formulacion(2)

Aplicaciones de PL en la Gestión Gesti ón de Operaciones ___________________________________________________________________________________________________________________

MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES

CAPITULO III

Aplicaciones de Programacion Lineal en la Gestion de Operaciones

Dr. JULIO PADILLA SOLIS Agosto, 2008

MODELOS MODELOS LINEALES LINEALES PARA LA GESTION GESTION DE DE OPERACIONES OPERACIONES


3.

APLICACIONES DE PL EN LA GESTION DE OPERACIONES

----------------------------------------------------------------------------------La versatilidad y la potencia de la técnica de PL q u e d a rá d e m o s t r a d a e n l a s e r i e d e a p l i c a c i o n e s q u e s e p r e s e n t a n e n e s t e c a p í t u l o . C a d a a p l i c a c i ó n c o r r e s p o n d er á a un ámbito distinto en la gestión de operaciones. también para mostrar Algunas de ellas servirá m e t o d o l o gí a s d i v e r s a s p a r a l a f o r m u l a c i ó n d e m o d e l o s d e PL, las cuales serán de gran utilidad al enfrentarse con problemas de la vida real. Todas las aplicaciones presentadas son formuladas, resueltas e interpretadas administrativamente. La solución de ellas, en casi todos los casos, ha sido determinada con ayuda de programas computacionales de PL como Lingo. Los problemas al final del capítulo tienen como objetivo ejercitar al alumno en sus h a b i l i d a d e s d e m o d e l a c i o n e n P L . L a s o l u c ió n ó p t i m a d e los mismos deberá encontrarse posteriormente con la ayuda de un programa computacional. 3.1

GESTION DE OPERACIONES BANCARIAS

Caso 3 : Problema Bancario --------U n c i e r t o b a n c o h a d e c i d i d o q u e e f e c t u a rá préstamos sólo en dólares. Existen cinco clases de préstamos, cuyos intereses anuales cargados al cliente se indican en la siguiente tabla : Tipo de préstamo Comercial Primera hipoteca Mejoras de casas Segunda hipoteca Corto plazo

Interés cargado (%) 15 10 13.6 14 18

Caso en operaciones bancarias

Tabla 3.1 Intereses según tipo de préstamo

El banco tiene 53 millones de dólares en fondos disponibles para préstamos. Su objetivo es maximizar el retorno de sus colocaciones teniendo en cuenta las características del mercado y las regulaciones de MODELOS MODELOS LINEALES LINEALES PARA LA GESTION GESTION DE DE OPERACIONES OPERACIONES


3.

APLICACIONES DE PL EN LA GESTION DE OPERACIONES

----------------------------------------------------------------------------------La versatilidad y la potencia de la técnica de PL q u e d a rá d e m o s t r a d a e n l a s e r i e d e a p l i c a c i o n e s q u e s e p r e s e n t a n e n e s t e c a p í t u l o . C a d a a p l i c a c i ó n c o r r e s p o n d er á a un ámbito distinto en la gestión de operaciones. también para mostrar Algunas de ellas servirá m e t o d o l o gí a s d i v e r s a s p a r a l a f o r m u l a c i ó n d e m o d e l o s d e PL, las cuales serán de gran utilidad al enfrentarse con problemas de la vida real. Todas las aplicaciones presentadas son formuladas, resueltas e interpretadas administrativamente. La solución de ellas, en casi todos los casos, ha sido determinada con ayuda de programas computacionales de PL como Lingo. Los problemas al final del capítulo tienen como objetivo ejercitar al alumno en sus h a b i l i d a d e s d e m o d e l a c i o n e n P L . L a s o l u c ió n ó p t i m a d e los mismos deberá encontrarse posteriormente con la ayuda de un programa computacional. 3.1

GESTION DE OPERACIONES BANCARIAS

Caso 3 : Problema Bancario --------U n c i e r t o b a n c o h a d e c i d i d o q u e e f e c t u a rá préstamos sólo en dólares. Existen cinco clases de préstamos, cuyos intereses anuales cargados al cliente se indican en la siguiente tabla : Tipo de préstamo Comercial Primera hipoteca Mejoras de casas Segunda hipoteca Corto plazo

Interés cargado (%) 15 10 13.6 14 18

Caso en operaciones bancarias

Tabla 3.1 Intereses según tipo de préstamo

El banco tiene 53 millones de dólares en fondos disponibles para préstamos. Su objetivo es maximizar el retorno de sus colocaciones teniendo en cuenta las características del mercado y las regulaciones de MODELOS MODELOS LINEALES LINEALES PARA LA GESTION GESTION DE DE OPERACIONES OPERACIONES


seguridad puestas por el S u p e r i n t e n d en en c i a d e B a n c a .

directorio

del

banco

y

la

La demanda para préstamos a corto plazo nunca ha excedido los $5 millones. En los otros tipos de pr éstamos nunca se ha llegado al límite de la demanda. Los préstamos para mejoras de casas no pueden ser mayores q u e e l 2 0 % d e l a s p r i m e r a s h i p o t e c a s . L o s p ré s t a m o s comerciales deben ser menores o iguales a las segundas hipotecas. El banco debe invertir al menos el 60% del total de sus colocaciones en hipotecas. Por razones de seguridad debe haber por lo menos $2 invertidos en primeras hipotecas por cada dólar invertido en segunda hipoteca. Variables de decisión x1 x2 x3 x4 x5

M o d e l a m i e n t o

= dólares invertidos en préstamos comerciales. = dólares invertidos en primeras hipotecas. = dólares invertidos en mejoras de casa. = dólares invertidos en segundas hipotecas. =dólares invertidos en préstamos de corto plazo.

F u n c ió n o b j e t i v o z = 0.15x1 + 0.10x2 + 0.136x3 + 0.14x4 + 0.18x5 .

la cual sera maximizada Restricciones 1.

Límite de demanda para préstamos a corto plazo. x 5 ! 5 ' 0 0 0 , 0 0 0

2.

Préstamos para mejoras de casa no pueden mayores que el 20% de las primeras hipotecas. ó x3 ! 0.20x2 -0.20x2 + x3 ! 0

ser

3.

Préstamos comerciales menores o iguales segundas hipotecas. ó x1 ! x4 x1 - x4 ! 0

las

4.

Invertir al menos 60% del total en hipotecas. ó x2 + x4 " 0.60 ( x1 + x2 + x3 + x4 + x5 )

a

MODELOS MODELOS LINEALES LINEALES PARA LA GESTION GESTION DE DE OPERACIONES OPERACIONES

Aplicaciones de PL en la Gestión de Operaciones ___________________________________________________________________________________________________________________

- 0 . 6 0 x1 + 0 . 4 0 x 2 - 0 . 6 0 x3 + 0 . 4 0 x4 - 0 . 6 0 x5 " 0 5. por

Por lo menos $2 invertidos en primeras hipotecas $1 invertido en segunda hipoteca. x2 " 2x4 ó x2 - 2x4 " 0

6.

