Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Engenharia Elétrica Modelagem Dinâmica de Máquinas Elétricas a
2 Lista de Exercícios 1) Deduza as matrizes de transformação de vetores espaciais em componentes abc para componentes dq em referencial arbitrário. 2) Para cada conjunto de tensões a seguir, determine a trajetória do vetor espacial correspondente. Verifique os resultados através de simulações. v a V cos t a.
vb V cos( t 120 ) vc V cos( t 120 ) b.
v a V cos t e
t
t t v c V cos( t 120 )e vb V cos( t 120 ) e
c.
Aplicação dos vetores de saída de um inversor operando no modo six modo six step. step.
d.
va V 1 cos t vb V 2 cos( t 120 ) vc ( va vb )
3) Mostre que
3 abc i abc N r 3 L i abc e j r L L ls sm sm r s s 2 N s 2 2 N 3 abc r i abc N r 3 L i abc e j r Llr L sm s N sm r 2 N s 2 r s onde
2 sa a sb a sc 3 2 abc 2 r ra a rb a rc 3 2 abc i s i sa ai sb a 2 i sc 3 2 abc ira airb a 2 irc ir 3
abc
s
2
4) Baseado no resultado da questão anterior e nas expressões
v sabc R s i sabc p sabc abc abc abc v R i p r s r r mostre que:
v sabc R s i sabc ( Lls Lm ) pi sabc Lm p( ir ' abc )e j r j r Lm ir ' abc e j r ' abc v r Rr ir ' abc ( L' lr Lm ) pir ' abc Lm p( i sabc )e j r j r Lm i sabc e j r
onde o sobre-escrito ( ) indica grandezas referidas ao estator. ‘
5) Mostre que se todos os vetores nas relações demonstradas na questão anterior forem escritos num mesmo referencial dq girante a uma velocidade arbitrária e, as seguintes equações são obtidas para o modelo eletromagnético da máquina de indução:
v dq R i dq d dq j dq s s s e s s dt d vr ' dq R' r ir ' dq ' r dq j( e r ) ' r dq dt onde
sdq L s i sdq Lmir ' dq ' dq dq ' ' dq L i L r m s r ir 6) Partindo da expressão do conjugado eletromagnético em função dos vetores corrente de estator e de rotor:
T e
3 P Lm Im i s ir '* 22
deduza expressões para o conjugado eletromagnético em função de:
a. e i m s b. e i
s
s
c. ' e i r s
d. e i ' r m
e. e i ' r s f.
'
'
r e ir
g. e ' r s
7) Desenvolva um programa de simulação em Matlab/Simulink e reproduza os resultados das Figs. 2.13 a 2.17 do livro Vector Control and Dynamics of AC Drives, T. Lipo & D. Novotny, Clarendon Press, 1996. 8) Escreva a equação de estados da máquina de indução em um referencial dq arbitrário, tomando as seguintes grandezas como variáveis de estado: a. Fluxos de estator e rotor b. Fluxos de rotor e correntes de estator c. Fluxos de estator e correntes de estator. 9) Utilize o modelo obtido na letra (a) da questão anterior para escrever a equação característica do modelo eletromagnético da máquina de indução a velocidade constante. 10) Mostre que os autovalores do modelo eletromagnético da máquina de indução a velocidade constante são dados por:
1 1 1 s1, s2 j (2 e r ) 2 s r 2
1 4 1 r 2 j 2 r s r 2 s r s r 1 1 1 s3 , s 4 j (2 e r ) 2 s r
1 1
1
1 1
1
2
1 4 1 r 2 j 2 r s r 2 s r s r
11) Um motor de indução de rotor enrolado, 4 pólos, trifásico, 440V, 60Hz, 400 HP, conectado em estrela, tem as seguintes constantes referidas ao estator em ohms por fase: xls = xlr =0.055, xm = 2.23, Rs = 0.0054 e Rr = .0071. O motor é alimentado com tensão terminal nominal através de um reatância série de 0.03 ohm por fase correspondente a um transformador abaixador. Ele aciona carga nominal com fator de potência 0.9 e rendimento 0.95. Um curto-circuito ocorre nos terminais de alta tensão do transformador. Determine o valor inicial da corrente de curto-circuito e a constante de tempo para o decaimento desta corrente.
