M xy 

CM

(

+ 1.6 M xs

) CV  = 1.0 (1.2 x 20.0 + 1.6 x 25.0) = 64.0 Tm

(Mx)inf = 1.0 (1.2 x 9.8 + 1.6 x 12.2) = 31.3 Tm

( )

 (My)sup = B1y 1.2 Mys 

CM

( )

+ 1.6 Mys

  = 1.0 (1.2 x 16.0 + 1.6 x 20.0) = 51.2 Tm CV 

(My)inf = 1.0 [1.2 (-22.2) + 1.6 x 27.8] = 17.8 Tm

Como los factores de amplificación B1x y B1y valen 1.0, estos valores son iguales a los que se determinaron arriba. Para la revisión con la ecuación de interacción se utilizan los valores máximos de los momentos alrededor de cada eje de flexión:


105

Mux = 64.0 Tm, Muy = 51.2 Tm

Ecuación de interacción Pu/φcPn = 782.0/1671.7 = 0.468 > 0.2 Ec. 7.60 [H1-1a] 0.468 +

 8  64.0 51.2 8 ( 0.142 + 0.227 ) = 0.796 +  = 0.468 +    9 9 0.9 x 499.1 0.9 x 250.3

El perfil está sobrado, también en esta condición de carga. 3.

1.2 CM + 0.5 CV + 1.0S

Esta combinación de carga se subdivide en dos, pues debe considerarse que actúan, al mismo tiempo, el sismo completo en una dirección y el 30% del sismo perpendicular a ella. 3a. 1.2 CM + 0.5 CV + 1.0 Sx + 0.30 Sy B1x = B1y = 1.0 , Mnx = Mpx = 499.1 Tm. Los cálculos no se presentan aquí.

Los factores B1 suelen ser iguales a 1.0 en columnas que se flexionan en curvatura doble. Acciones de diseño Pu = 1.2 x 245.0 + 0.5 x 305.0 + 1.0 x 260.0 + 0.3 x 120.0 = 742.5 Ton (Mx)sup = 1.2 x 20.0 + 0.5 x 25.0 + 1.0 x 20.0 + 0.3 x 32.0 = 66.1 Tm (Mx)inf = 1.2 x 9.8 + 0.5 x 12.2 + 1.0 x 18.0 + 0.3 x 38.0 = 47.3 Tm (My)sup = 1.2 x 16.0 + 0.5 x 20.0 + 1.0 x 65.0 + 0.3 x 20.0 = 100.2 Tm (My)inf = 1.2 (-22.2) + 0.5 x 27.8 + 1.0 x 55.0 + 0.3 x 22.0 = 48.9 Tm

Los momentos máximos son Mux = 66.1 Tm, Muy = 100.2 Tm

Ecuación de interacción Pu/φc Pn = 742.5/1671.7 = 0.444 > 0.2 Ec. 7.60 [H1-1a] 0.444 +

8  66.1 100.2  +  = 0.970 < 1.00  9  0.9 x 499.1 0.9 x 250.3 

El perfil ensayado es correcto. 3b. 1.2CM + 0.5CV + 0.3 Sx + 1.0 Sy


106

Resultado: 0.804 < 1.00 De acuerdo con el cuerpo principal de las normas AISC-99, el perfil propuesto es adecuado; es crítica la combinación de carga 3a. d) APÉNDICE H DE LAS NORMAS AISC 99 (ref. 7.9)12 Combinaciones de carga Son las mismas que en el caso c). Clasificación de la sección Ya se ha demostrado que es compacta. 1. 1.4 CARGA MUERTA Resistencias en flexión Py = A Fy = 808.0 x 3515 x 10-3 = 2840.1 Ton  P   343.0  u  Ec. 7.70 [A-H3-5] M’px = 1.2 Mpx 1 − = 1.2 x 499.1 1  = 526.6 Tm > Mpx ∴ M’px = Mpx = 499.1   2840.1   Py  Tm 2  2 P     343.0   u    = 1.2x250.3 1 -   = 296.0 Tm > Mpy Ec. 7.71 [A-H3-6] M’py = 1.2 Mpy 1 −     2840.1    Py      ∴ M’py = Mpy = 250.3 Tm

 Pu Ec. 7.72 [A-H3-7] M’nx = Mnx 1 − φ c Pn 

P   u   Pex

  343.0   343.0   = 499.1 1  1  = 374.0 Tm  1671.7   5983  

 Pu Ec. 7.73 [A-H3-8] M’ny = Mny 1 − φ c Pn 

P   u    Pey

  343.0   343.0   = 250.3 1  1  = 178.0 Tm   1671.7   3251  

Mpx, Mpy, Pu, φc Pn, Pex y Pey se obtuvieron en la parte c) del ejemplo.