T o t a l d i s p o n i b l e p a r a p ré s t a m o s . x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ! 53'000,000

Modelo Max. suj. a

z = 0.15x1 + 0.10x2 + 0.136x 3 + 0.14x4 + 0.18x5

! 5'000,000 ! 0 x1 - x4 ! 0 " 0 -0.60 x1 + 0.40x2 - 0.60 x3 + 0.40 x4 - 0.60 x5 x2 - 2 x4 " 0 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ! -0.20x2 +

x5

x3

53'000,000

x1 ,

x2 ,

x3 ,

x4 ,

x5

" 0

S o l u c ió n x1 x2 x3 x4 x5

S o l u c i ó n óptima

= 10'909,091 = 21'818,182 = 4'363,636 = 10'909,091 = 5'000,000

z máx. = 6'838,909 Interpretación Administrativa

I n t e r p r e t a c i ó n

Satisfaciendo las regulaciones puestas por el directorio del Banco y por la Superin tendencia de Banca y t o m a n d o e n c u e n t a l a s c a r a c t e rí s t i c a s d e l m e r c a d o , e l Banco puede obtener un máximo retorno en intereses de $ 6'838,909 al colocar la totalidad de su capital disponible de 53 millones de dólares. La distribución de la colocación debe ser la siguiente para obtener el máximo retorno indicado:



Tipo de préstamo Comercial Primera hipoteca Mejoras de casas Segunda hipoteca Corto plazo Total 3.2

Colocación $ 10' 21' 4' 10' 5' $ 53'

909,091 818,182 363,636 909,091 000,000 000,000

GESTION DE OPERACIONES DE PRODUCCION

Caso 4 : Ensamblaje de Televisores -------Una empresa ensambladora de productos electrónicos produce dos modelos de televisores, digamos modelo A y B. Existen dos líneas de ensamblaje, una para cada modelo. La capacidad de p r o d u c c ió n d e l a l í n e a A e s d e 6 0 t e l e v i s o r e s p o r d í a , m i e n t r a s q u e l a c a p a c i d a d d e l a lí n e a B e s d e 5 0 televisores por día. El televisor A requiere una hora hombre de labor, mientras que el B requiere dos horas hombre. Actualmente se cuenta con un máximo de 120 horas hombre por día, las cuales pueden ser asignadas a cualquiera de las dos líneas. La utilidad unitaria del televisor A es de $20. La utilidad unitaria del B es f u n c ión de las unidades que se produzcan en el día, y está dada en la siguiente tabla : Para unidades entre... 0 - 10 11 - 27 28 - infinito

(UN SOLO PERIODO)

Caso en operaciones de producción

Utilidad Unitaria $ 35 $ 30 $ 25

Determine el programa de producción diario que maximice las utilidades.

M e t o d o l o gí a :Coeficientes no lineales en la función objetivo

Utilidades no lineales



En el caso presentado, la utilidad unitaria del modelo de televisor B no es constante. Su valor varía según la unidad diaria de producción que se trate. Para las primeras 10 unidades, la utilidad unitaria es $ 35 ; para las siguientes 17 unidades, la utilildad unitaria baja a $ 30 ; y para el resto de unidades, la utilidad unitaria b a j a a $ 2 5 . C o m o c o n c l u s ió n, la co ntribu ción a las utilidades del modelo B no es lineal. Este tipo de problemas debe formularse representando a la producción diaria de B meidante una suma de variables, una por cada valor distinto de la utilidad unitaria. Estas variables representan el incremento de la producción diaria de B dentro del rango en el cual es vigente la correspondiente utilidad unitaria. Para representar la producción de B se necesitan 3 variables. La primera menor o igual que 10, la segunda menor o igual que 17 y la tercera ilimitada. Al tratarse de una función objetivo de maximización el a l g o r i t m o q u e r e s u e l v a e l m o d e l o l i n e a l d a rá v a l o r e s a l a primera variable antes que a la segunda o tercera variable por el hecho de tener un coeficiente mayor ( $ 35 ). No p a s a rá a l a s e g u n d a h a s t a q u e e l l í m i t e d e l a p r i m e r a v a r i a b l e s e a a l c a n z a d o ( v a l o r 1 0 ) . B a j o e s a ló g i c a podemos estar seguros que ninguna variable de las indicadas podrá tomar valores superiores a cero, mientras todas las que la preceden hayan alcanzado sus valores límites superiores. Todo este proceso es automático y no e s n e c e s a r i o n i n g u n a p r e c a u c ió n e n l a f o r m u l a c i ó n d e l m o d e l o . L a p r o d u c c ió n d e B qu e d a rá d a d a p o r l a s u m a d e los valores de las 3 variables utilizadas.

Asignación automática de valores

Si el caso fuera de minimización, las variables que toman valores en primera instancia son aquellas que tengan coeficientes menores. Si el orden de crecimiento fuera contrario a los descritos, esto es, coeficentes crecientes con o coeficentes decrecientes con m a x i m i z a c ió n m i n i m i z a c ió n , e l p r o c e s o d e d a r v a l o r e s a l a s v a r i a b l e s irá en contra del sentido lógico en el significado de las mismas. En estos casos para poder representar un modelo válido, es necesario el uso de variables binarias, las cuales se tratarán posteriormente.



Variables de decisión A

=

B1 = B2 = B3 =


cantidad de unidades diarias a producirse del modelo A. cantidad de unidades diarias a producirse del modelo B hasta el límite de 10. incremento de unidades diarias a producirse d e l m o d e l o B s o b r e 1 0 c o n u n lí m i t e d e 1 7 . incremento de unidades diarias a producirse del modelo B sobre 27.

F u n c ió n o b j e t i v o z = 2 0 A + 3 5 B 1 + 3 0 B2 + 2 5 B 3 , la cual sera maximizada. Restricciones 1.

C a p a c i d a d d e p r o d u c c ió n d e l a l í n e a A . A ! 60

2.

C a p a c i d a d d e p r o d u c c ió n d e l a l í n e a B . B1 + B2 + B3 ! 50

3.

Máxima cantidad de horas-hombre disponibles. A + 2 B1 + 2 B2 + 2 B3 ! 120

4.

Límit e de 10 para la utilidad unitaria de $ 35. B1 ! 10

5.

Límite de 17 de incremento para la utilidad unitaria de $ 30. B2 ! 17

Modelo Max. z = 20 A + 35 B1 + 30 B2 + 25 B3 MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


sujeto a

A B1 + A + 2 B1 + B1 A,

B1,

B2 + B3 2 B2 + 2 B3 B2 B2,

B3

! 60 ! 50 ! 120 ! 10 ! 17 " 0

S o l u c ió n


A = 60 B1 = 10 B2 = 17 B3 = 3 z máx. = 2,135 Interpretación Administrativa


La máxima utilidad diaria que puede generar la empresa emsambladora es de $ 2,135. Este monto lo consigue ensamblando 60 unidades diarias del televisor modelo A, y 30 unidades del televisor modelo B. Modificación 1

Surge como opción para mejorar la eficiencia de la p l a n t a ensambladora el especializar a los operarios. Se d i v i d i ría la fuerza laboral en dos grupos de igual tamaño. El grupo 1 recibiría una especialización en el ensamblaje del televisor A alcanzando una eficiencia de 0.75 horashombre por televisor. El grupo 2 recibiría una B especializaci ón en el ensamblaje del televisor alcanzando una eficiencia de 1.5 horas-hombre por televisor. Modelación La restricción de la capacidad operativa tiene que ser r e e m p l a z a d a p o r d o s y a q u e c o n l a m o d i f i c a c ió n s e c o n t a rí a c o n d o s g r u p o s d e t r a b a j o c o n e s p e c i a l i z a c i o n e s y rendimientos diferentes. Capacidad operativa del grupo 1: 0.75 A

<= 60 MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


Capacidad operativa del grupo 2: 1.5 B1 + 1.5 B2 + 1.5 B3

<= 60

S o l u c ió n L a o p t i m i z a c i ó n d e l n u e v o m o d e l o l i n e a l a r r o j a u n a u t i l i d a d m á x i m a de $ 2 , 3 8 5 c o n u n a p r o d u c c i ó n d i a r i a d e 60 televisores A y 40 televisores B.

Modificación 2

Sobre la modificación 1 propuesta, surge la idea de hacer flexibles a los grupos de trabajo. La especialización continúa pero se permitiría que el grupo 1 pueda ensamblar la línea del televisor B con la eficiencia original y el grupo 2 pueda hacerlo con el televisor B pero también con la eficiencia original. Modelación Todas las variables tienen que ser reemplazadas por la suma de dos. U n a d e e l l a s r e p r e s e n t a a l a p r o d u c c ió n correspondiente del grupo 1 y la otra a la producción del grupo 2. A = A1 + A2 B1 = B11 + B12 B2 = B21 + B22 B3 = B31 + B32 El modelo queda de la siguiente forma.