12) Considere um sistema trifásico alimentado por tensões senoidais desequilibradas de forma que vab vac e vbc 0 , sendo nula a componente de seqüência zero. Determine as componentes de eixo direto e em quadratura do vetor tensão em referencial arbitrário. Esboce a trajetória do vetor espacial de tensão em referencial fixo no estator e em referencial síncrono. 13) Três capacitores iguais são conectados a uma linha trifásica como indicado na figura a seguir. Determine as expressões das correntes de entrada em função das correntes de saída e das tensões nos capacitores em um sistema de referência dq girante em velocidade arbitrária. ia
iaout
i b
i bout
ic
icout
C
C
C
14) Problema 4-4 do livro de Lipo e Novotny. 15) Problema 4-7 do livro de lipo e Novotny. 16) A modelagem vetorial da máquina de indução tem inúmeras aplicações, dentre as quais o desenvolvimento de sistemas de acionamento elétrico de alto desempenho. Mostre que,
usando-se o modelo vetorial orientado pelo vetor fluxo de rotor r : a. O módulo do vetor fluxo de rotor pode ser controlado atuando unicamente na componente de corrente de eixo direto. t
b. A posição do vetor fluxo pode ser determinada de:
eixos
r
Lm r
i sq rd
dt .
0
c. Determine a expressão do conjugado eletromagnético, em função das componentes d e q do vetor fluxo de rotor e da corrente de estator. d. Comente os resultados obtidos nas letras anteriores, comparando com sistemas de acionamento de máquinas de corrente contínua com excitação em s eparado. 17) Além de ter uma grande gama de aplicações na análise e projeto de sistemas envolvendo máquinas elétricas, a modelagem de sistemas elétricos em referencial dq0 pode também ser útil em diversas aplicações em sistemas de potência. Recentemente, o GEPAE usou a modelagem dq0 para facilitar o desenvolvimento de um sistema para controle de um restaurador dinâmico de tensão (DVR). Por exemplo, foi necessário desenvolver o modelo dq0 em referencial arbitrário do circuito abaixo:
R
L
Vsa
Vra
R
L
Vsb
Vrb
R
Vsc
L
Vrc
Obtenha a equação relacionando as componentes dq0 da tensão de entrada, tensão de saída e correntes do circuito acima. Use referencial dq0 arbitrário. 18) Considere que, devido a um curto na rede de distribuição, as tensões de um circuito de alimentação de um motor trifásico de indução tornaram-se:
v V cos t sa V o cos t 150 v sb 3 v V cos t 150 o sc 3 Considere que o motor está inicialmente em repouso quando recebe um comando de partida direta sob as condições acima. Porém, devido à carga aplicada, não consegue partir com tal valor de tensão aplicada. a. Determine o vetor tensão de estator aplicado ao motor e indique suas componentes de seqüência positiva e negativa. b. Calcule a corrente de regime permanente. c. Determine a expressão do conjugado eletromagnético de regime permanente. 19) Um motor de indução é alimentado pela fonte desequilibrada da questão an terior, com V = 380V e f = 60Hz. Calcule as componentes de seqüência positiva e negativa da corrente de estator, se o motor está girando à velocidade de 1700rpm e os dados do motor são: Rs = Rr = 4 ohms, Lm = 0.5mH, Ls = 0.51mH, Lr = 0.505mH, P = 4. 20) Considere que a máquina da questão anterior está girando em regime permanente à velocidade de 1750 rpm, alimentada com tensão equilibrada de 380V quando ocorre um curto-circuito trifásico em seus terminais. Determine a expressão da corrente de estator depois da ocorrência do curto-circuito. Considere que a velocidade permanece constante durante o curto-circuito e use o circuito equivalente transitório, ou seja, despreze a variação do fluxo rotórico. 21) Além de ter uma grande gama de aplicações na análise e projeto de sistemas envolvendo máquinas elétricas, a modelagem de sistemas elétricos em referencial dq0 pode também ser útil em diversas aplicações em sistemas de potência. Recentemente, o GEPAE usou a modelagem dq0 para facilitar o desenvolvimento de um sistema para controle de um restaurador dinâmico de tensão (DVR). Por exemplo, foi necessário desenvolver o modelo dq0 em referencial arbitrário do filtro abaixo, usado na saída de um inversor:
