Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Polynômes et fractions rationnelles
ℝ ℂ
Exercice 1. Factoriser dans et et dans Allez à : Correction : Correction exercice 1
le le polynôme
1 ℂ ℝ ℚ 1 1 1 ℂ ℝ
Exercice 2. Soit Factoriser dans , puis dans Allez à : Correction : Correction exercice 2 Exercice 3.
2 1
et et enfin dans
Soit . On note 1. Montrer que 2. Montrer que est est une racine multiple de . 3. Trouver deux racines réelles évidentes de . 4. Factoriser en facteurs irréductibles dans Allez à : Correction : Correction exercice 3
et et puis dans
.
Exercice 4. Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme :
1 ℂ ℝ ℂ 1 ℝℚ ℝ ℂ 1 1
En déduire sa factorisation dans Allez à : Correction : Correction exercice 4
et et dans
.
Exercice 5. Soit 1. Factoriser dans . 2. Factoriser dans . 3. Factoriser dans . Allez à : Correction : Correction exercice 5 Exercice 6. Factoriser sur
et sur le polynôme
Indication : Allez à : Correction : Correction exercice 6
Exercice 7. Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme :
ℂ321 16ℝ1 18 14 12 1
En déduire sa factorisation dans Allez à : Correction : Correction exercice 7 Exercice 8. Soit
∈ ℝ
défini défini par
et et dans
.
1 1
Polynômes et fractions rationnelles
ℂ ℝ 1ℝ ℂ 1 ⋯ 11 =∑11 2 4 4 4 21 ℂ ℝ ∈ ℝ 2 3 2 1 ℂ ℝ 2 3 613 ℂ 1 ∈ ℝ ∈ ℝ 1 31 ℝ 31 ℝ
1. Déterminer les racines de . 2. Factoriser dans , puis dans Allez à : Correction : Correction exercice 8
Pascal Lainé
.
Exercice 9. 1. Soit un polynôme. Factoriser ce polynôme dans et et dans 2. Soit
.
Déterminer les racines réelles et complexes de . Allez à : Correction : Correction exercice 9 Exercice 10. Soit
On pose 1. Montrer que est est une racine multiple de . 2. Factoriser dans . 3. Factoriser dans . Allez à : Correction : Correction exercice 10 Exercice 11. Soit
défini défini par
1. Montrer que est une racine multiple de . 2. En remarquant que est un polynôme pair, donner toutes les racines de 3. Factoriser dans , puis dans . Allez à : Correction : Correction exercice 11 Exercice 12. Soit 1. Montrer que est est une racine double de 2. Factoriser dans Allez à : Correction : Correction exercice 12
Exercice 13. 1. Déterminer les racines réelles et complexes de 2. Soit et soit défini défini par
Déterminer pour que admette une racine réelle multiple. Allez à : Correction : Correction exercice 13 Exercice 14. 1. Le polynôme 2. Le polynôme Allez à : Correction : Correction exercice 14
, est-il irréductible dans , est-il irréductible dans
2
? ? ? ?
ainsi que leur multiplicité.
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
2 13 63 ∈ℕ 1++ + 1
Exercice 15. Déterminer les réels , et tels que
soit factorisable par
Allez à : Correction : Correction exercice 15
Exercice 16. Pour , montrer que le polynôme Allez à : Correction : Correction exercice 16
est divisible par
Exercice 17. Soit
1 1 ≡ 6 ∈0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 1 1 1 1 1 1 ∈ ℝ ∈ ℕ ≥ 2 2 1 1 ∈ ℕ +1 + + 1 1 ℂ
On pose
avec avec
Pour quelles valeurs de , est-il racine de On pourra discuter selon les valeurs de . Allez à : Correction : Correction exercice 17
?
Exercice 18. Déterminer le reste de la division euclidienne de Allez à : Correction : Correction exercice 18
par
Exercice 19. Quel est le reste de la division euclidienne de Allez à : Correction : Correction exercice 19
.
par
Exercice 20. Soit le reste de la division euclidienne de le Déterminer . Allez à : Correction : Correction exercice 20
par
.
Exercice 21. Quel est le reste de la division euclidienne de Allez à : Correction : Correction exercice 21
par
Exercice 22. Déterminer le reste dans la division euclidienne de Allez à : Correction : Correction exercice 22 Exercice 23. 1. Montrer que pour tout , 2. En déduire que le polynôme divisible par Allez à : Correction : Correction exercice 23 Exercice 24. Soit 1. Calculer 2. Calculer
?
est divisible par
, pour
,
par
.
avec , , et entiers naturels est
.
un polynôme de . .
, on note
3
, et ses racines.
.
Polynômes et fractions rationnelles
63162
3. Calculer 4. On pose Calculer en fonction de . Allez à : Correction : Correction exercice 24
Pascal Lainé .
Exercice 25. On pose Sachant que l’une des racines de ce polynôme est le double d’une autre racine, trouver les trois racines de Indication : On pourra utiliser les relations entre les racines et les coefficients du polynôme. Allez à : Correction : Correction exercice 25
∈ℂ0 1
1 2 ≠ 0 1 0 1 ≠ 1 1 ℛ < 1 ≠0 ℛ>0 ≠1 ∈ℂ 1 ∈ℂ ∈1ℕ∗ ∈ℕ2∗
Exercice 26. Soit un un polynôme tel que 1. Montrer que et sont racines de . 2. Soit une racine de . Si , montrer que est racine. Si , montrer que est racine. 3. On suppose que n’est pas le polynôme nul. Montrer que et sont les seules racines de . Indication : S’il existe une racine telle que différente de 0 ( ), montrer qu’il y a une infinité infini té de racines. S’il existe une racine telle que différente de 1 ( ), montrer qu’il y a une infinité de racines. 4. En déduire que est de la forme 5. Quel est l’ensemble des polynômes de Allez à : Correction : Correction exercice 26
avec tels tels que
Exercice 27. Effectuer la division suivante les puissances croissantes de Allez à : Correction : Correction exercice 27
,
et
.
.
21 1 2 par
à l’ordre .
Exercice 28. On considère le couple de polynôme à coefficients réels
2et,, 1 ℝ ℂ 6 6 2 2
1. Utiliser l’algorithme d’Euclide pour calculer le 2. Décomposer et en facteurs irréductibles dans 3. Retrouvez le résultat de la question 1. 4. Décomposer en facteur irréductible dans . Allez à : Correction : Correction exercice 28
.
.
Exercice 29.
Soient Déterminer le de et Allez à : Correction : Correction exercice 29
et et en déduire les racines communes de et
.