Maximizar z = 20* A1 + 35* B11 + 30* B21 + 25* B31 + 20* A2 + 35* B12 + 30* B22 + 25* B32; MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


A1 + A2

<= 60;

B11 + B12 + B21 + B22 + B31 + B32 0.75*A1 + 2*B11 + 2*B21 + 2*B31 A2 + 1.5* B12 +1.5 *B22 + 1.5* B32 B11 + B12

<= 50; <= 60; <= 60; <= 10;

B21 + B22

<= 17;

S o l u c ió n La optimización del nuevo modelo arroja una utilidad máxima de $2,572.50 con un programa diario de p r o d u c c i ó n d e 6 0 t e l e v i s o r e s A y 47 . 5 t e l e v i s o r e s B . E l grupo 1 ensambla 60 televisores A y 7.5 televisores B. El grupo 2 ensambla 40 televisores B.

3.3

GESTION DE OPERACIONES DE PRODUCCION

Caso 5 : Estabilizand o la producción -------El pronóstico de ventas para un cierto producto durante los doce meses del año, es el siguiente: Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

2,000 3,000 4,000 6,000 8,000 10,000

Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre D i c i e m b re

(MULTIPERIODO)

Caso en operaciones de p r o d u c c i ó n multiperíodo

10,000 6,000 4,000 3,000 2,000 2,000

Aumentar la producción de un mes al siguiente c u e s t a $ 1 . 0 0 p o r u n i d a d , y d i s m i n u i r l a p r o d u c c ió n cuesta $ 0.50 por unidad. La producción programada para el mes de Diciembre del año anterior fue de 2,000 unidades y el nivel de inventario para el 1ro. de Enero será de 1,000 unidades. La capacidad de almacenamiento está limitada a 5,000 unidades en cualquier momento. MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


Formule un modelo para obtener un programa de p r o d u c c i ó n p a r a e l s i g u e n t e a ñ o qu e m i n i m i z e e l c o s t o d e cambiar las tasas de producción , mientras al mismo tiempo se asegure el stock suficiente para satisfacer las ventas pronosticadas todos los meses. (Asumir que la producción programada para un determinado mes está disponible para satisfacer la demanda del mismo mes). M e t o d o l o gí a : Variables no restringidas (Aquellas que tomar valores tanto positivos como negativos)

pueden

Variables no restringidas

En la mayoría d e pr ob lemas p r áctico s, v alor es negativos para las variables de decisión no tienen s e n t i d o . S i n e m b a r g o , h a y c a s o s e n q u e sí . C o m o e j e m p l o , e n l a s o p e r a c i o n e s d e p r o d u c c ió n p o d r í a s u c e d e r q u e u n c i e r t o p r o d u c t o s e e n c u e n t r e y a e n p r o d u c c ió n y q u e u n v a l o r n e g a t i v o p a r a s u t a s a d e p r o d u c c ió n s i g n i f i q u e u n a d i s m i n u c ió n d e s u n i v e l a c t u a l d e p r o d u c c ió n , d a n d o m a y o r c a p a c i d a d p a r a e l e v a r e l n i v e l d e p r o d u c c ió n d e los otros productos. lineal requiere que todas sus Programación v a r i a b l e s d e d e c i s i ó n s e a n n o n e g a t i v a s, p o r l o t a n t o necesitamos de un artificio para poder solucionar problemas con variables que pueden tomar valores no negativos. La modificación requerida depende si la variable tiene un límite inferior o no.

Tomemos primero el caso de una cierta variable que debe satisfacer una restricción de la forma: x j

"

Variable con límite inferior

L j ,

d o n d e L j e s a l g ú n v a l o r n e g a t i v o . Esta restricción puede negatividad normal haciendo variable: x j

=

convertirse en una el siguiente cambio

no de

x ' j + L j MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


A l r e e m p l a z a r e s t a i g u a l d a d , x j " L j s e c o n v i e r t e e n x ' j "0. P r o g r a m a c i ó n l i n e a l t r a b a j a l u e g o c o n x j ' e n f o r m a regular. El caso donde la variable no tiene límite inferior requiere también de un cambio de variable, pero ahora de la siguiente forma: x j = x ' j - x " j , d o n d e x ' j " 0 ,

Variable sin límite inferior

x " j " 0 .

Y a q u e x ' j y x " j p u e d e n t o m a r c u a l q u i e r v a l o r n o n e g a t i v o , s u d i f e r e n c i a ( x ' j - x " j ) p u e d e t e n e r c u a l q u i e r valor positivo o negativo. Como veremos en la parte t e ó r i c a d e P L , l a s o l u c i ó n d e l m o d e l o , y a c o n e l c a mb i o d e v a r i a b l e , t i e n e l a p r o p i e d a d d e q u e x j ' = 0 ó x " j = 0 ó ambos valores son igual a cero. Por lo tanto en la solución óptima se tiene,

% x j si x j " 0 #0 si x j ! 0

x j' & $

%' x j si x j " 0 x &$ '# 0 si x j ! 0 '' j

Dicho en otra forma : Si x ' j = x " j =

x j " 0 x j 0

x j ! 0 0 | x j |

Para evitar que este proceso duplique el numero de variables involucradas se puede hacer el siguiente reemplazo, x j = x ' j - x " , d o n d e

x ' j " 0 ,

x" > 0

x" es la misma variable para todos los j, y se t o m a rá el menor valor entre los xj negativos.



Variables de Decisión pi = Producción para el mes i ; i = 1,2,..... ,.12 Ii = Inventario al final del mes i ; i = 1,2,..... .,12 po = 2,000 ; Io = 1,000 xi = Variación de la produccion del mes i - 1 al mes i = pi - pi - 1


R e p r e s e n t a n d o l a p r o d u c c ió n e n f u n c i ó n d e l a v a r i a c i ó n x i p1 = po + x1 = 2,000 + x1 p2 = p1 + x2 = 2,000 + x1 + x2 generalizando, i

p i = 2 , 0 0 0 + ( x j j &1

Restricciones : 1.

Balance de materiales Llamaremos di = demanda del mes i.

Graficamente :

d

d

1

Io

...

1 I

p

1

1

d

i

Ii-1

12

... I 11

i

12

Ii

p

12

p

i

Algebraicamente : Ii = Ii-1 + pi - di

I

12

i

- I i + I i - 1 + ( x j = d i - 2 , 0 0 0 j &1

i = 1,2,......,12 2.

Capacidad de almacenamiento Ii ! 5,000

i = 1,2,......,12

Modelo Las variables xi pueden ser tanto negativas como positivas, por tanto requieren ser representadas por dos MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


variables (Una representa la parte positiva y la otra la negativa). xi

= xi' - xi"

El modelo resulta, 12

Min.

z =

(

( 1.00xi' + 0.50xi" )

i &1 i

Suj. a:

(

( x j ' - x j " ) - I i + I i - 1 = d i - 2 , 0 0 0

j & 1

Ii xi' , xi" ,

Ii i

! 5,000 " 0

= 1,2,......,12

La dimensión del modelo es de 36 variables (xi', x "i, Ii) y 24 restricciones (12 balances de materiales y 12 niveles de inventario). S o l u c ió n : x '1 x '2 x '3 x '4 x '5 x '6 x '7 x '8 x '9 x '10 x '11 x '12

= 0 = 2,666.67 = 0 = 3,000.00 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0

x'1 x'2 x'3 x'4 x'5 x'6 x'7 x'8 x'9 x'10 x'11 x'12

= 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 1,666.67 = 2,000.00 = 0 = 0 = 0

I1 = 1,000.00 I2 = 2,666.67 I3 = 3,333.33 I4 = 5,000.00 I5 = 4,666.67 I6 = 2,333.33 I7 = 0 I8 = 0 I9 = 0 I10 = 1,000.00 I11 = 3,000.00 I12 = 5,000.00


z min = 7,500.00

Los valores x'i, x"i, obtenidos nos indican si hay del nivel de producción aumento o disminución MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


r e s p e c t i v a m e n t e . S i c o n o c e m o s e l n i v e l d e p r o d u c c ió n d e D i c i e m b r e ( m e s 0 ) , p o d e m o s f á c i l m e n t e d e t e r m i n a r l o s niveles para los doce meses siguientes.