Acciones de diseño Las mismas que en el caso c.

12

En las normas AISC 99 se indica que el Apéndice H es aplicable sólo a columnas de marcos contraventeados; sin embargo, pueden aplicarse también en marcos sin contraventeo si en las acciones de diseño se incluye el efecto P∆, como se reconoce en las refs. 7.8 y 7.3.4.


107

Revisión de las secciones extremas Pu/Py = 343.0/2840.1 = 0.121 b/d = 42.4/47.4 = 0.89

Como 0.5 < b/d = 0.89 < 1.0, ζ se calcula con la ecuación P / Py U

Ec. 7.68 [A-H3-3] ζ = 1.6 -

[ (

2 Ln Pu / Py

0.121

= 1.6 -

)]

2Ln 0.121

= 1.629

Extremo superior

(

)

 M  ux sup  φ M' px  b

Ec. 7.66 [A-H3-1]

   

ζ

(

)

 M  uy sup +   φ b M' py

   

ζ 1 .629

1.4 x 20.0  =    0.9x499.1 

1 .629

 1.4 x 16.0  +    0.9x250.3 

= 0.034 << 1.0

Extremo inferior

(

)

 M  ux inf  φ M' px  b

   

ζ

(

)

 M  uy inf +  φ M' py  b

   

ζ 1 .629

 1.4 x 9.8  =    0.9x499.1 

1 .629

 1.4 x 22.2  +    0.9x250.3 

= 0.043 << 1.0

Revisión de la columna completa Como 0.3 < b/d < 1.0, el exponente η se calcula con la ecuación Ec. 7.69 [A-H3-4] η = 0.4 + Pu/Py + b/d = 0.4 + 0.121 + 0.89 = 1.411 C M mx ux Ec. 7.67 [A-H3-2]  φ M'  b nx

  

η

C M my uy +   φ b M' ny

η   

 0.404 x 28.0 1.411  0.888 x 31.1 1.411 +  = =    0.9 x 374.0   0.9 x 178.0 

0.008 + 0.084 = 0.092 << 1.0

Es crítica la resistencia de la columna completa. Comparando estos resultados con el que se obtuvo en el caso c, se ve que el cuerpo de las normas AISC 99 lleva a resultados mucho más conservadores que el Apéndice H. Sin embargo, la diferencia no es tan grande como parece a simple vista, porque las ecuaciones del Apéndice no son lineales. 2. 1.2 CARGA MUERTA + 1.6 CARGA VIVA Resistencias en flexión


108

Pu = 782.0 Ton (pág. 101); Pu/Py = 0.279 Ec. 7.70 [A-H3-5] M’px = 1.2 x 499.1 (1 - 0.275) = 434.2 Tm < Mpx Ec. 7.71 [A-H3-6] M’py = 1.2 x 250.3 (1 - 0.2752) = 277.6 Tm > Mpy ∴ M’py = Mpy = 250.3 Tm 

Ec. 7.72 [A-H3-7] M’nx = 499.1 1 − 



Ec.7.73 [A-H3-8] M’ny = 250.3 1 − 

782.0   782.0   1 −  = 230.9 Tm 1671.7   5983  782.0   782.0   1 −  = 101.2 Tm 1671.7   3251 

Acciones de diseño Las mismas que en el caso c. Revisión de las secciones extremas Ec. 7.68 [A-H3-3] ζ = 1.6

0.275 2Ln 0.275

= 1.707

Extremo superior 0.112 << 1.00

Extremo inferior 0.024 << 1.00

Revisión de la columna completa Ec. 7.69 [A-H3-4] ζ = 0.4 + Pu/Py + b/d = 0.4 + 0.275 + 0.89 = 1.565 1.565

 0.404 x 64.0    0.9 x 230.9 

Ec. 7.67 [A-H3-2] 