Exercice 30. Déterminer les P.G.C.D. des polynômes
2 22 et 3 ℝ3 2
En utilisant l’algorithme d’Euclide. En déduire les factorisations de Allez à : Correction : Correction exercice 30 4
et
dans
.
.
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
1 1 2 21 et 2 3 1
Exercice 31. Déterminer une identité de Bézout entre les polynômes Allez à : Correction : Correction exercice 31
et
.
Exercice 32. 1. Déterminer une identité de Bézout entre les polynômes 2. En déduire les racines communes de Allez à : Correction : Correction exercice 32
et
.
2 ′2 1 ′ℂ ℝ1
Exercice 33. Soit 1. Calculer le PGCD de et . 2. Quelles sont les racines communes à et ? ? Quelles sont les racines multiples de dans ? 3. Montrer que divise . 4. Factoriser dans . Allez à : Correction : Correction exercice 33
∈ ℝ 1 1 ∈ ℝ 3 0 1 ∈ ℝ ∈ ℝ 3 1 1 1 et 0 1 1 1 3 , 1 11 32 1 3 3 32 32 1 3 3 32
Exercice 34. Pour tout polynôme on on désigne par le polynôme obtenu en remplaçant le dans . 1. Existe-t-il des polynômes de de degré tels que ? 2. Si est un polynôme de degré , quel est le est l e degré du polynôme 3. Existe-t-il des polynômes de degré trois qui vérifient : de (Indication : On pourra dériver le polynôme Allez à : Correction : Correction exercice 34
dans l’équation ci-dessus.) ci-dessus.)
Exercice 35. Soit un entier strictement positif. 1. Déterminer le pgcd des polynômes et . 2. Pour démontrer qu'il existe un couple de polynômes
tel que :
Donnez-en un. Allez à : Correction : Correction exercice 35 Exercice 36. 1. Déterminer le
et une identité de Bézout des polynômes
et
2. Factoriser et . Allez à : Correction : Correction exercice 36 Exercice 37. Soit
1, ∈ℝ 11
1. Trouver une solution particulière 2. En déduire toutes les solutions de
de de
.
5
.
.
par
? ?
Polynômes et fractions rationnelles
1
Pascal Lainé
1 1
1 1 2 21 ℂ 2 3 3 32 2 ℝ ℂ
3. Déterminer tous les polynômes tels que multiple de . Allez à : Correction : Correction exercice 37
soit un multiple de
et que
soit un
Exercice 38. Soient et
deux polynômes définis par : et Déterminer le PGCD de et et en déduire les racines communes de Allez à : Correction : Correction exercice 38
Exercice 39. Quels sont les polynômes polynômes de Allez à : Correction : Correction exercice 39
tels tels que
et
ainsi que leur multiplicité.
divise divise .
Exercice 40. Soit On pose
1. Montrer qu’il existe un polynôme
, de degré tel que
2. Calculer les racines de . 3. En déduire les racines de , puis la factorisatistion de dans Allez à : Correction : Correction exercice 40
∈ℝ
.
et et dans
sin ≠ 0 =∑ sin
Exercice 41. Soit , on suppose que . 1. Déterminer toutes les racines raci nes du polynôme
2. Montrer que toutes les racines sont réelles. Allez à : Correction : Correction exercice 41
Exercice 42. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
12 1
Allez à : Correction : Correction exercice 42
Exercice 43. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
6 3 1 5
ℝℂ
1. Dans 2. Dans Allez à : Correction : Correction exercice 43 Exercice 44. Décomposer en éléments simples sur 1.
ℝ
les fractions rationnelles suivantes :
6
.
Polynômes et fractions rationnelles
2.
Allez à : Correction : Correction exercice 44 Exercice 45. Soit
121 1 1 1 ℝ 1ℂ3 1
Décomposer en éléments simples dans Allez à : Correction : Correction exercice 45
, dans
.
ℝ 1
Exercice 46. Décomposer la fraction rationnelle suivante dans
Allez à : Correction : Correction exercice 46
Pascal Lainé
.
Exercice 47. Décomposer la fraction rationnelle suivante en éléments simples.
Allez à : Correction : Correction exercice 47
1 1 ℝ 1 1 ℝ ℂ 1 1
Exercice 48. Décomposer la fraction suivante en éléments simples dans
Allez à : Correction : Correction exercice 48
Exercice 49. Décomposer la fraction rationnelle suivante dans
Allez à : Correction : Correction exercice 49
∈ ℂ ℂ
Exercice 50. 1. Soit
. Si
est une racine simple de
.
2. Décomposer dans
la fraction
Allez à : Correction : Correction exercice 50
.
et dans
, montrer que le coefficient de l’élément simple
Exercice 51. 7
−
est
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
1 ℝ + ℂ ℝ
On considère le polynôme polynôme 1. Factoriser dans et et dans 2. Décomposer la fraction
en éléments simples dans
Allez à : Correction : Correction exercice 51
CORRECTIONS
ℝ 2 1 1 1 1 1 1 1 ℂ 1 1
Correction exercice 1. Dans Dans
Allez à : Exercice : Exercice 1
Correction exercice 2. Première méthode
1 1 1 1 1 1 1 11 1 (1 √ 2) 12 2 1 (√ 2) √ 2 ) ) 1 2 2 1 2 1 ℝ √ 2 2 √ 21 2 1 1 √ 2 2 √ 21 2 1 ℝ ℂ11 1( √ 21) 2 1) √ 21 2 1 √ 21 2 1 2 1 √ 21 √ 21 42( ( ) ( ) 2 1 Δ 2 42 2 √ √ √ √ −− √ √ − √ ++ √ √ 42( ( ) ( ) 21 2 1 Δ 2 42 2 √ √ √ √ −√ −−√ √ − −√ ++√ √ 11 √ −− √ √ √ ++ √ √ −√ −−√ √ −√ ++√ √ 1 0 1⇔ 1 ∈∈0, 0,1;2,3,4, 5,6,7} 1 − − ℂ 1 ℝ 1 − − − − 11 ,
se décompose facilement en se , mais pour décomposer c’est beaucoup plus beaucoup plus délicat, il faut utiliser une bonne ruse, allons-y
dans
,
et sont deux polynômes irréductibles car leur discriminant sont négatifs. Donc la décomposition de car dans est est :
Pour la décomposition dans
il suffit de trouver les racines complexes de il
Le discriminant de
est
et
et
, ses racines sont
.
Le discriminant de
est
et
, ses racines sont
.