Interpretación administrativa


El mínimo costo de cambiar las tasas de producción satisfaciendo las ventas pronosticadas para los doce meses indicados y sin excederse de la capacidad de almacenamiento, es de $ 7,500.00. El programa de producción mensual para lograr éste costo mínimo es el siguiente: Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Niviembre Diciembre 3.4.

Producción 2,000.00 4,666.67 4,666.67 7,666.67 7,666.67 7,666.67 7,666.67 6,000.00 4,000.00 4,000.00 4,000.00 4,000.00

GESTION DE OPERACIONES EN JUEGOS

Caso 6 : Jugador prudente. -------Un jugador interviene en un juego que requiere dividir su dinero entre cuatro elecciones diferentes. El j u e g o t i e n e t r e s p o s i b l e s r e s u l t a d o s y n o s e c o n o c e l a posibilidad de ocurrencia de ninguno de ellos. La tabla siguiente nos da las ganancias o pérdidas que se o b t i e n e n p o r u n i d a d m o n e t a r i a p u e s t a e n c a d a e l e c c ió n , correspondiente a los tres resultados posibles.

Caso en operaciones de juegos



Ganancia o (pérdida) por dólar puesto Elección 1 2 3 4 Resultado 1 -3 4 -7 15 2 5 -3 9 4 3 3 -9 10 -8 El jugador tiene un total de $ 500, con los cuales puede jugar una sola vez. Debido a la incertidumbre total sobre el resultado, el jugador quiere hacer la asignaci ón que máximize su rendimiento mínimo, ésto es, la cantida q u e o b t e n d ría con el peor de los resultados. Si éste rendimiento mínimo fuera negatvo, el jugador preferiría no apostar. ¿Le recomendaría usted al jugador efectuar la j u g a d a ? S i s u r e s p u e s t a e s p o s i t i v a , ¿ C u á n t o d i n e r o asignaría a cada elección para satisfacer el deseo del j u g a d o r ?

M e t o d o l o gí a : S e l e c c i ó n e n t r e (max, min)

opciones

alternativas

En algunos casos de formulaciones se puede encontrar la necesidad de querer elegir el menor (o mayor) entre un determinado conjunto de expresiones algebráicas lineales, las cuales son función de las variables de decisión del problema. Tomemos como ejemplo tres combinaciones lineales que identificaremos por c1, c2 y c3. Deseamos elegir aquella que tome el menor valor y que éste valor sea el mayor posible. Si r e p r e s e n t a m o s p o r Y a l v a l o r b u s c a d o , l a f u n c ió n objetivo será :

Opciones alternativas

Maximizar y = Min (c1 , c2, c3); lo cual no es una expresión lineal. Para representar esta p r o b l e má t i c a m e d i a n t e u n m o d e l o l i n e a l d e b e m o s p l a n t e a r tres desigualdades quedando, Max y Suj. a

c1 " y c2 " y MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


c3 " y Una de las tres desigualdades debe mantenerse como igualdad al llegar a la solución del modelo ya que al tratar de maximizar el valor de y, éste valor quedará limitado por el menor valor entre c1 , c2 y c3 . Variables de Decisión M o d e l a m i e n t o x1 x2 x3 x4 y

= = = = =

M o n t o a p o s t a d o a l a e l e c c ió n M on t o a p o st a d o a l a e le c c i ó n M o n t o a p o s t a d o a l a e l e c c ió n M o n t o a p o s t a d o a l a e l e c c ió n El menor valor entre los tres

1. 2. 3. 4. resultados

posibles.

F u n c ió n o b j e t i v o z = y, la cual sra maximizada. Restricciones 1.

Total del dinero del jugador. x1 + x2 + x3 + x4 ! 500

2.

El valor de y es menor o igual al resultado 1. -3x1 + 4x2 - 7x3 + 15x4 -3x1 + 4x2 - 7x3 + 15x4

3.

ó

El valor de y es menor o igual al resultado 2. 5x1 - 3x2 + 9x3 + 4x4

4.

" y - y " 0

- y " 0

El valor de y es menor o igual al resultado 3. 3x1 - 9x2 + 10x3 - 8x4

- y

" 0

Modelo Max. Suj. a

x1 +

z = y x2 + x3 +

x4

! 500



-3x1 + 5x1 3x1 x1 ,

4x2 3x2 9x2 x2

- 7x3 + 15x4 - y + 9x3 + 4x4 - y + 10x3 - 8x4 - y , x3 , x4 , y

" " " "

0 0 0 0

Solución x1 x2 x3 x4 y


= = = = =

0 0 287.50 212.50 1,175.00

z máx = 1,175.00 Interpretación Administrativa


Le recomendamos al jugador efectuar la jugada, ya que aún con el peor de los resultados, ganará $ 1, 175.00. Para que esto se cumpla debe apostar $ 287.50 en la e l e c c i ó n 3 y $ 2 1 2 . 5 0 e n l a e l ec c i ó n 4 . Variación

Cambiemos las ganancias dadas para forzar un resultado negativo. Esto lo logramos cambiando la ganancia de la elección 4 en el resultado 1 de $ 15 a $ 5. Al lanzar el modelo con este cambio, la solución óptima nos arroja,

R e s u l t a d o negativo

z máx = y = x1 = x2 = x3 = x4 = 0 La decisión ha sido no apostar, ya que aún en el mejor de los casos, el resultado más bajo dará pérdida, esto es, un valor negativo. Si quisieramos conocer cuánto es este valor negativo y cuáles las apuestas que lo generan, se necesita hacer uso de variables no restringidas. La variable y podrá tomar valores positivos o negativos por lo que debemos efectuar el siguiente cambio de variable, y = y' - y'' MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


la primera restricción debe forzarse Además convirtiéndose en igualdad, ya que si se deja en menor o igual, el proceso de maximización elegirá el valor cero antes que un valor negativo. El modelo correspondiente es,

Max. z = suj. a 500

y' - y'' x1

+

x2

-3x1 + 4x2 5x1 - 3x2 3x1 - 9x2 x1 , x2

+

x3

+

x4

- 7x3 + 5x4 + 9x3 + 4x4 + 6x3 - 8x4 , x3 , x4

- y' + - y' + - y' + , y',

= y'' " y'' " y'' " y'' "

La solución óptima de este modelo resulta, x1 = x2 = x3 = x4 = y' = y'' = z máx 3.5

M o d e l o

0 0 0 0 S o l u c i ó n óptima

342.11 0 0 157.89 0 236.84 = -236.84

GESTION DE OPERACIONES DE COMPRAS

Caso 7 --------

:

Compra y corte de bobinas de acero



Una cierta empresa fabrica una diversidad de aparatos electrodomésticos. Todos ellos consumen la más importante materia prima del proceso productivo : la lámina de acero. Una parte muy significativa del costo total de los productos se debe a la compra de la lámina de acero. Esta se compra en bobinas, las que se consiguen actualmente en dos anchos : 4' y 6' . En el p r o c e s o d e p r o d u c c ión se requieren cuatro diferentes anchos : 42 '', 34'', 15'' y 10''. En todos los casos se trata de la misma calidad y espesor de lámina. El precio de la bobina de 4' es de $ 0.38 por pie lineal y el de la bobina d e 6 ' , d e $ 0 . 6 0 . P a r a e l p ró x i m o m e s s e h a n determinado los requerimientos netos de lámina, según el ancho correspondiente. Ancho (pulg.) Rqmto. neto (pies)

