Fibonacci

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA- SEDE MANIZALES

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Informe 05 (FIBONACCI) D. J. Estupiñan, L. P. Giraldo, Y. Idarraga, Sistemas Digitales Docente: Luis Enrique Avendaño Laboratorio 05, 11 de enero de 2012

—Estee repo report rtee mues muestr tra a el dise diseño ño de un circ circui uito to Resumen—Est secuencial capaz de realizar la Serie de Fibonacci. - Abstract - This report shows the design of a sequential circuit capable of performing the Fibonacci Series. Palabras Claves—

Secuencial, serie, Fibonacci.

I. I NTRODUCCIN En este documento se muestra el desarrollo del laboratorio, en el que se diseño un circuito secuencial capaz de realizar y mostrar mediante un display la Serie de Fibonacci. II. MARCO MARCO TEÓRICO TEÓRICO Sistemas Secuenciales

A difere diferenci nciaa de los sistem sistemas as combin combinaci aciona onales les,, en los sist sistem emas as secu secuen enci cial ales es,, los los valo valore ress de las las sali salida das, s, en un momento dado, no dependen exclusivamente de los valores de las entradas en dicho momento, sino también dependen del estado anterior o estado interno. El sistema secuencial más simple es el biestable, de los cuales, el de tipo D (o cerrojo) es el más utilizado actualmente. La mayoría de los sistemas secuenciales están gobernados por señales de reloj. A éstos se los denomina síncronos o sincrónicos, a diferencia de los asíncronos o asincrónicos que son aquellos que no son controlados por señales de reloj. En todo sistema secuencial nos encontraremos con: 1. Un conjunto finito, finito, n, de variables variables de entrada entrada (X1, X2,..., Xn). 2. Un conjun conjunto to finito, finito, m, de estado estadoss intern internos, os, de aquí aquí que los estados secuenciales también sean denominados autómatas finitos. Estos estados proporcionarán m variables internas (Y1,Y2,..., Ym). 3. Un conjunto conjunto finito, p, de funciones funciones de salida (Z1, Z2,..., Z2,..., Zp). Dependiendo de como se obtengan las funciones de salida, Z, los sistemas secuenciales pueden tener dos estructuras como las que se observan en la fig 1, denominadas Máquina de Moore, a), y Máquina de Mealy, b).

Dario Javier Estupiñan Vallejo: [email protected], Codigo 0810020, Estudiante de Ingenieria Electronica, Universidad Nacional de Colombia Manizales. Lizette Paola Giraldo Montoya: [email protected], [email protected], Codigo 0810522, Estudiante de Ingenieria Electronica, Universidad Nacional de Colombia Manizales. Yuliana Idarraga Hernandez: [email protected], Codigo 0810034, Estudiante de Ingenieria Electronica, Universidad Nacional de Colombia Manizales.

Figura 1. Estructura Autómata Autómata de Moore, a), Autómata Autómata de Mealy, b)

Flip-flop

Los Flip-Flop o Biestable, como también se les conoce, son circuito circuitoss secuénci secuénciales ales constitui constituidos dos por puertas puertas lógi lógicas cas capaces de almacenar un bit, que es la información binaria más elemental. Existe una gran variedad de biestables, los cuales se clasifican en: Asíncronos: R-S ; J-K ; T Síncronos: Activados por Nivel: R-S ; J-K ; D Activad Activados os por Flanco: Flanco: Edgetrigg Edgetriggered ered y MasterMaster-Sla Slave ve (maestro-esclavo) R-S; D ; J-K ; T. Bies Biesta tabl blee Asín Asíncr cron onos os R-S: R-S: Pose Poseee dos dos entr entrad adas as deno denomi mina nada dass Rese Resett (R) (R) y Set Set (S) (S) y dos dos sali salida das, s, Q1 y Q2. Este dispositivo se puede construir mediante dos puertas NOR o dos puertas NAND. Biestable Asíncrono J-K: El biestable asíncrono J-K es como el R-S, al cual se le ha eliminado el defecto de funcionamiento cuando las dos entradas valen 1. En este caso Q1 y Q2 siempre son complementarias. Biestable Asíncrono T: Posee una sola entrada y dos salidas complementarias. Como ya se ha indicado, no se fabrica como tal, pero se construye fácilmente a partir de un biestable J-K, uniendo sus dos entradas. Biestables Síncronos Activados Por Nivel: Es esta una de las dos modalidades del sincronismo utilizadas para activar los biestables, es decir, para que la información presente en las entradas produzca efectos a la salida. Para Para que que esto esto ocur ocurra ra,, en este este ti tipo po de bies biesta tabl ble, e, es necesa necesario rio que la señal señal de reloj reloj se encuen encuentre tre a nive nivell alto. Los cambios que se produzcan en las entradas de información, mientras dicha señal permanezca en este estado, se reflejaran en la salida.


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Biestable Sincrono R-S Activado Por Nivel: La forma más elemental de construir un circuito R-S sincrono consiste en colocar dos puertas AND a la entrada de un R-S Asincrono. Mientras la señal de reloj permanece en nivel bajo, el valor de las entradas no produce ningun efecto sobre las salidas. Esta señal en nivel alto se convierte en una llave que permite el paso de la información. Biestable Sincrono J-K Activado Por Nivel: Se construye de la misma forma de los R-S, es decir, colocando un par de puertas AND a la entrada de un circuito Asíncrono. Biestable Sincrono D Activado Por Nivel: Este dispositivo posee una entrada de datos (D), otra de reloj (C) y dos salidas complementarias (Q y Q’). Su característica fundamental reside en que el valor de la salida Q es igual que el de la entrada D siempre y cuando la señal de reloj este activa (nivel 1). Cuando la señal de reloj pasa a inactiva (nivel 0), el biestable queda enclavado con la información que tuviera en ese momento. A este tipo de biestable se le conoce también con el nombre de LATCH o cerrojo, y existe una gran variedad de circuitos integrados disponibles. Biestable Sincronos Activados por Flanco: Como hemos comprobado en los biestables activados por nivel los cambios producidos en las entradas, mientras permanece la señal de reloj en nivel activo, se reflejan en la salida. Esta forma de funcionamiento puede ocasionar problemas cuando la conmutación en las señales de entradas se realiza con una frecuencia elevada. Reducir el tiempo de duración del nivel activo no es una solución suficiente, ya que este, por otra parte, debe ser lo suficientemente largo como para permitir la conmutación de los dispositivos más lentos que forman parte del sistema.