Deuxième méthode On cherche les racines réelles et complexes de avec
Ce qui donne
,
,
, La décomposition dans
est est :
Pour la décomposition dans
,
,
, on regroupe les conjugués
8
,
,
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
1−1 1 − − − 34 1 1 1 1 2cos√ 2 41 1 √ 2cos 2cos 1 11 2 2 1 1 2 22 1 ( )( ) 1 1 1 21)( 2 1 21) 2 1 √ √ ℚ 1 11 ( 1 √ 2)(2)( 1 √ 2)2) 11 1111 11 (√ 2)2)
Dans
on regroupe les deux derniers polynômes on
Allez à : Exercice : Exercice 2
Correction exercice 3. 1.
1 3 1 3 1 3 √ √ √ √ √ √ 11 2 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1 1 1 71 11 1 1 0 7 1 71 1 0 7 1 7 1 7 0 0 01 1 0 11 10 11 11 11 11 10 11 10 1 7 6 7 0 1 6 ° 6 ℂ ( ) 71 ℝ ( ) 1 7 1 ( ) 7 1 1 1 0 ⇔ 1 0 ⇔ 1 ≠ 1 0 ⇔ ≠11 1 ≠ 1 1⇔ 1 ∈0,1 ;2,3,4,5} 1 Ou mieux
Car
.
2.
Donc est est au moins racine double.
3.
et Donc et sont deux racines évidentes. 4. Le début de la formule du binôme de est (il y a plein d’autre terme mais il est inutile de les calculer) donc est un polynôme de degré et son coefficient dominant est . D’autre part, est est racine double (au moins) donc est aussi racine double (au moins) car est un polynôme à coefficients réels. et sont aussi racine, cela donne racine (au moins), comme on a toutes les racines. rac ines. La factorisation dans est est : Dans
: :
Donc
Allez à : Exercice : Exercice 3
Correction exercice 4.
Or
Ce qui donne
avec
,
,
,
9
,
,
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
ℂ 1 1 × ℝ 1 1 1 1 1 1 1
Les 5 racines de sont La décomposition dans
,
est est :
La décomposition dans
est est :
,
,
et
.
Allez à : Exercice : Exercice 4
Correction exercice 5. 1.
1 1 1 ≠ 1 1 ⇔ , ∈ 0,0,1,2,3,4,5,6,7} ⇔ , ∈ ≠ 1 ≠ 1 1,1,2,3,4,5 ,6,7} 1 − − 1 − − )( −) 2cos 1 ( 1 − − 3 11 11( 2cos 1 1 2cos 2cos 1 4 4 2 1)( √ 21) 2 1) √ 21)( 1 1( 1 11√ 2)(2 )( 2 112 √ 2)2) 11 11 11 (√ 2)2) Pour
Les racines de vérifient
,
,
,
,
,
et et
Donc
2. On rappelle que
3.
Allez à : Exercice : Exercice 5
≠ 1 1 1 1 1 1 1 } , ∈ 0, 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 0 ⇔ ≠1 ⇔ ≠ ±1 ⇔ , ∈≠0,0±1,1,2,3,4,5,6,7} ⇔ } , ∈ 1, 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 0 1 4 1 ; ℂ ; ; − ; − − −
Correction exercice 6. Pour
Car pour , Les racines de sont :
La factorisation dans
et pour
,
est est :
10
Polynômes et fractions rationnelles Et dans
ℝ 2cos1 1 2cos 3 2cos 1 4 4 ( √ 21) 2 1) 1( √ 21) 2 1)
Pascal Lainé
: :
Allez à : Exercice 6
1 2 0 1 2 2 2 2 2 0 ⇔ 1 2 ⇔ 1 2≠ 2 0 ≠ 1 { 2 2≠2 1 ⇔ 1⇔ 2 2 ∈0,1,2,3,4,5} 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ℂ2 2 321 × 22 22 2 2 22 2 2 2 ℝ 321 21 2 2 2 2 321 2 2 4 2 4 32 1 24 24 1 1 1 1 1 ≠ 1 | |11| ⇔ | | 1 1 0 ⇔ arg | 2, 5arg 21 2 1 , , ∈ℤ ∈ℤ ≠ 1 ≠+1 ≠| 1| 1 ⇔ arg 215 ≠,1 ∈ 0,0,1,2,3,4} ⇔ , ≠ 1 ∈ 0,0,1,2,3,4} − − ; ; 1; ; 1 ℂ
Correction exercice 7.
Or
Ce qui donne
avec
donc
,
,
, Les 5 racines de sont La décomposition dans
est est :
La décomposition dans
est est :
,
,
,
,
Allez à : Exercice 7
Correction exercice 8. 1.
Pour Les racines vérifient
On élimine 2. Dans
11
et
,
. On a enlevé
.
Polynômes et fractions rationnelles
Dans
ℝ
Allez à : Exercice : Exercice 8
Pascal Lainé
− − 2cos51 1 2cos 2cos 35 1
1 11 1 1 ℂ 1 1 ℝ ≠ 1 − + + + + 1 1 ++ =∑ 1 1 1 ≠ 1 + + 1 + + } , ∈ 0, 0 , 1 , … , 0 ⇔ ≠ 1 ⇔ ≠ 1 ⇔ ,≠ 1∈ 0,0,1,…,} ⇔ + , ∈ 1,1 ,… ,}
Correction exercice 9. 1.
dans dans
dans dans
2.
Si
.
Les racines de vérifie
et
.
Allez à : Exercice : Exercice 9
Correction exercice 10. 1.
2 6 41 4 40 2112 444 216 66 6 10 16 12 82 6 10 18 16 12 826 101612 8218 1818 1 0 – ( ) 2 ( 3 21 ) 1 12 2 2 22 43 42 4 21 21 3 21 22 33 21 210 ( ) 1 1
Donc est est racine double, comme est un polynôme à coefficients réels, est est aussi racine double. On peut essayer de voir si ne ne serait pas racine triple (mais cela ne marche pas). 2. Soit on a l’intuition de voir que est est racine (et que donc faut diviser par
3.
est aussi racine), soit on ne le voit pas et il est
Allez à : Exercice : Exercice 10
Correction exercice 11. 1.
2 3 2 1 232 13 333 1 0 12
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
8 12 12 4 8 12 12 4812 12412 121212 1 0 8 8 1 ℂ ℝ 1 1 est est une racine de
est racine au moins double, est est est donc une racine multiple.