42 400

34 350

15 1000

Caso en operaciones de compra

10 1500

La disponibilidad de compra en los proveedores tradicionales de la empresa en este momento es de 750 pies de la bobina d e 6' y de 5,000 pies de la de 4'. Construya el modelo de PL mediante el cual se determine la cantidad de pies de bobina que debe c o m p r a r s e d e c a d a a n c h o y có m o d e b e p r o c e d e r s e e n e l corte para satisfacer los requerimientos netos indicados. Variables de decisión


Las bobinas puden ser cortadas en muchas alternativas posibles. Enumeremos estas alternativas c o n s i d e r an d o s ó l o l a s f o r m a s e f i c i e n t e s , e s t o e s , a q u e l l a s cuyo desperdicio es menor que 10'' (el menor ancho requerido). Estas se muestran en las Tablas 3.2 y 3.3

Forma 1 2 3 4 5

Cantidad de cortes de ancho... 42'' 34'' 15'' 10'' 1 0 2 0 1 0 1 1 1 0 0 3 0 2 0 0 0 1 2 0

Desperdicio (pulg.) 0 5 0 4 8

Tabla 3.2 Alternativas de corte para la bobina de 6 ’



6 7 8 9 10 11 12

Forma 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0

1 0 4 3 2 1 0

2 3 1 2 4 5 7

Cantidad de cortes de ancho... 42" 34" 15" 10" 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 3 0 0 0 2 1 0 0 1 3 0 0 0 4

Ai = Cantidad de pies de la bobina forma # i. B j = C a n t i d a d d e p i e s d e l a b o b i n a forma # j. AT = Total de pies de la bobina de 6' BT = Total de pies de la bob ina de 4'

3 8 2 7 2 7 2

Desperdicio ( Pulg.) 6 4 3 8 3 8

Tabla 3.3 Alternativas de corte para la bobina de 4 ’

de 6' a cortar en la de 4' a cortar en la q u e s e c o m p r a rá n . q u e s e c o m p r a rá n .

F u n c ió n o b j e t i v o Se puede enfocar el objetivo desde el punto de vista de generar la menor cantidad de desperdicio de materiales o desde un punto de vista económico, minimizando el gasto total en la compra de las bobinas.

Objetivos alternativos

En el primer caso se minimiza el área total de los desperdicios, ésto es, Minimizar z = 5 A2 + 4 A4 + 8 A5 +3 A6 + 8 A7 + 2 A8 + 7 A9 + 2A10 + 7 A11 + 2 A12 + 6 B1 + 4 B8 + 3 B3 + 8 B4 + 3 B5 + 8 B6 MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


En el segundo caso, Minimizar z = 0.60 AT + 0.38 BT Restricciones 1.

Cantidad total de pies de la bobina de 6' AT - A1 - A2 - A3 - A4 - A5 - A6 - A7 - A8 - A9 -

2.

Cantidad total de pies de la bobina de 4' BT - B1 - B2 - B3 - B4 - B5 - B6 = 0

3.

Disponibilida d de compra de la bobina de 6' AT ! 750

4.

Disponibilida d de compra de la bobina de 4' BT ! 5000

5.

R e q u e r i m e n to n e t o d e l á m i n a d e 4 2 " A1 + A2 + A3 + B1 "400

6.

R e q u e r i m e n to n e t o d e l á m i n a d e 3 4 " 2A4 + A5 + A6 + A7 + B2 " 350

7.

R e q u e r i m e n to n e t o d e l á m i n a d e 1 5 " 2A1 + A2 + 2A5 + A6 + 4A8 + 3A9 + 2A10 + A11 + 3B3 + 2B4 + B5 " 1000

8.

R e q u e r i m e n to n e t o d e l á m i n a d e 1 0 " A2 + 3A3 + 2A6 + 3A7 + A8 +2A9 + 4A1 0 + 5A11

A10 - A11 - A12 = 0

+ 7A12 + B2 + B4 + 3B5 + 4B6 " 1500 Modelo En el primer caso de la función objetivo, ésto es, minimizando la cantidad de desperdicio, el modelo resulta: Min. z = 5 A2 + 4 A4 +8 A5 +3 A6 +8 A7 + 2 A8 +7 A9 +2 A10 +7A11 + 2 A12 + 6 B1 + 4 B2 + 3 B3 + 8 B4 +3 B5 + 8 B6 MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


Sujeto a : AT - A1 - A2 - A3 - A4 - A5 - A6 - A7 - A8 - A9 - A10 - A11 - A12 = 0

BT - B1 - B2 - B3 - B4 - B5 - B6 = 0 AT ! 750 BT ! 5000 A1 + A2 + A3 + B1 " 400 2A4 + A5 + A6 + A7 +B2 " 350 2A1 + A2 + 2A5 + A6 + 4A8 + 3A9 + 2A10 + A11 + 3B3 + 2B4 + B5 " 1000 A2 + 3A3 + 2A6 + 3A7 + A8 + 2A9 + 4A10 + 5A11 + 7A12 + B2 + B4 + 3B5 + 4B6 " 1500 AT ,A1 ,A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12, BT, B1, B2, B3, B4, B5, B6 " 0

En el segundo caso, se minimizará el gasto total de las compras. Sólo es necesario cambiar la función objetivo, manteniendo el mismo conjunto de restricciones. La nueva función objetiva es, Min. z = 0.60 AT + 0.38BT

S o l u c ió n objetivo Con la función minimizando desperdicio en material, la solución óptima es,

AT A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12

= 750.00 = 400.00 = 0 = 0 = 144.44 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 205.56

BT B1 B2 B3 B4 B5 B6

= = = = = = =

el


127.78 0 61.11 66.67 0 0 0

Z mín. = 1433.33



Con la función objetivo minimizando el costo total de la compra de bobinas, la solución óptima es, AT A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12

= 400.00 = 16.67 = 0 = 383.33 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0

BT B1 B2 B3 B4 B5 B6

= = = = = = =

672.22 0 350.00 322.22 0 0 0

Z mín. = 495.44

Interpretación Administrativa:


Describiremos las dos soluciones encontradas en forma paralela para facilitar la comparación. La lectura debe hacerse independientemente por columna. Minimizando el desperdicio en material

Minimizando el costo total

De la bobina de 6' de ancho comprar 750.00 pies

400.00 pies

los cuales deben cortarse en las siguientes longitudes : Forma Forma Forma Forma

# # # #

1 : 3 : 4 : 12 :

400.00 0.00 144.44 205.56

pies pies pies pies

16.67 383.33 0.00 0.00

pies pies pies pies

D e l a b o b i n a d e 4 d e a n c h o c o m p r a r : ’

127.68 pies

672.22 pies

los cuales deben cortarse en las longitudes siguientes : MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


Forma # 2 : Forma # 3 :

61.11 pies 66.67 pies

350.00 pies 322.22 pies

El desperdicio de material generado por el corte indicado es 1433.33 pulg-pie

4283.33 pulg-pie

El gasto total de la comp ra es : $ 498.56 3.6.

$ 495.44

GESTION DE OPERACIONES MILITARES

Caso 8 : Comando de bombarderos --------El estratégico comando de bombarderos recibe instrucciones para interrumpir la producción de tanques del enemigo. El enemigo tiene cuatro plantas claves l o c a l i z a d a s e n c i u d a d e s s e p a r a d a s , y l a d e s t r u c c ió n d e cualquiera de las plantas detendrá efectivamente la p r o d u c c ió n d e t a n q u e s . Existe una aguda escasez de combustible, la cual limita el suministro para esta misi ón a 48,000 galones. Cualquier bombardero enviado a cualquier ciudad particular debe tener por lo menos suficiente combustible p a r a e l v i a j e d e i d a y v u e l t a má s u n a r e s e r v a d e 1 0 0 galones. El número de bombarderos disponibles para comando y sus descripciones se listan a continuación: Tipo de bombardero 1 2

Descripció n Pesado Medio

Km. por galón 2 3

Caso en operaciones militares

el

Número disponible 48 32

La información acerca de la localización de las plantas, y de su vulnerabilidad al ataque de un bombardero medio y de un bombardero pesado se dan en la siguiente tabla: MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


Planta

Distancia a la base, Km.