1.565

 0.461 x 51.2  +    0.9 x 101.2 

= 0.038 + 0.121 = 0.159 << 1.0

Cmx y Cmy se determinaron en el caso c. 3a. 1.2CM + 0.5CV + 1.0 Sx + 0.30 Sy Pu/Py = 742.5/2840.1 = 0.261 M’px = 1.2 x 499.1 (1 - 0.261) = 442.3 Tm < Mpx ; M’py = 1.2 x 250.3 (1 - 0.2612) = 279.9 Tm > Mpy ∴ M’py = Mpy = 250.3 Tm

Columnas aisladas flexocomprimidas 

M’nx = 499.1 1 − 

109

742.5   742.5   1 −  = 243.0 Tm ; 1671.7   5983 



M'ny = 250.3 1 − 

742.5   742.5   1 − = 1671.7   3251 

107.4 Tm

Revisión de los extremos ζ = 1.6 -

0.261 2Ln 0.261

= 1.697

Basta revisar el extremo superior, porque en él actúan momentos, Mx y My, mayores que en el inferior. 1.697

  66.1    0.9 x 442.3 

1.697

 100.2  +    0.9 x 250.3 

= 0.048 + 0.253 = 0.301 < 1.00

Columna completa ζ = 0.4 + 0.261 + 0.89 = 1.551 (M1/M2)x = 47.3/66.1 = 0.72 ; Cmx = 0.6 - 0.4 x 0.72 = 0.312 (M1/M2)y = 48.9/100.2 = 0.49 ; 1.551

 0.312 x 66.1     0.9 x 243.0 

Cmy = 0.6 - 0.4 x 0.49 = 0.405 1.551

 0.405 x 100.2  +    0.9 x 107.4 

= 0.026 + 0.260 = 0.286 << 1.0

Las acciones de diseño son las mismas que en el caso c. 3b.

1.2CM + 0.5CV + 0.3 Sx + 1.0 Sy

Se llega a los resultados siguientes: Revisión de los extremos Basta revisar el superior. 0.192 << 1.00

Columna completa 0.166 << 1.00

Como en el caso c, el perfil propuesto resiste las acciones de diseño, y es crítica la condición de carga 3a; en el caso c (normas AISC-LRFD 93) estaba justo, y ahora (Apéndice H) está muy sobrado. El valor mayor de las ecuaciones de interacción es 0.301, en el extremo superior de la columna, condición de carga 3a, lo que no significa, sin embargo, que según el Apéndice H la


110

columna esté trabajando al 30% de su capacidad, lo que se debe a la relación no lineal entre los parámetros que intervienen en las ecuaciones de interacción. Si se multiplican todas las acciones por 1/0.301 = 3.32, suponiendo que la relación entre ellas se mantiene constante, se encuentra que M’nx y M’ny resultan negativos, lo que indica que la columna no puede resistir esas acciones. En efecto, con las acciones incrementadas de la condición 3a, se obtiene Pu = 742.5 x 3.32 = 2465 Ton, Pu/Py = 2465/2840 = 0.868 

M’nx = 449.1 1 − 

2465   2465   1 −  = -125.3 Tm 1671.7   5983 

También M’nx es negativo, pues el primer paréntesis se conserva igual. Procediendo por tanteos (lo que es fácil si se cuenta con una hoja de cálculo que resuelva el problema) se encuentra que la columna falla, por inestabilidad, cuando las acciones exteriores se multiplican por 1.38; en ese caso, para la condición de carga 3a, se tiene Pu = 742.5 x 1.38 = 1024.65 Ton (Mx)sup = 66.1 x 1.38 = 91.2 Tm;

(Mx)inf = 47.3 x 1.38 = 65.3 Tm

(My)sup = 100.2 x 1.38 = 138.3 Tm; (My)inf = 48.9 x 1.38 = 67.5 Tm

Los momentos máximos son Mux = 91.2 Tm, Muy = 138.3 Tm Pu/Py = 1024.65/2840.1 = 0.361 M’px = 1.2 x 499.1 (1 - 0.361) = 382.7 Tm < Mpx, M’py = 1.2 x 250.3 (1 - 0.3612) = 260.9 Tm > Mpy ∴ M’py = Mpy = 250.3 Tm   1025.65  1025.65  1025.65  1025.65  M’nx = 499.11 −  = 159.8 Tm; M’ny = 250.3 1 −  = 66.2 Tm 1 − 1 −   1671.7  5983  1671.7  3251 

Extremo superior ζ = 1.6 -

0.361 2Ln 0.361 1.777

 91.2     0.9x382.7 

= 1.777 1.777

 138.3  +    0.9 x 250.3 

= 0.094 + 0.420 = 0.514 < 1.0

Columna completa η = 0.4 + 0.361 + 0.89 = 1.651

Como se conservan los valores relativos de los momentos, se conservan también Cmx y Cmy

