examen_1_mef_I-2017

http://claudiovz.github.io/

Introducci´ on a elemento on elementos s finitos finitos ε =

Primer Primer Parcial Parcial I-2017 I-2017 1. Resolver la estructura con E , A constantes p or el método etodo d e Raylei gh-Ritz

du = −α2 L + 2α2 x dx

El funcional fun cional de energ´ ene rg´ıa ıa es L

π =

 0

1 ε σ dV − 2

L



L

F udx =

0

 0

1 EA ε2 dx − 2

L



F udx

0

Reemplazando L

π =

 0

EA

2

L

2

(−α2 L + 2α2 x) dx −

 0

q (−α2 Lx + α2 x2 ) dx

Integrando Soluci´ Solucion on ´

π =

La soluci´ on on exacta es un p olinomio de segundo grado, la aproximaci´ on on

del campo de desplazamientos ser´ a

E AL3

α22 +

6

q L3

6

α2

Minimizando el funcional

u(x) = α 0 + α1 x + α2 x2

∂π EAL 3 q L3 α2 + = =0 ∂α 2 3 6

Reemplazando u (0) = 0 y u (L) = 0 Reordenando

2

α0 + α1 (0) + α2 (0) = 0 2

EAL 3

α0 + α1 (L) + α2 (L) = 0

3 Resolviendo

α2 =

qL 3

−

6

Resolviendo α0 = 0 α1 =

−

2EA

Reemplazando en u

Reemplazando Reemplazando en el campo de desplazamientos desplazamientos u =

q

α2 =

−α2L

−α2Lx + α2x2

u =

Carga distribuida

qL q q x − x 2 = Lx − x2 2EA 2EA 2EA





2. Calcular la integral mediante la cuadratura de Newton-Cotes para n = 2 F = q

2

I = =

La deformaci´ on on unitaria es

 0

1

x3 ex dx


Calculando w i

Soluci´ on

+1

r − r2 dr r1 − r2

 

w1 =

k = 2 − 1 = 1

−1

+1

Calculando r i

w2 =

+1

 

r − r1 dr r2 − r1

−1

P (r) r 0 dr = 0

Reemplazando

−1

+1 1

P (r) r dr = 0

   = − −  +   +  =

w1



1 3

−1

El polinomio es P (r) = (r − r1 )(r − r2 )

Reemplazando +1

 

−1

(r − r1 )(r − r2 ) dr = 0

dr

1 3

Integrando +1

+1

−1

1 3

1 3

−1

dr

1 3

r

+1

w2

1 3

r−

+1

−1

w1

(r − r1 )(r − r2 )r dr = 0

√   3 1  = − + =1 4 2   √ 3 + 1  = 1 = 4 2  r

2

r

−1

+1

Integrando

w2

1 3

1 4

r3

r1 + r2

−

r4 −

2

r1 + r2

3

r 2 + r1 r2 r

r3 +

r 1 r2

2

r2

Formando el sistema de ecuaciones r1 r2 =

   

−

+1

−1

+1

−1

 =2

r1 r2

r2

r

−1

1  + 3

Usando la f´ ormula

2 = − (r1 + r2 ) 3









I = w 1 f (r1 ) + w2 f (r2 )

Puntos de muestreo 

r1 =

1 3



r1 + r2 = 0

r2 =

Resolviendo

b+a

2 b+a

2

+ +

b

r1 =

2 + 0 2 − 0 + 2 2

−a

r2 =

2+0 + 2

2

b

  1  − = 0 42265 3  1  2 − 0

−a 2

2

.

3

Pesos r1

 1 = −  1 3

r2 =

2−0 (1) = 1 2 2 b−a 2−0 w2 = w2 = (1) = 1 2 2 

w1 = 

3

2

b−a

w1 =

= 1.57735


Reemplazando



 



I = 1 0.422653 e0.42265 + 1 1.577353 e1.57735 = 19.11806

N 3 =

3. Hallar las funciones de interpolación de Lagrange en coordenada naturales

= N 4 =

= N 5 =

= N 6 =

=

r − r4 s − s6 · r 3 − r 4 s3 − s6 r − (−1) s − 0

·

· ·

s − s2 s3 − s2 s − (−1)

1 − (−1) 1 − 0 1 − (−1) r − r3 r4 − r3 r−1

·

s − s5 s − s1 · s4 − s5 s4 − s1 s − 0 s − (−1)

1 = (r + 1) s(s + 1) 4

1

· · = − (r − 1)s(s + 1) −1 − 1 1 − 0 1 − (−1) 4 r − r6 s − s4 s − s1 · · r5 − r6 s5 − s4 s5 − s1 r − 1 s − 1 s − (−1) 1 · · = (r − 1)(s − 1)(s + 1) −1 − 1 0 − 1 0 − (−1) 2 r − r5 s − s4 s − s1 · · r6 − r5 s6 − s4 s6 − s1 r − (−1) s − 1 s − (−1) 1 · · = − (r + 1)(s − 1)(s + 1) 1 − (−1) 0 − 1 0 − (−1) 2

4. Resolver la estructura cuyas barras tienen una rigidez E A constante por el método de Castigliano Soluci´ on

Coordenadas de los nodos 1 = [ r1 , s1 ] = [−1, −1]

4 = [r4 , s4 ] = [−1, 1]

3 = [ r3 , s3 ] = [1, 1]

6 = [r6 , s6 ] = [1, 0]

2 = [ r2 , s2 ] = [1, −1]

5 = [r5 , s5 ] = [−1, 0]

Reemplazando valores N 1 =

= N 2 =

=

r − r2 r1 − r2 r−1

·

s − s5 s1 − s5 s−0

·

s − s4 s1 − s4 s−1

1

· · = − (r − 1)s(s − 1) −1 − 1 −1 − 0 −1 − 1 4 r − r1 s − s6 s − s3 · · r2 − r1 s2 − s6 s2 − s3 r − (−1) s − 0 s−1 1 · · = (r + 1) s(s − 1) 1 − (−1) −1 − 0 −1 − 1 4

Soluci´ on

Estructura equivalente 3


Grado de hiperestaticidad externa GHE = N R − N EE = 3 − 3 = 0

Grado de hiperestaticidad interna GHI = N E − 2N N + N EE = 6 − 2(5) + 3 = −1

Grado de hiperestaticidad total GHT = GH E + GHI = 0 − 1 =

−1

La estructura es inestable.

4

examen_1_mef_I-2017

Recommend Documents