1 2 3 4

450 480 540 600

Probabilidad de destrucci ón por un.. bombardero pesado bombardero medio 0.010 0.008 0.020 0.016 0.015 0.012 0.025 0.020

E l c o m a n d o d e b e d e c i d i r c uántos bombarderos de cada tipo deben ser enviados y cómo deben ser asignados entre los cuatro puntos de ataque, de manera de maximizar la probabilidad de éxito. Se asumirá que ningún daño significativo es infligido por un bombardero que falla en la destrucción de la planta. Variables de decisión


Se tienen dos tipos de bombarderos y cuatro ciudades posibles donde enviarlos. Tenemos por lo tanto o c h o v a r i a b l e s d e d e c i s i ó n q u e i d e n t i f ic a r e m o s p o r xij

= Número de bombarderos del tipo i enviados a la ciudad j.

para i = 1, 2 ; j = 1, 2, 3, 4 F u n c ió n o b j e t i v o Deseamos maximizar la probabilidad de destruir al menos una planta, y esto es equivalente a minimizar la probabilidad de no destruir ninguna planta. Usando Q para denotar esta probabilidad, Q = ( 1 - 0 . 0 1 0 ) X 11 ( 1 - 0 . 0 2 0 ) X 12 ( 1 - 0 . 0 1 5 ) X 13 ( 1 - 0 . 0 2 5 ) X 14 ( 1 - 0 . 0 0 8 ) X 21 ( 1 - 0 . 0 1 6 ) X 22 ( 1 - 0 . 0 1 2 ) X 23 ( 1 - 0 . 0 2 0 ) X 24 L a f u n c i ó n Q g e n e r a d a n o e s l i n e a l . S i n e m b a r g o recordemos que minimizar Q es lo mismo que minimizar logQ y log Q es lineal en xij. Llamando z a log Q para evitar problemas de multiplicado por 10³ escalamiento (números muy pequeños con otros muy grandes en el mismo modelo) tenemos;

Transformación de la función objetivo



z = 10³ * logQ = - 4.365 x11 - 8.774 x12 - 6.564 x13 1 0 . 9 9 5 x1 4 - 3 . 4 8 8 x2 1 - 7.005 x22 - 5 . 2 4 3 x2 3 - 8 . 7 7 4 x 24 Restricciones 1. Veamos ahora la restricción impuesta sobre los valores de xij debido a la escasez de combustible, 2*450 2*480 2*540 2*600 2*450 2*480 2*540 x11 ) x12 ) x13 ) x14 ) x 21 ) x 22 ) x 23 2 2 2 2 3 3 3

)

2*600 x 24 )100 (x11 ) x12 ) x13 ) x14 ) x 21 ) x22 ) x23 ) x24 ) 3

! 48,000

lo cual simplificando nos queda, 550 x11 +580 x12 + 640 x13 + 700 x14 + 400 x21 + 420 x22 + 460 x23 + 500 x24 ! 4 8 , 0 0 0 2. es :

La limitación por cantidad de bombarderos pesados x11 + x12 + x13 + x14 ! 48

3.

La limitación por cantidad de bombarderos medios es: x21 + x22 + x23 + x24 ! 32

Modelo Minimizar Z= - 4.365x 11 - 8.774x12 - 6.564x13 1 0 . 9 9 5 x1 4 - 3.488x21 - 7.005x22 - 5.243x23 - 8.774x24 Sujeto a,

5 5 0 x1 1 + 5 8 0 x1 2 + 6 4 0 x1 3 + 7 0 0 x 1 4 + 4 0 0 x 2 1 !48,000 + 420x22 + 460x23 + 500x24

! 48 x11 + x12 + x13 + x14 x21 + x22 + x23 + x24 ! 32 x11, x12 , x13 , x14 , x21 , x22 , x23 , x24 " 0 S o l u c ió n :

S o l u c i ó n óptima MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


x11 = x12 = x13 = x14 = x21 = x22 = x23 = x24 =

0 0 0 45.71 0 0 0 32

z mín. =

-783.3965714

Q m í n = a n t i l o g ( Z * 10 *3 ) = 0 . 1 6 4 7

Interpretación Administrativa


La mayor probabilidad de éxito de la misión es de 83.53% (100.00-16.47) la cual se logra enviando 45.71 bombarderos pesados a la planta 4 y 32 bombarderos medios tambien a la planta 4. Obviamente la continuidad de las variables de PL originan un problema de física. Es imposible enviar 45.71 interpretaci ón bombarderos. O se envian 46, violando las reglas el combustible, o se envian 45, bajando la probabilidad de éxito de la misión a 83.23% y desconociendo si esta es realmente la solución óptima. En estos casos se hace necesario adicionar la restricción de valores enteros para las variables de del modelo. Estaríamos en el decisión tema de programación entera que se verá en el capitulo... La solución óptima para el modelo con estas caracteristicas nos arroja una máxima probabilidad de éxito de 83.50% lo cual se logra enviando :

Solución mediante rogramación entera

1 bombardero pesado a la planta 2 45 bombarderos pesados a la planta 4 1 bombardero medio a la planta 2 y 31 bombarderos medios a la planta 4. 3.7

1.

PROBLEMAS

Una cierta compañia tiene la disyuntiva de decidir si produce en sus propios talleres o se abastece de terceros dos productos que identificaremos por A y B. Producir una unidad del producto A cuesta $1.00 y comprarla externamente, $1.20. Para el B producir una unidad cuesta $1.70 y comprarla , $1.50. Las tasas de producción interna son de tres por hora y 5 por hora para A y B respectivamente. Los MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


requerimientos mínimos son 100 de A por semana y 200 de B por semana. Existen 40 horas semanales de taller disponibles, y se calcula que una hora de tiempo ocioso del taller cuesta aproximadamente $2.50. No se pueden producir mas de 60 unidades de A ni mas de 120 de B. El abastecimiento de B est á limitado a 130 unidades semanales. F o r m u l a r e l p r o b l e m a m e d i a n t e u n m o d e l o d e p r o g r a m a c ió n l i n e a l . 2.

Un inversionista tiene dos alternativas de inversión, A y B, d i s p o n i b l e s a l c o m i e n z o d e c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s c i n c o añ o s . C a d a $ 1 , 0 0 0 i n v e r t i d o s e n A a l i n i c i o d e u n añ o , r e t o r n a n $ 1 , 5 0 0 ( u n a utilidad de $500) después de dos años. cada $1,000 invertidos en B al c o m i e n z o d e u n añ o , r e t o r n a n $ 1 , 9 0 0 t r e s a ñ o s d e s p u é s . Además de estas dos alternativas, existen otras dos, C y D, las cuáles estarán a dispocisión del inversionista por una única vez. La C está accesible al inicio del primer año y retornará $2,000 cuatro años d e s p ué por cada $1,000 invertidos. La D estará accesible al inicio del tercer año y retornará $1,300 un año después por cada $1,000 invertidos. El inversionista cuenta con 10 millones de dólares al inicio del primer año. El desea maximizar la cantidad de dinero que pueda acumular al final del quinto año. Durante estos 5 años el es libre de invertir y de reinvertir todo su dinero entre las alternativas disponibles. Formular el modelo de programación lineal para este problema.

3.

U n a f á b r i c a d e c e m e n t o t i e n e c u a t r o t i p o s d e c e m e n t o q u e p r o d u c e y c o m e r c i a l i z a . E l p r o c e s o d e p r o d u c c ió n t i e n e t r e s e t a p a s : m e z c l a d o , m o l d e a d o e i n s p e c c ió n . L a c a p a c i d a d e n h o r a s m e n s u a l e s d e e s t a s t r e s etapas, el requerimiento en horas por tonelada de cada tipo de cemento en las tres etapas y la utilidad unitaria por tonelada de cad a tipo se dan en la siguiente tabla : Etapas

Mezclado Moldeado Inspección Utilidad Unitaria

Horas / ton. para el tipo de cemento 1 1 1.5 0.5

2 2 2 0.6

3 10 4 1

4 16 5 2

$ 8

$14

$ 30

$ 50

Horas por mes 800 1000 340



Formular el modelo lineal que determine el programa de producción que maximice las utilidades mensuales. 4.