Columnas aisladas flexocomprimidas 1.651

 0.312 x 91.2     0.9 x 159.8 

111

1.651

 0.405 x 138.3  +    0.9 x 66.2 

= 0.069 + 0.903 = 0.972 ≈ 1.0

Es interesante señalar que con las cargas originales era crítico el extremo superior de la columna; ahora, al aumentar la fuerza axial crecen los efectos de segundo orden (Pδ), y se vuelve crítica la estabilidad de la barra completa. De acuerdo con el cuerpo principal de alcanza la resistencia de la columna (el combinación de carga 3a es 0.970), y incrementadas en 38%; esto indica economías importantes.

las normas AISC 99, con las acciones originales se resultado de aplicar la ecuación de interacción con la ahora se llega al mismo resultado con las acciones que utilizando el Apéndice H pueden obtenerse

Si la fuerza axial se mantuviese constante, y sólo creciesen los momentos (como sucedería en una columna intermedia de un marco si aumentasen las acciones sísmicas), se obtendrían, seguramente, mayores economías. Conviene indicar, sin embargo, que esas economías no podrían utilizarse en diseños regidos por los desplazamientos de entrepiso, o por la condición de que las columnas deben ser más resistentes que las vigas, como sucede, con frecuencia, en marcos de edificios que se construirán en zonas de sismicidad elevada, por lo que el empleo del Apéndice H produce economías, principalmente, cuando se aplica a estructuras provistas de muros de rigidez o contraventeos. e) NORMAS CANADIENSES CAN/CSA-S16.1-94 (ref. 7.8) Combinaciones de carga de diseño 1. 2. 3.

1.25 CM + 1.50 CV 1.0 CM + 1.0 S 1.0 CM + 0.5 CV + 1.0 S

Es evidente que la combinación 2 no es crítica, y que basta revisar la 1 y la 3. Esta se subdivide en dos: 3a. 1.0 CM + 0.5 CV + 1.0 Sx + 0.3 Sy 3b. 1.0 CM + 0.5 CV + 0.3 Sx + 1.0 Sy

Clasificación de la sección (Tabla 1, ref. 7.8) Patines. d/2tp = 2.7 < 463/

Fy = 7.81.

Los patines son clase 1.

Alma. h/ta = (47.4-2 x 7.71)/4.76 = 6.7 <

P 3513  1 − 0.39 u  Fy  Py

   

Suponiendo que Pu/Py = 1.0, valor que no puede alcanzarse nunca, se tiene (3513/

Fy

) (1 -

0.39) = 36.1 > 6.7, de manera que el alma es también tipo 1, para cualquier valor de la fuerza axial.


112

Resistencia en compresión axial Lo mismo que en el caso a, se supondrá Kx = 1.6, Ky = 1.3, aunque en la ref. 7.8 se indica que se tome K = 1.0 cuando las acciones de diseño provienen de un análisis elástico de segundo orden, y sólo se pide que se incluyan fuerzas laterales ficticias en combinaciones de cargas verticales (en la próxima versión de esa referencia se van a incluir las fuerzas ficticias en todas las combinaciones).  KL  λ =    r y

Fy 2

π E

= 0.937 , n = 1.34

Cr = φ Pn = φ Afy (1 + λ2n)-1/n = 0.9 x 808.0 Fy (1 + 0.9372.68)-1/1.34 x 10-3 = 1621.7 Ton

Esta resistencia es igual para todas las condiciones de carga. COMBINACIONES DE CARGA 1.

1.25CM + 1.50CV

Pu = 1.25 x 245.0 + 1.50 x 305.0 = 763.8 Ton (Mux)sup = 1.25 x 20.0 + 1.50 x 25.0 = 62.5 Tm ; (Mux)inf = 1.25 x 9.8 + 1.5 x 12.2 = 30.6 Tm (Muy)sup = 50.0 Tm; (Muy)inf = 14.0 Tm

Resistencias en flexión M ux =

ω2 π L

2

 πE  ω2 π E EI y GJ +   I C =  L  y a L

2   J π   +   Ca  = 8386 ω2 Ton Iy L   2.6

M1/M2 = 30.6/62.5 = 0.49

ω2 = 1.75 + 1.05 x 0.49 + 0.3 x 0.492 = 2.34 Mux = 8386 x 2.34 = 19 594 Tm Mry = φ Mpy = 0.9 x 250.3 = 225.3 Tm Mux = 19594 Tm > 0.67 Mp 