2. Comme est pair,
est aussi une racine double, ce polynôme est à coefficients réels donc est
est
racine double et est aussi racine double, cela fait racines en tout (en comptant la multiplicité de racines), comme ce polynôme est degré , on les a toutes. Le coefficient coefficie nt dominant est , on en déduit la factorisation dans
Dans
Allez à : Exercice : Exercice 11
Correction exercice 12. 1.
2 3 61323 66133 333 1 0 66 6 666 1 0 3 3 3 1 √ √3 1 2 2 ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 √ √3 2 12 √ √3
Donc est est une racine double de 2. La somme des racines de
est
.
, si on appelle la troisième racine on a
Donc
Allez à : Exercice : Exercice 12
Correction exercice 13. 1.
1 1 ⇔ 1 0 1 5 11 ⇔ 1 1 +, ∈1 0,0,1,2,3,4,5} 0 1 1 , ∈ 1,1,2,3,4,5} ⇔ 1 1, ∈ 1,1,2,3,4,5} ⇔ 1 1 , ∈ 1,1,2,3,4,5} − ⇔ 1− 1 1 , ∈ 1,1,2,3,4,5} 1 cos3 1si n 3 − 1 − 1 22cos3
Il est clair que
n’est pas racine. Mais attention
La racine « en trop » est celle qui aurait vérifié
est un polynôme de degré
qui n’a pas de solution, on enlève donc
Les cinq racines sont
13
.
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
7 1 7 sin 0 1 0 0 3 cos 1 24 12 22cos 1 1 1 01 1 2 0 ⇔ 2 1 2 0⇔ 2 2 0⇔2× 21 21 1 21 1 2 31 ∞ ∞ ∞ ∞ 0
2. Pour que admette une racine multiple réelle (donc au moins double), commune. Les racines réelles et complexes de
et
ont une racine réelle
vérifient vérifient
On cherche les racines réelles donc
ce qui équivaut à
ademt une racine double si et seulement si
(mais on a éliminé ce cas) et
.
Et alors
Allez à : Exercice : Exercice 13
Correction exercice 14. 1. La réponse est non car les seuls polynômes irréductibles sont les polynômes de degré et les polynômes de degré qui n’ont pas de racines réelles. La question ne demande pas de factoriser ce factoriser ce polynôme. 2. Les limites de la fonction polynômiale définie par en vaut et en vaut , cette fonction est continue, donc le théorème des valeurs intermédiaires entraine qu’il existe tel que . admet une racine réelle. Ceci dit le même raisonnement qu’au 1°) est valable aussi. Allez à : Exercice : Exercice 14
1 3 2 6 13 3 1 111 1 2×1 6×1 ×1 ×10 2×1 6×1 ×1 0 1 3 3 2×31260 6×3 ×3 ×30 3 ⇔ 31260 7 322930 ⇔ 9381 210 5 224 2 5 91581 966 864 8 286 2 6 8 56 1 Δ143 112√ √√ √3 3 2 10⇔ 10
Correction exercice 15.
est factorisable par
si si et seulement si
et sont racines de .
entraine que Et entraine que On remplace dans entraine que
donc
donc
:
donc
: donc et donc
:
Finalement Allez à : Exercice : Exercice 15
Correction exercice 16. est divisible par Le discriminant de
si et seulement si les racines de sont aussi des racines de . est donc les deux racines de sont :
Remarque :
14
,
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
ou 1 1++ ++ 0 1 1+ + 1 1 11 1 1 6 11122≠0 61 + + + + + 1 10 62 + + + + + 1 12≠0 63 + + + + + 11113≠0 64 + + + + + 1 12 ≠ 0 65 + + + + + 1 10 , ∈ ℝ 1 1 ∗ °<2 , ∈ℝ 1 3 1 ∗ − 1 1 1 ′ 1 1 33 1 2 1 2 1 1 °<2
Donc les racines raci nes du polynôme
vérifient
Comme est un polynôme à coefficients réels, On conclut que divisise Allez à : Exercice : Exercice 16
est aussi racine.
.
Correction exercice 17. Si Si Si Si Si Si
Allez à : Exercice : Exercice 17
Correction exercice 18. Il existe Avec Prenons
tels tels que
donc il existe
tels que
, ce qui entraine que
On dérive On prend
On en déduit que Et finalement
Allez à : Exercice : Exercice 18
Correction exercice 19. Or On pose
et donc .
.
15
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
2 2 √ √ 1 ⇔√ ⇔√ 2 2 2 ⇔( ⇔ (√ 2) ⇔( ⇔ (√ 2) ( ) 2 si n √ 4 ⇔( ⇔ (√ 2) cos 4 si n 4 ⇔ ⇔
(√ 2) cos 4
(√ 2) sin4 (√ 2) cos4 ,, 1 °<2 1 1 ∗ 1 1 2 ∗ −− 2 1 1 1 1 − 2 2 2− 2− 2 2− ⇔ ° < 2 1 − 1 22 2 1 2 ⇔ 1 − 1 − 1 1 1 1 °<°2 21⇔ ⇔ 2 1 2 2 10 2 1⇔1211 1⇔ 011 2222 11 Donc
Allez à : Exercice : Exercice 19
Correction exercice 20. Il existe un unique couple
de de polynômes, avec
tels que :
Il existe et réels tels que On pose
On dérive On pose
Donc Finalement
Allez à : Exercice : Exercice 20
Correction exercice 21. Il existe et tels que : Avec
. Donc il existe
et
tels que :
En dérivant on trouve On fait
dans
et dans
.
Donc
Allez à : Exercice : Exercice 21
Correction exercice 22. Il existe et tels que et alors où et sont des réels.
donc degré de
car
Si
Donc
16
est inférieur ou égal à 1 on a
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
21 + + 2+ + 1⇔12111 2 1⇔ 2 1 1 ⇔ 0 211 10 1, , 1, } 1 11 10 1 1
Si
Donc Allez à : Exercice : Exercice 22
Correction exercice 23. 1. Les quatre racines de
, c’est-à-dire c’est-à-dire
vérifie
donc ces racines sont des racines de facteur dans ce polynôme.
2. Première méthode : D’après la première question il existe
donc
, on peut mettre
en
1 1 ⇔ 1 1 1 1 ⇔ 1 1 1 1 11 ⇔⇔ 1111 + + + 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1≡0 1 1 1 ⇔ ≡ 1 1 + +≡1× + 1× 1×1 1 1≡ 1 + + + 1 1 ,
,
et
tels que :
Donc
Deuxième méthode : Donc
Donc il existe
tel que
111 11 0 2 0 0 22 33 33 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ×02
Allez à : Exercice : Exercice 23
Correction exercice 24. 1. On rappelle que
,
et
Donc 2. 3. 4.
entraine que
, idem pour et .