vai
Vbi
Vci
R
L
R
L
R
L
vao
Vbo
Vco ica
icb C
icc C
C
Mostre que: vid vod i Ld i Ld 0 1 0 i Ld v v R i L d i 0 0 i Lq Lq eixos 1 iq oq Lq dt vi0 vo0 i L0 i L0 0 0 0 i L0
e iCd vod 0 1 0 vod i C d v 0 0 voq oq eixos 1 Cq dt iC 0 vo0 0 0 0 vo0
22) Obtenha a expressão do vetor espacial correspondente às tensões de fase a seguir na forma polar, ou seja, como uma soma de vetores de módulo constante e girantes em diferentes velocidades. Utilize: a) referencial estatórico ; b) referencial girante à velocidade síncrona ; c) Referencial girante à velocidade . () ( ) () () ( ) ( ) [( )] [( )] ( ) ( ) [( )] [( )]
23) Um motor de indução trifásico é alimentado com as tensões , ( ) e ( ). Determine os vetores corrente de estator e de rotor em regime permanente e a expressão do conjugado eletromagnético. Comente sobre a semelhança entre o resultado encontrado e o que seria obtido ao alimentar um motor de indução monofásico com tensão de estator senoidal. 24) Um motor de indução trifásico de hp, V, Hz, polos tem os seguintes parâmetros: , , mH, mH, kg.m2 (rotor mais carga do tipo inércia pura). Este motor está operando em regime permanente quando sofre uma reversão, ou seja, as tensões das fases b e c são subitamente trocadas uma pela outra. Utilize o circuito equivalente transitório a fluxo rotórico constante. Sugestão: em casa, nas férias, simule esta situação e plote as curvas obtidas da simulação com o modelo transitório de quinta ordem juntamente com as curvas das expressões calculadas para comparar. 25) Esboce a trajetória do vetor espacial correspondente às seguintes tensões de fase em volts: v as 100 200 cos( t )
vbs 100 cos( t ) 100 3 sen( t ) v cs 100 100 cos( t ) 100 3 sen( t )
26) Um motor de indução com rotor tipo gaiola de 5hp, trifásico, 230V, 4 pólos é alimentado a 3 fios empregando uma fonte de corrente (na prática, utilizou-se um inversor e um esquema adicional para o controle das correntes aplicadas). Os parâmetros do motor são os seguintes:
R s 0.531 ;
Rr 0.408 ;
b 0.05 N .m. s / rad
Lls Llr 2.521mH ;
Lm 84.7mH ;
J 0.1kgm2 ;
a) Considere que o sistema de alimentação é capaz de fornecer correntes em referencial orientado pelo vetor fluxo de rotor, ou seja: o eixo d do referencial está alinhado com o vetor fluxo de rotor. Determine as expressões do fluxo de rotor, o conjugado e a velocidade em função do tempo se, com carga mecânica nula, o vetor corrente de alimentação (em referencial orientado) é i s 5 j 0 A. b) Suponha que, depois de um longo tempo, o vetor corrente de alimentação muda repentinamente para i s 5 j10 A (em referencial orientado). Determine as expressões do fluxo de rotor, do conjugado e a da velocidade em função do tempo após esta variação de corrente. 27) Uma máquina de indução de 100hp, 460V, 60Hz, 4 pólos, trifásica está operando a plena carga (S=0.0175), com tensão e freqüência nominais. Em t=0, devido a um distúrbio remoto na rede elétrica, as tensões terminais da máquina sofrem um afundamento de 50%. Os parâmetros da máquina, em por unidade são os seguintes: R s 0.010 ; Rr 0.015 ; x ls x lr 0.10 ; x m 3.0 Usando o modelo transitório a fluxo rotórico constante e velocidade constante, determine as correntes de estator imediatamente após o transitório.