Mrx = 1.15 φ Mpx 1 − 

0.28M p   0.28 x 499.1   = 1.15 x 0.9 x 493.1 1 −  = 512.9 Tm > φMpx = 449.2 Tm   Mu  19594

∴ Mrx = 449.2 Tm

Revisión en flexocompresión Debe satisfacerse la condición

Columnas aisladas flexocomprimidas Cf Cr

0.85 Uix M fx

+

M rx

+

0.60 Uix M fy M ry

113

≤ 1.0

en los tres casos siguientes: (a) Resistencia de la sección transversal Basta revisar el extremo superior de la columna. Cr = φ A Fy = 0.9 x 808.0 Fy x 10-3 = 2256 Ton Mrx = φ Mpx = 449.2 Tm; Mry = φMpy = 225.3 Tm U1x = U1y = 1.0 Cf = Pu = 763.8 Tm ; Mfx = (Mux)sup = 62.5 Tm ; Mfy = (Muy)sup = 50.0 Tm 763.8 1.0 x 62.5 1.0 x 50.0 + 0.85 x + 0.60 x = 0.339 + 0.118 + 0.133 = 0.590 < 1.0 2256 449.2 225.3

(b) Resistencia del miembro completo Cr = 1621.7 Ton; Mrx = 449.2 Tm; Mry = 225.3 Tm U1 =

ω1

; ω1x = 0.6 - 0.4 (M1/M2)x = 0.6 - 0.4 x 0.49 = 0.404; ω1y = 0.6 - 0.4 (14.0/50.0) =

1 − Cf / Ce

0.488 Cex = Pe1x = 5967 Ton; Cey = Pe1y = 3235 Kg/cm2 0.404

U1x = .

1 − 763.8 / 5967

763.8 1621.7

+ 0.85 x

= 0.463 ; U1y =

0.463 x 62.5 449.2

+ 0.60 x

0.488 1 − 763.8 / 3235 0.639 x 50.0 225.3

= 0.639

= 0.471 + 0.059 + 0.085 = 0.611 < 1.0

(c) Resistencia al pandeo lateral por flexotorsión Cr = 1621.7 Ton; Mrx = 449.2 Tm; Mry = 225.3 Tm U1x = 1.00; U1y = 0.639 763.8 1621.7 M fx M rx

+

+ 0.85 x M fy M ry

=

1.0 x 62.5 449.2 62.5

449.2

+

+ 0.60 x

50.0 225.3

0.639 x 50.0 225.3

= 0.471 + 0.118 + 0.085 = 0.674 < 1.00

= 0.139 + 0.222 = 0.361 < 1.00


114

El perfil es adecuado; es crítica la resistencia de la columna completa al pandeo lateral por flexotorsión. 3a. 1.0 CM + 0.5 CV + 1.0 Sx + 0.3 Sy Pu = 693.5 Ton (Mux)sup = 62.1 Tm, (Mux)inf = 45.3 Tm (Muy)sup = 97.0 Tm, (Muy)inf = 53.3 Tm (M1/M2)x = 0.73, (M1/M2)y = 0.55 ω2 = 2.68 > 2.5 ∴ ω2 = 2.5 Mrx = 449.2 Tm; Mry = 225.3 Tm

(a) Resistencia de la sección transversal superior 0.683 < 1.0

(b) Resistencia del miembro completo ω1x = 0.31 < 0.4 ∴ ω1x = 0.40, ω1y = 0.38 < 0.4 ∴ ω1y = 0.40 U1x = 0.453 ; U1y = 0.509 693.5 1621.7

+

0.85 x 0.453 x 62.1 449.2

+

0.60 x 0.509 x 97.0 225.3

= 0.428 + 0.053 + 0.131 = 0.612 < 1.0

(c) Resistencia al pandeo lateral por flexotorsión U1x = 1.00; U1y = 0.509 693.5 1621.7 62.1 449.2

+

+

0.85 x 1.0 x 62.1 449.2 97.0 225.3

+

0.60 x 0.509 x 97.0 225.3

= 0.428 + 0.118 + 0.131 = 0.677 < 1.0

= 0.138 + 0.431 = 0.569 < 1.0

El perfil es también adecuado para esta condición de carga; rige la resistencia del extremo superior. 3b. 1.0CM + 0.5CV + 0.3 Sx + 1.0 Sy