Una cierta siderúrgica produce tres tipos de bobinas, cada una hecha de diferente aleación. El flujo de producción es el siguiente:

Aleación 1 Recocido primario Aleación 2 Recocido

Rolado

secundario

en frío

Aleación 3

El problema consiste en determinar las cantidades a producir de cada aleación de manera de maximizar las utilidades, pero satisfaciendo las limitaciones de ventas y las capacidades de las m áquinas. Estos datos están dados en las siguientes tablas :

Operación Recocido primario Recocido secundario Rolado en frío Aleació n 1

Cantidad de máquinas 4

Turnos de 8 horas por semana 21

1

20

10

1

12

0

Operación Rec. primario Rolado Rec.secundari o

Tasa de p r o d u c c ió n 28 hr. por 10 tons. 50 pies por min. 20 " " "

Potencial de ventas 1,250 tons. por mes

Tiempo muerto (%) 5

Utilidad por ton. $ 25



2

3

Rolado Rec. primario Rec.secundari o Rolado Rec.secundari o Rolado

25 " " " 35 hr. por 10 tons. 20 pies por min. 25 " " " 16 " " " 20 "

"

250 tons. por mes

$ 35

1,500 tons. por mes

$ 40

"

Las bobinas de cualquiera de las aleaciones miden 400 pies de longitud y pesan 4 tons. Formular la función objetivo y las restricciones de manera de poder resolver el problema dentro de programación lineal. 5.

Un fabricante de embarcaciones deportivas desea formular un plan de producción para los siguientes seis meses. El fabrica dos tipos de botes: pequeños y grandes. Quiere determinar las siguientes cantidades : la cantidad de cada tipo de botes a vender cada mes , la cantidad de cada tipo de botes a producir cada mes, el programa de compra para los tres principales componentes de fibra de vidrio usados en los botes y el programa de reclutamiento y despido de sus operarios. L a d e m a n d a p a r a l o s b o t e s s e p r e s e n t a só l o e n l o s m e s e s 5 y 6 d e l plan. El precio de venta esperado por cada bote es como sigue :

Mes

5 6

Botes grandes Menos de Entre 1,000 y 1,000 2,000 $ 10,000 $ 8,000 9,000 7,000

Botes pequeños Menos de Entre 5,000 y 5,000 10,000 $ 1,000 $ 800 900 700

Los botes pueden ser producidos en cualquier mes, pero hay un costo de inventario de $ 200 por mes por cada bote grande y $ 100 por mes p o r c a d a b o t e p e q u eñ o . Cada bote grande tiene las siguientes características de producción :



a.

Requiere 2,000 kg. de fibra de vidrio. La fibra de vidrio debe consistir de : al menos 40% de material A (por peso) al menos 10% de material B al menos 20% de material C

b.

Requiere 200 horas de mano de obra.

C a d a b o t e p e q u eñ o t i e n e l a s s i g u i e n t e s c a r a c t e r í s t i c a s d e p r o d u c c i ó n : a. Requiere 150 kg. consistir de : al menos 20% al menos 30% al menos 30% b.

de fibra de vidrio. La fibra de vidrio debe de de material A de material B de material C

Requiere 40 horas de mano de obra.

Los materiales A, B y C tienen un costo constante de $ 0.20, $ 0.10 y $ 0.30 respectivamente por kilo. La disponibilidad es ilimitada. La fuerza laboral actual consiste de 1,500 personas. Cada persona trabaja 160 horas regulares por mes, y un máximo de 40 horas m e n s u a l e s d e s o b r e t i e m p o . L a h o r a r e g u l a r s e p a g a a r a zó n d e $ 4 y e l sobretiempo cuesta $ 6 por hora. La fuerza laboral puede incrementarse a un costo de $ 500 por trabajador o reducirse a un costo de $ 320 por trabajador. La fuerza laboral al final de lo s seis meses debe ser la misma que la actual.

6.

Formular un modelo de programa lineal que produzca todas las cantidades que el fabricante quiere determinar. Una cierta compañía vende dos grados de gasolina para aviación, e x t r a y r e g u l a r . C a d a u n a d e b e s a t i s f a c e r c o n d i c i o n e s c o m o má x i m a presión de vapor tolerable y mínimo octanaje requerido. Estas especificaciones mas algunos datos relevantes se muestran en la siguiente tabla: Gasolin a Extra Regular

Presión de vapor maxima 6 7

Octanaje mínimo

Demanda semanal máxima (barriles)

100 95

10,000 50,000

Precio por barril $ 9.00 8.00



Dos clases de insumos son usados para producir las mencionadas. Ellos tienen las siguientes características: Insumo

Clase A Clase B

Presión de vapor

Octanaje

8 5

105 90

Maximo suministro (barriles) 20,000 30,000

gasolinas

Costo por barril $ 7.00 6.00

La compañia quiere maximizar las utilidades semanales generadas por la venta de los dos grados de gasolina. F o r m u l a r e l p r o b l e m a p r o p u e s t o c o m o u n o d e p r o g r a m a c ió n l i n e a l . A n a l i c e c l a r a m e n t e e l s i g n i f i c a d o d e c a d a v a r i a b l e y c a d a r e s t r i c c ió n usadas. Resolverlo usando un paquete computacional. 7.

U n a p l a n t a q uí m i c a e s t a p l a n e a n d o l a p r o d u c c i ó n p a r a l o s s i g u i e nt e s dos meses. La planta produce dos productos comerciales, 1 y 2. Cada mes se pueden vender hasta 4000 lbs.del producto 1 a razón de $.1.00 por lb. El producto 2 se puede vender a $.1.25 por lb. las primeras 2 0 0 0 l b s . d e p r o d u c c ió n . S e p u e d e n v e n d e r 2 0 0 0 l b s . a d i c i o n a l e s p e r o a solo $.0.90 por lb. Ninguno de los dos productos puede ser almacenado para ser vendido el siguiente mes. en El proceso químico mezcla las materias primas A, B y C proporciones de 0.4, 0.3, 0.3 respectivamente. Del proceso se obtiene 30% del producto 1, 40% del producto 2, 20% de materia A impura y 10% de materia B impura. Las materias primas puras A, B y C, pueden comprarse por $ 0.50, $ 0.32 y $ 0.05 por lb. respectivamente. No hay límite en las cantidades de B y C que se pueden comprar en ambos meses. De A se pueden comprar solo 6000 lbs. durante el primer mes y nada en el segundo mes. Almacenar una lb. de A del primero al segundo mes cuesta $0.10.

La materia A impura producida durante el primer mes puede ser procesada para obtener A pura pero perdiendose un 25% de peso que debe ser descartada. Procesar A impuro cuesta $ 0.10 por lb. Toda la materia A impura producida en el segundo mes debe ser descartada tambien. D e b i d o a l e y e s s o b r e c o n t a m i n a c ió n , s e e s t a n a p l i c a n d o i m p u e s t o s sobre todo el material descartado como desperdicio químico. Por las primeras 1000 lbs. descartadas por mes se cobra $0.10 por lb. y si MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


hubiera mas se cobra mes.

$0.25 por lb. adicional de desperdicio en el

Formular el modelo de programación lineal que determine, cuando sea resuelto, los valores optimos para todas las variables de decisi ón involucradas en este problema. 8.

Un cierto taller produce dos artículos, A y B, mediante cuatro máquinas. Existen varias posibilidades para la fabricación de cada artículo, y la utilidad unitaria depende de la combinación particular de máquinas que se use. La tabla siguiente nos da las diferentes rutas posibles, los tiempos correspondientes y los valores de las utilidades. Producto

Ruta

A

1 2

B

1 2 3 4

Horas disponibles por semana

9.