Serie de FIbonacci

En matemáticas, la secuencia de Fibonacci es una serie de números enteros que fue descrita por primera vez en Europa por Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci. Una sucesión de Fibonacci es aquella cuya ley de recurrencia es:

an

=

an

− 1 + an − 2

(1)

donde: an

es el término en posición "n" es el término anterior (n-1) −2 es el anterior a ese (n-2)

an−1 xn

Es decir, cada termino de la sucesion se obtiene sumando

los dos anteriores. Para empezar a construirla necesitamos, por tanto, dos numeros de partida: a1 y a2 De esta forma,

a3

=

a2

+ a1

(2)

a4

=

a3

+ a2

(3)

y así sucesivamente. La más conocida es la que tiene términos son:

a1

= 1

y

a2

= 1,

cuyos

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 ... números que son conocidos como Números de Fibonacci. Los términos de cualquier sucesión de Fibonacci tienen la particularidad de que el cociente entre dos términos consecutivos se aproxima al Número de Oro (1.6180339887499...), es decir, el límite de los cocientes an+1/an tiende al Número de Oro cuando n tiende a infinito. Además, las series de Fibonacci cumplen otras curiosas propiedades, como por ejemplo, que la suma de n términos es igual al término n+2 - 1:

a1

+ a2 + a3 + a4 + ..... + an−1 + an =

an+2

−1

(4)

Aparte de que esta sucesión tiene varias propiedades interesantes, como que se puede formar cualquier número natural mediante la suma de términos de la sucesión, sin que ninguno se repita, lo más curioso de esta sucesión es su presencia en la naturaleza. La sucesión de Fibonacci está muy ligado a la vida y estos hechos lo demuestran: Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci. En la mano humana también se encuentra esta recurrencia, la longitud del metacarpo es la suma de las dos falanges proximales y la longitud de la primera falange es la suma de las dos falanges distales. El número de pétalos de una flor es generalmente un término de Fibonacci. Hay flores con 2 pétalos, 3, 5, 8, 13, 21, 34, pero muy rara vez es un número que no esté en esta sucesión. En la relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. En las espirales de los girasoles. Entre muchas otras.


III. M ARCO E XPERIMENTAL En esta practica se diseñó un circuito secuencial para implementar la serie de fibonacci, que esta dada por la ecuación 1. Para esto lo primero que se debe hacer es construir el diagrama de transición de estados, y hacer la tabla de verdad que nos permita obtener las funciones de todos los estados siguientes. Para la primera parte del circuito, el contador de estados, la tabla de verdad es la siguiente: Estado 0 1 2 3 4 5 6 7

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

Q1 0 0 0 1 1 1 1 1

Q2 0 1 1 0 0 1 1 1

Q3 1 0 1 0 1 0 1 1

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Para obtener el circuito que realice en si la serie de Fibonacci, se tiene la tabla de verdad: Estado A B C V1 V2 V3 V4 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 3 0 1 1 0 0 1 1 4 1 0 0 0 1 0 1 5 1 0 1 1 0 0 0 6 1 1 0 1 1 0 1 7 1 1 1 1 1 0 1 Se procede de la misma manera y se obtienen las formulas para los estados siguientes V1, V2, V3, V4, los estados de visualizacion, y asi se tienen las siguientes expresiones: V1 = A(BxorC) V2 = AC’ V3 = A’B V4 = A’B’ + (AxorC) De esto se obtiene el circuito que se muestra en la figura 3

De la que se obtienen las formulas para los estados siguientes Q1, Q2, Q3, llegando a las siguientes expresiones: Q1 = A + BC Q2 = AC + (BxorC) A3 = AB + C’ Con esto el circuito obtenido para el contador de estados es el que se muestra en la figura 2

Figura 3. Circuito Serie de Fibonacci

Por fines practicos y con el objetivo de simplificar el circuito se decidió utilizar flip-flpo tipo D para el diseño del circuito. Figura 2. Circuito Contador de Estados

El circuito obtenido finalmente, integrando los dos expuestos con anterioridad, es decir el contador de estados y el contador de la serie de fibonacci, es el que se muetra en la figura 4.


Figura 4. Circuito Serie de Fibonacci y Contador de estados

IV. CONCLUSIONES Durante el desarollo de esta practica, se logró comprender mejor el funcionamiento de un sistema secuencial y todas sus posibles aplicaciones. Con la práctica se logro visualizar la serie de Fibonacci, lo que nos sirve de ejemplo para saber las muchas aplicaciones que tiene un contador. El uso de una serie secuencial no necesariamente implica que esta serie tiene que estar en orden, sino que también se puede realizar saltándose números o en forma ascendente o descendente. Se aprendio el uso y el diseño de series secuenciales con manipulación de flip flop ya sea tipo D, JK o T. R EFERENCIAS [1] [2] [3] [4]

http://html.rincondelvago.com/circuitos-secuenciales.html. http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_secuencial. http://ciberconta.unizar.es/leccion/fin005/700.HTM. http://html.rincondelvago.com/flip-flop.html.

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