Allez à : Exercice : Exercice 24
17
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
, 2 30 3 20 3 2 363 ×2263 2 3 3 3 63 ⇔ ⇔ ⇔ 7 63 ×2×162 2 162 2 3 3 162 6 162 3 9 ⇔ 279 ⇔ 3 ⇔ 3 3 3 6 9 01 ×× 011 10 2210⇔ ⇔02 0 ⇔ 0 0 0 1 ⇔01 ≠ 0 0 1 2 ⇔ 1 0⇔ 1 0 1 ≠ 1 0 111 11 12 12 1 ⇔ 1 1 1 ⇔ 0 1 1 1 1 0 1 ℛ < 1 1 1 2 ∈ ℕ 2 ℛ > 1 ∈1ℕ 1 1 0 0× 1 0 ≠ 0 1 2 1 1 1 12 22 1 21 1 1 1
Correction exercice 25. Les trois racines de sont
et , les relations entre les racines et les coefficients de donnent
Les trois racines de sont , et Allez à : Exercice : Exercice 25 Correction exercice 26. 1.
Donc 0 et 1 sont des racines de 2. Soit tel que . est une racine de . Soit tel que .
.
Donc , est une racine de . 3. Supposons que admette une racine telle que différente de 0 alors est racine, est différent de 0, donc est aussi racine, on en déduit aisément que pour tout , est racine de , ce qui voudrait dire que admettrait une infinité de solution or un polynôme non nul admet un nombre fini de solutions. Supposons que admette une racine telle que différente de 1 alors est racine, est différent de 1, donc est aussi racine, on en déduit aisément que pour tout , est racine de , ce qui voudrait dire que admettrait une infinité de solution or un polynôme non nul admet un nombre fini de solutions. 0 et 1 sont les deux seules racines de si n’est pas le polynôme nul. 4. Si n’est pas le polynôme nul, comme 0 comme 0 et 1 sont les seules racines de il existe tels que , et si
alors
(c’est-à-dire (c’est-à-dire que
).
5. Si vérifie alors est de la forme , il faut étudier la réciproque, c’est-à-dire c’est-à-dire chercher parmi ces polynômes lesquels sont effectivement solution. On remplace dans , on trouve que : Les puissances en sont les mêmes donc . Les puissances en sont les mêmes donc On vérifie qu’alors les puissances en sont les mêmes, finalement
Allez à : Exercice : Exercice 26
Correction exercice 27.
11 2 132 1 333 3 18
Polynômes et fractions rationnelles
Allez à : Exercice : Exercice 27
22 42 2 2 1 2 1 1 13 1 3 2
Pascal Lainé
Correction exercice 28. 1.
2.
2 1 1 1 1 2 1 ×1 1 1 1 1 1 10 1 11 1 11 1 ,, 1 1 1 2 2 22 22 220 1 ℝ 2 1 1 1 1 ,, 1 2 2 6 2 6 12 2 62 2 6 4 4 est un diviseur de
Comme
(et de
bien sur) donc on peut mettre
est irréductible dans
, la factorisation de est :
Et il est évident d’après la deuxième division de l’algorithme d’Euclidienne
3. Il est alors clair que
4. Les deux racines complexes de Donc
sont
Allez à : Exercice : Exercice 28
Correction exercice 29.
19
et
en facteur dans
.
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
4 4 4 1 2 2 2 22 22 0 4 4 4 1 1 1,1, 3 3 2 23 23 22 1 2 3 3 22 2 2 4 3 3 2 2 2 12 4 22 32 22 4 22 22 24 4 4 2 22 22 44 44 4 4 0 22 22 22 2 2 22 2 2 22 1 220 22 1 ℝ 1 1 1 1 3 31 22 1 2 2 2 22 1 2 2 2 22 22 On peut « éliminer » le
Donc le
de et
dans
est
Les racines communes de et Allez à : Exercice : Exercice 29
sont celles de
, c’est-à-dire c’est-à-dire
et et
.
Correction exercice 30.
Le P.G.C.D. est le dernier reste non nul unitaire donc et sont divisible par (qui n’a pas de racine réelle)
Donc
Comme dans
et et que
n’a pas de racine réelle, la factorisation de
est est
20
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
0 22 1 1 1 1 2 √ 5 etet 1 1 2 √ 5 22 1 2√ 5 1 2√ 5 21 21 1 1 1 2 1 22 211× 1 2 1 12 1 12× 12× 1) 12 1 1 22 12 1 1 ( 21 1 × ⇔ 1 1 2 1 12 1 Donc
admet deux racines réelles
Allez à : Exercice 30
Correction exercice 31.
Allez à : Exercice : Exercice 31
Correction exercice 32. 1.
22 32 1 1 21 3 1 21×2 3 32 3 32 3 32 22 3 33 1 2 2 2 44 6 31 64 6 33 32 6 33 2222 33 32 6 33 2 4 22 20 4 0 6 33 2 2 2 3 32 2 2 1 21
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
2 16 1 12 12 16 1 5 4 6 41 5 4 6 41 2 2 1 1 2 3 23 55 4 65 44 1 2 3 23 1 1 1 22 3 23 2 23 33 33 0 ′ ′1 – – 1 2 1 1 1 11 1 ≠ 0 1 1 1 3 131 21 1 3 32 32 ≠ 0
2. Les racines communes de et
et
sont celles de leur
, c’est-à-dire c’est-à-dire celles de
soit
.
Allez à : Exercice : Exercice 32
Correction exercice 33. 1.
Pour éviter les fractions on remarque que
Pour éviter les fractions on remarque que
Le PGCD de
et
est est
.
2. Les racines communes à et sont sont et et , les racines multiples de sont et et . Ce sont au moins des racines doubles. Ce ne sont pas des racines triples car sinon auraient 6 racines en comptant leurs multiplicités. 3. est divisible par . 4. il reste à diviser par et on trouve, après calculs, , donc Allez à : Exercice : Exercice 33
Correction exercice 34. 1. Oui ! Par exemple 2. Si
, avec
, pour qu’il soit de degré exactement 3.
Le degré de ce polynôme est 2 puisque
22
Polynômes et fractions rationnelles 3.
