BAB II FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN
Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep toptlogi yang akan digunakan pada fungsi kompleks 2.1
Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang z. seperti operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatnya. Selain itu anda juga perlu mengingat materi lingkungan dan komplemen, titik limit, titik batas, himpunan buka, himpunan tutup. Dengan mengingat materi tersebut, makaanda akan lebih mudah memahami materi berikut. a. Lingkungan a) Lingkungan z0, adalah himpunan semua titik z yang terletak di dalam lingkaran yang
. Lingkungan tanpa z adalah himpunan semua titik-titik z z yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di z , berjari-jari di r,r > 0. Di tulis N (z ,r) atau 0 < .
berpusat di z0, berjari-jari di r, r > 0. Ditulis N(z0,r) atau b)
0
0
0
0
Contoh: a) N(i,1) adalah ekuivalen dengan |z – |z – i i | < 1, Gambarkan ! b) N*(0,a) adalah ekuivalen dengan 0< |z | < a, Gambarkan ! Jawab: lm
2i
ii
0
*
0
b. Komplemen Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis Sc, merupakan himpunan semua titik pada bidang z yang tidak termasuk di S. Contoh : c
a) A = {z/Im z< 1}, maka A = {z/Im z≥ 1}. Gambarkan ! c
b) B = {z/2
A = { z | Im z< 1}, maka A = { z | Im z 1}. c
B ={ z | 2
c. Titik Limit Titik z0 disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(z0,δ) maka S ∩ N*(z0,δ) ≠ φ. d. Titik batas Titik z0 disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(z0,δ) memuat suatu titik di S dan memuat sati titik yang tidak di S. e. Batas dari himpunan S adalah himpunan semua titik batas dari S. f. Interior dan Eksterior Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(z0,δ) sehingga N(z0,δ) yang bukan titik interior atau titik batas disebut titik eksterior. g. Himpunan Buka Himpunan S disebut himpunan buka jika S tidak memuat bagian dari batasnya. h. Himpunan Tutup
⊂ S. Titik
Himpunan S disebut himpunan tutup jika S memuat semua batasnya. i.
Himpunan Terhubung Himpunan buka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh beberapa penggal garis lurus yang seluruhnya terletak di S.
j.
Daerah Terbuka Himpunan buka S yang terhubung disebut daerah terbuka.
k. Daerah Tertutup Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya. l. Penutup dari himpunan S adalah himpunan S digabung dengan limitnya. Contoh : A = {z/ /z/ < 1}, B = {z/ /z/<1} U {(0,)}, dan C = {z/ /z/ ≤ 2} Dari himpunan di atas, maka A adalah himpunan buka dan terhubung. Batas dari A adalah {z/ /z/=1}. Penutup dari A adalah {z/ /z/ ≤ 1}. B adalah bukan himpunan buka dan juga bukan himpunan tutup. Titik limit dari B adalah {z/ /z/ ≤ 1}. Interior C adalah {z/ /z/ <2}. Contoh :
1. Diberikan A = { z / |z|<1}, maka:
A adalah himpunan terbuka dan terhubung. Batas dari A adalah { z / |z|=1}. Penutup dari A adalah { z / |z|1}. 2. Diberikan B = { z / |z|<1} U {(0,1)}, maka:
B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup. Titik-titik limit dari B adalah { z / |z|1}. 3. Diberikan C = { z / |z| 2}, maka:
Titik-titik interior C adalah { z / |z|<2}. 2.2
Fungsi Kompleks Definisi : Misalkan D himpunan titik pada bidang z. Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada bidang w, yaitu (z,w). Fungsi tersebut ditulis w = f(z). Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis Df dan f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis Rf, yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota D.
Contoh : a) w = z + 1 – i b) w = 4 + 2i 2
c) w = z – 5z
d) f(z) =
Contoh a, b dan c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang z.
Contoh d) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang z ,kecuali z = - . Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y. Apabila z = r(Cosθ+iSinθ), maka w = u(r, θ) +v(r, θ). Contoh : 2
1) Tuliskan f(z) = 2z – i dalam bentuk u dan v ! Jawab : Misal z = x + iy, maka fungsi: w=f(z) 2
= 2z – i = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 2
= 2 ( x + iy ) – i 2
2
= 2 ( x + 2xyi – y ) – i 2
2
= 2 ( x – y ) + i ( 4xy – 1 ). 2
2
Jadi u = 2 ( x – y ) dan v = 4xy - 1.