Para esta condición se obtiene: a) Resistencia de la sección transversal superior

0.572

b) Resistencia del miembro completo

0.516


115

c) Resistencia al pandeo lateral por flexotorsión

0.590, 0.448

El perfil está bastante sobrado; la condición de carga crítica es la 3a. Resumen y comparación de resultados NTC-RDF (ref. 7.34) Comb. de cargas Extremos

Dis. plástico AISC-89 (ref. 7.23)

1 2a 2b 1 2a 2b 0.554 0.832 0.716 0.606 0.885 0.769

1(3)

AISC 99, cuerpo principal(1) (ref. 7.9)

0.383

Col. completa

2

3a

3b

0.796

0.970

0.804

0.693 0.900 0.753 0.666 0.987 0.818

AISC 99, Apéndice H(2) (ref. 7.9)

Normas canadienses (ref. 7.8)

Comb. de cargas Extremos

1(3) 0.043

2 0.112

3a 0.301

3b 0.192

1 0.590

3a 0.683

3b 0.574

Col. completa

0.092

0.159

0.286

0.166

0.674

0.677

0.590

(1) En todas las normas estudiadas, excepto en ésta, se revisan por separado las resistencias de los extremos y de la columna completa. (2) La columna no está tan sobrada como parece, de acuerdo con estas recomendaciones; sin embargo, al aplicarlas se demostró que resiste un incremento de 38% en las acciones que actúan sobre ella. (3) Estas dos condiciones de carga no son comparables con las de las otras normas, pues en ellas se incluye sólo carga muerta.

Los resultados que se obtienen con las refs. 7.34, 7.23, y el cuerpo principal de la 7.9, son parecidos, aunque difieren en hasta un 10%; las tres indican que la columna propuesta es aceptable, pero de acuerdo con 7.23 y 7.9 está casi justa, mientras que 7.34 indica que está sobrada en 11%, aproximadamente; en cambio, la ref. 7.8 indica que está 46% sobrada. En todos los casos la condición crítica es la que incluye CM, CV, 100% del sismo según x y 30% del sismo y. Debe tenerse en cuenta que en este ejemplo, y en esta tabla, no se comparan rigurosamente las ecuaciones para diseño de columnas flexocomprimidas, ya que en cada caso se han utilizado las combinaciones de carga de las normas correspondientes, que varían de unas a otras.


116

7.5 Referencias 7.1 Structural Stability Research Council, Technical Memorandum Nº 5: “General Principles for the Stability Design of Metal Structures”, Civil Engineering, ASCE, Nueva York, febrero de 1981. 7.2 “Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures”, T.V. Galambos, editor, 4a. Ed, John Wiley and Sons, 1988. 7.3 “Effective Length and Notional Load Approaches for Assessing Frame Stability: Implications for American Steel Design”, Task Committee on Effective Length, American Society of Civil Engineers, Reston, VA, U.S.A., 1997. 7.4 “Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures”, T.V. Galambos, editor, 5ª Ed., John Wiley and Sons, 1998. 7.5 “Plastic Design in Steel, a Guide and Commentary”, 2a. Ed., ASCE, Nueva York, 1971. 7.6 De Buen, O., “Estructuras de acero. Comportamiento y diseño”, Editorial Limusa, México, D. F., 1980. 7.7 Chen, W.F., y T. Atsuta, “Theory of Beam-Columns, Vol. 2, Space behavior and design”, McGraw-Hill Book Co., 1977. 7.8 “Limit States Design of Steel Structures”, CAN/CSA-S16.94, Canadian Standards Association, Rexdale Ontario, Canadá, diciembre de 1994. 7.9 “Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings”, AISC, Chicago, Ill., diciembre de 1999 (con erratas corregidas el 4 de septiembre de 2001). 7.10 “Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures”, B.G. Johnston, editor, 3ª Ed., John Wiley and Sons, 1976. 7.11 “CISC Commentary on CAN/CSA-S16.1-94”, Handbook of Steel Construction, 7ª Ed., parte 2, Canadian Institute of Steel Construction, Rexdale, Ontario, Canadá, noviembre de 1997. 7.12 Picard, A., y D. Beaulieu, “Calcul des charpentes d’acier”, Institut Canadien de la Construction en Acier, Rexdale, Ontario, Canadá, abril de 1991. 7.13 Santathadaporn, S., y W.F. Chen, “Interaction Curves for Sections under Combined Biaxial Bending and Axial Forces”, Welding Research Council, Boletín No. 148, Nueva York, febrero de 1970. 7.14 Chen, W.F., y T. Atsuta, “Interaction Equations for Biaxially Loaded Sections”, Proc. ASCE, Vol. 98, Nº ST5, mayo de 1972.