Pascal Lainé
1 10 1 1 ⇔ 3 3 32 3 2 0 1 1 13 3 ⇔ 320 31 ⇔ 231 1 ⇔ 2 1 1 1 5 1 {1 1 1 { 3 12 6 13 12 56 1 1 ( 1 ( 1 1, 1) 1 1 , 1 11 1 21 1 1 1 1 1 1 21 1 21 31 1 211× 1 3 1 13 1 3 3 1 1 1 33 13 13 1 1 1 33 13 13 1) 13 13 ( 1( 1 21 1 × 13 13 1 1 13 1 13 21 1 1 3 3 21 13 23 1 13 23
Allez à : Exercice 34
Correction exercice 35. 1. n’a qu’une racine
, or est racine simple de
2. D’après le théorème de Bézout il existe
tels que :
Cette équation équivaut à : Car
et
Donc
Donc
On en tire que :
Donc
Et
23
donc
Polynômes et fractions rationnelles
13 13
Allez à : Exercice : Exercice 35 Correction exercice 36. 1.
Pascal Lainé
3 3 32 33 33 32 32 1 6 6 3 2 32 3 2 32 ×16 6 3 3 32 6 6 33 2 32 3 2 2 3 3 32 66 6 16 12 2 2 66 66 2 2 0 6 6 22 2 13 2 3 3 32, 3 3 32 2 2 1 6 16 12 2 2 3 33 32 6 6 32 3 3 2 32 31 21 32 × 1 16 12 3 3 32 111 1 6 2 3 2 32 61 23 3 3 32 16 12 23 2 32 6 2 1 31 3 32 121 34 3 2 32 121 14 32 3 3 32 321 2 1
Donc
On trouve une identité de Bézout de la façon suivante :
Puis il reste à diviser par
2. En divisant
par
Il reste à factoriser
, on trouve :
, ce polynôme a deux racines réelles et donc 24
Polynômes et fractions rationnelles
En divisant
1 2 1 1 3 3 32 32 1 32 1 2 1 1 2 par
Pascal Lainé
, on trouve :
Il reste à factoriser
, ce polynôme a deux racines réelles
et
donc
Allez à : Exercice : Exercice 36
Correction exercice 37. 1. Je vais juste écrire les résultats des divisions successives de l’algorithme d’Euclide
21 4 211× 21 21 14 12 ×41 1 1 14 1 12 1×4 11 141 12 1 1 × 1 4 2 1 4 2 1 14 12 et 14 12 11 1111 1 1 0 ⇔ 1 1 1 1 1 11 ∈ ℝ 1 ⇔ 1 1 1 1 1 11, ⇔ 1 ⇔ 1 ∈ ℝ 1 1 1 1 11 2 1 1∈ℝ⇔ 12 1 12 1 1 112 1 ⇔ 2 2 1 2 1 2 2 1 1 122 2 1 ⇔12 1 2 1 1 On en déduit une identité de Bézout
On note
2. On a
En faisant la soustraction de ces deux équations
divise comme comme et aucune racine en commun), d’après le théorème de Gauss tel tel que
sont premiers entre eux (ils n’ont divise , il existe
On remplace dans
L’ensemble des couples solutions de . 3. On cherche les polynômes polynômes
avec avec
qui sont de la forme
Où et sont deux polynômes. En faisant la soustraction de ces deux égalités
D’après la deuxième question, il existe il existe
tel tel que
Ce qui entraine que
25
quelconque quelconque sont les
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
12 1 12 121 14 112 1 1 12 11 3 21 1 21 2 2 2 2 2 1 3 1, ∈ℝ 2 2 1 1 2 1 12 32 1 1 1 12 1 2 1 1 [ ] 1 2 1 2 1 1 2 1 12 32 1 1 1 12 1 2 1 1 1 [2 2 1 ]
On pose aussi
. Par conséquent
Il faut faire une réciproque admet
admet
comme racine double (c’est facile à vérifier) et comme racine simple.
comme racine double (c’est facile à vérifier) et
comme racine simple.
La réciproque est vérifiée Allez à : Exercice : Exercice 37 Correction exercice 38.
2 2 1 23 2 21 22 4 2 4 2 1 33 26 4 63 21 4 4 4 4 4 ,, ,,4 4 44 ,, 1 1 2 21 1 – 11 0 1 1 1 1 1 1 ,, 1 1 Donc Les racines complexes communes à Allez à : Exercice : Exercice 38
et
sont 1 de multiplicité 1 et
de multiplicité 2.
° 1⇒°1 ° et ° ⋯ ≠ 0 − ⋯
Correction exercice 39. On pose . divise divise si et seulement si il existe un polynôme
Donc
admet une racine complexe
On pose
tel que :
.
et
(avec
26
) alors
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
⇔ 1 =∑ ⋯ − =∑ −− =∑ −− =∑ −− −− =∑ 1+ 12 ⋯ 1 ⋯ − − 2 ⋯ ⋯ ⇔ 1 2 ⋯ ⋯ … 0 ⋮2 ⋮ 00 ⇔ 1 ⇔ ⋮ 0 ⋮ { ′ ⇔ 1 ⇔ 1 1 ⇔ 1 1 111 1 2 1 ⇔ 1 ⇔ 2 1 12 2 ∈0,1 , … , 1} 1 ++
En identifiant les coefficients dominant on trouve que :
Première méthode : La formule de Taylor pour le polynôme
en donne
Donc
En changeant en Comme
.
est un polynôme de degré dont est une racine donc
On remplace ces deux expressions dans
.
Donc
Deuxième méthode : En dérivant
, et on rappelle que
Donc
En dérivant
Donc
Pour tout
. On montre par récurrence que
Et que
27
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
+ + + 1 2 … 1 ++ ++++ ++ 1 ++ ++ 1 ++ ++ 1 1 ++ ++⇔ 1 ⇔ 1 ++ + + + 1 2 … + 1 2 … + 1 1 2 … 1 +++ 0 ≤1 1 − ( ) 1 2 … — 1 × 1 ×…×2×1×
On dérive
Cette relation étant vraie au rang , elle est vraie pour tout On l’a pplique au rang :
.
(ce qui est important c’est que c’est une constante). Peu importe la constante, il est clair que , comme est un polynôme de degré 1, on peut écrire ce polynôme sous la forme :
Allez à : Exercice : Exercice 39
Correction exercice 40. 1.