2) Jika z = r(Cosθ+iSinθ), Jawab: 2
maka f( z ) = z + i 2
= [ r ( Cosθ + iSinθ ) ] + i 2
2
2
2
= ( r Cos θ – r Sin θ ) + ( 1 + rSin2θ ) i, 2
2
2
2
berarti u = r Cos θ – r Sin θ dan v = 1 + rSin2θ ) . Komposisi Fungsi Jika diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z) dengan domain Dg. Jika Rf ∩ Dg ≠ φ, maka ada fungsi komposisi (gof) (z) = g (f (z)), dengan domain suatu himpunan bagian dari Df. Jika Rg ∩ Df ≠ φ, maka (fog) (z) = f (g (z)). Tidak berlaku hukum komutatif pada (gof) (z) dan (fog)(z). Contoh :
2
1. F ( z ) = 3z – i dan g ( z ) = z + z – 1 + i Jawab: Jika Rf ∩ Dg ≠ φ, maka ( gof ) ( z ) = g ( f ( z ) ) = g ( 3z – i ) 2
= ( 3z – i ) + ( 3z – i ) – 1 + i 2
= 9z - 6iz – 1 + 3z – i -1 + i 2
= 9z + 3z – 2 - 6iz Jika Rg ∩ Df ≠ φ, maka ( fog ) ( z ) = f ( g ( z ) ) 2
= f ( z + z – 1 + i ) 2
= 3z + 3z – 3 + 2i Jadi, (gof) (z) ≠ (fog)(z) 2.3
Interpretasi Geometris Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain f ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, yaitu z pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (z,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w = f(z). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang z ke titik di bidang w dengan aturan f. Untuk suatu titik z maka f(z) disebut peta dari z. Contoh 1 : Diketahui fungsi w = 2z – 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = 2(x+iy) – 1 + i. Misalnya untuk z1 = 1 + i , dan z2 = 2 – 3i , berturut-turut diperoleh : w1 = 1 + 3i , dan w2 = 3 – 5i. Gambar dari z1, z2 ,w1 , dan w2 dapat dilihat di bawah ini. Contoh 2 : 2
Diketahui fungsi w = z . Dengan menggunakan z = r ( Cosθ + iSinθ ), Jawab: 2
maka diperoleh w = z
2
= r ( Cos2θ + iSin2θ ). Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang z, maka dapat dipetakan ke bidang 2
w menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r . Daerah 0 ≤ arg z ≤ α dipetakan menjadi daerah 0 ≤ arg w ≤ 2α. Coba anda Gambarkan keduanya pada bidang Argand ! 2.4
Limit Diketahui daerah D pada bidang z dan titik zo terletak di dalam D atau pada batas D. Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada D, kecuali mungkin di z 0.
Apabila titik z bergerak mendekati titik z0 melalui setiap lengkungan sebarang K dan nilai f(z) bergerak mendekati suatu nilai tertentu, yaitu w0, maka dikatakan limit f(z) adalah w0 untuk z menuju z0, ditulis :
()
Secara formal, definisi limit dapat dilihat berikut ini :
Definisi : Misalkan fungsi z = f(w) terdefinisi pada daerah D, kecuali mungkin di z0 (titik z0 di dalam D atau pada batas D). Limit dari f(z) adalah wo untuk z menuju z0, jika untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sedemikian hingga / f(z) - wo / < ε, apabila 0 < / z - zo / < δ, ditulis :
()
Perlu diperhatikan bahwa : 1. Titik zo tidak perlu termasuk domain fungsi f. 2. Variabel z menuju zo melalui sebarang lengkungan K,artinya z menuju zo dari segala arah.
3. Apabila z menuju zo melalui dua lengkungan yang berbeda saja, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z menuju zo. Contoh 1 : 1. Buktikan bahwa :
Jawab: Pembuktian : Analisis Pendahuluan : (langkah ini boleh tidak ditulis di lembar jawaban) Misalkan diberikan bilangan ε > 0, kita akan mencari δ > 0 sedemikian hingga sehingga 0 < |z –2 |< δ <
⇒
untuk z ≠ 2 , lihat bagian sebelah kanan <
⇔ < ⇔ (2 z + 1) – 5 ε ⇔ 2 (z – 2) < ε ⇔ 2 z – 2 < ε ⇔ z – 2 < =
Hal ini menunjukkan bahwa δ =
telah diperoleh.