117

7.15 Tebedge, N., y W.F. Chen, “Design criteria for H-Columns under Biaxial Loading”, Proc. ASCE, Vol. 100, Nº. ST3, marzo de 1974. 7.16 “Specification for the Design, Fabrication and Erection of Structural Steel for Buildings”, AISC, Nueva York, 1949. 7.17 Galambos, T.V., “Structural Members and Frames”, Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs, N.J., USA, 1968. 7.18 Timoshenko, S.P., y J.M. Gere, “Theory of Elastic Stability”, McGraw-Hill Book Co., Nueva York, 1961. 7.19 De Buen, O., “Comentario, ayudas de diseño y ejemplos de las Normas Técnicas Complementarias para diseño y Construcción de estructuras metálicas del Reglamento del D. F”., Instituto de Ingeniería, UNAM, México, D. F., julio de 1993. 7.20 “Commentary on the Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings”, AISC, Chicago, Ill., diciembre de 1999. 7.21 “Guide to Design Criteria for Metal Compression Members”, B.G. Johnston, editor., 2ª Ed., Column Research Council, John Wiley and Sons, Nueva York, 1966. 7.22 Chen, W.F., y E.M. Lui, “Stability Design of Steel Frames”, CRC Press, Boca Raton, U.S.A., 1991. 7.23 “Specification for Structural Steel Buildings. Allowable Stress Design and Plastic Design”, AISC, Chicago, Ill., junio de 1989. 7.24 “Specification for the Design, Fabrication and Erection of Structural Steel for Buildings”, AISC, Chicago, Ill, noviembre de 1978. 7.25 Comentario sobre la “Specification for Structural Steel Buildings. Allowable Stress Design and Plastic Design”, AISC, Chicago, Ill, junio de 1989. 7.26 Galambos, T.V., y R.L. Ketter, “Columns Under Combined Bending and Thrust”, J. Eng. Mechanics Div., Proc. ASCE, abril 1959. (También Trans. ASCE, Vol. 126, parte 1, 1961). 7.27 Galambos, T.V., y J. Prasad, “Ultimate Strength Tables for Beam-Columns”, Welding Research Council, boletín Nº 78, Nueva York, junio de 1962. 7.28 “Rules for Plastic Design and Fabrication”, adoptadas al 4 de diciembre de 1958. Verlas, por ejemplo, en un apéndice de “Plastic Design in Steel”, AISC, Nueva York, 959. 7.29 Chen, W.F., y S. Zou, “Cm Factor in Load and Resistance Factor Design”, J. Str. Eng., ASCE, Vol. 113, Nº 8, agosto de 1987.


118

7.30 Galambos, T.V., “Combined Bending and Compression”, Cap. 11 de “Structural Steel Design”, 2a. Ed., L. Tall, editor, The Ronald Press Company, Nueva York, 1974. 7.31 Santathadaporn, S., y W.F. Chen, “Analysis of Biaxially Loaded Steel H-Columns”, Proc. ASCE, Vol. 99, Nº. ST3, marzo de 1973. 7.32 “Limit States Design of Steel Structures”, “Steel Structures for Buildings-Limit State Design”, CAN-S16.1M78, Canadian Standards Association, Rexdale, Ontario, Canadá, diciembre de 1978. 7.33 “Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de estructuras metálicas”, Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal, Gaceta Oficial del Distrito Federal, México, D. F., 27 de febrero de 1995. 7.34 “Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de estructuras metálicas”, Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal, México, D. F., 2003 (En elaboración). 7.35 Baker, J.F., M.R. Horne y J. Heyman, “The Steel Skeleton”, Vol. 2, Cambridge University Press, Cambridge, Inglaterra, 1956. 7.36 Yura, J.A., “Elements for Teaching Load and Resistance Factor Design”, AISC, Chicago, Ill, julio de 1988. 7.37 “Normas Técnicas Complementarias para diseño por sismo”, Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal, Gaceta Oficial del Distrito Federal, México, D. F., 27 de febrero de 1995. 7.38 “Hollow Structural Sections. Connections Manual”, American Institute of Steel Construction (AISC), Steel Tube Institute of North America (STI), American Iron and Steel Institute (AISI), 1997. 7.39 “Load and Resistance Factor Design Specification for Steel Hollow Structural Sections”, AISC, Chicago, IL, noviembre de 2000 (se incluyen en la ref. 7.42). 7.40 Bruneau, M., C-M. Uang, y A. Whittaker, “Ductile Design of Steel Structures”, McGrawHill, Nueva York, 1998. 7.41