Comme
On a
2 3 32 2 31 3 2 2 1 ⇒ 1 2 2 1 3 1 12 2 312 35 1 1 1 1 15 ⇔ ou 5 ⇔ 10 ou 5 1 1 0 2 2 2 10 1 √ 3 1 √ 3 et 2 2 2 2 1 0 12 et 2 ℝ2 1 2 1 2 ℂ
Les racines de
sont et
Donc les racines de vérifient
Les racines de
Et celles de
sont
sont
On en déduit la factorisation de
Et dans
dans
28
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
2 12 2 sin ≠ 0 ° − =∑ sin =∑ sin =∑ 2 21 =∑ 21 =∑ − 21 =∑ ( ) 21 =∑ (− ) ∈ ℂ21 (1 ) 21 (1 − ) 12 (1 ) 21 (1 −) 0 ⇔ (1 ) (1 −) ⇔ 11− 1 1 ⇔∃∈ 0,0,1,…,1}, 1 − ⇔∃∈ 0,0,1,…−,1}, 1 (1 −) 1 } ⇔∃∈ 0, 0 , 1 , … , 1 , ⇔∃∈ 0,0,1,…,1−}, − 1 ≠ 0 − 0⇔ ⇔∃∈ℤ, 2 2 2⇔∃∈ℤ, ⇔∃ ∈ℤ, ⇔si n 0 1 0⇔∃∈ 0,0,1,…,1}, − − − ∈ 0,0 ,1, … , 1} 1 − 1 − 1 1 − − − − − − 1 − 2 1 1 1 1 2 1 1 22
Allez à : Exercice : Exercice 40
Correction exercice 41. 1. Comme
Les racines
,
.
de vérifient
Il faut quand même vérifier que
Ce qui n’est pas possible d’après l’énoncé.
Les racines de sont les complexes
2.
avec
Donc ces complexes sont des réels. Allez à : Exercice : Exercice 41
Correction exercice 42. Le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, il faut diviser
29
par
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
1 2 2 2 1 1 1 11 1 2 1 2 1 1 11 11 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 = 1 1 22 1 4 1 =− 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 On pose
Je multiplie par
Je multiplie par
puis
puis
Je multiplie par puis donc . Donc
tend vers l’infini.
Allez à : Exercice : Exercice 42
Correction exercice 43. 1.
6 3 5 1 1 1 1 1 1 1 1 6 3 5 635 1 1 1 = 2 × 2 1 1 6 3 5 635 2 1 =− 2×2 1 6 6123 55 0 5124 6 3 ℂ 1 1 5 1 1 1 2 1 34 1 34 34 1 [34 3 4] 34 34 3 4 3 == 2 2 2 2 3 3 2 6 3 5 1 2 1 1 1 1 1 2 22 Je multiplie par
puis
Je multiplie par
puis
Je multiplie par , puis , donc
tend vers l’infini.
donc
Donc
2. Il reste à décomposer dans
Je multiplie par
, puis
.
Donc
30
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Allez à : Exercice : Exercice 43
,, 21 1 1 1 1 1 1 1 21 2 1 1 2 = 1 21 22 22 1 21 = 1 21 2 1 1 1 1 → ∞ 0 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 01 0 1⇔ 1 2 4× 2 1 2 4 2 12 12 ⇔ 1⇔1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ ] 1 1 2 = 1 1 [ ] 1 1 1 =− 2 2 1 1 2 1 2 1
Correction exercice 44. 1. Il existe et tels que :
Je multiplie par
, puis
Je multiplie par
, puis
Donc et Je multiplie par , puis Donc
Autre méthode On trouve et On prend
comme ci-dessus.
Puis on prend
On multiplie le tout par 2 et on remplace par
D’où : D’où : 2.
Donc
et
et
Il existe et des réels tels que
Je multiplie par
, puis
Je multiplie par
, puis
Donc
31
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Allez à : Exercice : Exercice 44
3 ∗ 11 1 1 1 1 1 3 ]= 1 [ 1 1 3 33 1 1 [ [ 3 1]= 31 21 1 0 1 ∗ 3⇒33111 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ∗ 3⇔32⇔2 → ∞ 0⇔ 31∗ ⇔ 3 2 1 ⇔ 3 1 2 3 ⇔ 3 3 ⇔1 4 24 4 24 44 2 22 3 1 1 1 1+ 1 1 1 1 ℂ 1 ++ ∈ ℂ 1 1 1 1 √ 3 1 1 √ 3 [ 1]= 1 12 √ 223 2 12 √ 23 2 √ √3 2 12 √ 63 1 1 12 √ 63 12 √ 63 1 3 1 3 √ √ 3 1 1 2 6 2 6 1 1 1 1
Correction exercice 45.
On multiplie par
, puis
Première méthode On multiplie par
Donc On prend
, puis
et
dans
Et donc
Deuxième méthode dans
On multiplie par
, puis
dans
Et donc
Pour la décomposition dans
Il existe
, il suffit de décomposer
tel que
On multiplie par
, puis
Allez à : Exercice 45
Correction exercice 46. 32
, comme
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
11 1 11 11 11 11
Allez à : Exercice : Exercice 46
Correction exercice 47. Il faut d’abord diviser le numérateur par le dénominateur.
1 3 31 3 3 3 3 1 33 3 33 93 9 3 1 6 8 3 1 1 3 3 3 6 8 3 1 1 3 6 8 3 1 1 1 6 8 3 1 1 0 4 8 6 1 133 413 13 4 4 133 1 3 8 6 149 16 133 43 3 8 6 4129 11 12 74 8 6 9 2716 20 27 9 6 16 4828 47 48 22 16 6 13 8133 133 149 149 16 28 47 22 6 8 3 1 ⇔133 1 133 149 149 16 28 47 22 6 8 3 1 1 28 47 22 ⇔ 6 8 31 1 149 16 1 149 16 284722 2 84722 ⇔ 11 4 9 16 284722 1 ⇔G 1 On pose alors
est un pôle d’ordre du dénominateur on effectue alors la division suivant les puissances croissantes de par à l’ordre (Le est le de )
On en tire
33
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
284722 1 1 1 1 1 1 284722 == 3 2 84722 → ∞ 22 0 28⇔28223⇔33 284722 1 22 1 53 1 3 1 3 1 4 9 16 22 1 3 1 3 1 On pose alors
On multiplie par On multiplie par
, puis
.
, puis
,
Donc
Et alors
Allez à : Exercice : Exercice 47
Correction exercice 48. Le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur, pas de division. La forme de la décomposition est :
1 1 1 1 0 1 1 1 = 1 1 1 1 = 1 0 1 3 1 1 1 1 1⇔ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ++ 1
On multiplie par
, puis
On multiplie par
.
, puis
.