T i e m p o d e P r o d u c c ió n u n i t a r i o ( h r s ) máquinas 1 2 3 4 0.5 ----0.2 --------0.4 0.2 -----

0.4 0.4 ---------

--------0.6 0.6

0.3 ----0.3 -----

----0.4 ----0.4

38

40

37

23

Utilida d unitaria $ 2.0 0 2.50 5.00 4.00 4.00 3.00

La empresa tiene contratos que exigen que se produzcan cuanto menos 100 unidades de A y 85 unidades de B cada semana. El p r o b l e m a c o n s i s t e e n d e t e r m i n a r e l p r o g r a m a d e p r o d u c c ió n m á s rentable para el taller. F o r m u l e e l m o d e l o d e p r o g r a m a c ió n l i n e a l q u e r e p r e s e n t e e l problema. Explique claramente el significado de cada una de las variables y restricciones utilizadas. U n a c i e r t a c o m p a ñ i a h a d e c i d i d o i m p l e m e n ta r u n f o n d o d e p e n s i o n e s para sus empleados. El principal objetivo del fondo es obtener un determinado retorno a riesgo mínim o, aunque siempre se requerirá un cierto ingreso en efectivo para pago de beneficios. Las reglas básicas bajo las que el administrador del fondo opera son relativamente simples. Al menos 1% de los activos del fondo deben ser mantenidos en efectivo. Al menos 25% de los activos deben estar MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


e n b o n o s o e f e c t i v o , d e l o s c u a l e s e l 1 0 % mí n i m o d e b e e s t a r e n B o n o s d e l T e s o r o . E l r e s t o p u e d e s e r i n v e r t i d o e n a c c i o n e s d e c o m p añ i a s que estén aprobadas por el Directorio de la empresa. De la inversión en acciones, al menos el 10% de los activos deben ser puestos en a c c i o n e s d e l a p r o p i a c o m p añ i a . Los activos del fondo son inicialmente $ 5 millones. Si se logra un 6% de retorno por año fuera de los gastos en efectivo, el fondo estará a u t o f i n a n c i a d o n o r e q u i r i e n d o a p o r t e s a d i c i o n a l e s d e l a c o m p añ i a . Por tanto el objetivo del administrador del fonde es el de obtener u n ingreso en efectivo, suficiente para satisfacer los gastos que son a p r o x i m a d a m e n t e $ 1 2 5 , 0 0 0 e l p r i m e r añ o , y u n r e t o r n o d e u n 6 % e n activos del fondo con un mínimo de riesgo. Las utilidades del fondo no están sujetas a impuestos. Todo ingreso no requerido para gastos puede ser reinvertido. El directorio ha aprobado las acciones de 10 compañías y 2 bonos cuyos datos relevantes son los siguientes: Valores

Precio $

Tasa de crecimiento (%) 5 30 20 8 10

Dividendos (%)

Desviación estandar (%)

C o m p añ í a A 50 4.6 0.5 C o m p añ í a B 30 1.4 20.0 C o m p añ í a C 100 1.5 5.0 C o m p añ í a D 80 3.0 3.0 Propia 70 3.5 2.0 C o m p añ ía C o m p añ í a E 300 15 0.9 2.0 C o m p añ í a F 80 25 0.0 10.0 C o m p añ í a G 60 60 0.0 50.0 C o m p añ í a H 45 9 4.4 3.0 C o m p añ í a I 35 8 3.9 1.0 Bonos A 80 --5.9 0.1 Bonos B 85 --6.5 0.2 Bonos del ----4.5 --tesoro Efectivo --------Determinar el portafolio menos riesgoso con un 6% de retorno. U t i l i z a r c o m o m e d i d a d e r i e s g o a l a d e s v i a c ió n e s t á n d a r d e l c o m p o r t a m i e n t o d e l a a c c ió n . F o r m u l a r e l m o d e l o d e p r o g r a m a c i ó n lineal que resuelva el caso. MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES


10. Una cierta empresa produce rollos de papel de 12" de ancho por 1000' de longitud. Estos rollos est ándares son comprados por muchos de sus clientes. Sin embargo, existen algunos clientes que exigen recibir rollos de anchos especiales, específicamente, de 2", 3 1/2", y 5". Todos ellos en 1000' de longitud. En estos momentos las cantidades demandadas son de 500 rollos de 2", 2000 rollos de 3 1/2", y 1500 rollos de 5". Estos rollos especiales tienen que ser cortados de los rollos estándares de 12". La empresa está considerando alternativas de corte que no produzcan más de 1" de desperdicio. Se han seleccionado las siguientes seis alternativas : Cantidades de rollos de papel 2" 3 1/2" 5"

Alternativas 1 2 3 4 5 6

6 4 3 2 1 0

0 1 0 2 0 2

0 0 1 0 2 1

Desperdicio 0" 1/2" 1" 1" 0" 0"

Se quiere encontrar el programa de corte que minimice el t otal de desperdicios. Formule el modelo de PL que resuelva el problema. 11. Un embotellador de Whisky importa tres grados de este licor: A, B y C. Estos grados se mezclan de acuerdo a recetas que especifican los porcentajes máximos o mínimos de los grados A y C en cada mezcla. Estos se muestran en la siguiente tabla :

Mezcla "Punto Azul"

"Baile de alturas"

las

"Delirio Viejo"

Especificació n No menos de 60% de A No más de 20% de C No más de 60% de C No menos de 15% de A No más de 50% de C

Precio por litro $ 6. 80

$ 5. 70

$ 4. 50



El suministro de los tres Whiskies b ásicos y sus costos respectivos se indican en la siguiente tabla. Whiskeys

A B C

Cantidad má x i m a disponible (Litros por día) 2 000 2 500 1 200

Costo por litro

$ 7. 00 $ 5. 00 $ 4. 00

Se requiere encontrar un plan de producció n que maximice utilidades. Construya el modelo de PL que determine dicho plan.

las

12. Aeroperú debe decidir cuántas nuevas aeromozas debe reclutar y entrenar durante los siguientes seis meses. Los requerimientos de horas de vuelo de aeromozas son de 8000 horas en enero; 9000 en f e b r e r o ; 8 0 0 0 e n m a r z o ; 1 0 0 0 0 e n a b r i l ; 9 0 0 0 e n m a yo ; y 1 2 0 0 0 e n j u n i o . El entrenamiento de una aeromoza antes de que pueda ser ubicada en un vuelo regular es de un mes de modo que ésta debe ser reclutada por lo menos un mes antes de que se le necesite. Un entrenamiento exige 100 horas de experiencia real en vuelo durante el c o r r e s p o n d i e n t e m e s . A s i , p o r c a d a s eñ o r i t a e n e n t r e n a m i e n t o , s e dispone de 100 horas menos para servicio de vuelos de las aeromozas regulares. Toda aeromoza regular puede trabajar hasta 150 horas en un mes. Aeroperú cuenta con 60 aeromozas disponibles a comienzos de Enero. Si el total del tiempo disponible de las aeromozas regulares excede el tiempo requerido de vuelo y de entrenamiento, ellas trabajan men os de 150 horas y no se despide a ninguna. Cada mes, renuncian aproximadamente un 10% de las aeromozas regulares por motivos de ascensos, matrimonios y otros. Una aeromoza regular le cues ta a la compañ ia $ 80 0 po r mes y un a señorita en entrenamiento, $400. a. Formular el problema de reclutamiento y entrenamiento como un modelo de programación lineal. Llamar x t al número de señoritas que comienza el entrenamiento en el mes t. Defin ir todo sí m b o l o a d i c i o n a l q u e n e c e s i t e p a r a e x p r e s a r l a s v a r i a b l e s d e d e c i s ió n . b. El problema está asumiendo un horizonte de tiempo de 6 meses. Suponga que los requerimientos del mes de Julio se agregan al MODELOS LINEALES PARA LA GESTION DE OPERACIONES

formulacion(2)

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