“Metric Properties of Structural Shapes”, AISC, Chicago, IL., 1992.

7.42 “Manual of Steel Construction. Load and Resistance Factor Design”, 3ª Ed., AISC, Chicago, IL, noviembre d e 2001. 7.43 “Minimum Design Loads for Buildings and Other Structures”, ASCE 7-98, New York, NY, enero de 2000. 7.44 “Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal”, Diario Oficial de la Federación, México, D. F., 2 de agosto de 1993 (actualizado el 4 de junio de 1997).

Consejo Directivo de Fundación ICA Presidente Ing. Bernardo Quintana Vicepresidentes Dr. Francisco Barnés de Castro Dr. Daniel Resendiz Nuñez Dr. Julio Rubio Oca Ing. Luis Zárate Rocha M.C. Fernando O. Luna Rojas Director Ejecutivo. Ing. Juan Visoso del Valle CUERPOS COLEGIADOS DE LOS PROGRAMAS OPERATIVOS Comité de Becas. Dr. Juan Casillas García de León Dr. Sergio Gallegos Cazares Comité de Premios. Dr. Luis Esteva Maraboto M.I. José Antonio González Fajardo Ing. Gregorio Farias Longoria Comité de Publicaciones. Dr. Oscar González Cuevas Dr. Horacio Ramírez de Alba M.I. Gabriel Moreno Pecero Ing. Isacc Lot Muñoz Ing. Gilberto García Santamaría González Comité de Investigación. Dr. José Luis Fernández Zayas Dr. Bonifacio Peña Pardo Dr. Ramón Padilla Mora Dr. Roberto Meli Piralla Fundación ICA es una Asociación Civil constituida conforme a las leyes mexicanas el 26 de octubre de 1986, como se hace constar en la escritura pública número 21,127, pasada ante la fe del Lic. Eduardo Flores Castro Altamirano, Notario Público número 33 del Distrito Federal, inscrita en el Registro Público de la Propiedad en la sección de Personas Morales Civiles bajo folio 12,847. A fin de adecuar a las disposiciones legales vigentes los estatutos sociales, estos fueron modificados el 17 de octubre de 1994, como se hace constar en la escritura pública número 52,025 pasada ante la fe del Lic. Jorge A. Domínguez Martínez, Notario Público número 140 del Distrito Federal. Fundación ICA es una institución científica y tecnológica inscrita en el Registro Nacional de Instituciones y Empresas Científicas y Tecnológicas del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, con el número 2001/213 del 29 de agosto de 2001. Esta edición de”Diseño De Estructuras De Acero, Columnas Flexocomprimidas” Se terminó en junio del 2003, se grabaron 500 ejemplares en disco compacto, cada ejemplar consta de 123 páginas fue grabado en Av. del Parque No. 91 Col. Nápoles C.P. 03810 México D.F. la edición estuvo al cuidado de César Arteaga Ibarra y Alfonso Espinosa Martínez.

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL

Mesa Directiva 2002 – 2003

Presidente Ing. Sergio Alcocer Martínez de Castro Vicepresidente Ing. Javier Alonso Garcia Secretario Ing José Maria Villanueva Pérez Sandi Tesorero Ing. Carlos lópez navarrete Vocales Ing. Javier Cesin Farah Ing. Raúl Jean Perrilliat Ing. Julián Tejada Padilla Ing. Amador Terán Gilmore Ing. Ismael Vázquez Martínez

Esta edición de "Diseño de estructuras de acero. Columnas flexocomprimidas", se terminó de grabar en junio del 2003, se grabaron 500 ejemplares en disco compacto, fue grabado en Av del parque # 91, Col. Nápoles, C.P. 03810, en México, D.F. La edición estuvo al cuidado de César Arteaga Ibarra y Alfonso Espinosa Martínez.

Estructuras de Acero

Recommend Documents