Donc et . Ensuite ce n’est pas simple, il manque encore coefficients. On pourrait multiplier par puis faire tendre vers l’infini, mais ensuite il faudra prendre deux valeurs et bonjour les fractions pénibles, alors on va inaugurer une nouvelle technique qui sert dans des cas un peu compliqués.
J’appelle
C’est une fraction rationnelle, d’après l’unicité de sa décomposition en élément simple, qui est, d’après la ligne ci-dessus,
dénominateur de est
, on doit pouvoir, en réduisant au même dénominateur, trouver que le . On y va.
34
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 1 12 1 2 1 1 0 [ 2 ] 2 1 = 1 [ 22 ]= 2 2 [ 2 0 1 2 1 2 1 1 1 1 16 16 16 1 1 1 ̅ ̅ 1 1 1 1 1 16 1 16 1 = 1 1= 1 1 16 1 16 1 = 1 1=− 1 16 16 16 1 1 = 1 = 2222 4164 ̅ ̅ −− −− − − −+ −+ − + −− −− −+ −+ − + + ++ − −− + + − ̅ −− ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 0 On a donc
On multiplie par
, puis
On multiplie par
Donc Finalement
, puis
.
et
Allez à : Exercice : Exercice 48
Correction exercice 49. Ensuite je diviserai par
Avec , , et réels et et complexes. Il est facile de trouver , et . Je multiplie par , puis
Je multiplie par
, puis
Je multiplie par
, puis
est impaire donc
, soit encore :
En identifiant les coefficients avec ceux de ,
,
, on a :
et et
, çà on le savait déjà, que l’on savait déjà. donne
donc donc est réel et
35
entraine entraine que est un imaginaire pur, ce
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
̅ ̅ ̅ 0 0 00 – ̅ 0 0 ̅ 2Im 2Im I m 0 ̅ 0 22 1 1 16 1 1∈ℂ\ 1,11,11,, } 1 1 12 16×32 1 1 161 2 1 21122 12 2 22 22 2 1 61⇔16×322 11 15 ⇔ 16×323 49 8 54 34 53 4 34 53 4 5 15⇔ 16×32 3 9 2012 5 25 8 8 25 3 × 5 15 9 25 ⇔16×328×158×258×9⇔2×3215259⇔3015⇔2 16 1 16 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 18 1 161 1 18 1 161 1 18 16 18 16 ℝ 1 18 1 161 1 18 1 161 1 18 1 1 16 1 1 1 18 1 161 1 18 1 161 1 4 1 16 1 1 18 1 161 1 18 1 161 1 4 1 16 41 1 18 1 161 1 18 1 161 1 4 1 4 1 ℝ ℂ 16 −− 1 11 1 1 1 1 1 1 1
Car et Cela donne Or donc autrement dit est réel. Je multiplie par , puis je fais tendre vers ∞. Donc Comme On a :
,
,
et
Ceci étant vrai pour tout
, je prends
.
Donc
Il reste à diviser par
:
Ensuite pour décomposer dans
il faut réunir les conjugués. il
Je vais maintenant décomposer directement cette fraction dans Comme dans
je je vais décomposer
De la même façon, on trouve que et Je multiplie par , puis je prends
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.
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
16 16 1= 11 4 11 4 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ 00 0 16 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 0 2 0 16 ℂ 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 4 1 16×32 1 4 8 16×32 4 4 8 8 16×32 8 8×34 1 ⇔ ⇔ 161 1 61 ⇔16×328×158×34⇔2×321534⇔2 3 9 5 5 15 3 5 9 25 15 15 9×25 16 16 1 2 1 1 1 2 1 1 1 4 1 4 1 ℂ 4 1 ̅ 4 1 16 1 4 1 1 1 11 11 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1
Donc et est impaire donc
.
On savait déjà que et que Pour l’instant on en est à : à :
.
Je multiplie par , puis on fait tendre
vers ∞.
Comme , on a . On peut essayer mais cela redonne Pour l’instant on en est à : à :
Comme dans
, je vais prendre
.
.
On divise par et voilà. A partir de là, on peut retrouver la décomposition dans
Et
A faire. Troisième méthode On repart de
On va calculer
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, pour cela il suffit de décomposer
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
1 1 1 1 4 1 1 1 11 1 114 1 1 1 11 11 4 1 21 21 12 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 8 1 1 1 16 1 1 1 1 18 111 81 411 1 1 1 16 1 ⇔8 1 1 1 16 1 8 1 ⇔ 1 1 1 1 1 1 ⇔ 16 8 1 8 1 1 1 ⇔ 8 18 1 1 1 ⇔8 11 1 1 1 ⇔ 8 1 1 1 1 ⇔ 8 1 1 1 1 ⇔ 1 1 1 1 1 1 1 1 [ 8 ] 2 1 = 1 1 1 [ 8 ] 2 1 1 =− 1 [ [ 8 1]= 4⇒0 et 4 1 1 1 2 1 2 1 4 1 16 116 2 1 1 1 2 1 1 1 4 1 4 1
Donc
On multiplie par
, puis
On multiplie par
, puis
On multiplie par
, puis
Donc
Et enfin
Il ne reste qu’à diviser par Allez à : Exercice : Exercice 49 Correction exercice 50.
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Polynômes et fractions rationnelles 1.
Pascal Lainé
⋯ ≠ 0 ⇒ − 1 ∏= , , … , − − =∑ − 1 (−−− ) − − 1 −− 1 1 − =∑ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ℝ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2√ √3 et 1 2√ √ 3 ℂ 1 1 ,, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ 1 ] 1 1 1 = 2
est une racine simple de
En multipliant par
donc il existe
tel que
, puis en faisant
avec
, on trouve (classiquement)
D’autre part
En faisant dans cette dernière expression on trouve que Par conséquent
2.
Donc il existe
tels que :
En appliquant le résultat du 1°), avec
et
Donc
Allez à : Exercice : Exercice 50
Correction exercice 51. 1. est racine de donc on peut factoriser par élémentaire . On déduit de tout cela que la décomposition dans
admet deux racines complexes conjuguées
La décomposition dans
2.
Il existe
est est :
et réels tels que :
On multiplie par
, puis
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, et on trouve, à l’aide d’une division n’a pas de racine réelle est est :
Polynômes et fractions rationnelles
1 1 [ 1 ] 1 1 =− 6 1 0 1⇒11 1 1 1 2 6 3 0⇒ 1 1 1 2 6 3 13 1 12 1 16 1 131
On multiplie par
On pose
, puis
On multiplie par , puis
tend vers l’infini
Allez à : Exercice : Exercice 51
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Pascal Lainé