Bukti Formal:
, berlaku
Jila diberikan Jila diberikan ε > 0 , maka pilih δ = , sehingga untuk z 0 < |z –2 |< δ
⇒ ⇒ ()() ⇒ 2 < 2 )
Contoh 2 : Buktikan bahwa :
Bukti : 2
Untuk setiap ε > 0 , maka akan dicari δ > 0, sehingga untuk z ≠ zo, / z -
/ < ε
apabila /z - zo / < δ. Jika δ ≤ 1, maka 0 < /z -
/ < δ mengakibatkan / z - / = /z-z 2
0
//z+z0/ < δ /z+z0/ = δ {/z-zo+2zo/} < δ (1 +2/z o/). Jadi didapat δ minimum antara 1 dan 2.5
(). Tuliskan bukti formal pembuktian tersebut !
Teorema Limit Teorema 1 : Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal. Teorema 2 : Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik z o = (xo,yo) = xo + iyo di dalam D atau batas D. maka
() jika dan hanya jika Limit
u(x,y) = xo dan limit v(x,y) = vo
(x ,y )
(x,y)
o
(x,y)
o
(x ,y ) o
o
Teorema 3 : Misalkan fungsi f dan F limitnya ada di zo. Lim f(z) = w o dan lim F(z) = W o, maka :
z ) 2. Lim (f(z) . F(z)) = w . W (untuk z z ) 3. Lim (f(z) / F(z)) = w / W (untuk z z ) 1. Lim (f(z) +F(z) ) = w o + Wo (untuk z
o
o
o
o
o
o
o
Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut ! Contoh:
Hitunglah Jawab:
( )() Contoh 2:
Jika f (z) = +
Buktikanlah () tidak ada! Bukti: Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka 2
lim f(z) = Lim z
0
f(z) = Lim x i = 0. (x,0)
(0,0)
x
0
z 2.6
0
(x,x) (0,0) x0
Sedangkan di sepanjang garis y = x, lim f(z) = Lim f(z)
Kekontinuan Fungsi Definisi : Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang z dan titik zo terletak pada interior D, fungsi f(z) dikatakan kontinu di zo jika untuk z menuju zo, maka Lim f(z) = f(zo). Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di z o, yaitu : 1. f(zo) ada 2. Lim f(z) ada
zo
z
3. Lim f(z) = f(zo) z
zo
Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f(z) kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut. Teorema 4 : Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan zo = xo+yoi titik di dalam R, maka fungsi f(z) kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masingmasing kontinu di (xo,yo). Teorema 5 : Andaikan f(z) dan F(z) kontinu di zo, maka masing-masing fungsi : 1. f(z) + F(z) 2. f(z) . F(z) 3. f(z) / F(z), F(z) ≠ 0, 4.
f(F(z); f kontinu di F(zo), kontinu di zo. Contoh 1 : Fungsi f(z) =
3 + 4i, z = 2i f(2i) = 3+4(2i) = 3 + 8i, sedangkan untuk z mendekati 2i, maka Lim f(z) = z +2i = 2i + 2i = 4i. Jadi f(z) diskontinu di z = 2i. Contoh 2 :
Dimanakah fungsi g(z) = kontinu ?
Jawab : Coba anda periksa bahwa g(z) diskontinu di z = 1 dan z = 2. Jadi g(z) kontinu di daerah {z/ z ≠ 1 dan z ≠ 2}. 2.7
Soal-Soal Latihan Bab II 1. Tentukan nilai fungsi : 2
a. f(z) = z – 2z + 3 di z = 5 -1 b. g(z) =
2
2. Jika z = x + iy, tuliskan f(z) = 3z – 5i + 1 dalam bentuk u dan v ! 3.
2
Jika z = r(Cosθ+iSinθ), maka tuliskan f(z) = 2z + i dalam bentuk u dan v ! 2
4. Jika f(z) = 5z + 1- i dan g(z) = z , tentukan (gof) (z) dan (fog)(z). 5. Fungsi w = 5z – 2+ i. Gambarkan w1 dan w2 untuk z1 = 2 + i , dan z2 = 5 – 3i . 3
6. Diketahui fungsi w = z . Dengan menggunakan z = r (Cosθ+iSinθ), maka gambarkan w = z
3!
, Hitunglah limit g(z) untuk z 2i Jika f(z) = . Buktikan Lim f(z) untuk z menuju 0 tidak ada ! Apakah fungsi h(z) = kontinu di z = 3i? jelaskan!
7. Jika g(z) = 8. 9.
3+5i, z = 3i 10. Dimanakah fungsi g(z) = kontinu?
*** SELAMAT MENGER***
